Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 40 ] S-1 MANAJEMEN 2) log 243 27 3 = log 243 − log 27 3 3 = 5-3 = 2 8) . = sehingga = Contoh : 1) 10 100. 100 10 = 10 102 100 1000,5 = 2 ×0,5 = 1 2) 3 81. 81 3 = 3 3 4 . 1 3 81 = 4 3 3. 1 3 3 4 = 4 . 1 4 = 1 9) . . = Contoh: 1) 10 100 . log 10000 × 10000 10 = 100 10 102 × 100 1002 × 1 10 104 = 2 × 2 ×0,25 = 1 2) 3 9 × 9 729 × 729 3 = 3 3 2 × 9 3 3 × 1 3 3 6 = 2 x 3 x 1 6 =1 PENYELESAIAN PERSAMAAN DENGAN LOGARITMA Logartitma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui (bilangan anu) dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik. Persamaan eksponensial ialah persamaan yang bilangan anunya berupa pangkat, misalnya 5 = 125 3 +1 = 27. Sedangkan persamaan logaritmik ialah persamaan yang bilangan anunya berupa bilangan logaritma, sebagai contoh log(3x + 298 ) = 3. Untuk menyelesaikan sebuah persamaan eksponensial dengan menggunakan logaritma pertama-tama logaritmakan dulu kedua ruas persamaan, kemudian selesaikan bilangan anunya berdasarkan persamaan logaritmik yang baru terbentuk. Contoh Soal: 1) Hitunglah nilai x untuk 3 +1 = 27 Jawab: Dengan melogaritmakan kedua ruas:
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 41 ] log3 +1 = 27 (x + 1) log 3 = log 27 x + 1 = log 27 log 3 = 1,4314 0,4771 = 3 x = 3 – 1 = 2 Pembuktian : 3 2+1 = 3 3 = 27 untuk contoh ini, karna kebetulan soalnya relatif sederhana,kita dapat pula memecahkannya secara langsung tanpa menggunakan logaritma: 3 +1 = 27 3 +1 = 3 3 + 1 = 3, = 3 − 1 = 2) 2) Carilah nilai x jika ( 0,32 + ) 15 = 789 Jawab: (0,32 + ) 15 = 789 log (0,32 + ) 15 = log.789 15 log (0,32+x) = 2.8971 log (0,32 + x ) = 2,8971 15 log (0,32 +x ) = 0,1931 ( 0,32 + x ) = antilog 0,1931 (0,32 + x ) = 1,56 x = 1,56 – 0,32 = 1,24 3) Carilah nilai x untuk log (3x + 298) = 8 Jawab: Berdasarkan definisi logaritma,kita dapat menuliskan : log (3x + 298) = 3 ke dalam bentuk pangkat menjadi : log (3x+298) = log 103 Sehingga: 3x + 298 = 1000 3x = 702, x = 234.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN [ 42 ] S-1 MANAJEMEN PENERAPAN EKONOMI Dalam penerapannya di bidang ekonomi, logaritma diterapkan bersamasama dengan bentuk-bentuk matematika yang lain seperti fungsi eksponensial dan pangkat. Adapun kegunaannya adalah untuk mempermudah pemecahan masalah terutama untuk bilangan yang mengandung pangkat terlalu besar. Contoh-contoh aplikasi logaritma ini di antaranya adalah dalam bunga-berbunga dan fungsi-fungsi pertumbuhan Contoh : Bimo mempunyai uang senilai Rp. 10.000.000,00. Ia akan mendepositokannya di bank untuk jangka waktu 2 tahun (24 bulan) dan akan diambil pada bulan ke 25. Jika tingkat suku bunga yang berlaku adalah 1% per bulan , maka berapakah jumlah uang Bimo 2 tahun kemudian? Penyelesaian: Diketahui: P = Rp. 10.000.000,- i = 0,01 n = 24 Ditanya : F24 = …? Jawab: Fn = P (1 + i) n F24 = 10.000.000 (1 + 0,01) 24 Log F24 = log 10.000.000 + log1,01 24 log F24 = log 10.000.000 + 24 log1,01 log F24 = 7 + 24 (0.00432173783 ) log F24 = 7 + 0.10371297 log F24 = 7.10371297 F24 = antilog 7,10371297 F24 = 12.697.346, 46 Jadi uang Bimo setelah 2 tahun menjadi sebesar Rp. 12.697.346,46
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN [ 43 ] C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan notasi logaritma a. 5 1 3 = √5 3 b. 3 4 = 81 c. 10-1 = 1 10 2. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi pangkat (eksponen) a. 3 log √3 = 1 2 b. 1 5 log 125 = -3 3. Hitunglah nilai tiap logaritma berikut a. 10 log 0,01 g. 0,125 log √4 b. 5 log 0,2 h. 2 log 0,25 c. 6 log 1 i. 0,01 log 0,1 d. 25 log √5 j. 16 log 1 2 e. 3 log 1 243 k. 0,04 log √25 f. 3 log 3√3 l. 9 log √3 4. Tentukanlah nilai x jika: a. x log 2 = -0,4 b. x log 1 6 = 1 6 c. x log 216 = 3 d. x log 1 √5 = − 1 4 e. x log 0,01 = 2 f. x log 0,04 = -2 g. 3 log (2x +1) = 1 h. 7 log (x +2) = 1
[ 44 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN 5. Selesaikanlah soal berikut ini! a. log 8 + log 125 = … b. 5 log 3 4 + 5 log 331 3 = … c. 2 log 48 – 2 log 6 = … d. log 0,04 – log 4 = … e. 2 3 log 27 = … f. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20 = … g. 1 2 2 log 81 – 3 2 log 3 + 2 log 48 = … h. 1 log 2 32 + 1 log 2 8 − 1 log 2 64 = … i. Jika 3 5 log m dan 6 3 log n, tentukanlah 54 75log dalam m dan n! j. Jika 5 2 log p dan 7 5 log q, tentukanlah 70 40log dalam p dan q! k. 3 log 49 . 7 log 27 = … l. log8 3 x log 9 2 x log 2 3 = … m. 7 2 16 log = … D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 45 ] PERTEMUAN KE- 6 POKOK BAHASAN BARISAN DAN DERET A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat: 1.6. Membedakan pengertian barisan dan deret. 1.7. Menentukan suku ke-n deret hitung (Aritmetika). 1.8. Menentukan jumlah sampai suku ke-n deret hitung (Aritmetika) B. URAIAN MATERI BARISAN DAN DERET PENGERTIAN Barisan (sequences) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara suku-suku yang berururtan ditentukan oleh suatu ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu. Suatu barisan bila dilihat dari segi perubahan di antara suku-suku yang berurutan mempunyai dua jenis, yaitu : Barisan aritmatika dan barisan geometri. Bila dilihat dari banyaknya suku, barisan dapat dibagi menjadi dua jenis, yaitu : barisan terhingga (finite) dan barisan tak terhingga (infinite). Deret (series) adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Bila dilihat dari perubahan di antara suku suku berurutan, maka deret dapat dibagi menjadi dua yaitu : deret aritmatika dan deret geometri. Deret geometri bila dilihat dari banyaknya suku maka deret tersebut dapat dibagi menjadi dua, yaitru : deret geometri terhingga (finite geometric series) dan deret geometrik tak terhingga (infinite geometric series). Deret geometric terhingga adalah deret yang mempunyai kelompok bilangan tertentu, sedangkan deret geometrik tak terhingga adalah deret yang mempunyai kelompok bilangan yang tidak terbatas.
[ 46 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Deret tak terhingga (infinite) dapat dibagi lagi menjadi dua, yaitu deret geometrik tak tentu konfergen dan deret geometrik tak tentu divergen. Deret tak tentu konvorgen adalah deret yang mempunytai nilai bilangan nyata, sedangkan deret tak tentu divergen adalah suatu deret yang tidak maenghasilkan nilai bilangan nyata. Untuk membedakan diantara deret tak tentu kovergen dan divergen notasi berikut ini. jika Si mewakili suatu bilangan dalam barisan dan b adalah bilangan nyata, maka deret tertentu konvergen adalah : ∑ = ∞ =1 Dan suatu deret geometri tak tentu divergen adalah : ∑ = ∞ =1 DERET HITUNG (ARITMATIKA) Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Contoh: 1) 7, 12, 17, 22, 27, 32 (Pembeda = 5) 2) 93, 83, 73, 63, 53, 43 (Pembeda = -10) SUKU Ke-n (Un) DERET HITUNG Suatu barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu. Misalnya: 7, 12, 17, 22, 27, 32 ,…. Masing-masing suku dalam barisan setelah suku pertama diperoleh dengan cara menambahkan nilai 5 pada suku sebelumnya atau suku yang mendahuluinya. a = 7 U2 = 7 + 5 = 12 U3 = 12 + 5 = 17 U4 = 17 + 5 = 22 dan seterusnya sampai suku ke-n (Un).
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 47 ] Barisan diatas menyatakan bahwa selisih atau perbedaan nilai diantara dua suku yang berurutan mempunyai beda yang konstan. Barisan seperti ini disebut barisan aritmatika (arithmetic sequence). Barisan aritmatika adalah suatu barisan dimana selisih di antara dua suku yang berurutan mempunyai nilai yang konstan. Nilai konstan ini biasanya dilambangkan dengan huruf b, barisan aritmatika ini ditentukan nilai suku ke-n jika suku pertama a dan beda yang sama b deketahui sebagai berikut. a, U2, U3, U4, U5,…, Un Dimana : U1 = a = suku pertama U2 = a + b = suku kedua U3 = U2 + b = (a + b)+ b= a + 2b = suku ketiga U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b = suku keempat U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b = suku kelima Koefisien dari b dalam suku-suku tertentu adalah lebih besar dari satu. Suku ke-n atau suku terakhir dalam suatu barisan aritmatika adalah : Dimana : Un = Suku ke-n a = Suku pertama b = beda yang sama n = banyaknya suku Contoh 1: Tentukan suku ke-10 (U10) dari barisan 3000, 3500, 4000, … . Jawab : a = Suku Pertama = 3.000 b = Pembeda = U2-U1 = 3500-3000 500 n = 10 Nilai dari U5 adalah : U5 = a + (n – 1 )b = 3.000 + (10 – 1 ) 500 = 3.000 + 4.500 Un = a + (n-1) b
[ 48 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN = 7.500 Contoh 2 : Carilah suku ke-21 dalam suatu barisan aritmatika jika diketahui suku ke -5 dan suku ke-11 adalah 41 dan 23. Penyelesaian : Jika a adalah suku pertama dan b adalah bda yang sama ,maka U5 = a + 4b = 41 (1) U11= a + 10b = 23 (2) Eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2), diperoleh: U5 = a + 4b = 41 U11= a + 10b = 23 (-) -6b = 18 b = 18/6 = -3 Substitusi b = -3 ke persamaan (1), diperoleh: U5 = a + 4b = 41 a + 4 (-3) = 41 a = 41 +12 = 53 Jadi suku ke 21 (U21) = a + (n – 1 ) b = 53 + 20 (b) = 53 + 20 (-3) = 53 – 60 = -7 JUMLAH SAMPAI SUKU Ke-n (Dn) DERET HITUNG: Selanjutnya, yang dimaksud dengan deret aritmatika adalah jumlah dari suku- suku dalam suatu barisan aritmatika. Bentuk deret aritmatika ini adalah sebagai berikut. Dn = a + (a + b) + (a + 2b)+…….+ (a + (n – 1)b) atau Dn = U1 + U2 + U3 + ….. + Un Hal tersebut dapat dinyatalan secara umum sebagai berikut : Dn = ∑ Ui =1
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 49 ] Untuk memperoleh jumlah suku-suku ke-n atau Dn dari suatu barisan aritmatika dengan a sebagai suku pertama dan b sebagai beda yang sama, maka rumusnya adalah : Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan sampai suku ke-10 (U10) dari barisan 3000, 3500, 4000, … . Jawab: Dn = 2 [ 2a + ( n – 1 )b] Dn = 10 2 [ 2(3000) + ( 10 − 1 ) 500] = 5 [ 6000 + 4500 ] = 5 (10.500) = 52.500 *** C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Dari sebuah deret hitung yang suku pertamanya 200 dan pembeda antar suku-sukunya 25, hitunglah : a. Suku ke 15 (U15). b. Jumlah sampai suku ke 15 (D15) 2. Hitunglah U4 , U15 dan D10 dari suatu deret hitung yang suku pertamanya 1000 dan pembeda antar sukunya -50. 3. Jika Suku pertama deret hitung 100 dan suku ke tujuh 160, Tentukanlah nilai : a. Beda antar suku (b) b. Suku ke 20 (U20) c. Suku ke-n untuk Un = 250 4. Deret hitung X mempunyai nilai a = 180 dan b = -10, sedangkan deret hitung Y mempunyai nilai a = 45 dan b = 5. Pada suku berapa kedua deret ini mempunyai nilai yang sama? Dn = [ + ( − )
[ 50 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis, Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 51 ] PERTEMUAN KE- 7 POKOK BAHASAN BARISAN DAN DERET A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat: 1.9. Menentukan suku ke-n deret ukur (Geometri). 1.10. Menentukan jumlah sampai suku ke-n deret ukur (Geometri) B. URAIAN MATERI BARISAN DAN DERET DERET UKUR (GEOMETRI) Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda/rasio, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya. Contoh: 1) 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda/rasio = 2) 2) 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda/rasio = 0,5) SUKU KE-N (Un) DERET UKUR Untuk dapat membentuk rumus perhitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur, perhatikan contoh (1) di atas yang disajikan dalam bentuk lain di bawah ini: U1 = 5 = a U2 = 10 = a r = a p2-1 U3 = 20 = a r r = a p3-1 U4 = 40 = a r r r = a r 4-1 U5 = 80 = a r r r r = a r 5-1 U6 = 160= a r r r r r = a r 6-1
[ 52 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Berdasarkan pola di atas maka untuk mencari suku ke-n deret ukur digunakan rumus: Un = a r n-1 Dimana: a = suku pertama atau U1 r = pengganda / rasio n = indeks suku Contoh soal: Berdasarkan rumus suku ke-n deret ukur, tentukanlah suku ke-10 dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80, 160. Jawab: U1 = a = 5 r = 2 1 = 10 5 = 2 Maka U10 = a r n-1 = (5) (2) 10-1 = (5) (2)9 = (5) (512) = 2560 JUMLAH SAMPAI SUKU Ke-N (Dn) DERET UKUR Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan. Dn = ∑ U =1 = U1 + U2 + U3 + … + Un Berdasarkan Dn = a r n-1 , maka masing-masing Di dapat dijabarkan menjadi: Dn = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n-2 + ar n-1 ………………… (1) Jika persamaan (1) ini kita kalikan dengan bilangan pengganda r, maka: r . Dn = ar + ar 2 + ar 3 +ar 4 + … + ar n-1 + ar n ……………… (2) Dengan mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1) , diperoleh selisih antara kedua persamaan ini, yaitu: Dn – r Dn = a - ar n
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 53 ] Dn (1 – r) = a (1 - r n ) Sehingga diperoleh rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: Dn = (1− ) 1− untuk r < 1, atau Dn = ( −1) −1 untuk r > 1 Dalam hal ||<1, penggunaan rumus sebelah kiri akan lebih mempermudah perhitungan. Di lain pihak jika ||>1, perhitungan akan menjadi lebih mudah dengan menggunakan rumus yang di sebelah kanan. Contoh soal: Tentukanlah D10 dari deret ukur (geometri) berikut ini: a. 5, 10, 20, 40, 80, 160 , …. b. 512, 256, 128, 64, 32, 16, …. Penyelesaian: a. Diketahui: a = 5 r = 2 1 = 10 5 = 2 Ditanya : D10 = … ? Jawab: D10 = ( −1) −1 (lihat rumus untuk nilai r > 1) = 5 ( 2 10−1) 2−1 = 5 (1023 -1) = 5115 b. Diketahui: a = 512 r = 2 1 = 256 512 = 0,5 Ditanya : D10 = … ? Jawab: D10 = ( 1− ) 1− (lihat rumus untuk nilai r < 1)
[ 54 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN = 512 ( 1− 0,5 10) 1−0,5 = 512 ( 1− 0,0009765) 0,5 = 5023 *** C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Dari sebuah deret ukur yang suku-sukunya 10, 30, 90, 270. Hitunglah: Suku ke-12 (U12) dan jumlah sampai suku ke 12 (D12)! 2. Pengganda sebuah deret ukur diketahui sebesar 5. Jika U6 = 6.250, Berapakah suku ke 10 (U10). 3. Deret ukur X mempunyai nilai a = 512 dan p = 0,5, sedangkan deret ukur Y mempunyai nilai U1 = 16 dan p = 4. Pada suku keberapa nilai suku-suku dari kedua deret ini sama? 4. Sebuah deret hitung memiliki nilai-nilai a = 4.484 dan b = 1.234. Sementara itu pada saat yang sama, sebuah deret ukur mempunyai nilai-nilai U5 = 486 dan U10 =118.098. Tentukanlah: a. Pada suku keberapa suku-suku dari kedua jenis deret ini sama? b. Mana yang lebih besar antara U1 Deret Hitung dan U1 Deret Ukur kasus ini? *****
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 55 ] D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.
[ 56 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE- 8 POKOK BAHASAN PENERAPAN BARISAN DAN DERET A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Pada bab ini akan dijelaskan mengenai penggunaan barisan dan deret dalam menyelesaikan masalah ekonomi. Melalui risetasi, Anda diharapkan mampu: 1.11. Menggunakan Barisan dan deret dalam menyelesaikan permaslahan ekonomi. B. URAIAN MATERI PENERAPAN BARISAN DAN DERET PENERAPAN DERET HITUNG DALAM BIDANG EKONOMI Perkembangan Kegiatan Usaha Prinsip-prinsip deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi, baik secara langsung maupun secara tidak langsung. Prinsip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisa perilaku perkembangan kegiatan usaha misalnya poduksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal. Sedangkan prinsip deret ukur bersama-sama dengan konsep logaritma menganalisa perilaku pertumbuhan . Oleh karena itu prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisa perkembangan variabel-variabel kegiatan usaha tersebut. Berpola seperti deret hitung disini maksudnya adalah variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya Contoh Soal 1. Perusahaan “ASY-SHYFA BUSANA” memproduksi 2500 unit pakaian anakanak pada tahun pertama dan produksinya mengalami peningkatan sebanyak 100 unit setiap tahunnya. Berapa produksi pakaian anak-anak tersebut pada tahun ketiga dan berapakah produksi pakaian anak-anak tersebut sampai dengan
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 57 ] tahun ketiga ? Diketahui : a = 2500, b = 100, n = 3 Ditanya : U3 dan D3 Jawab : Un = a + (n-1) b U3 = 2500 + (3-1) 100 = 2700 Dn = (a + Un) D3 = (2500 + 2700) = 7800 2. Besar penerimaan PT “MItra Keluarga” dari hasil penjualan barangnya Rp. 720.000.000 pada tahun kelima dan Rp. 980.000.000 pada tahun ketujuh. Apabila, perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung. a. Berapa perkembangan penerimaanya per tahun? b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460.000.000 ? Penyelesaian: Diketahui : U7 = 980.000.000, U5 = 720.000.000 Ditanya : a. Perkembangan penerimaan per tahun (a) b. b dan n saat penerimaan 460.000.000 ? Jawab: U7 = a + 6b = 980.000.000 U5 = a + 4b = 720.000.000 – 2b = 260.000.000 b = 130.000.000 Perkembangan penerimaan setiap tahun sebesar Rp 130.000.000 U5 = a + 4 b 720.000.000 = a + 4 b
[ 58 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN 720.000.000 = a + 4 (130.000.000) 720.000.000 = a + 520.000.000 a = 720.000.000 - 520.000.000 a = 200.000.000 Penerimaan pada tahun pertama sebesar 200.000.000 Un = a + ( n – 1 ) b 460.000.000= 200.000.000 + (n – 1) 130.000.000 460.000.000 = 200.000.000 + 130.000.000 n – 130.000.000 390.000.000 = 130.000.000 n n = 390.000.000 130.000.000 =3 Jadi Penerimaan sebesar Rp 460.000.000 juta diterima pada tahun ketiga PENERAPAN DERET UKUR DALAM BIDANG EKONOMI 1. Model Bunga Majemuk Model Bunga Majemuk merupakan Deret Ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung nilai modal di masa yang akan datang ditambah dengan akumulasi penambahan bunga, misalnya besarnya pengembalian kredit di masa yang akan datang berdasarkan tingkat bunganya, mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa yang akan datang, dan sebagainya. Rumus Bunga Majemuk : Fn = P (1 + i) n atau Fn = P (1 + ) m n Dimana: Fn = Jumlah Investasi di masa yang akan datang P = Jumlah Investasi sekarang / present value i = Tingkat bunga per tahun n = Jumlah tahun m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun Contoh : Seorang nasabah bank meminjam uang di Bank sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2 % per tahun.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 59 ] a. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan? b. Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus ia kembalikan? Jawab : Diketahui: P = 5.000.000 ; n = 3 ; i = 2% = 0,02 Jawab: a. Seluruh pembayaran bunga setiap satu tahun: Fn = P(1 + i) n F3 = 5.000.000 (1 + 0,02)3 = 5.000.000 (1,061208) = Rp. 5.306.040 b. Seandainya pembayaran bunga dilakukan tiap semester, maka: Fn = P(1+ ) m n F3 = 5.000.000(1+0,02 2 ) 3.2 = 5.000.000 (1,061208) = Rp 5. 307.600 2. Model Bunga Sinambung Jika frekuensi pembayaran bunga per tahun (m) sangat besar, bunga yang diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun, maka model deret ukur yang digunakan adalah metode deret ukur tak terhingga atau sinambung. Fn = P . e . n Dimana : e = eksponen = 2,718 Contoh : Nyonya Shoffa mempunyai tabungan deposito darurat dari bank pemerintah pada masa perang dengan Malaysia dengan frekuensi pembayaran bunga setiap 7 menit sekali selama 10 tahun. Nilai tabungan nyonya Shoffa di bank senilai
[ 60 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Rp 7.500.000 pada saat pertama kali setoran. Berapakah jumlah uang nyonya Shoffa 10 tahun lagi? Jawab: Fn = P.e.n Dimana e : 2,718 F10 = (7.500.000) (2,718) (10) = Rp 203 850 000 3. Model Present Value Present value (nilai sekarang) merupakan kebalikan dari compound value (nilai majemuk) adalah besarnya jumlah uang, pada permulaan periode atas dasar tingkat tertentu dari sejumlah uang yang baru akan kita terima beberapa waktu/ periode yang akan datang. P = (1+) atau P = (1+ ) Contoh : Tuan Bayu mempunyai tabungan deposito dengan nilai Rp 7.500.000 dengan tingkat bunga sebesar 5%/tahun, pembayaran dilakukan per tahun. Tuan Bayu telah menabung semenjak 5 tahun yang lalu tanpa menyetor sekalipun setelah setoran yang pertama itu. Berapakah saldo tuan Bayu 5 tahun sebelumnya (Pn) ? Jawab: Pn = (1+) P5 = 7.500.000 (1+0,05) 5 = 7.500.000 (1,05) 5 = 7.500.000 1,2763 = Rp 5.876.446, 249 4. Metode Pertumbuhan Penduduk Metode ini dinyatakan oleh Malthus, Beliau menyatakan bahwa pertumbuhan penduduk dunia dipengaruhi oleh deret ukur atau perubahan berdasarkan rasio tertentu. Pt = P1.R(t-1)
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 61 ] Dimana: R = 1 + r Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t P1 = Jumlah penduduk pada tahun pertama (basis) r = persentase pertumbuhan per-tahun t = indeks waktu (tahun) Contoh : Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4% per tahun. a. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. b. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian ? Jawab: Diketahui : P1 = 1.000.000 r = 0,04 R = (1 + 4%) = 1,04 a. Jumlah penduduk pada tahun 2006: P tahun 2006 P16 = P1.R(t-1) = 1.000.000 (1,04)15 = 1.000.000 (1,800943) = 1.800.943 jiwa b. Jumlah penduduk 11 tahun kemudian dari tahun 2006: Pt = 1.800.943 r = 0,025 R = (1 + 2,5%) = 1,025 P 11 tahun kemudian P11 = P1.R(t-1) = 1.800.943 (1,025)10 = 2.305.359 jiwa Penyelesaian dengan memanfaatkan kaidah logaritma: P11 = 1.800.943 (1,025)10 Log P11 = log 1.800.943 (1,025)10 Log P11 = log 1.800.943 + Log (1,025)10 Log P11 = log 1.800.943 + 10 . Log (1,025)
[ 62 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Log P11 = 6,255499 + 0,107239 Log P11 = 6,362738 P11 = anti log 6,362738 = 2.305.359 C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Perusahaan genteng “Sokajaya” menhasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan , berapa buah genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan ke 12 ? 2. Besarnya penerimaan P.T Ccemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 Juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung. a. Berapa perkembangan penerimaannya pertahun? b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Juta? 3. Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan. a. Berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ? b. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ? 4. Ida meminjam uang pada koperasi tempat kerjanya sebesar Rp 3.000.000,00. Ia akan mengangsur Rp 200.000,00 per bulan ditambah 10 % dari sisa hutangnya sebagai bunga. Tentukan jumlah keseluruhan bunga yang dibayarnya setelah hutangnya lunas !
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 63 ] 5. Amir meminjam uang pada koperasi tempat kerjanya sebesar Rp 2.000.000,00. Ia akan mengangsur Rp 200.000,00 per bulan ditambah 2 % dari sisa hutang nya sebagai bunga. Tentukan: a. Jumlah keseluruhan bunga yang dibayarnya setelah hutangnya lunas ! b. Besarnya angsuran pada bulan ke-5 ! c. Jumlah total pembayaran Amir hingga hutangnya lunas ! 6. Rudi merencanakan membeli rumah seharga Rp 90.000.000 yang akan diangsur selama 15 tahun. Jika pengembang mengenakan bunga sebesar 12% per tahun tentukan besarnya angsuran per bulannya ! 7. Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1980, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2000 dan tahun 2010! 8. Penduduk suatu negara tercatat 25 juta jiwa pada tahun 1980. Berapa jumlah penduduk pada tahun 1990 dan 2000, jika tingkat pertumbuhannya 3% per tahun ? ***** D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002. *****
[ 64 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE- 9 POKOK BAHASAN FUNGSI A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah Anda mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan dapat: 1.1. Mendiskripsikan dan mengidentifikasikan konstan, dan variabel. 1.2. Menggambar grafik suatu fungsi. B. URAIAN MATERI FUNGSI PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap bentuk fungsi.Akan tetapi tidak demikiannya dengan konstanta. Sebuah fungsi yang secara kongket dinyatakan dalam bentuk persamaan dan pertidaksamaan, mungkin sekali mengandung sebuah konstanta dan mungkin juga tidak mengandung konstanta. Walaupun sebuah persamaan atau pertidaksamaan tidak mengandung konstanta, tidaklah mengurangi artinya sebuah fungsi. Variabel ialah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan (berdasarkan kesepakatan umum) dengan hurufhuruf latin. Dalam matematika, variabel-variabel dalam sebuah persamaan lazimnya ditulis dalam huruf-huruf kecil, melambangkan sumbu-sumbu dalam sistem koordinat (absis dan ordinat). Dalam ekonomi tidak terdapat ketentuan bahwa variabel dalam suatu persamaan harus dituliskan dengan huruf kecil. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, didalam setiap fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas (independent variable) ialah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain,
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 65 ] FUNGSI Fungsi Non Aljabar Fungsi Trigonometrik Fungsi Hiperbolik Fungsi Eksponensial Fungsi Hiperbolik Fungsi Irrasional Fungsi Polinom Fungsi Linier Fungsi Kuadrat Fungsi Kubik Fungsi Bikuadrat Fungsi Rasional Fungsi Pangkat Fungsi Aljabar sedangkan variabel terikat (dependent variable) ialah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain. Koefisien ialah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Konstanta ialah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai yang tidak terikat pada suatu variabel tertentu. Notasi sebuah fungsi secara umum : y = f(x) Contoh kongkret : y = 3 + 0,7x Atau, karena y=f(x),bisa pula ditulis : f(x)=3 +0,7x Bentuk y = f(x) diatas berarti menyatakan bahwa y merupakan fungsi x, besar kecilnya nilai y tergantung pada fungsional terhadap nilai x. Masing-masing y dan x adalah variabel. Dalam hal ini, x adalah variabel bebas karena nilainya tidak tergantung pada nilai variabel lain (y) dalam fungsi tersebut. Sebaliknya, y adalah variabel terikat karena nilainya tergantung pada nilai x. JENIS-JENIS FUNGSI Fungsi dapat dikelompokkan ke dalam beberapa kelompok. Secara garis besar fungsi terbagi menjadi dua jenis yaitu fungsi aljabar dan fungsi non-aljabar (transenden). Berikut ini disajikan pembagian kedua jenis fungsi tersebut, seperti ditunjukkan dalam bagan berikut ini:
[ 66 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Fungsi polinom ialah fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. Pangkat tertinggi pada variabel suatu fungsi polinom mencerminkan derajat polinomnya, sekaligus juga mencerminkan derajat persamaan atau fungsi tersebut. Bentuk umum fungsinya: Y = a0 + a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 + … + an X n Fungsi linear ialah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu, sehingga sering juga disebut fungsi berderajat satu. Bentuk umum fungsinya: Y = a0 + a1 X Dimana : a0 adalah konstanta dan nilai a1≠ 0. Fungsi non-linier (fungsi kuadrat, fungsi kubik, fungsi bikuadrat, dan sebagainya) yaitu fungsi-fungsi yang pangkat tertinggi lebih dari satu. Fungsi kuadrat ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua dan sering juga disebut fungsi berderajat dua. Bentuk umum fungsinya: Y = a0 + a1 X + a2 X 2 Dimana : a0 adalah konstanta a1 dan a2 adalah koefisien dan nilai a2≠ 0. Fungsi berderajat n ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (dimana n merupakan bilangan nyata) Bentuk umum fungsinya: Y = a0 + a1 X + a2 X 2 + … + an X n Dimana : a0 adalah konstanta a1 dan an adalah koefisien dan nilai an≠ 0. Fungsi pangkat ialah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan nyata yang bukan nol. Bentuk umum fungsinya: Y = Xn Dimana : n = bilangan nyata dan n ≠ 0. Fungsi eksponensial ialah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. Bentuk umum fungsinya: Y = n x Dimana : n = bilangan nyata dan n > 0. Fungsi logaritmik ialah fungsi balik (inserve) dari fungsi eksponensial variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 67 ] Bentuk umum fungsinya: Y = nLog X Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik ialah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goneometrik. Bentuk umum fungsi trigonometric: Y = Sin 5X Bentuk umum fungsi hiperbolik: Y = arc Cos 2X Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya (x dan y), fungsi dibedakan menjadi dua jenis, yaitu: 1. Fungsi eksplisit yaitu fungsi yang variabel bebas (x) dan variabel terikatnya (y) terletak pada ruas yang berlainan. 2. Fungsi implisit yaitu fungsi yang variabel bebas (x) dan variabel terikatnya (y) terletak pada ruas yang sama, baik sebelah kiri maupun sebelah kanan. Berikut ini bentuk operasional dari kedua fungsi di atas: Jenis fungsi Bentuk Eksplisit Bentuk Implisit 1. Umum 2. Linier 3. Kuadrat 4. Kubik Y = f (X) Y = a0 + a1 X Y = a0 + a1 X + a2 X 2 Y = a0 + a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 F(x,y) = 0 a0+a1X–Y = 0 a0+a1X+a2 X 2 –Y = 0 a0+ a1X +a2X 2 +a3X 3 –Y = 0 MENGGAMBARKAN GRAFIK FUNGSI LINIER Setiap fungsi dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang (sistem koordinat). Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya, dan kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Dalam menggambarkan suatu fungsi meletakkan variabel bebas pada sumbu horizontal (absis) dan variabel terikat pada sumbu vertikal (ordinat). Bentuk Umum Fungsi Linier: y = a + bx atau y = mx + c Dimana: a atau c adalah konstanta atau potongan (intercept) garis pada sumbu vertikal y.
[ 68 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN b atau m merupakan koefisien arah/lereng (slope)/kemiringan/gradien garisnya. Koefisien nilai b atau m mencerminkan: Besar tambahan nilai y untuk setiap tambahan satu unit x, Tangen dari sudut yang dibentuk oleh garis y dan sumbu x. (Catatan: koefisien arah dari sutu fungsi kinier selalu konstan, untuk setiap x) Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya dan kemudian memindahkan pasanganpasangan titik tersebut ke dalam sistem koordinat kartesius, dimana sumbu horizontal (absis) merupakan letak dari nilai variabel bebasnya (x) dan sumbu vertical (ordinat) merupakan letak dari nilai variabel terikatnya (y). Untuk menggambarkan grafik sebuah fungsi y = f(x), maka grafiknya adalah himpunan semua titik (x,y) pada bidang. Contoh: Gambarkanlah grafik dari fungsi linier berikut ini: a. y = 3 + 2x b. y = 8 – 2x Penyelesaian: a. Untuk fungsi linier y = 3 + 2x , nilai konstanta a = 3 dan koefisien arah (b) = 2. Perlu diperhatikan apabila koefisien arah b bernilai positif (b>0), maka grafik garisnya kan bergerak dari kiri bawah ke kanan atas. Pasangan berurutan fungsi y = 3 + 2x
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 69 ] Jika Nilai x Nilai y = 3 + 2x Pasangan bilangan (x,y) x = 0 y = 3 + 2 (0) = 3 ( 0, 3 ) x = 1 y = 3 + 2 (1) = 5 ( 1, 5 ) x = 2 y = 3 + 2 (2) = 7 ( 2, 7 ) x = 3 y = 3 + 2 (3) = 9 ( 3, 9 ) x = 4 y = 3 + 2 (4) = 11 ( 4, 11 ) Grafik fungsinya b. Untuk fungsi linier y = 8 - 2x , nilai konstanta a = 8 dan koefisien arah (b) = -2. Karena koefisien arah b bernilai negatif (b < 0), maka grafik garisnya kan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah. Pasangan berurutan fungsi y = 3 + 2x Jika Nilai x Nilai y = 8 - 2x Pasangan bilangan (x,y) x = 0 y = 8 - 2 (0) = 8 ( 0, 8 ) x = 1 y = 8 - 2 (1) = 6 ( 1, 6 ) x = 2 y = 8 - 2 (2) = 4 ( 2, 4 ) x = 3 y = 8 - 2 (3) = 2 ( 3, 2 ) x = 4 y = 8 - 2 (4) = 0 ( 4, 0 ) Grafik fungsi y = 8 – 2x (0,3) (1,5) (2,7) (3,9) (4,11)
[ 70 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN MENGGAMBARKAN GRAFIK FUNGSI NON-LINIER Untuk menggambarkan grafik fungsi non linier tidaklah semudah menggambarkan grafik fungsi linier, hal ini dikarenakan masing-masing fungsi non linier memiliki bentuk khas tertentu mengenai kurvanya, sehingga diperlukan ketelitian dalam pembuatan grafiknya. Berikut ini disajikan beberapa bentuk gambar dari beberapa fungsi non-linier: 1. Menggambar Fungsi Kuadrat Bentuk Umum fungsi kuadrat: y = ax2 + bx + c ; a ≠ 0 Contoh: Gambarkan grafik fungsi dari y = -x 2 + 2x + 3 Jawab: Jika Nilai x Nilai y = -x 2 + 2x + 3 Pasangan bilangan (x,y) x = -1 y = -(-1)2 + 2(-1) + 3 = 0 ( -1, 0 ) x = 0 y = -(0)2 + 2(0) + 3 = 3 ( 0, 3 ) x = 1 y = -(1)2 + 2(1) + 3 = 4 ( 1, 4 ) (0,8) (1,6) (2,4) (3,2) (4,0)
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 71 ] Jika Nilai x Nilai y = -x 2 + 2x + 3 Pasangan bilangan (x,y) x = 2 y = -(2)2 + 2(2) + 3 = 3 ( 2, 3 ) x = 3 y = -(3)2 + 2(3) + 3 = 0 ( 3, 0 ) Grafik fungsi kuadrat dari y = -x 2 + 2x + 3 2. Menggambar Grafik Fungsi Kubik Contoh: Gambarkan grafik fungsi dari y = -2 + 4x2 – x 3 Jawab: Jika Nilai x Nilai y = -2 + 4x2 – x 3 Pasangan bilangan (x,y) x = -1 y = -2 + 4 (-1)2 – (-1)3 = 3 ( -1, 3 ) x = 0 y = -2 + 4 (0) 2 – (0) 3 = -2 ( 0, -2 ) x = 1 y = -2 + 4 (1)2 – (1)3 = 1 ( 1, 1 ) x = 2 y = -2 + 4 (2) 2 – (2) 3 = 6 ( 2, 6 ) x = 3 y = -2 + 4 (3) 2 – (3) 3 = 7 ( 3, 7 ) x = 4 y = -2 + 4 (4)2 – (4)3 = -2 ( 4, -2 ) Grafik dari fungsi y = -2 + 4x2 – x 3 (0,3) (-1,0) (3,0) (1,4) 4 0 1
[ 72 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN 3. Menggambar Grafik Fungsi Eksponensial Gambarkan grafik fungsi dari y = (1/2)x Jika Nilai x Nilai y = (1/2)x Pasangan bilangan (x,y) x = -3 y = (1/2)-3 = 8 ( -3, 8 ) x = -2 y = (1/2)-2 = 4 ( -2, 4 ) x = -1 y = (1/2)-1 = 2 ( -1, 2 ) x = 0 y = (1/2)0 = 1 ( 0, 1 ) x = 1 y = (1/2)1 = ½ ( 1, 1/2 ) x = 2 y = (1/2)2 = ¼ ( 2, 1/4 ) x = 3 y = (1/2)3 = 1/8 ( 3, 1/8 ) Grafik fungsi eksponen: *****
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 73 ] C. LATIHAN SOAL/TUGAS Gambarkan grafik fungsi linear dan fungsi kuadrat berikut berikut : 1. y = 8 + 3x 2. y = 2x + 10 3. y = 10 – 4x 4. y = 5x – 10 5. y = 6 – 2x + x2 6. Gambarkan grafik berikut ini dengan menggunakan tabel: a. f(x) = 2/x ;jika 1 < x < 4 b. f(x) = 2x – 1 , jika 2 < x < 4 c. y = x2 + 4x – 3 ; jika -2 < x < 1 7. Gambarkan grafik dari fungsi eksponen y = 2x . ***** D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.
[ 74 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE- 10 POKOK BAHASAN FUNGSI LINIER [1] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah Anda mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan dapat: 1.3. Mencari gradient/kemiringan garis suatu fungsi. 1.4. Menentukan titik potong sumbu (intersept) suatu fungsi linier. 1.5. Menentukan persamaan garis lurus. 1.6. Menentukan dua buah garis lurus apakah berimpit, sejajar, berpotongan atau saling tegak lurus. B. URAIAN MATERI FUNGSI LINIER Fungsi linier adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lainnya dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu, sehingga membentuk garis lurus dengan kemiringan tertentu (gradient /m). Bentuk Umum fungsi linier: y = mx+ c Dimana y = variabel terikat (dependent variabel) m = koefisien arah/slope/gradient/ kemiringan garis. x = variabel bebas (independent variabel) c = konstanta KEMIRINGAN SUATU GARIS (GRADIEN) Kemiringan (slope) fungsi linier satu variabel yaitu besarnya tambahan nilai y untuk setiap tambahan satu unit x dan biasanya dilambangkan dengan huruf m.
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 75 ] Secara geometri, kemiringan suatu garis lurus adalah tangent (Tg) dari sudut yang dibentuknya terhadap sumbu absis X. Sudut tangent (α) adalah perbandingan antara sumbu vertikal Y dengan sumbu horizontal X. Sehingga rumus sudut tangen dapat dituliskan sebagai berikut: Sudut Tangent (α) = Kemiringan (m) = ∆ ∆ = 2−1 2−1 Untuk fungsi linier y = a + bx , maka titik potong fungsi linier terhadap garis y pada saat nilai x = 0 adalah a, sedangkan kemiringan garisnya (m) = ∆ ∆ . Pada x = 0 , maka ∆ ∆ = b Pada x = 1 , maka ∆ ∆ = b Pada x = 2 , maka ∆ ∆ = b Nilai kemiringan fungsi linier selalu konstan (tetap). Adapun bentuk kemiringan garis lurus (m) ada empat macam, yaitu: a. Kemiringan positif, karena menaik dari kiri bawah ke kanan atas sehingga jika nilai x naik/bertambah maka nilai y juga akan naik/bertambah juga. b. Kemiringan negatif, karena menurun dari kiri atas ke kanan bawah. Jika nilai x naik/bertambah maka nilai y akan menurun/berkurang. c. Kemiringan nol, karena nilai x bertambah sedangkan nilai y konstan. d. Kemiringan tak tentu, nilai x konstan dan nilai y tak tentu.
[ 76 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN X Y 0 (a) m positif (b) m negatif (c) m nol (d) m tak tentu CARA PEMBENTUKAN FUNGSI LINIER Ada empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linier, masing-masing berdasarkan ketersediaan data yang diketahui. Keempat cara yang dimaksud adalah: 1. Cara Koordinat Lereng/Gradien Sebuah persamaan linier dapat dibentuk dari sebuah titik dan suatu lereng (kemiringan/ gradien). Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1,y1) dan kemiringan/ gradien adalah m, maka rumus persamaan liniernya adalah : (y - y1) = m(x - x1) Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik A (2,5) dengan gradien (m) = 3 ! Jawab : Persamaan (y - y1) = m(x - x1) y - 5 = 3 (x - 2) y - 5 = 3x - 6 y = 3x - 1 2. Cara Dwi-Koordinat Dari 2 (dua) buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2). Rumus persamaan liniernya adalah: ( − 1) (2 − 1) = ( − 1) (2 − 1) X Y 0 X Y 0 X Y 0
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 77 ] Contoh : Diketahui titik A (2,8) dan titik B (1,5), Tentukanlah persamaan liniernya! Penyelesaian: Diketahui : Titik A(2,8) maka x1 = 2 dan y1 = 8 Titik B (1,5) maka x1 = 1 dan y1 = 5 Persamaan liniernya: ( − 1) (2 − 1) = ( − 1) (2 − 1) ( − 8) (5 − 8) = ( − 2) (1 − 2) ( − 8) (−3) = ( − 2) (−1) (-1) (y – 8) = -3 (x – 2) -y + 8 = -3x + 6 -y = -3x + 6 – 8 y = 3x – 6 + 8 y = 3x + 2 3. Cara Penggal Lereng Sebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya (konstanta) pada salah satu sumbu dan lereng garis (gradien) yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam hal ini rumus persamaan liniernya adalah : y = mx+ c Dimana : c = penggal ( konstanta ), m = lereng ( gradien ) Contoh : Jika diketahui konstanta dan gradien garis dari fungsi linier y = f(x) masingmasing adalah 3 dan 0,5. Tentukanlah persamaan liniernya! Penyelesaian: Diketahui: Gradien garis (m) = 3 Konstanta (c) = 0,5
[ 78 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN Maka persamaan liniernya: y = mx+c y = 0,5x + 3 4. Cara Dwi-penggal (Titik Potong) Apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing-masing sumbu, yakni penggal pada sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0). Rumus persamaan liniernya: y = a – x Dimana : a = penggal (titik potong) pada sumbu vertikal, c = penggal (titik potong) pada sumbu horizontal Contoh : Jika penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan horizontal masing-masing 6 dan -3, maka persamaan linier yang memenuhi adalah y = a – x y = 6 – 6 −3 x y = 6 - 2x HUBUNGAN DUA BUAH FUNGSI LINIER Dua buah garis lurus mempunyai 4 macam kemungkinan bentuk hubungan 1. Berhimpit Apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (proporsional terhadap) persamaan garis yang lain, maka dengan demikian y1 = a1 + b1x akan berhimpit dengan garis y2 = a2 + b2x jika y1= n.y2 ; a1= n.a2 dan b1= n.b2. Berimpit jika: y1 = n y2 a1 = na2 b1 = nb2
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 79 ] Tegak lurus jika: b1 = −1 2 2. Sejajar Apabila lereng garis yang satu sama dengan lereng garis yang lain, maka dengan demikian garis y1 = a1 + b1x ; akan sejajar dengan y2 = a2 + b2x jika b1 = b2 dan a1≠ a2 (jika a1 = a2 kedua garis bukan saja sejajar tetapi juga berimpit). 3. Berpotongan Apabila lereng garis yang satu tidak sama dengan lereng garis yang lain, maka dengan demikian garis y1 = a1 + b1x akan berpotongan dengan y2 = a2 + b2 x ; jika b1 ≠ b2. 4. Tegak lurus Apabila lereng garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda berlawanan, maka dengan demikian garis y1 = a1 + b1x akan tegak lurus dengan garis y2 = a2 + b2x ; jika b1 = -1/b2 atau b1. b2 = -1. PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI LINIER Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya, dan kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Dalam menggambarkan suatu fungsi terdapat kebiasaan meletakkan variabel bebas pada sumbu horizontal (absis) dan variabel terikat pada sumbu vertikal (ordinat). Penggambaran fungsi linier paling mudah dilakukan. Sesuai dengan Sejajar jika: a1 ≠ a2 b1 = b2 Berpotongan jika: b1 ≠ b2
[ 80 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN namanya, setiap fungsi linier akan menghasilkan sebuah garis lurus (kurva linier). Cara yang termudah untuk menggambar suatu grafik fungsi linier (garis lurus) yang diketahui persamaannya adalah dengan mencari titik potong garis sumbu yang dipotong oleh garis lurus tersebut. Panjang titik potong garis sumbu diukur dari titik pusat sampai titik potong antara garis lurus dengan sumbu-sumbu koordinat. Perpotongan garis dengan sumbu x merupakan suatu titik yang ditentukan oleh pasangan y = 0 pada persamaan garis lurus tersebut. Begitu pula perpotongan garis lurus dengan sumbu y merupakan suatu titik yang ditentukan oleh pasangan x = 0 pada persamaan garis tersebut. Bila kedua titik potong tersebut digambar/dihubungkan, maka garis lurus yang dicari adalah garis yang melalui kedua titik tersebut. Contoh: Gambarkan grafik garis dari fungsi linier y = 8 – 2x. Jawab: Titik potong garis dengan sumbu X, maka nilai y = 0. Untuk y = 0 ; substitusikan ke persamaan y = 8 – 2 X Sehingga: 0 = 8 – 2X 2x = 8 x = 4 ; Jadi titik potongnya (4,0) Titik potong garis dengan sumbu Y, maka nilai x = 0. Untuk x = 0 ; substitusikan ke persamaan y = 8 – 2 X Sehingga: y = 8 – 2(0) y = 8 ; Jadi titik potongnya (0,8) Grafik dari fungsi y = 8 – 2x (0,8) (4,0)
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 81 ] C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui titik (-1,4) dan (1,0)! 2. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui titik (-1,3) dan mempunyai koefisien arah/kemiringan garis 5. 3. Gambarkan grafik fungsi linier Y = 10 – 2X. 4. Tentukan persamaan garis yang melewati titik (2,0) dan tegak lurus dengan garis x+ 2y = 7 ! ****** D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003, Matematika Bisnis, Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.
[ 82 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE- 11 POKOK BAHASAN FUNGSI LINIER [2] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah Anda mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan dapat: 1.5. Meyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel. B. URAIAN MATERI FUNGSI LINIER PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL Yang dimaksud menyelesaikan persamaan linier dua variabel yaitu menghitung besarnya nilai variabel-variabel yang memenuhi kedua persamaan linier. Metode untuk menentukan nilai variabel-variabel dari persamaan linier, dapat dilakukan melalui tiga cara, yaitu: 1. Cara Substitusi Substitusi yaitu penyelesaian dua persamaan dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu salah satu persamaan, kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang lain. Contoh soal: Tentukan variabel-variabel x dan y yang memenuhi persamaan 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23! Penyelesaian: Kita selesaikan terlebih dahulu persamaan: x + 4 y = 23. sehingga menjadi: x = 23 - 4 y . Substitusikan x = 23 - 4y ke persamaan 2x + 3y = 21, sehingga diperoleh: 2 x + 3y = 21 2 (23 - 4y) + 3y = 21
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 83 ] 46 – 8y + 3y = 21 -5 y = 21 – 46 y = −25 −5 y = 5 Substitusikan y = 5 ke salah satu persamaan di atas, misla ke x = 23 – 4y. y = 5 x = 23 – 4y x = 23 – 4 (5) x = 23 – 20 x = 3 Jadi akar-akar persamaan tersebut x = 3 , dan y = 5 2. Cara Eliminasi Eliminasi yaitu penyelesaian dua persamaan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan yang lain. Contoh: Dengan menggonakan cara eliminasi tentukan variabel-variabel x dan y yang memenuhi persamaan 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23. Penyelesaian: Eliminasi x: 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 x1 x2 2x + 3y = 21 2x + 8y = 46 (-) 0 - 5y = -25 y = 5 Eliminasi y: 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 x4 x3 8x + 12y = 84 3x + 12y = 69 (-) 5x + 0 = 15 x = 3 Jadi akar-akar persamaan tersebut x = 3 , dan y = 5
[ 84 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN 3. Cara Determinan Untuk mencari akar-akar dari persamaan linier mengunakan cara determinan terlebih dahulu bentuk persamaan linier dirubah menjadi bentuk matrik sebagai berikut: ax + by = c Bentuk matriksnya [ a ][ ] dx + ey = f Untuk mencari variabel x: x = = | | | | = − − Dimana: D = Determinan matriks koefisien Dx = Determinan matrik dengan menggantikan variabel x dengan konstanta. Untuk mencari variabel y: y = = | | | | = − − Dimana: D = Determinan matriks koefisien Dy = Determinan matrik dengan menggantikan variabel y dengan konstanta. Contoh soal: Dengan cara determinan, carilah nilai variabel-variabel x dan y yang memenuhi persamaan 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23. Penyelesaian: 2x + 3y = 21 Bentuk matriksnya [ 2 3 1 4 ][ 21 23] x + 4y = 23 Untuk mencari variabel x: x = = | 21 3 23 4 | | 2 3 1 4 | = (21)(4)−(23)(3) (2)(4)−(1)(3) = 84− 69 8−3 = 15 5 = 3 Untuk mencari variabel y: y = = | 2 21 1 23| | 2 3 1 4 | = (2)(23)−(1)(21) (2)(4)−(1)(3) = 46− 21 8−3 = 25 5 = 5 Jadi akar-akar persamaan tersebut x = 3 , dan y = 5
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 85 ] C. LATIHAN SOAL/TUGAS Tentukan nilai X dan Y dengan metode substitusi, eliminasi dan matriks yang memenuhi fungsi linier: 1. 2X + 3Y = 16 dan X – 2Y = 4 2. 3X - 2Y = 6 dan X + Y = 4 3. X – Y = 16 dan 4X + 2Y = 28 4. X + 2Y = 5 dan 2X + 3Y = 8 5. X + 2Y = 2 dan X – 2Y = 2 **** D. DAFTAR PUSTAKA Badrudin, R. & Algifari. 2003, Matematika Bisnis, Yogyakarta: BPFEYogyakarta. Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta. Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007. Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima. Jakarta: Salemba Empat. Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media. Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.
[ 86 ] PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE- 12 POKOK BAHASAN PENERAPAN FUNGSI LINIER [1] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah Anda mempelajari modul ini diharapkan dapat: 1.1. Menjelaskan dan menggambar grafik fungsi permintaan. 1.2. Menjelaskan dan menggambar grafik fungsi penawaran. 1.3. Menghitung harga dan jumlah keseimbangan pasar. B. URAIAN MATERI PENERAPAN FUNGSI LINIER DALAM EKONOMI Fungsi linier sangat lazim diterapkan dalam ilmu ekonomi, baik dalam pembahasan ekonomi mikro maupun ekonomi makro. Dalam Teori Ekonomi Mikro, fungsi linier dipergunakan untuk menentukan : a. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar. b. Pengaruh pajak-spesifik terhadap keseimbangan pasar. c. Pengaruh pajak-proporsional terhadap keseimbangan pasar. d. Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar. Sedangkan dalam Teori Ekonomi Makro fungsi linier dipergunakan untuk menentukan : a. Fungsi konsumsi dan fungsi tabungan b. Pendapatan disposibel c. Fungsi pajak d. Fungsi investasi e. Fungsi impor f. Pendapatan nasional
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ i ] MATA KULIAH MATEMATIKA EKONOMI-1 Identitas Mata Kuliah Program Studi : MATEMATIKA EKONOMI-1 Mata Kuliah / Kode : Matematika Ekonomi / E021402 Jumlah SKS : 3 SKS Prasyarat : -- Deskripsi Mata Kuliah : Mata kuliah matematika ekonomi 1 ini merupakan mata kuliah di Program Studi Manajemen jenjang S-1 Fakultas Ekonomi, Universitas Pamulang. Setelah mengikuti kegiatan perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan akan memiliki kemampuan dalam menggunakan pendekatan analisis matematis dalam menyelesaikan persoalan ekonomi makro dan mikro, yang berguna dalam pengambilan keputusan. Materi yang dibahas dalam mata kuliah ini mencakup Himpunan, Sistem Bilangan, Akar, Pangkat dan Logaritma, Barisan dan Deret, Fungsi, Hubungan Linier dan Hubungan Non Linier. Capaian Pembelajaran : Setelah mengikuti kegiatan perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan akan memiliki kemampuan dalam menggunakan pendekatan analisis matematis dalam menyelesaikan persoalan ekonomi makro dan mikro, yang berguna dalam pengambilan keputusan. Penyusun : Drs. Gatot Kusjono, MM (Ketua) Suprianto, SPd, MM (Anggota 1) Milwani, S.Si, MM (Anggota 2) Ketua Program Studi Ketua Team Teaching Ttd Zaenal Abidin, SPd., M.Si Drs. Gatot Kusjono, MM NIDN. 0319076802 NIDN. 0402076701
Modul MATEMATIKA EKONOMI-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ ii ]