© SANTILLANA 287 Evaluación por competencias Aplico lo aprendido Analizando sonidos El sonido juega un papel fundamental en la vida del hombre. Se llama sonido a las ondas mecánicas que producen una respuesta al oído humano. El estudio del sonido está relacionado con el sentido del oído, pues a través del oído se inicia la sensación acústica. A partir de esta sensación se puede intuir que existen diferentes características para un sonido. Estas son: Tono. Determina si el sonido es grave o agudo. El tono se relaciona con la frecuencia del sonido; si es alta, el sonido es agudo; si es baja, el sonido es grave. Intensidad. Es la característica por la cual el oído distingue los sonidos fuertes de los débiles. Timbre. Esta característica permite distinguir dos sonidos emitidos por dos fuentes aun cuando tengan el mismo tono e intensidad. Al representar los sonidos en un sistema de coordenadas se obtienen gráficas como las de la derecha. Un sonido puro es aquel que tiene siempre una frecuencia igual en todos los intervalos. Y un sonido compuesto es aquel que se produce cuando se superponen ondas con frecuencias ligeramente distintas. La representación de la vibración producida al hacer sonar un diapasón muestra la forma que tiene la onda de un sonido puro. Las otras gráficas que representan el sonido de una flauta y el sonido de un violín muestran sonidos compuestos. La gráfica de un sonido puro corresponde a una función de la forma f (t) = A sen(wt), donde A indica la intensidad del sonido y w indica el tono. Razonamiento lógico matemático 1. Escribe el color de la gráfica que cumple cada una de las siguientes condiciones. a. Corresponde a un sonido de mayor volumen. b. Corresponde a un sonido más grave. c. Corresponde a un sonido más agudo. Comunicación con lenguaje matemático 2. Escribe la función correspondiente a cada gráfico. Aplicación de la matemática al entorno 3. Escribe cinco nombres de ritmos musicales e investiga sobre el uso terapéutico de la música. Educación para la salud Hz w/m2 0,004 0,018 0,006 0,008 0,01 -0,01 0,002 -0,002 -0,004 -0,006 -0,008 0 f(t) g(t) h(t) Sonido de un Diapas ón Sonido de un Violín Sonido de una Flauta
Solucionario 288 © SANTILLANA UNIDAD 1 Actividad Página 9 1. a. {1, 0, -1, -2, -3, …} b. {4, 6, 8, 10, 12, …} c. , 2 1 1 2 2 , , 3 2 5 $ f. d. {2, 5, 10, 17, 26, …} e. {0, 7, 26, 63, 124, f. {4, 16, 36, 64, 100, …} g. {3, 10, 21, 36, 55, …} 2. a. , b. Aumenta en uno la cantidad de cubos. c. Con cada cubo aumentan 4 caras ocultas. d. 11, 15, 19, 23, 27, 31 e. 4n - 1 f. El mínimo es 3 3. a. 108 b. 40 c. 856 d. 12 e. 37 90 f. 186 g. -30 h. 32 i. -24 j. 81 4. a. 32, 38 b. 65 c. 2 d. 7 5. a. an = 2n b. an = 5n c. an = 7n d. an = 5 e. a n 2 1 n = - f. a n n 1 n = + g. a 4n 1 n = Actividad Página 12 6. a. 36 b. 108 c. 152 7. a. 36 b. 72 c. 130 d. 140 617 e. 56 f. -2 g. 16 11 h. 56 587 i. 284 j. 60 107 8. a. F b. V c. F d. F e. F f. F g. V 9. a. 72 b. 60 2597 c. 6 d. 4 265 e. 108 13 f. 30 1127 g. 20 119 h. 214 i. -72 j. 15 712 Actividad Página 17 10. a. $6.70 b. 480, 2 850 11. a. 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27 b. 135 c. n a 2 n = ^ h n - 3 d. No 12. a. 45 b. 3 c. 13 13. a. , b. , c. , 14. a. m = 3 b. m = 1 15. a. b. c. Actividad Página 18 16. a. 21, 28, 36, 45, 55 b. No, no se le va sumando ninguna constante. c. 36, 49, 64, 81, 100 d. No, no se le va sumando ninguna constante. e. 1 + 4, 1 + 4 + 7, 1 + 4 + 7 + 10, ... 17. a. 4, 7, 10, 13, 16 b. Si, se le va sumando la constante 3. c. 3 # 19 + 4 = 61 d. 3(n - 1) + 4 e. 41 Actividad Página 20 18. a. 7, 10, 13, 16, 19 b. 21, 28, 35, 42, 49, 56 c. 5 13 , 5 21 , 5 29 , 5 37 d. 5, 7, 9 e. 10 71 - , 10 52 - , 10 33 - , 10 14 - , 10 5 , 10 24 , 10 43 , 10 62 , 10 81 19. a. 7, 10, 13, 16 b. 9, 17, 25 c. 2,,, 3 7 3 8 3 d. -18, -16, -14, -12, -10 e. , 4 3 4 5 4 7 4 9 4 11 20. a. 55 b. -19 c. -6200 d. No es una progresión aritmética. e. 5 010 Actividad Página 21 21. a. 96 cm b. 29 596 m c. 650 m d. 14 de octubre e. 17 400 000 f. 245 m g. $4 192 h. 1950 puntos. Si, ingresó. i. La primera empresa. j. Empacan igual número K. 40, 50, 60, 70, 80 Actividad Página 24 22. a. Si b. No c. No d. No e. No 23. 1792, - , 32 15 4 3 , 18, 243 302 - , 1 654 784 24. a. 512 b. 16 1 c. 49 152 d. 26244 1 - e. 243 10 25. r 2 1 =- r = -3, r 3 2 = 26. a. si b. no c. no d. no 27. a. n = 6 b. n = 10 c. n = 3 d. n = 7 e. n = 4 28. x = 13; 20, 10, 5… 29. a. 5 b. -1 5 4 - 30. a 100 1 5 = , a 25 8 4 = , a 512 243 6 = , 2 500, 972 1
© SANTILLANA 289 Actividad Página 26 31. a. , 15 4 75 8 b. 25, 125, 625, 3 125 c. 4, 8, 16, 32, 64 d. -14, -28, -56, -112 e. 2 1 , 1, 2 f. , 3 1 1 g.-6, -18, -54 h. 2, -4, 8, -16 32. a. 364 b. 243 547 c. -340 d. 19 683 7 381 e. 56 006 Actividad Página 28 33. a. 27 1 Metros b. 3125 1024 c. 243 32 d. 8x e. 48m, 24m, 12m, 6m, 3m f. x = 25.7° Actividad Página 29 34. a. 3 2 b. 99 14 c. 99 32 d. e. f. g. h. 333 53 i. 9 5 j. 33 4 k. l. m. n. o. 9 4 p. 5 33 q. 333 107 r. s. t. u. Actividad Página 30 35. a. 3 1 b. 9 5 c. 9 7 d. e. 99 20 f. 333 118 36. 120 cm2 37. a. más de $216 b. 126 y 78 c. 9 m d. $1 194; $1 426 e. 64 63 f. 625 256 g. 100 m Actividad Página 31 38. 1 536, 384, 96, 24, 6; 1 536 4 1 n-1 ` j ; 512 3 cm2 ; 511.5 cm2 ; 512 cm2 ; , , , 2 1 6 1 18 1 54 1 39. a. Progresión geométrica; 4 096, 2 048, 64 b. Progresión geométrica; , , , 16 9 32 9 64 9 128 9 c. 4 15 d. 400 40. a. 3, 6, 10, 15 b. 4, 9, 16, 25 c. 5, 12, 22, 35 d. 5, 14, 30, 55 e. 8, 27, 64, 125 Practico lo que aprendí Página 31 41. a. n2 - 3. b. (n + 1)2 c. n - 2 42. a. 240 b. 280 2283 c. 90 43. a. , , , , 3 1 3 4 3 3 16 3 25 b. , ,,, 2 1 2 3 3 5, 2 15 c. ,,, , 1 5 2 5 3 5 4 5 1 44. a. 30 b. 50 c. 10 45. a. 60 b. 32 46. a. d = 5 b. no c. d = 3 47. a. 1, , , , 2 3 2 2 5 $ 3.; d 2 1 = b. {-3, -1, 1, 3, 5}; d = 2 48. a. 3 b. 12 c. 2 1 d. 7 4 49. a. , , 10 13 5 9 10 23 b. 3, 8, 13 c. 2, -1, -4 50. a. 3 280 b. 107 c. -326 51. $ 921.60 52. a. 88 b. 52 c. 1 000 Actividad Página 33 53. a. r = 2 b. No c. r 2 1 =- 54. a. 1 365 b. -364 c. 63 55. a. n = 10 b. n = 4 56. $5 000, $2 500, $1 250, $625, $312.50 57. a. 1 365 b. -1 042 c. 9 d. 1275 e. 8 5 58. a. No, le faltarían $6.25 b. 1 171 875 habitantes. 59. a. Falso, depende de la razón. b. Falso, depende del valor de los términos. c. Verdadero d. F, es aproximadamente 23.5 m e. F, se han hecho 1 024 copias. f. V g. V Unidad 2 Actividad Página 43 1. a. RM: (aC, aC), (aC, aEU)… ; RM: (aC, aEU), (aC, aE)...; RM: (aC, aEU), (aC, aE)... b. RL; (TFTFTFTV, TFTFTVTF, TFTVTFTF, TVTFTFTF); (TFTFTFTF, TVTVTVTV) c. (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12); si, porque solo importa los puntos; (3, 4), (3, 5), (3, 6), (1, 6), (2, 5), (2, 6), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) d. RL; No, porque en el primer caso importa el orden y en este no. (CCCC, CCSC, CCSS, CSCC, CSCS, CCCS, SCCC) e. RM: CC1, CC2, CC3, CC4, CC5… ; CC1, CC3, CC5; CC2, CC3, CC5, CS2, CS3, CS5, SC2, SC3, SC5, SS2, SS3, SS5 f. P1P2, P1P3, P1S, P2P3, P2S, P3S; P1P2, P1P3, P2P3 Actividad Página 49 2. a. 19 683 000; 729 000; 2 460 375 b. 42 c. 30; 120; 40 d. 243; 3 645 noches y 9.986 años e. 5 864 443 200 f. 100 000; RL g. 8 145 060; 897 750; 3 246 320 99 55 99 13 11 7 99 71 99 23 33 28 99 37 99 68 11 2 11 4 99 56 999 124 33 4
290 © SANTILLANA Actividad Página 50 3. a. cumple b. cumple c. no cumple d. cumple 4. RL 5. a. RL b. 6 6. 12 7. a. 14 b. 40 c. 4, no puede contratar 5 hombres 8. a. 38;18;20 b. 14;10 c. 16 9. a. 125 b. 75 c. 60 d. 24 e. 12 Actividad Página 51 10. a. 120 b. 20 11. a. 150 b. 802.02 12. a. 10 b. 1, 6, 4, 3, 1, 0, 9 13. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12; Combinación porque no importa el orden. 14. a. 1 024 b. 32 15. 2; 5; 20 16. 56 17. a. 10 000; 4 000 b. 25; 20 18. a. 6 b. PM, PJ, PL c. MP, MJ, ML, PL, JL Unidad 3 Actividad Página 59 1. a. X b. la variable está en la base. c. la variable está multiplicando a la constante en la base. d. la variable está en la base. e. X f. X g. X h. X i. la variable está multiplicando a la constante en la base. 2. a. x 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 y 1.41 2.32 1.26 1.22 1.19 1.17 b. x 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 y 0.91 0.89 0.87 0.84 0.79 0.71 3. y = 3x Las dos se cortan en (0,1) y ambas son crecientes. y 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 (0,1) (1,3) (1,5) (2,9) (2,25) y = 3x y = 5x (–1,5) (–2,0.04) (–1,0.33) (–3,0.001) –3 –2 –1 (–3,0.001)(–2,0.04)(–1,5) x -3 -2 -1 012 y 0.04 0.11 0.33 1 3 9 y = 5x x -3 -2 -1 012 y 0.008 0.04 0.2 1 5 25 Ambas son crecientes. 4. a. Es creciente pero no representa una función exponencial. b. función exponencial, es creciente. 5. a. x -2 -1 012 y 2 1 x = ` j 4 2 1 0.5 0.25 Actividad Página 60 6. a. x = 6 b. x = 4 c. x = 1 d. x = 1 e. x = 3 f. x = -3 7. a. x = 4.191806549 b. Sí, cuando toma este valor es exacto. c. ✳ x = 5.9068899; ✳✳ x = 2.48989610299; ✳✳✳ x = 2.7227899 Actividad Página 64 8. a. 2 loga x + 3 loga y + 4 loga z b. 1 + 3 loga b - 1 2 (loga c + 3loga d) c. 2 loga (x + y) - 3 1 loga z d. 2 1 loga x + 4 1 loga y e. 2 loga (x + y) + 3 loga z + 4 loga z f. loga 3 + 2 loga x + 5 loga y g. loga x - z loga y h. loga y + 2 1 loga x - 3 loga z i. loga 9 + 1 loga (x + y) + 4 loga z j. loga 7 + 3 loga (b + c) + 2 loga (d + e) 9. 2 < 2.86 < 3.3 < 4.19 < 6.6 Log10 102 < log5 102 < log4 102 < log3 102 < log2 102 no las bases van de mayor a menor
© SANTILLANA 291 10. Porque n multiplica a loga a y como eso es uno, por lo tanto n multiplica a 1 y eso es n de resultado. 11. No es correcta c es índice de la raíz. Lo correcto es: c log a b log b 1 1 2 2 1 ` + 2 loga ^a h- a j 12. a. log y xz1 a 2 + a k b. log y xz a 3 6 c. log y z x a d. log a [y(x + y)]3 e. loga bc d ( ) 4 - 13. a. 0.38 b. 1.08 c. 1.47 d. 3.26 e. 1.46 f. 0.985714285 g. 2.45 h. 7.11 14. El valor de N = 64, la expresión tiene el valor de -2 Actividad Página 68 15. a. -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 b. 0 -1 -2 y 2 (0.25,2) (0.5,1) y = log0.5x (1.0) 1 1 2 (2,-1) (4,-2) 3 4 x c. 16. a. x 25 5 1 5 1 25 1 y 210 -1 -2 b. x 20 10 1 3 1 6 1 y 1.67 1.28 0 -0.63 -1 17. -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 4 Actividad Página 69 18. a. Falso, para ser creciente tiene que ser a > 1. b. Verdadera, la función logaritmo solo toma valores positivos. c. Verdadera, porque a esta entre 0 y 1, decrece la función. d. Falsa, son funciones inversas. e. Falsa, son funciones inversas. f. Falsa, son función es decreciente. 19. a. M: 0.7690 c:3 b. M: 0.4065 c:2 c. M: 0.3962 c: -3 d. M: 0.7790 c: 6 e. M: 0.9011 c: -1 f. M: 0.0915 c: -5 g. M: 0.3802 c: -1 h. M: 0.4048 c: -2 i. M: 0.0882 c: 4 j. M: 0.04668 c: 3 k. M: 0.9999 c: -4 l. M: 0.67749 c: 8 Actividad Página 70 20. a. 0 b. 1 c. 1.301 d. -0.0969 e. 1 806 f. Son diferentes resultados. g. 2 h. 0.11598 21. a. M: 0.2922 c: 2 b. M: 0.6989 c: -2 c. M: 0.1970 c: 3 d. M: 0.6283 c: 2 e. M: 0.4771 c: -3 f. M: 0.3783 c: 2 g. M: 0.0996 c: 3 h. M: 0.6989 c: -5 22. a. 0.682 b. 1.2262 c. 0.5645 d. 1.9534 e. 1.403677 f. 4.584962 g. 1.9842 h. 1.98940 i. 1.99242 j. 1.95267 k. 3.892789 l. 2.113753 23. a. x = 10 b. x = 2 c. x = 9 d. x = 2 e. x = 3 f. x = 4.464973521 g. x = 2 h. x = 4 Actividad Página 71 24. a. x = - 6, y = 4 b. x = 1 000 y 10 1 2 3 = c. x = 1, y = 8 d. x = 10, y = 102 e. x = 10, y = 104 f. x = 102 , y = 10 g. x = 102 , y = 10 h. x = 10-1 , y = 10-1 i. x = 10-1 , y = 10-4 j. x y 10 10 , 3 1 3 1 = = - Actividad Página 72 25. a. exponencial b. la mitad c. 10 460 años d. 1 910 años e. si 26. a. 100 veces b. 6.3 y si fuera 1 000 sería de 7.3 Actividad Página 73 27. a. lo hace aceleradamente b. 9 160 520.686 c. 529.25 28. a. verdadera b. falsa, a >1 c. Verdadera d. Falso, los dos tienen que ir aumentando e. Verdadera f. Falsa, 0 < a < 1 decrece, a > 1 crece g. Falsa Practico lo que aprendí Página 74 29. a. x -2 -1 0 1 y = 8x 0.016 0.125 1 8 b. x -2 -1 0 2 y 7 2 x = ` j 12.25 3.5 1 0.08
292 © SANTILLANA 30. a. x = 4 b. x = 1 c. x = 2 d. x = 1 e. x = -2 f. x = 0 g. x = h. x = 5 31. a. x = 3.892599 b. x = 2.1788 c. x = 2.445655 d. x = 2.00432129 e. x = 3.321928097 f. x = 2.0103821379 g. x = 2.6000 h. x = 5.3575 32. Cf = 300 1 100 3 5. t ` + j = 300(1.035)t = 300(1.035)5 = 356.31 33. T c c i 1 100 f t = c`1 + j 0 2000 2 2205 3 2315.25 4 2431.01 34. a. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 (2, 1.25) (1, 1.5) (0, 2) y = + 1 (-1, 3) (-2, 5) b. (0.8) 1 (1,0.2)(2,0.08) (-1.5) (-2,25) y = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 -2 -1 1 2 Actividad Página 75 35. a. log2 8 = 3 b. log 1000 = 3 c. log5 0.25 = -0.8613 d. log3 81 = 4 e. log 0.0001 = -4 f. log6 216 = 3 36. a. 2 log3 a + 5 log3 b - 2 log3 d b. 3 log2 a + 5 6 log2 b 3 7 - log2 b c. 2 log5 x + 4 log5 y - 2 log5 (x + y) d. log x y log log z 2 3 2 3 log y - 37. a. 3 b. 9 c. 4 d. -4. 38. a. y –0.20 –0.40 –0.60 –0.80 –1 654321 0 x y = log 1 x – 6 b. 1 (4,0.71) (1.0) 1 2 3 4 5 6 7 y = log7 x (5,0.83) (6,0.82) (8.1) 39. a. 1.66 b. 5 c. 4.19 d. 2.15 e. 0.4 f. 8.25 g. 0 h. 1 40. a. 1.543 b. -0.147 c. 0.661 d. 0.683 41. a. M: 0.2695 c: 2 b. M: 0.4445 c: 3 c. M: 0.6989 c: -4 d. M: 0.3010 c: -3 42. a. x y y 1 = - b. x = 5 c. x = 4 d. x = 3 43. a. x = 7, y = 8 b. x = 4, y = 8 Unidad 4 Actividad Página 85 2. La cara que contiene al 6 está cargado. Actividad Página 90 3. 3.1% 4. a. 81.3% b. 18.7% Actividad Página 91 5. 25.8% 6. a. P = 54.8% b. P = 45.2% Practico lo que aprendí página 92 7. a. Aleatorio. b. Aleatorio. c. No Aleatorio. d. Aleatorio. 8. S = {Juan Rodrigo, Juan Kevin, Walter Rodrigo, Walter Kevin, Alejandro Rodrigo, Alejandro, Kevin}. 9. S = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)} a. A = {(2,4), (2,6), (4,6)}. b. B = {(5,6)} 10. S = {AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB} a. E1= {AAA, AAB} b. E2= {BBB} c. E3= {ABB, BAB, BBA} 11. 0.375 = 37.5% 12. a. 6 3 2 1 = b. 4 2 6 3 = 13. a. 5 1 b. 15 1 14. a. 64 1 b. 64 1 c. 32 1 d. 4 1 e. 64 49 f. 0 15. 1 3 (CC, C+, ++ porque se lanzan al mismo tiempo) Practico lo que aprendí Página 93 16. a. 179 127 b. 179 40 c. 179 95 d. 179 109 17. 12 1 18. 3 1 (-3, 9) 3 7 2 1 x ` j 5 1 x ` j
© SANTILLANA 293 19. a. 0.55 b. 0.47 20. a. 0.4; 0.75; 0 b. 0.04 c. 120 113 d. 0.54 21. 1 22. 0 Unidad 5 Actividad Página 99 1. a. RL b. RL c. 36 2. a. S = {1C, 2C, 3C, 4C, 5, 6C, 1#, 2#, 3#, 4#, 5#, 6#}. P(X) = b. RM: "Sale cara" { X = 1} = { 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C} Actividad Página 104 3. a. 0 b. 0.75 c. -1.75 d. -2 4. Datos tipificados: X1 = 0.5; X2 = -0.5; X3 = 0. x1 > x3 > x2 Actividad Página 106 5. P(x > 50) = 0. P(x < 25) = 0.8438. z = 24.5 - 4 45 . 20 = 1.01 6. P(x $ 14) = 0.092. P(x = 4) = 0.0159 Practico lo que aprendí Página 108 7. a. f(y) = 0.8145 si y = 0; 0.1715 si y = 1; 0.0135 si y = 2; 4.75 # 10-4 si y = 3; 6.25 # 10-6 si y = 4 b. 0.1855 8. n = 1.5. v = 0.866 Evento simple X P(X = x) X2 Px Px2 AAA 3 0.125 9 0.375 1.125 AAB,ABA,BAA 2 0.375 4 0.75 1.5 ABB,BAB,BBA 1 0.375 1 0.375 0.375 BBB 0 0.125 0 0 0 Total 1.5 3 9. a. Si b. No c. No d. No e. Si f. No 10. a. 0.0974. b. 0.0683. 11. X P(X = x) 0 3 # 10-4 1 6.4 # 10-3 2 0.0512 3 0.2048 4 0.4096 5 0.3277 n = 4. v = 0.8944 12. a. P(x = 2) = 0.1047 b. P(x ≥ 3) = 0.0161 13. P(21° < x < 27°) = 0.4436 Se espera que en 13.31 días se alcancen temperaturas máximas entre ese rango. Practico lo que aprendí página 109 14. a. 0.1658 b. 0.2756 c. 0.7054 Debe encontrarse límite real 15. a. 0.8914 b. 0.4773 c. 0.6875 d. 0.8365 e. 0.9115 16. a. 1 553.25 < t < 2046.75. b. 0.9927 17. a. P(x < 50) = 0.9357 b. 0.5 18. a. 0.9998 b. 0.0951 19. a. 23 b. 0 c. 11 20. z = 3.75 21. a. 0.2514 b. 0.8314 Unidad 6 Actividad Página 123 1. a. t = 1.35 m; m = 2.41m; T = 33°57' b. l = 14.43 m; w = 28.87 m; s = 60° c. g = 10.3 m; H = 29°3'; j = 60°57' d. f = 40 m; E = 36°52'; F = 53°8' 2. h. 14.08 m 3. P nr sen n 180 ` j 4. a. C = 60°; a = 3.46 cm b. = 173 cm b. No es un triángulo porque no puede tener lados de 9 cm, 7 cm y 500 cm. c. p = 7; P = 45°; R = 45° d. No se puede resolver por que no se conoce ningun lado. e. = 4 3. 6 19 ; J = 57°1'; E = 32°59' 5. p = t; p/t = 1; H = 138 m 6. a = V; b = F; c = V; d = V 7. a. a = 196.4 cm; c = 183.5 cm; C = 69°7'; B = 20°53' b. ángulo =19°28'; d = 22.6 m c. h = 316.96 m Actividad Página 128 8. a. A = 74°; b = 9.13 cm; c = 10.7 cm b. N = 3°; n = 0.73 cm; h = 9.55 cm c. P = 48°56'; Q = 14°4'; q = 3.55 cm d. L = 60°; s = 8.6 cm, l = 7.9 cm 9. a. a = 3.05 cm; b = 4.67; C = 100° b. M = 74°; n = 9.13 cm; p = 10.7 cm c. m = 11.33 cm; S = 55°30'; L = 55°30' d. q = 4.14 cm; r = 7.37 cm; F = 99° 12 1
294 © SANTILLANA 10. a. ninguno b. rectángulo c. dos triángulos d. oblicuángulo. 11. R.L. 12. a. 2 b. 2 c. 2 d. ninguno 13. a. 11.19 km, 17.17 km b. 5.25 m c. 4.27 m; 7.3 m Actividad Página 131 14. a. m = 72.46 cm; O = 13°59'; N = 16°1' b. M = 57°7'; N = 44°25'; T = 78°28' c. c = 12.49 cm; A = 43°54'; B = 76°6' d. P = 139°26'; Q = 10°18'; L = 30°16' 15. a. C = 106°20'; A = 28°40'; b = 2.95 cm b. A = 76°14'; B = 42°50'; C = 60°56' c. a = 2.99 cm; B = 19°3'; C = 80°57' d. A = 36°20'; B = 117°17'; C = 26°23' 16. R.L. 17. a. PQ = 1 316.46 m b. t = 4.093 h c. 41°25' d. 7.72 km e. 2.37 cm, 4.99 cm f. 11°57' g. 290.77 m Actividad Página 133 18. a. 424.26 cm2 b. 290.47 cm2 c. 280 cm2 d. 192.84 cm2 e. 227.73 cm2 f. 177.72 cm2 19. a. 10.39 cm2 b. 30.59 cm2 c. 2.82 cm2 d. 5.33 cm2 e. 1.73 cm2 f. 2.83 cm2 g. 1.53 cm2 20. a. 937.5 m2 b. 23°33', 3.236 cm2 c. 1 644.88 m2 21. R.L. 22. R.L. 23. a. R.L. b. R.L. c. 1 cm Practico lo que aprendí 24. a. 5.9 cm, 9.1 cm, 50° b. 6 cm, 41°38', 48°22' 25. a. 17.3 cm b. 6.5 cm, 11.3 cm, 13 cm, P = 30.8 cm c. 22.4 m, 20.1 m 26. a. 73°37' b. 14°29' 27. a. 11.9 cm, 13.3 cm, 40° b. 26 cm, 34°, 126° 28. R.L. 29. A = 90°, B = C 30. a. 111.33 m b. 33.5 m, 12.4 m c. 10.96 m 31. a. No tiene solución b. 14.7 cm, 28°7', 31°53' 32. 4 cm 33. a = 6.31 cm 34. a. 8.36 km b. 36°34' c. 97°11' d. 97°54', 82°6' 35. a. 76.13 cm2 b. 31.3 cm2 c. 24.98 m2 d. 27.58 m2 36. 368.7 cm2 37. 534.38 cm2 Unidad 7 Actividad Página 143 1. a. , 2 3 2 7 ` j b. , 2 1 `- 2j c. 3, 2 11 `- - j d. , 3 1 4 5 `- j e. (2, -1) f. 4, 2 3 `- - j 2. a. 2 b. 7 2 c. 10 d. 15 481 e. 37 f. 2 13 3. a. 10.89 b. 12 4. a. x 2 7 = 5. a. C(-3, 3) b. (6,1) c. x 3 5 =- 6. a. V b. F c. V d. V 7. a. m = 3 b. m = 12 5 - c. m = 12 7 - d. m = indefinida 8. a. 33°41'24'' b. 29°3'16'' c. 153°26'5'' d. 63.43° e. 120°57'49'' f. 123°41'24'' g. 90° h. 77.47° Actividad Página 145 9. a. y = 2x + 1 b. y = 2 c. x 2 1 = d. y x 3 4 3 11 = +x 4 e. y = -x + 12 f. y = -3x + 12 g. y = -2x - 5 h. y x 4 1 4 1 = + . 10. a. y x 10 1 5 11 = +x 1 ; y x 5 2 5 31 =- + ; y x 5 3 5 16 = +x 5 3 b. 3, 2 5 ` j; , 2 11 ` 4j; , 2 1 2 7 ` j c. x = 3; y x 15 4 15 38 = +x 15 4 ; y x 15 1 15 53 =- + Actividad Página 146 11. a. x + y + 1 = 0 b. 3x + y - 5 = 0 c. x - y - 3 = 0 d. 2y - 3x + 6 = 0 12. a. R.L b. R.L c. R.L d. R.L e. R.L. Actividad Página 148 13. a. Perpendiculares b. Paralelas c. Secantes d. Secantes e. Secantes f. Perpendiculares g. Secantes h. Perpendiculares. 14. a. y x 2 3 = -x 2 b. y x 2 1 = -x 4 c. y = x + 2 d. y = x - 3 e. Cualquier recta que pase por (-2, -5) y x x , 2 1 ` + 7j 15. a. k 2 3 =- b. k = 0 c. k 5 12 = d. k = 4 16. a. i = 54°27'44'' b. i = 18°26'5''
© SANTILLANA 295 c. i = 27°53'50'' d. i = 127°52'30'' e. i = 31°51'57'' f. i = 45° 17. a. R.L b. R.L Practico lo que aprendí Página 150 18. a. x2 + y2 = 16 b. x + y = 6 19. a. 10 b. 5 c. 4 2 d. 5 e. 5 f. 0 g. 17 20. a. RM: x + 14y - 50 = 0 b. , , 2 15 2 11 2 25 2 7 ` ` 15, 2 15 , j` 2 11 ,` 4 j c. RM: 5x + 24y - 135 = 0 21. a. 11 1 b. 0 c. 1 d. 0 e. 9 2 - f. -1 22. a. Se invirtió la fórmula b. sumó en el denominador c. Restó en el numerador en lugar de sumar 23. a. m1 = m2 = m3 = 6 1 - b. No son colineales. 24. a 2 15 = 25. a. V b. F c. F d. F Actividad Página 151 27. a. R = 10.43 36 1 - t b. 7.65, 6.82 c. En 1972 28. a. y = -3x - 5 b. y x 3 2 3 8 =- + c. y = 5x - 7 d. y = x + 6 e. y = 2x + 2 f. y = -3x + 11 g. y = 6 h. x = 4 29. a. $200 b. C = 20x + 200y c. R.L. d. C = $20(500) + $200(3) = $10 600 30. a. y x ; 2 3 = -x 2 b. y x 2 1 = -x 4 31. a. k ; 2 3 = - b. k = 0 32. a. Secantes b. Paralelas c. perpendiculares d. Secantes e. paralelas 33. a. 0 b. 2 1 c. 13 8 26 34. a. 3.58 b. 6.36 c. no se puede calcular porque no son paralelas Unidad 8 Actividad Página 160 1. a. C(0, 0) r = 4 b. C(0, 3) r = 5 c. C(4, 0) r = 2 d. C(-5, 2) r = 4 e.C r , 4 1 2 1 `-- = j 10 f. C r , 5 4` 3 6 j = g. C r 4, 3 2 `- = j 3 2. a. x2 + y2 = 9 b. (x - 1)2 + (y + 1)2 = 4 3. a. (x - 1)2 + (y - 3)2 = 4 b. (x + 1)2 + y2 = 9 c. x y 4 2 2 1 + = d. x y( ) 5 2 3 64 2 2 ` - +- = j 4. a. (x - 1)2 + (y + 4)2 = 16 b. (x - 1)2 + (y - 1)2 = 13 Actividad Página 161 5. a. x2 + y2 - 6x + 10y + 18 = 0 b. x2 + y2 - 8x - 4y + 11 = 0 c. x2 + y2 + 12x - 6y + 41 = 0 d. x2 + y2 + 10x - 8y + 33 = 0 e. x2 + y2 - 6x - 12y + 43 = 0 f. x y xy 2 1 16 43 0 2 2 + + -- = g. x2 + y2 - 4x - 6y - 36 = 0 h. x2 + y2 + 12x - 10y + 36 = 0 i. x2 + y2 + 6x + 8y + 5 = 0 j. x2 + y2 + 8x - 10y - 59 = 0 6. a. C(-6, -5) r = 2 5 b. C(8, -4) r = 5 c. C(11, 7) r = 2 5 d. C(15, -15) r = 2 10 e. C(8, 0) r = 2 17 f. C(-7, -8) r = 133 g. C(0, -8) r = 8 h. C(0, 5) r = 5 7. a. Falsa, la ecuación es x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 b. Verdadera, el radio es 10 c. Falsa, porque r tiene que ser N2 8. a. x2 + y2 - 2hx - 2ky + h2 + k2 - r2 = 0 b. x2 + y2 - 2hx + 2ky + h2 + k2 - r2 = 0 c. x2 + y2 + 2hx - 2ky + h2 + k2 - r2 = 0 Actividad Página 162 9. a. x2 + y2 + 4x + 4y - 1 = 0 b. 4x2 + 4y2 - 16x + 32y + 55 = 0 10. a. circunferencia imaginaria b. circunferencia real c. Circunferencia imaginaria d. circunferencia real e. Circunferencia imaginaria 11. a. No corresponde a la grafica porque difiere en el valor de -8 en la grafica es -9. b. No corresponde a la grafica porque difiere en el valor de -3 en la grafica es -2. Actividad Página 166 12. a. x2 + y2 - 4x - 6y - 52 = 0 b. c. x2 + y2 + 4x - 4y - 17 = 0 d. x2 + y2 + 12x + 8y - 117 = 0 e. x2 + y2 - 4y - 12 = 0 13. a. xy x y 8 5 44 0 2 2 +- - = xy x y 3 38 3 26 39 0 2 2 ++ - - =
296 © SANTILLANA b. xy x y 13 100 1 84 1 3 0 3 3 2 2 01 ++ - - = c. xy x y 9 19 9 16 0 9 2 2 218 ++ - - = d. xy x y 37 3 23 3 98 0 3 2 2 +- - - = 14. a. -1 0 1 1 2 3 4 5 C P Q x y 234567 -1 -2 -3 -4-3-2 c. 4 3 1 0 0 1 2 3 2 Q -1 -3 -2 -1 P x y b. 21 43 5 6 7 1 2 3 4 5 0 0 y C x -3 -2 -1 -1 -2 d. y x 2 1 0 1 0 -1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -5-4-3 -2 Q C P 15. a. y - 4 = 0 b. 2x + y - 7 = 0 c. 5x + 2y + 2 = 0 d. -x + 2y - 16 = 0 16. a. Es secante b. Recta exterior c. Es tangente 17. a. Las circunferencias de C(3, 0) y C(0, -4) son falsas. Tienen que ser x2 + y2 - 6x + 5 = 0 y x2 + y2 + 8y + 7 = 0 b. La circunferencia de C(2, 2) es falsa. Tiene que ser x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 Actividad Página 168 18. a. P = 12.5664, A = 12.5664 b. P = 21.7656, A = 37.699 c. P = 45.31, A = 163.36 d. P = 33.25, A = 87.96 e. P = 75.398, A = 452.39 f. P = 25.13, A = 50.265 19. a. x y x y 2 1 0 2 2 y - - + 3y = b. x² + y² + 2y - 3 = 0 20. a. xy x y 3 2 2 3 2 2 5 ++ - - = 0 b. A = 8.73 c. P = 10.47 d. x² + y² - 2x - 2y - (r + 1)² = 0 21. a. 11m b. 19.99 vueltas c. 78.54 m² d. x² + y² = 1 056.25 e. A = 65.973 f. 43.98 22. a. A = 79.01 b. A = 75 c. P = 78.54 d. La de los egipcios Actividad Página 169 23. a. A = 323.02 m² b. P = 63.71 m c. (x - h)² + (y - k)² = 102.82 x2 + y2 = 102.83 Actividad Página 174 24. a. Eje y b. Eje x c. Eje y d. Eje y e. Eje x f. Eje y 25. a. F y 0, , LR 4 1 4 1 ` -= = j 1 b. F x ( , ), 6 0 6 24 =- = LR c. F y 0, , LR 3 5 3 5 3 20 ` j =- = d. F y 0, , LR 2 3 2 3 ` -= = j 6 e. F y ( , ), 02 2 8 =- = LR f. F y 0, , LR 4 1 4 1 ` j =- = 1 g. F y 0, , LR 8 1 8 1 2 1 ` j =- = 26. a. y = 2x b. x² = 4y c. x² = -8y d. y² = -4x e. x²= -12y f. x² = y 27. Vértice Foco Directriz Ecuación de la Parábola (0, 0) (0, 2) y = -2 x² = 8y (0, 0) (0, -3) y = 3 x² = -12y (0, 0) (0, -5) y = 5 x² = -20y (0, 0) (-4, 0) x = 4 y² = -16x (0, 0) (4, 0) x = -4 y² = 16x (0, 0) (0, 4) y = -4 x² - 16y = 0 (0, 0) , 3 1` 0j X 3 1 =- y x 3 2 4 = (0, 0) (-3, 0) x = 3 y² = -12x 28. F ,, , A D y A D LR A D 0 4 4 =- = = ` j 29. a. h m 3 40 = b. h = 4 m Actividad Página 177 30. a. (x - 1)² = 28(y - 2) b. (y - 5)² = 8(x - 3) c. (y - 4)² = 28(x - 2) d. (x + 1)² = -16(y - 6) e. (y + 5)² = -8(x - 4)
© SANTILLANA 297 31. Vértice Foco p Ecuación del eje de simetría Ecuación de la directriz (1, 2) (1, 4) 2 x = 1 y = 0 (3, 0) (2, 0) -1 y = 0 x = 4 (3, 5) (3, 7) 2 x = 3 y = 3 (3, -2) (1, -2) -2 y = -2 x = 5 (2, 5) (-1, 5) -3 x = 5 y = 5 (3, 2) y = 2 x = 6 (-1, 2) (-1, 4) 2 y = 2 x = -3 (3, 5) (3, -2) -5 y = 5 x = 8 32. a. (x + 1)² = 4(y + 1) b. (y - 2)² = 6(x - 2) 33. a. k > 6 b. k 3 20 < c. k = 1 d. k = 6 e. k = 0 f. k = -4 34. a. Verdadera, al desarrollar las operaciones se llega a una equivalente. b. Falso, porque y² - 4² ! (y - 4)² c. Verdadera, p > 0; se abre a la derecha. d. Verdadera, como se abre hacia abajo el foco tiene que estar bajo el vértice. e. Falso, se abre hacia abajo. f. Verdadera, p > 0; se abre hacia arriba. g. Falso, se abre a la derecha. Actividad Página 179 35. a. V(3, 2), F(3, 2 9 ), eje x = 3, D: y 2 1 =- b. V(-1, 3), F(-1, 7), eje x = -1, D: y = -1 c. V(-1, 3), F(-3, 3), eje y = 3, D: x = 1 d. V(4, -5), F(10, -5), eje y = -5, D: x = -2 e. V , eje x D, :y 2 1 2 1 2 1 ` ` , D:y =-1 2 1 , j 2 1 , F` 7 f. V(-2, -6), F(3, -6), eje y = 6, D: x = -7 g. V(-1, 2), F(0, 2), eje y = 2, D: x = -2 h. V F x Dy , , , , eje , : 5 2 4 5 2 6 23 5 2 6 25 ` ` j j = = i. V F y Dx 2, , , , eje , : 7 1 3 7 1 7 1 ` ` - - =- = j j 1 j. V F 1 5 , , , , eje , : y Dx 3 2 5 5 3 5 ^- - - - =- =- h ` j k. V F y Dx 0, , , , eje , : 5 4 3 5 4 5 4 ` ` j j - == 2 36. a. V F x Dy 12 1 , , Eje : 4 7 1 4 9 ^ h ` j = = b. V(0, 0) F(3, 0) Eje y = 0 D: x = -3 Actividad Página 184 37. a. (y - 2)² = 12(x - 1) b. (y - 4)² = 24(x + 3) c. (y - 5)² = 12(x - 2) d. (x + 1)² = -12(y - 6) e. (x + 3)² = 4(y - 3) f. (y - 6)² = -8(x - 1) 38. a. (y - 2)² = 8(x - 2) b. (y - 1)² = -2(x - 1) c. (x + 3)² = 16(x - 1) d. (x - 3)² = -12(y + 1) e. (x - 2)² = -10(y + 3) f. (x - 3)² = 12(y - 1) g. (x - 1)² = 10(y - 2) 39. a. F 2, 2 7 ` j b. (x + 2)² = -4(y - 1) c. FF' = 2 d. , 2 7` 0j e. V(-1, 1) f. D = 2 40. Ecuación general Vértice Foco Ecuación de la directriz x² + 6x - 2y + 11 = 0(-3, 1) ,3 2 3 `- j y 2 1 = y² - 4y - 10x + 14 = 0 (1, 2) , 2 7` 2j x 2 3 = - y² + 6y - 8x + 15 = 0 x² - 2x - 12y + 37 = 0 (1, 3) (1, 6) y = 0 y² - 8y - 4x + 20 = 0 (1, 4) (2, 4) x = 0 x² - 2x - 12y - 35 = 0 (1, -3) (1, 0) y = -6 41. a. p = -3.57 b. x2 = -80y 42. a. (y - 18)2 = 20 x 20 89 ` + j b. (y + 1)2 = 4(x - 4) c. (y - 2)2 = 4(x - 3) Actividad Página 191 43. a. x y 4 2 3 1 2 2 + = ^ h - b. x y 16 36 1 2 2 + = c. x y 16 25 1 2 2 + = 44. a. Vertical, eje mayor 8, eje menor 4. b. Horizontal, eje mayor 10, eje menor 2. c. Vertical, eje mayor 24, eje menor 12. d. Horizontal, eje mayor 20, eje menor 18. e. Horizontal, eje mayor 6, eje menor 4. 45. a. Falso, los puntos no son focos de la elipse, h o k tienen que ser iguales en los puntos. b. Falso, los focos son c. Verdadera d. Verdadero, los puntos si son vértices de la elipse. e. Verdadero, el eje mayor mide 2. , 3 21 ` 2j 2 9 x 4 5 4 , = - 11 , 3 ` - 3j 4 3` - j ^ ^ 32 0 32 0 , , h h y -
298 © SANTILLANA 46. 0 1 1 2 3 4 23 4 5 6 78 C(2,0) F(3,0) (x - 2)1 y3 4 3 + = 1 F(1,0) V(0,0) V(4,0) -3 -2-1 -1 -2 -3 47. a. x y 100 25 1 2 2 + = b. x y 25 16 1 2 2 + = 48. a. Máxima distancia 1470714.286 km b. Mínima distancia 1429285.714 km 49. a. No b. No c. No Actividad Página 194 50. a. ( ) x y 16 36 1 4 2 2 + + = b. ( ) x ( ) y 9 3 1 2 1 2 2 + + - = c. x ( ) y 9 16 4 1 2 2 + - = 51. a. CV VF F ( , ), ( , ), ( , ), , , 32 12 72 3 72 3 72 - -+ ^ ^ h h b. C(0, -7), V(-5, -7), V(5, -7), F(-3, -7) F(3, -7) c. CV V F ( , ), ( , ), ( , ), , - -- - - - 9 5 9 1 9 11 9 5 2 ^ h F^ h - + 95 2 , d. C VVF ( , ), ( , ), ( , ), , 1 4 12 16 14 2 15 -- - - - - c m F 1 4, 2 15 - + c m e. CV V F ( , ), ( , ), ( , ), , 1 3 1 4 1 10 1 3 2 10 - - ^ h F^ h 1 3 2 10 , + f. CV V F ( , ), , , , , , 2 1 2 20 1 2 20 1 2 14 1 ^^^ -+- hhh F^ h 2 14 1 + , g. CV V F ( , ), ( , ), ( , ), , - -- - - - 5 3 5 5 5 11 5 3 48 ^ h F^ h - + 5 3 48 , h. CVVF ( , ), ( , ), ( , ), , - - - -- 5 1 9 1 1 1 5 12 1 ^ h F^ h - +5 12 1, 52. a. x y 4 9 4 3 1 2 1 1 2 2 - + - = ` ` ` j j j b. ( ) x ( ) y 25 2 16 5 1 2 2 - + - = 53. a. ( ) x ( ) y 25 1 9 3 1 2 2 + + - = b. ( ) x ( ) y 64 1 39 1 1 2 2 + + - = 54. a. No, a tiene que ser mayor que b o b tiene que ser mayor que a. b. Sí, son iguales. c. No, las ecuaciones son diferentes. d. No, es función hay abscisas que tienen la misma imagen. e. No, si a > x y a distinto de 0, puede ser función. f. Sí, son equivalentes. Actividad Página 196 55. a. 5x2 + 2y2 - 30x - 16y + 57 = 0 b. 5x² + 2y² - 40x - 12y + 98 = 0 c. 2x² + y² + 12x - 10y + 39 = 0 d. 16x² + 25y² + 192x - 50y + 201 = 0 e. 10x² + 9y² + 80x - 250 = 0 f. 4x² + 25y² + 16x - 50y - 59 = 0 g. 3x² + 8y² + 12x - 48y + 36 = 0 h. 2x² + 7y² - 4x - 28y + 2 = 0 i. 3x² + y² + 24x + 10y + 61 = 0 j. 9x² + 4y² - 24y = 0 56. a. C(0, 0) b. C(5, 4) c. C(-5, -3) d. C(-3, 1) e. C(1, -4) f. C(3, 1) g. C(1, -1) h. C(2, 1) 57. a. ( ) x ( ) y 4 9 5 1 3 2 2 - + - = b. ( ) x ( ) y 5 14 5 7 1 1 2 2 - + - = ` j c. ( ) x ( ) y 36 1 4 3 1 2 2 + + - = d. x ( ) y 64 16 3 1 2 2 + - = 58. a. Si, la ecuación que presenta la grafica es la misma. b. No, la ecuación que presenta la grafica es: 4x² + y² - 24x - 6y + 29 = 0 c. No, la ecuación que presenta la grafica es: 4x² + 9y² + 16x + 54y + 61 = 0 59. a. 16x² + 12y² - 64x - 72y - 20 = 0 b. 12x² + 16y² - 120x + 64y + 172 = 0 c. 9x2 + 8y2 - 54x - 16y + 17 = 0 Actividad Página 197 60. a. A = 169.64 m2 b. A = 50.27 61. h = 22.91 m 62. L = 106 m h = 24.5 m Actividad Página 198 63. h = 18.33 m 64. h 3 40 2 = 65. h = 2.98 m 66. Mayor distancia = 656 155.28133 km Menor distancia = 243 844.72 km 67. h m 7 100 10 = 68. 1.80 m 69. 59.57 cm Actividad Página 199 70. a. A = 23 034.16 m², tenia mas 12 851.71 m², *Tienen mismo centro y focos e = 0.58 y e = 0.66 e = 0.558 b. x y 8836 6084 1 2 2 + = c. 2 634.25 x2 + 3 987.92 y2 = 10 505 178.26
© SANTILLANA 299 Actividad Página 199 71. a. V: D 1.45 d 1.45 T: D 2 M: A1.67 d 1.66 J: P 0.23 a 10.17 S: D 19.8 d 19.77 U: A 12.09 d 38.33P: P 29.6 d 76.39 b. El cometa puede colisionar con la luna, si se interceptan las cónicas en el punto (7.57, 58.30) Actividad Página 202 72. a. x y 4 1 2 2 - = b. x y 9 4 1 2 2 - = 73. a. y x 8 1 2 2 - = b. y x 32 1 2 2 - = c. x y 9 7 1 2 2 - = d. y x 9 16 1 2 2 - = 74. a. Verdadera, el eje mayor es 8, el semieje es 4, el eje menor es 2 10 , el semieje es 10 b. Falso, e 3 17 = c. Falso, el lado recto es 9 d. Falso, e 4 13 = 75. Representa una hipérbola equilátera. 76. Actividad Página 204 77. a. ( ) y ( ) x 16 4 5 1 3 2 2 - - + = b. ( ) y ( ) x 1 4 3 2 1 2 2 - - + = c. x ( ) y 4 9 2 5 9 1 1 2 + 2 - - = ` ` j j d. ( ) y ( ) x 9 1 16 3 1 2 2 - - + = 78. a. ( ) x y 3 4 1 2 2 --= b. ( ) y x 4 1 3 2 - 2 - = 79. La de e 3 5 = , las dos tienen el mismo eje transverso, pero el eje conjugado de esta es 8 y es mayor que 2 7 80. 3 32 Actividad Página 206 81. a. 5x² - 9y² - 10x + 54y - 121= 0 b. -9x² + y² + 18x - 8y - 29 = 0 c. -25x² + 36y² - 100x + 216y - 676 = 0 d. 9x² - 4y² - 144x - 48y + 396 = 0 e. 3x² - 2y² - 36x + 12y + 84 = 0 82. a. CV V ( , ), , , , , 1 8 1 8 19 1 8 19 ^ ^ - + h h F F 1 8, ,, 3 190 1 8 3 - + 190 c c m m b. Fc c , 2 1 2 - 95 m m , 2 1 1 2 - + 95 , Fc C , 2 1 2 1 2 1 ` ` , 2 1 ` , j 2 1 , ,j V - 1 1 + 9 2 1 ,V` - 1 19 V` c. C V VF F ( , ), ( , ), ( , ), , , , 2 3 2 7 2 1 2 3 17 2 3 17 - - ^ ^ -- -+ h h d. CV VF F ( , ), ( , ), ( , ), , , , 3 3 3 3 9 3 3 52 3 3 52 3 - -+ ^ ^ h h 83. a. x² - 4y² - 6x + 32y - 51 = 0 b. 4x² - 9y² + 24x + 54y - 81= 0 84. a. ( ) ( ) a x h b y k 2 1 2 2 2 - - + = b. ( ) a y k b x 2 1 2 2 - 2 - = c. ( ) a x h b y 2 1 2 2 2 - - = 85. a. Si es una hipérbola equivalente y su ecuación es x² - y² = a² b. La primera es paralela al eje x y la segunda es paralela al eje y c. El eje conjugado y normal cambia en ambas hipérbolas. Actividad Página 207 86. 44y2 - 100x2 = 275 87. a. x y 90 000 160 000 1 2 2 - = b. A = 0.155 88. x² = 1 - 2y, sustituyendo en 2x² - 3y² = 1, se tiene: y y , 3 2 7 3 2 7 = - - = - + c c m m 89. a. (-5.15, 57.58) b. (4.53, 4.53) c. (-5.14, 5.57) d. (4.02, - 3.58) 90. y x 9 7 1 2 2 - = , es una elipse Actividad Página 208 91. a. y xy x 1 ( ), ( ) 5 3 2 1 5 3 - = + - =- + 2 b. y xy x 1 ( ), ( ) 5 2 6 1 5 2 - = + - =- + 6 c. y + 8 = 3(x + 1) , y + 8 = -3(x + 1) d. y + 3 = 4(x - 2) , y + 3 = -4(x - 2) 92. a. ( ) x ( ) y 25 1 16 2 1 2 2 - - + = b. ( ) x ( ) y 4 3 49 1 1 2 2 - - + = c. y x 36 3 25 2 1 2 2 + - - = ^ h ^ h 93. a. a x h b y k 2 1 2 2 2 - - - = ^ h ^ h b. ( ) ( ) x a y k b h 2 1 2 2 2 - - - = , y k ( ) a b -= -x h , y k ( ) a b - =- -x h 94. y - 2 = 2(x - 3), y - 2 = -2(x - 3) a. b.
300 © SANTILLANA Actividad Página 214 95. a. M(2, -5) N(3, 1) O(3, -5) P (-1, 2) b. M NO , , ,, , , 2 7 2 2 2 2 7 2 2 2 2 2 2 - 2 c cc - - mm m P , 2 11 2 2 5 2 c m c. M(0, -3) N(3, 0) O(0, 3) P(-3, 0) d. M N , ,, , 2 5 3 2 1 53 3 2 1 23 + -+ c m ^ + -+ h O P ,, , 2 2 3 1 3 2 1 23 2 - + 2 33 - - + -+ c c m m e. M N ,, , , 2 2 33 2 3 23 2 3 23 2 -+ - - -+2 33 c c m m O P ,, , 2 5 63 2 6 53 2 2 33 2 + - -+ -3 23 c c m m f. M NO P , , ,, , , , 2 11 2 2 2 6 23 2 2 2 2 2 2 3 2 c - - m ^ h c c m m 2 g. M N , , ,, 2 2 2 5 2 2 3 2 2 - - 5 2 c c m m O P ,, , 2 2 2 2 2 5 2 2 3 2 - - c c m m - h. M(-5, 1), N(-1, 5), O(-2, 3), P(-3, 2) i. MN OP ^ ^ ^^ 6 2 2 3 2 2 3 20 3 20 , , , , ,, , h h hh - - 96. a. 7.17x' 2 + 0.83 y' 2 - 3.44x'+2.48y' + 2 = 0 b. 10x' 2 + 0.44y' 2 + 26.83x' + 26.83y' + 44 = 0 c. 45.24x' 2 + 18.76 y' 2 - 20x'- 48y' = 0 d. -3x' 2 + 5y' 2 + 1.34x' - 0.44y' + 1 = 0 e. 1.19x' 2 + 4.81y' 2 + 3.18x' + 9.71y' - 5 = 0 97. a. x y 2 2 2 0 l - =l b. ( )( ) x y 2 6 2 2 2 6 l l 10 - - + = - c. 2x' - 3y' = 5 98. a. Es una parábola b. Es una elipse c. Es una elipse d. Es una parábola e. Es una hipérbola f. Es una elipse g. Es una hipérbola Actividad Página 215 99. a. 4x'² - 9y'² - 24x' + 72y' + 144 = 0 b. x x y y ( )x y ( ) 4 3 2 3 4 1 )x ( )y 10 0 2 y 2 3 1 l y 1 x y l l ( )y 3 + ( ( + = 10 c. x'² + y'² = 0 d. x'² +y'² + 10y' = 0 e. 0 5 6 2 6 2 36 0 . x xy x y 2 l ll - - - += l l f. x xy y x y 4 3 2 3 4 1 23 3 2 33 8 0 2 2 l ll l - + - + + - -= ^ ^ h h l l g. 7 14 7 67 2 13 2 221 x xy y x y 2 2 l ll l l l - + + + =- h. 9 16 144 y x 2 2 l l - = i. x xy y 4 15 2 7 3 4 13 192 2 2 l ll l - += 100. a. x' 2 + 2y' 2 + 6x' + 18y' + 33 = 0 b. x' 2 + 5y' 2 - 2x' + 40y' + 5 = 0 c. x' 2 - 16x' + 4y' + 44 = 0 d. y' 2 + 6y' - 8x' - 31 = 0 e.7x' 2 - 9y' 2 + 42x' + 18y' - 9 = 0 f. 12y' 2 - 120y' + 16x' + 192 = 0 g.y' 2 + 9x' 2 - 10y' - 72x' + 144 = 0 h.7y' 2 + 16x' 2 - 70y' + 32x' + 69 = 0 101. a. Es una hipérbola, porque tiene y² negativo. b. Es una elipse, los términos cuadráticos son positivos y en su forma canónica a y b son diferentes. c. Es una circunferencia, porque al completar cuadrados e igualar la ecuación, no tiene denominador y el termino a y b son iguales. d. Es una hipérbola, porque un término cuadrático es negativo. e. Es una hipérbola, tiene un término cuadrático negativo. f. Es una parábola, solo tiene un término cuadrático. g. Es una elipse, los término cuadráticos son positivos. h. Es una parábola, solo tiene un término cuadrático. 102. a. 49x² - 55xy + 36y² - 110x - 19y - 231 = 0, es una elipse. b. 16x2 + 46xy + 49y2 + 16x + 23y - 150 = 0, es una elipse. c. xy - 2x + y - 10 = 0, es una hipérbola. Actividad Página 216 103. a. 9x² + 25y² + 18x - 50y - 191 = 0. Es la representación de una elipse. 104. a. x² + y² - x + y - 8 = 0 Representa a una circunferencia. 105. a. (x - 5)² + (y + 3)² = 64 b. (x + 2)² + (y + 4)²= 5 106. a. (x + 1)² + (y - 6)² = 97. El punto (-2, -8) no está situado en la circunferencia, al sustituirlo en la ecuación no le pertenece. 107. a. f x , 2 5 0 2 5 ` j =- b. f x , 4 7 0 4 7 ` j =- c. f y 0, 2 3 2 3 ` j =- d. f y 0, 4 1 4 1 ` j =- e. , xf 2 5 0 2 5 ` j = f. f y 0, 2 3 2 3 ` - = j 108. a. (y - 3)² = 12(x - 2), f(5, 3) b. y² = 24(x + 2), f(4, 0) c. (x - 3) = 24(y - 1), Directriz: y = -5 d. (y - 1)² = 8(x - 3), Directriz: x = 1 109. a. V(-5, 0), V(5, 0), F(-4, 0), F(4, 0), e 5 4 = b. V(0, -5),V(0.5), F(0, -3), F(0, 3), e 5 3 = c. V(0, -10), V(0, 10), F(0, -6), F(0,6), e 5 3 = d. V(-5, 0), V(5, 0), F(-3, 0), F(3, 0), e 5 3 =
© SANTILLANA 301 e. V(-10, 0), V(10, 0), F(-8, 0), F(8, 0), e 5 4 = f. V(-4, 0), V(4, 0), F(- 8 , 0), F( 8 , 0), e 2 2 = 110. a. x y 64 1 100 2 2 + = b. x y 288 1 324 2 2 + = c. x y 25 1 45 2 2 + = d. x y 25 9 1 2 2 + = Actividad Página 217 111. a. f f vv ^ ^ - - 34 0 34 0 5 0 5 0 , , , , ( , ), ( , ), h h y xy xe , , 5 3 5 3 5 34 = =- = b. f fv v ^ h 0 41 0 41 0 5 0 5 , , ( , ), ( , ), ( , ), - - y xy xe , , 4 5 4 5 5 41 = =- = c. f f vv ^ ^ 0 164 0 164 0 10 0 10 , , , , ( , ), ( , ), - - h h y xy xe , , 4 5 4 5 10 164 = =- = d. f f vv ^ ^ - - 41 41 5 5 , , , , ( , ), ( , ), 0 0 00 h h y xy xe , , 5 5 4 4 5 41 = =- = e. f f vv ^ ^ - - 136 0 136 0 10 0 10 0 , , , , ( , ), ( , ), h h y xy xe , , 5 3 5 3 10 136 = =- = f. f f vv ^ ^ - - 24 0 24 0 4 0 4 0 , , , , ( , ), ( , ), h h y xy xe , , 2 2 2 2 4 24 = =- = 112. a. 49x² - 36y² = 1 764 b. 7x² - 9y² = 252 c. x² - 3y² = 6 113. a. x' = y, y' = -x b. Las coordenadas del punto (2, 3) en el sistema x'y' son (3, -2) c. Las coordenadas del punto (-2, 4)' respecto al sistema xy son (-4, -2) 114. a. 3x xy y 2 3 4 11 34 2 2 l ll l + += , corresponde a una elipse. b. 3x'² + 2y'² + 6x' + 8y' - 7 = 0, corresponde a una elipse. c. x' 2 - 6x' + 38y' + 5 = 0, corresponde a una parábola. d. x y xy x y , 4 1 4 3 2 3 2 233 3 2 3 20 0 2 2 +- + - l l ll c m l l -+ - = ^ h corresponde a una circunferencia. Unidad 9 Actividad Página 242 1. a. tan a = -1; csc a = 2 ; sen 2 1 a = b. tan a = 0; csc a = indefinido; sen a = 0 c. tan a = 0; csc a = indefinido; sen a = 0 d. tan a = 1; csc a = 2 ; sen 2 2 a = e. tan 4 3 a = ; csc 3 5 a = ; sen 5 3 a = f. tan a = 2; csc 2 5 a = ; sen 5 2 a = g. tan 3 4 a = ; csc 4 5 a = ; sen 5 4 a = h. tan 2 1 a =- ; csc a =- 5 ; sen 5 5 a =- 2. a. sen 89 8 89 i= - cos 89 5 89 i= - tan 5 8 i = csc 8 89 i =- sec 5 89 i =- cot 8 5 i = b. sen 74 5 74 i = cos 74 7 74 i =- tan 7 5 i =- csc 5 74 i = sec 7 74 i =- cot 5 7 i =- 3. a. V b. V c. F d. V Actividad Página 245 4. a. II b. I c. I d. III e. III f. III g. II y I 5. a. 2 b. 4 c. -2 2 d. 8 e. 0 f. 5 3 - g. 0 6. a. cos 3 5 i =- tan 5 2 5 i = sen 3 2 i =- csc 2 3 i =- cot 2 5 i = sec 5 3 5 i =- b. tan 5 4 i= sen 41 4 41 i= - cos 41 5 41 i= - csc 4 41 i =- cot 4 5 i = sec 5 41 i =- 7. a. cos 5 2 i= tan 2 21 i= - csc 21 5 21 i= - sec 2 5 i= cot 21 2 21 i= - sen 5 21 i= - b. sen 3 1 i= - cos 3 2 2 i= tan 4 2 i= - csc 3 i sec 4 3 2 i= cot 2 i 2 c. sen 2 1 i= cos 2 3 i= tan 3 3 i= csc i = 2 sec 3 2 3 i= cot 3 i 8. a. R.L. b. sen cot cos sec tan csc 5 2 5 2 1 5 5 5 2 2 5 i ii i ii = - = =- =- = =- c c c m m m
302 © SANTILLANA c. sen cot cos tan sec csc 5 2 5 5 5 2 2 1 5 2 5 i ii ii i = - =- = = =- =- c c c m m m d. R.L. Actividad Página 250 9. a. ; , 4 5 2 r 2 c c , - 4 3 2 r 2 - m m , c 4 2 r 2 ;c m b. 0, 2 r 8 B c. , y , 2 0 2 3 2 r r 8- 0B 8 rB 10. a. 0 b. -1 c. -1 d. 1 e. -1 f. 2 1 g. 2 3 h. 1 11. a. crece b. crece c. decreciente d. decreciente 12. a. (0, 0) b. (0, 1) c. x = 0, x = r, x = 2r d. x = -r, x = r 13. a. (0, -0134, -0.5, -0.2928, -1, -1.5, -1.707, -1.866, -2, -1.866, -1.5, -1) b. (1, 1.5, 1.86603, 0, 1.86603, 1.5, 1, 0.5, 0.13397, 0, 0.13397, 0.5, 1) Actividad Página 254 14. (Crece, decrece, crece, crece, decrece) 15. a. tiende a 0 b. crece indefinido c. tiende a 0 d. crece indefinido e. crece indefinido f. tiende a 0 16. a. x r; 4 7 =- x r; 4 3 =- r x x; r 4 4 x 5 = = b. r x ; 6 = x r; 6 7 = r x x; r 6 13 6 19 = = ; x c. r r x x ; 6 6 x 7 = = d. r x ; 2 3 =- r x ; 2 =- r r x x; 2 2 3 = = e. x = 0; x = r; x = 2r; x = 3r f. x r; 4 7 =- x r; 4 3 =- r x x; r 4 4 x 5 = = 17. a. F b. V c. V d. V Actividad Página 257 18. R.L. 19. Las 2 son iguales 20. a. (0, 1) b. No existe c. r r [ , [y] ,r r ] 2 2 ] d. r r ] , r ]y[ , r [ 2 3 2 r ]y[ 0 e. x = nr, n ε z 21. a. x = -2r, x = 0, x = 2r b. x = -r, x = r c. Ninguno de los valores otorgados a X beneficia la ecuación. d. Ninguno de los valores otorgados a X beneficia la ecuación. e. x 2 =- f. r x 2 = 22. a. sec x x : , , , ; : 2 , , , ,2 csc 2 3 22 2 3 - - 0 r rr r - - r r rr b. , , , ,, , , 4 7 2 4 3 2 4 2 4 5 2 r r rr ` ` `` - -- j jj j - c. R.L. Actividad Página 265 23. a. sen sen sen 1 sen 1 2 i ! 2 i i - i - c m d n b. sen 1 sen 2 2 i - i c. sen 1 i d. sen sen 2 sen 1 2 5 1 2 ! ! se se 1 2 i 1 sen i 2 i i - - e. sen sen 1 2 2 4 i i - f. sen sen sen se 1 5 1 2 ! 2 i i i 1 sen i 2 - - ^ h 1 sen2 - i g. 1 sen 5 2 sen 2 2 i i - h. sen sen sen 1 1 6 2 ! 2 i i i - - - i. sen sen sen 3 1 3 ! 2 i i - i - 24. a. cos cos 1 1 2 ! i - i b. cos cos cos 1 ! 2 i i i - + c. cos cos 5 1 2 i - i d. cos cos cos 1 cos 1 3 2 2 2 i i i - i + - e. cos cos cos cos cos 5 1 3 1 1 2 2 1 cos 2 2 ! ! cos 1 3 i 2 i i i - - - 25. a. sec4 2 - i b. tan tan tan 1 3 i i i + + c. cot cot cot 7 1 2 4 2 i i i + + 26. a. sen cos sen cos i i i = i b. sen sen cos i cos i i = i
© SANTILLANA 303 c. cos cos 1 1 i i= d. cos cos cos 2 i i = i e. sen sen sec cos cos 2 2 2 ) 2 4 ) i i i = i i Actividad Página 268 27. a. (sen i + 1)² b. (cos i - 1)(cos i + 1) c. (tan i + 4)(tan i + 1) d. (cos² i + 1) e. (cos i - sen i)(cos i + sen i) f. cos² i(sen² i - 1) g. (sec i + 1)(sec i - 1)(sec² i + 1) h. (sen i + cos i)(sen² i - sen i✳cos i + cos² i) i. 5(1 - cos i)(1 + cos i) j. (tan i - 1)(tan² i + tan i + 1) k. (1 + cot i)(1 - cot i + cot² i - cot4 i) l. csc i(csc i - 1) m. (1 - tan i)(1 + tan i)(1 + tan² i) n. (csc² i + cot² i)(csc i + cot i)(csc i + cot i) 28. a. No b. No c. No d. Si e. No f. Si g. Si 29. a. -sen i b. se cos 5 cos 2 i i i sen c. sen 2 11 i d. tan i e. tan sec 1 2 2 i i - f. -cos i g. cot i ✳ cos i h. 2sec i i. tan2 i - cot2 i 30. a. RL b. RL c. RL d. RL e. RL f. RL g. RL h. RL i. RL j. RL k. RL l. RL 31. a. RL b. RL c. RL d. RL e. RL f. RL g. RL h. RL i. RL j. RL k. RL l. RL m. RL Actividad Página 269 n. RL o. RL p. RL q. RL r. RL s. RL t. RL u. RL v. RL w. RL x. RL y. RL z. RL 32. RL Actividad Página 271 33. a. cos 4 7 b. sen r c. cos 62° d. sen (a + 2b) e. cos (x + 2h) 34. a. 4 2 6 + b. 4 2 6 - c. 2 3 + d. - -2 3 e. 4 2 6 - + f. 2 3 - g. 4 2 6 - + h. 2 3 - i. 6 2 - 35. a. V b. F c. V d. F e. F 36. a. sen ( ) :( ) cos 65 56 65 33 ab ab + = + =- b. sen( ) ( ); ( )}cos 9 2 1 10 9 5 42 a b + = a b + + =- - c. sen( ) ;( ) cos 20 2 3 35 20 2 15 21 a b + = a b - + + =- + 37. a. RL b. RL c. RL d. RL e. RL f. RL Actividad Página 273 38. a. RL b. RL c. RL d. RL e. RL f. RL g. RL h. RL i. RL j. RL k. RL l. RL 39. a. -1 b. 0.52 c. 0.14142 d. 0.25 e. 1 40. a. No b. Si Actividad Página 276 41. a. sen 2 ; cos 25 4 21 2 25 17 a a = ^ h = - b. sen 2 ; cos 25 24 2 25 7 a a = -` j = c. sen ; cos 2 13 12 2 13 5 a a = =- d. sen ; cos 2 2 3 2 2 1 a a =- =- e. sen ; cos2 5 4 2 5 3 a a = = 42. a. 2 2 2 - b. 2 2 2 + c. 2 1 - d. - 2 2 3 + e. 2 1 + f. 2 2 3 - 43. a. RL b. RL c. RL d. RL e. RL f. RL g. RL h. RL i. RL Actividad Página 277 44. a. A b. D c. C d. B 45. Las fórmulas no son verificables Actividad Página 279 46. a. cos cos 2 1 2 1 i i - 5 b. sen sen 2 1 7 2 1 i i - 3 c. sen sen 2 1 7 2 1 i i + d. cos cos 2 1 5 2 1 i i - e. sen sen 2 1 5 2 1 i i - f. sen sen 2 1 2 2 1 i i - g. cos cos 2 1 5 2 1 i i + h. sen 2 1 8i i. cos cos 2 1 2 1 i i - 11
304 © SANTILLANA j. sen sen 2 1 7 2 1 i i + k. sen sen 2 1 6 2 1 i i - l. sen sen 2 1 2 11 2 1 2 i i5 - 47. a. 4 - 32 b. 4 3 1 - + c. 4 3 1 + d. 4 3 1 - - e. 4 1 3 + f. 4 3 1 - 48. a. correcto b. incorrecto c. incorrecto d. incorrecto e. incorrecto f. correcto 49. a. RL b. RL c. RL d. RL e. RL f. RL g. RL h. R.L. Actividad Página 283 50. a. r r ; 6 5 6 7 i i = = b. r r ; 6 6 5 i i = = c. r r ; 3 2 3 5 i i = = d. r r ; 3 4 3 5 i i = = e. r r ; 3 3 4 i i = = f. r r ; 6 5 6 11 i i = = g. r r ; 4 4 3 i i = = h. r r ; 2 2 3 i i = = i. r r ; 3 3 5 i i = = j. i = 0, i = r; i = 2r 51. a. i = 5.7°; i = 174.26° b. i =23.58°; i = 156.42° c. i = 109.47°; i = 250.53° d. i = 53.13°; i = 233.13° e. i = 103.77°; i = 256.23° f. i = 180° g. i = 161.57°; i = 341.56° 52. a. V b. F c. F d. V e. V f. V 53. a. k $ 2 b. k # -2 c. k # -2 d. k $ 2 Practico lo que aprendí página 284 54. a. 2 b. 4 c. 5 1 d. -2 2 e. 5 1 - f. 8 g. 0 h. 3 i. 5 3 j. 0 55. a. ii i i i i cos 3 5 5 5 2 5 5 5 sin tan cot sec csc 3 2 2 3 2 3 =- =- b. i ii i i i cos 5 6 12 6 5 sin tan cot sec csc 5 2 6 2 12 5 6 c. i i ii i i cos 41 5 41 5 4 4 sin tan cot sec csc 41 4 41 5 5 41 4 41 =- = - = = = =- d. i i ii i i cos 34 5 34 5 3 3 sin tan cot sec csc 34 3 34 5 5 34 3 34 - - 56. a. F b. V c. V d. V 57. a. F b. F c. V 58. a. 3[sin 270° + csc 90°]2 b. 2 sin 270° - tan 0° c. 15 tan 360° - 5 2 csc 90° 59. a. Multiplicó mal extremos y medios Actividad Página 285 60. sin cos tan cot sec csc a. 5 13 13 12 156 65 65 156 12 13 5 13 b. 4 5 3 5 4 3 3 4 5 3 5 4 c. 10 10 10 3 3 1 3 10 3 10 d. 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 e. 4 15 4 1 15 15 1 4 15 4 f. 2 1 2 3 3 3 3 3 3 2 2 61. a. sin 180° - sin 0° b. 1 = tan 45° 62. sec a - 1 63. a. (csc i) (sin i) b. sini 1 a k- 1 c. sini 1 a k d. sin i + 7 cos3 i e. i ii i sin 3 3 cos + - sin cos 64. a. 0.955 rad b. -0.78 rad c. -0.78 rad 65. x rad 3 r = 66. a. x rad 4 r = b. x rad 4 r = - c. x rad 3 r = 67. a. 90°, 270° b. 135°, 315°, 71.56°, 251.56° c. No tiene solución 68. a. 0, ,, , 3 2 3 4 2 r r r r b. , 4 3 4 r r7 c. , 5 6 6 r r7 d. , 3 3 r r5 e. No tiene solución