SR-EN-1992112004

SR EN 1992-1-1:2004
Sec iunea 5 Analiza structural
5.1 Generalit i

5.1.1 Cerin e generale

(1)P Analiza structural are ca scop determinarea distribu iei, fie a solicit rilor, fie a eforturilor,

deforma iilor i deplas rilor în ansamblul sau într-o parte din structur . Dac este necesar, trebuie

efectuat o analiz local complementar .

NOT - În majoritatea cazurilor curente, analiza serve te la determinarea distribu iei solicit rilor. Verificarea
complet sau demonstrarea rezisten ei sec iunilor transversale este în acest caz bazat pe aceste solicit ri.
Pentru anumite elemente particulare, totu i, metodele de calcul folosite (calcul prin metoda elementului finit,
de exemplu) nu furnizeaz solicit ri ci eforturi, deforma ii i deplas ri. Exploatarea acestor rezultate în
vederea unei verific ri apropriate necesit folosirea de metode speciale.
(2) Analizele locale pot fi necesare atunci când ipoteza distribu iei liniare a deforma iilor unitare nu se
aplic , de exemplu :
- în vecin tatea reazemelor;
- local, în dreptul sarcinilor concentrate;
- la noduri grind – stâlp;
- în zonele de ancoraj;
- la schimb rile de sec iune transversal .
(3) Într-un câmp de eforturi plane, determinarea arm turii se poate face dup o metod simplificat .
NOT - Una dintre aceste metode este indicat în anexa F.
(4)P Calculele trebuie efectuate modelând geometria i comportarea structurii. Modelele trebuie s fie
adaptate la problema considerat .
(5) Geometria este, de obicei, modelat considerând c structura este constituit din elemente liniare,
din elemente plane i, uneori din pl ci curbe sub iri. Modelarea geometriei este abordat în 5.3.
(6)P Calculul trebuie s ia în considerare geometria, propriet ile structurii i comportarea sa în fiecare
stadiu de construire.
(7) Modelele de comportare curent utilizate pentru calcul sunt :
- comportare elastic-liniar (a se vedea 5.4);
- comportare elastic-liniar cu redistribuire limitat (a se vedea 5.5);
- comportare plastic (a se vedea 5.6), incluzând în special modelarea prin biele i tiran i

(a se vedea 5.6.4);
- comportare ne-liniar (a se vedea 5.7).
(8) În cl diri, deforma iile elementelor liniare i ale pl cilor supuse la efort de forfecare i efort normal
pot fi neglijate atunci când se consider c sunt mai mici de 10 % din deforma iile de încovoiere.
5.1.2 Cerin e specifice pentru funda ii
(1)P Atunci când interac iunea sol-structur are o influen semnificativ asupra efectelor ac iunilor în
structur , propriet ile solului i efectele interac iunii trebuie luate în calcul conform cu EN 1997-1.
NOT - Pentru mai multe informa ii privind calculul funda iilor de suprafa , se raporteaz la anexa G.
(2) Dimensionarea funda iilor de suprafa poate fi efectuat utilizând modele simplificate adecvate
pentru a descrie interac iunea sol-structur .
NOT - Efectele interac iunii sol-structur pot fi, de obicei, neglijate în cazul t lpilor de funda ii curente precum
i la grinzile de leg tur din cap tul pilo ilor.
(3) Pentru dimensionarea fiec rui pilot, se recomand s se determine ac iunile inând seama de
interac iunea între pilo i, grinda de leg tur i teren.

49

SR EN 1992-1-1:2004

(4) Atunci când pilo ii se dispun pe mai multe rânduri, evaluarea ac iunilor pe fiecare pilot se face
luând in considerare interac iunea între pilo i.

(5) Aceast interac iune poate fi neglijat dac distan a liber între pilo i este mai mare ca dublul
diametrului pilo ilor.

5.1.3 Cazuri de înc rcare i combina ii

(1)P Combina iile de înc rc ri considerate (a se vedea EN 1990 Sec iunea 6) trebuie s in seama
de cazuri de înc rcare pertinente, permi ând stabilirea condi iilor de dimensionare determinante în
toate sec iunile structurii sau într-o parte din aceasta.

NOTE - Atunci când se cere o simplificare a num rului de dispuneri a înc rc rilor care se utilizeaz într-o ar
dat se raporteaz la anexa na ional . Pentru cl diri, se recomand s se utilizeze prevederile simplificate de
înc rc ri de mai jos :
(a) o travee din dou suport înc rc rile variabile i înc rc rile permanente de calcul ( QQk + GGk+ Pm),
celelalte traveei suportând doar înc rcarea permanent de calcul, GGk + Pm
(b) dou traveei adiacente oarecare suport înc rc rile variabile i înc rc rile permanente de calcul ( QQk +

GGk+ Pm), iar restul traveelor suport doar înc rc rile permanent de calcul, GGk+ Pm.
5.1.4 Efecte de ordinul doi

(1)P Efectele de ordinul doi (a se vedea EN 1990 sec iunea 1) trebuie luate în calcul atunci când
acestea afecteaz semnificativ stabilitatea de ansamblu a structurii precum i atingerea st rii ultime în
sec iunile critice.

(2) Se recomand s se in seama de efectele de ordinul doi în modul indicat la 5.8.

(3) Pentru cl diri, efectele de ordinul doi pot fi neglijate atunci când sunt inferioare anumitor limite
(a se vedea 5.8.2 (6)).

5.2 Imperfec iuni geometrice

(1)P Analiza elementelor i structurilor trebuie s in seama de efectele defavorabile ale eventualelor
imperfec iuni geometrice precum i abaterile în pozi ia înc rc rilor.

NOT - Abaterile de la dimensiunile sec iunilor sunt, în mod normal, luate în calcul prin coeficien ii par iali
referitori la materiale. De aceea, aceste imperfec iuni nu sunt incluse în analiza structurii. În 6.1(4), pentru
calculul sec iunilor, se indic o excentricitate minim .

(2)P În calculul la st ri limit ultime, imperfec iunile trebuie luate în calcul atât pentru situa ii
permanente cât i pentru situa ii accidentale de înc rcare.

(3) Imperfec iunile nu sunt luate în calculul la st ri limit de serviciu.

(4) Prevederile urm toare se aplic elementelor supuse la compresiune axial precum i structurilor
supuse la înc rc ri verticale, în principal la cl diri. Valorile numerice indicate sunt asociate unor
toleran e normale de execu ie (clasa 1 din ENV 13670). Pentru alte toleran e (Clasa 2, de exemplu),
se recomand ajustarea valorilor în consecin .

(5) Imperfec iunile pot fi reprezentate printr-o înclinare I :

i = 0⋅ h⋅ m (5.1)

în care: este valoarea de baz

0 este un coeficient de reducere legat de lungime sau în l ime : αh = 2 / l h
h
2/3 ≤ h ≤ 1
m este un coeficient de reducere legat de num rul de elemente:

m = 0,5(1 + 1/ m) 0,5

50

SR EN 1992-1-1:2004

l este lungimea sau în l imea [m], a se vedea (4)
m este num rul de elemente verticale ce contribuie la efectul total

NOT - Valoarea 0 ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa na ional . Valoarea
recomandat este 0 = 1/200.
(6) În expresia (5.1), definirea lui l i m depinde de efectul considerat. Se disting trei cazuri principale
(a se vedea de asemenea figura 5.1) :

- Efect asupra unui element izolat : l = lungimea real a elementului, m =1.

- Efect asupra sistemului de contravântuire : l = în l imea elementului, m = num rul de elemente
verticale ce transmit for a orizontal aplicat sistemului de contravântuire.

- Efect asupra diafragmelor de plan eu sau a diafragmelor de acoperi ce transmit for e orizontale :
l = în l imea etajului, m = num rul de elemente verticale pe etaj (pe etaje) ce transmit for a
orizontal total aplicat plan eului.

(7) Pentru elemente izolate (a se vedea 5.8.1), se poate ine seama de efectul imperfec iunilor în dou
moduri, a) sau b), la alegere :

a) Ca o excentricitate ei indicat de

ei = i l0 / 2 (5.2)

în care l0 este lungimea efectiv , a se vedea 5.8.3.2

În cazul pere ilor i a stâlpilor izola i în structuri de contravântuire, se admite, pentru simplificare s se
adopte ei = l0/400, ceea ce corespunde la h = 1.

b) Ca o înc rcare transversal Hi, în pozi ia ce conduce la moment maxim :

pentru elemente necontravântuite (a se vedea figura 5.1 a1)) :
Hi = i N

(5.3a)

Pentru elemente contravântuite (a se vedea figura 5.1 a2)) :
Hi = 2 i N

(5.3b)

În care N este înc rcarea axial

NOT - Utilizarea excentricit ii este convenabil pentru elemente static determinate, în timp ce folosirea unei
înc rc ri transversale este convenabil atât pentru elemente static determinate cât i pentru elemente static
nedeterminate. For a Hi poate fi înlocuit printr-o alt înc rcare transversal echivalent .
(8) În cazul structurilor, efectul înclin rii i poate fi reprezentat prin înc rc ri transversale, care se
adaug celorlalte înc rc ri.

Efect asupra sistemului de contravântuire (a se vedea figura 5.1 b)) :

Hi = θi ⋅ (N b−Na ) (5.4)

Efect asupra diafragmei de plan eu (a se vedea figura 5.1 c1)) :

Hi = θi ⋅ (N b+Na )/ 2 (5.5)

Efect asupra diafragmei de acoperi (a se vedea figura 5.1 c2)) :

Hi = θi ⋅ Na (5.6)

Expresii în care Na i Nb sunt for ele longitudinale ce contribuie la for a orizontal Hi.
51

SR EN 1992-1-1:2004

a1) necontravântuit a2) contravântuit

a) Elemente izolate supuse la o înc rcare axial excentric sau la o înc rcare transversal

b) Sistem de contravântuire c1) Diafragm de c2) Diafragm
plan eu de acoperi

Figura 5.1 - Exemple ale efectului imperfec iunilor geometrice

(9) O solu ie alternativ simplificat pentru a acoperi imperfec iunile legate de toleran ele normale de
execu ie, aplicabil pere i i stâlpilor izola i în structuri de contravântuire, const în utilizarea unei
excentricit i ei = l0/400 (a se vedea 5.2 (4)).

5.3 Modelarea structurii

5.3.1 Modele structurale pentru analiza global

(1)P Elementele unei structuri sunt clasificate, dup natura i func ia lor în grinzi, stâlpi, pl ci, pere i,
dale, arce, pl ci curbe sub iri etc. În continuare se dau reguli pentru analiza elementelor cele mai
curente i a structurilor compuse din asamblarea acestora.

(2) Pentru cl diri se aplic prevederile (3) pân la (7) de mai jos.

(3) O grind este un element a c rei deschidere este mai mare decât triplul în l imii sec iunii. În caz
contrar elementul se consider o grind perete.

(4) O plac este un element a c rui dimensiune minim în planul s u este mai mare sau egal cu de
5 ori grosimea.

52

SR EN 1992-1-1:2004

(5) O plac supus în principal la înc rc ri uniform distribuite poate fi considerat ca desc rcându-se
pe o direc ie dac se îndepline te una din condi iile de mai jos:
- placa are dou laturi libere (f r reazeme) sensibil paralele, sau
- corespunde p r ii centrale a unei pl ci practic rectangulare rezemat pe patru laturi cu raportul între
latura cea mai mare i latura cea mai mic mai mare ca doi.
(6) Pl cile cu nervuri i casetate pot fi calculate f r a fi descompuse în elemente discrete, cu condi ia
ca zona comprimat sau suprabetonarea structural precum i nervurile transversale, prezint o
rigiditate la torsiune suficient . Se poate admite c aceast condi ie este îndeplinit dac :
- distan a între nervuri nu dep e te 1 500 mm;
- în l imea nervurii sub plac nu dep e te de 4 ori l imea;
- grosimea zonei comprimate este mai mare sau egal cu 1/10 din distan a liber dintre nervuri sau

50 mm dac aceast este mai mare;
- se prev d nervuri transversale la distan liber nu mai mare de 10 ori grosimea total a pl cii.
Grosimea minim a pl cii poate fi coborât de la 50 mm pân la 40 mm dac între nervuri se prev d
blocuri permanente.
(7) Un stâlp este un element a c rui latur mare nu dep e te de 4 ori latura mic i a c rui în l ime
este cel pu in egal cu de trei ori latura mare. În caz contrar, se consider un perete.
5.3.2 Date geometrice
5.3.2.1 L imea activ a pl cilor comprimate (pentru st ri limit )
(1)P În cazul grinzilor în form de T, l imea participant a pl cii – pe care se pot admite condi ii de
efort unitar uniform - depinde de dimensiunile inimii i ale pl cii, de tipul de înc rcare considerat, de
deschidere, de condi iile de reazem i de armarea transversal .
(2) Se recomand ca l imea activ de plac s se stabileasc în func ie de distan a l0 dintre
punctele de moment nul, a a cum se indic în figura 5.2.

Figura 5.2 - Definirea lui l0 pentru calculul l imii active de plac
NOT - Pentru lungimea l3 a consolei, se recomand s nu se dep easc jum tatea deschiderii traveei
adiacente, iar raportul dintre doua deschideri adiacente are valori între 2/3 i 1,5.

(3) L imea activ b eff a unei grinzi în T sau L poate fi luat egal cu :

beff = b +b ≤ b (5.7)

53

SR EN 1992-1-1:2004

cu (5.7a)
beff,i =0,2b +0,1l ≤0,2l

i (5.7b)
beff,i ≤b
(pentru nota ii, a se vedea figurile 5.2 i 5.3 ).

(4) Pentru situa iile de calcul în care nu este necesar o mare exactitate, se poate admite o l ime
constant pe toat lungimea traveei. În acest caz se recomand s se adopte valoarea aplicabil în
travee.

Figura 5.3 - Parametrii ce determin l imea activ de plac

5.3.2.2 Deschiderea de calcul a grinzilor i pl cilor la cl diri

NOT - Prevederile urm toare sunt prev zute în special pentru calculul elementelor. Unele din simplific rile
indicate pot fi utilizate, dup caz i la calculul structurilor.

(1) Deschiderea util leff a unui element se stabile te în modul urm tor:

leff = ln + a1 + a2 (5.8)

în care:
ln este distan a între fe ele reazemelor (lumina) ;
valorile lui a1 i a2 la fiecare extremitate a traveei pot fi determinate plecând de la valorile
corespunz toare a i din figura 5.4, în care t este l imea elementului de reazem a a cum
este indicat.

54

SR EN 1992-1-1:2004

a) Elemente simplu rezemate (b) Elemente continue
Axa
reazemului

(c) Reazeme considerate ca (d) Prezen a unui aparat de reazem
încastr ri perfecte

(e) Consol
Figura 5.4 - Deschiderea de calcul (leff ) pentru diferite condi ii de reazem

(2) Pl cile i grinzile continue pot fi în, în general, calculate considerând c reazemele nu împiedic
rotirea.
(3) Atunci când o grind sau o plac formeaz un ansamblu monolit cu reazemele, se recomand s
se ia ca moment de calcul, momentul de la fa a reazemelor. Pentru momentul i reac iunea de calcul
transmise la reazem (stâlp, perete etc.), se va re ine cea mai mare dintre valorile ob inute din calculul
elastic sau din redistribuiri.

NOT - Se recomand ca momentul de la fa a reazemului s nu fie mai mic de 0,65 din momentul de
încastrare.

55

SR EN 1992-1-1:2004

(4) Oricare este metoda de calcul utilizat , atunci când o grind sau o plac este continu în dreptul
unui reazem considerat a nu împiedica rotirea (de exemplu în dreptul unui perete), momentul de calcul
pe reazem, determinat pentru o deschidere egal cu distan a între axele reazemelor, poate fi mic orat
cu o valoare ∆MEd :

∆MEd = FEd,sup t / 8 (5.9)
în care:
FEd,sup este valoarea de calcul a reac iunii din reazem;
t este l imea reazemului (a se vedea figura 5.4(b)).

NOT - Atunci când se utilizeaz aparate de reazem, se recomand s se ia ca valoare a lui t valoarea l imii
aparatului de reazem.

5.4 Analiz liniar elastic

(1) Calculul elementelor la st ri limit de serviciu i la st ri limit ultime poate fi efectuat pe baza unei
analize liniare bazat pe teoria elasticit ii.

(2) Analiza liniar poate fi utilizat pentru determinarea solicit rilor, cu respectarea ipotezelor
urm toare:

i) sec iuni nefisurate;
ii) rela ii efort-deforma ie liniare; i
iii) valori medii ale modulului de elasticitate.

(3) Pentru efectele deforma iilor din temperatur , tas rilor i contrac iei la starea limit ultim (SLU),
se poate admite o rigiditate redus , corespunz toare sec iunilor fisurate, neglijând participarea
betonului întins, dar inând seama de efectele curgerii lente. Pentru starea limit de serviciu (SLS), se
recomand s se considere o evolu ie gradual a fisur rii.

5.5 Analiz liniar elastic cu redistribuire limitat a momentelor

(1)P Trebuie luat în calcul influen a oric rei redistribuiri a momentelor asupra tuturor aspectelor
proiect rii.

(2) Analiza liniar elastic cu redistribuire limitat a momentelor poate fi utilizat pentru verificarea
elementelor structurale la SLU.

(3) Momentele la starea limit ultim , determinate printr-o analiz liniar elastic pot fi redistribuite, cu
condi ia ca noua distribu ie de momente s continue s echilibreze înc rc rile aplicate.

(4) La grinzi i la pl ci continue :
a) solicitate în principal la încovoiere i
b) al c ror raport între deschiderile adiacente este cuprins între 0,5 i 2,

se poate face o redistribuire a momentelor încovoietoare f r verificarea explicit a capacit ii de
rota ie, cu condi ia ca :

≥ k1 + k2xu/d pentru fck ≤ 50 MPa (5.10a)

≥ k3 + k4xu/d pentru fck > 50 MPa (5.10b)

≥ k5 când arm turile utilizate apar in clasei B sau clasei C (a se vedea anexa C)

≥ k6 când arm turile utilizate apar in clasei A (a se vedea anexa C)

cu :
raportul dintre momentul dup redistribuire i momentul elastic

xu în l imea axei neutre la starea limit ultim dup redistribuire
d în l imea util a sec iunii

56

SR EN 1992-1-1:2004

NOT - Valorile k1, k2, k3 , k4, k5 i k6 care se vor utiliza într-o ar dat pot fi furnizate în anexa na ional .
Valorile recomandate sunt k1 = 0,44, k2 = 1,25(0,6+0,0014/ cu2), k3 = 0,54, k4 = 1,25(0,6+0,0014/ cu2), k5 = 0,7

i k6 = 0,8. cu2 este deforma ia ultim a sec iunii, a a cum se indic în tabelul 3.1.
(5) Se recomand s nu se efectueze redistribuiri în cazul în care capacitatea de rotire nu poate fi
stabilit în mod sigur (de exemplu la col urile cadrelor precomprimate).
(6) Pentru calculul stâlpilor, se recomand s nu se in seama de nici o redistribuire a momentelor
elastice provenind din efectul de cadru.

5.6 Analiza plastic

5.6.1 Generalit i
(1)P Metodele bazate pe analiza plastic nu trebuie utilizate decât pentru verific rile la SLU.
(2)P Ductilitatea sec iunilor critice trebuie s fie suficient pentru ca mecanismul dorit s se produc .
(3)P Se recomand ca analiza plastic s fie bazat pe metoda static (limita inferioar de
plasticitate) sau pe metoda cinematic (limita superioar de plasticitate).

NOT - Anexa na ional a rii poate indica informa ii complementare necontradictorii.
(4) Efectele înc rc rilor anterioare pot fi, în general, neglijate i se poate admite o cre tere monoton
a intensit ii înc rc rilor.
5.6.2 Analiza plastic a grinzilor, cadrelor i pl cilor
(1)P Analiza plastic pentru st ri limit ultime, f r verificare direct a capacit ii de rotire se poate
folosi dac sunt satisf cute condi iile de la 5.6.1 (2)P.
(2) Ductilitatea cerut poate fi considerat suficient , f r verificare explicit dac ansamblul condi iilor
de mai jos este verificat :

i) aria sec iunii arm turilor întinse este limitat în a a fel încât oricare ar fi sec iunea considerat
xu/d ≤ 0,25 pentru betoane de clas de rezisten ≤ C50/60
xu/d ≤ 0,15 pentru betoane de clas de rezisten ≥ C55/67
ii) arm turile pentru beton armat apar in fie clasei B, fie clasei C
iii) raportul dintre momentele pe reazemele intermediare i momentele din câmp este cuprins între
0,5 i 2.
(3) În cazul stâlpilor, se recomand s se verifice momentul plastic maxim ce poate fi transmis prin
leg turi. Acest moment trebuie inclus în calculul la str pungere, pentru cazul structurilor cu plan ee
dal .
(4) Atunci când se efectueaz analiza plastic a pl cilor, se recomand s se in seama de orice
neuniformitate a arm rii, de for ele din arm turile ce împiedic ridicarea col urilor i de torsiunea în
lungul laturilor libere.
(5) Metodele plastice pot fi extinse la pl ci a c ror sec iune nu este plin (pl ci nervurate, sau cu
goluri) dac acestea au o comportare similar unei pl ci pline, în special în ceea ce prive te efectele
torsiunii.
5.6.3 Capacitatea de rotire
(1) Metoda simplificat utilizat pentru grinzi i pl ci continue armate pe o singur direc ie este bazat
pe capacitatea de rotire a unor por iuni de element cu o lungime egal cu 1,2 în l imea sec iunii. Se
admite c aceste zone sufer o deforma ie plastic (se formeaz o articula ie plastic ) sub combina ia
de înc rc ri considerat .
Verificarea rotirii plastice la starea limit ultim este considerat ca satisf cut dac se demonstreaz
c sub înc rc rile considerate, rotirea calculat , s , este mai mic sau egal cu rotirea plastic
admis (a se vedea figura 5.5).

57

SR EN 1992-1-1:2004

Figura 5.5 - Rotirea plastic s a unei sec iuni drepte de beton armat în cazul unei grinzi
sau al unei pl ci continue armate pe o direc ie

(2) În zona articula iilor plastice, xu/d nu trebuie s dep easc 0,45 pentru betoane de clas mai mic
sau egal cu C50/60 i 0,35 pentru betoane de clas mai mare sau egal cu C55/67.

(3) Se recomand ca s s se determine plecând de la valorile de calcul ale înc rc rilor i ale
propriet ilor materialelor i de la valoarea medie a precomprim rii în momente de timp relevante.

(4) În metoda simplificat , rotirea plastic admis poate fi determinat prin multiplicarea valorii de
baz a rotirii admisibile, pl,d, cu un coeficient de corec ie kλ care depinde de flexibilitatea la for
t ietoare.

NOT - Valorile lui pl,d care se utilizeaz într-o ar dat pot fi furnizate de anexa na ional . Valorile
recomandate pentru clasele de armatur B i C (clasa A nu este recomandat pentru analiz plastic ) i
beton de clas de rezisten inferioar sau egal cu C50/60 pe de-o parte, sau egal cu C90/105 pe de alt
parte, sunt indicate în figura 5.6N.

Valorile pentru clasele de rezisten C 55/67 pân la C 90/105 pot fi interpolate. Valorile se aplic pentru o
flexibilitate la for t ietoare de = 3,0. Pentru valori diferite ale flexibilit ii se multiplic pl,d cu kλ : (5.11N)

kλ = λ / 3

în care este distan a dintre punctul de moment nul i punctul de moment maxim dup redistribuire, raportat
la în l imea util d.
Pentru a simplifica, se poate calcula pentru valorile de calcul concomitente ale momentului încovoietor i ale
for ei t ietoare :

= MSd / (VSd ⋅ d) (5.12N)

Figura 5.6N - Valori de baz ale rotirii plastice admisibile, pl,d , a sec iunilor de beton
armat pentru arm turi de clas B sau C. Valorile se aplic pentru o flexibilitate la for

t ietoare = 3,0
58

SR EN 1992-1-1:2004

5.6.4 Analiz cu modelul biele i tiran i
(1) Modelarea prin biele i tiran i se poate utiliza pentru dimensionarea la SLU a zonelor f r
discontinuit i (starea fisurat a grinzilor i pl cilor, a se vedea 6.1 … 6.4) precum i pentru
dimensionarea la SLU i definirea prevederilor constructive a zonelor de discontinuitate
(a se vedea 6.5). În general, zonele de discontinuitate se întind pân la o distan h de la
discontinuitate (h în l imea sec iunii elementului). Modelele biel -tiran i pot fi, de asemenea, utilizate
pentru elementele pentru care se admite o distribu ie liniar pe sec iune, de exemplu deforma ii plane.
(2) Verific rile la SLS - verificarea eforturilor în o el i controlul deschiderii fisurilor, de exemplu – pot,
de asemenea, fi efectuate utilizând modele biele i tiran i, cu condi ia de a asigura condi iile de
compatibilitate pentru model (se stabile te în special s alegem pozi ia i orientarea bielelor principale
conform teoriei elasticit ii liniare).
(3) Modelarea prin biele i tiran i consist în a defini biele, care reprezint câmpuri de eforturi de
compresiune, tiran i, care reprezint arm turile, i noduri, care asigur leg tura lor. Se recomand s
se determine eforturile în aceste elemente astfel încât la starea limit ultim , s continue s
echilibreze înc rc rile aplicate. Dimensionarea elementelor modelului se face dup regulile indicate la
6.5.
(4) Se recomand s se fac s coincid pozi ia i orientarea tiran ilor modelului cu cea a arm turilor.
(5) Modelele biele-tiran i adoptate pot fi definite, de exemplu, plecând de la izostaticele de efort i de
la reparti ia eforturilor ob inute aplicând teoria elasticit ii liniare, sau metoda bazat pe traseele de
înc rc ri. Toate modele biele-tiran i pot fi optimizate f când apel la criterii energetice.

5.7 Analiza ne-liniar

(1) Metodele de analiz ne-liniar pot fi utilizate atât pentru SLU cât i pentru SLS, dac echilibrul i
compatibilitatea sunt verificate i dac se admite o comportare ne-liniar adecvat pentru materiale.
Calculul poate fi de ordinul 1 sau de ordinul 2.
(2) La starea limit ultim , se verific dac sec iunile critice locale au capacitatea de a rezista la toate
deforma iile neelastice rezultate din calcul, inând seama în mod corespunz tor de incertitudini.
(3) Pentru structuri supuse în principal la înc rc ri statice, efectele înc rc rilor anterioare pot fi, in
general, neglijate i se poate admite o cre tere monoton a intensit ii înc rc rilor.
(4)P Caracteristicile materialelor care se introduc în analizele neliniare trebuie s reflecte rigiditatea lor
în mod realist i s in seama, în acela i timp, de incertitudinile referitoare la modul de cedare.
Trebuie utilizate doar formate de calcul valabile în domeniile de aplicare corespunz toare.
(5) Pentru structuri zvelte, la care efectele de ordinul doi nu pot fi neglijate, se utilizeaz metoda de
calcul indicat la 5.8.6.

5.8 Analiza efectelor de ordinul doi sub înc rc ri axiale

5.8.1 Defini ii
Încovoiere oblic : încovoiere simultan dup dou axe principale
Elemente sau sisteme contravântuite : elemente sau subansambluri structurale, pentru care se
admite, în calcul i la proiectare c nu contribuie la stabilitatea orizontal a ansamblului structurii
Elemente sau sisteme de contravântuire: elemente sau subansambluri structurale, pentru care se
admite, în calcul i la proiectare c contribuie la stabilitatea orizontal a ansamblului structurii
Flambaj : cedare datorit instabilit ii unui element sau a unei structuri la compresiune axial i în
absen a unor înc rc ri transversale

NOT - "Flambajul pur" a a cum este definit mai sus nu constituie o stare limit relevant pentru structuri
reale datorit imperfec iunilor de execu ie precum i prezen ei înc rc rilor transversale, dar este posibil s se
utilizeze înc rcarea nominal de flambaj ca parametru, în anumite metode de calcul de ordinul doi.

59

SR EN 1992-1-1:2004

Înc rcare de flambaj : înc rcare la care se produce flambajul ; pentru elemente elastice izolate,
sinonimul înc rc rii critice determinate cu formula lui Euler
Lungimea efectiv : lungime utilizat pentru evaluarea formei curbei de deformare; ea poate fi, de
asemenea, definit ca lungimea de flambaj, adic lungimea unui stâlp articulat la ambele capete
supus la un efort normal constant, având aceea i sec iune transversal i aceea i înc rcare de
flambaj ca elementul considerat
Efecte de ordinul unu : efect al ac iunilor, calculat f r considerarea efectelor deforma iilor structurii,
dar inând cont de imperfec iunile geometrice
Elemente izolate : elemente în mod real izolate, sau elemente ale unei structuri care pot fi tratate ca
izolate în calcul; figura 5.7 d exemple de elemente izolate cu diferite condi ii de margine
Moment nominal de ordinul doi : moment de ordinul doi utilizat în anumite metode de calcul, ce dau
un moment total compatibil cu rezisten a ultim a sec iunii (a se vedea 5.8.5 (2))
Efecte de ordinul doi : efecte adi ionale înc rc rilor, provocate de deformarea structurii
5.8.2 Generalit i
(1)P Acest paragraf se refer la elemente i structuri a c ror comportare este influen at în mod
semnificativ de efectele de ordinul doi (de exemplu stâlpi, pere i, pilo i, arce i pânze sub iri). În
structuri cu noduri deplasabile este de a teptat apari ia de efecte globale de ordinul doi.
(2)P Atunci când se iau în calcul efectele de ordinul doi, a se vedea (6), echilibrul i rezisten a
structurii trebuie verificate în stare deformat . Deforma iile trebuie calculate inând seama de efectele
fisur rii, de propriet ile neliniare ale materialelor i de fluaj.

NOT - Într-un calcul bazat pe liniaritatea propriet ilor materialelor, aceasta se poate face reducând
rigiditatea, a se vedea 5.8.7.
(3)P Dac este cazul, analiza trebuie s includ efectul flexibilit ii elementelor adiacente i funda iile
(interac iunea sol-structur ).
(4)P Comportarea structurii trebuie considerat în direc ia în care se pot produce deforma iile, inând
seama, dac este necesar, de încovoierea oblic .
(5)P Incertitudinile asupra geometriei i a pozi iei înc rc rilor axiale trebuie luate în calcul ca efecte
adi ionale de ordinul întâi, bazate pe imperfec iuni geometrice, a se vedea 5.2.
(6) Efectele de ordinul doi se pot neglija dac reprezint mai pu in de 10 % din efectele de ordinul unu
corespunz toare. În 5.8.3.1 se dau criterii simplificate pentru elemente i în 5.8.3.3 se indic criterii
simplificate pentru structuri.

60

SR EN 1992-1-1:2004

5.8.3 Criterii simplificate pentru efectele de ordinul doi
5.8.3.1 Criterii de zvelte e pentru elemente izolate
(1) Ca o alternativ la criteriul indicat la 5.8.2 (6), se admite c efectele de ordinul doi pot fi neglijate
dac coeficientul de flambaj (a a cum este definit la 5.8.3.2) este mai mic decât o valoare notat lim.

NOT - Valoarea lim care se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa na ional .
Valoarea recomandat este definit de rela ia :

lim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C/ n

(5.13N)

în care :
A = 1 / (1+0,2 ef) (dac ef nu este cunoscut, se poate lua A = 0,7)

B = 1 + 2 (dac nu este cunoscut, se poate lua B = 1,1)

C = 1,7 - rm (dac rm nu este cunoscut, se poate lua C = 0,7)
ef coeficientul efectiv de fluaj/curgere lent ; a se vedea 5.8.4

w = Asfyd / (Acfcd) ; coeficientul mecanic de armare
As este aria total a sec iunii arm turilor longitudinale
n = NEd / (Acfcd); for a axial relativ
rm = M01/M02; raportul momentelor
M01, M02 sunt momentele de ordinul întâi de la extremit i, M02 ≥ M01

Dac momentele de la extremit i M01 i M02 provoac întinderi pe aceea i fa , rm se ia pozitiv
(adic C ≤ 1,7), sau negativ (adic C > 1,7).

În cazurile urm toare, se ia rm = 1,0 (adic C = 0,7) : doar sau în cea mai
- elemente de contravântuire, pentru care momentele de ordinul întâi rezult
mare parte din imperfec iuni sau din înc rc ri transversale
- elemente de necontravântuire, in general

(2) În cazul încovoierii oblice, criteriul de zvelte e poate fi verificat separat, pe fiecare direc ie. Dup
rezultatul verific rii este posibil: (a) s se neglijeze efectele de ordinul doi în cele dou direc ii, (b) s
se ia în calcul doar pe una dintre direc ii sau (c) s se ia în calcul efectele de ordinul doi în cele dou
direc ii.

5.8.3.2 Zvelte ea i lungimea efectiv a elementelor izolate

(1) Coeficientul de zvelte e este definit ca:

= l0 /i (5.14)

în care:
l0 este Lungimea efectiv , a se vedea 5.8.3.2 (2) pân la (7)
i este raza de gira ie a sec iunii de beton nefisurat

(2) Pentru o defini ie general a lungimii efective, a se vedea 5.8.1. figura 5.7 prezint câteva exemple
de lungime efectiv a elementelor izolate cu sec iune constant .

61

SR EN 1992-1-1:2004

a) l0 = l b) l0 = 2l c) l0 = 0,7l d) l0 = l / 2 e) l0 = l f) l /2 <l0< l g) l0 > 2l
Figura 5.7 - Exemple de moduri de flambaj i lungimile efective
corespunz toare în cazul elementelor izolate

(3) Pentru elementele comprimate ale cadrelor regulate, criteriul zvelte ii (a se vedea 5.8.3.1) se
verific luând pentru lungimea efectiv valoarea l0 determinat în felul urm tor:

Elemente de contravântuire (a se vedea figura 5.7 (f)) :

l0 = 0,5l ⋅ 1 + k1 k1 ⋅ 1+ k2 k2 (5.15)
0,45 + 0,45 +

Elemente de necontravântuire (a se vedea figura 5.7 (g))

l0 = l ⋅ max 1 + 10 ⋅ k1 ⋅ k2 ; 1 + 1 k1 ⋅ 1 + 1 k 2 (5.16)
k1 + k2 + k1 +
k 2

în care :
k1, k2 sunt zvelte ile relative la încastrarea par ial la extremit ile 1, respectiv 2:
k = ( / M)× (EI / l)
este rotirea elementelor care se opun rotirii pentru momentul M; a se vedea de
asemenea figura 5.7 (f) i (g)
EI este rigiditatea la încovoiere a elementului comprimat, a se vedea de asemenea
5.8.3.2 (4) i (5)
l este în l imea liber a elementului între leg turile de cap t

NOT - k = 0 este limita teoretic ce corespunde încastr rii perfecte, iar k = ∞ este limita ce corespunde unui
reazem simplu. Deoarece încastrarea perfect este rar în practic se recomand pentru k1 et k2 o valoare
minim de 0,10.
(4) Dac un element adiacent comprimat (stâlp), într-un nod, este susceptibil s contribuie la rota ie la
flambaj, atunci se înlocuie te (EI / l) în defini ia lui k cu
[(EI /l)a+(EI /l)b], în care a i b reprezint elementul comprimat (stâlpul) situat deasupra respectiv
dedesubtul nodului.
(5) Pentru definirea lungimilor efective, se ine seama de efectul fisur rii asupra rigidit ii elementelor
ce se opun deform rii, cu excep ia cazului în care se poate demonstra c acestea nu sunt fisurate la
SLU.

62

SR EN 1992-1-1:2004

(6) În alte cazuri decât cele citate mai sus la (2) i (3), de exemplu în cazul elementelor la care for a
normal i/sau sec iunea variaz , se recomand s se verifice criteriul de la 5.8.3.1 cu o lungime
efectiv stabilit pe baza înc rc rii de flambaj (calculat printr-o metod numeric , de exemplu) :

lo = π EI / NB (5.17)

în care:
EI este o valoare reprezentativ a rigidit ii la încovoiere
NB este înc rcarea de flambaj exprimat pentru acest EI
(în expresia (5.14) valoarea lui i corespunde aceluia i EI)

(7) Efectul de împiedicare adus de pere ii transversali poate fi luat în calculul lungimii efective prin
intermediul factorului indicat în 12.6.5.1. În acest caz, în expresia (12.9) i în tabelul 12.1, se
înlocuie te lw cu l0 determinat a a cum se indic în 5.8.3.2.
5.8.3.3 Efecte globale de ordinul doi la cl diri

(1) Ca o alternativ la criteriul de la 5.8.2 (6), se admite c se pot neglija efectele globale de ordinul
doi la cl diri dac

FV,Ed ≤ k1 ⋅ ns ns ⋅ Ecd Ic (5.18)
+ 1,6 L2

în care:
FV,Ed este înc rcarea vertical total (pe elementele contravântuite i pe elementele de
contravântuire)
ns este num rul de etaje
L este în l imea total a cl dirii deasupra nivelului de încastrare pentru moment
Ecd este valoarea de calcul a modulului de elasticitate al betonului, a se vedea 5.8.6 (3)
(sec iunea de beton nefisurat ) a elementului (elementelor) de contravântuire
Ic este momentul de iner ie

NOT - Valoarea k1 ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa na ional . Valoarea
recomandat este k1 = 0,31.
Expresia (5.18) nu este valabil decât dac sunt îndeplinite toate condi iile de mai jos:
- instabilitatea la torsiune nu este dominant , adic structura este relativ simetric
- deforma iile globale de forfecare sunt neglijabile (a a cum este cazul sistemelor de contravântuire

cu pere i f r goluri mari)
- elementele de contravântuire sunt fixate rigid de baz , adic rotirile sunt neglijabile
- rigiditatea elementelor de contravântuire este practic constant pe toat în l imea
- înc rcarea vertical total cre te aproximativ cu aceea i cantitate la fiecare etaj.

(2) Constanta k1 din expresia (5.18) poate fi înlocuit cu k2 dac se poate demonstra c elementele de
contravântuire nu sunt fisurate la starea limit ultim .

NOTA 1 - Valoarea k2 ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi indicat de anexa na ional . Valoarea
recomandat este k2 = 0,62.
NOTA 2 - Pentru cazul în care sistemul de contravântuire prezint deforma ii globale – datorit for ei t ietoare
- semnificative i/sau rotiri semnificative la capete, a se vedea anexa H (care indic cadrul în care se înscriu
regulile de mai sus.

5.8.4 Fluaj/Curgere lent

(1)P Efectul fluajului/curgerii lente trebuie luat în calcul în analizele de ordinul doi, cu luarea în
considerare atât a condi iilor generale privitoare la fluaj/curgere lent (a se vedea 3.1.4) cât i a
duratei de aplicare a diferitelor înc rc ri din combina ia considerat .

(2) Durata înc rc rii poate fi luat în calcul într-un mod simplificat prin intermediul unui coeficient
efectiv de fluaj/curgere lent ef care, utilizat împreun cu înc rcarea de calcul, indic o deforma ie de
fluaj/curgere lent (curbur ) corespunz toare înc rc rii cvasi permanente :

ef = (∞,t0) ⋅M0Eqp / M0Ed (5.19)

63

SR EN 1992-1-1:2004

în care: este valoarea final a coeficientului de fluaj, definit la 3.1.4
(∞,t0) este momentul încovoietor de ordinul întâi în combina ia cvasipermanent de
înc rc ri (SLS)
M0Eqp este momentul încovoietor de ordinul întâi în combina ia de înc rc ri de calcul
(SLU)
M0Ed

NOT - Este posibil sa se defineasc ef plecând de la momentele încovoietoare totale MEqp i MEd, dar
aceasta necesit o itera ie i o verificare a stabilit ii sub înc rc ri cvasi permanente cu ef = (∞,t0) .
(3) Dac M0Eqp / M0Ed variaz pe un element sau structur , raportul se poate calcula în sec iunea de
moment maxim sau se poate utiliza o valoare medie reprezentativ .

(4) Efectul fluajului/curgerii lente poate fi ignorat, ceea ce însemn a admite ef = 0, dac sunt
îndeplinite concomitent condi iile urm toare:

- (∞,t0) ≤ 2
-λ ≤ 75
- M0Ed/NEd ≥ h

Aici, M0Ed este momentul de ordinul doi i h este în l imea sec iunii pe direc ia corespunz toare.

NOT - În cazul în care condi iile ce permit neglijarea efectelor de ordinul doi conform cu 5.8.2 (6) sau 5.8.3.3
sunt satisf cute la limit , neglijarea concomitent a efectelor de ordinul doi i a fluajului/curgerii lente poate
s nu fie destul de acoperitoare, cu excep ia cazului în care coeficientul mecanic de armare ( , a se vedea
5.8.3.1 (1)) este mai mare sau egal cu 0,25.

5.8.5 Metode de calcul

(1) Printre metodele de calcul se num r o metod general bazat pe o analiz neliniar de ordinul
doi (a se vedea 5.8.6) i cele dou metode simplificate de mai jos :

(a) metoda bazat pe rigiditatea nominal , a se vedea 5.8.7
(b) metoda bazat pe curbura nominal , a se vedea 5.8.8

NOTA 1 - Alegerea metodei simplificate (a) sau (b) ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa
na ional .
NOTA 2 - Momentul nominal de ordinul doi dat de metodele simplificate (a) i (b) este uneori mai mare ca
momentul corespunz tor instabilit ii. Aceasta are ca scop s se asigure compatibilitatea momentului total cu
rezisten a sec iunii.

(2) Metoda (a) poate fi utilizat atât pentru elemente izolate cât i pentru structuri, cu condi ia ca
rigiditatea nominal s fie estimat de manier corespunz toare; a se vedea 5.8.7.

(3) Metoda (b) este potrivit în special pentru elemente izolate; a se vedea 5.8.8. Totu i, utilizând
ipoteze realiste privitoare la distribu ia curburilor, metoda indicat la 5.8.8 poate fi utilizat pentru
structuri.

5.8.6 Metoda general

(1)P Metoda general este bazat pe o analiz neliniar incluzând neliniarit ile geometrice, adic
efectele de ordinul doi. Se aplic regulile generale pentru analiza neliniar indicate la 5.7 .

(2)P Curbele efort-deforma ie pentru beton i o el trebuie s fie adecvate unei analize globale. Se ine
seama de efectul fluajului/curgerii lente .

(3) Se pot utiliza rela iile efort-deforma ie ale betonului i o elului indicate de expresia (3.14) de la
3.1.5 respectiv de figura 3.8 de la 3.2.7. Folosind diagramele efort-deforma ie bazate pe valorile de
calcul, analiza furnizeaz direct o valoare de calcul a înc rc rii ultime. Pentru aceasta, în expresia
(3.14) i în expresia lui k, fcm se înlocuie te cu rezisten a de calcul la compresiune fcd i Ecm se
înlocuie te cu :

Ecd = Ecm / cE
(5.20)

64

SR EN 1992-1-1:2004

]
NOT - Valoarea lui cE ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa na ional . Valoarea
recomandat este cE = 1,2.

(4) în absen a unor modele mai rafinate, fluajul poate fi luat în calcul prin multiplicarea tuturor valorilor
deforma iilor diagramei efort-deforma ie a betonului de la 5.8.6 (3) printr-un factor (1 + ef), în care ef
este coeficientul efectiv de fluaj/curgere lent definit la 5.8.4.

(5) Se poate lua în calcul efectul favorabil al particip rii betonului întins.

NOT - Acest efect este favorabil i poate fi neglijat pentru simplificarea calculului.

(6) În mod normal, condi iile de echilibru i de compatibilitate al deforma iilor relative trebuie
satisf cute în mai multe sec iuni drepte. O op iune simplificatoare const în a nu lua în calcul decât
sec iunea (sec iunile) critic (critice) i a presupune o varia ie ra ional a curburii între aceste sec iuni
– varia ie asem n toare aceleia a momentului de ordinul unu, de exemplu, sau o alt varia ie
ra ional .

5.8.7 Metoda bazat pe rigiditatea nominal

5.8.7.1 Generalit i

(1) Într-o analiz de ordinul doi bazat pe rigiditate, se recomand s se utilizeze valorile nominale ale
rigidit ii la încovoiere, valori care in seama de efectele fisur rii, al neliniarit ii materialelor i al
fluajului/curgerii lente asupra comport rii globale. Aceasta se aplic ,de asemenea, elementelor ce
intervin în calcul– grinzi, pl ci sau funda ii, de exemplu. Dac este cazul, se ine seama de
interac iunea sol-structur .

(2) Momentul de calcul ce rezult se utilizeaz pentru dimensionarea sec iunilor la încovoiere cu for
axial a a cum se indic la 6.1.

5.8.7.2 Rigiditatea nominal

(1) Rigiditatea nominal a elementelor zvelte, cu sec iune oarecare, lucrând la compresiune, poate fi
calculat în modul urm tor:

EI = KcEcdIc + KsEsIs (5.21)

în care: este valoarea de calcul a modulului de elasticitate al betonului, a se vedea 5.8.6 (3)
Ecd este momentul de iner ie al sec iunii drepte
Ic este valoarea de calcul a modulului de elasticitate al o elului, a se vedea 5.8.6 (3)
Es este momentul de iner ie al sec iunii arm turilor fa de centrul de greutate al sec iunii
Is de beton
Kc este un coeficient ce ine seama de efectele fisur rii, al fluajului/curgerii lente etc.
Ks a se vedea 5.8.7.2 (2) sau (3)
este un coeficient ce ine seama de contribu ia arm turilor, a se vedea 5.8.7.2 (2) sau
(3).

(2) Dac ≥ 0,002 coeficien ii ce se utilizeaz în expresia (5.21) pot fi lua i cu valorile urm toare:

Ks = 1 (5.22)
Kc = k1k2 / (1 + ef)
în care:
este coeficientul de armare, As/Ac
As este aria total a sec iunii arm turilor
Ac este aria sec iunii de beton
ef este coeficientul efectiv de fluaj/curgere lent ; a se vedea 5.8.4
k1 este un coeficient care depinde de clasa de rezisten a betonului, conform expresiei (5.23)
k2 este un coeficient care depinde de efortul normal i de zvelte e, conform expresiei (5.24)

k1 = fck / 20 (MPa) (5.23)

65

SR EN 1992-1-1:2004

k2 = n ⋅ λ ≤ 0,20 (5.24)
170
în care:
n este for a axiala relativ , NEd / (Acfcd)
este coeficientul de zvelte e, a se vedea 5.8.3

Dac coeficientul de zvelte e nu este definit, k2 poate fi luat egal cu

k2 = n⋅0,30 ≤ 0,20 (5.25)

(3) O alternativ mai simpl este s se adopte, în expresia (5.21), dac ≥ 0,01 valorile urm toare:

Ks = 0 (5.26)
Kc = 0,3 (1 + 0,5 ef)

NOT - Aceast simplificare se poate adopta ca o prim itera ie, urmat apoi de un calcul mai exact a a cum
se indic la (2).

(4) În structurile static nedeterminate, se recomand s se in seama de efectele nefavorabile ale
fisur rii elementelor adiacente elementului considerat. Expresiile (5.21 … 5.26) nu se aplic , în
general, la acest tip de elemente. Este posibil s se in seama de o fisurare par ial i de participarea
betonului întins, de exemplu, în maniera indicat la 7.4.3. Totu i, pentru a simplifica, se poate admite
c sec iunile sunt în întregime fisurate. Rigiditatea se stabile te pe baza unui modul efectiv al
betonului :

Ecd,eff = Ecd/(1+ ef) (5.27)

în care: este valoarea de calcul a modulului de elasticitate, conform cu 5.8.6 (3)
Ecd este coeficientul efectiv de flambaj; se poate utiliza aceea i valoare ca pentru stâlpi.

ef

5.8.7.3 Coeficient de amplificare al momentelor

(1) Momentul total de calcul, incluzând momentul de ordinul doi, poate fi exprimat plecând de la
momentul rezultat din calculul de ordinul întâi cu expresia :

β
NB / NEd
( )M Ed = M 0Ed ⋅ 1 + −1 (5.28)

în care:
M0Ed este momentul de ordinul întâi, a se vedea 5.8.8.2 (2)
este un coeficient care depinde de distribu ia momentelor de ordinul unu i doi, a se
vedea 5.8.7.3 (2)-(3)
NEd este efort normal de calcul
NB este înc rcarea de flambaj bazat pe rigiditatea nominal .

(2) În cazul elementelor izolate cu sec iune constant supuse unei for e axiale constante, se poate
admite o distribu ie sinusoidal a momentului de ordinul doi. În aceste condi ii :

= π2 / c0 (5.29)

în care: i
c0 este un coeficient care depinde de distribu ia momentului de ordinul unu (de exemplu,
c0 = 8 pentru un moment de ordinul unu, constant, c0 = 9,6 pentru o distribu ie parabolic
c0 = 12 pentru o distribu ie triunghiular simetric etc.).

(3) În cazul elementelor care nu sunt supuse la înc rc ri transversale, momentele de cap t de ordinul
întâi cu valoare diferit M01 i M02, pot fi înlocuite cu un moment de ordinul unu echivalent M0e,
constant, a a cum se indic la 5.8.8.2 (2). Pentru coeren cu ipoteza unui moment de ordinul întâi
constant, se adopt c0 = 8.

NOT - Valoarea c0 = 8 se aplic , de asemenea, elementelor cu dubl curbur . De notat c în anumite

66

SR EN 1992-1-1:2004

cazuri, în func ie de zvelte e i for axial , momentul (momentele) de cap t poate fi mai mare decât
momentul majorat corespunz tor.

(4) Atunci când rela iile 5.8.7.3 (2) sau (3) nu se aplic , = 1 constituie în mod normal o simplificare
rezonabil . Expresia (5.28) poate fi, în aceste condi ii redus la :

M 0Ed
NEd / NB
( )M Ed = 1 − (5.30)

NOT - 5.8.7.3 (4) se aplic , de asemenea, calculului global al unor anumite tipuri de structuri – cum ar fi
structurile contravântuite cu pere i structurali sau analoge, de exemplu – unde solicitarea principal este
momentul încovoietor în elementele de contravântuire. Pentru alte tipuri de structuri, în anexa H (H.2) se
indic o abordare mai general .

5.8.8 Metoda bazat pe o curbur nominal

5.8.8.1 Generalit i

(1) Aceast metod se aplic în special la elemente izolate supuse la o for axial constant i având
o lungime efectiv dat l0 (a se vedea 5.8.3.2). Metoda furnizeaz un moment nominal de ordinul doi
bazat pe o deforma ie, aceasta fiind la rândul ei bazat pe lungimea efectiv i pe curbura maxim
estimat (a se vedea de asemenea 5.8.5 (4)).

(2) Momentul de calcul ce rezult este utilizat pentru dimensionarea sec iunilor la încovoiere cu for
axial a a cum se indic la 6.1.

5.8.8.2 Momente încovoietoare

(1) Momentul de calcul este :

MEd = M0Ed+ M2 (5.31)

în care:
M0Ed este momentul de ordinul întâi, ce include efectul imperfec iunilor, a se vedea,
de asemenea, 5.8.8.2 (2)
M2 este momentul nominal de ordinul doi, a se vedea 5.8.8.2 (3).

Valoarea maxim a lui MEd este indicat de distribu iile lui M0Ed i M2 ; distribu ia lui M2 pe lungimea
efectiv poate fi luat ca parabolic sau sinusoidal .

NOT - În cazul elementelor static nedeterminate, M0Ed este determinat pentru condi iile reale de cap t, în
timp ce M2 depinde de condi iile de cap t prin intermediul lungimii efective, a se vedea 5.8.8.1 (1).
(2) Momentele diferite de cap t M01 i M02 pot fi înlocuite cu un moment de cap t de ordinul întâi
echivalent M0e :

M0e = 0,6 M02 + 0,4 M01 ≥ 0,4 M02 (5.32)

Momentele M01 i M02 se iau de acela i semn dac provoac întindere pe aceea i fa i de semne
opuse în caz contrar. În plus, M02≥M01.

(3) Momentul nominal de ordinul doi M2 din expresia (5.31) este :

M2 = NEd e2 (5.33)

în care: este for a axial de calcul
NEd este deforma ia e2 = (1/r) lo2 / c
e2 este curbura, a se vedea 5.8.8.3
1/r este lungimea efectiv , a se vedea 5.8.3.2
lo coeficient care depinde de distribu ia curburilor, a se vedea 5.8.8.2 (4).
c

67

SR EN 1992-1-1:2004

(4) În cazul unei sec iuni constante, se adopt , în mod normal, c = 10 (≈ π2). Dac momentul de
ordinul întâi este constant, se recomand s se adopte o valoare mai mic (8 constituie o limit
inferioar , care corespunde unui moment total constant).

NOT - Valoarea π2 corespunde unei distribu ii sinusoidale a curburilor. În cazul unei curburi constante, c = 8.
De notat c c depinde de distribu ia curburii totale, în timp ce c0 în 5.8.7.3 (2) depinde de curbura
corespunzând doar momentului de ordinul întâi.

5.8.8.3 Curbura

(1) În cazul elementelor cu sec iune constant i simetric (inclusiv armarea), se poate adopta :

1/r = Kr⋅K ⋅1/r0 (5.34)

în care:
Kr este un coeficient de corec ie ce depinde de for a axial , a se vedea 5.8.8.3 (3)
K este un coeficient ce ine cont de fluaj, a se vedea 5.8.8.3 (4)
1/r0 = yd / (0,45 d)
yd = fyd / Es
d este în l imea util ; a se vedea de asemenea 5.8.8.3 (2).

(2) Dac toate arm turile nu sunt concentrate pe fe ele opuse, dar o parte este distribuit paralel cu
planul de încovoiere, d este definit prin:

d = (h/2) + is (5.35)
în care is este raza de gira ie a sec iunii totale a arm turilor. (5.36)
(3) Pentru Kr din expresia (5.34), se ia:

Kr = (nu − n)/(nu − nbal ) ≤ 1

în care: NEd / (Acfcd); for a axial relativ
n= este for a axial de calcul
NEd 1+
nu = este valoarea lui n corespunzând momentului capabil maxim; se poate presupune c
nbal nbal = 0,4
= As fyd / (Ac fcd)
As este aria total a sec iunii arm turilor
Ac este aria sec iunii drepte de beton.

(4) Se recomand s se in seama de efectul fluajului/curgerii lente prin intermediul coeficientului :

Kϕ = 1 + ef ≥ 1 (5.37)
în care:

ef este coeficientul efectiv de fluaj, a se vedea 5.8.4
= 0,35 + fck/200 - /150
este coeficientul de zvelte e, a se vedea 5.8.3.1.

5.8.9 Încovoiere oblic

(1) Metoda general descris la 5.8.6 poate de asemenea s fie utilizat i pentru încovoiere oblic .
Prevederile care urmeaz se aplic în cazul metodelor simplificate. Se acord o aten ie deosebit
identific rii combina iei de momente pentru care este dimensionat sec iunea elementului.

(2) O prim etap se poate consta în efectuarea unui calcul separat pe fiecare direc ie, f r a ine
seama de încovoierea oblic . Se ine seama de efectul imperfec iunilor numai pe direc ia unde au cel
mai defavorabil efect.

(3) Nu este necesar nici o verificare suplimentar dac coeficien ii de zvelte e satisfac urm toarele
dou condi ii :

68

SR EN 1992-1-1:2004

y/ z≤2 i z/ y≤2 (5.38a)
i excentricit ile relative ez/h i ey/b (a se vedea figura 5.7) satisfac una din condi iile urm toare :

ey / heq ≤ 0,2 i ez / beq ≤ 0,2 (5.38b)
ez / beq ey / heq

în care:
b, h sunt l imea i în l imea sec iunii

beq = iy ⋅ 12 1 i heq = iz ⋅ 12 pentru o sec iune rectangular echivalent

y, z sunt coeficien ii de zvelte e l0/i dup axa y i axa z respectiv
iy, iz sunt razele de gira ie dup axa y i axa z respectiv
ez = MEdy / NEd ; excentricitatea în direc ia z
ey = MEdy / NEd ; excentricitatea în direc ia y
MEdy este momentul de calcul în raport cu axa y, include momentul de ordinul doi
MEdz este momentul de calcul în raport cu axa z, include momentul de ordinul doi
NEd este for a axial ac ioneaz în combina ia de înc rc ri corespunz toare.

Figura 5.8 - Definirea excentricit ilor ey i ez
(4) Dac nu sunt satisf cute condi iile indicate de expresiile (5.38) se va ine seama de încovoierea
oblic prin integrarea efectelor de ordinul doi pe fiecare direc ie (dac nu pot fi neglijate conform cu
5.8.2 (6) sau 5.8.3). În absen a unei dimension ri exacte la încovoiere oblic a sec iunii, se poate
adopta urm torul criteriu simplificat :

M Edz a M Edy a (5.39)
M Rdz M Rdy
+ ≤1

în care: este momentul de calcul ce ac ioneaz în raport cu axa considerat , incluzând
MEdz/y momentul de ordinul doi;
MRdz/y este momentul capabil pe direc ia considerat ;
a este exponentul;

NEd pentru sec iuni circulare sau eliptice: a = 2 NEd/NRd 0,1 0,7 1,0
pentru sec iuni rectangulare: 1,0 1,5 2,0

a=

cu interpolare liniar pentru valori intermediare
for a axial de calcul

69

SR EN 1992-1-1:2004

NRd = Acfcd + Asfyd, for a axial capabil de calcul a sec iunii cu :
Ac aria brut a sec iunii
As aria sec iunii arm turilor longitudinale.

5.9 Instabilitatea lateral a grinzilor zvelte

(1)P Instabilitatea lateral a grinzilor zvelte trebuie luat în considerare atunci când aceasta este
necesar - de exemplu, în cazul grinzilor prefabricate, în cursul transportului i al montajului, în cazul
grinzilor insuficient contravântuite în structura finit , etc. Imperfec iunile geometrice trebuie luate în
considerare.

(2) La verificarea grinzilor necontravântuite se iau în calcul o deforma ie lateral egal cu l / 300, cu
l = lungimea total a grinzii, considerat ca o imperfec iune geometric . În structurile finite, se poate
ine seama de contravântuirea asigurat de elementele asamblate.

(3) Efectele de ordinul doi asociate instabilit ii laterale pot fi neglijate dac sunt satisf cute condi iile
urm toare :

( )- situa ii permanente :l0t ≤ 50 i h/b ≤ 2,5 (5.40a)
b h /b 1/3 (5.40b)

- situa ii tranzitorii : l0t ≤ 70 i h/b ≤ 3,5
b
(h / b)1/ 3

în care: este distan a între elementele care se opun r sucirii
l0t este în l imea total a grinzii în zona central a l0t
h este l imea t lpii comprimate.
b

(4) În calculul structurilor se va ine seama de torsiunea asociat instabilit ii laterale.

5.10 Elemente i structuri precomprimate

5.10.1 Generalit i

(1)P Acest standard trateaz precomprimarea aplicat betonului de arm turi supuse la întindere.

(2) Efectele precomprim rii pot fi luate în calcul ca o ac iune sau ca o rezisten cauzat printr-o
deformare i curbare ini iale. Capacitatea portant se calculeaz în consecin .

(3) În general, precomprimarea se introduce în combina iile de ac iuni definite în EN 1990, ca parte a
cazurilor de înc rcare i efectele ei sunt introduse în momentul i for a axial care ac ioneaz pe
sec iune.

(4) Dac ipotezele enun ate la (3) de mai sus, pentru verific rile de rezisten ale sec iunii, se
limiteaz contribu ia arm turilor pretensionate la ceea ce aduce rezisten a lor suplimentar dincolo de
precomprimare. Aceast contribu ie poate fi calculat în ipoteza c originea curbei efort-deforma ie a
arm turilor pretensionate este deplasat datorit precomprim rii.

(5)P Orice cedare fragil a elementului cauzat de ruperea arm turii pretensionate trebuie evitat .

(6) Pentru evitarea unei ced ri fragile, se aplic una sau mai multe dintre metodele de mai jos :

Metoda A: prevederea unei arm ri minime conform cu 9.2.1.

Metoda B: prevederea de arm turi aderente preîntinse.

Metoda C: asigurarea unui acces u or la elementele de beton precomprimat pentru a se putea verifica
i controla starea arm turilor prin metode nedistructive sau printr-o supraveghere corespunz toare.

Metoda D: demonstrarea de manier satisf c toare a fiabilit ii arm turilor pretensionate.

70

SR EN 1992-1-1:2004

Metoda E: garantarea c , dac s-ar produce o cedare, fie datorit unei cre teri a înc rc rilor, fie
datorit unei reduceri a precomprim rii, sub combina ia de înc rc ri frecvente, fisurarea s-ar produce
înainte de atingerea rezisten ei ultime, inând seama de redistribuirea momentelor datorit fisur rii.

NOT - Metodele care se folosesc într-o ar dat pot fi indicate în anexa na ional .

5.10.2 For a de pretensionare în timpul întinderii arm turilor

5.10.2.1 For a de pretensionare maxim

(1)P For a aplicat arm turii pretensionate Pmax (for a aplicat la cap tul activ în timpul tension rii) nu
trebuie s dep easc a valoarea urm toare :

Pmax = Ap ⋅ p,max (5.41)

în care:
Ap este aria sec iunii arm turilor pretensionate
p,max este efortul maxim aplicat arm turii
= min {k1· fpk ; k2· fp0,1k}

NOT - Valorile lui k1 i k2 ce se utilizeaz într-o ar dat pot fi furnizate de anexa na ional . Valorile
recomandate sunt k1 = 0,8 i k2 = 0,9.

(2) Aplicarea unei for e de precomprimare mai mare se admite cu condi ia ca for a aplicat de pres
s poat fi m surat cu exactitate de ± 5 % din valoarea final a for ei de precomprimare. În acest
caz, For a de pretensionare maxim Pmax poate cre te pân la k3· fp0,1k (de exemplu în cazul
arm turilor preîntinse pe standuri lungi, când se produce o frecare puternic nea teptat ).

NOT - Valorile k3 ce se utilizeaz într-o ar dat pot fi furnizate de anexa na ional . Valoarea recomandat
este k3 = 0,95.

5.10.2.2 Limitarea eforturilor unitare în beton

(1)P Zdrobirea sau despicarea betonului la capetele elementelor de beton precomprimat cu arm tur
preintins sau postintins trebuie evitat .

(2) Se evit zdrobirea sau despicarea local a betonului sub ancorajele arm turilor postintinse
conform Agrementului Tehnic European respectiv.

(3) Rezisten a betonului în momentul aplic rii precomprim rii sau al transferului nu este mai mic
decât valoarea minim definit în Agrementul Tehnic European respectiv.

(4) Dac pretensionarea se aplic în etape, armatur cu arm tur , rezisten a cerut pentru beton
poate fi redus . Rezisten a minim fcm(t) la timpul t este egal cu k4 [%] din rezisten a betonului cerut
pentru pretensionarea integral precizat în Agrementul Tehnic European. Între rezisten a minim i
rezisten a betonului cerut pentru pretensionarea integral , valoarea poate fi interpolat între k5 [%] i
100% din for a de pretensionarea integral .

NOT - Valorile k4 i k5 ce se utilizeaz într-o ar dat pot fi furnizate de anexa na ional . Valorile
recomandate sunt k4 = 50% i k5 = 30%.
(5) Se stabile te s se limiteze efortul de compresiune în betonul din structur datorat for ei de
precomprimare precum i altor înc rc ri ce ac ioneaz în timpul tension rii transferului efortului de
pretensionare:

c ≤ 0,6 fck(t) (5.42)

în care fck(t) este rezisten a caracteristic la compresiune a betonului la timpul t la care se aplic
for a de precomprimare.

71

SR EN 1992-1-1:2004

În elementele de beton precomprimat cu arm tur preîntins , efortul în momentul transferului poate fi
m rit pân la valoarea k6· fck(t), dac se poate demonstra prin încerc ri sau prin experien c
fisurarea longitudinal este evitat .

NOT - Valoarea k6 ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa na ional . Valoarea
recomandat este k6 = 0,7.

Dac efortul de compresiune dep e te în permanen 0,45 fck(t), se ine seama de ne-liniaritatea
fluajului/curgerii lente .

5.10.2.3 M sur ri

(1)P În cazul pretension pretensionarea integral rii prin postîntindere, for a de pretensionare i
alungirea corespunz toare a arm turii trebuie verificate prin m sur ri, iar pierderile reale de efort
datorit frec rii trebuie controlate.

5.10.3 For a de precomprimare

(1)P La un timp precizat t i la o distan (sau lungime de arc) indicat x de extremitatea activ a
arm turii pretensionate , For a de pretensionare medie probabil Pm,t(x) este egal cu for a maxim
Pmax aplicat la cap tul activ din care se scad pierderile instantanee i pierderile dependente de timp
(a se vedea în continuare). Toate pierderile se iau în valoare absolut .

(2) Valoarea for ei de precomprimare ini iale Pm0(x) (la timpul t = t0) aplicat betonului imediat dup
întinderea arm turilor i fixarea ancorajelor (precomprimare prin postîntindere) sau dup transferul
for ei de precomprimare (precomprimare prin preîntindere) se ob ine sc zând din for a de întindere
Pmax pierderile instantanee ∆Pi(x) i nu dep esc valoarea urm toare :

Pm0(x) = Ap ⋅ pm0(x) (5.43)

în care:
pm0(x) este efortul în arm tur imediat dup întindere sau transfer

= min { k7· fpk ; k8· fp0,1k }

NOT - Valorile lui k7 i k8 ce se utilizeaz într-o ar dat pot fi furnizate de anexa na ional . Valorile
recomandate sunt k7 = 0,75 i k8 = 0,85.

(3) La determinarea pierderilor instantanee ∆Pi(x), se iau în considerare, la precomprimarea prin
preîntindere sau postîntindere, dup caz, urm toarele pierderi instantanee (a se vedea 5.10.4 i
5.10.5):

- pierderi datorate deform rii elastice a betonului ∆Pel
- pierderi datorate relax rii pe termen scurt ∆Pr
- pierderi datorate au frec rii ∆Pµ(x)
- pierderi datorate lunec rii în ancoraje ∆Psl

(4) Valoarea medie a for ei de precomprimare Pm,t(x) la momentul t > t0 se determin în func ie de
metoda de precomprimare. În plus fa de pierderile instantanee indicate la (3), se iau în considerare
pierderile dependente de timp ∆Pc+s+r(x) (a se vedea 5.10.6) rezultate datorit fluajului/curgerii lente i
contrac iei betonului, pe de-o parte i datorit relax rii pe termen lung pe de alt parte i
Pm,t(x) = Pm0(x) - ∆Pc+s+r(x).

5.10.4 Pierderi instantanee în cazul pretension rii prin preîntindere

(1) Se iau în considerare urm toarele pierderi care se produc în timpul tension rii arm turilor :

(i) în timpul procesului de tensionare: pierdere datorit frec rii la nivelul deflectorilor (în cazul
sârmelor sau toroanelor curbe) i pierderi datorit lunec rii în ancoraje ;

(ii) înainte de transferul for ei de pretensionare la beton: pierdere datorit relax rii arm turilor în
perioada dintre pretensionare i transfer;

72

SR EN 1992-1-1:2004

NOT - În cazul unui tratament termic, pierderile datorit contrac iei i relax rii sunt modificate i sunt
calculate inând seama de aceasta;se recomand , de asemenea, s se in seama de efectele termice directe
(a se vedea anexa D).

(iii) în momentul transferului for ei de pretensionare la beton: pierdere datorit deforma iei elastice
a betonului, ce rezult din ac iunea arm turilor pre-întinse eliberate din ancoraje, asupra betonului.

5.10.5 Pierderi instantanee în cazul precomprim rii prin postîntindere

5.10.5.1 Pierderi datorit deforma iei instantanee a betonului

(1) Se ia în calcul pierderea de tensiune corespunz toare deforma iei betonului datorat întinderii
succesive a arm turilor.

(2) Aceast pierdere, Pel , poate fi calculat ca o pierdere medie în fiecare arm tur cu rela ia :

∆Pel = Ap ⋅ Ep ⋅ j ⋅ ∆σc (t) (5.44)
Ecm (t)
în care:
∆ c(t) este varia ia efortului în centrul de greutate al arm turilor la timpul t
j este un coeficient egal cu
(n -1)/2n în care n, este num rul de arm turi identice întinse succesiv. Aproximativ, se
poate lua j = 1/2
1 pentru varia ii datorate ac iunilor permanente aplicate dup precomprimare.

5.10.5.2 Pierderi datorit frec rii

(1)Pierderile ∆Pµ(x) în arm turile post-întinse datorit frec rii pot fi estimate cu rela ia:

∆P (x) = Pmax (1 – e - ( + kx)) (5.45)

în care: este suma devia iilor unghiulare pe distan a x (indiferent de direc ia i semnul lor)
este coeficientul de frecare între arm tur i canal (canal)
k este devia ia unghiular accidental pentru arm turi interioare (pe unitate de
x lungime)
este la distan a, în lungul arm turii, de la punctul unde For a de pretensionare este
egal cu Pmax (for a la cap tul activ în timpul tension rii)

Valorile lui i k sunt indicate în Agrementul Tehnic European corespunz tor. Valoarea lui depinde
de caracteristicile de suprafa ale arm turilor i ale canalului, de prezen a sau nu a ruginii, de
alungirea arm turii i de profilul ei.

Valoarea lui k pentru devia ia unghiular accidental depinde de calitatea execu iei, de distan a între
punctele de reazem ale arm turii, de tipul de canal sau de canal i de intensitatea vibr rii utilizate în
timpul turn rii betonului.

(2) În lipsa unor indicate furnizate de un Agrement Tehnic European, se pot utiliza, în expresia (5.45),
valorile lui indicate în tabelul 5.1.

(3) În lipsa unor indicate furnizate de un Agrement Tehnic European, valorile devia iilor unghiulare
accidentale k pentru arm turi interioare sunt in general 0,005 < k < 0,01 pe metru.
(4) Pentru arm turile pretensionate exterioare, pierderile din precomprimare datorit devia iilor
unghiulare accidentale pot fi neglijate.

73

SR EN 1992-1-1:2004

Tabelul 5.1 - Coeficien i de frecare pentru Arm turi pretensionate post-întinse - arm turi
interioare i arm turi exterioare neaderente

Arm turi Arm turi exterioare (ne-aderente)
interioare1) Canal de Canal de Canal de o el/ Canal de
o el/ HDPE/ uns HDPE/
neuns neuns uns
Sârm trefilat la rece 0,17 0,25 0,14 0,18
Toron 0,19 0,24 0,12 0,16 0,12
Bare striate 0,65 - - - 0,10
Bare lise 0,33 - - -
1) în cazul arm turilor care ocup aproximativ jum tate din sec iunea canalului -
-

NOT - HDPE – polietilen de înalt densitate.
5.10.5.3 Pierderi în ancoraje

(1) În calcul se ine seama de pierderile de tensiune datorit lunec rii în ancoraje în timpul opera iei de
ancorare dup întinderea arm turilor, ca i de pierderile datorit deform rii ancorajului însu i.

(2) Valorile lunec rii sunt indicate în Agrementul Tehnic European.

5.10.6 Pierderi dependente de timp pentru arm turi pre i postîntinse

(1) Pierderile dependente de timp se calculeaz considerând urm toarele dou cauze :
(a) pierderi datorit reducerii alungirii arm turilor cauzate de deformarea betonului din fluaj/curgere
lent i contrac ie, sub înc rc ri permanente;
(b) pierderi cauzate de reducerea efortului în arm tur datorit relax rii.

NOT - Relaxarea o elului depinde de deforma ia relativ a betonului din contrac ie i fluaj. Aceast
interac iune poate fi luat în calcul de manier general i aproximativ prin intermediul unui coeficient de
reducere de 0,8.
(2) O metod simplificat pentru evaluarea pierderilor dependente de timp la abscisa x sub înc rc ri
permanente este indicat de expresia (5.46).

[( ) ( )]∆Pc+s+r 0.8∆σ pr Ep
εcs E p + + Ecm ⋅ϕ t,t0 ⋅σ c,QP
⋅ 1 + 0,8ϕ t,t0
= σA ∆p p,c+ s +r = Ap ⋅ Ep Ap Ac (5.46)
1+ Ecm Ac Ic
⋅ 1+ ⋅ zc2p

în care:

∆σp,c+s+r este valoarea absolut a varia iei efortului în arm turi la abscisa x, la
momentul t, din fluaj, contrac ie i relaxare;
cs este valoarea estimat a contrac iei, a a cum se indic la 3.1.4(6), în valoare
absolut ;
Ep este modulul de elasticitate al o elului de precomprimare, a se vedea 3.3.3(9)
Ecm este modulul de elasticitate al betonului (tabelul 3.1);
∆ pr este valoarea absolut a varia iei efortului în arm turi la abscisa x, la
momentul t, din relaxare. Se determin pentru un efort;
p = p(G+Pm0+ 2Q)
(t,t0 ) în care p = p(G+Pm0+ 2Q) este efortul ini ial în arm turi datorit for ei de
precomprimare ini iale i înc rc rilor cvasipermanente
c,QP este coeficientul de fluaj/curgere lent la momentul t, pentru o înc rcare la
timpul t0

este efortul în beton în vecin tatea arm turilor, sub ac iunea greut ii proprii i
a for ei de precomprimare ini iale ca i a altor înc rc ri cvasipermanente,
dup
caz. Valoarea lui c,QP poate rezulta pe de-o parte din greutatea proprie i din
For a de pretensionare ini ial sau din combina ia cvasipermanent de
înc rc ri considerat în totalitatea ei, ( c(G+Pm0+ 2Q)), dup faza de
construc ie considerat .
Ap este aria sec iunii tuturor arm turilor pretensionate la abscisa x
Ac este aria sec iunii beton

74

SR EN 1992-1-1:2004

Ic este momentul de iner ie ale sec iunii de beton
zcp este distan a dintre centrul de greutate al sec iunii de beton i arm turile de

precomprimare

Eforturile de compresiune i deforma iile relative corespunz toare au în expresia (5.46) semn pozitiv.

(3) Expresia (5.46) se aplic arm turilor pretensionate aderente cu valorile locale ale eforturilor; pentru
arm turi neaderente ea se aplic cu valorile medii ale eforturilor. Valorile medii se calculeaz între
sec iuni drepte definite prin punctele de inflexiune teoretice ale arm turii, pentru precomprimarea
exterioar sau pe toat lungimea arm turii pentru precomprimare interioar .

5.10.7 Considerarea precomprim rii în analiza structural
(1) Precomprimarea exterioar poate genera momente de ordinul doi.
(2) În structurile static nedeterminate pot apare momente din efectele secundare ale precomprim rii.
(3) În analiza liniar trebuie considerate atât efectele primare cât i efectele secundare ale
precomprim rii, înainte de a lua în considerare orice redistribuire de for e i de momente
(a se vedea 5.5).
(4) În analiza plastic i în analiza ne-liniar , efectele secundare ale precomprim rii pot fi tratate ca
rota ii plastice adi ionale ce trebuie introduse în verificarea capacit ii de rota ie.
(5) Se poate admite existen a unei aderen e totale între o el i beton dup injectarea canalelor
arm turilor post-întinse. Totu i, înainte de injectare arm turile sunt considerate neaderente.
(6) Se poate admite c arm turile exterioare sunt rectilinii între deflectori.

5.10.8 Efectele precomprim rii la starea limit ultim

(1) În general, valoarea de calcul a for ei de precomprimare poate fi determinat cu rela ia
Pd,t(x) = P· Pm,t(x) (a se vedea 5.10.3 (4) pentru definirea lui Pm,t(x) i 2.4.2.2 pentru P).

(2) În cazul elementelor precomprimate cu arm turi permanent neaderente, este în general necesar
s se ia în considerare deforma ia întregului element atunci când se calculeaz cre terea efortului în
o el. În lipsa unui calcul mai detaliat, se poate admite c cre terea efortului de la precomprimarea
efectiv pân la efortul de la starea limit ultim este ∆ p,ULS.

NOT - Valoarea lui ∆ p,ULS ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa na ional . Valoarea
recomandat este ∆ p,ULS = 100 MPa.

(3) Dac cre terea efortului se calculeaz utilizând starea de deforma ie a întregului element, se
utilizeaz valorile medii ale propriet ilor materialelor. Valoarea de calcul a cre terii de efort
∆ pd = ∆ p⋅ ∆P se ob ine aplicând succesiv coeficien ii par iali ∆P,sup i ∆P,inf.

NOT - Valorile ∆P,sup i ∆P,inf ce se utilizeaz într-o ar dat pot fi furnizate de anexa na ional . Valorile
recomandate sunt ∆P,sup = 1,2 i ∆P,inf = 0,8. Dac se face un calcul cu sec iuni nefisurate, se poate admite o
valoare limit inferioar a deforma iilor, iar valoarea recomandat este ∆P,sup = ∆P,inf = 1,0.

5.10.9 Efectele precomprim rii la starea limit de serviciu i la starea limit de oboseal

(1)P Calculele la starea limit de serviciu trebuie s in seama de varia iile posibile ale for ei de
precomprimare. Se definesc dou valori caracteristice ale for ei de precomprimare la starea limit se
serviciu :

Pk,sup = rsup Pm,t (x) (5.47)
Pk,inf = rinf Pm,t(x) (5.48)
în care:

Pk,sup este valoarea caracteristic superioar
Pk,inf este valoarea caracteristic inferioar .

NOT - Valorile lui rsup i rinf ce se utilizeaz într-o ar dat pot fi furnizate de anexa na ional . Valorile
recomandate sunt urm toarele :
- pentru arm turi preîntinse i arm turi neaderente : rsup = 1,05 i rinf = 0,95

75

SR EN 1992-1-1:2004

- pentru arm turi post-întinse cu arm turi aderente : rsup = 1,10 i rinf = 0,90
- când se iau m suri corespunz toare (de exemplu m surarea direct a for ei de pretensionare) :

rsup = rinf = 1,0.
5.11 Calculul pentru anumite elemente structurale particulare
(1)P Pl cile ce rezem direct pe stâlpi sunt definite ca plan ee dal .
(2)P Pere ii de contravântuire sunt pere i de beton simplu sau de beton armat ce contribuie la
stabilitatea lateral a structurii.
NOT - Pentru informa ii privind calculul plan eelor dal i a pere ilor de contravântuire, a se vedea anexa I.

76

SR EN 1992-1-1:2004
Sec iunea 6 St ri limit ultime (SLU)
6.1 Încovoiere cu sau f r for axial

(1)P Prezenta sec iune se aplic zonelor f r discontinuit i ale grinzilor, pl cilor i a altor elemente
similare ale c ror sec iuni r mân aproximativ plane înainte i dup înc rcare. Dimensionarea i
alc tuirea constructiv a zonelor f r discontinuitate a grinzilor i pl cilor ale c ror sec iuni nu r mân
plane dup înc rcare, pot fi efectuate conform 6.5.
(2)P Determinarea momentului capabil ultim al sec iunilor drepte de beton armat sau de beton
precomprimat se bazeaz pe ipotezele urm toare :

- sec iunile plane r mân plane
- arm turile aderente (arm turi pentru beton armat sau arm turi pretensionate), fie c sunt

întinse sau comprimate, sufer acelea i deforma ii relative ca betonul adiacent
- rezisten a la întindere a betonului este neglijat
- eforturile în betonul comprimat se deduc din diagrama efort-deforma ie de calcul indicat la 3.1.7
- eforturile în arm turile pentru beton armat sau pentru beton precomprimat se deduc din

diagramele de calcul indicate la 3.2 (figura 3.8) i în 3.3 (figura 3.10)
- evaluarea eforturilor din arm turile pretensionate ine seama de deforma ia lor relativ

ini ial .
(3)P Deforma ia la compresiune a betonului trebuie limitat la cu2, sau cu3, dup diagrama efort-
deforma ie utilizat - a se vedea 3.1.7 i tabelul 3.1. Deforma iile arm turilor pentru beton armat i
beton precomprimat trebuie limitate la ud dac aceast limit exist ; a se vedea 3.2.7 (2) i 3.3.6 (7)
respectiv.
(4) în cazul sec iunilor drepte cu armare simetric , supuse la un efort de compresiune, se adopt o
excentricitate minim e0 = h/30, sau 20 mm dac aceast valoare este mai mare, h este în l imea
sec iunii.
(5) În zonele sec iunilor care sunt supuse la o înc rcare aproximativ centric (e/h < 0,1), cum ar fi
placa comprimat a grinzilor chesonate, se limiteaz deforma ia medie la compresiune în aceast
parte a sec iunii la c2 (sau c3 dac se utilizeaz rela ia biliniar din figura 3.4).
(6) Valorile limit ale deforma iilor relative admise sunt prezentate în figura 6.1.
(7) Pentru elemente de beton precomprimat cu arm turi permanent neaderente, a se vedea 5.10.8.
(8) În cazul arm turilor pretensionate exterioare, se admite c deforma ia arm turii între dou puncte
de contact consecutive (ancoraje sau piese de deflectare) este constant . Deforma ia arm turii este
egal cu deforma ia relativ ini ial , ob inut imediat dup terminarea întinderii, majorat cu
deforma ia ce rezult din deformarea structurii între zonele de contact considerate.
A se vedea de asemenea 5.10.

A – deforma ia limit la întindere a arm turii
B - deforma ia limit la compresiune a betonului
C - deforma ia limit la compresiune pur a betonului

Figura 6.1 - Diagrama deforma iilor admise la starea limit ultim
77

SR EN 1992-1-1:2004

6.2 For t ietoare

6.2.1 Metod general de verificare

(1)P Pentru verific ri de rezisten la for t ietoare se definesc urm toarele :

VRd,c este for a t ietoare capabil de calcul a elementelor f r arm turi pentru for a
VRd,s t ietoare
VRd,max este for a t ietoare de calcul care poate fi preluat de arm tura pentru for , la
curgere
este valoarea de calcul a for ei t ietoare maxime ce poate fi preluat de element,
înainte de zdrobirea bielelor comprimate

La elemente cu în l ime variabil , se definesc de asemenea (a se vedea figura 6.2) :

Vccd este valoarea de calcul a componentei pe direc ia for ei t ietoare a for ei de
compresiune, în cazul unui element cu talpa comprimat înclinat

Vtd este valoarea de calcul a componentei pe direc ia for ei t ietoare a for ei din arm tura
întins , în cazul unui element cu talpa întins înclinat .

Figura 6.2 - Componentele pe direc ia for ei t ietoare în cazul elementelor cu în l ime
variabil

(2) Rezisten a la for t ietoare a unui element prev zut cu arm turi pentru for t ietoare este egal
cu :

VRd = VRd,s + Vccd + Vtd (6.1)

(3) În zonele elementului în care VEd ≤ VRd,c, nu sunt necesare arm turi rezultate din calcul. VEd este
for a t ietoare de calcul în sec iunea considerat , provenind din înc rc rile exterioare aplicate i din
precomprimare (armaturi aderente sau nu).

(4) Chiar dac nu sunt necesare arm turi pentru for t ietoare, se prevede o arm tur transversal
minim a a cum se indic la 9.2.2. Aceast arm tur minim se poate omite la elemente cum ar fi
pl cile (pline, nervurate sau chesonate) atunci când este posibil redistribuirea transversal a
înc rc rilor. Arm tura minim poate, de asemenea, lipsi la elemente secundare (de exemplu la
buiandrugi cu deschidere ≤ 2 m ) care nu contribuie de manier semnificativ la rezisten a i
stabilitatea ansamblului structurii.

(5) În zonele în care VEd > VRd,c (VRd,c indicat în expresia (6.2)), se prev d arm turi pentru for
t ietoare astfel încât VEd ≤ VRd (a se vedea expresia (6.8)).

(6) Suma dintre for a t ietoare de calcul i contribu iile t lpilor, VEd - Vccd - Vtd, trebuie s fie mai mic
sau egal cu valoarea maxim admis VRd,max (a se vedea 6.2.3) în orice punct al elementului.
(7) Arm turile longitudinale întinse trebuie s fie capabile s preia for a de întindere suplimentar
generat de for a t ietoare (a se vedea 6.2.3 (7)).

78

SR EN 1992-1-1:2004

(8) În cazul elementelor supuse preponderent la înc rc ri uniform distribuite, nu este necesar s se
fac verific ri la for t ietoare la o distan de fata reazemului mai mic decât d. Arm turile pentru
for t ietoare necesare, se duc pân în dreptul reazemului. De asemenea, se verific faptul c for a
t ietoare pe reazem nu dep e te VRd,max (a se vedea de asemenea 6.2.2 (6) i 6.2.3 (8)).
(9) Atunci când la partea inferioar a elementului se aplic înc rc ri, este necesar s se prevad , în
plus fa de arm tura pentru for t ietoare, arm turi verticale suficiente pentru a transmite înc rcarea
la partea superioar .

6.2.2 Elemente ce nu necesit arm turi de calcul la for t ietoare

(1) For a t ietoare capabil de calcul V Rd,c este indicat de : (6.2.a)

[ ( ) ]VRd,c = CRd,ck 100ρl fck 1/ 3 + k1σ cp bwd

cu o valoare minim (6.2.b)

( )VRd,c = vmin + k1σ cp bwd

expresii în care :

fck este în MPa

k =1+ 200 ≤ 2,0 k = 2,0 cu d în mm
d

ρl = Asl ≤ 0,02
bwd

Asl este aria sec iunii arm turilor întinse, prelungite pe o lungime ≥ (lbd + d) dincolo de
sec iunea considerat (a se vedea figura 6.3)

bw este cea mai mic l ime a sec iunii în zona întins , în mm
cp = NEd/Ac < 0,2 fcd în MPa
NEd este for a axial ac ionând pe sec iune, datorit înc rc rilor exterioare aplicate
i/sau precomprim rii, în newtoni (NEd>0 pentru compresiune). Influen a deforma iilor
impuse asupra N E poate fi neglijat
AC este aria sec iunii drepte a betonului, în mm2
VRd,c în Newtoni.

NOT - Valorile lui CRd,c, vmin i k1 ce se utilizeaz într-o ar dat pot fi furnizate în anexa na ional . Valoarea
recomandat pentru CRd,c este 0,18/ c, valoarea recomandat pentru vmin este indicat de expresia (6.3N) i
valoarea recomandat pentru k1 este 0,15.

vmin =0,035 k3/2 ⋅ fck1/2 (6.3N)

A - sec iunea considerat
Figura 6.3 - Definirea Asl în expresia (6.2)
(2) Pentru elemente de beton precomprimat cu o singur travee, care nu au arm tur pentru for
t ietoare, for a t ietoare capabil în zone fisurate la încovoiere poate fi calculat cu expresia (6.2a). În
zonele nefisurate la încovoiere (în care efortul de întindere din încovoiere este mai mic decât
fctk,0,05/ c), se limiteaz capacitatea la for t ietoare prin rezisten a la întindere a betonului. În aceste
zone for a t ietoare capabil este indicat de :

79

SR EN 1992-1-1:2004

l ⋅ bw fctd 2 + αl ⋅σ cp ⋅ fctd
( )VRd,c=S ⋅ (6.4)

în care:
I este momentul de iner ie
bw este l imea sec iunii la nivelul centrului de greutate, prezen a canalelor fiind luat în
calcul conform expresiilor (6.16) i (6.17)
S este momentul static al suprafe ei situate deasupra axei ce trece prin centrul de
greutate, în raport cu aceast ax

αl = lx / lpt2 ≤ 1,0 pentru arm turi preîntinse

= 1,0 pentru alte tipuri de arm turi pt. beton precomprimat
lx este distan a de la sec iunea considerat la originea lungimii de transmitere
lpt2 este limita superioar a lungimii de transmitere a arm turii conform expresiei (8.18)

cp este efortul de compresiune în beton la nivelul centrului de greutate sub for a axial
datorit înc rc rilor i/sau precomprim rii ( cp = NEd /Ac în MPa, NEd > 0 la
compresiune)

Pentru sec iunile drepte la care l imea variaz în func ie de în l ime, efortul principal poate fi maxim
în alt loc decât la nivelul centrului de greutate. În acest caz, valoarea minim a for ei t ietoare capabile
se stabile te calculându-se VRd,c fa de diferite axe ale sec iunii.
(3) Calculul de rezisten la for t ietoare conform expresiei (6.4), nu este necesar pentru sec iuni
situate între reazem i punctul ob inut din intersec ia dintre axa centrului de greutate i o dreapt care
pleac de la fa a interioar a reazemului sub un unghi de 45°.

(4) În cazul general al elementelor supuse la încovoiere cu for axial , despre care se poate
demonstra c nu sunt fisurate la SLU, a se vedea 12.6.3.

(5) Pentru calculul arm turilor longitudinale, în zonele fisurate din încovoiere, se decaleaz curba
înf ur toare a momentelor cu distan a al = d în direc ia defavorabil (a se vedea 9.2.1.3 (2)).

(6) Pentru elemente înc rcate la partea superioar , la o distan av de la fa a reazemului (sau de la
axul aparatului de reazem, dac acesta este flexibil) astfel ca 0,5d ≤ av < 2d, contribu ia acestei
înc rc ri la for a t ietoare VEd poate fi multiplicat cu = av / 2d. Reducerea se poate aplica în
verificarea lui VRd,c în expresia (6.2a). Reducerea se poate aplica doar dac arm turile longitudinale
sunt ancorate la capacitate în dreptul reazemului.
Pentru av ≤ 0,5d , în calcul se ia av =0,5d.

For a t ietoare VEd calculat f r aplicarea factorului de reducere , satisface condi ia :

VEd ≤ 0,5 bw d fcd (6.5)

În care este factorul de reducere a rezisten ei betonului fisurat la for t ietoare.

NOT - Valoarea lui ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat în anexa na ional . Valoarea
recomandat este indicat de:

ν = 0,6 1− fck (fck în MPa) (6.6N)
200

(a) Grind cu reazem simplu (b) Consol scurt

Figura 6.4 - Înc rc ri aplicate în vecin tatea reazemelor

80

SR EN 1992-1-1:2004

7) Ca o alternativ , grinzile cu înc rc ri aplicate în vecin tatea reazemelor pot fi proiectate utilizând
modele bazate pe metoda grinzii cu z brele. În acest caz se aplic 6.5
6.2.3 Elemente la care sunt necesare arm turi pentru for a t ietoare
(1) Calculul elementelor cu arm turi pentru for t ietoare se bazeaz pe un model de grind cu
z brele (figura 6.5). Valorile limit ale unghiului al bielelor înclinate sunt indicate la 6.2.3 (2).
Simbolurile ce apar în figura 6.5 sunt :

este unghiul între arm turile de for t ietoare i axul grinzii perpendicular pe direc ia for ei
t ietoare (m surat pozitiv a a cum se indic în figur )

este unghiul între biela comprimat i axul grinzii perpendicular pe direc ia for ei t ietoare
Ftd este valoarea de calcul a for ei de întindere din arm tura longitudinal
Fcd este valoarea de calcul al for ei de compresiune în beton pe direc ia axului longitudinal al
elementului
bw este l imea minim a sec iunii cuprinse între fibra întins i fibra comprimat
z este bra ul de pârghie al for elor interne , la un element de în l ime constant , corespunz tor

momentului încovoietor al elementului. Pentru calculul la for t ietoare a unei sec iuni de
beton armat f r for axial , se poate, în mod normal, adopta valoarea aproximativ z = 0,9d
La elementele cu Arm turi pretensionate înclinate, se prev d arm turi longitudinale la fa a întins
pentru a prelua for a de întindere longitudinal datorat for ei t ietoare, definit de expresia (6.18).

A – fibra comprimat B - biele C – fibra întins D – arm turi de for t ietoare

Figura 6.5 - Modelul de grind cu z brele i nota iile în cazul elementelor cu
arm turi pentru for t ietoare

2) Unghiul trebuie limitat .

NOT - Valorile limit pentru ctg ce se utilizeaz într-o ar dat pot fi furnizate de anexa na ional . Limitele
recomandate sunt indicate de expresia (6.7N).

1 ≤ ctg ≤ 2,5 (6.7N)

(3) Pentru elemente cu arm turi verticale pentru for t ietoare rezisten a la for t ietoare VRd este
cea mai mic dintre valorile de mai jos :

81

SR EN 1992-1-1:2004

VRd ,s = ASW ⋅z⋅ f ywd ⋅ ctgθ (6.8)
s
NOT - Dac se utilizeaz expresia (6.10), se poate reduce valoarea fywd la 0,8 fywk în expresia (6.8).

i (6.9)
V Rd,max = cw bw z 1 fcd/(ctg + tg )

în care: este aria sec iunii arm turilor pentru for t ietoare
Asw este distan a dintre etrieri
s este rezisten a de calcul a arm turilor pentru for t ietoare
fywd este un coeficient de reducere a rezisten ei betonului fisurat la for t ietoare
este un coeficient care ine seama de starea de efort în fibra comprimat
1
cw

NOTA 1 - Valoarea lui 1 care se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa na ional . Valoarea
recomandat pentru 1 este (a se vedea expresia (6.6N)) .

NOTA 2 - Pentru elementele din beton armat sau din beton precomprimat, dac efortul de calcul în arm turile
pentru for t ietoare este mai mic de 80 % din limita caracteristic de elasticitate fyk, se poate adopta pentru 1 :

1 = 0,6 pentru fck ≤ 60 MPa (6.10.aN)
1 = 0,9 – fck /200 > 0,5 pentru fck > 60 MPa (6.10.bN)

NOTA 3 - Valoarea cw ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de Anexa Na ional . Valoarea
recomandat pentru cw este :

1 pentru structuri f r precomprimare
(1 + cp/fcd) pentru 0 < cp ≤ 0,25 fcd (6.11.aN)
1,25 pentru 0,25 fcd < cp ≤ 0,5 fcd (6.11.bN)
2,5 (1 - cp/fcd) pentru 0,5 fcd < cp < 1,0 fcd (6.11.cN)
în care:
cp este efortul de compresiune mediu în beton datorit for ei axiale de calcul m surate pozitiv. Acesta
se ob ine f cându-se o medie pe toat sec iune de beton, inând seama de arm turi. Nu este necesar
s se calculeze cp la o distan mai mic de 0.5d ctg de la fa a reazemului .

NOTA 4 - Aria efectiv maxim a sec iunii arm turilor pentru for t ietoare Asw,max pentru ctg = 1, este
indicat de : (6.12)
A fsw,max ywd
bw ⋅ s ≤ 0,5αcwν1 fcd

(4) În cazul elementelor cu arm turi înclinate, for t ietoare capabil este cea mai mic din valorile de
mai jos :
Asw
VRd ,s s z ⋅ f ywd (ctgθ + ctgα )sinα (6.13)

i
( )VRd,max = αcwbwzν1 fcd (ctgθ + ctgα )/ 1 + ctg 2θ
(6.14)

NOT - Aria efectiv maxim a arm turii de for t ietoare Asw,max , pentru ctg = 1, este indicat de :

A fsw,max ywd ≤ 0,5α cwν1 fcd (6.15)
bws sin α

(5) În zonele în care nu sunt discontinuit i ale lui VEd (de exemplu, pentru înc rc ri uniforme),
determinarea arm turilor pentru for t ietoare pe o lungime elementar l = z (ctg + ctg ) se poate
face utilizându-se cea mai mic valoare VEd de pe aceast lungime.

(6) Atunci când în inima grinzii sunt prev zute canale injectate de diametru > bw /8, for a t ietoare
capabil VRd,max se calculeaz adoptându-se o l ime nominal a inimii :

bw,nom = bw - 0,5 Σ (6.16)

în care este diametrul exterior al canalului, iar Σ se determin la nivelul cel mai
defavorabil.

82

SR EN 1992-1-1:2004

În cazul canalelor c ptu ite cu canalemetalice injectate unde < bw / 8 , bw,nom = bw .
În cazul canalelor neinjectate, a canalelor c ptu ite cu plastic i a arm turilor neaderente, l imea
nominal a inimii se ia egal cu :

bw,nom = bw - 1,2 Σ (6.17)

Valoarea 1,2 în expresia (6.17) este introdus pentru a ine seama de despicarea bielelor datorit
întinderii transversale. Dac sunt prev zute arm turi transversale corespunz toare, aceast valoare
poate fi redus la 1,0.

(7) For a t ietoare suplimentar ∆Ftd în arm turile longitudinale, datorit for ei t ietoare V Ed, poate fi
calculat cu expresia :

∆Ftd= 0,5 VEd (ctg - ctg ) (6.18)

(MEd/z + ∆Ftd) se recomand s nu fie mai mare ca MEd,max /z, unde MEd,max este momentul maxim pe
grind .

(8) Pentru elemente la care înc rc rile sunt aplicate la partea superioar , la o distan

av 0,5d ≤ av ≤ 2,0 d , contribu ia acestei înc rc ri la for t ietoare exterioar VEd poate fi mic orat

prin multiplicarea cu = av / 2d.
For a t ietoare VEd astfel calculat ,îndepline te condi ia:

VEd ≤ Asw·fywd· sin (6.19)

în care Asw fywd este rezisten a arm turilor care traverseaz fisurile înclinate între zonele înc rcate
a se vedea figura 6.6). Numai arm turile de for t ietoare din zona central a distan ei av, pe o
lungime de 0,75 av vor fi luate în considerare. Reducerea prin se aplic doar arm turilor pentru for
t ietoare i doar dac arm turile longitudinale sunt ancorate la capacitate în dreptul reazemului.

Figura 6.6 - Arm turi de for t ietoare în travee scurte cu biel cu transmitere direct

Pentru av < 0,5d, se adopt av = 0,5d. se stabile te s
În plus, valoarea lui VEd calculat f r s se aplice factorul de reducere
îndeplineasc expresia (6.5).

6.2.4 Forfecarea dintre inima i talpa sec iunilor T

(1) Rezisten a la forfecare a pl cii poate fi calculat considerând placa format dintr-un sistem de
biele comprimate asociate unor tiran i corespunzând arm turilor întinse.

(2) Este necesar s se prevad o armare minim , a a cum se specific la 9.3.1.

(3) Efortul de forfecare longitudinal vEd, dezvoltat la jonc iunea între o latur a t lpii i inim este
determinat de varia ia for ei axiale normale (longitudinale) în partea de plac considerat :

83

SR EN 1992-1-1:2004

( )vEd = ∆Fd / hf ⋅ ∆x (6.20)

în care: este grosimea pl cii la jonc iunea cu inima
hf este lungimea considerat , a se vedea figura 6.7
∆x este varia ia for ei axiale în plac pe lungimea ∆x
∆Fd

A - biele comprimate B - bare longitudinale ancorate dincolo de proiec ia punctului cu f
(a se vedea 6.2.4 (7))

Figura 6.7 - Nota ii pentru jonc iunea între inim i talp

Valoarea maxim ce se poate admite pentru ∆x este egal cu jum tate din distan a dintre sec iunea
de moment nul i sec iunea de moment maxim. Atunci când se aplic sarcini concentrate, se
plafoneaz ∆x la distan a între înc rc ri.

(4) Aria sec iunii arm turilor transversale pe unitatea de lungime, Asf/sf , poate fi determinat cu
expresia :

( )Asf f yd / s f ≥ vED ⋅ hf / ctgθ f (6.21)

Pentru a evita zdrobirea bielelor comprimate în talpa comprimat se verific conform :

vED   v fcd sin θf cos θf (6.22)

NOT - Domeniul de valori pentru ctg f ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa
na ional . Valorile recomandate, în lipsa unui calcul mai riguros, sunt :

1,0 ≤ ctg f ≤ 2,0 pentru pl ci comprimate (45° ≥ f ≥ 26,5°)
1,0 ≤ ctg f ≤ 1,25 pentru pl ci întinse (45° ≥ f ≥ 38,6°)
(5) În cazul în care forfecarea între plac i inim este combinat cu încovoiere transversal , ca arie a
sec iunii arm turilor se ia valoarea indicat de expresia (6.21) sau jum tate din aceasta plus aria
necesar pentru încovoiere transversal , dac aria astfel ob inut este mai mare.

(6) Dac vEd este mai mic decât k fctd, nu este necesar o armare în plus fa de cea necesar pentru
încovoiere.

NOT - Valoarea lui k ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa na ional . Valoarea
recomandat este k = 0,4.

84

SR EN 1992-1-1:2004

(7) Arm tura longitudinal întins din talp se ancora dincolo de biela necesar transmiterii for ei
înapoi la inim , în sec iunea în care aceste arm turi sunt necesare (a se vedea sec iunea (A-A) în
figura 6.7).

6.2.5 Forfecare în lungul rosturilor de turnare

(1) La interfa a dintre betoane turnate la indicate diferite, efortul de lunecare verific , în afara cerin elor
de la 6.2.1pân la 6.2.4, urm toarele :

vEdi ≤ vRdi (6.23)

vEdi este valoarea de calcul a efortului de lunecare pe interfa ; indicat de : (6.24)

vEdi = β ⋅ vEd /(z ⋅ bi )

în care: este raportul între for a axial (longitudinal ) în betonul nou i for a axial calculate
longitudinal total în zona comprimat sau în zona întins , amândou
VEd pentru sec iunea considerat
z este for a axial transversal
bi este bra ul de pârghie al for elor interne ale sec iunii compozite
este l imea interfe ei (a se vedea figura 6.8)
vRdi este valoarea de calcul a efortului de lunecare la interfa :

vRdi = cfctd + µσ n + ρf yd (µ sinα + cosα ) (6.25)

în care :
c i sunt coeficien i care depind de rugozitatea interfe ei (a se vedea (2))
fctd este definit la 3.1.6 (2)P
n este efortul cauzat de for a axial minim normal la interfa care ac ioneaz în
acela i timp cu for a de lunecare ; este pozitiv dac este de compresiune,
cu n < 0,6 fcd, i negativ la întindere. Atunci când n este un efort de întindere, se ia
c fctd = 0.
= As / Ai

Figura 6.8 - Exemple de rosturi de turnare (interfe e)
85

SR EN 1992-1-1:2004 t ietoare

As aria arm turilor ce traverseaz interfa a, inclusiv a arm turilor pentru for
(dac exist ), corect ancorate de o parte i de alta a interfe ei
Ai aria îmbin rii

definit în figura 6.9 i limitat astfel: 45° ≤ ≤ 90°
coeficient de reducere a rezisten ei indicat de expresia (6.6)

A - beton nou B - beton vechi C - ancoraj

Figura 6.9 - Rost de turnare cu praguri (din i)

(2) În lipsa unor informa ii detaliate, suprafe ele sunt clasate în foarte netede, netede, rugoase i cu
praguri, conform cu exemplele urm toare :

- foarte neted : suprafa turnat în contact cu un tipar de o el, mase plastice sau lemn tratat
special: c = 0,25 i = 0,5
- neted : suprafa realizat cu ajutorul cofrajelor glisante, suprafa extrudat sau suprafa
necofrat l sat f r tratament ulterior dup vibrare: c = 0,35 i = 0,6
- rugoas : suprafa prezentând asperit i de cel pu in 3 mm în l ime distan ate la circa 40 mm,
ob inute prin striere, sp lare sau orice alt metod ce duce la o comportare echivalent : c = 0,45
i = 0,7
- cu praguri: suprafa prezentând din i ca în figura 6.9 : c = 0,50 i = 0,9

(3) Arm turile transversale (arm turi de coasere) pot fi repartizate pe zone cu pas constant în lungul
elementului, a a cum se arat în figura 6.10. Atunci când leg tura între betoanele de vârste diferite

este asigurat prin arm turi (conectori), contribu ia arm turii la vRdi poate fi luat egal cu rezultanta
eforturilor din fiecare diagonal , cu condi ia ca 45° ≤ ≤ 135°.

Figura 6.10 - Diagrama de forfecare indicând arm tura de coasere necesar
(4) Rezisten a la forfecare longitudinal a rosturilor monolitizate între elemente de plac sau de pere i
poate fi calculat a a cum se indic la 6.2.5 (1). Totu i, atunci când rostul poate fi fisurat în mod
semnificativ, se ia c = 0 pentru rosturi netede sau rugoase i c = 0,5 pentru rosturi cu praguri
(a se vedea de asemenea 10.9.3 (12)).

86

SR EN 1992-1-1:2004

(5) Sub înc rc ri care produc oboseal sau înc rc ri dinamice, valorile lui c indicate la 6.2.5(1) se
împart la doi.

6.3 Torsiune

6.3.1 Generalit i
(1)P Atunci când echilibrul static al unei structuri depinde de rezisten a la torsiune a unor elemente
componente, se procedeaz la o verificare complet la torsiune, cuprinzând atât st rile limit ultime
cât i st rile limit de serviciu.
(2) Atunci când, în structurile static nedeterminate, solicit rile de torsiune rezult doar din condi ii de
compatibilitate iar stabilitatea structurii nu este determinat de rezisten a la torsiune, nu este necesar,
de regul , s se considere solicit rile de torsiune la starea limit ultim . În astfel de cazuri se prevede
armarea minim , indicat la 7.3 i 9.2, sub form de arm turi transversale i de bare longitudinale,
pentru a evita o fisurare excesiv .
(3) Rezisten a la torsiune a unei sec iuni poate fi calculat pe baza unei sec iuni închise cu pere i
sub iri, în care echilibrul este asigurat de un flux închis de eforturi de forfecare. Sec iunile pline pot fi
modelate direct prin sec iuni închise cu pere i sub iri echivalente. Sec iunile de form complex , cum
sunt sec iunile T, pot fi mai întâi descompuse în sec iuni elementare, modelate fiecare printr-o
sec iune cu pere i sub iri echivalent , rezisten a la torsiune a ansamblului fiind luat egal cu suma
rezisten elor sec iunilor elementare.
(4) Distribu ia momentelor de torsiune în sec iunile elementare se face propor ional cu rigiditatea la
torsiune a sec iunii lor nefisurate. În cazul sec iunilor goale, se limiteaz grosimea pere ilor fictivi la
grosimea real a pere ilor sec iunii.
(5) Fiecare sec iune elementar poate fi calculat separat.
6.3.2 Metoda de calcul

A Linia centrelor de greutate B Marginea exterioar a sec iunii C Acoperirea

Figura 6.11 - Simboluri i defini ii utilizate în 6.3

(1) Efortul de forfecare din torsiune pur în perete poate fi ob inut cu expresia :

τ tt,i ef ,i = TEd (6.26)
2 Ak (6.27)

For a t ietoare tangent V Ed,i într-un perete I, din torsiune este :

VEd ,i = τ t,itef ,i zi

în care:

87

SR EN 1992-1-1:2004

TEd este momentul de torsiune de calcul (a se vedea figura 6.11)
Ak este aria interioar a liniei centrelor de greutate a pere ilor, incluzând partea goal
t t,i este efortul unitar tangent din torsiune în peretele i
tef,i este grosimea peretelui fictiv. Poate fi luat egal cu A/u, dar nu mai mic decât dublul

distan ei între marginea exterioar i axa arm turilor longitudinale. În cazul sec iunilor
goale, este limitat la grosimea real a peretelui
A este aria total a sec iunii delimitate de perimetrul exterior, incluzând partea goal
u este perimetrul exterior al sec iunii
zi este lungimea peretelui i, definit prin distan a între punctele de intersec ie a pere ilor
adiacen i

(2) Efectele torsiunii i ale for ei t ietoare se pot suprapune, atât pentru sec iuni pline cât i pentru
sec iuni tubulare, luând aceea i înclinare a bielelor. Valorile limit ale lui indicate la 6.2.3 (2) se
aplic în întregime în cazul solicit rilor combinate de torsiune cu for t ietoare.
Rezisten a unui element supus la solicit ri combinate de torsiune cu for t ietoare se determin
conform 6.3.2 (4).

(3) Aria sec iunii arm turilor longitudinale pentru torsiune Σ sl se calculeaz cu expresia:

Asl f yd = TEd ctgθ (6.28)
uk 2 Ak

în care:
uk este perimetrul suprafe ei Ak
fyd este limita de elasticitate de calcul a arm turilor longitudinale Asl
q este unghiul bielelor comprimate (a se vedea figura 6.5)

În zonele comprimate, arm turile longitudinale pot fi reduse propor ional cu for a de compresiune
disponibil . În zonele întinse, arm turile longitudinale de torsiune se adaug celorlalte arm turi. În
general, arm turile longitudinale se distribuie pe lungimea zi, dar pentru sec iuni mici, acestea pot fi
concentrate la capetele acestei lungimi.

(4) Rezisten a unui element supus la solicit ri de torsiune cu for t ietoare este limitat de rezisten a
bielelor de beton. Pentru a nu se dep i aceast rezisten se îndepline te condi ia urm toare:

TEd / TRd ,max + VEd /VRd ,max ≤ 1 (6.29)

în care:
TEd este momentul de torsiune de calcul
VEd este for a axial de calcul
TRd,max este momentul de torsiune capabil de calcul indicat de :

TRd ,max = 2ναcw fcd Aktef ,i sinθ cosθ (6.30)

în care este indicat în 6.2.2 (6) i cw de expresia (6.9)

VRd,max este valoarea maxim a for ei t ietoare capabile de calcul conform expresiilor (6.9)
sau (6.14). În cazul sec iunilor pline, pentru determinarea lui VRd,max se poate utiliza
întreaga l ime a inimii

(5) Sec iunile pline, aproximativ rectangulare nu necesit decât armarea minim (a se vedea 9.2.1.1)
dac se respect condi ia urm toare :

TEc / TRc,max + VEc / VRc,max ≤ 1 (6.31)

în care: este momentul de fisurare la torsiune, care poate fi determinat luându-se τ t,i= fctd
TRd,c
se deduce din expresia (6.2)
VRd,c

88

SR EN 1992-1-1:2004

6.3.3 Torsiune împiedicat

(1) Pentru sec iuni închise cu pere i sub iri i sec iuni pline, torsiunea împiedicat poate fi, de obicei,
neglijat .

(2) Pentru sec iuni cu pere i sub iri, deschise, poate fi necesar ca torsiunea împiedicat s fie luat în
considerare. În cazul sec iunilor foarte zvelte, calculul se efectueaz pe baza unui model de re ea de
grinzi, iar în alte cazuri pe baza unui model de grind cu z brele. În toate cazurile, calculul se
efectueaz dup regulile de la încovoiere cu for axial i de la for t ietoare.

6.4 Str pungere

6.4.1 Generalit i

(1)P Regulile acestei sec iuni completeaz pe cele indicate în 6.2 i acoper str pungerea dalelor
pline, a dalelor chesonate cu sec iune plin în dreptul stâlpilor i a funda iilor.

(2)P Str pungerea poate rezulta dintr-o înc rcare concentrat sau dintr-o reac iune aplicat unei arii
relativ mici, numit arie înc rcat , Aload, a unei dale sau a unei funda ii.
(3) În figura 6.12 se prezint un model adecvat pentru verificarea la str pungere la starea limit ultim

A - sec iunea de calcul, de
referin

a) Sec iune

B - arie de calcul, de referin Acont
C - contur de calcul, de referin u1
D - aria înc rcat Aload
rcont alt contur de calcul

b) Vedere în plan
Figura 6.12 - Model pentru verificarea la str pungere la starea limit ultim
(4) Verificarea rezisten ei la str pungere se face la fa a stâlpului i pe conturul de calcul, referin u1 .
Dac sunt necesare arm turi de str pungere, se g se te un alt contur uout,ef la distan a la care nu mai
sunt necesare arm turi pentru str pungere.
(5) Regulile definite la 6.4 sunt formulate, în principiu pentru cazul înc rc rilor uniform distribuite. În
anumite cazuri particulare, cum sunt t lpile de funda ii, înc rcarea din interiorul conturului de calcul

89

SR EN 1992-1-1:2004

contribuie la rezisten a sistemului structural i poate fi sc zut atunci când se determin valoarea
efortului capabil de calcul la str pungere.
6.4.2 Distribu ia de înc rc ri i conturul de calcul, de referin
(1) Se admite, în mod normal, c pozi ia conturului de calcul, de referin u1 este situat la o distan
2,0d de aria înc rcat ; se traseaz astfel încât s se minimizeze lungimea sa
(a se vedea figura 6.13).

Figura 6.13 - Tipuri de contururi de calcul de referin în jurul ariilor înc rcate

În l imea util a dalei este considerat constant i poate fi luat egal cu :

( )deff
= dy + dz (6.32)
2
în care dy i dz sunt în l imile utile pentru armaturi în dou direc ii ortogonale.

(2) Se consider contururi de calcul la o distan mai mic de 2d dac for a concentrat este
echilibrat de o presiune ridicat (de exemplu presiunea p mântului pe o funda ie), sau de efectele
unei înc rc ri sau o reac iune la o distan inferioar sau egal cu 2d de conturul ariei înc rcate.

(3) În cazul ariilor înc rcate situate în vecin tatea unor goluri, dac distan a cea mai mic între
conturul ariei înc rcate i marginea golului este mai mic sau egal cu 6d, partea din conturul de
calcul cuprins între dou tangente i gol, pornite din centrul ariei înc rcate este considerat ca
neparticipant (a se vedea figura 6.14).

A – gol în plac

Figura 6.14 - Contur de calcul în vecin tatea unui gol
(4) În cazul unei arii înc rcate situate în vecin tatea unei margini sau a unui col se va alege un contur
de calcul asem n tor celor indicate în figura 6.15 în m sura în care perimetrul care rezult (sc zându-
se marginile libere) este inferior celor ob inute dup (1) i (2) de mai sus.

90

SR EN 1992-1-1:2004

Figura 6.15 - Contururi de calcul de referin pentru arii înc rcate în vecin tatea
unei margini sau a unui col

(5) În cazul ariilor înc rcate situate în vecin tatea unei margini sau a unui col , adic la o distan mai

mic de d, se prev d arm turi speciale de margine, a se vedea 9.3.1.4.
(6) Sec iunea de calcul este sec iunea care urmeaz conturul de calcul i care se întinde pe în l imea
util d. Pentru dalele de grosime constant , sec iunea de calcul este perpendicular pe planul median
al dalei. Pentru dalele sau t lpile de funda ie cu grosime variabil , dar nu în trepte, în l imea util
poate fi luat egal cu grosimea la conturul ariei înc rcate, a a cum se indic în figura 6.16.

A - aria înc rcat
≥ arctan (1/2)

Figura 6.16 - În l imea sec iunii de calcul în cazul unei t lpi de grosime variabil

(7) Alte contururi ui, la interiorul sau la exteriorul suprafe ei de calcul, au aceea i form ca aceea a
conturului suprafe ei de calcul de referin .

(8) În cazul dalelor cu capiteluri circulare, la care lH < 2hH (a se vedea figura 6.17), nu este necesar o
verificare a eforturilor de str pungere conform cu 6.4.3 decât pentru o sec iune de calcul situat la
exteriorul capitelului.

Distan a de la aceast sec iune la linia median a stâlpului, rcont, poate fi luat egal cu :

rcont = 2d + lH + 0,5c (6.33)

91

în care: SR EN 1992-1-1:2004
lH
c este distan a de la fa a stâlpului la marginea capitelului
este diametrul stâlpului circular

A - sec iune de calcul de referin B - aria înc rcat Aload

Figura 6.17 - Dal cu capitel, lH < 2,0 hH

În cazul unui stâlp rectangular cu un capitel rectangular i lH < 2,0d (a se vedea figura 6.17), de
dimensiuni l1 i l2 (l1 = c1 + 2lH1, l2 = c2 + 2lH2, l1 ≤ l2), valoarea lui rcont poate fi luat egal cu cea mai
mic dintre valorile urm toare :

rcont = 2d + 0,56 l1l2 (6.34)
(6.35)
i

rcont = 2d + 0,69 l1

(9) În cazul dalelor cu capitel la care lH > 2hH (a se vedea figura 6.18), se verific sec iuni de calcul
atât în capitel cât i în plac .

10) Prevederile de la 6.4.2 i 6.4.3 se aplic , de asemenea, la verific rile efectuate în capitel, cu d luat
egal cu dH conform figurii 6.18.

(11) În cazul stâlpilor circulari, distan ele de la axul stâlpului la sec iunile de calcul din figura 6.18 pot fi
luate egale cu :

rcont,ext = lH + 2d + 0,5c (6.36)

rcont,int = 2(d + hH) +0,5c (6.37)

A - sec iuni de calcul de referin pentru stâlpi circulari B - aria înc rcat Aload
Figura 6.18 - Dal cu capitel, lH > 2(d + hH)
92

SR EN 1992-1-1:2004

(10) Prevederile de la 6.4.2 i 6.4.3 se aplic , de asemenea, la verific rile efectuate în capitel, cu d
luat egal cu dH conform figurii 6.18.

(11) În cazul stâlpilor circulari, distan ele de la axul stâlpului la sec iunile de calcul din figura 6.18 pot fi
luate egale cu :

rcont,ext = lH + 2d + 0,5c (6.36)

rcont,int = 2(d + hH) +0,5c (6.37)

6.4.3 Calculul rezisten ei la str pungere
(1)P Metoda de calcul se bazeaz pe verific ri efectuate la fa a stâlpului i pe conturul de calcul de
referin u1 . Dac sunt necesare arm turi pentru str pungere, se g se te un alt contur, mai
îndep rtat uout,ef dincolo de care nu mai sunt necesare arm turi pentru str pungere. Se definesc
urm toarele valori de calcul ale rezisten elor la str pungere [MPa] în lungul sec iunilor de calcul :

vRd ,c este valoarea de calcul a rezisten ei la str pungere a unei dale f r arm turi de
str pungere în lungul sec iunii de calcul considerate

vRd ,cs este valoarea de calcul a rezisten ei la str pungere a unei dale cu arm turi
de str pungere în lungul sec iunii de calcul considerate

vRd ,max este valoarea maxim de calcul a rezisten ei la str pungere în lungul sec iunii de
calcul considerate

(2) Se efectueze verific rile urm toare:

(a) În lungul conturului stâlpului sau al conturului ariei înc rcate, efortul unitar de str pungere nu
trebuie s dep easc valoarea maxim a rezisten ei la str pungere :

vEd < vRd ,max

(b) Nu sunt necesare arm turi de str pungere dac :

vEd < vRd ,c

(c) Dac vEd este mai mare ca vRd ,c pentru sec iunea de calcul considerat , se prev d arm turi de

str pungere conform cu 6.4.5.

(3) Dac reac iunea din reazem este excentric în raport cu conturul de calcul, efortul unitar maxim de
str pungere se ia:

vEd = β VEd (6.38)
uid

în care:
d este în l imea util medie a dalei, care poate fi luat egal cu (dy + dz)/2 cu dy, dz în l imile
utile în direc iile y i z ale sec iunii de calcul
ui este perimetrul conturului de calcul considerat
este indicat de :

β =1+ k M Ed ⋅ u1 (6.39)
VEd w1

în care:
u1 este perimetrul conturului de calcul de referin

93

SR EN 1992-1-1:2004

k este un coeficient care depinde de raportul dimensiunilor c1 i c2 ale stâlpului: valoarea
sa este func ie de propor ia momentului neechilibrat transmis prin forfecare neuniform
i prin încovoiere i torsiune (a se vedea tabelul 6.1)
W1 corespunde unei reparti ii a eforturilor de forfecare a a cum este reprezentat în figura
6.19; este func ie de perimetrul conturului de calcul de referin u1 :

u

W1 = e dl (6.40)

0

dl este lungimea elementar a conturului
e este distan a lui dl de la axa fa de care ac ioneaz momentul MEd .

Tabelul 6.1 - Valorile lui k pentru arii înc rcate rectangulare

c1/c2 0,5 1,0 2,0 3,0
k 0,45 0,60 0,70 0,80

Figura 6.19 - Reparti ia eforturilor de forfecare datorit unui moment neechilibrat la
jonc iunea intre o dal i un stâlp interior

Pentru un stâlp rectangular :

W1 = c12 + c1 ⋅ c2 + 4c2 ⋅d + 16d 2 + 2πc1 (6.41)
2
în care:
c1 este dimensiunea stâlpului paralel cu excentricitatea înc rc rii
c2 este dimensiunea stâlpului perpendicular cu excentricitatea înc rc rii

Pentru stâlpi circulari interiori, este indicat de :

β =1+ 0,6π D e (6.42)
+ 4d

în care: D este diametrul stâlpului circular

Pentru stâlp rectangular interior, atunci când înc rcarea este excentric pe dou direc ii, se poate
utiliza urm toarea expresie aproximativ pentru : (6.43)

ey 2 ez 2
bz by
β = 1 + 1,8 +

în care:
ey i ez sunt excentricit ile MEd/VEd dup axa y i axa z respectiv
by i bz sunt dimensiunile conturului de calcul (a se vedea Figura 6.13)

NOT - ey rezult dintr-un moment fa de axa z i ez dintr-un moment fa de axa y.

(4) Pentru jonc iunile stâlpilor marginali cu dala, atunci când excentricitatea perpendicular pe
marginea dalei (rezultând dintr-un moment fa de axa paralel cu aceasta) este îndreptat c tre

94

SR EN 1992-1-1:2004

interior i când nu exist excentricitate în cealalt direc ie (paralel cu marginea), efortul de
str pungere poate fi considerat ca uniform repartizat în lungul conturului u1* cum se indic în figura
6.20(a).

a) stâlp marginal b) stâlp de col

Figura 6.20 - Perimetru conturului de calcul, de referin redus u1*

Atunci când exist excentricit i pe cele dou direc ii ortogonale, poate fi determinat cu expresia
urm toare : (6.44)

β = u1 + k u1 epar
u1* W1

în care: este perimetrul conturului de calcul de referin (a se vedea figura 6.15)
u1 este perimetrul conturului de calcul de referin redus (a se vedea figura 6.20 a))
u1* este excentricitatea paralel cu marginea dalei, rezultând dintr-un moment fa de o
epar ax perpendicular pe marginea dalei
k poate fi determinat cu ajutorul tabelului 6.1 înlocuind raportul c1/c2 cu c1/2c2
W1 este calculat pentru perimetrul de referin u1 (a se vedea figura 6.13)

Pentru un stâlp rectangular ca în figura 6.20 a) :

W1 = c22 + c1c2 + 4c1d + 8d 2 + πdc2 (6.45)
4
Dac excentricitatea perpendicular pe marginea dalei nu este îndreptat c tre interior se aplic
expresia (6.39). Pentru calculul lui W1, excentricitatea e se m soar din centrul de greutate al
conturului de calcul.

(5) În cazul jonc iunilor stâlpilor de col , dac excentricitatea este c tre interiorul dalei, se admite c
efortul de str pungere este uniform repartizat în lungul conturului de calcul de referin redus u1*, a a
cum este definit în figura 6.20 b). În acest caz :

β = u1 (6.46)
u1*
Dac excentricitatea este îndreptat spre exterior, se aplic expresia (6.39).

(6) Pentru structuri la care stabilitatea lateral nu depinde de efectul de cadru între dale i stâlpi i
unde deschiderea traveelor adiacente nu difer cu mai mult de 25 %, se pot utiliza valori aproximative
pentru .

NOT - Valorile lui ce se utilizeaz într-o ar dat pot fi furnizate de anexa na ional . Valorile recomandate
sunt indicate în figura 6.21N.

95

SR EN 1992-1-1:2004

A – stâlp interior
B – stâlp marginal
C – stâlp de col

Figura 6.21N - Valori recomandate pentru

(7) Atunci când se aplic o înc rcare concentrat în vecin tatea unui stâlp ce sus ine un plan eu dal ,
reducerea rezisten ei prev zut la 6.2.2 (6), sau la 6.2.3 (8) dup caz, nu se aplic .

(8) For a de str pungere VEd într-o funda ie izolat poate fi redus datorit ac iunii favorabile a
presiunii p mântului.

(9) Componenta vertical Vpd din arm turile pretensionate înclinate ce traverseaz sec iune de calcul
poate fi luat în calcul ca ac iune favorabil , dac este cazul.

6.4.4 Rezisten a la str pungere a dalelor i t lpilor de stâlpi f r arm turi pentru for t ietoare

(1) Rezisten a la str pungere a unei dale în sec iunea de calcul de referin se determin conform cu
6.4.2. Valoare de calcul a rezisten ei la str pungere [MPa] este indicat de:

( ) ( )VRd,c = CRd,ck 100ρl fck 1/ 3 + k1σ cp ≥ Vmin + k1σ cp (6.47)

în care:
fck este în MPa

k =1+ 200 ≤ 2,0 în mm
d

ρl = ρly ⋅ ρlz ≤ 0,02

ly, lz se refer la arm turile întinse aderente în direc iile y i z respectiv. ly i lz se calculeaz ca
valori medii pe o l ime de plac egal cu l imea stâlpului plus 3d de o parte i de alta

cp = ( cy + cz)/2
cu
cy, cz eforturile normale în beton în sec iunea critic în direc iile y i z (MPa, pozitive la
compresiune :
NEd , y
σ cy = Acy i σ cz = N Ed ,z
Acz

NEdy, NEdz for ele axiale ce ac ioneaz pe l imile de plac asociate stâlpilor. For a axial
poate rezulta dintr-o înc rcare exterioar sau din precomprimare.
Ac aria sec iunii de beton care corespunde for ei NEd luate în calcul

NOT - Valorile lui CRd,c , vmin i k1 ce se utilizeaz într-o ar dat pot fi furnizate de anexa na ional .
Valoarea recomandat pentru CRd,c este CRd,c = 0,18/ c; valoarea recomandat pentru vmin este indicat de
expresia (6.3N) în care se ia, k1 = 0,1.

(2) Rezisten a la str pungere a bazelor de stâlp se verific în lungul unor contururi de calcul situate la
cel mult 2d de la fa a stâlpului.

96

SR EN 1992-1-1:2004

În cazul unei înc rc ri centrice, valoarea net a for ei ce ac ioneaz este :

VEd,red = VEd - ∆VEd (6.48)

în care:
VEd este for a t ietoare aplicat
∆VEd este valoarea net a for ei de reac iune vertical din interiorul conturului de
calcul considerat, adic reac iunea solului mai pu in greutatea proprie a funda iei

vRd = VEd ,red / ud (6.49)

( )VRd = CRd,ck 100ρfck 1/ 3 x2d / a ≥ vmin x2d / a (6.50)

în care: este distan a de la fa a stâlpului la conturul de calcul considerat
a este definit în 6.4.4(1)
CRd,c este definit în 6.4.4(1)
vmin este definit în 6.4.4(1)
k

În cazul unei înc rc ri excentrice

vEd = VEd ,red 1 + k M Ed u (6.51)
ud VEd , redW

în care k este definit în 6.4.3 (3) sau (4) dup cazul considerat i W este similar lui W1 dar pentru
conturul u.

6.4.5 Rezisten a la str pungere a dalelor i a t lpilor de stâlpi cu arm turi pentru for t ietoare

(1) Atunci când sunt necesare arm turi de str pungere, se calculeaz conform expresiei (6.52) :

vRd,cs = 0,75vRd,c + 1,5(d / sr )Asw f ywd ,ef (1/(u1d ))sinα (6.52)

în care:
Asw este aria unui perimetru al arm turii de str pungere în jurul stâlpului [mm²]
sr este distan a radial a perimetrelor de arm turi de str pungere [mm]
fywd,ef este rezisten a efectiv de calcul a arm turilor de str pungere, cu
fywd,ef =250 + 0,25 d ≤ fywd [MPa]
d este media în l imilor utile în direc iile ortogonale [mm]
este unghiul între arm turile str pungere i planul dalei. Dac se prevede un singur
rând de bare înclinate, atunci în expresia (6.52) raportul d/sr se ia 0,67.

(2) Cerin ele în ceea ce prive te dispunerea arm turilor de str pungere sunt indicate în 9.4.3.
(3) în vecin tatea stâlpului, rezisten a la str pungere se limiteaz la :

vEd = βVEd ≤ vRd ,max (6.53)
u0d

unde pentru un stâlp interior u0 = perimetrul stâlpului

pentru un stâlp marginal u0 = c2 + 3d ≤ c2 + 2c1
pentru un stâlp de colt u0 = 3d ≤ c1 + c2
cv1, c2 sunt dimensiunile stâlpului a a cum se prezint în figura 6.20
a se vedea expresia 6.6
a se vedea 6.4.3 (3), (4) i (5)

97

SR EN 1992-1-1:2004

NOT - Valoarea lui vRd ,max ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa na ional . Valoarea
recomandat este vRd ,max = 0,5 v fcd , unde v este indicat de expresia (6.6N).

(4) Conturul de calcul uout (sau uout,ef a se vedea figura 6.22) de la care nu mai sunt necesare arm turi
de str pungere se determin cu expresia (6.54) :

( )uout,ef = βVEd / vRd ,cd (6.54)

Cel mai îndep rtat perimetru al arm turii de str pungere se amplaseaz la o distan mai mic sau
egal cu kd în interiorul lui uout (sau uout,ef a se vedea figura 6.22).

NOT - Valoarea lui k ce se utilizeaz într-o ar dat poate fi furnizat de anexa na ional . Valoarea
recomandat este k = 1,5.

5) Atunci când se utilizeaz ca arm turi pentru str pungere Produse cu Marc Înregistrat , valoarea

vRd,cs se determin prin încerc ri conform Agrementului Tehnic European corespunz tor. A se vedea

de asemenea 9.4.3.

Figura 6.22 - Contururi de calcul pentru stâlpi interiori

6.5 Dimensionare cu ajutorul modelelor biele-tiran i

6.5.1 Generalit i
(1)P Atunci când exist o distribu ie ne-liniar a deforma iilor relative (reazeme, în vecin tatea unor
sarcini concentrate sau stare de eforturi plan ), se pot folosi modele biele-tiran i
(a se vedea de asemenea 5.6.4).
6.5.2 Biele
(1) Rezisten a de calcul a unei biele de beton într-o zon cu eforturi transversale de compresiune sau
f r eforturi transversale de compresiune poate fi calculat cu expresia (6.55) (a se vedea figura 6.23).

A eforturi de compresiune transversale sau nici
un efort transversal

Figura 6.23 - Rezisten a de calcul a bielelor de beton, f r întindere transversal
98