E-DIKTAT FISIKA KUANTUM



G  lnNn  dn 1! lnNn!  lndn 1!
n1

   N        Nn En 
n1 Nn  n1 

Sehingga

Nn  dn 1
e En   1

Distribusi Maxwell-Boltzmann adalah hasil klasik untuk partikel yang dapat dibedakan;
distribusi Fermi-Dirac berlaku untuk fermion, dan distribusi Bose-Einsten adalah untuk
boson yang identik.


e / kBT , MAXWELL  BOLTZMANN

1
 n    ,
 e    / k BT 1 FERMI  DIRAC

1
 e / kBT
BOSE  EINSTEIN

Batasan pertama, yaitu

N  V  k2 dk
1
2 2 0   e 2k 2 / 2m  / kBT

(dengan tanda positif untuk fermion dan negatif untuk boson) dan batasan kedua, yaitu

E  V 2  k4 dk
2m 1
2 2   e0 2k 2 / 2m  / kBT

Yang pertama menentukan T  , dan yang kedua menetukan ET (dari yang terakhir

diperoleh, misalnya, kapasitas panas C  E / T ).

bilangan okupasi yang paling mungkin untuk foton adalah

N  dk 1
e / kBT

Jadi rapat energi N /V , dalam rentang d adalah , dimana

295

 3
e / kBT
   
 2c3 1

Ini adalah spektrum benda hitam Planck yang terkenal, memberikan energi per satuan volume,
per satuan frekuensi, dalam medan magnet elektromagnetik pada kesetimbangan pada suhu T
ini diplot, untuk tiga suhu yang berbeda

Teori gangguan bebas waktu terdiri dari gangguan untuk sistem tak berdegenerasi dan teori
gangguan untuk sistem berdegenerasi. Teori gangguan adalah prosedur sistematis untuk
mendapatkan solusi perkiraan untuk masalah terganggu dengan membangun solusi eksak yang
diketahui untuk kasus tidak terganggu.

n   0   1  2 2  .....,
n n n

En  En0  En1  2 En2  ....

Di sini En1 adalah koreksi orde pertama untuk nilai eigen ke-n, dan  1 adalah koreksi orde
n

pertama untuk fungsi eigen ke-n; E 2 dan  2 adalah koreksi orde kedua, dan seterusnya.
n n

Dengan memasukkan Persamaan 6.4, 6.5, dan 6.6 ke dalam Persamaan 6.3, di dapatkan

  H 0 1
0  H '  n   n  2 2  ....
n

  
En0  En1  2 En2  ....  0   1  2 2
n n n

 Untuk orde pertama 1 ,

H 0 1  H ' 0  En0 1  En1 0
n n n n

 Untuk orde kedua 2 .

H 0 1  H ' 1  En0 2  En1 1  En2 0
n n n n n

dan seterusnya.

Bayangkan elektron mengorbit di sekitar nukleus; dari sudut pandang elektron, proton
mengelilinginya. Muatan positif yang mengorbit ini membentuk medan magnet B dalam

296

kerangka elektron, yang memberikan torsi pada elektron yang berputar, cenderung

menyelaraskan momen magnetnya   sepanjang arah medan. Hamiltonian adalah

H    B

titik B dan L dalam arah yang sama, jadi

B 1 eL
4 0 mc2r 3

Interaksi Spin-Orbit. Menyatukan semua ini, sehingga

H   e 2  1 SL
4 m2c2r3
0

Dalam konteks ini memasukkan faktor ½:

H 0   e 2  1 SL
8 m2c2r3
0

Dengan adanya kopling spin-orbit, Hamiltonian tidak lagi bolak-balik dengan L dan S,
sehingga spin dan momentum sudut orbital tidak secara terpisah. Namun, H so bolak-balik
dengan L2 , S 2 dan momentum sudut total

J LS

Dengan kata lain, keadaan eigen dari Lz dan S z bukanlah keadaan “baik” untuk digunakan
dalam teori gangguan, tetapi keadaan eigen dari L2 , S 2 , J 2 dan J z . Dan oleh karena itu nilai
eigen dari L  S adalah

2  j j 1  ll 1  ss 1

2

Dan disimpulkan bahwa

 Es1o 
H so  e2 1 2 / 2  j j 1  ll 1  3/ 4
ll 1/ 2l 1n3a3
8 0 m2c2

297

dengan rumus Bohr, diperoleh hasil besar untuk tingkat energi hidrogen, termasuk struktur
halus, yaitu:

Enj   13.6eV  2  j n  3 
n2 1  n2 1/ 2 4


Untuk satu elektron. Gangguan adalah

H Z  l  s  Bext

Dimana

s  eS
m

Persamaan 6.28 adalah momen dipol magnet yang terkait dengan spin elektron, dan

l  e L
2m

Persamaan 6.29 adalah momen dipol terkait dengan gerakan orbital. dengan demikian

H Z  e L  2S   B ext
2m

Jika Bext  Bint , maka struktur halus mendominasi, dan HZ dapat diperlakukan sebagai
gangguan kecil, sedangkan Bext  Bint , maka efek Zeeman mendominasi, dan struktur haus
menjadi gangguan.

Jadi Hamiltonian (Persamaan 6.17) elektron, dalam medan magnet karena momen dipol
magnet proton, adalah

   Hhf
 0 ge2 3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se  0 ge2 Sp  Se 3 r
8mp me 3mp me
r3

Menurut teori gangguan koreksi orde pertama terhadap energi (persamaan 6.9) adalah nilai
harap dan Hamiltonian yang mengganggu:

 E
1  0 ge2 3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
hf 8mp me
r3

298

elektron dan proton keduanya memiliki spin ½, jadi Se2  S p2  3/ 42 . Dalam rangkap tiga

keadaan (berputar “paralel”) spin total adalah 1, dan karenanya S 2  22 , dalam keadaan
singlet putaran total adalahh 0, dan S 2  0 . Frekuensi foton yang dipancarkan dalam transisi
dari keadaan triplet ke keadaan singlet adalah

v  E  1420MHz
h

299