5° R - Libro III

© SANTILLANA 187 La elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos es constante. Los dos puntos fijos se denominan focos. La suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos, generalmente se denota como 2a (figura 32). 1. Construcción de la elipse Para construirla se puede proceder de la siguiente manera: • Sobre una hoja de papel se marcan dos puntos F1 y F2 (focos). • Se toma una cuerda de longitud mayor que la medida de F1 F2 y sus extremos se fijan a los puntos F1 y F2 . • Con la punta de un lápiz se mantiene tensa la cuerda en el punto P y, luego, se desliza el lápiz alrededor de F1 y F2 . El trazo obtenido al deslizar el lápiz sobre el papel es una elipse. F 1 F 2 P F 1 F 2 P 2. Elementos de la elipse Además de los dos focos, en la elipse se distinguen los siguientes elementos: eje principal o eje focal, vértices, eje mayor, centro, eje normal o eje secundario, eje menor y lado recto. Como se detallan a continuación: • Los focos: son los puntos fijos F1 y F2 del plano. • El eje focal o eje principal: es la recta que pasa por los focos. • El centro: es el punto medio del segmento que une los focos. • El eje normal o eje secundario: es la recta perpendicular al eje focal, que pasa por el centro de la elipse. • Los vértices: son los puntos en que la elipse corta al eje focal. • V1 y V2 que une los vértices. • El eje menor: es el segmento que une los puntos de corte de la elipse con el eje normal. • El lado recto: es una cuerda perpendicular al eje focal en uno de los focos y que une dos puntos de la elipse. Se denota por LR. PF1 + PF2 = 2a Figura 32 F1 F2 Para calcular los elementos de una elipse a partir de su ecuación canónica, sabiendo que el centro es el punto medio del segmento que une los focos, que los vértices son los puntos en que la elipse corta al eje focal, se determinan los valores de a y b, luego se encuentra el valor de c. Con esta información se encuentran los otros elementos de la elipse. Idea importante La primera ley de Kepler establece que la órbita descrita por cada planeta es una elipse, donde el sol es uno de los focos. Menciona si conoces edificaciones que tienen forma elíptica. Para pensar

188 © SANTILLANA Por ejemplo, en la elipse de la siguiente figura se tiene que: 3. Ecuación canónica de la elipse con centro en (0,0) Para deducir la ecuación canónica de la elipse con centro en (0, 0), y cuyo eje focal coincide con uno de los ejes del plano cartesiano, se deben considerar dos casos: La elipse con eje focal igual al eje x. La elipse con eje focal igual al eje y. Ecuación canónica de la elipse con centro en (0,0) y eje focal igual al eje x La elipse con centro en (0, 0) y focos F1 (-c, 0) y F2 (c, 0), tal que la suma de las distancias de un punto P(x, y), de la elipse a los focos es 2a, tiene por ecuación canónica, la expresión: a x b y 2 1 2 2 2 + = b y donde a, b y c > 0, a > c, a > b y a2 = b2 + c2 Sean F1 (-c, 0) y F2 (c, 0) los focos de la elipse con centro en (0, 0), cuyo eje focal coincide con el eje x. Si P(x, y) es un punto de la elipse tal que PF1 2 + = PF2 2a, por la definición se tiene: d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a (figura 33). y c y 2a 2 2 ^x c + x - ch + = y 2 2 + y + ^ y y 2 2 ^x c + y a2 x c - h + 2 2 + = - 2a ^ y y x c y 2 2 2 2 ^x c + y a 4a ^x c - h + +^x - + 2 2 2 + 4a h x cx c y a 4a x c y x cx c y 2 2 c 2 2 4a 2 2 2 x 2 2 2cx + y y 2 - 4a x + y2 ^ h 2cx + + 4 4 cx a a4 x c y 2 2 2 4a =2 a ^x h + cx a a x c y 2 2 2 - = a a ^x h + c2 x2 - 2a2 cx + a4 = a2 [(x - c)2 + y2 ] c2 x2 - 2a2 cx + a4 = a2 [(x - c)2 + y2 ] c2 x2 - 2a2 cx + a4 = a2 (x2 - 2cx + c2 + y2 ) (c2 - a2 )x2 - a2 y2 = a2 c2 - a4 (a2 - c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 - c2 ) Figura 33 C F1 y F2 son los focos V V1 2 es el eje focal C es el centro B B1 2 es el eje normal V1 y V2 son los vértices V V1 2 es el eje mayor B B1 2 es el eje menor LR es el lado recto

© SANTILLANA 189 Como a > c, entonces, a2 > c2 , luego, a2 - c2 > 0. Si se hace b2 = a2 - c2 (figura 34), entonces, la ecuación anterior se puede escribir así: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 , de donde, a x b y 2 1 2 2 2 + = b y La ecuación de la elipse con centro en (0, 0) y focos en los puntos (-c, 0) y (c, 0) es: a x b y 2 1 2 2 2 + = b y , donde a > b > 0 y b2 = a2 - c2 . A partir de la ecuación canónica, es posible determinar las coordenadas de los vértices de la elipse y los interceptos de su gráfica con el eje y. Los vértices de la elipse se encuentran sobre el eje x, es decir, los vértices son puntos cuya ordenada es cero. Así, cuando en la ecuación canónica se hace y = 0, se obtiene: x 2 1 2 = , por lo tanto, x = 6a De modo que los vértices de la elipse son V1 (-a, 0) y V2 (a, 0). Los interceptos de la gráfica de la elipse con el eje y se consiguen haciendo x = 0 en la ecuación canónica. Esto es, si x = 0, se tiene que: y b2 1 2 = , luego, y 6 b Así, los interceptos de la elipse con el eje y son B1 (0, -b) y B2 (0, b). Del análisis anterior se puede deducir que, en la elipse con centro en (0, 0) y eje focal sobre el eje x, la longitud del eje mayor es 2a y la longitud del eje menor es 2b (figura 35). Determinar los elementos de la elipse x y 100 36 1 2 2 + = y 36 y dibuja su gráfica. Al comparar la ecuación x y 100 36 1 2 2 + = y 36 con la ecuación a x b y 2 1 2 2 2 + = b y se observa que a2 = 100 y b2 = 36, por lo tanto, a = 610 y b = 66 Y como a2 = b2 + c2 , entonces, c a 6 6 b 100 36 68 2 2 =6 6 100 - = Así, en la elipse de la figura 36, se tiene que: Focos: F1 (-8, 0) y F2 (8, 0) Vértices: V1 (-10, 0) y V2 (10, 0) Longitud del eje mayor: 20 Longitud del eje menor: 12 Interceptos con el eje y: B1 (0, -6) y B2 (0, 6) Establecer los elementos de la elipse . x y 25 9 1 2 2 + = Al comparar la ecuación con la ecuación se observa que a2 = 25 y b2 = 9, por lo tanto, Y luego se tiene que c2 = a2 - b2 = 25 - 9 = 16, así c = !4. Luego resulta que: Focos: F1 (-4, 0) y F2 (4, 0) Vértices: V1 (-5, 0) y V2 (5, 0) Longitud del eje mayor: 10 Longitud del eje menor: 6 Interceptos con el eje y: B1 (0, -3) y B2 (0, 3) 1 2 Figura 34 Figura 35 Figura 36 Ejemplos a x b y 2 1 2 2 2 + = x y 25 9 1 2 2 + = a b = =+ !5 3 y .

190 © SANTILLANA Ecuación canónica de la elipse con centro en (0,0) y eje focal igual al eje y La elipse con centro en (0, 0) y focos F1 (0, -c) y F2 (0, c), tal que la suma de las distancias de un punto P(x, y) de la elipse a los focos es 2a, tiene por ecuación x y b a 2 1 2 2 2 + = y , donde a, b, c > 0, a > b, a > c y a2 = b2 + c2 (figura 37). Vértices: V1 (0, -a) y V2 (0, a) Interceptos con el eje x: B1 (-b, 0) y B2 (b, 0) Longitud del eje mayor: 2a Longitud del eje menor: 2b Lado recto y excentricidad de una elipse Para las elipses con centro en (0, 0) se cumple: • La longitud del lado recto es a 2b2 = . • La excentricidad se define como e a c a a b 2 2 = = , con a > c. Como a > c, la excentricidad siempre está entre 0 y 1 y es un valor que está relacionado con la forma de la elipse. Si a se mantiene fijo y c es muy pequeño, entonces e es cercano a cero. Esto significa que los focos son muy cercanos entre sí y la elipse es casi una circunferencia (figura 38). Si c es cercano a a, entonces e es cercano a 1 y la elipse es alargada (figura 39). Figura 37 Figura 38 Figura 39 Figura 40 Ejemplos 1 2 Determinar todos los elementos, la ecuación y la gráfica de una elipse con centro en (0, 0), cuyo eje focal coincide con el eje y, con uno de sus focos en (0, 3) y excentricidad igual a 2 1 . Como F(0, 3), entonces, c = 3, así, el otro foco de la elipse está dado por F2 (0, -c) = (0, -3). Además, se sabe que e 2 a 1 3 = = , de donde, a = 6. Por la relación a2 = b2 + c2 , se tiene que b a 6 c 36 9 3 3 2 2 a - 6 = - 36 . Luego, los vértices de la elipse son V1 (0, -6) y V2 (0, 6) y sus interceptos con el eje x son B1 ^-3 3 0h y B2 ^3 3, 0h. El eje mayor tiene longitud de 12 unidades, y el eje menor mide 6 3 . El lado recto de la elipse mide LR a 2b 6 2 27 9 2 = = = . Finalmente, la ecuación de la elipse es x y 27 36 1 2 2 + = y 36 (figura 40). Calcular la excentricidad de la elipse: . x y 81 49 1 2 2 + = De la ecuación se tiene que: a2 = 81, de donde a = 9. b2 = 49, de donde b = 7. c2 = a2 - b2 = 81 - 49 = 32, de donde c = 5.66. Se sabe que e a c = , se tiene . e . 9 5 66 = = 0 63

© SANTILLANA 191 Actividades 43. Escribe la ecuación canónica de las elipses mostradas en cada gráfica. a. b. c. 44. Determina si la elipse, cuya ecuación se da, es horizontal o vertical. A partir de su excentricidad, indica el tipo de elipse que describe. Luego, encuentra la longitud de de sus ejes. a. x y 4 16 1 2 2 + = y 16 b. x y 25 1 2 2 + = y c. x y 36 144 1 2 2 + = y 144 d. x y 100 81 1 2 2 + = y 81 e. 4x2 + 9y2 = 36 45. Escribe V si la afirmación es verdadera, o F si es falsa. Justifica la respuesta. a. Los puntos (0, 2) y (3, 1) son focos de la misma elipse. b. La elipse cuya ecuación es x y 9 4 2 2 + = y tiene sus focos en los puntos ^ ^ 31, 0 y ^ 31 0, h. c. La elipse cuya ecuación es 4x2 + 9y2 - 16x - 18y - 11 = 0 tiene su centro en (2, 1). d. La elipse cuya ecuación es x y 16 4 1 2 2 + = y 4 tiene vértices en los puntos cuyas coordenadas son (0, 2), (0, -2), (4, 0) y (-4, 0). e. Uno de los ejes de la elipse cuya ecuación es x y 4 1 2 2 + = y mide 2. 46. Grafica la elipse. Luego, señala sus elementos. 47. Determina la ecuación de la elipse de acuerdo con las condiciones dadas en cada caso. a. Lado recto igual a 5, vértices (10, 0) y (-10, 0). b. Centro (0, 0), semieje mayor igual a 5 y semieje menor igual a 4. 48. Un planeta describe una trayectoria elíptica alrededor de otro cuerpo celeste que se ubica en uno de los focos. Si el eje mayor de la elipse mide 2.9 × 106 km y la excentricidad tiene un valor de 70 1 , aproximadamente, calcula la máxima y la mínima distancia entre esos cuerpos celestes. 49. Verifica analíticamente si el punto P que se escribe frente a cada ecuación pertenece o no a la elipse indicada. a. x y 36 9 1 2 2 + = y 9 ; P(0, 1) b. x y 4 25 1 2 2 + = y 25 P(2, 0) c. x y 9 16 1 2 2 + = y 16 P(3, 4) 0 1 1 2 3 4 -1 -1 -2 -3 -4 -3 -2 2 34 5678 ( ) y 4 3 1 2 2 + = y 3 1 2 3

192 © SANTILLANA 4. Ecuación canónica de la elipse con centro en (h, k) La ecuación canónica de la elipse con centro en (h, k), cuyo eje focal es paralelo al eje x donde a > b, es: a x h b y k 2 1 2 2 2 + = ^ h ^ h La ecuación canónica de la elipse con centro en (h, k) cuyo eje focal es paralelo al eje y donde a > b, es: b x h a y k 2 1 2 2 2 + = ^ h ^ h , donde a2 = b2 + c2 . En el siguiente cuadro se presenta un resumen de los elementos de la elipse con centro en (h, k) y eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados. Centro Eje focal Ecuación Focos Vértices Interceptos Gráfica (h, k) Paralelo al eje x a x h b y k 2 1 2 2 2 + = ^ h ^ h Longitud eje mayor: 2a Longitud eje menor: 2b F1 (h - c, k) F2 (h + c, k) V1 (h - a, k) V2 (h + a, k) Con el eje y B1 (h, k - b) B2 (h, k + b) (h, k Paralelo al eje y b x h a y k 2 1 2 2 2 + = ^ h ^ h Longitud eje mayor: 2a Longitud eje menor: 2b F1 (h, k - c) F2 (h, k + c) V1 (h, k - a) V2 (h, k + a) Con el eje x B1 (h - b, k) B2 (h + b, k) Encontrar la ecuación canónica de la elipse cuyos vértices son V1 (-4, 2) y V2 (4, 2) y cuyos focos son F1 (-3, 2) y F2 (3, 2). Luego, trazar la gráfica. A partir de la posición de sus vértices, se deduce que el eje focal de la elipse es paralelo al eje x, por lo tanto, su ecuación es de la forma: a x h b y k 2 1 2 2 2 + = ^ h ^ h El centro de la elipse es el punto medio del eje mayor, por lo tanto, se encuentran las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los vértices. Así, h k, , , 2 4 4 2 2 2 = 0 2, - +4 + ^ h ` j=^ h Hallar la ecuación canónica de la elipse cuyo centro es (-1, 2), vértices son V1 (-1, 7) y V2 (-1, -3); excentricidad e 5 3 = . Si se tiene que e a c = ; c = 3, a = 5. Se tiene que b2 = a2 - c2 = 25 - 9 = 16, b = 4. Sustituyendo el centro (-1, 2) y los valores de a y b, resulta: . x y 16 1 25 2 1 2 2 + + - = ^ h ^ h 1 2 Ejemplos

© SANTILLANA 193 Dado que V1 (h - a, k) = (-4, 2) y V2 (h + a, k) = (4, 2), se deduce que a = 4. Y como F1 (h - c, k) = (-3, 2) y F2 (h + c, k) = (3, 2) se tiene que c = 3. Además de la relación b a 6 c 6 16 9 7 6 2 2 6 6 16 - Así, al reemplazar los datos obtenidos, la ecuación canónica de la elipse representada en la figura 10 es: x y 16 7 2 1 2 2 + - = ^ h Hallar la ecuación de una elipse cuyo centro es el punto (-2, -1), uno de sus vértices es el punto (-2, -6) y la longitud de su lado recto es 4. Graficarla. Dada la posición del centro y uno de los vértices se deduce que el eje focal de la elipse es paralelo al eje y. Por lo tanto, su ecuación es de la forma: x h a y k 2 1 2 2 2 + = ^ h ^ h Como c(h, k) = (-2, -1) y V1 (h, k - a) = (-2, -6) se deduce que a = 5. Además, como la longitud del lado recto es 4 unidades y a 2b 4 2 = = , entonces, b 5 2 4 2 = , de donde b =6 10 . Por lo tanto, la ecuación de la elipse es: x y 10 2 25 1 1 2 2 + + + = ^ h ^ h Los demás elementos de la elipse son: V2 (h, k + a) = (-2, -1 + 5) = (-2, 4) B h 1 ^ - = b k , , h ^-2 10 1 , h y B h 2 ^ + = b k , , h ^-2 1 + 0 1 , h c a 6 6 b 25 10 15 2 2 =6 b Así, F h 1 ^ , y k ch=_ 2 1 , 15i y F h ^ ,k ch= -_ 2 1 ,- + 15i La gráfica de la elipse se muestra en la figura 42. Alto Sigue Determina la ecuación de la elipse de la figura 43. Figura 41 Figura 42 Figura 43 4 ¿Dudas? Sí No 3

194 © SANTILLANA Actividades 50. Determina la ecuación de las siguientes elipses. a. b. c. 51. Determina las coordenadas del centro, del foco y los vértices de cada elipse. a. x y 16 3 9 2 1 2 2 - + - = ^ h ^ h b. x y 25 16 7 1 2 2 + + = ^ h c. x y 4 9 36 5 1 2 2 + + - = ^ h ^ h d. 16(x + 1)2 + (y - 4)2 = 4 e. x y 9 1 49 3 1 2 2 - + - = ^ h ^ h f. x y 20 2 6 1 1 2 2 - + - = ^ h ^ h g. x y 16 5 64 3 1 2 2 + + - = ^ h ^ h h. 4(x + 5)2 + 16(y - 1)2 = 64 52. Escribe la ecuación canónica de una elipse que cumpla con las condiciones dadas en cada caso. a. Su eje mayor mide tres unidades y su eje menor dos. b. Su excentricidad es e 5 3 = y el centro es (2, 5). 53. Determina la ecuación de las elipses de acuerdo con las condiciones dadas. a. Centro (-1, 3), eje focal paralelo al eje y, semieje mayor 5 y semieje menor 3. b. Focos (4, 1) y (-6, 1), longitud del eje mayor 16. 54. Responde las siguientes preguntas y justifica la respuesta: a. ¿Es posible que en una elipse sea a = b? b. ¿La gráfica de la función f x 9 9x2 f^ h = 9 es igual a la gráfica de y2 + 9x2 = 9? c. ¿La ecuación x y 4 16 5 1 2 2 + =a y 16 ^ - h es equivalente a 16x2 + 4y2 - 40x + 74 = 1? d. ¿Toda expresión de la forma a x b y 2 1 2 2 2 + = b y describe una función? e. ¿La expresión y a b a x 2 2 a x 2 = describe una función? f. ¿La ecuación x y 4 1 16 1 2 2 + + = ^ h es equivalente a 4x2 + y2 + 8x - 12 = 0?

© SANTILLANA 195 5. Ecuación general de la elipse La ecuación general de la elipse con ejes paralelos a los ejes del plano cartesiano es de la forma: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Con A y C diferentes pero con el mismo signo. La deducción de la ecuación general se hace a partir del desarrollo de la ecuación canónica. Esta demostración se deja como ejercicio para el estudiante. Hallar la ecuación general de la elipse con vértices en los puntos V1 (3, -4) y V2 (3, 6) y cuyos interceptos con el eje x son B1 (1, 1) y B2 (5, 1). Luego, construir su gráfica. Los datos del problema corresponden a una elipse con eje focal paralelo al eje y. Entonces: • Dado que V1 (h, k - a) = (3, -4) y V2 (h, k + a) = (3, 6) se deduce que h = 3. Para hallar el valor de x se resuelve el sistema: k - a = -4 k + a = 6, de donde, k = 1 y a = 5. De acuerdo con lo anterior, la elipse tiene centro en (h, k) = (3, 1). • Como B1 (h - b, k) = (1, 1) y B2 (h + b, k) = (5, 1), para hallar b se resuelve la ecuación h - b = 1. Como h = 3, entonces, b = 2: Así, la ecuación canónica de la elipse es x y 4 3 25 1 1 2 2 - + - = ^ h ^ h A partir de la cual se obtiene la ecuación general: 25x2 + 4y2 - 150x - 8y + 129 = 0. La gráfica correspondiente a esta ecuación se muestra en la figura 44. 1 Alto Sigue ¿Dudas? Sí No 2 Figura 44 Figura 45 Ejemplos Identifica los elementos de una elipse que tiene por ecuación 16x2 + 25y2 - 128x + 100y - 44 = 0. Luego, grafícala. Karla comenta que la ecuación: x y 9 5 13 6 1 2 2 - + + = ^ h ^ h corresponde a una elipse, en cambio su compañero Alejandro dice que a una hipérbola. ¿Quién dice la verdad? Justifica tu respuesta. Para desarrollar Lingüística y espacial

196 © SANTILLANA Actividades 55. Escribe en forma general cada ecuación de las elipses. a. y 4 3 10 4 1 2 2 - + - = ^ h ^ h b. x y 2 4 5 3 1 2 2 - + - = ^ h ^ h c. x y 2 3 4 5 1 2 2 + + - = ^ h ^ h d. x y 25 6 16 1 1 2 2 + + - = ^ h ^ h e. x y 9 4 10 1 2 2 + + = y 10 ^ h f. x y 25 2 4 1 1 2 2 + + - = ^ h ^ h g. x y 16 2 6 3 1 2 2 + + - = ^ h ^ h h. x y 14 1 4 2 1 2 2 - + - = ^ h ^ h i. x y 4 4 12 5 1 2 2 + + + = ^ h ^ h j. x y 4 9 3 1 2 2 + - = ^ h 56. Encuentra el centro de cada elipse. a. 4x2 + 9y2 = 36 b. y x 5 4 6 5 1 2 2 - + - = ^ h ^ h c. 4x2 + y2 + 40x + 6y + 95 = 0 d. 2x2 + y2 + 12x - 2y + 17 = 0 e. 4x2 + 25y2 - 8x + 200y + 304 = 0 f. 3x2 + y2 - 18x - 2y + 22 = 0 g. x2 + 4y2 - 2x + 8y + 1 = 0 h. x2 + 4y2 - 4x - 8y - 92 = 0 57. Escribe en forma canónica las ecuaciones de las elipses. a. 9x2 + 4y2 - 54x - 40y + 145 = 0 b. 5x2 + 2y2 - 50x - 4y + 113 = 0 c. x2 + 9y2 + 2x - 54y + 46 = 0 d. x2 + 4y2 - 24y - 28 = 0 58. Determina si la ecuación de cada elipse coincide con la gráfica. Escribe un argumento que justifique la respuesta. a. b. c. 59. Escribe la ecuación, en forma general, de una elipse para cada condición. a. Centro en (2,3), foco en (2,5) y vértice (2,7) b. Vértices en (1, -2) y (9, -2); excentricidad e 2 1 = c. Centro en (3, 1), vértice (3, -2) y excentricidad e = 3 1 Ecuación en forma general 4x2 + y2 - 6y + 5 = 0 Ecuación en forma general 4x2 + y2 - 24x + 6y + 29 = 0 Ecuación en forma general 4x2 + 9y2 + 24x + 36y + 36 = 0

© SANTILLANA 197 6. Problemas de aplicación La elipse tiene aplicaciones en campos como la física, la arquitectura y la astronomía, entre otras. Resolver el siguiente problema. La órbita que describe la Tierra es una elipse con el Sol en uno de sus focos. La longitud del eje mayor de la elipse es 148 millones de kilómetros y su excentricidad es 0.0168. Durante el movimiento de traslación, ¿cuál es la mayor y la menor distancia de la Tierra al Sol? En cualquier elipse, el punto más cercano a uno de los focos es, precisamente, el vértice más cercano a dicho foco y el punto más lejano es el otro vértice. De acuerdo con la figura 46, se tiene que a + c es la mayor distancia de la Tierra al Sol y a - c es la menor distancia de la Tierra al Sol. Por lo tanto, es necesario calcular c, pues el valor de a es la longitud del eje mayor de la elipse, es decir, a = 148 millones km. Como e a c = , entonces, c = e ? a = 0.0168 × 148 000 000 km = 2 486 400 km. De modo que la mayor distancia de la Tierra al Sol es: a + c = 150 486 400 km y la menor distancia de la Tierra al Sol es: a - c = 145 513 600 km. De modo que la mayor distancia de la Tierra al Sol es: a + c = 148 000 000 km + 2 486 400 km. = 150 486 400 km. La menor distancia de la Tierra al Sol es: a - c = 148 000 000 km - 2 486 400 km. = 145 513 600 km. 1 Actividades 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Ejemplos 60. Resuelve los problemas de acuerdo con la siguiente información. El área de una elipse , a x h b y k 2 1 2 2 2 + = ^ h ^ h donde a > b se puede calcular mediante la fórmula rab. a. Calcula el área que encierra una malla elíptica cuyo eje mayor mide 18 m y cuyo eje menor 12 m. b. Encuentra el área de la región sombreada de la siguiente figura, donde la ecuación que determina la circunferencia es x2 + y2 - 6x -7 = 0 y la ecuación que determina la elipse es x2 + 4y2 - 6x - 55 = 0. x y 61. Una pista de atletismo tiene forma de elipse de 100 metros de largo y 50 metros de ancho. ¿Qué ancho tiene a 20 metros del extremo en el semieje mayor? 100 m 50 m ? 20 m 62. Una persona se sitúa en un foco de una galería de susurrus a 6 m de la pared más cercana y otra persona está en el otro foco a 100 m de distancia, ¿cuál es la longitud de la galería? ¿Qué altura tiene el techo en el centro? Distancia media de los planetas al Sol Idea importante Mercurio 0.206 0.387 Venus 0.007 0.723 Tierra 0.017 1 Marte 0.093 1.52 Júpiter 0.048 5.2 Saturno 0.056 9.54 Urano 0.047 19.18 Neptuno 0.009 30.06 Plutón 0.25 39.44 Planeta Excentricidad Distancia media(UA) UA: Distancia media de la Tierra al Sol: 145 513 600 km. Figura 46 a c c F V

198 © SANTILLANA Actividades 63. Un arco de 60 m tiene forma elíptica. Si su altura es de 20 m, halla la altura del arco en un punto situado a 12 m del centro. 64. El arco de un puente tiene forma semieliptica de 60 metros de ancho, siendo su máxima altura de 20 metros. Halla la altura de dos soportes situados cada uno a un tercio de la longitud del centro. 65. Calcula la altura a 1.83 metros del centro de la base del arco del túnel que tiene forma semielíptica. 66. Un satélite gira alrededor de un planeta W según una órbita elíptica, con el planeta W en uno de sus focos. Si la longitud del eje mayor es de 900 000 km y la longitud del eje menor es de 800 000 km, ¿cuál es la distancia máxima y la mínima entre los centros del satélite y dicho planeta? 67. El vitral de una ventana tiene forma semielíptica, de 100 cm de ancho de la base y tiene una altura máxima de 35 cm. Encuentra el ancho del vitral a una altura de 15 cm. 68. Una piscina tiene forma de elipse de 20 metros de largo y 12 metros de ancho. ¿Qué altura tiene a 5 metros del extremo en el semieje mayor? 69. Una mesa tiene forma de elipse de 250 cm de largo y 130 cm de ancho. ¿Qué ancho tiene a 50 cm del extremo en el semieje mayor? 70. El arte romano apareció propiamente en los siglos II y I antes de Cristo, como consecuencia de las grandes transformaciones sociales y la crisis política de los últimos tiempos de la República. En esa etapa, Roma se convirtió en una gran urbe en la que se consolidó la cultura helenística que dio lugar al arte romano durante los tres primeros siglos de nuestra era. El arte romano se caracterizó por las grandes construcciones de carácter urbanístico y arquitectónico. Entre estas edificaciones sobresalen los grandes proyectos de ingeniería como acueductos, puentes, teatros, anfiteatros, circos y arcos de triunfo. Todos los anfiteatros de Roma eran de forma elíptica. En su parte central estaba la zona de arena que también era en forma de elipse y, alrededor, se encontraban las graderías. Debajo de la zona de arena se encontraban habitaciones para los gladiadores y cuartos para las fieras. Dos ejemplos de la arquitectura romana son el Coliseo romano y el anfiteatro de Mérida. La obra del Coliseo romano fue emprendida por el emperador romano Vespasiano, quien además restauró las finanzas del Estado que habían sido agotadas anteriormente por Nerón. Se inauguró en el año 80 después de Cristo, tenía capacidad para 87 000 espectadores. Este coliseo tiene más de 50 metros de alto y cubre un área elíptica de 188 metros de eje mayor y 156 metros de eje menor. El anfiteatro de Mérida se construyó en el año 8 después de Cristo. Cubre un área elíptica cuyo eje mayor mide 126.3 metros y su eje menor 102.65. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

© SANTILLANA 199 Su zona de arena es elíptica, la medida de su eje mayor es 54.5 metros y el eje menor mide 41.15 metros. Su capacidad era de aproximadamente 15 000 espectadores. a. De acuerdo con la información anterior, responde: • ¿Qué área (en metros cuadrados) albergaba el Coliseo romano? ¿Cuántos metros cuadrados más tenía el Coliseo romano que el anfiteatro de Mérida? • ¿Las elipses del anfiteatro de Mérida son semejantes? ¿Por qué? • ¿Cuáles son las excentricidades de las elipses de la planta máxima del anfiteatro de Mérida y de la zona correspondiente a la arena? • ¿Cuál es la excentricidad de la elipse del Coliseo romano? b. Plantear una ecuación, en forma general, que pueda describir la forma del coliseo, teniendo en cuenta al centro de la elipse del Coliseo romano y suponiendo que en él se sobrepone un plano cartesiano cuyo eje mayor está sobre el eje x y el eje menor coincide en el eje y. c. Plantear una ecuación, en forma general, de la planta máxima del anfiteatro de Mérida, con centro en el origen. 71. Órbita es el nombre que se asigna a la trayectoria que pueden describir los cuerpos celestes en el espacio. Las órbitas de los planetas del sistema solar, es decir, los que giran alrededor del Sol, son de forma elíptica y tienen al Sol en uno de sus focos. A la distancia más lejana de un planeta al Sol se le denomina aflelio, y a la distancia más cercana perihelio; al tiempo que tarda un planeta en regresar al mismo lugar en su órbita se le denomina período sidéreo. D d F Perihelio Afelio a. Observa y completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que U.A. (unidades astronómicas) son unidades de longitud utilizadas generalmente en astronomía. Una U.A. equivale aproximadamente a 149.600.000 km. b. Ana asumió que, en algún momento, la Luna giraba en forma circular alrededor de la Tierra siguiendo la ecuación x2 + y2 = 81. Es decir, la distancia de la línea en ese momento es de 9 000 kilómetros. Luego, observó un cometa que seguía la trayectoria parabólica y = x2 + 1, y en ese instante se acercaba peligrosamente a la Tierra y a la Luna. ¿Existe la posibilidad de que la Luna o la Tierra colisionen con el cometa en ese momento? ¿Por qué? Tierra Luna Cometa Planeta Período sidéreo Perihelio (U.A.) Afelio (U.A.) D (U.A.) d (U.A.) Mercurio 87.97 días 0.31 0.47 0.78 0.76 Venus 224.70 días 0.72 0.73 Tierra 365.26 días 0.98 1.02 2 Marte 686.98 días 1.38 3.05 Júpiter 11.86 años 10.4 10.39 Saturno 29.46 años 9.01 10.07 Urano 84.01 años 18.28 38.37 Neptuno 164.79 años 29.8 30.32 60.12 60.12 Plutón 247.70 años 49.3 78.9 1 2 3

200 © SANTILLANA La hipérbola 1. Definición de la hipérbola. Construcción La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es una constante positiva. Los dos puntos fijos se llaman focos. La diferencia de las distancias de un punto de la hipérbola a los focos se designa como 2a (figura 47). Construcción de la hipérbola Se puede construir una hipérbola siguiendo el proceso que se describe a continuación: • Sobre una hoja de papel se marcan dos puntos F1 y F2 (focos). Luego, se toma una regla cuya longitud se designa como L1 y se elige una cuerda de longitud L2 , tal que L L 1 2 < F F1 2 . • Uno de los extremos de la cuerda se fija a un extremo C de la regla y el otro extremo se fija sobre el papel al foco F2 . El otro extremo de la regla se ubica sobre el foco F1 . F 2 C F 1 • Con la punta P de un lápiz se mantiene tensionada la cuerda, en dirección a la regla, y se desliza el lápiz haciendo un trazo continuo sobre el papel. El trazo obtenido es una rama de la hipérbola. F2 P C F1 F2 P C F1 • El proceso se completa al ubicar el extremo libre de la regla sobre el foco F2 y el extremo libre de la cuerda al foco F1 y repitiendo los pasos anteriores para construir la otra rama de la hipérbola. De esta manera quedan definidas las dos ramas de la hipérbola, utilizando la cuerda, la regla y el lápiz. Figura 47 F2 P C F1 F1 F2 Para pensar Ejemplifica situaciones en las cuales se pueda aplicar trayectorias curvilíneas, tales que la diferencia entre las distancias de dos puntos fijos sea constante.

© SANTILLANA 201 2. Elementos de la hipérbola Los elementos de la hipérbola son: • Los focos: son dos puntos fijos del plano. • El eje focal: es la recta que pasa por los focos. • Los vértices: son los puntos en los cuales la hipérbola corta el eje focal. • El eje transverso: es el segmento que tiene por extremos los vértices de la hipérbola. • El centro: es el punto medio del eje transverso. • El eje normal: es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal. • El eje conjugado: es el segmento perpendicular al eje transverso, en el centro. El eje conjugado está contenido en el eje normal. • El lado recto: es la cuerda que pasa por un foco de la hipérbola y es perpendicular al eje focal. • Las asíntotas: son dos rectas a las cuales se aproximan las ramas de la hipérbola, al extenderse indefinidamente. 3. Ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0,0) La hipérbola con centro en (0, 0) y los focos son los puntos F1 (-c, 0) y F2 (c, 0). Para un punto P(x, y) de la hipérbola se cumple: |d(P, F1 ) - d(P, F2 )| = 2a Tiene por ecuación canónica la expresión: b y a x 1 2 2 2 2 - = y , donde a, b, c > 0, c > a b2 = c2 - a2 . La hipérbola con centro en (0, 0) y los focos son los puntos F1 (0, -c) y F2 (0, c). Para un punto P(x, y) de la elipse se cumple: d(P, F1 ) - d(P, F2 )| = 2a Tiene por ecuación canónica la expresión: a y b x 2 1 2 2 2 - = , donde a, b, c > 0, c > a b2 = c2 - a2 . Para las hipérbolas que cumplan las condiciones dadas se tiene que: • La longitud del lado recto es: LR a 2b2 = . • La excentricidad está dada por: e a c a a b 2 2 = = con c > a y 0 < e < 1. • Las ecuaciones de las asíntotas son: y a b = x, cuando el eje focal es el eje x. y 6 b a = x cuando el eje focal es el eje y. Elementos de la hipérbola Hipérbola con centro en (0, 0) Focos: F1 y F2 Eje focal: F1 F2 Vértices: V1 y V2 Eje transverso: V1 V2 Centro: C Eje normal: B1 B2 Eje conjugado: B1 B2 LR: lado recto Asíntotas: l 1 y l 2

202 © SANTILLANA Actividades 72. Determina la ecuación de las hipérbolas de cada gráfica. a. b. 73. Escribe la ecuación canónica de la hipérbola cuyo centro es el origen y tiene los elementos que se indican en cada caso. Luego, grafica. a. F (0, 3) y V (0, 1) b. F (0,-6) y V (0, -2) c. F(4, 0) y V(3, 0) d. F(-5, 0) y V(3, 0) 74. Determina si las afirmaciones son ciertas o falsas. Luego, justifica la respuesta. a. Las longitudes de los semiejes de la hipérbola cuya ecuación es 10x2 - 16y2 = 160 son, respectivamente, 4y 10 . b. La excentricidad de la hipérbola cuya ecuación es 8x y 72 es e . 3 2 2 17 9y =2 = c. El lado recto de la hipérbola cuya ecuación es y x 4 6 1 2 2 - = es 6. d. La excentricidad de la hipérbola cuya ecuación se determina mediante x y 4 9 1 2 2 - = y es . 4 3 75. ¿Qué clase de hipérbola representa la ecuación a x b y 2 1 2 2 2 - = y si a = b? 4. Ecuación canónica de la hipérbola con centro en (h, k) Ecuación canónica de la hipérbola con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje x La hipérbola con centro en (h, k), focos F1 (h - c, k) y F2 (h + c, k) tal que la diferencia de las distancias de cualquier punto P(x, y) de la hipérbola, a los focos es 2a, tiene por ecuación canónica: ( ( ) 1, ) a x h b y 2 2 2 2 - = con c > a b2 = c2 - a2 Los elementos de la hipérbola con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje x son: Focos: F1 (h - c, k) y F2 (h + c, k) Vértices: V1 (h - a, k) y V2 (h + a, k) Longitud del eje transverso: 2a Eje normal: paralelo al eje y Longitud del eje conjugado: 2b Asíntotas: y k ( ) a b k = y k ( ) a b - =- -x h (figura 48) Figura 48

© SANTILLANA 203 Obtener la ecuación de la hipérbola con centro en (3, -5), con vértice en (7, -5) y un foco en (8, -5). Luego, trazar su gráfica. En este caso, c(h, k) = (3, -5), V2 (h + a, k) = (7, -5) y F2 (h + c, k) = (8, -5), por lo tanto, se deduce que a = 4 y c = 5. Como b2 = c2 - a2 , entonces, b =6 6 25 16 3 Así, la ecuación de la hipérbola es ( ) ( ) . y 16 9 1 2 2 - = Además, se determinan: Focos: F1 (-2, -5) y F2 (8, -5) Vértices: V1 (-1, -5) y V2 (7, -5) Longitud de eje transverso: 8 Longitud del eje conjugado: 6 Asíntotas: y x 4 3 4 29 = -x y x 4 3 4 11 = - Luego, a partir de los vértices, se trazan las ramas de la hipérbola, como se muestra en la figura 49. 1 Ecuación canónica de la hipérbola con centro en (h, k) y el eje paralelo al eje y La hipérbola con centro en (h, k) y focos F1 (h, k - c) y F2 (h, k + c), tal que la diferencia de las distancias de cualquier punto P(x, y) de la hipérbola, a los focos es 2a, tiene por ecuación canónica: ( ) ( ) a y b 2 1 2 2 2 - = donde c > a y b2 = c2 - a2 Los elementos de esta hipérbola son: Focos: F1 (h, k - c) y F2 (h, k + c) Vértices: V1 (h, k - a) y V2 (h, k + a) Longitud del eje transverso: 2a longitud del eje conjugado: 2b Eje normal paralelo al eje x Asíntotas: y k b a k = - ( y k ( ) b a - =- -x h (figura 50). Para encontrar la ecuación de una hipérbola con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje y se procede en forma similar al ejemplo anterior. Figura 50 Figura 49 Ejemplos La excentricidad en una hipérbola se calcula con la misma ecuación que en la elipse. Puesto que a < c y e > 1 en la hipérbola. Idea importante Determinar la ecuación de la hipérbola con centro en (-1, 2), longitud del eje transverso de 10 y longitud del eje conjugado de 6. Una forma práctica de trazar la gráfica de la hipérbola consiste en trazar un rectángulo con medidas 2a de ancho y 2b de alto, con centro en (h, k). Las asíntotas de la hipérbola son las rectas que contienen las diagonales del rectángulo. Eje transverso es 2a = 10 luego a = 5. Eje conjugado es 2b = 6 luego b = 3 Sustituyendo los valores en la ecuación canónica se tiene: y x 25 2 9 1 1 2 2 - - + = ^ h ^ h 1 Ejemplos

204 © SANTILLANA Actividades 76. Grafica en tu cuaderno las siguientes hipérbolas. a. ( ) ( ) y 4 25 1 2 2 - = b. ( ) ( ) y 9 4 1 2 2 - = 77. Escribe la ecuación canónica de la hipérbola según los elementos dados en cada caso. a. V(-5, 7), V(-5, -1) b = 2 b. C(-2, 4), F(-2, 2), V(-2, 3) c. V(-4, 1), V(-1, 1), b = 3 d. F(-3, 6), V(-3, 4), C(-3, 1) 78. Escribe una ecuación canónica para cada hipérbola representada en la gráfica. El centro debe ir ubicado en el punto que indica la gráfica. a. b. 79. La excentricidad de una hipérbola es e 3 5 = y la de otra es e 3 4 = , ¿cuál de las dos hipérbolas es más abierta? ¿Por qué? 80. La cuerda focal de una hipérbola es aquella que pasa por un foco y es perpendicular al eje mayor. ¿Qué longitud tiene la cuerda focal de la hipérbola determinada por la ecuación ( ) ( ) ? y 9 16 1 2 2 - = 5. Ecuación general de la hipérbola La ecuación general de la hipérbola con ejes paralelos a los ejes del plano cartesiano es de la forma: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con A y C de signos opuestos. Para obtener la ecuación general de la hipérbola se parte de la ecuación canónica, en la que se desarrollan las operaciones indicadas y se simplifica. ( ) ( ) 1 a b y 2 2 2 2 - = b2 (x - h)2 - a2 (y - k)2 = a2 b2 b2 x2 - 2b2 xh + b2 h2 - a2 y2 + 2a2 yk - a2 k2 - a2 b2 = 0 Si b2 = A; -a2 = C; -2b2 h = D; 2a2 k = E y b2 h2 - a2 b2 = F Se tiene que: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 es la ecuación general de la hipérbola. Para que la ecuación: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Sea la ecuación de una hipérbola, es necesario que A y C sean de signos opuestos. Idea importante

© SANTILLANA 205 Hallar la ecuación general de la hipérbola con focos F1 (2, -6) y F2 (2, 4) y con vértices V1 (2, -4) y V2 (2, 2). Determinar las coordenadas del centro, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la longitud del lado recto y la excentricidad. Los datos corresponden a una hipérbola cuya ecuación canónica es de la forma ( ) p ( ) . a y b 2 1 2 2 2 - = El centro es el punto medio del eje transverso, por lo tanto, , ( ) 2 2 2 2 + - 2 4 2 + ` j = ( La longitud del eje transverso es 2a = 6, pues es la distancia entre los vértices, por lo tanto, a = 3. La distancia entre los focos es 2c = 10, luego, c = 5. Como b2 = c2 - a2 , entonces, b c 6 a 25 9 4 6 , 2 2 6 luego, la longitud del eje conjugado es 2b = 8. Así, la ecuación canónica de la hipérbola es: ( ) y ( ) 9 16 1 2 2 - = De donde 16(y + 1)2 - 9(x - 2)2 = 144 Se obtiene -9x2 + 16y2 + 36x + 32y - 164 = 0 La longitud del lado recto es a 2b 5 32 2 = La excentricidad es . a c 3 5 = 1 3Alto Sigue ¿Dudas? Sí No Figura 51 2 Ejemplos Obtén la forma canónica y grafica la hipérbola cuya ecuación general es 9x2 - 4y2 - 54x - 32y - 19 = 0. Encontrar la ecuación general de elipse y 6 x 4 36 144 1 2 2 + - - = Desarrollando los binomios se tiene: y y x x 36 12 36 144 8 16 1 2 + + 2 - - + = Eliminando denominadores y reduciendo resulta: -x2 + 4y2 + 8x + 48y -16 = 0 Si los focos de una hipérbola se van juntando sin cambiar de longitud el eje focal, ¿qué pasa con la forma de la curva hipérbola? Para desarrollar Lógico-matemática

206 © SANTILLANA Actividades 81. Escribe las siguientes ecuaciones canónicas de la hipérbola como ecuaciones generales. a. ( ) y 9 5 1 2 2 - = b. ( ) y ( ) 36 4 1 2 2 - = c. ( ) y ( ) 25 36 1 2 2 - = d. ( ) ( ) y 4 9 1 2 2 - = e. ( ) ( ) y 2 3 1 2 2 - = 82. Determina las coordenadas del centro, el vértice y los focos de las hipérbolas determinadas por las siguientes ecuaciones. a. 9x2 - y2 - 18x - 16y - 36 = 0 b. y2 - 4x2 + 2y + 4x - 19 = 0 c. y2 - 16x2 + 6y + 64x - 71 = 0 d. 4x2 - 9y2 - 24x + 54y - 189 = 0 83. Escribe la ecuación general de las hipérbolas de cada gráfica. a. b. 84. Escribe la ecuación general de una hipérbola para cada condición. a. Eje focal paralelo al eje x, y centro en el cuarto cuadrante. b. Eje focal paralelo al eje y, y una de sus vértices sobre el eje x. c. Eje focal paralelo al eje x, y centro sobre el eje y. 85. Responde las siguientes preguntas. Luego, justifica las respuestas. a. ¿Es posible tener a = b en una hipérbola cuya ecuación canónica es 1? a x b y 2 2 2 2 - = y b. ¿En qué se diferencian las hipérbolas cuyas ecuaciones en forma canónica son: ( ) ( ) 1 a b y 2 2 2 2 - = ( ) ( ) y y b a 2 1 2 2 2 - = cuando a < b? c. ¿En qué cambia la ecuación en forma general de las hipérbolas cuyas ecuaciones en forma canónica son: ( ) ( ) 1 a y b 2 2 2 2 - = ( ) ( ) y 1 b y b 2 2 2 2 - = si a > b? 6. Problemas de aplicación Las aplicaciones de la hipérbola se extienden a campos como la astronomía y la física.

© SANTILLANA 207 Resolver. Cierto cometa describe una trayectoria hiperbólica, en la cual, uno de los focos es el Sol. En el plano cartesiano, la situación se ha representado ubicando el Sol en el origen y el eje transverso de la hipérbola sobre el eje y. Después de varias observaciones se ha encontrado que la ecuación de la trayectoria del cometa es 9y2 - 16x2 + 90y + 81 = 0. Si se sabe que el vértice es el punto más cercano al foco en cada rama de una hipérbola, y las distancias se miden en unidades astronómicas (U.A.), ¿cuál es la menor distancia a la que pasa el cometa del Sol? A partir de la ecuación 9y2 - 16x2 + 90y + 81 = 0. Se llega a la forma canónica: ( ) y x 16 9 1 2 2 - = Esta ecuación corresponde a la forma ( ) ( ) , a y b 2 1 2 2 2 - = de donde se deduce que la hipérbola tiene centro en el punto (h, k) = (0, -5). Y como a2 = 16, entonces, a =6 16 4, por lo tanto, el vértice por el cual pasa el cometa tiene coordenadas (h, k + a) = (0, -1). Entonces, la distancia del vértice (0, -1) al foco (0, 0), es: ( ) ( ) 0 1 1 2 2 ) + = +0 = Así, la menor distancia a la que pasa el cometa del Sol es 1 U.A. (figura 52). 1 Figura 52 Actividades 86. Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia a dos puntos fijos (0,3) y (0, -3) es 5. 87. Resuelve los siguientes problemas. a. Los puntos M y N están separados a 1 km, por el ruido de una explosión que se escuchó en dichos puntos se determinó que el estallido se produjo a 600 m de M que de N. Encuentra la ecuación que describe la situación planteada. b. Halla el área del círculo encerrado por la circunferencia, cuyo centro coincide con el centro de la hipérbola determinada por la ecuación general 9x2 - 4y2 - 18x + 16y - 11 = 0 y su radio equivale a la longitud del eje transverso de esa hipérbola. 88. Determina analíticamente la intersección de las cónicas dadas por las ecuaciones x2 + 2y = 1 y 2x2 - 3y2 - 1. 89. Encuentra los puntos de intersección de la hipérbola determinada por la ecuación 16x2 - 9y2 = 144 con: a. 6x + 5y + 3 = 0 b. y - x = 0 c. 2 1 + =y 3 d. x y 5 3 - =y 6 90. Un punto P(x, y) se mueve tal que dista del punto (0, 4) a 3 4 de su distancia a la recta 4y - 9 = 0. Determinar la ecuación de su lugar geométrico. 1 2 3 Ejemplos Escribe una lista con los nombres de los elementos de la hipérbola, sus respectivas expresiones algebraicas y elabora sus gráficas. Para desarrollar Lógico-matemática y espacial

208 © SANTILLANA 7. Asíntotas de la hipérbola Como se mencionó en la sección dos, las asíntotas de la hipérbola son dos rectas tales que la distancia entre la hipérbola y dichas rectas tiende a cero, a medida que la hipérbola se extiende indefinidamente. Las asíntotas de la hipérbola con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje x son las rectas: y k ( ) a b k = y k ( ) a b - - =- x h Las asíntotas de la hipérbola con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje y son las rectas: y k ( ) a b k = y k ( ) a b - - =- x h Por ejemplo, las asíntotas de la hipérbola ( ) ( ) y 9 16 1 2 2 - = (figura 53). Son las rectas: y x( ) o bien y x 3 4 3 4 + =2 ) o bien y = - 6 y x( ) o sea y x 3 4 3 4 + =2 ( = + 2 Actividades 91. Escribe la ecuación de las asíntotas de cada una de las hipérbolas. a. ( ) y ( ) 3 25 1 2 2 - = b. ( ) ( ) y 25 4 1 2 2 - = c. 9x2 - y2 - 18x + 16y - 36 = 0 d. y2 - 16x2 + 6y + 64x - 71 = 0 92. Determina la ecuación de las hipérbolas de acuerdo con las ecuaciones de sus asíntotas. a. y x( ) y, y x( ) 5 4 ) y, y 2 5 4 + + 2 ( ) = 4 = ( ) y, y eje transverso paralelo al eje x. b. y x( )y, y x( ) 2 7 )y, y 1 2 7 + =1 )y, y + = eje transverso paralelo al eje x. c. y x 3 () () , y x 6 5 2 3 6 5 + = - + =- - 2 eje transverso paralelo al eje x. 93. Escribe la ecuación de una hipérbola y de sus asíntotas para las condiciones dadas. a. Su eje transverso es paralelo al eje x. b. Su eje conjugado paralelo es paralelo al eje x. 94. Escribe la ecuación de las asíntotas de la hipérbola de la gráfica. a. Figura 53

© SANTILLANA 209 Rotación de los ejes coordenados 1. Ecuación de rotación Si se rotan los ejes coordenados del sistema xy, alrededor del origen y se consideran fijos todos los puntos del plano, se obtiene un nuevo sistema xlyl en el que cada punto, excepto el origen, tiene un nuevo par de coordenadas y los nuevos ejes xl y yl forman un ángulo i con x y y, respectivamente (figura 54). Sea P(x, y) un punto del sistema de ejes coordenados xy y un nuevo sistema xlyl obtenido al rotar los ejes x y y alrededor del origen O, un ángulo i. Si a es el ángulo que forma el segmento OP con el eje x, β es el ángulo que OP forma con xl y r la distancia del origen a P, entonces, con base en la figura 55, se deduce que: x = r cos a y y = r sen a Y con base en la figura 56, se obtiene que: xl = r cos β y yl = r sen β Como β = a - i, entonces, se puede escribir que: xl = r cos (a - i) y yl = r sen (a - i) xl = r (cos a cos i + sen a sen i) y yl = r (sen a cos i - cos a sen i) xl = (r cos a) cos i + (r sen a) sen i y yl = (r sen a) cos i - (r cos a) sen i de donde xl = x cos i + y sen i y yl = -x sen i - y cos i Por lo tanto, Si el sistema de coordenadas xlyl es obtenido por una rotación de i° del sistema xy, entonces, las coordenadas del punto P(x, y), en el nuevo sistema, están dadas por las ecuaciones de rotación: xl = x cos i + y sen i, yl = -x sen i + y cos i. Figura 54 Figura 55 Figura 56 Leer y resolver. Si los ejes coordenados x y han sido rotados con ángulo de -45° encontrar: a. Las ecuaciones de rotación. b. Las coordenadas del punto (1, 2) con relación al sistema x'y'. c. Las coordenadas del punto (-1, 3)' con relación al sistema xy. a. Como i = -45°, entonces, cos i = cos(-45°) = 2 2 y sen i = sen (-45°) = 2 2 Al sustituir en las ecuaciones: xl = x cos i + y sen i y yl = -x sen i + y cos i se tiene: x x y 2 2 2 2 l = -x y xy 2 2 2 2 l = b. En las ecuaciones obtenidas se sustituyen x por 1 y y por 2, así: x ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 l= - ( ) = - y ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 = + ( ) 2 2 l = Es decir, las coordenadas del punto (1, 2) en el sistema xlyl son: c m , . 2 2 2 - 3 2 1 Ejemplos Si se da un giro a una gráfica en 90° y uno en 180°. ¿Se mantendrá igual la gráfica o cambiara su posición? Para pensar

210 © SANTILLANA c. Para encontrar las coordenadas del punto (-1, 3)' en el plano xy se hace (-1, 3)' = (x', y') y se sustituye en las ecuaciones de rotación, así: x y 1 2 2 2 2 3 2 2 2 2 - =1 = +x 2 2 Z [ \ ] ] [ ] ]] \ ] La solución del sistema es x = 2 y y = 2 2 , por lo tanto, las coordenadas del punto (-1, 3)l respecto al sistema xy son ^ 2 2, 2h. Determinar la ecuación para la hipérbola equilátera x2 - y2 = 2 después de rotar 60° los ejes coordenados x y y. Como i = 60°, entonces, sen i = sen 60° = 2 3 y cos i = cos 60° = 2 1 luego, el sistema cos sen sen cos x x y y x y i i i i cos x cosi - = x seni l l i l * es equivalente al sistema: x x y y x y 2 1 2 3 2 3 2 1 x - = + x 3 l l 3 l l 1 + Z [ \ ] ] [ ] ]] \ ] Así, la ecuación x2 - y2 = 2 se transforma en: 2 2 2 c x y = 2 1 2 3 l l y m m x y 2 3 2 1 c l l + y 2 - Y al desarrollar las operaciones indicadas y simplificar se obtiene: x x y y 2 1 3 2 1 2 2 2 - x + = y 2 l 2 3 l l 1 + que es la ecuación transformada de la hipérbola de la figura 57. Encuentra la nueva ecuación de la curva x2 - y2 = 9 después de rotar los ejes x y y un ángulo de 90º. Como el ángulo es de 90º, entonces sen 90º = 1, cos = 90º = 0, entonces las ecuaciones de rotación son: x = -yl y y = xl. Al reemplazar x y y en la ecuación x2 - y2 = 9 se obtiene: (yl)2 - (xl)2 = 9 2 1.1. Ecuación de la rotación inversa Al resolver el sistema: cos sen sen cos x x y y x y i i i i cos l = + x cosi l * para x y y Se tiene que: cos sen sen cos x x y y x y i i i i cos x cosi - = x seni l l i l * Las ecuaciones obtenidas son utilizadas para la rotación inversa. 1 Figura 57 Cos ° , Sen ° 2 2 45 2 2 = Sen 45° = Cos ° 9 = 0 9 , Sen 0 1 ° Cos ° , Sen ° 2 1 60 2 3 = Sen 60° = Cos ° , Sen ° 2 3 30 2 1 = Sen 30° = Idea importante Ejemplos

© SANTILLANA 211 Alto Sigue ¿Dudas? Sí No La ecuación general de segundo grado 1. Defi nición La ecuación de la forma Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 con A, B y C diferentes de cero, se denomina ecuación general de segundo grado. Cuando en la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, ocurre que B = 0, se transforma en la ecuación Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Para identificar el tipo de cónica que representa, esta expresión se transforma en una de las ecuaciones canónicas conocidas, mediante la completación de cuadrados. Pero, cuando B ! 0 en la ecuación general de segundo grado, el término Bxy dificulta la completación de cuadrados. En este caso, es necesario emplear una rotación de ejes apropiada para obtener una nueva ecuación. 2. Selección de la rotación de ejes que elimina el término xy en la ecuación general de segundo grado Gráficamente, el problema de eliminar el término xy de la ecuación general de segundo grado se visualiza como la necesidad de encontrar una rotación que haga coincidir los ejes coordenados con los ejes de la cónica (figura 59). Si el sistema de ejes coordenados xy se rota un ángulo i y se emplean las ecuaciones de rotación x = xl cos i - yl sen i y y = xl sen i + yl cos i para sustituir x y y en la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, entonces se obtiene: A(xl cos i - yl sen i)2 + B(xl cos i - yl sen i)(xl sen i + yl cos i) + C(xl sen i + yl cos i)2 + D(xl cos i - yl sen i) + E(xl sen i + yl cos i) + F = 0. Al desarrollar los productos y agrupar términos resulta una expresión de la forma: Alxl 2 + Bxlyl + Clyl 2+ Dlxl + Elyl + Fl = 0 donde: Al = A cos2 i + B cos i sen i + C sen2 i Para pensar ¿Habrá alguna manera de poder identificar en una ecuación general el tipo de gráfica que representa? Figura 58 Figura 59 3 Encuentra la nueva ecuación de la curva 5x2 - 6xy + 5y2 = 32 después de rotar los ejes x y y un ángulo de 45°. Luego, traza la gráfica.

212 © SANTILLANA Bl = 2(C - A) sen i cos i + B (cos2 i - sen2 i) Cl = A sen2 i - B cos i sen i + C cos2 i Dl = D cos i + E sen i El = -D sen i + E cos i Fl = F Para eliminar el término en xy debe suceder que Bl = 0, es decir, 2(C - A) sen i cos i + B (cos2 i - sen2 i) = 0 Aplicando las fórmulas para el ángulo doble se tiene que: 2(C - A) sen i cos i + B (cos2 i - sen2 i) = (C - A) sen 2i + B cos 2i Así, (C - A) sen 2i + B cos 2i = 0 si y solo si: (C - A) + B cot 2i = 0 B cot 2i = A - C cot B A C 2i= En resumen: sen i = hipotenusa opuesto = 5 3 cos i = hipotenusa adyacente = Sen 2i = 2seni cosi Cos 2i = cos2 i - sen2 i Idea importante En la ecuación general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 con B ! 0 el término en xy se elimina realizando una rotación de ejes con un ángulo i, 0 < i < 90° tal que: cot B A C 2i = - Identificar la curva representada por 6x2 + 24xy - y2 - 12x + 26y + 11 = 0 mediante una rotación de ejes. Luego, graficarla. En este caso, A = 6, B = 24 y C = -1. Así, cot ( ) 2 , 24 6 ( 24 7 i = = de donde sen 2 y cos 2 . 25 24 25 7 i i y cos 2 25 24 Empleando las fórmulas para el ángulo medio se tiene que: sen cos 2 2 1 2 1 25 7 5 3 i i = - = - = cos cos 2 2 1 2 1 25 7 5 4 i i = + = + = Así, las ecuaciones de rotación son: • x x y 5 4 5 3 = - xl l • xy x y 5 3 5 4 = - xl l Al sustituir x y y en la ecuación dada, resulta la ecuación: 15xl 2 - 10yl 2 + 6xl + 28yl + 11 = 0 Que es equivalente a 2 5 1 3 5 7 1 2 2 - = a a y 5 1 2 l + k k x 5 7 a l - 2 1 Ejemplos i 3 5 4 5 4

© SANTILLANA 213 Algunas veces, esta ecuación representa alguna de las cónicas degeneradas: un punto, una recta, dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan en un punto. En el caso de la ecuación general de segundo grado, para determinar el tipo de cónica que representa su gráfica se utiliza el número B2 - 4AC denominado discriminante de la ecuación. Así: Esta es la ecuación de una hipérbola con centro en , 5 1 5 7 ' a- k en el sistema xlyl, como se representa en la figura 60. Hallar la naturaleza de la curva representada por 2x2 - 3xy + y2 - x + y + 10 = 0 Como B2 - 4 AC = 9 - 4 (2)(1) = 9 - 8 = 1 > 0, se trata de una hipérbola. Encontrar la naturaleza de la curva representada por 16x2 + 24xy + 9y2 - 30x + 40y = 0 Como B2 - 4 AC = (24)2 - 4 (16)(9) = 576 - 576 = 0, se trata de una parábola. 1 2 Ejemplos Ejemplos 3. Identifi cación de las secciones cónicas en la ecuación general de segundo grado A partir del análisis de la ecuación general de las secciones cónicas es posible determinar los casos para los cuales una ecuación de la forma: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 representa una circunferencia, una parábola, una elipse, una hipérbola o una de las cónicas degeneradas. Si A y C son diferentes de cero, la ecuación de la forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 excepto en algunos casos es la ecuación de: • Una circunferencia, si A = C. • Una parábola, si A = 0 o C = 0. • Una elipse, si A ! C y A y C tienen signos iguales. • Una hipérbola, si A y C tienen signos distintos. Si A, B y C son diferentes de cero, la ecuación de la forma Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Salvo en algunos casos es la ecuación de: • Una elipse, si B2 - 4AC < 0. • Una parábola, si B2 - 4AC = 0. • Una hipérbola, si B2 - 4AC > 0. En algunos casos, la gráfica de esta ecuación puede ser una de las cónicas degeneradas. Figura 60 a x b y a x b y 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = 6 a x b y a x b y 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 - = - = y px y a 4 0 2 2 2 = - =

214 © SANTILLANA Actividades 95. Encuentra las coordenadas de los puntos dados, con respecto al sistema de coordenadas, al girar los ejes del plano cartesiano el ángulo i que se indica. a. M(5, 2), N(-1, 3), O(5, 3), P(2, -1), i = 90° b. M(-3, -4), N(2, 5), O(1, 0), P(3, 8), i = 45° c. M(0, 3), N(-3, 0), 0(0, -3), P(3, 0), i = 180° d. M(1, 5), N(2, 4), O(1, -2), P(2, 1), i = 30° e. M(2, 3), N(3, -2), O(5, 6), P(-2, 3), i = 60° f. M(5, 6), N(3, 9), O(2, 1), (0, 1), i = 135° g. M(-3, 2), N(-1, 4), O(3, -1), P(1, 4), i = 225° h. M(1, 5), N(5, 1), O(3, 2), P(2, 3), i = 270° i. M(7, -5), N(-5, 7), O(-3, 3), P(3, -3), i = 315° 96. Escribe la fórmula de rotación más apropiada, de tal manera que la ecuación no tenga un término en xy. a. x2 - 2xy + y2 - 3x + 3y + 2 = 0 b. 9x2 + 4xy + 6y2 + 12x + 36y + 44 = 0 c. 25x2 - 36xy + 40y2 - 12 13 x - 8 13 y = 0 d. x2 - 10xy + y2 + x + y + 1 = 0 e. 2x2 - 3xy + 4y2 + 2x + 3y - 5 = 0 97. Determina si la gráfica corresponde a la ecuación que se indica enfrente. a. x2 + 4xy + y2 - 3 = 0 b. 13x xy y 15 0 2 2 6 3 xy 7 15 c. 4x xy y 5 5x 5 0 2 2 4xy y +5 5x + 98. Identifica la cónica que corresponde a cada ecuación sin hacer rotación de ejes. a. x2 - 2xy + y2 - 3x + 3y + 2 = 0 b. 6x2 + 9y2 - 4xy + 28x - 26y + 21 = 0 c. 3x2 - 2xy + y2 + 4x - 2y - 5 = 0 d. x2 - 2xy + y2 + x - 2y + 3 = 0 e. 2x2 + 10xy + 12y2 - 15 = 0 f. 14x2 + 24xy + 21y2 - 4x + 18y - 139 = 0 g. 8x2 + 12xy + 17y2 = 20

© SANTILLANA 215 99. Encuentra la ecuación de la cónica dada con respecto a los ejes obtenidos después de girar el plano cartesiano el ángulo i indicado. a. 4y2 + 9x2 - 24y - 72x + 144 = 0; i = 90° b. y2 + 8y - 2x + 10 = 0; i = 60° c. x2 + y2 = 0; i = 30° d. x2 + y2 - 10y = 0; i = 180° e. x2 - 12y + 36 = 0; i = 45° f. y2 - 4y + 6x - 8 = 0; i = 120° g. 5x2 + 9y2 - 80x + 54y = -221, i = 135° h. 9x2 - 16y2 = 144, i = 270° i. 3x2 + 4y2 = 192, i = 240° 100. Halla la ecuación de las curvas, cuando se traslada el origen de coordenadas en el punto que se indica: a. x2 + 2y2 - 4x + 6y - 8 = 0, (-1, 3) b. x2 + 5y2 + 2x - 20y + 25 = 0, (-2, 2) c. x2 - 12x + 4y + 12 = 0, (-2, 1) d. y2 - 8x - 32 = 0, (1, 3) e. 7x2 - 9y2 = 63, (3, -1) f. 12y2 + 16x2 - 96y + 84 = 0, (0, -1) g. y2 + 9x2 - 8y - 54x + 88 = 0, (-1, -1) h. 7y2 + 16x2 - 84y - 64x + 204 = 0, (3, 1) 101. Identifica la cónica que representa cada ecuación. Luego, di por qué esa ecuación corresponde a la cónica identificada. a. 4x2 - 3y2 - 8x + 6y + 1= 0 b. 4x2 + 4y2 - 16x + 16y = 0 c. x2 + y2 - 8x + 4y = 0 d. 2x2 - y2 + 4x + 4y - 4 = 0 e. 4x2 - y2 - 24x - 4y f. x2 - 4x - y - 4 = 0 g. x2 + y2 + 10x + 6y + 36 = 0 h. x2 - 4x - y - 4 = 0 102. Encuentra la ecuación de la cónica que pasa por los puntos: a. (5, 2), (-1, -2), (1, -2), (2, 5), (-1, 1) b. (1, 1), (0, -2), (3, -3), (-1, 2), (-2, -1) c. (1, 6), (3, 4), (-3, -2),(-5, 0), (0, 10)

216 © SANTILLANA Practico lo que aprendí Sección cónica 103. Halla la sección cónica de los puntos P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (3, 1) y (- 5, 1) sea igual a 10. 104. Encuentra la sección cónica de los puntos cuya suma de cuadrados de las distancias a dos puntos fijos (-2, -5) y (3, 4) sea igual a 70. Circunferencia 105. Halla las ecuaciones de las circunferencias que tienen las siguientes características. a. c (5, -3) r = 8 b. c (-2, -4) Diámetro = 106. Determina la ecuación de una circunferencia con centro en (-1, 6) y que pase por el punto (3, -3). ¿Está el punto (-2, -8) situado en esa circunferencia? Parábola 107. Encuentra el foco y la directriz de las siguientes parábolas. a. y2 = 10 x b. y2 = 7x c. x2 = 6y d. x2 = y e. y2 = -10x f. x2 = -6x 108. Encuentra la ecuación de la parábola con los datos que se proporcionan y determina los elementos que falten. a. v(2, 3) Directriz: x = -1 b. v(-2, 0) Directriz: x = -8 c. v(3, 1) f(3, 7) d. v(3,1) f(5, 1) Elipse 109. Halla los vértices, los focos y las excentridades de las siguientes elipses. a. x y 25 9 1 2 2 + = y 9 b. x y 16 25 1 2 2 + = y 25 c. 25x2 + 16y2 = 1 600 d. y 25 16 1 2 2 + = y 16 e. 9x2 + 25y2 = 900 f. x2 + 2y2 = 16 110. Encuentra las ecuaciones de las elipses que cumplen las siguientes condiciones. a. La excentricidad es 0.6 y su eje mayor mide 20. b. Los focos son (6, 0) y (-6, 0) y su excentricidad es 3 1

© SANTILLANA 217 c. Pasa por el punto (3, -2) y su eje menor mide 10. d. Sus focos están en (4, 0) y (-4, 0) y dos de sus vértices son (5, 0) y (-5, 0). Hipérbola 111. Determina los focos, los vértices, las asíntotas y las excentricidades de las siguientes hipérbolas. a. x y 25 9 1 2 2 - = y b. y x 25 16 1 2 2 - = c. 16y2 -25x2 = 1 600 d. x y 25 16 1 2 2 - = y e. 9x2 - 25y2 = 900 f. x2 - 2y2 = 16 112. Halla las ecuaciones de las hipérbolas que satisfacen las condiciones siguientes. a. Los vértices son (-6, 0) y (6, 0), sus respectivas asíntotas son: y x, y x 6 7 6 7 = = x y b. Centro en el origen, un foco es (8, 0) y un vértice (6, 0). c. Pasa por los puntos (3, 1) y (9, 5), centro en el origen y ejes sobre los de las coordenadas. Rotación de los ejes coordenados 113. Si los ejes coordenados xy han sido rotados con un ángulo de 90°. Encuentra: a. Las ecuaciones de rotación. b. Las coordenadas del punto (2, 3) en relación con el sistema xlyl. c. Las coordenadas del punto (-2, 4)l en relación con el sistema xlyl. 114. Encuentra la nueva ecuación de las curvas: a. 2x2 + 3y2 = 34. Después de rotar los ejes x e y en un ángulo de 30°. b. 2x2 + 3y2 - 8x + 6y = 7. Después de rotar los ejes x e y en un ángulo de 90°. c. y2 - 6y - 4x + 5 = 0. Después de rotar los ejes x e y en un ángulo de 90°. d. x2 + y2 + 2x - 4y - 20 = 0. Después de rotar los ejes x e y en un ángulo de 60°

Para finalizar 218 © SANTILLANA Secciones cónicas • Una sección cónica es una curva que resulta de la intersección de un plano con una superficie cónica. • Si el plano que corta a la superficie cónica es perpendicular al eje, la sección es una circunferencia. • Si se inclina el plano de modo que sea oblicuo con el eje y corte a todas las generatrices, la sección es una elipse. • Si el plano oblicuo con el eje es paralelo a una generatriz, la cónica que resulta se llama parábola. • Si se inclina aún más el plano, de modo que sea paralelo a dos generatrices, se origina una curva llamada hipérbola. 1 Parábola • La parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo, llamado foco, y de una recta que se denomina directriz. d(P, F) = d(P, s) • Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h, k): (x - h)2 = 4p(y - k) para la parábola vertical, que puede ser abierta hacia arriba o hacia abajo. Con directriz: y = k ± p (y - k)2 = 4p(x - h) para la parábola horizontal, que puede ser abierta a la derecha o a la izquierda. Con directriz: x = h ± p Longitud del lado recto es igual al valor absoluto de 4p. • La parábola con vértice en V(h, k), con distancia p del vértice al foco, tiene como ecuación general la expresión de la forma: y2 + Dx +Ey + F = 0, si su eje es paralelo al eje x o x2 + Dx + Ey + F = 0, si su eje es paralelo al eje y. 3 Elipse • La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. d(P, F) + d(P, Fl) = k. • Ecuación canónica de la elipse: a h b x y k 2 1 2 2 2 - + = ^ h ^ h . Elipse horizontal. b x h a y k 2 1 2 2 2 + = ^ h ^ h . Elipse vertical. • Ecuación general de la elipse: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Con A y C diferentes pero con el mismo signo. La excentricidad de una elipse es un valor comprendido entre 0 y 1 y se calcula mediante el cociente: Excentricidad: e a c = 4 Circunferencia • La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo, llamado centro. A la distancia constante se le denomina radio de la circunferencia. d(P, C) = r. • Ecuación canónica de la circunferencia con centro en (h, k): (x - h)2 + (y - k)2 = r2 . • Ecuación general de la circunferencia: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, es necesario que D2 + E2 - 4F > 0. 2 Rotación de ejes coordenados Ecuaciones de rotación: xl = x cos i + y sen i , yl = -x sen i + y cos i. Ecuaciones de rotación inversa: x = xl cos i - yl sen i y = xl sen i + yl cos i 5

Evaluación por competencias Aplico lo aprendido © SANTILLANA 219 Afi ción por el estudio del universo Una de las formas sanas en que puedes aprovechar tu tiempo libre es apasionarte por la astronomía. Una actividad en la cual recordarás que lo que hacías en la escuela primaria era diseñar un Sistema Solar con pequeñas esferas de durapax y alambre. Al elaborar el diseño, siempre se busca que los alambres, que hacen las veces de las órbitas de los planetas, tengan forma de elipse. Precisamente, se llaman órbitas elípticas. Así que las órbitas de cada planeta son elipses en donde uno de los focos es el Sol. • El afelio de un planeta es su distancia mayor al Sol. • El perihelio de un planeta es su distancia menor al Sol. • La distancia media desde un planeta al Sol es la longitud del semieje mayor de la órbita elíptica. Razonamiento lógico matemático 1. La distancia media de la Tierra al Sol es de 93 millones de millas. Si el afelio de la Tierra es de 94.5 millones de millas, ¿cuál es su perihelio? Escribe una ecuación para la órbita de la Tierra alrededor del Sol. 2. La distancia media de Marte al Sol es de 142 millones de millas. Si el perihelio de Marte es de 128.5 millones de millas, ¿cuál es su afelio? Escribe una ecuación para la órbita de Marte alrededor del Sol. Comunicación con lenguaje matemático 3. Construye un sistema planetario, colocándole medidas a los planetas desde el Sol. Escribe una ecuación que describa la órbita que tienen los planetas alrededor del Sol. Aplicación de la matemática al entorno 4. Menciona otras aplicaciones en las cuales se ha observado la forma elíptica. 5. Investiga y presenta las figuras encontradas a tus compañeros de clase, sobre las formas elípticas encontradas. preventiva integral

Proyecto PAES 220 © SANTILLANA 4 Horas Tiempo disponible: Instrucciones Hoja de respuestas: 1. Escribe primero tu nombre y apellido, en el espacio correspondiente, en tu hoja de respuestas. 2. En esta prueba responderás 146 ítems. Debes contestar en la hoja de respuestas. 3. Para contestar en la hoja de respuestas, hazlo de la siguiente manera. Por ejemplo, si la respuesta correcta a la pregunta 1 es A. Nombre: Fecha: DCBA# DCBA# DCBA# DCBA# Respuesta correcta 1 D CB A1 B C D A1 B C D A1 B C D A1 B C D Respuesta incorrecta 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D

© SANTILLANA 221 1. En el experimento que consiste en lanzar un dado y los sucesos A = “sacar par” y B = “sacar múltiplo de 3”. A y B es igual a: A. {6} B. {4} C. {3} D. {2} 2. Es el resultado de agregar tres medios aritméticos entre 3 y 23. A. 3, 5, 10, 15, 23. B. 3, 4, 8, 12, 23. C. 3, 7,14, 21, 23. D. 3, 8, 13, 18, 23. 3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? A. 2 000 formas B. 5 040 formas C. 4 200 formas D. 64 formas 4. Es la diferencia aritmética y la suma de los quince primeros términos, sabiendo que el primer término de la sucesión es -1, y el decimoquinto 27. A. 210 B. 200 C. 195 D. 190 Preguntas: 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 59 60 A B C D A B C D 61 62 A B C D A B C D 63 64 A B C D A B C D 65 66 A B C D A B C D 67 68 A B C D A B C D 69 70 72 D D C C B B A A A B C D 74 75 76 77 78 79 80 81 82 73 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 83 84 A B C D A B C D 85 86 A B C D A B C D 87 88 A B C D A B C D 89 90 A B C D A B C D 91 92 A B C D A B C D 93 94 96 D D C C B B A A A B C D 95 A B C D 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D D D C C B B A A A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D D D C C B B A A A B C D 111 112 113 114 115 116 117 A B C D 119 A B C D D D D C C C B B B A A A 143 144 146 118 120 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 121 145 122 123 124 125 126 127 71 A B C D

222 © SANTILLANA A partir del siguiente enunciado, responde las preguntas con los numerales 5, 6 y 7. La probabilidad de que un hombre viva 20 años después de casado es 4 1 y que la mujer viva 20 años es 3 1 . 5. ¿Cuál es la probabilidad de que tanto el hombre como la mujer vivan 20 años más? A. 2 1 B. 12 1 C. 4 3 D. 6 1 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el hombre viva 20 años más y la mujer no? A. 2 1 B. 12 1 C. 4 3 D. 6 1 7. ¿Cuál es la probabilidad de que tanto el hombre como la mujer mueran antes de los 20 años? A. 2 1 B. 12 1 C. 4 3 D. 6 1 8. A todo subconjunto del Espacio Muestral se le denomina: A. Experimento B. Probabilidad C. Suceso D. Muestra 9. Una sucesión es geométrica cuando dos términos consecutivos arrojan una constante, cuando entre ellos se realiza la operación: A. Suma B. Resta C. Multiplicación D. División 10. ¿Cuál de las siguientes características no pertenece a la distribución normal? n – 2v n n – v n n + v + 2v A. La curva que la representa es simétrica respecto a la media n. B. Crece hasta la media n y decrece a partir de ella. C. El eje de abscisas es una asíntota de la curva. D. El área total bajo la curva, es más del 100% de los casos. 11. La serie 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584, es conocida como: A. Sucesión aritmética B. Sucesión geométrica C. Serie Fibonacci D. Serie de Laplace 12. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones, es una propiedad de las probabilidades? A. 0 # p (A) # 1 B. p (S) $ 1 C. p (A) + p (B) = 2 D. p (A , B) = p (A) - p (B) 13. Es el término general de la sucesión 2 1 , 3 2 , 4 3 . A. n 1 B. n n 1 + C. n n + 1 D. n(n + 1) 14. La fórmula p p( )r p( )s p( ) conocida también como fórmula de Herón se utiliza en trigonometría para calcular: A. Perímetro B. Altura C. Área D. Base

© SANTILLANA 223 15. Si se conocen dos lados de un triángulo, y el ángulo comprendido entre ellos, para resolver el triángulo se utiliza: A. El Teorema de Pitágoras B. La Ley del Seno C. La Ley del Coseno D. El Teorema de Herón 16. Es la tangente del ángulo que forma una recta con la dirección positiva del eje x. A. Inclinación B. Punto C. Hipotenusa D. Pendiente 17. Es la suma de los ángulos internos de todo triángulo. A. 90º B. 360º C. 180º D. 270º 18. El número de términos de la sucesión 7, 10, 13, 16,… que deben sumarse para obtener 1 515 es: A. 15 B. 30 C. 20 D. 25 19. Un gimnasio tiene 40 filas de asientos. En la primera hay 28 asientos, en la segunda hay 32, en la tercera hay 36, y así sucesivamente. El total de asientos es: A. 1 120 B. 4 240 C. 2 020 D. 2 560 20. Si una célula se divide en 2 cada 15 minutos ¿Cuántas habrá al cabo de dos horas? A. 64 B. 256 C. 16 D. 128 21. Julio, Pedro, José, Ana y Ricardo deben formarse en una fila. ¿De cuántas maneras lo pueden hacer si Pedro y Ana no deben ir juntos? A. 72 B. 104 C. 34 D. 60 22. La base del logaritmo natural es: A. 3.1416 B. 2.7182 C. 1.4142 D. 1.6180 23. Se invierten $20 000 en un negocio. Pasados x años las ganancias obtenidas están determinadas por F(x) = 20 000 e0.3x ¿En cuánto tiempo se triplicará la inversión? A. 3.14 años B. 2.75 años C. 4.66 años D. 3.67 años 24. Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. A. Experimentos aleatorios B. Probabilidad C. Espacio muestral D. Casos favorables 25. Se selecciona al azar un número natural menor que 100. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de sus dígitos sea 30? A. 0.03 C. 0.30 B. 0.02 D. 0.5 26. La última película de un actor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los aficionados al cine ya la han visto. Un grupo de 4 amigos son aficionados al cine ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan visto la película 2 personas? A. 0.1536 B. 0.8000 C. 0.5000 D. 0.1808

224 © SANTILLANA 27. La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, ¿cuántos estudiantes pesan entre 60 kg y 75 kg? A. 500 B. 60 C. 476 D. 155 28. El valor del radio del círculo circunscrito es: A B 20 72° 45° C A. 10.51 m B. 28.28 m C. 14.14 m D. 21.03 m 29. Al proceso de intercalar términos dentro de una sucesión, ya sea aritmética o geométrica se le llama: A. Intercalación B. Extrapolación C. Interpolación D. Distribución 30. Dados los puntos A (1, 3) y B (-2, 1) el valor del intercepto de la recta con el eje y es: A. 7 3 B. 3 2 - C. 3 7 D. 2 3 31. Ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a 3x + 4y - 5 = 0. A. 4x - 3y + 2 = 0 B. 3x + 4y - 11 = 0 C. 4x - 3y - 11 = 0 D. 3x + 4y + 2 = 0 32. Ecuación de la parábola con directriz y = -5, y foco (0, 5). A. x2 = 20y B. y2 - 20x = 0 C. y2 - 5x = 0 D. x2 + 20y = 0 33. Es el radio de la circunferencia cuya ecuación es x2 + y2 + 6x - 14y - 6 = 0. A. 10 B. 8 C. 6 D. 14 34. Utilizando las identidades trigonométricas pitagóricas, Sen² i es igual a: A. 1 B. 1 + cos2 i C. 1 - cos2 i D. csc 1 i 35. El periodo de la gráfica de la función tan i es: A. 1 B. 2r C. r D. 2 r 36. Desde la torre de un faro el vigilante que se encuentra a una altura de 50 metros sobre el nivel del agua, advierte que se aproxima un barco formando un ángulo de depresión de 25º. ¿Cuál es la distancia que separa el barco de la base del faro? A. 105 m B. 50 m C. 25 m D. 107.22 m 37. La razón trigonométrica que es recíproca a la razón Csc i es: A. sen i B. cos i C. sec i D. tan i

© SANTILLANA 225 38. Si se sabe que tan 2 1 i = , entonces el valor de sen i es: A. 1 B. 2 C. 5 1 D. 5 39. Al transformar 10 r radianes a grados se obtiene: A. 18º B. 36º C. 3.14º D. 360º Responde los enunciados del 40 al 43 a partir del siguiente problema. Se extrae al azar una bolita de una urna que tiene ocho bolas rojas, cinco amarillas y siete verdes. 40. La probabilidad de que sea roja es: A. 0.15 B. 0.18 C. 0.4 D. 0.67 41. La probabilidad de que sea verde es: A. 0.2 B. 0.35 C. 0.54 D. 0.8 42. La probabilidad de que sea amarilla es: A. 0.25 B. 0.33 C. 0.5 D. 0.7 43. La probabilidad de que no sea roja es: A. 0.12 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.6 44. Considera la siguiente gráfica para determinar cuál de las siguientes fórmulas se utiliza para encontrar la pendiente de la recta. r α α x2 – x1 P1 (x1 , y1 ) P2 (x2 , y2 ) y2 – y1 A. m = y2 - y1 B. m = P1 (x1 , y1 ) C. m = tan a D. m = P2 - P1 45. Se dispone de tres cajas con bombillos. La primera contiene 10 bombillos, de los cuales hay cuatro fundidos; en la segunda hay seis bombillos, estando una de ellos fundido, y la tercera caja hay tres bombillos fundidos de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar un bombillo al azar de cualquier cajas, esté fundido? A. 300 200 B. 360 10 C. 120 113 D. 360 105 46. De un triángulo se conocen a, b y A. Si al aplicar el teorema de los senos resulta que el seno de B es mayor que 1, concluimos que: A. Será un triángulo agudo B. No hay solución C. El triángulo es equilátero D. Tiene un ángulo recto. Utilizar la información que se plantea a continuación para responder las preguntas 47, 48 y 49.

226 © SANTILLANA De un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, organiza un comité de 2 hombres y 3 mujeres. 47. ¿De cuántas formas puede organizarse, si puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer? A. 45 B. 350 C. 792 D. 4 200 48. ¿De cuántas formas, si una mujer determinada debe pertenecer al comité? A. 31 B. 62 C. 150 D. 600 49. ¿De cuántas formas, si dos hombres determinados no pueden estar en el comité? A. 38 B. 216 C. 46 D. 105 50. Cuando se realizan pruebas idénticas o experimentos, y en cada una de ellas puede ocurrir uno de los dos sucesos posibles denominados “éxito” o “fracaso”, se habla de un experimento de tipo: A. Aleatorio B. Binomial C. Independiente D. Excluyente A continuación se proporciona información, la cual deberás leer y analizar cuidadosamente, a fin de responder los enunciados 51, 52 y 53. Se realiza un juego que consiste en lanzar dos dados numerados de 1 a 6 en sus caras. 51. La cantidad de posibles parejas de números es: A. 12 B. 36 C. 72 D. mayor de 40 52. Si el juego se gana al obtener 12 en la suma de los dígitos de los dados, la probabilidad de ganar es igual a: A. 2 1 B. 12 1 C. 36 1 D. 6 1 53. La probabilidad de que la suma de los dígitos de los dados sea impar es: A. 4 1 B. 2 1 C. Mayor que la probabilidad de que sea par. D. Menor que la probabilidad de que sea par. Responde los enunciados 54 y 55 con base en la siguiente información. En estadística, un intervalo de confianza es un rango de valores donde es probable encontrar al valor verdadero de la población. El intervalo indica qué tan seguro se puede estar de los resultados. Se pueden encontrar los límites inferior y superior del rango para estar un 95% seguro utilizando las siguientes fórmulas: L p n p p 1 9. 6 1 p - ^ h L p n p p 1 9. 6 1 p + ^ h Donde L1 es el límite inferior y L2 es el límite superior, p es el porcentaje obtenido en una muestra y n es tamaño de la muestra. 54. Si se realiza una encuesta en una muestra de 30 familias, y se determina que al 56% no le gusta la carne de cerdo, los valores de L1 y L2 son: A. 38% para el límite inferior y 65% para el superior. B. 50% para el límite inferior y 58% para el superior. C. 25% para el límite inferior y 35% para el superior. D. 58% para el límite inferior y 90% para el superior. 55. Si se realiza una encuesta en una muestra de 100 familias y se determina que el 15% no tiene hijos, los valores de L1 y L2 son: A. 8% para el límite inferior y 25% para el límite superior. B. 5% para el límite inferior y 18% para el límite superior.

© SANTILLANA 227 C. 5% para el límite inferior y 30% para el límite superior. D. 8% para el límite inferior y 22% para el límite superior Responde los enunciados 56, 57 y 58 utilizando la información de la siguiente tabla, que muestra dos tipos de transacciones bancarias registradas por un cajero automático en un día promedio. Tipo de transacción Retiro Consulta Hombre 30 20 Mujer 12 15 56. Con base en la información anterior, es válido afirmar que: A. La probabilidad de que la transacción sea un retiro, dado que el cliente es mujer, es mayor de 0.5. B. En promedio, más de 30 mujeres realizan transacciones en el cajero. C. El cajero registra menos de 70 operaciones al día. D. La probabilidad de que la transacción sea un retiro es mayor que la probabilidad de que sea una consulta. 57. Si una pareja de esposos se acerca al cajero y realizan una operación bancaria en sus respectivas cuentas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. La probabilidad de que ella solo consulte el saldo es inferior a 0.5. B. La probabilidad de que hayan realizado operaciones distintas es nula. C. La probabilidad de que hayan realizado el mismo tipo de transacción es superior a 0.4. D. La probabilidad de que él haya realizado un retiro es inferior a 1. 58. De un grupo de 10 personas, cuatro pueden realizar operaciones bancarias en el cajero. ¿De cuántas formas diferentes pueden realizar las operaciones en el cajero? A. 24 formas B. 210 formas C. 5 040 formas D. 2 040 formas Completa los enunciados 59 a 61 con base en la siguiente información. Un tramo de cierta carretera posee una pendiente de 0.28 y se extiende a lo largo de 1 210 metros horizontalmente. 59. Si un automóvil asciende por dicho tramo vial, ¿cuántos metros se ha desplazado al llegar a su extremo superior? A. 338.8 m B. 1 209.9 m C. 1 256.5 m D. 4 321.4 m 60. ¿Cuál es el ángulo de inclinación del tramo de carretera? A. 4.8º B. 15.64º C. 16.3º D. 28º 61. ¿A qué altura con respecto al punto inicial, se encuentra el automóvil al finalizar la pendiente? A. 338.8 m B. 1 209.9 m C. 1 256.5 m D. 4 321.4 m 62. m1 y m2 son las pendientes respectivas de las rectas l 1 y l 2 , entonces, dichas rectas serán perpendiculares entre, si se cumple que: A. m1 = m2 B. m1 < m2 C. m1 # m2 = - 1 D. m1 > m2 63. El término general de la sucesión aritmética 8, 3, -2, -7, -12,... es: A. 5n + 13 B. 5n - 13 C. -5n - 13 D. -5n + 13

228 © SANTILLANA 64. Observa la gráfica, realiza los procedimientos necesarios y determina qué expresión matemática la define. 10 y x 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 –1 –1 –2 –2 –3 –3 –4 –4 –5 –5 –6 –6 –7 –7 –8 –8 –9 –9 –10 –10 A. x - y - 2 < 0 B. x + y + 2 # 0 C. x - y + 2 < 0 D. x + y - 2 # 0 Lee el siguiente enunciado, y después de analizarlo responde los ítems 65, 66 y 67. Un sobre contiene 20 papeletas, de las cuales ocho llevan dibujado un carrito. Las papeletas restantes están completamente en blanco. Encuentra la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo del carrito, si: 65. Si se extrae una papeleta. A. 2 B. 8 20 C. 8 1 D. 2 1 66. Si se extraen dos papeletas. A. 20 8 B. 95 62 C. 95 14 D. 20 12 67. Si se extraen tres papeletas. A. 3 1 B. 5 62 28 C. 57 46 D. 2 1 85 4 68. Selecciona cuál de los siguientes elementos, pertenece a una parábola: A. Pendiente B. Asíntota C. Directriz D. Radio 69. El valor de x que corresponde a la solución de la ecuación, 10x + 2 = 5, es: A. -1.3010 B. 1.55 C. 3 D. 1.2415 70. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos. De los que estudian francés el 40% son chicos. Al elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? A. 0.75 B. 0.5 C. 0.69 D. 0.45 71. Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 10 y el sexto es 16. Entonces los términos que conforman dicha sucesión serán: A. 4, 6, 8, 10, 5, 6, 7,… B. 1, 4, 7, 10, 13, ... C. 2, 5, 8, 10, 14, … D. 16, 14, 12, 10, 8,… 72. ¿Cuál es el máximo número de factores que se pueden obtener al realizar la descomposición factorial del siguiente polinomio: 2x5 - 32x. A. 1

© SANTILLANA 229 B. 2 C. 3 D. 4 73. Un viajero va a Sonsonate cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Sonsonate. ¿En cuántos días volverán a estar los dos a la vez en Sonsonate? A. 80 B. 24 C. 72 D. 40 74. De acuerdo con las propiedades de las potencias, toda cantidad elevada a la potencia cero es igual a: A. La cantidad misma B. Cero C. Uno D. Infinito 75. Dados los puntos A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3). El triángulo que se forma con dichos puntos es: A. Acutángulo B. Obtusángulo C. Rectángulo D. Equilátero 76. ¿Cuál de los siguientes enunciados es correcto, con respecto a las propiedades de los logaritmos? A. El logaritmo de un número con base negativa es negativo. B. El logaritmo de un número negativo no existe. C. El logaritmo de cero es uno. D. El logaritmo de 1 es 1. 77. La suma de los quince primeros múltiplos de 5 es: A. 75 B. 600 C. 325 D. 500 78. El valor de y que es solución de la ecuación logarítmica log0.5 0.5 = y, es: A. 0.5 B. 1 C. 0.25 D. 4 79. Es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. A. Función B. Identidad C. Logaritmo D. Ecuación Con la siguiente información responder los ítems 80 y 81. Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y dos de los ángulos que forman dichas diagonales es de 48° 15'. 80. ¿Cuál es el valor de los otros dos ángulos? A. 41º15' B. 41º85' C. 131º45' D. 131º85º 81. La longitud del lado más corto del paralelogramo, es: A. 4.8576 cm B. 2.2828 cm C. 4.5877 cm D. 6.75 cm 82. Conociendo que log 2 = 0.3010, y mediante la aplicación de las propiedades de los logaritmos ¿cuál es el valor de log 0.02? A. . 100 0 3010 B. . 100 2 - 0 3010 C. 0.3010 - 2 D. 2 - 0.3010 83. De un triángulo se sabe que uno de sus lados es a = 6 m, y dos de sus ángulos son B = 45° y C = 105°. ¿Cuál es el valor del lado más largo? A. 6 2 m B. 30 m C. 8.48 m D. 11.6 m Con la siguiente información responder los enunciados 84, 85, 86 y 87.

230 © SANTILLANA La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: 84. Entre 60 kg y 75 kg. A. 476 B. 407 C. 210 D. 105 85. Más de 90 kg. A. 4 B. 0 C. 7 D. 70 86. Menos de 64 kg. A. 3 B. 9 C. 11 D. 210 87. Más de 70 kg. A. 35 B. 100 C. 250 D. 500 Con la siguiente información responder los ítems 88 y 89. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. 88. ¿Cuál será la probabilidad de que gane el viaje un hombre soltero? A. 4 3 B. 2 1 C. 6 1 D. 5 1 89. Si del afortunado(a) se sabe que es casado(a), ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer? A. 0.375 B. 0.5 C. 0.0125 D. 0.5625 Lee y analiza el siguiente enunciado y responde los ítems 90 a 92 que se detallan a continuación : Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un periodo de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que: 90. Dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos. A. 0.08789 B. 0.015624 C. 0.5625 D. 0.7500 91. Como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano. A. 0.08789 B. 0.015624 C. 0.5625 D. 0.7500 92. Tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos. A. 0.08789 B. 0.015624 C. 0.5625 D. 0.7500 93. Es la fracción generatriz de 3.2777... que se obtiene utilizando una sucesión aritmética. A. 0 327 B. 18 59 C. 17 13 D. 27 3 94. ¿Qué tipo de gráfico se obtiene de una función de primer grado? A. Una línea recta B. Una circunferencia C. Una hipérbola D. Una parábola

© SANTILLANA 231 95. Dado el logaritmo: log 2 2 2 2 El valor que se obtiene utilizando las propiedades de los logaritmos es: A. log 2 2 B. 2 log 2 C. log 8 15 2 D. log 2 96. Un hombre ha comprado 20 libros de una obra de su escritor favorito. Por el primer libro pagó $1, por el segundo libro $ 2, por el tercero $ 4, por el cuarto $ 8 y así sucesivamente. ¿Cuánto pagó en total? A. $5,040 B. $20 C. $1,048,575 D. $10,984 97. El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz, definen a la: A. Hipérbola B. Elipse C. Circunferencia D. Parábola Lee y analiza el problema que a continuación se propone y contesta los enunciados 98 a 101. La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha: 98. ¿Cuál es la probabilidad de qué solo en 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB? A. 0.01374897 B. 0.00849 C. 0.455705 D. 1.5 99. ¿Cuál es la probabilidad de qué por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB? A. 0.01374897 B. 0.00849 C. 0.455705 D. 1.5 100. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 4 y 6 amplificadores el ruido no exceda de los 2 dB? A. 0.01374897 B. 0.455705 C. 0.008490 D. 1.5 101. ¿Cuál es la desviación estándar del número de amplificadores que exceden de un nivel de ruido de 2 dB? A. 1.5 B. 0.00849 C. 0.455705 D. 0.01374897 102. Si la recta 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A (3, 2) y es paralela a la recta mx + 2y - 13 = 0. El valor de m es: A. -1 B. -6 C. 7 D. 3 Basándote en la lectura la situación propuesta a continuación, responde los enunciados 103 y 104. Una compañía que renta automóviles, cobra por el alquiler de un automóvil $10 diarios más un valor extra de $ 0.30 por cada kilómetro que se ha recorrido con el mismo. 103. La ecuación de la recta que relaciona el costo diario con el número de kilómetros es: A. y = 0.3x - 10 B. y = 0.3x + 10 C. y = 10x - 0.3 D. y = 10x + 0.3 104. Si en un día el automóvil rentado a recorrido un total de 300 km ¿qué importe se debe pagar? A. $30 B. $90 C. $100 D. $190 105. Una empresa distribuidora de computadoras y periféricos debe cerrar sus operaciones dentro de 10 semanas. El propietario de la empresa desea bajar el precio de cada producto de la tienda por

232 © SANTILLANA el mismo porcentaje cada semana, de tal manera que al final de las 10 semanas la mercancía restante tenga un precio de 25% de su precio original. ¿Cuál es el porcentaje que necesita bajar en los precios cada semana, para obtener tal resultado? A. 10% C. 25% B. 13% D. 75% 106. La ecuación de la directriz de la parábola 2y2 = -7x es: A. x = 7 B. x = 2 C. x 8 7 = D. x 2 7 = 107. Al graficar los valores proporcionados en la siguiente tabla: x 63 2 1 F x x 6 ^ h = 12 3 6 El resultado es una función racional llamada: A. Circunferencia B. Parábola C. Hipérbola D. Proporcionalidad inversa 108. Si dos líneas rectas l 1 : 3x + y = 2 y l 2 : y = x - 6 se intersectan en el punto (2, -4), El sistema de ecuaciones que satisface el conjunto solución es: A. 3x + y = 2; x + y + 6 = 0 B. x - y = -6; y - 3x = 2 C. 3x + y = 2; x - y - 6 = 0 D. x + y = 2; 3x + y = 6 109. Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, del oeste americano y de terror. Si se sabe que: • El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas. • El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror representan la mitad del total de las películas. • Hay 100 películas más del oeste que de infantiles. • El número de películas de cada tipo viene dado por el sistema: 3x + 2y - 3z = 0 -3x + y + z = 0 y = x + 100 ¿Cuántas películas hay del oeste? A. 500 B. 600 C. 900 D. 2 000 110. El factorial de un número n se define como: A. La descomposición de todos los factores primos de dicho número n. B. La sumatoria de todos los números naturales. C. el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. D. El cociente de dos números naturales consecutivos. 111. La expresión x y 4 25 1 2 2 + = y 25 corresponde a una sección cónica llamada: A. Circunferencia B. Parábola C. Hipérbola D. Elipse 112. El radar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 15°. Un buzo es bajado 30 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio? A. d = 149.28 m B. d = 40 m C. d = 15 m D. d = 154.55 m 113. A continuación se presentan algunas propiedades. Define cuál no representa una propiedad de la función exponencial. A. El recorrido de la función exponencial es el intervalo abierto: (0, +∞) B. No cruza al eje x , pero siempre corta al eje y en el punto P(0, 1) y pasa por el punto P(1, a)

© SANTILLANA 233 C. Siempre es creciente si a >1 y siempre es decreciente si 0 < a <1 D. Es discontinua 114. Una persona invierte $50,000 en un banco que paga el 8% de interés anual. Si se reinvierten los dividendos cada cuatro meses, ¿cuánto capital tendrá en 12 años? A. $200 000 B. $125 500 C. $ 128 952.75 D. $ 136 220.50 115. La cifra 40 320 corresponde al factorial del número: A. 12 B. 5 C. 8 D. 20 Resuelve los ejercicios del 115 al 119 considerando los arreglos que se pueden formar utilizando las letras de la palabra ALERO. 116. ¿Cuántos arreglos comienzan con vocal? A. 12 B. 72 C. 80 D. 200 117. ¿Cuántos arreglos comienzan con la letra A? A. 120 B. 72 C. 24 D. 5 118. ¿Cuántos arreglos comienzan con vocal y terminan con consonante? A. 120 B. 50 C. 36 D. 72 119. ¿Cuántos arreglos llevan alternadas vocales con consonantes? A. 12 B. 16 C. 72 D. 81 Responde los enunciados 120 y 121 con base en la siguiente información. A. C. B. D. t t t t 120. El enunciado “La temperatura de una ciudad disminuye constantemente a partir de una hora determinada.” Representa el comportamiento de la gráfica c. Esta afirmación es: A. Verdadera, porque muestra el cambio a través del tiempo. B. Falsa, porque la gráfica c representa una función creciente. C. Verdadera, porque muestra que decrece en función del tiempo. D. Falsa, porque no muestra el cambio en la temperatura. 121. Cada una de las gráficas puede representar una función. Esta afirmación es: A. Verdadera, porque cada una de ellas es la gráfica de una función exponencial. B. Verdadera, porque no hay ningún punto en el dominio con dos imágenes distintas. C. Falsa, porque no todas las funciones son crecientes. D. Falsa, porque todas las funciones tienen un punto en el dominio con dos imágenes distintas. Responde los enunciados 122 a 124 con base en la siguiente información. La expresión algebraica (w - z)(w + z) = w2 - z2 corresponde a una diferencia de cuadrados. 122. Si w y z son números enteros distintos para los cuales la diferencia de sus cuadrados es d, el valor de d no puede ser. A. Negativo. B. Fraccionario.

234 © SANTILLANA C. Mayor que el valor de w2 o de z2 . D. Igual que el valor de w o el de z. 123. La misma expresión algebraica representa un área entre: A. Dos rectángulos iguales de base z y altura w. B. Dos cuadrados de lados w y z, respectivamente con w > z. C. Dos círculos de radios w y z, respectivamente con w > z. D. Dos círculos de radios (w - z) y (w + z) respectivamente. 124. Cuando w n y z n 1 = n y z = , entonces w2 - z2 es equivalente a: A. n ^ ^ n 1h h n 2n 1 2 ^ + + B. n2 ^ ^ n 1h h n 2n 1 2 ^ + + C. n n 1 2 - D. n 2n 1 - 125. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar $800 al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en $60 mensuales. ¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 12 años? A. $1 460 B. $1 200 C. $1 600 D. $2 500 Observa la gráfica y responde los enunciados del 126 al 128. 1 –1 –1 –2 –2 –3–4 10 2 2 A B 3 3 4 4 5 5 6 6 126. La ecuación de la circunferencia es: A. x2 + (y - 2)2 = 13 B. x2 - (y - 2)2 = 13 C. (x - 2)2 + y2 = 13 D. (x - 2)2 - y2 = 13 127. El radio de la circunferencia anterior corresponde con la expresión: A. 0 3 2 2 2 ^3 - h B. 3 0 2 2 2 + - ^0 h C. 3 2 0 2 2 ^ - + 2h D. 0 2 3 2 2 ^ 2h - 128. Si la circunferencia se desplaza dos unidades a la derecha conservando su tamaño. ¿Cuál es su ecuación? A. (x + 2)2 - (y + 2)2 = 13 B. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 13 C. (x - 4)2 + y2 = 13 D. (x - 4)2 - y2 = 13 129. Un coronel manda 5 050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas tienen que haber? A. 180 B. 120 C. 100 D. 150 Observa la siguiente gráfica. 1 –1 1 –1 –2 –2 –3–4 0 2 2 A 3 3 4 4 5 5 6 6 -La parábola se abre hacia la izquierda - Su vértice es el punto (-1, 1) - El foco está en el punto (-2, 1) 130. La ecuación general de la parábola es: A. y2 - 2y + 4x + 5 = 0 B. y2 - 2y - 4x + 5 = 0

© SANTILLANA 235 C. y2 - 2y + 4x + 5 = 0 D. y2 - 2y - 4x - 5 = 0 131. La ecuación de la directriz es: A. x = -1 B. x = 0 C. y = -1 D. y = 0 132. El valor de p es: A. 4 1 B. 2 1 C. 1 D. -1 133. El valor del lado recto es: A. 1 C. 4 B. 2 D. 8 Observa y analiza la siguiente información, del espacio muestral correspondiente al lanzamiento simultáneo de dos dados. (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,5) (5,6) (6,6) Si el evento o suceso consiste en que la suma de los puntajes de los dados sea un número primo. 134. ¿Cuántos pares de la tabla cumplen con el requisito? A. 18 C. 10 B. 12 D. 8 Observa la siguiente figura y a partir de ella, responde los ítems 135 a 137. x + y 2x - y 120° a b Las rectas a y b son paralelas. 135. El valor de x en la figura es igual a: A. 10° C. 60° B. 40° D. 120° 136. El valor de y en la figura es igual a: A. 0° B. 20° C. 50° D. 90° 137. El complemento del ángulo y es: A. 80° C. 100° B. 90° D. 140° Completa los enunciados 138 y 139 con base en la siguiente información. Tres familias van a un restaurante. La primera familia pide una pizza grande, dos medianas y cuatro pequeñas y en total paga $66.00. La segunda familia pide dos pizzas grandes, una mediana y una pequeña y paga $42.50. La tercera familia pide una pizza grande, una mediana y una pequeña por un precio de $30.50. 138. El sistema de ecuaciones que describe la situación es: A. 4x + 2y + z = 66 B. 4x + 2y + z = 66 x + 2y + 2z = 42.5 x + y + z = 30.5 x + y + z = 30.5 x + y + z = 42.5 C. 4x + 2y + z = 30.5 D. 4x + 2y + z = 66 x + 2y + 2z = 42.5 x + y + z = 30.5 x + y + z = 66 x + y + 2z = 42.5 139. ¿Cuál es el valor de una pizza grande, de una pizza mediana y de una pizza pequeña? A. El valor de una pizza pequeña es $8.00, el de una pizza mediana es $12.00 y el de una pizza grande es $14.00. B. El valor de una pizza pequeña es $8.00, el de una pizza mediana es $10.00 y el de una pizza grande es $12.00. C. El valor de una pizza pequeña es $5.00, el de una pizza mediana es $10.00 y el de una pizza grande es $12.00. D. El valor de una pizza pequeña es $8.50, el de una pizza mediana es $10.00 y el de una pizza grande es $12.00.

236 © SANTILLANA 140. Son los parámetros de la variable aleatoria que cuenta el número de caras al lanzar una moneda 2 veces. p xi i n 1 n = = / p i n 2 2 1 v n p xi 2 = / A. n = 0.5; v = 0.5 B. n = 0.5; v = 1 C. n = 1; v = 0.5 D. n = 1; v = 0.707 141. Un padre le dice a su hijo que si sus notas en la escuela son excelentes, durante los primeros cinco meses del año lectivo, él le dará a manera de incentivo, un centavo el primer día de clases, 2 centavos el segundo, tres centavos el tercero y así sucesivamente, hasta cumplir el último día. El hijo le propuso a su padre , que mejor lo hiciera solo por un mes de 30 días, con la condición de que la recompensa sea el doble de la del día anterior comenzando con un centavo. ¿Cuánto dinero espera recibir el estudiante pasados 30 días? A. 30 centavos B. 30 dólares C. 10 737 418.23 dólares D. 28,000 centavos 142. En un Instituto Nacional se realizaron pruebas de admisión a un total de 1,000 estudiantes. Como el tiempo que falta para iniciar el año escolar es poco, el director necesita agilizar la revisión de las pruebas. Para este respecto decide que va a utilizar 4 personas para que realicen la revisión. Si la institución cuenta con un total de 50 personas como empleados ¿de cuántas maneras puede el director elegir a las personas encargadas de la revisión? A. 50 maneras B. 230 000 maneras C. 1 000 maneras D. 4 maneras 143. Si tenemos una gráfica que corresponde a una función exponencial y se dice que el eje “x” es una asíntota, esto significa que: A. La gráfica corresponde a una línea recta B. Que es una función decreciente C. Que “y” no puede tomar el valor de cero D. Que el gráfico pasa por el punto (0, 1) 144. Julieta estima que la probabilidad que ella tiene de comprarse un vestido para las fiestas del pueblo es de 0.55, mientras que la probabilidad de comprarse unos zapatos es de 0.4, y la probabilidad de comprarse ambas prendas es de 0.11. ¿Cuál será la probabilidad de comprarse el vestido o los zapatos? A. 0.84 B. 0.45 C. 0.44 D. 0.11 145. La cantidad de bebida gaseosa que una máquina llenadora vierte en vasos de 12 onzas , es variable de un vaso a otro, sin embargo, se considera una variable aleatoria que se ha distribuido normalmente con una media de 11.92 onzas y una desviación típica de 0.08 onzas. ¿Qué porcentaje de los vasos llenados por la máquina van a contener menos de 12 onzas de bebida? A. 30.59 % B. 15.87 % C. 90.1 % D. 84.13 % 146. Es el término general de la sucesión 2, 5, 10, 17, 26, ... A. 3n - 1 B. 2n + 3 C. n2 + 1 D. (n + 1)2