The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

diktat elektronik fisika kuantum berbasis matlab

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by delitawn, 2022-10-12 11:14:18

E-DIKTAT FISIKA KUANTUM

diktat elektronik fisika kuantum berbasis matlab

Keywords: fisika kauntum

b=2
c=4

 b   c    b    c  

2i,3 j, k2i,2 j,4k  43i,5 j,5k  22i,3 j, ki,2 j,4k  42i,3 j, k  3i,5 j,5k

Terlepas dari generalisasi ke bilangan kompleks, aksioma ini hanya
mengmodifikasikan perilaku pada produk titik. Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali
dalam seperti di atas disebut ruang hasil kali dalam. Karena produk dalam dari setiap
vektor dengan dirinya sendiri adalah bilangan non-negatif, akar kuadratnya adalah real
disebut normal vektor.

   (3.23)

Pada umumnya panjang vektor satuan yang normalnya 1 dikatakan ternormalisasi
(kata-kata harus dinormalisasi sempurna; dua vektor yang hasil kalinya nol dikatakan
ortogonal (Menggeneralisasikan konsep tegak lurus.) Kumpulan vektor ternormalisasi
yang saling ortogonal disebut himpunan ortonormal.

i  j  ij (3.24)

Dan untuk memilih basis ortonormal dalam hal ini hasilkali dalam dari dua vektor
dapat di tulis dalam komponennya:

   a1*b1  a2*b2  ...  an*bn (3.25)

Normal (kuadrat) menjadi (3.26)
   a1 2  a2 2  ...  an 2

Dan komponen itu sendiri adalah

aj  e1  (3.27)

(Hasil menggeneralisasi rumus yang sudah dikenal a ∙ b = a y bx + a yby + a zbz, a ∙ a =
2 + 2 + 2 , dan = ̂ ∙ a, = ̂ ∙ a, = ̂ ∙ a, untuk tiga dimensi berbasis

95

ortonomal iˆ, ˆj, kˆ . mulai sekarang kita akan selalu bekerja dalam basis ortonormal kecuali
jika dinyatakan lain secara eksplisit.

Berdasarkan geometris yang lain yang mungkin ingin digeneralisasikan sudut antara

duan vektor. Dalam analisis vektor biasa cos   a.b = (a ∙ b)/[a][b]. Tetapi

cos
a.b

karena hasil kali dalam pada umumnya adalah bilangan kompleks, maka rumus analog
(dalam ruang hasilkali dalam sembarang) tidak mendefinisikan sudut (real) . Namaun
demikian, tetap benar bahwa nilai mutlak besaran ini adalah bilangan tidak lebih dari 1.

 2    (3.28)

Hasil penting ini dikenal sebagai pertidaksamaan Schwarz. Jadi, jika ditentukan sudut
antara  , dan  dengan rumus berikut:

cos      (3.29)
  

 Operasi Vektor Menggunakan MATLAB
 Hasilkali titik (dot product)
Missal diketahui a  2i  5 j dan b  3i  8 j , maka dapat diselesaikan dengan
perintah dot

a = [2 5];
b = [3 8];

c = dot(a,b)
c = 46
 Hasilkali silang (cross product)
Sama dengan operasi dot product, kedua vektor harus memiliki dimensi yang
sama. Missal diketahui a  3i  4 j  7k dan b  6i  2 j  5k , maka dapat
diselesaikan dengan perintah cross.
a = [3 4 7];
b = [6 2 5];

96

d = cross(a,b)
d = 6 27 -18

 Panjang (norm) suatu vektor
Untuk mengetahui panjang suatu vektor dapat menggunakan pertintah norm.

Misal diketahui a 10i  5 j  10k , maka.

a = [10 5 10];
x = norm(a);
x = 15

 Proyeksi orthogonal

  2  1 
Missal vektor w    4 dan vektor v   3  , maka proyeksi orthogonal
 3    4

vektor w terhadap vektor v adalah :

w = [-2 -4 3];
w = -2 -4 3
v = [1 3 -4]
v = 1 3 -4
c = dot(w,v)/(norm(v)*norm(v))*v
%sesuai dengan rumus vektor proyeksi
c = -1 -3 4
%langsung didapat hasil vektor proyeksinya

3.1.3 Transformasi Linier
Transformasi linear merupakan dasar dalam aljabar linear yang berbentuk fungsi.

Transformasi linear yang dimaksud adalah perpindahan dari satu ruang yang biasa
dinamakan dengan domain ke ruanghngan lain yang dinamakan kondomain. Misalkan
setiap vektor (dalam tiga ruang) dan menghasilkan ruang 17, atau diputar setiap vektor

97

sebesar 39° terhadap sumbu z, atau dicerminkan setiap vektor pada bidang xy ini semua

adalah contoh transformasi linier. Transformasi linier (Tˆ ) adalah mengambil setiap vektor

 dalam ruang vektor dan mengubahnya menjadi vektor lain    '  Tˆ  , dengan

ketentuan bahwa operasinya linier.

Tˆ   b    aTˆ   bTˆ   (3.30)

Setiap vektor  ,  dan setiap a,b

Jika diketahui apakah transformasi linier tegak lurus terhadap sekumpulan vektor
basis, maka dapat dengan mudah diketahui apakah transformasi linier tersebut dilakukan
terhadap semua vektor apapun . misalkan :

Tˆ e1  T11 e1  T21 e2  ...  Tˆn1 en
Tˆ e2  T12 e1  T22 e2  ...  Tˆn2 en
Tˆ en  T1n e1  T2n e2  ...  Tˆnn en

atau, lebih lengkapnya ditulis;

Tˆ ej  n ( j  1,2,..., n). (3.31)

Tij ei

i1

Jika  adalah vektor sembarang, maka;

n (3.32)

  a1 e1  a2 e2  ...  an en  a j ej
i1

Kemudian

      Tˆ   n a j Tˆ e j n
n nn (3.33)

a jTij e j  ( Tij a j ) ei

i 1 j 1 i1 i1 j 1

Terbukti Tˆ sebuah vektor dengan komponenen 1, 2 … , , kedalam vektor dengan
komponen tanda :

98

n (3.34)

a1'  Tija j
j1

Jadi n2 elemen Tij secara unik memberikan transformasi linier ̂ (yang sehubungan
dengan basis yang di berikan), seperti n komponen i yang secara unik mencirikan vektor
 (sehubungan dengan basis yang sama):

Tˆ  (T11,T12,...,Tnn) (3.35)

Jika basisnya ortonormal, maka dari persamaan 3.31 didapatkan bahwa

Tij  ei Tˆ ej (3.36)

Lebih mudah untuk menampilkan bilangan kompleks ini dalam bentuk matriks:

T11 T12 ... T1n 
T21 T22 ... T2n 
T    ...  (3.37)
   
Tn1 Tn2 Tnn

Studi tentang trasformasi linier kermudian direduksi menjadi teori matriks. Jumlah
dari dua trasformasi linier ( ̂ + ̂ ) didefinisikan secara alami:

 Sˆ Tˆ   Sˆ  Tˆ  (3.38)

Ini cocok dengan aturan biasa untuk menambahkan matriks (dengan menambahkan
elemen yang sesuai, yaitu;

U  S  T  Uij  Sij  Tij (3.39)

perkalian dua buah transformasi linier ( ̂ ̂ ) adalah efek dari pembentukan dari
transformasi linier ke dalam ̂ dan ̂ , yaitu:

   '  Tˆ    ''  Sˆ a'  Sˆ Tˆ  )  SˆTˆ  (3.40)

Apakah matriks U yang mewakili transformasi gabungan ̂ = ̂ ̂ ? Tidak sulit untuk
menyelesaikannya :

99

n n  n  n  n ak n
j 1   k 1 j 1
Sija'j  Tjk ak  Uik ak

j 1 k 1 k 1
     ai''  Sij  .
SijTjk

Ternyata

n (3.41)

U  ST  Uik  SijTjk
j 1

Ini adalah aturan standard dalam perkalian matriks untuk menemukan elemen ke ik
dari produk, terlihat baris ke i dari S dan kolom ke ik dari T, dikalikan. Prosedur yang sama
selanjutnya untuk mengalikan matriks persegi panjang, selama jumlah kolom pada matriks
pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Secara khusus, jika kita menulis n
komponen dari  sebagai matriks kolom n × 1, yaitu;

 a1 
 a2 
a    (3.42)
  
an

Aturan transformasi (persamaan 3.34) dapat ditulis (3.43)
a’ = Ta

Dan sekarang, beberapa terminology matrik yang berguna: transfor suatu matrik (yang
akan ditulis dengan tanda : T~ ) adalah himpunan elemen yang sama, tetapi dengan baris

dan kolom yang di perlukan:

T11 T12  Tn1 
T12 T22  T2n 
T~      (3.44)
   
T1n T2n Tnn

Perhatiakan bahwa transfos matrik kolom adalah matrik baris:

a = ( 1 2 … ) (3.45)

Matrik persegi yang bersifat simetris jika sama dengan transfosnya (refleksi pada
diagonal utama kiri atas ke kanan yang membuatnya berubah); itu antisimetris jika operasi
ini dengan cara membalikan tanda:

100

Simetri: ̃ = ; : ̃ = − (3.46)

Untuk membangun konjugat (komplek) dari matrik (yang di real dengan tanda bintang
: T*),dapat diambil konjugat komplek dari setiap elemen:

T *11 T *12  T *n1   a *1 
T *12 T22  T *2n   a *2 
T *        
T   ; a* =    (3.47)
*1n T *2n *nn *n
T a

Suatu matrik dikatakan jika semua elemennya real dan imajiner jika semua elemennya
imajiner:

Real : T* = T; imajiner : T* = -T (3.48)

Konjugat Hermatian ( atau adjoint) dari suatu matrik ( ditunjukan dengan tanda :
T  ) adalah konjugat yang ditransformasikan :

T *11 T *12  T *n1 
 T  T *12 T22  T *2n ;
 T~*      T   a  a~*  a1*a2* an* (3.49)
T
*1n T *2n *nn

Matrik bujur sangakar adalah Hermatian (atau self-adjoit) jika sama dengan
konjugat Hermatian menghasilkan tanda minus, matriknya skew Hermatian (atau anti-
Hermatian) :

Hermitian: ↑ = ; Skew Hermitian: ↑ = − (3.50)

Dengan notasi ini hasil kali dalam antara dua vektor (terhadap basis ortonomal
persamaan 3.25), dapat di tulis dengan sangat rapi dalam bentuk matrik:

   ab (3.51)

(perhatiakan bahwa masing-masing dari tiga operasi yang dibahas dalam paragraf ini,
jika kedua dikalikan akan kembali k matrik semula). Diterapkan dua kali, perkalian matrik
secara umum tidak komulatif (ST ≠ ); perbedaan antara urutan disebut komutator:

[S,T] = ST – TS (3.52)

101

Traspos suatu produk adalah produk dari transpos dalam urutan terbalik: (3.53)
( ̃ ) = ̃ ̃

Dan hal yang sama berlaku untuk konjugat Hermatian, yaitu;

ST   T S (3.54)

Matriks satuan (mewakili transformasi linier yang membawa setiap vektor kedalam
vektor tersebut) terdiri dari satu diagonal utama dan yang lainnya bernilai nol ;

1 0  0
 0 1  0
1       (3.55)
 0 0  
1

Dengan kata lain,

1ij  ij (3.56)
(3.57)
Inves suatu matrik (ditulis T-1 ) di definisikan dengan cara yang jelas:
T-1 = TT-1 =1

Suatu matriks memiliki invers jika dan hanya jika diterminannya bukan nol ;

T 1  1 C~ (3.58)
det T

Dimana C adalah matrik kofaktor (kofaktor elemen Tij adalah (-1)i + j dikali determinan
submatrik yang diperoleh dari T dengan menghapus baris ke- i dan kolom j). Suatu matriks
tanpa invers dikatakan singular. Invers dari suatu produk (dengan asumsi itu ada) adalah
produk dari invers dalam urutan terbalik:

(ST)-1 = T-1S-1 (3.59)

Suatu matriks dikatakan uniter jika inversnya sama dengan konjugat hermitiannya:

UNITARY: U   U 1 (3.60)

Dengan asumsi baris ortonormal, kolom suatu matriks uniter merupakan suatu
himpunan ortonormal, dan begitu juga barisnya. Komponen dari vektor yang diberikan

102

bergantung pada pilihan basis sembarang. Seperti halnya elemen dalam matrik yang
mewakili transformasi linier yang diberikan . Mungkin memiliki pertanyaan bagaimana
angka-angak ini berubah ketika beralih ke basis yang berbeda. Vektor basis lama ei
adalah seperti semua kombinasi vektor linier dari suatu vektor yang baru;

e1  S11 f1  S21 f2    Sn1 fn ,
e2  S12 f1  S22 f2    Sn2 fn ,

en  S1n f1  S2n f2    Snn fn

(Untuk beberapa himpunan bilangan komplek Sij atau lebih ringkasnya;

n (3.61)

ej  Sij fi ,  j  1,2,, n
i 1

Merupakan transformasi linier (bandingkan persamaan 3.31) dan dapat diketahui
bagaimana komponen berubah dengan cepat;

n (3.62)

aif  Sijaej ,
j 1

(Dimana superskrip menunjukan basis) dalam bentuk matrik;

af = Sae (3.63)

Bagaimana dengan matrik yang mewakili transformasi linieryang diberikan ̂ –
bagaimana dimodifikasi dengan perubahan basis? dalam basis lama yang memiliki
(prsamaan 3.42) bentuk;

aef = Teae

dan persamaan 3.62 dikalikan kedua ruas dengan S-1, ae = S-1af sehingga;

af’ = Sae’ = S( Teae) = STeS-1af

Ternyata

Tf = STeS-1

103

Secara umum, dua matrik (T1 dan T2) dikatakan sebangun jika T2 = ST1S-1 untuk
beberapa matrik (nonsingular) S. Apa saja yang harus baru saja ditemukan jika matrik
serupa mewakili transformasi linier yang sama terhadap dua basis yang berbeda. Jika basis
pertama ortonotmal, basis kedua juga otonormal jika dan hanya jika matrik S adalah
uniter. Karena selalu bekerja dalam basis ortonormal maka bagian terutama pada
kesamaan transformasi linier.

Sementara elemen matrik yang mewakili transformasi linier tertentu mungkin terlihat
sangat berbda dalam baris baru, dua angka yang terkait dengan matrik tidak dapat berubah
: determinan dan trace untuk determinan sustu produkadalah produk dari determinan, dan
karenannya

Det (Tf) = det (STeS-1) = det (S) det (Te) det (S-1) = det Te. (3.65)

Dan trace yang merupakan jumlah dari elemen diagonal,

m (3.66)

Tr(T )  Tii
i1

Memiliki sifat bahwa:

Tr(T1T2 )  Tr(T2T1) (3.67)

(untuk setiap dua matrik T1 dan T2), sehingga: (3.68)

Tr(T f )  Tr(ST eS 1)  Tr(T eS 1S)  Tr(T e )

3.1.4 Vektor Eigen dan Nilai Eigen
Transformasi linier dalam ruang tiga dimensi yang terdiri dari rotasi, terhadap

beberapa sumbu tertentu, dengan sudut . Kebanyakan vektor akan berubah dengan cara
yang agak rumit (vektor begerak di atas kerucut disekitar sumbu), tetapi vektor yang
kebetulan terletak sepanjang sumbu memiliki prilaku yang sangat sederhana : berubah
sama sekali (Tˆ    ). Jika adalah 180o, maka vektor-vektor yang terletak pada
bidang “katulistiwa” tandanya terbalik (Tˆ     ). dalam ruang vektor komplek,
“setiap transformasi linier memiliki vektor-vektor “khusus” seperti vektor yang
ditransformasikan menjadi kelipatan sederhana dari vektor itu sendiri:

104

(Tˆ     ). (3.69)

Itu disebut vektor eigen dari transformasi, dan bilangan (kompleks) ketika setiap Tˆ
dan  adalah nilai eigennya. (bagia vektor adalah bagian vektor yang tidak nol yang
memenuhi persmaan 3.69 ). Perhatikan bahwa kelipatan (bukan nol) dari suatu eigen
vektor masih merupakan eigen vektor dengan eigen value yang sama. Sehubung dengan
basis tertentu, persamaan vektor eigen diasumsikan dalam brntuk matrik membentuk:

Ta =  a (3.70)

(untuk a = 0), atau

(T -  1)a = 0 (3.71)

(disini nol adalah matrik 0, yang elemen-elemennya semua 0). Sekarang, jika matrik

(T -  1) memiliki invers, dapat mengalikan kedua ruas persamaan 3.71 dengan T  11

dan menyimpulkan bahwa a = 0. Tetapi dengan asumsi a tidak nol, maka matrik (T -  1)
sebenarnya harus singular, yang bearti determinannya hilang:

 T11  ) T12  T1n 
 T21    
det(T  1)        0 (3.72)
  
 Tn1 1 
Tmn

Peluasan determinan menghasilkan persamaan aljabar untuk  :

Cn n  C n1  ...  C1  C0 0 (3.73)
n1

Dimana koefisien Ci, bergantung pada elemen T. ini di sebut persamaan karakteristik
untuk matrik; solusinya menentukan nilai eigen. Perhatian bahwa ini adalah orde-n
sehingga memiliki n (komplek) akar. Namun, beberapa diantaranya mungkin duplikat, jadi
yang dapat di katakan dengan pasti adalah bahwa matrik n x n memiliki setidaknya satu
dan paling banyak n nilai eigen yang berbeda. Untuk membangun vektor eigen yang
sesuai, umumnya paling mudah hanya dengan memasukan masing-masing dan kembali ke
persamaan 3.70 dan menyelesaikan komponen dari a.

 Nilai Eigen Menggunakan MATLAB
 Nilai eigen

105

Untuk mengetahui nilai eigen dari suatu matrik dengan menggunakan perintah
 1 0  2

eig. Missal matrik, A   0 1 2  maka nilai eigennya:
  1 0 0 

A = [1 0 -2;0 1 2 ;-1 0 0];
A=
1 0 -2
0 12
-1 0 0
a = eig(A)
a=
1
2
-1
Ada cara lain untuk mengetahui nilai eigen dari suatu matrik yaitu dengan
menghitung akar-akar polinom karakteristik, perhatikan contoh berikut:
S = round(5*rand(3));
%ingat bahwa fungsi rand adalah membangkitkan nilai random jadi bisa saja
matrik yang terbentuk dari percobaan anda berbeda dengan contoh ini
S=
11 1
14 1
45 0
P = Poly(S)
P=
1.0000 -5.0000 -6.0000 12.0000
R = root(p)
R=
5.6842
-1.8348
1.1506
s = eig(S) %kita cek nilai eigen matrik S
s=

106

5.6842
-1.8348
1.1506
Terbukti bahwa hasil perhitungan root dari P sama dengan s (nilai eigen S). P adalah
koefisien polynom dari S, dan R adalah akar-akar polinom karakteristik dari P.
 Diagonalisasi
Ingat syarat sebuah matrik dapat didiagonalkan dengan memperhatikan contoh
berikut:
Missal B adalah sebuah matrik sembarang n x n
B = round(5*rand(4));
% ingat bahwa fungsi rand adalah membangkitkan nilai random jadi bisa saja
matrik yang terbentuk dari percobaan anda berbeda dengan contoh ini
B=
4312
1113
2432
5330
B = B + B’
8437
4256
3565
7650
b = eig(B)
b=
-5.9753
-1.4282
4.2054
19.1982

[X,D] = b %untuk mengetahui matriks orthogonal dan matrik diagonalnya
X=
-0.2791 0.3151 -0.6924 0.5859
-0.4346 -0.7567 0.2058 0.4430

107

-0.1035 0.5294 0.6905 0.4820

0.8500 -0.2189 -0.0381 0.4776

D=

-5.9753 0 00

0 -1.4228 0 0

0 0 4.2054 0

00 0 19.1982

%untuk membuktikan kebenaran niali X dan D

C = inv(X)*B*X

C=

-5.9753 0 00

0 -1.4228 0 0

0 0 4.2054 0

00 0 19.1982

E = X*D*inv(X)

E=

8437

4256

3565

7650

Dari contoh di atas, terbukti bahwa nilai C sama dengan D (matriks diagonalnya)

dan hasil E sama dengan matriks B. Jadi X adalah matriks orthogonal yang
mendiagonalkan B secara orthogonal (untuk membuktikannya cek inv(B) dan B’).

 Matrik yang serupa

Suatu matrik A dikatakan serupa dengan matriks yang lain B, maka kedua matriks

mempunyai polinom karakteristik yang sama dan oleh sebab itu keduanya memiliki

niali eigen yang sama.

Matriks A adalah serupa (similar) B jika terdapat suatu matriks taksingular S

shingga B  S 1 AS . Seperti contoh di bawah ini:

V = [2 1;0 3];

V=

21

03

108

S = [4 5;6 7];
S=
45
67
v = eig(V)
v=
2
3
W = inv(S)*V*S %kita cari matriks yang serupa dengan V
W=
-4.0000 -7.0000
6.0000 9.0000
w = eig(W) %kita cek nilai eigen W
w=
2
3

Berarti matriks W adalah serupa dengan matrik V karena kita definisika W  S 1VS , maka
nilai eigen W akan menjadi sama dengan nilai eigen V.

3.1.5 Transforms Hermitian
Dalam persamaan 3.49 didefinisikan konjugat Hermitian (atau “adjoint”) dari matrik

sebagai konjugat transformasinya: T   T~*. Transformasi T  yang ketika diterapkan pada
anggota pertama dari produk dalam, memberikan hasil yang sama seolah-olah Tˆ itu sendiri

diterapkan pada vektor kedua:

Tˆ    Tˆ (3.74)

Untuk dan bukan vektor (vektornya adalah  dan  , itu adalah label nomer

seri (“F43A-9GT”), atau nama (“Charlie”), atau kode batang apapun yang digunakan

untuk mengidentifikasi vektor yang berbeda. Secara khusus, tidak memiliki sifat

matematis sama sekali, dan ungkapan “Tˆ ” secara harfian tidak masuk akal: transformasi

linier bekerja pada vektor, bukan label. Tapi cukup jelas apa arti notasi:  , Tˆ  , dan
T

109

Tˆ  artinya adalah produk dalam dari vektor Tˆ  dengan vektor  . Perhatikan
secara khusus bahwa:

 c  c   (3.75)

Tetapi

c   c*   (3.76)

Untuk setiap skalar c. jika dikerjakan dalam basis ortonormal ( seperti biasa).
Konjugat Hermatian dari transformasi linier diwakili oleh konjugat Hermatian dari matrik
yang sesuai ( sehingga terminologinya konsisten); untuk (menggunakan persamaan 3.51
dan 3.54)

 Tˆ   a Tb  (T  a) b  Tˆ  (3.77)

Dalam mekanika kuantum, peran mendasar dimainkan oleh transformasi Hermitian
(T   Tˆ). vektor eigen dan nilai eigen dari transformasi Hermitian memiliki tiga sifat
penting:

a. Nilai eigen dari transformasi Hermitian adalah nyata.
Bukti : misalkan adalah nilai eigen Tˆ  Tˆ     , dengan   0 . kemudian

 Tˆ  Tˆ      ,

Sedang jika Hermitian, maka

 Tˆ  Tˆ      *  

Tetapi    0 , (persamaan 3.21), jadi   *, dan kananya  adalah

nyata.QED
b. Vektor eigen dari transformasi Hermitian yang memiliki nilai eigen yang

berbeda adalah ortonormal.
Bukti : misalkan Tˆ     dan Tˆ     dengan   . kemudian

 Tˆ        ,

Jika Hermitian,

110

 Tˆ  Tˆ      *  

Tetapi   *, ( dari sifat 1) dan   . dengan asumsi   0
. QED

c. vektor eigen dari transformasi Hermitian menjangkau ruang

komentar: jika semua n akar persamaan karakteristik berbeda, maka (menurut

sifat 2) kita memiliki n vektor eigen yang saling orthogonal, sihingga jelas

merentang ruang. Tetapi bagaimana jika ada akar dublikat (atau sebagaimana di

sebut, dalam konteks ini nilai eigen yang merosot? Misalkan m-fold degenerate;

setiap kombinasilinier dari dua vektor eigen yang memiliki nilai eigen yang sama

masih merupakan vektor eigen (dengan nilai eigen yang sama) yang harus

ditunjukan adalah terdapat m vektor eigen yang bebas linier dengan nilai eigen.

Bukti di berikan di sebagian buku tentang aljabar linier, dan tidak akan diulang di

sini. Vektor eigen ini dapat diortogonalisasi dengan prosedur Gram Schmidt, jadi

sebenarnya vektor eigen dari transformasi Hermitian selalu dapat dianggap sebagai

basis ortonormal. Oleh karena itu, khususnya nahwa setiap matrik Hermitian dapat

didiagonalisasikan dengan transformasi serupa, dengan S uniter. Hasil yang agak

teknis ini dalam arti tertentu, merupakan dukungan matematis yang menjadi

sandaran sebagian besar mekanika kuantum.

3.2 RUANG FUNGSI
Ruang dalam matematika modern membentuk sebuah hierarki yang mungkin bisa

dianalogikan mirip dengan konsep kasta. Ruang paling dasar dalam jajaran kasta tersebut
adalah ruang topologi, kemudian ruang metrik, lalu ruang norma dan yang terakhir adalah
ruang hasil kali dalam. Sekarang masuk pada penerapkan mesin aljabar linier pada kasus
ruang fungsi yang menarik dan penting, dimana “vektor” adalah fungsi (komplek) dari x,
produk dalam adalah integral, dan turunan muncul sebagai transformasi linier.

3.2.1 Fungsi Sebagai Vektor
Apakah fungsi benar-benar beperilaku sebagai vektor? Nah, apakah jumlah dari dua

fungsi merupakan fungsi “0”? ya, ( ) = 0. Jika dikalikan suatu fungsi dengan bilangan
komplek, apakah mendapatkan fungsi lain? Tentu. Sekarang, himpunan semua fungsi agak
sulit maka akan dibahas kelas fungus khusus, seperti himpunan semua polinom derajat <
atau himpunan semua fungsi priodik dengan priode. Tentukan saja, ketika menerapkan
kondisi seperti ini, harus dipastikan bahwa disini masih memenuhi persyaratan untuk

111

ruang vektor. Misalnya, himpunan semua fungsi yang nilai maksimumnya adalah 3 bukan
merupakan ruang vektor (perkalian dengan 2 akan memberi fungsi dengan nilai maksimum
6, yang berbeda di luar ruang).

Hasil kali dalam dari dua fungsi [ ( ) ( )] di definisikan oleh integral;

f g   f (x)*g(x)dx (3.78)

(batasnya akan tergantung pada domain fungsi yang bersangkutan). Dapat Periksa
apakah memenuhi tiga kondisi (pesamaan 3.19, 3.20, dan 3.21) untuk hasil kali dalam.
Tentu saja, integral ini mungkin tidak komvergen, jadi jika diiginkan rung fungsi dengan
hasil kali dalam, maka harus membatasi kelas fungsi untuk memastikan bahwa selalu
terdefenisi dengan baik. Jelas diperlukan bahwa setiap fungsi f g yang dapat diterima

menjadi integral kuadrat:

 2 (3.79)

f (x) dx  

Table 3.1: beberapa polynomial legendre pertama, Pn(x).

p0  1

p1  x

 p2 1
 2 3x2 1

 p3 1
 2 5x3  3x

 p4 1
 8 35x4  30x2 3

 p5 1
 8 63x5  70x3  15 x

Pembatasan ini juga cukup jika f dan g keduanhya dapat diintegralkan kuadrat dalam
persamaan 3.78 tentu berhingga. Sebagai contoh, perhatikan himpunan P (N) dari semua
polinom berderajat < N adalah:

p(x)  a0  a1x  a2 x2  ...  aN1xN1 (3.80)

112

Pada interval −1 ≤ ≥ 1. Tentu saja dapa diintegralkan persegi, ruang perkalian
dalam fide. Basis sebelumnya adalah himpunan pangkat x:

e1  1, e2  x, e3  x2 ,... eN  xN1 (3.81)

Jelas itu adalah ruang vektor berdimensi N. Namun ini bukan basis ortonormal

  1 1 x2dx2 / 3,
e1 e1 1dx  2, e1 e3 
1
1

dan seterusnya. Jika diterapkan prosedur Gram Schmidt, untuk mengotormalkan basis ini
maka didapatkan polynomial legendre yang terkenal, Pn(x) (kecuali legendre, yang
memikirkan hal lain, tidak menormalkannya dengan benar):

en,  n  (1/ 2)Pn1(x), (n 1,2,..., N) (3.82)

Pada table 3.1 sudah dibuat daftar beberapa polynomial legendre pertama.

3.2.2 Operator Sebagai Transformasi Linier
Dalam ruang fungsi, operator (seperti d/dx, d2/dx2) atau hanya x) berperilaku sebagai

transformasi linier, asalkan membawa fungsi dalam ruang ke fungsi lain dalam ruang dan
memenuhi kondisi linieritas (persamaan 3.30). misalnya, dalam ruang polynomial P(N)
operator turunan

Tˆf x  f x (3.83)

Misalnya, fungsi eigen dari Dˆ adalah;

f x  Aex (3.84)

Jelas bahwa operator ini hanya memiliki satu fungsi eigen dalam ruang P(N).

Operator Hermitian adalah operator yang memenuhi kondisi yang ditentukan
(Persamaan 3.74):

f Tˆg  Tˆf g (3.85)

Untuk semua fungsi f(x) dan g(x) dalam ruang. Apakah operator turunannya
Hermitian? Nah, dengan menggunakan integrasi sebagian, didapatkan;

113

b b df * gdx 
     f Dˆ g  b f * dg dx  f *g f *g Dˆ f g (3.86)
a dx 
a a dx

Jelaskan bahwa, tetapi tandanya salah, dan ada suku batas yang tidak diinginkan.
Tanda mudah dihilangkan: Dˆ itu sendiri (kecuali untuk suku batas) anti Hermitian,
sehingga i Dˆ akan Hermitian konjugat kompleks Hermitian dari suku kompensasi i yang
tanda minus berasal dari integrasi bagian. Adapu batas, itu akan lenyap jika kita membatasi
diri pada fungsi yang memiliki nilai yang sama di kedua ujungnya:

f b  f a (3.87)

Dalam praktiknya, kita hampir selalu bekerja pada interval tak hingga (a = -∞, b =
+∞) integral kuadrat (Persamaan 3.79) menjamin bahwa f(a) = f(b) = 0. dan karenanya i
Dˆ adalah Hermitian. Tetapi i Dˆ bukan Hermitian dalam ruang polinomial P(N).

Sekarang dapat dimengerti bahwa ketika berhadapan dengan operator, harus selalu
mengingat bahwa bekerja pada ruang fungsi, operator tampaknya bukan transformasi
linier yang sah, karena operator menjalankan fungsi di luar ruang: fungsi eigen dari
operator tidak boleh berada di dalam ruangan; dan operator Hermitian di satu ruang belum
tentu Hermitian di tempat lain. Dapat diperhatikan bahwa xˆ bukan transformasi linier
dalam ruang P(N) (perkalian dengan xˆ menambah orde polinomial dan karenanya

mengambil fungsi di luar ruang). Namun, ini adalah transformasi linier pada P . ruang

semua polinomial pada interval 1  x  1. Sebenarnya, ini adalah transformasi
Hermitian, karena (jelas)

1 f x]*[ xg x]dx  1 xf x ]*[ g x ]dx (3.88)

[ [

1 1

Tetapi apakah eigen fungsi itu? Perhatikan bentuk persamaan berikut ini:

x(a0  a1x  a2x2 )  (a0  a1x  a2x2 ),

untuk semua x, berarti

0  a0 ,
a0  a1,
a1  a2 ,

114

dan seterusnya. Jika  = 0, maka semua komponen adalah nol, dan itu bukan vektor eigen
legal; tetapi jika   0, persamaan pertama mengatakan a0  0 , maka persamaan kedua
memberikan a1 = 0, dan persamaan ketiga mengatakan a₂ = 0, dan seterusnya. Operator
Hermitian ini tidak memiliki satu set lengkap fungsi eigen, bahkan tidak memilikinya sama
sekali! bagaimanapun, dalam P(∞).

Seperti apa fungsi eigen dari tampilan? Jika; (3.89)

xgx  gx,

di mana  adalah konstanta, maka di mana-mana kecuali pada satu titik x   harus
ada g(x)= 0. Terbukti fungsi eigen pada xˆ adalah fungsi Dirac delta:

g x  B x   (3.90)

dan karena fungsi delta jelas bukan polinomial, maka tidak heran jika operator xˆ tidak

memiliki fungsi eigen di P .

Kesimpulannya adalah bahwa dua teorema pertama dalam Bagian 3.1.5 sepenuhnya
umum (nilai eigen dari operator Hermitian adalah nyata, dan vektor eigen milik nilai eigen
yang berbeda adalah ortogonal), yang ketiga (kelengkapan vektor eigen) valid (secara
umum) hanya untuk ruang berdimensi hingga. Dalam ruang dimensi tak hingga beberapa
operator Hermitian memiliki himpunan vektor eigen yang lengkap, beberapa memiliki
himpunan tidak lengkap, dan beberapa (seperti yang baru saja kita lihat) tidak memiliki
vektor eigen (dalam ruang) sama sekali." Sayangnya , sifat kelengkapan mutlak penting
dalam aplikasi mekanika kuantum Di Bagian 3.3 akan menunjukkan bagaimana
menyelesaikan masalah ini.

3.2.3 Ruang Hilbert
Ruang Hilbert adalah ruang vektor yang lengkap, yang normanya diinduksi dari ruang

hasil kali dalam sebuah operasi yang memungkinkan untuk menentukan panjang dan
sudut. Lengkap disini artinya barisan Cauchy xn di x akan konvergen (berhingga) di X
juga. Untuk membangun sistem bilangan real, biasanya dimulai dengan bilangan bulat,
dan menggunakannya untuk mendefinisikan rasional (rasio bilangan bulat). Dilanjutkan
untuk menunjukkan bahwa bilangan rasional itu "padat", dalam arti bahwa di antara dua
bilangan tersebut selalu dapat ditemukan yang lain (pada kenyataannya, jumlahnya tak

115

terhingga). Namun, himpunan semua bilangan rasional memiliki "celah" di dalamnya,
karena dapat dengan mudah memikirkan barisan bilangan rasional tak hingga yang
limitnya bukan bilangan rasional. Sebagai contoh;

AN 1 1  1  1  1 (3.91)
2 3 4 N

Ini adalah bilangan rasional untuk beberapa bilangan bulat berhingga N, tetapi
limitnya (seperti N   ) adalah Dalam 2, yang bukan merupakan bilangan rasional. Jadi
langkah terakhir dalam membangun bilangan real adalah "mengisi celah", atau
"melengkapi" himpunan, dengan memasukkan batas-batas semua barisan bilangan
rasional yang konvergen. (Tentu saja, beberapa barisan tidak memiliki limit, dan barisan
tersebut tidak disertakan. Misalnya, jika diubah tanda minus pada Persamaan 3.88 menjadi
tanda plus, barisan tersebut tidak konvergen, dan tidak sesuai dengan bilangan real.)

Hal yang sama terjadi dengan ruang fungsi. Misalnya, himpunan semua polynomial
P() , termasuk fungsi dari bentuk berikut;

fN x 1 x  x2  x3  x4  xN (3.92)
2 3! 4! N!

(untuk N terhingga), tetapi tidak termasuk limit sebagai N   :

1 x  x2  x3    xn  ex (3.93)
2 3! n0 n!

Karena ex itu sendiri bukan polinomial, meskipun merupakan limit dari barisan
polinomial. Untuk melengkapi ruang, dimasukkan semua fungsi tersebut. Tentu saja,
beberapa barisan polinomial tidak memiliki limit, atau hanya memiliki limit x. Misalnya,
deret;

1 x  x2  x3   1
1 x

konvergen hanya untuk x  1 . Dan bahkan jika barisan tersebut memiliki limit, fungsi

limit mungkin tidak dapat diintegralkan dengan kuadrat, jadi tidak dapat dimasukkan ke
dalam ruang hasil kali dalam. Untuk melengkapi ruang, maka dimasukkan semua barisan
fungsi konvergen yang dapat diintegrasikan persegi ke dalam ruang. Perhatikan bahwa

116

melengkapi ruang tidak memperkenalkan vektor basis baru; hanya saja sekarang dizinkan
kombinasi linier yang melibatkan jumlah suku takhingga,

 (3.94)

  aj ej
j 1

asalkan   takhingga, artinya (jika dasarnya ortonormal) asalkan;

 a j 2   (3.95)

j 1

Ruang hasilkali dalam yang lengkap disebut ruang Hilbert. Penyelesaian P() mudah
untuk dikarakterisasi: Ini tidak kurang dari himpunan semua fungsi yang dapat diintegral
kuadrat pada interval -1 < x < +1; disebut L₂ (-1, +1). Secara lebih umum, himpunan
semua fungsi yang dapat diintegralkan bujur sangkar pada interval a < x < b adalah L₂ (a,

b). Akan dibahas terutama ruang Hilbert L2 , (atau L2 , singkatnya), karena di

sinilah fungsi gelombang mekanika kuantum.

Fungsi eigen dari operator Hermitian iDˆ  Id / dx dan xˆ  x sangat penting. Seperti
yang telah ditemukan (Persamaan 3.84 dan 3.88), terdapat bentuk berikut;

 f x  Aeix, dan g x  B x  ,

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada nilai eigen disetiap bilangan real adalah nilai
eigen dari iDˆ , dan setiap bilangan real adalah nilai dari eigen. Himpunan semua nilai eigen
dari operator tertentu disebut spektrumnya; iDˆ dan merupakan operator dengan spektrum
kontinu, berbeda dengan spektrum diskrit yang ditemui sampai sekarang. Sayangnya,
fungsi eigen ini tidak terletak di ruang Hilbert, dan karenanya dalam arti sempit, tidak
dihitung sebagai vektor sama sekali. Karena tak satu pun dari mereka yang dapat
diintegralkan dengan kuadrat berikut;

      

f x * f x dx  A 2  eixeixdx  A 2 

 1dx  



dan

  x   x          

 
   2 2

g x* g xdx  B B

117

Namun demikian, mereka memenuhi semacam kondisi ortogonalitas:

      

 f
x * f x dx  A* A  eixeixdx  A 2 2 



(lihat Persamaan 2.126), dan

 x*   x   x    2   

g g xdx  B* B  B

Merupakan untuk "menormalkan" fungsi-fungsi ini (tidak dapat dinormalisasi)
dengan memilih konstant sehingga meninggalkan fungsi delta Dirac di sisi kanan
(menggantikan delta Kronecker ke dalam kondisi ortonormalitas biasa: Persamaan 3.24).

f x  1 e ix , demgan f f     u, (3.96)
2 (3.97)

Ini adalah fungsi eigen "dinormalisasi" dari iDˆ , dan

g x   x  , dengan g g     u,

Ini adalah fungsi eigen "dinormalisasi" dari xˆ , Bagaimana jika digunakan fungsi eigen
"dinormalisasi" dari iDˆ dan xˆ sebagai basis untuk L₂ ? Karena spektrumnya kontinu,
kombinasi linier menjadi integral:

  f   g d; (3.98)

f   a f dx;  b

Mengambil perkalian dalam dengan f , dan mengeksploitasi "ortonormalitas" dari
basis (Persamaan 3.93), diperoleh "komponen" a :

 

  a
   f a
f f f d     d  a

Jadi

a  f f  1  eix f xdx  F  (3.99)

2 

Ternyata   "komponen" dari vektor f , berdasarkan fungsi eigen dari iDˆ . adalah
Transformasi Fourier (Persamaan 2.74) dari fungsi f(x).

118

b  g f    x   f xdx  f  (3.100)



Jadi  "komponen" dari vektor f pada basis posisi adalah f () itu sendiri. [Jika

seperti ungkapan ganda, ingatlah bahwa f adalah vektor abstrak, yang dapat
diekspresikan sehubungan terhadap beberapa garis. Dalam pengertian ini fungsi f(x)
hanyalah kumpulan dari komponennya dalam basis tertentu yang terdiri dari vektor eigen
dari operator posisi.] Sementara itu, tidak dapat lagi merepresentasikan operator dengan
matriks karena vektor basis diberi label oleh indeks tak bernomor. Namun demikian, masih
tertarik pada jumlah berbentuk:

f Tˆ f ,

Yang sering disebut elemen matriks , ,  dari operator Tˆ

Contoh soal :
1. Gaya sebesar F  iˆ  2 ˆj  3kˆ N bekerja pada sebuah benda yang akhirnya

membuat benda tersebut berpindah dari titik r0 (- 1, 0, 2) m menuju titik r (- 1, 3,
6) m. Usaha untuk menggerakkan benda tersebut sebesar .... joule.

Jawaban :
Usaha merupakan tenaga (atau kita lebih umum mengenalnya sebagai energi)

yang dilakukan untuk memindahkan sebuah benda dari suatu tempat ke tempat
lain, yang mana usaha didefenisikan secara matematis sebagai hasil kali titik

antara gaya dan perpindahan, (W = s.F). Maka dari soal diatas, kita akan
memperoleh persamaan sebagai berikut :

W  s.F

 r  r0 .F
 x  x0 Fx  y  y0 Fy  z  z0 Fz

Kemudian kita masukkan data-data yang ada didalam soal ke dalam persamaan

diatas, sehingga kita peroleh :

W  x  x0 Fx  y  y0 Fy  z  z0 Fz
 1 1.1 3  0.2  6  2.3

 0  6 12  18Joule

119

Dari perhitungan di atas, kita peroleh besarnya usaha untuk memindahkan
benda tersebut sebesar 18 Joule.

1 0 4
2. Berikut ini terdapat matriks bujur sangkar, yaitu:  3  2 
0  dan

 2 6  7

1 4 10 
 3 0  8 penjumlahan dari dua matrik bujur sangkar tersebut adalah …
 2  6  9

Jawaban:

 1 0 4  1 4 10 
M  N  3  2   3  8
0   0  9

 2 6  7  2  6

 1  1 04 4  10 
  3  3 20 
6  6 0  8 
 2  2
 7  9

 0 4 14 
  6  2 
 8 

 4 0 16

Dari perhitungan diatas, kita peroleh hasil penjumlahan dua matrik M dan N, yaitu:

 0 4 14 
M  N   6  2 
 8 

 4 0 16

3. carilah nilai v dan gambar nilai yang diperoleh

 1 1 
 0
2 2  v1 1
 1 1  j0  1 1 v2  
2 2 j10   0 
j10
 1 1 1 v3  0 
0 
 j10 10 j10

Jawaban :

dapat diselesaikan dengan MATLAB dalam M-File :

% pl1.m nama program

120

clear
A(1,1)=1/2;
A(1,2)=-1/2;
A(2,1)=-1/2;
A(2,2)=1/2+0.2j+1/10j;
A(2,3)=-1/10j;
A(3,2)=-1/10j;
A(3,3)=1/10+1/10j;
y=[-1 0 0]’;
% Penyelesaian persamaan
v=A\y
vmag=abs(v)
sudutv=angle(v)*180/pi
% menggambar hasil terhadap waktu
theta=linspace(0,2*pi);
v1=vmag(1)*cos(theta-sudutv(1));
v2=vmag(2)*cos(theta-sudutv(2));
v3=vmag(3)*cos(theta-sudutv(3));
thd=theta*180*pi;
plot(thd,v1,thd,v2,thd,v3);
Jika program tersebut dijalankan, hasilnya seperti dibawah ini ;
» pl1
v=

121

-4.0000 + 6.0000i
-2.0000 + 6.0000i
2.0000 + 4.0000i
vmag =
7.2111
6.3246
4.4721
sudutv =
123.6901
108.4349
63.4349

Gambar: visualisasi menggunakan matlab nilai v yang dipeloh
Sumebr: Budi Cahyono,2013

4. Untuk setiap x, y  H (ruang Hilbert), kemudian buktikanlah ketidaksamaan
Cauchy- Schwarz) berikut ini:

xx yy  xy

Jawaban:

122

Apabila kita perhatikan, maka ketidakpastian Cauchy-Schwarz diatas akan
berlaku untuk y  0 . Namun, bagaimana jika kita punya y  0 ? Dengan demikian
kita dapat membuat dua asumsi sederhana, yaitu : y  0 dan yˆ  y y .

Kemudian kita lakukan :
xx
 x  x, yˆ yˆ  x, yˆ yˆ

 x, yˆ yˆ  x  x, yˆ yˆ

Kita ketahui bahwa x dan y saling tegak lurus, maka xˆ  yˆ . Dengan demikian
x, yˆ yˆ dan (x  x, yˆ yˆ) juga saling tegak lurus, karena x, yˆ yˆ searah dengan
(x  x, yˆ yˆ) searah dengan xˆ . Jika demikian, maka teorema Pythagoras berlaku

disini. Sehingga kita akan peroleh:

x2  x, yˆ yˆ (x  x, yˆ yˆ)
 x, yˆ 2  (x  x, yˆ yˆ)
 x, yˆ 2

3.3 Interpretasi Statistik Umum
Interprestasi dalam statistika merupakan kegiatan yang bertujuan untuk

menggabungkan hasil dari analisis yang dibuat dengan bentuk kriteria, pertanyaan
ataupun standar khusus. Langkah selanjutnya adalah menyusun kembali prinsip-prinsip
dasar mekanika kuantum (seperti yang telah dikembangkan di Bab 1 dan 2) ke dalam
bahasa aljabar linier yang lebih elegan. Keadaan partikel diwakili oleh fungsi

gelombangnya, x,t yang  2 kuadrat mutlaknya adalah kerapatan peluang untuk

menemukan partikel di titik x pada waktu-t. Oleh karena itu, harus dinormalisasi dengan
tujuan menentukan konstanta jika dan hanya jika itu fungsi gelombang diintegral
kuadratkan.

a. Keadaa partikel diwakili oleh vektor ternormalisasi (  ) dalam ruang Hilbert
L₂ .

123

Kuantitas dinamis klasik (seperti posisi (x), kecepatan (v), momentum (p) dan
energi kinetik (Ek). Dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel "kanonik" x dan

p (dan, dalam kasus yang jarang terjadi, t): Qx,t . Untuk setiap pengamatan

klasik digunakan operator mekanika kuantum Qˆ diperoleh dari Q dengan

substitusi

p  , (3.101)
i x

Nilai harap Q pada keadaan  adalah

Q   x,t*Qˆx,tdx

Atau dapat ditulis sebagai perkalian dalam dalam, sebagai berikut: (3.102)
Q   Qˆ

Sekarang nilai harap dari besaran yang dapat diamati observabel harus
menjadi bilangan real (selanjutnya, nilai harap ini sesuai dengan pengukuran
aktual di laboratorium, denganmenggunakan penggaris, jam, dan meter), jadi;

 Qˆ   Qˆ *  Qˆ  (3.103)

b. Besaran-besaran yang dapat diamati, Qx, p,t , diwakili oleh operasi-operasi

Hermitian, Qˆ  x,   ,t  ; nilai harapan Q, dalam keadaan  , adalah
 i x 

Q   Qˆ .

Secara umum, pengukuran identik pada sistem yang disiapkan secara identik
(semua keadaan  yang sama) yang hasilnya tak dapat hasilkan, namun
beberapa keadaan ditentukan, untuk observabel tertentu, dalam arti bahwa,
selalu memberikan hasil yang sama. [Pengukuran yang kompeten dari energi
total partikel dalam keadaan dasar osilator harmonik, misalnya, akan selalu
menghasilkan nilai (1/2)  ]. Untuk keadaan tertentu observabel Q yang dapat
diamati, simpangan bakunya adalah nol:

124

   0
  2  Qˆ  Q 2  Qˆ  Q 2 
Q

     0  Qˆ  Q  Qˆ  Q   Qˆ  Q  2 (3.104)

 [digunakan fakta bahwa operator Qˆ  Q adalah Hermitian untuk

mengupasnya dari anggota kedua dari perkalian dalam dan melampirkannya ke
anggota pertama.] Tetapi satu-satunya vektor dengan norma nol adalah vektor

 nol (Persamaan 3.2 ), jadi Qˆ  Q   0 , atau

Qˆ   Q  (3.105)

Nyatanya keadaan tertentu adalah vektor eigen dari Qˆ .

c. Pengukuran Q yang teramati pada sebuah partikel pada keadaan 
dipastikan akan menghasilkan nilai  jika dan hanya jika  adalah
vektor eigen dari Qˆ , dengan nilai eigen  .

Misalnya, persamaan Schrödinger yang tidak bergantung waktu;

Hˆ  E ,

Tidak lain adalah persamaan nilai eigen untuk operator Hamilton, dan
solusinya adalah keadaan energi tertentu (seperti catatan sebelumnya). Untuk
menyelesaikan pekerjaan ini, memerlukan interpretasi statistik umum berikut,
yang terinspirasi oleh postulat 3 di atas, dan memasukkannya sebagai kasus
khusus:

c’. Jika pengukuran observabel Q yang dapat diamati pada sebuah partikel
dalam keadaan  , Anda pasti mendapatkan salah satu nilai eigen dari
Qˆ . Probabilitas mendapatkan nilai eigen  tertentu sama dengan kuadrat
 absolut dari komponen   , ketika dinyatakan dalam basis
ortonormal dari vektor eigen.

125

Untuk mempertahankan postulat ini, penting bahwa fungsi eigen dari Qˆ

dapat membentang ruang. Seperti yang telah dilihat, dalam kasus dimensi
hingga vektor eigen dari operator Hermitian selalu membentang ruang. Tetapi
teorema ini tak berlaku dalam kasus dimensi takhingga, contoh operator
Hermitian yang tidak memiliki fungsi eigen sama sekali, atau yang fungsi
eigennya berada di luar ruang Hilbert. Dianggap sebagai pembatasan pada
himpunan bagian dari operator Hermitian yang dapat diamati, bahwa fungsi
eigennya merupakan himpunan lengkap (walaupun tidak harus berada di dalam
L₂ ).

Sekarang ada dua jenis vektor eigen yang perlu kita perlakukan secara
terpisah. Jika spektrumnya diskrit (dengan nilai eigen berbeda yang dipisahkan
oleh celah berhingga), dapat dilabeli vektor eigen dengan bilangan bulat n:

Qˆ en  n en , dengan n 1,2,3,; (3.106)

Vektor eigen adalah ortonormal (atau lebih tepatnya, selalu dapat dipilih
demikian):

en em   nm ; (3.107)

bentuk penjumlahan dapat ditulis:

 (3.108)

  cn en ;
n1

komponen diberikan oleh "cara Fourier":

cn  en  , (3.109)

dan peluang mendapatkan nilai eigen n tertentu adalah

cn 2  en  2 (3.110)

,

Di sisi lain, jika spektrumnya kontinu vektor eigen diberi label oleh variabel
kontinu (k):

126

Qˆ ek  k ek , dengan    k  ; (3.111)

Fungsi eigen tidak dapat dinormalisasi (sehingga tidak terletak pada L2 , dan
tidak mewakili keadaan partikel yang mungkin), tetapi memenuhi syarat
"ortonormalitas"

ek et   k  l (3.112)

(atau lebih tepatnya, selalu dapat dipilih demikian); hubungan lengkap
berbentuk

 (3.113)

   ck ek dk;

"komponen" diberikan oleh "trik Fourier":

ck  ek  , (3.114)

dan peluang mendapatkan nilai eigen dalam rentang dk disekitar k adalah

ck 2 dk  ek  2 (3.115)

dk

Interpretasi statistik umum tidak mengacu terhadap obsevabel x, itu
memperlakukan semua observabel dengan pijakan yang sama. Tapi itu termasuk
bentuk aslinya (Persamaan 1.3) sebagai kasus khusus. Fungsi eigen ortonormal
dari operator posisi adalah

ex'x   x  x', (3.116)

Dan nilai eigen (x') dapat mengambil nilai antara   & . Komponen x'
dari  adalah

ex'cx'   x  x'x,tdx  x',t (3.117)



jadi peluang ditemukannya partikel dalam jarak dx' sampai x' adalah

cx' 2 dx' x',t 2 dx' (3.118)

127

yang merupakan interpretasi statistik asli dari  .

Sebuah contoh yang lebih jelas diberikan oleh operator momentum. Fungsi
eigennya yang ortonormal ;

ep x  1 eipx/  , (3.119)
2

dan nilai eigen (p) dapat diambilpada beberapa nilai dalam kisaran    p  ;
Komponen p dari  adalah

1  eipx/  x, tdx   p, t.

2 
c p  ep   (3.120)

p,t disebut fungsi gelombang ruang momentum (bagian dari faktor  )

merupakan transformasi Fourier dari fungsi gelombang "ruang posisi" bagian

fungsi gelombang x,1. Terbukti peluang mendapatkan momentum pada

rentang dp adalah

p,t2 dp (3.121)

3.4 Prinsip Ketidakpastian

Prinsip ketidakpastian merupakan fondasi dasar dari ilmu fisika kuantum yang

menjadi ciri khas fisika kuantum dibandingkan dengan fisika klasik. Dinyatakan prinsip

ketidakpastian (dalam bentuk  x p   ).
2

3.4.1 Bukti Prinsip Ketidakpastian Umum
Untuk setiap A yang dapat diamati, dan memiliki persamaan berikut;

 2  (Aˆ  A ) (Aˆ  A )  f f,
A

Dimana f  (Aˆ  A ) . Demikian juga, untuk B lain yang dapat diamati,

 2  gg, dimana g  Bˆ  B  ,
B

Oleh karena itu (dengan menggunakan ketidaksetaraan Schwarz)

128

 A2 2  f f gg  2 (3.122)
B (3.123)
fg ,

Sekarang, untuk sembarang bilangan kompleks z,

 z 2  1  2
 2i 
 Rez2  Imz2  z  z* .

Oleh karena itu, misalnya z  f g ,

 A2 2  1 2 .
B   2i fggf  (3.124)

Tetapi

f g  ( Aˆ  A ) Bˆ  B    (Aˆ  A ) Bˆ  B 

  ( Aˆ Bˆ  Aˆ B  Bˆ A  A B )

  Aˆ Bˆ  B  Aˆ   A  Bˆ  A B  

 Aˆ Bˆ  B A  A B  A B
 Aˆ Bˆ  A B

Demikian pula,

f g  BˆAˆ  A B ,

Jadi

 f g  g f  AˆBˆ  BˆAˆ  Aˆ, Bˆ ,

Dimana

 Aˆ, Bˆ  AˆBˆ  BˆAˆ (3.125)
(3.126)
Adalah komutator dari dua operator. Kesimpulan:

   1
2 2   2i Aˆ, Bˆ 2 .

AB

129

Ini adalah prinsip ketidakpastian dalam bentuknya yang paling umum. Sebagai

 contoh, misalkan yang pertama diamati adalah posisi Aˆ  x , dan yang kedua adalah
 momentum Bˆ   / id / dx .untuk menentukan komutator, digunakan arbitrer “fungsi uji”

f x sembarang:

xˆ, pˆ f x  x  d f   d xf    df   f  x df   if ,
i i dx i x dx  dx
dx

jadi

xˆ, pˆ  i (3.127)

atau, karena deviasi standar pada dasarnya positif,

 2 2   1 i 2     2 . (3.128)
 2i   2 
AB

Itu membuktikan prinsip ketidakpastian Heisenberg. Akan ada "ketidakpastian.
prinsip" untuk setiap pasangan observabel yang operatornya tidak komit. Disebutnya
observable yang tidak kompatibel. Jelas, observables yang tidak kompatibel tidak
memiliki vektor eigen, tidak dapat memiliki satu set vektor eigen yang lengkap. Matriks
yang mewakili observabel yang kompatibel tidak dapat didiagonalisasi secara simultan
(yaitu, keduanya tidak dapat dibawa ke bentuk diagonal dengan transformasi kesamaan
yang sama). Di sisi lain, observable yang kompatibel (yang operatornya berkomutasi)
berbagi satu set vektor eigen yang lengkap, dan matriks yang sesuai dapat didiagonalisasi
secara .

3.4. Ketidakpastian Minimum Paket Gelombang

Telah dua kali menemukan fungsi gelombang yang mencapai batas ketidakpastian

posisi-momentum  x p : keadaan dasar osilator harmonik dan paket gelombang
2

Gaussian untuk partikel bebas. Hal ini menimbulkan pertanyaan menarik: Apa

ketidakpastian minimum yang paling umum pada paket gelombang? Melihat kembali

bukti prinsip ketidakpastian, bahwa ada dua poin di mana ketidaksetaraan muncul dalam

argumen. Misalkan disyaratkan bahwa masing-masing dari ini menjadi persamaan, dan

membahas tentang  . Pertidaksamaan Schwarz menjadi sama ketika sudut antara dua

130

vektor adalah 0 yaitu, ketika 1 adalah kelipatan dari lainnya: g  c f , untuk beberapa

skalar c. (Pelajari bukti pertidaksamaan Schwarz). Sementara itu, bagian real dari z;

persamaan hasil jika Rez  0 , artinya, jika Re f g  Rec f f   0 . Sekarang f f

pasti real, jadi ini berarti konstanta e harus murni imajiner yang dinamakan ia. Maka,
syarat perlu dan cukup untuk ketidakpastian minimum adalah

g  ia f , dimana a adalah nyata (3.129)

Khususnya, untuk prinsip ketidakpastian posisi-momentum kriteria ini menjadi

  d  p   aix  x  (3.130)

 i dx 

yang merupakan persamaan diferensial untuk sebagai fungsi dari x, dengan solusi umum

axx2 t px (3.131)

x  Ae 2 e 

Jelas bahwa ketidakpastian minimum paket gelombang adalah Gaussian dan dua
contoh yang ditemui sebelumnya adalah Gauss.

3.4.3 Prinsip Ketidakpastian Energi-Waktu
Prinsip ketidakpastian posisi-momentum biasanya ditulis dalam bentuk

xp   . (3.132)
2

x ("ketidakpastian" dalam x) adalah notasi untuk standar deviasi dalam hasil
pengukuran berulang pada sistem yang disiapkan secara identik. (Persamaan 3.132) sering
dipasangkan dengan prinsip ketidakpastian energi-waktu,

tE   . (3.133)
2

Memang, dalam konteks relativitas khusus, bentuk energi-waktu dapat dianggap
sebagai konsekuensi dari versi posisi-momentum, karena x dan (atau lebih tepatnya, ct)
berjalan bersama dalam empat-vektor, posisi-waktu, sedangkan p dan E (atau lebih
tepatnya, E/c) berjalan bersama dalam empat-vektor momentum energi. Jadi dalam teori
relativistik, (Persamaan 3.133) akan menjadi pelengkap yang diperlukan untuk

131

(Persamaan 3.132). Tapi tidak sedang mengerjakan mekanika kuantum relativistik-
persamaan Schrödinger secara eksplisit nonrelativistik: Persamaan ini memperlakukan 1
dan x sebagai pertaksamaan (sebagai persamaan diferensial, orde pertama di t tetapi orde
kedua di x), dan (Persamaan 3.133) secara tegas tidak tersirat oleh (Persamaan 3.132).

Waktu adalah variabel yang merupakan besaran dinamis ada fungsi. Secara khusus,
t dalam prinsip ketidakpastian energi-waktu bukanlah standar deviasi dari kumpulan
pengukuran waktu. Sebagai ukuran seberapa cepat sistem berubah, dihitung turunan waktu

terhadap nilai harapan pada beberapa observabel, Qx, p,t;

d Q  d  Qˆ   Qˆ   Qˆ    Qˆ  .
dx dx t t t

Sekarang persamaan Schrödinger mengatakan

i   Hˆ
t

dimana H  p2 adalah Hamiltonian), jadi
2m V

d Q  1 Hˆ Qˆ 1  QˆHˆ  Qˆ .
dx i i t

Tetapi Hˆ adalah Hermitian, jadi Hˆ Qˆ   QˆHˆ , dan

 d Q  iHˆ ,Qˆ   Qˆ . (3.134)
t
dt 

Dalam kasus tipikal, di mana operator tidak bergantung secara eksplisit pada 1, ini
memberitahu bahwa laju perubahan nilai harap ditentukan oleh komutator operator dengan
Hamiltonian. Khususnya, jika Qˆ berkonstruksi dengan Hˆ , maka ( Q ) adalah besaran

yang konservatif, dan dalam pengertian ini Q adalah kuantitas yang kekal.

Misalkan dimilih A = H dan B = Q dalam prinsip ketidakpastian umum (Persamaan
3.121), dan asumsikan bahwa Q tidak bergantung secara eksplisit pada

132

  Hˆ ,Qˆ 2   1  dQ2  2  d Q  2 .
2  2   1   2  dt
H Q  2i   2i i dt  

Atau, lebih sederhana

 2  2   dQ (3.135)
H Q 2 dt

Mendefinisikan E   H (dengan  sebagai notasI biasa untuk standar deviasi),dan

t  Q . (3.136)

d Q 

dt

Kemudian

Et   , (3.137)
2

dan itulah prinsip ketidakpastian energi-waktu. Tapi perhatikan apa yang dimaksud
dengan t :

Q  dQ t,
dt

t mewakili jumlah waktu yang dibutuhkan untuk menetukan nilai harap Q untuk
yang diubah oelh standar deviasi. Secara khusus, t bergantung sepenuhnya pada
observabel (Q). Tetapi jika E kecil, maka laju perubahan semua yang observabel harus
sangat bertahap. dan sebaliknya, jika ada perubahan observabel dengan cepat,
"ketidakpastian" dalam energi harus besar.

Contoh soal :
1. Dalam kasus ekstrim keadaan stasioner, di mana energi ditentukan secara unik,
semua nilai harapan adalah konstan dalam waktu ( t   ).maka apa yang akan
terjadi?
Jawaban:
Disini pertama harus mengambil kombinasi linier dari setidaknya dua keadaan
stasioner misalnya,

133

      x,t  a1 x eiE11/  b 2 x e .iE2t /

jika a,b,1 dan  2 nyata,

x,t 2  a2 1x2  b2  2 x2  2ab 1 x  xcos E2  E1 
 
2 

Periode osilasi adalah   2 /(E2  E1) . Kira-kira, maka, E  E2  E1 dan t 
(untuk perhitungan yang tepatjadi)

Et  2   .
2

2. Berapa lama waktu yang dibutuhkan paket gelombang partikel bebas untuk melewati
titik tertentu pada gambar di bawah ini?

Jawaban:

Secara kualitatif t  x / v  mx / p , tapi E  p2 / 2m , jadi E  pp / m .

Karena itu,

Et  pp mx  xp  
mp 2

3. Partikel  bertahan sekitar 10-23 detik sebelum hancur secara spontan. Jika Anda
membuat histogram semua pengukuran massanya, Anda mendapatkan semacam
kurva berbentuk lonceng yang berpusat pada 1232 MeV/c2, dengan lebar sekitar 115.

134

Gambar 3.1: Paket gelombang partikel bebas mendekati titik 4 (Contoh 2).

MeV/c². Mengapa energi diam (mc²) terkadang lebih tinggi dari 1232, dan terkadang
lebih rendah? Apakah ini kesalahan eksperimental?

Jawaban:

 Et  115 MeV  1023 sec  6 1022 MeV sec
2 

sedangkan  / 2  31023MeV sec . Jadi penyebaran dalam m adalah sekecil prinsip
ketidakpastian yang memungkinkan - sebuah partikel dengan masa hidup yang
sangat pendek tidak memiliki massa yang terdefinisi dengan baik.

4. Sebuah elektron yang tereksitasi mengeluarkan kelebihan energinya dengan
memancarkan sebuah foton yang memiliki frekuensi karakteristik tertentu. Periode
rata-rata yang berlangsung antara eksitasi elektron dan saat memancarkannya adalah
10-8 s. Cari ketidakpastian energi dan frekuensi foton itu.

Jawaban:

Energi foton tertentu dengan besar:

E  h  1,054 1034 J.s  5,3 1027 J
Zt Z 108 s

Ketidakpastian frekuensi cahaya yang di berikan dalam bentuk:

v  E  8 100 Hz


5. Kecepatan electron diukur dengan tingkat akurasi 0.003%. Memiliki harga 5.00 x
103 m/s Cari ketidakpastian pada posisi electron!

Jawaban:

Diket: V = 5.00 x 103m/s

= 0.003%


Karena p = MeV = 4.56 x 10-27 Ns

135

∆p = 0.003% xp=1.37 x 10-27 Ns

maka, ∆x ≥ ℎ = 0.38 nm
4

Latihan Soal :
1. Sebuah kunci inggris digunakan oleh seorang montir untuk membuka baut ban
mobl. Jika posisis ujung kunci inggris terhadap baut adalah r = (-30, 0, 40) cm dan
gaya yang digunakan oleh montir mobil tersebut pada kunci inggris sebesar
F  3iˆ  2 ˆj N , makabesarnya torsi maksimal yang dapat mempengaruhi kunci

inggris sebesar .... N.cm.

2. Dibawah ini terdapat sebuah matriks bujur sangkar :

V  1 2
2 1

Invers dari matrik bujur sangkar diatas adalah:

3. Berikut ini terdapat sebuah matrik bujur sangkar, yaitu:

L  1 2
3 4

Maka dari matriks L diatas, carilah dua hal dibawah ini:

a. Nilai eigen dari matrik L!

b. vektor eigen dari matriks L!

4. Carilah x dan gambar yang di peroleh dengan menggunakan matleb:

1 2 3 x1 366
4 6x2 804
7 5 0  x3  351
8

5. Inti atom berjari - jari 5,3 x 10-11 m. Gunakan prinsip ketidakpastian untuk
memperkirakan energi elektron yang dapat dimilikinya dalam atom itu.

136

6. Atom hydrogen berjari-jari 5,3 x 10-15m . Lewat prinsip ketidakpastian tentukan
batas bawah energy electron, yang harus dimiliki untuk dapat menjadi partikel
penyusun atom atomik!

7. Estimasi ketidakpastian kecepatan minimum dari bola billard (m~100g) yang
terkurung pada meja billard berkurang 1m.

8. Muatan mesin memiliki energy diam 140 MeV dan waktu 26 s. hutung ketidakpastian
energy mesin dalam MeV dan juga sebagi fungsi diamnya!

9. Kecepatan electron diukur dengan tingkat akurasi 0.009%. Memiliki harga 5.00x103m/s
Cari ketidakpastian pada posisi electron!

137

BAB 4
MEKANIKA KUANTUM DALAM TIGA DIMENSI

4.1 Persamaan Schrodinger Dalam Koordinat Bola
Digunakan penerapan Persamaan Schrödinger dalam tinjauan sistem kuantum

satu dimensi untuk memperoleh fungsi gelombang serta energi dan sistem. Persamaan
Schrödinger bergantung waktu, seperti yang telah dipelajari sebelumnya adalah

i   H (4.1)
t

Dengan operator Halmitonian berbentuk (4.2)
H  pˆ 2  V
2m

Penurunan rumus berikut ini:

Pˆ  i d
dx

Ubah bentuk Pˆ 2 menjadi bentuk (i)2  d 2
 dx 

(i)2  d 2
Pˆ   dx   V

2m

(i ) 2 ( 2 ) d2 
dx 2
H  V
2m

H   i.2 d2 V
2m dx 2

H   2 d2 V
2m dx 2



 d  d  d
dx dy dz

138

2  d 2  d 2  d 2
dx2 dy2 dz 2

H   2 2 V (4.3)
2m

Dengan mensubsitusikan persamaan (4.3) ke persamaan (4.1) maka diperoleh:

i    2 2 V (4.4)
t 2m

Karena bentuk atom itu seperti bola, maka terlebih dahulu mempelajari

operator Laplacian  2 dalam koordinat bola. Bentuk operator laplacian pada

koordinat kartesian dapat dinyatakan dengan persamaan:

2   2  2  2  (4.5)
x 2 y 2 z 2

Operator laplacian untuk koordinat bola dan koordinat kartesian sangat
berbeda. Untuk memperoleh operator laplacian pada koordinat bola terlebih dahulu
dicari dulu operator del. Dibawah ini adalah gambar koordinat bola pada titik

tertentu yang memiliki jarak r dari pusat bola, dan membentuk sudut  terhadap

sumbu z .

Gambar 4.1. Koordinat bola membentuk sudut θ pada sumbu-z
Sumber : Vani Sugiono, 2015

139

Pada Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa s adalah proyeksi r terhadap luas
horizontal (luas yang terbentuk antara sumbu x dan y), dimana s membentuk sudut

 terhadap sumbu-x. Berdasarkan teorema phytagoras, dari Gambar 4.1 diperoleh

hubungan antara s, x dan y adalah berikut ini;

s2  x2  y2 (4.6)

Hubungan antara r, s, x, y, dan z dapat dinyatakan sebagai:

r2  s2  z2 (4.7)
r2  (x2  y2)  z2

Dalam hal ini x, y, dan z membentuk sudut 90° atau siku-siku satu sama lain.
Kemudian dipotong secara terpisah vertikal dan horizontal untuk memudahkan
analisis. Apabila dipotong secara vertikal maka diperoleh Gambar sebagai berikut:

Gambar 4.2. Koordinat bola dilihat secara vertikal
Sumber : Vani Sugiono, 2015

Sifat-sifat fungsi trigonometri pada gambar di atas memperoleh hubungan
sebagai berikut:

cos  z
r

z  r cos
sin  s

r
s  r sin

140

s  r sin (4.8)

z  r cos (4.9)

Apabila dipotong secara horozontal maka diperoleh gambar sebagai berikut:

Gambar 4.3. Koordinat bola dipotong secara horizontal
Sumber : Vani Sugiono, 2015

Sifat-sifat Trigonometri dari gambar diatas diperoleh hubungan sebagai

berikut:

cos  x
s

x  s cos

sin   y
s

y  s sin 

x  scos (4.10)

x  scos (4.11)

Maka, dari persaman (4.8),(4.10) dan (4.11) di dapatkan: (4.12)

x  r sin cos

y  r sin sin (4.13)

141

Turunan pertama dari persamaan (3.12),(3.13) dan (3.9) terhadap r,yaitu:

dx  sin cos (4.14)
dr

dy  sin sin (4.15)
dr

dz  cos (4.16)
dr

Sedangkan turunan pertama dari persamaan (4.12),(4.13) dan (4.9) terhadap 
, yaitu:

dx  r cos cos (4.17)
d

dy  r cos sin (3.18)
d

dz  r sin (3.19)
d

Kemudian turunan pertama dari persamaan (4.12),(4.13) dan (4.9) terhadap 

, yaitu:

dx  r cos sin  (4.20)
d

dy  r sin cos (4.21)
d

dz  0 (4.22)
d

Dapat dianalisis ara-arah dari r, s, x, y dan z berikut ini:

142

Gambar 4.4. Anaisis arah pada koordinat bola
Sumber : Vani Sugiono, 2015

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa r searah dengan arah rˆ (vektor
satuan dari r), s searah dengan arah sˆ (vektor satuan dari s), x searah dengan arah
iˆ , y searah dengan arah ˆj , dan z searah dengan arah kˆ , dan di peroleh hubungan:

rrˆ  xiˆ  yˆj  zkˆ (4.23)
rrˆ  r sin cosiˆ  r sin cosˆj  r sin coskˆ

Didapatkanlah hubungan dari persamaan (3.23) tersebut sebagai berikut:

rˆ  sin cosiˆ  sin cosˆj  sin coskˆ (4.24)

Pada gambar tersebut belum tergambarkan arah sudut  dan arah sudut  .
untuk mendapatkan sudut  , kita dapat memotong gambar koordinat secara

horizontal seperti pada gambar berikut:

Gambar 4.5. Analisis arah secara horizontal
Sumber : Vani Sugiono, 2015

143

Maka diperoleh hubungan: [3.25]
sˆ  cosiˆ  sinˆj

ˆ  siniˆ  cosˆj [3.26]

Senjutnya untuk melihat arah sudut  , perlu untuk memotong gambar
koordinat bola secara vertikal. Didapatkanlah gambar berikut ini:

Gambar 4.6. (a) Analisis arah secara vertikal (4.27)
Sumber : Vani Sugiono, 2015

Maka hubungannya sebagai berikut:
ˆ  cosiˆ  sinkˆ

Subsitusikan persamaan (3.25) dengan persamaan (3.27), di dapatlah:

ˆ  cos cosiˆ  cos sinˆj  sinkˆ (4.28)

Didapatkan sebuah matrik M darin persamaan (4.24), (4.25), dan (4.27)
sebagai berikut:

 cos iˆ
rˆ sin cos sin sin   ˆj 
ˆˆ cos cos cos sin  sin  
 

 sin cos 0 kˆ

M

Dari persaman matrik tersebut di dapatkan:

144


Click to View FlipBook Version