ลำดับและอนุกรม 1-2565

เอกสำรประกอบกำรเรียนกำรสอนลำดับและอนุกรม : ( )
MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 1

รำยวชิ ำคณิตศำสตรเ์ พม่ิ เตมิ ๕ (ค๓๓๒๐๑)

ชน้ั มธั ยมศึกษำปีท่ี ๖

ลำดับและอนกุ รม

( )

ครูผู้สอน


ภำคเรียนที่ ๑ ปกี ำรศึกษำ ๒๕๖๕
กลมุ่ สำระกำรเรียนร้คู ณติ ศำสตร์
โรงเรียนปำกเกร็ด อำเภอปำกเกร็ด จังหวดั นนทบุรี

ชื่อ นำมสกุล………………………………………..……………….……………….. ……………………...………………………….........................……..………………………………………..

ช้ัน ม. ๖/ เลขที่ เลขประจำตัว โทร…........…… . ………….……………………………..………………………..
………….. …………………………………

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 2

สำระและผลกำรเรียนรู้

รำยวชิ ำคณติ ศำสตร์เพิม่ เติม 5

ระดบั ชนั้ มัธยมศกึ ษำปีที่ 6

บทที่ 1. ลำดบั และอนกุ รม ( )

สำระกำรเรียนรู้ :
1.1 ลำดบั (Sequence)

1.1.1 ควำมหมำยของลำดับ (Meaning of the sequence)
1.1.2 ลำดับเลขคณติ (arithmetic sequence)
1.1.3 ลำดบั เรขำคณิต (geometric sequence)
1.1.4 ลำดับฮำรม์ อนกิ (harmonic sequence)
1.2 ลมิ ติ ของลำดบั อนนั ต์ (limit of an Infinite sequence)
1.3 อนุกรม (Series)
1.3.1 อนุกรมเลขคณิต (arithmetic series)
1.3.2 อนุกรมเรขำคณติ (geometric series)
1.3.3 อนุกรมอนันต์ (infinite series)
1.4 สัญลกั ษณแ์ สดงกำรบวก (summation symbol) และกำรนำไปใชใ้ นกำรหำผลบวกของอนุกรมอนันต์
1.5 กำรประยุกต์ของลำดบั และอนุกรม (applications of sequence and series)
1.5.1 ดอกเบยี้ ทบตน้
1.5.2 มูลค่ำปัจจุบนั และมูลคำ่ อนำคต
1.5.3 คำ่ งวด

ผลกำรเรียนรู้ (หลัก) :
1. ระบไุ ด้ว่ำลำดบั ทกี่ ำหนดให้เป็นลำดับลู่เข้ำหรือลอู่ อก
2. หำผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนกุ รมเรขำคณติ
3. หำผลบวกอนุกรมอนนั ต์
4. เข้ำใจและนำควำมรเู้ กีย่ วกบั ลำดบั และอนกุ รมไปใช้

ควำมรู้พืน้ ฐำนของนกั เรยี น (ท่ตี ้องเรียนมำแล้ว)
1. เลขยกกำลงั
2. ควำมสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั

จุดมุ่งหมำย (ยอ่ ย) : นกั เรยี นสำมำรถ
1. หำพจนต์ ำ่ ง ๆ ของลำดบั เลขคณิตและลำดบั เรขำคณติ
2. หำลมิ ิตของลำดบั อนนั ตโ์ ดยใช้ทฤษฎีบทเก่ยี วกับลมิ ติ
3. ระบุไดว้ ำ่ ลำดบั ทก่ี ำหนดใหเ้ ป็นลำดบั ลู่เขำ้ หรอื ลำดับลู่ออก
4. หำผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขำคณติ
5. หำผลบวกอนุกรมอนันต์
6. ระบไุ ดว้ ่ำอนุกรมที่กำหนดใหเ้ ปน็ อนุกรมลเู่ ข้ำหรืออนุกรมลูอ่ อก
7. ใช้ควำมรู้เกี่ยวกบั ลำดับและอนกุ รมในกำรแก้ปญั หำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 3

สำรบญั

เรอ่ื ง หน้ำ

1.1 ลำดับ ( ) …....................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.1.1 ควำมหมำยของลำดบั ( )Meaning of the sequence ..................................................................................................................... 4
(กก.1) แบบฝกึ หัด 1.1.1 ลำดับและลำดับของควำมสมั พนั ธ์เวยี นเกิด .................................................................................. 4
1.1.2 ลำดบั เลขคณติ ( )arithmetic sequence …........................................................................................................................................................ 8
(กก.2) แบบฝกึ หัด 1.1.2 ลำดับเลขคณติ ............................................................................................................................................................. 12
1.1.3 ลำดับเรขำคณิต ( )geometric sequence ..................................................................................................................................................... 23
(กก.3) แบบฝกึ หัด 1.1.2 ลำดบั เรขำคณิต ............................................................................................................................................................ 27
1.1.4 ลำดับฮำร์มอนิก ( )harmonic sequence ...................................................................................................................................................... 38
(กก.4) แบบฝกึ หดั 1.1.2 ลำดบั ฮำรม์ อนกิ ......................................................................................................................................................... 41
44
1.2 ลมิ ิตของลำดับอนนั ต์ (limit of an Infinite sequence) ............................................................................................................................ 49
(กก.5) แบบฝกึ หัด 1.2.1 กำรหำลมิ ติ ของลำดับโดยใช้ทฤษฎลี มิ ติ ............................................................................................ 58
(กก.6) แบบฝึกหดั 1.2.2 ลมิ ิตของลำดบั โดยกำรเขยี นกรำฟและใชท้ ฤษฎลี ิมติ ........................................................ 73
73
1.3 อนกุ รม ( )Series …................................................................................................................................................................................................................................................
1.3.1 อนุกรมเลขคณติ ( )arithmetic series ..............................................................................................................................................................

(กก.7) แบบฝึกหดั 1.3.1 กำรหำผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต .................................................................... 76
1.3.2 อนุกรมเรขำคณิต ( ) 83geometric series .............................................................................................................................................................

(กก.8) แบบฝกึ หัด 1.3.1 กำรหำผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณติ .................................................................. 85
1.3.3 อนุกรมอนันต์ ( ) 92infinite series ….......................................................................................................................................................................................

(กก.9) แบบฝึกหดั 1.3.1 กำรหำลำดับของผลบวกยอ่ ยอนุกรม ........................................................................................................... 93
(กก.10) แบบฝกึ หดั 1.3.2 กำรตรวจสอบกำรลู่เข้ำอนกุ รม ................................................................................................................. 94
(กก.11) แบบฝกึ หดั 1.3.3 กำรตรวจสอบกำรลู่เข้ำอนกุ รมเรขำคณติ ....................................................................................... 99
(กก.12) แบบฝกึ หัด 1.3.4 ลำดับของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมและผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ ....................... 103
1.4 สัญลกั ษณ์แสดงกำรบวก ( ) 117summation symbol .........................................................................................................................................................
1.4.1 สญั ลักษณแ์ สดงกำรบวก (summation symbol) และกำรนำไปใชใ้ นกำรหำผลบวกของอนุกรม ....... 117
(กก.13) แบบฝกึ หดั 1.4.1 ก. กำรเขียนอนกุ รมของลำดับโดยใช้สัญลักษณ์แทนกำรบวก ...................................... 117
(กก.14) แบบฝึกหดั 1.4.1 ข. กำรใช้สญั ลกั ษณ์แทนกำรบวกไปใช้ในกำรหำผลบวกของอนุกรม .... 119
(กก.15) แบบฝกึ หดั 1.4.1 ค. สญั ลกั ษณ์แสดงกำรบวกและกำรนำไปใช้ 122...................................................................................
1.4.2 อนกุ รมเทเลสโคป ( ) 130telescoping series .............................................................................................................................................................
(กก.16) แบบฝึกหัด 1.4.2 อนุกรมเทเลสโคป 136.........................................................................................................................................................
1.4.3 อนุกรมผสม ( ) 142mixed series ............................................................................................................................................................................................
(กก.17) แบบฝกึ หดั 1.4.3 อนุกรมผสม 144....................................................................................................................................................................
1.4.4 อนกุ รมพี ( ) 150P - series ….................................................................................................................................................................................................................
(กก.18) แบบฝึกหดั 1.4.4 อนกุ รมพี และกำรประยกุ ต์ของอนกุ รม .............................................................................................. 150
1.5 กำรประยกุ ตข์ องลำดับและอนกุ รม (application of sequence and series) ...................................................................... 156
1.5.1 ดอกเบ้ยี ทบต้น … 156….................................................................................................................................................................................................................................
(กก.19) แบบฝึกหัด 1.5.1 ดอกเบีย้ ทบตน้ 156..............................................................................................................................................................
1.5.2 มูลคำ่ ปจั จุบนั และมลู คำ่ อนำคต 160….........................................................................................................................................................................................

(กก.20) แบบฝึกหดั 1.5.2 มลู คำ่ ปัจจบุ นั และมลู คำ่ อนำคต ................................................................................................................. 161
1.5.3 ค่ำงวด 164…...........................................................................................................................................................................................................................................................

(กก.21) กจิ กรรม คำ่ งวด 165….........................................................................................................................................................................................................
(กก.22) แบบฝึกหัด 1.5.3 คำ่ งวด 167…...................................................................................................................................................................................
(กก.23) แบบฝกึ หดั ทำ้ ยบท 174 -230….......................................................................................................................................................................................................................

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 4

บทท่ี 1 ลำดับและอนกุ รม ( )

1.1 ลำดบั ( )

1.1.1 ลำดบั จำกดั และลำดับอนนั ต์ ( )

1.1.1 ควำมหมำยของลำดับ

 บทนยิ ำม 1 : ลำดับ ( )
ฟังก์ชนั ท่มี โี ดเมนเปน็ เซตของจำนวนเตม็ บวก ตัวแรกหรือโดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก

เรยี กว่ำ ลำดับ ( )

1.1.2 ข้อตกลงกำรเขียนลำดับ
จะเขียนเฉพำะสมำชิกของเรนจ์ เรยี งกนั กล่ำวคอื
ถำ้ เปน็ ลำดบั ซึง่ (1) = 1 , (2) = 2 , (3) = 3 , (4) = 4 , … , ( ) = แล้ว
เรียก 1 วำ่ พจน์ท่ี 1 ของลำดับ
2 ว่ำ พจน์ท่ี 2 ของลำดบั
3 ว่ำ พจนท์ ี่ 3 ของลำดบั

⋮
วำ่ พจน์ที่ ของลำดบั หรอื พจนท์ ั่วไป ( ) ของลำดับ

เรียกลำดับท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ตัวแรก ว่ำ ลำดับจำกัด ( )

เรียกลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกว่ำ ลำดับอนันต์ ( )

ในกำรเขียนลำดบั จะเขียนเฉพำะสมำชิกของเรนจเ์ รียงกันไปกล่ำวคือ
- ถ้ำ เป็นลำดบั จำกดั จะเขียนแทนดว้ ย 1 , 2 , 3 , … ,
- ในกรณที ี่ เปน็ ลำดับอนันต์ จะเขียนแทนดว้ ย 1 , 2 , 3 , … , , …

1.1.3 ตวั อยำ่ งของลำดบั เป็นลำดับจำกดั ( )
1) 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 เป็นลำดับจำกดั ( )
2) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , … , 99 เป็นลำดับอนนั ต์ ( )
3) 4,9,16,25,36, … , (n + 1)2, … เป็นลำดับอนันต์ ( )
4) 6 , 11 , 16 , 21 , 26 , … , 5 + 1 , …

1.1.4 กำรเขยี นแสดงลำดับ
สำมำรถเขยี นแสดงลำดบั ไดห้ ลำยรูปแบบ ดังน้ี
1) กำรเขยี นแสดงลำดบั โดยเขยี นแจกแจงพจน์ของลำดับ วิธกี ำรน้ใี ช้เขยี นลำดับท่เี ปน็ ลำดับจำกดั

และมีจำนวนพจนไ์ มม่ ำกนัก เช่น
1.1) 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35
1.2) 1 , 2 , 3 , … , 100

2) กำรเขียนแสดงลำดับโดยเขียนพจน์ทั่วไปของลำดบั วธิ กี ำรนจี้ ะเขียนลำดับในรูปสตู รของพจน์
ทั่วไปของลำดับ เช่น

2.1) = 5 เม่อื ∈ {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}
2.2) = เมือ่ ∈ {1 , 2 , 3 , … ,100}

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 5

3) กำรเขยี นแสดงลำดบั โดยใช้ควำมสัมพันธเ์ วียนเกิด ( ) วธิ กี ำรน้ีเป็นกำร
เขียนแสดงลำดบั ทอ่ี ำศัยข้อมลู จำกพจนเ์ ริ่มต้นและสตู รกำรหำพจน์พจนถ์ ดั ไปจำกพจน์ก่อนหน้ำ

 บทนิยำม 2. ลำดับของควำมสมั พันธ์เวียนเกดิ ( )
ลำดบั ของควำมสมั พันธ์เวยี นเกิด คอื ลำดับท่กี ำหนดพจน์เรมิ่ ตน้ จำนวนหนึง่ พร้อมกบั สูตรกำรหำ

พจนถ์ ดั ไปจำกพจน์ก่อนหนำ้

 ตวั อยำ่ งท่ี 1 กำหนดลำดบั ซ่ึง 1 = 3 และ = 2 −1 + 4 เม่ือ ≥ 2
จงหำ 5 พจน์แรกของลำดบั นี้

วิธที ำ แทน ใน = 2 −1 + 4 ด้วย 2 , 3 , 4 และ 5 จะได้
1 = 3
2 = 2 2−1 + 4 = 2 1 + 4 = 2(3) + 4 = 10
3 = 2 3−1 + 4 = 2 2 + 4 = 2(10) + 4 = 24
4 = 2 4−1 + 4 = 2 3 + 4 = 2(24) + 4 = 52
5 = 2 5−1 + 4 = 2 4 + 4 = 2(52) + 4 = 108

ดงั นนั้ 5 พจนแ์ รก ของลำดับของควำมสมั พนั ธ์เวยี นเกิดนี้ คือ 3 , 10 , 24 , 52 , 108 ∎

 ตัวอย่ำงท่ี 2 กำหนดลำดับ ซ่งึ 1 = 2 และ = −1 + 3 เม่ือ ≥ 2 จงหำสีพ่ จน์แรก
ของลำดับน้ี

วิธที ำ

 ตวั อย่ำงท่ี 3 กำหนดลำดบั ซึง่ 1 = 1 และ = −1 เม่ือ ≥ 2 จงหำหำ้ พจน์แรก ของลำดับนี้
วิธีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 6

4) กำรเขยี นแสดงลำดบั โดยกำรบอกเงอ่ื นไขของลำดบั หรอื สมบัตขิ องพจน์ของลำดบั วธิ กี ำรนีใ้ ชเ้ ม่อื

ไมท่ รำบสูตรของพจน์ทว่ั ไปของลำดับและไม่ทรำบควำมสัมพันธ์เวยี นเกดิ ของลำดบั เชน่
4.1) เป็นจำนวนเฉพำะตวั ท่ี คอื ลำดบั 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
4.2) เป็นทศนยิ มตำแหนง่ ท่ี ของ คอื ลำดบั 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, …

กิจกรรมระหว่ำงเรียน 1 : แบบฝึกหดั 1.1.1 ลำดับและลำดบั ของควำมสมั พนั ธ์เวยี นเกดิ

1. จงหำห้ำพจน์แรกของลำดบั ทีก่ ำหนดให้โดยใช้ควำมสัมพันธเ์ วียนเกดิ ตอ่ ไปน้ี
1.1) 1 = 0 และ = −1 + − 1 เมอ่ื ≥ 2
วธิ ีทำ

1.2) 1 = 1,000 และ = 1 + 0.05 −1 เม่ือ ≥ 2
วิธีทำ

1.3) 1 = 2 และ = 6 −1 เมอ่ื ≥ 2
วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 7

1.4) 1 = 1 , 2 = 2 และ = −1 + 2 −2 เม่อื ≥ 3
วธิ ีทำ

1.5) 1 = 2 , 2 = 0 และและ = −1 + −2 เมอ่ื ≥ 3
วิธีทำ

1.6) 1 = 2 = 1 และ +1 = −1 + เมอ่ื ≥ 2
วธิ ที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 8

2. จงหำเจ็ดพจน์แรกของลำดบั ของจำนวนเตม็ บวกทีห่ ำรดว้ ย 2 และ 7 ลงตวั โดยเรียงจำกน้อยไปมำก
วธิ ที ำ

1.1.2 ลำดบั เลขคณิต ( หรือ ∶ . . )

 บทนิยำม 3 : ลำดับเลขคณิต ( ℎ )

คือ ลำดับซ่ึงมีผลต่ำงท่ีได้จำกกำรนำพจน์ท่ี + 1 ลบด้วยพจน์ท่ี เป็นค่ำคงตัวที่เท่ำกัน

สำหรบั ทกุ จำนวนเตม็ บวก และเรียก คำ่ คงตวั ท่เี ปน็ ผลต่ำงนีว้ ่ำ ผลต่ำงรว่ ม ( )

ถ้ำให้ 1 , 2 , 3 , 4 , … , , +1 , … เป็นลำดับเลขคณิต ( . . ) แล้ว

= 2 − 1 = 3 − 2 = 4 − 3 = ⋯ = +1 − = ⋯

1 = 1

2 = 1 +
3 = 2 + = ( 1 + ) +
= 1 + 2

4 = 3 + = ( 1 + 2 ) + = 1 + 3

⋮

= −1 + = ( 1 + ( − 2) ) + = 1 + ( − 1)

เมือ่ กำหนดให้ 1 เป็นพจน์แรกของลำดบั เลขคณิต และ เป็นผลต่ำงรว่ ม
พจนท์ ี่ หรอื พจนท์ วั่ ไป ( ) ของลำดบั เลขคณิตคือ = 1 + ( − 1) ……….. ∎

 ตวั อยำ่ งของลำดับเลขคณิต และผลตำ่ งร่วม

1.1 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 เป็นลำดบั เลขคณิต มี 6 เป็นผลตำ่ งรว่ ม

1.2 2 , 4 , 6 , 8 , … , 100 เปน็ ลำดับเลขคณิต มี 2 เป็นผลต่ำงร่วม

1.3 − 1 , −3 , −5 , −7 , … , −2n + 1 , … , −99 เปน็ ลำดับเลขคณติ มี −2 เป็นผลต่ำงรว่ ม

1.4 25 , 22 , 19 , 16 , … เป็นลำดบั เลขคณติ มี − 3 เปน็ ผลต่ำงร่วม

1.5 1 , 3 , 2 , 5 , 3 , 7 , … เปน็ ลำดับเลขคณติ มี 1 เป็นผลต่ำงรว่ ม
22 2
2
1.6 9 , 4 , −1 , −6 , …
เป็นลำดับเลขคณติ มี − 5 เป็นผลตำ่ งร่วม

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 9

ตวั กลำงของลำดบั เลขคณิต หรอื ตวั กลำงเลขคณิต ( ℎ ∶ . .)

กำหนดลำดับเลขคณติ 3 ลำดบั ที่เรียงตดิ กนั เรำสำมำรถ หำพจนก์ ลำง ของลำดับเลขคณิตนน้ั ได้

ให้ , , เปน็ ลำดบั เลขคณติ และ เปน็ ผลตำ่ งร่วม
จะไดว้ ำ่ − = −

+ = +

2 = +

= + ∎

2

 ตัวอยำ่ งท่ี 4 กำหนด 17 , , 71 จงหำคำ่ ทที่ ำให้ 3 จำนวนนเ้ี รียงกนั เป็นลำดบั เลขคณติ
วธิ ที ำ จำกโจทย์กำหนดให้ 17 , , 71 เป็นลำดับเลขคณติ และ เปน็ ผลต่ำงรว่ ม

จะไดว้ ำ่ ผลตำ่ งรว่ ม − 17 = 71 − ∎

+ = 17 + 71
= 17+71 = 88 = 44

22

ดังนน้ั ค่ำ ท่ที ำให้ 3 จำนวนน้ีเรยี งกนั เปน็ ลำดับเลขคณิต คอื = 44

 ตัวอย่ำงที่ 5 จงหำสพ่ี จนถ์ ดั ไปของลำดับเลขคณติ −1 , 6 , 13 , ….
วิธที ำ

 ตัวอยำ่ งที่ 6 ถำ้ ลำดับเลขคณิตมี 1 = 22 และ 2 = 35 จงหำพจน์ท่ี 100 ของลำดบั นี้
วธิ ที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 10

 ตัวอย่ำงที่ 7 จงหำพจนท์ ว่ั ไปของลำดับเลขคณิต 6 , 2 , −2 , −6 , …
วิธีทำ

 ตัวอยำ่ งที่ 8 กำหนดลำดบั เลขคณติ 24 , 19 , 14 , 9 , … , −46 จงหำว่ำลำดับนี้มกี ่พี จนแ์ ละพจน์ท่ี 12
วิธที ำ

 ตวั อยำ่ งที่ 9 ถ้ำลำดบั เลขคณิตมพี จน์ท่ี 5 คอื 3 และพจนท์ ่ี 10 คือ 13 จงหำพจนท์ ี่ 100
วิธที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 11

 ตัวอย่ำงท่ี 10 ถ้ำ 6 และ 10 เป็นพจนส์ องพจนข์ องลำดับเลขคณติ ท่ีมพี จนอ์ กี หน่ึงพจน์อยรู่ ะหวำ่ งพจน์ทงั้ สองน้ี
จงหำพจนท์ ี่อยรู่ ะหวำ่ งพจน์ทงั้ สอง

วิธีทำ

 ตัวอยำ่ งที่ 11 จงหำจำนวนนบั ทีม่ ำกกวำ่ 7 แตน่ อ้ ยกวำ่ 1,610 ซึ่งหำรดว้ ย 6 ลงตัว มีทั้งหมดกจ่ี ำนวน
วิธที ำ

 ตวั อยำ่ งท่ี 12 นภำเรม่ิ ต้นทำงำนทบ่ี ริษทั แหง่ หนึง่ ในปแี รก นภำไดร้ ับเงนิ เดอื นเดือนละ 15,000 บำท
ถ้ำนภำได้รับเงนิ เดอื นเพ่ิมขึน้ ปีละ 300 บำท จงหำวำ่ ในอกี 10 ปขี ้ำงหนำ้ นภำจะไดร้ ับเงินเดือน
เดอื นละเทำ่ ใด

วิธที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 12

 ตัวอย่ำงที่ 13 กำหนดลำดับเลขคณติ 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , ... จงพจิ ำรณำว่ำ 12,345 อยู่ในลำดับนีห้ รอื ไม่
วธิ ีทำ

กจิ กรรมระหว่ำงเรียน 2 : แบบฝกึ หัด 1.1.2 ลำดับเลขคณติ
1. จงหาสพี่ จน์แรกของลาดับเลขคณติ เมื่อกาหนดให้

1.1) 1 = 2 และ = 4
วธิ ที ำ

1.2) 1 = 3 และ = 5
วิธที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 13

1.3) 1 = −3 และ = 3
วิธที ำ

1.4) 1 = −4 และ = 2
วิธีทำ

1.5) 1 = 5 และ = −2
วิธีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 14

1.6) 1 = −3 และ = −4
วธิ ีทำ

1.7) 1 =1 และ = 1

2 2

วธิ ีทำ

1.8) 1 =5 และ = − 3

2 2

วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 15

2. จงหาพจน์ของลาดบั เลขคณิต ทก่ี าหนดในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี

2.1) 3 เมื่อกาหนดให้ 1 = 4 และ = 3
วธิ ีทำ

2.2) 13 เมอ่ื กาหนดให้ 1 = 7 และ = −3
วิธที ำ

2.3) 20 เมอ่ื กาหนดให้ 1 =4 และ = −1

5

วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 16

2.4) 11 เม่อื กาหนดให้ 1 =4 และ = 1

2

วิธีทำ

3. จงหาพจนท์ ี่ ของลาดบั ตอ่ ไปน้ี
3.1) −2 , 4 , 10 , …

วิธที ำ

3.2) − 1 , 1 , 1 , …
662

วิธที ำ

3.3) 11 , 27 , 16 , …
2

วิธีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 17

3.4) 19.74 , 22.54 , 25.34 , …
วิธที ำ

3.5) , + 2 , + 4 , … เมื่อ เปน็ จานวนจริง
วิธีทำ

3.6) 3 + 2 , 2 + 4 , + 6 , … เม่อื และ เปน็ จานวนจรงิ
วิธีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 18

4. จงหาพจนท์ ขี่ าดหายไปของลาดับเลขคณติ ต่อไปนี้
4.1) 13 , 25 , ___ , ___ , ___

วิธีทำ

4.2) 18 , ___ , 11 , ___ , ___
วิธีทำ

4.3) 13 , ___ , ___ , ___ , 33 , ___
วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 19

4.4) ___ , ___ , 100 , ___ , ___ , 142 , ___

วธิ ีทำ

5. จงหาพจน์ที่ 15 ของลาดบั เลขคณิต 3 , 8 , 13 , 18 , 23 , …
วิธที ำ

6. จงหาพจนท์ ่ี 20 และพจนท์ ่ี 50 ของลาดบั เลขคณิตที่มพี จน์ท่ี เปน็ − − 3
วิธที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 20

7. จงหาพจน์แรกของลาดบั เลขคณิตที่มี 6 = 12 และ 10 = 16
วิธีทำ

8. จงหาพจน์ที่ 25 ของลาดบั เลขคณิตท่ีมี 3 = 20 และ 7 = 32
วิธที ำ

9. จงหา และ ของลาดบั เลขคณติ ท่ีมี 2 = 16 และ 12 = 116
วธิ ที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 21

10. -176 เปน็ พจนท์ ีเ่ ทา่ ใดของลาดับเลขคณติ -1 , -6 , -11 , …

วธิ ีทำ

11. ถา้ 39 และ 51 เปน็ พจนส์ องพจน์ของลาดบั เลขคณติ ทม่ี พี จน์อกี หนึ่งพจนอ์ ยรู่ ะหว่างพจนท์ ั้งสองนี้
จงหาพจนท์ ่ีอยูร่ ะหว่างพจน์ท้งั สองนี้

วิธีทำ

12. จงหาว่าจานวนนับท่อี ย่รู ะหวา่ ง 100 ถงึ 1,000 ซง่ึ หารดว้ ย 13 ลงตวั มีทั้งหมดกจี่ านวน
วธิ ที ำ

13. ถา้ สามพจนแ์ รกของลาดบั เลขคณิต คือ , 6 + 2 และ 8 + 1 จงหา และพจนท์ ่ัวไปของลาดับนี้
วธิ ที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 22

14. ถา้ ผลบวกของสามพจนแ์ รกของลาดับเลขคณิตคอื 12 และ ผลบวกของกาลังสามของแต่ละพจน์

ของท้งั สามพจนน์ ี้ คอื 408 จงหาพจนท์ ั่วไปของลาดับน้ี

วิธที ำ

15. สมศกั ด์ทิ างานทบ่ี รษิ ัทแหง่ หนง่ึ ไดร้ ับเงินเดือนเดือนละ 25,000 บาท และได้รบั เงนิ เดือนเพมิ่ ขึ้นปลี ะ 1,000 บาท
จงหาวา่ เมอื่ สมศกั ดท์ิ างานได้ 6 ปี เขาจะไดร้ ับเงินเดอื นเดอื นละเทา่ ใด

วิธที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 23

16. บริษัทขายรถยนต์แห่งหนึ่งรับซื้อรถยนต์คืนจากผู้ซ้ือ โดยจะซ้ือรถยนต์ที่ใช้แล้ว 1 ปี ในราคาท่ีต่ากว่าราคา

ทบี่ รษิ ัทขาย 100,000 บาท สาหรับรถยนตท์ ่ใี ชแ้ ลว้ เกนิ 1 ปี ราคาซ้อื คืนจะลดลงอีกปลี ะ 70,000 บาท ถา้

ซื้อรถยนต์จากบริษัทนี้มาในราคาหน่ึงล้านบาท จงหาว่าเม่ือใช้รถยนต์ไปแล้ว 5 ปี บริษัทจะรับซ้ือคืนในราคา ที่

ตา่ กวา่ ราคาท่ีซ้ือจากบรษิ ทั เทา่ ใด

วิธที ำ

1.1.3 ลำดับเรขำคณิต ( หรอื ∶ . . )

 บทนิยำม 4 ลำดบั เรขำคณติ ( )
คือ ลำดบั ซ่ึงมีอัตรำสว่ นของพจน์ที่ + 1 ต่อพจนท์ ี่ เป็นค่ำคงตวั ทเี่ ท่ำกนั สำหรบั ทกุ จำนวน

เตม็ บวก และเรยี กคำ่ คงตัวทีเ่ ป็นอัตรำสว่ นน้ีว่ำ อตั รำสว่ นรว่ ม ( )

ถำ้ ให้ 1 , 2 , 3 , … , , +1 , … เปน็ ลำดบั เรขำคณิตแล้ว

จะได้ = +1 หรอื = + 1 เมอ่ื ∈ +

= 2 = 3 = 4 = … = +1 = …
1 2 3

1 = 1

2 = 1 = ( 1 ) = 1 2 = 1 3−1
3 = 2 = ( 1 2) = 1 3 = 1 4−1
4 = 3

⋮

= −1 = ( 1 −2) = 1 −1

ดงั น้ัน เมือ่ กำหนดให้ 1 เป็นพจนแ์ รกของลำดบั เรขำคณิต และ เปน็ อัตรำส่วนรว่ ม
พจน์ท่ี หรือพจน์ทว่ั ไป ( ) ของลำดบั เรขำคณิต คอื = 1 −1 ........ ∎

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 24

 ตวั อย่ำงของลำดบั เรขำคณิต และอตั รำส่วนร่วม

1.1 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 เป็นลำดบั เรขำคณิต มี 2 เป็นอัตรำส่วนรว่ ม

1.2 2 , 6 , 18, 54 , … , 486 เป็นลำดบั เรขำคณติ มี 3 เป็นอัตรำส่วนรว่ ม

1.3 −1 ,−3 ,−9 ,−27 , … , (−1)(3) −1, … ,−2,187 เปน็ ลำดับเรขำคณติ มี 3 เป็นอัตรำสว่ นรว่ ม

1.4 125 , 25 , 5 , 1 , … เปน็ ลำดบั เรขำคณติ มี 1 เป็นอตั รำสว่ นรว่ ม
1.5 81 , 27 , 9 , 3 , 1 , 1 , … 5

3 เปน็ ลำดบั เรขำคณิต มี 1 เปน็ อัตรำสว่ นรว่ ม
3
1.6 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , …
2 4 8 16 เป็นลำดบั เรขำคณติ มี 1 เปน็ อตั รำส่วนรว่ ม
2

ตัวกลำงของลำดับเรขำคณติ หรอื ตัวกลำงเรขำคณติ ( ∶ . .)

กำหนดลำดบั เรขำคณิต 3 ลำดับทเ่ี รียงติดกนั เรำสำมำรถหำพจน์กลำงของลำดบั เรขำคณิตนนั้ ได้

ให้ , , เปน็ ลำดับเรขำคณติ และ เป็นอตั รำส่วนรว่ ม

จะไดว้ ำ่ =



2 =

z = √ ∎

 ตวั อย่ำงที่ 14 กำหนด 9 , , 81 จงหำค่ำ ทท่ี ำให้ 3 จำนวนนี้เรียงกนั เปน็ ลำดบั เรขำคณติ

วธิ ีทำ กำหนดให้ 9 , , 81 เป็นลำดับเลขคณติ และ เป็นอัตรำสว่ นรว่ ม

จะไดอ้ ัตรำสว่ นร่วม โดยที่ = 81

9

2 = 9  81

z = ±√9  81 = ±√32 92 = ±√(39)2 = ± 27

นน่ั คอื ถำ้ z = 27 จะได้ลำดบั เรขำคณิต 9 , 27 , 81 เมื่อ = 3 เป็นอตั รำส่วนร่วม ∎1.

และ ถำ้ z = −27 จะได้ลำดับเรขำคณติ 9 , −27 , 81 เมื่อ = −3 เป็นอตั รำส่วนรว่ ม ∎2.

 ตวั อยำ่ งท่ี 15 จงหำสพ่ี จน์แรกของลำดับเรขำคณติ ทีม่ ี 3 เป็นพจนแ์ รก และ 4 เป็นอตั รำส่วนรว่ ม
4

วิธที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 25

 ตัวอย่ำงท่ี 16 จงหำพจน์ท่ี 7 ของลำดบั เรขำคณติ 4 , 20 , 100 , …
วิธีทำ

 ตัวอยำ่ งท่ี 17 จงหำพจน์ทัว่ ไป ของลำดบั เรขำคณติ 8 , 16 , 32 , 64 , ...
วิธที ำ

 ตวั อย่ำงท่ี 18 ลำดับเรขำคณติ ลำดับหน่งึ มีพจนท์ ี่ 3 มำกกวำ่ พจน์ที่ 2 อยู่ 9 และพจนท์ ี่ 2 มำกกวำ่ พจนแ์ รก
14
อยู่ 3 จงหำพจน์ที่ ของลำดับนี้
7
วิธที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 26

 ตัวอย่ำงที่ 19 ถ้ำ 6 และ 24 เป็นพจน์สองพจนข์ องลำดบั เรขำคณิตทม่ี พี จนอ์ ีกหน่งึ พจนอ์ ยู่ระหว่ำงพจน์
ทัง้ สองน้ี จงหำพจนท์ ี่อยรู่ ะหวำ่ งพจน์ทัง้ สองนท้ี ีเ่ ป็นไปไดท้ ้งั หมด

วิธที ำ

 ตวั อยำ่ งท่ี 20 จงหำ , และ ของลำดับเรขำคณิต 8 , , , , 1 , …
2
วธิ ีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 27

 ตวั อย่ำงท่ี 21 ในเมอื งหนึง่ มปี ระชำกรอำศยั อยู่ 100,000 คน ถำ้ จำนวนประชำกรในเมืองน้เี พ่ิมข้ึน 2 % ทกุ ปี
ในอกี 10 ปขี ำ้ งหน้ำ จะมจี ำนวนประชำกรในเมืองน้ีประมำณกค่ี น

วธิ ีทำ

กจิ กรรมระหว่ำงเรียน 3 : แบบฝึกหัด 1.1.3 ลำดบั เรขำคณติ (G.P.)

1. จงพจิ ารณาวา่ ลาดับทก่ี าหนดใหต้ ่อไปน้ีเปน็ ลาดับเลขคณิตหรอื ลาดบั เรขาคณิต
ถา้ เปน็ ลาดับเลขคณิต (A. P. ) จงหาผลตา่ งร่วม(d) ถ้าเปน็ ลาดบั เรขาคณิต (G.P. ) จงหาอตั ราสว่ นรว่ ม (r)
1.1) 7 , 9 , 11 , 13 , … , 2 + 5
วิธที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 28

1.2) 6 , −6 , 6 , −6 , … , 6(−1) −1
วิธที ำ

1.3) 4 , 2 , 0 , −2 , … , 6 − 2
วธิ ีทำ

1.4) 3 , 1 , 1 , 1 , … , 9 (1)
39 3

วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 29

1.5) − 1 , − 2 , − 1 , − 4 , … , −
452 7 +3

วิธที ำ

2. จงหาสามพจน์ถัดไป ของลาดบั เรขาคณติ (G. P.) ตอ่ ไปน้ี
2.1) 1 , 7 , 49 , 343 , …

วิธีทำ

2.2) −1 , 2 , −4 , 8 , …
วธิ ีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 30

2.3) 3 , 1 , 1 , 1 , …
39

วธิ ีทำ

3. จงหาพจนท์ ี่ 9 ของลาดบั เรขาคณิต 2 , 4 , 8 , 16 , …
วิธีทำ

4. จงหาพจนท์ ่ี 11 ของลาดบั เรขาคณิต 2 , -10 , 50 , -250 , …
วิธที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 31

5. จงหาพจน์ที่ 8 ของลาดบั เรขาคณติ 1 , 1 , 1 , 1 , …
2 6 18 54
วิธีทำ

6. จงหาพจนท์ ่ี ของลาดบั เรขาคณติ (G. P. ) ต่อไปน้ี
6.1) −3 , −6 , −12 , …

วธิ ที ำ

6.2) 10 , −5 , 5 , …
2

วิธีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 32

6.3) 1 , 5 , 25 , …
44 4

วิธที ำ

6.4) 5 , 5 , 10 , …
63 3

วิธที ำ

6.5) − 2 , − 1 , − 1 , …
9 12 32

วธิ ีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 33

6.6) 2 , 2√3 , 6 , …
วิธีทำ

6.7) −1 , 0.3 , −0.09 , …
วธิ ที ำ

6.8) 3 , 2 2 , 3 , … เมอ่ื และ เปน็ จานวนจริงท่ีไม่เปน็ ศนู ย์

วิธีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 34

7. จงหาพจนแ์ รกของลาดับเรขาคณติ ที่มี 16 เป็นพจนท์ ่ีหา้ และ 2 เปน็ อตั ราส่วนร่วม

วิธีทำ

8. จงหาอตั ราสว่ นร่วมของลาดับเรขาคณิตที่มี 3 = 12 และ 6 = 96
วิธที ำ

9. 162 เป็นพจน์ท่เี ทา่ ใดของลาดับเรขาคณิต 2 , -6 , 18 , …
วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 35

10. จงหาพจน์ท่ีขาดหายไปของลาดบั เรขาคณติ ตอ่ ไปนี้
10.1) 4 , 1 , ___ , ___ , ___

วิธีทำ

10.2) 2 , ___ , 2 , ___ , ___
9

วิธีทำ

10.3) 3 , ___ , ___ , ___ , 3 , ___
7 343

วธิ ที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 36

10.4) ___ , ___ , 1 , ___ , ___ , 8 , ___
27

วิธที ำ

11. จงหาพจนท์ ี่อยรู่ ะหวา่ งพจนส์ องพจน์ของลาดบั เรขาคณิตทก่ี าหนดใหต้ ่อไปน้ี
11.1) 5 และ 20

วิธีทำ

11.2) 8 และ 12
วธิ ีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 37

12. ถ้าสามพจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณติ คอื + 3, + 20 และ + 105
จงหา และพจนท์ ว่ั ไป ของลาดบั นี้

วิธที ำ

13. ใน พ.ศ. 2560 อาเภอหน่งึ มปี ระชากร 60,000 คน ถา้ ประชากรในอาเภอนี้เพิม่ ข้ึนปลี ะ 2%
จงหาสตู รการคานวณจานวนประชากรในแตล่ ะปี พรอ้ มทง้ั หาจานวนประชากรในปี พ.ศ. 2575

วิธที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 38

14. เมื่อปลอ่ ยลกู บอลที่มีความสูง 2 เมตร จากระดับพ้นื ดนิ แล้วในแต่ละครั้งทลี่ ูกบอลกระทบพ้นื ลกู บอลจะกระดอนข้ึน

โดยความสูงของลูกบอลจากระดับพนื้ ดินจะลดลงเหลือ 80% ของระยะทางกอ่ นหนา้ จงเขียนฟังก์ชันแสดงความสูง

ของลูกบอล เมือ่ ลูกบอลกระทบพื้น ไป ครั้ง

วิธที ำ

1.1.4 ลำดบั ฮำรม์ อนกิ (ℎ หรอื ℎ ∶ . . )

 บทนิยำม 5 ลำดบั ฮำรม์ อนกิ (ℎ )

คือ ลำดบั ซ่ึงมสี มบัติวำ่ ลำดบั ของสว่ นกลับ = 1 เป็นลำดบั เลขคณิต


1) กำหนด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … , −1 , เปน็ ลำดับเลขคณิต

จะไดว้ ำ่ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , … , 1 , 1 เปน็ ลำดับฮำร์มอนิก
1 2 3 4 5 −1
น่ันคือ ลำดับฮำรม์ อนกิ เปน็ บทกลับ ของลำดบั เลขคณิต

2) ทำนองเดียวกนั ถ้ำ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , … , 1 , 1 เป็นลำดับเลขคณิต
1 2 3 4 5 −1
จะได้วำ่ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … , −1 , เปน็ ลำดบั ฮำร์มอนกิ

3) จำกบทนยิ ำม 5 ถำ้ ให้ เปน็ ลำดับฮำรม์ อนิก

จะได้วำ่ ลำดับของส่วนกลับ = 1 เปน็ ลำดบั เลขคณิต


ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 39

 ตวั อย่ำงที่ 22. กำหนดลำดับฮำรม์ อนิก 48 , 24 , 16 , … จงหำพจนท์ ่ี 4 ของลำดบั น้ี

วธิ ที ำ เนื่องจำก 48 , 24 , 16 , … เป็นลำดบั ฮำร์มอนิก

จะได้วำ่ 1 , 1 , 1 , … เปน็ ลำดบั เลขคณติ
48 24 16
ท่ีมี 1 =1 และผลตำ่ งรว่ ม 1-1 = 1
1 = 48 , 2 24 = 2 - 1 =
24 48 48
แทนค่ำ 1 และ ลงในพจนท์ ัว่ ไปของลำดบั เลขคณิต = 1 + ( − 1)

จะได้ = 1 + ( − 1) ( 1 ) = 1 + - 1 =
48 48 48
48 48 48
นนั่ คือ พจนท์ ั่วไปของลำดับเลขคณิต
= 48 ……… 1 ∎

และจะได้พจน์ทวั่ ไปของลำดบั ฮำรม์ อนกิ = 48 ……… 2 ∎

ดงั น้นั พจนท์ ี่ 4 ของลำดบั ฮำรม์ อนิก คือ 48 = 12
4 = ………3 ∎
4

ตวั กลำงของลำดับฮำรม์ อนกิ หรอื ตวั กลำงฮำรม์ อนกิ ( ∶ . )

กำหนดลำดับฮำรม์ อนกิ 3 ลำดับที่เรยี งตดิ กนั เรำสำมำรถหำพจน์กลำงของลำดบั ฮำรม์ อนิกนัน้ ได้

ถ้ำ , , เป็นลำดบั ฮำร์มอนกิ แล้ว 1 , 1 , 1 เปน็ ลำดับเลขคณิต

จะไดผ้ ลตำ่ งรว่ ม โดยท่ี - = -


1+1 = 1 +1


2= +

2
+
= ∎

 ตวั อยำ่ งที่ 23 กำหนด , , เป็นลำดบั อำรม์ อนิกแล้ว จงพิสจู น์วำ่ = 2
+
วิธที ำ จำกนิยำม ถ้ำ , , c เป็นลำดับฮำรม์ อนกิ แล้ว 1 , 1 , 1 เปน็ ลำดบั เลขคณติ

1-1 = 1 -1
จะไดผ้ ลตำ่ งรว่ ม โดยที่

1+1 = 1 +1

2= +


1= +

2
= 2

1 +
นั่นคอื ถำ้ , , เปน็ ลำดบั อำรม์ อนิกแลว้ พจนก์ ลำงของลำดบั อำรม์ อนิก คอื = 2 …… ∎
+

 ตัวอย่ำงที่ 24 จงแสดงวำ่ ลำดบั ท่ี = 2 เปน็ ลำดบั ฮำร์มอนิก
3

วธิ ีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 40

 ตัวอยำ่ งท่ี 25 กำหนด เป็นลำดับฮำรม์ อนกิ ซึ่ง 2 = 1 และ 3 = 1 จงหำ 1
3 5
วธิ ที ำ

 ตวั อย่ำงท่ี 26 กำหนด 1 , 1 , 1 , 1 ,… เป็นลำดบั ฮำร์มอนิก จงหำพจน์ท่ี และพจนท์ ่ี 10
3 8 13 18
ของลำดับฮำร์มอนิก

วธิ ีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 41

กจิ กรรมระหวำ่ งเรยี น 4 : แบบฝกึ หัด 1.1.4 ลำดับฮำรม์ อนิก (H.P.)

1. ให้ เปน็ ลาดบั ฮารม์ อนกิ ซึ่ง 3 = 3 และ 6 = 6 จงหา 4 + 5
วธิ ที ำ

2. จงพจิ ารณาว่าลาดับ 23 , 43 , 83 , … , 2 3 , … เปน็ ลาดบั ฮารม์ อนกิ หรือไม่
วิธีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 42

3. ให้ เปน็ ลาดับฮาร์มอนิกซึง่ 1 = 1 และ 2 + 3 = 1 จงหาค่าทเี่ ป็นไปไดท้ ั้งหมดของ
วธิ ที ำ

4. กำหนดลำดบั ฮำรม์ อนิก 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , … จงหำพจน์ท่ี 21 ของลำดบั น้ี
3253
วธิ ที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 43
5 + 12
5. กำหนดลำดับฮำรม์ อนกิ มี 1 =6 และ 6 = 6 จงหำคำ่ ของ
5
วิธีทำ 11

6. กำหนด 1 , , 1 เป็นสำมพจนท์ เี่ รยี งกนั เปน็ ลำดบั อำร์มอนกิ แลว้ จงหำคำ่
2 14
วิธที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 44

1.2 ลมิ ิตของลำดบั ( )

ในหัวข้อน้ีจะกล่ำวถงึ สมบัติบำงประกำรของลำดับ โดยจะพิจำรณำพจน์ที่ ของลำดบั เม่ือ มำกขน้ึ โดยไม่
มีท่สี ้ินสุด

1) พิจำรณำกรำฟของลำดบั เมอ่ื = 1
2

1 2 3 4 5 6 7 8 …
…
เขยี นกรำฟ

จำกกรำฟ จะเหน็ ว่ำ เมื่อ มำกข้ึนโดยไมม่ ที ่สี ิ้นสดุ ( ) คำ่ ของ ......................................................................................................................
→ ∞

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2) พิจำรณำกรำฟของลำดบั เมอ่ื = 3

1 2 3 4 5 6 7 8 …
…
เขยี นกรำฟ

จำกกรำฟ จะเหน็ ว่ำ เมอ่ื มำกขน้ึ โดยไมม่ ีทสี่ ้นิ สดุ ( ) คำ่ ของ
→ ∞ ......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 45

3) พจิ ำรณำกรำฟของลำดบั เมอ่ื = 1 + (−1) 678…
…

1 2 3 4 5



เขยี นกรำฟ

จำกกรำฟ จะเห็นวำ่ เม่อื มำกข้นึ โดยไมม่ ที ่ีสิ้นสุด ( ) คำ่ ของ ......................................................................................................................
→ ∞

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4) พิจำรณำกรำฟของลำดบั เมอ่ื = 2 − 1

1 2 3 4 5 6 7 8 …
…

เขยี นกรำฟ

จำกกรำฟ จะเห็นว่ำ เมอื่ มำกข้ึนโดยไมม่ ีทส่ี ิ้นสุด ( ) คำ่ ของ ......................................................................................................................
→ ∞

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 46

5) พิจำรณำกรำฟของลำดับ เม่อื = (−1) +1 678…
…
1 2 3 4 5



เขียนกรำฟ

จำกกรำฟ จะเห็นวำ่ เม่อื มำกขนึ้ โดยไมม่ ีที่สิน้ สดุ ( ) ค่ำของ
→ ∞ ......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลิมติ ของลำดบั ( )

 บทนิยำม 6 : ลมิ ิตของลำดบั ( )

ให้ 1, 2, 3, … , , … ลิมติ ของลำดบั ถ้ำ มำกขน้ึ โดยไมม่ ีทส่ี ิ้นสดุ แลว้ เข้ำใกล้

หรือเท่ำกับจำนวนจรงิ เพียงจำนวนเดียวเทำ่ น้นั

จะเขียน lim = (อ่ำนวำ่ ลิมติ ของลำดับ เมอ่ื มำกข้ึนโดยไมม่ ที ่สี น้ิ สุด เท่ำกบั )

n→∞
และจะเรยี ก วำ่ ลมิ ิตของลำดับ ( ) และกลำ่ ววำ่ ลำดบั นมี้ ีลิมิตเทำ่ กับ

เรยี กลำดบั อนันตท์ ีม่ ีลิมิตว่ำ ลำดบั ลู่เข้ำ ( )

และเรยี กลำดับอนนั ตท์ ไี่ ม่ใชล่ ำดับลู่เขำ้ ว่ำ ลำดับลู่ออก ( )

เมอื่ พิจำรณำลำดับในข้อ 1) ถงึ 5) จำกขำ้ งตน้ จะได้วำ่

1) ลมิ ติ ของลำดบั = 1 เปน็ 0 และลำดับนเ้ี ป็นลำดับลเู่ ขำ้ ( )
2
2) ลมิ ิตของลำดับ = 3 เป็น 3 และลำดบั น้เี ปน็ ลำดบั ลูเ่ ขำ้ ( )
(−1)
3) ลิมิตของลำดบั = 1 + เป็น 1 และลำดับนี้เปน็ ลำดบั ลู่เข้ำ ( )

4) เม่ือ มำกข้นึ โดยไม่มที ่ีส้นิ สุดแลว้ = 2 − 1 ไมเ่ ข้ำใกลจ้ ำนวนจริงใด จะกลำ่ ววำ่ ลิมติ

ของลำดบั = 2 − 1 ไมม่ ีคำ่ ดงั นั้น ลำดับ = 2 − 1 เป็นลำดับลอู่ อก (

)

5) เม่อื มำกขึ้นโดยไมม่ ีทส่ี ิน้ สดุ แล้ว = (−1) +1 ไมเ่ ข้ำใกลห้ รือเทำ่ กบั จำนวนจริงเพียงจำนวน

เดียว จะกลำ่ ววำ่ ลมิ ิตของลำดับ = (−1) +1 ไมม่ คี ำ่ ดังนั้น ลำดบั = (−1) +1 เป็นลำดับ

ลอู่ อก ( ) และจะเรยี กลำดับลอู่ อกทมี่ ีลักษณะของกรำฟขึ้นและลงสลบั กนั

โดยไม่เข้ำใกล้จำนวนใดจำนวนหนง่ึ เชน่ นี้วำ่ ลำดับแกวง่ กวดั ( )

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 47

 ตัวอยำ่ งที่ 27 จงเขยี นกรำฟและหำลิมติ ของลำดบั เม่ือ 678…
…
27.1) = 1
3

1 2 3 4 5



เขยี นกรำฟ

จำกกรำฟ จะเหน็ วำ่ เม่อื มำกขึ้นโดยไม่มีที่สน้ิ สุด ( ) คำ่ ของ
→ ∞ ......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

27.2) = 3
1 2 3 4 5 6 7 8 …
…
เขียนกรำฟ

จำกกรำฟ จะเหน็ ว่ำ เมอ่ื มำกขน้ึ โดยไม่มที ี่สิน้ สดุ ( ) คำ่ ของ
→ ∞ ......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 48

 ตัวอยำ่ งท่ี 28 จงหำลมิ ติ ของลำดับ เมอ่ื 45 678…
…
28.1) = 1
3
1 2 3



เขียนกรำฟ

จำกกรำฟ จะเหน็ วำ่ เมื่อ มำกข้ึนโดยไม่มีท่สี ิ้นสดุ ( ) คำ่ ของ ......................................................................................................................
→ ∞

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

28.2) = (− 3)

2
1 2 3 4 5 6 7 8 …

…

เขียนกรำฟ

จำกกรำฟ จะเห็นว่ำ เม่ือ มำกขึ้นโดยไม่มที ี่สิ้นสุด ( ) ค่ำของ
→ ∞ ......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 49

ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับลมิ ติ

 ทฤษฎบี ท 1 ให้ เป็นจำนวนจรงิ บวก จะไดว้ ำ่

1.1 lim 1 = 0 และ

n→∞
1.2 lim ไม่มีค่ำ
n→∞

 ทฤษฎีบท 2 ให้ เปน็ จำนวนจรงิ จะไดว้ ำ่
2.1 ถำ้ | | < 1 แลว้ lim n = 0

n→∞

2.2 ถ้ำ | | > 1 แล้ว lim n ไมม่ ีคำ่
n→∞

 ทฤษฎบี ท 3 ให้ , , เป็นลำดบั ของจำนวนจริง , เป็นจำนวนจรงิ และ เป็นคำ่ คงตัวใด ๆ

โดยท่ี lim = และ lim = จะไดว้ ่ำ

n→∞ n→∞
3.1 ถำ้ ทุกจำนวนเตม็ บวก แล้ว
= lim = lim =

3.2 →∞ →∞

lim = lim =

3.3 →∞ →∞

l i→m∞( + ) = lim + lim = +

3.4 →∞ →∞

l i→m∞( − ) = lim − lim = −

3.5 →∞ →∞

l i→m∞( ∙ ) = lim ∙ lim = ∙

→∞ →∞ lim

3.6 ถ้ำ ≠ 0 ทกุ จำนวนเต็มบวก และ แล้ว≠ 0 lim ( ) = →∞ =

→∞ lim

→∞

 ทฤษฎบี ท 4 ให้ 1, 2, 3, … , , … เป็นลาดบั ซง่ึ ≠ 0 สาหรับทุกจานวนเตม็ บวก

ถา้ lim 1 = 0 แล้ว ลาดับ 1 , 2 , 3 , … , , … จะลูอ่ อก

n→∞

 ทฤษฎบี ท 5 ให้ เปน็ ลำดบั ของจำนวนจริงทมี่ ำกกวำ่ หรอื เท่ำกับศนู ย์ เปน็ จำนวนจรงิ และ
เป็นจำนวนเตม็ ท่ีมำกกวำ่ หรือเท่ำกบั สอง จะได้วำ่

ถำ้ lim = แลว้ lim √ = √

n→∞ n→∞

กิจกรรมระหว่ำงเรยี น 5 : แบบฝกึ หดั 1.2.1 กำรหำลมิ ติ ของลำดับโดยใช้ทฤษฎลี มิ ิต

 ตวั อยำ่ งท่ี 29 จงหำลมิ ติ ของลำดบั เมือ่

29.1) = (− 1)

วิธีทำ 2

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 50

29.2) = (− 5)

วิธที ำ 3

29.3) = 1
4
วิธที ำ

29.4) = 2
วธิ ีทำ