Drs. Gatot Kusjono, MM. Suprianto, SPd., MM. Milwani, SSi., MM.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ i ] MATA KULIAH MATEMATIKA EKONOMI-1 Identitas Mata Kuliah Program Studi : MATEMATIKA EKONOMI-1 Mata Kuliah / Kode : Matematika Ekonomi / E021402 Jumlah SKS : 3 SKS Prasyarat : -- Deskripsi Mata Kuliah : Mata kuliah matematika ekonomi 1 ini merupakan mata kuliah di Program Studi Manajemen jenjang S-1 Fakultas Ekonomi, Universitas Pamulang. Setelah mengikuti kegiatan perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan akan memiliki kemampuan dalam menggunakan pendekatan analisis matematis dalam menyelesaikan persoalan ekonomi makro dan mikro, yang berguna dalam pengambilan keputusan. Materi yang dibahas dalam mata kuliah ini mencakup Himpunan, Sistem Bilangan, Akar, Pangkat dan Logaritma, Barisan dan Deret, Fungsi, Hubungan Linier dan Hubungan Non Linier. Capaian Pembelajaran : Setelah mengikuti kegiatan perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan akan memiliki kemampuan dalam menggunakan pendekatan analisis matematis dalam menyelesaikan persoalan ekonomi makro dan mikro, yang berguna dalam pengambilan keputusan. Penyusun : Drs. Gatot Kusjono, MM (Ketua) Suprianto, SPd, MM (Anggota 1) Milwani, S.Si, MM (Anggota 2) Ketua Program Studi Ketua Team Teaching Ttd Zaenal Abidin, SPd., M.Si Drs. Gatot Kusjono, MM NIDN. 0319076802 NIDN. 0402076701
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ ii ]
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ iii ] KATA PENGANTAR Matematika sebagai sebuah ilmu sering dibedakan menjadi matematika murni (pure mathematics) dan matematika terapan aplicated mathematics). Dalam ilmu ekonomi kita banyak menggunakan matematika sebagai ilmu terapan, sehingga matematika murni merupakan dasar bagi pelaksanaan matematika ekonomi terapan, karena tanpa memahami matematika murni maka akan sangatlah sulit untuk dapat memahami matematika terapan. Oleh karena itu, mahasiswa Program Studi S-1 Manajemen wajib menguasai matematika murni dasar yang akan digunakan dalam pengambilan keputusan dalam penyelesaian masalah-masalah ekonomi. Mata kuliah Matematika Ekonomi-1 mempelajari materi matematika yang berkaitan dengan Himpunan, Sistem Bilangan, Akar, Pangkat dan Logaritma, Barisan dan Deret, Fungsi, Hubungan Linier dan Hubungan Non Linier serta penerapannya dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan pengambilan keputusan dalam bidang ekonomi. Untuk dapat memahami secara baik semua materi yang dijelaskan dalam modul ini, lakukan hal-hal sebagai berikut. Pertama, baca dan pelajari secara cermat semua materi kegiatan perkuliahan yang ada. Kedua, kerjakan semua pertanyaan latihan dengan sungguh-sungguh. Ketiga, lakukan evaluasi dengan cara memeriksa hasil pekerjaan. Keempat, apabila mengalami kesulitan dalam memahami materi kegiatan belajar, diskusikan dengan teman-teman atau dosen pengampu Anda. Kelima, belajarlah dengan sungguh-sungguh, jangan mudah putus asa. Semoga isi dari modul perkuliahan Matematika Ekonomi-1 ini dapat membantu mahasiswa dalam menyelesaikan permasalahan dalam mempelajari ekonomi mikro maupun makro. Tangerang Selatan, 29 Agustus 2016 Tim Penyusun
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ iv ]
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ v ] DAFTAR ISI Identitas Mata Kuliah ............................................................ i Kata Pengantar....................................................................... iii Daftar Isi................................................................................ v PERTEMUAN 1: HIMPUNAN [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 1 B. Uraian Materi................................................................... 1 Pengertian Himpunan …………………………………. 1 Jenis-jenis Himpunan ………………………………….. 1 Penyajian Himpunan …………………………………… 2 Diagram Venn …………………………………………. 2 Hubungan Antar Himpunan …………………………… 3 Operasi Himpunan …………………………………….. 5 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 8 D. Daftar Pustaka.................................................................. 9 PERTEMUAN 2: HIMPUNAN [2] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 10 B. Uraian Materi................................................................... 10 Kaidah dalam Pengoperasian Himpunan ……………… 10 Terapan pada Ekonomi ………………………………... 11 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 14 D. Daftar Pustaka.................................................................. 16 PERTEMUAN 3: SISTEM BILANGAN A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 17 B. Uraian Materi................................................................... 17 Pembagian Bilangan …………………………………... 17 Sifat-sifat Bilangan Real ………………………………. 19 Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat …………….. 19 Menggunakan Sifat-sifat Pengerjaan Hitung ………….. 21 Operasi Tanda …………………………………………. 21 Operasi Pecahan ……………………………………….. 22 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 24 D. Daftar Pustaka.................................................................. 25 PERTEMUAN 4: PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 26 B. Uraian Materi................................................................... 26 Pangkat ………………………………………………… 26 Kaidah Pemangkatan Bilangan ………………………... 27 Akar ……………………………………………………. 29 Kaidah Pengakaran Bilangan ………………………….. 30 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 33 D. Daftar Pustaka.................................................................. 34
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ vi ] PERTEMUAN 5: PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA [2] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 36 B. Uraian Materi................................................................... 36 Logaritma ……………………………………………… 36 Basis Logaritma ……………………………………….. 38 Kaidah-kaidah Logaritma ……………………………... 39 Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma …………... 40 Penerapan Ekonomi …………………………………… 42 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 43 D. Daftar Pustaka.................................................................. 44 PERTEMUAN 6: BARISAN DAN DERET [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 45 B. Uraian Materi................................................................... 45 Pengertian ……………………………………………... 45 Deret Hitung (Aritmatika) …………………………….. 46 Suku Ke-n (Un) Deret Hitung …………………………. 46 Jumlah Sampai Suku Ke-n (Dn) Deret Hitung ………... 48 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 49 D. Daftar Pustaka.................................................................. 50 PERTEMUAN 7: BARISAN DAN DERET [2] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 51 B. Uraian Materi................................................................... 51 Deret Ukur (Geometri) ………………………………... 51 Suku Ke-n (Un) Deret Ukur …………………………. .. 51 Jumlah Sampai Suku Ke-n (Dn) Deret Ukur ………...... 52 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 54 D. Daftar Pustaka.................................................................. 55 PERTEMUAN 8: PENERAPAN BARISAN DAN DERET A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 56 B. Uraian Materi................................................................... 56 Penerapan Deret Hitung dalam Bidang Ekonomi ……... 56 Perkembangan Kegiatan Usaha ……………………….. 56 Penerapan Deret Ukur dalam Bidang Ekonomi ……... .. 56 Model Bunga Majemuk .................................................. 58 Model Bunga Sinambung ............................................... 59 Model Present Value ...................................................... 60 Metode Pertumbuhan Penduduk ..................................... 60 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 62 D. Daftar Pustaka.................................................................. 63
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ vii ] PERTEMUAN 9: FUNGSI A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 64 B. Uraian Materi................................................................... 64 Pengertian dan Unsur-unsur Fungsi ............................... 64 Jenis-jenis Fungsi ........................................................... 65 Menggambar Grafik Fungsi Linier.................................. 67 Menggambar Grafik Fungsi Non-Linier ......................... 70 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 73 D. Daftar Pustaka.................................................................. 73 PERTEMUAN 10: FUNGSI LINIER [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 74 B. Uraian Materi................................................................... 74 Kemiringan Suatu Garis (Gradien).................................. 74 Cara Pembentukan Fungsi Linier .................................... 76 Hubungan Dua Buah Fungsi Linier................................. 78 Penggambaran Grafik Fungsi Linier ............................... 79 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 81 D. Daftar Pustaka.................................................................. 81 PERTEMUAN 11: FUNGSI LINIER [2] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 82 B. Uraian Materi................................................................... 82 Penyelesaian Persamaan Linier Dua Variabel................. 82 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 85 D. Daftar Pustaka.................................................................. 85 PERTEMUAN 12: PENERAPAN FUNGSI LINIER [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 86 B. Uraian Materi................................................................... 86 Fungsi Penawaran, Permintaan & Keseimbangan Pasar 87 a. Fungsi Permintaan ..................................................... 87 b. Fungsi Penawaran ..................................................... 89 c. Keseimbangan Pasar ................................................. 91 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 93 D. Daftar Pustaka.................................................................. 94 PERTEMUAN 13: PENERAPAN FUNGSI LINIER [2] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 95 B. Uraian Materi................................................................... 95 Pengaruh Pajak Spesifik Terhadap Keseimbangan Pasar 95 Pengaruh Pajak Proporsional Terhadap Keseimbangan Pasar................................................................................. 98 Pengaruh Pajak Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar. 99 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 101 D. Daftar Pustaka.................................................................. 102
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ viii ] PERTEMUAN 14: PENERAPAN FUNGSI LINIER [3] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 103 B. Uraian Materi................................................................... 103 Analisa Break Event Point (BEP).................................... 103 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan ......................... 106 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 109 D. Daftar Pustaka.................................................................. 110 PERTEMUAN 15: PENERAPAN FUNGSI LINIER [4] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 111 B. Uraian Materi................................................................... 111 Pendapatan Nasional (Disposible)................................... 111 Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk....................... 114 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 116 D. Daftar Pustaka.................................................................. 116 PERTEMUAN 16: FUNGSI NON LINIER A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 117 B. Uraian Materi................................................................... 117 Fungsi Kuadrat ............................................................... 117 Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat............................... 120 Fungsi Kubik ................................................................... 122 Fungsi Rasional ............................................................... 122 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 124 D. Daftar Pustaka.................................................................. 125 PERTEMUAN 17: PENERAPAN FUNGSI NON LINIER [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 126 B. Uraian Materi................................................................... 126 Fungsi Permintaan ........................................................... 126 Fungsi Penawaran............................................................ 127 Keseimbangan Pasar........................................................ 128 Fungsi Biaya ................................................................... 130 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 133 D. Daftar Pustaka.................................................................. 133 PERTEMUAN 18: PENERAPAN FUNGSI NON LINIER [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 134 B. Uraian Materi................................................................... 134 Fungsi Penerimaan ......................................................... 134 Fungsi Produksi .............................................................. 136 Laba/Rugi () ................................................................. 138 Kurva Transformasi......................................................... 139 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 142 D. Daftar Pustaka.................................................................. 143 DAFTAR PUSTAKA............................................................ 144 RPS Matematika Ekonomi-1................................................. 145
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 1 ] PERTEMUAN KE- 1 POKOK BAHASAN HIMPUNAN [1] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Pada bab ini akan dijelaskan mengenai himpunan serta operasioperasinya. Melalui risetasi, Anda diharapkan mampu: 1.1.Mendiskripsikan dan mengidentifikasikan suatu himpunan. 1.2.Menyajikan dan membandingkan beberapa himpunan. 1.3.Menunjukkan hasil operasi beberapa himpunan. B. URAIAN MATERI HIMPUNAN PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda dengan ciri-ciri tertentu. Objek atau benda yang termasuk dalam himpunan ini disebut anggota/unsur/elemen himpunan. Suatu himpunan dapat ditentukan dengan menyajikan daftar anggotanya, atau dengan menyebutkan ketentuan khusus yang menetapkan apakah sesuatu objek / benda termasuk anggota himpunan atau bukan. Nama lain untuk anggota suatu himpunan adalah elemen unsur dan untuk menyatakan anggota suatu himpunan. JENIS-JENIS HIMPUNAN 1. Himpunan Semesta {U} atau {S} adalah himpunan semua objek yang sedang dibicarakan. 2. Himpunan kosong { } adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. 3. Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terbatas. 4. Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas. 5. Bilangan kardinal {n(H)} adalah bilangan yang menyatakan banyak anggota himpunan.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 2 ] S-1 MANAJEMEN PENYAJIAN HIMPUNAN 1. Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K, Y, atau Z. 2. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”. 3. Untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y, …, atau Z. 4. Perlu diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja Jadi tidak boleh kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. 5. Cara Penyajian Himpunan: a. Cara Daftar: Yaitu dengan mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota himpunan. Contoh: Jika A adalah himpunan anggota bilangan asli yang kurang dari 6. Tentukan penyajian anggota himpunan A dengan cara daftar! Jawab: A = {1,2,3,4,5} b. Cara Kaidah: Yaitu dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut. Contoh: Jika A adalah himpunan anggota bilangan asli yang kurang dari 6. Tentukan penyajian anggota himpunan A dengan cara kaidah! A = {x I 0 < x < 6} DIAGRAM VENN DiagramVenn digunakan untuk menggambarkan hubungan antar himpunan. Himpunan digambarkan sebagai daerah lingkaran, sedangkan semesta sebagai daerah empat persegi panjang.
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 3 ] HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN 1. Himpunan bagian/subset Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika semua anggota himpunan A merupakan anggota dari himpunan B (ditulis A⊂B) . Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B dapat dinyatakan dengan diagram Venn seperti pada Gambar berikut ini. Contoh : A = {1,2,3} dan B = {1,2,3,4,5}, maka A⊂B = {1,2,3} 2. Himpunan Ekivalen Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B (ditulis ditulis A~ B), jika banyaknya anggota dari kedua himpunan tersebut sama. Contoh: A = {a, b, c, d}; B = {1, 2, 3, 4} A dan B dikatakan himpunan yang ekuivalen. Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B (ditulis A~ B), jika: n(A) = n(B). 3. Himpunan sama Himpunan A dan B merupakan himpunan yang sama jika setiap anggota A merupakan anggota B dan setiap anggota B merupakan anggota A. Misalnya A = {1, 2, 3} dan B = {3, 2, 1} dapat dikatakan himpunan A sama dengan himpunan B (ditulis A = B). Dengan diagram Venn dapat dinyatakan seperti pada Gambar berikut ini.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 4 ] S-1 MANAJEMEN 4. Himpunan kuasa/superset Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A. Termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri (ditulis n(P(A) = 2n(A)). Contoh: A = {1, 2, 3} P(A) = { Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,,3} } 5. Himpunan Lepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika tidak ada anggota himpunan A dan B yang sama. Himpunan A saling lepas dengan himpunan B (A // B). Himpunan saling lepas dari himpunan A dan B dinyatakan dengan diagram Venn seperti pada Gambar berikut ini. Contoh : A = {1,2,3} dan B = {4,5,6} , maka A // B 6. Himpunan berpotongan/joint Himpunan A dan B dikatakan saling berpotongan jika ada anggota himpunan A dan B yang sama. Himpunan A berpotongan dengan himpunan B dapat ditulis A∩B. Himpunan yang berpotongan dapat dinyatakan dengan diagram Venn pada Gambar berikut ini.
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 5 ] Contoh : A = {1,3,5,7} dan B = {3,5,7,9} Jadi dikatakan A∩B = {3,5} OPERASIAN HIMPUNAN Operasi himpunan berbeda dengan operasi himpunan bilangan biasa. Karena operasi matematis untuk bilangan biasa misalnya, menambah, mengurangi, mengali, membagi, dan lain sebagainya. Tetapi operasi himpunan adalah meliputi: gabungan (union), irisan (intersection), selisih, dan pelengkap (complement). 1. Gabungan (Union) dilambangkan “∪” Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan baru yang berisikan elemen-elemen baik yang dimiliki oleh A maupun B. Contoh: Jika diketahui S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, himpunan A = { 1, 3, 4, 6, 7 } dan B = { 1, 2, 4, 5 }. Tentukan anggota himpunan A ∪ B ! Jawab: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = { 1, 3, 4, 6, 7 } B = { 1, 2, 4, 5 } A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Diagram Venn A ∪ B 2. Irisan (Intersection) dilambangkan “∩” Irisan dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan baru yang berisikan elemen-elemen milik A dan B, yang dimiliki oleh A dan B secara bersama-sama.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 6 ] S-1 MANAJEMEN Contoh: Jika diketahui S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, himpunan A = { 1, 3, 4, 6, 7 } dan B = { 1, 2, 4, 5 }. Tentukan anggota himpunan A ∩ B dan gambarkan diagram Venn-nya! Jawab: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = { 1, 3, 4, 6, 7 } B = { 1, 2, 4, 5 } A ∩ B = { 1, 4} Diagram Venn A ∩ B 3. Selisih (Difference) dilambangkan “-” Selisih dari himpunan A dan himpunan B dituliskan dengan notasi A – B adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A yang bukan obyek milik B. Contoh: Jika diketahui S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, himpunan A = { 1, 3, 4, 6, 7 } dan B = { 1, 2, 4, 5 }. Tentukan anggota himpunan A - B dan S - A serta gambarkan diagram Venn-nya! Jawab: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = { 1, 3, 4, 6, 7 } B = { 1, 2, 4, 5 } A - B = { 3, 6, 7} S - A = { 2, 5, 8} (a) Diagram Venn A - B (b) Diagram Venn S -A
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 7 ] 4. Pelengkap (Complement) dari A dinotasikan “ A’, Ā, A “ Pelengkap dari sebuah himpunan A, dituliskan dengan notasi Ā, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek yang tidak dimiliki oleh himpunan A. Contoh: Jika diketahui S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } dan A = { 1, 4, 6, 7 }. Tentukan anggota himpunan A’ dan gambarkan diagram Venn-nya! Jawab: A’ = {2, 3,5,8} Diagram Venn A’ 5. Bilangan Kardinal Bilangan kardinal yaitu bilangan yang menyatakan banyaknya unsur/anggota pada suatu himpunan. Banyaknya unsur himpunan A (bilangan kardinal himpunan A) ditulis dengan lambang n(A). Bilangan kardinal dari himpunan hampa n(Ø) = 0. Contoh: Tentukan himpunan kardinal dari : a. A={1,3,5,7} ; b. N={1/2, 1/3, ¾} ; c. P = {Dosen Unpam} ; d. R={1,2,3,4, …} Jawab: a. n(A) = 4; b. n(N) = 3; c. n(P) tidak dapat ditentukan jumlahnya. d. n(R) = ∞ ***
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 8 ] S-1 MANAJEMEN C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Diketahui himpunan semesta S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ; A = {1,2,3,4,5}; B={1,3,5,7,9} ; dan C={6,8}. Tentukan: a. A ∪ B d. C ∪ (A – B) b. A ∩ (B – C) e. (A ∩ B)c ∪ (A ∩ C)c c. (A ∪ B)c – C 2. Dari soal di atas gambarkan diagram Venn, himpunan A, B, C, dan S kemudian arsirlah himpunan yang ditanyakan! 3. Gambarkan sebuah diagram Venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7} B = {1, 3, 4, 7, 8} Kemudian selesaikan : (a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B (b) B – A (d) A B (f) B ∩ Ā 4. Gambarkan sebuah diagram Venn yang menunjukkan himpunan universal U serta himpunan-himpunan bagian A dan B untuk : U = { x; 3 < x < 14} A = { 6, 7, 9, 10, 13} B = { 4, 5, 11} Kemudian selesaikan : (a) A – B (c) A ∩ B (e) A B (b) B – A (d) A ∩ B (f) A B ***
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 9 ] D. DAFTAR PUSTAKA Buku Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 10 ] S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE- 2 POKOK BAHASAN HIMPUNAN [2] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Pada bab ini akan dijelaskan mengenai kaidah dalam pengoperasian himpunan serta penerapannya dalam menyelesaikan permasalahan ekonomi. Melalui risetasi, Anda diharapkan mampu: 1.4.Mengunakan kaidah-kaidah pengoperasian himpunan. 1.5.Menggunakan himpunan untuk menyelesaiaka permasalahan ekonomi. B. URAIAN MATERI KAIDAH DALAM PENGOPERASIAN HIMPUNAN 1. Kaidah idempoten A∪A = A A∩A = A 2. Kaidah Asosiatif (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) 3. Kaidah Komutatif A∪B = B∪A A∩B = B∩A 4. Kaidah Distributif A∪ (B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (A∩B)∪C = (A∩B)∪(A∩C) 5. Kaidah Identitas A∪Ø= A A ∩ Ø = Ø A∪S = S A ∩ S = A 6. Kaidah Kelengkapan A∪Ā= S A∩Ā = Ø (Ā ) = A S’ = Ø ; Ø’ = S
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 11 ] 7. Kaidah De Morgan (A∪B) = B∩A (A∩B) = B∪A 8. Sifat lain yang perlu diperhatikan: n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) n ( ∪ ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = n(S) - n(A∪B) n(A∪B∪C) = n(A)+n(B) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) – n(A∩B∩C) Contoh 1: Diketahui himpunan semesta S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ; A = {1,2,3,4,5} dan B={1,3,5,7,9}. Buktikanlah bahwa : n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) Jawab: A = {1,2,3,4,5} n(A) = 5 B={1,3,5,7,9} n(B) = 5 A∪B = {1,2,3,4,5,7,9} n(A∪B) = 7 A∩B = {1,3,5} n(A∩B) = 3 Jadi : n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 7 = 5 + 5 - 3 7 = 7 (terbukti) TERAPAN PADA EKONOMI Contoh 2: Dari suatu survey pada suatu asrama yang dihuni oleh 50 orang mahasiswa UNPAM diperoleh data: 30 orang mahasiswa menguasai Bahasa.Inggris 25 orang menguasai Bahasa Jerman. 10 orang menguasai Bahasa Inggris & Jerman. Berapa orangkah yang tidak menguasai Bahasa. Inggris dan Jerman? Gambarkan diagram Venn-nya!
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 12 ] S-1 MANAJEMEN Penyelesaian: n (S) = 50 orang ; Misal: I = {mahasiswa yang menguasai Bhs. Inggris} ; n(I)= 30 J = {mahasiswa yang menguasai Bhs. Jerman} ; n(J)= 25 n(I ∩ J) = 10 Menurut rumus De-Morgan: n(I ∪ J) = n(I) + n(J) – n(I ∩ J) = 30 + 25 - 10 = 45 n(I ∪ J) = n(S) - n(I ∪ J) = 50 – 45 = 5 Contoh 3: Pengamatan yang dilakukan terhadap penduduk suatu desa yang terdiri dari 252 keluarga (KK) diperoleh informasi sebagai berikut: a. 125 Keluarga memiliki sepeda. b. 120 Keluarga memiliki radio. c. 100 Keluarga memiliki televisi. d. 45 Keluarga memiliki sepeda dan radio. e. 30 Keluarga memiliki radio dan televisi. f. 42 Keluarga memiliki televisi dan sepeda. g. 17 Keluarga memiliki ketiganya. Dari data di atas: a. Berapa keluargakah yang tidak memiliki ketiga jenis barang tersebut. b. Berapa keluargakah yang hanya memiliki sepeda saja. c. Berapa keluargakah yang hanya memiliki televisi saja. Penyelesaian: Langkah-langkah penyelesaian 1) Gunakan Diagram Venn. 2) Karena jumlah jenis barangnya ada 3, maka dapat dibuat 3 buah lingkaran yang saling beririsan.
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 13 ] Misal : S = jumlah seluruh penduduk A = pemilikan sepeda B = pemilikan radio C = pemilikan televisi 3) Masukkan dalam diagram Venn jumlah KK yang memiliki jumlah barang yang paling banyak terlebih dahulu (3 jenis barang), kemudian pemilikan dua jenis barang (dengan dikurangi terlebih dahulu dengan pemilik ketiga jenis barang) dan yang terakhir masukkan kepemilikan jumlah barang yang paling sedikit dengan dikurangi kepemilikan ketiga jenis barang dan dua jenis barang. n (A) = 125 keluarga n (B) = 120 Keluarga n (C) = 100 Keluarga n (A ∩ C) = 45 Keluarga n (A ∩ B) = 42 Keluarga n (B ∩ C) = 30 Keluarga n (A ∩ B ∩ C) =17 Keluarga. a. Jumlah keluarga yeng memiliki ketiga jenis barang: n(A∪B∪C) = n(A)+n(B) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) – n(A∩B∩C) = 100 + 120 + 125 -30 – 45 – 42 – 17 = 247 Jumlah keluarga yeng tidak memiliki ketiga jenis barang: n ( ∪ ∪ ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = n(S) - n(A∪B∪C) = 252 – 245 = 7 b. Keluarga yang hanya memiliki sepeda (A) saja = n(A) – n(A∩B) – n(A∩C) + n(A∩B∩C) 17 42-17 30-17 45-17 120 - 25 - 17 - 13 125 - 28 - 17 - 25 120 - 13 - 17 - 28 A B C S 7
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 14 ] S-1 MANAJEMEN = 125 – 42 – 45 + 17 = 55 c. Keluarga yang hanya memiliki televisi (C) saja = n(C) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C) = 100 – 45 – 30 + 17 = 42 C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Hasil penelitian terhadap 30 orang mahasiswa yang rajin mengunjungi perpustakaan, menunjukkan bahwa ada 15 orang yang pernah membaca buku teks matematika dan 18 orang yang pernah membaca Pengantar Manajemen serta 9 orang yang sudah pernah membaca buku tersebut. Tentukan banyaknya mahasiswa yang tidak pernah membaca satupun dari kedua buku tersebut! 2. Hasil penyelidikan terhadap 250 penduduk suatu desa menyatakan bahwa ada 60 orang pemilik sawah dan 110 penggarap sawah. Disamping itu, ada pula 100 orang yang bukan pemilik sawah dan bukan pula penggarap sawah. Berapa orang sebagai pemilik dan penggarap sawah? 3. Dari 2043 mahasiswa semester 3 FE UNPAM yang mengambil mata kuliah Matematika Ekonomi (Matek), Bisnis Internasional (BI), dan Pengantar Manajemen (PM) diperoleh data sebagai berikut: Matematika Ekonomi = 700 mahasiswa Bisnis Internasional = 709 mahasiswa Pengantar Manajemen = 634 mahasiswa Matek dan BI = 336 mahasiswa BI dan PM = 383 mahasiswa Matek dan PM = 321 mahasiswa Matek, BI dan PM = 171 mahasiswa
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 15 ] Dari data tersebut, tentukanlah jumlah mahasiswa yang mengambil mata kuliah: a. Bisnis Internasional tetapi bukan Matematika Ekonomi b. Matematika Ekonomi tetapi bukan Pengantar Manajemen c. Bisnis Internasional dan Pengantar Manajemen tetapi bukan Matematika Ekonomi 4. Dari 2012 mahasiswa semester 3 FE UMB yang mengambil mata kuliah Matematika Ekonomi (Matek), Bisnis Internasional (BI), dan Pengantar Manajemen (PM) diperoleh data sebagai berikut: Matematika Ekonomi = 653 mahasiswa Bisnis Internasional = 702 mahasiswa Pengantar Manajemen = 652 mahasiswa Matek dan BI = 369 mahasiswa BI dan PM = 414 mahasiswa Matek dan PM = 345 mahasiswa Matek, BI dan PM = 163 mahasiswa Dari data tersebut, tentukanlah jumlah mahasiswa yang mengambil mata kuliah: a. Bisnis Internasional tetapi bukan Matematika Ekonomi b. Matematika Ekonomi tetapi bukan Pengantar Manajemen c. Bisnis Internasional dan Pengantar Manajemen tetapi bukan Matematika Ekonomi
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 16 ] S-1 MANAJEMEN D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 17 ] PERTEMUAN KE- 3 POKOK BAHASAN SISTEM BILANGAN A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan mampu untuk memahami sistem bilangan riil. Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah mempelajari secara khusus Anda diharapkan dapat: 1.1 Mendiskripsikan sistem bilangan riil. 1.2 Menjelaskan jenis-jenis bilangan riil dan kaitannya dengan himpunan untuk bilangan riil tersebut. 1.3 Mencari himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan. B. URAIAN MATERI SISTEM BILANGAN PEMBAGIAN BILANGAN Dalam matematika murni terdapat pembagian bilangan nyata dan bilangan khayal. Perbedaan utama dari bilangan nyata dan khayal adalah bahwa bilangan nyata mempunyai sifat pembedaan yang jelas antara positif dan negatif sementara bilangan khayal tidak jelas sifatnya, misalnya akar dari suatu bilangan negatif. Dalam matematika ekonomi dan bisnis, hanya bilangan nyata yang digunakan. Skema bilangan bisa digambarkan sebagai berikut :
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 18 ] S-1 MANAJEMEN 1. Bilangan Real dan Bilangan Khayal: Bilangan Real/nyata mengandung salah satu sifat yang tegas yaitu dapat positif maupun negatif. Contoh: 2 ; -2 ; 1,2 ; - 1,2 Bilangan khayal/Imajiner yaitu bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan, sehingga tidak jelas sifatnya apakah positif atau negatif. Contoh: √−4 = 2 i 2. Bilangan Rasional dan Irrasional Bilangan Rasional adalah hasil bagi antara dua bilangan yang berupa bilangan bulat atau berupa pecahan dengan desimal terbatas atau desimal berulang. Contoh: 0,1492525 ; 0,149262626 Bilangan Irasional adalah hasil bagi antara dua bilangan, berupa pecahan dengan desimal terbatas dan tidak berulang, termasuk bilangan π =3,14… dan e =2,718… Contoh: 0,149252553939993999 ; √2 = 1,4142 …. ; √3 = 1,7321… 3. Bilangan Bulat dan Bilangan Pecahan Bilangan Bulat adalah hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya bulat, termasuk 0 (nol). Bilangan bulat dapat dibagi menjadi tiga,yaitu: 1) Bilangan bulat positif {1,2,3,4,5,6,7, … } 2) Nol , bukan positif atau negatif {0} 3) Bilangan bulat negatif {…, -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1} Bilangan bulat dinotasikan dengan B yang bila diurut kan adalah B ={…,- 3,-2,-1,0,1,2,3,…} Bilangan Pecahan adalah hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya pecahan dengan desimal terbatas atau desimal berulang.
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 19 ] Selain di atas, masih terdapat beberapa jenis bilangan yang termasuk bilangan bulat, yaitu: 1. Bilangan Asli, yaitu semua bilangan positif tidak termasuk nol. Contoh: A = {1,2,3,4,5, … } 2. Bilangan Cacah, yaitu semua bilangan bulat positif atau nol. Contoh: C = {0,1,2,3,4,5,6, …} 3. Bilangan Prima, yaitu bilangan yang habis dibagi oleh bilangan satu dan dirinya sendiri (mempunyai 2 faktor). Contoh: P = {2,3,5,7,11,13,…} 4. Bilangan Komposit, yaitu bilangan yang habis dibagi lebih dari dua faktor. Contoh: K = {4,6,8, …} SIFAT–SIFAT BILANGAN REAL 1. Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y 2. Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z 3. Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT 1. Sifat Komutatif Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Sifat ini hanya berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian. a. Sifat komutatif pada Penjumlahan Bentuk umum dari sifat komutatif pada penjumlahan yaitu a + b = b + a. Untuk penjelasannya perhatikan contoh berikut ini : Contoh: 5 + 7 = 12 7 + 5 = 12 Jadi, 5 + 7 = 7 + 5
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 20 ] S-1 MANAJEMEN b. Sifat komutatif pada Perkalian Bentuk umum dari sifat komutatif pada perkalian yaitu a x b = b x a . Untuk penjelasannya perhatikan contoh berikut ini : Contoh: 5 × 7 = 35 7 × 5 = 35 Jadi, 5 × 7 = 7 × 5 2. Sifat Asosiatif Sifat Asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini juga hanya berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian. a. Sifat Asosiatif pada Penjumlahan Bentuk umum dari sifat asosiatif pada operasi penjumlahan (a + b ) + c = a + ( b + c ) . Contoh : (5 + 3) + 4 = 8 + 4 = 12 5 + (3 + 4) = 5 + 7 = 12 Jadi, (5 + 3) + 4 = 5 + (3 + 4). b. Sifat Asosiatif Pada Perkalian Bentuk umum dari sifat asosiatif pada operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c ) . Contoh : (5 × 3) × 4 = 15 × 4 = 60 5 × (3 × 4) = 5 × 12 = 60 Jadi, (5 × 3) × 4 = 5 × (3 × 4) 3. Sifat Distributif Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran. a. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan Bentuk umum dari sifat distributif penjumlahan adalah : a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ).
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 21 ] Contoh : 6 × ( 4 + 5 ) = 6 × 9 = 54 ( 6 × 4 ) + ( 6 × 5 ) = 24 + 30 = 54 Jadi, 6 × ( 4 + 5 ) = ( 6 × 4 ) + ( 6 × 5 ) b. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan Bentuk umum dari sifat distributif penjumlahan adalah : a x ( b – c ) = ( a x b ) – ( a x c ) Contoh : 7 × ( 9 − 6 ) = 7 × 3 = 21 ( 7 × 9 ) − ( 7 × 6 ) = 63 − 42 = 21 Jadi, 7 × ( 9 − 6 ) = ( 7 × 9 ) − ( 7 × 6 ) MENGGUNAKAN SIFAT-SIFAT PENGERJAAN HITUNG Operasi Hitung Perkalian perkalian jika salah satu bilangannya merupakan bilangan yang cukup besar, salah satu cara mempermudah pengerjaanya dengan menggunakan sifat distriburif. Contoh : 9 × 456 = 9 × (400 + 50 + 6) = (9 × 400) + (9 × 50) + (9 × 6) = 3600 + 450 + 54 = 4104 OPERASI TANDA Untuk (+) = bilangan positif dan (-) = bilangan negatif, berlaku ketentuan : 1. (+) x (+) = (+) atau (+) : (+) = (+) 2. (+) x (-) = (-) atau (+) : (-) = (-) 3. (-) x (+) = (-) atau (-) : (+) = (-) 4. (-) x (-) = (+) atau (-) : (-) = (+) 5. Jika operasi x/: dan +/- terjadi secara bersamaan, maka dahulukan pengerjaan operasi x/:, baru kemudian operasi +/- dimulai dari urutan bilangan yang terdepan.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 22 ] S-1 MANAJEMEN OPERASI PECAHAN 1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Murni dan Campuran Untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan terlebih dahulu menyamakan penyebutnya. Penyebut yang sama sebaiknya merupakan KPK dari penyebut-penyebut pecahan yang akan dijumlahkan atau dikurangkan. Contoh soal : Selesaikanlah soal berikut ini! 1) 1 2 + 2 3 = … 2) 7 8 − 5 6 = … 3) 7 9 + 5 6 − 2 3 = … Penyelesaian: 1) 1 2 + 2 3 = … ; KPK dari 2 dan 3 adalah 6, sehingga: 1 2 + 2 3 = 3 6 + 4 6 = 7 6 = 1 1 6 2) 7 8 − 5 6 = … ; KPK dari 8 dan 6 adalah 24, sehingga: 7 8 − 5 6 = 21 24 − 20 24 = 1 24 3) 7 9 + 5 6 − 2 3 = …; KPK dari 9, 6, dan 3 adalah 18, sehingga: 7 9 + 5 6 − 2 3 = 14 18 + 15 18 − 12 18 = 17 18 2. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Desimal Pecahan desimal dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menyusun ke bawah. Perhatikan bahwa koma desimal harus terletak pada satu garis vertikal. Contoh soal : Hitunglah! 1) 47,157 + 57,25 + 35,383 = … 2) 2) 375,042 – 99,19 = …
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 23 ] Penyelesaian: 1) 47,157 2) 375,042 57,25 99,19 (–) 35,383 (+) 275,852 129,790 . 3. Perkalian Pecahan Murni dan Campuran Hasil kali pecahan dapat diperoleh dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Jika dalam perkalian pecahan terdapat pecahan campuran, maka pecahan campuran terlebih dahulu dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa. Contoh soal : 1) 2 3 4 7 = … 2 3 4 7 = 24 37 = 8 21 2) 2 3 4 3 1 2 = … 2 3 4 3 1 2 = 11 4 7 2 = 77 8 = 95 8 3) 4 7 + 5 2 = … 4 7 5 2 = 20 14 = 10 7 4. Pembagian Pecahan Murni dan Campuran Hasil bagi pecahan dapat diperoleh dengan cara mengalikan dengan kebalikan dari pecahan itu. Contoh soal : 1) 1 2 ∶ 2 3 = … 2) 1 2 3 : 2 5 9 = …. 1 2 : 2 3 = 1 2 3 2 = 3 4 1 2 3 : 2 5 9 = 5 3 : 23 9 = 5 3 9 23 = 15 23 5. Perkalian Pecahan Desimal Contoh soal: 1) 6,758 x 10 = … 2) 6,758 x 100 = …
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 24 ] S-1 MANAJEMEN Penyelesaian: 1) 6,758 x 10 = 67,58 Perhatikan bahwa perkalian dengan 10 dapat dilakukan dengan menggeser koma desimal satu tempat ke sebelah kanan dari letak semula. 2) 6,758 x 100 = 675,8 Perkalian dengan 100 dapat dilakukan dengan menggeser koma desimal dua tempat ke sebelah kanan dari letak semula. 6. Pembagian Pecahan Desimal Contoh soal: 1) 268,7 : 10 = … 2) 268,7 : 100 = … Jawab 1) 268,7 : 10 = 26,87 Membagi dengan 10 dapat dilakukan dengan menggeser koma desimal satu tempat ke sebelah kiri dari tempat semula. 2) 268,7 : 100 = 2,687 Membagi dengan 100 dapat dilakukan denga menggeser koma desimal dua tempat ke sebelah kiri dari tempat semula. ***** C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Diketahui pasangan bilangan seperti berikut ini! a. 3 4 4 6 b. 5 6 5 12 c. 1 1 6 4 1 3 Tentukanlah: a. Jumlah dari pasangan bilangan di atas. b. Selisih dari pasangan bilangan di atas. c. Hasil kali dari masing-masing pasangan. d. Hitunglah hasil bagi pasangan bilangan di atas.
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 25 ] 2. Selesaikanlah perhitungan pecahan bilangan berikut ini! a. 3 4 + 2 7 + 1 6 = ⋯ b. 3 4 − 2 7 − 1 6 = ⋯ c. 3 4 2 7 1 6 = ⋯ d. 3 4 : 2 7 : 1 6 = ⋯ 3. Selesaikanlah perhitungan pecahan desimal berikut ini! a. 0,32 + 0,09 + 0,13 = … b. 0,32 - 0,09 - 0,13 = … c. 0,32 x 0,09 x 0,13 = … d. 0,32 : 0,09 : 0,13 = … D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 26 ] S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE- 4 POKOK BAHASAN PANGKAT, AKAR & LOGARITMA A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu untuk memahami pengertian perpangkatan, akar logaritma, dan mampu memahami kaidah-kaidah yang berlaku serta penerapannya di dalam ekonomi. Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat: a. Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma. b. Mengidentifikasikan pangkat, akar dan logaritma. c. Menyebutkan kaidah-kaidah yang berlaku dalam perpangkatan, akar dan logaritma. d. Menggunakan kaidah-kaidah pangkat, akar dan logaritma untuk menyelesaikan soal-soal e. Menjelaskan fungsi eksponensial. B. URAIAN MATERI PANGKAT, AKAR & LOGARITMA PANGKAT Pangkat dari sebuah bilangan adalah suatu indeks yang menunjukan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun. Notasi berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali. Notasi pemangkatan sangat berfaedah untuk merumuskan penulisan bentuk perkalian secara ringkas. Sebagai contoh: perkalian bilangan 7 sebanyak 5 kali tak perlu dituliskan dengan lengkap 7×7×7×7×7, melainkan cukup diringkas menjadi 7 5 .
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 27 ] Sehingga : 7×7×7×7×7 = 7 5 5×5×5×5×5×5×5 = 5 7 0,3×0,3×0,3×0,3×0,3×0,3 = 0,3 6 Notasi pemangkatan berfaedah pula untuk meringkas bilangan-bilangan kelipatan perkalian sepuluh yang nilainya sangat besar atau sangat kecil sebagai contoh: bilangan 100.000 dapat diringkas menjadi 105 ; bilangan 1 100.000 atau 0,00001 dapat diringkas menjadi 10−5 . Begitu pula, 1.000.000.000 = 109 5.000.000.000 = 5. 109 7.500.000.000 = 7,5 . 109 0,000000001 = 10−9 0,000000034 = 3,4 . 10−8 Pemangkatan sebuah bilangan dan pengoperasian bilangan-bilangan berpangkat mematuhi kaidah-kaidah tertentu. Berdasarkan kaidah-kaidah yang segra akan dipaparkan berikut ini, kita dapat pula memetik berbagai faedah lain dari notasi pemangkatan. KAIDAH PEMANGKATAN BILANGAN 1. Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah 1. 0 = 1 ( ≠ 0 ) Contoh: 3 0 = 1 2. Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri. 1 = Contoh: 3 1 = 3 3. Nol berperangkat sebuah bilangan adalah tetap nol. 0 = 0 Contoh: 0 3 = 0 4. Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali (multiplicative inverse) dari bilangan itu sendiri. − = 1
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 28 ] S-1 MANAJEMEN Contoh: 3 −2 = 1 3 2 = 1 9 → ( 1 9 ≡ 9 −1 ) 5. Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilanntu sendiri dengan suku pembagi dalam pecahan menjadi pangkat dari akarnya sedangkan suku berbagi menjadi pangkat dari bilangan yang bersangkutan. /= √ Contoh: 3 2/5 = √3 2 5 = √9 5 = 1,55 6. Bilangan pecahan berpangkat adalah hasil bagi suku-suku berpangkatmya. ( ) = Contoh: ( ) = = 7. Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasil kali pangkat-pangkatnya. ( ) = Contoh: (3 2 ) 4 = 3 2.4 = 3 8 = 6.561 8. Bilangan dipangkatkan pangkat-pangkat adalah bilangan berpangkat ke hasil pemangkatan pangkatnya. = ; = Contoh: 3 2 4 = 3 16 = 43.046.721 9. Hasil kali bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah pangkat-pangkatnya. . = = + Contoh: 3 2 . 3 4 = 3 2+4 = 3 6 = 729 10.Hasil kali bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi hasilnya berbeda, adalah perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan. . = () Contoh: 3 2 . 5 2 = (3.5)2 = 152 = 225 11.Hasil bagi bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat selisih pangkat-pangkatnya. : = − Contoh: 3 2 ∶ 3 4 = 3 2−4 = 3 −2 = 1 9
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 29 ] 12.Hasil bagi bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tettapi basisnya berbeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan. ∶ = ( ) Contoh: 3 2 ∶ 5 2 = ( 3 5 ) 2 = 9 25 Kaidah ke-7 dan ke-8 di atas perlu mendapat perhatian khusus karena sering diselesaikan secara tidak benar. Jika kita kurang teliti, contoh–contoh dalam kaidah ke-7 dan ke-8 tersebut bisa salah diselesaikan menjadi 9 4 ( = 1.296), padahal seharusnya masing-masing adalah 3 8 3 16. Prinsip penyelesaian bilangan yang pangkatnya berpangkat ialah menyelesaikan pangkat-pangkatnya terlebih dahulu. Kaidah ke-6 identik dengan kaidah ke-12, sementara itu kaidah ke-5 identik dengan kaidah ke-2. AKAR Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari sebuah bilangan ialah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenan dengan bilangan pangkat akarnya. Berdasarkan konsep pemangkatan kita mengetahui bahwa jika bilangan-bilangan yang sama (misalnya x) dikalikan sejumlah tertentu sebanyak (katakanlah) a kali, maka kita dapat menuliskannya menjadi ; disebut basis dan a disebut pangkat. Andaikata = , maka x dapat juga disebut sebagai akar pangkat a dari m, yang jika dituliskan dalam bentuk akar menjadi : = √ , jadi √m a = x sebab x a = m; atau dengan perkataan lain: √m a = x , jika x a = m Contoh : √9 2 = 3 sebab 3 2 = 9 √64 3 = 4 sebab 4 3 = 64 Secara umum : √ = =
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 30 ] S-1 MANAJEMEN Dalam notasi √ , a disebut pangkat dari akar sedangkan m disebut radikan.pangkat 2 dari akar biasanya tidak dicantumkan dalam penulisan,sehingga tanda akar yang dicantumkan pangkat dengan sendirinya harus dibaca dan ditafsirkan sebagai akar berpangkat 2. Jadi, √9 2 = √9 , √25 2 = √25. Apabila bilangan pangkatnya berupa bilangan genap, maka radikan positif akan menghasilkan dua macam akar: satu positif dan satu lagi negatif. Hal ini selaras dengan kaidah perkalian dalam operasi tanda, bahwa baik bilangan positif maupun bilangan negatif jika berpangkat genap akan menghasilkan bilangan positif. Jadi, sesungguhnya √9 = ±3 (dibaca: +3 dan -3). √9 bukan hanya + 3 sebab (−3) 2 = 9 juga. Sama halnya, √25 = ±5 dan bukan hanya +5, √16 4 = ± 2 dan bukan hanya + 2. Apabila pangkat akarnya genap dan radikannya negatif,hasilnya adalah berupa bilangan khayal.sebagai contoh √−9 adalah bilangan khayal, sebab baik ±3 maupun -3 jika dipangkatkan 2 tidak ada yang menghasilkan -9. Apabila pangkat akarnya berupa bilangan ganjil, baik radikan positif maupun radikan negatif hanya akan menghasilkan satu macam akar; radikan positif menghasilkan akar positif,radikan negatif menghasilkan akar negatif. √64 3 = + 4, sebab hanya (+4)(+4)(+4) = 64 √−64 3 = - 4, sebab hanya (-4)(-4)(-4) = -64 Seperti halnya dalam pemangkatan, pengakaran bilangan pun mematuhi sejumlah kaidah. Kaidah-kaidah tersebut dirinci dibawah ini. KAIDAH PENGAKARAN BILANGAN 1. Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya. Berdasarkan √ = x jika = m (x adalah basis), Maka : sebab : ( 1 ) = = 1 = x dalam hal ini 1 ℎ contoh : √64 3 =64 1 3 = 4 √ = 1
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 31 ] 2. Akar dari sebuah bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi. Contoh : √3 2 5 = 3 2 3 = 1,55 3. Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar-akarnya. Contoh : √8,64 3 = √8 3 . √64 3 = 2,4 = 8 4. Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar sukusukunya. Contoh : √ 8 64 3 = √8 3 √64 3 = 2 4 = 0,5 5. Kaidah penjumlahan (pengurangan) bilangan terakar Bilangan- ilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila akar-akarnya sejenis. Yang dimaksud dengan akar-akar yang sejenis ialah akar-akar yang pangkat dan radikannya sama. Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah/selisih koefisien-koefisiennya terakar. Contoh : 5 √3 + 2 √3 = 7√3 = 7(1,73) = 12,11 6. Kaidah perkalian bilangan perkalian terakar Hasil kali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil kali bilanganbilangannya. Perkalian hanya dapat diberlakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama. Contoh : √8 3 . √64 3 = √8.64 3 = √512 3 = 8 √ = √ = √ . √ √ x y b = √x b √y b √ ± √ = ( ± )√ √ . √ = √
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 32 ] S-1 MANAJEMEN 7. Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat baru akarnya ialah hasil kali pangkat dari akar-akar sebelumnya. Contoh : √√15.625 3 = √15.625 2.3 = 5 8. Kaidah pembagian bilangan terakar Hasil bagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilanganbilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama. Contoh : √8 3 √68 3 = √ 8 64 3 = √ 1 8 3 = 0,5 ***** √√ = √ √ √ = √
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 33 ] C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Sederhanakanlah bentuk – bentuk berikut: a. 7 5 x 72 = … f. (−5 ( 3 2 2 4 ) 4 ) 2 = … b. 5((2x)5 (-3y)4 ) 4 = … g. ( 1 3 ) 5 ∶ ( 1 3 ) 2 x (( 2 6 ) 2 ) 2 = … c. (− 1 5 ) 3 x (− 1 5 ) 2 = … h. 625( 3 2 545 ) 3 = … d. ( 4 5 7 ) 12 = … i. (−7) 10:(−7) 5 (−7) 5 = … e. 3 2×(3 4 ) 3 = … j. ( 3 2 3 24 ) 6 ( 16 3 6 273 ) 2 = … 2. Tuliskan bilangan – bilangan berikut dalam bentuk pangkat bulat positif! a. (-2x)0 y 3 d. 3 −2 2−5 b. -2x-3 e. ( −4 2−3 2 ) 2 c. (-5a)-4 3. Sederhanakanlah bentuk – bentuk berikut dalam bentuk pangkat bulat positif! a. 5 (-3)2 (-3)-5 e. −2+ −1 −1+−2 b. ((0,6)-3 : (0,6)2 ) x (0,6)3 f. ( −2 ) 3 4 c. (−10) 3×10−3 (5−1) 2×5 2 g. 4 3 5 25 9 3 5 0,36 d. 2 −3+3 −2 2−2+3−3 4. Sederhanakanlah bentuk – bentuk berikut: i. (64 2 9) 3 4 ii. 4 3 3 2 2 4 3 3 2 y x x y iii. (3 3 ) 4×3 −4 1 5 iv. {(( 2 5 2 3) − 1 4 ) 10 : ( − 1 4 1 4)} −3 v. 27 1 2 . 9 − 1 2 . 1 3 9 2 3 . ( 1 3 ) 2
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 34 ] S-1 MANAJEMEN 5. Tentukanlah nilai x (x ∈ bilangan rasional) pada persamaan – persamaan berikut: a. 5 2−1 = 125 f. 253 = √5 b. ( 1 2 ) +1 = 4 g. √4 3 = 8 +1 c. 3 +2 = ( 1 3 ) +2 h. 2 = (0,25) +2 d. 3 +1 . 7 −1 = 9 i. √(0,2) 3 = 25+1 e. (625) 2 = 1 5 j. 5 = 252−5 f. 2 1 3 3 9 x x . k. 6 1 3 2 81 1 3 3 x 6. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan notasi logaritma a. 5 1 3 = √5 3 b. 3 4 = 81 c. 10-1 = 1 10 *****
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 35 ] D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 36 ] S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE- 5 POKOK BAHASAN PANGKAT, AKAR & LOGARITMA A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu untuk memahami pengertian perpangkatan, akar logaritma, dan mampu memahami kaidah-kaidah yang berlaku serta penerapannya di dalam ekonomi. Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat: 1.1. Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma. 1.2. Mengidentifikasikan pangkat, akar dan logaritma. 1.3. Menyebutkan kaidah-kaidah yang berlaku dalam perpangkatan, akar dan logaritma. 1.4. Menggunakan kaidah-kaidah pangkat, akar dan logaritma untuk menyelesaikan soal-soal 1.5. Menjelaskan fungsi eksponensial. B. URAIAN MATERI PANGKAT, AKAR & LOGARITMA LOGARITMA Logaritma pada hakikatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran.ia dapat dipakai untuk menyederhanakan operasi-operasi perkalian, pembagian, pencarian pangkat dan penarikan akar. Logaritma dari suatu bilangan adalah pangkat yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut. Andaikata sebuah bilangan berpangkat ( ) sama dengan bilangan positif tertentu (m) maka dalam bentuk pemangkatan kita dapat menuliskannya menjadi : =
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 37 ] Dimana : x adalah basis dan a adalah pangkat, Pangkat a tersebut juga logaritma dari m terhadap basis x, yang jika dituliskan dalam bentuk logaritma menjadi : a = x log m atau a = logx m Bilangan pokok (basis) logaritma,x dalam contoh diatas dapat dituliskan dipojok kiri atas dari tanda log (singkatan logaritma) atau dipojok kanan bawah dari tanda tersebut. Berdasarkan kesamaan bentuk pemangkatan dan logaritma sebagaimana di tunjukan diatas, kita dapat pula menarik analog untuk pernyataanpernyataan dibawah ini : 5 2 = 25; pangkat 2 adalah logaritma dari 25 terhadap basis 5 atau 5 25 = 2 4 3 = 64; pangkat 3 adalah logaritma dari 64 terhadap basis 4,atau log 64 = 3 4 102 = 100; pangkat 2 adalah logaritma dari 100 terhadap basis 10,atau log 100 10 Selain dengan bentuk pemangkatan,bentuk logaritma juga erat berhubungan dengan bentuk pengakaran, keeratan hubungan antara ketiga macam bentuk ini dapat dilihat sebagi berikut: Bentuk pangkat Bentuk akar Bentuk logaritma = √ = log = − Dalam pemangkatan, kita mengetahui basis, (x) serta pangkat (a), dan ingin mengetahui bilangan yang merupakan hasil pemangkatan basis tersebut (yaitu m ). Radikan (m) serta pangkat dari akarnya (a),dan ingin mengetahui hasil pengakaran radikan tadi (yaitu x). Sedangkan dalam logaritma, kita mengetahui basis logaritma (x) serta bilangan logaritma (m),dan ingin mengetahui hasil logaritmanya (yaitu a). Perhatikan kedudukan a, m dan x pada masing-masing bentuk di atas. Bilangan a yang merupakan hasil logaritma, tak lain adalah pangkat dari basis dalam bentuk pangkat dan pangkat dari akar dalam bentuk akar. Sedangkan m yang merupakan hasil pemangkatan, tak lain adalah radikan dalam bentuk akar dan bilangan logaritma dalam bentuk logaritma. Adapun x yang merupakan hasil
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 38 ] S-1 MANAJEMEN pengakaran, tak lain adalah basis baik dalam bentuk pangkat maupun dalam benuk logaritma. = = atau √ = Contoh : 1. 36 = 2 6 sebab 6 2 = 36 atau √36 = 6 2. log 625 = 4 5 sebab 5 4 = 625 atau √625 4 = 5 3. Jika log 49 = 2, 2 = 49, = √49 = 7 4. Jika log = 10, 3 berarti 3 10 = m, 5. Jika log 1.000 = 10 berarti 10 = 1.000 ; 10 = 103 ; = 3. BASIS LOGARITMA Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun. Akan teteapi pada umumnya basis logaritma selalu berupa bilangan positif dan tidak sama dengan satu. Basis logaritma yang paling lazim dipakai, karna pertimbangan praktis dalam penghitungan, adalah bilangan 10. Karena kelaziman tersebut maka basis 10 ini pada umumnya tidak dicantumkan dalam notasi logaritma. Dengan demikian log berarti log 10 . log 65 10 dapat dituliskan menjadi log 65 saja. (uraian-uraian selanjutnya didalam buku ini juga mengikuti kelaziman tersebut; untuk setiap notasi logaritma yang tidak mencantumkan basis tertentu, berarti merupakan logaritma berbasis 10). Logaritma berbasis 10 disebut juga logaritma biasa,(common logarithm) atau logaritma briggs (berdasarkan nama penemunya,henry briggs,1561-1630). Di samping bilangan 10,basis lain yang juga lazim yang dipakai dalam logaritma adalah bilangan e (e = 2,718287 atau sering diringkas menjadi 2,72 ). Logaritma berbasis e disebut juga logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma napier (john,napier, penemunya hidup antara tahun 1550-1617) jika notasi logaritma briggs dilambangkan dengan log, maka logaritma napier dilambangkan dengan ln. Dengan demikian ln m berarti log , juga log 65 dapat dituliskan menjadi ln 65 saja.
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 39 ] KAIDAH-KAIDAH LOGARITMA 1) = sebab = Contoh : 1) log 10 = 1 10 2) log 8 = 1 8 2) = sebab = Contoh: 1) log 1 = 0 10 2) log 1 = 0 8 3) = sebab = Contoh : 1) 10log 102 = 2 2) 8 log 83 = 3 4) = Contoh: 1) 2 10 100 = ⋯ ; 2 10 102 = 2.2 = 4 2) 8 5124 = ⋯ ; 8 8 log (83 ) 4 = 3 . 4 = 12 5) = Contoh : 1) 1010 100 = ⋯ 1010 100 = 100 2) 8 8 512 = ⋯ ; 8 8 512 = 512 … 6) = + Contoh: 1) 10 (100) (1000) = 10 100 + 10 1000 = 2 + 3 = 5 2) 3 (243)(27) = 3 (243) + 3 (27) = 5 + 3 =8 7) = − Contoh : 1) 10 100 1000 = 10 100 − 10 1000 = 2 − 3 = −1