จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 0 ภาคเรียนที่1-2 ปีการศึกษา 2566 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนปากเกร็ด อำเภอปากเกร็ด จังหวัดนนทบุรี เอกสารประกอบการเรียนการสอน รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 6 (ค33202) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ชื่อ ………………………………………..……………….……………….. นามสกุล ……………………...………………………….........................……..……………………………………….. ชั้น ม. 6/…........…… เลขที่………….. เลขประจำตัว …………………………………โทร. ………….……………………………..……………………….. จำนวนเชิงซ้อน ( ) ȁ − 2 + 3ȁ < 3
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 1 เอกสารประกอบการเรียนการสอน รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 6 ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 บทที่2 : จำนวนเชิงซ้อน ( ) : สาระการเรียนรู้: 1.1 จำนวนเชิงซ้อน 1.2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน 1.2.1 เอกลักษณ์และตัวผกผันการบวก 1.2.2 การลบจำนวนเชิงซ้อน 1.2.3 เอกลักษณ์และตัวผกผันการคูณ 1.2.4 การหารจำนวนเชิงซ้อน 1.2.5 สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน 1.3 รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน 1.4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน 1.5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน 1.6 รากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน 1.7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว ผลการเรียนรู้(หลัก) : 1. เข้าใจจำนวนเชิงซ้อนและใช้สมบัติของจำนวนเชิงซ้อนในการแก้ปัญหา 2. หารากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน เมื่อ เป็นจำนวนนับที่มากกว่า 1 3. แก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินสี่ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและนำไปใช้ในการแก้ปัญหา ความรู้พื้นฐานของนักเรียน (ที่ต้องเรียนมาแล้ว) 1. จำนวนจริง 2. เรขาคณิตวิเคราะห์ 3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จุดมุ่งหมาย (ย่อย) : นักเรียนสามารถ 1. ใช้ความรู้เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนในการแก้ปัญหา 2. หารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน 3. หารากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน เมื่อ เป็นจำนวนนับที่มากกว่า 4. แก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินสี่ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและนำไปใช้ในการแก้ปัญหา
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 2 จำนวนเชิงซ้อน ( ) สารบัญ เรื่อง หน้า 2.1 จำนวนเชิงซ้อน ………………………………………………………………………………………………………………………………………….…….………………………….……………….….………………...…………… 3 แบบฝึกหัด 2.1 จำนวนเชิงซ้อน (7-17) ..…….…….………………………….……………….….………………...…………… 7 2.2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ………………….…….…………….…….…………….…….………………….………………………………..…………………………………………..…… 18 2.2.1 เอกลักษณ์และตัวผกผันการบวก …………….…….…………….…….…………….…………………….…………….……….…………………………………..……………….…..……… 18 2.2.2 การลบจำนวนเชิงซ้อน ………………………………………………………………….…………….…….……………………..……….…….……………...…….………..…………………..…..……… 18 2.2.3 เอกลักษณ์และตัวผกผันการคูณ ……….…………………….…………….……….………….……………….…..……… 19 2.2.4 การหารจำนวนเชิงซ้อน …………………………………………..…………………………………………….…………….…………….…….…………….…….…………….…….………..……….… 20 2.2.5 สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน …………………………………………………………………….………………………...…………………….…….…………….…….…………….……….……………… 21 แบบฝึกหัด 2.2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน (25-39)………………………………………..…………..…… 25 2.3 รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน ………………………………………………………..……..…………………………………………………………………………………………..…………….…………… 40 แบบฝึกหัด 2.3 รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน (44-50)………………………………………..…………….…………… 44 2.4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน …………………………………….………………………………………………………………………………….…….…….…………….…….……… 51 แบบฝึกหัด 2.4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน (55-66) ....………………………………..…….……… 55 2.5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน ……………….…….…………….…….………………….………….…….…………….…….…………….…….……….………….…….…………….……….………….…… 67 แบบฝึกหัด 2.5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน (73-80) ..…….………….…….……………….………..………….…… 73 2.6 รากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน …….……………….…….…………….…….…………….…….…………….…….…………….…….…………………..……….…….…………….…….…………….…….… 81 แบบฝึกหัด 2.6 รากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน (84-97) ....…….…………….…….….……….…….…………….…….… 84 2.7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว ……………….…….…………….…….…………….…….…………….…….…………….…….………………..………….…….…………….…….…………...…….…….…… 98 แบบฝึกหัด 2.7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว (102-113) …..….…….…………….…….…………….…………….…… 102-113 2.8 แบบฝึกหัดท้ายบท 29 ข้อ (114-162) ...................................................................................................................................………….................................….…… 114-162 2.9 ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย 18 ข้อ (163-174) .............................................…………….…….......................….… 164-174 บันทึกการส่งงาน แบบฝึกหัด หน้า วันเดือน/ปี ที่ส่งตรวจ คะแนน บันทึก /ครูผู้ตรวจ 2.1 จำนวนเชิงซ้อน 7-17 2.2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน 25-39 2.3 รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน 44-50 2.4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน 55-66 2.5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน 73-80 2.6 รากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน 84-97 2.7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว 102-113 2.8 แบบฝึกหัดท้ายบท 114-162 2.9 ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย 163-174 รวม
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 3 บทที่2 : จำนวนเชิงซ้อน ( ) 2.1 จำนวนเชิงซ้อน จากที่ทราบมาแล้วว่า สมการพหุนาม 2 + 1 = 0 ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ แต่นักคณิตศาสตร์ ต้องการสร้างระบบจำนวนซึ่งขยายออกไป เพื่อให้สมการพหุนามทั้งหมดมีคำตอบในระบบจำนวนที่สร้างขึ้นใหม่ ซึ่งเซตของจำนวน ในระบบใหม่นี้ต้องเป็นเซตที่มีเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซต บทนิยาม 1 : จำนวนเชิงซ้อน ( ) คือ คู่อันดับ (, ) เมื่อ และ เป็นจำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน การบวก และการคูณของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (, ) และ (, ) 1. การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน (, ) = (, ) ก็ต่อเมื่อ = และ = 2. การบวกของจำนวนเชิงซ้อน (, ) + (, ) = ( + , + ) 3. การคูณของจำนวนเชิงซ้อน (, ) ∙ (, ) = ( − , + ) อาจเขียนแทน (, ) ∙ (, ) ด้วย (, )(, ) และเขียนเซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด ด้วยสัญลักษณ์ ℂ ⊠ ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (−1, 2) และ (3, −4) วิธีทำ 1.1) หาผลบวก จาก (, ) + (, ) = ( + , + ) จะได้ (−1, 2) + (3, −4) = ((−1) + 3, 2 + (−4)) = (2, −2) ………………………………………. ∎ 1.2) หาผลคูณ จาก (, ) ∙ (, ) = ( − , + ) จะได้ (−1, 2) ∙ (3, −4) = ((−1)(3) − (2)(−4) , ((−1)((−4) + (2)(3)) = (−3 + 6, 4 + 6) = (3, 10) ………………………………………. ∎ หน่วยจินตภาพ ( ) สามารถเขียนแทนจำนวนเชิงซ้อน (0 , 1) ด้วยสัญลักษณ์ จะได้ว่า 2 = (0 , 1) (0 , 1) = (0 − 1, 0 + 0) = (−1, 0) = ((0)(0) − (1)(1) , ((0)(1) + (0)(0)) = (0 − 1 , 0 + 0) = (−1, 0) ………………………………………. ∎ ดังนั้น 2 = −1 ………………………………………. ∎ = √−1 ………………………………………. ∎ จากข้างต้นเมื่อเขียนจำนวนเชิงซ้อน (0 , 1) ด้วยสัญลักษณ์ โดยที่ 2 = −1 ซึ่ง = √−1 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ( , ) ใดๆ (, ) = ( + 0) + (0 + ) จะได้ = ( + 0) + ( + 0)(0 , 1) = + ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อน = ( , ) เขียนแทนด้วย = + สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (, ) ใดๆ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ + ………………………………………. ∎
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 4 เมื่อพิจารณา จำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป (, 0) จะเห็นว่า (, 0) + (, 0) = ( + , 0) (, 0)(, 0) = ( − 0 , (0) + 0()) = ( , 0) ซึ่งจะเทียบได้กับการบวกและการคูณของจำนวนจริง ดังนั้น สามารถพิจารณาจำนวนเชิงซ้อนในรูป (, 0) ว่าเป็นจำนวน จริง จะได้ว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน และจากข้างต้น เมื่อพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน (0, 1) จะเห็นว่า (0,1)(0,1) = (0 − 1, 0 + 0) = (−1, 0) ซึ่งจำนวนเชิงซ้อน (−1, 0) คือ จำนวนจริง −1 นั่นเอง และเมื่อเขียนแทนจำนวนเชิงซ้อน (0, 1) ด้วยสัญลักษณ์ จะได้ว่า 2 = −1 ดังนั้น = √−1 ………………………………………. ∎ ⊠ ตัวอย่างที่ 2 จาก 2 = −1 จงหา 2.1) 3 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.2) 4 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………..……………………………………………………… = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………..…………………………………………………… 2.3) 5 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………….………………………………………… 2.4) 6 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………… = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………….………………………………… 2.5) 7 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………….…………………………… = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………… 2.6) 8 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………..………… ⊠ ข้อสังเกต จากตัวอย่างที่ 2 0 = 1 และ เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ จะได้ว่า 2.7) 4+1 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………..…………………………… = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………..…………………………………… = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………….……………………………………… 2.8) 4+2 = ………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………… = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………….………………………………………………… = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……….………………………………………………… 2.9) 4+3 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………..……………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……….……………………………………………………………… 2.10) 4 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………… = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………… = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………… จากข้อสังเกตข้างต้นกำหนด 0 = 1 จะได้ว่า 4 = 1 , 4+1 = , 4+2 = −1 , 4+3 = −1 , เมื่อ ∈ ℕ ∪ {0}
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 5 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (, ) ใดๆ (, ) = (, 0) + (0, ) = (, 0) + (, 0)(0, 1) = + ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อน (, ) สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ + สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (, ) ใดๆ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ + บทนิยาม 2 : สำหรับจำนวนเชิงซ้อน = (, ) หรือ = + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง เรียก ว่า ส่วนจริง ( ) ของ และเขียนแทนด้วย () เรียก ว่า ส่วนจินตภาพ ( ) ของ และเขียนแทนด้วย () จากบทนิยาม 2 จำนวนจริงก็คือจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ และจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์แต่ ส่วนจินตภาพไม่เป็นศูนย์ว่า จำนวนจินตภาพแท้( ) เช่น ถ้า = 0 จะได้ (0 , ) เรียกจำนวน เชิงซ้อน (0 , ) ว่า จำนวนจินตภาพแท้ เช่น (0 , 3) หรือ 3 เมื่อเขียนแทนจำนวนเชิงซ้อน (, ) และ (, ) ในบทนิยาม 1 ด้วย + และ + ตามลำดับ จะได้ว่า (, ) = (, ) ก็ต่อเมื่อ = และ = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) ( + )( + ) = ( − ) + ( + ) การกำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อนในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง ทำให้การคำนวณเกี่ยวกับจำนวน เชิงซ้อนสามารถทำได้ง่าย โดยใช้สมบัติต่างๆ เกี่ยวกับการบวกและการคูณเช่นเดียวกับสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวน จริง โดยที่ 2 = −1 เช่น ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) ………………………………………. ∎ ( + )( + ) = ( + ) + ( + ) = + + + 2 = ( − ) + ( + ) ………………………………………. ∎ ต่อไปเมื่อกล่าวว่า = + เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะถือว่า และ เป็นจำนวนจริงโดยไม่ต้องกล่าวซ้ำอีก และเขียน แทน + (−) ด้วย − และเมื่อส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จะเขียนแทน + 0 ด้วยจำนวนจริง บทนิยาม 3 : กำหนด , , , เป็นจำนวนจริงและ 1 = + , 2 = + 3.1) จำนวนเชิงซ้อน (0 , 1) เขียนแทนด้วย เรียก ว่าส่วนจินตภาพ 3.2) จำนวนเชิงซ้อน (0 , ) เขียนแทนด้วย 3.3) จำนวนเชิงซ้อน ( , ) เขียนแทนด้วย + 3.4) สำหรับจำนวนเชิงซ้อน 1 = + และ 2 = + 3.4.1) การเท่ากัน + = + ก็ต่อเมื่อ = และ = 3.4.2) การบวก ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) 3.4.3) การคูณ ( + )( + ) = ( − ) + ( + ) 3.4.4) ( + ) + ( – ) = 2 3.4.5) ( + )– ( – ) = 2
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 6 ⊠ ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (3 + 2) และ (1 − ) วิธีทำ 3.1) หาผลบวก จาก (3 + 2) + (1 − ) = (3 + 1) + (2 + (−1)) = (4 + (2 − 1)) = 4 + ………………………………………. ∎ 3.2) หาผลคูณ จาก (3 + 2) ⋅ (1 − ) = 3(1) + 3(−) + 2(1) + 2(−) = 3 − 3 + 2 − 2 2 ; 2 = −1 = 3 − 3 + 2 − 2(−1) = (3 + 2) + (−3 + 2) = (5) + (−1) = 5 − ………………………………………. ∎ ⊠ ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน 2(1 − 3) และ (2 + 4) วิธีทำ จากโจทย์ 2(1 − 3) = 2(1) + 2(3) = 2 + 6 และ (2 + 4) = (2) + (4) = 2 + 4 2 = 2 + 4(−1) = −4 + 2 4.1) หาผลบวก จาก 2(1 − 3) + (2 + 4) = (2 + 6) + (−4 + 2) = ((2 + (−4) + (6 + 2)) = −2 + 8 ………………………………………. ∎ 4.2) หาผลคูณ จาก 2(1 − 3) ⋅ (2 + 4) = (2 + 6) (−4 + 2) = 2(−4) + 2(2) + 6(−4) + 6(2) = −8 + 4 − 24 + 12 2 ; 2 = −1 = −8 + 4 − 24 + 12(−1) = (−8 − 12) + (4 − 24) = −20 − 20 ………………………………………. ∎ ⊠ ตัวอย่างที่ 5 จงหาจำนวนจริง , ที่ทำให้ ( + 2) + (−1 + 2) = 3 + 8) วิธีทำ เนื่องจาก ( + 2) + (−1 + 2) = ( + 1) + (2 + 2) = 3 + 8 จะได้ − 1 = 3 และ 2 + 2 = 8 ดังนั้น = 3 + 1 = 4 และ = 8−2 2 = 3 ………………………………………. ∎
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 7 กิจกรรมระหว่างเรียน 1 : แบบฝึกหัด 2.1 จำนวนเชิงซ้อน 1. จงบอก () และ () ของจำนวนเชิงซ้อน ต่อไปนี้ () () () () 1.1) 5 + 12 1.6) 0 1.2) 3 − 4 1.7) 2 + 1.3) −8 1.8) 3 + √8 1.4) √3 1.9) 2 3 − 1 3 1.5) 2√2 − √2 1.10) 3 + √8 3 2 2. จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ในรูปอย่างง่าย กำหนด √−1 = 2.1) √−4 = √4(−1) = √4 ∙ √−1 ; √−1 = = 2 ………………………………………….………∎ 2.2) √−100 = ………………………………………………………………….……………….……..……… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….…………………..……… 2.3) 1 + √−9 = ……………………………………………………………….……………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….…………………………… 2.4) −4 − √−1 = ...……………………………………………………….…………………………….…… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… 2.5) √−16 + √−49 = ………………………………………………….….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… 2.6) 3√−48 + 1 3 √−27 = …………………………………….…………………………….… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… 2.7) √−8 ∙ √−2 = ……………………….…………………………………….………………………….. = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… 2.8) 15 √−15 = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… 2.9) 4√−12 − 5√−3 = …………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… 2.10) √−25 − √−20 = …………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… = ……………………………………………………………………….………………………… = ………………………………………………………………….………………….…………
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 8 3. จงหาค่าของ 3.1) 89 = ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………..……………………………… . = ……………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………….…………………………………..…………………………………………………………………… 3.2) 365 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………… . = ……………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………..…………………………………………………………………………… 3.3) 1,286 = ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… . = ………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………..………………………………… . = ………………………………………………………………………………………………………………………….…………..…………………………………………………………………………………………………………..………………………… 3.4) 83,468 = …………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………… . = ………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………… . = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.5) 2,566 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… . = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… . = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………… 3.5) 2,023 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………… . = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………… . = …………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.6) 46 + 87 = …………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… . = ………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………..…………………………………………………………………………………… . = ………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.7) 92 − 7 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… . = ………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………….……………………………………………………………………………………… . = ………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………….……………………………………………………………………………………… . = ……………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.8) 2,566 + 2,023 = ……………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… . = ……………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………… . = ……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………….………………………………………………………………………………………………… . = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………… . = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 9 ถ้า , , และ เป็นจำนวนจริง แล้ว 1) ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) 3) ( + ) + ( – ) = 2 2) ( + ) – ( + ) = ( – ) + ( – ) 4) ( + ) – ( – ) = 2 4. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 4.1) (3 + 2) + (5 – 6) = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… 4.2) (2 – 3) + (2 + 3) = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… 4.3) (6 + √−9 ) + (3 –√−25) = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… 4.4) (1 − √−16 ) + (4 –√−64) = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… 4.5) (5 + √4 ) + (3 –√−81) = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… 4.6) (−6 + √4 ) + (4 –√−81 2 ) = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… = …………………………………………………………………………………….…….………………………… 5. กำหนด 1 และ 2 หาค่าของ 1 + 2 และ 1 − 2 ในตาราง ข้อ 1 2 1 + 2 1 − 2 5.1 5 + 3 −2 + 2 5.2 7 + 10 −4 5.3 −8 2 + 5.4 6 – 5.5 2 + 7 5 + 4 5.6 −3 + 4 2 – 7 5.7 5 – 3 10 – 6 5.8 − – 1 −2 – 2 5.9 −2 + 3 6 – 4 5.10 3 –√−16 √−9 − 1
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 10 6. จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 6.1) (−1, −2) และ (2, 1) วิธีทำ 6.2) (−2, 2) และ (2, −2) วิธีทำ 6.3) (−2, 3) และ (1, 4) วิธีทำ 6.4) (3, 1 2 ) และ (4, 2 3 ) วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 11 ถ้า , , และ เป็นจำนวนจริง แล้ว 1) ( + )( + ) = ( – ) + ( + ) 2) ( + )( – ) = 2 + 2 7. จงหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 7.1) (4 + )(4 – ) วิธีทำ 7.2) (2 + √3)(2 –√3) วิธีทำ 7.3) (1 + 6)(5 – 7) วิธีทำ 7.4) (7 – )(−3 + 5) วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 12 7.5) (2 – ) วิธีทำ 7.6) 3 (5 – 3) วิธีทำ 7.7) √2( − √2) วิธีทำ 7.8) √3(2 + 2√3) วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 13 7.9) (3 + 4) 2 วิธีทำ 7.10) ( √3 2 − 1 2 ) 2 วิธีทำ 7.11) (1 – 2)(1 + 2)(3 – 2)(3 + 2) วิธีทำ 7.12) (4 – )(4 + )(√3 + )(√3 − ) วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 14 8. จงหาจำนวนจริง และ ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 8.1) 2 – 3 = 4 + 6 วิธีทำ 8.2) 2 + (3 – 5) = ( + ) + 2 วิธีทำ 8.3) (1 – 2) + ( + ) = −2 + 7 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 15 8.4) – 3 = 2 + (1 + 4) วิธีทำ 8.5) + – 2 = 6 – 12 วิธีทำ 8.6) 2 + = 10 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 16 8.7) 3 + ( – ) = 2 + วิธีทำ 8.8) ( + )(2 + 5) = 3 – วิธีทำ 9. จงหาจำนวนจริง และ ในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 9.1) (1 − ) 3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 17 9.2) (2 + ) 4 - (2 − ) 4 วิธีทำ 9.3) (1 + ) 3 - (1 − ) 3 วิธีทำ 9.4) (−) 5 (2 + 2) 4 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 18 2.2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติเชิงพีชคณิตเช่นเดียวกับจำนวนจริง ที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณด้วย เช่น การมีเอกลักษณ์ การมีตัวผกผัน และสามารถนิยามการลบ และการหาร ระหว่างจำนวนเชิงซ้อนได้ด้วย 2.1 เอกลักษณ์และตัวผกผันของการบวกของจำนวนเชิงซ้อน 1) เอกลักษณ์การบวก พิจารณาการบวกจำนวนเชิงซ้อน ( , ) + (0 , 0) = ( + 0 , + 0) = ( , ) ทำนองเดียวกัน (0 , 0) + ( , ) = (0 + , 0 + ) = ( , ) กล่าวได้ว่า (0 , 0) เป็นเอกลักษณ์การบวกของจำนวนเชิงซ้อน เขียนจำนวนเชิงซ้อน (0 , 0) หรือ 0 + 0 ด้วย 0 ดังนั้น ( , ) + 0 = 0 + ( , ) = ( , ) …………………………… (1) 2) ตัวผกผันของการบวก พิจารณาการบวกจำนวนเชิงซ้อน ( , ) + (− , −) = ( − , − ) = (0 , 0) ทำนองเดียวกัน (− , −) + ( , ) = (− + , − + ) = (0 , 0) กล่าวได้ว่า (− , −) เป็นตัวผกผันการบวก ของจำนวนเชิงซ้อน ( , ) กล่าวได้ว่า − − เป็นตัวผกผันการบวก ของจำนวนเชิงซ้อน + 3) ตัวผกผันการบวกของ = + เขียนแทนด้วย − ดังนั้น − = −( + ) = − − ⊠ ตัวอย่างที่ 6 6.1) ตัวผกผันการบวกของ (−2 , 1) คือ (2 , −1) 6.2) ตัวผกผันการบวกของ 3 + 2 คือ −3 − 2 6.3) ตัวผกผันการบวกของ 1 − คือ −1 + ………………………………………. ∎ เอกลักษณ์และตัวผกผันของการบวก 1) ( + ) + (0 + 0) = + 0 + 0 หรือ (0, 0) เป็นเอกลักษณ์การบวกของจำนวนเชิงซ้อน 2) (0 + 0) + ( + ) = + 3) ( + ) + (− − ) = 0 + 0 + มีตัวผกผันการบวกเป็น – – 4) (− − ) + ( + ) = 0 + 0 2.2 การลบจำนวนเชิงซ้อน บทนิยาม 4 : การลบจำนวนเชิงซ้อน สำหรับจำนวนเชิงซ้อน และ จะได้ว่า − = + (−) ⊠ ตัวอย่างที่ 7 จงหา (2 − 3) − (4 − ) วิธีทำ (2 − 3) − (4 − ) = (2 − 3) + (−(4 − )) = (2 − 3) + (−4 + ) = (2 − 4) + (−3 + ) = −2 − 2 ………………………………………. ∎
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 19 2.3 เอกลักษณ์และตัวผกผันของการคูณของจำนวนเชิงซ้อน 1) เอกลักษณ์การคูณ พิจารณาการคูณจำนวนเชิงซ้อน ( , ) ∙ (1 , 0) = ∙ 1 − ∙ 0 , ∙ 0 + ∙ 1) = ( , ) ทำนองเดียวกัน (1 , 0) ∙ ( , ) = (1 ∙ − 0 ∙ ,0 ∙ + 1 ∙ ) = ( , ) กล่าวได้ว่า (1 , 0) เป็นเอกลักษณ์การคูณของจำนวนเชิงซ้อน เขียนจำนวนเชิงซ้อน (1 , 0) หรือ 1 + 0 ด้วย 1 ดังนั้นกล่าวได้ว่า (1 , 0) หรือ 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณของจำนวนเชิงซ้อน …………………………… (1) 2) ตัวผกผันการคูณ ถ้า ( , ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งไม่เท่ากับ (0 , 0) แล้ว ตัวผกผันการคูณของ ( , ) คือจำนวนเชิงซ้อนที่คูณกับ ( , ) แล้วได้ (1 , 0) หาได้โดยข้อกำหนด ให้ ( , ) เป็นตัวผกผันการคูณของ ( , ) จะได้ ( , ) ( , ) = (1 , 0) แต่ ( , ) ( , ) = ( − , + ) ดังนั้น ( − , + ) = (1 , 0) จากบทนิยามการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน จะได้ − = 1 และ + = 0 โดยการแก้สมการจะได้ ( , ) = ( 2+ 2 , − 2+ 2 ) จะแสดงว่า ( 2+ 2 , − 2+ 2 ) เป็นตัวผกผันการคูณของ ( , ) ได้ดังนี้ ( , ) ( 2+ 2 , − 2+ 2 ) = ( 2 2+ 2 + 2 2+ 2 , 2+ 2 − 2+ 2 ) = ( 2+ 2 2+ 2 , 0) = (1 , 0) ดังนั้นตัวผกผันการคูณของ ( , ) คือ ( 2+ 2 , − 2+ 2 ) เมื่อ ( , ) ≠ (0 , 0) ………. ∎ 3) ตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อน เขียนแทนด้วย −1 เมื่อ = + และ ≠ 0 จะได้ว่า −1 = 2+ 2 − 2+ 2 เป็นตัวผกผันการคูณของ ………………………………………. ∎ เอกลักษณ์และตัวผกผันของการคูณ เอกลักษณ์การคูณ 1) ( + )(1 + 0) = + 1 + 0 หรือ (1, 0) เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจำนวนเชิงซ้อน 2) (1 + 0)( + ) = + 3) ( + ) ( 2+2 − 2+2 ) = 1 + 0 ตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อน เขียนแทนด้วย −1 เมื่อ = + และ 0 จะได้ว่า −1 = ( 2+ 2 − 2+ 2 ) เป็นตัวผกผันการคูณของ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 20 ⊠ ตัวอย่างที่ 8 8.1) ตัวผกผันการคูณของ = (4 , −3) คือ −1 = ( 4 (4) 2+(−3) 2 , −3 (4) 2+(−3) 2 ) = ( 4 25 , 3 25) ………………………………………. ∎ 8.2) ตัวผกผันการคูณของ = −3 + 2 คือ −1 = −3 (−3) 2+(2) 2 + 2 (−3) 2+(2) 2 = −3 13 + 2 13 ………………………………………. ∎ 2.4 การหารจำนวนเชิงซ้อน เมื่อกำหนดจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับ (0, 0) มาให้ จะหาตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อนนี้ได้เสมอ ดังนั้น อาจ นิยามการหารจำนวนเชิงซ้อน ด้วย เมื่อ ≠ 0 โดยใช้ตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นตัวหารได้ดังนี้ บทนิยาม 5 : การหารจำนวนเชิงซ้อน สำหรับจำนวนเชิงซ้อน และ ซึ่ง ≠ 0 จะได้ว่า ÷ = −1 และเขียนแทน ÷ ด้วย จากบทนิยาม 5 ถ้า = + และ = + ซึ่ง ≠ 0 แล้ว = −1 = ( + ) ( 2+2 − 2+2 ) = + 2+2 + ( − 2+2 ) ตัวอย่างที่ 9 จงหา 3+2 4+3 วิธีทำ โดยบทนิยาม 5 จะได้ว่า 3+2 4+3 = (3 + 2) ( 4 (4)2+(3)2 − 3 (4)2+(3)2 ) = 3(4)+2(3) (4) 2+(3) 2 + ( 2(4)−3(3) (4) 2+(3) 2 ) = 12+6 16+9 + ( 8−9 16+9 ) = 18 25 + ( −1 25) = 18 25 − 1 25 ………………………………………. ∎ จากที่ได้กล่าวมาแล้ว ระบบจำนวนเชิงซ้อน สอดคล้องกับสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณ ซึ่งเรียกว่า สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน สามารถสรุปได้ดังนี้ ให้ , 1 , 2 และ 3 เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า สมบัติ การบวก การคูณ สมบัติปิด 1. 1 + 2 ∈ ℂ 6. 12 ∈ ℂ สมบัติการสลับที่ 2. 1 + 2 = 2 + 1 7. 12 = 21 สมบัติการเปลี่ยนหมู่ 3. 1 + (2 + 3 ) = (1 + 2 ) + 3 8. 1 (23 ) = (12 )3 สมบัติการมีเอกลักษณ์ 4. + 0 = = 0 + เรียก 0 ว่า เอกลักษณ์การบวก 9. ∙ 1 = = 1 ∙ เรียก 1 ว่า เอกลักษณ์การคูณ สมบัติการมีตัวผกผัน 5. + (−) = 0 = (−) + เรียก − ว่า ตัวผกผันการบวกของ หรือ อินเวอร์สการบวกของ 10. ถ้า ≠ 0 แล้ว ∙ −1 = 1 = −1 ∙ เรียก −1 ว่า ตัวผกผันการคูณของ หรือ อินเวอร์สการคูณของ สมบัติการแจกแจง 11. 1 (2 + 3 ) = 12 + 13 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นทฤษฎีบท ซึ่งได้แสดงการพิสูจน์บางสมบัติไว้บ้างแล้ว
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 21 2.5 สังยุค () ของจำนวนเชิงซ้อน สังเกตว่า เมื่อคูณ + กับ − จะได้ 2 + 2 ซึ่งเป็นจำนวนจริง จึงสามารถนำมาช่วยในการหาผลหาร ของจำนวนเชิงซ้อน ได้ดังนี้ ถ้า 1 = + และ 2 = + ≠ 0 เป็นจำนวนเชิงซ้อน แล้ว 1 2 = + + = ( + + ) ( − − ) = (+)+(−) 2+2 เช่น จากตัวอย่างที่ 6 โดยสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า 3+2 4+3 = ( 3+2 4+3 ) ( 4−3 4−3 ) = (3(4)+(2)(3))+(2(4)−(3)(3)) 4 2+3 2 = 18 25 − 1 25 ………………………………………. ∎ บทนิยาม 6 : สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ให้ = + สังยุค () ของจำนวนเชิงซ้อน คือ − จากบทนิยาม 6 สังยุค () ของ เขียนแทนด้วย ̅ ซึ่ง ̅ = + ̅̅̅̅̅̅̅̅ = − เราจะนำไปใช้ในการหาผลหารของจำนวนเชิงซ้อน ⊠ ตัวอย่างที่ 10 จงหาผลหารของ 2 − ด้วย 3 + 2 โดยใช้สังยุคของตัวหาร วิธีทำ 2− 3+2 = (2−) (3+2) ∙ (3−2) (3−2) = 2(3)−2(2)+(−)(3)+(−)(−2) (3) 2−(−2) 2 = (6−4)+(−3−4) (3) 2−(2) 2 = 4 13 − 7 13 ………………………………………. ∎ ⊠ ตัวอย่างที่ 11 จงหาจำนวนเชิงซ้อน ที่สอดคล้องกับสมการ (2 + 3) = −1 − 2 วิธีทำ จากสมการ (2 + 3) = −1 − 2 จะได้ = −1−2 2+3 = (−1−2) (2+3) ∙ (2−3) (2−3) = −1(2)−1(−3)+(−2)(2)+(−2)(−3) (2) 2−(3) 2 = −2+3−4+6 2 (2) 2−(3) 2 ; 2 = −1 = −2+3−4+6(−1) (2) 2+(3) 2 = (−2−6)+(3−4) 4+9 = −8 13 − 1 13 ………………………………………. ∎
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 22 2.6 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน มีดังนี้ ทฤษฎีบท 1 : ให้ , 1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า 1.1 () = 1 2 ( + ̅) และ () = 1 2 ( − ̅) 1.2 ̿= 1.3 1 ̅ = ( 1 ) ̅̅̅̅ เมื่อ ≠ 0 1.4 1 + 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅1 + ̅2 1.5 ̅̅1̅̅−̅̅̅̅2̅ = ̅1 − ̅2 1.6 ̅̅1̅̅̅2̅ = ̅1̅2 1.7 ( 1 2 ) ̅̅̅̅̅ = 1 ̅̅2̅ ̅ เมื่อ 2 ≠ 0 ในที่นี้จะแสดงการพิสูจน์เพียงข้อ 1.1, 1.3, 1.4, 1.6 และ 1.7 ส่วนข้ออื่นจะละไว้เป็นแบบฝึกหัด พิสูจน์ ให้ , 1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ = + , 1 = 1 + 1 และ z2 = 2 + 2 เมื่อ , , 1 , 1 , 2 และ 2 เป็นจำนวนจริง 1.1 จะแสดงว่า () = 1 2 ( + ̅) และ () = 1 2 ( − ̅) จะได้ว่า 1 2 ( + ̅) = 1 2 (( + ) + ( − )) = 1 2 (2) = = () และ 1 2 ( − ̅) = 1 2 (( + ) − ( − )) = 1 2 (2) = = () ดังนั้น () = 1 2 ( + ̅) และ () = 1 2 ( − ̅) ………………………………………. ∎ 1.3 จะแสดงว่า 1 ̅ = ( 1 ) ̅̅̅̅ เมื่อ ≠ 0 สมมติ ≠ 0 ดังนั้น และ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ ̅= − พิจารณา 1 = 1 += ( 1 +) ( − −) = − 2+ 2 = 2+ 2 − 2+ 2 จะได้ ( 1 ) ̅̅̅̅ = 2+ 2 + 2+ 2 และเนื่องจาก 1 ̅ = 1 −= ( 1 −) ( + +) = + 2+ 2 = 2+ 2 + 2+ 2 ดังนั้น ( 1 ) ̅̅̅̅ = 1 ̅ ………………………………………. ∎ 1.4 จะแสดงว่า 1 + 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅1 + ̅2 พิจารณา 1 + 2 = (1 + 1) + (2 + 2) = (1 + 2 ) + (1 + 2 ) จะได้ 1 + 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (1 + 2 ) − (1 + 2 ) = (1 − 1) + (2 − 2) = ̅1 + ̅2 ดังนั้น 1 + 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅1 + ̅2 ………………………………………. ∎
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 23 1.6 จะแสดงว่า ̅̅1̅̅̅2̅ = ̅1̅2 พิจารณา ̅̅1̅̅̅2̅ = (1 + 1)(2 + 2) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (12 − 12 ) + (12 + 12 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (12 − 12 ) − (12 + 12 ) และ ̅1̅2 = (1 + 1) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (2 + 2) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (1 − 1)(2 − 2) = (12 − 12 ) − (12 + 12 ) ดังนั้น ̅̅1̅̅̅2̅ = ̅1̅2 ………………………………………. ∎ 1.7 จะแสดงว่า ( 1 2 ) ̅̅̅̅̅ = 1 ̅̅2̅ ̅ เมื่อ 2 ≠ 0 สมมติ 2 ≠ 0 จะได้ ( 1 2 ) ̅̅̅̅̅ = 1 ∙ 1 2 ̅̅̅̅̅̅̅ = ̅1 ( 1 2 ) ̅̅̅̅̅ จากข้อ 1.6 = ̅1 ∙ 1 ̅̅2̅ จากข้อ 1.3 = 1 ̅̅2̅ ̅ ดังนั้น ( 1 2 ) ̅̅̅̅̅ = 1 ̅̅2̅ ̅ ………………………………………. ∎ ⊠ ตัวอย่างที่ 12 กำหนดให้ 1 = 5 + 3 และ 2 = 4 จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ในรูป + เมื่อ , เป็นจำนวนจริง 12.1) ̅1 + 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 12.2) ( 2 1 ) ̅̅̅̅̅ วิธีทำ 12.1) ̅1 + 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅1 ̅ + ̅2 โดยทฤษฎีบท 1 = 1 + ̅2 = (5 + 3) + (−4) = 5 − ………………………………………. ∎ 12.2) ( 2 1 ) ̅̅̅̅̅ = (−4) (5−3) ∙ (5+3) (5+3) = (−4)(5)+(−4)(3) (5) 2−(3) 2 = (−20)+(−12 2 ) (5) 2−(3) 2 = (−20)+(−12 2 ) (5) 2−(9 2) ; 2 = −1 = −20+12 25+9 = 12−20 34 = 6 17 − 10 17 ………………………………………. ∎
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 24 ⊠ ตัวอย่างที่ 13 จงหาจำนวนเชิงซ้อน ที่สอดคล้องกับสมการ (1 + 2) = 17 − วิธีทำ 13.1) วิธีที่ 1 จากสมการ (1 + 2) = 17 − จะได้ = 17− 1+2 = (17−) (1+2) ∙ (1−2) (1−2) = 17(1)+17(−2)+(−)(1)+(−)(−2) (1) 2−(2) 2 = 17−34−+2 2 (1) 2−(4 2) ; 2 = −1 = 17−35−2 (1)+(4) = 15−35 5 = 15 5 − 35 5 = 3 − 7 ………………………………………. ∎ 13.2) วิธีที่ 2 เนื่องจากตัวผกผันการคูณของ (1 + 2) คือ 1 (1) 2+(2) 2 − 2 (1) 2+(2) 2 = 1 5 − 2 5 จากสมการ (1 + 2) = 17 − จะได้ ( 1 5 − 2 5 ) (1 + 2) = ( 1 5 − 2 5 )(17 − ) (1) = ( 1 5 − 2 5 )(17 − ) = ( 1 5 − 2 5 )(17 − ) = ( 1 5 ) (17) + ( 1 5 ) (−) + (− 2 5 ) (17) + (− 2 5 ) (−) = 17 5 − 1 5 − 34 5 + 2 5 2 ; 2 = −1 = 17 5 − 1 5 − 34 5 + 2 5 (−1) = ( 17 5 − 2 5 ) − ( 1 5 + 34 5 ) = 15 5 − 35 5 = 3 − 7 ………………………………………. ∎ MEMO
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 25 กิจกรรมระหว่างเรียน 2 : แบบฝึกหัด 2.2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน 1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 1.1) (−8 + 3) − 2(3 − 2) วิธีทำ 1.2) 5(3 + ) − (1 + ) วิธีทำ 1.3) −3(2 − ) + (2 + ) วิธีทำ 1.4) −(1 + ) − 3(−3 − 2) วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 26 1.5) 1 2 (1 + ) − 3 2 (3 + 2) วิธีทำ 1.6) √2(√18 − √3) − 2√3(√2 + √12) วิธีทำ 1.7) (2 + ) 2 (1 + ) − (1 + )(1 − 3) 2 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 27 2. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 2.1) 1 2−3 วิธีทำ 2.2) 3+2 2−3 วิธีทำ 2.3) 4+3 1+ วิธีทำ 2.4) 2−2 4 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 28 2.5) 2− 4+ วิธีทำ 2.6) 2+6 วิธีทำ 2.7) (1−)3 2+ วิธีทำ 2.8) −4(3 + 2) + 1− วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 29 3. จงหาจำนวนเชิงซ้อน ที่สอดคล้องกับแต่ละสมการต่อไปนี้ 3.1) (1 + ) = 4 วิธีทำ 3.2) (2 − ) = 4 + 2 วิธีทำ 3.3) (3 − ) = 6 − 7 วิธีทำ 3.4) (1 + 3) = −2 − วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 30 3.5) (1 + 3) = 1 + วิธีทำ 3.6) (2 + ) + = 3 วิธีทำ 3.7) (1 + ) 2 = 2 − 1 + 3 วิธีทำ 3.8) 2+ + = 3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 31 4. ให้ , 1 และ 2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน จงแสดงว่า 4.1) 12 = 21 วิธีทำ 4.2) (12) = (1)2 วิธีทำ 4.3) ̿= วิธีทำ 4.4) ̅̅1̅̅−̅̅̅̅2̅ = ̅1 − ̅2 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 32 5. กำหนดให้ 1 = 2 − และ 2 = −3 + 2 จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 5.1) ̿ วิธีทำ 5.2) ̅̅1̅̅−̅̅̅̅2̅ วิธีทำ 5.3) ̅1 − 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ วิธีทำ 5.4) 1 + ̅2 วิธีทำ 5.5) ( 1 2 ) ̅̅̅̅̅ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 33 5.6) 2 1 วิธีทำ 5.7) 1 1+2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ วิธีทำ 5.8) ( 1 ̅̅1̅ − 1 ̅̅2̅ ) วิธีทำ 6. กำหนดให้ = 2 − 4 จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 6.1) ̅ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 34 6.2) 1 2 ( + ̅) วิธีทำ 6.3) 1 (̅− ) วิธีทำ 6.4) ( + ̅) วิธีทำ 6.5) ̅ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 35 6.6) (̅− ̿) วิธีทำ 6.7) (1 − ̅) −1 วิธีทำ 6.8) ( −2 +1 ) ̅̅̅̅̅̅̅ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 36 7. จงแสดงว่า ถ้า 1 และ 2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง 12 = 0 แล้ว 1 = 0 หรือ 2 = 0 วิธีทำ 8. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป + 8.1) 1 3+√7 8.2) 2 √2−
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 37 8.3) 2+3 7−4 8.4) 2+ 3− 8.5) 1+ 1− + 1− 1+ 8.6) (4−3)(1+) 1+2 8.7) (1+)(2−3) 4+ 8.8) (1−5) (2−)(3−)
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 38 8.9) 1 1+ 1 1+ 8.10) ( √2 1+ ) 2,024 9. ถ้า = 2 – 5 จงหา (3 − 1 ) วิธีทำ 10. ถ้า = 3+4 3−4 จงหา + 1 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 39 11. กำหนดให้ = 1 + 1+ 1+ 1+ จงหา ̅ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 40 2.3 รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน ในหัวข้อนี้จะแสดงการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ และหาคำตอบของสมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็น จำนวนจริง บทนิยาม 6 : รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน ให้ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ รากที่สองของ คือ จำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง 2 = ถ้า เป็นรากที่สองของ แล้ว − จะเป็นรากที่สองของ ด้วย และรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์จะมี เพียงสองจำนวนเท่านั้น ต่อไปนี้จะแสดงวิธีหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ให้ = + เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง และ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์พร้อมกัน และให้ = + เป็นราก ที่สองของ โดยที่ และ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น = 2 = ( + ) 2 = ( 2 − 2) + 2 จะได้ ( 2 − 2) = ----------- (1) และ 2 = ----------- (2) เนื่องจาก ( 2 + 2) 2 = 4 + 2 2 2 + 4 = ( 4 − 2 2 2 + 4) + 4 2 2 = ( 2 − 2) 2 + (2) 2 = 2 + 2 จะได้ 2 + 2 = √ 2 + 2 ----------- (3) จากสมการ (1) และ (3) จะได้ 2 = 1 2 (√ 2 + 2 + ) และ 2 = 1 2 (√ 2 + 2 − ) ดังนั้น = ±√(√ 2 + 2 + ) และ = ±√(√ 2 + 2 − ) จากสมการ (2) ซึ่งคือ 2 = แสดงว่าจะต้องเลือก และ ที่ทำให้ เป็นจำนวนจริงบวกหรือจำนวนจริงลบ เหมือนกับ ดังนั้น จึงเลือก และ ดังนี้ ถ้า ≥ 0 รากที่สองของ คือ √ √2+2+ 2 + √ √2+2− 2 และ −√ √2+2+ 2 − √ √2+2− 2 ถ้า < 0 รากที่สองของ คือ √ √2+2+ 2 − √ √2+2− 2 และ −√ √2+2+ 2 + √ √2+2− 2 สรุปเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 41 ทฤษฎีบท 2 : กำหนดจำนวนเชิงซ้อน = + และให้ = √ 2 + 2 จะได้ว่า รากที่สองของ คือ ± (√ + 2 + √ − 2 ) เมื่อ ≥ 0 ± (√ + 2 − √ − 2 ) เมื่อ < 0 ตัวอย่างที่ 14 จงหารากที่สองของ −7 − 24 วิธีทำ จากโจทย์ให้ = −7 − 24 เทียบกับ = + ในทฤษฎีบท 2 จะได้ = −7 , = −24 และ = √ 2 + 2 = √(−7) 2 + (−24) 2 = √49 + 576 = √625 = 25 เนื่องจาก < 0 จะได้ว่า รากที่สองของ −7 − 24 คือ ± (√ 25+(−7) 2 − √ 25−(−7) 2 ) = ± (√ 18 2 − √ 32 2 ) = ±(√9 − √16) = ±(3 − 4) ดังนั้น จะได้ว่า รากที่สองของ −7 − 24 คือ 3 − 4 และ −3 + 4 ………………………………………. ∎ ตัวอย่างที่ 15 จงหารากที่สองของ −4 + 3 วิธีทำ ในกรณีที่จำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนจริงลบ การหารากที่สองสามารถทำได้โดยง่ายดังนี้ ให้ = − เมื่อ เป็นจำนวนจริงบวก ทฤษฎีบท 2 จะได้ว่า รากที่สองของ คือ √ และ −√ เช่น รากที่สองของ −9 คือ √9 และ −√9 ซึ่งเท่ากับ 3 และ −3 รากที่สองของ −5 คือ √5 และ −√5 ความรู้เรื่องรากที่สองของจำนวนจริงลบสามารถนำไปใช้หาคำตอบของสมการกำลังสอง ได้ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 3 : ให้ , และ เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ ≠ 0 จะได้คำตอบของสมการกำลังสอง 2 + + = 0 คือ −±√ 2−4 2 เมื่อ ≥ 0 และ −±√ȁ 2−4ȁ 2 เมื่อ < 0
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 42 พิสูจน์ จาก 2 + + = 0 โดยที่ ≠ 0 จะได้ 2 + + = 0 ( 2 + + 2 42 ) − 2 42 + = 0 ( + 2 ) 2 − ( 2−4 42 ) = 0 (1) กรณี 2 − 4 ≥ 0 จะได้ ( + 2 ) 2 − ( √ 2−4 2 ) 2 = 0 ( + 2 + √ 2−4 2 ) ( + 2 − √ 2−4 2 ) = 0 ( + +√ 2−4 2 ) ( + −√ 2−4 2 ) = 0 ดังนั้น = −±√ 2−4 2 ………………………………………. ∎ (2) กรณี 2 − 4 < 0 จะได้ ( + 2 ) 2 − (4− 2)(−1) 42 = 0 ( + 2 ) 2 − ( √4− 2 2 ) 2 = 0 ( + 2 − √4− 2 2 ) ( + 2 + √4− 2 2 ) = 0 ดังนั้น = −±√4− 2 2 นั่นคือ = −±√ȁ 2−4ȁ 2 ………………………………………. ∎ ดังนั้น คำตอบของสมการกำลังสอง 2 + + = 0 เมื่อ , และ เป็นจำนวนจริง โดยที่ ≠ 0 คือ −±√ 2−4 2 เมื่อ 2 − 4 ≥ 0 และ −±√ȁ2−4ȁ 2 เมื่อ 2 − 4 < 0 ………………………………………. ∎ ตัวอย่างที่ 16 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2 2 − 3 + 6 = 0 วิธีทำ จากสมการ 2 2 − 3 + 6 = 0 จะได้ 2 − 4 = (−3) 2 − 4(2)(6) = 9 − 48 = −39 < 0 ดังนั้น คำตอบของสมการ 2 2 − 3 + 6 = 0 และ −±√ȁ 2−4ȁ 2 แทนค่า จะได้คำตอบของสมการ คือ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 43 ตัวอย่างที่ 17 จงหาเซตคำตอบของสมการ 6 − 1 = 0 วิธีทำ จากสมการ 6 − 1 = 0 แยกตัวประกอบจะได้ ( 3 − 1)( 3 + 1) = 0 แยกตัวประกอบ ( 3 − 1) = 0 และ ( 3 − 1) = 0 จะได้ (1) แยกตัวประกอบ ( 3 − 1) = (2) แยกตัวประกอบ ( 3 + 1) =
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 44 กิจกรรมระหว่างเรียน 3 : แบบฝึกหัด 2.3 รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน 1. จงหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 1.1) −16 วิธีทำ 1.2) 5 + 12 วิธีทำ 1.3) 3 + 4 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 45 1.4) 8 − 6 วิธีทำ 1.5) 1 − 2√2 วิธีทำ 2. จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้ 2.1) 2 + 48 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 46 2.2) 2 2 + 2 + 25 = 0 วิธีทำ 2.3) 2 2 + 5 + 12 = 0 วิธีทำ 2.4) 2 2 − 2 + 1 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 47 2.5) 2 − 2 − 1 = 0 วิธีทำ 2.6) 2 − 4 + 5 = 0 วิธีทำ 2.7) 2 + + 6 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 48 2.8) 3 2 + 5 − 16 = 0 วิธีทำ 2.9) 2 2 + 2 + 4 = 0 วิธีทำ 2.10) ( + 1) 2 + 49 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 49 2.11) 4 − 16 = 0 วิธีทำ 2.12) 4 + 2 2 − 24 = 0 วิธีทำ