iˆ sin cos sin sin cos rˆ
ˆj cossicnoscoscossin s0in ˆˆ
kˆ
M 1
Matrik M bersifat orthogonal (orthogonal maksudnya invers matriknya sama
dengan transpose matriknya, M 1 M T ,maka diperoleh hubungan:
iˆ sin cos sin sin cos rˆ
ˆj cossicnoscoscossin s0in ˆˆ
kˆ
MT
Dari matrik tersebut di dapatkan tiga persamaan, yaitu: (4.29)
iˆ sin cosrˆ cos cosˆ sinˆ (4.30)
(4.31)
ˆj sin sin rˆ cos sin ˆ cos ˆ
kˆ cosrˆ sinˆ 0ˆ
Kemudian kembali lagi pada operator del yang dinyatakan:
iˆ ˆj kˆ (4.32)
x y z
Selanjutnya disubsitusikan persamaan (4.29), (4.30), dan (4.31) ke persamaan
(4.32), didapatkan:
sin cosrˆ cos cosˆ sinˆ (4.33)
x
sin sinrˆ cos sinˆ cosˆ
cosrˆ sinˆ 0ˆ
Persamaan (4.33) kemudian disederhanakan menjadi berikut ini:
145
rˆ x y z ˆ 1 x y z
r x r y r z r x y z
ˆ r 1 x y z (4.34)
sin x y z
Kemudian diketahui bahwa: (4.35)
x y z
r r x r y r z
x y z (4.36)
x y z
x y z (4.37)
x y z
Jika disubsitusikan persamaan (4.35), (4.36), dan (4.37) kedalam persamaan
(4.34) maka diperoleh persamaan operator del dalam koordinat bola berikut ini:
rˆ ˆ 1 ˆ 1 (4.38)
r r r sin
Setelah diperoleh operator Del selanjutnya mencari operator Laplace dalam
koordinat bola. Operator Laplacian dapat diperoleh dari perkalian skalar dari
operator del dengan vektor gradien dari skalar f sebagai berikut:
2 f .f (4.39)
Persamaan (4.38), disubsitusikan yaitu :
2 f . rˆ ˆ 1 ˆ 1 (4.40)
r r r sin
Dengan menguraikan persamaan (4.40) yang dapat :
146
2 f frrˆ frrˆ 1r fˆ 1r f ˆ (4.41)
i ii
r s1in ˆ r si1nˆ
iii
Kemudian cari komponen, mulailah dengan "i".
f rˆ rˆ f ˆ f ˆ 1 f
r r r r r sin r
f rˆ f 0 0
r r r
f r 2 f [3.42]
r r
2
rˆ rˆ ˆ 1 ˆ r 1 rˆ
r r sin
rˆ rˆ rˆ ˆ 1 rˆ ˆ 1 rˆ
r r r sin
rˆ rˆ sin cosiˆ sin sinˆj coskˆ
r
ˆ 1 sin cosiˆ sin sinˆj coskˆ
r
ˆ 1 sin cosiˆ sin sinˆj coskˆ
r sin
rˆ rˆ 0 ˆ 1 cosˆ cosiˆ cos sinˆj sinkˆ
r
ˆ 1 sin siniˆ cosˆj
r sin
rˆ ˆ 1 ˆ r 1 sinˆ
r sin
rˆ 1 1 2 (4.43)
rr r
Kemudian cari lagi isi "ii".
147
f ˆ rˆ f ˆ f 1 f ˆ
r r sin
f ˆ 0 1 f 0
r
f ˆ 1 2 f [4.44]
r r 2 (4.45)
ˆ rˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆ
r r r sin
ˆ rˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ
r r r sin
ˆ rˆ cos cosiˆ cos sinˆj sinkˆ
r
ˆ 1 cos cosiˆ cos sinˆj sinkˆ
r
ˆ 1 cos cosiˆ cos sinˆj sinkˆ
r sin
ˆ rˆ 0 ˆ 1 sin cosiˆ (sin )sinˆj sinkˆ
r
ˆ 1 sin siniˆ cosˆj
r sin
ˆ ˆ 1 rˆ ˆ r 1 cosˆ
r sin
ˆ 0 cos cos
r sin r sin
Kemudian cari yang ada di "iii".
f ˆ rˆ f ˆ 1 f ˆ 1 f ˆ
r r r sin
f ˆ 0 0 1 f
r sin
f ˆ 1 2 f
r sin 2
ˆ rˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆ
r r r sin
148
ˆ rˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ (4.46)
r r r sin
ˆ rˆ 0 ˆ 1 0 0 (4.47)
rs
Kemudian substitusikan persamaan (4.42), (4.43), (4.44), (4.45), (4.46), dan
(4.47) ke dalam persamaan (4.41).
Ingat persamaan (4.41).
2 f f rˆ f rˆ 1 f ˆ 1 f ˆ
r r r r
(4.41)
1 1 ˆ
r sin ˆ r sin
Maka hasil penggantiannya adalah:
2 f 2 f 2 2 f 1 2 f f r 2 1 2 2 f 0
r r r r sin 2
2 2
2 f 1 r 2 2 f 2r f r 2 1 2 sin 2 f cos f
r2 r 2 r sin 2 r sin
2 f 1 r 2 f 1 sin f 1 2 f (4.48)
r2 r r r 2 sin r 2 sin 2 2
Dan akhirnya, didapatkan persamaan Laplacian yang dilampirkan pada skalar
tertentu sebagai berikut:
2 f 1 r 2 f r 2 1 sin f r 2 1 2 2 f
r2 r r sin sin 2
Maka operator Laplacian untuk koordinat bola adalah:
2 1 r2 1 sin 1 2 (4.49)
r2 r r r2 sin r2 sin2 2
149
4.1.1 Pemisahan Variabel
Pada umumnya, potensial merupakan fungsi jarak. Dalam proses pemisahan
variabel, mengambil koordinat bola. Operator laplaciaan dalam koordinat bola
dapat di tulis sebagai berikut:
2 1 r2 1 sin r2 1 2 (4.49)
r2 r r r2 sin sin2 2
Maka persamaan Schrödinger bergantung waktu dalam koordinat bola adalah
i h2 1 r2 1 sin 1 2 V (4.50)
t 2m r2 r r r2 sin r2 sin2 2
Pada umumnya, potensial V hanya merupakan fungsi dari jarak terhadap titik
asal V r sehingga kita dapat menggunakan metode separasi variabel untuk
memecahkan persamaan (4.50). Persamaan Schrödinger tak bergantung waktunya
2 1 r2 1 sin 1 2 V E (4.51)
2m r r r2 sin r2 sin2 2
r 2
Persamaan (3.51) kembali dipecahkan dengan menggunakan separasi variabel.
Pertama, dipisahkan fungsi gelombang r,, menjadi fungsi yang bergantung
jarak, Rr dan fungsi yang bergantung sudut, Y , .
r,, RrY, (3.52)
Maka persamaan (4.51) menjadi;
2 1 r 2 1 sin 1 2
r r r2 sin r 2 sin2
2m r 2 2 (4.53)
RY VRY ERY
2 1 r 2 RY 1 sin RY 1 2
r r r 2 sin r 2 sin2 2 RY
2m r 2 (4.54)
V ERY 0
2 Y d r 2 d R R sin Y 1 2
dr dr r2 sin r 2 sin2 2 Y
2m r 2 (4.55)
V ERY 0
150
Persamaan (4.55) dikalikan dengan 2mr2 1 , menghasilkan;
2 RY
1 d r2 d R Y 1 sin Y Y 1 2 Y 2mr2 V E 0
R dr dr sin sin2 2 2
1 d r2 dR 2mr2 V E 1 1 sin Y 1 2Y 0 (4.56)
R dr dr 2 Y sin sin2 2
Persamaan (4.56) telah terpisah menjadi dua suku. Persamaan ini hanya dapat
dipenuhi jika masing-masing suku bernilai konstan. Diambil konstanta tersebut
ll 1 . Pemilihan konstanta ini berkaitan dengan bentuk solusi dari persamaan-
persamaan yang dihasilkan. Persamaan (4.56) kemudian menjadi;
1 d r2 dR 2mr2 V E ll 1 (4.57)
R dr dr 2
1 1 sin Y 1 2Y ll 1 (4.58)
Y sin sin 2 2
Persamaan (4.57) disebut dengan persamaan radial sedangkan persamaan
(4.58) disebut dengan persamaan angular.
Gambar 4.7: koordinat bola; jari-jari r , sudut kutub , dan sudut azimuth
Sumber : Griffiths,1995.
4.1.2 Persamaan Sudut/Angular
persamaan angular/sudut merupakan persamaan dua garis yang saling
berpotongan yang titik pangakalnya berimpit/sama. Persamaan (3.58) menentukan
ketergantungan satu on dan ; dikalikan dengan Y sin² , maka menjadi:
151
sin sin Y 2Y ll 1sin2 Y (4.59)
2
Kemudian dilakukan sparasi variable pada Y menjadi : (4.60)
Y,
Selanjutnya disubsitusikan persamaan (4.60) kedalam persamaan (4.59), maka
didadapatkan:
1 sin d sin d ll 1sin 2 1 d 2 0 (4.61)
d d d 2
Suku pertama adalah fungsi hanya dari , dan suku kedua adalah fungsi
hanya dari , jadi masing-masing harus konstan. Kali ini saya akan menamakan
konstanta pemisahan m².
1 sin d sin d ll 1sin2 m2 (4.62)
d d
Dari persamaan (4.62) di daptkan persamaan diferensial sebagai berikut:
1 d 2 m2 (4.63)
d 2
Persamaannya mudah:
d 2 m2 eim (4.64)
d 2
[Sebenarnya, ada dua solusi: exp(im ) dan exp(-im ), tapi akan dibahas yang
terakhir dengan membiarkan m berjalan negatif. Mungkin juga ada faktor konstan di
depan, tetapi sebaiknya diserap ke dalam . Kebetulan, dalam elektrodinamika
akan ditulis fungsi azimut dalam bentuk sinus dan cosinus, bukan eksponensial,
karena potensial listrik harus nyata. Dalam mekanika kuantum tidak ada batasan
seperti itu, dan eksponensial jauh lebih mudah untuk dikerjakan.] Sekarang, ketika
maju sebesar 2π, kembali ke titik yang sama di ruang (lihat Gambar 4.1), jadi
wajar untuk mensyaratkan itu
152
2 () (4.65)
dengan kata lain, exp[im( 2 )] = exp(im ), atau exp( 2im ) = 1. Dari sini dapat
disimpulkan bahwa m harus bilangan bulat:
m 0,1,2, (4.66)
Persamaan ,
d sin d
d d
sin ll
1sin 2 m2 0 (4.67)
maka solusinya adalah
Aplmcos (4.68)
di mana Plm adalah fungsi Legendre terkait, yang didefinisikan oleh
plmx m / 2 d m pl x
1 x2 dx (4.69)
dan Pl(x) adalah polinomial Legendre ke-I. Ditemukan polinomial ortogonal pada
interval (-1 + 1); untuk lebih mudah, untuk mendefinisikannya dengan rumus
Rodrigues:
pl x 1 d l
2l l! dx x2 1 l (4.70)
Sebagai contoh:
p0 x 1, pl x 1 d l x2
2l l! dx 1 x
1 d 2 1
4.2 dx 2
p2x
x2 1 2 3x2 1
dan seterusnya. Beberapa polinomial Legendre pertama tercantum dalam Tabel 2.1.
Seperti namanya, Pl(x) adalah polinomial (berderajat l) di x, dan genap atau ganjil
menurut paritas l. Tetapi Plm (x) tidak, secara umum, polynomial jika m adalah ganjil
membawa factor 1 x2 :
153
p20 x 1
2 3x2 1 ,
p12x 1/ 2 d 1 1 x2
1 x2 dx 2 3x2 1 3x
p22x 1 x2d 1
dx 2 3x2 1 3 1 x2
dll. [Sebaliknya, yang kita butuhkan adalah plm cos , dan 1 cos 2 sin , jadi
plm cos selalu polinomial dalam cos , dikalikan jika m ganjil dengan sin .
Beberapa fungsi Legendre terkait cos tercantum dalam Tabel 3.1].
Table 4.1: beberapa fungsi legendre terkait, plm cos
p11 sin p33 15sin 1 cos2
p10 cos p32 15sin 2 cos
2 3sin 2 p31
p 2 3 sin 5cos 2 1
2
p12 3sin 2 p30
1 5cos3 3cos
2
p
0 1 3cos 2 1
2 2
Perhatikan bahwa l harus berupa bilangan bulat non-negatif agar rumus
Rodrigues masuk akal; apalagi, jika plm 0 , maka (Persamaan 4.69) menyatakan Plm
= 0. Untuk sembarang l. maka, ada (2l+1) kemungkinan nilai m:
l 0,1,2,; m l,l 1,,1,0,1,,l 1,l (4.71)
Fungsi gelombang sudut yang dinormalisasi disebut harmonik bola, sebagi berikut
Y1m , 2l l l m ! eim p1m cos ,
l m !
4 (4.72)
dengan 1m untuk m 0 dan 1 untuk m ≤ 0. Solusi ini bersifat ortonormal.
Berikut ini diberikan table beberapa harmonik bola
Table 4.2: beberapa harmonik bola Ylm ,
154
1 1
Y00 1 2 Y2 2 15 2 sin 2 e 2i
4 32
1 1
3 2 Y30 7 2
Y10 4 cos 16 5 cos 3 3 cos
1 1
3 2 Y31 21 2
Y11 8 sin e i 64 sin 5 cos 2 1 e i
1 1
Y20 5 2 Y3 2 105 2 sin 2 cos e 2i
16 3 cos 2 1 32
1 1
Y21 15 2 sin cos e i Y33 35 2 sin 3 e 3i
8 64
4.1.3 Persamaan Radial
Bagian radial merupakan persamaan gelombang yang merambat secara radial
(menyebar dari pusat bola menuju ke segala arah dan bergantung pada jarak r).
Perhatikan bahwa bagian sudut dari fungsi gelombang, Y( , ), adalah sama untuk
semua potensial simetri bola; bentuk sebenarnya dari potensial V(r), hanya
mempengaruhi bagian radial dari fungsi gelombang, R(r), yang ditentukan oleh
Persamaan (3.57):
1 d r2 dR 2mr2 V E ll 1 (4.57)
R dr dr 2
Dari persaman (4.57) dapat disederhanakn menjadi berikut:
d r 2 dR 2mr 2 V r ER ll 1R (4.73)
dr dr 2
(4.74)
Dengan mendefinisikan ur rRr Rr ur maka: (4.75)
r 155
dR d u
dr dr r
dR r du u 1
dr dr r2
Kemudian dikalikan (persamaan 3.74) dengan r2 maka didapatkan:
r 2 dR r du u
dr dr
Selanjutnya diferensialkan persamaan (4.75) terhadap r maka:
d r 2 dR d r du u
dr dr dr dr
d r 2 dR du r d 2u du
dr dr dr dr 2 dr
d r 2 dR r d 2u (4.76)
dr dr dr 2
Lalu persamaan (4.76) disubsitusikan ke persamaan (4.73), maka didapatkan :
r d 2u 2mr 2 V ER ll 1R
dr 2 2
r d 2u 2mr2 V Eu ll 1R (4.77)
dr 2 2
Kemudian (persamaaan 3.77) dikalikan dengan maka:
2mr
2 d 2u V Eu 2 ll 1R
2m dr 2 2mr
2 d 2u Vu 2 ll 1 u Eu
2m dr 2 2m r 2
2 d 2u 2 l l 1u Eu (4.78)
2m dr 2 V 2m
r2
Dari persamaan (4.78) ini mirip bentuknya dengan persamaan Schrodiger tak
bergantung waktu, hanya saja ada penambahan suku pada potensialnya. Persamaaan
ini tidak dapat diselesaikan lebih lanjut sebelum nilai V diketahui
Veff V 2 ll 1 (4.79)
2m
r2
Tabel 4.3: Beberapa fungsi Bessel dan Neumann berbentuk bola pertama, (x) dan n(x).
j0 x sin x n0 cos x
x x
j1 sin x cos x n1 cos x sin x
x2 x x2 x
j2 3 1 sin x 3 cos x n2 3 1 cos x 3 sin x
x2 x x2 x3 x x2
jl 2lxl1!! nl 2lxl11!!
x1 x1
156
Gambar 4.8: Grafik dari empat fungsi Bessel sferis pertama.
Sumber: Griffiths, 1995.
Contoh Soal:
1. Kerjakan semua hubungan komutasi kanonik untuk komponen operator r dan p:
x, y,x, pY ,x, px , py , pz dan seterusnya.
ri , p j pi , rj iij , ri , rj pi , p j 0
Dimana indeks mewakili x, y atau z, dan rx x, ry y, dan rz z,
Jawaban:
x, y xy yx 0, dll. Jdi ri , rj 0
px , py f f f 2 2 f 2 f 0
i x i y i y i x xy yx
(dengan persamaan turunan silang), jadi pi , p j 0
157
x, pY f x f xf x f x f f if
i x x i x x
jadi, x, pY i juga, y, pY i, z, pz i.
y, px f x f yf y f y f 0 sin ce y 0. jadiy, p x 0
i x x i x y x
Dan beberapa berlaku untuk komutator campuran lainnya.
Dengan demikian
ri , p j pi , rj iij
2. Gunakan persamaan (3.69, 3.70, dan 3.72) untuk membangun Y00 dan Y21 . Apakah
persamaan tersebut didominasi dan ortogonal.
Jawaban:
Y00 1 p00 coz Eq.[3.72]
4
P00 x P0 x Eq.[3.69]
P0 x 1 Eq.[3.70]
Y00 1
4
Y21 5 1 e i P21 cos
4 3.2
P21 x 1 x2 d P2 x
dx
1 d 2 1 d 1 1
4.2 dx 8 dx 2 2
P2 x
x2 1 2 2 x2 1 2x x2 1 x2x 3x 2 1
P21 x 1 x2 d 3 x 2 1 1 x2 3x
dx 2 2
P21 cos 3cos sin .
Y21 15 ei sin cos
8
Normalisasi:
158
Y00 2 sin dd 1 sin d 2 d 1 22 1.
4 0 4
0
15 sin 2 cos 2 sin d 2 d 15 cos 2 1 cos 2
8 04
0 0
Y212
sin dd sin d
2 sin dd 15 sin 2 cos 2 sin d 2 15 cos 3 cos 5
8 0 4 3
0
Y21 d 5
0
2 sin dd 15 sin 2 cos 2 sin d 2 15 2 2 5 3 1
8 0 4 3 5 2 2
0
Y21 d
Orthogonal:
1 15 2 ei d
4
8
Y00 * Y21 sindd sin cos sind 0
0 0
sin3 ei
/ 3 0 /i 2 0
0 0
3. Tunjukan bahwa:
Aln tan 2
Apakah memenuhi persamaan (3.67) umtuk l m 0. Ini tidak dapat di terima “solusi
kedua”. Kemudian apa yang salah dari pernyataaan tersebut.
Jawaban:
d 1
2
d
A sec 2 2 A1 A.
tan 2 sin 2 cos 2 sin
2
Karena itu:
d sin d d A 0.
d d d
Dengan, l m 0, Eq.3.67 dibaca: d sin d 0. jadi
d d
Aln tan 2 didapatkan persamaan (3.67) namun:
0 Aln0 A ; Aln tan Aln A.
2
159
berubah 0 dan .
4. Pertimbangkan sumur bola tak terbatas, berikut ini!
V r 0, if ra
, if ra
Jawaban:
Di luar sumur, fungsi gelombang adalah nol; di dalam sumur persamaan radial
mengatakan
d 2u ll 1 k 2 u
dr 2
r 2
di mana
k 2mE
seperti biasanya. Masalahnya adalah menyelesaikan persamaan ini, dengan syarat
syarat batas u(a) = 0. Kasus l = 0 mudah:
d 2u k 2u ur Asinkr B coskr
dr 2
Tapi ingat, fungsi gelombang radial sebenarnya adalah R(r) = u(r)/r, dan [cos(kr)]/r
meledak sebagai r → 0. Jadi kita harus memilih B = 0. Kondisi batas kemudian
membutuhkan sin(ka) = 0, dan karenanya ka = nл, untuk beberapa bilangan bulat n.
Energi yang diizinkan ternyata
En0 n2 22 , n 1,2,3,,
2ma2
sama seperti untuk sumur persegi tak hingga satu dimensi. Normalisasi u(r)
menghasilkan k 2mE ; penyertaan bagian sudut (konstanta, dalam hal ini, karena,
Y00 , 1 4
dapat disimpulkan bahwa
n00 1 sinnr / a
2a r
[Perhatikan bahwa keadaan stasioner diberi label oleh tiga bilangan kuantum, n, 1, dan
m: nim r, ,. Energi, bagaimanapun, hanya bergantung pada n dan l: Enl] (untuk
bilangan bulat arbitrer I) tidak begitu familiar:
160
ur Arjl kr Brnl kr
di mana jl(x) adalah fungsi bola Bessel orde l, dan nl(x) adalah fungsi Neumann bola
orde l. Didefinisikan sebagai berikut:
jl x xl 1 d l sin x ; nl x xl 1 d l cos x
x dx x dx x
x
Untuk contoh:
j0 x sin x ; n0 x cos x ;
x x
jl x x 1 d sin x sin x cos x
dx x x2 x
x
nl x x 1 d cos x cos x sin x
x dx x x2 x
dan seterusnya. Beberapa fungsi Bessel dan Neumann sferis pertama tercantum pada
Tabel 3.3. Perhatikan bahwa untuk x kecil (di mana sin x x x3 / 3!x5 / 5! dan
cos x 1 x2 / 2 x4 / 4!),
j0 x 1; n0 x 1 ; jl x x ; nl x 1 ;
x 3 x2
dll. Intinya adalah bahwa fungsi Bessel terbatas di titik asal, tetapi fungsi Neumann
meledak di titik asal. Dengan demikian, kita harus memiliki B₁ = 0, dan karenanya
Rr Ajl kr
Tetap ada syarat batas, R(a) = 0. Terbukti k harus dipilih sedemikian rupa sehingga
jl kr 0
yaitu, (ka) adalah nol dari fungsi Bessel bola orde ke- l th . Sekarang fungsi Bessel
berosilasi (lihat Gambar 3.10); masing-masing memiliki jumlah nol yang tak terbatas.
Tapi tidak terletak pada titik masuk akal yang bagus (seperti n, atau nx, atau sesuatu);
dan harus dihitung secara numerik." Bagaimanapun, kondisi batas mengharuskan
k 1 nl
a
di mana nl adalah nol ke-nth dari fungsi Bessel bola ke-lth. Energi yang diizinkan.
maka, diberikan oleh
Enl 2 2
2ma2 nl
dan fungsi gelombangnya adalah
161
n m r,, Anl jl nlr / aYlm ,
dengan konstanta Dan ditentukan dengan normalisasi. Setiap tingkat energi adalah
(2l+1) kali lipat degenerasi, karena ada (2l+1) nilai m yang berbeda untuk setiap nilai
l (lihat Persamaan 3.71).
4.2 Atom Hidrogen
Atom hidrogen terdiri dari proton berat yang pada dasarnya tidak bergerak (dapat
menempatkannya di titik asal) muatan e, bersama dengan elektron yang jauh lebih
ringan (muatan -e) yang mengelilinginya, ditahan di orbit oleh adanya gaya tarik timbal
balik antara muatan berlawanan (lihat Gambar 2.1). Dari hukum Coulomb, energi
potensial (dalam satuan SI) adalah
V r e2 1 (4.80)
4 0 r
Maka bagian radial atom hidrogen dapat dinyatakan dengan persamaan:
2 d 2u 2 1 2 ll 1 Eu
2m dr 2 4 0 r 2m u (4.81)
r2
Masalahnya adalah untuk menyelesaikan persamaan ini untuk u(r) dan menentukan
energi elektron E yang diizinkan. Kebetulan, potensial Coulomb mengakui keadaan
kontinu (dengan E > 0), menggambarkan hamburan elektron proton, serta keadaan
terikat diskrit, yang mewakili atom hidrogen, tetapi akan dibatasi pada yang terakhir
tulisan ini.
Gambar 4.11 : posisi relative antara proton dan electron
Sumber : Vani sugiono, 2015
162
4.2.1 Fungsi Gelombang Radial
Yang pertama yang harus dilakukan adalah merapikan notasi. Membiarkan
k 2mE (4.82)
(Untuk keadaan terikat, E < 0, jadi k real.) Membagi Persamaan (4.81) dengan E,
didapatkan
1 d 2u me2 1 lkl r12 u
k2 dr 2 1 2 0 2k
kr
Ini menunjukkan bahwa:
kr, dan 0 2 me2 , (4.83)
0 2k
Sehungga ;
d 2u 0 ll 1 (4.84)
d 2 1
2 u
Selanjutnya diperiksa bentuk asimtotik dari solusi. Sebuah , istilah konstan
dalam tanda kurung mendominasi, jadi secara pendekatan;
d 2u u
d 2
Solusi umumnya adalah
u Ae Be0 (4.85)
tapi e lenyap untuk ( ), sehingga B = 0. Akhirnya;
u ~ Ae (4.86)
Untuk besar disisi lain, karena suku sentrifugal mendominasi maka,
d 2u l l 1 u
d 2
2
163
Solusi umumnya adalah
u C l1 D 1
tetapi 1 lenyap untuk (seperti ), jadi D= 0. Maka, (4.87)
u ~ C l1
Langkah selanjutnya adalah mengupas perilaku asimtotik, memperkenalkan fungsi baru
v :
u el1 v (4.88)
dengan nilai harap v akan menjadi lebih sederhana dari pada u . Indikasi pertama
tidak menguntungkan:
du le l 1 v dv
d dp
dan
d 2u ple 2l 2 ll 1v 2l 1 dv d 2v
d 2
d d 2
Dalam hal v , maka, persamaan radial berbunyi
d 2v dv
d 2 2l 1 2l 1 v 0 (4.89)
d
Akhirnya, diasumsikan solusinya, v , dapat dinyatakan sebagai deret pangkat di :
(4.90)
v a j j
j0
Masalahnya adalah menentukan koefisien a0 , a1, a2 , . Pendiferensial suku terhadap
suku,
dv
j0 j0
d
ja j j1 j 1 a j1 j
164
[Dalam penjumlahan kedua telah diganti nama "indeks dummy": j j 1. Jika ini
mengganggu maka, ditulis beberapa istilah pertama secara eksplisit, dan periksa.
Mungkin bisa dikatakan bahwa jumlah sekarang harus dimulai pada j 1, tetapi
faktor j 1 tetap melenyapkan suku lainnya. Jadi sebaiknya dimulai dari nol].
Dilaskukan lagi diferensial, yaiyu;
d 2v
j0
d 2
j j 1 a j1 j1
Memasukkan ini ke Persamaan diatas, maka diperoleh:
j j 1a j1 j 2l 1 j 1a j 1 j 2 ja j j 0 2l 1 a j j 0
j0 j0 j0 j0
Menyamakan koefisien dari pangkat yang sama menghasilkan
j j 1 a j1 2l 1 j 1 a j1 2 ja j 0 l 1a j 0
Atau
a j1 2 j l 1 02a j (4.91)
j 1 j 2l
Rumus rekursi ini menentukan koefisien, dan karenanya fungsi v : dimulai
dengan a0 A (ini menjadi konstanta keseluruhan, yang akhirnya akan diperbaiki
dengan normalisasi), dan Persamaan (4.91) menghasilkan a1 untuk dimasukan
kembali, maka didapatkan a2 , dan seterusnya.
Sekarang dapat dilihat seperti apa koefisien untuk jmax (ini sesuai dengan max , di
mana pangkat yang lebih tinggi mendominasi). Dalam bagian ini rumus rekursi
mengatakan bahwa:
a j1 2j 2
j 1aj
j j 1 a j
jadi
165
a j1 2j A (4.92)
j!
Misalkan bahwa ini adalah hasil yang tepat. Kemudian
2j j Ae 2
v A
j0 j!
dan karenanya
v Al1e (4.93)
Yang lenyap di max . Eksponensial positif justru merupakan perilaku asimtotik
yang tidak diinginkan. (Bukan kebetulan bahwa itu muncul kembali di sini,
bagaimanapun yang mewakili bentuk asimtotik dari beberapa solusi untuk persamaan
radial, tidak hanya terjadi terhadap asimtot lainnya, karena tidak dapat dinormalisasi.)
Hanya ada satu jalan keluar dari masalah ini: deret harus diputus. Harus ada beberapa
bilangan bulat maksimal, jmax , sehingga
a jmax 1 0 (4.94)
(dan di luar itu semua koefisien menghilang secara otomatis). Terbukti dengan
Persamaan (4.94)
2 jmax l 1 0 0
didefinisikan
n jmax l 1 (4.95)
(yang sebelumnya disebut bilangan kuantum utama), disini dimiliki
0 2n (4.96)
Tapi 0 menentukan E adalah:
En 2k2 me4 2 (4.97)
2m 8 2 02 2
0
166
jadi energi yang diperbolehkan adalah
m e 2 2 1 E1
4 n2 n2
En 22 0 , n 1,2,3, (4.98)
Keteranga :
m = masa diam electron (kg)
e = muatan electron 1,602 1019C
0 = permivitas ruang hampa C 2 / N.m2
= konstanta dirac 1,05461034 J.s
n = bilangan kuantum utama
a0 = jari-jari Bohr (0,0529 nm)
E1= energi electron pada keadaan dasar (J atau eV)
En = energi electron pada kulit ke-n (J atau eV)
Ini adalah rumus Bohr yang terkenal, dengan berbagai pengukuran yang sangat
penting dalam semua mekanika kuantum. Bohr memperolehnya pada tahun 1913
dengan campuran kebetulan dari fisika klasik yang tidak dapat diterapkan dan teori
kuantum biasa (persamaan Schrödinger tidak muncul sampai tahun 1924).
Menggabungkan Persamaan (4.82 dan 4.91), ditemukan bahwa
k me2 1 1 (4.99)
4 0 2 n an
Dimana
a 4 0 2 0,529 1010 m (4.100)
me2
adalah yang disebut jari-jari Bohr. Ini mengikuti bahwa:
167
r (4.101)
an
Jelas bahwa fungsi gelombang spasial untuk hidrogen diberi label oleh tiga bilangan
kuantum (n, 1, dan m):
n/m r,, Rnl rYlm ,, (4.102)
dimana
Rnl r 1 l1e v (4.103)
r
dan v adalah polinomial derajat jmax n l 1 di , yang koefisiennya ditentukan
(sampai faktor normalisasi keseluruhan) dengan rumus rekursi
a j1 2 j l 1 n aj (4.104)
j 1 j 2l 2
Keadaan dasar (yaitu, keadaan energi terendah) adalah kasus n 1; memasukkan nilai
konstanta fisik, yang didapatkan
m e2 2
2 4 0
E1 13.6eV (4.105)
Terbukti energi ikat hidrogen (jumlah energi yang harus diberikan kepada elektron
untuk mengionisasi atom) adalah 13,6 eV. Gaya l 0 , dimana juga m 0 , jadi
100 r,, R10rY00 , (4.106)
Rumus rekursi terpotong setelah suku pertama dengan j 0 menghasilkan a1 0 ,
jadi v adalah sebuah konstanta a0 dan
R10 r a0 er / a (4.107)
a
Normalisasi, sesuai dengan hasil yg ingin dicari, didapat:
2 a0 2 e2r / ar 2dr a
a2 4
R10 r 2dr 0
a0 2 1
0
168
Jadi a0 2 / a . Sementara itu Y00 1/ 4 ,jadi
100r, , 1 er / a (4.108)
a 3
Jika n = 2 energinya adalah
E2 13.6eV 3.4eV (4.109)
4
ini adalah keadaan tereksitasi pertama atau lebih tepatnya, keadaan, karena kita dapat
memiliki 1 = 0 (dalam hal ini m = 0) atau 1 = 1 (dengan m = -1, 0, atau +1), jadi
sebenarnya ada empat keadaan berbeda yang berbagi energi ini. Jika l 0 , relasi
rekursi menghasilkan
a1 a0 (menggunakan j = 0). dan a2 0 (menggunakan j = 1).
jadi v a0 l , dan karenanya
R20 r a0 1 r er / 2a (4.110)
2a 2a
Jika l 1 rumus rekursi mengakhiri deret setelah satu suku, jadi v adalah
konstanta, dan telah ditemukan bahwa:
R10 r a0 rer / 2a (4.111)
4a 2
Untuk n sembarang, nilai yang mungkin dari l adalah (4.112)
l 0,1,2,, n 1
Untuk setiap l , terdapat (2i 1) nilai yang pada m , jadi degenerasi total pada tingkat
energi En adalah
n1 (4.113)
dn 2l 1 n
l0
Polinomial v adalah sebuah fungsi terkenal di kalangan matematikawan terapan;
selain normalisasi, dapat ditulis sebagai
169
v
L2l1 (4.114)
nl1
di mana
d p
dx
Lqp p x 1p Lq x (4.115)
adalah polinomial Laguerre terkait, dan
ex d q
dx
Lq x
ex xq (4.116)
adalah polinomial Laguerre ke q . (Beberapa polinomial Laguerre pertama tercantum
pada Tabel 4.4; beberapa polinomial Laguerre terkait diberikan pada Tabel 4.5.
Beberapa fungsi gelombang radial pertama tercantum pada Tabel 4.6 dan diplot pada
Gambar 4.4.) fungsi gelombang hidrogen yang ternormalisasi adalah
n/m 2 3 n l 1! er / na 2r l L2l 1 2r Yl m , (4.117)
na 2nn l!3 na nl 1 na
Tabel 4.1: Beberapa polynomial laguerre pertama
L0 1
L1 x 1
L2 x2 4x 2
L3 x3 9x 2 18x 6
L4 x 4 16x3 72x 2 96x 24
L5 x5 25x4 200x3 600x 2 600x 120
L6 x6 36x5 450x4 2400x3 5400x2 4320x 720
Tabel 4.2: Beberapa polynomial laguerre terkait
L00 1 L20 2
L10 x 1 L12 6x 18
L02 x 2 4x 2 L22 12x 2 96x 144
L10 1 L30 6
L11 2x 4 L13 24x 96
L12 3x 2 18x 18 L32 60x 2 600x 1200
170
r* 2 sindrdd nnl lll mml (4.118)
n / m nlllml
4.2.2 Spektrum Hidrogen
Spektrum hidrogen adalah susunan pancara dari atom hidrogen saaat elektronnya
melompat atau berstransisi dari tingkat energy tinggi ke rendah. Pada prinsipnya, jika
dimasukkan atom hidrogen ke dalam keadaan stasioner nlm , atom itu akan tetap di sana
selamanya. Namun, jika diubahnya sedikit (dengan tumbukan dengan atom lain,
katakanlah, atau dengan menyinari atom), maka atom tersebut dapat mengalami transisi
ke keadaan diam lainnya baik dengan menyerap energi dan bergerak ke tingkat energi
yang lebih tinggi atau dengan melepaskan energi (biasanya dalam bentuk radiasi
elektromagnetik) dan bergerak ke bawah. Dalam praktiknya, gangguan seperti itu sering
terjadi; transisi atau seperti yang kadang-kadang disebut, lompatan kuantum terus terjadi,
dan hasilnya adalah wadah hidrogen mengeluarkan cahaya (foton), yang energinya sesuai
dengan perbedaan energi antara keadaan awal dan akhir:
E Ei Ef 13.6eV 1 1 (4.119)
ni2 n2f
Sekarang menurut rumus Planck, energi foton sebanding dengan frekuensinya:
Ey = hv (4.120)
Sementara itu, panjang gelombang diberikan oleh c , jadi
v
1 R 1 1 (4.121)
ni2
n 2
f
di mana
R m e2 2 1.097 107 m1 (4.122)
4c3 4 0
R dikenal sebagai konstanta Rydberg, dan (Persamaan 4.122) adalah rumus Rydberg
untuk spektrum hidrogen. Itu ditemukan secara empiris pada abad ke-19, dan
171
kemenangan terbesar teori Bohr adalah kemampuannya untuk menjelaskan hasil ini dan
untuk menghitung R dalam konstanta dasar alami. Transisi ke keadaan dasar n f 1
diultraviolet, dikenal spektroskopi sebagai deret Lyman. Transisi ke keadaan tereksitasi
pertama n f 2 jatuh di daerah yang terlihat, mereka dibentuk deret Balmer. Transisi
ke n f 3 (deret Paschen) berada dalam inframerah, dan seterusnya (lihat Gambar
4.12). (Pada suhu kamar, sebagian besar atom hidrogen berada dalam keadaan dasar;
untuk mendapatkan spektrum emisi, diharus terlebih dahulu memompanya ke berbagai
keadaan tereksitasi;
Gambar 4.12 : Tingkat energi dan transisi dalam spektrum hidrogen.
Sumber : Griffiths,1995
Contoh Soal:
1. Tentukan fungsi gelombang radial R30, R31, dan R32 menggunakan rumus
c j1 2 j l 1 n
j 1 j 2l 2 c j
Dan dinormalisasikan
Jawaban:
172
R30 n 3, l 0 : v j0 c j p j
c1 21 3 2c0
12 c0
c2 22 3 1 c1 2 c0
23 c1 3 3
c3 23 3 0
34 c2
r
3a
R30 1 e v 1 r er / 3a 2c0 r 2 c0 r 2
r r 3a c0 3a 3 3a
c0 1 2 r 2 r 2
3a 3 a 27 a
R30 e r / 3a
R31n 3,l 1
c1 22 3 1 c0
14 c0 2
c2 23 3 0
25 c1
1 r 2 1 r c0 r 1 1 r er / 3a
r 3a 2 3a 9a 2 6 a
R31 e r / 3a c0 c0
R32n 3,l 1
c1 23 3 0
16 c0
1 r 3 er / 3a c0 r 2e r / 3a
ra 27a 3
R32 c0
2. Sebuah atom hidrogen terdiri dari satu electron yang mengorbit inti dengan Z proton (Z
= 1 akan menjadi hidrogen itu sendiri, Z = 2 adalah ion terionisasi, Z = 3 adalah litium
terionisasi ganda, dan sebagainya) tentukan energy Bohr En (Z), energi ikat Er (Z), jari-
jari Bohr a (Z), dan konstanta Rydborg R (Z) untuk atom hidrogen. Berikan jawabanmu
dimana dalm spectrum elektromagnetik deret Lyman akan jatuh, untuk Z = 2 dan Z = 3.?
Jawaban:
En Z Z 2 En ; E1Z Z 2 E1 ; aZ a / Z ; RZ Z 2 R
173
Garis Lyman berkisar dari ni 2 sampai ni (dengan n f 1); panjang gelombang
berkisar dari
1 R1 1 3 R 2 4 ke 1 R1 1 3 R 1 1
2 4 4 3R 1 4 R
Untuk Z = 2 :
1 1 2,28 108 m 1 3,04 108 m
4R 4 1,97 107 3R
1 ke 2 ultraviolet
Untuk Z = 3 :
2 1 1,01108 m ke 2 4 1,35 108 m juga ultraviolet
9R 27R
3. Berapa nilai r yang paling mungkin pada kedaan hidrogen? (jawaban bukan nol)
Jawaban:
1 p 2 4r 2dr 1 e2r / a r 2dr p r dr p r 1 r 2e2r / a
a 3 a3 a3
v
er / a ; ;
dp 4 2re2r / a r 2 2 2r / a 8r e2r / a 1 r 0 r a
dr a3 a a3 a
e
4. Berapa nilai energy dari electron yang dimiliki atom hidrogen pada orbit ke-5?
Jawaban:
Nilai eigen pada tingkat orbit tertantu dapat diketahui dengan
En RH 2,179 1018 J 8,7 1020 J
n2 52
5. Berapa nilai panjang gelombang maksimum pada deret Lyman (kondisi hampa udara)/
Jawaban:
1 R 2 1 1
n'2 n2 denagan
n’ = 1
174
Sehingga panjang gelombang maksimum akan terjadi ketika transisi terdekat, yakni dari
n = 2 ke n = 1.
1 1,097 10 7 m 1 1 1
12 22
121,5nm
4.3 Momentum Sudut
Momentum sudut secara sederhana dapat diartikan sebagai suatu momentum
benda yang melakukan rotasi atau berputar. Momentum sudut atau pusat sudut
secara intuitif mengukur seberapa besar momentum linier yang diarahkan disekitar
titik tertentu atau sering disebut titik pusat. Dalam mekanika klasik, momentum
sudut partikel diberikan oleh persamaan
L = r x p, (4.123)
Untuk memperoleh hasil kali silang dari jari-jari sumbu putar (r) dengan momentum
linier (p) nya dapat menggunakan determinan matrik sebagai berikut:
Lx iˆ ˆj kˆ
L
y x y z (4.124)
Lz px p y pz
Dari persamaan (4.124) diperoleh tiga persamaan momentum sudut pada sumbu
putar (r) sebagai berikut:
Lx ypz zpy , Ly zpx xpz , dan Lz xp y ypx , (4.125)
Operator momentum untuk koordinat kartesian diperoleh:
pˆ i iˆ ˆj kˆ (4.126)
x y z
Kemudian disubsitusikan persamaan (4.126) ke persamaan (4.124):
Lx iˆ ˆj kˆ
L y x y z (4.127)
i i i 175
L z
y z
x
Operator kuantum yang sesuai diperoleh dari persamaan (4.127) adalah sebagai
berikut:
Lx y i d z i d i y z y z (4.128)
dz dy z y i z y
Ly z i d x i d i z x z x (4.129)
dx dz x z i x z
Lx x i d y i d i x y x y (4.130)
dy dx y x i y x
Catatan: ix i 1
i 1
i
Maka didapatkan operator momentum koordinat kartesian sebagai berikut:
Lˆ iiˆ y z ˆj z x kˆ x y (4.131)
z y x z y x
Setelah mendapatkan operator momentum koodinat kartesian selanjutnya dicari
operator momentum dalam koordinat bola sebagai berikut:
pˆ i rˆ ˆ 1 ˆ 1 (4.132)
r r r sin
Kemudian disubsitusikan persamaan (4.132) ke persamaan (4.123) :
Lˆ rrˆxpˆ
Lˆ irrˆx rˆ ˆ 1 1
r r r sin
(4.133)
Lˆ i rˆxˆ rˆxˆ 1
rrˆxrˆ r sin
Diketahui bahwa rˆxrˆ 0 , rˆxˆ ˆ dan rˆxˆ , maka diperoleh persamaan
(4.133) manjadi:
176
Lˆ iˆ ˆ 1 (4.134)
sin
Pada bagian sebelumnya diketahui bahwa ˆ dan ˆ diperoleh persamaan:
ˆ cos cosiˆ cos sinˆj sinkˆ (4.135)
ˆ siniˆ cosˆj (4.136)
Lalu disubsitusikan persamaan (4.135) dan persamaaan (4.136) ke persamaan
(4.134):
Lˆ iˆ ˆ 1
sin
Lˆ i iˆ sin 1
ˆj cos iˆ cos cos ˆj cos sin kˆ sin sin
iˆ cos cos 1 ˆj cos sin
iiˆ sin sin
Lˆ ˆj cos
1 kˆ sin 1
sin sin
Lˆ iiˆ sin ˆj cos iˆ cos cos ˆj cos sin kˆ sin
sin sin sin
Lˆ i iˆ sin ˆj cos iˆ cot cos ˆj cot sin kˆ.1.
Lˆ iiiˆ sin iˆ cot cos ˆj cos ˆj cot sin kˆ
Lˆ iiiˆ sin cot cos ˆj cos cot sin kˆ
Lˆ iiiˆˆjcossin cot cos kˆ (4.137)
cot sin 177
Catatan: cot 1 cos
tan sin
Didapatkanlah operator momentum sudut kooedinat bola sebagai berikut:
Lx i sin cos cot cos cot (4.138)
Ly i cos sin cot (4.139)
(4.140)
Lx i
Setelah operator Lx , Ly dan Lz diperoleh maka selanjutnya dapat dicari nilai
eigen dan fungsi eigen .
4.3.1 Nilai Eigen
Lx dan Ly berifat tidak bolak-balik (tak komutatif), dimana:
[Lx , Ly ] Lx Ly Lx Ly 0 (4.141)
Dalam menganalisis [Lx , Ly ] dioperasikan fungsi pengujian f(x, y, z) terhadap
[Lx , Ly ] :
z x f z
i z y x z x z z y
[Lx , Ly ] f y z z x y z f
2 z f y x f z y f z z f
i y z x z z y y x y
[Lx , Ly ] f
x z f z z f x y f x z f
z y x y z z z y
[Lx , Ly ] f 2 y f yz 2 f yx 2 f z2 2 f zx 2 f
i x zx z 2 yx yz
2 f 2 f 2 f
zy xz z2 xy xy z z x f xz 2 f
y zy
Semua suku berpasangan (berdasarkan persamaan turunan silang) kecuali dua:
[Lx , Ly ] f 2 y x f iLz f
i x y
178
dan oleh karena Lz i y f x f dapat disederhanakan hasil akhirnya menjadi:
x y
[Lx , Ly ] f iLz f (4.142)
Maka diproleh:
[Lx , Ly ] [Lx , Ly ] iLz (4.143)
dengan permutasi siklis dari indeks, berikut juga bahwa
[Ly , Lz ] iLx dan [Lz , Lx ] iLy (4.144)
Dari hubungan komutasi fundamental ini, seluruh teori momentum sudut dapat
disimpulkan.
Terbukti Lx, Ly dan Lz, adalah observabel yang tidak kompatibel. Menurut
prinsip ketidakpastian umum:
2 2 1 iLz 2 2 Lz 2
Lx Ly 2i 4
atau
Lx Ly Lz (4.145)
4
Oleh karena itu dapat dicari hubungan komutatif antara L2 dan L diperoleh
sebagai berikut:
L2 , L L2 L L L2 (4.146)
Jika L2 , L L2 L L L2 0 , jadi dapat diporeh hubungan pada keduanya
berisfat komutatif dan L2 L L L2
Untuk mencari keadaan yang secara simultan merupakan fungsi eigen dari Lx
dan dari Ly. Di sisi lain, kuadrat dari total momentum sudut diperoleh:
L2 L2x L2y L2z (4.147)
179
Melakukan pengujian dengan Lx: (4.148)
[L2 , Lx ] [L2x , Lx ] [L2y , Lx ] [L2z , Lx ]
[L2 , Lx ] Ly [Ly , Lx ] [Ly , Lx ]Ly Lz [Ly , Lx ] [Ly , Lx ]Lz
[L2 , Lx ] Ly iLz iLz Ly Lz iLy iLz Lz
[L2 , Lx ] 0
Diikuti L2 juga dilakukan pengujian dengan Lx dan Ly:
[L2, Lx ] 0 , [L2, Ly ] 0 ,
atau, lebih tepatnya,
[L2, L ] 0 (4.149)
Jadi L2 kompatibel dengan setiap komponen L, dan dapat diharapkan untuk
menemukan keadaan eigen simultan dari L2 dan (katakanlah) Lz:
L2 f f Da Lz f f (4.150)
Kemudian akan digunakan teknik operator tangga, sangat mirip dengan yang
diterapkan pada osilator harmonik di Bagian 2.3.1, maka:
L Lx iLy (4.151)
Komutatornya dengan Lz adalah
[Lz , L ] [Lz , Lx ] i[Lz , Ly ] iLy i(iLx ) (Lx iLy )
jadi [Lz , L ] L (4.152)
Dan tentu saja,
[L2, L ] 0 (4.153)
Bahwa jika f adalah fungsi aneigen dari L2 dan Lz, juga adalah L± f. Untuk
Persamaan (4.153) diperoleh: (4.154)
L2L f L L2 f Lf L f
jadi L± f adalah fungsi eigen dari L2, dengan nilai eigen yang sama λ, dan Persamaan
4.135) mengatakan
180
Lz L f L Lz Lz L f L Lz f L f L f (4.155)
Lz L f L f
Jadi L± f adalah fungsi eigen dari Lz. dengan nilai eigen baru . L+, disebut
operator “menaikkan” karena menaikkan nilai eigen Lz, sebesar , dan L- disebut
operator “menurunkan” karena menurunkan nilai eigen sebesar .
Gambar 4.3 : “tangga” sudut kedaan momentum
Sumber: Griffiths,1995.
Untuk nilai yang diberikan λ, maka, diperoleh "tangga", dengan masing-masing
"anak tangga" dipisahkan dari tetangganya oleh satu unit dalam nilai eigen Lz
(lihat Gambar 4.3). Untuk menaiki tangga diharapkan operator pengangkat, dan
untuk turun, operator penurun, Tapi proses ini tidak bisa berlangsung selamanya:
Akhirnya akan dicapai keadaan di mana komponen z lebih total, dan itu tidak
mungkin. Jadi harus ada “anak tangga teratas”, ft sehingga:
L ft 0 (4.156)
l menjadi nilai eigen dari Lz, pada anak tangga teratas ini (kesesuaian huruf l
kadang-kadang disebut bilangan kuantum azimuth akan muncul lagi):
Lz ft lf ; L2 ft ft (4.157)
181
Sekarang menjadi:
L L LiLY Lx iLy L2x L2y i Lx Ly Ly Lx
L L L2 L2z iiLz
atau sebaliknya, L2 L L L2z Lz (4.158)
Oleh karena itu
L ft L L L2z Lz ft 0 2l 2 2l ft 2ll 1 ft
dan karenanya diperoleh:
2ll 1 (4.159)
Ini nilai eigen dari L2 dalam hal nilai eigen maksimum Lz. Sementara itu, ada
juga anak tangga terbawah, fb sehingga: (4.160)
L – fb, =0.
Misalkan l adalah nilai eigen dari Lz, pada anak tangga terbawah ini:
Lz fb l fb; L2 fb fb; (4.161)
dengan menggunakan Persamaan (4.158), diperoleh:
L2 fb LL L2z Lz fb 0 2l 2 2l fb 2l l 1 fb
dan maka dari itu .
2l l 1 (4.162)
Membandingkan Persamaan (4.158) dan persamaan (4.161), dilihat bahwa
ll 1 l l 1 , jadi l l 1 (yang tidak masuk akal anak tangga bawah lebih
tinggi dari anak tangga atas), atau yang lain
l 1. (4.163)
Terbukti nilai eigen dari Lz adalah m , di mana m (kesesuaian huruf ini juga
akan segera jelas) dimulai dari –l ke –l dalam N langkah bilangan bulat. Secara
khusus, berikut ini l = -l + N, dan karenanya l N , jadi l harus berupa bilangan
2
bulat atau setengah bilangan bulat. Fungsi eigen dicirikan oleh bilangan l dan m:
182
di mana L2 flm 2l l 1 flm; Lz flm mflm (4.164)
(4.165)
l 0,1/ 2,1,3/ 2,; m l,11,,l 1,l.
Untuk nilai l yang diberikan, ada 2l + 1 nilai m yang berbeda m (i.e., 2l + 1
"anak tangga" pada "Jadder"). Dengan cara aljabar murni, dimulai dengan hubungan
komutasi mendasar, telah ditentukan nilai eigen dari L2 dan Lz tanpa pernah melihat
fungsi eigen itu sendiri! Sekarang beralih ke masalah membangun fungsi eigen.
Intinya sebelum dimulai: f1m Y1m fungsi eigen dari L2 dan Lz, tidak lain adalah
harmonik bola lama, yang ditemukan sangat berbeda di Bagian 3.1.2 (itulah
sebabnya dipilih huruf l dan m).
4.3.2 Fungsi Eigen
Pertama-tama kita perlu ditulis ulang Lˆx , Lˆy dan Lˆz dalam koordinat bola.
Sekarang Lˆ / i r ˆ , dan gradien, dalam koordinat bola, adalah
ˆ rˆ ˆ 1 ˆ 1 ;
r r r sin
sedangkan rˆ rrˆ , jadi
Lˆrrˆ 1
i rˆ r rˆ ˆ rˆ ˆ sin
Tapi rˆ rˆ 0, rˆ ˆ ˆ , dan rˆ ˆ ˆ (lihat Gambar 4.1), dan karena
Lˆ ˆ ˆ 1 (4.166)
i sin
Vektor satuan ˆ danˆ dapat diselesaikan menjadi komponen Cartesiannya:
ˆ cos cosiˆ cos sinˆj sin kˆ (4.167)
183
ˆ siniˆ cosˆj (4.168)
Dengan demikian
Lˆ 1
i siniˆ cosˆj cos cosiˆ cos sinˆj sinkˆ sin
Ternyata,
Lˆx sin cos cos (4.169)
i (4.170)
Lˆ y cos sin cos (4.171)
i
dan
Lz
i
dibutuhkan juga operator naik dan turun:
Lˆ Lˆx iLˆy sin i cos cos i sin cot
i
Tapi cos i sin e , jadi
Lˆ e / i cot (4.172)
Selanjutnya, sekarang dalam posisi untuk menentukan f m , (untuk saat ini
l
subskrip dan superskrip akan dihilangkan). Ini adalah fungsi eigen dari Lˆz , dengan
nilai eigen m :
Lz f mf
i
jadi (4.173)
f g eim
184
[Di sini g adalah konstanta integrasi, sejauh berkaitan, tetapi masih dapat
bergantung pada ]. Dan f juga merupakan fungsi eigen dari Lˆ2 (yang akan ditulis
dalam bentuk Lˆ dan Lˆ2 , dengan nilai eigen 2ll 1:
L2 f L L _ L2z Lz f
i cot f f 2 f 2 f
2 i
L2 f
e i e i i cot 2
L2 f 2ll 1 f
Tetapi mengingat, f / eim dg dan f / imeim g , jadi
dg mg cot
ei i cot eim1 d m2 geim mgeim
eim d dg mg cot m 1cot dg mg cot mm 1g
d d d
ll 1geim
eim ditiadakan, lalu
d2 dg dg
d 2 m d cot mg csc2 m 1cot d mm 11 cot 2 g
d2g cot dg m2g ll 1g
d 2 d
atau, dikalikan dengan sin2 :
sin2 d2g sin cos dg m2 g ll 1sin2 g
d 2 d
Ini adalah persamaan diferensial untuk g ; itu dapat ditulis dalam bentuk
yang lebih dikenal:
sin d sin dg ll
d d 1sin2 m2 g 0 (4.174)
185
Tetapi ini justru persamaan untuk bagian yang bergantung ,Yim,.
Sementara itu, bagian yang bergantung dari f (yaitu, eim ) identik dengan ,
Kesimpulan: Harmoni bola adalah fungsi eigen (dinormalisasi) dari L2 dan Lz.
Ketika dipecahkan persamaan Schrédinger dengan pemisahan variabel, di
Bagian 4.1,secara tidak sengaja membangun fungsi eigen simultan dari tiga operator
berkomutasi H, L2 dan Lz :
H E, L2 2ll 1, Lz m (4.175)
Tetapi ada satu masalah yang aneh, karena teori aljabar momentum sudut
memungkinkan l (dan juga m) untuk mengambil nilai bilangan bulat, sedangkan
metode analitik menghasilkan fungsi eigen hanya untuk nilai bilangan bulat.
4.4 Spin
Dalam mekanika klasik, benda benda tegar memiliki dua jenis momentum
sudut: orbital (L = r x p), terkait dengan gerak pusat massa, dan spin (S = lw). Terkait
dengan gerak terhadap pusat massa. Misalnya, bumi memiliki momentum sudut
orbit yang disebabkan oleh revolusi tahunannya mengelilingi matahari, dan
momentum sudut berputar yang berasal dari rotasi hariannya terhadap sumbu utara-
selatan. Dalam konteks klasik, perbedaan ini sebagian besar merupakan masalah
kenyamanan, karena ketika akan sampai ke sana, S tidak lain adalah jumlah total dari
momentum sudut "orbital" dari semua batu dan gumpalan tanah yang membentuk
bumi, saat akan melingkari sumbu. Tetapi hal yang serupa terjadi dalam mekanika
kuantum, dan di sini perbedaannya sangat mendasar. Selain momentum sudut
orbital. terkait (dalam kasus hidrogen) dengan gerakan elektron di sekitar inti (dan
dijelaskan oleh harmonik bola), elektron juga membawa bentuk lain dari momentum
sudut, yang tidak ada hubungannya dengan gerakan di ruang angkasa (oleh karena
itu, dijelaskan oleh sembarang fungsi dari variabel posisi r,, ) tetapi yang agak
analog dengan putaran klasik (dan untuk itu, digunakan kata yang sama). Tidak ada
gunanya menekan analogi ini terlalu jauh: Elektron (sejauh yang diketahui) adalah
partikel titik tak berstruktur, dan momentum sudut spinnya tidak dapat diuraikan
menjadi momentum sudut orbital bagian-bagian penyusunnya. Cukuplah untuk
mengatakan bahwa partikel elementer membawa momentum sudut intrinsik (S) di
samping momentum sudut "ekstrinsik" (L).
186
Teori aljabar spin adalah salinan karbon dari teori momentum sudut orbital,
dimulai dengan persamaan komutasi dasar:
Sˆx , Sˆy iSˆz , Sˆy , Sˆz iSˆx , Sˆx , Sˆy iSˆz (4.176)
Maka (seperti sebelumnya) bahwa vektor-vektor eigen dari Sˆ 2 dan Sˆ2
memenuhipersamaan berikut:
Sˆ2 sm 2ss 1 sm ; Sˆz sm m sm (4.177)
dan
Sˆ sm ss 1 mm 1 sm 1 (4.178)
Dimana Sˆ Sˆx iSˆy , Tapi kali ini vektor eigennya juga bukan harmonik bola (itu
bukan fungsi dari dan sama sekali), dan tidak ada alasan prioritas untuk
mengecualikan nilai setengah bilangan bulat dari s dan m:
s 0, 1 ,1, 3 ,; m s,s 1,, s 1, s. (4.179)
22
Kebetulan setiap partikel elementer memiliki nilai s yang spesifik dan tidak
dapat diubah, yang disebut spin jenis tertentu itu: pi mesons memiliki spin 0; elektron
13
memiliki spin ; foton memiliki spin 1; delta memiliki spin ; graviton memiliki
22
spin 2; dan seterusnya. Sebaliknya, bilangan kuantum momentum sudut orbital l
(untuk elektron dalam atom hidrogen, katakanlah) memiliki nilai (bilangan bulat)
berapapun yang diragukan, dan dapat berubah dari satu ke yang lain ketika sistem
diganggu. Tetapi s adalah tetap, untuk setiap partikel tertentu, dan ini membuat teori
spin relatif sederhana.
4.4.1 Spin 1
2
Sejauh ini permasalahan yang paling penting adalah s 1 , karena ini adalah
2
spin partikel yang menyusun materi biasa (proton, neutron, dan elektron), serta
187
semua quark dan semua lepton. Selain itu, untuk memahami spin 1 , itu adalah
2
masalah sederhana untuk menentukan formalisme spin yang lebih tinggi. Hanya ada
dua eigenstates: 1 1 , yang disebut spin up (secara informal, ), dan 1 1 ,
2 2 2 2
yang disebut spin down ( ). Dengan menggunakan ini sebagai vektor basis,
keadaan umum partikel spin 1 dapat dinyatakan sebagai kolom dua elemen matrix
2
dua kolom (atau spinor), yaitu:
X a aX bX (4.180)
b
dengan
X 1 (4.181)
0
diwakili spin up, dan
X 10 (4.182)
untuk spin ke bawah. Sementara itu, operator spin menjadi matriks 2 x 2, yang dapat
dikerjakan dengan mencatat efeknya pada X dan X; Persamaan (4.176)
mengatakan
Sˆ 2 X 3 2 X ; Sˆz X X ; Sˆz X X i; Sˆz X X i; (4.183)
4 2 2 2
dan (Persamaan 5.37) memberikan (4.184)
SˆX X ; SˆX X ; SˆX SˆX 0
Sekarang, Sˆ Sˆx iSˆy , jadi
Sˆx1 1
2 Sˆ Sˆ dan Sˆ y 2t Sˆ Sˆ (4.185)
dan berikut ini
SˆxX X ; SˆxX X ; SˆyX X ; SˆyX X ; (4.186)
2 2 2i 2i
188
Jadi
S2 3 2 1 0 ; S 00 10 ; S 0 0 (4.187)
4 0 1 1 0
ketika
Sx 0 10; Sy 0 i ; Sz 1 01; (4.188)
2 1 2 i 0 2 0
Sedikit lebih rapi, bagi factor dengan / 2 : S / 2 , dimana
x 10 10; y 0i i ; z 10 01; (4.189)
0
Ini adalah matriks spin Pauli yang terkenal. Perhatikan bahwa S x , S y , S z dan S2
semuanya Hermitian (sebagaimana seharusnya, karena maupun observabel
wakilan). Di sisi lain, S+ dan S- bukan Hermitian ternyata bukan observabel.
Eigenspinor dari Sz , adalah (tentu saja)
X 1 , eigenvalue ; X 10, eigenvalue ; (4.190)
0 2 2
Jika Sz diukur, pada sebuah partikel dalam keadaan umum X persmaan
a 2, atau
(4.179),bias didapatkan , dengan probabilitas , dengan probabilitas
22
|b|2. Karena ini adalah satu-satunya kemungkinan,
a2 b2 1 (4.191)
(yaitu, spinor harus dinormalisasi).
Tetapi bagaimana jika, sebaliknya, dilakukan mengukur Sx ? Apa hasil yang
mungkin, dan apa probabilitas masing-masing? Menurut interpretasi statistik umum,
perlu diketahui nilai eigen dan eigenspinor dari Sx persamaan karakteristiknya
adalah:
/2 0 2 2
/2 2 2
Tidak heran, kemungkinan nilai untuk Sx sama dengan nilai untuk S z .
Eigenspinor diperoleh dengan cara biasa:
189
10 10 ;
2 2
jadi . Terbukti eigenspinor (dinormalisasi) dari Sx adalah
1 eigenvalue ; 1 eigenvalue ;
x , 2 x 2 , 2
X 2 X 1 (4.192)
1
2 2
Sebagai vektor eigen dari matriks Hermitian, dapat menjangkau ruang; spinor
generik X dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier:
X a b X x a b X x (4.193)
2 2
1 a b 2 , dan peluang
Jika diukur Sx, peluang mendapatkan adalah
2 2
mendapatkan 1 ab2.
adalah ( )
22
4.4.2 Elektron dalam Medan Magnet
Partikel bermuatan yang berputar membentuk dipol magnet. Momen dipol
magnetnya sebanding dengan momentum sudut spinnya S:
S; (4.194)
konstanta kesebandingan disebut rasio gyromagnetic. Ketika dipol magnet
ditempatkan dalam medan magnet B, maka akan mengalami torsi, B , yang
cenderung sejajar dengan medan (seperti jarum kompas). Energi yang terkait dengan
torsi ini adalah:
H .B (4.196)
jadi Hamiltonian dari partikel bermuatan yang berputar, dalam keadaan diam dalam
medan magnet B, menjadi:
190
H B.S (4.197)
dimana S adalah matriks spin yang sesuai Persamaan (4.187), dalam kasus spin 1/2).
4.4.3 Penambahan Momenta Sudut
Misalkan sekarang telah dimiliki dua partikel spin ½ misalnya, elektron dan
proton dalam keadaan dasar hidrogen. Masing-masing bisa memiliki spin up atau
spin down, jadi semuanya ada empat kemungkinan.
, , , , (4.198)
di mana panah pertama menunjukkan elektron dan panah kedua menunjukkan
proton. Pertanyaan: Berapakah momentum sudut total atom tersebut? Maka:
S S 1 S 2 (4.199)
Masing-masing dari empat keadaan komposit adalah keadaan eigen dari Sz
komponen z cukup menambahkan
Sz X1X 212 1 2
S S X1X 2 S X 1 X2 X1 S X 2
z z z z
S z X1 X 2 m1 X1 X 2 X1 m2 X 2 m1 m2 X1 X 2 ,
[perhatikan bahwa S 1 hanya bekerja pada X1 , dan S 2 hanya bekerja pada X 2 ].
Jadi m (bilangan kuantum untuk sistem komposit) hanya m1 m2 ;
: m 1;
: m 0;
: m 0;
: m 1.
Sekilas, ini tidak terlihat benar: m seharusnya maju dalam langkah bilangan bulat,
dari -s ke +s, jadi tampaknya s 1 tetapi ada status tambahan dengan m = 0. Salah
satu cara untuk menyelesaikannya masalah ini adalah menerapkan operator turun S
= S+S ke bagian lain, menggunakan (Persamaan 5.44):
S _ 1 2
S S
_ _
S _ ,
191
Ternyata ketiga keadaan dengan s 1 adalah (dalam notasi sm ):
11
1
10 s 1(triplet ) (4.200)
2
11
Ini disebut kombinasi triplet, karena alasan yang jelas. Sementara itu, keadaan
ortogonal dengan m = 0 mengarah ke s = 0:
1
00
s 0 (singlet) (4.201)
2
(Jika diterapkan operator naik atau turun ke keadaan ini, maka akan mendapatkan
hasil nol).
1
Kemudian, kombinasi dua partikel spin dapat membawa spin total 1 atau 0,
2
tergantung pada apakah dapat menempati konfigurasi triplet atau singlet. Untuk
mengkonfirmasi hal ini, perlu dibuktikan bahwa keadaan triplet adalah vektor eigen
dari S² dengan nilai eigen 2ħ² dan singlet adalah vektor eigen dari S² dengan nilai
eigen 0. Sekarang
S 2 S 1 S 2 S 1 S 2 (S 1 )2 (S 2 )2 2S (S1 S 2. (4.202)
Dengan menggunakan (Persamaan 5.43 dan 5.46), yang dimiliki
S 1 S 2 1 ) 2 ) 1 ) 2 ) 1 )(S 1 )
(S ( S (S ( S ( S
x x y y z z
S 1 S 2 i i
2 2 2 2 2 2
S 1 S 2 2 (2 ).
4
Demikian pula,
S 1 S 2 2 (2 ).
4
Berikut ini
192
S 1 S 2 00 2 1 (2 2 ) 00 . (4.203)
42 4
dan
S 1 S 2 00 2 1 (2 2 ) 32 00 . (4.204)
42 4
Kembali ke Persamaan (4.202) (dan lagi menggunakan Persamaan (4.183), dapat
disimpulkan bahwa:
3 2 3 2 2
4 4 4
S 2 10 2 10 2 2 10 (4.205)
Jadi 10 merupakan keadaan eigen dari S² dengan nilai eigen 22 dan
3 2 3 2 3 2
4 4 4
S 2 00 2 00 0 (4.206)
Jadi 00 adalah keadaan eigen dari S 2 dengan nilai eigen 0. (akan diarahkan
untuk dikonfirmasi bahwa 11 dan 11 adalah keadaan eigen dari S², dengan nilai
eigen yang sesuai).
11
Apa yang harus diselesaikan (menggabungkan spin dengan spin untuk
22
mendapatkan spin 1 dan spin 0) adalah contoh paling sederhana dari masalah yang
lebih besar: Jika digabungkan spin s1 , dengan spin berapa total putaran yang bisa
didapatkan? Jawabannya adalah akan didapatkan setiap putaran dari s1 s2 turun
ke s1 s2 atau s2 s1 , jika s2 s1 dalam langkah bilangan bulat:
s s1 s2 , s1 s2 1, s1 s2 2,, s1 s2 (4.207)
(Secara kasar, putaran total tertinggi terjadi ketika masing-masing putaran sejajar
satu sama lain, dan terendah terjadi ketika mereka antiparalel.) Misalnya, jika
dikemas bersama partikel spin 3 dengan partikel spin 2, bisa didapatkan spin total
2
193
7 , 5 , 3 , atau 1 , tergantung pada konfigurasinya. Contoh lain: Jika atom hidrogen
222 2
1
dalam keadaan momentum sudut bersih elektron (spin plus orbital) adalah l + atau
2
1
l - ; jika sekarang dimasukkan spin proton, bilangan kuantum momentum sudut
2
total atom adalah l + 1, l, atau l - 1 (dan l dapat dicapai dengan dua cara berbeda,
11
tergantung pada apakah elektron saja yang berada di l + konfigurasi atau l -
22
konfigurasi).
Keadaan tertentu sm adalah dengan total spin s dan z komponen m akan
menjadi beberapa kombinasi linier dari keadaan komposit S1m1 S2m2 :
sm C S m S mS1S2S
m1m2m 1 1
22
m1 m2 m (4.208)
(karena komponen z ditambahkan, satu-satunya keadaan komposit yang
berkontribusi adalah yang m1 m2 m ). Contonya persamaan (4,199 dan 4.200)
adalah kasus khusus.
Dari bentuk, s1 s2 1/ 2 (digunakan notasi informal 11 , 1 1
22 2 2
. Konstanta tersebut C S1S2S disebut koefisien Clebsch-Gordan. Beberapa kasus yang
m1m2m
paling sederhana tercantum dalam Tabel 5.1. Misalnya, kolom yang diarsir dari tabel
2 x 1 memberi tahu, bahwa
21 1 22 11 1 21 10 1 20 11
3 62
Tabel 4.4: Koefisien Clebsch-Gordan. (Tanda akar kuadrat dipahami selamanya masuk:
tanda minus, jika ada, keluar dari akar.
194