KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 43 b. Keluarkan 4 hati dari dalam himpunan c. Di dalam himpunan sekarang terdapat 4 kertas. Karena (−2) × 4 mengandung pengertian bahwa kita harus mengeluarkan 4 hati sebanyak dua kali, maka kita perlu melakukannya sekali lagi. Tambahkan kembali pasangan hati dan kertas agar kita dapat mengeluarkan 4 hati kembali d. Sekarang di dalam himpunan terdapat 8 kertas dan 4 hati. Keluarkan 4 hati dari dalam himpunan dikeluarkan
44 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH e. Maka sekarang di dalam himpunan tersisa 8 kertas f. 8 kertas berarti 8 pencacah negatif, Dengan demikian maka −2 × 4 = −8 Ambil contoh bilangan lain, misal −4 × 3. Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan hati sebagai pencacah positif dan kertas sebagai pencacah negatif. (−4) × 3 mengandung pengertian bahwa kita harus menambahkan himpunan 3 sebanyak −4 kali. Atau dengan kata lain, tambahkan himpunan 3 sebanyak 0 − 4 kali. Atau dengan kata lain, tambahkan himpunan 3 sebanyak 4 kali kurangnya dari nol. Atau dengan dikeluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 45 kata lain, kurangi himpunan 3 sebanyak 4 kali. Nah, hal ini berarti kita harus mengeluarkan himpunan 3 pencacah positif (3 hati) sebanyak 4 kali dari dalam himpunan bernilai nol. Ikuti langkah berikut a. Siapkan himpunan bernilai nol b. Keluarkan 3 hati dari dalam himpunan c. Di dalam himpunan sekarang terdapat 3 kertas. Karena (−4) × 3 mengandung pengertian bahwa kita harus mengeluarkan 3 hati sebanyak 4 kali, maka kita perlu melakukannya 3 kali lagi. Tambahkan kembali pasangan hati dan kertas agar kita dapat mengeluarkan 3 hati kembali dikeluarkan
46 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH d. Sekarang di dalam himpunan terdapat 6 kertas dan 3 hati. Keluarkan 3 hati dari dalam himpunan e. Maka sekarang di dalam himpunan terdapat 6 kertas. Tambahkan pasangan hati dan kertas lagi agar dapat mengeluarkan 3 hati lagi dikeluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 47 f. Sekarang di dalam himpunan terdapat 9 kertas dan 3 hati. Keluarkan 3 hati dari dalam himpunan g. Sekarang di dalam himpunan terdapat 9 kertas. Tambahkan pasangan hati dan kertas lagi agar dapat mengeluarkan 3 hati lagi. Kita harus mengeluarkan 3 hati sebanyak 4 kali. dikeluarkan
48 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH h. Sekarang di dalam himpunan terdapat 12 kertas dan 3 hati. Keluarkan 3 hati dari dalam himpunan i. Setelah mengeluarkan 3 hati sebanyak 4 kali, maka sekarang di dalam himpunan tersisa 12 kertas. dikeluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 49 j. 12 kertas menandakan 12 pencacah negatif, Dengan demikian maka −4 × 3 = −12 Lakukan berulang dengan menggunakan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif yang lain sehingga menemukan pola 4. Perkalian Bilangan Bulat Negatif dan Bilangan Bulat Negatif Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif (− × (−)) menghasilkan bilangan bulat positif, yaitu . Mengapa? Silakan pikirkan! Kembali kita gunakan konsep perkalian bahwa − × = + + + ⋯ + − = − − − − ⋯ − = −()
50 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Dengan demikian, jika −a × (−b) maka kita dapat menulisnya dengan Yang berarti menambahkan – sebanyak – kali. Masih terasa abstrak. Mari kita coba gunakan dalam bilangan. Misalkan pada −3 × (−2). Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan kembali kita gunakan hati sebagai pencacah positif dan kertas sebagai pencacah negatif. −3 × (−2) mengandung pengertian bahwa kita harus menambahkan himpunan −2 sebanyak −3 kali. Atau dengan kata lain, tambahkan himpunan −2 sebanyak 0 − 3 kali. Atau dengan kata lain, tambahkan himpunan −2 sebanyak 3 kali kurangnya dari nol. Atau dengan kata lain, kurangi himpunan −2 sebanyak 3 kali. Nah, hal ini berarti kita harus mengeluarkan himpunan 2 pencacah negatif (2 kertas) sebanyak 3 kali dari dalam himpunan bernilai nol. Ikuti langkah berikut a. Siapkan himpunan bernilai nol b. Keluarkan 2 kertas dari dalam himpunan × = + + + ⋯ + = − × (−) = − + (−) + (−) + ⋯ + (−) -
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 51 c. Di dalam himpunan sekarang terdapat 2 hati. Karena −3 × (−2) mengandung pengertian bahwa kita harus mengeluarkan 2 kertas sebanyak 3 kali, maka kita perlu melakukannya 2 kali lagi. Tambahkan kembali pasangan hati dan kertas agar kita dapat mengeluarkan 2 kertas kembali d. Sekarang di dalam himpunan tersapat 4 hati dan 2 kertas. Keluarkan 2 kertas dari dalam himpunan dikeluarkan dikeluarkan
52 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH e. Maka sekarang di dalam himpunan terdapat 4 hati. Tambahkan pasangan hati dan kertas lagi karena kita perlu mengeluarkan 2 kertas dari dalam himpunan sekali lagi f. Sekarang di dalam himpunan terdapat 4 hati dan 2 kertas. Keluarkan 2 kertas dari dalam himpunan g. Maka sekarang di dalam himpunan terdapat 6 hati h. 6 hati berarti 6 pencacah positif, Dengan demikian maka −3 × (−2) = −(−2) − (−2) − (−2) = 2 + 2 + 2 = 6 dikeluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 53 Gunakan bilangan lain, misalkan −2 × (−5). Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan tetap kita gunakan hati sebagai pencacah positif dan kertas sebagai pencacah negatif. −2 × (−5) mengandung pengertian bahwa kita harus menambahkan himpunan −5 sebanyak −2 kali. Atau dengan kata lain, tambahkan himpunan −5 sebanyak 0 − 2 kali. Atau dengan kata lain, tambahkan himpunan −5 sebanyak 2 kali kurangnya dari nol. Atau dengan kata lain, kurangi himpunan −5 sebanyak 2 kali. Nah, hal ini berarti kita harus mengeluarkan himpunan 5 pencacah negatif (5 kertas) sebanyak 2 kali dari dalam himpunan bernilai nol. Ikuti langkah berikut a. Siapkan himpunan bernilai nol. Kita perlu menyiapkan 5 pasangan hati dan kertas untuk dapat mengeluarkan 5 kertas dari dalam himpunan b. Keluarkan 5 kertas dari dalam himpunan dikeluarkan
54 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH c. Di dalam himpunan sekarang terdapat 5 hati. Karena −2 × (−5) mengandung pengertian bahwa kita harus mengeluarkan 5 kertas sebanyak 2 kali, maka kita perlu melakukannya sekali lagi. Tambahkan kembali pasangan hati dan kertas agar kita dapat mengeluarkan 5 kertas kembali d. sekarang di dalam himpunan terdapat 10 hati dan 5 kertas. Keluarkan 5 kertas dari dalam himpunan dikeluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 55 e. Maka sekarang di dalam himpunan terdapat 10 hati f. 10 hati berarti 10 pencacah positif, Dengan demikian maka −2 × (−5) = −(−5) − (−5) = 5 + 5 = 10 Lakukan pada bilangan bulat negatif yang lain hingga didapatkan kesimpulan bahwa D. Pembagian pada Bilangan Bulat Tidak jauh berbeda dengan cara memahami konsep perkalian pada bilangan bulat, untuk memahami konsep pembagian pada bilangan bulat, dapat diawali dengan menyiapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan topi sebagai pencacah positif dan kacamata sebagai pencacah negatif. Selanjutnya, pahamkan bahwa konsep pembagian berawal dari perkalian … × = − × (−) = − + (−) + (−) + ⋯ + (−) = −(−) − (−) − (−) − ⋯ − (−) = -
56 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH yang mengartikan berapa banyak himpunan menghasilkan himpunan ? Atau dalam simbol pembagian dapat dituliskan = ⋯. Pembagian pada bilangan bulat di antaranya adalah (1) pembagian bilangan bulat positif dari bilangan bulat positif, (2) pembagian bilangan bulat negatif dari bilangan bulat positif, (3) pembagian bilangan bulat positif dari bilangan bulat negatif, dan (4) pembagian bilangan bulat negatif dari bilangan bulat negatif. 1. Pembagian Bilangan Bulat Positif dari Bilangan Bulat Positif Melakukan pembagian bilangan bulat positif dari bilangan bulat positif sama halnya dengan melakukan pembagian pada bilangan asli yang telah disampaikan pada Bab Bilangan Asli di muka. Pembahasan mengenai pembagian bilangan bulat positif dari bilangan bulat positif tidak dijabarkan lagi dalam bab ini. 2. Pembagian Bilangan Bulat Positif dari Bilangan Bulat Negatif Misalkan −6 2 . Pembagian ini mengandung pengertian bahwa berapa banyak himpunan 2 yang menghasilkan −6. Dengan menggunakan bantuan pencacah kita dapat memahami konsep pembagian −6 2 melalui langkahlangkah berikut. a. Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan topi sebagai pencacah positif dan kacamata sebagai pencacah negatif. b. Pengerjaan pembagian dilakukan dengan menyediakan sebuah himpunan bernilai nol.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 57 c. Untuk mendapatkan −6 berarti kita harus menjadikan himpunan yang semula bernilai nol menjadi bernilai −6. Jika menggunakan pencacah, artinya harus membuat himpunan tersebut terisi oleh 6 pencacah negatif, yaitu 6 kacamata. Selanjutnya, untuk mengetahui berapa banyak himpunan 2 yang menghasilkan −6, kita dapat menambahkan atau mengeluarkan himpunan 2 pencacah positif (2 topi) beberapa kali hingga mencapai −6. Pada proses ini tentu yang tepat adalah dengan mengeluarkan himpunan 2 topi sebagai pencacah positif. d. Sekarang di dalam himpunan berisi 2 kacamata sebagai pencacah negatif yang bernilai −2. Karena belum mencapai −6, kita perlu mengulangi dengan menambahkan pasangan kacamata dan topi yang bernilai nol pada himpunan tersebut. e. Sekarang himpunannya menjadi seperti ini dikeluarkan
58 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH f. Himpunan tersebut masih berniai −2. Lalu kembali keluarkan himpunan 2 pencacah positif (2 topi) dari himpunan g. Sekarang di dalam himpunan berisi 4 kacamata sebagai pencacah negatif atau senilai dengan −4. Karena belum mencapai −6, kita perlu mengulangi lagi dengan menambahkan nol pada himpunan tersebut dikeluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 59 h. Sekarang himpunannya menjadi seperti ini i. Ulangi lagi dengan mengeluarkan himpunan 2 pencacah positif (2 topi) dari dalam himpunan j. Sekarang di dalam himpunan telah terisi oleh 6 kacamata yang bernilai −6 dikeluarkan
60 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH k. Pada proses ini kita sebanyak 3 kali mengeluarkan himpunan 2 untuk menghasilkan −6. Ingat kembali bahwa mengeluarkan dari dalam himpunan itu berarti dikurangi atu bernilai (−). Jadi, −6 2 = −3. Misalkan −8 4 . Pembagian ini mengandung pengertian bahwa berapa banyak himpunan 4 yang menghasilkan −8. Dengan menggunakan bantuan pencacah kita dapat memahami konsep pembagian −8 4 melalui langkahlangkah berikut. a. Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan topi sebagai pencacah positif dan kacamata sebagai pencacah negatif. b. Pengerjaan pembagian dilakukan dengan menyediakan sebuah himpunan bernilai nol. Ingat, untuk membuat himpunan bernilai nol, kita dapat mengisinya dengan beberapa pasang pencacah positif dan penv=cacah negatif yang dalam hal ini kita gunakan pasangan topi dan kacamata c. Untuk mendapatkan −8 berarti kita harus menjadikan himpunan yang semula bernilai nol menjadi bernilai −8. Jika menggunakan pencacah, artinya harus membuat himpunan tersebut terisi oleh 8 pencacah negatif, yaitu 8 kacamata. Selanjutnya, untuk mengetahui berapa banyak himpunan 4 yang menghasilkan −8, kita dapat menambahkan atau mengeluarkan himpunan 4 pencacah positif (4
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 61 topi) beberapa kali hingga mencapai −8. Karena yang kita tuju dalah pencacah negatif maka pada proses ini tentu yang tepat adalah dengan mengeluarkan himpunan 4 topi sebagai pencacah positif. d. Sekarang di dalam himpunan berisi 4 kacamata sebagai pencacah negatif yang bernilai −4. Karena belum mencapai −8, kita perlu mengulangi dengan menambahkan kembali pasangan kacamata dan topi yang bernilai nol pada himpunan tersebut agar kita dapat mengambil himpunan 4 topi kembali. dikeluarkan
62 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH e. Dengan menambahkan 4 pasang topi dan kacamata, sekarang himpunannya menjadi seperti ini f. Himpunan tersebut masih berniai −4. Lalu kembali keluarkan himpunan 4 pencacah positif (4 topi) dari himpunan dikeluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 63 g. Sekarang di dalam himpunan telah terisi oleh 8 kacamata yang bernilai −8 h. Pada proses ini kita sebanyak 2 kali mengeluarkan himpunan 4 untuk menghasilkan −8. Ingat kembali bahwa mengeluarkan dari dalam himpunan itu berarti dikurangi atu bernilai (−). Jadi, −8 4 = −2. Lakukan berulang pada bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif yang lain sehingga mendapatkan kesimpulan bahwa pola yang digunakan dalam perhitungan pembagian bilangan bulat positif dari bilangan bulat negatif selalu menggunakan pengurangan (dikeluarkan) yang berarti ia menghasilkan bilangan negatif. 3. Pembagian Bilangan Bulat Negatif dari Bilangan Bulat Positif Misalkan 12 −3 . Pembagian ini mengandung pengertian bahwa berapa banyak himpunan −3 yang menghasilkan 12. Melalui bantuan pencacah kita dapat memahami konsep pembagian 12 −3 menggunakan langkah-langkah seperti di bawah ini. a. Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan topi sebagai pencacah positif dan kacamata sebagai pencacah negatif. b. Pengerjaan pembagian dilakukan dengan menyediakan sebuah himpunan bernilai nol. Misalkan kita siapkan himpunan yang berisi tiga pasang topi dan kacamata.
64 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH c. Untuk mendapatkan 12 berarti kita harus menjadikan himpunan yang semula bernilai nol menjadi bernilai 12. Jika menggunakan pencacah, artinya harus membuat himpunan tersebut terisi oleh 12 pencacah positif, yaitu 12 topi. Selanjutnya, untuk mengetahui berapa banyak himpunan −3 yang menghasilkan 12, kita dapat mengeluarkan himpunan −3 (himpunan 3 pencacah negatif berarti 3 kacamata) beberapa kali hingga mencapai 12. d. Sekarang di dalam himpunan berisi 3 topi sebagai pencacah positif. Karena belum mencapai 12, kita perlu mengulangi dengan menambahkan nol pada himpunan tersebut. dikeluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 65 e. Sekarang didalam himpunan berisi 6 topi dan 3 kacamata. Lalu kembali keluarkan himpunan 3 pencacah negatif (3 kacamata) dari dalam himpunan f. Sekarang di dalam himpunan berisi 6 topi sebagai pencacah positif atau senilai dengan 6. Karena belum mencapai 12, kita perlu mengulangi lagi dengan menambahkan nol pada himpunan tersebut. Misal kita masukkan 6 pasang topi dan kacamata dikeluarkan
66 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH g. Maka di dalam himpunan sekarang terdapat 12 topi dan 6 kacamata. Ulangi lagi dengan mengeluarkan himpunan 3 pencacah negatif (3 kacamata) dari dalam himpunan h. Dengan mengeluarkan 3 kacamata, maka sekarang di dalam himpunan ada 12 topi dan 3 kacamata. Masih ada 3 pasangan topi dan dikeluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 67 kacamata yang tersisa dari dalam himpunan. Sekarang keluarkan lagi 3 kacamata dari dalam himpunan i. Sekarang di dalam himpunan telah terisi oleh 12 topi yang bernilai 12. Pada proses ini kita sebanyak 4 kali mengeluarkan 3 kacamata. Ingat kembali bahwa mengeluarkan dari dalam himpunan itu berarti dikurangi atau bernilai (−) dan kita melakukannya sebanyak 4 kali. Jadi, 12 −3 = −4. Contoh lain, misalkan 6 −2 Pembagian ini mengandung pengertian bahwa berapa banyak himpunan −2 yang menghasilkan 6. Melalui bantuan pencacah kita dapat memahami konsep pembagian 6 −2 menggunakan langkah-langkah seperti di bawah ini. a. Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan topi sebagai pencacah positif dan kacamata sebagai pencacah negatif. dikeluarkan
68 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH b. Pengerjaan pembagian dilakukan dengan menyediakan sebuah himpunan bernilai nol. Misalkan kita siapkan himpunan yang berisi dua pasang topi dan kacamata. c. Untuk mendapatkan 6 berarti kita harus menjadikan himpunan yang semula bernilai nol menjadi bernilai 6. Jika menggunakan pencacah, artinya harus membuat himpunan tersebut terisi oleh 6 pencacah positif, yaitu 6 topi. Selanjutnya, untuk mengetahui berapa banyak himpunan −2 yang menghasilkan 6, kita dapat mengeluarkan himpunan −2 (himpunan 2 pencacah negatif berarti 2 kacamata) beberapa kali hingga mencapai 6. d. Sekarang di dalam himpunan berisi 2 topi sebagai pencacah positif. Karena belum mencapai 6, kita perlu mengulangi dengan menambahkan nol pada himpunan tersebut. Misalkan kita tambahkan 4 pasang topi dan kacamata. dikeluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 69 e. Sekarang didalam himpunan berisi 6 topi dan 4 kacamata. Lalu kembali keluarkan himpunan 2 pencacah negatif (2 kacamata) dari dalam himpunan f. Sekarang di dalam himpunan berisi 6 topi sebagai dan 2 kacamata. Kembali kita keluarkan 2 kacamata tersebut. dikeluarkan
70 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH g. Maka di dalam himpunan telah ada 6 topi sebagai pencacah positif atau senilai dengan 6. Pada proses ini kita sebanyak 3 kali mengeluarkan 2 kacamata. Ingat kembali bahwa mengeluarkan dari dalam himpunan itu berarti dikurangi atau bernilai (−) dan kita melakukannya sebanyak 2 kali. Jadi, 6 −2 = −3. Lakukan berulang pada bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif yang lain sehingga mendapatkan kesimpulan bahwa pola yang digunakan dalam perhitungan pembagian bilangan bulat negatif dari bilangan bulat positif selalu menggunakan pengurangan (dikeluarkan) yang berarti ia menghasilkan bilangan negatif. 4. Pembagian Bilangan Bulat Negatif dari Bilangan Bulat Negatif Silakan hitung! Berapakah −8 −4 ? Pembagian ini mengandung pengertian bahwa berapa banyak himpunan −4 yang menghasilkan −8. Melalui bantuan pencacah kita dikeluarkan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 71 dapat memahami konsep pembagian −8 −4 menggunakan langkah-langkah berikut a. Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan kita tetap menggunakan topi sebagai pencacah positif dan kacamata sebagai pencacah negatif. b. Pengerjaan pembagian dilakukan dengan menyediakan sebuah himpunan bernilai nol. c. Untuk mendapatkan −8 berarti kita harus menjadikan himpunan yang semula bernilai nol menjadi bernilai −8. Jika menggunakan pencacah, artinya harus membuat himpunan tersebut terisi oleh 8 pencacah negatif, yaitu 8 kacamata. Selanjutnya, untuk mengetahui berapa banyak himpunan −4 yang menghasilkan −8, kita dapat menambahkan himpunan −4 (himpunan 4 pencacah negatif berarti 4 kacamata) beberapa kali hingga mencapai −8. d. Sekarang di dalam himpunan berisi 4 kacamata sebagai pencacah negatif yang bernilai −4. Karena belum mencapai −8, kita perlu mengulangi penambahan himpunan berisi 4 kacamata lagi.
72 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH e. Dengan demikian, pada himpunan telah terisi oleh 8 kacamata sebagai pencacah negatif yang bernilai −8. f. Dalam proses ini kita telah menambahkan 2 kali himpunan −4 sehingga menghasilkan −8. Jadi, −8 −4 = 2. Ambil bilangan lain, misal −15 −5 . Pembagian ini mengandung pengertian bahwa berapa banyak himpunan −5 yang menghasilkan −15. Melalui bantuan pencacah kita dapat memahami konsep pembagian −15 −5 menggunakan langkah-langkah berikut a. Siapkan model pencacah untuk mewakili bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, misalkan kita tetap menggunakan topi sebagai pencacah positif dan kacamata sebagai pencacah negatif. b. Pengerjaan pembagian dilakukan dengan menyediakan sebuah himpunan bernilai nol. c. Untuk mendapatkan −15 berarti kita harus menjadikan himpunan yang semula bernilai nol menjadi bernilai −15. Jika menggunakan pencacah, artinya harus membuat himpunan tersebut terisi oleh 15 pencacah negatif, yaitu 15 kacamata. Selanjutnya, untuk mengetahui berapa banyak himpunan −5 yang menghasilkan −15, kita dapat menambahkan himpunan −5 (himpunan 5 pencacah negatif berarti 5 kacamata) beberapa kali hingga mencapai −15.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 73 d. Sekarang di dalam himpunan berisi 5 kacamata sebagai pencacah negatif yang bernilai −5. Karena belum mencapai −15, kita perlu mengulangi penambahan himpunan berisi 5 kacamata lagi. e. Sekarang di dalam himpunan berisi 10 kacamata sebagai pencacah negatif yang bernilai −10. Karena belum mencapai −15, kita perlu mengulangi penambahan himpunan berisi 5 kacamata lagi. f. Dengan demikian, pada himpunan telah terisi oleh 15 kacamata sebagai pencacah negatif yang bernilai −15.
74 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH g. Dalam proses ini kita telah menambahkan 3 kali himpunan −5 sehingga menghasilkan −15. Jadi, −15 −5 = 3. Lakukan berulang pada bilangan negatif yang lain sehingga mendapatkan kesimpulan bahwa pola yang digunakan dalam perhitungan pembagian bilangan bulat negatif dari bilangan bulat negatif selalu menggunakan penambahan yang berarti ia menghasilkan bilangan positif.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 75 BILANGAN PECAHAN anpa pemahaman konseptual yang kuat tentang pecahan, perhitungan dengan pecahan menjadi aturan tanpa logika (Walle, Matematika Sekolah Dasar dan Menengah (Jilid 1), 2008) (Saputri, 2021). Tidakkah kalimat ini benar-benar kita sadari bahwa selama ini kita mengerjakan pecahan hanya sekedar menghitung mengikuti aturan yang sudah diberikan dalam algoritma tradisional? Kita menghitung tanpa tahu arti dari perhitungan yang kita buat. Bagian-bagian pecahan merupakan bagian-bagian yang setara atau porsi berukuran sama dari keseluruhan (satu) atau unit. Sebuah unit dapat berupa sebuah benda atau sebuah kumpulan dari benda-benda. Secara lebih abstrak, unit dihitung sebagai 1. Pada garis bilangan, jarak antara 0 dan 1 merupakan unit. Bagian-bagian pecahan mempunyai nama khusus yang menyatakan berapa banyak bagian dari ukuran yang diperlukan untuk membuat satu. Misalnya, diperlukan tiga bagian pecahan sepertiga untuk membuat satu. Semakin banyak pecahan yang diperlukan untuk membuat satu, maka semakin kecil bagian tersebut. Misalnya, seperdelapan lebih kecil daripada seperlima. Pikirkan! Empat anak membagi sepuluh brownis sehingga setiap anak mendapatkan bagian yang sama banyak. Berapa banyak yang diperoleh setiap anak? T
76 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Jika kamu sudah bisa menentukan jawabannya, sekarang coba gambarkan! Penyebut dari pecahan menandakan menjadi berapa banyak keseluruhan (satu) telah dibagi untuk mendapatkan jenis bagian yang dibahas. jadi, penyebut merupakan pembagi. Secara praktis, penyebut memberi nama jenis bagian pecahan yang dibahas. Pembilang dari sebuah pecahan menyatakan berapa banyak bagian pecahan (dari jenis yang ditunjukkan penyebut) yang sedang dibahas. Oleh karena itu, pembilang merupakan pengali, ia menyatakan kelipatan dari bagian pecahan tertentu. Dua pecahan yang ekuivalen merupakan dua cara untuk menggambarkan besaran yang sama dengan menggunakan bagian-bagian pecahan berukuran berbeda-beda. Misalnya 2 5 = 8 20 . Kita dapat megilustrasikannya dengan Pengertian dari setiap operasi pada pecahan sama saja dengan pengertiannya pada bilangan asli. Untuk operasi penjumlahan dan pengurangan, siswa perlu memahami bahwa pembilang menyatakan jumlah bagian dan penyebut menyatakan keseluruhan bagian. Sedangkan untuk perkalian dengan pecahan, siswa perlu mengingat kembali bahwa penyebut adalah sebuah pembagi. A. Operasi Penjumlahan pada Pecahan Hitung pecahan berikut dengan cara mengilustrasikannya! 2 3 + 1 4 =... atau
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 77 1. Ilustrasikan pecahan 2 3 maka kita akan mendapatkannya seperti berikut ini 2. Sedangkan 1 4 dapat diilustrasikan dengan 3. Jika ilustrasi pecahan 1 4 ditambahkan pada pecahan 2 3 , maka diilustrasikan dengan 4. Ilustrasi pecahan tersebut adalah 11 12 . Dengan demikian, maka 2 3 + 1 4 = 11 12 . Contoh lain, misal 1 2 + 1 3 1. Ilustrasikan pecahan 1 2 , maka kita akan mendapatkan atau atau atau
78 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 2. Ilustrasi pecahan 1 3 adalah 3. Jika ilustrasi pecahan 1 2 ditambahkan dengan 1 3 maka hasilnya adalah 4. Ilustrasi pecahan tersebut senilai dengan 5 6 Lakukan berulang dengan menggunakan bilangan pecahan yang lain sehingga menemukan pola + = + B. Operasi Pengurangan pada Pecahan Mencari penyelesaian dari 1 3 − 1 5 1. Pecahan 1 3 jika diilustrasikan dalam gambar 2. Pecahan 1 5 jika diilustrasikan dalam gambar atau atau
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 79 3. Sehingga jika ilustrasi gambar 1 3 dikurangi ilustrasi gambar 1 5 , maka gambarnya menjadi 4. Gambar tersebut senilai dengan pecahan 2 15 . Contoh lain, misal 3 4 − 2 5 1. Pecahan 3 4 jika diilustrasikan dalam gambar 2. Pecahan 2 5 jika diilustrasikan dalam gambar 3. Sehingga jika ilustrasi gambar 3 4 dikurangi ilustrasi gambar 2 5 , maka gambarnya menjadi atau atau atau
80 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 4. Gambar tersebut senilai dengan pecahan 7 20 . Lakukan berulang dengan menggunakan bilangan pecahan yang lain sehingga menemukan pola − = − C. Operasi perkalian pada pecahan Sama halnya seperti bilangan asli maupun bilangan bulat, perkalian pada pecahan yang dinotasikan dengan × mengandung pengertian bahwa + + ⋯ + sebanyak Misal 1 2 × 3 4 Maka kita akan membacanya dengan 1 2 kali 3 4 nya 1. Ilustrasikan pecahan 3 4
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 81 2. Maka 1 2 dari yang diarsir ditunjukkan dengan double arsiran berikut 3. Dengan hanya memperhatikan double arsiran tersebut, maka nilai pecahannya adalah 3 8 . Dengan demikian, maka 1 2 × 3 4 = 3 8 Contoh lain, misal 2 3 × 4 5 Maka kita akan membacanya dengan 2 3 kali 4 5 nya 1. Ilustrasikan pecahan 4 5 2. Maka 2 3 dari yang diarsir ditunjukkan dengan double arsiran berikut 3. Dengan hanya memperhatikan double arsiran tersebut, maka nilai pecahannya adalah 8 15 . Dengan demikian, maka 2 3 × 4 5 = 8 15 Ulangi cara tersebut dengan mengambil bilangan pecahan yang lain hingga menemukan sebuah pola × =
82 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH D. Operasi pembagian pada pecahan Misal 2 5 ÷ 1 2 Sesuai dengan definisi operasi pembagian, maka 2 5 ÷ 1 2 berarti berapa banyak himpunan 1 2 menghasilkan 2 5 ? 1. Ilustrasikan 2 5 2. Sedangkan 1 2 diilustrasikan dengan 3. Dari ilustrasi di atas, tampak bahwa dengan himpunan berisi 10 keseluruhan, maka 2 5 diwakili oleh 4 pencacah dan 1 2 diwakili oleh 5 pencacah. Dengan demikian, berapa banyak himpunan 1 2 menghasilkan 2 5 dapat dikatakan dengan berapa banyak himpunan 5 menghasilkan 4 atau sama artinya dengan 4 5 . Jadi, 2 5 ÷ 1 2 = 4 5 Contoh lain, 5 3 ÷ 1 2 Berarti, berapa banyak himpunan 1 2 menghasilkan 5 3 ? 1. Ilustrasikan 5 3 atau
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 83 2. Sedangkan 1 2 diilustrasikan dengan 3. Dari ilustrasi, kita dapat melihat bahwa 5 3 = 10 6 dan 1 2 = 3 6 . Maka berapa banyak himpunan 1 2 menghasilkan 5 3 , sama artinya dengan berapa banyak himpunan 3 6 menghasilkan 10 6 ? yang berarti berapa banyak himpunan 3 yang menghasilkan 10? yang berarti 10 3 . Jadi, 5 3 ÷ 1 2 Ulangi cara tersebut dengan mengambil bilangan pecahan yang lain hingga menemukan sebuah pola ÷ = × atau
84 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH PENGUKURAN A. Pengukuran Panjang Sebelum membahas lebih lanjut mengenai pengukuran panjang, maka akan dipaparkan terlebih dahulu mengenai pengukuran. Pengukuran merupakan sebuah proses atau suatu kegiatan untuk mengidentifikasi besar kecilnya, panjang pendeknya, atau berat ringannya suatu objek. Pengukuran dalam modul ini meliputi pengukuran panjang, luas, volume, dan berat (yang akan dibahas secara bertahap). Pengukuran panjang dapat dilakukan dengan menggunakan satuan tidak baku dan dengan menggunakan satuan baku (Nabilah, Hendrawan, & Nugraha, 2020) (Handayani, Sumarno, & Haryati, 2017). 1. Pengukuran Tidak Baku Pengukuran panjang dengan menggunakan satuan tidak baku merupakan sebuah pengukuran yang memungkinkan perbedaan hasil karena menggunakan alat ukur yang tidak standar. Bisakah kamu menyebutkan contoh pengukuran dengan satuan tidak baku?! Tahukah kalian apa itu pengukuran?
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 85 Beberapa contoh pengukuran dengan menggunakan satuan tidak baku untuk mengukur panjang antara lain sebagai berikut. a. Jengkal adalah pengukuran yang disesuaikan dengan jarak paling panjangantara ujung ibu jari tangan dengan ujung jari kelingking. b. Hasta adalah pengukuran yang dilakukan dengan ukuran sepanjang lenganbawah dari siku sampai ujung jari tengah. c. Depa adalah pengukuran yang dilakukan dengan ukuran sepanjang keduabelah tangan dari ujung jari tengah kiri sampai ujung jari tengah kanan. d. Kaki adalah pengukuran yang dilakukan dengan ukuran panjang sebuahkaki. e. Tapak adalah pengukuran yang dilakukan dengan ukuran panjang sebuah tapak. f. Langkah adalah pengukuran yang dilakukan dengan ukuran panjang sebuah langkah. 2. Pengukuran Baku Pengukuran dengan menggunakan satuan baku merupakan sebuah pengukuran yang hasilnya tetap atau standar. Terdapat dua acuan pengukuran baku yang digunakan yaitu pengukuran sistem Inggris dan pengukuran sistem Metrik. Pengukuran sistem Inggris dikembangkan dari benda-benda yang ada di sekitar kita dan telah distandarkan. Beberapa contoh satuan baku pengukuran panjang sistem Inggris antara lain yard, feet, dan inchi. Beberapa contoh satuan baku pengukuran berat dan volume sistem Inggris antara lain pound, cup, dan gallon. Pembelajaran di Sekolah Dasar di Indonesia lebih menggunakan pengukuran baku sistem metrik. Sistem metrik dikembangkan secara sistematis dan memiliki standar. Satuan baku yang berlaku untuk mengukur panjang sebuah benda ataupun jarak adalah kilometer (), hektometer (ℎ), dekameter (), meter (), desimeter (), centimeter (), dan millimeter ().
86 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Mengkonversi satuan panjang dapat dilakukan dengan aturan: setiap turun 1 satuan ukuran panjang maka dikalikan 10, dan setiap naik 1 satuan ukuran panjang maka dibagi 10. Apakah panjang seutas tali akan tetap meskipun tali tersebut dilengkungkan? Tahukah kalian Hukum Kekekalan Panjang? Perhatikan gambar di bawah ini!
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 87 B. Keliling Bangun Datar Sekarang simpulkan! Keliling adalah…. C. Pengukuran Luas Satuan baku yang dapat digunakan untuk mengukur luas adalah 2 , ℎ2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 . Mengkonversi satuan luas dapat dilakukan dengan aturan: setiap turun 1 satuan. Perhatikan gambar dibawah ini. Perhatikan gambar kurva disamping! Jika diperhatikan, saat menggambar kurva tersebut, sebuah titik akan bergerak mengelilingi kurva dari awal sampai bertemu lagi di titik awal tadi. Jarak perpindahan titik tersebut yang kita sebut sebagai keliling. Nah, sekarang bagaimana jika terdapat sebuah kasus, Bagaimana untuk mengukur jarak yang ditempuhnya untuk mengelilingi taman (misalkan tamannya berbentuk seperti gambar di samping)
88 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Selain satuan baku yang telah disebutkan, satuan baku lain untuk mengukur luas adalah dan ℎ (ℎ). 1 merupakan satuan dasar untuk mengukur luas yang setara dengan ukuran 100 2 1 = 100 2 . Sedangkan 1 ℎ merupakan satuan dasar untuk mengukur luas yang setara dengan ukuran 10.000 2 1 ℎ = 10.000 2 Apakah luas daerah bangun pada gambar disebelah kiri sama dengan luas daerah bangun pada gambar disebelah kanan? a. Luas Daerah Bangun Datar Tahukah kalian Hukum Kekekalan Luas? Perhatikan gambar di bawah ini! Bagaimana cara menghitung luas daun
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 89 1. Langkah pertama yang dapat kita lakukan adalah menjiplak daun tersebut pada kertas berpetak satu satuan. 2. Kemudian hitung berapa banyak persegi satuan yang tertutup oleh bangun tersebut (dengan aturan jika setengah petak atau yang tertutup maka akan dihitung satu satuan luas, dan jika kurang dari setengah petak yang tertutup maka akan kita abaikan), walaupun hasil yang diperoleh tidak sama persis (mendekati) dengan luas daun sebenarnya. Sekarang simpulkan! Luas adalah…. b. Luas Daerah Persegi Panjang Luas daerah persegi panjang adalah ukuran yang menyatakan besarnya daerah yang dibatasi oleh sisi-sisi persegi panjang tersebut. Persegi Panjang Panjang (p) Lebar (l) Persegi Satuan Keterangan 2 1 2 Jika diketahui panjangnya 2dan lebarnya 1, maka persegi satuannya 2. Mengapa demikian? Kita buktikan dengan cara menghitung persegi satuannya, yaitu 2 dihasilkan dari 2 dikali 1 Yuk cari tahu cara menemukan rumus luas persegi Panjang!
90 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Persegi Panjang Panjang (p) Lebar (l) Persegi Satuan Keterangan … … … Menurut Anda mengapa banyak persegi satuan ada 6? Bagaimana hubungan antara panjang sisi dengan banyak persegi satuan yang menutupinya? c. Luas Daerah Segitiga Buatlah persegi panjang pada tempat yang sudah disediakan. Kemudian persegi Panjang tersebut dipotong menurut salah satu diagonalnya. Berapa banyak segitiga dengan ukuran dan besar yang sama persis? Jika panjang persegi panjang menyatakan alas dari segitiga () dan tinggi persegi panjang menyatakan tinggi segitiga () maka menurut kamu luas daerah segitiga adalah…. d. Luas Daerah Jajargenjang Perhatikan gambar dibawah ini! Jajargenjang pada gambar dipotong berdasarkan salah satu diagonalnya sehingga menjadi dua buah segitiga yang sama persis. Maka = 2 × Δ =……… =………
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 91 e. Luas Daerah Belah Ketupat Perhatikan gambar dibawah ini! Apakah gambar belah ketupat diatas dibentuk dari dua buah segitiga yang kongruen? Apabila : AC = diagonal 1, BD = diagonal 2 maka ℎ = + = 1 2 × × + 1 2 × × = 1 2 × × ( + ) = ⋯ D. Pengukuran Volume Sebelum membahas mengenai volume bangun ruang, maka kita akan mengingatkembali tentang pengukuran volume.Satuan baku yang dapat digunakan untuk mengukur volume adalah 3 , ℎ3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 .
92 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Selain satuan baku yang telah disebutkan, satuan baku lain untuk mengukur volume antara lain liter. 1 i merupakan sebuah ukuran isi dari kubus yang memiliki panjang rusuk 1 i atau 1 i = 1 3 a. Volume Kubus Volume Kubus adalah isi yang memenuhi bangun ruang kubus. Untuk membantu menemukan rumus volume kubus, kita dapat menggunakan langkah seperti berikut ini: 1. Siapkan benda yang berbentuk kubus atau boleh kita menggunakan rubik. 2. Siapkan kubus satuan dengan ukuran satu satuan volume. 3. Ukur panjang rusuk kubus. 4. Isi benda yang berbentuk kubus dengan kubus satuan tersebut. 5. Hitung banyak kubus satuan yang mengisi benda berbentuk kubus secara penuh. 6. Cari hubungan antara panjang rusuk kubus dengan banyak kubus satuan yang mengisi kubus tersebut. Bentuk Bangun Panjang rusuk Banyak kubus satuan Hubungan (panjang rusukdan banyak kotak) 2 8 2 x 2 x 2 = 8 3 27 … x … x … = …