แผนการสอน ม.4 เรื่อง หลักการนับ สมบูรณ์

20

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชุดที่ 1 เรือ่ ง กฎเกณฑ์เบ้ืองตน้ เก่ียวกบั การนับ
แบบฝึกทักษะท่ี 1.2 เรื่อง กฎเกณฑ์เบอื้ งตน้ เก่ียวกบั การนบั (การคูณ)

จดุ ประสงค์ นักเรยี นสามารถใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้นเก่ยี วกบั การนับในการหาจานวนผลลพั ธ์
ทีอ่ าจเกิดขึ้นของเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้

คาช้แี จง ให้นักเรียนหาจานวนวิธที ่เี ปน็ ไปได้ท้ังหมดโดยใช้กฎเกณฑ์เบอื้ งต้นเก่ียวกบั การนบั

1. ในการรับสมคั รพนักงาน 2 ตาแหน่ง เปน็ พนักงานหญิง 1 ตาแหน่ง พนักงานชาย 1 ตาแหน่ง
ถา้ ผสู้ มคั รเป็นหญิง 4 คน เป็นชาย 5 คน จะมีจานวนวธิ รี บั พนักงานแบบต่าง ๆ ไดก้ ว่ี ธิ ี
วิธีทา

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

2. ถา้ A = {1, 3, 5, 7, 9} จงหาว่าจะสามารถนาสมาชิกในเซต A มาสร้างเป็นจานวนเตม็ ซงึ่ มี
สามหลัก โดยท่ีแต่ละหลักใช้เลขโดดไม่ซา้ กนั ไดท้ ั้งหมดก่จี านวน
วธิ ที า

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

3. บตั รเข้าชมภาพยนตร์ของโรงหนังแห่งหน่งึ กาหนดหมายเลขทีน่ ั่งเข้าชมโดยใช้หมายเลข 1-20
และตัวอักษรภาษาอังกฤษ A – P ตวั อย่างเช่น 1A จงหาจานวนท่ีน่ังทงั้ หมดของโรงหนังแห่งนี้
วธิ ีทา

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

4. จงนาตวั อักษรจากคาว่า FATHER มาจดั เป็นคาใหม่ โดยไม่ต้องคานึงถึงความหมาย จะจดั
เป็นคาที่แตกตา่ งกันทัง้ หมดได้กีว่ ิธี
วิธีทา

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

5. ในการสอบวิชาคณติ ศาสตรซ์ งึ่ มขี ้อสอบแบบผิด- ถูกอยู่ 10 ข้อ นกั เรียนจะเลอื กตอบข้อสอบท้งั
10 ขอ้ ได้ท้ังหมดก่ีวิธี
วิธีทา

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

21

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชุดท่ี 1 เรือ่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งต้นเกย่ี วกบั การนบั
ใบความรู้ที่ 1.3 เร่อื ง กฎเกณฑ์เบอ้ื งต้นเกีย่ วกบั การนบั (การบวก)

1.3 กฎเกณฑ์เบอ้ื งต้นเกยี่ วกบั การนบั (การบวก)

หลกั การบวก ในการทางานอย่างหน่ึงมีวิธีการทา k วิธี คอื วิธีที่ 1 ถึงวธิ ีที่ k โดยท่ี
การทางานวิธีท่ี 1 มีวธิ ที า n1 วิธี
การทางานวธิ ที ี่ 2 มวี ิธที า n2 วธิ ี

การทางานวิธที ี่ k มวี ธิ ีทา nk วธิ ี
และวิธกี ารทางานแต่ละวธิ แี ตกตา่ งกัน แลว้ จานวนวธิ ที างานนเี้ ท่ากบั n1+n2+…+nk วิธี

ตัวอย่างท่ี 1 บ้ตี ้องการเดนิ ทางไปเชียงใหม่ ซง่ึ สามารถไปได้โดยขึ้นรถทัวร์ รถไฟ และเคร่อื งบนิ
ถา้ ในวันหนง่ึ ๆ มรี ถทวั ร์ไปเชียงใหม่ 5 เทย่ี ว รถไฟ 3 เทย่ี ว และเครือ่ งบนิ 2 เที่ยว
บ้มี วี ิธใี นการเดินทางไปเชียงใหม่ไดแ้ ตกตา่ งทงั้ หมดก่วี ธิ ี

แนวคดิ โจทย์ข้อนตี้ ้องหาวิธกี ารเดินทางไปเชียงใหมโ่ ดยรถทวั ร์ รถไฟ และเครอื่ งบิน
ดังนน้ั การทางานในข้อนม้ี ี 3 วธิ ี คือ เดนิ ทางโดยรถทัวร์, เดนิ ทางโดยรถไฟ
หรือเดนิ ทางโดยเคร่ืองบิน

วธิ ที า เลือกเดินทางโดยรถทวั ร์ได้ 5 วธิ ี (มี 5 เที่ยว)
เลอื กเดนิ ทางโดยรถไฟได้ 3 วธิ ี (มี 3 เทยี่ ว)
เลอื กเดนิ ทางโดยเคร่ืองบนิ ได้ 2 วธิ ี (มี 2 เทีย่ ว)

ดงั นนั้ จานวนวธิ กี ารในการเดินทางไปเชยี งใหม่มีท้งั หมด 5+3+2 = 10 วิธี

ตัวอยา่ งที่ 2 ตอ้ งการสร้างจานวนคู่ท่มี ี 3 หลัก โดยสร้างจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 หรอื 5
โดยเลขโดดแต่ละหลกั ไม่ซา้ กัน จะสร้างได้ท้ังหมดก่จี านวน

แนวคดิ โจทยข์ อ้ นต้ี ้องการสรา้ งจานวนคู่ทมี่ ี 3 หลกั โดยสรา้ งจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 หรือ 5

ดงั นั้น การทางานในข้อน้ีมี 2 วิธี คือ หลักหนว่ ยมเี ลขคเู่ ปน็ 0 กบั หลักหน่วย

มีเลขคูไ่ มเ่ ป็น 0 หลกั รอ้ ย หลกั สบิ หลักหนว่ ย

วธิ ีทา กรณที ี่ 1 จานวนคู่ทหี่ ลักหนว่ ยเปน็ 0 0

เลอื กเลขโดดหลักหนว่ ยได้ 1 วธิ ี (เลขโดด 0 เทา่ นั้น)

เลือกเลขโดดหลกั ร้อยได้ 5 วิธี (จากเลขโดด 1, 2, 3, 4 และ 5)

เลือกเลขโดดหลกั สบิ ได้ 4 วิธี (เลขโดดทเี่ หลือจากหลักรอ้ ย 4 ตวั )

 จานวนวิธีสรา้ งจานวนค่ทู ห่ี ลกั หน่วยเปน็ 0 ได้ 1×5×4 = 20 วิธี

22

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชดุ ที่ 1 เรอ่ื ง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเก่ียวกบั การนบั
ใบความรู้ที่ 1.3 เรือ่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งต้นเกย่ี วกบั การนบั (การบวก)

กรณที ่ี 2 เลขคทู่ ่หี ลกั หนว่ ยไม่เป็น 0 หลักร้อย หลกั สิบ หลักหนว่ ย
ไมเ่ ปน็ 0 2,4

เลือกเลขโดดหลกั หน่วยได้ 2 วธิ ี (จากเลขโดด 2 และ 4)

เลอื กเลขโดดหลกั ร้อยได้ 4 วธิ ี (เลขโดดทเี่ หลอื ซึง่ ไม่ใช่ 0 และเลขโดดในหลักหนว่ ย)

เลือกเลขโดดหลกั สบิ ได้ 4 วธิ ี (เลขโดดท่ีเหลือซง่ึ ที่ไม่ใชเ่ ลขโดดในหลักหน่วยและหลักรอ้ ย)

 จานวนวธิ สี รา้ งจานวนคทู่ ห่ี ลกั หนว่ ยไม่เป็น 0 ได้ 2×4×4 = 32 วิธี

ดงั น้นั สรา้ งจานวนคทู่ ่ีมี 3 หลัก จากตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4 หรอื 5 โดยเลขแตล่ ะ

หลกั ไมซ่ า้ กัน จะสร้างไดท้ ั้งหมด 20+32 = 52 จานวน

ตวั อยา่ งที่ 3 มหี นงั สอื 6 เลม่ เปน็ ตาราภาษาอังกฤษ 2 เลม่ จะจัดเรยี งบนช้ันหนังสอื ไดก้ วี่ ิธี
ถ้าหวั แถวและท้ายแถวเปน็ ตาราภาษาองั กฤษ

แนวคดิ โจทยข์ ้อน้ีต้องการจดั เรียงตาราบนชั้นหนังสือ โดยหัวแถวและท้ายแถวเป็นตารา
ภาษาอังกฤษ การทางานในข้อน้ีมี 2 วิธี คอื ถ้าสมมตใิ ห้ตาราภาษาองั กฤษ
แทนดว้ ยตัว A และ B จะมีวิธกี ารจดั เรยี งได้ดังน้ี

A B วิธที ่ี 1

B A วิธที ี่ 2

หวั แถว ตาแหนง่ ตาแหนง่ ตาแหน่ง ตาแหน่ง ท้ายแถว

ที่ 2 ท่ี 3 ท่ี 4 ที่ 5

วธิ ีทา กรณีท่ี 1 เล่ม A อยู่หวั แถวเล่ม B อย่ทู า้ ยแถว
เลือกวางตาแหนง่ หัวแถวได้ 1 วธิ ี (เล่ม A เท่านนั้ )
เลอื กวางตาแหนง่ ที่ 2 ได้ 4 วิธี (จาก 4 เลม่ ที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตาแหนง่ ที่ 3 ได้ 3 วิธี (เล่มทเ่ี หลอื จากตาแหนง่ ที่ 2 ทไี่ มใ่ ช่ A และ B)
เลอื กวางตาแหนง่ ท่ี 4 ได้ 2 วิธี (เล่มท่ีเหลือจากตาแหนง่ ที่ 2 และ 3 ท่ีไม่ใช่ A และ B)
เลอื กวางตาแหนง่ ที่ 5 ได้ 1 วธิ ี (เล่มท่เี หลือจากตาแหน่งที่ 2, 3 และ 4 ที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตาแหนง่ ท้ายแถวได้ 1 วธิ ี (เลม่ B เท่าน้ัน )

 จานวนวิธีจดั เรียงหนังสอื ได้ทงั้ หมด 1×4×3×2×1×1 = 24 วิธี

23

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชดุ ที่ 1 เร่อื ง กฎเกณฑ์เบ้อื งตน้ เก่ยี วกบั การนับ
ใบความรู้ท่ี 1.3 เรือ่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งต้นเกี่ยวกบั การนับ (การบวก)

กรณที ี่ 2 เล่ม B อยู่หัวแถวเลม่ A อยู่ทา้ ยแถว
เลอื กวางตาแหน่งหวั แถวได้ 1 วิธี (เลม่ B เท่านน้ั )
เลอื กวางตาแหน่งท่ี 2 ได้ 4 วธิ ี (จาก 4 เลม่ ท่ไี ม่ใช่ A และ B)
เลอื กวางตาแหน่งท่ี 3 ได้ 3 วิธี (เล่มท่ีเหลือจากตาแหน่งที่ 2 ทไี่ ม่ใช่ A และ B)
เลอื กวางตาแหน่งท่ี 4 ได้ 2 วธิ ี (เลม่ ทีเ่ หลอื จากตาแหน่งที่ 2 และ3 ท่ีไม่ใช่ A และ B)
เลอื กวางตาแหน่งที่ 5 ได้ 1 วธิ ี (เล่มทีเ่ หลือจากตาแหนง่ ที่ 2, 3 และ4 ท่ีไมใ่ ช่ A และ B)
เลอื กวางตาแหนง่ ทา้ ยแถวได้ 1 วิธี (เลม่ A เท่านนั้ )
 จานวนวิธจี ดั เรยี งหนังสอื ได้ทั้งหมด 1×4×3×2×1×1 = 24 วธิ ี

ดังนน้ั จานวนวธิ จี ดั เรียงตาราบนชนั้ หนังสอื ทีห่ ัวแถวและท้ายแถวเป็นตาราภาษาองั กฤษ

เท่ากบั 24 + 24 = 48 วธิ ี

ขอ้ สงั เกต

การกระทาใด ๆ ที่ยังไมส่ ้ินสดุ การคานวณหาจานวนวธิ กี ารกระทา
นน้ั ๆ เราใชก้ ารคณู
การกระทาใด ๆ สามารถแยกไดเ้ ป็นหลายกรณี แตล่ ะกรณสี ิ้นสุดลง
แล้วในการคานวณหาจานวนวธิ สี าหรับการกระทานน้ั เราใช้
การบวกจานวนวธิ ีแต่ละกรณเี ขา้ ดว้ ยกัน

24

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชดุ ท่ี 1 เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บ้อื งตน้ เกีย่ วกบั การนบั
แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.3 เรอ่ื ง กฎเกณฑ์เบอื้ งตน้ เกี่ยวกบั การนบั (การบวก)

จดุ ประสงค์ นักเรยี นสามารถใชก้ ฎเกณฑ์เบื้องตน้ เกี่ยวกับการนบั ในการหาจานวนผลลัพธ์
ท่ีอาจเกดิ ขึ้นของเหตกุ ารณต์ า่ ง ๆ ได้

คาช้แี จง ให้นักเรียนหาจานวนวิธที เ่ี ป็นไปไดท้ งั้ หมดโดยใช้กฎเกณฑ์เบอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั การนับ

1. มีเสอ้ื 6 ตวั เปน็ สีขาว 4 ตัว และสีฟ้า 2 ตัว มีกางเกง 5 ตัว เป็นสขี าว 1 ตวั และสฟี า้ 4 ตัว
จะมีวธิ เี ลอื กชุด 1 ชดุ ที่มเี ส้อื และกางกางสีเดยี วกันได้ทั้งหมดกวี่ ิธี
วิธีทา ชุดสขี าว เลือกเสอ้ื สีขาวได.้ ...................วธิ ี เลอื กกางเกงสีขาวได.้ ...................วธิ ี
 จานวนวธิ ีเลือกชุดสีขาวเทา่ กับ ………………………….วิธี
ชุดสีฟ้า เลือกเส้ือสีฟ้าได้....................วธิ ี เลอื กกางเกงสฟี ้าได.้ ...................วธิ ี
 จานวนวิธีเลือกชุดสฟี า้ เท่ากบั ………………………….วธิ ี
ดงั นั้น จานวนวิธเี ลอื กชุด 1 ชุด ทมี่ ีเส้ือและกางกางสเี ดียวกนั ไดท้ ้ังหมด…………วธิ ี

2. ถ้าใชต้ วั อกั ษร A, B, C และ D ในการสรา้ งรหสั 1 หลกั หรอื 2 หลกั หรือ 3 หลัก หรอื 4 หลกั

โดยท่ีแต่ละหลักไม่ใช้ตัวอกั ษรซา้ กัน จะสร้างรหสั ได้ก่แี บบ

วิธที า

กรณีท่ี 1 สรา้ งรหัส 1 หลกั กรณที ่ี 2 สร้างรหสั 2 หลกั

เลอื กตัวอักษรได้..................วิธี เลอื กตัวอกั ษรตัวที่ 1 ได้..........วิธี

 สร้างรหัส 1 ตวั ไดท้ ้งั หมด...............แบบ เลือกตัวอักษรตัวท่ี 2 ได.้ .........วธิ ี

 สร้างรหสั 2 ตวั ไดท้ ้ังหมด.............แบบ

กรณีท่ี 3 สร้างรหัส 3 หลกั กรณที ี่ 4 สร้างรหัส 4 หลกั

เลือกตัวอักษรตวั ท่ี 1 ได.้ .............วธิ ี เลือกตัวอักษรตวั ที่ 1 ได้..............วธิ ี

เลือกตวั อักษรตวั ท่ี 2 ได.้ .............วธิ ี เลอื กตัวอักษรตวั ที่ 2 ได.้ .............วธิ ี

เลือกตวั อักษรตัวท่ี 3 ได.้ .............วธิ ี เลือกตัวอักษรตวั ที่ 3 ได.้ .............วิธี

 สรา้ งรหัส 3 ตวั ไดท้ งั้ หมด...............แบบ เลือกตัวอักษรตวั ที่ 4 ได.้ .............วิธี

 สร้างรหสั 4 ตวั ได้ท้ังหมด...............แบบ

ดงั น้นั …………………………………………………………………………………………………………….

25

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชุดที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบอื้ งต้นเก่ยี วกบั การนับ
แบบฝึกทักษะท่ี 1.3 เรือ่ ง กฎเกณฑ์เบือ้ งตน้ เกีย่ วกบั การนบั (การบวก)

จดุ ประสงค์ นักเรียนสามารถใชก้ ฎเกณฑ์เบื้องต้นเก่ยี วกบั การนับในการหาจานวนผลลัพธ์
ท่อี าจเกดิ ข้นึ ของเหตุการณต์ ่าง ๆ ได้

คาชแี้ จง ให้นักเรียนหาจานวนวิธีทเ่ี ปน็ ไปไดท้ ้ังหมดโดยใชก้ ฎเกณฑ์เบอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั การนับ

3. ในกลอ่ งใบหน่ึงมบี ตั ร 10 ใบ แต่ละใบมีหมายเลข 1 ตวั คอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9

ถา้ หยบิ บตั รจากกล่องมา 2 ใบ โดยหยบิ ครง้ั ละ 1 ใบ โดยไม่ใส่คนื ไป จะสามารถเลือกหยิบบัตร

เหลา่ น้ีไดก้ ว่ี ิธี โดยผลรวมของหมายเลขบตั รท้ังสองใบเป็นจานวนคี่

วธิ ีทา กรณีท่ี 1 จานวนค่ีเกิดจาก กรณที ี่ 2 จานวนคเี่ กดิ จาก ……………………

จานวนคู่+จานวนค่ี หยิบบัตรใบที่ 1 ได้..................วธิ ี

หยบิ บัตรใบท่ี 1 ได้..................วธิ ี หยิบบตั รใบท่ี 2 ได.้ .................วิธี

หยบิ บัตรใบที่ 2 ได้..................วิธี  หยิบบัตรได้ทัง้ หมด.......................วธิ ี

 หยบิ บัตรไดท้ งั้ หมด................วธิ ี

ดังน้ัน ……………………………………………………………………………………………………………………

4. นาตัวเลขโดด 0 – 9 มาสร้างเป็นจานวนคู่ทม่ี ี 4 หลกั โดยทีแ่ ตล่ ะหลกั ไมซ่ ้ากันได้ทงั้ หมด
ก่จี านวน
วธิ ีทา กรณที ่ี 1 ………………………………………………………………………..
เลอื กเลขโดดหลัก…………………………………. วิธี
เลอื กเลขโดดหลกั …………………………………. วธิ ี
เลอื กเลขโดดหลัก…………………………………. วิธี
เลือกเลขโดดหลัก…………………………………. วิธี

 จานวนวธิ ีสรา้ งจานวนค่ทู ่ี…………………………………………………จานวน
กรณีที่ 2 ………………………………………………………………………..
เลอื กเลขโดดหลกั …………………………………. วิธี
เลือกเลขโดดหลัก…………………………………. วิธี
เลอื กเลขโดดหลกั …………………………………. วธิ ี
เลือกเลขโดดหลกั …………………………………. วธิ ี
 จานวนวธิ ีสร้างจานวนคทู่ ี่…………………………………………………จานวน

ดงั นนั้ ………………………………………………………………………………………………………………

26

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชดุ ที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกบั การนบั
ใบความรทู้ ี่ 1.4 เร่ือง กฎเกณฑ์เบอ้ื งต้นเกยี่ วกับการนับ (ภายใต้เง่ือนไข)

1.4 กฎเกณฑเ์ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั การนบั (ภายใต้เงื่อนไข)

ในบางคร้งั เราต้องการนับจานวนวิธที ีเ่ ปน็ ไปไดบ้ างส่วนจากจานวนที่เป็นไปได้ทัง้ หมด
ซ่ึงสามารถหาจานวนวิธีทีเ่ ป็นไปได้ดังกล่าว โดยการเขยี นแผนภาพตน้ ไม้ใหเ้ ปน็ ไปตามเงื่อนไข
ท่ีกาหนดหรือใชก้ ฎเกณฑเ์ บ้ืองตน้ เกี่ยวกับการนับคานวณตามเง่อื นไขได้ ดังนี้

ตวั อย่างที่ 1 โยนเหรียญ 1 เหรียญ และทอดลกู เต๋า 1 ลูกพรอ้ มกัน จงหาจานวนวิธีทเ่ี หรียญ
จะขึน้ ก้อยและลกู เตา๋ ขน้ึ แต้มค่ี

แนวคดิ โจทยข์ อ้ นี้ต้องการให้โยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูก พร้อมกนั
ดงั น้ัน การทางานในข้อนม้ี ี 2 ข้นั ตอน
โยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ ข้นึ หน้าได้ดังน้ี
ทอดลูกเต๋า 1 ลกู แตม้ ที่หงายมดี ังนี้

วธิ ที า
ข้ันตอนท่ี 1 เหรียญขึน้ ก้อยได้ 1 วิธี

ขัน้ ตอนที่ 2 ลกู เตา๋ เป็นแต้มคี่ได้ 3 วิธี (แตม้ ค่ขี องลกู เตา๋ คือ 1, 3, 5)

ดังน้นั จานวนวิธีทเี่ หรยี ญจะขึ้นกอ้ ยและลกู เตา๋ ขนึ้ แต้มคีไ่ ด้ 1×3 = 3 วิธี

เขยี นแผนภาพต้นไม้ไดด้ งั น้ี

กาหนดให้ เหรียญขึน้ หวั เขยี นแทนด้วย H

เหรียญขน้ึ ก้อย เขยี นแทนดว้ ย T

เหรียญ ลกู เต๋า

1 T1
T 3 T3
5 T5

ดงั นั้น จานวนวิธที ่เี หรียญจะขึ้นก้อยและลกู เตา๋ ข้ึนแต้มคี่ได้ 3 วธิ ี คอื T1, T3, T5

ตัวอย่างท่ี 2 บริษัทแหง่ หนึ่งมตี าแหน่งวา่ งอยู่ 2 ตาแหนง่ มีผ้ผู า่ นการสัมภาษณ์ 5 คน คอื
ก, ข, ค, ง และ จ ผูจ้ ดั การพิจารณาแล้วเหน็ เหมาะสมกับตาแหน่งท่ี 1 มี 3 คน คอื
ก, ค และ ง มผี ู้เหมาะสมกับตาแหนง่ ที่ 2 มี 4 คน คือ ข, ค, ง และ จ จงหาจานวนวธิ ี
ทเี่ ปน็ ไปได้ท้งั หมดของการบรรจคุ นเข้าทางาน 2 ตาแหนง่ นี้

แนวคดิ โจทย์ข้อนีต้ ้องการบรรจุคนเข้าทางาน 2 ตาแหนง่

ดังนนั้ การทางานในขอ้ น้ีมี 3 วิธี คอื เลือกนาย ก หรอื นาย ค หรือ นาย ง
บรรจุตาแหนง่ ท่ี 1

27

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชดุ ท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เก่ยี วกบั การนับ
ใบความรทู้ ี่ 1.4 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งต้นเก่ียวกบั การนบั (ภายใต้เงื่อนไข)

วิธที า กรณที ี่ 1

ถา้ เลอื กนาย ก บรรจุตาแหน่งที่ 1 จะเลือกบรรจตุ าแหน่งท่ี 2 ได้ 4 วธิ ี (ข, ค, ง และ จ)

กรณีท่ี 2

ถา้ เลือกนาย ค บรรจุตาแหนง่ ที่ 1 จะเลือกบรรจุตาแหนง่ ที่ 2 ได้ 3 วธิ ี (ข, ง และ จ)

กรณที ่ี 3

ถ้าเลอื กนาย ง บรรจุตาแหน่งที่ 1 จะเลอื กบรรจตุ าแหนง่ ท่ี 2 ได้ 3 วิธี (ข, ค และ จ)

ดงั นั้น จานวนวิธใี นการบรรจุคนเขา้ ทางาน 2 ตาแหนง่ ไดท้ ั้งหมด 4+3+3 = 10 วธิ ี

เขียนแผนภาพต้นไม้ไดด้ ังน้ี ตาแหน่งที่ 2 ผลการเลือก
ตาแหน่งท่ี 1 ข กข
ค กค
ก ง กง
จ
กข คง จ กจ

ข คข
คง
ค ง คจ
จ

ข งข

ง ค งค
จ งจ

ดังนัน้ จานวนวธิ ีในการบรรจุคนเข้าทางาน 2 ตาแหนง่ ได้ 10 วิธี คือ

กข, กค, กง, กจ, คข, คง, คจ, งข, งค, งจ

ตวั อย่างท่ี 3 มีข้อสอบประเภทเลอื กตอบ 4 ตวั เลอื ก คอื a, b, c และ d จานวน 10 ข้อ
คิมเลือกตอบข้อสอบได้กว่ี ธิ ี ถา้ 5 ขอ้ หลงั ไม่เลือกข้อ a และ d

แนวคดิ โจทยข์ อ้ นี้ต้องการเลือกตอบข้อสอบจานวน 10 ขอ้
ดังน้นั การทางานในขอ้ นีม้ ี 10 ข้ันตอน โดยข้นั ตอนที่ 1-5 คือ 5 ข้อแรก
เลือกตอบได้ 4 ตัวเลือก และขนั้ ตอนที่ 6-10 คือ 5 ขอ้ หลังเลือกตอบได้ 2 ตัวเลือก

วธิ ที า 5 ข้อแรกมีวธิ ีเลือกตอบในแต่ละขอ้ ได้ 4 วธิ ี = 4×4×4×4×4 = 45 วธิ ี
5 ขอ้ หลังไม่เลือก a และ d มีวธิ เี ลอื กตอบในแตล่ ะข้อได้ 2 วธิ ี = 2×2×2×2×2 = 25 วธิ ี
ดงั นั้น จานวนวธิ ีทค่ี ิมเลือกตอบข้อสอบโดย 5 ข้อหลงั ไม่เลือกข้อ a และ d ได้ 45×25 = 85 วธิ ี

28

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชุดท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องตน้ เก่ียวกบั การนบั
ใบความรูท้ ่ี 1.4 เรือ่ ง กฎเกณฑ์เบอื้ งต้นเกย่ี วกบั การนับ (ภายใต้เงอื่ นไข)

ตวั อยา่ งท่ี 4 หอ้ งปฏิบัติการวิทยาศาสตรข์ องโรงเรยี นแห่งหนึง่ ต้องการสร้างรหสั ทะเบียนอุปกรณ์
เครอ่ื งมอื สื่อการเรียนวิทยาศาสตร์ ซ่ึงประกอบด้วยตวั อักษรภาษาอังกฤษ 1 ตวั
และเลขโดด 2 ตวั ตวั อยา่ งเชน่ A01 อยากทราบวา่ รหัสทะเบียนอปุ กรณเ์ คร่อื งมือ
ส่ือการเรยี นวิทยาศาสตรข์ องโรงเรียนแหง่ นี้มไี ดท้ ้ังหมดก่รี หสั ถ้า
1. รหสั ทะเบยี นอุปกรณต์ ้องไมม่ ีเลขโดดซา้ กนั
2. รหสั ทะเบยี นอปุ กรณ์มเี ลขโดดซา้ กนั ได้

แนวคดิ โจทย์ข้อนีต้ ้องการสร้างรหสั ทะเบียน 3 ตวั ได้แก่ ตัวอกั ษร
ภาษาอังกฤษ 1 ตวั และเลขโดด 2 ตัว ดงั นนั้ การทางานมี 3 ขั้นตอน
โดยตัวอักษรภาษาองั กฤษ คือ A-Z มที ั้งหมด 26 ตวั และเลขโดดทีใ่ ช้
ในแสดงจานวนท่ตี ้องการ คือ 0-9

วิธีทา 1) รหัสทะเบียนอุปกรณต์ อ้ งไมม่ ีเลขโดดซา้ กัน
ขั้นตอนท่ี 1 รหัสตวั แรก เลือกอักษรได้ = 26 วธิ ี (ตวั อักษร A-Z )
ขนั้ ตอนท่ี 2 รหสั ตวั ที่สอง เลอื กเลขโดดได้ = 10 วธิ ี (เลขโดด 0-9)
ข้ันตอนท่ี 3 รหสั ตวั ท่สี าม เลอื กเลขโดดได้ = 9 วธิ ี (ไมซ่ ้ากบั เลขโดดตวั แรก)
ดังนนั้ สร้างรหัสทะเบียนท่ีไม่มเี ลขโดดซ้ากนั ได้ทั้งหมด 26×10×9 = 2,340 รหัส

2) รหัสทะเบียนอุปกรณ์มีเลขโดดซ้ากัน
ขน้ั ตอนท่ี 1 รหสั ตวั แรก เลือกอักษรได้ = 26 วธิ ี
ขัน้ ตอนท่ี 2 รหสั ตวั ท่สี อง เลือกเลขโดดได้ = 10 วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 3 รหัสตัวทีส่ าม เลอื กเลขโดดได้ = 10 วธิ ี
ดังนนั้ สร้างรหัสทะเบียนท่มี ีเลขโดดซ้ากันได้ทัง้ หมด 26×10×10 = 2,600 รหสั
ตวั อย่างท่ี 5 มจี ดหมาย 4 ฉบับทแี่ ตกตา่ งกนั ตอ้ งการไปใสต่ ไู้ ปรษณยี ์ซ่งึ มีอยู่ 6 ตู้ จะมวี ธิ ใี ส่
จดหมายลงในตู้ไปรษณีย์ไดแ้ ตกต่างกันทัง้ หมดกวี่ ธิ ี ถ้า
1) ไม่มีเง่ือนไขเพม่ิ เติม
2) จดหมายแต่ละฉบับใส่ตู้ไม่ซ้ากนั
3) จดหมายทกุ ฉบับใส่ตเู้ ดียวกนั
4) มจี ดหมายซองสขี าวอยู่หนงึ่ ฉบับต้องใส่ตู้ที่ 1 เท่าน้ัน

แนวคิด โจทย์ขอ้ น้ตี ้องการนาจดหมาย 4 ฉบับใส่ลงในตู้ไปรษณีย์ 6 ตู้
ดังนั้น การทางานมี 4 ขัน้ ตอน

29

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชดุ ท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บ้ืองตน้ เกีย่ วกบั การนับ
ใบความรู้ท่ี 1.4 เร่อื ง กฎเกณฑ์เบอ้ื งต้นเกยี่ วกับการนบั (ภายใต้เงื่อนไข)

วิธีทา 1) ไมม่ เี งอื่ นไขเพ่ิมเติม
ข้นั ตอนที่ 1 จดหมายฉบบั ที่ 1 เลือกใสต่ ไู้ ปรษณยี ์ได้ 6 วธิ ี (มี 6 ตู้)
ขน้ั ตอนที่ 2 จดหมายฉบับท่ี 2 เลอื กใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 วธิ ี
ขนั้ ตอนที่ 3 จดหมายฉบับที่ 3 เลอื กใส่ตไู้ ปรษณีย์ได้ 6 วิธี
ขน้ั ตอนที่ 4 จดหมายฉบบั ท่ี 4 เลือกใสต่ ูไ้ ปรษณยี ์ได้ 6 วิธี
ดังน้นั จานวนวิธีนาจดหมาย 4 ฉบบั ใส่ตไู้ ปรษณียไ์ ด้ 6 ตู้ ไดท้ งั้ หมด 6×6×6×6 = 64 วิธี

2) จดหมายแตล่ ะฉบับใสต่ ู้ไมซ่ ้ากัน
ขน้ั ตอนท่ี 1 จดหมายฉบบั ที่ 1 เลือกใสต่ ู้ไปรษณยี ์ได้ 6 วิธี (มี 6 ต)ู้
ข้นั ตอนท่ี 2 จดหมายฉบบั ท่ี 2 เลือกใสต่ ู้ไปรษณยี ์ได้ 5 วธิ ี (ใสไ่ ปแล้ว 1 ตู้ เหลอื 5 ตู้)
ขัน้ ตอนท่ี 3 จดหมายฉบบั ที่ 3 เลอื กใส่ตู้ไปรษณยี ์ได้ 4 วิธี (ใส่ไปแลว้ 2 ตู้ เหลือ 4 ตู้)
ขั้นตอนที่ 4 จดหมายฉบบั ที่ 4 เลือกใสต่ ไู้ ปรษณีย์ได้ 3 วิธี (ใส่ไปแล้ว 3 ตู้ เหลอื 3 ตู้)
ดงั น้นั จานวนวิธีนาจดหมาย 4 ฉบบั ใสต่ ไู้ ปรษณยี ์ได้ 6 ตู้ โดยไม่ซ้าตกู้ นั ได้ท้ังหมด

6×5×4×3 = 360 วธิ ี
3) จดหมายทกุ ฉบับใสต่ ้เู ดียวกนั
ขัน้ ตอนที่ 1 จดหมายฉบับที่ 1 เลือกใสต่ ู้ไปรษณยี ์ได้ 6 วธิ ี (มี 6 ตู้)
ขั้นตอนที่ 2 จดหมายฉบบั ท่ี 2 เลอื กใสต่ ู้ไปรษณยี ์ได้ 1 วธิ ี (ใส่ตู้เดียวกันกบั ฉบบั แรก)
ขั้นตอนที่ 3 จดหมายฉบบั ที่ 3 เลอื กใส่ตูไ้ ปรษณยี ไ์ ด้ 1 วธิ ี (ใส่ตู้เดียวกันกับฉบบั แรก)
ขน้ั ตอนท่ี 4 จดหมายฉบับท่ี 4 เลอื กใส่ตไู้ ปรษณีย์ได้ 1 วิธี (ใส่ตเู้ ดียวกนั กบั ฉบบั แรก)
ดงั นน้ั จานวนวิธีนาจดหมาย 4 ฉบับ ใส่ตไู้ ปรษณยี ์ได้ 6 ตู้ โดยใส่ตู้เดียวกันได้ทัง้ หมด

6×1×1×1 = 6 วธิ ี

4) มจี ดหมายซองสีขาวอยู่หนึ่งฉบับต้องใสต่ ู้ท่ี 1 เทา่ น้นั
ขั้นตอนที่ 1 จดหมายซองสีขาว เลอื กใสต่ ไู้ ปรษณีย์ได้ 1 วธิ ี (ใส่ตู้ 1 เทา่ นั้น)
ขนั้ ตอนที่ 2 จดหมายฉบบั ที่ 2 เลอื กใส่ตไู้ ปรษณยี ์ได้ 6 วธิ ี (มี 6 ตู้)
ขั้นตอนที่ 3 จดหมายฉบับท่ี 3 เลือกใสต่ ู้ไปรษณยี ์ได้ 6 วธิ ี (มี 6 ตู้)
ข้ันตอนที่ 4 จดหมายฉบับท่ี 4 เลือกใส่ตู้ไปรษณยี ์ได้ 6 วธิ ี (มี 6 ตู้)
ดังนั้น จานวนวธิ ีนาจดหมาย 4 ฉบบั ใสต่ ู้ไปรษณยี ์ได้ 6 ตู้ โดยจดหมายซองสขี าว

ใส่ในตทู้ ี่ 1 จะใสไ่ ด้ท้งั หมด 1×6×6×6 = 216 วธิ ี

30

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชดุ ท่ี 1 เร่อื ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั การนบั
ใบความร้ทู ่ี 1.4 เรือ่ ง กฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เกีย่ วกับการนับ (ภายใตเ้ ง่อื นไข)

ตวั อย่างที่ 7 ในการทอดลกู เต๋าสองลูกพร้อม ๆ กัน จงหาจานวนวิธีทไ่ี ดผ้ ลลัพธ์เหลา่ นี้
1) จานวนผลลัพธ์ของการทอดลูกเต๋า 2 ลกู
2) จานวนแตม้ ตรงกนั
3) จานวนแต้มตา่ งกัน

แนวคิด โจทย์ขอ้ น้ีต้องการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน
ดงั นั้น การทางานมี 2 ขนั้ ตอน ลกู เตา๋ ลกู ท่ี 1 และลกู เต๋าลูกท่ี 2

วิธที า 1) จานวนผลลพั ธข์ องการทอดลกู เตา๋ 2 ลกู
ขั้นตอนที่ 1 ลกู เตา๋ ลกู ที่ 1 หงายแต้มได้ 6 วธิ ี (1, 2, 3, 4, 5 และ 6)
ขั้นตอนท่ี 2 ลูกเต๋าลูกท่ี 2 หงายแตม้ ได้ 6 วิธี (1, 2, 3, 4, 5 และ 6)

ดังนน้ั จานวนวธิ ีของผลลพั ธ์จากการทอดลูกเตา๋ 2 ลกู พร้อม ๆ กันได้ทั้งหมด 6×6 = 36 วิธี
ได้แก่ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

2) จานวนแตม้ ตรงกนั
ขั้นตอนที่ 1 ลูกเตา๋ ลกู ท่ี 1 หงายแต้มได้ 6 วธิ ี (1, 2, 3, 4, 5 และ 6)
ขน้ั ตอนท่ี 2 ลกู เตา๋ ลกู ที่ 2 หงายแต้มได้ 1 วิธี (แต้มเดยี วกันกับลูกท่ี 1)
ดังนน้ั จานวนวิธที ี่ได้ผลลัพธ์ที่มีจานวนแตม้ ตรงกนั ได้ทงั้ หมด 6×1 = 6 วธิ ี

ได้แก่ (1,1), (2.2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)

3) จานวนแตม้ ตา่ งกนั
ข้ันตอนที่ 1 ลกู เต๋าลกู ท่ี 1 หงายแตม้ ได้ 6 วธิ ี (1, 2, 3, 4, 5 และ 6)
ข้ันตอนท่ี 2 ลกู เตา๋ ลูกท่ี 2 หงายแต้มได้ 5 วิธี (แตม้ ทเ่ี หลือ ท่ไี ม่ซ้าลูกที่ 1)
ดังนน้ั จานวนวิธีที่ไดผ้ ลลพั ธ์ทม่ี จี านวนแตม้ ต่างกนั ไดท้ ้งั หมด 6×5 = 30 วิธี

หรอื จานวนผลลพั ธท์ ง้ั หมด - จานวนแตม้ ตรงกนั = 36 – 6 = 30 วธิ ี

31

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชุดที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เก่ยี วกบั การนบั
แบบฝึกทกั ษะท่ี 1.4 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั การนับ (ภายใต้เงอื่ นไข)

จุดประสงค์ นักเรยี นสามารถใชก้ ฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เก่ยี วกับการนับในการหาจานวนผลลัพธ์
ท่ีอาจเกดิ ขึ้นของเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้

คาชี้แจง ใหน้ ักเรียนหาจานวนวธิ ที ่ีเปน็ ไปได้ทั้งหมดโดยใช้กฎเกณฑ์เบอื้ งต้นเก่ียวกบั การนบั

1. ดเี จพุฒมิ เี พ่ือนสนทิ 5 คน เขาตอ้ งการชวนเพอ่ื นสนิทไปเที่ยวได้กีว่ ิธี ถา้ ตอ้ งการชวนเพ่ือนสนิท
อยา่ งน้อย 1 คน
วธิ ีทา ดีเจพฒุ ิเลอื กชวนเพ่อื นสนทิ แต่ละคนไปเท่ียวได้ ………………….วธิ ี (..................)
ดเี จพฒุ ิมีวิธชี วนเพือ่ นสนิท 5 คนไปเท่ยี วได้ .....................วธิ ี
แต่ มี............วิธีทไี่ ม่ชวนใครเลย
ดงั นั้น ดเี จพุฒมิ ีวธิ ชี วนเพื่อนสนทิ อย่างน้อย 1 คนไปเทยี่ วได้ท้ังหมด...................วิธี

2. กระเป๋าเดินทางใบหน่ึง ใชก้ ุญแจท่มี รี หัสมเี ลข 3 หลัก แต่ละหลักหมนุ ไดต้ ั้งแต่ 0-9 ถ้าตงั้ รหัส
กญุ แจเปิดได้ไว้เพียงวธิ เี ดียว จานวนวิธีตงั้ รหัสกุญแจ 3 หลกั ทที่ าให้กุญแจเปิดไมไ่ ด้เปน็ เทา่ ใด
วธิ ีทา

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

3. จงหาจานวนวธิ สี ร้างจานวนโดยใช้
3.1 เลขโดด 2 ถงึ 9 สรา้ งจานวนคทู่ ีม่ ีสามหลัก
วิธีทา

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

3.2 เลขโดด 1 ถงึ 8 สร้างจานวนคท่ี ่ีมี 4 หลัก
วิธที า

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

32

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชดุ ท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบอ้ื งต้นเกีย่ วกบั การนบั
แบบฝึกทกั ษะที่ 1.4 เรื่อง กฎเกณฑ์เบ้อื งตน้ เกีย่ วกบั การนับ (ภายใต้เงื่อนไข)

4. ปเี ตอรว์ างแผนมบี ุตร 3 คน จานวนวิธีที่เขาจะมีบุตรชาย-หญงิ ไดแ้ ตกตา่ งกันท้ังหมดก่วี ธิ ี ถ้า
4.1 ไมม่ เี งื่อนไขเพ่ิมเติม
วิธีทา...........................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

4.2 ไมม่ บี ุตรเป็นเพศเดยี วกันท้ัง 3 คน
วธิ ที า...........................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

4.3 มีบตุ รคนแรกเป็นชาย
วิธที า..........................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

5. นาตวั อกั ษร 5 ตวั จากคาว่า “TUNSAK” มาสร้างคาตา่ ง ๆ ท่แี ตกต่างกนั ไดก้ ี่คา โดยทแ่ี ต่ละคา
ไม่จาเปน็ ต้องมคี วามหมาย ถ้า
5.1 พยัญชนะไมอ่ ยตู่ ิดกนั
วิธีทา..........................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

5.2 N ต้องเป็นตัวแรก และพยัญชนะอยูต่ ิดกัน
วิธที า..........................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

33

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชุดที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเกี่ยวกบั การนับ
ใบความรทู้ ี่ 1.5 เร่อื ง ความหมายของแฟกทอเรียล

1.5 ความหมายของแฟกทอเรยี ล

บทนิยาม ถา้ n เป็นจานวนเตม็ บวก แฟกทอเรยี ล (factorial) n คอื ผลคณู ของ
จานวนเตม็ บวกตงั้ แต่ 1 ถงึ n และเขยี นแทนด้วย n!

นนั่ คือ n! = 1×2×3×…×(n-1)×n
หรือ n! = n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1
สัญลักษณ์ “n!” อ่านว่า “แฟกทอเรียลเอ็น” หรอื “เอน็ แฟกทอเรยี ล”

บทนิยามของ n! กล่าวถงึ เฉพาะ n ทีเ่ ป็นจานวนเตม็ บวก แตบ่ างคร้ังเรามคี วามจาเป็นต้องใช้ 0!

จงึ ตอ้ งกาหนดค่าไว้ดว้ ย โดยกาหนดให้ 0! = 1 ดว้ ยเหตุผลดงั น้ี

เนื่องจาก n! = n×(n-1)×(n-2)×… ×3×2×1

ดงั น้ัน (n-1)!
ถ้า n = 1 จะได้ n! = n(n-1)!
1! = 1(1-1)!
ดงั นัน้ 1 = 1×0! ( 1 เป็นเอกลักษณ์การคณู ของจานวนเต็ม)
1 = 0!

ตวั อย่าง 1! = 1

2! = 2×1 = 2

3! = 3×2×1 = 6

4! = 4×3×2×1 = 24

5! = 5×4×3×2×1 = 120 ในบางคร้ังเราไมจ่ าเปน็ ต้องกระจายถงึ 1
เช่น 8!= 8×7×6×5!
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 8!
5!
8! 87654321
วิธีทา 5! = 54321

= 8×7×6

= 336

หมายเหตุ การหาค่าของ 8! สามารถทาไดโ้ ดยใชค้ วามรเู้ ก่ียวกบั แฟกทอเรยี ลไดอ้ ีกวธิ หี นงึ่ คือ
5!
8! 8  7  6  5! 1
5! = 5! 1
= 8×7×6 = 336

34

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชดุ ท่ี 1 เรอ่ื ง กฎเกณฑ์เบื้องตน้ เกยี่ วกบั การนบั
ใบความรทู้ ่ี 1.5 เรอ่ื ง ความหมายของแฟกทอเรียล

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาค่าของ 4!6!
8!
4!6! 43216!
วธิ ที า 8! = 876!

= 4321
87
3
= 7

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของ 6!-5!

วิธที า 6!-5! = 6×5!-5! ใช้การดงึ ตัวรว่ ม
= (6-1)×5!
= 5×5! (6-1)×5! = 6×5!-5!
= 5×5×4×3×2×1
= 600

 ข้อควรระวงั

1. 5!+4! ≠ (5+4)!

2. 6!×3! ≠ (6×3)!

3. 3! ≠  3 !
7!  7


4. (-3)! ไมม่ นี ิยาม เพราะ -3  I-

35

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชดุ ท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกีย่ วกบั การนับ
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.5 เรอ่ื ง ความหมายของแฟกทอเรียล

จดุ ประสงค์ นกั เรยี นสามารถบอกนยิ าม ความหมายของแฟกทอเรยี ล n ได้
คาช้แี จง จงหาค่าของ

1. 7!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

2. 3!6!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

3. (4-2)!(8-4)!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

4. 1!2!3!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

5. 5!×4!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

6. 3!
6!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

7. 11!
8!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

8. 5!3!
4!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

9. 4!+3!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

10. 8!
5!3!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

36

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชดุ ที่ 1 เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บือ้ งตน้ เกี่ยวกบั การนบั
ใบความร้ทู ี่ 1.6 เรอ่ื ง แฟกทอเรยี ล

1.6 แฟกทอเรยี ล (factorial)

ตวั อย่างที่ 1 จงเขียนผลคูณตอ่ ไปน้ีให้อยใู่ นรปู แฟกทอเรยี ล

1) 12×11×10×…×3×2×1

2) 9×8×7×6

3) n(n-1)(n-2)(n-3)

4) n(n+1)(n+2)…(n+r)

วธิ ที า 1) 12×11×10×…×3×2×1 = 12!

2) 9×8×7×6 = 98765! = 9!
3) n(n-1)(n-2)(n-3) 5! 5!
n(n-1)(n- 2)(n- 3)(n- 4)! n!
= (n- 4)! = (n - 4)!

4) n(n+1)(n+2)…(n+r) = (n+r)(n+r-1)( n+r-2)…(n+2)(n+1)n

= (n r)(n  r -1)(n r - 2)...(n 2)(n1)n(n-1)!
(n - 1)!
(n  r)!
= (n -1)!

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขียนจานวนในข้อต่อไปนี้ในรปู ซึ่งไม่มีแฟกทอเรยี ล

1) (n  2)! 2) (n 1)(n 2)!
(n -1)! (n - 2)(n1)!
(n  2)! (n 2)(n1)n(n-1)!
วธิ ีทา 1) (n -1)! = (n - 1)!

= (n+2)(n+1)n

2) (n 1)(n 2)! = (n-1)(n- 2)!(n 2)(n1)!
(n - 2)(n1)! (n- 2)!(n1)!

= (n-1)(n+2)

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ n จากสมการต่อไปนี้

1) n! = 380
(n - 2)!

2) n! = 720
(n- 3)!

3) (n - 1)! = 20
(n- 3)!

37

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชุดท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เกย่ี วกบั การนบั
ใบความรทู้ ี่ 1.6 เรื่อง แฟกทอเรยี ล

วธิ ที า 1) n! = 380
(n - 2)!

n(n-1)(n- 2)! = 380
(n- 2)!

n(n-1) = 380

n2-n = 380

n2-n-380 = 0

(n-20)(n+19) = 0

จะได้ n = 20 หรอื -19

จากนยิ าม n เป็นจานวนเต็มบวก -19 จึงใชไ้ ม่ได้

ดงั นั้น n = 20

ขอ้ สงั เกต จากตวั อย่างขา้ งต้น n(n-1) = 380
แสดงวา่ จานวนสองจานวนเรยี งกนั คณู กันได้ 380 เขียนได้คอื

n(n-1) = 20×19
จะได้ n = 20

2) n! = 720
(n- 3)!

n(n-1)(n- 2)(n- 3)! = 720
(n- 3)!

n(n-1)(n-2) = 10×9×8

n(n-1)(n-2) = 10×(10-1)×(10-2)

ดงั น้ัน n = 10

3) (n - 1)! = 20
(n- 3)!

(n-1)(n- 2)(n- 3)! = 20
(n- 3)!

(n-1)(n-2) = 5×4

 n-1 = 5 หรือ n-2 = 4

จะได้ n = 6

38

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชดุ ท่ี 1 เรอ่ื ง กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเกีย่ วกบั การนบั
แบบฝึกทกั ษะท่ี 1.6 เรื่อง แฟกทอเรยี ล

จุดประสงค์ นักเรียนสามารถนาความรู้เก่ียวกับแฟกทอเรียล n ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหาได้

คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ที า

1. จงเขียนผลคณู ตอ่ ไปนี้ให้อยูใ่ นรปู แฟกทอเรยี ล

1.1) 15×14×13×…×3×2×1

…………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2) 5×6×7×8×9

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3) 20×19×18

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4) n(n+1)(n+2)(n+3)

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

1.5) n(n-1)(n-2)…(n-k-1)

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงเขยี นจานวนในข้อต่อไปน้ใี หอ้ ย่ใู นรปู ซง่ึ ไม่มีแฟกทอเรียล

2.1 (n  2)!
n!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

2.2) n!
(n 1)!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

2.3) (2k-3)!
(2k-6)!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

39

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชุดที่ 1 เรอ่ื ง กฎเกณฑ์เบ้ืองตน้ เก่ยี วกบั การนบั
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.6 เรอ่ื ง แฟกทอเรียล

จดุ ประสงค์ นกั เรยี นสามารถนาความรเู้ กี่ยวกบั แฟกทอเรยี ล n ไปใช้ในการแก้ปัญหาได้

คาชี้แจง จงแสดงวธิ ที า

3. จงหาค่าของ n จากสมการตอ่ ไปน้ี

3.1) n! = 72
(n - 2)!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

3.2) (n 1)! = 420
(n -1)!

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

ไมส่ ูง…ตอ้ งเขยง่ ....ไม่เกง่ ....ต้องขยัน

40

แบบทดสอบหลังเรยี น เรอื่ ง ความนา่ จะเปน็
ชดุ ท่ี 1 กฎเกณฑเ์ บอ้ื งต้นเกย่ี วกับการนบั

ระดับชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5

คาชแ้ี จง 1) แบบทดสอบหลังเรยี นชดุ ที่ 1 ใชท้ ดสอบความรู้ของนกั เรยี นหลงั เรยี น
เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บือ้ งตน้ เกีย่ วกบั การนับ จานวน 10 ขอ้

2) ใหน้ ักเรียนเลือกคาตอบท่ถี ูกต้องท่ีสุดเพียงคาตอบเดยี ว แล้วทาเคร่ืองหมาย × ลงใน
กระดาษคาตอบ

3) ใช้เวลาในการทดสอบ 20 นาที

1. ในการนงั่ เรือข้ามฝากแมน่ ้าเจ้าพระยาทม่ี เี รือท่ีทา่ นา้ อยู่ 5 ลา จานวนวธิ นี ่ังเรอื ข้ามฝากแมน่ ้าน้ี
ท้งั ไปและกลบั ได้กี่วิธี ถา้ ขาไปและขากลับลงเรือลาต่างกนั
ก. 5 วิธี
ข. 10 วธิ ี
ค. 20 วธิ ี
ง. 25 วิธี

2. ในการเล่นเป่าย้ิงชบุ มีผเู้ ล่น 2 คน แต่ละคนจะออกมอื แทนส่งิ ใดสงิ่ หนง่ึ ใน 3 สงิ่ ต่อไปน้ี คือ
ค้อน กรรไกร กระดาษ จานวนวิธีท้งั หมดในการออกมือตรงกับขอ้ ใด
ก. 3 วิธี
ข. 6 วิธี
ค. 9 วธิ ี
ง. 12 วธิ ี

3. ต้องการเรยี งคาใหม่ท่ีประกอบดว้ ยตวั อักษร 4 ตวั จากตวั อกั ษรคาว่า math ไม่จาเป็นตอ้ งมี
ความหมาย โดยต้องข้ึนต้นด้วยสระไดท้ งั้ หมดก่วี ธิ ี
ก. 24 วิธี
ข. 20 วิธี
ค. 12 วธิ ี
ง. 6 วิธี

4. มีปา้ ยเขยี นหมายเลขกากับไว้อยู่ 5 ใบ คือ 1, 3, 5, 7 และ 8 ถา้ นาแผ่นป้ายดังกล่าวมาเรียงเป็น
จานวน 3 หลักจะได้จานวนทง้ั หมดก่ีจานวน
ก. 20 วธิ ี
ข. 25 วิธี
ค. 60 วธิ ี
ง. 100 วธิ ี

41

5. นายณฐั มเี พื่อน 4 คน เขาตอ้ งการชวนเพอ่ื นไปดหู นงั ได้กวี่ ธิ ี ถ้าต้องการชวนเพื่อนอย่างน้อย 1 คน
ก. 4 วธิ ี
ข. 8 วิธี
ค. 15 วธิ ี
ง. 16 วิธี

6. ในการทาแบบทดสอบ 20 ขอ้ แต่ละข้อมีตัวเลอื ก 4 ขอ้ นักเรยี นจะมีวิธีเลือกตอบขอ้ สอบ
ดังกล่าวไดท้ ง้ั หมดกวี่ ิธี
ก. 420 วธิ ี
ข. 80 วธิ ี
ค. 4 วิธี
ง. 204 วธิ ี

7. ครูมหี นังสือท่แี ตกต่างกนั 3 เลม่ ตอ้ งการแจกหนังสอื ท้ังหมดให้นักเรยี น 5 คน โดยไม่ใหซ้ ้าคนเดมิ
ครูจะมีวธิ แี จกหนงั สือให้นกั เรียนไดท้ ้ังหมดก่วี ิธี
ก. 243 วธิ ี
ข. 125 วธิ ี
ค. 60 วิธี
ง. 15 วิธี

8. ลกู เสือ 2 คน และเนตรนารี 4 คน เข้าแถวเรียงหนา้ กระดานโดยลูกเสอื ต้องยนื หวั แถวและ

ท้ายแถวเสมอ จะมีวธิ ยี ืนเข้าแถวได้ทงั้ หมดกี่วธิ ี

ก. 72 วธิ ี

ข. 48 วธิ ี

ค. 24 วธิ ี

ง. 12 วิธี
n!
9. (n 1)!  10 มีคา่ ตรงกบั ข้อใด

ก. 10

ข. 9

ค. 8

ง. 7

10. 8! มีคา่ ตรงกับข้อใด
6!2!
ก. 64

ข. 52

ค. 36

ง. 28

94

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชุดท่ี 1 เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บ้อื งต้นเก่ียวกบั การนบั
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1.1 เรอ่ื ง แผนภาพต้นไม้

จุดประสงค์ นักเรยี นสามารถใช้แผนภาพตน้ ไม้อย่างงา่ ยในการหาจานวนผลลพั ธท์ ่อี าจเกิดขนึ้
ของเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้

คาชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนหาจานวนวธิ ีท่เี ป็นไปไดท้ งั้ หมดโดยใชแ้ ผนภาพต้นไม้

1. นักเรียนคนหนึ่งจะต้องเลือกเรยี นวชิ าเพิ่มเตมิ การงานอาชพี และภาษาอังกฤษอย่างละ

1 รายวิชา ถ้าโรงเรียนกาหนดสอนวิชาเพิม่ เติมการงานอาชีพให้ 3 รายวชิ า และวชิ าภาษา

อังกฤษ 3 รายวิชา จานวนวิธที น่ี กั เรยี นคนนจี้ ะเลือกเรียนวชิ าเพิ่มเตมิ ท้ังวิชาการงานอาชพี และ

ภาษาองั กฤษได้แตกตา่ งกันท้ังหมดกีว่ ิธี

วิธีทา สมมตใิ หว้ ชิ าเพ่มิ เติมการงานอาชีพ คือ พ1, พ2 และ พ3
และสมมตใิ หว้ ิชาเพิ่มเติมภาษาอังกฤษ คือ อ1, อ2 และ อ3
เขียนแผนภาพตน้ ไม้ไดด้ ังนี้

การงานอาชีพ ภาษาออัง1กฤษ
พ1
อ2
พ2 อ3
อ1

อ2
อ3
อ1

พ3 อ2
อ3

ดงั น้นั จานวนวธิ ีท่ีนักเรยี นคนนีจ้ ะเลือกเรียนวชิ าเพิ่มเตมิ ท้ังวชิ าการงานอาชีพและ

ภาษาอังกฤษ เทา่ กับ 3×3 = 9 วธิ ี

95

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชุดท่ี 1 เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั การนบั
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.1 เรอ่ื ง แผนภาพต้นไม้

2. เด็กคนหน่งึ ต้องการเลือกซ้อื ไอศกรมี ทรี่ ้านไอศกรมี แหง่ หน่ึง โดยทางรา้ นมีโคนและถ้วยใหเ้ ลือก
ใสไ่ อศกรีมได้เพยี งอย่างละ 1 ลกู เท่าน้ัน ซึ่งมรี สวนลิ า รสมะนาว รสชอ็ กโกแลต และรสสตอเบอรี่
ท่เี ด็กคนน้ีชอบจานวนวธิ ีท่เี ด็กคนน้ีจะเลือกซ้อื ไอศกรีมได้แตกตา่ งกันทั้งหมดก่ีวธิ ี
วิธีทา เขยี นแผนภาพตน้ ไม้ไดด้ งั น้ี

วนลิ า

โคน มะนาว
ชอ็ กโกแลต

สตอเบอร่ี

วนิลา

ถ้วย มะนาว
ช็อกโกแลต

สตอเบอร่ี

ดังน้ัน จานวนวิธีทเ่ี ดก็ คนนี้จะเลือกซ้ือไอศกรีมได้แตกต่างกันท้งั หมดเท่ากบั 2×4 = 8 วธิ ี

3. จากเมือง ก ไปยังเมือง ข มเี สน้ ทางการเดินทางได้ 3 วธิ ี คอื รถยนต์ รถไฟ และเคร่อื งบิน

จากเมอื ง ข ไป เมอื ง ค มีเส้นทางการเดนิ ทางได้ 2 วิธี คอื รถยนต์และเรือ จานวนวิธีทจ่ี ะ

เดนิ ทางจากเมอื ง ก ไปยังเมือง ค โดยผ่านเมือง ข เปน็ เท่าใด

วิธีทา เขียนแผนภาพตน้ ไม้ได้ดงั น้ี

จากเมือง ก ไปเมือง ข จากเมือง ข ไปเมือง ค

รถยนต์
รถยนต์

เรอื

รถยนต์
รถไฟ

เรอื

รถยนต์
เคร่อื งบนิ

เรือ
ดงั นน้ั จานวนวธิ ีที่จะเดนิ ทางจากเมือง ก ไปยังเมือง ค โดยผา่ นเมือง ข

เท่ากบั 3×2 = 6 วิธี

96

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชดุ ท่ี 1 เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บ้ืองตน้ เกีย่ วกบั การนบั
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1.1 เรือ่ ง แผนภาพต้นไม้

4. มีนก 2 ตวั เลอื กใสก่ รงนก 5 กรง ได้แตกต่างกันทงั้ หมดกี่วธิ ี
วธิ ีทา สมมติให้นก 2 ตวั คอื น1 และ น2
และสมมตใิ ห้กรงนก 5 กรง คือ ก1, ก2, ก3, ก4 และ ก5
เขยี นแผนภาพตน้ ไม้ไดด้ งั นี้
นก กรงนก

ก1

น1 ก2
ก3

ก4

ก5

ก1

น2 ก2
ก3

ก4

ก5

ดังน้ัน จานวนวธิ ีที่จะเลอื กนกใส่กรงไดแ้ ตกต่างกนั ท้ังหมดเทา่ กับ 2×5 = 10 วธิ ี

97

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชุดที่ 1 เรือ่ ง กฎเกณฑ์เบอ้ื งตน้ เก่ยี วกบั การนับ
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1.2 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เก่ยี วกบั การนับ (การคูณ)

จดุ ประสงค์ นักเรียนสามารถใช้กฎเกณฑ์เบื้องตน้ เกย่ี วกับการนบั ในการหาจานวนผลลพั ธ์
ที่อาจเกดิ ข้นึ ของเหตกุ ารณต์ า่ ง ๆ ได้

คาช้แี จง ให้นกั เรยี นหาจานวนวิธที ีเ่ ปน็ ไปได้ท้ังหมดโดยใช้กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเก่ยี วกบั การนบั

1. ในการรบั สมัครพนักงาน 2 ตาแหนง่ เป็นพนักงานหญงิ 1 ตาแหน่ง พนักงานชาย 1 ตาแหนง่
ถ้าผสู้ มคั รเป็นหญงิ 4 คน เปน็ ชาย 5 คน จะมีจานวนวิธรี บั พนกั งานแบบต่าง ๆ ได้กวี่ ิธี
วิธีทา เลือกรับพนกั งานหญิงได้ 4 วิธี
เลือกรบั พนกั งานชายได้ 5 วธิ ี
ดังนั้น จานวนวิธรี ับพนักงานแบบตา่ ง ๆ ได้ 4×5 = 20 วิธี

2. ถ้า A = {1, 3, 5, 7, 9} จงหาวา่ จะสามารถนาสมาชกิ ในเซต A มาสร้างเป็นจานวนเต็มซงึ่ มี
สามหลกั โดยทีแ่ ตล่ ะหลักใช้เลขโดดไม่ซา้ กันได้ทั้งหมดกจี่ านวน
วธิ ีทา เลอื กเลขโดดในหลักร้อยได้ 5 วิธี
เลอื กเลขโดดในหลักสบิ ได้ 4 วิธี
เลอื กเลขโดดในหลักหน่วยได้ 3 วธิ ี
ดงั นน้ั สรา้ งจานวนเต็มทม่ี สี ามหลักโดยทีแ่ ต่ละหลักใชเ้ ลขโดดไมซ่ า้ กันได้
ทงั้ หมด 5×4×3 = 60 จานวน

3. บัตรเข้าชมภาพยนตรข์ องโรงหนังแห่งหนึ่งกาหนดหมายเลขทน่ี งั่ เข้าชมโดยใช้หมายเลข 1-20
และตัวอกั ษรภาษาอังกฤษ A – P ตัวอย่างเช่น 1A จงหาจานวนทน่ี ง่ั ทัง้ หมดของโรงหนังแห่งนี้
วิธที า เลือกหมายเลขได้ 20 วิธี
เลือกตวั อักษรได้ 15 วิธี
ดังนั้น จานวนท่ีนั่งท้ังหมดของโรงหนัง 20×15 = 300 ท่ีนั่ง

4. จงนาตวั อักษรจากคาว่า FATHER มาจัดเป็นคาใหม่ โดยไมต่ ้องคานึงถึงความหมาย จะจัด
เปน็ คาทแ่ี ตกตา่ งกนั ทง้ั หมดได้กวี่ ธิ ี

วิธที า เลอื กตัวอักษรวางตาแหนง่ ที่ 1 ได้ 6 วธิ ี
เลอื กตัวอักษรวางตาแหนง่ ที่ 2 ได้ 5 วธิ ี
เลือกตวั อักษรวางตาแหนง่ ที่ 3 ได้ 4 วธิ ี
เลอื กตวั อักษรวางตาแหน่งท่ี 4 ได้ 3 วธิ ี
เลอื กตวั อักษรวางตาแหนง่ ท่ี 5 ได้ 2 วธิ ี
เลือกตวั อักษรวางตาแหน่งท่ี 5 ได้ 1 วธิ ี
ดงั นัน้ จานวนวิธเี ลือกตวั อกั ษรจากคาว่า FATHER มาจดั เปน็ คาใหม่ได้
ท้งั หมด 6×5×4×3×2×1 = 720 วธิ ี

98

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชุดท่ี 1 เรอ่ื ง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกบั การนับ
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1.2 เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกยี่ วกับการนบั (การคูณ)

5. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ซึง่ มีข้อสอบแบบผิด- ถูกอยู่ 10 ขอ้ นักเรียนจะเลอื กตอบขอ้ สอบท้งั
10 ขอ้ ได้ท้ังหมดกว่ี ธิ ี
วธิ ีทา เลอื กตอบข้อสอบข้อที่ 1 ได้ 2 วธิ ี
เลือกตอบข้อสอบข้อท่ี 2 ได้ 2 วธิ ี
เลอื กตอบข้อสอบขอ้ ท่ี 3 ได้ 2 วธิ ี
เลือกตอบข้อสอบขอ้ ท่ี 4 ได้ 2 วิธี
เลอื กตอบข้อสอบข้อท่ี 5 ได้ 2 วิธี
เลือกตอบข้อสอบข้อท่ี 6 ได้ 2 วธิ ี
เลือกตอบข้อสอบขอ้ ท่ี 7 ได้ 2 วิธี
เลือกตอบข้อสอบข้อที่ 8 ได้ 2 วิธี
เลือกตอบข้อสอบข้อที่ 9 ได้ 2 วธิ ี
เลือกตอบข้อสอบข้อท่ี 10 ได้ 2 วิธี
ดังน้ัน จานวนวิธีจะเลอื กตอบข้อสอบท้ัง 10 ขอ้ ไดท้ ัง้ หมด
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 210 วธิ ี

99

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชดุ ที่ 1 เรอื่ ง กฎเกณฑ์เบือ้ งตน้ เกีย่ วกบั การนับ
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1.3 เรือ่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เก่ยี วกับการนบั (การบวก)

จดุ ประสงค์ นักเรยี นสามารถใชก้ ฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเกี่ยวกับการนับในการหาจานวนผลลพั ธ์
ทีอ่ าจเกดิ ขน้ึ ของเหตกุ ารณ์ต่าง ๆ ได้

คาชแี้ จง ให้นักเรยี นหาจานวนวิธีทเี่ ป็นไปไดท้ ง้ั หมดโดยใช้กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกี่ยวกับการนบั

1. มีเสื้อ 6 ตวั เปน็ สขี าว 4 ตัว และสฟี า้ 2 ตวั มีกางเกง 5 ตวั เปน็ สขี าว 1 ตัว และสีฟ้า 4 ตวั
จะมีวิธีเลือกชุด 1 ชุด ทม่ี เี ส้ือและกางกางสีเดียวกันไดท้ ั้งหมดก่วี ิธี
วธิ ที า ชุดสขี าว เลือกเส้ือสขี าวได้ 4 วธิ ี เลอื กกางเกงสีขาวได้ 1 วธิ ี

 จานวนวธิ ีเลอื กชุดสีขาวไดท้ ั้งหมด 4×1 = 4 วธิ ี
ชดุ สีฟ้า เลือกเสอ้ื สีฟ้าได้ 2 วธิ ี เลอื กกางเกงสีฟ้าได้ 4 วธิ ี

 จานวนวธิ เี ลอื กชดุ สีฟ้าได้ท้งั หมด 2×4 = 8 วธิ ี
ดงั น้นั จานวนวิธีเลอื กชดุ 1 ชดุ ท่มี เี สือ้ และกางกางสีเดยี วกันได้ทั้งหมด 4+8 = 12 วิธี

2. ถา้ ใช้ตัวอักษร A, B, C และ D ในการสรา้ งรหัส 1 หลัก หรือ 2 หลกั หรือ 3 หลกั หรอื 4 หลกั

โดยท่ีแต่ละหลกั ไม่ใช้ตวั อกั ษรซา้ กัน จะสรา้ งรหัสไดก้ ีแ่ บบ

วิธีทา

กรณที ี่ 1 สรา้ งรหัส 1 หลกั กรณที ่ี 2 สร้างรหัส 2 หลกั

เลอื กตัวอักษรได้ 4 วิธี เลือกตวั อักษรตวั ที่ 1 ได้ 4 วิธี

 สรา้ งรหสั 1 ตัวได้ท้งั หมด 4 แบบ เลอื กตัวอกั ษรตัวที่ 2 ได้ 3 วิธี

 สร้างรหัส 2 ตวั ไดท้ ั้งหมด

กรณีที่ 3 สรา้ งรหัส 3 หลกั 4×3 = 12 แบบ

เลอื กตวั อักษรตัวท่ี 1 ได้ 4 วิธี กรณที ่ี 4 สร้างรหสั 4 หลกั

เลือกตวั อักษรตัวท่ี 2 ได้ 3 วธิ ี เลือกตัวอักษรตัวท่ี 1 ได้ 4 วิธี

เลอื กตวั อักษรตัวที่ 3 ได้ 2 วิธี เลือกตวั อักษรตวั ท่ี 2 ได้ 3 วิธี

 สร้างรหัส 3 ตวั ได้ทัง้ หมด เลอื กตวั อักษรตวั ที่ 3 ได้ 2 วธิ ี

4×3×2 = 24 แบบ เลอื กตวั อักษรตัวที่ 4 ได้ 1 วธิ ี

 สร้างรหัส 4 ตวั ไดท้ ง้ั หมด

4×3×2×1 = 24 แบบ

ดังนั้น สรา้ งรหัสโดยท่ีแตล่ ะหลักไมใ่ ชต้ วั อักษรซ้ากนั ไดท้ งั้ หมด 4+12+24+24 = 64 แบบ

100

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชุดท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกย่ี วกบั การนับ
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1.3 เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บอื้ งตน้ เกยี่ วกับการนับ (การบวก)

3. ในกลอ่ งใบหน่ึงมบี ัตร 10 ใบ แต่ละใบมหี มายเลข 1 ตวั คอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9

ถ้าหยิบบัตรจากกล่องมา 2 ใบ โดยหยิบครัง้ ละ 1 ใบ โดยไม่ใส่คนื ไป จะสามารถเลือกหยิบบตั ร

เหลา่ น้ีได้กีว่ ธิ ี โดยผลรวมของหมายเลขบตั รทั้งสองใบเปน็ จานวนค่ี

วธิ ที า กรณีท่ี 1 จานวนคี่เกดิ จาก กรณที ่ี 2 จานวนค่ีเกดิ จาก

จานวนคู่+จานวนค่ี จานวนค+่ี จานวนคู่

หยิบบัตรใบท่ี 1 ได้ 5 วธิ ี หยิบบตั รใบท่ี 1 ได้ 5 วธิ ี

หยิบบตั รใบท่ี 2 ได้ 5 วิธี หยิบบตั รใบท่ี 2 ได้ 5 วธิ ี

 หยบิ บัตรได้ท้ังหมด 5×5 = 25 วธิ ี  หยบิ บตั รไดท้ ้ังหมด 5×5 = 25 วธิ ี

ดงั น้ัน สามารถเลือกหยิบบัตรโดยท่ผี ลรวมของหมายเลขบัตรทั้งสองใบเปน็ จานวนคี่

ไดท้ ้ังหมด 25+25 = 50 วธิ ี

4. นาตวั เลขโดด 0 – 9 มาสร้างเปน็ จานวนค่ทู ่มี ี 4 หลกั โดยทแี่ ตล่ ะหลักไมซ่ ้ากนั ได้ท้ังหมด
ก่ีจานวน
วิธีทา กรณีที่ 1 จานวนคทู่ ห่ี ลกั หน่วยเป็น 0
เลือกเลขโดดหลกั หน่วยได้ 1 วธิ ี
เลือกเลขโดดหลักสบิ ได้ 9 วิธี
เลือกเลขโดดหลกั ร้อยได้ 8 วธิ ี
เลือกเลขโดดหลักพันได้ 7 วิธี

 จานวนวธิ สี ร้างจานวนคทู่ หี่ ลกั หน่วยเปน็ 0 ได้ 1×9×8×7 = 504 จานวน
กรณที ี่ 2 จานวนคูท่ ีห่ ลกั หน่วยไม่เป็น 0
เลอื กเลขโดดหลักหนว่ ยได้ 4 วิธี
เลือกเลขโดดหลกั พนั ได้ 8 วิธี
เลือกเลขโดดหลักร้อยได้ 8 วิธี
เลือกเลขโดดหลกั พันได้ 7 วธิ ี

 จานวนวิธสี ร้างจานวนคทู่ หี่ ลักหน่วยไมเ่ ป็น 0 ได้ 4×8×8×7 = 1,792 จานวน
ดงั น้ัน สร้างเป็นจานวนคูท่ มี่ ี 4 หลัก โดยทแี่ ต่ละหลกั ไมซ่ ้ากันได้ 1,792+504 = 2,296 จานวน

101

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชดุ ที่ 1 เร่อื ง กฎเกณฑเ์ บื้องต้นเกยี่ วกบั การนับ
เฉลยแบบฝึกทักษะ ชุดท่ี 1.4 เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องตน้ เกยี่ วกับการนับ (ภายใตเ้ งื่อนไข)

จุดประสงค์ นักเรียนสามารถใช้กฎเกณฑเ์ บ้ืองตน้ เกี่ยวกับการนับในการหาจานวนผลลพั ธ์
ท่ีอาจเกิดข้ึนของเหตกุ ารณต์ ่าง ๆ ได้

คาชแ้ี จง ให้นกั เรียนหาจานวนวธิ ีทีเ่ ปน็ ไปไดท้ ั้งหมดโดยใชก้ ฎเกณฑ์เบอ้ื งต้นเกย่ี วกับการนบั

3. ดเี จพฒุ มิ เี พ่ือนสนิท 5 คน เขาต้องการชวนเพอ่ื นสนิทไปเท่ียวได้กี่วิธี ถ้าต้องการชวนเพ่ือนสนทิ
อย่างน้อย 1 คน
วิธที า ดเี จพฒุ เิ ลือกชวนเพ่ือนสนทิ แตล่ ะคนไปเที่ยวได้ 2 วธิ ี (ชวน,ไมช่ วน)
ดีเจพฒุ มิ ีวธิ ชี วนเพ่ือนสนทิ 5 คนไปเทีย่ วได้ 2×2×2×2×2 = 32 วิธี
แต่ มี 1 วธิ ีที่ไม่ชวนใครเลย
ดงั นน้ั ดีเจพฒุ ิมีวิธชี วนเพ่ือนสนิทอย่างน้อย 1 คนไปเทยี่ วได้ท้ังหมด 32-1 = 31 วิธี

4. กระเป๋าเดินทางใบหนง่ึ ใช้กุญแจทมี่ ีรหสั มีเลข 3 หลัก แต่ละหลักหมนุ ได้ตงั้ แต่ 0-9 ถ้าตงั้ รหสั
กญุ แจเปดิ ไดไ้ ว้เพียงวธิ เี ดยี ว จานวนวิธีตั้งรหัสกุญแจ 3 หลักท่ีทาให้กุญแจเปิดไมไ่ ดเ้ ป็นเท่าใด
วธิ ที า หลกั ท่ี 1 เลอื กต้ังรหัสได้ 10 วิธี
หลกั ที่ 2 เลือกตั้งรหัสได้ 10 วิธี
หลกั ที่ 3 เลอื กต้ังรหัสได้ 10 วิธี
 เลอื กตั้งรหัสกุญแจได้ท้งั หมด 10×10×10 = 1,000 วธิ ี เป็นรหสั ท่ีเปดิ ไดม้ ี 1 วิธี
ดงั น้ัน จานวนเลขรหัส 3 หลักทท่ี าให้กุญแจเปิดไม่ได้เท่ากับ 1,000 - 1 = 999 วธิ ี

3. จงหาจานวนวิธีสรา้ งจานวนโดยใช้
3.1 เลขโดด 2 ถึง 9 สรา้ งจานวนคูท่ ่ีมีสามหลกั
วธิ ที า เลอื กเลขโดดในหลักหน่วยได้ 4 วธิ ี
เลอื กเลขโดดในหลักสบิ ได้ 8 วธิ ี
เลอื กเลขโดดในหลักร้อยได้ 8 วธิ ี
ดงั นนั้ สร้างจานวนคู่ไดท้ ั้งหมด 4×8×8 = 256 จานวน
3.2 เลขโดด 1 ถงึ 8 สรา้ งจานวนคที่ ี่มี 4 หลัก โดยที่แต่ละหลกั ไม่ซ้ากัน
วธิ ีทา เลอื กเลขโดดในหลักหน่วยได้ 4 วิธี
เลอื กเลขโดดในหลักสบิ ได้ 7 วิธี
เลอื กเลขโดดในหลักรอ้ ยได้ 6 วธิ ี
เลอื กเลขโดดในหลักพันได้ 5 วธิ ี
ดังนัน้ สรา้ งจานวนค่ี โดยทแ่ี ต่ละหลกั ไมซ่ ้ากันได้ทั้งหมด 4×7×6×5 = 840 จานวน

102

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชดุ ที่ 1 เร่อื ง กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเกี่ยวกบั การนบั
แบบฝกึ ทักษะ ชดุ ที่ 1.4 เรื่อง กฎเกณฑ์เบือ้ งตน้ เกย่ี วกับการนบั (ภายใตเ้ งอื่ นไข)

4. ปเี ตอรว์ างแผนมบี ุตร 3 คน จานวนวิธที ่เี ขาจะมีบตุ รชาย-หญิงไดแ้ ตกต่างกนั ทงั้ หมดก่วี ิธี ถ้า

4.1 ไมม่ ีเง่ือนไขเพ่ิมเติม
วิธที า บตุ รคนแรกมไี ด้ 2 วธิ ี

บตุ รคนทส่ี องมีได้ 2 วธิ ี

บุตรคนท่ีสามมีได้ 2 วิธี

ดงั นั้น ปีเตอร์มีบตุ รได้ 2×2×2 = 8 แบบ

4.2 ไม่มีบตุ รเปน็ เพศเดียวกันทั้ง 3 คน

วิธีทา มบี ุตรทั้ง 3 คนเปน็ เพศเดียวกนั มีได้ 2 วิธี

ดังน้นั ไม่มีบตุ รเป็นเพศเดียวกันท้งั 3 คน เทา่ กบั 8-2 = 6 แบบ

4.3 มีบตุ รคนแรกเปน็ หญงิ

วธิ ีทา บตุ รคนแรกเป็นหญิงมีได้ 1 วิธี

บุตรคนท่สี องมีได้ 2 วิธี

บุตรคนทส่ี ามมีได้ 2 วิธี

ดังน้นั ปีเตอรม์ บี ุตรได้ 1×2×2 = 4 แบบ

5. นาตัวอักษร 5 ตวั จากคาว่า “TUNSAK” มาสร้างคาต่าง ๆ ท่ีแตกต่างกนั ได้กี่คา โดยท่ีแต่ละคา

ไมจ่ าเป็นต้องมีความหมาย ถา้
5.1 พยัญชนะไม่อยู่ติดกนั

วิธีทา ตวั แรกเลือกพยัญชนะได้ 4 วธิ ี

ตัวทีส่ องเลอื กสระได้ 2 วิธี

ตวั ทส่ี ามเลอื กพยญั ชนะได้ 3 วธิ ี

ตัวท่สี เ่ี ลอื กสระได้ 1 วธิ ี

ตวั ทห่ี า้ เลือกพยัญชนะได้ 2 วธิ ี

ดงั นน้ั สรา้ งคาที่พยญั ชนะไม่อยู่ติดกนั ไดท้ ้ังหมด 4×2×3×1×2 = 48 คา

5.2 N ตอ้ งเปน็ ตัวแรก และพยญั ชนะอยู่ตดิ กัน

วิธีทา ตวั แรกเลอื กพยัญชนะ N ได้ 1 วิธี

ตัวท่สี องเลือกพยัญชนะได้ 3 วธิ ี

ตัวที่สามเลอื กพยญั ชนะได้ 2 วธิ ี

ตัวทส่ี ีเ่ ลือกสระได้ 2 วิธี

ตัวท่หี ้าเลอื กสระได้ 1 วิธี

ดังนน้ั สรา้ งคาที่ N ตอ้ งเปน็ ตวั แรก และพยญั ชนะอยู่ติดกันไดท้ ้ังหมด 1×3×2×2×1 = 12 คา

103

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชุดที่ 1 เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกย่ี วกบั การนับ
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1.5 เร่อื ง ความหมายของแฟกทอเรียล

จุดประสงค์ นักเรยี นสามารถบอกนยิ ามและความหมายของแฟกทอเรียล n ได้
คาช้ีแจง จงหาค่าของ

11. 7!

วธิ ีทา 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5,040

12. 3!6!

วิธที า 3!6! = 3×2×1×6×5×4×3×2×1 = 4,320

13. (4-2)!(8-4)!

วธิ ีทา (4-2)!(8-4)! = 2!4! = 2×1×4×3×2×1 = 48

14. 1!2!3!

วธิ ีทา 1!2!3! = 1×2×1×3×2×1 = 12

15. 5!×4!

วิธีทา 5!×4! = (5×4×3×2×1)×(4×3×2×1) = 2,880

16. 3!
6!
3! 3! 1 1
วธิ ที า 6! = 6543! = 654 = 120

17. 11!
8!
11! 111098!
วิธที า 8! = 8! = 11×10×9 = 990

18. 5!3!
4!
5!3! 54!321
วธิ ที า 4! = 4! = 5×3×2×1 = 30

19. 4!+3!

วธิ ีทา 4!+3! = 4×3!+3! = 5×3! = 5×3×2×1 = 30

20. 8!
5!3!
8! 8765! 876
วธิ ที า 5!3! = 5!321 = 321 = 56

104

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน ชดุ ท่ี 1 เรือ่ ง กฎเกณฑเ์ บ้อื งตน้ เกยี่ วกบั การนับ
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 1.6 เรอื่ ง แฟกทอเรยี ล

จุดประสงค์ นักเรยี นสามารถนาความรเู้ กี่ยวกบั แฟกทอเรยี ล n ไปใชใ้ นการแก้ปัญหาได้

คาช้ีแจง จงแสดงวธิ ที า

1. จงเขยี นผลคูณต่อไปนีใ้ ห้อย่ใู นรปู แฟกทอเรียล

1.1) 15×14×13×…×3×2×1

ตอบ 15!

1.2) 5×6×7×8

วิธที า 5×6×7×8×9 = 8  7  6  5  4! = 8!
4! 4!

1.3) 20×19×18

วิธที า 20×19×18 = 20191817! = 20!
17! 17!

1.4) n(n+1)(n+2)(n+3)

วธิ ีทา n(n+1)(n+2)(n+3) = (n 3)(n 2)n 1n(n-1)!
(n - 1)!

= (n 3)!
(n - 1)!

1.5) n(n-1)(n-2)…(n-k-1)

วิธที า n(n-1)(n-2)…(n-k-1) = n(n-1)(n- 2)...(n-k -1)(n-k - 2)!
(n-k - 2)!

n!
= (n-k - 2)!

2. จงเขียนจานวนในขอ้ ต่อไปนี้ใหอ้ ยใู่ นรูปซ่ึงไม่มีแฟกทอเรียล

2.1) (n  2)!
n!
(n  2)! (n 2)n1n!
วิธที า n! = n! = (n+2)(n+1)

2.2) n!
(n 1)!

วธิ ีทา n! = n(n -1)! =n
(n 1)! (n -1)!

2.3) (2k -3)!
(2k -6)!

วิธีทา (2k -3)! = (2k - 3)(2k - 4)(2k - 5)(2k - 6)! = (2k-3)(2k-4)(2k-5)
(2k -6)! (2k - 6)!

105

เอกสารประกอบการเรียนการสอน ชุดที่ 1 เรือ่ ง กฎเกณฑ์เบื้องตน้ เก่ียวกบั การนบั
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.6 เรื่อง แฟกทอเรยี ล

3. จงหาคา่ ของ n จากสมการต่อไปน้ี

3.1) n! = 72
(n - 2)!

วธิ ีทา n! = 72
(n  2)!

n(n-1)(n- 2)! = 72
(n- 2)!

n(n-1) = 72

n(n-1) = 9×8

ดังนัน้ n = 9

3.2) (n 1)! = 420
(n -1)!

วิธที า (n 1)! = 420
(n -1)!

(n 1)n(n-1)! = 420
(n - 1)!

(n+1)n = 21×20

ดังน้ัน n = 20

ไม่สงู …ต้องเขยง่ ....ไม่เกง่ ....ต้องขยนั

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เรอ่ื ง ความนา่ จะเป็น
ชดุ ที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกีย่ วกับการนับ
ขอ้ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
คาตอบ ค ค ก ง ก ข ค ค ง ก

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น เร่อื ง ความน่าจะเป็น
ชุดท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบื้องตน้ เกี่ยวกบั การนับ
ข้อ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
คาตอบ ค ค ง ก ค ก ค ข ก ง

12

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เร่ือง ความน่าจะเป็น
ชุดที่ 1 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนบั

ระดบั ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5

คาชีแ้ จง 1) แบบทดสอบก่อนเรียนชดุ ท่ี 1 ใชท้ ดสอบความร้ขู องนักเรยี นก่อนเรยี น
เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั การนับ จานวน 10 ขอ้

2) ใหน้ กั เรียนเลอื กคาตอบที่ถกู ต้องทส่ี ดุ เพยี งคาตอบเดยี ว แลว้ ทาเครอื่ งหมาย × ลงใน
กระดาษคาตอบ

3) ใช้เวลาในการทดสอบ 20 นาที

1. ในการเลน่ เปา่ ย้งิ ชุบ มผี เู้ ลน่ 2 คน แตล่ ะคนจะออกมือแทนสิง่ ใดสิง่ หนึง่ ใน 3 สิ่งตอ่ ไปน้ีคือ ค้อน
กรรไกร กระดาษ จานวนวธิ ที ้ังหมดในการออกมือตรงกับขอ้ ใด
ก. 3 วธิ ี
ข. 6 วธิ ี
ค. 9 วิธี
ง. 12 วธิ ี

2. ในการนง่ั เรอื ข้ามฝากแม่น้าเจา้ พระยาท่ีมเี รือท่ีท่านา้ อยู่ 5 ลา จานวนวิธีนั่งเรือข้ามฝากแมน่ ้านี้
ท้งั ไปและกลบั ได้กวี่ ิธี ถ้าขาไปและขากลบั ลงเรอื ลาต่างกัน
ก. 5 วธิ ี
ข. 10 วิธี
ค. 20 วิธี
ง. 25 วิธี

3. มีป้ายเขียนหมายเลขกากับไว้อยู่ 5 ใบ คอื 1, 3, 5, 7 และ 8 ถา้ นาแผน่ ป้ายดังกล่าวมาเรยี งเปน็
จานวน 3 หลกั จะได้จานวนทง้ั หมดกี่จานวน
ก. 20 วิธี
ข. 25 วิธี
ค. 60 วิธี
ง. 100 วธิ ี

4. ตอ้ งการเรยี งคาใหม่ท่ปี ระกอบด้วยตัวอักษร 4 ตวั จากตัวอักษรคาว่า math ไมจ่ าเป็นต้องมี
ความหมาย โดยต้องขนึ้ ต้นดว้ ยสระไดแ้ ตกต่างกนั ทง้ั หมดก่วี ิธี
ก. 24 วิธี
ข. 20 วธิ ี
ค. 12 วธิ ี
ง. 6 วิธี





โรงเรียนกาญจนาภิเษกวิทยาลยั สุราษฎร์ธานี
สานักงานเขตพื้นทีม่ ธั ยมศึกษาสุราษฎร์ธานี ชุมพร