i KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH
ii Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 28 Tahun 2014 tentang Hak Cipta Pasal 1: 1. Hak Cipta adalah hak eksklusif pencipta yang timbul secara otomatis berdasakan prinsip deklaratif setelah suatu ciptaan diwujudkan dalam bentuk nyata tanpa mengurangi pembatasan sesuai dengan ketentuan peraturan perundang-undangan. Pasal 9: 2. Pencipta atau Pengarang Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam pasal 8 memiliki hak ekonomi untuk melakukan a.penerbitan Ciptaan; b.Penggandaan Ciptaan dalam segala bentuknya; c.Penerjemahan Ciptaan; d.Pengadaptasan, pengaransemen, atau pentrasformasian Ciptaan; e.Pendistribusian Ciptaan atau salinan; f.Pertunjukan Ciptaan; g.Pengumuman Ciptaan; h.Komunikasi Ciptaan; dan i. Penyewaan Ciptaan. Sanksi Pelanggaran Pasal 113 1. Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp100.000.000 (seratus juta rupiah). 2. Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
iii KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Dr. Dwi Purnomo, M.Pd., Dr. Susilo Bekti, M.Pd., Dr. Kenys Fadhilah Z, S.Si, M.Pd., Dr. Nopem K S, M.Pd., Dr. Sofia Sao, M.Pd., Dyah Ayu S C, M.Pd., Ririn Dwi Agustin, M.Pd., Dian Fitri A, M.Pd., Nok Izatul Y, M.Pd., Yunis Sulistyorini, M.Pd., Era Dewi Kartika, M.Pd., Hilaria Melania Mbagho, M.Pd.
iv KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Penulis: Dr. Dwi Purnomo, M.Pd., Dr. Susilo Bekti, M.Pd., Dr. Kenys Fadhilah Z, S.Si, M.Pd., Dr. Nopem K S, M.Pd., Dr. Sofia Sao, M.Pd., Dyah Ayu S C, M.Pd., Ririn Dwi Agustin, M.Pd., Dian Fitri A, M.Pd., Nok Izatul Y, M.Pd., Yunis Sulistyorini, M.Pd., Era Dewi Kartika, M.Pd., Hilaria Melania Mbagho, M.Pd. Editor: Andriyanto, S.S., M.Pd. Layout: Tim Penerbit Underline Design Kover: Tim Penerbit Underline Ukuran buku: 14,8 cm × 21 cm, 164 Halaman ISBN : 978-623-09-5641-6 Cetak Pertama September 2023 Penerbit Underline (Anggota IKAPI No.267/JTE/2023) Srikaton, Rt.003, Rw.001, Pucangmiliran, Tulung, Klaten, Jateng Hp. 089520328216 Email: [email protected] Website: penerbitunderline.com Hak Cipta dilindungi Undang-Undang. Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa ijin tertulis dari penerbit.
v KATA PENGANTAR uji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan rahmat dan karunia-Nya dapat tersusun Modul Kajian Matematika Sekolah. Modul ini disusun dengan harapan dapat memberikan penjelasan materi Kajian Matematika Sekolah serta dapat digunakan untuk kegiatan belajar oleh mahasiswa. Adapun penyajian modul ini mengacu pada Problem Based Learning, Case Based Learning dan Project Based Learning. Penggunaan pendekatan Problem Based Learning, Case Based Learning dan Project Based Learning bertujuan untuk memudahkan siswa dalam memahami materi serta melibatkan siswa dalam kegiatan pembelajaran. Pada akhirnya penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini. Penulis menyadari modul ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangundemi perbaikan modul ini ke depan. Malang, September 2023 P
vi DAFTAR ISI KATA PENGANTAR _____________________________________ v DAFTAR ISI ____________________________________________vi Sejarah Bilangan ______________________________________ 1 Bilangan Asli__________________________________________ 5 Bilangan Bulat _______________________________________ 14 Bilangan Pecahan_____________________________________ 75 Pengukuran _________________________________________ 84 Ruang Dan Logika Geometris__________________________ 104 Bentuk Dan Sifat Geometri ____________________________ 110 Transformasi Geometri _______________________________ 115 Konsep Analisis Data _________________________________ 124 Peluang ____________________________________________ 137 Bilangan Riil ________________________________________ 158 DAFTAR PUSTAKA____________________________________ 163
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 1 SEJARAHBILANGAN Bilangan apa sajakah yang sudah kamu kenal selama ini? Pernahkah terpikirkan, bagaimana dan kapan munculnya bilangan-bilangan tersebut? onsep tentang bilangan dan cara mencacah (menghitung, counting) berkembang sejak jaman prasejarah (poleolithic, Old Stone Age). Pada jaman itu, mereka diduga telah mempelajari cara bercocok taman, berternak, menggunakan kaleder, mengukur atau menimbang berat, memindahkan barang dengan gerobak, membuat perahu, berburu, pengobatan tradisional, dan cara berhitung. Sejak periode sejarah, diduga dimulai sekitar tahun 400 S.M., orang melalui memikirkan bilangan sebagai konsep abstrak. Mereka menyebut tiga kerikil dan tiga binatang mempunyai sifat persekutuan, yaitu suatu kuantitas yang disebut tiga. Sifat persekutuan tiga ini bisa dimiliki oleh kelompok benda apa saja sehingga sifat ini menjadi terbatas dari obyek atau sasaran pembicaraan. Dalam istilah yang lebih sederhana, sifat-sifat persekutuan satuan (oneness), duaan (twoness), atau tigaan (threeness) merupakan sifat persekutuan yang dimiliki oleh sebarang kumpulan benda untuk menunjukkan kesamaan kuantitas. Keperluan tentang kuantitas merupakan kebutuhan dasar manusia dalam kehidupan berkeluarga dan bermasyarakat, terutama untuk menghitung (mencacah) dan membandingkan jumlah barang atau benda. Keperluan menghitung mendorong orang untuk mencari cara yang mudah, yaitu dengan membuat lambang bilangan (muneral) dan cara mengguK
2 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH nakannya (sistem numerasi). Sistem numerasi membuat sekumpulan lambang dasar dan sejumlah atauran untuk menghasilkan lambanglambang bilangan yang lain. Beberapa peradaban yang telah mengembangkan sistem numerasi di antaranya adalah Mesir (sekitar tahun 3000 S.M.), Babylonia (sekitar tahun 2000 S.M.), Yunani atau Greek (sekitar tahun 600 S.M.), Mayan (sekitar tahun 300 S.M.), Jepang – China (sekitar tahun 200 S.M.), Romawi (sekitar tahun 100 M), dan Hindu-Arab (mulai sekitar tahun 300 S.M. di India, mengalami perubahan di wilayah timur tengah sekitar tahun 750 Masehi, berkembang di Eropa dan dipakai di seluruh dunia sampai sekarang). Dari uraian tersebut kita telah melihat perjalanan pengembangan konsep bilangan sejak jaman Poleolithic hingga jaman sejarah. Dengan demikian, kita perlu membuat asumsi bahwa manusia telah menemukan konsep bilangan asli (counting/natural members) dan telah menemukan himpunan lambang untuk menyatakan konsep bilangan asli yaitu 1, 2, 3, 4, …. Himpunan bilangan asli dinyatakan dengan = {1, 2, 3, 4, … } Selanjutnya, untuk kepentingan masyarakat jaman pertanian, sebelum zaman revolusi, mereka hanya memerlukan mencacah, menjumlah, dan mengalikan. Seiring dengan perkembangan jaman, masyarakat memerlukan sistem bilangan yang dapat memenuhi keperluan lain, yaitu mengurangkan dan membagi. Dengan demikian, mereka mempunyai tuntutan pekerjaan yang tidak sekedar berhitung (aritmetika) tetapi hal lain yang lebih luas. Jika sebelumnya mereka menerima pernyataan tanpa bukti (postulat): + adalah suatu bilangan asli dan × adalah suatu bilangan asli, maka kesulitan akan muncul ketika pengertian pengurangan mulai diperkenalkan melalui penjumlahan: − = jika ada sedemikian hingga = + . Apakah kesulitan yang ditemui? Pikirkan sejenak!
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 3 Pengurangan pada unsur-unsur himpunan bilangan asli dapat dilakukan hanya jika > , artinya himpunan bilangan asli tidak bersifat tertutup terhadap pengurangan. Pada awalnya tentu mereka memahami bahwa: 3 − 2 = 1; 4 − 3 = 1; 5 − 4 = 1. Lalu, bagaimana jika: − =? − =? − =? Rupanya, mereka perlu “tambahan” bilangan baru, yang kemudian disebut dengan nol (zero) yang diberi makna: 3 − 3 = 0 4 − 4 = 0 5 − 5 = 0 Sekarang kita telah menambahkan unsur baru 0 ke dalam sistem bilangan asli, sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan cacah, dinyatakan dengan: = {0, 1, 2, 3, 4, … }. Selanjutnya, dengan semakin berkembangnya masyarakat industri, manusia memerlukan bilangan untuk keperluan pembukuan tingkat lanjut, di antaranya untuk menghitung utang-piutang, serta tabungan dan pinjaman. Nah, bagaimana dengan: − =? − =? − =? Permasalahan ini serupa dengan usaha menambah bilanganbilangan baru di dalam sehingga mereka dapat melakukan semua
4 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH pengurangan, atau himpunan baru yang diperoleh bersifat tertutup terhadap pengurangan. Jawaban terhadap kesulitan mereka adalah tambahan bilanganbilangan baru yang diperoleh dari: 0 − 1 0 − 2 0 − 3 yang kemudian dilambangkan dengan: −1, −2, −3, …. Sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan bulat, dan dinyatakan dengan: = {… , −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } Dengan digunakannya garis bilangan untuk menyatakan representasi bilangan, dan memberi makna terhadap bilangan-bilangan di sebelah kanan nol sebagai bilangan positif serta di sebelah kiri nol sebagai bilangan negatif, maka himpunan bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai: = {… , −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } Untuk keperluan menghitung, orang dapat melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian bilangan. Apa yang dilakukan oleh orang itu kemudian disebut sebagai suatu operasi. Nah, berikutnya silakan simpulkan. Operasi bilangan adalah….
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 5 BILANGAN ASLI elaras dengan sejarah bilangan yang dipaparkan di muka, pengenalan bilangan kepada siswa di sekolah dasar pun dimulai dari bilangan Asli. Bahkan mungkin sejak sebelum sekolah, siswa telah mengenal bilangan asli 1-100. Namun benarkah ia telah mengenalnya? Termasuk kamu, apakah sudah benar-benar mengenal? Atau justru hanya menghafal? “Matematika itu ada di sekeliling kita, dari waktu kita membuka mata, melihat jam, dan memotong roti saat sarapan. Matematika itu nyata dan diperlukan,” (Kusumo, 2017). Identik dengan pernyataan Kusumo, mengenalkan bilangan kepada siswa pun diawali dengan menunjuk benda untuk ditentukan kuantitasnya. Ambil saja benda-benda yang ada di dalam kelas, misalkan 4 kusi, 1 papan tulis, 3 buku, dan seterusnya. Berikutnya, kenalkan dengan model pencacah, misalnya manikmanik untuk kemudian dikenalkan pada operasi suatu bilangan. Pada dasarnya, suatu operasi adalah mengambil sepasang bilangan untuk mendapatkan bilangan lain yang tunggal. Bilangan yang diperoleh mungkin unsur atau bukan unsur dari himpunan tertentu. Operasi yang dikenalkan di antaranya adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. A. Penjumlahan Bilangan Asli Saat bekerja dengan bilangan satuan, banyak siswa yang menghitung satu persatu untuk menyelesaikan soal tersebut. Menghitung penjumlahan bilangan asli yang masih bernilai satuan, hampir tidak S
6 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH ditemui kesalahan konsep. Lalu bagaimanakah menghitung bilangan asli yang telah bernilai puluhan, ratusan, bahkan ribuan? Tentu sudah sangat tidak asing kita dengar cara menghitung penjumlahan dengan bersusun. Apakah itu satu-satunya cara dalam menghitung penjumlahan? Apakah tidak ada cara lain? Pikirkan! Padahal, jika saja tidak diarahkan, siswa mungkin saja akan menemukan strategi yang berbeda-beda dalam menyelesaikan penjumlahan (Indah & Fardah, 2022). Jadi, biarkan siswa menyelesaikan soal dengan cara mereka sendiri. Berikan waktu yang cukup, lalu minta mereka untuk menjelaskan apa yang sudah mereka kerjakan dan mengapa mereka mengerjakannya demikian. Ingat! Satu atau dua soal dalam satu pelajaran dengan banyak diskusi akan jauh lebih produktif daripada banyak soal yang bisa diselesaikan berdasarkan aturan yang tidak dimengerti. Bagaimana kamu menghitung + ? Algoritma tradisional yang biasa kita lakukan adalah dengan melakukan penjumlahan bersusun, lalu memulai perhitungan dari belakang. 8 + 6 = 14. 4 ditulis, lalu simpan 1. 5 + 7 = 12, ditambah 1 yang disimpan tadi menjadi 13, 3 ditulis lalu 1 disimpan lagi. 3 + 2 = 5 ditambah 1 yang disimpan tadi maka menjadi 6. Sehingga hasil akhirnya adalah 634. Kita terlalu terpaku menggunakan penyelesaian dengan cara itu, seolah itu adalah satu-satunya cara untuk menghitung penjumlahan bilangan asli yang bernilai ratusan. Algoritma tradisional yang begitu saja langsung diajarkan kepada siswa membuat kreativitas siswa untuk memikirkan cara lain menjadi mati. Coba berikan siswa waktu untuk menyelesaikannya sendiri, aka
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 7 nada beragam cara yang kita temui untuk menyelesaikan soal penjumlahan tersebut. Misalkan menghitungnya dengan cara seperti ini Atau dengan menggunakan model pencacah a. Nyatakan 358 dengan menggunakan model pencacah b. 276 dinyatakan dengan 3 5 8 2 7 6 5 0 0 1 2 0 1 4 6 3 4 +
8 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH c. Jika keduanya dijumlahkan, maka akan menghasilkan d. Pahami bahwa bulatan 1 kumpulan bulatan kotak terisi oleh 10 bulatan panjang dan 1 bulatan panjang terisi oleh 10 bulatan kecilkecil. Nah, karena bulatan panjang terdapat 12, maka yang 10 bisa kita tukar dengan 1 bulatan persegi, bukan? e. Ada sebanyak 14 bulatan kecil. Maka 10 bulatan kecil bisa kita tukar dengan 1 bulatan panjang sehingga menghasilkan seperti ini
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 9 f. Pencacah tersebut senilai dengan 634 Bagaimana? Apakah cara-cara tersebut dapat membuka pikiranmu bahwa matematika tidak ‘sekaku’ itu!? Kamu punya cara yang lain lagi? Ayo terangkan pada teman-temanmu! B. Pengurangan Bilangan Asli Pendekatan umum untuk mengembangkan algoritma pengurangan adalah sama dengan yang digunakan untuk melakukan penjumlahan. Satu hal yang seringkali terjadi saat menerapkan pengurangan, kita terbiasa dengan menggunakan kata “pinjam”. Misalkan saat kita akan menyelesaikan 52 − 18 maka seringkali disebutkan bahwa, karena 2 dikurangi 8 tidak bisa, maka 2 pinjam 1 di depannya sehingga menjadi 12 – 8. Pikirkan! Apakah pinjaman itu pernah dikembalikan? Bagaimana bisa, Matematika menanamkan karakter demikian? Sekali lagi, akan lebih baik jika kita lepaskan siswa untuk berpikir sekreatif mungkin, bagaimana menyelesaikan pengurangan tersebut tanpa menyalahi karakter maupun konsep matematika. Dan untukmu sendiri.
10 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Bagaimana menghitung pengurangan tersebut tanpa ‘meminjam’? Diskusikan! Salah satu yang bisa dikembangkan misalkan dengan kembali menggunakan model pencacah. a. Nyatakan 52 dengan menggunakan model pencacah b. Akan dikurangi dengan 18 c. Kita hanya memiliki 2 bulatan kecil, sementara kita akan menguranginya dengan 8. Kita tidak dapat melakukannya, tapi kita memiliki 5 bulatan panjang yang salah satunya dapat kita tukar dengan 10 bulatan kecil sehingga menjadi seperti ini d. Nah, sekarang terdapat 12 bulatan kecil. Maka kita sudah dapat melakukan pengurangan ini, bukan? 12 bulatan kecil dikurangi 8 bulatan kecil, dan 4 bulatan panjang dikurangi 1 bulatan panjang, sehingga menghasilkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 11 e. Maka hasil dari pengurangannya adalah 34 Dengan mengawalinya menggunakan model pencacah, kita dapat meminimalisir kesalahan konsep yang seringkali dilakukan siswa dalam melakukan pengurangan bersusun. Ingat, penggunaan model pencacah ini hanya untuk memahamkan siswa pada konsep pengurangan. Berikutnya, arahkan siswa untuk mendapatkan pola pada algoritma tradisional. C. Perkalian Bilangan Asli Perkalian sejatinya adalah penjumlahan yang berulang. × mengandung pengertian sebanyak -kali -nya. Atau dengan kata lain, kita harus menjumlahkan sebanyak . 4 × 3 mengandung pengertian 3 + 3 + 3 + 3. Artinya, kita harus menambahkan 3 ke dalam himpunan sebanyak sebanyak 4 kali. Pahamkan konsep ini kepada siswa, lalu biarkan ia menghitung dengan caranya sendiri bagaimana ia dapat mengerjakan soal perkalian. Tidak terlalu sulit saat bekerja dengan bilangan satuan, lalu bagaimana saat mengalikan bilangan puluhan, ratusan, bahkan ribuan? Sekali lagi, bebaskan siswa untuk menemukan caranya sendiri sebelum memberikan algoritma tradisional yang telah lama kita kenal sebelumnya. Dengan tidak terburu-buru menjejali siswa dengan algoritma tradisional, kita akan dapat melihat, betapa kayanya otak anak, betapa besarnya × = + + + ⋯ +
12 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH kreativitas mereka yang seharusnya bisa dikembangkan, bukan justru dikerdilkan. D. Pembagian Bilangan Asli Konsep pembagian berawal dari perkalian … × = mengartikan berapa banyak himpunan menghasilkan himpunan ? Atau dalam simbol pembagian dapat dituliskan = ⋯. Pikirkan! Manakah yang menunjukkan ? Apakah Atau Ingat, ya! Pembagian ini mengandung pengertian bahwa berapa banyak himpunan 4 yang menghasilkan 12. Melalui bantuan pencacah kita dapat memahami konsep pembagian 12 4 menggunakan langkahlangkah berikut a. Pengerjaan pembagian dilakukan dengan menyediakan sebuah himpunan bernilai nol. b. Untuk mendapatkan 12 berarti kita harus menjadikan himpunan yang semula bernilai nol menjadi bernilai 12. Jika menggunakan pencacah, artinya harus membuat himpunan tersebut terisi oleh 12 pencacah. Selanjutnya, untuk mengetahui berapa banyak himpunan 4 yang menghasilkan 12, kita dapat menambahkan himpunan 4 beberapa kali hingga mencapai 12.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 13 c. Sekarang di dalam himpunan berisi 4. Karena belum mencapai 12, kita perlu mengulangi penambahan himpunan berisi 4 lagi. d. Sekarang di dalam himpunan berisi 8. Karena belum mencapai 12, kita perlu mengulangi penambahan himpunan berisi 4 lagi. e. Dengan demikian, pada himpunan telah terisi 12. Dalam proses ini kita telah menambahkan 3 kali himpunan 4 sehingga menghasilkan 12. Jadi, 12 4 = 3. Bagaimana? Apakah pengertianmu selama ini sudah benar?
14 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH BILANGAN BULAT Sebelum mengarah pada beberapa operasi bilangan bulat, baiknya kita ingat dulu tentang sifat ajabar. Apakah sudah terekam dalam ingatan? Sifat komutatif, assosiatif, elemen identitas, invers, dan distributif! ➢ Sifat operasi penjumlahan pada bilangan bulat ▪ Komutatif, + = + ▪ Assosiatif, a + (b + c) = (a + b) + c ▪ Adanya elemen identitas, yaitu 0, sehingga a + 0 = a ▪ Adanya elemen invers, yaitu – a sehingga a + (−a) = 0 ➢ Sifat operasi perkalian pada bilangan bulat ▪ Komutatif, a × b = b × a ▪ Assosiatif, a × (b × c) = (a × b) × c ▪ Adanya elemen identitas, yaitu 0, sehingga a × 1 = a ▪ Adanya elemen invers, yaitu – a sehingga a × 1 a = 1 ➢ Sifat distributif penjumlahan terhadap perkalian ▪ Distributif kiri, a × (b + c) = (a × b) + (a × c) ▪ Distributif kanan, (a + b) × c = (a × c) + (b × c) A. Penjumlahan Bilangan Bulat Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa pada bilangan bulat terdapat bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif. Artinya, pada penjumlahan bilangan bulat ini terdapat: (1) penjumlahan bilangan bulat positif dan positif, (2) penjumlahan bilangan bulat positif dan negatif, (3)
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 15 penjumlahan bilangan bulat negatif dan positif, (4) penjumlahan bilangan bulat negatif dan negatif. 1. Penjumlahan Bilangan Bulat Positif dan Positif Melakukan penjumlahan bilangan bulat positif dan positif sama halnya dengan melakukan penjumlahan pada bilangan asli yang telah disampaikan pada Bab Bilangan Asli di muka. Pembahasan mengenai penjumlahan bilangan bulat positif dan positif tidak dijabarkan lagi dalam bab ini. 2. Penjumlahan Bilangan Bulat Positif dan Negatif Apakah yang ada di benakmu, saat akan mengajarkan penjumlahan bilangan positif dan negatif kepada siswa? Bagaimana caramu mengenalkan penjumlahan bilangan bulat positif dan negatif kepada siswa? Apakah kamu akan begitu saja mengatakan bahwa ditambah (−) sama artinya dengan − tanpa memberitahu mengapa demikian? Melakukan penjumlahan bilangan positif dan negatif atau bisa dinotasikan dengan + (−) seringkali disalahartikan dengan (+) yang bertemu (−) lalu menghasilkan (−) sehingga + (−) = − . Padahal, dalam operasi tersebut sama sekali tidak melibatkan operasi perkalian. Bahkan seharusnya, ketika baru mulai mengenal penjumlahan, siswa belum mengenal perkalian, bukan? Lantas bagaimana memahamkan penjumlahan bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif kepada siswa? Pikirkan! Untuk memahami konsep penjumlahan pada bilangan bulat dapat diawali dengan menyiapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan petir sebagai pencacah positif dan bintang sebagai pencacah negatif. Selanjutnya berikan pemahaman bahwa + berarti menambahkan sesuatu ke dalam himpunan.
16 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Berikutnya lakukan perhitungan bilangan-bilangan di bawah ini dengan mengikuti langkah-langkah yang tertera. Misalkan menghitung 3 + (−5) a. 3 + (−5) artinya adalah menambahkan himpunan berisi 5 pencacah negatif pada himpunan berisi 3 pencacah positif b. Sehingga di dalam himpunan berisi 3 petir dan 5 bintang c. Ingat kembali adanya elemen invers pada penjumlahan, bahwa + (−) = 0. Artinya, ketika satu petir dipasangkan dengan satu bintang maka bernilai nol. d. Jika pasangan pencacah tersebut bernilai nol, maka kita bisa menghapusnya, bukan? Dengan menghapus pasangan pencacah yang bernilai nol, maka sekarang di dalam himpunan tersisa 2 bintang bernilai nol
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 17 e. Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai pada himpunan tersebut adalah −2. Jadi, 3 + (−5) = −2 Lanjutkan dengan mengambil contoh penjumlahan bilangan yang lain, misalkan 6 + (−2) a. 6 + (−2) artinya adalah menambahkan himpunan berisi 2 pencacah negatif pada himpunan berisi 6 pencacah positif b. Sehingga di dalam himpunan berisi 6 petir dan 2 bintang c. Ingat kembali adanya elemen invers pada penjumlahan, bahwa + (−) = 0. Artinya, ketika satu petir dipasangkan dengan satu bintang maka bernilai nol.
18 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH d. Hapus pasangan pencacah yang bernilai nol. Maka sekarang di dalam himpunan tersisa 4 petir a. Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai pada himpunan tersebut adalah 4. Jadi, 6 + (−2) = 4 Dengan berulang kali melakukan perhitungan tersebut, bukankah sekarang kita telah menemukan suatu pola bahwa ternyata + (−) = − 3. Penjumlahan Bilangan Bulat Negatif dan Positif Melakukam penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif serupa halnya dengan penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif seperti yang telah dibahas di atas. Kita dapat kembali menyiapakan pencacah positif dan pencacah negatif. Untuk memudahkan, kembali kita gunakan petir sebagai pencacah positif dan bintang sebagai pencacah negatif. Misalkan menghitung −4 + 7 a. Tambahkan himpunan berisi 7 pencacah positif pada himpunan berisi 4 pencacah negatif bernilai nol
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 19 b. Sehingga di dalam himpunan berisi 4 bintang dan 7 petir c. Pasangkan petir dan bintang hingga tidak tersisa lagi petir maupun bintang yang bisa dipasangkan d. Hapus pasangan pencacah yang bernilai nol. Maka sekarang di dalam himpunan tersisa 3 petir bernilai nol
20 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH b. Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai pada himpunan tersebut adalah 3. Jadi, −4 + 7 = 3 Lakukan penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif dengan mengambil contoh bilangan lain, misalnya −9 + 3 a. Tambahkan himpunan berisi 3 pencacah positif pada himpunan berisi 9 pencacah negatif b. Sehingga di dalam himpunan berisi 9 bintang dan 3 petir c. Pasangkan petir dan bintang hingga tidak tersisa lagi petir maupun bintang yang bisa dipasangkan bernilai nol
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 21 d. Hapus pasangan pencacah yang bernilai nol. Maka sekarang di dalam himpunan tersisa 6 bintang. c. Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai pada himpunan tersebut adalah −6. Jadi, −9 + 3 = −6 Dengan berulang kali melakukan penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, akhirnya kita akan menemukan pola bahwa − + = − 4. Penjumlahan Bilangan Bulat Negatif dan Negatif Untuk menghitung penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif, kita tetap dapat menggunakan pencacah sebagai pemodelan. Misalkan menghitung −4 + (−5), maka dapat dilakukan dengan langkah-langkah seperti di bawah ini. a. Tambahkan himpunan berisi 5 pencacah negatif pada himpunan berisi 4 pencacah negatif b. Sehingga di dalam himpunan berisi 9 bintang
22 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH c. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa −4 + (−5) = −9 Ambil contoh yang lain, misal −7 + (−6) a. Tambahkan himpunan berisi 6 pencacah negatif pada himpunan berisi 7 pencacah negatif b. Sehingga di dalam himpunan berisi 9 bintang c. Sehingga dapat disimpulkan bahwa −7 + (−6) = −13
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 23 Lakukan dengan menggunakan bilangan-bilangan negatif lain. Dengan cara ini terlihat bahwa kita hanya bekerja dengan menggunakan bilangan negatif dan akan menemukan pola bahwa − + (−) = −( + ). B. Pengurangan pada Bilangan Bulat Tidak jauh berbeda dengan cara, memahami konsep penjumlahan pada bilangan bulat, untuk memahami konsep pengurangan pada bilangan bulat, dapat diawali dengan menyiapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan bunga sebagai pencacah positif dan bola sebagai pencacah negatif. Selanjutnya, pahamkan bawa (−) berarti mengurangi sesuatu dari dalam himpunan. Pengurangan pada bilangan bulat diantaranya adalah (1) pengurangan bilangan bulat positif terhadap bilangan bulat positif, (2) pengurangan bilangan bulat negatif terhadap bilangan bulat positif, (3) pengurangan bilangan bulat positif terhadap bilangan bulat negatif, dan (4) pengurangan bilangan bulat negatif terhadap bilangan bulat negatif. 1. Pengurangan Bilangan Bulat Positif terhadap Bilangan Bulat Positif Melakukan pengurangan bilangan bulat positif terhadap bilangan bulat positif sama halnya dengan melakukan pengurangan pada bilangan asli yang telah disampaikan pada Bab Bilangan Asli di muka. Pembahasan mengenai pengurangan bilangan bulat positif terhadap bilangan bulat positif tidak dijabarkan lagi dalam bab ini. 2. Pengurangan Bilangan Bulat Negatif terhadap Bilangan Bulat Positif Melakukan pengurangan bilangan bulat negatif terhadap bilangan bulat positif, atau yang biasa kita kenal dengan − (−) seringkali menimbulkan kesalahan konsep yang berakibat fatal.
24 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Membelajarkan siswa untuk mengurangi dengan (−) seringkali dibenturkan dengan suatu hafalan bahwa − (−) = + . Dari mana munculnya + pada operasi pengurangan ini? Apakah kamu akan menjawab. “Karena negatif bertemu negatif menghasilkan positif?” Ingat! Saat belajar pengurangan, siswa belum diajarkan tentang perkalian! Kembali kita gunakan pencacah untuk melakukan perjhitungan ini, misalnya bunga untuk pencacah positif dan bola untuk pencacah negatif. Ambil contoh menghitung 6 − (−3) a. 6 − (−3) artinya adalah mengurangi himpunan berisi 3 pencacah negatif pada himpunan berisi 6 pencacah positif. 3 pencacah negatif adalah 3 bola, sedangkan 6 pencacah positif adalah 6 bunga. Hal tersebut mengandung pengertian bahwa kita harus mengeluarkan himpunan berisi 3 bola dari himpunan berisi 6 bunga. b. Dapatkah kita melakukannya? Bagaimana caranya kita bisa mengeluarkan bola dari dalam himpunan yang hanya berisi bunga? Karena himpunan tersebut tidak memiliki bola satupun, maka kita tidak dapat melakukan apa-apa pada langkah pertama. Harus ada setidaknya 3 bola agar pengurangan bisa dilakukan. Ingat kembali pada elemen invers penjumlahan bahwa + (−) = 0 yang berarti saat kita menambahkan berapapun pasangan bunga dan bola—dalam keluarkan 3 bola
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 25 hal ini adalah pasangan pencacah positif dan pencacah negatif— maka kita sama artinya dengan menambahkan nol ke dalam himpunan tersebut. Pengerjaan ini tidak mengubah nilai dari suatu himpunan. c. Misalkan kita tambahkan 3 nol, yaitu 3 pasangan bunga dan bola ke dalam himpunan. Maka sekarang di dalam himpunan telah berisi 9 bunga dan 3 bola. d. Di dalam himpunan telah ada 3 bola. Sekarang kita bisa mengeluarkan 3 bola tersebut dari dalam himpunan
26 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH e. Dengan mengeluarkan 3 bola, maka sekarang di dalam himpunan tersisa 9 bunga. f. 9 bunga artinya 9 pencacah positif dalam himpunan tersebut. Jadi, dengan melakukan pecacahan ini kita mendapatkan 6 − (−3) = 9 Ambil contoh pengurangan bilangan yang lain, misalnya 4 − (−7) a. 4 − (−7) artinya adalah mengurangi himpunan berisi 7 pencacah negatif pada himpunan berisi 4 pencacah positif. 7 pencacah negatif adalah 7 bola, dan 4 pencacah positif adalah 4 bunga. Artinya kita harus mengeluarkan himpunan berisi 7 bola dari himpunan berisi 4 bunga. keluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 27 b. Apakah kita dapat melakukannya? Bukankah di dalam himpunan hanya berisi bunga? Bagaimana caranya kita bisa mengeluarkan bola dari dalam himpunan yang hanya berisi bunga? Karena himpunan tersebut tidak memiliki bola satupun, maka kita tidak dapat melakukan apa-apa pada langkah pertama. Ingat kembali pada elemen invers penjumlahan bahwa + (−) = 0 yang berarti saat kita menambahkan berapapun pasangan bunga dan bola—dalam hal ini adalah pasangan pencacah positif dan pencacah negatif—maka kita sama artinya dengan menambahkan nol ke dalam himpunan tersebut. Pengerjaan ini tidak mengubah nilai dari suatu himpunan. c. Misalkan kita tambahkan 4 pasangan bunga dan bola ke dalam himpunan. Maka sekarang di dalam himpunan telah berisi 8 bunga dan 4 bola. keluarkan 7 bola
28 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH d. Apakah kita sudah bisa mengeluarkan 7 bola dari dalam himpunan? Belum. Di dalam himpunan hanya terdapat 4 bola. Maka kita perlu menambahkan beberapa nol lagi agar kita dapat mengeluarkan 7 bola. Misalkan sekarang kita tambahkan 3 pasangan bunga dan bola ke dalam himpunan e. Maka sekarang di dalam himpunan berisi 11 bunga dan 7 bola.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 29 f. Keluarkan 7 bola dari dalam himpunan g. Sekarang di dalam himpunan tersisa 11 bunga. h. 11 bunga artinya 11 pencacah positif dalam himpunan tersebut. Jadi, dengan melakukan pecacahan ini kita mendapatkan 4 − (−7) = 11 Lakukan berulang hingga menemukan pola bahwa − (−) = + keluarkan
30 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 3. Pengurangan Bilangan Bulat Positif terhadap Bilangan Bulat Negatif Berikutnya adalah melakukan pengurangan bilangan bulat positif terhadap bilangan bulat negatif. Dalam hal ini kita tetap akan memanfaatkan pencacah bunga dan bola untuk menghitung – − . Apa yang ada di benakmu dalam menjelaskan – − kepada siswa? Misalkan menghitung −5 − 6 a. −5 − 6 artinya adalah mengurangi himpunan berisi 6 pencacah positif dari himpunan berisi 5 pencacah negatif. Hal tersebut mengandung pengertian bahwa kita harus mengeluarkan himpunan berisi 6 bunga dari himpunan berisi 5 bola. b. Terlihat seperti kebalikan dari pengurangan bilangan negatif terhadap bilangan positif yang telah dibahas sebelumnya, bukan? Kita harus mengeluarkan 6 bunga dari himpunan yang hanya berisi bola, tanpa memiliki bunga satupun. Kita tidak dapat melakukan apa-apa pada langkah pertama. Harus ada setidaknya 6 bunga di dalam himpunan agar pengurangan bisa dilakukan. Sama halnya dengan proses sebelumnya, ingat kembali bahwa pada elemen invers penjumlahan bahwa + (−) = 0 yang berarti saat kita menambahkan berapapun pasangan bunga dan bola—dalam hal ini adalah pasangan pencacah positif dan pencacah negatif—maka kita sama artinya dengan menambahkan nol ke dalam himpunan tersebut. Pengerjaan ini tidak mengubah nilai dari suatu himpunan. keluarkan 6 bunga
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 31 c. Dengan menambahkan enam pasangan bunga dan bola, sekarang di dalam himpunan telah berisi 11 bola dan 6 bunga d. Karena di dalam himpunan telah ada 6 bunga, maka sekarang kita telah bisa mengeluarkan 6 bunga tersebut dari dalam himpunan e. Sekarang di dalam himpunan tersisa 11 bola. keluarkan
32 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH f. Dengan menggunakan pencacah ini, kita mendapatkan −5 − 6 = −11 Lakukan penghitungan yang lain, misalkan −7 − 3 a. −7 − 3 artinya adalah mengurangi himpunan berisi 3 pencacah positif dari himpunan berisi 7 pencacah negatif. Hal tersebut mengandung pengertian bahwa kita harus mengeluarkan himpunan berisi 3 bunga dari himpunan berisi 7 bola. b. Apakah kita apat melakukannya? Kita harus mengeluarkan 3 bunga dari himpunan yang hanya berisi bola. Harus ada setidaknya 3 bunga di dalam himpunan agar pengurangan bisa dilakukan. Sama halnya dengan proses sebelumnya, ingat kembali bahwa pada elemen invers penjumlahan bahwa + (−) = 0 yang berarti saat kita menambahkan berapapun pasangan bunga dan bola—dalam hal ini adalah pasangan pencacah positif dan pencacah negatif—maka kita sama artinya dengan menambahkan nol ke dalam himpunan tersebut. Pengerjaan ini tidak mengubah nilai dari suatu himpunan. keluarkan 3 bunga
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 33 c. Misalkan kita tambahkan 5 pasangan bunga dan bola, sekarang di dalam himpunan telah berisi 12 bola dan 5 bunga d. Karena di dalam himpunan telah ada 5 bunga, maka sekarang kita bisa mengeluarkan 3 bunga dari dalam himpunan e. Dengan mengeluarkan 3 bunga dari dalam himpunan, sekarang di dalam himpunan tersisa 12 bola dan 2 bunga keluarkan
34 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH f. Di dalam himpunan masih terdapat pasangan bunga dan bola yang. Artinya, masih ada pasangan bernilai nol di dalam himpunan tersebut. Kita dapat mengeluarkannya untuk memudahkan melakukan perhitungan. g. Maka sekarang di dalam himpunan tersisa 10 bola h. Dengan menggunakan pencacah ini, kita mendapatkan −7 − 3 = −10 keluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 35 Lakukan berulang kali dengan menggunakan bilangan lain untuk menghitung pengurangan bilangan positif terhadap bilangan negatif hingga menemukan pola – − = −( + ) 4. Pengurangan Bilangan Bulat Negatif terhadap Bilangan Bulat Negatif Bagaimana melakukan pengurangan bilangan negatif terhadap bilangan negatif? Ada ide? – − (−) =? Ya, tentu saja kita akan tetap menggunakan model pencacah seperti sebelumnya. Untuk memudahkan, kita akan tetap menggunakan bunga sebagai pencacah postif dan bola sebagai pencacach negatif. Misalkan menghitung −7 − (−5) a. −7 disimbolkan dengan 7 bola dan −5 disimbolkan dengan 5 bola. Maka dalam hal ini sangatlah mudah. −7 − (−5) berarti mengeluarkan 5 bola dari dalam himpunan yang berisi 7 bola b. Maka akan tersisa 2 bola dari dalam himpunan yang menandakan −2. Dengan demikian, −7 − (−5) = −2 Cukup mudah. Sekarang ambil bilangan yang lain, Misalkan menghitung −3 − (−4) keluarkan
36 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH a. Kurangi himpunan berisi 4 pencacah negatif dari himpunan berisi 3 pencacah negatif. Atau dengan kata lain, kita harus mengeluarkan himpunan berisi 4 bola dari himpunan berisi 3 bola. b. Dalam himpunan tersebut hanya ada 3 bola, padahal kita harus mengeluarkan sebanyak 4 bola. Artinya bola yang tersedia kurang, bukan? Kita harus menambahkan sepasang bola dan bunga— sepasang pencacah positif dan pencacah negatif—untuk bisa melakukan pengurangan tersebut. Ingat kembali bahwa sepasang bola dan bunga bernilai nol, merujuk pada invers penjumlahan bahwa + (−) = 0 c. Sekarang di dalam himpunan berisi 4 bola dengan 1 bunga d. Karena di dalam himpunan telah ada 4 bola, maka sekarang kita bisa mengeluarkan 4 bola tersebut dari dalam himpunan keluarkan 4 bola
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 37 e. Sekarang di dalam himpunan tersisa 1 bunga. Dengan kata lain, ada 1 pencacah positif dalam himpunan tersebut. Jadi, −3 − (−4) = 1 Lakukan berulang dengan menggunakan bilangan lain untuk menghitung pengurangan bilangan bulat negatif terhadap bilangan bulat negatif hingga menemukan pola – − (−) = − + B. Perkalian pada Bilangan Bulat Seperti yang telah dibahas pada bilangan asli di muka, perkalian merupakan penjumlahan yang dilakukan secara berulang. Pada perkalian bilangan bulat, terdapat (1)perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat positif, (2) perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, (3) perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif, (4) perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif. 1. Perkalian Bilangan Bulat Positif dan Bilangan Bulat Positif Melakukan perkalian bilangan bulat positif terhadap bilangan bulat positif sama halnya dengan melakukan perkalian pada bilangan asli yang telah disampaikan pada Bab Bilangan Asli di muka. Pembahasan mengenai perkalian bilangan bulat positif terhadap bilangan bulat positif tidak dijabarkan lagi dalam bab ini. 2. Perkalian Bilangan Bulat Positif dan Bilangan Bulat Negatif Perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif atau yang biasa dikenal dengan × (−) akan menghasilkan bilangan bulat negatif, yaitu – . Mengapa demikian? Mengapa menghasilkan – ? keluarkan
38 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Kembali kita gunakan konsep perkalian bahwa Dengan demikian, jika × (−) maka kita dapat menulisnya dengan Apakah telah dapat dimengerti? Kita ambil contoh dengan mengunakan bilangan 3 × (−2). Sesuai dengan konsep perkalian, maka 3 × (−2) mengandung pengertian (−2) + (−2) + (−2). Berdasarkan pada penjabaran perhitungan operasi penjumlahan bilangan bulat yang telah diungkap di muka maka diperoleh −6. Apakah cara tersebut dirasa masih menyulitkan untuk siswa? Jika iya, kita bisa kembali menggunakan model pencacah. Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan hati sebagai pencacah positif dan kertas sebagai pencacah negatif. Selanjutnya, ikuti langkah-langkah berikut ini a. Pengerjaan perkalian dilakukan dengan menyediakan sebuah himpunan bernilai nol. b. 3 × (−2) mengandung pengertian bahwa kita harus menambahkan himpunan −2 sebanyak 3 kali. Atau dengan kata lain, tambahkan himpunan 2 kertas sebanyak 3 kali. × = + + + ⋯ + = × (−) = − + (−) + (−) + ⋯ + (−) atau
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 39 c. Dengan demikian maka di dalam himpunan telah terisi oleh 6 kertas d. 6 kertas di dalam himpunan menunjukkan 6 pencacah negatif. Maka dengan demikian, 3 × (−2) = −6 Ambil contoh bilangan lain, misalkan 4 × (−6). Sesuai dengan konsep perkalian, maka 4 × (−6) mengandung pengertian (−6) + (−6) + (−6) + (−6). Berdasarkan pada penjabaran perhitungan operasi penjumlahan bilangan bulat yang telah diungkap di muka maka diperoleh −24. Jika cara tersebut dirasa masih menyulitkan untuk siswa, kita bisa kembali menggunakan model pencacah. Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan hati
40 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH sebagai pencacah positif dan kertas sebagai pencacah negatif. Selanjutnya, ikuti langkah-langkah berikut ini a. Pengerjaan perkalian dilakukan dengan menyediakan sebuah himpunan bernilai nol. b. 4 × (−6) mengandung pengertian bahwa kita harus menambahkan himpunan −6 sebanyak 4 kali. Atau dengan kata lain, tambahkan himpunan 6 kertas sebanyak 4 kali. atau
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 41 c. Dengan demikian maka di dalam himpunan telah terisi oleh 24 kertas d. 24 kertas di dalam himpunan menunjukkan 24 pencacah negatif. Maka dengan demikian, 4 × (−6) = −24 Lakukan berulang dengan menggunakan bilangan lain hingga menemukan pola 3. Perkalian Bilangan Bulat Negatif dan Bilangan Bulat Positif Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif (– × ) menghasilkan bilangan negatif, yaitu – . Mengapa demikian? Adakah yang pernah bertanya-tanya, mengapa hasil perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat negatif? Dengan menggunakan kosep perkalian, maka – × mengandung pengertian × (−) = − + (−) + (−) + ⋯ + (−) = −()
42 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Artinya, – × berarti menambahkan sebanyak – kali. Sangat abstrak. Jangankan untuk siswa, bahkan kita sendiri tidak dapat memikirkannya, bukan? Namun dengan menggunakan model pencacah, perkalian ini tidaklah akan terasa abstrak lagi. Cara lain adalah dengan menggunakan hukum komutatif, yaitu × = × sehingga − × = × (−) = −. Misalkan pada (−2) × 4. Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan hati sebagai pencacah positif dan kertas sebagai pencacah negatif. (−2) × 4 mengandung pengertian bahwa kita harus menambahkan himpunan 4 sebanyak −2 kali. Atau dengan kata lain, tambahkan himpunan 4 sebanyak 0 − 2 kali. Atau dengan kata lain, tambahkan himpunan 4 sebanyak 2 kali kurangnya dari nol. Atau dengan kata lain, kurangi himpunan 4 sebanyak 2 kali. Nah, hal ini berarti kita harus mengeluarkan himpunan 4 pencacah positif (4 hati) sebanyak 2 kali dari dalam himpunan bernilai nol. Ikuti langkah berikut a. Siapkan himpunan bernilai nol − × = + + + ⋯ + −