คู่มือครูคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม 2_compressed

คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 435

1) ความนาจะเปนที่ผลิตภัณฑท่ีสุมมาจากแตละกลองเปนผลิตภัณฑท่ีฝาเกลียวเปดยาก
ทง้ั 5 ชิ้น คอื

P( X = 5) =  5  ( 0.04)5
 5 
 

= 1.024 ×10−7

2) ความนาจะเปนทีผ่ ลติ ภณั ฑท ี่สุมมาจากแตล ะกลอ งเปนผลิตภัณฑที่ฝาเกลยี วเปดยาก

ไมเกิน 2 ชิน้ คอื

P( X ≤ 2) = P( X =0) + P( X =1) + P( X =2)

=  5  ( 0.96)5 +  5  ( 0.04 ) ( 0.96 )4 +  5  ( 0.04)2 (0.96)3
 0   1   2 
     

≈ 0.9994

ดังนั้น ความนาจะเปนที่ผลิตภัณฑแตละกลองที่สงมาตรวจสอบจะผานการตรวจสอบ

คุณภาพมีคาประมาณ 0.9994

3) จากขอ 2) จะไดวาความนาจะเปนที่ผลิตภัณฑแตละกลองท่ีสงมาตรวจสอบจะไมผาน
การตรวจสอบคุณภาพมีคาประมาณ 1− 0.9994 =6×10−4
ดงั นนั้ จะมีผลติ ภณั ฑท ่ไี มผ า นการตรวจสอบคุณภาพประมาณ

(6×10−4 )×10,000 =6 กลอ ง

13. ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนเครื่องขยายเสียงท่ีมีระดับเสียงมากกวา 90 เดซิเบล จากเครื่อง
ขยายเสียงทีส่ มุ มาจํานวน 12 เคร่อื ง
เนอ่ื งจากตวั แปรสุม X มีลกั ษณะดงั ตอไปนี้
1. เกิดจากการสมุ เครื่องขยายเสียงจาํ นวน 12 ครง้ั ท่เี ปน อิสระกัน
2. การสุมเครื่องขยายเสียงแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (เครื่อง
ขยายเสียงที่สุมมามีระดับเสียงมากกวา 90 เดซิเบล) หรือไมสําเร็จ (เครื่องขยายเสียง
ที่สุมมามรี ะดบั เสยี งไมมากกวา 90 เดซเิ บล)

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

436 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2

3. ความนาจะเปนที่เครื่องขยายเสียงท่ีสุมมาแตละเครื่องจะมีระดับเสียงมากกวา 90
เดซิเบล เทากันโดยเทากับ 0.05 และความนาจะเปนท่ีเครื่องขยายเสียงท่ีสุมมาแตละ
เครอ่ื งจะมีระดบั เสยี งไมมากกวา 90 เดซิเบล เปน 1− 0.05 =0.95

จะเห็นวาการแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ X เปน การแจกแจงทวินาม
ความนาจะเปนที่มีเคร่ืองขยายเสียงอยางมาก 2 เครื่อง ที่มีระดับเสียงมากกวา 90
เดซิเบล คือ

P( X ≤ 2) = P( X =0) + P( X =1) + P( X =2)

= 12  ( 0.95)12 + 12  ( 0.05) ( 0.95)11 + 12  ( 0.05)2 ( 0.95)10
     
 0   1   2 

≈ 0.9804

14. 1) เนอ่ื งจากวงลอท่ีใชในการเลน มี 6 ชอง และโอกาสท่ลี ูกศรจะช้ีทช่ี องใดชองหนงึ่ เทา กัน
2)
จะไดวาตัวแปรสมุ X มีการแจกแจงเอกรูปไมต อ เนอื่ ง

โดยท่ี P=( X =50) P=( X 1=00) = P=( X 5=00) 1
6

เนอ่ื งจาก µX = 50  1  + 100  1  + 200  1  + 300  1  + 400  1  + 500  1 
6   6  6   6  6  6 

≈ 258.33

ดังน้ัน โดยเฉล่ียแลวในการเลนเกมวงลอเส่ียงโชคแตละครั้ง ผูเลนจะไดเงินรางวัล
ประมาณ 258.33 บาท

เนือ่ งจาก σ 2 = (50 − 258.33)2  1  + (100 − 258.33)2  1 
X  6   6 

+ ( 200 − 258.33)2  1  + ( 300 − 258.33)2  1 
 6   6 

+ ( 400 − 258.33)2  1  + ( 500 − 258.33)2  1 
 6   6 

≈ 25,347.22

จะได σ X ≈ 25,347.22 ≈ 159.21
ดงั น้ัน สว นเบยี่ งเบนมาตรฐานของเงินรางวลั ทไี่ ดจ ากการเลมเกมวงลอ เสีย่ งโชคแตล ะครั้ง
มคี า ประมาณ 159.21 บาท

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 437

3) เน่ืองจากโดยเฉลี่ยแลวในการเลนเกมวงลอเสี่ยงโชคแตละครั้ง ผูเลนจะไดเงินรางวัล
มากกวาคาต๋ัวเพียงประมาณ 258.33− 250 =8.33 บาท แตมีความเสี่ยงท่ีเงินรางวัล
จะคลาดเคลื่อนจากคาคาดหมายถึง 159.21 บาท ดังน้ัน คําตอบจึงมีไดหลากหลาย
เชน ถานักเรียนตองการม่ันใจที่จะไดรับเงินรางวัล นักเรียนอาจตัดสินใจไมเลนเกมนี้
แตถา นักเรียนยอมรับความเสย่ี งได นักเรียนอาจตดั สนิ ใจเลนเกมน้ี

15. 1) เนอ่ื งจากตวั แปรสมุ X มีลักษณะดังตอ ไปน้ี
1. เกิดจากการทดลองสุม (การทอดลูกเตาท่ีเที่ยงตรง 1 ลูก) จํานวน 10 คร้ัง ท่ีเปน
อิสระกัน
2. การทดลองสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกเตาขึ้นแตม
มากกวา 4) หรือไมส าํ เรจ็ (ลกู เตา ขึ้นแตม นอยกวา หรอื เทากบั 4)
3. ความนาจะเปนที่ลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4 จากการทอดลูกเตาแตละครั้งเทากัน

โดยเทากับ 2 = 1 และความนาจะเปนทล่ี ูกเตา ข้ึนแตมนอยกวาหรอื เทากับ 4 เปน

63

1− 1 =2
33

ดงั น้นั การแจกแจงความนา จะเปนของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงทวินาม
2) ความนา จะเปนทล่ี กู เตา ข้นึ แตมมากกวา 4 เปน จํานวน 4 ถงึ 6 ครงั้ คือ

P(4 ≤ X ≤ 6) = P( X =4) + P( X =5) + P( X =6)

= 10   1 4  2 6 + 10   1 5  2 5 + 10   1 6  2 4
   3   3     3   3     3   3 
 4   5   6 

≈ 0.4211

3) เนอ่ื งจาก=µX 10  1  ≈ 3.33
3 

ดังนัน้ คาคาดหมายของตัวแปรสุม X มีคา ประมาณ 3.33 คร้งั

เนอื่ =งจาก σ X2 10  1  2  ≈ 2.22
 3   3 

ดังน้ัน ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ X มคี า ประมาณ 2.22 คร้ัง2

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

438 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2

16. 1) เน่ืองจากตัวแปรสมุ X มีลักษณะดงั ตอไปนี้
1. เกดิ จากการทดลองสุม (การเดาขอสอบ) จํานวน 10 ครงั้ ท่เี ปนอิสระกนั
2. การทดลองสุมแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (เดาถูก) หรือ
ไมสาํ เร็จ (เดาผิด)

3. ความนาจะเปนที่จะเดาขอสอบแตละขอถูกมีคาเทากัน โดยเทากับ 1 และ
6

ความนาจะเปน ทีจ่ ะเดาขอ สอบแตล ะขอผิดเปน 1− 1 =5

66
ดงั นนั้ การแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงทวินาม

2) ความนา จะเปนทนี่ กั เรียนคนนีจ้ ะตอบผิดทุกขอ คือ

P( X = 0) = 10  5 10
   
 0  6

≈ 0.1615

3) ความนา จะเปนทนี่ กั เรียนจะได 5 คะแนน คอื

P( X = 5) = 10  1 5  5 5
     6 
 5  6

≈ 0.013

ดงั นั้น ความนา จะเปนที่นักเรยี นคนนจ้ี ะไดคะแนนผานเกณฑพอดมี ีคา ประมาณ 0.013

ความนาจะเปนท่นี กั เรียนจะไดต ้ังแต 5 คะแนนขน้ึ ไป คือ

P( X ≥ 5) = 10   1 5  5 5 + 10   1 6  5 4 + 10   1 7  5 3
   6   6     6   6     6   6 
 5   6   7 

+ 10   1 8  5 2 + 10   1 9  5  + 10   1 10
   6   6     6   6  10   6 
 8   9  

≈ 0.0155

ดงั นั้น ความนา จะเปนทน่ี ักเรยี นคนนจ้ี ะสอบผา นมีคา ประมาณ 0.0155

4) เนอ่ื งจา=ก µX 10  1  ≈ 1.67
 6 

ดงั น้นั โดยเฉลยี่ แลวนกั เรียนคนนจ้ี ะทําขอ สอบชดุ นไ้ี ดป ระมาณ 1.67 คะแนน

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 439

เน่ือ=งจาก σ X2 10  1  5  ≈ 1.39
 6   6 

ดังนั้น ความแปรปรวนของคะแนนท่ีนักเรียนคนน้ีไดรับจากการทําขอสอบชุดนี้

มีคาประมาณ 1.39 คะแนน2

17. เน่ืองจาก X  N (100, 64) จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =100

และ σ 2 = 64 นั่นคอื σ = 8

ให Z = X −µ
σ

1) P( X < 92) = P  Z < 92 − 100 
 8 

= P(Z < −1)

= 0.1587

2) P (94 < X < 106) = P  94 − 100 < Z < 106 − 100 
 8 8 

= P (−0.75 < Z < 0.75)

= P (Z < 0.75) − P (Z ≤ −0.75)

= 0.7734 − 0.2266

= 0.5468

3) P (102 < X < 110) = P  102 − 100 < Z < 110 − 100 
 8 8 

= P (0.25 < Z < 1.25)

= P (Z < 1.25) − P (Z ≤ 0.25)

= 0.8944 − 0.5987
= 0.2957

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

440 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2

18. เน่ืองจาก X  N (25, 36) จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 25 และ

σ 2 = 36 นนั่ คอื σ = 6

ให Z = X −µ
σ

ดงั นัน้ P (20 < X < 35) = P  20 − 25 < Z < 35 − 25 
 6 6 

= P (−0.83 < Z < 1.67)

= P (Z < 1.67) − P (Z ≤ −0.83)

= 0.9525 − 0.2033
= 0.7492

19. เนื่องจาก X  N (120, 225) จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =120

และ σ 2 = 225 นัน่ คอื σ = 15

ให Z = X −µ
σ

ดังนัน้ P( X ≥130) = P  Z ≥ 130 −120 
 15 

= P (Z ≥ 0.67)

= 1− P (Z < 0.67)

= 1− 0.7486

= 0.2514

และ P (93 ≤ X ≤ 140) = P  93 −120 ≤ Z ≤ 140 −120 
 15 15 

= P (−1.8 ≤ Z ≤ 1.33)

= P (Z ≤ 1.33) − P (Z < −1.8)

= 0.9082 − 0.0359
= 0.8723

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 441

20. ใหต วั แปรสมุ X คอื นํ้าหนกั สุทธขิ องกาแฟผงสําเร็จรูปบรรจขุ วดที่ผลิตในโรงงานแหงน้ี

จะไดวา ตัวแปรสมุ X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =115.5 และ σ = 0.3

ให Z = X −µ
σ

1) เนื่องจาก P (115 < X < 115.5) = P  115 − 115.5 < Z < 115.5 −115.5 
 0.3 0.3 

= P (−1.67 < Z < 0)

= P(Z < 0) − P(Z ≤ −1.67)

= 0.5 − 0.0475

= 0.4525

ดังนั้น ความนาจะเปนที่กาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดที่สุมไดจะมีน้ําหนักสุทธิระหวาง
115 และ 115.5 กรัม คือ 0.4525

2) เนอื่ งจาก P(114.9 < X <115.5) = P  114.9 −115.5 < Z < 115.5 −115.5 
 0.3 0.3 

= P (−2 < Z < 0)

= P(Z < 0) − P(Z ≤ −2)

= 0.5 − 0.0228

= 0.4772

ดังน้ัน ความนาจะเปนที่กาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดที่สุมไดจะมีนํ้าหนักสุทธิระหวาง
114.9 และ 115.5 กรัม คอื 0.4772

3) เน่ืองจาก P(115.2 < X <115.9) = P  115.2 −115.5 < Z < 115.9 −115.5 
 0.3 0.3 

= P (−1 < Z < 1.33)

= P (Z < 1.33) − P(Z ≤ −1)

= 0.9082 − 0.1587

= 0.7495

ดังน้ัน ความนาจะเปนที่กาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดที่สุมไดจะมีนํ้าหนักสุทธิระหวาง
115.2 และ 115.9 กรัม คอื 0.7495

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

442 คูม อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2

4) เนื่องจาก P(114.7 < X <115) = P  114.7 −115.5 < Z < 115 − 115.5 
 0.3 0.3 

= P (−2.67 < Z < −1.67)

= P (Z < −1.67) − P (Z ≤ −2.67)

= 0.0475 − 0.0038

= 0.0437

ดังน้ัน ความนาจะเปนที่กาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดที่สุมไดจะมีนํ้าหนักสุทธิระหวาง
114.7 และ 115 กรัม คอื 0.0437

5) เนอ่ื งจาก P( X >115.5) = P  Z > 115.5 −115.5 
 0.3 

= P(Z > 0)

= 1− P(Z ≤ 0)

= 1− 0.5

= 0.5

ดังน้ัน ความนาจะเปนที่กาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดท่ีสุมไดจะมีน้ําหนักสุทธิมากกวา
115.5 กรัม คือ 0.5

6) เนอื่ งจาก P( X <115) = P  Z < 115 − 115.5 
 0.3 

= P (Z < −1.67)

= 0.0475

ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีกาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดที่สุมไดจะมีนํ้าหนักสุทธินอยกวา
115 กรมั คอื 0.0475

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 443

21. ใหต ัวแปรสุม X คือคาใชจ ายในการใชโ ทรศัพทม ือถือรายเดอื นของคนในจงั หวดั น้ี

จะไดวา ตวั แปรสมุ X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมี µ = 520 และ σ = 270

ให Z = X −µ
σ

1) เน่ืองจาก P( X < 520) = P  Z < 520 − 520 
 270 

= P(Z < 0)

= 0.5

ดังนั้น ความนาจะเปนที่ผูที่สุมไดจะมีคาใชจายในการใชโทรศัพทมือถือนอยกวา 520
บาทตอเดือน คือ 0.5

2) เนือ่ งจาก P( X > 700) = P  Z > 700 − 520 
 270 

= P (Z > 0.67)

= 1− P (Z ≤ 0.67)

= 1− 0.7486

= 0.2514

ดังนั้น ความนาจะเปนที่ผูที่สุมไดจะมีคาใชจายในการใชโทรศัพทมือถือมากกวา 700
บาทตอ เดอื น คอื 0.2514

3) เนอื่ งจาก P (500 < X < 800) = P  500 − 520 < Z < 800 − 520 
 270 270 

= P (−0.07 < Z < 1.04)

= P (Z < 1.04) − P (Z ≤ −0.07)

= 0.8508 − 0.4721

= 0.3787

ดังนั้น ความนาจะเปนที่ผูท่ีสุมไดจะมีคาใชจายในการใชโทรศัพทมือถือระหวาง 500
และ 800 บาทตอเดือน คอื 0.3787

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

444 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2

22. ใหต ัวแปรสุม X คือคะแนนสอบของนกั เรยี น

จะไดวาตัวแปรสุม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมี µ = 200 และ σ = 30

ให Z = X −µ
σ

1) เนื่องจาก P (170 < X < 230) = P  170 − 200 < Z < 230 − 200 
 30 30 

= P (−1 < Z < 1)

= P(Z < 1) − P(Z ≤ −1)

= 0.8413 − 0.1587

= 0.6826

ดังนั้น มีนักเรียนประมาณ 0.6826×1,000 ≈ 683 คน ที่ไดคะแนนสอบระหวาง 170
และ 230 คะแนน

2) เนือ่ งจาก P( X > 260) = P  Z > 260 − 200 
 30 

= P(Z > 2)

= 1− P(Z ≤ 2)

= 1− 0.9772

= 0.0228

ดังน้ัน มีนักเรียนประมาณ 0.0228×1,000 ≈ 23 คน ที่ไดคะแนนสอบมากกวา 260
คะแนน

23. ใหตัวแปรสุม X คือคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 ใน

ภาคเรียนหนึง่

จะไดวา ตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 60 และ σ = 5

ให Z = X −µ
σ
1) ให x แทนคะแนนตํา่ สดุ ของกลุมนกั เรยี นทไี่ ดค ะแนนสงู สุด ซึ่งมจี าํ นวนประมาณ 5%

ของนกั เรยี นทั้งหมด

ดงั น้นั x คอื เปอรเซ็นไทลท ่ี 95

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 445

จะได P( X < x) = 0.95

P  Z < x − 60  = 0.95
 5 

เน่ืองจาก P(Z <1.645) =0.95

จะได x − 60 = 1.645
5

x = 68.225

ดังน้ัน คะแนนตํ่าสุดของกลุมนักเรียนท่ีไดคะแนนสูงสุด ซึ่งมีจํานวนประมาณ 5% ของ
นกั เรยี นท้งั หมด คอื 68.225 คะแนน
2) ให x แทนคะแนนสูงสุดของกลุมนักเรียนที่ไดคะแนนต่ําสดุ ซง่ึ มจี ํานวนประมาณ
10% ของนกั เรยี นท้ังหมด
ดงั นัน้ x คือเปอรเซน็ ไทลท ี่ 10
จะได P( X < x) = 0.1

P  Z < x − 60  = 0.1
 5 

เนอื่ งจาก P(Z < −1.282) =0.1

จะได x − 60 = −1.282
5

x = 53.59

ดังนั้น คะแนนสงู สดุ ของกลุมนักเรียนท่ีไดคะแนนตํ่าสุด ซ่ึงมีจํานวนประมาณ 10% ของ
นกั เรียนท้งั หมด คือ 53.59 คะแนน

24. ใหตัวแปรสุม X คอื คะแนนสอบวัดผลวิชาคณติ ศาสตรร ะดบั ประเทศทีจ่ ดั โดยสถาบันแหง นี้

จะไดวาตวั แปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 25 และ σ = 5

ให Z = X −µ
σ

1) เนอ่ื งจาก P( X > 30) = P  Z > 30 − 25 
 5 

= P(Z > 1)

= 1− P (Z ≤ 1)

= 1− 0.8413

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

446 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2

P( X > 30) = 0.1587

ดังนัน้ ความนา จะเปนที่ผูเขาสอบท่สี มุ ไดจะไดค ะแนนมากกวา 30 คะแนน คือ 0.1587
2) ให x แทนคะแนนต่ําสุดของกลุมผูเขาสอบที่ไดคะแนนสูงสุด ซ่ึงมีจํานวนประมาณ

2% ของผูเ ขา สอบทัง้ หมด
ดังนัน้ x คือเปอรเซน็ ไทลท ่ี 98
จะได P( X < x) = 0.98

P  Z < x − 25  = 0.98
 5 

เนื่องจาก P(Z < 2.054) =0.98

จะได x − 25 = 2.054
5

x = 35.27

ดังน้ัน คะแนนตํ่าสุดของกลุมผูเขาสอบที่ไดคะแนนสูงสุด ซ่ึงมีจํานวนประมาณ 2% ของ
ผูเขาสอบทง้ั หมด คอื 35.27 คะแนน

25. ใหตัวแปรสุม X คือน้ําหนักรถรวมนํ้าหนักบรรทุกของรถบรรทุกที่ว่ิงระหวางกรุงเทพมหานคร

และนครราชสีมาในชว งระยะเวลาหนึ่ง

จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =15 และ σ = 4

ให Z = X −µ
σ

1) เน่อื งจาก P( X >12) = P  Z > 12 − 15 
 4 

= P (Z > −0.75)

= 1− P (Z ≤ −0.75)

= 1− 0.2266

= 0.7734

ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ีรถบรรทุกท่ีสุมไดจะมีนํ้าหนกั รถรวมนํ้าหนกั บรรทุกมากกวา 12 ตัน
คอื 0.7734

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 447

2) เน่อื งจาก P( X < 20) = P  Z < 20 −15 
 4 

= P (Z < 1.25)

= 0.8944

ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ีรถบรรทกุ ที่สมุ ไดจ ะมนี ้ําหนกั รถรวมนํ้าหนักบรรทุกนอยกวา 20 ตัน
คอื 0.8944

3) เน่ืองจาก P(10 < X <18) = P  10 − 15 < Z < 18 − 15 
 4 4 

= P (−1.25 < Z < 0.75)

= P (Z < 0.75) − P (Z ≤ −1.25)

= 0.7734 − 0.1056

= 0.6678

ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ีรถบรรทุกท่ีสุมไดจะมีนํ้าหนักรถรวมนํ้าหนักบรรทุกระหวาง 10
และ 18 ตนั คอื 0.6678

26. พจิ ารณา X  N (a, 9)

ให Z = X −a
3
จากโจทย
P ( X ≤ 6) = 0.0985

P  Z ≤ 6 − a  = 0.0985
 3 

เนื่องจาก P(Z ≤ −1.29) =0.0985

จะได 6 − a = −1.29
3
ดังนั้น a = 9.87

พจิ ารณา X ( ) N 10, b2

ให Z = X −10
b
จากโจทย
P ( X ≤ 12) = 0.6026

P  Z ≤ 12 − 10  = 0.6026
 b 

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

448 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2

P  Z ≤ 2  = 0.6026
 b 

เน่อื งจาก P(Z ≤ 0.26) =0.6026

จะได 2 = 0.26
b ≈ 7.69
ดงั นนั้ b

พจิ ารณา X  N (10, 4)

ให Z = X −10
2
จากโจทย
P ( X ≤ c) = 0.1841

P  Z ≤ c − 10  = 0.1841
 2 

เนอื่ งจาก P(Z ≤ −0.9) =0.1841

จะได c −10 = −0.9
2
ดงั นน้ั c = 8.2

พิจารณา X  N (3, 1)

ให Z= X − 3

จากโจทย P( X ≤ 2) = d

P(Z ≤ 2 − 3) = d

P (Z ≤ −1) = d

เนอื่ งจาก P(Z ≤ −1) =0.1587
ดังนนั้ d = 0.1587

27. ใหตัวแปรสุม X และ Y คือคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหอง 1
และหอ ง 2 ตามลําดับ
จะไดวาตัวแปรสุม X และ Y มีการแจกแจงปกติ โดย=มี µX 6=5 , σ X 5 และ

=µY 7=0 , σY 10

ให ZX = X − µX และ ZY = Y − µY
σX σY

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 449

1) เนอ่ื งจาก P(55 < X < 75) = P  55 − 65 < ZX < 75 − 65 
 5 5 

= P (−2 < Z X < 2)

= P (Z X < 2) − P (Z X ≤ −2)

= 0.9772 − 0.0228

= 0.9544

ดังนั้น มีนักเรียนหอง 1 จํานวน 0.9544×100 =95.44 เปอรเซ็นต ท่ีไดคะแนนสอบ
ระหวา ง 55 และ 75 คะแนน

2) เนื่องจาก P( X ≤ 80) = P  Z X ≤ 80 − 65 
 5 

= P(ZX ≤ 3)

= 0.9987

ดังน้ัน มีนักเรียนหอง 1 จํานวน 0.9987×100 =99.87 เปอรเซ็นต ที่ไดคะแนนไมเกิน
คะแนนของเกง

3) เน่อื งจาก P(Y > 90) = P  ZY > 90 − 70 
 10 

= P(ZY > 2)

= 1− P(ZY ≤ 2)

= 1− 0.9772

= 0.0228

ดังน้ัน มีนักเรียนหอง 2 จํานวน 0.0228×100 =2.28 เปอรเซ็นต ท่ีไดคะแนนมากกวา
กลา
4) จากขอ 1) จะได ความนาจะเปนท่ีนักเรียนหอง 1 ไดคะแนนสอบระหวาง 55 และ 75
คะแนน คือ 0.9544

เนื่องจาก P (55 < Y < 75) = P  55 − 70 < ZY < 75 − 70 
 10 10 

= P (−1.5 < ZY < 0.5)

= P (ZY < 0.5) − P (ZY ≤ −1.5)

= 0.6915 − 0.0668

= 0.6247

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

450 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2

จะได ความนาจะเปนที่นักเรียนหอง 2 ไดคะแนนสอบระหวาง 55 และ 75 คะแนน
คอื 0.6247
ดังนั้น สามารถสรุปไดวานักเรียนหอง 1 มีโอกาสสอบไดคะแนนระหวาง 55 และ 75
คะแนน มากกวานักเรียนในหอง 2 มีโอกาสสอบไดคะแนนระหวาง 55 และ 75
คะแนน

5) เนอ่ื งจาก 80 − µX = 80 − 65
σX 5

=3

ดังน้นั คา ของตัวแปรสุมปกตมิ าตรฐานของคะแนนสอบของเกง คือ 3

และเนอ่ื งจาก 90 − µY = 90 − 70
σY 10

=2

ดงั นน้ั คาของตวั แปรสมุ ปกติมาตรฐานของคะแนนสอบของกลา คอื 2
เน่ืองจากคาของตวั แปรสมุ ปกติมาตรฐานของคะแนนสอบของเกง มากกวากลา
ดังนนั้ สามารถบอกไดวา เกง ทําคะแนนสอบไดดีกวา กลา

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 451

บรรณานุกรม

กฤษณะ เนียมมณี. (2562). คณิตศาสตรการเงินในชีวิตประจําวัน. สืบคนเมื่อ 21 พฤศจิกายน
2562, จ า ก https://www.mebmarket.com/ebook-101208-ค ณิ ต ศ า ส ต ร ก า ร เ งิ น
ในชีวิตประจาํ วนั

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2559). Microsoft ® Excel ® 2016
MSO (16.0.4266.1001) 32-bit [โ ป ร แ ก ร ม ค อ ม พิ ว เ ต อ ร ]. Redmond, WA:
Microsoft Corporation.

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน
คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 3 เลม 1 ตามมาตรฐานการเรียนรูและตัวช้ีวัด
กลมุ สาระการเรยี นรคู ณติ ศาสตร (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลักสตู รแกนกลาง
การศกึ ษาข้นั พนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพราว.

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 ตามผลการเรียนรู กลุมสาระการเรียนรู
คณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน
พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพราว.

สํานักงานราชบัณฑิตยสภา. (2561). พจนานุกรมศัพทสถิติศาสตร ฉบับราชบัณฑิตยสภา
(พมิ พครง้ั ท่ี 2). กรุงเทพฯ: โรงพิมพแ หงจฬุ าลงกรณมหาวิทยาลยั .

Encyclopedia Titanica. Encyclopedia Titanica: Titanic Facts, History and Biography.
Retrieved August 1, 2019, from https://www.encyclopedia-titanica.org

International GeoGebra Institute. Quartile1 Command. Retrieved August 1, 2019, from
https://wiki.geogebra.org/en/Quartile1_Command

Kaggle. Titanic: Machine Learning from Disaster. Retrieved August 1, 2019, from
https://www.kaggle.com/c/titanic

Lefebvre, M. (2009). Basic Probability Theory with Applications. New York, NY: Springer
Science+Business Media, LLC.

Weiss, N. A. (2017). Introductory Statistics (10th ed). Essex, England: Pearson Education
Limited.

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

452 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2

คณะผูจ ัดทาํ

ทีป่ รึกษา สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
ศ. ดร.ชูกจิ ลมิ ปจ ํานงค

คณะผูจดั ทาํ คมู อื ครู

นายประสาท สอา นวงศ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

รศ. ดร.สมพร สูตินันทโ อภาส สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

รศ. ดร.สริ ิพร ทิพยค ง สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

นางสาวจินตนา อารยะรงั สฤษฏ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

นายสเุ ทพ กติ ตพิ ทิ ักษ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

นางสาวจําเรญิ เจยี วหวาน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

ดร.อลงกรณ ต้ังสงวนธรรม สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

วา ท่ีรอยเอก ดร.ภณฐั กวยเจริญพานชิ ก สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

นางภิญญดา ดําดวง สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

ดร.จิณณวัตร เจตนจ รงุ กจิ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

รศ. ดร.กลั ยา วานิชยบัญชา ขา ราชการบาํ นาญ

รศ. ดร.พาชติ ชนตั ศิริพานิช สถาบันบัณฑิตพัฒนบริหารศาสตร

ผศ. ดร.จุฑาภรณ สนิ สมบูรณท อง มหาวทิ ยาลยั เกษตรศาสตร

รศ. ดร.ณัฐกาญจน ใจดี จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

รศ. ดร.สญั ญา มิตรเอม มหาวิทยาลยั ธรรมศาสตร

นางนงนุช ผลทวี โรงเรียนทับปดุ วิทยา จังหวดั พงั งา

คณะบรรณาธกิ าร จฬุ าลงกรณม หาวิทยาลยั
รศ. ดร.สุพล ดุรงควัฒนา สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
นางสาวอัมริสา จันทนะศริ ิ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
นางสาวปฐมาภรณ อวชัย สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

นายพฒั นชัย รวิวรรณ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 453

ฝายสนบั สนนุ วิชาการ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นางสาวเบญจพรรณ กวเี ลิศพจนา สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
ดร.จฬุ าลกั ษณ แกวหวงั สกูล สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นายกฤษณะ ปอ มดี มหาวทิ ยาลยั สงขลานครนิ ทร วทิ ยาเขตหาดใหญ
นางสาวปยาภรณ ทองมาก
ดร.พรฑติ า ทวิ ทัศน

ออกแบบปก
บรษิ ัท พงิ ค บลู แบล็ค แอนด ออเรจ น จํากดั

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี



สถาบนั สง� เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ� ละเทคโนโลยี
กระทรวงศกึ ษาธกิ าร