Strategi A+ Ting 4 - Matematik

49 (i) Nyatakan bilangan sisi bagi setiap poligon sekata itu. State the number of sides for each of the regular polygons. [3 markah/marks] (ii) Buat satu kesimpulan umum secara induktif untuk sudut pedalaman poligon sekata dengan n sisi. Make a general conclusion by the induction for the interior angle of a regular polygon with n sides. [2 markah/marks] (a) Palsu/False. –6 , 2 (b) Jika/If q – p . 0, maka/then p , q. (Benar/True) (c) (ii) Sudut pedalaman poligon sekata dengan n sisi ialah (n – 2) × 180o n , dengan keadaan n = 3, 4, 5, ... The interior angle of a regular polygon with n sides is (n – 2) × 180° n , where n = 3, 4, 5, ... 5 Guru membahagikan murid kepada dua kumpulan, A dan B. Kumpulan A diberikan beberapa batang mancis, manakala kumpulan B mendapat beberapa keping cakera. Kedua-dua kumpulan itu dikehendaki membina satu pola menggunakan bahan yang diberi. A teacher divides pupils into two groups, A and B. Group A is given some matchsticks, meanwhile group B is given some discs. Both groups are required to construct a pattern using the items given. (a) Rajah 1 menunjukkan corak yang dibina oleh kumpulan A menggunakan beberapa batang mancis. Diagram 1 shows the patterns built by group A using some matchsticks. Corak/Pattern 1 Corak/Pattern 2 Corak/Pattern 3 Rajah 1/Diagram 1 (i) Cari bilangan batang mancis untuk corak 4 dan corak 5. KBAT Mengaplikasi Find the number of matchsticks for pattern 4 and pattern 5. [3 markah/marks] (ii) Buat satu kesimpulan secara induktif bilangan batang mancis untuk corak n. KBAT Menilai Make a conclusion by induction of the number of matchsticks for pattern n. [1 markah/mark] (b) Rajah 2 menunjukkan pola bagi cakera yang dihasilkan oleh kumpulan B. Diagram 2 shows the patterns of discs formed by group B. Cakera Disc Rajah 2/Diagram 2 (i) Berapakah bilangan cakera yang diperlukan untuk membina pola yang ke-8? KBAT Mengaplikasi How many discs are required to build the 8th pattern? [3 markah/marks] (ii) Buat satu kesimpulan secara induktif tentang bilangan cakera yang diperlukan untuk membina pola ke-n. KBAT Menganalisis Make a conclusion by induction about the number of discs needed to build the nth pattern. [1 markah/mark] Strategi A+ Maths F4-B3 4th.indd 49 11/10/2023 2:49:11 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

50 1 Encik Seng membeli sebuah rumah dengan harga RM180 000. Setiap tahun, nilai rumah itu meningkat sebanyak 5%. Nilai rumah itu selepas n tahun boleh dihitung menggunakan rumus: Mr Seng bought a house for RM180 000. Every year the value of the house appreciated by 5%. The value of the house after n years can be calculated using the formula: V = A(1.05)n dengan keadaan A ialah harga asal rumah, V ialah harga rumah selepas n tahun. where A is the original price of the house, V is the price of the house after n years. (a) Hitung harga rumah itu selepas 6 tahun. KBAT Mengaplikasi Calculate the price of the house after 6 years. (b) Dia menjual rumahnya selepas 4 tahun. Hitung peratus keuntungan yang diperoleh Encik Seng. He sold the house after 4 years. Calculate the percentage of profit gained by Mr Seng. (a) n = 6 V = (180 000)(1.05)6 = RM241 217.22 (b) n = 4 V = (180 000)(1.05)4 = RM218 791.125 RM218 791.125 – RM180 000 RM180 000 × 100% = 21.55% (a) (i) Corak/Pattern 1 2 3 4 5 Bilangan mancis Number of matchsticks 4 7 10 13 16 +3 +3 +3 +3 (ii) Corak ke-n/nth pattern 3n + 1, n = 1, 2, 3, ... (b) (i) Corak/Pattern 1 ⇒ 1 = 12 Corak/Pattern 2 ⇒ 4 = 22 Corak/Pattern 3 ⇒ 9 = 32 ∴ 82 = 64 cakera/discs (ii) Pola ke-n/nth pattern = n2 , n = 1, 2, 3, ... Zon KBAT Strategi A+ Maths F4-B3 4th.indd 50 11/10/2023 2:49:11 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

51 Persilangan Set Intersection of Sets 4.1 1 Persilangan antara dua set, A dan B, atau A  B ialah satu set yang terdiri daripada unsur-unsur sepunya bagi set A dan B. The intersection of two sets, A and B, or A  B is a set of common elements for sets A and B. Contohnya/For example, A = {1, 2, 4, 6, 7, 8} B = {2, 3, 4, 6, 8, 10} 2, 4, 6 dan 8 ialah unsur sepunya dalam set A dan B. 2, 4, 6 and 8 are common elements in sets A and B. ∴ A  B = {2, 4, 6, 8} n(A  B) = 4 2 Persilangan set boleh ditakrifkan dengan pelbagai perwakilan. The intersection of sets can be defined using various representations. A  B = {2, 4, 6, 8} Penyenaraian/Listing = {Nombor genap dari 1 hingga 8} Dengan perihalan/By description {Even numbers from 1 to 8} = {x : 2 ≤ x ≤ 8, x ialah nombor genap} Tatatanda pembina set/Set builder notation {x : 2 ≤ x ≤ 8, x is an even number} 3 Persilangan set boleh diwakilkan menggunakan gambar rajah Venn. Intersection of sets can be represented by using a Venn diagram. A B A  B A B C A  B  C 4 Pelengkap bagi set P  Q, yang ditandakan dengan simbol (P  Q)’, ialah set unsur yang tidak terdapat dalam P  Q. The complement of set P  Q, denoted by the symbol (P  Q)’, is the set of elements that are not in P  Q. Kesatuan Set Union of Sets 4.2 1 Kesatuan antara set A atau B, A  B, ialah satu set yang terdiri daripada semua unsur set A atau B atau kedua-duanya. The union of sets A or B, A  B, is the set which consists of all elements of set A or set B or both. A B A B A B C A B C A  B A  B A  B  C A  B  C 2 Pelengkap bagi set P  Q, yang ditandakan dengan simbol (P  Q)’, ialah set unsur yang tidak terdapat dalam P  Q. The complement of set P  Q, denoted by the symbol (P  Q)’, is the set of elements that are not in P  Q. P Q (P  Q)ʹ ξ ξ P Q P Q (P  Q)ʹ (P  Q)ʹ Bab 4 Operasi Set Operation on Sets Bidang Pembelajaran: Matematik Diskret Revisi Pantas Tip Bestari Bilangan unsur bagi set A dan B diwakili oleh n(A  B). Number of element in sets A and B is written as n(A  B). Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 51 11/10/2023 2:53:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

52 1 S = {a, b, c, d, e, f} T = {b, c, e, g, h} U = {c, d, e, h, k} S  T  U = {c, e} 2 V = {8, 10, 12, 14, 16, 18} W = {12, 13, 16, 17, 19} X = {10, 14, 18, 22} V  W  X = { } 3 X = {nombor nisbah/rational numbers} Y = {0.5, 1, 1.5 , 2, 2.5} Z = {integer} X  Y  Z = {1, 2} Latihan 2 Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : x ialah nombor bulat, 1 < x < 10}, set A = {x : x ialah nombor genap}, set B = {x : x ialah gandaan 4}, dan set C = {x : x ialah nombor perdana}. Nyatakan bilangan unsur bagi set yang berikut. TP 2 It is given that the universal set, ξ = {x : x is a whole number, 1 < x < 10}, set A = {x : x is an even number}, set B = {x : x is a multiple of 4 } and set C = {x : x is a prime number}. State the number of elements of the following sets. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set. 1 n(A  B) ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {4, 8] C = {2, 3, 5, 7} A  B = {4, 8} n(A  B) = 2 2 n(A  C) A  C = {2} n(A  C) = 1 3 n(A  B  C) A  B  C = { } n(A  B  C) = 0 Latihan 3 Cari persilangan antara set berikut. TP 2 Find the intersection of the following sets. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set. 1 A = {2, 3, 6, 7, 9} B = {1, 2, 4, 6, 7, 8} A  B = {2, 6, 7} 2 C = {m, a, t, c, h} D = {a, c, e, s} C  D = {a, c} 3 E = {4, 6, 8, 10} F = {2, 3, 5, 7, 9} E  F = { } 4 G = {nombor perdana/prime numbers} H = {1, 2, 3, 4, 5, 6} G  H = {2, 3, 5} Latihan 1 Cari persilangan antara set berikut. TP 2 Find the intersection of the following sets. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set. 4.1 Persilangan Set/Intersection of Sets Praktis PBD Contoh 1 Contoh 3 (a) P = {a, b, c, d, e} Q = {a, e, i, o, u} Penyelesaian ∴ P  Q = {a, e} (b) P = {1, 2, 4, 8} Q = {1, 2, 4, 8, 16} Penyelesaian ∴ P  Q = {1, 2, 4, 8} (a) A = {1, 2, 5, 10} B = {1, 2, 4, 5} C = {1, 2, 3, 5, 6} Penyelesaian ∴ A  B  C = { 1, 2, 5} Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 52 11/10/2023 2:53:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

53 Latihan 4 Senaraikan semua unsur bagi persilangan antara set berikut. Seterusnya, nyatakan bilangan unsur dalam persilangan set-set itu. TP 3 List the elements of the following intersection of sets. Hence, state the number of elements of the intersection of sets. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set untuk melaksanakan tugasan mudah. (a) P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Q = {2, 3, 5, 7} R = {1, 3, 5, 7, 9} Penyelesaian ∴ P  Q  R = {3, 5} n(P  Q  R) = 2 (b) P = {a, b, c, d, e, f} Q = {b, c, d, g, h} R = {c, d, e, h, k} Penyelesaian ∴ P  Q  R = {c, d} n(P  Q  R) = 2 1 A = {1, 2, 5, 10} B = {1, 2, 4} C = {1, 2, 3, 6} A  B  C = {1, 2} n(A  B  C) = 2 2 D = {s, u, l, i, t} E = {s, u, k, a} F = {s, u, t, e, r, a} D  E  F = {s, u} n(D  E  F) = 2 3 G = {10, 12, 14, 16} H = {12, 13, 16, 17, 19} I = {10, 12 13, 14, 16} G  H  I = {12, 16} n(G  H  I) = 2 4 J = {nombor nisbah/rational numbers} K = {0.5, 1, 1.5, 2, 2.5} L = {0.5, 2, 2.5, 3.5} J  K  L = {0.5, 2, 2.5} n(J  K  L) = 3 5 P = {1, 2, 4, 8} Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} R = {1, 2, 4, 8, 10} P  Q  R = {1, 2, 4} n(P  Q  R) = 3 6 S = {b, e, r, s, a, t, u} T = {p, a, d, u} U = {t, e, g, u, h} S  T  U = {u} n(S  T  U) = 1 Latihan 5 Cari persilangan set-set yang berikut dan wakilkan persilangan set-set itu dengan menggunakan gambar rajah Venn. TP 4 Find the intersection of the following sets and represent the intersection of the sets using Venn diagram. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 A = {2, 3, 5, 7, 11} B = {1, 3, 5, 7, 9} A  B = {3, 5, 7} • 2 • 11 • 1 • 9 A B • 7 • 3 • 5 (a) P = {1, 2, 4, 8, 16} Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Penyelesaian ∴P  Q = {1, 2, 4} (b) P = {s, o , l , i ,d} Q = {l, i , q, u, a, d} R = { i, d, e , a, s} Penyelesaian ∴ P  Q  R = {i, d} P Q R • o • l • i • d • a • u • q • e • s P Q • 8 • 3 • 6 • 12 • 1 • 2 • 16 • 4 Contoh 4 Contoh 5 Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 53 11/10/2023 2:53:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

54 2 C = {q, n, e, t} D = {p, q, r, s, t} C  D = {q, t} • n • e • p • r C D • s • q • t 3 A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {2, 5, 7, 8, 9} C = {1, 5, 7, 8, 10} A  B  C = {5, 7} • 3 • 1 • 2 • 10 A B • 8 • 9 • 5 • 7 C 4 C = {m, a, t, h, s} D = {m, a, k, e} E = {h, a, p, e} C  D  E = {a} • t • h • k • p C D • e • m E • s • a Latihan 6 Lorekkan rantau yang mewakili persilangan antara set. TP 2 Shade the region that represents the intersection of the sets. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set. 1 A  B A B 2 A  B A B 3 A  B A C B 4 A  B  C A C B 5 A  B  C A C B 6 A  B  C' A C B Contoh 6 R’ ialah pelengkap bagi set R. R’ is the complement of set R. (a) P  Q Penyelesaian (b) P  Q  R’ Penyelesaian P Q P P fi Q Q P Q P P fi Q Q R P ∩ Q ∩ R Q P P Q R P Q R P  Q  R' Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 54 11/10/2023 2:53:02 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

55 1 ξ = {1, 3, 5, 8, 12, 15} P = {3, 8, 12} Q = {3, 5, 8, 15} P  Q = {3, 8} (P  Q)’ = {1, 5, 12, 15} • 3 • 8 • 12 • 1 • 5 • 15 ξ P Q 2 ξ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} P = {huruf konsonan} {consonants} Q = {b, c, g} P = {b, c, d, f, g, h} P  Q = {b, c, g} (P  Q)’ = {a, d, e, f, h, i} • e P • i Q • d • f • h • b • c • g ξ • a 3 ξ = {x : x ialah integer positif kurang daripada 10} {x : x is a positive integer less than 10} P = {gandaan 4} {multiples of 4} Q = {gandaan 3} {multiples of 3} P = {4, 8} Q = {3, 6, 9} P  Q = ∅ (P  Q)’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ξ P Q • 4 • 8 • 2 • 3 • 6 • 9 • 1 • 5 • 7 Latihan 7 Tentukan (P  Q)’ dan lorekkan rantau yang mewakili (P  Q)’ pada gambar rajah Venn. Determine (P  Q )’ and shade the region that represents (P  Q )’ on a Venn diagram. TP 7 TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Latihan 8 Selesaikan masalah-masalah berikut. TP 4 TP 5 Solve the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Contoh 8 Satu tinjauan yang melibatkan 32 orang murid menunjukkan bahawa 22 daripadanya meminati Matematik dan 17 orang daripadanya meminati Sains. Hitung bilangan murid yang meminati A survey on 32 students shows that 22 of them like Mathematics and 17 like Science. Calculate the number of students who like (a) kedua-dua subjek, both subjects, (b) Matematik sahaja, only Mathematics, (c) Sains sahaja. only Science. Penyelesaian M = {gemar Matematik/like Mathematics} S = {gemar Sains/like Science} 22 + 17 = 39 (a) M  S = 39 – 32 = 7 (b) n(M sahaja) n(M only) = 22 – 7 = 15 (c) n(S sahaja) n(S only) = 17 – 7 = 10 M 15 S 10 7 Contoh 7 ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} P = {2, 3, 5, 7} Q = {1, 3, 5, 8} • 4 • 6 (P fi Q)' • 2 • 7 • 1 • 8 • 3 • 5 ξ P Q P  Q = {3, 5} (P  Q)’ = {1, 2, 4, 6, 7, 8} Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 55 11/10/2023 2:53:02 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

56 1 Dalam tinjauan ke atas 70 orang ahli persatuan, didapati 40 orang daripada mereka merupakan ahli Persatuan Sejarah, 34 orang merupakan ahli Persatuan Geografi dan 10 orang bukan ahli Persatuan Sejarah atau Geografi. Hitung bilangan ahli yang menyertai kedua-dua persatuan itu. In a survey on 70 members of societies, it was found that 40 of them are members of History Society, 34 are members of Geography Society and 10 are neither History nor Geography societies members. Calculate the number of members who join both societies. H G 26 14 20 10 ξ H = {Bilangan ahli Persatuan Sejarah/Number of members of History Society} G = {Bilangan ahli Persatuan Geografi/Number of members of Geography Society} Jumlah bilangan ahli H dan G:/Total number of members of H and G: 70 – 10 = 60 (40 + 34) – 60 = 74 – 60 = 14 Bilangan ahli dalam kedua-dua persatuan/Number of members in both societies = 14 2 Diberi bahawa set semesta ξ = {x : x ialah integer dengan keadaan 1 ≤ x ≤ 20}. Given that universal set ξ = {x : x is an integer such that 1 ≤ x ≤ 20}. A = {x : x ialah gandaan 4} {x : x is a multiple of 4} B = {x : x ialah kuasa dua sempurna} {x : x is a perfect square} C = {x : x ialah nombor dua digit dengan keadaan hasil tambah digit-digit itu ialah nombor ganjil} {x : x is a two-digit number such that the sum of digits is an odd number} Cari/Find (a) A  B (b) A  B  C (c) n(A  C)’ A = {4, 8, 12, 16, 20} B = {1, 4, 9, 16} C = {10, 12, 14, 16, 18} (a) A  B = {4, 16} (b) A  B  C = {16} (c) A  C = {12, 16} n(A  C) = 2 n(A  C)' = 20 – 2 = 18 3 Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan hubungan antara P, Q dan R. The Venn diagram below shows the relation between sets P, Q and R. P 5 Q R 2 3 3 4 2 6 Cari/Find (a) n(P  Q) (b) n(P  Q  R)’ (c) n(P’  Q’) (a) 5 + 3 = 8 (b) 2 + 5 + 3 + 4 + 2 + 6 = 22 (c) 6 Latihan 9 Tentukan kesatuan set-set di bawah. TP 3 Determine the union of the sets below. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set untuk melaksanakan tugasan mudah. (a) A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} Penyelesaian A  B = {1, 2, 3, 4, 5} (b) A = {a, c, f} B = {a, b, e} C = {b, c, d, e} Penyelesaian A  B  C = {a, b, c, d, e, f} 4.2 Kesatuan Set/Union of Sets Contoh 9 Tip Bestari (a) A  B ialah satu set yang terdiri daripada semua unsur set A atau B atau kedua-duanya. A  B is the set which consists of all elements of set A or set B or both. (b) A  B  C ialah satu set yang terdiri daripada semua unsur set A atau B atau C atau ketiga-tiganya. A  B  C is the set which consists of all elements of set A or set B or set C or all three sets. ξ A B ξ A B A B C A B C A  B A  B  C A  B A  B  C Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 56 11/10/2023 2:53:02 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

57 1 M = {3, 4, 7, 9} N = {2, 3, 5, 10} M  N = {2, 3, 4, 5, 7, 9, 10} 2 P = {1, 2, 3, 4, 5} Q = {2, 3, 6, 7} P  Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 3 R = {p, q, r, s, t} S = {p, r, t, u, v} R  S = {p, q, r, s, t, u, v} 4 V = {faktor bagi 12} {factors of 12} W = {faktor bagi 8} {factors of 8} V = {1, 2, 3, 4, 6, 12} W = {1, 2, 4, 8} V  W = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12} 5 X = {gandaan 3 kurang daripada 14} {multiples of 3 that are less than 14} Y = {nombor ganjil dari 5 hingga 11} {odd numbers from 5 to 11} Z = {nombor perdana kurang daripada 10} {prime numbers that are less than 10} X = {3, 6, 9, 12} Y = {5, 7, 9, 11} Z = {2, 3, 5, 7} X  Y  Z = {2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12} 6 A = {kuasa dua sempurna dari 0 hingga 30} {perfect squares from 0 to 30} B = {gandaan 4 kurang daripada 20} {multiples of 4 that are less than 20} C = {faktor bagi 12} {factors of 12} A = {1, 4, 9, 16, 25} B = {4, 8, 12, 16} C = {1, 2, 3, 4, 6, 12} A  B  C = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 25} Latihan 10 Tentukan (A  B)’ dan lorekkan rantau yang mewakili (A  B)’ pada gambar rajah Venn. Determine (A  B)’ and shade the region that represents (A  B)’ on a Venn diagram. TP 3 TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 ξ = {11, 13, 15, 16, 18, 20} A = {11, 16, 20} B = {11, 15, 16, 18} A  B = {11, 15, 16, 18, 20} (A  B)’ = {13} • 11 • 16 • 20 • 13 • 15 • 18 ξ A B 2 ξ = {integer dari 21 hingga 30} {integers from 21 to 30} A = {nombor perdana} {prime numbers} B = {22, 26, 27, 30} A = {23, 29} A  B = {22, 23, 26, 27, 29, 30} (A  B)’ = {21, 24, 25, 28} ξ A B • 23 • 21 • 24 • 25 • 28 • 29 • 22 • 26 • 27 • 30 3 ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {faktor bagi 10} {factors of 10} B = {faktor bagi 12} {factors of 12} A = {1, 2, 5} B = {1, 2, 3, 4, 6} A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (A  B)’ = {7, 8} • 5 • 8 • 3 • 6 ξ A B • 4 • 7 • 1 • 2 Contoh 10 • 5 • 9 • 3 • 7 • 4 • 2 • 6 • 8 ξ A B (A fi B)' ξ = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {3, 4, 7} B = {2, 4, 6, 8} A  B = {2, 3, 4, 6, 7, 8} (A  B)’ = {5, 9} Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 57 11/10/2023 2:53:02 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

58 Latihan 11 Lorekkan setiap gambar rajah Venn yang mewakili operasi set-set. TP 3 Shade each of the Venn diagrams representing the operations of sets. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 P  Q = ξ P P fi Q' Q 2 P  Q = ξ P P' fi Q' Q 3 P  Q = ξ P (P fi Q)’ Q 4 P  Q  R = ξ P P' fi R' Q R 5 P  Q  R = ξ P (P fi Q) ff R Q R Latihan 12 Selesaikan. TP 4 TP 5 KBAT Menilai Solve. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Contoh 11 Contoh 12 Dalam sekumpulan 40 orang murid, 12 orang murid suka membaca dan mengumpul setem. Bilangan murid yang hanya suka membaca ialah tiga kali ganda bilangan murid yang hanya suka mengumpul setem. Jika 8 orang murid tidak suka membaca atau mengumpul setem, cari bilangan murid yang suka membaca. In a group of 40 students, 12 students like reading and collecting stamps. The number of students who only like reading is thrice the number of students who only like collecting stamps. If 8 students like neither reading nor collecting stamps, find the number of students who like reading. Penyelesaian R = {Bilangan murid yang suka membaca} {Number of students who like reading} S = {Bilangan murid yang suka mengumpul setem} {Number of students who like collecting stamps} n(ξ) = 40 n(R  S) = 12 n(R  S)’ = 8 R 3x S 12 x 8 n(R  S) + 8 = 40 3x + 12 + x + 8 = 40 4x = 20 x = 5 n(R) = 3x + 12 = 3(5) + 12 = 27 (a) P  Q = ξ (b) P  Q  R = ξ P Q P'  Q P Q P  Q  R R Penyelesaian Penyelesaian P Q P'  Q P Q P  Q  R R Untuk tujuan pembelajaran Imbas kod QR atau layari https//www. youtube.com/ watch?v=Xidk M5J3OQU untuk lebih banyak latihan melorek gambar rajah Venn Video Tutorial Video Tutorial Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 58 11/10/2023 2:53:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

59 Contoh 13 1 Dalam sekumpulan murid perempuan, 25 orang murid bermain bola jaring, 21 orang murid bermain badminton dan 10 orang murid bermain bola jaring dan badminton. Jika semua murid perempuan itu bermain sekurang-kurangnya satu daripada dua permainan itu, cari bilangan murid perempuan dalam kumpulan itu. In a group of girls, 25 students play netball, 21 students play badminton and 10 students play netball and badminton. If all the girls play at least one of the two games, find the number of girls in the group. J = {bola jaring/netball} B = {badminton} n(J) = 25 n(B) = 21 n(J  B) = 10 J B 15 10 11 n(J sahaja/only) = 25 – 10 = 15 n(B sahaja/only) = 21 – 10 = 11 n(J  B) = 15 + 10 + 11 = 36 Bilangan murid perempuan = 36 Number of girls = 36 2 Diberi bahawa set semesta ξ = {x : x ialah suatu integer dengan keadaan 10 ≤ x ≤ 30}. Given that universal set ξ = {x : x is an integer such that 10 ≤ x ≤ 30}. P = {x : x ialah gandaan 3} {x : x is a multiple of 3} Q = {x : x ialah nombor perdana} {x : x is a prime number} R = {x : beza antara digit ialah 4} {x : the difference between digits is 4} Cari/Find (a) P  Q (b) Q  R (c) n(P  Q  R)’ P = {12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} Q = {11, 13, 17, 19, 23, 29} R = {15, 26} (a) P  Q = {11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 27, 29, 30} (b) Q  R = {11, 13, 15, 17, 19, 23, 26, 29} (c) n(ξ) = 21 n(P  Q  R)’ = 21 – 14 = 7 3 Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan hubungan antara set K, L dan M. The Venn diagram below shows the relationship between sets K, L and M. K 5 L M 7 3 1 2 4 Cari/Find (a) n(K  M) (b) n(K  L  M)’ (c) n(L’  M’) (a) 3 + 2 + 7 + 4 + 1 = 17 (b) 5 (c) 3 + 2 + 1 + 5 = 11 Latihan 13 Selesaikan setiap masalah yang berikut. TP 4 TP 5 Solve each of the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Diberi bahawa Given that ξ = {x : x ialah integer dan 10 ≤ x ≤ 20} {x : x is an integer and 10 ≤ x ≤ 20} A = {x : x ialah nombor perdana} {x : x is a prime number} B = {x : x ialah gandaan 2} {x : x is a multiple of 2} C = {x : x ialah nombor ganjil} {x : x is an odd number} Cari/Find (a) A  B (b) A  C (c) A  B  C’ Penyelesaian ξ = {10, 11, 12, 13, 14, …, 20} A = {11, 13, 17, 19} B = {10, 12, 14, 16, 18, 20} C = {11, 13, 15, 17, 19} (a) A  B = ∅ (b) A  C = {11, 13, 15, 17, 19} (c) A  B  C’ = {10, 12, 14, 16, 18, 20} Atau/Or A  B = { } 4.3 Gabungan Operasi Set/Combined Operations on Sets Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 59 11/10/2023 2:53:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

60 1 ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {1, 3, 4, 7} B = {2, 3, 6, 8} C = {1, 3, 5, 7, 9} Cari Find (a) A  B  C (b) B’  C (c) n(A  B  C)’ (a) A  B  C = {3} (b) B’ = {1, 4, 5, 7, 9} C = {1, 3, 5, 7, 9} B’  C = {1, 5, 7, 9} (c) (A  B  C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (A  B  C)’ = ∅ ∴ n(A  B  C) = 0 2 ξ = {x : x ialah integer dan 0 < x ≤ 10} {x : x is an integer and 0 < x ≤ 10} A = {faktor bagi 8/factors of 8} B = {gandaan 3/multiples of 3} C = {nombor perdana/prime numbers} Cari/Find (a) n(A  B) (b) A’  C (c) A  B’  C ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 4, 8} B = {3, 6, 9} C = {2, 3, 5, 7} (a) n (A  B) = 0 (b) A’ = {3, 5, 6, 7, 9, 10} C = {2, 3, 5, 7} A’  C = {2, 3, 5, 6, 7, 9, 10} (c) B’ = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} A = {1, 2, 4, 8} C = {2, 3, 5, 7} A  B’ = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} A  B’  C = {2, 5, 7} Latihan 14 Selesaikan setiap masalah yang berikut. TP 5 Solve each of the following problems. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. P 5 7 1 4 6 – x 2 Q x R Gambar rajah Venn di atas menunjukkan bilangan murid yang menggemari tiga jenis permainan. Bilangan murid yang menggemari permainan P adalah sama dengan permainan R. The Venn diagram above shows the number of students who like to play three types of games. The number of students who like to play game P is the same as game R. Cari/Find (a) nilai x, the value of x, (b) bilangan murid yang menggemari satu permainan sahaja. the number of students who like to play only one game. Penyelesaian (a) n(P) = n(R) x + 1 + 2 + 5 = 1 + x + 4 + 6 – x x + 8 = 11 x = 11 – 8 = 3 (b) Bilangan murid yang menggemari satu permainan sahaja Number of students who like to play only one game 5 + 7 + 6 – x = 5 + 7 + 6 – 3 = 15 Contoh 14 n(A  B) = {4, 5} n(A  B) ialah bilangan unsur dalam A  B. Jawapan yang betul ialah 2. n(A  B) is the number of elements in A  B. The correct answer is 2. A B • 2 • 6 • 5 • 4 • 1 • 3 Kesilapan Umum Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 60 11/10/2023 2:53:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

61 1 A 6 7 3 2 8 2 B 5 C Gambar rajah Venn di atas menunjukkan bilangan unsur bagi set A, B dan C. Diberi bahawa A  B  C = ξ. Cari The Venn diagram above shows the number of elements in sets A, B and C. Given that A  B  C = ξ. Find (a) n(A  C) (b) n(B’) (c) n(A  B)’ (d) n(A  B  C’) (a) n(A  C) = 3 + 5 = 8 (b) n(B’) = 6 + 3 + 8 = 17 (c) n(A  B)’ = 8 (d) n(A  B  C’) = 6 + 2 + 7 = 15 2 P Q R Gambar rajah Venn di atas menunjukkan hubungan antara set P, Q dan R. Diberi bahawa P  Q  R = ξ, n(P) = 11, n(R) = 4, n(P  Q) = 3 dan n(ξ) = 20. Cari The Venn diagram above shows the relationship between sets P, Q and R. Given that P  Q  R = ξ, n(P) = 11, n(R) = 4, n(P  Q) = 3 and n(ξ) = 20. Find (a) n(Q  R’) (b) n(P’) (c) n(P  R)’ (d) n(Q  R  P’) P Q 8 3 4 5 R (a) n(Q  R’) = 3 + 5 = 8 (b) n(P’) = 4 + 5 = 9 (c) n(P  R)’ = 5 (d) n(Q  R  P’) = 5 + 4 = 9 Latihan 15 Selesaikan setiap masalah yang berikut. TP 5 KBAT Mengaplikasi Solve each of the following problems. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Dalam sekumpulan 60 orang murid, 45 orang daripada mereka minat dalam Matematik dan 25 orang pula minat dalam Fizik. Jika 5 orang murid tidak berminat dalam Matematik dan Fizik, cari bilangan murid yang berminat dalam Matematik sahaja. In a group of 60 students, 45 of them are interested in Mathematics and 25 of them are interested in Physics. If 5 students like neither Mathematics nor Physics, find the number of students who are interested in Mathematics only. Penyelesaian M = {murid yang berminat dalam Matematik} {students who are interested in Mathematics} P = {murid yang berminat dalam Fizik} {students who are interested in Physics} n(ξ) = 60 n(M) = 45 n(P) = 25 n(M  P)’ = 5 ∴ n(M  P) = 45 + 25 – (60 – 5) = 15 5 30 15 10 ξ M P Maka, bilangan murid yang berminat dalam Matematik sahaja: Thus, the number of students who are interested in Mathematics only: 45 – 15 = 30 Contoh 15 A B • 1 • 3 • 5 • 4 • 2 • 6 n(A  B) = 1 + 3 + 5 + 4 + 2 + 6 = 21 ✗ n(A  B) = 6 ✓ Kesilapan Umum Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 61 11/10/2023 2:53:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

62 1 Dalam suatu peperiksaan, 30 daripada 48 orang murid dalam sebuah kelas lulus Biologi, 35 daripada mereka lulus Kimia dan 3 daripadanya gagal dalam kedua-dua mata pelajaran. In an examination, 30 of 48 students in a class passed Biology, 35 of them passed Chemistry and 3 of them failed both subjects. Diberi Given ξ = {murid di dalam kelas} {students in the class} B = {murid yang lulus Biologi} {students who passed Biology} C = {murid yang lulus Kimia} {students who passed Chemistry} (a) Cari bilangan murid yang lulus dalam kedua-dua mata pelajaran. Find the number of students who passed both subjects. (b) Lukis satu gambar rajah Venn untuk menunjukkan hubungan ξ, B dan C. Draw a Venn diagram to show the relationship between ξ, B and C. (a) n(B  C) = 30 + 35 – (48 – 3) = 65 – 45 = 20 (b) 10 3 B C ξ 20 15 2 P Q R Gambar rajah Venn di atas menunjukkan hubungan antara set P, Q dan R. Diberi P  Q  R = ξ, permudahkan setiap yang berikut. The Venn diagram above shows the relationship between sets P, Q and R. Given P  Q  R = ξ, simplify each of the following. (a) P  R (b) P’  R (c) P’  Q’  R’ (a) ∅ (b) R (c) ξ 1 Guru memilih 3 mata pelajaran yang diajar di sekolah. Teacher chooses 3 subjects taught in school. 2 Kenal pasti mata pelajaran yang diminati dalam kalangan murid di dalam kelas. Identify the favourite subject(s) among students in the class. 3 Hasil dapatan direkodkan seperti dalam jadual di bawah. The result is recorded as in the table below. (A, B dan C mewakili sebarang mata pelajaran.) (A, B and C represent any subjects.) Mata pelajaran yang diminati Favourite subjects Bilangan murid Number of students A B C A dan B sahaja/A and B only A dan C sahaja/A and C only C sahaja/C only Semua mata pelajaran/All subjects 4 Wakilkan hasil dapatan anda menggunakan gambar rajah Venn. Represent your result by using a Venn diagram. Aktiviti PAK-21 Tinjauan PdPc TP 6 Aktiviti PAK-21 Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 62 11/10/2023 2:53:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

63 1 Rajah 1 ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan unsur-unsur dalam set semesta ξ, set P dan set Q. Diagram 1 is a Venn diagram which shows the elements of the universal set ξ, set P and set Q. ξ P Q • 1 • 6 • 7 • 3 • 5 • 8 • 2 • 4 Rajah 1/Diagram 1 Senaraikan semua unsur bagi set Q’. List all the elements of set Q’. A {3, 5, 8} B {2, 4, 5, 7, 8} C {1, 2, 4, 6, 7} D {1, 6} 2 Gambar rajah Venn dalam Rajah 2 menunjukkan bilangan ahli bagi tiga persatuan. Diberi bahawa A Venn diagram in Diagram 2 shows the number of members of three societies. It is given that X = {ahli persatuan Bahasa Inggeris}, {members of English Language society}, Y = {ahli persatuan Bahasa Melayu}, {members of Malay Language society}, Z = {ahli persatuan Matematik}. {members of Mathematics society}. X Y Z 20 x 10 8x 60 Rajah 2/Diagram 2 Jika bahagian ahli persatuan Matematik ialah 1 6 bilangan ahli persatuan Bahasa Inggeris, hitung bilangan ahli yang menyertai persatuan Bahasa Melayu sahaja. If the number of members of Mathematics society is 1 6 of the number of members of English Language society, calculate the number of members joining Malay Language society only. A 68 C 108 B 48 D 118 3 Rajah 3 ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan set P, set Q dan set R, dengan keadaan set semesta, ξ = P  Q  R. Diagram 3 is a Venn diagram showing set P, set Q and set R, such that the universal set, ξ = P  Q  R. P Q R Rajah 3/Diagram 3 Apakah yang diwakili oleh kawasan berlorek? What is represented by the shaded region? A P  (Q  R) B P’  (Q  R) C P  (Q  R) D P’  (Q  R) 4 Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 1 < x < 10, x ialah integer}, F = {x : x ialah nombor perdana}, G = {2, 5, 6, 7} dan H = {x : x ialah gandaan 2}. (F  G)’  H = Given that the universal set, ξ = {x : 1 < x < 10, x is an integer}, F = {x : x is a prime number}, G = {2, 5, 6, 7} and H = {x : x is a multiple of 2}. (F  G)’  H = A {4 , 8, 10} B {1, 4, 8, 9} C {2, 5, 7} D {2, 4, 6, 8} 5 Rajah 4 ialah gambar rajah Venn dengan set semesta, ξ = J  K  L. Diagram 4 is a Venn diagram with universal set, ξ = J  K  L. J K L A B C D Rajah 4/Diagram 4 Rantau manakah, A, B, C atau D, yang mewakili set J  K’  L’? Which region, A, B, C or D, represents the set J  K’  L’? Kertas 1 Praktis Berformat SPM Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 63 11/10/2023 2:53:05 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

64 6 Rajah 5 ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan unsur bagi P, Q dan R. Diagram 5 is a Venn diagram that shows the number of elements of sets P, Q and R. P 5 7 8 6 x – 4 3 x – 2 Q R Rajah 5/Diagram 5 Diberi bahawa ξ = P  Q  R dan n(Q’) = n(P  R). Cari nilai x. It is given that ξ = P  Q  R and n(Q’) = n(P  R). Find the value of x. A 13 C 15 B 14 D 16 7 Rajah 6 ialah gambar rajah Venn bagi set ξ, R dan S. Diagram 6 is a Venn diagram of sets ξ, R and S. ξ R S Rajah 6/Diagram 6 Set R’  S’ adalah setara dengan The set R’  S’ is equivalent to A (R  S)’ C (R  S)’ B R  S D R’  S’ 8 Rajah 7 ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan set semesta ξ, set M dan set N. ξ = {murid Tingkatan 4}, M = {murid yang gemar berenang} dan N = {murid yang gemar berjoging}. Diagram 7 is a Venn diagram showing the universal set ξ, set M and set N. ξ = {Form 4 students}, M = {students who like swimming} and N = {students who like jogging}. ξ M N x Rajah 7/Diagram 7 Diberi bahawa n(ξ) = 80, n(M) = 45, n(N) = 20 dan n(M  N) = 12, cari nilai x. Given that n(ξ) = 80, n(M) = 45, n(N) = 20 and n(M  N) = 12, find the value of x. A 3 C 27 B 8 D 32 9 Diberi bahawa set semesta, ξ = K  L, set K = {a, e, i, o, u} dan set L = {b, e, o, t, u}, find the value of n(ξ). Given that the universal set, ξ = K  L, set K = {a, e, i, o, u} and set L = {b, e, o, t, u}, find the value of n(ξ). A 10 C 7 B 8 D 5 1 Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan hubungan antara set P, Q dan R. Diberi ξ = P  Q  R, n(P) = 13, n(ξ) = 24. Cari The Venn diagram below shows the relationship of sets P, Q and R. Given ξ = P  Q  R, n(P) = 13, n(ξ ) = 24. Find (a) n(R’) (b) n(P’  Q) (c) n(P  R)’ P Q R 5 5 [3 markah/marks] P Q R 8 5 6 5 (a) n(R’) = 8 + 5 + 5 = 18 (b) n(P’  Q) = 5 + 6 = 11 (c) n(P  R)’ = 5 2 Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan set P, Q dan R dengan keadaan set semesta, ξ = P  Q  R. Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan set The Venn diagram below shows sets P, Q and R such that the universal set, ξ = P  Q  R. On the diagram in the answer space, shade the set (a) P  R, P Q R (b) P  (Q  R’). P Q R [3 markah/marks] Bahagian A Kertas 2 Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 64 11/10/2023 2:53:05 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

65 3 Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan set P, Q dan R dengan keadaan set semesta, ξ = P  Q  R. Pada rajah, lorekkan set The Venn diagram below shows sets P, Q and R such that the universal set, ξ = P  Q  R. On the diagram, shade the set (a) P’, P Q R [1 markah/mark] (b) (P  R)  Q. P Q R [2 markah/marks] 4 Diberi bahawa/Given that ξ = {x : x ialah integer dan 10 ≤ x ≤ 40} {x : x is an integer and 10 ≤ x ≤ 40} A = {x : x ialah nombor perdana} {x : x is a prime number} B = {x : x mempunyai digit unit sama dengan 3} {x : x has the unit digit equals to 3} C = {x : x ialah faktor bagi 40} {x : x is a factor of 40} (a) Senaraikan unsur bagi set B dan C, List the elements of sets B and C, [1 markah/mark] (b) Cari/Find (i) A  B, (ii) n(A  B  C)’ [2 markah/marks] (a) B = {13, 23, 33} C = {10, 20, 40} (b) (i) A = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37} A  B = {13, 23} A B C 6 2 1 3 19 ξ ∴ n (A  B  C)’ = 19 (ii) 5 Gambar rajah Venn di sebelah menunjukkan bilangan ahli dalam tiga persatuan yang dipilih oleh 80 orang murid. The Venn diagram on the right shows the number of members of three societies chosen from 80 students. M = {ahli Persatuan Matematik/members of the Mathematics Society} S = {ahli Persatuan Sains/members of the Science Society} E = {ahli Persatuan Bahasa Inggeris/members of the English Language Society} Set semesta/Universal set, ξ = M  S  E Bilangan murid yang menjadi ahli Persatuan Matematik ialah dua kali bilangan murid yang menjadi ahli Persatuan Sains. The number of students who are members of the Mathematics Society is twice the number of students who are members of the Science Society. (a) Nyatakan bilangan murid yang menyertai ketiga-tiga persatuan itu. State the number of students who are members of the three societies. [1 markah/mark] (b) Hitung bilangan ahli Persatuan Sains. Calculate the number of members of the Science Society. [5 markah/marks] (c) Cari jumlah bilangan murid yang menjadi ahli Persatuan Matematik sahaja dan ahli Persatuan Sains sahaja. KBAT Mengaplikasi Find the total number of students who are members of the Mathematics Society only and members of the Science Society only. [2 markah/marks] (a) 6 orang murid/6 students (b) Jumlah bilangan murid = 80 Total number of students x + y + 52 = 80 x + y = 28 ------ ➊ y + 12 + 6 + 8 = 2(x + 12 + 6 + 3) y + 26 = 2x + 42 –2x + y = 16 ------ ➋ ➊ – ➋ 3x = 12 x = 4 12 + 6 + 3 + 4 = 25 (c) Dari/From ➊ 4 + y = 28; x = 4 y = 24 ∴ x + y = 4 + 24 = 28 M S y 12 x 6 8 3 23 E Bahagian B Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 65 11/10/2023 2:53:05 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

66 6 Dalam sebuah kelas seramai 40 orang murid, 32 orang murid lulus Fizik, 35 orang murid lulus Kimia dan 3 orang murid gagal kedua-dua mata pelajaran itu. In a class of 40 students, 32 students passed Physics, 35 students passed Chemistry and 3 students failed both subjects. (a) Lukis gambar rajah Venn untuk menunjukkan hubungan antara dua set itu. Draw a Venn diagram to show the relationship between the two sets. (b) Cari/Find (i) bilangan murid yang lulus satu mata pelajaran sahaja, the number of students who passed one subject only, (ii) bilangan murid yang lulus kedua-dua mata pelajaran tersebut. the number of students who passed both subjects. (c) 85% daripada murid dalam kelas itu lulus Biologi. Subjek manakah yang mempunyai peratus lulus tertinggi? Justifikasikan jawapan anda. 85% of the students in the class passed Biology. Which subject has the highest percentage of passes? Justify your answer. [9 markah/marks] Andaikan ξ = {jumlah bilangan murid dalam kelas} Assume that ξ = {total number of students in a class} P = {bilangan murid yang lulus Fizik/number of students who passed Physics} C = {bilangan murid yang lulus Kimia/number of students who passed Chemistry} n(ξ) = 40, n(P) = 32, n(C) = 35 n(P  C)’ = 3 (a) n(P  C‘) = 40 – 3 – 35 = 2 n(P  C) = 32 – 2 = 30 n(P‘  C) = 35 – 30 = 5 P 2 30 5 3 C ξ (b) (i) Bilangan murid yang lulus satu subjek sahaja/Number of students who passed one subject only = 2 + 5 = 7 (ii) Bilangan murid yang lulus kedua-dua mata pelajaran/Number of students who passed both subjects = 30 (c) 85% × 40 = 34 ∴n(B) = 34 n(P) = 32, n(C) = 35 Bilangan murid yang lulus Kimia adalah yang paling ramai. Maka, Kimia mempunyai peratus lulus yang tertinggi. The number of students who passed Chemistry is the largest. Thus, Chemistry has the highest pass percentage. 1 Diberi bahawa n(ξ) = 96, n(A) = 50 dan n(B) = 60. Cari nilai maksimum dan minimum bagi n(A  B). Given that n(ξ) = 96, n(A) = 50 and n(B) = 60. Find the maximum and minimum values for n(A  B). KBAT Mengaplikasi ξ A B 36 14 46 Nilai minimum/Minimum value n(A  B) = 14 ξ B A 36 50 10 Nilai maksimum/Maximum value n(A  B) = 50 2 Lukis satu gambar rajah Venn yang menghubungkan set-set P, Q dan R, dengan keadaan set semesta, ξ = P  Q  R, P’  Q = ∅ dan P  R = ∅. KBAT Menganalisis Draw a Venn diagram to show the relationship between the sets P, Q and R such that the universal set, ξ = P  Q  R, P’  Q = ∅ dan P  R = ∅. P Q R Zon KBAT Strategi A+ Maths F4-B4 3rd.indd 66 11/10/2023 2:53:05 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

67 5.1 Rangkaian/Network 1 Graf terdiri daripada satu siri bintik yang dikenali sebagai bucu sama ada berkait atau tidak antara satu sama lain melalui garis. A graph consists of a series of dots known as vertices either linked or not linked to each other by lines. 2 Bucu disambungkan dengan garis yang disebut sebagai tepi. The vertices are connected by lines that are known as edges. tepi/edge bucu/vertex bucu/vertex tepi/edge tepi/edge b a c 3 Rangkaian ialah sejenis graf yang mengandungi sekurang-kurangnya sepasang bucu yang berkait. A network is a type of graph that contains at least a pair of related vertices. 4 Bilangan darjah suatu graf ialah dua kali bilangan tepi. The sum of degrees of a graph is twice the number of edges. ∑d(V) = 2E 5 Graf mudah ialah graf tak terarah tanpa gelung atau berbilang tepi. A simple graph is an undirected graph without a loop or multiple edges. 6 Graf tak terarah ialah graf yang tepinya tidak mempunyai orientasi arah (anak panah). Undirected graph is a graph where the edges do not have orientation (arrows). a b c a b c Gelung Loop Berbilang tepi Multiple edges Bukan graf mudah dan tidak terarah Not a simple graph and undirected Graf mudah dan tak terarah Simple and undirected graph 7 Graf terarah mengandungi tepi yang berarah (anak panah →). A directed graph contains edges that have directions (arrows →). 8 Graf berpemberat mengandungi tepi yang dikaitkan dengan pemberat. A weighted graph contains edges that are associated with weights. 9 Pemberat biasanya dilabelkan dengan nombor (biasanya bilangan positif). Weights are usually labelled with numbers (usually positive numbers). a b c 10 Graf berpemberat boleh menjadi sama ada terarah atau tidak terarah. A weighted graph can be either directed or undirected. a b c 1 2 3 1 2 3 a b c Graf berpemberat terarah Weighted and directed graph Graf berpemberat tidak terarah Weighted and undirected graph 11 Sebahagian daripada graf dipanggil subgraf. A part of a graph is called a subgraph. G a G a 1 b c b c Subgraf Subgraph Graf Graph 12 Tidak semua bucu dan tepi dalam graf G akan berada di subgraf, tetapi jika bucu tersebut ada di dalam subgraf, ia mesti mempunyai bucu yang sepadan di G. 13 Sebarang tepi yang mengaitkan dua bucu dalam subgraf juga akan mempunyai kaitan yang sepadan dalam G. Any edge that connects two vertices in the subgraph will also have the corresponding connection in G. Contoh/Example: Bucu-bucu dalam G1 ialah subset bagi bucu-bucu dalam G. The vertices G1 are a set of the vertices of G. 14 Pokok ialah graf tak terarah yang tidak mengandungi sebarang gelung. A tree is an undirected graph which does not contain any loop. 15 Terdapat hanya satu laluan yang mengaitkan manamana dua bucu di dalam pokok. There is only one path joining any two vertices in a tree. a b c a b c Pokok Tree 16 Terdapat pelbagai situasi kehidupan sebenar yang boleh diwakilkan sebagai graf. There are various real-life situations that can be represented as graphs. 17 Entiti ialah bucu dan interaksi antara entiti ialah tepi. Entities are vertices and interaction between the entities are edges. 18 Situasi-situasi yang melibatkan graf: Situations involving graphs: (a) Peta, laluan dan aliran trafik (pengangkutan) Map, routes and traffic flow (transportation) (b) Hubungan sosial (sosiologi) Social relations (sociology) (c) Interaksi protein (biologi) Protein interactions (biology) (d) Rangkaian sosial Social networking a b c 1 2 3 Revisi Pantas Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf Networks in Graph Theory Bidang Pembelajaran: Matematik Diskret Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 67 11/10/2023 3:02:32 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

68 1 Q R T S P Bilangan bucu Number of vertices 5 Bilangan tepi Number of edges 11 Bilangan darjah Sum of degrees 22 Bucu/Degree of vertex P 3 Bucu/Degree of vertex Q 4 Bucu/Degree of vertex R 6 Bucu/Degree of vertex S 4 Bucu/Degree of vertex T 5 2 1 2 3 5 6 4 7 Bilangan bucu Number of vertices 7 Bilangan tepi Number of edges 8 Bilangan darjah Sum of degrees 16 Bucu/Degree of vertex 1 3 Bucu/Degree of vertex 2 2 Bucu/Degree of vertex 3 3 Bucu/Degree of vertex 4 2 Bucu/Degree of vertex 5 2 Bucu/Degree of vertex 6 2 Bucu/Degree of vertex 7 2 3 V U W T X Y Z Bilangan bucu Number of vertices 7 Bilangan tepi Number of edges 8 Bilangan darjah Sum of degrees 16 Bucu/Degree of vertex T 6 Bucu/Degree of vertex U 2 Bucu/Degree of vertex V 1 Bucu/Degree of vertex W 2 Bucu/Degree of vertex X 2 Bucu/Degree of vertex Y 1 Bucu/Degree of vertex Z 2 4 A B C E D F Bilangan bucu Number of vertices 6 Bilangan tepi Number of edges 7 Bilangan darjah Sum of degrees 14 Bucu/Degree of vertex A 2 Bucu/Degree of vertex B 2 Bucu/Degree of vertex C 2 Bucu/Degree of vertex D 3 Bucu/Degree of vertex E 2 Bucu/Degree of vertex F 3 5 P L M N O Bilangan bucu Number of vertices 5 Bilangan tepi Number of edges 8 Bilangan darjah Sum of degrees 16 Bucu/Degree of vertex L 2 Bucu/Degree of vertex M 4 Bucu/Degree of vertex N 4 Bucu/Degree of vertex O 2 Bucu/Degree of vertex P 4 Latihan 1 Nyatakan bilangan bucu, tepi, darjah dan bilangan darjah bagi graf di bawah. TP 1 State the number of vertices, edges, degrees and the sum of degrees for the graphs below. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang rangkaian graf. Latihan 2 Bagi setiap graf, nyatakan: (a) V dan n(V), (b) E dan n(E), (c) bilangan darjah. TP 1 For each graph, determine: (a) V and n(V), (b) E and n(E), (c) sum of degrees. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang rangkaian graf. Penyelesaian (a) V = {a, b, c} n(V) = 3 (b) E = {(a, b), (b, c), (a, c)} n(E) = 3 b a c Bucu (V) Vertex (V) Tepi (E) Edge (E) 5.1 Rangkaian/Network Praktis PBD Contoh 2 (c) Bilangan darjah/Sum of degrees = 2 × n(E) = 2 × 3 = 6 Penyelesaian Bilangan bucu Number of vertices 5 Bilangan tepi Number of edges 6 Bilangan darjah Sum of degrees 12 Bucu/Degree of vertex A 2 Bucu/Degree of vertex B 3 Bucu/Degree of vertex C 2 Bucu/Degree of vertex D 2 Bucu/Degree of vertex E 3 Contoh 1 A B C D E Bucu Vertex Tepi Edge Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 68 11/10/2023 3:02:32 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

69 1 A D B E C F (a) V = {A, B, C, D, E, F} n(V) = 6 (b) E = {(A, B), (A, D), (B, C), (B, D), (B, E), (B, F), (C, F)} n(E) = 7 (c) Bilangan darjah/Sum of degrees = 2(7) = 14 2 P Q R S T (a) V = {P, Q, R, S, T} n(V) = 5 (b) E = {(P, S), (P, T), (Q, S), (Q, T), (R, S), (R, T)} n(E) = 6 (c) Bilangan darjah/Sum of degrees = 2(5) = 10 3 X Z W Y (a) V = {W, X, Y, Z} n(V) = 4 (b) E = {(W, W), (W, X), (W, Z), (X, Y), (X, Z), (X, Z), (Y, Y), (Y, Z)} n(E) = 8 (c) Bilangan darjah/Sum of degrees = 2 × 8 = 16 4 1 2 5 4 3 (a) V = {1, 2, 3, 4, 5} n(V) = 5 (b) E = {(1, 2), (1, 5), (2, 4), (3, 4), (4, 5)} n(E) = 5 (c) Bilangan darjah/Sum of degrees = 2 × 5 = 10 5 B A D F G C E (a) V = {A, B, C, D, E, F, G} n(V) = 7 (b) E = {(A, B), (B, C), (B, D), (C, D), (C, E), (D, E), (E, F), (E, G)} n(E) = 8 (c) Bilangan darjah/Sum of degrees = 2 × 8 = 16 6 3 4 2 1 5 6 (a) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(V) = 6 (b) E = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (5, 6)} n(E) = 7 (c) Bilangan darjah/Sum of degrees = 2 × 7 = 14 Latihan 3 Cari darjah bucu bagi setiap bucu dan bilangan darjah bagi setiap graf berikut. TP 2 Find the degree of a vertex for each of the vertices and the sum of degrees of the following graphs. TP 2 Mengaplikasikan kefahaman tentang rangkaian untuk melaksanakan tugasan mudah. Penyelesaian Bucu/Vertex Darjah/Degree a 1 b 3 c 2 d 5 e 1 f 1 g 1 Bilangan darjah Sum of degrees 14 ➊ ➋ ➌ Semak/Check: ∑d(V) = 2E = 2 × 7 = 14 • • • • • • a• b c d e f g Darjah bagi bucu b ialah 3. The degree of vertex b is 3. Contoh 3 Tip Bestari Darjah bucu ialah bilangan tepi yang mengaitkan bucu tersebut dengan bucu yang lain. The degree of a vertex is the number of edges that are connected to other vertices. Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 69 11/10/2023 3:02:32 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

70 1 • • • • • a• b c e d f Bucu/Vertex Darjah/Degree a 3 b 4 c 2 d 4 e 3 f 4 Bilangan darjah Sum of degrees 20 2 • • • • • • • a b c d e f g Bucu/Vertex Darjah/Degree a 1 b 1 c 0 d 4 e 3 f 3 g 2 Bilangan darjah Sum of degrees 14 Latihan 4 Tentukan sama ada setiap yang berikut ialah graf mudah. Kemudian, tentukan bilangan darjahnya. TP 2 Determine whether each of the following is a simple graph. Hence, determine the sum of degrees. TP 2 Mengaplikasikan kefahaman tentang rangkaian untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 • • • A B C Ya/Yes 2 e2 e1 e3 e4 • • • a• d b c Tidak/No 3 • • • 1• 4 2 3 e2 e1 e3 e4 e5 Tidak/No 4 • • A• • D B C • E Ya/Yes n(E) = 2 Bilangan darjah Sum of degrees 2 × 2 = 4 n(E) = 4 Bilangan darjah Sum of degrees 2 × 4 = 8 n(E) = 5 Bilangan darjah Sum of degrees 2 × 5 = 10 n(E) = 4 Bilangan darjah Sum of degrees 2 × 4 = 8 Contoh 4 (a) • • • A B C (b) • • • A B C Gelung Loop (c) • • • 1 2 3 Bilangan tepi Multiple edges Ya/Yes Tidak/No Tidak/No Penyelesaian (a) Ya/Yes, ∑d(V) = 2 × 3 = 6 (b) Tidak. Graf tersebut mempunyai gelung. No. The graph contains a loop. ∑d(V) = 2 × 4 = 8 (c) Tidak. Graph tersebut mempunyai berbilang tepi. No. The graph contains multiple edges. ∑d(V) = 2 × 4 = 8 Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 70 11/10/2023 3:02:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

71 Latihan 5 Lukis satu graf berdasarkan maklumat yang diberikan. TP 2 Draw a graph based on the given information. TP 2 Mengaplikasikan kefahaman tentang rangkaian untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Jenis graf: Graf mudah Graph type: Simple graph V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {(1, 2), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 6), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} 1 5 4 3 2 6 2 Jenis graf: Graf dengan berbilang tepi dan gelung Graph type: Graph with multiple edges and loops V = {P, Q, R, S} E = {(P, P), (P, Q), (P, S), (Q, S), (Q, S), (Q, R), (R, R), (R, S)} P Q S R 3 Jenis graf: Graf dengan berbilang tepi dan gelung Graph type: Graph with multiple edges and loops V = {M, N, O, P} E = {(M, P), (M, P), (N, P), (O, P), (O, P)} M N O P Graf Terarah/Directed Graph Latihan 6 Lukis graf terarah untuk modelkan situasi yang diberikan. TP 3 Draw a directed graph to model the situation given. TP 3 Mempamerkan kefahaman tentang rangkaian. Enam orang pelajar perempuan akan berpasangan sebagai teman sebilik pada semester yang akan datang. Setiap daripada mereka telah menulis nama teman yang dia pilih untuk berkongsi bilik (boleh lebih daripada satu pilihan). Six female students will pair off as roommates in the coming semester. Each of them has written name(s) of the person with whom she prefers to share the room (can be more than one preference). • Pilihan Amy (A): Daisy Amy’s preference (A): Daisy • Pilihan Britney (B): Chloe Britney’s preference (B): Chloe • Pilihan Chloe (C): Daisy Chloe’s preference (C): Daisy • Pilihan Daisy (D): Fanny, Emily Daisy’s preference (D): Fanny, Emily • Pilihan Emily (E): Chloe Emily’s preference (E): Chloe • Pilihan Fanny (F): Emily Fanny’s preference (F): Emily A D B C E F Penyelesaian Contoh 6 Contoh 5 Jenis graf: Graf mudah Graph type: Simple graph V = {A, B, C, D} E = {(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D)} A B D C Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 71 11/10/2023 3:02:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

72 1 Laluan syarikat penerbangan domestik: The routes of a domestic airline: • Penerbangan dari Kuala Lumpur (KUL) ke Alor Setar (AOR). A flight from Kuala Lumpur (KUL) to Alor Setar (AOR). • Penerbangan dari Kuala Lumpur (KUL) ke Bintulu (BTU). A flight from Kuala Lumpur (KUL) to Bintulu (BTU). • Penerbangan dari Johor Bahru (JHB) ke Alor Setar (AOR). A flight from Johor Bahru (JHB) to Alor Setar (AOR). • Penerbangan dari Alor Setar (AOR) ke Langkawi (LGK). A flight from Alor Setar (AOR) to Langkawi (LGK). • Penerbangan dari Bintulu (BTU) ke Kuching (KCH). A flight from Bintulu (BTU) to Kuching (KCH). • Penerbangan dari Kuala Lumpur (KUL) ke Kuching (KCH). A flight from Kuala Lumpur (KUL) to Kuching (KCH). KUL AOR LGK BTU JHB KCH 2 Paparan notifikasi antara pelayan: The push notifications between servers: • Pelayan A menghantar maklumat kepada Pelayan B dan C. Server A pushes notifications to Servers B and C. • Pelayan B menghantar maklumat kepada Pelayan D dan E. Server B pushes notifications to Servers D and E. • Pelayan C menghantar maklumat kepada Pelayan B. Server C pushes notifications to Server B. • Pelayan D menghantar maklumat kepada Pelayan A. Server D pushes notifications to Server A. B E C D A 3 Pengikut media sosial Social media followers • Ganesh ialah pengikut Anis Ganesh is a follower of Anis • Chin Ho ialah pengikut Priscilla Chin Ho is a follower of Priscilla • Anis ialah pengikut Priscilla dan Fathin Anis is a follower of Priscilla and Fathin • Fathin ialah pengikut Priscilla Fathin is a follower of Priscilla Ganesh Anis Fathin Chin Ho Priscilla 4 Laluan perkhidmatan komuter: The routes of a commuter service: • Terdapat laluan dari Tampin ke Batu Caves There is a route from Tampin to Batu Caves • Terdapat laluan dari Tampin ke KL Sentral There is a route from Tampin to KL Sentral • Terdapat laluan dari Tampin ke Pelabuhan Klang There is a route from Tampin to Port Klang • Terdapat laluan dari Batu Caves ke KL Sentral There is a route from Batu Caves to KL Sentral • Terdapat laluan dari KL Sentral ke Pelabuhan Klang There is a route from KL Sentral to Port Klang Batu Caves KL Sentral Pelabuhan Klang Port Klang Tampin Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 72 11/10/2023 3:02:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

73 Graf Berpemberat/Weighted Graph Latihan 7 Lukis graf berpemberat untuk senario berikut. TP 4 TP 5 Draw a weighted graph for the following scenario. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang rangkaian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang rangkaian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 1 Lukis graf berpemberat untuk mewakili kadar air (cm/jam) yang mengalir ke stesen pengepaman saliran seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. Draw a weighted graph to represent the rate of water (cm/hour) flowing into a drainage pumping station as shown in the diagram below. Tanah A Land A Tanah B Land B Tanah C Land C Tanah D Land D Sungai River Stesen pengepaman saliran (E) Drainage pumping station (E) Petunjuk/Key 25 cm/jam 33 cm/jam 42 cm/jam – .– .– 60 cm/jam • A 25 • • • • B D E C 33 60 42 2 Pertimbangkan laluan penerbangan domestik dalam Latihan 4, Soalan 1, halaman 70. Consider the routes of domestic airline in Exercise 4, Question 1, on page 70. Masa penerbangan untuk setiap laluan telah diberikan dalam jadual di bawah. Lukis graf berpemberat yang mengambil kira masa penerbangan untuk setiap laluan. The flight times for the routes are given in the table below. Draw a weighted graph to include flight time in the routes. Laluan Routes Masa penerbangan (jam) Flight time (hour) KUL ke/to AOR 1.00 KUL ke/to BTU 2.08 JHB ke/to AOR 1.42 AOR ke/to LGK 0.25 BTU ke/to KCH 0.83 KUL ke/to KCH 1.91 • KUL • • • • 1.91 AOR LGK • BTU JHB KCH 1.00 0.25 1.42 2.08 0.83 Contoh 7 Lukis graf berpemberat yang menghubungkan tarikan pelancong di bandar Melaka. Jarak di antara tempat tarikan pelancong diberikan dalam jadual di bawah. Draw a weighted graph connecting the tourist attractions in Melaka city. The distances between the tourist attractions are given in the table below. Tempat tarikan pelancong Tourist attractions Jarak (km) Distance (km) Stadthuys (A) dan Gereja St Paul (B) Stadthuys (A) and St Paul’s Church (B) 1 Stadthuys (A) dan Jonker’s Walk (C) Stadthuys (A) and Jonker’s Walk (C) 1.5 Kota A Famosa (D) dan Gereja St Paul (B) A Famosa Fort (D) and St Paul’s Church (B) 1.8 Kota A Famosa (D) dan Muzium Samudera (E) A Famosa Fort (D) and Maritime Museum (E) 1.9 Muzium Samudera (E) dan Muzium Warisan Baba Nyonya (F) Maritime Museum and the Baba Nyonya Heritage Museum (F) 2.6 B D A C E F 1 1.5 1.8 1.9 2.6 Penyelesaian Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 73 11/10/2023 3:02:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

74 3 Lukis graf berpemberat untuk senario berikut. Draw a weighted graph for the following scenario. (a) Sebuah syarikat ingin menghantar bungkusan dari Melaka ke Johor Bahru menggunakan trak. Terdapat hanya sebuah trak untuk laluan yang menghubungkan dua bandar dan setiap trak mempunyai muatan maksimum seperti yang diberikan dalam jadual di bawah. Lukis graf berpemberat untuk mewakili aliran pengangkutan itu. A company would like to ship packages from Melaka to Johor Bahru using trucks to transport between intermediate cities. There is only one truck for the route connecting a pair of cities and each truck has a maximum load as given in the table below. Draw a weighted graph to represent the transportation flow. Laluan/Routes Muatan maksimum (kg)/Maximum load (kg) Melaka ke/to Muar 1 200 Melaka ke/to Batu Pahat 2 400 Muar ke/to Batu Pahat 1 550 Muar ke/to Johor Bahru 2 660 Batu Pahat ke/to Pontian 1 860 Pontian ke/to Johor Bahru 2 000 (b) Suatu projek mengandungi beberapa aktiviti. Tempoh untuk menyelesaikan setiap aktiviti ditunjukkan dalam jadual di bawah. Lukis graf berpemberat untuk mewakili aliran aktiviti itu. A project contains a set of activities. The duration to complete each activity is shown in the table below. Draw a weighted graph to represent the activity flow. Aktiviti/Activities Tempoh/Duration A → B 5 A → D 4 B → C 3 C → E 6 D → C 10 (a) Graf untuk laluan: Graph for the routes: 1 200 2 660 2 000 1 860 2 400 1 550 Johor Bahru Pontian Batu Pahat Melaka Muar (b) Graf untuk aliran aktiviti: Graph for activity flow: B 3 C 6 E D 4 A 5 10 Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 74 11/10/2023 3:02:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

75 Latihan 8 Cari kos optimum untuk laluan dari suatu bucu ke bucu yang lain bagi setiap masalah di bawah. TP 3 Find the optimal cost for travelling from a vertex to the other for each of the following problems. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang rangkaian untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Cari kos optimum bagi laluan dari a ke c. Find the optimal cost for the path from a to c. • • • a d b e • c • 4 3 6 5 2 2 8 Laluan/Path Kos/Cost a → b → c 13 a → b → e → c 14 a → e → c 7 a → e → d → c 8 ∴ Kos optimum/Optimal cost = 7 2 Cari kos optimum untuk bergerak dari a ke c. Find the optimal cost to travel from a to c. • • • a d b •e c • 4 6 3 3 2 2 8 f • 7 1 Laluan/Path Kos/Cost a → b → c 10 a → b → d → c 12 a → d → c 7 a → e → d → c 12 a → f → e → d → c 13 ∴ Kos optimum/Optimal cost = 7 3 Dapatkan kos masa optimum bagi perjalanan dari Kuala Lumpur ke Langkawi. Find the optimal time cost to travel from Kuala Lumpur to Langkawi. KUL • • • • • 1.91 • AOR LGK BTU JHB KCH 1.00 2.08 0.83 1.42 0.25 KUL → AOR → LGK = 1 + 0.25 = 1.25 ∴ Kos masa optimum = 1.25 jam Optimal time cost = 1.25 hours Subgraf dan Pokok/Subgraph and Tree Latihan 9 Kenal pasti sama ada setiap daripada berikut ialah subgraf bagi graf G. TP 3 Identify whether each of the following is a subgraph of graph G. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang rangkaian untuk melaksanakan tugasan mudah. • • • a d b e • c • • f G • Pemberat bagi suatu tepi mewakili kos atau jarak di antara dua bucu. The weight of an edge represents the cost or the distance between two vertices. • Kos optimum untuk laluan dari suatu bucu ke bucu yang lain boleh dicari melalui laluan yang terpendek. The optimal cost for travelling from a vertex to the other can usually be found through the shortest path. • Laluan terpendek merujuk kepada laluan antara dua bucu dengan keadaan jumlah pemberat untuk setiap tepi yang terlibat adalah minimum. The shortest path refers to the path between two vertices where the sum of weights in the edges is the minimum. • Kos merujuk kepada masa, jarak dan perbelanjaan. The cost can include time, distance and expenses. Tip Bestari Contoh 8 Cari kos optimum untuk bergerak dari a ke d. Find the optimal cost to travel from a to d. • • • a d b e • c • 4 6 3 5 1 1 Penyelesaian Laluan/Path Kos/Cost a → b → c → d 6 a → b → d 7 a → e → d 11 Oleh itu, kos optimum untuk bergerak dari a ke d ialah 6. So, the most optimal cost to travel from a to d is 6. Kos paling rendah The least cost Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 75 11/10/2023 3:02:34 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

76 1 a • •f b e • • Tidak/No 2 • f • • •c b d Tidak/No 3 • b • • •d a f Ya/Yes 4 • b • • • c a f Ya/Yes Latihan 10 Kenal pasti sama ada setiap yang berikut ialah pokok. TP 3 Identify whether the following is a tree. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang rangkaian untuk melaksanakan tugasan mudah. (a) Ya/Yes c d a b • • • • c d a b • • • • Terdapat lebih daripada satu laluan yang mengaitkan a dan c, iaitu a → c dan a → b → c. There are more than one path joining a and c, i.e. a → c and a ➝ b ➝ c. (b) Tidak/No Contoh 9 (a) G1 ialah subgraf G. G1 is subgraph of G. (b) G2 bukan subgraf G. G2 is not a subgraph of G. e c b d a G f • e• d b • • f G1 f e c b d a G Tepi ad tidak berkait. Edge ad is not connected. a b d c G2 Contoh 10 Untuk tujuan pembelajaran Imbas kod QR atau layari https://mathigon.org/ course/graph-theory/bridges untuk menguji kefahaman kamu tentang graf pokok. Laman Web Laman Web Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 76 11/10/2023 3:02:34 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

77 1 • • • • • • • 2 • • • • • • • 3 • • • • • • 4 • • • • • 5 • • • • • • • • • • • • • • • 6 • • • • • • • • • • Tidak/No Tidak/No Ya/Yes Ya/Yes Ya/Yes Ya/Yes Latihan 11 Selesaikan. TP 4 Solve. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang rangkaian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 Rajah di bawah menunjukkan suatu graf berpemberat tak terarah. Diberi bahawa BE = 17 dan AD = 24. Lukis satu pokok dengan jumlah nilai pemberat yang minimum. KBAT Menganalisis The diagram below shows an undirected weighted graph. It is given that BE = 17 and AD = 24. Draw a tree with a minimum total weight. C 10 8 6 24 17 20 15 11 D E B A Langkah/Step 1: 5 bucu/vertices, 8 tepi/edges • 4 tepi perlu dibuang/4 edges to be removed • Keluarkan tepi dengan pemberat nilai tertinggi (AD, AE, BE, AB) Remove edges with the greatest weights (AD, AE, BE, AB) Graf di sebelah bukan pokok kerana/The graph on the right is not a tree because • Bucu A tidak dikaitkan dengan bucu lain/Vertex A is not connected to the other vertices • Tiga tepi, BC, BD dan CD mengaitkan tiga bucu sahaja/Three edges BC, BD and CD connect three vertices only Langkah/Step 2: • Antara pemberat bernilai 15 dengan 20, pemberat bernilai 15 perlu dikekalkan kerana nilainya lebih rendah Between the weights 15 and 20, keep weight 15 because its weight is smaller • Antara pemberat 6, 8 dengan 10, pemberat bernilai 10 perlu dikeluarkan Between the weights 6, 8 and 10, remove weight 10 Graf yang terhasil ialah pokok./The graph obtained is a tree. Jumlah pemberat minimum pokok/Minimum total weight of the tree = 15 + 8 + 6 + 11 = 40 C 10 8 6 11 D E B A C 8 6 15 11 D E B A Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 77 11/10/2023 3:02:34 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

78 2 Lukis satu graf terarah berdasarkan maklumat di bawah. Draw a directed graph based on the information below. V = {A, B, C, D, E, F} E = {(A, B), (B, C), (B, D), (D, C), (D, E)} F B A D E C Mewakili dan Menyelesaikan Masalah dalam Bentuk Graf/Rangkaian Representing and Solving Problems in the Form of Graph/Network Latihan 12 Wakilkan situasi berikut dalam bentuk graf. Gunakan perwakilan yang betul (bucu atau tepi). TP 4 TP 5 KBAT Menganalisis Model the following application using a graph. Use a proper representation (vertex or edge). TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang rangkaian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang rangkaian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Wakilkan hubungan pemangsa-mangsa berikut menggunakan graf (juga dikenali sebagai siratan makanan). Represent the following predator-prey relationship using a graph (also known as food web). Kugar Cougar Burung hantu Owl Serigala Fox Belalang Grasshopper Rodensia Rodent Burung Bird Tumbuhan Plants Tumbuhan renek Shrubs Rumput Grass Penyelesaian Hubungan pemangsa-mangsa boleh dimodelkan menggunakan graf terarah yang berikut: The predator-prey relationship can be modelled using a directed graph as follows: • • • • • • • • • Kugar/Cougar Serigala/Fox Burung/Bird Belalang Grasshopper Rumput/Grass Tumbuhan renek Shrubs Tumbuhan/Plants Burung hantu Owl Tikus Mouse Contoh 12 Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 78 11/10/2023 3:02:35 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

79 1 Bina rajah litar di sebelah menggunakan perwakilan graf. Construct the circuit diagram on the right using graph representation. 0.5 A 8 V 4 Ω • • • 0 V 0.5 A 4 Ω 0.5 A 8 V 2 Wakilkan empat buah negeri di selatan Malaysia (Johor, Melaka, Negeri Sembilan dan Selangor) dalam bentuk graf. Setiap negeri boleh diwakilkan sebagai bucu, manakala negeri yang berkongsi sempadan boleh dikaitkan dengan tepi pada graf. Represent the four southern states in Malaysia (Johor, Melaka, Negeri Sembilan and Selangor) in the form of a graph. Note that each state can be represented as a vertex, while states that share a common border are connected by edges on the graph. • • • • Melaka Selangor Negeri Sembilan Johor 3 Gunakan rangkaian untuk mewakilkan kapasiti jalan (KJ) di sebuah bandar. Kapasiti jalan merujuk kepada bilangan kenderaan yang boleh melalui suatu segmen jalan dalam masa satu jam. Hitung jumlah kapasiti jalan di sepanjang Jalan Hang Tuah, Jalan Hang Jebat dan Jalan Hang Kasturi. Use a network to represent the road capacity (RC) in a city. Road capacity refers to the number of vehicles that can pass through a road segment in an hour. Calculate the total road capacity along Jalan Hang Tuah, Jalan Hang Jebat and Jalan Hang Kasturi. A B C D E Jalan Hang Tuah KJ: 260 Jalan Ismail KJ: 330 Jalan Rahman KJ: 400 Jalan Hang Kasturi KJ: 280 Jalan Hang Jebat KJ: 370 Simpang jalan Road junction Label setiap simpang jalan sebagai A, B, C, D dan E. Label each intersection as A, B, C, D and E. • • • • A E C B • D 330 260 370 400 280 Jumlah kapasiti jalan = 260 + 370 + 280 = 910 buah kereta Total road capacity = 260 + 370 + 280 = 910 cars Melaka Johor Negeri Sembilan Selangor Pahang Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 79 11/10/2023 3:02:35 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

80 4 Modelkan carta organisasi untuk syarikat di bawah menggunakan perwakilan graf. Anda boleh menggunakan nama individu sebagai bucu graf. Model the organisation chart for a company below using a graph representation. You may use the person’s name as the vertices of the graph. Ketua Pegawai Eksekutif Chief Executive Officer (James) Pengurus Besar General Manager (Maria) Pengurus Besar General Manager (George) Pengurus Besar General Manager (Asri) Pengurus Manager (Joe) Pengurus Manager (Syaza) Pengurus Manager (Lin) Pengurus Manager (Jenny) Pengurus Manager (Yew) Pengurus Manager (Bala) 5 Modelkan laluan migrasi spesies burung tertentu yang ditunjukkan dalam rajah di bawah menggunakan perwakilan graf. Anda boleh menggunakan nama negara sebagai bucu graf. Model the migration paths of a certain bird species shown in the diagram below using a graph representation. You may use the country’s name as the vertices of the graph. CHINA RUSIA RUSSIA MONGOLIA KAZAKHSTAN KYRGYSTAN INDIA NEPALBHUTAN MYANMAR VIETNAM LAOS TAIWAN HONG KONG MACAU KOREA UTARA NORTH KOREA KOREA UTARA KOREA SELA KOREA SELATAN SOUTH KOREA KOREA SELATA TAIWAN VIETNAM LAOS MYANMAR BHUTAN NEPAL KYRGYSTAN James Maria George Asri Joe Jenny Syaza Yew Lin Bala Kazakhstan Kyrgyzstan India China Mongolia Rusia/Russia Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 80 11/10/2023 3:02:36 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

81 STEM Dalam kumpulan lima-lima, jawab soalan-soalan di bawah. Lukis dan bentangkan jawapan anda menggunakan perisian komputer. In a group of five, answer the questions below. Draw and present your answer by using a computer software. Anda dan rakan-rakan anda merancang suatu kembara berbasikal di kawasan tengah negeri Terengganu. Anda akan melawat enam daerah seperti yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah, bermula dari Setiu dan berakhir di Dungun. Oleh sebab kekangan masa, anda mesti menyeberangi sempadan antara setiap daerah sekali sahaja. Contohnya, anda mesti menyeberangi sempadan Setiu-Hulu Terengganu hanya sekali. You and your friends plan for a cycling trip around the central area of the Terengganu state. You will visit the six districts as shown in the diagram on the right, starting from Setiu and ending in Dungun. Due to time constraint, you must cross the border between each district only once. For instance, you must cross the Setiu-Hulu Terengganu border exactly once. (a) Adakah laluan ini mungkin dilaksanakan? Jika ya, bina laluan perjalanan tersebut dalam bentuk graf. Is this possible? If so, construct the path of your trip in the form of a graph. (b) Andaikan anda menyewa basikal dari sebuah kedai di Setiu dan perlu mengembalikan basikal tersebut pada akhir perjalanan. Adakah anda boleh melawat keenam-enam daerah itu berdasarkan kekangan yang diberikan (melintasi sempadan antara setiap daerah sekali sahaja) dengan bermula dan berakhir di lokasi yang sama? Dalam erti kata lain, adakah ia mungkin untuk bermula dari Setiu dan pergi ke daerah lain, dan kemudian kembali ke Setiu dengan menyeberang setiap sempadan sekali sahaja? Jika ya, tunjukkan laluan perjalanan tersebut. KBAT Menganalisis Suppose that you rent bicycles from a shop in Setiu and need to return the bicycles to the shop by the end of the trip. Do you think you can visit the six districts based on the constraint given (crossing the border between each district only once) by starting and ending at the same location? In other words, is it possible to start from Setiu and travel to the other districts, and then return to Setiu by crossing each border exactly once? If so, show the path of your trip. SETIU HULU TERENGGANU KUALA NERUS KUALA TERENGGANU MARANG DUNGUN • Setiu • • • • • Kuala Nerus Kuala Terengganu Marang Dungun Hulu Terengganu (a) (i) Setiu → Hulu Terengganu → Kuala Nerus → Kuala Terengganu → Marang → Dungun • Setiu • • • • • Kuala Nerus Kuala Terengganu Marang Dungun Hulu Terengganu (ii) Setiu → Kuala Nerus → Kuala Terengganu → Marang → Hulu Terengganu → Dungun • Setiu • • • • • Kuala Nerus Kuala Terengganu Marang Dungun Hulu Terengganu (b) Setiu → Kuala Nerus → Kuala Terengganu → Marang → Dungun → Hulu Terengganu → Setiu • Setiu • • • • • Kuala Nerus Kuala Terengganu Marang Dungun Hulu Terengganu PdPc Aktiviti PAK-21 Pengurusan Grafik TP 6 Aktiviti PAK-21 Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 81 11/10/2023 3:02:36 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

82 1 Apakah darjah bucu E dalam graf berikut? What is the degree of vertex E in the following graph? E • • C B D A • • • • F A 0 B 1 C 2 D 3 2 Antara berikut, manakah yang tidak benar tentang graf berpemberat? Which of the following is not true about a weighted graph? A Graf berpemberat mengandungi tepi yang dikaitkan dengan pemberat A weighted graph contains edges that are associated with weights B Pemberat biasanya diwakilkan sebagai nilai angka A weight is usually represented as a numeric value C Graf berpemberat ialah graf terarah sahaja A weighted graph is a directed graph only D Jalan terpendek merujuk kepada laluan antara dua bucu dengan keadaan jumlah pemberat pada setiap tepi yang terlibat ialah minimum The shortest path refers to the path between two vertices where the sum of weights in the edges is the minimum 3 Apakah jenis graf yang terdapat di rajah di bawah? What type of graph does the diagram below belong to? • • • • • 30 25 60 17 24 A Pokok Tree B Graf terarah tak pemberat Unweighted directed graph C Graf berpemberat terarah Weighted directed graph D Graf tak terarah berpemberat Weighted undirected graph 4 Laluan yang manakah menghasilkan kos optimum untuk laluan dari a ke d dalam graf di bawah? Which path yields the optimal cost to travel from a to d in the graph below? • • • a d b •e c • 5 10 6 2 8 4 1 A a → d C a → b → d B a → e → d D a → b → c → d 5 Antara berikut, yang manakah bukan subgraf G? Which of the following is not a subgraph of G? • • • • • • G A B C F D E A • • • • A B D C C • • • • A C E D •B B • • • • A C D B • F D • • • • A E B D •F 6 Antara berikut, yang manakah boleh diwakilkan dalam bentuk graf? Which of the following can be represented in the form of a graph? A Penyusunan jadual peperiksaan akhir untuk pelajar sarjana muda Schedule arrangement of final examination for undergraduate students B Penghantaran bungkusan untuk perkhimatan kiriman cepat Parcel delivery for a courier service C Pengurusan grid kuasa di loji kuasa Power grids management in a power plant D Semua perkara di atas All of the above Kertas 1 Praktis Berformat SPM Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 82 11/10/2023 3:02:36 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

83 1 Berikut ialah masalah penjadualan jadual waktu. Kursus yang mempunyai pelajar yang sama tidak boleh disusun pada slot masa yang sama pada hari yang sama. Maklumat pendaftaran kursus telah diberikan dalam Jadual 1. The following is a timetable scheduling problem. Courses that have common students cannot be arranged at the same time slot on the same day. The course enrolment information is given in Table 1. Kursus/Course Pelajar yang berdaftar/Enrolled students Matematik/Mathematics Jane, Mark, Molly, Duncan Fizik/Physics Amy, Duncan, Chris, Bell Biologi/Biology Bell, Jane, Jack, Sam, Joe Bahasa Inggeris/English Alice, Bert, May, Molly, Pat Jadual 1/Table 1 Bina graf untuk untuk mewakili kursus yang diambil oleh pelajar dalam Jadual 1. Suatu tepi harus dilukis jika terdapat pelajar yang sama dalam dua kursus itu. KBAT Menganalisis Construct a graph to represent the courses taken by the students in Table 1. An edge should be drawn if there is a common student between two courses. [4 markah/marks] • • • • Matematik/Mathematics Biologi/Biology Fizik/Physics Bahasa Inggeris English (Atau jawapan lain yang sepadan) (Or any suitable answer) 2 Rajah 1 menunjukkan suatu graf, G. Diagram 1 shows a graph, G. • • • • b a c d G Rajah 1/Diagram 1 (a) Adakah rajah berikut suatu pokok? Terangkan jawapan anda. KBAT Menganalisis Is the following diagram a tree? Explain your answer. [2 markah/marks] (b) Bina dua subgraph yang mungkin bagi graf G. Construct two possible subgraphs of graph G. [2 markah/marks] (a) Bukan pokok kerana pokok mempunyai hanya satu laluan untuk menghubungkan dua bucu. Bucu a, b dan c dalam rajah di atas yang menunjukkan terdapat lebih daripada satu laluan antara dua bucu yang berkait. Not a tree because a tree has only one path to connect two vertices. Vertices a, b and c in the diagram above show there are more than one path between two connected vertices. (b) Sebarang jawapan yang betul/Any correct answer. • • • a c d •a • • • a c d Bahagian A Kertas 2 Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 83 11/10/2023 3:02:36 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

84 3 Sebuah syarikat logistik menghantar barang ke beberapa buah bandar. Jarak di antara bandar-bandar diberikan dalam Jadual 2. A logistic company delivers goods to several cities. The distances between the cities are given in Table 2. Wakilkan laluan tersebut menggunakan rangkaian (graf). Selepas itu, cari laluan untuk kos optimum bagi perjalanan dari bandar A ke F. Represent the routes using a network (graph). Then, find the path for the optimal cost to travel from city A to F. • • • • • • A C D E F B 6 3 14 22 10 8 5 Kos optimum dari A ke F = A → C → E → D → F = (6 + 5 + 8 + 10) km Optimal cost from A to F = 29 km Bahagian B 4 Rajah 2 menunjukkan suatu graf. Diagram 2 shows a graph. 1 5 2 6 7 4 3 Rajah 2/Diagram 2 (a) Senaraikan bucu dan tepi dalam graf itu. List the vertices and edges in the graph. [2 markah/marks] (b) Hitung bilangan darjah bagi graf itu. Calculate the sum of degrees of the graph. [2 markah/marks] (c) Berapakah darjah bucu 2? What is the degree of vertex 2? [1 markah/mark] (d) Pada Rajah 2, lukis On Diagram 2, draw (i) dua set pasangan bucu yang diwakili oleh (5, 6) dan (5, 6), two sets of vertices represented by (5, 6) and (5, 6), (ii) bucu terpencil, 7. an isolated vertex, 7. [3 markah/marks] (a) V = {1, 2, 3, 4, 5} E = {(1, 2), (1, 5), (1, 4), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)} (b) ∑d(V) = 2(E) n(E) = 10 = 2(10) = 20 (c) Darjah bucu 2 : 4 Degree of vertex 2 : 4 Bandar/Cities Jarak/Distance (km) A ke/to B 14 A ke/to C 6 B ke/to D 22 B ke/to C 3 C ke/to E 5 E ke/to D 8 D ke/to F 10 Jadual 2/Table 2 [4 markah/marks] Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 84 11/10/2023 3:02:36 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

85 Bahagian C 5 Syarikat Penerbangan Bunga Raya menjalankan penerbangan berjadual ke destinasi di sekitar negara-negara ASEAN. Jadual 3 menunjukkan masa penerbangan yang diambil dari satu bandar ke bandar lain. Bunga Raya Airline operates scheduled flights to destinations around the ASEAN countries. Table 3 shows the time taken to fly from one city to the others. Bandar A City A Bandar B City B Masa penerbangan (Jam) Flight time (Hour) Kuala Lumpur Jakarta 2.25 Kuala Lumpur Singapura/Singapore 1.00 Singapura/Singapore Bangkok 2.30 Manila Bandar Seri Begawan 2.00 Jakarta Hanoi 3.30 Bangkok Jakarta 3.60 Bandar Seri Begawan Singapura/Singapore 2.10 Hanoi Manila 3.10 Jadual 3/Table 3 (a) Lukis sebuah graf tak terarah untuk mewakili masa penerbangan dari satu bandar ke bandar yang lain berdasarkan maklumat yang diberi dalam Jadual 3 (andaikan masa penerbangan pergi dan balik dari bandar A ke bandar B adalah sama). Draw an undirected graph to represent the flight time from one city to the others based on the information given in Table 3 (assume that the flight time of both outbound and return flights from city A to city B are the same). [5 markah/marks] (b) Adakah graf itu graf berpemberat? Mengapa? Is the graph a weighted graph? Why? [2 markah/marks] (c) Adakah terdapat penerbangan sambung dari Bangkok ke Manila? Jika ya, nyatakan laluan-laluan tersebut. Are there connecting flights from Bangkok to Manila? If so, list the routes. [4 markah/marks] (d) Jika terdapat penerbangan sambung dalam 5(c), tentukan masa tersingkat yang diambil bagi penerbangan itu. If there are connecting flights in 5(c), determine the shortest time taken for the flight. [4 markah/marks] (a) Hanoi Manila Kuala Lumpur Jakarta Bangkok Singapura Bandar Seri Begawan 2.00 1.00 2.10 2.30 3.60 3.10 3.30 2.25 (b) Ya, kerana terdapat masa penerbangan antara bandar yang dihubungkan. Yes, because there are flight times between connected cities. (c) Ya/Yes. (i) Bangkok → Jakarta → Hanoi → Manila (ii) Bangkok → Singapura → Bandar Seri Begawan → Manila (iii) Bangkok → Singapura → Kuala Lumpur → Jakarta → Hanoi → Manila (iv) Bangkok → Jakarta → Kuala Lumpur → Singapura → Bandar Seri Begawan → Manila (d) (i) Bangkok → Jakarta → Hanoi → Manila = 3.60 + 3.30 + 3.10 = 10 jam/hours (ii) Bangkok → Singapura → Bandar Seri Begawan → Manila = 2.30 + 2.10 + 2.00 = 6.40 jam/hours (iii) Bangkok → Singapura → Kuala Lumpur → Jakarta → Hanoi → Manila = 2.30 + 1.00 + 2.25 + 3.30 + 3.10 = 11.95 jam/hours (iv) Bangkok → Jakarta → Kuala Lumpur → Singapura → Bandar Seri Begawan → Manila = 3.60 + 2.25 + 1.00 + 2.10 + 2.00 = 10.95 jam/hours Oleh itu, masa penerbangan tersingkat dari Bangkok ke Manila ialah 6.40 jam. Thus, the shortest time taken for the flight from Bangkok to Manila is 6.4 hours. Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 85 11/10/2023 3:02:36 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

86 1 Pada hari pertama persekolahan, lima orang murid duduk mengelilingi suatu meja bulat. Guru meminta semua murid saling berjabat tangan dengan setiap orang murid di meja tersebut dan memperkenalkan diri masing-masing. Berapakah bilangan jabat tangan yang akan berlaku di meja itu? KBAT Menilai On the first day of school, five students are seated around a circular table. The teacher asks all the students to shake hands with everyone on the table and introduce themselves to each other. How many handshakes will occur at the table? a e b d c 10 jabat tangan. Sebagaimana yang ditunjukkan dalam graf di sebelah, murid diwakili oleh bucu, manakala jabat tangan diwakili oleh tepi. Maka, terdapat 10 tepi ⇒ 10 jabat tangan. 10 handshakes. As shown in the graph on the left, students are represented by vertices while handshakes represented by edges. So, there are 10 edges ⇒ 10 handshakes. 2 Wakilkan rangkaian komunikasi yang merangkumi beberapa terminal yang dikaitkan dengan saluran penghantaran. Setiap terminal dikenal pasti oleh alamat IP yang unik supaya maklumat boleh dihantar kepada penerima yang betul. Aliran maklumat dalam rangkaian tersebut digambarkan dalam jadual di bawah. KBAT Mengaplikasi Represent a communication network comprising several terminals connected by transmission channels. Each terminal is identified by a unique IP address so that information can be passed to the correct recipients. The information flow in the network is depicted in the table below. Terminal/Terminal Menyalurkan maklumat kepada/Routing information to 102.3.11.20 (A) 104.53.51.33 (C) 105.36.47.01 (B) 102.3.11.20, 103.25.24.44 (A, D) 104.53.51.33 (C) 105.36.47.01 (B) 103.25.24.44 (D) 104.53.51.33, 116.85.21.50 (C, E) 116.85.21.50 (E) 104.53.51.33 (C) Setiap terminal dilabelkan dengan A, B, C, D dan E. Each terminal is labelled with A, B, C, D and E. • • • • • A B C D E Zon KBAT Strategi A+ Maths F4-B5 4th.indd 86 11/10/2023 3:02:36 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

87 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Inequalities in Two Variables 6.1 1 Ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah ialah satu ketaksamaan yang melibatkan suatu fungsi linear dalam dua pemboleh ubah. A linear inequality in two variables is an inequality that involves a linear function in two variables. 2 Semua titik dalam rantau di sebelah atas garis y = ax + b ialah penyelesaian bagi y . ax + b. All points in the region above the line y = ax + b are the solutions of y . ax + b. y x O y = ax + b y > ax + b 3 Semua titik dalam rantau di sebelah bawah garis y = ax + b ialah penyelesaian bagi y , ax + b. All points in the region below the line y = ax + b are the solutions of y , ax + b. y x O y = ax + b y < ax + b 4 (a) y x O y ≥ ax + b y = ax + b y > ax + b Rantau berlorek termasuk garis lurus y = ax + b. The shaded region includes the straight line y = ax + b. (b) y x O y > ax + b y = ax + b y . ax + b Rantau berlorek tidak termasuk garis lurus y = ax + b. The shaded region does not include the straight line y = ax + b. (c) y x O y ≤ ax + b y = ax + b y < ax + b Rantau berlorek termasuk garis lurus y = ax + b. The shaded region includes the straight line y = ax + b. (d) y x O y < ax + b y = ax + b y , ax + b Rantau berlorek tidak termasuk garis lurus y = ax + b. The shaded region does not include the straight line y = ax + b. Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Systems of Linear Inequalities in Two Variables 6.2 Jika satu titik dalam suatu rantau memuaskan satu sistem ketaksamaan, maka semua titik dalam rantau itu ialah penyelesaian bagi sistem ketaksamaan itu. If a point in a region satisfies an inequality system, then all points in that region are the solutions to the system of inequalities. y x O 2 x = y y = 2 y > x, y , 2, x + y > 2 x + y = 2 Revisi Pantas Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Linear Inequalities in Two Variables Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 87 11/10/2023 3:05:21 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

88 Latihan 1 Tulis satu ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah bagi setiap situasi berikut. TP 2 Write a linear inequality in two variables for each of the following situations. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah. Latihan 2 Tentukan sama ada titik-titik berikut memuaskan y = 20 – 6x, y . 20 – 6x atau y , 20 – 6x. Determine whether the following points satisfy y = 20 – 6x, y . 20 – 6x or y , 20 – 6x. TP 3 TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 (2, 5) y 20 – 6x 5 20 – 6(2) = 8 ∴y , 20 – 6x 2 (3, 2) y 20 – 6x 2 20 – 6(3) = 2 ∴y = 20 – 6x 3 (5, –8) y 20 – 6x –8 20 – 6(5) = –10 ∴y . 20 – 6x 5 , 8 2 = 2 –8 . –10 (4, 4) Penyelesaian y 20 – 6x 4 20 – 6(4) = –4 ∴y . 20 – 6x 4 . –4 Praktis PBD Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Linear Inequalities in Two Variables 6.1 Contoh 1 Contoh 2 Situasi/Situation Ketaksamaan/Inequality 1 Peter membeli sebidang tanah berbentuk segi empat tepat untuk menanam pokok buah-buahan. Perimeter tanah itu adalah melebihi 1 000 m. Peter purchased a rectangular land to plant some fruit trees. The perimeter of the land is more than 1 000 m. Katakan panjang tanah = x m, lebar tanah = y m Let the length of land = x m, width of land = y m 2x + 2y . 1 000 atau/or x + y . 500 2 Soo Yee mempunyai sekeping wang kertas RM50. Dia ingin menukarkan wang itu kepada duit syiling 10 sen dan 20 sen. Dia memperoleh x keping duit syiling 10 sen dan y keping duit syiling 20 sen. Soo Yee has a piece of RM50 note. She wants to change the note into 10 sen and 20 sen coins. She obtains x pieces of 10 sen coin and y pieces of 20 sen coins. RM50 = 5 000 sen 10x + 20y < 5 000 atau/or x + 2y < 500 3 Dalam suatu ujian Matematik, markah Azrul melebihi markah Mokhtar sekurang-kurangnya 8 markah. In a Mathematics test, Azrul’s marks exceed Mokhtar’s marks by at least 8. Katakan markah Azrul dan markah Mohktar masing-masing ialah x dan y. Let Azrul’s marks and Mohktar’s marks be x and y respectively. x – y > 8 Puan Anita ingin membeli beberapa buah buku Fizik dan Kimia untuk muridmuridnya. Harga sebuah buku Fizik ialah RM30 dan harga sebuah buku Kimia ialah RM28. Wang maksimum yang boleh dibelanjakan oleh Puan Anita ialah RM450. Puan Anita would like to buy some Physics and Chemistry books for her students. The price of a Physics book is RM30 and the price of a Chemistry book is RM28. The maximum amount of money that Puan Anita can spend is RM450. Penyelesaian Katakan bilangan buku Fizik dan Kimia masing-masing ialah x dan y. Let the number of Physics and Chemistry books be x and y respectively. 30x + 28y < 450 atau/or 15x + 14y < 225 Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 88 11/10/2023 3:05:22 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

89 Latihan 3 Tentukan ketaksamaan yang memuaskan rantau berlorek. TP 3 Determine the inequality that satisfies the shaded region. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah untuk melaksanakan tugasan mudah. Tentukan sama ada rantau berlorek memuaskan y > 2x – 1 atau y < 2x – 1. Determine whether the shaded region satisfies y > 2x – 1 atau y < 2x – 1. Penyelesaian Pilih satu titik dalam rantau, contohnya (1, 3). Select a point in the region, for example (1, 3). y < 2x – 1 y 2x – 1 3 2(1) – 1 = 1 3 . 1 ∴Rantau berlorek memuaskan y > 2x – 1. The shaded region satisfies y > 2x – 1. y x –1 2 1 –1 0 1 3 4 5 2 3 4 y = 2x – 1 1 y x –1 2 1 –1 0 1 3 4 5 2 3 4 y = –x + 4 Tentukan sama ada rantau berlorek memuaskan y > –x + 4 atau y < –x + 4. Determine whether the shaded region satisfies y > –x + 4 or y < –x + 4. Pilih satu titik dalam rantau, contohnya (1, 1). Select a point in the region, for example (1, 1) y = 1, x = 1 y –x + 4 1 –1 + 4 = 3 1 , 3 y < –x + 4. ∴ Rantau berlorek memuaskan y < –x + 4. The shaded region satisfies y < –x + 4. 2 y x –1 –1 –2 –3 0 1 1 2 3 2 3 4 y = –2x + 1 Tentukan sama ada rantau berlorek memuaskan y . –2x + 1 atau y , –2x + 1. Determine whether the shaded region satisfies y . –2x + 1 or y , –2x + 1. Pilih satu titik dalam rantau, contohnya (2, 2). Select a point in the region, for example (2, 2). y –2x + 1 2 –2(2) + 1 = –3 2 . –3 y . –2x + 1 ∴ Rantau berlorek memuaskan y . –2x + 1. The shaded region satisfies y . –2x + 1. 3 y x –1 –1 –2 –3 0 1 1 2 3 –2 2 3 4 y = –1 2x – 1 Tentukan sama ada rantau berlorek memuaskan y > – 1 2 x – 1 atau y < – 1 2 x – 1. Determine whether the shaded region satisfies y > – 1 2 x – 1 or y < – 1 2 x – 1. Pilih satu titik dalam rantau, contohnya (–2, –2). Select a point in the region, for example (–2, –2). y – 1 2 x – 1 –2 – 1 2 (–2) – 1 = 0 –2 , 0 y < – 1 2 x – 1. ∴ Rantau berlorek memuaskan y < – 1 2 x – 1. The shaded region satisfies y < – 1 2 x – 1. Contoh 3 Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 89 11/10/2023 3:05:22 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

90 Latihan 4 Lorekkan rantau yang memuaskan setiap ketaksamaan berikut. TP 4 Shade the region that satisfies each of the following inequalities. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 x < –1 x = –1 y x 3— 2— 1— O –1— –2— –3— –3 –2 –1 1 2 3 2 y , 1 y x 3— 2— 1— O –1— –2— –3— –3 –2 –1 1 2 3 y = 1 3 y > 0 y x 3— 2— 1— O –1— –2— –3— –3 –2 –1 1 2 3 y = 0 Latihan 5 Lorek rantau yang memuaskan setiap ketaksamaan berikut. TP 4 Shade the region that satisfies each of the following inequalities. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 y < x y x 5— 4— 3— 2— 1— O 1 2 3 4 5 y = x y = x x 1 2 y 1 2 x . 2 Penyelesaian y x 5— 4— 3— 2— 1— O 1 2 3 4 5 x = 2 x + y . 3 Penyelesaian y x 5— 4— 3— 2— 1— O 1 2 3 4 5 x + y = 3 x + y = 3 y = –x + 3 x 3 0 y 0 3 Contoh 5 Contoh 4 Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 90 11/10/2023 3:05:22 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

91 2 y , x + 1 y x 3— 2— 1— O –1— –2— –3— –3 –2 –1 1 2 3 y = x + 1 y = x + 1 x 0 –1 y 1 0 3 y > –2x – 1 y x 3— 2— 1— O –1— –2— –3— –3 –2 –1 1 2 3 y = –2x – 1 y = –2x – 1 x 0 1 y –1 –3 Latihan 6 Lorek rantau yang mewakili setiap ketaksamaan berikut. TP 3 Shade the region representing each of the following inequalities. TP 3 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. (a) y > x – 2 x y 2 –2 0 y = x – 2 (b) y , –x + 2 x y 2 0 2 y = –x + 2 x y 0 y = ax + b y > ax + b x y 0 y = ax + b y < ax + b x y 0 y = ax + b y . ax + b x y 0 y = ax + b y , ax + b 1 y < 3x + 2 x y 2 0 y = 3x + 2 2 y > –2x + 8 x y 8 0 4 y = –2x + 8 3 y . 2x x y 0 y = 2x 4 y , 27 – 3x x y 0 27 – y = 27 – 3x 9 5 y > 2 x y 0 y = 2 2 6 x , 4 x y 0 x = 4 4 Contoh 6 Tip Bestari Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 91 11/10/2023 3:05:23 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

92 Latihan 7 Tulis sistem ketaksamaan linear bagi setiap situasi berikut. TP 3 Write the system of linear inequalities for each of the following situations. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Hasil tambah dua nombor ialah sekurangkurangnya 30 dan beza antara dua nombor itu ialah kurang daripada 8. x dan y ialah dua nombor dengan keadaan x . y. The sum of two numbers is at least 30 and the difference between the two numbers is less than 8. x and y are the two numbers such that x . y. x + y > 30 x – y , 8 2 Jerrine ingin menukarkan sekeping wang kertas RM10 kepada duit syiling 10 sen dan 20 sen. Dia mendapat x keping duit syiling 10 sen dan y keping duit syiling 20 sen. Jerrine intends to change a piece of RM10 note to 10 sen and 20 sen coins. She obtains x pieces of 10 sen coin and y pieces of 20 sen coin. RM10 = 1 000 sen 10x + 20y < 1 000 atau/or x + 2y < 100 10x < 1 000 atau/or x < 100 20y < 1 000 atau/or y < 50 3 Shaik mempunyai sebidang tanah pertanian. Dia ingin menanam x batang pokok kelapa dan y batang pokok nangka. Jumlah bilangan pokok tidak boleh melebihi 80 batang dan bilangan pokok kelapa melebihi bilangan pokok nangka tidak kurang daripada 15 batang. Shaik owns a piece of farmland. He wants to plant x coconut trees and y jackfruit trees. The total number of trees cannot be more than 80 and the number of coconut trees exceed the number of jackfruit trees by not less than 15. x + y < 80 x – y > 15 Jumlah umur Yan Ru dan ibunya ialah sekurangkurangnya 70 tahun. Umur ibunya tidak melebihi tiga kali umur Yan Ru. Umur Yan Ru dan ibunya masing-masing ialah x tahun dan y tahun. The sum of the ages of Yan Ru and her mother is at least 70 years. Her mother’s age is not more than three times Yan Ru’s age. The ages of Yan Ru and her mother are x years old and y years old respectively. Penyelesaian Umur Yan Ru/Yan Ru’s age = x Umur ibu/Mother’s age = y x + y > 70 y < 3x Latihan 8 Tentukan rantau yang memuaskan setiap sistem ketaksamaan berikut. TP 4 Determine the region that satisfies each of the system of inequalities. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 y x O Q P R S y = –x + 4 y = x + 4 (a) y < –x + 4 dan/and y . x + 4 Rantau R/Region R (b) y > –x + 4 dan/and y . x + 4 Rantau Q/Region Q 2 y x O Q P S R y = –x y = x + 7 (a) y . –x dan/and y . x + 7 Rantau Q /Region Q (b) y , –x dan/and y . x + 7 Rantau P/Region P y x O Q P S R y = x x + y = 6 (a) x + y > 6 dan/and y > x Rantau/Region Q (b) x + y < 6 dan/and y > x Rantau/Region P Contoh 7 Contoh 8 Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Systems of Linear Inequalities in Two Variables 6.2 Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 92 11/10/2023 3:05:24 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

93 Latihan 9 Nyatakan ketaksamaan yang memuaskan setiap rantau berlorek yang berikut. TP 4 State the inequalities which satisfy each of the following shaded regions. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. (a) 6 x y 0 y = x y = –x + 6 (b) 8 x y 0 y = 2x 2y = –x + 8 Penyelesaian Ketaksamaan/Inequalities: y > x, y > –x + 6, y , 6 Penyelesaian Ketaksamaan/Inequalities: y , 2x, 2y > –x + 8, x < 8 1 x y —1 2 0 y = 2x – 8 y = – x + 7 y ≥ 2x – 8, y ≤ – 1 2 x + 7, x ≥ 0 2 x y —1 3 –9 0 y = –x y = x + 3 x ≥ –9, y ≤ –x, y ≥ 1 3 x + 3 3 5 x y —1 2 0 y = 2x y = x y ≥ 1 2 x, x < 5, y < 2x Latihan 10 Pada setiap graf yang berikut, lorek rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan. On each of the following graphs, shade the region which satisfies the three inequalities. TP 4 TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. y < 3x + 9, y > 1 2 x dan/and y , 9 Penyelesaian 9 x y 0 —1 y = 3x + 9 2 y = x 9 x y 0 y = 9 y = 3x + 9 —1 2 y = x 1 y > x – 3, x + y > 3 dan/and y < 3 y = 3 3 0 y x y = x – 3 x + y = 3 2 2x + 3y < 12, y > 1 3 x – 2 dan/and x > 2 1 3 0 –2 2 4 6 4 y x x = 2 2 y = x – 2 2x + 3y = 12 3 y – x < 6, y > 3x + 6 dan/and x . –2 x = –2 –2 y x 0 y – x = 6 y = 3x + 6 Contoh 10 y = x y x, x + y 4, x < 4 y x 4 4 0 x + y = 4 Garis mendatar ialah y = 4, bukan x = 4. This horizontal line is y = 4, not x = 4. Kesilapan Umum Contoh 9 Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 93 11/10/2023 3:05:25 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

94 Latihan 11 Pada setiap satah Cartes, bina dan lorek rantau yang memuaskan ketaksamaanketaksamaan berikut. TP 4 On each Cartesian plane, construct and shade the region that satisfies the following inequalities. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 2y > x, 5x + 3y < 15 dan/and x > 0 y x 5— 4— 3— 2— 1— O 1 2 3 4 5 2y = x 5x + 3y = 15 2y = x x 0 2 y 0 1 2 5x + y > 5, x + y < 5 dan/and y . x y x 5— 4— 3— 2— 1— O 1 2 3 4 5 y = x x + y = 5 5x + y = 5 5x + y = 5 y = –5x + 5 x 0 1 y 5 0 3 y > x, y < 3x dan/and y , 4 y x 5— 4— 3— 2— 1— O 1 2 3 4 5 y = 3x y = 4 y = x y = 3x x 0 1 y 0 3 2x + y = 4 y = –2x + 4 x 0 2 y 4 0 y > x, 2x + y > 4 dan/and y , 3 Penyelesaian y x 5— 4— 3— 2— 1— O 1 2 3 4 5 y = x y = 3 2x + y = 4 Contoh 11 Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 94 11/10/2023 3:05:25 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

95 Menyelesaikan Masalah Melibatkan Sistem Ketaksamaan Linear Solving Problems Involving Linear Inequalities System Latihan 12 Selesaikan./Solve. TP 5 TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Sebuah kilang menghasilkan dua jenis kereta mainan, A dan B. Setiap hari, kilang itu menghasilkan x buah kereta mainan A dan y buah kereta mainan B. Keuntungan hasil jualan sebuah kereta mainan A dan B masingmasing ialah RM10 dan RM20. Penghasilan kereta mainan itu adalah berdasarkan kekangan berikut: A factory produces two types of toy cars, A and B. Every day, it produces x toy cars A and y toy cars B. Profit from the sales of a unit of toy car A and B are RM10 and RM20 respectively. The production of toy cars is based on the following constraints: I Jumlah bilangan kereta mainan yang dihasilkan dalam sehari tidak melebihi 140 buah. The total number of toy cars produced per day does not exceed 140 units. II Bilangan kereta mainan A yang dihasilkan tidak kurang daripada separuh bilangan kereta mainan B. The number of toy cars A produced is not less than half of the number of toy cars B. III Jumlah keuntungan minimum bagi jualan kedua-dua jenis kereta mainan dalam sehari ialah RM1 400. The minimum profit for the sale of both types of toy cars per day is RM1 400. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0, yang memuaskan semua kekangan yang diberi. Write three inequalities, other than x ≥ 0 and y ≥ 0, that satisfy all the given constraints. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 20 buah kereta mainan pada kedua- dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memuaskan semua syarat yang diberi. Using a scale of 2 cm to 20 toy cars on both axes, construct and shade the region R that satisfies all the given constraints. (c) Cari bilangan minimum dan maksimum kereta mainan A jika kilang itu menghasilkan 80 buah kereta mainan B dalam sehari. Find the minimum and the maximum number of toy cars A if the factory produces 80 toy cars B per day. Penyelesaian (a) x + y < 140, x > 1 2 y atau/or y < 2x, 10x + 20y > 1 400 atau/or x + 2y > 140 (b) Lihat graf Refer to the graph (c) Minimum = 40 Maksimum Maximum = 60 y 140— 120— 100— 80— 60— 40— 20— 0 20 40 60 80 100 120 140 x y = 2x x + y = 140 10x + 20y = 1 400 R Contoh 12 Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 95 11/10/2023 3:05:26 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

96 1 Puan Azizah bercadang untuk membuat x biji kek pisang dan y biji kek mentega. Sebiji kek pisang memerlukan 400 g tepung dan 100 g mentega. Satu kek mentega memerlukan 250 g tepung dan 400 g mentega. Jumlah bilangan kek yang dihasilkan ialah sekurang-kurangnya 5 biji. Puan Azizah mempunyai 2 kg tepung dan 1.6 kg mentega. Puan Azizah plans to bake x banana cakes and y butter cakes. A banana cake requires 400 g of flour and 100 g of butter. A butter cake requires 250 g of flour and 400 g of butter. The total number of cakes baked is at least 5. Puan Azizah has 2 kg of flour and 1.6 kg of butter. (a) Nyatakan tiga ketaksamaan, selain x > 0 dan y > 0, bagi situasi di atas. State three inequalities, other than x > 0 and y > 0, for the above stituations. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada sebiji kek pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memuaskan semua kekangan yang diberi. Using a scale of 2 cm to a cake on both axes, construct and shade the region R that satisfies all the given constraints. (c) Puan Azizah ingin membuat dua biji kek pisang dan empat biji kek mentega. Adakah tepung dan mentega itu mencukupi untuk membuat kek itu? Beri justifikasi anda. KBAT Menganalisis Puan Azizah wants to bake two banana cakes and four butter cakes. Is the flour and butter enough to bake the cakes? Justify your answer. (a) 400x + 250y < 2 000, 100x + 400y < 1 600, x + y > 5 atau/or 8x + 5y < 40, x + 4y < 16 (b) Rujuk graf di bawah./Refer the graph below. (c) Tidak kerana titik (2, 4) berada di luar rantau berlorek R. No because point (2, 4) lies outside of the shaded region R. 1 2 3 4 5 6 7 x x + 4y = 16 8x + 5y = 40 x + y = 5 (2, 4) R 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0 y Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 96 11/10/2023 3:05:28 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

97 2 Sempena ulang tahun SMK Sri Maju, badan pengawas diberi tugas untuk menjual x helai kemeja-T jenama P dan y helai kemeja-T jenama Q di bawah kekangan berikut: In conjunction with SMK Sri Maju's anniversary, the prefect board is given a task to sell x pieces of brand P T-shirts and y pieces of brand Q T-shirts under the following constraints: I Badan pengawas mesti menjual sekurang-kurangnya 100 helai kemeja-T jenama P. The prefect board must sell at least 100 pieces of brand P T-shirts. II Badan pengawas mesti menjual sekurang-kurangnya 50 helai kemeja-T jenama Q. The prefect board must sell at least 50 pieces of brand Q T-shirts. III Bilangan maksimum kemeja-T untuk dijual ialah 350 helai. The maximum number of T-shirts for sale is 350 pieces. (a) Nyatakan tiga ketaksamaan, selain daripada x > 0 and y > 0, bagi situasi di atas. State three inequalities, other than x > 0 and y > 0, for the above stituations. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 50 helai kemeja-T pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memuaskan semua kekangan yang diberi. Using a scale of 2 cm to 50 pieces of T-shirts on both axes, construct and shade the region R that satisfies all the given constraints. (c) Cari bilangan maksimum kemeja-T jenama Q yang mesti dijual. Find the maximum number of brand Q T-shirt must be sold. (a) x > 100, y > 50, x + y < 350 (b) Rujuk graf/Refer the graph (c) 250 helai/250 pieces x + y = 350 x = 100 y = 50 R 50 100 150 200 250 300 350 x y 400— 350— 300— 250— 200— 150— 100— 50— 0 Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 97 11/10/2023 3:05:30 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

98 3 Sebuah kolej ingin menawarkan kursus komputer kepada x orang peserta dan kursus perakaunan kepada y orang peserta berdasarkan kekangan berikut: A college would like to offer a computer course to x participants and an accounting course to y participants based on the following constraints: I Bilangan peserta yang mendaftar untuk kursus komputer tidak boleh kurang daripada 10 orang. The number of participants who sign up for a computer course cannot be less than 10. II Bilangan peserta yang mendaftar untuk kedua-dua kursus itu tidak boleh melebihi 40 orang. The number of participants enrolled in both courses should not exceed 40. III Bilangan peserta yang mendaftar untuk kursus komputer tidak boleh melebihi 2 kali ganda bilangan peserta yang mendaftar untuk kursus perakaunan. The number of participants who sign up for a computer course cannot exceed 2 times the number of participants for an accounting course. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain x > 0 dan y > 0, bagi situasi di atas. Write three inequalities, other than x > 0 and y > 0, for the above situations. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 peserta pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memuaskan semua kekangan diberi. Using a scale of 2 cm to 5 participants on both axes, construct and shade the region R that satisfies all the given constraints. (a) x > 10, x + y < 40, x < 2y atau/or 2y > x (b) y 40— 35— 30— 25— 20— 15— 10— 5— 0 5 10 15 20 25 30 35 40 x x + y = 40 x = 10 R 2y = x Strategi A+ Maths F4-B6 4th.indd 98 11/10/2023 3:05:32 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA