E-DIKTAT FISIKA KUANTUM

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim,

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan buku ajar ini. Tak lupa salawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan
kepada Nabi Besar Muhammad SAW, karena berkat beliau, kita mampu keluar dari kegelapan
menuju jalan yang lebih terang.

Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada Bapak Hebat Shidow Falah,
S.Pd., M.Sc., Ibu Neneng Lestari, S.Pd., M.Pd., Ibu Erlida Amnie, M.Pd., Delita
Wahyuningsih, Cindi Lasmana dan Bulan Ostari serta semua pihak yang tidak dapat disebutkan
namanya secara individu yang telah membantu membuat E-diktat Fisika Kuantum Berbasis
Simulasi MATLAB dari proses penulisan hingga pencetakan. E-diktat Fisika Kuantum
Berbasis Simulasi MATLAB ini dibuat selengkap mungkin untuk membantu Mahasiswa dalam
memahami materi-materi fisika kuantum.

Buku ini menjelaskan tentang materi berkaitan dengan mata kuliah Fisika Kuantum.
Tentu saja, penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kesalahan dalam buku ini yang
jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mohon kritik dan saran dari para pembaca
atas karya e-diktat ini guna meningkatkan kualitasnya. Dengan adanya E-diktat Fisika
Kuantum Berbasis Simulasi MATLAB, penulis berharap para pembaca dapat memahami
informasi, menambah wawasan di bidang fisika kuantum, dan bermanfaat bagi masyarakat
luas.

Tim Penulis

ii

DAFTAR ISI

COVER
KATA PENGANTAR ...............................................................................................................ii
DAFTAR ISI............................................................................................................................ iii
BAB I .........................................................................................................................................1
FUNGSI GELOMBANG...........................................................................................................1

1.1 PERSAMAAN SCHRÖDINGER....................................................................................1
1.2 INTERPRETASI STATISTIK.........................................................................................3
1.3 PROBABILITAS .............................................................................................................7
Rapat probabilitas menemukan partikel dititik x pada saat t adalah ....................................8
1.4 NORMALISASI.............................................................................................................14
1.5 MOMENTUM...............................................................................................................19
1.6 PRINSIP KETIDAKPASTIAN ....................................................................................22
Latihan Soal .............................................................................................................................26
BAB II......................................................................................................................................28
PERSAMAAN SCHRODINGER INDEPENDEN WAKTU .................................................28
2.1 KEADAAN STASIONER ............................................................................................29
2.2 PARTIKEL BEBAS......................................................................................................37
2.3 SUMUR KOTAK BERHINGGA ..................................................................................42
2.4 SUMUR KOTAK TERBATAS ....................................................................................48
2.5 POTENSI FUNGSI DELTA..........................................................................................57
2.6 OSILATOR HARMONIK .............................................................................................68
2.7 MATRIKS HAMBURAN.............................................................................................82
BAB 3 ......................................................................................................................................88
FORMALISME .......................................................................................................................88
3.1 Aljabar Linier .................................................................................................................88

iii

3.1.1 Vektor ......................................................................................................................88
3.1.2 Perkalian Dalam (Inner Products) ..........................................................................93

Panjang (norm) suatu vektor .....................................................................................97
Proyeksi orthogonal...................................................................................................97
3.1.3 Transformasi Linier ................................................................................................97
3.1.4 Vektor Eigen dan Nilai Eigen...............................................................................104
3.1.5 Transforms Hermitian............................................................................................109
3.2 RUANG FUNGSI ........................................................................................................111
3.2.1 Fungsi Sebagai Vektor...........................................................................................111
3.2.2 Operator Sebagai Transformasi Linier ..................................................................113
3.2.3 Ruang Hilbert ........................................................................................................115
Contoh soal :.......................................................................................................................119
3.3 Interpretasi Statistik Umum .........................................................................................123
3.4 Prinsip Ketidakpastian..................................................................................................128
3.4.1 Bukti Prinsip Ketidakpastian Umum.....................................................................128
3.4. Ketidakpastian Minimum Paket Gelombang...........................................................130
3.4.3 Prinsip Ketidakpastian Energi-Waktu ...................................................................131
Contoh soal :.......................................................................................................................133
Latihan Soal : .....................................................................................................................136
BAB 4 ....................................................................................................................................138
MEKANIKA KUANTUM DALAM TIGA DIMENSI ........................................................138
4.1 Persamaan Schrodinger Dalam Koordinat Bola...........................................................138
4.1.1 Pemisahan Variabel ...............................................................................................150
4.1.2 Persamaan Sudut/Angular .....................................................................................151
4.1.3 Persamaan Radial ..................................................................................................155
Contoh Soal:.......................................................................................................................157
4.2 Atom Hidrogen............................................................................................................162

iv

4.2.1 Fungsi Gelombang Radial ....................................................................................163
4.2.2 Spektrum Hidrogen................................................................................................171
Contoh Soal:.......................................................................................................................172
4.3 Momentum Sudut.........................................................................................................175
4.3.1 Nilai Eigen.............................................................................................................178
4.3.2 Fungsi Eigen ..........................................................................................................183
4.4 Spin...............................................................................................................................186
4.4.1 Spin 1 ...................................................................................................................187

2
4.4.2 Elektron dalam Medan Magnet .........................................................................190
4.4.3 Penambahan Momenta Sudut ................................................................................191
Contoh Soal:.......................................................................................................................196
Latihan Soal: ......................................................................................................................202
BAB 5 ....................................................................................................................................205
PARTIKEL IDENTIK ...........................................................................................................205
5.1 Sistem dua partikel .......................................................................................................205
5.2 Atom.............................................................................................................................213
5.3 Padatan .........................................................................................................................223
5.4 Mekanika Kuantum ......................................................................................................234
CONTOH SOAL ...................................................................................................................247
LATIHAN SOAL ..................................................................................................................249
BAB 6 ....................................................................................................................................252
TEORI PERTUBRASI BEBAS WAKTU.............................................................................252
6.1 TEORI PERTURBASI NON-GENERASI..................................................................252
6.2 TEORI PERTURBASI DEGENERASI ......................................................................259
6.3 Stuktur Halus Hidrogen................................................................................................267
6.4 Efek Zeeman ................................................................................................................275

v

6.5 Pemisahan Hyperfine (Struktur Halus) ........................................................................281
CONTOH SOAL................................................................................................................283
LATIHAN SOAL...............................................................................................................285
RANGKUMAN .....................................................................................................................287

vi

BAB I

FUNGSI GELOMBANG

Fungsi gelombang berisi semua informasi tentang peluang keberadaan (posisi) dan
gerakan partikel atau momentum. Fungsi ini menggambarkanperilaku objek di alam semesta
yang memberikan nilai tertentu bagi objek tersebut pada suatu lokasi di ruang angkasa.
Sebagian besar masalah dalam teori kuantum terletak pada interpretasi teori. Fisika klasik
memungkinkan kita menghitung posisi, kecepatan, dan percepatan suatu objek dengan andal.
Besaran dan satuan yang digunakan juga dapat didefenisikan dengan baik. Teori dan observasi
sangat erat hubungannya secara langsung dan intuitif sehingga tidak memerlukan interpretasi
untuk memecahkan masalah. Tapi fisika kuantum tidak demikian. Perilaku dan keadaan
partikel hanya dapat diprediksi setelah nilai fungsi gelombang dihitung.

Besaran yang digunakan dalam fisika kuantumyaitu fungsi gelombang partikel .Jika
 diketahui, maka informasi tentang posisi partikel, momentum, momentum sudut, dan energi.
Ini dikonfirmasi oleh postulat pertama mekanika kuantum. Dalam mekanika klasik, persamaan

gelombang ditulis sebagaiY x,t , tetapi dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang partikel
ditulis sebagai  x,t .

1.1 PERSAMAAN SCHRÖDINGER
Persamaan Schrodinger merupakan persamaan yang menjelaskan elektron.

PersamaanSchrodinger merupakan persamaan yang dapat digunakan untuk menjelaskan sifat
sifat gelombang partikel. Persamaan schrodinger diajukan oleh fisikawan Erwin Schrodinger
pada tahun 1925 dan dipublikasikanya pada tahun 1926.

Persamaan schrodinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk
memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Bentuk sederhana dari
persamaan ini disebut persamaan nilai eigen, yakni suatu operator energi yang disebut
Halmiltonian partikel yang di operasikan pada fungsi gelombang partikel.

Dinamika sistem kuantum dinyatakan dalam persamaan Schrodinger, yang merupakan

persamaan gerak untuk  x,t
Hˆ x, t  i  x, t

t

1

Dengan Hˆ adalah operator energi total. Pada Fisika Klasik telah diketahui bahwa

energitotal adalah jumlah dari energi kinetik T  1 mv2  p2  dan energi potensial
2 2m

V  V x,t. Dengan menuliskan besaran momentum P dan potensialV dalam bentuk

 

operator, diperoleh operator energi total Hˆ   i Vˆx,t   2 2 Vˆx,t

2m 2m

dengan Vˆ adalah operator energi potensial. Dengan demikian, persamaan Schrodinger
dituliskan sebagai :

  2 2  Vˆx,tx,t  i x,t
2m
t

 2x,t  2m E Vˆx,t x,t  0 (1.1)
2

Dengan diketahuinyaVˆ , maka akan diperoleh solusi persamaan diferensial untuk  yang
menggambarkan dinamika sistem kuantum.

Andaikan sebuah partikel bermassa m bergerak sepanjang sumbu x , dikenai gaya

tertentu Fx,t(Gambar 1.1). Dalam mekanika klasik adalah untuk menentukan posisi partikel

pada waktu tertentu: xt. Selanjutny, diketahui kecepatan T  1 mv2  momentum p  mv,

2 

energi kinetik T  1 mv2  atau variabel dinamis lainnya yang menarik dan bagaimana cara
2 

menentukan xt? . Diterapkan hukum kedua Newton: F  ma. (Untuk sistem konservatif dan

mikroskopis gaya dapat dinyatakan sebagai turunan dari fungsi energi potensial, F   V ,
x

dan hukum Newton berbunyi m d 2 x   V dengan syarat kondisi awal yang sesuai, (biasanya
dt 2 x

posisi dan kecepatan pada t  0,)untuk menentukan xt.

Mekanika kuantum mendekati masalah yang sama, namun dengan cara yang sangat

berbeda, dalam hal ini yang dapat ditentukan adalah fungsi gelombang partikel x,t, dari

partikel untuk mendapatkan fungsi gelombang partiel tersebut, dilakukan dengan
menyelesaikan persamaan Schrödinger:

2

ih    h2  2  V (1.2)
t 2m x2

Gambar 1.1 Sebuah "partikel" dibatasi untuk bergerak dalam satu dimensi di bawah pengaruh gaya tertentu.
Sumber : David J. Griffiths 1995

Di sini i adalah akar kuadrat dari -i, dan  adalah konstanta Planck-atau lebih

tepatnya, konstanta aslinya (h) dibagi 2 

  h  1.05457731034 Js (1.3)
2

Persamaan Schrödinger memainkan peran logis yang analog dengan hukum kedua

Newton. Mengingat bahwa syarat awal yang sesuai [biasanya, bahwa x,0], persamaan

Schrödinger yang diturunkan terhadap waktu sama seperti yang diungkapkan dalam mekanika

klasik determinan x,tuntuk semua waktu sama seperti dalam mekanika klasik bahwa ,
hukum Newton meterminankan xtterhadap waktu.

1.2 INTERPRETASI STATISTIK
Jika fungsi gelombang  (x) sudah diperoleh maka semua informasi tentang partikel

dari prinsip ketidakpastian dapat diperoleh. Informasi yang diperoleh berupa nilai ekspetasi
dari suatu kuantitas yang hendak diukur, misalnya dimana partikel itu “sering” berada atau
berapa “momentum rata-ratanya”.

Nilai rata-rata dari suatu variabel dinamis A(x,t) didefenisikan sebagai nilai harap yaitu
:

3

 A    x,tAˆ0P x,tdx (1.4)




Dengan Aˆop adalah operator yang mempresentasikan variabel dinamis A (x,t) dalam
mekanika kuantum. Tampak bahwa untuk memperoleh informasi tentang partikel mengenai
suatu variabel dinamis, kita harus mengetahui operator yang mereprsentasikan variabel
tersebut. Jika fungsi gelombang  (x,t) tidak ternormalisasi maka persamaan menjadi :

  x, t Aˆ0 P x, t dx


 
A  x, x, (1.5)

  t  t dx



Contoh : misalnya kita ingin mengetahui posisi partikel pada suatu waktu tertentu maka
nilai ekspektasi posisinya adalah :

x    x, t x0 p x, t dx    x, t x  x, t dx

 
 

Ketidakpastian hasil pengukuran A dinyatakan dengan standar deviasi A , yang
didefenisikan sebagai berikut:

A 2  A 2  A 2 (1.6)

Dengan :  A2   * (  t ) (Aop2 )   dx
x, (x,t)




Interpretasi statistik memperkenalkan suatu ketidakpastian dalam mekanika kuantum,
bahkan jikadiketahui segalanya, teori ini harus memberi tahu tentang Fungsi gelombang itu
sendiri secara kompleks.

Sebuah partikel menurut sifatnya, terlokalisasi pada suatu titik, sedangkan fungsi
gelombang tersebar di ruangan ( sebuah fungsi x, pada waktu tertentu t). Bagaimanakah setiap
object dapat menggambarkan keadaan sebuah partikel, Jawaban tersebut dibuktikan dengan
interprestasi statistikBorn mengenai fungsi geloombang yang mengatakan bahwa (x,t)
memberikan probabilitas menemukan partikel di titik x, pada waktut untuk lebih tepatnya,

4

 x,t 2 dx  { probabilitas menemukan partikel antara x dan (x + dx), pada waktu t} (1.7)

Gambar 1.2: Pada gambar di atas fungsi gelombang tipikal partikel relatif ditemukan di dekat A,
dan tidak mungkin ditemukan di dekat B. Daerah yang diarsir mewakili peluang menemukan

partikel dalam kisaran dx .

Sumber : David J. Griffths, 1995
Partikel dalam hal ini (diwakili dalam bentuk fungsi gelombangnya), tidak dapat
diprediksikan secara pasti hasil percobaan sederhana terhadap pengukuran posisinya namun,
didalam Fisika kuantum yang ditawarkan ialah informasi statistik tentang hasil yang
memungkinkan. Andaikan diukur posisi sebuah partikel, di temukan di titik C. Pertanyaan: di
mana partikel berada tepat sebelum dilakukan pengukuran? Ada tiga jawaban yang masuk akal
untuk pertanyaan ini,
1. Posisi real: Partikel berada di C, tentu tampak masuk akal, dan itulah yang
dikemukakan Einstein. Namun jika ini benar maka mekanika kuantum adalah teori yang tidak
lengkap, karena partikelnya benar-benar berada di C, dan akan tetapi mekanika kuantum tidak
dapat menjelaskan hal ini. Agar realistis pada dasarnya ketidakpastian bukanlah fakta yang
natural, tetapi cerminan padaketidaktahuan pengamat. Seperti yang dikatakan d'Espagnat,
"posisi partikel tidak dapat diterminankan, tetapi tidak dapat diketahui bagi peneliti." Bukti
bukanlah keseluruhan disamping informasi diperlukan bukti gambaran lengkap tentang
partikel.
2. Posisi ortodoks: Partikel tidak benar-benar ada di mana pun. Jordan mengatakan
bahwa: "Pengamatan tidak hanya mengganggu apa yang akan diukur, tetapi juga menghasilkan
partikel untuk mengambil posisi tertentu. Pandangan ini (yang disebut interpretasi
Kopenhagen) diasosiasikan dengan Bohr dan para pengikutnya. Di antara fisikawan itu selalu
menjadi posisi yang paling diterima secara luas. Namun, perhatikan bahwa jika itu benar, ada

5

sesuatu yang sangat aneh tentang tindakan pengukuran, sesuatu yang selama lebih dari
setengah abad perdebatan tidak banyak berguna untuk dijelaskan.

3. Posisi agnostik: Menolak menjawab. Ini tidak sebodoh kedengarannya-lagi pula, apa
gunanya membuat pernyataan tentang status partikel sebelum pengukuran, ketika satu-satunya
cara untuk mengetahui apakah Anda benar adalah dengan melakukan pengukuran, di mana
kasus apa yang Anda dapatkan tidak lagi "sebelum pengukuran"? Adalah metafisika (dalam
arti kata yang merendahkan) untuk mengkhawatirkan sesuatu yang pada dasarnya tidak dapat
diuji. Pauli berkata, "Seseorang seharusnya tidak lagi memeras otak tentang masalah apakah
sesuatu yang tidak dapat diketahui sama sekali ada, daripada tentang pertanyaan kuno tentang
berapa banyak malaikat yang dapat duduk di ujung jarum. Selama beberapa dekade ini adalah
posisi "mundur" dari sebagian besar fisikawan: Mereka akan mencoba menyarankan jawaban
2 kepada Anda, tetapi jika Anda tidak terpengaruh, mereka akan beralih ke jawaban 3 dan
mengakhiri percakapan.

Sampai sekarang, ketiga posisi (realis, ortodoks, dan agnostik) memiliki pendukungnya
masing-masing. Tetapi pada tahun 1964 John Bell mengejutkan komunitas fisika dengan
menunjukkan bahwa itu membuat perbedaan yang dapat diamati jika partikel memiliki posisi
yang tepat (meskipun tidak diketahui) sebelum pengukuran. Penemuan Bell secara efektif
menghilangkan agnostisisme sebagai pilihan yang layak, dan menjadikannya pertanyaan
eksperimental apakah 1 atau 2 adalah pilihan yang benar. Benar ketika teorema Bell; dikatakan
bahwa eksperimen telah mengkonfirmasi secara pasti interpretasi ortodoks: Sebuah partikel
sama sekali tidak memiliki posisi yang tepat sebelum pengukuran, seperti halnya riak di kolam,
itu adalah proses pengukuran yang menekankan pada satu nomor tertentu, dan dengan
demikian dalam arti tertentu menciptakan hasil spesifik, hanya dibatasi oleh pembobotan
statistik yang dikenakan oleh fungsi gelombang.

Tetapi bagaimana jika dilakukan pengukuran kedua, segera setelah yang pertama?
Apakah saya akan mendapatkan C lagi, atau apakah tindakan pengukuran menghasilkan angka
yang sama sekali baru setiap kali? Pada pertanyaan ini semua orang setuju: Pengukuran
berulang (pada partikel yang sama) harus mengembalikan nilai yang sama. Memang, sulit
membuktikan bahwa partikel itu benar-benar ditemukan di C pada contoh pertama jika ini tidak
dapat dikonfirmasi dengan pengulangan pengukuran secara langsung. Bagaimana interpretasi
ortodoks menjelaskan fakta bahwa pengukuran kedua pasti memberikan nilai C? Terbukti
pengukuran pertama secara radikal mengubah fungsi gelombang, sehingga sekarang

6

memuncak tajam di sekitar C (Gambar 1.3). Dapat dikatakan bahwa fungsi gelombang runtuh
pada pengukuran, meningkat tajam di titik C (menyebar sesuai dengan persamaan Schrödinger,
sehingga pengukuran kedua harus dilakukan dengan cepat).

Gambar 1.3: Runtuhnya fungsi gelombang: grafik  2 segera setelah pengukuran menemukan

partikel di titik C

Sumber : David J. Griffths, 1995

Ada 2 kemungkinan yang terjadi pada fungsi gelombang:
1). Fungsi gelombang yang mematuhi persamaan Schrodinger (normal)
2). Fungsi gelombang yang runtuh atau terputus rusak akibat pengukuran.

1.3 PROBABILITAS
Probabilitas atau biasa disebut peluang. Probabilitas elektron berada di suatu tempat dapat

diartikan sebagai peluang elektron berada di tempat itu. Namun, untuk mendapatkan nilai
probabilitas kondisi elektron di suatu tempat, fisikawan pada saat itu belum memiliki perangkat
yang mampu melakukan hal ini. Pertanyaan Schrödinger adalah, "Jika dimasukkan seekor
kucing hidup ke dalam sebuah kotak berisi tabung gas beracun yang dilekatkan pada palu,
unsur radioaktif yang digunakan adalah Bi-212, yang meluruh menjadi setengahnya dalam
60,55 menit. Dengan demikian, Bi-121 memiliki waktu paruh 1 jam (60,55 menit = 1 jam).
Dalam hal ini, setiap jam elemen radioaktif setengah meluruh, palu mendekati botol,
memecahkannya dan membiarkan gas keluar,lalu membunuh kucing Schrödinger. Jika
digunakan interpretasi Born tentang probabilitas gelombang, kucing hidup dan mati. Tentu
saja, Schrödinger senang karena dia merasa berada di atas angin. Pertanyaan logisnya

7

setidaknya bisa mengacaukan ide probabilitas gelombang kelahiran sambil menyerang ide-ide
baru. Namun asumsi Schrodinger salah. Born tidak menemukan pertanyaan Schrödinger sulit
dijawab dalam hal probabilitas gelombang. Kemungkinanadalah nama lain dari "harapan".

Probabilitas elektron berada di tempat tertentu dapat didefinisikan sebagai probabilitas
menemukan partikel di tempat itu. Max Born juga menemukan bahwa luas kuadrat dari fungsi
gelombang Schrödinger adalah nilai probabilitas.

Rapat probabilitas menemukan partikel dititik x pada saat t adalah

R x,t   x,t 2
P

Maka rapat probabilitas menemukan partikel pada daerah Xi  x  Xn

RP Xi  x  Xn,t Xn x,tdx  1

RP

Xi

Sehingga, perubahan R terhadap t dapat dinyatakan sebagai

d d XnRP x,tdx
dt
dt Xi
RP X i  x  X n ,t 

d d Xn *x,t x,tdx
dt
dt 
RP X i  x  X n  
X1

d RP X i  x  X n   Xn x, t  d * x,t  * x, t  d x, t  dx
dt
 dt dt

Xi

dengan mengingat kembali persamaan Schrodinger satu dimensi untuk partikel bebas
V 0,

  i 2 dan  *     2 
t 2m x2 t 2m x 2

Serta memperhatikan

8

d 2

dx  2

d  * d   d  d   d 2   d 2  d   d   d
dx  dx  dx dx dx 2 dx 2 dx  dx  dx 2

d 2

dx  * 2

d  * d   d 2 *   d * d  d 2  d  d   d
dx dx dx2 dx dx dx 2 dx  dx  dx 2

Maka arus probabilitas dapat dituliskan sebagai:

d XXni  i 2   i 2   dx
2m x x2
dt
RP Xi  x  Xn,t  

d i Xn d  d   d 2 d   d   d 2 dx
2m Xi  dx dx dx dx  dx  dx
dt 
RP  Xi  x  Xn,t   

d i XXni  d  d  d  d *  dx
2m dx  dx  dx dx
dt
RP Xi  x  Xn,t  * 

d RP  Xi  x  Xn,t  i  * d  d *  Xn
dt 2m  dx 
dx  Xi

Akhirnya, secara umum didefenisikan besaran rapat arus probabilitas sebagai :

jx, t   dRP x, t   i    t) d x, t   x, t  d x, t 
2m  (x,
dt dx dx 
 (1.8)

Karena interpretasi statistik, probabilitas memainkan peran sentral dalam mekanika
kuantum, dibahas secara singkat tentang teori probabilitas. Dibawah Ini merupakan masalah
pengenalan beberapa notasi dan terminologi, dan dilakukan dalam konteks contoh sederhana.

Gambar 1.4: Histogram yang menunjukkan jumlah orang, N (j), dengan usia j, misalnya pada Bagian
1.3.

Sumber : David J. Griffths, 1995

9

N(14)= 1

N(15) = 1

N(16)=3

N(22) = 2

N (24) = 2

N(25) =5

Sedangkan misalkan N(17), misalnya, adalah nol. Maka jumlah orang dalam ruangan
tersebut adalah

 (1.9)

N  Nj
j0

Gambar 1.4menyatakan histogram data. Berikut ini adalah beberapa pertanyaan yang
mungkin ditanyakan tentang distribusi ini. Pertanyaan 1. Jika dipilih satu orang secara acak
dari kelompok ini, berapa peluang bahwa usia orang ini adalah 15 tahun? Jawaban: Satu
peluang dalam 14, karena ada 14 kemungkinan pilihan, semua kemungkinannya sama, hanya
satu yang memiliki usia tertentu. Jika P(j) adalah peluang bertambahnya usia, maka P(14)=
1/14, P(15) = 1/14, P(16)=3/14, dan seterusnya. Secara umum:

P j  N j (1.10)

N

Perhatikan bahwa peluang mendapatkan 14 atau 15 adalah jumlah dari peluang individu (dalam
hal ini, 1/7). Secara khusus, jumlah dari semua probabilitas adalah 1 didapatkan beberapa usia:

 (1.11)

 P j  1

j 1

Pertanyaan 2. Berapa usia yang paling mungkin? Jawaban: 25, jelas; lima orang berbagi
usia ini, sedangkan paling banyak tiga memiliki usia lain. Secara umum, yang paling
kemungkinanj untukP(j)adalah maksimum.

Pertanyaan 3. Berapa usia rata-rata? Jawaban: 23, untuk 7 orang lebih muda dari 23,
dan 7 orang lebih tua. (Secara umum, median adalah nilai j sedemikian rupa sehingga

10

probabilitas mendapatkan hasil yang lebih besar sama dengan probabilitas mendapatkan hasil
yang lebih kecil.)

Pertanyaan 4. Berapa usia rata-rata (atau rata-rata)? Jawaban:

14  15  316  222  224  525  294  21.

14 14

Secara umum, nilai rata-rata j (yang akan ditulis sebagai berikut: (j) diberikan oleh

j  jN  j   jP j. (1.12)

N 

in

Perhatikan bahwa tidak perlu ada orang dengan usia rata-rata atau usia rata-rata-dalam
hal ini contoh tidak ada yang kebetulan berusia 21 atau 23. Dalam mekanika kuantum, rata-
rata biasanya adalah besaran yang menarik: dalam konteks itu, disebut nilai harap. jika
dilakukan satu pengukuran (itu akan menjadi nilai yang paling mungkin, bukan nilai rata-rata).

Pertanyaan 5. Berapa rata-rata kuadrat usia? Jawaban: Didapatkan 142  196 dengan
probabilitas 1/14, atau 152  225 dengan probabilitas 1/14, atau 162  256 dengan probabilitas
3/14, dan seterusnya. Rata-rata dapat ditulis

j 2   j 2 P j. (1.13)
j0

Secara umum,nilai rata – rata dari beberapa fungsi j diberikan oleh:

 (1.14)

f  j   f  jP j.
in

Sekarang, terdapat perbedaan mencolok antara dua histogram pada Gambar 1.5,
meskipun memiliki median yang sama, rata-rata yang sama, nilai yang paling mungkin sama,
dan jumlah elemen yang sama. Yang pertama memuncak tajam tentang nilai rata-rata ,
sedangkan yang kedua luas dan datar. (Yang pertama mungkin mewakili profil usia siswa di
ruang kelas kota besar, dan yang kedua mewakili siswa di gedung sekolah satu ruangan.)
dibutuhkan ukuran numerik dari jumlah "penyebaran"

11

Gambar 1.5: Dua histogram dengan median yang sama, rata-rata yang sama, dan nilai yang paling mungkin
sama,tetapi standar deviasi yang berbeda

Sumber : David J. Griffths, 1995

Distribusi, sehubungan dengan rata-rata. Cara yang paling jelas untuk dilakukan
adalah dengan mencari tahu seberapa jauh setiap individu menyimpang rata-rata

j  j  j (1.15)

dan hitung rata-rata j, hal ini didapatkan nol karena, sifat rata-rata, j sering negatif seperti
positif:

j   j  j P j   jP j  j  P j

 j  j  0.

(Perhatikan bahwa konstanta-tidak berubah saat dipindahkan dari satu anggota sampel ke yang
lain-sehingga dapat dikeluarkan dari persamaan.) Untuk menghindari hal ini, dapat ditentukan
rata-rata nilai mutlak j . Tetapi nilai-nilai mutlaksulit dikerjakan; sebagai gantinya, diatasi
masalah ini dengan mengkuadratkan sebelum rata-rata

 2  j2 . (1.16)

Kuantitas ini dikenal sebagai varians dari distribusi: (akar kuadrat dari rata-rata kuadrat
deviasi rata-rata) disebut standar deviasi, yang terakhir merupakan ukuran penyebaran. Ada
teorema kecil yang berguna yang melibatkan standar deviasi, yaitu:

12

 2  j2  j2 P j    j  j 2 P j

  2  j 2  2 j j  j 2 P j

 2  j 2 P j  2 j jP j  j 2  P j

 2  j2 2 j j  j 2

 2  j2  j 2. (1.17)

Persamaan (1.17)ini merupakan cara paling cepat untuk menghitung  , yaitu dengan
mengakarkan j 2  j 2 . Secara umum sama dengan j 2 . Karena  2 jelas nonnegatif (dari
definisinya dalam Persamaan (1.15), Persamaan 1.16 menyiratkan bahwa

j2  j 2 (1.18)

dan keduanya sama hanya jika   0, yaitu, untuk distribusi tanpa spread sama sekali (setiap
anggota memiliki nilai yang sama).

Diasumsikan bahwa variabel diskrit, merupakan variabel yang hanya dapat diambil
nilai terisolasi tertentu (dalam contoh, variabel j merupakan bilangan bulat, karena saya
memberikan usia hanya dalam tahun). Tetapi cukup sederhana untuk menggeneralisasikanya
dalam distribusi kontinu. Jika dipilih seseorang secara acak dari jalanan, peluang usianya tepat
16 tahun, 4 jam, 27 menit, dan 3,3333 detik adalah nol. Satu-satunya hal yang masuk akal untuk
dibicarakan adalah probabilitas bahwa usianya terletak pada beberapa interval, katakanlah,
antara 16 tahun, dan 16 tahun ditambah satu hari. Jika intervalnya cukup pendek, probabilitas
ini sebanding dengan panjang interval. Misalnya, peluang usianya antara 16 dan 16 ditambah
dua hari mungkin dua kali lipat kemungkinan antara 16 dan 16 ditambah satu hari. (ada ledakan
kecil yang luar biasa 16 tahun yang lalu, tepat pada hari-hari di mana telah dipilih interval yang
terlalu lama untuk diterapkan aturan. Jika ledakan kecil berlangsung enam jam, diambil interval
sedetik atau kurang. Secara teknis, interval yang sangat kecil dapat ditulis:

xx  dx pxdx (1.19)

Faktor proporsionalitas, p(x), sering kali secara longgar disebut "probabilitas mendapatkan
x",istilah yang paling tepat adalah rapat probabilitas. Probabilitas bahwa x terletak di antara a
dan b (interval berhingga) diberikan oleh integral dari p(x):

13

Pab  b xdx (1.20)

a (1.22)
(1.23)
dan aturan untuk distribusi diskrit diterjemahkan dengan cara yang jelas: (1.24)
(1.25)
I    xdx


x   x x dx


 f x    f x  xdx



 2  x2  x2  x 2

1.4 NORMALISASI

Berdasarkaninterpretasi statistik dari fungsi gelombang, dinyatakan bahwa x,t 2

adalah kerapatan probabilitas untuk menemukan partikel di titik x, pada waktu tertentu
mengikuti Persamaan (1.3.14) bahwa integral dari  2 harus bernilai 1 (partikel harus berada
di suatu tempat):

 x,t 2dx  1 (1.26)


Tanpa ini, interpretasi statistik akan menjadi berarti. Bagaimanapun, fungsi gelombang
seharusnya ditentukan oleh persamaan Schrödingertidak dapat memaksakan kondisi  tanpa
memeriksa bahwa keduanya konsisten. Sekilas Persamaan (1.1.1) mengungkapkan bahwa jika

x,t merupakan solusi, demikian juga Ax,t, di mana A adalah konstanta (kompleks)

yang harus ditentukan, kemudian, adalah memilih faktor perkalian yang tidak ditentukan ini
untuk memastikan bahwa Persamaan (1.3.14) terpenuhi, proses ini disebut normalisasi fungsi
gelombang. Untuk beberapa solusi persamaan Schrödinger, integralnya tak terhingga; dalam
hal ini tidak ada faktor perkalian yang akan menghasilkan 1. Hal yang sama berlaku untuk
solusi   0. Fungsi gelombang tersebut dapat dikuatratkan dan di integralkan dan memiliki
solusi untuk persamaan Schrödinger.

Misalkan ada suatu fungsi gelombang ternormalisasiuntuk waktu t  0.Bagaimana
memastikan bahwa itu akan tetap normal, seiring berjalannya waktu dan  berubah? (tidak
dapat terus menormalkan kembali fungsi gelombang, karenaA kemudian menjadi fungsi t,dan

14

tidak lagi memiliki solusi untuk persamaan Schrödinger.) Untungnya, persamaan Schrödinger
memiliki sifat yang secara otomatis mempertahankan normalisasi fungsi gelombang tanpa fitur
penting ini persamaan Schrödinger tidak akan kompatibel dengan interpretasi statistik, dan
seluruh teori akan runtuh. Jadi sebaiknya berhenti sejenak untuk bukti yang cermat tentang
poin ini:

 d x, t  2     x,t 2 dx (1.27)
dt   t
dx

[Perhatikan bahwa integral adalah fungsi hanya dari t, jadi kita menggunakan turunan total

  d
dt  pada suku pertama, tetapi integral adalah fungsi dari x dan t, jadi turunan parsial 
t

di yang kedua.] dengan aturan

   2          (1.28)
t t t t

Sekarang persamaan Schrödinger mengatakan bahwa

  i 2  i V (1.29)
t 2m x 2 

dan karenanya juga (dengan mengambil konjugat kompleks persamaan (1.29)

   i  2  i V
t 2m x2 

Jadi :

 2  i   2  2      i         (1.30)
t 2m x 2 x 2 x  x x
 2m

Integral (Persamaan 1.25) sekarang dapat dievaluasi secara eksplisit:

d  x,t 2dx  i          (1.31)
 2m x x 
dt

Nilai  (x, t) harus mendekati nol saat x menuju ke  tak terhingga.Jika tidak, fungsi
gelombang tidak akan dapat dinormalisasi. Dengan demikian, maka persamaan (1.31) menjadi:

15

d  x,t 2dx  0 (1.32)

dt 

Integral di sebelah kiri adalah konstan tak tergantung waktu); jika dinormalisasi pada t = 0, itu
tetap dinormalisasi untuk semua waktu mendatang.

Contoh Soal

 i Et  px
1. Tunjukkan bahwa hasil dari turunan fungsi gelombang   Ae  terhadap t

adalah persamaan operator energi.
Jawaban :

d  d   i Et  px 
dt dt
Ae 

d i  i Et  px

dt  EAe 

Karena:    i Et  px maka persamaan diatas menjadi:

Ae  ,

d   i E
dt 
 d  E
 i dt

Ruas kanan dan kiri pada persamaan diatas dikalikan dengan i maka diperoleh:
i

 d  i  E  i
 i dt i i

i d  E 1
 i 2 dt

Ingat bahwa: i2  1

Maka persamaan diatas menjadi:

i d  E
dt

E  i d
dt

E  i d
dt

Persamaan diatas disebut sebagai persamaan operator energi.

16

2. Berapakah ketidakpastian minimum untuk keadaan energi dari suatu atom jika satu
elektronnya menetap dalam keadaan ini selama 10-8 sekon?
Jawaban: Waktu yang tersedia untuk mengukur energi tersebut adalah 10-8 sekon. Oleh
karena itu, dari Et  h ,
4


12,4 103 eV . 
E  h  hc   0,329 107 eV
  4t 
4ct 4c 3108 m / s 108 s 1010 m 
/


Ketidakpastian minimum energi di suatu keadaan ,   h , dengan  adalah waktu

4

hidup rata-rata untuk keadaan tereksitasi, dinamakan lebar alami keadaan. Untuk
persoalan ini, waktu hidup rata-rata adalah 10-8 s dan lebar alaminya adalah
0,329 107 eV .

3. Sejumlah radiasi foton cahaya dengan frekuensi sebesar 4 106 z dipancarkan oleh
sebuah atom tereksitasi tentukan:
a. Berapa besar energi foton yang dipancarkan oleh atom…..eV
b. Tentukanlah waktu yang dibutuhkan dari atom melalui tereksitasi hingga atom
memancarkan radiasi foton dengan menggunakan prinsip ketidakpastian
heinsenberg!
Jawaban:
a. Energi foton cahaya:
Dapat diperoleh dari persamaan kuanta energi planck,
E  hf

 6,626 1034 Js  4 106 z

 2,5 1027 J

 2,5 1027 J  1,56 108 eV .
1,6 1019 J / eV

Jadi energi foton cahaya yang dipancarkan oleh ataom tersebut adalah
1,56 108 eV .

b. Waktu dari tereksitasi hingga memancarkan radiasi:
Untuk mencari waktu dari foton cahaya, kita gunakan persamaan ini

17

t  
2E

Kemudian nilai energi yang diperoleh dimasukkan (dalam joule), didapatkan:

t  
2E

t  1,055 1034 Js
2 1,5 1027 J

t  3,51109 s.

Jadi waktu yang diperlukan dari tereksitasi hingga memancarkan radiasi adalah
3,51109 s .

4. Sebuah pellet bermassa 0,02 kg dengan kecepatan 10 m/s. tentukan panjang gelombang
de Broglie dari pellet tersebut!
Jawaban:
Diketahui: m = 0,02 kg,
V = 10 m/s
Ditanya :  ?
Penyelesaian :
  h  6,631034 J.s  3,311033 m
mv 0,02kg 10 m s



 3.311023 
5. Hitunglah panjang gelombang de Broglie dari sebuah neutron 0,04 eV (termal).

Jawaban :
Dihitung secara nonrelativistik

 h
p

   h  hc
2m0 K 2 m0c2 K



   12,4 103 eV .

2 940 106 eV 0,04eV 



  1,43 .

Latihan Soal

18



1. Sebuah energi proton dengan panjang gelombang 0,2 fm (1 fm = 10-15 m = 10-15  = 1
fermi). Hitunglah!

2. Sebuah gelombang yang bersesuaian dengan panjang gelombang de Broglie sebesar
  h  h , tentukan kecepatan fase
p mv



3. Berapakah ketidakpastian sebuah foton dengan panjang gelombang 2000  jika
diketahui panjang gelombang memiliki akurasi hingga satu per sejuta bagian?

4. Tentukanlah persamaan schrodinger tak bergantung waktu dengan diketahui sistem
nonrelativistik satu dimensi memiliki energi potensial yang memenuhi persamaan

V x  x V0 , dengan  merupakan bilangan bulat positif.

5. Berapakah waktu rata rata yang menjadikan sistem atomik tetap berada di keadaan
energi yang sesuai?. Jika, diketahui lebar sebuah garis spektrum panjang gelombang



4000  yang terukur adalah 104  .

1.5 MOMENTUM
Untuk sebuah partikel dalam keadaan , nilai harapan dari x adalah

x  x x,t 2dx (1.33)


Apa makna sebenarnya dari persamaan ini? tidak berarti bahwa jika mengukur posisi

satu partikel berulang ulang, maka dapat ditulis x x,t 2 dx, adalah rata-rata dari hasil nilai

posisi yang didapatkan. Sebaliknya, pengukuran pertama (yang hasilnya tidak tentu) akan
meruntuhkan fungsi gelombang menjadi lonjakan pada nilai yang sebenarnya diperoleh, dan
pengukuran berikutnya (jika dilakukan dengan cepat) akan mengulangi hasil yang sama.
Sebaliknya, x adalah rata-rata pengukuran yang dilakukan pada partikel semua dalam

keadaan  , yang artinya harus menemukan beberapa cara untuk mengembalikan partikel ke
keadaan semula setelah setiap pengukuran, atau Anda menyiapkan keseluruhan kumpulan
partikel, masing-masing dalam keadaan yang sama dan mengukur posisi mereka semua (x)
adalah rata-rata dari hasil ini. [bayangkan deretan botol di rak, masing-masing berisi partikel
dalam keadaan (relatif terhadap pusat botol). Seorang mahasiswa pascasarjana dengan
penggaris ditugaskan untuk setiap botol, dan pada sinyal mereka semua mengukur posisi

19

partikel masing-masing. Kemudian membangun histogram dari hasil, yang harus cocok dengan
 2 , dan menghitung rata-rata, yang harus sesuai dengan x . (Tentu saja, karena hanya

menggunakan sampel yang terbatas, tidak dapat diharapkan kesepakatan yang sempurna, tetapi
semakin banyak botol yang digunakan, semakin dekat seharusnya.)] Singkatnya, nilai harapan
adalah rata-rata pengukuran berulang pada ansambel sistem yang disiapkan secara identik,
bukan rata-rata pengukuran berulang pada satu dan sistem yang sama.

Seiring berjalannya waktu, x akan berubah (karena ketergantungan waktu dari  ).
dan untuk mengetahui seberapa cepat ia bergerak. Mengacu pada Persamaan (1.32) dan (1.33)
dapat dilihat bahwa

 d x     dx
 x
dt
x   2 dx  i x      (1.34)
t 2m x x

Ungkapan ini dapat disederhanakan menggunakan integrasi dengan bagian:

d x      dx
x
dt
  i   (1.35)
2m x

Menggunakan fakta bahwa x  1, dan membuang syarat batas,  keadaan dasar menuju nol
x

sehingga pada  sehingga dilakukan ilegrasi lain dengan bagian-bagian pada suku kedua,

disimpulkan bahwa

dx   i    dx (1.36)
dt m x

Apa yang harus dilakukan dari hasil ini? Perhatikan bahwa berbicara tentang "kecepatan" dari
nilai harapx, yang tidak sama dengan kecepatan partikel. Tidak ada yang telah dilihat sejauh
ini yangmungkin dihitung kecepatan partikel, bahkan tidak jelas apa arti kecepatan dalam
mekanika kuantum. Jika partikel tidak memiliki posisi tertentu (sebelum pengukuran), ia juga
tidak memiliki kecepatan yang terdefinisi dengan baik. Yang bisa diminta secara wajar
hanyalah kemungkinan mendapatkan nilai tertentu, akan dilihat di Bab 3 bagaimana
membangun kerapatan probabilitas untuk kecepatan.

20

d  fg   f dg  df g

dx dx dx

 bf dg dx   b df gdx  fg b
a dx a dx a

Di bawah tanda integral digunakan aturan histogral parsial. Diberikan  ; untuk tujuan
sekarang, cukup untuk mendalilkan bahwa nilai harap kecepatan sama dengan turunan waktu
dari nilai harap posisi:

dx (1.37)
v

dt

Persamaan (1.37) memberitahu kita, kemudian, bagaimana menghitung v langsung dari 
dalam mekanika kuantum, akan lebih digunakan persamaan momentum ( p  mv) , dari pada
kecepatan sehingga

p dx  i    dx. (1.38)
m  x 

dt

Persamaan x dan p dapat ditulis sebagai berikut:

x    xdx (1.39)

p       dx (1.40)
 i x 

Dikatakan bahwa operator "x"mewakili" posisi, dan operator  / i / x"mewakili"

momentum, dalam mekanika kuantum; untuk menghitung nilai harap operator diapit diantara
 dan  , dan di integrasikan. Bagaimana dengan variabel dinamis lainnya? Faktanya adalah,
semua besaran tersebut yang dapat ditulis dalam bentuk posisi dan momentum. Energi kinetik,
dan momentum sudut dapat ditulis sebagai

T  1 mv2  p2
2 2m

  r  mv  r  p
L

21

(yang terakhir, tentu saja, tidak terjadi untuk gerak dalam satu dimensi). Untuk

menghitung nilai harap dari besaran tersebut, cukup mengganti setiap p dengan  / i / x,

lalu disisipkan operator di antara  dan  , dan diintegralkan seperti persamaan dibawah ini

Qx, p    Q x,   dx
 i x 

T    2  2 dx (1.41)
2m x 2


Misalnya

1.6 PRINSIP KETIDAKPASTIAN
Para fisikawan dimasa lampau meyakini 6 gagasan sakral yang sudah mendarah daging

dalam sanubari mereka. Salah satu di antaranya adalah keyakinan bahwa “tidak mustasil
mengukur dua besaran fisis dalam waktu bersamaan dengan ketelitian tinggi”. Secara
kuantitatif, dua buah eksperimen yang identik dilakukan untuk mengukur posisi elektron
dengan momentum awal yang sudah diketahui secara pasti dan pada kedua eksperimen yang
sama. Namun, setelah eksperimen itu berjalan, ternyata posisi elektron pada dua eksperimen
berbeda atau tidak sama. Jelas hal ini menurunkan hasil dari 6 gagasan sakral yang diyakini
oleh fisikawan klasik pada masa lalu.

Berdasarkan eksperimennya, Heisenberg mengeluarkan sebuah asas ketidakpastian
Heisenberg, yang berbunyi:

“jika momentum sebuah partikel diketahui secara pasti, maka akan diikuti dengan posisi
elektron yang tidak pasti.”

Andaikan pengamat sedang memegang salah satu ujung tali yang sangat panjang, dan
menghasilkan gelombang dengan menggetarkan ke atas dan ke bawah secara berirama
(Gambar 1.6). Jika seseorang bertanya kepada pengamat, "Di mana tepatnya ombak itu?"
Gelombangnya tidak tepat di mana pun-itu menyebar lebih dari 50 kaki atau lebih. Di sisi lain,
jika diukur suatu ketegangan berapa panjang gelombangnya, terdapat jawaban yang masuk
akal: Sepertinya sekitar 6 kaki. Sebaliknya, jika tali disentak secara tiba-tiba (Gambar 1.7),
akan didapatkan tonjolan yang relatif sempit di sepanjang garis. Kali ini pertanyaan pertama
(Di mana tepatnya gelombang itu?) adalah pertanyaan yang masuk akal, dan pertanyaan kedua

22

(Berapa panjang gelombangnya?) bentuk gelombang tidak periodik sehingga tidak dapat
ditetapkan panjang gelombangnya.

Gambar 1.6: Gelombang dengan (cukup) panjang gelombang yang terdefinisi dengan baik tetapi posisi yang tidak
jelas.

Sumber : David J. Griffths, 1995

Gelombang dengan (cukup) panjang gelombang yang terdefinisi dengan baik tetapi
posisinya kurang akurat. Tentu saja, Dapat digambar kasus perantara, di mana gelombang
terlokalisasi dengan cukup baik dan panjang gelombang didefinisikan dengan cukup baik,
tetapi ada pertukaran yang tak terhindarkan di sini: Semakin tepat posisi gelombang, semakin
tidak presisi panjang gelombangnya, dan sebaliknya. Untuk fenomena gelombang apa pun, dan
khususnya untuk fungsi gelombang mekanika kuantum, panjang gelombang terkait dengan
momentum partikel dengan rumus de Broglie adalah:

p  h  2 (1.42)


Jadi penyebaran panjang gelombang sesuai dengan penyebaran momentum, dan dari
pengamatan umum kita sekarang mengatakan bahwa semakin akurat posisi partikel ditentukan,
semakin kurang akuat momentumnya ditentukan. Secara kuantitatif dapat ditulis:

 x p   (1.43)
2

di mana  , adalah standar deviasi di x, dan  p adalah standar deviasi di p. Ini adalah prinsip
ketidakpastian Heisenberg yang terkenal. Dapat dibuktikan pada Bab 3.

Gambar 1.7: sebuah gelombang dengan posisi ( cukup) yang terdefenisi dengan baik tetapi panjang
gelombangnya yang tidak jelas.

Sumber : David J. Griffths, 1995

23

Sama halnya dengan pengukuran posisi, pengukuran momentum menghasilkan
jawaban yang tepat-"penyebaran' di sini mengacu pada fakta bahwa pengukuran pada sistem
yang identik tidak memberikan hasil yang konsisten. Pengukuran posisi berulang akan sangat
berdekatan (dengan membuat "spike" lokal), Pengukuran momentum pada keadaan ini akan
tersebar luas. Atau dapat disiapkan sistem dengan momentum yang dapat dihasilkan (dengan
membuat gelombang sinusoidal yang panjang), tetapi dalam hal ini pengukuran posisi akan
tersebar luas. Dapat disiapkan sistem di mana baik posisi maupun momentum tidak terdefinisi
dengan baik: Persamaan 1.40 adalah ketidaksetaraan, dan tidak ada batasan seberapa besar 
, dan  hanya dapat membuat garis panjang bergoyang dengan banyak tonjolan dan lubang
dan tidak ada struktur periodik.

Contoh Soal
1. Berapakah ketidakpastian minimum untuk keadaan energi dari suatu atom jika satu

elektronnya menetap dalam keadaan ini selama 10-8 sekon?
Jawaban: Waktu yang tersedia untuk mengukur energi tersebut adalah 10-8 sekon. Oleh
karena itu, dari Et  h ,

4


12,4 103 eV . 
E  h  hc   0,329 107 eV
4ct 
  4t 1010 m 
4c 3108 m / s 108 s /


Ketidakpastian minimum energi di suatu keadaan ,   h , dengan  adalah waktu

4

hidup rata-rata untuk keadaan tereksitasi, dinamakan lebar alami keadaan. Untuk
persoalan ini, waktu hidup rata-rata adalah 10-8 s dan lebar alaminya adalah
0,329 107 eV .

2. Sebuah atom tereksitasi (teransang memancarkan sejumlah radiasi foton cahaya
berfrekuensi sebesar 4 106 Hz. Berapakah energi foton yang dipancarkan oleh atom
sebesar…eV
Jawaban:

Energi foton cahaya didapat dari persamaan kuanta energi Planck

E  f

24

 6,626 1034 Js  4 106 z

 2,6 1027 J

 2,6 1027 J
1,6 1019 J eV

 1,62 108 eV

3. Asumsikan ketidakpastian momentum partikel sama dengan momentum partikel.
Berapakah ketidakpastian minimum pada posisi partikel relatif terhadap panjang

gelombang de Broglie?

Jawaban : Kita anggap bahwa:
p  p

Sehingga x  h  h  
4p 4p 4

Karena pamjang gelombang de Broglie dari sebuah partikel adalah  h
p.


Dengan demikian, ketidakpastian dalam posisi tersebut adalah 4

4. Misalkan ujung mata mendarat sejauh dari sebuah garis 0  y  l, dan misalkan z
adalah proyeksi sepanjang arah yang sama  l  x  l. Jarum melintasi garis diatas

jika y  x  l (yaitu x  l  y ) dan melintasi garis dibawah jika y  x  0 . Tentukan

nilai y yang diberikan

Py  y pxdx   l 1  y 1 l 1
  l dx
l ly  dx 
   Jawaban: p x dx  ly l2  x2 
l2  x2

 1 sin 1  x  1  x  l  1
   l  y  sin  l  ly     sin 1y / l  2sin 11  sin 1 1  y / l
l 

 1  sin 1 y / l  sin 1 1  y / l



Sekarang, semua nilai y memiliki peluang yang sama , jadi py  1/ l, dan dengan

demikian peluang persilangan adalah

25

   P  1 y l  y dy 1
l l l l
l  sin 1   sin 1  l   2sin 1y / l
0   
0

1 1 2 11 2  2 .
l l 
 P l 2  l
  y sin 1 y / l  l 1  y / l2 0  l sin 11  l

5. Hitung d  p ?

dt

Jawaban:

dp    V 
 x 
dt

Latihan Soal



1. Berapakah ketidakpastian sebuah foton dengan panjang gelombang 2000  jika
diketahui panjang gelombang memiliki akurasi hingga satu per sejuta bagian?

2. Berapa besar energi foton yang dipancarkan oleh atom memancarkan sejumlah radiasi
foton cahaya yang berfrekuensi sebesar 6 106 Hz?

3. Misalkan ditambahkan V0 konstan ke energi potensial (dengan "konstan" yang
dimaksud tidak bergantung pada x dan juga t ). Mekanika tidak mengubah apa pun,
tetapi bagaimana dengan mekanika kuantum? Tunjukkan bahwa fungsi gelombang

mengambil faktor fase tergantung waktu: contoh V0 / . Apa pengaruhnya terhadap

nilai ekspektasi dari variabel dinamis?
4. Berapakah waktu rata rata yang menjadikan sistem atomik tetap berada di keadaan

energi yang sesuai?. Jika, diketahui lebar sebuah garis spektrum panjang gelombang



4000  yang terukur adalah 104  .

5. Sebuah partikel bermassa m berada dalam keadaan

  x,t  Ae amx2iit

di mana A dan a adalah konstanta real positif,

26

(a) Carilah A.
(b) Untuk apa fungsi energi potensial V (x) memenuhi persamaan Schrödinger?
(c) Hitung nilai harapan dari x, x², p, dan p.
(d) Carilah a, dan  p . Apakah produk mereka konsisten dengan prinsip ketidakpastian?

27

BAB II

PERSAMAAN SCHRODINGER INDEPENDEN WAKTU

Persamaan Schrodinger adalah persamaan yang dapat digunakan untuk menjelaskan sifat
sifat gelombang dari partikel, misalnya elektron pada atom hidrogen, partikel dalam kotak satu
dimensi dan lain-lain. Persamaan Schrodinger diajukan oleh fisikawan Erwin Schrodinger pada
tahun 1925 dan mempublikasikanya pada tahun 1926. Dalam bidang teori kuantum banyak
yang dihasilkan oleh Erwin Schrodinger. Lahirnya kuantum berawal dari keberadaan klasik
yang tidak dapat menjelaskan sebuah fenomena yang terjadi pada benda yang berukuran
mikroskopis.

Persamaan Schrodinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk memberikan
informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Bentuk sederhana dari persamaan ini
disebut nilai eigen.

Persaman Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi untuk koordinat kartesius yaitu

2  2m E V   0

x 2  2

Adapun persamaan Schrodinger bergantung waktu untuk koordinat kartesius tiga dimensi yaitu

 2  2  2   2m E V   0
x 2 y 2 z 2 2

Persamaan Schrodinger bergantung waktu merupakan persamaan diferensial orde dua

yang memiliki penyelesaian:    i Et  px

 x,t  Ae 

Dari persamaan Schrodinger bergantung waktu, maka akan diperoleh persamaan Schrodinger
tak bergantung waktu. Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu satu dimension untuk
koordinat kartesius yaitu:

d 2  2m E V   0

dx 2  2

Tiga dimensi untuk koordinat kartesius:

28

 d2  d2  d2   2m E V   0
dx 2 dy 2 dz 2
2

2.1 KEADAAN STASIONER
Dalam Bab 1 telah dibahas lebih banyak tentang fungsi gelombang dan digunakan

untuk menghitung berbagai besaran fisis mekanik. Pertanyaan sebelumnya: Bagaimana

menentukan x,tdan bagaimana menyelesaikan persamaan Schrödinger? Diasumsikan

bahwa potensi V tidak tergantung pada t (didalam bagian pada buku ini). Dalam hal ini
persamaan Schrödinger dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel ( dengan
menyelesaikan pada persamaan diferensial parsial): Dicari solusi yang merupakan produk
sederhana.

 x,t  x f t (2.1)

Dimana  adalah fungsi dari x, dan  adalah fungsi dari t . Sekilas, ini adalah batasan
yang tidak masuk akal, dan tidak bisa diharapkan untuk mendapat lebih dari sebagian kecil dari
semua solusi dengan cara ini, karena solusi yang di peroleh ternyata sangat menarik. Selain itu,
seperti yang biasanya terjadi dengan pemisahan variabel. Akan dapat pada akhirnya untuk
menyatukan solusi yang dapat dipisahkan sedemikian rupa untuk membangun solusi yang
paling umum.

Untuk solusi yang dapat dipisahkan, adalah:

  d  2  d 2 
,
 dt x2 dx2

(merupakan turunan biasa), dan persamaan Schrödinger (2.2) dapat ditulis menjadi
i d   h2 d 2   V.
dt 2m dx2

Atau,dibagi dengan  :

i 1 df   h2 1 d 2  V. (2.2)
 dt 2m  dx2

Sekarang ruas kiri adalah fungsi sebagai t saja, dan ruas kanan adalah fungsi sebagai x saja.
Satu-satunya cara ini menjadi benar jika kedua ruas adalah konstan dan sebaliknya. dengan

29

memvariasikan t , dapat di ubah sisi kiri tanpa menyentuh sisi kanan, dan keduanya tidak lagi
sama. Untuk alasan yang akan muncul, disebut konstanta pemisahan E. selanjutnya

i 1 d  E,
 dt (2.3)

d   iE .
Atau dt 

 2 1 d 2  V  E,
Dan 2m  dx2

 2 d 2  V  E . (2.4)
2m dx2
Atau

Pemisahan variabel telah mengubah persamaan diferensial parsial menjadi dua persamaan

diferensial biasa persamaan (2.3) dan (2.4). Yang pertama mudah diselesaikan (cukup kalikan

dengan dt dan integrasikan); solusi umumnya adalah C exp   i Et  , tapi mungkin juga
  

Konstanta C diserap ke dalam  . Kemudian

  t  eiEt /  (2.5)

Kedua Persamaan (2.4) disebut persamaan Schrödinger yang tidak bergantung waktu, tidak

dapat melanjutkannya dengan ini sampai potensial V xditentukan.

Bab ini akan dikhususkan untuk memecahkan persamaan Schrödinger yang tidak
bergantung waktu, untuk berbagai potensial sederhana. Tetapi sebelum dibahas lebih jauh
pertanyaannya: Apa hebatnya mengenai solusi ditinjau pemisahan? Lagi pula, sebagian besar

solusi persamaan Schrödinger (bergantung waktu) tidak berbentuk  x f t. Di tawarkan tiga

jawaban dua di antaranya fisik dan satu matematika:

1. keadaan stasioner. Adapun fungsi gelombang itu sendiri (2.6)
30
 x,t  xeiEt / 

(jelas ) bergantung pada t , rapat probabilitasnya adalah

    x,t 2      e iEt / eiE /    x 2 (2.7)

 dapat dibatalkan. Hal yang sama terjadi dalam menghitung nilai ekspektasi dari setiap
variabel dinamis; Persamaan (1.36) direduksi menjadi

Qx, p   Q x,  d dx. (2.8)
 i dx 

Setiap nilai harapan adalah konstan terhadap waktu; faktor f tdibuang sama sekali, dan hanya

digunakan  di tempat  . (Memangumum untuk  sebagai "fungsi gelombang", tetapi ini
adalah bahasa ceroboh yang bisa berbahaya, dan itu penting untuk diingat bahwa fungsi

gelombang sejati selalu membawa faktor exponensial bergantung waktu) Secara khusus, x

adalah konstan, dan karenanya persamaan (1.33) p  0 , keadaan seperti in tidak pernah

terjadi dalam keadaan stasioner.

2. Keadaan energi total tertentu atau berhingga. Dalam mekanika klasik, jumlah energi
(kinetik plus potensial) disebut Hamiltonian dapat ditulis:

H x, p  p2  V x. (2.9)

2m

Sebanding dengan Operator Hamilton, yang diperoleh dengan cara kanonik substituskani

p       sehingga:
 i  x 

Hˆ   h2  2  V x (2.10)

2m x2

Dengan demikian persamaan Schrödinger yang tidak bergantung waktu (Persamaan 2.4) dapat
ditulis

Hˆ  E , (2.11)

dan nilai harapan dari energi total adalah:

H    Hdx  E 2  E. (2.12)
31
dx

(Perhatikan bahwa normalisasi  memerlukan normalisasi .) Selain itu,

   Hˆ 2  Hˆ Hˆ  Hˆ  E   E Hˆ  E 2 ,


Dan karenanya:

 Hˆdx  E 2 2
 H 2    E2.
dx

Jadi standar deviasi H diberikan oleh:

 2  H2  H 2  E 2  E 2  0. (2.13)
H

Diketahui, jika  0, maka setiap anggota sampel harus berbagi nilai yang sama
(distribusi memiliki sebaran nol). Kesimpulan: Solusi pemisahan memiliki syarat bahwa setiap
pengukuran energi total pasti kembali ke nilai E. (Itulah sebabnya di pilih konstanta
pemisahan.)

3. Solusi umum adalah kombinasi linier dari penyelesaian terpisah dipisahkan. Seperti
yang akan di temukan, persamaan Schrödinger yang tidak bergantung waktu (Persamaan 3.1.4)

menghasilkan kumpulan solusi tak terhingga yaitu 1x, 2x,3x,..., masing-masing nilai
yang terkait dengan konstanta pemisahan E1, E2, E3,...; sehingga terdapat fungsi gelombang

yang berbeda untuk setiap energi yang diizinkan:

1x,t  1xeiE1t /h, 2 x,t  2  x eiE2t /.....

Sekarang (karena dapat dengan mudah diperiksa) persamaan Schrödinger (tergantung waktu)
Persamaan (3.2) memiliki sifat bahwa setiap penyelesaian berkombinasi linear Setelah
ditemukan solusi pemisahkan maka, dapat dibangun solusi yang jauh lebih umum, dalam
bentuk

 (2.14)

x,t   cn n x eiE1t / h.
n1

Kebetulan bahwa setiap solusi untuk persamaan Schrödinger (tergantung waktu) dapat ditulis
dalam bentuk ini, ini hanyalah masalah sederhana menemukan konstanta yang tepat (c₁ ,
c₂ ....) agar sesuai dengan kondisi awal masalah. Lihat di bagian berikut bagaimana semua ini

32

bekerja dalam praktis, dan di Bab 3 akan memasukkan konstanta pemisahan ke dalam bahasa
yang lebih elegan, tetapi poin utamanya adalah setelah diselesaikan masalah persamaan
Schrödinger tak bergantung waktu, pada dasarnya lebih diselesailan penyelesaian persamaan
Schrödinger yang bergantung waktu sederhana dan mudah.

Contoh Soal

1. Tunjukkan bahwa hasil dari turunan fungsi gelombang   i Et  px terhadap t

 Ae 

adalah persamaan operator energi.

Jawaban :

d  d   i Et  px 
dt dt
Ae 

d i  i Et  px

dt  EAe 

 i Et  px

Karena:   Ae  , maka persamaan diatas menjadi:

d   i E
dt 

 d  E
 i dt

Ruas kanan dan kiri pada persamaan diatas dikalikan dengan i maka diperoleh:
i

 d  i  E  i
 i dt i i

i d  E 1
 i2 dt

Ingat bahwa: i2  1

Maka persamaan diatas menjadi:

i d  E
dt

E  i d
dt

E  i d
dt

33

Persamaan diatas disebut sebagai persamaan operator energi.

2. Sebuah sistem nonrelativistik satu dimensi memiliki energi potensial yang memenuhi

persamaan V x  x V0 , dengan  merupakan bilangan bulat positif. Maka

tentukanlah persamaan Schrodinger tak bergantung waktu untuk sistem tersebut?

Jawaban:

Diketahui: V x  x V0

Ingat kembali persamaan Schrodinger tak bergantung waktu:

d 2 x  2m E V  x  0

dx 2  2

Subtitusikan energi potensial ke dalam persamaan Schrodinger tak bergantung waktu

d 2 x   2m E  V  x   0
2
dx2

d 2 x  2m E  x V0   0

dx 2 2

d 2 x  2m E  x  V0  x  0
dx 2
2

d 2 x  2m E  V0  x x  0
2
dx 2

3. Buktikan teorema berikut:

(a) Untuk solusi yang dapat dinormalisasi, konstanta pemisahan E harus nyata.

Petunjuk: Tulis E (pada Persamaan 2.6) sebagai E0  i (dengan E0 dan  real), dan
tunjukkan bahwa jika Persamaan 1,20 adalah untuk menahan semua t ,  harus nol.
(b) selalu dapat dianggap nyata (tidak seperti  , yang tentu saja kompleks). Catatan:

tidak berarti bahwa setiap solusi persamaan Schrödinger independen adalah nyata; apa

yang dikatakan adalah bahwa jika Anda memiliki satu yang tidak, itu selalu dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linier dari solusi (dengan energi yang sama) yang ada.
Jadi dalam Persamaan 2.14 Anda sebaiknya tetap menggunakan  yang nyata.

Petunjuk: Jika  x memenuhi persamaan Schrödinger tak tergantung waktu untuk E

tertentu, demikian juga konjugat kompleksnya, dan karenanya juga kombinasi linear

nyata    dan i    .

Jawaban:

(a).

34

      x, t   x eiE0 it /   x e et /  iE0t /    2   e2 2t / 

     x,t 2 dx  e2t /    2 dx.
 

Suku kedua tidak bergantung pada t, jadi jika sahil kali adalah 1 untuk semua waktu,
suku pertama juga harus konstan dan karenanya   0.

(b). jika memenuhi persamaan 2.5,  2  2  V  E , maka ambil konjugat
2m dx 2

komplek dan perhatikan bahwa V dan E nyata);  2 2   V   E  , jadi   juga
2m dx2

memenuhi persamaan 2.5. Sekarang, jika  1 dan  2 memenuhi persamaan 2.5 begitu

juga kombinasi linier dari ketiganya  3  c11  c2 2 :

 2  2 3  V 3   2  c1  2 1  c2  2 2   V c1 1  c2 2 
2m dx 2 2m dx 2 x 2

  2  2 1  2 d 2 2 
c1  2m dx 2  V 1   c2  2m dx 2  V 2 

  

 c1E 1   c2 E 2   Ec1 1  c2 2   E 3

   Jika,    dan i    keduanya nyata memenuhi persamaan 2.5. kesimpulan:

Dari setiap solusi kompleks, kita selalu dapat membangun dua solusi nyata (tentu saja
jika sudah nyata, yang kedua akan menjadi nol). Khususnya karena,

     1     i i(   ) , dan dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari
2
dua solusi nyata.

4. Dari soal diatas jika V x adalah fungsi genap yaitu, [i.e.,V x  V x], maka  x
selalu dapat dianggap genap atau ganjil. Petunjuk: Jika  x memenuhi persamaan
Schrödinger tak tergantung waktu untuk E tertentu, demikian juga   x, dan
karenanya juga kombinasi linier genap dan ganjil  x  x

Jawaban:

Jika  x memenuhi persamaan 2.5 maka, ubah variabel x  x dan
perhatikan bahwa 2 /  x2  2 / x2 ,

35

Jadi jika V  x  V x maka   xjuga memenuhi persamaan 2.5. Maka
  x  x  x (genap):    x   x dan   x  x  x (negatif:
   x    x keduanya memenuhi persamaan.

5. Tunjukkan bahwa E harus melebihi nilai minimum V(x) untuk setiap solusi yang dapat
dinormalisasi ke persamaan Schrödinger yang tidak bergantung waktu. Apa analog
klasik dari pernyataan ini? Petunjuk: Tulis kembali Persamaan 2.4 dalam bentuk

d 2  2m V x  E  ;
dx 2 h2

Jawaban:

Diketahui: d 2  2m V x  E , jika E  Vmin , maka  '' dan  selalu memiliki
dx2 h2

tanda yang sama: jika  positif (negatif) maka  '' juga positif (negatif) ini berarti

bahwa selalu melengkung menjauhi sumbu ( lihat gambar)

Latihan Soal

1. Sebuah sistem nonrelativistik satu dimensi memiliki energi potensial yang memiliki

energi potensial yang memenuhi persamaan U x  ax U0 , dengan a dan b merupakan

bilangan bulat positif. Lalu ingat bahwa persamaan schrodinger tak bergantung waktu
dinyatakan oleh:

0  2 2  E U  {1}

2m

Maka persamaan Schrodinger tak bergantung waktu untuk sistem tersebut adalah…

36

2. Operator energi Hˆ atau yang biasa dikenal dengan operator Hamiltonian merupakan

operator yang mewakili observabel energi pada ruang Hilbert. Maka, carilah bentuk
operator Hamiltonian untuk:

a. Sistem nonrelativistik satu dimensi dengan energi potensial yang memenuhi

persamaan U x  ax U0

b. Sistem nonrelativistik dua dimensi dengan energi potensial yang memenuhi

persamaan U x, y  a  b U0
x y

3. Tentukan persamaan energi total dan bentuk persamaan Schrodinger tak bergantung

waktu, jika energi potensial pada sistem nonrelativistik adalah V x  Ax V0 .

4. Tentukan persamaan Schrodinger sistem ninrelativistik jika diketahui energi potensial
sebagai berikut:

V x  V0 x  0 x  a
0 xa
0,

5. Buktikan bahwa persamaan Schrodinger adalah linear dengan membuktikan:

  a11x,t  a2 2 x,t

Dimana  1 dan  2 adalah fungsi gelombang solusi persamaan Schrodinger.

2.2 PARTIKEL BEBAS
Partikel bebas adalah partikel yang bebas bergerak tanpa dipengaruhi oleh gaya apapun

dan V x  0. Partikel bebas merupakan contoh partikel yang sangat rumit untuk dikaji, adapun

Persamaan Schrondinger untuk partikel bebas yang tidak bergantung waktu adalah

 h2 d 2  E . (2.15)
2m dx2

atau

d 2  k 2 , dimana k 2mE (2.16)
dx 2 h

37

Sejauh ini partikel bebas berada di dalam sumur kotak tak hingga (Persamaan 4.2), di mana
potensinya juga nol; bagaimanapun, penyelesaian umum dapat ditampilkan dalam bentuk
eksponensial (bukan sinus dan cosinus) yaitu

  x  Aeikx  Beikx . (2.17)

Berbeda dengan sumur potensial tak hingga, tidak ada kondisi syarat untuk membatasi nilai
kyang memungkinkan (dan demikian pulai E); partikel bebas dapat menghasilkan energi
(positif). Menempel pada ketergantungan waktu standar, exp(-i Et /h)

  ik x k t  ik  x k t 
 x, t  Ae  2m   Be  2m 
(2.18)

Sekarang, setiap fungsi x dan t yang bergantung pada variabel-variabel ini dalam kombinasi
khusus (x  vt) (untuk beberapa konstanta v) mewakili gelombang profil tetap, berjalan dalam
arah  x , dengan kecepatan v . Titik tetap pada bentuk gelombang (misalnya, maksimum atau
minimum) sesuai dengan nilai tetap dari argumen, dan karenanya ke x dant sedemikian rupa
sehingga

x  vt  konstan, atau x  vt  konstan,

yang merupakan rumus untuk gerak dalam arah  x dengan kecepatan konstan v. Karena setiap
titik pada bentuk gelombang bergerak dengan kecepatan yang sama, bentuknya tidak berubah
saat merambat. Jadi, suku pertama dalam Persamaan mewakili gelombang yang merambat ke
kanan, dan suku kedua menunjukkan gelombang (dengan energi yang sama) yang bergerak ke
kiri. Karena hanya terdapat perbedaan tanda pada k. Maka dapat ditulis dengan:

  i(kxk 2 t) (2.19)

k x,t  Ae 2m

k berjalan negatif untuk menutupi kasus gelombang yang merambat ke kiri:

2mE , Dengan

k   k 0kea ra h ka n an (2.10)
k 0kearahkiri

Kecepatan gelombang ini (koefisien tmelebihikoefisien x), sehingga

vkuantum  |k |  E. (2.21)
2m 2m

38

Di sisi lain, kelajuan klasik partikel bebas dengan energi E diberikan oleh E = (1/2)m² (kinetis
murni, karena V  0 ), jadi

vkuantum  2E (2.22)
m 2vkuantum

Terbukti fungsi gelombang mekanika kuantum bergerak dengan kecepatan setengah dari
partikel yang seharusnya diwakilkan. Kembali ke paradoks ini sebentar lagi ada masalah yang
lebih serius yang harus kita hadapi terlebih dahulu: Fungsi gelombang ini tidak dapat
dinormalisasi yaitu

 2

1dx  A


    dxA2  (2.23)
 k

Dalam kasus partikel bebas, penyelesaian pemisahan tidak mewakili secara fisika yang
dapat direalisasikan. Sebuah partikel bebas tidak dapat eksis dalam keadaan stasioner: dengan
kata lain , tidak ada partikel bebas dengan energi yang pasti.

Tetapiitu tidak berarti penyelesaian pemisahan tidak dapat digunakan. Untuk
matematika berperan penting sepenuhnya tak bergantung pada interpretasi fisikapenyelesaian
umum persamaan Schrodinger bergantung waktu berkombinasi linear pada penyelesaian
pemisahan (hanya kali ini merupakan integral variabel kontinu k, jumlah pada indeks diskrit
n):

  1 i  kx  k 2 t 
2m
x,t  k e dk.
2 
(2.24)

1
2 yang berperan sebagai koefisien Cn , dalam Persamaan (2.24)yaitu kombinasi

 1 k dk . Sekarang fungsi gelombang ini dapat dinormalisasi (yang sesuai dengank 
2

). Tapi itu tentu membawa rentang k, dan karenanya rentang energi dan kecepatan. Hal ini

disebut paket gelombang.

Dalam masalah kuantum umum, diberikan x,0, dan akan menemukan x,t.Untuk

partikel bebas solusinya memiliki bentuk Persamaan 2.25; satu-satunya pertanyaan yang tersisa

adalah bagaimana menentukan k  agar sesuai dengan fungsi gelombang awal:

39

x,0  1 k eikxdx (2.25)

2 
Ini adalah masalah klasik dalam analisis Fourier

 f x  1 1
  k eikx dk  F k    x eikx dx (2.26)

F f
2  2 

F(k) disebut Transformasi Fourier dari f(x); f(x) adalah invers transformasi Fourier dari F(k)
(perbedaan adalahnya hanya tanda eksponensial). Tentu saja ada beberapa batasan pada fungsi

yang diizinkan: Integral harus ada. Untuk tujuan terjamin oleh persyaratan fisik bahwa x,0

itu sendiri dinormalisasi. Sehingga solusi untuk masalah kuantum generik, untuk partikel bebas
pada Persamaan 2.26 sehingga dapat ditulis sebagai:

k  1  


2  x,0 eikx dx (2.27)

Sebagai contoh dimulai dengan fungsi tertentu x,0yang dapat dihitung k  dan kemudian
lakukan integral dalam Persamaan (2.27) untuk mendapatkan x,tdalam bentuk tertutup.

Kembali ke paradoks sebelumnya bahwa penyelesaian pemisah k x,tbergerak

dengan kecepatan partikel yang seolah-olah untuk wakilnya. k secara fisika bukan keadaan
yang dapat dicapai. Namun demikian, menarik untuk diketahui bagaimana informasi tentang
kecepatan partikel dibawa oleh fungsi gelombang (Persamaan 4.1.12). Ide dasarnya adalah
Paket gelombang adalah fungsi sinusoidal yang amplitudonya dimodulasi oleh (Gambar 4.1);
hal ini terdiri dari "riak" yang terkandung dalam “selubung” sebanding dengan kecepatan
partikel bukanlah kecepatan riak individu (yang disebut kecepatan fase), melainkan kecepatan
selubung (kecepatan grup) yang, tergantung pada sifat alami gelombang, dapat lebih besar dari,
kurang dari, atau sama dengan kecepatan riak yang muncul. Untuk gelombang pada tali,
kecepatan grup sama dengan kecepatan fase. Untuk gelombang air, kecepatannya adalah
setengah dari kecepatan fase, ketika pengamat melemparkan batu ke dalam kolam: Jika
berkonsentrasi pada riak tertentu, akan terlihat riak terbentuk dari belakang, bergerak maju
melalui kelompok, dan memudar di depan, sementara kelompok secara keseluruhan menyebar
dengan setengah kecepatan. Yang perlu diamati adalah bahwa untuk fungsi gelombang partikel

40

bebas dalam mekanika kuantum, kecepatan grup adalah dua kali kecepatan fase—tepat untuk
mewakili kecepatan partikel klasik.

Masalahnya, ketika menentukan kecepatan grup dari paket gelombang dengan bentuk
umum adalah:

x,t  1   k eikxtdx

2 

( Dengan w= (hk²/2m), hal ini berlaku untuk semua jenis paket gelombang, terlepas dari
rumus hubungan dispersi untuk  sebagai fungsi dari k.] Mari kita asumsikan bahwa  (k)
puncak sempit yang terkait beberapa nilai k0 tertentu. (Tidak ada yang ilegal tentang
penyebaran luas di k . tetapi setiap paket gelombang berubah bentuk dengan cepat (karena
komponen yang berbeda bergerak pada kecepatan yang berbeda), sehingga seluruh gagasan
tentang "grup", yang kecepatanya terdefinisi dengan baik, kehilangan maknanya.) Karena yang
berada di dalam integran

Gambar 2.1: Paket gelombang.
"Amplop" bergerak dengan kecepatan grup: "riak" bergerak dengan kecepatan fase

Sumber : David. J Griffiths 1995

Dapat diabaikan kecuali di sekitar k0 , dapat memperluas dinding Taylor fungsi k 

tentang titik dan hanya mempertahankan suku utamanya yaitu:

k  0  01 k  k0 

Dimana  ' turunan  terhadap k, pada titik k0.
0

41

Mengubah variabel dari k ke s = k-k0, pusat integral di k0, diperoleh

1    k  s e ds
2
 0
     x,t  i k0 s x 0 01s t

Pada t = 0

 x,t  1  k0  s eik0 sx ds

2 

Dan dikemudian

1 ei0tk00t   eik0 sx0' t ds.
     x,t 2 k0 s


Terlepas dari faktor fase di depan (yang tidak akan mempengaruhi  2 dalam hal apapun),
gelombang paket jelas bergerak dengan kecepatan

   x,t   e i 0k00 ! x  01t,0 . (2.28)

 Kecuali untuk pergeseran dari x ke x  0' t , integralnya sama dengan yang ada di  x,0

vgrup  d (2.29)
dk

(dievaluasi pada k = k0), yang berbeda dengan kecepatan fase biasa

v fase   . (2.30)
k

Sehingga,    k 2  jadi    k  , sedangkan d   k  , yang adalah dua kali lebih
2m k  2m  dk m

besar. Ini menegaskan bahwa kecepatan grup paket gelombang, bukan kecepatan fase

keadaan stasioner, yang cocok dengan kecepatan partikel klasik:

vklasikal  vgrup  2v fase. (2.31)

2.3 SUMUR KOTAK BERHINGGA
Dintinjau sumur kotak berhingga yang berpotensial adalah

42

V x  0, jika 0 xa (2.32)
 sebaliknya

(Gambar 2.2). Sebuah partikel dalam potensial ini benar-benar bebas, kecuali pada kedua

ujungnya x  0dan x  a, di mana sebuah gaya berhingga mencegah partikel lepas. Model

klasik akan menjadi kereta tetap berada di jalur udara horizontal tanpa gesekan, dengan bumper
elastis sempurna yang terus memantul bolak-balik selamanya. (Potensi ini sangat artifisial,
tetapi saya mendorong Anda untuk memperlakukannya dengan hormat. Terlepas dari
kesederhanaannya atau lebih tepatnya

Gambar 2.2: Potensi sumur persegi tak terhingga (Persamaan 2.32).
Sumber : David J. Griffiths, 1195

Justru karena kesederhanaannya ini berfungsi sebagai kasus uji yang sangat mudah
diakses untuk semua kemudahan yang datang kemudian. Hal ini sering dirujuk kembali.)

Di luar sumur,  x  0(probabilitas menemukan partikel adalah nol). Di dalam sumur,

di mana V = 0, persamaan Schrödinger tidak tergantung waktu (Persamaan 2.33) dibaca

 h2 d 2  E , (2.33)
2m dx2

d 2  k 2 , dimana k  2mE . (2.34)
dx2 h

(Dengan menuliskan seperti ini, di asumsikan bahwa E  0; diketahui dari Soal 2.2 bahwa
E  0, tidak dipakai.) Persamaan 4.2.3 adalah harmonik sederhana (klasik) persamaan osilator;
solusi umumnya adalah

 x  Asin kx  B cos kx, (2.35)

43

dimana A dan B adalah konstanta sembarang. Biasanya, konstanta ini ditetapkan oleh

syarat batas suatu masalah. Apa syarat batas yang sesuai untuk  x? . Biasanya, dan d

dx
adalah kontinu, tetapi di mana potensial menuju tak terhingga hanya yang pertama yang
berlaku. (Akan dibuktikan syarat batas ini, dan diperhitung kecuali ketika V  

Kontinuitas  x mensyaratkan bahwa

 0  a ,0 (2.36)

untuk bergabung ke solusi di luar sumur. Hal ini memberitahu tentang A dan B lalu

 0  Asin 0  Bcos 0  B, (2.37)

jadi B = 0, dan karenanya

 x  Asin kx

Kemudian a  Asin ka, jadi A=0 [dalam hal ini didapatkan solusi trivial yang tidak dapat
dinormalisasi  x  0], atau sin ka  0, yang berarti bahwa

ka  0, ,2 ,3 ,..... (2.38)

Tapi k = 0 tidak memenuhi (sekali lagi, itu berarti x  0, dan solusi negatif tidak
memberikan hal baru, karena sin   sin dan kita dapat menyerap tanda minus ke A.

Jadi solusi yang berbeda adalah

kn  n , dengan  1,2,3,...... (2.39)
a

Syarat batas di x = a tidak ditentukan konstanta A, melainkan konstanta k, dan karenanya nilai-
nilai yang mungkin dari E:yaitu

h 2 k 2 n2 22
n .
En   (2.40)
2m 2ma2

Sangat kontras dengan kasus klasik, partikel kuantum di sumur persegi tak terbatas tidak dapat
memiliki sembarang energi lama hanya nilai-nilai khusus yang diizinkan ini. Nah, bagaimana
kita memperbaiki konstanta A? Jawaban: Kami menormalkan:

44