ลำดับและอนุกรม 1-2565

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 51

 ตัวอยำ่ งที่ 30 จงหำลิมติ ของลำดับ เมอ่ื = 5
วิธีทำ

 ตัวอยำ่ งที่ 31 จงหำลิมติ ของลำดับ เม่ือ = 3

วิธที ำ

 ตัวอย่ำงท่ี 32 จงหำลมิ ติ ของลำดบั เมื่อ = 4−3 + 2
2 3−3 2+5

วิธที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 52

 ตัวอย่ำงที่ 33 จงตรวจสอบวำ่ ลำดบั ท่ีมพี จน์ทว่ั ไปในแตล่ ะข้อต่อไปน้เี ป็นลำดับลู่เข้ำหรือลำดับลอู่ อก

33.1) = 4+3


วิธที ำ

33.2) = 3 2−2
วธิ ที ำ 5 2+12

33.3) = 2
+1

วธิ ที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 53

33.4) = −3
5

วิธที ำ

33.5) = 2
3

วิธที ำ

33.6) = −(4)

3

วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 54

33.7) = 2+2 +1
2 2+1

วิธที ำ

33.8) = 3 2−2


วิธที ำ

33.9) = 2+3 +4
5 3−2 −1

วธิ ีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 55

33.10) = 1−2

วิธที ำ

33.11) = 2 − 3
2−3
+1

วิธที ำ

33.12) = 2 +1−3
วธิ ีทำ 3 +1

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 56

33.13) = 2
3 −5

วิธที ำ

33.14) = (2 −1)2
4 2

วิธที ำ

33.15) = ( −1)( −2)( −3)
วธิ ีทำ 3

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 57

33.16) = √ 2−3
3

วิธที ำ

33.17) = √4 −1

+1

วิธที ำ

33.18) = √9 2−1
2 + 3√ 3 +2

วธิ ีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 58

กจิ กรรมระหว่ำงเรียน 6 : แบบฝึกหัด 1.2.2 ลิมติ ของลำดับโดยกำรเขียนกรำฟและใช้ทฤษฎลี ิมติ

1. จงเขยี นกราฟเพ่อื ตรวจสอบว่าลาดับทมี่ ีพจน์ทวั่ ไปในแต่ละขอ้ ต่อไปนีเ้ ปน็ ลาดับลเู่ ขา้ หรอื ลูอ่ อก

ถ้าเปน็ ลาดับลู่เขา้ จงหาลิมติ

1.1) =

2

คานวณ

1234567…
…

= 2

เขียนกรำฟ

จำกกรำฟ จะเหน็ ว่ำ เมือ่ มำกขนึ้ โดยไม่มที ีส่ ิน้ สดุ ( ) ค่ำของ
→ ∞ ......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2) = 1

2

คานวณ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 59

1 2 34 567…
…
1
= 2

เขียนกรำฟ

จำกกรำฟ จะเห็นวำ่ เมื่อ มำกขึน้ โดยไม่มที ี่สน้ิ สดุ ( ) คำ่ ของ
→ ∞ ......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.3) =5

+1

คานวณ

1234567…
…
5
= + 1

เขยี นกรำฟ

จำกกรำฟ จะเหน็ วำ่ เมอื่ มำกข้ึนโดยไม่มที ี่สิน้ สุด ( ) คำ่ ของ ......................................................................................................................
→ ∞

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 60

1.4) = 2



คำนวณ

1234567…
…
2
=

เขยี นกรำฟ

จำกกรำฟ จะเหน็ ว่ำ เมือ่ มำกขึน้ โดยไมม่ ีทส่ี ้นิ สุด ( ) ค่ำของ
→ ∞ ......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.5) = (1 + (−1) )

คำนวณ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 61

1 2 34 567…
…
= (1 + (−1) )

เขียนกรำฟ

จำกกรำฟ จะเห็นวำ่ เม่อื มำกขึ้นโดยไมม่ ที ีส่ น้ิ สุด ( ) คำ่ ของ
→ ∞ ......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.6) = 4 − 1
2

คำนวณ

1 2 3 4 5 6 7 8 …
…
เขียนกรำฟ

จำกกรำฟ จะเหน็ วำ่ เมื่อ มำกข้ึนโดยไมม่ ที สี่ นิ้ สุด ( ) ค่ำของ ......................................................................................................................
→ ∞

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 62

1.7) = 4(0.5) −1

คำนวณ

1 2 3 4 5 6 7 …

= 4(0.5) −1 …

เขยี นกรำฟ

จำกกรำฟ จะเหน็ ว่ำ เมอื่ มำกขึน้ โดยไม่มที ี่ส้นิ สุด ( ) คำ่ ของ
→ ∞ ......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.8) = (2) 1

3

คำนวณ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 63

12 34 567…
…
21
= (3)

เขยี นกรำฟ

จำกกรำฟ จะเห็นวำ่ เมอ่ื มำกขน้ึ โดยไมม่ ีที่สิน้ สดุ ( ) คำ่ ของ ......................................................................................................................
→ ∞

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
= (− 4)
1.9)
3

คำนวณ

1234567…
…
4
= (− 3)

เขียนกรำฟ

จำกกรำฟ จะเห็นวำ่ เม่ือ มำกข้ึนโดยไม่มีทีส่ นิ้ สุด ( ) คำ่ ของ
→ ∞ ......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 64

1.10) =
2 +2

คำนวณ

1234567…
…

= 2 + 2

เขียนกรำฟ

จำกกรำฟ จะเห็นวำ่ เมอ่ื มำกขน้ึ โดยไม่มีท่สี นิ้ สุด ( ) คำ่ ของ ......................................................................................................................
→ ∞

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. จงใช้ทฤษฎีบทเกยี่ วกบั ลมิ ติ ของลาดบั เพื่อตรวจสอบวา่ ลาดับทีม่ ีพจนท์ ั่วไปในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ เป็นลาดับลูเ่ ขา้

หรอื ล่อู อกถ้าเป็นลาดบั ลเู่ ข้า จงหาลมิ ติ

2.1) =8

3

วิธที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 65

2.2) = 8
7

วิธที ำ

2.3) = 41−

28−2

วธิ ีทำ

2.4) = 3(1)

2

วธิ ที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 66

2.5) =4+1



วิธที ำ

2.6) = 6 −4

6

วธิ ีทำ

2.7) = 3 +5

6

วธิ ที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 67

2.8) =

+1

วธิ ีทำ

2.9) = 4+5
2

วิธีทำ

2.10) = 2 −1

3 +1

วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 68

2.11) = 3 2−5

7 −1

วธิ ีทำ

2.12) = 7 2
5 2−3

วธิ ีทำ

2.13) = 4 2−2 +3
2

วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 69

2.14) = 3 2−1
วธิ ีทำ 10 −5 2

2.15) =1− 1

+1

วธิ ีทำ

2.16) = 3 +1

5 +2

วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 70

2.17) = 2 −1+3

3 +2

วธิ ีทำ

2.18) = √ −1

วธิ ีทำ √ +1

2.19) = √ 2−1

4

วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 71

2.20) = √4 2−1
2 + 3√ 3 +2

วธิ ีทำ

2.21) = 23 +2

32 −1

วธิ ที ำ

2.22) = 8 2+5 +2

3+2

วธิ ที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 72

2.23) = (1 + ; > 0

12 )

วธิ ีทำ

2.24) = 2−5 + 1− 3
+2 2+3

วธิ ีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 73

1.3 อนกุ รม ( )

ถ้ ำ 1 , 2 , 3 , … , เ ป็ น ล ำ ดั บ จ ำ กั ด จ ะ เ รี ย ก ก ำ ร เ ขี ย น แ ส ด ง ผ ล บ ว ก ใ น รู ป
1 + 2 + 3 + … + ว่ำ อนุกรมจำกดั ( )

 ตวั อยำ่ งของอนกุ รมจำกดั

1) 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 เป็นอนุกรมจำกดั ทไ่ี ดจ้ ำกลำดบั จำกัด 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
23456 23456
2) 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 เป็นอนกุ รมจำกัดทีไ่ ด้จำกลำดับจำกดั 2 , 4 , 6 , … , 2

3) 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 เปน็ อนุกรมจำกดั ที่ได้จำกลำดับจำกดั 1 , 1 ,1 ,… , 1
3 9 27 3 3 9 3
27

ให้ แทนผลบวก พจนแ์ รกของอนกุ รม นน้ั คือ

1 = 1
2 = 1 + 2
3 = 1 + 2 + 3

⋮

= 1 + 2 + 3 + ⋯ + = ∑ =1 ………….. (1)
= ∑∞ =1 ………….. (2)
เรียก วำ่ ผลลบวก พจนแ์ รกของอนกุ รม

โดยที่ = 1 + 2 + 3 + ⋯ +
และ ∞ = 1 + 2 + 3 + ⋯ + + ⋯

1.3.1 อนกุ รมเลขคณิต ( )

 สูตรกำรหำผลบวก พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต

= 2 ( 1 + ) ……………….(1)

หรือ = [2 1 + ( − 1) ] ……………….(2)
2

 ตัวอยำ่ งที่ 34 จงหำผลบวก 7 พจน์แรกของอนกุ รมทไี่ ดจ้ ำกลำดับเลขคณิต 7 , 15 , 23 , …
วิธที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 74

 ตัวอย่ำงท่ี 35 จงหำผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ 7 + 10 + 13 + ⋯ + 157
วิธที ำ

 ตวั อย่ำงที่ 36 จงหำผลบวกของจำนวนคตู่ ัง้ แต่ 18 ถงึ 482
วธิ ที ำ

 ตัวอยำ่ งท่ี 37 หอประชมุ ของโรงเรียนแหง่ หน่งึ มีเก้ำอ้ีจัดไว้แถวแรก 12 ตวั แถวทส่ี อง 14 ตวั และแถวทสี่ ำม
16 ตัว เชน่ น้เี รอ่ื ย ๆ ถำ้ จัดเกำ้ อไี้ วใ้ นหอประชมุ ทัง้ หมด 15 แถว จะมเี กำ้ อใ้ี นหอประชุมน้ที ง้ั หมดก่ีตวั

วธิ ีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 75

 ตัวอยำ่ งท่ี 38 ลำดับเลขคณิตลำดบั หนงึ่ มีผลบวก 5 พจน์แรก และผลบวก 15 พจน์แรก เทำ่ กนั คอื 75
จงหำ พจน์ที่ 1 และผลต่ำงร่วม

วิธีทำ

 ตัวอย่ำงที่ 39 ถำ้ = {200 , 201 , 202 , … , 400} จงหำผลบวกทัง้ หมดของจำนวนในเซต
ท่หี ำรดว้ ย 8 ลงตวั แตห่ ำรดว้ ย 12 ไม่ลงตวั

วธิ ที ำ

 ตัวอย่ำงท่ี 40 จงหำคำ่ และ ผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรม 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ + 123
วิธีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 76

 ตัวอย่ำงที่ 41 จงหำผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ ทมี่ ี พจนท์ ่ี 3 และพจน์ท่ี 5 มีค่ำเป็น 6 และ 16
ตำมลำดบั

วธิ ที ำ

กิจกรรมระหวำ่ งเรยี น 7 : แบบฝกึ หัด 1.3.1 ผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ
1. จงหำผลบวก พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต เม่ือกำหนดให้

1.1) = 4 , 1 = 3 และ = 2
วธิ ที ำ

1.2) = 11 , 1 = −7 และ = 3
วิธที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 77

1.3) = 14 , 1 = −5 และ = −2
วิธีทำ

1.4) = 7 , 1 = 5 และ = 29
วธิ ีทำ

1.5) = 9 , 1 = −3 และ = 37
วธิ ีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 78

2. จงหำผลบวก พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต เมือ่ กำหนดให้
2.1) = 50 และลำดบั เลขคณิตคือ 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , …

วิธีทำ

2.2) = 30 และลำดบั เลขคณิตคอื 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , …
วิธที ำ

2.3) = 60 และลำดบั เลขคณติ คอื −2 , 3 , 8 , 13 , 18 , …
วิธีทำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 79

2.4) = 75 และลำดับเลขคณติ คอื 5 , 2 , −1 , −4 , −7 , …
วธิ ีทำ

2.5) = 50 และลำดับเลขคณติ คอื 1 , 1 , 3 , 2 , 5 , …
222

วิธที ำ

3. จงหำผลบวกของอนุกรมเลขคณติ ต่อไปนี้
3.1) 6 + 9 + 12 + 15 + ⋯ + 99

วิธที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 80

3.2) (−7) + (−10) + (−13) + (−16) + ⋯ + (−109)
วิธีทำ

3.3) (−7) + (−4) + (−1) + 2 + ⋯ + 131
วิธที ำ

4. ลำดับเลขคณิตลำดับหนึง่ มีพจนท์ ี่ 10 คอื 20 และพจนท์ ่ี 5 คอื 10 จงหำผลบวกของพจนท์ ี่ 8 ถงึ พจนท์ ่ี 15
วิธที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 81

5. ทับทมิ เรมิ่ ออมเงนิ วนั แรก 1 บำท วนั ทสี่ อง 2 บำท วันที่สำม 3 บำท ถำ้ ทบั ทมิ ออมเงนิ เช่นนี้ไปเร่อื ยๆ
จนครบ 30 วัน ทับทมิ จะมเี งินออมท้ังหมดเท่ำใด

วธิ ที ำ

6. จงหำผลบวกของอนกุ รมเลขคณิตที่มีพจนแ์ รกคือ 6 ผลตำ่ งรว่ ม คือ 4 และพจน์สุดทำ้ ยคอื 26
วธิ ที ำ

7. จงหำผลบวกของจำนวนคีบ่ วก 100 จำนวนแรก
วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 82

8. จงหำผลบวกของจำนวนเต็มบวกยี่สบิ จำนวนแรกท่ีเป็นพหคุ ูณของ 3
วิธีทำ

9. จงหำผลบวกของจำนวนคี่ต้งั แต่ 17 ถึง 379
วิธีทำ

10. จัดแผ่นไม้ทมี่ ีขนำดเทำ่ กันกองหนึ่งวำงซ้อนกัน โดยเริ่มจำกวำงแผน่ ไม้ในชน้ั ลำ่ งเรียงตำมแนวยำวชดิ กนั จำนวน
30 แผ่น จำกนั้นวำงแผ่นไม้ชั้นที่ 2 โดยให้แนวก่ึงกลำงตำมด้ำนยำวของแผ่นไม้แต่ละแผ่นอยู่ตรงกับรอยต่อของ
แผ่นไม้แต่ละคู่ในช้ันแรก ทำเช่นนี้ไปเร่ือย ๆ จนชั้นบนสุดมีแผ่นไม้ 5 แผ่น จงหำว่ำแผ่นไม้กองน้ีมีกี่ชั้น และมีแผ่น
ไม้ทั้งหมดกแี่ ผ่น

วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 83

1.3.2 อนกุ รมเรขำคณิต ( )

 สตู รกำรหำผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต
1(1− ) ; ≠ 1
= ……………….(1)
1−
1( −1) ; ≠ 1
หรอื = ……………….(2)
−1

 ตัวอย่ำงที่ 42 จงหำผลบวก 8 พจน์แรกของอนกุ รมทไ่ี ดจ้ ำกลำดบั เรขำคณติ 1 , 2 , 4 , 8 , …

วธิ ที ำ

 ตัวอย่ำงท่ี 43 จงหำผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนกุ รมทไี่ ดจ้ ำกลำดับเรขำคณิต 1 , 1 , 1 , 1 , …
2 6 18 54
วธิ ที ำ

 ตัวอยำ่ งท่ี 44 จงหำคำ่ และผลบวก พจน์แรกของอนกุ รมทไี่ ดจ้ ำกลำดับเรขำคณติ

1,1 , 1 , 1 ,… , 1
248 256
วธิ ีทำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 84

 ตัวอยำ่ งที่ 45 กำนดำตงั้ ใจจะออมเงนิ เพือ่ ซือ้ อุปกรณก์ ฬี ำ โดยวนั แรกออมเงนิ 20 บำท วนั ทีส่ อง 40 บำท
วนั ท่ีสำม 80 บำท เช่นน้ไี ปเร่ือย ๆ เม่อื ครบ 7 วนั กำนดำจะมีเงินออมทงั้ หมดเทำ่ ใด

วิธีทำ

 ตวั อย่ำงท่ี 46 วรรตั น์เป็นแพทย์หญงิ บรรจุใหม่ท่ีโรงพยำบำลแหง่ หนึ่งในชนบทซึง่ เป็นบ้ำนเกิดของเธอ ในควำม
เป็นจริงแล้ววรรัตน์สำมำรถเลือกที่จะบรรจุท่ีโรงพยำบำลในกรุงเทพฯ ได้เพรำะมีผลกำรเรียนดีเด่น แต่เธอเลือกท่ี
จะกลับมำพัฒนำบ้ำนเกดิ ตำมอดุ มกำรณ์ของเธอ และดแู ลบิดำมำรดำอยำ่ งใกล้ชิด โดยวรรตั น์จะให้เงนิ บดิ ำมำรดำ
ไวใ้ ช้จ่ำยสว่ นตัวเดอื นละ 2,000 บำท และ จะเพ่มิ เงนิ ให้รอ้ ยละ 5 ตอ่ ปี จงหำวำ่

46.1) ในปีที่ 7 วรรัตน์จะให้เงนิ บดิ ำมำรดำเดอื นละเท่ำใด

วธิ ที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 85

46.2) เมอ่ื เวลำผ่ำนไป 15 ปี วรรัตน์ให้เงินบดิ ำมำรดำรวมแลว้ เปน็ เงนิ เท่ำใด
วิธที ำ

กจิ กรรมระหว่ำงเรยี น 8 : แบบฝึกหดั 1.3.2 ผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณติ
1. จงหำผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณติ เมอื่ กำหนดให้

1.1) = 4 , 1 = 3 และ = 2
วิธที ำ

1.2) = 7 , 1 = 5 และ = 4
วิธที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 86

1.3) = 9 , 1 = −3 และ = 5
วิธีทำ

1.4) = 11 , 1 = −7 และ = 3
วธิ ที ำ

1.5) = 14 , 1 = −5 และ = −2
วิธที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 87

2. จงหำผลบวก พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขำคณติ เม่ือกำหนดให้
2.1) = 9 และลำดับเรขำคณติ คอื 2 , 6 , 18 , 54 , …

วิธที ำ

2.2) = 8 และลำดับเรขำคณิตคือ 9 , 12 , 16 , 64 , …
3

วิธีทำ

2.3) = 10 และลำดับเรขำคณติ คอื 2 , 4 , 8 , 16 , …
3 9 27 81

วิธที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 88

3. จงหำผลบวกของอนกุ รมเรขำคณติ ต่อไปนี้
3.1) 9 + 27 + 81 + ⋯ + 729
วธิ ที ำ

3.2) 4 + 2 + 1 + ⋯ + 1
512

วิธีทำ

3.3) 1 + (−2) + 4 + ⋯ + 256
วิธที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 89

4. มงั กรตง้ั ใจจะออมเงนิ เพ่ือซื้อหนังสือ โดยวันแรกจะออมเงิน 1 บำท วนั ทีส่ อง 2 บำท วนั ที่สำม 4 บำท
วนั ท่สี ี่ 8 บำท เช่นนไี้ ปเรือ่ ย ๆ เมอื่ ครบ 15 วนั มังกรจะมีเงินออมท้งั หมดเทำ่ ใด

วิธที ำ

5. ผู้จดั กำรฝ่ำยขำยของบริษทั แหง่ หน่งึ ต้งั ใจจะเพิ่มยอดขำยให้มำกข้ึน 3% ของยอดขำยเดมิ ทุกไตรมำส
(ทกุ 3 เดอื น) ถำ้ ในไตรมำสแรกของปที ี่ 1 เขำทำยอดขำยได้ 300,000 บำท จงหำวำ่
5.1) เขำควรทำยอดขำยไตรมำสแรกของปที ่ี 3 ใหไ้ ดเ้ ทำ่ ใด
วธิ ีทำ

5.2) เม่อื ครบสองปี เขำควรทำยอดขำยรวมท้ังหมดใหไ้ ดเ้ ทำ่ ใด
วิธที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 90

6. ถังใบหนึ่งมีน้ำอยู่ 5,832 ลิตร ถ้ำใช้น้ำในถังทุกวัน โดยในแต่ละวันใช้น้ำ 1 ของปริมำณน้ำที่มีอยู่ในถัง
3
เม่อื ครบ 6 วันจะมนี ำ้ เหลืออยใู่ นถังกล่ี ิตร
วธิ ที ำ

7. บรษิ ทั แห่งหนึง่ ซ้อื รถยนต์มำในรำคำ 1,000,000 บำทถ้ำในแตล่ ะปี รถยนต์มีมูลค่ำลดลง 20% ซึง่ หมำยถงึ
รำคำรถยนต์คนั นจ้ี ะลดลง 20% ทุกปี จงหำว่ำเมื่อครบห้ำปี รถยนตค์ นั น้ีจะมมี ูลคำ่ เท่ำใด

วธิ ที ำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 91

8. ลำดับเรขำคณิตลำดบั หนง่ึ มีพจน์แรก คือ 160 และอัตรำส่วนรว่ ม คอื 3
2
ถำ้ ผลบวก พจน์แรกของอนุกรมน้ี คือ 2,110 จงหำ
วิธที ำ

9. ผลบวกของพจนแ์ รกและพจนท์ ีส่ องของอนกุ รมเรขำคณติ คือ -3 และ ผลบวกของพจนท์ ี่ 5 และพจนท์ ่ี 6
คือ − 3 จงหำผลบวกของ 8 พจนแ์ รกของอนุกรมนี้

16

วิธที ำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 92

10. แบคทีเรียกลุ่มหน่ึงแบ่งเซลล์โดยมีจำนวนเพิ่มข้ึน 20% ในแต่ละชั่วโมง ถ้ำ ณ ปัจจุบันมีแบคทีเรีย 1,000
เซลล์ จงหำสูตรที่ใช้ในกำรหำจำนวนแบคทีเรียเม่ือเวลำผ่ำนไป ชั่วโมง และเมื่อเวลำผ่ำนไป 10 ช่ัวโมง จะมี
แบคทีเรยี ทั้งหมดเท่ำใด

วธิ ีทำ

1.3.3 อนุกรมอนนั ต์ ( )

ถำ้ 1 , 2 , 3 , … , , … เปน็ ลำดบั อนนั ต์ จะเรยี กกำรเขยี นแสดงผลบวกในรปู
1 + 2 + 3 + ⋯ + + ⋯ ว่ำ อนกุ รมอนันต์ ( )

 ตัวอยำ่ งอนุกรมอนันต์

1) 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 + ⋯ เป็นอนกุ รมอนนั ต์ท่ไี ด้จำกลำดับอนนั ต์ 2 , 4 , 6 , … , 2 , …

2) 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯ เปน็ อนุกรมอนนั ตท์ ไ่ี ดจ้ ำกลำดับอนนั ต์ 1 ,1 ,1 ,… , 1 ,…
2 4 8 2 2 2
4 8
3) 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯ เป็นอนุกรมอนนั ตท์ ่ไี ดจ้ ำกลำดบั อนนั ต์ 1, 1 , 1 , … , 1 , …
35 2 −1 3 5 2 −1
กำรหำผลบวกของอนุกรมอนันต์โดยกำรบวกโดยตรงจนครบทุกพจน์เป็นไปไม่ได้ เพรำะอนุกรมอนันต์

มีจำนวนพจน์ไมจ่ ำกดั

พิจำรณำอนกุ รมอนันตต์ อ่ ไปนี้ 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯ เมอื่ แทนผลบวก พจน์แรกของอนุกรม
2 4 8 2
แม้จะไม่สำมำรถหำผลบวกของอนุกรมดังกล่ำวโดยกำรบวกทีละพจน์จนครบทุกพจน์ได้แต่สำมำรถหำ

ผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรมอนนั ต์ดงั กล่ำวได้ เชน่

ผลบวก 2 พจน์แรกของอนกุ รมน้ี คือ 2 = 1 + 1 = 3 = 0.75

24 4
ผลบวก 3 พจนแ์ รกของอนุกรมนี้ คอื 1 + 1 + 1 = 7 = 0.875
3 =
248 8
ผลบวก 4 พจนแ์ รกของอนกุ รมนี้ คอื 1 + 1 + 1 + 1 = 15 = 0.9375
4 =
2 4 8 16 16
ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมน้ี คอื 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 31 = 0.96875
5 =
2 4 8 16 32 32
จำกกำรหำผลบวก พจน์แรกของอนุกรมอนันต์ดังกล่ำว พบว่ำ เมื่อ มำกข้ึน ผลบวก พจน์แรกของ

อนกุ รมจะเขำ้ ใกล้ 1

ถ้ำ 1 , 2 , 3 , … , , … เป็นลำดับอนันต์ จะเรียกกำรเขยี นแสดงผลบวกในรูป
1 + 2 + 3 + ⋯ + + ⋯ ว่ำ อนุกรมอนนั ต์ ( )

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 93

กิจกรรมระหว่ำงเรยี น 9 : 1.3.1 กำรหำลำดับของผลบวกย่อย ( ) ของอนุกรม

 ตัวอยำ่ งที่ 47 กำหนด 4 + 7 + 10 + ⋯ + (3n + 1) + ⋯ จงหำลำดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรม
วิธที ำ

 ตวั อยำ่ งที่ 48 กำหนด 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯ จงหำลำดบั ของผลบวกย่อยของอนกุ รม
2 4 8 2
วธิ ีทำ

ลำดบั และอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 94

 พิจำรณำอนกุ รมอนันต์
1) 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯
2) −1 + 1 − 1 + ⋯ + (−1) + ⋯

ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมในข้อ 1) คือ 1, 2, 3, 4, … , , …
ลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมในข้อ 2) คอื −1, 0, −1, 0, −1, 0, …
จะเหน็ วำ่ ลำดบั ทง้ั สองไมม่ ีลิมติ จึงกลำ่ ววำ่ อนกุ รมอนนั ต์ท้ังสองไมม่ ผี ลบวก

 บทนยิ ำม 8 กำหนดอนกุ รมอนนั ต์ 1 + 2 + 3 + ⋯ + + ⋯

ให้ 1 , 2 , 3 , … , , … เป็นลำดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้

ถำ้ ลำดับ เป็นลำดับลเู่ ข้ำ โดย lim = เมื่อ เปน็ จำนวนจริง แล้วจะกล่ำวว่ำอนกุ รม

n→∞
1 + 2 + 3 + ⋯ + + ⋯ เป็น อนุกรมลู่เข้ำ( ) และเรียก ว่ำผลบวกของ

อนกุ รม

ถ้ำลำดับ เป็นลำดับลู่ออก จะกล่ำวว่ำอนุกรม 1 + 2 + 3 + ⋯ + + ⋯ เป็น
อนกุ รมล่อู อก ( )

กำรพจิ ำรณำว่ำอนกุ รมอนนั ตใ์ ดเป็นอนกุ รมลูเ่ ขำ้ หรอื ลูอ่ อก

จำกบทนิยำมข้ำงต้น กำรแสดงว่ำอนุกรมอนันต์ใดเป็นอนุกรมลู่เข้ำหรือลู่ออกทำได้ดังนี้

1) พิจำรณำลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรม และหำสูตรท่ัวไปของผลบวกย่อย พจน์แรก

( ) ของอนุกรม

2) พจิ ำรณำลมิ ติ ของ ถำ้ lim = เม่ือ เปน็ จำนวนจริง แลว้ อนุกรมนนั้ เปน็ อนกุ รม

ล่เู ข้ำ และมีผลบวกเท่ำกับ แตถ่ ำ้ n→∞
ไม่มคี ่ำ แลว้ อนุกรมนัน้ เปน็ อนกุ รมล่อู อก
lim

n→∞

กจิ กรรมระหวำ่ งเรยี น 10 : 1.3.2 กำรตรวจสอบกำรลู่เขำ้ ของอนกุ รม

 ตวั อย่ำงที่ 49 จงพิจำรณำวำ่ อนกุ รม 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) + … เป็นอนกุ รมลเู่ ข้ำหรอื อนกุ รม

ล่อู อก ถ้ำเป็นอนุกรมลูเ่ ข้ำ จงหำผลบวกของอนุกรม

วธิ ที ำ

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 95

 ตัวอยำ่ งท่ี 50 จงพิจำรณำวำ่ อนกุ รม 3 + 1 + 1 + ⋯ + 3 (1) −1 + … เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้ำ หรืออนกุ รม
226 23
ลู่ออก ถ้ำเป็นอนุกรมลู่เข้ำ จงหำผลบวกของอนกุ รม

วิธีทำ

 ตัวอยำ่ งท่ี 51 จงพิจำรณำวำ่ อนุกรม 3 + 3 + 3 + ⋯ + 3 + … เปน็ อนกุ รมล่เู ขำ้ หรอื อนุกรม
10 100 1000 10
ลู่ออก ถ้ำเปน็ อนุกรมลูเ่ ข้ำ จงหำผลบวกของอนุกรม

วธิ ที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 96

 ตวั อยำ่ งที่ 52 จงหำผลบวกย่อย 10 พจน์แรกของอนุกรม 1 ∙ 3 + 2 ∙ 32 + 3 ∙ 33 + 4 ∙ 34 + ⋯ + ∙ 3 + …
วิธที ำ

 ตัวอยำ่ งที่ 53 จงหำผลบวกยอ่ ย 10 พจนแ์ รกของอนกุ รม 1 ∙ 1 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 1 + 4 ∙ 1 + ⋯ + ∙ 1 + …
3 9 27 81 3

วธิ ีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 97

 ตัวอย่ำงที่ 54 จงพจิ ำรณำวำ่ อนกุ รม 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + … เปน็ อนุกรมล่เู ขำ้
1∙2 2∙3 3∙4 ( +1)

หรอื อนกุ รมลู่ออก ถำ้ เป็นอนุกรมลเู่ ข้ำ จงหำผลบวกของอนุกรม

วิธที ำ

 ตวั อยำ่ งท่ี 55 จงพจิ ำรณำวำ่ อนกุ รม 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + …
√2 + √1 √3 + √2 √4 + √3 √ + √ −1
เป็นอนุกรมลเู่ ขำ้ หรืออนุกรมลอู่ อก ถำ้ เป็นอนกุ รมลู่เข้ำ จงหำผลบวกของอนุกรม

วธิ ีทำ

ลำดบั และอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 98

 ตวั อยำ่ งที่ 56 จงพจิ ำรณำวำ่ อนกุ รม 1 + 2 + 3 + ⋯ + + … เป็นอนุกรมล่เู ข้ำหรอื อนุกรมลู่ออก
2! 3! 4! ( +1)!

ถ้ำเปน็ อนกุ รมลเู่ ขำ้ จงหำผลบวกของอนกุ รม

วิธที ำ

กำรพจิ ำรณำว่ำอนกุ รมเรขำคณิต วำ่ เป็นอนกุ รมลเู่ ขำ้ หรอื อนุกรมลู่ออก

สำหรบั อนกุ รมเรขำคณิตนนั้ กำรจะพจิ ำรณำว่ำเปน็ อนกุ รมลูเ่ ขำ้ หรอื อนกุ รมล่อู อก มีสมบตั ิเฉพำะทช่ี ว่ ย

ให้สำมำรถพจิ ำรณำไดส้ ะดวกขึน้ โดยมขี อ้ สังเกตดังน้ี

 จำกอนกุ รมเรขำคณติ 1 + 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 −1 + … เมอ่ื 1 ≠ 0

1) พจิ ำรณำกรณี | | = 1 จะได้ = 1 หรอื = −1

1.1) ถ้ำ = 1 จะได้ลำดบั ของผลบวกย่อยของอนกุ รมเป็น 1 , 2 1 , 3 1 , … , 1, …

ซ่งึ ไม่มลี ิมิต เพรำะ lim 1 ไมม่ ีคำ่

n→∞
1.2) ถำ้ = −1 จะได้ลำดับของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมเป็นลำดบั แกว่งกวดั 1, 0, 1, 0, 1, …

ซ่งึ ไมม่ ลี ิมติ

ดงั นน้ั อนุกรมเรขำคณิต เมอ่ื | | = 1 เปน็ อนกุ รมลอู่ อก

2) ต่อไปพจิ ำรณำกรณี | | ≠ 1
1(1− ) = 1 − 1
จะได้ = 1−
1− 1−
2.1) ถ้ำ | | < 1 จะได้ lim = 0 ซง่ึ ทำให้ lim 1 = 0
n→∞ n→∞ 1−

จะได้ lim = lim 1 − lim 1
ดงั น้ัน 1−
n→∞ n→∞ n→∞ 1− 1
อนกุ รมเรขำคณติ เมอ่ื | | < 1 เป็นอนุกรมลเู่ ข้ำ และผลบวกของอนกุ รมเท่ำกบั
1−
2.2) ถำ้ | | > 1 จำกทฤษฎบี ท 2 จะได้ lim ไมม่ ีค่ำ
n→∞
ดงั น้ัน lim( 1 1 ) ไมม่ คี ำ่
lim = −
n→∞ 1− 1−
n→∞
ดังน้ัน อนกุ รมเรขำคณติ เม่ือ | | > 1 เปน็ อนุกรมลู่ออก

ลำดับและอนกุ รม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 99

สรุปได้ดงั ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี

 ทฤษฎบี ท 6 : กำหนดให้ อนุกรมเรขำคณติ มี 1 เป็นพจนแ์ รก และ เป็นอตั รำสว่ นร่วม
6.1 ถำ้ | | < 1 แล้ว อนุกรมนี้เปน็ อนกุ รมลเู่ ขำ้ และผลบวกของอนุกรมเทำ่ กับ 1

1−

6.2 ถำ้ | | ≥ 1 แล้ว อนุกรมน้ีเป็นอนุกรมล่อู อก

กจิ กรรมระหวำ่ งเรยี น 11 : 1.3.3 กำรตรวจสอบกำรลเู่ ขำ้ ของอนุกรมเรขำคณติ

 ตัวอย่ำงท่ี 57 จงพจิ ำรณำว่ำอนกุ รม 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ + (− 2) −1 + … เปน็ อนกุ รมล่เู ข้ำหรือ
3 9 27 3
อนุกรมลู่ออก ถ้ำเป็นอนกุ รมลูเ่ ขำ้ จงหำผลบวกของอนกุ รม

วธิ ีทำ

 ตวั อย่ำงท่ี 58 จงพจิ ำรณำวำ่ อนุกรม 2 + 8 + 32 + 128 + ⋯ + 22 −1 + … เปน็ อนุกรมลูเ่ ข้ำ หรือ
3 9 27 81 3
อนกุ รมลอู่ อก ถ้ำเปน็ อนุกรมลู่เขำ้ จงหำผลบวกของอนุกรม

วธิ ที ำ

ลำดับและอนุกรม : ( ) MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 100

 ตัวอย่ำงท่ี 59 ถ้ำปล่อยลูกบอลจำกควำมสูง 6 เมตร แลว้ ลกู บอลกระดอนขึ้นมำ 75% ของควำมสูงเดมิ
ในแต่ละคร้งั จงหำระยะเคลอื่ นทที่ ั้งหมดในแนวตง้ั ของลกู บอล

วิธีทำ

 ตัวอยำ่ งที่ 60 จงเขยี นทศนิยมซ้ำต่อไปนี้อยูใ่ นรปู เศษส่วน
60.1) 0. 2̇ 6̇

วธิ ีทำ