จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 50 2.13) 6 + 7 3 − 8 = 0 วิธีทำ 2.14) 5 + 2 4 − 8 2 − 16 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 51 2.4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนเขียนในรูปของคู่อันดับ (, ) หรือในรูป + โดยที่ เป็นส่วนจริงและ เป็นส่วนจินตภาพ ดังนั้น อาจแทนจำนวนเชิงซ้อน (, ) ใด ๆ ด้วยจุดในระนาบได้เช่นเดียวกับการแทนคู่อันดับในความสัมพันธ์ใด ๆ ด้วยจุดใน ระนาบในระบบพิกัดฉาก และเรียกแกน ว่า แกนจริง ( ) และเรียกแกน ว่า แกนจินตภาพ ( ) และเรียกระนาบนี้ว่า ระนาบเชิงซ้อน ( ) ตัวอย่าง เช่น จำนวนเชิงซ้อน 3 + 2 แทนได้ด้วยจุด (3, 2) หรือแทนด้วยเวกเตอร์ที่มีจุด (0, 0) เป็นจุดเริ่มต้น และจุด (3, 2) เป็นจุดสิ้นสุด ดังรูปที่ 1 รูปที่ 1 ส่วนจำนวนเชิงซ้อน −3 , 2 , 4 + 3 , 4 − , −2 + 3 และ −1 − 3 แทนได้ด้วยจุดและเวกเตอร์ในระนาบ เชิงซ้อน ดังรูปที่ 2 รูปที่ 2 บทนิยาม 7 : ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน ค่าสัมบูรณ์ ( ) ของจำนวนเชิงซ้อน + คือ จำนวนจริง √ 2 + 2 นั่นคือ ȁ + ȁ = √ 2 + 2 จากบทนิยาม จะเห็นว่าค่าสัมบูรณ์ของ + คือ ระยะทางระหว่างจุด (0, 0) และ (, ) และ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ȁȁ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 52 ตัวอย่าง เช่น 1) ค่าสัมบูรณ์ของ 3+2 คือ ȁ3 + 2 ȁ = √3 2 + 2 2 = √13 2) ค่าสัมบูรณ์ของ −3 คือ |−3 | = √0 2 + (−3) 2 = 3 3) ค่าสัมบูรณ์ของ −4 คือ ȁ−4 ȁ = √(−4) 2 + 0 2 = 4 4) ค่าสัมบูรณ์ของ 1 2 − √3 2 คือ | 1 2 − √3 2 | = √( 1 2 ) 2 + ( √3 2 ) 2 = √ 1 4 + 3 4 = 1 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน มีดังนี้ ทฤษฎีบท 4 : ให้ , 1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า 4.1 ȁȁ 2 = ̅ 4.2 ȁȁ = ȁ−ȁ = ȁ̅ȁ 4.3 | 1 | = 1 ȁȁ เมื่อ ≠ 0 4.4 ȁ12 ȁ = ȁ1 ȁȁ2 ȁ 4.5 ȁ1+ 2 ȁ ≤ ȁ1 ȁ + ȁ2 ȁ 4.6 ȁ1 − 2 ȁ ≥ |ȁ1 ȁ − ȁ2 ȁ| ในที่นี้จะแสดงการพิสูจน์เพียงข้อ 4.1 , 4.2 , 4.4 และ 4.5 พิสูจน์ ให้ , 1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ = + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 4.1 จะแสดงว่า ȁȁ 2 = ̅ จะได้ ̅ = ( + )( − ) = 2 + 2 = (√ 2 + 2) 2 = ȁȁ 2 ………………………………………. ∎ 4.2 จะแสดงว่า ȁȁ = ȁ−ȁ = ȁ̅ȁ จะได้ ȁ−ȁ = ȁ− − ȁ = √(−) 2 + (−) 2 = √ 2 + 2 = ȁȁ ………………………………………. ∎ ในทำนองเดียวกัน จะได้ ȁ̅ȁ = √ 2 + (−) 2 = √ 2 + 2 = ȁȁ ดังนั้น ȁȁ = ȁ−ȁ = ȁ̅ȁ ………………………………………. ∎ 4.3 จะแสดงว่า ȁ12 ȁ = ȁ1 ȁȁ2 ȁ พิจารณา ȁ12 ȁ 2 = 12̅̅1̅̅̅2̅ จากข้อ 1 = 12̅1̅2 จากทฤษฎีบท 1 ข้อ 6 = 1̅12̅2 จากสมบัติการสลับที่ = ȁ1 ȁ 2ȁ2 ȁ 2 จากข้อ 1 ดังนั้น ȁ12 ȁ = ȁ1 ȁȁ2 ȁ ………………………………………. ∎
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 53 4.5 จะแสดงว่า ȁ1+ 2 ȁ ≤ ȁ1 ȁ + ȁ2 ȁ พิจารณา ȁ1 + 2 ȁ 2 = (1+2 )(1+2 ̅̅̅̅̅̅̅̅) จากข้อ 1 = (1+2 )(̅1 + ̅2 ) จากทฤษฎีบท 1 ข้อ 4 = 1̅1 + 1̅2 + 2̅1 + 2̅2 จากสมบัติการแจกแจง = ȁ1 ȁ 2 + 1̅2 + 1̅2 ̅̅̅̅̅̅ + ȁ2 ȁ 2 จากข้อ 1 สมบัติการสลับที่ และทฤษฎีบท 1 ข้อ 2 = ȁ1 ȁ 2 + 2(1̅2 ) + ȁ2 ȁ 2 จากทฤษฎีบท 1 ข้อ 1 เนื่องจากสำหรับจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ จะได้ว่า () ≤ √(()) 2 + (()) 2 นั่นคือ () ≤ ȁȁ ดังนั้น 2(1̅2 ) ≤ 2ȁ1̅2 ȁ และ 2ȁ1̅2 ȁ = 2ȁ1 ȁȁ̅2 ȁ = 2ȁ1 ȁȁ2 ȁ จะได้ 2(1̅2 ) ≤ 2ȁ1 ȁȁ2 ȁ นั่นคือ ȁ1+ 2 ȁ 2 ≤ ȁ1 ȁ 2 + 2ȁ1 ȁȁ2 ȁ + ȁ2 ȁ 2 และเนื่องจาก ȁ1 ȁ 2 + 2ȁ1 ȁȁ2 ȁ + ȁ2 ȁ 2 = (ȁ1 ȁ + ȁ2 ȁ) 2 ดังนั้น ȁ1+ 2 ȁ ≤ ȁ1 ȁ + ȁ2 ȁ ………………………………………. ∎ ถ้า 1 = + และ 2 = + เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ ค่าสัมบูรณ์ของ 1 − 2 หรือ ȁ1 − 2 ȁ หมายถึง ระยะทางระหว่างจุด (0,0) และจุดที่แสดงจำนวนเชิงซ้อน 1 − 2 ในระนาบเชิงซ้อน นอกจากนี้ เมื่อพิจารณา 1 − 2 = ( − ) + ( − ) จะได้ ȁ1 − 2 ȁ = √( − ) 2 + ( − ) 2 สังเกตว่า √( − ) 2 + ( − ) 2 คือ ระยะทางระหว่างจุด (, ) และ (, ) ในระบบพิกัดฉาก ซึ่งแสดงว่า ȁ1 − 2 ȁ คือ ระยะทางระหว่างจุด 1 และ 2 ในระนาบเชิงซ้อน ตัวอย่าง เช่น ถ้า 0 เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว { ∈ ∁ȁȁ − 0 ȁ ≤ } คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนที่มีระยะห่างจากจุด 0 น้อยกว่าหรือเท่ากับ หน่วย ซึ่งก็คือ เซตของจุดทั้งหมดที่อยู่บนเส้นรอบวงและอยู่ภายในวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด 0 และรัศมียาว หน่วย ดังรูปที่ 3 รูปที่ 3 ȁ − 0 ȁ ≤
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 54 ตัวอย่างที่ 18 จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชิงซ้อน ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับอสมการ ȁȁ ≥ 3 และอสมการ ȁ − 2ȁ < 2 วิธีทำ 18.1 พิจารณา อสมการ ȁȁ ≥ 3 เนื่องจาก ȁȁ = ȁ − 0ȁ คือ ระยะทางระหว่างจุด (0, 0) และ ดังนั้น เซตของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับอสมการ ȁȁ ≥ 3 คือ เซตของจุดทั้งหมด ในระนาบเชิงซ้อนที่มีระยะห่างจากจุด (0, 0) มากกว่าหรือเท่ากับ 3 หน่วย ซึ่งก็คือ เซตของจุดที่อยู่บนเส้นรอบวงและอยู่ภายนอกวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0, 0) และรัศมียาว 3 หน่วย 18.2 พิจารณา อสมการ ȁ − 2ȁ < 2 จาก 18.1 ในทำนองเดียวกัน ȁ − 2ȁ คือ ระยะทางระหว่างจุด (2, 0) และ ดังนั้น เซตของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับอสมการ ȁ − 2ȁ < 2 คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนที่มีระยะห่างจากจุด (2, 0) น้อยกว่า 2 หน่วย ซึ่งก็คือ เซตของจุดที่อยู่ภายในวงกลม (ไม่รวมจุดบนเส้นรอบวง) ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (2,0) และรัศมียาว 2 หน่วย จะได้กราฟของจุดทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับอสมการทั้งสองแสดงเป็นส่วนแรเงา ดังรูปที่ 4 รูปที่ 4 ตัวอย่างที่ 19 จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชิงซ้อน ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับสมการ ȁ + ȁ = ȁ − ȁ วิธีทำ กราฟของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับสมการ ȁ + ȁ = ȁ − ȁ คือ กราฟของจุดทั้งหมดในระนาบ เชิงซ้อน ที่มีระยะห่างจากจุด เท่ากับ ระยะห่างจากจุด − ซึ่งก็คือ แกนจริง ดังรูปที่ 5 รูปที่ 5 ȁȁ ≥ 3 ȁ − 2ȁ < 2
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 55 ตัวอย่างที่ 20 จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชิงซ้อน ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับสมการ ȁ − ȁ = ȁ − 1ȁ วิธีทำ ให้จำนวนเชิงซ้อน แทน ด้วย (, ) จาก ȁ − ȁ = ȁ − 1ȁ จะได้ √ 2 + ( − 1) 2 = √( − 1) 2 + 2 2 + 2 − 2 + 1 = 2 − 2 + 1 + 2 = ดังนั้น เขียนกราฟของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนที่ = ดังรูปที่ 6 รูปที่ 6 กิจกรรมระหว่างเรียน 4 : แบบฝึกหัด 2.4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน 1. จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในระนาบเชิงซ้อน 1.1 (2 , 3) , (−3 , 1) , (−2 , −3) 1.2 (4 , 2) , (0 , −1) , (−2 , 0) 1.3 3 − 4 , −5 − 2 , − 3 1.4 −2 , 4 + , − 4 + ȁ − ȁ = ȁ − 1ȁ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 56 2. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนที่แสดงด้วยจุด , , , , และ ในระนาบเชิงซ้อน ดังรูป 3. ถ้า 1 = 6 − 5 และ 2 = −3 + 4 แล้ว จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในระนาบเชิงซ้อน 3.1 1+ 2 3.2 1− 2
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 57 4. ถ้า = 1 + 3 แล้ว จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในระนาบเชิงซ้อน 4.1 4.2 ̅ 4.3 2
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 58 4.4 − 4.5 1 4.6 ̅
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 59 5. ถ้า = 2 − 5 แล้ว จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในระนาบเชิงซ้อน 5.1 5.2 5.3 2
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 60 5.4 3 5.5 4 6. จงหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 6.1 4 วิธีทำ 6.2 √2 − 3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 61 6.3 −√3 − วิธีทำ 6.4 √5 + 2√3 วิธีทำ 6.5 −3 − 4 วิธีทำ 6.6 −5 + 12 วิธีทำ 7. ให้ 1 และ 2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน จงแสดงว่า ȁ1 − 2 ȁ 2 + ȁ1 + 2 ȁ 2 = 2ȁ1 ȁ 2 + ȁ2 ȁ 2 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 62 8. จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชิงซ้อน ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับสมการหรืออสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ 8.1 () < 2 8.2 () > 3
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 63 8.3 ȁ − 2ȁ ≤ 1 8.4 ȁ + ȁ ≥ 1
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 64 8.5 ȁ − 2 + 3ȁ < 3 8.6 ( + ̅) = 4
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 65 8.7 ȁ + 2ȁ = ȁ − 2ȁ 8.8 ȁ − 3ȁ = ȁ + ȁ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 66 8.9 ȁ + 2ȁ = ȁ − 3ȁ 8.10 ȁ − (2 + )ȁ = ȁ + (2 + 3)ȁ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 67 2.5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน ถ้า = + เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ จะสามารถเขียนแสดง ด้วยเวกเตอร์ในระนาบเชิงซ้อนได้ดังนี้ รูปที่ 4 เมื่อกำหนดให้ แทนระยะทางระหว่างจุดกำเนิด กับ และ เป็นขนาดของมุม ซึ่งถ้าวัดมุมทวนเข็มนาฬิกาจาก แกน ทางด้านบวกไปยัง ⃗⃗⃗⃗ จะได้ > 0 และถ้าวัดมุมตามเข็มนาฬิกาจากแกน ทางด้านบวกไปยัง ยัง ⃗⃗⃗ จะได้ < 0 และได้ความสัมพันธ์ดังนี้ = cos และ = sin นอกจากนี้ยังได้ความสัมพันธ์ที่ทำให้หา และ จาก และ ดังนี้ = ȁȁ = √ 2 + 2 และ tan = เมื่อ ≠ 0 ดังนั้น อาจเขียนจำนวนเชิงซ้อน ในรูป และ ได้ดังนี้ = (cos + sin ) การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูป (cos + sin )เรียกว่า รูปเชิงขั้ว ( ) ของ และเรียก ว่า อาร์กิวเมนต์() ของ สังเกตว่า เมื่อ เป็นจำนวนเต็มใดๆ เนื่องจาก cos( + 2) = cos และ sin( + 2) = sin ดังนั้น cos( + 2) + sin( + 2) = cos + sin แสดงว่า สำหรับทุกจำนวนเต็ม ถ้า เป็นอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน แล้ว + 2 เป็นอาร์กิวเมนต์ของ ด้วย ให้ 1 = 1 (cos 1 + sin 1 ) และ z2 = 2 (cos 2 + sin 2 ) เป็นจำนวนเชิงซ้อน ถ้า 1 = z2 จะได้ว่า ȁ1 ȁ = ȁ z2 ȁ นั่นคือ 1 = 2 และเนื่องจาก cos 1 = cos 2 และ sin 1 = sin 2 ก็ต่อเมื่อ 1 − 2 = 2 เมื่อ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 1 = z2 ก็ต่อเมื่อ 1 = 2 และ 1 − 2 = 2 เมื่อ เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างที่ 21 จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว 21.1) 2 + 2 วิธีทำ ให้ = (cos + sin ) เป็นรูปเชิงขั้วของ = 2 + 2 จะได้ = ȁȁ = √(2) 2 + (2) 2 = √8 = 2√2 เนื่องจากและ = 2 2 = 1 และ (2 , 2) เป็นจุดในจตุภาคที่ 1 จะได้ว่า ค่าหนึ่ง ที่ทำให้ = 1 คือ = 4 หรือ 45° ดังนั้นรูปเชิงขั้วรูปหนึ่งของ 2 + 2 คือ 2√2 (cos 4 + sin 4 ) และรูปเชิงขั้วทั่วไปของ 2 + 2 คือ 2√2 (cos( 4 + 2) + sin( 4 + 2)) เมื่อ ∈ ℤ ………………………. ∎
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 68 21.2) √3 − วิธีทำ ให้ = (cos + sin ) เป็นรูปเชิงขั้วของ = √3 − จะได้ = ȁȁ = √(√3) 2 + (−1) 2 = √4 = 2 เนื่องจากและ = − 1 √3 และ (√3 , −1) เป็นจุดในจตุภาคที่ 4 จะได้ว่า ค่าหนึ่ง ที่ทำให้ = − 1 √3 คือ = 11 6 หรือ 330° ดังนั้นรูปเชิงขั้วรูปหนึ่งของ √3 − คือ 2 (cos 11 6 + sin 11 6 ) และรูปเชิงขั้วทั่วไปของ √3 − คือ 2 (cos( 11 6 + 2) + sin( 11 6 + 2)) เมื่อ ∈ ℤ ………………. ∎ 21.3) −1 + √3 วิธีทำ 21.4) −4 − 4√3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 69 ตัวอย่างที่ 22 จงหาค่าของ และ เมื่อกำหนด (cos 2 + sin 2) = √3 + และ 0 ≤ ≤ 2 วิธีทำ จากที่กล่าวมาข้างต้น เป็นการกล่าวถึงรูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ ≠ 0 ในกรณีที่ = 0 จะไม่กล่าวถึง แต่ถ้าต้องการกล่าวถึง มีข้อตกลงว่า เป็นมุมขนาดใดก็ได้
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 70 ทฤษฎีบทต่อไปนี้แสดงผลคูณ ผลหาร และสังยุคของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ทฤษฎีบท 5 ให้ 1 = 1 (cos 1 + sin 1 ) และ z2 = 2 (cos 2 + sin 2 ) โดยที่ 1 ≠ 0 และ 2 ≠ 0 จะได้ว่า 5.1 1 z2 = 12 (cos(1 + 2 ) + sin(1 + 2 )) 5.2 1 z2 = 1 2 (cos 2 − sin 2 ) 5.3 1 z2 = 1 2 (cos(1 − 2 ) + sin(1 − 2 )) 5.4 ̅1 = 1 (cos(−1 ) + sin(−1 )) พิสูจน์ 5.1 จะแสดงว่า 1 z2 = 12 (cos(1 + 2 ) + sin(1 + 2 )) 1 z2 = 1 (cos 1 + sin 1 )2 (cos 2 + sin 2 ) = 12 (cos 1 + sin 1 )(cos 2 + sin 2 ) = 12((cos 1 cos 2 − sin 1 sin 2 ) + (sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2 )) = 12 (cos(1 + 2 ) + sin(1 + 2 )) ………………………………………. ∎ 5.2 จะแสดงว่า 1 z2 = 1 2 (cos 2 − sin 2 ) 1 z2 = 1 2 (cos2+ sin 2 ) = 1 2 (cos2+ sin 2 ) ∙ (cos2− sin 2 ) (cos2− sin 2 ) = (cos 2− sin 2 ) 2 (cos2 2+ sin2 2 ) = 1 2 (cos 2 − sin 2 ) ………………………………………. ∎ 5.3 จะแสดงว่า 1 z2 = 1 2 (cos(1 − 2 ) + sin(1 − 2 )) เนื่องจากสำหรับทุกๆ จำนวนจริง จะได้ว่า cos(−) = cos และ sin(−) = − sin เนื่องจาก 1 z2 = 1 2 (cos 2 − sin 2 ) นั่นคือ 1 z2 = 1 2 (cos(−2 ) + sin(−2 )) และ 1 z2 = (1 ) ( 1 z2 ) = 1 (cos 1 + sin 1 ) ∙ 1 2 (cos(−2 ) + sin(−2 )) = 1 2 (cos(1 − 2 ) + sin(1 − 2 )) ………………………………………. ∎ 5.4 จะแสดงว่า ̅1 = 1 (cos(−1 ) + sin(−1 )) เนื่องจากสำหรับทุกๆ จำนวนจริง จะได้ว่า cos(−) = cos และ sin(−) = − sin ดังนั้น ̅1 = 1 (cos 1 − sin 1 ) = 1 (cos(−1 ) + sin(−1 )) ………………………………………. ∎
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 71 ตัวอย่างที่ 23 จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 23.1) (2√3 (cos 11 6 + sin 11 6 )) (4 (cos 4 3 + sin 4 3 )) วิธีทำ วิเคราะห์ จากโจทย์อยู่ในรูปของการคูณจำนวนเชิงซ้อน จากทฤษฎีบทที่ 5 ให้ 1 = 1 (cos 1 + sin 1 ) และ z2 = 2 (cos 2 + sin 2 ) โดยที่ 1 ≠ 0 และ 2 ≠ 0 จะได้ว่า 5.1) 1 z2 = 12 (cos(1 + 2 ) + sin(1 + 2 )) จากโจทย์ 1 = 2√3 (cos 11 6 + sin 11 6 ) และ z2 = 4 (cos 4 3 + sin 4 3 ) โดยทฤษฎีบท 5 ข้อ 5.1) 1 z2 = 12 (cos(1 + 2 ) + sin(1 + 2 )) แทนค่าจะได้ 1 z2 = (2√3 (cos 11 6 + sin 11 6 )) (4 (cos 4 3 + sin 4 3 )) = 2√3(4) (cos( 11 6 + 4 3 ) + sin( 11 6 + 4 3 )) = 8√3 (cos( 19 6 ) + sin( 19 6 )) = 8√3 (cos(2π + 7 6 ) + sin(2π + 7 6 )) = 8√3 (cos( 7 6 ) + sin( 7 6 )) ซึ่ง = 7 6 หรือ 210° = 180° + 30° ในจตุภาคที่ 3 = 8√3 ((− √3 2 ) + (− 1 2 )) = 8√3 (− √3 2 ) + 8√3(− 1 2 ) = −24 − 4√3 ………………………………………. ∎ 23.2) 2(cos 6 + sin 6 ) 8(cos 4 3 + sin4 3 ) วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 72 จากผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว จะเห็นว่า ถ้า = (cos + sin ) แล้ว 2 = = 2 (cos( + ) + sin( + ) ) = 2 (cos 2 + sin 2 ) 3 = 2 = 3 (cos(2 + ) + sin(2 + ) ) = 3 (cos 3 + sin 3 ) ดังนั้น เมื่อ เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ จะสามารถพิสูจน์ได้ว่า = (cos + sin ) จึงสรุปเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้ ทฤษฎีบท 6 ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์( ’ ℎ) ให้ = (cos + sin ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ และ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า = (cos + sin ) ให้ = (cos + sin ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์จะได้ว่า ≠ 0 ให้ เป็นจำนวนเต็ม 6.1 กรณี เป็นจำนวนเต็มบวก ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์จะได้ว่า = (cos + sin ) 6.2 กรณี = 0 เนื่องจาก 0 = 1 , 0 = 1 และ 0 = 0 จะได้ว่า 0 (cos(0 ∙ ) + sin (0 ∙ )) = 1(1 + ∙ 0) = 1 = 0 ดังนั้น = (cos + sin ) เมื่อ = 0 6.3 กรณี เป็นจำนวนเต็มลบ ให้ = − จะได้ว่า เป็นจำนวนเต็มบวก และ = (cos + sin ) จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ ดังนั้น = 1 − = 1 = 1 (cos+ sin ) = −(cos − sin ) จากทฤษฎีบท 5 ข้อ 2 = (cos(−) − sin(−) ) = (cos + sin ) สรุปได้ว่า = (cos + sin ) สำหรับทุกจำนวนเต็ม สรุปได้ ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 7 : ถ้า = (cos + sin ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ และ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว = (cos + sin )
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 73 ตัวอย่างที่ 24 จงเขียน ( 3 √2 + 3 √2 ) 2 ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง วิธีทำ ให้ = (cos + sin ) เป็นรูปเชิงขั้วของ = 3 √2 + 3 √2 จะได้ = ȁȁ = √( 3 √2 ) 2 + ( 3 √2 ) 2 = √ 9 2 + 9 2 = √ 18 2 = √9 = 3 เนื่องจากและ = 3 √2 3 √2 = 1 และ ( 3 √2 , 3 √2 ) เป็นจุดในจตุภาคที่ 1 จะได้ว่า ค่าหนึ่ง ที่ทำให้ = 1 คือ = 4 หรือ 45° ดังนั้นรูปเชิงขั้วรูปหนึ่งของ 3 √2 + 3 √2 คือ 3 (cos 4 + sin 4 ) และรูปเชิงขั้วทั่วไปของ 3 √2 + 3 √2 คือ 3 (cos( 4 + 2) + sin( 4 + 2)) เมื่อ ∈ ℤ จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์( ’ ℎ) ให้ = (cos + sin ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ และ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า = (cos + sin ) ดังนั้น 12 = ( 3 √2 + 3 √2 ) 2 = 3 12 (cos 12 4 + sin 12 4 ) = 3 12(cos 3 + sin 3 ) = 3 12(−1 + (0) ) = 531,441(−1 + 0 ) = − 531,441 ………………………………………. ∎ กิจกรรมระหว่างเรียน 5 : แบบฝึกหัด 2.5 รูปเชิงขั้ว ( ) ของจำนวนเชิงซ้อน 1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว ( ) 1.1 1 + √3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 74 1.2 1 − วิธีทำ 1.3 −2√3 + 2 วิธีทำ 1.4 −4 − 4 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 75 1.5 12 − 12√3 วิธีทำ 1.6 − วิธีทำ 2. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว ( ) 2.1 (2 + √2) 5 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 76 2.2 (√3 − ) 7 วิธีทำ 2.3 ( √3 2 + 2 ) 100 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 77 2.4 (1−) 6 (−1−) 4 วิธีทำ 2.5 (−√3+) 3 (2√3+2) 5 (4) 4 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 78 2.6 (2√3+6 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) 80 (2+2) 45(√3−) 35 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 79 3. จงหาค่าของ และ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง เมื่อ เป็นจำนวนจริงบวก 3.1 (cos + sin ) = 1 − √3 เมื่อ 2 ≤ < 6 วิธีทำ 3.2 (cos + sin ) = −1 − เมื่อ 5 ≤ < 7 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 80 3.3 2 (cos 2 + sin 2) = −1 − เมื่อ 0 ≤ < 2 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 81 2.6 รากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน ในหัวข้อที่ 2.3 ได้กล่าวถึงการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน สำหรับหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการนำทฤษฎีบทของ เดอมัวฟวร์มาช่วยในหารากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน เมื่อ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยให้ เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ เป็น จำนวนเต็มบวก รากที่ ของ คือ จำนวนเชิงซ้อน ที่สอดคล้องกับสมการ = เช่น 2 + เป็นรากที่ 3 ของ 2 + 11 เนื่องจาก (2 + ) 3 = 2 + 11 ตัวอย่างที่ 25 จงหารากที่ 3 ของ 1 พร้อมทั้งเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ในระนาบเชิงซ้อน วิธีทำ ให้ = (cos + sin ) เป็นรากที่ 3 ของ 1 จะได้ 3 = 1 ซึ่ง = 1 จะได้ = ȁȁ = √(1) 2 + (0) 2 = √1 = 1 เนื่องจากและ = 0 1 = 0 และ (1 , 0) = ( 0 , 0) เป็นจุดบนแกน จากทฤษฎีบทของเดอร์มัวฟวร์ จะได้ 3 = 3(cos 3 + sin 3 ) และเนื่องจาก 3 = 1 = 1 3 (1 + (0) = 1(cos0 + sin 0 ) ดังนั้น 3 = 1 = 3(cos 3 + sin 3 ) = 1(cos0 + sin 0 ) จะได้ว่า 3 = 1 และ 3 − 0 = 2 เมื่อ ∈ ℤ นั่นคือ = 1 และ = 2 3 เมื่อ ∈ ℤ ดังนั้น = 1 (cos 2 3 + sin 2 3 ) เมื่อ ∈ ℤ เมื่อแทน ด้วย 0 , 1 และ 2 จะแทน ด้วย 1 , 2 และ 3 ตามลำดับ ดังนี้ จาก = 1 (cos 2 3 + sin 2 3 ) เมื่อ ∈ ℤ เมื่อ = 0 จะได้ 1 = 1 (cos 2(0) 3 + sin 2(0) 3 ) = 1(cos0 + sin 0) = 1(1 + (0)) = 1 เมื่อ = 1 จะได้ 2 = 1 (cos 2(1) 3 + sin 2(1) 3 ) = 1 (cos 2 3 + sin 2 3 ) = 1 (− 1 2 + 3 √2 ) = − 1 2 + 3 √2 เมื่อ = 2 จะได้ 3 = 1 (cos 2(2) 3 + sin 2(2) 3 ) = 1 (cos 4 3 + sin 4 3 ) = 1 (− 1 2 − 3 √2 ) = − 1 2 − 3 √2 เมื่อแทน ด้วยจำนวนเต็มอื่นๆ จะได้ จำนวนเชิงซ้อนที่ซ้ำกับ 1 , 2 หรือ 3 แสดงว่า รากที่ 3 ของ 1 ที่แตกต่างกันมี 3 จำนวนเท่านั้น คือ 1 , 2 และ 3 ซึ่ง 1 = 1 , 2 = − 1 2 + 3 √2 และ 3 = − 1 2 − 3 √2 เวกเตอร์ที่แสดงรากที่ 3 ของ 1 มีขนาด 1 หน่วย และเวกเตอร์แต่ละคู่ที่อยู่ในลำดับที่ติดกัน ทำมุมขนาด 2 3 หรือ 120 ° เท่ากันทุกคู่ ซึ่งเขียนแสดงได้ดังนี้ 1 = 1 2 = − 1 2 + 3 √2 3 = − 1 2 − 3 √2
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 82 ตัวอย่างที่ 26 จงหารากที่ 6 ของ −64 พร้อมทั้งเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ในระนาบเชิงซ้อน วิธีทำ ให้ = (cos + sin ) เป็นรากที่ 6 ของ −64 จะได้ 6 = 64 จากทฤษฎีบทของเดอร์มัวฟวร์ จะได้ 6 = 6(cos 6 + sin 6 ) และเนื่องจาก 6 = −64 = 64(−1 + (0) และ 6 = −64 = 64(cos + sin ) ดังนั้น 6(cos 6 + sin 6 ) = 64(−1 + (0) = 64(cos + sin ) จะได้ว่า 6 = 64 และ 6 − = 2 เมื่อ ∈ ℤ นั่นคือ = √64 6 = 2 และ = 6 + 2 6 เมื่อ ∈ ℤ ดังนั้น = 2 (cos( 6 + 2 6 ) + sin( 6 + 2 6 )) เมื่อ ∈ ℤ เมื่อแทน ด้วย 0 , 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 จะแทน ด้วย 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ 6 ตามลำดับ ดังนี้ จาก = 2 (cos( 6 + 2 6 ) + sin( 6 + 2 6 )) เมื่อ ∈ ℤ จะได้ว่า เมื่อ = 0 จะได้1 = 2 (cos( 6 + 2(0) 6 ) + sin( 6 + 2(0) 6 )) = 2 (cos( 6 ) + sin( 6 )) = 2 ( √3 2 + ( 1 2 )) = √3 + เมื่อ = 1 จะได้ 2 = 2 (cos( 6 + 2(1) 6 ) + sin( 6 + 2(1) 6 )) = 2 (cos( 3 6 ) + sin( 3 6 )) = 2 (cos( 2 ) + sin( 2 )) = 2 (− √3 2 + ( 1 2 )) = − √3 2 + ( 1 2 ) = 0 + 2 = 2 เมื่อ = 2 จะได้ 3 = 2 (cos( 6 + 2(2) 6 ) + sin( 6 + 2(2) 6 )) = 2 (cos( 5 6 ) + sin( 5 6 )) : ซึ่ง 5 6 = 150° ใน 2 = 2 (− √3 2 + ( 1 2 )) = −√3 + เมื่อ = 3 จะได้ 4 = 2 (cos( 6 + 2(3) 6 ) + sin( 6 + 2(3) 6 )) = 2 (cos( 6 + ) + sin( 6 + )) : ซึ่ง 7 6 = 210° ใน 3 = 2 (− √3 2 + ( − 1 2 )) = −√3 − เมื่อ = 4 จะได้ 5 = 2 (cos( 6 + 2(4) 6 ) + sin( 6 + 2(4) 6 )) = 2 (cos( 9 6 ) + sin( 9 6 )) : ซึ่ง 9 6 = 3 2 = 270°บนแกน = 2 (cos( 3 2 ) + sin( 3 2 )) = 2(0 + (−1)) = 0 − 2 = −2 เมื่อ = 5 จะได้ 6 = 2 (cos( 6 + 2(5) 6 ) + sin( 6 + 2(5) 6 )) = 2 (cos( 11 6 ) + sin( 11 6 )) : ซึ่ง 11 6 = 330° ใน 4 = 2 ( √3 2 + (− 1 2 )) = √3 + (−1) = √3 − เมื่อแทน ด้วยจำนวนเต็มอื่นๆ จะได้ จำนวนเชิงซ้อนที่ซ้ำกับ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 แสดงว่า รากที่ 6 ของ −64 ที่แตกต่างกันมี 6 จำนวนเท่านั้น คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ 6 ซึ่ง 1 = √3 + , 2 = 2 , 3 = −√3 + 4 = −√3 − , 5 = −2 และ 6 = √3 − เวกเตอร์ที่แสดงรากที่ 6 ของ −64 มีขนาด 2 หน่วย และเวกเตอร์แต่ละคู่ที่อยู่ในลำดับที่ติดกันทำมุมขนาด 3 หรือ 60° เท่ากันทุกคู่ ซึ่งเขียนแสดงได้ดังนี้ 1 = √3 + 2 = 2 3 = −√3 + 4 = −√3 − 5 = −2 6 = √3 −
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 83 ตัวอย่างที่ 27 จงหารากที่ 4 ของ 1 + √3 พร้อมทั้งเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ในระนาบเชิงซ้อน วิธีทำ เมื่อแทน ด้วยจำนวนเต็มอื่นๆ จะได้ จำนวนเชิงซ้อนที่ซ้ำกับ 1 , 2 , 3 หรือ 4 แสดงว่า รากที่ 4 ของ 1 + √3 ที่แตกต่างกันมี 4 จำนวนเท่านั้น คือ 1 , 2 , 3 และ 4 เวกเตอร์ที่แสดงรากที่ 4 ของ 1 + √3 มีขนาด √2 4 หน่วย และเวกเตอร์แต่ละคู่ที่อยู่ในลำดับที่ติดกัน ทำมุมขนาด 2 หรือ 90° เท่ากันทุกคู่ ซึ่งเขียนแสดงได้ดังนี้ ในกรณีทั่วไป สามารถสรุปเป็นทฤษฎีได้ดังนี้ ทฤษฎีบท 8 ให้ = (cos + sin ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ แล้ว รากที่ ของ มีทั้งหมด รากที่แตกต่างกัน คือ = √ [ ( +2 ) + ( +2 )] เมื่อ ∈ {0 , 1 , 2 , … , − 1}
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 84 กิจกรรมระหว่างเรียน 6 : แบบฝึกหัด 2.6 รากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน 1. จงหารากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ พร้อมทั้งเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ในระนาบเชิงซ้อน 1.1 หารากที่ 3 ของ −64 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 85 1.2 หารากที่ 3 ของ 27 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 86 1.3 หารากที่ 3 ของ √3 − วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 87 1.4 หารากที่ 3 ของ 8 (cos 3 + sin 3 ) วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 88 2. จงหารากที่ 2 , 4 และ 8 ของ 1 และ พร้อมทั้งเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ในระนาบเชิงซ้อน 2.1 หารากที่ , และ ของ พร้อมทั้งเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ในระนาบเชิงซ้อน วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 89 [ 2.1 หารากที่ 2 , 4 และ 8 ของ 1 พร้อมทั้งเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ในระนาบเชิงซ้อน (ต่อ) ]
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 90 2.2 หารากที่ , และ ของ พร้อมทั้งเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ในระนาบเชิงซ้อน วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 91 [ 2.2 หารากที่ 2 , 4 และ 8 ของ พร้อมทั้งเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ในระนาบเชิงซ้อน (ต่อ) ]
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 92 3. จงหารากที่ 4 ของ 2 + 2√3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 93 4. จงหารากที่ 5 ของ 2 − 2√3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 94 5. จงหาจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับสมการต่อไปนี้ 5.1 z 4 = 1 + √3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 95 5.2 z 5 + = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 96 5.3 z 7 − 1 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 97 5.4 z 9 + 4 + 4 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 98 2.7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว จากที่ทราบมาแล้วว่า สมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง อาจไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง เช่น 2 + 1 = 0 และ 2 + + 1 = 0 แต่เมื่อพิจารณาคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้ว สมการพหุนามนี้มีคำตอบเสมอ ในหัวข้อที่ 2.3 ทราบแล้วว่า สมการ 2 + 1 = 0 มีคำตอบในระบบจำนวนเชิงซ้อนสองคำตอบ คือ และ – ในทำนองเดียวกัน สมการ 2 + + 1 = 0 มีคำตอบสองคำตอบ คือ −1+√3 2 และ −1−√3 2 ทฤษฎีบทต่อไปนี้ เรียกว่า ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต ซึ่งยืนยันว่าสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จะต้องมีคำตอบในระบบจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ทฤษฎีบท 9 ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต ( ℎ ) ให้ () เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและมีดีกรีมากกว่าศูนย์ จะได้ว่า สมการ () = 0 จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ การพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิตต้องใช้ความรู้ระดับสูง จึงจะขอไม่กล่าวถึงในทีนี้ ในหัวข้อนี้จะใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ เพื่อช่วยในการหาคำตอบทั้งหมดของสมการพหุนาม ทฤษฎีบท 10 ทฤษฎีบทตัวประกอบ ( ℎ) ให้ () = + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 1 + 0 เป็นพหุนาม โดยที่ เป็นจำนวนเต็มบวก และ , −1, −2, … , 1, 0 เป็นจำนวนจริง ซึ่ง ≠ 0 สำหรับจำนวนจริง ใดๆ จะได้ว่า พหุนาม () มี − เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ () = 0 ทฤษฎีบท 11 ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ ( ℎ) ให้ () = + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 1 + 0 เป็นพหุนาม โดยที่ เป็นจำนวนเต็มบวก และ , −1 , −2 , … , 1 , 0 เป็นจำนวนจริง ซึ่ง ≠ 0 ถ้า − เป็นตัวประกอบของพหุนาม () โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ และ เท่ากับ 1 แล้ว หาร ลงตัว และ หาร 0 ลงตัว
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 99 ตัวอย่างที่ 28 จงหาเซตคำตอบของสมการ 4 + 2 2 − 8 = 0 วิธีทำ เนื่องจาก 4 + 2 2 − 8 = ( 2) 2 + 2( 2 ) − 8 = ( 2 − 2)( 2 + 4) = ( 2 − (√2) 2 )( 2 + 4) = ( − √2)( + √2)( − 2)( + 2) ดังนั้นสมการ 4 + 2 2 − 8 = 0 จะได้ ( − √2)( + √2)( − 2)( + 2) = 0 มีคำตอบทั้งหมด 4 คำตอบ คือ = √2 , −√2 , 2 และ −2 ดังนั้นเซตคำตอบของสมการ 4 + 2 2 − 8 = 0 { √2 , −√2 , 2 , −2 } ………………………………………. ∎ ตัวอย่างที่ 29 จงหาเซตคำตอบของสมการ 3 − 3 2 + 5 + 9 = 0 วิธีทำ ให้ () = 3 − 3 2 + 5 + 9 จำนวนเต็มที่หาร 9 ลงตัว คือ ±1 , ±3 , ±9 ดังนั้น (−1) = (−1) 3 − 3(−1) 2 + 5(−1) + 9 = (−1) + (−3) + (−5) + 9 = 0 (1) = (1) 3 − 3(1) 2 + 5(1) + 9 = (1) + (−3) + (5) + 9 = 15 (−3) = (−3) 3 − 3(−3) 2 + 5(−3) + 9 = (−27) + (−27) + (−15) + 9 = −60 (3) = (3) 3 − 3(3) 2 + 5(3) + 9 = (27) + (−27) + (15) + 9 = 24 (−9) = (−9) 3 − 3(−9) 2 + 5(−9) + 9 = (−729) + (−243) + (−45) + 9 = −1,008 (9) = (9) 3 − 3(9) 2 + 5(9) + 9 = (729) + (−243) + (45) + 9 = 540 เราพบว่า (−1) = 0 ดังนั้น + 1 เป็นตัวประกอบของ () จะได้ + 1 = 0 หรือ 2 − 4 + 9 = 0 ถ้า 2 − 4 + 9 = 0 เมื่อ = −4 < 0 จะได้ = −(−4)±√ȁ(−4) 2−4(1)(9)ȁ 2(1) = 4±√ȁ16−36ȁ 2 = 4±√ȁ−20ȁ 2 = 4±√20 2 = 4±2√5 2 = 2 ± √5 จะได้ว่าสมการ 3 − 3 2 + 5 + 9 = 0 มีคำตอบทั้งหมด 3 คำตอบ คือ = −1 , 2 + √5 , และ 2 − √5 ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ { −1 , 2 + √5 , 2 − √5 } ………………………………………. ∎ ตัวอย่างที่ 30 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2 4 + 3 − 2 − 1 = 0 วิธีทำ ให้ () = 2 4 + 3 − 2 − 1 มี = −1 และ = 2 จำนวนเต็มที่หาร −1 ลงตัว คือ ±1 จำนวนเต็มที่หาร 2 ลงตัว คือ ±1 , ±2 ดังนั้นจำนวนตรรกยะ ที่ทำให้ ( ) = 0 คือ ±1 , ± 1 2 ดังนั้น (−1) = 2(−1) 4 + (−1) 3 − 2(−1) − 1 = (2) + (−1) + (2) − 1 = 2 (1) = 2(1) 4 + (1) 3 − 2(1) − 1 = (2) + (1) − (2) − 1 = 0 (− 1 2 ) = 2(− 1 2 ) 4 + (− 1 2 ) 3 − 2 (− 1 2 ) − 1 = ( 1 8 ) + (− 1 8 ) + (1) − 1 = 0 ( 1 2 ) = 2( 1 2 ) 4 + ( 1 2 ) 3 − 2 ( 1 2 ) − 1 = ( 1 8 ) + ( 1 8 ) + (−1) − 1 = − 7 4