2116013TM-คู่มือครูคณิตศาสตร์-ม1-ล1[211119]

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ 5.1 แบบรปู และความสัมพันธ

การใชค วามรเู ดมิ ฯ (Prior Knowledge) ถ้านักเรียนมองไปรอบ ๆ ตัว จะพบว่ามีแบบรูปในธรรมชาติและแบบรูปที่มนุษย์สร้างขึ้น
มากมาย เช่น แบบรูปของกลีบดอกไม้ แบบรูปของการทอผ้า และแบบรูปของการปูพื้นห้อง
6. ครูใหนักเรียนดูรูปภาพ หนา 178 และถาม ด้วยไม้ปาร์เกต์หรือแผ่นกระเบื้องให้เป็นลวดลายต่าง ๆ เป็นต้น ในที่นี้จะกล่าวถึงแบบรูปทาง
นักเรียนวา คณติ ศาสตร์ซึ่งเป็นแบบรปู ของจำานวน
• ดอกไมท้ังสามดอกมีลักษณะเหมือนกัน ให้นักเรียนพิจารณาแบบรูปของจำานวนที่กำาหนดให้ต่อไปน้ี แล้วหาว่าจำานวนสามจำานวน
หรือแตกตางกนั หรอื ไม อยา งไร ตอ่ ไปควรเปน็ จำานวนใด
(แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย 1) 1, 3, 5, 7, ...
ตามพ้ืนฐานความรูเดิม เชน เหมือนกัน 2) 17, 14, 11, 8, ...
คอื มกี ลีบดอก 3 ช้นั และอีกหนึ่งเปนเกสร 3) 1, 4, 9, 16, ...
แตข นาดของกลบี ดอกอาจจะไมเ ทากัน)
• ดอกไมในลายผาทอมีลักษณะเหมือนกัน แนวคดิ การพจิ ารณาหาจาำ นวนสามจาำ นวนตอ่ ไปของแบบรปู ของจาำ นวนแตล่ ะชดุ ทกี่ าำ หนด
หรอื คลา ยกนั หรือไม อยางไร ใหอ้ าจคิดไดห้ ลากหลายวธิ ี ข้นึ อยกู่ บั เหตุผลท่นี าำ มาอธิบายความสัมพนั ธ์ระหวา่ งจาำ นวนต่าง ๆ ใน
(แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย แบบรูป
เชน ถาเปนผาทอของจริง จะเหมือนกัน เชน่ 1) 1, 3, 5, 7, ...
ทุกอยางท้ังขนาดและลักษณะของดอก แต - ถ้าเป็นแบบรูปของจาำ นวนนบั ทมี่ ีความสมั พนั ธ ์ โดยเพิ่มขึ้นทีละ 2
จากภาพจะมีลักษณะของดอกเหมือนกัน
และขนาดของดอกไมเทา กัน) จะไดว้ ่า จำานวนสามจำานวนตอ่ ไป คือ 9, 11, 13
- ถา้ เปน็ แบบรปู ของจาำ นวนคส่ี จ่ี าำ นวนเรยี งกนั แลว้ เรยี งคา่ ของจาำ นวนคที่ งั้ สจ่ี าำ นวน
ขนั้ สอน
จากน้อยไปมาก และมากไปน้อยสลบั กนั
รู (Knowing) ซึง่ จะได้แบบรูปเปน็ 1, 3, 5, 7, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7, . . .
จะได้วา่ จาำ นวนสามจาำ นวนต่อไปจาก 1, 3, 5, 7 คือ 7, 5, 3
1. ครูเขียนแบบรูป 1, 3, 5, 7, ... บนกระดาน
แลวถามคาํ ถามวา 178
• แบบรปู 1, 3, 5, 7, ... มีความสมั พันธกัน
อยางไร
(แนวตอบ เพมิ่ ขน้ึ ทลี ะ 2 โดยมจี าํ นวนเรมิ่ ตน
คือ 1 จะไดแบบรปู เปน 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
หรือเปนจํานวนคี่ส่ีจํานวนแรกเรียงกัน
แลวเรียงคาของจํานวนคี่ท้ังสี่จํานวนจาก
นอยไปมาก และจากมากไปนอยสลับกัน
จะไดแ บบรปู เปน 1, 3, 5, 7, 7, 5, 3, 1,
1, 3, 5, 7, ...)

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET (เฉลยคาํ ตอบ จํานวนแรกของแถวที่ 1 คอื 1
จาํ นวนแรกของแถวท่ี 2 คอื 3 ซึง่ เกดิ จากจาํ นวนแรกของ
แถว 1 1 แถวที่ 1 + 2 = 1 + 2
แถว 2 3 5 จาํ นวนแรกของแถวท่ี 3 คอื 7 ซ่งึ เกดิ จากจํานวนแรกของ
แถว 3 7 9 11 แถวท่ี 2 + 2 + 2 = 3 + 2 + 2
แถว 4 13 15 17 จํานวนแรกของแถวท่ี 4 คือ 13 ซ่ึงเกิดจากจาํ นวนแรกของ
แถวที่ 3 + 2 + 2 + 2 = 7 + 2 + 2 + 2
... ... ... ... ... จะไดความสัมพนั ธว า จํานวนแรกของแถวที่ n ซ่งึ เกดิ จาก
... ... ... ... ... ... จาํ นวนแรกของแถวที่ 1 + 2[1 + 2 + 3 + ... + (n - 1)]
จากตวั เลขทปี่ รากฏในตารางเรียก 1, 3, 7, 13, ... แสดงวา จาํ นวนแรกของแถวท่ี 10
วา เปนจาํ นวนแรกของแถวท่ี 1, 2, 3, 4, ... ตามลําดับ
จงหาจาํ นวนแรกของแถวที่ 10 วา เปนจํานวนใด = 1 + 2(1 + 2 + 3 + ... + 9)
1. 91 2. 93 = 1 + 2(45) = 91
3. 95 4. 97 จะไดว า จาํ นวนแรกของแถวท่ี 10 คือ 91
ดงั นน้ั คาํ ตอบ คือ ขอ 1.)

T192

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

2) 17, 14, 11, 8, ... ขนั้ สอน
- ถา้ เป็นแบบรูปของจาำ นวนเตม็ ที่มคี วามสัมพันธ ์ โดยลดลงทีละ 3
จะได้วา่ จำานวนสามจำานวนตอ่ ไป คอื 5, 2, -1 รู้ (Knowing)

- ถา้ เป็นแบบรปู ของจำานวนชดุ นีส้ ่จี ำานวนเรียงกันเป็นชุด ๆ ซงึ่ จะได้แบบรปู เป็น 2. ครูเขยี นแบบรปู 17, 14, 11, 8, ... บนกระดาน
17, 14, 11, 8, 17, 14, 11, 8, 17, 14, 11, 8, ... แลวถามคําถาม ดงั นี้
จะได้ว่า จาำ นวนสามจาำ นวนต่อไปจาก 17, 14, 11, 8 คือ 17, 14, 11 • แบบรปู 17, 14, 11, 8, ... มคี วามสมั พนั ธก นั
อยา งไร
3) 1, 4, 9, 16, ... (แนวตอบ ลดลงทลี ะ 3 โดยมีจํานวนเรม่ิ ตน
- ถ ้าเป็นแบบรูปของจำานวนนับท่ีมีความสัมพันธ์ โดยเป็นการยกกำาลังสองของ คอื 17 จะไดแ บบรปู เปน 17, 14, 11, 8, 5,
จำานวนนับตงั้ แต่ 1 ไปเรื่อย ๆ 2, ... หรอื เปน จาํ นวนสจี่ าํ นวนซา้ํ กนั เรยี งกนั
จะไดว้ ่า 1, 4, 9, 16, ... คือ 12, 22, 32, 42, ... เปน ชดุ ๆ จะไดแ บบรูปเปน 17, 14, 11, 8,
ดังนน้ั จำานวนสามจำานวนต่อไป คอื 52, 62, 72 หรอื 25, 36, 49 17, 14, 11, 8, ...)

- ถ า้ เป็นแบบรูปของจำานวนนับทม่ี คี วามสัมพนั ธ ์ โดยจาำ นวนต้ังแต่จาำ นวนทสี่ ี่ 3. ครูเขียนแบบรปู 1, 4, 9, 16, ... บนกระดาน
เปน็ ตน้ ไปเกดิ จากผลบวกของจำานวนนบั สามจาำ นวนทอ่ี ยกู่ อ่ นหนา้ แลว้ บวกดว้ ย 2 แลว ถามคาํ ถาม ดงั นี้
ซงึ่ จะได้แบบรปู เป็น 1, 4, 9, 16, 31, 58, 107, ... • แบบรปู 1, 4, 9, 16, ... มีความสัมพันธก นั
ดงั นัน้ จาำ นวนสามจาำ นวนตอ่ ไปจาก 1, 4, 9, 16 คือ 31, 58, 107 อยา งไร
(แนวตอบ ยกกําลังสองของจํานวนนับ คือ
เพอ่ื ใหเ้ หน็ ความสมั พนั ธข์ องแบบรปู ของจาำ นวนทช่ี ดั เจน อาจเขยี นแบบรปู ทว่ั ไปของความ 12, 22, 32, 42, ... จะไดแ บบรูปเปน 1, 4, 9,
สมั พันธ์นน้ั กาำ กับไว ้ เช่น 16, 25, 36, ... หรือจาํ นวนทสี่ ่ี เปน ตนไป
เกดิ จากผลบวกของจาํ นวนนบั สามจาํ นวนที่
จงหาจาำ นวนสามจาำ นวนถดั ไปของแบบรูปของจาำ นวนแต่ละชุดต่อไปนี้ อยกู อนหนา แลวบวกดว ย 2 จะไดแ บบรูป
1) 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... เม่อื n เป็นจำานวนนบั เปน 1, 4, 9, 16, 31, 58, 107, ...)
จะไดว้ ่าจำานวนสามจำานวนถดั ไปที่ตอ่ จาก 8 คือ 10, 12, 14
จ13ะ,ได61ว้ ,่าจ91ำา,น.ว.น.,ส3า1nมจ, ำา.น..ว เนมถอ่ื ัด ไnป ทเป่ีต็นอ่ จจำาานกว น19น คบั ือ 112 4. ครูกลาวเพิ่มเติมวา จากแบบรูปขางตนเม่ือ
2) , 115 , 118 ตองการใหเห็นความสัมพันธที่ชัดเจนของ
แบบรูป จึงควรบอกรูปท่ัวไปในแบบรูปนั้นๆ
ดวย เชน
แบบรปู ทน่ี กั เรยี นพบในหนว่ ยการเรยี นรนู้ ้ี บางแบบรปู อาจไมไ่ ดเ้ ขยี นจาำ นวนใดจาำ นวนหนงึ่ 1) 1, 3, 5, 7, ..., 2n - 1, ... เม่อื n เปน
กาำ กบั ไว ้ ทงั้ นเ้ี พอ่ื ฝกึ ฝนใหน้ กั เรยี นไดค้ ดิ หาเหตผุ ลทหี่ ลากหลายในการหาความสมั พนั ธข์ องจาำ นวน จาํ นวนนับ
ตา่ ง ๆ ในแบบรปู การนาำ เสนอความสมั พันธ์ของจำานวนต่าง ๆ ในแบบรูปจากตัวอย่างต่าง ๆ เป็น 2) 17, 14, 11, 8, ..., 20 - 3n, ... เมอ่ื n
การนาำ เสนอความสัมพนั ธแ์ บบหนึง่ เท่านน้ั นกั เรยี นอาจพบความสมั พนั ธ์อน่ื ๆ อกี เปนจาํ นวนนับ
3) 1, 4, 9, 16, ..., n2 , ... เม่ือ n เปน
จํานวนนับ

179

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET เกร็ดแนะครู

สามจาํ นวนทถี่ ดั ไปของ 14, 16, 18, 20 ตรงกับขอใด ครูควรชี้แนะใหนักเรียนสังเกตจํานวนในแตละขอและแตละบรรทัดวา
1. 21, 22, 23 มลี กั ษณะอยา งไร เชน เพิม่ ข้นึ หรือลดลงครง้ั ละเทากัน หรอื เพมิ่ ขึน้ หรือลดลง
2. 22, 24, 26 ไมเทา กนั และใหนกั เรียนนําผลสรปุ จากการดําเนินการตา งๆ ของจาํ นวนมาใช
3. 23, 26, 28 เชน ผลบวกของจํานวนคูจะเปนจํานวนคู ผลคูณของจํานวนที่มีจํานวนคู
4. 24, 26, 28 จะเปนจํานวนคู ซึ่งตองลองทําประมาณ 3-4 จํานวน เพ่ือจะไดม่ันใจวา
(เฉลยคาํ ตอบ พิจารณาความสัมพันธระหวางจํานวนท่ีกําหนด ความสัมพนั ธท ีส่ รปุ ถกู ตอง

เปนแบบรปู ทเ่ี พิ่มขึน้ ทลี ะ 2
14 +2 16 +2 18 +2 20 +2 22 +2 24 +2 26

ดงั นัน้ คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)

T193

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ตัวอยา่ งที่ 1

รู้ (Knowing) จงหาจาำ นวนสามจาำ นวนถดั ไปของแตล่ ะแบบรปู ทสี่ อดคลอ้ งกบั ความสมั พนั ธท์ ก่ี าำ หนดใหต้ อ่ ไปน้ี
1) 3, 6, 9, 12, ... 2) 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ...
5. ครูใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางท่ี 1 ขอ 1) 3) 12 , 32 , 43 , 45 , ...
และขอ 2) ในหนังสือเรียน หนา 180 แลว
แลกเปลี่ยนความรูกับคูของตนเอง จากน้ัน วธิ ที าำ 1) 3, 6, 9, 12, ...
ใหนักเรียนแตละคนทํา “Thinking Time” พิจารณาความสมั พันธร์ ะหวา่ งจำานวนต่าง ๆ ดังนี้
แลวครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคําตอบ จำานวนนบั ในลำาดับท ี่ 1 เทา่ กบั 3 หรือ 3 × 1
“Thinking Time” จำานวนนับในลำาดับท ี่ 2 เท่ากบั 6 หรือ 3 + 3 หรอื 3 × 2
จำานวนนบั ในลำาดับท ่ี 3 เท่ากับ 9 หรอื 6 + 3 หรอื 3 × 3
จำานวนนบั ในลำาดบั ที ่ 4 เท่ากับ 12 หรอื 9 + 3 หรอื 3 × 4
จะไดว้ ่า 3, 6, 9, 12, ... เป็นแบบรูปของจาำ นวนนบั ที่มคี วามสัมพนั ธ์โดยเพิ่มขนึ้

ทีละ 3 หรือเปน็ พหุคูณของ 3
ดงั นัน้ จาำ นวนสามจาำ นวนถัดไปของแบบรูปน ้ี คือ 15, 18, 21

2) 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ...
พจิ ารณาความสมั พันธร์ ะหว่างจำานวนต่าง ๆ ดงั น้ี
จำานวนนับในลำาดบั ท ่ี 1 เท่ากับ 0.1 เกิดจาก 110 = 1111111100004321
จำานวนนบั ในลาำ ดับที่ 2 เท่ากบั 0.01 เกิดจาก 1100 =
จาำ นวนนบั ในลาำ ดบั ที ่ 3 เทา่ กับ 0.001 เกิดจาก 1,0100 =
จาำ นวนนับในลาำ ดับที่ 4 เท่ากับ 0.0001 เกิดจาก 10,1000 =

จะได้วา่ 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ... เป็นแบบรูปของจำานวนท่มี คี วามสัมพันธ ์
โดยการนาำ 1 หารดว้ ย 10 ยกกำาลังจำานวนทเี่ ปน็ ลาำ ดบั ท่ี
ดังนัน้ จาำ นวนสามจำานวนถัดไปของแบบรปู นี้
คือ 0.00001, 0.000001, 0.0000001

Thinking Time

นักเรียนสามารถหาจำานวนสามจำานวนถัดไปของแบบรูปท่ีสอดคล้องกับความสัมพันธ์ 0.5, 0.25,
0.125, 0.0625 ได้อยา่ งไร

180

เฉลย Thinking Time

พจิ ารณาความสัมพันธร ะหวา งจํานวนตางๆ ดังน้ี 150 1 = 150
จํานวนในลาํ ดับท่ี 1 เทา กับ 0.5 เกิดจาก 150 = 150 2 = 12050
จาํ นวนในลําดบั ท่ี 2 เทากบั 0.25 เกดิ จาก 12050 = 150 3 = 11,02050
จํานวนในลาํ ดับที่ 3 เทากับ 0.125 เกิดจาก 11,02050 = 150 4 = 106,20500
จํานวนในลาํ ดบั ท่ี 4 เทากับ 0.0625 เกิดจาก 106,20500 =

จะไดวา 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, … เปนแบบรูปของจาํ นวนท่ีมคี วามสัมพนั ธ โดยการนาํ 5 หารดว ย 10 ทงั้ หมดยกกําลงั จาํ นวนทเ่ี ปน ลําดบั ท่ี
ดงั นั้น จํานวนสามจํานวนถัดไปของแบบรูปน้ี คอื 0.03125, 0.015625 และ 0.0078125

T194

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

3) 21 , 23 , 34 , 54 , ... ขนั้ สอน
พจิ ารณาความสัมพันธร์ ะหว่างจำานวนตา่ ง ๆ ดังนี้
จำานวนนบั ในลาำ ดับท ่ี 1 เทา่ กบั 21 เกิดจาก 1 +1 1 รู้ (Knowing)
จาำ นวนนับในลาำ ดบั ท ่ี 2 เท่ากับ 32 เกิดจาก 2 +2 1
จาำ นวนนบั ในลาำ ดบั ท ่ี 3 เท่ากับ 43 เกิดจาก 3 +3 1 6. ครูใหน กั เรยี นคูเดิมศึกษาตัวอยางที่ 1 ขอ 3)
จาำ นวนนับในลาำ ดับท่ ี 4 เทา่ กับ 45 เกิดจาก 4 +4 1 ในหนงั สือเรยี น หนา 181 จากนน้ั ใหน ักเรยี น
จะไดว้ ่า 21 , 32 , 43 , 45 , ... เปน็ แบบรปู ของจาำ นวนท่มี ีความสัมพนั ธ ์ แตละคนทํา “ลองทําดู” แลวครูและนักเรียน
โดยเศษส่วนแต่ละจำานวนมีตัวเศษเป็นจำานวนนบั ตงั้ แต่ 1 ข้ึนไป และตัวส่วน รวมกนั เฉลยคําตอบ

เปน็ จำานวนนับทีม่ ากกวา่ ตัวเศษอย ู่ 1 7. ครูกลา วเพิ่มเตมิ วา จากตวั อยา งท่ี 1 นกั เรยี น
ดังน้นั จำานวนสามจำานวนถัดไปของแบบรูปนี ้ คอื 56 , 67 , 78 ตอบ สามารถหาจํานวนในลําดับตางๆ ได เมื่อ
เขียนความสัมพันธระหวางลําดับที่กับจํานวน
ลองทําดู เหลา น้นั จากนัน้ ครูยกตวั อยางแบบรูป 3, 6,
9, 12, ... จากตวั อยางที่ 1 ขอ 1) บนกระดาน
จงหาจาำ นวนสามจำานวนถดั ไปของแตล่ ะแบบรปู ท่ีสอดคลอ้ งกับความสัมพนั ธท์ ี่กำาหนดให้ แลวถามคําถาม ดงั น้ี
1) 4, 9, 14, 19, ... 2) 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, ... • จากแบบรูป มีความสมั พนั ธแบบใด
3) 41 , 25 , 63 , 74 , ... (แนวตอบ เพิ่มขึ้นทีละ 3 หรือเปนพหุคูณ
ของ 3)
จากตวั อยา่ งท ี่ 1 ขอ้ 1) นกั เรยี นสามารถหาจาำ นวนในลาำ ดบั ท ่ี 15 ได ้ โดยเขยี นความสมั พนั ธ์ • เขยี นแบบรปู ในรปู ทว่ั ไปไดอยางไร
ระหว่างลำาดับทีก่ บั จำานวนเหล่านัน้ ดังน้ี (แนวตอบ 3, 6, 9, 12, ..., 3n, ... เมือ่ n
3, 6, 9, 12, ... เป็นแบบรูปของจำานวนท่ีมีความสัมพันธ์ โดยเพิ่มข้ึนครั้งละ 3 หรือ เปน จํานวนนบั )
เปน็ พหุคูณของ 3 สามารถเขียนแสดงความสัมพนั ธข์ องแบบรูปได้ ดงั น้ี • จํานวนท่ี 15 คือจํานวนใด
จำานวนในลำาดบั ท่ี 1 เท่ากับ 3 เกดิ จาก 3 × 1 (แนวตอบ 3 × 15 = 45)
จาำ นวนในลำาดับที ่ 2 เท่ากับ 6 เกิดจาก 3 × 2 • จาํ นวนท่ี 20 คอื จํานวนใด
(แนวตอบ 3 × 20 = 60)
จากน้ันครูสรุปใหนักเรียนฟงวา “เมื่อเรารู
แบบรูปในรูปท่ัวไปแลว เราจะสามารถหา
จํานวนในลําดบั ท่ตี า งๆ ได”

จำานวนในลำาดบั ท ี่ 3 เท่ากบั 9 เกิดจาก 3 × 3
จาำ นวนในลำาดบั ที่ 4 เทา่ กบั 12 เกิดจาก 3 × 4

เป็นตวั แจะป1เรหแ็นทวนา่ จ เาำ มน่ือวทนรนาบั บใลดำา ๆด ับซทง่ึ ใี่แดส ๆด งสลาำามดาับรทถ่นี บ้ันอกจำานวนในลาำ ดบั ที่นนั้ ๆ ได้ ถ้ากำาหนดให ้ n
นน่ั คอื แบบรปู ของจาำ นวน 3, 6, 9, 12, ... สามารถเขยี นแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งลาำ ดบั ที่
กับจำานวนในลาำ ดบั ท่ีนัน้ ๆ ไดเ้ ป็น 3n จะเรยี ก 3n วา่ เป็นความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งลาำ ดบั ทกี่ ับจาำ นวน
ในลำาดับที่ n ดงั น้นั จำานวนในลาำ ดบั ที่ 15 เทา่ กับ 3 × 15 = 45
181

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET นักเรียนควรรู
, , , 69, 75, 81 จํานวนท่ีหายไปคือจาํ นวนในขอ ใด
1 ตัวแปร (Variable) เปนสัญลักษณที่แทนจํานวนใดๆ ท่ีกําหนดในโจทย
1. 49, 55, 61 2. 50, 56, 62 เชน x แทนจํานวนนบั ใดๆ y แทนจาํ นวนเตม็ ใดๆ เปน ตน ซ่งึ โดยทั่วไปนิยม
3. 51, 57, 63 4. 54, 59, 64 ใชตัวอักษรภาษาอังกฤษ เชน x, y, z แตในบางครั้งอาจจะใชตัวอักษรภาษา
องั กฤษตวั อนื่ ๆ ได
(เฉลยคาํ ตอบ นาํ 75 - 69 จะเทา กบั 6
81 - 75 จะเทา กับ 6

นน่ั คือ จาํ นวนแตละจาํ นวนจะหางกัน 6
69 - 6 = 63
63 - 6 = 57
57 - 6 = 51

จะได 51, 57, 63
ดงั น้ัน คาํ ตอบ คือ ขอ 3.)

T195

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

เขา้ ใจ (Understanding)

1. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 2 ในหนังสือ ตวั อย่างที่ 2
เรยี น หนา 182-183 แลวครูถามคําถาม ดงั นี้
• แบบรูป 4, 8, 12, 16, ... มคี วามสมั พันธก ัน จงหาจาำ นวนในลำาดับที่ 10 และเขียนความสัมพันธร์ ะหวา่ งลำาดบั ทีก่ ับจำานวนในลาำ ดับที่ n
ของแบบรูปที่กำาหนดใหต้ อ่ ไปน้ี
อยา งไร 1) 4, 8, 12, 16, ... 2) 13 , 24 , 53 , 46 , ...
(แนวตอบ เพ่ิมขึ้นทีละ 4 หรือเปนพหุคูณ
ของ 4) วธิ ที ำา 1) 4, 8, 12, 16, ...
พจิ ารณาความสัมพันธร์ ะหวา่ งจาำ นวนตา่ ง ๆ ดงั น้ี
• แบบรูป 4, 8, 12, 16, ... เขยี นแบบรูปใน จำานวนนบั ในลำาดับท่ี 1 เท่ากับ 4 เกดิ จาก 4 × 1
รปู ทวั่ ไปไดอ ยา งไร
(แนวตอบ 4n เม่ือ n เปน จาํ นวนนบั ) จำานวนนบั ในลาำ ดบั ที่ 2 เท่ากับ 8 เกดิ จาก 4 × 2
จำานวนนบั ในลำาดับที่ 3 เทา่ กบั 12 เกิดจาก 4 × 3
13, 42, 53, 64, จำานวนนับในลำาดับท่ี 4 เท่ากบั 16 เกิดจาก 4 × 4
• แบบรูป ... มีความสมั พนั ธก นั จทะีลไะดว้4า่ ห4ร,ือ8เ,ป็น12พ,ห1ุค61ูณ, ข..อ. งเป4็นแบบรูปของจาำ นวนนบั ทมี่ ีความสมั พันธ์โดยเพิ่มขึน้
อยางไร
(แนวตอบ ตัวเศษเปนจํานวนนับตั้งแต 1
ขน้ึ ไป และตัวสว นเปนจาํ นวนนับท่ีมากกวา จะไดว้ ่า จำานวนในลาำ ดบั ท่ี 10 เทา่ กบั 4 × 10 = 40
และความสัมพนั ธ์ระหว่างลำาดบั ที่กับจำานวนในลำาดบั ที่ n
ตัวเศษอยู 2) เทา่ กบั 4 × n = 4n
แร(แูปบนทบวั่วตรไูปอปบไ13ด2,อ +nย24า,nง35ไเมร, ่อื 46,n
• ... เขียนแบบรูปใน ดงั น้นั จำานวนในลำาดับที่ 10 เท่ากบั 40 และความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งลาำ ดบั ทกี่ บั จาำ นวน
เปนจาํ นวนนับ)
ในลาำ ดับที่ n เทา่ กบั 4n

2) 13 , 42 , 53 , 46 , ...
พิจารณาความสมั พันธร์ ะหวา่ งจำานวนตา่ ง ๆ ดงั น้ี
จาำ นวนนับในลาำ ดบั ที่ 1 เทา่ กบั 31 เกดิ จาก 2 +1 1

จำานวนนบั ในลำาดับที่ 2 เท่ากบั 42 เกิดจาก 2 +2 2
จำานวนนับในลาำ ดับที่ 3 เทา่ กบั 53 เกิดจาก 2 +3 3
จาำ นวนนบั ในลาำ ดบั ท่ี 4 เท่ากับ 64 เกดิ จาก 2 +4 4
จเศะไษดส้ว่ว่าน13ตวั, เ24ศษ,เ53ปน็ ,จ64าำ น,ว.น..นเับปตน็ ้งัแแบตบ่ 1รูปขข้นึ อไปงจแาำ ลนะวตนัวทสีม่ ่วีคนวเาปม็นสจัมำานพวันนธน์ โับดทยี่มในาแกตกล่วา่ะ
ตัวเศษอยู่ 2

182

เกร็ดแนะครู ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET
ลาํ ดบั ที่ 4 และ 8 ของความสัมพนั ธท ี่ 4 +n n คอื ขอ ใด
ครูเนนยํ้าความรูเก่ียวกับพหุคูณ โดยใหนักเรียนยกตัวอยางพหุคูณของ 1. 31 และ 23 2. 12 และ 23
จํานวนนับและใหนักเรียนรวมกันตรวจสอบความถูกตองของพหุคูณของ 3. 23 และ 13 4. 32 และ 12
จาํ นวนนับตา งๆ (เฉลยคาํ ตอบ ความสัมพันธ 4 +n n
ลาํ ดบั ท่ี 4 = 4 +4 4 ลําดับท่ี 8 = 4 +8 8
นักเรียนควรรู = 48 = 182
= 21 = 32
1 พหุคูณ (Multiple) เปนจํานวนนับที่มีจํานวนนับใดๆ ที่ไมใชศูนย เปน ดังนัน้ คําตอบ คือ ขอ 2.)
ตัวคูณรวม เชน 8, 16, 24, 32, 40, … เปนพหุคณู ของ 8

T196

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

จำานวนในลำาดบั ท ่ี 10 เท่ากบั 2 +10 10 ขน้ั สอน
แดลงั น ะคนั้ ว ากจมาำับนสจวมัาำ นนพใวนันนธลใร์าำนะดลหับำาวดท่าบั่ ีง1ลท0ำา ่ี nดเ ทบั เ=่าททก่า่กี ับกบั11 บั 02จ11 ำา202น วแ+nนลใnะนคลวำาาดมับสทัม ี่พnัน เธท์ร่าะกหับว ่า2ง ล+nำา ดnบั ตทอ่ี บ
เขา้ ใจ (Understanding)

2. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 3 ในหนังสือ
เรยี น หนา 183

3. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 183 และทาํ แบบฝก ทักษะ 5.1 ขอ 1.

4. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคําตอบ “ลอง
ทําดู” และแบบฝกทกั ษะ 5.1 ขอ 1.

ตัวอย่างท่ี 3

จากแบบรปู ที่กาำ หนด จงหาจาำ นวนในลาำ ดับท่ี 9 และเขียนความสมั พันธร์ ะหวา่ งลำาดบั ที่
กบั จำานวนในลำาดบั ท่ี n
(1 × 4) + 1, (2 × 4) + 2, (3 × 4) + 3, (4 × 4) + 4, ...

วธิ ีทำา พิจารณาความสัมพันธร์ ะหว่างจำานวนต่างๆ ดงั น้ี
จาำ นวนในลาำ ดับที ่ 1 เทา่ กบั (1 × 4) + 1
จาำ นวนในลำาดับท ่ี 2 เท่ากับ (2 × 4) + 2
จำานวนในลำาดบั ที่ 3 เท่ากบั (3 × 4) + 3
จาำ นวนในลาำ ดับที ่ 4 เท่ากบั (4 × 4) + 4
จะไดว้ า่ (1 × 4) + 1, (2 × 4) + 2, (3 × 4) + 3, (4 × 4) + 4, ...
เปน็ แบบรูปของจาำ นวนท่ีมคี วามสัมพนั ธ ์ โดยจำานวนในวงเล็บเป็นพหุคณู ของ 4
และจำานวนท่ีนำามาบวกเป็นจาำ นวนนับตัง้ แต ่ 1 ข้นึ ไป
จะได้ว่า จำานวนในลาำ ดับท ่ี 9 เทา่ กบั (9 × 4) + 9
จาำ นวนในลำาดับท ่ี n เท่ากบั (n × 4) + n = 4n + n
ดงั นั้น จำานวนในลำาดบั ท่ี 9 เท่ากบั (9 × 4) + 9 และความสัมพันธร์ ะหว่างลำาดับที่
กับจาำ นวนในลาำ ดบั ท ่ี n เท่ากับ 4n + n ตอบ

ลองทําดู

จากแบบรปู ทกี่ าำ หนด จงหาจาำ นวนในลาำ ดบั ที่ 10 และเขยี นแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งลาำ ดบั ที่
กับจาำ นวนในลาำ ดบั ที่ n
1) 7, 14, 21, 28, ...
15 , 82 , 131 1,4 4(2, .×.. 2) + 23
2) (2 × 1) + , , (2 × 3) + 33 , (2 × 4) + 43 , ...
3) 13

183

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET เกร็ดแนะครู

ลาํ ดับท่ี 6 และ 12 ของความสมั พันธท ี่ 7n คอื ขอ ใด ครนู าํ ตวั อยา งที่ 3 เขยี นในรปู ตารางเพอื่ ใหน กั เรยี นสงั เกตความสมั พนั ธข อง
1. 44 และ 86 ลาํ ดับที่กบั จํานวน ดงั น้ี
2. 84 และ 42 พจนท ี่ 1 2 3 4 5 ...
3. 86 และ 44 จํานวน (1 × 4) + 1 (2 × 4) + 2 (3 × 4) + 3 (4 × 4) + 4 (5 × 4) + 5
4. 42 และ 84
(เฉลยคําตอบ ลําดบั ที่ 6 เทา กับ 7 × 6 = 42 จากน้ันครูเพ่ิมเติมความรูแกนักเรียนวา “ความสัมพันธระหวางลําดับท่ี
ลําดบั ที่ 12 เทา กับ 7 × 12 = 84 กับจาํ นวนในลาํ ดบั ท่ี” เรยี กวา รูปท่ัวไปของแบบรปู หรือเรยี กวา พจนที่ n
ดังน้ัน คําตอบ คอื ขอ 4.)

T197

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ตวั อยา่ งที่ 4

รู้ (Knowing) จงเขียนรูปถดั ไปอีก 3 รปู ของแบบรปู ต่อไปนี้

1. ครูกลาวทบทวนแบบรูปและความสัมพันธ รูปท ี่ 1 รูปท่ี 2 รปู ท ่ี 3
ของจาํ นวน และกลา วถงึ แบบรปู ในรปู ทว่ั ไปวา
“เมอื่ เราทราบแบบรปู ในรปู ทวั่ ไป กจ็ ะสามารถ วิธที ำา พิจารณาแบบรปู ท่กี าำ หนดให้จะพบวา่
หาจาํ นวนในลําดบั ท่ีตา งๆ ได” รปู ท ี่ 1 มจี าำ นวนของรูปสามเหลยี่ ม 1 รูป

2. ครูวาดรูปไมขีดไฟเรียงเปนแบบรูปตาม รูปท่ ี 2 มจี าำ นวนของรูปสามเหลีย่ ม 2 รปู
ตัวอยา งที่ 4 ในหนงั สือเรยี น หนา 184 แลว รปู ที่ 3 มจี าำ นวนของรูปสามเหล่ียม 3 รูป
ถามคําถาม ดงั นี้ จะเหน็ ว่า เป็นแบบรูปทเ่ี ขียนแสดงเปน็ แบบรปู ของจำานวนได้
• จากแบบรปู มคี วามสมั พนั ธร ะหวา งลาํ ดบั ที่ ดงั นั้น รูปถัดไปอกี 3 รูป คอื รูปท่ ี 4 รปู ท ี่ 5 และรปู ที่ 6 จะมจี าำ นวนของรูปสามเหลีย่ ม
ของรูปกบั จาํ นวนรปู สามเหลี่ยมอยา งไร
(แนวตอบ รปู ท่ี 1 มรี ปู สามเหล่ียม 1 รปู 4 รูป 5 รปู และ 6 รูป ตามลำาดับ ซ่งึ เขียนรปู ถดั ไปอกี สามรปู ไดด้ ังนี้
รปู ที่ 2 มีรูปสามเหลี่ยม 2 รูป
คือ รูปสามเหล่ียมแบบหงายและควํ่าวาง รูปท่ี 4 รปู ที่ 5
ตดิ กนั โดยมดี านของรูปสามเหล่ียมรวมกัน
1 ดา น รูปที ่ 6 ตอบ
รูปท่ี 3 มีรูปสามเหลี่ยม 3 รูป
คือ รูปสามเหลี่ยมแบบหงายและควํ่าวาง จากตัวอยา่ งท ี่ 4 พจิ ารณาแบบรปู ของจาำ นวนของรปู สามเหลีย่ ม
ตดิ กนั สลบั กนั ไป โดยดา นของรปู สามเหลยี่ ม
ที่อยตู ิดกนั มดี า นรว มกนั 1 ดา น)
• จากความสัมพันธที่นักเรียนบอก รูปที่ 4
รูปท่ี 5 และรูปท่ี 6 คือรูปใด
(แนวตอบ ใหครูวาดรูปท่ี 4 รูปที่ 5 และ
รูปที่ 6 จากในหนงั สือเรยี น หนา 184)

จะไดแ้ บบรปู คอื 1, 2, 3, ... และเขียนแสดงความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งลำาดบั ท่ขี องรูปกับ
จาำ นวนของรปู สามเหลี่ยม ดังตารางต่อไปนี้

184

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
กาํ หนดแบบรปู ของจาํ นวน ดังน้ี
ครคู วรใหนักเรยี นรวมกนั แสดงแนวคดิ มมุ มอง หรอื ขอ สงั เกตเก่ยี วกับการ 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...
เขียนรูปถัดไปในแบบรูปทก่ี าํ หนด เชน จากแบบรูปขา งตน ถาเขยี นตอ ไปเรอ่ื ยๆ ถงึ พจนท ่ี 19 จะตรง
กบั จาํ นวนในขอ ใด
1. ดูตารางกา นไมข ดี และจาํ นวนกานไมข ดี ท่เี พิม่ ข้นึ ในแตล ะรปู
2. นบั จาํ นวนรูปสามเหล่ยี มทั้งหมดในแตละรปู และการวางกา นไมขีด 1. 1 2. 2
3. 3 4. 4
(เฉลยคําตอบ จากแบบรปู ของจํานวน 1, 1, 2, 1, 2, 3,
1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4 , 5, 6
จะไดวา พจนท่ี 19 จะตรงกับ 4
ดังน้ัน คาํ ตอบ คือ ขอ 4.)

T198

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ลำาดับที่ของรปู 1 2 3 4 5 ... n ขนั้ สอน

จาำ นวนของรูปสามเหลี่ยม 1 2 3 4 5 ... n รู้ (Knowing)

จากตารางจะพบวา่ จาำ นวนของรปู สามเหลี่ยมเป็นจาำ นวนนับ 1, 2, 3, 4, ... ซงึ่ จาำ นวน 3. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปความสัมพันธ
ของรูปสามเหลย่ี มเทา่ กับจาำ นวนทีเ่ ปน็ ลำาดบั ท่ขี องรปู หรอื กลา่ วได้วา่ จำานวนของรปู สามเหลี่ยมมี ระหวางลําดับที่ของรูปและจํานวนของรูป
ความสัมพันธ์กับลำาดับท่ีของรูป ในกรณีท่ียังไม่ได้กำาหนดลำาดับท่ีของรูปจะสามารถบอกลำาดับท่ี สามเหล่ียม (ดังตารางในหนังสือเรียน หนา
ของรปู ในรปู ทว่ั ไปไดโ้ ดยนยิ มใชต้ วั อกั ษรภาษาองั กฤษเช่น n แทนลำาดบั ทีข่ องรูปนน้ั 185) แลวครูอธิบายเพ่ิมเติมวา “จํานวน
จากตัวอย่างนี้จะเขียนความสัมพันธ์ระหว่างลำาดับที่ของรูปกับจำานวนของรูปสามเหล่ียม รูปสามเหล่ียมเทากับ n เราจะเรียก n วา
ได้วา่ จาำ นวนของรปู สามเหลีย่ ม เทา่ กบั n เรยี ก n ว่า ตัวแปร ความสมั พันธท์ มี่ ีตัวแปร n ทาำ ให้ ตัวแปร”
สามารถบอกจำานวนของรูปสามเหลีย่ มเมื่อทราบลาำ ดบั ทีข่ องรูปหรือค่าของ n ได ้ เชน่ ลำาดบั ท่ี
ของรปู ที ่ 100 หรือ n = 100 จะมีรูปสามเหล่ยี ม 100 รปู เปน็ ตน้ เขา้ ใจ (Understanding)

Thinking Time 1. ครูใหนักเรียนแตละคนทํา “Thinking Time”
ในหนงั สอื เรียน หนา 185 หลงั จากน้ันครูและ
ถา้ นบั จาำ นวนกา้ นไมข้ ดี ของแตล่ ะรปู ในแบบรปู แลว้ พจิ ารณาวา่ จาำ นวนกา้ นไมข้ ดี ทน่ี บั ไดเ้ ปน็ แบบรปู นักเรยี นรวมกนั เฉลยคําตอบ “Thinking Time”
หรือไม ่
ถา้ ให ้ n แทนลำาดบั ที่ของรูป นักเรียนสามารถบอกจาำ นวนของก้านไมข้ ดี เมอื่ ทราบลำาดับทีข่ องรปู ได้
หรอื ไม่

ตัวอย่างท่ี 5

จงเขียนรูปถัดไปอกี 3 รูป ของแบบรปู ตอ่ ไปนี้

รปู ท ่ี 1 รปู ที่ 2 รปู ท่ี 3

วิธีทำา พจิ ารณาแบบรูปท่กี าำ หนดให ้ จะพบวา่
รปู ที ่ 1 มจี ำานวนรปู สีเ่ หลยี่ มจตั ุรสั ในแนวตั้งสามรูป
รปู ท ี่ 2 มจี าำ นวนรปู สีเ่ หลีย่ มจตั ุรัสในแนวต้งั 3 รปู และมีรูปสี่เหล่ยี มจตั ุรสั
ดา้ นซ้ายและด้านขวาด้านละ 1 รปู
รูปท่ี 3 มีจำานวนรปู ส่เี หลย่ี มจตั ุรสั ในแนวตั้ง 3 รปู และมรี ูปส่ีเหลย่ี มจัตุรสั
ดา้ นซา้ ยและดา้ นขวาดา้ นละ 2 รูป
จะเหน็ วา่ จำานวนของรูปส่ีเหลย่ี มจตั รุ สั ทเ่ี พ่มิ ขึน้ ดา้ นซา้ ยและดา้ นขวาจะนอ้ ยกวา่
ลาำ ดบั ทีข่ องรูปอย ู่ 1
185

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET เฉลย Thinking Time
10, 100, 1000, ... เปน แบบรูปท่ีมคี วามสัมพันธตรงกบั ขอใด
ถานับจํานวนกานไมขีดในแตละแบบรูป สามารถพิจารณากานไมขีดเปน
1. 10n 2. 10n2 แบบรปู ได ดงั น้ี
3. 110n 4. 10n
รปู ที่ 1 มกี า นไมข ีด จาํ นวน 3 กา น
(เฉลยคําตอบ 10, 100, 1000, ... รูปท่ี 2 มีกา นไมข ีด จาํ นวน 5 กาน
ลาํ ดบั ที่ 1 101 = 10 รูปที่ 3 มกี า นไมขดี จํานวน 7 กาน
ลําดับท่ี 2 102 = 100 รปู ท่ี 4 มกี า นไมข ดี จํานวน 9 กา น
ลําดับที่ 3 103 = 1000 รปู ท่ี 5 มีกานไมข ีด จาํ นวน 11 กาน
ลาํ ดบั ท่ี n ได 10 n รูปที่ 6 มีกานไมขีด จาํ นวน 13 กา น
ดังน้ัน คําตอบ คือ ขอ 4.)
รปู ท่ี n มกี า นไมขีด จํานวน 2n + 1 กา น
จะเห็นวา จํานวนกานไมขีดในแตละแบบรูป สามารถพิจารณากานไมขีด
เปนแบบรปู ได
ดังนัน้ จาํ นวนกานไมข ดี ในรูปท่ี n จะมีกา นไมข ดี จาํ นวน 2n + 1 กาน

T199

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ดงั นน้ั รูปถดั ไปอีก 3 รูป คือ
รูปที่ 4 มีจาำ นวนรูปสเี่ หลีย่ มจัตรุ สั ในแนวตงั้ 3 รปู และมรี ปู สี่เหล่ยี มจัตรุ สั
เขา้ ใจ (Understanding)
ด้านซ้ายและดา้ นขวาด้านละ 3 รูป
2. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 5 ในหนังสือ รูปท่ี 5 มจี ำานวนรปู สี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวตั้ง 3 รปู และมีรปู สีเ่ หล่ยี มจัตุรสั
เรียน หนา 185-186 แลว ครูถามคาํ ถามวา ดา้ นซา้ ยและด้านขวาด้านละ 4 รปู
• จากแบบรปู มคี วามสมั พนั ธร ะหวา งลาํ ดบั ท่ี รูปที ่ 6 มีจำานวนรปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ สั ในแนวตง้ั 3 รปู และมีรปู สี่เหลย่ี มจัตรุ ัส
ของรูปกับจํานวนรปู สีเ่ หล่ยี มอยา งไร ด้านซ้ายและด้านขวาด้านละ 5 รูป
(แนวตอบ รูปที่ 1 มีรูปส่ีเหล่ียม 3 รูป, ซง่ึ เขียนรูปถัดไปอีกสามรปู ไดด้ งั น้ี
รูปท่ี 2 มีรูปสี่เหล่ียม 5 รูป, รูปที่ 3 มี
รูปสี่เหลี่ยม 7 รูป, รูปท่ี 4 มีรูปสี่เหล่ียม รูปท ่ี 4
9 รปู , รปู ท่ี 5 มรี ปู สเี่ หลีย่ ม 11 รูป และ
รปู ที่ 6 มรี ูปสเี่ หล่ยี ม 13 รูป)

3. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 186 จากน้ันครแู ละนักเรยี นรว มกนั เฉลย
คาํ ตอบ

รูปที่ 5

รูปท ่ี 6 ตอบ

ลองทําดู รปู ท่ี 3

จงเขียนรปู ถดั ไปอีก 3 รปู ของแบบรปู ตอ่ ไปนี้

รปู ที่ 1 รปู ที่ 2

186

กิจกรรม ทา ทาย

ใหน ักเรยี นปฏบิ ตั กิ จิ กรรมตามขนั้ ตอนตอไปน้ี

รูปที่ 1 รูปที่ 2 รปู ท่ี 3

T200 1. พจิ ารณาความสัมพันธของการจัดเรยี งรปู สเ่ี หล่ยี มขนมเปย กปนู จากแบบรูปในรูปท่ี 1 รปู ที่ 2 และรปู ท่ี 3
2. สรางรปู ท่ี 4 และรูปที่ 5 ตามความสมั พันธข องแบบรปู ในขอ 1.
3. เขียนแบบรปู ของจํานวนรูปส่ีเหล่ียมขนมเปยกปูนท้งั หมดในรปู ท่ี 1 ถงึ รปู ท่ี 6
4. เขยี นความสัมพันธข องแบบรปู ของจํานวนรปู ส่ีเหลี่ยมขนมเปย กปนู
5. แสดงวธิ หี าจํานวนรูปสีเ่ หล่ยี มขนมเปยกปูนในรูปท่ี 15
6. ถามจี ํานวนรูปสีเ่ หลีย่ มขนมเปยกปนู ทงั้ หมด 265 รปู จงแสดงวิธกี ารหาลําดับท่ขี องรปู

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

กจิ กรรม คณิตศาสตร์ ขน้ั สอน

ใหน้ กั เรยี นจบั คกู่ บั เพอ่ื นแลว้ ชว่ ยกนั ทÓกจิ กรรมตอ่ ไปนี้ เขา้ ใจ (Understanding)
1. จากแบบรปู ในตัวอย่างท่ี 5 จงพจิ ารณาความสัมพันธ์ระหว่างลาำ ดับท่ขี องรูปกับจาำ นวนของ
4. ใหนักเรียนทาํ กิจกรรมคณติ ศาสตร ขอ 1. ใน
รปู ส่เี หล่ยี มท่กี าำ หนดใหใ้ นตาราง แลว้ ตอบคำาถามตอ่ ไปน้ี หนังสือเรียน หนา 187 แลวใหนักเรียนจับคู
ศึกษากิจกรรมคณิตศาสตร ขอ 2. จากน้ัน
ลำาดับที่ของรูป 1 2 3 4 5 ... n รว มกนั ตอบคาํ ถามขอ 1)-5) โดยเขยี นคาํ ตอบ
ลงในสมุดของตนเอง
จำานวนของ 3 5 7 9 11 ...
รปู สเ่ี หลย่ี ม หรอื หรอื หรอื หรอื หรือ 5. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคําตอบขอ 1)-5)
2 (1) + 1 2 (2) + 1 2(3) + 1 2(4 ) + 1 2(5) + 1 ในกิจกรรมคณิตศาสตร ขอ 2.

1) จงเขยี นความสมั พันธ์ระหว่างลาำ ดบั ท่ขี องรูปกบั จำานวนของรปู สเ่ี หล่ียมในลำาดับท ่ี n
2) จำานวนของรูปสเี่ หล่ยี มของรปู ลำาดับท ี่ 8 เทา่ กบั เท่าใด
3) จาำ นวนของรูปสเี่ หลย่ี มของรูปลาำ ดบั ท่ ี 25 เทา่ กับเทา่ ใด
4) จำานวนของรูปส่ีเหลี่ยมของรปู ลำาดับท ่ี 100 เทา่ กบั เท่าใด
5) ลำาดบั ทเ่ี ท่าใดท่มี ีจำานวนของรปู สี่เหลยี่ ม 141 รูป
2. จากรปู จงพิจารณาความสมั พันธร์ ะหว่างลำาดบั ที่ของรูปกับความยาวรอบรูปตามแบบรปู

ทก่ี าำ หนดให้ แลว้ ตอบคำาถามตอ่ ไปนี้

รูปท ี่ 1 รปู ที ่ 2 รปู ท่ี 3 รปู ท ่ี 4

ลาำ ดบั ที่ของรูป 1 23 4 ... n
ความยาวรอบรูป (หนว่ ย) 4 8 12 16 ...

1) จงเขยี นความสมั พันธ์ระหวา่ งลำาดบั ที่ของรปู กับความยาวรอบรปู ในลาำ ดับท่ ี n
2) ความยาวรอบรูปของรูปลาำ ดบั ท่ ี 10 เท่ากับเทา่ ใด
3) ความยาวรอบรปู ของรปู ลาำ ดบั ท ี่ 50 เท่ากบั เทา่ ใด
4) ลำาดบั ของรูปท่ีเท่าใดที่มีความยาวรอบรูปเทา่ กบั 176 หนว่ ย
5) ลำาดับของรูปที่เท่าใดที่มีความยาวรอบรปู เทา่ กบั 480 หน่วย

187

เฉลย กจิ กรรมคณิตศาสตร์

ขอ 1. สามารถตอบคาํ ถามได ดังนี้ ขอ 2. สามารถตอบคําถามได ดังน้ี
1) ความสมั พันธระหวางลําดับทข่ี องรปู กับจาํ นวนของรูปสี่เหล่ยี ม 1) ความสัมพันธระหวางลําดบั ทข่ี องรปู กบั ความยาวรอบรูปในลาํ ดบั ที่ n
ในลาํ ดับที่ n คอื 2n + 1 คอื 4n
2) จาํ นวนของรปู สเี่ หลีย่ มของรปู ลําดบั ที่ 8 คอื 2(8) + 1 = 17 2) ความยาวรอบรปู ของรูปลําดบั ที่ 10 คือ 4(10) = 40
3) จาํ นวนของรปู สี่เหล่ยี มของรูปลําดับที่ 25 คอื 2(25) + 1 = 51 3) ความยาวรอบรปู ของรปู ลําดับท่ี 50 คอื 4(50) = 200
4) จํานวนของรปู สเี่ หลีย่ มของรปู ลาํ ดับที่ 100 คือ 2(100) + 1 = 201 4) ลาํ ดับของรูปที่เทาใดท่ีมคี วามยาวรอบรปู เทา กบั 176 หนวย คือ 4n = 176
5) ลาํ ดบั ทีเ่ ทาใดทม่ี ีจํานวนของรูปสเ่ี หลีย่ ม 141 รปู คอื 2n + 1 = 141 พิจารณา 4n = 176
พจิ ารณา 2n + 1 = 141 ∴ n = 44
∴ n = 70 ดงั นั้น ลาํ ดับของรปู ที่ 44 จะมีความยาวรอบรูปเทา กบั 176 หนวย
ดงั น้นั ลําดบั ท่ที มี่ ีจํานวนของรูปส่เี หลยี่ ม 141 รปู คือ ลําดบั ที่ 70 5) ลําดับของรูปทเี่ ทา ใดทมี่ คี วามยาวรอบรูปเทา กับ 480 หนวย คือ 4n = 480
พิจารณา 4n = 480
∴ n = 120
ดงั นนั้ ลําดับของรปู ท่ี 120 จะมีความยาวรอบรูปเทากับ 480 หนว ย

T201

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน จ ำานวนจขาอกงกรจิูปกสร่เี รหมลค่ยี ณ1มติ ซศึ่งาเสขตียรนข์ ออ้ ย ู่ใ น1ร. ูป นตกัวั แเรปยี รนจnะคเหอื น็ 2วnา่ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งลาำ ดบั ทขี่ องรปู กบั
+ 1 สามารถหาจาำ นวนของรูปสเ่ี หล่ียม
เขา้ ใจ (Understanding) ในลาำ ดบั ทนี่ ัน้ ๆ ได้ โดยแทนคา่ ตวั แปร n ดว้ ยจำานวนทแ่ี สดงลาำ ดับท่ี ในทางกลบั กนั ถา้ ต้องการ
ทราบว่ารูปในลำาดับที่เท่าใดจะมีจำานวนของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ 327 รูป นักเรียนจะหาคำาตอบน้ี
6. ครูกลา ววา “จากกิจกรรมคณิตศาสตร ขอ 1. ได้หรอื ไม่ และหาไดอ้ ย่างไร
นกั เรยี นจะเหน็ วา ความสมั พนั ธร ะหวา งลาํ ดบั
ท่ีของรูปกับจํานวนของรูปสี่เหลี่ยม ซ่ึงเขียน กอ่ นทนี่ กั เรยี นจะไดร้ วู้ ธิ หี าคาำ ตอบนี้ ตอ้ งมาทาำ ความรจู้ กั เรอ่ื งสมการโดยศกึ ษาความหมาย
ในรูปตัวแปร n คือ 2n + 1 เราสามารถหา ของคาำ ศัพทต์ ่าง ๆ ทเ่ี ก่ยี วข้องกบั เร่อื งสมการ ดงั นี้
จาํ นวนของรปู สเี่ หลยี่ มในลาํ ดบั น้นั ๆ ได โดย 1. สมการ 2. สมการทเ่ี ปน็ จริง
แทนคา ตัวแปร n ดว ยจาํ นวนทแี่ สดงลาํ ดับท”่ี 3. สมการทเี่ ป็นเทจ็ 4. สมการท่ีมตี วั ไม่ทราบค่า
จากนนั้ ครถู ามนกั เรยี น ดังนี้
• ถาตองการทราบวารูปในลําดับท่ีเทาไร สมการเปน็ ประโยคคณิตศาสตรท์ ่ีแสดงการเทา่ กนั ของจำานวน โดยใช้สัญลกั ษณ์ “ = ” บอก
จะมจี ํานวนของรปู ส่ีเหล่ียมเทา กบั 327 รปู การเทา่ กัน
นักเรียนจะหาคําตอบนี้ไดหรือไม และหา ตัวอย่างของสมการ เช่น 2 + 3 = 5
ไดอยา งไร 8 + 15 = 23
(แนวตอบ ได และหาไดจ าก 2n + 1 = 327) 20 - 4 = 16
สมการทย่ี กตัวอยา่ งนี้เป็นสมการท่ีไม่มตี ัวไม่ทราบค่าหรือตัวแปร
7. ครูกลาวถึงคําศัพทตางๆ ที่เกี่ยวของกับเร่ือง สมการอาจมีตวั ไม่ทราบคา่ หรือตวั แปร เช่น
สมการ ดงั นี้ x + 1 = 5 มี x เปน็ ตัวแปร
- สมการ เปนประโยคสัญลักษณทาง a - 7 = 21 มี a เปน็ ตัวแปร
คณิตศาสตรท่ีแสดงการเทากันของจํานวน 3n - 2 = 4 มี n เป็นตัวแปร
โดยใชส ัญลักษณ “=” บอกการเทากนั
- สมการที่เปนจริง คือ สมการที่ไมมีตัวแปร จะเหน็ ว่าสมการอาจมหี รือไมม่ ตี วั ไมท่ ราบค่าก็ได้
เมื่อคํานวณแลวจะไดวา จํานวนท่ีอยูทาง
ซายมือและขวามือของเครื่องหมาย “=” พิจารณาสมการทม่ี ีตัวไมท่ ราบค่า เชน่ 2n +1 = 153
มีคา เทากนั ถา้ แทน n ด้วย 23 จะได้ 2(23) + 1 = 46 + 1
- สมการท่ีเปนเท็จ คือ สมการที่ไมมีตัวแปร = 47 ทาำ ใหส้ มการเปน็ เทจ็
เม่ือคํานวณแลวจะไดวา จํานวนท่ีอยูทาง ถ้าแทน n ดว้ ย 76 จะได้ 2(76) + 1 = 152 + 1
ซายมือและขวามือของเคร่ืองหมาย “=” = 153 ทำาให้สมการเป็นจรงิ
มคี า ไมเ ทากัน
- จํานวนที่แทนตัวไมทราบคาหรือแทนคา จะเหน็ วา่ สมการทม่ี ตี วั แปร อาจจะเปน็ สมการทเี่ ปน็ เทจ็ หรอื สมการทเี่ ปน็ จรงิ กไ็ ด้ ขนึ้ อยกู่ บั
ตัวแปรในสมการแลวทําใหสมการเปนจริง ค่าของจาำ นวนท่แี ทนตวั แปรนน้ั ๆ จะเรียก 76 ซ่ึงเป็นจำานวนท่แี ทนคา่ ตัวแปรในสมการแลว้ ทำาให้
เรียกวา คาํ ตอบของสมการ สมการเป็นจริงว่า เปน็ คาำ ตอบของสมการ และเรียก 23 ซ่ึงเปน็ จำานวนท่ีแทนคา่ ตัวแปรในสมการ
แล้วทาำ ให้สมการเป็นเทจ็ ว่า ไมเ่ ป็นคำาตอบของสมการ

188

นักเรียนควรรู ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
จากสมการ 3(y - 4) = 2y - 8 จาํ นวนทีแ่ ทนคา y แลว ทาํ ให
1 ความสมั พนั ธร ะหวา งลาํ ดบั ทข่ี องรปู กบั จาํ นวนของรปู สเี่ หลยี่ ม จากแบบรปู สมการเปนจรงิ คอื ขอ ใด
ของจํานวนของรปู สเี่ หลี่ยม 3, 5, 7, 9, 11, … เปน แบบรูปของจํานวนค่แี ละ
มีการเพ่ิมขึ้นคร้ังละ 2 ซึ่งหารดวย 2 จะเหลือเศษ 1 จึงเขียนความสัมพันธ 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8
ระหวา งลาํ ดบั ท่ีของรปู กับจํานวนรูปสีเ่ หลยี่ ม คอื 2n + 1 (เฉลยคําตอบ 3(y - 4) = 2y - 8

T202 แทนคา y ดว ย 2
3(2 - 4) 2 × 2 - 8
-6 -4 สมการเปนเท็จ

แทนคา y ดวย 4
3(4 - 4) = 2 × 4 - 8
3×0 = 8-8
0 = 0 สมการเปน จรงิ

ดงั น้ัน คาํ ตอบ คือ ขอ 2.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

จากกิจกรรมคณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ระหว่างลำาดับท่ีของรูปกับจำานวนของรูปส่ีเหล่ียม ขน้ั สอน
เท่ากบั 2n + 1 และคำาถามทีว่ ่าถา้ ต้องการทราบว่ารูปในลำาดบั ที่เทา่ ใดจะมจี ำานวนของรูปส่เี หลี่ยม
เท่ากบั 327 รปู นกั เรยี นสามารถนาำ ความสมั พันธ์ 2n + 1 กบั 327 เขียนเปน็ สมการได้ดงั นี้ เขา ใจ (Understanding)
2n + 1 = 327 เปน็ สมการท่ีมตี ัวแปร คือ n
จะเหน็ วา่ 2n + 1 = 327 เปน็ สมการท่มี าจากแบบรูปซงึ่ เขียนเป็นความสัมพนั ธ์ 8. ครูยกตัวอยางสมการ 2n + 1 = 327 บน
กระดาน จากนัน้ ถามคําถาม ดงั นี้
โดยมี n เป็นตัวแปร • ประโยคสัญลักษณขางตนเปนสมการ
หรือไม เพราะเหตุใด
สาำ หรับการหาคำาตอบของสมการน ้ี นกั เรยี นอาจคาดเดาคำาตอบแลว้ ทดลองแทนค่าจนกว่า (แนวตอบ เปน สมการ เพราะมีเครอื่ งหมาย
จะไดส้ มการทเ่ี ป็นจรงิ หรือจัดรูปตามความสมั พนั ธแ์ ละใช้ความหมายของสมการ ดงั นี้ “=”)
• สมการขา งตน เปน สมการทม่ี ตี วั แปรหรอื ไม
วธิ ที ี่ 1 ใช้การคาดเดาคำาตอบ อยางไร
ถ้าคาดเดาวา่ n = 162 (แนวตอบ เปนสมการที่มีตัวแปร และ
ลองแทนค่าจะได ้ 2(162) + 1 = 324 + 1 ตัวแปร คือ n)
= 325 ทาำ ให้สมการเปน็ เทจ็ • เม่ือนักเรียนลองแทนคาตัวแปรดวย 162
ถา้ คาดเดาว่า n = 163 จะไดส มการทเ่ี ปน จรงิ หรอื สมการทเ่ี ปน เทจ็
ลองแทนคา่ จะได้ 2(163) + 1 = 326 + 1 (แนวตอบ สมการที่เปน เท็จ)
= 327 ทาำ ให้สมการเป็นจริง • เม่ือนักเรียนลองแทนคาตัวแปรดวย 163
ดงั น้นั คาำ ตอบของสมการคือ 163 จะไดส มการทเี่ ปน จรงิ หรอื สมการทเี่ ปน เทจ็
นน่ั คือ รูปในลาำ ดบั ที ่ 163 จะมีจำานวนของรูปสีเ่ หลี่ยมเทา่ กับ 327 รปู (แนวตอบ สมการท่เี ปน จรงิ )
• คําตอบของสมการเปน เทาไร
วธิ ีที่ 2 จดั รูปตามความสัมพันธ์และใชค้ วามหมายของสมการ (แนวตอบ n = 163)
จาก 2n + 1 = 326 + 1 เขียนในรปู การบวกของ 1
= 2(163) + 1 เขียนในรปู การคณู ของ 2 9. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะ 5.1 ขอ 2.
จะไดว้ ่า n = 163 เมื่อเสร็จแลวครูและนักเรียนรวมกันเฉลย
ดังน้นั รปู ในลาำ ดบั ที่ 163 จะมจี าำ นวนของรปู ส่เี หลี่ยมเทา่ กับ 327 รูป คาํ ตอบ

• สมการเป็นประโยคท่ีแสดงการเท่ากนั ของจาำ นวน 10. ครูกลา วทบทวน ดงั น้ี
ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “ = ” เพือ่ แสดงการเทา่ กนั - สมการเปนประโยคที่แสดงการเทากัน
• สมการที่เปน็ จริง คือ สมการที่มีจาำ นวนทางด้านซา้ ยและมีจาำ นวนทางด้านขวา ของจํานวน ใชสัญลักษณ “=” เพ่ือแสดง
ของสัญลักษณ์ “ = ” มคี ่าเทา่ กัน การเทากนั
• สมการอาจมหี รอื ไมม่ ีตัวแปร - สมการที่เปนจริง คือ สมการที่มีจํานวน
ทางดานซายและมีจํานวนทางดานขวา
ของเครอื่ งหมาย “=” มคี าเทากัน
- สมการอาจจะมตี วั แปรหรอื ไมม ตี วั แปรกไ็ ด

189

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET เกร็ดแนะครู

จาํ นวนในขอ ใดมคี วามสัมพันธล ดลงทีละ 3 ครูควรชี้แนะใหนักเรียนสังเกตแบบรูปของจํานวนท่ีเพ่ิมครั้งละเทาๆ กัน
1. 14, 16, 18, 20 กับความสมั พันธร ะหวางลาํ ดบั ทก่ี บั จาํ นวน เชน
2. 29, 25, 20, 18
3. 30, 28, 26, 24 3, 5, 7, 9, 11, … กับ 2n + 1
4. 45, 42, 39, 36 3, 6, 9, 12, … กับ 3n
(เฉลยคําตอบ 1. 14 +2 16 +2 18 +2 20 เพิม่ ขึ้นทีละ 2 4, 8, 12, 16, … กับ 4n
2. 29 -4 25 -5 20 -2 18 ลดลงไมเทากัน และใหนักเรยี นสรุปความสมั พนั ธระหวางจาํ นวนท่เี พิ่มขน้ึ กับตัวแปร n
3. 30 -2 28 -2 26 -2 24 ลดลงทลี ะ 2
4. 45 -3 42 -3 39 -3 36 ลดลงทลี ะ 3 T203

ดงั นน้ั คําตอบ คือ ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ตกัวอาำ หยา่นงดทต่ี า6รางแสดงความสมั พันธ์ระหว่างจำานวนเงินดอลลา1ร์ ซ่งึ เปน็ เงนิ ของประเทศ
สหรฐั อเมริกาและจำานวนเงนิ บาทไทยในวนั หนึง่ (กำาหนดให้ 1 ดอลลารส์ หรฐั มีคา่ ประมาณ
เขา้ ใจ (Understanding) 34 บาท) เปน็ ดังน้ี

11. ใหน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งที่ 6 ในหนงั สอื เรยี น จาำ นวนเงนิ (ดอลลาร์) 1 2 3 4 ... 28 ... n
หนา 190-191 หลังจากน้ันครูถามคําถาม
ดังน้ี จำานวนเงิน (บาท) 34 68 102 136 ...
• นักเรียนคิดวา ตารางแสดงความสัมพันธ
ระหวางจํานวนเงินดอลลารและจํานวน (อัตราแลกเปล่ียนเงินตราต่างประเทศ ณ วันที่ 2 พ.ค. 2560)
เงินบาท มีความซับซอนหรือไม เพราะ
เหตุใด 1) จงเขียนความสัมพันธร์ ะหว่างจาำ นวนเงินดอลลาร์กบั จำานวนเงินบาท ถา้ ให้ n แทนจาำ นวน
(แนวตอบ ไมซับซอน เพราะวาจํานวนเงิน เงนิ ดอลลาร์
ทง้ั สองสกลุ เขยี นเปน อตั ราสว นได ซงึ่ เทา กบั 2) ถา้ มเี งินจาำ นวน 28 ดอลลาร์ จะแลกเงนิ บาทไดก้ บ่ี าท
1 ดอลลาร : 34 บาท หรอื อตั ราสวนเงนิ 3) ถ้ามีเงนิ บาท 238 บาท จงเขยี นสมการและหาจำานวนเงินดอลลารท์ ีแ่ ลกได้
ดอลลารตอเงินบาท เทากบั 1 : 34) วิธีทำา 1) จากตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจาำ นวนเงินดอลลาร์กบั จาำ นวนเงินบาท
• วธิ กี ารหาคาํ ตอบในแตล ะขอ ยงุ ยากหรอื ไม
(แนวตอบ ไมย ุง ยาก) ที่กำาหนดให้ เขียนแสดงจำานวนบาทในรูปการคูณของ 34 กบั จาำ นวนดอลลาร์ได้
ดังตารางต่อไปน้ี

จาำ นวนเงิน (ดอลลาร)์ 1 2 3 4 ... n

จาำ นวนเงิน (บาท) 34 68 102 136 ... 34 × n

เทา่ กับ เทา่ กับ เทา่ กบั เท่ากับ
34 × 1 34 × 2 34 × 3 34 × 4

ดงั น้นั ความสมั พนั ธ์ระหว่างจาำ นวนเงินดอลลารก์ ับจำานวนเงินบาท
เทา่ กบั 34 × n = 34n เมอื่ n แทนจาำ นวนเงินดอลลาร์

2) จากความสัมพนั ธ์ในขอ้ 1) หาจำานวนเงนิ 28 ดอลลารท์ ี่แลกเป็นเงนิ บาท
โดยแทนคา่ n ในความสัมพนั ธ์ 34 × n ดว้ ย 28
จะได ้ 34 × n = 34 × 28
= 952
ดงั นั้น จาำ นวนเงนิ 28 ดอลลารแ์ ลกเปน็ เงินบาทได้ 952 บาท

3) หาจาำ นวนเงินทแี่ ลกเปน็ เงินดอลลาร์ โดยนำาความสมั พันธ์ในขอ้ 1) และ
จำานวนเงนิ 238 บาท เขยี นสมการได้ ดังนี้
34 × n = 238

190

นักเรียนควรรู ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET
กําหนดตารางแสดงความสัมพันธระหวางลําดับท่ีกับจํานวน
1 ดอลลาร (Dollas ; $) เปนชอ่ื สกลุ เงนิ ตราของสหรัฐอเมริกา หรอื ท่เี รยี กวา ดังนี้
ดอลลารส หรัฐ (USD)
ลาํ ดบั ที่ 1 2 3 4 5 ... n
บูรณาการอาเซียน จาํ นวน 3 5 9 17 33 ...

ใหนักเรียนจัดกลุม กลุม 9 คน คนควาเพิ่มเติม เร่ืองอัตราแลกเปล่ียน เขียนความสัมพันธระหวางลําดับท่ีกับจํานวนไดตามขอใด
เงนิ ตราตางประเทศในประชาคมอาเซยี น โดยใหจัดทําเปน ใบความรู พรอ มทั้ง ถา ให n แทนลําดบั ท่ี
นําเสนอหนา ช้ันเรียน
1. n + 2 2. 2n + 1 3. n2 + 1 4. 2n + 1
T204 (เฉลยคาํ ตอบ
1. n + 2 จะไดจาํ นวนของแบบรูปเปน 3, 4, 5, 6, 7, ...
2. 2n + 1 จะไดจํานวนของแบบรูปเปน 3, 5, 7, 9, 11, ...
3. n2 + 1 จะไดจ ํานวนของแบบรปู เปน 2, 5, 10, 17, 26, ...
4. 2n + 1 จะไดจาํ นวนของแบบรูปเปน 3, 5, 9, 17, 33, ...
ดังน้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ลองแทนคา่ n ด้วย 7 จะได้ ขน้ั สอน
34 × 7 = 238 ทำาใหส้ มการเป็นจรงิ
ดงั น้ัน จาำ นวนเงิน 238 บาท แลกเปน็ เงินดอลลาร์ได้ 7 ดอลลาร์ ตอบ เขา ใจ (Understanding)

ลองทําดู 12. ครูใหนักเรียนแตละคนทํา “ลองทําดู” ใน
หนังสือเรียน หนา 191 หลังจากน้ันครู
จงเขยี นตารางแสดงความสัมพนั ธร์ ะหว่างจำานวนเงนิ ยโู รกบั จำานวนเงนิ บาทไทย และนักเรยี นรวมกันเฉลยคําตอบ
ถา้ ให้ n แทนจำานวนเงินยโู รและกำาหนด 1 ยูโร มีค่าประมาณ 37 บาท
13. ครูกลาวสรปุ วา “เราจะเรียกสมการ
(อตั ราแลกเปล่ยี นระหวา่ งประเทศ ณ วันที่ 2 พ.ค. 2560) 2n + 1 = 327 และ 34 × n = 238
วา สมการเชงิ เสนตัวแปรเดียว”
จากตวั อย่างขา้ งต้นทศ่ี ึกษามาแลว้ นกั เรยี นจะเหน็ ว่า
สมการ 2n + 1 = 327 และ 34 × n = 238 เป็นสมการที่มเี ลขชก้ี ำาลงั ของตวั แปร n 14. ครูแจกใบงานที่ 5.1 เรือ่ ง แบบรูปและความ
เ ทา่ กันคจะือเ ร1ียกสมการ 2n + 1 = 327 และ 34 × n = 238 วา่ สมการเชงิ เส1น้ ตวั แปรเดยี ว สัมพันธของจํานวน ใหนักเรียนทํา จากน้ัน
ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคําตอบใบงาน
แบบฝึกทักษะ 5.1 ท่ี 5.1

ระดับ พน้ื ฐาน

1. จงเขียนจำานวนถัดไปอกี สามจาำ นวนของแบบรูปท่กี าำ หนดให้ต่อไปน้ี

1) 2, 4, 6, 8, ... 2) 10, 12, 14, ...
3) 5, 8, 11, ... 4) 9, 6, 3, 0, ...
5) 21, 18, 15, 12, ... 6) 1 × 2, 2 × 3, 3 × 4, 4 × 5, ...
7) 21, 15, 9, 3, ... 8) 1, 10, 100, 1000, ...
10) 1, 3, 9, 27, ...
9) 1, 21 , 14 , 81 , ...

2. จงเขยี นรูปถดั ไปอกี สามรูปของแต่ละแบบรูปตอ่ ไปนี้

1)

2)

191

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET นักเรียนควรรู

40 44 48 56 จาํ นวนในขอ ใดมคี วามสัมพนั ธตาม 1 สมการเชิงเสน (Linear Equation) เปนสมการท่ีมีตัวแปรเพียง 1 ตัว
แบบรูปทกี่ ําหนด และมีเลขช้ีกําลงั เทากับ 1 เชน

1. 50, 58 มีความสัมพนั ธแ บบเพิ่มขน้ึ ทีละ 2 2x + 3 = 0 , 52x - 7 = 4 เปน ตน
2. 51, 61 มคี วามสมั พนั ธแบบเพิ่มขึน้ ทลี ะ 3
3. 52, 60 มีความสมั พนั ธแ บบเพม่ิ ขึ้นทีละ 4 สอื่ Digital
4. 53, 61 มีความสมั พันธแบบเพม่ิ ขน้ึ ทีละ 5
(เฉลยคาํ ตอบ 40 44 48 56 จาํ นวนในแบบรปู เพม่ิ ขนึ้ เรียนรูเพิ่มเตมิ เร่อื ง เศษสวน จากภาพยนตรสารคดีส้ัน เรื่อง อตั ราสว น :
ครั้งละ 4 เขียนเปน การแลกเปล่ียนเงินตางประเทศ ไดที่ https://www.twig-aksorn.com/film/
ratios-currency-exchange-8454/
40 +4 44 +4 48 +4 52 +4 56 +4 60
T205
จาํ นวนท่ีหายไป คอื 52 และ 60 จงึ เพิ่มขึ้นทลี ะ 4
ดังน้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน 3)

เขา้ ใจ (Understanding) ระดบั กลาง

15. ครูใหน กั เรียนทําแบบฝก ทกั ษะ 5.1 ขอ 3.-6. 3. จงหาจา� นวนในลา� ดับท่ี 20 และเขยี นความสัมพนั ธ์ระหว่างล�าดับที่กับจา� นวนในลา� ดับที่ n
ในหนงั สอื เรยี น หนา 192-193 เปน การบา น ของแบบรูปทก่ี า� หนดให้
1) 3, 6, 9, 12, ...
ลงมอื ทาํ (Doing) 2) 12, 22, 32, 42, ...
3) 21 , 32 , 34 , 54, ...
ครูใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 4 คน คละ 4) (4 × 1) + 1, (4 × 2) + 2, (4 × 3) + 3, (4 × 4) + 4, ...
ความสามารถทางคณิตศาสตร แลวทํากิจกรรม 5) (1 + 1)2, (2 + 1)2, (3 + 1)2, (4 + 1)2, ...
ดงั น้ี
4. จงพิจารณาแบบรปู ทก่ี �าหนดให้ แล้วตอบคา� ถามต่อไปนี้
- ใหนักเรียนแตละกลุมชวยกันทําแบบฝก (1 + 1) + 2, (2 + 2) + 2, (3 + 3) + 2, (4 + 4) + 2
ทักษะ 5.1 ขอ 7. โดยเขียนลงในสมุด
ของตนเอง 1) จงเขียนจา� นวนตอ่ ไปอีก 6 จา� นวน จากแบบรปู ทีก่ �าหนด
2) จงหาผลบวกของจ�านวนแต่ละจา� นวนในแบบรปู แล้วเขยี นแบบรูปของผลบวกทไี่ ด้
- จากน้ันใหนักเรียนแลกเปล่ียนความรู 3) จงพิจารณาตารางแสดงความสัมพันธร์ ะหวา่ งลา� ดับท่กี บั จา� นวนที่ก�าหนด แลว้ เขียน
ภายในกลมุ ของตนเอง และสนทนาซกั ถาม
เกี่ยวกับวิธีการหาคําตอบ จนเปนที่เขาใจ ความสมั พนั ธร์ ะหว่างลา� ดับที่ n และจ�านวน
รวมกนั

- ใหตัวแทนกลุมมานําเสนอคําตอบหนา
ชั้นเรียน โดยเพ่ือนกลุมที่เหลือคอย
ตรวจสอบความถกู ตอ ง

ลา� ดับท่ี 1 2 3 4
จ�านวน (1 + 1) + 2 (2 + 2) + 2 (3 + 3) + 2 (4 + 4) + 2

5. จงพจิ ารณาตารางแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งลา� ดบั ทแ่ี ละจา� นวนทก่ี า� หนดให้ แลว้ ตอบคา� ถาม
ต่อไปน้ี

ลา� ดับที่ 1 2 3 4 5 6

จา� นวน 5 4 3 0

1) จงเติมตารางให้สมบูรณ์
2) จงเขียนสมการแสดงความสัมพนั ธร์ ะหว่างลา� ดับท่ี n และจา� นวน

192

เกร็ดแนะครู ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET n เปน 1100n+n1
ความสมั พนั ธร ะหวา งลาํ ดบั ทกี่ บั จาํ นวนในลาํ ดบั ที่
ในแบบฝกทักษะท่ี 5.1 ครูควรช้ีแนะโจทยขอ 2. ใหนักเรียนพิจารณารูป จาํ นวนในลาํ ดับท่ี 4 คอื ขอ ใด
เรขาคณิตเปน แบบรูปของจํานวนและเขียนรปู ถดั ไป เชน ขอ 1) เปน รูปสเี่ หลีย่ ม 1. 0.0001
จตั ุรัสโดยมคี วามยาวดา น 1, 2, 3, 4, 5, 6 เปน ตน 2. 0.001

3. 0.01
4. 0.1
45เป=น 0.11100nn+1
(เฉลยคําตอบ แบบรปู ของความสมั พนั ธ n
10
จาํ นวนในลําดบั ที่ 4 คือ 10

ดงั น้ัน คําตอบ คอื ขอ 4.)

T206

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

6. สมชายใชเ้ วลาอ่านหนงั สอื เล่มหนงึ่ ไปแล้ว 7 วัน แตย่ งั อา่ นไม่จบ และเขาบนั ทึกจาำ นวนวัน ขนั้ สรปุ
และจาำ นวนหนา้ ทั้งหมดทอี่ า่ นได้ ดงั ตาราง
จำานวนวัน 1 2 3 4 5 6 ... n ครูถามคําถามเพ่ือสรุปความรูรวบยอดของ
จาำ นวนหน้าท้ังหมด 3 5 7 9 11 13 ... นักเรยี น ดงั น้ี

จงตอบคาำ ถามตอ่ ไปน้ี • แบบรปู คืออะไร
1) ให้พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างจาำ นวนวันและจาำ นวนหน้าทั้งหมดทอ่ี ่านหนังสือได้ (แนวตอบ เปนการแสดงความสัมพันธของ
สงิ่ ตา งๆ ทม่ี ลี กั ษณะสาํ คญั บางอยา งรว มกนั
ถ้าให ้ n แทนจำานวนวนั จำานวนหน้าทง้ั หมดทอ่ี ่านไดใ้ นเวลา n วนั เทา่ กบั เท่าใด อยางมีเง่ือนไข ตองใชการสังเกต การ
2) เมื่อสมชายอา่ นหนังสือผา่ นไป 12 วัน แต่ยงั อ่านไม่จบ และยังเหลอื อีก 8 หน้าท่ียัง วิเคราะห เพื่อหาเหตุผลมาสนับสนุนและ
หาบทสรุปเพือ่ อธบิ ายความสัมพันธน ้นั )
ไมไ่ ด้อ่าน จงหาว่าหนังสือเลม่ นัน้ มกี ีห่ นา้
• ความสมั พนั ธ หมายถงึ อะไร
ระดับ ทา้ ทาย (แนวตอบ ความเกย่ี วขอ ง เชน นดิ และหนอ ย
มคี วามสัมพนั ธท เ่ี ปน พี่นองกัน)
7. จงพิจารณาความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งลาำ ดับทข่ี องรูป จำานวนรูปสเ่ี หล่ยี มที่แรเงา และจาำ นวน
รปู สีเ่ หลีย่ มท้ังหมด แล้วตอบคาำ ถามตอ่ ไปน้ี • สมการ คอื อะไร
(แนวตอบ เปนประโยคสัญลักษณทาง
รปู ท่ ี 1 รปู ท ่ี 2 รปู ที่ 3 รูปที่ 4 คณิตศาสตรที่แสดงการเทากันของจํานวน
โดยใชส ัญลกั ษณ “=” แสดงการเทากัน)
รูปท่ี 1 2 3 4 ... n
จำานวนรูปสี่เหล่ียมท่ีแรเงา 2 4 6 8 • สมการทีเ่ ปนจรงิ คอื อะไร
จำานวนรปู สีเ่ หลี่ยมทงั้ หมด 4 6 8 10 (แนวตอบ สมการที่มีจํานวนทางดานซาย
และมีจํานวนทางดานขวาของเคร่ืองหมาย
1) รูปท ี่ n มีจาำ นวนรปู ส่ีเหลย่ี มทีแ่ รเงากี่รปู “=” มคี าเทากนั )
2) รูปท ี่ n มีจาำ นวนรูปส่เี หล่ียมทง้ั หมดกีร่ ปู
3) รปู ท่ ี 15 มีจำานวนรปู สเี่ หล่ียมทแ่ี รเงาก่รี ูป • คาํ ตอบของสมการ หมายถงึ อะไร
4) รูปที่ 25 มจี ำานวนรูปสเี่ หลยี่ มท้ังหมดกรี่ ูป (แนวตอบ จํานวนท่ีแทนตัวไมทราบคาหรือ
5) จงเขยี นสมการเพื่อหาว่ารปู ลำาดับที่เท่าใด มีจำานวนรปู สเ่ี หล่ียมท่แี รเงาท้ังหมด 40 รูป แทนคาตัวแปรในสมการแลวทําใหสมการ
6) จงเขียนสมการเพ่อื หาว่ารปู ลำาดบั ทีเ่ ท่าใด มจี ำานวนรปู สเี่ หล่ียมทั้งหมด 82 รูป เปน จริง)

193 ขน้ั ประเมนิ

1. ครูตรวจใบงานท่ี 5.1
2. ครตู รวจแบบฝกทกั ษะ 5.1
3. ครูประเมนิ การนาํ เสนอผลงาน
4. ครูสังเกตพฤตกิ รรมการทาํ งานรายบคุ คล
5. ครสู งั เกตพฤติกรรมการทํางานกลมุ
6. ครูสังเกตคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET เกร็ดแนะครู
จากภาพท่ีกําหนด
รปู ที่ 1 รูปที่ 2 รปู ท่ี 3 รปู ที่ n จะมีจาํ นวนรูป ครูควรใชคําถามเพื่อเนนย้ําการเขียนรูปท่ัวไปของแบบรูปของจํานวนใน
สเ่ี หลี่ยมจัตุรัสตรงกับ โจทยขอตา งๆ ในแบบฝกทกั ษะที่ 5.1 เชน
ขอ ใด
ขอ 6. แบบรูปของจํานวน 3, 5, 7, 9, 11, … มีความสัมพันธอยางไร
1. n 2. 2n 3. n + 4 4. n2 รปู ทว่ั ไปเปนอยา งไร

(เฉลยคาํ ตอบ ขอ 7. แบบรูปของ 2, 4, 6, 8, … และแบบรูปของ 4, 6, 8, 10, …
รปู ลาํ ดบั ท่ี 1 มีรูปสเ่ี หลย่ี มจตั รุ ัสความยาวดา นละ 1 หนว ย 1 รูป มีความสมั พนั ธกนั อยา งไร เปน พหุคณู ของจํานวนใด มีรปู ทว่ั ไปเปน อยา งไร
รูปลาํ ดับที่ 2 มรี ูปส่ีเหลีย่ มจัตรุ สั ความยาวดานละ 1 หนวย 4 รูป
รปู ลําดบั ท่ี 3 มีรูปส่ีเหลย่ี มจัตุรสั ความยาวดานละ 1 หนวย 9 รปู T207
รูปลําดับท่ี n มีรปู สเ่ี หล่ียมจตั รุ ัสความยาวดานละ 1 หนวย n2 รูป

ความสัมพันธระหวางลําดับที่ของรูปกับจํานวนรูปส่ีเหลี่ยม
จัตุรสั ทง้ั หมดเปน n2

ดังนน้ั คําตอบ คอื ขอ 4.)

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching) 5.2 คําตอบของสมการเชิงเสน ตัวแปรเดยี ว

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge) จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
หอ้ งเรยี นหอ้ งหนงึ่ มนี กั เรยี นอยจู่ าำ นวนหนงึ่ ตอ่ มามนี กั เรยี นเขา้ มาในหอ้ งเรยี นนอ้ี กี สองคน
1. ครูทบทวนความรูเรื่องแบบรูปและความ เม่ือนบั จำานวนนกั เรียนในห้องอกี คร้ังหน่งึ พบวา่ มนี กั เรยี นท้งั หมดแปดคน
สมั พนั ธ ถา้ ใหเ้ ดิมมนี กั เรยี นในห้องอย่ ู x คน จะเขียนประโยคสัญลักษณแ์ ทนข้อความดงั กล่าวเป็น
สมการได้ดังน้ี x + 2 = 8 เปน็ สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวและม ี x เปน็ ตวั แปร
2. ครแู จกใบงานท่ี 5.2 เรอื่ ง สมการทเ่ี ปน จรงิ หรอื
สมการท่ีเปนเท็จ ใหนักเรียนทําเพ่ือทบทวน จงพจิ ารณาประโยคภาษาตอ่ ไปน้ี
ความรู เมื่อนักเรียนทําเสร็จแลว ครูและ สองเท่าของจำานวนจำานวนหนึ่งรวมกบั หนึง่ ได้ผลลพั ธ์เทา่ กับหา้
นักเรียนรวมกันเฉลยคาํ ตอบใบงานที่ 5.2 ถ้าให้ a แทนจำานวนจำานวนหนึ่ง จะเขียนประโยคสัญลักษณ์แทนประโยคภาษาดังกล่าว
เปน็ สมการได ้ ดังน้ ี 2a + 1 = 5 เป็นสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียวและม ี a เปน็ ตัวแปร
ขนั้ สอน

รู้ (Knowing)

1. ครูกลาวแนะนําสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
ดงั น้ี
“สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว คือ สมการที่
อยูในรูป ax + b = 0 เมอ่ื a, b เปน จํานวน
ใดๆ และ a 0” แลวยกตัวอยางสมการ สมการทอ่ี ยู่ในรูป ax + b = 0 เมือ่ a, b เป็นจาำ นวนใด ๆ และ a ≠ 0 เรียกว่า
ตอไปน้ีบนกระดาน “สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว”

1) x + 2 = 8 2) 2a + 1 = 5 พจิ ารณาสมการ x + 2 = 8
3) xy - 3 = 5 ถ้าแทนค่า x ด้วย 6 ในสมการ
จากนัน้ ครูถามคาํ ถาม ดงั น้ี จะได ้ 6 + 2 = 8 ทาำ ใหส้ มการเปน็ จริง
• สมการในขอใดบางท่ีเปนสมการเชิงเสน เรยี ก 6 ว่าเปน็ คาำ ตอบของสมการ x + 2 = 8
ตัวแปรเดยี ว
(แนวตอบ สมการขอ 1) และขอ 2)) พิจารณาสมการ 2a + 1 = 5
ถา้ แทนค่า a ด้วย 2 ในสมการ
2. จากสมการ x + 2 = 8 ครูลองใหนกั เรียนแทน จะได้ (2 × 2) + 1 = 5 ทำาให้สมการเป็นจริง
คาตวั แปร ดงั นี้
• แทนคา ตวั แปรดว ย 5 จะไดส มการทเี่ ปน จรงิ เรยี ก 2 วา่ เป็นคำาตอบของสมการ 2a + 1 = 5

หรอื ไม (แนวตอบ ไมเ ปน จริง) จำานวนท่แี ทนค่าของตวั แปรทีป่ รากฏอยู่ในสมการ แลว้ ทำาใหส้ มการเป็นจริง เรียกว่า
• แทนคา ตวั แปรดว ย 6 จะไดส มการทเ่ี ปน จรงิ “คาำ ตอบของสมการ”
หรือไม (แนวตอบ เปน จรงิ )
จากนั้นครูบอกนักเรียนวา “จํานวนท่ีแทนคา
ของตัวแปรที่ปรากฏอยูในสมการ แลวทําให
สมการเปนจริง เรียกวา คําตอบของสมการ
ดังน้นั สมการ x + 2 = 8 มี 6 เปนคําตอบ
ของสมการ และสมการ 2a + 1 = 5 มี 2 เปน
คําตอบของสมการ” 194

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
5 ไมเปนคาํ ตอบของสมการใด
2. 3215 x = 3
1. x + 9 = 9 + x 3. 2x + 6 = -4 4. -12x = -60

(เฉลยคําตอบ 1. เปนคําตอบ เพราะ x + 9 = 9 + x 3. ไมเ ปน คาํ ตอบ เพราะ 2x + 6 = -4
5+9 = 9+5 2x = -10
x = -5

2. เปน คาํ ตอบ เพราะ 2351 x = 3 2315 4. เปน คาํ ตอบ เพราะ -12x = -60
x = 3 x = --6120
= 5 × =5

x

ดงั นั้น คําตอบ คอื ขอ 3.)

T208

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตัวอยา่ งที่ 7 ขน้ั สอน

จงพจิ ารณาว่าจาำ นวนท่อี ยูใ่ นวงเล็บ [ ] ท้ายสมการ เปน็ คำาตอบของสมการหรอื ไม่ เขา้ ใจ (Understanding)
1) x + 8 = 15 [7] 2) xx4 - =6 1=4 1 3 [19]
3) 3x = 21 [9] 4) [60] 1. ครูใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางท่ี 7 ใน
วิธีทำา 1) จากสมการ x + 8 = 15 หนังสือเรียน หนา 195 แลวแลกเปล่ียน
แทนคา่ x ด้วย 7 ในสมการ ความรูกับคูของตนเอง จากนัน้ ครถู ามคําถาม
จะได ้ 7 + 8 = 15 ทาำ ให้สมการเป็นจริง วา
ดงั นัน้ 7 เป็นคาำ ตอบของสมการ x + 8 = 15 • นกั เรยี นคดิ วาตวั แปร x ท่ใี หหาคา เหมอื น
เรอ่ื งอะไรทน่ี กั เรยี นเคยเรยี นมาแลว ในระดบั
2) จากสมการ x - 6 = 13 ประถมศึกษา
แทนค่า x ด้วย 19 ในสมการ (แนวตอบ เรือ่ งตวั ไมท ราบคา )
จะได ้ 19 - 6 = 13 ทำาใหส้ มการเป็นจริง แลวใหน กั เรียนแตละคนทาํ “ลองทําดู”
ดงั นน้ั 19 เปน็ คาำ ตอบของสมการ x - 6 = 13
2. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคําตอบ “ลอง
ทําด”ู

3) จากสมการ 3x = 21
แทนค่า x ด้วย 9 ในสมการ
จะได ้ 3 × 9 = 27 ทำาใหส้ มการเปน็ เท็จ
ดงั น้ัน 9 ไมเ่ ป็นคำาตอบของสมการ 3x = 21
4) จากสมการ x4 = 14
แทนคา่ x ด้วย 60 ในสมการ
ไม่เป็นคาำ ต อ บ64ข0อ ง=ส มก15า ร
จะได ้ 60 = 14 ทำาใหส้ มการเป็นเทจ็ ตอบ
ดงั นั้น x4

ลองทําดู

จงพิจารณาวา่ จาำ นวนทอี่ ยูใ่ นวงเลบ็ [ ] ท้ายสมการ เปน็ คำาตอบของสมการหรือไม่
1) x + 20 = 28 [8]
2) x - 15 = 20 [45]
3) 4x = 56
4) x7 = 9 [16]
[63]

195

สมการในขอใดมคี ําตอบเทา กบั คาํ ตอบของสมการ 2 (2x 3- 5) = 6 ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET
3.
1. 2x + 25 = 11 2. 4(x - 9) = 3x + 13 3x 4- 7 = 2x 4. 32 x - 6 = 9

(เฉลยคาํ ตอบ
2 (22xx3--55) 32
= 6 2. 4x - 36 = 3x + 13 4. x -32 6 = 9
= 9 x = 13 + 36 x = 15
2x = 14 x = 49 x = 15 32
= 10 ×

x=7 63xx-4-174 42xx x
1. 2x + 25 = 11 3. =
2x = -14 =
x = -7 2x = 14
x=7
ดังนน้ั คาํ ตอบ คือ ขอ 3.)

T209

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ตวั อย่างท่ี 8

เขา ใจ (Understanding) จงหาคาำ ตอบของสมการตอ่ ไปน้ี โดยวธิ ีลองแทนค่าตัวแปร
1) x + 4 = 14 2) 2x - 1 = 9
3. ใหน กั เรยี นคูเดมิ ศึกษาตวั อยา งท่ี 8 ในหนังสอื
เรียน หนา 196 แลวแลกเปล่ียนความรูกับคู วิธที าำ 1) จากสมการ x + 4 = 14
ของตนเอง จากน้ันใหนักเรียนแตละคนทํา ลองแทนคา่ x ดว้ ย 10 ในสมการ
“ลองทําดู” แลวครูและนักเรียนรวมกันเฉลย จะได ้ 10 + 4 = 14 ทำาให้สมการเปน็ จรงิ
คาํ ตอบ ดังนนั้ คาำ ตอบของสมการ x + 4 = 14 คือ 10

4. ครูใหนักเรียนทํา Exercise 5.2 ขอ 1.-3. ใน 2) จากสมการ 2x - 1 = 9
แบบฝกหดั คณติ ศาสตรเ ปนการบา น ลองแทนค่า x ดว้ ย 5 ในสมการ
จะได้ 2(5) - 1 = 10 - 1
5. ครูกลาวทบทวนเกี่ยวกับสมการเชิงเสน = 9 ทำาให้สมการเปน็ จริง
ตัวแปรเดียววา “สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ดงั น้นั คาำ ตอบของสมการ 2x - 1 = 9 คอื 5 ตอบ
คอื สมการทอ่ี ยใู นรูป ax + b = 0 เมือ่ a, b
เปน จํานวนใดๆ และ a 0” ลองทําดู

6. ครูใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางท่ี 9 ใน จงหาคำาตอบของสมการต่อไปน้ี โดยวธิ ลี องแทนคา่ ตวั แปร
หนงั สอื เรียน หนา 196-197 แลว แลกเปลยี่ น 1) x + 15 = 27 2) 3x + 1 = 34
ความรกู ับคูของตนเอง จากนั้นครถู ามคาํ ถาม
ดงั น้ี ตัวอย่างที่ 9
• จากตวั อยางท่ี 9 ขอ 1) คาํ ตอบของสมการ
เทากบั เทาไร จงหาคำาตอบของสมการตอ่ ไปนี้ โดยวธิ ีลองแทนค่าตัวแปร
(แนวตอบ x = 6) 1) x + 4 = 10 2) x + 5 = 5 + x 3) x + 3 = x + 4
• จากตวั อยางที่ 9 ขอ 2) เปนสมการเชงิ เสน ทาำ ให้สมการเปน็ จริง
ตวั แปรเดียวหรอื ไม เพราะเหตุใด วิธที าำ 1) จากสมการ x + 4 = 10
(แนวตอบ เปนสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ลองแทนคา่ x ดว้ ย 6 ในสมการ ทาำ ใหส้ มการเปน็ จรงิ
เพราะมีตวั แปรเพยี งตัวเดียว) จะได้ 6 + 4 = 10 ทาำ ให้สมการเปน็ จรงิ
• จากตัวอยางท่ี 9 ขอ 2) คาํ ตอบของสมการ ดังนนั้ คาำ ตอบของสมการ x + 4 = 10 คือ 6
เทา กับเทา ไร
(แนวตอบ จาํ นวนใดๆ ทกุ จํานวน) 2) จากสมการ x + 5 = 5 + x
• จากตวั อยา งที่ 9 ขอ 3) ทาํ ไมจงึ ไมม คี าํ ตอบ ลองแทนคา่ x ดว้ ย -4 ในสมการ
ของสมการ จะได ้ x + 5 = (-4) + 5 = 1
(แนวตอบ เพราะไมมีจํานวนใดๆ ที่แทน และ 5 + x = 5 + (-4) = 1
คา x แลวทําใหส มการเปนจรงิ ) ลองแทนค่า x ด้วย 7 ในสมการ
จะได ้ x + 5 = 7 + 5 = 12
และ 5 + x = 5 + 7 = 12

196

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET
3 เปนคําตอบของสมการใด
3. 34 x + 5 = 9
1. 7(x + 6) = 21 2. 3(x - 4) = 2(x - 5) 4. 5x - 8 = 12

(เฉลยคําตอบ 1. ไมเปน คําตอบ เพราะ 7(x + 6) = 21 3. เปนคําตอบ เพราะ 43 x +5 = 9
3271 34 x = 4
x+6 = x = 4 × 43
x+6 =
x = 3-6
x = -3 x=3

2. ไมเปนคําตอบ เพราะ 3(x - 4) = 2(x - 5) 4. ไมเปนคําตอบ เพราะ 5x - 8 = 12
3x - 12 = 2x - 10 5x = 20
x=2 x=4

T210 ดังน้ัน คําตอบ คอื ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ลองแทนค่า x ด้วย 10 ในสมการ ขน้ั สอน
จะได้ x + 5 = 10 + 5 = 15
และ 5 + x = 5 + 10 = 15 ทาำ ใหส้ มการเป็นจรงิ เขา้ ใจ (Understanding)
จ ะเห็นวา่ เมื่อแทนค่า x ด้วยจำานวนที่ไมเ่ ท่ากันสามจาำ นวน ในสมการ
x + 5 = 5 + x แลว้ ทำาให้สมการเปน็ จรงิ เสมอ และจากสมการ x + 5 = 5 + x 7. ครูใหนักเรียนแตละคนทํา “ลองทําดู” ใน
เปน็ ไปตามสมบตั กิ ารสลับท่ีสำาหรับการบวก หนังสือเรียน หนา 197 แลวครูและนักเรียน
ดงั น้นั คำาตอบของสมการ x + 5 = 5 + x คอื จำานวนใด ๆ ทุกจาำ นวน รว มกันเฉลยคาํ ตอบ

3) จากสมการ x + 3 = x + 4 8. ครูและนักเรยี นรวมกันสรุปวา สมการเชงิ เสน
ลองแทนค่า x ดว้ ย -7 ในสมการ ตัวแปรเดียวสามารถจัดตามลักษณะคําตอบ
จะได ้ x + 3 = (-7) + 3 = -4 ของสมการได 3 แบบ ดังน้ี
และ x + 4 = (-7) + 4 = -3 ทาำ ใหส้ มการเปน็ เท็จ 1) สมการที่มีจํานวนบางจํานวนเปนคําตอบ
ลองแทนค่า x ดว้ ย 1 ในสมการ (ดงั ตัวอยา งที่ 9 ขอ 1))
จะได ้ x + 3 = 1 + 3 = 4 2) สมการท่ีมีคําตอบทุกจํานวนเปนคําตอบ
และ x + 4 = 1 + 4 = 5 ทาำ ใหส้ มการเป็นเท็จ (ดังตัวอยา งที่ 9 ขอ 2))
3) สมการที่ไมมีจํานวนใดเปนคําตอบ
(ดงั ตวั อยา งท่ี 9 ขอ 3))

ลองแทนค่า x ด้วย 9 ในสมการ
จะได ้ x + 3 = 9 + 3 = 12
และ x + 4 = 9 + 4 = 13 ทำาใหส้ มการเป็นเท็จ
จะเห็นวา่ เม่อื แทนค่า x ด้วยจำานวนที่ไมเ่ ท่ากนั สามจำานวน ในสมการ
x + 3 = x + 4 แล้วทำาให้สมการเปน็ เทจ็ เสมอ และจากสมบตั ิการบวกของจำานวน
สองจำานวนใด ๆ เม่ือตัวบวกเพิ่มข้ึนจะทำาใหผ้ ลบวกเพิม่ ข้นึ ดว้ ย
จึงสรุปไดว้ า่ x + 4 ต้องมากกว่า x + 3
ดังนนั้ ไม่มคี าำ ตอบของสมการ x + 3 = x + 4 ตอบ

ลองทําดู

จงหาคำาตอบของสมการตอ่ ไปนี้ โดยวธิ ีแทนคา่ ตัวแปร
1) x + 9 = 15 2) x + x = 2x 3) x - 2 = x - 3

สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี วสามารถจดั ตามลกั ษณะคาำ ตอบของสมการได ้ 3 แบบ ดงั น้ี
1. สมการท่ีมจี ำานวนบางจำานวนเป็นคำาตอบ
2. สมการทีม่ ีจำานวนทกุ จาำ นวนเป็นคำาตอบ
3. สมการที่ไมม่ จี าำ นวนใดเป็นคำาตอบ

197

จาํ นวนท่กี าํ หนดในวงเล็บในแตล ะขอ จาํ นวนในขอใดเปนคาํ ตอบของสมการ ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET

1. -6x2+ 5 + 7 = 2 2 12 2. - 13 x + 24 = 4(x - 1) 5 52
3. 12 x + 31 x + 14 x = x - 5 - 12 4. -5 + 45 x = - 12 (x - 2) 1 14
(เฉลยคาํ ตอบ การหาคาํ ตอบใหแ ทนคา ตัวแปรจะไดค าํ ตอบของสมการ
-2562x2++ 5 2. -31 257 + 24 = 4 257 - 1 4. -5 + 54 54 = -21 45 - 2
1. 5 + 7 = 2 -59 + 24 = 4 252 -5 +1 = 38-21 -43
-6 + 7 = 2 1151 = 858 สมการเปน เท็จ -4 = สมการเปนเท็จ

-152+ 5 + 7 = 2 3. 12 -21 + 13 -21 + 14 -21 = -21 - 5 ดังน้นั คาํ ตอบ คือ ขอ 1.)
-5 + 7 = 2
2 = 2 สมการเปน จริง -6 -244 -3 --112211
-2143 =
= สมการเปนเท็จ T211

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน แบบฝึกทักษะ 5.2

เขา้ ใจ (Understanding) ระดับ พืน้ ฐาน

9. ครใู หน กั เรียนทาํ แบบฝก ทกั ษะ 5.2 ขอ 1.-2. 1. จงพิจารณาวา่ ตัวแปรทป่ี รากฏในสมการในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ คอื อะไร
และทาํ Exercise 5.2 ขอ 4. ในแบบฝก หดั 1) a + 7 = 9 2) 3 + x = 12 3) 5m = 18
คณิตศาสตร จากนั้นครูและนักเรียนรวมกัน 5) b +3 1 = 4 6) y +5 3 = 5
เฉลยคาํ ตอบ 4) 2a - 7 = 10

10. ใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะ 5.2 ขอ 3.-6. 2. จงพิจารณาว่า สมการทกี่ าำ หนดให้ในตารางเป็นสมการทอี่ ยู่ในรปู ax + b = 0 เม่อื a, b
เปนการบาน เปน็ จำานวนใด ๆ และเมื่อ a ≠ 0 หรอื ไม่

ลงมอื ทาํ (Doing) ลำาดับท่ี สมการ อยู่ในรูป ax + b = 0 คา่ ของ a และ b เปน็ สมการเชงิ เสน้
ตัวแปรเดียว
ครูใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 4 คน คละ
ความสามารถทางคณิตศาสตร แลวทํากิจกรรม 1 3x + 142 = 0 ✓ a = 3 และ b = 2 ✓
ดงั น้ี 2 x2 =

- ใหนักเรียนแตละกลุมชวยกันทําแบบฝก 3 4x - 2 = 0
ทักษะ 5.2 ขอ 7. โดยเขียนลงในสมุดของ
ตนเอง 4 2x + 1 = 0

- จากน้ันใหนักเรียนแลกเปลี่ยนความรู 5 7x - 5 = 0
ภายในกลมุ ของตนเอง และสนทนาซกั ถาม
เก่ียวกับวิธีการหาคําตอบ จนเปนท่ีเขาใจ 6 x-9 =0
รวมกนั
7 x2 = 9
- ใหตัวแทนกลุมมานําเสนอคําตอบหนา
ชั้นเรียน โดยเพื่อนกลุมที่เหลือคอย 8 4x + 6 = 1
ตรวจสอบความถกู ตอง

3. จงพิจารณาสมการ 2a = 22 แล้วตอบคำาถามต่อไปน้ี
1) ตัวแปรในสมการทีก่ าำ หนดคอื อะไร
2) ถา้ แทน a ด้วย 10 จะได้สมการเป็นจริงหรอื เท็จ
3) ถา้ แทน a ด้วย 11 จะได้สมการเป็นจริงหรือเทจ็
4) คำาตอบของสมการคอื จำานวนใด

198 ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET

นักเรียนควรรู 3(x - 2) = -5(2x - 4) จงหาคาของ x
1. 0 2. 1
1 x2 = 4 คือ สมการกําลังสอง หรอื เรียกอกี อยางวา พาราโบลา 3. 2 4. 4
(เฉลยคําตอบ 3(x - 2) = -5(2x - 4)
T212 3x - 6 = -10x + 20
3x + 10x = 20 + 6
13x = 26
x = 2163 = 2
ดังนน้ั คาํ ตอบ คอื ขอ 3.)

นาํ สอน สรุป ประเมิน

ระดบั กลาง ขนั้ สรปุ

4. จงพิจารณาว่าจาำ นวนท่ีให้ไวใ้ นวงเลบ็ [ ] ท้ายสมการ เปน็ คำาตอบของสมการนัน้ หรือไม่ ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ
นักเรยี น ดังนี้
1) x + 3 = 29 [26] 2) a - 10 = 5 [15]
3y6b ++4= 3x22 1 == 21 0 [216] • สมการท่ีมีจํานวนบางจํานวนเปนคําตอบ
3) 2p = 106 [53] 4) [14] เปนอยางไร
6) [5] (แนวตอบ เปน สมการทม่ี คี าํ ตอบเพยี งคาํ ตอบ
5) 3a + 5 = 20 [5] 8) [6] เดยี ว)
mw43 =- 140.5 = 6
7) [48] • สมการที่มีคําตอบทุกจํานวนเปนคําตอบ
9) [18] เปนอยา งไร
10) 3w - 4 = 6w + 4 (แนวตอบ เปนสมการท่ีเมื่อแทนคา x ดวย
จาํ นวนใดๆ แลว ทาํ ใหส มการเปน จรงิ เสมอ)
5. จงหาคำาตอบของสมการต่อไปน้ี โดยวิธลี องแทนค่าตวั แปร
x12a+34 • สมการที่ไมมีจํานวนใดเปนคําตอบ เปน
1) 18 - x = 9 2) = 31 อยางไร
3) 3y + 2 = 8 4) 1 = (แนวตอบ เปนสมการที่เม่ือแทนคา x ดวย
3 จาํ นวนใดๆ แลว ทาํ ใหส มการเปน เทจ็ เสมอ)
5) y - 3 = y - 3
6) a + a = 2a ขนั้ ประเมนิ
7) 2b = 10 8) 2x = 12
9) x - 4 = 4 - x 10) 3a - 8 = 10 1. ครูตรวจใบงานท่ี 5.2
2. ครูตรวจแบบฝก ทักษะ 5.2
ระดับ ทา้ ทาย 3. ครูตรวจ Exercise 5.2
4. ครูประเมินการนําเสนอผลงาน
6. จงหาคำาตอบของสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี วตอ่ ไปน้ ี โดยวธิ ลี องแทนคา่ ตวั แปร พรอ้ มท้งั 5. ครูสังเกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบุคคล
บอกว่าลกั ษณะคำาตอบของสมการเป็นแบบใด 6. ครสู ังเกตพฤตกิ รรมการทํางานกลมุ
ก. สมการทีม่ จี าำ นวนบางจำานวนเป็นคาำ ตอบ 7. ครูสงั เกตคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค
ข. สมการท่มี ีจำานวนทกุ จำานวนเปน็ คาำ ตอบ
ค. สมการทไ่ี ม่มีจาำ นวนใดเป็นคำาตอบ
1) x + 7 = 24 2) 2x + 3 = 40
3) x + 8 = 8 + x 4) 3x = 2x + x
5) x - x = 0 6) x + 4 = x + 5
7) x - 3 = x - 4 8) 2x + 4x = 6x + 1

7. จงสรา้ งสมการทมี่ ีลักษณะคำาตอบแบบ ก., ข. และ ค. ในแบบฝึกทกั ษะขอ้ ท่ี 6 มาอยา่ งละ
1 สมการ พรอ้ มทง้ั แสดงวธิ ตี รวจสอบลกั ษณะคาำ ตอบของสมการดว้ ยการลองแทนคา่ ตวั แปร
ในสมการ

199

จํานวนที่กาํ หนดไวใ น [ ] ขอใดทําใหสมการเปนจรงิ ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
ก. 6 + x = 22 [15] ข. 4(x - 3) = 5(x + 2) [-22]
ค. 3x - 28 = 23x [12] ง. - 5x 6+ 6 = 3x4- 4 [-14]
1. ขอ ก.-ข. เปนจริง 2. ขอ ข.-ค. เปน จริง 3. ขอ ค.-ง. เปนจรงิ 4. ขอ ก.-ง. เปนจริง

(เฉลยคาํ ตอบ การหาคําตอบใหแทนคา ตวั แปรจะไดค าํ ตอบของสมการ 3222334x(12[)12 ] เพร-าะ5(--154-6x)(-6++66343662) --332424x(63-41-444)

ก. ไมจ รงิ เพราะ 6 + x = 22 [15 ] ค. จรงิ เพราะ 3x - 28 = ง. ไมจรงิ = [-14 ]
6 + 15 ≠ 22 3(12) - 28 = ≠ -4
21 ≠ 22 36 - 28 = ≠
≠
ข. จรงิ เพราะ 4(x - 3) = 5(x + 2) [-22 ] 8= 8
4(-22 - 3) = 5(-22 + 2)
4(-25) = 5(-20)
-100 = -100 ดังน้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)

T213

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching) 5.3 สมบตั ิของการเทากัน

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge) การใช้สมบัติของการเท่ากันเป็นวิธีการหนึ่งที่นิยมใช้เพ่ือหาคำาตอบของสมการ เนื่องจาก
มีสมการบางสมการถ้าหาคำาตอบของสมการโดยวิธีการลองแทนค่าตัวแปรในสมการ อาจจะเสีย
1. ครูทบทวนความรูเร่ืองคําตอบของสมการ เวลาและไม่สะดวก เพื่อความรวดเร็วและสะดวกในการหาคำาตอบของสมการ จะใช้สมบัติของ
เชงิ เสนตวั แปรเดียว การเท่ากนั ในการหาคาำ ตอบ ซง่ึ สมบัตขิ องการเท่ากันท่นี กั เรยี นควรรู้จัก มีดังน้ี

2. ครูกลาววา “การใชสมบัติของการเทากันเปน 1. สมบตั ิสมมาตร
วธิ กี ารหนงึ่ ทนี่ ยิ มใชเ พอื่ หาคาํ ตอบของสมการ”
ให้นักเรียนตอบคาำ ถามตอ่ ไปนี้
ขนั้ สอน (1) ถ้า x = 20 แลว้ จะสรปุ วา่ 20 = x ไดห้ รือไม่
(2) ถา้ -2a = 15 แลว้ จะสรปุ วา่ 15 = -2a ไดห้ รือไม่
รู้ (Knowing) (3) ถา้ 2x + 7 = x - 3 แลว้ จะสรุปวา่ x - 3 = 2x + 7 ไดห้ รอื ไม่

1. ครยู กตวั อยา งสมบตั สิ มมาตรจากหนงั สอื เรยี น นักเรยี นสามารถสรปุ ข้อความทงั้ 3 ขอ้ วา่ “ได”้ และการสรปุ ข้อความดงั กลา่ วเป็นไปตาม
หนา 200 แลวถามคาํ ถาม ดังนี้ สมบัตสิ มมาตร ซ่ึงกล่าวว่า
• ถา x = 20 แลวเราจะสรุปวา 20 = x
เชน เดียวกัน ไดหรือไม (แนวตอบ ได) ถา้ a = b แลว้ b = a เมอื่ a และ b แทนจำานวนใด ๆ
• ถา -2a = 15 แลวเราจะสรุปวา 15 = -2a
เชนเดียวกัน ไดหรือไม (แนวตอบ ได) 2. สมบตั ถิ า ยทอด
• ถา 2x + 7 = x - 3 แลว จะสรุปวา x - 3 =
2x + 7 ไดหรือไม (แนวตอบ ได) ให้นักเรยี นตอบคาำ ถามต่อไปนี้
(1) ถ้า 4 = 3 + 1 และ 3 + 1 = 2 + 2 แลว้ จะสรุปว่า 4 = 2 + 2 ได้หรอื ไม่
2. ครกู ลา วสรุปวา ตวั อยางทั้ง 3 ตวั อยางขา งตน (2) ถ้า 2 × 3 = 3 × 2 และ 3 × 2 = 6 แล้วจะสรปุ ว่า 2 × 3 = 6 ได้หรือไม่
เปน ไปตามสมบตั สิ มมาตร ซึ่งกลาววา (3) ถ้า a = b และ b = 8 แล้วจะสรุปวา่ a = 8 ได้หรอื ไม่
“ถา a = b แลว b = a เมอ่ื a และ b แทน
จาํ นวนใดๆ” นกั เรียนสามารถสรปุ ขอ้ ความทง้ั 3 ขอ้ วา่ “ได”้ และการสรุปขอ้ ความดังกลา่ วเป็นไปตาม
สมบัติถ่ายทอด ซงึ่ กลา่ วว่า
3. ครยู กตวั อยา งสมบตั ถิ า ยทอดจากหนงั สอื เรยี น
หนา 200 แลวถามคาํ ถาม ดงั นี้ ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c เมอ่ื a, b และ c แทนจาำ นวนใด ๆ
• ถา 4 = 3 + 1 และ 3 + 1 = 2 + 2 แลว
เราจะสรุปวา 4 = 2 + 2 ไดหรือไม 3. สมบัติการบวก
(แนวตอบ ได)
• ถา 2 × 3 = 3 × 2 และ 3 × 2 = 6 แลว จาก 5 + 1 = 6 ใหน้ กั เรียนพิจารณาข้อความต่อไปนว้ี า่ เปน็ จรงิ หรือไม่
เราจะสรปุ วา 2 × 3 = 6 ไดหรอื ไม (1) (5 + 1) + 3 = 6 + 3
(แนวตอบ ได) (2) (5 + 1) + 7 = 6 + 7
• ถา a = b และ b = 8 แลวเราจะสรุปวา (3) (5 + 1) + a = 6 + a เมอื่ a แทนจาำ นวนใด ๆ
a = 8 ไดหรือไม (แนวตอบ ได)
200
4. ครูกลา วสรุปวา ตวั อยา งท้งั 3 ตัวอยา งขา งตน
เปน ไปตามสมบตั ิถา ยทอด ซึ่งกลาววา
“ถา a = b และ b = c แลว a = c เมื่อ
a, b และ c แทนจํานวนใดๆ”

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
ขอใดหาคาํ ตอบของสมการโดยใชสมบตั ิการบวก
จากขอ ความ “การใชสมบตั ิของการเทากนั เปนวิธีการหนึง่ ท่นี ิยมใชเ พอื่ หา
คําตอบของสมการ เน่ืองจากมีสมการบางสมการถาหาคําตอบของสมการ 1. ถา 3a = 12 แลว a = 4
โดยวิธีการลองแทนคาตัวแปรในสมการอาจจะเสียเวลาและไมสะดวก เพื่อ 2. ถา a2 = 2 แลว a = 4
ความรวดเร็วและสะดวกในการหาคําตอบของสมการ จะใชสมบัติของการ 3. ถา a + 1 = 5 แลว a = 4
ดแกเทลาังารนะกถั้นันา2มใxคน5--รตกูค3อาวบรร+หเาชห5ค่ือาําคม+2ตําโย2ตอxงบอกบ”=าขรคอ7หรงาูคสซควม่ึงํารกจตกะาําอรเหสบโดียนขยเดอวกงสลาสมารมแกแกลาทาะรนรเไชคมโดิงาสเยะสวเดนชิธวตนีกกัวาใแ3รนxปลก3อร-าเงรด7แลียทอ=วนงแคแ7ทาxลนม4ว+คาใสช2าู
การใชส มบัตขิ องการเทากัน เพือ่ ความรวดเรว็ และสะดวกในการหาคาํ ตอบของ 4. ถา a - 3 = 1 แลว a = 4
สมการ
(เฉลยคาํ ตอบ a-3 = 1
นาํ 3 บวกทง้ั สองขาง
a-3+3 = 1+3
a=4
ดงั นน้ั คําตอบ คอื ขอ 4.)

T214

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

นกั เรยี นจะเหน็ วา่ ข้อความข้างต้นทั้ง 3 ข้อ เป็นจริง ซ่ึงการสรุปข้อความดังกล่าวเป็น ขน้ั สอน
ไปตาม สมบัติการบวก ซ่ึงกล่าวว่า เมื่อจำานวนสองจำานวนเท่ากัน นำาจำานวนอีกจำานวนหน่ึง
มาบวกแต่ละจาำ นวนทเ่ี ท่ากันน้ัน ผลบวกจะเท่ากัน รู้ (Knowing)

ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c เม่อื a, b และ c แทนจาำ นวนใด ๆ 5. ครยู กตวั อยา งสมบตั กิ ารบวกจากหนงั สอื เรยี น
หนา 200 แลวถามคําถาม ดงั น้ี
จงพจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี • ถา 5 + 1 = 6 แลว (5 + 1) + 3 = 6 + 3
(1) จาก 8 = 8 จรงิ หรอื ไม
นำา -3 มาบวกกบั จาำ นวนทงั้ สองขา้ งของสมการ (แนวตอบ จริง)
จะได้ 8 + (-3) = 8 + (-3) • ถา 5 + 1 = 6 แลว (5 + 1) + 7 = 6 + 7
สมการยังคงเป็นจรงิ คอื 5 = 5 จริงหรอื ไม
นักเรียนจะเหน็ ว่า 8 + (-3) = 8 + (-3) (แนวตอบ จริง)
มีความหมายเช่นเดียวกับ 8 - 3 = 8 - 3 • ถา 5 + 1 = 6 แลว (5 + 1) + a = 6 + a
จริงหรือไม
(2) จาก 6 = 4 + 2 (แนวตอบ จรงิ )
นำา -2 มาบวกกบั จำานวนท้ังสองข้างของสมการ
จะได ้ 6 + (-2) = (4 + 2) + (-2) 6. ครูกลา วสรปุ วา ตัวอยา งทงั้ 3 ตัวอยางขา งตน
สมการยังคงเปน็ จริง คือ 4 = 4 เปน ไปตามสมบตั กิ ารบวก ซงึ่ กลาววา
นักเรียนจะเหน็ วา่ 6 + (-2) = (4 + 2) + (-2) “ถา a = b แลว a + c = b + c เม่อื a, b
มคี วามหมายเชน่ เดยี วกบั 6 - 2 = (4 + 2) - 2 และ c แทนจํานวนใดๆ”

จำานวนที่นำามาบวกกับแต่ละจำานวนที่เท่ากัน อาจเป็นจำานวนลบก็ได้ ในกรณีที่บวกด้วย 7. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางการบวกดวย
จำานวนลบ จะมีความหมายเหมือนกับการนำาจำานวนบวกมาลบออกจากจำานวนแต่ละจำานวนท่ี จํานวนที่เปนลบ ในหนังสือเรียน หนา 201
เท่ากนั คอื ถา้ a = b แลว้ a + (-c) = b + (-c) เม่ือ a, b และ c แทนจำานวนใด ๆ จากน้ันครูและนักเรียนรวมกันสรุปเปนกรณี
นน่ั คือ a = b แลว้ a - c = b - c เมอ่ื a, b และ c แทนจำานวนใด ๆ ท่ัวไปวา
“ถา a = b แลว a - c = b - c เมอื่ a, b
4. สมบตั ิการคูณ และ c แทนจํานวนใดๆ”

สมบัติการคูณกล่าวว่า เม่ือมีจำานวนสองจำานวนเท่ากัน นำาจำานวนอีกจำานวนหน่ึงมาคูณ
แตล่ ะจำานวนท่ีเทา่ กนั นัน้ ผลคูณจะเทา่ กัน เชน่

201

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET เกร็ดแนะครู
ประโยคในขอ ใดใชสมบตั ิการคณู
1. ถา 3x = 2 แลว 3x + 3 = 2 + 3 ครูควรเนนยํ้าใหนักเรียนระมัดระวังเกี่ยวกับจํานวนที่นํามาใชเก่ียวกับ
การแกส มการ เชน สมบัติการบวก จํานวนท่นี าํ มาบวกอาจจะเปนจํานวนบวก
2. ถา 4x = y แลว x = y + 4 หรือจํานวนลบก็ได ในทํานองเดียวกันจํานวนท่ีนํามาคูณหรือหารจะเปน
จํานวนบวกหรอื จาํ นวนลบก็ได แตต อ งไมเปนศูนย (0)
3. ถา x - m = y - m แลว xy = 1
(4นเ.ฉาํ ลถ23ยาคคํา2xตูณอ=ทบ้ัง3สyถ2xอาแ×งลข32ว32xxาง3x T215
= 2y × 23
= 3y

= 3y
= 2y

ดงั นนั้ คําตอบ คอื ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู (Knowing)

8. ครูยกตัวอยางสมบัติการคูณจากหนังสือเรียน (1) จาก 3 = 155
หนา 202 บนกระดาน จากนน้ั ครูและนักเรียน นำา 5 มาคณู ทัง้ สองขา้ งของสมการ
รว มกนั สรปุ เปนกรณีท่วั ไปวา
“ถา a = b แลว a × c = b × c เมอื่ a, จะได้ 3 × 5 = 155 × 5

b และ c แทนจาํ นวนใดๆ” สมการยังคงเปน็ จรงิ คือ 15 = 15
(2) จาก 8 = 126
9. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางการคูณดวย นาำ 2 มาคูณทง้ั สองขา้ งของสมการ
จํานวนที่เปนเศษสวน ในหนังสือเรียน หนา
202-203 จากน้ันครูและนักเรียนรวมกันสรุป จะได ้ 8 × 2 = 126 × 2

เ“bปถนาแลกaะรณc=ีทแb่วั ทไปแนวลจาวํานaวน×ใดc1ๆ = b 0c1” เมอื่ a, สมการยังคงเปน็ จรงิ คอื 16 = 16
ที่ c
× นักเรียนจะเห็นว่า ผลคณู จากขอ้ (1) และข้อ (2) เปน็ ไปตาม สมบัตกิ ารคณู ซงึ่ กลา่ วว่า
จำานวนสองจำานวนเท่ากัน นำาจำานวนอีกจำานวนหน่ึงมาคูณแต่ละจำานวนที่เท่ากันน้ัน ผลคูณจะ
เทา่ กนั

ถา้ a = b แลว้ a × c = b × c เมอื่ a, b และ c แทนจาำ นวนใด ๆ

เมือ่ c แจำทานนว จนำานทวี่นนำาใมดา ๆค ูณทกี่ cับ ≠แต0่ล จะะจมำาคีนววานมทห่ีเมทา่ายกเันห มอือานจกเปับ็นกาเศรนษำาสจ่วาำนนกว็ไนด ้ c ใมนากหราณรีทจำา่ีคนูณวดน้วแยต ่ล1cะ
จาำ นวนท่ีเทา่ กัน เช่น

(3) จาก 20 = 5 × 4
นำา 41 มาคณู ท้งั สองข้างของสมการ
จะได ้ 41 × 20 = 41 × (5 × 4)
สมการยงั คงเปน็ จรงิ คอื 5 = 5
นมักคี เวรายี มนหจมะาเหย็นเชว่น่าเ ด ยี วกบั 41 × 22400 == 145
× (5 × 4)
4
×4

202

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
ขอ ใดเปน การใชส มบตั กิ ารเทากนั ตามลาํ ดบั ในการแกส มการ 53 x4 - 7 = 15
1. สมบตั กิ ารคณู สมบตั กิ ารบวก สมบตั สิ มมาตร 2. สมบตั สิ มมาตร สมบตั กิ ารคณู สมบตั กิ ารบวก
3. สมบตั กิ ารบวก สมบตั ิสมมาตร สมบัตกิ ารคูณ 4. สมบตั กิ ารคูณ สมบัตกิ ารบวก สมบัติการคณู

(นเฉาํ ล53ยคคาํ ตณู อทบง้ั สองข35า ง4x - 7 = 15 นํา 7 บวกทง้ั สองขางจะได
4x
- 7 + 7 = 25 + 7
4x = 32
35 × 35 4x4x--77 = 15 × 35
= 25 นํา 4 คูณทัง้ สองขาง
4x × 4 = 32 × 4
x = 128

ดงั นนั้ คําตอบ คือ ขอ 4.)

T216

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

(4) จาก 35 = 7 × 5 ขนั้ สอน
น�า 51 มาคูณท้งั สองขา้ งของสมการ
จะได ้ 15 × 35 = 15 × (7 × 5) เขา ใจ (Understanding)

1. ครูใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางที่ 10 และ
“คณิตนารู” ในหนังสือเรียน หนา 203-204
แลวแลกเปลีย่ นความรกู ับคูของตนเอง

สมการยงั คงเป็นจรงิ คอื 7 = 7
นมกัีคเวรายี มนหจมะาเหย็นเชวน่ ่าเ ด ียวกับ 15 × 33555 == 517
× (7 × 5)
×5 5

นกั เรียนจะเห็นว่า ผลคูณจากข้อ (3) และข้อ (4) เป็นไปตาม สมบัติการคณู ซึ่งกล่าวว่า

จะไดว้ กา่ า รacค ณู= ดถbc้ว้า ยเ มa 1cือ่ = เ aมb, ือ่ bแ ลcแ ้วลแ ะทa นc× จแา� 1cทน นว=นจ bา�ใดน× วๆน 1cทใด ่ี cๆ ≠ท ี่0c ≠ 0

ตวั อย่างที่ 10

จงพจิ ารณาวา่ ประโยคในแต่ละข้อต่อไปนีเ้ ท่ากันโดยใช้สมบัตกิ ารบวกหรือสมบัติการคูณ
1) ถ้า a = b แลว้ a + 3 = b + 3
2) ถา้ n = 7 แล้ว n - 2 = 7 - 2
3) ถถา้า้ 4x3x == 2106 แลว้ x43 x = = 6 0136
4) แลว้ คณิตน่ารู้

วิธีทา� 1) เนือ่ งจาก a = b จากข้อ 2) การบวกดว้ ย -2
ดงั นนั้ a + 3 = b + 3 ทัง้ สองข้างของสมการ
ใช้สมบัตกิ ารบวก มคี วามหมายเช่นเดียวกนั กบั

2) เนอื่ งจาก n = 7 น�า 2 มาลบออกท้งั สองขา้ ง
ดังนั้น n - 2 = 7 - 2 ทจขาองั้ กสงขสออ้มงข ก3า้า)งร ขกอางรสคมูณกดาว้ รย 31
ใชส้ มบตั ิการบวก (บวกด้วย -2 ทงั้ สองข้างของสมการ) มคี วามหมายเช่นเดียวกนั กับ
นา� 3 มาหารท้ังสองข้าง
3) เนือ่ งจาก 4x = 16 ของสมการ
ดใชงั ้สนมั้นบ ัติการคูณ (คณู43xด ว้ ย= 131 36ท้งั สองขา้ งของสมการ)

203

ขอ ใดใชส มบตั กิ ารถา ยทอด ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET

1. ถา a + 3 = 3 + a แลว 3 + a = a + 3 2. ถา x + y = 7 และ 7 = 5 + 2 แลว x + y = 5 + 2
3. ถา m + 4 = 18 แลว m = 14 4. ถา 23 k = 27 แลว k = 18
(เฉลยคาํ ตอบ

1. เปน สมบตั ิสมมาตร ถา a = b แลว b = a 4. เปนสมบัตกิ ารเทา กันของการคณู
ดังน้นั a + 3 = 3 + a แลว 3 + a = a + 3 2332
32 × k = 27
2. เปนสมบตั ิถา ยทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c k = 23 × 27
ดังนนั้ x + y = 7 และ 7 = 5 + 2 แลว x + y = 5 + 2
k = 18
3. เปนสมบัตกิ ารเทากันของการบวก ดังนัน้ คาํ ตอบ คือ ขอ 2.)
m + 4 = 18 แลว m + 4 + (-4) = 18 + (-4)
m = 14

T217

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน 4) เนอื่ งจาก x3 x3 = 20 3 Thinking Time
จะได้ × 3 = 20 ×
เขา ใจ (Understanding) จงยกตวั อยา่ งมา 1 ประโยค
หรือ x = 60 ท่ีใช้ทั้งสมบัติการบวกและสมบัติ
2. ครูใหนักเรียนแตละคนทํา “ลองทําดู” ใน ใช้สมบัติการคูณ ตอบ การคูณ
หนังสือเรียน หนา 204 เม่ือเสร็จแลวครู
และนกั เรียนรว มกันเฉลยคาํ ตอบ “ลองทาํ ดู” ลองทําดู

3. ครูใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางคําตอบของ จงพิจารณาว่าประโยคในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้เี ทา่ กนั โดยใช้สมบัตกิ ารบวกหรือสมบตั กิ ารคณู
“Thinking Time” แลวครูเขียนบนกระดาน 1) ถา้ a + 5 = b + 5 แลว้ a = b
ใหน ักเรยี นดูและตรวจสอบความถกู ตอง 2) ถา้ x - 3 = 9 - 3 แลว้ x = 9
3) ถา้ 8x = 16 แแลล้วว้ xx4 == 220
4. ครใู หน กั เรยี นทําแบบฝกทกั ษะ 5.3 ขอ 1. แลว 4) ถา้ x = 80
ครแู ละนกั เรยี นรวมกันเฉลยคําตอบ
แบบฝึกทักษะ 5.3
ลงมอื ทาํ (Doing)
ระดบั พน้ื ฐาน
1. ครใู หนักเรยี นทาํ แบบฝกทกั ษะ 5.3 ขอ 2.-4.
เปน การบา น 1. จงพจิ ารณาวา่ ประโยคในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนเ้ี ทา่ กนั โดยใชส้ มบตั กิ ารสมมาตร สมบตั กิ ารถา่ ยทอด
สมบตั ิการบวก หรือสมบัตกิ ารคูณ
2. ครใู หน กั เรยี นจบั คชู ว ยกนั ทาํ แบบฝก ทกั ษะ 5.3
ขอ 5. โดยเขยี นลงในสมดุ ของตนเอง แลว ครู 1) ถา้ x = y แล้ว x + 3 = y + 3
และนักเรยี นรว มกนั เฉลยคําตอบ 2) ถ้า x - 8 = 13 แลว้ x = 21
3) ถ้า m = 2n แล้ว m - 5 = 2n - 5
เฉลย Thinking Time 4) ถ้า 4p + 6 = 9 แลว้ 4p = 3
5) ถ้า a = b แลว้ 4a = 4b
3x 3x - 4 = 1 6) ถา้ 2a = 3b แล้ว a = 6b
4+ 4 = 1+4 7) ถ้า 2x = 4y แล้ว x = 2y
3x × 3 = 5×3 8) ถา้ x = a + 1 แล้ว x3 = a +3 1
9) ถ้า (x + y) + 3 = z แลว้ (x + y) + 5 = z + 2
10) ถา้ 7x = y + 6 แล้ว x = y +7 6

- (สมบตั ิการบวก)
(สมบตั ิการคูณ)
204

∴ x = 15

เกร็ดแนะครู ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET
การหาคาํ ตอบของสมการ 54 x = 32 ควรใชสมบัตใิ นขอใด
กอนใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะ 5.3 ครูควรเนนย้ําใหนักเรียนอานคําสั่ง 1. สมบัตถิ า ยทอด 2. สมบัตสิ มมาตร
โจทยแตละขออยางรอบคอบและสังเกตขอความโดยเฉพาะขอ 1. ซ่ึงถาม 3. สมบัตกิ ารบวก 4. สมบตั ิการคูณ
เก่ียวกับการนําสมบัติการเทากันตางๆ ไปใช นักเรียนควรสังเกตผลลัพธที่ได
วา สอดคลอ งกับสมบตั ิใดๆ สาํ หรบั ขอ 2. เปนการใชค วามรแู บบยอ นกลบั (เฉลยคาํ ตอบ
1. สมบตั ถิ า ยทอด ใชไ มไ ด เพราะสมบตั ถิ า ยทอดตอ งมสี มการ
T218
2 สมการ ซงึ่ จํานวนหน่ึงตองมคี วามสมั พนั ธกัน
2. สมบัติสมมาตร ใชไมได เพราะสมบัติสมมาตรไมไดใช

เพอ่ื หาคาํ ตอบของสมการได
3. สมบัติการบวก ใชไมได เพราะสมการท่ีกําหนดไมมีการ

ดาํ เนนิ การเกี่ยวกับการบวก
4. สมบัติการคูณ ใชได เพราะสมการท่ีกําหนดมีการดําเนิน

การเกย่ี วกับการคณู
ดังนนั้ คําตอบ คือ ขอ 4.)

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขน้ั สรปุ

ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ
นักเรียน ดังน้ี
2. จงเติมจำานวนหรือตวั แปรลงในช่องวา่ งให้ถกู ตอ้ ง • สมบัติของการเทากันที่นักเรียนไดศึกษา
1) ถ้า x = y แลว้ 3x = ...................................
2) ถถ้า้า aa == 25bx แล้ว 4a = ................................... มีสมบัติอะไรบา ง
3) แล้ว 7a = ................................... (แนวตอบ สมบัติสมมาตร สมบัติถายทอด
สมบตั ิการบวก และสมบตั กิ ารคูณ)
4) ถถถา้้าา้ 2xx9x === 323 28 แล้ว x = ................................... • สมบตั ิสมมาตร กลา ววาอยางไร
5) แลว้ x = ................................... (แนวตอบ ถา a = b แลว b = a เมือ่ a
6) แแลลวว้้ x7ac
= ................................... และ b แทนจํานวนใดๆ)

7) ถา้ a = b = เมื่อ c 0................................... ≠ • สมบัตถิ ายทอด กลา ววาอยา งไร

8) ถา้ x = 54 แล้ว x - 10 = ................................... (แนวตอบ ถา a = b และ b = c แลว a = c
9) ถา้ 15 + 6 = x แลว้ = x + 4...................................
10) ถา้ a + 3 12 = 17 แล้ว a = ................................... เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนใดๆ)
• สมบัตกิ ารบวก กลาววา อยางไร
ระดบั กลาง (แนวตอบ ถา a = b แลว a + c = b + c

3. จ312ง)))เ ติมถถถจ้า้า้าำา น 235635วนxxxห ร===ือ ต 114วั 85 แ ป รลง ในแแแชลลล่อว้ว้้วงว า่ .xxง...ใ..ห....้ถ.==..กู....ต.......อ้.........ง............................................=................35............× 18 เมือ่ a, b และ c แทนจาํ นวนใดๆ
และ ถา a = b แลว a - c = b - c
เม่ือ a, b และ c แทนจาํ นวนใดๆ)
• สมบัติการคณู กลา ววา อยา งไร
(แนวตอบ ถา a = b แลว a × c = b × c
4) ถ้า 4a + 10 = 30 แลว้ a = ................................... เมอื่ แaaล,,ะbbถแแาลละaะcc=แแbททนแนจลจาํ วนาํ นวaนวน×ใดใดๆc1ๆ=ที่
5) ถา้ 5a + 6 = 11 แลว้ a = ................................... เมอื่
6) ถ้า 2x - 15 = 65 แล้ว x = ................................... b 0c1)
ถถถาา้้า้ x23a 6 3+-x 2 26+ 7 === 1820 0 แแแลลล้ว้ว้ว xax c ×

7) = ................................... ขน้ั ประเมนิ
8) = ...................................
9) = ................................... 1. ครูตรวจแบบฝก ทักษะ 5.3
2. ครสู งั เกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบคุ คล
10) ถา้ 12 - 3b = 6 แล้ว b = ................................... 3. ครสู งั เกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลมุ
4. ครสู งั เกตคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค
ระดับ ท้าทาย

4. ถกา้าำ ห1น7ดx 3A+ =5 12= ×30B แ×ล ้วH ,2 เxม1+1่อื A1, มBคี แา่ ลเทะ า่ Hก ับไเมทเ่ า่ทใา่ดกับ 0 ใชส้ มบัตขิ องการเทา่ กนั
5.

จงหาคา่ ของ H ในรปู ของ A และ B

205

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
ถา 2x 2+ 1 + x +4 4 = x 6- 1 + 3x3- 1 แลว x 9- 3 - x 1+1 2 ตรงกบั ขอ ใด
1. -1 2. -5 3. -16 4. -24

(เฉลยคาํ ตอบ แทนคา x = -24 ใน x 9- 3 - x 1+12
2x 2+ 1 + x +4 4 = x 6- 1 + 3x3- 1 จะได (-249) - 3 - (-241)1+ 2 = -297 - (-1212)
4x + 2 4+ x + 4 = x - 1 +6 6x - 2
6(5x + 6) = 4(7x - 3) = -3 - (-2)
30x + 36 = 28x - 12 = -3 + 2
30x - 28x = -12 - 36 = -1
2x = -48 น่นั คอื 2x 2+ 1 + x +4 4 = x 6- 1 + 3x3- 1 แลว x 9- 3 - x 1+12 = -1
--42284 ดังนน้ั คาํ ตอบ คือ ขอ 1.)
x =
x =

T219

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching) 5.4 การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge) การแก้สมการ คอื การหาคาำ ตอบของสมการ
ในหวั ข้อที่ 5.2 นกั เรยี นสามารถหาคำาตอบของสมการได ้ โดยการลองแทนค่าของตัวแปร
ครูทบทวนความรูเดิมเร่ืองสมบัติของการ ที่ปรากฏอยู่ในสมการ ในหัวข้อน้ีจะแสดงการใช้สมบัติของการเท่ากันเพ่ือหาคำาตอบของสมการ
เทากัน ดงั น้ี ดังตวั อยา่ งต่อไปน้ี
- สมบตั ิสมมาตร “ถา a = b แลว b = a
เม่อื a และ b แทนจํานวนใดๆ”
- สมบตั ิถา ยทอด “ถา a = b และ b = c
แลว a = c เมอื่ a, b และ c แทนจํานวน
ใดๆ”
- สมบัตกิ ารบวก “ถา a = b แลว a + c = ตวั อยา่ งที่ 11

b + c เมือ่ a, b และ c แทนจาํ นวนใดๆ” จงแก้สมการ x - 18 = 21

“ถา a = b แลว a - c = b - c เมอ่ื a, b วิธีทาำ จาก x - 18 = 21

และ c แทนจํานวนใดๆ” นำา 18 มาบวกทง้ั สองข้างของสมการ
จะได ้ x - 18 + 18 = 21 + 18
- สมบัติการคูณ “ถา a = b แลว a × c = x = 39
b× caแลเ=มะอื่ bcaแแ,ทลbนว แจaลาํ นะ×วcนc1ใแดท=ๆนจbทํา่ี น×cวนc1ใ0ดเ”มๆื่อ” หรอื
“ถา
a, b ตรวจสอบคำาตอบ
แทน x ดว้ ย 39 ใน x - 18 = 39 - 18

= 21 ทำาใหส้ มการเปน็ จรงิ
ดังนน้ั คาำ ตอบของสมการ x - 18 = 21 คือ 39 ตอบ
ขน้ั สอน
ตัวอยา่ งที่ 12
รู้ (Knowing)
จงแกส้ มการ x + 24 = 56
1. ครูยกตวั อยา งที่ 11 ในหนังสอื เรียน หนา 206
โดยแสดงวิธีทําอยางละเอียดบนกระดาน วธิ ที ำา จาก x + 24 = 56
แลว ใหน ักเรยี นศึกษาตวั อยา งท่ี 12 พรอมกับ
ใหนักเรียนสังเกตวาใชสมบัติของการเทากัน นำา 24 มาลบออกทง้ั สองขา้ งของสมการ
มาชวยแกสมการอยางไร จากน้ันครูถาม จะได้ x + 24 - 24 = 56 - 24
คาํ ถาม ดงั น้ี x = 32
• ตัวอยางที่ 11 และตวั อยา งท่ี 12 ใชส มบตั ิ หรอื
ของการเทา กันขอใด
(แนวตอบ สมบตั กิ ารบวก) ตรวจสอบคำาตอบ
แทน x ด้วย 32 ใน x + 24 = 32 + 24

= 56 ทาำ ใหส้ มการเป็นจรงิ
ดงั นั้น คาำ ตอบของสมการ x + 24 = 56 คอื 32 ตอบ

206

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
กําหนดให a เปน คาํ ตอบของสมการ 21 (3x - 8) + 13 (x + 12)= 33
b เปนคําตอบของสมการ 4(5 + 2x) - 10(2 - x) = -6

ab ตรงกับจาํ นวนในขอ ใด
1. 13 2. -6
3. 18 4. 6

(เฉลยคําตอบ 13+32(xx31
21
(3x - 8) + + 12) = 33 4(5 + 2x) - 10(2 - x) = -6
32 x-4 x +4 = 33 20 + 8x - 20 + 10x = -6
+ 11361xx = 33 18x = --613
x =
= 33 ∴ b คอื - 13
แทนคา ab =
x = 18 (18) - 31 = -6

T220 ∴ a คอื 18 ดงั น้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ลองทําดู ขน้ั สอน

จงแก้สมการตอ่ ไปนี้ พรอ้ มทัง้ แสดงวธิ ตี รวจสอบคาำ ตอบ รู้ (Knowing)
1) x + 48 = 107 2) x - 36 = 64
2. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
แบบฝึกทักษะ 5.4 ก หนา 207 จากนั้นครูและนักเรียนรวมกัน
เฉลยคาํ ตอบ
ระดับ พ้ืนฐาน
3. ครูใหน กั เรยี นทาํ แบบฝก ทักษะ 5.4 ก ขอ 1.
จากนัน้ ครูและนักเรยี นรว มกันเฉลยคําตอบ

4. ครใู หน กั เรยี นทาํ แบบฝก ทกั ษะ 5.4 ก ขอ 2.-5.
เปนการบา น

1. จงแก้สมการต่อไปนี ้ พรอ้ มทงั้ แสดงวธิ ตี รวจสอบคำาตอบ
1) x - 15 = 21 2) x - 10 = 51
3) x + 28 = 46 4) x + 43 = 78
5) x - 0.2 = 0.8 6) x - 3.1 = 2.9
7) x + 5.6 = 10.6 8) x + 6.3 = 11.6
9) x - 21 = 25 10) x + 38 = 181

ระดับ กลาง

2. จงแกส้ มการตอ่ ไปนี ้ พร้อมทง้ั แสดงวิธตี รวจสอบคาำ ตอบ
1) 95 = y - 41 2) 48 = 7 + x
4) 25 = x - 32
3) 5 = a - 92

5) 15 - x = 7 6) 48 - x = 12
= 5 17 12 2534
7) x - 5 x - 0.2 8) +x = 9
9) 1 35 = 10) = x+ 1


ระดับ ท้าทาย

3. ถา้ x + 2 = 3 52 และ y - 0.8 = 4 12 แลว้ x + y มีค่าเทา่ กับเทา่ ใด
4. ถา้ x + y - z = y + z แลว้ x มีค่าเท่ากับเท่าใด เมอื่ z = 4

5. ถา้ x = w + z และ w = y - z แลว้ x มคี ่าเทา่ กับเท่าใด เม่ือ y = 1 และใช้สมบตั ิใด
ในการหาคำาตอบ

207

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET เกร็ดแนะครู
ถา 5x - 3 = 22 แลว x - 1 12 เทา กบั เทา ไร
1. 2 12 2. 3 21 ครใู หน กั เรยี นอา นคาํ สงั่ ในแบบฝก ทกั ษะที่ 5.4 ก ใหร อบคอบพรอ มแปลความ
3. 4 4. 5 และเขียนรายละเอียดที่ตองทํา เชน “จงแกสมการตอไปน้ี พรอมท้ังแสดงวิธี
ตรวจสอบคําตอบดวย” ซ่ึงนักเรียนตองแสดงวิธีทําการใชสมบัติการเทากัน
(เฉลยคําตอบ 5x - 3 = 22 หาคาํ ตอบของสมการและแสดงวธิ ตี รวจสอบ โดยการแทนคา ตวั แปร

5x = 25
x=5
x - 1 12 = - 32
จะไดวา = 5 = 12
27
3

ดังน้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)

T221

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ตวั อย่างท่ี 13

รู้ (Knowing) จงแก้สมการ 5x = 65

5. ครูยกตัวอยางท่ี 13 ในหนังสือเรยี น หนา 208 วิธีทาำ จาก 5x = 65
โดยแสดงวิธที าํ อยางละเอยี ดบนกระดาน แลว นาำ 5 มาหารท้งั สองข้างของสมการ
ใหนักเรียนศึกษาตัวอยางท่ี 14 พรอมกับ 55x = 655
ใหนักเรียนสังเกตวาใชสมบัติของการเทากัน จะได ้
มาชวยแกสมการอยางไร จากน้ันครูถาม
คําถาม ดงั นี้ หรือ x = 13
• ตัวอยา งที่ 13 และตัวอยางที่ 14 ใชส มบตั ิ ตรวจสอบคาำ ตอบ
ของการเทา กันขอ ใด แทน x ดว้ ย 13 ใน 5x = 5 × 13
(แนวตอบ สมบัติการคณู ) = 65 ทำาใหส้ มการเปน็ จริง
ดงั นั้น คำาตอบของสมการ 5x = 65 คือ 13 ตอบ
6. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 208 จากน้ันครูและนักเรียนรวมกัน ตวั อย่างที่ 14
เฉลยคําตอบ จงแกส้ มการ 1x2 = 13
วิธที ำา จาก 1x2 = 13
7. ครใู หนักเรียนทําแบบฝก ทักษะ 5.4 ข ขอ 1.
จากนั้นครูและนักเรียนรวมกนั เฉลยคําตอบ นาำ 12 มาคณู ทง้ั สองข้างของสมการ
จะได ้ 1x2 × 12 = 13 × 12
8. ครใู หน กั เรยี นทาํ แบบฝก ทกั ษะ 5.4 ข ขอ 2.-3.
เปน การบาน

หรอื x = 156
ตรวจสอบคาำ ตอบ
แทน x ดว้ ย 156 ใน 1x2 = 11526

= 13 ทาำ ให้สมการเป็นจรงิ
ตอบ
ดงั นน้ั คาำ ตอบของสมการ 1x2 = 13 คือ 156

ลองทําดู

จงแก้สมการตอ่ ไปน้ี พร้อมทัง้ แสดงวิธตี รวจสอบคำาตอบ
1) 8x = 72
2) 1x5 = 12

208

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET
คาํ ตอบของสมการในขอใดมีคานอยทสี่ ุด
2. 2x + 56 = 13 3. 52 x + 5 = 1 4. 2x 4+ 3 = 2
1. 3(x - 1) = 9

(เฉลยคาํ ตอบ 3. 52 x + 5 = 1 4. 2x 4+ 3 = 2
1. 3(x - 1 ) = 9 52 x = -4
x = -4 × 52 นาํ 4 คูณท้งั สองขาง
x-1 = 3 2x + 3 = 8
x=4 2x = 552
x = -10 x =
2. 2x + 65 = 13
นํา 6 คณู ทั้งสองขาง
3x + 5 = 2 ดงั นั้น คาํ ตอบ คอื ขอ 3.)

3x = -3
x = -1

T222

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

แบบฝึกทักษะ 5.4 ข ขนั้ สอน

ระดับ พื้นฐาน เขา้ ใจ (Understanding)

1. จงแก้สมการตอ่ ไปนี้ พร้อมทั้งแสดงวิธตี รวจสอบคาำ ตอบ 1. ครยู กตวั อยางท่ี 15 ในหนังสือเรยี น หนา 209
0x9x.4 โดยแสดงวิธีทําอยางละเอียดบนกระดาน
1) 8x = 104 2) = 81 พรอมกับอธิบายเพ่ิมเติมวา “การใชสมบัติ
3) 0.5x = 10 4) = 55 ของการเทา กนั จะใชไ ดค รงั้ ละ 1 สมบตั เิ ทา นน้ั
จะใชพ รอ มกันไมได”

ระดบั กลาง

2. จงแกส้ มการตอ่ ไปนี ้ พร้อมทั้งแสดงวธิ ตี รวจสอบคำาตอบ
1) 84122488 ==== 100x4x2..95xx 2) 55295315 ==== 010x7x.9.74xx
3) 4)
5) 6)
7) 8)

ระดบั ทา้ ทาย

3. ถา้ 54 x = 3 12 และ 0.7y = 5 14 แล้ว xy มคี ่าเท่ากับเท่าใด

ตัวอย่างท่ี 15

จงแก้สมการ 3x - 4 = 17 ข้อควรระวัง

วิธีทาำ จาก 3x - 4 = 17 การใช้สมบัติของการ
นำา 4 มาบวกทง้ั สองข้างของสมการ เท่ากันจะใช้ได้คร้ังละ 1
จะได ้ 3x - 4 + 4 = 17 + 4 สมบตั เิ ทา่ นน้ั จะใชพ้ รอ้ ม
หรือ 3x = 21 กนั ไมไ่ ด ้ เชน่ ในตวั อยา่ งนี้
นำา 3 มาหารทั้งสองข้างของสมการ ใช้สมบัติการบวกก่อน
33xx 231 แลว้ จึงใชส้ มบัติการคูณ
จะได้ = 7
หรอื =
ตรวจสอบคาำ ตอบ
แทน x ด้วย 7 ใน 3x - 4 = (3 × 7) - 4
= 17 ทาำ ให้สมการเปน็ จรงิ

ดังนนั้ คำาตอบของสมการ 3x - 4 = 17 คือ 7 ตอบ

209

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET เกร็ดแนะครู

6(x - 7) = 24 แลว x มคี า เทา กับเทา ไร ครูเนนย้ํากับนักเรียนเพ่ิมเติมถึงลําดับการใชสมบัติ โดยนักเรียนศึกษา
1. 3 2. 3
3. 8 4. 11 ประเด็นในกรอบขอควรระวัง แลวใหนักเรียนยกตัวอยางกรณีโจทยสมการ

(เฉลยคําตอบ 6(x - 7 ) = 24 เชิงเสนตัวแปรเดียวท่ีใหสมบัติการคูณกอนสมบัติการบวก หรือครูอาจ

x-7 = 4264 ยกตัวอยางของโจทยสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวที่ใหสมบัติการคูณกอนสมบัติ
x-7 = การบวก เชน 5x3- 7 = 6 และ 2x5- 3 = 5 +2 2x เปนตน อีกท้งั ครูอาจชี้แนะ
ขอควรระวงั เพ่ิมเตมิ ดวยวา นักเรยี นจะไมส ามารถตดั ทอน 2 ทเ่ี ปน สัมประสทิ ธิ์
x = 4+7 ของ x กับตัวสวน 2 ในลักษณะนี้ 2x5- 3 =2x55-+232x=
x = 11 จะตัดทอนควรแยกสวนออกจากกันกอน เชน ได หรือถาหาก
ดงั น้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 4.) 2x5- 3 = 52 + x เปน ตน 52 + 22x จะได

T223

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ตวั อย่างท่ี 16
จงแก้สมการ x5 +
เขา้ ใจ (Understanding) วิธีทำา จาก 3 = 12 Thinking Time
x5 + 3 a-a = 0
2. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางท่ี 16 ในหนังสือ = 12 a + (-a) = 0
เรียน หนา 210 พรอมกับใหนักเรียนสังเกต นดงั่นั นคนั้ ือ x5 a+ -3 a - 3= = a1 2+ -( -3a)
วาใชสมบัติของการเทากันมาชวยแกสมการ นำา 3 มาลบทง้ั สองข้างของสมการ เป็นการใช้สมบัติการบวก
อยางไร จากนนั้ ครถู ามคําถามวา x5 + 3 - x53 ใชห่ รอื ไม่ เพราะเหตใุ ด
• ตวั อยา งที่ 15 และตัวอยา งท่ี 16 ใชสมบัติ จะได ้ = 12 - 3
ของการเทากันขอ ใด หรือ = 9 ทาำ ใหส้ มการเปน็ จริง
(แนวตอบ สมบัตกิ ารบวก และสมบตั กิ ารคูณ ตอบ
ตามลาํ ดับ) นำา 5 มาคณู ทงั้ สองข้างของสมการ
x5 × 5 = 9 × 5
3. ครูใหนักเรียนตอบคําถาม “Thinking Time” จะได ้ x = 45
และทาํ “ลองทาํ ดู” ในหนังสอื เรยี น หนา 210 หรือ
จากน้ันครูและนักเรยี นรวมกนั เฉลยคาํ ตอบ ตรวจสอบคาำ ตอบ
แทน x ดว้ ย 45 ใน x5 + 3 = 455 + 3
4. ครูยกตัวอยา งท่ี 17 ในหนงั สอื เรยี น หนา 210- = 9+3
211 โดยแสดงวิธที าํ อยางละเอียดบนกระดาน = 12
พรอมทั้งเนนยํ้านักเรียนวาใชสมบัติของการ ดงั นัน้ คาำ ตอบของสมการ x5 + 3 = 12 คือ 45
เทา กันขอ ใด จากนน้ั ครูถามคําถามวา
• ตวั อยา งที่ 17 ใชส มบตั ขิ องการเทา กนั ขอ ใด ลองทําดู
(แนวตอบ สมบตั ิการคูณ และสมบัติการบวก
ตามลาํ ดบั ) จงแก้สมการตอ่ ไปนี้ พรอ้ มทงั้ แสดงวิธีตรวจสอบคาำ ตอบ
1) 4x + 9 = 13 2) 32x - 7 = 14
เฉลย Thinking Time
ตัวอย่างที่ 17
เปน การใชส มบตั กิ ารบวก เพราะนาํ จาํ นวน -3 จงแกส้ มการ x +6 3
มาบวกจาํ นวนสองจาํ นวนเทากนั วิธที าำ จาก = 41 = 41
x +6 3
นาำ 6 มาคูณท้งั สองข้างของสมการ
จะได ้ 6 × (x +6 3) = 6 × 41
หรอื x + 3 = 246
นำา 3 มาลบทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ x + 3 - 3 = 246 - 3
หรือ x = 243

210

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
3x +6 12 = 7x3- 5 แลว x มคี าเทา ใด
การแกสมการที่มีความซับซอน คือ มีการดําเนินการทางจํานวนทั้งบวก 1. -2 2. 0
ลบ คูณ และหาร ครคู วรชีแ้ นะใหน ักเรียนพิจารณาผลลพั ธข องการดาํ เนินการ 3. 121 4. 2
แตล ะอยา งทก่ี าํ หนดพรอ มเลอื กใชส มบตั กิ ารเทา กนั ใหส อดคลอ งและเหมาะสม

(เฉลยคาํ ตอบ 3x +6 12 = 7x3- 5
6 คณู ท้งั สองขา ง
3x ++6 12 6124(x7x-3-150)
6 × 3x 12 =
=
1111 21212
x =
x =
ดงั น้นั คําตอบ คือ ขอ 4.)

T224

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตรวจสอบคาำ ตอบ x +6 3 = 2436 + 3 ขน้ั สอน
แทน x ด้วย 243 ใน = 2646
เขา้ ใจ (Understanding)
= 41 ทาำ ให้สมการเป็นจริง
5. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 18 ในหนังสือ
ดังนน้ั คาำ ตอบของสมการ x +6 3 = 41 คอื 243 ตอบ เรียน หนา 211-212 พรอมกับใหนักเรียน
สังเกตวาใชสมบัติของการเทากันมาชวยแก
ตวั อยา่ งท่ี 18 สมการอยางไร จากนั้นครถู ามคาํ ถามวา
• ตวั อยา งท่ี 18 ใชส มบตั ขิ องการเทา กนั ขอ ใด
จงแก้สมการ 3(x - 14) = 27 (แนวตอบ วิธีท่ี 1 ใชสมบัติการคูณ และ
สมบัติการบวก ตามลําดับ แตวิธีที่ 2 นํา
วิธที ำา วิธีท่ี 1 3(x - 14) = 27 Thin king Time สมบตั กิ ารแจกแจง มาชว ยในการแกส มการ
ดวย กอนท่ีจะใชสมบัติการบวกและสมบัติ
การคณู ตามลําดับ)

นำา 3 มาหารทงั้ สองข้างของสมการ นดัง่นั นค้ันือ a 3×(x1aaaaa3- = 1, a ≠ 0 ≠ 0
จะได้ 3(x 3- 14) = 237 1, a ≠
หรือ x - 14 = 9 = a × 1a , 0
= = 237 a
นาำ 14 มาบวกทง้ั สองขา้ งของสมการ 14)
จะได ้ x - 14 + 14 = 9 + 14
หรอื x = 23 เปน็ การใช้สมบตั กิ ารคูณ
ใชห่ รือไม ่ เพราะเหตใุ ด
วิธีท่ี 2 3(x - 14) = 27

ใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง
จะได ้ 3x - (3 × 14) = 27
หรอื 3x - 42 = 27

นาำ 42 มาบวกทงั้ สองข้างของสมการ
จะได ้ 3x - 42 + 42 = 27 + 42
หรอื 3x = 69
นำา 3 มาหารทง้ั สองข้างของสมการ
จะได้ 33x = 639
หรือ x = 23



เฉลย Thinking Time

211 เปนการใชสมบัติการคูณเพราะนําจํานวน
มาคูณจํานวนทั้งสองขางของสมการ
31

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET เกร็ดแนะครู

21(x + 1) = 3(3x + 7) แลว x เทา กับเทา ไร จากตัวอยางที่ 18 ครูชี้แนะใหนักเรียนพิจารณาแนวคิดจากวิธีท่ี 1 และ
1. -4 วิธีท่ี 2 โดยวิธีท่ี 1 ใชการนํา 3 มาหารท้ังสองขางของสมการ สวนวิธีท่ี 2
2. -3 ใชสมบตั กิ ารแจกแจง และควรแนะนาํ นักเรียนวา วิธที ีเ่ หมาะสมจะเปนวธิ ที ี่ 1
3. 0 เน่อื งจากลดขัน้ ตอนการดําเนนิ การและทําใหคาคงตัวนอยลง
4. 4
(เฉลยคาํ ตอบ 21(x + 1) = 3(3x + 7)
7(x + 1) = 3x + 7
4x = 0
x=0
ดังนน้ั คําตอบ คอื ขอ 3.)

T225

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ตรวจสอบคำาตอบ
แทน x ดว้ ย 23 ใน 3(x - 14) = 3(23 - 14)
เขา้ ใจ (Understanding) = 3(9)
= 27 ทำาใหส้ มการเป็นจริง
6. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 19 ในหนังสือ ดงั นน้ั คำาตอบของสมการ 3(x - 14) = 27 คอื 23 ตอบ
เรียนหนา 212 พรอมท้ังเนนยํ้าใหนักเรียน
สังเกตวาในแตละข้ันตอนใชสมบัติของการ ตัวอย่างที่ 19 Thinking Time
เทา กันขอใด
วจ ิธงทีแกาำ ้สมจจนกะาำาาไก รด45 ้ 4ม (xา45ค5+ูณ×3ท)44ัง้ ((สxx=อ55++ง2ข433า้ ))ง ข==อ งส254ม4ก×า ร24 นกั เรยี นคิดวา่ จะแกส้ มการ
7. ครูใหนักเรียนตอบคําถาม “Thinking Time” หรอื x + 3 = 30 4(x5+ 3) = 24
และทาํ “ลองทาํ ด”ู ในหนงั สือเรียน หนา 212
จากน้นั ครูและนกั เรยี นรว มกันเฉลยคาํ ตอบ โดยใช้สมบัติการแจกแจงได้
หรอื ไม่ และการแก้สมการ
8. ครูแจกใบงานท่ี 5.3 เรือ่ ง การแกส มการ (1) โดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจงเป็น
ใหนักเรียนทํา จากน้ันครูและนักเรียนรวมกัน วิธที าำ ที่ยงุ่ ยากนอ้ ยกวา่ หรอื
เฉลยคาํ ตอบ มากกวา่ ทีแ่ สดงในตวั อยา่ ง

นาำ 3 มาลบท้ังสองข้างของสมการ ทาำ ใหส้ มการเปน็ จริง
จะได ้ x + 3 - 3 = 30 - 3 ตอบ
หรอื x = 27
ตรวจสอบคาำ ตอบ
แทน x ดว้ ย 27 ใน 4(x5+ 3) = 4(275 + 3)
= 4(6)
= 24

ดงั น้นั คำาตอบของสมการ 4(x5+ 3) = 24 คือ 27

ลองทําดู

จงแก้สมการตอ่ ไปนี้ พร้อมทงั้ แสดงวธิ ีตรวจสอบคำาตอบ
1) 2x3+ 1 = 5
2) 6(x - 3) = 30
3) 3(x 7+ 2) = 18

212

เฉลย Thinking Time ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET

แ4ล(xะ5ส+า3ม)าร=ถ2ใ4ชส สมาบมตั ากิรถาใรชแสจมกแบจัตงกิ แากรสแมจกกแารจไงดได ด แงั นล้ีะเปน วธิ ีท่ีไมยุง ยาก -5x - 8 = -9x - 4 แลว x มคี าเทาไร
5 × 44x(x+55+123) 1. -3
= 24 2. 1
= 5 × 24 3. 0
4. 3
4x + 12 - 12 = 120 - 12 (เฉลยคาํ ตอบ -5x - 8 = -9x - 4
44x = 1048 4x = 4
x = 27 x=1
ดังนั้น คาํ ตอบของสมการ 4(x 5+ 3) = 24 คอื 27 ดงั นั้น คาํ ตอบ คือ ขอ 2.)

T226

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตัวอยา่ งท่ี 20 ขนั้ สอน

จงแก้สมการ 7x + 8 = 5x - 4 เขา้ ใจ (Understanding)

วิธีทำา จาก 7x + 8 = 5x - 4 9. ครูยกตัวอยางที่ 20 ในหนังสือเรียน หนา
นำา 5x มาลบออกท้งั สองขา้ งของสมการ 213 โดยแสดงวธิ ที าํ อยา งละเอยี ดบนกระดาน
จะได้ 7x + 8 - 5x = 5x - 4 - 5x พรอมกับเนนยํ้านักเรียนวาใชสมบัติของการ
หรือ 2x + 8 = -4 เทา กนั ขอ ใดในแตล ะขนั้ ตอน แลว ใหน กั เรยี น
ทาํ “ลองทาํ ด”ู จากนน้ั ครแู ละนกั เรยี นรว มกนั
นำา 8 มาลบออกท้ังสองขา้ งของสมการ เฉลยคาํ ตอบ
จะได้ 2x + 8 - 8 = (-4) - 8
2x = -12 10. ครทู บทวนความรเู รอ่ื งการหา ค.ร.น. แลวให
หรอื นกั เรียนศึกษาตวั อยางท่ี 21 ในหนงั สอื เรยี น
หนา 213-214 พรอมกบั ใหนักเรียนสังเกตวา
นาำ 2 มาหารท้งั สองข้างของสมการ ใชสมบัติของการเทากันมาชวยแกสมการ
22x = -122 อยา งไร แลว ครถู ามคาํ ถามวา
จะได ้ x = -6 • ตัวอยางท่ี 21 ใชสมบัติของการเทากัน
หรือ ขอ ใด
(แนวตอบ สมบัติการบวก สมบัติการบวก
ตรวจสอบคาำ ตอบ และสมบตั ิการคูณ ตามลําดับ)
แทน x ดว้ ย -6 ใน 7x + 8 = 7(-6) + 8 = -34
5x - 4 = 5(-6) - 4 = -34 ทาำ ให้สมการเป็นจริง
และ
ดังน้นั คาำ ตอบของสมการ 7x + 8 = 5x - 4 คอื -6
ตอบ

ลองทําดู

จงแก้สมการ 15x - 9 = 7x - 25

ตวั อยา่ งที่ 21

จงแก้สมการ 23x + 49 = x3 + 54
จหนจะาำารไก อื ด x3 ้ มาล23บxอ+อ23กxx394ทัง้++-สอx39449งข===า้ งขxx3345อง++สม4554กา-รx3
วิธที าำ




213

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET เกร็ดแนะครู

คา ของ x ในสมการ 3x - 15 = 5x + 15 - 8x เทา กับเทา ไร ตทั้งาสมอคตงวัาขอขายองางขงอทxง่ี ส2จม1ึงกสคาารรมูชแี้าพนรรถะอนใมหําอนมธักาิบเใารชยียกนวับาพสจิ 3xมารบเณัตปาิกนาจ3xรําบนทววีน่ กนําไทมด่ีมา ลีคแบาลอเปะอคลก่ีรยจูเนานกแนจปยาํลํ้นางกวไัปนบ
1. -5 นักเรียนวา จํานวนท่ีนํามาบวกทั้งสองขางของสมการ หรือจํานวนท่ีนํามาคูณ
2. 0 ท้งั สองขางของสมการไมจําเปนตองเปนคา คงตัวเสมอไป
3. 5
4. 6
(เฉลยคาํ ตอบ 3x - 15 = 5x + 15 - 8x
3x + 3x = 15 + 15
6x = 30
x=5
ดังนั้น คําตอบ คอื ขอ 3.)

T227

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน จนหะำารไ ือด49 ้ มาลบx3อ+อก94ท้งั -สอxx3394งข===า้ งข--544อ14ง-สม94การ คณิตน่ารู้

เขา้ ใจ (Understanding) ในตวั อยา่ งท่ ี 21 นกั เรยี น
สามารถแก้สมการได้อกี
11. ใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน นาำ 3 มาคูณทั้งสองขา้ งของสมการ วิธีหน่งึ โดยการนาำ ค.ร.น.
หนา 214 จากน้ันครูและนักเรียนรวมกัน x3 × 3 = (-1) × 3 ของตัวส่วนมาคูณทั้งสอง
เฉลยคาํ ตอบ จะได้ ข้างของสมการเพ่อื ทาำ ให้
ตวั สว่ นหมดไป
12. ครูแจกใบงานท่ี 5.4 เร่อื ง การแกสมการ (2)
ใหน กั เรยี นทาํ จากนนั้ ครแู ละนกั เรยี นรว มกนั หรอื x = -3
เฉลยคําตอบ
ตรวจสอบคาำ ตอบ
ลงมอื ทาํ (Doing) แทน x ด้วย -3 ใน 23x + 94 = 2(3-3) + 49 = (-2) + 49
= 41
1. ครูใหนักเรียนจัดกลุม 6 กลุมเทาๆ กัน x3 + 45 = (-33) + 45 = (-1) + 45
คละความสามารถทางคณิตศาสตร แลวทํา และ
กจิ กรรม ดงั นี้
- รวมกันวเิ คราะห “H.O.T.S. คาํ ถามทาทาย = 41 ทำาให้สมการเป็นจรงิ
การคิดข้ันสูง” ในหนังสือเรียน หนา 214 ดงั นน้ั คาำ ตอบของสมการ 23x + 94 = x3 + 54 คือ -3
แลวเขียนวิธีการหาคําตอบลงในสมุดของ ตอบ
ตนเอง
- จากน้ันใหนักเรียนแลกเปล่ียนความรู ลองทําดู
ภายในกลมุ ของตนเอง และสนทนาซกั ถาม
เกี่ยวกับวิธีการคิดคําตอบจนเปนท่ีเขาใจ จงแกส้ มการในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้
รว มกนั 1) 75x - 31 = x5 + 23
- ใหตัวแทนกลุมมานําเสนอคําตอบหนา 2) 4x4- 5 = 6 3- x
ช้ันเรียน โดยเพื่อนกลุมที่เหลือคอย
ตรวจสอบความถูกตอ ง

คาํ ถามทา ทายการคดิ ขนั้ สงู

นกั เรยี นคิดว่า
1) ถ้า a, b, c และ d เป็นจำานวนเตม็ ซงึ่ a + b = 5, b + c = 10, b + d = 12
และ c + d = 16 แลว้ a, b, c และ d มคี า่ เท่ากับเท่าใด
2) ถ้า a, b, c และ d เป็นจาำ นวนเตม็ ซง่ึ a × b = 6, b × c = 15, b × d = 18
และ c × d = 30 แล้ว a, b, c และ d มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

214

เฉลย H.O.T.S. คําถามท้าทายการคดิ ขน้ั สูง 2. พจิ ารณา a × b = 6 จะได b = 1131a6dccd8508

1. พจิ ารณา a + b = 5 จะได b = 5 - a b × c = 15 จะได b = = 1380c
b + c = 10 จะได b = 10 - c = 25
b + d = 12 จะได b = 12 - d b × d = 18 จะได b =

และ c + d = 16 จะได d = 16 - c และ c × d = 30 จะได d =
จากสมบัติถายทอด จะไดวา 5 - a = 10 - c = 12 - d a611cc55= ===1c54113d1c58808=0
นั่นคอื 5 - a = 10 - c จะได c - a = 10 - 5 = 5 จากสมบตั ิถายทอด จะไดว า c2
นัน่ คอื แทนคา d = 3c0 ใน
5 - a = 12 - d จะได d - a = 12 - 5 = 7 จะได
แทนคา d = 16 - c ใน d - a = 7 จะได (16 - c) - a = 7
∴ c = 5, -5
a=9-c
แทน a = 9 - c ใน c - a = 5 จะได c - (9 - c) = 5

∴c=7
แทนคา c = 7 ใน c - a = 5 จะได a = 2
แทนคา c = 7 ใน b = 10 - c จะได b = 3
แทนคา c = 7 ใน d = 16 - c จะได d = 9

T ดังนัน้ a = 2, b = 3, c = 7 และ d = 9

228

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

แบบฝึกทักษะ 5.4 ค ขน้ั สอน

ระดบั พน้ื ฐาน ลงมอื ทาํ (Doing)

1. จงแก้สมการต่อไปน ้ี พร้อมทัง้ แสดงวธิ ีตรวจสอบคาำ ตอบ 2. ครูใหนักเรยี นจัดกลมุ กลมุ ละ 4 คน โดยคละ
1) 2y + 5 = 7 2) 4 - 3y = 19 ความสามารถทางคณิตศาสตร แลวทําแบบ
51 457 ฝก ทักษะ 5.4 ค ดงั น้ี
3) 3m + = 4) 2p - 0.6 = 4.2 - รวมกันวิเคราะห “สมบัติการเทากันท่ีใช
5) x3 + 1 = ดําเนินการแกสมการ” ในหนังสือเรียน
หนา 215 แลวเขียนวิธีการหาคําตอบลง
ระดบั กลาง ในสมดุ ของตนเอง
- จากนน้ั ใหน กั เรยี นแลกเปลยี่ นความรภู ายใน
2. จงแกส้ มการต่อไปน ี้ พรอ้ มท้งั แสดงวธิ ีตรวจสอบคาำ ตอบ กลมุ ของตนเอง และสนทนาซกั ถามเกย่ี วกบั
1) y +3 4 = 2 2) 2y 3- 7 = 9 วิธีการคิดคาํ ตอบ จนเปน ทีเ่ ขา ใจรว มกนั
3) 8(x - 2) = 72 4) 16(x - 1) = 256 - ใหตัวแทนกลุมมานําเสนอคําตอบหนาช้ัน
เรียน โดยเพื่อนกลุมที่เหลือคอยตรวจสอบ
5) 4(x - 3) = 15 6) 7(x + 4) = 9 ความถูกตอง

7) 3 (x + 12) = 5 8) 6 (23x - 1) = 5
9) 2(x7+ 3) = 13 333272x(51xx8x--- 56-116 )6x7= == =45 1x8 025+x13+
11) 17x - 3 = 12x + 27 10)
5447 19-3052 12)
13) 7m - m = 14) 3
15) 23x + = x6 16)

ระดับ ทา้ ทาย

3. ถา้ 5x + 3y = 3x + 5y แลว้ xy มคี ่าเทา่ กับเทา่ ใด
4. ถา้ 7x - 4y = 9y + 2x แล้ว 256xy มีคา่ เท่ากับเท่าใด
5. ถา้ 72xx +- 55yy = 21 แลว้ (xy)2 มีคา่ เทา่ กบั เท่าใด

215

เฉลย H.O.T.S. คาํ ถามทา้ ทายการคิดข้ันสูง (ตอ)

แทนคา c = 5 ใน b × c = 15 จะได b = 3
แทนคา b = 3 ใน a × b = 6 จะได a = 2
แทนคา c = 5 ใน c × d = 30 จะได d = 6
ดงั นั้น a = 2, b = 3, c = 5 และ d = 6
แทนคา c = -5 ใน b × c = 15 จะได b = -3
แทนคา b = -3 ใน a × b = 6 จะได a = -2
แทนคา c = -5 ใน c × d = 30 จะได d = -6
ดังน้นั a = -2, b = -3, c = -5 และ d = -6

T229

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน กจิ กรรม คณิตศาสตร์

ลงมอื ทาํ (Doing) ใหน้ กั เรยี นจบั คกู่ บั เพอื่ นแลว้ ชว่ ยกนั แกส้ มการโดยใชบ้ ตั รตวั แปรและบตั รตวั เลข

3. ครูใหนักเรียนจับคูกัน แลวทํากิจกรรม ดังน้ี บตั รตวั แปร เช่น x -x
(ครแู จกบตั รตวั แปรและบตั รตวั เลขใหน กั เรยี น
แตล ะค)ู บัตรตวั เลข เชน่ 1 2 3
- ใ ห  นั ก เ รี ย น แ ต  ล ะ คู  ศึ ก ษ า กิ จ ก ร ร ม
คณิตศาสตร “การแกสมการโดยใชบัตร -1 -2 -3
ตัวแปรและบัตรตัวเลข” ตัวอยางที่ 1 ใน
หนังสือเรียน หนา 216 (ถานักเรียนคูใด ตัวอย่างที ่ 1 x + 3 = 5
มีขอสงสัยใหครูอธิบายจนเขาใจ) แลว
แกสมการโดยใชบัตรตัวแปรและบัตร x+1 1 1 11111 x+3=5
ตัวเลข จากนั้นใหนักเรียนรวมกันเฉลย
คําตอบ เพม่ิ บตั รตัวเลข -1 -1 -1 ทัง้ สองข้าง
- ใหน กั เรยี นคเู ดมิ ศกึ ษากจิ กรรมคณติ ศาสตร
“การแกสมการโดยใชบัตรตัวแปรและบัตร -1 -1 -1 -1 -1 -1 บวก -3 ทัง้ สองข้างของสมการ
ตัวเลข” ตวั อยางท่ี 2 ในหนังสือเรียน หนา 11111 x+3-3=5-3
216-217 (ถานักเรียนคูใดมีขอสงสัยให x+1 1 1
ครูอธิบายจนเขาใจ) แลวแกสมการโดย
ใชบัตรตัวแปรและบัตรตัวเลข จากน้ันให x 11 ค�าตอบของสมการ
นกั เรยี นรวมกันเฉลยคาํ ตอบ x=2
ให้นักเรียนแก้สมการต่อไปน้ี 2) x - 3 = 4
1) x + 2 = 7 3) x - 2 = -3
(-3x) + 1 = 4
ตัวอยา่ งท ี่ 2 (-3x) + 1 = 4 4
-x -x -x + 1 บวก -1 ท้ังสองขา้ งของสมการ
(-3x) + 1 - 1 = 4 - 1
เพิ่มบัตรตัวเลข -1 ทงั้ สองข้าง

-1
-x -x -x + 1
4 -1

-x -x -x 3 -3x = 3

216

เฉลย กิจกรรมคณติ ศาสตร ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET
จงหาคา ของ x จากสมการ 5[(x + 2) - 3(x + 1)] = -8(2x + 6)
1) เฉลยคําตอบ x = 5 2. -463
2) เฉลยคําตอบ x = 7 1. -43 4. 43
3) เฉลยคําตอบ x = -1 3. 463
หมายเหตุ : ใหเ ฉลยโดยการใชบตั รตัวแปรและบตั รตัวเลข (เฉลยคาํ ตอบ 5[(x + 2) - 3(x + 1)] = -8(2x + 6)
5(x + 2 - 3x - 3) = -16x - 48
T230 5(-2x - 1) = -16x - 48
-10x - 5 = -16x - 48
6x = -43
x = -463
ดงั นน้ั คําตอบ คอื ขอ 2.)

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

สลับเครือ่ งหมายของบัตรทั้งสองข้าง นาำ -1 คูณทัง้ สองข้างของสมการ ขนั้ สอน
xxx -3 3x = -3
ลงมอื ทาํ (Doing)
x -1 คาำ ตอบของสมการ
x = -1 4. ใหนักเรียนคูเดิมทํากิจกรรม ดังนี้ (โดยครู
ให้นกั เรียนแกส้ มการตอ่ ไปน้ี แจกบัตรตัวแปรและบัตรตัวเลขใหนักเรียน
1) 4x + 6 = 2 2) 5 - 3x = -7 3) 5x + 1 = 2x + 7 แตล ะค)ู
- ใหน กั เรยี นคเู ดมิ ศกึ ษากจิ กรรมคณติ ศาสตร
ตวั อย่างท่ี 3 2(2x + 3) = 3x - 5 2(2x + 3) = 3x - 5 “การแกสมการโดยใชบัตรตัวแปรและบัตร
ตัวเลข” ตัวอยางที่ 3 ในหนังสือเรียน
xx3 x x x -5 หนา 217 (ถานักเรียนคูใดมีขอสงสัยให
xx3 ครูอธิบายจนเขาใจ) แลวแกสมการโดย
ใชบัตรตัวแปรและบัตรตัวเลข จากนั้นให
xxxx6 x x x -5 นำา 2 เขา้ ไปคณู ทางซา้ ย นักเรยี นรว มกนั เฉลยคําตอบ
ของสมการ 4x + 6 = 3x - 5
เพ่ิมบัตรตัวแปร -x -x -x ทั้งสองข้าง บวก -3x ทง้ั สองขา้ งของสมการ ขน้ั สรปุ
4x - 3x + 6 = 3x - 3x - 5
-x -x -x -x -x -x ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ
xxxx6 x x x -5 นกั เรียน ดังน้ี

x 6 -5 x + 6 = -5 • การแกสมการ คืออะไร
(แนวตอบ การหาคําตอบของสมการ)
เพิ่มบตั รตัวเลข -6 ท้งั สองข้าง นาำ -6 มาบวกท้ังสองขา้ ง
ของสมการ • การหาคําตอบของสมการนอกจากการลอง
-6 แทนคา ของตัวแปรแลว นกั เรยี นสามารถใช
x 6 -5 -6 x + 6 - 6 = (-5) - 6 วธิ กี ารใดไดอกี
(แนวตอบ ใชสมบัติของการเทากันมาแก
x -11 คำาตอบของสมการ สมการ เพอ่ื หาคําตอบ)
x = -11
ขน้ั ประเมนิ
ให้นกั เรียนแกส้ มการต่อไปน้ี
1) 3(x - 2) = x + 2 2) (-x) + 4 = 2(1 + x) 3) 2(2x - 1) = 3(x - 4) 217 1. ครตู รวจใบงานที่ 5.3-5.4
2. ครูตรวจแบบฝกทกั ษะ 5.4 ก-5.4 ค
3. ครูประเมินการนาํ เสนอผลงาน
4. ครสู ังเกตพฤตกิ รรมการทํางานรายบุคคล
5. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทาํ งานกลุม
6. ครูสังเกตคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET เฉลย กจิ กรรมคณิตศาสตร
ถา x1 = x +2 1 แลว x2 + 3x มีคา ตรงกับขอ ใด
447 เฉลยคําตอบ
1. -2 3. 1) x = -1
2. - 89 4. 2) x = 4
3) x = 2
(เฉลยคําตอบ 1x 2xx+2 1 หมายเหตุ : ใหเฉลยโดยใชบ ัตรตวั แปรและบัตรตวั เลข
x+1
พจิ ารณา = เฉลยคําตอบ
= 1) x = 4
∴x = 1 2) x = 32
แทน x = 1 ใน x2 + 3x จะได (1)2 + 3(1) = 4 3) x = -10
ดงั น้นั คําตอบ คอื ขอ 4.) หมายเหตุ : ใหเ ฉลยโดยใชบ ัตรตัวแปรและบัตรตัวเลข

T231

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching) 5.5 การนาํ ความรเู กย่ี วกบั สมการเชงิ เสน ตัวแปรเดยี ว

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge) ไปใชใ นชวี ิตจริง

1. ครทู บทวนความรเู ดมิ เรอื่ งการแกส มการโดยใช มปี ญั หาบางปญั หาสามารถแกป้ ญั หาไดห้ ลายวธิ ี ซงึ่ ในแตล่ ะวธิ อี าจจะมคี วามสะดวกยากงา่ ย
สมบัตขิ องการเทากันตา งๆ ตา่ งกนั สาำ หรบั ปญั หาทางคณติ ศาสตรบ์ างปญั หา สามารถเขยี นความสมั พนั ธข์ องสงิ่ ทตี่ อ้ งการหา
ให้อยูใ่ นรูปของสมการและดำาเนนิ การหาคำาตอบตามลักษณะของสมการนน้ั ได้
2. ครูทบทวนขั้นตอนการวิเคราะหโจทยปญหา ในการแกโ้ จทยป์ ญั หาโดยใชส้ มการ นกั เรยี นจะตอ้ งอา่ นโจทยป์ ญั หาใหเ้ ขา้ ใจวา่ โจทยก์ าำ หนด
ดงั น้ี อะไรมาให้ และโจทย์ต้องการหาอะไร ให้สมมติตัวแปรแทนจำานวนที่โจทย์ต้องการหานั้น หรือ
1) อา นโจทยป ญ หาใหเขา ใจวา โจทยก าํ หนด จำานวนท่ีเกี่ยวข้องกับจำานวนที่โจทย์ต้องการหาและเขียนสมการจากสิ่งท่ีโจทย์กำาหนด แล้วแก้
อะไรมาให โจทยต อ งการหาอะไร แลว สมมติ สมการเพอ่ื หาคำาตอบของสมการ
ตวั แปรแทนจาํ นวนทีโ่ จทยตองการหา ให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างการแก้โจทย์ปัญหาท่ีสามารถเขียนเป็นสมการได้ ดังตัวอย่าง
2) แกส มการเพ่อื หาคําตอบ ต่อไปนี้
3) ตรวจสอบคําตอบ
ตวั อยา่ งท่ี 22
ขนั้ สอน
แมใ่ หเ้ งนิ นชุ มาจาำ นวนหนง่ึ นชุ แบง่ เงนิ ออกเปน็ สามสว่ นเทา่ ๆ กนั แลว้ นาำ เงนิ สองสว่ นในสามสว่ น
รู้ (Knowing) ไปบริจาคช่วยเหลอื ผู้ประสบภัยน้าำ ท่วม ถ้าจาำ นวนเงนิ ทีน่ ชุ บริจาคเปน็ 14 บาท อยากทราบวา่
แมใ่ หเ้ งนิ นุชมาก่ีบาท
1. ครูใหนักเรียนอานโจทยตัวอยางท่ี 22 ใน
หนงั สือเรียน หนา 218 จากนัน้ ครถู ามคําถาม วิธที ำา ให้ x แทนจาำ นวนเงินท่ีแมใ่ ห้นชุ
ดังนี้ แบ่งเงินออกเป็นสามสว่ นเทา่ ๆ กนั
• โจทยกาํ หนดอะไรมาให แจะลไะดจจ้าำ าำนนววนนเงเงินินสแอตงล่สะ่วสนว่ ในนเสทาา่มกสับว่ นxเท÷่าก3ับ= 2x3 (บx3า)ท= 23x บาท
(แนวตอบ แมใหเงินนุชมาจํานวนหนึ่ง นุช
แบง เงนิ ออกเปน สามสวนเทาๆ กัน แลว นาํ
เงนิ สองสว นในสามสว นไปบรจิ าคชว ยเหลอื เนอ่ื งจากจำานวนเงินสองส่วนในสามสว่ นเทา่ กับ 14 บาท
ผูประสบภัยนํ้าทวม และนุชบริจาคเงินไป จนเขะำายีไ ดน32 ้เ ป ม็นาสคมูณกทา้ังรสไ23ดอง ้× ข้า23ง23ขxxอง==สม1ก324าร× 14
14 บาท)
• โจทยตองการหาอะไร
(แนวตอบ แมใ หเงนิ นชุ มากบ่ี าท)
• สมมตติ วั แปรแทนจาํ นวนทโี่ จทยต อ งการหา หรือ x = 21
ไดอยา งไร ตรวจสอบคาำ ตอบ ถ ้าแมใ่ หเ้ งนิ นุชมา 21 บาท
(แนวตอบ ให x แทนจํานวนเงนิ ท่แี มใ หน ุช) นซง่ึุชเนปำา็นเงจนิริงสตอางมสเว่ งนอื่ ในนไสขาใมนสโจ่วทนยไป์ บริจาค เทา่ กบั 32 (21) = 14 บาท

2. ครแู สดงวธิ แี กส มการอยา งละเอยี ดบนกระดาน ดังนั้น แมใ่ ห้เงินนชุ มา 21 บาท ตอบ
แลวใหนักเรียนตรวจสอบคําตอบจากตัวอยาง
ท่ี 22 ในหนังสอื เรยี น หนา 218

218

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
เจ๊ียบซ้ือสมุดมาจํานวนหนึ่ง แลวนํามารวมกับสมุดที่มีอยูเดิมอีก 148 เลม จากน้ันแจกให
นักเรียน 43 คน คนละ 6 เลม ปรากฏวาแจกไดครบพอดี อยากทราบวา เจยี๊ บซื้อสมุดมาทง้ั หมด
กีบ่ าท ถาหากสมุดราคาเลม ละ 10 บาท
1. 1,000 บาท 2. 1,100 บาท 3. 1,200 บาท 4. 1,300 บาท

T232 (เฉลยคาํ ตอบ
กําหนดใหเจ๊ยี บซ้อื สมุดมา x เลม รวมกบั สมดุ ที่มีอยเู ดมิ อกี 148 เลม
แสดงวา เจย๊ี บมีสมุดทง้ั หมด x + 148 เลม
เม่ือนาํ ไปแจกใหเ ดก็ นกั เรยี น 43 คน จะไดค นละ 6 เลมพอดี
นั่นคอื เจย๊ี บมีสมดุ ท้ังหมด 43 × 6 = 258 เลม
จะไดวา x + 148 = 258

x = 258 - 148 = 110
ฉะนัน้ เจ๊ียบซ้ือสมดุ มา 110 เลม คิดเปน เงนิ 110 × 10 = 1,100 บาท
ดงั น้ัน คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตัวอย่างที่ 23 ขนั้ สอน

เมือ่ นาำ 52 ไปลบออกจากจาำ นวนหนง่ึ แลว้ หารผลลบดว้ ย 6 จะไดผ้ ลลพั ธ์เท่ากับ 12 รู้ (Knowing)
จงหาจำานวนจำานวนนนั้
3. ครูใหนักเรียนอานโจทยตัวอยางท่ี 23 ใน
วิธีทำา ให ้ x แทนจาำ นวนนั้น หนงั สอื เรียน หนา 219 จากน้นั ครูถามคาํ ถาม
นำา 52 ไปลบออกจากจำานวนนน้ั เขียนแทนดว้ ย x - 52 ดงั น้ี
นเขำายี ผนลสลมบกไปารหไาดร้ ดว้ ยx 6-6 5จ2ะไ ด=้ x 1-62 52 แตผ่ ลลัพธ์จากการหารเท่ากบั 12 • โจทยก ําหนดอะไรมาให
(แนวตอบ เมือ่ นํา 52 ไปลบออกจากจํานวน
หน่ึง แลวหารผลลบดวย 6 จะไดผลลัพธ
เทา กบั 12)
นาำ 6 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ • โจทยตอ งการหาอะไร
จะได ้ 6 × (x -6 52) = 6 × 12 (แนวตอบ จํานวนจาํ นวนน้ันคืออะไร)
หรือ x - 52 = 72 • สมมตติ วั แปรแทนจาํ นวนทโี่ จทยต อ งการหา
นาำ 52 มาบวกทงั้ สองข้างของสมการ ไดอยา งไร
จะได ้ x - 52 + 52 = 72 + 52 (แนวตอบ ให x แทนจํานวนนัน้ )
หรอื x = 124
ตรวจสอบคาำ ตอบ ถา้ จำานวนน้นั เปน็ 124 เม่อื นาำ 52 ไปลบออกจากจาำ นวนน ้ี 4. ครแู สดงวธิ แี กส มการอยา งละเอยี ดบนกระดาน
จะได ้ 124 - 52 = 72 หารผลลบด้วย 6 จะได ้ 72 ÷ 6 = 12 แลวใหนักเรียนตรวจสอบคําตอบจากตัวอยาง
ที่ 23 ในหนงั สือเรยี น หนา 219

ซึง่ เปน็ จรงิ ตามเง่อื นไขในโจทย์ ตอบ
ดงั นน้ั จาำ นวนจาำ นวนนน้ั คือ 124

ตัวอย่างที่ 24

อนนั ตม์ ีเงินเหรียญท้งั หมด 35 เหรยี ญ ซึ่งมีเหรียญสบิ บาท จาำ นวน 2 เท่าของเหรยี ญห้าบาท
ถ้าจำานวนเหรียญทั้งหมดคิดเป็นเงิน 145 บาท อยากทราบว่ามีเหรียญบาท เหรียญห้าบาท
และเหรยี ญสบิ บาทอย่างละกี่เหรยี ญ
วิธที ำา ใหม้ เี หรยี ญห้าบาท x เหรียญ คิดเปน็ เงนิ 5x บาท
มีเหรยี ญสิบบาทจาำ นวน 2 เท่าของเหรยี ญห้าบาท
แสดงวา่ มเี หรียญสบิ บาทจำานวน 2x เหรียญ คิดเป็นเงิน 10(2x) = 20x บาท
มีเหรียญทัง้ หมดจาำ นวน 35 เหรยี ญ
แสดงว่า มเี หรียญบาทจำานวน 35 - x - 2x = 35 - (1 + 2)x

= 35 - 3x เหรยี ญ
จากโจทยจ์ ำานวนเหรยี ญท้ังหมดคดิ เปน็ เงนิ 145 บาท

219

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET T233

ถา นํา 5 มาลบออกจากจาํ นวนๆ หนงึ่ และสามเทา ของผลตา งนนั้ เทากบั 69 จงหาสเ่ี ทาของ
จํานวนน้นั ลบดวยจาํ นวนนัน้

1. 28 2. 69 3. 77 4. 84
(เฉลยคําตอบ
กําหนดให x เปนจาํ นวนๆ หนงึ่ นาํ 5 ไปลบออกจากจํานวนๆ หนึง่
นนั่ คอื x - 5 และ 3 เทา ของผลตางนน้ั เทากับ 69 นั่นคอื 3(x - 5) = 69
จะไดวา 3(x - 5) = 69

3x - 15 = 69
3x = 69 + 15

เนื่องจากสี่เทาของจาํ นวxนห=นง่ึ ล83บ4ด=วยจ28ํานวนหนึง่ คอื 4x - x = 3x = 3(28) = 84
นั่นคือ สเ่ี ทาของจาํ นวนหนึ่งลบดว ยจํานวนหนึ่งเทา กับ 84
ดังน้นั คําตอบ คือ ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน เขียนสมการได้
5x + 20x + (35 - 3x) = 145
เขา้ ใจ (Understanding) 5x + 20x - 3x + 35 = 145
(5 + 20 - 3)x + 35 = 145
1. ใหนกั เรียนทํา “ลองทาํ ดู” ขอ 1.-2. ในหนงั สือ 22x + 35 = 145
เรียน หนา 220 แลวครูและนักเรียนรวมกัน นาำ 35 ลบทัง้ สองข้างของสมการ
เฉลยคาํ ตอบ จะได ้ 22x + 35 - 35 = 145 - 35
22x = 110
2. ใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางท่ี 24 ใน นำา 22 หารทั้งสองขา้ งของสมการ
หนังสือเรียน หนา 219-220 แลวแลกเปล่ยี น 2222x = 12120
ความรูกับคูของตนเอง จากน้ันใหนักเรียนทํา จะได ้ x=5
“ลองทาํ ด”ู ขอ 3. ในหนงั สอื เรียน หนา 220 หรือ

3. ครแู ละนกั เรยี นรว มกนั เฉลยคาํ ตอบ “ลองทาํ ด”ู
ขอ 3.

ตรวจสอบคาำ ตอบ
ถ้ามีเหรียญห้าบาท 5 เหรียญ จะเปน็ เงิน 5(5) = 25 บาท
มีเหรยี ญสิบบาทเปน็ 2 เทา่ ของเหรยี ญห้าบาท
แสดงวา่ มีเหรยี ญสบิ บาท 2(5) = 10 เหรียญ
จะเป็นเงนิ 10(10) = 100 บาท
มเี หรยี ญบาท 35 - 5 - 10 = 20 เหรียญ จะเปน็ เงนิ 1(20) = 20 บาท
จำานวนเหรียญท้ังหมด คิดเป็นเงิน 25 + 100 + 20 = 145 บาท
ซง่ึ เป็นจริงตามเงือ่ นไขของโจทย ์
ดงั นน้ั มีเหรยี ญบาท 20 เหรยี ญ เหรียญหา้ บาท 5 เหรียญ และเหรยี ญสบิ บาท
10 เหรียญ ตอบ

ลองทําดู

1. มานะมีเงินจำานวนหน่งึ แบง่ เงนิ ออกเป็นสามสว่ นเทา่ ๆ กนั แล้วนำาเงนิ หนึง่ สว่ นใน
สามสว่ นไปซ้ือเส้อื ผา้ ถา้ มานะเหลอื เงิน 100 บาท อยากทราบว่าเดมิ มานะมเี งนิ ก่บี าท
2. เม่ือนาำ 16 ไปลบออกจากจาำ นวนหนง่ึ แล้วหารผลลบดว้ ย 3 จะไดผ้ ลลัพธ์เท่ากับ 20
จงหาจำานวนจำานวนนั้น
3. ว ณี ามีเงนิ เหรยี ญท้งั หมด 25 เหรยี ญ ซง่ึ มีเหรียญห้าบาทเป็นจำานวน 3 เทา่ ของเหรียญ
สบิ บาท ถา้ จำานวนเหรยี ญทง้ั หมดคดิ เป็นเงนิ 88 บาท จงหาว่าวณี ามีเหรียญบาท
เหรียญห้าบาท และเหรยี ญสิบบาทอยา่ งละกีเ่ หรยี ญ

220

T234 ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
เติลกับน้ํามีเงินรวมกัน 48 บาท โดยเติลมีเงินมากกวา 2 เทาของเงินน้ําอยู 6 บาทอยาก
ทราบวา นา้ํ มีเงนิ เทา กบั ขอใด

1. 14 2. 18 3. 21 4. 27
(เฉลยคําตอบ ใหนา้ํ มเี งนิ x บาท

เตลิ กับนํา้ มีเงนิ รวมกนั 48 บาท เขยี นเปนสมการไดเ ปน
เงินเติล + เงินนํ้า = 48

แตเตลิ มีเงนิ มากกวา 2 เทา ของเงนิ น้าํ อยู 6 บาท
นนั่ คือ เงนิ เตลิ = 2 เทา ของเงนิ นํา้ + 6 = 2x + 6
จะไดวา (2x + 6) + x = 48

3x + 6 = 48
3x = 42

∴ x = 14
นัน่ คอื นาํ้ มีเงิน 14 บาท
ดังน้ัน คําตอบ คอื ขอ 1.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

แบบฝึกทักษะ 5.5 ขนั้ สอน

ระดบั พื้นฐาน เขา้ ใจ (Understanding)

1. จงเขียนข้อความตอ่ ไปนี้ในรูปของตวั แปรที่กำาหนด 4. ครูแจกใบงานท่ี 5.5 เร่ือง การนําความรู
1) b หารด้วย 6 2) สเี่ ทา่ ของ x บวกดว้ ย 6 เกี่ยวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวไปใชใน
3) สามเทา่ ของ y คูณด้วย 10 ชวี ติ จรงิ ใหน กั เรยี นทาํ จากนน้ั ครแู ละนกั เรยี น
4) a เทา่ ของ 10 รวมกบั b เท่าของ 20 รว มกันเฉลยคําตอบ

5. ใหนักเรียนทาํ แบบฝก ทักษะ 5.5 เปนการบา น

2. จงเขยี นสมการแทนข้อความที่กำาหนดให้ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี
1) สองเทา่ ของจาำ นวนหนึ่งเทา่ กบั 16 กำาหนดให ้ x แทนจำานวนหน่ึง
2) จำานวนหนึ่งมากกว่า 15 อย ู่ 80 กาำ หนดให้ y แทนจำานวนหนง่ึ
3) รปู ส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ รูปหนึ่งมีด้านยาว ยาว 12 เซนติเมตร และมเี ส้นรอบรูปยาว
40 เซนตเิ มตร ถา้ ให ้ x แทนความยาวของด้านกว้างของรปู สีเ่ หลยี่ มผืนผ้ารปู นี้

ระดบั กลาง

3. ออ้ มมีผลไมก้ องหน่งึ เปน็ สม้ 72 ของผลไมท้ ั้งหมด ถ้ามสี ม้ 14 ผล ผลไม้กองนม้ี ีกผี่ ล
4. เศษสส่ี ว่ นเก้าของจาำ นวนหนึง่ มากกว่า 2 อยู่ 10 จงหาจาำ นวนนั้น
5. ผลรวมของสองเทา่ ของจาำ นวนเตม็ จาำ นวนหน่งึ กับ 12 มีค่าเทา่ กบั 26 จงหาจำานวน
จาำ นวนนั้น
6. เมื่อ 6 ปีที่แล้ว บุตรมีอายเุ ปน็ หนึง่ ในสามของอายุบิดา ถ้าปัจจุบันบตุ รมอี ายุ 18 ป ี
อยากทราบวา่ ปัจจบุ ันบิดามอี ายกุ ีป่ ี
7. จุ๊บแจงมีเงินเหรียญทั้งหมด 24 เหรียญ มีเหรียญบาทจำานวน 5 เท่าของเหรียญสิบบาท

ถา้ จาำ นวนเหรยี ญทงั้ หมดคดิ เปน็ เงนิ 75 บาท อยากทราบวา่ มเี หรยี ญบาทและเหรยี ญสบิ บาท
อย่างละก่เี หรียญ

ระดบั ทา้ ทาย แนะแนวคิด

8. แมค่ า้ ซอื้ มะมว่ งอกรอ่ งและมะมว่ งเขยี วเสวยมาขายรวมกนั อตั ราสว่ น a ต่อ b คอื
60 กิโลกรัม มะม่วงอกร่องกิโลกรัมละ 60 บาท มะม่วง a : b หรือ ba
เขียวเสวยกโิ ลกรมั ละ 50 บาท ถ้าอัตราส่วนระหว่างมะมว่ ง
อกร่องต่อมะม่วงเขียวเสวยเป็น 6 : 7 แม่ค้าซื้อมะม่วง
แต่ละชนิดมาขายอย่างละกี่กโิ ลกรัม

221

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET
พชิ ญามีเหรยี ญบาท เหรยี ญสองบาท และเหรยี ญหา บาทรวมกัน 20 เหรยี ญ เปน เงิน 47 บาท ถามเี หรยี ญ
สองบาทมากกวาเหรยี ญบาทอยู 6 เหรียญ ที่เหลอื เปน เหรยี ญหา บาท ขอ ใดตอ ไปนไ้ี มถ ูกตอง
1. มเี หรียญสองบาท คดิ เปน 22 บาท 2. มีเหรยี ญหาบาท คิดเปน 20 บาท
3. มเี หรียญหาบาทมากกวาเหรียญบาท 1 เหรียญ 4. มเี หรียญหาบาทนอ ยกวาเหรียญสองบาท 7 เหรียญ

(เฉลยคาํ ตอบ จะไดส มการ x + 2(x + 6) + 5(14 - 2x) = 47
ใหเ หรียญบาทมจี าํ นวน x เหรียญ x + 2x + 12 + 70 - 10x = 47
เหรียญสองบาทมีจาํ นวน x + 6 เหรียญ -7x = -35
เหรยี ญหา บาทมจี ํานวน 20 - (x + 6) - x x=5

= 14 - 2x เหรียญ
ดงั นั้น เหรียญบาทมจี าํ นวน 5 เหรยี ญ เปน เงนิ 5 บาท เหรยี ญสองบาทมจี ํานวน 11 เหรยี ญ เปน เงิน 22 บาท
เหรยี ญหาบาทมจี ํานวน 4 เหรียญ เปนเงนิ 20 บาท

ดังนน้ั คาํ ตอบ คือ ขอ 3.)

T235

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน คณติ ศาสตรใ์ นชีวิตจริง

ลงมอื ทาํ (Doing) นักเรียนสามารถนำาความรู้เก่ียวกับสมการทางคณิตศาสตร์มาแก้ปัญหาสถานการณ์ใน
ชีวิตจริงได้ โดยการแปลงสถานการณ์นนั้ ใหเ้ ปน็ สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว และแทนสิ่งทตี่ อ้ งการ
ครใู หน กั เรยี นแบง กลมุ กลมุ ละ 4 คน คละความ ทราบด้วยตัวแปร ซึ่งอาจเป็น “x” แลว้ เขียนสมการทเ่ี หมาะสมกับสถานการณ์นน้ั ๆ ดังตวั อย่าง
สามารถทางคณติ ศาสตร แลวทาํ กจิ กรรม ดังน้ี
สถานการณ์ที่ 1
- ใหแตละกลุมสงตัวแทนมาตกลงกันวา
จะเลือกแกปญหาสถานการณใดจาก ณชิ าเลยี้ งไกแ่ ละเปด็ รวมกนั ในฟารม์ โดย
“คณิตศาสตรในชีวิตจริง” ในหนังสือเรียน สองเท่าของจำานวนไก่มากกว่าจำานวนเป็ดอยู่
หนา 222 24 ตัว ถา้ ณชิ าเลีย้ งเป็ด 100 ตวั จะมีไก่ก่ตี ัว

- นักเรียนแตละคนวิเคราะหวาสถานการณ ให้ไกใ่ นฟาร์มมจี ำานวน x ตวั
ที่กลุมของตนเองเลือกมีวิธีการแกปญหา สมการท่ีใช้แกป้ ัญหา คือ 2x - 100 = 24
อยางไร จากน้ันแลกเปลี่ยนคําตอบกัน
ภายในกลุม สนทนาซักถามจนเปน ทเ่ี ขา ใจ ให้นักเรียนเขยี นสมการและหาคำาตอบจากสถานการณต์ ่อไปน้ี
รวมกัน สถานการณท์ ่ี 2

- นักเรียนแตละคนเขียนข้ันตอนแสดงวิธีคิด วีณาซ้ือเสื้อ 3 ตัว ซึ่งแต่ละตัวมีราคา
ของกลมุ ตนเองอยา งละเอยี ดลงในสมดุ ของ เท่ากัน ถ้าวีณาจ่ายเงินไปทั้งหมด 420 บาท
ตนเอง อยากทราบว่าเส้ือราคาตวั ละกบี่ าท

- สงตัวแทนกลุมมานําเสนอคําตอบหนา
ช้ันเรียน โดยเพ่ือนกลุมที่เหลือคอย
ตรวจสอบความถกู ตอ ง

สถานการณ์ท่ี 3

อดุ มมีอายุมากกว่านอ้ งชายของเขา 3 ป ี
ถา้ น้องชายของอุดมอาย ุ 8 ปี อุดมมีอายเุ ทา่ ไร

222

เฉลย คณติ ศาสตรในชวี ิตจรงิ

สถานการณท่ี 1 ใหไ กใ นฟารมมจี าํ นวน x ตัว สถานการณที่ 3 ใหอ ุดมมีอายุ x ป
สถานการณที่ 2 และถา ณิชาเล้ยี งเปด 100 ตวั จะมไี ก 2x - 100 = 24 และอุดมมีอายุมากกวา นอ งชายอยู 3 ป
2x = 124 จะไดว านอ งชายอุดม มอี ายุ เทา กับ x - 3 ป
x = 62 น่ันคอื ถานองชายอุดมมอี ายุ 8 ป
ดงั น้นั ถา ณิชาเล้ยี งเปด 100 ตวั จะมีไก 62 ตวั อดุ มจะมีอายุ x-3 = 8
ใหจํานวนเสอ้ื ที่วีณาซอื้ มจี ํานวนตัวละ x บาท x = 11
และถา วณี าจายเงินไปท้งั หมด 420 บาท ซื้อเส้ือได 3 ตัว ดังนั้น ถานองชายอดุ มมีอายุ 8 ป
จะไดว า 3x = 420 อุดมจะมอี ายุ 11 ป
x = 140
ดงั น้ัน ถาวณี าจา ยเงินไปท้ังหมด 420 บาท
จะไดวา เสอ้ื ราคาตวั ละ 140 บาท

T236

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

สรุปแนวคิดหลกั ขนั้ สรปุ

แบบรูปและความสัมพันธ์ 1. ใหน กั เรียนอา นและศกึ ษา “สรุปแนวคดิ หลกั ”
ในหนังสือเรียน หนา 223 แลวเขียนผัง
• แบบรูปเป็นการแสดงความสัมพันธ์ของส่ิงต่าง ๆ ที่มีลักษณะสำาคัญบางอย่างร่วมกันอย่างมี มโนทศั น หนว ยการเรยี นรูท ี่ 5 สมการเชงิ เสน
เง่ือนไข แบบรูปของจำานวนมักมีความสัมพนั ธ์ระหว่างลำาดบั ทขี่ องจำานวนกับจำานวนในแบบรูป ตัวแปรเดียว ลงในกระดาษ A4
ซ่ึงสามารถเขียนความสัมพันธ์ในรูปของตัวแปร แล้วแทนค่าตัวแปรเพื่อหาจำานวนในแบบรูป
ในลำาดับท่เี ราต้องการได้ 2. ครูถามคําถามเพ่ือสรุปความรูรวบยอดของ
นักเรียน ดงั น้ี
• ส มการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คอื สมการที่อยู่ในรปู ax + b = 0 เมือ่ a, b เป็นจาำ นวนใด ๆ และ • สมการ คืออะไร
a≠0 (แนวตอบ เปนประโยคสัญลักษณทาง
คณิตศาสตรท่ีแสดงการเทากันของจํานวน
คำาตอบของสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว โดยใชสัญลักษณ “=” แสดงการเทากนั )
• สมการท่ีเปน จรงิ คืออะไร
• ค ำาตอบของสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว คอื จาำ นวนท่แี ทนคา่ ตวั แปรในสมการแลว้ ทาำ ให้สมการ (แนวตอบ สมการท่ีมีจํานวนทางดานซาย
เปน็ จริง และจํานวนทางดานขวาของเครื่องหมาย
“=” มคี า เทา กนั )
• สมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี วสามารถจัดตามลกั ษณะคาำ ตอบของสมการได้ 3 แบบ คือ • คาํ ตอบของสมการ หมายถึงอะไร
1) สมการทมี่ ีจาำ นวนบางจาำ นวนเป็นคำาตอบ (แนวตอบ จํานวนท่ีแทนตัวไมทราบคาหรือ
2) สมการที่มีจำานวนทกุ จำานวนเป็นคาำ ตอบ แทนคาตัวแปรในสมการแลวทําใหสมการ
3) สมการทไี่ ม่มีจำานวนใดเปน็ คำาตอบ เปน จริง)
• สมการท่ีมีจํานวนบางจํานวนเปนคําตอบ
สมบัติของการเท่ากัน เปนอยางไร
(แนวตอบ เปน สมการที่มเี พียงคาํ ตอบเดียว)
• กาำ หนดให้ a, b และ c แทนจำานวนใด ๆ • สมการที่มีคําตอบทุกจํานวนเปนคําตอบ
1) สมบัตสิ มมาตร ถ้า a = b แลว้ b = a เปนอยา งไร
2) สมบัตถิ ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แลว้ a = c (แนวตอบ เปนสมการที่เมื่อแทนคา x ดวย
3) สมบัติการบวก ถา้ a = b แล้ว a + c = b + c จาํ นวนใดๆ แลว ทาํ ใหส มการเปน จรงิ เสมอ)
4) สมบัตกิ ารคูณ ถ้า a = b แล้ว a × c = b × c • สมการทีไ่ มม ีคําตอบเปนอยางไร
(แนวตอบ เปนสมการที่เม่ือแทนคา x ดวย
การแกส้ มการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว จาํ นวนใดๆ แลว ทาํ ใหส มการเปน เทจ็ เสมอ)
• สมบัติของการเทากันท่ีนักเรียนไดศึกษา
• การแกส้ มการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว คือ การหาคำาตอบของสมการ ซ่งึ ใชส้ มบตั ขิ องการเท่ากนั มีสมบัติอะไรบา ง
(แนวตอบ สมบัติสมมาตร สมบัติถายทอด
การนาำ ความรูเ้ ก่ยี วกบั สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี วไปใชใ้ นชีวติ จริง สมบตั กิ ารบวก และสมบัตกิ ารคณู )
• การแกสมการ คอื อะไร
• ข้ันตอนในการแก้โจทย์ปญั หาเกีย่ วกบั สมการ มีดังนี้ (แนวตอบ การหาคําตอบของสมการ)
1) อา่ นโจทย์ให้เข้าใจ และสมมตจิ าำ นวนทโ่ี จทย์ต้องการทราบค่าหรอื จำานวนท่เี กย่ี วข้องกับ
สงิ่ ทโ่ี จทย์ให้มาให้เป็นตวั แปร T237
2) เขียนสมการจากสิ่งทีโ่ จทยก์ ำาหนด
3) แกส้ มการหาคา่ ของตวั แปร
4) ตรวจสอบคาำ ตอบกับเงือ่ นไขในโจทย์

223

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
ขอความใดตอไปนไี้ มจ รงิ เม่ือกําหนด a, b และ c เปนจํานวนนับ
aac cab
1. ถา = b แลว c = แลว a = c 2. ถา a - c = a - b แลว b = c
3. ถา = b และ b = 4. ถา ac = bc แลว a b

(เฉลยคาํ ตอบ นาํ -1 คูณท้งั สองขาง
1. ถนาําacbc×คaabbccูณทงั้ ===สองbbcขา×เงปbcนจรงิ c = b เปน จรงิ
2. a - c = a - b
3. ถา a = b และ b = c แลว a = c
นํา a ลบท้งั สองขา ง เปน สมบัติถา ยทอดจึงเปน จรงิ
-c = -b
4. ถา ac = bc
นาํ c หารทั้งสองขา ง
a = b เปนจริง

ดังน้นั คําตอบ คือ ขอ 4.)

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขนั้ สรปุ 5แบบฝึกทักษะ

3. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะประจําหนวย ประจ�าหน่วยการเรียนรู้ที่
การเรียนรทู ี่ 5 เปน การบา น

1. จากแบบรปู ท่ีกำาหนดในแตล่ ะข้อ จงหาจาำ นวนในลาำ ดับท ี่ 10 และเขยี นความสัมพันธร์ ะหว่าง
ลาำ ดับท่ีกบั จำานวนในลาำ ดบั ที ่ n

1) 2, 4, 8, 16, ... 2) 14, 11, 8, 5, ...
3) 1, 8, 27, 64, ... 4) 32, 34, 45, 65, ...

2. จงหาจาำ นวนอีกห้าจาำ นวนถัดไปของแบบรูปท่กี าำ หนดใหใ้ นแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้

1) 4, 7, 10, 13, ... 2) 3, 7, 11, 15, ...
4) 8, 4, 2, 1, ...
3) 17, 15, 13, 11, ... 6) 43, 2, 38, 130, ...
5) -9, -12, -15, -18, ...

3. จงเขียนรปู สามรูปถัดไปของแตล่ ะแบบรปู ต่อไปน้ี

1) ● ●
● ● ● ●●
●●●

2)

4. ขนาดการรับประทานยาขนานหนึ่ง คิดเทียบกับนำ้าหนักตัวของคนคือ ยา 2 มิลลิกรัมต่อ
น้ำาหนกั ตวั 15 กโิ ลกรัม (รับประทานยาไดไ้ ม่เกนิ 10 มิลลกิ รมั )
1) จงเขยี นตารางแสดงความสัมพนั ธ์ระหว่างปริมาณยาทร่ี บั ประทานกับน้ำาหนกั ตัวของคน
2) ถ้าให้ k แทนนำา้ หนกั หนว่ ยเป็นกโิ ลกรมั ของคนท่รี บั ประทานยา จงเขียนความสมั พันธ์

ระหวา่ งปรมิ าณของยาท่ีรบั ประทานกบั k ซึ่งแทนน้ำาหนักตวั ของคน
3) คนทีม่ ีนำ้าหนกั 60 กิโลกรัม ตอ้ งรับประทานยาขนานน้กี ีม่ ลิ ลกิ รมั

5. กาำ หนดความสัมพันธ์ระหวา่ งระยะทางท่ีรถยนต์วง่ิ ไดก้ ับเวลาท่ใี ช ้ ถา้ ให้ t แทนเวลาที่ใช้
ก. ระยะทางเท่ากับ 40 + 10t ข. ระยะทางเท่ากบั 40 - 10t
ค. ระยะทางเท่ากับ 10 + 40t ง. ระยะทางเทา่ กับ 40t - 10
จงใช้ความสัมพนั ธ์ท่กี าำ หนดใหแ้ ต่ละข้อหาคา่ ของระยะทาง เมือ่ t = 2

224

T238 ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET
รปู สามเหล่ยี มหนา จั่วรปู หนึง่ มีดา นประกอบมมุ ยอดยาว x + 1 เซนตเิ มตร มีฐานยาว 2x - 6
เซนตเิ มตร ถา เสนรอบรปู ของรูปสามเหลี่ยมนี้ยาว 32 เซนตเิ มตร แลว ดา นประกอบมุมยอดยาว
กเี่ ซนติเมตร

1. 8 เซนติเมตร 2. 9 เซนตเิ มตร 3. 10 เซนติเมตร 4. 11 เซนติเมตร
(เฉลยคําตอบ รูปสามเหลี่ยมมีดา นประกอบมมุ ยอดยาว x + 1 เซนติเมตร

ฐานยาว 2x - 6 เซนตเิ มตร
เสน รอบรปู ของรปู สามเหลีย่ มยาว 32 เซนตเิ มตร
เขียนสมการได
x + 1 + x + 1 + 2x - 6 = 32

4x - 4 = 32
4x = 36
x=9

ดา นประกอบมมุ ยอดยาวเทากบั 9 + 1 = 10 เซนตเิ มตร
ดังนัน้ คาํ ตอบ คือ ขอ 3.)

นาํ สอน สรุป ประเมิน

6. จงใชค้ วามสัมพันธร์ ะหว่าง A กบั B ต่อไปนต้ี รวจสอบว่าความสัมพนั ธ์ในขอ้ ใด ขน้ั สรปุ
ใหค้ ่า A = 95 เม่อื B = 2
4. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคําถามในหนังสือ
1) A = 25 + 45B 2) A = 25 - 45B เรียนหนา 176 ท่ีไดถามไวในชั่วโมงแรกของ
3) A = 45 + 25B 4) A = 45 - 25B การเรยี นในหนวยการเรียนรูที่ 5
(แนวตอบ นาวาจะขับรถทันวีณา เมื่อขับรถ
7. จงแกส้ มการต่อไปน้ ี พรอ้ มทง้ั แสดงวธิ ตี รวจสอบคาำ ตอบ เปนเวลา 5 ชั่วโมง
ดงั นนั้ นาวาจะขบั รถทนั วณี า ในเวลา
1) 6 = 12 + a 2) x - 7 = 16 15 นาฬกา)

3) 2x - 8 = 7 - 3x 4) 32 - 2b = 40 ขนั้ ประเมนิ
218.5m + + 212 y= =8 4y - 4.5 x321
5) 6) (z + 1) =9 1. ครตู รวจผังมโนทศั น หนวยการเรยี นรูท ี่ 5
7) 8) - 52 = x5 + 2 2. ครตู รวจใบงานท่ี 5.5
3. ครตู รวจแบบฝกทักษะ 5.5
4. ครูตรวจแบบฝกทักษะประจาํ หนวยการเรยี นรู
8. จงหาคา่ ของ P และ a
1) I = P ×1R00× T เม่ือ R ≠ 0 และ T ≠ 0 ท่ี 5
5. ครูประเมนิ การนําเสนอผลงาน
2) 3b = 2a - 7 6. ครูสงั เกตพฤตกิ รรมการทาํ งานรายบุคคล
7. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทาํ งานกลมุ
9. ค่าของ y2 - 1 จากสมการ 4(y - 3) = 16 เทา่ กบั เทา่ ใด 8. ครสู งั เกตคุณลกั ษณะอันพึงประสงค

10. จากสมการ 2y + 12 = 5x - 8 เมือ่ y = 5 ค่าของ x เทา่ กับเทา่ ใด

11. ส มศกั ด์ิวดั ความยาวของห้องเรยี นไดค้ วามยาว 10 เมตร ถ้าความยาวรอบหอ้ งเรยี นเทา่ กับ
36 เมตร จงเขียนสมการแลว้ หาความกว้างของห้องเรยี นนี้

12. รปู สเี่ หลย่ี มผนื ผา้ รปู หนง่ึ มดี า้ นกวา้ งยาว 12 นวิ้ และมพี นื้ ทเี่ ทา่ กบั 180 ตารางนว้ิ เสน้ รอบรปู
ของรูปสี่เหลย่ี มรปู น้ีเท่ากับก่นี ิ้ว

13. แ ปดเท่าของผลต่างระหวา่ งจาำ นวนหนึง่ กบั 7 มีผลลพั ธเ์ ทา่ กับ 32 ถา้ ให ้ x แทนจาำ นวนนน้ั
จะเขียนสมการแทนประโยคภาษาท่กี าำ หนดให้ไดอ้ ยา่ งไร

14. ด ารณมี ีสมดุ อยู่ 8 โหล ได้รบั บรจิ าคมาอีกจาำ นวนหนึ่ง เมื่อนำาไปแจกใหน้ ักเรียน 40 คน
ปรากฏว่านักเรียนได้รับแจกสมุดคนละ 3 เล่ม จงหาจาำ นวนสมดุ ทีด่ ารณีได้รับบริจาค โดยใช้
สมการ

225

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET แนวทางการวัดและประเมินผล
2x 3+ 5 = 5 2- x จงหาคา ของ 7x
1. -25 2. -5 3. 5 4. 25 ครศู กึ ษาเกณฑก ารวดั และการประเมนิ ผล เพอ่ื ประเมนิ ผลงาน/ชนิ้ งานของ
นกั เรยี นรายบคุ คลและกลมุ จากแบบประเมนิ ของแผนการจดั การเรยี นรใู นหนว ย
(เฉลยคําตอบ 2x +3+ 5 = 35(52- x การเรยี นรทู ่ี 5
2(2x 5) = -
x) แบบประเมินการนาเสนอผลงาน แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการทางานกลุ่ม

คาชแ้ี จง : ใหผ้ ู้สอนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรยี น แล้วขดี ลงในช่องที่ตรงกับ คาชี้แจง : ให้ผสู้ อนสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรยี นในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรียน แลว้ ขีด ลงในชอ่ งทตี่ รงกับ
ระดับคะแนน ระดับคะแนน

4x + 10 = 15 - 3x ลาดบั รายการประเมิน ระดับคะแนน ลาดับ ชือ่ – สกลุ การแสดง การยอมรบั ฟงั การทางาน ความมนี า้ ใจ การมี รวม
ที่ 4321 ท่ี ของนกั เรียน ความคิดเหน็ คนอน่ื ตามท่ีได้รบั ส่วนร่วมใน 20
 มอบหมาย การปรับปรุง คะแนน
ผลงานกลมุ่
4x + 3x = 15 - 10 1 เน้ือหาละเอียดชัดเจน 
43214321432143214321
2 ความถูกต้องของเนื้อหา 

3 ภาษาทใ่ี ช้เข้าใจงา่ ย 

7x = 5 4 ประโยชนท์ ่ีไดจ้ ากการนาเสนอ 

5 วธิ ีการนาเสนอผลงาน

รวม

ดังนน้ั คาํ ตอบ คอื ขอ 3.) ลงช่อื ...................................................ผู้ประเมิน
............/................./................

เกณฑ์การให้คะแนน ให้ 4 คะแนน เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ลงชื่อ...................................................ผปู้ ระเมนิ
ผลงานหรือพฤตกิ รรมสมบูรณช์ ัดเจน ให้ 3 คะแนน ปฏบิ ตั หิ รอื แสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสม่าเสมอ ............/................./................
ผลงานหรอื พฤติกรรมมีขอ้ บกพร่องบางส่วน ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน ปฏบิ ัตหิ รอื แสดงพฤตกิ รรมบ่อยครงั้ ให้ 4 คะแนน
ผลงานหรือพฤติกรรมมขี อ้ บกพรอ่ งเปน็ สว่ นใหญ่ ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤตกิ รรมบางครงั้ ให้ 3 คะแนน
ผลงานหรอื พฤตกิ รรมมีขอ้ บกพร่องมาก ปฏิบตั หิ รือแสดงพฤตกิ รรมน้อยคร้งั ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน
เกณฑ์การตัดสินคณุ ภาพ

ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ เกณฑก์ ารตดั สนิ คณุ ภาพ
18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ
10 - 13 พอใช้ 18 - 20 ดีมาก
ตา่ กวา่ 10 ปรับปรุง 14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ากวา่ 10 ปรบั ปรุง

T239

บรรณานุกรม

กนกวลี อษุ ณกรกลุ , ปาจรยี ์ วชั ชวลั คุ และสเุ ทพ บญุ ซอ้ น. (2561). หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน คณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษา
ปีที่ 1 เล่ม 1. พิมพค์ รงั้ ท่ี 2. กรงุ เทพมหานคร : บรษิ ทั ไทยร่มเกลา้ จ�ำกัด.

จันทร์เพญ็ ชมุ คช, ทองดี กุลแกว้ สวา่ งวงศ,์ สมใจ ธนเกียรติมงคล และสายสุณี สุทธิจกั ษ.์ (ม.ป.ป.). คู่มือครู หนงั สอื เรยี น
รายวชิ าพืน้ ฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 1 เลม่ 1. พิมพ์ครั้งท่ี 6. กรุงเทพมหานคร : บริษทั ไทยร่มเกลา้
จ�ำกดั .

_______. (ม.ป.ป.). คู่มือครู หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 1 เล่ม 2. พิมพ์คร้ังท่ี 4.
กรงุ เทพมหานคร : บริษทั ไทยร่มเกล้า จ�ำกัด.

_______. (ม.ป.ป.). คู่มือครู หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 1. พิมพ์คร้ังท่ี 5.
กรุงเทพมหานคร : บรษิ ทั ไทยร่มเกลา้ จ�ำกดั .

_______. (ม.ป.ป.). คู่มือครู หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 2. พิมพ์ครั้งท่ี 3.
กรุงเทพมหานคร : บรษิ ทั ไทยร่มเกลา้ จ�ำกัด.

ราชบัณฑิตยสถาน. (2553). ศพั ทค์ ณติ ศาสตร์ ฉบบั ราชบัณฑิตยสถาน. พมิ พค์ ร้งั ท่ี 10. กรุงเทพมหานคร : นานมบี คุ๊ ส์
พับลิเคช่นั ส์.

_______. (2554). พจนานุกรม ฉบบั ราชบณั ฑิตยสถาน พทุ ธศักราช 2542. กรงุ เทพมหานคร : นานมบี คุ๊ ส์พับลเิ คชัน่ ส์.
ศศิเกษม สัทธรรมสกุล และกฤษฎิ์ อ่อนไสว. (2560). คู่มือเตรียมสอบ AKSORN พิชิต O-NET คณิตศาสตร์ ม.3.

กรุงเทพมหานคร : บรษิ ทั ไทยรม่ เกลา้ จ�ำกัด.
สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2560). ตัวชว้ี ัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลมุ่ สาระการเรยี นรู้

คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551.
กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพช์ ุมนมุ สหกรณ์การเกษตรแหง่ ประเทศไทย จ�ำกดั .
_______. (2561). คู่มือการใช้หลกั สูตรกลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ (ฉบบั ปรับปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลกั สตู รแกนกลาง
การศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 (ระดับช้ันมัธยมศึกษาตอนต้น). สืบค้นเม่ือ 22 พฤษภาคม 2561,
จาก https://drive.google.com/drive/folders/12a0Y3CvLirAKeza_ClV_lwIrtdqMtcCR

T240