จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 100 เราพบว่า (−1) = 0 ดังนั้น − 1 เป็นตัวประกอบของ () และ (− 1 2 ) = 0 ดังนั้น + 1 2 เป็นตัวประกอบของ () จาก () = 2 4 + 3 − 2 − 1 = 0 จะได้ () = ( − 1)(2 + 1)( 2 + + 1) = 0 ดังนั้น − 1 = 0 หรือ 2 + 1 = 0 หรือ 2 + + 1 = 0 จะได้ = 1 หรือ = − 1 2 และพิจารณา ถ้า 2 + + 1 = 0 เมื่อ = 1 > 0 จะได้ = −(1)±√ȁ(1) 2−4(1)(1)ȁ 2(1) = −1±√ȁ1−4ȁ 2 = −1±√ȁ−3ȁ 2 = −1±√3 2 จะได้ว่าสมการ 2 4 + 3 − 2 − 1 = 0 มีคำตอบทั้งหมด 4 คำตอบ คือ = 1 , − 1 2 , −1+√3 2 , และ −1−√3 2 ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ { − 1 2 , 1 , −1+√3 2 , และ −1−√3 2 } ………………………………………. ∎ โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 12 : ให้ () เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและมีดีกรี เมื่อ ≥ 1 จะได้ว่า สมการ () = 0 จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด คำตอบ เมื่อนับคำตอบที่ซ้ำกัน พิสูจน์ ให้ () = + 1 −1 + ⋯ + 1 + 0 เป็นพหุนามดีกรี เมื่อ ≥ 1 จากทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต จะได้ว่าสมการ () = 0 มีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนอย่างน้อย 1 คำตอบ ให้ 1 เป็นคำตอบของสมการ () = 0 นั่นคือ − 1 เป็นตัวประกอบของ () ซึ่งทำให้ได้ว่า () = ( − 1 ) 1 () โดยที่ 1 () เป็นพหุนามดีกรี − 1 ถ้า − 1 ≥ 1 สมการ 1 () = 0 จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนอย่างน้อย 1 คำตอบ ให้ 2 เป็นคำตอบของสมการ 1 () = 0 นั่นคือ − 2 เป็นตัวประกอบของ 1 ()ซึ่งทำให้ได้ว่า () = ( − 1 )( − 2 ) 2 () โดยที่ 2 () เป็นพหุนามดีกรี − 2 เมื่อดำเนินการเช่นนี้ไป ครั้ง จะได้ว่า () = ( − 1 )( − 2 )( − 3 ) … ( − )() แต่ ( − 1 )( − 2 )( − 3 ) … ( − ) เป็นพหุนามดีกรี ซึ่งเท่ากับดีกรีของ () จึงได้ว่า () ต้องเป็นค่าคงตัว นั่นคือ () = ดังนั้น () = ( − 1 )( − 2 )( − 3 ) … ( − ) นั่นคือ คำตอบทั้งหมดของสมการ () = 0 คือ 1 , 2 , 3 , … , ………………………………………. ∎ ตัวอย่าง เช่น ( − 1)( − 2)( + 2)( − 7) 3 ( + 6) 2 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี8 จะมีคำตอบทั้งหมด 8 คำตอบ โดยที่คำตอบที่แตกต่างกันทั้งหมด 5 คำตอบ คือ 1 , 7 , −6 , 2 และ −2 โดยที่ 7 เป็นคำตอบซ้ำ 3 คำตอบ และ −6 เป็นคำตอบซ้ำ 2 คำตอบ ………………………………………. ∎
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 101 ตัวอย่างที่ 31 จงหาเซตคำตอบของสมการ 4 − 2 3 + 5 2 − 8 + 4 = 0 วิธีทำ ให้ () = 4 − 2 3 + 5 2 − 8 + 4 จำนวนเต็มที่หาร 4 ลงตัว คือ ±1 , ±2 , ±4 ดังนั้น (−1) = (−1) 4 − 2(−1) 3 + 5(−1) 2 − 8(−1) + 4 = (1) + (2) + (5) + (8) + 4 = 20 (1) = (1) 4 − 2(1) 3 + 5(1) 2 − 8(1) + 4 = (1) + (−2) + (5) + (−8) + 4 = 0 (−2) = (−2) 4 − 2(−2) 3 + 5(−2) 2 − 8(−2) + 4 = (16) + (+16) + (5) + (20) + 4 = 61 (2) = (2) 4 − 2(2) 3 + 5(2) 2 − 8(2) + 4 = (16) + (−16) + (20) + (−16) + 4 = 8 (−4) = (−4) 4 − 2(−4) 3 + 5(−4) 2 − 8(−4) + 4 = (256) + (128) + (80) + (32) + 4 = 500 (4) = (4) 4 − 2(4) 3 + 5(4) 2 − 8(4) + 4 = (256) + (−128) + (80) + (−32) + 4 = 180 เราพบว่า (1) = 0 ดังนั้น − 1 เป็นตัวประกอบของ () นั่นคือ () = ( − 1)( − 1)( 2 + 4) = 0 ดังนั้น () = ( − 1)( − 1)( − 2) = 0 จะได้ว่าสมการ 4 − 2 3 + 5 2 − 8 + 4 = 0 มีคำตอบทั้งหมด 4 คำตอบ คือ = 1 , 1 , 2 และ −2 ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ { 1 , 2 , −2 } ………………………………………. ∎ ทฤษฎีบท 13 : ถ้าจำนวนเชิงซ้อน เป็นคำตอบของสมการพหุนาม + 1 −1 + ⋯ + −1 + = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ 1 , 2 , 3 , … , เป็นจำนวนจริง แล้ว ̅จะเป็นคำตอบของสมการพหุนามนี้ พิสูจน์ ให้จำนวนเชิงซ้อน เป็นคำตอบของสมการพหุนาม + 1 −1 + ⋯ + −1 + = 0 จะได้ + 1 −1 + ⋯ + −1 + = 0 + 1 −1 + ⋯ + −1 + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ ̅̅̅ + 1 ̅̅̅̅̅̅̅−̅1̅ + ⋯ + ̅̅̅̅−̅̅1̅̅ + ̅̅̅ = 0 ̅̅̅ + 1 ̅̅̅̅−̅1̅ + ⋯ + −1̅+ = 0 เนื่องจาก 1 , 2 , 3 , … , เป็นจำนวนจริง ̅ + 1̅ −1 + ⋯ + −1̅+ = 0 ดังนั้น ̅จะเป็นคำตอบของสมการ + 1 −1 + ⋯ + −1 + = 0 ………………………………………. ∎ ตัวอย่างที่ 32 จงแสดงว่า 2 + √3 เป็นคำตอบของสมการ 4 − 7 2 + 20 + 14 = 0 และจงหาเซตคำตอบของสมการนี้ วิธีทำ ให้ () = 4 − 7 2 + 20 + 14 และมี2 + √3 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ จะได้ (2 + √3) = (2 + √3) 4 − 7(2 + √3) 2 + 20(2 + √3) + 14 = (1 + 4√3) 2 − 7(1 + 4√3) + 40 + 20√3 + 14 = −47 + 8√3 − 7 − 28√3 + 40 + 20√3 + 14 = 0 ดังนั้น 2 + √3 เป็นคำตอบของสมการ () = 0 จากทฤษฎีบท 13 เนื่องจาก 2 + √3 เป็นคำตอบของสมการ จะได้ว่า 2 − √3 เป็นคำตอบของสมการด้วย เนื่องจาก ( − (2 + √3)( + (2 − √3) = 2 − 4 + 7 และเมื่อนำ 2 − 4 + 7 ไปหาร () ได้ผลหารเป็น 2 + 4 + 2 จะได้ 2 − 4 + 7 = 0 หรือ 2 + 4 + 2 = 0 ถ้า 2 − 4 + 7 = 0 แล้ว = 2 + √3 และ = 2 − √3 และถ้า 2 + 4 + 2 = 0 แล้ว = −2 + √2 และ = −2 − √2 จะได้ว่าสมการ 4 − 7 2 + 20 + 14 = 0 มีคำตอบทั้งหมด 4 คำตอบ คือ = 2 + √3 , 2 − √3 , −2 + √2 และ −2 − √2 ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ { 2 + √3 , 2 − √3 , −2 + √2 , −2 − √2 } ………………………………………. ∎
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 102 ตัวอย่างที่ 33 จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม มี 3 , −4 และ 3 + เป็นคำตอบ และมี1 เป็นสัมประสิทธิ์นำ วิธีทำ เนื่องจาก 3 + เป็นคำตอบของสมการ และจากทฤษฎีบท 13 จะได้ว่า 3 − เป็นคำตอบของสมการด้วย จะได้ () = ( − 3)( + 4)(( − (3 + ))(( − (3 − )) = 0 ( 2 + − 12)( 2 − 6 + 10) = 0 4 − 5 3 − 8 2 + 82 − 120 = 0 นั่นคือ () = 4 − 5 3 − 8 2 + 82 − 120 ดังนั้น 4 − 5 3 − 8 2 + 82 − 120 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม มี 3 , −4 และ 3 + เป็นคำตอบ และมี1 เป็นสัมประสิทธิ์นำ ………………………………………. ∎ กิจกรรมระหว่างเรียน 7 : แบบฝึกหัด 2.7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว 1. จงหารากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ พร้อมทั้งเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ในระนาบเชิงซ้อน 1.1 2 3 + 2 2 + + 1 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 103 1.2 2 3 − + 1 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 104 1.3 4 − 6 2 − 40 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 105 1.4 4 − 3 + 7 2 − 9 − 18 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 106 1.5 4 − 6 3 + 15 2 − 22 + 12 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 107 1.6 5 + 8 4 + 24 3 + 26 2 − 17 − 42 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 108 2. จงแสดงว่า −1 + √3 เป็นคำตอบของสมการพหุนาม 5 + 9 3 − 8 2 − 72 = 0 พร้อมทั้งหาเซตคำตอบของสมการพหุนามนี้ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 109 3. จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม มี 2 − 2√3 และ −4 เป็นคำตอบ และมี 1 เป็นสัมประสิทธิ์นำ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 110 4. จงแสดงว่าสมการพหุนาม 2 − + ( + 1) = 0 มี เป็นคำตอบ แต่ − ไม่ใช่คำตอบ พร้อมทั้งอธิบายว่าผลที่ได้ขัดแย้งกับทฤษฎีบท 13 หรือไม่ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 111 5. จงหาสมการพหุนามดีกรีต่ำสุดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และมี 1 เป็นสัมประสิทธิ์นำ และสอดคล้องกับเงื่อนไขในแต่ละข้อต่อไปนี้ 5.1 −3 , 2 และ เป็นคำตอบ 5.2 2 และ 5 เป็นคำตอบซ้ำ 2 คำตอบ และ 3 คำตอบ ตามลำดับ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 112 6. จงแสดงว่า −2 เป็นคำตอบซ้ำ 2 คำตอบ ของสมการพหุนาม 4 − 2 3 − 7 2 + 28 + 52 = 0 พร้อมทั้งหาเซตคำตอบของสมการพหุนามนี้ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 113 7. จงหาเซตคำตอบของสมการพหุนาม 4 − 2 3 − 7 2 + 28 + 52 = 0 เมื่อ 1 + เป็นคำตอบหนึ่งของสมการพหุนามนี้ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 114 แบบฝึกหัดท้ายบท : บทที่ 2 จำนวนเชิงซ้อน 1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 1.1) 2(1 + 5) + 3(−3 − 2) วิธีทำ 1.2) (2 − 4) + 2 (−3 + ) วิธีทำ 1.3) 4(2 − 5) − (1 − ) วิธีทำ 1.4) 2 (4 − 3) − 3 2 (2 − ) วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 115 1.5) (√3 − √5)(√3 + √5)(−1 − ) วิธีทำ 1.6) 5 3−2 วิธีทำ 1.7) 4−3 2+3 วิธีทำ 1.8) (3−2)(2) −2+3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 116 1.9) −5(2 − 3) − 5 4−3 วิธีทำ 1.10) 1 1− + 5 − 1 (1−)2 + 1 (1−)3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 117 2. ให้ , , และ เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่า ถ้า ( + ) 4 = + แล้ว 2 + 2 = ( 2 + 2) 4 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 118 3. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 3.1) 7+2 2 3 วิธีทำ 3.2) 1 + −1 + −2 + ⋯ + 16 วิธีทำ 3.3) (2+)(3+2) 1+ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 119 3.4) (2 + ) 2 + (2 − ) 2 วิธีทำ 3.5) 3+4 3−4 − 3−4 3+4 วิธีทำ 3.6) (√3 + ) −1 + (3̅̅̅+̅̅̅2̅̅) วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 120 4. กำหนดให้ 1 = 1 2+ และ 2 = 3 − 2 จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 4.1) 2̅2 วิธีทำ 4.2) 2 + 1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ วิธีทำ 4.3) ( 1 2 ) ̅̅̅̅̅ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 121 4.4) ̅1 + 1 2 วิธีทำ 4.5) ( 1 2 ) (1 − ) วิธีทำ 4.6) ̅̅1̅−2 1 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 122 4.7) (1 + ̅2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅)1 −1 วิธีทำ 4.8) (̅̅ 1 ̅̅−̅̅2̅)(̅̅2̅̅−̅̅̅) 3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 123 5. ให้ เป็นจำนวนเชิงซ้อน จงแสดงว่า 5.1) ̅ = −̅ วิธีทำ 5.2) () = () วิธีทำ 5.3) () = −() วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 124 6. จงหาจำนวนจริง และ ที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้ 6.1) (1 + ) + 2(1 − 2) = 3 วิธีทำ 6.2) (1 + 2) + (2 − 3) = 10 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 125 7. ให้ = 3 − 4 จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในระนาบเชิงซ้อน 7.1) 3 (เขียนกราฟ) วิธีทำ 7.2) ̅ (เขียนกราฟ) วิธีทำ 7.3) 1 (เขียนกราฟ) วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 126 7.4) (เขียนกราฟ) วิธีทำ 7.5) 3 (เขียนกราฟ) วิธีทำ 7.6) รากที่สองของ (เขียนกราฟ) วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 127 8. จงหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 8.1) (2−3)(3+4) (6+4)(15−8) วิธีทำ 8.2) 3(1−3) 2 1+ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 128 9. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว 9.1) (√2 + √2)(2 − 2√3) วิธีทำ 9.2) −2 5+5 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 129 9.3) (−3 + √3) 4 วิธีทำ 9.4) (−1 + √3) 5 (−1 − √3) −4 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 130 10. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป + เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง 10.1 (√3 − √3) 8 วิธีทำ 10.2) (−1 + √3) 10 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 131 10.3) 1 (−1−) 10 วิธีทำ 10.4) (− √3 3 − 3 ) 100 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 132 10.5) (−1+) 6(√3−) 8 (1+√3) 5 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 133 11. จงหาค่าของ และ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง เมื่อ เป็นจำนวนจริงบวก 11.1) (cos + sin ) = −√3 + 3 เมื่อ 6 ≤ 3 ≤ 9 วิธีทำ 11.2) 3(cos 3 + sin 3) = −1 − เมื่อ −2 ≤ ≤ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 134 11.3) 4(cos 4 + sin 4) = −√3 − เมื่อ −4 ≤ < 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 135 12. กำหนดให้ = +1 (cos 180 + sin 180) เมื่อ ∈ จงหาผลคูณ 123 … 180 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 136 13. จงหาจำนวนเชิงซ้อน ที่ () มากที่สุด และสอดคล้องกับสมการ 5 − √2 − √2 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 137 14. จงหารากที่ ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 14.1) −27 เมื่อ = 3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 138 14.2) −2 − 2√3 เมื่อ = 4 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 139 14.3) 1 เมื่อ = 5 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 140 14.4) − เมื่อ = 8 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 141 15. จงหารากที่ ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ พร้อมทั้งเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ในระนาบเชิงซ้อน 15.1) −8 เมื่อ = 3 วิธีทำ 15.2) −2√3 + 2 เมื่อ = 3 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 142 15.3) 2 − 2√3 เมื่อ = 4 วิธีทำ 15.4) 27 (cos 5 3 + sin 5 3 ) เมื่อ = 2 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 143 16. จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้ 16.1) 5 2 + 2 + 2 = 0 วิธีทำ 16.2) (2 − 3) 2 + 9 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 144 16.3) ( + 2)( 2 + 4 + 5) = 0 วิธีทำ 16.4) 2 3 + 2 + 1 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 145 17. จงหาสมการพหุนามดีกรีต่ำสุดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และมี 1 เป็นสัมประสิทธิ์นำ และสอดคล้องกับเงื่อนไขในแต่ละข้อต่อไปนี้ 17.1) 2 , − และ 2 + 3 เป็นคำตอบ วิธีทำ 17.2) 0 , 3 และ 1 − เป็นคำตอบ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 146 18. จงหาสมการพหุนามดีกรีต่ำสุดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และมี 1 เป็นสัมประสิทธิ์นำ และสอดคล้องกับเงื่อนไขในแต่ละข้อต่อไปนี้ 18.1) 6 และ −2 + เป็นคำตอบ วิธีทำ 18.2) −3 และ 1 + 2 เป็นคำตอบซ้ำ 2 คำตอบ ทั้งสองคำตอบ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 147 19. จงหาสมการพหุนามดีกรี 5 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม มี − 2 3 , −1 + และ 3 + √3 เป็นคำตอบ และมี 3 เป็นสัมประสิทธิ์นำ วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 148 20. จงหาจำนวนจริง และ ที่ทำให้1 + 2 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการพหุนาม 3 + + = 0 วิธีทำ 21. จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้ 21.1) 2 − − 12 = 0 วิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อน : ( ) MA33202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL 149 21.2) 4 + 4 3 + 4 2 = 0 วิธีทำ 21.3) 6 + 4 + 2 + 1 = 0 วิธีทำ