5° R - Libro III

Unidad 138 © SANTILLANA Apliquemos elementos de geometría analítica Temas de la unidad • La línea recta • Distancia entre dos puntos • Pendiente de una recta • Ecuaciones de una recta • Posiciones relativas 7 • Distancias y ángulos Unidad

© SANTILLANA 139 Uno de los problemas griegos más conocidos es la cuadratura del círculo. Este consiste en construir con regla y compás un cuadrado, de área igual a la de un círculo dado. Muchos matemáticos griegos del siglo V a. C. se dedicaron a resolver este problema, sin lograr su solución. Hipócrates trató de resolver el problema inverso; es decir, a partir de un cuadrado construir un círculo cuya área sea igual a la del cuadrado. Si bien no resolvió el problema original, sí creó una construcción geométrica llamada: Las lúnulas de Hipócrates. Existe una proporcionalidad que está dada por Π. Esto significa que si se tiene un cuadrado con lados R, los eleva al cuadrado y multiplica por Pi obtendrá la superficie de un círculo con radio R, como el de la lúnula de Hipócrates. © SANTILLANA 139 Naturalista, intrapersonal y espacial La línea recta Para responder Construye las lúnulas de Hipócrates y utiliza tu creatividad para decorarlas. • Dibuja un cuadrado de 4 cm de lado y traza la circunferencia. • Con centro en los puntos medios de cada lado, dibuja una semicircunferencia sobre él. • Identifica en la figura las lúnulas de Hipócrates. • ¿Qué pendiente tienen sus líneas rectas? • ¿Cómo son sus ángulos?

140 © SANTILLANA Para pensar Determinar la ecuación del lugar geométrico en cada caso. a. El conjunto de puntos cuya coordenada en x es igual a su coordenada en y. El conjunto de puntos cuya coordenada en x (abscisa) es igual a su coordenada en y (ordenada) es una línea recta. En la gráfica se muestran algunos puntos que pertenecen al lugar geométrico (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2). Para determinar la ecuación del lugar geométrico se expresa en forma algebraica la relación entre las variables. Como x es igual a y, la ecuación del lugar geométrico es x = y. b. El conjunto de puntos del plano cuya distancia al origen es tres unidades. El conjunto de puntos cuya distancia al origen es 3 forman una circunferencia. Para determinar la ecuación del lugar geométrico se construye el triángulo OQP que se muestra en la figura. Como es un triángulo rectángulo se aplica el teorema de Pitágoras x2 + y2 = 32 La ecuación del lugar geométrico es: x2 + y2 = 9 1 La línea recta La geometría analítica es la parte de la matemática que conecta el álgebra con la geometría. Con ella es posible resolver problemas geométricos en forma algebraica y se trabaja en un sistema de coordenadas cartesianas. Para el estudio de la línea recta, primero se definen: lugar geométrico, distancia entre dos puntos y pendiente de la recta. 1. Lugar geométrico Es el conjunto de todos los puntos del plano que tienen una característica geométrica común. A partir de la característica común que poseen los puntos del lugar geométrico se puede hacer su representación analítica por medio de una ecuación y la representación geométrica por medio de una gráfica, en el plano cartesiano. Para determinar la ecuación de un lugar geométrico se expresan algebraicamente las propiedades de los puntos P(x, y) de ese lugar, mediante igualdades que relacionan las variables x y y. Considera una rampa ABC, ¿se puede utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura? Comenta a tus compañeros cómo lo realizaste. Ejemplos Bloque: Geometría analítica René Descartes 1596–1650 Filósofo y matemático francés. Es considerado el inventor de la geometría analítica. Utilizó los elementos de la geometría euclidiana y el álgebra para asignar ecuaciones de dos variables a las curvas en el plano, así podía estudiar las figuras geométricas mediante el uso del álgebra. A B C p O Q

© SANTILLANA 141 Sigue Alto Ejemplos ¿Dudas? Sí No 2. Distancia entre dos puntos La fórmula de distancia entre dos puntos se deduce a partir del teorema de Pitágoras. Así: Sean P(x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ) dos puntos del plano y de la longitud del segmento de recta que une a P con Q (figura 1). Si se ubica un punto R(x2 , y1 ) y se traza el triángulo rectángulo PQR con ángulo recto en R, la longitud de los catetos es: PR = x x 2 1 QR = y y1 Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa, que en este caso es la distancia entre P y Q. PQ PR QR 222 ^ ^^ hhh = + d x x 2 y y 2 2 2 = x - + y y1 d x x 2 1 y y1 2 2 = - x + y Como todo número elevado al cuadrado es positivo, no es necesario utilizar las barras de valor absoluto y la fórmula se escribe: d ( ) ( ) y y 2 2 = ( + ( La distancia entre dos puntos P(x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ) se denota d ^PQ h, PQ o simplemente d y está dada por la fórmula: d ( ) ( ) y y 2 2 = ( + ( El punto medio de un segmento PQ se obtiene con las fórmulas: x x x 2 m 1 2 x = + y y y 2 m y2 = + Si P(2,8) y Q(10, −7) x 2 2 10 m = 6 + = ( ) y 2 8 ( 2 1 m = + ( = El punto medio es 6, 2 1 ` j Idea importante Figura 1 Calcular la distancia entre los puntos A(6, 3) y B(-6, -2). Si A(6,3) = (x1 , y1 ) y B(-6, -2) = (x2 , y2 ), entonces d ( ) ( ) y y 2 2 = ( + ( d ( ) ( ) 2 2 = ( ) +2 Se sustituyen los valores. d ( ) ( ) 2 2 = ( + ( Se efectúan las operaciones. d = + 144 25 1 = 69 d = 13 Calcula la distancia entre los puntos P(2, 8) y Q(10, -7). 1 2 Se aplica la fórmula. unidades

142 © SANTILLANA 3. Pendiente de una recta En el plano cartesiano, toda recta l que corta al eje x forma con este dos ángulos suplementarios. Si i es el ángulo medido desde el semieje positivo x hasta la recta l, en sentido contrario al de las manecillas del reloj (figura 2); i es denominado ángulo de inclinación de la recta l. Si i es el ángulo de inclinación de una recta l, y i ! 0, entonces, la pendiente m de la recta l se define como: m = tan i La pendiente de una recta se puede determinar conociendo dos puntos distintos de ella. Sean P(x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ) dos puntos distintos de la recta l, tales que x1 ! x2 y i el ángulo de inclinación de l (figura 3). Al aplicar la definición de tangente, en el triángulo PQR se tiene que: tan PR RQ i = Pero, RQ = ( ) y y y PR ( ) (figura 1), de modo que: m tan x x y y 2 1 x y1 = = tani Si P(x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ) con x1 ! x2 son dos puntos distintos de la recta l, entonces: m y arctan x x y y x x y y 2 1 2 1 2 1 2 1 = i - - = - - La expresión y2 - y1 es llamada el incremento en y y la expresión x2 - x1 es llamada el incremento en x. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-3, -6) y (-6, 10). Luego, determinar el ángulo de inclinación de la recta. Al aplicar la fórmula de la pendiente se tiene que: 6 m x x y y 10 6 3 16 3 16 2 1 x 3 y1 = = - -6 - - - = - = - ^ ^ h h y el ángulo de inclinación de la recta es: i = arctan 3 16 a- k = 110°37'11", como se muestra en la figura de la izquierda. Encontrar el ángulo de inclinación con respecto a la horizontal de la recta que pasa por el origen y el punto Q(-8, -2). Se aplica la fórmula utilizando los puntos Q y (0, 0) m i tan tan . x x y y m 8 0 2 0 8 2 4 1 0 25 2 1 2 1 1 1 = = - - = - - - - = - - = == - - 14°2'10" 1 Ejemplos Figura 4 Figura 2 Figura 3 2

© SANTILLANA 143 Actividades 1. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento que une cada par de puntos. a. M(1, 2), N(2, 5) d. S T , , , 3 1 2 1 ` j ^-1 2, h _________________ ________________ b. O(2, 6), P(-3, -2) e. C(4, -2), D(0, 0) _________________ ________________ c. Q(-1, -4), R(-5, -7) f. T(-5, -2), U(-3, -1) _________________ ________________ 2. Calcula la distancia entre cada par de puntos. Luego, grafícalos. a. D(2, 5), E(1, 4) d. J 3 1 5 7 ` ` , 3 1 2, j 5 7 , K` _________________ ________________ b. F(6, 10), G(-1, 3) e. L(-2, -6), M(-1, 0) _________________ ________________ c. H(4, -1), I(4, 9) f. N(4, 3), O(-2, -1) _________________ ________________ 3. Calcula el perímetro de la figura que se forma al unir, en orden, los puntos medios de cada lado de la figura. a. b. 4. Resuelve. Si A((2x - 7), 8), determina el valor que debe tener x para que el punto A pertenezca al eje y. _________________________________________________ 5. Resuelve según se te indique a. De los puntos A(-2, 5), B(3 -2) y C(-3, 3), ¿cuál está más cerca del punto E(-1, 0)? _____________________________________________ b. Si A(-4, -5) es el extremo de un segmento cuyo punto medio tiene coordenadas (1, -2), ¿cuáles son las coordenadas del punto del otro extremo del segmento? _____________________________________________ c. ¿Qué valor debe tener x para que los puntos D(2x, 5), E(-3, 4), F(-1, -2) sean colineales? _____________________________________________ 6. Escribe V si la afirmación es verdadera, o F si es falsa. Explica la respuesta. a. Los puntos A(2, 2), B(4, 0), C(-1, -5) son los vértices de un triángulo rectángulo. __________ b. Los puntos A B ( ), , ,C( ) 2 1` 3j, ( son los vértices de un triángulo isósceles. ____________ c. Los puntos (-8, 6), (6, 8), (8, -6) y (-6, -8) son los vértices de un cuadrado. _____________ d. El punto medio de la hipotenusa en un triángulo está a igual distancia de cada uno de los tres vértices. _________________________ 7. Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos. a. B(1, 3), C(2, 6) c. J(10, -3), K(-2, 4) _________________ __________________ b. D(4, -1), E(-8, 4) d. L(-5, -2), M(-5, -3) _________________ __________________ 8. Encuentra el ángulo de inclinación i de la recta que pasa por el origen y el punto dado. a. M(3, 2) e. S(–3, 5) _________________ __________________ b. N(9, 5) f. T(2, -3) _________________ __________________ c. U(4, -3) g. V(0, 4) _________________ __________________ d. M(1, 2) h. k(2, 9) _________________ __________________

144 © SANTILLANA 4. Ecuaciones de la línea recta Se determinan a partir de las características conocidas, como se muestra a continuación. 4.1. Ecuación punto pendiente Sea l una recta con pendiente m, que pasa por los puntos P(x1 , y1 ) y Q(x, y) con x ! x1 , entonces se cumple x x y y 1 1 = de donde y - y1 = m (x − x1 ) Esta expresión se puede escribir y - y1 = m (x − x1 ) y es llamada ecuación punto pendiente de la recta. La ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 1) y tiene pendiente 3 (figura 5) es: y - 1 = 3(x - 2) y se escribe y = 3x - 5 Si se conocen dos puntos (-1, 5) y (3, 7), para encontrar la ecuación de la recta l primero se encuentra la pendiente (figura 6). ( ) m x x y y 3 ( 7 5 4 2 2 1 2 1 x y1 = = ( = = Se sustituyen la pendiente y las coordenadas del punto y x 5 ( ( )) 2 1 = (- 1 Obteniendo la ecuación de la recta l y x 2 1 2 11 = +x 4.2. Ecuación pendiente intercepto o canónica Sea l una recta con pendiente m. Si la recta l corta al eje y en el punto (0, b), entonces b se denomina intercepto de la recta, con el eje y. Al sustituir m y el punto (0, b) en la ecuación punto pendiente se obtiene y - b = m(x - 0) y = mx + b La ecuación de la forma y = mx + b es denominada ecuación canónica de la recta. La recta (figura 7) que tiene pendiente -4, y corta al eje y en el punto (0, 3), tiene como ecuación y = -4x + 3 4.3. Ecuación simétrica Si l es una recta que corta los ejes coordenados, en los puntos (a, 0) y (0, b), entonces a es la abscisa en el origen y la pendiente es: a b a b a b m x x y y 0 0 2 1 x y1 = = - - = - = - Donde y x b a b = + y al realizar trasposición de términos se obtiene y x b a b + x Dividiendo cada término de la ecuación entre b se obtiene a x b y + = 1 La ecuación de la forma a x b y + = 1 es denominada ecuación simétrica de la recta. La ecuación de la recta que corta los ejes en (2, 0) y (0, -5) es x y 2 5 - = 1 Figura 5 Figura 6 Figura 7

© SANTILLANA 145 4.4. Ecuación general de la recta Sea l una recta con ecuación canónica y = mx + b también se puede expresar de la forma Ax + By + C = 0 si se iguala a cero y se eliminan los denominadores, si los hay. La ecuación de la forma Ax + By + C = 0 es denominada ecuación general de la recta, donde y b B C m B A = - = - A partir de la ecuación canónica de una recta es posible obtener la ecuación general, y a partir de la ecuación general de la recta es posible obtener la ecuación canónica. Expresar la ecuación y = 3x - 6 como ecuación general. Para obtener la ecuación general, en la expresión y = 3x - 6 se transponen los términos de la siguiente manera: y = 3x - 6, entonces -3x + y + 6 = 0. La anterior es la ecuación general de la recta, en donde A = -3, B = 1 y C = 6. Determinar la pendiente y el intercepto con el eje y de la recta cuya ecuación general es 3x + 2y - 5 = 0. Para identificar la pendiente de la recta y el intercepto con el eje y, la ecuación 3x + 2y - 5 = 0 se escribe en forma canónica, así: 2y = -3x + 5. Luego, y x 2 3 2 5 = - + La recta tiene pendiente m 2 3 = - y corta al eje y en el punto 0, 2 5 a k. 1 2 Ejemplos Actividades 9. Grafica la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m. Luego, escribe su ecuación en forma canónica. a. P(1, 3), m = 2 e. P(4, 8), m = -1 b. P(-1, 2), m = 0 f. P(2, 6), m = -3 c. P , 2 1` 4j m no definida g. P m ( ), 2 4 = - d. P m ( ), 3 4 = h. P m ( ), 4 1 = - 10. Considera el triángulo ABC, cuyos vértices están ubicados en los puntos de coordenadas A(–2, 2), B(8, 3) y C(3, 5). a. Encuentra la ecuación de cada una de las rectas que contiene sus lados. b. Calcula las coordenadas de los puntos medios de cada lado. c. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a sus medianas. De la ecuación general también se puede obtener la ecuación simétrica, utilizando las fórmulas: a = A C - b = B C - Para el ejemplo 2: 3x + 2y - 5 = 0 a 3 5 3 5 =- - = ^ h b 2 5 2 5 =- - = ^ h La ecuación simétrica es: Idea importante x x 3 5 2 5 + = 1

146 © SANTILLANA Actividades 11. Expresa, en forma general, la ecuación de la recta correspondiente a cada gráfica. a. c. b. d. 12. Escribe un valor para b en la ecuación 10x + b = 2y de tal manera que la gráfica de la ecuación cumpla con cada condición. a. El intercepto con el eje y es un número positivo menor que 1. b. El intercepto con el eje y es un número entero mayor que 1. c. El intercepto con el eje y es un número racional mayor que 1. d. El intercepto con el eje y es un número negativo menor que -1. e. El intercepto con el eje y es un número negativo mayor que -1. 5. Posiciones relativas de dos rectas en el plano Dadas dos rectas en un mismo plano se pueden presentar cuatro situaciones: las rectas son coincidentes, secantes, paralelas o perpendiculares. 5.1. Rectas coincidentes Sean Ax + By + C = 0 y Alx + Bly + Cl = 0 con A, B, C, Al, Bl y Cl diferentes de cero, las ecuaciones generales de las rectas l 1 y l 2 . Analíticamente, se puede determinar que l 1 y l 2 son rectas coincidentes, cuando los coeficientes de sus variables son proporcionales. Es decir, A A B B C C = = = k l l B = l , donde k es constante. Por ejemplo, las rectas 3x - 2y + 4 = 0 y 9x - 6y + 12 = 0 de la figura 8 son coincidentes, pues . 9 3 6 2 12 4 3 1 = - - = = 5.2. Rectas secantes Dos rectas son secantes cuando se cortan en un solo punto. Así, las rectas 5x - 3y + 7 = 0 y - 3x + 4y - 2 = 0 de la figura 9 son secantes pues se cortan en el punto (-2, -1), el cual se ha determinado resolviendo el sistema formado por las ecuaciones dadas. Para encontrar el ángulo entre dos rectas secantes l 1 y l 2 de inclinación i1 y i2 , respectivamente, hacemos las siguientes consideraciones. Por definición, la pendiente de l 1 es m1 = tan i1 y la pendiente de l 2 es m2 = tan i2 . Si l 1 y l 2 no son paralelas, se cortan en un punto formando dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Figura 8 Figura 9

© SANTILLANA 147 El ángulo i, descrito de l 1 a l 2 , en sentido contrario al de las manecillas del reloj, tiene un valor de i = i1 - i2 (figura 10). Luego, tan ta ( ) tan tan m m m m 1 1 2 ta 1 1 2 ta 1 2 m 1 2 m i tan( i i tan i i tan tan( = + = + Por lo tanto, la fórmula para la tangente del ángulo entre las rectas es: tan m m m m 1 1 2 m 1 2 m i = + Figura 10 5.3. Rectas paralelas A partir de la fórmula para determinar el ángulo entre dos rectas secantes es posible determinar si son paralelas. Pues, dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales. Sean l 1 y l 2 dos rectas paralelas cuyas pendientes son m1 y m2 , respectivamente (figura 11), el ángulo que se forma entre las dos rectas es 0°. De modo que: tan m m m m 0 0 1 1 2 1 2 c = = + - de donde, m1 - m2 = 0, por lo tanto, m1 = m2 . 5.4. Rectas perpendiculares Si l 1 y l 2 son dos rectas perpendiculares, entonces el ángulo que se forma entre ellas es de 90° (figura 12). Y como tan 90° no está definida, entonces, en la expresión m m m m 1 1 2 m 1 2 m + , el denominador es igual a cero. Es decir, 1 + m1 m2 = 0. Luego, m1 m2 = -1. Así, se dice que dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a -1. Figura 11 Rectas paralelas Figura 12 Rectas perpendiculares Encontrar la medida del ángulo de la recta 2x + 3y - 5 = 0 a la recta 4x + 3y - 2 = 0. En la recta 2x + 3y - 5 = 0, la pendiente es 3 2 1 = - y en la recta 4x + 3y - 2 = 0, la pendiente es m 3 4 2 = - . Si i es el ángulo de la primera recta a la segunda, entonces, tan m m m m 1 1 3 2 3 4 3 2 3 4 9 17 3 2 17 6 1 2 m 1 2 m i = + = + - - - = = 3 a a 3 2 - a k k 3 4 ak Así, i = arctan . 17 6 a k = 19c26l m 24 1 Ejemplos

148 © SANTILLANA Actividades 13. Determina la posición que tiene cada par de rectas en el plano. a. x + y = 3 e. 5x + y = 2 2x - 6 = 2y 4y - 2 = -5x b. 3x + 4y = 5 f. 7x + 2y - 10 = 0 6x + 8y - 12 = 0 7y = 2x - 3 c. 9x + 6y - 2 = 0 g. 5x + 4y - 2 = 0 3x + 4y - 7 = 2 x + y = -3 d. 5x + 2y - 3 = 0 h. x + 2y = 0 x y 2 1 + = 3y 0 -2x + y - 5 = 0 14. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, -5) y cumple cada condición. a. Perpendicular a la recta cuya ecuación es 2x + 3y = 0. b. Paralela a la recta cuya ecuación es x - 2y = 4. c. Perpendicular a la recta cuya pendiente es -1 y y-intercepto igual a 2. d. Paralela a la recta que pasa por los puntos (3, 6) y (-1, 2). e. Secante a la recta que pasa por los puntos (-2, 6) y (-4, 5). 15. Encuentra un valor k, de tal manera que se cumpla la condición. a. La recta 2x + ky = 1 pasa por el punto (2, 2). b. La recta 5x + ky = 0 es paralela al eje y. c. La recta 3x + ky = 1 es paralela a la recta 5x + 4y = 2. d. La recta 4x + ky = 5 corta en el mismo valor a los ejes x y y. 16. Calcula la medida del ángulo que se forma entre cada par de rectas. a. d. b. e. c. f. 17. Escribe un argumento que confirme o refute cada afirmación. a. Encontrar la ecuación de una recta perpendicular a otra equivale a encontrar la ecuación de la recta normal a la misma recta. b. Si i es el ángulo obtuso que se forma entre dos rectas con pendientes m1 y m2 , entonces ese ángulo se puede hallar con la fórmula: ° tan m m m m 180 1 1 1 2 m 2 1 m + - ` j Determinar la posición del siguiente par de rectas. x y x y 3 4 0 y 3 0 y + = + + 3y = ) Para 3x - y + 4 - 0, la pendiente es m1 = 3. Para x + 3y + 3 = 0, la pendiente es m 3 1 2 = - Como m m? 3 3 1 1 2 m = - 3 #` j = -1 las rectas son perpendiculares. 1 Ejemplos

© SANTILLANA 149 Sigue Alto 6. Distancias en el plano Con relación a la línea recta se determinan distancias entre rectas paralelas y entre un punto y una recta. 6.1. Distancia entre un punto y una recta Esta es siempre la distancia más corta y, por lo tanto, perpendiculares a ella (i = 90°). La distancia de un punto P(x0 , y0 ) a la recta l representada por la forma general Ax + By + C = 0 se expresa con la fórmula: d( ) A B Ax By C 2 2 B 0 0 = + +0 6.2. Distancia entre dos rectas Para determinar la distancia entre dos rectas se debe tener en cuenta: • Si las rectas son coincidentes o secantes, la distancia entre ellas es 0. • Si son paralelas la distancia entre ellas es la distancia desde un punto sobre una de las rectas a la otra. No importa qué punto se seleccione, ya que guardan la misma distancia perpendicular en todos los puntos. Ejemplos ¿Dudas? Sí No 2 Una distancia es siempre positiva, por eso se añade el valor absoluto al numerador de la fórmula y se considera solo el resultado positivo de la raíz cuadrada del denominador. Idea importante Figura 13 Encontrar la distancia entre las rectas 5x + 3y - 2 = 0 y 5x + 3y + 1 = 0. Al sustituir x = 1 en la primera ecuación 5(1) + 3y - 2 = 0 y despejar la variable se obtiene y = -1. El punto (1, -1) y la segunda ecuación se sustituyen en la fórmula de la distancia: ( ) ( ) d( 5 3 5( 3( 1 25 9 5 3 1 34 3 2 2 3 = + 3( + = + - +3 = Racionalizando se obtiene d( ) 34 3 34 = Calcula la distancia entre el punto P(1, 2) y la recta 2x - x + 1 = 0. 1

150 © SANTILLANA Practico lo que aprendí Lugar geométrico 18. Halla la ecuación de lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano que cumplen con las condiciones dadas. a. Se encuentran a cuatro unidades del punto (0, 0). b. La suma de sus coordenadas es igual a 6. Distancia entre dos puntos 19. Calcula la distancia entre cada par de puntos. a. P(2, 2), A(-1, 3) b. P(2, 2), B(-3, 2) c. P(2, 2), I(-2, -2) d. P(2, 2), D(4, 1) e. P(2, 2), E(2, -3) f. P(2, 2), F(0, -4) g. P(2, 2), G(3, -2) 20. Considera los vértices del triángulo ABC cuyas coordenadas son: A(22, 2), B(8, 3) y C(3, 5). a. Encuentra la ecuación de cada una de las rectas que contienen sus lados. b. Calcula las coordenadas de los puntos medios de cada lado. c. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen sus medianas. Pendiente de una recta 21. Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos. a. B(-5, 5), C(6, 6) b. D(4, 3), E(5, 3) c. F(-2, -3), G(6, 5) d. H(-3, -5), I(-2, -5) e. N M , , , 2 1 u` j M^ 4 5h f. J(4, 8), K(-4, 16) 22. Indica el error cometido al encontrar la pendiente de de la recta en cada caso. a. (4, 3) y (-2, 6); m = -2 b. (-5, 2) y (-4, 5); m = c. (-1, -2) y (-2, 6); m = -4 23. Determina si los tres puntos son colineales. a. A(9, 4), B(21, 2), C(15, 3) b. M(21, 1), N(2, 2), O(23, 24) 24. Determina el número a de modo que la pendiente de la recta entre los puntos tenga el valor indicado. a. (22, 3a) y (4, 2a); m 12 5 = 25. Escribe V si la afirmación es verdadera, o F si es falsa. a. La recta que pasa por (1, 5) y (-2, 1) es paralela a la que pasa por (10, 7) y (7, 3) b. El punto de corte entre las rectas l 1 = 5x + y - 17 = 0 y l 2 = -x + 3y - 3 = 0 es (2, 3) c. La recta que pasa por (2, 3) y (-1, -4) es perpendicular a la que pasa por los puntos (3, 2 1 - ) y (-4, 4) d. La medida del ángulo entre las rectas l 1 = 2x + 3y - 5 = 0 y l 2 = 4x + 3y - 2 = 0 es 22° 26. Demuestra, en tu cuaderno, utilizando pendientes que: a. Los puntos A(0, 0), B(22, 1), C(3, 4) y D(5, 3) son los vértices de un paralelogramo. b. Los puntos W(24, 21), X(3 8), Y(8, 24) y Z(2, 29) son los vértices de un trapecio. c. Los puntos H(3, 1), I(6, 0) y J(4, 4) son los vértices de un triángulo rectángulo. d. Los puntos M(26, 1), N(24, 6), D(4, 23) y P(6, 2) son los vértices de un rectángulo. 3 1 -

© SANTILLANA 151 Ecuaciones de la recta 27. Resuelve. En el atletismo se ha analizado que ciertos récords en las carreras han cambiado con el tiempo en forma lineal. En 1920, el récord de los 100 metros era de 10.43 segundos. En 1938, de 9.93 segundos. Si R es el récord en los 100 metros y t el número de años transcurridos desde 1920: a. Ajusta una ecuación a los datos. b. Utiliza la ecuación para predecir el récord en los años 2020 y 2050. c. De acuerdo con esta ecuación, ¿en qué año el record será de 9 segundos? 28. Halla la ecuación pendiente ordenada en el origen de cada recta. a. Pasa por (-1, -2) y pendiente es -3 b. Pasa por (-2, 4) y (1, 2) c. Pasa por (2, 3) y m = 5 d. Pasa por (-2, 4) y (0, 6) e. Pasa por (1, 4) pendiente 2 f. Pasa por (3, 2) y pendiente -3 g. Pasa por el punto (5, 6) pendiente 0 h. Es vertical y corta el eje x en (4, 0) 29. Resuelve. El costo total de un par de tenis está constituido por un costo de fabricación de $20.00 por unidad más gastos diarios fijos. a. Determina los gastos diarios fijos, suponiendo que en una semana son $1 400.00. b. Escribe la ecuación en x y y, suponiendo que se produzcan x unidades diariamente con un costo diario total y. c. Traza la gráfica de la ecuación. d. Halla el costo total para producir 500 pares en tres días. 30. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, -5) y cunple cada condición. a. Perpendicular a la recta cuya ecuación es 2x + 3y = 0 b. Paralela a la recta cuya ecuación es x - 2y = 4 31. Encuentra el valor de K, de tal manera que se cumpla la condición. a. La recta 2x + ky = 1 pasa por el punto (2,2) b. La recta 5x + ky = 0 es paralela al eje y Posiciones relativas de las rectas 32. Determina la posición relativa de cada par de rectas. Luego grafícalas en el plano cartesiano. a. 5x + 3y = 0; 3x + 2y = 0 b. -2x + y = 3; y = 2x + 6 c. -15x = 3y + 9; x = 5y d. 9x - 18 = 6y; -5x - 6 = -3y e. 4x = 2y + 5; 2x = y - 3 Distancias y ángulos entre rectas 33. Encuentra la distancia entre la recta y el punto. a. y = 2x + 1; (0, 1) b. y = x + 3; (1, 5) c. y = 5x - 8; (-1, 3) 34. Determina la distancia entre las rectas. a. yxyx ; 2 1 1 2 1 =+=- 3 b. y = x + 5; y = x - 4 c. y = 3x + 2; y = - x + 8 d. y = 2x - 4; y = 5x - 4 1 2 3 1 2 3

Para finalizar 152 © SANTILLANA Lugar geométrico Es el conjunto de todos los puntos del plano que tienen una característica geométrica común. A partir de la característica común que poseen se puede hacer su representación analítica por medio de una ecuación, y la representación geométrica por medio de una gráfica en el plano cartesiano. Para determinar la ecuación de un lugar geométrico se expresan algebraicamente las propiedades de los puntos P(x, y) de ese lugar, mediante igualdades que relacionan las variables x y y. 1 Distancia entre dos puntos Sean P(x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ) dos puntos del plano y d la longitud del segmento de recta que une a P con Q. Para encontrar la distancia entre los puntos se traza un triángulo rectángulo, cuyos catetos son paralelos a los ejes coordenados y se aplica el teorema de Pitágoras. Obteniendo la fórmula: d ( ) x y( ) y 2 2 ( + 2 Pendiente de una recta En el plano cartesiano, toda recta l que corta al eje x forma con este dos ángulos suplementarios. Si i es el ángulo medido desde el semieje positivo x hasta la recta l, en sentido contrario al de las manecillas del reloj; i es el ángulo de inclinación de la recta l. Si i es el ángulo de inclinación de una recta l, y es diferente de cero, la pendiente m de la recta l se define como: m = tan i La pendiente de una recta también se puede determinar conociendo dos puntos distintos de ella, con la fórmula: m x x y y 2 1 x y1 = 3 Ecuaciones de la recta Se determinan a partir de las características de la línea recta que se conocen y se les denomina: Ecuación punto pendiente: y - y1 = m(x - x1 ) Ecuación pendiente intercepto o canónica: y = mx + b Ecuación simétrica: a x b y + = 1 Ecuación general: , con m B A Ax + + By C = 0 con m =- 4 Posiciones relativas de dos rectas en el plano Son coincidentes cuando los coeficientes de sus variables son proporcionales. A B B = = k l l = , donde k es constante. Son secantes cuando se cortan en un solo punto formando un ángulo que puede calcularse con la fórmula tan m m m m 1 1 2 m 1 2 m i = + Son paralelas si sus pendientes son iguales m1 = m2 Son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1 m1 m2 = -1 5 Distancias y ángulos La distancia de un punto P(x0 , y0 ) a la recta l representada por la forma general Ax0 + By0 + C = 0 se expresa con la fórmula: d A B Ax By C 2 2 B 0 0 = + + Para determinar la distancia entre dos rectas se debe tener en cuenta: • Si las rectas son coincidentes la distancia entre ellas es 0. • Si son paralelas la distancia entre ellas es la distancia desde un punto sobre una de las rectas a la otra. 6

Evaluación por competencias Aplico lo aprendido © SANTILLANA 153 Una de las propiedades más importantes de los sólidos es la elasticidad, su valor depende del material que lo constituye. Si el sólido vuelve a su forma o tamaño original, después de ser deformado por una fuerza, se dice que es un cuerpo elástico. Los resortes son cuerpos elásticos y para lograr que uno se estire es necesario aplicar una fuerza determinada al mismo. La fuerza necesaria para estirar el resorte dependerá de su rigidez. Así, entre más rígido sea un resorte mayor será la fuerza necesaria para estirarlo. Cada resorte posee una constante elástica (k) que mide su rigidez relativa y es posible expresar la relación entre la fuerza aplicada y la deformación o estiramiento (x) que le produce, como una recta donde la constante k es considerada como la pendiente. Así, la ecuación de la recta que describe este fenómeno estará dada por: F = kx + F0 Donde F0 es la fuerza inicial con la que se estira el resorte y a la constante k se le llama módulo de elasticidad o módulo de Young. La ley de Hooke también se aplica a otros sólidos, entre ellos aquellos que forman parte de una estructura que soporta un determinado peso. La mayor parte de las estructuras se diseñan para sufrir pequeñas deformaciones, que involucran solo la parte lineal del estiramiento o deformación, estas consideraciones permiten no sobrecargar las estructuras o evitar desastres por colapsos en caso de terremotos. Ley de Hooke Razonamiento lógico matemático 1. Escribe la ecuación de la recta que describe el estiramiento de un resorte con constante de elasticidad de 30 N/m, si la fuerza inicial es de 10 N. 2. Encuentra el valor de la fuerza que debe aplicarse para obtener una deformación de 2 m. 3. Calcula la deformación que se produce sobre el resorte al aplicar una fuerza de 85 N. Comunicación con lenguaje matemático 4. Completa la tabla y en tu cuaderno elabora el gráfico que representa la relación fuerza-deformación, si la fuerza inicial es 12 N. Fuerza en Newton 15 20 25 30 Estiramiento en metros Aplicación de la matemática al entorno 5. Escribe cinco recomendaciones a los salvadoreños para concienciarlos sobre la prevención en caso de terremotos. Educación preventiva integral

Unidad 154 © SANTILLANA Resolvamos con geometría analítica Temas de la unidad • Secciones cónicas • La circunferencia • La parábola • La elipse • La hipérbola • Rotación de los ejes coordenados 8 • La ecuación general de segundo grado 154 © SANTILLANA Unidad

© SANTILLANA 155 Los griegos, además de ser famosos por sus producciones y descubrimientos en relación con las ciencias, también se distinguieron por sus progresos en relación con la arquitectura. Una de las principales representaciones arquitectónicas de Grecia se observaba en sus teatros. En Grecia, los teatros tenían una pista de arena en forma circular que era denominada “Orchestra”, ahí se ubicaba el coro; frente a él había un escenario en donde se representaban las obras. El más conservado de los teatros griegos es el de Epidauro. Fue creado por el arquitecto Policleto en el siglo IV a. C. En este teatro, la zona de arena era circular, su diámetro tenía 20.28 metros y una capacidad para 14 000 espectadores. A lo largo de la historia de la humanidad, la circunferencia ha causado gran fascinación. Se ha identificado como el ciclo de la vida y la muerte presentes en la naturaleza. Naturalista, intrapersonal y espacial Secciones cónicas Para responder • Realiza una investigación bibliográfica sobre el teatro de Epidauro. • Representa en una maqueta la estructura del teatro de Epidauro. • Reflexiona con tus compañeros sobre la forma del teatro y las razones científicas del porqué se diseñó usando esas formas. © SANTILLANA 155

Para pensar 156 © SANTILLANA Secciones cónicas 1. Superficie cónica Se conoce como superficie cónica aquella generada por una curva plana que se hace girar alrededor de una recta fija, ubicada en el mismo plano de la curva. Cuando se hace girar una recta alrededor de una recta fija, la superficie generada es un cono circular recto llamado superficie cónica. • La recta que gira se denomina generatriz de la superficie. • La recta fija se denomina eje. • El punto de corte de las dos rectas se denomina vértice. 2. Sección cónica Una sección cónica es una curva obtenida por la intersección de un plano con una superficie cónica. Dependiendo de la forma en que el plano corta la superficie cónica, la curva obtenida puede ser: una circunferencia, una parábola, una elipse o una hipérbola. Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola El plano es perpendicular al eje de la superficie cónica. El plano es paralelo a la generatriz de la superficie cónica. El plano corta transversalmente a la superficie cónica. El plano corta las dos ramas de la superficie cónica. Generatriz Eje Vértice 3. Ecuación general de segundo grado Además de la definición geométrica, es posible definir las secciones cónicas utilizando la ecuación: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 donde A, B y C son distintos de cero. Esta ecuación es denominada ecuación general de segundo grado. Como se planteará más adelante, en el plano cartesiano todas las secciones cónicas tienen una ecuación de segundo grado. A su vez, la gráfica de una ecuación de segundo grado, con un conjunto no vacío de soluciones, puede ser una circunferencia, una parábola, una elipse o una hipérbola, o en su defecto, un punto, una recta o dos rectas que se cortan. Biografías René Descartes, quien nació en Francia en 1596 y murió en1650, fue fi lósofo, científi co y matemático, lo que permite inferir que llegó a la matemática a través de tres caminos: la fi losofía, el estudio de la naturaleza y el interés por los usos de la ciencia. Para pensar Si a un cono se le hacen cortes en diferentes partes del mismo. ¿se pueden obtener figuras geométricas? Por ejemplo una circunferencia. Justifica tu respuesta. Bloque: Geometría analítica

© SANTILLANA 157 4. Ecuaciones cónicas degeneradas En la formación de las cónicas, el plano que corta la superficie cónica no pasa por el vértice del cono. Cuando el plano pasa por el vértice del cono se obtienen las cónicas degeneradas. Las cónicas degeneradas pueden ser: un punto, una recta o dos rectas secantes. • Cuando el plano es perpendicular al eje de la superficie cónica, la cónica degenerada es un punto. • Cuando el plano es paralelo al eje del de la superficie cónica, la cónica degenerada es una recta. • Cuando el plano corta las dos ramas de la superficie cónica, la cónica degenerada está constituida por dos rectas secantes. Un punto Una recta Dos rectas secantes La única sección cónica con dos ramas es la hipérbola, que se obtiene cuando el plano corta a las dos partes de la superficie cónica. Idea importante 1 Ejemplos Calcular los siguientes lugares geométricos. a. El conjunto de puntos cuya distancia a los extremos de un segmento es la misma. Los puntos que cumplen esta condición forman una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Es decir, el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos de un segmento es su mediatriz. d(P, A) = d(P, B) b. El conjunto de puntos cuya distancia a un punto C es r. Los puntos que cumplen esta condición forman una circunferencia con centro en el punto C y radio r. d(P, C) = r c. El conjunto de puntos tales que la suma de sus distancias a otros dos puntos, F y Fl, es constante. Los puntos que cumplen esta condición forman una elipse. d(P, F) + d(P, Fl ) = k d. El conjunto de puntos cuya distancia a una recta S y a un punto F es la misma. Los puntos que cumplen esta condición forman una parábola. d(P, s) = d(P, F) d(P, A) = d(P, B) A P B d(P, C) = r P C r r r d(P, F) + d(P, F' ) = k P F' F d(P, s) = d(P, F) P F s

158 © SANTILLANA La circunferencia 1. Defi nición de la circunferencia, ecuación canónica Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a una distancia constante de un punto fijo llamado centro. La distancia de cada punto de la circunferencia al centro es denominada radio. Dada una circunferencia con centro C(h, k), radio r y P(x, y) cualquier punto de la misma (figura 1), a partir de la definición anterior y por la definición de la distancia entre dos puntos, se tiene que: d( ,C) y r 2 ^ ^ x - h ^y - kh 2 Luego, La circunferencia de radio r y con centro en el punto C(h, k) tiene por ecuación canónica la expresión: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 En particular, si C(h, k) = (0, 0), la ecuación canónica de la circunferencia es: x2 + y2 = r2 Figura 1 Determinar si cada punto P dado a continuación pertenece o no a la circunferencia (x + 2)2 + (y - 1)2 = 25. a. P (4, -1) Haciendo P(x, y) = (4, -1) se tiene que: (x + 2)2 + (y - 1)2 = (4 + 2)2 + (-1 - 1)2 = 62 + (-2)2 = 40. Las coordenadas del punto no satisfacen la ecuación. Por lo tanto, (4, -1) no pertenece a la circunferencia (figura 2). b. P (1, -3) Si P(x, y) = (1, -3), entonces, (x + 2)2 +(y - 1)2 = (1 + 2)2 + (-3 -1)2 = 32 + (-4)2 = 25. Las coordenadas del punto satisfacen la ecuación. Luego, (1, -3) es un punto de la circunferencia (figura 2). Hallar el centro y el radio de la circunferencia 2 3 2 1 16 2 2 ` ` x = 2 3 2 y j 2 1 ` + 2 + . La expresión 2 3 2 1 16 2 2 ` ` x = 2 3 2 y j 2 1 ` + 2 + es equivalente a: . 2 3 2 1 4 2 2 2 ` ` x = 2 3 2 j 2 1 y -`- 2 +8 B Por lo tanto, C( ) , 2 3 2 1 = - ` j y r = 4 1 2 Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas, se obtiene la ecuación reducida de la circunferencia: x2 + y2 = r2 Idea importante Figura 2 Ejemplos Para pensar En las figuras cónicas. ¿Qué figura resulta al efectuar cortes paralelos a las bases?

© SANTILLANA 159 Sigue Alto ¿Dudas? Sí No 5 Encontrar la ecuación canónica de la circunferencia con centro C y radio r si se sabe que: a. C(-4, -1) y r = 2 Remplazando en la ecuación (x - h)2 + (y - k)2 = r2 , en cada caso se obtiene: [x - (-4)]2 + [y - (-1)]2 = 22 . Luego, la ecuación es (x + 4)2 + (y + 1)2 = 4. b. C(0, 0) y r = 5 (x - 0)2 + (y - 0)2 = 52 . Luego, la ecuación es x2 + y2 = 25. Descubrir la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(0, -5) y cuyo centro es C(-3, -2). El radio de la circunferencia es la distancia del punto P al centro. Es decir, r d [ [ 5 2 ] 18 3 2 2 d [- = = 18 ^P C, = [ ^ h ^ h Por lo tanto, (x - h)2 + (y - k)2 = r2 es equivalente a: [x - (-3)]2 + [y - (-2)]2 = 3 2 2 ^ h (x + 3)2 + (y + 2)2 = 18 Así, la gráfica de la circunferencia con centro en C(-3, -2) que pasa por el punto (0, -5), es la que se muestra a la derecha. 3 4 Halla la ecuación canónica de la circunferencia cuyo diámetro es PQ , donde P (2, 3) y Q(-4, 5). Luego, represéntala gráficamente. El regalo. No se sabe casi nada de la vida de Apolonio de Perga, si bien se cree que nació en Perga (actual Turquía) en torno al año 262 a.C. y murió en Alejandría alrededor del 190 a.C., ciudad en la que estudió e impartió clases. Los detalles que se conocen de su vida derivan de anotaciones que él mismo hizo en su obra de Las cónicas. Por ejemplo, la lectura se propone en la unidad muestra a Eudemo y a Apolonio en Éfeso, situación que recoge el propio Apolonio en una copia de Las cónicas que envía a su amigo Eudemo, en Pérgamo. Asimismo, el acertijo que Apolonio propone en el texto es, en realidad, la variante más difícil de un problema geométrico que recibe el nombre de Problema de Apolonio y que consiste en encontrar una circunferencia tangente a tres elementos dados (punto, recta o circunferencia), siendo el caso más sencillo hallar la circunferencia que pasa por tres puntos, es decir, la circunferencia circunscrita a un triángulo. Idea importante

160 © SANTILLANA Actividades 1. Encuentra las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias que corresponden a cada ecuación. a. x2 + y2 = 16 b. x2 + (y - 3)2 = 25 c. (x - 4)2 + y2 = 4 d. (x + 5)2 + (y - 2)2 = 16 e. 4 1 2 1 100 2 2 ` ` x = 4 1 2 + y j 2 1 ` + 2 + f. x y 5 4 3 36 2 2 + 4 ` j ^ - 3h g. x y 3 2 9 2 2 ^ + 4h +` - = j 2. Determina la ecuación de cada circunferencia. a. Circunferencia b. 3. Escriba en cada caso, la ecuación canónica de la circunferencia con los datos indicados. a. C(1, 3); r = 2 b. C(-1, 0); r =3 c. C r , ; 2 1 ^ h = d. C r , ; 5 2` j;r 8 4. Escriba la ecuación canónica de una circunferencia que sea: a. Tangente al eje x y cuyo radio sea igual al de la circunferencia con ecuación (x - 1)2 + y2 = 16. b. Su diámetro sea el segmento que une a los puntos P(-2, 3) y Q(4, -1). 2. Ecuación general de la circunferencia Cuando en la ecuación (x - h)2 + (y - k)2 = r2 se desarrollan las operaciones indicadas se obtiene: x2 + y2 - 2hx - 2ky + h2 + k2 - r2 = 0. Si -2h = D; -2k = E y h2 + k2 - r2 = F, entonces, la igualdad anterior es equivalente a: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. Esta ecuación se denomina ecuación general de la circunferencia. 1 Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro (-2, 1) y radio 2 . En la ecuación canónica se hace C(h, k) = (-2, 1) y r = 2 , es decir, (x + 2)2 + (y - 1)2 = 2 ecuación general: x2 + y2 + 4x - 2y + 3 = 0. Ejemplos Para que la ecuación: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 sea la ecuación de una circunferencia es necesario que: A2 + B2 − 4C > 0. Idea importante

© SANTILLANA 161 Dividiendo entre 2. Asociando términos de la misma variable. Completando cuadrados. Factorizando. Actividades 5. Escribe en forma general la ecuación de cada circunferencia. a. (x - 3)2 + (y + 5)2 = 16 b. (x - 4)2 + (y - 2)2 = 9 c. (x + 6)2 + (y - 3)2 = 4 d. (x + 5)2 + (y - 4)2 = 8 e. (x - 3)2 + (y - 6)2 = 2 f. 4 1 2 1 3 2 2 ` ` x = 4 1 2 + y j 2 1 ` - 2 + g. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 49 h. (x + 6)2 + (y - 5)2 = 25 i. (x + 3)2 + (y + 4)2 = 20 j. (x + 4)2 + (y - 5)2 = 100 6. Encuentra el centro y el radio de cada circunferencia. a. x2 + y2 + 12x + 10y + 41 = 0 b. x2 + y2 - 16x + 8y + 55 = 0 c. x2 + y2 - 22x - 14y + 150 = 0 d. x2 + y2 - 30x + 30y + 410 = 0 e. x2 + y2 - 16x - 4 = 0 f. x2 + y2 + 14x + 16y - 20 = 0 g. x2 + y2 + 16y = 0 h. x2 + y2 - 10y = 0 7. Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica la respuesta. a. La ecuación general de la circunferencia cuyo centro es el punto de intersección de las rectas y = x + 1 y y = 2x y cuyo radio es r = 2 es x2 + y2 - 2x - 4y + 3 = 0. b. La ecuación general de la circunferencia cuyo centro es el origen y el radio equivale a la distancia entre los puntos (1, 2) y (4, 3) es x2 + y2 - 10 = 0. c. La ecuación general de una circunferencia cuyo centro es el origen y tiene radio N es x2 + y2 - N = 0. 8. Escribe la ecuación general de una circunferencia para cada condición. a. La gráfica de la circunferencia está ubicada en el primer cuadrante del plano cartesiano. b. La gráfica de la circunferencia está ubicada en el cuarto cuadrante del plano cartesiano. c. La gráfica de la circunferencia está ubicada en el segundo cuadrante del plano cartesiano. Encontrar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación general es 2x2 + 2y2 - 8x - 14y - 8 = 0. Luego, representarla gráficamente. La ecuación general debe llevarse a la forma canónica, así: x2 + y2 - 4x - 7y - 4 = 0 x2 - 4x + y2 - 7y = 4 x x 4 y y7 4 49 4 4 4 2 2 49 4x 4 + - y2 + = 4 49 ^ h ` j + +4 x y 2 7 4 2 81 2 ^ 2h +` - = j Luego, C(h, k) = ,2 2 7 ` j y r 2 9 = 2 Figura 3

162 © SANTILLANA 3. Característica de la ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Al llevar la ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 a la forma canónica se obtiene: x2 + Dx + y2 + Ey = -F D E F D E 2 2 2 2 2 2 D 2 ` ` =- +F D 2 ` D 2 j E 2 8x Dx +` 2 2 D +` D 2 2 B 2 E 2 ` j 2 E y Ey ` 2 + y + D E D E F 2 2 4 4 2 E 2 2 E = + - 4 `x D 2 2 + y j E 2 ` + 2 + D E D E F 2 2 2 1 4 2 2 E 2 2 E 2 = -2 ` D 2 8x 2 -` D 2 - B 8 2 E + y -`- j B Actividades 9. Escribe la ecuación general que corresponda a cada circunferencia. a. b. 10. Determina a qué tipo de gráfica corresponde cada ecuación. a. x2 + y2 - 6x - 8y + 100 = 0 b. x2 + y2 - 8x + 10y + 37 = 0 c. x2 + y2 + 3x + 2y + 4 = 0 d. x2 + y2 - 4x - 8y + 19 = 0 e. x2 + y2 - 2x + 4y + 24 = 0 11. Explica por qué la ecuación dada no corresponde a la gráfica. Luego, escribe la ecuación correcta. a. x2 + y2 - 2x - 8 = 0 b. x2 + y2 - 2x - 2y - 3 = 0 Por lo tanto, el centro y el radio de la circunferencia son, respectivamente: c h,k D E y r D E F 2 2 , 2 1 4 2 2 = - - = y r E -2 ^ h ` j Para la expresión r D E F 2 1 2 2 D + E 2 se presentan los siguientes casos: • Si D2 + E2 - 4F > 0, entonces, se tiene una circunferencia real de radio r. • Si D2 + E2 - 4F = 0, entonces, se tiene un punto. • Si D2 + E2 - 4F < 0, entonces, se tiene una circunferencia imaginaria.

© SANTILLANA 163 4. Ecuación de la circunferencia a partir de tres condiciones Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 2), B(7, -3) y C(2, -4). Determina el centro y el radio. Si x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 es la ecuación de la circunferencia, entonces, cada punto A, B y C debe satisfacerla. Así, al sustituir los valores de x y y por las coordenadas de cada punto en la ecuación anterior se tiene que: Para A(2, 2): (2)2 + (2)2 + D(2) + E(2) + F = 0, luego 2D + 2E + F = -8. Para B(7, -3): (7)2 + (-3)2 + D(7) + E(-3) + F = 0, así 7D - 3E + F = -58. Para C(2, -4): (2)2 + (-4)2 + D(2) + E(-4) + F = 0, así 2D - 4E + F = -20. Al resolver el sistema formado por las tres ecuaciones anteriores se obtiene que: D = -8, E = 2 y F = 4. De modo que la ecuación de la circunferencia es: x2 + y2 - 8x + 2y + 4 = 0 Esta ecuación es equivalente a (x - 4)2 + (y + 1)2 = 13 Por lo tanto, la circunferencia tiene centro en (4, -1) y radio 13 (figura 4). Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-3, 5) y (-5, -1) y cuyo centro está sobre la recta 2x - 3y + 5 = 0. Los puntos (-3, 5) y (-5, -1) deben satisfacer la ecuación. Para (-3, 5): (-3 - h)2 + (5 - k)2 = r2 , luego, h2 + k2 - r2 + 6h - 10k + 34 = 0. Para (-5, -1): (-5 - h)2 + (-1 - k)2 = r2 , luego, h2 + k2 - r2 + 10h + 2k + 26 = 0. Y como el centro (h, k) está sobre la recta 2x - 3y + 5 = 0 entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación. Es decir, se cumple que 2h - 3k + 5 = 0. Por lo tanto, se forma el sistema: h k r h k h k r h k h k 6 1 h 0 3 k 4 0 2 2 k 6 0 2 3 h 5 0 2 k 2 k -2 h 34 k -2 h + 26 k + * Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: cuyas soluciones son h = -1, k = 1 y r = 2 5 Así, la ecuación de la circunferencia con centro en (-1, 1) y radio r = 2 5 es (x + 1)2 + (y - 1)2 = 20, o bien, x2 + y2 + 2x - 2y - 18 = 0 (figura 5). Ejemplos 1 2 Figura 4 Figura 5 Dado que una ecuación de la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 representa una circunferencia de radio r D E F 2 1 2 2 D + E 2 sí y solo sí D2 + E2 - 4F > 0 se deduce que la circunferencia queda determinada si se conocen los valores D, E y F.

164 © SANTILLANA 5. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia en el plano Posiciones de una recta y una circunferencia en el plano La recta l es exterior a la circunferencia. La recta l es tangente a la circunferencia en el punto P. La recta l es secante a la circunferencia. Determinar la posición relativa de cada una de las siguientes rectas con respecto a la circunferencia x2 + y2 + 8x + 4y + 7 = 0. a. 2x - 3y + 15 = 0 Analíticamente, se puede determinar la posición relativa de una recta y una circunferencia, resolviendo el sistema conformado por las dos ecuaciones. Así, si el sistema no tiene solución la recta es exterior a la circunferencia, pues no la corta en ningún punto. Si el sistema tiene una única solución, la recta es tangente a la circunferencia, ya que la corta en un solo punto. Y si el sistema tiene dos soluciones, la recta es secante a la circunferencia, pues la corta en dos de sus puntos. Para resolver el sistema x y x y x y 8 y 7 0 2x y 15 0 2 2 y + + + 4y - + 3y = ) se puede despejar y en 2 y sustituirla en 1 , así: x 3 2 3 2 7 0 2 2 +` ` x + = 3 2 5 2 x + j x 3 2 8x 4` +5 2 + + x x x x x 9 4 3 20 8 3 8 20 7 0 2 2 4 x +2 + + 25 + + x 3 8 + =7 Simplificando, se tiene la ecuación x2 + 12x + 36 = 0 cuya única solución es x = -6. Este valor se sustituye en 2 y se obtiene que y = 1. 2 (-6) - 3y + 15 = 0 y = 1 Por lo tanto, la recta 2x - 3y + 15 = 0 es tangente a la circunferencia dada en el punto R(-6, 1) (figura 6). b. 2x - 3y + 31 = 0 Utilizando un proceso similar al anterior, en el sistema. x y x y x y 8 y 7 0 2x y 31 0 2 2 y + + + 4y - + 3y = ) al despejar y en 2 y sustituir en 1 se obtiene la ecuación 13x2 + 220x + 1 396 = 0 cuyas soluciones son las cantidades imaginarias X y x 13 110 12 42 13 110 12 42 = -+- = --- Luego, la recta 2x - 3y + 31 = 0 es exterior a la circunferencia (figura 7). 1 Figura 6 Figura 7 1 2 Ejemplos Dadas una recta y una circunferencia en un mismo plano se pueden presentar las siguientes situaciones: • La recta es exterior a la circunferencia, si no tienen puntos en común. • La recta es tangente a la circunferencia, si tienen un solo punto común. • La recta es secante a la circunferencia, si tienen dos puntos comunes. 1 2

© SANTILLANA 165 Sigue Alto ¿Dudas? Sí No 2 6. Posición relativa de dos circunferencias en el plano Determinar las ecuaciones de las tres circunferencias. Tres circunferencias tangentes dos a dos tienen, respectivamente, los siguientes elementos: C r , y C y r 2 5 2 9 1 ^ , y a y r3 2a a 5 h k k 2 9 y r2 y C a Los datos anteriores se han representado en la figura 9, donde: C C1 2 = + r r 1 2 C C2 3 = + r r 2 3 C C1 3 = + r r 1 3 Además, C1 C2 = d(C1 , C2 )= 2 13 C2 C3 = d(C2 , C3 ) = 7 C1 C3 = d(C1 , C3 ) = 15 Por lo tanto, se forma el sistema r r r 2 13 7 2 15 1 2 r r r 2 3 1 3 r + = r2 + = r3 + = r3 Z [ \ ] ] [ ] ] ] \ ] Circunferencias en el plano Secantes Tangentes Concéntricas Exteriores Interiores C1 C2 C1 C2 P C1 C2 C1 C2 C1 C2 Figura 8 Figura 9 Ejemplos Dos circunferencias ubicadas en un mismo plano pueden ser: secantes, si se cortan en dos puntos; tangentes, si se cortan en un solo punto; concéntricas, si tienen el mismo centro o interiores; exteriores, si no se cortan en ningún punto ni comparten el centro. 1 Determina la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 - 2x + 2y - 23 = 0, en el punto (4, 3).

166 © SANTILLANA Actividades 12. Determina la ecuación general de la circunferencia que pasa por cada grupo de puntos. a. P(10, 2), Q(-2, -4), R(6, 10) b. P(8, 0), Q(0, 0), R(2, 10) c. P(-7, 2), Q(1, -2), R(-2, -3) d. P(6, 1), Q(-6, 9), R(6, -9) e. P(-4, 2), Q(0, -2), R(4, 2) 13. Determina la ecuación general de la circunferencia según cada condición. a. Pasa por (2, -1) y (-1, -4) y su centro está sobre la recta 4x + 7y = 5. b. Pasa por (3, 2) y (2, 7) y su centro está sobre la recta 2x + 3y = 2. c. Pasa por (-1, 6) y (3, 4) y su centro está sobre la recta 4x + 7y = 2. d. Pasa por (-1, -2) y (-3, 5) y su centro está sobre la recta x + y = 10. 14. Traza rectas tangentes a la circunferencia de las gráficas en los puntos P y Q indicados. a. c. b. d. 15. Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia dada y que pasa por el punto P indicado. a. Circunferencia con centro en C(-3, 2) y radio 2; P(-3, 4). b. Circunferencia cuyo diámetro se determina por los puntos A(1, 3), B (2, 5); P(1, 5). c. Circunferencia cuya ecuación es x2 + y2 - 10x - 2y - 3 = 0; P(0, -1). d. Circunferencia cuya ecuación es (x - 2)2 + (y - 4)2 = 16; P(0, 8). 16. Determina la posición relativa para cada caso. a. x2 + y2 - 8x + 2y + 4 = 0; y - x = 0 b. (x - 5)2 + (y - 3)2 = 25; y - 3x = 6 c. x2 + y2 + 12x - 2y + 28 = 0; y - 4 = 0 17. Determina si la afirmación es verdadera o falsa. Luego, plantea un argumento para justificar. a. Las ecuaciones de las circunferencias tangentes que se muestran en la gráfica son: b. Si A(2, 2), B(2, -1) y C(6, -1) son los centros de tres circunferencias tangentes dos a dos, entonces, las ecuaciones de esas circunferencias son: x2 + y2 = 1 x2 + y2 - 8x + 7 = 0 x2 + y2 - 6x + 7 = 0 x2 + y2 - 4x - 4y - 7 = 0 x2 + y2 - 4x + 2y + 4 = 0 x2 + y2 - 12x + 2y + 28 = 0 Las soluciones son r 2 7 1 = , r2 = 3 y r3 = 4. Al reemplazar los datos obtenidos en cada caso se obtienen las ecuaciones: x y 4 49 0 2 2 y - = x y 5x y 4 133 0 2 2 y - + + 12y = x y 9x y 4 161 0 2 2 y + + = 12y 4 161

© SANTILLANA 167 7. Problemas de aplicación Por sus propiedades geométricas, la circunferencia tiene aplicaciones en todos los campos de la actividad humana. 1 Sigue Alto ¿Dudas? Sí No Figura 10 Figura 11 Ejemplos Resolver los siguientes problemas. a. Cuando dos fuentes de sonido A y B emiten su señal en forma simultánea, solo existe un punto de interferencia. Al ubicar las dos señales en el plano cartesiano, el radio de alcance en km de la fuente A genera la circunferencia x2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia generada por la fuente B, si está ubicada en (3, 2)? ¿Cuáles son las coordenadas del punto de interferencia de las dos señales? De acuerdo con los datos del problema, se debe encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en (3, 2) que es tangente a la circunferencia x2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0. Para la circunferencia dada que: Se sustituyen los valores correspondientes en la fórmula y se opera hasta obtener: D = 4 luego, h ; D 2 2 4 =- =- =-2 E = -4 y F = -1, luego, k E 2 2 4 = - = - 2 - = Además r D E F 2 1 rA 2 2 D + E 2 Por lo tanto, la fuente está ubicada en A(-2, 2) y tiene un radio de alcance rA = 3 km. Si rB es el radio de alcance de la señal emitida por la fuente B, entonces, se tiene que: d(A, B) = rA + rB ya que las dos circunferencias son tangentes. Es decir, 5 3 rB 2 ^ ^ 3 2 + h h ^2 2 = = +3 2 + , luego, rB = 2 km. Así, la ecuación de la circunferencia con centro B(3, 2) es (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 o bien, x2 + y2 - 6x - 4y + 9 = 0. Ahora, como el punto de tangencia está en el segmento que une a A(-2, 2) con B (3, 2), entonces, es de la forma P(x, 2) y satisface que d(A, P) = 3 y d(B, P) = 2. A partir de esto se deduce que P(1, 2), como se muestra en la figura 10. b. La ecuación de una pista circular de atletismo es x2 + y2 - 6 084 = 0 (figura 11). ¿Cuántas vueltas debe dar un atleta para recorrer 5 000 metros alrededor de la pista? km 2 1 = + += 16 16 4 3

168 © SANTILLANA 18. Halla el perímetro de cada circunferencia. Luego, encuentra el área del círculo que está contenido en ella. a. x2 + y2 - 4 = 0 b. x2 + y2 - 6x + 4y + 1 = 0 c. x2 + y2 + 10x + 8y - 11 = 0 d. x2 + y2 - 4x - 6y - 15 = 0 e. x2 + y2 + 14x - 16y - 31 = 0 f. x2 + y2 - 8x - 4y + 4 = 0 19. Determina la ecuación de la circunferencia que se encuentra inscrita en cada triángulo. a. b. 20. Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada uno de sus lados. Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro. El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita en el triángulo. a. Escribe la ecuación de la circunferencia circunscrita en el triángulo de la figura. b. Encuentra el área de la región que está sombreada en la figura. c. Halla el perímetro de la circunferencia. d. Escribe la ecuación de una circunferencia que sea concéntrica a la circunferencia de la figura. 21. Resuelve los siguientes problemas. a. El arco de un puente tiene forma de semicircunferencia. La base del arco mide 12 metros. ¿Qué altura tiene el arco a un metro del borde de la base? 1 m 12 m b. Una pista de automovilismo es de forma circular. La ecuación que describe la circunferencia de la pista está dada por la ecuación x2 + y2 = 6.400 donde el radio está medido en metros. ¿Cuántas vueltas debe recorrer un auto para cubrir 10.048 metros? c. Un conejo tardó cuatro días en consumir la hierba de un terreno circular cuya circunferencia cumple la ecuación x2 + y2 = 100 metros. ¿Qué cantidad de hierba (en m2 ) en promedio, por día, consumió el conejo? d. La llanta de un carro tiene un diámetro de 65 centímetros. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que describe la llanta? e. ¿Cuál es el área de la región comprendida entre el borde exterior de la circunferencia x2 + y2 + 10x - 6y + 30 = 0 y la circunferencia x2 + y2 + 10x = 0? f. Un barril de vino se cae del sitio donde se encuentra ubicado y rueda. Si la ecuación que tiene la circunferencia de la base es x2 + y2 - 1 = 0 y el radio está en metros, ¿cuántos metros alcanza a rodar si da siete vueltas después de caer? 22. Historia de la matemática. A lo largo de la historia de la humanidad, la circunferencia ha causado gran fascinación. Se ha identificado como el ciclo de la vida y de la muerte presentes en la naturaleza. También, se representa como la forma de la divinidad porque se puede mostrar idéntica desde cualquier rotación que tenga. 1 2 3 1 2 3 Actividades

© SANTILLANA 169 Pero la circunferencia pasó de ser motivo de inspiración de distintas religiones y manifestaciones de arte, a ser objeto de estudio de las matemáticas en casi todas las culturas. Se han estudiado sus elementos, propiedades y medidas, entre otros. Por ejemplo, en el antiguo papiro de Rhind, que data del segundo milenio antes de Cristo en Egipto, se muestra la fórmula para calcular el área que encierra una circunferencia mediante la expresión: di d ámetro 9 1 2 ` j Por la misma época, los babilonios usaron otra fórmula para hallar el área del círculo encerrado por una circunferencia: 12 1 (tres veces el diámetro)2 a. Utiliza la fórmula egipcia para calcular el área del círculo encerrado por la circunferencia, cuya ecuación es: x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 b. Utiliza el área que encierra la circunferencia del punto anterior, usando la fórmula de los babilónicos. c. Halla el área que encierra la circunferencia del literal a, haciendo uso de la fórmula que se utiliza actualmente. d. Compara las áreas halladas en los literales a y b con el área encontrada en el literal c. ¿Cuál de las dos fórmulas, la de los egipcios o la de los babilonios es más cercana al cálculo que se hace actualmente para encontrar el área de una circunferencia? 23. Los griegos, además de ser famosos por sus producciones y descubrimientos en relación con las ciencias, también se distinguieron por sus progresos en relación con la arquitectura. Una de las principales representaciones arquitectónicas de Grecia se observaba en sus teatros. En Grecia, los teatros tenían una pista de arena en forma circular que era denominada “orquestra”, ahí se ubicaba el coro; frente al coro había un escenario en donde se representaban las obras. Esquema de los teatros griegos El más conservado de los teatros griegos es el de Epidauro. Fue creado por el arquitecto Policleto en el siglo IV a. C. En este teatro, la zona de arena era circular, su diámetro tenía 20.28 metros y tenía capacidad para 14 000 espectadores. a. ¿Cuál es el área de la zona de arena del teatro de Epidauro? b. ¿Cuál es la longitud de la zona de arena del teatro de Epidauro? c. Si se considera un plano cartesiano imaginario, de tal manera que la zona de arena del teatro esté ubicada tangente a los ejes coordenados y en el primer cuadrante, ¿qué ecuación se puede utilizar para determinar la ecuación de la circunferencia que describe la zona de arena del teatro de Epidauro? ¿Qué ecuación serviría si el centro de la circunferencia estuviera ubicado en el origen del plano cartesiano? 1 2 3

170 © SANTILLANA La parábola Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano, equidistantes de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo F, llamado foco. Así, d(P, M) = d(P, F) Donde M es el punto sobre el que se proyecta P, en la directriz. 1. Construcción de la parábola Se puede llevar a cabo de la siguiente manera: Sobre la hoja de papel se trazan una recta fija d (directriz) y un punto fijo F (foco). F es exterior a la recta d. En una escuadra ABC, con ángulo recto en B, se sujeta el extremo de una cuerda en el punto C. La cuerda debe tener longitud igual a BC . El otro extremo de la cuerda se fija al punto F de la hoja de papel. Luego, se apoya el cateto AB de la escuadra en la directriz d, de modo que el cateto BC pase por F. (foco) B A C F B A C d Con la punta de un lápiz se mantiene tensa la cuerda y se hace un trazo sobre el papel, a medida que la escuadra se desplaza hacia la derecha sobre la directriz. El trazo obtenido es una parte (o rama) de la parábola. 11 12 13 14 B A F B B A A F 11 12 13 14 11 12 13 14 Se repite el proceso para completar la parábola, pero, esta vez, se hace el desplazamiento hacia la izquierda de F. Así se traza la otra rama de la figura. d es la directriz y F representa el foco. F d La parábola Directriz F P M d(P, F) = d(P, M) Dibuja y describe los pasos a seguir en la construcción de una parábola, si la medida de la cuerda a utilizar es de 10 cm. Para desarrollar d (directriz) Lógico-matemática Para pensar ¿Qué expresión se utiliza para calcular la distancia entre dos puntos ?

© SANTILLANA 171 2. Elementos de la parábola P < 0 Figura 13 • El eje de simetría o eje focal (l) es la recta con respecto a la cual una rama de la parábola se refleja en la otra. • El vértice (V) es el punto de intersección entre la parábola y su eje de simetría. • El foco (F) es el punto sobre el eje de simetría, que está separado del vértice por una distancia igual a la que separa el vértice de la directriz. • La directriz (d) es la recta perpendicular al eje de simetría, tal que la distancia del vértice a la directriz es igual a la distancia del vértice al foco. Es decir, el vértice es el punto medio del segmento que une el foco y la directriz. • El lado recto (LR) es la cuerda perpendicular al eje de simetría de la parábola, que pasa por el foco. Su longitud es cuatro veces la distancia del vértice al foco. • Parámetro de la parábola (p) es la distancia entre el foco y la directriz. 3. Ecuación canónica de la parábola con vértice en (0,0) Cuando la parábola está ubicada en el plano cartesiano, de manera que su vértice es el punto (0, 0), su ecuación se determina considerando dos casos: la parábola cuyo eje focal o de simetría coincide con el eje x y la parábola cuyo eje focal coincide con el eje y. Ecuación de la parábola con vértice en (0,0) y eje de simetría el eje x Si p es la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en (0, 0) y eje de simetría el eje x, entonces, las coordenadas del foco son F(p, 0). Como la distancia del foco al vértice es igual a la distancia del vértice a la directriz, entonces, la ecuación de la directriz es x = -p. La proyección de cualquier punto P(x, y) de la parábola en la directriz, es de la forma M(-p, y) (figura 12). Así, la distancia entre M y P es: d [ ] p y y x p 2 2 ] + - = y 2 ^M,P [ ^ p ^ h + Además, por definición de la parábola, se cumple que: d(P, F) = d(M, P) y x p 2 ^ ^ x p - h h ^y 0 = + 2 + y2 = 4px La ecuación canónica de la parábola con vértice en (0, 0), foco en (p, 0) y el eje x como eje de simetría, es: y2 = 4px. Si p > 0, la ecuación y2 = 4px representa una parábola que se abre hacia la derecha, pues el foco F se encuentra a la derecha de (0, 0) (figura 12). Si p < 0, la ecuación y2 = 4px representa una parábola que se abre hacia la izquierda, pues el foco se halla a la izquierda de (0, 0) (figura 13). Además, en los dos casos, la longitud del lado recto (LR) está dada por 4p . Figura 12 P > 0, F a la derecha de V Elementos de la parábola l: eje de simetría V: vértice F: foco d: directriz LR: lado recto P: parámetro Idea importante P P

172 © SANTILLANA Ecuación de la parábola con vértice en (0, 0) y eje de simetría el eje y Si p es la distancia del vértice al foco, en una parábola con vértice en (0, 0) y eje de simetría el eje y, entonces, las coordenadas del foco son (0, p). Y como la distancia del vértice al foco es igual a la distancia del vértice a la directriz, entonces, la ecuación de la directriz es y = -p. Además, la proyección de cualquier punto P(x, y) de la parábola a la directriz, es de la forma M(x, -p) (figura 4). Así, d( ) ( )x y[ ( p) ] y p 2 ( [ (- ) = +y y por la definición de la parábola, se tiene que: d(P, F) = d(M, P) ( ) x y( )p y p 2 2 ) ( ) 2 + x2 + (y - p)2 = (y + p)2 x2 + y2 - 2py + p2 = y2 + 2py + p2 x2 = 4py La ecuación de la parábola con vértice en (0, 0), foco en (0, p) y el eje y como eje de simetría, es: x2 = 4py. Si p > 0, la ecuación x2 = 4py. Corresponde a una parábola que se abre hacia arriba, en la cual el foco se encuentra arriba del vértice (figura 14). Si p < 0, la ecuación x2 = 4py. Corresponde a una parábola que se abre hacia abajo, en la cual el foco se encuentra abajo del vértice (figura 15). La longitud del lado recto de la parábola es |4p|. P > 0, F arriba de V P < 0, F debajo de V Figura 14 Determinar los elementos de la parábola y2 = 24x. Luego, representarla gráficamente. La ecuación y2 = 24x corresponde a la forma y2 = 4px, por lo tanto, la parábola tiene vértice en (0, 0), y el eje de simetría coincide con el eje x. Para determinar p se igualan las ecuaciones y2 = 4px y y2 = 24x. De tal manera que: 4px = 24x; p = 6 despejando p Como p > 0, entonces, la parábola se abre hacia la derecha. Así, los elementos de la parábola son: Vértice: V (0, 0) Foco: F (p, 0) (6, 0) Eje focal o eje de simetría: eje x Directriz: x = -p, es decir, x = -6 Longitud del lado recto: |4p| = |4(6)| = 24 1 Ejemplos Figura 15 Figura 16

© SANTILLANA 173 Sigue Alto ¿Dudas? Sí No P 120 m 30 m 20 m Figura 17 Si V(0, 0); F(0, p); eje de simetría y; ecuación de parábola es: x2 = 4py. Si V(0, 0); F(p, 0 ); eje de simetría x; ecuación de parábola es: y2 = 4px. Idea importante 2 3 Determina los elementos de la parábola de la siguiente figura. Luego, escribe su ecuación. Resolver el siguiente problema. Sobre un río se construyó un puente colgante que toma forma de parábola cuando el peso está distribuido uniformemente. Las torres que soportan los extremos del puente están separadas 120 metros y los puntos de soporte, en cada torre, están a 20 m del suelo (figura 17). Si el punto más bajo del puente está al nivel del piso, ¿a qué altura se encuentra un punto P del puente, ubicado a una distancia horizontal de 30 metros de la base de una torre? La parábola de la figura 14 puede ser representada en el plano cartesiano, de tal manera que su vértice sea V(0, 0) y su eje de simetría coincida con el eje y. Así, los puntos que soportan los extremos del puente tienen coordenadas (-60, 20) y (60, 20). Estos puntos satisfacen una ecuación de la forma: x2 = 4py. Con p > 0, ya que la parábola se abre hacia arriba. En particular, para el punto (60, 20) se tiene que: 602 = 4p(20) luego p = 45 Por lo tanto, la ecuación de la parábola es: x2 = 4(45)y, es decir, x2 = 180y. Así, si x = 30, al remplazar en la ecuación anterior, se obtiene que: 302 = 180y Luego y = 5. De modo que el punto p sobre el puente tiene coordenadas (30, 5). Esto significa que se encuentra a una altura de 5 metros sobre el nivel del piso.

174 © SANTILLANA 24. Determina el eje focal para las siguientes ecuaciones de parábolas. a. x2 + 12y = 0 d. x2 - 14y = 0 b. y2 - 3x = 0 e. y2 = -5x c. x2 + 16y = 0 f. x2 = 9y 25. Encuentra las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de cada parábola. a. x2 = -y b. y2 - 24x = 0 c. 3x2 = 20y d. x2 = -6y e. x2 = 8y f. x2 = y g. x y 2 2 1 = 26. Encuentra la ecuación de la parábola de cada gráfica. a. d. b. e. c. f. 27. Completa la tabla en el cuaderno. 28. Demuestra que la ecuación de la forma Ax2+Dy= 0 con A ! 0 y D ! 0 es la ecuación de una parábola con vértice en (0, 0) y eje de simetría en el eje y. Determina las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. 29. Resuelve los siguientes problemas. a. Los cables en un puente colgante tienen forma de parábola. Los postes que los sostienen están separados 150 metros y tienen una altura de 30 metros. Si los cables tocan el suelo en la mitad de la distancia entre las dos torres, ¿cuál es la altura a la que se encuentra un cable en un punto situado a 50 metros? ? 150 m 50 m 30 m b. Una cúpula tiene una superficie parabólica. Para obtener mejor luz en el piso se debe colocar una fuente de luz en el foco de la superficie. Si a 10 m hacia abajo de la parte superior de la cúpula su diámetro es de 15 m. ¿Cuál será la mejor ubicación de la fuente de luz? 1 2 3 Vértice Foco Directriz Ecuación de la parábola (0, 0) y = -2 x2 = -12y (0, 0) y = 5 (0, 0) x = 4 (0, 0) (4, 0) (0, 0) x2 -16y = 0 (0, 0) x 3 1 =- (0, 0) (-3, 0) x2 = -20y y2 = -16x y2 = -12x y2 = 16x Actividades y x 3 2 4 =

© SANTILLANA 175 4. Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h, k) Sea (h, k) un punto distinto del origen en el plano cartesiano. Para deducir la ecuación de una parábola con vértice en (h, k) se consideran dos casos: a. La parábola con eje de simetría paralela al eje x. b. La parábola con eje de simetría paralelo al eje y. Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h, k) y eje de simetría paralelo al eje x Sea p la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo al eje x. Entonces, las coordenadas del foco son F(h + p, k). Además, la directriz está dada por x = h - p y la ecuación del eje de simetría es y = k (figura 18). Ahora, si P(x, y) es un punto de la parábola, entonces su proyección sobre la directriz, es de la forma M(h - p, y). Luego, ( ) ( ) ( ) ( ) d( ) x p y y p x h p 2 2 2 x - ) + 2 = ( = x + 6 @ y, por definición de la parábola, se tiene que: d(P, F) = d(M, P) x ( p y ) ( ) x h p 2 2 6 ( @ + ( x - (x - h - p)2 + (y - k)2 = (x - h + p)2 y2 - 2ky + k2 = 4px - 4ph (y - k)2 = 4p(x - h) La ecuación canónica de la parábola con vértice en (h, k) y eje focal paralelo al eje x es: (y - k)2 = 4p(x - h) donde p es la distancia del vértice al foco y LR = |4p|. • Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha (figura 18). • Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda (figura 19). Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h, k) y eje de simetría paralelo al eje y Sea p la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo al eje y, entonces, el foco es el punto F(h, k + p). Como la distancia del vértice al foco es igual a la distancia del vértice a la directriz, entonces, la ecuación de la directriz es y = k - p. Además, la ecuación del eje de simetría es x = h (figura 20). Figura 18 p > 0, F a la derecha de V p < 0, F a la izquierda de V Figura 19 p > 0, F arriba de V Figura 20

176 © SANTILLANA Sigue Alto Realizando un análisis similar al anterior se deduce la ecuación canónica. Así: La ecuación canónica de la parábola con eje focal paralelo al eje y vértice en (h, k) es: (x - h)2 = 4p(y - k) donde p es la distancia del vértice al foco y LR = |4p|. La ecuación (x - h)2 = 4p(y - k) representa una parábola que: • Se abre hacia arriba, si p > 0 (figura 20). • Se abre hacia abajo, si p < 0 (figura 21). 1 ¿Dudas? Sí No 2 Figura 21 Figura 22 Figura 23 Ejemplo Encontrar la ecuación canónica de la parábola que cumple las condiciones dadas. a. Vértice en (-3, 4) y foco en (-5, 4). La parábola con vértice en (-3, 4) y foco en (-5, 4) es una cuyo eje focal o eje de simetría es paralelo al eje x, y su gráfica se abre hacia la izquierda, pues el foco es un punto ubicado a la izquierda del vértice. La distancia p del vértice al foco está dada por la diferencia de las abscisas de estos puntos: p = -5 - (-3) = -2 y como el vértice es V (h, k) = (-3, 4), al reemplazar en la ecuación canónica se tiene que: (y - 4)2 = 4(-2)(x - (-3)), entonces, (y - 4)2 = -8(x + 3) (figura 22). b. Vértice en (2, -3) y pasa por el punto Q 5, 2 3 ` - j. Graficar la parábola. La parábola que tiene vértice en (2, -3) y pasa por el punto Q tiene eje paralelo al eje y. Por la posición de los puntos dados, se deduce que la gráfica de la parábola se abre hacia arriba, por lo tanto, su ecuación es de la forma:

© SANTILLANA 177 Actividades 30. Determina la ecuación de la parábola de vértice V y foco F. a. V (1, 2) y F (1, 9) b. V (3, 5) y F (1, 5) c. V (2, 4) y F (9, 4) d. V (-1, 6) y F (-1, 2) e. V (4, -5) y F (2, -5) 31. Completa la tabla en el cuaderno. Vértice Foco P Ecuación del eje de simetría Ecuación de la directriz (1, 2) (1, 4) (2, 0) -1 y = 0 x = 4 (3, 5) 2 x = 3 y = 3 (1, -2) -2 y = -2 x = 5 (2, 5) (-1, 5) -3 x = 5 (3, 2) y = 2 x = 6 (-1, 2) (-1, 4) 2 y = 2 (3, 5) (3, -2) -5 y = 5 32. Escribe la ecuación canónica de cada parábola. a. b. 33. Encuentra un valor k que cumpla con la condición indicada. a. La parábola con ecuación es (x - 4)2 = 2k(y - 1) tiene foco situado a más de tres unidades del vértice. b. La parábola con ecuación es (y - 2)2 = 3k (x - 3) tiene directriz situada a menos de cinco unidades del vértice. c. La parábola con ecuación es (x - k)2 = 12(y + 2) tiene vértice ubicado en el cuarto cuadrante en el plano cartesiano. d. La parábola con ecuación es (y - k)2 = -16 (x + 2) tiene un vértice cuya ordenada es dos veces mayor que la distancia del vértice al foco. e. La parábola cuya ecuación es x2 = -24 (y - k) tiene eje de simetría en x = 0. f. La parábola cuya ecuación es y2 = -10kx, tiene lado recto equivalente a 40. 34. Determina si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. Luego, explica cada respuesta. a. La ecuación (x - 2)2 = 10(y - 3) equivale a la ecuación x2 - 4x + 4 = 10y - 30. b. La ecuación y2 - 42 = -2(x - 3) equivale a la ecuación (y - 4)2 = -2(x - 3). c. La ecuación (y - 3)2 = 10(x - 4) indica que la parábola se abre hacia la derecha. d. La ecuación (x - 5)2 = -3(y + 2) representa una parábola cuyo foco está ubicado abajo del vértice. e. La ecuación (x - 6)2 = -3(y - 1) representa una parábola que abre hacia la derecha. f. La ecuación (x - 2)2 = 2 (y + 3) representa una parábola que se abre hacia arriba. g. La ecuación (y - 5)2 = 5(x - 3) representa una parábola que se abre a la izquierda. 2 9

178 © SANTILLANA 5. Determinación de los elementos de una parábola Los elementos de una parábola pueden ser determinados a partir de su ecuación o su gráfica, como se muestra en los siguientes ejemplos. Determinar los elementos de cada parábola y obtener su gráfica. a. (y + 1)2 = 6(x - 5) La ecuación (y + 1)2 = 6(x - 5) corresponde a una parábola horizontal que se abre a la derecha, donde: Vértice: V(h, k) = (5, -1) Distancia p del vértice al foco: como 4p = 6, entonces, p 2 3 = despejando p Foco: F( ) p 2 3 2 13 )=` ` 5 , 2 3 + -, 1 , j 2 13 =` -1 Directriz: x = h - p, luego, x 5 2 3 2 7 = -5 = Eje de simetría: y = k, luego, y = -1 Longitud de lado recto: |4p| = 6 La gráfica de la parábola (y + 1)2 = 6(x - 5) se muestra en la figura 24. b. (x + 1)2 = -4(y - 2) La ecuación (x + 1)2 = -4(y - 2) representa una parábola vertical que se abre hacia abajo. Es decir, es de la forma (x - h)2 = 4p(y - k) donde p < 0 Luego, se deduce que: Vértice: V(h, k) = (-1, 2) Distancia del vértice al foco: como 4p = 4, Entonces, p = -1 despejando p Foco: F(h, k + p) = (-1, 2 - 1) = (-1, 1) Directriz: y = k - p, luego, y = 2 - (-1) = 3 Eje de simetría: x = h, luego, x = -1 Longitud de lado recto: |4p| = 4 Así, la gráfica de la parábola corresponde a la figura 25. Alto Sigue ¿Dudas? Sí No Figura 24 Figura 25 Figura 26 Ejemplos 1 2 Encuentra los elementos de la parábola de la figura 26. Luego, escribe su ecuación.

© SANTILLANA 179 En el siguiente cuadro se presenta un resumen de los aspectos estudiados acerca de las parábolas con vértices en (h, k) y eje de simetría paralelo a uno de los ejes del plano xy. Parábola Gráfica Eje de simetría paralelo al eje x. Ecuación: (y - k)2 = 4p(x - h) Vértice: (h, k) Foco: (h + p, k) Directriz: x = h - p Eje de simetría: y = k Longitud del lado recto: |4p| Eje de simetría paralelo al eje y. Ecuación: (x - h)2 = 4p(y - k) Vértice: (h, k) Foco: (h, k + p) Directriz: y = k - p Eje de simetría: x = h Longitud del lado recto: |4p| p > 0 p > 0 p < 0 p < 0 Actividades 35. Determina las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la ecuación del eje de simetría en cada parábola. a. (x - 3)2 = 10(y - 2) b. (x + 1)2 = 16(y - 3) c. (y - 3)2 = -8(x + 1) d. (y + 5)2 = 24(x - 4) e. x y( ) 2 1 16 2 ` j = f. (y + 6)2 = 20(x + 2) g. (y - 2)2 = 4(x + 1) h. x y 5 2 3 2 4 2 ` j = ^y - h i. y x 7 1 4 2 x 2 ` + = j ^ h j. y 3 4 ^ + 5 ^x + 1h 2 4 = k. y x 5 4 8 2 ` j = 36. Anota en la gráfica los elementos de cada parábola. a. b.

180 © SANTILLANA 6. Ecuación general de la parábola La parábola con vértice en V(h, k) con distancia p del vértice al foco, tiene como ecuación general la expresión de la forma: y2 + Dx + Ey + F = 0, si su eje es paralelo al eje x o x2 + Dx + Ey + F = 0 si es paralelo al eje y. La ecuación general de la parábola se obtiene desarrollando la ecuación canónica. Así, • Para una parábola con vértice en V(h, k) y eje focal paralelo al eje x se tiene que: (y - k)2 = 4p(x - h) y2 - 2ky + k2 = 4px - 4ph y2 - 4px - 2ky + k2 + 4ph = 0 Si D = -4p, E = -2k y F = k2 + 4ph, entonces, la expresión es: y2 + Dx + Ey + F = 0 • Para una parábola con vértice en V(h, k) y eje focal paralelo al eje y se tiene que: (x - h)2 = 4p(y - k) x2 - 2hx + h2 = 4py - 4pk x2 - 2hx - 4py + h2 + 4pk = 0 Si D = -2h, E = -4p y F = h2 + 4pk, Entonces, se obtiene la expresión: x2 + Dx + Ey + F = 0. Determinar la ecuación general de la parábola con vértice en (-4, 2), que pasa por el punto (0, 6). La ecuación canónica de la parábola es de la forma: (x - h)2 = 4p(y - k) con p > 0 Como la parábola pasa por el punto (0, 6) se reemplazan los valores de x y y en la ecuación, así: (0 - (-4))2 = 4p(6 - 2) (0 + 4)2 = 4p(6 - 2) 42 = 4p(4). Por lo tanto, p = 1 Entonces, la ecuación canónica es (x + 4)2 = 4(y - 2). Así, al desarrollar se tiene que: x2 + 8x + 16 = 4y - 8 x2 + 8x - 4y + 24 = 0 Luego, x2 + 8x - 4y + 24 = 0 es la ecuación buscada. Encontrar la ecuación general de la parábola (x - 3)2 = 2y + 9 Al desarrollar el binomio se tiene: x2 - 6x + 9 = 2y + 9 luego resulta: x2 - 6x - 2y = 0 Ejemplos 1 Si en una ecuación solo aparece una de las variables al cuadrado, y la otra tiene grado 1, es una parábola. Idea importante Determina la diferencia que tiene una parábola, si su eje es paralelo al eje x o paralelo al eje y. Lógico-matemática Para desarrollar 2

© SANTILLANA 181 Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos P(8, -2), Q(0, -2) y R(4, -4) cuyo eje focal es paralelo al eje y. Luego, construir su gráfica. Las coordenadas de cada punto satisfacen una ecuación de la forma: x2 + Dx + Ey + F = 0. Así, Se sustituyen las coordenadas de cada punto en la ecuación general, de la manera siguiente: • Para P(8, -2) se obtiene la ecuación 8D - 2E + F = -64 1 Alto Ejemplos Sigue ¿Dudas? Sí No 7. Ecuación de la parábola dadas tres condiciones Dado que las ecuaciones de una parábola cuyo eje focal es paralelo a uno de los ejes coordenados son de la forma: (y - k)2 = 4p(x - h) ; y2 + Dx + Ey + F = 0 y (x - h)2 = 4p(y - k) ; x2 + Dx + Ey + F = 0, se observa que ya sea en forma canónica o general, la ecuación de una parábola queda determinada por tres condiciones: a. En la forma canónica, por los valores de h, k y p. b. En la forma general, por los valores de D, E y F. 2 Encuentra los elementos de la parábola cuya ecuación general es x2 + 2y - 3x + 5 = 0. La ecuación de la parábola queda determinada de acuerdo a los valores de: h, k y p o depende de los valores de: D, E y F. Idea importante La parábola tiene muchas aplicaciones en la vida diaria. Menciona tres situaciones que necesiten de la aplicación de la parábola. Para desarrollar Lingüística

182 © SANTILLANA • Para Q(0, -2) se tiene la ecuación -2E + F = 0. • Para R(4, -4) se obtiene la ecuación 4D - 4E + F = -16. Los valores D, E y F se encuentran resolviendo el siguiente sistema: D E F E F D E F 8 2 D 64 2 0 E F 4 4 D 16 E + = - -2E E + = - * Utilizando cualquiera de los métodos conocidos se obtiene que: D = -8, E = -8 y F = -16 Por lo tanto, la ecuación general de la parábola es: x2 - 8x - 8y - 16 = 0 Para construir la gráfica de la parábola se reduce la ecuación anterior a la forma canónica. Así: (x - 4)2 = 8(y + 2) de donde, Vértice: V (h, k) = (4, -2) Distancia del vértice al foco: como 4p = 8, Entonces, p = 2 Foco: F (h, k + p) = (4, 0) Directriz: y = k - p, es decir, y = -2 - 2; y = -4 Eje de simetría: x = h, luego, x = 4 Longitud del lado recto: |4p| = 8 La gráfica de la parábola x2 - 8x - 8y - 16 = 0 se muestra en la figura 27. Resolver los siguientes problemas. a. En la fachada de cierta construcción se observa que el techo tiene forma de parábola, tal como se muestra en la figura 30. Si a 8 metros por debajo del vértice del techo, la anchura de la parábola es de 16 metros, ¿cuál será la longitud de su lado recto? Obtener la ecuación de la parábola. Para encontrar la longitud del lado recto tiene que encontrarse la ecuación de la parábola, como se describe a continuación: 1 8. Problemas de aplicación Las aplicaciones de la parábola están basadas en sus propiedades geométricas. En la física, por ejemplo, las propiedades de la parábola se utilizan para estudiar el movimiento de proyectiles, pues, la trayectoria que describe un proyectil al ser lanzado desde el nivel del suelo, si no se considera la resistencia del aire, es una parábola (figura 28). Muchos diseños arquitectónicos como los puentes colgantes son generalmente de forma parabólica, ya que es la única curva que posee la propiedad de distribuir uniformemente el peso sobre toda su longitud (figura 29). Los problemas que se presentan a continuación se resuelven utilizando las propiedades de las parábolas. Figura 27 Figura 29 Puentes colgantes Punta Ejemplos Figura 28 Movimiento de proyectiles

© SANTILLANA 183 Para resolver el problema anterior, se supone que el vértice de la parábola está ubicado en el punto (0, 0), por lo tanto, esta corresponde a una parábola con eje focal paralelo al eje y, que se abre hacia abajo. Así, su ecuación es de la forma: x2 = 4py con p < 0 Los puntos P y Q representan los extremos del segmento que mide 16 m y que está 8 m debajo del vértice de la parábola. Luego, sus coordenadas son P(-8, -8) y Q (8, -8). Estos puntos satisfacen la ecuación de la parábola, por lo tanto, al remplazar las coordenadas de P en dicha ecuación se obtiene: (-8)2 = 4p(-8); p = -2. Así, la longitud del lado recto es |4p| = 8 y la ecuación de la parábola es x2 = -8y. b. Para poder aproximar sus cálculos, cierto científico asumió que la Luna giraba describiendo una trayectoria circular alrededor de la Tierra, siguiendo la ecuación x2 + y2 = 81, en un momento en que la distancia de la Luna a la Tierra era de 9 000 kilómetros. Al mismo tiempo, el científico observó que un cometa se acercaba peligrosamente a la Tierra, siguiendo una trayectoria parabólica cuya ecuación es x2 - y + 1 = 0. ¿Existe la posibilidad de que la Luna o la Tierra colisionen con el cometa? El esquema de la derecha se ha realizado suponiendo que la Tierra es un punto en el origen del plano cartesiano y, tanto la Luna como el cometa son puntos de sus trayectorias. Así, como el punto más bajo de la parábola que describe el cometa es el punto (0, 1), entonces, no hay posibilidad de que este colisione con la Tierra. Para determinar si la Luna y el cometa pueden colisionar se debe resolver el sistema formado por las ecuaciones de sus respectivas trayectorias. De esta forma, si el sistema tiene solución, las dos trayectorias se cruzan; pero si el sistema no tiene solución no, entonces, las dos trayectorias no tienen puntos comunes. El sistema que se debe resolver es: x2 + y2 = 81 1 x2 - y + 1 = 0 2 Si se despeja y en 2 y se sustituye en 1 se obtiene: x2 + (x2 + 1)2 = 81 x2 + x4 + 2x2 + 1 = 81 x4 + 3x2 - 80 = 0 Las dos soluciones reales de la ecuación anterior son x = 2.75 y x = -2.75. Si x = 2.75 al sustituir en 2 se obtiene y = 8.56. Si x = 2.75, se obtiene y = 8.56. Por lo tanto, la trayectoria de la Luna y la del cometa se cruzan en dos puntos: (2.75; 8.56) y (-2.75; 8.56). Luego, sí existe la posibilidad de que los dos astros colisionen. Tierra Luna Cometa Recuerda simultanear las ec uaciones para encontrar el valor de las variables. Idea importante Figura 30

184 © SANTILLANA © S ANTILLANA ANTILLANA Actividades 37. Encuentra la ecuación de la parábola, de acuerdo con el vértice V y con el foco F. a. V(1, 2); F(-2, 2) b. V(-3, 4); F(3, 4) c. V(2, 5); F(5, 5) d. V(-1, 6); F(-1, 3) e. V(-3, 3); F(-3, 4) f. V(1, 6); F(-1, 6) 38. Relaciona la ecuación general de cada parábola dada en la columna izquierda con su correspondiente ecuación canónica dada en la columna derecha. a. y2 - 8x - 4y + 20 = 0 b. y2 - 2y + 2x - 1 = 0 c. y2 + 6y - 16x + 25 = 0 d. x2 - 6x + 12y + 21 = 0 e. x2 - 4x + 10y + 34 = 0 f. x2 - 6x + 12y + 21 = 0 g. x2 - 2x - 10y + 21 = 0 h. y2 - 2y - 2x + 3 = 0 39. Escribe un procedimiento para encontrar la solución de cada literal. Luego, aplica el procedimiento planteado y resuelve. a. Encuentra las coordenadas del foco de una parábola cuyo vértice es el punto (2, 3), pasa por el punto (4, 5) y su eje focal es paralelo al eje y. b. Establece la ecuación de la parábola cuyo vértice corresponde al centro de la circunferencia x2 + y2 + 4x - 2y + 1 = 0 y el foco tiene coordenadas (-2, 0). c. Halla la distancia entre los focos de las parábolas y2 - 2y - 8x + 9 = 0 y y2 - 2y + 8x - 39 = 0. d. Determina los puntos de intersección de la parábola cuya ecuación es: y2 - 4y - 8x + 28 = 0 y el eje x. e. Encuentra las coordenadas del vértice de una parábola cuyo foco es: (-1, 0), y la ecuación de la directriz es y = 2. f. Calcula la distancia entre los vértices de las parábolas cuyas ecuaciones son: x2 - 6x - 12y + 21 = 0 y y2 - 2y - 2x + 3 = 0. 40. Dada la ecuación general de cada parábola, completa la tabla con sus elementos. 41. Resuelve los siguientes problemas. a. Una piedra lanzada hacia arriba describe un arco de parábola y cae a una distancia de 40 m del punto donde fue lanzada. Determina el valor P de la parábola, si la altura máxima que alcanzó la piedra es de 28 m. b. La trayectoria de un proyectil disparado desde el nivel del suelo es una parábola que se abre hacia abajo. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil es de 80 metros, y su alcance horizontal es de 160 metros, escribe la ecuación de la parábola que describe la trayectoria del proyectil. 42. Determinar las siguientes ecuaciones. a. Parábola que pasa por los puntos A(4, 5), B(-4, 21) y C(-2, 11) y cuyo eje focal es paralelo al eje y. b. Parábola cuyo vértice tiene coordenadas (4, -1), pasa por el punto (5, -3) y el eje de simetría es la recta y + 1 = 0. c. Parábola cuyo foco tiene las coordenadas (4, 2), y la ecuación de la directriz es x = 2. Ecuación general Vértice Foco Ecuación de la directriz x2 + 6x - 2y + 11 = 0 y2 - 4y - 10x + 14 = 0 y2 + 6y - 8x + 15 = 0 x2 - 2x - 12y + 37 = 0 y2 - 8y - 4x + 20 = 0 x2 - 2x - 12y - 35 = 0 (y - 2) 2 = 8(x - 2) (x - 2) 2 = -10(y + 3) (y - 1) 2 = 2(x - 1) (y - 1) 2 = -2(x - 1) (x - 3) 2 = 12(y - 1) (x - 1)2 = 10(y - 2) (y + 3) 2 = 16(x - 1) (x - 3) 2 = -12(y + 1) 1 2 3

© SANTILLANA 185 9. Paraboloides de revolución Un paraboloide de revolución es la superficie que se genera cuando una parábola gira alrededor de su eje. En la siguiente figura se han representado dos paraboloides de revolución: a. El primero, generado por la rotación de una parábola con eje de simetría paralelo al eje x. b. El segundo, generado por la rotación de una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y. Dibujar el paraboloide de revolución que se genera al rotar cada parábola alrededor de su eje de simetría. a. x2 = 4y La ecuación x2 = 4y tiene por gráfica una parábola con vértice en (0, 0), que se abre hacia arriba y cuyo eje de simetría es el eje y. Además, el foco está ubicado en el punto (0, 1) y la ecuación de su directriz es y = -1. Para representar el paraboloide de revolución generado por la parábola x2 = 4y se ha tomado -6 # x # 6. b. La ecuación y2 - 8x - 6y - 7 = 0 tiene por gráfica una parábola con vértice en (-2, 3), que se abre hacia la derecha y eje de simetría paralelo al eje x. Además, el foco es el punto (0, 3). La ecuación de la directriz es x = -4. El paraboloide de revolución generado por esta parábola se ha representado considerando -5 # y # 11 (figura 31). Ejemplos 1 Figura 31

186 © SANTILLANA Alto Sigue ¿Dudas? Sí No 2 Los radiotelescopios cuentan con superficies parabólicas. En cada caso, determinar qué tan lejos está el foco del vértice. Radiotelescopio A Radiotelescopio B 0.3675m 1.065 m Un puente es construido en forma de arco parabólico y tiene una extensión de 3 200 m. La altura del arco a una distancia de 1 280 m desde el centro mide 320 m. Encontrar la altura del arco en su centro. Aproximadamente 889 m Resolver. a. El faro de un vehículo es un paraboloide de revolución generado por una parábola que, al ser representada en el plano cartesiano, tiene los puntos P(1, 3) y Q(1, -3), en los extremos de su lado recto. Si la fuente de luz del farol está colocada en el foco de la parábola. Determinar ¿en qué punto debe ubicarse la fuente de luz de la parábola? ¿Cuál es la ecuación de la parábola que genera el faro? Ejemplos 1 2 3 Resuelva el siguiente problema. El plato de una antena satelital de televisión tiene forma de paraboloide finito, cuyo diámetro en la parte más ancha es 24 metros. Si la antena tiene una profundidad de 9 metros, ¿cuál es la distancia del vértice del plato a su foco? Determina la ecuación de la parábola que genera el plato y represéntalo gráficamente. y x9 2 = p , 4 9 a 0k