KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 93 Bentuk Bangun Panjang rusuk Banyak kubus satuan Hubungan (panjang rusukdan banyak kotak) 4 64 … x … x … = … S s x s x s Apa kesimpulanmu? b. Volume Balok Volume balok adalah isi yang memenuhi bangun ruang balok. Untuk memudahkan dalam membantu menemukan volume balok, kita dapat menggunakan langkah sebagai berikut. 1. Siapkan benda-benda berbentuk balok dan beberapa kubus satuan. 2. Ukur panjang sisi (panjang, lebar, dan tinggi) balok. 3. Isi benda yang berbentuk balok dengan menggunakan kubus satuan. 4. Hitung banyak kubus satuan yang mengisi balok tersebut sampai penuh. 5. Cari hubungan antara panjang, lebar, dan tinggi balok dengan banyak kubus satuan yang mengisi balok tersebut
94 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Bentuk Bangun Panjang (p) Leba r (l) Tinggi (t) Banyak kubus satuan Hubungan p, l, t, dan kubussatuan 6 4 1 24 6 x 4 x 1 = 24 3 2 3 18 … x … x … = … 4 2 3 … … x … x … = … t p l P l t … x … x … = … Sekarang, simpulkan! E. Pengukuran Berat Satuan baku yang dapat digunakan untuk mengukur berat adalah , ℎ, , ,, , . Perhatikan bagan di bawah ini.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 95 Berdasarkan bagan tersebut, terdapat satuan baku yang lain untuk mengukur berat, yaitu: 1 = 10 , 1 = 1000 , dan 1 = 100 . Selain itu terdapat ukuran baku yang lain yaitu 1 , dimana 1 = 1 ℎ. Hukum Kekekalan Berat Berat suatu benda akan tetap meskipun bentuknya berubah, dan ditimbang dengan alat yang berbeda. F. Perbandingan dan Skala Pak Ali akan membuat denah rumah yang akan dibangun. Jika Pak Ali akan membangun rumah dengan ukuran 6m x 6m. Berapa ukuran denah yang harus dibuat Pak Ali? Bagaimana cara menghitungnya?
96 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 1. Perbandingan Pak Ali membeli ubin kamar mandi dengan ukuran 20 × 20 dan ubin untuk di ruang tamu dengan ukuran 40 × 40. Berapa perbedaan ukuran antara ubin kamar mandi dengan ubin ruang tamu? Kamu tentu masih ingat tentang materi pecahan, kan? Jika ukuran kamar mandi dan ukuran ubin ruang tamu dianggap sebagai pecahan, bagaimana menyederhanakan pecahan di atas? Maka, perbedaan ukuran ubin kamar mandi dibanding ubin ruang tamu adalah…. Jadi, apakah yang dimaksud dengan perbandingan? 2. Skala Ukuran sebenarnya rumah yang akan dibangun Pak Ali adalah 600 × 600, sedangkan ia ingin membuat denah dengan dengan ukuran 20 × 20. Berapa perbandingan antara gambar denah rumah Pak Ali dengan ukuran sebenarnya? ℎ = = Jadi, perbandingan ukuran rumah Pak Ali yang sebenarnya dengan ukuran pada denah adalah 1: 30.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 97 Bagaimana kesimpulanmu? G. Durasi dan Waktu Perhatikan gambar jam dimulainya sekolah pada pagi hari peserta didik kelas VII SMP berikut ini. 1. Jam berapakah yang ditunjukkan oleh gambar? 2. Jika lamanya sekolah anak-anak kelas VIII SMP, 3 jam 30 menit, maka anak kelas VIII SMP akan pulang pada jam berapa? Jadwal Kegiatan Sehari-hari No. Waktu Kegiatan 1. Belajar di rumah 2. Makan siang 3. Tidur siang Yuks isi kegiatan sehari-hari berikut!
98 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH No. Waktu Kegiatan 4. Membantu Orang tua 1. Pilihlah satu kegiatan sehari-harimu (misal belajar atau tidur, atau lain-lain). Kemudian tulislah lama waktu kegiatan sehari-hari yang telah dipilih………………………dari pukul …………………s.d pukul………………… 2. Hitunglah durasi waktu kegiatan sehari-harimu dalam satuan waktu, jam, dan menit. a. Jam:…………………………………………………………… ………..... b. Menit:………………………………………………………… ………….. Detik:……………………………………………………………………. Lengkapi tabel berikut ini. No Jam Cara hitung Menit 1. 3 3 x ……. ……….. 2. 5 ……. x 60 ……….. Satuan Baku waktu dari Jam ke Menit (1 Jam = 60 Menit) Satuan Baku waktu dari Jam ke detik (1 Jam = 3600 Detik)
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 99 Lengkapi tabel berikut ini. No Jam Cara hitung Detik 1. 1 1 x ……. ……….. 2. 2 ……. x 3600 ……….. Lengkapi tabel berikut ini. No Jam Cara hitung Detik 1. 2 2 x ……. ……….. 2. 4 ……. x 60 ……….. H. Sudut Ayo lengkapi langkah-langkah dibawah ini agar memahami sudut. 1. Lukis sinar garis (misal sinar AB) 2. Putar sinar AB dengan pusat A sampai terjadi sinar garis AC, sehingga terbentuk sudut BAC 3. Beri nama sudut BAC = Dalam kajian geometris, sudut didefnisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side). Pendapat lain Satuan Baku waktu dari Menit ke Detik (1 Menit = 60 Detik) Kalian sudah sering mendengar kata “sudut”. Sebenarnya apa yang dimaksud dengan sudut?
100 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH mengatakan sudut adalah daerah yang terbentuk dari dua garis lurus yang berpotongan di satu titik. Arah putaran memiliki makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan jarum jam. Arah putaran untuk membentuk sudut juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. a. Ukuran Sudut Satuan sudut yang paling sering kita temui dan dipergunakan adalah derajat (dilambangkan dengan “o”). Namun, ada satuan lain yang dapat digunakan untuk mengukur satuan sudut, yaitu satuan radian (dilambangkan dengan “rad”). Satuan derajat ini berasal dari peradaban manusia yang mengaitkannya dengan musim yang dipengaruhi oleh perputaran bumi terhadap matahari. Dalam 1 (satu) kali revolusi Bumi menyelesaikannya dalam 360 hari. • Dua garis yang membentuk sudut disebut kaki sudut. • Titik pertemuan diantara dua kaki sudut disebut titik sudut
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 101 Dari gambar di atas didapat besar sudut berikut: 1 360 = 1 360 ∙ 360° = 1° 1 4 = 1 … ∙ 360° = ⋯ 1 2 = 1 … ∙ 360° = ⋯ 1 12 = 1 … ∙ 360° = ⋯ 1 8 = 1 … ∙ 360° = ⋯ b. Jenis-jenis sudut Dengan menggunakan busur derajat, ayo hitung berapa besar sudut dibawah ini sehingga kalian akan tahu jenis sudut berdasarkan besarnya. • Berapa derajat besar sudut siku-siku? …………. • Jadi sudut siku-siku adalah ……………………………….. ……………………………………… ……………………………………… • Berapa derajat besar sudut lancip? …………. ………………. • Jadi sudut lancip adalah …………………………………….. ……………………………………… ……………………………………… …………. • Berapa derajat besar sudut tumpul? ………………. • Jadi sudut tumpul adalah …………………………………….. ……………………………………… ……………………………………… ………….
102 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH • Berapa derajat besar sudut lurus? …………………. • Jadi sudut lurusadalah …………………………………… ….. …………………………………… …………………………………… ……………….
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 103 Latihan Soal! 1. Sebelum mengikuti lomba lari untuk mewakili sekolahnya, setiap hari Rudi selalu latihan berlari di sebuah lapangan dengan ukuran panjang 1,4 dam dan lebar 9.000 cm sebanyak 5 putaran. Jika Rudi berlatih selama 5 hari, maka sudah berapa km Rudi berlari? 2. Roni bersama 2 orang temannya akan menebang pohon dengan panjang kayu 4,5 m. Jika Rudi akan mendapatkan ¼ bagian, teman pertama ⅓ bagian dan teman kedua sisanya. 3. Teman kedua akan mendapatkan bagian kayu dengan panjang berapa cm? 4. Urutan orang dari yang mendapatkan bagian kayu terpanjang adalah? 5. Panjang rumah pada denah 50cm. Panjang rumah sebenarnya 25m. berapa skala denah rumah tersebut?
104 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH RUANG DAN LOGIKA GEOMETRIS empelajari geometri sangat berbeda dengan mempelajari aljabar dasar. Dalam mempelajari geometri lebih difokuskan untuk mengembangkan struktur logis dalam pembuktian dan penerapan. Mempelajari geometri bisa diibarakan seperti membangun rumah. Geometri menggunakan penalaran logis sebagai semen dan pernyataan-pernyataan berikutnya sebagai blok bangunan dasar. Geometri diawali dengan beberapa asumsi dan istilah yang tidak dapat didefinisikan (undefined term) yang merupakan istilah mendasar. Selain itu juga terdapat definisi, postulat dan teorema (Ismail & Kaluku, 2020). 1. Istilah yang Tidak Dapat Didefinisikan (Undefined Term) Beberapa istilah sangat mendasar sehingga tidak dapat didefinisikan menggunakan istilah yang lebih sederhana. Meskipun istilah tersebut tidak dapat didefisikan namun masih dapat dideskripsikan. 2. Definisi Istilah baru dapat dibentuk dengan menggunakan undefined term yang telah disebutkan sebelumnya. Istilah ini digunakan agar lebih mudah dalam mendeskripsikan gambar dan hubungan geometri. Definisi diberikan untuk menjelaskan suatu istilah dengan baik. Definisi yang baik harus: M
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 105 a. Jelas dalam mengidentifikasi istilah Yang didefinisikan b. Menggunakan istilah yang berbeda dengan yang didefinisikan, yaitu dengan menggunakan kata yang sudah lazim dipahami atau yang sudah didefinisikan sebelumnya c. Menggunakan kalimat yang baik dan benar 3. Postulat Beberapa prisip mendasar dalam geometri, yang disebut postulat atau aksioma, merupakan hal mendasar yang tidak dapat dibentuk dengan menggunakan fakta yang lebih sederhana lagi. Postulat merupakan pernyataan yang disepakati tanpa adanya pembuktian. 4. Teorema Tidak seperti postulat, teorema merupakan generalisasi yang dapat dibuktikan kebenarannya. Bukti berisi argument valid yang menggunakan sejumlah fakta dan penalaran logis untuk menunjukkan kebenaran suatu pernyataan. Tentukan dari pernyataan-pernyataan berikut ini mana yang merupakan undefined term dan mana yang merupakan definisi. Jelaskan pula hubungan antar pernyataan tersebut. Sudut adalah gabungan dua sinar dengan titik ujung yang sama Garis merupakan himpunan titik yang memanjang dengan tidak terbatas pada kedua arahnya, mempunyai panjang tetapi tidak mempunyai lebar Bidang merupakan himpunan titik yang membentuk permukaan datar yang tidak mempunyai tinggi dan diperluas dengan tidak terbatas ke segala arah
106 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Berikut ini adalah beberapa definisi, postulat, dan teorema yang banyak digunakan dalam mempelajari geometri. Definisi 1. Sinar berlawanan: sinar dengan titik ujung yang sama dan keduanya membentuk garis 2. Titik tengah ruas garis : titik pada ruas garis sedemikian sehingga membentuk dua ruas garis yang sama ukurannya 3. Garis bagi ruas garis : sebuah garis yang memotong garis pada titik tengahnya 4. Sudut siku-siku : sudut yang ukurannya 90o 5. Sudut lurus : sudut yang ukurannya 180o 6. Sudut lancip : sudut yang ukurannya antara 0 o sampai 90o 7. Sudut tumpul : sudut yang ukurannya antara sampai 90o sampai 180o 8. Dua sudut berkomplemen : dua sudut yang jumlah ukurannya 9. Dua sudut bersuplemen : dua sudut yang jumlah ukurannya 10. Dua sudut bertolak belakang : jika kaki-kaki sudut yang satu merupakan sinar-sinar berlawanan dengan kaki-kaki sudut yang lain 11. Dua garis tegak lurus : dua garis yang berpotongan dan membentuk sudut siku-siku Ruas garis adalah bagian dari garis yang terdiri dari dua titik ujung, dan himpunan semua titik diantara kedua titik ujungnya Sinar adalah bagian dari garis dengan satu titik ujung dan himpunan semua titik yang terletak pada pihak yang sama dengan titik ujungnya Titik menunjukkan posisi atau letak yang tidak mempunyai panjang, lebar dan tinggi
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 107 12. Garis bagi sudut : sinar yang titik pangkalnya terletak pada titik sudut itu dan kedua sudut yang dibentuk oleh sinar tersebut dengan kakikaki sudut mempunyai ukuran yang sama 13. Kongruensi ruas garis : dua ruas garis kongruen jika mempunyai ukuran yang sama 14. Kongruensi sudut : dua sudut kongruen jika mempunyai ukuran yang sama Postulat (tentang garis) 1. Sebuah garis dapat diperpanjang ke kedua arah sejauh-jauhnya 2. Untuk setiap dua titik pada suatu garis ada titik ketiga yang terletak di antara kedua titik tersebut 3. Ada korespondensi satu-satu antara sebuah titik pada suatu garis dengan 4. bilangan nyata 5. Ada satu dan hanya satu garis yang melalui dua titik Teorema-teorema sederhana 1. Jika dua sudut adalah siku-siku maka kedua sudut itu kongruen 2. Jika dua sudut adalah sudut lurus maka kedua sudut itu kongruen 3. Jika dua sudut bersuplemen pada sudut yang sama maka kedua sudut itu kongruen 4. Jika dua sudut berkomplemen pada sudut yang sama maka kedua sudut itu kongruen 5. Jika dua sudut bersuplemen pada dua sudut yang kongruen maka dua sudut itu kongruen 6. Jika dua sudut berkomplemen pada dua sudut yang kongruen maka dua sudut itu kongruen 7. Jika dua sudut bertolak belakang maka kedua sudut itu kongruen 8. Jika dua ruas garis kongruen dengan dua ruas garis yang kongruen maka kedua ruas garis yang pertama adalah kongruen 9. Jika dua sudut kongruen dengan dua sudut yang kongruen maka kedua sudut yang pertama adalah kongruen
108 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Mempelajari geometri lebih menggunakan penalaran deduktif. Penalaran deduktif merupakan kebalikan dari penalaran induktif. Penalaran deduktif menggunakan fakta yang sudah disepakati (misalnya undefined term, definisi, postulat dan teorema yang sebelumnya sudah dibuktikan) dalam penalaran langkah demi langkah hingga kesimpulan dapat dicapai. Contoh 1 Diketahui: ⃡ ⊥ ⃡ Buktikan: ∠ ≅ ∠ Bukti: No. Pernyataan Alasan 1. ⃡ ⊥ ⃡ Diketahui 2. ∠ dan ∠ adalah sudut siku-siku Definisi dua garis tegak lurus 3. ∠ ≅ ∠ Teorema dua sudut siku-siku (Terbukti)
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 109 Latihan soal 1. Diketahui: ⃡ ⊥ ⃡ ⃡ ⊥ ⃡ Buktikan: ∠ ≅ ∠ 2. Diketahui: ⃡ ⊥ ⃡ ⃡ ⊥ ⃡ Buktikan: ∠ ≅ ∠
110 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH BENTUK DAN SIFAT GEOMETRI Pada pembahasan ini, geometri dapat dibagi menjadi dua, yaitu geometri dimensi dua dan tiga dimensi. Geometri dua dimensi merujuk pada bangun datar, sedangkan geometri tiga dimensi merujuk pada bangun ruang. A. Bangun Datar Salah satu jenis bangun datar adalah poligon. Poligon berasal dari kata poly yang artinya banyak, dan gon yang artinya sudut, sehingga secara singkat poligon dapat dikatakan sebagai banyak sudut (Rassarandi, Gustin, & Putra, 2021). Poligon adalah bangun datar tertutup yang dibatasi oleh ruas garis yang saling terhubung pada titik ujungnya. Coba perhatikan manakah dari gambar berikut ini yang merupakan poligon dan manakah yang bukan poligon? (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 111 (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Poligon dapat dibedakan dibagi menjadi poligon beraturan dan tidak beraturan. Sebelum membahas poligon beraturan dan tidak beraturan, terlebih dahulu akan dibahas poligon sama sisi dan sama sudut. • Poligon sama sisi (equiangular) adalah poligon yang sama ukuran semua sisinya. • Poligon sama sudut (equilateral) adalah poligon yang sama ukuran semua sudutnya. • Poligon beraturan (regular) adalah poligon yang sama sisi dan sama sudut. • Poligon tidak beraturan (irregular) adalah poligon yang tidak sama sisi atau tidak sama sudut. Nah, sekarang pikirkan! Poligon mana yang beraturan dan polygon mana yang tidak beraturan? Poligon juga dapat dibedakan menurut jumlah sisinya. Beberapa poligon yang banyak dikenal adalah sebagai berikut. Ayo, gambarkan contoh masing-masing jenis poligon yang beraturan dan tidak beraturan pada kolom ini!
112 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Nama Poligon Banyak sisi Beraturan Tidak beraturan Segitiga (triangle) 3 Segiempat (quadrilateral) 4 Segilima (pentagon) 5 Segienam (hexagon) 6 Segi delapan (octagon) 8 Segi sepuluh (decagon) 10 Segi dua belas (duodecagon) 12 Jika diperhatikan hubungan antara pasangan sisi dan sudut pada segiempat, maka dapat digambarkan silsilah keluarga segiempat yang mempunyai nama dan sifat khusus. Silsilah keluarga segiempat menunjukkan bahwa segiempat memiliki dua jenis utama keturunan. Pertama, disebut trapesium, memiliki tepat satu pasang sisi sejajar. Dan kedua merupakan jenis utama segiempat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan disebut jajaran genjang.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 113 Latihan Soal Berdasarkan pembahasan di atas dan literatur lain yang relevan, tuliskan sifat, keliling, dan luas dari berbagai jenis bangun datar. No. Jenis Bangun Datar Sifat Keliling Luas 1. Segitiga 2. Trapesium 3. Jajaran genjang 4. Persegi panjang 5. Belah ketupat 6. Persegi … … … … …
114 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH B. Bangun Ruang Jika pada bangun datar terdapat poligon, maka pada bangun ruang dikenal polihedron. Polihedron adalah bangun ruang yang memiliki sisi berupa poligon, garis-garis lurus yang disebut rusuk, dan ujung yang tajam yang disebut titik sudut. Diskusi Berilah nama bangun ruang berikut ini, tentukan mana yang merupakan polihedron dan bukan. Tentukan sifat, luas permukaan dan volumenya. Tentukan pula hubungan yang mungkin dari bangun ruang tersebut.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 115 TRANSFORMASI GEOMETRI A. Transformasi Transformasi adalah suatu fungsi pada bidang yaitu suatu padanan (perpetaan) yang mengaitkan setiap anggota dengan satu anggota . Geometri transformasi merupakan suatu fungsi yang bijektif. Suatu fungsi yang bijektif adalah suatu fungsi yang bersifat surjektif dan injektif. 1. Surjektif (onto) Fungsi disebut surjektif (fungsi dari A kepada/onto B), jika untuk setiap ∈ terdapat ∈ sedemikian sehingga () = . Jadi, setiap anggota dari B merupakan peta atau mempunyai kawan di A. 2. Injektif (satu-satu) Fungsi disebut injektif (satu-satu), jika untuk sebarang dan dalam yang berbeda diperoleh () ≠ () atau () = (), maka = . Jadi, satu anggota dalam B yang merupakan peta hanya mempunyai satu kawan di A. Seringkali : → fungsi bijektif maka dikatakan terdapat korespondensi satu-satu antara A dengan B. Contoh 1 Buktikan : → dengan (, ) = (2, + ) untuk setiap (, ) di merupakan transformasi. Jawab: a. Akan dibuktikan bahwa merupakan fungsi dari ke () = (). Bukti: ∃, ∈ ∋ = akan dibuktikan () = ().
116 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Missal = {, } dan = {, } dengan , , , ∈ Karena = maka = dan = sedemikian sehingga 2 = 2 dan + = + Akibatnya () = (2, + ) = (2, + ) = () Maka terbukti bahwa () = (). b. Akan dibuktikan bahwa merupakan fungsi injektif Bukti: ∃, ∈ () = (), akan dibuktikan bahwa = Misal = {, } dan = {, } dengan , , , ∈ Maka () = (2, + ) = (2, + ) = () Sehingga 2 = 2 dan + = + Akibatnya = dan = Maka terbukti = c. Akan dibuktikan bahwa merupakan fungsi surjektif Bukti: ∃ ∈ , akan dibuktikan bahwa ∃ ∈ ∋ () = Misal = {, } dan pilih = { 2 , − 2 } Sehingga diperoleh () =() = {2 ( 2 ) , ( − 2 ) + 2 } = (, ) = Jadi terdapat = { 2 , − 2 } sedemikian sehingga () = Latihan Soal 1 1. Diketahui fungsi : → dengan (, ) = ( + 2,2) untuk setiap (, ) di . Periksa apakah fungsi merupakan transformasi? 2. Diketahui fungsi : → dengan (, ) = (5, − 3) untuk setiap (, ) di . Periksa apakah fungsi merupakan transformasi? B. Translasi Translasi disebut juga pergeseran. Terdapat berbagai macam jenis objek yang ditranslasikan, yaitu translasi titik, garis, dan bidang
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 117 datar. Masing-masing jenis translasi tersebut dicontohkan pada diskusi di bawah ini. Ayo diskusikan! 1. Diketahui seorang siswa duduk di pojok kiri paling belakang. Kemudian gurunya meminta dia bergeser dua tempat duduk ke kanan dan maju satu tempat duduk ke depannya. Anggap seorang siswa tersebut suatu titik. Kasus ini dapat disebut translasi titik yang mengalami pergeseran 2 ke kanan dan 1 ke atas yang dituliskan sebagai (2,1). Coba gambarkan kasus tersebut pada bidang kartesius! 2. Misal ada suatu persamaan garis = 3 + 5. Tentukan persamaan garis yang dihasilkan oleh translasi (2,1)! 3. Titik-titik sudut bangun segitiga ABC berada pada posisi (1,2), (4,2), dan (3,4). Kemudian mengalami tanslasi (2,1). Dimana posisi bangun datar tersebut setelah mengalami tanslasi? Coba tuliskan bagaimana langkah-langkah untuk mencari selesaiannya! Translasi memiliki beberapa sifat. Untuk menentukan sifat translasi coba simpulkan dari hasil diskusi di atas apakah terdapat terdapat perubahan bentuk, ukuran atau posisi? Dari sifat-sifat tersebut definiskan pula apa yang dimaksud dengan translasi? Latihan Soal 2 1. Tentukan hasil transformasi dari persamaan garis = 2 + 1 yang ditranslasikan terhadap (5,3). 2. Translasi (, ) memetakan titik (1,2) ke titik ’(4,6) a. Tentukan translasi tersebut. b. Tentukan bayangan segitiga dengan titik sudut (1,2),(3,4), dan (−5,6) oleh translasi tersebut.
118 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 3. Tentukan persamaan lingkaran 2 + 2 = 16 yang ditranslasikan terhadap (3,5) C. Refleksi Refleksi disebut juga pencerminan. Refleksi pada pembahasan ini berfokus pada refleksi pada bidang kartesius. Gambar di atas menunjukkan hasil refleksi terhadap sumbu . Berdasakan gambar di atas, kita dapat membuat tabel untuk menuliskan koordinat titik asal dan koordinat titik hasil refleksi tehadap sumbu . Titik asal Titik hasil refleksi (-1,1) (1,1) (-5,2) (5,2) (-4,4) (4,4) (, ) (−, ) Ayo diskusikan! Selain direfleksikan terhadap sumbu , refleksi juga dapat dilakukan pada sumbu , atau garis yang lain. Coba diskusikan hasil refleksi khusus yang lain dan simpulkan dalam tabel di bawah ini.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 119 Titik Asal Direfleksikan terhadap Titik Hasil Refleksi (, ) Sumbu (−, ) (, ) Sumbu (, ) Garis = (, ) Garis = − (, ) Garis = (, ) Garis = Sekarang, simpulkan bagaimana bentuk, ukuran, dan posisi objek hasil ceminannya? dan bagaimana pula jarak benda dengan jarak hasil cerminan benda terhadap cermin? Kemudian berdasarkan jawaban tersebut coba simpulkan, apa saja sifat-sifat refleksi dan apa definisi refleksi? Ayo buatkan kolomnya! Latihan Soal 3 Diketahui suatu titik koordinat (3,5). Tentukan hasil refleksinya jika: 1. Direfleksikan terhadap sumbu 2. Direfleksikan terhadap sumbu 3. Direfleksikan terhadap garis = 4. Direfleksikan terhadap garis = − 5. Direfleksikan terhadap garis = 2 6. Direfleksikan terhadap garis = 3 D. Rotasi Rotasi disebut juga perputaran. Rotasi dalam bidang kartesius dipengaruhi oleh: 1. Pusat rotasi 2. Arah rotasi 3. Besar sudut rotasi
120 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Berdasarkan gambar tersebut, 1. Tentukan koordinat titik pada segitiga ! 2. Tentukan koordinat titik setelah dilakukan rotasi searah jarum jam sebesar 90° ! 3. Tentukan koordinat titik setelah dilakukan rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar 90°! 4. Tentukan koordinat titik setelah dilakukan rotasi searah jarum jam sebesar 180°! 5. Tentukan koordinat titik setelah dilakukan rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar 180°! 6. Tentukan koordinat titik setelah dilakukan rotasi searah jarum jam sebesar 270°! 7. Tentukan koordinat titik setelah dilakukan rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar 270°!
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 121 Ayo Diskusikan! Setelah menjawab pertanyaan di atas, coba diskusikan: 1. Adakah yang menghasilkan posisi rotasi yang sama? Jika ada, rotasi yang mana saja? 2. Jika benda terletak pada bidang kartesius, apakah terjadi perubahan bentuk dan ukuran setelah dirotasi? 3. Bagaimana dengan posisi benda hasil rotasi? 4. Berdasarkan jawaban di atas, apa saja sifat rotasi? 5. Menurutmu apa definsi rotasi? Latihan Soal 4 1. Tentukan hasil transformasi dari titik (1,2) yang diputar 30° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal (0,0). 2. Segitiga dengan (4,0),(0, −2), (−2, −4) diputar 60° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal (0,0). Tentukan hasil transformasi tersebut. 3. Tentukan hasil transformasi dari titik (2,3) dengan titik asal (0,0) yang diputar terhadap 90° berlawanan arah jarum jam. E. Dilatasi
122 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Perhatikan gambar di atas untuk dilatasi dengan pusat (0,0) dan skala 1 2 . Jika dilihat dari gambar tersebut maka hasil dilatasinya adalah sebagai berikut. Titik Asal Titik Hasil Dilatasi (4,1) (2, 1 2 ) (2,1) (1, 1 2 ) (1,2) ( 1 2 , 1) (, ) ( 1 2 , 1 2 ) Dilatasi terhadap titik pusat O (0,0) dan faktor skala k dapat dituliskan secara umum sebagai berikut ini. (, ) → ′(, ) Ayo diskusikan! Bagaimana jika titik pusatnya sebarang bilangan, misal titik (, ). Dapatkah kamu menentukan rumus umumnya? Coba ikuti langkah berikut ini. 1. Buat sketsa gambar dilatasi untuk pusat dilatasi selain di tiik (0,0) 2. Lakukan langkah membuat tabel seperti contoh di atas 3. Isi tabel tesebut dan buatlah kesimpulan Menurut kamu, apa saja faktor yang menentukan hasil dilatasi? Apa hubungan antara faktor skala dan pusat dilatasi tehadap ukuran dan posisi objek setelah didilatasikan?
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 123 Latihan Soal 5 1. Tentukan hasil transformasi titik (5,6) yang didilatasikan terhadap titik pusat (0,0) dan faktor skala 2. Tentukan hasil transformasi titik (5,6) yang didilatasikan terhadap titik pusat (2,3) dan faktor skala 5. 3. Tentukan hasil transformasi dari suatu persamaan garis 3 + 4 − 3 = 0 yang didilatasikan terhadap pusat (2,3) dan faktor skala 3.
124 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH KONSEP ANALISIS DATA Tahu kah kalian tentang sensus penduduk? Apa saja data yang diambil oleh petugas sensus penduduk? A. Analisis Data Berbicara tentang analisis data maka kita akan belajar tentang apa itu statistika. Statistik sendiri memiliki peranan yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari contoh saja seorang ibu yang harus mendata pospos pengeluaran rumah tangga yang dikeluarkan selama satu bulan. Statistik juga sering digunakan dalam berbagai bidang, missal di pidang pemerintahan, Pendidikan maupun industri. Maka apa itu statistika? Statistika adalah ilmu yang berkaitan dengan data (Mardhotillah, Asyhar, & Elisa, 2022). Statistik adalah menyatakan kumpulan data, bilangan maupun non bilangan yang disusun dalam tabel dan atau diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan (Nasution, 2019). Statistika merupakan pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisisannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan pengumpulan dan analisis data yang telah dilakukan. Statistika sendiri dibagi menjadi 2 jenis, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensi. 1. Statistika Deskriptif, yaitu statistika yang menggunakan metode numerik dan grafik untuk mencari pola dalam suatu kumpulan data, meringkas informasi yang terkandung dalam kumpulan data, dan menghadirkan informasi dalam bentuk yang diinginkan.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 125 2. Statistika Inferensi yaitu statistik yang menggunakan data sampel untuk membuat estimasi, keputusan, prediksi, dan generalisasi terhadap kumpulan data yang lebih besar. Metode pengumpulan data dari dari suatu populasi dalam ilmu statistika dilakukan dengan dua cara yaitu: 1. Sensus, yaitu pengumpulan data yang dilakukan dengan cara mengambil informasi yang dibutuhkan dari semua anggota populasi. 2. Sampling, yaitu pengumpulan data yang hanya berasal dari hanya sebagian (tidak seluruhnya) anggota populasi. B. Bentuk/ Jenis Data Dalam ilmu statistika, data dibedakan menjadi dua jenis, yaitu: 1. Data Kualitatif Pengukuran yang tidak dapat diukur pada skala numerik, dan hanya dapat diklasifikasikan dalam salah satu grup atau kategori. Contoh : jenis kelamin, tipe kendaraan 2. Data Kuantitatif Data yang dapat dikodekan dengan skala numerik. Terdapat dua jenis data kuantitatif, yaitu diskrit dan kontinu. Data Diskrit merupakan hasil pencacahan. Contoh : banyaknya mahasiswa yang hadir kuliah, banyaknya sepeda motor yang parkir dihalaman parkir kampus. Data Kontinu merupakan hasil pengukuran. Contoh: berat badan mahasiswa, data nilai UTS siswa C. Penyajian Grafis Salah satu tahap terpenting dalam ilmu statistika adalam penyajian data. Terdapat dua cara penyajian data yang sering digunakan yaitu dengan menggunakan table atau daftar dan grafik atau diagram. 1. Tabel atau Daftar Secara umum, dalam penyusunan sebuat table ada beberapa bagian penting (Sudjana, 2005), yaitu (a) adanya judul daftar atau table yang menjadi identitas dari table itu sendiri. Biasanya judul daftar atau table ditulis di Tengah bagian atas dari table itu sendiri; (b) judul
126 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH kolom dan judul baris; (c) sel daftar tempat nilai-nilai data dituliskan; dan (d) catatan, catatan biasanya dituliskan di bagian bawah table jika diperlukan. Terdapat 3 jenis tabel yang sering digunakan yaitu: a. Daftar Baris Kolom Contoh: Pada perusahaan “ABADI”, telah dilakukan transaksi pembelian barang-barang di tiap tahunnya, maka table bisa dibuat seoerti berikut Pembelian barang dalam ribuan unit dan jutaan rupiah pada tahun 2020-2022 Barang 2020 2021 2022 Banyak Harga Banyak Harga Banyak Harga X 7,3 135,7 11,2 203,5 12,4 290,2 Y 8,2 84,4 8,8 90.3 9,0 93,7 Jumlah 15,5 220,1 20,0 293,8 21,4 383,9 Catatan: Data Olahan b. Daftar Kontingensi Untuk data yang terdiri atas dua faktor atau dua variabel, dimana faktor yang satu terdiri atas b kategori dan lainnya terdiri atas k kategori, dapat dibuat daftar kontingensi berukuran b×k dengan b menyatakan baris dan k menyatakan kolom. Contoh sebagai berikut: Banyak Murid Sekolah di Daerah A menurut Tingkat Sekolah dan Jenis Kelamin pada tahun 2020-2022 Tingkat Sekolah Jenis Kelamin SD SMP SMA Jumlah Laki-laki 4.758 2.795 1.459 9.012 Perempuan 4.032 2.116 1.256 7.404 Jumlah 8.790 4.911 2.715 16.416 Catatan: Data Olahan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 127 c. Daftar Distribusi Frekuensi Data kuantitatif uang dapat dibuat menjadi beberpa kelompok. Contoh data jumlah mahasiswa IKIP Budi Utomo dilihat dari faktor umur Daftar Mahasiswa IKIP Budi Utomo berdasarkan Umur pada Tahun 2021 UMUR BANYAK MAHASISWA 17 – 20 21 – 24 25 – 28 29 – 32 33 – 36 1.172 2.758 2.976 997 205 Jumlah 8.108 Catatan: Data Olahan 2. Grafik atau Diagram Terdapat beberapa jenis diagram atau grafik. Pada materi ini akan dibahas 3 jenis grafik atau diagram, yaitu: a. Diagram Batang Data yang variabelnya berbentuk kategori atau atribut sangat tepat disajikan dalam diagram batang. Untuk menggambar diagram batang diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Kedua sumbunya dibagi menjadi beberapa skala, tetapi tidak perlu sama skalanya. Jika diagram dibuat tegak, maka sumbu datar menyatakan atribut atau waktu, sedangkan sumbu tegak menyatakan kuantum atau nilai data. Contoh data banyaknya murid di Blimbing berdasarkan jenis kelamin dan tingkat sekolah di tahun 2020
128 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH b. Diagram Baris Untuk menggambarkan yang serba terus atau berkesinambungan. Diperlukan sumbu tegak dan sumbu datar yang saling tegak lurus. Sumbu datar menyatakan waktu, sedangkan sumbu tegaknya menyatakan kuantum data tiap waktu. Contoh diagram baris SD SMP SMA Laki-laki 4758 2795 1459 Perempuan 4032 2116 1256 0 2000 4000 6000 Banyak Murid Banyak Murid di Blimbing berdasarkan Gender dan Tingkat Sekolah Tahun 2020 Laki-laki Perempuan SD SMP SMA Laki-laki 4758 2795 1459 Perempuan 4032 2116 1256 0 5000 Banyak Murid Banyak Murid di Blimbing berdasarkan Gender dan Tingkat Sekolah Tahun 2020 Laki-laki Perempuan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 129 c. Diagram Lingkaran Untuk membuat diagram lingkaran, gambarkan sebuah lingkaran, kemudian dibagi menjadi beberapa sektor. Tiap sektor melukiskan kategori data yang terlebih dahulu diubah kedalam derajat. Dianjurkan untuk pembagian mulai dari titik tertinggi lingkaran. Diagram ini digunakan untuk melukiskan data atribut. Contoh Data Keperluan Biaya Produksi Tiap Pos PROJECT: Pos A 28% Pos B Pos C 18% 14% Pos D 22% Pos E 18% Keperluan Biaya % Pos A Pos B Pos C Pos D Pos E Buatlah data yang berisi tentang informasi jumlah mahasiswa yang ada ada di kelas kalian. Pilih minimal dua kategori dari list kategori berikut: a. Jenis Kelamin b. Umur c. Tinggi Badan d. Berat Badan e. Hobi f. Tempat Tinggal Sajikan data yang sudah kalian kumpulkan ke dalam bentuk Daftar atau tabel dan diagram!
130 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH D. Distribusi Data 1. Distribusi Frekuensi Distribusi Frekuensi yaitu pengelompokan data ke dalam beberapa kelompok (kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk kedalam tiap kelas. a. Distribusi Frekuensi Kualitatif Perhatikan tabel pembelian Smartphone berikut: Samsung Apple Xiaomi Vivo Oppo Samsung Xiaomi Apple Apple Vivo Vivo Samsung Vivo Oppo Apple Apple Vivo Oppo Samsung Oppo Samsung Oppo Apple Xiaomi Samsung Oppo Apple Vivo Apple Samsung Xiaomi Samsung Oppo Samsung Xiaomi Samsung Vivo Apple Oppo Apple Vivo Apple Oppo Vivo Samsung Samsung Oppo Samsung Apple Oppo Tabel di atas merupakan data kualitatif 50 orang pembeli smartphone dari lima jenis perusahaan smartphone. Dari data tersebut kesulitan untuk mengetahui dengan cepat, jenis smartphone, mana yang paling banyak diminati pembeli. Untuk itu perlu disajikan dalam distribusi frekuensi. Tabel Distribusi Frekuensi Pembelian Smartphone dari 5 Merk Merk Smartphone Frekuensi Samsung 13 Apple 12 Xiaomi 5 Vivo 9 Oppo 11 Jumlah 50
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 131 Tabel di atas menyajikan hasil distribusi frekuensi yang dilakukan. Dari tampilan tabel distribusi dapat diketahui dengan cepat bahwa Apple merupakan jenis komputer yang paling banyak peminatnya 2. Distribusi Frekuensi Data Kuantitatif Ada 3 hal yang perlu di perhatikan dalam menentukan kelas bagi distribusi frekuensi untuk data kuantitatif, yaitu jumlah kelas, lebar kelas dan batas kelas a. Jumlah Kelas Jumlah kelas sebaiknya antara 7 dan 15 . Rumus untuk menentukan banyaknya kelas sebagai berikut: k = 1 + 3,322 log n dimana k = banyaknya kelas n = banyaknya nilai observasi Rumus tersebut diberi nama Kriterium Sturge dan merupakan suatu perkiraan tentang banyaknya kelas. Misalnya, data dengan n = 100, maka banyaknya kelas k adalah sebagi berikut : k = 1 + 3,322 log 100 = 1 + 3,322 (2) = 7,644 Jadi, banyaknya kelas sebaiknya 7 b. Interval Kelas Disarankan interval atau lebar kelas adalah sama untuk setiap kelas. Untuk menentukan besarnya kelas (panjang interval) digunakan rumus : = − 1 Dimana: c = perkiraan banyaknya k = banyaknya kelas
132 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Xn = Nilai observasi terbesar X1 = Nilai observasi terkecil Contoh: Diberikan data berikut ini 75 86 66 86 50 78 66 79 68 60 80 83 87 79 80 77 81 92 57 52 58 82 73 95 66 60 84 80 79 63 80 88 58 84 96 87 72 65 79 80 86 68 76 41 80 40 63 90 83 94 76 66 74 76 68 82 59 75 35 34 65 63 85 87 79 77 76 74 76 78 75 60 96 74 73 87 52 98 88 64 76 69 60 74 72 76 57 64 67 58 72 80 72 56 73 82 78 45 75 56 Jumlah kelas: k = 1 + 3,322 log 100 = 1 + 3,322 (2) = 7,644 Jadi, banyaknya kelas sebaiknya 7 Interval kelas: = 98 − 34 7 = 9,14 ≈ 9 Jadi interval kelas sebaiknya 9 Menentukan Batas Kelas (Class Limits) Batas Kelas adalah nilai-nilai terluar (terendah) atau tertinggi dari suatu kelas. Langkah pertama dalam pembentukan kelas adalah menentukan batas-batas kelas dari kelas terbawah (kelas pertama). Kelas-kelas yang akan kita buat dalam distribusi frekuensi tersebut harus memuat seluruh data observasi yaitu nilai observasi terendah akan masuk dalam
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 133 kelas pertama dan nilai tertinggi dari observasi tersebut akan masuk dalam kelas terakhir dari distribusi frekuensi. Kelas ke Batas Kelas Modal Frekuensi 1 30 – 39 2 2 40 – 49 3 3 50 – 59 11 4 60 – 69 20 5 70 – 79 32 6 80 – 89 25 7 90 – 99 7 Pembatas-pembatas Kelas (Class Boundaries) Pembatas-pembatas kelas adalah nilai nilai khusus sepanjang sebuah skala pengukuran yang memisahkan dua kelas yang berdampingan. Tbk = bbk – 0,5 (skala terkecil) Tak = bak + 0,5 (skala terkecil) Dimana, Tbk = Tepi bawah kelas Bbk = Batas bawah kelas Tak = Tepi atas kelas Bak = Batas atas kelas Kelas ke Batas Kelas Modal Pembatas-pembatas kelas 1 30 – 39 29,5 – 39,5 2 40 – 49 39,5 – 49,5 3 50 – 59 49,5 – 59,5 4 60 – 69 59,5 – 69,5 5 70 – 79 69,5 – 79,5 6 80 – 89 79,5 – 89,5 7 90 – 99 89,5 – 99,5
134 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 3. Jenis Distribusi Frekuensi a. Distribusi Frekuensi Kumulatif Adalah suatu daftar yang memuat frekuensi-frekuensi kumulatif, jika ingin mengetahui banyaknya observasi yang ada diatas atau dibawah suatu nilai tertentu. Distribusi Frekuensi komulatif kurang dari (dari atas) adalah suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya Distribusi Frekuensi komulatif lebih dari (dari bawah) adalah suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya b. Distribusi Frekuensi Relatif Adalah perbandingan daripada frekuensi masing-masing kelas dan jumlah frekuensi seluruhnya dan dinyatakan dalam persen. E. Diagram Pencar Dan Hubungan-Hubungan Diagram pencar atau diagram scatter digunakan saat perlu menyajikan data yang terdiri atas dua variabel kuantitatif atau sering juga disebut sebagai data bivariat. Variabel independen adalah variabel yang akan digunakan untuk membuat prediksi terhadap nilai variabel dependen. Variabel independen digambarkan pada bagian sumbu X di diagram pencar, sedangkan banyak subscribers disebut sebagai variabel dependen. Variabel dependen adalah variabel yang nilainya dipengaruhi oleh variabel independen. Variabel dependen digambarkan pada sumbu Y di diagram pencar. Hal lain yang perlu dibedakan adalah konsep korelasi dan sebab-akibat. Dua variabel dikatakan mempunyai hubungan sebabakibat jika perubahan pada salah satu variabel mengakibatkan perubahan pada variabel lainnya. Hanya karena dua variabel
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 135 memiliki korelasi, tidak berarti selalu ada hubungan sebab-akibat pada keduanya, karena korelasi hanya melihat pada polanya. Gambar. Kemungkingan Hubungan antara variabel x dan variable y jika digambarkan kedalam diagram pencar (Supranto, 2016) Pola hubungan dari grafik-grafik tersebut. Pada Grafik a, b, c terlihat bahwa peningkatan nilai y sejalan dengan peningkatan nilai x. Apabila nilai x meningkat, maka nilai y pun meningkat, dan sebaliknya. Dari Grafik a sampai c, sebaran titiktitik pasangan data semakin mendekati bentuk garis lurus yang menunjukkan bahwa keeratan hubungan antara variabel x dan y semakin kuat (sinergis). Hal yang sebaliknya terjadi pada Grafik d, e, dan f. Peningkatan nilai
136 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH y tidak sejalan dengan peningkatan nilai x .Peningkatan salah satu nilai menyebabkan penurunan nilai pasangannya. Sekali lagi tampak bahwa kekuatan hubungan antara kedua variabel dari d menuju f semakin kuat. Berbeda dengan grafik sebelumnya, pada Grafik g tidak menunjukkan adanya pola hubungan linier antara kedua variabel. Hal ini menandakan bahwa tidak ada korelasi di antara kedua variabel tersebut. Terkahir, pada Grafik h kita bisa melihat adanya pola hubungan di antara kedua variabel tersebut, hanya saja polanya bukan dalam bentuk hubungan linier, melainkan dalam bentuk kuadratik. Kegunaan dari diagram pencar adalah : 1. Membantu menunjukkan apakah terdapat hubungan yang bermanfaat antara dua variable 2. Membantu menetapkan tipe persamaan yang menunjukkan hubungan antara kedua variabel tersebut 3. Menentukan persamaan garis regresi atau mencari nilai-nilai konstan
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 137 PELUANG eferensi untuk peluang (probabilitas) semuanya ada di sekitar kita: ramalan cuaca memprediksikan 60 persen kemungkinan bersalju; peneliti medis memprediksikan orang-orang dengan diet tertentu mempunyai kemungkinan yang tinggi untuk terkena penyakit jantung; maskapai penerbangan, dalam upaya untuk meyakinkan kepercayaan publik pada penerbangan udara, menghitung kemungkinan dari jumlah orang yang meninggal dalam kecelakaan pesawat adalah 1 berbanding 10.000.000. Simulasi situasi kompleks sering didasarkan pada probabilitas dan lalu digunakan dalam proses rancangan pada banyak hal seperti pesawat ruang angkasa, jalan layang, dan saluran drainase, atau rencana reaksi atas bencana alam (Walle, 2008). Karena ide-ide dan metode-metode peluang sangat umum dalam dunia kita saat ini, cabang ilmu matematika ini semakin banyak diulas pada kurikulum sekolah. Konsep-konsep peluang realistis membutuhkan banyak pengembangan sebelum anak-anak siap untuk membangun ide-ide formal tentang probabilitas dari kejadian yang akan datang. Pengembangan ini terbaik muncul ketika anak-anak mempertimbangkan dan berdiskusi dengan sebaya mereka hasil-hasil pemikiran beragam situasi probabilistik. Penekanan seharusnya lebih pada eksplorasi daripada aturan-aturan dan definisi-definisi formal. Jika ini berjalan baik, pengalaman informal ini akan memberikan dasar yang bermanfaat di mana lebih banyak ide-ide formal dapat dikembangkan. Tanpa eksplorasi ini, siswa akan menemukan kesulitan untuk beralih dari logika yang relatif sederhana (dan kadang salah) pada sekolah dasar ke logika yang lebih formal yang akan dikembangkan setelah sekolah tingkat menengah. R
138 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Peluang tidak mempunyai memori. Untuk percobaan-percobaan berulang dari eksperimen sederhana, hasil-hasil dari percobaan sebelumnya tidak berdampak pada percobaan berikutnya. Peluang munculnya enam gambar berturut-turut tidak berefek mendapatkan gambar pada lemparan berikutnya dari sebuah koin. Peluangnya tetap 50- 50. Peluang kejadian masa depan akan terjadi dapat dicirikan sepanjang garis dari yang tidak mungkin sampai yang pasti terjadi. Peluang dari sebuah kejadian merupakan sebuah bilangan antara 0 dan 1 yang merupakan ukuran dari kemungkinan di mana kejadian akan terjadi. Peluang 0 mengindikasikan kemustahilan dan 1 mengindikasikan kepastian. Peluang mengindikasikan peluang sama besar munculnya kejadian. Frekuensi relatif dari hasil kejadian (probabilitas eksperimen) dapat digunakan sebagai taksiran dari peluang eksak sebuah kejadian. Semakin besar jumlah percobaan, semakin baik taksiran. Hasil-hasil untuk jumlah percobaan yang kecil dapat sangat berbeda dengan yang dialami dalam jangka panjang. Untuk beberapa kejadian, peluang yang eksak dapat ditentukan dengan analisis dari kejadian itu sendiri. Peluang yang ditentukan dalam cara ini disebut "probabilitas teoretis". Simulasi merupakan sebuah teknik yang digunakan untuk menjawab pertanyaan dunia-nyata atau membuat keputusan dalam situasi kompleks di mana unsur peluang terlibat. Untuk melihat apa yang mungkin terjadi pada kejadian sebenarnya, model harus dirancang dengan peluang yang sama dengan situasi sebenarnya. Hubungan Materi Matematika Peluang dan analisis data sudah sejak lama terhubungkan ketika membicarakan tentang kurikulum matematika dan ada hubungan matematis nyata ketika siswa beranjak ke tingkat lebih tinggi. Untuk sebagian besar tingkat dasar, hubungan- hubungannya dengan bidangbidang lain.
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 139 ■ Pecahan dan Persen: Karena peluang diukur dengan bilangan antara 0 dan 1, ada hubungan alami dengan ide-ide ini. Siswa dapat melihat bagian- bagian pecahan dari pemutar atau himpunan pencacah dalam sebuah tas dan menggunakan pecahan-pecahan ini untuk menentukan peluang. Persen sangat bermanfaat karena persen merupakan pembilang persekutuan yang paling mudah untuk menbandingkan rasio yang tidak mempunyai total yang sama (contoh, pemutaran 7 tiga kali dalam 20 keliling pertama, atau 15% dan 16 kali dalam 80 keliling, atau 20%). ■ Rasio dan Proporsi: Membandingkan peluang sering melibatkan membandingkan rasio yang merupakan bagian-bagian dari keseluruhan yang berbeda seperti pada contoh yang baru saja dipaparkan. Untuk memahami perbandingan ini membutuhkan penalaran proporsional. ■ Analisis Data: Ketika membuat eksperimen peluang, hasil-hasilnya merupakan data-sampel dari eksperimen yang secara teoretis tak berhingga yang dapat diselesaikan. Semakin banyak percobaan dilakukan, semakin baik frekuensi teramati akan mendekati peluang sebenarnya. Pada situasi sebaliknya, pengumpulan data dan penemuan garis pengepas merupakan kegiatan analisis-data. Semakin besar ukuran sampel, semakin besar probabilitasnya hubungan yang diamati mencerminkan populasi sebenarnya. Probabilitas pada Kontinum Konsep anak-anak tentang kemungkinan dari sebuah kejadian masa depan seringkali membingungkan bagi orang dewasa. Anak-anak dapat sangat yakin bahwa putaran berikutnya dadu akan 3 "karena saya hanya tahu itu akan terjadi" atau "karena 3 adalah angka keberuntungan saya". Perhatikan bagaimana asyiknya anak-anak pra-TK atau TK menemukan permainan tentang peluang seperti Oldmaid atau Candyland. Permainan peluang ini menjadi tak habis- habis karena anak-anak tidak mengerti bahwa peluang acak membuat setiap pemain sama-sama mungkin untuk menang. Agaknya, kemenangan membuat mereka bangga.
140 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH Untuk mengubah kesalahan konsep awal ini, tempat yang baik untuk memulai adalah dengan nilai-nilai ekstrim pada continuum. Kegiatan berikut dibentuk untuk tujuan tersebut. Pada persiapan untuk kegiatan ini, lakukan diskusi dengan menggunakan kata-kata tidak mungkin dan pasti. Kata pasti akan lebih sulit untuk anak-anak. Ini berarti "yakin mutlak". Ini merupakan lawan eksak dari tidak mungkin. Kegiatan: Apakah Mungkin? Mintalah siswa untuk menilai beberapa kejadian sebagai pasti, tidak mungkin, atau mungkin ("bisa saja terjadi"). Perhatikan contohcontoh ini: • Besok akan hujan. • Jatuhkan batu ke dalam air dan batu akan tenggelam. • Pohon akan bicara dengan kita pada sore hari. Matahari akan terbit besok pagi. • Tiga siswa akan absen besok. • George akan tidur sebelum pukul 08.30 malam ini. Anda akan mempunyai dua kali ulang tahun pada tahun ini. Minta anak-anak menggambarkan atau membuat ke- jadiankejadian yang pasti, tidak mungkin, atau mungkin. Untuk setiap kejadian, mereka harus mengargumentasi- kan penaksiran kemungkinan mereka. Ide penting untuk mengembangkan probabilitas atau peluang pada continuum yaitu membantu anak-anak melihat bahwa beberapa kejadian yang mungkin ini adalah lebih mungkin atau kurang mungkin daripada yang lain. Misalnya, jika sebuah kelompok siswa berlomba lari, kemungkinan bahwa Gregg, pelari sangat cepat, akan jadi juara belum tentu tetapi sangat mungkin. Lebih mungkin Gregg akan dekat dengan kelompok depan daripada dekat dengan kelompok belakang. Penggunaan alat-alat acak yang dapat dianalisis (misalnya pemutar, dadu nomor, koin yang dilempar, dadu berwarna yang digambar dari tas) dapat membantu siswa memprediksi kemungkinan sebuah kejadian. Kegiatan atau variasi berikut sebaiknya diulang sesering
KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH 141 mungkin menggunakan alat-alat sampel acak yang sama dan juga dengan beraneka alat. Kegiatan: Berlomba sampai Atas Dua pemain bergantian memutar putaran dengan dua hasil. Setiap permainan membutuhkan kertas catatan sederhana dengan sepuluh baris atau ruang. Gambar 23.1 menunjukkan kertas untuk pemutar dua-warna. Pada versi permainan yang paling sederhana, gunakan satu pemutar saja: satu-perempat merah dan tiga- perempat biru. Sebelum bermain, tiap siswa mem- prediksi warna mana yang akan menang, merah atau biru. (catat bahwa yang menang adalah warna, bukan pemain!) Setelah tiap putaran, tanda X digambarkan pada kolom yang tepat. Permainan dilanjutkan sampai sebuah warna mencapai bagian atas bagan. Siswa sebaiknya memainkan "Berlomba sampai Atas" beberapa kali. Setelah semua siswa bermain, tanyakan "Warna apa yang paling sering menang? Mengapa pikir begitu? Jika kalian mainkan lagi, warna apa yang kalian pikir akan menang?". Kegiatan: Tambahkan, lalu Hitung Buatlah dadu-dadu bilangan dengan sisi-sisi sebagai berikut: 1, 1, 2, 3, 3, 3. Tiap permainan membutuhkan dua dadu. Siswa bergantian melempar dua dadu dan mencatat jumlah dari dua bilangan. Untuk mencatat hasil-hasilnya, gunakan kertas hitungan dengan lima baris dari sepuluh kotak, tiap baris untuk masing-masing jumlah dari 2 sampai 6. Siswa terus melempar dadu sampai salah satu baris penuh. Mereka dapat mengulang permainan pada kertas hitungan baru selama waktunya cukup. Penting untuk berbicara dengan siswa setelah mereka bermain "Tambahkan, lalu Hitung". Bilangan mana yang "menang" paling sering dan yang paling jarang? Jika mereka main kembali, manakah bilangan yang mereka perkirakan menang dan mengapa? Lebih jauh lagi, semua hasil, 2 sampai 6, adalah mungkin. Jumlah dari 4 kemungkinannya paling besar. Jumlah 2 atau 3 kemungkinannya paling kecil. Namun, karena ada beberapa siswa yang akan menganalisis hasil yang mungkin, dugaan
142 KAJIAN MATEMATIKA SEKOLAH mereka akan permainan selanjutnya akan memberitahukan Anda lebih banyak informasi tentang pemahaman probabilitas mereka. Siswa yang mengamati bahwa 4 sering muncul dan, karenanya, adalah pilihan terbaik untuk menang akan mengabaikan ide subjektif awal tentang keberuntungan atau bahwa peluang mempunyai memori. Ingat! Ide-ide siswa tentang peluang harus berkembang dari pengalaman. Penjelasan dari guru kemungkinan hanya akan memberikan. pemahaman dangkal. Selama diskusi, tugas Anda adalah mengeluarkan ide-ide mereka, bukan menjelaskan atau menawarkan penilaian. Ide pokok yang Anda cari adalah pertumbuhan dari kepercayaan pada kebetulan murni atau keberuntungan ke keadaan di mana siswa mulai memahami bahwa beberapa hasil jelas lebih atau kurang mungkin terjadi dibandingkan yang lain apap pun keberuntungannya. Jika Anda merasa bahwa sejenis pertumbuhan ini telah muncul, pencapaian signifikan telah diraih dan Anda akan mengetahui bahwa siswa Anda telah siap untuk maju dan mulai meningkatkan ide-ide mereka tentang peluang. Kontinum Probabilitas Untuk mulai meningkatkan konsep bahwa beberapa kejadian lebih atau kurang mungkin terjadi dibandingkan lainnya, perkenalkan ide tentang kontinum probabilitas antara kemustahilan dan kepastian. Gambar garis panjang pada papan tulis. Labeli ujung kiri "Mustahil" dan ujung kanan "Pasti". Tulis "Peluang Memutar Biru" di atas garis. Sebut ini "garis probabilitas" atau "garis peluang". Berikutnya, tunjukkan siswa sebuah pemutar yang semuanya berwarna kuning. "Apakah kemungkinan memutar biru dengan pemutar ini?" Tandai ujung kiri dari garis probabilitas untuk menunjukkan kemungkinan ini. Ulangi dengan pemutar yang semuanya biru, mengindikasikan ujung kanan, dilabeli Pasti. Berikutnya, tunjukkan pemutar dengan separuh biru dan separuh kuning. "Apakah kemungkinan memutar biru pada pemutar ini?" Diskusi