ระบบสมการเชิงเส้น สองตัวแปร
2 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 แนะน�าระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B และ C เป็นค่าคงตัü ที่ A และ B ไม่เป็นýูนย์พร้อมกัน x และ y เป็นตัüแปรที่แทนจ�านüนจริงใดๆ โดยทั่üไปเรียกคู่อันดับ (x, y) ที่ÿอดคล้องกับÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร Ax + By + C = 0 ü่าค�าตอบของÿมการ และกราฟแÿดงค�าตอบของÿมการ Ax + By + C = 0 จะเป็นเÿ้นตรง เรียกเÿ้นตรงนี้ü่าเÿ้นตรง Ax + By + C = 0 ตัวอย่าง ÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร 2x + y = 3 เมื่อ x และ y แทนจ�านüนจริงใดๆ จะมีกราฟเป็นเÿ้นตรง ดังนี้ ÿ�าĀรับคู่อันดับ (x, y) ใดๆ จะเป็นคู่อันดับที่ÿอดคล้องกับÿมการ 2x + y = 3 ก็ต่อเมื่อ แทนค่า x และค่า y ของแต่ละคู่อันดับนั้นในÿมการ 2x + y = 3 แล้üท�าใĀ้ได้ÿมการที่เป็นจริง เรียกคู่อันดับที่ ÿอดคล้องเĀล่านั้นü่า ค�ำตอบของสมกำร 2x + y = 3 คู่อันดับ (x, y) ที่เป็นค�าตอบเĀล่านั้นจะเป็นพิกัดของจุดที่อยู่บนเÿ้นตรง 2x + y = 3 ในทางกลับกัน คู่อันดับ (x, y) ที่เป็นพิกัดของจุดที่อยู่บนเÿ้นตรง 2x + y = 3 ก็เป็นค�าตอบของÿมการ 2x + y = 3 ด้üย เนื่องจากคู่อันดับที่ÿอดคล้องกับÿมการ 2x + y = 3 มีมากมายไม่จ�ากัด ดังนั้นÿมการ 2x + y = 3 จึงมีค�าตอบมากมายไม่จ�ากัด 1.1
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 3 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (System of linear equations with two variables) ใĀ้a, b, c, d, e และ f เป็นจ�านüนจริงที่ a, b ไม่เป็นýูนย์พร้อมกัน และ c, d ไม่เป็นýูนย์พร้อมกัน ระบบที่ประกอบด้üยÿมการ ax + by = e cx + dy = f เรียกü่า ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปรที่มี x และ y เป็นตัวแปร โดยที่ a และ c เป็นÿัมประÿิทธิ์ของ x b และ d เป็นÿัมประÿิทธิ์ของ y ค�าตอบของระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร คือ คู่อันดับ (x, y) ที่ÿอดคล้องกับÿมการทั้งÿองของ ระบบÿมการ Āรือกล่าüได้ü่าค�าตอบของระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร คือ คู่อันดับ (x, y) ที่ค่า x และ ค่า y ท�าใĀ้ได้ÿมการที่เป็นจริงทั้งÿองÿมการ เนื่องจากค�าตอบของระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร คือ คู่อันดับ (x, y) ที่ÿอดคล้องกับÿมการทั้ง ÿอง ดังนั้นการĀาค�าตอบของระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร คือ การĀาจุดร่üมของระบบÿมการนั่นเอง พิจารณาตัüอย่างต่อไปนี้ ก� ตัวอย่าง าĀนดใĀ้ x + 2y = 4 ________(1) 2x + 3y = 7 ________(2) เขียนกราฟของÿมการทั้งÿองได้ดังนี้ จากกราฟจะเĀ็นü่ามีคู่อันดับมากมายที่เป็นค�าตอบของÿมการ x + 2y = 4 และมีคู่อันดับมากมายที่เป็นค�าตอบของÿมการ 2x + 3y = 7 เนื่องจากกราฟของทั้งÿองเป็นเÿ้นตรงÿองเÿ้นซึ่งตัดกันที่จุด (2, 1) เพียงจุดเดียü แÿดงü่ามีคู่อันดับเพียงคู่เดียü คือ (2, 1) ที่เป็นค�าตอบของทั้งÿองÿมการ ดังนั้น ระบบÿมการนี้มีค�าตอบเพียงค�าตอบเดียü คือ (2, 1)
4 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ก�าĀนดใĀ้ y + x = –2 ________(1) 2y + 2x = –4 ________(2) เขียนกราฟของทั้งÿองÿมการได้ดังนี้ ตัวอย่าง จากกราฟ จะเĀ็นü่ามีคู่อันดับมากมายที่เป็นค�าตอบของ ÿมการ y + x = –2 และมีคู่อันดับมากมายที่เป็นค�าตอบ ของÿมการ 2y + 2x = –4 เนื่องจากกราฟของÿมการทั้งÿองเป็นเÿ้นตรงÿองเÿ้น ซึ่งทับกันĀรือเป็นเÿ้นตรงเดียüกันแÿดงü่าคู่อันดับ ทุกคู่อันดับที่เป็นพิกัดของจุดบนเÿ้นตรงที่ทับกันนี้ เป็นค�าตอบของทั้งÿองÿมการ ดังนั้น ระบบสมกำรนี้จึงมีค�ำตอบมำกมำยไม่จ�ำกัด โดยทุกคู่อันดับที่เป็นค�าตอบต้องÿอดคล้องกับÿมการ y + x = –2 Āรือÿมการ 2y + 2x = –4 ก�าĀนดใĀ้ x – 3y = 6 ________(1) 2x – 6y = 8 ________(2) เขียนกราฟของÿมการทั้งÿองได้ดังนี้ ตัวอย่าง จากกราฟ จะเĀ็นü่ามีคู่อันดับมากมายที่เป็นค�าตอบของÿมการ x – 3y = 6 และมีคู่อันดับมากมายที่เป็นค�าตอบของÿมการ 2x – 6y = 8 เนื่องจากกราฟของÿมการทั้งÿองเป็นเÿ้นตรงซึ่งขนานกัน จึงไม่ตัดกัน ท�าใĀ้ไม่มีจุดตัด ดังนั้น จึงไม่มีคู่อันดับใดเป็นค�าตอบของทั้งÿองÿมการ ระบบสมกำรนี้จึงไม่มีค�ำตอบ
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5 จงเขียนกราฟของระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรในแต่ละข้อต่อไปนี้ แล้üพิจารณาü่าแต่ละระบบÿมการนั้นมีค�าตอบเดียüĀรือมีค�าตอบมากมาย ไม่จ�ากัด Āรือไม่มีค�าตอบ แบบฝึกหัดที่ 1 1 3 2 4 _________________________________ _________________________________ 2x – y – 5 = 0 2x + y – 5 = 0 _________________________________ _________________________________ 3x – 2y = 3 3x = 2y – 6 _________________________________ _________________________________ x – 2y = –3 –3x + 6y = 9 _________________________________ _________________________________ y = x + 3 y = 2x + 6 2
6 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5 7 6 8 _________________________________ _________________________________ _________________________________ 2x – 5y = 10 3x – 5y = –15 _________________________________ _________________________________ _________________________________ x – 2y = –4 3x + 4y = 18 _________________________________ _________________________________ _________________________________ y = – x + 4 y = x – _________________________________ _________________________________ _________________________________ 3x – y = 7 4x – 3y = 11 2 3 3 2 14 3
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 7 9 10 _________________________________ _________________________________ _________________________________ 2x – 3y = –9 3(x – 1) = 5(y – 4) + 2 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 2x + y = 14 3x – y = 1 จากกราฟของระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรต่อไปนี้จงพิจารณาü่า แต่ละระบบÿมการมีค�าตอบĀรือไม่ ในกรณีที่มีค�าตอบใĀ้ระบุค�าตอบนั้น แบบฝึกหัดที่ 2 1 2
8 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5 3 6 4 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 9 7 9 8 10 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________
10 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ก�าĀนดระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร ดังนี้ 2x + y = 3 ________(1) x – 3 = 0 ________(2) 2x + y + 5 = 0 ________(3) x + y = 0 ________(4) y = –3 ________(5) แบบฝึกหัดที่ 3 1 5 3 2 6 4 จงเติมĀมายเลขของÿมการลงในช่องü่างใĀ้ ÿอดคล้องกับกราฟของÿมการที่ก�าĀนดใĀ้ ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรที่ประกอบด้üยÿมการ (2) และ (5) มีค�าตอบĀรือไม่ ในกรณีที่มีค�าตอบเดียüใĀ้ระบุค�าตอบนั้น _____________________________________________________________________ ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรที่ประกอบด้üยÿมการ (3) และ (4) มีค�าตอบĀรือไม่ ในกรณีที่มีค�าตอบเดียüใĀ้ระบุค�าตอบนั้น _____________________________________________________________________ ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรที่ประกอบด้üยÿมการ (1) และ (3) มีค�าตอบĀรือไม่ ในกรณีที่มีค�าตอบเดียüใĀ้ระบุค�าตอบนั้น _____________________________________________________________________ ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรที่ประกอบด้üยÿมการ (1) และ (4) มีค�าตอบĀรือไม่ ในกรณีที่มีค�าตอบเดียüใĀ้ระบุค�าตอบนั้น _____________________________________________________________________ ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรที่ประกอบด้üยÿมการ (2), (4) และ (5) มีค�าตอบĀรือไม่ ในกรณีที่มีค�าตอบเดียüใĀ้ระบุค�าตอบนั้น _____________________________________________________________________
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 11 ก�าĀนดกราฟของÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร ดังนี้ แบบฝึกหัดที่ 4 จากกราฟ จงตอบค�าถามแต่ละข้อต่อไปนี้ 1 5 3 2 6 4 ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรที่ประกอบด้üยกราฟใดไม่มีค�าตอบ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ กราฟของÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรใดที่มี(4, 6) เป็นค�าตอบของÿมการ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรที่ประกอบด้üยกราฟ (2) และ (5) มีค�าตอบĀรือไม่ ถ้ามีใĀ้ระบุค�าตอบนั้น ______________________________________________________________________ กราฟของÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรใดที่มี(–3, 2.5) เป็นค�าตอบของÿมการ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรที่ประกอบด้üยกราฟ (2) และ (3) มีค�าตอบĀรือไม่ ถ้ามีใĀ้ระบุค�าตอบนั้น ______________________________________________________________________ กราฟของÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรใดที่มี(–1, –3) เป็นค�าตอบของÿมการ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
12 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 การĀาค�าตอบของระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรที่ใช้üิธีพิจารณาจากกราฟของÿมการเชิงเÿ้น ÿองตัüแปรที่กล่าüมาแล้ü อาจมีปัญĀาเพราะการอ่านพิกัดที่เป็นค�าตอบของÿมการอาจคลาดเคลื่อนจาก ค่าที่แท้จริง เพื่อคüามถูกต้องในการĀาค�าตอบของระบบÿมการ ÿามารถแก้ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร โดยใช้สมบัติของกำรเท่ำกัน เช่น ÿมบัติÿมมาตร ÿมบัติถ่ายทอด ÿมบัติของการเท่ากันเกี่ยüกับการบüก และÿมบัติของการเท่ากันเกี่ยüกับการคูณ มาช่üยในการĀาค�าตอบของระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรชุดใĀม่จะÿมมูลกับระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรที่ก�าĀนดใĀ้ดังนั้น ถ้าการค�านüณในแต่ละขั้นตอนถูกต้อง ก็ไม่มีคüามจ�าเป็นต้องตรüจค�าตอบ การแก้ระบบÿมการด้üยวิธีกำรก�ำจัดตัวแปร (elimination method) ซึ่งเป็นการท�าÿัมประÿิทธิ์ ของตัüแปรใดตัüĀนึ่งใĀ้เป็นจ�านüนตรงข้ามกันĀรือเป็นจ�านüนที่เท่ากัน จากนั้นจึงน�าจ�านüนที่อยู่ข้าง เดียüกันของเครื่องĀมายเท่ากับของÿมการทั้งÿองมาบüกĀรือลบกัน เพื่อใĀ้ได้ÿมการใĀม่ที่มีตัüแปรเพียง ตัüเดียü แล้üจึงแก้ÿมการนี้เพื่อใĀ้ได้ค่าของตัüแปรนั้น Āลังจากนั้นน�าค่าของตัüแปรที่ได้ไปแทนในÿมการ ที่เĀมาะÿม เพื่อใĀ้ได้ค่าของตัüแปรอีกตัüĀนึ่งที่เĀลือ 1.2 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร จงแก้ระบบÿมการต่อไปนี้ ตัวอย่าง 5x + 3y = 10 4x – 2y = 8 วิธีท�ำ 5x + 3y = 10 ________(1) 4x – 2y = 8 ________(2) (1) × 2; 10x + 6y = 20 ________(3) (2) × 3; 12x – 6y = 24 ________(4) (3) + (4); 22x = 44 x = 2 แทน x ด้üย 2 ในÿมการ (1) จะได้ 5(2) + 3y = 10 3y = 0 y = 0 ดังนั้น ระบบÿมการนี้มีค�าตอบ คือ (2, 0)
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 13 จงแก้ระบบÿมการต่อไปนี้ 3x + 3 = 23 – 4y + = 4 วิธีท�ำ 3x + 3 = 23 – 4y ________(1) + . = 4 ________(2) จากÿมการ (1); 3x + 4y = 20 ________(3) (2) × 12; 3x + 4y = 48 ________(4) (3) – (4); 0 = –28 ซึ่งเป็นÿมการที่ไม่เป็นจริง ดังนั้น ระบบÿมการนี้ไม่มีค�าตอบ ตัวอย่าง ตัวอย่าง x 4 x 4 y 3 y 3 แสดงว่าไม่มีค่า x และค่า y ที่สอดคล้องกับทั้งสองสมการ จงแก้ระบบÿมการต่อไปนี้ x – y = 2 y – 2x = –4 วิธีท�ำ x – y = 2 ________(1) y – 2x = –4 ________(2) (1) × 2; 2x – y = 4 ________(3) (2) + (3); 0 = 0 ซึ่งเป็นÿมการที่เป็นจริง แÿดงü่า ÿมการ (1) และÿมการ (2) มีค�าตอบเĀมือนกัน และมีค�าตอบมากมายไม่จ�ากัด Āาคู่อันดับที่เป็นค�าตอบของระบบÿมการนี้ได้จากÿมการใดÿมการĀนึ่ง ดังนี้ จากÿมการ (2) จะได้y = 2x – 4 ดังนั้น ระบบÿมการนี้มีค�าตอบมากมายไม่จ�ากัดอยู่ในรูป (x, 2x – 4) เมื่อ x แทนจ�านüนจริงใดๆ 1 2 1 2 เขียนตัวแปร y ให้อยู่ในรูปตัวแปร x เพื่อสะดวกต่อการหาคู่อันดับที่เป็นค�าตอบ
14 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 การแก้ระบบÿมการด้üยüิธีการแทนค่า (substitution method) ซึ่งเป็นการจัดรูปÿมการใด ÿมการĀนึ่งเพื่อท�าใĀ้ตัüแปรตัüĀนึ่งอยู่ในรูปของตัüแปรอีกตัüĀนึ่ง แล้üแทนตัüแปรที่ได้ลงในอีกÿมการ เพื่อใĀ้ได้ÿมการใĀม่ที่มีตัüแปรเพียงตัüเดียü จากนั้นจึงแก้ÿมการนี้เพื่อใĀ้ได้ค่าของตัüแปรนั้น แล้üน�าค่าของตัüแปรที่ได้นี้ไปแทนในÿมการที่เĀมาะÿม เพื่อใĀ้ได้ค่าของตัüแปรอีกตัüĀนึ่งที่เĀลือ จงแก้ÿมการต่อไปนี้ x + 3y = 10 x + 9y = 22 วิธีท�ำ x + 3y = 10 ________(1) x + 9y = 22 ________(2) จากÿมการ (1) จะได้ x = 10 – 3y ________(3) แทน x ด้üย 10 – 3y ในÿมการ (2) จะได้ (10 – 3y) + 9y = 22 10 – 3y + 9y = 22 6y = 12 y = 2 แทน y ด้üย 2 ในÿมการ (3) จะได้ x = 10 – 3(2) = 10 – 6 = 4 ดังนั้น ระบบÿมการนี้มีค�าตอบ คือ (4, 2) ตัวอย่าง จงแก้ระบบÿมการต่อไปนี้ 5(y – 2) – 6x = 7 2(x + 5) – (y – 1) = 4 วิธีท�ำ 5(y – 2) – 6x = 7 ________(1) 2(x + 5) – (y – 1) = 4 ________(2) จากÿมการ (2); 2x + 10 – y + 1 = 4 2x – y = –7 y = 2x + 7 ________(3) แทน y ด้üย 2x + 7 ในÿมการ (1) จะได้ 5[(2x + 7) – 2] – 6x = 7 5(2x + 5) – 6x = 7 ตัวอย่าง
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 15 10x + 25 – 6x = 7 4x = –18 x = – แทน x ด้üย – ในÿมการ (3) จะได้ y = 2(– ) + 7 y = –2 ดังนั้น ระบบÿมการนี้มีค�าตอบ คือ (– , –2) 9 2 9 2 9 2 9 2 แบบฝึกหัดที่ 1 จงแก้ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรต่อไปนี้ 1 3 2 4 2x + y = 5 3x + 2y = 8 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ x – y = 2 3x – 2y = 7 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 2x – 3y = 6 4x – 6y = 12 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ x – 2y = 3 2x – 4y = 8 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________
16 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5 7 9 6 8 10 3x – 2y = 6 –5x + 6y = 30 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ + = 1 – = –7 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 3x + y = 5 6x + 2y = 10 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 0.2x + 0.5y = –0.5 0.4x + 0.3y = –1.7 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 4x – 2y = 9 8x – 4y = –4 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 5x – y = 19 2x + 3y = 63 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 6 x 9 x 6 y 8 y
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 17 2x – y = 4 x + 3y = 9 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 3x – y = 7 2y = 6x + 10 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 0.4x + 0.2y = 1 0.9x + 0.7y = 3 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 4x – y = –3 3x + y = –1 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 4x – 3y = 12 x – y = 1 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ – = 12 – = 16 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ แบบฝึกหัดที่ 2 จงแก้ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรต่อไปนี้ 1 5 3 2 6 4 1 3 1 4 7 y 6 x 15 x 14 y
18 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 = x – 4x – 2y = 3 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 5(x + 2y) – (x + 11y) = 14 4x + 3y = 38 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 7 9 8 10 4x – 3y = 12 x = y + 3 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 2x – 6y = 5 x – 3y = 3 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 2x + 5y = 11 3x – y = –9 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ x + 2y – 1 = 0 2x + 4y – 5 = 0 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ จงแก้ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรต่อไปนี้ 1 2 3 4 y 2 7 2 แบบฝึกหัดที่ 3
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 19 2x + y = 8 4x + 2y = 16 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ – = – = 1 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ x – 5y = 3 y = _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 0.4x – 0.5y = 3.3 0.3x – 0.2y = 1.6 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 5x – 4y = 1 x – y = –7 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ – = – + = 4 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 5 3 7 6 4 8 x 4 x 3 y 5 y 2 1 20 x − 6 5 y 9 x 5 y 3 1 2 x 10
20 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5x – 2y = 30 10x + 3y = 25 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 4(x – 2y) – (5x + 3y) = 30 3(3x + 7y) – 2(x + 9y) = 12 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 9 10 x – 2y = –3 –3x + 6y = 9 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 5(x – 2y) – 20 = 0 – y = 6 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 3x – 2y = 6 6y – 5x = 30 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 3x – 7y = 2 2x – y = _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ จงแก้ระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปรต่อไปนี้ 1 3 2 4 x 2 แบบฝึกหัดที่ 4 4 3 14 3
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 21 5 7 9 6 8 10 – = 1 + = – _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 26x + 3y + 4 = 0 (x – 2) = (1 – y) _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 7(x + 1) – 5(y + 3) = 11 5(x – 8) + 3(2y – 3) =22 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 2(3x + 2y) = 14 x = – y + _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ – = 6 + = 3 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 2x – 3y = –9 3(x – 1) = 5(y – 4) + 2 _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ 1 5 1 4 x 3 x 5 y 9 y 2 2 3 7 3 11 10 8 x 10 y 12 x 15 y
22 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 แบบฝึกหัดที่ 5 1 5 3 2 4 ก�าĀนดระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร 5x + 1 = y – 12 3(2y – 3x) = 45 จงĀาค่าของ (2x + y)2 _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ ถ้า (3, –1) เป็นค�าตอบของÿมการ ax + by = 5 –bx + ay = –15 จงĀาค่าของ a + b _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ ก�าĀนดระบบÿมการเชิงเÿ้นÿองตัüแปร 4(x – 2y) – (5x – 3y) = 3 3(3x + 6y) – 2(x + 8y) = 12 จงĀาค่าของ x 3 – y3 _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ ถ้า (1, –2) เป็นค�าตอบของระบบÿมการ x + ay = 3 bx – y = 4 จงĀาค่าของ a2 + b2 _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ ถ้า (x, y) เป็นค�าตอบของระบบÿมการ 0.3x – 0.4y = –0.7 0.6x + 0.5y – 1.2 = 0 จงĀาค่าของ 9x – 5y _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 23 จ�านüนที่มีÿองĀลักจ�านüนĀนึ่ง มีเลขโดดในĀลักÿิบมากกü่าเลขโดดในĀลักĀน่üยอยู่4 และผลบüกของจ�านüนนี้กับจ�านüนที่ได้จากการÿลับที่เลขโดดเป็น 154 จงĀาจ�านüนนั้น วิธีท�ำ ใĀ้ x แทนเลขโดดในĀลักÿิบ y แทนเลขโดดในĀลักĀน่üย เลขโดดในĀลักÿิบมากกü่าเลขโดดในĀลักĀน่üยอยู่4 จะได้ÿมการเป็น x – y = 4 ________(1) จ�านüนที่มีÿองĀลักที่กล่าüถึงคือ 10x + y เมื่อÿลับที่เลขโดดทั้งÿองจะได้จ�านüนใĀม่เป็น 10y + x ผลบüกของจ�านüนนี้กับจ�านüนที่ได้จากการÿลับที่เลขโดดเป็น 154 จะได้ÿมการเป็น (10x + y) + (10y + x) = 154 11x + 11y = 154 x + y = 14 ________(2) (1) + (2); 2x = 18 x = 9 แทน x ด้üย 9 ในÿมการ (2) จะได้ 9 + y = 14 y = 5 ดังนั้น จ�านüนนั้นคือ 95 ตรวจสอบเงื่อนไขในโจทย์ ถ้าจ�านüนนั้นคือ 95 เลขโดดในĀลักÿิบมากกü่าเลขโดดในĀลักĀน่üยอยู่9 – 5 = 4 และผลบüกของจ�านüนนี้กับจ�านüนที่ได้จากการÿลับที่เลขโดดเป็น 95 + 59 = 154 ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์ 1.3 การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ตัวอย่าง ร้านค้าขายอาĀารผÿมÿ� ตัวอย่าง าĀรับนกเขา โดยผÿมจากเมล็ดข้าüฟ่างÿีด�าและเมล็ดขาüฟ่างÿีแดง ซึ่งร้านค้าซื้อมาราคากิโลกรัมละ 50 บาท และ 65 บาท ตามล�าดับ จงĀาü่าจะต้องใช้ อัตราÿ่üนของเมล็ดข้าüฟ่างÿีด�าต่อเมล็ดข้าüฟ่างÿีแดงโดยน�้าĀนักเท่าไร เมื่อขายอาĀารผÿมนี้ ในราคากิโลกรัมละ 70 บาท แล้üได้ก�าไร 10% วิธีท�ำ ใĀ้ร้านค้าซื้อเมล็ดข้าüฟ่างÿีด�า x กิโลกรัม ราคากิโลกรัมละ 50 บาท คิดเป็นเงิน 50x บาท และซื้อเมล็ดข้าüฟ่างÿีแดง y กิโลกรัม ราคากิโลกรัมละ 65 บาท คิดเป็นเงิน 65y บาท
24 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ดังนั้น อาĀารผÿม x + y กิโลกรัม คิดเป็นต้นทุน 50x + 65y บาท ขายอาĀารผÿม x + y กิโลกรัม ในราคากิโลกรัมละ 70 บาท ได้เงิน 70(x + y) บาท จะได้ก�าไร 70(x + y) – (50x + 65y) บาท แต่ได้ก�าไร 10% คิดเป็นเงิน (50x + 65y) บาท จะได้ÿมการเป็น 70(x + y) – (50x + 65y) = (50x + 65y) 70x + 70y – 50x – 65y = 5x + 6.5y 15x = 1.5y = ดังนั้น อัตราÿ่üนของเมล็ดข้าüฟ่างÿีด�าต่อเมล็ดข้าüฟ่างÿีแดงเป็น 1 : 10 โดยน�้าĀนัก ตรวจสอบเงื่อนไขในโจทย์ ถ้าใช้เมล็ดข้าüฟ่างÿีด�า 1 กิโลกรัม เมล็ดข้าüฟ่างÿีแดง 10 กิโลกรัม ดังนั้นอาĀารผÿม 1 + 10 = 11 กิโลกรัม จะได้ต้นทุนเป็น 50(1) + 65(0) = 700 บาท ขายกิโลกรัมละ 70 บาท ได้เงิน 70(11) = 770 บาท ได้ก�าไร 770 – 700 = 70 บาท คิดเป็น × 100 = 10% เป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์ 10 100 10 100 x y 1 10 70 700 เมื่อเüลา 7.30 น. แคนขับรถยนต์ออกจากปีนังไปตามถนนÿายĀนึ่งด้üยอัตราเร็ü 60 กิโลเมตร ต่อชั่üโมง อีก 1 ชั่üโมงต่อมา แมนขับรถยนต์ออกจากที่เดียüกันและไปตามเÿ้นทางเดียüกัน ด้üยอัตราเร็üมากกü่าแคน 20 กิโลเมตรต่อชั่üโมง จงĀาü่าแมนจะตามแคนทันในเüลาอะไร วิธีท�ำ ใĀ้แคนขับรถยนต์จากปีนังไปถึงจุดที่แมนตามแคนทัน ใช้เüลา x ชั่üโมง และแมนขับรถยนต์จากเมืองปีนังไปถึงจุดที่แมนตามแคนทันใช้เüลา y ชั่üโมง เขียนแผนภาพประกอบแÿดงรายละเอียดของโจทย์ปัญĀาได้ดังนี้ ตัวอย่าง
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 25 ใช้คüามÿัมพันธ์ระยะทาง = อัตราเร็ü × เüลา และÿร้างตารางüิเคราะĀ์โจทย์ดังนี้ สถำนกำรณ์ เวลำ (ชั่วโมง) อัตรำเร็ว (กิโลเมตรต่อชั่วโมง) ระยะทำง (กิโลเมตร) แคนขับรถ x 60 60x แมนขับรถ y 80 80y เนื่องจาก แคนใช้เüลาในการเดินทางมากกü่าแมน 1 ชั่üโมง จะได้ÿมการเป็น x – y = 1 ________(1) และเนื่องจาก ระยะทางที่ทั้งÿองคนขับรถยนต์ได้เท่ากัน จะได้ÿมการเป็น 60x = 80y ________(2) จากÿมการ (2): 60x – 80y = 0 ________(3) (1) × 60; 60x – 60y = 60 ________(4) (4) – (3); 20y = 60 y = 3 แทน y ด้üย 3 ในÿมการ (1) จะได้ x – 3 = 1 x = 4 นั่นคือ แคนขับรถ 4 ชั่üโมง และแมนขับรถ 3 ชั่üโมง เนื่องจาก แมนเริ่มขับรถเมื่อเüลา 08.30 น. ดังนั้น แมนจะขับรถทันแคนเมื่อเüลา 11.30 น. แบบฝึกหัดที่ 1 1 เลขจ�านüนĀนึ่งมีÿองĀลัก มีค่าเป็นแปดเท่าของผลบüกของเลขโดดทั้งÿอง ถ้าน�า 45 ลบออกจาก เลขจ�านüนนั้น ผลลัพธ์เท่ากับจ�านüนที่ได้จากการÿลับที่เลขโดด จงĀาจ�านüนนั้น ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________
26 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 3 2 4 ลüดĀนามขดĀนึ่งยาü 44 เมตร น�าไปล้อมรั้üที่ดินแปลงĀนึ่งรูปÿี่เĀลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านกü้าง ÿั้นกü่าด้านยาü 8 เมตร ได้พอดีจงĀาพื้นที่ของที่ดินแปลงนี้เป็นกี่ตารางเมตร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ข้าüปั้นมีเงินเก็บอยู่180,000 บาท ÿ่üนĀนึ่งน�าไปฝากธนาคารเพื่อรับดอกเบี้ย 2% อีกÿ่üนĀนึ่ง น�าไปลงทุนเพื่อรับเงินปันผล 6% ÿิ้นปีมีรายได้รüมกัน 8,000 บาท อยากทราบü่าข้าüปั้นน�าเงิน ไปลงทุนแต่ละประเภทเท่าใด ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ เมือง A และเมือง B อยู่Ā่างกัน 480 กิโลเมตร ปกรณ์ขับรถยนต์จากเมือง A ไปเมือง B ÿ่üนÿาธิต ขับรถยนต์จากเมือง B ไปเมือง A บนเÿ้นทางเดียüกัน ทั้งÿองออกเดินทางเüลา 6.00 น. พร้อมกัน ทั้งÿองจะพบกันเüลา 9.00 น. โดยปกรณ์ขับรถได้ระยะทางมากกü่าÿาธิต 30 กิโลเมตร จงĀาü่า แต่ละคนขับรถด้üยอัตราเร็üเท่าไร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________
บทท ี 2 ่ การแยกตวป ั ท ี ม ่ ด ี กร ี สูง ี
ประกอบของพหุนาม งกว ่ าสอง
ในกรณที ั วไป ่ ให้ A แทนพจนหน์ ้ า แ ผลบวกของกําลงสาม ั A + B = (A + B ผลต่ างของกําลงสาม ั A - B = (A - 3 3 3 3
และ B แทนพจนหล์งั B)(A - AB + B ) B)(A + AB + B ) 2 2 2 2
เพือให่้ นกเรั ยนจําได ี ้ ง่ ายขนึ้ให้น แทนพ ผลบวกของกําลงสาม ั น + ล = (น + ล ผลต่ างของกําลงสาม ั น - ล = (น - ล 3 3 3 3
พจนหน์ ้ า และ ล แทนพจนหล์งั )(น - นล + ล ) )(น + นล + ล ) 2 2 2 2
ตวอยั ่ างที 1 ่จงแยกตวประกอบของพหุนามในแต ั ่ ละข้ อต่ อไปนี ้ 1) x + 27 3 2) x - 125 3 ตวอยั ่ างเพิ มเต่มิ 1) จงแยกตวประกอบของ ั x + 1 3 = ×3+33 = 1 × + 3) 1×2-1×1 (3) +32) = lx + 3) 1×2-3 × + 9) = ×3- 53 = lx - 5) ( × 2 + (X)(5) +52) = ( × - 5) / \/2+5×+25) ×ำ 1 = ×ำ 13 = 1 × + 1) ( × 2- (x )(1) +1 2) = 1 × + 1) ( × 2- × + 1) r
2) จงแยกตวประกอบของ ั x - 8 3 3) จงแยกตวประกอบของ ั 8x - 27 3 4) จงแยกตวประกอบของ ั 27x + 64 3 × 3- 8 = × 3- 23 = (×- 2) 1 × " + (x)(2) +22) = (×- 2) 1×2+2× + 4) × 8×ำ ๆ = 2# 33 = 12× )3-33 = (2×-3)/12×)2+(2×113) +32) - - (2×-3)(4×2+6×+9) ×
ตวอยั ่ างที 2 ่จงแยกตวประกอบของพหุนามในแต ั ่ ละข้ อต่ อไปนี ้ 1) 8x + 729 3 2) 1,000x - 343 3 $%ง สอง $%ง สวม = 2# +์ 22=2×2 = 4 23 = 2×2×2=8 = | 2× ) 3 + 9 3 32 = 3×3=9 33=3×3×3 ะ 27 = (2×+9) 112ใ-12×|(9) + 9 4 42 = 4×4=16 43=4×4×4 = 64 = (2×+9) (4×2-18×+81) 52 = 2 5 53= 125=5×5×5 62 = 36 63 = 216 ๆ ? 49 73=343 82 = 64 83= 512 92 = 8 1 93= 729 102=100 103= 1,000 1000×3-343 = 110× ) 3- ๆ 3 = (10×-7)(แอ×1ำ ( เอ×) (ๆ) + ๆ 2) = 110× - 7) (100×2+70×+49)
ตวอยั ่ างที 3 ่จงแยกตวประกอบของพหุนามในแต ั ่ ละข้ อต่ อไปนี ้ 1) 8,000 - x3 2) 27 + 512x3 = 203_ × 3 ไป\ = 120 - × 1 (202+120) 1×) + ×2) 8 1,000 = 120 - X ) ( 400+20\/ + × 2) n !③ #อ ③ (2×10)? เอง =3ำ 83×3 =3ำ ( 8×13 = 13+8×) [(3)2- (3) (8×1+18×12) = (3+8/\)(9-24×+64×2)
ตวอยั ่ างที 4 ่จงแยกตวประกอบของพหุนามในแต ั ่ ละข้ อต่ อไปนี ้ 1) 27x - 8y 3 3 2) 729x + 125y 3 3 = 33×3 _23 y 3 ะ 13× ) 3- ( 2µ 3 กTา = 13×-2 µ [ 13×) 2 + ( 3×)( 2 µ +12µ 2 ] = 13×-2µ 19×ำ 6Xy +4 µ2) × = 19 × )ำ 15 µ 3 = 19 × + 5.g) 119×12-19×115g) +15g)2) = (9×+59) 181×2-45 xy +25µ 2)
การแยกตวประกอบขอ ั
งพหุนามด กร ี สูงกว ี ่ าสาม
ในกรณที ั วไป ่ ให้ A แทนพจนหน์ ้ า และ ผลต่ างกําลงสองม ั สูตร ีดงนั ี ้ A - B = (A + B 2 2 เพือให่้ นกเรั ยนจําได ี ้ ง่ ายขนึ้ให้น แทนพจ น - ล = (น + 2 2
B แทนพจนหล์งั B)(A - B) จนหน์ ้ า และ ล แทนพจนหล์งั ล)(น - ล)
ทบทวน การแยกตวประกอบของพหุนามด ักรี สอง ี ใช้ สูตรผลต่ างกําลงสอง ั 1) x - 2 2) x - 9 3) 9x - 25 2 2 2 2 5- 6= ( น +ลง |นลง = (× + 2) 1 \/ - 2) = ×2- 32 = |× + 3) ( X - 3) = 32×2-52 ะ (3× | ? 52 = (3×+5)(3×-5)
การแยกตวประกอบของพหุนามด ักรี สูงกว ี ่ าสาม โดยใช้ สูตรผลต่ างกําลงสอง ั 1) x - 16 2) x - 25 3) x - 9 4 4 4 = ( ×2) 242 = 9๋+ 4) ( ×2- 4) = 1×2+ 4) 1×2-22) = ( × 2 + 4) 1× + 2) 1 × - 2) = fx 2) 2 _52 = (×ำ 5)(×2- 5)
4) 25x - 9 5) 36x - 100 6) 625x - 81 4 4 4 = (5×2)2-32 = (5×2+3) (5×23) = 254×2)2._ q 2 = (25×2) 2 _ q 2 = (25×2+9)(25×2-9) = (25×2+9) / (5×12-32) = (25×2+9) (5×+3) (5×-3) ฺ
การแยกตวประกอบของ ั โดยใช้ สูตรกํา
งพหุนามด กร ี สูงกว ี ่ าสาม ลงสองสมบูรณ ั ์