L 'ด m ฉาก หา ! เอง แ ° = ¥ tan ฉาก B Oา1๊3 AB ะ 18×2=36 หPวย 18
!าม L 'ด แ ° = ! #า 'ด B-- Bt \④ ฉาก !าม 8 B หนาจะ BC r 'ด
186 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 แบบฝึกหัดที่ 1 จงĀาผลลัพธ์ 1 5 3 7 9 2 6 4 8 10 sin 60 � – cos 30 � _____________________________________________________________________ sin 60 � – cos 30 � + cot 45 � _____________________________________________________________________ (tan 60 �) 2 – (tan 30 �) 2 _____________________________________________________________________ sin 60 � + cos 30 � – tan 45 � _____________________________________________________________________ 3(tan 30 �) + (sin 45 �) 2 _____________________________________________________________________ 3 sin 30 � – 5 cos 60 � _____________________________________________________________________ (sin 45 �)(cos 45 �) – (sin 30 �)(cos 60 �) _____________________________________________________________________ sin2 60 � + cos2 60 � _____________________________________________________________________ sin 30 � + cos 30 � – sin 60 � _____________________________________________________________________ tan2 60 � + 2 tan2 45 � _____________________________________________________________________ r = R - § = 0 / = เงา 2 _ E)% ra - E) = Sง = T - } = U = 2 V / =3 E) + (W๊ = ฐึ๋Y๊ µ = Z๋ { = ง + M / = #1- µµ = ¥ ¥ ¥ r = { + § - § = { .net/ = ฐ + [ - | = ¥ -1 = โ3- เ / =3 µ) -5 µ = T - \ = - } - = - | / = 1 ๆำ (E) 2 = _ + # = `๋-1
188 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 แบบฝึกหัดที่ 2 จากรูปÿามเĀลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้จงĀาค่าของ x และ y 1 5 3 2 6 4 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ฉาก หา ฉาก L 'ด × = 1 ญื๊ หา !าม L 'ด เอง 30 ° = ¥ tan 30° = ช # 'ด ฉาก 'ด สาม Bz c × = 18 d๊} × × ร3=18ร3 ey : . yะ 9 หา !าม L ฉาก 18 ะ × หา 'ด L ฉาก 18ฐ 2 _ ะ y !าม 'ด sin 60 ° = !าม Cos 60 ° = 'ด # า ญื้¥2 9โ = × ti# 9ก = y ฉาก 18โ2 ฉาก µ หา ฉาก L !าม × × ร2=16×2 หา 'ด L !าม 5in 45 ° = !าม _ × = % × ๆ tan 45÷ !าม _ ฉาก 'ด e¥ × = 16ร2 'ด 1 = 16g y = 16 จาก ชาม หา !าม L ฉาก × =30 ร2 _ ร \ 2 หา 'ดL ฉาก sin 45° ะ ชาม 2 cos 45° - = 'ด นะ^ มาก × =3¥ / 2 ะ 30 'ด ยง %§ ° . . y =30 หา !ามc ฉาก × = แรง หา 'ดL ฉาก y = 12 _ ฉ" !าม - sin แ ° =#!า 2 เอง แ ° = ¥ 2 ฉาก × = 6 g3 ฉาก yะ 6 'ด h๋ µ จาก บท 'ด L ฉาก × = 28# หา!ามcฉาก y = 2 _ 8 COS 30 ° = 'ด 2 sin 30° = _ !าม 2 # × = 14 !3 ฉาก yะ 14 'ด ① อ
184 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 θ sin θ cos θ tan θ 1 0.0175 0.9998 0.0175 2 0.0349 0.9994 0.0349 3 0.0523 0.9986 0.0524 4 0.0698 0.9976 0.0699 5 0.0872 0.9962 0.0875 6 0.1045 0.9945 0.1051 7 0.1219 0.9925 0.1228 8 0.1392 0.9903 0.1405 9 0.1564 0.9877 0.1584 10 0.1736 0.9848 0.1763 11 0.1908 0.9816 0.1944 12 0.2079 0.9781 0.2126 13 0.2250 0.9744 0.2309 14 0.2419 0.9703 0.2493 15 0.2588 0.9659 0.2679 16 0.2756 0.9613 0.2867 17 0.2924 0.9563 0.3057 18 0.3090 0.9511 0.3249 19 0.3256 0.9455 0.3443 20 0.3420 0.9397 0.3640 21 0.3584 0.9336 0.3839 22 0.3746 0.9272 0.4040 23 0.3907 0.9205 0.4245 24 0.4067 0.9135 0.4452 25 0.4226 0.9063 0.4663 26 0.4384 0.8988 0.4877 27 0.4540 0.8910 0.5095 28 0.4695 0.8829 0.5317 29 0.4848 0.8746 0.5543 30 0.5000 0.8660 0.5774 31 0.5150 0.8572 0.6009 32 0.5299 0.8480 0.6249 33 0.5446 0.8387 0.6494 34 0.5592 0.8290 0.6745 35 0.5736 0.8192 0.7002 36 0.5878 0.8090 0.7265 37 0.6018 0.7986 0.7536 38 0.6157 0.7880 0.7813 39 0.6293 0.7771 0.8098 40 0.6428 0.7660 0.8391 41 0.6561 0.7547 0.8693 42 0.6691 0.7431 0.9004 43 0.6820 0.7314 0.9325 44 0.6947 0.7193 0.9657 45 0.7071 0.7071 1.0000 θ sin θ cos θ tan θ 46 0.7193 0.6947 1.0355 47 0.7314 0.6820 1.0724 48 0.7431 0.6691 1.1106 49 0.7547 0.6561 1.1504 50 0.7660 0.6428 1.1918 51 0.7771 0.6293 1.2349 52 0.7880 0.6157 1.2799 53 0.7986 0.6018 1.3270 54 0.8090 0.5878 1.3764 56 0.8290 0.5592 1.4826 57 0.8387 0.5446 1.5399 58 0.8480 0.5299 1.6003 59 0.8572 0.5150 1.6643 60 0.8660 0.5000 1.7321 61 0.8746 0.4848 1.8040 62 0.8829 0.4695 1.8807 63 0.8910 0.4540 1.9626 64 0.8988 0.4384 2.0503 65 0.9063 0.4226 2.1445 66 0.9135 0.4067 2.2460 67 0.9205 0.3907 2.3559 68 0.9272 0.3746 2.4751 69 0.9336 0.3584 2.6051 70 0.9397 0.3420 2.7475 71 0.9455 0.3256 2.9042 42 0.9511 0.3090 3.0777 73 0.9563 0.2924 3.2709 74 0.9613 0.2756 3.4874 75 0.9659 0.2588 3.7321 76 0.9703 0.2419 4.0108 77 0.9744 0.2250 4.3315 78 0.9781 0.2079 4.7046 79 0.9816 0.1908 5.1446 80 0.9848 0.1736 5.6713 81 0.9877 0.1564 6.3138 82 0.9903 0.1392 7.1154 83 0.9925 0.1219 8.1443 84 0.9945 0.1045 9.5144 85 0.9962 0.0872 11.4301 86 0.9976 0.0698 14.3007 87 0.9986 0.0523 19.0811 88 0.9994 0.0349 28.6363 89 0.9998 0.0175 57.2900 อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลมขนาดอื่นๆ ตารางแÿดงค่าของอัตราÿ่üนตรีโกณมิติของมุมที่มีขนาดเป็นจ�านüนเต็ม (องýา) ระĀü่าง 0 � และ 90 �
= 0.208 = 0,643 = 3.7 32 1. sin 39 ° = 0.629 A =39 ° 2. COS 7 ° ะ 0.993 B--7 ° 3. tan 71 ° ะ 2.9 04 C = 71 °
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 185 จากรูป จงĀา xy และ xz üิธีท�า จากรูป จะได้ cos 70 � = xy = xy = (จากตาราง cos 70 � ≈ 0.342) ดังนั้น xy ≈ 87.72 Āน่üย จากรูป จะได้ tan 70 � = xz = 30 × tan 70 � xz = 30 × 2.748 (จากตาราง tan 70 � ≈ 2.748) ดังนั้น xz ≈ 82.44 เÿ้นทแยงมุมของรูปÿี่เĀลี่ยมผืนผ้ารูปĀนึ่งยาü 6 เซนติเมตร และท�ามุม 55 � กับด้านยาü ของรูปÿี่เĀลี่ยมนี้จงĀาคüามยาüและคüามกü้างของรูปÿี่เĀลี่ยมผืนผ้ารูปนี้ วิธีท�ำ จากโจทย์เขียนรูปได้ดังนี้ ใĀ้ คüามยาüของรูปÿี่เĀลี่ยมผืนผ้ายาü x เซนติเมตร คüามกü้างของรูปÿี่เĀลี่ยมผืนผ้ายาü y เซนติเมตร จากรูป sin 55 � = จากตาราง sin 55 � ≈ 0.819 จะได้ 0.819 = x = 6 × 0.819 ดังนั้น x ≈ 4.914 และ cos 55 � = จากตาราง cos 55 � ≈ 0.574 จะได้ 0.574 = y = 6 × 0.574 ดังนั้น y ≈ 3.444 นั่นคือ รูปÿี่เĀลี่ยมผืนผ้ายาü 4.914 เซนติเมตร และกü้าง 3.444 เซนติเมตร ตัวอย่าง 30 xy xz 30 30 cos 70 � 30 0.342 ตัวอย่าง x 6 x 6 y 6 y 6 ฉาก ชาม XY = 87.719 หา ฉากc'ด XZ = 82.44 COS 70° = ¥ ฉาก 'ด 87.71 0.342 = Ey 342130,000้- 273[ Xy = µ × 1 kะ 3 l๋% ัว21 40 239 4- = 87.71 nn 2 4 60 หา !ามc 'ด _ 239 4 6 60 tan ๆn =o ¥ 34 [ 'ด 318 2.748 = E = \ 103022 XZ ะ 2.748 × 30 = 8 244 2 748 × 30 82• 440 งง
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 189 1 5 3 2 6 4 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ แบบฝึกหัดที่ 3 จากรูปÿามเĀลี่ยมที่ก�าĀนดใĀ้ต่อไปนี้จงĀาคüามยาüของด้านที่เĀลือ จาก หา !าม L'ด ฒื๋ๆ × 52 หา ฉาก c'ด AC - - %× µ 'ด tan 20 ° ะ !าม _ Cos 20° = ' คราม 'ด " AC ะ 5, r 0mm = 55.32 0.364 = ^ 0.94=52 × _ ②5 AC.EC 0575 = ฉาก AC = 108.11 tan 75 ° = st๊ BC = 104.496 จาก e.2sa = ¥ 3.732 = u AC ะ เออ. เออ . . . . :::e | v๊ _ ฏํ๋" 'ด 259 B sin 64 ° = y๊ BC = 35.96อ . 89 ง ะ zอ " =3 5 % / ใน%t๋ AB = 1ๆ. 52 BC - . อ .ร 99 X 40 AB ะ อ . 43ร × 40 at B ะ 17.52 Sin 2@ะ ¥ AB ะ 5.698อ. เอา ะ1๋ .. . . . .. .. f.r๊t๋ BC = |2.796 AB ะ 0.407× 1 4 43 ะ 0.919 *แ CB = 12.7 96 หา ฉาก L 'ด AC - - ฐํ× _ 1,000 หา!าม L 'ด BC - -0.625×15 ฉาก เออ 0 AC = 17.6 88 จม Cos 32 ° = E tan32 ° = ! _ าม BC = 9.375 ฉาก 'ด BC = 9.3 75 0.848=15_ AC= 17.688 0.625 = # AC 15 'ด !าม v sin 18 ำ ฉาก B0ะ27.69 AC = 29.1 26 อ .309 ะ ก % อ . 325 = ฅํ้ " """ ÷÷|. ×%ะ " "" / . ! " . . . . . .. }๋ฆื๊ BC = 9,00อ 325
190 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 แบบฝึกหัดที่ 4 จากรูป จงĀาพื้นที่ของรูป ∆ABC โดยประมาณ 1 5 3 2 4 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 191 แบบฝึกหัดที่ 5 1 3 2 4 จากรูป จงĀาพื้นที่ของรูปÿี่เĀลี่ยมด้านขนาน ABCD ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ จากรูป ก�าĀนดใĀ้∆NPO เป็นรูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่ü จงĀาคüามยาüของ PQ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ จากรูป CD = 4 เซนติเมตร จงĀาคüามยาüของ AB ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ จากรูป จุด O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลมที่มีรัýมียาü 6 Āน่üย ถ้า PQR = 60 � จงĀาคüามยาü QR และ RS ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ^
192 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 จงĀาพื้นที่โดยประมาณของรูปÿี่เĀลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD ดังรูป ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ จากรูป ก�าĀนดใĀ้MO = 12 Āน่üย จงĀา PQ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ จากรูป ถ้า AC = 35 Āน่üย จงĀาพื้นที่ของรูปÿี่เĀลี่ยมคางĀมูACDF ______________________________________ ______________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ก�าĀนดใĀ้∆ABC เป็นรูปÿามเĀลี่ยมที่มีมุม C เป็นมุมฉาก และมุม A มีขนาด 28 � ด้าน BC ยาü 12 Āน่üย จงĀาคüามยาüรอบรูปของÿามเĀลี่ยมนี้ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 5 7 6 8
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 193 ขั้นตอนในการน�าอัตราส่วนตรีโกณมิติไปแก้ปัญหาในชีวิตจริง 1. อ่านและüิเคราะĀ์โจทย์ü่าโจทย์ใĀ้ข้อมูลอะไรและต้องการĀาอะไร 2. แปลงข้อมูลจากโจทย์ใĀ้เป็นปัญĀาเชิงเรขาคณิตโดยการüาดรูป และระบุคüามยาüของด้าน และขนาดของมุมที่ทราบลงในรูป 3. üิเคราะĀ์ü่าจะĀาÿิ่งที่โจทย์ถามได้อย่างไร โดยพิจารณาจากขนาดของมุม คüามยาüของด้านที่ทราบ และอัตราÿ่üนตรีโกณมิติที่ต้องใช้ ในการแก้ปัญĀาที่ต้องใช้อัตราÿ่üนตรีโกณมิติจ�าเป็นต้องทราบขนาดของมุม ÿ�าĀรับปัญĀาที่เกิดขึ้น ในชีüิตจริงจะใช้มุมที่เกิดจากการมองด้üยÿายตา โดยมุมที่ท�ากับแนüเÿ้นระดับÿายตามี2 แบบ คือ มุมก้ม (angle of depression) และมุมเงย (angle of elevation) 5.3 การน�าอัตราส่วนตรีโกณมิติไปใช้ในการแก้ปัญหา แนวเส้นระดับสายตา แนวเส้นระดับสายตา มุมก้ม มุมเงย วัต¶ุ วัต¶ุ แนวเส้นระดับสายตา มุมก้ม เป็นมุมที่เกิดจากแนüเÿ้นระดับÿายตา และแนüเÿ้นจากตาไปยังüัตถุโดยที่üัตถุอยู่ต�่ากü่า แนüเÿ้นระดับÿายตา มุมเงย เป็นมุมที่เกิดจากแนüเÿ้นระดับÿายตา และแนüเÿ้นจากตาไปยังüัตถุโดยที่üัตถุอยู่ÿูงกü่า แนüเÿ้นระดับÿายตา ปิติยืนอยู่บนĀน้าผาริมทะเลซึ่งÿูงจากระดับน�้าทะเล 75 เมตร มองเĀ็นเรือล�าĀนึ่ง เป็นมุมก้ม 30 � จงĀาü่าเรืออยู่Ā่างจากĀน้าผาประมาณกี่เมตร วิธีท�ำ ใĀ้ AB แทนระยะทางที่เรืออยู่Ā่างจากĀน้าผา BC แทนคüามÿูงของĀน้าผาที่ปิติอยู่ÿูงจากระดับน�้าทะเล 75 เมตร ตัวอย่าง
194 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 เนื่องจาก CD // AB ดังนั้น DAC = CAB = 30 � มุมที่มองเĀ็นเรือ จากรูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ABC จะได้ = tan 30 � AB = = 75 × 3 = 75 × 1.732 ≈ 129.9 ดังนั้น เรืออยู่Ā่างจากĀน้าผาประมาณ 129.9 เมตร กมลต้องการüัดคüามกü้างของแม่น�้า เขายืนอยู่ริมฝั่งที่จุด A แล้üมองข้ามไปที่จุด B ที่อยู่ตรงข้ามซึ่งเป็นระยะที่ÿั้นที่ÿุด แล้üเขาเดินเลียบฝั่งแม่น�้าไปเป็นระยะทาง 100 เมตร ก็Āยุดที่จุด C üัดมุม ACB ได้40 � จงĀาคüามกü้างของแม่น�้า (ก�าĀนด tan 40 � = 0.839) วิธีท�ำ จากรูป AB เป็นคüามกü้างของแม่น�้า ABC เป็นÿามเĀลี่ยมมุมฉากมีA = 90 � และ C = 40 �, AC = 100 เมตร จะได้ tan 40 � = AB = AC tan 40 � AB = 100 × 0.839 AB = 83.9 ดังนั้น แม่น�้ากü้าง 83.9 เมตร ปกรณ์ยืนอยู่บนĀอคอยซึ่งÿูง 98 เมตร มองเĀ็นคนÿองคนบนพื้นดินในทิýทางเดียüกัน เป็นมุมก้ม 30 � และ 60 � ตามล�าดับ จงĀาü่าคนÿองคนĀ่างกันกี่เมตร วิธีท�ำ ใĀ้ AB เป็นคüามÿูงของĀอคอย, C และ D เป็นคนÿองคนบนพื้นดิน จากคüามรู้เรื่องเÿ้นขนาน จะได้ADB = 30 �, ACB = 60 � และ CBD = 30 � ดังนั้น BCD เป็นÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่üที่มีBC = CD พิจารณาÿามเĀลี่ยม ABC จะได้ sin ACB = BC = = ดังนั้น BC = = = นั่นคือ คนทั้งÿองยืนĀ่างกัน เมตร ^ ^ BC AB BC tan 30 � ตัวอย่าง ตัวอย่าง ^ ^ AB AC AB BC ^ ^ ^ ^ 98 sin 60 � AB sin ACB ^ 98 3 2 196 3 196 3 3 196 3 3
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 195 แบบฝึกหัดที่ 1 1 3 2 4 ปิติยืนอยู่Ā่างจากเÿาธง 5 เมตร ปรากฏü่ามุมเงยของยอดเÿาธงเท่ากับ 60 � จงĀาคüามÿูงของเÿาธงü่ามีคüามÿูงกี่เมตร ( 3 ≈ 1.732) ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ เÿาต้นĀนึ่งÿุง 6 ฟุต ปักอยู่ริมทะเลในตอนเช้าเมื่อดüงอาทิตย์ÿูง 47 � เงาของเÿาต้นนี้จะยาüเท่าไร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ประตูโกดังเก็บของแĀ่งĀนึ่งกü้าง 4 เมตร และเปิดประตูได้กü้างเพียง 60 � จะน�าตู้คอนเทนเนอร์ ขนาดกü้างที่ÿุดเท่าไร ผ่านเข้าประตูนี้ได้ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ โอมยืนอยู่ริมฝั่งคลองตรงจุด A และมองไปที่จุด B ซึ่งอยู่ริมฝั่งตรงข้าม และเป็นระยะที่ÿั้นที่ÿุด จากนั้นเขาเดินเลียบฝั่งคลองไป 10 เมตร มาĀยุดอยู่ที่จุด C และมองกลับไปที่จุด B ท�ามุม 60 � เขาจะค�านüณคüามกü้างของล�าคลองได้กี่เมตร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________
ส่ วนประกอบของวงกลม 1) เสนโค ้ ้ งทีเป่็ นแนวขอบโดยรอบของรูปวงกลม เรยกวี ่ า……………………………………………… 2) จุดทีอยู่่ ตรงกลางวงกลม และมระยะหี ่ างจากเสนรอบวงเท้ ่ ากนั เรยกวี ่ า……………………………………………… 3) เสนตรงท้ ีลากผ่่ านจุดศูนยกลางของวงกลมไปบรรจบก ์บเส ัน้ รอบวงทงสองข้ั ้ าง เรยกวี ่ า……………………………………………… 4) เสนท้ ีลากจากจุดศูนย่กลางของวงกลมไปย ์งเสันรอบวง้ เรยกวี ่ า……………………………………………… 5) ส่ วนของเสนตรงท้ ีม่จุดปลายท ี งสองอยู้ั ่ บนวงกลมเดยวกีนั เรยกวี ่ า……………………………………………… **ในวงกลม 1 วง สามารถมคอรี ดได ์ ้ มากมายนบไม ั ่ ถ้ วน** **เสนผ้ ่ านศูนยกลางของวงกลมเป ์ ็ นเสนต้ดวงกลมั ** **เสนผ้ ่ านศูนยกลางของวงกลมน์ บเปั ็ นคอรดของวงกลม์ ** คอ#ด เสน(าน*น+กลาง /ด*น+กลาง 0ศ2 เ3นรอบวง เ3นรอบ วง /ด *น+กลาง เ3น(าน*น+กลาง 0ศ2 คอ#ด
สูตร 1) ความยาวเสนรอบวง ้ 2) พนท ื ้ ี วงกลม ่ **รศมัมี ความยาวเป ี ็ นครงนึ่งของเส ึนผ้ ่ านศูนยกลาง์ ** h 0ศ2 = 21Tr 1T ะ 3.14 ห9อ # = [r 2
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 39 เมื่อแบ่งเÿ้นรอบüงของüงกลมออกเป็น 2 ÿ่üน ในกรณีที่ÿ่üนโค้งทั้งÿองยาüเท่ากัน จะเรียกÿ่üนโค้งแต่ละÿ่üนü่า ครึ่งüงกลม (semicircle) ดังรูป 2.1 มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม กรณีที่ÿ่üนโค้งทั้งÿองยาüไม่เท่ากัน ดังรูป ÿ่üนโค้งที่ยาüกü่า คือ ÿ่üนโค้งใĀญ่ (major arc) ÿ่üนโค้งที่ÿั้นกü่า คือ ÿ่üนโค้งน้อย (minor arc) จากรูป เรียกÿ่üนโค้ง ACB ü่า ÿ่üนโค้งใĀญ่ AB เขียนแทนÿ่üนโค้งใĀญ่ AB ด้üย ACB เรียกÿ่üนโค้ง ADB ü่า ÿ่üนโค้งน้อย AB เขียนแทนÿ่üนโค้งน้อย AB ด้üย ADB ในที่นี้เมื่อกล่าüถึง ÿ่üนโค้ง AB จะĀมายถึงÿ่üนโค้งน้อย AB และเขียนแทนด้üย AB มุมที่จุดýูนย์กลำง (central angle) คือ มุมที่มีจุดýูนย์กลางของüงกลมเป็นจุดยอดมุม และแขนทั้งÿองของมุมตัดüงกลม จากรูป AOB และมุมกลับ AOB เป็นมุมที่จุดýูนย์กลาง ของüงกลม O ซึ่ง AOB รองรับด้üยÿ่üนโค้ง AB และมุมกลับ AOB รองรับด้üยÿ่üนโค้ง ACB ^ ^ ^ มุมในÿ่üนโค้งของüงกลม (inscribed angle) คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนüงกลม และแขนทั้งÿองของมุมตัดüงกลม จากรูป ABC เป็นมุมในÿ่üนโค้งของüงกลม O ที่รองรับด้üย ADC
40 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ในกรณีที่มุมในÿ่üนโค้งของüงกลมมีแขนทั้งÿองของมุมผ่านจุดปลายทั้งÿองของเÿ้นผ่านýูนย์กลาง จะเรียกมุมในÿ่üนโค้งของüงกลมนั้นü่า มุมในครึ่งüงกลม (angle inscribed in a semicircle) จากรูป AC เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลางของüงกลม O และ ABC เป็นมุมในครึ่งüงกลมที่รองรับด้üย ADC มุมที่จุดศูนย์กลางและส่วนโค้งที่รองรับมุม คüามÿัมพันธ์ระĀü่างขนาดของมุมที่จุดýูนย์กลางกับคüามยาüของÿ่üนโค้งที่รองรับมุมที่ จุดýูนย์กลางเป็นไปตามทฤþฎีบทต่อไปนี้ ทฤþฎีบท ในüงกลมที่เท่ากันทุกประการĀรือในüงกลมเดียüกัน ถ้ามุมที่จุดýูนย์กลางมีขนาดเท่ากันแล้üÿ่üนโค้งที่รองรับมุมที่จุดýูนย์กลางนั้นจะยาüเท่ากัน ทฤþฎีบท ในüงกลมที่เท่ากันทุกประการĀรือในüงกลมเดียüกัน ถ้าÿ่üนโค้งที่ยาüเท่ากันแล้ü มุมที่จุดýูนย์กลางที่รองรับด้üยÿ่üนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน ในทางเรขาคณิต üงกลมÿองüงที่เท่ากันทุกประการจะมีÿมบัติต่างๆ เĀมือนกัน ดังนั้น ในการýึกþา ÿมบัติเกี่ยüกับüงกลมจากüงกลมที่เท่ากันทุกประการÿองüง เราจึงýึกþาจากüงกลมเพียงüงเดียüก็เป็นการ เพียงพอแล้ü มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม มุมที่จุดýูนย์กลางและมุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่รองรับด้üยÿ่üนโค้งเดียüกัน มีลักþณะดังรูป ^ จากüงกลม O จะเĀ็นได้ü่า AOC และ ABC ต่างรองรับด้üยÿ่üนโค้ง AC และจากüงกลม D มุมกลับ EDG และ EFG ต่างรองรับด้üย ÿ่üนโค้งใĀญ่ EG ^ ^ ^ เมื่อเขียนรัýมีÿองเÿ้นในüงกลม ดังรูป เราจะเรียกบริเüณที่แรเงาภายในüงกลมที่ล้อมรอบดัüยรัýมีÿองเÿ้น กับÿ่üนโค้งของüงกลมที่รองรับมุม BOY ü่า เซกเตอร์ (sector) BOY ข้อสังเกต
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 41 คüามÿัมพันธ์ระĀü่างขนาดของมุมที่จุดýูนย์กลางกับขนาดของมุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่รองรับ ด้üยÿ่üนโค้งเดียüกันเป็นไปตามทฤþฎีบทต่อไปนี้ ทฤþฎีบท ในüงกลมเดียüกัน มุมที่จุดýูนย์กลางจะมีขนาดเป็นÿองเท่าของ ขนาดของมุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่รองรับด้üยÿ่üนโค้งเดียüกัน จากทฤþฎีบทข้างต้นอาจกล่าüได้ü่า มุมในÿ่üนโค้งของüงกลมจะมีขนาดเป็นครึ่งĀนึ่งของขนาดของ มุมที่จุดýูนย์กลางที่รองรับด้üยÿ่üนโค้งเดียüกัน อธิบายได้ดังภาพ มุมในส่วนโค้งของวงกลมและส่วนโค้งที่รองรับมุม จากคüามÿัมพันธ์ระĀü่างมุมที่จุดýูนย์กลางกับมุมในÿ่üนโค้งของüงกลม ที่รองรับด้üยÿ่üนโค้ง เดียüกัน จะพบü่ามุมในÿ่üนโค้งของüงกลมทุกมุม ต่างก็มีขนาดเป็นครึ่งĀนึ่งของมุมที่จุดýูนย์กลาง ดังนั้น มุมเĀล่านั้นจะมีขนาดเท่ากันทั้งĀมดซึ่งเป็นไปตามทฤþฎีบทต่อไปนี้ ทฤþฎีบท ในüงกลมเดียüกัน มุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่รองรับด้üยÿ่üนโค้งเดียüกัน จะมีขนาดเท่ากัน ในกรณีที่มุมในÿ่üนโค้งของüงกลมรองรับด้üยÿ่üนโค้งที่ต่างกัน แต่คüามยาüของÿ่üนโค้งเท่ากัน มุม ในÿ่üนโค้งเĀล่านั้นต่างก็ยังคงเท่ากัน ÿรุปเป็นทฤþฎีบทดังนี้
42 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ทฤþฎีบท ในüงกลมที่เท่ากันทุกประการĀรือในüงกลมเดียüกัน ถ้ามุมในÿ่üนโค้งของüงกลมมีขนาดเท่ากัน แล้üÿ่üนโค้งที่รองรับมุมเĀล่านั้นจะยาüเท่ากัน ทฤþฎีบท ในüงกลมที่เท่ากันทุกประการĀรือในüงกลมเดียüกัน ถ้าÿ่üนโค้งยาüเท่ากันแล้üมุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่รองรับด้üยÿ่üนโค้งเĀล่านั้นจะมีขนาดเท่ากัน จากรูป ตัวอย่าง ก�าĀนดใĀ้AC ตัด BD ที่จุด E, EAD = 22 �, ABE = 50 � และ BCE = 55 � จงĀาขนาดของ CDE ^ ^ ^ ^ üิธีท�ำ เนื่องจาก ACD = ABD = 50 � (มุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่รองรับด้üย และ ADB = BCE = 55 � ÿ่üนโค้งเดียüกันมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก CAD + ACD + (ADB + CDE) = 180 � (ขนาดของมุมภายในทั้งÿามมุมของ รูปÿามเĀลี่ยมรüมกันเป็น 180 �) จะได้ CDE = 180 – (22 + 50 + 55) ดังนั้น CDE = 53 � มุมในครึ่งวงกลม มุมในครึ่งüงกลมเป็นมุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่มีคüามยาüÿ่üนโค้งที่รองรับมุมนั้นเป็นครึ่งĀนึ่งของ คüามยาüของเÿ้นรอบüงเÿมอ ก�าĀนดใĀ้üงกลม O มีAC เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลาง ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ จากรูป จะเĀ็นü่า AOC เป็นมุมที่จุดýูนย์กลางซึ่งเป็นมุมตรง ที่มีขนาด 180 � และ ABC เป็นมุมในÿ่üนโค้งของüงกลม ที่รองรับด้üย AC ^ ^
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 43 จากทฤþฎีบทเกี่ยüกับคüามÿัมพันธ์ระĀü่างมุมในÿ่üนโค้งของüงกลมและมุมที่จุดýูนย์กลาง จะได้ü่า ABC มีขนาดเท่ากับ 90 � ซึ่งÿามารถÿรุปเป็นทฤþฏีบทเกี่ยüกับขนาดของมุมในครึ่งüงกลมได้ü่า ทฤþฎีบท มุมในครึ่งüงกลมมีขนาด 90 องýา ĀรือĀนึ่งมุมฉาก ^ จากรูป ตัวอย่าง ⎕ABCD เป็นรูปÿี่เĀลี่ยมแนบในüงกลม O มีAC เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลางของüงกลม ACB = 30 � และ ABD = 40 � จงĀาขนาดของ BDC และขนาดของ CAD üิธีท�ำ ^ ^ ^ ^ เนื่องจาก ADB = ACB = 30 � (มุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่รองรับด้üยÿ่üนโค้งเดียüกัน มีขนาดเท่ากัน) และ ADC = 90 � (มุมในครึ่งüงกลมมีขนาด 90 �) ดังนั้น BDC = 90 – 30 = 60 � เนื่องจาก ABC = 90 � (มุมในครึ่งüงกลมมีขนาด 90 �) จะได้ DBC = 90 – 40 = 50 � ดังนั้น CAD = DBC = 50 � (มุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่รองรับด้üยÿ่üนโค้งเดียüกัน มีขนาดเท่ากัน) นั่นคือ BDC = 60 � และ CAD = 50 � รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม รูปÿี่เĀลี่ยมแนบในüงกลม (inscribed quadrilateral of a circle) Āรือ รูปÿี่เĀลี่ยมüงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) คือ รูปÿี่เĀลี่ยมใดๆ ที่อยู่ภายในüงกลม โดยที่จุดยอดทั้งÿี่ของรูปÿี่เĀลี่ยมนั้น อยู่บนüงกลม ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ รูปต่อไปนี้เป็นตัüอย่างของ รูปÿี่เĀลี่ยมแนบในüงกลม 30 �
44 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ลาก AB จะได้⎕ABCD เป็นรูปÿี่เĀลี่ยมแนบในüงกลม üิธีท�ำ ถ้ารูปÿี่เĀลี่ยมใดๆ เป็นรูปÿี่เĀลี่ยมแนบในüงกลม แล้üจะมีผลบüกของมุมตรงข้ามเท่ากับ 180 � Āรือÿองมุมฉาก ซึ่งÿามารถÿรุปเป็นทฤþฎีบทได้ดังนี้ ทฤþฎีบท ถ้ารูปÿี่เĀลี่ยมใดๆ เป็นรูปÿี่เĀลี่ยมแนบในüงกลม แล้üผลบüกของขนาด ของมุมตรงข้ามจะเท่ากับÿองมุมฉาก จากรูป ตัวอย่าง BD แบ่งครึ่งมุม ADC, ACD = 68 � และ CBD = 40 � จงĀาขนาดของ ACB ^ ^ ^ ^ เนื่องจาก ABD = ACD = 68 � (มุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่รองรับด้üย ÿ่üนโค้งเดียüกันมีขนาดเท่ากัน) จะได้ ADC = 180 – ABC (ผลบüกของขนาดของมุมตรงข้ามของ รูปÿี่เĀลี่ยมแนบในüงกลมเป็น 180 �) ดังนั้น ADC = 180 – (68 + 40) = 72 � เนื่องจาก ADB = BDC (ก�าĀนดใĀ้) จะได้ ADB = = 36 � เนื่องจาก ADB = ACB (มุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่รองรับด้üย ÿ่üนโค้งเดียüกันมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ACB = 36 � ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ADC 2
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 45 แบบฝึกหัดที่ 1 จากüงกลม O ที่ก�าĀนดใĀ้จงĀาค่า x 1 3 2 4 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________
46 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5 7 6 8 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 47 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ 11 9 12 10
48 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 แบบฝึกหัดที่ 2 1 3 2 ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม ACB = 100 � จงĀา 1.1 ขนาดของมุมกลับ AOB ________________________________________ ________________________________________ 1.2 AOB ________________________________________ ________________________________________ 1.3 ADB ________________________________________ ________________________________________ 1.4 BDE ________________________________________ ________________________________________ จากรูป จุด O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม และ BAC = 48 � จงĀาขนาดของ BOC และขนาดของ OCB ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ จากรูป ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม AB เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลาง BAC = 25 � และ ABD = 35 � จงĀา 3.1 CAD ________________________________________ ________________________________________ 3.2 BCD ________________________________________ ________________________________________ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 49 จากรูป ก�าĀนดใĀ้BD ตัด AC ที่จุด E, BC = BD, CBD = 68 � และ AC แบ่งครึ่ง BCD จงĀาขนาดของ ADB ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ จากรูป ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม AO = AD และ AOB = 150 � จงĀา ACB + BAD ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ จากรูป ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม AOB = 130 � และ COD = 80 � จงĀา AEC + BED ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ จากรูป ใĀ้ABC = 25 �, BED = 45 � จงĀาขนาดของมุม AFC ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ 5 7 6 4 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
50 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 9 8 10 จากรูป O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม ABC = 110 � โดย OAB = OCB จงĀาขนาดของ OAB ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ จากรูป ใĀ้ABC = 38 �, CAD = 72 �, BCD = 30 � จงĀาขนาดของ BDA ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ จากรูป O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม OAB = 52 � จงĀาขนาดของ ACB ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 1 ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์กลาง AC เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลาง BD ตั้งฉากกับ AC ที่จุด E ถ้า BAC = 28 � จงĀา 1.1 CBE ________________________________________ ________________________________________ 1.2 CDE ________________________________________ ________________________________________ แบบฝึกหัดที่ 3 ^ ^ ^
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 51 5 3 2 4 จากรูป ⎕ABCD เป็นรูปÿี่เĀลี่ยมแนบในüงกลม O มีAC เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลางของüงกลม CE และ DE เป็นÿ่üนของเÿ้นตรงที่ลากต่อจาก BC และ AD ตามล�าดับ และ BOD = 108 � จงĀาขนาดของ AEB ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ จากรูป O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม DE เป็น เÿ้นผ่านýูนย์กลางของüงกลม และ AB เป็นเÿ้นÿัมผัÿ üงกลมที่จุด E และ CEB = 40 � จงĀาขนาดของ EBC ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ก�าĀนด O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม AOB = 60 �, AEB = 30 � จงแÿดงü่า CAD = 60 � ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ABCD เป็นรูปÿี่เĀลี่ยมแนบในüงกลม AB = BC และ AD = DC, CBE = 88 � จงĀาขนาดของ ADC ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
52 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 7 9 6 8 จากรูป O เป็นจุดýูนย์กลาง และ AC เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลาง ADB = 28 � และ CBD = 52 � จงĀาขนาดของ BAD ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ก�าĀนดใĀ้m(AC) = m(CB), ACD = 65 �, ABE = 30 � และ DAB = 70 � จงĀาขนาดของ BDE ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ก�าĀนด O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม AE ลากผ่าน จุดýูนย์กลางของüงกลม และ EBF = 25 �, BAD = 80 � จงĀาขนาดของ DCF ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ AB เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลาง โดยมีO เป็นจุดýูนย์กลาง ของüงกลม และ DOC = 50 � จงĀาขนาดของมุม DEC ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 53 คอร์ด (chord) คือ ÿ่üนของเÿ้นตรงที่มีจุดปลายทั้งÿองอยู่บนüงกลมเดียüกัน คอร์ดแต่ละเÿ้นจะแบ่งüงกลมออกเป็นÿ่üนโค้ง 2 ÿ่üน จากรูป ⎕ABCD เป็นรูปÿี่เĀลี่ยมที่แนบในüงกลม มีAB เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลางของüงกลม CAB = 40 � จงĀาขนาดของ ADC ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ 10 ^ ^ 2.2 คอร์ดของวงกลม จากรูป AB เป็นคอร์ดของüงกลม O ซึ่งแบ่งüงกลมออกเป็นÿ่üนโค้ง 2 ÿ่üน คือ ÿ่üนโค้งใĀญ่ ACB และÿ่üนโค้งน้อย AB คüามยาüของ ACB เขียนแทนด้üย m(ACB) คüามยาüของ AB เขียนแทนด้üย m(AB) เมื่อÿร้างคอร์ดของüงกลมโดยไม่ผ่านจุดýูนย์กลางจะท�าใĀ้เกิดบริเüณภายในüงกลมที่ล้อมรอบด้üย ÿ่üนโค้งของüงกลมและคอร์ด 2 บริเüณ แต่ละบริเüณเรียกü่า เซกเมนต์ของüงกลม (segment of a circle) บริเüณที่มีพื้นที่มากกü่า เรียกü่า เซกเมนต์ใĀญ่ (major segment) และบริเüณที่มีพื้นที่น้อยกü่า เรียกü่า เซกเมนต์น้อย (minor segment) ดังรูป ในกรณีที่คอร์ดผ่านจุดýูนย์กลางของüงกลม จะท�าใĀ้เกิดเซกเมนต์ของüงกลม 2 เซกเมนต์ ที่มีพื้นที่เท่ากัน เรียกแต่ละแซกเมนต์ü่า รูปครึ่งüงกลม
54 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 คอร์ดและส่วนโค้งของวงกลม พิจารณาüงกลม O ต่อไปนี้ จากรูป üงกลม O มีAB และ CD เป็นคอร์ด โดยที่ AB = CD เมื่อลากรัýมีOA, OB, OC และ OD จะได้∆AOB ≅ ∆COD แบบ ด.ด.ด. ดังนั้น AOB = COD เนื่องจาก AOB เป็นมุมที่จุดýูนย์กลางที่รองรับด้üย AB และ COD เป็นมุมที่จุดýูนย์กลางที่รองรับ ด้üย CD ดังนั้น โดยทþฎีบทที่เกี่ยüกับขนาดของมุมที่จุดýูนย์กลางกับคüามยาüของÿ่üนโค้งที่รองรับมุมนั้น จะได้ü่า m(AB) = m(CD) และ m(ACB) = m(CBD) จากการพิจารณาข้างต้น จึงกล่าüได้ü่า ถ้าคอร์ดÿองเÿ้นยาüเท่ากันแล้ü คอร์ดทั้งÿองจะตัดüงกลม ท�าใĀ้ÿ่üนโค้งน้อยยาüเท่ากันและÿ่üนโค้งใĀญ่ยาüเท่ากัน เราจะได้คüามÿัมพันธ์ระĀü่างคüามยาüของคอร์ดกับคüามยาüของÿ่üนโค้งของüงกลมซึ่งเป็นไปตาม ทฤþฎีบทต่อไปนี้ ทฤþฎีบท ในüงกลมที่เท่ากันทุกประการĀรือในüงกลมเดียüกัน ถ้าคอร์ดÿองเÿ้นยาüเท่ากันแล้ü คอร์ดทั้งÿองจะตัดüงกลม ท�าใĀ้ÿ่üนโค้งน้อยยาüเท่ากันและÿ่üนโค้งใĀญ่ยาüเท่ากัน ทฤþฎีบท ในüงกลมที่เท่ากันทุกประการĀรือüงกลมเดียüกัน ถ้าอคอร์ดÿองเÿ้นตัดüงกลม ท�าใĀ้ÿ่üนโค้งน้อยยาüเท่ากัน แล้üคอร์ดทั้งÿองนั้นจะยาüเท่ากัน ^ ^ ^ ^ คอร์ดและจุดศูนย์กลางของวงกลม พิจารณาüงกลม O ต่อไปนี้ จากรูป üงกลม O มีAB เป็นคอร์ด เมื่อลากรัýมีOA และ OB จะได้∆OAB เป็นรูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่ü ลาก OC ตั้งฉากกับ AB ตามÿมบัติของรูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่ü จะได้ü่า OC ตั้งฉากกับ AB ตามÿมบัติของรูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่ü จากการพิจารณาข้างต้น จึงกล่าüได้ü่า ถ้ามีÿ่üนของเÿ้นตรงที่ผ่านจุดýูนย์กลางมาแบ่งครึ่งคอร์ดแล้ü ÿ่üนของเÿ้นตรงนั้นจะตั้งฉากกับคอร์ด
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 55 จากüงกลม O ข้างต้น Āากเราลาก OC มาตั้งฉากกับ AB แล้üใช้ÿมบัติของรูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่üกับ ∆OAB ก็จะÿรุปได้ü่า OC แบ่งครึ่ง AB ด้üย ดังนั้น เมื่อมีÿ่üนของเÿ้นตรงที่ลากผ่านจุดýูนย์กลางมาตั้งฉากกับคอร์ด ÿ่üนของเÿ้นตรงดังกล่าü จะแบ่งครึ่งคอร์ดนั้นๆ คüามÿัมพันธ์ระĀü่างคอร์ดและจุดýูนย์กลางของüงกลม เป็นไปตามทฤþฎีบทต่อไปนี้ ทฤþฎีบท ÿ่üนของเÿ้นตรงซึ่งผ่านจุดýูนย์กลางของüงกลม และตัดกับคอร์ดที่ไม่ใช่ เÿ้นผ่านýูนย์กลางจะมีÿมบัติดังนี้ 1. ถ้าÿ่üนของเÿ้นตรงแบ่งครึ่งคอร์ด แล้üÿ่üนของเÿ้นตรงนั้นจะตั้งฉากกับคอร์ด 2. ถ้าÿ่üนของเÿ้นตรงตั้งฉากกับคอร์ด แล้üÿ่üนของเÿ้นตรงนั้นจะแบ่งครึ่งคอร์ด ทฤþฎีบท เÿ้นตรงที่ตั้งฉากและแบ่งครึ่งคอร์ดของüงกลม จะผ่านจุดýูนย์กลางของüงกลมนั้น เราÿามารถน�าทฤþฎีบทข้างต้นไปใช้ในการĀาจุดýูนย์กลางของüงกลมได้ดังนี้ ก�าĀนด AB และ CD เป็นคอร์ดที่ไม่ขนานกันของüงกลม ดังรูป เมื่อÿร้างเÿ้นตรง l และ m ใĀ้แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ คอร์ด AB และคอร์ด CD ตามล�าดับ จะได้ü่า เÿ้นตรง l และ m ตัดกันที่จุดจุดĀนึ่ง ใĀ้จุดตัด คือ จุด O เนื่องจาก เÿ้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดของüงกลม จะผ่านจุดýูนย์กลางของüงกลมนั้น ดังนั้น เÿ้นตรง l และ m ต่างก็ผ่านจุดýูนย์กลางของüงกลม และเนื่องจาก จุด O เป็นเพียงจุดเดียüที่อยู่ทั้งบนเÿ้นตรง l และ m ดังนั้น จุด O จึงเป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม คอร์ดที่ยาวเท่ากัน พิจารณาüงกลม O ต่อไปนี้ จากรูป ก�าĀนดใĀ้AB และ CD เป็นคอร์ดที่ยาüเท่ากัน เมื่อลากรัýมีOB, OC และลาก OM และ ON ไปตั้งฉากกับ AB และ CD ตามล�าดับ จะได้∆OBM และ ∆OCN เป็นรูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ที่เท่ากันทุกประการแบบ ฉ.ด.ด. เนื่องจาก OM และ ON เป็นด้านคู่ที่ÿมนัยกัน ดังนั้น OM = ON
56 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 จากการพิจารณาข้างต้น ÿามารถÿรุปได้ü่า ถ้าคอร์ดÿองเÿ้นยาüเท่ากันแล้ü คอร์ดทั้งÿองนั้นจะอยู่ Ā่างจากจุดýูนย์กลางเป็นระยะเท่ากัน คüามÿัมพันธ์ระĀü่างคอร์ดกับระยะระĀü่างจุดýูนย์กาลางกับคอร์ด เป็นไปตามทฤþฏีบทต่อไปนี้ ทฤþฎีบท ในüงกลมüงเดียüกัน ถ้าคอร์ดÿองเÿ้นยาüเท่ากัน แล้üคอร์ดทั้งÿองนั้น จะอยู่Ā่างจากจุดýูนย์กลางเป็นระยะเท่ากัน ทฤþฎีบท ในüงกลมüงเดียüกัน ถ้าคอร์ดÿองเÿ้นอยู่Ā่างจากจุดýูนย์กลางเป็นระยะเท่ากัน แล้üคอร์ดทั้งÿองนั้นจะยาüเท่ากัน จากüงกลม O มีAO = BO, AO ⊥ SU, BO ⊥ SM และ SUM = 50 � จงĀาขนาดของ OSM üิธีท�ำ ตัวอย่าง เนื่องจาก OA = OB (ก�าĀนดใĀ้) จะได้ SU = SM (ถ้าคอร์ดÿองคอร์ดอยู่Ā่างจากจุดýูนย์กลางเป็น ระยะเท่ากันแล้üคอร์ดÿองเÿ้นนั้นจะยาüเท่ากัน) ดังนั้น ∆SUM เป็นรูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่ü (บทนิยามของรูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่ü) เนื่องจาก CU = CM (SC เป็นเÿ้นที่ตั้งฉากกับฐานของรูปÿามเĀลี่ยม Āน้าจั่ü และÿมบัติของรูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่ü) และ SC = SC (ด้านร่üม) จะได้ ∆SUC ≅ ∆SMC (เท่ากันทุกประการแบบ ด.ด.ด.) ดังนั้น SCU = SCM = 90 � และ CSU = CSM เนื่องจาก CSU = 180 – (50 + 90) = 40 � (ขนาดของมุมภายในของรูปÿามเĀลี่ยม รüมกันเป็น 180 �) ดังนั้น OSM = 40 � (OSM และ CSM เป็นมุมเดียüกัน) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 57 แบบฝึกหัดที่ 1 1 3 2 4 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ จากüงกลมที่ก�าĀนดจุดýูนย์กลางมาใĀ้จงĀาค่า p และ q
58 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5 7 6 8 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 59 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ 9 10 1 2 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ แบบฝึกหัดที่ 2 จากüงกลมที่ก�าĀนดใĀ้จงĀาค่า x
60 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5 3 6 4 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 61 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ 7 9 8 10
62 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 แบบฝึกหัดที่ 3 1 3 2 จากüงกลม O มีรัýมียาü 17 เซนติเมตร AB และ CD เป็นคอร์ด ของüงกลม โดยที่ AB // CD และ AB = CD = 30 เซนติเมตร จงĀา 1.1 คüามยาüของ OE __________________________________________ __________________________________________ 1.2 คüามยาüของ EF __________________________________________ __________________________________________ 3.1 ขนาดของ ABC __________________________________________ 3.2 คüามยาüของ AC __________________________________________ 3.3 คüามยาüของ OE __________________________________________ 3.4 คüามยาüของ FG __________________________________________ 3.5 คüามยาüของ AD เท่ากับ คüามยาüของ AC Āรือไม่ __________________________________________ ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม AB และ BC เป็นคอร์ดของüงกลม โดยที่ AB = BC แถ้า BOC = 80 � แล้ü จงĀา ADB ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ^ ^ ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม โดยมีAB เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลาง AC และ AD เป็นคอร์ดของüงกลมซึ่งท�ามุมกับ AB เท่ากับ 27 องýาเท่ากัน ถ้าüงกลมนี้มีรัýมี10 เซนติเมตร และ AD = 16 เซนติเมตร จงĀา ^
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 63 ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม AB และ BC เป็นคอร์ด ของüงกลม โดยที่ m(AB) = m(BC) 4.1 จงแÿดงü่า ⎕OABC เป็นรูปÿี่เĀลี่ยมรูปü่าü __________________________________________ __________________________________________ 4.2 ถ้า AOC = 150 � แล้ü จงĀา ACB __________________________________________ __________________________________________ 5 6 4 ^ ^ จากรูป AB เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลางยาü 25 เซนติเมตร AC = AD = 24 เซนติเมตร CD ⊥ AB ที่จุด M โดยที่ CD = 10 เซนติเมตร และ CAB = DAB = 35 องýา (ก�าĀนดใĀ้2 6 ≈ 5) จงĀา 5.1 คüามยาüของ CB __________________________________________ 5.2 ขนาดของ ABC __________________________________________ 5.3 ขนาดของ COD __________________________________________ 5.4 คüามยาüของ MB __________________________________________ 5.5 คüามยาüของ MO __________________________________________ ^ ^ ^ ^ ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม AB และ AD เป็นคอร์ดของüงกลม โดยที่ AB = AD ถ้า AOB = 80 � แล้ü ACD มีขนาดกี่องýา ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ^ ^
64 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 จากรูป ก�าĀนดใĀ้AB เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลางของ üงกลม O ซึ่งมีรัýมี10 เซนติเมตร และ CD เป็นคอร์ด ที่ขนานกับ AB ถ้า CD = 12 เซนติเมตร แล้üพื้นที่ของ ⎕ABCD เท่ากับเท่าไร ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ จากรูป ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม ล้อมรอบรูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่ü ABC ซึ่งมีAC = BC ถ้ารัýมีของüงกลมเท่ากับ 25 เซนติเมตร AB = 48 เซนติเมตร แล้üพื้นที่ของÿามเĀลี่ยม ABC เท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ 7 9 8 จากรูป BD เป็นเÿ้นผ่านýูนย์กลางของüงกลม O ยาü 20 เซนติเมตร AB = 16 เซนติเมตร AD = DE = 12 เซนติเมตร และรูปÿามเĀลี่ยม ACD เป็นÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่üมีคüามยาüรอบรูป 54 เซนติเมตร จงĀา 8.1 ขนาดของ ABD __________________________________________ 8.2 ขนาดของ ADB __________________________________________ 8.3 คüามยาüของ OF __________________________________________ 8.4 พื้นที่ของรูปÿามเĀลี่ยม OFB __________________________________________ ^ ^
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 65 เÿ้นตัด (secant line) Āรือเÿ้นตัดüงกลม คือ เÿ้นตรงที่ตัดüงกลม 2 จุด จากรูป AB และ CD เป็นคอร์ดของüงกลมที่มีจุด O เป็นจุดýูนย์กลาง ถ้า AB // CD และอยู่Ā่างกัน 2 เซนติเมตร CD = 8 เซนติเมตร AB = 4 เซนติเมตร แล้üรัýมีของüงกลมยาüกี่เซนติเมตร ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ 10 2.3 เส้นสัมผัสวงกลม จากรูป เÿ้นตรง l เป็นเÿ้นตัดüงกลมที่ตัดüงกลมที่จุด A และจุด B เมื่อเลื่อนเÿ้นขนาน l (ดังรูป 1) ĀรือĀมุน (ดังรูป 2) ไปจนกระทั่งจุด A และจุด B ทับกัน จะเรียกเÿ้นตรงเÿ้นที่ จุด A และ B ทับกันนี้ü่า เÿ้นÿัมผัÿüงกลม (tangent line to a circle) และเรียกต�าแĀน่งที่จุด A และจุด B ทับกันนี้ü่า จุดÿัมผัÿ (point of tangency Āรือ point of contact) ในที่นี้เมื่อกล่าüถึงเÿ้นÿัมผัÿüงกลม อาจเรียกÿั้นๆ ü่า เÿ้นÿัมผัÿ รูปที่ 1 เลื่อนขนานเÿ้นตรง l จนกระทั่ง จุด A และจุด B ทับกัน ดังเÿ้นซ้ายÿุด รูปที่ 2 Āมุนเÿ้นตรง l โดยใĀ้จุด A เป็นจุดĀมุน จนกระทั่งจุด A และจุด B ทับกัน ดังเÿ้นบนÿุด
66 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 เÿ้นÿัมผัÿüงกลม คือ เÿ้นตรงที่ตัดüงกลมเพียงจุดเดียüเท่านั้น และเรียกจุดตัดนั้นü่า จุดÿัมผัÿ จากรูป AB เป็นเÿ้นÿัมผัÿüงกลม โดยÿัมผัÿüงกลม O ที่จุด P อาจกล่าüได้ü่า ÿ่üนĀนึ่งÿ่üนใดของ AB ที่ผ่าน จุด P เช่น AB, AB, PA Āรือ PB ÿัมผัÿüงกลม O ที่จุด P เส้นสัมผัสวงกลมและรัศมี คüามÿัมพันธ์ระĀü่างเÿ้นÿัมผัÿกับรัýมีของüงกลม เป็นไปตามทฤþฎีบทต่อไปนี้ ทฤþฎีบท เÿ้นÿัมผัÿüงกลมจะตั้งฉากกับรัýมีของüงกลมที่จุดÿัมผัÿ ทฤþฎีบท เÿ้นตรงที่ตั้งฉากกับรัýมีของกลมที่จุดจุดĀนึ่งบนüงกลมจะเป็นเÿ้นÿัมผัÿüงกลมที่จุดนั้น ทฤþฎีบท ÿ่üนของเÿ้นตรง 2 เÿ้น ที่ลากจากจุดจุดĀนึ่งภายนอกมาÿัมผัÿüงกลมüงเดียüกัน จะยาüเท่ากัน ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์่กลางของüงกลม มีAB และ AC ÿัมผัÿüงกลมที่จุด B และ C ตามล�าดับ และ BDC เป็นมุมในÿ่üนโค้งของüงกลม ดังรูป ถ้า BAC = 70 � จงĀาขนาดของ BDC üิธีท�ำ ลาก OB และ OC ดังรูป ตัวอย่าง ^ ^ เนื่องจาก AB และ AC เป็นเÿ้นÿัมผัÿ จะได้ABO = ACO = 90 � (เÿ้นÿัมผัÿจะตั้งฉากกับรัýมีที่จุดÿัมผัÿ) ดังนั้น BOC = 360 – (70 + 90 + 90) = 110 � (ขนาดของมุมภายในทั้งÿี่มุมของรูปÿี่เĀลี่ยม รüมกันได้360 �) นั่นคือ BDC = 55 � (มุมในÿ่üนโค้งของüงกลมมีขนาดเป็นครึ่งĀนึ่งของขนาดของ มุม ที่จุดýูนย์กลางที่รองรับด้üยÿ่üนโค้งเดียüกัน) ^ ^ ^ ^
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 67 เส้นสัมผัสวงกลมและคอร์ดของวงกลม ก�าĀนดใĀ้O เป็นจุดýูนย์กลางของüงกลม AB ÿัมผัÿüงกลม O ที่จุด P โดยมีPQ เป็นคอร์ด และ PRQ เป็นมุมในÿ่üนโค้งของüงกลม ^ จากรูป เมื่อพิจารณาคอร์ด PQ เรียก APQ ü่า มุมที่เกิดจำกคอร์ดและเÿ้นÿัมผัÿที่จุดÿัมผัÿ P ÿ่üนมุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่อยู่คนละข้างกับมุมที่เกิดจากคอร์ ดและเÿ้นÿัมผัÿที่จุดÿัมผัÿ เช่น PRQ นั้น จะเรียกü่า มุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่อยู่ตรงข้ำมกับคอร์ด PQ ^ ^ คüามÿัมพันธ์ระĀü่างมุมที่เกิดจากคอร์ดและเÿ้นÿัมผัÿที่จุดÿัมผัÿกับมุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่อยู่ ตรงข้ามกับคอร์ดนั้นเป็นไปตามทฤþฎีบทต่อไปนี้ ทฤþฎีบท มุมที่เกิดจากคอร์ดและเÿ้นÿัมผัÿüงกลมที่จุดÿัมผัÿ จะมีขนาดเท่ากับ ขนาดของมุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น SX ตัวอย่าง และ TY เป็นเÿ้นÿัมผัÿüงกลมที่จุด R และ P ตามล�าดับ ถ้า TPQ = 54 � และ PQR = 68 � จงĀาขนาดของ XRQ เท่ากับเท่าใด üิธีท�ำ ลาก PR ^ ^ ^ เนื่องจาก SX และ TY เป็นเÿ้นÿัมผัÿ จะได้PRQ = TPQ = 54 � (มุมที่เกิดจากคอร์ดและเÿ้นÿัมผัÿที่จุดÿัมผัÿจะมีขนาดเท่ากับ ขนาดของมุมในÿ่üนโค้งของüงกลมที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น) เนื่องจาก PRQ + RQP + QPR = 180 � (ผลบüกของมุมภายในรูปÿามเĀลี่ยมรüมกันได้180 �) 54 � + 68 � + QPR = 180 � ดังนั้น QPR = 180 � – 54 � – 68 � = 58 � XRQ = QPR = 58 � (มุมที่เกิดจากคอร์ดและเÿ้นÿัมผัÿที่จุดÿัมผัÿ จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในÿ่üนโค้งของüงกลม ที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
68 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 แบบฝึกหัดที่ 1 จากüงกลม O ที่ก�าĀนดใĀ้จงĀาค่า x 1 3 2 4 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________