2116013TM-คู่มือครูคณิตศาสตร์-ม1-ล1[211119]

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching) 3.4 การนา� ความรเู กยี่ วกบั เลขยกกา� ลงั ไปใชใ นชวี ติ จรงิ

การใชค วามรเู ดมิ ฯ (Prior Knowledge) ในปกี ำรศึกษำ 2559 วำรณุ ีไดร้ บั เงินทุนกำรศึกษำจำกโรงเรียนเปน็ จำ� นวนเงิน 1,000 บำท
วำรุณจี ึงนำ� เงนิ ไปฝำกไว้กับสถำบนั กำรเงินแหง่ หน่งึ เพื่อเอำไวเ้ ป็นทนุ กำรศกึ ษำในอนำคต โดยได้
ครูทบทวนสมบัติของการคูณและการหาร ดอกเบ้ยี รอ้ ยละ 1.8 ต่อปี
เลขยกกาํ ลัง เมื่อเลขชีก้ ําลงั เปน จาํ นวนเตม็ บวก
จงพิจำรณำกำรหำจำ� นวนเงินเก็บในแต่ละปขี องวำรณุ ี ดังต่อไปนี้
ขนั้ สอน
ปีที ่ 1 วำรณุ ีมเี งนิ 1,000 บำท ¤³ิตน่ÒรÙ้
รู (Knowing) สิ้นปที ี ่ 1 วำรณุ ีได้ดอกเบยี้ 1,000 × 110.80 บำท
วำรณุ จี ะมีเงินเกบ็ รวม เท่ำกบั 1,000 + (1,000 × 110.80) อัตรำดอกเบ้ยี เงนิ ฝำก คอื
1. ครูยกตัวอยางการหาเงินเก็บในแตละปของ = 1,000 × (1 + 110.80) บำท ผลตอบแทนทสี่ ถำบันกำรเงนิ
วารุณี ในหนังสือเรียน หนา 132 โดยครู จ่ำยใหก้ ับผ้ฝู ำกเงนิ
อธบิ ายขน้ั ตอนการหาดอกเบย้ี ในแตล ะปอ ยา ง
ละเอียด และเนน ย้ําวา เมอ่ื สิ้นปท ี่ 1 เงินตน ดงั นนั้ สิน้ ปที ่ี 1 วำรุณีจะมีเงนิ เกบ็ รวม 1,000 × (1 + 110.80) บำท
และดอกเบ้ียท่ไี ดจากสิน้ ปที่ 1 จะเปน เงินตน ปที ี่ 2 วำรณุ มี เี งิน 1,000 × (1 + 110.80) บำท
ในปท่ี 2 และเม่อื ส้ินปท ี่ 2 เงนิ ตน และดอกเบี้ย สิน้ ปที ่ ี 2 วำรุณีได้ดอกเบ้ยี (1,000 × (1 + 110.80)) × 110.80 บำท
ที่ไดจากสิน้ ปที่ 2 จะเปนเงนิ ตนในปท ่ี 3 เปน
เชนน้ไี ปเรอ่ื ยๆ เราเรยี กการคิดดอกเบ้ียเชน นี้
วา “การคดิ ดอกเบ้ียทบตน”

วำรณุ จี ะมเี งนิ เกบ็ รวม เทำ่ กบั (1,000 × (1 + 110.80)) + ((1,000 × (1 + 110.80)) × 110.80)
= (1,000 × (1 + 110.80)) × (1 + 110.80)


= 1,000 × (1 + 110.80)2 บำท

ดังนน้ั สนิ้ ปที ่ี 2 วำรณุ ีจะมีเงินเกบ็ รวม 1,000 × (1 + 110.80)2 บำท
ปที ี่ 3 วำรณุ ีมเี งนิ 1,000 × (1 + 110.80)2 บำท
สน้ิ ปีท่ ี 3 วำรุณีไดด้ อกเบ้ยี (1,000 × (1 + 110.80)2) × 110.80 บำท
วำรณุ จี ะมเี งนิ เกบ็ รวม เทำ่ กบั (1,000 × (1 + 110.80)2) + ((1,000 × (1 + 110.80)2) × 110.80)
= (1,000 × (1 + 110.80)2) × (1 + 110.80)


= 1,000 × (1 + 110.80)3 บำท

ดงั นนั้ สนิ้ ปที ี่ 3 วำรุณีจะมเี งนิ เก็บรวม 1,000 × (1 + 110.80)3 บำท

132

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
สายธารฝากเงนิ ท่ธี นาคารแหงหนึ่งเปนจาํ นวนเงิน 5,000 บาท
กอนทคี่ รจู ะอธิบายการหาดอกเบ้ียเงินฝาก ครคู วรอธิบายกบั นกั เรยี น ดังนี้ โดยสิ้นปที่หนึ่งสายธารมีเงิน 5,100 บาท อัตราดอกเบี้ยเงินฝาก
เงนิ ตน คอื เงนิ ทเ่ี รานาํ ไปฝากกบั สถาบนั การเงนิ หรอื เงนิ ทเี่ รากจู ากสถาบนั ตอ ปเ ทา กับขอ ใดตอไปนี้
การเงนิ 1. 0.5 2. 1 3. 1.5 4. 2
ดอกเบ้ีย คือ เงินท่ีสถาบันการเงินตองจายใหแกเจาของเงินที่นํามาฝาก
หรอื เงินทีผ่ ูก ูต อ งจายใหกบั สถาบนั การเงนิ ทีใ่ หกู (เฉลยคําตอบ ขอ 4. เพราะ
อตั ราดอกเบย้ี เงนิ ฝาก คอื ผลตอบแทนทสี่ ถาบนั การเงนิ จา ยใหก บั ผฝู ากเงนิ กําหนดให r แทนอัตราดอกเบ้ียเงินฝากตอ ป
เงนิ รวม คอื เงนิ ตน รวมกับดอกเบี้ย 5,100 = 5,000 1 + 10r0 1
รอ ยละหรอื เปอรเซ็นต คือ การเปรยี บเทยี บจาํ นวนใดจาํ นวนหนงึ่ กบั 100 5,00500 101000+ r
5,100 = r
T142 5,51000 - 100 =

∴r = 2
ดงั นน้ั อัตราดอกเบย้ี เงินฝากตอป เทากับ 2
เพราะฉะน้นั คําตอบ คอื ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

เมือ่ ท�ำเชน่ นไ้ี ปเร่ือย ๆ จะได้สูตรหำจำ� นวนเงินเกบ็ ของวำรณุ ีในแต่ละป ี ดงั นี้ ขน้ั สอน

สูตรดอกเบยี้ ทบต้น รู้ (Knowing)
A = P (1 + 10r0)t
2. ครูสนทนากับนักเรียนจนไดขอสรุปสูตร
เมือ่ A แทนเงินรวมเม่อื สนิ้ ปีท ่ี t ดอกเบี้ยทบตน แลวอธิบายเพิ่มเติมวา
“การหาจํานวนเงินเก็บในแตละปของวารุณี
P แทนเงนิ ตน้ เปนหนึ่งในตัวอยางของการนําเลขยกกําลัง
r แทนอตั รำดอกเบยี้ ต่อปี มาประยกุ ตใ ชใ นการแกปญหา”
t แทนระยะเวลำเปน็ ปี
กำรหำจำ� นวนเงนิ เกบ็ ในแตล่ ะปขี องวำรณุ เี ปน็ หนงึ่ ในตวั อยำ่ งของกำรนำ� เลขยกกำ� ลงั มำ 3. ครูใหนักเรียนคํานวณหาจํานวนเงินเก็บใน
ประยุกตใ์ ช้ในกำรแกป้ ญหำ ซง่ึ นักเรียนจะไดศ้ ึกษำเพิ่มเติมดงั ตวั อย่ำงต่อไปน้ี แตละปของวารุณี โดยใชสูตรดอกเบี้ยทบตน
แลวตรวจสอบคําตอบจากตัวอยางในหนังสือ
ตวั อย่างที่ 14 เรียน หนา 132

สุธฝี �กเงนิ ทีธ่ น�ค�รแหง่ หนงึ� เปนจ�ำ นวนเงนิ 5,000 บ�ท โดยธน�ค�รใหด้ อกเบย้ี เงนิ ฝ�ก 4. ครยู กตัวอยา งท่ี 14 ในหนังสือเรียน หนา 133
พรอมแสดงวธิ ีทําอยางละเอียดบนกระดาน

5. ใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” จากน้ันครูและ
นักเรยี นรว มกนั เฉลยคาํ ตอบ

ร้อยละ 0.35 ต่อปี จงห�ว�่ เม่ือส้ินปีท่ ี 2 สธุ ีจะมเี งนิ ฝ�กในธน�ค�รแหง่ น้ีเปนจำ�นวนเงินก่บี �ท
วิธีทำ� จ ำกสตู รดอกเบย้ี ทบต้น A = P (1 + 10r0)t
จะได้ P = 5,000 บำท
r = 0.35
t = 2
ดังน้ัน จำ� นวนเงินฝำกของสธุ เี มือ่ สิ้นปที ี่ 2 คอื 5,000 × (1 + 01.0305 )2

= (5 × 103) × (1.0035)2
= [5 × (1.0035)2] × 103
= 5.03506125 × 103
= 5,035.06125 บำท
ดังน้นั จ�ำนวนเงนิ ฝำกของสุธีเมื่อส้นิ ปีท ่ี 2 คือ 5,035.06125 บำท ตอบ

ลองทําดู

กฤตมิ �ฝ�กเงินเก็บไว้กบั สถ�บนั ก�รเงนิ แหง่ หนึ่งเปน จำ�นวนเงิน 2,000 บ�ท โดยไดด้ อกเบ้ยี
ร้อยละ 1.3 ต่อป ี จงห�ว่�เมอื่ สน้ิ ปีท ี่ 4 กฤติม�จะมีเงนิ เก็บจำ�นวนกบี่ �ท

133

กิจกรรม 21st Century Skills เกร็ดแนะครู

ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 5 คน คละความสามารถ ครูจะตองเนนยํ้ากับนักเรียนดวยวานักเรียนไมสามารถกระจายเลขช้ีกําลัง
คณิตศาสตรเปรียบเทียบอัตราดอกเบ้ียเงินฝากของธนาคาร ท่ีอยนู อกวงเลบ็ เขามาในวงเล็บที่มกี ารดาํ เนินการบวกหรอื การดําเนินการลบได
ในประเทศไทยท่ีใหผลตอบแทนสูงสุดในการฝากเงิน 5,000 บาท และเนนย้ําอีกวานักเรียนจะตองดําเนินการจํานวนที่อยูในวงเล็บใหเสร็จกอน
ในระยะเวลา 3 ป โดยใหนักเรียนเปรียบเทียบจาก 5 ธนาคาร แลวคอ ยยกกาํ ลงั เชน (2 + 3)2 22 + 32 แต (2 + 3)2 = 52 = 25
แลวนําเสนอหนา ชั้นเรียน

T143

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ตวั อย่างท่ี 15 1 กรมั มจี าํ นวนอะตอ1มอยปู ระมาณ 6.02 × 1023 อะตอม1 จงหาวา ธาตไุ ฮโดรเจน

รู (Knowing) ธาตไุ ฮโดรเจน
18 กรมั มจี ํานวนอะตอมประมาณกอ่ี ะตอม
6. ครูยกตวั อยา งที่ 15 ในหนงั สอื เรียน หนา 134 วธิ ีทาํ ธาตุไฮโดรเจน 1 กรัม มจี าํ นวนอะตอมประมาณ 6.02 × 1023 อะตอม
พรอมแสดงวิธีทําอยางละเอียดบนกระดาน ดงั น้ัน ธาตุไฮโดรเจน 18 กรมั มีจํานวนอะตอม
จากน้ันใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางท่ี 16 ประมาณ 18 × 6.02 × 1023 อะตอม
แลว แลกเปลี่ยนความรูกบั คขู องตนเอง = 108.36 × 1023 อะตอม
= 1.0836 × 102 × 1023 อะตอม
7. ครูใหนักเรียนแตละคนทํา “ลองทําดู” ใน
หนังสือเรียน หนา 134 แลวครูและนักเรียน
รวมกันเฉลยคําตอบ

= 1.0836 × 1025 อะตอม
ดังนั้น ธาตุไฮโดรเจน 18 กรมั มีจํานวนอะตอมประมาณ 1.0836 × 1025 อะตอม ตอบ

ตวั อย่างท่ี 16 9.05 × 102 กิโลเมต2รตอช่ัวโมง2 ถาให

เคร่ืองบินลําหนึ่งเคล่ือนท่ีดวยอัตราเร็วประมาณ
เครอ่ื งบินเคลือ่ นทด่ี ว ยอัตราเร็วดังกลาวนอี้ ยางสมา่ํ เสมอในเวลา 11 ชั่วโมง จงหาวาเครอ่ื งบนิ
ลํานจี้ ะเคลื่อนทไ่ี ดร ะยะทางประมาณก่กี ิโลเมตร
วธิ ีทาํ ระยะเวลา 1 ชั่วโมง เครอ่ื งบินเคล่ือนท่ีไดระยะทางประมาณ 9.05 × 102 กโิ ลเมตร
ดงั นั้น ระยะเวลา 11 ชวั่ โมง เคร่อื งบินเคลอ่ื นท่ีไดระยะทาง
ประมาณ 11 × 9.05 × 102 กิโลเมตร
= 99.55 × 102 กโิ ลเมตร
= 9.955 × 103 กิโลเมตร
ดงั นนั้ เครือ่ งบินลาํ น้จี ะเคล่อื นท่ีไดร ะยะทางประมาณ 9.955 × 103 กโิ ลเมตร ตอบ

ลองทําดู

1. แกสไนโตรเจน 28 กรมั มจี าํ นวนโมเลกลุ อยปู ระมาณ 6.02 × 1023 โมเลกลุ 3 จงหาวา
แกสไนโตรเจน 14 กรมั มจี าํ นวนโมเลกุลประมาณก่ีโมเลกุล

2. ดาวเทียมดวงหนง่ึ เคลือ่ นที่ดวยอัตราเร็วประมาณ 2.7 × 104 กิโลเมตรตอ ชว่ั โมง4 ถา ให
ดาวเทียมเคลอื่ นที่ดว ยอตั ราดงั กลา วนอ้ี ยางสมาํ่ เสมอในเวลา 1 วัน จงหาวา ดาวเทยี ม
ดวงนจี้ ะเคลื่อนทไ่ี ดร ะยะทางประมาณกีก่ โิ ลเมตร

1, 3 พงศธร นันทธเนศ และคณะ. หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม เคมี ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 - 6 เลม 2. พิมพคร้ังท่ี 2
(นนทบุรี : ไทยรม เกลา ), 10.
2 Boeing 777-200. Retrieved October 18, 2017, from https://www.airlines-inform.com
4 ความเร็ว และความสูงของดาวเทยี มในวงโคจร. สืบคน เมื่อ 18 ตุลาคม 2560, จาก http://www.tpa.or.th

134

นักเรียนควรรู ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET
โลกอยูหางจากดวงอาทติ ย 1.5 × 108 กิโลเมตร ดาวเนปจูน
1 อะตอม หมายถึง สวนที่เล็กที่สุดของธาตุซ่ึงเขาทําปฏิกิริยาเคมีได อยหู างจากดวงอาทิตย 4.456 × 109 กโิ ลเมตร โลกอยหู า งจาก
อะตอมประกอบดวยอนุภาคมูลฐานที่สําคัญ คือ นิวเคลียสเปนแกนกลาง ดาวเนปจนู เปน ระยะทางเทาไร
และมีอิเลก็ ตรอนเคลื่อนที่อยโู ดยรอบ เดมิ เรียกวา ปรมาณู
2 กิโลเมตร (Kilometre หรือเขียน Kilometer) เปนหนวยวัดในระบบ (เฉลยคาํ ตอบ โลกอยหู า งจากดวงอาทติ ย 1.5 × 108 กิโลเมตร
เมตรกิ ทม่ี คี า ดงั นี้ ดาวเนปจนู อยูห า งจากดวงอาทิตย 4.456 × 109 กิโลเมตร
ดังน้ัน โลกอยูหา งจากดาวเนปจนู = (4.456 × 109) - (1.5 × 108)
1 กิโลเมตร = 1000 เมตร
เขียนในรปู สญั กรณว ิทยาศาสตรได 1 × 103 เมตร = (4.456 × 10 × 108) - (1.5 × 108)
1 กิโลเมตร = 100,000 เซนติเมตร = (44.56 × 108) - (1.5 × 108)
เขยี นในรูปสญั กรณว ิทยาศาสตรไ ด 1 × 105 เซนตเิ มตร = (44.56 - 1.5) × 108
= 43.06 × 108
= 4.306 × 109 กโิ ลเมตร)

T144

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

แบบฝึกทักษะ 3.4 ขนั้ สอน

ระดบั พนื้ ฐาน เขา้ ใจ (Understanding)

1. เวลำ 1 ไมโครวินำที เทำ่ กบั 10-6 วนิ ำที จงหำวำ่ เวลำ 25 ไมโครวินำที เท่ำกับกีว่ นิ ำที 1. ครูแจกใบงานที่ 3.5 เร่ือง การนําความรู
เกี่ยวกับเลขยกกําลังไปใชในชีวิตจริง ให
2. ทำงดำรำศำสตร์นยิ มใชห้ นว่ ยวัดระยะทำงเป็นปีแสง โดยกำ� หนดวำ่ ระยะ 1 ปีแสง นักเรียนทํา จากนั้นครูและนักเรียนรวมกัน
คอื ระยะทแี่ สงเคลอื่ นทีไ่ ปไดใ้ นเวลำ 1 ปี ซึง่ มีคำ่ ประมำณ 1.5 × 108 กิโลเมตร1 เฉลยคาํ ตอบใบงานท่ี 3.5
จงเขยี นระยะทำงทแ่ี สงเคลือ่ นทไี่ ดใ้ นระยะเวลำต่อไปนใ้ี นรปู สัญกรณว์ ทิ ยำศำสตร์
2. ครูใหน ักเรียนทําแบบฝกทักษะ 3.4 ขอ 1.-4.
1) 2 ปี 2) 6 เดือน เปนการบา น แลวรวมกันเฉลยคาํ ตอบแบบฝก
ทกั ษะ 3.4 ขอ 1.-4.
3. รแะดกบั ส๊ กคลำารงบ์ อนไดออกไซด1์ 44 กรัม มีจ�ำนวนโมเลกุลอยู่ 6.02 × 1023 อะตอม2 จงหำวำ่
แกส๊ คำรบ์ อนไดออกไซด์ 114.4 กรมั จะมีจ�ำนวนโมเลกุลกีโ่ มเลกลุ 3. ครูทบทวนสมบัติของการคูณและการหารเลข
4. ระยะทำงจำกดวงอำทติ ยถ์ งึ ดำวพุธประมำณ 5.68 × 107 กิโลเมตร3 แต่ระยะทำงจำกดวง ยกกําลัง เมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก
และสูตรดอกเบยี้ ทบตน
อำทติ ยถ์ งึ ดำวศกุ ร์ประมำณ 1.08 × 108 กิโลเมตร4 จงหำวำ่ ระยะทำงจำกดวงอำทิตย์ถงึ
ดำวศกุ ร์มำกกว่ำระยะทำงจำกดวงอำทติ ยถ์ งึ ดำวพธุ ประมำณกีก่ ิโลเมตร 4. ครูใหน ักเรียนทาํ แบบฝกทกั ษะ 3.4 ขอ 5.-7.
จากนน้ั ครแู ละนักเรียนรว มกนั เฉลยคาํ ตอบ
5. กำญจนำฝำกเงินกบั ธนำคำรแหง่ หนึ่งเป็นจำ� นวนเงิน 10,000 บำท โดยธนำคำรให้ดอกเบย้ี
รอ้ ยละ 0.75 ตอ่ 6 เดอื น จงหำวำ่ เมอื่ สน้ิ ปที ี่ 4 กำญจนำจะมเี งนิ ฝำกในธนำคำรเปน็ จำ� นวนเงนิ

6. กถีำบ่้ ำ1ทอังสตรอม2เทำ่ กบั 10-10 เมตร และ 1 นำโนเมตรเท่ำกับ 10-9 เมตร จงหำวำ่
1.2 อังสตรอมเทำ่ กบั กี่นำโนเมตร

ระดับ ท้าทาย

7. สันติต้องกำรฝำกเงินในธนำคำรเพ่ือเป็นเงินเก็บในอนำคต โดยธนำคำรแรกให้ดอกเบี้ย
รอ้ ยละ 0.15 ตอ่ 3 เดอื น และธนำคำรทส่ี องใหด้ อกเบี้ยร้อยละ 0.20 ต่อ 4 เดอื น ถ้ำสันติ
ตอ้ งกำรฝำกเงนิ 100,000 บำท เป็นเวลำ 10 ปี จงหำวำ่ สันตคิ วรฝำกเงนิ ท่ีธนำคำรใดจึงจะ
มีเงินเก็บมำกท่สี ดุ และจะมเี งินเก็บจำ� นวนกบี่ ำทเม่ือสิน้ ปที ่ี 10

1 ASTRONOMICAL UNIT : หนว่ ยวัดระยะท�งด�ร�ศ�สตร์. สบื คน้ เมือ่ 18 ตุลำคม 2560,
2 พจำงกศธhรttpน:ัน//wทwธเwน.ศsuแnลflะoคwณerะc.oหsmนังoสsือ.oเrรgีย/น01ร4�-ยaวsชิ tr�oเพnoม่ิ mเตicิมalเ_คuมnีitช.hั้นtmมธัl ยมศกึ ษ�ปีที่ 4 - 6 เล่ม 2. พมิ พ์ครงั้ ที่ 2
3-4 (ดน�นวเทคบรรุ�ีะ:หไ.์ ทสยืบรค่มน้ เกเมลอื่้ำ),1810ต.ุลำคม 2560, จำก http://www.narit.or.th/index.php/astro/solsys/planets

135

กิจกรรม เสรมิ สรางคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค นักเรียนควรรู

ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 5 คน คละความสามารถทาง 1 คารบอนไดออกไซด (Carbon Dioxide) เปนช่ือแกสชนิดหนึ่ง ไมมีสี
คณิตศาสตรศ กึ ษาเพ่มิ เตมิ เกีย่ วกบั เร่ืองเลขยกกาํ ลงั ดงั นี้ สตู รเคมี CO2 มีปรากฏในบรรยากาศ เกิดจากการเผาไหมโดยสมบรู ณของธาตุ
คารบอนหรือสารอินทรีย เปนแกสหนักกวาอากาศและไมชวยการเผาไหม จึง
1. ประวัติของเลขยกกาํ ลงั ใชประโยชนในการดับเพลิง ใชในอุตสาหกรรมเครื่องดื่มอัดลม เชน น้ําโซดา
2. สรปุ สาระสําคัญพรอ มยกตัวอยา งของเลขยกกาํ ลัง น้ําหวาน ใชทาํ นา้ํ แขง็ แหง ซ่ึงเปน ตวั ทาํ ความเยน็
3. ออกขอ สอบเรอื่ ง เลขยกกาํ ลงั 4 ตวั เลอื ก พรอ มเฉลยละเอยี ด 2 องั สตรอม เปน หนว ยทใ่ี ชว ัดระยะสัน้ มากๆ

จํานวน 10 ขอ 1 อังสตรอม มีคาเทา กับ 10-10 เมตร ใชส ญั ลักษณวา A ํ

T145

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน คณติ ศาสตรใ์ นชีวติ จริง

ลงมอื ทาํ (Doing) ก�รแพร่เชื้อไวรสั ไขห้ วัดใหญ่ฮอ่ งกง (Hong Kong Flu) โดยก�รจ�ม

ครใู หน กั เรยี นจดั กลมุ กลมุ ละ 4 คน คละความ ไขห้ วดั ใหญ่ฮอ่ งกง (Hong Kong Flu) เป็นกำรแพรร่ ะบำดของเชือ้ ไวรัสไขห้ วดั ใหญ ่ เอช 3
สามารถทางคณิตศาสตร แลว ทํากิจกรรม ดังนี้ เอน็ 2 โดยมตี น้ กำ� เนดิ มำจำกเกำะฮอ่ งกง ซ่งึ สำมำรถติดเชอื้ ไวรัสนี้ไดจ้ ำกกำรจำมของผปู้ วยได้

• ครูใหแตละกลุมศึกษาสถานการณจาก • กำรจำม 1 ครัง้ จะมจี �ำนวนละอองเกดิ ข้ึนประมำณ 40,000 ละออง โดยละอองมขี นำด
“คณิตศาสตรในชีวิตจริง” ในหนังสือเรียน เสน้ ผำ่ นศนู ยก์ ลำง 0.5 ถงึ 5 ไมโครเมตร และจะเตม็ ไปดว้ ยเชอ้ื ไวรสั ถำ้ บคุ คลนนั้ อยใู่ นระยะตดิ ตอ่
หนา 136 • ละอองท่อี อกมำจะมคี วำมเร็วประมำณ 150 กิโลเมตรตอ่ ชัว่ โมง หรอื ประมำณ 42 เมตร
ตอ่ วนิ ำที
• จากน้ันใหนักเรียนแตละคนวิเคราะหวา มี • ระยะกำรกระจำยตวั ของละอองไปได้ไกลถงึ 30 เมตร
วิธีการแกปญหาจาก “คณิตศาสตรใน • เชอ้ื ของไวรสั ไขห้ วดั ใหญท่ อี่ อกมำกบั ละอองนำ้� ทเ่ี กดิ จำกกำรจำม เมอื่ เขำ้ ไปสตู่ วั คนภำยใน
ชีวิตจริง” อยางไร แลวแลกเปล่ียนคําตอบ ไม่ก่ีชั่วโมง ไวรัสตัวน้ีก็สำมำรถลุกลำมถึงปอดอย่ำงรวดเร็ว ถ้ำเป็นเช้ือไวรัสไข้หวัดใหญ่ทั่วไป
กันภายในกลุม สนทนาซักถามจนเปนที่ จะใชเ้ วลำ 2 - 3 วนั แต่ไวรัสตัวนี้จะใชเ้ วลำภำยในไมก่ ช่ี วั่ โมง หรอื แค ่ 1 - 2 วนั ผู้ปวยจะมอี ำกำร
เขา ใจรวมกนั ทรดุ ลงอย่ำงรุนแรง ซึ่งเปน็ สำเหตุให้คนไขเ้ สียชีวติ ได ้ ดังนัน้ เพ่ือปองกนั กำรติดเชอื้ ไวรัสจงึ ควร
ล้ำงมือทุกครั้งเม่ือจับต้องส่ิงของต่ำง ๆ เช่น ลูกบิดประตู ปุมกดลิฟต์ ธนบัตร พื้นผิวโต๊ะ และ
• นักเรียนแตละคนเขียนขั้นตอนแสดงวิธีคิด เฟอรน์ เิ จอร ์ เป็นตน้
ของกลมุ ตนเองอยางละเอียดลงในสมดุ
ท่มี ำ : http://pr.moph.go.th/iprg/include/admin_hotnew/show_hotnew.php?idHot_new=98667
• สงตัวแทนกลุมมานําเสนอคําตอบหนาชั้น
เรียน โดยเพื่อนกลุมท่ีเหลือคอยตรวจสอบ จำกขอ้ มูลขำ้ งต้น ใหน้ ักเรยี นตอบคำ� ถำมต่อไปนีใ้ นรูปสัญกรณว์ ิทยำศำสตร์
ความถูกตอ ง 1) ละอองหนงึ่ ละออง มขี นำดเส้นผำ่ นศนู ยก์ ลำงก่ีเมตร (1 ไมโครเมตร = 10-6 เมตร)
2) ถ้ำผูป้ ว ยคนหนึง่ จำมตดิ ตอ่ กัน 7 ครง้ั จะมจี ำ� นวนละอองที่เกดิ ข้นึ ประมำณกล่ี ะออง

136

เฉลย คณติ ศาสตรในชวี ิตจริง กิจกรรม 21st Century Skills

1) ละอองหน่งึ ละอองมขี นาดเสนผานศูนยก ลาง 5 × 10-7 ถึง 5 × 10-6 ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 5 คน คละความสามารถทาง
เมตร คณิตศาสตร แลวสรางโจทยปญหาท่ีเกี่ยวของกับชีวิตประจําวัน
โดยตอ งใชค วามรขู องเรอ่ื งเลขยกกาํ ลงั ในการดาํ เนนิ การ พรอ มทง้ั
2) การจาม 1 ครงั้ มีจาํ นวนละอองเกิดขึ้นประมาณ 40,000 ละออง แสดงวิธีทําโดยละเอียดลงในกระดาษ A4 อกี ท้งั ใหนักเรยี นศกึ ษา
การจาม 7 ครงั้ จะมีจํานวนละอองเกิดขึน้ ประมาณ 40,000 × 7 ละออง การใชโปรแกรม Microsoft Excel ในการดําเนินการแกปญหา
= 280,000 ละออง จัดทําเปนใบความรู พรอมทั้งนําเสนอขั้นตอนการใชโปรแกรม
ดังนน้ั จามตดิ ตอกัน 7 คร้ัง จะมจี าํ นวนละอองท่ีเกิดข้นึ ประมาณ Microsoft Excel ในการแกปญหาหนา ช้นั เรยี น
2.8 × 105 ละออง

T146

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

สรปุ แนวคดิ หลัก ขน้ั สรปุ

การเขียนเลขยกกาํ ลงั ที่มีเลขช้กี ําลงั เปนจํานวนเตม็ บวก 1. ครใู หน กั เรยี นอา นและศกึ ษา “สรปุ แนวคดิ หลกั ”
ในหนังสือเรียน หนา 137 แลวเขียนผัง
การเขียนจ�านวนเต็มให้อยู่ในรูปเลขยกก�าลังที่มีเลขช้ีก�าลังเป็นจ�านวนเต็มบวกมีบทนิยาม มโนทัศน หนวยการเรียนรูท่ี 3 เลขยกกําลัง
ดงั ต่อไปน้ี ลงในกระดาษ A4

บทนิยาม 2. ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ
นักเรยี น ดงั น้ี
ใ ห ้ a แทนจ�านวนใด ๆ และ n แทนจ�านวนเตม็ บวก “a ยกกา� ลัง n” หรอื “a กา� ลัง n” ถา กาํ หนดให a, b แทนจํานวนใดๆ ท่ี b 0
เขียนแทนดว้ ย an มคี วามหมาย ดงั นี้ an = a × a × a × ... × a และ m, n, k แทนจํานวนเตม็ บวกใดๆ แลว
• am × an มคี า เทากับเทา ไร
n ตัว (แนวตอบ เทา กบั am+n)
• (am)n มคี าเทา กับเทาไร
การคูณและการหารเลขยกกาํ ลงั เมือ่ เลขช้ีกาํ ลงั เปน จํานวนเตม็ บวก (แนวตอบ เทากบั am×n)
• am × bm มคี า เทา กบั เทาไร
การคณู และการหารเลขยกก�าลังทีม่ ีฐานเปน็ จา� นวนใด ๆ ทไ่ี ม่เท่ากบั ศนู ย ์ และมีเลขช้กี า� ลัง (แนวตอบ เทา กับ (a × b)m)
เป็นจ�านวนเต็มบวก ตอ้ งใช้สมบัตขิ องเลขยกก�าลังต่อไปนี้ • (am × bn)k มีคาเทากับเทาไร
ก�าหนดให ้ a, b แทนจ�านวนใด ๆ ท ี่ b 0 และ m, n, k แทนจา� นวนเต็มบวกใด ๆ (แนวตอบ เทากับ am×k × bn×k)
1. am × an = am+n 2. (am)n = am×n • am ÷ an โดยที่ a 0 มีคา เทากับเทาไร
3. (a × b)m = am × bm 4. (am × bn)k = am× k × bn× k (แนวตอบ เทากับ am-n)
aaambnmn =k a=m -abnmn ××kk 6. abmm = ba m • เมือ่ m = n แลว am ÷ an มคี า เทา กับเทาไร
5. (แนวตอบ เทา กับ 1)
7. • เมือ่ m < n แลว am ÷ an มคี าเทากับเทาไร
(แนวตอบ เทา กบั am-n)
การเขียนจาํ นวนในรปู สญั กรณว ิทยาศาสตร • (abแmmนวมตีคอบาเทเทาากกับับเทาabไรm)
• (แabนmnวตkอบมีคเทาเา ทกาับกบั abเmnท××าkkไ)ร
จา� นวนที่เขยี นในรปู สัญกรณว์ ิทยาศาสตร์ คือ จ�านวนทเ่ี ขยี นในรูป A × 10n • จาํ นวนในรปู สัญกรณว ิทยาศาสตร คอื
เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n เป็นจา� นวนเตม็ (แนวตอบ จํานวนทเี่ ขียนอยูในรปู A × 10n
เม่ือ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเตม็ )
การนาํ ความรเู ก่ยี วกบั เลขยกกาํ ลังไปใชในชีวิตจรงิ

เลขยกกา� ลังถูกน�าไปใช้ในหลาย ๆ ส่งิ ทีอ่ ยใู่ นชีวติ จรงิ เช่น การค�านวณหาดอกเบ้ียเงินฝาก
ต่อป  และการคา� นวณจา� นวนอะตอมของธาตุ เป็นตน้

137

พิจารณาขอ ความตอไปน้ี ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET

ก. a1n = a-n เมอื่ a เปนจาํ นวนใดๆ และ n เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ
ข. ถา 4m = A และ 4n = B แลว 24m-2n = AB2

ขอ ใดถกู ตอง 3. ก. ผิด แต ข. ถูก 4. ก. และ ข. ผดิ
1. ก. และ ข. ถูก 2. ก. ถกู แต ข. ผดิ

(เฉลยคําตอบ ขอ 3. เพราะ พิจารณา 24m-2n = 22(2m-n)
นa1nัน่ ค=ือaก-n.
เม่ือ a เปนจาํ นวนใดๆ ทไี่ มเทา กบั ศนู ย = 42m-n = (44mn)2 = =AB2AB2
ผิด เพราะตองระบดุ วยวา a ตอ งไมเ ทากบั ศูนย 442nm B แลว 24m-2n
= 4n =
เนื่องจาก ถา a เปน 0 01 ดงั นั้น ถา 4m = A และ ถูกตอ ง
= นนั่ คอื ข. ถูกตอ ง
จะไดว า an = 0 นัน่ คือ ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร เพราะฉะน้ัน คําตอบ คอื ขอ 3.)
และถา 4m = A และ 4n B แลว 24m-2n = AB2

T147

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขน้ั สรปุ 3แบบฝกึ ทกั ษะ

3. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะประจําหนวย ประจ�าหน่วยการเรียนรู้ที่
การเรยี นรทู ่ี 3 เปน การบาน 1. จงเขยี นคำ� อำ่ นของเลขยกกำ� ลงั ตอ่ ไปน ้ี พรอ้ มทงั้ บอกวำ่ มจี ำ� นวนใดเปน็ ฐำน และมจี ำ� นวนใด
เปน็ เลขชี้ก�ำลงั
4. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคําถามในหนังสือ 1) 109 2) (-50)4
เรยี น หนา 106 ที่ไดถ ามไวในชั่วโมงแรก 3) (1109)4
(แนวตอบ เนื่องจากขอมูลในคอมพิวเตอรจะ 4) 208
ถูกเก็บในระบบเลขฐานสอง และแตละขนาด
ความจขุ องขอ มูลในคอมพิวเตอร เปนจาํ นวน
ท่ีอยูใ นรูปเลขยกกาํ ลังทม่ี ีฐานเปน 2)

2. จงเขยี นจ�ำนวนต่อไปน้ีให้อย่ใู นรปู อยำ่ งงำ่ ย เมือ่ m, n และ p แทนจ�ำนวนใด ๆ ที ่ p ≠ 0
1) 32 × m2 2) (43)2

3) 109 × 104 4) 9m ÷ 3m
5) (mn)3 ÷ p3 6) (42 × 54)3
7) (23)2 × (94)2 8) (-3)7 × (-9)7

3. จงเขยี นจำ� นวนต่อไปนใ้ี หอ้ ยใู่ นรูปสญั กรณ์วทิ ยำศำสตร์

1) 854,000 2) 4,984,000
3) 4,200,000,000 4) 589,000,000,000
5) 0.0000004832 6) 0.0041
7) 0.000000000978 8) 0.0000000001234

4. ธำตแุ คลเซียม 20 กรัม มจี �ำนวนอะตอมอยู่ประมำณ 6.02 × 1023 อะตอม1 จงหำว่ำ
ธำตุแคลเซียม 100 กรมั จะมีจ�ำนวนอะตอมประมำณกีอ่ ะตอม

5. จงเขียนจำ� นวนตอ่ ไปนใ้ี หอ้ ยใู่ นรปู จ�ำนวนเต็มหรอื ทศนยิ ม
1) 0.00000421 × 102 2) 1.729 × 106
3) 0.060428 × 104 4) 9.1638 × 104
5) 0.423400042 × 105 6) 1.468 × 107
7) 0.4298341 × 103 8) 11.3 × 1020

1 พงศธร นันทธเนศ และคณะ. หนงั สอื เรียนร�ยวชิ �เพิม่ เตมิ เคม ี ชนั้ มัธยมศกึ ษ�ปที ี ่ 4 - 6 เล่ม 2. พมิ พค์ รงั้ ที่ 2
(นนทบุรี : ไทยร่มเกลำ้ ), 10.

138

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
-1
กอ นใหน กั เรยี นทาํ แบบฝก ทกั ษะประจาํ หนว ยการเรยี นรทู ี่ 3 ครคู วรทบทวน คา ของ [ 58-3××5-34-2××3-226 ตรงกบั ขอ ใด
แนวคิดและวธิ ีการท่ีจะใชส าํ หรับแกโจทยป ญ หา โดยชีแ้ นะเก่ียวกบั ขอควรระวงั ]
ในการแกโจทยท่ีมีท้ังจํานวนเต็มลบ และมีเลขช้ีกําลังที่เปนจํานวนเต็มลบ
โดยจะตอ งนําความรเู ร่ืองระบบจาํ นวนเตม็ มาใชค ิดคํานวณ 1. 120 2. 40
3. 0.625 4. 0.025
T148 [ ](เฉลยคําตอบ 58-3××53-4-2××32-26 -1

= [5-3-(-4) × 3-2-(-2) × 26-3]-1
= [5 × 30 × 23]-1
= 5541-01×1=×2032.-0325
=
=

ดงั นน้ั คาํ ตอบ คอื ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมิน

6. จ งเขยี นจำ� นวนต่อไปนใี้ หอ้ ยใู่ นรปู อย่ำงง่ำย เม่อื a, b แทนจำ� นวนใด ๆ ทีไ่ ม่เทำ่ กบั ศนู ย์ ขน้ั ประเมนิ
1) (ab4) × (a5b6) 2) (10a4b3) ÷ (8ab)
4) (5ab34b2)10 ÷ (2a5ba82) 1. ครูตรวจใบงานท่ี 3.5
3) (-11a4b9)2 2. ครตู รวจแบบฝกทักษะ 3.4
5) 18ab7 ÷ 2ab3 6) (-3a10b10) × 4a9b7 3. ครูตรวจแบบฝก ทกั ษะประจําหนว ยการเรยี นรู
7) (8ba54)3 ÷ (1b61a210) 8) (ab57)20 ÷ (-74ab3)10
ที่ 3
7. จงเขยี นจำ� นวนตอ่ ไปนใ้ี ห้อยูใ่ นรปู สญั กรณ์วิทยำศำสตร์ 4. ครูตรวจผังมโนทัศน
5. ครปู ระเมนิ การนําเสนอผลงาน
6. ครูสังเกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบคุ คล
7. ครูสงั เกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลุม
8. ครูสงั เกตคุณลักษณะอันพึงประสงค

1) (4.8 × 1010) × (5.8 × 102) 2) (525 × 108) ÷ (5 × 109)

3) (3.57 × 103) + (2.43 × 104) 4) (11.48 × 105) - (2.54 × 104)
5) (4.2 × 103)4 4.8 × 104 1×0 32 × 5
6) 3×

8. ก ำ� หนด X = 4.8 × 1021, Y = 450,000,000,000 จงเขียนจำ� นวนตอ่ ไปน้ใี นรูปสัญกรณ์
วทิ ยำศำสตร์
1) XY 2) YX
9. รัศมขี องวงโคจรของโลกรอบดวงอำทิตยย์ ำวประมำณ 1.496 × 108 กิโลมตร1 จงหำวำ่
แสงจำกดวงอำทิตย์ตอ้ งใช้เวลำกีว่ ินำทีจงึ จะเคลอ่ื นท่มี ำถงึ โลก เม่อื แสงมีอตั รำเรว็ ประมำณ
3 × 108 เมตรต่อวินำท2ี

10. พำรำมเี ซยี ม (Paramecium) เปน็ สง่ิ มชี วี ติ ทมี่ ขี นำดเลก็ โดยจดั อยใู่ นจำ� พวกสตั วท์ ไี่ มม่ กี ระดกู
สันหลงั และเป็นสตั ว์เซลลเ์ ดียวจำ� พวกโปรโตซวั (Protozoa) โดยพำรำมีเซียม 1 ตัว จะมี
ขนำดประมำณ 50 - 30 ไมโครเมตร3 จงหำวำ่ พำรำมีเซียม 1 ตัว จะมขี นำดประมำณกเี่ มตร

(1 ไมโครเมตร = 10-6 เมตร)

11. จงหำว่ำตัวแปร n ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้มีค่ำเท่ำไร
1) (77n4)n3 = 49n
2) 310 - n = (93)n

1 ด�วเคร�ะห.์ สบื ค้นเมื่อ 18 ตลุ ำคม 2560, จำก http://www.narit.or.th/index.php/astro/solsys/planets
2 อตั ร�เรว็ แสงในตวั กล�งใด ๆ. สบื คน้ เมอื่ 18 ตลุ ำคม 2560, จำก http://www.rmutphysics.com/physics/oldfront/62/light1/

ligh_5.htm
3 พ�ร�มเี ซียม. สืบค้นเม่ือ 18 ตลุ ำคม 2560, จำก https://home.kku.ac.th/pracha/Paramecium.htm

139

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET แนวทางการวัดและประเมินผล
ดาวเสารม เี สน ผา นศูนยก ลาง 1.20536 × 108 เมตร ดาวพุธ
มีเสนผานศูนยกลาง 4.88 × 106 เมตร เสนผานศูนยกลาง ครศู กึ ษาเกณฑก ารวดั และการประเมนิ ผล เพอ่ื ประเมนิ ผลงาน/ชนิ้ งานของ
ดาวเสารย าวเปนก่ีเทาของเสน ผานศูนยก ลางของดาวพุธ นกั เรยี นรายบคุ คลและกลมุ จากแบบประเมนิ ของแผนการจดั การเรยี นรใู นหนว ย
การเรียนรทู ่ี 3

(เฉลยคําตอบ นําเสนผานศูนยกลางดาวเสารและเสนผาน แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการทางานกลมุ่
ศนู ยก ลางของดาวพุธ เปรียบเทียบโดยใชก ารหาร
แบบประเมนิ การนาเสนอผลงาน คาชี้แจง : ให้ผสู้ อนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรยี นในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรยี น แล้วขีด ลงในชอ่ งทีต่ รงกบั
ระดับคะแนน
คาชีแ้ จง : ให้ผู้สอนสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรยี น แลว้ ขดี ลงในช่องที่ตรงกบั
1.20536 ×101608 ระดบั คะแนน การมี
4.88 × สว่ นร่วมใน
= ลาดบั รายการประเมนิ ระดบั คะแนน ลาดบั ชือ่ – สกลุ การแสดง การยอมรับฟงั การทางาน ความมีนา้ ใจ การปรับปรงุ รวม
ท่ี 4321 ท่ี ของนักเรียน ความคิดเห็น คนอื่น ตามทไี่ ด้รับ ผลงานกลมุ่ 20
 มอบหมาย คะแนน

1 เนอื้ หาละเอยี ดชัดเจน  43214321432143214321

2 ความถูกต้องของเนอื้ หา 

3 ภาษาทีใ่ ชเ้ ข้าใจง่าย 

= 0.247 × 102 4 ประโยชนท์ ่ีไดจ้ ากการนาเสนอ 

5 วิธกี ารนาเสนอผลงาน

รวม

= 24.7 เทา ) ลงชือ่ ...................................................ผ้ปู ระเมิน
............/................./................

เกณฑ์การให้คะแนน ให้ 4 คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน ลงชื่อ...................................................ผปู้ ระเมิน
ผลงานหรือพฤติกรรมสมบูรณช์ ัดเจน ให้ 3 คะแนน ปฏบิ ัตหิ รอื แสดงพฤติกรรมอยา่ งสม่าเสมอ ............/................./................
ผลงานหรือพฤตกิ รรมมีข้อบกพร่องบางสว่ น ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน ปฏิบตั ิหรือแสดงพฤติกรรมบ่อยคร้งั ให้ 4 คะแนน
ผลงานหรอื พฤติกรรมมีขอ้ บกพรอ่ งเปน็ ส่วนใหญ่ ปฏบิ ัติหรือแสดงพฤตกิ รรมบางครง้ั ให้ 3 คะแนน
ผลงานหรอื พฤตกิ รรมมขี อ้ บกพร่องมาก ปฏบิ ตั หิ รอื แสดงพฤติกรรมน้อยคร้งั ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน
เกณฑ์การตัดสนิ คณุ ภาพ

ช่วงคะแนน ระดบั คณุ ภาพ เกณฑก์ ารตดั สินคุณภาพ
18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี ช่วงคะแนน ระดบั คณุ ภาพ
10 - 13 พอใช้ 18 - 20 ดมี าก
ตา่ กว่า 10 ปรับปรงุ 14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กวา่ 10 ปรับปรงุ

T149

Chapter Overview

แผนการจัด สื่อที่ใช้ จดุ ประสงค์ วิธีสอน ประเมิน ทกั ษะท่ีได้ คุณลกั ษณะ
การเรียนรู้ อนั พึงประสงค์
แผนฯ ที่ 1 - ต รวจแบบฝึกทักษะ 4.1
หน้าตัดของ - ห นังสือเรยี นรายวิชา 1. อธิบายภาพหนา้ ตัด Concept - ตรวจ Exercise 4.1 - ทกั ษะการ 1. มีวินัย
รปู เรขาคณติ พน้ื ฐาน คณิตศาสตร์ ของรปู เรขาคณติ Based - ประเมนิ การนำ� เสนอ สรุปอา้ งองิ 2. ใฝ่เรยี นรู ้
สามมิติ ม.1 เล่ม 1 สามมิตทิ ก่ี ำ� หนดใหไ้ ด้ Teaching ผลงาน
หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 4 (K) - สังเกตพฤตกิ รรม 3. มงุ่ มน่ั
2 มิตสิ ัมพนั ธข์ อง 2. เขียนภาพหนา้ ตดั การท�ำงานรายบคุ คล ในการท�ำงาน
- สงั เกตพฤตกิ รรม
ชั่วโมง รูปเรขาคณิต ทเี่ กดิ จากการใชร้ ะนาบ การท�ำงานกลมุ่
- แบบฝกึ หัด ตัดรปู เรขาคณิต - สังเกตคณุ ลกั ษณะ
คณติ ศาสตร์ ม.1 สามมติ ิได้ (P) อนั พึงประสงค์
เล่ม 1 หน่วยการ 3. น �ำความรเู้ รื่อง
เรียนรู้ที่ 4 มิติสมั พันธ์ หนา้ ตดั ของรูป
ของรปู เรขาคณติ เรขาคณติ สามมติ ิ
- มะนาวและแกว้ มังกร ไปประยุกต์ใชใ้ นชีวติ
- ดนิ น�้ำมนั ประจำ� วันได้ (A)
- โอเอซิส 4. ร ับผิดชอบตอ่ หน้าที่
ท่ีได้รบั มอบหมาย (A)

แผนฯ ที่ 2 - หนังสือเรยี นรายวิชา 1. อธบิ ายภาพสองมิติ Concept - ต รวจแบบฝึกทกั ษะ 4.2 - ทักษะ 1. มีวนิ ยั
ภาพสองมิติ พื้นฐาน คณิตศาสตร์ ที่เกดิ จากการมอง Based - ตรวจ Exercise 4.2 การระบุ 2. ใฝ่เรยี นรู้
ทไ่ี ด้จากการมอง ม.1 เล่ม 1 ด้านหน้า ดา้ นข้าง Teaching - ป ระเมนิ การนำ� เสนอ 3. มุง่ ม่ัน
รปู เรขาคณิต หน่วยการเรยี นรูท้ ่ี 4 และดา้ นบนของ ผลงาน ในการท�ำงาน
สามมติ ิ มิติสัมพนั ธข์ อง รูปเรขาคณติ สามมติ ิ - สังเกตพฤตกิ รรม
การท�ำงานรายบุคคล
2 รูปเรขาคณติ ได้ (K) - สงั เกตพฤติกรรม
- แบบฝกึ หัด 2. เขยี นภาพสองมติ ิ การท�ำงานกลุ่ม
ชั่วโมง คณิตศาสตร์ ม.1 ทเ่ี กดิ จากการมอง - สังเกตคุณลกั ษณะ
อันพึงประสงค์
เลม่ 1 หน่วยการ ด้านหน้า ด้านขา้ ง
เรยี นรทู้ ่ี 4 มติ ิสัมพันธ ์ และด้านบนของ
ของรปู เรขาคณติ รปู เรขาคณติ สามมติ ิ
- นอต ได้ (P)
3. เ ช่อื มโยงภาพสองมติ ิ
กบั รูปเรขาคณติ
สามมติ ิได้ (P)
4. รับผดิ ชอบตอ่ หนา้ ท่ี
ทไ่ี ด้รับมอบหมาย (A)

T150

แผนการจัด ส่ือที่ใช้ จดุ ประสงค์ วิธีสอน ประเมิน ทกั ษะที่ได้ คุณลักษณะ
การเรยี นรู้ อันพงึ ประสงค์
แผนฯ ท่ี 3
รปู เรขาคณติ - ห นังสอื เรยี นรายวิชา 1. อ ธิบายภาพสองมิติ Concept - ตรวจแบบฝึกทักษะ 4.3 - ทกั ษะการ 1. มวี นิ ัย
สามมติ ทิ ี่ พนื้ ฐาน คณติ ศาสตร์ ของรปู เรขาคณติ Based - ตรวจ Exercise 4.3 สรปุ อา้ งองิ 2. ใฝ่เรียนร้ ู
ประกอบข้นึ ม.1 เล่ม 1 สามมติ ิท่ีประกอบข้ึน Teaching - ต รวจแบบฝึกทกั ษะประจำ� 3. มงุ่ มน่ั
จากลูกบาศก์ หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 4 จากลกู บาศก์ได้ (K) หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 4 ในการท�ำงาน
มิติสมั พนั ธ์ของ 2. เขียนภาพสองมติ ิ - ป ระเมินการนำ�เสนอ
2 รูปเรขาคณิต ของรปู เรขาคณติ ผลงาน
- แบบฝึกหัด สามมติ ทิ ี่ประกอบข้นึ - ตรวจผังมโนทัศน์
ชั่วโมง คณติ ศาสตร์ ม.1 จากลกู บาศกไ์ ด้ (P) หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 4

เล่ม 1 3. เช่อื มโยงภาพสองมิติ มติ สิ มั พันธข์ อง
หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 4 กับรปู เรขาคณิต รูปเรขาคณิต
มิตสิ มั พนั ธ์ของ สามมิติได้ (P) - สังเกตพฤติกรรม
รูปเรขาคณิต 4. รับผดิ ชอบตอ่ หน้าท่ี การทำ�งานรายบคุ คล
- รูบิก ที่ได้รับมอบหมาย (A) - สังเกตพฤติกรรม
- แกว้ กระดาษ การทำ�งานกลมุ่
- ลูกบาศก์ - สงั เกตคณุ ลกั ษณะ
- QR Code เร่ือง อนั พึงประสงค์
รปู เรขาคณติ สามมิติ
ทปี่ ระกอบข้ึนจาก
ลูกบาศก์

T151

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching) 4หนว่ ยการเรยี นรทู ่ี รมปูิตเิสรมั ขพาคันณธขติ อง

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)

1. ครูกลาวทักทายกับนักเรียน แลวแจง
จุดประสงคการเรียนรูใหน กั เรยี นทราบ

2. ครูกระตุนความสนใจของนักเรียน โดยให
นักเรียนดูภาพหนาหนวย จากน้ันครูถาม
คําถามในหนังสือเรียน หนา 140 แลวให
นกั เรียนรวมกนั แสดงความคิดเหน็
หมายเหตุ : ครูและนักเรียนรวมกันเฉลย
คําถามในหนังสือเรียน หนา 140 หลังเรียน
หนวยการเรียนรทู ่ี 4

การห่อซูชิแล้วตัดเป็นช้ิน ๆ เพ่ือให้ได้หน้าตัดมีรูปทรง
สวยงาม ดึงดูดใจผู้บริโภค ผู้ห่อซูชิจะต้องมีความคิดสร้างสรรค์
และความสามารถในการห่อ เชน่ ถา้ นักเรียนอยากได้หน้าซูชเิ ป็น
รปู ดอกไม ้ นกั เรยี นตอ้ งวางขา้ วสชี มพทู ห่ี อ่ เปน็ ทรงกระบอกแลว้ มา
ประกอบกันให้เป็นรูปดอกไม้บนกึ่งกลางของข้าวสีขาวท่ีอยู่บน
สาหร่ายและห่อให้กลมสวยงาม จากนั้นก็ตัดข้าวห่อสาหร่าย ซ่ึง
ท�าให้ได้หน้าซูชเิ ปน็ รูปดอกไมต้ ามท่ีต้องการ
Q. นกั เรยี นคิดว่า
เฉลย คาํ ถามในหนังสือเรยี น หน้า 140 ตวั ช้วี ดั การห่อซชู ิต้องใช้
• เข้าใจและใช้ความรู้ทางเรขาคณิตในการวิเคราะห์หาความสัมพันธ์
การหอซูชิมีความสัมพันธของรูปเรขาคณิต ระหว่างรูปเรขาคณิตสองมิติและรูปเรขาคณิตสามมิติ ควÒมÊมั ¾นั ¸ระหว่Òง
สองมิติและรูปเรขาคณิตสามมิติ เน่ืองจากกอน (ค 2.2 ม.1/2) รÙปเร¢Òค³ติ Êองมติ ิ
ท่ีจะหอซูชิเราตองรองซูชิดวยสาหรายท่ีเปนรูป สาระการเรยี นรแู กนกลาง และรปÙ เร¢Òค³ิต
สี่เหลี่ยมผืนผากอนท่ีจะทําการหอซูชิใหเปนรูป • หน้าตัดของรูปเรขาคณิตสามมิติ
ที่เราตองการเม่ือเราตัดซูชิ อีกท้ังเม่ือเราหอซูชิ • ภ าพท่ีได้จากการมองด้านหน้า ด้านข้าง ด้านบนของรูปเรขาคณิต ÊÒมมิติหรือไม่
แลวจะกลายเปนรูปทรงกระบอก ดังนั้น การหอ สามมิติท่ีประกอบข้ึนจากลูกบาศก์
ซูชิจึงมีความสัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติ อยา่ งไร
และรปู เรขาคณติ สามมติ ิ

เกร็ดแนะครู

การเรียนการสอนของหนวยการเรียนนี้ ครูควรยกตัวอยางสิ่งของที่อยู
ใกลตัวและเกิดขึ้นในชีวิตประจําวันท่ีนักเรียนพบเห็นไดงายและเก่ียวของกับ
ตัวนักเรียน เชน การหั่นผักและผลไมเพื่อใชในการประกอบการทําอาหาร
หรือครูอาจถามวา ในชีวิตประจําวันของเรามีอะไรบางที่เปนรูปเรขาคณิต
สองมติ แิ ละรูปเรขาคณติ สามมิติ

T152

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ควรรกู้ ่อนเรียน ขนั้ นาํ

รูปเรขาคณ1ติ สองมติ ิและรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีนกั เรียนควรรู้จกั มดี ังน้ี การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)
1. รปู เรขาคณติ สองมติ ิ
รูปเรขาคณติ สองมิติแบ่งออกเปน็ 2 กลมุ่ ใหญ่ ๆ ตามลกั ษณะของดา้ นหรอื ขอบของรูป 3. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษา “ควรรกู อ นเรยี น” ในหนงั สอื
นนั้ ๆ ไดแ้ ก่ เรียน หนา 141 เรือ่ ง ชนิดของรูปเรขาคณติ
1) รูปหลายเหลย่ี ม สองมิติและรูปเรขาคณิตสามมิติ จากนั้นครู
รปู หลายเหลยี่ มเปน็ รปู ปด ทเี่ กดิ จากสว่ นของเสน้ ตรงตงั้ แต ่ 3 เสน้ ขนึ้ ไป โดยมจี ดุ ยอด ถามคําถามวา
เปน็ จุดทแี่ ตกต่างกนั บนระนาบ เชน่ • รปู เรขาคณติ สองมติ มิ ลี ักษณะอยางไร
(แนวตอบ รูปเรขาคณิตสองมิติ เปนรูป
รูปสามเหล่ยี ม รูปสีเ่ หลย่ี ม รูปหา้ เหลยี่ ม รปู หกเหลย่ี ม รปู เจด็ เหลีย่ ม เรขาคณิตท่ีมีความกวางและความยาว
สามารถมองไดเ พยี ง 2 ดา นเทา นั้น)
2) รปู เรขาคณิตสองมิตทิ ่มี ีขอบหรอื ด้านบางดา้ นเปน็ เสน้ โคง้ เช่น • รปู เรขาคณติ สามมติ มิ ลี ักษณะอยางไร
(แนวตอบ รูปเรขาคณิตสามมิติ เปนรูป
วงกลม วงรี รปู สามเหลี่ยมฐานโค้ง เรขาคณิตท่ีมีความกวาง ความยาว และ
ความสงู (หรอื ความหนา) ซง่ึ สามารถมอง
2. รูปเรขาคณติ สามมิติ ได 3 ดาน)
รปู เรขาคณิตสามมติ ิ เปน็ รปู ทรงท่ีสามารถวัดความกวา้ ง ความยาว และความหนาได้
เชน่ 4. ครูใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางรูปเรขาคณิต
สองมิติและรูปเรขาคณิตสามมิติ พรอมทั้ง
ชวยกันบอกลักษณะของรูปดังกลาว จากน้ัน
ครวู าดรปู แสดงบนกระดาน
(แนวตอบ รูปเรขาคณิตสองมิติ เชน รูป
สามเหลยี่ ม รปู สี่เหลี่ยม วงกลม วงรี เปนตน
รูปเรขาคณิตสามมิติ เชน ทรงส่ีเหลี่ยม
มุมฉาก ทรงกระบอก ทรงกลม เปนตน)

ทรงส่เี หลีย่ มมุมฉาก กรวย ทรงกระบอก

ทรงกลม พรี ะมดิ ฐานหา้ เหลี่ยม ปริซึมหา้ เหล่ยี ม
141

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET นักเรียนควรรู

รูปเรขาคณิตในขอ ใดเปนรูปเรขาคณิตสามมติ ทิ ั้งหมด 1 รูปเรขาคณิต (Geometric Figure) เปนรูปท่ีประกอบดวย จุด เสนตรง
1. กรวยกรอกน้าํ ขันนาํ้ รปู วงกลม เสน โคง ระนาบ ฯลฯ อยางนอยหนึ่งอยาง
2. ขวดยา ตะปู รปู ส่เี หลยี่ มผืนผา
3. แตงโม เหรยี ญบาท หนงั สอื เรยี นคณิตศาสตร ช้นั ม.1 • รูปเรขาคณิตหน่ึงมิติ (One Dimensional Geometric Figure) เชน
4. รปู ใบไม ดินสอ ธนบตั ร จดุ เสน ตรง สวนของเสนตรง รงั สี เปนตน
(เฉลยคําตอบ แตงโมเปนทรงกลม
เหรยี ญบาทเปน ทรงกระบอก • รูปเรขาคณิตสองมิติ (Two Dimensional Geometric Figure) เชน
หนงั สือเรียนคณติ ศาสตร ชั้น ม.1 เปนปริซึม วงกลม รปู สามเหลยี่ ม รูปส่ีเหลี่ยม เปนตน
ส่เี หลีย่ มผืนผา
ดังนั้น คําตอบ คอื ขอ 3.) • รปู เรขาคณติ สามมติ ิ (Three Dimensional Geometric Figure) เชน
ทรงกลม ลกู บาศก ปรซิ มึ พรี ะมดิ เปน ตน

T153

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน 4.1 หนา ตัดของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ

รู (Knowing) แมค่ ้าและพ่อคา้ ท่ีขายผลไม้แบบรถเขน็ จะต้องมกี ารหน่ั ผลไมเ้ ปน็ ชิ้น ๆ หน้าตดั ของผลไม้
ในแต่ละชน้ิ จะเป็นรูปเรขาคณิตสองมติ ิท่ีมีลักษณะแตกต่างกนั ไป โดยข้นึ อยู่กบั แนวในการตัดและ
1. ครูกลาวถึงหนาตัดของผลไมชนิดตางๆ ตาม ชนดิ ของผลไม้นัน้ ๆ แตใ่ นทน่ี จี้ ะกล่าวถงึ หน้าตดั จากการตดั 2 แนว คอื แนวตัง้ ฉากกบั พืน้ ราบ
ในหนงั สือเรยี น หนา 142 ที่แมค าและพอ คา และแนวขนานกับพน้ื ราบ เช่น
ขายผลไมแบบรถเข็นห่ันผลไมเปนชิ้นเล็กๆ
และครูกลาววา หนาตัดของผลไมแตละชนิด
จ ะ เ ป  น รู ป เ ร ข า ค ณิ ต ส อ ง มิ ติ ที่ มี ลั ก ษ ณ ะ
แตกตางกันไป โดยขึ้นอยูกับแนวในการตัด
และชนิดของผลไมนั้นๆ ซ่ึงในที่นี้เราจะพูด
ถงึ หนา ตดั จากการตดั 2 แนว คือ แนวต้ังฉาก
กับพ้ืนราบ และแนวขนานกบั พ้นื ราบเทา น้นั

2. ครนู ําผลมะนาว มาตดั ใหนกั เรยี นดทู ง้ั 2 แนว
คือ แนวตง้ั ฉากกับพ้นื ราบ และแนวขนานกับ
พนื้ ราบ แลวถามคาํ ถามกบั นกั เรียนวา
• ถาตัดผลมะนาวในแนวตั้งฉากกับพ้ืนราบ
และแนวขนานกับพื้นราบ จะไดหนาตัด
คลายรูปเรขาคณิตสองมติ ิใด
(แนวตอบ ไมวาจะตัดในแนวต้ังฉากกับ
พ้ืนราบ หรือแนวขนานกับพ้ืนราบจะได
หนา ตัดคลา ยวงกลม)

มะนาว ตดั ตามแนวตัง้ ฉากกับพื้นราบ หนา้ ตัดของผลมะนาวเมือ่ ตัดตามแนวตง้ั ฉากกับพ้นื ราบ
มีลักษณะคลา้ ยวงกลม

มะนาว ตดั ตามแนวขนานกบั พ้นื ราบ หน้าตัดของผลมะนาวเมือ่ ตดั ตามแนวขนานกับพื้นราบ
142 มีลกั ษณะคล้ายวงกลม

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET

ขอ ใดกลา วไมถูกตอง
1. ใชระนาบตดั ทรงกลมในแนวขนานกับฐานของทรงกลมหนาตัดทีไ่ ดจ ะเปนวงกลม
2. ใชร ะนาบตดั มุมของทรงสีเ่ หล่ยี มมมุ ฉากจะไดหนาตดั เปนรูปสามเหลย่ี ม
3. ใชร ะนาบตัดกรวยในแนวตงั้ ฉากกับฐานโดยตัดผา นจดุ ยอดกรวยจะไดหนาตัดเปน รูปสามเหลยี่ ม
4. ใชระนาบตัดพีระมิดฐานใดๆ ในแนวเอียงทํามุม 45 ํ กบั ฐานจะไดหนา ตดั เปน รูปสเ่ี หลี่ยม
(เฉลยคาํ ตอบ
1. ถกู เพราะใชระนาบตดั ทรงกลม หนาตัดทไ่ี ดจ ะเปนรูปวงกลม
2. ถูก เพราะใชระนาบตดั มมุ ของทรงสีเ่ หลีย่ มมมุ ฉาก จะไดหนาตัดเปนรปู สามเหลยี่ ม
3. ถูก เพราะใชระนาบตัดกรวยในแนวต้ังฉากกับฐานโดยใหตัดผานจุดยอดกรวย จะไดหนาตัดเปน
รปู สามเหล่ียม
4. ผิด เพราะใชร ะนาบตัดพีระมิดในแนวเอยี ง 45 ํ หนาตดั ท่ีไดเ ปนรูปเหลยี่ มตามฐานของพรี ะมดิ
ดังนั้น คําตอบ คอื ขอ 4.)

T154

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

แก้วมงั ก1ร ตดั ตามแนวตัง้ ฉากกบั พ้ืนราบ หนา้ ตดั ของผลแกว้ มงั กรเม่อื ตดั ตามแนวตง้ั ฉากกบั ขนั้ สอน
พืน้ ราบมลี กั ษณะคล้ายวงกลม
รู้ (Knowing)
แกว้ มังกร ตดั ตามแนวขนานกับพื้นราบ หนา้ ตดั ของผลแก้วมังกรเมื่อตัดตามแนวขนานกบั
พ้ืนราบมีลักษณะคล้ายวงรี 3. ครูนําผลแกวมังกร มาตัดใหนักเรียนดูท้ัง
2 แนว คือ แนวตั้งฉากกับพ้ืนราบและแนว
จากรูปข้างต้นจะเห็นว่า ไม่ว่าจะตัดผลมะนาวในแนวการตัดใดก็ตาม ภาพหน้าตัดท่ีได้ ขนานกับพื้นราบ แลวถามคําถามกับนักเรียน
จะมลี กั ษณะคลา้ ยวงกลมเสมอ แตถ่ า้ ตดั ผลแกว้ มงั กร ภาพหนา้ ตดั ทไ่ี ดจ้ ะเปน็ รปู เรขาคณติ สองมติ ิ วา
ทมี่ ลี กั ษณะแตกต่างกนั ขึ้นอย่กู ับแนวการตัด • ถา ตดั ผลแกว มงั กรในแนวตงั้ ฉากกบั พนื้ ราบ
และแนวขนานกับพื้นราบ จะไดหนาตัด
ค³ิตน่ÒรÙ้ คลา ยรปู เรขาคณิตสองมติ ิชนิดใด
(แนวตอบ ถาตัดในแนวตั้งฉากกับพ้ืนราบ
ทรงสหี่ นา้ ลูกบาศก์ ทรงแปดหน้า ทรงสบิ สองหน้า ทรงย่สี ิบหนา้ จะไดหนาตัดท่ีมีลักษณะคลายวงกลม แต
(tetrahedron) (cube) (octahedron) (dodecahedron) (icosahedron) ถาตัดในแนวขนานกับพื้นราบจะไดหนาตัด
ท่ีมีลักษณะคลายวงร)ี
จากน้ันใหนักเรียนอานสรุปการตัดผลมะนาว
และผลแกวมังกร ในแนวตั้งฉากกับพื้นราบ
และแนวขนานกบั พนื้ ราบในหนงั สอื เรยี น หนา
142-143

4. ครูใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางผลไมหรือ
ส่ิงของมา 10 อยาง จากนั้นใหนักเรียน
ชวยกันลองใชจินตนาการวา “เม่ือตัดผลไม
หรือส่ิงของชนิดนั้น จะไดหนาตัดคลายรูป
เรขาคณติ สองมติ ชิ นิดใด”

5. ครูสรุปใหนักเรียนฟงวา การตัดรูปเรขาคณิต
สามมิติตามแนวตางๆ อาจไดหนาตัด
เหมอื นกัน หรอื หนา ตดั ตา งกนั กไ็ ด

การตดั รปู เรขาคณติ สามมติ ติ ามแนวการตดั ตา่ ง ๆ จะไดภ้ าพหนา้ ตดั เปน็ รปู เรขาคณติ สองมติ ิ
ซ่ึงแบง่ หน้าตัดได้ 2 ลักษณะ คือ
1) ภาพหนา้ ตัดทไ่ี ดจ้ ะเป็นรปู เรขาคณติ สองมติ ชิ นิดเดยี วกนั
2) ภาพหนา้ ตัดท่ีได้จะเป็นรูปเรขาคณิตสองมติ ติ า่ งชนดิ กัน
โดยมรี ายละเอียด ดงั น้ี

143

กจิ กรรม สรา งเสริม เกร็ดแนะครู

ใหน กั เรียนปฏิบตั ิตามกิจกรรมตอไปนี้ จากกิจกรรมสรางเสริมและกิจกรรมทาทาย เมื่อนักเรียนทํากิจกรรม
• นาํ ผลไมมา 1 ชนิด และมีด 1 ดา ม เสร็จแลว ครูควรคัดเลือกนักเรียนท่ีมีผลงานนาสนใจออกมานําเสนอ แลวให
• ใชมีดตดั ผลไมต ามแนวขวางและแนวตัง้ นกั เรยี นชว ยกนั สรปุ รปู เรขาคณติ สามมติ ทิ เี่ กดิ จากการตดั ทรงสามมติ ดิ ว ยระนาบ
• บอกชอื่ รูปเรขาคณติ ของหนาตดั ตามแนวตง้ั ฉากกบั พ้นื ราบ และขนานกบั พน้ื ฐาน

กจิ กรรม ทาทาย นักเรียนควรรู

ใหนกั เรยี นปฏบิ ตั ติ ามกิจกรรมตอไปน้ี 1 แกวมังกร (Dragon fruit) เปนผลไมท่ีมีสารอาหารหลายชนิด เชน
• ปรซิ มึ หา เหลย่ี ม พีระมิดฐานสี่เหล่ียมและกรวย เลือกสราง โพแทสเซยี ม ฟอสฟอรสั แคลเซยี ม แมกนเี ซยี ม วติ ามนิ ซี และเสน ใย มสี รรพคณุ
ชวยปองกันการอุดตันของหลอดเลือดหัวใจ ลดความดันโลหิต ปองกันมะเร็ง
รูปเรขาคณิตสามมติ ทิ ีก่ ําหนด 1 รูป ลําไสใหญ และอ่นื ๆ
• เขียนภาพแสดงการตัดรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีเลือก โดยใช
T155
ระนาบตดั ตามแนวนอน แนวตัง้ และแนวเอยี ง
• บอกชอ่ื รูปเรขาคณติ ของหนาตัด

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน จงพจิ ารณาทรงกลมต่อไปน้ี

เขา้ ใจ (Understanding) 1) ถา้ ใช้ระนาบตดั ทรงกลมในแนวต้ังฉากกบั พ้ืนราบ จะไดห้ น้าตัดเป็นวงกลม

1. ครใู หน กั เรยี นจดั กลมุ กลมุ ละ 4 คน คละความ
สามารถทางคณติ ศาสตร แลว ทาํ กจิ กรรม ดงั น้ี
- ใหนักเรียนแตละกลุมปนทรงกลม 2 อัน
จากดินน้ํามัน แลวนํารูปเรขาคณิตสามมิติ
ท้ังสองมาตัดตามแนวตั้งฉากกับพื้นราบ
และแนวขนานกับพ้นื ราบ
- แตละกลมุ รวมกันวเิ คราะหวา หนาตดั ท่ไี ด
เปนรูปเรขาคณิตสองมิติชนิดใด จากน้ัน
วาดรูปเรขาคณิตสามมิติ และหนาตัดที่ได
ลงสมุดของตนเอง

ระนาบตดั ทรงกลมในแนวตง้ั ฉากกับพ้นื ราบ หน้าตดั เป็นวงกลม

2) ถ้าใชร้ ะนาบตดั ทรงกลมในแนวขนานกบั พื้นราบ จะได้หน้าตดั เป็นวงกลม

ระนาบตดั ทรงกลมในแนวขนานกบั พน้ื ราบ หน้าตัดเป็นวงกลม

144

T156 ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET

ขอใดกลาวถกู ตองสมบรู ณ
1. รูปเรขาคณิตสามมติ ทิ ่มี หี นา ตัดเปนวงกลม เรยี กวา ทรงกระบอก
2. รปู เรขาคณิตสามมติ ทิ ม่ี ฐี านเปน วงกลม มจี ดุ ยอดทไี่ มอยบู นระนาบเดยี วกับฐาน เรยี กวา กรวย
3. สงู เอยี ง จะมเี ฉพาะพรี ะมิด
4. ลกู บาศกเปนปริซมึ ทม่ี ีทุกหนา ตัดเปนรูปสีเ่ หลย่ี มจัตุรัส
(เฉลยคําตอบ
1. ไมถูก เพราะทรงกระบอกเปนรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีหนาตัดหรือฐานทั้งสองเปนรูปวงกลมที่มีขนาดเทากันและอยูใน
ระนาบที่ขนานกัน
2. ไมถ กู เพราะกรวยเปน รปู เรขาคณติ สามมติ ทิ มี่ ฐี านเปน วงกลม มจี ดุ ยอดทไี่ มอ ยรู ะนาบเดยี วกบั ฐาน และเสน ทต่ี อ ระหวา ง
จดุ ยอดและจุดใดๆ บนขอบของฐานเปน สวนของเสน ตรง
3. ไมถกู เพราะเสนทลี่ ากจากยอดแหลมของรปู เรขาคณิตสามมติ ไิ ปตง้ั ฉากกบั ขอบของฐาน เรียกวา สงู เอยี ง ซงึ่ พีระมดิ
และกรวยจะมีสงู เอยี ง
4. ถกู เพราะปรซิ ึมทรงสีเ่ หลย่ี มมมุ ฉาก มดี านทกุ ดา นยาวเทากนั เรยี กวา ลกู บาศก
ดังน้ัน คาํ ตอบ คือ ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

จงพจิ ารณาทรงกระบอกต่อไปนี้ ขนั้ สอน

1) ถา้ ใชร้ ะนาบตดั ทรงกระบอกในแนวตงั้ ฉากกบั พนื้ ราบ จะไดห้ นา้ ตดั เปน็ รปู สเ่ี หลยี่ ม เขา้ ใจ (Understanding)

มมุ ฉาก 2. ครใู หน กั เรยี นจดั กลมุ กลมุ ละ 4 คน คละความ
สามารถทางคณติ ศาสตร แลว ทาํ กจิ กรรม ดงั น้ี
ระนาบตดั ทรงกระบอกในแนวตัง้ ฉากกับพ้ืนราบ หนา้ ตดั เปน็ รูปสเี่ หล่ียมมมุ ฉาก - ใหนักเรียนแตละกลุมปนทรงกระบอกจาก
ดินน้ํามัน 1 ช้ิน แลวนํารูปเรขาคณิต
2) ถา้ ใช้ระนาบตดั ทรงกระบอกในแนวขนานกบั พ้นื ราบ จะไดห้ น้าตัดเปน็ วงกลม สามมิติท้ังสองมาตัดตามแนวต้ังฉากกับ
พ้ืนราบและแนวขนานกับพน้ื ราบ
- แตละกลุมรว มกันวิเคราะหว า หนาตัดท่ไี ด
เปนรูปเรขาคณิตสองมิติชนิดใด จากน้ัน
วาดรูปเรขาคณิตสามมิติ และหนาตัดของ
รูปเรขาคณิตสามมิติแตละชนิดลงสมุดของ
ตนเอง
- เมื่อเสร็จแลวใหนําสงครู โดยครูคอย
ตรวจสอบความถูกตอ ง
จากนั้นใหนักเรียนอานสรุปการตัดทรงกลม
และทรงกระบอก ในแนวตั้งฉากกับพื้นราบ
และแนวขนานกับพื้นราบในหนังสือเรียน
หนา 144-145

3. ครูใหนักเรียนทํา Exercise 4.1 ขอ 1. ใน
แบบฝก หดั คณติ ศาสตร จากนนั้ ครแู ละนกั เรยี น
รว มกันเฉลยคาํ ตอบ

4. ครูใหน ักเรียนทําแบบฝก ทกั ษะ 4.1 ขอ 1. ใน
หนงั สือเรียน หนา 148 เปนการบา น

ระนาบตัดทรงกระบอกในแนวขนานกบั พน้ื ราบ หนา้ ตัดเป็นวงกลม

145

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET บูรณาการอาเซียน

ถาใชระนาบตัดทรงกระบอกตามแนวเอียง จะไดหนาตัดเปน ตราสัญลักษณอาเซียนประกอบดวยรวงขาว วงกลมสีแดง ขอบสีขาว
รูปเรขาคณติ สองมิติตรงกับขอใด และนํ้าเงิน และตัวอักษรคําวา “ASEAN” ในที่น้ีจะกลาวถึงความหมายของ
รูปวงกลมสีแดง ขอบสีขาว และสนี ํ้าเงนิ วาพน้ื ทว่ี งกลมสีแดง ขอบสขี าว และ
1. วงกลม สีนํ้าเงินน้นั แสดงถงึ ความเปนเอกภาพของกลุม ประชาคมอาเซียน
2. วงรี
3. รูปสามเหล่ียม
4. รูปส่เี หลี่ยมมมุ ฉาก
(เฉลยคําตอบ
ใชร ะนาบตัดทรงกระบอก
ตามแนวเอียงหนาตัดที่ได
จะเปน รปู วงรี ดงั รูป
ดงั นั้น คาํ ตอบ คือ ขอ 2.)

T157

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน จงพิจารณาทอ่ นไม้ทม่ี ีหน้าตดั เปน็ รปู สเี่ หลีย่ มจัตรุ สั ตอ่ ไปน้ี

เขา้ ใจ (Understanding) 1) ถ้าเลอ่ื 1ยทอ่ นไมน้ ้แี บ่งออกเป็น 2 ทอ่ 2น โดยเลอ่ื ยในแนวต้ังฉากกบั ความยาวของ

5. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคําตอบแบบฝก ท่อนไม้
ทักษะ 4.1 ขอ 1. จะไดท้ ่อนไม้สองทอ่ นท่มี หี น้าตดั เป็นรปู สี่เหลย่ี มจัตุรัสเหมอื นกัน

6. ครูกลาวทบทวนการตัดรูปเรขาคณิตสามมิติ 2) ถา้ ตดั ทอ่ นไมน้ ้ตี ่อไปในลักษณะเดมิ จะไดท้ ่อนไมท้ ม่ี หี นา้ ตัดเปน็ รูปสีเ่ หลย่ี มจตั ุรสั
ตามแนวการตัดตางๆ วา จะไดรูปหนาตัด
เปน รปู เรขาคณติ สองมิติที่มี 2 ลักษณะ คือ เหมอื นกนั จ�านวนหลายทอ่ น และแต่ละท่อนมคี วามยาวสน้ั ลง
1) ภาพหนาตัดที่ไดจะเปนรูปเรขาคณิต
สองมติ ชิ นดิ เดียวกัน
2) ภาพหนาตัดที่ไดจะเปนรูปเรขาคณิต
สองมติ ติ า งชนิดกนั

7. ครูใหนักเรียนศึกษาการเล่ือยทอนไมใน
หนังสือเรียน หนา 146 แลวตอบคําถาม
“Thinking Time”

8. ครแู ละนกั เรยี นรว มกนั เฉลยคาํ ตอบ “Thinking
Time”

9. ครใู หน กั เรียนทาํ Exercise 4.1 ขอ 2.-3. ใน
แบบฝกหัดคณิตศาสตร แลวครูและนักเรียน
รวมกนั เฉลยคาํ ตอบ

เฉลย Thinking Time Thinking Time

หนาตัดของไมจะมีลักษณะไมเปนรูปสี่เหลี่ยม ถา้ นา� ทอ่ นไมท้ มี่ หี นา้ ตดั เปน็ รปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั มาตดั โดยใชเ้ ลอื่ ยตดั ตง้ั ฉากกบั ความยาวจะไดห้ นา้ ตดั
จัตุรัส เพราะวาไมทอนน้ีมีความยาวไมเทากับ ของท่อนไมเ้ ป็นรูปสี่เหล่ยี มจตั ุรัส แต่ถา้ ใช้เลื่อยตัดให้ตงั้ ฉากกับความกว้างหรอื ความสูง นักเรียนคิดวา่
กับความกวางและความสูง เมื่อใชเล่ือยตัดให หน้าตัดของทอ่ นไมจ้ ะมีลักษณะเปน็ รูปสเ่ี หล่ียมจตั รุ สั หรือไม่ เพราะเหตุใด
ต้ังฉากกับความกวางหรือความสูง จะไดหนาตัด
ของไมทอนนีม้ ีลกั ษณะเปน รูปสเ่ี หลีย่ มผนื ผา 146

นักเรียนควรรู กิจกรรม 21st Century Skills

1 เลื่อย (Saw) เปนเครื่องมือสําหรับตัด มีใบเล่ือยทําดวยเหล็กกลา ดาน จากคําถามของ Thinking Time ครูอาจใหนักเรียนไดทํา
ที่ใชเล่ือยมีคมเปนฟนจักๆ เลื่อยเปนเคร่ืองมือพ้ืนฐานที่สําคัญอีกอยางหนึ่ง กิจกรรมทสี่ ง เสริมทักษะในศตวรรษท่ี 21 กลา วคอื การใหน กั เรียน
สําหรับงานชาง ปจจุบันมีใหเลือกมากมายหลายชนิดสามารถแบงไดตามวัสดุ ลงมือปฏบิ ัตจิ รงิ ในการเลอื่ ยไมใ หต ั้งฉากกบั ดา นกวางหรือดา นสงู
ที่นํามาตัด เชน เล่ือยไม เล่ือยโลหะ เปน ตน เพ่ือตอบคําถามของ Thinking Time โดยการใหนักเรียนจัดกลุม
2 ทอ น หมายถงึ สว นทตี่ ดั หรอื ทอนออกเปน ตอนๆ เชน ทอนหัว ทอนกลาง กลุมละ 5 คน สรางสถานการณการเลื่อยไมใหตัดตั้งฉากกับ
ทอนหาง หรือลักษณนามเรียกส่ิงท่ีตัดแบงหรือทอนออกเปนทอนๆ เชน ฟน ดานกวางหรือดานสูง จากคอมพิวเตอร ดวยการใชโปรแกรม
ทอ นหนง่ึ ฟน 2 ทอน เปนตน The Geometer’s Sketchpad (GSP) สรางเปนแอนิเมชันของ
ไมที่ถูกเลื่อยออกเปนสองทอนนั้นแยกออกจากกัน แลวไดเปน
รูปเรขาคณติ สองมิตริ ปู ใด จากนั้นนาํ เสนอหนาชั้นเรยี น

T158

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

กิจกรรม คณิตศาสตร์ ขนั้ สอน

ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ กลมุ่ ละ 4 - 5 คน แลว้ ชว่ ยกนั ทÓกจิ กรรมตอ่ ไปนี้ ลงมอื ทาํ (Doing)
อุปกรณ์
1. ครูใหนกั เรยี นแบง กลุม 4 กลุมเทา ๆ กัน แลว
โอเอซิส มดี คัตเตอร์ ทํากิจกรรม ดังน้ี
- ใหนักเรียนแตละกลุมชวยกันทํากิจกรรม
1. ใหน้ กั เรยี นตัดโอเอซสิ ให้มีความยาวดา้ นละ 8 เซนติเมตร คณิตศาสตร ในหนังสือเรียน หนา 147
2. จงลองจนิ ตนาการรปู หรือหนา้ ตดั ทีไ่ ด้จากการตดั โอเอซสิ ดว้ ยมีดคตั เตอร์ตามแนวการตัด โดยเขยี นลงในสมุดของตนเอง
- จากน้ันครสู ุม ตัวแทนนกั เรยี นกลมุ ละ 1 คน
ทกี่ �าหนดใหต้ อ่ ไปนี้ (4 กลุม) มานําเสนอผลงานพรอมทั้งบอก
1) ตัดในแนวต้ังฉากกับพื้นราบ หนาตัดที่ได ดงั น้ี
2) ตดั ในแนวขนานกับพน้ื ราบ ตัวแทนคนท่ี 1 นําเสนอผลงานท่ีตัดใน
3) ตัดในแนวเสน้ ทแยงมุม แนวตง้ั ฉากกบั พนื้ ราบพรอ มทง้ั บอกหนา ตดั
4) ตดั มมุ ของโอเอซิส ทีไ่ ด
3. ใหน้ ักเรยี นตัดโอเอซิสด้วยมีดคตั เตอรต์ ามแนวการตดั ท่ีกา� หนดให้ในขอ้ 2. พร้อมท้ัง ตัวแทนคนท่ี 2 นําเสนอผลงานที่ตัดใน
เขยี นภาพหน้าตัดทไ่ี ดจ้ ากการตัดโอเอซิส แนวขนานกับพื้นราบพรอมทั้งบอกหนาตัด
4. จงเปรียบเทยี บภาพหน้าตัดของโอเอซสิ ทีต่ ัดตามแนวการตัดตา่ ง ๆ กบั ภาพที่นกั เรียน ทไี่ ด
ตัวแทนคนที่ 3 นําเสนอผลงานท่ีตัดใน
จนิ ตนาการไว้ ว่ามีความเหมือนหรอื แตกตา่ งกนั อยา่ งไร แนวเสนทแยงมมุ พรอ มท้งั บอกหนา ตัดท่ไี ด
ตัวแทนคนที่ 4 นําเสนอผลงานที่ตัดมุม
ของโอเอซสิ พรอ มทง้ั บอกหนา ตดั ท่ีได

147

เฉลย กิจกรรมคณติ ศาสตร์ 3.3 ตัดโอเอซสิ ตามแนวเสนทแยงมมุ

1. ตัดโอเอซิสดา นละ 8 เซนตเิ มตร ดงั นี้ ระนาบตัดโอเอซสิ ในแนวเสนทแยงมุม หนา ตัดเปน รูปสีเ่ หล่ียมผืนผา

8 ซม. 3.4 ตดั มมุ ของโอเอซสิ
8 ซม. 8 ซม.

2. มีหลากหลายคําตอบตามจินตนาการของนกั เรยี นแตละคน
3. ตดั โอเอซิสตามแนวที่กําหนด ดงั นี้

3.1 ตัดโอเอซิสตามแนวตัง้ ฉากกบั พืน้ ราบ

ระนาบตดั โอเอซิสในแนวตั้งฉากกับฐาน หนา ตัดเปน รูปสเี่ หลยี่ มจตั รุ ัส ระนาบตัดมมุ ของโอเอซสิ หนา ตัดเปนรปู สามเหล่ยี ม

3.2 ตดั โอเอซสิ ตามแนวขนานกบั พ้ืนราบ 4. มหี ลากหลายคําตอบตามจนิ ตนาการของนกั เรยี นแตละคนทไ่ี ด
จินตนาการไวใ นขอ 2.

ระนาบตัดโอเอซิสในแนวขนานกับฐาน หนา ตัดเปน รูปสเี่ หลย่ี มจัตุรสั T159

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน แบบฝึกทักษะ 4.1

ลงมอื ทาํ (Doing) ระดบั พน้ื ฐาน

2. ครใู หนกั เรยี นทําแบบฝกทักษะ 4.1 ขอ 2.-3. 1. จ งเขียนภาพและบอกชอ่ื หน้าตดั ท่ีเกดิ จากการใชร้ ะนาบตัดรปู เรขาคณิตสามมิติในลักษณะ
เปนการบาน ตา่ งกันในแตล่ ะข้อต่อไปนี้

ขน้ั สรปุ 1) 2)

ครูถามคําถามเพ่ือสรุปความรูรวบยอดของ 3) 4)
นักเรยี นวา
5) 6)
• นักเรียนไดเรียนรูหนาตัดที่เกิดจากการตัด
2 แนว มอี ะไรบาง
(แนวตอบ แนวต้ังฉากกับพ้ืนราบ และแนว
ขนานกบั พืน้ ราบ)

• การตัดรูปเรขาคณิตสามมิติตามแนว
การตัดตางๆ จะไดรูปหนาตัดเปนรูป
เรขาคณิตสองมิติท่ีมี 2 ลักษณะ คือ
อะไรบา ง
(แนวตอบ ภาพหนาตัดท่ีไดจะเปนรูป
เรขาคณิตสองมิติชนิดเดียวกัน และภาพ
หนาตัดท่ีไดจะเปนรูปเรขาคณิตสองมิติ
ตางชนดิ กัน)

7) 8)

148

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
ถาใชระนาบตัดทรงสี่เหล่ียมมุมฉากตามแนวเฉียงโดยใหตัด
ครเู นน ยาํ้ ลกั ษณะและคาํ ศพั ทเ กยี่ วกบั รปู เรขาคณติ เชน วงรี รปู สามเหลย่ี ม จดุ กง่ึ กลางของดานกวาง ดานยาว และตัดที่ฐานตามแนวทแยง
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปส่ีเหลี่ยมผืนผา เปนตน และเนนย้ําการตัดรูปเรขาคณิต หนาตัดทไี่ ดจะเปน รปู เรขาคณิตสองมติ ิตรงกับขอ ใด
สามมิติตองใชพ้ืนฐานความรูรูปเรขาคณิตสองมิติและทักษะคิดวิเคราะหผล 1. รปู สามเหลีย่ ม 2. รปู สี่เหลีย่ มผนื ผา
ทจี่ ะเกดิ ขนึ้ 3. รปู ส่ีเหลย่ี มจัตุรสั 4. รูปสีเ่ หล่ยี มคางหมู

(เฉลยคําตอบ จากขอความท่ีโจทยกําหนดสามารถสรางรูปได
ดังนี้

ดงั นัน้ คาํ ตอบ คือ ขอ 4.)

T160

นาํ สอน สรปุ ประเมิน

ระดับ กลาง ขน้ั ประเมนิ

2. จงเขียนภาพหน้าตัดทเ่ี กิดจากการใช้ระนาบตัดรูปเรขาคณติ สามมิติทกี่ า� หนดให้ 1. ครูตรวจแบบฝกทกั ษะ 4.1
ตามแนวการตัดต่อไปนี้ 2. ครูตรวจ Exercise 4.1
1) ตดั ตามแนวขนานกับพน้ื ราบ 3. ครปู ระเมินการนําเสนอผลงาน
2) ตัดตามแนวต้ังฉากกับพืน้ ราบ 4. ครสู ังเกตพฤตกิ รรมการทํางานรายบุคคล
5. ครูสังเกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลุม
6. ครูสังเกตคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค

(1) (2)

(3) (4)

ระดับ ท้าทาย

3. จากรูปทรงสเี่ หล่ยี มมมุ ฉาก ABCDEFGH
E F จงตอบค�าถามตอ่ ไปน้ี
1) รูปส่ีเหล่ียม AEFB เป็นหน้าตัดท่ีเกิดจากการตัด
H G ทรงส่เี หลี่ยมมมุ ฉากในแนวการตัดใด

D C 2) ร ปู สามเหลี่ยม DHC เป็นหน้าตดั ที่เกดิ จากการตัด
ทรงสี่เหลย่ี มมมุ ฉากในแนวการตดั ใด
3) ร ปู สามเหลยี่ ม AGD เป็นหนา้ ตัดทีเ่ กิดจากการตัด
AB ทรงส่เี หลีย่ มมุมฉากในแนวการตดั ใด

149

กิจกรรม เสรมิ สรางคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค เกร็ดแนะครู

ใหน ักเรียนแบง กลมุ กลมุ ละ 5 คน ศกึ ษาภาพหนาตัดทีไ่ ดจาก กอนใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะ 4.1 ครูควรสรางความเขาใจและเนนยํ้า
การตัดทรงกรวยตามแนวตางๆ จะไดเปนรูปเรขาคณิตชนิดใด เก่ียวกับคําศพั ท เชน บอกชื่อหนา ตัด แนวขนานกับฐานกบั แนวตงั้ ฉากกับฐาน
ไดบาง จงอธิบายรายละเอียดที่สําคัญพอสังเขป พรอมทั้งเขียน โดยอธบิ ายเพ่มิ เชน
ภาพประกอบทิศทางการตัด โดยกําหนดเวลาศึกษา 1 สัปดาห
จัดทําลงในกระดาษ A4 สงครูตามเวลาที่กําหนด อีกท้ังนําเสนอ บอกช่อื หนา ตัด หมายถึง บอกช่ือรูปเรขาคณิตของหนาตดั
หนา ชัน้ เรยี น

กําหนดภาพทรงกรวย ดังน้ี

T161

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching) 4.2 การอธบิ ายภาพสองมิตทิ ี่ไดจ ากการมองดา นหนา

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge) ดานขา ง และดา นบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ

ครูทบทวนความรูเร่ือง ความสัมพันธระหวาง การมองวัตถุหรือรูปเรขาคณิตสามมิติต่าง ๆ ผู้มองอาจจะเห็นภาพเรขาคณิตสองมิติของ
รูปเรขาคณิตสองมติ แิ ละสามมิติ และความรูเรื่อง รปู เรขาคณติ สามมิตริ ปู เดียวกันตา่ งกนั ขนึ้ อยู่กับว่ามองวัตถุนัน้ ๆ ด้านใด ซึง่ ในท่นี ้ีจะพิจารณา
หนา ตัดของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ การมองดา้ นหนา้ ดา้ นขา้ ง และดา้ นบน โดยการมองตอ้ งมองในทศิ ทางหรอื แนวตง้ั ฉากกบั ดา้ นนน้ั ๆ

ขนั้ สอน ดา้ นบน ดา้ นบน

รู้ (Knowing) ดา้ นข้าง ด้านข้าง

1. ครกู ลา ววา “ในชวี ติ ประจาํ วนั เรามกั พบสง่ิ ของ ดา้ นหนา้ ด้านหนา้
ทเี่ ปน รปู ทรงหรอื รปู เรขาคณติ สามมติ อิ ยเู สมอ
ซ่ึงรูปเรขาคณิตสามมิติเหลานี้ เมื่อมองจาก จงพิจารณารปู เรขาคณิตสามมิติต่อไปน้ี
ทางดานใดดานหน่ึงโดยใหแนวสายตาตั้งฉาก
กับดานที่มอง เราจะเห็นเปนรูปเรขาคณิต ปริซมึ สามเหลีย่ ม ทรงกลม
สองมิติ” ซึ่งการมองรูปเรขาคณิตสามมิติ
สามารถกาํ หนดมมุ มองได 3 แบบ คือ ถ้ามองปริซึมสามเหล่ียมและทรงกลมที่วางเรียงบนระนาบดังรูปข้างบน จากการมอง
- การมองดานหนา (front view) เปนการ ดา้ นหน้า ด้านขา้ ง และดา้ นบน จะไดภ้ าพทีไ่ ด้จากการมอง ดงั นี้
มองวัตถใุ นดานทอี่ ยใู กลผ ูมองมากท่ีสุด
- การมองดานขาง (side view) เปนการ ดา้ นหน้า ภาพดา้ นหนา้ ภาพด้านข้าง ภาพด้านบน
มองวัตถุทางดานซายหรือทางดานขวาของ ปรซิ มึ สามเหล่ยี ม
ผูมอง
- การมองดานบน (top view) เปนการ
มองวตั ถทุ อี่ ยตู าํ่ กวา ผมู อง หรอื เปน การมอง
จากท่ีสูงลงมา

ด้านหนา้ ภาพด้านหนา้ ภาพดา้ นขา้ ง ภาพดา้ นบน
ทรงกลม

จากรปู เรขาคณติ สามมติ ขิ า้ งตน้ จะเหน็ วา่ รปู เรขาคณติ สามมติ บิ างรปู ไมว่ า่ จะมองดา้ นหนา้
ด้านข้าง หรือด้านบน จะได้ภาพสองมิติเหมือนกัน แต่รูปเรขาคณิตสามมิติบางรูป จะได้ภาพ
สองมติ แิ ตกตา่ งกนั

150

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET

ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนไดทําความเขาใจกับขอความสามบรรทัดแรก จากรูปเรขาคณิตสามมิติท่กี ําหนดให
ของหนังสือเรียน หนา 150 จากน้ันครูขออาสาสมัครนักเรียน 2 คน แสดง ขอใดเขียนแสดงภาพสองมิตทิ ไ่ี ดจ ากการมอง
ความคิดเห็นหรือขยายความเขาใจของนักเรียน ครูเนนย้ํากับนักเรียนวา ดานหนาไดถ ูกตอง
ภาพท่ีไดจากการมองรูปเรขาคณิตสามมิติในแตละดานอาจจะเหมือนกันหรือ
แตกตางกัน ข้นึ อยูกับลกั ษณะและรูปรา งของรปู เรขาคณติ สามมติ ินนั้ 1. 2.

3. 4.

T162 (เฉลยคําตอบ กรวยเปนรูปเรขาคณิตสามมิติ เมื่อมองจาก
ดา นหนา จะมีลักษณะเปนรูปสามเหล่ียม

ดงั น้ัน คาํ ตอบ คือ ขอ 1.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ภาพสองมิติที่ได้จากการมองด้านหน้า ด้านข้าง และด้านบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ ขน้ั สอน
จะไมส่ ามารถระบุชนดิ ของภาพสองมิตนิ ั้นได ้ แตส่ ามารถเขยี นภาพแสดงได้
จงพจิ ารณาการมองรูปเรขาคณิตสามมิตติ อ่ ไปน้ี รู้ (Knowing)

ดา้ นหน้า 2. ครหู ยบิ แกว นาํ้ (ทรงกระบอก) ขนึ้ มา แลว ถาม
คาํ ถามวา
ภาพที่ได้จากการมองรปู เรขาคณิตด้านหนา้ ไดแ้ ก่สว่ นทแ่ี รเงาตามรูปขา้ งล่างน ้ี ภาพทีไ่ ด้ • (ครูช้ีแสดงการมองทางดานหนา) เม่ือมอง
จากการมองดา้ นหน้า เรียกวา่ ภาพด้านหนา้ แกวนํ้าทางดา นหนา จะเห็นเปนรูปอะไร
(แนวตอบ รูปสีเ่ หลยี่ มผนื ผา )
ทิศทางการมองดา้ นหนา้ ภาพดา้ นหน้า • (ครูชี้แสดงการมองทางดานขาง) เม่ือมอง
แกว นํา้ ทางดานขาง จะเหน็ เปนรูปอะไร
ภาพท่ีได้จากการมองรูปเรขาคณิตด้านข้าง ได้แก่ส่วนท่ีแรเงาตามรูปข้างล่างน้ี ภาพท่ีได้ (แนวตอบ รปู ส่เี หลย่ี มผืนผา)
จากการมองด้านข้าง เรียกว่า ภาพดา้ นขา้ ง • (ครูช้ีแสดงการมองทางดานบน) เมื่อมอง
แกวน้ําทางดา นบน จะเห็นเปนรูปอะไร
(แนวตอบ วงกลม)

3. ครูวาดรูปใหนักเรียนดูบนกระดานประกอบ
การเฉลยคําตอบ

4. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางการมองรูป
เรขาคณิตสามมิติในหนังสือเรียน หนา 151
จากนั้นครูบอกนักเรยี นวา
- ภาพทีไ่ ดจากการมองทางดา นหนา เรียกวา
ภาพดา นหนา
- ภาพที่ไดจากการมองทางดานขาง เรียกวา
ภาพดา นขา ง

ทศิ ทางการมอง
ด้านข้าง

ภาพดา้ นขา้ ง

151

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET

รปู ทีก่ ําหนดเปนรูปทเ่ี กิดจากการมองจากดา นบนของรปู เรขาคณิตสามมติ ใิ นขอใด
1. 2. 3. 4.

(เฉลยคาํ ตอบ เมือ่ พจิ ารณาจากรูปที่กําหนดและทิศทางการมองจะไดร ปู ตรงกบั ขอ 2.
ดังนั้น คําตอบ คอื ขอ 2.)

T163

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ภาพท่ีได้จากการมองรูปเรขาคณิตด้านบน ได้แก่ส่วนท่ีแรเงาตามรูปข้างล่างนี้ ภาพที่ได้
จากการมองด้านบน เรยี กวา่ ภาพด้านบน
รู้ (Knowing)
ทิศทางการมองดา้ นบน
5. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางการมองรูป
เรขาคณิตสามมิติในหนังสือเรียน หนา 152 ภาพดา้ นบน
จากนั้นครูบอกนักเรียนวา ภาพที่ไดจาก
การมองทางดานบน เรียกวา ภาพดา นบน ในการเขยี นภาพเพอ่ื แสดงลกั ษณะของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ นยิ มเขยี นภาพของรปู เรขาคณติ
สามมติ นิ ั้นกบั ภาพอกี 3 ภาพ ท่ีได้จากการมองดา้ นหนา้ ด้านข้าง และด้านบนไว้ด้วยกันภายใน
6. ครอู ธบิ ายเพมิ่ เตมิ วา “การเขยี นภาพเพอื่ แสดง กรอบรูปส่ีเหลยี่ ม ดงั ตัวอย่าง
ลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติ นิยมเขียน
ภาพของรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นกับภาพอีก ภาพด้านบน
3 ภาพ คือ ภาพที่ไดจากการมองดานหนา
ดา นขาง และดา นบนไวด ว ยกัน”

เขา้ ใจ (Understanding)

1. นกั เรยี นทํา “Thinking Time” โดยยกตวั อยา ง
พรอ มทง้ั วาดรปู ประกอบ (รปู เรขาคณติ สามมติ ิ
และภาพดานหนา ภาพดานขาง และภาพ
ดานบน)

2. ครูใหนักเรียนทํา Exercise 4.2 ขอ 1. ใน
แบบฝก หดั คณติ ศาสตรเ ปนการบาน

ภาพดา้ นหนา้ ภาพดา้ นขา้ ง

เฉลย Thinking Time Thinking Time

ลูกฟุตบอล (หรือส่ิงของที่เปนทรงกลม) นกั เรยี นคดิ วา่ สงิ่ ของอะไรบา้ งในชวี ติ ประจา� วนั ทมี่ ภี าพทไ่ี ดจ้ ากการมองดา้ นหนา้ ดา้ นขา้ ง และดา้ นบน
ลูกเตา (หรือส่ิงของท่ีเปนลูกบาศก) หรืออ่ืนๆ เหมอื นกนั
(แนวคาํ ตอบมไี ดห ลากหลายขน้ึ อยกู บั ประสบการณ
ของนักเรยี นแตล ะคน) 152

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
รูปเรขาคณิตสามมิติในขอใดมีภาพจากการมองดานหนา
ครูควรเพ่ิมทักษะการสรางรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีรูปรางแตกตางกัน ดา นบน ดานขา ง ดังนี้
โดยใหนักเรียนฝกวาดรูปสามมิติ (Isometric) หรืออาจบูรณาการเชื่อมสาระ
โดยเชญิ ครผู สู อนศิลปะที่มคี วามชาํ นาญการวาดรปู ทรงสามมติ ิมาเปน วิทยากร

ดา นหนา ดา นบน ดานขา ง

1. ทรงสามเหลยี่ มมุมฉาก 2. ทรงส่เี หลี่ยมมุมฉาก
3. พีระมดิ ฐานสีเ่ หลีย่ ม 4. ปริซึมสามเหล่ยี ม

(เฉลยคาํ ตอบ รูปพีระมิดเม่ือมองจากดานหนาและดานขาง
จะเปน รปู สามเหลยี่ มหนา จั่วท่มี ยี อดรวมกัน เม่ือมองจากดานบน
จะเปน รปู สี่เหลย่ี ม

ดังน้นั คําตอบ คอื ขอ 3.)

T164

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตัวอยา่ งที่ 1 ขน้ั สอน

จงเขยี นภาพเพ่อื แสดงลกั ษณะของรปู เรขาคณิตสามมติ ทิ กี่ �าหนดให้ โดยเขยี นภาพท่ีได้จาก รู้ (Knowing)
การมองด้านหนา้ ด้านขา้ ง และด้านบน
วิธที า� 1. ครูและนักเรยี นรวมกนั เฉลยคาํ ตอบ Exercise
4.2 ขอ 1.
ภาพด้านหน้า
2. ครูทบทวนการมองรูปเรขาคณิตสามมิติ
ทศิ ทางการมองดา้ นหนา้ ดานหนา ดานขาง และดานบน โดยการ
ถาม-ตอบ
ทิศทางการมอง ภาพดา้ นขา้ ง
ด้านข้าง 3. ครเู ตรยี มอุปกรณตามตวั อยางท่ี 1 ในหนงั สือ
ทิศทางการมองด้านบน เรียน หนา 153 ประมาณ 10 ชน้ิ จากนน้ั ครู
วาดรูปเรขาคณิตสามมิติบนกระดาน แลว
สงอุปกรณใหนักเรียนแบงกันเพ่ือมองภาพ
ดานหนา ดานขาง และดานบน แลวให
นักเรียนแตละคนวาดรูปเรขาคณิตสามมิติ
ภาพดานหนา ภาพดา นขาง และภาพดา นบน
ลงสมดุ โดยครคู อยตรวจสอบความถูกตอ ง

4. ครใู หนักเรียนตรวจสอบวา รปู ที่ตนเองไดจ าก
การมองท้ังสามดานเหมือนกับตัวอยางท่ี 1
หรอื ไม จากหนงั สอื เรยี น หนา 153

ภาพดา้ นบน

เขยี นภาพเพอ่ื แสดงลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมติ ิ ได้ดังน้ี

ภาพดา้ นบน

ภา พด้านหน า้ ภาพด ้านขา้ ง ตอบ

153

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET

จากรูปท่ีกําหนด ภาพทไี่ ดจากการมองดานขางตรงกับขอ ใด

1. 2. 3. 4.

(เฉลยคําตอบ เมื่อมองรูปเรขาคณิตสามมิติจากดานขาง จะไดรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก 3 รูป
เรียงตอ กัน

ดังนน้ั คาํ ตอบ คือ ขอ 1.)

T165

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ตัวอยา่ งที่ 2

รู้ (Knowing) จงเขียนภาพเพ่อื แสดงลกั ษณะของรูปเรขาคณิตสามมิตทิ กี่ า� หนดให้ โดยเขยี นภาพท่ีไดจ้ าก
การมองดา้ นหน้า ดา้ นข้าง และด้านบน
5. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 2 ในหนังสือ วธิ ที �า
เรยี น หนา 154 แลว ครตู ง้ั คาํ ถามตอ ไปน้ี
• ในตวั อยา งที่ 2 นกั เรยี นสงั เกตภาพทไ่ี ดจ าก ทิศทางการมอง ภาพด้านหน้า
การมองดานบน ไดอ ยา งไร ด้านหน้า
(แนวตอบ ภาพที่ไดจากการมองดานบน
จะเปน รูปสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉากติดกัน 3 รูป) ทศิ ทางการมอง ภาพดา้ นขา้ ง
• นักเรียนสังเกตภาพท่ีไดจากการมอง ดา้ นขา้ ง
ดา นหนา ไดอยางไร ทศิ ทางการมองด้านบน
(แนวตอบ ภาพที่ไดจากการมองดานหนา
จะเปนภาพส่ีเหล่ียมมุมฉากท่ีมีรองลึก
ตรงกลาง)
• นักเรียนสังเกตภาพท่ีไดจากการมอง
ดา นขา งไดอ ยางไร
(แนวตอบ ภาพที่ไดจากการมองดานขาง
จะเปน ภาพส่เี หล่ียมผนื ผา )

ภาพดา้ นบน

เขยี นภาพเพอื่ แสดงลกั ษณะของรปู เรขาคณิตสามมิติ ได้ดงั นี้

ภาพดา้ นบน

ภา พดา้ นหน ้า ภา พดา้ นขา้ ง ตอบ

154

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET

กาํ หนดภาพที่ไดจากการมองท้งั สามดา นของรปู เรขาคณติ รปู หนึ่ง ดังนี้

ดานบน ดานหนา ดา นขา ง

รปู เรขาคณติ สามมิตริ ปู ใดตรงกับภาพทีก่ าํ หนด

1. 2. 3. 4.

T166 (เฉลยคําตอบ จากภาพการมองดานบน มีรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก 2 รูป มองดานหนา มีรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก 3 รูป
และมองดานขา ง มีรูปสีเ่ หล่ียมมุมฉาก 2 รูป จะตรงกับภาพในขอ 2.

ดงั นั้น คาํ ตอบ คือ ขอ 2.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ลองท�ำดู ขน้ั สอน

จงเขยี นภาพเพอ่ื แสดงลักษณะของรปู เรขาคณิตสามมิตทิ ่ีกา� หนดให้ โดยเขียนภาพท่ีได้จาก เขา้ ใจ (Understanding)
การมองด้านหน้า ดา้ นขา้ ง และดา้ นบน
1) 2) 1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 155 แลวครูและนักเรียนรวมกันเฉลย
ดา้ นหนา้ ดา้ นหน้า คาํ ตอบ

3) 4) 2. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะ 4.2 ขอ 1.
จากน้นั ครูและนกั เรยี นรว มกนั เฉลยคําตอบ

3. ครูใหนกั เรยี นทาํ แบบฝกทักษะ 4.2 ขอ 2.-4.
และ Exercise 4.2 ขอ 2.-3. ในแบบฝกหัด
คณติ ศาสตรเปน การบา น

ดา้ นหน้า ดา้ นหนา้

แบบฝึกทักษะ 4.2

ระดับ พื้นฐาน

1. จ งเขยี นภาพเพือ่ แสดงลกั ษณะของรูปเรขาคณิตสามมติ ิทก่ี �าหนดให ้ โดยเขียนภาพท่ีได้จาก
การมองดา้ นหน้า ด้านขา้ ง และดา้ นบน
1) 2)

ด้านหน้า ด้านหนา้

3) 4)

ดา้ นหนา้ ดา้ นหนา้

155

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET

จากรปู เรขาคณิตสามมิติทก่ี ําหนด รปู ในขอ ใดเกดิ จากการมองดานบน
1. 2.

3. 4.
(เฉลยคาํ ตอบ เมอ่ื มองจากดานบนของพรี ะมดิ ฐานสี่เหล่ียม จะไดภาพตรงกับขอ 3.
ดังนนั้ คําตอบ คอื ขอ 3.)

T167

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ระดับ กลาง

ลงมอื ทาํ (Doing) 2. จงตรวจสอบว่า ภาพที่ไดจ้ ากการมองด้านหน้า ด้านขา้ ง และดา้ นบนของรปู เรขาคณติ
สามมติ ิในแต่ละขอ้ ต่อไปนเี้ ปน็ ภาพที่ถกู ตอ้ งหรอื ไม่ ถ้าไมถ่ กู ต้องใหแ้ กใ้ หถ้ ูกต้อง
ครใู หน กั เรยี นจดั กลมุ กลมุ ละ 4 คน คละความ
สามารถทางคณิตศาสตร แลว ทาํ กิจกรรม ดังนี้ ขอ้ รูปเรขาคณติ สามมิติ ภาพสองมติ ทิ ่ีมองเหน็ ด้านบน (ค)
ด้านหน้า (ก) ด้านขา้ ง (ข)
- ครวู าดภาพดา นหนา ภาพดา นขา ง และภาพ
ดา นบนของรปู เรขาคณติ สามมติ ชิ นดิ ใดกไ็ ด 1)
บนกระดาน 3-4 ชนดิ
ด้านหนา้
- นักเรียนแตละกลุมรวมกันวิเคราะหวา
ภาพท่ีเกิดจากการมองดานตางๆ เปนการ 2)
มองรูปเรขาคณิตสามมิติชนิดใด แลววาด
รูปเรขาคณิตสามมิติชนิดนั้นลงสมุดของ ดา้ นหน้า
ตนเอง
3)
- ใหตัวแทนกลุมออกมานําเสนอคําตอบหนา
ชน้ั เรยี น โดยเพอื่ นกลมุ ทเ่ี หลอื คอยตรวจสอบ ดา้ นหนา้
ความถูกตอ ง

หมายเหตุ : การวาดรูปเรขาคณิตสามมิติ
เม่อื กาํ หนดภาพดา นหนา ภาพดานขา ง และ
ภาพดานบนให ไมไดกลาวไวในหนังสือเรียน
แตครูอาจจัดกิจกรรมนี้เพ่ือใหนักเรียนได
เขาใจและใชความรูทางเรขาคณิตในการ
วิเคราะหความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิต
สองมติ ิและรูปเรขาคณิตสามมติ มิ ากขึน้

4)

ด้านหน้า

5)

ด้านหน้า
156

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรางเสรมิ

การเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติจากการมองดานตางๆ ของรูปเรขาคณิต ใหนกั เรยี นปฏบิ ตั ติ ามกจิ กรรมตอไปนี้
สามมติ ิ ครคู วรเนน ยาํ้ ใหน กั เรยี นพจิ ารณารปู เรขาคณติ สามมติ วิ า มสี ว นประกอบ • บอกช่ือภาชนะที่มีรูปวงกลม 2 วงเปนสวนประกอบแตรัศมี
เปนรูปเรขาคณิตสองมิติชนิดใดบาง เชน มีสวนของเสนตรง ขอบเปนเสนโคง
มีหลายชนั้ เปน ตน แลวจงึ เขียนรปู เรขาคณิตสองมิตติ ามที่มองเห็น ไมเ ทากันมา 2 ชื่อ
• สรา งรูปเรขาคณติ สามมติ ขิ องภาชนะในขอขางตน
• เขยี นภาพสองมติ ทิ ม่ี องดานหนา ดา นขา ง และดานบน

T168

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

3. จงเขยี นภาพเพื่อแสดงลักษณะของรปู เรขาคณิตสามมิตทิ ีก่ �าหนดให ้ โดยเขยี นแทนท่ีได้จาก ขนั้ สรปุ
การมองดา้ นหนา้ ดา้ นข้าง และดา้ นบน
ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ
1) 2) นักเรียนวา

ด้านหนา้ ดา้ นหน้า • การมองรูปเรขาคณิตสามมิติ สามารถ
กาํ หนดมุมมองได 3 แบบ คอื อะไรบา ง
3) 4) (แนวตอบ การมองดานหนา ดานขาง และ
ดานบน)
ดา้ นหนา้ ด้านหนา้
• การมองดา นหนา (front view) เปน การมอง
ระดบั ทา้ ทาย วตั ถุในดานใด
(แนวตอบ ดา นท่ีอยใู กลผ มู องมากที่สุด)
4. จงเขียนภาพสองมติ ิท่ไี ดจ้ ากการมองด้านหน้า ดา้ นข้าง และดา้ นบนของรปู เรขาคณิต
สามมติ ิต่อไปนี้ • การมองดา นขาง (side view) เปนการมอง
วัตถใุ นดานใด
1) 2) (แนวตอบ ดา นซายหรอื ดา นขวาของผูมอง)

• การมองดานบน (top view) เปน การมอง
วตั ถอุ ยา งไร
(แนวตอบ วัตถุท่ีอยูตํ่ากวาผูมอง หรือเปน
การมองจากทส่ี ูงลงมา)

ขนั้ ประเมนิ

1. ครูตรวจแบบฝกทักษะ 4.2
2. ครูตรวจ Exercise 4.2
3. ครูประเมินการนาํ เสนอผลงาน
4. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทํางานรายบคุ คล
5. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทาํ งานกลมุ
6. ครสู ังเกตลักษณะอนั พึงประสงค

ด้านหนา้ ด้านหนา้

157

กจิ กรรม ทาทาย เกร็ดแนะครู

ภาพดา นบน ภาพดานหนา ภาพดานขาง การเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติจากการมองดานตางๆ ของรูปเรขาคณิต
สามมติ ิ ครคู วรเนน ยา้ํ ใหน กั เรยี นพจิ ารณารปู เรขาคณติ สามมติ วิ า มสี ว นประกอบ
เปนรูปเรขาคณิตหนึ่งมิติและรูปเรขาคณิตสองมิติชนิดใดบาง เชน มีสวนของ
เสน ตรง ขอบเปนเสนโคง มีหลายชนั้ เปนตน แลวจงึ เขยี นรปู เรขาคณติ สองมติ ิ
ตามที่มองเหน็

ใหนักเรียนสรางรูปทรงสามมิติจากรูปเรขาคณิตสองมิติที่ได
จากการมองภาพดา นบน ภาพดานขาง และภาพดา นหนา ตามที่
กําหนดให

T169

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching) 4.3 รูปเรขาคณติ สามมิติทป่ี ระกอบขน้ึ จากลกู บาศก1

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge) “ลูกรูบิก” เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีประกอบจากลูกบาศก์ ซึ่งมีจ�านวนลูกบาศก์ในแต่ละ
ดา้ นเทา่ กนั ลกู รบู กิ ทป่ี รากฏดงั รปู ประกอบดว้ ยลกู บาศกเ์ ลก็ ๆ จา� นวน 27 ลกู หนา้ แตล่ ะหนา้ ของ
ครทู บทวนความรูเ ร่อื ง ภาพสองมติ ทิ เ่ี กดิ จาก ลกู รูบิกจะมีสที แี่ ตกตา่ งกนั ก่อนการเล่นลูกรูบิก ลกู รบู ิกในแต่ละหนา้ จะมีหลายสี การเล่นลกู รูบิก
การมองดานหนา ดานขาง และดานบนของรูป จะต้องท�าการหมุนลูกรูบิกสลับไปมา ซึ่งจะท�าให้แต่ละหน้าของลูกรูบิกเป็นสีเดียวกัน แต่รูป
เรขาคณิตสองมิติ โดยยกตัวอยางแกวกระดาษที่ เรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก์ในเร่ืองน้ี ไม่ได้น�าลูกบาศก์ลูกเล็ก ๆ มาจัดเรียงให้
เปนรูปกรวย แลว ถามคาํ ถามวา เปน็ ทรงลูกบาศกเ์ พยี งอย่างเดียว ดังตัวอยา่ งต่อไปนี้
จงพิจารณาการจดั เรยี งลกู บาศก์จา� นวน 10 ลกู ต่อไปน้ี
• (ครชู ที้ แี่ กว กระดาษดา นหนา ) ภาพทไ่ี ดจ าก
การมองดานหนา เปนรูปอะไร
(แนวตอบ รปู สามเหล่ียม)

• (ครชู ที้ แี่ กวกระดาษดา นขา ง) ภาพทไ่ี ดจาก
การมองดานขา งเปน รูปอะไร
(แนวตอบ รูปสามเหล่ยี ม)

• (ครูชี้ท่ีแกวกระดาษดานบน) ภาพที่ไดจาก
การมองดานบนเปนรูปอะไร
(แนวตอบ วงกลม)

ขนั้ สอน

รู้ (Knowing)

1. ครูใหนักเรียนศึกษาเนื้อหาในหนังสือเรียน
หนา 158 เก่ียวกับลูกรูบิก แลวบอกวา ลูก
รบู กิ เปน ตวั อยา งหนงึ่ ของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ
ทปี่ ระกอบข้ึนจากลูกบาศก

158

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรางเสริม

ครูควรนําลูกบาศกหรือลูกเตามาจัดวางเรียงใหนักเรียนเห็นเปนรูปธรรม ดานหนา
และใหนักเรียน 3 คนออกมาเขียนภาพท่ีไดจากการมองดานหนา ดานขาง
และดานบน ซง่ึ จะไดต ามหนังสือเรียน หนา 159 จากรูปที่กําหนด ใหนักเรียนเขียนภาพแสดงรูปเรขาคณิต
สองมิตทิ ไี่ ดจ ากการมองดา นหนา ดา นขาง และดานบน
นักเรียนควรรู

1 ลูกบาศก (Cube) เปนรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีประกอบดวยรูปสี่เหลี่ยม
ความยาวดา นเทากนั 6 รูป

T170

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

นักเรยี นทราบมาแลว้ วา่ การมองรปู เรขาคณิตสามมิต ิ สามารถกา� หนดมมุ มองได ้ 3 แบบ ขนั้ สอน
คือ มองทางด้านหนา้ ด้านขา้ ง และด้านบน
รู้ (Knowing)
มองด้านบน
2. ครูใหน กั เรยี นแบง กลมุ กลมุ ละ 4-5 คน แลว
มองด้านหนา้ มองด้านข้าง ทํากจิ กรรม ดงั น้ี
- ครวู าดรปู เรขาคณติ สามมติ ดิ งั รปู ในหนงั สอื
การจัดเรียงลูกบาศก์จ�านวน 10 ลูก ท่ีก�าหนดดังภาพ สามารถเขียนแสดงภาพสองมิติ เรียน หนา 159 บนกระดาน
ซงึ่ แสดงจา� นวนลูกบาศกจ์ ากการมองดา้ นหน้า ด้านข้าง และดา้ นบน ดงั น้ี - ครแู จกลกู บาศกใ หก ลุมละ 10 ลกู แลว ให
แตละกลุมชวยกันเรียงลูกบาศกใหเปนรูป
ภาพดา้ นขา้ ง เรขาคณติ สามมติ ิตามแบบทค่ี รูวาด
- นักเรียนแตล ะคนวิเคราะหวา ภาพที่ไดจาก
การมองดา นหนา ดา นขา ง และดา นบนของ
รปู เรขาคณิตสามมติ นิ เี้ ปนรปู อะไร
- แลกเปล่ียนคําตอบกันภายในกลุม สนทนา
ซกั ถามจนเปน ทเ่ี ขา ใจรว มกนั
- วาดภาพดานหนา ภาพดานขาง และภาพ
ดา นบนลงในสมุดของตนเอง

3. ครกู ลา วถงึ การมองภาพดา นหนา ดา นขา ง และ
ดา นบนของรปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ปี่ ระกอบขนึ้
จากลูกบาศกวา การเขียนรูปเรขาคณิต
สองมิติ เพื่อแสดงรูปเรขาคณิตสามมิติท่ี
ประกอบขึ้นจากลูกบาศก เราจะเขียนเปน
ตารางรปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ สั ทป่ี รากฏในดา นทม่ี อง
และเพื่อใหทราบจํานวนลูกบาศกที่เรามอง
ไมเห็นในดานท่ีมอง จึงเขียนตัวเลขแสดง
จํานวนลูกบาศกกํากับไวในตาราง ซึ่งจะตอง
เขียนตามลําดบั ท่ขี องแถวและลาํ ดบั ทข่ี องช้นั

ภาพดา้ นหนา้ ภาพดา้ นบน

159

พจิ ารณาภาพตอไปนี้ ดานขาง ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET

ดา นหนา ดา นบน

จากภาพทีก่ าํ หนด สามารถเขียนเปน รูปเรขาคณติ 3 มติ ิ ไดต รงกับขอ ใด 4.
1. 2. 3.

(เฉลยคาํ ตอบ พจิ ารณาภาพทไี่ ดจากการมองดา นหนา ดา นขาง และดานบน จะไดวา มี 3 แถว ดังนี้
แถวที่ 1 มี 1 ชน้ั มลี ูกบาศกจํานวน 1 ลูก แถวท่ี 3 มี 1 ชัน้ มลี กู บาศกจํานวน 1 ลูก
แถวท่ี 2 มีลูกบาศกเ รียงซอนกนั 2 ชน้ั ซ่งึ ตรงกบั ภาพในขอ 4.
ช้นั ท่ี 1 มีลูกบาศกจ าํ นวน 3 ลูกเรยี งกนั ดังนนั้ คาํ ตอบ คือ ขอ 4.)
ชัน้ ที่ 2 มลี กู บาศกจํานวน 1 ลกู T171

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน การเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ เพ่ือแสดงรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีประกอบข้ึนจากลูกบาศก ์
จะเขียนเป็นตารางรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสท่ีปรากฏในด้านท่ีมอง และเพ่ือให้ทราบจ�านวนลูกบาศก์
รู้ (Knowing) ทีม่ องไม่เหน็ ในดา้ นท่มี อง จงึ เขียนตัวเลขแสดงจา� นวนลกู บาศก์กา� กบั ไวใ้ นตาราง ซึง่ จะตอ้ งเขียน
ตามล�าดับที่ของแถว และล�าดบั ที่ของช้นั
4. ครูนําลูกบาศกมาตอกันดังรูปในหนังสือเรียน จงพจิ ารณารูปเรขาคณิตสามมิตติ ่อไปน ้ี
หนา 160 แลวใหนกั เรียนสงตัวแทนมา 3 คน
ออกมาวาดภาพดานหนา ดานขาง และดาน แถวทแ ่ีถ1วทแ ี่ 2ถวที ่ 3 แถวท ี่ 4
บนของรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีครูประกอบข้ึน ทิศทางการมองดา้ นหน้า
บนกระดาน
จากการมองรูปเรขาคณติ สามมิติที่กา� หนดจากด้านหนา้ จะม ี 4 แถว แตล่ ะแถวมีจา� นวน
5. ครูใหนักเรียนพิจารณารูปเรขาคณิตสามมิติ ลกู บาศก ์ ดงั น้ี
ท่คี รปู ระกอบขึน้ แลวถามคาํ ถามวา แถวท่ี 1 จัดเรยี งลกู บาศกซ์ ้อนกัน 2 ชั้น ชนั้ ละ 2 ลูก
• (ครชู แ้ี นวในการมอง) เมอ่ื มองจากดา นหนา แถวท ่ี 2 จัดเรยี งลูกบาศกซ์ อ้ นกนั 2 ชั้น โดยชนั้ ที่ 1 มีลูกบาศก์จา� นวน 2 ลูกเรยี งกนั
ของชนั้ ที่หนึ่ง แถวท่ี 1, แถวท่ี 2, แถวท่ี 3 และชน้ั ท ่ี 2 มีลูกบาศก์จา� นวน 1 ลกู
และแถวท่ี 4 มลี ูกบาศกก ่ลี ูก ตามลําดบั แถวท ี่ 3 ม ี 1 ชั้น และมลี ูกบาศกจ์ �านวน 2 ลกู เรียงกัน
(แนวตอบ 2 ลกู , 2 ลูก, 2 ลูก และ 1 ลกู แถวท่ี 4 ม ี 1 ชัน้ และมลี ูกบาศก์จา� นวน 1 ลูก
ตามลําดบั ) นักเรียนเขียนภาพสองมิติจากการมองด้านหน้า และเขียนตัวเลขแสดงจ�านวนลูกบาศก์
จ า ก นั้ น ค รู เ ขี ย น ห ม า ย เ ล ข แ ส ด ง จํ า น ว น ในดา้ นที่มอง ได้ดงั นี้
ลูกบาศกที่ไดจากการมองดา นหนา ลงบนภาพ
ดานหนา (ทต่ี ัวแทนนกั เรียนออกมาวาดไว)
• (ครชู แี้ นวในการมอง) เมอื่ มองจากดา นหนา
ของช้ันท่ีสอง แถวที่ 1 และแถวที่ 2 มี
ลูกบาศกก ่ลี ูก ตามลาํ ดับ
(แนวตอบ 2 ลูก และ 1 ลูก ตามลาํ ดับ)
จ า ก นั้ น ค รู เ ขี ย น ห ม า ย เ ล ข แ ส ด ง จํ า น ว น
ลูกบาศกท ีไ่ ดจากการมองดานหนาลงบนภาพ
ดา นหนา (ท่ตี ัวแทนนักเรยี นออกมาวาดไว)

ภาพดา้ นหนา้ 21
2221

ภาพด้านหน้า
ท่เี ขยี นตวั เลขแสดงจ�านวนลูกบาศก์

160

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET

รปู เรขาคณติ สามมติ ิทกี่ าํ หนดใหเขยี นภาพสองมิติจากการมองดา นหนา ไดตรงกับขอ ใด

ดานหนา 1
1
1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 1

311 1223 3 21
11251 1 141 531

T172 (เฉลยคําตอบ รปู เรขาคณติ ท่ีกําหนดประกอบดวย 3 แถว ดงั นี้
แถวที่ 1 มี 1 ชั้น มลี กู บาศกจ าํ นวน 1 ลูก
แถวที่ 2 มี 3 ชั้น ชน้ั ที่ 1 มลี ูกบาศกจ าํ นวน 4 ลูกเรยี งกนั
ชั้นที่ 2 มลี กู บาศกจ ํานวน 3 ลูกเรยี งกัน
ชั้นที่ 3 มลี กู บาศกจ าํ นวน 1 ลกู
แถวท่ี 3 มี 1 ชน้ั มีลูกบาศกจ ํานวน 1 ลกู

ดังนั้น คําตอบ คือ ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

แถวท ่ี 1 แถวท่ี 2 ขน้ั สอน
ทิศทางการมองด้านขา้ ง
รู้ (Knowing)
จากการมองรูปเรขาคณติ สามมติ ทิ กี่ า� หนดจากดา้ นข้าง จะมี 2 แถว แตล่ ะแถวมจี า� นวน
ลูกบาศก ์ ดงั นี้ 6. ครูใหนักเรียนพิจารณารูปเรขาคณิตสามมิติ
แถวท ่ี 1 จัดเรียงลกู บาศก์ซ้อนกัน 2 ชั้น โดยชัน้ ท่ ี 1 มลี ูกบาศกจ์ า� นวน 3 ลูกเรยี งกัน ทค่ี รปู ระกอบข้ึน แลว ถามคาํ ถามวา
และชั้นที่ 2 มลี ูกบาศก์จ�านวน 1 ลูก • (ครูชี้แนวในการมอง) เม่ือมองจากดา นขา ง
แถวท่ี 2 จัดเรียงลกู บาศก์ซ้อนกัน 2 ชนั้ โดยชน้ั ท่ี 1 มีลกู บาศกจ์ า� นวน 4 ลูกเรยี งกนั ของชั้นที่หน่ึง แถวที่ 1 และแถวท่ี 2 มี
และช้ันที่ 2 มลี ูกบาศก์จา� นวน 2 ลูกเรียงกัน ลูกบาศกก ลี่ ูก ตามลําดับ
นักเรียนเขียนภาพสองมิติจากการมองด้านข้าง และเขียนตัวเลขแสดงจ�านวนลูกบาศก์ (แนวตอบ 3 ลกู และ 4 ลกู ตามลําดับ)
ในดา้ นทีม่ อง ได้ดังนี้ จ า ก น้ั น ค รู เ ขี ย น ห ม า ย เ ล ข แ ส ด ง จํ า น ว น
ลูกบาศกที่ไดจากการมองดานขางลงบนภาพ
ดานขาง (ท่ตี วั แทนนกั เรียนออกมาวาดไว)
• (ครชู ้แี นวในการมอง) เมื่อมองจากดา นขาง
ของช้ันที่สอง แถวที่ 1 และแถวที่ 2 มี
ลกู บาศกก ล่ี กู ตามลาํ ดับ
(แนวตอบ 1 ลูก และ 2 ลกู ตามลําดบั )
จ า ก น้ั น ค รู เ ขี ย น ห ม า ย เ ล ข แ ส ด ง จํ า น ว น
ลูกบาศกท่ีไดจากการมองดานขางลงบนภาพ
ดา นขา ง (ท่ีตวั แทนนกั เรียนออกมาวาดไว)

ภาพดา้ นขา้ ง 12
34
ภาพดา้ นข้าง
ท่ีเขียนตัวเลขแสดงจ�านวนลูกบาศก์

ทิศทางการมองดา้ นบน

161

พจิ ารณาภาพ 231 1 ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
21 21
11 331 1
12
223

ดานบน ดา นหนา ดานขา ง
รปู เรขาคณิตสามมติ ิในขอใดมภี าพดา นบน ดา นหนา และดา นขา งตรงกับขอมูลท่กี าํ หนด

1. 2. 3. 4.

(เฉลยคาํ ตอบ ดา นหนา แถวที่ 1 มี 2 ชั้น ชั้นที่ 1 มลี กู บาศก 3 ลูกเรยี งกัน ชน้ั ท่ี 2 มีลูกบาศก 2 ลูกเรยี งกัน T173
แถวที่ 2 มี 3 ชั้น ชนั้ ท่ี 1 มีลูกบาศก 3 ลูกเรยี งกนั ช้ันที่ 2 มีลกู บาศก 1 ลูก ช้ันท่ี 3 มีลกู บาศก 1 ลกู
แถวที่ 3 มี 1 ชนั้ มีลูกบาศก 1 ลูก

ดา นขาง แถวที่ 1 มี 1 ชั้น มลี ูกบาศก 2 ลกู เรียงกนั แถวที่ 2 มี 2 ชน้ั ช้ันที่ 1 มีลกู บาศก 2 ลกู เรยี งกนั
ชัน้ ท่ี 2 มลี ูกบาศก 1 ลกู แถวที่ 3 มี 3 ชน้ั ชน้ั ท่ี 1 มีลูกบาศก 3 ลกู เรียงกนั ช้นั ที่ 2 มีลกู บาศก 2 ลกู เรียงกัน
ชนั้ ที่ 3 มลี กู บาศก 1 ลูก ดงั นัน้ คําตอบ คอื ขอ 2.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน จากการมองรูปเรขาคณิตสามมิติที่ก�าหนดทางด้านบน เขียนภาพสองมิติและนับจ�านวน
ลูกบาศก์ที่วางซ้อนกันในแต่ละแนวทางด้านบนจนถึงด้านล่าง และเขียนตัวเลขแสดงจ�านวน
รู้ (Knowing) ลูกบาศก์ในดา้ นที่มอง ไดด้ ังน้ี

7. ครูใหนักเรียนพิจารณารูปเรขาคณิตสามมิติ 2211
ที่ครูประกอบขนึ้ แลวถามคําถามวา
• (ครูช้ีแนวในการมอง) เม่ือมองจากดานบน 211
มีลกู บาศกก่ลี ูก ตามลําดับ
(แนวตอบ ครูดูการเขียนแสดงจํานวน ภาพด้านบน ภาพด้านบน
ลูกบาศกเม่ือมองจากดานบนในหนังสือ ท่เี ขยี นตวั เลขแสดงจ�านวนลกู บาศก์
เรียน หนา 162)
จากน้ันครูใหนักเรียนตรวจสอบภาพท่ีได จากตัวเลขที่แสดงจ�านวนลูกบาศก์จากภาพด้านหน้า ด้านข้าง และด้านบน น�ามาเขียน
จากการมองดานหนา ดานขาง และดานบน แสดงภาพท้งั หมด ไดด้ งั นี้
จากหนังสอื เรียน หนา 162
221 1
8. ครูใหขอสังเกตกับนักเรียนวา ไมวาภาพท่ีได 211
จากการมองในดานใด ผลรวมของจํานวน ภาพด้านบน
ลูกบาศกท่ีเกิดจากการมองในแตละดานจะมี
คาเทากัน จากนั้นใหนักเรียนลองตรวจสอบ
ผลบวกของจาํ นวนลกู บาศกท เี่ กดิ จากการมอง
ในแตล ะดาน

21 12
2221 34
ภาพดา้ นขา้ ง
ภาพดา้ นหน้า

ตวั อยา่ งท่ี 3

จงเขียนภาพแสดงรูปเรขาคณติ สองมิติท่ีไดจ้ ากการมองด้านหนา้ ดา้ นข้าง และด้านบน
พรอ้ มทั้งเขยี นตวั เลขแสดงจา� นวนลูกบาศก์ทีเ่ รยี งกันในด้านทีม่ องก�ากบั ไว้ในตาราง

ด้านหน้า
162

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET ดา นบน
จากรูปเรขาคณิตสามมติ ิท่ีกาํ หนด ภาพจากการมองดานขาง
ตรงกับขอ ใด

1. 2 2 2 2 2. 1 1 1 1
1 1 1 1

3. 4 4. 1
4 1

(เฉลยคาํ ตอบ รูปเรขาคณติ สามมิตทิ ก่ี ําหนด มีลกู บาศก ดานบน ดานขาง
1 แถว 2 ช้นั แตละช้ันมีลกู บาศก 4 ลูกเรียงกัน เมอื่ พจิ ารณา ดานหนา
จากการมองดานหนา ดา นขาง และดา นบน เขียนภาพดา นขา ง
T174 ตรงกบั ขอ 3.

ดงั นัน้ คําตอบ คือ ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

วธิ ีทา� เ ขียนภาพสองมติ ทิ ่ีได้จากการมองด้านหน้า ด้านขา้ ง และดา้ นบนของการจดั เรียง ขน้ั สอน
ลกู บาศก์ทกี่ �าหนดให ้ ได้ดงั น้ี
เขา้ ใจ (Understanding)
2 11
1. ครูยกตัวอยา งท่ี 3 ในหนงั สอื เรยี น หนา 162-
3 111 212 163 บนกระดาน แลวใชการถาม-ตอบ
กับนักเรียนเพ่ือเขียนตัวเลขแสดงจํานวน
ภาพ ดา้ นหน า้ ภ าพดา้ นขา้ ง ภ าพดา้ นบน ตอบ ลูกบาศกที่เรียงกันในดานที่มองกํากับไวใน
ตาราง
ตวั อยา่ งที่ 4
2. ครยู กตวั อยางท่ี 4 ในหนงั สือเรียน หนา 163
จงเขยี นภาพแสดงรปู เรขาคณติ สองมติ ทิ ่ีไดจ้ ากการมองด้านหน้า ดา้ นข้าง และดา้ นบน บนกระดาน แลวใชการถาม-ตอบกบั นักเรยี น
พร้อมทง้ั เขยี นตวั เลขแสดงจ�านวนลกู บาศก์ทเ่ี รยี งกนั ในด้านทม่ี องกา� กบั ไว้ในตาราง เพื่อเขียนตัวเลขแสดงจํานวนลูกบาศกท่ี
เรยี งกันในดานท่มี องกํากับไวใ นตาราง

ดา้ นหน้า

วิธีทา� เขยี นภาพสองมิติท่ีไดจ้ ากการมองด้านหน้า ดา้ นขา้ ง และด้านบนของการจดั เรียง
ลูกบาศกท์ ่ีก�าหนดให้ ไดด้ ังนี้

21

31 121 22

33 222 21

ภาพด ้านหน ้า ภาพดา้ นข้าง ภาพดา้ น บน ตอบ

163

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET

จากภาพท่กี าํ หนด ภาพในขอ ใดเปน ภาพดานบนท่ีถกู ตอ ง

ดา นหนา 1 1

1. 2 2 2. 2 2

2222 2222
222222 222222
222222 222222

3. 4 4 4 3 2 2 4. 3 4 3 3 2 2
4 4 5 3 2 2 3 4 5 3 2 2

(เฉลยคาํ ตอบ จากภาพท่กี ําหนดประกอบดวย 2 แถว ดงั น้ี
แถวที่ 1 มี 6 แถวยอ ย แตล ะแถวมีลูกบาศกซอนกัน 3, 4, 5, 3, 2, 2 ลูก ตามลําดับ
แถวท่ี 2 มี 6 แถวยอ ย แตละแถวมีลูกบาศกซอนกนั 3, 4, 3, 3, 2, 2 ลูก ตามลําดับ
ดังนน้ั คาํ ตอบ คือ ขอ 4.)

T175

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ลองท�ำดู

เขา้ ใจ (Understanding) จงเขียนภาพแสดงรูปเรขาคณิตสองมติ ิทีไ่ ด้จากการมองดา้ นหน้า ด้านข้าง และดา้ นบน
พรอ้ มทั้งเขียนตัวเลขแสดงจา� นวนลกู บาศก์ที่เรียงกนั ในดา้ นทม่ี องก�ากบั ไว้ในตาราง
3. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน 1)
หนา 164 และ Exercise 4.3 ขอ 1. ในแบบ
ฝก หัดคณิตศาสตรเ ปนการบาน ด้านหน้า

4. ครแู ละนกั เรยี นรว มกนั เฉลยคาํ ตอบ “ลองทาํ ด”ู 2)
ในหนังสอื เรียน หนา 164 และ Exercise 4.3
ขอ 1.

5. ครูใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางท่ี 5 ใน
หนังสอื เรยี น หนา 164-165 แลวแลกเปลี่ยน
ความรกู ับคูข องตนเอง

ด้านหนา้

ตัวอย่างที่ 5

จงเขยี นภาพแสดงรปู เรขาคณติ สองมติ ทิ ี่ไดจ้ ากการมองด้านหน้า ด้านขา้ ง และดา้ นบน
พร้อมทั้งเขียนตวั เลขแสดงจา� นวนลูกบาศกท์ เี่ รียงซอ้ นกันในด้านท่มี องกา� กบั ไว้ในตาราง

ดา้ นหน้า
164

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET
จากภาพทก่ี าํ หนด ขอใดเปน ภาพแสดงรูปเรขาคณติ สองมติ ิ
ท่ีไดจ ากการมองดานหนา

1
1. 1 1 2. 3 1 1 1 1
5 5
21111
ดา นหนา
1 1
3. 2 4. 1 1
2 2 2 2 2 1 1

T176 (เฉลยคาํ ตอบ การมองภาพจากโจทยกําหนดใหทางดานหนา จะเปนรูปตัว L มีลูกบาศกเรียง
ติดตอ กนั 5 ลูก

แถวท่ี 1 มลี ูกบาศก 3 ชน้ั ช้นั ท่ี 1 และช้นั ที่ 2 มีลูกบาศกเ รยี งกนั ช้นั ละ 2 ลกู
ชน้ั ท่ี 3 มลี กู บาศก 1 ลูก

แถวท่ี 2 ถึงแถวที่ 5 มีลกู บาศกเ รยี งกนั แถวละ 2 ลกู
ดังนั้น คําตอบ คือ ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

วธิ ีท�า เ ขยี นภาพสองมิติท่ีได้จากการมองด้านหน้า ด้านขา้ ง และด้านบนของการจดั เรียง ขนั้ สอน
ลูกบาศก์ที่กา� หนดให้ ไดด้ ังน ้ี
3 เขา้ ใจ (Understanding)

1 12 6. ครูใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางที่ 6 ใน
หนังสือเรียน หนา 165 แลวแลกเปลี่ยน
3 111 21 ความรูก บั คขู องตนเอง

142 3211 111 7. ใหนกั เรยี นแตละคนทาํ “ลองทําด”ู ในหนังสือ
เรยี น หนา 165 จากนน้ั ครแู ละนกั เรยี นรว มกนั
ภ าพดา้ น หน้า ภาพด า้ นข้าง ภาพ ดา้ นบน ตอบ เฉลยคําตอบ

ตวั อยา่ งท่ี 6 8. ครูสแกน QR Code เรื่อง รปู เรขาคณิตสาม
มิตทิ ปี่ ระกอบข้ึนจากลูกบาศก ใหน ักเรยี นดู
จงเขียนภาพแสดงรูปเรขาคณติ สองมติ ิท่ีได้จากการมองดา้ นหน้า ดา้ นขา้ ง และด้านบน
พร้อมท้ังเขยี นตวั เลขแสดงจา� นวนลูกบาศก์ท่เี รียงซอ้ นกนั ในด้านท่มี องก�ากับไว้ในตาราง

ด้านหนา้ 1 2221 ตอบ
333 2321
วธิ ีทา� 1 444
2221
333 ภาพด ้านขา้ ง
ภาพด ้านบน
3333

ภาพดา้ นหน้า

ลองท�ำดู

จงเขยี นภาพแสดงรปู เรขาคณิตสองมติ ิทไ่ี ด้จากการมองด้านหนา้ ด้านขา้ ง และด้านบน
พร้อมทงั้ เขียนตัวเลขแสดงจ�านวนลูกบาศก์ทเ่ี รียงกนั ในด้านทมี่ องก�ากบั ไว้ในตาราง

1)

ดา้ นหนา้ 165
รูปเรขาคณติ สามมติ ิท่ปี ระกอบขน้ึ จากลกู บาศก

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET สอ่ื Digital
ถาภาพทั้งสามเปนดานของรูปเรขาคณิตรูปหน่ึงท่ีประกอบข้ึน
จากลกู บาศก มีดังนี้ ครูเปดสื่อการเรียนรูเร่ือง รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีประกอบขึ้นจากลูกบาศก
จากหนงั สือเรียน หนา 165 ดว ยการสแกน QR Code
ภาพดา นบน 1 ภาพดา นหนา ภาพดานขา ง
2 1 1 T177
123 2 31
1 112
1123 1411

รปู เรขาคณิตสามมิติรูปน้ีประกอบดว ยลูกบาศกท ง้ั หมดก่ลี กู
1. 10 ลกู 2. 11 ลูก 3. 12 ลูก 4. 13 ลกู
(เฉลยคําตอบ พจิ ารณาจากดานหนา
ช้ันที่ 1 ประกอบดว ยลกู บาศก 7 ลกู
ช้ันที่ 2 ประกอบดว ยลกู บาศก 4 ลกู
ชัน้ ที่ 3 ประกอบดวยลกู บาศก 1 ลูก
รวม 12 ลกู ดังนน้ั คาํ ตอบ คือ ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน 2)

เขา้ ใจ (Understanding) ดา้ นหนา้

9. ครูใหนักเรียนจับคูกันวิเคราะห “H.O.T.S. คำ� ถำมทำ้ ทำยกำรคดิ ขนั้ สงู
คําถามทา ทายการคิดขน้ั สงู ” ในหนงั สือเรียน
หนา 166 และสนทนาซักถามเกี่ยวกบั วธิ กี าร ทรงลกู บาศกท์ สี่ รา้ งจากทรงลกู บาศกท์ ม่ี ขี นาด 1 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร จา� นวน 27 ลกู
คดิ หาคาํ ตอบจนเปน ทเ่ี ขา ใจรว มกนั แลว ตอบ ดังรูป เมื่อมองดา้ นหน้า (front view) ด้านขา้ ง (side view) และด้านบน (top view) ของ
คาํ ถามจากการวเิ คราะหล งในสมดุ ของตนเอง ทรงลกู บาศก์น้ี นักเรยี นจะได้รูปเรขาคณติ สามมิติเป็นรปู ส่เี หล่ยี มจตั รุ สั ทีม่ คี วามยาวด้านละ
3 เซนติเมตร
10. ครแู ละนกั เรยี นรว มกนั สรปุ วา จะดงึ ลกู บาศก
ออกมาไดมากท่ีสุดจํานวนกี่ลูก แลวทําให
ภาพทไี่ ดจ ากการมองดา นหนา ดา นขา ง และ
ดา นบน ยงั เปน รปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั ทมี่ คี วามยาว
ดา นละ 3 เซนติเมตร

ทรงลกู บาศก์

ถ้าให้นักเรียนดึงลูกบาศก์ลูกเล็กบางลูกออก นักเรียนคิดว่าจะดึงลูกบาศก์ออกได้
มากท่ีสดุ จ�านวนกล่ี ูกแล้วท�าใหภ้ าพท่ไี ดจ้ ากการมองด้านหน้า ดา้ นข้าง และดา้ นบน ยงั เป็น
รปู ส่เี หลยี่ มจัตุรัสท่มี ีความยาวด้านละ 3 เซนตเิ มตร

166

เฉลย H.O.T.S. คาํ ถามท้าทายการคดิ ข้ันสูง กิจกรรม ทา ทาย

สามารถดงึ ลกู บาศกลกู เลก็ ออกได 12 ลกู ดงั รูป ใหนักเรียนนําแนวคิดของ “H.O.T.S. คําถามทาทายการคิด
ขน้ั สงู ” แกป ญ หาทรงสามมติ ซิ งึ่ มปี รมิ าตร 36 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร
ทรงลกู บาศก ประกอบจากลกู บาศกข นาด 1 ลูกบาศกเ ซนติเมตร โดยดา นกวา ง
มี 3 ลกู ดานยาวมี 4 ลกู และวางซอนกัน 3 ชั้น
แลว จะไดภ าพทีไ่ ดจ ากการมอง ดังนี้
นักเรียนคิดวา สามารถนําลูกบาศกลูกเล็กออกบางสวนและ
ทําใหภาพท่ีไดจากการมอง 2 ดานใดๆ เหมือนกันไดหรือไม
ถาได จงแสดงภาพประกอบ

ภาพดานหนา ภาพดา นขาง ภาพดา นบน

T178

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

กจิ กรรม คณติ ศาสตร์ ขน้ั สอน

ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ กลมุ่ ละ 4 - 5 คน แลว้ ชว่ ยกนั ทÓกจิ กรรมตอ่ ไปนี้ ลงมอื ทาํ (Doing)
อปุ กรณ์
1. ครใู หน กั เรยี นจดั กลมุ กลมุ ละ 4 คน คละความ
ลูกบาศก์ ตารางขนาด 4 × 4 สามารถทางคณติ ศาสตร แลว ทาํ กจิ กรรม ดงั น้ี
- ใหน กั เรยี นรว มกนั ศกึ ษากจิ กรรมคณติ ศาสตร
1. จ งลองจินตนาการรูปเรขาคณติ สามมิติทีป่ ระกอบขึน้ จากลูกบาศก์ท่ีมีภาพดา้ นบน ดังน้ี ในหนงั สือเรียน หนา 167
- ครแู จกลกู บาศกใ หก ลุม ละ 20 ลูก แลวให
2. จงใชล้ กู บาศก์สร้างรปู เรขาคณิตสามมติ ิตามจนิ ตนาการในขอ้ ท่ี 1. แตละกลุมชวยกันเรียงลูกบาศกใหเปนรูป
3. จงเขยี นภาพแสดงรูปเรขาคณติ สองมติ ทิ ี่ไดจ้ ากการมองดา้ นหน้า ดา้ นข้าง และดา้ นบน เรขาคณติ สามมติ ติ ามจนิ ตนาการขอ 1. และ
รวมกนั ตอบคําถามขอ 3. โดยเขยี นคําตอบ
พรอ้ มทงั้ เขยี นตวั เลขแสดงจา� นวนลกู บาศก์ทเี่ รยี งกนั ในดา้ นทีม่ องก�ากบั ไว้ในตาราง ลงในสมุดของตนเอง
- จากนน้ั ใหน กั เรยี นแลกเปลยี่ นความรภู ายใน
กลมุ ของตนเอง และสนทนาซกั ถามเกยี่ วกบั
วิธกี ารคดิ คําตอบ จนเปนที่เขา ใจรว มกัน
- ใหตัวแทนกลุมมานําเสนอรูปเรขาคณิต
สามมิติท่ีสรางและภาพที่ไดจากการมอง
ดานหนา ดานขาง และดานบน พรอมทั้ง
ตารางท่ีเขียนตัวเลขแสดงจํานวนลูกบาศก
ท่ีเรียงกันในดานท่ีมองแตละดาน หนาช้ัน
เรียน โดยเพ่ือนกลุมที่เหลือคอยตรวจสอบ
ความถูกตอ ง

ภาพด้านหน้า ภาพดา้ นข้าง ภาพดา้ นบน
167

เฉลย กิจกรรมคณติ ศาสตร์ 3. เขียนภาพแสดงรูปเรขาคณิตสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง ดานบน
และเขยี นตวั เลขแสดงจาํ นวนลกู บาศกท่เี รียงกนั ในดานทีม่ องได ดงั น้ี
1. ภาพที่ไดจากการมองดา นบน
1 1 32
2. สามารถใชล ูกบาศกส รา งรูปเรขาคณติ สามมิติ 21 21 413
ตามจนิ ตนาการในขอ 1. ได ดังน้ี 22 22 1111
1323 432 ภาพดา นบน
ภาพดานหนา ภาพดา นขาง

ดานขาง

แถวท่ี 4 T179
แถวท่ี 3
แถวที่ 2
แถวท่ี 1

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน แบบฝึกทักษะ 4.3

ลงมอื ทาํ (Doing) ระดับ พ้ืนฐาน

2. ครใู หนักเรยี นทําแบบฝกทกั ษะ 4.3 ขอ 1.-2. 1. จงเขยี นภาพแสดงรปู เรขาคณติ สองมติ ิท่ีได้จากการมองดา้ นหน้า ดา้ นขา้ ง และด้านบน
เปนรายบุคคล เม่ือเสร็จแลวครูสุมนักเรียน ของรูปเรขาคณติ สามมติ ทิ ีก่ า� หนดให ้ ดงั น้ี
ออกมาเขียนภาพท่ีไดจากการมองดานหนา
ดา นขา ง และดา นบน บนกระดานหนา ชน้ั เรยี น รปู เรขาคณติ สามมติ ิ ดา้ นหน้า ภาพสองมิติท่มี องเห็น ด้านบน
จํานวนคนละ 1 ภาพ เรยี งตามลําดบั ขอยอ ย ดา้ นขา้ ง
โดยครูและนักเรียนรวมกันตรวจสอบความ 1)
ถกู ตอง

ดา้ นหนา้

2)

ด้านหนา้

3)

ด้านหนา้

4)

ด้านหน้า

5)

ด้านหน้า

2. จงเขยี นภาพแสดงรปู เรขาคณิตสองมิติท่ไี ด้จากการมองด้านหน้า ด้านขา้ ง และดา้ นบน
พร้อมท้งั เขยี นตวั เลขแสดงจ�านวนลกู บาศก์ทีเ่ รยี งกันในด้านท่มี องกา� กับไว้ในตาราง

1) 2) 3)

ด้านหน้า ด้านหน้า ดา้ นหน้า
168

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
ภาพดานขางของรูปเรขาคณติ สามมิติท่ีกําหนดใหตรงกับขอ ใด
1
1 1
2. 2
1. 3 1 1 22
112231
11251

ดา นหนา

1 1
1 1
3. 1 1 4. 2
2 1 2 2
531 22

T180 (เฉลยคําตอบ รูปสามมติ ทิ ีก่ ําหนดประกอบดว ย 3 แถว
แถวที่ 1 มี 5 ชัน้ ชั้นท่ี 1 มีลกู บาศก 5 ลกู เรยี งกนั ชัน้ ที่ 2 มีลูกบาศก 2 ลูกเรียงกัน ชัน้ ท่ี 3-ชั้นท่ี 5
มลี กู บาศกชั้นละ 1 ลกู แถวที่ 2 มี 3 ช้นั ชัน้ ท่ี 1 มลี ูกบาศก 3 ลกู เรียงกัน ชน้ั ท่ี 2 และชนั้ ที่ 3 มลี ูกบาศก
ช้นั ละ 1 ลูก แถวท่ี 3 มี 1 ชนั้ มลี ูกบาศก 1 ลกู ดังนน้ั คาํ ตอบ คือ ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ระดบั กลาง ขน้ั สอน

3. จงจับคูร่ ูปเรขาคณติ สามมิติทปี่ ระกอบขึน้ จากลูกบาศก์ในแต่ละข้อต่อไปนี ้ กบั ภาพท่ีได้จาก ลงมอื ทาํ (Doing)
การมองด้านหนา้ ดา้ นขา้ ง และดา้ นบน
3. ครูใหนักเรียนจับคูกับเพ่ือนดานขางรวมกัน
1) ก) ทาํ แบบฝก ทกั ษะ 4.3 ขอ 3.-4. จากนั้นครสู ุม
ตวั แทนนกั เรยี น 3 คู ออกมาสรา งรปู เรขาคณติ
ด้านหน้า ภาพด้านหน้า ภาพด้านข้าง ภาพดา้ นบน สามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกในแตละ
ขอยอยของขอ 3. จากภาพท่ีไดจากการมอง
2) ข) ดา นหนา ดา นขา ง และดา นบน ทโี่ จทยก าํ หนด
โดยครูและนักเรียนรวมกันตรวจสอบความ
ถูกตอง และครูสุมตัวแทนนักเรียนอีก 3 คู
หาจํานวนลูกบาศกที่ถูกทาดวยสีนํ้าเงิน 1
หนา 2 หนา 3 หนา ตามลําดับ โดยครู
และเพ่ือนรว มกันตรวจสอบความถูกตอ ง

ดา้ นหนา้ ภาพด้านหน้า ภาพดา้ นข้าง ภาพดา้ นบน

3) ค)

ดา้ นหนา้ ภาพด้านหนา้ ภาพดา้ นข้าง ภาพดา้ นบน

4) จงเขียนภาพแสดงรูปเรขาคณติ สองมิตทิ ่ไี ดจ้ ากการมอง
ด้านหนา้ ด้านขา้ ง และด้านบน พร้อมท้ังเขียนตวั เลข
แสดงจา� นวนลูกบาศก์ทเี่ รียงกนั ในด้านที่มองก�ากับไว้
ในตาราง

ระดับ ท้าทาย ดา้ นหนา้

4. ทรงลูกบาศกท์ ี่สร้างจากทรงลูกบาศกท์ ่ีมีขนาด
1 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร จา� นวน 27 ลูก ดังรูป
ถา้ ใช้สีน�้าเงนิ ทาทรงลูกบาศก์โดยรอบทุกหนา้
จงหาจ�านวนลูกบาศก์เลก็ ทีถ่ ูกทาด้วยสนี �้าเงิน
1 หน้า 2 หนา้ และ 3 หนา้ ตามล�าดบั

ทรงลกู บาศก์

169

พิจารณาภาพตอไปนี้ ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET

ภาพดา นหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน
1 1 1
1 1
131
131 131 1

เกิดจากการนําลกู บาศกข นาด 1 หนวยมาประกอบกนั (เฉลยคาํ ตอบ จากการมองภาพดา นขา งของ
เปนรปู เรขาคณติ 3 มติ ิ ตามขอ ใด รูปเรขาคณติ สองมิติจะมี 3 แถว แตล ะแถวมจี าํ นวน
ลูกบาศก ดงั นี้
1. 2. แถวที่ 1 มลี ูกบาศกจ าํ นวน 1 ลูก
แถวท่ี 2 มีลูกบาศกซอนกนั 3 ช้ัน
ชั้นท่ี 1 มีลกู บาศกจํานวน 3 ลกู เรยี งกัน
ชั้นที่ 2 มี 1 ลูก
3. 4. ช้ันท่ี 3 มี 1 ลูก
แถวที่ 3 มลี ูกบาศก 1 ลูก
ดังน้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 4.)
T181

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน คณติ ศาสตรใ์ นชวี ิตจริง

ลงมอื ทาํ (Doing)

4. ครใู หน กั เรยี นวเิ คราะหป ญ หาจากสถานการณ
ของ “คณติ ศาสตรใ นชวี ติ จรงิ ” ในหนงั สอื เรยี น
หนา 170 จากน้ันครูและนักเรียนรวมกัน
อภปิ รายคาํ ตอบ โดยครขู ออาสาสมคั รนกั เรยี น
ที่มีความสามารถทางการวาดภาพออกมา
วาดภาพจําลองการตัดแตงโมเปนช้ินๆ ตาม
ขนั้ ตอน ในแตล ะขน้ั ตอนทเี่ พอื่ นๆ ในชน้ั เรยี น
รวมกนั อภิปรายคําตอบ พรอมท้งั เขียนอธิบาย
ในแตล ะขน้ั ตอนไวจ นครบทกุ ขน้ั ตอน โดยวาด
ลงบนกระดาน หลงั จากนน้ั ครใู หน กั เรยี นเขยี น
แตละขั้นตอนที่ไดรวมกันอภิปรายลงในสมุด
ของตนเอง เมือ่ เสร็จแลวสง ใหค รตู รวจ

วนั น้ีเป็นวันสอบปลายภาควนั สุดทา้ ยของปีการศึกษา 2559 วายุจึงไดช้ วนเพื่อน ๆ ไปเลี้ยง
ฉลองที่บ้านของตนเอง โดยทกุ คนจะตอ้ งแบง่ กลมุ่ เพื่อท�าหน้าทตี่ ่าง ๆ ดังน้ี
1. ตกแต่งสถานที ่
2. จดั เตรียมอาหาร
3. จัดเตรียมของหวาน
4. จดั เตรียมผลไม้
5. จัดเตรยี มเครื่องดม่ื

ถา้ กลมุ่ ของนกั เรยี นไดร้ บั มอบหมายใหไ้ ปจดั เตรยี มผลไมท้ มี่ อี ยมู่ ากมายหลายชนดิ และหนงึ่
ในน้นั คือแตงโม ซ่ึงนกั เรยี นจะตอ้ งตัดแตงโมเปน็ ช้นิ ๆ ดงั รูปข้างบน นกั เรยี นจะมีขัน้ ตอนในการ
ตดั แตงโมอย่างไร ให้อธบิ ายพร้อมทั้งเขียนภาพประกอบในแตล่ ะขั้นตอน

170

เฉลย คณติ ศาสตร์ในชวี ติ จริง ขน้ั ท่ี 3 แบงแตงโมท่ีแบง ไดใ นข้นั ที่ 2 เปน ชิน้ ชิ้นละเทา ๆ กัน
โดยการตัดแตงโมตามแนวตง้ั ฉากกับพืน้ ราบ ดังรปู
ขั้นท่ี 1 แบงแตงโมออกเปน 2 สวน โดยการตัดแตงโมตามแนวขนาน แลว จะไดแ ตงโมตามทกี่ จิ กรรมตองการ
กับพื้นราบ ดงั รปู

ข้นั ท่ี 2 แบงแตงโมท่แี บง ไดใ นข้ันท่ี 1 ออกเปน 2 สวน โดยการตดั แตงโม
ตามแนวตงั้ ฉากกบั พื้นราบ ดงั รปู

T182

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

สรปุ แนวคดิ หลัก ขนั้ สรปุ

หนา้ ตดั ของรูปเรขาคณติ สามมิติ 1. ครใู หน กั เรยี นอา นและศกึ ษา “สรปุ แนวคดิ หลกั ”
ในหนงั สือเรียน หนา 171
การตัดรูปเรขาคณิตสามมิติตามแนวการตัดต่าง ๆ นั้น นักเรียนจะได้ภาพหน้าตัดเป็นรูป
เรขาคณติ สองมิติ ซ่ึงแบ่งหนา้ ตดั ได้ 2 ลักษณะ ดังนี้ 2. ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ
1) ภาพหน้าตดั ทไ่ี ดจ้ ะเป็นรูปเรขาคณติ สองมิตชิ นดิ เดียวกนั นกั เรียนวา
• นักเรียนไดเรียนรูหนาตัดท่ีเกิดจากการตัด
2 แนว ไดแกอะไรบาง
(แนวตอบ เม่ือใชระนาบตัดรูปเรขาคณิต
สามมิติในแนวตั้งฉากกับพ้ืนราบ และ
แนวขนานกับพื้นราบ จะไดหนาตัดเปน
รูปเรขาคณิตสองมิติท่ีอาจเหมือนกันหรือ
แตกตางกนั )

ระนาบตัดทรงกลมในแนวต้ังฉากกบั พื้นราบ หน้าตดั เป็นวงกลม

ระนาบตัดทรงกลมในแนวขนานกับพนื้ ราบ หน้าตดั เปน็ วงกลม

2) ภ าพหนา้ ตดั ที่ไดจ้ ะเป็นรูปเรขาคณติ สองมิตติ ่างชนิดกัน

ระนาบตดั ทรงกระบอกในแนวต้ังฉากกับพน้ื ราบ หน้าตัดเปน็ รูปส่เี หลี่ยมมมุ ฉาก

ระนาบตดั ทรงกระบอกในแนวขนานกับพ้นื ราบ หน้าตดั เป็นวงกลม

171

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET

จากรปู เรขาคณิตสามมติ ิและภาพจากการมองดา นตา งๆ ขอ ใดมองภาพไดถ ูกตอ ง

1. 2. 3. 4. 22
22
1 2 331 13 3
21 111 331 ดา นขา ง
32 ดานบน
1
ดานขาง ดานบน

(เฉลยคาํ ตอบ 3. ถกู เพราะ 4. ไมถกู เพราะ
1. ไมถ กู เพราะรูปเรขาคณิต 1 รูปเรขาคณติ รูปเรขาคณติ
สามมิติเมอื่ มองจากดานขา ง 2 1 สามมติ เิ มอื่ มองจาก 3 3 1 สามมติ เิ มื่อมองจาก 1 1
จะไดภ าพ ดงั น้ี ดานบนจะไดภาพ 3 3 1 1 3 3
31 1
2. ไมถ ูก เพราะรปู เรขาคณติ ดานขา งจะไดภาพ
สามมติ เิ มอื่ มองจากดา นบน 1 2 2 ดงั นี้ ดังน้ี
จะไดภาพ ดงั นี้ 1 11 ดงั น้ัน คําตอบ คือ ขอ 3.)
T183

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สรปุ การอธบิ ายภาพสองมติ ทิ ่ไี ด้จากการมองดา้ นหนา้ ด้านขา้ ง และดา้ นบน

3. ครใู หน กั เรยี นอา นและศกึ ษา “สรปุ แนวคดิ หลกั ” การเขยี นภาพเพอ่ื แสดงลกั ษณะของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ ทไี่ ดจ้ ากการมองดา้ นหนา้ ดา้ นขา้ ง
ในหนังสือเรียน หนา 172 และด้านบน โดยการมองแต่ละด้านจะต้องมองในทิศทางหรือแนวต้ังฉากกับด้านนั้น ๆ ซึ่งจะได้
ภาพทเ่ี ปน็ รปู เรขาคณติ สองมติ ิ ดงั นี้
4. ครูถามคําถามเพ่ือสรุปความรูรวบยอดของ
นกั เรยี นวา ภาพดา้ นบน
• การมองรูปเรขาคณิตสามมิติ สามารถ
กําหนดมุมมองได 3 แบบ คืออะไรบา ง ภาพด้านหน้า ภาพดา้ นขา้ ง
(แนวตอบ การมองดานหนา ดานขาง และ
ดานบน)
• การเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติเพ่ือแสดง
รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีประกอบข้ึนจาก
ลูกบาศก เขยี นไดอยางไร
(แนวตอบ เขยี นเปน ตารางรูปสีเ่ หล่ยี มจตั รุ สั
ท่ีปรากฏในดานที่มอง และเขียนตัวเลข
แสดงจํานวนลกู บาศกกาํ กับไวในตาราง)

5. ครูใหนักเรียนเขียนผังมโนทัศน หนวยการ
เรียนรูท่ี 4 มิติสัมพันธของรูปเรขาคณิต
ลงในกระดาษ A4

รปู เรขาคณติ สามมติ ิที่ประกอบข้ึนจากลูกบาศก์

การเขยี นรปู เรขาคณติ สองมติ เิ พอื่ แสดงรปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ป่ี ระกอบขนึ้ จากลกู บาศก ์ ซง่ึ จะ
เขียนเป็นตารางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสท่ีปรากฏในด้านที่มอง และเขียนตัวเลขแสดงจ�านวนลูกบาศก์
กา� กับไว้ในตาราง ดังน้ี

ดา้ นหน้า

11 11 1
123 321 12
ภาพดา้ นหนา้ ภาพดา้ นข้าง 211
ภาพด้านบน
172

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

ครูควรเนนยํ้ากับนักเรียนวา ภาพสองมิติของรูปเรขาคณิตสามมิติจะ ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 5 คน สรางรูปเรขาคณิตสามมิติ
เปล่ียนแปลงไปตามทิศทางการมอง นักเรียนตองมีความรอบคอบในการอาน ท่ีประกอบข้ึนจากลูกบาศกตามจินตนาการ จํานวน 5 รูป ดวย
โจทยวา โจทยกําหนดภาพดานใดให และตองวิเคราะหวาขอกําหนดเพียงพอ โปรแกรม GeoGebra โดยตองเขียนแสดงภาพดานหนา ดา นขา ง
ท่ีจะเขียนรูปเรขาคณิตสามมิติหรือไม หรือสามารถเขียนรูปเรขาคณิตสามมิติ และดานบนลงในกระดาษ อีกท้ังใหนักเรียนนําเสนอหนาช้ันเรียน
แตกตางกนั ไดหลายรูป โดยการหมุนภาพสามมติ ติ ามทศิ ทางดังกลาว

T184

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

4แบบฝกึ ทักษะ ขน้ั สรปุ

ประจ�าหน่วยการเรียนรู้ที่ 6. ครูและนักเรียนรวมกันวิเคราะหแนวทางการ
1. จงเขียนภาพหน้าตดั ทเี่ กดิ จากการใช้ระนาบตดั ทรงสีห่ นา้ ตามแนวตดั ต่อไปน้ี แกปญหาแบบฝกทักษะประจําหนวยการ
1) ตัดตามแนวขนานกบั พนื้ ราบ เรียนรูท่ี 4
2) ตดั ตามแนวต้ังฉากกบั พื้นราบ
3) ตดั ทม่ี ุมใดมมุ หนง่ึ 7. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะประจําหนวย
การเรยี นรทู ่ี 4 เปนการบาน
ทรงสีห่ น้า

2. จงเขยี นภาพเพอ่ื แสดงลักษณะของรปู เรขาคณติ สามมิติที่กา� หนดให้แตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี ้
โดยเขยี นภาพท่ีไดจ้ ากการมองด้านหนา้ ดา้ นข้าง และดา้ นบน

1) 2) 3)

ดา้ นหน้า ดา้ นหนา้ ด้านหน้า

3. จงเขียนภาพการจดั เรียงลกู บาศกท์ ่ีได้จากการมองด้านหน้า ด้านข้าง และด้านบนของ
รปู เรขาคณติ สามมิตทิ ่กี า� หนดใหต้ อ่ ไปน้ี

ด้านหน้า

173

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET

จากรูปเรขาคณิตสามมติ ิ การมองภาพแสดงจํานวนลูกบาศกดานใดถกู ตอ ง

1. 1 2. 1
11 222
ดา นหนา 2221
3223
(เฉลยคําตอบ จากรูปเรขาคณิตสามมิติ เมอ่ื มองจากดา นบน 3. ภาพดานขาง
แถวท่ี 1 มลี กู บาศกเ รยี งติดตอ กัน 3 ลกู ภาพดา นขา ง
แถวท่ี 2 และแถวที่ 3 มลี ูกบาศกเรยี งซอนกนั 2 ชนั้ ชน้ั ละ 1 ลกู 1
แถวท่ี 4 ลกู บาศกลูกท่ี 1 มี 3 ชนั้ ลูกบาศกล ูกที่ 2 มี 2 ชนั้ 12 4. 3 2 1
ลกู บาศกลูกท่ี 3 มีชนั้ เดียว 221 2
ดังน้นั คาํ ตอบ คือ ขอ 4.) 2
ภาพดา นหนา
111
T185
ภาพดา นบน

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขน้ั สรปุ 4. จงเขยี นภาพหนา้ ตัดท่ีเกิดจากการใช้ระนาบตดั รปู เรขาคณิตสามมติ ิตามแนวการตัดต่อไปนี้
1) ตดั ตามแนวขนานกับพนื้ ราบ
8. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคําถามในหนังสือ 2) ตัดตามแนวตง้ั ฉากกับพ้ืนราบ
เรียน หนา 140 ที่ครูไดถามไวใ นชว่ั โมงท่ี 1 3) ตัดทา� มมุ 60 � กับพ้นื ราบ
(แนวตอบ การหอซูชิมีความสัมพันธของรูป
เรขาคณิตสองมิติและรูปเรขาคณิตสามมิติ 5. จงเขยี นภาพเพื่อแสดงลกั ษณะของรปู เรขาคณิตสามมติ ิทกี่ �าหนดให ้ โดยเขียนภาพท่ีไดจ้ าก
เนื่องจากกอนที่จะหอซูชิเราตองรองซูชิดวย การมองด้านหน้า ดา้ นข้าง และดา้ นบน
สาหรายที่เปนรูปสี่เหล่ียมผืนผากอนที่จะ
ทําการหอซูชิใหเปนรูปที่เราตองการเมื่อเรา
ตัดซูชิ อีกทั้งเม่ือเราหอซูชิแลวจะกลายเปน
รูปทรงกระบอก ดังนั้น การหอซูชิจึงมีความ
สัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติและรูป
เรขาคณติ สามมติ )ิ

ดา้ นหนา้

6. จงเขยี นภาพแสดงรปู เรขาคณิตสองมติ ิท่ีไดจ้ ากการมองด้านหน้า ดา้ นข้าง และดา้ นบน
พร้อมทง้ั เขียนตวั เลขแสดงจา� นวนลกู บาศกท์ ่เี รยี งกันในด้านที่มองกา� กับไวใ้ นตาราง

ด้านหนา้
174

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
ภาพดานบน ดานหนา และดานขางของรูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบจากลูกบาศก จะไดรูปเรขาคณิตสามมิติ
ตรงกบั ขอใด

1 1. 2.

1 11

4 11

2 11 2

11 21111 51 3. 4.

T186 ภาพดา นบน ภาพดา นขา ง ภาพดา นหนา
(เฉลยคาํ ตอบ ดานบน
แถวท่ี 1 มชี ั้นเดยี ว มลี กู บาศกเ รียงกัน 2 ลกู
แถวท่ี 2 มีลูกบาศก 2 ลูกเรียงซอนกัน
แถวที่ 3 มลี ูกบาศก 4 ลูกเรยี งซอ นกัน
แถวท่ี 4 และแถวท่ี 5 มีลกู บาศกแ ถวละ 1 ลกู
ดงั นั้น คาํ ตอบ คอื ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมิน

7. จากรูปพรี ะมดิ ฐานสเี่ หลยี่ ม จงตอบคา� ถามตอ่ ไปนี้ ขนั้ ประเมนิ

K 1. ครตู รวจแบบฝกทกั ษะ 4.3
2. ครตู รวจ Exercise 4.3
G 1) รูปส่ีเหลี่ยม EFGH เป็นหน้าตัดท่ีเกิดจาก 3. ครตู รวจแบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรู
การตดั พรี ะมดิ ฐานสเี่ หลย่ี มในแนวการตดั ใด
E JJH F ที่ 4
I 2) รปู สเี่ หลย่ี ม IJGF เปน็ หนา้ ตดั ทเ่ี กดิ จากการ 4. ครูประเมินการนําเสนอผลงาน
D ตดั พรี ะมิดฐานสีเ่ หลีย่ มในแนวการตดั ใด 5. ครูตรวจผังมโนทัศน หนวยการเรียนรูท่ี 4

C 3) รปู สามเหลยี่ ม IJG เปน็ รูปสามเหล่ียม มติ ิสัมพนั ธของรปู เรขาคณติ
ชนดิ ใด 6. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบคุ คล
7. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทํางานกลมุ
8. ครูสังเกตคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค

AB

8.

ทรงลกู บาศก์

ท รงลูกบาศก์ท่ีสร้างจากทรงลูกบาศก์ที่มีขนาด 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร จ�านวน 64 ลูก
มาวางตอ่ กนั ดงั รปู แลว้ ใชส้ เี หลอื งทาทรงลกู บาศกโ์ ดยรอบทกุ หนา้ จงหาจา� นวนลกู บาศกเ์ ลก็
ที่ถกู ทาดว้ ยสเี หลอื ง 1 หน้า 2 หนา้ และ 3 หนา้ ตามลา� ดบั

175

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET แนวทางการวัดและประเมินผล

วาดภาพการจัดเรียงลกู บาศกท ่ไี ดจ ากการมองภาพท่กี าํ หนดให ครูศึกษาเกณฑการวัดและการประเมินผล เพื่อประเมินผลงาน/ชิ้นงาน
ของนักเรียนรายบุคคลและกลุม จากแบบประเมินของแผนการจัดการเรียนรู
11 ในหนวยการเรยี นรทู ่ี 4
12 12 321
1222 43 1121 แบบประเมนิ การนาเสนอผลงาน แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานกลุ่ม

คาช้แี จง : ใหผ้ สู้ อนสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรยี นในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรยี น แลว้ ขดี ลงในชอ่ งทตี่ รงกับ คาชแี้ จง : ให้ผ้สู อนสังเกตพฤติกรรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ลงในชอ่ งทตี่ รงกับ
ระดบั คะแนน ระดบั คะแนน

ภาพดานหนา ภาพดา นขา ง ภาพดานบน ลาดบั รายการประเมนิ ระดับคะแนน ลาดบั ช่ือ – สกลุ การแสดง การยอมรับฟงั การทางาน ความมนี ้าใจ การมี รวม
ที่ 4321 ท่ี ของนักเรียน ความคิดเห็น คนอ่นื ตามท่ไี ด้รับ สว่ นรว่ มใน 20
 มอบหมาย การปรับปรงุ คะแนน
ผลงานกล่มุ
1 เนอ้ื หาละเอยี ดชดั เจน 
43214321432143214321
(แนวตอบ จากภาพทกี่ ําหนดจัดเรยี งลูกบาศกไ ด ดังนี้ 2 ความถกู ต้องของเนอื้ หา 

3 ภาษาท่ีใชเ้ ข้าใจงา่ ย 

4 ประโยชนท์ ีไ่ ด้จากการนาเสนอ 

5 วิธกี ารนาเสนอผลงาน

รวม

1 ลงช่ือ...................................................ผู้ประเมนิ
12 ............/................./................
1222
เกณฑก์ ารให้คะแนน ให้ 4 คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน ลงช่ือ...................................................ผูป้ ระเมนิ
ผลงานหรือพฤติกรรมสมบูรณช์ ดั เจน ให้ 3 คะแนน ปฏบิ ตั ิหรือแสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสมา่ เสมอ ............/................./................
ผลงานหรอื พฤติกรรมมขี ้อบกพร่องบางสว่ น ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน ปฏิบัตหิ รอื แสดงพฤติกรรมบ่อยคร้ัง ให้ 4 คะแนน
ผลงานหรอื พฤติกรรมมีขอ้ บกพรอ่ งเป็นสว่ นใหญ่ ปฏิบัติหรอื แสดงพฤตกิ รรมบางครง้ั ให้ 3 คะแนน
ผลงานหรือพฤติกรรมมขี อ้ บกพรอ่ งมาก ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤตกิ รรมนอ้ ยครัง้ ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน
เกณฑ์การตัดสนิ คณุ ภาพ

) ช่วงคะแนน ระดับคณุ ภาพ เกณฑ์การตัดสนิ คุณภาพ
18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี ชว่ งคะแนน ระดบั คุณภาพ
10 - 13 พอใช้ 18 - 20 ดมี าก
ตา่ กว่า 10 ปรับปรงุ 14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กวา่ 10 ปรับปรงุ

T187

Chapter Overview

แผนการจดั ส่ือท่ีใช้ จดุ ประสงค์ วิธีสอน ประเมนิ ทกั ษะที่ได้ คุณลักษณะ
การเรียนรู้ อนั พงึ ประสงค์
- ตรวจใบงานท่ี 5.1
แผนฯ ท่ี 1 - หนังสอื เรยี นรายวิชา 1. อธิบายความสัมพันธ์ Concept เรอ่ื ง แบบรปู และ - ทักษะการ 1. มวี นิ ัย
แบบรูป พ้นื ฐาน คณติ ศาสตร์ ของแบบรูปท่ี Based ความสมั พันธข์ องจ�ำนวน หาแบบแผน 2. ใฝเ่ รียนรู้
และความสมั พนั ธ์ ม.1 เลม่ 1 - ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ 5.1
ก�ำหนดใหไ้ ด้ (K) Teaching - ประเมินการน�ำเสนอ 3. ม่งุ มน่ั
- ใบงานที่ 5.1 เร่ือง 2. อธบิ ายจ�ำนวนถัดไป ผลงาน ในการท�ำงาน
3 แบบรูปและ หรือรปู ถัดไปทเี่ กดิ จาก - สังเกตพฤติกรรม
ชั่วโมง ความสมั พันธ์ แบบรูปท่ีมีความ การท�ำงานรายบคุ คล
ของจ�ำ นวน สัมพันธ์ตามท่ี - สังเกตพฤตกิ รรม
ก�ำหนดให้ได้ (K) การท�ำงานกลุม่
3. ใชค้ วามรู้ ทักษะ - สงั เกตคณุ ลักษณะ
และกระบวนการ อันพึงประสงค์
ทางคณิตศาสตร์
ในการแกป้ ัญหา
ไดอ้ ยา่ งเหมาะสม (P)
4. รับผดิ ชอบตอ่ หนา้ ท่ี
ท่ีไดร้ บั มอบหมาย (A)

แผนฯ ท่ี 2 - ห นังสอื เรยี นรายวชิ า 1. แกป้ ญั หาของสมการ Concept - ตรวจใบงานที่ 5.2 - ท กั ษะ 1. มวี นิ ัย
คำ� ตอบของ พน้ื ฐาน คณติ ศาสตร์ เชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี วได้ Based เรื่อง สมการทเี่ ปน็ จริง การพิสูจน์ 2. ใฝเ่ รียนรู้
สมการเชงิ เส้น ม.1 เลม่ 1 (K) Teaching หรือสมการที่เป็นเทจ็ ความจริง 3. ม่งุ มั่น
ตวั แปรเดียว - แบบฝกึ หัด 2. ใชค้ วามรู้ ทกั ษะ - ต รวจแบบฝกึ ทักษะ 5.2 ในการท�ำงาน
คณิตศาสตร์ ม.1 และกระบวนการ - ตรวจ Exercise 5.2
2 เลม่ 1 ทางคณิตศาสตร์ - ป ระเมนิ การน�ำเสนอ
- ใบงานท่ี 5.2 เรอื่ ง ในการแกป้ ญั หา ผลงาน
ช่วั โมง สมการทเี่ ปน็ จรงิ ได้อยา่ งเหมาะสม (P) - สงั เกตพฤตกิ รรม
การท�ำงานรายบคุ คล
หรอื สมการทเ่ี ปน็ เท็จ 3. รบั ผิดชอบต่อหนา้ ที่ - สังเกตพฤติกรรม
ที่ได้รบั มอบหมาย (A) การท�ำงานกลุ่ม
- สงั เกตคณุ ลกั ษณะ
แผนฯ ที่ 3 - หนังสือเรียนรายวิชา 1. อธิบายสมบตั ขิ อง Concept อนั พึงประสงค์ - ทักษะ 1. มีวินยั
สมบตั ิของ พื้นฐาน คณติ ศาสตร์ การเทา่ กันได้ (K) Based - ตรวจแบบฝกึ ทักษะ 5.3 การพสิ ูจน์ 2. ใฝเ่ รียนร ู้
การเท่ากนั ม.1 เล่ม 1 2. ใ ชค้ วามรู้ ทกั ษะ Teaching - สังเกตพฤติกรรม ความจริง 3. มุ่งมั่น
และกระบวนการ การท�ำงานรายบคุ คล ในการท�ำงาน
1 ทางคณติ ศาสตร์ - สังเกตพฤติกรรม
ในการแกป้ ญั หา การท�ำงานกลุ่ม
ชวั่ โมง ได้อยา่ งเหมาะสม (P) - สงั เกตคณุ ลกั ษณะ
อันพึงประสงค์
3. รับผิดชอบต่อหน้าที่
ทไ่ี ดร้ บั มอบหมาย (A)

T188

แผนการจัด ส่อื ท่ีใช้ จดุ ประสงค์ วธิ สี อน ประเมิน ทักษะท่ีได้ คณุ ลักษณะ
การเรียนรู้ อนั พึงประสงค์
แผนฯ ที่ 4 - ต รวจใบงานท่ี 5.3
การแก้สมการ - ห นังสอื เรียนรายวิชา 1. ค�ำนวณค�ำตอบ Concept เรอื่ ง การแก้สมการ (1) - ทักษะการ 1. มีวินยั
เชงิ เส้น พ้ืนฐาน คณติ ศาสตร์ ของสมการเชิงเสน้ Based - ตรวจใบงานท่ี 5.4 ประยุกตใ์ ช้ 2. ใฝเ่ รยี นรู้
ตวั แปรเดียว ม.1 เลม่ 1 ตัวแปรเดยี วได้ (K) Teaching เรื่อง การแกส้ มการ (2) ความรู้ 3. มุ่งมน่ั
- ใบงานท่ี 5.3 เรอื่ ง 2. ใ ช้ความรู้ ทักษะ - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ
2 การแก้สมการ (1) และกระบวนการ 5.4 ก-5.4 ค ในการท�ำงาน
- ประเมินการน�ำเสนอ
ชวั่ โมง - ใบงานที่ 5.4 เรื่อง ทางคณติ ศาสตร์ ผลงาน
การแกส้ มการ (2) ในการแก้ปญั หา - สังเกตพฤติกรรม
ไดอ้ ยา่ งเหมาะสม (P) การท�ำงานรายบุคคล
3. รบั ผดิ ชอบต่อหนา้ ท่ี - สงั เกตพฤตกิ รรม
ทไี่ ด้รับมอบหมาย (A) การท�ำงานกล่มุ
- สังเกตคณุ ลักษณะ
อันพงึ ประสงค์

แผนฯ ท่ี 5 - หนังสอื เรยี นรายวชิ า 1. อธิบายการน�ำความรู้ Concept - ตรวจใบงานท่ี 5.5 - ทกั ษะการ 1. มีวนิ ยั
การนำ� ความรู้ พ้ืนฐาน คณิตศาสตร์ เกยี่ วกบั สมการเชิง Based เรื่อง การน�ำความรู้ ตีความ 2. ใฝเ่ รยี นร ู้
เกี่ยวกบั สมการ ม.1 เล่ม 1 เสน้ ตัวแปรเดียวไปใช้ Teaching เกย่ี วกบั สมการเชงิ เสน้ - ท กั ษะ 3. มงุ่ มั่น
เชงิ เสน้ - ใบงานท่ี 5.5 เรอ่ื ง ในชวี ิตจริงได้ (K) ตัวแปรเดยี วไปใช้ กระบวนการ ในการท�ำงาน
ตัวแปรเดียวไปใช้ ในชีวติ จรงิ คดิ แก้ปัญหา
ในชวี ิตจริง การน�ำ ความรเู้ กี่ยวกบั 2. ใชค้ วามรู้ ทกั ษะ
สมการเชิงเสน้ และกระบวนการ - ต รวจแบบฝึกทักษะ 5.5
2 ตัวแปรเดยี วไปใช้ ทางคณิตศาสตร์ - ตรวจแบบฝกึ ทักษะประจ�ำ
ในชวี ติ จริง ในการแก้ปัญหา หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 5
ช่วั โมง ได้อยา่ งเหมาะสม (P) - ประเมินการน�ำเสนอ

3. รบั ผดิ ชอบตอ่ หน้าที่ ผลงาน
ทีไ่ ดร้ บั มอบหมาย (A) - ตรวจผังมโนทัศน์
หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 5
สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว
- สงั เกตพฤตกิ รรม
การท�ำงานรายบคุ คล
- สังเกตพฤตกิ รรม
การท�ำงานกลุ่ม
- สังเกตคุณลักษณะ
อนั พึงประสงค์

T189

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching) 5 สตมวั แกปารรเเชดิงียเวสนหน่วยการเรยี นรทู ่ี

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)

1. ครกู ลา วทกั ทาย แลว แจง จดุ ประสงคก ารเรยี นรู
ใหนักเรียนทราบ

2. ครูกระตุนความสนใจของนักเรียน โดยให
นักเรียนดูภาพหนาหนวย จากนั้นครูถาม
คําถามในหนังสือเรียน หนา 176 แลวให
นักเรยี นรว มกนั แสดงความคิดเห็น
หมายเหตุ : ครูและนักเรียนรวมกันเฉลย
คําถามในหนังสือเรียน หนา 176 หลังเรียน
หนวยการเรียนรูที่ 5 เฉลยคาํ ถาม หนา 176

วีณาขับรถบนถนนสายหนึ่งด้วยความเร็ว 80 กิโลเมตร
ตอ่ ชัว่ โมง เม่อื เวลา 10.00 น. และอีก 1 ช่ัวโมงตอ่ มา นาวาขบั รถ
ตามมาบนถนนสายเดียวกันดว้ ยความเรว็ 100 กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมง

ตัวชีว้ ดั Q. จากสถานการณ์
• เข้าใจและใช้สมบัติของการเท่ากันและสมบัติของจำานวน ข้างตน้ นักเรยี นคดิ วา่
เพื่อวิเคราะห์และแก้ปัญหาโดยใช้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ÇÕ³ÒáÅйÒÇÒ
(ค 1.3 ม.1/1) ¨Ð¢ºÑ ö·Ñ¹¡¹Ñ
สาระการเรียนรแู กนกลาง เมือ่ เวลาเทา่ ใด
• สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
• การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
• การนำาความรู้เกี่ยวกับการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ไปใช้ในชีวิตจริง

เฉลย คาํ ถามในหนงั สอื เรียน หน้า 176

ใหวณี าขบั รถไดร ะยะทาง s กิโลเมตร ในเวลา t ช่วั โมง ดวยความเร็ว 80 กิโลเมตรตอชั่วโมง
จะไดวา วีณาขับรถไดร ะยะทาง s = 80t กิโลเมตร

และนาวาจะรถขบั รถทนั วีณาทร่ี ะยะทาง s กิโลเมตรเทา กนั แตในเวลาที่ชากวาวณี า 1 ชัว่ โมง
ดว ยความเรว็ 100 กโิ ลเมตรตอชว่ั โมง จะไดว า นาวาขับรถไดระยะทาง s = 100(t - 1) กโิ ลเมตร

น่นั คือ นาวาจะขับรถทนั วีณา เม่ือขบั รถเปน เวลา 80t = 100(t - 1)
80t = 100t - 100
100 = 20t
∴t = 5

จะไดวา นาวาจะขบั รถทันวีณา เมือ่ ขบั รถเปน เวลา 5 ชั่วโมง
ดงั นนั้ นาวาจะขบั รถทนั วีณา ในเวลา 15 นาฬกา

T190

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ควรรกู ่อนเรียน ขนั้ นาํ

ความสมั พันธ์ หมายถงึ ความเก่ยี วขอ้ ง เชน่ นิดและหน่อง สัมพันธ์กนั ที่เป็นพีน่ ้องกัน การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)
8 สัมพนั ธ์กบั 2 ที ่ 8 มีค่ามากกวา่ 2
3 และ 7 สัมพันธก์ ันที่เปน็ จาำ นวนเฉพาะเหมอื นกนั 3. ครูกลาวถึงความหมายของความสัมพันธวา
4 และ 6 สัมพนั ธก์ นั ท่ีเป็นจำานวนคเู่ หมอื นกัน “ความสัมพันธ หมายถึง ความเก่ียวของกัน”
5, 10, 15, ... สมั พนั ธ์กนั ทเ่ี ป็นจาำ นวนท่เี พิ่มข้ึนทลี ะ 5 เทา่ ๆ กนั แลวครูยกตัวอยางจํานวนสองจํานวน คือ 8
10, 8, 6, ... สมั พันธก์ ันท่ีเปน็ จาำ นวนที่ลดลงทีละ 2 เทา่ ๆ กนั กบั 2 และบอกนกั เรียนวา “ความสัมพนั ธ คือ
8 มากกวา 2” จากน้ันใหนักเรียนลองยก
แบบรูป เป็นการแสดงความสมั พนั ธ์ของส่ิงตา่ ง ๆ ทีม่ ีลักษณะสำาคัญบางอย่างรว่ มกันอยา่ ง ตวั อยางความสัมพันธข องจํานวนท้ังสองนี้
มเี ง่ือนไข ตอ้ งใชก้ ารสังเกต การวิเคราะห ์ เพอ่ื หาเหตุผลมาสนบั สนนุ และหาบทสรุปเพื่ออธบิ าย (แนวตอบ ตัวอยางความสัมพันธของสอง
ความสมั พันธ์น้นั จาํ นวนน้ี เชน 2 หาร 8 ลงตัว, 8 เปน สเี่ ทา
ในแบบรปู ทางคณติ ศาสตรน์ กั เรยี นมกั จะไดเ้ หน็ การจดั ลาำ ดบั และการทาำ ซาำ้ ๆ อยา่ งตอ่ เนอ่ื ง ของ 2 เปนตน )
เชน่ 5, 10, 15, ..., 50 เปน็ แบบรูปทีม่ ลี าำ ดับของจาำ นวนเพม่ิ ขนึ้ ทีละ 5 ซ้ำา ๆ กันอยา่ งตอ่ เนอ่ื ง
จนถึง 50 เปน็ ต้น 4. ครูกลาวถึงแบบรูปวา “แบบรูปเปนการแสดง
ความสัมพันธของจํานวนหรือสิ่งตางๆ ท่ีมี
การนบั เพิ่ม เป็นการเรยี งลำาดบั จาำ นวนจากนอ้ ยไปมาก จาำ นวนทางขวาจะมากกว่าจำานวน ลกั ษณะสาํ คญั บางอยา งรว มกนั อยา งมเี งอื่ นไข
ทางซ้ายท่ีอยตู่ ดิ กันตามความสัมพนั ธ์ทกี่ ำาหนด เช่น และเงื่อนไขดังกลาวสามารถเปนแนวทาง
• การเพิม่ ขนึ้ ทลี ะ 7 ในการหาจํานวนหรือส่ิงถัดไปได” จากนั้น
ครูยกตัวอยางความสัมพันธของแบบรูป เชน
7 14 21 28 35 การนับเพ่ิมทีละเทาๆ กัน หรือการนับลด
ทลี ะเทา ๆ กัน จากหนงั สือเรยี น หนา 177
+7 +7 +7 +7
5. ครูใหนักเรียนศึกษา “ควรรูกอนเรียน” ใน
หนังสอื เรยี น หนา 177 เพ่อื ทบทวนความรู

การนับลด เป็นการเรียงลำาดับจำานวนจากมากไปน้อย จำานวนทางขวาจะน้อยกว่าจำานวน
ทางซา้ ยทอี่ ยู่ติดกันตามความสมั พันธ์ท่กี าำ หนด เช่น
• การลดลงทลี ะ 10

80 70 60 50 40

-10 -10 -10 -10

177

กิจกรรม เสรมิ สรางคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค เกร็ดแนะครู

ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 4-5 คน คละความสามารถทาง การเรียนการสอนหนวยการเรียนรูน้ี ครูควรใชทักษะการหาแบบแผน
คณิตศาสตร จากนั้นใหศึกษา “ควรรูกอนเรียน” ในหนังสือเรียน ทักษะการพิสูจนความจริง ทักษะการตีความ และทักษะกระบวนการคิดแก
หนา 177 และศกึ ษาหนว ยการเรยี นรทู ี่ 5 สมการเชงิ เสน ตวั แปรเดยี ว ปญหา โดยใหนักเรียนสํารวจความสัมพันธของแบบรูป การสรางโจทยปญหา
ลว งหนา และครใู หน กั เรยี นสรา งสถานการณต วั อยา งการนาํ ความรู ทาํ ความเขา ใจปญ หา และรจู กั วางแผนแกป ญ หาพรอ มทง้ั การตรวจสอบคาํ ตอบ
เร่ืองสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวไปใชในชีวิตประจําวัน จํานวน 5 ไดอ ยา งถกู ตอ ง
สถานการณ พรอ มทงั้ บอกประโยชนข องสมการเชงิ เสน ตวั แปรเดยี ว
กาํ หนดเวลา 2 สปั ดาห

T191