KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 143 seharusnya mengembangkan konsensus bahwa ini mempunyai sama mungkin antara biru dan tidak biru. Letakkan tanda tepat di tengah garis untuk mengindikasikan kemungkinan ini. Anda boleh mencatat bahwa ini mewakili peluang atau 50 persen, meskipun posisi dari tanda saja sebetulnya sudah cukup. Ulangi diskusi dengan pemutar yang kurang dari biru dan yang hampir semuanya biru. Tanya siswa di mana mereka akan meletakkan tanda pada garis untuk mengindikasikan kemungkinan dari putaran biru untuk tiap pemuta: tersebut. Tanda ini harus diletakkan dekat dengan ujung-ujung garis (Lihat Gambar 23.4). Untuk mengulang ide-ide ini, perlihatkan pemutar satu per satu dan tanyakan tanda mana yang mewakili kemungkinan dari biru pada pemutar tersebut. Pada kegiatan berikut siswa merancang alat acak yang mereka pikir akan menghasilkan kemungkinan untuk beragam posisi yang ditunjuk pada garis probabilitas. Kegiatan menyarankan siswa untuk menggunakan sebuah tas dengan dadu atau kubus berwarna yang sedikit berbeda dibandingkan pemutar. Bahkan jika ide menggambar kubus dari tas terasa baru bagi siswa Anda, jangan memberikan petunjuk tambahan untuk membantu siswa mengembangkan logika mereka sendiri. Kegiatan: Merancang sebuah Tas (Catat bahwa siswa harus diperkenalkan pada ide garis probabilitas seperti yang baru saja dipaparkan). Buatlah kertas-kerja dan berikan fotokopinya kepada siswa. Pastikan ada 12 gambar persegi pada tas. Pada papan tulis, tandai tempat pada garis probabilitas kira-kira pada posisi 20 persen. Pada saat ini jangan gunakan bahasa persen dan pecahan kepada siswa. Siswa menandai posisi ini pada garis probabilitas kertas kerja mereka. Alternatif lain, Anda bisa menandai kertas kerja sebelum membuat duplikatnya. Siswa harus mewarnai persegi yand ditandai "Warna" pada bagian atas kertas. Jelaskan bahwa mereka akan memutuskan dadu warna apa yang harus diletakkan pada tas dari total 12 dadu sehingga gambar ini akan membuat peluang warna yang sama seperti yang diindikasikan pada garis probabilitas.
144 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Sebelum siswa merancang tas mereka, tanyakan ide-ide tentang dadu warna apa yang mungkin diletakkan ke dalam tas jika tanda sangat dekat pertengahan garis. Tunjukkan bagaimana tas sesungguhnya akan disi berdasarkan rancangan pada kertas. Peragakan dengan dadu, tas, dan kertas kerja lengkap. Tekankan bahwa dadu akan dikocok sehingga persegi mana pada tas yang diwarnai tidak membuat perbedaan. Pada bagian bawah setiap kertas (dan pada kebalik- annya jika diperlukan), siswa menjelaskan mengapa mereka memilih dadu tersebut. Berikan mereka sebuah contoh: Kita letakkan 8 merah dan 4 wara lainnya karena Peluang Memutar Biru Mustahil | Sangat tidak mungkin | Sama mungkin | Sangat mungkin Gunakan permukaan pemutar ini untuk membantu siswa melihat bagaimana kemungkinan dapat diletakkan pada berbagai tempat pada kontinum antara mustahil dan pasti terjadi. Nama | Warna | Mustahil | Pasti Kertas catatan yang mungkin untuk kegiatan "Merancang sebuah Tas". Siswa menandai titik pada garis antara mustahil dan pasti. Lalu mereka mewarnai kotak yang ada di dalam tas untuk membuat campuran yang akan menghasilkan peluang taksiran dari wama yang digambar. Kumpulkan dan tunjukkan rancangan yang dibuat oleh siswa pada "Merancang sebuah Tas". Diskusikan ide-ide yang siswa miliki untuk jumlah warna yang diletakkan ke dalam tas. (Harapkan beberapa variasi). Beberapa siswa mungkin berpikir warna pada dadu lainnya membuat perbedaan, dan hal ini harus didiskusikan. Jangan berikan opini atau komentar Anda terhadap ide-ide ini. Mengeksplorasi Konsep-konsep Peluang Diskusikan dengan kelas bagaimana percobaan mereka berjalan. Apakah itu sesuai dengan yang mereka harapkan? Dengan jumlah percobaan yang lebih kecil, akan ada kelompok yang mendapatkan hasil yang agak tak diharapkan.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 145 Berikutnya buatlah grafik batang besar atau grafik pagar dari data semua kelompok. Ini akan menunjukkan lebih banyak TIDAK daripada YA. Diskusi di sini dapat membantu siswa melihat bahwa jika percobaan diulang berkali-kali, ini menjadi lebih jelas bahwa peluangnya sebagaimana yang diprediksi. Kegiatan "Merancang Tas" merupakan kegiatan yang penting. Karena tidak ada bilangan yang digunakan untuk probabilitas, tidak ada jawaban "benar". Percobaan kelompok kecil dari sebuah rancangan memberitahu siswa bahwa peluang bukanlah penduga mutlak dalam jangka-pendek. Grafik-grafik kelompok dapat membantu siswa dengan konsep yang sulit bahwa peluang cenderung mendekati nilai harapan dalam jangka panjang. Namun, ide yang terakhir ini melibatkan perbandingan rasio pada percobaan kecil dengan rasio pada bilangan besar menggunakan data yang terkumpul. Untuk siswa dibawah kelas 5, penalaran proporsional ini dapat menjadi sukar untuk dipahami. Sebagai variasi lain dari "Merancang sebuah Tas" minta siswa merancang pemutar sebagai pengganti dari tas dadu. Ini akan memungkinkan Anda untuk meninjau ulang konsep tersebut di waktu lain tanpa kesan berulang- ulang. Probabilitas Teoretis vs Eksperimental Probabilitas sebuah kejadian adalah sebuah ukuran kemungkinan dari kejadian yang muncul. Siswa sampai saat ini hanya diminta untuk meletakkan kejadian pada kontinum dari mustahil sampai pasti atau membandingkan kemungkinan sebuah kejadian dengan kejadian lainnya. Jadi bagaimana Anda mengukur kemungkinan? Pada banyak situasi, ada dua cara untuk menentukan ukuran ini. Cara pertama yaitu melalui analisis logis dari situasi (probabilitas teoretis) dan cara lainnya dihasilkan melalui kumpulan data (probabilitas eksperimental). Mari perhatikan eksperimen sederhana sebagai sebuah gambaran: Apakah probabilitas atau peluang dari munculnya gambar ketika melempar sebuah koin? Secara logis, kita bisa berpendapat bahwa jika ini merupakan koin yang "adil" memperoleh gambar sama mungkinnya dengan angka. Karena
146 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH ada dua hasil yang sama mungkin, masing-masing punya peluang. Oleh sebab itu, probabilitas teoretis dari gambar adalah. Jika semua hasil yang mungkin dari percobaan sederhana mempunyai kemungkinan yang sama, probabilitas teoretis dari sebuah kejadian yaitu Jumlah dari hasil kejadian ℎ Sekarang mari tentukan probabilitas munculnya gambar dari sekumpulan data. Ambil sebuah koin dan lemparkan 10 kali, catat hasil lemparan pada tabel frekuensi (jumlah munculnya gambar dan angka). Dalam 10 kali lemparan, Anda mungkin memperoleh 3 angka dan 7 gambar ( 7 10 untuk gambar) atau 8 angka dan 2 gambar ( 2 10 untuk gambar). Perbandingan ini disebut frekuensi relatif. Frekuensi relatif dari sebuah kejadian adalah ℎ ℎ Bilangan-bilangan ini ( 7 10 dan 2 10 ) tidak mendekati probabilitas teoretis yaitu 1 2 . Lanjutkan mengumpulkan data sampai Anda menyelesaikan 100 kali lemparan. (Cara cepat untuk melakukan percobaan ini yaitu bekerja kelompok. Jika setiap 10 orang melakukan 10 percobaan dan mengumpulkan data mereka, waktu yang dibutuhkan untuk 100 percobaan tidaklah lama). Semakin banyak lemparan dibuat, semakin dekat frekuensi relatif ke probabilitas teoretis, dan Anda dapat jadi lebih percaya diri terhadap hasilnya. Karena tidak mungkin melakukan jumlah kejadian tak terhingga, kita hanya bisa mempertimbangkan frekuensi relatif atau probabilitas eksperimental untuk jumlah percobaan yang besar sebagai hampiran dari probabilitas teoretis. Ini menekankan pemahaman bahwa probabilitas lebih tentang prediksi dalam jangka panjang daripada prediksi kejadian-kejadian individu.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 147 Probabilitas Teoretis Pada kegiatan berikut, siswa melakukan sebuah permainan dan menyimpan hasil-hasil untuk setiap giliran-me- ngumpulkan data. Hasil dari permainan-probabilitas eksperimental akan sangat mungkin berlawanan dengan ide-ide intuitif siswa. Ini kemudian memberikan logika nyata untuk menganalisis permainan secara logis dan menemukan mengapa sesuatu terjadi-probabilitas teoretis. Kegiatan Adil atau Tidak Adil? Tiga siswa melempar 2 koin (contoh, 2 koin 1000 atau 2 koin 500) dan diberi tugas menurut aturan-aturan berikut: Pemain A mendapat 1 poin jika hasil lemparan koin "dua gambar": pemain B mendapat 1 poin jika hasil lemparan adalah "dua angka"; dan pemain C mendapat 1 poin jika hasil lemparan adalah "campuran" (satu gambar dan satu angka). Permainan berakhir setelah 20 kali lemparan. Pemain yang mendapatkan poin paling banyak adalah yang menang. Minta siswa bermain minimal dua atau tiga kali. Setelah tiap permainan, pemain-pemain berhenti dan berdiskusi apakah mereka pikir permainannya adil dan membuat prediksi tentang siapa yang akan menang pada permainan berikutnya. Jika semua kelas telah bermain beberapa kali, lakukan diskusi tentang keadilan permainan. Tantang siswa untuk membuat pendapat bukan berdasarkan data apakah permainannya adil atau tidak dan mengapa. Analisis umum dari permainan akan seperti ini: Ada tiga hasil: dua angka, satu gambar dan satu angka, atau dua gambar. Masing-masing punya peluang sama. Permainan seharusnya adil. Namun, setelah bermain "Adil atau Tidak Adil?" siswa akan menemukan bahwa pemain C (mendapat poin untuk hasil campuran) nampak punya keuntungan yang tidak adil (terutama jika mereka telah memainkannya beberapa kali atau kelas mengumpulkan semua data tiap kelompok). Observasi ini nampak berlawanan dengan pemahaman bahwa hasil-ha- silnya sama mungkin. Jika siswa tidak bisa menyesuaikan perbedaan antara ide-ide awal mereka bahwa permainan ini adil dengan hasil-hasil yang aktual, minta mereka melaku- kan permainan sekali lagi. Namun, kali ini mereka harus bermain
148 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH menggunakan dua koin berbeda, katakanlah, koin 1000 dan koin 500. Minta mereka mencatat hasil-hasilnya secara terpisah untuk tiap koin. Contohnya, satu lemparan bisa jadi "keduanya gambar", "keduanya angka", "gambar pada koin 1000, angka pada koin 500", atau "angka pada koin 1000, gambar pada koin 500". Perbedaan antara dua hasil terakhir ini dapat membantu siswa memahami mengapa pemain C mempunyai keuntungan yang tidak adil. Beberapa siswa mungkin mampu menganalisis situasi dan menghasilkan semua hasil yang mungkin. Penjelasannya mungkin seperti berikut: Hanya ada satu cara agar dua gambar muncul dan satu cara untuk dua angka muncul, tetapi ada dua cara untuk gambar dan angka muncul: Baik pada koin pertama gambar dan koin kedua angka, maupun kebalikannya. Itu membuat empat hasil yang mungkin. bukan tiga. Mendapatkan gambar dan angka terjadi pada dua dari empat hasil yang mungkin. Karena tiap hasil sama mungkin. mendapatkan gambar dan angka punya probabili2 4 atau 1 2 Probabilitas teoretis ini berdasarkan analisis logis dari percobaan, bukan dari hasil eksperimental. Probabilitas Eksperimental Pada diskusi sebelumnya, nampak jelas bahwa intuisi kita tentang peluang suatu kejadian seringkali menyesatkan. Oleh karena itu, nampaknya, kita harus selalu berupaya menemukan probabilitas teoretis. Tapi beberapa tidak bisa dianalisis secara matematis untuk menentukan probabilitas teoretis. Dengan kata lain, probabilitas dari beberapa kejadian dapat ditentukan hanya melalui kumpulan data (probabilitas eksperimental), melakukan sejumlah percobaan yang cukup banyak agar percaya diri bahwa frekuensi relatifnya adalah hampiran dari probabilitas teoretis. Kegiatan berikut menghadapkan siswa situasi seperti itu.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 149 Koin Pertama Koin Kedua Gambar Gambar Gambar Angka Angka Gambar Angka Angka Tabel: Empat hasil yang mungkin dari melempar dua koin. Kegiatan Melempar Gelas Berikan sebuah "bagian" gelas plastik kecil atau gelas kecil lainnya. Minta mereka untuk mencatat cara-cara yang mungkin gelas dapat mendarat jika mereka melemparnya di udara dan membiarkannya mendarat di lantai. Manakah yang mungkin (terbalik, tegak atau menyamping) yang mereka pikir mempunyai kemungki- nan paling besar atau paling kecil? Mengapa? Beritahu mereka bahwa mereka akan melempar 20 kali, setiap melempar, catat bagaimana gelas mendarat di lantai. Siswa harus menyetujui metode seragam tentang me- lempar gelas untuk memastikan data tidak bias (seperti berdiri, melempar gelas dengan tinggi yang sama, dan membiarkan gelas mendarat di lantai). Minta siswa saling berbagi untuk 20 kali percobaan. Diskusikan perbedaan dan hasilkan penyebabnya untuk mereka. Minta siswa menduga apa yang akan terjadi jika mer- eka melengkapi semua data. Lengkapi data dan hitung tiga perbandingan (bagian bawah, atas, dan samping) untuk berbagai jumlah pelemparan, katakanlah, setelah 100, 200, 300, 400, 500, dan seterusnya sampai 1000 kali lemparan. Daftarkan perbandingan pada bagan dengan kepala kolom: jumlah lemparan, samping, atas, dan bawah, Seiring jumlah sampel yang dikumpulkan membesar, lanjutkan untuk meminta siswa membuat dan meninjau ulang dugaan mereka. Frekuensi relatif akan mulai memusat menuju dan menghampiri proba- bilitas aktual. Pada percobaan melempar Gelas, tidak ada cara praktis untuk mendapatkan hasil sebelum Anda memulai. Namun, bila Anda telah mendapatkan hasil untuk 200 kali lemparan, Anda akan merasa lebih percaya diri dalam Setelah memprediksi hasil dari 100 kali lemparan
150 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH berikutnya. mengumpulkan data pada gelas yang sama untuk 1000 percobaan, Anda akan merasa lebih percaya diri lagi. Katakanlah gelas Anda mendarat pada bagian samping 78 kali pada 100 lemparan pertama. Anda mungkin memilih sekitar 75 atau 80 pendaratan menyamping untuk sembarang 100 kali lemparan sebagai probabilitas yang mungkin. Jika setelah 200 lemparan, ada 163 pendaratan menyamping. Anda akan merasa lebih yakin tentang rasio 4-banding-5 dan memprediksikan sekitar 800 pendaratan menyamping untuk 1000 kali lemparan. Semakin banyak lemparan yang dibuat, semakin Anda yakin. Anda telah menentukan probabilitas eksperimental dari atau 80 persen untuk gelas yang mendarat pada bagian sampingnya. Ini adalah eksperimental karena hal ini didasarkan pada hasil dari eksperimen daripada analisis teoretis dari gelas. Hukum Bilangan Besar Sebuah fenomena bahwa frekuensi relatif menjadi hampiran yang lebih dekat dengan probabilitas aktual atau probabilitas teoretis seiring ukuran himpunan data (sampel) meningkat dirujuk sebagai Hukum Bilangan Besar. Semakin besar ukuran himpunan data, sampel semakin mewakili populasi. Berfikir tentang statistik, survei dari 1000 orang memberikan data yang lebih andal dan meyakinkan tentang populasi dibandingkan dengan survei dari 5 orang. Semakin besar jumlah percobaan (orang yang disurvei), semakin yakin Anda bahwa data dapat mewakili populasi yang lebih besar. Hal yang sama berlaku jika Anda mencoba menentukan probabilitas dari suatu kejadian dari sekumpulan data. Menggunakan pecahan aktual yang dihasilkan dari eksperimen probabilitas dan membuat perbandingan mengasumsikan bahwa siswa memahami penalaran proporsional yang terlibat: Bagaimana 3 dari 7 dibandingkan dengan 250 dari 1000? Apapun usia siswa, perbandingan visual dapat membantu siswa memahami bagaimana frekuensi relatif kejadian menjadi lebih dekat ke probabilitas sesungguhnya seiring jumlah percobaan menjadi sangat besar. Kegiatan berikut dirancang untuk
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 151 membantu siswa dengan ide yang sulit ini tanpa membandingkan rasio yang dinyatakan sebagai pecahan. Kegiatan: Mengecek Teori Buatlah transparansi dari Blackline Master. Berikan sebuah permukaan pemutar kepada sepasang siswa dengan separuh merah dan separuh biru. Diskusikan kemungkinan munculnya biru. Setelah diskusi ini, siswa harus setuju bahwa kemungkinan munculnya biru adalah 1 2 . Tandai titik 1 2 pada continuum Mustahil-Pasti dan gambar garis vertikal ke bawah melalui semua garis di bawah titik ini. Kemudian minta tiap pasang siswa memutar pemutar mereka satu kali. Buatlah bagan pagar untuk hasil merah dan biru dan hitung putaran pertama ini. Kumpul- kan hasil dari putaran tambahan sampai 20 putaran. Tandai hasil untuk 20 putaran pada garis kedua. Contoh- nya, jika ada 13 biru dan 7 merah, letakkan tanda sekitar 13 pada garis bilangan 0-20. Jika hasil dari 20 putaran ini tidak tepat 10 dan 10, diskusikan alas an yang mungkin mengapa ini bisa terjadi. Sekarang minta tiap pasangan siswa memutar pemutar mereka sepuluh kali lagi. Kumpulkan hasil ini dan jumlahkan pada bagan pagar untuk 20 putaran pertama. Total yang Anda peroleh seharusnya merupakan kelipatan sepuluh. Tandai jumlahnya di kotak sebelah kanan pada garis ketiga dan indikasikan jumlah putaran biru sebagaimana sebelumnya. Ulangi ini minimal dua kali lagi, terus menambah hasil-hasil dari putaran baru ke hasil sebelumnya. Setiap kali, masuk- kan total di dalam kotak sebelah kanan untuk membuat sebuah garis bilangan baru tapi dengan panjang yang sama seperti sebelumnya. Jika mungkin, cobalah untuk mendapatkan total jumlah putaran minimal 1000. Berapakah Kemungkinannya? Kertas kerja ini digunakan untuk mencatat data yang terkumpul dari eksperimen yang dikumpulkan bertahap. Tiap garis bilangan menyatakan jumlah total percobaan pada tahap tersebut. Seir- ing jumlah percobaan meningkat, titik yang diplot akan menjadi semakin dekat dengan probabilitas teoretis (lihat Blackline Master).
152 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Garis bilangan bertingkat yang digunakan dalam "Mengecek Teori" masing-masing mempunyai panjang yang sama dan menyatakan jumlah total percobaan. Ketika hasil-hasil diplot pada sembarang garis bilangan, posisi menunjukkan pecahan dari total putaran sebagai bagian visual dari garis keseluruhan. Jika Anda mencoba untuk lebih akurat dengan tanda Anda (mungkin mengukur dengan mistar sentimeter), tanda bertingkat pasti akan mendekati dari garis yang telah Anda gambar sebelumnya. Perhatikan bahwa 240 putaran biru dari 500 adalah 48 persen, atau sangat dekat dengan setengah. Ini benar meskipun ada 20 putaran Merah lebih (260) daripada Biru. Untuk sedekat itu dengan hanya 100 putaran, hasilnya perlu menjadi 48 dan 52. Untuk bilangan yang bahkan lebih besar, tanda seharusnya betul-betul dekat ke garis yang Anda gambar. Jika Anda menggambar garis yang jauh lebih Panjang katakanlah, masing-masing 2 meter-pada papan talis, hasil dari "Mengecek Teori" akan menjadi lebih dramatis. Ini akan menjadi lebih jelas lagi bahwa rasio sangat dekat dengan satu perdua. Pemutar kadang kurang akurat karena teknik-teknik memutar, pemutar yang bengkok, dan seterusnya. Eksperimen yang sama dapat dan sebaiknya dilakukan dengan alat-alat lainnya. Contohnya, tas dengan dua dari empat warna dapat digunakan dengan probabilitas tiap warna ditandai pada tiap garis. Pelemparan dadu nomor dengan kejadian munculnya angka ganjil juga merupakan ide yang bagus. Blackline Master dan metode pengumpulan data yang sama dapat dan sebaiknya digunakan untuk eksperimen lainnya. Contohnya, cobalah gunakan pendekatan ini dengan percobaan "Melempar Gelas" di mana probabilitas teoretis tidak dapat ditentukan. Daripada menggambar garis vertikal sebelum mengumpulkan data, putuskan dugaan terbaik pada probabilitas aktual setelah jumlah yang besar diperoleh. Lalu gambar garis vertikal pada saat mengobservasi bagaimana semakin banyak percobaan membawa hasil yang lebih dekat ke garis. Untuk siswa yang mempunyai pemahaman tentang persentase, probabilitas pada tiap tahap dapat diekspresikan pada istilah ini. Setelah memplot titik pada garis bilangan, bagi jumlah percobaan yang berhasil
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 153 dengan total per- cobaan. Catat hasil persentase pada setiap garis bilangan. Perhatikan bahwa persentase hanyalah pecahan dengan penyebut persekutuan 100. Berikan situasi berikut kepada siswa untuk menilai ide-ide mereka tentang hasil-hasil jangka-panjang melawan hasil-hasil jangka- pendek. Minta siswa menulis ide-ide mereka. Margaret memutar pemutar sepuluh kali. Biru muncul tiga kali. Merah muncul tujuh kali. Margaret berkata bahwa ada 3 dari 10 kemungkinan munculnya biru. Carla lalu memutar pemutar yang sama 100 kali. Carla mencatat 53 putaran biru dan 47 putaran merah.. Carla berkata bahwa kemungkinan munculnya biru pada pemutar ini hampir sama. Siapa yang Anda kira mempunyal jawabas yang lebih tepat: Margaret atau Caria? Jelaskan Gambarlah sebuah pemutar yang Anda pikir digunakan oleh mereka. Cari bukti bahwa siswa memahami 10 putaran bahkan bukan bukti yang sangat baik dari probabilitas dan bahwa 100 putaran memberitahu kita lebih banyak tentang kemungkinan. Ingat kembali ide besar awal pada bab ini: Kemungkinan tidak mempunyai memori. Anda mungkin ingin melihat apakah siswa telah mengembangkan ide ini meskipun kegiatan-kegiatan yang dieksplorasi beluni membahas ide ini secara eksplisit. Minta siswa menulis atau membahas hal berikut: Duane mempunyai koin keberuntungan yang lempar berkali-kali. Dia yakin bahwa ini adalah koin yang adil-di mana ada kemungkinan yang sama dari gambar dan angka. Duane melempar koinnya enam kali dan gambar muncul enam kali berturut-turut. Duane yakin bahwa lemparan berikutnya yang akan muncul adalah angka karena dia belum mampu melempar gambar tujuh kali berturut-turut. Apakah menurut Anda kemungkinan Duane melempar gambar pada lemparan berikutnya? Jelaskan jawaban Anda. Pada kasus ini Anda mencari ide bahwa tiap lemparan koin tidak tergantung dari lemparan sebelumnya.
154 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Ruang Sampel dan Menghitung Probabilitas Teoretis Memahami konsep hasil dan ruang sampel merupakan inti untuk memahami probabilitas. Ruang sampel untuk sebuah eksperimen atau situasi peluang merupakan himpunan semua hasil yang mungkin untuk eksperimen tersebut. Contohnya, jika sebuah tas berisi dua balok merah, tiga kuning, dan lima biru, ruang sampel terdiri dari sepuluh balok. Sebuah kejadian merupakan subhimpunan dari ruang sampel. Kejadian munculnya balok kuning ada tiga atau hasil pada ruang sampel dan kejadian munculnya balok biru ada lima dalam ruang sampel. Untuk mengocok sebuah dadu, ruang sampel selalu tepat berupa bilangan 1 sampai 6. Namun, kita dapat mendefinisikan beberapa kejadian beda yang membagi ruang sampel dalam berbagai cara. Contohnya, munculnya bilangan ganjil atau genap membagi ruang sampel ke dalam dua bagian yang sama. Munculnya bilangan 5 atau lebih besar atau lebih kecil dari 5 membagi ruang sampel ke dalam dua bagian yang tidak sama. Ketika mengocok dadu, setiap bilangan dari 1 sampai 6 memiliki kemungkinan yang sama. Oleh karena itu, peluang munculnya bilangan ganjil atau genap adalah sama. Namun, kemungkinan munculnya 5 atau 6 lebih kecil dibandingkan munculnya bilangan yang kurang dari 5. Menggulirkan dadu tunggal, mengambil sebuah pernik warna dari tas, atau munculnya hujan besok semuanya merupakan contoh dari apa yang disebut percobaan satu-tahap. Eksperimen tahap-tunggal atau satutahap merupakan sebuah eksperimen yang hanya membutuhkan satu kegiatan untuk mendapatkan hasil: satu kali mengocok, satu kali mengambil, satu hari yang baru. Eksperimen dua-tahap atau multi-tahap merupakan eksperimen yang membutuhkan dua (atau lebih) kegiatan untuk mendapatkan sebuah hasil. Contohnya seperti mengocok dua dadu, menggambar dua kubus dari tas, dan kejadian hujan sementara payung Anda tertinggal. Kejadian yang Saling Bebas Kaji kembali Kegiatan "Adil atau Tidak Adil?", siswa mengeksplorasi hasil dari melempar dua koin. Pelemparan pertama koin
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 155 tidak berdampak pada pelemparan yang lain. Ini merupakan contoh dari kejadian yang saling bebas, terjadi atau tidak terjadinya suatu kejadian tidak berdampak pada yang lain. Hal yang sama juga berlaku untuk pelemparan dua dadu-hasil pada dadu pertama tidak berdampak pada dadu yang lain. Kesalahan umum baik untuk pelemparan dua koin atau pelemparan dua dadu adalah tidak bisa membedakan antara dua kejadian, terutama ketika hasil-hasil dikombinasikan, seperti pada "gambar dan angka" atau penjumlahan bilangan pada dua dadu. Kegiatan: Kejadian Multi-tahap Berikut adalah contoh-contoh dari kejadian multi-tahap yang terdiri dari kejadian-kejadian yang saling bebas. Munculnya jumlah genap dengan dua dadu. Munculnya warna biru pada pemutar dan pelemparan gelas dengan mendarat terbalik. Munculnya dua biru dari tiga putaran (tergantung pada pemutarnya). Mendapatkan sebuah paku atau gelas mendarat tegak jika masing-masing dilempar satu kali. Munculnya minimal dua gambar dari pelemparan empat koin. Minta siswa pertama-pertama membuat dan mengargumentasikan tentang prediksi probabilitas dari kejadian. Lalu mereka harus melakukan sejumlah besar eksperimen, membandingkan hasil-hasil yang mereka peroleh dengan probabilitas yang diprediksikan sebelumnya. Akhirnya, mereka harus menyelaraskan perbedaan-perbedaan. Jika perlu, siswa dapat men- coba menentukan probabilitas teoretis sebagai bagian dari analisis akhir mereka tentang eksperimen. Kata-kata dan frase seperti dan, atau, sekurang- kurangnya, dan tidak lebih dari juga dapat mengakibatkan soal bagi siswa. Terutama pada kata atau, penggunaannya sehari-hari tidaklah sama seperti penggunaannya dalam matematika. Dalam matematika, atau meliputi kasus keduanya. Jadi pada contoh paku-dan-gelas, kejadiannya meliputi munculnya paku, munculnya gelas dan keduanya paku dan gelas.
156 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Probabilitas Teoretis dengan Model Luasan Sebuah cara untuk menentukan probabilitas teoretis dari kejadian multitahap adalah mendaftar semua hasil yang mungkin dan menghitung yang diinginkan, yakni, yang membentuk kejadian Ini sangat bermanfaat dan intuitif sebagai pendekatan awal. Namun, ini memiliki beberapa keterbatasan. Pertama, bagaimana jika kejadian tidak semuanya berkemungkinan sama? Contohnya, pemutar mungkin hanya 1 4 bagian yang biru. Kedua, ini sulit untuk beralih dari pendekatan tersebut ke metode yang sedikit lebih rumit. Pendekatan model luasan telah berhasil digunakan oleh siswa tingkat-lima dan sangat membantu untuk soal-soal yang cukup sulit. Misalkan setelah beberapa percobaan, Anda memutuskan bahwa gelas Anda mendarat menyamping 82 persen dari total. Percobaan yaitu melempar gelas dan kemudian mengambil kartu dari sebuah tumpukan kartu. Berapakah probabilitas di mana gelas mendarat menyamping dan Anda akan mengambil sekop? Gambar sebuah persegi untuk mempresentasikan satu keseluruhan. Kejadian tidak Saling Bebas Tingkat kesulitan berikutnya terjadi ketika probabilitas dari suatu kejadian tergantung pada hasil yang pertama. Sebagai contoh, misalkan ada dua kotak yang identik. Dalam kotak pertama ada satu uang kertas dan dua uang kertas palsu. Dalam kotak lainnya ada satu uang kertas dan satu uang kertas palsu. Anda boleh memilih sebuah kotak dan dari kotak tersebut mengambil satu uang tanpa melihat. Berapakah kemungkinan Anda mengambil uang kertas yang asli? Di sini ada dua kejadian: memilih kotak dan memilih uang. Probabilitas dari pengambilan uang pada kejadian kedua tergantung pada kotak mana yang dipilih pada kejadian pertama. Kejadian-kejadian ini tergantung, bukan saling bebas. Project! Terdapat sistem pompa yang menghubungkan A ke B. Lima pompa telah aus, dan ditaksir bahwa pada sembarang waktu tertentu,
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 157 propabilitas dari pompa yang gagal adalah. Jika pompa gagal, air tidak bisa melewati pangkalan. Sebagai contoh, jika pompa 1, 2, dan 5 gagal, air dapat mengalir hanya melalui 4 dan 3. Perhatikan pertanyaanpertanyaan berikut yang mungkin ditanyakan tentang sistem seperti ini: • Berapakah probabilitas bahwa air akan mengalir pada sembarang waktu? • Secara rata-rata, berapa banyak pangkalan yang butuh diperbaiki pada sembarang waktu? • Berapakah probabilitas bahwa jalur 1-2 bekerja pada sembarang waktu? • Jika masing-masing lima pompa ini mempunyal 50 persen kemungkinan gagal. Berapakah probabilitas ada jalur dari A ke B yang bekerja?
158 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH BILANGAN RIIL eperti baru saja disebutkan, ada bilangan irrasional, yakni bilangan yang bukan bilangan rasional. Bilangan-bilangan rasional dan irrasional membentuk bilangan riil. Bilangan riil mengisi semua titik (lubang) pada garis bilangan meskipun lubangnya sangat kecil. Pengalaman pertama siswa dengan bilangan irrasional biasanya terjadi ketika mengungkap akar dari bilangan asli. Memperkenalkan Konsep Akar Kegiatan berikut ini memberikan pengantar yang baik tentang akar kuadrat dan akar pangkat tiga. Dari permulaan ini, pengertian akarakar untuk tingkat yang lainnya dengan mudah dapat dikembangkan. Kegiatan 1 Sisi dari Bujur Sangkar dan Kubus S 36 6 6 45 ? ? 49 7 7
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 159 Terdapat tiga buah bujur sangkar (atau tiga kubus). Panjang rusuk dari gambar pertama dan terakhir adalah bilangan-bilangan asli berurutan. Volume dari ketiga gambar diketahui. Tugas siswa adalah menggunakan kalkulator untuk menemukan panjang rusuk dari gambar yang ditengah. Penggunaan tombol akar kuadrat tidak diper-bolehkan. Penyelesaiannya akan memenuhi persamaan berikut: x = 45 atau 2 = 45 dan x x = 30 atau 3 = 30 Pada kegiatan 1 para siswa ditantang untuk menemukan penyelesaian persamaan seperti 3 = 8. Para siswa ini sekarang dipersiapkan untuk memahami definisi umum tentang akar pangkat n dari sebuah bilangan sebagai sebuah bilangan yang apabila dipangkatkan hasilnya sama dengan . Akar kuadrat hanyalah nama lain dari akar pangkat dua. Kesepakatan notasi untuk tanda akar disajikan sesudahnya. Seharusnya akan menjadi jelas bahwa √6 adalah sebuah bilangan dan bukannya sebuah soal untuk dikerjakan. Akar pangkat tiga dari delapan ditulis dengan √8 3 yang merupakan cara lain untuk menuliskan 2. Sering menjumpai kuadrat dan akar kuadrat ketika mereka menggunakan dalil Pythagoras. Mereka dapat menggunakan hubungan sebaliknya untuk menentukan perkiraan akar kuadrat antara bilanganbilangan belat pada garis bilangan" (hal. 220). Sebagai contoh, perhatikan bahwa √27 sedikit lebih banyak dari 5 karena 5 = 25 dan √9 sedikit kurang dari 10 karena 10 = 100. 27 3 3 3 30 ? ? ? 64 4 4 4
160 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Mendiskusikan Bilangan Riil Siswa kelas delapan mungkin tidak perlu pengetahuan yang sangat mendalam tentang sistem bilangan riil. Akan tetapi beberapa ide yang penting perlu diungkap secara informal. Bilangan Irrasional Salah satu ciri dari bilangan rasional adalah bahwa bilangan tersebut dapat ditulis dalam bentuk desimal di mana bagian desimalnya berakhir atau berulang sebanyak tak hingga kali. Dengan demikian bilangan 3.45 dan 87.19363636... adalah bilangan-bilangan rasional dan dapat dikonversikan ke dalam bentuk pecahan. Tetapi bagaimana dengan bilangan desimal yang tanpa akhir tetapi tidak berulang? Atau bagaimana dengan bilangan 3.1010010001000010000017 Bagian desimal bilanganbilangan ini tidak pernah berulang dan tidak berhingga, oleh karena itu bukan bilangan rasional. Bilangan riil yang bukan bilangan rasional dinamakan bilangan irrasional Bilangan dan 2 keduanya adalah bilangan irrasional. Bilangan merupakan rasio dari dua ukuran dalam sebuah lingkaran, keliling dan diameter. Meskipun tidak mungkin untuk membuktikan pada level sekarang bahwa adalah bilangan irrasional, fakta bahwa bilangan tersebut adalah bilangan irrasional mengakibatkan bahwa tidak mungkin untuk memiliki sebuah lingkaran dengan keliling dan diameter keduanya bilangan rasional. (Mengapa?) Bukti bahwa 2 adalah bilangan irrasional biasanya dimulai dengan menganggap bahwa √2 adalah bilangan rasional, yang lalu mengarah pada kontradiksi. Bukti tersebut masih terlalu sulit untuk siswa sekolah menengah. Kerapatan Bilangan Rill Jika kerapatan bilangan rasional mengesankan, mak yang hh mengherankan bahwa bilangan irrasional juga rapat dan bilangan rasinal dan irasional bercampon Kerapatan bilingan insonnal tidak mudah untuk diukkan dan bukan dalam ga pembahasan bagi siswa sekolah.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 161 Kerapatan Bilangan Rill Jika kerapatan bilangan rasional mengesankan, mak: yang lebih mengherankan bahwa bilangan irrasional juga rapat dan bilangan rasional dan irrasional bercampur. Kerapatan bilangan irrasional tidak mudah untuk ditunjukkan dan bukan dalam level pembahasan bagi siswa sekolah menengah. Akar-akar Rasional Salah satu alasan bahwa sulit untuk memahami bilangan irrasional adalah kita mempunyai sangat sedikit pengalaman dengan bilangan tersebut. Yang paling kita terbiasa adalah akar-akar dari bilangan. Sebagai contoh, kita baru saja men- catat bahwa siswa sering ditunjukkan bukti bahwa √2 adalah bilangan irrasional Pengertian intuitif fakta tersebut sulit untuk dipahami. Kebanyakan kalkulator akan menunjukkan hanya delapan sampai sepuluh digit, memerlukan lompatan kepercayaan untuk menerima bahwa representasi desimal tersebut panjang tak hingga dan tidak berulang Sayangnya, apa yang dapat terjadi adalah bil siswa melihat tanda aka maka mereka berpikir bahwa bilangan tersebut adalah bilangan irrational. Sebuah pendekatan yang mungkin adalah memikirkan akar dari arah yang berbeda. Daripada menanyakan berapa akar kuadrat dari 64 atau akar pangkat tiga dari 27, kita dapat menyatakan bahwa setiap bilangan adalah akar kuadrat, akar pangkat tiga, akar pangkat empat, dan seterusnya, dari suatu bilangan (3 adalah akar kuadrat dari 9, akar pangkat tiga dari 27, dan seterusnya). Dari sudut pandang ini, para siswa dapat melihat bahwa "akar kuadrat" hanyalah cara lain menyatakan hubungan antara dua bilangan. Bahwa akar pangkat tiga dari 27 adalah 3 menyatakan hubungan khusus antar 3 dan 27. Banyak buku menekankan aturan dan latihan dengan mengabaikan kesempatan untuk eksplorasi. Kegiatan seperti "Apa Arti Sebuah Ekspresi?" mem- berikan kesempatan yang baik untuk melihat bagaimana siswa memahami. mengkomunikasikan ide, berpikir lebih jauh dari sekedar jawaban untuk membangun ide mereka sendiri, dan secara umum mengerjakan
162 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH matematika. Setelah siswa mempelajari definisi yang relatif sederhana tentang apa itu eksponen, maka pencarian trik yang mudah untuk mengalikan atau mambagi seharusnya dibiarkan untuk penemuan bagi siswa dan pemahaman mereka sendiri. Diskusi yang terjadi akan lebih baik daripada memberi drill tentang aturan penjumlahan pangkat ketika Anda mengalikan bilangan dengan basis yang sama. Ini merupakan kesempatan yang baik untuk menilai kekuatan matematika. Terhadap bilangan bulat, jika aturan untuk operasi pada bilangan bulat dikembangkan oleh siswa sendiri. siswa tidak hanya akan mempunyai pemahaman yang lebih dalam, tetapi Anda juga akan mempunyai kesempatan untuk mengamati dan menilai kekuatan matematika mereka. Komentar serupa dapat dibuat untuk hubungan pecahan dan desimal dan bilangan rasional Perkembangan kecakapan memahami dan keyakinan siswa bahwa mereka dapat mengerjakan matematika jauh lebih penting daripada memberi drill aturan.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 163 DAFTAR PUSTAKA Handayani, S., Sumarno, & Haryati, Y. (2017). Upaya Meningkatkan Kemampuan Kognitif dalam Memperkenalkan Konsep Pengukuran Anak Usia Dini Melalui Metode Bermain Peran. JKPM, 4(1), 19-42. Indah, P. N., & Fardah, D. K. (2022). Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Cerita Matematika Ditinjau dari Gaya Belajar Global - Analtik DIsertai Scaffoldingnya. MATHEdunesa: Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika, 11(2), 341-356. Ismail, Y., & Kaluku, A. (2020). Studi Filosofi Geometri Diferensial dan Ruang-Waktu. Wahana Matematika dan Sains: Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya, 14(1), 136-147. Kusumo, E. L. (2017). Montessori di Rumah: 55 Kegiatan Matematika. Jakarta: Erlangga. Mardhotillah, B., Asyhar, R., & Elisa, E. (2022). Filosofi Keilmuan Statistika Terapan pada Era Smart Society 5.0. Multi Proximity: Jurnal Statistika Universitas Jambi, 1(2), 57-70. Nabilah, F. F., Hendrawan, B., & Nugraha, M. F. (2020). Pengembangan Media Animasi PTG Berbantuan Adobe Animate CC Materi Satuan Panjang Kelas IV SDN 2 Cintaraja. Jurnal Pendidikan Guru Sekolah Dasar, 13(2), 93 - 100. Nasution, L. M. (2019). Dasar Statistika. Jurnal Al-Fikru, VIII(2), 141- 145. Rassarandi, F. D., Gustin, O., & Putra. (2021). Perbandingan Hasil Koordinat Kerangka Pemetaan Menggunakan Metode Bowditch Poligon Tertutup dengan Metode Adjustment Triangulated Quadrilateral. Jurnal Teknologi dan Riset Terapan, 3(2), 37-43.
164 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Saputri, M. E. (2021). Analisis Miskonsepsi Siswa Kelas VI SD Negeri Gunung Pasir Jaya pada Materi Pecahan. Jurnal Pendidikan Matematika, 9(2), 211-222. doi:http://jurnal.fkip.unila.ac.id/index.php/MTK/article/view/223 12 Walle, J. A. (2008). Matematika Sekolah Dasar dan Menengah (Jilid 1). Jakarta: Erlangga. Walle, J. A. (2008). Matematika Sekolah Dasar dan Menengah (Jilid 2). Jakarta: Erlangga.