คู่มือครูคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม 2_compressed

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 385

d = 30

ดงั นั้น สวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของคา ขนมของทงั้ สี่คน คอื
(50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (30 − 45)2 ≈ 8.66 บาท

4

วธิ ีที่ 2 เน่ืองจากสว นเบีย่ งเบนมาตรฐานของคา ขนมของท้ังสามคน คือ 0 บาท
จะไดวาทั้งสามคนไดคาขนมจากผูป กครองเทา ๆ กนั
และเนอื่ งจากคา เฉล่ยี เลขคณิตของคาขนมของท้ังสามคนคอื 50 บาท
ดังนัน้ มานี ชใู จ และปติ ไดคา ขนมจากผูปกครองคนละ 50 บาท
สมมตคิ าขนมของมานะคอื d บาท
เนื่องจากคา เฉลี่ยเลขคณติ ของคาขนมของทงั้ สีค่ น คอื 45 บาท
จะได 50 + 50 + 50 + d = 45

4
d = 30

ดงั นน้ั สว นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคาขนมของทง้ั ส่ีคน คือ
(50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (30 − 45)2 ≈ 8.66 บาท

4

26. 1) ตองการยกตัวอยางขอมูลชุด ก และ ข ท่ีสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก
มากกวา สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข
ดงั นน้ั ขอมลู ชดุ ก ควรมคี วามแตกตา งในชดุ ขอมลู มากกวา ขอ มูลชุด ข
คาํ ตอบมไี ดห ลากหลาย เชน ใหขอ มูลชุด ก ประกอบดวย 1, 2, 5, 8, 9 และขอ มูลชุด ข
ประกอบดว ย 11, 12, 13, 14, 15
จะได คาเฉล่ียเลขคณิตของขอมลู ชดุ ก คือ 1+ 2 + 5 + 8 + 9 = 5

5

คาเฉลย่ี เลขคณิตของขอ มลู ชดุ ข คอื 11+12 +13 +14 +15 = 13
5

สวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอมูลชดุ ก คอื

(1− 5)2 + (2 − 5)2 + (5 − 5)2 + (8 − 5)2 + (9 − 5=)2 10 ≈ 3.16

5

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

386 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2

และสว นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอมูลชดุ ข คอื

(11−13)2 + (12 −13)2 + (13 −13)2 + (14 −13)2 + (15 −13)2 = 2

5

≈ 1.41

จะเห็นวาสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก มากกวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ขอมลู ชุด ข
2) เน่ืองจากสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลแตละชุดเปน 0 ก็ตอเมื่อขอมูลทุกตัวมีคา
เทา กนั
แตจากโจทย กาํ หนดใหข อ มลู แตล ะชุดประกอบดวยจาํ นวนเต็มที่แตกตา งกัน
ดงั นัน้ ไมมีโอกาสท่สี วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมูลแตละชดุ จะเปน 0
3) ตองการยกตัวอยางขอมูลชุด ก และ ข ท่ีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก
เทากบั สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอ มลู ชดุ ข
ดังนั้น ผลบวกของกําลังสองของผลตางของขอมูลใด ๆ กับคาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูล
ท้งั สองชุดตอ งเทากัน
คําตอบมีไดหลากหลาย เชน ใหขอมูลชุด ก ประกอบดวย 1, 2, 3, 4, 5 และขอมูล
ชดุ ข ประกอบดวย 11, 12, 13, 14, 15

จะได คา เฉลยี่ เลขคณติ ของขอ มูลชุด ก คอื 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 3
5

คาเฉล่ียเลขคณติ ของขอมูลชดุ ข คอื 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 13
5
สวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมลู ชุด ก คอื

(1− 3)2 + (2 − 3)2 + (3 − 3)2 + (4 − 3)2 + (5 − 3)2 = 2

5

และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข คือ

(11−13)2 + (12 −13)2 + (13 −13)2 + (14 −13)2 + (15 −13)2 = 2

5

จะเห็นวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก เทากับสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ

ขอ มลู ชุด ข

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 387

27. เนือ่ งจากคา เฉลีย่ เลขคณติ ของขอมลู ชดุ นี้เทากบั 3
จะได 1+ 2 + x + 3 + 3 + y + 6 = 3

7

x+ y = 6

y = 6−x

เน่อื งจากสวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมลู ชดุ นีเ้ ทา กับ 4 7

7

จะได (1− 3)2 + (2 − 3)2 + ( x − 3)2 + (3 − 3)2 + (3 − 3)2 + ( y − 3)2 + (6 − 3)2 = 4 7

77

( x − 3)2 + ( y − 3)2 = 2

( x − 3)2 + ((6 − x) − 3)2 = 2

( x − 3)2 + (3 − x)2 = 2

( x − 3)2 + ( x − 3)2 = 2

( x − 3)2 = 1

x − 3 =−1 หรอื x − 3 =1
ดงั นัน้ x = 2 หรอื x = 4
เนื่องจากขอ มลู ชุดนเี้ รยี งจากนอ ยไปมากคือ 1, 2, x, 3, 3, y, 6
จะได x = 2
เน่อื งจาก y= 6 − x จะได y = 4

28. สมมติวาขอมูลทบี่ ันทึกถูกตองจํานวน 19 ตัว คือ x1, x2,  , x19
เนื่องจากคาเฉลยี่ เลขคณติ ของขอมลู ชดุ ท่มี ขี อมูลทีบ่ นั ทกึ ผิด 1 ตวั เทากับ 10

19
∑ xi + 8
จะได
i=1 = 10
20

19

∑ xi = 192
i=1

เนอ่ื งจากสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ มูลชดุ ท่มี ีขอมลู ที่บนั ทกึ ผดิ 1 ตวั เทากับ 2

จะได ∑19 ( xi −10)2 + (8 −10)2

i=1 = 2
20 −1

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

388 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2

∑19 ( xi −10)2 = 72
i=1

19
∑ xi +12
ดังนน้ั คาเฉลีย่ เลขคณิตทีถ่ ูกตอ งของขอ มูลชดุ น้ี คือ 1=92 +12 10.2
i ==1
20 20
และความแปรปรวนท่ถี ูกตองของขอมูลชดุ นี้ คอื

∑19 ( xi −10.2)2 + (12 −10.2)2 19 xi − 10 ) − 0.2)2 + 3.24

∑((
=i=1 i=1
20 −1 19

( )∑19 ( xi −10)2 − 0.4( xi −10) + 0.04 + 3.24

= i=1
19

∑ ∑ ∑19

== i 1
( xi −=10)2 − 0.4 i191=( xi −10)  + i191 (0.04) + 3.24

19

=72 − 0.4 i191 =xi  + 0.4 i191  ( )
∑ ∑= 10  + 19 0.04 + 3.24

19

= 72 − 0.4(192) + 0.4(190) + 0.76 + 3.24

19

≈ 3.96

29. 1) ไมถูกตอง เนื่องจากคะแนนสอบของสมชายตรงกับ P30 หมายความวามีนักเรียน
ประมาณรอยละ 30 ทไ่ี ดคะแนนนอ ยกวา สมชาย

2) โดยท่ัวไปแลวไมถูกตอง เนื่องจากคะแนนสอบของสมหญิงตรงกับ P40 หมายความวา
มีนกั เรียนประมาณรอ ยละ 60 ทีไ่ ดค ะแนนมากกวา สมหญิง

30. 1) เนือ่ งจากผูท่ีสอบผานจะตองไดค ะแนนไมต า่ํ กวารอ ยละ 70 ของคะแนนเต็ม

ดังนนั้ ผทู สี่ อบผา นจะตองไดค ะแนนมากกวาหรอื เทา กับ 70 ×80 =56 คะแนน

100

จากขอมูล จะไดวาถาใชเกณฑในการสอบผานนี้ คะแนนต่ําสุดของผูท่ีสอบผานคือ
59 คะแนน

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 389

2) เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดด ังน้ี

25 26 38 38 41 44 59 62 69 72

เน่อื งจาก P70 อยใู นตําแหนงท่ี 70(10 +1) = 7.7

100
ดังน้ัน ถาใชเกณฑใ นการสอบผานน้ี คะแนนตํ่าสุดของผูที่สอบผา นคอื 62 คะแนน

31. 1) เรยี งขอ มูลจากนอ ยไปมาก ไดดังนี้

84 112.2 142.5 164 197.5 214.2 220.9

224.7 229.1 299.4 320.6 365.2 392.4 423.2

เน่ืองจาก P87 อยใู นตาํ แหนงที่ 87(14 +1) = 13.05

100
ดังน้นั P87 อยรู ะหวางขอมูลในตําแหนง ที่ 13 และ 14 ซึง่ มีคา อยรู ะหวาง 392.4 และ 423.2

ในการหา P87 จะใชการเทยี บบัญญัตไิ ตรยางศ ดงั นี้

เน่อื งจากขอ มูลในตาํ แหนงที่ 13 และ 14 มตี ําแหนง ตางกัน 14 −13 =1 มีคาตา งกัน

423.2 − 392.4 =30.8

จะไดว า ตาํ แหนง ตา งกนั 13.05 −13 =0.05 มคี า ตา งกนั 0.05× 30.8 = 1.54
1

ดงั นนั้ P87 = 392.4 +1.54 = 393.94
จะไดวาปริมาณนํ้าฝนที่มีจังหวัดในภาคเหนือประมาณรอยละ 87 มีปริมาณน้ําฝน

นอ ยกวาคือ 393.94 มลิ ลเิ มตร

2) เนือ่ งจาก P40 อยใู นตาํ แหนง ท่ี 40(14 +1) =6

จะไดว า P40 = 214.2 100

ดังนั้น ปริมาณน้ําฝนที่มีจังหวัดในภาคเหนือประมาณรอยละ 60 มีปริมาณนํ้าฝน

มากกวาคือ 214.2 มลิ ลิเมตร

32. 1) เนอื่ งจาก Q2 อยใู นตาํ แหนง ท่ี 2(40 +1) = 20.5

จะได Q2 = 65 4

ดังน้ัน คะแนนทมี่ นี กั เรียนประมาณคร่งึ หนงึ่ ของชัน้ ไดค ะแนนต่ํากวา คอื 65 คะแนน

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

390 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2

2) เนอ่ื งจาก Q3 อยูใ นตาํ แหนง ที่ 3(40 +1) = 30.75

จะได Q3 = 78 4

ดงั นน้ั คะแนนทม่ี นี กั เรียนประมาณหนึง่ ในสขี่ องช้นั ไดคะแนนสงู กวาคือ 78 คะแนน

3) เนื่องจาก P60 อยใู นตาํ แหนงที่ 60(40 +1) = 24.6

100
ดงั นน้ั P60 อยรู ะหวา งขอ มูลในตาํ แหนง ท่ี 24 และ 25 ซ่งึ มีคาอยรู ะหวา ง 69 และ 74

ในการหา P60 จะใชก ารเทยี บบญั ญตั ิไตรยางศ ดงั น้ี

เนื่องจากขอ มูลในตาํ แหนงท่ี 24 และ 25 มตี ําแหนง ตา งกัน 25 − 24 =1 มีคา ตางกนั

74 − 69 =5

จะไดวา ตาํ แหนงตา งกัน 24.6 − 24 =0.6 มคี า ตา งกนั 0.6× 5 = 3
1

ดังนัน้ P60 = 69 + 3 = 72
จะไดวาคะแนนท่ีมีนกั เรียนประมาณหกในสบิ ของชน้ั ไดค ะแนนตา่ํ กวา คือ 72 คะแนน

4) เนอื่ งจาก P25 อยูในตาํ แหนง ท่ี 25(40 +1) = 10.25

100
ดังนั้น มีนกั เรียนท่ไี ดคะแนนนอ ยกวาเปอรเซ็นไทลท ่ี 25 อยู 10 คน

จะไดวาจํานวนนักเรียนท่ีตองเขารวมกิจกรรมพัฒนาทักษะการคิดอยางมีวิจารณญาณ

คอื 10 คน

33. 1) มธั ยฐานและคา สงู สดุ ของอตั ราเร็วสงู สดุ ในการเคล่อื นทข่ี องสัตวป าคอื 40 และ 70 ไมล
ตอชัว่ โมง ตามลาํ ดบั
มัธยฐานและคาสูงสุดของอัตราเร็วสูงสุดในการเคลื่อนท่ีของสัตวเลี้ยงคือ 38 และ 49
ไมลตอช่วั โมง ตามลาํ ดบั

2) พิสยั ระหวา งควอรไ ทลข องอัตราเรว็ สงู สุดในการเคลอื่ นที่ของสตั วป าคือ 45 − 25 =20
ไมลต อ ชว่ั โมง
พสิ ยั ระหวางควอรไทลข องอตั ราเร็วสูงสุดในการเคลื่อนทีข่ องสตั วเ ลี้ยงคือ 40 − 30 =10
ไมลต อ ชัว่ โมง

3) จากแผนภาพกลอง จะไดวามีสัตวปาประมาณรอยละ 75 ที่มีอัตราเร็วสูงสุดในการ
เคล่อื นท่ีนอยกวา 45 ไมลตอ ชั่วโมง

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 391

ดังนั้น จึงสามารถสรุปไดวาสัตวปาสวนใหญมีอัตราเร็วสูงสุดในการเคลื่อนท่ีนอยกวา
49 ไมลต อช่วั โมง

34. 1) คาตํ่าสุด มัธยฐาน และคาสูงสุดของจํานวนคร้ังของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน A
นอ ยกวา คา ตาํ่ สุด มธั ยฐาน และคา สงู สุดของจํานวนครงั้ ของการดาวนโ หลดแอปพลเิ คชัน
B ตามลําดับ

2) พิสัยระหวางควอรไทลของจํานวนครั้งของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน A นอยกวา
พสิ ยั ระหวา งควอรไ ทลข องจํานวนครัง้ ของการดาวนโหลดแอปพลเิ คชนั B

35. 1) เม่อื พจิ ารณาจากคา ตํ่าสดุ ของดชั นคี วามสขุ ของประเทศท่สี ุมมาจากแตละทวปี
จะไดวาแผนภาพกลอง (1), (2) และ (3) แสดงดัชนีความสุขของประเทศท่ีสุมมาจาก
ทวปี เอเชยี อเมรกิ า และยุโรป ตามลาํ ดับ

2) เรียงคาต่ําสุดของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก
ไดดังน้ี อเมริกา เอเชีย ยุโรป
เรียงมัธยฐานของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก
ไดดงั นี้ เอเชยี ยุโรป อเมริกา
เรียงคาสูงสุดของดัชนีความสุขของประเทศท่ีสุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก
ไดด งั นี้ เอเชีย อเมรกิ า ยโุ รป

3) ทวีปอเมริกามีการกระจายของดัชนีความสุขมากที่สุด เพราะแผนภาพกลองมี
ความกวา งมากท่ีสดุ

4) เม่ือพิจารณาเฉพาะประเทศท่ีสุมมา ทวีปยุโรปมีดัชนีความสุขมากท่ีสุด เนื่องจาก
ดชั นคี วามสขุ อยใู นชว ง 5.195 – 7.537 และแผนภาพกลองมีความกวางนอย แสดงวา
ขอมูลทั้งหมดเกาะกลุมกันอยูในชวงดังกลาว นอกจากน้ีคาสูงสุดของดัชนีความสุข
ของประเทศที่สุมมาจากทวีปยุโรปยังมากกวาอีกสองทวีป และคาต่ําสุดของดัชนี
ความสขุ ของประเทศทส่ี ุมมาจากทวปี ยโุ รปกม็ ากกวาอีกสองทวีป

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

392 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2

36. 1) เนื่องจากเพลงรพิณได 28 คะแนน และคะแนนของเพลงรพิณตรงกับเปอรเซ็นไทล
ที่ 90 แสดงวามีผูเขาสอบท่ีไดคะแนนนอยกวาเพลงรพิณประมาณ 90% ของ
ผูเขา สอบท้งั หมด
ดงั น้นั สามารถสรปุ ไดว า เพลงรพิณไดคะแนนมากกวา ผูเขา สอบสวนใหญ

2) ขอสอบท่ีใชในการวัดผลครั้งน้ีนาจะยากเกินไปสําหรับผูเขาสอบสวนใหญ เน่ืองจาก
มีผูเขาสอบมากถึง 90% ของผูเขาสอบท้ังหมดที่ไดคะแนนนอยกวา 28 คะแนน
จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน

3) เนอื่ งจากเพลงรพณิ ได 28 คะแนน และคะแนนของเพลงรพณิ ตรงกับเปอรเซ็นไทลท ี่ 90
ดังน้ัน มีผูเขาสอบท่ีไดคะแนนมากกวาเพลงรพิณประมาณ 10% ของผูเขาสอบทั้งหมด
ซ่งึ เทากบั 10× 6=21,519 62,151.9 ≈ 62,152 คน

100

4) เปน ไปไมได
โดยจากขอ 3) มีผูเขา สอบประมาณ 62,152 คน ทไ่ี ดค ะแนนมากกวาเพลงรพิณ จะไดวา
มีผูเขาสอบประมาณ 621,519 − 62,152 −1 =559,366 คน ที่ไดคะแนนนอยกวา
เพลงรพิณ
สมมติวา ผูเขา สอบทุกคนท่ไี ดคะแนนนอ ยกวา เพลงรพิณไดค ะแนนเทา กันคือ 27 คะแนน
และผูเขาสอบทุกคนท่ีไดคะแนนมากกวาเพลงรพิณไดคะแนนเทากันคือ 100 คะแนน
จะไดวาคาสูงทีส่ ุดทเี่ ปนไปไดข องคา เฉล่ียเลขคณติ ของคะแนนสอบคอื
(559,366× 27) + 28 + (62,152×100) ≈ 34.3 คะแนน ซงึ่ นอยกวา 38 คะแนน

621, 519

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 393

เฉลยแบบฝกหดั

บทท่ี 4 ตวั แปรสุมและการแจกแจงความนา จะเปน

แบบฝก หัด 4.1

1. ตวั แปรสุม ไมต อ เน่ือง
2. ตัวแปรสมุ ไมตอเนื่อง
3. ตัวแปรสมุ ตอเนื่อง
4. ตวั แปรสมุ ตอเน่อื ง
5. ตัวแปรสุมไมตอ เนือ่ ง
6. ตวั แปรสมุ ตอ เนอื่ ง

แบบฝก หดั 4.2ก

1. เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปน ของตัวแปรสุม X ในรูปตารางไดดังนี้

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X = x) 0 11 1 33 1 7331
40 20 8 20 40 5 40 40 40 20

2. เขยี นแสดงการแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสมุ Y ในรปู ตารางไดดังนี้

y 0123456

P(Y = y) 41 17 7 1 3 0 1
80
80 80 40 20 80

3. เนอ่ื งจากปริภูมิตัวอยางของการทอดลูกเตาทเี่ ทยี่ งตรง 2 ลูก พรอ มกนั 1 ครั้ง
คอื {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

394 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
คา ทเี่ ปนไปไดของตวั แปรสมุ Z คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5
เหตกุ ารณท ี่ Z = 0 คอื {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
เหตกุ ารณท ี่ Z = 1 คือ {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3),(4, 5), (5, 4),

(5, 6), (6, 5)}

เหตุการณที่ Z = 2 คอื {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)}
เหตกุ ารณท ี่ Z = 3 คอื {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)}
เหตุการณท ี่ Z = 4 คือ {(1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)}
เหตุการณท ่ี Z = 5 คอื {(1, 6), (6, 1)}

จะไดตารางแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z ดงั น้ี

z 01234 5
1
P(Z = z) 1 5 2 1 1 18

6 18 9 6 9

และจะไดกราฟแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ Z ดงั นี้

0 12345
สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 395

แบบฝกหัด 4.2ข

1. 1) จากแบบฝก หัด 4.2ก ขอ 1 คา คาดหมายของตวั แปรสมุ X คือ

µX = 0 (0) + 1 1  + 2  1  + 3 1  + 4  3  + 5 3  + 6  1 
40   20  8  20  40  5 

+ 7  7  + 8 3  + 9  3  + 10  1 
 40  40  40   20 

= 5.675

ดงั น้ัน คา คาดหมายของตวั แปรสุม X คือ 5.675 ขอ

ความแปรปรวนของตวั แปรสุม X คอื

σ 2 = ( 0 − 5.675)2 ( 0) + (1 − 5.675)2  1  + ( 2 − 5.675)2  1 
X  40   20 

+ ( 3 − 5.675)2  1  + ( 4 − 5.675)2  3  + ( 5 − 5.675)2  3 
 8   20   40 

+ (6 − 5.675)2  1  + ( 7 − 5.675)2  7  + (8 − 5.675)2  3 
 5   40   40 

+ ( 9 − 5.675)2  3  + (10 − 5.675)2  1 
 40   20 

≈ 5.07

ดังนน้ั ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ X มีคาประมาณ 5.07 ขอ2
และจะได σ X ≈ 5.07

≈ 2.25

ดงั น้นั สวนเบยี่ งเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X มคี า ประมาณ 2.25 ขอ
2) จากแบบฝก หดั 4.2ก ขอ 2 คาคาดหมายของตวั แปรสุม Y คอื

µY = 0  41  + 1 17  + 2  7  + 3 1  + 4  3  + 5(0) + 6  1 
 80  80   40  20   80   80 

≈ 0.94

ดังน้นั คา คาดหมายของตัวแปรสมุ Y มคี าประมาณ 0.94 ช้ิน

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

396 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2

ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ Y คอื

σ 2 = ( 0 − 0.94 )2  41  + (1 − 0.94)2  17  + ( 2 − 0.94)2  7 
Y  80   80   40 

+ ( 3 − 0.94)2  1  + ( 4 − 0.94 )2  3  + ( 5 − 0.94 )2 ( 0 )
 20   80 

+ ( 6 − 0.94 )2  1 
 80 

≈ 1.53

ดังน้ัน ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ Y มคี าประมาณ 1.53 ช้นิ 2
และจะได σY ≈ 1.53

≈ 1.24

ดังนัน้ สว นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ Y มีคา ประมาณ 1.24 ช้นิ
3) จากแบบฝกหัด 4.2ก ขอ 3 คา คาดหมายของตวั แปรสุม Z คือ

µZ = 0  1  + 1 5  + 2  2  + 3 1  + 4  1  + 5 1 
 6  18   9  6   9  18 

≈ 1.94

ดังนัน้ คา คาดหมายของตัวแปรสมุ Z มคี าประมาณ 1.94 แตม
ความแปรปรวนของตัวแปรสุม Z คอื

σ 2 = ( 0 − 1.94)2  1  + (1 − 1.94 )2  5  + ( 2 − 1.94)2  2 
Z  6   18   9 

+ ( 3 − 1.94 )2  1  + ( 4 − 1.94 )2  1  + ( 5 − 1.94 )2  1 
 6   9   18 

≈ 2.05

ดงั นน้ั ความแปรปรวนของตัวแปรสุม Z มีคาประมาณ 2.05 แตม2
และจะได σ Z ≈ 2.05

≈ 1.43

ดังนัน้ สว นเบีย่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ Z มคี า ประมาณ 1.43 แตม

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 397

2. 1) จํานวนสมาชิกของปริภูมิตัวอยางของการสุมหยิบเบี้ย 2 อัน โดยหยิบเบ้ียทีละอัน

และไมใ สคืนกอ นหยบิ เบี้ยอันท่สี องคือ 6(5) = 30

เขยี นตารางแสดงผลลัพธที่เปนไปไดท งั้ หมดของการทดลองสุมไดด งั น้ี

เบี้ยอนั ท่ี 2 3 5 6 7 8 11

เบี้ยอนั ท่ี 1

3 8 9 10 11 14

58 11 12 13 16

6 9 11 13 14 17

7 10 12 13 15 18

8 11 13 14 15 19

11 14 16 17 18 19

จากตาราง จะไดค าท่เี ปน ไปไดของตวั แปรสมุ X คือ 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,
17, 18 และ 19
เขียนตารางแสดงการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม X ไดดังนี้

x 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

P(X = x) 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15

เนื่องจาก µX = 8 1  + 9  1  + 10  1  + 11 2  + 12  1  + 13 2 
15   15   15  15  15  15 

+14  2  + 15  1  + 16  1  + 17  1  + 18  1  + 19  1 
 15   15  15   15  15   15 

≈ 13.33

ดังน้ัน คาคาดหมายของตัวแปรสุม X หรือคาคาดหมายของผลบวกของหมายเลข
บนเบี้ยท้งั สองอันทสี่ มุ ไดมีคา ประมาณ 13.33 แตม หมายความวา โดยเฉลีย่ แลว ในการ
สุมหยิบเบ้ียทีละอันและไมใสคืนกอนหยิบเบี้ยอันที่สอง จะไดผลบวกของหมายเลข
บนเบี้ยทัง้ สองอนั ท่สี มุ ไดมคี า ประมาณ 13.33 แตม

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

398 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2

2) เนอ่ื งจาก σ 2 = (8 − 13.33)2  1  + (9 − 13.33)2  1  + (10 − 13.33)2  1 
X  15   15   15 

+ (11 − 13.33)2  2  + (12 − 13.33)2  1  + (13 − 13.33)2  2 
 15   15   15 

+ (14 − 13.33)2  2  + (15 − 13.33)2  1  + (16 − 13.33)2  1 
 15   15   15 

+ (17 − 13.33)2  1  + (18 − 13.33)2  1  + (19 − 13.33)2  1 
 15   15   15 

≈ 9.96

ดังนนั้ ความแปรปรวนของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 9.96 แตม2
และจะได σ X ≈ 9.96 ≈ 3.16

ดงั นั้น สว นเบีย่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุม X มคี า ประมาณ 3.16 แตม

3. ใหต วั แปรสุม X คอื กาํ ไร (ขาดทุน) ทีบ่ ริษัทมน่ั ใจประกนั ชวี ติ ไดรบั จากลกู คารายนีใ้ นแตละป
เนือ่ งจากมเี หตุการณทีเ่ ปน ไปได 2 เหตุการณ คือ ลกู คา เสยี ชีวติ และลูกคา ไมเสยี ชวี ิต

จะได คาท่ีเปน ไปไดของตัวแปรสุม X คือ −1,950,000 และ 50,000

เน่อื งจากโอกาสทล่ี ูกคา รายนจี้ ะเสยี ชีวิตในแตละปเ ทากบั 1
100

ดังน้นั P(X =−1,950,000) =1

100

และ =P ( X 5=0,000) 99

100

เนือ่ งจาก µX = ( −1, 950, 000 )  1  + (50, 000 )  99 
100  100 

= 30,000

น่ันคือ คาคาดหมายของกําไร (ขาดทุน) ที่บริษัทมั่นใจประกันชีวิตไดรับจากลูกคารายน้ี
ในแตละปคือ 30,000 บาท
ดังนั้น ถาบริษัทมั่นใจประกันชีวิตรับทําประกันชีวิตใหกับลูกคารายนี้ บริษัทจะไดกําไร
โดยเฉลี่ยปละ 30,000 บาท

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 399

4. ใหต ัวแปรสุม X คอื รายไดจากการขายสินคา 1 ชน้ิ
เนอื่ งจากมีเหตุการณท่ีเปนไปได 4 เหตกุ ารณ คือ สนิ คามรี อยตาํ หนิ 0, 1, 2 และ 3 แหง

จะได คาทเ่ี ปนไปไดข องตัวแปรสมุ X คอื 20, 9, − 2 และ −13
จากขอ มลู จํานวนรอยตําหนิบนสินคาแตละชน้ิ

จะได P( X = 20) = 47

60

P( X = 9) = 4 = 1

60 15

P( X = − 2) = 6 = 1

60 10

และ P ( X = −13) = 3 = 1

60 20

เน่ืองจาก µX = 20  47  + 9  1  + ( −2 )  1  + ( −13)  1 
 60   15  10   20 

≈ 15.42

ดงั นน้ั คา คาดหมายของรายไดจ ากการขายสนิ คา 1 ช้นิ มคี าประมาณ 15.42 บาท

แบบฝกหัด 4.2.1

1. 1) การแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม X1 เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอ เนอื่ ง

เนื่องจากคาทีเ่ ปนไปไดท้ังหมดของตัวแปรสุม X1 คอื 0 และ 1

ซง่ึ P( X1= 0=) P ( X1= 1=) 1
2
2) การแจกแจงความนา จะเปน ของตวั แปรสุม X2 ไมเ ปน การแจกแจงเอกรปู ไมต อ เนอ่ื ง

เนือ่ งจากมี 0 และ 1 เปนคาที่เปน ไปไดของตวั แปรสุม X2 ซึ่ง P( X=2 0=) 1 และ
210

P ( X 2= 1=) 10
210
นัน่ คอื P( X2 =0) ≠ P( X2 =1)

3) การแจกแจงความนาจะเปน ของตัวแปรสุม X3 ไมเ ปนการแจกแจงเอกรูปไมต อเนือ่ ง

เน่ืองจากมี 40 และ 90 เปน คา ทเี่ ปน ไปไดข องตวั แปรสมุ X3

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

400 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2

โดยที่ 40 เกิดจากการหยิบไดสลากที่ระบุจํานวนเงินรางวัล 10 และ 30 บาท และ

90 เกิดจากการหยิบไดสลากท่ีระบุจํานวนเงินรางวัล 10 และ 80 บาท หรือหยิบได

สลากท่ีระบจุ ํานวนเงนิ รางวลั 30 และ 60 บาท

จะได P( =X3 4=0) 1 และ P( X=3 9=0) 2
C4, 2 C4, 2

น่นั คอื P( X3 =40) ≠ P( X3 =90)

4) การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X4 เปน การแจกแจงเอกรปู ไมตอ เนือ่ ง

เน่ืองจากคาท่ีเปนไปไดท ง้ั หมดของตัวแปรสมุ X4 คือ 0, 1, 2, 3 และ 4

ซ่ึง P=( X4=0) P=( X 4=1) P=( X 4=2) P=( X 4=3) P=( X 4=4) =1860 1
5

2. เนอ่ื งจากการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงเอกรูปไมต อ เน่ือง
และคาท่ีเปนไปไดท้ังหมดของ X มี 6 คา

จะได P=( X =5) P=( X =6) = P=( X =10) 1

6

ดงั นนั้ µX = 5 1  + 6  1  +  + 10  1 
6  6  6 

= 7.5

จะไดว า คา คาดหมายของตัวแปรสุม X คือ 7.5

เนื่องจาก σ 2 = (5 − 7.5)2  1  + ( 6 − 7.5 )2  1  +  + (10 − 7.5)2  1 
X  6   6   6 

≈ 2.92

ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุม X มคี า ประมาณ 2.92
และจะได σ X ≈ 2.92 ≈ 1.71
ดังนนั้ สวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ X มคี าประมาณ 1.71

3. สมมตวิ าครูนาํ ของขวญั มาจบั สลากทง้ั หมด n ช้ิน
ใหต วั แปรสมุ X คือมูลคาของของขวัญทีน่ กั เรียนจับสลากได
เน่ืองจากความนาจะเปนท่ีนักเรียนจะไดของขวัญแตล ะช้ินมคี าเทากันคือ 0.125
ดังนั้น การแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงเอกรปู ไมต อเน่ือง

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 401

โดยท่ี P=( X 1=00) P=( X 2=00) = P=( X 10=0n)=1 0.125

จะได n = 8 n

ดงั นนั้ ของขวญั ทงั้ หมดที่ครนู าํ มาจบั สลากมมี ลู คา 100 + 200 + 300 ++ 800 =3,600 บาท

4. 1) ถา a = 5 จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z ไมเปนการแจกแจง

เอกรูปไมตอเนื่อง เน่ืองจาก P=(Z =30) P=(Z =18) P=(Z =12) P=(Z =10) 1
6

แต P(Z= 5=) 2= 1
6 3
2) คาของ a ท่ีทําใหตัวแปรสุม Z เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเน่ืองจะตองอยูในชวง

0 ≤ a < 5 เชน 4, 3.5, 2.5, 1

3) ถา a = 1 จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z เปนการแจกแจง

เอกรปู ไมต อเนอ่ื ง

เน่อื งจาก µZ = 30  1  + 18 1  + 12  1  + 10  1  + 5  1  + 1 1 
 6  6   6   6   6  6 

≈ 12.67

แสดงวาโดยเฉล่ียแลวในการเลนเกมลูกเตาเสี่ยงโชคแตละคร้ังผูเลนจะไดรับเงินรางวัล
ประมาณ 12.67 บาท
ดงั น้ัน ผูจัดเกมน้คี วรต้งั ราคาคาตั๋วสําหรับเลนเกมอยา งนอ ย 13 บาท จึงจะไมขาดทุน

5. ใหต วั แปรสุม X คือเงินรางวลั ทผ่ี ูเลน จะไดรบั จากการเลน เกมวงลอ เส่ยี งโชค
จะได คา ท่เี ปนไปไดของตัวแปรสุม X คอื 50, 100, 150, 200, ... , 500
เน่อื งจากวงลอมี 10 ชอ ง และโอกาสท่ลี กู ศรจะช้ีทช่ี องใดชอ งหนงึ่ เทากัน
จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงเอกรูปไมต อเน่ือง

โดยท่ี P=( X =50) P=( X 1=00) P=( X 1=50) = P=( X 5=00) 1
10

เนอ่ื งจาก µX = 50  1  + 100  1  + 150  1  +  + 500  1 
 10   10   10   10 

= 275

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

402 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2

แสดงวา โดยเฉลี่ยแลว ผูเลนจะไดเงินรางวัลจากการเลนเกมวงลอ เสีย่ งโชคแตละครั้ง 275 บาท
แตเน่อื งจากผเู ลนตองจา ยเงินซอ้ื ตว๋ั ราคา 300 บาท นกั เรียนจึงไมควรเลนเกมนี้

แบบฝก หัด 4.2.2

1. จากโจทย จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม
ท่ี n = 6 และ p = 0.3

1) P(X = 2) =  6  ( 0.3)2 ( 0.7 )4
 2 
 

≈ 0.3241

2) P( X ≤ 2) = P( X =0) + P( X =1) + P( X =2)

=  6  ( 0.7 )6 +  6  ( 0.3) ( 0.7 )5 +  6  ( 0.3)2 ( 0.7 )4
 0   1   2 
     

≈ 0.7443

3) วิธีที่ 1 P( X > 2) = P( X =3) + P( X =4) + P( X =5) + P( X =6)

=  6  ( 0.3)3 ( 0.7 )3 +  6  ( 0.3)4 ( 0.7 )2 +  6  ( 0.3)5 ( 0.7 )
 3   4   5 
     

+  6  ( 0.3)6
 6 
 

≈ 0.2557

วิธีที่ 2 P( X > 2) = 1− P( X ≤ 2)

≈ 1− 0.7443

≈ 0.2557

4) วิธที ี่ 1 P(2 ≤ X ≤ 5) = P( X =2) + P( X =3) + P( X =4) + P( X =5)

=  6  ( 0.3)2 ( 0.7 )4 +  6  ( 0.3)3 ( 0.7 )3
 2   3 
   

+  6  (0.3)4 (0.7)2 +  6  (0.3)5 (0.7)
 4   5 
   

≈ 0.5791

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 403

วิธีที่ 2 P(2 ≤ X ≤ 5) = 1− P( X =0) − P( X =1) − P( X =6)
= 1− ( P( X ≤ 2) − P( X =2)) − P( X =6)

= 1− P(X ≤ 2)+ P( X = 2 ) −  6  ( 0.3)6
 6 
 

≈ 1− 0.7443 + 0.3241− 0.0007

≈ 0.5791

2. 1) คา ทเ่ี ปนไปไดข องตัวแปรสุม X คือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6
2) เนอื่ งจากตวั แปรสุม X มลี ักษณะดงั ตอ ไปนี้
1. เกิดจากการทดลองสุม (การโยนเหรยี ญทีไ่ มเทย่ี งตรง) จาํ นวน 6 คร้ัง ที่เปนอสิ ระกนั
2. การทดลองสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (เหรียญข้ึนหัว)
หรอื ไมส ําเร็จ (เหรยี ญข้นึ กอ ย)
3. ความนาจะเปนที่เหรียญขึ้นหัวในการโยนเหรียญแตละครั้งเทากัน โดยเทากับ
1− 0.6 =0.4 และความนาจะเปนท่ีเหรียญข้ึนกอยในการโยนเหรียญแตละคร้ัง
เปน 0.6
ดังน้นั การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม
3) ความนาจะเปนท่เี หรียญขน้ึ หัวนอ ยกวา 3 ครง้ั คือ

P( X < 3) = P( X =0) + P( X =1) + P( X =2)

=  6  ( 0.6)6 +  6  ( 0.4) ( 0.6)5 +  6  ( 0.4)2 ( 0.6 )4
 0   1   2 
     

≈ 0.5443

4) เน่ืองจา=ก µX 6=(0.4) 2.4
ดงั น้ัน โดยเฉลีย่ แลว เหรยี ญจะขึ้นหวั 2.4 ครั้ง

5) เน=ื่องจาก σ X2 6=(0.4)(0.6) 1.44
ดังนน้ั ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ X คือ 1.44 คร้งั 2

เนอ่ื งจาก=σ X =1.44 1.2
ดงั นน้ั สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ X คอื 1.2 คร้ัง

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

404 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2

3. 1) เน่อื งจากตัวแปรสุม Y มีลกั ษณะดงั ตอ ไปน้ี
1. เกิดจากการทดลองสมุ (การทอดลูกเตาท่เี ทีย่ งตรง) จํานวน 8 คร้งั ที่เปนอสิ ระกนั
2. การทดลองสุมแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกเตาขึ้นแตมเปน
จํานวนคู) หรือไมสําเร็จ (ลูกเตา ขนึ้ แตม เปนจาํ นวนค่ี)
3. ความนาจะเปนท่ลี ูกเตาข้ึนแตม เปน จํานวนคูในการทอดลูกเตา ท่ีเทยี่ งตรงแตล ะคร้ัง

เทากัน โดยเทากับ 1 และความนาจะเปนที่ลูกเตาข้ึนแตมเปนจํานวนค่ีในการ
2

ทอดลูกเตาแตละคร้งั เปน 1
2

ดังน้ัน การแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสุม Y เปน การแจกแจงทวินาม
2) ความนา จะเปนทไี่ ดแตมเปน จาํ นวนคู 5 ครง้ั คอื

P(Y = 5) = 8 1 5  1 3
     2 
 5  2

≈ 0.2188
3) ความนาจะเปนท่ีไดแตมเปนจาํ นวนคนู อยกวา 8 คร้งั คือ

P(Y < 8) = 1− P(Y =8)

= 1 −  8   1 8
 8   2 
 

≈ 1− 0.0039

≈ 0.9961

4) เน่ืองจาก=µY 8= 12  4
ดังนนั้ คาคาดหมายของตวั แปรสมุ Y คือ 4 คร้ัง

เน่ือ=งจาก σY2 8= 12  12  2
ดังนน้ั ความแปรปรวนของตัวแปรสุม Y คอื 2 คร้งั 2

4. ใหต ัวแปรสุม X คอื จาํ นวนวนั ทโ่ี สภติ าซ้อื ชานมไขมกุ ในหนึง่ สัปดาห
จะได คา ท่เี ปนไปไดของตวั แปรสมุ X คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7
เนอ่ื งจากตัวแปรสุม X มีลกั ษณะดังตอ ไปนี้
1. เกิดจากการตัดสนิ ใจซือ้ ชานมไขมกุ ของโสภติ าในแตล ะวนั ในหน่งึ สปั ดาห ที่เปน อสิ ระกนั

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 405

2. การตัดสินใจซื้อชานมไขมุกของโสภิตาในแตละวันเกิดผลลพั ธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ
(ซอื้ ชานมไขมุก) หรือไมสาํ เรจ็ (ไมซอื้ ชานมไขมุก)

3. ความนาจะเปนท่ีโสภิตาจะซื้อชานมไขมุกในแตละวันเทากัน โดยเทากับ 9 และ

10

ความนาจะเปนทโี่ สภิตาจะไมซ ื้อชานมไขม ุกในแตละวันเปน 1 − 9 =1
10 10
จะเหน็ วาการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ X เปน การแจกแจงทวนิ าม

ดงั นนั้ ความนา จะเปนทีโ่ สภิตาจะซ้อื ชานมไขมุกไมเกิน 2 วัน ในหนึง่ สปั ดาห คือ

P( X ≤ 2) = P( X =0) + P( X =1) + P( X =2)

=  7  1 7 +  7   9   1 6 +  7  9 2  1 5
 0   10   1   10   10   2   10   10 
    

= 0.0002

5. ใหตวั แปรสมุ X คือจาํ นวนการแขง ขันทภี่ คั นนิ ทรชนะจากการแขงขัน 5 ครงั้
จะได คาทเี่ ปน ไปไดของตัวแปรสุม X คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5
เนื่องจากตวั แปรสุม X มีลกั ษณะดงั ตอ ไปน้ี
1. เกดิ จากการแขง ขนั 5 คร้ัง ทเี่ ปน อิสระกนั
2. การแขงขันแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ภคนินทรชนะการแขงขัน)
หรือไมสาํ เรจ็ (ภคนินทรไ มชนะการแขง ขัน)
3. ความนาจะเปน ทภี่ คั นินทรจ ะชนะการแขง ขันในแตล ะครง้ั เทา กนั โดยเทากับ 0.3 และ
ความนา จะเปนที่ภคั นินทรจะไมชนะการแขงขันในแตล ะคร้ังเปน 1− 0.3 =0.7
จะเหน็ วาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ X เปน การแจกแจงทวนิ าม
ดังน้นั ความนาจะเปน ทภ่ี ัคนินทรจ ะชนะการแขงขนั อยางนอ ย 1 ครงั้ คอื

P( X ≥ 1) = 1− P( X <1)

= 1− P( X =0)

= 1 −  5  ( 0.7 )5
 0 
 

≈ 0.8319

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

406 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2

6. 1) ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนแผงวงจรไฟฟาท่ีชํารุดเน่ืองจากโลหะบัดกรีเปนรูจาก
แผงวงจรไฟฟา ที่ชาํ รดุ ท่สี ุมมาจาํ นวน 3 แผน
จะได คา ท่ีเปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 0, 1, 2 และ 3
เนือ่ งจากตัวแปรสุม X มีลกั ษณะดังตอไปนี้
1. เกิดจากการสุมแผงวงจรไฟฟาท่ชี าํ รดุ จาํ นวน 3 แผน ท่ีเปน อสิ ระกนั
2. การสุมแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดแตละแผนเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ
(ชาํ รุดเน่ืองจากโลหะบดั กรีเปน ร)ู หรอื ไมสําเรจ็ (ชาํ รดุ ดวยสาเหตอุ นื่ )
3. ความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดเนื่องจากโลหะบัดกรีเปนรูเทากัน
โดยเทากับ 0.4 และความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดดวยสาเหตุอื่น
เปน 1− 0.4 =0.6
จะเห็นวาการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงทวนิ าม
ดงั นน้ั ความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟา ทัง้ สามชํารดุ เนอ่ื งจากโลหะบัดกรเี ปนรู คอื

P( X = 3) =  3  ( 0.4)3
 3 
 

= 0.064

2) ใหตัวแปรสุม Y คือจํานวนแผงวงจรไฟฟาท่ีชํารุดเน่ืองจากอุปกรณเชื่อมไมติดจาก
แผงวงจรไฟฟาทชี่ าํ รุดท่สี ุม มาจํานวน 3 แผน
จะได คา ทเี่ ปน ไปไดข องตวั แปรสมุ Y คอื 0, 1, 2 และ 3
เนือ่ งจากตัวแปรสุม Y มีลักษณะดังตอไปนี้
1. เกิดจากการสมุ แผงวงจรไฟฟาท่ีชาํ รดุ จํานวน 3 แผน ท่เี ปน อสิ ระกนั
2. การสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ชํารุดเน่ืองจากอุปกรณ
เชอื่ มไมติด) หรือไมสําเรจ็ (ชาํ รดุ ดวยสาเหตุอน่ื )
3. ความนาจะเปนท่ีแผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดเน่ืองจากอุปกรณเชื่อมไมติด
เทากัน โดยเทากับ 0.3 และความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดดวย
สาเหตอุ น่ื เปน 1− 0.3 =0.7
จะเห็นวาการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ Y เปน การแจกแจงทวินาม

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 407

ดังนน้ั ความนา จะเปน ทแี่ ผงวงจรไฟฟา 2 แผน ชาํ รดุ เน่อื งจากอปุ กรณเชื่อมไมตดิ คือ

P(Y = 2) =  3  ( 0.3)2 ( 0.7 )
 2 
 

= 0.189

3) ใหตัวแปรสุม Z คือจํานวนแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดเน่ืองจากอุปกรณแตกราวจาก
แผงวงจรไฟฟาที่ชาํ รุดท่ีสุมมาจาํ นวน 3 แผน
จะได คา ท่ีเปน ไปไดข องตัวแปรสุม Z คอื 0, 1, 2 และ 3
เนื่องจากตัวแปรสุม Z มลี ักษณะดังตอ ไปน้ี
1. เกิดจากการสมุ แผงวงจรไฟฟา ท่ชี ํารดุ จาํ นวน 3 แผน ทเ่ี ปนอสิ ระกัน
2. การสุมแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ชํารุดเน่ืองจากอุปกรณ
แตกรา ว) หรอื ไมส ําเรจ็ (ชาํ รุดดวยสาเหตุอ่นื )
3. ความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดเนื่องจากอุปกรณแตกราวเทากัน
โดยเทากับ 0.1 และความนาจะเปนท่ีแผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดดวยสาเหตุอื่น
เปน 1− 0.1 =0.9
จะเห็นวา การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z เปนการแจกแจงทวนิ าม
เน่อื งจา=ก µZ 3=(0.2) 0.6
ดังน้ัน คาคาดหมายของจํานวนแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดเน่ืองจากอุปกรณแตกราวคือ
0.6 แผน

=เนอ่ื งจาก σ Z 3(0.2)(0.8) ≈ 0.69
ดังน้ัน สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของจํานวนแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดเนื่องจากอุปกรณ
แตกราวมีคา ประมาณ 0.69 แผน

7. ใหต วั แปรสมุ X คือจํานวนรถยนตทเี่ ปล่ียนชองทางเดินรถในพนื้ ทีห่ า ม (เสน ทบึ ) จากรถยนต
ท่วี งิ่ ผานปอมควบคมุ สัญญาณไฟจราจรบริเวณสแี่ ยกน้ีท่ีสมุ มาจํานวน 9 คัน
จะได คา ท่ีเปน ไปไดของตัวแปรสุม X คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9
เน่ืองจากตัวแปรสุม X มลี กั ษณะดงั ตอไปนี้

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

408 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2

1. เกิดจากการสุมรถยนตท่ีวิ่งผานปอมควบคุมสัญญาณไฟจราจรบริเวณส่ีแยกแหงน้ี
จํานวน 9 คัน ทีเ่ ปนอิสระกัน

2. การสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (รถยนตเปลี่ยนชองทางเดินรถ
ในพ้นื ท่หี าม) หรือไมสําเร็จ (รถยนตไ มเ ปลย่ี นชองทางเดนิ รถในพืน้ ทห่ี าม)

3. ความนาจะเปนท่ีรถยนตแตละคันจะเปลี่ยนชองทางเดินรถในพ้ืนที่หามเทากัน
โดยเทากับ 0.75 และความนาจะเปนที่รถยนตแตละคันจะไมเปลี่ยนชองทางเดินรถ
ในพ้ืนท่ีหามเปน 1− 0.75 =0.25

จะเหน็ วา การแจกแจงความนา จะเปนของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงทวินาม
1) ความนาจะเปนที่จะพบรถยนตเปลี่ยนชองทางเดินรถในพื้นท่ีหาม (เสนทึบ)

4 คัน คอื

P(X = 4) =  9  ( 0.75)4 ( 0.25)5
 4 
 

≈ 0.0389

2) ความนาจะเปนท่ีจะพบรถยนตเปลี่ยนชองทางเดินรถในพ้ืนที่หาม (เสนทึบ) ไมเกิน
3 คนั คอื

P( X ≤ 3) =  9  ( 0.25 )9 +  9  ( 0.75) ( 0.25)8 +  9  ( 0.75)2 ( 0.25)7
 0   1   2 
     

+  9  ( 0.75)3 ( 0.25)6
 3 
 

≈ 0.01

3) ความนาจะเปนท่ีจะพบรถยนตเปลีย่ นชองทางเดนิ รถในพื้นที่หา ม (เสน ทึบ) มากกวา
6 คัน คอื

P( X > 6) =  9  ( 0.75)7 ( 0.25)2 +  9  ( 0.75)8 ( 0.25) +  9  ( 0.75)9
 7   8   9 
     

≈ 0.6007

4) เนือ่ งจ=าก µX 9=(0.75) 6.75
ดังนั้น คาคาดหมายของจํานวนรถยนตที่เปล่ียนชองทางเดินรถในพื้นท่ีหาม (เสนทึบ)
คอื 6.75 คนั

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 409

=เนอื่ งจาก σ X 9(0.75)(0.25) ≈ 1.3
ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจํานวนรถยนตที่เปลี่ยนชองทางเดินรถในพ้ืนท่ีหาม
(เสนทบึ ) มีคา ประมาณ 1.3 คนั

8. ใหต วั แปรสุม X คอื จาํ นวนบุตรทม่ี ีจโี นไทป LhLh จากบุตรจํานวน 3 คน

จะได คาท่ีเปนไปไดของตัวแปรสุม X คอื 0, 1, 2 และ 3

เนอ่ื งจากตัวแปรสุม X มีลกั ษณะดังตอไปน้ี

1. เกดิ จากการมีบุตรจาํ นวน 3 คน ทีเ่ ปน อิสระกัน

2. การมีบุตรแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (บุตรมีจีโนไทป LhLh ) หรือ

ไมส ําเร็จ (บุตรไมม ีจโี นไทป LhLh )

3. ความนาจะเปนท่ีบุตรแตละคนจะมีจีโนไทป LhLh เทากัน โดยเทากับ 1− 1 − 1 =1

424

และความนา จะเปน ทีบ่ ุตรแตล ะคนจะไมม จี ีโนไทป LhLh เปน 1− 1 =3

44

จะเห็นวา การแจกแจงความนาจะเปน ของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงทวนิ าม

1) ความนา จะเปนทบ่ี ุตรทั้ง 3 คน ไมมีจีโนไทป LhLh คอื

P(X = 0) =  3 3 3
   
 0  4

≈ 0.4219

2) ความนาจะเปนที่มบี ุตรอยางนอ ย 1 คน มจี โี นไทป LhLh คือ
P( X ≥1) = 1− P( X < 1)
= 1− P( X =0)

≈ 1− 0.4219
≈ 0.5781

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

410 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2

แบบฝก หดั 4.3
1. 1) จากตารางท่ี 1 อา นคาประมาณของพ้ืนทใี่ ตเ สน โคง ปกตมิ าตรฐานจาก −∞ ถงึ −1.34

ไดเ ปน 0.0901 นน่ั คือ P(Z ≤ −1.34) =0.0901

0.0901 0
1.34

2) เนือ่ งจาก P(Z > 2.18) =1− P(Z ≤ 2.18)
และจากตารางท่ี 1 อานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง
2.18 ไดเปน 0.9854 นั่นคอื P(Z ≤ 2.18) =0.9854
ดังนัน้ P(Z > 2.18) =1− 0.9854 =0.0146

0.0146

0 2.18

3) เน่อื งจาก P(−2.45 ≤ Z ≤1.6=8) P(Z ≤1.68) − P(Z < −2.45)
และจากตารางที่ 1 อานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง
1.68 ไดเ ปน 0.9535 น่นั คอื P(Z ≤1.68) =0.9535
และอานคาประมาณของพ้ืนที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง −2.45 ไดเปน
0.0071 นนั่ คอื P(Z < −2.4=5) P(Z ≤ −2.4=5) 0.0071
ดงั น้นั P(−2.45 ≤ Z ≤1.6=8) 0.9535 − 0.00=71 0.9464

2.45 0.9464 1.68
สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี 0

คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 411

4) เนื่องจาก P(0.91≤ Z ≤ 2.26=) P(Z ≤ 2.26) − P(Z < 0.91)
และจากตารางท่ี 1 อานคาประมาณของพื้นท่ีใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง
2.26 ไดเ ปน 0.9881 นนั่ คือ P(Z ≤ 2.26) =0.9881
และอานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง 0.91 ไดเปน
0.8186 น่ันคอื P(Z < 0.91) = P(Z ≤ 0.91) =0.8186
ดังน้ัน P(0.91 ≤ Z ≤ 2.2=6) 0.9881− 0.81=86 0.1695

0.1695

0 0.91 2.26

2. 1) คาของตัวแปรสุม ปกตมิ าตรฐานของ 11 คือ 11 − 10 = 0.5
2

2) คา ของตวั แปรสุม ปกติมาตรฐานของ 12 คอื 12 −10 = 1
2

3) คาของตวั แปรสมุ ปกตมิ าตรฐานของ 14.2 คอื 14.2 −10 = 2.1
2

3. เน่ืองจาก X  N (20, 100) จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 20

และ σ 2 =100 น่ันคอื σ =10

ให Z = X −µ
σ

1) P( X < 48.9) = P  Z < 48.9 − 20 
 10 

= P(Z < 2.89)

= 0.9981

0.9981 2.89
0

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

412 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2

2) P( X >12.9) = P  Z > 12.9 − 20 
 10 

= P(Z > −0.71)

= 1− P(Z ≤ −0.71)

= 1− 0.2389
= 0.7611

0.7611

0.71 0

3) P(18.5 ≤ X ≤ 37.4) = P  18.5 − 20 ≤ Z ≤ 37.4 − 20 
 10 10 

= P(−0.15 ≤ Z ≤ 1.74)

= P(Z ≤1.74) − P(Z < −0.15)

= 0.9591− 0.4404
= 0.5187

0.5187

0.15 0 1.74

4. ใหตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 400 และ σ =100

ให Z = X −µ
σ

1) เนอื่ งจาก P( X > 538) = P  Z > 538 − 400 
 100 

= P(Z >1.38)

= 1− P(Z ≤1.38)

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 413

P ( X > 538) = 1− 0.9162

= 0.0838

0.0838

0 1.38

ดังนนั้ มขี อ มลู ที่มคี ามากกวา 538 อยู (0.0838)(100) = 8.38 เปอรเ ซน็ ต

2) เน่อื งจาก P( X >179) = P  Z > 179 − 400 
 100 

= P(Z > −2.21)

= 1− P(Z ≤ −2.21)

= 1− 0.0136
= 0.9864

0.9864

2.21 0

ดังนัน้ มีขอมูลที่มคี ามากกวา 179 อยู (0.9864)(100) = 98.64 เปอรเ ซน็ ต

3) เน่อื งจาก P( X < 356) = P  Z < 356 − 400 
 100 

= P(Z < −0.44)

= 0.33

0.33

0.44 0

ดังน้นั มขี อ มูลทม่ี คี านอยกวา 356 อยู (0.33)(100) = 33 เปอรเ ซน็ ต

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

414 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2

4) เนื่องจาก P( X < 621) = P  Z < 621 − 400 
 100 

= P(Z < 2.21)

= 0.9864

0.9864

0 2.21

ดังนน้ั มีขอ มูลทมี่ คี า นอ ยกวา 621 อยู (0.9864)(100) = 98.64 เปอรเ ซน็ ต

5. ใหตวั แปรสมุ X คือระยะเวลาในการประกอบชิ้นสวนอเิ ลก็ ทรอนกิ สช นดิ นี้

จะไดวาตัวแปรสมุ X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =12 และ σ =1.5

ให Z = X −µ
σ

1) เน่ืองจาก P ( X < 11) = P  Z < 11 − 12 
 1.5 

= P (Z < −0.67)

= 0.2514

0.2514

0.67 0

ดังน้ัน ความนาจะเปนที่ชิ้นสวนอิเล็กทรอนิกสนี้จะใชเวลาในการประกอบนอยกวา
11 นาที คือ 0.2514

2) เนอ่ื งจาก P(10 < X < 13) = P  10 −12 < Z < 13 −12 
 1.5 1.5 

= P (−1.33 < Z < 0.67)

= P (Z < 0.67) − P(Z ≤ −1.33)

= 0.7486 − 0.0918

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 415

P (10 < X < 13) = 0.6568

0.6568

1.33 0 0.67

ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีช้ินสวนอิเล็กทรอนิกสน้ีจะใชเวลาในการประกอบระหวาง
10 ถึง 13 นาที คอื 0.6568

3) เนอื่ งจาก P( X > 14) = P  Z > 14 −12 
 1.5 

= P (Z > 1.33)

= 1− P (Z ≤ 1.33)

= 1 − 0.9082
= 0.0918

0.0918

0 1.33

ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีช้ินสวนอิเล็กทรอนิกสน้ีจะใชเวลาในการประกอบมากกวา
14 นาที คอื 0.0918

6. ใหตัวแปรสุม X คอื คะแนนสอบวัดความรคู วามสามารถวิชาคณิตศาสตรข องนักเรียนระดับ

มัธยมศึกษาตอนปลายทีจ่ ัดโดยสถาบันแหงนี้

จะไดวา ตัวแปรสุม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมี µ = 505 และ σ =111

ให Z = X −µ
σ

1) เนื่องจาก P(400 < X < 600) = P  400 − 505 < Z < 600 − 505 
 111 111 

= P (−0.95 < Z < 0.86)

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

416 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2

P (400 < X < 600) = P (Z < 0.86) − P (Z ≤ −0.95)

= 0.8051 − 0.1711
= 0.634

0.634

0.95 0 0.86

ดังนนั้ ความนาจะเปน ทนี่ กั เรียนคนนี้จะไดคะแนนสอบระหวาง 400 และ 600 คะแนน
คอื 0.634

2) เน่อื งจาก P( X > 700) = P  Z > 700 − 505 
 111 

= P (Z > 1.76)

= 1− P (Z ≤ 1.76)

= 1 − 0.9608
= 0.0392

0.0392

0 1.76

ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ีนักเรียนคนน้ีจะไดคะแนนสอบมากกวา 700 คะแนน คือ

0.0392

3) เน่ืองจาก P( X < 450) = P  Z < 450 − 505 
 111 

= P (Z < −0.50)

= 0.3085

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 417

0.3085

0.50 0

ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดคะแนนสอบนอยกวา 450 คะแนน คือ

0.3085

7. ใหตัวแปรสมุ X คอื คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรข องนักเรียนชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 6 หองน้ี
จะไดว าตัวแปรสมุ X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 72 และ σ =12

ให Z = X −µ
σ

ให x คอื เปอรเ ซ็นไทลท่ี 25

จะได P( X < x) = 0.25

P  Z < x − 72  = 0.25
 12 

เน่อื งจาก P(Z < −0.6745) =0.25

จะได x − 72 = −0.6745
12

x = 63.906

ดังน้นั เปอรเซ็นไทลที่ 25 คอื 63.906 คะแนน
ให x คือเปอรเ ซ็นไทลที่ 90

จะได P( X < x) = 0.9

P  Z < x − 72  = 0.9
 12 

เน่ืองจาก P(Z <1.2816) =0.9

จะได x − 72 = 1.2816
12

x = 87.3792

ดังนั้น เปอรเซน็ ไทลที่ 90 คอื 87.3792 คะแนน

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

418 คูม ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2

8. ใหตัวแปรสมุ X คอื ความหนาของแผนพลาสติกทีผ่ ลิตโดยบริษัทแหงนี้

จะไดวา ตัวแปรสุม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมี µ = 0.0625 และ σ 2 = 0.00000625
นัน่ คอื σ = 0.0025

ให Z = X −µ
σ

เน่อื งจาก P (0.0595 < X ≤ 0.0659) = P  0.0595 − 0.0625 < Z ≤ 0.0659 − 0.0625 
 0.0025 0.0025 

= P (−1.2 < Z ≤ 1.36)

= P (Z ≤ 1.36) − P (Z ≤ −1.2)

= 0.9131− 0.1151

= 0.798

0.7908.7980

1.2 0 1.36

ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีแผนพลาสติกท่ีสุมไดมีความหนามากกวา 0.0595 เซนติเมตร แตไมเกนิ

0.0659 เซนติเมตร คอื 0.798

9. ใหต วั แปรสมุ X คอื คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข องนักเรียนช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 หอ งนี้

จะไดว าตัวแปรสมุ X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมี µ = 22 และ σ = 4

ให Z = X −µ
σ
1) คาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนที่ได

30 คะแนน คอื 30 − 22 = 2
4

2) เนอ่ื งจาก P(15 < X < 32) = P  15 − 22 < Z < 32 − 22 
 4 4 

= P (−1.75 < Z < 2.5)

= P (Z < 2.5) − P(Z ≤ −1.75)

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 419

P(15 < X < 32) = 0.9938 − 0.0401

= 0.9537

0.9537

1.75 0 2.5

ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนน้ีจะไดคะแนนสอบระหวาง 15 และ 32 คะแนน

คือ 0.9537

3) เนือ่ งจาก P( X > 34) = P  Z > 34 − 22 
 4 

= P(Z > 3)

= 1− P(Z ≤ 3)

= 1− 0.9987

= 0.0013

0.0013

03

ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนน้ีจะไดคะแนนสอบมากกวา 34 คะแนน คือ
0.0013

4) เนือ่ งจาก P( X < 25) = P  Z < 25 − 22 
 4 

= P (Z < 0.75)

= 0.7734

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

420 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2

0.7734

0 0.75

ดังน้ัน ความนา จะเปนทนี่ กั เรียนคนนจ้ี ะไดคะแนนสอบนอยกวา 25 คะแนน คือ 0.7734

10. ใหตัวแปรสมุ X คอื นํ้าหนักสทุ ธิของกระปองบรรจถุ ว่ั ทผ่ี ลิตในโรงงานแหง น้ี

จะไดว าตวั แปรสมุ X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =12

ให Z = X −µ
σ

จากโจทย P ( X < 11.8) = 0.1151

จะได P  Z < 11.8 −12  = 0.1151
 σ 

และจากตารางที่ 1 จะได P(Z < −1.2) = 0.1151

ดงั นนั้ 11.8 −12 = −1.2
σ

σ = 11.8 −12
−1.2

≈ 0.17

σ 2 ≈ (0.17)2

≈ 0.0289

จะไดวาความแปรปรวนของน้ําหนักสุทธิของกระปองบรรจุถั่วที่ผลิตโดยโรงงานแหงนี้ คือ
0.0289 กรมั 2

11. ใหตัวแปรสุม X และ Y คือยอดขายอาหารรายวันและยอดขายผลไมรายวันของรานอาหาร
แหง น้ี ตามลําดบั
จะไดวาตัวแปรสุม X และ Y มีการแจกแจงปกต=ิ โดยมี µX 8=,400 , σ X 360 และ

=µY 5=, 200, σY 240

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 421

ให ZX = X − µX และ ZY = Y − µY
σX σY

ให x และ y คือ ยอดขายอาหารและยอดขายผลไมข องวนั นี้ ตามลาํ ดบั

นน่ั คอื x = 9,500 และ y = 6,000

จะไดว าคา ของตัวแปรสุม ปกตมิ าตรฐานของ x=คอื xσ− XµX 9,500 − 8, 400 ≈ 3.056
360

และคาของตัวแปรสุมปกตมิ าตรฐานของ y=คือ yσ−YµY 6,000 − 5, 200 ≈ 3.333
240

เนื่องจากคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ x นอยกวาคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน

ของ y

ดังนนั้ วันนี้รา นอาหารแหง นขี้ ายผลไมไ ดด กี วาอาหาร

12. ใหตัวแปรสุม X และ Y คือคะแนนสอบวัดความถนัดทางภาษาจีนและภาษาเกาหลี

ตามลําดับ

จะไดวาตัวแปรสุม X และ Y มีการแจกแจงปกติ โดย=มี µX 5=5 , σ X 13 และ

µY = 50 , σY = 10

ให x และ y คือ คะแนนสอบวัดความถนัดทางภาษาจีนและภาษาเกาหลีของภัครพรรณ

ตามลําดับ

น่ันคือ x = 75 และ y = 68

จะไดว าคา ของตวั แปรสมุ ปกตมิ าตรฐานของ x คือ x=− µX 75 − 55 ≈ 1.54
σX 13

และคาของตัวแปรสุมปกตมิ าตรฐานของ y คือ =y − µY 6=8 − 50 1.8
σY 10

เน่ืองจากคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ x นอยกวาคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน

ของ y

ดังนั้น ภัครพรรณมีโอกาสจะสอบติดคณะอักษรศาสตรสาขาวิชาภาษาเกาหลีมากกวา

สาขาวิชาภาษาจนี

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

422 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2

13. ใหตัวแปรสุม X คือคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ของ

โรงเรียนแหง หนงึ่

จะไดว า ตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมีคาเฉลย่ี µ และสวนเบยี่ งเบนมาตรฐาน σ

ให Z = X −µ
σ
นกั เรยี นจะไดเกรด 4 ถา ไดค ะแนนตั้งแต µ +1.5σ คะแนนข้ึนไป

เน่อื งจาก P( X ≥ µ +1.5σ ) =  ≥ (µ +1.5σ ) − µ 
PZ 
σ 


= P(Z ≥ 1.5)

= 1− P(Z <1.5)

= 1− 0.9332
= 0.0668

0.0668
0 1.5

ดงั น้นั ความนาจะเปนทน่ี กั เรยี นคนน้ีจะไดเกรด 4 คอื 0.0668

นกั เรียนจะไดเ กรด 3 ถาไดค ะแนนอยูในชว ง [µ + 0.5σ , µ +1.5σ )

เน่ืองจาก

P(µ + 0.5σ ≤ X < µ +1.5σ ) = P  ( µ + 0.5σ ) − µ ≤Z < (µ +1.5σ ) − µ 
 
 σ σ 

= P(0.5 ≤ Z <1.5)

= P(Z <1.5) − P(Z < 0.5)

= 0.9332 − 0.6915

= 0.2417

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 423

0.2401.72471

0 0.5 1.5

ดังนั้น ความนา จะเปน ทน่ี ักเรียนคนนจ้ี ะไดเ กรด 3 คือ 0.2417

นักเรยี นจะไดเ กรด 2 ถาไดค ะแนนอยูในชว ง [µ − 0.5σ , µ + 0.5σ )

เนื่องจาก

P(µ − 0.5σ ≤ X < µ + 0.5σ ) = P  ( µ − 0.5σ ) − µ ≤ Z < (µ + 0.5σ ) − µ 
 
 σ σ 

= P(−0.5 ≤ Z < 0.5)

= P(Z < 0.5) − P(Z < −0.5)

= 0.6915 − 0.3085
= 0.383

0.383

0.5 0 0.5

ดังนนั้ ความนาจะเปน ท่ีนักเรียนคนนี้จะไดเกรด 2 คือ 0.383

นักเรียนจะไดเกรด 1 ถา ไดคะแนนอยใู นชวง [µ −1.5σ , µ − 0.5σ )

เนือ่ งจาก

P(µ −1.5σ ≤ X < µ − 0.5σ ) =  (µ −1.5σ ) −µ ≤ Z < (µ − 0.5σ )− µ 
P σ σ 



= P(−1.5 ≤ Z < −0.5)

= P(Z < −0.5) − P(Z < −1.5)

= 0.3085 − 0.0668

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

424 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2

P(µ −1.5σ ≤ X < µ − 0.5σ ) = 0.2417

0.2417

1.5 0.5 0

ดงั นั้น ความนาจะเปน ทนี่ ักเรียนคนนจี้ ะไดเ กรด 1 คอื 0.2417

นกั เรยี นจะไดเ กรด 0 ถา ไดค ะแนนนอ ยกวา µ −1.5σ

เนื่องจาก P( X < µ −1.5σ ) =  < (µ −1.5σ ) − µ 
PZ 
σ 


= P(Z < −1.5)

= 0.0668

0.0668
1.5 0

ดังนน้ั ความนาจะเปนทนี่ กั เรยี นคนนีจ้ ะไดเกรด 0 คือ 0.0668

14. ใหตวั แปรสมุ X คือสว นสูงของนกั เรียนหอ งน้ี
จะไดวาตวั แปรสมุ X มีการแจกแจงปกติ

ให Z = X −µ
σ
1) เน่ืองจากอักษรศิลปสูง 152 เซนติเมตร ซ่ึงปรับเปนคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน

ไดเ ปน −1.2

จะได 152 − µ = −1.2
σ

152 − µ = −1.2σ − − −(1)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 425

และเนื่องจากสรวิทยสูง 170 เซนติเมตร ซ่ึงปรับเปนคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน
ไดเ ปน 0.8

จะได 170 − µ = 0.8
σ

170 − µ = 0.8σ − − −(2)

จาก (1) และ (2) จะได σ = 9 และ µ =162.8

และจะได σ 2 = 81

ดังนั้น คาเฉลี่ยและความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนหองนี้ คือ 162.8

เซนติเมตร และ 81 เซนตเิ มตร2 ตามลาํ ดับ

2) เน่อื งจากคา เฉลี่ยของความสูงของนักเรยี นหอ งน้ี คอื 162.8 เซนติเมตร

ดังน้ัน วภิ ารัตนสูงนอยกวาคาเฉลย่ี ของความสูงของนักเรียนหอ งนี้

3) เนื่องจาก P( X >180) = P  Z ≥ 180 −162.8 
 9 

= P(Z >1.91)

= 1− P(Z ≤ 1.91)

= 1− 0.9719
= 0.0281

ดงั น้นั ความนา จะเปนท่ีนกั เรียนคนหนง่ึ ทีส่ ุมมาจากหอ งน้ีจะสงู กวาเกรกิ คือ 0.0281

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

426 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2

แบบฝก หัดทา ยบท

1. 1) ตวั แปรสมุ ไมตอ เน่อื ง
2) ตวั แปรสุมตอ เนอ่ื ง
3) ตวั แปรสมุ ไมต อเน่อื ง
4) ตัวแปรสุมตอเนือ่ ง
5) ตวั แปรสมุ ตอเนื่อง
6) ตัวแปรสุมตอเน่อื ง
7) ตัวแปรสุมไมต อ เนื่อง

2. 1) เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตวั แปรสุม X ในรูปตารางไดด งั น้ี

x 01234567

P(X = x) 1 7 5 3 3 3 1 1

44 44 22 11 22 44 11 44

2) เน่ืองจาก µX = 0  1  + 1 7  + 2  5  + 3 3  + 4  3  + 5 3 
 44  44  22  11  22  44 

+6  1  + 7  1 
 11   44 

≈ 3.02

ดงั นน้ั คา คาดหมายของตัวแปรสมุ X มคี า ประมาณ 3.02 คน

เน่ืองจาก σ 2 = ( 0 − 3.02 )2  1  + (1 − 3.02 )2  7  + ( 2 − 3.02 )2  5 
X  44   44   22 

+ ( 3 − 3.02)2  3  + ( 4 − 3.02 )2  3  + ( 5 − 3.02)2  3 
 11   22   44 

+ ( 6 − 3.02 )2  1  + ( 7 − 3.02 )2  1 
 11   44 

≈ 2.66

จะได σ X ≈ 2.66 ≈ 1.63
ดงั นน้ั สว นเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ X มคี า ประมาณ 1.63 วนั

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 427

3. 1) จํานวนสมาชิกของปริภูมิตัวอยางของการทอดลูกเตาที่เที่ยงตรง 1 ลูก 2 คร้ัง คือ

6(6) = 36

คา ทเ่ี ปนไปไดของตวั แปรสมุ X คอื 0, 1 และ 2

เหตกุ ารณท่ี X = 0 คอื {(a, b) }a, b∈{1, 2, 5, 6}
เหตกุ ารณท ่ี X = 1 คอื {(a, b) ถา a ∈{3, 4} แลว b∈{1, 2, 5, 6} หรอื

ถา b∈{3, 4} แลว a ∈{1, 2, 5, 6}}
เหตกุ ารณที่ X = 2 คือ {(a, b) a, b∈{3, 4}}

ดังนั้น P( X= 0=) 4(4=) 4

36 9

P( X= 1=) 2(4) + 2(4)= 4

36 9

และ P( X= 2=) 2(2=) 1

36 9

เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสมุ X ในรปู ตารางไดดังน้ี

x012

P(X = x) 4 4 1

999

2) เนอ่ื งจาก µX = 0  4  + 1 4  + 2  1 
9  9  9 

=2
3

≈ 0.67

ดังน้นั คาคาดหมายของตัวแปรสมุ X มีคา ประมาณ 0.67 แตม

เน่ืองจาก σ 2 =  0 − 2 2  4  + 1 − 2 2  4  +  2 − 2 2  1 
X  3   9  3   9   3   9 

=4
9

≈ 0.44

ดงั นั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ X มีคา ประมาณ 0.44 แตม2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

428 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2

และจะได σ X= 4= 2 ≈ 0.67
93

ดังนั้น สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ X มีคาประมาณ 0.67 แตม

4. วิธที ่ี 1 ใหตวั แปรสมุ X คือกาํ ไร (ขาดทนุ ) จากการซือ้ สลากกินแบง รฐั บาล 1 ฉบบั
จะไดตารางแสดงการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม X ดงั นี้

x P(X = x)
5,999,920
1
1, 000, 000

199,920 5 =1
1,000,000 200,000

99,920 2 =1
1,000,000 500,000

79,920 10 = 1
1,000,000 100,000

39,920 50 = 1
1,000,000 20,000

19,920 100 = 1
1,000,000 10,000

3,920 4,000 = 1
1,000,000 250

1,920 10,000 = 1
1,000,000 100

– 80 1− 14,168 =123, 229
1,000,000 125,000

จะได µX = 5, 999, 920  1, 1 000  + 199, 920  1 
000,   200, 000 

+99, 920  1  + 79, 920  1  + 39, 920  1 
 500, 000  100, 000   20, 000 

+19, 920  1  + 3, 920  1  + 1, 920  1 
 10, 000  250  100 

−80  123, 229 
 125, 000 

= −32

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 429

น่ันคือ คาคาดหมายของกําไร (ขาดทุน) จากการซื้อสลากกินแบงรัฐบาล 1 ฉบับ

คือ −32 บาท

ดงั นนั้ ถาซื้อสลากกินแบง รัฐบาล โดยเฉล่ยี แลว จะมีโอกาสขาดทนุ มากกวา ไดก าํ ไร

วธิ ที ี่ 2 ใหต วั แปรสมุ X คอื เงินรางวัลที่ไดรบั จากการซอื้ สลากกินแบง รฐั บาล 1 ฉบบั
จะไดต ารางแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตวั แปรสุม X ดงั น้ี

x P(X = x)
6,000,000
1
1, 000, 000

200,000 5 =1
1,000,000 200,000

100,000 2 =1
1,000,000 500,000

80,000 10 = 1
1,000,000 100,000

40,000 50 = 1
1,000,000 20,000

20,000 100 = 1
1,000,000 10,000

4,000 4,000 = 1
1,000,000 250

2,000 10,000 = 1
1,000,000 100

0 1− 14,168 =123, 229
1,000,000 125,000

จะได µX = 6, 000, 000  1, 1 000  + 200, 000  1 
000,  200, 000 

+100, 000  1  + 80, 000  1  + 40, 000  1 
500, 000  100, 000   20, 000 

+20, 000  1  + 4, 000  1  + 2, 000  1  + 0  123, 229 
10, 000   250   100  125, 000 

= 48

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

430 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2

นั่นคือ คาคาดหมายของเงินรางวัลท่ีไดรับจากการซื้อสลากกินแบงรัฐบาล 1 ฉบับ
คือ 48 บาท แตเน่อื งจากสลากกินแบงรัฐบาล 1 ฉบับ ราคา 80 บาท
ดังน้ัน ถาซื้อสลากกินแบงรัฐบาล โดยเฉลี่ยแลวจะมีโอกาสขาดทุนมากกวาไดกําไร

5. 1) การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอ เนอื่ ง
เนื่องจากคาท่เี ปนไปไดข องตัวแปรสมุ X คือ 1, 2, 3, ... , 10

ซ่ึง P=( X =1) P=( X =2) = P=( X =10) 1
10

2) เนอ่ื งจาก µX = 1 1  + 2  1  +  + 10  1 
10   10   10 

= 5.5

ดงั นั้น คาคาดหมายของตัวแปรสมุ X คือ 5.5

เนื่องจาก σ 2 = (1 − 5.5)2  1  + ( 2 − 5.5 )2  1  +  + (10 − 5.5)2  1 
X  10   10   10 

= 8.25

และจะได σ X = 8.25 ≈ 2.87
ดงั นน้ั สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 2.87

6. เนื่องจากตัวแปรสุม Y มีคา ท่ีเปน ไปไดเ ปน จาํ นวนนับที่เรยี งติดกันทง้ั หมด 7 คา
โดยมีมัธยฐานเปน 10
ดังนนั้ คาทเ่ี ปน ไปไดข องตัวแปรสุม Y คอื 7, 8, 9, 10, 11, 12 และ 13
เน่อื งจากการแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ Y เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเน่ือง

จะได P=(Y =7) P=(Y =8) = P=(Y =13) 1
7

ดงั นน้ั µY = 7  1  + 8 1  +  + 13 1 
 7  7  7 

= 10

จะไดว าคาคาดหมายของตวั แปรสมุ Y คอื 10

เน่ืองจาก σ 2 = ( 7 − 10)2  1  + (8 − 10)2  1  +  + (13 − 10)2  1 
Y  7   7   7 

=4

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 431

ดงั น้ัน ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ Y คอื 4
และจะได =σY =4   2
ดงั นั้น สว นเบยี่ งเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม Y คือ 2

7. 1) P( X = 4) =  8  ( 0.7 )4 ( 0.3)4
 4 
 

≈ 0.1361

2) P( X ≥ 6) = P( X =6) + P( X =7) + P( X =8)

=  8  ( 0.7 )6 ( 0.3)2 +  8  ( 0.7 )7 ( 0.3) +  8  ( 0.7 )8
 6   7   8 
     

≈ 0.5518

3) P( X > 5) = P( X ≥ 6)

≈ 0.5518

4) P(3 ≤ X ≤ 7) = P( X =3) + P( X =4) + P( X =5) + P( X =6) + P( X =7)

=  8  ( 0.7 )3 ( 0.3)5 +  8  ( 0.7 )4 ( 0.3)4 +  8  ( 0.7 )5 ( 0.3)3
 3   4   5 
     

+  8  ( 0.7 )6 ( 0.3)2 +  8  ( 0.7 )7 ( 0.3)
 6   7 
   

≈ 0.9311

8. 1) เน่อื งจากตัวแปรสุม X มลี ักษณะดังตอไปน้ี
1. เกิดจากการมลี กู 4 คน ท่ีเปน อิสระกนั
2. การมีลูกแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกเปนชาย) หรือ
ไมส ําเรจ็ (ลูกเปนหญงิ )
3. ความนาจะเปนท่ีลูกแตละคนจะเปนชายเทากัน โดยเทากับ 0.5 และความนาจะเปน
ท่ีลกู แตล ะคนจะเปน หญิงเปน 0.5
จะเห็นวา การแจกแจงความนา จะเปนของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงทวนิ าม
เน่อื งจา=ก µX 4=(0.5) 2
ดังนน้ั คา คาดหมายของตวั แปรสุม X คือ 2 คน
ซึง่ หมายความวา ถา สามีภรรยาคนู ้มี ลี ูก 4 คน โดยเฉลยี่ แลวลกู จะเปนชาย 2 คน

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

432 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2

2) เนือ่ งจาก σ 2 = 4(0.5)(0.5) = 1
X

และ σ X = 1 = 1

ดังนั้น ความแปรปรวนและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X คือ 1 คน2 และ

1 คน ตามลาํ ดบั

9. ใหต ัวแปรสมุ X คอื จํานวนประตทู น่ี ักฟุตบอลคนนยี้ ิงเขาจากการยงิ ประตู 5 ครั้ง
เน่ืองจากตวั แปรสุม X มลี ักษณะดังตอไปน้ี
1. เกดิ จากการยิงประตู 5 ครั้ง ทีเ่ ปนอสิ ระกัน
2. การยิงประตูแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ยิงเขาประตู) หรือ
ไมส าํ เร็จ (ยงิ ไมเ ขา ประตู)
3. ความนาจะเปนที่นักฟุตบอลคนนี้จะยิงเขาประตูในการยิงประตูแตละครั้งเทากัน
โดยเทากบั 0.7 และความนาจะเปน ท่ีนักฟตุ บอลคนน้จี ะยิงไมเขาประตูเปน 1− 0.7 =0.3
จะเหน็ วา การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงทวนิ าม
1) ความนา จะเปนที่นักฟตุ บอลคนนจ้ี ะยงิ ได 3 ประตู คอื

P( X = 3) =  5  ( 0.7 )3 ( 0.3)2
 3 
 

≈ 0.3087
2) ความนาจะเปนท่นี กั ฟตุ บอลคนนี้จะยิงไดอยางนอย 2 ประตู คือ

P( X ≥ 2) = 1− P( X < 2)

= 1− (P( X =0) + P( X =1))

= 1− P( X =0) − P( X =1)

= 1−  5  (0.3)5 −  5  ( 0.7 ) ( 0.3)4
 0   1 
   

≈ 0.9692
3) ความนาจะเปน ที่นกั ฟตุ บอลคนนจ้ี ะยิงไมเขา ประตเู ลย คอื

P( X = 0) =  5  ( 0.3)5
 0 
 

= 0.0024

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 433

10. ใหตัวแปรสมุ X คือจํานวนคนเปน โรคเบาหวานจากคนในชมุ ชนทส่ี ุมมาจํานวน 25 คน
เนื่องจากตวั แปรสุม X มลี ักษณะดังตอ ไปน้ี
1. เกิดจากการสุมคนในชุมชนจาํ นวน 25 คร้ัง ทีเ่ ปนอสิ ระกัน
2. การสุมคนในชุมชนแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (คนที่สุมมาเปน
โรคเบาหวาน) หรือไมส ําเร็จ (คนที่สมุ มาไมเ ปนโรคเบาหวาน)
3. ความนาจะเปนท่ีคนที่สุมมาแตละคนจะเปนโรคเบาหวานเทากัน โดยเทากับ 0.1 และ
ความนา จะเปนทคี่ นทสี่ ุม มาแตล ะคนจะไมเ ปน โรคเบาหวานเปน 1− 0.1=0.9
จะเหน็ วา การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงทวนิ าม
1) ความนา จะเปนทจ่ี ะมีอยา งนอ ย 2 คน ในกลมุ คนทส่ี ุมมาเปนโรคเบาหวาน คอื

P( X ≥ 2) = 1− P( X < 2)

= 1− (P( X =0) + P( X =1))

= 1− P( X =0) − P( X =1)

= 1 −  25  ( 0.9 )25 −  25  ( 0.1) ( 0.9 )24
 0   1 
   

≈ 0.7288

2) เน่อื งจ=าก µX 2=5(0.1) 2.5

ดงั นน้ั คาดวา จะมี 3 คน ในกลุมคนทสี่ ุมมาเปนโรคเบาหวาน

11. 1) ใหต ัวแปรสุม X คือจํานวนลกู ท่ีมเี ลือดหมู A ของสามภี รรยาคนู ้ี
เนอื่ งจากตัวแปรสมุ X มลี กั ษณะดงั ตอ ไปนี้
1. เกดิ จากการมีลกู 4 คน ที่เปนอิสระกนั
2. การมีลูกแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกมีเลือดหมู A) หรือ
ไมสําเร็จ (ลกู ไมม เี ลอื ดหมู A)

3. ความนาจะเปนท่ีลูกแตละคนจะมีเลือดหมู A เทากัน โดยเทากับ 1 และ

4

ความนาจะเปนทีล่ ูกแตล ะคนจะไมม เี ลอื ดหมู A เปน 1− 1 =3

44

จะเหน็ วา การแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสมุ X เปน การแจกแจงทวินาม
ความนาจะเปนทจี่ ะมีลกู มากกวา 2 คน มเี ลือดหมู A คอื

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

434 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2

P( X > 2) = P( X =3) + P( X =4)

=  4   1 3  3  +  4   1 4
 3   4   4   4   4 
   

≈ 0.0508

2) ใหต ัวแปรสมุ Y คอื จาํ นวนลูกที่มเี ลอื ดหมู O ของสามภี รรยาคูน้ี

เนอื่ งจากตัวแปรสมุ Y มีลกั ษณะดงั ตอ ไปนี้

1. เกิดจากการมลี ูก 4 คน ท่เี ปนอสิ ระกัน

2. การมีลูกแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกมีเลือดหมู O) หรือ

ไมสําเรจ็ (ลกู ไมมเี ลอื ดหมู O)

3. ความนาจะเปนท่ีลูกแตละคนจะมีเลือดหมู O เทากัน โดยเทากับ 1 และ

4

ความนา จะเปน ทีล่ ูกแตล ะคนจะไมม เี ลือดหมู O เปน 1− 1 =3
4 4
จะเหน็ วาการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม Y เปน การแจกแจงทวนิ าม

ความนาจะเปน ทีล่ ูกท้ังสค่ี นไมมีเลือดหมู O คอื

P(Y = 0) =  4 3 4
   
 0  4

≈ 0.3164

12. ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนผลิตภัณฑท่ีฝาเกลียวเปดยากจากผลิตภัณฑท่ีสุมมาจากแตละ
กลอ งจํานวน 5 ชิน้
เน่ืองจากตัวแปรสมุ X มีลักษณะดังตอไปนี้
1. เกดิ จากการสุมผลิตภัณฑจากแตละกลองจาํ นวน 5 ครั้ง ท่เี ปนอิสระกัน
2. การสุมผลิตภัณฑแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ผลิตภัณฑท่ีสุมมา
เปนผลิตภัณฑท่ีฝาเกลียวเปดยาก) หรือไมสําเร็จ (ผลิตภัณฑท่ีสุมมาไมเปนผลิตภัณฑ
ทีฝ่ าเกลียวเปดยาก)
3. ความนาจะเปนท่ีผลิตภัณฑท่ีสุมมาแตละชิ้นเปนผลิตภัณฑท่ีฝาเกลียวเปดยากเทากัน
โดยเทากับ 0.04 และความนาจะเปนที่ผลิตภัณฑที่สุมมาแตละช้ินไมเปนผลิตภัณฑที่
ฝาเกลยี วเปด ยากเปน 1− 0.04 =0.96
จะเหน็ วาการแจกแจงความนาจะเปน ของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงทวนิ าม

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี