5° R - Libro III

© SANTILLANA 237 Tabla 1. TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL ACUMULATIVA 0 z z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517 0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879 0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224 0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549 0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852 0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133 0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389 1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621 1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015 1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177 1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319 1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441 1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545 1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633 1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767 2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817 2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857 2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890 2.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .9916 2.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936 2.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952 2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964 2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974 2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981 2.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .9986 3.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .9990 3.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .9993 3.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .9995 3.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9997 3.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998 3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 3.6 .9998 .9998 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999

238 © SANTILLANA Utilicemos la trigonometría Temas de la unidad • Funciones trigonométricas • Funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales • Función trigonométrica en la circunferencia unitaria • Gráficas de las funciones trigonométricas • Identidades trigonométricas 9 • Ecuaciones trigonométricas Unidad

© SANTILLANA 239 Históricamente los inicios de la trigonometría se encuentran en África; los antiguos egipcios y babilonios fueron los primeros en plantear estudios rudimentarios en esta área. El griego Hiparco de Nicea, conocido como el padre de la trigonometría, planteó una tabla trigonométrica, pero fue Ptolomeo, cuatro siglos más tarde, quien incorporó en su libro El Almagesto una tabla primitiva de senos basada en cuerdas. La tabla propuesta por Ptolomeo fue usada en la descripción de las posiciones de las estrellas. En India, se desarrolló un sistema trigonométrico basado en la función seno. Por su parte, los árabes debieron escoger entre el sistema de cuerdas griego y el basado en la función seno planteado por los indios y adoptaron, finalmente, este último. Este desarrollo se observa en la obra del astrónomo árabe Nasir Eddin, en la cual se propone el primer estudio de trigonometría como ciencia independiente de la astronomía. Funciones trigonómetricas Naturalista, interpersonal y lógico-matemática Para responder Investiga y comparte en la clase: • ¿Qué acontecimiento dio inicio a la era espacial? • ¿Qué aplicaciones tiene la trigonometría en el funcionamiento de los instrumentos utilizados en viajes espaciales? • ¿Quién escribió el libro: De triangulis omnimodis ¿De qué trata el libro?

240 © SANTILLANA Para pensar Funciones trigonométricas Sea i un ángulo en posición normal, con vértice O y M(x, y), Ml(xl, yl) dos puntos distintos sobre su lado final, tales que OM = r y OMl = rl. Los triángulos MON y MlONl de la figura 1 son semejantes, pues tienen los tres ángulos correspondientes congruentes; de modo que se pueden establecer las siguientes proporciones: r y r y = l l r x r x = l l x y x y = l l Lo anterior indica que las razones están determinadas por el valor del ángulo i y no por la posición del punto M La correspondencia de cada razón con el ángulo determina funciones; denominadas funciones trigonométricas. 1. Defi nición de las funciones trigonométricas Si i es un ángulo en posición normal, M(x, y) es cualquier punto sobre su lado final, diferente de (0, 0), y r OM x y , 2 2 = =+ entonces, las funciones trigonométricas para el ángulo i se definen de la siguiente manera: ¿Por qué las razones trigonométricas se desarrollan solo para triángulos rectángulos? seno i = sen i = r y coseno i = cos i = r x tangente i = tan i = x y , x ! 0 cotangente i = cot i = y x , y ! 0 secante i = sec i = x r , x ! 0 cosecante i = csc i = y r , y ! 0 Bloque: Trigonometría Figura 1 Como consecuencia de las definiciones anteriores, se obtienen las relaciones recíprocas que se plantean en la tabla de la izquierda. Relaciones recíprocas Idea importante Determinar el valor de las funciones trigonométricas de ángulo b en posición normal, si el punto P (-1, -2) está ubicado sobre el lado final del ángulo. Como x = -1, y = -2 entonces, r xy ()() 1 25 22 2 2 = + = - +- = b 2 2 sen 5 2 5 = - =- cos b 5 1 5 5 = - =- tan b 2 1 2 = - - = b 2 csc 5 2 5 = - =- sec b 5 5 1 = - =- b 1 cot 2 1 2 = - - = Para determinar las funciones recíprocas solo se intercambian numerador y denominador. 1 Ejemplos 0 x i xl Nl rl rl N M (x, y) M (xl, y) r r x y x x 0 i M (x, y) r y y a c b a i i i i cot tan cos sen 1 1 1 = sec i = csc i =

© SANTILLANA 241 Sigue Alto Ejemplos ¿Dudas? Sí No x -1 y 1 - 9 01 - 8- 7- 6- 5- 4- 3- 2- 3 5 7 9 11 13 15 17 2 4 6 8 10 12 14 M(-8, 15) 16 Figura 2 1.1. Dominio y rango de una función trigonométrica Para cada función trigonométrica es posible determinar su dominio y rango mediante el siguiente análisis: • Para que una relación sea función es necesario que a cada elemento del dominio le corresponda un elemento del rango. En el caso de las funciones trigonométricas, a cada ángulo le debe corresponder un número. • Cuando la ecuación es fraccionaria se deben eliminar del dominio aquellos valores que hacen cero el denominador. Determinación del dominio Funciones seno y coseno El denominador es r x y 2 2 x + = que no puede ser cero porque el punto M no está en el origen. Por lo tanto, el ángulo puede tomar cualquier valor. Funciones tangente y secante En ambas el denominador es x, que tomará el valor de cero cuando el punto se ubique sobre el eje y. El dominio está formado por todos los ángulos diferentes de ! n 2 r` + r j Por ejemplo: y 2 2 3 ! ! r r porque corresponden con el eje y. Funciones cotangente y cosecante En ambas el denominador es y, que tomará el valor de cero cuando el punto se ubique sobre el eje x. El dominio está formado por todos los ángulos que son múltiplos de r. Por ejemplo: !r, !2r, !3r, … Determinación del rango Funciones seno y coseno Considerando que r y x y y 2 2 y 2 = se observa que el valor absoluto del numerador será siempre igual o menor que el valor absoluto del denominador. Por lo tanto, r y #1 Del razonamiento anterior se concluye: |sen i| # 1, |cos i| # 1 y sus recíprocas |csc i| $ 1, |sec i| $ 1 para todo ángulo del dominio de cada función. Funciones tangente y cotangente En ambas el denominador es #1 y los signos de las variables pueden ser iguales o diferentes. Los resultados pueden disminuir o aumentar sin límite, obteniendo como rango los reales. Ejemplo: Dominio y rango de las funciones trigonométricas Seno y coseno Dom = Reales (R) Ran = [-1,1] Tangente Ran = R Contangente Ran = R Secante: Coscecante: Idea importante Encuentra el valor de las funciones trigonométricas del ángulo a (Figura 2). Si es un ángulo en posición normal, tal que M (-8, 15) es un punto ubicado sobre su lado final. Si x = -8, y = 15 entonces r = 2 . . , . . , . . 0 005 0 8 160 0 000005 0 8 160 000 0 000000005 0 8 == =160 000 000 2 Dom R n = - ! r$ r . Dom R { n} = - ! r Dom R 2 = - ! n r $ r . Ran =@ @ - - 3 3 , 1 1, , 6 6 Dom R n = -{ } ! r Ran =- - @ @ 3 3 , 1 1, , 6 6

242 © SANTILLANA Actividades 1. Dibuja los ángulos en posición normal, dadas las coordenadas de uno de los puntos que está ubicado sobre el lado final. Luego, halla el valor del seno, la tangente y la cosecante del ángulo. a. P(-1, 1) b. P(-2, 0) c. P(-3, 0) d. P , 2 1 2 1 ` j e. P(4, 3) f. P(1, 2) g. P(3, 4) h. P 1 2 1 ` - j 2. Encuentra el valor de las funciones trigonométricas en el ángulo indicado en cada gráfica. a. b. 3. Observa la gráfica. Luego, escribe V o F según corresponda. Justifica la respuesta. x y 12345 1 2 3 4 5 6 M a. La distancia entre el origen y el punto M es un número irracional. b. El valor del sen i equivale al coseno de un ángulo en posición normal, cuyo lado final contiene al punto (5, -3). c. El valor de tan i es menor que el valor de csc i. d. El valor de ninguna de las funciones trigonométricas de i es menor que cero. x y -4 -3 -2 -1 1 2 1 2 -4 -3 -2 -1 x y -4 -3 -2 -1 1 2 1 2 3 4 -2 -1 1.2. Signo de las funciones trigonométricas El signo de los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo a se determina según el cuadrante en el cual está ubicado a. Si P(x, y) es un punto sobre el lado final de a, la distancia y 2 2 x + = siempre es positiva, por lo cual, los signos de las funciones trigonométricas de a dependen de los signos de x y y. Por ejemplo, para un ángulo del primer cuadrante todas las funciones trigonométricas son positivas, pues x > 0 y y > 0 para cualquier punto (x, y) ubicado en este cuadrante. En el siguiente cuadro se presentan los signos de las funciones trigonométricas para un ángulo i ubicado en cualquier cuadrante. y x II cuadrante -, + -, - III cuadrante I cuadrante +, + +, - IV cuadrante

© SANTILLANA 243 Sigue Alto ¿Dudas? Sí No Ejemplos y x P (24, -7) 1 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 -3 -5 -7 -9 -2 -4 -6 -8 -1 -4 - 5 2 1-3- 42 P' P x y 4 1 2 3 -5 1 3 -2 ' P( 5, 2) 5 5 P( 5, 2) Figura 3 -2 1 2 -1 y x -2 -1 1 ' P´( 1, 3) P( 1, 3) 3 3 Figura 4 Calcular cos i y tan i, si sen i 25 7 = - y i finaliza en el cuarto cuadrante. Como sen 25 7 i= - entonces y = -7 y r = 25, ya que r siempre es positiva. Así, x 25 ) 24. 2 2 ! 25 -( ) 2 = En el IV cuadrante x es positiva. Así, cos y . 25 24 24 7 24 7 i i y t 24 ani= - = Indicar, en cada caso, el cuadrante en el que está ubicado el ángulo a. a. cos a < 0 y tan a > 0 b. sen a < 0 y sec a > 0 c. tan a < 0 y csc a > 0 De acuerdo con el cuadro de signos: a. a está en el cuadrante III. b. a está en el cuadrante IV. c. a está en el cuadrante II. Hallar todos los valores posibles de cada fracción teniendo en cuenta las condiciones dadas. a. sec , s se 3 2 i i , sisen = . Como sen 3 2 i= > 0 entonces i puede estar ubicado en el primer cuadrante o en el segundo. Como y = 2, r = 3 entonces, x 3 2 5. 2 2 =! 3 2 =! Así, para el primer cuadrante, sec 5 3 5 3 5 i= = y para el segundo cuadrante, sec 5 3 5 3 5 i= - = - (figura 3). b. tan c , s . 2 1 i i i 1 2 3 Dado que cos 2 1 i= - , puede ser del Como x = -1, r = 2, entonces, y = Por lo tanto, para el segundo cuadrante tan i = para el tercer cuadrante tan i = Función sen i cos i tan i cot i sec i csc i Cuadrante I ++++++ II +----+ III --++-- IV -+--+- Las razones trigonométricas se definen así: seno Hipotenusa Cateto opuesto = y Idea importante coseno Hipotenusa Cateto adyacente = tangente Cateto adyacente Cateto opuesto =

244 © SANTILLANA 1.3. Funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales x y 450 Figura 5 Figura 6 Se denominan ángulos cuadrantales aquellos cuyo lado final coincide con alguno de los ejes coordenados. Los ángulos cuadrantales son 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. Calcular el valor de las funciones trigonométricas para 90°. Sea P(O, y) un punto sobre el lado final de 90°. Como r OP y = = , entonces. sen 90° r y r OP r r = = 1 y = = cos 90° r x r 0 = = = 0 tan 90° x y OP r 0 0 = =y = Indefinida cot 90° y x OP r 0 0 = = = = 0 sec 90° x r r 0 = = Indefinida csc 90° y r OP r r r = = = =1 1 Ejemplos La tabla que se muestra a continuación resume los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos cuadrantales. Función sen i cos i tan i cot i sec i csc i Ángulo 0° 0 1 0 Indefinida 1 Indefinida 90° 1 0 Indefinida 0 Indefinida 1 180° 0 -1 0 Indefinida -1 Indefinida 270° -1 0 Indefinida 0 Indefinida -1 360° 0 1 0 Indefinida 1 Indefinida Ejemplos x y P(0, r ) r 0 x y 7 2 Alto Sigue ¿Dudas? Sí No Determinar el valor de: a. cot 450° 450° es coterminal con 90° (figura 5), por lo tanto, cot 450° = cot 90° = 0. b. csc r 2 7 2

© SANTILLANA 245 Actividades 4. Escribe el cuadrante en el cual se encuentra ubicado el lado final de un ángulo i de acuerdo con las dos condiciones dadas. 5. Encuentra el valor de cada expresión, sin utilizar la calculadora. a. sen 90° + csc 90° b. tan 180° - cos 90° + 4 sen 90° c. csc2 90 3 2 270 ° sen ° + d. 3 sen sen ° cos 2 r 4 0 cos 3 r + + sen r 2 r e. 8 0 tan ° sen ° ° tan 5 3 sen180° 180 f. 4 1 tan 80° ° 5 9 cos 0 sen ° 5 3 cos 90° + 270 g. cos cot sen 3 1 2 2 3 2 r r + 3 cot - r 2 r t 3 6. Determina el valor exacto de todas las funciones trigonométricas para i. a. sen , 2 2 3 3 i r, < < 2 i r b. tan , 5 4 2 3 i r, < < 5 4 i r 7. Halla el valor de todas las funciones trigonométricas de i, dados los valores de dos de ellas. a. cos t, a 2 2 21 5 i i , tan 2 t i= - b. sen , cos 3 1 3 2 2 i i , cos 1 = c. cos c, ot 3 3 2 i i , cot i 3 cot = 8. Resuelve cada literal. a. Representa sobre un plano cartesiano un ángulo i en posición normal, en el cual los puntos P(-2, -4) y Q(-4, -8) se ubiquen sobre su lado terminal. b. Utiliza el punto P para calcular el valor de las funciones trigonométricas del ángulo i. c. Utiliza el punto Q para calcular el valor de las funciones trigonométricas del ángulo i. d. Elabora una conclusión que resuma los resultados de los literales b y c. Primera condición Segunda condición Cuadrante sen i > 0 tan i < 0 cos i > 0 sen i > 0 cot i > 0 cos i > 0 sec i < 0 csc i < 0 tan i > 0 sec i < 0 sen i < 0 cot i > 0 sen i > 0 csc i > 0

246 © SANTILLANA Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria En las secciones anteriores se consideraron las funciones trigonométricas de ángulos medidos en grados o radianes. En esta unidad se ampliará la definición de las funciones trigonométricas al conjunto de los números reales. 1. La circunferencia unitaria Es aquella que tiene como centro el origen del plano cartesiano y cuya longitud de radio es una unidad. De acuerdo con la figura 7 y aplicando el teorema de Pitágoras, cada punto de la circunferencia unitaria satisface la ecuación: x2 + y2 = 1, Si t es un número real y i es un ángulo central en la circunferencia unitaria cuya medida es, precisamente, t radianes, entonces la longitud s, del arco subtendido por i es: s = i ? r = t ? 1 = t unidades (figura 8) Por lo tanto, 1.2. Defi nición de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria Sea i un ángulo central, de medida t radianes, en la circunferencia unitaria, t ! R y P(x, y) el punto de intersección del lado final de i, con la circunferencia (figura 9). Como OP = r = 1 entonces, sen sen t r y y y 1 i= === y y cot cot t , si y x i cot t = y !0 cos cost r x x x 1 i= === sec sec t ,si x x 1 i= = sec t !0 tan tan t ,si x y i tan t = x !0 csc csc t ,si y y 1 i= = csc t !0 En particular, Además se observa que: sen tan ,si cos t cos x y t t = = t !0 y sec t ,si cos x t cos t 1 1 = = !0 sen cot ,sisen cos t y x t t = = t !0 csc t ,sisen y t sen t 1 1 = = !0 Para cada número real t, el ángulo de medida t radianes subtiende un arco de longitud t unidades en la circunferencia unitaria. Si t ! R y P(x, y) es el punto de intersección de la circunferencia unitaria con el lado final del ángulo cuya medida es t radianes, entonces, x = cos t; y = sen t P(x, y) (-1, 0) (1, 0) (0, -1) (0, 1) 0 1 x y Figura 7 (-1, 0) (1, 0) (0, -1) (0, 1) 0 1 x y t rad t rad A B AB t und Figura 8 P(x, y) (-1, 0) (1, 0) (0, -1) (0, 1) 0 1 y y x x t rad Figura 9 p(x, y) = (cos t, sen t) ¿En qué puntos de la circunferencia, el radio coincide con el valor de x? ¿En qué puntos de la circunferencia, el radio coincide con el valor de y? Para pensar

© SANTILLANA 247 Con la definición de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria se concluye que: Los valores de las funciones trigonométricas de un número real t son iguales a los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo de t radianes. Las funciones trigonométricas de los números reales son denominadas funciones circulares por estar asociadas a la circunferencia unitaria, y para distinguirlas de las funciones trigonométricas de ángulos. Sin embargo, para encontrar el valor de una función circular para cualquier número real, este último se considera como la medida en radianes de un ángulo. Por ejemplo, sen 2 = sen (2 rad) y cos (- 3 ) = cos (- 3 rad). Para determinar el valor de estas funciones se presionan en la calculadora las siguientes teclas: Para sen 2: sin 2 SHIFT MODE 5 EXE Resultado en pantalla: 0.9092974268 Las teclas SHIFT MODE 5 determinan que el valor del número 2 está dado en radianes. Para cos (- 3 ): cos ( 3 ) SHIFT MODE 5 EXE Resultado en pantalla: -0.160556538 Ejemplo (cos 5, sen 5) (-1, 0) (1, 0) (0, -1) (0, 1) 5 rad x y Sigue Alto Hacer una interpretación geométrica de los valores sen 5 y cos 5. Utilizando la calculadora se obtiene: sen 5 = -0.9589242 cos 5 = 0.2836621 Por lo tanto, el punto de intersección del ángulo de 5 radianes, en posición normal, con la circunferencia unitaria, tiene por coordenadas (0.2836621, -0.9589242) y es un punto del cuadrante IV. Determinar el cuadrante en que se ubica el lado terminal de un ángulo de: a. 3 radianes. Se tiene que: sen 3 = 0.14112 cos 3 = -0.9899925 Por lo tanto, la intersección del ángulo con la circunferencia unitaria es el punto (-0.9899925, 0.14112) Como x es negativa y y es positiva, el punto se ubica en el segundo cuadrante. b. 4 radianes. 1 2 ¿Dudas? Sí No

248 © SANTILLANA Gráfi cas de las funciones trigonométricas 1. Gráfi ca de la función y = sen x La línea trigonométrica de cada ángulo se traslada al plano cartesiano, tomando valores de x de 0 a 2r y se obtiene la gráfica que se muestra a continuación. Cuando la gráfica de la función y = sen x se construye tomando un intervalo más grande para valores de x se observa que su gráfica es una repetición del tramo que se ha dibujado en el intervalo de 0 a 2r, en ambos sentidos. 1.1. Características de la función y = sen x 1. Su dominio es el conjunto R. 2. El rango de la función es el intervalo [-1, 1]. 3. La función seno es impar, pues sen (-x) = -sen x. 4. y = sen x es una función periódica y su período es 2r. 5. La función seno varía así: 6. Los ceros de la función seno se presentan en los múltiplos enteros de r. 7. La función seno es continua en todo su dominio. 6 6 3 3 2 -1 2 1 2 2 2 3 2 3 5 6 5 6 7 6 7 6 5 3 4 3 4 3 3 2 3 2 5 3 11 6 11 6 y x 1 -1 2 y sen x 3 2 3 2 y sen x 0 x y -2 - 2 3 1 -1 -3 x sen x 0 0 6 r 2 1 = 0 5. 3 r 2 3 = 0 8. 6 2 r 1 3 2r 2 3 = 0 8. 6 6 5r 2 1 = 0 5. r 0 6 7r 2 1 - = - 0 5. 3 4r 2 3 - = - 0 8. 6 2 3r -1 3 5r 2 3 - = - 0 8. 6 6 11r 2 1 - = - 0 5. 2π 0 Tabla de valores de y = sen x Ejemplos Completar la tabla y comprobar que y = sen x es una función impar. y = sen x 0 sen 30º = 0.5 sen 45º = 0.707 sen 90º = 1 sen 270º = -1 y = sen (-x) 0 sen -30º = -0.5 sen -45º = -0.707 sen -90º = -1 sen -270º = 1 1 Presenta modelos para realizar ondas sinusoidales, por ejemplo una cuerda. Para pensar • En el primer cuadrante crece de 0 a 1. • En el segundo cuadrante decrece de 1 a 0. • En el tercer cuadrante decrece de 0 a -1. • En el cuarto cuadrante crece de -1 a 0.

© SANTILLANA 249 2. Gráfi ca de la función y = cos x Del mismo modo como se analizó la gráfica de la función seno se puede realizar el estudio de la función y = cos x. Para valores de x entre 0 y 2r la gráfica de esta función es: Cuando x toma valores en todo R, la gráfica de la función y = cos x se repite con las mismas características que presenta para valores en el intervalo [0, 2r]. 2.1. Características de la función y = cos x 1. El dominio de la función coseno es R. 2. Como -1 # cos x # 1 entonces el rango de y = cos x es el intervalo [-1, 1]. 3. y = cos x es una función par, pues cos (-x) = cos x. ., . ., . , cos cos cos cos cos cos 6 0 866 6 0 866 4 0 707 4 0 707 1 1 r r r r r r = -= = -= =- - =- 4. La función coseno es periódica y su período es 2r. 5. La función coseno presenta el siguiente comportamiento: • En el primer cuadrante decrece de 1 a 0. • En el segundo cuadrante decrece de 0 a -1. • En el tercer cuadrante crece de -1 a 0. • En el cuarto cuadrante crece de 0 a 1. 6. Los ceros de la función coseno se presentan en los múltiplos impares de 2 r . 7. La función coseno es continua en todo su dominio. x cos x 0 0 6 r 2 3 3 r , 2 1 = 0 5 2 r 0 3 2r , 2 1 - = - 0 5 6 5r , 2 3 - = - 0 86 r -1 6 7r , 2 3 - = - 0 86 3 4r , 2 1 - = - 0 5 2 3r 0 3 5r 2 1 6 11r 2 3 Tabla de valores de y = cos x y x 1 -1 6 6 3 3 2 -1 2 1 2 2 2 3 2 3 5 6 5 6 7 6 7 6 5 3 4 3 4 3 3 2 3 2 5 3 11 6 11 6 2 3 2 3 2 y cos x 0 x y -2 - 2 3 -1 -3 1

250 © SANTILLANA Actividades 9. Observa las gráficas y luego responde las preguntas. a. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos de corte entre las dos funciones? b. ¿En qué intervalos la gráfica de la función y = cos x es decreciente y, la gráfica de y = sen x es creciente? c. ¿En qué intervalos las dos funciones son crecientes? 10. Considera las notaciones: x " a- que significa x tiende a a por izquierda; x toma valores menores que a. x " a+ que significa x tiende a a por derecha; x toma valores mayores que a. Observa la gráfica de las funciones sen x y cos x. Luego, completa hacia dónde tiende f (x), según el caso. a. Si x " 0+, entonces sen x " b. Si x " 2 r - + , entonces sen x " c. Si x " r - - , entonces sen x " d. Si x " 0- entonces cos x " e. Si x " r- entonces cos x " f. Si x " 3 r+ , entonces cos x " g. Si x " 6 r- , entonces cos x " h. Si x = 0, entonces cos 0 " 11. Observa la gráfica de la función correspondiente. Luego, completa la afirmación con la palabra “crece” o “decrece”, según corresponda. a. Si x " 0-, entonces sen x " b. Si x " 0+, entonces sen x " c. Si x " 3 r+ , entonces cos x " d. Si x " 3 r- , entonces cos x " 12. Responde las siguientes preguntas. a. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección entre la gráfica de y = sen x y el eje y? b. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección entre la gráfica de y = cos x y el eje y? c. ¿Para qué valores de x, 0 # x # 2r, sen x = 0? d. ¿Para qué valores de x, -2r # x #, 2r, cos x = -1? 13. Completa la tabla de la función utilizando calculadora. Luego, traza la gráfica. a. y = cos x - 1 b. y = sen x + 1 -3 4 y sen x y cos x x y 1 -1 2 3 4 5 4 3 2 7 4 4 - 2 - 4 - 2 x 0 6 r 3 r 4 r 2 r 3 2r y x 0º 30º 60º 90º 120º 150º y x 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º y x 4 3r 6 5r r 6 7r 3 4r 2 3r y

© SANTILLANA 251 3. Gráfi ca de la función y = tan x Para construir la gráfica de la función y = tan x se traslada la medida de la tangente de cada ángulo ubicado sobre la circunferencia unitaria al plano cartesiano. Es importante recordar que valores tales como tan 2 r y tan 2 3r no están definidos. Esta indefinición se observa en la imposibilidad de dibujar las líneas trigonométricas correspondientes a la tangente de estos ángulos en la circunferencia unitaria. Además, al construir la gráfica de y = tan x en el plano cartesiano, en el intervalo [0, 2r], se nota que la curva de la función crece indefinidamente cuando x se acerca a los valores 2 r y 2 3r por la izquierda, y decrece indefinidamente cuando x se acerca a estos valores por la derecha. Lo anterior significa que las rectas x x y 2 2 r r3 = = son asíntotas de la gráfica de la función tangente en el intervalo [0, 2r], como se muestra en la siguiente gráfica. En general, las asíntotas de la gráfica de la función tangente, están ubicadas en los valores de x para los cuales la función no está definida, es decir, en los valores de la forma nx 2 ! r = r . y x 2 4 4 7 4 5 4 1 -1 12 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 13 12 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 11 6 23 12 2 7 4 Se dice que x = a es una asíntota vertical si la curva crece indefinidamente o decrece indefinidamente cuando x se aproxima al valor a ya sea por la izquierda o por la derecha y nunca la toca. Idea importante 4 x y 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 - 2- 1 3 - 0 12 3 x a y f(x) 4 x tan x 0 0 6 r 3 3 3 r 3 2 r N.D. 3 2r - 3 6 5r 3 3 - r 0 6 7r 3 3 3 4r 3 2 3r N.D. 3 5r - 3 6 11r 3 3 - Tabla de valores de y = tan x 3.1. Características de la función y = tan x 1. El dominio de la función y = tan x es el conjunto: 2. La función tangente crece indefinidamente en los dos sentidos, es decir, -3 < tan x < 3, por lo tanto, su rango es R. 3. y = tan x es una función impar pues tan (-x) = -tan x. 4. La función tangente es periódica y su período es r. x y - 2 0 -5 2 5 2 2 - 7 2 -3 2 3 2 -2 2 3 y tan x x x nn R Z / , 2 ! ! ! r $ + r .

252 © SANTILLANA y x 1 -1 12 6 4 3 2 11 12 5 12 7 12 5 6 2 3 4 3 7 6 17 12 3 2 19 12 7 4 5 2 5 4 11 6 23 12 13 12 2 y cot x 3 4 x y - 2 0 5 2 2 - 7 2 -3 2 3 2 -2 2 3 4 x cot x 6 r - - 3 0 N.D. 6 r 3 3 r 3 3 2 r 0 3 2r 3 3 - 6 5r - 3 r N.D. 6 7r 3 3 4r 3 3 2 3r 0 Tabla de valores de y = cot x 5. y = tan x es una función estrictamente creciente, en todo punto de su dominio. 6. Dado que el rango de la función tangente es el conjunto R, se deduce que esta función no tiene valor máximo, ni valor mínimo. Los ceros de la función tangente se ubican en los múltiplos de r. 7. La función y = tan x es continua en todo su dominio, pero en R no lo es. 4. Gráfi ca de la función y = cot x Para construir la gráfica de la función cotangente resulta útil considerar la relación cot . tan x x 1 = Es decir, por definición, la función cotangente toma valores que son inversos multiplicativos de los valores de la función tangente. Así, la función y = cot x no está definida en los puntos para los cuales tan x = 0; es decir, para los múltiplos de r. En efecto, no es posible trazar los segmentos correspondientes a cot 0, cot r, cot 2r, en la circunferencia unitaria. Mediante un análisis similar al realizado para y = tan x se concluye que las rectas x = 0, x = r, x = 2r son asíntotas para la función y = cot x en el intervalo [0, 2r]. La gráfica de y = cot x en el intervalo [0, 2r] es: Si los valores de x se toman en todo el conjunto R, entonces la gráfica de la función cotangente aparece como sigue: En general, las asíntotas de la función y = cot x son las rectas de la forma x = nr, n ! Z. Al graficar la función y = cot x en el mismo sistema de ejes cartesianos que la función y = tan x, se observa que se cortan en aquellos valores de x que cumplen x n 4 ! r = r Ya que: tan cot tan cot tan cot ; ; ; 4 44 5 4 5 4 3 4 3 f r rr r r r = = - =-

© SANTILLANA 253 4.1. Características de la función y = cot x 1. El dominio de la función cotangente es el conjunto: "x xnn ! ! R Z / , ! r , 2. Tiene por rango el conjunto R. 3. La función cotangente es impar, pues cot (-x) = -cot x. 4. y = cot x es una función periódica, y su período es r. 5. La función cotangente es estrictamente decreciente en el conjunto "x xnn ! ! R Z / , ! r ,. 6. y = cot x no tiene valor máximo ni valor mínimo. Los ceros de la función cotangente están en los múltiplos impares de 2 r . y = cot x = 0 si xn n () . 2 1 , Z 2 ! r = - 7. La función y = cot x es continua en todo su dominio. Ejemplos Sigue Alto ¿Dudas? Sí No Comparar las gráficas de las funciones y = tan x, y = cot x y luego responder. ¿Cuáles son las asíntotas verticales para cada función en el intervalo [0, 2r]? Para la función y = tan x se encuentran en y 2 2 r r3 ; para y = cot x, en 0, r y 2r. Completa la tabla y en tu cuaderno elabora la gráfica y escribe las características que tiene. 1 2 x y = tan x y = cot x y = tan x + cot x 2 r - Indefinida 3 r - -1.732 4 r - -1 6 r - -0.577 0 0 6 r 0.577 4 r 1 3 r 1.732 2 r Indefinida Principios de graficación. Traslación. x y y f(x b) y f(x) y f(x b) Reflexión x y y -f(x) y f(x) x y y f(-x) y f(x) Comprensión y alargamiento x y y f(x) y 2f(x) y f(x) 1 2 x y y f( x) 1 2 y f(2x) y f(x) Idea importante x y y f(x) b y f(x) y f(x) b

254 © SANTILLANA Actividades 14. Completa la tabla. 15. Completa cada afirmación a partir de la gráfica. a. Si x " 0- entonces tan x " b. Si x " 0+ entonces cot x " c. Si x " r+ entonces tan x " d. Si x " r- entonces cot x " e. Si x " 2 r+ entonces tan x " f. Si x " 2 r- entonces cot x " 16. Utiliza la gráfica de la función trigonométrica correspondiente para encontrar los valores de x que verifican la ecuación en el intervalo indicado. a. tan x = 1 para -2r # x # 2r b. cot x = 3 para 0 # x # 4r c. tan x 3 3 = para 0 # x # 2r d. cot x = 0 para -2r # x # 2r e. tan x = 0 para 0 # x # 3r f. cot x = 1 para –2r # x # 2r 17. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Luego, justifica las respuestas. a. Las asíntotas verticales de la función y = tan x tienen la forma x = kr, donde k ! Z. b. Las asíntotas verticales de la función y = cot x tienen la forma y = kr, donde k ! Z. c. Las asíntotas de la función y = tan x en el intervalo 0 # x # 2r son x x .y 2 2 r r3 = = d. La función cot x no tiene asíntotas verticales en x . 2 r = - 5. Gráfi ca de la función y = sec x En la construcción de la gráfica de la función y = sec x es importante tener en cuenta que: sec cos x x 1 = . La expresión anterior determina que la función secante no está definida para aquellos valores de x para los cuales cos x = 0. Por ejemplo, sec x no está definida para x x, 2 2 r r3 = = , y en la circunferencia unitaria resulta imposible trazar las líneas que corresponden a la secante de estos ángulos. Por lo tanto, en el intervalo [0, 2r], las rectas x x y 2 2 r r3 = = son asíntotas de la gráfica de la función y = sec x. Usando la gráfica de y = cos x y la relación sec cos x x 1 = se obtiene la siguiente gráfica: Tendencia Función Crece o decrece x 2 " r+ tan x x " 0+ cot x x " 0- tan x x 4 " r+ tan x x 3 " rcot x Decir que la función y = sec x es recíproca de la función y = cos x, no es igual a decir que son inversas ya que la función inversa de y = cos x es x = cos-1 y; llamada arcocoseno. Idea importante

© SANTILLANA 255 y x 1 -1 y sec x y cos x 4 7 8 8 3 8 3 2 4 3 2 5 4 13 8 7 4 15 8 11 2 8 9 8 5 8 0 x y -3 -2 - 2 3 4 1 2 -1 -2 Cuando x toma valores en todo R se obtiene la gráfica que se muestra a continuación. Las rectas de la forma x nn, Z 2 ! r = + r son asíntotas de y = sec x. 5.1. Características de la función y = sec x 1. El dominio de la función secante es el conjunto: x x nn R Z / , 2 ! ! ! r $ + r .. 2. El rango de la función es el conjunto R - (-1, 1). 3. La función secante es par, pues sec (-x) = sec x. 4. y = sec x es una función periódica y su período es 2r. 5. La función y = sec x es creciente en los intervalos en los cuales y = cos x es decreciente. Y es decreciente donde cos x es creciente, es decir, en los intervalos , , y 2 3 2 3 r 2 r r 8 j ` rB. 6. La función y = sec x no tiene un valor máximo ni un valor mínimo y nunca se anula, es decir, no tiene ceros. 7. y = sec x es una función continua en todo su dominio, es decir, en el conjunto: x x nn R Z / , 2 ! ! ! r $ + r .. x sec x 0 1 4 r 2 r N.D. 4 3r - 2 r -1 4 5r - 2 2 3r N.D. 2 2r 1 Tabla de valores de y = sec x Ejemplos 1 Completar la tabla y comprobar que y = sec x es una función par. y = sec x sec r rad = -1 y = sec (-x) sec -r rad = -1 sec rad . 6 1 15 r = sec rad . 6 1 15 r - = sec rad . 4 1 41 r = sec rad . 4 1 41 r - = 4 7r

256 © SANTILLANA 6. Gráfi ca de la función y = csc x Por definición, la función cosecante toma valores inversos a los que toma la función seno. Es decir, sen csc x x 1 = Por lo tanto, y = csc x no está definida para aquellos valores de x, tales que sen x = 0. Así, en el intervalo [0, 2r] los valores csc 0, csc r y csc 2r no están definidos, pues sen 0 = 0, sen r = 0 y sen 2r = 0. Además, en la circunferencia unitaria no se pueden trazar las líneas trigonométricas que representan estas funciones. Se puede afirmar que las rectas x = 0, x = r y x = 2r son asíntotas de la gráfica de y = csc x, cuando x toma valores entre 0 y 2r. Utilizando la circunferencia unitaria, la gráfica de y = sen x y la relación sen csc x x 1 = , se obtiene la gráfica de y = csc x. En general, las rectas de la forma x = nr, n ! Z son asíntotas de la curva que representa y = csc x, como se observa en la siguiente gráfica. 0 x y -2 - 2 3 4 1 2 -1 -2 y x 1 -1 y csc x y sen x 4 7 8 8 3 8 3 2 4 3 2 5 4 13 8 7 4 15 8 11 2 8 9 8 5 8 6.1. Características de la función y = csc x 1. El dominio de la función cosecante es el conjunto: "x xnn ! ! R Z / , ! r , 2. Se observa que csc x # -1 y csc x $ 1, por lo tanto, el rango de la función secante es el conjunto R - (-1,1). 3. La función cosecante es impar ya que csc (-x) = -csc x. 4. y = csc x es una función periódica, y su período es 2r. x csc x 0 N.D. 4 r 2 2 r 1 4 3r 2 r N.D. 4 5r - 2 3r -1 - 2 2r N.D. Tabla de valores de y = csc x 4 7r

© SANTILLANA 257 5. La función cosecante es creciente donde sen x es decreciente, es decir en los intervalos , , y 2 2 r 3 r r r 8 j ` B y es estrictamente decreciente donde sen x es creciente, es decir, en los intervalos , , y0 2 2 3 2 r r ` B 8 rj. 6. y = csc x es una función que no tiene ni valor máximo ni valor mínimo. Además no se anula en ningún punto, esto es, la curva de la función no toca al eje x en ningún punto. 7. y= csc x es continua en todo su dominio, es decir, en el conjunto "x xnn ! ! R Z / , ! r ,. Actividades 18. Indica cuáles de las siguientes gráficas no representan la función y = sec x. Elabora un argumento que explique cada respuesta. 19. Elabora una tabla de valores para la función sen 1 y x = , utilizando la calculadora. Luego, grafícala y compárala con la función y = csc x. ¿Qué se puede concluir con respecto a la gráfica de las dos funciones? 20. Responde las preguntas usando la gráfica de la función correspondiente. a. ¿Cuál es el intercepto de la función y = sec x con el eje y? b. ¿Cuál es el intercepto de la función y = sec x con el eje x? c. ¿En qué intervalos entre 0 y 2r la gráfica de la función y = sec x es creciente? d. ¿En qué intervalos entre -2r y 0, la gráfica de la función y = csc x es decreciente? e. ¿Para qué valores de x la gráfica de la función y = csc x tiene asíntotas verticales? 21. Utiliza la gráfica de las funciones trigonométricas correspondientes para indicar los valores x que satisfacen cada ecuación en el intervalo indicado. a. sec x = 1 para -2r # x # 2r b. sec x = -1 para -2r # x # 2r c. csc x = 0 para -2r # x # r d. sec x = 0 para -r # x # r e. csc x = -1 para -2r # x # 0 f. csc x = 1 para -r # x # r 22. Grafica en tu cuaderno y en un mismo sistema de ejes coordenados, las funciones y = sec x y y = csc x para el intervalo [-2r, 2r] y responde: a. ¿Para qué valores no está definida cada función? b. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos de corte de las dos funciones? c. ¿Cuáles son las diferencias entre las gráficas de estas dos funciones? a. c. b. d. -3 2 3 2 2 - 2 - x y -1 -2 -3 3 2 1 0 - 4 3 4 4 x y -1 -2 -3 3 2 1 0 - x y -2 -4 -6 6 4 2 - 0 2 -3 2 3 2 2 x y -1 1 - 0 2 2

258 © SANTILLANA 7. Amplitud y período de las funciones trigonométricas Sea f una función periódica cuyo valor máximo es M y valor mínimo es m. La amplitud |A| de la función f se define como el valor absoluto de la mitad de la diferencia entre M y m. Es decir, A Mm ( ) 2 1 = - El período de una función trigonométrica está directamente relacionado con el ángulo en que se completa la función. En general, las funciones y = A sen x y y = A cos x tienen amplitud |A| Si A y B son números reales, el período de las funciones y = A sen Bx y y = A cos Bx es: T B donde B 2 > 0 r = x sen x 3 sen x 3 r - 2 3 - 2 3 3 - 6 r - 2 1 - 2 3 - 00 0 6 r 2 1 2 3 3 r 2 3 2 3 3 2 r 1 3 3 2r 2 3 2 3 3 6 5r 2 1 2 3 r 0 0 2 3r -1 -3 2r 0 0 Tabla de valores de y = 3 sen x Graficar la función y = 3 sen x. Luego, construir la tabla de valores. La gráfica de la función y = 3 sen x se puede obtener a partir de la gráfica de y = sen x, multiplicando cada valor de sen x por 3. En particular, el valor máximo de y = 3 sen x es 3 y el valor mínimo es -3. Luego, la amplitud de y = 3 sen x es 3. El período de y = 3 sen x es 2r, es decir, la gráfica de y = 3 sen x se repite cada 2r veces. Los ceros de la función están en x = nr, n ! Z, es decir, la gráfica de y = 3 sen x corta el eje x en r, 2r, 3r, … La gráfica de la función es la siguiente: La tabla de la izquierda corresponde a la tabla de valores de y = 3 sen x obtenida a partir de la tabla de valores de y = sen x. Determinar la amplitud y el período. a. Para la función y = 5 sen x Amplitud: |A| = |5| = 5 Período: T B 2 1 2 2 r r === r 1 2 Ejemplos y sen x y 3 sen x 0 x y - 2 3 2 2 5 3 2 -2 3 -3 -3 2 - 2 2 1 -1 -2 A 3

© SANTILLANA 259 Sigue Alto ¿Dudas? Sí No b. Para la función 2 sen 2 y = x r Amplitud: |A| = |2| = 2 y período: T B 2 2 2 4 r r r === La gráfica de la función se observa en la figura 10. c. Para la función 2 5 y = cos 3x Amplitud: A 2 5 2 5 = = y período: T B 2 3 r r2 = = La gráfica de la función se observa en la figura 11. Escribe la ecuación que corresponda a cada gráfica. a. En la gráfica de la función se observa que el valor máximo es 3 y el valor mínimo es -3, por lo tanto: Amplitud: La gráfica se completa después de r unidades, de modo que: período Como T B 2r = entonces La ecuación que describe la gráfica es de la forma y = A sen Bx. Así, la ecuación correspondiente es: b. En la gráfica se observa que |A| = 5 y T = 8. A partir del período se encuentra el valor de B. B T 2 8 2 4 r rr === La ecuación que describe la gráfica es de la forma y = A cos Bx. Al sutituir la amplitud y el período se obtiene: y x 5 cos 4 r = Esta gráfica también representa al seno, si se considera que el ángulo se desplazó dos unidades a la izquierda. y x 5 sen 4 2 r = + ` j 3 2 y 2 sen x x y y sen x -2 -1 1 1234 0 2 5 3 6 5 2 5 2 y cos 3x 5 2 - 6 2 2 3 x y y cos x 1 2 -1 -2 0 Figura 11 Figura 10 .a .b 4 3 4 2 4 - 2 - x y -4 -2 -3 -1 2 0 4 1 3 x y -8 -4 -2 4 2 0 8 -6 12345678 6 -2 -1 Observa el dibujo de un resorte que suspende una masa de 1 kg. La posición de la masa está dada por la expresión y = 5 cos 20 t, donde el tiempo t está expresado en segundos y la posición y en centímetros. Cuando t = 0, el resorte está comprimido en la posición A. a. Halla el valor de A. b. Calcula la posición después de 20 segundos. Para desarrollar Lógica-matemática y espacial

260 © SANTILLANA Identidades trigonométricas Una identidad es una igualdad entre dos expresiones que contienen una o más variables, y que es válida para todo valor de la variable en que las expresiones estén definidas. Por ejemplo, las igualdades xxx y x x 523 x 1 1 1 2 = + - - = + son identidades algebraicas. La primera se cumple para cualquier valor de x y la segunda para todo valor real de x diferente de 1. Otros ejemplos conocidos de identidades algebraicas son: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y (m + n)(m - n) = m2 - n2 1. Identidades trigonométricas fundamentales Algunas identidades trigonométricas se determinan a partir de relaciones básicas, tanto aritméticas como geométricas. Dichas identidades son empleadas para transformar algunas expresiones en otras equivalentes, que faciliten las operaciones. Por tal razón, son denominadas identidades trigonométricas fundamentales. Las más importantes se deducen a continuación. 1.1. Relaciones pitagóricas Se deducen a partir de la aplicación del teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo, que se genera con un ángulo en posición normal sobre la circunferencia unitaria. • Demostración de sen2 a + cos2 a = 1 Sea a un ángulo en posición normal cuyo lado final corta la circunferencia unitaria en el punto P(x, y) (figura 12). En el triángulo OQP de la figura, por teorema de Pitágoras, se tiene que: x2 + y2 = 1 Y por definición x = cos a y y = sen a Entonces, x2 + y2 = 1 es equivalente a cos2 a + sen2 a = 1 Luego, sen2 a + cos2 a = 1, para todo a. Se puede comprobar asignándole valores al ángulo. Si 4 a r = , entonces sen cos 4 42 2 2 2 4 2 4 2 1 2 2 2 2 r r + = c c m m + =+= Si 3 a r = , entonces sen cos 2 2 1 4 4 1 3 3 2 2 3 3 1 2 2 r r + = =+= c m +` j Si 6 a r =- , entonces sen cos 1 2 1 2 3 4 1 4 3 6 6 2 2 2 2 r r -+ -= -` j + =+= c m Aquellas identidades en las que se establecen relaciones entre las funciones trigonométricas son llamadas identidades trigonométricas. Las identidades pitagóricas son tres: sen2 a + cos2 a = 1 sec2 a = tan2 a + 1 csc2 a = cot2 a + 1 Para pensar Comenta la diferencia entre una ecuación algebraica y una identidad algebraica y escribe tres ejemplos de cada una. P(x, y) (-1, 0) Q (1, 0) (0, -1) (0, 1) 0 1 x y Figura 12

© SANTILLANA 261 Sigue Alto ¿Dudas? Sí No • Demostración de sec2 a = tan2 a + 1 Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo OSR de la figura 13 se obtiene: OR RS OS 22 2 = + donde OR corresponde a la línea trigonométrica que representa sec a, RS corresponde a la línea trigonométrica que representa tan a y OS = 1. Así, sec2 a = tan2 a + 1 Esta identidad se satisface para todo ( ), n n Z 2 a! 2 1 ! r + , pues las funciones secante y tangente no están definidas para los múltiplos impares de 90°. • Demostración de csc2 a = cot2 a + 1 Para el ángulo a de la figura 14 se observa que OV = csc a y TV = cot a. Además, al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo OTV se obtiene la siguiente igualdad. OV TV TO 222 = + pero TO2 = 1, por lo tanto, csc2 a = cot2 a + 1 La anterior identidad se cumple para todo a ! rn, n ! Z ya que las funciones cosecante y cotangente no están definidas para los múltiplos de 180°. P R Q S (1, 0) (-1, 0) (0, -1) (0, 1) 0 x y Figura 13 P T V (-1, 0) Q (1, 0) (0, -1) (0, 1) 0 x y Figura 14 Expresar sen a en función de cos a y viceversa, a partir de la expresión sen2 a + cos2 a = 1. En la expresión sen2 a + cos2 a = 1 se despeja sen a, y se obtiene sen 1 cos2 a a = - ! Se despeja cos a en la expresión sen2 a + cos2 a = 1, y se tiene que cos 1 sen2 a a = - ! Calcula cos a, si se sabe que a está ubicado en el segundo cuadrante y sen 3 2 a = . Calcular sen a, si a está ubicado en el tercer cuadrante y cos a 5 3 = - . Como a es un ángulo ubicado en el tercer cuadrante, entonces sen a < 0. Así, al reemplazar cos 5 3 a = - en la expresión sen cos 1 2 a a = - ! Se obtiene sen 1 5 3 25 16 1 25 9 5 4 2 a = - - =- - =- =- ` j 1 2 3 Ejemplos y x II cuadrante -, + -, - III cuadrante I cuadrante +, + +, - IV cuadrante

262 © SANTILLANA Alto Sigue 1.2. Relaciones recíprocas Se deducen directamente de las definiciones de las funciones trigonométricas. Es importante recordar que si a es un ángulo en posición normal, cuyo lado final contiene el punto P(x, y), entonces, la distancia OP de su vértice al punto P está dada por r xy 2 2 = + (figura 15). Además, por definición sen r y a = y csc y r a = , si y ! 0. Por lo tanto, si sen a ! 0, entonces sen csc 1 a a = y csc sen 1 a a = , es decir, sen a csc a = 1 Del mismo modo, si cos a ! 0, entonces cos sec 1 a a = y sec cos 1 a a = , es decir, cos a sec a = 1 Y si tan a ! 0 se tiene que: tan cot 1 a a = y cot tan 1 a a = , es decir, tan a cot a = 1 r y x P (x, y) 0 Figura 15 Hallar sen a, si csc 2 5 a = . Empleando la relación recíproca sen csc 1 a a = se tiene que: sen 2 5 1 5 2 5 2 5 a = == Calcular cos a, si sec 2 1 a = . Como cos sec 1 a a = , entonces, cos 2 1 1 a = = 2 Encuentra el valor de cot a, si se sabe que tan a = 2 . Hallar la csc, si sen 2 2 a = . Por ser recíprocas csc a 2 2 2 21 = = Racionalizando csc a 2 2 2 2 2 2 2 = == # 2 1 2 3 4 Ejemplos ¿Dudas? Sí No Nassir Eddin 1201-1274 Astrónomo persa. Realizó diferentes estudios sobre la trigonometría plana y esférica, que plasmó en un libro que fue el primero en considerar la trigonometría como ciencia independiente y no como una herramienta de la astronomía.

© SANTILLANA 263 1.3. Relaciones que implican una razón entre dos funciones Las relaciones que implican la razón o cociente entre dos funciones se deducen a partir de la definición de las funciones trigonométricas. Utilizando la información de la figura 15 se tiene que: • Si x ! 0, entonces, sen cos tan r x r y x y a a = == a • Si y ! 0, entonces, sen cos cot r y r x y x a a = == a Luego, sen y sen tan cos cot cos a a a a a a = = Calcular el valor de todas las funciones trigonométricas para un ángulo a ubicado en el cuarto cuadrante, si se sabe que cos 3 2 a = . • A partir de la identidad pitagórica sen2 a + cos2 a = 1 se tiene que sen cos 1 2 a a = - ! Entonces, sen 1 3 2 3 2 5 a =- - =- ` j • Dado que sen tan cos a a a = entonces, tan 3 2 3 5 2 5 a = - = - • Como sen cot , cos a a a = entonces, cot 3 5 3 2 5 2 5 2 5 a = - =- =- • Se sabe que sec , cos 1 a a = por lo tanto, sec 3 2 1 2 3 a = = • Si sen csc 1 a a = , se tiene que csc 3 5 1 5 3 5 3 5 a = - =- =- Encontrar el valor de tan a si sen 2 1 a = - para un ángulo ubicado en el tercer cuadrante. Por estar ubicado en el tercer cuadrante cos 1 sen 1 2 1 4 3 2 2 3 2 a a = - =- - =- =- ` j Dado que sen cos tan a a a = entonces, tan 2 1 1 2 3 23 2 3 3 3 a = - - = == 1 2 Ejemplo No es correcto que los resultados contengan raíces en el denominador. Si las hay, la expresión se debe racionalizar. Para racionalizar la expresión 2 1 se multiplican el numerador y el denominador por 2 obteniendo 2 2 1 2 2 2 = ^ ^ h h Idea importante x " - y " - sen a 3 5 - cos a 3 2 tan a cot a sec a 2 3 csc a 2 5 - 5 2 5 - 5 3 5 -

264 © SANTILLANA Sigue Alto ¿Dudas? Sí No 2. Simplifi cación de expresiones trigonométricas Aunque no existe un método general para aplicar a todos los casos de simplificación de expresiones trigonométricas, en ocasiones resulta útil escribir todas las funciones trigonométricas involucradas en términos de una sola función trigonométrica. Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas. a. tan a + cot a Como cot tan 1 a a = y tan2 a + 1 = sec2 a, entonces, sen tan cot tan tan tan tan tan sec cos 1 1 cos 1 2 2 2 a a a a a a a a a a a +=+ = + = = sen sen cos cos csc sec 1 11 # aa a a == = a a Luego, tan a + cot a = sec a csc a. b. sen sec tan a csc a a ` - aj sen sen sen sen sen sen sec sen tan csc cos cos 1 1 1 a a a a a a a a a a a a ` -= - = - j f p ` j sen sen sen sec cos 1 1 2 2 2 a a a = a a - a k= - =- Así, sen sec tan csc cos2 a a a ` - =- a a j c. tan tan cot 1 1 2 2 a a a + ^ + h d. 1 cos csc 5 2 2 ^ - a a h sen sen 1 cos csc 5 1 5 5 1 2 2 2 a a a 2 - a = = ^ ^ h h Así, 5 1 cos csc 5 1 2 2 - a a = ^ h 1 Ejemplo Las identidades trigonométricas fundamentales son usadas, con frecuencia, para transformar expresiones trigonométricas complicadas, en otras más sencillas pero equivalentes. Para realizar esta transformación se utilizan los procesos algebraicos. Ptolomeo 90-170 Astrónomo, químico, geógrafo y matemático egipcio. Sus teorías astronómicas influyeron en el pensamiento matemático y astronómico hasta el siglo XVI. Inventó métodos trigonométricos basados en la función cuerda para utilizarlos en astronomía.

© SANTILLANA 265 Actividades 23. Escribe cada expresión en términos de seno. a. cot i ? tan i b. cot2 i c. cot i ? sec i d. 2 + tan i + 5 cos i e. 2 csc tan 2 2 2 i - i f. cot csc sec52 i i i - g. 5 tan2 i - 2 sec2 i h. -cot i - 6 sec2 i i. 3 + tan i - 3 csc i 24. Escribe cada expresión en términos de coseno. a. sec i + tan i b. 1 cot sec i i + c. 5 sec tan2 i i d. sen 3 tan2 cot i i i + e. 5 cos i + 3 csc i + tan i 25. Expresa la función dada en términos de la función que se indica en cada literal. a. tan2 i + 5 - 2 sec2 i en términos de sec i b. sec2 i + cot i en términos de tan i c. csc2 i + tan2 i + 6 en términos de cot i 26. Utiliza las identidades fundamentales para escribir una expresión equivalente a la expresión dada. Luego, simplifica. a. cos i ? tan i b. sen i ? cot i c. sec i ? cos i d. 1 sen cos 2 i i e. 1 tan2 + i ^ ^ 1 cos 2 - cos ih h 1 sen i 2 ^1

266 © SANTILLANA 3. Demostración de identidades Demostrar una identidad trigonométrica consiste en transformar uno de los miembros de la igualdad en términos del otro, utilizando para ello identidades trigonométricas ya conocidas. Algunas recomendaciones útiles en la demostración de identidades trigonométricas son: • Transformar el miembro más complicado de la igualdad en el miembro más simple. • Expresar, si es posible, las funciones trigonométricas en términos de seno y coseno. • Realizar las operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación o factorización, entre otras, para escribir la expresión de la forma más simple posible. 1 Ejemplo Demostrar que las siguientes igualdades son identidades. a. sen sen tan 2 t 2 2 2 a a cos a a 2 cos2 = + tana a 2 cot Al partir del lado izquierdo de la igualdad se tiene que: sen sen sen sen cos sen co cos cos cos s 2 2 2 2 2 2 2 cos a a cos a a 2 cos 2 a a cos a a a cos a = + sen a sen sen 2 cos cos tan cot 2 a a a a = + 2 cot a sen a = + tan a Así, se ha probado que sen sen 2 . cos cos tan c 2 2 2 a a cos a a cos 2 = + tan a 2 b. csc sec tan + t a a a a + cot = Para demostrar la identidad se parte del lado derecho de la igualdad porque es el miembro más complicado. Así, + sen sen sen sen sec tan cot cos cos cos cos cos cos 1 1 2 2 a a a cot a a a a a a a a cos a a cos 2 + = = sen sen sen cos cos cos csc 1 1 1 a a a cos a a a a = = = = a Luego, csc sec tan cot a a a a c = + c. sec tan . sec tan sec tan + - + a a a a a a = El miembro más complicado de la igualdad es . sec ta sec t + a tana tana Esta expresión se multiplica por el conjugado del denominador, así: Para realizar demostraciones es necesario recordar el procedimiento de la suma y resta de fracciones. b a d c bd ad bc ! ! También de la multiplicación y división. b a d c bd ac # b a d c bc ad ' d c b a bc ad Idea importante Cuando se desea eliminar el denominador de un radical, este se debe convertir en una expresión que tenga raíz cuadrada exacta, en este caso la unidad. Para lo que se multiplican tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador. Se le llama conjugada a la expresión que difiere solo en el signo. a + b " a - b sec a - tan a " sec a + tan b Idea importante

© SANTILLANA 267 ? sec ta sec ta sec ta sec ta sec ta sec ta 2 2 t 2 tan a tan a tan a tan a tan a2 + tan a + + = ^ + h sec ta sec ta sec ta 1 1 2 tan a tan a = tan a + = + = + sec ^ h Por lo tanto, queda demostrado que: sec ta sec ta sec ta tan a tan a tan a + = tan a + d. sen sen 1 cos sen tan sec 2 1 3 3 3 a a a a a a - + = - - Se parte del lado izquierdo de la igualdad, se sen 2 sen (se ) cos (sen )( ) cos cos c )(sen se os cos 2 1 sen2 3 3 2 2 ( 2 2 2 cos a a a cos 3 a a (sen a a cos sen a a cos 2 = + 2 (sen a + )(sen2 cos a sen (sen )( sen ) cos cos c )(sen cos 2 2 2 2 a a cos 2 a cos a2 a a cos = + )(sen2 cos a (sen )( n ) (sen )( sen ) sen sen cos )(sen cos c )(1 sen os cos 1 cos a cos a cos a a cos a a cos a a cos = + cos a)(sen + cos a)(1 = - Luego, se transforma el lado derecho de la igualdad en una expresión más sencilla, así: - sen a se sen sen sen tan sec cos cos cos cos cos cos 1 1 1 1 a a a sen a a a a a a cos a a a cos - = - = - (sen ) (1 n ) sen 1 sen cos c (se os cos ( sen cos cos a a (sen a a(1 sen a a cos a a cos = = Se observa que al transformar los dos miembros de la igualdad, de manera independiente, se obtienen expresiones idénticas. Luego, se ha demostrado que: se sen sen cos sen se 2 1 sen cos tan 1 1 3 3 2 a a a cos 3 a a cos a a a a a sen = - = - Por lo tanto, 2 sen 1 sen se tan 1 2 3 3 a a3 a a a sen - = - e. cos cos csc cot 1 1 1 1 2 a a a a - - + = En este caso se desarrollan ambos miembros de la igualdad. Se obtiene el denominador común y aplican las identidades en el segundo término. cos sen sen cos cos cos 1 1 1 2 1 2 a a a a a a - + -- = ^ ^ h h sen cos cos cos 1 1 cos 1 2 2 2 a a a a + + a - - = sen sen 2 2 cos cos 2 2 a a a a = La igualdad corresponde a una identidad trigonométrica. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la onda senoidal, es decir, similar a la onda formada por la función seno. La corriente puede expresarse matemáticamente según sus parámetros como una función del tiempo por medio de la siguiente ecuación: V = Vm sen 2rft Donde Vm es la amplitud en voltios o amperios, f es la frecuencia en Hz y t, el tiempo en segundos. Idea importante

268 © SANTILLANA Actividades 27. Factoriza las siguientes expresiones: a. sen2 i - 2 sen i + 1 b. cos2 i - 1 c. tan2 i + 5 tan i + 4 d. cos4 i + 2 cos2 i + 1 e. cos2 i - sen2 i f. sen2 i cos2 i - cos2 i g. sec4 i - 1 h. sen3 i + cos3 i i. 5 - 5 cos2 i j. tan3 i - 1 k. 1 + cot5 i l. csc2 i - csc i m. 1 - tan4 i n. csc4 i - cot4 i 28. Utiliza los productos notables para verificar si las igualdades son correctas. Explica las respuestas. a. (sen i + 1)2 = sen2 i + 1 b. (cos2 i - 2)2 = cos4 i - 4 cos2 i + 2 c. (tan i - cot i)3 = tan3 i - cot3 i d. (sen i - 1)(sen i + 1) = sen2 i - 1 e. (sen i - tan i)2 = sen2 i + 2 sen i tan i + tan2 i f. (sec i + tan i)3 = sec3 i + 3 sec2 i tan i + 3 sec i tan2 i + tan3 i g. (sen i + cos i)(sen i + cos i) = (sen i + cos i) 2 29. Realiza las operaciones indicadas. Luego, simplifica si es posible. a. sen i + 3 sen i - 5 sen i b. cos i + 4 cos i - tan i c. sen 5 se 2 1 i i 5 n d. sen sen 1 cos i i i i - e. ta tan 1 1 n tan 1 i i + i + f. sen cos 1 1 2 i i - - g. sen sen 1 i - i h. 1 sen cos 1 sen cos i i i i + i. cot tan tan cot i i i i - 30. Verifica las siguientes identidades en tu cuaderno y escribe en las líneas si se cumple o no. a. tan i ? cot i = 1 b. cot i ? sen i = cos i c. cos i ? sec i = 1 d. csc i ? cos i = cot i e. cot tan cos 1 2 1 a a a = - f. c sec tan sc a a = a g. sen2 i (1 + cot2 i) = 1 h. (1 - sen2 a)(1 + tan2 a) = 1 i. cos a (tan a + cot a) = csc a j. tan a cot a - sen2 a = cos2 a k. (sec i - 1)(sec i + 1) = tan2 i l. (csc i + 1)(csc i - 1) = cot2 i 31. Verifica en tu cuaderno las siguientes identidades. a. (sen i - cos i)2 + (sen + cos i)2 = 2 b. sec i - sen i tan i = cos i c. sen i (csc i - sen i) = cos2 i d. (1 - cos2 i)(1 + cot2 i) = 1 e. (csc i - 1)(csc i + 1) = cot2 i f. 1 sen sec ta cos i i tan i i tan i = g. sen sen cos cos 1 i ta i i in i + = h. ( ) cos cos 1 2 1 i i i i ) =2 - + i. sen sec ta cos 4 1 2 2 i i tan4 i i an i = 4 + j. 4 cos cos cos cos cot csc 1 1 1 1 i i i i i i ? csc - + - + - =

© SANTILLANA 269 4. Identidades para la suma de ángulos Sean a y b dos ángulos consecutivos en posición normal, tales que P es un punto en el lado final de a + b y R es un punto del lado final de a. En la figura 16, PQ es perpendicular a OS y PR es perpendicular a OR . Luego, \RPQ es congruente con \ROS. Además, TQ = = RS y QS TR . Así, sen( ) OP PQ OP PT TQ OP PT OP TQ OP PT OP RS a b) = = + = + OP PT = + OP PT ? ? OP PT PR PR OP RS OR OR PR PT OR PR OR RS OR OR = + ? OP PT PR PR = + ? PR PT OR PR = cos a ? sen b + sen a ? cos b = sen a ? cos b + cos a ? sen b cos( ) OP OQ OP OS QS OP OS OP QS OP OS OP TR b) = = + =-= Q - ? ? OP OS OR OR OP TR PR PR OR OS OP OR PR TR OP PR = - ? = - ? = cos a cos b - sen a sen b Es decir, cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b k. tan cos cot 1 se 2 2 i i cos2 i i sen2 + = cot 2 sen i 2 l. sen cos 1 cos 1 2 = m. ( ) cos cos 1 1 2 i i i i + - = ( n. 1 sen tan cos i sec i i + i + = o. tan tan cos 1 1 2 2 1 2 2 i i i + - = 2 cos p. 1 sen se sec 1 1 2 2 i i 1 sen + = i q. sen sen sen cos cos cos 1 3 i i cos i i cos 3 = -1 i i cos r. 1 sen 1 sen 1 sen 1 sen 4 tan sec i i i i i i sec + - + = s. sen sec sec ta tan cos 2 i i i tan2 i i i cos tan i + 2 = sen i t. 1 se 1 se sec ta i i sen i i sen i i tan + i + i = seci u. ( ) sec ta 4 sec ta 2 2 2 i i tan4 i i2 i i tan2 = sec2 v. ( ) ( ) 1 sen cos 5 iii ) ( ) 6 i i i ) 6 = w. 1 3 sen s s c en os 2 6 i i2 i i cos6 3 sen = 2 i 2 x. 1 tan s ( ) ec 2 ( i i ) sec2 + tan ( 2 y. sen( ) ( ) sen se ( ) ( ) cos cos 2 ( i i ) ( i i ) cos ( 2 i i sen - i) ) = - z. 2 |seni i | |1 cos | |1 cosi| 32. Utiliza la identidad: tan tan tan ta 3 1 3 3 i 2 i i i tan3 = para demostrar que cot cot cot cot 3 1 3 3 i 2 i i i cot3 = . Luego, sen s ( ) b = en a b cos + cosa b sen T Q S R P y x 0 Figura 16 Entre paralelas cortadas por una secante, los ángulos alternos internos, alternos externos, opuestos por el vértice y correspondiente; son iguales. ab dc ti {v a = c a = t a = v Idea importante

270 © SANTILLANA Por último, ( ) ( ) sen sen ( ) sen tan cos c ( ) os b b b a b cos a b sen a b a b sen ) = = - + sen sen sen sen sen sen cos cos cos cos cos cos cos cos cos 1 # a b cos a b cos a b cos a b sen a b cos a b a b cos a b sen a a b b a a b b = - + = - + tan tan 1 a b tan a b tan = - Por lo tanto, ( ) 1 tan tan tan tan tan a b a b a b + = - + 1 Ejemplos Hallar sen 135°, cos 135° y tan 135°, expresando 135° como la suma de dos ángulos notables. Al expresar 135° = 90° + 45° se tiene que: • sen 135° = sen (90° + 45°) = sen 90° cos 45° + cos 90° sen 45° 1 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 # # 2 =+= 1 0 2 2 2 # # 2 + =0 • cos 135° = cos (90° + 45°) = cos 90° cos 45° - sen 90° sen 45° 0 2 2 1 2 2 0 2 2 2 2 # # 2 = 0 # 1 = -0 = - • sen tan cos 135 135 135 2 2 2 2 ° 1 ° ° = = = - - Luego, sen135° ; cos t 135° y an 135° 1 2 2 2 2 = ; cos 135° y tan 135° Determinar una expresión equivalente para sen( ) y cos( ). • sen (a + r) = sen a cos r + cos a sen r = sen a(-1) + cos a(0) = -sen a + 0 = -sen a • cos (a + r) = cos a cos r - sen a sen r = cos a(-1) - sen a(0) = -cos a - 0 = -cos a Así, sen (a + r) = -sen a y cos (a + r) = -cos a Comprobar que sen (a + r) = -sen a, con a = 45°. sen (a + r) = sen (45° + 180°) = sen 225° = 2 2 - -sen a = -sen 45° = 2 2 - Por lo tanto, sen (a + r) = -sen a 2 3 y 1 x 1 -1 -1 θ + π θ Jean-Baptiste Joseph Fourier 1768-1830 Matemático y físico francés. Sus experimentos sobre la propagación del calor fueron las bases para el estudio de la termodinámica. Desarrolló el teorema de la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas.

© SANTILLANA 271 33. Escribe cada expresión como el seno o el coseno de un solo ángulo. a. cos cos n sen 2 3 4 1 2 3 4 1 - b. sen sen 8 7 8 8 7 8 r r r r + c. cos 35° cos 27° - sen 35° sen 27° d. sen(a b) ( b a + b b ) sen e. cos c ( ) h cos h x sen( + h h )sen 34. Escribe cada ángulo como la suma o la diferencia de dos ángulos especiales. Luego, halla el valor de la expresión sin usar calculadora. a. sen 12 5r d. tan 12 19r g. cos 165° b. cos 12 7r e. sen 12 19r h. cot 12 5r c. tan 12 5r f. tan 195° i. csc 12 5r 35. Escribe V, si la igualdad es verdadera, o F. si es falsa. Jusifica la respuesta. a. cos 70° cos 20° - sen 70° sen 20° = 0 b. sen sen 12 12 7 12 12 7 2 r r7 r r7 1 + = sen 12 r r7 c. 1 20° 25° 20° 25° 1 tan t 20° an tan t 20° + an = d. sen sen 18 18 5 18 18 2 r r5 r r 3 + = sen 18 e. sen 40° cos 50° - sen 50° cos 40° = 0 36. Halla el valor de sen( ) a b y cos( ) a b para cada condición. a. Si a y b son ángulos en posición normal en el primer cuadrante, sen 5 4 a = y cos 3 1 b = - . b. Si a y b son ángulos ubicados en el tercer cuadrante, sen 3 2 a = - y cos 3 1 b =- . c. a está ubicado en el primer cuadrante, b está ubicado en el segundo cuadrante, sen 4 1 a = y cos 5 2 b = - . 37. Trabaja env tu cuaderno las siguientes identidades. a. sen cos 2 i r ` + j = i b. tan t ( ) i an i c. sen cos 2 3r ` + i i j cos d. sen sen( ) 1 cot a b cos a b = +1 a b tan e. ( ) cos cos 1 tan a b cos b = -1 a b tan f. sec( ) cot csc 1 b a b cot a b csc ) = - 5. Identidades para la diferencia de ángulos Las identidades para la diferencia de dos ángulos a y b son las siguientes. sen (a - b) = sen a cos b - cos a sen b cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b tan( ) tan tan 1 b a b tan a b tan ) = + Actividades y x b a 0 D F G E C

272 © SANTILLANA Las identidades para la diferencia de ángulos se deducen a partir de las identidades para la suma de ángulos así: • Demostración de sen (a - b) Como la función seno es impar se tiene que sen (-a) = -sen a Por lo tanto, sen (a - b) = sen [a + (-b)] = sen a cos (-b) + cos a sen (-b) = sen a cos b + cos a (-sen b) Luego, sen (a - b) = sen a cos b - cos a sen b • Demostración de cos (a - b) Como la función coseno es par se cumple que cos (-a) = cos a. cos (a - b) = cos [a + (-b)] = cos a cos (-b) - sen a sen (-b) = cos a cos b - sen a (-sen b) Así, cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b. • Demostración de tan (a - b) La función tangente es impar, por tanto, tan (-a) = -tan a. Entonces, tan (a - b) = tan [a + (-b)] = ( ) ( ) tan tan 1 a b tan( a b tan( - tan tan( tan( ( ) ( ) tan tan 1 a b ( a b ( = - tan ( ( Por lo tanto, tan (a - b) = tan tan 1 a b tan a b tan + Funciones pares e impares • La función seno es impar: sen(-a) = -sen a para todo a. • La función coseno es par: cos(-a) = cos a para todo a. • La función tangente es impar: tan(-a) = -tan a para todo a. Idea importante 1 Ejemplo Calcular sen 12 r , cos 12 r y tan 12 r , escribiendo 12 r como la diferencia de dos ángulos notables. Como 12 r = 4 r - 6 r , entonces, • sen 12 r = sen 4 6 r r a - k = sen 4 r cos 6 r - cos 4 r sen 6 r 2 2 2 3 2 2 2 1 4 6 4 2 4 6 2 = - # # =-= • cos 12 r = cos 4 6 r r a - k = cos cos sen sen 4 6 c 4 6 sen r r r r + 2 2 2 3 2 2 2 1 4 6 4 2 4 6 2 # # 2 2 = + 2 2 3 # 2 =+= 4 6 4 2 También se puede resolver considerando que: 12 3 4 = y -1 1 x -1 4 3 3 2 1 2 2 2 2 ( ) , ( ) ( ) , 1 2 3 2 2 , 6 2 1 60° 3 2 1 1 45° cos cos cos cos sen sen 12 3 4 3 4 3 4 2 1 2 2 2 3 2 2 4 2 4 6 4 2 6 # # r rr r r r r = -= + = + =+= + a k

© SANTILLANA 273 Sigue Alto ¿Dudas? Sí No Actividades 38. Demuestra las siguientes identidades. a. sen cos 2 i r ` j = i b. cos sen 2 i r ` - =j - i c. tan (r - i) = -tan i d. tan (2r - i) = -tan i e. sen (r - i) = sen i f. sen (a + b) + sen (a - b) = 2 sen a cos b g. cos (a + b) - cos (a - b) = 2 cos a cos b h. ( ) sen cos cot a b cos b = cot a b tan i. ( ) ( ) tan tan cos cos 1 1 a b tan a b tan b b + - = j. sen (a - b) sen (a + b) = sen2 a - sen2 b k. sen( ) sen( ) tan tan a b tan a b tan a b a b = l. tan tan tan 3 1 3 3 i r i i + = 3 + ` j 39. Halla el valor exacto de cada expresión. a. sen sen 5 4 4 -1 3 ` ` 5 -4 j 4 3 tan ` 1 8 - B b. sen s t en 2 5 4 1 1 3 sen -1 5 - 8 ` jB c. cos csc 4 3 c r -1 5 8 B d. sen sec tan 2 3 3 1 1 2 tan 3 - -1 8 B e. cos c sen os 2 1 2 1 1 3 cos -1 1 ; E 40. Observa cada demostración y determina si es correcta o no. Justifica la respuesta. a. sen (a - b) sen (a + b) = sen2 a - sen2 b sen (a - b) ? sen (a + b) = (sen a cos b - sen b cos a) (sen a cos b - sen b cos a) = sen2 a cos2 b + sen2 b cos2 a = sen2 a (1 - sen2 b) + sen2 b (1 - sen2 a) = sen2 a - sen2 a sen b - sen2 b + sen2 a sen b = sen2 a - sen2 b b. sen cos 2 r` i i j c sen sen cos c se os 2 2 sen 2 r i r i i sen r ` ij = = 1 ? cos i - sen i ? 0 = 1 ? cos i = cos i • tan tan 12 4 6 r r r tana - k = Las inversas de las funciones trigonométricas son las funciones arco, que consisten en determinar el valor del ángulo. Para indicar que se trata de la función inversa se utiliza -1 como exponente. Por ejemplo, para determinar el valor del ángulo, si sen a = 0.5 se escribe a = sen-1 0.5 Utilizando la calculadora: Se obtiene a = 30° Idea importante sin 0.5 = Shift 2a f Inv

274 © SANTILLANA 6. Identidades para ángulos dobles Las identidades para ángulos dobles son: Estas identidades se demuestran con base en las fórmulas para la suma de ángulos. • Demostración de sen 2a Como sen 2a a = + sen ( a a a ) sen a cos + sen , a a entonces, sen s 2 2 en a cosa • Demostración de cos 2a Como cos 2a cos c ( ) osa cos - sen s a a en , entonces, cos c 2 os sen 2 2 a a cos sen 2 cos a - a 2 • Demostración de tan 2a tan ta ( ) tan ta tan ta tan tan 2 1 1 2 tan( 2 tana tana a a tan( = - + = - Por tanto, . tan tan tan 2 1 2 a 2 a a = - 1 Ejemplos Demostrar las siguientes identidades. a. cos 2 1 2 2 a a 1 sen Se parte del lado izquierdo de la igualdad y se utiliza la identidad para el coseno del ángulo doble. Así: cos c 2 1 os sen ( sen ) sen s 1 2 e 2 2 n 2 2 ) sen 2 cos a (1 sen a a 1 2 sen2 cos (1 sen ) - 1 Por tanto, s s 2 1 2 e 2 a a 1 2 sen2 1 b. cot t 2i i an csc 2i En la igualdad cot t 2 2 i i tan csc i se parte del lado izquierdo, así: sen sen n sen sen cot ta cos cos c sen os cos cos 2 2 2 2 2 i i tan i i i i i i cos i i sen2 i i tani = + = sen i i + sen ( s ) ( sen ) cos cos sen ) se ( sen cos 2 2 s i i cos 2 i i ( 2 i i ) sen i i cos = sen2 i) sen sen cos cos s c se os 2 3 i i cos 2 i i sen2 i i 2 sen2 i = sen i 2 i se sen sen cos sen cos c se os cos cos cos 2 2 sen 2 cos 1 3 2 sen i i cos 2 i i sen2 i i i cos 2 cos i 2 i i i i cos = = + = ^ h sen csc 2 1 2 i = = i Por lo tanto, cot 2i + tan i = csc 2i. sen se ; sen ; cos cos cos 2 2 2 2 2 sen 2 sen a a a a cos2 - a tan tan tan 2 1 2 a 2 a a = - La fórmula relativa al desplazamiento “y” de una molécula de aire a causa de un sonido simple, como el de un diapasón, durante un tiempo t, se representa como: y = D sen 2rft donde D es la amplitud o desplazamiento máximo y f es la frecuencia o número de oscilaciones por segundo. Utiliza una identidad para ángulo doble y escribe una ecuación equivalente, para calcular el desplazamiento de la molécula. Para desarrollar Lógica-matemática

© SANTILLANA 275 7. Identidades para ángulos medios Las identidades para el ángulo 2 a están dadas por las siguientes expresiones: Para deducir las identidades para el ángulo medio se define 2 b a = , así: • Demostración de sen 2 2 1 ! a a cos = Como cos 2b = 1 - 2 sen2 b, entonces, cos a = 1 - 2 sen2 2 a . Al despejar sen 2 a se obtiene: 2 sen2 2 a = 1 - cos a, entonces sen cos 2 2 1 ! a cosa = ! • Demostración de cos 2 2 1 ! a a cos = + Como cos 2b = 1 - 2 cos2 b - 1, entonces, cos a = 2 cos2 2 a - 1. Al despejar cos 2 a se obtiene: 2 cos2 2 a =1 + cos a, Luego, cos cos 2 2 1 ! a cosa =! + sen ; ; . sen cos tan cos 2 2 1 2 2 1 2 1 ! ! ; cos cos 2 a a 1 cos ! a a 1 cos ! a a a = + = - Sigue Alto ¿Dudas? Sí No 2 Demuestra que sen 3a = 3 sen a - 4 sen3 a. 1 Ejemplo Demostrar las siguientes identidades trigonométricas. a. sen sen cos 2 2 2 a a a = sen cos cos cos cos 2 2 cos 2 1 2 4 1 2 a a cosa a = - + cosa 1 = - 4 sen se . 2 2 a a sen = = Por lo tanto, sen sen cos . 2 2 2 a a a = El alcance máximo x de una bala de cañón al ser disparada se puede determinar por la expresión: sec tan x g 2 2 0 2 i o i = Donde o0 es la velocidad inicial con la cual es disparada la bala. i Realiza la serie de pasos a seguir para demostrar que el alcance viene dado por la expresión: Para desarrollar Logica-matemática sen ( ) x g 0 2 2 o i =

276 © SANTILLANA b. 2 csc tan cot 2 2 i i i = + tan 2 i El lado derecho de la igualdad se transforma así: sen cos sen tan cos cos cos cos cos 2 2 cot 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i i i i a i a + = cot 2 i + = 2 i + - + - + cos cos cos cos cos cos 1 cos 1 cos 1 cos i i cos i i 1 cos i i 1 cos = + cosi 1 cos + +1 ( ) ( ) sen cos ) ( cos cos 1 1 s 2 2 ) 2 i i i ) ( 2 i i i 1 cos = - ) 2 = cosi sen 2 . 2 i = = i Por lo tanto, tan 2 . 2 2 cot i i + = i 2 i Actividades 41. Encuentra el valor exacto de sen 2a y cos 2a en cada caso. a. sen , 0 5 2 2 a a , 0 < < 5 r b. cos , 5 4 2 3 a < < 2 r = a r < c. tan , 2 3 2 3 a r, < < 2 3 a r d. sec a 2 0 , csc e. cot 2 0 , s ce 42. Halla el valor exacto de cada expresión, utilizando las identidades del ángulo medio. a. sen 8 r b. cos 8 r c. tan 8 r d. cos 195° e. cot 8 9r f. sen 165° 43. Demuestra cada una de las siguientes identidades. a. cos 2i = 2 cos2 i - 1 b. cos 2i = 1 - 2 sen2 i c. cos 2θ = cos4 θ - sen4 θ d. sen sec sec 2 2 2 2 i i i = - e. (sen i + cos i)2 = 1 + sen 2i f. sen 2 cos cot ta 2 2 cos i i = coti i tan g. sec 2 1 cos 2 i 2 i = + h. csc s 2 ec csc 2 1 i i sec i i. 1 cot sec sec 2 2 i 1 i i = - + Explica por qué sen 2a no es igual a sen a + sen a. Para desarrollar Lingüística

© SANTILLANA 277 Actividades 44. Relaciona cada expresión de la derecha con su valor exacto de la izquierda. a. 7 24 tan t 2 an 4 -1 3 ^ h ` j b. 1 cos c 2 os 5 -1 4 ^ h ` j c. 2 3 sen s 2 en 2 -1 3 ^ h c m d. 25 7 45. Verifica si las fórmulas sen (n + 1)A = 2 sen nA - sen (n - 1) A y cos (n + 1)A = 2 cos nA - cos (n - 1)A sirven para determinar el valor del seno o el valor del coseno de los múltiplos de un ángulo dado. Utiliza para esto los siguientes valores: a. sen 5i b. cos 5i c. sen 6i 8. Transformación de productos en sumas o diferencias En algunas ocasiones es necesario expresar un producto de dos funciones trigonométricas, como una suma o una diferencia. Las identidades que permiten hacer estas transformaciones se enuncian a continuación. Estas identidades se deducen a partir de las sumas de las fórmulas para la suma y la diferencia de ángulos. • Demostración de sen sen ( ) sen ( ) 2 1 a b cos = sen ( b) + a b 2 1 6 @ sen ( s (sen ) sen ) ) sen ( ( ) sen 2 b b b sen b a b a b sen a b cos ) = + - (sen a b = Luego, sen sen ( ) sen ( ) 2 1 a b cos = sen ( b) + b 2 1 6 @ • Demostración de cos sen( ) ) sen( 2 1 a b sen = 6sen(a b) a b @ sen ( s (sen ) 2 sen b) ) sen ( b ( ) sen b sen b a b a b sen a b cos ) = -(sen Luego, cos sen( ) sen( ) 2 1 a b sen = 6sen( ) b - b @ • Demostración de cos cos c ( ) os( ) 2 1 a b cos = cos( b) + a b 2 1 6 @ ( ( ( sen n ) 2 cos ) ) ( ( ) sen cos b ( b) ( b sen b b a b sen a b cos ) = +( = sen sen ( ( ) ) 2 1 a b = sen ( b a b 1 6 (a @ cos sen ( ) ( ) 2 1 a b sen = sen ( b a b 1 6 (a @ cos ( ( ) ) 2 1 a b cos = ( b b 1 6 ( @ sen ( ) ) ( 2 1 b 6 (a b b @ El proceso rítmico de la respiración consiste en períodos alternos de aspiración y espiración. Normalmente, un ciclo completo dura cinco segundos. Si f(t) representa la corriente o flujo de aire en el instante t, en litros por segundo, y si el flujo máximo del aire es 0.6 litros/s, plantear una función de la forma f(t) = a sen bt que se ajuste a la información anterior. Para desarrollar Lógica matemática sen 2 cos 2 2 -1 2 ^ h c m

278 © SANTILLANA Verificar la identidad sen cos tan 5 7 5 7 6 a a cos 7 a a sen 7 = a. Usando las identidades para transformar sumas en productos, en el lado izquierdo de la igualdad, se tiene: 1 Ejemplo Por lo tanto, cos cos c ( ) os( ) 2 1 a b cos = cos( b) + b 2 1 6 @ • Demostración de sen cos c ( ) os( ) 2 1 a b sen = 6cos(a b - cos(a b @ ( ( ( sen n ) sen cos ) ) ( ( ) sen 2 b b b sen b b a b sen a b sen ) = -( = Por lo tanto, sen n ( ) ( ) 2 1 a b sen 6 (a b (a b @ 9. Transformación de sumas o diferencias en productos Las identidades que permiten transformar sumas o diferencias en productos se obtienen mediante sustituciones apropiadas para a + b y a - b, en las identidades para los productos. Si A = a + b y B = a - b, entonces: • Demostración de sen A B sen 2 ( sen A B) (A B) 2 1 2 1 sen B = B) (A Si A = a + b y B = a - b, entonces, ( ) y ( ). 2 1 2 1 a b ( ) y 2 1 ( = ( Así, sen (a + b) + sen (a - b) = 2 sen a cos b, es equivalente a sen s A B en 2 sen (A B) (A B). 2 1 2 1 sen B B) (A • Demostración de sen A sen (A B)sen ( ) 2 1 2 1 sen (A B)sen ( Con la sustitución anterior se cumple que: sen sen 2 ^ ^ ab b + - h h - = a cos a sen b equivale a sen sen 2 A B AB AB cos sen . 2 1 2 1 -= + - ^ ^ h h sen s A B en 2 sen (A B) (A B) 2 1 2 1 sen B = B) (A sen s A B en 2 cos ( )sen (A B) 2 1 2 1 sen B = )sen (A cos A B cos c 2 os ( ) cos ( ) 2 1 2 1 cos B = ) cos ( 2 1 cos A B cos 2 sen s ( ) en ( ) 2 1 2 1 cos B = -2 sen ( 1 Idea importante La fuerza para mantener la caja en la rampa está dada por: donde w es el peso, i el ángulo de inclinación y n = tan i. sen (sen ) cos cos F w an a an a = - +

© SANTILLANA 279 Actividades 46. Expresa cada producto como una suma o una diferencia entre senos o cosenos. a. sen 3i sen 2i b. cos 5i sen 2i c. sen 4i cos 3i d. sen 2i cos 3i e. sen se 2 1 i i sen 3 f. sen cos 2 2 c i i3 g. cos 2i cos 3i h. sen 4i cos 4i i. sen 5i sen 6i j. sen 4i cos 3i k. cos sen 2 7 2 i i5 l. sen cos 2 3 4 i i 47. Expresa cada producto como una suma o una diferencia de ángulos. Luego, halla su valor exacto, sin usar calculadora. a. cos 75° sen 15° b. cos 135° cos 15° c. sen 45° cos 15° d. sen 45° sen 15° e. cos 45° cos 15° f. sen 135° sen 15° 48. Determina cuáles de las siguientes igualdades son correctas. Para las igualdades incorrectas, redacta un párrafo en donde se explique el error. a. sen i + sen 3i = 2 sen 2i cos i b. cos 2i + cos 4i = cos 3i cos i c. sen 5i - sen 3i = sen 2i cos 4i d. sen sen ( ) sen se 2 2 sen 3 2 i i 1 - = sen i i sen e. cos 3i - cos 5i = 2 sen 2i sen i f. cos cos sen sen 2 2 c 3 2 2 i i i i - = cos 49. Demuestra las siguientes identidades. a. cos cos cos cos 2 2 cos 3 i i i i cos 3 = b. se sen se cos 2 2 sen 3 i i i sen = i c. sen cos tan 4 8 cos 4 8 se 6 i i cos 8 i i sen 8 = i d. sen se cos cos tan 3 3 2 i i cos 3 i i sen 3 = i e. sen se cos cos tan 4 4 3 i i cos 2 i i sen 2 = i f. sen cos cot 4 6 cos 4 6 se i i cos 6 i i sen 6 = i g. sen cos cot i b sen 2 i b sen i b = - h. sen n cos tan x x x cos x x sen 2 3 3 = + + sen ( ) ( ) sen ( ) ( ) cos cos c ( ) os 5 7 cos 5 7 se 2 2 1 2 1 2 2 1 5 7 2 1 5 7 cos 7a sen 7a 7a 7a + + = ) cos ( 2 1 + - 7a) (5 ( ) ( ) sen cos cos cos tan 2 6 cos 2 6 sen 6 6 6 a cos( a cos( a a = = = a Luego, se ha demostrado que: sen cos tan 5 7 cos 5 7 se 6 cos 7a sen 7a a + + =

280 © SANTILLANA Una vez que se consiguen las soluciones de una ecuación es necesario comprobarlas, es decir, sustituir las variables en la ecuación original, por las soluciones, con el fin de verificar que satisfacen la igualdad. Existen varios criterios para clasificar las ecuaciones algebraicas. • Por el número de variables, las ecuaciones pueden ser de una, de dos o de n variables. • Por el término de mayor grado, las ecuaciones se clasifican en: ecuaciones de primer grado o lineales, ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, o ecuaciones de n grado. • Por la forma en que se presentan las variables se tienen: ecuaciones enteras, fraccionarias, racionales e irracionales. 1.1. Resolución de ecuaciones de primer grado con una variable Para resolver ecuaciones de primer grado con una variable se sugiere desarrollar los siguientes pasos: 1. Eliminar denominadores. 4. Simplificar. 2. Eliminar paréntesis. 5. Despejar la variable y encontrar el resultado. 3. Transponer términos. 6. Comprobar la solución. Para pensar Escribe una E si es ecuación y una I si se trata de una identidad. a b ( )( ) 2 2 b = )( 8a - 5 = 3a + 5 sen x = 1 a sen a csc 1 = cos a = sen a Resolver la ecuación: ( ) x 3 8 2( 4 6 1 - = - - . Siguiendo los pasos mencionados, se tiene que: ( ) x 3 8 2( 4 6 1 - = - - ( ) x 24 3 8 2( 24 4 6 1 - = - 24 4 - : D 8 B ( ) ( ) x x x x 72 6( 96 4( 72 30 6 9 x 6 4 4 6 4 x 96 4 72 30 2 5 x 0 2 50 25 - 6( = 96 - + 30 96 + 4x = - 4 + = = Finalmente, se verifica la respuesta y se comprueba que satisface la igualdad original. 1 Ejemplo Una ecuación es una igualdad que solo se cumple para valores especiales de las variables que se encuentran en ella. Por ejemplo, la igualdad (x + 2)(x - 2) = 0 es una ecuación, pues se cumple solo si x = -2 o x = 2. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las variables o soluciones que la hacen verdadera. Para determinar las soluciones de una ecuación se transforma sucesivamente la ecuación original en otras equivalentes hasta despejar la variable. Ecuaciones trigonométricas 1. Ecuaciones Johann Müller 1436-1476 Astrónomo y matemático alemán. Estableció la ley del seno, con la que determinó el área de un triángulo si se sabe la medida de sus lados y el ángulo que lo sustenta.

© SANTILLANA 281 Cuando en la expresión ax2 + bx + c = 0 se tienen a ! 0, b ! 0 y c ! 0, la ecuación se considera completa. Las ecuaciones completas se pueden resolver utilizando los métodos de factorización de trinomios. Sin embargo, cuando el trinomio no es factorizable, en los números enteros, se utiliza la fórmula cuadrática para solucionarla. Así, las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0 están dadas por la expresión: x a b b ac 2 4 2 = -b b - 2. Solución de ecuaciones trigonométricas Expresiones tales como cos y tan 2 3 i i y 3 4 ta 2 3 3 tan2 y = - tani son ecuaciones trigonométricas. Los métodos para resolver ecuaciones trigonométricas son similares a los utilizados en la solución de ecuaciones algebraicas, pues el objetivo es análogo: determinar el valor o valores del ángulo para los cuales se satisface la igualdad. ( ) 3 8 2( 4 6 1 25 3 5 4 4 8 8 - = -4 + =5 + Resolver la ecuación x2 - x - 6 = 0. x a b b ac 1 2 1 1 24 2 1 5 2 6 3 2 4 2 2 4 2 1 1 41 6 2 2 ! ! ! ! - = + = = - =- = - - = -- - - ^ ^ ^ ^^ h h h hh 1 Ejemplo Una ecuación trigonométrica es aquella en la cual intervienen funciones trigonométricas de un ángulo i y se satisface solo para ciertos valores de i. Una ecuación es de segundo grado o cuadrática si puede ser llevada a la forma ax2 + bx + c = 0, con a, b y c números reales y a ! 0. Cuando b = 0 o c = 0, la ecuación cuadrática se considera incompleta. En estos casos, la ecuación se resuelve despejando la variable o factorizando la expresión algebraica, para luego, despejar la variable. Por ejemplo, las ecuaciones 3x2 - 27 = 0 y 3x2 - 15x = 0 son incompletas. Las soluciones de 3x2 + 27 = 0 son x = 3 y x = -3 y las soluciones de 3x2 - 15x = 0 son x = 0 y x = 5. 1.2. Resolución de ecuaciones de segundo grado con una variable El teléfono de tonos se diseñó de tal manera que cada botón produce un sonido único. Los sonidos de los botones en un teléfono de tonos se obtienen por medio de la suma de dos tonos cuyas representaciones se obtienen mediante las expresiones: y = sen 2rht y = sen 2rlt Donde h es la frecuencia alta (en ciclos por segundo). l es la frecuencia baja (en ciclos por segundo). t es el tiempo que dura oprimida una tecla (en segundos). La siguiente ilustración muestra las frecuencias en los botones de un teléfono de tonos. Así, el sonido producido al oprimir la tecla del número 5 se indica mediante la expresión: y = sen 2r(1.336)t + sen 2r(770)t Escribe la expresión que corresponde al sonido del número 7. Para desarrollar Naturalista e intrapresonal 123 456 789 * 0 # 697 ciclos por segundo 770 ciclos por segundo Frecuencia baja 852 ciclos por segundo 974 ciclos por segundo 1.209 ciclos por segundo 1.336 ciclos por segundo Frecuencia alta Teléfono de tonos 1.477 ciclos por segundo

282 © SANTILLANA x y 11 6 6 Figura 17 2.1. Solución de ecuaciones trigonométricas de la forma f (x) = k Las ecuaciones de la forma f (x) = k, donde f (x) es una función trigonométrica en términos de la variable x y k es una constante, son las ecuaciones trigonométricas más simples de resolver. Por ejemplo, sen x = 1. Las ecuaciones trigonométricas más complicadas deben transformarse mediante operaciones algebraicas y sustituciones adecuadas a la forma f (x) = k, para ser resueltas. Las ecuaciones de la forma f (x) = k pueden tener infinitas soluciones o ninguna solución, como se muestra en el siguiente ejemplo. Resolver las siguientes ecuaciones. a. cos x 2 3 = Dado que y = cos x es una función periódica se sabe que existen infinitos ángulos x para los cuales el valor del coseno es igual a 2 3 , es decir, la ecuación cos x 2 3 = tiene infinitas soluciones. Gráficamente, la afirmación anterior significa que la recta y 2 3 = intersecta la gráfica de la función coseno en infinitos puntos. Así, los valores …, , , ,,, 6 13 6 11 6 6 , 6 11 6 r r 11 r rrr 11 13 - - - … entre otros, son soluciones de la ecuación cos x 2 3 = . En la práctica, basta con encontrar las soluciones en el intervalo [0, 2r], pues las demás soluciones difieren en un múltiplo entero de 2r, que es precisamente el período de y = cos x. Para encontrar las soluciones de la ecuación entre 0 y 2r se analiza: Como el coseno es positivo en el primer cuadrante y en el cuarto se deduce que x tiene su lado final en alguno de estos cuadrantes. Por lo tanto, la solución en el primer cuadrante es x 6 r = pues cos 6 2 r 3 = y este ángulo es el ángulo de referencia para encontrar la solución en el cuarto cuadrante: x 2 6 6 11 r r r = - 2 = , pues cos 6 11 2 r 3 = (figura 17). Las dos soluciones anteriores son denominadas soluciones básicas o fundamentales. 1 Ejemplo x y - 2 3 1 -1 6 11 6 13 6 6 - 3 2 François Viéte 1540-1603 Matemático francés. Agregó las fórmulas que expresan el seno de un arco y el coseno de un arco en función del seno y el coseno del arco. Halló varias fórmulas trigonométricas de ángulos simples.

© SANTILLANA 283 Así, las soluciones generales de la ecuación son: x n y , x n n Z. 6 2 6 11 2 ! r r r = + = + r 11r b. sen x = 3 La ecuación sen x = 3 no tiene solución, pues el rango de la función seno es el intervalo [-1, 1]. Esto significa que la función no toma valores menores que -1, ni mayores que 1. Por lo tanto, la gráfica de y = sen x no tiene puntos comunes con la recta y = 3, es decir, no existe ningún valor de x para el cual sen x = 3, como se observa en la gráfica de la figura 18. x y - 2 1 -1 2 3 3 y sen x y 3 Figura 18 Actividades 50. Encuentra la solución de cada ecuación en el intervalo [ , 2r]. a. 2 3 cosi+ 3 = 0 b. 2 1 seni c. 3 1 cot i d. 3 2 csc i e. tan 3 i = 0 f. - 3 1 tani g. 2 2 seni = 0 h. 2 0 cosi i. 2 4 sec i j. 5 0 seni 51. Utiliza la calculadora para resolver cada ecuación para i, 0 # i # 360°. a. sen 10 1 i- = 0 b. sen se 5 4 i i sen c. 2 cos cos 3 1 i i cos d. 3 tan ta 3 4 i i 2 tan e. 6 cos cos 3 1 i i cos = - 2 f. 4 sec s i i 2 6 sec g. cot c i i 3 2 cot 52. Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Para las afirmaciones falsas, escribe un ejemplo que demuestre su falsedad. a. La ecuación 3 1 seni = 0 no tiene solución en el intervalo r i < < 2r. b. La ecuación 8 1 cosi = 0 tiene una solución en el intervalo 0, 2 r 8 B y tiene otra solución en el intervalo , 2 r8 rB. c. 35° es solución de la ecuación -5 3 tani ,5. d. La ecuación 7 1 cosi = 6 tiene como soluciones los ángulos 0 y 2r únicamente. e. La ecuación 2 1 sec i 1= 0 no tiene solución. f. La ecuación tan 8 i =1 tiene una solución en el intervalo 2 3 r i < # r . 53. Encuentra un valor para k, de tal manera que la ecuación k cos i = 2 tenga solución en el intervalo indicado. a. 0, 2 r 8 B b. , 2 r8 rB c. , 2 3 r r 8 B d. , 2 3 2 r 8 rB

284 © SANTILLANA Funciones trigonométricas 54. Calcula el valor de cada expresión, sin utilizar la calculadora. a. sin 90° + csc 90° b. tan 180° - cos 90° + 4 sin 90° c. 3 sin r - 3 1 tan 360° + 1 5 d. 2 90 3 2 270 csc sin ° ° + e. sin cos sin 2 3 2 5 1 2 r r r + - f. 3 sin sin cos cos ° 2 r 4 03 r + - + r g. 8 tan sin0° °° 7 180 tan 5 3 - 180 + h. 4 sin 90° - 3 tan 180° - sin 90° i. tan cos 180 90 °° ° sin 5 3 4 - + 5 270 j. cos cot sin 3 1 2 3 2 3 2 r r + - r 55. Encuentra el valor exacto de todas las funciones trigonométricas para i. a. sin i i , < < 3 2 2 3 r r =- b. cosi i , ° < < 90 5 1 = 0 c. i i ,tan < < 2 3 5 4 r r = d. cot i i , < < 2 3 3 5 2 r = - r 56. Determina el valor de verdad de cada afirmación. Luego, modifica las afirmaciones que sean falsas para convertirlas en verdaderas. a. El lado terminal de un ángulo de 420° en posición normal se ubica en el cuarto cuadrante. b. El valor de cos 350° es positivo. c. El signo de sen 120° es igual al signo de tan 450°. d. Si sen i 5 3 = y el lado final de i está ubicado en el segundo cuadrante, entonces, tan i 4 3 = - Funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales 57. Indica con una V si el enunciado es verdadero o con una F si es falso. a. El valor de 360 es positivo. b. El signo de sin 270° es igual al signo de cos 2 8r c. La función cosecante para un ángulo con lado terminal en el eje x negativo no está definida. 58. Escribe al lado de cada expresión una que sea equivalente. a. 3 sin csc 2 3 2 2 r r 8 + B b. 2 sin tan 2 7 720c r - c. 15 0 tan sin 2 5 c c - 90 Identidades trigonométricas 59. Observa el proceso de simplificación. Luego, escribe el error que se cometió en el desarrollo. Justifica la respuesta. i sec i sen = i i sen cos 1 Reemplazando sec i. = i sen i cos Multiplicando extremos y medios. = tan i Simplificando. Practico lo que aprendí

© SANTILLANA 285 60. Utiliza las identidades trigonométricas para encontrar, en cada caso, el valor exacto de todas las funciones trigonométricas del ángulo i. a. sin 13 5 i = d. sec i = 2 b. tan 4 3 i = e. cos 4 1 i = c. tan 3 1 i = f. csc i = 2 61. Demuestra mediante un ejemplo que las siguientes igualdades no son identidades: a. sin (x + r) = sin x b. cot t(tan t) = cot t 62. Simplifica la expresión csc a(tan a - sin a) 63. Escribe cada expresión en términos de la función seno. a. cot i ? tan i b. cot2 i c. cot i ? sec i d. 2 + tan i + 5 cos i e. 3 + tan i - 3 csc i Ecuaciones trigonométricas 64. Resuelve cada ecuación en el intervalo [0, 2r]. a. tan 2 i = b. tan x + 2 = 1 c. 3tan x + 2 = tan x 65. ¿Qué valores de x satisfacen la ecuación 4 cos2 x - 1 = 0, si x está en el primer cuadrante? 66. Resuelve las siguientes ecuaciones para ángulos de 0 a r. a. 2 sin2 x - 1 = 0 b. 2 cos2 x - 1 = 0 c. 2 = 8 cos2 x 67. Determina la solución de cada ecuación para ángulos entre 0 y 2r. a. sen2 x - 1 = 0 b. tan2 x - 2 tan x - 3 = 0 c. sen2 x + 5 sen x + 6 = 0 68. Resuelve para valores entre 0 y 2r. a. 2 sen x cos x + sen x = 0 b. 3 tan x + 2 = tan x c. 2 cos x + 3 = 0 d. 3 sec x = 6 e. cos x - 3 2 + cos x = -3 sin cos tan cot sec csc a. b. c. d. e. f.

Para finalizar 286 © SANTILLANA Funciones trigonométricas Establecen correspondencia entre un ángulo y una razón establecida por el ángulo y no por el tamaño del triángulo. Cada función trigonométrica, cumple el siguiente análisis: • Para que una relación sea función es necesario que a cada elemento del dominio le corresponda un elemento del rango. En el caso de las funciones trigonométricas, a cada ángulo le debe corresponder un número. • Cuando la ecuación es fraccionaria se deben eliminar del dominio aquellos valores que hacen cero el denominador. 1 Dominio y rango de las funciones trigonométricas Para cada función trigonométrica se define los siguientes dominios y rangos. Dominios: sen cos tan sec cot csc Reales (R) R n 2 r$ r . R { } No tienen denominador. Se eliminan los ángulos en los que x es cero. Se eliminan los ángulos en los que y es cero. Rangos: seno y coseno: [-1, 1] tangente y cotangente: R secante y cosecante: ] , 1 1 ] [ , [ 2 Signo de las funciones trigonométricas Los signos de x y y en cada cuadrante definen el valor de la función. I Cuadrante: Las dos variables son positivas, por lo tanto, todas las funciones son positivas. II Cuadrante: La x es negativa, por lo que son negativos: coseno, tangente, cotangente y secante. III Cuadrante: Ambas variables son negativas, por lo que solo son positivas tangente y cotangente. IV Cuadrante: La y es negativa, por lo que son negativos seno, tangente, cotangente y cosecante. 3 Amplitud y período de las funciones seno y coseno Amplitud: es la semidiferencia de los valores máximo y mínimo que toma la variable y. Período: es el valor de la amplitud del intervalo en que se completa la función. Ejemplo Dada las ecuaciones y = A sen Bx, y = A cos Bx La amplitud la determina el valor de A. El período se obtiene de la fórmula T B 2r = 4 Identidades trigonométricas Pitagóricas: sen2 a + cos2 a = 1 sec2 a = tan2 a + 1 csc2 a = cot2 a + 1 Recíprocas: a a a a sen , a csc a sen csc 1 1 = = csc a a a a a cos , sec sec cos 1 1 = = sec a a a a a tan , cot cot tan 1 1 = co a = 5 Ecuaciones trigonométricas Para resolverlas se debe considerar que para un valor de cada función trigonométrica existen infinidad de ángulos que la cumplen. Por ejemplo, para sen i = 0.5 el valor del ángulo que se obtiene de la calculadora es 30°. Pero este valor también corresponde a todos los ángulos que tienen como ángulo de referencia a 30°. Los ángulos que tienen a 30° como ángulo de referencia son: … -330°, -210°, -150°, 30°, 150°, 210°, 330°, … 6