บทที่ 1 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

85

ใบงานท่ี 1.7 เฉลย

เรื่อง ฟงั ก์ชนั เพิม่ และฟงั กช์ นั ลด

คำช้แี จง : ให้นกั เรียนตรวจสอบฟังกช์ นั ตอ่ ไปนีว้ ่าเปน็ ฟงั ก์ชันเพม่ิ หรอื ฟังกช์ นั ลด

คำช้ีแจง : จากกราฟของฟังกช์ นั ท่ีกำหนดให้ ให้นกั เรยี นหาช่วงทเี่ ป็นฟงั กช์ นั เพ่ิมหรือฟังก์ชนั ลด

1)

……………เป็นฟังกช์ นั เพ่มิ บนชว่ ง [-1,1] และ [2,4] ……………………

…………………………………………………………………………………………

……………เป็นฟังกช์ นั ลดบนชว่ ง [1,2]………………………………………

………………………………………………………………………………………..

2)

………………เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ บนชว่ ง [2,-1] และ [1,2] …………………

…………………………………………………………………………………………

………………เป็นฟังกช์ นั ลดบนชว่ ง [-3,-2], [-1,1] และ [2,4]…………

…………………………………………………………………………………………

86

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 8

รายวชิ า เสรมิ ทักษะคณิตศาสตร์ 2 รหสั วิชา ค31202 กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์
หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 เรือ่ ง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ นั ภาคเรียนที่ 2/2565
เรอ่ื ง การใช้ฟังกช์ ันในชวี ิตจริง เวลา 2 ชัว่ โมง
ผู้สอน นางสาวอภญิ ญา เสริฐสาย
โรงเรียนอดุ รพฒั นาการ

ผลการเรยี นรู้
1. หาผลลพั ธข์ องการบวก การลบ การคูณ การหารฟงั กช์ ัน หาฟังกช์ ันประกอบและฟังกช์ ันผกผัน
2. ใชส้ มบัติของฟงั ก์ชันในการแก้ปญั หา

สาระสำคญั
ฟังกช์ นั เชงิ เสน้ คอื ฟงั ก์ชันท่อี ยูใ่ นรูป f(x1)= ax+b เมื่อ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ
ฟังก์ชันกำลงั สอง คือ ฟังก์ชันทีอ่ ยู่ในรปู y = ax2+bx+c เม่ือ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ

และ a≠0

สาระการเรียนรู้
ฟังก์ชนั และกราฟ

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ เมื่อเรียนจบคาบนแ้ี ลว้ นกั เรียนสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
1.1 บอกความหมายของฟังก์ชันเชงิ เส้นและฟังก์ชันกำลังสองได้
2. ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ (P)
2.1 วาดกราฟฟังกช์ ันเชิงเสน้ และฟงั ก์ชนั กำลงั สองท่ีกำหนดให้ได้
3. ดา้ นคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
3.1 แสดงพฤตกิ รรมมีความรบั ผดิ ชอบต่อหน้าทท่ี ี่ได้รบั มอบหมาย

สมรรถนะสำคัญของผเู้ รียน
1. ความสามารถในการส่ือสาร
2. ความสามารถในการคิด
2.1 ทกั ษะการเปรียบเทียบ
2.2 ทกั ษะการแปลความ
3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา

87

กิจกรรมการเรยี นรู้

ชัว่ โมงที่ 1

ขนั้ ที่ 1 ขนั้ นำเข้าสบู่ ทเรยี น

1. ครูทบทวนความรู้เรื่องฟังก์ชัน โดยการอธิบายว่า ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกใน
โดเมนแต่ ละตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของความสมั พันธเ์ พยี งตัวเดียวเท่านั้น สญั ลกั ษณแ์ ละข้อตกลง
เกี่ยวกับสัญลักษณ์ ของฟังก์ชันดังน้ี ถ้า f เป็นฟังก์ชัน และ จะกล่าวว่า y เป็นค่าของฟังก์ชัน f ที่ x

และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ และการเขียนฟังก์ชันสามารถเขียนในรูปแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก

ในเซตโดยใช้คอู่ นั ดับ (x, y) แทนสมาชกิ ใด ๆ ในเซต

ขน้ั ที่ 2 ขน้ั สอน
2. ครูอธบิ ายฟังก์ชนั ใหก้ ับนกั เรียนคอื ฟังก์ชันเชิงเสน้ โดยฟงั กช์ นั เชิงเสน้ จะอยู่ในรปู ฟังกช์ ัน

เชิงเส้น คือ ฟังก์ชันท่ีอยู่ในรูป f(x1)= ax+b เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง และ a  0 กราฟของฟังก์ชัน
เชิงเสน้ จะเปน็ กราฟเส้นตรง

3. จากนน้ั ครสู อนนักเรียนวาดกราฟ โดยการหาจุดตัดแกน x และ จัดตวั แกน y โดยมวี ิธกี าร
หาคอื หาจุดตัดแกน x ให้ y=0 และ หาจุดตดั แกน y ให้ x=0

4. เมือ่ นกั เรียนไดท้ ราบวิธกี ารหาแล้วน้ัน ครจู ึงยกตัวอย่างใหน้ ักเรยี นไดล้ องทำการวาดกราฟ
นี้ ว่ามลี กั ษณะเป็นเสน้ ตรงหรือไม่

5. ครยู กตัวอยา่ งต่อไปน้ี เพื่อใหน้ ักเรียนได้ลองคน้ หาและตรวจสอบ

ตวั อยา่ ง จงเขียนกราฟของ y=x-2
วธิ ีทำ

X20

y 0 -2

หาจุดตดั แกน x โดยการแทน y=0 จะไดว้ า่ 0 = x-2
ดงั นั้น x = 2 จดุ ตัดแกน x คอื (2,0)

หาจดุ ตดั แกน y โดยการแทน x = 0 จะไดว้ ่า y = 0-2

ดงั น้นั y = -2 จดุ ตัดแกน y คอื (0, -2)
6. ครูยกตวั อย่างการใช้ฟังก์ชันในชีวติ ประจำวนั

ตัวอยา่ ง ฟังกช์ ันแสดงราคาของรถยนต์ยี่หอ้ หน่ึงเมื่อเวลาผ่านไปเปน็ ฟังกช์ นั เชิงเสน้ ถ้า

ปจั จุบันรถยนต์มีราคา 500,000 บาท และในอีก 5 ปีขา้ งหน้ารถยนตจ์ ะมีราคา 350,000 บาท จงหา

1) ฟงั ก์ชนั แสดงราคาของรถยนต์เม่ือเวลาผา่ นไป x ปี

2) เมื่อเวลาผ่านไปสองปี รถยนตย์ ่หี อ้ นจ้ี ะมรี าคาลดลงเหลือเทา่ ใด

88

วธิ ที ำ 1) ให้ P(x) = mx + 6 เปน็ ฟังก์ชนั แสดงราคาของรถยนต์เมอ่ื เวลาผา่ นไป x ปี โดย m และ

b เป็นคา่ คงตัว

จากโจทย์ P(0)=500,000 และ P(S)=350,000

จะได้ b = 500,000

และ 350,000 = 5m+500,000

m = 350,000−500,000
5

= -30,000
ดังน้ัน P(x) = 500,000-30,000x
2) เมือ่ x=2 จะได้

P(2) = 500,000-(30,000x2)
= 440,000

ดงั นั้น เมื่อเวลาผา่ นไปสองปี รถยนต์ย่ีห้อนี้จะมรี าคาลตลงเหลอื 440,000 บาท

ขน้ั ที่ 3 ขน้ั สรปุ
7. ครถู ามคำถามเพ่ือสรุปความรูเ้ รื่อง ฟงั ก์ชนั เชิงเสน้ ดังนี้
- ฟังกช์ นั เชิงเส้น มคี วามหมายว่าอย่างไร
(แนวตอบ : ฟังก์ชันเชงิ เสน้ คอื ฟังก์ชันทมี่ สี มการอยู่ในรูป ( )= ax+b เมื่อ a, b เป็น

จำนวนจรงิ และ a  0)
- ฟงั ก์ชันคงตวั มคี วามหมายวา่ อย่างไร
(แนวตอบ : ฟงั กช์ ันคงตัว คอื ฟงั กช์ ัน y = ax+b แลว้ a = 0 จะได้ฟงั ก์ชันที่อยู่ในรูป

y = b ซึง่ มกี ราฟเป็นเสน้ ตรงทีข่ นานกับแกน X)

ชั่วโมงท่ี 2
ข้นั ที่ 1 ขั้นนำเข้าสูบ่ ทเรยี น

1. ครูทบทวนความรู้เร่ืองฟังก์ชันเชิงเส้น โดยครูอธิบายว่า ฟังก์ชันเชิงเส้น คือ ฟังก์ชันท่ีมี

สมการอยู่ ในรูป y = ax+b เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริง และ a0 จากฟังก์ชัน y = ax+b

ถ้า a = 0 จะได้ ฟังก์ชันท่ีอยู่ในรูป y = b ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน X จะเรียกฟังก์ชัน

แบบน้ี ว่า “ฟังก์ชันคงตัว” กราฟของเส้นตรง y = ax+b จะขนานกัน เม่ือ a มีค่าเท่ากัน และตัด
แกนแกน Y ที่จุด b โดยที่จุดที่กราฟ ตัดแกน X จะให้ค่า y = 0 และจุดท่ีกราฟตัดแกน Y จะให้ค่า
x=0

89

2. ครูยกตัวอย่างฟังก์ชัน y = ax2+bx+c แล้วถามนักเรียนว่า ฟังก์ชันดังกล่าวเป็นฟังก์ชัน
เชิง เส้นหรือไม่ (แนวตอบ : ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น เนื่องจาก ไม่ตรงกับนิยามฟังก์ชันเชิงเส้น) และครู
อธิบาย เพม่ิ เติมว่า ฟังก์ชนั ดงั กลา่ ว เรียกวา่ ฟงั กช์ นั กำลังสอง หรือ พาราโบลา

ข้ันที่ 2 ขั้นสอน
3. ครูอธบิ ายความหมายของฟงั ก์ชนั กำลงั สองใหน้ ักเรียนเขา้ ใจดงั น้ี ฟังก์ชนั กำลงั สอง หรือ

พาราโบลา คอื ฟังกช์ นั ที่อยู่ในรปู y = ax2+bx+c เมอ่ื a, b และ c เป็นจำนวน จริงใด ๆ และ a0
ซง่ึ ลักษณะกราฟของฟังก์ชันกำลังสองขึน้ อยู่กบั ค่าของ a, b และ c และครูอธิบายกราฟ ของฟงั ก์ชนั
กำลงั สองหรือพาราโบลาว่า มีทัง้ หมด 4 ลักษณะ แตใ่ นทน่ี ้ีจะเรยี นแค่ 2 ลกั ษณะก่อน คือ พาราโบลา
หงาย และพาราโบลาคว่ำ

จากน้ัน ครยู ้ำนกั เรียนว่ากราฟชนิดนีม้ ีชื่อว่า กราฟพาราโบลา โดยจะเป็นลักษณะกราฟหงาย
หรอื ควำ่ นัน้ ใหข้ น้ึ อยกู่ ับค่า a

โดยครูมีเทคนิคการจำให้นักเรียนคือ a บวก แปะย้ิม ซ่ึงกราฟจะมีลักษณะเป็นหน้าย้ิม
(กราฟหงาย) a ลบ อาซ่ิมโศก ซึ่งกราฟจะมีลักษณะเป็นหน้าบ้ึง (กราฟคว่ำ) และทำการสรุปให้
นกั เรยี นอีกครั้ง

y = ax2+bx+c , a  0 y = ax2+bx+c , a  0

จากรปู จะเห็นว่า ถ้า a  0 กราฟเป็นเส้นโคง้ หงายข้ึน

ถ้า a  0 กราฟเปน็ เส้นโคง้ คว่ำลง

4. ครูบอกส่วนประกอบและชือ่ เรียกของพาราโบลา ดงั น้ี

กราฟของฟงั ชันกำลังสองในรปู นมี้ ีช่อื เรียกวา่ พาราโบลา

เรยี กจดุ ยอดของพาราโบลา คอื จุดวกกลับ เขียนจดุ วกกลับของ f ในรูป (− , (− ))
2 2

ถา้ กราฟพาราโบลาหงาย จะมีจดุ วกกลับที่เป็น จดุ สงู สุดและค่าต่ำสดุ

ถา้ กราฟพาราโบลาคว่ำ จะมีจุดวกกลบั ท่ีเป็น จดุ สงู สดุ และคา่ ต่ำสดุ

5. ครแู ละนักเรียนร่วมกนั วาดกราฟพาราโบลา โดยใช้ตารางแทนค่าในการวาดกราฟ

ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของฟังก์ชันก าลังสองตอ่ ไปนพี้ รอ้ มทัง้ หาจุดวกกลับและจุดสูงสุด

หรอื จุดตำ่ สุดของกราฟ

90

1) = 2

xy จดุ วกกลบั คอื (0,0)
-3 9 จดุ ตำ่ สดุ คอื (0,0)
-2 4
-1 1
00
11
24
39

2) = − 1 2
2

xy

-2 -2

-1 1 จดุ วกกลบั คอื (0,0)
−2 จดุ ตำ่ สดุ คอื (0,0)
00

1 1
−2
2 -2

นอกจากวิธีวาดกราฟด้วยตารางแล้ว ยังมีอีกวิธีหนง่ึ ในการวาดกราฟ คือการใช้สูตรทั่วไปของ

พาราโบลา แล้วหาจุด (h, k) เป็นจุดวกกลับ คือ y = a(x − ℎ)2+k , a0 จากน้ันครูให้ตัวอย่าง
นักเรียน เพ่ิมเติมเพื่อให้นักเรยี นเขา้ ใจ

ตัวอย่าง จงหาจดุ สูงสดุ หรือต่ำสดุ ของกราฟของฟงั กช์ นั y = (x − 3)2+3
วิธที ำ จากสูตรรปู ท่ัวไปของพาราโบลา y = a(x − ℎ)2+k และจากโจทย์ y = (x − 3)2+3
จะไดว้ า่ a=1 , h=3 และ k=3
และเน่อื งจาก a = 1 ซงึ่ มากกว่า 0 จะได้ พาราโบลาหงาย

จะไดว้ ่า จุดวกกลับ คอื (3,3) ท่ีเปน็ จุดต่ำสุด

ดงั นัน้ จดุ ต่ำสดุ คอื (3,3) สามารถวาดกราฟไดด้ งั นี้

91

ตวั อย่าง ชายคนหนึ่งโยนลูกบอลข้ึนไปในอากาศในแนวดิ่ง ถ้าความสูงจากพ้ืนดนิ ของลูกบอล
มีหน่วยเป็นฟุต ซึ่งหาได้จาก ( ) = − 2 + 2 + 3 เมื่อ t แทนระยะเวลาตั้งแต่เร่ิมโยนลูกบอลมี
หน่วยเปน็ วนิ าที จงหาวา่
1) เมื่อเวลาผ่านไปนานเทา่ ใด ลูกบอลจะอย่สู งู ที่สดุ จากพ้นื ดนิ และลูกบอลจะอยู่สูงจากพื้นดินเท่าใด
2) เมอ่ื เวลาผา่ นไปนานเทา่ ใด ลูกบอลจึงตกถึงพืน้ ดนิ
วิธีทำ 1) กราฟของ y = ax2+bx+c เมื่อ a0 จะมจี ุดวกกลับ คอื (− , (− ))

2 2

จาก ( ) = − 2 + 2 + 3
จะได้จุดวกกลับเมื่อ = 2 = 1

2(−1)

และ (1) = −(1)2 + 2(1) + 3 = 4
นั่นคือ เมอื่ เวลาผา่ นไป 1 วินาที ลูกบอลจะอยูส่ งู ที่สุดและอย่สู งู จากพนื้ ดนิ 4 ฟุต
2) เมือ่ ลูกบอลตกถึงพ้นื ดนิ นั่นคือ f(1) เท่ากับศนู ย์
จะได้ − 2 + 2 + 3 = 0

2 − 2 − 3 = 0
( − 3)( + 1) = 0

ดังนนั้ t = 3 หรือ t=-1
เนอ่ื งจากระยะเวลาที่โยนลกู บอลข้นึ ไปจนกระทัง่ ลูกบอลตกถึงพนื้ ดินจะตอ้ งมากกวา่ ศูนย์
ดังนน้ั ลกู บอลจะตกถงึ พ้นื ดิน เมื่อโยนลูกบอลข้นึ ไปนาน 3 วินาที
6. ครูใหน้ ักเรียนทำแบบฝึกหัด 1.3ข
ขนั้ ท่ี 3 ขน้ั สรุป
7. ครแู ละนกั เรียนรว่ มกันสรปุ เกีย่ วกับการใชฟ้ งั กช์ ันในชีวิตจรงิ

ส่อื /แหล่งการเรยี นรู้
1. สอื่ การเรยี นรู้
1.1 หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.4 เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 1 ความสมั พนั ธ์

และฟงั ก์ชัน
1.2 แบบฝึกหัดรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม.4 เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 1 ความสัมพนั ธ์

และฟังก์ชนั
2. แหล่งการเรียนรู้
2.1 หอ้ งสมดุ
2.2 อินเทอรเ์ น็ต

92

การวัดและประเมนิ ผล เครือ่ งมอื วธิ กี าร เกณฑก์ าร
ประเมนิ
จุดประสงค์
1. การตอบคำถามใน 1. สังเกตการตอบ ผา่ นเกณฑ์
1. ดา้ นความรู้ (K)
1.1 บอกความหมายของฟงั ก์ชนั เชิง หอ้ งเรียน คำถามในห้องเรยี น รอ้ ยละ 70

เสน้ และฟังกช์ นั กำลงั สองได้ 2. แบบฝึกหดั 1.3ข 2. ตรวจแบบฝกึ หดั 1.3ข ขน้ึ ไป

2. ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P) 1. แบบฝึกหดั 1.3ข 1. ตรวจแบบฝึกหัด 1.3ข ผา่ นเกณฑ์
2.1 วาดกราฟฟังก์ชนั เชงิ เส้นและ รอ้ ยละ 70
ขึ้นไป
ฟงั กช์ ันกำลังสองทก่ี ำหนดใหไ้ ด้

3. ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)

3.1 แสดงพฤติกรรมมคี วาม 1. แบบสังเกต 1. ตรวจแบบสังเกต อยู่ในระดบั

รับผดิ ชอบตอ่ หนา้ ที่ที่ได้รบั มอบหมาย พฤติกรรม พฤติกรรม ดี

2. แบบฝกึ หัด 1.3ข 2. ตรวจแบบฝกึ หดั 1.3ข ขน้ึ ไป

93

บันทึกหลังการสอน
1. ผลการจัดการเรียนการสอน

1.1 ดา้ นความรู้ ( K )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 ดา้ นทกั ษะกระบวนการ( P )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 คณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค/์ เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 สมรรถนะสำคัญผู้เรยี น (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ปญั หาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอ่ืนๆ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ …………………………………… (ผสู้ อน)
(นางสาวอภิญญา เสริฐสาย)

วนั ท่ี ……………………………………

94

ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครพู เ่ี ลย้ี ง
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงชื่อ..........................................................
(นางสาวรดั ดาวรรณ เผื่อนผง้ึ )
ครูพ่เี ลยี้ ง
............../................../..............

ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงชอื่ ..........................................................
(นางสกาวเดือน เหมะธุลนิ )

หวั หนา้ กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
............../................../..............

95

แบบประเมนิ ด้านความรู้ (K) และด้านทักษะกระบวนการ (P)
ประจำแผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 8 เรื่อง ความสมั พนั ธแ์ ละฟงั ก์ชนั

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 ภาคเรยี นท่ี 2/2565

ด้านความรู้ ประเมินจาก 1. การตอบคำถามในห้องเรียน 2. แบบฝกึ หดั 1.3ข

ดา้ นทกั ษะกระบวนการ ประเมนิ จาก 1. แบบฝกึ หัด 1.3ข

เลขท่ี ดา้ นความรู้ ด้านทักษะ ผลการประเมนิ
คะแนนเต็ม (.......) กระบวนการ
คะแนนเต็ม (.......)

ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผา่ น ไม่ผา่ น

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

96

เลขท่ี ด้านความรู้ ด้านทักษะ ผลการประเมิน
คะแนนเตม็ (.......) กระบวนการ
คะแนนเต็ม (.......)

ได้ ร้อยละ ได้ รอ้ ยละ ผ่าน ไมผ่ า่ น

22

23

24

25

26

27

28

เกณฑ์การประเมิน
นกั เรยี นได้คะแนนร้อยละ 70 ข้ึนไป ถือว่าผา่ นเกณฑ์

สรุปผลการประเมิน
ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน
ไมผ่ า่ นเกณฑ์ จำนวน....................คน

ลงชือ่ ……………………………………………..…ผู้ประเมิน
(นางสาวอภิญญา เสรฐิ สาย)

วันที่……..เดอื น ……………………….พ.ศ.…………….

97

แบบสังเกตพฤติกรรมรายบุคคลช้ัน ม.4
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 ความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชัน

คำชแี้ จง ทำเครือ่ งหมาย ✔ ลงในชอ่ งระดบั คะแนนพฤติกรรมท่ีนักเรียนปฏิบตั ิ ดงั น้ี
ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมใหเ้ หน็ มาก
ระดบั 2 หมายถงึ แสดงพฤติกรรมให้เหน็ ปานกลาง
ระดับ 1 หมายถงึ แสดงพฤติกรรมใหเ้ หน็ น้อย

เลขที่ ความ มรี ะเบยี บวนิ ัย ความรบั ผดิ คะแนนรวม เกณฑก์ ารประเมิน หมายเหตุ
กระตอื รือร้น ชอบ ผา่ น ไมผ่ ่าน

3 21321321

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

98

เลขที่ ความ มีระเบียบวนิ ยั ความรบั ผิด คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ
กระตือรือรน้ ชอบ ผ่าน ไมผ่ า่ น

3 21321321

24
25
26
27
28

รายการประเมนิ 3 เกณฑ์การให้คะแนน 1
2 ไม่ตง้ั ใจเรียน และไม่
1. ความ ตงั้ ใจเรียน และสนใจใน สนใจในการทำกิจกรรม
ตงั้ ใจเรียน และสนใจใน สมดุ งาน ช้นิ งานไม่คอ่ ย
กระตือรอื รน้ การทำกจิ กรรมตลอดเวลา การทำกิจกรรมบางเวลา เรียบร้อย
สมุดงาน ชิน้ งานสว่ น
2. การมี สมดุ งาน ชน้ิ งาน สะอาด ใหญ่สะอาดเรยี บร้อย ส่งงานชา้ กว่ากำหนด

ระเบยี บวนิ ัย เรยี บร้อย ส่งงานช้ากวา่ กำหนด
แต่มีการติดตอ่ ครผู สู้ อน
ในการทำงาน มีเหตผุ ลทร่ี บั ฟังได้

3. ความ ส่งงานก่อนหรือส่งตาม

รับผิดชอบ กำหนด เวลานดั หมาย

เกณฑก์ ารประเมนิ

คะแนนรวม ระดบั คุณภาพ
8 - 9 ดมี าก
6 - 7 ดี (ผา่ นเกณฑ์)
4 - 5 พอใช้
ต่ำกว่า 4 ปรับปรงุ

99

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 9

รายวชิ า เสรมิ ทกั ษะคณิตศาสตร์ 2 รหสั วิชา ค31202 กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 เรอ่ื ง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ นั ภาคเรียนที่ 2/2565

เรื่อง กราฟของฟงั ก์ชัน เวลา 2 ชั่วโมง

ผู้สอน นางสาวอภิญญา เสรฐิ สาย โรงเรยี นอุดรพฒั นาการ

ผลการเรียนรู้

1. หาผลลพั ธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชัน หาฟงั ก์ชนั ประกอบและฟงั กช์ ันผกผัน

2. ใช้สมบตั ิของฟังก์ชนั ในการแก้ปัญหา

สาระสำคญั
การเขียนกราฟของฟงั ก์ชันบางฟังกช์ นั จะต้องใชก้ ารเลือ่ นขนานของกราฟฟังก์ชนั พนื้ ฐาน

ถา้ ทราบลักษณะ ของกราฟ y = f(x) แล้วสามารถเขยี นการเลอ่ื นขนานของกราฟได้ดงั น้ี
− y = f(x) + k ไดจ้ ากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ขนึ้ ไปตามแนวต้งั k หนว่ ย เมื่อ k > 0
− y = f(x) − k ได้จากการเล่ือนกราฟ y = f(x) ลงไปตามแนวตั้ง k หนว่ ย เม่ือ k > 0
− y = f( + k) ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ไปทางซ้าย k หน่วย เมอ่ื k > 0
− y = f( − k) ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ไปทางขวา k หนว่ ย เมือ่ k > 0

การหาค่าของฟังกช์ นั เมอ่ื x เปน็ ค่าคงตัวใดๆ จะได้คา่ ของฟังกช์ นั เปน็ ค่าคงตัว และเมอ่ื x เป็น
จำนวนในรูปพหนุ าม จะได้ค่าของฟังกช์ นั เป็นจำนวนในรูปพหุนามเชน่ กัน

สาระการเรียนรู้
ฟังกช์ ันและกราฟ

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ เม่ือเรียนจบคาบนีแ้ ลว้ นกั เรยี นสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
1.1 อธิบายความหมายของกราฟของฟงั กช์ นั ได้
2. ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P)
2.1 สามารถเขยี นกราฟของฟังก์ชันได้
2.2 สามารถใช้เทคนิคในการเขยี นกราฟของฟังกช์ นั ได้
2.3 สามารถเขยี นวิธกี ารหาค่าของฟงั กช์ นั ได้
3. ด้านคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
3.1 แสดงพฤติกรรมมีความรับผิดชอบต่อหนา้ ทที่ ่ีได้รับมอบหมาย

100

สมรรถนะสำคัญของผ้เู รียน 3
1. ความสามารถในการส่ือสาร 15
2. ความสามารถในการคิด
2.1 ทักษะการเปรียบเทยี บ
2.2 ทกั ษะการแปลความ
3. ความสามารถในการแก้ปญั หา

กิจกรรมการเรยี นรู้
ชัว่ โมงที่ 1

ขน้ั ที่ 1 ข้ันนำเข้าสบู่ ทเรยี น
1. ครูทบทวนการแยกตวั ประกอบ เพ่อื หาคอู่ ันดับในการเขียนกราฟของฟังกช์ นั

ขั้นท่ี 2 ขัน้ สอน
2. ครยู กตวั อย่างกราฟของฟังก์ชนั พรอ้ มท้งั อธบิ ายโดยละเอียด
ตัวอย่างท่ี 1 จงเขียนกราฟของ ( ) = 3 − 4
วธิ ที ำ ให้ ( ) = 3 − 4
กราฟตดั แกน Y เมื่อ x=0 จะได้ y=0
ดังนัน้ กราฟตัดแกน Y ทีจ่ ุด (0,0)
กราฟตดั แกน X เม่ือ y=0 ดังนัน้

3 − 4 = 0
( − 2)( + 2) = 0

= 0 หรอื = 2 หรือ = −2
ดงั นนั้ กราฟตัดแกน X ที่จุดสามจดุ คือ (0,0), (2,0), และ (-2,0)
X -3 -2 -1 0 1 2
y -15 0 3 0 -3 0

101

ตัวอย่างท่ี 2 จงเขยี นกราฟของ f(x)= | x | x, x ≥ 0

วธิ ีทำ จากบทนยิ ามของค่าสัมบรู ณจ์ ะไดว้ า่ | x | = -x, x ≤ 0

ดงั น้ัน กราฟของ f(x)= | x | ประกอบดว้ ยสองส่วน คือ
1) กราฟของเส้นตรง y=x เมอ่ื x ≥ 0
2) กราฟของเส้นตรง y=-x เม่ือ x < 0 เขียนกราฟของ f ได้ดงั นี้

3. ครยู กตวั อยา่ งฟงั กช์ ันข้ันบันไดประกอบเพื่อใหน้ กั เรยี นเรมิ่ เข้าใจมากข้นึ
ตัวอย่าง งานการกุศลงานหน่ึง ได้กำหนดราคาบัตรเข้าชมงานดังน้ี เด็กอายุต่ำกว่า 5 ปี เข้าชมฟรี
ผู้ที่มีอายุ ตั้งแต่ 5 ถึง 12 ปี ราคาบัตรละ 10 บาท และผู้ท่ีมีอายุเกิน 12 ปีขึ้นไป ราคาบัตรละ 20
บาท จงเขียนฟังก์ชันแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอายุกับบัตรราคาเข้าชม พร้อมท้ังเขียนกราฟของ
ฟังกช์ นั
วิธีทำ เขียนฟงั ก์ชนั ในรปู f (x)

โดยให้ x คอื อายุ และ f (x) คือ อัตราคา่ เขา้ งาน
จะสามารถเขยี น f (x) ไดด้ ังนี้

0;0<x<5
f(x) = 10 ; 5 < x < 12

20 ; x > 12
จากฟังกช์ นั เราสามารถเขยี นกราฟไดด้ งั นี้

ขน้ั ที่ 3 ขั้นสรปุ
4. ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั สรปุ เรือ่ ง กราฟของฟังกช์ นั

102

ช่ัวโมงท่ี 2
ขัน้ ท่ี 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรยี น

1. ครูเขียนกราฟของฟังกช์ ันบางฟังก์ชนั เพอื่ ให้นกั เรียนสามารถเขียนกราฟได้สะดวกและ
รวดเร็วขึน้ โดยใชก้ ารเลอ่ื นขนานจากกราฟของฟงั ก์ชันพนื้ ฐาน กราฟของฟงั ก์ชันพนื้ ฐานที่นักเรียน
ตอ้ งนำมาใช้ เพื่อเขียนกราฟโดยการเลอ่ื นขนาน มดี ังนี้

103

ข้ันที่ 2 ขนั้ สอน
2. ครูยกตัวอยา่ งการเลอ่ื นขนานในแนวต้ังและการเล่ือนขนานในแนวนอน
การเลอ่ื นขนานในแนวตงั้ ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของฟังกช์ นั ต่อไปน้ีในระบบพิกัดฉาก

เดยี วกัน 1) y1 = x2, 2) y2 = x2 + 2 และ 3) y3 = x2 − 3
สามารถวาดกราฟได้ดังนี้

พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ของกราฟเหล่าน้ี เมื่อใช้กราฟ y1 = x2 เปน็ หลกั ในการอา้ งอิง
จะเห็นว่า กราฟ y2 = x2 + 2 และกราฟ y3 = x2 − 3 มรี ปู รา่ งเหมือนกันกับกราฟ y1 = x2
โดยกราฟ y2 = x2 + 2 เกิดจากการเลื่อนกราฟ y1 = x2 ขึน้ 2 หนว่ ย และกราฟ y3 = x2 − 3
เกดิ จากการเล่ือนกราฟ y1 = x2 ลง 3 หนว่ ย

ในกรณที ัว่ ไป ถ้านักเรียนทราบลักษณะของกราฟ y = f(x) แล้ว นกั เรยี นสามารถเขียนกราฟ

y = f(x) + k และ y = f(x) - k โดยอาศัยการเล่ือนกราฟ y = f(x) ในแนวตั้ง ซ่ึงสรปุ ได้ ดังน้ี

- y = f(x) + k ไดจ้ ากการเล่ือนกราฟ y = f(x) ขน้ึ ไปตามแนวต้งั k หน่วย เมอื่ k > 0

- y = f(x) - k ไดจ้ ากการเลอ่ื นกราฟ y = f(x) ลงไปตามแนวตง้ั k หนว่ ย เมอ่ื k > 0

ตัวอย่าง ใหเ้ ขียนกราฟของฟังกช์ ันแต่ละฟงั ก์ชันต่อไปนี้บนระบบพิกัดฉากเดียวกนั โดยใช้

กราฟพนื้ ฐาน y = | x | 1) y1 = | x | + 2 2) y2 = | x | - 3

วิธีทำ เขยี นกราฟ y = | x | ซ่ึงเปน็ กราฟพน้ื ฐาน

กราฟ y1 = | x | + 2 ตอ้ งเล่ือนกราฟ y = | x |
ข้ึนไปตามแนวต้ัง 2 หนว่ ย

และกราฟ y2 = | x | - 3 ต้องเลื่อนกราฟ y = | x |
ลงไปตามแนวตั้ง 3 หนว่ ย จะได้กราฟ ดังนี้

104

การเลื่อนขนานในแนวนอน
ตวั อย่าง พจิ ารณาการเขยี นกราฟของฟังก์ชันต่อไปน้บี นระบบพกิ ดั ฉากเดียวกนั

y1 = x2, y2 = (x + 2)2 และ y2 = (x − 3)2 สร้างตารางเลอื กค่าของ x บางคา่ แล้ว
หาคา่ ของฟังกช์ นั ดงั น้ี

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y1 = x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16
y2 = (x + 2)2 4 1 0 1 4 9 16 25 36
y2 = (x − 3)2 49 36 25 16 9 4 1 0 1

เขียนกราฟไดด้ ังรปู

พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ของกราฟเหลา่ น้ี เมอื่ ใชก้ ราฟ y1 = x2เป็นหลักในการอ้างอิง จะเห็น
วา่ กราฟ y2 = (x + 2)2และกราฟ y2 = (x − 3)2 มรี ปู รา่ งเหมอื นกนั กบั กราฟ y1 = x2 โดย
กราฟ y2 = (x + 2)2เกดิ จากการเลื่อนกราฟ y1 = x2 ไปทางซา้ ย 2 หนว่ ย และกราฟ
y2 = (x − 3)2 เกิดจากการเลื่อนกราฟ y1 = x2ไปทางขวา 3 หนว่ ย

ในกรณีทั่วไป ถา้ นักเรยี นทราบลักษณะของกราฟ y = f(x) แลว้ นักเรยี นสามารถเขยี นกราฟ
ของ y = f(x + k) และ y = f(x - k) โดยอาศัยการเลื่อนกราฟ y = f(x) ในแนวนอน ซ่ึงสรุปได้ ดังน้ี

- y = f(x + k) ได้จากการเล่ือนกราฟ y = f(x) ไปทางซา้ ย k หน่วย เมื่อ k > 0
- y = f(x - k) ได้จากการเลอื่ นกราฟ y = f(x) ไปทางขวา k หน่วย เมื่อ k > 0
3. ครใู ห้นกั เรยี นทำใบงานท่ี 1.7 เรอ่ื ง กราฟของฟังก์ชนั
ขน้ั ที่ 3 ขนั้ สรุป
4. ครถู ามตอบนักเรียนเพอื่ ทบทวนความรู้ เรอ่ื ง กราฟของฟังกช์ ันและเทคนคิ การเขียนกราฟ
ของฟังก์ชนั ดงั น้ี
- เทคนคิ การเลือ่ นกราฟของฟงั กช์ ันมีกีว่ ิธี อะไรบ้าง สมการของกราฟคืออะไร

(แนวตอบ: 2 วิธี ไดแ้ ก่
การเลอื่ นกราฟในแนวตั้ง สมการคือ
y = f(x) + k ได้จากการเลือ่ นกราฟ y = f(x) ข้นึ ไปตามแนวต้งั k หน่วย เมอ่ื k > 0
y = f(x) − k ได้จากการเล่อื นกราฟ y = f(x) ลงไปตามแนวตง้ั k หน่วย เม่ือ k > 0

105

การเลือ่ นกราฟในแนวนอน สมการคือ
y = f( + k) ได้จากการเล่ือนกราฟ y = f(x) ไปทางซา้ ย k หนว่ ย เม่ือ k > 0
y = f( − k) ไดจ้ ากการเล่ือนกราฟ y = f(x) ไปทางขวา k หน่วย เมื่อ k > 0)

สอื่ /แหล่งการเรยี นรู้
1. สื่อการเรยี นรู้
1.1 หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.4 เลม่ 2 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 1 ความสมั พนั ธ์

และฟงั กช์ ัน
1.2 แบบฝึกหัดรายวิชาเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 1 ความสมั พันธ์

และฟงั ก์ชัน
1.3 Power point นำเสนอการสอน เรอ่ื ง ความสัมพันธ์และฟังก์ชนั
1.4 ใบงานท่ี 1.7 เรอ่ื ง กราฟของฟงั กช์ ัน

2. แหล่งการเรียนรู้
2.1 ห้องสมดุ
2.2 อินเทอรเ์ น็ต

การวดั และประเมินผล

จุดประสงค์ เครื่องมือ วธิ ีการ เกณฑก์ าร
ประเมิน
1. ด้านความรู้ (K)
ผา่ นเกณฑ์
1.1 อธิบายความหมายของกราฟของ 1. การตอบคำถามใน 1. สังเกตการตอบ รอ้ ยละ 70
คำถามในหอ้ งเรียน
ฟังก์ชนั ได้ ห้องเรยี น ขึ้นไป
2. ตรวจใบงานท่ี 1.7
2. ใบงานท่ี 1.7 เรอ่ื ง กราฟของฟงั กช์ นั ผ่านเกณฑ์
ร้อยละ 70
เร่ือง กราฟของฟังกช์ ัน 1. ตรวจใบงานท่ี 1.7
เร่ือง กราฟของฟงั ก์ชนั ข้นึ ไป
2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P)

2.1 สามารถเขยี นกราฟของฟังกช์ นั ได้ 1. ใบงานที่ 1.7

2.2 สามารถใชเ้ ทคนคิ ในการเขียน 2. เรอื่ ง กราฟของ

กราฟของฟงั ก์ชันได้ ฟงั กช์ ัน

2.3 สามารถเขียนวิธีการหาค่าของ

ฟงั ก์ชันได้

106

จุดประสงค์ เครื่องมือ วิธกี าร เกณฑ์การ
ประเมิน
3. ด้านคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A) 1. ตรวจแบบสังเกต
พฤติกรรม อยู่ในระดับ
3.1 แสดงพฤตกิ รรมมคี วามรบั ผดิ ชอบ 1. แบบสังเกต ดี
2. ตรวจใบงานที่ 1.7
ตอ่ หนา้ ท่ีท่ีไดร้ ับมอบหมาย พฤติกรรม เรอื่ ง กราฟของฟังกช์ นั ข้นึ ไป

2. ใบงานที่ 1.7

เรือ่ ง กราฟของฟังก์ชัน

107

บนั ทึกหลังการสอน
1. ผลการจดั การเรยี นการสอน

1.1 ด้านความรู้ ( K )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 ดา้ นทักษะกระบวนการ( P )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 คณุ ลักษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 สมรรถนะสำคัญผเู้ รยี น (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ปญั หาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอื่นๆ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ …………………………………… (ผู้สอน)
(นางสาวอภิญญา เสรฐิ สาย)

วันที่ ……………………………………

108

ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพ่ีเลี้ยง
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงชื่อ..........................................................
(นางสาวรัดดาวรรณ เผอ่ื นผึ้ง)
ครพู เ่ี ล้ียง
............../................../..............

ความเหน็ /ข้อเสนอแนะของหัวหนา้ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงชือ่ ..........................................................
(นางสกาวเดือน เหมะธุลิน)

หวั หนา้ กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
............../................../..............

109

แบบประเมนิ ด้านความรู้ (K) และด้านทักษะกระบวนการ (P)
ประจำแผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 9 เร่อื ง ความสัมพนั ธ์และฟังกช์ นั

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 ภาคเรยี นท่ี 2/2565

ดา้ นความรู้ ประเมินจาก 1. การตอบคำถามในห้องเรียน

2. ใบงานที่ 1.7 เรอ่ื ง กราฟของฟังก์ชนั

ด้านทักษะกระบวนการ ประเมนิ จาก 1. ใบงานท่ี 1.7 เรอื่ ง กราฟของฟงั ก์ชนั

เลขท่ี ด้านความรู้ ด้านทักษะ ผลการประเมิน
คะแนนเตม็ (.......) กระบวนการ
คะแนนเต็ม (.......)

ได้ รอ้ ยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไมผ่ า่ น

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

110

เลขที่ ด้านความรู้ ดา้ นทักษะ ผลการประเมิน
คะแนนเตม็ (.......) กระบวนการ
คะแนนเตม็ (.......)

ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผา่ น ไมผ่ า่ น

21

22

23

24

25

26

27

28

เกณฑก์ ารประเมิน
นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ข้นึ ไป ถือว่าผา่ นเกณฑ์

สรุปผลการประเมนิ
ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน
ไม่ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน

ลงชอื่ ……………………………………………..…ผ้ปู ระเมิน
(นางสาวอภิญญา เสรฐิ สาย)

วนั ท่ี……..เดอื น ……………………….พ.ศ.…………….

111

แบบสงั เกตพฤติกรรมรายบุคคลชั้น ม.4
หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 ความสัมพนั ธแ์ ละฟงั ก์ชนั

คำชีแ้ จง ทำเครื่องหมาย ✔ ลงในชอ่ งระดบั คะแนนพฤติกรรมท่นี ักเรยี นปฏิบัติ ดังน้ี
ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นมาก
ระดบั 2 หมายถึง แสดงพฤติกรรมใหเ้ ห็นปานกลาง
ระดับ 1 หมายถงึ แสดงพฤติกรรมใหเ้ หน็ นอ้ ย

เลขที่ ความ มีระเบียบวินยั ความรบั ผดิ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ
กระตอื รอื ร้น ชอบ ผ่าน ไม่ผา่ น

3 21321321

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

112

เลขที่ ความ มรี ะเบยี บวนิ ัย ความรับผดิ คะแนนรวม เกณฑก์ ารประเมนิ หมายเหตุ
กระตอื รือรน้ ชอบ ผา่ น ไม่ผ่าน

3 21321321

24
25
26
27
28

รายการประเมนิ 3 เกณฑ์การใหค้ ะแนน 1
2 ไมต่ ง้ั ใจเรียน และไม่
1. ความ ตัง้ ใจเรยี น และสนใจใน สนใจในการทำกิจกรรม
ตัง้ ใจเรยี น และสนใจใน สมดุ งาน ชิ้นงานไม่ค่อย
กระตือรือร้น การทำกจิ กรรมตลอดเวลา การทำกิจกรรมบางเวลา เรยี บรอ้ ย
สมดุ งาน ชน้ิ งานส่วน
2. การมี สมดุ งาน ช้ินงาน สะอาด ใหญ่สะอาดเรยี บรอ้ ย สง่ งานชา้ กวา่ กำหนด

ระเบียบวินัย เรยี บรอ้ ย ส่งงานช้ากวา่ กำหนด
แต่มีการติดต่อครผู สู้ อน
ในการทำงาน มเี หตผุ ลทีร่ ับฟงั ได้

3. ความ สง่ งานกอ่ นหรือสง่ ตาม

รับผิดชอบ กำหนด เวลานดั หมาย

เกณฑ์การประเมิน

คะแนนรวม ระดับคุณภาพ
8 - 9 ดมี าก
6 - 7 ดี (ผ่านเกณฑ์)
4 - 5 พอใช้
ตำ่ กวา่ 4 ปรับปรงุ

113

ใบงานท่ี 1.7

เร่อื ง กราฟของฟังกช์ ัน

คำช้แี จง : ให้นกั เรยี นเขียนกราฟท่กี ำหนดใหโ้ ดยใชเ้ ทคนิคการเล่อื นกราฟ

กำหนดกราฟของฟังก์ชนั y = f(x) ดงั รูป

เขยี นกราฟของฟังก์ชันต่อไปน้ี 2. y = f(x + 2)
1. y = f(x − 1)

3. y = f(x) − 1 4. y = f(x) + 2

ใบงานที่ 1.7 114

เรอ่ื ง กราฟของฟังก์ชัน เฉลย

คำชแี้ จง : ใหน้ กั เรียนเขียนกราฟที่กำหนดใหโ้ ดยใชเ้ ทคนิคการเลอ่ื นกราฟ
กำหนดกราฟของฟงั กช์ ัน y = f(x) ดังรปู

เขยี นกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ 2. y = f(x + 2)

1. y = f(x − 1) ขยบั กราฟไปทางซ้าย 2 หนว่ ย

ขยับกราฟไปทางขวา 1 หน่วย

3. y = f(x) − 1 4. y = f(x) + 2

ขยับกราฟลงมา 1 หนว่ ย ขยับกราฟขน้ึ ไป 2 หนว่ ย

115

แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 10

รายวชิ า เสริมทักษะคณติ ศาสตร์ 2 รหัสวชิ า ค31202 กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์

หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 1 เร่ือง ความสัมพนั ธ์และฟงั กช์ นั ภาคเรียนที่ 2/2565

เรื่อง การดำเนินการของฟังก์ชนั (1) เวลา 1 ชว่ั โมง

ผสู้ อน นางสาวอภิญญา เสรฐิ สาย โรงเรยี นอุดรพฒั นาการ

ผลการเรยี นรู้

1. หาผลลพั ธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชนั หาฟังก์ชันประกอบและฟงั กช์ นั ผกผนั

2. ใช้สมบัติของฟงั กช์ ันในการแก้ปญั หา

สาระสำคัญ

กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง ผลบวก (sum)

ผลตา่ ง (difference) ผลคูณ (product) และผลหาร (quotient) ของฟังกช์ ันกำหนดโดย

(f + g)(x) = f(x) + g(x) เมอื่ x ∈ Df ∩ Dg
(f − g)(x) = f(x) − g(x) เม่อื x ∈ Df ∩ Dg
(f ∙ g)(x) = f(x) ∙ g(x) เมือ่ x ∈ Df ∩ Dg

(f) (x) = f(x) เม่ือ x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0

g g(x)

สาระการเรยี นรู้
การบวก การลบ การคูณ การหารฟังกช์ นั

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ เม่ือเรียนจบคาบนี้แล้วนกั เรียนสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
1.1 อธบิ ายความหมายของการดำเนินการของฟังกช์ ันได้
2. ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P)
2.1 เขียนแสดงวิธีการหาค่าการดำเนนิ การของฟังก์ชันได้
3. ดา้ นคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์ (A)
3.1 แสดงพฤตกิ รรมมีความรบั ผิดชอบต่อหน้าทท่ี ่ีได้รบั มอบหมาย

สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียน
1. ความสามารถในการสื่อสาร
2. ความสามารถในการคิด
2.1 ทักษะการเปรียบเทียบ

116

2.2 ทกั ษะการแปลความ
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา

กจิ กรรมการเรียนรู้
ขั้นที่ 1 ขนั้ นำเขา้ สบู่ ทเรยี น
1. ครูกล่าวว่าการบวก การลบ การคูณ และการหาร เป็นการดำเนินการของจำนวนสอง

จำนวน จากน้ันถามนักเรียนว่า “นักเรียนคิดว่าฟังก์ชันมีการบวก การลบ การคูณ และการหาร”
หรือไม่ (แนวตอบ : ฟังก์ชันมีการบวก การลบ การคูณ และการหาร เรียกว่า “การดำเนินการของ
ฟังกช์ ัน” และเรยี กผลจากกระบวนการนว้ี ่า “พีชคณิตของฟังกช์ นั ”)

ขัน้ ท่ี 2 ขนั้ สอน
2. ครูอธบิ ายบทนยิ าม ดังน้ี
บทนิยาม

กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชนั ที่มโี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเซตของจำนวนจรงิ ผลบวก

(sum) ผลตา่ ง (difference) ผลคณู (product) และผลหาร (quotient) ของฟังก์ชันกำหนดโดย

(f + g)(x) = f(x) + g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg
(f − g)(x) = f(x) − g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg
(f ∙ g)(x) = f(x) ∙ g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg

(f) (x) = f(x) เม่ือ x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0

g g(x)

3. ครอู ธิบายตวั อยา่ ง พรอ้ มทั้งแสดงวิธีทำอยา่ งละเอยี ดบนกระดาน

ตวั อย่างที่ 1 ให้ f(x) = x3 + 1 และ g(x) = √x

1) จงหา + , − , และ พร้อมท้ังโดเมนของแตล่ ะฟังก์ชนั



2) จงหา ( + )(1), ( − )(1), ( )(2)และ ( )(2)


วิธที ำ 1) เนอ่ื งจากโดเมนของ คอื R และโดเมนของ g คือ [0,∞]

จะไดโ้ ดเมนของ + , − และ คือ Df ∩ Dg= [0,∞]

และโดเมนของ คือ Df ∩ Dg − { ∈ Dg| ( ) = 0} = (0, ∞)


( + )( ) = ( ) + ( ) = x3 + 1 + √x

( − )( ) = ( ) − ( ) = x3 + 1 − √x

( )( ) = ( ) ( ) = (x3 + 1)(√x)

( ) ( ) = ( ) = x3+1
( ) √x

117

2) ( + )(1) = (1) + (1) = (13 + 1) + √1 = 3

( − )(1) = (1) − (1) = (13 + 1) − √1 = 1

( )(2) = (2) (2) = (23 + 1)(√2) = 9√2

( ) (2) = (2) = 23+1 = 9
(2) √2 √2

ตวั อย่างท่ี 2 ให้ = {(1,6), (2,16), (3,12), (5,18)}

และ = {(1,6), (2,11), (3,0), (4,1)}

จงหา + , และ พรอ้ มทั้งโดเมนของแตล่ ฟังกช์ นั

วิธที ำ เน่ืองจากโดเมนของ คอื {1, 2, 3, 5} และโดเมนของ g คือ {1, 2, 3, 4}

จะได้โดเมนของ + และ คือ Df ∩ Dg= {1, 2, 3}
( + )(1) = (1) + (1) = 6 + 6 = 12 จะได้ (1,12) +

( + )(2) = (2) + (2) = 16 + 11 = 176 จะได้ (2,27) +

( + )(3) = (3) + (3) = 12 + 0 = 12 จะได้ (3,12) +

ดังนนั้ + = {(1,12), (2,27), (3,12)}

( )(1) = (1) (1) = (6)(6) = 36 จะได้ (1,36)

( )(2) = (2) (2) = (16)(11) = 176 จะได้ (2,176)

( )(3) = (3) (3) = (12)(0) = 0 จะได้ (3,0)

ดงั นน้ั = {(1,36), (2,176), (3,0)}

โดเมนของ คือ Df ∩ Dg − { ∈ Dg| ( ) = 0} = (1,2)


( ) (1) = (1) = 6 = 1 จะได้ (1,1)
(1) 6

( ) (2) = (2) = 16 จะได้ (2, 1161)
(2) 11

ดังนนั้ = {(1,1), (2, 16)}
11
4. ครใู ห้นักเรยี นทำใบงานที่ 1.8 เรือ่ ง การดำเนินการของฟงั กช์ นั

ขั้นที่ 3 ข้นั สรปุ
5. ครูถามคำถามเพ่ือทบทวนความรู้รวบยอดของนักเรยี น

- การดำเนนิ การของฟงั กช์ ันคืออะไร

(แนวตอบ : เปน็ การดำเนนิ การทางพชี คณิตของฟังกช์ ัน ซงึ่ เทยี บได้กับการบวก การลบ

การคณู หรือ การหารในระบบจำนวนจรงิ )

118

สื่อ/แหล่งการเรียนรู้
1. สือ่ การเรยี นรู้
1.1 หนังสือเรยี นรายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.4 เลม่ 2 หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 ความสมั พนั ธ์

และฟังกช์ ัน
1.2 แบบฝกึ หดั รายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 1 ความสัมพนั ธ์

และฟงั กช์ ัน
1.3 Power point นำเสนอการสอน เร่อื ง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน
1.4 ใบงานท่ี 1.8 เรื่อง การดำเนนิ การของฟังกช์ นั

2. แหลง่ การเรยี นรู้
2.1 ห้องสมดุ
2.2 อินเทอร์เนต็

การวดั และประเมินผล

จดุ ประสงค์ เครอ่ื งมอื วธิ กี าร เกณฑก์ าร
ประเมนิ
1. ดา้ นความรู้ (K) 1. การตอบคำถามใน 1. สังเกตการตอบ
1.1 อธบิ ายความหมายของการ ห้องเรียน คำถามในห้องเรียน ผา่ นเกณฑ์
รอ้ ยละ 70
ดำเนินการของฟังกช์ นั ได้ 2. ใบงานท่ี 1.8 2. ตรวจใบงานที่ 1.8
เรอ่ื ง การดำเนินการของ เรอื่ ง การดำเนินการของ ข้ึนไป
2. ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P) ฟังกช์ นั ฟังกช์ นั
2.1 เขียนแสดงวิธกี ารหาค่าการ ผ่านเกณฑ์
1. ใบงานที่ 1.8 1. ตรวจใบงานที่ 1.8 ร้อยละ 70
ดำเนนิ การของฟงั ก์ชันได้ เรื่อง การดำเนินการของ เร่ือง การดำเนินการของ
ฟังก์ชนั ฟังก์ชัน ข้นึ ไป
3. ด้านคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
3.1 แสดงพฤติกรรมมคี วาม 1. แบบสงั เกตพฤติกรรม 1. ตรวจแบบสังเกต อยใู่ นระดบั
2. ใบงานที่ 1.8 พฤติกรรม ดี
รบั ผิดชอบตอ่ หนา้ ท่ีทไ่ี ดร้ ับมอบหมาย เรอ่ื ง การดำเนินการของ
ฟงั ก์ชนั 2. ตรวจใบงานท่ี 1.8 ขน้ึ ไป
เร่อื ง การดำเนินการของ
ฟงั ก์ชนั

119

บนั ทึกหลังการสอน
1. ผลการจดั การเรยี นการสอน

1.1 ด้านความรู้ ( K )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 ดา้ นทักษะกระบวนการ( P )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 คณุ ลักษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 สมรรถนะสำคญั ผเู้ รยี น (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ปญั หาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอน่ื ๆ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ่ื …………………………………… (ผู้สอน)
(นางสาวอภญิ ญา เสริฐสาย)

วนั ที่ ……………………………………

120

ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพ่ีเลี้ยง
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงชื่อ..........................................................
(นางสาวรัดดาวรรณ เผอ่ื นผ้งึ )
ครพู เ่ี ล้ียง
............../................../..............

ความเหน็ /ข้อเสนอแนะของหัวหนา้ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงชอื่ ..........................................................
(นางสกาวเดือน เหมะธุลิน)

หวั หนา้ กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
............../................../..............

121

แบบประเมินด้านความรู้ (K) และดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)
ประจำแผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 10 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 4 ภาคเรยี นท่ี 2/2565

ด้านความรู้ ประเมินจาก 1. การตอบคำถามในห้องเรียน

2. ใบงานท่ี 1.8 เรอ่ื ง การดำเนนิ การของฟังกช์ นั

ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจาก 1. ใบงานที่ 1.8 เร่ือง การดำเนนิ การของฟงั กช์ ัน

เลขที่ ดา้ นความรู้ ดา้ นทักษะ ผลการประเมนิ
คะแนนเต็ม (.......) กระบวนการ
คะแนนเตม็ (.......)

ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผา่ น

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

122

เลขท่ี ด้านความรู้ ด้านทกั ษะ ผลการประเมิน
คะแนนเต็ม (.......) กระบวนการ
คะแนนเต็ม (.......)

ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผา่ น ไมผ่ ่าน

21

22

23

24

25

26

27

28

เกณฑก์ ารประเมิน
นกั เรยี นได้คะแนนร้อยละ 70 ขน้ึ ไป ถือว่าผา่ นเกณฑ์

สรุปผลการประเมิน
ผา่ นเกณฑ์ จำนวน....................คน
ไม่ผา่ นเกณฑ์ จำนวน....................คน

ลงชือ่ ……………………………………………..…ผปู้ ระเมนิ
(นางสาวอภญิ ญา เสริฐสาย)

วนั ที่……..เดอื น ……………………….พ.ศ.…………….

123

แบบสังเกตพฤตกิ รรมรายบุคคลชนั้ ม.4
หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 1 ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชนั

คำช้แี จง ทำเครอื่ งหมาย ✔ ลงในชอ่ งระดบั คะแนนพฤติกรรมทน่ี ักเรยี นปฏิบัติ ดังนี้
ระดบั 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมใหเ้ หน็ มาก
ระดับ 2 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เหน็ ปานกลาง
ระดับ 1 หมายถงึ แสดงพฤติกรรมให้เห็นนอ้ ย

เลขที่ ความ มีระเบียบวนิ ยั ความรับผดิ คะแนนรวม เกณฑก์ ารประเมนิ หมายเหตุ
กระตอื รือรน้ ชอบ ผา่ น ไมผ่ ่าน

3 21321321

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

124

เลขที่ ความ มรี ะเบยี บวนิ ยั ความรบั ผดิ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ
กระตอื รอื ร้น ชอบ ผ่าน ไม่ผา่ น

3 21321321

24
25
26
27
28

รายการประเมิน 3 เกณฑ์การให้คะแนน 1
2 ไม่ตั้งใจเรียน และไม่
1. ความ ต้งั ใจเรียน และสนใจใน สนใจในการทำกจิ กรรม
ตงั้ ใจเรยี น และสนใจใน สมุดงาน ช้นิ งานไม่ค่อย
กระตือรอื ร้น การทำกจิ กรรมตลอดเวลา การทำกิจกรรมบางเวลา เรยี บรอ้ ย
สมุดงาน ชิน้ งานสว่ น
2. การมี สมดุ งาน ช้นิ งาน สะอาด ใหญส่ ะอาดเรียบรอ้ ย สง่ งานช้ากว่ากำหนด

ระเบียบวนิ ัย เรียบรอ้ ย ส่งงานช้ากวา่ กำหนด
แต่มกี ารติดตอ่ ครผู สู้ อน
ในการทำงาน มีเหตผุ ลทรี่ บั ฟังได้

3. ความ สง่ งานก่อนหรือสง่ ตาม

รบั ผิดชอบ กำหนด เวลานดั หมาย

เกณฑก์ ารประเมิน

คะแนนรวม ระดับคณุ ภาพ
8 - 9 ดมี าก
6 - 7 ดี (ผา่ นเกณฑ)์
4 - 5 พอใช้
ตำ่ กวา่ 4 ปรบั ปรงุ

125

ใบงานที่ 1.8

เรือ่ ง การดำเนนิ การของฟงั กช์ ัน

คำชแี้ จง : ให้นักเรียนหาคำตอบจากการการดำเนนิ การของฟังก์ชันต่อไปน้ี
1) ถา้ f(x) = x2 + 3x − 2 และ g(x) = 5 − 3x จงหา f + g, f − g และ fg

126

ใบงานท่ี 1.8 เฉลย

เรื่อง การดำเนนิ การของฟังกช์ ัน

คำช้แี จง : ใหน้ ักเรียนหาคำตอบจากการการดำเนนิ การของฟงั กช์ นั ต่อไปน้ี
1) ถ้า f(x) = x2 + 3x − 2 และ g(x) = 5 − 3x จงหา f + g, f − g และ fg

f+g

f(x) + g(x) = (x2 + 3x − 2) + (5 − 3x)

= x2 + 3x − 2 + 5 − 3x
= x2 − 2 + 5
= x2 + 3
∴ f + g = x2 + 3

f−g

f(x) − g(x) = (x2 + 3x − 2) − (5 − 3x)

= x2 + 3x − 2 − 5 + 3x
= x2 + 6x − 2 − 5
= x2 + 6x − 7
= (x + 7)(x − 1)
∴ f − g = (x + 7)(x − 1 )

fg

f(x) ⋅ g(x) = (x2 + 3x − 2) ⋅ (5 − 3x)
= (5x2 + 15x − 10 − 3x3 − 9x2 + 6x)
= (−3x3 − 4x2 + 21x − 10)

∴ fg = (−3x3 − 4x2 + 21x − 10)

127

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 11

รายวชิ า เสริมทกั ษะคณติ ศาสตร์ 2 รหัสวชิ า ค31202 กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์
หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 1 เร่ือง ความสมั พนั ธแ์ ละฟังก์ชนั ภาคเรยี นที่ 2/2565
เรื่อง การดำเนินการของฟังก์ชนั (2) เวลา 1 ชัว่ โมง
ผูส้ อน นางสาวอภญิ ญา เสรฐิ สาย
โรงเรยี นอดุ รพัฒนาการ

ผลการเรยี นรู้
1. หาผลลัพธข์ องการบวก การลบ การคณู การหารฟงั กช์ ัน หาฟังกช์ นั ประกอบและฟงั กช์ นั ผกผนั
2. ใช้สมบตั ิของฟังก์ชนั ในการแก้ปญั หา

สาระสำคญั
กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง ฟังก์ชันประกอบ

ของ f และ g เขียนแทนดว้ ย gof คือ ฟงั ก์ชันที่กำหนดโดเมนโดย
Dgof = {x ∈ Df|f(x) ∈ Dg} และกำหนด gof โดย (gof)(x) = g(f(x))

สาระการเรียนรู้
ฟังกช์ ันประกอบ

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เมื่อเรียนจบคาบน้ีแลว้ นักเรยี นสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
1.1 อธบิ ายความหมายของฟังก์ชันประกอบได้

2. ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P)
2.1 เขียนแสดงวธิ ีการหาคา่ ของฟังก์ชันประกอบได้

3. ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
3.1 แสดงพฤตกิ รรมมีความรับผดิ ชอบต่อหน้าท่ที ่ีได้รับมอบหมาย

สมรรถนะสำคัญของผู้เรยี น
1. ความสามารถในการสื่อสาร
2. ความสามารถในการคิด
2.1 ทกั ษะการเปรยี บเทยี บ
2.2 ทกั ษะการแปลความ
3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา

128

กิจกรรมการเรยี นรู้
ข้ันท่ี 1 ขน้ั นำเข้าสู่บทเรียน
1. ครสู รา้ งฟงั กช์ นั จากเซต A ไปเซต C เขียนแทนฟังกช์ นั นี้ดว้ ย gof (อา่ นวา่ จโี อเอฟ) และ

เรียกวา่ ฟงั ก์ชันประกอบ ของ f และ g

(1) = ( (1)) =
(2) = ( (2)) =
(3) = ( (3)) =

นนั่ คือ = {(1, ), (2, ), (3, )}

จากแผนภาพ สำหรบั แต่ละ x ในเซต A ถ้ามี y=f(x) ในเขต B และมี z=g(y) ในเซต c จะหา
g(f(x) ได้ ซ่ึงเท่ากับ z สถานการณ์ข้างต้นทำให้เกิดฟังก์ชันประกอบ gof เพราะฉะนั้นการเกิด gof
มีเง่ือนไขสำคัญคือ ต้องมี y อยู่ใน และ พร้อมกัน น่ันคือ ∩ ต้องไม่ใช่เซตว่าง
ดังน้ัน จงึ ใหบ้ ทนยิ ามของฟังก์ชัน gof

ขั้นท่ี 2 ขนั้ สอน
2. ครอู ธิบายบทนยิ าม โดยละเอียดพร้อมยกตัวอยา่ งเพ่ือความเข้าใจ
บทนิยาม 12 กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง

ฟังกช์ ันประกอบของ f และ g เขียนแทนดว้ ย gof คือ
ฟังก์ชันที่กำหนดโดเมนโดย Dgof = {x ∈ Df|f(x) ∈ Dg}
และกำหนด gof โดย (gof)(x) = g(f(x))
ตัวอยา่ งที่ 1 กำหนด f(x) = x2- 2 และ g(x) = x + 1 หาฟังก์ชัน gof และ fog พร้อมท้ัง

โดเมนและเรนจข์ องฟงั ก์ชันประกอบท้งั สอง
วิธีทำ จาก Df = R และ Rf = [-2, ∞)
Dg= R และ Rg = R
เนอ่ื งจาก Rf ∩ Dg = [-2, ∞) จึงมี gof
และ Rg ∩ Df = R จงึ มี fog
จาก (gof)(x) = g(f(x))
= g(x2- 2)
= (x2- 2) + 1 = x2 - 1

129

ดงั นั้น gof = { (x, y) |y = x2 - 1 }
จะได้ Dgof = { x ∊ Df ∙ f(x) ∊ Dg}

= { x ∊ R ∙ f(x) ∊ R } = R
หา Rgof จาก (gof)(x) = x2 - 1, x∊R จะได้ x2 ≥ 0

x2 + (-1) ≥ 0 + (-1)
x2 - 1 ≥ -1

ดังนนั้ Rgof = [-1, ∞)
จาก (fog)(x) = f(g(x))

= f(x + 1) = (x + 1)2- 2
ดงั น้ัน fog = { (x, y) |y = x2- 2x - 1 }
จะได้ Dfog = { x∊Dg| g(x)∊ Df }

= { x∊R ∙ g(x)∊R } = R
หา Rfog จาก (fog)(x) = (x + 1)2- 2, x∊R จะได้ (x + 1)2≥ 0

(x + 1)2+(-2) ≥ 0 + (-2)
(x + 1)2- 2 ≥ -2
ดังน้ัน Rfog= [-2, ∞)
ตัวอยา่ งท่ี 2 กำหนดแผนภาพของฟังกช์ นั f และ g ให้หาฟงั ก์ชันประกอบ g◦f

วิธีทำ จากแผนภาพ เขยี นโดเมนและเรนจข์ อง f และ g ดังนี้
Df = { 1, 2, 3, 4 } และ Rf = { 5, 8, 11, 14 }
Dg = { -1, -2, 5, 8, 11 } และ Rg = { 5, 7, -7, -13, -19 }
จะได้ Rf ∩ Dg = { 5, 8, 11 } จึงเกิดฟังกช์ นั ประกอบ g◦f โดยมี 5, 8 และ 11

เป็นตัวถา่ ยทอด
จาก (1, 5)∊ f และ (5, -7) ∊ g จะได้ (g◦f)(1) = -7
(2, 8)∊ f และ (8, -13)∊ g จะได้ (g◦f)(2) = -13
(3, 11)∊ f และ (11, -19)∊ g จะได้ (g◦f)(3) = -19

จะได้ g◦f = { (1, -7), (2, -13), (3, -19)

130

3. ครูใหน้ ักเรยี นทำใบงานท่ี 1.9 เร่อื ง ฟังกช์ ันประกอบ
ขั้นท่ี 3 ขน้ั สรปุ

4. ครูถามคำถามเพื่อประเมินความรรู้ วบยอดของนักเรยี น ดังน้ี
- ฟังก์ชันประกอบคืออะไร

(แนวตอบ: ฟังก์ชันประกอบของ f และ g เขียนแทนด้วย gof คือ ฟังก์ชันท่ีกำหนด
โดเมนโดย Dgof = {x ∈ Df|f(x) ∈ Dg} และกำหนด gof โดย (gof)(x) = g(f(x)))

ส่ือ/แหลง่ การเรียนรู้
1. สอ่ื การเรียนรู้
1.1 หนังสอื เรยี นรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.4 เลม่ 2 หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 1 ความสัมพันธ์

และฟังกช์ นั
1.2 แบบฝึกหดั รายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 ความสัมพนั ธ์

และฟงั ก์ชนั
1.3 Power point นำเสนอการสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน
1.4 ใบงานท่ี 1.9 เรอื่ ง ฟงั กช์ นั ประกอบ

2. แหล่งการเรยี นรู้
2.1 ห้องสมุด
2.2 อินเทอร์เน็ต

การวัดและประเมินผล

จดุ ประสงค์ เคร่อื งมือ วธิ กี าร เกณฑ์การ
ประเมิน
1. ดา้ นความรู้ (K) 1. การตอบคำถามใน 1. สังเกตการตอบ
1.1 อธบิ ายความหมายของฟังกช์ ัน ห้องเรียน คำถามในห้องเรยี น ผ่านเกณฑ์
ร้อยละ 70
ประกอบได้ 2. ใบงานที่ 1.9 2. ตรวจใบงานท่ี 1.9
เรื่อง ฟังกช์ ันประกอบ เรือ่ ง ฟงั กช์ ันประกอบ ขน้ึ ไป
2. ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ (P)
2.1 เขยี นแสดงวธิ กี ารหาคา่ ของ 1. ใบงานท่ี 1.9 เร่ือง 1. ตรวจใบงานที่ 1.9 ผา่ นเกณฑ์
ฟังกช์ ันประกอบ เรือ่ ง ฟงั ก์ชันประกอบ ร้อยละ 70
ฟังก์ชันประกอบได้
ขนึ้ ไป

131

จุดประสงค์ เครือ่ งมือ วิธกี าร เกณฑ์การ
ประเมิน
3. ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)
อยู่ในระดับ
3.1 แสดงพฤตกิ รรมมคี วาม 1. แบบสงั เกตพฤติกรรม 1. ตรวจแบบสงั เกต ดี

รับผิดชอบตอ่ หนา้ ที่ท่ีไดร้ บั มอบหมาย 2. ใบงานที่ 1.9 พฤติกรรม ขนึ้ ไป

เร่ือง ฟังก์ชันประกอบ 2. ตรวจใบงานที่ 1.9

เรือ่ ง ฟงั ก์ชันประกอบ

132

บนั ทึกหลังการสอน
1. ผลการจดั การเรียนการสอน

1.1 ด้านความรู้ ( K )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 ด้านทักษะกระบวนการ( P )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 คุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค/์ เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 สมรรถนะสำคัญผเู้ รยี น (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ปญั หาอุปสรรค/ขอ้ เสนอแนะอนื่ ๆ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงช่ือ …………………………………… (ผสู้ อน)
(นางสาวอภิญญา เสรฐิ สาย)

วันท่ี ……………………………………

133

ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพ่ีเลี้ยง
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงชื่อ..........................................................
(นางสาวรัดดาวรรณ เผอ่ื นผึ้ง)
ครพู เ่ี ล้ียง
............../................../..............

ความเหน็ /ข้อเสนอแนะของหัวหนา้ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………….………………………………………………………………………………………….……

ลงชอื่ ..........................................................
(นางสกาวเดือน เหมะธุลิน)

หวั หน้ากลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
............../................../..............

134

แบบประเมินดา้ นความรู้ (K) และดา้ นทักษะกระบวนการ (P)
ประจำแผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี 11 เร่ือง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 ภาคเรียนที่ 2/2565

ดา้ นความรู้ ประเมินจาก 1. การตอบคำถามในห้องเรียน 2. ใบงานที่ 1.9 เรอ่ื ง ฟงั กช์ นั ประกอบ

ดา้ นทักษะกระบวนการ ประเมินจาก 1. ใบงานท่ี 1.9 เรอ่ื ง ฟังกช์ ันประกอบ

เลขท่ี ดา้ นความรู้ ดา้ นทกั ษะ ผลการประเมิน
คะแนนเต็ม (.......) กระบวนการ
คะแนนเต็ม (.......)

ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผา่ น ไมผ่ า่ น

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21