บทที่ 1 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

แผนการจัดการเรียนรู้

วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202
หน่อยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 โรงเรียนอุดรพัฒนาการ

นางสาวอภิญญา เสริฐสาย
รหัสประจำตัวนักศึกษา 61100140109
นีกศึกษาฝึกประสบการณ์วิชาชีพ สาขาวิชาคณิตศาสตร์
การฝึกปฎิบัติการสอนในสถานศึกษา 2
รหัสวิชา ED18502 (INTERNSHIP IN SCHOOL 2)
คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี
ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2565

แผนการจดั การเรียนรู้
วิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ ค31202
กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 เรอ่ื ง ความสมั พนั ธแ์ ละฟังก์ชัน
ระดับชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 โรงเรียนอดุ รพฒั นาการ

นางสาวอภญิ ญา เสรฐิ สาย
รหัสประจำตัวนกั ศกึ ษา 61100140109

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์

การฝึกปฏิบตั ิการสอนในสถานศึกษา 2
รหัสวชิ า ED18502 (INTERNSHIP IN SCHOOL 2)

คณะครศุ าสตร์ มหาวทิ ยาลัยราชภฏั อดุ รธานี
ภาคเรยี นที่ 2 ปกี ารศึกษา 2565

ก

คำนำ

แผนการจัดการเรียนรรู้ ายวิชาคณิตศาสตร์ รหัสวิชา ค31202 ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 1 นี้
จัดทำขึ้นเพื่อใช้เป็นแนวทางในการจัดการเรียนการสอนให้มีประสิทธิภาพ และให้นักเรียนบรรลุ
ตามมาตรฐานการเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ที่กำหนดไว้ในหลักสูตรแกนกลามการศึกษาชั้นพื้นฐาน
พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง 2560) ผู้จัดทำจึงได้ศึกษาสาระการเรียนรู้ เทคนิค วิธีการสอน
การวดั และการประเมนิ ผล มาจดั ทำแผนการจัดการเรยี นรู้ในคร้ังนี้

แผนการจัดการเรียนรู้ในเล่ม 1 นี้ ประกอบไปด้วย ทำไมต้องเรียนคณิตศาสตร์ เรียนรู้อะไร
ในคณิตศาสตร์ สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ คุณภาพผู้เรียนเมือ่ จบชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 6 สมรรถนะ
สำคัญของผู้เรียน คุณลักษณะอันพึงประสงค์สำคัญของผู้เรียน ผลการเรียนรู้และสาระการเรียนรู้ชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ 4 คำอธิบายรายวิชาเพิ่มเติม โครงสร้างรายวิชา แผนการประเมินผลการเรียนรู้
การวิเคราะห์ตัวชี้วัดเพื่อกำหนดน้ำหนักคะแนน โครงสร้างกำหนดการสอน แผนการจัดการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน เพื่อให้ผู้เรียนบรรลุมาตรฐานการเรียนรู้ได้
เต็มศักยภาพอยา่ งแทจ้ รงิ

จึงหวังเป็นอย่างยิ่งว่าแผนการจัดการเรียนรู้ฉบับนี้ จะสามารถนำไปใช้ประกอบการจัดการ
เรียนการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์ นำไปส่กู ารพัฒนาท่ีถกู ต้องและเกิดผลแกผ่ ู้เรยี นเปน็ อยา่ งดี

อภญิ ญา เสรฐิ สาย
6 ธันวาคม 2565

ข

สารบัญ

เร่อื ง หนา้
คำนำ............................................................................................................................. ...................ก
สารบัญ........................................................................................................ .....................................ข
หลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พ.ศ.2551 (ฉบับปรบั ปรุง พ.ศ.2560)

ทำไมตอ้ งเรียนคณิตศาสตร์........................................................................................................ค
เรยี นรู้อะไรในคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม............................................................................................ค
สาระและมาตรฐานการเรียนรู้................................................................................................... ค
คุณภาพผเู้ รียน...........................................................................................................................ง
สมรรถนะสำคญั ของผู้เรียน........................................................................................................จ
คณุ ลักษณะอนั พึงประสงคส์ ำคญั ของผเู้ รียน..............................................................................จ
ผลการเรียนรแู้ ละสาระการเรียนรู้แกนกลาง ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4............................................ฉ
คำอธบิ ายรายวิชาเพ่ิมเติม................................................................................................................ซ
โครงสร้างรายวชิ า....................................................................................................................... ......ฌ
ตารางวิเคราะห์หลักสตู ร...................................................................................................................ญ
แผนการประเมินผลการเรยี นร.ู้ .........................................................................................................ฎ
การวเิ คราะหผ์ ลการเรยี นรู้เพ่ือกำหนดนำ้ หนักคะแนน.....................................................................ฏ
โครงสรา้ งกำหนดการสอน................................................................................................................ฐ
แผนการจดั การเรยี นรูห้ นว่ ยการเรียนรู้ท่ี 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังกช์ นั
แผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่ 1 เรื่อง คู่อันดบั และผลคูณคาทเี ซยี น...................................................1
แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 2 เร่อื ง กราฟของความสัมพนั ธ์..........................................................14
แผนการจดั การเรยี นรูท้ ี่ 3 เรอ่ื ง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์..........................................25
แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 4 เร่ือง ตวั ผกผนั ของความสัมพันธ์.....................................................35
แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่ 5 เรอ่ื ง ความหมายของฟังกช์ ัน..........................................................48
แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 6 เรื่อง ฟงั ก์ชันจากเซตหนง่ึ ไปอีกเซตหนงึ่ .........................................60
แผนการจดั การเรียนรูท้ ่ี 7 เรอ่ื ง ฟังกช์ นั เพิ่ม และฟงั ก์ชันลด....................................................73
แผนการจัดการเรยี นร้ทู ่ี 8 เรอ่ื ง การใช้ฟงั กช์ ันในชีวิตจริง........................................................86
แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 9 เร่อื ง กราฟของฟังกช์ ัน....................................................................85
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 10 เร่อื ง การดำเนินการของฟังก์ชนั (1)..............................................99
แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 11 เรอ่ื ง การดำเนนิ การของฟังกช์ นั (2)............................................115
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 12 เรอื่ ง ฟงั ก์ชนั ผกผนั .......................................................................140

ค

หลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน พ.ศ.2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560)
กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์

ทำไมตอ้ งเรยี นคณติ ศาสตร์
คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญยิ่งต่อความสำเร็จในการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 เนื่องจาก

คณติ ศาสตร์ช่วยให้มนุษยม์ ีความคิดริเร่มิ สรา้ งสรรค์ คดิ อย่างมเี หตุผล เปน็ ระบบ มีแบบแผน สามารถ
วิเคราะห์ปัญหา หรือสถานการณ์ได้อย่างรอบคอบและถี่ถ้วน ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ
แกป้ ญั หาได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และสามารถนำไปใช้ในชีวิตจรงิ ได้อย่างมีประสิทธภิ าพ นอกจากนี้
คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศาสตร์อื่นๆ อันเป็น
รากฐานในการพัฒนาทรัพยากรบุคคลของชาติให้มีคุณภาพ และพัฒนาเศรษฐกิจของประเทศให้
ทัดเทยี มกับนานาชาติ การศึกษาคณิตศาสตร์ จึงจำเป็นต้องมีการพัฒนาอย่างต่อเนื่อง เพื่อให้ทันสมัย
และสอดคล้องกับสภาพเศรษฐกิจ สังคม และความรู้ทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีที่เจริญก้าวหนา้
อยา่ งรวดเรว็ ในยคุ โลกาภวิ ตั น์ (สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2556)

เรยี นร้อู ะไรในคณติ ศาสตร์
ในคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ผเู้ รยี นจะไดเ้ รยี นรู้สาระสำคญั ดงั นี้
จำนวนและพีชคณิต เรียนรู้เกี่ยวกับ เซต ตรรกศาสตร์ จำนวนจริง และพหุนาม จำนวน

เชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ลำดับและ
อนุกรม เมทรกิ ซ์ และการนำความรู้เก่ียวกับจำนวนและพีชคณติ ไปใชใ้ นสถานการณ์ต่าง ๆ

การวัดและเรขาคณิต เรียนรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ เวกเตอร์ในสามมิติ และการนำ
ความรู้เกี่ยวกบั การวัดและเรขาคณติ ไปใชใ้ นสถานการณต์ า่ ง ๆ

สถิติและความน่าจะเป็น เรียนรู้เกี่ยวกับหลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น การแจกแจง
ความน่าจะเปน็ เบอ้ื งตน้ และใช้ความรเู้ กยี่ วกับสถิตแิ ละความนา่ จะเป็นในการอธบิ ายเหตุการณ์ต่าง ๆ
และช่วยในการตดั สินใจ

แคลคูลัส เรียนรู้เกี่ยวกับลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต
ปรพิ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั พชี คณติ และการนำ ความรู้ เกย่ี วกับแคลคลู ัสไปใชใ้ นสถานการณ์ต่าง ๆ

สาระและมาตรฐานการเรียนรู้
สาระจำนวนและพชี คณิต
1. เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนนิ การของจำนวน ผล

ท่ีเกดิ ขน้ึ จากการดำเนนิ การ สมบัตขิ องการดำเนินการและนำไปใช้
2. เขา้ ใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสมั พนั ธ์ ฟงั กช์ นั ลำดบั และอนกุ รมและนำไปใช้

ง

3. ใช้นิพจน์ สมการ อสมการและเมทริกซ์ อธิบายความสัมพันธ์ หรือช่วยแก้ปัญหาที่
กำหนดให้

สาระการวดั และเรขาคณิต
1. เข้าใจเรขาคณติ วิเคราะห์ และนำไปใช้
2. เขา้ ใจเวกเตอร์ การดำเนนิ การของเวกเตอร์ และนำไปใช้

สาระสถิติและความนา่ จะเปน็
1. เขา้ ใจหลกั การนับเบ้อื งตน้ ความนา่ จะเป็น และนำไปใช้

สาระแคลคลู ัส
1. เข้าใจลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน และปริพันธ์ของฟังก์ชัน

และนำไปใช้

คณุ ภาพผู้เรียน
ผ้เู รยี นระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย เม่อื เรียนครบทกุ ผลการเรียนรู้ มคี ุณภาพดงั น้ี
1. เขา้ ใจและใช้ความรู้เกีย่ วกับเซต ในการสือ่ สารและสื่อความหมายทางคณติ ศาสตร์
2. เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับตรรกศาสตร์เบื้องต้น ในการสื่อสาร สื่อความหมาย และอ้าง

เหตุผล
3. เข้าใจและใช้สมบตั ขิ องจำนวนจริงและพหนุ าม
4. เข้าใจและใชค้ วามร้เู กีย่ วกับฟงก์ชัน ฟงก์ชันเอกซ์โพเนนเชยี ล ฟงก์ชนั ลอการทิ ึม และฟงก์

ชันตรีโกณมติ ิ
5. เข้าใจและใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั เรขาคณติ วิเคราะห์
6. เขา้ ใจและใช้ความรเู้ กย่ี วกบั เมทริกซ์
7. เขา้ ใจและใชส้ มบัตขิ องจำนวนเชิงซ้อน
8. นำความรเู้ กยี่ วกบั เวกเตอรใ์ นสามมิตไิ ปใช้
9. เขา้ ใจและใชห้ ลกั การนบั เบือ้ งต้น การเรยี งสบั เปลย่ี น และการจัดหมใู่ นการแกป้ ญหา และ

นำความรเู้ กย่ี วกบั ความน่าจะเป็นไปใช้
10. นำความรเู้ ก่ยี วกับลำดับและอนกุ รมไปใช้
11. เข้าใจและใช้ความรู้ทางสถิติในการวิเคราะห์ข้อมูล นำเสนอข้อมูล และแปลความหมาย

ข้อมูลเพ่ือประกอบการตดั สนิ ใจ
12. หาความน่าจะเปน็ ของเหตุการณท์ เี่ กิดจากตวั แปรสุม่ ท่มี ีการแจกแจงเอกรปู การแจกแจง

ทวินาม และการแจกแจงปกติ และนำไปใช้
13. นำความร้เู กีย่ วกับแคลคลู สั เบือ้ งต้นไปใช้

จ

สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน
สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน มุ่งพัฒนาผู้เรียนให้มี

คุณภาพตามมาตรฐานการเรียนรู้ ซึ่งการพัฒนาผู้เรียนให้บรรลุมาตรฐานการเรียนรู้ที่กำหนดนั้น
จะช่วยใหผ้ ู้เรียนเกิดสมรรถนะสำคัญ 5 ประการ ดังน้ี

1. ความสามารถในการสื่อสาร เป็นความสามารถในการรับและส่งสาร มีวัฒนธรรมในการ
ใช้ภาษาถ่ายทอดความคดิ ความรู้ความเข้าใจ ความรู้สึก และทัศนะของตนเองเพื่อแลกเปลี่ยนข้อมูล
ข่าวสาร และประสบการณ์อันจะเป็นประโยชน์ต่อการพัฒนาตนเองและสังคม รวมทั้งการเจรจา
ตอ่ รองเพ่ือขจัด และลดปัญหาความขัดแยง้ ตา่ งๆ การเลอื กรบั หรือไม่รบั ข้อมูลข่าวสารดว้ ยหลกั เหตุผล
และความถูกต้อง ตลอดจนการเลือกใช้วิธีการสื่อสารที่มีประสิทธิภาพโดยคำนึงถึงผลกระทบที่มีต่อ
ตนเองและสังคม

2. ความสามารถในการคดิ เป็นความสามารถในการคิดวเิ คราะห์ การคดิ สงั เคราะห์ การคดิ
อย่างสร้างสรรค์ การคิดอย่างมีวิจารณญาณ และการคิดเป็นระบบ เพื่อนำไปสู่การสร้างองค์ความรู้
หรอื สารสนเทศเพ่ือการตดั สนิ ใจเก่ยี วกบั ตนเองและสังคมไดอ้ ย่างเหมาะสม

3. ความสามารถในการแก้ปัญหา เป็นความสามารถในการแก้ปัญหาและอุปสรรคต่างๆ
ที่เผชิญได้อย่างถูกต้องเหมาะสมบนพื้นฐานของหลักเหตุผล คุณธรรมและข้อมูลสารสนเทศเข้าใจ
ความสัมพันธ์ และการเปลย่ี นแปลงของเหตุการณต์ า่ งๆ ในสงั คมแสวงหาความรู้ ประยกุ ต์ความรู้มาใช้
ในการป้องกันและแกไ้ ขปัญหาและมีการตัดสินใจที่มีประสิทธิภาพโดยคำนึงถึงผลกระทบที่เกิดขึ้นตอ่
ตนเอง สังคมและสงิ่ แวดลอ้ ม

4. ความสามารถในการใชท้ ักษะชีวิต เป็นความสามารถในการนำกระบวนการต่างๆ ไปใช้
ในการดำเนินชีวิตประจำวัน การเรียนรู้ด้วยตนเอง การเรียนรู้อย่างต่อเนื่องการทำงาน และการอยู่
ร่วมกันในสังคมด้วยการสร้างเสริมความสัมพันธ์อันดีระหว่างบุคคล การจัดการปัญหาและความ
ขดั แยง้ ต่างๆ อยา่ งเหมาะสม การปรับตัวใหท้ ันกับการเปลี่ยนแปลงของสังคมและสภาพแวดล้อมและ
การรู้จักหลกี เล่ยี งพฤตกิ รรมไม่พึงประสงคท์ ่สี ง่ ผลกระทบต่อตนเองและผู้อ่ืน

5. ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี เป็นความสามารถในการเลือกและใช้เทคโนโลยีด้าน
ต่างๆ และมีทักษะกระบวนการทางเทคโนโลยี เพื่อการพัฒนาตนเองและสังคม ในด้านการเรียนรู้
การสอื่ สาร การทำงาน การแก้ปญั หาอย่างสรา้ งสรรค์ ถูกตอ้ งเหมาะสมและมีคุณธรรม

คุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์สำคัญของผเู้ รยี น
หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน มุ่งพัฒนาผู้เรียนให้มีคุณลักษณะอันพึงประสงค์

เพื่อให้สามารถอยรู่ ่วมกับผู้อื่นในสงั คมได้อยา่ งมีความสขุ ในฐานะเป็นพลเมืองไทยและพลโลก ดงั น้ี
1. รกั ชาติ ศาสน์ กษัตริย์
2. ซ่ือสตั ย์สุจรติ

ฉ

3. มีวนิ ยั
4. ใฝเ่ รียนรู้
5. อยอู่ ยา่ งพอเพยี ง
6. มุง่ ม่ันในการทำงาน
7. รักความเป็นไทย
8. มีจติ สาธารณะ

ผลการเรียนรแู้ ละสาระการเรียนรู้แกนกลาง ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4

สาระที่ 1 จำนวนและพชี คณติ

1. เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของจำนวนผล

ที่เกิดขนึ้ จากการดำเนินการ สมบัตขิ องการดำเนนิ การ และนาํ ไปใช้

ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้เพ่มิ เติม

1. เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับเซต ในการสื่อสาร เซต

และส่อื ความหมายทางคณติ ศาสตร์ - ความรเู้ บือ้ งต้นและสญั ลักษณพ์ นื้ ฐานเกีย่ วกับเซต

- ยเู นียน อนิ เตอรเ์ ซกชนั และคอมพลเี มนต์ของเซต

2. เข้าใจและใชค้ วามรู้เก่ียวกับตรรกศาสตร์ ตรรกศาสตร์

เบอื้ งต้นในการส่อื สาร สือ่ ความหมาย - ประพจน์และตวั เชอื่ ม

และอา้ งเหตุผล - ประโยคท่ีมตี ัวบง่ ปรมิ าณตวั เดียว

3. เข้าใจจำนวนจริง และใชส้ มบัติของ จำนวนจริงและพหุนาม

จำนวนจริงในการแก้ปัญหา - จำนวนจรงิ และสมบตั ขิ องจำนวนจริง

- คา่ สมั บรู ณ์ของจำนวนจริงและสมบัติ

ของค่าสัมบรู ณ์ของจำนวนจริง

- จำนวนจริงในรูปกรณฑ์และจำนวนจรงิ

ในรปู เลขยกกาํ ลงั

2. เข้าใจและวิเคราะหแ์ บบรูปความสมั พนั ธฟ์ งั กช์ นั ลำดบั และอนกุ รม และนาํ ไปใช้

ผลการเรยี นรู้ สาระการเรียนรู้เพม่ิ เตมิ

1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การ ฟงั ก์ชัน

หารฟังก์ชัน หาฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชัน - การบวก การลบ การคูณ การหารฟงั กช์ นั

ผกผัน - ฟงั ก์ชนั ประกอบ

2. ใชส้ มบัตขิ องฟงั ก์ชนั ในการแกป้ ัญหา - ฟังกช์ นั ผกผัน

3. เข้าใจลักษณะกราฟของฟังก์ชนั ฟงั กช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟงั กช์ นั ลอการิทมึ

ช

ผลการเรยี นรู้ สาระการเรียนร้เู พมิ่ เติม
เอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชนั ลอการิทมึ - ฟงั กช์ นั เอกซ์โพเนนเชยี ล
และนาํ ไปใช้ในการแกป้ ญั หา - ฟงั กช์ ันลอการทิ มึ

3. ใชน้ พิ จนส์ มการ อสมการ และเมทรกิ ซอ์ ธิบายความสมั พันธห์ รือช่วยแกป้ ญั หาทกี่ ำหนดให้

ผลการเรยี นรู้ สาระการเรยี นรู้เพิ่มเตมิ

1. แก้สมการและอสมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว จำนวนจริงและพหุนาม

ดกี รไี มเ่ กนิ สี่ และนํา ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา - ตวั ประกอบของพหุนาม

2. แกส้ มการและอสมการเศษสว่ นของพหนุ าม - สมการและอสมการพหุนาม

ตัวแปรเดียว และนํา ไปใช้ในการแก้ปัญหา - สมการและอสมการเศษส่วนของพหนุ าม

3. แก้สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์ของพหุ - สมการและอสมการคา่ สัมบรู ณข์ องพหนุ าม

นามตวั แปรเดยี ว และนํา ไปใช้ในการแกป้ ญั หา

4. แก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลและสมการ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

ลอการทิ มึ และนํา ไปใชใ้ นการแก้ปญั หา - สมการเอกซโ์ พเนนเชียลและสมการลอการิทมึ

สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณติ

1. เขา้ ใจเรขาคณิตวเิ คราะห์และนาํ ไปใช้

ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม

1. เขา้ ใจและใช้ความรเู้ กย่ี วกับ เรขาคณติ วเิ คราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์ในการแก้ปญั หา - จุดและเส้นตรง

- วงกลม

- พาราโบลา

- วงรี

- ไฮเพอร์โบลา

ซ

คำอธบิ ายรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ รหสั วิชา ค31202 สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์
รายวชิ าคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม2 จำนวน 1.5 หนว่ ยกติ
ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 ภาคเรียนท่ี 2 จำนวน 60 ชั่วโมง

ศกึ ษา ค้นคว้า ฝกึ ทกั ษะ/กระบวนการเก่ยี วกับเรื่องต่อไปน้ี
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน การใช้ฟังก์ชันในชีวิตจริง กราฟของ
ฟังกช์ นั การดำเนินการของฟงั กช์ ัน และฟังก์ชันผกผนั
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม เลขยกกำลัง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชันลอการทิ ึม การหาค่าลอการิทมึ การเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ สมการและอสมการลอการิทึม
การประยกุ ตข์ องฟังกช์ ันเอกซโ์ พเนนเชยี ลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ
เรขาคณติ วิเคราะห์ ความร้เู บอ้ื งต้นเก่ียวกับเรขาคณิตวเิ คราะห์ ภาคตัดกรวย
โดยจัดประสบการณ์ให้ผู้เรียนได้พัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ อันได้แก่
การแก้ปัญหา การสื่อสารแลการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยง การให้เหตุผล และ
การคดิ สรา้ งสรรค์
การใช้สื่อ อุปกรณ์ เทคโนโลยี และแหล่งข้อมูล และนำประสบการณ์ ตลอดจนทักษะและ
กระบวนการที่ได้ใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่างๆ และใช้ในชีวิตประจำวันอย่างสร้างสรรค์ รวมทั้งเห็นคุณคา่
และเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ สามารถทำงานอย่างเป็นระบบ มีความรอบคอบ และมีวิจารณญาณ
การวัดผลประเมินผล ใช้วิธีที่หลากหลายตามสภาพความเป็นจริงใหส้ อดคลอ้ งกับเนื้อหาและทักษะท่ี
ตอ้ งการวดั
ผลการเรียนรู้
1. หาผลลพั ธข์ องการบวก การลบ การคณู การหารฟังกช์ ัน หาฟงั ก์ชนั ประกอบ และฟังกช์ นั
ผกผัน
2. ใชส้ มบัติของฟังกช์ ันในการแก้ปญั หา
3. เข้าใจลกั ษณะกราฟของฟังกช์ ันเอกซโ์ พเนนเชยี ลและฟังกช์ ันลอการิทึม และนำไปใช้ในการ
แกป้ ัญหา
4. แก้สมการเอกซโ์ พเนนเชียลและสมการลอการิทึม และนำไปใชใ้ นการแก้ปญั หา
5. เขา้ ใจและใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั เรขาคณติ วิเคราะห์ในการแก้ปัญหา
รวมท้ังหมด 5 ผลการเรียนรู้

ฌ

โครงสรา้ งรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2

รายวิชา คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 2 รหัสวชิ า ค 31201 กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์

ภาคเรียนท่ี 2 ระดบั ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 4 นำ้ หนักหน่วยกติ 1.5 จำนวนชั่วโมง 60 ชั่วโมง

ลำดบั ช่ือหน่วย ผลการเรียนรู้ สาระสำคญั เวลา นำ้ หนกั
ท่ี การเรียนรู้ ชั่วโมง คะแนน

1 ความสมั พันธ์ 1. หาผลลัพธ์ของการบวก ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ ัน 14 10

และฟังก์ชนั การลบ การคูณ การหาร - ความสมั พันธ์

ฟังกช์ ัน หาฟังกช์ ัน - ฟงั กช์ นั

ประกอบและฟังก์ชันผกผนั - การใช้ฟังกช์ ันในชีวติ จรงิ

2. ใช้สมบัตขิ องฟังก์ชันใน - กราฟของฟังก์ชนั

การแกป้ ัญหา - การดำเนนิ การของฟังกช์ ัน

- ฟังกช์ นั ผกผัน

2 ฟงั ก์ชนั เอกซ์ 3. เขา้ ใจลกั ษณะกราฟของ ฟงั ก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟงั กช์ นั 19 15

โพเนนเชียลและ ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล ลอการิทึม

ฟังก์ชนั และฟงั ก์ชันลอการิทึมและ - เลขยกกำลัง

ลอการทิ ึม นาํ ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา - ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

4. แก้สมการเอกซ์โพเนน - ฟงั ก์ชันลอการทิ มึ

เชยี ลและสมการลอการิทึม - การหาคา่ ลอการิทมึ

และนําไปใช้ในการ - การเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ

แก้ปญั หา - สมการและอสมการลอการิทมึ

- การประยุกต์ของฟังก์ชัน

เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

คะแนนทดสอบกลางภาค 1 30

3 เรขาคณิต 5. เขา้ ใจและใช้ความรู้ เรขาคณิตวิเคราะห์ 24 15

วิเคราะห์ เกีย่ วกบั - ความร้เู บ้ืองตน้ เกี่ยวกับเรขาคณติ

เรขาคณิตวิเคราะห์ในการ วเิ คราะห์

แก้ปัญหา - ภาคตัดกรวย (วงกลม วงรี

พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา การเลอื่ นแกน)

คะแนนทดสอบปลายภาค 2 30

รวมท้งั สิ้น 60 100

ญ

ตารางวิเคราะห์หลกั สตู ร

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ ปีการศึกษา 2565

รหสั วิชา ค31202 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 ภาคเรยี นท่ี 2

เวลา 3 ชั่วโมง/สัปดาห์ เวลา 60 ช่ัวโมง

สาระหลัก หนว่ ยการเรียนรู้ ผลการเรยี นรู้
ลำดับท่ี ช่อื หน่วยการเรยี นรู้

สาระจำนวน 1 ความสมั พนั ธแ์ ละ 1. หาผลลพั ธข์ องการบวก การลบ การคณู

และพชี คณติ ฟงั ก์ชัน การหารฟงั กช์ นั หาฟงั ก์ชันประกอบและ

ฟงั กช์ นั ผกผนั

2. ใชส้ มบัตขิ องฟงั ก์ชนั ในการแกป้ ญั หา

สาระจำนวน 2 ฟงั ก์ชันเอกซ์โพเนน 3. เข้าใจลักษณะกราฟของฟงั ก์ชนั

และพีชคณิต เชยี ลและฟงั กช์ ัน เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังก์ชนั ลอการิทึม

ลอการทิ ึม และนําไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

4. แก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลและสมการ

ลอการทิ มึ และนาํ ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา

สาระการวัด 3 เรขาคณิตวเิ คราะห์ 5. เข้าใจและใชค้ วามรเู้ ก่ยี วกับ
และ เรขาคณิตวเิ คราะห์ในการแกป้ ญั หา

เรขาคณติ

ฎ

แผนการประเมนิ ผลการเรยี นรู้

อัตราสว่ นการประเมนิ ระหว่างภาคเรยี น : กลางภาคเรยี น : ปลายภาคเรยี น
40 : 30 : 30

แผนการประเมินผลการเรียนรู้และการมอบหมายภาระงาน

1. ก่อนสอบกลางภาค 25 คะแนน 5 คะแนน
1.1 สมุดและใบกิจกรรมหนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 10 คะแนน
1.2 สมดุ และใบกจิ กรรมหนว่ ยการเรียนรู้ที่ 2 5 คะแนน
1.3 ทดสอบเก็บคะแนนท้ายหนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 2 5 คะแนน
ทดสอบยอ่ ยหน่วยการเรียนรทู้ ี่ 2 30 คะแนน

2. ประเมินจากการสอบกลางภาค 5 คะแนน
3. กอ่ นสอบปลายภาค 15 คะแนน 10 คะแนน
30 คะแนน
3.1 สมุดและใบกจิ กรรมหนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 2
3.2 ทดสอบยอ่ ยหน่วยการเรียนรทู้ ี่ 2 1 คะแนน
4. ประเมินจากการสอบปลายภาค 1 คะแนน
5. ประเมินจากคุณลักษณะและจิตพิสยั 5 คะแนน 1 คะแนน
5.1 ตรงตอ่ เวลา 1 คะแนน
5.2 ความรับผิดชอบ 1 คะแนน
5.3 ซื่อสตั ย์ 100 คะแนน
5.4 ความสนใจและความตงั้ ใจในการเรยี น
5.5 การมีส่วนรว่ มในการเรยี นและการทำงาน

รวม

ฏ

การวิเคราะห์ตัวชวี้ ัดเพื่อกำหนดนำ้ หนกั คะแนน

รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 ภาคเรียนที่ 2

รหสั วิชา ค31202 เวลา 60 ช่วั โมง/ภาคเรยี น จำนวน 1.5 หน่วยกติ

คะแนนเก็บ
ลำดับท่ี
ลำดับ ่ัชวโมง ่ีทสอน
จำนวน ่ัชวโมง ่ีทสอน
คะแนนตัว ี้ช ัวด
ด้านความรู้(K)
้ดานทักษะ(P)
คุณ ัลกษณะ
กลางภาค
ปลายภาค
ผลการเรียนรู้

1 1. หาผลลพั ธข์ องการบวก การลบ 1-14 14 10 5 4 1

การคณู การหารฟังกช์ นั หาฟังกช์ ัน

ประกอบและฟังก์ชนั ผกผนั

2. ใชส้ มบัตขิ องฟังก์ชนั ในการแก้ปญั หา

2 3. เขา้ ใจลกั ษณะกราฟของฟงั กช์ ัน 15-35 21 15 5 8 2

เอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการทิ ึม

และนําไปใช้ในการแกป้ ัญหา

4. แก้สมการเอกซโ์ พเนนเชียลและ

สมการลอการิทมึ และนํา ไปใช้ในการ

แกป้ ญั หา

สอบกลางภาค 1 30

3 5. เข้าใจและใชค้ วามรเู้ กี่ยวกับ 36-57 22 15 6 7 2

เรขาคณิตวิเคราะห์ในการแก้ปัญหา

สอบปลายภาค 2 30
รวม 58 60 40 16 19 5 30 30

ฐ

โครงสรา้ งกำหนดการสอน

รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 ภาคเรยี นที่ 2

รหัสวิชา ค31202 เวลา 60 ชวั่ โมง/ภาคเรยี น จำนวน 1.5 หน่วยกิต

หน่วยการเรยี นรู้ ลำดับแผน ชวั่ โมง วันท่ีสอน หมายเหตุ

1. ความสัมพันธ์ 1. ค่อู นั ดบั และผลคูณคาทีเซียล 1 1 พฤศจิกายน 2565

และฟังก์ชัน 2. กราฟของความสัมพันธ์ 1 4 พฤศจิกายน 2565

3. โดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ 1 7 พฤศจิกายน 2565

4. ตัวผกผันของความสมั พันธ์ 1 8 พฤศจิกายน 2565

5. ความหมายของฟังกช์ นั 1 11 พฤศจกิ ายน 2565

6. ฟังกช์ ันจากเซตหน่งึ ไปอีกเซตหน่ึง 1 14 พฤศจกิ ายน 2565

7. ฟงั ก์ชนั เพิ่ม และฟงั กช์ นั ลด 1 15 พฤศจิกายน 2565

8. การใช้ฟงั ก์ชนั ในชวี ิตจรงิ 2 18 พฤศจกิ ายน 2565

9. กราฟของฟังกช์ นั 2 22 พฤศจกิ ายน 2565

10. การดำเนนิ การของฟังกช์ นั (1) 1 28 พฤศจกิ ายน 2565

11. การดำเนินการของฟังก์ชนั (2) 1 29 พฤศจิกายน 2565

12. ฟงั กช์ นั ผกผนั 1 6 ธนั วาคม 2565

2. ฟงั กช์ ันเอกซ์ 13. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น 1 9 ธนั วาคม 2565

โพเนนเชยี ลและ จำนวนเตม็

ฟังกช์ ันลอการิทึม 14. รากที่ n ในระบบจำนวนจริงและ 2 13 ธันวาคม 2565

รปู กรณฑ์

15. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น 2 19 ธันวาคม 2565

จำนวนตรรกยะ

16. ฟงั ก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล 1 23 ธันวาคม 2565

17. สมการและอสมการเอกซ์โพเนน 1 26 ธนั วาคม 2565

เชยี ล

18. ทดสอบกอ่ นเรียน 1 27 ธนั วาคม 2565

19. ฟังก์ชันลอการิทึม 2 30 ธนั วาคม 2565

20. การหาค่าลอการทิ ึม 2 9 มกราคม 2566

21. การเปลยี่ นฐานของลอการทิ มึ 2 10 มกราคม 2566

22. สมการและอสมการลอการทิ มึ 2 13 มกราคม 2566

ฑ

หนว่ ยการเรยี นรู้ ลำดับแผน ชวั่ โมง วนั ทส่ี อน หมายเหตุ

3. เรขาคณิต 23. การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์ 2 17 มกราคม 2566
วิเคราะห์
โพเนนเชยี ล

24. การประยุกตข์ องฟงั กช์ นั 2 20 มกราคม 2566

ลอการทิ ึม

25. ทดสอบหลังเรยี น 1 23 มกราคม 2566

รวมจำนวน 35 ชั่วโมง

สอบกลางภาค

26. ระยะทางระหว่างจดุ สองจุด 1 24 มกราคม 2566

27. จดุ ก่ึงกลางของเส้นของเส้นตรง 1 27 มกราคม 2566

28. ความชันของเส้นตรง 1 30 มกราคม 2566

29. เส้นขนาน 1 31 มกราคม 2566

30. เส้นตง้ั ฉาก 1 3 กุมภาพนั ธ์ 2566

31. ความสัมพนั ธซ์ ึ่งมกี ราฟเปน็ 1 6 กมุ ภาพันธ์ 2566

เส้นตรง

32. ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกบั จุด 1 7 กุมภาพันธ์ 2566

33. วงกลม (1) 1 10 กุมภาพันธ์ 2566

34. วงกลม (2) 2 13 กมุ ภาพนั ธ์ 2566

35. วงรี (1) 2 14 กุมภาพันธ์ 2566

36. วงรี (2) 2 17 กุมภาพันธ์ 2566

37. พาราโบลา (1) 2 20 กมุ ภาพนั ธ์ 2566

38. พาราโบลา (2) 2 21 กุมภาพนั ธ์ 2566

39. ไฮเพอร์โบลา (1) 1 24 กมุ ภาพันธ์ 2566

40. ไฮเพอรโ์ บลา (2) 2 27 กุมภาพนั ธ์ 2566

41. การเลอื่ นกราฟ (1) 2 28 กุมภาพนั ธ์ 2566

42. การเลื่อนกราฟ (2) 2 3 มีนาคม 2566

รวมจำนวน 22 ชั่วโมง

สอบปลายภาค

1

แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 1

รายวิชา เสรมิ ทักษะคณิตศาสตร์ 2 รหสั วิชา ค31202 กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
หนว่ ยการเรียนรูท้ ่ี 1 เรอ่ื ง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน ภาคเรียนท่ี 2/2565
เรอ่ื ง ความสัมพันธ์ (คู่อันดบั และผลคูณคาร์ทเี ซยี น) เวลา 1 ชวั่ โมง
ผ้สู อน นางสาวอภญิ ญา เสรฐิ สาย
โรงเรียนอุดรพัฒนาการ

ผลการเรียนรู้
1. หาผลลัพธข์ องการบวก การลบ การคณู การหารฟังก์ชนั หาฟังกช์ ันประกอบและฟังก์ชันผกผัน
2. ใช้สมบตั ขิ องฟงั ก์ชันในการแก้ปญั หา

สาระสำคญั
ความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกของเซตสองเซต จะต้องมีลำดับท่ีหน่ึงและลำดับท่ีสอง

ซงึ่ เขยี นในรูป (a,b) แทน คอู่ นั ดบั
บทนิยาม 1 ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ท้ังหมด โดยที่ a

เป็นสมาชกิ ของเซต A และ b เป็นสมาชกิ ของเซต B
บทนิยาม 2
r เปน็ ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B กต็ ่อเมือ่ r ⊂ A × B

สาระการเรียนรู้
ฟังก์ชนั และกราฟ

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ เมื่อเรียนจบคาบน้แี ล้วนกั เรยี นสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
1.1 อธิบายความหมายของคูอ่ ันดับและผลคูณคารท์ เี ซียนได้
1.2 อธบิ ายความหมายของการเขียนความสมั พนั ธไ์ ด้
2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P)
2.1 เขียนแสดงวธิ ีการหาคู่อนั ดบั และผลคณู คาร์ทีเซียนได้
2.2 เขยี นแสดงวธิ กี ารหาความสัมพันธท์ ่ีกำหนดให้ได้
3. ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)
3.1 แสดงพฤตกิ รรมมีความรับผดิ ชอบต่อหนา้ ทท่ี ี่ได้รบั มอบหมาย

2

สมรรถนะสำคัญของผู้เรยี น
1. ความสามารถในการส่ือสาร
2. ความสามารถในการคิด
2.1 ทักษะการเปรียบเทียบ
2.2 ทกั ษะการแปลความ
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา

กิจกรรมการเรยี นรู้

ขน้ั ที่ 1 ข้ันนำเขา้ ส่บู ทเรียน

1. ครูเกร่ินนำวา่ ในชวี ติ ประจำวนั เราต้องเก่ยี วข้องกบั การจับค่รู ะหวา่ งสง่ิ ของ 2 ส่ิงอยเู่ สมอ

เชน่ การซือ้ สนิ คา้ มีการจบั คูร่ ะหว่างสินคา้ ท่ีซ้ือกับราคา ในวิชาคณิตศาสตรใ์ ช้ " คูอ่ นั คับ " แสดงการ

จับครู่ ะหวา่ งส่งิ 2 ส่งิ

คอู่ ันดับ

นักเรยี นพิจารณาสถานการณ์ต่อไปน้ี

บรษิ ทั ผลิตบะหม่ีสำเร็จรูปย่ีห้อหนึง่ ตง้ั ราคาขายบะหม่สี ำเร็จรปู ซองละ 5 บาท

ถา้ สนใจการจับครู่ ะหวา่ งจำนวนบะหมี่กับราคาบะหม่ี ดังตาราง

จำนวนบะหมี่ (ซอง) ราคาบะหมี่

15

2 10

3 15

4 20

5 25

6 30

การจับคู่ระหวา่ งจำนวนบะหมก่ี บั ราคา เขยี นแสดงในรปู คู่อันดับได้ดงั น้ี
(1,5), (2,10), (3,15), (4,20), (5,25), (6,30)

(1,5) อา่ นว่า คู่อนั ดบั หนง่ึ หา้ มี 1 เป็นสมาชิกตวั หน้า และ 5 เปน็ สมาชกิ ตวั หลงั
โดยขอ้ ตกลงใหส้ มาชกิ ตัวหนา้ แทนจำนวนบะหม่ี และสมาชิกตวั หลังแทนรากาบะหมี่ เช่น (4,20)
หมายถึงบะหม่ี 4 ซอง ราคา 20 บาท ดังนน้ั (4,20 ) กับ ( 20,4) ย่อมไม่ใช่กูอ่ นั ดับเดยี วกนั

ส่ิงสำคัญในการเปน็ คู่อันดบั คือต้องเปน็ คแู่ ละมีอันดบั ในวชิ าคณติ ศาสตร์เมื่อกล่าวถึงคู่อันดบั
ในกรณที ัว่ ไปใชส้ ัญลักษณ์ (x, y) โดย x เป็นสมาชิกตวั หนา้ และ y เปน็ สมาชิกตัวหลงั

3

ถา้ a * b แลว้ (a,b) และ (b, a) ไมเ่ ปน็ คู่อนั ดับเดียวกนั

คู่อันดับสองค่จู ะเทา่ กัน เปน็ ไปตามบทนยิ ามดังน้ี

(x, y) =(a,b) กต็ ่อเม่ือ x =a และ y =b

ขนั้ ท่ี 2 ขน้ั สอน
2. ครอู ธบิ ายถึงผลคณู คารท์ เี ซยี น โดยบทนิยามต่อไปน้ี

บทนยิ าม1 ผลคูณคาร์ทเี ซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทง้ั หมดโดยที่ a
เปน็ สมาชกิ ของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

3. ครูยกตวั อยา่ งผลคูณคารท์ ีเซียนเพม่ิ เติม โดยครูเขยี นเซต 2 เซต ต่อไปนบ้ี นกระดาน
A = x, y  และ B =  2, 4, 9  แลว้ ให้นกั เรียนเขยี นค่อู ันดับโดยใหส้ มาชิกตวั หนา้ เปน็
สมาชิก ของเซต A และสมาชิกตัวหลังเป็นสมาชิกของเซต B จะได้คู่อนั ดบั ทั้งหมดดงั น้ี
( x, 2 ), ( x, 4 ), ( x, 9 ), ( y, 2 ), ( y, 4 ),( y, 9)
เขียนเซตของคู่อันดับท้ัง 6 คู่อนั ดบั ขา้ งตน้ ไดเ้ ปน็
{( x, 2 ), ( x, 4 ), ( x, 9 ), ( y, 2 ), ( y, 4 ),( y, 9)}
เรยี กเซตนีว้ า่ ผลคณู คาร์ทเี ซียนของเซต A และ B เขยี นแทนดว้ ย AB
4. ครยู กตัวอย่างผลคูณคาร์ทีเซียนในรปู แบบอนื่ ๆ เช่น
ตัวอยา่ ง ให้ A = {3,5} และ B = จงหา AB , BA , AA และ BB
วิธีทำ AB = A = 

BA = B = 
AA = {(3,5)(3,3)(5,5)(5,3)}
BB =   = 
5. ครอู ธบิ ายบทนยิ ามความสัมพันธ์ ดงั น้ี

บทนิยาม 2 r เปน็ ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B ก็ตอ่ เมอ่ื r ⊂ A × B

6. ครูยกตัวอย่างความสัมพันธ์เป็นเซตที่มีสมาชิกเป็นคู่อันดับ แบบแจกแจงสมาชิกหรือ
แบบบอกเงื่อนไข เช่น

4

ตวั อยา่ ง (แบบแจกแจงสมาชกิ ) ให้ A={1,2,3} และ B={-1,0,2}
AB = {(1,-1),(1,0),(1,2),(2,-1),(2,0),(2, 2),(3,-1),(3,0),(3,2)}
ตวั อย่าง (แบบบอกเง่ือนไข)
ถา้ 1 เป็นความสัมพันธ์แบบ “มากกว่า” จาก A ไป B
จะได้วา่ 1 = {(x,y)ϵAxB|x>y}

1 = {(1,-1),(1,0),(2,-1),(2,0),(3,-1),(3,0),(3,2)}
7. ครูให้นักเรียนทำใบงานที่ 1.1 เร่ือง คู่อนั ดบั และผลคูณคารท์ เี ซียน

ข้ันที่ 3 ขนั้ สรปุ
8. นกั เรียนและครรู ว่ มกันสรุปเนอื้ หาท่ีเรียนวนั นีเ้ พ่ือทบทวนความรู้ เร่ือง ผลคูณคารท์ เี ซียน

ดังน้ี
คู่อันดับคอื อะไร
(แนวตอบ : ความสมั พนั ธร์ ะหว่างสมาชิกของเซตสองเซต จะต้องมลี ำดบั ท่ีหนึ่งและลำดับที่สอง

ซึง่ เขยี นในรูป (a,b) แทนคู่อันดบั )
ผลคูณคาร์ทเี ซยี นคืออะไร
(แนวตอบ : ผลคูณคาร์ทเี ซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อนั ดับที่สมาชิกตวั หน้ามา

จากเซต A และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต B เขียนแทนด้วย A x B)
การเขียนความสัมพันธ์สามารถเขียนไดก้ ่แี บบ อะไรบา้ ง
(แนวตอบ : 2 แบบ คือ แบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกเงื่อนไข)

สื่อ/แหลง่ การเรียนรู้
1. ส่อื การเรียนรู้
1.1 หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม.4 เลม่ 2 หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 ความสมั พนั ธ์

และฟงั ก์ชัน
1.2 แบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 1 ความสมั พนั ธ์

และฟงั กช์ ัน
1.3 Power point นำเสนอการสอน เรอื่ ง ความสัมพนั ธแ์ ละฟงั ก์ชัน
1.4 ใบงานท่ี 1.1 เรอ่ื ง คูอ่ ันดับและผลคณู คารท์ เี ซียน

2. แหลง่ การเรยี นรู้
2.1 ห้องสมดุ
2.2 อนิ เทอรเ์ นต็

5

การวดั และประเมนิ ผล

จดุ ประสงค์ เคร่อื งมอื วิธีการ เกณฑ์การ
ประเมนิ
1. ด้านความรู้ (K) 1. สงั เกตการตอบ
คำถามในห้องเรยี น ผา่ นเกณฑ์
1.1 อธิบายความหมายของค่อู ันดับ 1. การตอบคำถามใน ร้อยละ 70
2. ตรวจใบงานที่ 1.1
และผลคณู คาร์ทีเซียนได้ หอ้ งเรยี น เร่ือง คู่อันดับและผลคูณ ขึ้นไป
คารท์ ีเซยี น
1.2 อธิบายความหมายของการเขยี น 2. ใบงานที่ 1.1 ผ่านเกณฑ์
1. ตรวจใบงานท่ี 1.1 ร้อยละ 70
ความสัมพันธ์ได้ เรือ่ ง คู่อันดับและผลคูณ เรอื่ ง คู่อนั ดบั และผลคูณ
คารท์ ีเซยี น ข้นึ ไป
คารท์ เี ซยี น
1. ตรวจแบบสงั เกต อยใู่ นระดบั
2. ด้านทกั ษะ/กระบวนการ (P) พฤติกรรม ดี

2.1 เขียนแสดงวธิ กี ารหาคู่อนั ดบั 1. ใบงานท่ี 1.1 2. ตรวจใบงานท่ี 1.1 ขน้ึ ไป
เรื่อง คอู่ นั ดับและผลคูณ
และผลคณู คาร์ทเี ซยี นได้ เร่อื ง คู่อนั ดบั และผลคูณ คารท์ เี ซียน

2.2 เขียนแสดงวิธกี ารหา คาร์ทเี ซยี น

ความสมั พันธ์ท่ีกำหนดให้ได้

3. ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A)

3.1 แสดงพฤติกรรมมคี วาม 1. แบบสังเกตพฤติกรรม

รับผดิ ชอบต่อหนา้ ที่ท่ไี ดร้ ับมอบหมาย 2. ใบงานท่ี 1.1

เรอื่ ง คู่อันดับและผลคูณ

คาร์ทีเซยี น

6

บนั ทึกหลังการสอน
1. ผลการจัดการเรียนการสอน

1.1 ด้านความรู้ ( K )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 ด้านทกั ษะกระบวนการ( P )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 คณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 สมรรถนะสำคัญผูเ้ รยี น (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ปญั หาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอนื่ ๆ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงช่อื …………………………………… (ผสู้ อน)
(นางสาวอภิญญา เสริฐสาย)

วนั ที่ ……………………………………

7

ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพ่ีเลย้ี ง
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงชื่อ..........................................................
(นางสาวรัดดาวรรณ เผือ่ นผงึ้ )
ครูพเ่ี ลี้ยง
............../................../..............

ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหนา้ กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงชื่อ..........................................................
(นางสกาวเดอื น เหมะธลุ ิน)

หัวหน้ากลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
............../................../..............

8

แบบประเมนิ ด้านความรู้ (K) และด้านทกั ษะกระบวนการ (P)
ประจำแผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 1 เร่อื ง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 ภาคเรยี นท่ี 2/2565

ด้านความรู้ ประเมนิ จาก 1. การตอบคำถามในห้องเรยี น

2. ใบงานที่ 1.1 เรือ่ ง คู่อันดบั และผลคูณคารท์ ีเซียน

ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจาก 1. ใบงานที่ 1.1 เรอื่ ง คอู่ ันดบั และผลคูณคาร์ทีเซียน

เลขที่ ดา้ นความรู้ ด้านทักษะ ผลการประเมนิ
คะแนนเตม็ (.......) กระบวนการ
คะแนนเต็ม (.......)

ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผา่ น

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

9

เลขท่ี ดา้ นความรู้ ด้านทักษะ ผลการประเมิน
คะแนนเต็ม (.......) กระบวนการ
คะแนนเต็ม (.......)

ได้ รอ้ ยละ ได้ รอ้ ยละ ผา่ น ไมผ่ ่าน

21

22

23

24

25

26

27

28

เกณฑ์การประเมนิ
นกั เรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขึน้ ไป ถือว่าผา่ นเกณฑ์

สรปุ ผลการประเมิน
ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน
ไมผ่ ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน

ลงชื่อ……………………………………………..…ผปู้ ระเมิน
(นางสาวอภิญญา เสรฐิ สาย)

วนั ท่ี……..เดอื น ……………………….พ.ศ.…………….

10

แบบสังเกตพฤติกรรมรายบุคคลช้ัน ม.4
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 ความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชัน

คำชแี้ จง ทำเครือ่ งหมาย ✔ ลงในชอ่ งระดบั คะแนนพฤติกรรมท่ีนักเรียนปฏิบตั ิ ดงั น้ี
ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมใหเ้ หน็ มาก
ระดบั 2 หมายถงึ แสดงพฤติกรรมให้เหน็ ปานกลาง
ระดับ 1 หมายถงึ แสดงพฤติกรรมใหเ้ หน็ น้อย

เลขที่ ความ มรี ะเบยี บวนิ ัย ความรบั ผดิ คะแนนรวม เกณฑก์ ารประเมิน หมายเหตุ
กระตอื รือร้น ชอบ ผา่ น ไมผ่ ่าน

3 21321321

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

11

เลขที่ ความ มีระเบียบวนิ ยั ความรบั ผิด คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ
กระตือรือรน้ ชอบ ผ่าน ไมผ่ า่ น

3 21321321

24
25
26
27
28

รายการประเมนิ 3 เกณฑ์การให้คะแนน 1
2 ไม่ตง้ั ใจเรียน และไม่
1. ความ ตงั้ ใจเรียน และสนใจใน สนใจในการทำกิจกรรม
ตงั้ ใจเรียน และสนใจใน สมดุ งาน ช้นิ งานไม่คอ่ ย
กระตือรอื รน้ การทำกจิ กรรมตลอดเวลา การทำกิจกรรมบางเวลา เรียบร้อย
สมุดงาน ชิน้ งานสว่ น
2. การมี สมดุ งาน ชน้ิ งาน สะอาด ใหญ่สะอาดเรยี บร้อย ส่งงานชา้ กว่ากำหนด

ระเบยี บวนิ ัย เรยี บร้อย ส่งงานช้ากวา่ กำหนด
แต่มีการติดตอ่ ครผู สู้ อน
ในการทำงาน มีเหตผุ ลทร่ี บั ฟังได้

3. ความ ส่งงานก่อนหรือส่งตาม

รับผิดชอบ กำหนด เวลานดั หมาย

เกณฑก์ ารประเมนิ

คะแนนรวม ระดบั คุณภาพ
8 - 9 ดมี าก
6 - 7 ดี (ผา่ นเกณฑ์)
4 - 5 พอใช้
ต่ำกว่า 4 ปรับปรงุ

12

ใบงานที่ 1.1

เรอื่ ง คู่อันดบั และผลคูณคารท์ ีเซียน

คำชี้แจง ให้นกั เรยี นหาผลคูณคารท์ ีเซียนจากโจทยท์ ่ีกำหนดให้ตอ่ ไปน้ี
1) กำหนดให้ = { , } และ = { , , } จงหา × , × , × , ×

×

×

×

×

2) กำหนดให้ = { , } และ = { , , } จงหา × , × , × , ×

×

×

×

×

กำหนดให้ = { , } และ = { , , } และให้
r1 แทนความสัมพันธ์ “สองเท่า” จาก ไป
r2 แทนความสัมพันธ์ “หารลงตัว” จาก ไป
r3 แทนความสัมพันธ์ “รากทสี่ อง” จาก ไป

จงเขยี น r1, r2, r3 ในรูปเซตแจกแจงสมาชกิ และแบบบอกเงอื่ นไข
แบบแจกแจงสมาชกิ

r1 =
r2 =
r3 =

แบบบอกเงือ่ นไข

r1 =
r2 =
r3 =

13

ใบงานที่ 1.1 เฉลย

เร่อื ง คูอ่ นั ดบั และผลคูณคาร์ทีเซียน

คำชแ้ี จง ให้นักเรียนหาผลคณู คาร์ทเี ซยี นจากโจทย์ทกี่ ำหนดให้ต่อไปน้ี

1) กำหนดให้ = { , } และ = { , , } จงหา × , × , × , ×

A × B = {(4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, 6), (5, 7), (5, 8)}

B × A = {(6, 4), (6, 5), (7, 4), (7, 5), (8, 4), (8, 5)}

A × A = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}

B × B = {(6, 6), (6, 7), (6, 8), (7, 6), (7, 7), (7, 8), (8, 6), (8, 7), (8, 8)}

2) กำหนดให้ = { , } และ = { , , } จงหา × , × , × , ×

A × B = {(1, P), (1, Q), (1, R), (2, P), (2, Q), (2, R)}

B × A = {(P, 1), (P, 2), (Q, 1), (Q, 2), (R, 1), (R, 2)}

A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

B × B = {(P, P), (P, Q), (P, R), (Q, P), (Q, Q), (Q, R), (R, P), (R, Q), (R, R)}

กำหนดให้ = { , } และ = { , , } และให้
r1 แทนความสมั พันธ์ “สองเท่า” จาก ไป
r2 แทนความสมั พันธ์ “หารลงตวั ” จาก ไป
r3 แทนความสัมพันธ์ “รากที่สอง” จาก ไป

จงเขยี น r1, r2, r3 ในรปู เซตแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเงอ่ื นไข
แบบแจกแจงสมาชกิ

r1 = { }
r2 = {(2, 4), (2, 6), (3, 6), (3, 9)}
r3 = {(2, 4), (3, 9)}

แบบบอกเงอ่ื นไข

r1 = {(x, y) ∈ A × B|x = 2y}

r2 = {(x, y) ∈ A × B|x หาร y ลงตัว}

r3 = {(x, y) ∈ A × B|x2 = y}

14

แผนการจดั การเรียนร้ทู ่ี 2

รายวิชา เสรมิ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ 2 รหัสวชิ า ค31202 กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 1 เรือ่ ง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน ภาคเรยี นท่ี 2/2565
เรื่อง ความสัมพันธ์ (กราฟของความสัมพันธ์) เวลา 1 ชั่วโมง
ผสู้ อน นางสาวอภิญญา เสริฐสาย
โรงเรียนอุดรพฒั นาการ

ผลการเรียนรู้
1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟังกช์ ัน หาฟังก์ชันประกอบและฟงั ก์ชันผกผนั
2. ใช้สมบัตขิ องฟงั ก์ชันในการแก้ปัญหา

สาระสำคญั
กราฟของความสมั พนั ธ์

ให้ r เปน็ สบั เซตของ R×R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดในระนาบทีแ่ สดงค่อู ันดับ
ท่เี ปน็ สมาชิกของความสัมพนั ธ์ r

สาระการเรยี นรู้
ฟังก์ชันและกราฟ

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ เม่ือเรียนจบคาบนี้แล้วนกั เรยี นสามารถ
1. ดา้ นความรู้ (K)
1.1 อธบิ ายความหมายกราฟของความสัมพันธ์ได้
2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P)
2.1 เขยี นกราฟของความสมั พนั ธท์ ่ีกำหนดให้ได้
3. ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
3.1 แสดงพฤติกรรมมีความรบั ผิดชอบต่อหนา้ ทที่ ่ีได้รบั มอบหมาย

สมรรถนะสำคญั ของผูเ้ รยี น
1. ความสามารถในการสื่อสาร
2. ความสามารถในการคิด
2.1 ทักษะการเปรียบเทยี บ
2.2 ทกั ษะการแปลความ
3. ความสามารถในการแก้ปญั หา

15

กิจกรรมการเรียนรู้
ขั้นที่ 1 ขั้นนำเขา้ สู่บทเรยี น
1. ครูพูดคุยกับนักเรียนเป็นการชักจูงนักเรียนให้สนใจในหัวข้อของการเรียนโดยถามว่า

“นอก ความสัมพันธ์ท่ีเขียนอยู่ในรูปของคู่อันดับแล้วนักเรียนสามารถเขียนความสัมพันธ์ให้อยู่ใน
รูปแบบใดไดอ้ ีกบา้ ง” (แนวตอบ: สามารถเขียนเป็นกราฟหรอื ตาราง)

2. ครูอธิบายว่า นักเรียนสามารถใช้คู่อันดับ (x, y) แทนความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y
ซึ่งสามารถ จับคู่หน่ึงต่อหน่ึงระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริงกับพิกัดของจุดในระนาบ โดยให้ x
เป็นพิกัดหน้าและ y เป็น พิกัดหลังโดยมี บทนิยาม “ให้ r เป็นสับเซตของ R x R กราฟของ
ความสมั พันธ์ r คอื เซตของจดุ ในระนาบทีแ่ สดงคู่ อนั ดับทส่ี มาชิกของ r”

ข้ันท่ี 2 ขั้นสอน
3. ครูอธิบายบทนิยามทไี่ ด้พดู ก่อนหนา้ และเนื้อหาของการเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์
4. ครูทบทวนความรู้เก่ียวกับการเขียนกราฟ โดยอธิบายว่าการเขียนกราฟมีแกน 2 แกน

คือ แกน x เป็นแกนในแนวนอน และแกน y เป็นแกนในแนวต้ัง ซ่ึงหลักการเขียนกราฟจะเขียนจาก
คูอ่ ันดับ สมาชิกตวั หน้าจะเขยี นในแนวแกน x และสมาชกิ ตัวหลงั จะเขียนในแนวแกน y

เช่น (2, 8) แนวแกน x คือเลข 2 แนวแกน y คือเลข 8
5. ครูยกตวั อย่างเขียนกราฟของความสัมพันธ์
ตัวอย่าง ใหเ้ ขยี นกราฟของความสมั พนั ธต์ อ่ ไปน้ี

1) r = {(1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20)}
วธิ ที ำ เขียนกราฟได้ ดงั นี้

6. ครูถามนกั เรยี นวา่ “ถา้ หากโจทยไ์ ม่บอกเป็นความสมั พนั ธแ์ บบคอู่ นั ดับแต่บอกเปน็
เซตของสมการแบบบอกเง่อื นไขเราจะหาได้อย่างไร” พรอ้ มยกตวั อยา่ ง

16

1) 1 = {(x,y) ∈RxR | y = -3x}
จากสมการ y = -3x เม่ือแทน x = -2, -1, 0, 1, 2 จะได้ค่า y เป็นเทา่ ใด

x -2 -1 0 1 2
y 6 3 0 -3 -6
สามารถเขียนกราฟ 1 = {(x,y) ∈RxR | y = -3x} ไดด้ ังน้ี

กราฟท่ีไดเ้ ปน็ กราฟเส้นตรง
2) 2 = {(x,y) ∈RxR | y = − 2}
จากสมการ y = − 2} เมือ่ แทน x = -2, -1, 0, 1, 2 จะได้ค่า y เปน็ เท่าใด

x -2 -1 0 1 2
y -4 -1 0 -1 -4
สามารถเขียนกราฟ 2 = {(x,y) ∈RxR | y = − 2} ไดด้ ังนี้

กราฟที่ไดเ้ ป็นกราฟพาราโบลาคว่ำ
7. ครใู หน้ กั เรยี นทำใบงานที่ 1.2 เรื่อง กราฟของความสัมพันธ์
ข้ันที่ 3 ข้นั สรุป
8. ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั สรปุ ในเนอื้ หาของการเขยี นกราฟ กราฟท่เี ปน็ คู่อนั ดับสามารถเขยี น
กราฟได้ เลยโดยดูพิกัดจากคู่อนั ดบั แตถ่ ้าเปน็ ความสัมพันธแ์ บบบอกเง่ือนไขเราต้องแทนคา่ เพ่ือให้ได้
ความสมั พนั ธ์แบบ คูอ่ นั ดบั ออกมาก่อนแล้วจงึ ทำการเขียนกราฟ

17

สือ่ /แหลง่ การเรียนรู้
1. สื่อการเรียนรู้
1.1 หนงั สือเรียนรายวิชาเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.4 เลม่ 2 หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 1 ความสมั พนั ธ์

และฟังก์ชนั
1.2 แบบฝกึ หัดรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 ความสัมพันธ์

และฟงั ก์ชัน
1.3 Power point นำเสนอการสอน เร่อื ง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ นั
1.4 ใบงานท่ี 1.2 เร่อื ง กราฟของความสัมพนั ธ์

2. แหลง่ การเรียนรู้
2.1 หอ้ งสมุด
2.2 อนิ เทอรเ์ นต็

การวดั และประเมินผล

จุดประสงค์ เครื่องมือ วธิ กี าร เกณฑก์ าร
ประเมนิ
1. ดา้ นความรู้ (K) 1. การตอบคำถามใน 1. สงั เกตการตอบ
1.1 อธบิ ายความหมายกราฟของ หอ้ งเรียน คำถามในห้องเรยี น ผา่ นเกณฑ์
ร้อยละ 70
ความสมั พันธ์ได้ 2. ใบงานที่ 1.2 2. ตรวจใบงานที่ 1.2
เร่ือง กราฟของ เรอ่ื ง กราฟของ ขนึ้ ไป
2. ด้านทกั ษะ/กระบวนการ (P) ความสมั พันธ์ ความสัมพนั ธ์
2.1 เขียนกราฟของความสมั พันธ์ท่ี ผ่านเกณฑ์
1. ใบงานที่ 1.2 เร่ือง 1. ตรวจใบงานที่ 1.2 ร้อยละ 70
กำหนดให้ได้ กราฟของความสัมพนั ธ์ เร่อื ง กราฟของ
ความสัมพนั ธ์ ขนึ้ ไป
3. ดา้ นคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A) 1. แบบสงั เกตพฤติกรรม
3.1 แสดงพฤตกิ รรมมคี วาม 2. ใบงานท่ี 1.2 1. ตรวจแบบสังเกต อยูใ่ นระดบั
เร่ือง กราฟของ พฤติกรรม ดี
รับผิดชอบต่อหน้าที่ท่ไี ดร้ บั มอบหมาย ความสัมพนั ธ์
2. ตรวจใบงานท่ี 1.2 ขึน้ ไป
เรอ่ื ง กราฟของ
ความสมั พนั ธ์

18

บันทึกหลังการสอน
1. ผลการจัดการเรียนการสอน

1.1 ดา้ นความรู้ ( K )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 ดา้ นทกั ษะกระบวนการ( P )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 คณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค/์ เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 สมรรถนะสำคัญผู้เรยี น (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ปญั หาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอ่ืนๆ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ …………………………………… (ผสู้ อน)
(นางสาวอภิญญา เสริฐสาย)

วนั ท่ี ……………………………………

19

ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครพู ี่เลีย้ ง
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงช่ือ..........................................................
(นางสาวรดั ดาวรรณ เผ่ือนผึ้ง)
ครพู ี่เลยี้ ง
............../................../..............

ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงช่อื ..........................................................
(นางสกาวเดือน เหมะธลุ นิ )

หวั หนา้ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
............../................../..............

20

แบบประเมินดา้ นความรู้ (K) และด้านทกั ษะกระบวนการ (P)
ประจำแผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 2 เรอื่ ง ความสัมพนั ธแ์ ละฟงั ก์ชนั

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 ภาคเรียนท่ี 2/2565

ด้านความรู้ ประเมนิ จาก 1. การตอบคำถามในห้องเรียน

2. ใบงานท่ี 1.2 เรื่อง กราฟของความสมั พนั ธ์

ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจาก 1. ใบงานท่ี 1.2 เร่ือง กราฟของความสัมพนั ธ์

เลขที่ ด้านความรู้ ดา้ นทกั ษะ ผลการประเมนิ
คะแนนเต็ม (.......) กระบวนการ
คะแนนเตม็ (.......)

ได้ ร้อยละ ได้ รอ้ ยละ ผ่าน ไม่ผา่ น

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

เลขที่ ดา้ นความรู้ ด้านทักษะ ผลการประเมิน
คะแนนเตม็ (.......) กระบวนการ
คะแนนเตม็ (.......)

ได้ รอ้ ยละ ได้ ร้อยละ ผา่ น ไมผ่ า่ น

21

22

23

24

25

26

27

28

เกณฑก์ ารประเมิน
นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขน้ึ ไป ถือว่าผ่านเกณฑ์

สรปุ ผลการประเมิน
ผา่ นเกณฑ์ จำนวน....................คน
ไมผ่ า่ นเกณฑ์ จำนวน....................คน

ลงชือ่ ……………………………………………..…ผปู้ ระเมิน
(นางสาวอภญิ ญา เสริฐสาย)

วันท่ี……..เดือน ……………………….พ.ศ.…………….

22

แบบสงั เกตพฤตกิ รรมรายบคุ คลชั้น ม.4
หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 1 ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชนั

คำช้แี จง ทำเครื่องหมาย ✔ ลงในช่องระดับคะแนนพฤติกรรมที่นักเรียนปฏิบัติ ดงั นี้
ระดบั 3 หมายถงึ แสดงพฤติกรรมให้เห็นมาก
ระดบั 2 หมายถงึ แสดงพฤติกรรมให้เหน็ ปานกลาง
ระดบั 1 หมายถงึ แสดงพฤติกรรมให้เหน็ น้อย

เลขที่ ความ มีระเบยี บ ความรบั ผิด คะแนนรวม เกณฑก์ ารประเมิน หมายเหตุ
กระตือรือรน้ วินัย ชอบ ผา่ น ไมผ่ ่าน

3 21321321

1
2

3

4

5

6

7

8
9
10
11
12
13

14

15

16

17

18
19
20

23

เลขที่ ความ มีระเบยี บ ความรบั ผิด คะแนนรวม เกณฑก์ ารประเมิน หมายเหตุ
กระตือรือร้น วินยั ชอบ ผ่าน ไม่ผา่ น

3 21321321

21

22

23

24

25

26

27

28

รายการประเมนิ 3 เกณฑ์การใหค้ ะแนน 1
2 ไม่ตัง้ ใจเรยี น และไม่
1. ความ ตัง้ ใจเรียน และสนใจใน สนใจในการทำกิจกรรม
ตั้งใจเรียน และสนใจใน สมุดงาน ช้นิ งานไม่คอ่ ย
กระตือรอื ร้น การทำกิจกรรมตลอดเวลา การทำกิจกรรมบางเวลา เรียบรอ้ ย
สมดุ งาน ชนิ้ งานสว่ น
2. การมี สมดุ งาน ชนิ้ งาน สะอาด ใหญส่ ะอาดเรยี บรอ้ ย สง่ งานช้ากว่ากำหนด

ระเบยี บวนิ ยั เรยี บรอ้ ย สง่ งานชา้ กวา่ กำหนด
แต่มีการติดตอ่ ครูผสู้ อน
ในการทำงาน มเี หตุผลที่รับฟังได้

3. ความ สง่ งานก่อนหรือส่งตาม

รบั ผดิ ชอบ กำหนด เวลานัดหมาย

เกณฑ์การประเมนิ

คะแนนรวม ระดบั คณุ ภาพ
8 - 9 ดมี าก
6 - 7 ดี (ผ่านเกณฑ์)
4 - 5 พอใช้
ต่ำกว่า 4 ปรบั ปรงุ

24

ใบงานท่ี 1.2
เรือ่ ง กราฟของความสมั พันธ์

คำชี้แจง ให้นักเรียนเขียนกราฟของความสมั พันธ์ท่ีกำหนดให้ตอ่ ไปนี้

1. = {(1,2), (0,3), (1,-1), (-2,-3), (-3,2)} 2. = {(-3,-2), (-2,-1), (2,3), (3,4),

(4,5)}

3. = {(x,y) ∈RxR | y = |x|} 4. = {(x,y) ∈RxR | y = x-1}

25

แผนการจดั การเรียนรูท้ ี่ 3

รายวชิ า เสรมิ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ 2 รหัสวชิ า ค31202 กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์
หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 1 เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังกช์ นั ภาคเรียนท่ี 2/2565
เรื่อง ความสมั พนั ธ์ (โดเมนและเรนจ์ของความสมั พนั ธ์) เวลา 1 ช่วั โมง
ผู้สอน นางสาวอภิญญา เสรฐิ สาย
โรงเรียนอดุ รพฒั นาการ

ผลการเรียนรู้
1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟงั กช์ ัน หาฟงั ก์ชนั ประกอบและฟงั กช์ ันผกผัน
2. ใชส้ มบัติของฟงั ก์ชันในการแก้ปัญหา

สาระสำคัญ
ให้ r เปน็ ความสมั พันธจ์ าก A ไป B โดเมนของ r คือ เซตของสมาชกิ ตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียน

แทนด้วย Dr และเรนจข์ อง r คอื เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อนั ดับใน r เขียนแทนดว้ ย Rr

สาระการเรยี นรู้
ฟงั ก์ชันและกราฟ

จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบคาบน้ีแล้วนักเรยี นสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
1.1 อธิบายความหมายของโดเมนและเรนจ์ได้
2. ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ (P)
2.1 เขยี นแสดงวิธกี ารหาโดเมนและเรนจ์ท่ีกำหนดให้ได้
3. ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
3.1 แสดงพฤติกรรมมีความรับผดิ ชอบต่อหน้าที่ท่ีได้รบั มอบหมาย

สมรรถนะสำคญั ของผู้เรียน
1. ความสามารถในการสื่อสาร
2. ความสามารถในการคิด
2.1 ทกั ษะการเปรียบเทียบ
2.2 ทกั ษะการแปลความ
3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา

26

กิจกรรมการเรยี นรู้ ขอ้ มูลออก
ขัน้ ท่ี 1 ขั้นนำเขา้ สบู่ ทเรยี น
1. ครใู ห้นักเรยี นพิจารณาแผนภาพ
ข้อมูลเขา้

10 ตะวัน
ดาว

20 เดอื น
ฟ้า

ความสัมพนั ธ์ r = {(10,ตะวัน), (10,ดาว), (10,เดอื น), (10,ฟา้ ), (20,ตะวัน), (20,ดาว),
(20,เดือน), (20,ฟา้ )}

จะเหน็ วา่ เซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคูอ่ ันดับทงั้ หมดใน r คอื {10,20} เรยี กวา่ โดเมน
เซตของสมาชกิ ตัวหลงั ของคู่อันดับท้งั หมดใน r คือ {ตะวัน,ดาว,เดือน,ฟา้ } เรียกวา่ เรนจ์

ขน้ั ที่ 2 ขน้ั สอน
2. ครูอธบิ ายเก่ยี วกับการหาโดเมนและเรนจ์โดยบทนยิ าม
โดเมนและเรนจ(์ Domain and Range)
บทนยิ าม ให้ r เปน็ ความสมั พันธจ์ าก A ไป B
โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหนา้ ของคอู่ นั ดับใน r เขียนแทนดว้ ย Dr และ
เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตวั หลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr

ความสมั พนั ธข์ องโดเมนและเรนจ์ซ่งึ จะเห็นวา่ Dr A และ Rr B และสามารถเขียน Dr

และ Rr ในรปู เซตแบบบอกเง่ือนไขได้คือ Dr = {x | (x, y)  r} และ Rr = {y | (x, y)  r}
3. ครูให้นกั เรยี นพจิ ารณาเซตของสมาชิกตวั หน้าและเซตของสมาชกิ ตวั หลังในคู่อนั ดับของ

ความสมั พนั ธ์ต่อไปน้ี r1= {(4, 7), (5, 10)} และ r2= {(4, 6), (5, 7)}

ครูสุม่ ถามนักเรยี นใหบ้ อกสมาชกิ ตวั หน้าและสมาชิกตัวหลังของ r1 และ r2 จะไดว้ ่า
สมาชิกตัวหนา้ ของคู่อันดบั ใน r1 ได้แก่ 4, 5

สมาชิกตัวหลังของค่อู นั ดบั ใน r1ไดแ้ ก่ 7, 10

สมาชกิ ตัวหนา้ ของคู่อันดับใน r2 ได้แก่ 4, 5

สมาชิกตัวหลงั ของคูอ่ นั ดบั ใน r2 ไดแ้ ก่ 6, 7 10

27

4. ครอู ธิบายตวั อย่างเพ่มิ เติมเก่ียวกับการหาโดเมนและเรนจ์ ทำร่วมกบั นักเรียน
ตัวอยา่ ง กำหนด A = 1, 2, 3, 4, 5  และ r2= {(x,y)  AxA | y = 2} จงหาโดเมน
และเรนจ์ของ r
วธิ ีทำ จาก y = 2

เม่ือ x = 1 จะได้ y = 12= 1
เมอ่ื x = 2 จะได้ y = 22= 4
เมอ่ื x = 3 จะได้ y = 32= 9
เมอื่ x = 4 จะได้ y = 42= 16
เมอ่ื x = 5 จะได้ y = 52= 25
ดงั น้ัน r = {(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25)}
จะได้ Dr = {1,2,3,4,5} และ = {1,4,9,16,25}
ตัวอย่าง กำหนดให้ r = {(x,y)  RxR | y = 3 − √ 2 − 16} จงหา Dr และ
วธิ ที ำ จาก r = {(x,y)  RxR | y = 3 − √ 2 − 16}
หาโดเมน : จะเห็นวา่ √ 2 − 16  0 เสมอ หรือ (x + 4)(x − 4)  0
จะได้ x  −4 หรือ x  4 ดังนน้ั Dr = { x|x  −4 หรอื x  4 }
หาเรนจ์ : เนอื่ งจาก √ 2 − 16  0 ท าให้ 3 − √ 2 − 16  0
จะได้ y = 3 − √ 2 − 16  3 ดังนัน้ = {y|y  3}
ขัน้ ท่ี 3 ขั้นสรุป
5. ให้นักเรยี นทำแบบฝึกหดั 1.1 ขอ้ 7 เพ่ือตรวจสอบความเข้าใจ
6. ครถู ามตอบนักเรียนเพือ่ ทบทวนความรู้ เรอื่ ง โดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์
− คือ .........................................................................
− คือ …………………………………………………………………
−หา และ ของความสัมพันธ์แบบบอกเง่อื นไขอย่างไร
(แนวตอบ คือ เซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคอู่ ันดับ r
คอื เซตของสมาชิกตวั หลังของคู่อันดบั r
โดเมนของความสัมพันธ์ r : จัดรูป y ในเทอมของ x แล้วพิจารณาค่า x ท่ีทำให้ได้ค่า y
สอดคลอ้ งกับเงอ่ื นไข
เรนจ์ของความสัมพันธ์ r : จัดรูป x ในเทมอของ y แล้วพิจารณาค่า y ท่ีทำให้ได้ค่า x
สอดคล้องกับเง่อื นไข)

28

สือ่ /แหล่งการเรยี นรู้
1. สอื่ การเรียนรู้
1.1 หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.4 เลม่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพนั ธ์

และฟังก์ชัน
1.2 แบบฝกึ หัดรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.4 เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 1 ความสมั พันธ์

และฟงั ก์ชนั
1.3 Power point นำเสนอการสอน เรือ่ ง ความสมั พนั ธแ์ ละฟังก์ชนั

2. แหลง่ การเรยี นรู้
2.1 ห้องสมุด
2.2 อินเทอร์เนต็

การวดั และประเมินผล

จดุ ประสงค์ เครอ่ื งมอื วธิ กี าร เกณฑก์ าร
ประเมนิ

1. ด้านความรู้ (K)

1.1 อธิบายความหมายของโดเมน 1. การตอบคำถามใน 1. สังเกตการตอบ ผา่ นเกณฑ์

และเรนจไ์ ด้ หอ้ งเรียน คำถามในห้องเรยี น ร้อยละ 70

2. แบบฝกึ หดั 1.1 2. ตรวจแบบฝึกหัด 1.1 ขนึ้ ไป

2. ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P)

2.1 เขียนแสดงวิธกี ารหาโดเมน 1. แบบฝึกหัด 1.1 1. ตรวจแบบฝกึ หดั 1.1 ผ่านเกณฑ์

และเรนจท์ ่กี ำหนดให้ได้ รอ้ ยละ 70

ขนึ้ ไป

3. ด้านคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A)

3.1 แสดงพฤตกิ รรมมคี วาม 1. แบบสังเกตพฤติกรรม 1. ตรวจแบบสังเกต อยูใ่ นระดบั

รบั ผิดชอบตอ่ หน้าท่ีท่ีไดร้ ับมอบหมาย 2. แบบฝกึ หดั 1.1 พฤติกรรม ดี

2. ตรวจแบบฝึกหัด 1.1 ขึน้ ไป

29

บันทึกหลังการสอน
1. ผลการจัดการเรียนการสอน

1.1 ดา้ นความรู้ ( K )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 ดา้ นทกั ษะกระบวนการ( P )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 คณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค/์ เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 สมรรถนะสำคัญผู้เรยี น (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ปญั หาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอ่ืนๆ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ …………………………………… (ผู้สอน)
(นางสาวอภิญญา เสริฐสาย)

วนั ท่ี ……………………………………

30

ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครพู ่เี ลี้ยง
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงช่อื ..........................................................
(นางสาวรดั ดาวรรณ เผ่อื นผ้ึง)
ครูพเ่ี ลยี้ ง
............../................../..............

ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงช่ือ..........................................................
(นางสกาวเดอื น เหมะธุลิน)

หัวหน้ากล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
............../................../..............

31

แบบประเมนิ ดา้ นความรู้ (K) และด้านทกั ษะกระบวนการ (P)
ประจำแผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 3 เรอ่ื ง ความสมั พนั ธแ์ ละฟงั ก์ชนั

ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนท่ี 2/2565

ดา้ นความรู้ ประเมนิ จาก 1. การตอบคำถามในห้องเรยี น 2. แบบฝึกหัด 1.1

ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจาก 1. แบบฝกึ หัด 1.1

เลขท่ี ดา้ นความรู้ ด้านทกั ษะ ผลการประเมิน
คะแนนเตม็ (.......) กระบวนการ ผ่าน ไม่ผา่ น
คะแนนเตม็ (.......)

ได้ รอ้ ยละ ได้ รอ้ ยละ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

32

เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ ผลการประเมิน
คะแนนเต็ม (.......) กระบวนการ
คะแนนเต็ม (.......)

ได้ ร้อยละ ได้ รอ้ ยละ ผ่าน ไมผ่ า่ น

22

23

24

25

26

27

28

เกณฑก์ ารประเมนิ
นกั เรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขน้ึ ไป ถือว่าผ่านเกณฑ์

สรุปผลการประเมิน
ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน
ไมผ่ า่ นเกณฑ์ จำนวน....................คน

ลงชือ่ ……………………………………………..…ผู้ประเมิน
(นางสาวอภิญญา เสรฐิ สาย)

วันที่……..เดอื น ……………………….พ.ศ.…………….

33

แบบสังเกตพฤติกรรมรายบุคคลช้ัน ม.4
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 ความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชัน

คำชแี้ จง ทำเครือ่ งหมาย ✔ ลงในชอ่ งระดบั คะแนนพฤติกรรมท่ีนักเรียนปฏิบตั ิ ดงั น้ี
ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมใหเ้ หน็ มาก
ระดบั 2 หมายถงึ แสดงพฤติกรรมให้เหน็ ปานกลาง
ระดับ 1 หมายถงึ แสดงพฤติกรรมใหเ้ หน็ น้อย

เลขที่ ความ มรี ะเบยี บวนิ ัย ความรบั ผดิ คะแนนรวม เกณฑก์ ารประเมิน หมายเหตุ
กระตอื รือร้น ชอบ ผา่ น ไมผ่ ่าน

3 21321321

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

34

เลขที่ ความ มีระเบียบวนิ ยั ความรบั ผิด คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ
กระตือรือรน้ ชอบ ผ่าน ไมผ่ า่ น

3 21321321

24
25
26
27
28

รายการประเมนิ 3 เกณฑ์การให้คะแนน 1
2 ไม่ตง้ั ใจเรียน และไม่
1. ความ ตงั้ ใจเรียน และสนใจใน สนใจในการทำกิจกรรม
ตงั้ ใจเรียน และสนใจใน สมดุ งาน ช้นิ งานไม่คอ่ ย
กระตือรอื รน้ การทำกจิ กรรมตลอดเวลา การทำกิจกรรมบางเวลา เรียบร้อย
สมุดงาน ชิน้ งานสว่ น
2. การมี สมดุ งาน ชน้ิ งาน สะอาด ใหญ่สะอาดเรยี บร้อย ส่งงานชา้ กว่ากำหนด

ระเบยี บวนิ ัย เรยี บร้อย ส่งงานช้ากวา่ กำหนด
แต่มีการติดตอ่ ครผู สู้ อน
ในการทำงาน มีเหตผุ ลทร่ี บั ฟังได้

3. ความ ส่งงานก่อนหรือส่งตาม

รับผิดชอบ กำหนด เวลานดั หมาย

เกณฑก์ ารประเมนิ

คะแนนรวม ระดบั คุณภาพ
8 - 9 ดมี าก
6 - 7 ดี (ผา่ นเกณฑ์)
4 - 5 พอใช้
ต่ำกว่า 4 ปรับปรงุ