แผนการจัดการเรียนรู้_เซต

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง แนวความคดิ เบือ้ งต้นและสัญลกั ษณ์พืน้ ฐานเกย่ี วกบั เซต (1)
กลุ่มสาระการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์
รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4
จานวนเวลา 50 นาที
รหสั วชิ า ค31101 จานวน 1 หน่วยกติ

ภาคเรียนที่ 1/2565 ผ้สู อน นายธีรยุทธ์ สกุลเพช็ ร์

สาระที่ 1จานวนและพชี คณติ
- ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์อื่น ๆ แทนสถานการณ์ตลอดจน
แปลความหมายและนาไปแกป้ ัญหา

สาระการเรียนรู้
- ความหมายและสญั ลกั ษณ์ของเอกภพสมั พทั ธ์และเซตวา่ ง
- การเขียนเซตแบบแจกแจงและแบบบอกเง่ือนไข
- สัญลกั ษณ์แทนการเป็นสมาชิกของเซตและการเป็นสมาชิกของเซต

จุดประสงค์การเรียนรู้
ด้านความรู้ : นกั เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายและสัญลกั ษณ์ของเอกภพสัมพทั ธ์และเซตวา่ ง
2. เขียนเซตแบบแจกแจงและแบบบอกเง่ือนไข
3. ใชส้ ญั ลกั ษณ์แทนการเป็นสมาชิกของเซต และการเป็นสมาชิกของเซต

ด้านทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ : นกั เรียนสามารถ
1. ในการแกป้ ัญหา
2. ในการใหเ้ หตุผล
3. ในการส่ือสารและการส่ือความหมาย

ด้านคุณลกั ษณะ :
1. ทางานอยา่ งเป็นระบบ
2. มีวนิ ยั
3. มีความรอบครอบ
4. มีวจิ ารณญาณ
5. มีความ
6. ใฝ่ รู้
7. มีเจตคติท่ีดีต่อคณิตศาสตร์

สาระการเรียนรู้

 การเขียนเซต
การเขียนเซตนิยมใชต้ วั อกั ษรภาษาองั กฤษพมิ พใ์ หญ่แทนชื่อเซต และใชต้ วั อกั ษรพิมพเ์ ล็ก

แทนสมาชิกของเซต ซ่ึงการเขียนเซตสามารถเขียนได้ 2 แบบ คือ

1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต
เขียนสมาชิกทุกตวั ลงในเครื่องหมายวงเลบ็ ปี กกา และใชเ้ คร่ืองหมายจุลภาค (,) คนั่

ระหวา่ งสมาชิกแต่ละตวั

จงเขียนเซตแบบแจกแจง
ตัวอย่างท่ี 1 กาหนดให้ A แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ยจานวน 2, 3, 5 และ 7

เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ A = {2, 3, 5, 7}

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดให้ B แทนตวั อกั ษรในภาษาองั กฤษ
เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ B = {a, b, c,..., y, z}

ตวั อย่างที่ 3 กาหนดให้ C แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ยจานวนนบั
เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ C = {1, 2, 3,...}

ตวั อย่างท่ี 4 กาหนดให้ H = {x | x I และ x2 - x -12 = 0}
วธิ ีทา
จากสมการ x2 - x -12 = 0
0
(x – 4)(x + 3) = 4, -3

x=

ดงั น้นั H = {-3, 4}

จาก ตวั อย่างท่ี 1 สงั เกตเห็นไดว้ า่ การเขียนแบบแจกแจงสมาชิกในกรณีที่ไม่สามารถเขียน
สมาชิกทุกตวั ได้ เน่ืองจากมีการแจกแจงสมาชิกมากและใชเ้ วลาในการเขียนแจกแจงมากเกินไปให้
เราใช้ “...” เพอ่ื แสดงวา่ มีตวั อกั ษรอื่น ๆ หรือมีสมาชิกตวั อื่น ๆ รวมอยใู่ นเซตน้ีดว้ ยไดแ้ ก่ d, e, f, g,
h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w และ x ซ่ึงช่วยใหก้ ารเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกสะดวก
มากยงิ่ ข้ึน และถา้ ทราบตวั สุดทา้ ยของสมาชิกใหใ้ ส่กากบั ดว้ ย เพราะทาใหท้ ราบวา่ ตอ้ งการศึกษา
สมาชิกตวั ไหนบา้ งภายในเซต แตถ่ า้ ในกรณี ตัวอย่างท่ี 2 ไมส่ ามารถบอกตวั สุดทา้ ยไดใ้ หใ้ ส่ “...”
แลว้ ปิ ดดว้ ยปี กกาไดเ้ ลย แสดงวา่ มีจานวนสมาชิกไม่จากดั

ในการเขียนสมาชิกเราสามารถเขียนสมาชิกตวั ใดก่อนหรือหลงั ได้ และถา้ สมาชิกตวั ใด ๆ
ซ้ากนั มากกวา่ 1 คร้ังนกั เรียนสามารถเขียนเพยี งคร้ังเดียวได้ เพราะถือวา่ มีสมาชิกตวั น้นั มีเพยี งตวั เดียว
เท่าน้นั

2. แบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกในเซต

การเขียนแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต เหมาะสาหรับการเขียนแทนเซตเมื่อมีจานวน

มากหรือนบั ไม่ได้
สญั ลกั ษณ์ท่ีใชแ้ ทนเซตของจานวนตา่ ง ๆ มีดงั น้ี
R แทนเซตของจานวนจริง (Real number)
ประกอบดว้ ยจานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ

R แทนเซตของจานวนจริงลบ (Negative Real number)
ประกอบดว้ ย จานนวนตรรกยะท่ีเป็นจานวนลบ

R แทนเซตของจานวนจริงบวก (Positive Real number)
ประกอบดว้ ย จานนวนตรรกยะท่ีเป็นจานวนบวก

Q แทนเซตของจานวนอตรรกยะ (Irrational number)
ประกอบดว้ ย  3.14… , e 2.76…, 2 1.414…, 3 1.732
จานวนทศนิยมไม่ซ้า เช่น 0.121221222…, 2.010010001…

Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ (Rational number)
ประกอบดว้ ย จานนวนเตม็ เศษส่วนท่ีไม่ใช่จานวนเตม็ โดยตวั ส่วนไมเ่ ทา่ กบั
ศูนย์ และจานวนท่ีเป็ นทศนิยมซ้า

I แทนเซตของจานวนเตม็ (Integers)
ประกอบดว้ ย ... , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

I  แทนเซตของจานวนเตม็ ลบ (Negative Integers)
ประกอบดว้ ย -1, -2, -3, -4, -5,…

I  แทนเซตของจานวนเตม็ บวก (Positive Integers)
ประกอบดว้ ย 1, 2, 3, 4, 5,…

I 0 แทนเซตของ ศูนย์ (Zero)
ประกอบดว้ ย 0

N แทนเซตของจานวนนบั (Countingnumber)หรือจานวนธรรมชาติ (Naturalnumber)
ประกอบดว้ ย 1, 2, 3, 4, 5,…

P แทนเซตของจานวนเฉพาะท่ีเป็นบวก (Prime number)
ประกอบดว้ ย 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

C แทนเซตของจานวนเชิงซ้อน (Positive Complex number)
ประกอบดว้ ย 2+3i, 4i, 5+7i

O แทนเซตของจานวนค่ี (Odd number)
ประกอบดว้ ย  1,  3,  5,  7,  9,…

E แทนเซตของจานวนคู่ (Even number)
ประกอบดว้ ย  2,  4,  6,  8,  10,…

ให้เขียนตวั แทนของสมาชิกในเซตตวั หน่ึงไวใ้ นวงเล็บปี กกา แลว้ จึงบรรยายสมบตั ิของ
สมาชิกไวด้ ว้ ยการคน่ั ตวั แทนของสมาชิก กบั คาบรรยายสมบตั ิของสมาชิกไวด้ ว้ ยเครื่องหมาย ; หรือ
: หรือ | ซ่ึงในที่น้ีเรามกั จะใชเ้ คร่ืองหมาย | และเราจะอา่ นเคร่ืองหมาย | วา่ “โดยที่ ”

จงเขียนเซตแบบบอกเง่ือนไข
ตวั อย่างที่ 5 กาหนดให้ A แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ย 2, 4, และ6

เขียนเซตแบบบอกเง่ือนไขได้ A = {x | x เป็นเลขคู่บนหนา้ ของลูกเต๋า}

ตัวอย่างที่ 6 กาหนดให้ B แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ย 2, 3, 5, 7, 11, 13,…
เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ B = {x I  | x เป็นจานวนเฉพาะ}

ถา้ สมาชิกตวั ใดตวั หน่ึงอยใู่ นเซต ๆ หน่ึง เรียกสมาชิกตวั น้นั วา่ “เป็นสมาชิกของเซต นั้น” เขียน
แทน ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ อ่านวา่ เป็นสมาชิกของ ในทางกลบั กนั ถา้ สมาชิกท่ีกาหนดใหไ้ มอ่ ยใู่ นเซต น้นั เราจะ
เรียกสมาชิกตวั น้นั วา่ “ไม่เป็ นสมาชิกของเซต ๆ น้นั ” เขียนแทนดว้ ย  อ่านวา่ ไม่เป็นสมาชิกของ

ตัวอย่างท่ี 7 จงใส่เครื่องหมาย  แสดงวา่ เป็ นสมาชิกของเซตและใส่เคร่ืองหมาย  แสดงวา่ ไม่

เป็ นสมาชิกของเซตที่กาหนดให้

1. 2  {2,3,4,5}

2. 3  {3456}

3. {1,2}  {1, 2, {1, 2}}
4. -2, -1, 0, 1, 2  {x | x เป็นจานวนเตม็ }
5. น, ท, ร, ง  {x | x เป็นพยญั ชนะของคาวา่ “นนทรีงาม”}

 เอกภพสัมพทั ธ์ (Universal Set)

บทนิยาม เซตที่กาหนดขอบขา่ ยที่จะพิจารณาโดยมีขอ้ ตกลงวา่ จะไม่กล่าวถึงสมาชิกใดท่ี
นอกเหนือไปจากส่ิงใดนอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตท่ีกาหนดข้ึนน้ี และ

เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ “U ”

ตัวอย่างท่ี 8 กาหนดให้ U คือ เซตของจานวนจริง

A = { x | x2 – 4 = 0 }
B={x|x+5=0}
ดงั น้นั A = { -2 , 2 }
และ B = { -5 }

แตถ่ า้ กาหนดให้ U คือ เซตของจานวนเตม็ บวก

ดงั น้นั A = { 2 }
และ B = { }
หมายเหตุ ถา้ กล่าวถึงเซตของจานวนและไม่ไดก้ าหนดวา่ เซตเอกภพสัมพทั ธ์ในระดบั ช้นั น้ี
ถือวา่ เอกภพสมั พทั ธ์ คือ เซตของจำนวนจริง
 เซตว่าง (Empty Set)

บทนิยาม เซตไมม่ ีจานวนสมาชิกเลย หรือจานวนสมาชิกเทา่ กบั 0 เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ , { }

ดงั น้นั สรุปไดว้ า่ เซตว่างเป็นเซตจากดั เพราะสามารถบอกจานวนสมาชิกไดแ้ ตไ่ ม่มีสมาชิกของ
เซต จึงทาใหเ้ ซตน้นั มีจานวนสมาชิกเทา่ กบั 0
ตัวอย่างท่ี 9 พิจารณา A = { xI | x 1 0 } วา่ เซตที่กาหนดใหเ้ ป็ นวา่ งหรือไม่

จากสมการ x – 1 = 0
x = 1 ซ่ึง 1  I 

แสดงวา่ เซต A ไม่มีจานวนสมาชิก
ดงั น้นั A เป็นเซตจากดั และ n(A) = 0
ตัวอย่างท่ี 10 พจิ ารณา B = { x I | x2  5  0 } วา่ เซตท่ีกาหนดใหเ้ ป็ นวา่ งหรือไม่
จากสมการ x2 + 5 = 0

x2 = -5
x = 5 ซ่ึง 5  I
แสดงวา่ เซต B ไมม่ ีจานวนสมาชิก
ดงั น้นั B เป็นเซตจากดั และ n(B) = 0

กจิ กรรมการเรียนรู้

1. ครูยกตวั อยา่ งประโยคภาษา เช่น กลุ่มของเดือนที่มี 31 วนั กลุ่มของนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4
โรงเรียนนนทรีวทิ ยา กลุ่มของจานวนนบั นกพริ าบฝงู หน่ึง เป็นตน้ ซ่ึงในทางคณิตศาสตร์จะใช้
คาวา่ “เซต” แทนคาวา่ กลุ่มของคน กลุ่มของจานวน หรือฝงู ของสตั ว์

2. ครูอธิบายเรื่องหลกั การเขียนเซต โดยหลกั การเขียนเซตนิยมใชต้ วั อกั ษรภาษาองั กฤษพิมพใ์ หญ่

แทนช่ือเซต และใชต้ วั อกั ษรพมิ พเ์ ลก็ แทนสมาชิกของเซต ซ่ึงการเขียนเซตสามารถเขียนได้ 2

แบบ คือ การเขียนเซตแบบแจกแจงและการเขียนเซตแบบบอกเง่ือนไข

3. ครูอธิบายหลกั การเขียนเซตแบบแจกแจงเขียนสมาชิกทุกตวั ลงในเครื่องหมายวงเล็บปี กกา
และใชเ้ คร่ืองหมายจุลภาค (,) คนั่ ระหวา่ งสมาชิกแต่ละตวั

4. ครูกาหนดชื่อเซตและสมาชิกภายในเซต แลว้ ใหน้ กั เรียนช่วยกนั เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก

จงเขยี นเซตแบบแจกแจง
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ A แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ยจานวน 2, 3, 5 และ 7

เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ A = {2, 3, 5, 7}

ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ B แทนตวั อกั ษรในภาษาองั กฤษ
เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ B = {a, b, c,..., y, z}

ตวั อย่างที่ 3 กาหนดให้ C แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ยจานวนนบั
เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ C = {1, 2, 3,...}

ตวั อย่างที่ 4 กาหนดให้ H = {x | x I และ x2 - x -12 = 0}
วธิ ีทา
จากสมการ x2 - x -12 = 0
0
(x – 4)(x + 3) = 4, -3

x=

ดงั น้นั H = {-3, 4}

5. ครูอธิบายหลกั การใช้ “…” แสดงวา่ มีสมาชิกตวั อ่ืน ๆ รวมอยใู่ นเซตน้ีดว้ ย และในการเขียน

สมาชิกเราสามารถเขียนสมาชิกตวั ใดก่อนหรือหลงั ได้ และถา้ สมาชิกตวั ใด ๆ ซ้ากนั มากกวา่

1 คร้ังนกั เรียนสามารถเขียนเพียงคร้ังเดียวได้ เพราะถือวา่ มีสมาชิกตวั น้นั มีเพยี งตวั เดียวเท่าน้นั
6. ครูอธิบายสัญลกั ษณ์ตา่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์ เช่น ,  เป็นตน้ เพ่ือใหน้ กั เรียนใชส้ ัญลกั ษณ์

ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
7. ครูอธิบายเร่ืองหลกั การเขียนแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต ซ่ึงเหมาะสาหรับการเขียน

แทนเซตเมื่อมีสมาชิกจานวนมากหรือจานวนสมาชิกนบั ไมไ่ ด้ โดยเขียนเง่ือนไขของเซตลง

ในเคร่ืองหมายวงเล็บปี กกา และใชเ้ ครื่องหมาย “ | ” คนั่ ระหวา่ งกลุ่มของสมาชิกกบั สมาชิก
ในเซตน้นั ๆ โดยเครื่องหมาย | ใหแ้ ทนคาวา่ โดยท่ี หรือ ใชแ้ ทนคาวา่ ซึ่ง
8. ครูกาหนดช่ือเซตและสมาชิกภายในเซต แลว้ ใหน้ กั เรียนช่วยกนั เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข
จงเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข
ตวั อย่างที่ 5 กาหนดให้ A แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ย 2, 4, และ6

เขียนเซตแบบบอกเง่ือนไขได้ A = {x | x เป็นเลขคู่บนหนา้ ของลูกเต๋า}

ตวั อย่างท่ี 6 กาหนดให้ B แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ย 2, 3, 5, 7, 11, 13,…
เขียนเซตแบบบอกเง่ือนไขได้ B = {x I | x เป็นจานวนเฉพาะ}

9. ครูอธิบายเร่ืองการเป็นสมาชิกและไมเ่ ป็นสมาชิกของเซต พร้อมยกตวั อยา่ ง ใหน้ กั เรียน
ช่วยกนั บอกวา่ ในแต่ละขอ้ เป็ นสมาชิกหรือไมเ่ ป็ นสมาชิก

ตัวอย่างที่ 7 จงใส่เครื่องหมาย  แสดงวา่ เป็ นสมาชิกของเซตและใส่เคร่ืองหมาย  แสดงวา่ ไม่

เป็ นสมาชิกของเซตท่ีกาหนดให้

1. 2  {2,3,4,5}

2. 3  {3456}

3. {1,2}  {1, 2, {1, 2}}
4. -2, -1, 0, 1, 2  {x | x เป็นจานวนเตม็ }
5. น, ท, ร, ง  {x | x เป็นพยญั ชนะของคาวา่ “นนทรีงาม”}

10. ครูอธิบายเร่ืองเอกภพสมั พทั ธ์ และแจกเอกสารแนะแนวทางท่ี 1.1 เรื่อง “ว่างไหมจ๊ะ”

ตัวอย่างท่ี 8 กาหนดให้ U คือ เซตของจานวนจริง
หมายเหตุ
A = { x | x2 – 4 = 0 }
B = { x | x+ 5 = 0 }
ดงั น้นั A = { -2 , 2 }
และ B = { -5}

แต่ถา้ กาหนดให้ U คือ เซตของจานวนเตม็ บวก

ดงั น้นั A = { 2 }
และ B = { }
ถา้ กล่าวถึงเซตของจานวนและไมไ่ ดก้ าหนดวา่ เซตเอกภพสัมพทั ธ์ในระดบั ช้นั น้ี
ถือวา่ เอกภพสัมพทั ธ์ คือ เซตของจำนวนจริง

ตวั อย่างท่ี 9 พจิ ารณา A = { xI | x 1  0 } วา่ เซตท่ีกาหนดใหเ้ ป็ นวา่ งหรือไม่
ตัวอย่างที่ 10 จากสมการ x – 1 = 0

x = 1 ซ่ึง 1  I
แสดงวา่ เซต A ไมม่ ีจานวนสมาชิก
ดงั น้นั A เป็นเซตจากดั และ n(A) = 0
พจิ ารณา B = { xI| x2 5  0 } วา่ เซตท่ีกาหนดใหเ้ ป็ นวา่ งหรือไม่
จากสมการ x2 + 5 = 0

x2 = -5
x = 5 ซ่ึง 5  I
แสดงวา่ เซต B ไม่มีจานวนสมาชิก
ดงั น้นั B เป็นเซตจากดั และ n(B) = 0

11. ครูใหน้ กั เรียนช่วยกนั สรุปเร่ืองที่เรียน จากน้นั ครูใหน้ กั เรียนครูแจกเอกสารประกอบการเรียนรู้
1.1 เพื่อเป็ นการทบทวน และครูแจกแบบฝึกเสริมทกั ษะ 1.1 ใหน้ กั เรียนทาในหอ้ งเรียน ถา้ ไม่

เสร็จใหท้ าเป็ นการบา้ น

การวดั และประเมินผลการเรียนรู้
ส่ิงทว่ี ดั
1. อธิบายความหมายและสัญลกั ษณ์ของเอกภพสมั พทั ธ์ และบอกเซตวา่ งได้
2. เขียนเซตแบบแจกแจงและแบบบอกเงื่อนไขได้
3. ความรู้ความเขา้ ใจในการใชส้ ัญลกั ษณ์แทนการเป็ นสมาชิกของเซต และการเป็ น
สมาชิกของเซตท่ีกาหนดใหไ้ ด้
4. ทกั ษะในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การส่ือสารและการส่ือความหมาย
5. คุณลกั ษณะดา้ นมีความรับผดิ ชอบในการทางาน ความสนใจและกระตือรือร้นความ
ละเอียดและรอบคอบ กลา้ คิดและกลา้ แสดงความคิดเห็น

วธิ ีวดั
1. สงั เกตพฤติกรรมขณะเรียน
2. ความถูกตอ้ งของเอกสารแนะแนวทางที่ 1.1
3. ความถูกตอ้ งของแบบฝึกเสริมทกั ษะ 1.1

เคร่ืองมือในการวดั
1. แบบสงั เกตพฤติกรรมคุณลกั ษณะท่ีพงึ ประสงค์
2. เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.1
3. แบบฝึกเสริมทกั ษะ 1.1
4. แบบบนั ทึกการประเมินผล

เกณฑ์การวดั และการประเมินผล
1. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนจากการทาแบบฝึกเสริมทกั ษะ
2. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนจากการสงั เกตพฤติกรรม

เกณฑ์การให้คะแนนจากการสังเกตพฤตกิ รรม

รายการประเมิน ระดบั คุณภาพ

1. การแกป้ ัญหา 3 คะแนน 2 คะแนน 1 คะแนน 0 คะแนน
2. การให้เหตุผล
3. การสื่อสาร การส่ือความหมายทาง ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
คณิตศาสตร์ และการนาเสนอ ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไม่เคยปฏิบตั ิเลย
4. มีความรับผิดชอบในการทางาน
5. มีความสนใจและกระตือรือร้น ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไม่เคยปฏิบตั ิเลย
6. มีความละเอียดและรอบคอบ
7. กลา้ คิดและกลา้ แสดงความคิดเห็น ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไม่เคยปฏิบตั ิเลย

เกณฑ์การให้คะแนนจากการทาแบบฝึ กเสริมทักษะ

รายการประเมิน ระดบั คุณภาพ

1. ความครบถว้ น 3 คะแนน 2 คะแนน 1 คะแนน
2. ความถูกตอ้ ง
3. ความเหมาะสมของลาดบั ข้นั ตอน ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะได้ ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดม้ ากกวา่ ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดน้ อ้ ยกวา่
4. การตรงต่อเวลา ครบถว้ น หรือเทา่ กบั คร่ึงหน่ึงของท้งั หมด คร่ึงหน่ึงของท้งั หมด
ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดถ้ ูกตอ้ ง ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดถ้ ูกตอ้ ง ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดถ้ ูกตอ้ ง
มากกวา่ หรือเทา่ กบั 70 % มากกวา่ หรือเทา่ กบั 60 % นอ้ ยกวา่ 60 %
แสดงลาดบั ข้นั ตอนไดช้ ดั เจน แสดงลาดบั ข้นั ตอนไดช้ ดั เจน แสดงลาดบั ข้นั ตอนได้
สมบรู ณ์
ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะเสร็จตาม ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะเสร็จชา้ กวา่ ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะเสร็จชา้ กวา่
กาหนดเวลา กาหนด 1 วนั กาหนดมากกวา่ 1 วนั

8. สื่อ/แหล่งการเรียนรู้
8.1 สื่อการเรียนรู้
1. หนงั สือเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน เล่ม ๑ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ ๔
2. หนงั สือแบบฝึกหดั “เซต” (E Book และ Power Point)
8.2 แหล่งการเรียนรู้
1. หอ้ งสมุด
2. http://www.cs.odu.edu/~toida/nerzic/content/set/review-inf-rule.html

9. พฤติกรรมทเ่ี ปลยี่ นแปลงไปของนักเรียน
9.1 ดา้ นบวก

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

9.2 ดา้ นลบ
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
10. ผลสัมฤทธ์ิก่อน/หลงั การเรียนรู้
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
11. สภาพปัญหา/อุปสรรค ทพี่ บ
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
12. บนั ทกึ หลงั การสอน

ผลการจดั การเรียนการสอน
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

ปัญหา / อุปสรรค
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

แนวทางแกไ้ ข
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

ลงชื่อ_____________________________
( นายธีรยทุ ธ์ สกลุ เพช็ ร์ )
ครู

เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.1

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 4

เร่ือง “ว่างไหมจ๊ะ” ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1

จงพจิ ารณาตารางเซตทกี่ าหนดให้ และใส่เคร่ืองหมายถูกลงในตารางถูกต้อง

เซต จานวนสมาชิก เซตว่าง

1. A = เซตของเลขโดด n(A) = 10 เป็ น ไม่เป็ น
2. B = { xP+ | 20  x  30 } n(B) = 2
3. C = { xI | 0 < x < 1 } ไม่มีจานวนสมาชิก / n(C) = 0 
4. D = { xR | x  0 } ไมส่ ามารถระบุจานวนได้ 
5. E = { 11, 22, 33, 44, 55,... } ไมส่ ามารถระบุจานวนได้ 
6. F = { 1234 } 
7. G = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 } 
8. H = { xI+ | x2 = 2x }
9. I = { x I | x3 < 0 }
10. J = { x I | x2 + 1 = 0 }
11. K = { xN | x  3 x }
12. L = { x I- | x2 = 0 }
13. M = { x | x เป็นจานวนเฉพาะที่เป็นจานวนคู่ }
14. N = { xI | x  0 }
15. M = { x I | x < 0 }

สรุปได้ว่า คือ ......................................................................................................
เซตว่าง

แบบฝึ กเสริมทกั ษะท่ี 1.1

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 4

เรื่อง สมาชิกของเซต การเขียนเซต และเซตว่าง ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1

1. จงพจิ ารณาการเป็ นสมาชิกหรือไม่เป็ นสมาชิกของเซตในแต่ละข้อต่อไปนีแ้ ล้วใส่เคร่ืองหมาย 

หน้าข้อทถ่ี ูก และใส่เคร่ืองหมาย  หน้าข้อทผี่ ดิ
_____ 1) 3  { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
_____ 2) 2, 7  { x | x เป็นแตม้ บนลูกเต๋า }
_____ 3) { 5 }  { 1, 3, 5 }
_____ 4) { 1, { 2 } }  { { { 1 }, 2 } , { 1, { 2 } } }
_____ 5) { 1, 2 }  { 1, 2, 3 }
_____ 6) 1, 2, 3, …  { x | x เป็นจานวนเตม็ }
_____ 7) -1, -2, -3, …  { x | x เป็นจานวนนบั }
_____ 8) 1  { 12345 }
_____ 9)  , { }  { {  , {  } }
_____ 10)   { { {  },  },  }

2. จงเขียนเซตทก่ี าหนดให้ต่อไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชิก
1. เซตของสีประจาวนั ใน 1 สัปดาห์
_______________________________________________________
2. เซตของจงั หวดั ในประเทศไทยท่ีลงทา้ ยดว้ ยคาวา่ “บุรี”
_______________________________________________________
3. เซตของพยญั ชนะภาษาองั กฤษในประโยคที่วา่ “MY NAME IS TOY.”
_______________________________________________________
4. เซตของพยญั ชนะในคา “โรงเรียนสวนกหุ ลาบนนทบุรี”
_______________________________________________________
5. เซตของจานวนเตม็ บวกท่ีมีค่านอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั 50
_______________________________________________________
6. เซตของจานวนเตม็ ที่มีคา่ นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั 50
_______________________________________________________
7. เซตของจานวนเตม็ ลบท่ีมีคา่ มากกวา่ หรือเทา่ กบั -10
_______________________________________________________

8. เซตของจานวนคูบ่ วกที่มากกวา่ 10
_______________________________________________________

9. เซตของจานวนเตม็ ระหวา่ ง 1 ถึง 50 ที่หารดว้ ย 7 ลงตวั
_______________________________________________________

10.เซตของจานวนนบั เม่ือนามาหารดว้ ย 5 แลว้ ลงตวั
_______________________________________________________

3. จงเขยี นเซตทกี่ าหนดให้ต่อไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชิก
1. A = {x | x เป็นจานวนเตม็ บวกที่มากกวา่ 5 และนอ้ ยกวา่ หรือเทา่ กบั 15}
_______________________________________________________
2. B = {x | x เป็นจานวนเตม็ บวกที่เป็นจานวนเฉพาะท่ีมีคา่ นอ้ ยกวา่ 20}
_______________________________________________________
3. C = {x | x เป็ นจานวนเตม็ ค่ีที่อยรู่ ะหวา่ ง 2 กบั 4}
_______________________________________________________
4. D = {x | x I และ1  x  5}
_______________________________________________________
5. E = {x | x N ซ่ึง x  100 และ x N}
_______________________________________________________
6. F = {x | xI และ 3 หารลงตวั }
_______________________________________________________
7. G = {x | x P และ x2 -15x +44 = 0}
_______________________________________________________
8. H = {x | xI และ x2 +4x + 4 = 0}
_______________________________________________________
9. I = {x | x R และ 3x2 – 10x + 3 = 0}
_______________________________________________________

4. จงเขยี นเซตทกี่ าหนดให้ต่อไปนีแ้ บบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
1. A = { สีแดง, สีขาว, สีน้าเงิน }
_______________________________________________________
2. B = { วนั มาฆบูชา, วนั วสิ าขบูชา, วนั อาสาฬหบูชา, วนั เขา้ พรรษา, วนั ออกพรรษา }
_______________________________________________________
3. C = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … }
_______________________________________________________
4. D = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
_______________________________________________________

5. E = { …,-5, -4, -3, -2, -1 }
_______________________________________________________

6. F = { 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 }
_______________________________________________________

7. G = { 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 }
_______________________________________________________

8. H = { 4, 7, 10, 13, 16, 19, … }
_______________________________________________________

9. I = { -1, 1 }
_______________________________________________________

5. จงพจิ ารณาเซตทกี่ าหนดให้ต่อไปนี้ ว่าเป็ นเซตใดเป็ นเซตว่างและเซตใดเป็ นเซตไม่ว่าง
1. เซตของจงั หวดั ในประเทศไทยที่ลงทา้ ยดว้ ยคาวา่ “นคร”
2. เซตของสระในภาษาองั กฤษคาวา่ “MATHEMATICS”
3. เซตของจานวนเตม็ ระหวา่ ง 1 ถึง 2
4. A = { 0 }
5. B = { }
6. C = {x | xI และ 2 หารไม่ลงตวั }
7. D = {x | x Nและ x + 1 < 0}
8. E = {x | xI และ x + 7 = 7}
9. F = {x | x I และ x + x = x2}
10. G = {x | x I และ x2 + x = x}

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 เรื่อง แนวความคดิ เบื้องต้นและสัญลกั ษณ์พืน้ ฐานเกย่ี วกบั เซต (2)

กลุ่มสาระการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 4

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พื้นฐาน 1 รหัสวชิ า ค31101 จานวน 1 หน่วยกติ

จานวนเวลา 50 นาที ภาคเรียนที่ 1/2565 ผ้สู อน นายธีรยุทธ์ สกุลเพช็ ร์

สาระท่ี 1จานวนและพชี คณติ
- ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์อื่น ๆ แทนสถานการณ์ตลอดจน
แปลความหมายและนาไปแกป้ ัญหา

สาระการเรียนรู้
- การหาจานวนสมาชิกของเซตที่กาหนดให้
- บอกไดว้ า่ เซตใดเป็นเซตจากดั หรือเซตอนนั ต์ และเซตวา่ ง
- บอกไดว้ า่ เซตท่ีกาหนดใหค้ ู่ใดเป็นเซตท่ีเท่ากนั และเซตท่ีเทียบเทา่ กนั

จุดประสงค์การเรียนรู้
ด้านความรู้ : นกั เรียนสามารถ
1. หาจานวนสมาชิกของเซตที่กาหนดใหไ้ ด้
2. บอกไดว้ า่ เซตใดเป็นเซตจากดั หรือเซตอนนั ต์ และเซตวา่ ง
3. บอกไดว้ า่ เซตท่ีกาหนดใหค้ ู่ใดเป็นเซตท่ีเทา่ กนั และเซตท่ีเทียบเทา่ กนั

ด้านทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ : นกั เรียนสามารถ
1. ในการแกป้ ัญหา
2. ในการใหเ้ หตุผล
3. ในการส่ือสารและการส่ือความหมาย

ด้านคุณลกั ษณะ :
1. ทางานอยา่ งเป็นระบบ
2. มีวนิ ยั
3. มีความรอบครอบ
4. มีวจิ ารณญาณ
5. มีความ
6. ใฝ่ รู้
7. มีเจตคติท่ีดีต่อคณิตศาสตร์

สาระการเรียนรู้
 เซตจากดั (Finite Set)

บทนิยาม เซตท่ีมีจานวนสมาชิกเทา่ กบั จานวนเตม็ บวกใดๆหรือศูนย์

 เซตอนันต์ (Infinite Set)

บทนิยาม เซตท่ีไมใ่ ช่เซตจากดั หรือเซตท่ีไม่สามารถระบุจานวนสมาชิกได้

จงหาจานวนสมาชิกของเซตและชนิดของเซตทก่ี าหนดให้ เซตใดเป็ นเซตจากดั หรือเซตอนันต์

ตวั อย่างที่ 1 กาหนดให้ A={3,7,11,19,21}

สมาชิกของเซต 3, 7, 11, 19, 21

แสดงวา่ เซต A มีจานวนสมาชิก 5 ตวั

เขียนแทนดว้ ย n(A)= 5

ดงั น้นั เซตAเป็นเซตจากดั

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดให้ B={x|xเป็นจานวนเตม็ ลบมีค่ามากกวา่ 0}

สมาชิกของเซต ไมม่ ี

แสดงวา่ เซตAมีจานวนสมาชิก 0ตวั

เขียนแทนดว้ ย n(B)= 0

ดงั น้นั เซตAเป็นเซตจากดั

ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ C={0,2,4,6,8,…}

สมาชิกของเซต 0,2,4,6,8,10,…

แสดงวา่ เซต A มีจานวนสมาชิกมากมาย

เขียนแทนดว้ ย n(C)= หาค่าไมไ่ ด้

ดงั น้นั เซตCเป็นเซตอนนั ต์

ตัวอย่างท่ี 4 กาหนดให้ D={x|xเป็นจานวนเตม็ ท่ีนอ้ ยกวา่ 0}

สมาชิกของเซต -1, -2, -3, -4, -5, -6,…

แสดงวา่ เซต D มีจานวนสมาชิกมากมาย

เขียนแทนดว้ ย n(D)= หาคา่ ไมไ่ ด้

ดงั น้นั เซตDเป็นเซตอนนั ต์

 เซตทเ่ี ท่ากนั (Equal Sets And Identical Sets)

บทนิยาม เซต A จะเท่ากบั เซต B ก็ต่อเม่ือ เซตท้งั สองเซตมีสมาชิกเหมือนกนั กล่าวคือ
ถา้ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็ นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตวั ของเซต B
เป็นสมาชิกของเซต A ใชส้ ัญลกั ษณ์ A = B

ดังน้ัน เซต A ไม่เท่ากับ เซต B หมายความว่า สมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ของเซต A ที่ไม่ใช่
สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ของเซต B ที่ไมใ่ ช่สมาชิกของเซต A

ตวั อย่างที่ 5 กาหนดให้ A = {1,3,5,7,9 } และ B = { 5,3,1,9,7 }
จงหาวา่ เซตท่ีกาหนดใหเ้ ป็นเซตท่ีเท่ากนั หรือเซตที่ไม่เท่ากนั
พิจารณา เซต A มีจานวนสมาชิก 5 ตวั คือ 1, 3, 5, 7, 9
เซต B มีจานวนสมาชิก 5 ตวั คือ 1, 3, 5, 7, 9
ดงั น้นั A = B

จากตวั อยา่ งท่ี 5 เราตอ้ งตกลงท่ีจะสร้างสจั พจนข์ ้ึนสองสัจพจน์ คือ สจั พจน์แรกเป็นการ
เทา่ กนั ของเซตสองเซต และสจั พจนท์ ี่สองเป็นการยอมรับวา่ มีเซตวา่ ง

สัจพจน์เอกซ์เทนชัน ( Extension Axiom )
สจั พจนน์ ้ีกล่าววา่ เมื่อกาหนดเซต A และเซต B จะได้ เซต A เทา่ กบั เซต B กต็ อ่ เมือ

เซตท้งั สองมีสมาชิกเหมือนกนั ทุก ๆ ตวั
กล่าวไดอ้ ีกแบบหน่ึงวา่ เซต A เท่ากบั เซต B กต็ อ่ เม่ือ สมาชิกทุกตวั ในเซต A เป็น

สมาชิกในเซต B และสมาชิกทุกตวั ในเซต B เป็นสมาชิกในเซต A
เขียนเป็ นสัญลกั ษณ์ในเชิงตรรกศาสตร์ไดด้ งั น้ี xx  A  x  B

 เซตทเ่ี ทยี บเท่ากนั (Equivalent Sets)

บทนิยาม เซต A เทียบเท่ากบั เซต B ก็ต่อเม่ือ เซตที่มีสมาชิกภายในเซตมีความสัมพนั ธ์แบบ
หน่ึงต่อหน่ึงพอดี หรืออาจกล่าวได้วา่ เซต A เทียบเท่ากบั เซต B ก็ต่อเมื่อ
กรณีที่ 1 ถา้ เซตท้งั สองเซตเป็นเซตจากดั แลว้ เซตท้งั สองมีจานวนสมาชิกเท่ากนั
กรณีที่ 2 ถา้ เซตท้งั สองเซตเป็ นเซตอนนั ต์ แลว้ เซตท้งั สองมีความสัมพนั ธ์แบบ1-1
เซต A เทียบเทา่ กบั เซต B เขียนแทนดว้ ย A ~ B หรือ A B

ตวั อย่างท่ี 6 กาหนดให้ A = {x | x เป็นจานวนเตม็ บวกที่นอ้ ยกวา่ 10}
ตวั อย่างที่ 7 และ B = {xI | 1  x  10}
ตวั อย่างที่ 8 พจิ ารณา เซต A มีจานวนสมาชิก 9 ตวั คือ 1, 2, 3,…, 9

เซต B มีจานวนสมาชิก 10 ตวั คือ 1, 2, 3,…, 10
ดงั น้นั A  B
กาหนดให้ A = {1, 4, 9} และ B = {2, 4, 8}
พจิ ารณา เซต A มีจานวนสมาชิก 3 ตวั คือ 1, 4, 9

เซต B มีจานวนสมาชิก 3 ตวั คือ 2, 4, 8
ดงั น้นั A B
กาหนดให้ A = {2, 4, 6,…} และ B = {3, 6, 9,…}
พจิ ารณา A = {2, 4, 6,…,2n,…}

B = {3, 6, 9,…,3n,…}
เพราะฉะน้นั A และ B มีความสัมพนั ธ์แบบ 1-1 ภายใต้ 2n  3n เมื่อ nN
ดงั น้นั A B

กจิ กรรมการเรียนรู้

1. ครูทบทวนเร่ือง การหาจานวนสมาชิกของเซตที่กาหนดให้
2. ครูอธิบายเรื่องเซตจากดั และเซตอนนั ต์ พร้อมยกตวั อยา่ งท่ี 1 – 4

จงหาจานวนสมาชิกของเซตและชนิดของเซตทก่ี าหนดให้ เซตใดเป็ นเซตจากดั หรือเซตอนันต์

ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดให้ A={3,7,11,19,21}

สมาชิกของเซต 3, 7, 11, 19, 21

แสดงวา่ เซต A มีจานวนสมาชิก 5 ตวั

เขียนแทนดว้ ย n(A)= 5

ดงั น้นั เซตAเป็นเซตจากดั

ตวั อย่างที่ 2 กาหนดให้ B={x|xเป็นจานวนเตม็ ลบมีคา่ มากกวา่ 0}

สมาชิกของเซต ไม่มี

แสดงวา่ เซตAมีจานวนสมาชิก 0ตวั

เขียนแทนดว้ ย n(B)= 0

ดงั น้นั เซตAเป็นเซตจากดั

ตัวอย่างท่ี 3 กาหนดให้ C={0,2,4,6,8,…}

สมาชิกของเซต 0,2,4,6,8,10,…

แสดงวา่ เซต A มีจานวนสมาชิกมากมาย

เขียนแทนดว้ ย n(C)= หาคา่ ไม่ได้

ดงั น้นั เซตCเป็นเซตอนนั ต์

ตวั อย่างที่ 4 กาหนดให้ D={x|xเป็นจานวนเตม็ ท่ีนอ้ ยกวา่ 0}

สมาชิกของเซต -1, -2, -3, -4, -5, -6,…

แสดงวา่ เซต D มีจานวนสมาชิกมากมาย

เขียนแทนดว้ ย n(D)= หาค่าไมไ่ ด้

ดงั น้นั เซตDเป็นเซตอนนั ต์

3. ครูใหน้ กั เรียนแจกเอกสารแนะแนวทางท่ี 1.2 ก เร่ือง “นับได้ไหมจ๊ะ” และลงมือทา

เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.2 ก จากน้นั ช่วยกนั ดูความถูกตอ้ งของเอกสารแนะแนวทางที่ 1.2
ก บนกระดาน และครูใหน้ กั เรียนช่วยกนั สรุป เซตจากดั และเซตอนนั ต์

4. ครูอธิบายเรื่องเซตเท่ากนั และเซตท่ีเทียบเทา่ กนั พร้อมยกตวั อยา่ งท่ี 5 –8

จงหาว่าเซตทก่ี าหนดให้เป็ นเซตทเ่ี ท่ากนั เซตทไี่ ม่เท่ากนั หรือเซตท่ีเทียบเท่ากนั
ตวั อย่างที่ 5 กาหนดให้ A = {1,3,5,7,9 } และ B = { 5,3,1,9,7 }

พจิ ารณา เซต A มีจานวนสมาชิก 5 ตวั คือ 1, 3, 5, 7, 9
เซต B มีจานวนสมาชิก 5 ตวั คือ 1, 3, 5, 7, 9

ดงั น้นั A = B

ตวั อย่างที่ 6 กาหนดให้ A = {x | x เป็นจานวนเตม็ บวกท่ีนอ้ ยกวา่ 10}
ตัวอย่างที่ 7 และ B = {xI | 1  x  10}
ตัวอย่างท่ี 8 พจิ ารณา เซต A มีจานวนสมาชิก 9 ตวั คือ 1, 2, 3,…, 9

เซต B มีจานวนสมาชิก 10 ตวั คือ 1, 2, 3,…, 10
ดงั น้นั A  B
กาหนดให้ A = {1, 4, 9} และ B = {2, 4, 8}
พจิ ารณา เซต A มีจานวนสมาชิก 3 ตวั คือ 1, 4, 9

เซต B มีจานวนสมาชิก 3 ตวั คือ 2, 4, 8
ดงั น้นั A B
กาหนดให้ A = {2, 4, 6,…} และ B = {3, 6, 9,…}
พิจารณา A = {2, 4, 6,…,2n,…}

B = {3, 6, 9,…,3n,…}
เพราะฉะน้นั A และ B มีความสัมพนั ธ์แบบ 1-1 ภายใต้ 2n  3n เม่ือ nN
ดงั น้นั A B

5. นกั เรียนทาเอกสารแนะแนวทางท่ี 1.2 ข เร่ือง “หน้าตาเหมือนฉันไหมจ๊ะ” ช่วยกนั ดูความถูกตอ้ ง

ของเอกสารแนะแนวทางที่ 1.2 ข บนกระดาน จากน้นั ครูใหน้ กั เรียนช่วยกนั สรุป เซตเท่ากนั และ
เซตท่ีเทียบเท่ากนั

6. ครูใหน้ กั เรียนช่วยกนั สรุปเรื่องท่ีเรียน จากน้นั ครูใหน้ กั เรียนครูแจกเอกสารประกอบการ
เรียนรู้ 1.2 เพื่อเป็นการทบทวน และครูแจกแบบฝึกเสริมทกั ษะ 1.2 ใหน้ กั เรียนทาใน

หอ้ งเรียน ถา้ ไม่เสร็จใหท้ าเป็ นการบา้ น

การวดั และประเมินผลการเรียนรู้
ส่ิงทวี่ ดั
1. การหาจานวนสมาชิกของเซตที่กาหนดใหไ้ ด้
2. มีความรู้ความเขา้ ใจเก่ียวกบั เซตจากดั หรือเซตอนนั ต์
3. หาเซตที่เทา่ กนั หรือเซตที่เทียบเท่ากนั ได้
4. ทกั ษะในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การสื่อสารและการส่ือความหมาย
5. คุณลกั ษณะดา้ นมีความรับผดิ ชอบในการทางาน ความสนใจและกระตือรือร้นความ
ละเอียดและรอบคอบ กลา้ คิดและกลา้ แสดงความคิดเห็น

วธิ ีวดั
1. สังเกตพฤติกรรมขณะเรียน
2. ความถูกตอ้ งของเอกสารแนะแนวทางที่ 1.2 ก และ 1.2 ข
3. ความถูกตอ้ งของแบบฝึกเสริมทกั ษะ 1.2

เคร่ืองมือในการวดั
1. แบบสงั เกตพฤติกรรมคุณลกั ษณะที่พงึ ประสงค์
2. เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.2 ก และ 1.2 ข
3. แบบฝึกเสริมทกั ษะ 1.2
4. แบบบนั ทึกการประเมินผล

เกณฑ์การวดั และการประเมินผล
1. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนจากการทาแบบฝึ กเสริมทกั ษะ
2. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนจากการสังเกตพฤติกรรม

เกณฑ์การให้คะแนนจากการสังเกตพฤตกิ รรม

รายการประเมิน ระดบั คุณภาพ

1. การแกป้ ัญหา 3 คะแนน 2 คะแนน 1 คะแนน 0 คะแนน
2. การให้เหตุผล
3. การสื่อสาร การส่ือความหมายทาง ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไม่เคยปฏิบตั ิเลย
คณิตศาสตร์ และการนาเสนอ ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
4. มีความรับผิดชอบในการทางาน
5. มีความสนใจและกระตือรือร้น ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
6. มีความละเอียดและรอบคอบ
7. กลา้ คิดและกลา้ แสดงความคิดเห็น ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไม่เคยปฏิบตั ิเลย
ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไม่เคยปฏิบตั ิเลย

เกณฑ์การให้คะแนนจากการทาแบบฝึ กเสริมทักษะ

รายการประเมิน ระดบั คุณภาพ

1. ความครบถว้ น 3 คะแนน 2 คะแนน 1 คะแนน
2. ความถูกตอ้ ง
3. ความเหมาะสมของลาดบั ข้นั ตอน ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะได้ ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดม้ ากกวา่ ทาแบบฝึ กเสริมทกั ษะไดน้ อ้ ยกวา่
4. การตรงต่อเวลา ครบถว้ น หรือเทา่ กบั คร่ึงหน่ึงของท้งั หมด คร่ึงหน่ึงของท้งั หมด
ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดถ้ ูกตอ้ ง ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดถ้ ูกตอ้ ง ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดถ้ ูกตอ้ ง
มากกวา่ หรือเทา่ กบั 70 % มากกวา่ หรือเทา่ กบั 60 % นอ้ ยกวา่ 60 %
แสดงลาดบั ข้นั ตอนไดช้ ดั เจน แสดงลาดบั ข้นั ตอนไดช้ ดั เจน แสดงลาดบั ข้นั ตอนได้
สมบรู ณ์
ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะเสร็จตาม ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะเสร็จชา้ กวา่ ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะเสร็จชา้ กวา่
กาหนดเวลา กาหนด 1 วนั กาหนดมากกวา่ 1 วนั

8. ส่ือ/แหล่งการเรียนรู้
8.1 สื่อการเรียนรู้
1. หนงั สือเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน เล่ม ๑ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ ๔
2. หนงั สือแบบฝึกหดั “เซต” (E Book และ Power Point)
8.2 แหล่งการเรียนรู้
1. หอ้ งสมุด
2. http://www.cs.odu.edu/~toida/nerzic/content/set/review-inf-rule.html

9. พฤติกรรมทเี่ ปลย่ี นแปลงไปของนักเรียน
9.1 ดา้ นบวก

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

9.2 ดา้ นลบ
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
10. ผลสัมฤทธ์ิก่อน/หลงั การเรียนรู้
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
11. สภาพปัญหา/อปุ สรรค ทพ่ี บ
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
12. บนั ทกึ หลงั การสอน

ผลการจดั การเรียนการสอน
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

ปัญหา / อุปสรรค
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

แนวทางแกไ้ ข
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

ลงช่ือ_____________________________
( นายธีรยทุ ธ์ สกุลเพช็ ร์ )
ครู

เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.2 ก

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 4

เร่ือง “นับได้ไหมจ๊ะ” ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2

จงพจิ ารณาตารางเซตทก่ี าหนดให้ และใส่เครื่องหมายถูกลงในตารางถูกต้อง

เซต จานวนสมาชิก ชนิดของเซต

1. A = เซตของเลขโดด n(A) = 10 เซตจากดั เซตอนนั ต์
2. B = { xP+ | 20  x  30 } n(B) = 2
3. C = { xI | 0 < x < 1 } ไมม่ ีจานวนสมาชิก / n(C) = 0 
4. D = { xR | x  0 } ไม่สามารถระบุจานวนได้ 
5. E = { 11, 22, 33, 44, 55,... } ไมส่ ามารถระบุจานวนได้ 
6. F = { 1234 }
7. G = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 } 
8. H = { xI+ | x2 = 2x } 
9. I = { x I | x3 < 0 }
10. J = { x I | x2 + 1 = 0 }
11. K = { xN | x  3 x }
12. L = { x I- | x2 = 0 }
13. M = { x | x เป็นจานวนเฉพาะที่เป็นจานวนคู่ }
14. N = { xI | x  0 }
15. M = { x I | x < 0 }

สรุปได้ว่า คือ ......................................................................................................
เซตจากดั คือ ......................................................................................................
เซตอนันต์

เอกสารแนะแนวทางที่ 1.2 ข

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 4

เรื่อง “หน้าตาเหมือนฉันไหมจ๊ะ” ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 2

จงพจิ ารณาตารางเซตทกี่ าหนดให้ และใส่เคร่ืองหมายถูกลงในตารางถูกต้อง

เซต ชนิดของเซต

เซตเท่ากนั เซตเทยี บเท่ากนั

1. A = { 1, 2, 3 } B = { 3, 2, 1 } 

2. A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 4, 6 } 

3. A = { 1, 2, 3, 3 } B = { 3, 3, 2, 2, 1, 1 } 

4. A = { 2, 4, 6 } B = { 1, 3, 5 }

5. A = { 2, 4, 6, 8, 10 } B = { 10, 8, 6, 4, 2 }

6. A = { -1, -2, -3 } B = { 3, 2, 1 }

7. A = { -1, -2, -3 } B = { -3, -2, -1 }

8. A = { 1 , 4 , 9 } B = { 1, 2, 3 }

9. A = { 1 , 4 , 9 } B = { 3 1 , 3 8 , 3 27 }

10. A = { 1+1, 2+1, 3+1 } B = { 3-1, 4-1, 5-1 }

สรุปได้ว่า คือ ......................................................................................................
เซตเท่ากนั คือ ......................................................................................................
เซตเทยี บเท่า

แบบฝึ กเสริมทกั ษะที่ 1.2

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4

เร่ือง ชนิดของเซต ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 2

1. จงพจิ ารณาเซตทกี่ าหนดให้ต่อไปนี้ ว่าเป็ นเซตใดเป็ นเซตจากดั และเซตใดเป็ นเซตอนันต์

________________ 1. เซตของจงั หวดั ในประเทศไทย

________________ 2. เซตของจานวนเตม็ ลบ

________________ 3. เซตของจานวนเตม็ บวกที่ 2 หารลงตวั แต่ 3 หารไมล่ งตวั

________________ 4. A = { 0.123… }

________________ 5. B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

________________ 6. C = {x | xเป็นจานวนเฉพาะบวก}

________________ 7. D = {x | x I และ x > 1}

________________ 8. E = {x | xI และ x = 7}

________________ 9. F = {x | xI และ (x + 1)(x + 2) =0}

________________ 10. G = {x | xIและ x + 2 > 2 + x}

2. จงพจิ ารณาเซตทก่ี าหนดให้ ว่าเป็ นเซตใดเป็ นเซตเท่ากันหรือไม่เท่ากนั หรือเซตเทยี บเท่ากนั

____ 1. A = {0, 1} B = {0, 0, 0, 1, 1,}

____ 2. A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {-2, -4, -6, -8, -10}

____ 3. A = {{1},{2}} B = {1, 3, 5}

____ 4. A = {x | xNและ 1  x  10} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…,10}

____ 5. A = {x | xN และ 5 หารลงตวั } B = {x | xN และ 7 หารลงตวั }

____ 6. A = {x | xI+ และ จานวนเฉพาะคู่} B = {x | xI และ x = 2}

____ 7. A = {x | xN และ 3 หารตวั และ x < 30}

B = {x | xN และ 2 หารแลว้ เหลือเศษ 1 และ x < 30}

____ 8. A = {x | xI และ (x – 1)(x – 2) = 0} B = {x | xI และ (x – 2)(x – 1) = 0}

____ 9. A = {x | xI และ x2 – 4x + 4 = 0} B = {x | xI และ (x – 2)2 = 0}

____ 10. A = {x | xI และ x2 – 1 = 0} B = {x | xI และ x – 1 = 0}

3. จงพจิ ารณาเซตทก่ี าหนดใส่เคร่ืองหมายถูก หน้าข้อทเี่ ป็ นจริง และใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อทเ่ี ป็ นเทจ็
_______ 1. {} = 
_______ 2. A = { x | xI- } และ B = { x | xI+ } เซต A เทียบเท่ากบั เซต B
_______ 3. { 1, 2, 3, 4, 5 } = { x | xN และ 1  x  5 }
_______ 4. A = { 2, 3, 5, 7 } และ B = { x | x เป็นจานวนเฉพาะบวกท่ีไมเ่ กิน 10 } เป็นเซตท่ีเทา่ กนั
_______ 5. A = { x | x เป็นพยญั ชนะในคา “กรรมกร” }

และ B = { x | x เป็นพยญั ชนะในคา “กรรมการ” } เป็นเซตท่ีเทา่ กนั
_______ 6. A = { x | xIและ 3 หารลงตวั } และ B = { x | x  N และ 2 หารลงตวั }

เซต A เทียบเทา่ กบั เซต B
_______ 7. { x | xI และ x2 = 81 } = { 9 }
_______ 8. A = { x | xI และ x2+ 2x-3=0 } และ B = {x | xIและ x2- 2x+3=0 }

เซต A เทียบเท่ากบั เซต B
_______ 9. ถา้ เซต A และเซต B เป็นเซตท่ีเท่ากนั แลว้ เซต A เทียบเท่ากบั เซต B
_______ 10. ถา้ เซต A และเซต B เป็นเซตท่ีเทียบเท่ากนั แลว้ เซต A เท่ากบั เซต B

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 3 เรื่อง สัญลกั ษณ์และการหาจานวนสับเซต
กลุ่มสาระการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์
รายวชิ า คณติ ศาสตร์พื้นฐาน 1 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4
จานวนเวลา 50 นาที
รหัสวชิ า ค31101 จานวน 1 หน่วยกติ

ภาคเรียนที่ 1/2565 ผู้สอน นายธีรยุทธ์ สกุลเพช็ ร์

สาระที่ 1จานวนและพชี คณติ
- ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์อ่ืน ๆ แทนสถานการณ์ตลอดจน
แปลความหมายและนาไปแกป้ ัญหา

สาระการเรียนรู้
- สัญลกั ษณ์แทนการเป็นสบั เซต และการหาจานวนสับเซตของเซต

จุดประสงค์การเรียนรู้
ด้านความรู้ :
นกั เรียนสามารถหาสบั เซตและจานวนสมาชิกของสบั เซตท่ีกาหนดใหไ้ ด้

ด้านทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ : นกั เรียนสามารถ
1. ในการแกป้ ัญหา
2. ในการใหเ้ หตุผล
3. ในการส่ือสารและการส่ือความหมาย

ด้านคุณลกั ษณะ :
1. ทางานอยา่ งเป็นระบบ
2. มีวนิ ยั
3. มีความรอบครอบ
4. มีวจิ ารณญาณ
5. มีความ
6. ใฝ่ รู้
7. มีเจตคติท่ีดีต่อคณิตศาสตร์

สาระการเรียนรู้
 สับเซต (Subsets)

บทนิยาม เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ถา้ สมาชิกทุกตวั ในเซต A เป็นสมาชิกของเซต B
ใชส้ ัญลกั ษณ์ A  B อา่ นวา่ A เป็นสับเซตของเซต B

แสดงว่า เซต A จะเทา่ กบั เซต B ก็ตอ่ เมื่อ เซตท้งั สองเซตมีสมาชิกเหมือนกนั กล่าวคือ ถา้
สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตวั ของเซต B เป็น
สมาชิกของเซต A

A  B และ B  A กต็ ่อเมอื่ A=B

เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B หมายความวา่ สมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ของเซต A
ที่ไมใ่ ช่สมาชิกของเซต B ใชส้ ัญลกั ษณ์ A  B อ่านวา่ A ไม่เป็นสับเซตของเซต
B

บทนิยาม เซต A จะเป็นสับเซตแท้ ของเซต B ก็ต่อเมื่อ เซต A เป็นสับเซตของเซต B
แตเ่ ซต B ไมเ่ ป็นสบั เซตของเซต A

จงเขียนสับเซตต่อไปนี้

ตวั อย่างที่ 1 กาหนดให้ A = {ก, ข, ค}

สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ ก, ข, ค

สับเซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่ {ก}, {ข}, {ค}, {ก,ข}, {ก,ค}, {ข,ค}, {ก, ข, ค}, 

ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ B =  , 

สมาชิกของเซต B ไดแ้ ก่  และ 

สบั เซตท้งั หมดของ B ไดแ้ ก่  , ,  , , 

ตัวอย่างท่ี 3 กาหนดให้ A = {a, b, c} B = {a, b, d} และ C = {a, b, c, d}

จงหาวา่ เซตใดเป็นสบั เซตของเซตใดบา้ ง

จากโจทยท์ ่ีกาหนดใหส้ ามารถสรุปไดว้ า่

จะไดว้ า่ A  C เพราะสมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต C

C  A เพราะ d C แต่ d  A

สรุปไดว้ า่ A  C และเซต A เป็นสับเซตแทข้ องเซต B

และ B  C เพราะสมาชิกทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต C

C  B เพราะ c  C แต่ c  B

สรุปไดว้ า่ B  C และเซต B เป็นสับเซตแทข้ องเซต C

แต่ A  B เพราะ c  A แต่ c B

B  A เพราะ d B แต่ d  A

หมายเหตุ 1. เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของตวั มนั เอง ถา้ เซต A เป็นเซตใด ๆ แลว้ A  A
2. เซตวา่ งเป็นสบั เซตของเซตทุกเซตนนั่ คือ ถา้ เซต A เป็นเซตใด ๆ แลว้   A

การหาจานวนสมาชิกของสับเซต
ถา้ A เป็นเซตท่ีมีสมาชิก n จานวน แลว้ จานวนสมาชิกของสับเซตท้งั หมดของเซต A จะ

เท่ากบั 2n(A) สับเซต และในจานวนน้ีเราสามารถหาจานวนสมาชิกของสบั เซตแทไ้ ดเ้ ทา่ กบั 2n(A)- 1
สับเซต (นน่ั คือ จานวนสมาชิกของสับเซตแท้ เท่ากบั จานวนสบั เซตท้งั หมด ยกเวน้ เซตของตวั มนั เอง
เพราะฉะน้นั เซตของตวั มนั เอง เรียกวา่ สบั เซตไมแ่ ท)้

สมบัติเกย่ี วกบั สับเซต
กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ
1. A  A กล่าวคือ เซต A ยอ่ มเป็นสับเซตของตวั มนั เอง
2.   A กล่าวคือ เซตวา่ ง เป็ นสับเซตของทุกเซต
3. AU กล่าวคือ เซต A เป็นสบั เซตของเอกภพสัมพทั ธ์
4. ถา้ A   แลว้ A  
5. A  B ก็ต่อเม่ือ A B และ B  A
6. ถา้ A B และ B  C แลว้ A  C
7. ถา้ A และ B เป็ นเซตจากดั และ A B แลว้ n(A)  n(B)
8. ถา้ A เป็นเซตใด ๆ ที่ไมใ่ ช่เซตวา่ งแลว้ สามารถหาสับเซตแทข้ องเซต A ไดเ้ สมอ
9. ถา้ เซต A เป็นสบั เซตแทข้ องเซต B แลว้ n(A) < n(B)

ความรู้เพมิ่ เติมจากการพสิ ูจน์ I
Theorem 1: A  U
Proof: By the definition of  , we need to show that xx  A  x U .

For that, what we need is to show that for an arbitrary x, x  A  x U
holds according to the inference rule "universal generalization".
Since x is an object of the universe of discourse, x U is true for any arbitrary object by the
Universal Instantiation. Hence x  A  x U is true for any arbitrary object x. Thus by the

Universal Generalization xx  A  x U  that is, A  U by the definition of subset.

We say p  q is trivially true if q is true, and this kind of proof
(i.e. showing q is true for p  q without referring to p ) is called a trivial proof.

Theorem 2:   A

Proof: By the definition of  , we need to show that xx   x  A.

For that, what we need is to show that for an arbitrary x, x   x  A
holds. Then apply the Universal Generalization.

Since xx , for any arbitrary x, x  is false by the Universal Instantiation. Hence

x   x  A is true for any arbitrary x
( p  q is always true if p is false regardless of what q is). Hence by the Universal

Generalization xx   x  A . Thus   A by the definition of subset.

Theorem 3: A  B iff A  B and B  A .
Proof: By the definition of A = B,

AB  xx  A  x  B

 xx A  x B  xx  B  x  A
Since A  B  xx A  x B, this means that A  B and B  A

Hence, A  B iff A  B and B  A.

Theorem 4: Iff A  B , B  C and A  C

Proof: A  B and B  C

 xx  A  x  B  xx  B  x C

Thus for an arbitrary x in the universe,

x A xB and x  B  x C hold.

Hence, by hypothetical syllogism x A  xC

Hence, A  C .

ทฤษฎบี ท 1 กาหนด A และ B เป็นเซตใด ๆ จะได้ A = B ก็ต่อเม่ือ A  B และ B  A
เรียกวา่ กฎปฏิสมมาตร(The Anti-symmetric Law)

พสิ ูจน์ () ให้ A = B
ดงั น้นั จะไดว้ า่ สมาชิกทุก ๆ ตวั ใน A เป็นสมาชิกใน B และสมาชิกทุก ๆ ตวั ใน B เป็นสมาชิกใน
A (สัจพจนเ์ อกซ์เทนชนั )
ฉะน้นั A  B และ B  A (นิยามของสบั เซต)

() ในทางกลบั สมมติให้ A  B และ B  A
ดงั น้นั จะไดว้ า่ สมาชิกทุก ๆ ตวั ใน A เป็นสมาชิกใน B และสมาชิกทุก ๆ ตวั ใน B เป็นสมาชิก A
ฉะน้นั A = B (สัจพจนเ์ อกซ์เทนชนั )
ข้อสังเกต ถา้ A และ B เป็นเซตใด ๆ แลวั จะได้

1. A เป็นสบั เซตแทข้ อง B หรือ B เป็นสบั เซตแทข้ อง A เพยี งอยา่ งใดอยา่ งหน่ึง

ทฤษฎบี ท 2 ถา้ A เป็นเซตใด ๆ แลว้ จะได้ A  A
เรียกวา่ กฎการสะทอ้ น(The Reflexive Law)

พสิ ูจน์ เพราะวา่ สมาชิกทุกตวั ใน A เป็นสมาชิก A
จึงไดว้ า่ A  A (โดยนิยามของสบั เซต)

ทฤษฎบี ท 3 กาหนด A, B, C เป็นเซตใด ๆ ถา้ A  B และ B  C แลว้ A  C
เรียกวา่ กฎการถ่ายทอด(The Transitive Law)

พสิ ูจน์ จากสมมติฐานของทฤษฎีบท คือ A  B
จึงไดผ้ ลวา่ สาหรับ x ทุกตวั ใน A จะได้ x อยใู่ น B ดว้ ย
และจากสมมติฐานของทฤษฎีบท B  C
จึงไดผ้ ลวา่ สาหรับ x ทุกตวั ใน B จะได้ x อยใู่ น C ดว้ ย
ดงั น้นั จึงไดว้ า่ สาหรับ x ทุกตวั ใน A จะได้ x อยใู่ น C
นนั่ คือ A  C (โดยนิยามสบั เซต)

ทฤษฎบี ท 4 เซตวา่ งเป็นสับเซตของทุก ๆ เซต

พสิ ูจน์ ให้ A เป็นเซตใด ๆ ตอ้ งแสดงวา่   A
การพสิ ูจน์ทฤษฎีบทน้ี เราจะไมท่ าโดยตรงจากนิยามของสับเซต ท้งั น้ีเพราะวา่ เซตวา่ งไม่

มีสมาชิกเลย จึงตอ้ งใชแ้ นวการพิสูจน์ทางอื่น ทาไดด้ งั น้ี
จากที่เราทราบวา่ ขอ้ ความ 2 ขอ้ ความต่อไปน้ี เป็นจริงไดเ้ พยี งอยา่ งหน่ึงเทา่ น้นั คือ

  A หรือ   A อยา่ งใดอยา่ งหน่ึง
สมมติให้   A เป็นจริง
ดงั น้นั จึงไดว้ า่ มีสมาชิกอยา่ งนอ้ ย 1 ตวั ใน  ซ่ึงไม่เป็นสมาชิกในเซต A

แต่  ไมม่ ีสมาชิกเลย จึงเกิดขอ้ ขดั แยง้
ดงั น้นั จึงเป็นไปไมไ่ ดต้ ามท่ีสมมติให้   A
ฉะน้นั ขอ้ ความ   A จึงเป็นเทจ็
และได้   A เป็นจริง

ให้นักเรียนพสิ ูจน์ทฤษฎบี ท (อย่างน้อย 2 ข้อ)
ทฤษฎบี ท ให้ A,B และ C เป็นเซตใด ๆ จะได้

1. ถา้ A  B และ B  C โดย B  C แลว้ A  C โดยท่ี A  C
2. ถา้ A  B โดย A  B และ B  C แลว้ A  C โดยท่ี A  C
3. ถา้ A  B และ B  C แลว้ A  B โดยท่ี A  B
4. ถา้ A  B, B  C และ C  A แลว้ A = B = C

________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

กจิ กรรมการเรียนรู้
1. ครูใหน้ กั เรียนแบง่ กลุ่มออกเป็น 4 กลุ่ม จากน้นั ส่งตวั แทนออกมาเลือกบตั รเซตกลุ่มละ 1 ใบ

ชื่อกลุ่ม ____________________
A = {1,2}

ชื่อกลุ่ม ____________________
B = {1,2,3}

ช่ือกลุ่ม ____________________
C = {1,2,3,4}

ชื่อกลุ่ม ____________________
D = {1,2,3,4,5}

2. ครูอธิบายเร่ือง การหาสับเซต และยกตวั อยา่ งที่ 1 – 2

จงเขยี นสับเซตต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ A = {ก, ข, ค}

สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ ก, ข, ค

สับเซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่ {ก}, {ข}, {ค}, {ก,ข}, {ก,ค}, {ข,ค}, {ก, ข, ค}, 

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดให้ B =  , 

สมาชิกของเซต B ไดแ้ ก่  และ 

สบั เซตท้งั หมดของ B ไดแ้ ก่  , ,  , , 

3. ใหน้ กั เรียนช่วยกนั หาสบั เซตของเซตที่กาหนดใหจ้ ากบตั รสับเซต โดยเขียนสบั เซตท้งั หมด

ที่ไดไ้ วห้ ลงั บตั ร และสรุปจานวนสบั เซตจากเซตท่ีกาหนดให้ พร้อมท้งั อภิปรายภายใน

กลุ่มใหเ้ ขา้ ใจเก่ียวกบั สบั เซตของตนเอง

4. ใหน้ กั เรียนแบง่ สมาชิกภายในกลุ่มออกเป็น 4 กลุ่มยอ่ ย

กลุ่ม A แบง่ ออกเป็น A1 A2 A3 A4

กลุ่ม B แบง่ ออกเป็น B1 B2 B3 B4

กลุ่ม C แบง่ ออกเป็น C1 C2 C3 C4

กลุ่ม D แบง่ ออกเป็น D1 D2 D3 D4

จากน้นั ใหน้ กั เรียนสลบั กลุ่มแบบจิ๊กซอร์ โดยใน 1 กลุ่มตอ้ งมีตวั แทนจากสมาชิกทุกกลุ่ม

5. ครูแจกเอกสารแนะแนวทางที่ 1.3 “สับเซต...เสร็จสับจ๊ะ” ใหน้ กั เรียนเติมสบั เซตพร้อมท้งั
ระบุจานวนสมาชิกใหถ้ ูกตอ้ ง และอภิปรายหาขอ้ สรุปเก่ียวกบั จานวนสมาชิกของสบั เซต
แต่ละเซตแบบความสมั พนั ธ์ของแบบรูปจานวน

6. ครูใหค้ าแนะนาและแนะแนวทางการสรุปแบบรูป จากจานวนสบั เซตที่ไดข้ องแต่ละกลุ่ม
7. ครูใหน้ กั เรียนช่วยกนั ดูความถูกตอ้ งของเอกสารแนะแนวทางที่ 1.3 เรื่อง “สับเซตเสร็จสับ

จ๊ะ” อีกคร้ังบนกระดาน
8. ครูชมเชยนกั เรียนท่ีทาได้ และอธิบายเพ่ิมเติมใหส้ าหรับนกั เรียนท่ียงั ไม่เขา้ ใจซ้าอีกคร้ัง
9. ครูอธิบาย พร้อมยกตวั อยา่ งที่ 3

ตัวอย่างท่ี 3 กาหนดให้ A = {a, b, c} B = {a, b, d} และ C = {a, b, c, d}

จงหาวา่ เซตใดเป็นสบั เซตของเซตใดบา้ ง

จากโจทยท์ ี่กาหนดใหส้ ามารถสรุปไดว้ า่

จะไดว้ า่ A  C เพราะสมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต C

C  A เพราะ d C แต่ d  A

สรุปไดว้ า่ A  C และเซต A เป็นสับเซตแทข้ องเซต B

และ B  C เพราะสมาชิกทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต C

C  B เพราะ c  C แต่ c  B

สรุปไดว้ า่ B  C และเซต B เป็นสับเซตแทข้ องเซต C

แต่ A  B เพราะ c  A แต่ c B

B  A เพราะ d B แต่ d  A

หมายเหตุ 1. เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของตวั มนั เอง ถา้ เซต A เป็นเซตใด ๆ แลว้ A  A

2. เซตวา่ งเป็นสับเซตของเซตทุกเซตนนั่ คือ ถา้ เซต A เป็นเซตใด ๆ แลว้   A

10. ครูอธิบายสมบตั ิเกี่ยวกบั เซต และพสิ ูจน์เพอ่ื ยกตวั อยา่ ง หรือยกตวั อยา่ งใหน้ กั เรียนเห็น

ความสัมพนั ธ์ของสมบตั ิเก่ียวกบั เซต (ตามความถนดั ของผสู้ อนในการอธิบาย)
11. ครูใหน้ กั เรียนช่วยกนั สรุปเร่ืองท่ีเรียน จากน้นั ครูใหน้ กั เรียนครูแจกเอกสารประกอบการ

เรียนรู้ 1.3 เพ่ือเป็นการทบทวน และครูแจกแบบฝึกเสริมทกั ษะ 1.3 ใหน้ กั เรียนทาใน
หอ้ งเรียน ถา้ ไมเ่ สร็จใหท้ าเป็ นการบา้ น

การวดั และประเมินผลการเรียนรู้
สิ่งทวี่ ดั
1. หาสบั เซตของเซตที่กาหนดใหไ้ ด้
2. หาจานวนสบั เซตของเซตที่กาหนดใหไ้ ด้
3. นาความรู้เร่ืองสมบตั ิของสับเซตไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการแกป้ ัญหาได้
4. ทกั ษะในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การสื่อสารและการสื่อความหมาย
5. คุณลกั ษณะดา้ นมีความรับผดิ ชอบในการทางาน ความสนใจและกระตือรือร้นความ
ละเอียดและรอบคอบ กลา้ คิดและกลา้ แสดงความคิดเห็น

วธิ ีวดั
1. สังเกตพฤติกรรมขณะเรียน
2. ความถูกตอ้ งของเอกสารแนะแนวทางท่ี 1.3
3. ความถูกตอ้ งของแบบฝึกเสริมทกั ษะ 1.3

เคร่ืองมือในการวดั
1. แบบสังเกตพฤติกรรมคุณลกั ษณะท่ีพึงประสงค์
2. เอกสารแนะแนวทางที่ 1.3
3. แบบฝึกเสริมทกั ษะ 1.3
4. แบบบนั ทึกการประเมินผล

เกณฑ์การวดั และการประเมินผล
1. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนจากการทาแบบฝึกเสริมทกั ษะ
2. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนจากการสงั เกตพฤติกรรม

เกณฑ์การให้คะแนนจากการสังเกตพฤตกิ รรม

รายการประเมิน ระดบั คุณภาพ

1. การแกป้ ัญหา 3 คะแนน 2 คะแนน 1 คะแนน 0 คะแนน
2. การให้เหตุผล
3. การสื่อสาร การส่ือความหมายทาง ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
คณิตศาสตร์ และการนาเสนอ ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไม่เคยปฏิบตั ิเลย
4. มีความรับผิดชอบในการทางาน
5. มีความสนใจและกระตือรือร้น ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไม่เคยปฏิบตั ิเลย
6. มีความละเอียดและรอบคอบ
7. กลา้ คิดและกลา้ แสดงความคิดเห็น ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไมเ่ คยปฏิบตั ิเลย
ปฏิบตั ิเป็นประจา ปฏิบตั ิบางคร้ัง ปฏิบตั ินอ้ ย ไม่เคยปฏิบตั ิเลย

เกณฑ์การให้คะแนนจากการทาแบบฝึ กเสริมทักษะ

รายการประเมิน ระดบั คุณภาพ

1. ความครบถว้ น 3 คะแนน 2 คะแนน 1 คะแนน
2. ความถูกตอ้ ง
3. ความเหมาะสมของลาดบั ข้นั ตอน ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะได้ ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดม้ ากกวา่ ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดน้ อ้ ยกวา่
4. การตรงต่อเวลา ครบถว้ น หรือเทา่ กบั คร่ึงหน่ึงของท้งั หมด คร่ึงหน่ึงของท้งั หมด
ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดถ้ ูกตอ้ ง ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดถ้ ูกตอ้ ง ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะไดถ้ ูกตอ้ ง
มากกวา่ หรือเทา่ กบั 70 % มากกวา่ หรือเทา่ กบั 60 % นอ้ ยกวา่ 60 %
แสดงลาดบั ข้นั ตอนไดช้ ดั เจน แสดงลาดบั ข้นั ตอนไดช้ ดั เจน แสดงลาดบั ข้นั ตอนได้
สมบรู ณ์
ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะเสร็จตาม ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะเสร็จชา้ กวา่ ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะเสร็จชา้ กวา่
กาหนดเวลา กาหนด 1 วนั กาหนดมากกวา่ 1 วนั

8. ส่ือ/แหล่งการเรียนรู้
8.1 สื่อการเรียนรู้
1. หนงั สือเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน เล่ม ๑ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ ๔
2. หนงั สือแบบฝึกหดั “เซต” (E Book และ Power Point)
8.2 แหล่งการเรียนรู้
1. หอ้ งสมุด
2. http://www.cs.odu.edu/~toida/nerzic/content/set/review-inf-rule.html

9. พฤตกิ รรมทเี่ ปลยี่ นแปลงไปของนักเรียน
9.1 ดา้ นบวก

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

9.2 ดา้ นลบ
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
10. ผลสัมฤทธ์ิก่อน/หลงั การเรียนรู้
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
11. สภาพปัญหา/อุปสรรค ทพี่ บ
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
12. บนั ทกึ หลงั การสอน

ผลการจดั การเรียนการสอน
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

ปัญหา / อุปสรรค
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

แนวทางแกไ้ ข
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

ลงช่ือ_____________________________
( นายธีรยทุ ธ์ สกุลเพช็ ร์ )
ครู

เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.3

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 4

เร่ือง “สับเซต...เสร็จสับจ๊ะ” ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3

จงพจิ ารณาสับเซตต่อไปนีจ้ ากเซตทกี่ าหนดให้ สบั เซต
เซต

1. A = { 1 }

2. A = { 1, 2 }

3. A = { 1, 2, 3 }

4. A = { 1, 2, 3, 4 }

5. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

จงพจิ ารณาจานวนสับเซตจากจานวนสมาชิกของเซตทกี่ าหนดให้ต่อไปนี้

เซต จานวนสมาชิก จานวนสบั เซต
2
1. A = { 1 } n(A) = 1 4
8
2. A = { 1, 2 } n(A) = 2

3. A = { 1, 2, 3 } n(A) = 3

4. A = { 1, 2, 3, 4 }

5. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

6. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

7. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

8. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

9. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

10. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

จานวนสบั เซต = __________________

เอกสารแนะแนวทางที่ 1.3 ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 4
รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3
เรื่อง เอกภพสัมพทั ธ์

จงพจิ ารณาตารางเซตทก่ี าหนดให้ และเตมิ ตารางให้สมบูรณ์ เอกภพสัมพทั ธ์
U = I+
เซตแบบบอกเง่ือนไข U=R
1. A = { xI+ | x เป็นสมาชิกของจานวนคู่ } U=R
2. B = { x | x + 5 = 10 } U = P+
3. C = { xR | x > 1 และ x <0 } U=R
4. D = { xP+| 1 < x < 10 } U=Q
5. E = { x | x2 = 4 }
6. F = { xQ | x < 2 และ x > 1 }
7. G = { xI+ | x2 = 16 }
8. H = { xI- | -10 < x < 0 }
9. I = { x| x เป็นสมาชิกของเลขโดด }
10. J = { xI | x2 – 3x + 2 = 0 }
11. K = { xE | 3 หาร x ลงตวั }
12. L = { x | x เป็นสมาชิกของจานวนนบั }
13. M = { xQ+ | x เป็นเศษส่วนแท้ }
14. N = { x | (2x-1)(2x-3) = 0 }
15. O = { xO | x เป็นจานวนนบั }

เอกภพสัมพทั ธ์ หมายถึง __________________________________________________
_______________________________________________________________________

แบบฝึ กเสริมทกั ษะที่ 1.3

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 4

เร่ือง สัญลกั ษณ์และการหาจานวนสับเซต ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3

1. กาหนดให้ U = { x | x เป็ นจานวนเต็ม }

จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนีแ้ ล้วใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อทถ่ี ูก และใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อทผ่ี ดิ

______ 1. จานวนนบั  U ______ 2. 5  U

______ 3. { 2, 3, 5, 7 }  U U______ 4. 1 , 2, 3 
______ 5. {0}  U 2

______ 6. {x | x เป็นจานวนเฉพาะ}  U

______ 7. {5}  U ______ 8. 1, 2, 3, 4,… U

U______ 9. 2, 3  ______ 10. { }  U

2. กาหนดให้ A= { 1, { 2 }, 34, { { 5 } } }

จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนีแ้ ล้วใส่เคร่ืองหมาย  หน้าข้อทถี่ ูก และใส่เคร่ืองหมาย  หน้าข้อทผ่ี ดิ

______ 1. { { 5 } }  A ______ 2. { 1, 34 }  A

______ 3. { 3, 4 }  A ______ 4. 2 A

______ 5. { { 2 } }  A ______ 6. { { 2 }, { { 5 } } } A

______ 7. 1  A ______ 8. 3, 4  A

______ 9. { 2 }  A ______ 10.   A

3. กาหนดให้ A= {a, b, c, d} B = {a, b, c} C = {b, c} D = {a, c, d}

จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนีแ้ ล้วใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อทถี่ ูก และใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อทผี่ ดิ

______ 1. B A ______ 2. A B

______ 3. D A ______ 4. B D

______ 5. D C ______ 6. D B

______ 7. A C ______ 8. A D

______ 9. B C ______ 10. C A

4. จงหาสับเซตท้งั หมดของเซตต่อไปนี้
1. A = { 0, 1 }
สบั เซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่______________________________________
2. B = { 1, 3, 5 }
สับเซตท้งั หมดของ B ไดแ้ ก่______________________________________
3. C = { { 1 }, 2 }
สับเซตท้งั หมดของ C ไดแ้ ก่______________________________________
4. D = { 1, { 2 }, { { 3 } } }
สบั เซตท้งั หมดของ D ไดแ้ ก่______________________________________
5. E = { , {  } }
สบั เซตท้งั หมดของ E ไดแ้ ก่______________________________________

5. กาหนดให้ A = { 2, 3, 5, 7 } จงตอบคาถามต่อไปนี้
1. สบั เซตของ A ที่มีสมาชิก 0 ตวั
_______________________________________________________
2. สบั เซตของ A ท่ีมีสมาชิก 1 ตวั
_______________________________________________________
3. สบั เซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตวั
_______________________________________________________
4. สับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 3 ตวั
_______________________________________________________
5. สบั เซตของ A ท่ีมีสมาชิก 4 ตวั
_______________________________________________________
6. สับเซตท้งั หมดของ A
_______________________________________________________
7. สับเซตแทข้ อง A
_______________________________________________________
8. จานวนสับเซตท้งั หมดของ A
_______________________________________________________
9. จานวนสับเซตแทข้ อง A
_______________________________________________________
10.สับเซตของ A ที่ไมใ่ ช่สบั เซตแท้
_______________________________________________________

6. กาหนดให้ A เป็นเซตที่มีสมาชิก 5 สมาชิก จงหาจานวนสับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 1 สมาชิก
_______________________________________________________
_______________________________________________________

7. กาหนดให้ A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิก จงหาจานวนสับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 1 สมาชิก
_______________________________________________________
_______________________________________________________

8. กาหนดให้ A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิก จงหาจานวนสับเซตท้งั หมดท่ีมีสมาชิกอยา่ งนอ้ ย 1 สมาชิก
_______________________________________________________
_______________________________________________________

9. กาหนดให้ A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิก จงหาจานวนสับเซตท้งั หมดของ A
_______________________________________________________
_______________________________________________________

10. กาหนดให้ A เป็นเซตท่ีมีสมาชิก n สมาชิก จงหาจานวนสับเซตแทท้ ้งั หมดของ A
_______________________________________________________
_______________________________________________________

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 4 เรื่อง สัญลกั ษณ์และจานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต
กลุ่มสาระการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์
รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 4
จานวนเวลา 50 นาที
รหัสวชิ า ค31101 จานวน 1 หน่วยกติ

ภาคเรียนที่ 1/2565 ผ้สู อน นายธีรยุทธ์ สกุลเพช็ ร์

สาระท่ี 1จานวนและพชี คณติ
- ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์อ่ืน ๆ แทนสถานการณ์ตลอดจน
แปลความหมายและนาไปแกป้ ัญหา

สาระการเรียนรู้
- สัญลกั ษณ์แทนการเป็นเพาเวอร์เซต และการจานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต

จุดประสงค์การเรียนรู้
ด้านความรู้ : นกั เรียนสามารถ
1. เขียนสัญลกั ษณ์แทนการเป็นเพาเวอร์เซต
2. หาจานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต

ด้านทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ : นกั เรียนสามารถ
1. ในการแกป้ ัญหา
2. ในการใหเ้ หตุผล
3. ในการส่ือสารและการส่ือความหมาย

ด้านคุณลกั ษณะ :
1. ทางานอยา่ งเป็นระบบ
2. มีวนิ ยั
3. มีความรอบครอบ
4. มีวจิ ารณญาณ
5. มีความ
6. ใฝ่ รู้
7. มีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์

สาระการเรียนรู้
 เพาเวอร์เซต (Power Set)

บทนิยาม เซตของสบั เซตท้งั หมดของ A เรียกวา่ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนดว้ ย P(A)

จงหาเพาเวอร์เซตและจานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต
ตวั อย่างที่ 1 กาหนดให้ A = {1, 2, 3}

สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ 1, 2, 3
สบั เซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่ {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2, 3}, 
จะได้ P (A) = { {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2, 3},  }
ดงั น้นั จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต A เท่ากบั 8

ตัวอย่างท่ี 2 กาหนดให้ B = {{ }, }

สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ { },

สับเซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่ {{ }}, { }, {{ }, }, 

จะได้ P (A) = { {{ }}, { }, {{ }, },  }

ดงั น้นั จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต A เท่ากบั 4

ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดให้ C = {a, b} จงหา P(P(C))
สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ a, b
สับเซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่ { a }, { b }, { a, b }, 

จะได้ P (C) = { {a}, {b}, {a, b},  }

ซ่ึงสมาชิกของ P(P(C))ไดแ้ ก่ { {{a}}, {{b}}, {{a, b}}, { }, {{a},{b}},

{{a},{a, b}}, {{a}, }, {{b},{a, b}}, {{b}, },
{{a, b}, }, {{a}, {b},{a, b}}, {{a}, {b},  },

}{{a}, {a, b},  }, {{b}, {a, b},  } , {{a}, {b}, {a, b},  }, 

ดงั น้นั จานวนสมาชิกของ P(P(C)) = 16
การหาจานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต

ถา้ A เป็นเซตจากดั ใด ๆ และ n เป็นจานวนสมาชิกในเซต

จะไดว้ า่ จานวนสับเซตท้งั หมดของ A คือ 2n(A)

ใหจ้ านวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนดว้ ย n(P(A))
แต่ จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของเซต A เทา่ กบั จานวนสบั เซตท้งั หมดของเซต A

ดงั น้นั n(P(A)) = 2n(A)

สมบตั ขิ องเพาเวอร์เซต

ถา้ ให้ A และ B เป็นสับเซต และเอกภพสัมพทั ธ์เป็น U

1. P(A)  
2.  P(A)
3. A P(A)
4. A B ก็ตอ่ เม่ือ P(A) P(B)
5. ถา้ A เป็นเซตอนนั ตแ์ ลว้ P(A) เป็นเซตอนนั ต์
6. ถา้ A เป็ นเซตจากดั ซ่ึง n(A) = n แลว้ n(P(A)) = 2n(A)
7. ถา้ A เป็ นเซตจากดั ซ่ึง n(A) = n แลว้ n(P(P(A))) = 22nA

ความรู้เพมิ่ เตมิ จากการพสิ ูจน์ II

ทฤษฎบี ท ให้ A เป็นเซตท่ีมีจานวนสมาชิก n ตวั จะได้ P(a) มีจานวนสมาชิก 2n ตวั

พสิ ูจน์ สมมติให้ A มีสมาชิก n ตวั
จะคานวณหาสบั เซตของ A โดยเริ่มจากสบั เซตที่ไมม่ ีสมาชิกเลย ตามดว้ ยสับเซตท่ีมี

สมาชิกตวั เดียว ตามดว้ ยสับเซตที่มีสมาชิก 2 ตวั ตามดว้ ยสบั เซตที่มีสมาชิก 3 ตวั ต่อ ๆ ไป
จนถึงสับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก n ตวั ซ่ึงจะไดจ้ านวนสบั เซต ตามลาดบั ดงั น้ี

สับเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย มีจานวนสับเซต เขียนไดเ้ ป็ นจานวน  n  สบั เซต
0

สบั เซตท่ีมีสมาชิก 1 ตวั มีจานวนสับเซต เขียนไดเ้ ป็ นจานวน  n  สบั เซต
1

สับเซตท่ีมีสมาชิก 2 ตวั มีจานวนสบั เซต เขียนไดเ้ ป็ นจานวน  n  สบั เซต
2



สบั เซตท่ีมีสมาชิก n ตวั มีจานวนสบั เซต เขียนไดเ้ ป็ นจานวน  n  สับเซต
n

จานวนสับเซตท้งั หมดของ A =  n    n    n   ...   n 
= 0 1 2 n

1  1n

= 2n

กจิ กรรมการเรียนรู้
1. ครูทบทวนเรื่อง สับเซต
2. ครูอธิบายบทนิยามของเพาเวอร์เซต

บทนิยาม เซตของสับเซตท้งั หมดของ A เรียกวา่ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนดว้ ย P(A)
3. ครูใหน้ กั เรียนช่วยกนั ดูความถูกตอ้ งของเอกสารแนะแนวทางที่ 1.3 เรื่อง “มเี พาเวอร์ ” อีกคร้ังบน

กระดาน
4. ครูอธิบาย พร้อมยกตวั อยา่ งที่ 1 – 2
จงหาเพาเวอร์เซตและจานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต
ตวั อย่างที่ 1 กาหนดให้ A = {1, 2, 3}

สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ 1, 2, 3
สบั เซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่ {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2, 3}, 
จะได้ P (A) = { {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2, 3},  }
ดงั น้นั จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต A เทา่ กบั 8

ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ B = {{ }, }

สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ { },

สบั เซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่ {{ }}, { }, {{ }, }, 

จะได้ P (A) = { {{ }}, { }, {{ }, },  }

ดงั น้นั จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต A เท่ากบั 4

5. ครูยกตวั อยา่ งที่ 3 ใหน้ กั เรียนช่วยกนั ทาบนกระดาน โดยมีครูคอยช้ีแนะความถูกตอ้ ง
ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดให้ C = {a, b} จงหา P(P(A))

สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ a, b
สับเซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่ { a }, { b }, { a, b }, 

จะได้ P (A) = { {a}, {b}, {a, b},  }

ซ่ึงสมาชิกของ P (A) ไดแ้ ก่ { {{a}}, {{b}}, {{a, b}}, { }, {{a},{b}},

{{a},{a, b}}, {{a}, }, {{b},{a, b}}, {{b}, },
{{a, b}, }, {{a}, {b},{a, b}}, {{a}, {b},  },

}{{a}, {a,b},  }, {{b}, {a, b},  } ,{{a}, {b}, {a, b},  }, 

ดงั น้นั จานวนสมาชิกของ P(P(A)) = 16
6. ครูอธิบายสมบตั ิเกี่ยวกบั เซต และพสิ ูจน์เพอ่ื ยกตวั อยา่ ง หรือยกตวั อยา่ งใหน้ กั เรียนเห็น

ความสัมพนั ธ์ของสมบตั ิเกี่ยวกบั เซต (ตามความถนดั ของผสู้ อนในการอธิบาย)

7. ครูใหน้ กั เรียนช่วยกนั สรุปเรื่องที่เรียน จากน้นั ครูใหน้ กั เรียนครูแจกเอกสารประกอบการ
เรียนรู้ 1.4 เพ่ือเป็นการทบทวน และครูแจกแบบฝึกเสริมทกั ษะ 1.4 ใหน้ กั เรียนทาใน

หอ้ งเรียน ถา้ ไม่เสร็จใหท้ าเป็ นการบา้ น