ลำดับและอนุกรม 1-2565

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 101

60.2) 0.45̇ 67̇
วธิ ที ำ

60.3) 5.42̇ 7̇
วิธีทำ

 ตัวอย่ำงท่ี 61 จงหำผลบวก พจน์แรกและผลบวก 10 พจนแ์ รก ของอนกุ รม 1 + 11 + 111 + 1111 + ⋯
วธิ ที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 102

 ตัวอยำ่ งที่ 62 จงหำผลบวก 10 พจนแ์ รก ของอนกุ รม 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯
2 4 8 16
วิธที ำ

 ตวั อยำ่ งท่ี 63 จงหำผลบวกของอนกุ รม log 3 + log 32 + log 33 + ⋯ + log 320
วธิ ีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 103

 ตัวอย่ำงที่ 64 อนุกรมเรขำคณติ อนกุ รมหนงึ่ มพี จนท์ ีส่ องเท่ำกับ 6 และผลบวกอนันต์เทำ่ กบั 24 จงหำอนกุ รมน้ี
วิธที ำ

กจิ กรรมระหวำ่ งเรยี น 12 : แบบฝึกหัด 1.3.4 ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมและผลบวกของอนุกรมอนนั ต์

1. จงหำลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมต่อไปนี้ และ จงพจิ ำรณำวำ่ อนุกรมเหลำ่ น้ีมีอนกุ รมใดบำ้ งท่เี ป็น
อนกุ รมลู่เขำ้ และมผี ลบวกของอนุกรมเปน็ เทำ่ ใด
1.1) 3 + 2 + 4 + ⋯ + 3(2) −1 + ⋯

33

วิธีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 104

1.2) 1 + 5 + 25 + ⋯ + 1 (5) −1 + ⋯
22 2 2

วิธที ำ

1.3) 1 + (− 1) + 1 + ⋯ + (−1) −1 + ⋯
วธิ ีทำ 2 8 2
4

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 105

1.4) 2 + (−1) + (−4) + ⋯ + (5 − 3 ) + ⋯
วิธที ำ

1.5) 3 + 9 + 27 + ⋯ + (3) + ⋯4
4 16 64
วธิ ีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 106

1.6) 1 + 1 + 1 + ⋯ + (−1) + ⋯
10 100 1,000 10

วิธที ำ

1.7) 100 + 10 + 1 + 0.1 + ⋯ + 103− + ⋯
วธิ ีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 107

1.8) 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 +⋯
วิธที ำ √2+√0 √3+√1 √4+√2 √ +1+√ −1

2. จงพจิ ำรณำวำ่ อนุกรมในข้อ 1. อนุกรมใดบ้ำงที่เปน็ อนุกรมลเู่ ข้ำและมีผลบวกของอนุกรมเปน็ เท่ำใด (ดูขอ้ 1.)

3. จงหำผลบวกของอนกุ รมต่อไปน้ี

3.1) 3 + 3 + 3 + 3 + ⋯ + 3 + ⋯
2 4 8 2 −1

วิธที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 108

3.2) 4+1 + 8+1 + 16+1 + ⋯ + 2 +1+1 + ⋯
9 27 81 3 +1

วิธที ำ

3.3) 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯ เม่อื เปน็ จำนวนจริง
2+ 2 (2+ 2)2 (2+ 2)3 (2+ 2)

วธิ ีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 109

4. จงแสดงว่ำ 0. 9̇ = 1
วธิ ที ำ

5. จงเขยี นทศนยิ มซ้ำต่อไปน้ีใหอ้ ย่ใู นรูปเศษสว่ น
5.1) 0. 2̇ 1̇

วิธีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 110

5.2) 0.61̇ 04̇
วิธที ำ

5.3) 7.25̇ 6̇
วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 111

5.4) 4.38̇ 7̇
วิธที ำ

5.5) 0.0737373 …
วธิ ีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 112

5.5) 2.999 …
วิธีทำ

6. จงหำคำตอบของสมกำร 1 + + 2 + 3 + ⋯ + −1 + ⋯ = 2
3
วธิ ีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 113

7. ถ้ำลำกสว่ นของเส้นตรงเช่ือมจุดกึ่งกลำงดำ้ นของรปู สเี่ หลี่ยมจัตรุ ัส จะไดร้ ูปสเี่ หลยี่ มจัตุรัส ดังรปู

7.1) ถำ้ รูปส่ีเหลยี่ มจตั ุรสั รูปใหญ่มีเส้นรอบรูปยำว 20 หน่วย
แลว้ รปู ส่เี หลย่ี มจตั รุ สั รูปเล็กมีเสน้ รอบรปู ยำวเทำ่ ใด

วิธีทำ

7.2). ถ้ำกระบวนกำรเกิดรูปใหม่ของรปู สี่เหลย่ี มจตั ุรัสเกิดขน้ึ อยำ่ งตอ่ เน่ืองไมส่ ้นิ สุด
แลว้ ผลบวกของควำมยำวของเสน้ รอบรปู ของส่เี หล่ียมจตั ุรสั ทั้งหมดเป็นเท่ำใด

วธิ ีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 114

8. เรือไวกิ้งเป็นเคร่ืองเล่นชนิดหนึ่งในสวนสนุก ถ้ำในกำรแกว่งคร้ังแรกวัดระยะทำงของหัวเรือไวก้ิงเม่ือแกว่ง
จำกตำแหน่งซำ้ ยสดุ ไปจนถงึ ขวำสุดได้ 75 เมตร และกำรแกว่งคร้ังต่อไปมรี ะยะสั้นลงเปน็ 3 ของระยะเดมิ

5

จงหำวำ่ หำกไมม่ ีกำรหยดุ กะทนั หนั เรอื ไวกงิ้ จะแกวง่ ไปมำตง้ั แตเ่ รมิ่ ตน้ เปน็ ระยะทำงทั้งหมดเท่ำใด

วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 115

9. จงพจิ ำรณำวำ่ วธิ ีกำรหำผลบวกของอนุกรมอนันตใ์ นแตล่ ะข้อต่อไปนถ้ี ูกตอ้ งหรือไม่ ถำ้ ไมถ่ กู ตอ้ ง จงให้เหตุผล

9.1) ให้ = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ⋯

จะได้ 2 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ⋯

= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ⋯ ) − 1

= − 1

ดังนนั้ = −1

นั่นคือ ผลบวกของอนุกรม 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2 −1 + ⋯ เทำ่ กับ −1

วิธีทำ

9.2) ให้ = 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + 64 − ⋯ − (1)

และ 2 = 2 − 4 + 8 − 16 + 32 − 64 + ⋯ − (2)

จำก (1) และ (2) จะได้ 3 = 1 น่นั คือ = 1
3

ดังน้นั ผลบวกของอนุกรม 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ + (−2) −1 + ⋯ เท่ำกบั 1
3

วิธีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 116

1.4 สัญลกั ษณแ์ สดงกำรบวก ( )

เพ่ือควำมสะดวกในกำรเขียนอนุกรมจะใช้ตวั อักษรกรีกตัวพิมพใ์ หญ่ ∑ (อ่ำนว่ำซกิ มำ) เป็นสัญลักษณแ์ สดง

กำรบวก กล่ำวคือ จะเขียนแทนอนุกรมจำกัด 1 + 2 + 3 + ⋯ + ด้วยสัญลักษณ์ ∑ =1 (อ่ำนว่ำ
ซัมเมชัน เม่ือ เท่ำกับ 1 ถึง ) และเขียนแทนอนุกรมอนันต์ 1 + 2 + 3 + ⋯ + + ⋯ ด้วย

สญั ลักษณ์ ∑ ∞ =1 (อ่ำนว่ำ ซัมเมชัน เม่ือ เท่ำกบั 1 ถงึ ∞)
เรยี กตวั แปร ท่ีปรำกฏในสัญลกั ษณ์ ∑ =1 หรอื ∑∞ =1 ว่ำ ดชั นี ( ) ซ่งึ อำจจะใช้ตวั แปร

อน่ื แทน ได้ ดงั ตัวอย่ำง

1) ∑5 =1 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52

2) ∑4 =1 (2 − 1) = (2 ∙ 1 − 1) + (2 ∙ 2 − 1) + (2 ∙ 3 − 1) + (2 ∙ 4 − 1)
3) ∑∞ =1 1 1 1 1 1
2 = 2 + 22 + 23 + ⋯ + 2 + ⋯

4) ∑∞ =0 ( + 3) = (0 + 3) + (1 + 3) + (2 + 3) + ⋯ + ( + 3) + ⋯
5) ∑ ∞ =1 3
= 13 + 23 + 33 + ⋯ + 3 + ⋯

กิจกรรมระหวำ่ งเรยี น 13 : แบบฝกึ หดั 1.4.1 ก กำรเขียนอนุกรมของลำดับโดยใชส้ ัญลกั ษณแ์ ทนกำรบวก

 ตวั อยำ่ งที่ 65 จงแสดงว่า
65.1) ∑ 1 =01 3 = 30

วิธที ำ

65.2) ∑ 1 =01 2 2 = 2 ∑ 1 =01 2
วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 117

65.3) ∑ 1 =01( + 3) = ∑1 =01 + ∑1 =01 3
วิธีทำ

 ตวั อย่ำงท่ี 66 ให้ เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ จงเขยี น 2 + 4 2 + 6 3 + 8 4 + 10 5 โดยใชส้ ัญลักษณ์ ∑
วิธีทำ

 ตัวอยำ่ งที่ 67 จงหา
67.1) ∑5 =1 2

วธิ ีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 118

67.2) ∑4 =1( 2 − + 1)
วิธีทำ

 ทฤษฎีบท 7 : ให้ เปน็ จำนวนเตม็ บวกใด ๆ จะได้วำ่

7.1. ∑ =1 = เมือ่ เปน็ ค่ำคงตวั
7.2. ∑ =1 = ∑ =1 เม่อื เปน็ คำ่ คงตัว
7.3. ∑ =1( + ) = ∑ =1 + ∑ =1
7.4. ∑ =1( − ) = ∑ =1 − ∑ =1

ต่อไปนี้จะเป็นสูตรในกำรหำผลบวกของอนุกรม ∑ =1 , ∑ =1 2 และ ∑ =1 3
เพอ่ื ใหก้ ำรหำผลบวกของอนุกรมบำงอนุกรมง่ำยขนึ้

 ทฤษฎีบท 8 : ให้ เป็นจำนวนเตม็ บวกใด ๆ จะได้ว่ำ

8.1. ∑ =1 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + = ( +1) = (∑ =1 )2
8.2. ∑ =1 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + ⋯ + 2
2
8.3. ∑ =1 3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ⋯ + 3
= ( +1)(2 +1)

6

= ( ( 2+1))2

กจิ กรรมระหว่ำงเรยี น 14 : แบบฝึกหดั 1.4.1 ข. กำรใชส้ ัญลกั ษณแ์ ทนกำรบวกไปใชใ้ นกำรหำผลบวกของอนกุ รม

 ตวั อย่ำงที่ 68 ถ้ำ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + = 153 จงหำ
วิธีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 119

 ตวั อย่ำงท่ี 69 จงแสดงวำ่ ผลบวกของจำนวนค่บี วก ตวั แรกเทำ่ กับ 2
วิธีทำ

 ตวั อยำ่ งท่ี 70 จงหำผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนุกรม

70.1) ∑ =1 (2 + 5)2
วิธีทำ

70.2) ∑ =1 4
(4 −3)(4 +1)

วธิ ที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 120

ตวั อยำ่ งที่ 71 จงหำผลบวกของอนุกรม
71.1) 1 ∙ 2 + 3 ∙ 4 + 5 ∙ 6 + ⋯ + (2 − 1) ∙ 2

วธิ ที ำ

71.2) ∑ =1 ( 2 − + 1)
วธิ ีทำ

ตัวอยำ่ งที่ 72 จงหำผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรม 1 + 1 + 1 + ⋯ และเป็นอนกุ รมลู่เข้ำหรือไม่
12 6 3
ถำ้ ลู่เขำ้ ให้หำหำผลบวกของอนุกรม
วธิ ีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 121

 ตัวอยำ่ งท่ี 73 จงหำผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรม 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1+( −2)√ + ⋯
1+√ 1− 1−√ 1−

วธิ ีทำ

กจิ กรรมระหว่ำงเรียน 15 : แบบฝึกหดั 1.4.1 ค สญั ลกั ษณ์แทนกำรบวกและกำรนำไปใช้
1. จงเขยี นแทนสญั ลักษณ์ตอ่ ไปน้ีให้อยูใ่ นรูปกำรบวก

1.1) ∑ 4 =1 20
วิธีทำ

1.2) ∑6 =4 (3 − 2)
วิธที ำ

1.3) ∑ 7 =2 (2 − )
วธิ ีทำ

1.4) ∑5 =21 ( + 2)
วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 122

1.5) ∑ 4 =1 (10 − 2 )
วธิ ที ำ

1.6) ∑2 =01 ( 2 + 4)
วิธีทำ

2. จงหำผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้
2.1) ∑5 =1 3
วิธีทำ

2.2) ∑5 0=1 8
วธิ ที ำ

2.3) ∑ 4 =1( − 3)
วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 123

2.4) ∑ 6 =2 +4
−1
วิธีทำ

2.5) ∑5 =1( 2 + 3)
วิธีทำ

2.6) ∑ 1 =51 ( + 5)
วิธที ำ

2.7) ∑2 =010 (2 + 1)
วิธที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 124

2.8) ∑1 5=1 ( + 5)( − 5)
วธิ ที ำ

2.9) ∑2 =01 2(2 − 3)
วิธที ำ

2.10) ∑1 =01 ( − 2)3
วิธีทำ

3. จงเขียนอนุกรมต่อไปนโ้ี ดยใชส้ ญั ลักษณ์ ∑
3.1) 1 ∙ 3 + 2 ∙ 4 + 3 ∙ 5 + ⋯ + ( + 2) + ⋯

วธิ ที ำ

3.2) 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1
456
วิธที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 125

3.3) 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2
วธิ ีทำ

3.4) 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯
3 6 12 (3)(2 −1)

วธิ ีทำ

3.5) 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯
√2+√1 √3+√2 √4+√3 √ +√ −1
วิธที ำ

4. จงแสดงว่ำ

4.1) ∑ =1 6 = 3 ( + 1)
วิธีทำ

4.2) ∑ =1(2 + 1) = 2 + 2
วธิ ีทำ

4.3) ∑ = 1 3 ∙ 4 = 4 +1 − 4
วิธที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 126

4.4) ∑ =1( 2 − ) = 3−
3
วิธีทำ

5. จงหำผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรมต่อไปน้ี
5.1) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + ( + 1) + ⋯

วธิ ีทำ

5.2) 1 ∙ 4 ∙ 7 + 2 ∙ 5 ∙ 8 + 3 ∙ 6 ∙ 9 + 4 ∙ 7 ∙ 10 + ⋯ + ( + 3)( + 6) + ⋯
วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 127

5.3) 1(2 + 3) + 4(4 + 3) + 9(6 + 3) + 16(8 + 3) + ⋯ + 2(2 + 3) + ⋯

วธิ ีทำ

5.4) 12 + 32 + 52 + 72 + ⋯ + (2 − 1)2 + ⋯
วิธที ำ

5.5) 1 (1 + 1) + 2 (1 + 1) + 3 (1 + 1) + 4 (1 + 1) + ⋯ (1 + 1) + ⋯
1234

วธิ ีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 128

6. จงหำผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้
6.1) 1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + 3 ∙ 4 ∙ 5 + 4 ∙ 5 ∙ 6 + ⋯ + 10 ∙ 11 ∙ 12

วธิ ที ำ

6.2) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + 4 ∙ 5 + ⋯ + 99 ∙ 100
วธิ ีทำ

7. จงหำผลบวกของจำนวนเต็มต้งั แต่ 1 ถงึ 100 ที่หำรด้วย 4 แลว้ เหลือเศษ 3
วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 129

1.4.2 อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series)

1.4.2.1 อนกุ รมเทเลสโคป (Telescoping Series) คอื อนุกรม 1 + 2 + 3 + ⋯ + + ⋯
ทีส่ ำมรถเขียนได้ในรปู

1 + 2 + 3 + ⋯ + + ⋯ = ( 1 − 2) + ( 2 − 3) + ( 3 − 4) + ⋯ + ( − +1) + ⋯

เม่อื 1 = ( 1 − 2)

2 = ( 2 − 3)
3 = ( 3 − 4)

…

= ( − +1)

…

และ = 1 + 2 + 3 + ⋯ +

= ( 1 − 2) + ( 2 − 3) + ( 3 − 4) + ⋯ + ( − +1)

= 1 − +1 ………………… ∎

เรำอำจเรียก อนกุ รมเทเลสโคป (Telescoping Series) ไดอ้ กี อยำ่ งหนง่ึ วำ่ อนกุ รมเศษส่วนย่อย (Partial Fraction Series)

1.4.2.2 กำรหำผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรมอนันต์ ( ) และกำรหำผลบวกของอนุกรมอนันต์ ( ∞) ทีอ่ ยู่ในรปู อนกุ รม
เทเลสโคป (Telescoping Series)

 ตวั อย่ำงที่ 74. กำหนด เป็นผลบวกของอนุกรมอนันต์ ที่มี = 1
∙( +1)

ซงึ่ = ∞ = ∑∞ =1 = ∑ ∞ =1 1
∙( +1)

= 1+ 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯ …………... (1.1)
2∙3 3∙4 4∙5 ∙( +1)
1∙2

และ กำหนด เป็นผลบวก พจนแ์ รกของอนกุ รมอนันตน์ ี้ จะไดว้ ำ่

= ∑ =1 = ∑ =1 1
∙( +1)

= 1+ 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1
2∙3 3∙4 4∙5 ∙( +1)
1∙2

= (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ⋯ + (1 − 1 )
2 23 34 45 +1
(1.2)……………………………………………………………………………..………………………….
= (1 − 1 )
และจำก (1.2) 1
+1 4∙5
1+ 1 1 1
= 2∙3 + 3∙4 + + ⋯ + ∙( +1)
1∙2

= ∑ =1 1 (1.3)……………………………………………………………………………..………………………….
∙( +1)

(1.4)=
∑ =1 (1 − 1) ……………………………………………………………………………..………………………….

+1

= (1 − +11)
จำก (1.3) และ (1.4) (1.5)1

∙( +1)
……………………………………..………………………….

และ จะได้วำ่ (1.6) = ∞ =
= lim (1 − 1 ) …………………………………..………………………….
→ ∞ +1
→ ∞

 ตวั อย่ำงท่ี 75. กำหนด เปน็ ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ ทีม่ ี = 2 +1
2 ∙( +1)2

ซง่ึ = ∞ = ∑ ∞ =1 = ∑ ∞ =1 2 +1
2 ∙( +1)2

(2.1)=
3+ 5 + 9 7 + 9 + ⋯ + 2 +1 + ⋯ …………….
4∙9 ∙ 16 16 ∙ 25 2 ∙( +1)2
1∙4

และ กำหนด เป็นผลบวก พจน์แรกของอนุกรมอนันตน์ ี้ จะได้ว่ำ
3+ 5 7 9 2 +1
= 4∙9 + 9 ∙ 16 + 16 ∙ 25 + ⋯ + 2 ∙( +1)2
1∙4

= (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1)+(1 − 1)+⋯ + ( 1 2 − ( +11)2)

44 99 16 16 25

= (1 − ( +11)2) (2.2)……………………………………………………………..………………………….

และจำก (2.2) = 3+ 5 + 9 7 + 9 + ⋯ + 2 +1
4∙9 ∙ 16 16 ∙ 25 2 ∙( +1)2
1∙4

= ∑ =1 2 +1 (2.3)……………………………………………………………..………………………….
2 ∙( +1)2

= ∑ =1 ( 1 2 − ( +11)2) (2.4)……………………………………………………………..………………………….

(2.5)2 +1

2 ∙( +1)2
จำก (2.3) และ (2.4) = ( 1 2 − 1 ) ……………………..………………………….
( +1)2

และ จะไดว้ ่ำ (2.6) = ∞ =
= lim ( 12 − ( +11)2) ……………………………………………….

→ ∞ → ∞

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 130

1.4.2.3 แนวคิดพน้ื ฐำนในกำรจัดรูปกำรหำผลบวก พจนแ์ รกของอนกุ รมอนันต์ ( ) และกำรหำผลบวกของอนุกรม

อนันต์ ( ∞) ทอี่ ยู่ในรปู อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series) ………………………………… (1.5)
จำกตัวอยำ่ งที่ 1 และ 2 จะพบว่ำ
1 = (1 − 1)
∙( +1)
+1

และ (2.5)2 +1
2 ∙( +1)2
= ( 12 − ( +11)2) ………………………………

ซึง่ เป็นแบบรูปเดียวกัน ซึง่ จะต้องพิสูจน์หรือแสดงใหเ้ ห็นวำ่ ท้ังสองขำ้ งของสมกำรเปน็ จรงิ หรือไม่ตำมแนวคิด

 จะแสดงว่ำ 1 = (1 − 1) เป็นจริงหรอื ไม่
∙
จำก 1 − 1 = 1∙ − 1∙
∙ ∙
= −
∙
นนั่ คอื เมอ่ื1 − 1 = 1
∙ − = 1 

 ตวั อย่ำงท่ี 76. จำกตวั อยำ่ งท่ี 74. จะพิสจู น์วำ่ 1 = (1 − 1 ) ……………………………… (1.5) เป็นจริงหรือไม่
∙( +1)
+1

ให้ และ จะได้วำ่ = 1 − 1 = 1 ∙( +1) − 1 ∙
= + 1
+1 ∙ ( +1) ( +1)∙

= ( +1)−

∙ ( +1)

= 1
∙ ( +1)

ดงั นนั้ 1 = (1 − 1 ) เปน็ จรงิ
∙( +1) +1

น่นั คอื = ∑ =1 1 = ∑ =1 (1 − 1) ……………………………… 
∙( +1)
+1

และ ∞ = ∑ ∞ =1 1 = ∑ ∞ =1 (1 − 1) ……………………………… 
∙( +1)
+1

 ตัวอย่ำงที่ 77. จำกตัวอย่ำงท่ี 75. จะพิสูจน์ว่ำ 2 +1 = 1 − 1 ……………………………… (2.5) เปน็ จริงหรอื ไม่
2 ∙( +1)2 2 ( +1)2

ให้ และ จะได้ว่ำ = 2 1 − 1 = 1∙ ( +1)2 − 1∙ 2
= ( + 1)2 2 ( +1)2 2∙ ( +1)2 ( +1)2∙ 2

= ( +1)2− 2
2∙ ( +1)2

= 2+2 +1− 2
2∙ ( +1)2

= 2 +1
2∙ ( +1)2

ดงั น้นั 2 +1 = 1 − 1 เปน็ จริง
2 ∙( +1)2 2 ( +1)2

นัน่ คอื = ∑ =1 2 +1 = ∑ =1 ( 12 − ( +11)2) ……………………………… 
2 ∙( +1)2

และ ∞ = ∑ ∞ =1 2 +1 = ∑ ∞ =1 ( 1 2 − ( +11)2) ……………………………… 
2 ∙( +1)2

 ตัวอยำ่ งท่ี 78. จำกตัวอยำ่ งที่ 74. กำหนด = 1 จงหำ
∙( +1)

78.1) ผลบวก พจน์แรก ( )

78.2) ผลบวก 20 พจน์แรก ( 20) และ

78.3) ผลบวกอนันต์ ( ∞) ของอนกุ รมนี้

วิธที ำ จำกลำดับ = 1 จะหำ ผลบวก พจน์แรก ( ) และผลบวกอนันต์ ( ∞) ของอนุกรมนี้ ไดจ้ ำก
∙( +1)

(1) = ∑ =1 = ∑ =1 1 = 1+ 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1
∙( +1) 2∙3 3∙4 4∙5 ∙( +1)
1∙2

และ (2) = ∞ = ∑∞ =1 = ∑∞ =1 1 = 1+ 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯
∙( +1) 2∙3 3∙4 4∙5 ∙( +1)
1∙2

ซึง่ ไม่สะดวกในกำรหำคำตอบ จำกแนวคิดในกำรหำผลบวกในรูปของอนกุ รมเทเลสโคป (Telescoping Series) จะไดว้ ำ่

78.1 หำผลบวก พจน์แรก ( ) ของอนุกรม

= ∑ =1 1 จำกกำรพสิ จู น์ตรวจสอบจดั รูปตำมตัวอยำ่ งท่ี 76
∙( +1)

= ∑ =1 (1 − 1)

+1

= (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ⋯ + (1 − 1 )
2 23 34 45 +1
= (1 − 1 )
+1
น่นั คือ คือ ผลบวก พจน์แรก ( ) ของอนกุ รม …..5.1∎
= (1 − 1 )

+1

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 131

78.2) หำผลบวก 20 พจนแ์ รก ( 20) ของอนกุ รม

จำก = (1 − 1 )

จะได้ +1

20 = (1 − 1 )

20+1

= (21−1)
21

= (20)
21
นนั่ คอื ผลบวก 20 พจนแ์ รก ( 20) ของอนุกรม

∑2 =01 1 = 1 + 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 = 20 …5.2. ∎
∙( +1) 1∙2 2∙3 3∙4 4∙5 20 ∙(20+1) 21

78.3) หำผลบวกอนันต์ ( ∞) ของอนกุ รมน้ี

จำก = (1 − 1 ) จะไดว้ ่ำ
+1

= ∞ =

→ ∞
= lim (1 − 1 )
→ ∞ +1

= (1 − 0)

=1

นั่นคอื ผลบวกอนันต์ ( ∞) ของอนกุ รม

…. ∎ = ∞ = ∑∞ =1
= ∑∞ =1 1 = 1 + 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 +⋯ = 1 5.3
( +1) 1∙2 2∙3 3∙4 4∙5 ∙( +1)

 ตวั อย่ำงท่ี 79. จำกตวั อยำ่ งท่ี 75. . กำหนด = 2 +1 จงหำ
2 ∙( +1)2

79.1) ผลบวก พจนแ์ รก ( )

79.2) ผลบวก 20 พจน์แรก ( 20) และ

79.3) ผลบวกอนันต์ ( ∞) ของอนุกรมนี้

วธิ ที ำ จำกลำดับ = 2 +1 จะหำ ผลบวก พจนแ์ รก ( ) และผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนกุ รมนี้ ได้จำก
2 ∙( +1)2

(1) = ∑ =1 = ∑ =1 2 +1 = 3+ 5 + 9 7 + 9 + ⋯ + 2 +1
2 ∙( +1)2 4∙9 ∙ 16 16 ∙ 25 2 ∙( +1)2
1∙4

และ (2) = ∞ = ∑∞ =1 = ∑∞ =1 2 2 +1 = 3+ 5 + 9 7 + 9 + ⋯ + 2 +1 + ⋯
∙( +1)2 4∙9 ∙ 16 16 ∙ 25 2 ∙( +1)2
1∙4

ซงึ่ ไมส่ ะดวกในกำรหำคำตอบ จำกแนวคดิ ในกำรหำผลบวกในรปู ของอนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series) จะได้วำ่

79.1 หำผลบวก พจนแ์ รก ( ) ของอนุกรม

= ∑ =1 2 +1 จำกกำรพสิ ูจน์ตรวจสอบจดั รูปตำมตวั อย่ำงที่ 77
2 ∙( +1)2

= ∑ =1 ( 1 2 − ( +11)2)

= (1 − 41) + (41 − 19) + (1 − 1)+(1 − 1)+⋯ + ( 1 2 − ( +11)2)

9 16 16 25

= (1 − ( +11)2)

นนั่ คือ = (1 − ( +11)2) คอื ผลบวก พจนแ์ รก ( ) ของอนุกรม …..5.1∎
79.2) หำผลบวก 20 พจนแ์ รก ( 20) ของอนกุ รม

จำก = (1 − ( +11)2)

จะได้ 20 = (1 − (20+11)2)

= (1 − (211)2)
= (1 − 1 )

441

= (441−1)

441

= (444410)

นนั่ คือ ผลบวก 20 พจน์แรก ( 20) ของอนกุ รม

20 = ∑2 0=1 2 +1 = (1 − 41) + (41 − 19) + (1 − 1)+(1 − 1)+⋯ + (2102 − (20+1 1)2) = 440 …5.2.∎
2 ∙( +1)2 441
9 16 16 25

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 132

79.3) หำผลบวกอนันต์ ( ∞) ของอนุกรมน้ี

จำก = (1 − ( +11)2) จะได้วำ่

= ∞ =

→ ∞ ( +11)2)

= lim (1 −

→ ∞
= (1 − 0)

=1

น่นั คือ ผลบวกอนันต์ ( ∞) ของอนกุ รม

…. =
∞ = ∑ ∞ =1 2 +1 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1)+(1 − 1)+⋯ + ( 1 2 − 1 ) + ⋯ = 1 5.3∎
2 ∙( +1)2 ( +1)2
44 99 16 16 25

 ตวั อย่ำงที่ 80. กำหนด = 1 จงหำ
(2 −1) ∙ (2 +1)

80.1) ผลบวก พจน์แรก ( ) ของอนกุ รม

80.2) ผลบวก 20 พจน์แรก ( 20) ของอนกุ รม และ

80.3) ผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนกุ รมนี้

วเิ ครำะห์ จำกลำดบั = 1 จะหำผลบวกของอนกุ รม โดยพบว่ำ
(2 −1)∙ (2 +1)

∑ ∞ =1 = ∑ ∞ =1 1 = 1 + 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 +⋯
(2 −1) ∙ (2 +1) 1∙3 3∙5 5∙7 7∙9 (2 −1) ∙ (2 +1)

ซ่ึงไมส่ ะดวกในกำรหำคำตอบ จำกแนวคดิ ในกำรหำผลบวกในรปู ของอนกุ รมเทเลสโคป (Telescoping Series)

โดย พจิ ำรณำแบบรูป 1 = (1 − 1) เป็นจริงหรอื ไม่

∙

นัน่ คอื จะตอ้ งแสดงวำ่ 1 = 1 − 1 เป็นจรงิ หรือไม่
(2 −1) ∙ (2 +1) (2 −1) (2 +1)

จำก 1 − 1 = 1 ∙ (2 +1) − 1 ∙ (2 −1)
(2 −1) (2 +1) (2 −1) ∙ (2 +1) (2 +1) ∙ (2 −1)

= (2 +1) − (2 −1)
(2 −1) ∙ (2 +1)

= 2 +1−2 +1
(2 −1) ∙ (2 +1)

= 2
(2 −1) ∙ (2 +1)

น่นั คอื 1 − 1 = 2 ซ่งึ ยงั ไมเ่ ป็นไปตำมแบบรูปท่กี ำหนด จดั รปู ใหม่จะได้
(2 −1) (2 +1) (2 −1) ∙ (2 +1)

1 ∙ ((2 1−1) − (2 1+1)) = 1 ∙ 2
2 2 (2 −1) ∙ (2 +1)

ดงั นั้น 1 ∙ ((2 1−1) − (2 1+1)) = 1
2 (2 −1) ∙ (2 +1)

สรปุ ได้ว่ำ …. ∎1

(2 −1) ∙ (2 +1)
= 1∙( 1 − 1 )

2 (2 −1) (2 +1)

วธิ ีทำ 80.1) หำผลบวก พจนแ์ รก ( ) ของอนกุ รม

จำกลำดบั = 1 จะหำผลบวกของอนกุ รม (โดย take ∑ ) จะได้ ( ∞)
(2 −1)∙ (2 +1)
= ∞ = ∑∞ =1
1 1 1 ((2 1−1) (2 1+1))
(2 −1) ∙ (2 +1) (2 −1) ∙ (2 +1) 2
[ จำก ]=
∑∞ =1 = ∙ −

= ∑∞ =1 1 ∙ ((2 1−1) − (2 1+1))
2

= 1∙ ∑ ∞ =1 ((2 1−1) − (2 1+1))

2

= 1 ∙ [(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ⋯ + ((2 1−1) − (2 1+1)) + ⋯ ]

21 33 55 77 9

ดังนัน้ = 1 ∙ [(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ⋯ + ((2 1−1) − (2 1+1))]

21 33 55 77 9

= 1 ∙ [(1 − (2 1+1))

21

น่ันคือ = 1 ∙ (1 − (2 1+1)) คอื ผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรมน้ี …..7.1∎

2

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 133

80.2) หำผลบวก 20 พจน์แรก ( 20) ของอนกุ รม

จำก = 1 ∙ (1 − (2 1+1))
2

จะได้ 20 = 1 ∙ (1 − (2(201)+1))
2

= 1 ∙ (41−1) …..7.2∎

2 41

= 20

41

80.3) ผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนุกรมนี้

จำก = 1 ∙ (1 − (2 1+1)) จะไดว้ ำ่

2

= ∞ =

→ ∞
= lim 1 ∙ (1 − 1 )
→ ∞ 2 (2 +1)

= 1 ∙ lim (1 − (2 1+1))
2
→ ∞
= 1 ∙ (1 − 0)
2
=1
2
นน่ั คอื ผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนกุ รม

= ∞ = ∑∞ =1 1
(2 −1) ∙ (2 +1)

= 1 ∙ [(11 − 13) + (31 − 15) + (15 − 7) + (17 − 19) + ⋯ + ((2 1−1) − (2 1+1)) + ⋯ ] = 1 …..7.3∎
2 2

 ตัวอยำ่ งท่ี 81. กำหนด = 1 จงหำ
∙ ( +1)∙ ( +2)

81.1) ผลบวก พจน์แรก ( ) ของอนกุ รม

81.2) ผลบวก 20 พจน์แรก ( 20) ของอนุกรม และ

81.3) ผลบวกอนันต์ ( ∞) ของอนกุ รมน้ี

วิเครำะห์ จำกลำดบั = = 1 จะหำผลบวกของอนุกรม โดยพบว่ำ
∙ ( +1)∙ ( +2)

∑ ∞ =1 = ∑ ∞ =1 = ∙ 1 ( +2) = 1+ 1+ 3 1 ∙ 5 + 5 ∙ 1 ∙ 7 + ⋯ + ∙ 1 ∙ ( +2) + ⋯
( +1)∙ ∙4 6 ( +1)
1∙2∙3 2∙3∙4

ซึ่งไม่สะดวกในกำรหำคำตอบ จำกแนวคิดในกำรหำผลบวกในรปู ของอนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series)

โดย พิจำรณำแบบรปู 1 = ( 1 − 1 ) เป็นจริงหรือไม่
∙ ∙ ∙ ∙
นั่นคือจะตอ้ งแสดงว่ำ 1 1 1 เป็นจรงิ หรือไม่
∙ ( +1) ∙ ( +2) = ∙ ( +1) − ( +1) ∙ ( +2)

จำก ∙ 1 − 1 = ∙ 1 ∙ ( +2) − 1 ∙
( +1) ( +1) ∙ ( +2) ( +1) ∙ ( +2) ∙ ( +1) ∙ ( +2)

= ( +2) − ( )
∙ ( +1) ∙ ( +2)

= + 2 −
(2 −1) ∙ (2 +1)

= 2
∙ ( +1) ∙ ( +2)

นนั่ คือ ∙ 1 − 1 = 2 ซ่ึงยงั ไม่เปน็ ไปตำมแบบรูปทกี่ ำหนด จดั รูปใหมจ่ ะได้
( +1) ( +1) ∙ ( +2) ∙ ( +1) ∙ ( +2)

1 ∙ ( ∙ 1 − ( +1)1∙ ( +2)) = 1 ∙ ( ∙ 2 ∙ ( +2))
2 ( +1) 2 ( +1)


1 ∙ ( ∙ 1 − ( +1)1∙ ( +2)) = 1
2 ( +1) ∙ ( +1) ∙ ( +2)


ดงั น้นั 1 ∙ ( ∙ 1 − 1 ( +2)) = 1
2 ( +1) ( +1) ∙ ∙ ( +1) ∙ ( +2)


…. ∎1

∙ ( +1) ∙ ( +2)
สรปุ ได้ว่ำ = 1 ∙ ( ∙ 1 − ( +1)1∙ ( +2))
2 ( +1)

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 134

วธิ ีทำ 81.1) หำผลบวก พจนแ์ รก ( ) ของอนกุ รม

จำกลำดับ = 1 จะหำผลบวกของอนกุ รม (โดย take ∑ ) จะได้ ( ∞)
∙ ( +1) ∙ ( +2)

= ∞ = ∑∞ =1 1 1 1 ( +1)1∙ ( +2))
1 ∙ ( +1) ∙ ( +2) 2 ( +1)
∙ ( +1) ∙ ( +2)
[ จำก ]=
∑ ∞ =1 = ∙ ( ∙ −

= ∑ ∞ =1 1 ∙ ( ∙ 1 − 1 ( +2))
2 ( +1) ( +1) ∙

= 1∙ ∑ ∞ =1 ( ∙ 1 − ( +1) 1 ( +2))
( +1) ∙
2

= 1 ∙ [( 1 − 1 )+( 1 − 1 )+( 1 − 1 )+( 1 − 1) + ⋯ + ( ∙ 1 − ( +1)1∙ ( +2)) + ⋯ ]
( +1)
2 1∙2 2∙3 2∙3 3∙4 3∙4 4∙5 4∙5 5∙6

ดังน้ัน = 1 ∙ [( 1 − 1 )+( 1 − 1 )+( 1 − 1 )+( 1 − 1) + ⋯ + ( ∙ 1 − ( +1)1∙ ( +2))]
( +1)
2 1∙2 2∙3 2∙3 3∙4 3∙4 4∙5 4∙5 5∙6

= 1 ∙ [(1 − ( +1)1∙ ( +2))

22

น่นั คอื = 1 ∙ [(1 − ( +1)1∙ ( +2)) คอื ผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรมน้ี …..8.1∎

22

81.2) หำผลบวก 20 พจนแ์ รก ( 20) ของอนกุ รม

จำก = 1 ∙ [(21 − 1 ( +2))
2 ( +1) ∙

จะได้ 20 = 1 ∙ [(1 − (20+1) 1 (20+2))
∙
22

= 1 ∙ [(1 − (21)1∙ (22))

22

= 1 ∙ [(12 ∙ (21) ∙ (22) − 2 ∙ (211)∙ 2∙ (22))
2 ∙ (21) ∙ (22)

= 1 ∙ [(2 ∙ (42612)−∙ 2(22))
2

= 1 ∙ [(492640)
2
= 115 …..8.2∎
462
81.3) ผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนุกรมนี้

จำก = 1 ∙ [(1 − 1 ( +2)) จะได้วำ่
( +1) ∙
22

= ∞ =

→ ∞ ( +1)1∙ ( +2))
lim 1 ∙ [(1 −
=
→ ∞ 2 2

= 1 ∙ lim (1 − ( +1)1∙ ( +2))

2 → ∞ 2
1 (12
= 2 ∙ − 0)

=1
4
นั่นคอื ผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนกุ รม

= ∞ = ∑∞ =1 ( ∙ 1 ∙ ( +2))
( +1)


= 1 ∙ [( 1 − 1 )+( 1 − 1 )+( 1 − 1 )+( 1 − 1) + ⋯ + ( ∙ 1 − ( +1)1∙ ( +2)) + ⋯ ]
( +1)
2 1∙2 2∙3 2∙3 3∙4 3∙4 4∙5 4∙5 5∙6

= 1 …..8.3∎
4

จำกตัวอย่ำงที่ 1 ถึงตัวอย่ำงที่ 8 เก่ียวกับกำรหำผลบวกของอนุกรมเทเลสโคป (Telescoping series) อนุมำนได้ว่ำเป็น

อนกุ รมทีอ่ ยใู่ นรปู ∙ [ 1 + 1 + 1 + ⋯ ] เม่อื , , , , … เปน็ ลำดับเลขคณิต
∙ ∙ ∙
ซ่ึงกำรหำผลบวกของอนุกรมเทเลสโคปจำกตัวอย่ำงจะเห็นว่ำเป็นกระบวนกำรหำคำตอบโดยกำรจัดรูปของลำดับแต่ละ

พจน์ใหม่ให้อยู่ในรูปอนุกรมกำรลบของสองเศษส่วนในแต่ละชุดของลำดับ ซึ่งสรุปเป็นควำมคิดรวบยอดเพ่ือให้ง่ำยและสะดวกต่อ

กำรหำคำตอบทง้ั ผลบวก พจนแ์ รก ( ) และผลบวกอนันต์ ( ∞) เป็นรูปทัว่ ไปดงั น้ี

1 = 1∙ ( 1 − 1 ) ………………………. (1)
∙
−

1 = 1 ∙ ( 1 − 1 ) ………………………. (2)
∙ ∙ − ∙ ∙

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 135

กจิ กรรมระหว่ำงเรียน 16 : แบบฝกึ หดั 1.4.2 อนกุ รมเทเลสโคป (Telescoping Series)

8. จงหำผลบวก พจน์แรก ( ) ผลบวก 10 พจนแ์ รก ( 10) และผลบวกอนันต์ ( ∞) (ของอนกุ รมต่อไปน้ี
1
8.1) ∑ =1 ( +1)

วิธที ำ

8.2) ∑ =1 1
(2 −1)(2 +1)

วิธที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 136

8.3) ∑ =1 1
( +1)( +2)

วิธที ำ

* 8.4) ∑ =1 1
( +2)

วธิ ที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 137

* 8.5) ∑ ∞ =1 12
(2 +1)(2 +3)

วธิ ที ำ

* 8.6) ∑∞ =1 2
(4 −1)(4 +3)

วิธที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 138

* 8.7) ∑∞ =1 5
( +1)( +2)( +3)

วธิ ที ำ

* 8.8) 1+ 1+ 1 +⋯+ 1 + …
(3 +1)∙(3 +4)
4∙7 4 ∙10 10 ∙ 13

วิธที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 139

* 8.9) 2+ 2+ 2 +⋯+ ( +3) ∙ 2 ( +5) + …
( +4)∙
4∙5∙6 5∙6∙7 6∙7∙8

วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 140

* 8.10) 1 + 1 + 1 + 1 + … (นกั เรียนทดลองหำพจน์ทว่ั ไปเอง)
1∙4 2∙5 3∙6 4∙7

วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 141

1.4.3 อนุกรมผสม (Mixed Series)

1.4.3.1 อนกุ รมผสม (Mixed Series) คอื อนกุ รม 1 + 2 + 3 + ⋯ + + ⋯ทีเ่ กดิ จำกกำรนำอนกุ รมหลำย
ชนดิ มำผสมกนั เช่น

1) อนกุ รมเลขคณิตกบั อนกุ รมเลขคณติ เช่น

1.1) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + ∙ ( + 1) + ⋯

1.2) 1 ∙ 4 ∙ 7 + 2 ∙ 5 ∙ 8 + 3 ∙ 6 ∙ 9 + ⋯ + ∙ ( + 3) ∙ ( + 6) + ⋯

2) อนกุ รมเลขคณิตกับอนุกรมเรขำคณิต เช่น

2.1) 12 3 4
5 + 25 + 125 + ⋯ + 5 + ⋯
13 5 2 −1
2.2) 3 + 32 + 33 + ⋯ + 3 + ⋯

2.3) 1 log 2 + 1 log 4 + 1 log 8 + ⋯ + 1 log 2 +⋯
2 4 8 2

1.4.3.2 แนวทำงในกำรหำคำตอบของอนุกรมผสม (Mixed Series) โดยกำรจดั ผลบวกของอนุกรมของพจน์ทั่วไปใน
รูปสัญลักษณข์ องผลรวม ( ) คือ อนุกรม 1 + 2 + 3 + ⋯ + + ⋯ = ∑ =1 เมอ่ื อยู่ในรปู สัญลกั ษณ์ของ

ผลรวมแล้วจะใชส้ ูตรในกำรหำผลบวกของอนุกรม ∑ =1 , ∑ =1 2 และ ∑ =1 3 เพ่ือให้กำรหำผลบวกของอนุกรมบำง

อนกุ รมง่ำยขนึ้ บำงอนุกรมใชร้ ว่ มกบั สูตรกำรหำพจน์ท่วั ไปของอนุกรมเลขคณิตหรอื อนกุ รมเรขำคณิต

ทฤษฎีบท 8 : ให้ เป็นจำนวนเตม็ บวกใด ๆ จะได้ว่ำ

8.1. ∑ =1 = ( +1)
2
8.2. ∑ =1 2 = ( +1)(2 +1)
6
8.3. ∑ =1 3 = ( ( 2+1))2 = (∑ =1 )2

 ตัวอย่ำงท่ี 82. กำหนดอนุกรม 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + ∙ ( + 1) + ⋯ จงหำ
82.1) ผลบวก พจน์แรก ( ) ของอนกุ รม
82.2) ผลบวก 20 พจนแ์ รก ( 20) ของอนุกรม และ
82.3) ผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนุกรมนี้

วธิ ีทำ 82.1) หำผลบวก พจนแ์ รก ( ) ของอนุกรม โดยจัดรปู ผลบวกของอนุกรมในรปู สญั ลกั ษณ์แทนกำรบวก
จำกโจทยจ์ ะได้วำ่ 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + ∙ ( + 1) + ⋯ = ∑∞ =1

ดังนั้น = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + ∙ ( + 1) + ⋯
= ∑ =1 ( + 1)
= ∑ =1 ( 2 + )
= ∑ =1 2 + ∑ =1
= ( +1)(2 +1) + ( +1)
62
= 2 ∙ ( +1)(2 +1) + 6 ∙ ( +1)
2∙6 6∙2
= 2 ∙ ( +1)(2 +1) + 6 ∙ ( +1)
2∙6
= 2 ∙ ( +1)[(2 +1)+ 3]
2∙6
= ( +1)[2 +4]
6
= ( +1)∙2 ∙[ +2]
6
= ( +1)( +2)
3
ดังน้ันผลบวก พจน์แรกของอนุกรมนี้ คอื ( +1) ( +2) …..82.1∎
= 3

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 142

82.2) หำผลบวก 20 พจนแ์ รก ( 20) ของอนกุ รม

จำก = ( +1) ( +2)
จะได้ 3
20 (20+1) (20+2)
20 = 3

= 20 (21) (22)
3

= 20 (7) (22)

= 3,080 …..8.2∎

82.3) ผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนกุ รมน้ี

จำก = ( +1) ( +2) จะได้ว่ำ
3

= ∞ =

→ ∞
= lim 1 ∙ [ ( + 1) ( + 2)]
→ ∞ 3
= 1 ∙ lim [ 3 + 3 2 + 2 ]
3 → ∞
= 1 ∙ (∞ + 3 ∙ ∞ + 2 ∙ ∞) ซึ่งหำคำ่ ไม่ได้
2
เปน็ อนุกรมลู่ออก (Divergent Series) ไมม่ ผี ลบวกของอนกุ รม …..8.3∎

 ตัวอยำ่ งท่ี 83. กำหนดอนกุ รม 1∙ 1+ 2∙ 1+ 3∙ 1 +4∙ 1 + ⋯ + ∙ 1 + ⋯ จงหำ
3
3 9 27 81
83.1) ผลบวก พจนแ์ รก ( ) ของอนกุ รม

83.2) ผลบวก 20 พจนแ์ รก ( 20) ของอนกุ รม และ

83.3) ผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนกุ รมนี้

วธิ ีทำ 83.1) หำผลบวก พจน์แรก ( ) ของอนกุ รม

วเิ ครำะห์ จำกอนกุ รม 1∙ 1+ 2∙ 1+ 3∙ 1 +4∙ 1 + ⋯ + ∙ 1 + ⋯ พบว่ำเปน็ อนุกรมผสมเลขคณิตกับเรขำคณติ
3
3 9 27 81
โดยที่อนกุ รมเรขำคณติ มีอัตรำสว่ นร่วม = 1
3
ให้ แทนผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรมนี้
จะได้ จัดรปู จะได้
= 1∙ 1+ 2∙ 1+ 3∙ 1 +4∙ 1 + ⋯ + ∙ 1
3
3 9 27 81 …………………………. (1)
1 1 1 1 1 1
= 1∙ 3 + 2∙ 32 + 3∙ 33 + 4 ∙ 34 +5∙ 35 + ⋯ + ∙ 3

และ 1 ∙ = 1∙ 1 + 2∙ 1 + 3∙ 1 + 4 ∙ 1 + ⋯ + ∙ 1 …………………………. (2)
3 32 33 34 35 3 +1
(2)-(1) ; (1
− 1) ∙ = 1∙ 1 + (2 − 1) ∙ 1 + (3 − 2) ∙ 1 + (4 − 3) ∙ 1 + (5 − 4) ∙ 1 + ⋯ + [( + 1) − ] ∙ 1 − ∙ 1
3 32 33 34 35 3 3 +1
3
(2) [1 1 1 1 1 1 1 …………………………. (3)
∙ = + 32 + 33 + 34 + 35 +⋯+ 3 ] − ∙ 3 +1
3 3

เป็นผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณิตท่มี ี 1 = 1 อัตรำส่วนรว่ ม = 1
จำกสตู รผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต = 3 1(1− ) 3

1− แทนใน (3) จะได้

(2) ∙ = 1 [1[11−−(−3131) ( ]1−)
3 3 +1
3 3
1
(2) ∙ = 2 ]−
3 +1
3 (1 − (1) )] −

(2) ∙ = [1 3
3 +1
3 2 (1 − (31) )] −

= 3 ∙ ([ 1 3 +1)
2 2
3 ∙ (1 − (1) ) −
= …………………………. (4)
43 2 ∙ 3 +1
(1) ) −
น่นั คอื = 3 ∙ (1 − คอื ผลบวก พจนแ์ รกของอนกุ รมนี้ …..83.1∎
4 3 2 ∙ 3 +1 …..83.2∎
83.2) หำผลบวก 20 พจนแ์ รก ( 20) ของอนกุ รม
(13) ) −
จำก = 3 ∙ (1 −
จะได้ 4 2 ∙ 3 +1
(31)20) −
20 = 3 ∙ (1 − 20
4 2 ∙ 320+1

= 3 ∙ (1 − 3120) − 10
4 321

= 3 ∙ (32302−0 1) − 10
4 321

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 143

83.3) ผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนกุ รมน้ี (31) ) −

จำก = = 3 ∙ (1 − จะไดว้ ำ่
4 2 ∙ 3 +1

= ∞ =
=
= → ∞ (13) )
(13) )
lim 3 ∙ (1 − −
4 − − 2 ∙ 3 +1
→ ∞

3 ∙ lim [(1 2 ∙ 3 +1 ]

4 → ∞
= 3 ∙ [(1 − 0) − 0]

4
=3

4
น่ันคือ ผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนุกรมนี้คือ = 3 …..83.3∎

4

กิจกรรมระหว่ำงเรยี น 17 : แบบฝึกหดั 1.4.3 อนุกรมผสม (Mixed Series)

9. จงหำผลบวก พจนแ์ รก ( ) , ผลบวก 50 พจน์แรก ( 50) และผลบวกอนนั ต์ ( ∞) ของอนุกรมตอ่ ไปน้ี
9.1) 0 + 3 + 8 + ⋯ + ( 2 − 1) + ⋯

วธิ ีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 144

9.2) −1 + 0 + 9 + ⋯ + ( 3 − 2 2) + ⋯
วิธีทำ

9.3) 1 ∙ 4 ∙ 7 + 2 ∙ 5 ∙ 8 + 3 ∙ 6 ∙ 9 + ⋯ + ∙ ( + 3) ∙ ( + 6) + ⋯

วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 145

9.4) 12 3
5 + 25 + 125 + ⋯ + 5 + ⋯
วิธที ำ

9.5) 13 5 2 −1
3 + 32 + 33 + ⋯ + 3 + ⋯
วธิ ีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 146

9.6) 1 log 2 + 1 log 4 + 1 log 8 + ⋯ + 1 log 2 + ⋯
2 4 8 2
วิธที ำ

9.7) log3 3 + log √3 3 + log3√3 3 + log 4√3 3 + log 5√3 3 + ⋯ + log √ 3 3 + ⋯

วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 147

9.8) 9+ 99 + 999 + 9999 + 9999 … 9
ตัว

วิธที ำ

9.9) 1 + 11 + 111 + 1111 + 1111 … 1
ตวั

วธิ ีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 148

9.10) 5 −3 + 52−32 + 53−33 + 54−34 + ⋯ + 5 −3 + ⋯
72 73 74 7
7

วิธีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 149

1.4.4 อนกุ รมพี ( − )

1.4.4.1 อนุกรมพี (P - Series) คือ อนุกรมท่มี คึ วำมสมั พนั ธร์ ะหว่ำงพจน์ โดยมีนยิ ำมว่ำ

 นิยำม : อนกุ รมพี (P - Series) คอื อนุกรมท่อี ยูใ่ นรูป

∑∞ =1 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯ เมื่อ เป็นค่ำคงที่
1 2 3 4

ตัวอย่ำงเช่น 1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ เป็นอนุกรมพี (P - Series) โดยท่ี = 1
2345 เปน็ อนุกรมพี (P - Series) โดยท่ี = 1

2) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 2
√2 √3 √4 √5
เปน็ อนุกรมพี (P - Series) โดยท่ี = 2
3) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ เป็นอนกุ รมพี (P - Series) โดยที่ = −1
4 9 16 25

4) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯

 ทฤษฎบี ท 9 : อนุกรมพี (P - Series) ท่ีอยู่ในรปู ∑ ∞ =1 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯
1 2 3 4
เมือ่ เป็นคำ่ คงที่

1) เปน็ อนุกรมลเู่ ข้ำ (Convergent Series) กต็ ่อเมอื่ > 1

2) เปน็ อนุกรมลู่ออก (Divergent Series) กต็ ่อเมอ่ื ≤ 1

กิจกรรมระหวำ่ งเรยี น 18 : แบบฝกึ หดั 1.4.4 อนกุ รมพี (P - Series) และกำรประยกุ ต์ของอนกุ รม

10. จงแสดงวำ่ อนุกรมพี (P - Series) ต่อไปนี้ เป็นอนุกรมลเู่ ข้ำ (Convergent Series)

หรือเป็นอนกุ รมลู่ออก (Divergent Series)
10.1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

2345

วธิ ีทำ

.10 2) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
√2 √3 √4 √5

วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 150

10.3) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
4 9 16 25

วิธีทำ

10.4) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯

วธิ ที ำ

11. จงพจิ ำรณำว่ำอนกุ รมตอ่ ไปน้เี ป็นอนุกรมล่เู ข้ำหรอื อนกุ รมลอู่ อก ถำ้ เป็นอนกุ รมลู่เข้ำ จงหำผลบวกของอนุกรม
11.1) ∑ ∞ =1 −( −1)

วธิ ีทำ