-
NOTES เราสามารถน าบทนย ิ ามของร ู ป สามเหล ี ย ่ มท ี ค ่ ล ้ ายกน ั ได ้ เพราะว ่ เหล ี ย ่ มเช ่ นกน ั จากบทนย ิ ามของร ู ปหลายเหล ี ย ่ มท ี ่ ................................................................................................ ................................................................................................ L =D " , 13 ^ = ±| " , E- F " = Bญื้f
SCIENCE MATH BIOLOGY HISTORY EXTRAS ปหลายเหล ี ย ่ มท ี ค ่ ล ้ ายกน ั มาใช ้ กบ ั ร ู ป ว ่ าร ู ปสามเหล ี ย ่ มจด ั อย ู ่ ในร ู ปหลาย ค ล ้ ายกน ั ΔÅBÇ และ ΔDËF กต็ ่ อเม ื อ ่ .............................................................................................. .............................. ................................................................
NOTES บทนย ิ าม ร ู ปสามเหล ี ย ่ มสองร ู ป ร ู ปสามเหล ี ย ่ มสองร ู ปนน ้ ั มข ี นาด
SCIENCE MATH BIOLOGY HISTORY EXTRAS ปคล ้ ายกน ั กต็ ่ อเม ื อ ่ ดของม ุ มเท ่ ากน ั เป็ นค ู ่ ๆ สามค ู ่
NOTES ต ว ั อ ย่ า ง ที ่ 1 รู ป ส า ม เ ห ลี ย ่ ม ที ก ่ า ส า ม เ ห ลี ย ่ ม ที ค ่ ล้ า ย ก น ั ห ร อ ื ไ ม่ D" = [ , M ะ ภ๋,G ะ T ° . . ADOG ~ ACAT
SCIENCE MATH BIOLOGY HISTORY EXTRAS า ห น ด ใ ห้ ต่ อ ไ ป นี้ เ ป็ น รู ป
^- ^ = [ ^ = แ ° ฿ = H " = 80° E- G^ = 40° ° . . AABC ~ AIHG
NOTES ตว ั อย ่ างท ี ่ 2 ร ู ปสามเหล ี ย ่ มท ี ก ่ าหนดให ้ หรอ ื ไม ่ วธ ิ ค ี ด ิ P๋ 3| ^ = 18Q -54° -41° - -85° ะ= 18 QR-8%41 ° A= 54° = S= × ^ = 41G° ° . . ABIG ~ AMAX
SCIENCE MATH BIOLOGY HISTORY EXTRAS ห ้ ต ่ อไปน ี ้ เป็ นร ู ปสามเหล ี ย ่ มท ี ค ่ ล ้ ายกน ั (54°
NOTES ตว ั อย ่ างท ี ่ 3 ร ู ปสามเหล ี ย ่ มท ี ก ่ าห ท ี ค ่ ล ้ ายกน ั หรอ ื ไม ่ ~ฐาน ฐาน i น U่ 14อ ° 13 ^ ะ อะ 180 _ ก 70° = 11W = 55° | D. ° - -180 ° -7 อ ° -70 ° ะ 40 ° :c AABC ไC ค+าย-บ ADEF
SCIENCE MATH BIOLOGY HISTORY EXTRAS หนดให ้ ต ่ อไปน ี ้ เป็ นร ู ปสามเหล ี ย ่ ม
4X he 62 งง ⑧ ④ Y = 7 , น. Zุ\ = ± " กง = ]g^ =/ _ g % µ ^ i. DPLA ~ DNOI . . . D Boy ไCค+ายราย MAN ` = a , อ. . อ , กานา bรc7 , k% . . . 1A0M m Aoom i.[ MHR~ AEBL A F t B ำ. อ . ง . . 13 ^ , d = ± ^ 1) ^ = K " , Aำ^ 3,1 ^ ± - _ 5. ^ ำ STJN~ DGBI ADBE ~ AKAS
3.3 การนํารูปสามเหลี ่ คณตศ ิ
ยมคล ้ ายไปใช้ ในทาง ศาสตร ์
± Note : ญื่ ① hขนาดของ jม เkา -นเlน m ๆoกm หqอไC ② rญื่ หqอ "ปใหs _ "ป เvก ะ ③ หาwานx]องการ หาโดยการ เปyยบเzยบ {ตรา|วน
104 € ่ e๊ = g๋ tu = 5 2×1.5 = 1 × QR 3 = QR
* ¥ ¥ = ¥ ¥ ¥£ × = 9 × 10ns 1 R 6 6 * 10 × = 9} " # 6 QK t P × = 15 y
§ = ¥ ¥¥ เ 12×6=9 × y " # = y } = y : . 8 = y
C ¥ t a) T 1.5 = € Y B 2 A F ญื๋ e๊ = ¥ ¥ = ~ %¥ ¥¥ 4 BC = 2×2 _ 1.5×4=2 × CE 4 i. BC = 1 1-5 nf 2 = CE 3 = CE
€ E
* Ä = * ¥j € 14×15 ญื๋ Å 210 ะ 210-140= ¥7¥ 70 = × = * 9 ¥2×9=18 Ç๊ : . 7
= ; j¥ สน 5=10 ( 14 + y) 140+1oy =10y 10g = y 7 = y
AD - - AGDC ก มาก 21 ซม. nny AD- -ACDC = 21-7 i. AD - - 14 ซม
กะ # yy AC = 13 ๆ = 21 ซม. C . #
_ 3 ~ y 9 ค+าย -บ 3 Ñ 3 50° ป E " = 180° -90° -4Q= 50° 50 ° 0 { 0 90 L0 OP P 40 8 1 5 24 E 50 18/ × 15 #3=5
เอกÿารประกอบการเรียน เรื่อง การน ารูปÿามเĀลี่ยมคล้ายไปใช้ในชีวิตประจ าวัน ตัวอย่างที่ 18 ÿุภัทราÿูง 1.6 เมตร ยืนĀ่างจากเÿาไฟฟ้า 4 เมตร ปรากฏว่า เงาของÿุภัทราซึ่งเกิดจากแÿงไฟยาว 2 เมตร ดังรูป จงĀาว่า เÿาไฟฟ้าÿูงกี่เมตร วิธีท า ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ....................................................................................................................... ............................................................. ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ....................................................................................................................... ............................................................. .............................................................................................................................. ...................................................... I t 7 ใ" DE แทน ความ*งของ เสาไฟ2า BC แทน ความ *งของ34ทรง AC แทน ความยาวของ เงา CE แทน ระยะ8างระห:าง34ทรง และ เสาไฟ2า < = = , ( ^ = | ^ ± , 13 ^ . . " D ใ แ> DF 㱺 ฒื้B๋ § = g → 2+4 2 DE =%6 × 1. D = 4.8 เมตร FงGน เสาไฟ2า*ง 4.8 เมตร
ตัวอย่างที่ 19 ชิงชัยต้องการĀาความÿูงของตึกĀลังĀนึ่ง จึงใช้กระดาþแข็งตัดเป็นรูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ABC มี ด้านประกอบมุมฉาก AC ยาว 30 เซนติเมตร และด้าน BC ยาว 20 เซนติเมตร ชิงชัยน ารูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ดังกล่าวมาเล็งยอดตึก ณ ต าแĀน่งที่เขาอยู่Ā่างจากตึก 4.5 เมตร ดังรูป ถ้าความÿูงของชิงชัยวัดจากเท้าถึงระดับ ÿายตาได้ 1.5 เมตร จงĀาว่า ตึกĀลังนี้ÿูงกี่เมตร วิธีท า ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ....................................................................................................................... ............................................................. ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ....................................................................................................................... ............................................................. .............................................................................................................................. ...................................................... n DFDE { | HEFะ 1.5 m แนวIด DF = DE + EF "5 ใ" DF แทน ความ*ง ของKก AG แทน ความ*ง จากเNา OงระFบสายตา ใแ> Q = Q , ( ^ = E " , 13 ^ =D " = DF เRก ฐํ๋ = U๋ ¥ = 450 _ 30 DE = 450 - ×20 3¢ / = 9g =3 00 ซม. → ¥ =3 ม. FงGน KกหWงX *ง DE + EF =3 +1.5 ะ 4.5 ม.
ค ำชี้แจง : ใĀ้นักเรียนแÿดงüิธีท ำ 1. ÿุเมธมีคüำมÿูง 1.7 เมตร ยืนอยู่Ā่ำงจำกต้นไม้ 5 เมตร เขำÿังเกตเĀ็นเงำของตัüเองทอดยำüออกไปซึ่งüัดคüำม ยำüได้ 2.5 เมตร ดังรูป จงĀำü่ำ ต้นไม้ÿูงกี่เมตร วิธีท ำ ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ....................................................................................................................... ............................................................. ............................................................................................................................. ....................................................... .......................................................................................................................................... .......................................... ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ใบงำนที่ 3.3 กำรน ำรูปÿำมเĀลี่ยมคล้ำยไปใช้ใน ชีüิตประจ ำüัน ชื่อ................................................................ชั้น...................เลขที่................
2. ธีรชัยต้องกำรĀำคüำมÿูงของตึกĀลังĀนึ่ง จึงใช้กระดำþแข็งตัดเป็นรูปÿำมเĀลี่ยมมุมฉำก ABC มีด้ำนประกอบ มุมฉำก AC ยำü 40 เซนติเมตร และด้ำนยำü BC ยำü 30 เซนติเมตร ธีรชัยน ำรูปÿำมเĀลี่ยมมุมฉำกดังกล่ำüมำเล็ง ยอดตึก ณ ต ำแĀน่งที่เขำอยู่Ā่ำงจำกตึก 6.8 เมตร ดังรูป ถ้ำคüำมÿูงของธีรชัยüัดจำกเท้ำถึงระดับÿำยตำได้ 1.6 เมตร จงĀำü่ำ ตึกĀลังนี้ÿูงกี่เมตร วิธีท ำ ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ........................................................................................................................................................................ ............ ...................................................................................................................... .............................................................. ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................... ........................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. .......................................................
ตัวอย่างที่ 20 ลูกเÿือคนĀนึ่งนอนราบกับพื้นดิน แล้วใช้กระดาþแข็งรูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมี AB = 1.5 เมตร BC = 0.8 เมตร ใĀ้ฐาน ABวางบนพื้นดิน ดังรูป ปรากฏว่า AC อยู่ในแนวเÿ้นตรงเดียวกันกับยอดเÿาธงและ ยอดตึก และเÿาธงอยู่Ā่างจากตึก 45 เมตร จงĀาว่าตึกĀลังนี้ÿูงกว่าเÿาธงกี่เมตร วิธีท า ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ....................................................................................................................... ............................................................. ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ....................................................................................................................... ............................................................. .............................................................................................................................. ...................................................... } 0←< ใ" GH แทน ความ*ง Y Kก*ง ก:า เสาธง Q = E " , 3เ ^ = H " , ( " = อ ใแ> [ = #F- \๋ AB 45×1. . 75 ]๋ ¥ → × ำ_ ~ GH = 45 × ← ย = 43 ๆ =3 × 8=24 FงGน Kง *ง ก:า เสา ธง 24 เมตร
ตัวอย่างที่ 21 ภาÿวุฒิต้องการĀาความÿูงของนึกĀลังĀนึ่ง เขาจึงใช้กระจกแผ่นĀนึ่งวางบนพื้นในแนวราบระĀว่าง ตัวเขาและตึก เมื่อเขาอยู่Ā่างจากกระจก 4.5 เมตร และกระจกĀ่างจากตึก 63 เมตร ดังรูป เขาจะมองเĀ็นยอดตึก ในกระจกพอดี ถ้าความÿูงของภาÿวุฒิวัดจากเท้าถึงระดับÿายตาได้ 1.8 เมตร จงĀาว่า ตึกĀลังนี้ÿูงกี่เมตร วิธีท า ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ....................................................................................................................... ............................................................. ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ....................................................................................................................... ............................................................. .............................................................................................................................. ......................................................
ค ำชี้แจง : ใĀ้นักเรียนแÿดงüิธีท ำ 1. นักเรียนคนĀนึ่งนอนรำบกับพื้นดิน แล้üใช้กระดำþแข็งรูปÿำมเĀลี่ยมมุมฉำก PQRซึ่งมี PQ = 1.2 เมตร QR = 0.6 เมตร ใĀ้ฐำน PQ üำงบนพื้นดิน ดังรูป ปรำกฏü่ำ PR อยู่ในแนüเÿ้นตรงเดียüกันกับยอดตึก A และยอด ตึก B โดยที่ตึก Bÿูงกü่ำ A และตึกทั้งÿองอยู่Ā่ำงกัน 36 เมตร จงĀำü่ำ ตึก Bÿูงกü่ำตึก A กี่เมตร วิธีท ำ ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ....................................................................................................................... ............................................................. ............................................................................................................................. ....................................................... .......................................................................................................................................... .......................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ใบงำนที่ 3.4 กำรน ำรูปÿำมเĀลี่ยมคล้ำยไปใช้ใน ชีüิตประจ ำüัน ชื่อ................................................................ชั้น...................เลขที่................
2. นิธิýต้องกำรĀำคüำมÿูงของต้นไม้ต้นĀนึ่ง เขำจึงใช้กระจกแผ่นĀนึ่งüำงบนพื้นในแนüรำบระĀü่ำงตัüเขำและ ต้นไม้ เมื่อเขำอยู่Ā่ำงจำกกระจก 1.5 เมตร และกระจกอยู่Ā่ำงจำกต้นไม้ 3 เมตร ดังรูป เขำจะมองเĀ็นยอดต้นไม้ ในกระจกพอดี ถ้ำคüำมÿูงของนิธิýüัดจำกเท้ำถึงระดับÿำยตำได้ 1.75 เมตร จงĀำü่ำ ต้นไม้ÿูงกี่เมตร วิธีท ำ ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... .................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... ......................................................................................................................................................................... ........... ....................................................................................................................... ............................................................. ............................................................................................................................. ....................................................... .......................................................................................................................................... ..........................................
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 173 พิจารณารูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก ดังรูป เรียกชื่อของด้านทั้งÿามของรูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้ 5.1 ความหมายของอัตราส่วนตรีโกณมิติ AB เรียกü่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) BC เรียกü่า ด้านตรงข้ามมุม A (the opposite side of angle A) AC เรียกü่า ด้านประชิดมุม A (the adjacent side of angle A) ในรูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก เมื่อพิจารณาอัตราÿ่üนของคüามยาüของ ด้านÿองด้านที่เกี่ยüข้องกับมุมมุมĀนึ่งที่ไม่ใช่มุมฉาก เช่น มุม A จะพบü่ามีอัตราÿ่üนที่เป็นไปได้ทั้งĀมด 6 แบบ ดังนี้ คüามยาüของด้านตรงข้ามมุม A คüามยาüของด้านตรงข้ามมุมฉาก คüามยาüของด้านตรงข้ามมุมฉาก คüามยาüของด้านตรงข้ามมุม A คüามยาüของด้านประชิดมุม A คüามยาüของด้านตรงข้ามมุมฉาก คüามยาüของด้านตรงข้ามมุมฉาก คüามยาüของด้านประชิดมุม A คüามยาüของด้านตรงข้ามมุม A คüามยาüของด้านประชิดมุม A คüามยาüของด้านประชิดมุม A คüามยาüของด้านตรงข้ามมุม A เรียกอัตราÿ่üนทั้งĀกแบบนี้ü่า อัตราÿ่üนตรีโกณมิติ(trigonometric ratio) ÿ�าĀรับรูปÿามเĀลี่ยมมุมฉากใดๆ อัตราÿ่üนตรีโกณมิติเดียüกันของมุมที่มีขนาดเท่ากันจะมีค่าเท่ากัน จากÿมบัติข้างต้นÿามารถกล่าüได้ü่า อัตราÿ่üนตรีโกณมิติเดียüกันของมุมมุมĀนึ่งเป็นค่าคงตัü ค่าĀนึ่ง และเพื่อคüามÿะดüกจะเรียกอัตราÿ่üนตรีโกณมิติทั้งÿามมุมนั้นที่กล่าüไü้ข้างต้นü่า ไซน์ (sine) โคไซน์ (cosine) และแทนเจนต์ (tangent) ตามบทนิยามต่อไปนี้
174 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 วิธีท�ำ เนื่องจาก sin A = จะได้sin A = เนื่องจาก cos A = จะได้cos A = เนื่องจาก tan A = จะได้tan A = เนื่องจาก sin B = จะได้sin B = เนื่องจาก cos B = จะได้cos B = เนื่องจาก tan B = จะได้tan B = 3 บทนิยำม ÿ�าĀรับรูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม A เป็นมุมแĀลมมุมĀนึ่ง ไซน์ของมุม A คือ โคไซน์ของมุม A คือ แทนเจนต์ของมุม A คือ คüามยาüของด้านตรงข้ามมุม A คüามยาüของด้านตรงข้ามมุมฉาก คüามยาüของด้านประชิดมุม A คüามยาüของด้านตรงข้ามมุมฉาก คüามยาüของด้านตรงข้ามมุม A คüามยาüของด้านประชิดมุม A นิยมเขียน sin A แทนไซน์ของมุม A อ่านü่า ไซน์A cos A แทนโคไซน์ของมุม A อ่านü่า คอÿ A tan A แทนแทนเจนต์ของมุม A อ่านü่า แทน A ÿ�าĀรับกรณีที่ทราบขนาดของมุม นิยมเขียนอัตราÿ่üนตรีโกณมิติของขนาดของมุม แทนการเขียน อัตราÿ่üนตรีโกณมิติของชื่อมุม เช่น ถ้าทราบü่า A = 45 � จะเขียน sin 45 � แทนการเขียน sin A จากรูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ABC ที่ก�าĀนดใĀ้ จงĀาค่าของ sin A, cos A, tan A, sin B, cos B และ tan B ตัวอย่าง คüามยาüของด้านตรงข้ามมุม A คüามยาüของด้านตรงข้ามมุมฉาก คüามยาüของด้านตรงข้ามมุม B คüามยาüของด้านตรงข้ามมุมฉาก คüามยาüของด้านประชิดมุม A คüามยาüของด้านตรงข้ามมุมฉาก คüามยาüของด้านประชิดมุม B คüามยาüของด้านตรงข้ามมุมฉาก คüามยาüของด้านตรงข้ามมุม A คüามยาüของด้านประชิดมุม A คüามยาüของด้านตรงข้ามมุม B คüามยาüของด้านประชิดมุม B 1 2 1 2 3 2 3 2 1 3 sinA--!#า ฉาก COSA = ¥ ฉาก !าม A ฉาก r 'ดA tan A-- !าม 'ด ฉาก !าม A ฉาก 'ดB 'ด A ชาม B 1 2 * +๋ = -๊ E 2 L 2 /3
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 175 จากรูป ตัวอย่าง จงĀาค่าของ sin P – tan R วิธีท�ำ จากทฤþฎีบทพีทาโกรัÿ จะได้ PR2 = 8.12 + 10.82 = 182.25 PR = 13.5 Āน่üย ดังนั้น sin P – tan R = – = – 8.1 13.5 10.8 8.1 11 15 ก� ตัวอย่าง าĀนดใĀ้∆ABC เป็นรูปÿามเĀลี่ยมที่มีมุม B เป็นมุมฉาก BC = 10 Āน่üย และ tan A = 2 จงĀาค่าของ sin A วิธีท�ำ จากโจทย์อาจเขียนภาพประกอบการแก้ปัญĀาได้ดังนี้ จากภาพ จะได้ tan A = เนื่องจาก tan A = 2 ดังนั้น 2 = จะได้ AB = 5 Āน่üย จากทฤþฎีบทพีทาโกรัÿ จะได้ AC2 = 52 + 102 = 125 AC = 5 5 ดังนั้น sin A = = = 10 AB 10 AB 10 5 3 2 5 2 5 5 ก�าĀนดใĀ้รูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่ü JKL มีLJ = 16 Āน่üย และ LM ⊥ JK ดังรูป จงĀาค่าของ sin MKL ตัวอย่าง ^ วิธีท�ำ เนื่องจาก ∆JKL เป็นรูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่üที่มีมุม JLK เป็นมุมฉาก จะได้LK = LJ = 16 Āน่üย และ JKL = KJL = 45 � ^ ^
176 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 พิจารณารูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก LMK จะได้MKL = MLK = 45 � และ LM = MK จากทฤþฏีบทพีทาโกรัÿ จะได้ LK2 = LM2 + MK2 162 = LM2 + LM2 256 = 2LM2 LM2 = 128 LM = 8 2 Āน่üย ดังนั้น sin MKL = = ^ ^ ^ 8 2 16 2 2 แบบฝึกหัดที่ 1 จากรูป จงĀาอัตราÿ่üนตรีโกณมิติ 1 3 2 4 sin A = ________ sin B = ________ cos A = ________ cos B = ________ tan A = ________ tan B = ________ sin A = ________ sin B = ________ cos A = ________ cos B = ________ tan A = ________ tan B = ________ sin A = ________ sin B = ________ cos A = ________ cos B = ________ tan A = ________ tan B = ________ sin A = ________ sin B = ________ cos A = ________ cos B = ________ tan A = ________ tan B = ________ cosec A = sec A = cot A = 1 sin A 1 cos A 1 tan A Note 24 7 55 55 0๋ × 1๋ = 4 ¥ 5.¥ = 24 _ 5ร _ 42 4ร 4T 25 25 41 41 24 _ I 4 5 7 24 5 F 3× 4๊5๋ 2 ะ ± ± ไร ตา 13 13 2โ 2T' £ 12 F- F- 13 T5 E- = 1 E--1 12_ I 5 12
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 177 sin A = ________ sin B = ________ cos A = ________ cos B = ________ tan A = ________ tan B = ________ sin X = ________ sin Z = ________ cos X = ________ cos Z = ________ tan X = ________ tan Z = ________ sin _____ = cos _____ = tan _____ = sin _____ = cos _____ = tan _____ = sin A = ________ sin B = ________ cos A = ________ cos B = ________ tan A = ________ tan B = ________ sin P = ________ sin R = ________ cos P = ________ cos R = ________ tan P = ________ tan R = ________ 5 7 6 8 แบบฝึกหัดที่ 2 จากรูปและค่าของอัตราÿ่üนตรีโกณมิติของมุมที่ก�าĀนดใĀ้จงเติมค�าตอบใĀ้ถูกต้อง 1 2 a c b c b a AC AB AC AB AC BC ออก งาน ง วย ห@อ ± ¥ มง " ↳ เ 2,5g % = E 2 ⑤ ง 25 § ⇐ ×B๋ = ¥ 20 15 25 20
178 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5 3 7 6 4 8 sin _____ = cos _____ = tan _____ = ________ B = ________ B = ________ B = ________ B = ________ B = ________ A = ________ B = ________ B = ________ A = ________ B = ________ A = ________ A = 3 5 3 5 3 4 y x y z z x 8 6 6 10 12 20 8 10 12 16 16 20 sin _____ = cos _____ = tan _____ = 2 1 5 2 5 AC BC AC AB BC AB
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 179 ________ B = 3 ________ B = ________ A = sin _____ = cos _____ = tan _____ = 9 10 5 13 12 13 5 12 1 2 3 2 แบบฝึกหัดที่ 3 1 2 ก�าĀนดใĀ้รูป ∆ABC เป็นรูปÿามเĀลี่ยมด้านเท่า มีAB = 4 Āน่üย และ AD = 2 Āน่üย จงĀา ก�าĀนดใĀ้ABC เป็นรูปÿามเĀลี่ยมที่มีAB = 3 Āน่üย BD = 1 Āน่üย และ DC = 4 Āน่üย จงĀาค่าของ 1.1 sin ABD _____________________ 1.2 cos BCD _____________________ 1.3 tan CBD _____________________ 2.1 sin B ____________________ 2.2 cos B ____________________ 2.3 tan B ____________________ 2.4 sin C ____________________ 2.5 cos C ____________________ 2.6 tan C ____________________ ^ ^ ^
180 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 3 4 ก�าĀนด ∆ABC มีAC = 14 Āน่üย BC = 15 Āน่üย และ BD = 12 Āน่üย จงĀาค่าของ จากรูปจงĀาค่าของ sin DAB, cos DCB, tan DBC, sin CAB, cos ABD และ tan ACB ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 3.1 sin BAD ____________________ 3.2 sin ABD ____________________ 3.3 cos BCD ____________________ 3.4 cos CBD ____________________ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ แบบฝึกหัดที่ 4 1 2 รูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ABC มีB เป็นมุมฉาก ก�าĀนด a = 32 Āน่üย, b = 40 Āน่üย จงĀาค่าของ cos A, sin C และ cot A ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ รูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ABC มีC เป็นมุมฉาก ก�าĀนด AB = 13 เซนติเมตร และ BC = 5 เซนติเมตร จงĀาค่าของ sin A, cos A และ tan A ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ^ ^ 3.6
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 181 รูปÿามเĀลี่ยมมุมฉากมีB เป็นมุมฉาก และใĀ้tan A = จงĀาค่า cos A และ sin C ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ก�าĀนดใĀ้∆ABC เป็นรูปÿามเĀลี่ยมที่มีมุม B เป็นมุมฉาก AB = 5.4 Āน่üย และ tan A = จงĀาค่าของ cos C ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ก�าĀนดใĀ้∆PQR เป็นรูปÿามเĀลี่ยมที่มีมุม Q เป็นมุมฉาก มีพื้นที่ 27 ตารางเซนติเมตร และ PQ ยาü 9 เซนติเมตร ดังรูป จงĀาค่าของ tan R ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ก�าĀนดใĀ้รูปÿามเĀลี่ยมĀน้าจั่ü PQR มีPR = 18 Āน่üย และ RS ⊥ PQ ดังรูป จงĀาค่าของ cos SQR ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ก�าĀนดใĀ้∆XYZ เป็นรูปÿามเĀลี่ยมมุมฉากที่มีYZ ยาü 15 Āน่üย และจุด W เป็นจุดกึ่งกลางของ XY ดังรูป ถ้า ∆XYZ มีพื้นที่ 75 ตารางĀน่üย จงĀาค่าของ tan YZX และ cos ZWY ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ 5 3 7 6 4 ^ 1 2 4 3 ^ ^
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 187 sin2 60 � + tan2 45 � + cos2 60 � _____________________________________________________________________ cos 60 �. cosec 30 �. tan 30 �. sin 60 � _____________________________________________________________________ sin2 45 �. cos2 45 � – sin2 30 �. cos2 60 � _____________________________________________________________________ 2 sin 30 �cos 30 �tan 30 � _____________________________________________________________________ cosec2 60 � + sec2 45 � – 2 cot2 30 � _____________________________________________________________________ (sin 45 �)(cos 45 �) – (sin 60 �)(cos 30 �) _____________________________________________________________________ sin 45 � + tan 45 � – cos 45 � _____________________________________________________________________ sec2 30 � – tan2 30 � + 1 _____________________________________________________________________ sec 45 � + cot 45 � – cosec 45 � _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 11 15 13 17 19 12 16 14 18 20 1 2 cot 45 �sec 60 � cos 30 � + cosec 30 �
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 183 จากรูป ก�าĀนดใĀ้CBD = 30 �, ADC = 90 � และ BD = 24 Āน่üย ถ้า ∆ACD มีพื้นที่ 32 39 ตารางĀน่üย แล้ü AC เท่ากับเท่าใด ตัวอย่าง ^ ^ วิธีท�ำ พิจารณารูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก CBD จะได้ tan 30 � = = ดังนั้น CD = 8 3 Āน่üย เนื่องจาก ∆ACD มีพื้นที่ 32 39 ตารางĀน่üย ดังนั้น 32 39 = × AD × 8 3 AD = 8 13 Āน่üย พิจารณารูปÿามเĀลี่ยมมุมฉาก ACD โดยทฤþฎีบทพีทาโกรัÿ จะได้ AC2 = AD2 + CD2 = (8 13 ) 2 + (8 3 ) 2 = 1,024 ดังนั้น AC = 32 Āน่üย CD 24 CD 24 3 3 1 2
182 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 จงĀาค่า x จากÿมการ x sin 60 � cos 30 � = วิธีท�ำ เนื่องจาก sin 60 � = และ cos 30 � = จาก x sin 60 � cos 30 � = จะได้ x × × = x × = x = 1 ดังนั้น x = 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่มีขนาด 30 �, 45 � และ 60 � ค่าของอัตราÿ่üนตรีโกณมิติของมุมที่มีขนาด 30 �, 45 � และ 60 � ดังตารางต่อไปนี้ 5.2 อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลม อัตรำส่วนตรีโกณมิติ ขนำดของมุม 30 � 45 � 60 � sin A cos A tan A 1 3 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 จากรูปÿามเĀลี่ยม ABC ที่ก�าĀนดใĀ้AB = 3 Āน่üย และ ABD = 60 � จงĀา BC และ AC วิธีท�ำ เนื่องจาก cos 60 � = = จะได้ BC = 3 cos 60 � = 3 × ดังนั้น BC = Āน่üย เนื่องจาก sin 60 � = = จะได้ AC = 3 sin 60 � = 3 × ดังนั้น AC = Āน่üย ตัวอย่าง ตัวอย่าง ^ BC AB AC AB BC 3 AC 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 ใDกฎ FอGาย sin - - สาย _ tan - - ¥ 2 - COS = ว Int โา 2 1 ฐ = eos แ ° = E "" L " m !าม L ฉาก ฉาก sin แ ° = ¥ M%§ ฉาก ฉาก !าม § = BC ฐ N 3 N = AC r 'ด