Buku matek ekonomi Bisnis1

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ iii ] KATA PENGANTAR Matematika sebagai sebuah ilmu sering dibedakan menjadi matematika murni (pure mathematics) dan matematika terapan aplicated mathematics). Dalam ilmu ekonomi kita banyak menggunakan matematika sebagai ilmu terapan, sehingga matematika murni merupakan dasar bagi pelaksanaan matematika ekonomi terapan, karena tanpa memahami matematika murni maka akan sangatlah sulit untuk dapat memahami matematika terapan. Oleh karena itu, mahasiswa Program Studi S-1 Manajemen wajib menguasai matematika murni dasar yang akan digunakan dalam pengambilan keputusan dalam penyelesaian masalah-masalah ekonomi. Mata kuliah Matematika Ekonomi-1 mempelajari materi matematika yang berkaitan dengan Himpunan, Sistem Bilangan, Akar, Pangkat dan Logaritma, Barisan dan Deret, Fungsi, Hubungan Linier dan Hubungan Non Linier serta penerapannya dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan pengambilan keputusan dalam bidang ekonomi. Untuk dapat memahami secara baik semua materi yang dijelaskan dalam modul ini, lakukan hal-hal sebagai berikut. Pertama, baca dan pelajari secara cermat semua materi kegiatan perkuliahan yang ada. Kedua, kerjakan semua pertanyaan latihan dengan sungguh-sungguh. Ketiga, lakukan evaluasi dengan cara memeriksa hasil pekerjaan. Keempat, apabila mengalami kesulitan dalam memahami materi kegiatan belajar, diskusikan dengan teman-teman atau dosen pengampu Anda. Kelima, belajarlah dengan sungguh-sungguh, jangan mudah putus asa. Semoga isi dari modul perkuliahan Matematika Ekonomi-1 ini dapat membantu mahasiswa dalam menyelesaikan permasalahan dalam mempelajari ekonomi mikro maupun makro. Tangerang Selatan, 29 Agustus 2016 Tim Penyusun

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ iv ]

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ v ] DAFTAR ISI Identitas Mata Kuliah ............................................................ i Kata Pengantar....................................................................... iii Daftar Isi................................................................................ v PERTEMUAN 1: HIMPUNAN [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 1 B. Uraian Materi................................................................... 1 Pengertian Himpunan …………………………………. 1 Jenis-jenis Himpunan ………………………………….. 1 Penyajian Himpunan …………………………………… 2 Diagram Venn …………………………………………. 2 Hubungan Antar Himpunan …………………………… 3 Operasi Himpunan …………………………………….. 5 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 8 D. Daftar Pustaka.................................................................. 9 PERTEMUAN 2: HIMPUNAN [2] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 10 B. Uraian Materi................................................................... 10 Kaidah dalam Pengoperasian Himpunan ……………… 10 Terapan pada Ekonomi ………………………………... 11 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 14 D. Daftar Pustaka.................................................................. 16 PERTEMUAN 3: SISTEM BILANGAN A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 17 B. Uraian Materi................................................................... 17 Pembagian Bilangan …………………………………... 17 Sifat-sifat Bilangan Real ………………………………. 19 Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat …………….. 19 Menggunakan Sifat-sifat Pengerjaan Hitung ………….. 21 Operasi Tanda …………………………………………. 21 Operasi Pecahan ……………………………………….. 22 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 24 D. Daftar Pustaka.................................................................. 25 PERTEMUAN 4: PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 26 B. Uraian Materi................................................................... 26 Pangkat ………………………………………………… 26 Kaidah Pemangkatan Bilangan ………………………... 27 Akar ……………………………………………………. 29 Kaidah Pengakaran Bilangan ………………………….. 30 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 33 D. Daftar Pustaka.................................................................. 34

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ vi ] PERTEMUAN 5: PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA [2] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 36 B. Uraian Materi................................................................... 36 Logaritma ……………………………………………… 36 Basis Logaritma ……………………………………….. 38 Kaidah-kaidah Logaritma ……………………………... 39 Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma …………... 40 Penerapan Ekonomi …………………………………… 42 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 43 D. Daftar Pustaka.................................................................. 44 PERTEMUAN 6: BARISAN DAN DERET [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 45 B. Uraian Materi................................................................... 45 Pengertian ……………………………………………... 45 Deret Hitung (Aritmatika) …………………………….. 46 Suku Ke-n (Un) Deret Hitung …………………………. 46 Jumlah Sampai Suku Ke-n (Dn) Deret Hitung ………... 48 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 49 D. Daftar Pustaka.................................................................. 50 PERTEMUAN 7: BARISAN DAN DERET [2] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 51 B. Uraian Materi................................................................... 51 Deret Ukur (Geometri) ………………………………... 51 Suku Ke-n (Un) Deret Ukur …………………………. .. 51 Jumlah Sampai Suku Ke-n (Dn) Deret Ukur ………...... 52 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 54 D. Daftar Pustaka.................................................................. 55 PERTEMUAN 8: PENERAPAN BARISAN DAN DERET A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 56 B. Uraian Materi................................................................... 56 Penerapan Deret Hitung dalam Bidang Ekonomi ……... 56 Perkembangan Kegiatan Usaha ……………………….. 56 Penerapan Deret Ukur dalam Bidang Ekonomi ……... .. 56 Model Bunga Majemuk .................................................. 58 Model Bunga Sinambung ............................................... 59 Model Present Value ...................................................... 60 Metode Pertumbuhan Penduduk ..................................... 60 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 62 D. Daftar Pustaka.................................................................. 63

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ vii ] PERTEMUAN 9: FUNGSI A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 64 B. Uraian Materi................................................................... 64 Pengertian dan Unsur-unsur Fungsi ............................... 64 Jenis-jenis Fungsi ........................................................... 65 Menggambar Grafik Fungsi Linier.................................. 67 Menggambar Grafik Fungsi Non-Linier ......................... 70 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 73 D. Daftar Pustaka.................................................................. 73 PERTEMUAN 10: FUNGSI LINIER [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 74 B. Uraian Materi................................................................... 74 Kemiringan Suatu Garis (Gradien).................................. 74 Cara Pembentukan Fungsi Linier .................................... 76 Hubungan Dua Buah Fungsi Linier................................. 78 Penggambaran Grafik Fungsi Linier ............................... 79 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 81 D. Daftar Pustaka.................................................................. 81 PERTEMUAN 11: FUNGSI LINIER [2] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 82 B. Uraian Materi................................................................... 82 Penyelesaian Persamaan Linier Dua Variabel................. 82 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 85 D. Daftar Pustaka.................................................................. 85 PERTEMUAN 12: PENERAPAN FUNGSI LINIER [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 86 B. Uraian Materi................................................................... 86 Fungsi Penawaran, Permintaan & Keseimbangan Pasar 87 a. Fungsi Permintaan ..................................................... 87 b. Fungsi Penawaran ..................................................... 89 c. Keseimbangan Pasar ................................................. 91 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 93 D. Daftar Pustaka.................................................................. 94 PERTEMUAN 13: PENERAPAN FUNGSI LINIER [2] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 95 B. Uraian Materi................................................................... 95 Pengaruh Pajak Spesifik Terhadap Keseimbangan Pasar 95 Pengaruh Pajak Proporsional Terhadap Keseimbangan Pasar................................................................................. 98 Pengaruh Pajak Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar. 99 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 101 D. Daftar Pustaka.................................................................. 102

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ viii ] PERTEMUAN 14: PENERAPAN FUNGSI LINIER [3] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 103 B. Uraian Materi................................................................... 103 Analisa Break Event Point (BEP).................................... 103 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan ......................... 106 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 109 D. Daftar Pustaka.................................................................. 110 PERTEMUAN 15: PENERAPAN FUNGSI LINIER [4] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 111 B. Uraian Materi................................................................... 111 Pendapatan Nasional (Disposible)................................... 111 Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk....................... 114 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 116 D. Daftar Pustaka.................................................................. 116 PERTEMUAN 16: FUNGSI NON LINIER A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 117 B. Uraian Materi................................................................... 117 Fungsi Kuadrat ............................................................... 117 Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat............................... 120 Fungsi Kubik ................................................................... 122 Fungsi Rasional ............................................................... 122 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 124 D. Daftar Pustaka.................................................................. 125 PERTEMUAN 17: PENERAPAN FUNGSI NON LINIER [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 126 B. Uraian Materi................................................................... 126 Fungsi Permintaan ........................................................... 126 Fungsi Penawaran............................................................ 127 Keseimbangan Pasar........................................................ 128 Fungsi Biaya ................................................................... 130 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 133 D. Daftar Pustaka.................................................................. 133 PERTEMUAN 18: PENERAPAN FUNGSI NON LINIER [1] A. Tujuan Pembelajaran ....................................................... 134 B. Uraian Materi................................................................... 134 Fungsi Penerimaan ......................................................... 134 Fungsi Produksi .............................................................. 136 Laba/Rugi () ................................................................. 138 Kurva Transformasi......................................................... 139 C. Latihan Soal/Tugas.......................................................... 142 D. Daftar Pustaka.................................................................. 143 DAFTAR PUSTAKA............................................................ 144 RPS Matematika Ekonomi-1................................................. 145

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 87 ] FUNGSI PERMINTAAN, PENAWARAN DAN KESEIMBANGAN PASAR a. Fungsi Permintaan Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan variabel-variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu. Bentuk Umum fungsi permintaan : Qd = f(P) = a - bPd Dimana: Qd = Jumlah produk yang diminta. Pd = harga produk a, b = parameter Untuk mengetahui apakah suatu fungsi merupakan fungsi permintaan ataukah fungsi penawaran dapat dengan melihat hubungan antara P dan Q dengan kondisi fungsi tersebut harus berbentuk fungsi eksplisit. Fungsi permintaan menunjukkan bahwa P dan Q mempunyai hubungan negatif (tanda yang berlawanan). Ini mencerminkan hukum permintaan, bahwa apabila harga naik maka jumlah yang diminta akan berkurang dan sebaliknya, oleh karena itu kurva permintaan berslope negatif. Kurva permintaan diatas menggambarkan bahwa pada saat harga sebesar P1, jumlah barang yang diminta konsumen sebanyak Q1 unit. Tetapi pada saat harga naik menjadi P2 maka jumlah barang yang diminta konsumen turun menjadi Q2 unit. Selain bentuk umum yang ada diatas fungsi permintaan dapat juga didefinisikan sebagai: Fungsi permintaan pasar untuk sebuah produk adalah pernyataan hubungan antara jumlah yang diminta dan semua faktor yang memperbaharui. Contoh soal: Suatu produk yang harganya Rp 100,00 akan terjual sebanyak 10 unit, dan apabila harganya turun menjadi Rp 75,00 akan terjual 20 unit. Tentukan: a. Fungsi permintaannya. b. Grafik fungsinya.

[ 88 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Penyelesaian: Diketahui P1 = 100 , maka Q1 = 10 P2 = 75 , maka Q2 = 20 a. Fungsi permintaannya: (Q − Q1) (Q2 − Q1) = (P − P1) (P2 − P1) (Q − 10) (20 − 10) = (P − 100) (75 − 100) (Q − 10) 10 = (P − 100) −25 (Q – 10) = 10 (P−100) −25 Qd = −2 5 (P – 100) + 10 = − 2 5 + 50 b. Grafik fungsi Qd = 50 − 2 5 = 50 – 0,4P Q P 0 Qd = 50 - 0,4P 6 6 (10,100) (20,75) 1 0 20 2 5 2 5 7 5 100

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 89 ] b. Fungsi Penawaran Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan variabel-variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu. Variabel yang mempengaruhi jumlah produk yang ditawarkan antara lain: (1) harga produk ; (2) tingkatteknologi yang tersedia; (3) harga-harga dari faktor produksi yang digunakan; (4) harga produk lain yang berhungan dengan produksi; dan (5) harapan para produsen terhadap harga produk tersebutpada masa akan datang. Bentuk Umum fungsi penawaran : Qs = a + bP Dimana: Qs = Jumlah produk yang ditawarkan. Ps = harga produk a, b = parameter Dari persamaan tersebut terlihat bahwa P dan Q mempunyai hubungan positif. Ini mencerminkan hukum penawaran, bahwa apabila harga naik maka jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan sebaliknya, oleh karena itu kurva penawaran berslope negatif. Pada saat harga sebesar P1, kuantitas yang ditawarkan produsen sebanyak Q1 unit. Pada saat harga dipasar naik menjadi P2 maka produsen akan menambah kuantitas yang ditawarkan menjadi Q2 unit. Selain bentuk umum yang ada diatas fungsi permintaan dapat juga

[ 90 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN didefinisikan sebagai: Fungsi penawaran pasar untuk sebuah produk adalah pernyataan hubungan antara jumlah yang diminta dan semua faktor yang memperbaharui . Contoh: Jika harga produk Rp 500,00 maka jumlah barang yang akan terjual sebanyak 60 unit. Jika harganya meningkat Rp 700,00 maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 unit. Tentukan fungsi penawarannya dan gambarkan grafiknya dalam satu diagram! Penyelesaian: Diketahui P1 = 500 , maka Q1 = 60 P2 = 700, maka Q2 = 100 a) Fungsi permintaannya: (Q − Q1) (Q2 − Q1) = (P − P1) (P2 − P1) (Q − 60) (100 − 60) = (P − 500) (700 − 500) (Q − 60) 40 = (P − 500) 200 (Q – 60) = 40 (P−500) 200 Qd = 0,2 (P – 500) + 60 = 0,2P – 40 b) Grafik fungsi Qd = 0,2P – 40 :

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 91 ] c. Keseimbangan Pasar Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematika dan grafik, hal ini ditunjukkan dengan persamaan Qd = Qs. Yakni pada perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran. Pada posisi keseimbangan pasar tercipta harga keseimbangan (Equilibrium Price) dan jumlah keseimbangan (Equilibrium Quantity). Keterangan : Qd = jumlah permintaan Qs = jumlah penawaran Pe = harga keseimbangan Qe = jumlah keseimbangan E = titik keseimbangan Contoh soal: Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 12 -Q sedangkan persamaan penawarannya P = 3 + 0,5 Q. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ? Gambarkan grafiknya ! Penyelesaian : Fungsi Permintaan P = 12 – Q Qd = 12 – P Fungsi Penawaran P = 3 + 0,5Q Qs = -6 + 2P Keseimbangan pasar terjadi apabila Qd = Qs Sehingga : 12 – P = -6 + 2P -3P = -18 Pe = 6 Substitusikan nilai P = 6 ke dalam salah satu persamaan di atas. Misalkan Pe = 6 disubstitusikan ke persamaan Qe =12 – P Sehingga diperoleh: Qe = 12 – 6 = 6 Jadi keseimbangan Pasar terjadi pada Qe = 6 dan Pe = 6, titik keseimbangan pasarnya (Qe, Pe) = (6,6)

[ 92 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Penggambaran grafik : Untuk fungsi permintaan Qd =12 – P - Titik potong terhadap sumbu Q, maka nilai P = 0 Qd = 12 – 0 = 12 ; Titik potongnya (12,0) - Titik potong terhadap sumbu P, maka nilai Q = 0 0 = 12 – P P = 12 ; Titik potongnya (0 ,12) Untuk fungsi penawaran Qs = -6 + 2P - Titik potong terhadap sumbu Q, maka nilai P = 0 Qs = -6 + 2P = -6 ; Titik potongnya (-6,0) - Titik potong terhadap sumbu P, maka nilai Q = 0 0 = -6 + 2P 2P = 6 P = 3 ; Titik potongnya (0 ,3) Maka grafik keseimbangan pasarnya: -6 0 6 12 Q Analisa: Pada saat fungsi permintaan P = 12 – Q dan fungsi penawaran P = 3 + 0,5Q harga keseimbangan yang tercipta di pasar adalah Rp. 6,- dengan kuantitas keseimbangan sebesar 6 unit. Pada titik keseimbangan tersebut harga yang ditawarkan produsen sama dengan harga yang diinginkan konsumen dan pada keseimbangan pasar itu pulalah kuantitas yang ditawarkan produsen dan kuantitas yang diminta konsumen sama.

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 93 ] C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Apabila sepuluh buku dijual ketika harga mencapai Rp. 80 dan 20 buah buku terjual ketika harga mencapai 60. Bagaimanakah persamaaan permintaan dan grafiknya. 2. Permintaan barang Y pada suatu pasar sebanyak 170 unit pada saat harga sebesar Rp.10,-dan sebanyak 120 unit pada saat harga Rp. 20,-. Sedangkan penawarannya sebanyak 100 unit pada saat harga Rp 40,- dan 40 unit pada saat harga Rp 20,-. Tentukan : a. Fungsi permintaan ! b. Fungsi penawaran ! c. Keseimbangan harga dan kuantitas untuk pasar barang Y ! 3. Permintaan suatu barang oleh konsumen pada harga 50 jumlah barang yang diminta 90 dan pada harga 150 jumlah yang diminta 10, sedangkan penawaran produsen pada harga 50 jumlah barang yang ditawarkan 25 dan pada harga 150 jumlah yang ditawarkan 125. Tentukan : a. Persamaan fungsi permintaan ! b. Persamaan fungsi penawaran ! c. Keseimbangan pasar yang tercipta ! 4. Fungsi permintaan dan penawaran akan suatu jenis barang ditunjukkan oleh persamaan: Qd = 1500 - 10P dan Qs = 20P - 1200. Tentukan : a. Harga dan jumlah keseimbangan pasarnya ! b. Gambarkan keseimbangan tersebut dalam satu sumbu silang ! *****

[ 94 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003, Matematika Bisnis, Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 95 ] PERTEMUAN KE- 13 POKOK BAHASAN PENERAPAN FUNGSI LINIER [2] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah Anda mempelajari modul ini diharapkan dapat: 1.4. Menjelaskan pengaruh pajak spesifik terhadap keseimbangan pasar. 1.5. Menjelaskan pengaruh pajak proporsional terhadap keseimbangan pasar. 1.6. Menjelaskan pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar. B. URAIAN MATERI PENERAPAN FUNGSI LINIER DALAM EKONOMI PENGARUH PAJAK SPESIFIK TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR Pajak spesifik adalah pajak yang dikenakan per satu unit barang yang diproduksi atau dijual. Pengenaan pajak tersebut mempengaruhi harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan. Dengan adanya pengenaan pajak (t) atas setiap unit barang, maka posisi keseimbangan pasar akan berubah. Produsen akan menawarkan harga jualnya lebih tinggi dari harga keseimbangan keseimbangannya menjadi lebih sepergeseran pada kurva penawaran. Fungsi penawaran sebelum pajak : P = a + bQ Fungsi penawaran sesudah pajak : P = a + bQ+t Keseimbangan pasarnya adalah : Qd =Qs Pajak tanggungan konsumen : tk = Pet - Pe Pajak tanggungan produsen : tp = t - tk Pajak yang diterima oleh pemerintah : T = t . Qet

[ 96 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Contoh soal : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 12 – Q sedangkan persamaan penawarannya P = 3 + 0,5Q. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar 3 per unit. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah pajak ? Gambarkan grafiknya ! Penyelesaian : Fungsi Permintaan P = 12 – Q Qd = 12 – P Fungsi Penawaran P = 3 + 0,5Q Qs = -6 + 2P Keseimbangan pasar sebelum pajak (6, 6) Keseimbangan pasar sesudah pajak sebesar t = 3, maka harga penawaran akan naik sebesar t = 3. Sehingga fungsi penawarannya menjadi t = 3 P = 3 +0,5Q + 3 P = 6 + 0,5Q Qs = 2P - 12 Fungsi peermintaan tetap yaitu P = 12 - Q Qd = 12 - P Keseimbangan pasar terjadi pada saat Qd = Qs, maka: 12 – P = 2P -12 -P – 2P = -12 – 12 3P = 24 Pet = 24/3 = 8 Jumlah barang yang diminta sesudah dikenakan pajak (Qet): Qet =12 – P = 12 – 8 = 4 , Jadi keseimbangan pasar setelah pajak (4, 8) Pajak tanggungan konsumen (tk), yaitu harga barang setelah pajak dikurangi harga barang sebelum pajak. tk = Psesudah – Psebelum pajak = 8 – 6 = 2 Pajak tanggungan produsen (tp) yaitu jumlah pajak yang harus dibayar dikurangi jumlah pajak yang sudah ditanggung konsumen: tp = t – tk = 3 – 2 = 1 Pajak yang diterima pemerintah (T): T = t x Qet = 3 x 4 = 12

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 97 ] Penggambaran grafik Fungsi Qd= 12 - P Jika P =0 ; maka Q = 12 – P Q = 12 – 0 = 12 Titik potongnya (12,0) jika Q = 0 ; maka Q = 12 – P 0 = 12 – P P = 12 Titik potongnya (0, 12) Fungsi Qs= -6 + 2P Jika P =0 ; maka Q = -6 + 2P Q = -6 + 2 (0) = - 6 Titik potongnya (-6,0) jika Q = 0 ; maka Q = -6 + 2P 0 = -6 + 2P 2P = 6 P = 3 Titik potongnya (0,3) Fungsi Qs’= -12 + 2P Jika P =0 ; maka Q = -12 + 2P Q = -12 + 2 (0) = -12 Titik potongnya (-12,0) jika Q =0 ; maka Q = -12 + 2P 0 = -12 + 2P 2P = 12 P = 6 Titik potongnya (0,6)

[ 98 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN PENGARUH PAJAK PROPORSIONAL TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR Pajak proporsional adalah suatu pajak yang dikenakan terhadap suatu barang yang besarnya ditetapkan berdasarkan prosentase (%) tertentu dari harga jualnya. Jika pajak proporsional yang dikenakan sebesar t % dari harga jual (P), maka : Fungsi penawaran sebelum pajak : P = a + bQ Fungsi penawaran sesudah pajak : P = a + bQ+ t.P Pajak tanggungan konsumen : tk = Pet -Pe Pajak tanggungan produsen : tp = (t x Pet ) - tk Pajak yang diterima oleh pemerintah : T = (t x Pet ) x Qet Contoh soal : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 12 – Q sedangkan persamaan penawarannya P = 3 + 0,5Q. Kemudian pemerintah mengenakan pajak sebesar 25% dari harga jual. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah pajak ? Penyelesaian : Fungsi Permintaan P = 12 – Q ; maka Q =12 – P Fungsi Penawaran P = 3 + 0,5Q; maka Q = -6 + 2P Keseimbangan pasar sebelum pajak diperoleh (Qe , Pe) = (6, 6) Keseimbangan pasar sesudah pajak t = 25% = 0,25 Fungsi penawarannya P = 3 + 0,5Q + 0,25P P - 0,25P = 3 + 0,5Q 0,75 P = 3 + 0,5 Q P = 3 0,75 + 0,5 0,75 P = 4 + 2/3 Q Qs = -6 + 1,5 P Keseimbangan pasar sesudah pajak terjadi pada saat: Qd = Qs 12 – P = - 6 + 1,5 P -2,5 P = -18

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 99 ] Pet = −18 −2,5 = 7,2 Jumlah barang yang diminta sesudah pajak (Qet) Qet = 12 – Pet = 12 – 7,2 = 4,8 Jadi Keseimbangan pasar sesudah pajak (Qet , Pet) = (4,8 , 7,2) Pajak tanggungan konsumen (tk): tk = Pet – Pe = 7,2 – 6 = 1,2 Pajak tanggungan produsen (tp): tp = (25% x 7,2) – 1,2 = 0,6 Pajak yang diterima pemerintah (T): T = (25% x 7,2) x 4,8 = 8,6 PENGARUH SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR Subsidi adalah kebalikan atau lawan daripada pajak, sehingga seringkali disebut pajak negatif. Subsidi yang diberikan atas produksi atau penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut lebih rendah, sehingga titik keseimbangannya pun akan bergeser menjadi lebih rendah, sehingga: Fungsi penawaran sebelum subsidi : P = a + bQ Fungsi penawaran sesudah subsidi : P = a + bQ - s Keseimbangan pasarnya adalah : Qd =Qs Subsidi yang dinikmati konsumen : sk = Pe - P Subsidi yang dinikmati produsen : sp = s – sk Subsidi yang diberikan pemerintah adalah : S = Qes x s Contoh soal : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 12 -Q sedangkan persamaan penawarannya P = 3 + 0,5Q. Terhadap barang tersebut diberikan subsidi oleh pemerintah sebesar 1,5 per unit. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi ? Gambarkan grafiknya!

[ 100 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Penyelesaian : Fungsi Permintaan P =12 – Q ; maka Q =12 – P Fungsi Penawaran P =3 + 0,5Q ; maka Q = - 6 + 2P Keseimbangan pasar sebelum subsidi telah diperoleh (Qe , Pe) = (6, 6) Keseimbangan pasar sesudah subsidi (s) Fungsi penawaran sesudah subsidi: s = 1,5 P = 3 + 0,5Q – s P = 3 + 0,5Q - 1,5 P = 1,5 + 0,5Q ; maka Qs = -3 + 2P Fungsi permintaannya tetap, yaitu Qd = 12 – P Keseimbangan pasar Qd = Qs 12 – P = -3 + 2P -P - 2P = -3 – 12 -3 P = -15 Pes = 5 (Harga sesudah subsidi) Jumlah barang yang diminta sesudah subsidi (Qes): Qes = 12 - Pes = 12 – 5 = 7 Jadi keseimbangan pasar sesudah subsidi (Qes , Pes) = (7, 5) Subsidi yang dinikmati konsumen (sk): sk = Pe – Pes = 6 – 5 = 1 Subsidi yang dinikmati produsen (sp): sp = s – sk = 1,5 – 1 = 0,5 Subsidi yang diberikan pemerintah (S): S = s x Qes = 1,5 x 7 = 10,5

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 101 ] Penggambaran grafik Qd=12-P jika P=0 ; Q=12 & jika Q=0 ; P=12 Qs=-6+2P jika P=0 ; Q =-6 & jika Q=0 ; P=3 Qs’=-3+2P jika P=0 ; Q = -3 & jika Q=0 ; P=1,5 ***** C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Fungsi permintaan dan penawaran akan suatu jenis barang ditunjukkan oleh persamaan: Qd = 1500 - 10P dan Qs = 20P - 1200. Setiap barang yang terjual dikenakan pajak sebesar Rp 15,00 per unit. Tentukan : a. Harga dan jumlah keseimbangan sebelum pajak ! b. Harga dan jumlah keseimbangan setelah pajak ! c. Gambarkan kedua keseimbangan tersebut dalam satu sumbu silang ! d. Beban pajak yang ditanggung produsen ! e. Penerimaan pemerintah dari pajak atas penjualan barang tersebut ! f. Jika pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp 10,00, Tentukanlah harga dan jumlah keseimbangan sesudah subsidi. *****

[ 102 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003, Matematika Bisnis, Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 103 ] PERTEMUAN KE- 14 POKOK BAHASAN PENERAPAN FUNGSI LINIER [3] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah Anda mempelajari modul ini diharapkan dapat: 1.7. Menjelaskan analisa Pulang Pokok (Break Even Point) 1.8. Menjelaskan fungsi konsumsi dan fungsi tabungan. B. URAIAN MATERI PENERAPAN FUNGSI LINIER DALAM EKONOMI ANALISA BREAK EVENT POINT (BEP) Analisa Break Event adalah suatu teknik analisa untuk mempelajari hubungan antara Biaya Tetap, Biaya Variabel, Keuntungan dan Volume aktivitas. Masalah Break Event baru akan muncul dalam perusahaan apabila perusahaan tersebut mempunyai Biaya Variabel dan Biaya Tetap. Suatu perusahaan dengan volume produksi tertentu dapat menderita kerugian dikarenakan penghasilan penjualannya hanya mampu menutup biaya variabel dan hanya bisa menutup sebagian kecil biaya tetap. Break Event Point menyatakan volume penjualan dimana total penghasilan (TR)tepat sama besarnya dengan total biaya (TC), sehingga perusahaan tidak memperoleh keuntungan dan juga tidak menderita kerugian. Untuk memperoleh biaya total (TC) adalah dengan menjumlahkan antara biaya tetap total (FC) dengan biaya variabel total (VQ). Jadi persamaan biaya totalnya: TC = FC + VQ Dimana: TC = Biaya total FC = Biaya tetap total

[ 104 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN VQ = Biaya variabel total V = Biaya variabel per unit Q = Jumlah produk yang dihasilkan. Selanjutnya, penerimaan total adalah perkalian antara harga produk (P) per unit dengan jumlah produk yang dijual (Q). Sehingga bentuk persamaan totalnya: TR = P . Q Dimana: TR = Penerimaan total. P = Harga produk per unit. Q = Jumlah produk yang dijual. Apabila penerimaan total dari hasil penjualan produk sama dengan biay total yang dikeluarkan maka perusahaan tidak mendapatkan laba ataupun rugi. Hal ini disebut pulang pokok atau impas (break even) yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Pertemuan antara kurva penerimaan total (TR) dengan kurva biaya total (TC), seperti ditunjukkan dalam grafik berikut ini: 0 Q TC = FC + VC Qe 6 Q T R , T C 6 BEP Rp TC = FC + VC TR = P.Q Rugi Laba

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 105 ] a. Rumus Break Even Point (BEP) dalam unit. TR = TC P.Q = FC + V.Q PQ – VQ = FC Q(P – V) = FC Q = FC (P−V) atau QE = FC (P−V) Dimana: QE = Jumlah produk yang harus dijual agar tercapai pulang pokok. FC= Biaya variabel tetap P = harga jual per unit. V = biaya variabel per unit. b. Rumus Break Even Point (BEP) dalam dalam rupiah. TR = TC TR = FC + V.Q TR – VQ = FC TR - VQ TR (TR) = FC TR (1 − VQ TR) = FC TR (1 − VQ PQ) = FC TR (1 − V P ) = FC TR = FC (1− V P ) Dimana: TR = Penerimaan total agar tercapai break even point (BEP). FC= Biaya variabel tetap P = harga jual per unit. V = biaya variabel per unit.

[ 106 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Contoh: Suatu perusahaan menghasilkan produknya dengan biaya variabel per unit Rp 4.000,00 dan harga jualnya per unit Rp 12.000,00. Jika biaya tetap dari operasinya Rp 4.000.000,00. Tentukan jumlah unit produk yang harus perusahaan jual agar mencapai pulang pokok! Penyelesaian: Diketahui: V = Rp 4.000,00 P = Rp 12.000,00 FC = Rp 4.000.000,00 Q = FC (P−V) = 4.000.000 (12.000 −4.000) = 4.000.000 8.000 = 500 unit FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN Pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan atau pendapatan nasional dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yaitu digunakan untuk konsumsi dan sisanya untuk ditabung. Y= C+ S Dimana : Y = Pendapatan Nasional, C = Konsumsi, S = Saving (Tabungan) a. Fungsi Konsumsi Merupakan sebuah fungsi yang menjelaskan hubungan antara konsumsi dan pendapatan nasional yang secara umum dirumuskan sebagai berikut : C = f(Y) = Co + cY Dimana : Co = Konsumsi Otonom c = MPC (Marginal Propensity to Consume) = ∆ ∆

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 107 ] Konstanta Co menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat pendapatan nasional sebesar nol (0). Koefisien c (MPC) mencerminkan besarnya tambahan konsumsi sebagai akibat adanya tambahan pendapatan nasional sejumlah tertentu. ΔC menunjukkan besarnya perubahan konsumsi dan ΔY menunjukkan besarnya perubahan dalam pendapatan nasional yang mengakibatkan besarnya konsumsi termaksud. Perhatikan : 1 > MPC > ½ Keterangan : MPC < 1 menunjukkan bahwa tambahan pendapatan yang diterima seseorang tidak seluruhnya dipergunakan untuk konsumsi, melainkan sebagai saving (tabungan). Contoh: MPC = 0,7< 1 MPC > ½ menunjukkan bahwa penggunaan tambahan pendapatan, sebagaian besar digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu yang jumlahnya lebih kecil merupakan tambahan saving (tabungan). Contoh: MPC = 0,7 > 0,5 dan MPS = 0,3, karena MPC+ MPS = 1 atau c + s = 1 Contoh Soal: Konsumsi yang dilakukan oleh masyarakat pada saat pendapatan sebesar nol (Co) adalah sebesar 900 dengan Marginal Propensity to Concume sebesar 0,7. Bentuklah sebuah fungsi konsumsi berdasarkan data-data tersebut ! Jawab: Diketahui : Co = Konsumsi Otonom = 900 c = MPC (Marginal Propensity to Consume) = 0,7 Jadi fungsi konsumsinya: C = Co + c Y C = 900 + 0,7Y

[ 108 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN b. Fungsi Tabungan Merupakan sebuah fungsi yang menjelaskan hubungan antara tabungan dengan pendapatan nasional. Saving merupakan bagian dari pendapatan nasional yang tidak dikonsumsi. Maka berdasarkan pengertian tersebut dapat dirumuskan: S = g(Y) = So + sY Hubungan antara Fungsi Tabungan dengan Fungsi Konsumsi adalah sebagai berikut: : Y = C + S S = Y- C S = Y– (Co + cY) S = Y– Co – cY S = -Co + (1–c)Y Dimana : So = Saving (tabungan) Otonom s = MPS (Marginal Propensity to Saving) = ∆ ∆ Konstanta So menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0). Koefisien s (MPC) mencerminkan besarnya tambahan tabungan sebagai akibat adanya tambahan Pendapatan Nasional sejumlah tertentu. ΔS menunjukkan besarnya perubahan tabungan dan ΔY menunjukkan besarnya perubahan dalam Pendapatan Nasional yang mengakibatkan besarnya tabungan termaksud. Contoh Soal: Konsumsi yang dilakukan oleh masyarakat pada saat pendapatan sebesar nol (Co) adalah sebesar 900 dengan Marginal Propensity to Concume sebesar 0,7. Bentuklah sebuah fungsi savingnya berdasarkan data-data tersebut ! Jawab : Co = Konsumsi Otonom = 900 c = MPC (Marginal Propensity to Consume) = 0,7

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 109 ] Jadi fungsi savingnya: Y= C + S S = Y– C = Y – (900 + 0,7Y) = Y – 900 –0,7Y = –900(1– 0,7Y) S = –900 + 0,3Y ***** C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Amir merencanakan mendirikan tempat penitipan sepeda motor di dekat terminal. Harga sewa tanah dan bangunan per bulan sebesar Rp 400.000,00. Tanah dan bangunan itu diperkirakan dapat menampung sepeda motor sebanyak 200 unit Untuk menjaga sepeda motor, Amir mempekerjakan 4 orang karyawan secara bergantian yang digaji sebesar Rp 200.000,00 sebulan. Selain gaji tetap karyawankaryawan tersebut memperoleh insentip yang besarnya Rp 100,-per orang untuk setiap sepeda motor yang masuk ke tempat penitipan tersebut. Tarif yang dikenakan kepada setiap pelanggan sebesar Rp 1.000,00 per hari. Tentukan : a. Besarnya Biaya Tetap (FC), Biaya Variable per unit, persamaan Biaya Totalnya (TC) per bulan dan persamaan Penerimaan Totalnya (TR) !

[ 110 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN b. Titik Impas penitipan sepeda motor tersebut, baik dalam rupiah maupun dalam unit !. c. Berapa laba yang diterima Amir jika sepeda motor yang masuk penitipan sebanyak 4.500 unit dalam satu bulan ! 2. Seorang produsen menjual produknya seharga Rp 5.000,00 per satuan. Biaya Tetap per bulan Rp 3.000.000,00 dan biaya variabel sebesar 40% dari harga jual. Tentukan : a. Titik impas baik dalam unit maupun dalam rupiah. b. Gambarkan diagram impasnya. c. Jika terjual 1.500 satuan, maka hitunglah labanya. d. Jika produsen tersebut menginginkan laba sebesar Rp 3.000.000,00 tentukan berapa banyak produknya harus terjual. e. Jika harga dinaikan menjadi Rp 7.500,00 tentukan titik yang baru (biaya variabel tidak ikut naik). D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003, Matematika Bisnis, Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 111 ] PERTEMUAN KE- 15 POKOK BAHASAN PENERAPAN FUNGSI LINIER [3] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah Anda mempelajari modul ini diharapkan dapat: 1.9. Menjelaskan fungsi pendapatan nasional. 1.10. Menjelaskan keseimbangan pasar dua macam produk. B. URAIAN MATERI PENERAPAN FUNGSI LINIER DALAM EKONOMI PENDAPATAN NASIONAL (DISPOSIBLE) Pendapatan Nasional pada dasarnya merupakan penjumlahan total dari pendapatan semua sektor di dalam suatu negara yang meliputi sektor rumah tangga, sektor badan usaha dan sektor pemerintah. Pendapatan Disposibel adalah Pendapatan Nasional yang secara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat. Namun di dalamnya tidak termasuk pendapatan pemerintah seperti pajak, cukai dan sebagainya. Apabila Yd menunjukkan besarnya Pendapatan Disposibel, Tx menunjukkan besarnya pajak yang dipungut oleh pemerintah dan Tr menunjukkan besarnya transfer payment pemerintah, maka secara matematis dapat ditulis sebagai berikut : Yd = Y–Tx + Tr Dimana: Tx adalah pajak (merupakan variabel yang memperkecil Pendapatan Disposibel). Tr adalah variabel yang memperbesar Pendapatan Disposibel, sebab Tr merupakan pembayaran alihan (transfer payment) yang merupakan pembayaran-pembayaran khusus dari pemerintah kepada masyarakat yang sifatnya sebagai pembayaran ekstra atau tunjangan. Misalnya berupa tunjangan

[ 112 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN pensiun, tunjangan hari raya dan bonus. Itu hanya merupakan pengalihan uang dari pemerintah kepada masyarakat, bukan merupakan imbalan langsung atas jasa masyarakat pada pemerintah dalam tahun yang berjalan. Perhatikan : Sesungguhnya, bukan Pendapatan Nasional (Y) yang merupakan variabel bebas dalam persamaan Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan namun Pendapatan Disposibel (Yd). C = f(Y) = Co + cY S = g(Y) = So + sY Y= C + S Dengan demikian, persamaan Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan yang sebenarnya adalah : C = f(Yd) = Co + cYd S = g(Yd) = So + sYd Yd = C + S b. Fungsi Pajak Pajak yang dikenakan pemerintah pada warga negaranya ada 2 macam. Pertama ialah pajak yang jumlahnya tertentu dan tidak dikaitkan dengan pendapatan (T = To). Kedua adalah pajak yang penetapannya dikaitkan dengan tingkat pendapatan yang besarnya merupakan prosentase nilai tertentu dari pendapatan (T = tY). Secara keseluruhan besarnya pajak yang diterima oleh pemerintah adalah : T = To + tY Dimana: To = Pajak otonom T = Proporsi pajak terhadap pendapatan T Y

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 113 ] c. Fungsi Investasi Permintaan akan investasi merupakan fungsi dari tingkat bunga. Permintaan ini berbanding terbalik dengan tingkat bunga. Artinya meningkatkan tingkat bunga akan mengakibatkan berkurangnya investasi. Jika investasi dilambangkan dengan (I) dan tingkat bunga dilambangkan dengan (i), maka fungsi permintaan akan invesatasi dapat dituliskan sebagai berikut : I = f(i) = Io – p i Dimana : Io = Investasi Otomon, i = Tingkat bunga, p = Proporsi i terhadap Io d. Fungsi Import Import (M) suatu negara merupakan Fungsi Pendapatan Nasional dan cenderung berkorelasi positif. Semakin besar Pendapatan Nasional suatu negara, maka semakin besar pula nilai importnya. Hubungan import dengan Pendapatan Nasional dapat dirumuskan sebagai berikut : M = Mo + mY Dimana : Mo = Import Otonom, m = MPI (Marginal Propensity to Import) = ∆ ∆ e. Fungsi Pendapatan Nasional Pendapatan Nasional adalah jumlah nilai seluruh keluaran (barang dan jasa) yang dihasilkan oleh suatu negara dalam jangka waktu tertentu. Perhitungan Pendapatan Nasional dapat dilakukan dengan 3 macam pendekatan, yaitu pendekatan produksi, pendekatan pendapatan dan pendekatan pengeluaran. Ditinjau dari segi pendekatan pengeluaran, Pendapatan Nasional adalah jumlah pengeluaran rumah tangga, sektor badan usaha, sektor pemerintah dan sektor luar negeri. a. Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi masyarakat (C). b. Pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh investasi (I).

[ 114 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN c. Pengeluaran sektor pemerintah dicerminkan oleh (G). d. Pengeluaran perdagangan dengan luar negeri dicerminkan dari selisih antara ekspor dan impor negara yang bersangkutan ( X – M ). Dengan demikian, persamaan matematis Pendapatan Nasional menurut pendekatan pengeluaran (model perekonomian terbuka) adalah : Y = C + I + G + ( X – M) KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK Formulasi untuk fungsi permintaan dapat ditulis sebagai berikut Qdx = a0 - a1 Px + a2 Py Qdy = b0 + b1 Px + b2 Py Formulasi untuk fungsi peanawaran dapat ditulis sebagai berikut Qsx = - m0 + m1 Px + m2 Py Qsy = - n0 + n1 Px + n2 Py Dimana : Qdx = Jumlah yang diminta dari produk X Qdy = Jumlah yang diminta dari produk Y Qsx = Jumlah yang ditawarkan dari produk X Qsy = Jumlah yang ditawarkan dari produk Y P x = Harga Produk X P y = Harga Produk Y Variable a, b, m dan n adalah konstanta Contoh soal : Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut : Qdx = 5 - 2 Px + Py Qdy = 6 + Px - Py Qsx = - 5 + 4Px - Py Qsy = - 4 - Px + 3 Py

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 115 ] Carilah : Harga dan kuantitas dari keseimbangan pasar. Jawab : Syarat keseimbangan pasar Qdx = Qsx atau Qdy = Qsy Qdx = 5 – 2 Px + Py Qsx = - 5 + 4 Px – Py - 0 = 10 - 6 Px + 2 Py …… (1) Qdy = 6 + Px - Py Qsy = -4 - Px + 3 Py - 0 = 10 + 2 Px – 4 Py ……..(2) Eliminasi Py persamaan (1) dan (2): 0 = 10 - 6 Px + 2 Py x 2 0 = 20 - 12 Px + 4 Py 0 = 10 + 2 Px - 4 Py x 1 0 = 10 + 2 Px - 4 Py + 0 = 30 - 10 Px + 0 10 Px = 30 Px = 30 10 = 3 Maka substitusi Px = 3 ke persamaan (1) 0 = 10 - 6 Px + 2 Py -2 Py = 10 - 6 Px -2 Py = 10 - 6 (3) Py = 10−18 −2 = 4 Maka Qx dan Qy dapat dicari dengan memasukan persamaan sbb : Qx = 5 - 2 Px + Py Qx = 5 - 2 (3) + 4 jadi Qx = 3 Qy = 6 + Px - Py jadi Qy = 6 + 3 - 4 = 5 *****

[ 116 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut : Qdx = 17 - 2 Px - Py Qdy = 14 - Px - 2Py Qsx = - 10 + 4Px + Py Qsy = - 7 + Px + 2Py Carilah : Harga dan kuantitas dari keseimbangan pasar. D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003, Matematika Bisnis, Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 117 ] PERTEMUAN KE- 16 POKOK BAHASAN FUNGSI NON LINIER A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai, diharapkan Anda dapat: 1.1. Menyelesaikan persamaan kuadrat. 1.2. Menentukan titik ekstrim fungsi kuadrat. 1.3. Menggambar grafik fungsi kuadrat. 1.4. Menggambar grafik fungsi kubik. 1.5. Menggambar grafik fungsi rasional. B. URAIAN MATERI FUNGSI NON LINIER Fungsi non linear adalah fungsi yang berderajat lebih dari satu. Bentuk kurva dalam fungsi non linear bukan garis melainkan garis lengkung. Fungsi non linier adalah fungsi yang grafiknya tidak berupa garis. Bentuk-bentuk fungsi non linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi adalah : 1. Fungsi Kuadrat/parabolik 2. Fungsi Kubik 3. Fungsi eksponensial 4. Fungsi Logaritmik FUNGSI KUADRAT Fungsi Kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua dan grafiknya akan berbentuk parabola. Bentuk umum fungsi kuadrat: y = ax2 + bx + c

[ 118 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Dimana : a,b : merupakan koefisien, dan a ≠ 0 c : merupakan konstanta x : merupakan variabel bebas y : merupakan variabel tidak bebas. Grafik bentuk persamaan kuadrat fungsinya tergantung dari besar kecilnya nilai-nilai bilangan-bilangan a,b,c dan apakah bilangan tersebut positif, negatif ataukah nol. Yang perlu diperhatikan adalah bahwa bentuk garis persamaan fungsi kuadrat maupun fungsi non linier bukanlah garis lurus seperti fungsi linier, akan tetapi berbentuk garis melengkung dan bentuknya tergantung kepada bagaimana nilai-nilai a,b, serta c. Lengkungan grafik tersebut bisa berbentuk salah satu dari empat kemungkinan bentuk potongan kerucut : lingkaran, elips, parabola atau hiperbola. Bentuk umum fungsi non linier yang sering diterapkan dalam ekonomi adalah parabola baik yang terbuka ke atas (menunjukkan titik minimum) maupun yang terbuka ke bawah (menunjukkan titik maksimum). Parabola mempunyai titik puncak (vertex) yaitu titik dimana fungsi tersebut berubah arah. Koordinat titik puncak suatu parabola dirumuskan sebagai berikut: (Xe, Ye) = ( −b 2 a , b 2−4 a c −4 a ) Untuk menyelesaikan permasalahan mencari nilai-nilai X pada suatu fungsi, bisa dilakukan dengan memberikan notasi 0 (nol) untuk Y, sehingga apabila Y = 0, diperoleh persamaan baru:

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 119 ] x1,2 = − ±√2−4 2 Nilai b 2 - 4ac sering disebut dengan diskriminan (D). Nilai diskriminan ini yang akan menentukan apakah parabola tersebut menyinggung, memotong atau tidak terhadap sumbu X. Pada fungsi tersebut di atas, maka parabola disebut parabola vertikal dengan bentuk kurva menghadap ke atas atau ke bawah. Dalam kasus-kasus ekonomi, bentuk kurva parabola yang demikian ini banyak ditemukan pada fungsi pendapatan dan biaya. Apabila merupakan fungsi biaya biasanya mempunyai nilai minimum dengan bentuk kurva parabola menghadap ke atas, sementara apabila merupakan grafik dari fungsi pendapatan maka parabola akan mempunyai nilai maksimum dengan bentuk menghadap ke bawah. Terdapat macam-macam bentuk parabola vertikal yang umum yaitu : 1. Jika a > 0 dan D > 0 maka parabola akan mempunyai nilai minimum dan grafiknya terbuka ke atas serta memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. 2. Jika a > 0 dan D = 0, maka parabola akan mempunyai nilai minimum dan terbuka ke atas serta menyinggung X pada satu titik. 3. Jika a > 0 dan D < 0 maka parabola akan mempunyai nilai minimum dan terbuka ke atas namun tidak menyinggung sumbu X sama sekali 4. Jika a < 0 dan D > 0, maka parabola akan mempunyai nilai maksimum dan terbuka ke bawah serta memotong sumbu X di dua titik yang berlainan.

[ 120 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN 5. Jika a < 0 dan D = 0, maka parabola akan mempunyai nilai maksimum dan terbuka ke bawah serta menyinggung X di satu titik. 6. Jika a < 0 dan D < 0, maka parabola akan mempunyai nilai maksimisasi dan tidak menyinggung sumbu X. Apabila fungsi kuadratnya adalah X = f(Y), maka: Bentuk persamaan kuadratnya: X = aY 2 + b Y + c Maka parabola tersebut merupakan parabola horisontal yang mempunyai bentuk kurva menghadap ke kanan atau ke kiri. Apabila dikaitkan dengan diskriminan, ketentuan dalam macam-macam bentuk parabola seperti pada parabola yang berbentuk vertikal. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT Untuk melukis grafik fungsi kuadrat kita harus memperhatikan langkah-langkah berikut ini ; 1. Tentukan titik potong dengan sumbu x dimana y = 0 2. Tentukan titik potong dengan sumbu y dimana x = 0 3. Tentukan sumbu simetri, x = −b 2 a 4. Tenntukan koordinat titik puncak (Xe, Ye) Dimana Xe = −b 2 a Ye = −4 a = b 2−4 a c −4 a 5. Untuk melengkapi grafik ambil beberapa nilai x dan y secukupnya.

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 121 ] Contoh: Dari fungsi kuadrat/parabola y = -x 2 + 2x + 3, tentukan: a. Koordinat titik potongnya. b. Koordinat titik ekstrimnya. c. Koordinat titik potongnya. d. Grafik fungsi kuadratnya. e. Tentukan jenisnya (maksimum atau minimum) Penyelesaian: y = -x 2 + 2x + 3 maka a = -1 ; b = 2 ; c = 3 a. Koordinat titik potong: Titik Perpotongan dengan sumbu y , maka nilai x = 0 y = -x 2 + 2x + 3 = -(0)2 + 2(0) + 3 = 3 titik potongnya (0,3) Titik Perpotongan dengan sumbu x , maka nilai y = 0 y = -x 2 + 2x + 3 0 = x2 + 2x + 3 0 = (x + 1) (x – 3) Nilai x + 1 = 0 atau x – 3 = 0 x1 = -1 x2 = 3 Jadi titik potongnya (-1 , 0) dan (3 , 0) b. Koordinat titik ekstrim Xe = −b 2 a = −2 2 (−1) = 1 Ye = b 2−4 a c −4 a = (2) 2−4 (−1) (3) −4 (−1) = 4 +12 4 = 4 Jadi koordinat titik ekstrimnya (1,4) c. Grafik fungsi kuadrat dari y = -x 2 + 2x + 3 d. Karena kurvanya membuka ke bawah, maka jenis titik ekstrimnya yaitu titik ekstrim maksimum. (0,3) (1,4) 4 0 1 (-1,0) (3,0)

[ 122 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN FUNGSI KUBIK Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga, ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga. Bentuk umum fungsi kubik: Y = a + bX + cX2 + dX3 Setiap fungsi kubik setidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflexion point) yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau dari cembung menjadi cekung. Selain memiliki titik belok, fungsi kubik dimungkinkan memiliki titik ekstrim (maksimum dan/atau minimum). Ada tidaknya titik ekstrim pada fungsi kubik tergantung kepada nilai a, b, c, dan d dari persamaannya. Bentuk kurva fungsi kubik ditunjukkan gambar berikut ini: FUNGSI RASIONAL Fungsi rasional yang istimewa dan sering diterapkan dalam ilmu ekonomi adalah berbentuk: Y = atau XY = a Dimana: a >0 Kurva dari fungsi di atas adalah hiperbola segiempat dan mempunyai satu sumbu asimtot tegak yang berimpit dengan sumbu Y, dan satu sumbu asimtot datar yang berimpit dengan sumbu X. Jika nilai Y diperbesar, kurva hiperbola akan mendekati sumbu Y dan bila nilai X diperbesar kurva hiperbola akan mendekati sumbu X.

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 123 ] Gambar kurva fungsi rasional Y = . Jika sumbu asimtot tegak tidak berimpit dengan sumbu Y dan sumbu asimtot datar berimpit dengan sumbu X, maka bentuk umum dari fungsi rasionalnya adalah: (X – h) (Y – k) = C Dimana: h = sumbu asimtot tegak. k = sumbu asimtot datar (h,k) = pusat hiperbola C = konstanta positif Contoh 1: 1. Jika diketahui fungsi rasional Y = 9 , gambarkanlah kurva hiperbolanya! Penyelesaian: Jika X = 1 , maka Y = 9 ; sehingga titik koordinatnya (1,9) Jika X = 3 , maka Y = 3 ; sehingga titik koordinatnya (3,3) Jika X = 9 , maka Y = 1 ; sehingga titik koordinatnya (9,1)

[ 124 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Contoh 2: 2. Jika diketahui fungsi rasional (X + 3) (Y + 4) = 30 , gambarkanlah kurva hiperbolanya! Penyelesaian: Sumbu asimtot tegak X = h = - 3 Sumbu asimtot tegak Y = k = - 4 Jadi titik pusat parabola (-3 , -4) Jika X = 0 , maka Y = 6 ; sehingga titik koordinatnya (0,6) Jika Y = 0 , maka X = 4,5 ; sehingga titik koordinatnya (4,5 , 0) Jika X = 2 , maka Y = 2 ; sehingga titik koordinatnya (2,2) C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Dari fungsi kuadrat/parabola Y = 4X 2 - 8 X + 2, tentukan: a. Koordinat titik potongnya. b. Koordinat titik ekstrimnya. c. Koordinat titik potongnya. d. Grafik fungsi kuadratnya. e. Tentukan jenisnya (maksimum atau minimum) 2. Gambarkanlah kurva hiperbolanya dari fungsi fungsi rasional a. Y = 8 b. (X + 2) (Y + 5) = 30

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 125 ] D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.

[ 126 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE- 17 POKOK BAHASAN PENERAPAN FUNGSI NON LINIER [1] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai, Anda diharapkan dapat menggunakan fungsi non linier dalam: 1.12. Menentukan grafik fungsi permintaan suatu barang. 1.13. Menentukan grafik fungsi penawaran suatu barang. 1.14. Mencari keseimbangan pasar dari fungsi permintaan dan penawaran persamaan non linier suatu barang. 1.15. Menentukan dan menghitung fungsi biaya dari biaya totalnya. B. URAIAN MATERI PENERAPAN FUNGSI NON LINIER DALAM EKONOMI FUNGSI PERMINTAAN Contoh: Jika fungsi permintaan adalah Qd = 64 – 8P -2P2 , Gambarkan fungsi permintaan tersebut dalam satu diagram! Penyelesaian: Titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 Qd = 64 – 8P – 2P2 2P2 + 8P – 64 = 0 P 2 + 4P – 32 = 0 (P + 8) (P – 4) = 0 Maka: P + 8 = 0 P = - 8 (tidak memenuhi, karena negatif) P – 4 = 0 P = 4 (memenuhi) Jadi titik potongnya (0 , -8) dan (0,4)

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 127 ] Titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 Qd = 64 – 8P – 2P2 = 64 – 0 – 0 = 64 Titik potongnya (64,0) Koordinat titik puncak (Qe, Pe)= { − 2 , −( 2−4) −4 } = { −(8) 2(2) , −(8 2−4(2)(−64)) −4 (2) } = { −8 4 , −576 −8 } = {−2, −72} FUNGSI PENAWARAN Contoh: Jika fungsi penawaran ditunjukkan oleh P = 2Q2 + 4Q +6, Gambarkanlah fungsi penawaran tersebut! Penyelesaian: Titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 P = 2Q2 + 4Q + 6 = 2 (0) + 4 (0) + 6 = 6 Titik potongnya (0,6)

[ 128 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Jika Q = -2 maka P = 2Q2 + 4Q + 6 = 2 (-2)2 + 4 (-2) + 6 = 6 Koordinat titiknya (-2,6) Jika Q = -1 maka P = 2Q2 + 4Q + 6 = 2 (-1)2 + 4 (-1) + 6 = 4 Koordinat titiknya (-1,4) Jika Q = 1 maka P = 2Q2 + 4Q + 6 = 2 (1)2 + 4 (1) + 6 = 12 Koordinat titiknya (1,12) Jika Q = 2 maka P = 2Q2 + 4Q + 6 = 2 (2)2 + 4 (2) + 6 = 22 Koordinat titiknya (2,22) Grafik fungsi penawarannya sebagai berikut: KESEIMBANGAN PASAR Contoh: Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Pd= 24 – 3Q 2 sedangkan penawarannya Ps = Q 2 + 2Q + 4.Tentukanlah harga dan kuantitas keseimbangan yang terjadi di pasar!

Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 129 ] Penyelesaian: Fungsi permintaan: Pd= 24 – 3Q2 Fungsi penawaran: Ps = Q 2 + 2Q + 4 Syarat keseimbangan pasar: Pd = Ps 4 – 3Q2 = Q 2 + 2Q + 4 4Q2 + 2Q – 20 = 0 a = 4 ; b = 2 dan c = - 20 Q1,2 = − ±√2−4 2 = −(2) ±√(2) 2−4 (4)(−20) 2 (4) = −2 ±√4+320 8 = −2 ±√324 8 = −2 ±18 8 Jadi: Q1 = −2 +18 8 = 16 8 = 2 Q2 = −2−18 8 = −20 8 = - 2,5 (tidak memenuhi karena nilainya negatif) Substitusikan nilai Q =2 ke dalam salah satu fungsi permintaan atau penawaran, sehingga diperoleh harga pasar (Pe): Qe = 2 Pe = Q 2 + 2Q + 4 = (2)2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 Jadi jumlah dan harga keseimbangan pasar E (2,12) Selanjutnya berdasarkan fungsi pemintaan Pd= 24 – 3Q2 dan fungsi penawarannya Ps = Q 2 + 2Q + 4, maka kurva dari keseimbangan pasar dapat digambarkan dalam grafik berikut ini:

[ 130 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN FUNGSI BIAYA Fungsi biaya sebuah perusahaan merupakan fungsi yang menunjukkan hubungan antara besar kecilnya kuantitas yang diproduksi dengan besarnya biaya yang diperlukan untuk berlangsungnya proses produksi tersebut. Fungsi biaya biasa dinotasikan dengan : C = f (Q) Artinya, besar kecilnya biaya yang dikeluarkan perusahaan tergantung dari besar kecilnya output yang diproduksinya. Jenis-jenis biaya yang biasa dipakai dalam perusahaan terdiri dari : Biaya tetap (FC), FC = k ; k = konstanta Biaya variabel (VC) VC = f(Q) Biaya total (TC) yang terdiri dari atau merupakan penjumlahan dari biaya tetap dan biaya variabel. TC = C = VC + FC = f(Q) + k Biaya marjinal (MC) MC = ∆ ∆ Biaya rata-rata (AC) AC = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Q P 1 2 3 Q = P2+2P-3 Q = 9 - P2 (9,0) (0,1) (0,3) E = (5,2) 0