Fig.~7.1. a. Coş de fum - Termocentrala Deva (h=220 m). Proiectant : ISPE Bucureşti. Executant : Trustul Energoconstrucţii Bucu eşti. 199
ţia H Id~ 20. Diametrul interior Ia vîrf se alege minimum 0,6 m pentru a per"inite accesul în interior. . Temperatura gazelor arse în coş poate atinge valori pînă ]a 800 °e, avînd o scădere pe înălţime de 0,3 ... 0,5 <C/m. ln mod obişnuit însă în calcu] se consideră o temperatură constantă pe înălţimea coşului. Datorită temperaturii mari a gazelor arse şi agresivităţii puternice asupra betonului armat se prevede în interiorul coşului o căptuşeală de protecţie din zirie de cărămidă obişnuită, pentru temperaturi pînă la 500 °e sau din cărămizi refractare (beton refractar), pentru temperaturi mai mari. N ..... / Fig. 7.1. b. Coş de fum din elemente pre- Fig. 7.2. Forma exterioară a oşurilor d(.fum. fabricate la întreprinderea metalurgică de metale neferoase Baia Mare (h= 1 O 1 m) între stratul de beton armat şi căptuşeala de zidărie se lasă un spaţiu de aer închis sau ventilat, sau se prevede o izolaţie termică (zgură granulată, vată de sticlă, kiselgur etc.). Dacă temperatura gazelor este mică şi agresivitatea este redusă, se admite să se nunţe la căptuşeală şi la izolaţie termică. Gura coşului este locul cel mai expus coroziunii, din cauza formării acizilor la contactul gazelor cu umiditatea atmosferică, motiv pentru care se protejează. Se pot folosi plăci protectoare din bazalt artificial, inele de beton special,. ,
+120.IXJ +SO.OU Secf/vnea B • B J Detaliul A 4 G Fig. 7.3. Coş de fum de 220 m înălţime: 1 - canal de fum ; 2 - fundaţie; J - coş ; 4 - strat de aer ; 5 - ţeavl de plumb ; 6 - consolă ; 7 - foale de plumb ; 8 - şnur de azbest ; 9 - Cărămidă de bazalt artificial. a ~ m b Fig. 7.4. Coş de fum de 80 m înălţime: a - secţiune verticală ; b - gura coşului ; c - fun- daţia ; I - canal de fum ; 2 - fundaţie ; J - beton de granulit ; 4 - plăci de gresie antiacidă ; 5 - Izo- laţie termiei ; 6 - mastic bituminos ; 7 - ptlnla buncărului; 8 - gura ptlnlei; 9 - ţeavă 0 40 din plumb. 201
1 Evacuaret1 o1erulu1 • I ,, ,1 b C d Fig. 7 .. 5. Detaliiide alcătuire::a gurii coşului: 1 -placă de oţel ; 2 - rost de dilatare ; J - clement de fontă; 4 - tablă de oţel ; 5 -izolaţie elastică ; 6 -7ldărle de protecţie ; 7 - Izolaţie termică ; 8 - perete din beton turnat monolit ; 9 - element· prefabricat ; 1() - placă de plumb_; 11 - jgheab' perforat; 12 - placă de protecţie. d Sec/1une.:1 t-1 Secfiune- °2-2 Inferior w Fig. 7.6. Detalii de armare. cărămizi antiacide, inele de fontă sau alte metale artticorosive (fig. 7.5). La baza coşului se prevede un spaţiu pentru colectarea cenuşii. Peretele din beton armat se execută cu grosime constantă sau variabilă avînd minimum 15 cm la partea superioară. Grosimea creşte în jos, putînd ajunge la 40 . . . 50 cm, în cazul coşurilor cu înălţimi foarte mari. Recomandările comitetului 307 ACI [19J prevăd grosimea minimă a peretelui de 17,5 cm pentru coşuri cu diametrul interior di~ 6 m, aceasta majorîndu-se cu 1 cm pentru fiecare metru în plus. La execuţia peretelui se folosesc mărci de beton ridicate, peste B 200. Trebuie luate măsuri pentru asigurarea unei compactităţi corespunzătoare betonului. Stratul de protecţie al ar măturii este de minimum 3 ... 5 cm. Pentru a feri beto202
nul de influenţa corosivă a gazelor care ar putea pătrunde prin rosturile căptuşelii, suprafaţa interioară se protejează cu o tencuială sclivisită, executată cu ciment metalurgic. Armătura este compusă din bare verticale şi orizontale, sub formă de inele, ce se montează în interiorul celor verticale. Reţeaua de armături se aşază la faţa exterioară a peretelui de beton armat. Dacă este necesar, se mai prevede o reţea asemănătoare şi la faţa interioară a peretelui (fig. 7.6). Barele verticale preiau eforturile unitare din încărcarea permanentă, vînt, cutremur şi variaţiile - _J _ _ 203 I I I I -+-- I ' I Fig. 7.7. Armătura supli- mentară în jurul golurilor.
Sec/111nu I·! 7 J 6 de temţeratură, iar cele orizontale din vînt şi variaţiile de temperatură. Diametrul minim al barelor verticale este 12 mm, iar al barelor inelare 10 mm. Barele verticale, în număr de 5 .. . 8 pe metru liniar se suprapun pe 30 d. într-o ~ecţiune nu se înnădesc mai mult de 25% din bare. Barele orizontale se dispun tot 5 ... 8 pe metru liniar şi se înnădesc decalat pentru a nu fi pe aceeaşi verticală. Barele verticale se leagă de cele orizontale la fiecare inter- secţie. Procentul minim pentru armă tura verticală este 0,0% , iar pentru armătura orizontală O, IE,% . Normele ACI [19] prevăd pentru arm tura verti- cală un procent minim de 0,2E% , iar pentru cea inelară 0,2% . O atenţie deosebită trebuie acor- dată armării în jurul golurilor prevă a b zute pentru canalul de fum (fig. 7. 7). Fig. 7.8. Căptuşeala şi termoizolaţia coşului: La marginile golului se aşază o armă 1 _ perete de beton armat; 2 _ termoizolaţie; tură supliment ară Ja faţa exteriot~ră a J - eonso!A; , - azbest; 5- rost de dilataţie; peretelui coşului. Armătura ver 1ca ă 6 - plasă de rabiţ; 7 - zldArle refractari. uplimentar ă are O secţiune totală egală cu armătura stabilită pentru jumătate din deschiderea golului [19J. Deasupra şi dedesubtul golului armătura are secţiunea de cel puţin jumătate din mătura inelară întreruptă de gol. Jumătate din aceste bare trebuie duse continuu în jurul circumferinţei coşului. Aria armăturii orizontale suplimentare rezultă dintr-un calcul de grindă perete. Căptuşeala de protecţie din zidărie se fragmentează pe înălţ mea coşului în tronsoane de 8 ... 12 m, ce se descarcă prin intermediul unor console inelare pe pereţii de beton armat (fig. 7.8). Grosimea căptuşelii variază între 12 c~ 1~ partea su perioară şi 25 cm la partea inferioară a coşului. ăp tuşeala trebuH: sa se poată deforma liber în sens vertical şi orizontal fără a produce efort un în beton. Pentru a evita eforturi suplimentare din temperatură datorită variaţiei bruşte a grosimii peretelui, normele [19] recomandă fragmentarea radială, din metru în metru, a consolelor. Protecţia consolelor de beton armat se face cu o fîşie de azbest sau prin scoaterea zidăriei de cărămidă refractară în consolă (fig. 7.8, a i b). Stratul de izolaţie termică rezult ă din calculul termotehnic, avînd o grosime variabilă de 5 ... 25 cm. Pentru ca să nu se producă tasarea termoizo aţiei, pe porţiunea dintre console, se prevede la cîte 2,5 m o plasă de rabiţ orizontală. La temperaturi mari ale gazelor este bine ca grosimea peretelui să nu fie mare deoarece eforturile unitare ce apar din variaţiile de temperatură sînt proporţionale cu acestea. Mărirea ezistenţei secţiunilor orizontale nu se va face deci prin sporirea grosimii peretelui de beton armat, ci prin majorarea procentului de armare sau a diametrului coşului. 204
lf)().(1) lVV. Oef.;/iul ,4 J Sec/i1.1ne3 1·1 80.00 T Ţ t 1 Fig. 7.9. Coş de fum cu separarea funcţiei de rezi tenţă de cea de eliminare a gazelor : 1 - grin:iă in ră; 2 - stllpl de b eton arm!lt ; J - perete de beton armat ; I - căptu,cală ; • · 5 - Izolaţie termică; 6 - Co:lie de plumb. 205
t ~ -~ l<l ~ ~ Ei ~ ~ ~ ~ t c,,;, ""' ~ ~ ..:;! -<:o ~ ~ ~ :g .~ ~ b ~ ~ ~ .,.. § 'ls ~ ~ ~ e:· "' ~ ~ I; ~ '+ ~ E ~ ~ - t.;:: ~ ~ :t ~ ~ ~ {: "' ~ ·~ ~ .;.. 'li ~ .~ ~ ~ ~ ·~ ftt ~ 14GOmm ~ ~ C ~ ~ ·S! ~ t ~ ·~ ~ ~ ~ d I a Fig. 7.10. Coş delfumfasamblat prin precomprimare: a - secţiune verticală ; b - ancoraj ; c - secţiune vertica ă printr-un inel prefabricat ; d - secţiune orizontali printr-un Inel prefabricat ; J - gol pentru ancoraj.
Funcţia de rezistenţă a coşului poate fi separată de funcţia de eliminare a gazelor, căptuşeala interioară (de zidărie sau beton refractar) executîndu-se independent, astfel încît coşul de fum se compune din două tuburi concentrice. În cazul realizării căptuşelii interioare din zidărie, aceasta se execută după principii similare ca la construcţi~ furnalelor, în exterior fiind prevăzută cu benzi de oţel pentru mărirea rezistenţei la întindere. Distanţa între căptuşeală şi peretele de beton trebuie să asigure deformaţia lor liberă (la 200 m înălţime rezultă aproximativ 50 cm). Tubul interior trebuje calculat la greutatea proprie pe întreaga înălţime, la acţiunea cutremurului şi a variaţmor de temperatură. S-au executat coşuri de fum cu cele două tuburi concentrice legate elastic între ele, tubul interior preluînd eforturile unitare din variaţiile de temperatură, iar cel exterior eforturile unitare din vtnt şi cutremur (fig. 7.9). C:Oşurile de fum monoJite din beton armfit se execută folosind cofraje glisante. Coşurile prefabricate sînt alcătujte din bolţari (clavouri). La montaj se aşază armătura verticală şi orizontală în locaşuri special lăsate în clavouri, care apoi se betonează. Secţiunea transversală poat{> fi circulară sau poligonală cu nervuri la colţuri. Elementele prefabricate au cîteodată numai rolul de cofraj pentru peretele din beton armat turnat monolit. Asamblarea elementelor prefabricate poate fi făcută şi prin precomprimare. Se folosesc tronsoane inelare prevăzute cu canale verticale pentru introducerea fascicqlelor de armătură. In exemplul coşului din figura 7.10 precomprimarea s-a făcut asamblînd tronsoane de cîte 10 inele, ultimul inel fiind prevăzut cu locaşuri pentru blocajele armăturilor. Presele de precomprimare au fost montate la partea inferioară, pe soclu. După ce s-a efectuat precomprimarea tronsonului inferior s-a trecut la montarea celorlalte tronsoane. 7 .2.2. Fundafia coiului Fundaţiile coşurilor de fum sînt similare fundaţiilor turnurilor de telecomunicaţii. în figura 7.11 sînt date exemple de armare. 7.2.3. Accesorii Coşurile de fum sînt prevăzute cu următoarele accesorii: - balisaj optic realiz~t pentru ziuă prin vopsire, iar pentru noapte printr-o lumină roşie (fig. 7.J, b); - paratrăz11et legat cu două cabluri la pămînt ; - scări şi platforme · metalice, protejate contra coroziunii; - filtre mecanice sau electrice pentru cenuşa volantă (măsură de protecţie împotriva poluării). 207
. I .. , C: ,, . Sec/iuneq A-A t,120 , .... _ ___,;._,,_'6,_28 ___ / ., (1 s«/it11W 8-8 i.--------__,;.;.;.;;.. fl,8S _______ --i ~ Fig. 7. 11, a Detalii de armare a unei fundaţii circulare 208
.JIJ0~22 0o,o/ ~ /j720,t8 J60x22 720xl8 -~ .li I \ \ \ • 50 ~ J60rp22 720x22 Fig. 7.11, b. Detalii de armare a unei fundaţii tronconice. 209 14 - Constructii industriale speciale
7.3. CALCULUL COŞURILOR DE FUM Din punct de vedere static coşurile de fum sînt console încastrate în fundaţie supuse la încărcări verticale (greutatea proprie, greutatea căptuşelii), la încărcări orizontale (vînt, cutremur) şi la variaţiile de temperatură (diferenţe de temperatură între interiorul şi exteriorul coşului, încălzirea neuniformă datorită razelor solare - însorirea). Calculul static la încărcările vertica e i orizon- .!_ale se face conform celor ară a e a capitolul~ -- 'Lf Deoarece coşurile de fum pot fi grupate în linie, la evaluarea acţiunii vîntului trebuie să se ţină seama de fenomenele de interferenţă în zona de silaj, care pot amplifica mult încărcările corespunzătoare unui singur coş. Astfel, cercetări de laborator recente au arătat că în cazul a patru coşuri de 150 m înălţime la o distanţă de 4,5 d, presiunea vîntului a fost de şase ori mai mare âecît pentru un coş izolat [5]. In ceea ce priveşte efectul însoririi, acesta nu poate fi neglijat în cazul coşurilor înalte. Un procedeu adecvat de calcul este prezentat în lucrarea [10]. Calculul de rezistenţă al coşurilor de fum se poate face cu metoda rezistentelor admisibile [l], (19] sau cu metoda stărilor limită [2], [5], [13], [14], (16], (18] în curs de generalizare la toate structurile de rezistenţă. 7 .3.1. Determinarea diferenţei de temperatură I:::. t Diferenţa de temperatură la care este supus peretele de beton armat se determină ţinînd seama de căptuşeala de protecţie şi de stratul de izolaţie termic ă (fig. 7. 12). Gradientul trrmic al peretelui de beton armat ~t=tbt- tbe rezultă din calculul conductivităţii termice: Fig. 7.12. (7.1) Temperatura la faţa interioară a peretelui de beton este : tbi = fe + (ii-te) Â( ~: + :e) ' (7.2) în care  are următoarele valori : - coş fără strat de protecţie : _J_ = _1 + ~+-1 ; (7.3) A a., Â& ae - coş cu strat de protecţie şi cu strat de izolaţie: _l. = _l + .!!!:_ + ~ + ~ + _1 ; (7.4) ')., a., . Âr Â, Âb a, 210
- coş cu strat de protecţie şi gol de aer neventilat : __!_=-·-+~+-·-+~+-•; Â. a, Â.r a„ 4 a, - coş cu strat de protecţie şi gol de aer ventilat : (7.5) 1 _ l + 1 + h,. + l + hb + 1 , (7.6) Â. a, r Â.r a11 Âb . ae unde : Âb este coeficientul de conductibilitate termică a betonului, în W /mK, (kcal/m 0 C) ; Â.r coeficientul de conductibilitate termică a stratului de protecţie interioară, în W/mK (kcal/m 0 C) ; ~ coeficientul de conductibilitate termic ă a izolaţiei între peretele de beton şi stratul de protecţie int rioară, în W/mK (kcal/m 0 C); a, coeficientul de transmisie ·a căldurii fumuiui la sup rafaţa stratului de protecţie interioară sau la su prafa a interi oară a peretelui de beton, dacă nu are strat de prote ţi e interioară (coeficient de schimb superficial la suprafa ţa inte ioară), în W /m2K (kcal/ m2 0 C} ; ae coeficientul de transmisie a căl durii de la suprafaţa exterioară a coşului la mediul ambiant (coeficient de schimb superficial ]a faţa exterioară), în W/m2K (kcal/m20C); «r - coeficientul de transmisie a căldurii prin radiaţie între uprafaţa exterioară a stratului de protecţie şi suprafaţa interioară a peretelui de beton, în · W/m2K (kcal/m2 0 C); av - coeficientul de transmisie a căldurii prin spaţii cu aer ventilat între su praf aţa exterioară a stratului de prote ţie şi sup afaţa interioară a peretelui de beton, în W / m2 K (kcal/ m2 °C) ; r raportul între transmisia că durii transversal prin peretele de beton şi transmisia căldurii transversal prin stratul de prote ţie, pentru un coş cu gol de aer ventilat ; t, temperatura maximă a gazului la intrare în oş, în °e; t, temperatura mediului ambiant, în °e; hb grosimea peretelui de beton a coşului, în m; hr grosimea stratului de protecţie, în m ; h„ grosimea stratului între peretele de beton şi stratul de protec- ţie, în m. Regimul termic al coşului mai este nfluenţat şi de numero i alţi factori, cum ar fi: variaţia regimului termic al arderii, starea de depunere a zgurei pe căptu şeala de protecţie, modul de ventilare a spaţi ului între căptuşeala de protecţie şi peretele de beton, razele soarelui (însorirea), vîntul, ploaia etc. Pentru cazurile practice pot fi luate urm toarele valori : - coeficientul de conductibilitate a betonului Âb= I, 74 W /mK; - coeficientul dP conductibilitate a stratului de protecţie interioa ă : Â.r=0,75 W/mK pentru zidăria de cărămidă obi şnuită, Âr=0,95 W /mK pentru zidăria de căr ămidă antiacidă , t " 211
Â,=0,80 W/mK pentru zidăria de cărămidă refractară cu conţinut slab de alumină, Âr=0,90 W /mK pentru zidăria de cărămidă refractar ă cu conţin t ridicat de alumină; - coeficientul de transmisie : ai=aic:+a,r unde a,c i afr rezultă din graficele din anexa 19 funcţie de tempe- ratură, viteza gazului şi diametrul interior al stratului de protecţie (19]; ae= 18 W /m2K valoare medie (iarna a6=23 W /m2K; vara a,= 12 W /m.2 K), ar=0,07 t, W/m2K, av=0,06 ti W/m2K, - raportul r=0,5 cînd hv~ O, 1 m şi cînd există la baza şi vîrful coşului deschideri de ventilaţie a căror secţiune de trecere este mai mare de 0,2 diametrul interior al coşului, în m. 7.3.2. Calculul co1urilor În secţiuni verticale Secţiunile verticale ale pereţilor coşurilor sînt solicitate la eforturile produse de încălzirea neuniformă Af. în cazul coşurilor cu pereţi ubţ iri apar eforturi suplimentare din ovalizarea secţiunii sub acţiunea vîntului (vezi cap. 6). Calculul la acţiunea lui 6.t în metoda stărilor limită se face izolînd un element de lungime unitară, cu distribuţia eforturilor din figura 7.13 [14], [18]. Ur ărind elementul în stare deformată se scrie: · 1 a,fltum p h (7.7) Pe de altă parte între raza de curbură a axei deformate şi momentul de încovoiere din variaţiile de temperatură me,t xistă re aţia : 1 me t -= - ' I p Ba (7.8) de unde: 1 me,t = -Ba= p Ba, (7.9) • A11 • --- ))---- ___ i o ~-· .-- Fig. 7.13. Solicitarea în un i verticale. 212
în care: ctt= 10-5 este coeficientul de dilatare termică; D.tum=ktD.i - diferenţa limită de temperatură egală cu diferenţa reală ele temperatură majorată cu coeficientul de supraîncărcare ke (1,25 după Mur as o v); h - grosimea peretelui de beton armat ; Ba - rigiditatea secţiunii pentru zona întinsă : ·Ba= EamWa (h -x), (7.10) unde: W0 - modulul de rezistenţă al secţiunii pentru zona întinsă, egal cu momentul forţelor interioare în raport cu o axă ce trece prin centrul de greutate al zonei comprimate, împărţit cu efortul unitar din fibra extremă a armăturii întinse (Wa este o mărime fizi că deoarece ţine seama de comportarea elastico-plastică a materialului) ; Eam=EahP- modulul mediu de elasticitate al armăturii întinse; 'IJ> ~ 1 - coeficient ce ţine seama de aportul betonului întins dintre fisuri la preluarea eforturilor şi care depinde de marca betonuţui, procentul de armare, caracterul acţiunii încărcării, mărimea efortului unitar. Pentru temperaturi ridicate 'IJ>= 1. Ecuaţia de echilibru interior este: Din relaţiile (7.9) şi (7.1 1)' rezultă: sau folosind expresia (7.10) : <1pt ·Wa == a,A:um Eam Wa(ho-x). Dacă se notează h= l,lh0 şi ~=xlh0 relaţia (7.13) devine: <1at = a'i~t (1- s) Lltum, sau ţin înd seama că pentru temperaturi ridicate Eam~Ea: <1at = a~E; (1 - ~) Llium, , (7.11) (7.12) (7.13) (7.14) unde: s= -;a+ V~ +a este înălţimea relativă a zonei comprimate ce rezultă . din ecuaţia de proiecţie ; a = n' Aa - coeficientul relativ de armare ; bh0 , Eam n = Ebt - coeficientul real de echivalenţă ; E,,, = (1-Âp) Ebt- modulul de elasticitate-plasticitate al betonului · pentru · temperaturi înalte; 213
Âp - coeficientul de plastiţitate al betonului, egal cu 0,67 pentru starţa limită de rezistenţă; modulul de elasticitate al betonului la temperaturi ridicate (tabelul 7.1). Tabelul. 7.1 Valorile modulului de elasticitate))etorudul la diferite temperaturi t, 20 °c 100°c 200°c 300 °c E,,, 1,0Eb 0,85E& 0,65Eb 0,45E& Condiţia de rezistenţ ă se scrie sub forma : C1at ~Ra, (7.15) unde Ra este rezistenţa de calcul a oţelului. ln cazul în care ccmdiţia (7.15) este satisfăcută, secţi unea armăturii inelare A0 impusă iniţial este suficientă . Relaţia (7.14) poate fi scrisă)i sub forma: Deoarece O<s<l se obţine: sau: O < 1, l O'ae < l a,Ealiti,m /lt > 1,lO'at lfm a,Ea • • Înlocuind a,=IQ-5 şi Ea=2 100 OOO daN/cm2 în relaţia (7.18) se obţine: Gat <20 Âtz,m. (7.16) (7.17) (7.18) (7.19) Dacă Ra>20 Âtitm condi ţia de rezistenţă (7.15) ~te satisfăcută în mod evident, iar armătura inelară se dispune constructiv pentru procentul minim de armare. 7.3.3. Calculul coiurilor in secţiuni orizontale Secţiunile orizontale sînt solicitate la eforturi axiale de compresiune N din încărcările verticale, la momente de încovoiere M şi forţe tăietoare T din acţiunea vîntului (cutremurului) şi a eţcentriciţăţilor accidentale, la momente de încovoiere me din diferenţa de temperatură flt, la momente de încovoiere mc din consolele inelare şi la momente mx datorită perturbării stării de membrană în zona de legătură cu fundaţia. ln metoda stărilor limită calculul secţiunilor inelare pline sau cu goluri se efectuează ţinînd seama dţ acţiunea simult~nă a lui N şl M. Dacă celelalte eforturi sînt importante, ţn special cele datorită diferenţei de temperatură t:J, trebuie acceptată în mod fortuit suprapunerea efectelor. 214
7.3.3.1. Calculul la acţiunea lui M şi N [13], [16]. în C,!zµl secţiunii inelare pline, datorită simetriei centrale orice solicitar~ de C(?mpresţune excentrică este dreaptă. In stadiul limită al capacităţii port<lnte presupunînd plasticizarea totală a secţiunii (fig. 7.14) se obţin următoarele ecuaţii de echilibru: . (7.20) _ [ 28 48 µ ] 200, sin 0 M - 400 2n rh R c + 400 2n rh 100 R a na , (7.21) în care : , şi h sînt elementele geometrice cţiq figura 7! 14 ; Re, Ra - rezisţenţele de calcul ale betonului şi armăturii; 6 - unghiul poziţiţi axei neutre, exprimat în grade centesi~ male (penfru facili tarea folosirii calculatoarelor) ; µ - coeficientul de armare al secţi1,!nii. - Pţntru calculul practic de proiectare, pe baza schemei logice din figura 7.15 s-aµ calculat curbele de interacţiune din anexa 20. In locul valorilor reale ale eforturilor se folosţsc mărimile reduse: n=Nl2nrhRc, m= M /2ţr hR c• (1;22) (7.23) In cazul secţiunii inelare cu un gol lateral, situaţia cea mai defavorabilă este cînd planul forţeţqr conţine axa golului y=O (fig. 7.16). Din condiţiile de echilibru rezultă relaţiile: _ ~-~ + (28-~ l) µ Ra • n - 200 200 - 100 Re ' (7.24) = sin 0-sin ~ {t + 2µ. Ra) + s(n ~ ~ Ra ( 7.25) m n 100 Re n 100 Re • Se observă că valorile eforturilor limită sînt influenţate de mărimea golului later~l definţt de unghiul p. Curbele de interacţiune pentru secţiuniţe inelare cu_un gol lateral (~= lOC, 20c, 30C) sînt date în anexa 20. ·Fig. 7.14. Acţiunea lui M şi N tn secţiuni orizontale. 215-
ITA/fT N11 STOP Fig. 7.15. Schemă logică pentru determinarea curbelor de interacţiune N- M. Fig. 7.16. Secţiune inelară cu gol lateral. Fig. 7.17. ecţiune inel ară cu mal multe goluri laterale. în cazul sec unii inelare cu mai multe goluri laterale (fig. 7.17) fiecare gol va produce o diminuare a efortului limită, funcţie de mărimea şi poziţia lui. Dacă golurile laterale sînt mici (~<IOC) se poate face aproximaţia de înlocuire a secţiunii reale cu o secţiune fictivă cu un singur gol egal cu suma lor, aşezat de partea zonei comprimate. Pentru calcul pot fi folosite aceleaşi curbe de interacţiune (anexa 20). În tabelul 7.2 se dau comparativ, pentru o anumit ă stare de solicitare, cantităţile de armătură pentru secţi unea inelară plină, cu un gol şi cu mai multe goluri laterale. Rezultă că neglijarea în calcule a prezenţei golurilor laterale duce la subdimensionarea secţiunii. Rezult~tele unui calcul comparativ fn metoda rezi stenţelor admisibile i în două variante ale metodei la stări limită, pentru un caz concret apar în tabelul 7.3. Soluţia cea mai economică se obţine pe baza calculului expus mai sus~ 21&
Nr. crt. -- o , -- 2 3 Tabelul 7.2 Co paraţia influ ţei imii golurilor Elementele iţeometrice r = 120 cm h=lO cm ~=oe r= 120 cm h=lO cm ~=IOC Calităţile materia. !ului 2 B 250 PC 52 B 250 PC 52 N , daN M, daNm 3 80· 103 250· 103 €0.J03 250- 103 n µ Aa m % cms ; -- 4 -- 5 -.6 0,107 0,46 341,80 0,248 ------ 0,107 0,52 37,20 0,248 1---,------- --,----1===1---1- - - - -- r= 120 cm h= IO cm ~=SC B 250 PC 52 80· 108 0, 107 0,70 48,70 250-103 0,248 7.3.3.2. Calculul la dife en a de temperatur . Diferenţa de tempera ură produce compresiuni la faţa interioară şi întinderi la faţa exterioa . Efortul unitar în mătură <Jat după metoda stărilor limită se dete mi ă la fel ca în cazuI:secţiunilor verticale (relaţia 7.14). Efortul unitar în beton <1bt se stabileş e pe oaza unor re aţii similare şi este: ' (7.26) 217
~ as .Q Q ~ ~ tJ o ~ o, - .!:9 (/) . i .. .. ~"5 lt:) <N o, ca - a .. < :1.~ o lt:) . o <J_., ~:ia 00 uuu ~az OOO C"':) tl u as <N p:;'"d 'CI .:-~a 00 zg z 00 ~5":~ C',10 ...,.~ .... !> • J1l i:., _ a, - 'CI - ::s u Q .... C ~~ " .c, c., 5 ~I ... coo .:!l N <.O""' 1::= t 00 Q> CI. C):p .: -=:i ~ 8a ~ - o "" ., - ; I I.I ·g -i1 ',:I CIi c., CI>.-. '"d as --C: ...... '8 CI> .... a, ... .!!l:-::: c., t-:1.C ::s CI> ·- o:: <I) 8 s:-a ... .. - 4>,as jr" ea ii • ~-~ I . i::- Q>~ ac., i ~ cii - o 00 - I I 00 o - - I I lt:) "' o O<N u:>- o,.- <N I 00 OOO (',,,0 C':)(',,, LO ".c, ~~ l'- <D 00"' 00~ Cf> o" lt) ·- - §: >CIi .... :§ -·.:: ><li .... C/) >~ ~I ' -. "' ~ - o t8 lt:) (") o 00 O<N o,- <N ~g (',,,tr.) C':)~ " ,<:) ~~ ~g oo Cf> o "" (")- - ;; ...... - xu -I~ - ·-... ><li .... C/) E zZ <li '<li -,:,;? "'o o-c-:i se;§~ '-'ID<N~ ~ct...,. o· unn 11~ ~ .._<:::!Sc:a ~ 218 în lucrarea [5] se dau urm toa rele rel<lţ i pentru calculul tensiunilor din diferenţa de temperatură, stabilite pe baza unor reguli empirice şi a unor date experimentale: 2c CJat = 5,5 k I+cM [daN/cm2] , (7.27) <Jbt = 0,6 k!:lt [daN/cm2 ], (7.28) în care: k = Eb . 7000V R,u' Eb - modulul de elasticitate al betonului ; Rctt - rezi tenţa cilindrică a betonului ; c - raportul între aria de arm tură la faţa interioară şi exterioară a pereteţui. 7.3.3.3. Calculul la acţiunea comb nată a eforturilor. Pentru calculul la eforturile din înc cările exterioare (M şi N) şi la ferenţa de temperat ură, se pot folosi relaţiile (7.20) ... (7.25) în care rezistenţele de calcul Ra şi R c se micşorează cu <1at şi CJbt. * • * ln afara calculului la starea li mită de rezistenţă, ţinînd seama de regi mul sever de exploatare a coşurilor de fum, trebuie efectua ă şi verificarea în starea limită de deschidere a fisurilor conform STAS 10107/0-75. Calculul fundaţiilor şi verificarea stabilităţii generale se face pe baza recomandărilor date în capitolul 6.
BIBLIOGRAFIE I. Avram C., Betonul armat, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1952. 2. B r e t t 1 e H. J ., Theory and Strength Design of Reinforced Concrete Chimneys, Memoires AIPC, 1972. 3. Ci e sie I s k i R. ş. a., Behăi.ier, Bunker, Silos, Schomsteine, Fernsehtilrme und Freileitungsmasle, Berlin, V.v.W. Ernst u. Sohn, 1970. 4. Dive r M., Etude des cherrJnees en beton arme, Annales de L' Institut technique du bâtiment et des travaux publics, Paris, Mai 1966, 601-633. 5. D iv e r M., The French Approach for the Design of Industrial Chimneys, IASS Symposium Oh Industrial Chimneys, Cracow - Poland, 4-7 Sept. 1973, Papers, 287-299. 6. E n k e P. ş. a., Span.nbetonmontagesclwrnstelne. Eine Entwicklung des VEB Spezialbau Leipzig, Bauplanung - Bautechnik, 11/1960, 487-492. 7. Hampe E., lndustrieschornsteine, Berlin, VEB Verlag f. Bauwesen, 1970. 8. Hangan M., Betonul armat. Construcţii industriale, Ed. Teh f1 ică, Bucureşti, 1958. 9. J a Ii 1 W. ş. a., Problemes spedţiques concernant le calcul des tours et cheminees en beton arme, Cahiers de l' AFB, no. 33, Juin 1973. 10. J a 1 i I W. A., Second Order Effects of Towers and High Chimneys, IASS Symposium on Industrial Chimneys, Cracow - Poland, 4- 7 Sept. 197~. Pa pers, I3J ~ 135. 11. L e d w o n J ., G Q 1 B., Dypamics of Industrial Chimneys under Seişmic Loqds, International Civil J::ngipeering, Ianuary 1959, 10-20. 12. M i h u 1 A:, Construcţii speciale de betpn armat, Bucureşti, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1964. 13. M î r ş u O., Pop A., Calculul secţiunilor inelar~ de beton pline şi. cu golu~, Construcţii, 1975. 14. Mur a ş o v V., Nouîi metod rasciota jelezobetonnîh dimouth trub, Stroitelinaia promîşlennosti, 6/1951. 15. Ory R., Lecalculdeschemineesenbetonarme, Construction, Avril 1963, 173-185 . . 16. Pop A., M î r ş u 9., lnfluence of Lateral Holes on the Befulvlour of Reinforced Concret~ Chimneys, IASS Symposiu!ll on Industrial Chimneys, Cracow - Poland, 4-7 Sept. 1973, Papers, 271-279. 17. S c h Ie eh W., Stahlbeton - Sclwrnstelne, Beton und Stahlbetonbau, 3/1965, 62-66. 18. V o I t îl te v V. ş. a:, Jelezobeionnte dlmaule trubl, Prolektlrovanie l t1ozuedenie, Moskva, . 1950. 19. • • • A G I Co m m i t t e e 3 O 7. Spepification for the Desiga and Construction of Rein• forced Concrete Chimneys, Journal of the ACI, 9/1968, 689-712. 20. • • • STAS 3466.-58. Coşuri indepţndente. Prescrip/ii de proiectare. 21. ~ • • ST AS 64 72/3-73. Calculul rezistenţei la transfer termic şi la stabilitatea termicil. 219
Capitolul 8 CALCULUL AUTOMAT AL STRUCTURILOR 8.1. GENERALIT ŢI Structurile de rezistenţă ale construcţiilor industriale speciale sînt alcătuite din bare i plăci . Metodele analitice exacte ale teoriei elasticităţii permit calculul plăcilor plane şi curbe numai pentru anumite forme geometrice şi încărcări, datorită faptului că analiza matematică nu oferă decît un număr limitat de funcţii pentru exprimarea analitică a soluţiil or (eforturi sau depl asări) . De fapt, pentru dimensionarea elementelor structurale nici nu este necesară cunoaşterea formei matematice a solu iei, de exemplu a funcţiei eforturilor, fiind suficiente valorile cît mai exacte ale acestora într-un număr de puncte, ce pot fi obţinute cu ajutorul metodelor numerice. Caracterul aproximativ al solu ţiilor date de metodele numerice rezultă din discretizarea matematică, respectiv fizică a problemei. ln cazul în care comportarea structurii poate fi descrisă matematic, discretizarea matema ică a ecuaţiilor cu derivate parţiale obţinute permite sau uşurează integrarea acestora în concordanţă cu condiţiile de margine. La funcţiile de două variabile, ecuaţiile cu derivate parţiale se înlocuiesc prin sisteme de ecuaţii diferenţiale (metoda drep- telor) sau prin sisteme de ecuaţii algebrice (metoda diferenţelor finite). Diferitele operaţii matematice ce intervin pot fi efectuate matriceal. Discretizarea fizică constă în înlccuirea structurii reale continue printr-un ansamblu de elemente de dimensiuni finite, legate între ele într-un număr finit de noduri. Discretizarea structurii bidimensionale poate fi făcută pe o si gură direcţie (metoda fîşiilor finitP) sau pe două direcţii (metoda elementelor finite). Calculul structurii înlocuitoare necesită aplicarea metodelor matriceale. Metoda elementelor finite [9], [12], [16], [18], [21], [28], [29J este cea mai generală metodă (tab. 8.1) pentru determinarea eforturilor în structurile din elemente bi- şi tridimensionale (plăci şi masive), putînd fi considerată c~ o generalizare a metodelor matriceale pentru calculul structurilor alcătuite din elemente unidimensionale (bare). Se poate aplica indiferent de propriet ţile materialului utilizat (elastic sau neelastic), de modul de acţi une. a încărcărilor (static sau dinamic) şi de natura echilibrului structurii (stabil sau nestabil). Metodele matriceale de calcul pot fi şor programate la caJculatoarele numerice. De cele mai multe ori folosirea calculatoarelor este indi pensabil , dator ită 220
Clasificarea metodelor de calcul Tabelul 8.1 j Metode exacte Metoda dreptelor Metoda fîşiilor finite late Metoda fîşiilor finite Metoda diferenţelor finite Metoda elementelor finite Metoda elementelor finite mari (su bstructuri) -----------------------------+- --~ creşterea gradului de generalitate dimensiunilor mari ale matricelor structurii înlocuitoare care mode ează structura real . Pentru automatizarea completă a proiectării structurilor pe lîngă calculul eforturilor se programează şi dimensionarea secţiunilor [8], [19]. 8.2. METODA IFERENŢELOR FINITE În cazul di scretizării matematice [25], se porneşte de la formularea mate- matică a problemei de studiat. Spre exemplu, pentru starea de tensiune plană, dacă se notează vectorii tensiunilor, deplasărilor şi defo maţiilor specifice cu {a}= {O'zz <Jv11 O"xu}, {u}= {uxu21 } şi {e}= {exx e1111 e~} şi matricea de legătură între ultimii doi cu [D], astfel ca : [Dl{ u} = { e}, (8.1) ecu aţiile de echilibru static şi ecuaţia de compatibilitate a d~formaţiilor pentru un element diferenţial (fig. 8.1) sînt: [DJT{cr}={O} , [@]{e} =O. în cazul unui material omogen, izotrop şi elastic, legea lui Hooke: (8.2) (8.3) {e}=[cp]{a} sau {a}=[%J{e},! (8.4) permite transformarea ecuaţiei (8.3) în: [@] [cp]{cr}.=0. (8.3') Sistemul de ecuaţii cu derivate parţiale (8.2), (8.3') poate fi înlocuit printr-o singur ă ecuaţie cu derivate parţiale dacă se introduce o funcţie de tensiuni F astfel ca: [@]TF= {cr}. (8.5) Atunci elaţia (8.3') ia forma: â4F o'F o'F 6.6.F = ax' + 2 ax2 ay2 + oft =O, (8.6) sau într-o scriere si mplîficată : 6.6.F =/4x + 2 F2x211 + F4v = O (8.6') 221 . , .. ?':.'.• ..... ·•,, -~··
a Tx [D} = o a ay Ex!I• «x!I +«p o a au a - ax -µ 1 o - a2 - ayz [@f = lJ2 ox2 a2 _ axay_ µ o ] 1 O O 0,5(1-µJ Fig. 8.1. Notaţii pentru starea de tensiune ană . Expresiile matricelor operatorilor cu derivate parţiale [D] şi [@] precum şi ale matricei flexibilităţilor [q>], respectiv a rigidităţilor materialului [x] sînt indicate în figura 8.1. în vederea discretizării matematice, domeniul de existenţă al funcţiei f se acoperă cu o reţea (spre exemplu ortogonală pătrată ca în figura 8.2, a). Ecuaţia cu derivate parţiale (8.6') se aproximează în nodurile acestei reţele prin expresii de forma : llllF ~ ~Ax, 11 F (x, y), (8.7) în care F(x,y) reprezintă valorile lui f în nodul considerat şi într-un anumit număr de noduri învecinate, iar Ax,11 coeficienţi numerici. Presupunîndu-se cunoscute valorile funcţiei de tensiuni şi a derivatelor acesteia într-un punct (0,0), cu ajutorul dezvoltării în serie Mac Lauri n se aproximează valorile uncţiei de tensiuni în punctele învecinate: F (x, y) = F (O, O)+ -fT [xF x (O, O)+ yf 11 (O, O)] (l> + ... + + +i [xf z (O, O) + yF11 (O, O)]<n> + ... (8.8) Alegînd reţeaua de noduri din figura 8.2, b, expresia (8.7) se scrie sub forma: (â/lf)o,o~ Ao,of{O,O)+A0,1F(O,l)+A0 , - 1f (O, - I)+A1,0f(l,O)+ A_1, 0f (-1,0)+ A0, 2F (0,2)+Ao,-2F (0, -2)+A111f (l,l)+A_1,1f (- 1, l)+ + A-1,-1f (-1, - l)+A1,-1f (1, - l)+A2i0F (2,0)+A _2, 0F (-2,0). (8.9) 222
1 b y )0.2 -1,1 o. 1 1.1 l :2.0 ... ,.o o.o 1.0 2JJ T - ll I -1,-1 0.-1 1,-1 • 0.-2 X C 1 2 -8 2 -8 20 -8 , F Fig. 8.2. Operatorul cu diferenţe finite 2 -8 2 pentru flll. F. 1 Folosind expresia (8.8), relaţia (8.9) devine, după ordonarea termenilor : (t:.t:.F)o,o = F (0,0) C0 + F x (O, O) Cx + ... + F4x (0,0) C4x + F3x11 (0,0) C3x11 x + F2x211 (O, O) C2x211 + Fx311 (O, O) Cx311 + F411 (O, O) C411 + . . . (8.9') Ţinînd seama de (8.6') coeficienţii C trebuie să satistacă condiţiile: C4x= C4y= 1, C2x211= 2, C0 = Cx= ••• = O (8.10) Din rezolvarea acestui sistem de ecuaţii rezultă coeficjenţii A şi operatorul cu diferenţe finite pentru aproximarea lui (t:.t:.F)0, 0 redat în figura 8.2, c. Aplicînd acest operator fiecărui nod şi ţinînd seama de condiţiile de margine, rezultă un sistem de ecuaţii liniarP pentru calculul valorilor F în nodurile considerate. Tensiunile {cr} se obţin din relaţia (8.5) transcrisă în diferenţe finite. Precizia operatorilor cu diferenţe finite se poate mări folosind procedeul plurilocal [25). Scrierea sistemului de ecuaţii, rezolvarea lui cit şi calculul tensiunilor se pot face la calculatoarele numerice. 8.3. METODA ELEMENTELOR FINITE 8.3.1. Tipuri de elemente finite Elementul finit unidimensional cel mai simplu este bara dublu articulată, caractrristică grinzilor cu zăbrele (fig. 8.3, a). Propriet ăţile mecanice ale acesteia pot fi exprimate prin matricea flexibilităţilor sau prin matricea rigidităţilor, 223
o b Fig. 8.3. Discreuzarea fizică a structurilor. ce leagă forţele de continuitate fS } de deplasările {u }, după cum se lucrează cu metoda eforturilor sau cu metoda deplasă rilor. Elementele matricei rigidităţilor rezultă aplicînd deplasări nodale unitare şi determinînd reacţiunile corespunz toare. Utilizînd metoda deplas rilor se construieşte matricea rigidităţilor structurii întregi şi soluţionînd sistemul de ecuaţii de echilibru rezult ă depla- sările nodale, ce servesc la calculul eforturilor. Aceeaşi succesiune de operaţii se aplică şi în cazul structurilor continue idealizate printr-un ansamblu de elemente finite bi- sau tridimensionale. De exemplu, pentru o diafragmă, forma principială a structurii înlocuitoare este reprezentată în figura 8.3, b. Rigidit ăţilP elementelor finite dreptunghiulare folosite nu pot fi determinate însă la fel de simplu ca în cazul barei. Acest mod de lucru ar conduce şi la rezultate necorespunzătoare, obţinîndu-se concentrări mari de tensiuni în noduri, deci o di st ribuţi e a tensiunilor mult diferit ă de cea xistentă în structura reală . De asemenea, în situaţia deformată, între elementele finite ar apărea spaţii sau acestea s-ar suprapune, ceea ce ar fi în contradicţ ie cu condiţiile dP. continuitaif•. Din aceste motive, în cazul elementelor finite bişi tridimensionalt>, matricele rigidit ţilor s~ determină pornind de la distribu ţii admise ale tensiunilor (model de tensiuni) sau ale deformaţiilor elementului fini t (model de deformaţii). Distribuţiile admise trebuie să fie de asemenea natură încît, dacă dimensiunile elementelor finite descresc iar numărul lor creşte, soluţia obţinut ă pentru structura înlocuitoare să tindă către cea exact . Gradul de aproximare a so uţiei exacte depinde deci de numărul şi de distri- buţi a elementelor finite şi de calitatea acestora, reflectată prin matricea rigidit ăţilor. În cazul structurilor formate din bare, metoda elementelor finite este o metodă exactă, deoarece elementele finite unidimensionale sînt chiar barele reale ale structurii şi matricele ri gidităţilor sînt cunoscute exact. 224
Forma elementelor finite depinde de tipul şi de forma structurii ce se st udiază. Structurile formate din pl ăci curbe pot fi înlocuite printr-un ansamblu de elemente finite plane sau curbe. în zonele cu concentr ri de eforturi dimensiunile elementelor finite se I reduc, pentru a putea aproxima mai bine starea de tensiune reală (fig. 8.4). ln tabelul 8.2 sînt reprezen- tate cîteva tipuri de elemente finite utilizate frecvent, cu indicarea caracteristicilor Jor principale. um rul gradelor de libertate corespunde numărului egăt uril r cu elementele finite vecine. Dintre cele două metode de ază ale mecanicii con trucţiilor, formulate matriceal, metoda depla să Fig. 8.4. Zone cu concenrilor se foloseşte frecvent, fiindcă permite o schema- trări de tensiuni. tizare completă a calculelor. 8.3.2. Calculul static 8.3.2.1. Elementul finit. În metoda plasărilor, formulat ă pe baza principiului deplasărilor virtuale, interesează matricele rigidit ţilor elementelor finite. Acest principiu se scrie sub forma : (8. 11) şi recizează că o st ructur ă e astică este în echilibru sub acţiunea unor încăr cări {Pr}, dacă în orice deformaţie virtuală compatibil ă {ISUr}, lucrul lor mecanic este egal cu energia de deformaţie virtuală . Pornind de la principiul (8. 11) matricea rigidit ţil or unui element finit oarecare într-un sistem de axe local Qxyz (fig. 8.5, a) rezultă sub forma : · [k] = L[b] T [x) [b] dV. (8.12) \' /u, !I !J !I Y1 )C r ! I z u„ b a Fig. 8.5. Element finit oarecare. 225 15 - Constructil Industriale speciale
Tipul clementului Bară ~ ' 2 ară 4-b. Triunghi Triunghi I ~ 2 J Dreptunghi , j 4 t/ ·r; Dreptunghi _,Z2 ,zJ- /f /t, --·-- 2v - Triunghi _t '/ Aplicaţii Grinzi cu zăbrele Cadre ... ~ '5 t:: ro Q.. s:: <- 2 ro u ... >Cil u s:: <- <LI s:: ro Q.. ·u ,ro o: <LI .... ro ·s > o u c:: ,_ ·u ,ro o: 226 .Tabelul 8.2 Nr. gradc- Nr. lor de Ji. Totalul nodurilor bcrtate în gr~dclor fiecare nod de hbcrtatc 2 2 2 3 6 3 2 6 6 2 12 4 2 8 4 3 12 3 3 9
Cilindru Trunchi de con Tetraedru Tetraedru Prismă Inel cu secţiune tringhiulară Tipul clementului 2 - 1/>J -jf-v / 4 4 I 7 J 2 5 G 5 Aplicaţii Plăci cilindrice Plăci curbe de rotaţie 4) > 'ci; "' E ·.: :l - <.) ;::l .... V) - Structuri masi- ve axial-simetrice 227 Tabelul 8.2 (continuare ) Nr. grade- Nr. lor de li- Totalul nodurilor bcrtate tn graddor fiecare nod de libertate 4 5-6 20-24 2 3 6 4 3 12 10 3 30 8 3 24 3 2 6
Matricea [k] exprimă legătura între forţele nodale {S} şi deplasăril e nodale { u} : {S}= [k] {u }. (8.13) Semnificaţia matricei [b] rezultă din expresia : {e}=[b] {u}, (8.14) {e} fiind matricea deformaţiilor specifice. Matricea [x] caracterizează rigidi- tatea materialului. Pentru a putea asambla matricea rigidităţilor structurii înlocui toare întregi se alege un sistem de axe comun sau central Oxyz (fig. 8.5, b) i se rescriu toate matricele definite faţă de sistemele locale. Trecerea de la axele locale la cele centrale se face cu ajutorul matricei [Â] a cosinuşilor directori. între deplasă rile nodale raportate la cele două sisteme j e axe există relaţia: {u}=[Â] {u}. (8.15) Legătura între {S} şi {S} - se găseşte pornind de la expresia lucrului mecanic virtual, invariant : {&u -}T {S -}= {<Su }T {S}. (8.16) Din (8.15) rezultă: (8.17) şi (8.16) devine : (8.18) sau : {<Su}T( {S°} - p,.]T {S})= [0]. (8.19) Depla să rile virtuale {&u } fiind arbitrare, leg ura că utat ă se poate scrie sub forma : {S}= [p.Jr]-1 {S}. (8.20) Prin înlocuirea lui (8.1 5) i (8.20) în (8. 13) se obţi ne : {S}= - [Â) T[k) [Â] {u}=[k ... -] {u}, - (8.21) deci matricea rigidit ţilor elementului finit raport ă la sistemul de axe central este: [kJ= P,F[kJ P~J. (8.22) 8.3.2.2. Structura. Asamblarea matricei rigidităţilor structurii se face opPrînd cu matrice de incidenţă [A] sau amplasînd direct rigidit ăţ ile elementelor în poziţ a corespunzătoare sensului lor mecanic. Matricea rigidit ăţilor este o matrice bandă, lăţimea benzii depinzînd de modul de numerotare a nodurilor, ca şi în metoda diferenţelor finite. Pentru fiecare element finit i se poate scrie o relaţi e de forma (8.21) : {.S<i>}= lk<O] {u<O}, (8.23) 228
rezultînd pentru structura întreagă, din alăturarea acestor matrice: unde: - - - {S}=lkl {u}, {S}= {s<1> s<2> •• • s(i) ... }, {u}= {u<1> u<2> •• • um. • .}, [kl= • ·- (8.24) Cu aceste matrice nu se poate opera, deoarece elementele cu aceeaşi semnificaţie apar în poziţii diferite. Este necesar să se construiască o relaţie de tipul: cu matrice ordonate : [Kl { U}= {P}, (8.25) {P}= {P1 P2 •• • P J ••• Pm} {U}={U1 U2 ... U, ... Um} [Kl= [K.1~ .. . ~ 1~ .' .' .. ~ ~~. ] Km1 K1n2 .. ,Kmm Legătura între vectorii deplasărilor, respectiv între vectorii forţelor nodale în cele două scrieri rezultă din condiţiile de continuitate şi din condiţiile de echilibru în noduri. Astfel : {u}= [A]{U}, (8.26) în care [Al este matricea de incidenţă_( de localizare), cu un singur element diferit de zero, egal cu I, în fiecare linie. Insumarea forţelor nodale este o operaţie de forma: {P}=[AlT{S}. (8.27) Din relaţii le (8.27), (8.24), (8.~6) şi (8.25) rezultă : {P}= [AlT [kl [A]{U}= [K]{U}, (8.28) astfel că matricea complet ă a rigidităţilor structurii înlocuitoare devine: [KJ= [A J T [k] [A). (8.29) Se poate ar ta că rezultatul operaţiilor din el aţia (8.29) constă în plasarea corectă a elementelor matricei [k] în matricea [Kl şi însumarea elementelor de acelaşi tip. Prin urmare matricea [KJ poate fi construită direct (v. exemplul de calcul I). 229
X !I g X ' .Y i i x • i i•·· ® + Date : Geometria şi încărcarea structurii Rigiditatea materialului [x] Se alege : Discretizarea structurii I Matricea cosinu~ilor directori [Â.(i)J, de inci- denţă [A J şi tl încărcărilor {P} Matricea rigidităţilor în coordonate proprii [kU>j = ~ [bf [xl [b] dV • V I Matricea rigid ităţilor în coordonate centrale I [k{i)l = p„f (k(i)l p ..]. ' I • I Centralizarea matricelor [iiU>] în [k] = l k1 k2 . . . - ] Regruparea elementelor din [liCi>] în concordanţă cu riodurile structurii; kn sau : Matricea r.igidităţilor structurii [Kl = [Af [k] [A] I • Construcţia lui [K] prin amplasarea corespunzătoare a elementelor ~in [k(i)] El iminarea gr?delor de libertate de corp rigid .... '· . sau I .,J., Deplasările nodale {VR} = [KR]-1 {PR} l . Tensiunile { o(i>}= lxCi) j[b(i)][Â.Ci>][A (i)){ u<i)} .i ® fig. 8.6. Schema ogică pentru metoda elemenMor finite. 230
Relaţia (8.25) reprezint ă ecuaţiile de echilibru caracteristice metodE>i deplasărilor. Pentru a putea determina în mod unic deplasăr.He {U}, trebuie eliminate gradele de libertate de corp rigid. Acestea sînt îh număr de 6 la structurile spaţiale şi în număr de 3 la structurile plane. Eli minînd liniile şi coloanele corespunzătoare celor 6, respectiv 3 depla sări anulate, se obţine matricea suficientă sau redusă a rigidităţilor [K r]. Mai avantajoasă este înlocuirea elementelor acestor linii şi coloane cu zerouri, exceptînd elem<:ntele de pe diagonala prind pală care se înlocuiesc cu I. In acelaşi timp se anulează liniile corespunză toare din {P}: . , , [ P r ] = [ ~-r. ! .. O. ] [ .~ ~ ] , o o : / o . sau, fără regruparea termenilor: {PR}= [KR] {U R}. După inversarea matricei [KR] se calculeaz ă deplasările nodale .{U:n}= [KR]- 1 {PR }. (8.30) (8.31) În cazul mai multor ipot~ze de încărcare matricele {P} şi { U} au mai multe coloane:- Tensiunile într-un element. i rezultă din relaţiile (8.4), (8: 14) şi (8.15) : ·· {oW}= [x<OJ [b<i>] {u<t>}= [x<O] [b<i>j' p,)i>J {~<t>}, . . (S.32) {u(i)} fiind cunoscut prin relaţia (8.26). S1:tccesiunea operaţiilor în metoda elementelor finite este reprezentată în schema logică din figura 8.6. 8.3.2.3. Substructuri. Operarea pe substructuri permite reducerea număr~lui necunoscutelor sistemului ecuaţiil r de condiţie · a structurilor complexe. Spre exemplu, în cazul rezervorului din figura 8. 7 se aleg ca substructuri plăcile plane componente. Pentru a putea opera cu substructurile' ca şi cu elementele finite, este necesar ca d,in matricele rigidităţilor substructurilor [K<i>], determinate cu relaţia (8.29) sau direţt, să se deducă matricele rigidităţil or marginale [K<i)], ce leagă depla- . . m sările marginale { U~ } de încărcările marginale { P~ }. Pentru aceasta, în matricea [Km] termenii cor~spunzători nodurilor marginale m se separă de cei corespunzători nodurilor interioarei, obţinîndu-se submatricele din figura 8. 7. "' Substructura 0 mm I ml [K<i>] = - ---[---- [ /((i) I I(< i) ] Ken i Ku> im I tt [ u(i> ] [ p<o ] {V<'>}= __ : _ {P(f)} = --~- U~i) pJO· Fig. 8.7. Împărţirea în substructuri. 231
Rigidităţile marginale sînt forţele marginale { P~} ce trebuie aplicate substructurii pentru a obţine deplasări unitare { U<:J }. Scriind deci relaţia : [K<O] {U~l: V1i>} = {P~>: O} (8.33) se obţin ecuaţiile : din care rezultă : şi [K'g.>m] {V~>}+ [K~;]{U}'>} = {P~>}, [Kf:JJ {V~)+ [Kif>J { U}0 } ={O}, Matricea rigidităţilor marginale a substructurii i este deci: [K~] = [Kg?n] - [K~{] [Kff>J-1 [Ki:!]. (8.34) (8.35) (8.36) Dacă nodurile interioare ale substructurii i sînt încărcate este necesar să se introducă forţe de blocare marginale {R~ }, pentru asigurarea sistemului de bază geometric determinat faţă de marginile substructurii: {U~}a = {O}. Din condiţia: rezultă: şi (8.37) (8.38) (8.39) Un alt mod de determinare a matricelor [K<~>] şi {R~>} din matrice!e [I(<i)] şi {PV>} este eliminarea elementelor corespunzătoare nodurilor interioare folosind procedeul Gauss. Matricea încărcărilor marginale a întregii structuri este de forma : (i) {Sm} = {Pm} - ~ {Rm }, (8.40) jar matricea rigidit ţilor acesteia [Km] rezultă prin asamblarea.matricelor [K~>] (la fel ca şi [K] prin asamblarea matricelor (k]). Mai departe se procedează analog cazului anterior. Operaţiile principale sînt reprezentate în schema logică din figura 8.8. Schemele logice din figurile 8.6 i 8.8 sînt valabile pentru orice structură, particularizările depinzînd de geometria i încărcarea acesteia. Spre deosebire de cazul prezentat, cînd atît substructurile cît şi structura în ansamblu au fost tratate cu metoda elementelor finite, substructurile pot 232
Date: Rigidităţile substructurilor [K(i)J Incărcările substructurilor [Pf i)], {P~) } Deplasările nodurilor interioare ale substructurilor în sistemul de bază {uf>}s= [K1P1-1 {P[i) } Reacţiunile substructurilor {R~}=[K~] {ujl>Js lncărcările marginale rezultante pentru în trea- ga structură {Sm}= {Pm}-~ {R~>} ep las rile marginale ale structurii {VmR} = [KmR]-1{S111R} Deplasările margin3le ale substructurilor {U~h .. · U~~>R ... }= [A m] {UmR} I Deplasările nodurilor interioare ale substruc- turilor I {V~i)h =- [K}f> 1-1 [Kf2J {u~;/R} + {u}L>}s ______ -1,'-------~ Deplasările tuturor nodurilor {u(i>} = {vu>: u~i> } llt. I Tensiunile {o((> } .i. ® I Rigidităţile marginale • ale substructurilor [K~J= [K!:lml- [K~] [Kif>J- 1 [Kj~J i Asamblarea matricei rigidităţilor structurii întregi [Km] Eliminarea gradelor de libertate de corp rigid [KmR] Fig. 8.8. Schema logică pentru metoda elementelor finite, operînd cu substruduri. 233
b fi rezolvate şi cu metoda diferenţelor finite. în acest caz matricele ri gidită ţilor [K}f/] se determină printr-un calcul cu diferenţe finite, continuînd calculul în metoda elementelor finite; substructuri!e se numesc elemente finite mari (tab. 8.1). . 8.3.2.4. Rigiditatea elementelor finite elastice. Element finit dreptunghiular în starea de tensiune plană. Un model de deformaţii se poate obţine pornind de la. o distribuţie liniar ă a deplasărilor marginale (fig. 8 .. 9 a şi b), astfel încît cîmpul deplas rilor să fie d~finit prin: Ux = el,+ C2S11 + C31'} + C4 ; Uy = c5'~ + C5~'1'] + C7'1'] + Cs 1 (8.41) relaţii ce satisfac condiţia de compatibilitate .(8.3). Nu mărul cceficienţi lor Ci este egal cu numărul gradelor de libertate ale elementului, putînd fi determinaţi din condiţiile de margine (spre exemplu (ux)~=O, u=o=u1). După rezolvarea sistemului de ecuaţii ce exprimă aceste condiţii, rela ţiile (8.41) devin: Ux = (I - ~) (I :-:- 11) U1 + (I - s) î]U3 + ~1']U5 +~ (l - 11) Ur; u11 = (I~~} (I - 11) Uţ + (1- ~) riu4 + ~;riu6 + ~ (1'~11) u8 . (8.42) acă se aplică relaţia (8.1) şi se ţine seama de coordonatele adimensionale ~ şi 11, rezultă matricea [b], în onco rdanţă cu relaţia (8.14). Matricea rigidităţi lor (k] se determină din relaţia (8.12), pe baza expresiei lui [x] din figura 8.1. Matricele [b] şi lk] sînt reproduse în anexa 21.2. Pentru construirea unui model de tensiuni se admite cîmpul de tensiuni (fig. 8.9, c). 0 ' © • !f.'l 1j ,S1ţ. u3,S3 U2,S2 - u,,s, o . • Grosimea :I o U5. SG ® 115,Ss ua,Sa © U7,S1 . , /J fl=-0 - x, (T XX = Q 1 + a2y ; <Tyy = a 3 + a 4x ; <Jxy = 05, " C Fig. 8.9. Element finit dreptunghiular în starea de tensiune plană. 234 (8.43)
ce satisface ecuaţiile de echilibru (8.2). Aplicînd legea lui Hooke rezultă vectorul {c} şi prin integrare, deplasările Ux=C1X + C2Y - Ca (µx2 + y2 ) + 2C4Xy + C5; Uy = C5X + C7y - C4 (x2 + µ.y2 ) + 2caXY + Cg , (8.44) în care <i'.onstantele Ci depind de ai şi de constantele elastice E şi ~l. În continuare se procedează ca în cazul anterior, relaţiile (8.44) şi (8.42) fiind similare. Matricele [b] şi [k] sînt reprezentate în figura 8.10. - · 11 - 1 µ(1 - 2~) TJ µ(2~- 1) 11 µ(1-2~) l-11 µ(2~-1) - - a_ 2b a 2b a 2b - a- 2b · [b]= ).L (1 - 21'}) s-1 JL (21'} - 1) 1-s µ (l - 21]) 6 ~i (21]- l) s -r -b- 2a 2a 2a b 2a --b I l l -2b - 2a 2b 2a 2b 2a 2b 2a Fig. 8.10, a. Matricea [b] pentru modelul de tensiuni. ,': Dacă ;elementele finite sînt coplanare,· matricea de trecere la sistemul de axe central se obţine scriind în fiecai:e nod relaţii de for ma (fig. 8. 11) : sau u1,= lps u2P-i + mps u2P = [lps tnps] {u2p-1 u2p} = [Î'•ps] {ll2p - 1 u2P}, u2 = [ÂpqJ {u2P-1 u2p }, .I . mar concis : (8.45) rezultînd pentru un element finit relaţia din figura 8. 11. în cazul unei structuri spaţiale,: mat.ricea [Â] se construieşte în mod an9-log, intervenind însă şi cosinuşii dfrectori ai celei de a treia direcţii ; spre exemplu : [Âps) = [fps mps nps] . (8.46) Element finit .dreptunghiular supus la încovoiere. În fiecare nod se consideră cele t~ei, grade de libertate din figura 8.12, a .. Pentru obţinerea unui model de deforma.ţii se admite o firncţie a deplasăril or normale pe planul elementului, de forma: Uz=[a] {u}, (8.47) care asigură compatibilitatea deplasărilor şi rot_irilor marginale ale elementelor adi_acente. Matricele [b] şi [k] pentru un asemenea model sînt date în anexa 21.3. Dacă se porneşte de la o distribuţie a momentelor mxx, m1111 şi mxy se obţine un model de tensiuni. 235
(4- µ1 >P+ 3 + - (l- µ)p-1 2 3 (4-µ2)~-1+ 2(1+µ) 3 + 2 (1 - µ)~ 2 (2+µ2) ~- 3 . (4- µ2 )P+ 3 - 2 (l -3~t) 3 - - (l- µ)p-1 + 2 (l- µ)p-1 2 3 3 - (4- µ2) ~-1+ 3 (4- µ2)~-1+ Ţ(l 3µ) 3 - 2(1+µ) 3 + y(l- µ)~ + - (1- µ)~2 4 -(2+ µ2)p- 3 -(4- µ2 )P+ 3 3 - 2(1+ µ) 3 - - (l- 3µ)- 2 (l- µ)~-1 + - (l - µ)p-1 2 2 is! 5 3 - (2+µ•)p-t _ 3 c2+ µ')P-1- - 2 (1+ µ) 3 2 (1 - 3µ) 3 -2(1-µ)~ - - (1 - µ)P 2 6 - (4- ~t1}P+ 3 -(2+µ2)~- 3 3 - (1 - 3µ) 3 2 <1+µ) +-(1- µ) p-1 2 - - (l - µ)~-1 2 2 7 8 3 (2+ µ2)~-l- 3 -(2+µ2) ~-1_ - 2 (l- 3µ) 3 2(1+µ) 3 - 2 (1- µ) ~ - µ) ~ 2 3 4 Fig. 8.10, b. Matricea (k) p
Matricea [k) Et Multiplicator 12 (l-~t») I I simetric I -(4- µ2 >P+ ) 3 + 2 (l-µ)~-1 3 (4- µl)p-1+ T(l+ µ) 3 P + 2 (1-µ)~ (2+ µ2)p- 3 (4- µ!)~+ 3 - (l -3µ) 3 - - (l- µ)~-1 + 2 (1-µ) ~-l 2 3 - (4- µ2)p-t+ 3 (4~ µ2) ~-1+ I 2 (l -3µ) 3 - - (1+ µ) ~ +2 (l- µ)~ 2 + 2 c1 - µ> ~ I 5 6 7 8 pentru modelul de tensiuni.
!I L "l o ; ® -Zps • cos« ; mps • cos)J U1 - U2 U3 .. '!-.~. U1 U5 IÎzs-1 .. '!.~. U7 Us Fig. 8.11. Matricea (Â.]. {u}= [Â.] {ii} U211-1 ~2JI .• U2q-1 ll2q U21- 1 Fa ţă de un sistem de axe central matricea cosinuşilor directori pentru fiecare nod p (fig. 8. 12, b) rezultă. în cazul elementelor finite coplanare, din relaţia : [ U 1 ] [ l O O ] [u3 p-21· U2 = O lps mps ii~--1 U3 0 /pq mpq U3p (4.48) În general, se poate demonstra că în comparaţie cu situaţia reală modelele de deformaţii sînt prea rigide, iar modelele de tPnsiuni prea flexibile. Ambele modele pot fi îmbunătăţite. Astfel, dacă numărul parametrilor cîmpului de deformaţii se alege mai mare decît numărul gradelor de libertate, se· îmbunăt eş e satisfacerea condiţiilor de echilibru. În cazul teoretic limită al unui num r infinit de mare de parametri, echilibrul interior este asigurat exact. Parametrii suplimentari rezultă din condiţia de minim a energiei potenţiale. Modelele hibride pornesc de la un cîmp de tensiuni în echilibru ca şi modelele de tensiuni. Independent de cîmpul de tensiuni se admite o variaţie compatibil ă a de plasărilor marginale, iar matricea rigidităţilor se determină aplicînd principi ul minimului energiei de deformaţie complementare [IO]. 9 Z•Z © ® o o Fig. 8.12. Element finit dreptunghiular supus la încovoiere. 237
Tabelul 8.3 Condiţii de compatibilitate şi echilibru Tipul elementului I Co~npati- 1 ~?mpati- 1 E c hilibru I Echilibru h:h tat.c in b1htate pc în interior pe contur mterior contur Model de deformaţii da da nu n u Model de eformaţii (Nr. co ficien il r -+00) da da da nu Model hibrid · nu da da nu Model de tensiuni nu nu da da în tabelul 8.3 se prezintă gradul de satisfacere a condiţiilor impuse elementelor finite, de către modelele studiate, notîndu-se cu „da" satisfacerea completă şi cu „nu" satisfacerea aproximativă. Din figura 8.13 rezultă că modelele hibride permit obţinerea rezultatelor celor mai exacte [27]. S-au reprezentat valorile obţinute pentru săgeata Uz în centrul unei plăci oblice simplu rezemate pe contur, înc ărcată uniform, în funcţie de tipul elementului finit şi de numărul ecuaţiilor de condiţie, comparativ cu valoarea exactă. 8.3.2.5. Elemente finite de beton armat. Comportarea betonului armat în stadiile postelastice (fisurarea betonului, deformaţia plastică a betonului sau a armăturii) poate fi caracterizată prin matrice de rigiditate corespunzătoare. Aplicînd metoda elementelor finite s~ face un calcul biografic al structurii de beton armat, considerînd încărcarea crescătoare în trepte, de la zero la valoarea corespunzătoare cedării. Propriet ăţile betonului armat pot fi caracterizate în două moduri : prin definirea unor elemente finite distincte pentru beton şi armătură, sau priri definirea unor elemente finite armate. Pentr~u elementele finite plane de beton armat se poate folosi următorul model (4]. In stadiul elastic betonul se ,consideră omogen şi izotrop în starea de tensiune plană. Cînd tensiunea principală a 1 depăşeşte rezistenţa Ia întindere R t are loc fisurarea. Distanţa între fisµri se consideră infinit mică, iar direcţia acestora perpendiculară pe direcţia lui a 1• Betonul fisurat se admite omogen şi anizotrop, putînd prelua numai eforturi normale, paralele cu fisurile. în această situaţie ansamblul beton - armătură apare ca avînd o structură reti culară cu ochiuri infinitesimale, mătura fiind 'H I -- - // - ,:: : t/e/i,rmajii / o .500 ltJO/l Fig. 8. 13. Precizia rezultatelor. Nr.ec 238 considerată distribuită continuu în elementul finit. Apariţia şi dezvoltarea fisurilor poate fi urm rită în două feluri : prin modificarea matricei rigidităţilor structurii în funcţie de stadiul de solicitare sau prin menţinerea acel eiaşi matrice a rigidităţilor -şi relaxarea succ ivă a eforturilor. In primul ·caz calculul începe în stadiul elastic sub diferite trepte de încărcare. Pentru fiecare treapt ă se verifică eforturile unitare principale în toate elementele finite. Constatîndu-se o depăşire a lui Rt, matricea rigidităţilor elementului respectiv se modifică în consecinţă . Tensiunile ce nu mai
î.t-1 1~1 o kPz •J E!em.(J) o ~ + .... A·1 2cos« ~ 1 2co3« 1 1 .ddj ~ Q p p h Fig. 8.14. Principiul calculului neelastic. pot fi preluate de acest element fisurat se transferă elementelor adiacente printr-un nou calcul cu matricea modificat ă a rigidit ţilor structurii. Aplicînd succesiv creşteri ale încărc rii şi f ăcînd verificările şi calculele de mai sus se poate urmări comportarea structurii de beton armat pînă la cedarea armăturii sau a betonului. Procedeul expus este exemplificat, în principiu, pe structura simplă din bare reprezentată în figura 8. 14, a, la care s-a considerat că fisurarea scoate din lucru bara întinsă . Diagrama P-o coresp un ătoare este schiţată în figura 8.14 ,b. 8.3.3. Calculul dinamic Conform principiului lui d' Alem b e r t, ecuaţiile de echilibru dinamic ale struc- turii înlocuitoare se scriu ţinînd seama de forţele de inerţie [16] : [K]{V}+[M]{O}= {P}, (8.49) [M] fiind matricea maselor. Pentru determinarea frecvenţelor proprii de vibra- ţie i a formelor proprii se anulează membrul drept al relaţiei (8.49). Mişc rile oscilatorii fiind presupuse armonice : {V}= { U0 } cos wt, { U0 } fiind vectorul deplasărilor la momentul t =O şi w- frecvenţa proprie, relaţia (8.49) devine: ([K}-w2 [M]) {U0 }= {O}. · (8.50) Pri n rezolvarea acestei probleme de valori proprii se obţin frecvenţele proprii u) i formele proprii de vibraţie { U0 }. 239
8.3.4. Calculul de stabilitate Stabilitatea unei plăci plane poate fi studiat ă în metoda elementelor finite, pornind de la ecuaţia matriceală [21] : ([K]+ [Kc]) {V}= {O}, (8.51) [K] fiind ma ricea .rigidităţilor la încovoiere, iar [K 0 ) matricea rigidităţilor geometrice, ce ţine seama de eforturile stării de tensiune plane. Problema de valori proprii a perechii de matrice [K] şi [Ko] conduce la valorile proprii  şi la vectorul propriu { U}. 8.4. APLICAREA METODELOR NUMERICE LA CALCULUL STRUCTURILOR Calculul cu metode numerice este cu atît mai precis cu cit discretizarea este mai fină, ceea ce necesită pentru rezolvare calcu:atoare electronice. Utilizarea metodei diferenţelor finite înaintea folosirii calculatoarelor, a necesitat simplificări ale structurilor. Astfel în lucrarea [14] se prezintă calculul unui rezervor prismatic, pereţii fiind consideraţi încastraţi perfect în lungul a trei laturi şi liberi în lungul celei de-a patra. Aplicarea practică a metodei elementelor finite cît şi perfecţionarea acesteia sînt strîns legate de folosirea calculatoarelor. Cu această metodă rezervoarele prismatice se calculează mai simplu şi mai exact nînd seama de legăturile elastice între plăcile plane componente [5] · Metoda diferenţelor finite s-a aplicat în capitolul 5 pentru integrarea ecuaţiilor diferenţiale ale plăcilor subţiri hiperbolice ale turnurilor de răcire supuse la acţiunea vîntului. Discretizarea prin diferenţe finite a fost necesară numai în raport cu variabila z, deoarece variabila e a fost eliminată prin dezvoltarea în serie a încărc rilor şi tensiunilor. Calculul turnurilor de ăcire hiperbolice la acţiunea greutăţii proprii, a vîntului şi a cutremurului folosind discretizarea în raport cu două variabile este prezentat în lucrarea [6]. Turnurile de cire s-au calculat şi cu metoda elementelor finite. Astfel lucrarea [7] cuprinde studiul părţii inferioare a mantalei hiperbolice, ca grindă perete de grosime variabilă, rezemată pe stîlpii de susţinere înclinaţi, elementul finit fiind de formă dreptunghiular . La plăcile curbe subţiri de rota ţie nu rul necunoscutelor structurii înlocuitoare se reduce dacă se utilizează elemente finite inelare. În lucrarea (24] este prezentată folosirea elemenfelor finite inelare (fig. 8.15) pentru calculul plăcilor hiperbolice la acţiunea vîntului, iar în lucrarea [15) pentru determinarea frecvenţelor proprii de vibraţie ale acestora. în cazul structurilor compuse din plăci curbe subţiri cum sînt rezervoarele castelelor de apă se aplică avantajos calculul pe substructuri, în metoda elemenFig. 8.15. Element telor finite. Aplicarea acestei metode este 1·ustificată finit inelar : 1 - clement finit inelar ; numai în cazul încărcărilor nesimetrice cum este 2 - cerc nodal î; 3 - cerc ţ· " t I · t· t l · nodal î + 1. ac mnea vm u Ul, respec IV a cu remuru Ul. 240
Structurile complexe se rezolvă eficient folosind metodele numerice expuse. Un exemplu îl constituie calculul cuvelor centralelor nuclearo-electrice, care sînt recipiente de presiune cu pereţ i roşi precomprimaţi [2], [3]. Extinderea folosirii calculatoarelor electronice permite studiul într-un timp scurt al mai multor variante structurale i alegerea soluţiilor optime. Exemplul de calcul I. Aplicarea metodei elementelor finite în cazul unei grinzi simplu rezemate (starea de tensiune plan ). În VPderea măririi operaţiilor de calcul, pentru grinda din figura 8.16 se alege o structu ă înlocuitoare formată din numai două element~ finite pătrate. Scopul acestui exemplu de calcul este prin urmare prezentarea conc etă a metodei. 10.101 t 10.f03 tfaN §f U,,.f't, G 2 f l/3,Jj 5 a 2m ,020 , 12 ,,,, s.103 10.103 5.!03 rlaN ' l l I m1 °1 t °17 g X ,,_; Grosimeo :t O•/J•O.Sm u.,.v,.11,2• 0 Fig. 8. 16. Structura înlocuitoare a unei grinzi. Concentrarea încărcărilor în noduri se face elementar. După eliminarea gra- · delor de libertate de corp rigid vectorul forţelor nodale {PR} apare ca în figura 8.21. Matricele rigidităţilor elementelor finite încărcate în planul lor s-au dedus la punctul 8.3.2.4, pornind de la notaţi le din figura 8.9, a. Alegînd sistemul de axe central paralel cu sistemele de axe locale ezultă [Â] = [/] tmatricea unitate) i {u}= {u}, {S}= {S}, [k] = [k]. Matricea rigidit ţilor structurii întregi se construieşte cu ajutorul unei matrice de incidenţ ă [A]. Ţinînd seama de numerotarea legăturilor în figurile 8.9, a şi 8. 17, matricele {u(i)} i {S<t>} sînt : {u<1>} = {u1 Ug {u(2)} = {u9 U10 {su>}= { sţ > s~'> {s<2>} = {St2> 5(2) 10 Fig. 8.17. Elementele finite 1 şi 2 16 - Construcţii Industriale speciale U1 Ua sP> sf> U2 U4 si1 > sf> ·mv,,s, [D U3 U5, sţt> s~2> (fi v,0 ,S"' U4 Ua S~I) Să > ----~v,.s;'' r,ft} IJ7.v7 241 U9 Uu si1 > 5(2) li „ r, (lJ "t, ,Vv . U10} U12} sfi> } si~> } r.2,-·--us .s.t U3,SJ @ (2} v,g.S,p ~ {2} 11,2,.:>12 -..-----v,,.S,~2, V9,sf''I
[k) = {16X 16) · 77 - - - - - - - 78 71 72 73 - - - - 88 81 82 83 - - - - 11 12 13 - - - - _j _ _::_ 23 simetric 33 --- - - - - - - - - - o [A]= (1 6X 12) 74 79 7.10 (7.10= k~~lo> - - - - 84 89 8.10 - - - - 14 19 1.10 - - - - 24 29 2.10 o 34 39 3.10 - - -- 44 49 4.10 - - - - 99 9.10 - - - - (93= kt~>) 10.10 99 9.10 93 94 95 96 9.1 1 9.12 - --- - - - - - 10.10 10.3 10.4 10.5 10.6 10.11 10.12 - --- - - - - - 33 34 35 36 3.11 3.12 - - - - - - - ---- 44 45 46 4.11 4.12 - - - - - - - - simetric 55 56 5.11 5.12 - - - - - - - - - - - - 66 6.11 6.12 - - - - - - - - - 11.11 11.12 - - - - - - - --- - 12.12 - --- - ------- 1 - ---- ------- 1 ------- - ---- 1 - ------- ---- 1 --- - - - - - --- - 1 ----------- - 1 -------- ---- 1 ----------- - 1 - ---- - - - ---- 1 - - - ---- - ----1 Fig. ~. 18. Matricele [k] şi [A), 242
[Kl= (12X 12) [KR]= (12X 12) 11 12 l±l±J 17 18 19 1.10 - - ------- - ---- - - -- 22 23 24 27 28 29 2.10 --l~33 ~M 135 36 37 ~r39 L3. 10 3. 11 3.12 --- --- -- L44 45 46 47 48 k49 L4.10 4. 11 4.12 ' 55 56 59 5. 10 5.11 5.12 - - --------- - ----------- - 66 69 6. 10 6.11 6.12 - - - - - 1---- ----- - --- - -- 77 78 79 7.10 ---- simetric 88 89 8.10 ------- - --- - - - -- l:99 l:9.10 9.11 9.12 ----- - - - ----- - (l: 10.10= k{b~10+ kf~10) t 10.1( 10. 11 10.12 ----- - --------- - - - - - -- 11.11 11.12 ------- - --- - - - --- - --- - -- ·.J 'i- 12.12 a 11 I 12 ' 13 14 _ I_ 19 1.10 - - -------- -- ---- 22 23 24 29 2. 10 -- - - -- - - k33 !34 35 36 ~ k3. 10 3. 11 ----- - L44 45 46 9 l:4. 10 4.11 -- - - 1- 55 56 59 5.10 5.11 -- - - ----- 66 69 6.10 6.11 ------- - ----- - - - - - ------ I ------- - --- - -------------- simetric I ------------- - -r= - - l:99 l:9.10 9.11 --- - - - l: 10. IC IO.li --·- -- - 1-- 11.11 ----- - ----- - -- - - I b Fig. 8. 19. Matricele [K) şi [K R), 243
!I 2 3 L s 6 1 a +· 6 188 63 28 27 -118 -63 -98 -r, 4 63 188 -27 -98 - 63 -118 27 28 ' ~ 3 ' 28 -27 188 -63 - 98 27 -118 63 5 [kJ:27~ 27 -98 -53 188 -27 28 63 -118 ' 2n -118 -63 -98 -27 188 63 28 27 s - 63 -11.8 27 28 63 188 -27 - 98 6 8 - 98 27 -11 8 63 28 - 27 188 - 63 7 ·~ J _7 --x - 27 28 63 -118 27 -98 -63 188 s - Fig. 8.20. Matricea (k]. 2 ) ' s 6 1 I ' 10 11 1? 1 188 -63 - 98 'D o o o O -118 63 o o U, o 2 188 -27 28 o o o o 63 -118 o o Uz -5 3 ~-98 27 o o~-11a o U3 o L ·-r, 28 o O O -196 63 o u, IO s 188 63 o O -118 -63 28 o Us o ' 188 o o -63 - 118 -27 Q Et Us :103 -5 7 1 o o o o o ~ u, o 8 1 o o o o u. o 9 ~-98 o Ug o 10 simetric n o U,o o 11 188 o u„ o 12 1 U12 o [K~}={fl} Fig. 8.21. Sistemul de ecuaţii de condiţie . 4 6 J ' ~ - 5 [k] =2~~ 2 z I f 7 ..---l- -4 _ s __ s~ 1 2 1 a 188 ·63 -98 27 i 28 -21 ·118 531 3 I I 188 ·27 28 I 27 -98 63 ·118 l 4 I l 188 63 t-118 -63 28 27 I S 1 I 188 1 ·63 - 118 - 27 •98 I ' ........_ ______ ..:...:..J L _______ _____ J ~88 - 63 :-9a .. =-i7'. I I l . 108 27 28 , 1 I I 188 ·GJ I 1 sim,tric . l I 188 · a L .- , - ·- ·- - ·- ~ Fig. 8.22. Matricea [k] dup ă regruparea termenilor. .= Matricele [kW] se construiesc în m::>d analog, rezulthd matricea lkJ din figura 8. 18. Pentru simplificare s-au scris numai indicii elementelor componente. Cu matricea de in iden ţă [A] din aceea i figură se verifică şor relaţiil e (8.26) şi (8.27). Efectuînd operaţiile (8.29) rezultă matricea comp etă a rigidităţilor structurii [K] din fi gura 8.19, a, iar după eliminarea gradelor de libertate de corp rigid (U7=U8 =U12 =0), forma redusă [Kn] din figura 8.19, b. Dacă se acceptă modelul de tensiuni, forma particular ă a matricei [k] din figura 8.10, pentru ~= 1 i µ.= 1/6, este cea din figura 8.20. Ţinînd seama de 244
notaţiile din figura 8.17 rezultă valorile elementelor lui [K R] din figura 8.19, b. scrise în figura 8.21. Spre exemplu, făcînd abs racţie de factorul Et/2 100. 2.4 =kW (v. fig. 8.17) = k46 (v. fig. 8.20) = 28 şi analog 5.6=k~>= k56= 63; ~ 9. 10 =~~?o+ ki~?o = k1a + k12 = - 63 + 63 = O etc. Matricea ri idităţilor structurii poate fi construit ă şi direct. În acest scop elementele matricei din figura 8.20 se egrupează în fu ncţie de ordinea de parcurgere a nodurilor ind cată în figura 8.16, rezultînd matricea din figura 8.22, rtiţionată în mod corespunzător. Suprapunînd submatricele conform schet 8 " 1 3 5 , 2!:1 '" I!] 12 .. ~, ---'"",~--'+!! 4 8 12 9 • 7 fi ~ rn , 2 , 6 IU 1 5 - 9 1231/ S6 7 8 9101112 Simelric /J Fig. 8.23. Influenta numerotării nodurilor asupra lăţ imi i benzii matricei [K]. Fig. 8.24. Deformata structurii înlocuitoare. 250 mei din figura 8.23, a şi eliminînd gradele de libertate de corp rigi d se regăseşte matricea edusă a ri gidităţilor din figura 8.21. Matricele rigidităţil r sînt matrice bandă. Cu cit banda este mai îngustă. inversarea se face mai şor. Printr-o numerotare judicioasă a nodurilor se poate reduce ţi mea benzii (fig. 8.23, b). Rezolvînd sistemul de ecuaţii din figura 8.21 re ultă epla sările nodale. Cu notaţia 3 .}Q-3 Et U,= U}, se scrie: Uj=450; U2= - 375; U3= 250; U6= 50 ; Ue= - 375; U7 =O; U9= 250; U1o= -625; U11=500; 245 U~= - 550; Ua= O; Ufa=O .
<lxy H11/l1pli&olor : 1 /t : I i11 ml'lt.; Fig. 8.25. Tensiunile { CT}. " 6 5 2 7 Fig. 8.26. Semistruclura pentru încărcări simetrice. Deformata struct urii înlocuitoare este dată în figura 8.24. Apiicînd relaţia (8.32) se obţin tensiunile {cr }. Din elaţ ia (8.43) şi din figura 8.9, c rezult ă că pe uprafaţ a unui element finit <lzz nu variază cu x, <ly11 nu variaz ă cu y, iar <lx11 este constant. Valorile corespunzătoare se con ideră ă acţio nează în lungul unor linii centrale, aşa cum s-au reprezentat în figura 8.25. Problema s-ar fi putut rezolva ţinînd seama de simetrie, pe semistructura din figura 8.26. Exemplul de calcul II. Determinarea eforturilor şi deformaţiil r în elementele unui rezervor prismatic deschis, rezemat în lungul marginilor radierului. lr#litr • f,25 fµrt/i Fig. 8.27. Rezervor prismatic. 246 Dimensiunile rezervorului sînt date în figura 8.27. Structura admi ţînd două plane de simetrie, calcul ul se face pe un sfert, împărţit în 72 elemente finite pătrate. Eforturile se determină în stadiul elastic. Neglijîndu-se influenţa momentelor de torsiune, a forţel r tăietoare, a celor normale şi tangenţiale asupra comportării structurii, se aleg elemente finite de tipul celui din figura 8.12, a, cu matricea rigidităţilor din anexa 21.3. Constantele elastice sînt cele ale betonului, armătura avînd o influenţă neglijabilă asupra rigidităţii.
â Fig. 8.28. Deformata şi momentele de încovoiere ale rezervorului. în figura 8.28, a este reprezentată alura deformaţiilor elementelor rezervorului în ipoteza umplerii cu apă. Se observă că peretele scurt se deplasează la partea superioară spre interior. În figura 8.28, b sînt schiţate diagramele de momente încovoietoare în cîteva secţiuni caracteristice. Momentele pozitive întind feţele exterioare ale elementelor rezervorului. BIBLIOGRAFIE I. A b s i E., Methode des elements finis, Annales de I' ITBTP, Oct. 1969, 1593-1621. 2. Arg y r i s J. H., ş. a., Finite Elemente zur Berechnung von Spannbeton-Reaktordruckbehăltern, Berlin, V.v.W. Ernst u. Sohn, 1973. 3. Avram C., Marin o v R., Bob C., Stucllu privind pos/.bllită/lle iUzării calculatoarelor numerice la determinarea stării de efort uri tn cuvele centralelor nuclearo-electrice, imişoara, 1971. 4. Cer v e n k a V., Ger st Ie K. H., Inelastic Analysis of Reinforced Concrete Panels: Theory, Memoires AIPC, 31-11/1971, 31-45. 5. C he ung Y. K., Da vie s J. D., Analysis of Rectangular Tanks, Concrete 5/19671 169-174. 6. C h u K. H., J ones M., Analys:s of Hyperbolic Cooling Towers, ACI Journal 5/19691 395-399. 7, Da vie s J. D., C he ung Y. K., The Analysis of Cooling Tower Ring Beams, Proceedings ICE 4/1968, 567-579. 8. D umi tr escu D., Agent R., Scheme logice pentru calculul el.ementelor de beton armat şi beton precomprimat, ucureşti, Inst. de Constr., 1975. 247