Matemáticas Financieras Segunda Edición

MATEMÁTICAS
FINANCIERAS

2da. Edición

Autor:
Econ. Julio César Méndez Bravo, MBA.
Universidad de Guayaquil

Ing. Com. Manuel Alberto Méndez Bravo, MSc.
Universidad de Guayaquil

Ing. Ind. Diana María Merchán Galarza, MSCP.
Universidad de Guayaquil

Ing. Com. Ernesto Javier Maldonado Ojeda, MBA.

Revisores Pares:
Inés Jacqueline Arboleda Enríquez, MD. Esp.
Universidad Católica Santiago de Guayaquil
José Ignacio Quinto Romero, MD. MSc.
Universidad de Guayaquil

Diseño de portada, Diagramación:
Editorial e Imprenta de la Universidad de Guayaquil
Gestores de la publicación
Decanato de Investigación, Posgrado e Internacionalización
Coordinación de Investigación y Gestión del Conocimiento
Servicio Nacional de Derechos Intelectuales - SENADI.

ISBN: 978 - 9978 - 59 - 162 - 8

Quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones en las leyes, la
producción o almacenamiento total o parcial de la presente publicación,
incluyendo el diseño de la portada, así como la transmisión de la misma
por cualquiera de sus medios, tanto si es electrónico, como químico,
mecánico, óptico, de grabación o bien de fotocopia, sin la autorización de
los titulares del copyright.

Guayaquil-Ecuador 2022

CONTENIDO

Descripción 7

Propósito 8

Metodología 9

Objetivos 9

Objetivo general 9

Objetivos específicos 9

Introducción a las matemáticas financieras 10

CAPÍTULO 1

Dinero 13

Funciones del dinero 13

Sistema monetario 13

Origen del interés 14

Importancia del interés 15

Diagramas de flujo 15

Ejercicios de aplicación 18

Interés simple 21

Ejercicios de aplicación 23

Monto o valor futuro a interés simple 24

Ejercicios de aplicación 25

Valor presente o actual a interés simple 27

Ejercicios de aplicación 28

Cálculo de la tasa de interés simple 29

Ejercicios de aplicación 30

Cálculo del tiempo (n) 31

Ejercicios de aplicación 32

Capitalizaciones de tasas 33

Autocontrol 1 37

CAPÍTULO 2 41
Interés Compuesto 44
Análisis numérico comparativo 46
Valor futuro (vf) 47
48
Ejercicios de aplicación 49
Valor presente o valor actual (va) 50
51
Ejercicios de aplicación 52
Cálculo del periodo 53
54
Ejercicios de aplicación 56
Cálculo del interés 60

Ejercicios de aplicación
Períodos de interés compuesto

Capitalizaciones en interés compuesto
Autocontrol 2

CAPÍTULO 3

Anualidades 65

Clases: 65

Anualidad ordinaria o vencida 66

Ejercicios de aplicación 68

Valor futuro (f) 69

Ejercicios de aplicación 70

Recuperación de capital (a/p) 71

Ejercicios de aplicación 72

Fondo de amortización (a/f) 73

Ejercicios de aplicación 74

Equivalencias 75

Ejercicios de aplicación 81

Anualidades anticipadas 82

Valor presente (p) 82

Ejercicios de aplicación 83

Valor futuro (f) de una anualidad anticipada. 84

Ejercicios de aplicación 85

Recuperación de capital (a/p) 86
Ejercicios de aplicación 87
88
Fondo de amortización (a/f) 89
Ejercicios de aplicación 90

Autocontrol 3

CAPÍTULO 4

Gradientes 97

Gradiente aritmético o lineal 97

Valor presente de un gradiente aritmético o lineal creciente 98

Buscando PTG PA PG 100

Ejercicio de aplicación 102

Buscar “a” 103

Ejercicio de aplicación 104

Buscar “n” 105

Ejercicio de aplicación 108

Buscando “g” 109

Ejercicio de aplicación 110

Buscando “i” 111

Ejercicio de aplicación 114

Gradiente aritmética anticipada 115

Ejercicio de aplicación 117

Valor futuro de un gradiente lineal creciente 118

Ejercicio de aplicación 119

Casos de ejercicios combinados 120

Ejercicio de aplicación 122

Gradiente lineal decreciente 123

Valor presente de un gradiente lineal decreciente 123

Ejercicio de aplicación 125

Valor futuro de un gradiente lineal decreciente 126

Ejercicio de aplicación 128

Gradiente geométrico exponencial 129

Valor presente de un gradiente geométrico creciente 129
Ejercicio de aplicación 132
135
Valor futuro de un gradiente geométrico creciente 137
Ejercicio de aplicación 138
138
Gradiente geométrico decreciente 141
Valor presente de un gradiente geométrico decreciente 142
144
Ejercicio de aplicación 145
Valor futuro de un gradiente geométrico decreciente

Ejercicio de aplicación
Autocontrol 4

CAPÍTULO 5

Amortización 150

Capital insoluto y tabla de amortización 150

Ejercicio de aplicación 155

Periodo de gracia 156

Ejercicio de aplicación 159

Fondos de amortización o valor futuro 161

Ejercicio de aplicación 163

Autocontrol 5 164

CAPÍTULO 6

Van y tir 160

Valor actual neto (van) 160

Ejercicios de aplicación 165

Tasa interna de retorno (tir) 175

Cálculo 175

Método interpolación  178

Ejercicios de aplicación 180

Glosario 183

Formulario 185

Referencias 191

DESCRIPCIÓN

Esta segunda edición del libro trae cambios relacionados al contenido,
el primer cambio es la eliminación del capítulo uno del anterior libro y
el desarrollo de un nuevo capítulo con el tema del TIR y VAN, el cual
es el aporte de los nuevos coautores, adicional a esto se aumentaron
el número de ejercicios en los ejercicios de aplicación y en las autoe-
valuaciones, la metodología que se buscó realizar en esta nueva edi-
ción fue el explicar paso a paso el desarrollo de los ejercicios con las
explicaciones respectivas para que su aprendizaje sea más didáctico.
Esta nueva edición le brindará a todo estudiante o persona interesada
en aprender y entender las transacciones financieras para poder de-
sarrollarlas y tomar la mejor decisión respecto a diferentes opciones,
que suelen encontrarse en el mercado financiero cuando se realiza un
préstamo, o se desea realizar una compra de un bien inmueble o bien
mueble, o si queremos hacer reajustes a las deudas adquiridas con
cambios de tasas, aumento o reducción del plazo para pagar la deuda;
cuando consideramos refinanciar una deuda o simplemente se quiere
cancelar una deuda antes del plazo pactado.
Se encontrarán explicaciones fáciles de entender, con ejercicios re-
sueltos paso a paso y sus respectivas fórmulas para aplicar, además de
ejercicios planteados para la práctica de cada tema, los mismos que
pueden ser desarrollados en el mismo texto. Al final de cada capítulo
se hallan los autocontroles que son ejercicios completos y mezclados
de los diferentes temas analizados. La idea fundamental es que sirva
como instrumento de ayuda en la formación de profesionales capaces
y competitivos en mundo globalizado, donde su preparación técnica
permita desenvolverse en cualquier campo, financiero o administra-
tivo, precisamente las Matemáticas Financieras permite desarrollar
todas estas competencias que son los fundamentos en toda estructura
económica y financiera de una empresa, negocio o entidad educativa,
que maneje negociaciones internas o externas.

PROPÓSITO

Esta nueva edición tiene los siguientes propósitos principales:
• Actualización de información eliminando ciertos temas y agre-

gando dos temas adicionales muy importantes para el desarrollo
de las habilidades de los estudiantes en el campo de la matemática
financiera.
• Brindar a los estudiantes una comprensión sólida de los princi-
pios, conceptos y metodología de las matemáticas financieras.
• Ayudar a los estudiantes para que desarrollen habilidades y des-
trezas a través de la aplicación de métodos y técnicas activas que
les permita tomar decisiones con respecto a cualquier situación o
problema que puedan encontrar en su desempeño profesional o
en su vida diaria.
Cada capítulo tiene ejercicios de aplicación y con grados de dificultad
creciente para una mayor comprensión de los casos y temas a tratar.
El libro está diseñado para que los estudiantes puedan desarrollar los
ejercicios en el mismo libro y así ir realizando apuntes de estudios que
le ayuden a entender de una manera más rápida y precisa los temas de
cada capítulo.

METODOLOGÍA
MÉTODOS: Dentro de los métodos a ejecutarse tenemos el método
de solución de problemas, método activo, inductivo-deductivo, peda-
gógico y científico.
TÉCNICAS: Técnica grupal, exegética, expositiva, bibliográfica y la
técnica de la investigación.

OBJETIVOS
Objetivo general:
• Desarrollar el razonamiento lógico e interpretación de resulta-

dos, mediante el análisis, reflexión y resolución de problemas,
para formar profesionales capaces de desenvolverse con objetivi-
dad en un mundo competitivo.

Objetivos específicos:
• Capacitar en métodos y técnicas activas.
• Formar criterio analítico, crítico y reflexivo.
• Identificar la solución más adecuada en el corto y largo plazo.
• Aplicar correctamente las fórmulas para resolver de manera efi-

ciente los problemas.
• Reconocer las fórmulas más adecuadas a aplicar en base al tipo

de problema planteado.

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Las matemáticas financieras se deriva de la matemática aplicada que
estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa
y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de méto-
dos de evaluación que permiten tomar decisiones, también se lo co-
noce como: análisis de inversiones, administración de inversiones o
ingeniería económica.
La base de las matemáticas financieras la encontramos en la relación
resultante de recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual o valor
presente) y otra diferente (VF - valor futuro o monto) de mayor can-
tidad transcurrido un período. La diferencia entre VA y VF responde
por el “valor” asignado por las personas al sacrificio de consumo ac-
tual y al riesgo que perciben y asumen al posponer el ingreso.
El dinero puede ser usado para invertirlo o para cubrir alguna necesi-
dad, con la adquisición de algún bien o servicio.
Este valor de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asig-
na un valor objetivo fijando un precio por la financiación que se llama
interés. El interés se puede definir como el pago por el aplazamiento
en el tiempo del consumo, o sea el precio por el alquiler o uso del di-
nero durante un período de tiempo determinado.
Este valor del dinero se exige, entre otras, por las siguientes razones:

• Por el riesgo que se asume
• Por la falta de disponibilidad del dinero
• Por la pérdida del valor del dinero en el tiempo

El valor o precio, de los intereses, depende de:
• La cantidad de capital invertido o prestado
• El tiempo que dura la operación
• El tanto de interés al que se acuerda la operación y su plazo

Por esta razón, las Matemáticas Financieras son de aplicación práctica
y muy necesaria en la vida diaria, su estudio está íntimamente ligado
a la resolución de problemas y ejercicios aplicables a la vida cotidiana.

Matemáticas Financieras

CAPÍTULO 1

Julio César Méndez Bravo
12

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

DINERO
“El dinero es el equivalente en unidades monetarias al valor de un

bien o servicio”.
Funciones del dinero
1) Medida de valor de bienes o servicios
2) Medio de circulación
3) Medio de acumulación de riqueza
4) Medio de pago
Siendo su función elemental el intercambio por bienes o servicios

SISTEMA MONETARIO
El sistema monetario es el sistema legalmente establecido como circu-
lante monetario en un país. Comprende:
1) La mercancía, que desempeña la función de equivalente general.
2) La unidad monetaria: El patrón de precios.
3) Los medios legales de circulación y los medios de pago (dinero me-
tálico, papel moneda, moneda fiduciaria: Billetes de banco.
4) El sistema de acuñación de las monedas (de pleno contenido: de
oro; subsidiarias - moneda de cambio- de plata y cobre)
5) El tipo de emisión de los billetes de banco y de los valores del Esta-
do (dinero papel). El sistema monetario como forma en que se organi-
za la circulación del dinero no es único para todos los estados.

13

Matemáticas Financieras

ORIGEN DEL INTERÉS
En la antigüedad al no existir instituciones financieras creadas, ni uni-
dad monetaria que sea ocupada a nivel mundial, cuando las personas
llegaban a un puerto para adquirir o vender productos, se encontra-
ban con muchos problemas.
Quienes llegaban a comprar productos no manejaban una misma uni-
dad monetaria, por lo que debían negociar con metales preciosos, el
cual era muy usado y difícil de transportar.
Aquellas personas que llegaban para vender sus productos se encon-
traban con el problema de no tener dinero para contratar a quien mo-
vilizara sus productos, razón por lo que en muchas ocasiones se optó
intercambiar el trabajo físico por los productos (trueque).
Es aquí donde surgen personas con dinero que se ubicaban en casas o
bodegas cerca de los puertos, donde los compradores y vendedores de
productos llegaban, ellos prestaban un servicio que en la actualidad
prestan los bancos.
Guardaban el dinero de aquellas personas que tenían miedo de lle-
varlo consigo ya que podían ser asaltadas en el camino, así que estos
banqueros (llamados así porque estaban en los puertos sentados en un
banco bajo una tolda) guardaban y cuidaban sus metales preciosos,
a cambio de un pago por dicho servicio y los comerciantes recibían
un papel en el que se garantizaba la cantidad de metal precioso que
dejaban (aquí surgen los primeros documentos comerciales) con este
mismo metal precioso y el de ellos, lo prestaban a los comerciantes
para sus gastos, y por el servicio de darles el dinero (metal precioso)
ellos recibieron dentro de un tiempo pactado la misma cantidad pres-
tada más una comisión por facilitarles el dinero para sus actividades,
esta comisión adicional o pago es lo que se llama el interés, que no
es más que “El precio del dinero por usarlo en un lapso de tiempo
determinado”.

14

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Importancia del interés
El uso del dinero no es gratuito, como tampoco lo es de cualquier
otro activo (una casa, un automóvil); y tampoco lo de un servicio (luz,
agua, teléfono, etc.); por tanto, el usuario del dinero, activos o servi-
cios, debe pagar con valores extras la cantidad prestada a la persona o
institución que le da el dinero. En el paso del dinero, esta utilidad se
mide en utilidades monetarias, que unida al capital en uso hace que
este cambie el valor del dinero con el tiempo, y por esto se habla del
valor del dinero en el tiempo. De ahí la frase: “Dinero crea dinero”.
El concepto de interés constituye la base fundamental no sólo de las
Matemáticas Financieras, sino de toda operación financiera particular
en la que intervienen valores y tiempos.

DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo de caja está constituido por: 1) Una línea recta
horizontal que representa el tiempo que dura una operación financie-
ra y cada número en el eje indica el final del período correspondiente.
2) El número cero indica el momento en que se inicia la operación
financiera, el valor presente por excelencia. 3) El número uno indica
el final del primer período de tiempo, ya sea un día, una semana, un
mes, un trimestre, un período de 53 días, etc.
4) En la línea horizontal del tiempo se dibujan flechas que van en di-
rección norte y sur. La dirección de las flechas en el diagrama de flujo
de caja es importante. La flecha vertical hacia arriba indicará flujos de
efectivo positivo (ingresos) y a la inversa, indicará flujos de efectivo
negativo (egresos). 

15

Matemáticas Financieras

Ejemplo:
Una persona hizo un préstamo de $10’000,000 en una institución fi-
nanciera que cobra el 22% efectivo anual, si la persona planifica cance-
lar la deuda mediante cuatro pagos trimestrales, de tal forma que cada
pago sea el doble del anterior. ¿Cuál será el diagrama de fluido de caja? 

Para resolver el anterior ejercicio y cualquier otro ejercicio, primero se
gráfica el diagrama de flujo de caja para observar el problema holísti-
camente en toda su magnitud, con mayor claridad y luego se establece
dentro del diagrama lo que se denomina como fecha focal.
1) Ejemplo: Diagrama de egresos
En este diagrama al final del período cero realizamos desembolsos por
UM $200; al final del período dos, por UM 700 y al final del período
cinco, por UM 50.

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2) Ejemplo: Diagrama de ingresos
Aquí recibimos en el período 0 $500; en el tres, $1200 y en el cuatro
855.

3) Ejemplo: Diagrama de depósito y retiro
El diagrama indica que por un depósito $3,500 recibimos $4,150
después de seis meses.

17

Matemáticas Financieras

Ejercicios de aplicación:

Grafique diagramas de flujos para los siguientes enunciados:
1. Un importador hace un préstamo al banco del Pichincha por un

monto de $35,000 el cual decide pagar al cabo de un año un valor
de $48,500. ¿Cuál es la tasa de interés del préstamo?
2. Un productor necesita mejorar sus máquinas, por lo que hace un
préstamo a su cooperativa financiera por un valor de $148,000
comprometiéndose a pagar en 6 pagos iguales por un monto de
$25,000 y dos pagos adicionales en el tercer y quinto año por un
valor de $8,500.
3. Peter realizó la venta de un auto que tiene un precio comercial de
$25,000; al entregar el vehículo recibió el 30% de entrada del valor
vehículo y además pagos mensuales de $1,200 por el lapso de un
año y medio.
4. El señor Andrade acaba de comprar un juego de muebles para su
sala, el cual tuvo un precio de $2,550. El día de hoy recibió un el
juego de muebles y canceló el 35% del precio, la diferencia la pagó
de forma bimestral en pagos iguales durante 24 meses, con un
abono de $55 en el sexto pago.
5. Usted decide ingresar a una cadena de dinero, la cual consta de
12 integrantes donde cada uno de los miembros paga $150 men-
suales, si usted recibe el dinero en el séptimo mes, ¿Cómo sería el
diagrama de flujo de efectivo?
6. La señora García después de un largo juicio laboral contra su an-
terior trabajo, ganó una demanda por despido intempestivo, para
lo que la empresa fue obligada a indemnizar a la señora García, la
empresa quedó en cancelarle el valor de $128,000 los cuales serían
cancelados de la siguiente manera:

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a) El día de hoy cancelar el 25% de la deuda, la diferencia
en pagos mensuales de $800 durante seis años que es el
periodo de la deuda.

b) Pagos de $6,400 cada 12 meses.
7. El matrimonio Bolaños ganó un premio de lotería por un valor de

$250,000 el cual será pagado con el 25% el día de hoy, la diferencia
en pagos iguales mensuales en el lapso de dos años, el valor gana-
do le servirá para pagar la adquisición de su nueva casa valorada
en $135,000 la cual tienen que pagar al mes siguiente de recibir el
valor del premio empezando con el 35% de entrada y la diferen-
cia en pagos iguales mensuales durante cuatro años, adicional a
esto en el segundo año que les entregaban la casa debían comprar
muebles y electrodomésticos por un valor de $20,000 los cuales
pagaron inicialmente el 40% y la diferencia en pagos mensuales
iguales por dos años.
8. Los dos hermanos Icaza desean realizar un viaje para recorrer Eu-
ropa el mismo que lo realizarán después de dos años y tres cuar-
tos, para lo cual empiezan a ahorrar desde el día de hoy $500
mensuales cada uno hasta un mes antes de su viaje y lo van depo-
sitando en una cuenta conjunta, adicional a esto se comprometie-
ron a depositar $850 cada trimestre hasta el momento de su viaje,
el momento de partir los hermanos Icaza retiran de su cuenta de
ahorros $28,550.
9. La señora Josefina ha comprado un equipo de cocina profesional
para su negocio, el mismo que le fue entregado el día de hoy y está
valorado en $7,435 al momento de la compra canceló $2,500 de
entrada y la diferencia la pagó en pagos iguales bimestrales duran-
te un año y medio.

19

Matemáticas Financieras

10. Sandra y Claudia desean realizar un viaje por toda Europa dentro
de 3 años, una vez que terminen la universidad y para esto desean
ahorrar bimestralmente $756, empezando el día de hoy, adicional
a esto ellas planean hacer depósitos de $2,500 cada una al final de
cada año, ya que son los valores que reciben en sus trabajos como
utilidades. Si ellas guardan su dinero en una cuenta de ahorros
que les paga el 7,5% efectivo anual, determine el flujo de efectivo
de sus operaciones.

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INTERÉS SIMPLE

Interés simple es la cantidad generada o devengada sobre un monto
de capital inicial invertido o prestado, los intereses generados no se
incorporan al capital de tal manera que éste permanece constante du-
rante el o los períodos de aplicación del mismo, es decir:

I=C∙n∙i

Donde:

• I = Interés simple

• C = Capital

• n = Plazo

• i = Tasa de interés nominal

El plazo y la tasa de interés, deben expresarse en la misma base de
tiempo (la base: la unidad de medida, el año).

Ejemplo:

Calcular el interés de un capital de $ 15, 000 con una tasa de interés del
20% anual simple en un periodo de 18 meses.

Solución: Monto= I+C
C = $ 15, 000 C= Monto –I
i = 20% anual = 0.20 anual. I= Capital - Monto
n = 18 meses = 18/12 = 1.5 años.

I = C n i = $ 15, 000 (1.5)(0.20) I = $ 4,500

21

Matemáticas Financieras

Ejemplo:
Determinar el interés sobre un préstamo de $ 5, 500 realizado el 6 de
abril y con vencimiento el 21 de mayo, si la tasa de interés es de 14%
simple anual:
Solución:
C = $ 3, 500
i = 14% anual = 0.14 anual
n = 45 días = 45/360 años

6 de abril 6 mayo 21 mayo
30 15 = 45 días

Primero: Del 6 de abril al 6 de mayo tenemos 30 días.
Segundo: Del 6 de mayo al 21 de mayo son 15 días más.
Tercero: 30+15 = 45 días.
I=Cni

I=$96.25

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Ejercicios de aplicación:
1. Calcula el interés de un capital de $38.500 con una tasa de interés

del 14% anual simple en un período de 36 meses.
2. Calcula el interés de un capital de 52,538 con una tasa de interés

del 15, 5% anual simple en un lapso de tiempo de 50 meses.
3. Calcula la tasa de interés con un capital de 85,200 que dentro de

60 meses generó un interés de $ 42,600.
4. Determina el interés sobre un préstamo de $ 24,200 realizados

el 12 de junio y con vencimiento del 27 de octubre, si la tasa de
interés es de 18% simple anual.
5. Susana le prestó $580 a su primo el 15 de mayo y le devolvió el
dinero el 25 de septiembre, si la tasa de interés que le prestó fue
del 16%, ¿Cuál fue el interés que le pagaron a Susana?
6. Marielena prestó $1200 a su mejor amiga el 8 de junio a una tasa
del 11% anual simple, y su mejor amiga le pagó un interés de
$22,70 ¿en qué fecha le devolvió el dinero?

23

Matemáticas Financieras

MONTO O VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE
El interés simple permite saber el valor del interés que estamos co-
brando o que nos están cobrando, sino conocer también el valor final
que vamos a recibir o pagar por un capital prestado por un período
determinado de tiempo y a una tasa de interés.
Para saber dicho valor se aplica la siguiente fórmula:

VF = VA [1+(n· i)]
Si tomamos el ejemplo anterior, y lo planteamos de la siguiente ma-
nera:
Calcular el valor a pagar por un capital de $ 15, 000 con una tasa de
interés simple del 20% anual simple en un período de 5 años.
VA= 15,000
i= 20% ≈ 0.20
n=5
VF= ?

VF = 15000 [1+(5· 0,20)]
VF = 15000 [1+(5· 0,20)]

VF = 15000 [ 2 ]
VF = 30,000

El valor a pagar después de 5 años será de $30,000

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Ejercicios de aplicación:
1. ¿Cuánto tendrá el señor Acosta dentro de 7 años, si hoy depo-

sita en su cuenta de retiro $35,550 a una tasa del 12.4% anual
simple?
2. Hace 12 años abrí una cuenta de ahorro con $12,000 para pagar la
universidad de mi hijo, si el banco me pagó una rentabilidad del
18% anual simple, ¿Con cuánto cuento el día de hoy para el pago
de la universidad de mi hijo?
3. Calcular el valor a pagar por un préstamo de $ 9,000 con una tasa
de interés simple del 14.5% anual al cabo de 8 años.
4. Calcular el valor que tendrá el don Luis dentro de 6,5 años, si
hoy deposita en su cuenta de ahorros $13,220 a una tasa del
8.53% anual simple?
5. Si Andrea abrió una cuenta de ahorros al cumplir sus 18 años de
edad con el dinero de sus ahorros más el dinero que recibió en
su fiesta de cumpleaños para comprar un carro nuevo ahora que
ella termine su universidad al cabo de 5 años, si el banco me pagó
una rentabilidad del 20,50% anual simple, ¿Cuánto dinero tiene
Andrea para comprarse su carro si ella depositó $8,370 en día de
su cumpleaños número 18?
6. Calcular el valor a pagar por un préstamo de $ 9,000 con una tasa
de interés simple del 14.5% anual al cabo de 8 años.
7. Si decides ahorrar en tu banco el valor de $3,568 y al cabo de
36 meses decides retirar tu dinero, considerando que tu banco te
paga el 2,15% mensual simple, ¿Cuál es el valor que retiras si final
del tiempo establecido?
8. Los estudiantes de tercer año de bachillerato se reunieron a inicio
de año y decidieron depositar en conjunto $5,450 en una cuenta

25

Matemáticas Financieras

conjunta que les paga el 3,34% mensual simple y al cabo de un
año sacaron el dinero para realizar su viaje de fin de curso. ¿Con
cuánto dinero cuentan para su viaje?
9. Si los hermanos Hernández, Andrés, Alberto y Carlos deciden
depositar sus ahorros para colaborarse y comprar un auto, ¿Con
cuánto dinero cuentan en diciembre de este año si depositan a
partir de enero según las siguientes condiciones:

• Andrés deposita en enero $2,340 con una tasa de interés
del 2,45% mensual.

• Alberto deposita $3,500 el mes de marzo a una tasa del
5% bimensual

• Carlos deposita $4,400 en enero a una tasa del 8,56% se-
mestral.

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VALOR PRESENTE O ACTUAL A INTERÉS SIMPLE
En un análisis financiero no necesariamente se va a tener un valor
actual o capital del cual queremos saber un valor futuro, ya que si se
tiene una cuantía y queremos saber qué valor inicial se produjo, se
toma la fórmula anterior y se procede a despejar la variable que se
desea obtener.

VF = VA [1+(n· i)]
Despejando tenemos:
Ejemplo:
Dentro de tres años se desean acumular la suma de $38,000 a una tasa
del 7% anual ¿Cuál es el valor inicial de la inversión?

El valor inicial de la inversión debe ser de $31,404.96

27

Matemáticas Financieras

Ejercicios de aplicación:
1. Si al terminar mi universidad deseo realizar un viaje por Europa y

para dicho viaje necesito un valor de $8,500 ¿Cuál es el valor que
debo depositar hoy en mi cuenta bancaria para retirar después de
5 años, si mi banco me paga una tasa de interés simple del 11%
anual?
2. Si hoy me devuelven $2,340 de una póliza que abrí hace 10 años
atrás, ¿Con cuánto abrí dicha póliza, si el banco me pagó una tasa
del13% anual simple?
3. Si un negocio me ofrece pagar la suma de $4,500 después de cua-
tro años a una tasa del 9% anual, ¿Cuál es el valor inicial que debo
dar para dicha inversión?
4. Si don Luis le dijo a sus hijas que al término de dos años que les falta

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CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS SIMPLE
Tomando en cuenta que una variable adicional de nuestra fórmula es
la tasa de interés, para poder hallar dicha variable, nuevamente par-
timos de la fórmula inicial donde procedemos a despejar el dato que
necesitamos.

VF = VA [1+(n· i)]
Despejando tenemos:

Ejemplo:
Una persona le prestó a un amigo la suma de $ 2’000,000 y paga des-
pués de 6 años la suma de $ 2’400,000 ¿Qué tasa de interés le cobraron?

La tasa de interés que le cobraron fue de 0.10 lo que equivale al 10%
de interés simple anual.

29

Matemáticas Financieras

Ejercicios de aplicación:
• Si la señora Elvira le prestó a su hermana Elizabeth la suma de $

1,500 para el arreglo de la fachada de su casa y después de cuatro
años le devuelve la suma de $2,100 ¿Qué tasa de interés le pagó
Elizabeth cuando le devolvió el dinero?
• Pedro tiene $12,000 que recibió de utilidades en su trabajo y Vi-
viana le propone que lo invierta en el negocio que piensa ponerse
en Salinas, para esto ella le promete al final de tres años devolverle
el capital invertido más $ 4,800 ¿Cuál es la rentabilidad que le pa-
garía Viviana a Pedro por su inversión?

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Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

CÁLCULO DEL TIEMPO (n)
Cuando no tenemos la variable del período de tiempo se despeja la
fórmula inicial para hallar la variable n y se obtiene la siguiente fórmula.

VF = VA (1+n i)

Ejemplo
¿En cuánto tiempo se acumularían $ 800,000 si se depositan hoy $
250,000 en un fondo que paga al 14.67% de interés simple?

Se necesitarán 15 años para poder acumular $800,000 a una tasa del 14.67%
31

Matemáticas Financieras

Ejercicios de aplicación:
• Danny depositó en la cooperativa de ahorros de su empre-
sa $2,400 y cuando decidió retirar su dinero le devolvieron
$3,600. Si la cooperativa le pagaba el 10% anual, ¿Después de
cuánto tiempo retiró Danny su dinero?
• Decidí invertir en la siembra de árboles el dinero que me so-
bró de la venta de unas propiedades, si al final de la inversión
me devolvieron $57,911 ¿Qué tiempo tuve que esperar para
que la inversión me dé utilidades sabiendo que mi depósito
inicial fue de $38,200 y este tipo de inversiones paga al 4.30%
de interés simple anual?

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CAPITALIZACIONES DE TASAS
No necesariamente una tasa de interés va a ser anual. Para tales casos
se aplicará la capitalización como sigue a continuación.
Si la capitalización no es anual la fórmula es:

Donde:
k Número de períodos de capitalización que se hace al año.
Así si la capitalización es:
Semestral, k = 2
Cuatrimestral, k = 3
Trimestral, k = 4
Mensual, k = 12
Diaria, k=360

Ejemplo 1:
Calcular el monto de un capital de $ 120,000 con una tasa de interés
de 13% simple anual en un tiempo de 9 meses.
Solución:
VA = 150,000
i = 25% anual
n = 9 meses = 9/12 años
VF = VA (1+nr) = 150, 000 [1+ (9/12) (0.25)]
VF = $ 178,125

Resolver:

¿Cuál es el monto de un capital de $750,220 con una tasa de interés
simple anual en 11 meses?

33

Matemáticas Financieras

Ejemplo 2:
Una empresa firma un pagaré para liquidarlo en un tiempo de 18 me-
ses por la cantidad de $500,000 con una tasa de interés de 36% anual
simple, ¿Cuál será el capital inicial que recibió al firmar el pagaré?
VF = $500, 000
n = 18 meses = 18/12 años
i = 36% anual = 0.36 anual

Resolver
Si al final de una inversión recibes $35,580 pagaderos con una tasa de
interés simple de 11% después de dos años y medio, ¿Cuánto fue el
valor inicial con el que abriste la póliza?

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Ejemplo 3

¿Cuál será la tasa de interés que resulta de recibir un préstamo por la
cantidad de $ 370,000 pagando un monto de $410,000 en un plazo de
9 meses?

VA = $ 370,000 VF = $410,000

i = 0.1441 x 100 = 14.41% Anual.

Resolver
¿Cuál es la tasa de interés que paga un banco si hoy depositas $1,500 y
luego de un año y medio recibes $2,200?

35

Matemáticas Financieras

Ejemplo 4:
Calcular el tiempo en que un capital de $ 80,000 se convierte en un monto
de $ 160,000, aplicando una tasa de interés de 25% anual simple.

Resolver
¿Qué tiempo debo esperar para recibir un monto de $320,000 después
de depositar $150,000 con una tasa de interés del 10%?

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Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

AUTOCONTROL 1
1. En sus propias palabras explique ¿Qué es la matemática financiera?
2. ¿Cuál es la base de las matemáticas financieras?
3. ¿Qué es el interés?
4. ¿Para qué se aplica las matemáticas financieras?
5. ¿Qué es el dinero?
6. Mencione dos funciones del dinero.

37

Matemáticas Financieras

7. En sus propias palabras indique ¿Qué es el sistema monetaria?

8. ¿Cómo surgen los primeros documentos comerciales?

9. ¿Cuál es la importancia del interés?

10. Grafique.
a. Dibuje un diagrama de flujo de efectivo para $10,500 prestados

a una tasa del 12% anual en un periodo de seis años. ¿Cuánto
interés se rembolsaría solo como monto de pago fuerte al final del
sexto año?
b. El señor Pérez hace un préstamo en este mes por un valor de
$225,000 el cual desea invertir en la compra de una nueva máqui-
na para aumentar su producción, comprometiéndose a realizar
pagos iguales bimensuales de $22,500 por dos años, con un pago
adicional en el primer mes del segundo año por un valor equiva-
lente a la cuarta parte del pago bimestral que realiza; por esta in-
versión, el señor Pérez logra aumentar su producción consiguien-
do ingresos mensuales por $15,000 y con ingresos adicionales de
$5,0000 en temporadas donde aumenta la producción que son en
los meses junio y diciembre. Si el préstamo lo realiza este mes en
curso, ¿cómo sería el diagrama de flujo para la deuda adquirida?

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Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

11. Desarrolle los siguientes ejercicios:
a. ¿En cuánto se convierten $12,000 si se presta a un i = 8% durante

3 años?
b. Pedro luego de 5 años de ahorro completó un capital de $3.850

y decidió junto con su hermano menor Carlos invertir el 60% de
su capital, quien ofreció pagar un interés simple del 22% al cabo
de 15 meses, ¿Cuánto le pagó Carlos al final del período pactado?
c. Si Andrea tiene $ 2000, Betsy tiene 60% más que Andrea y 20%
menos que Katty, y si las tres deciden invertir en el negocio de
Billy que ofrece darles un interés simple del 18% anual al cabo de
21 meses, ¿Cuánto es el interés pagado y cuánto le corresponde a c/u?
d. Determine el interés sobre un préstamo de $15.860 que realizó
Pedro el 4 de noviembre y que vence el 14 de febrero, si la tasa de
interés es de 24% simple anual.
e. ¿Cuál es el interés a pagar por un préstamo de $27.630 realizado el
12 de julio y que vence el 27 de agosto, si su tasa de interés simple
es de 12.8%?
f. El Dr. Pérez para la compra de mercadería realizó un préstamo de
$8750 a su vecino el Sr. López el día 21 de abril, con la condición
de pagarlo el día 1 de septiembre a una tasa del 17.5% de interés
simple. ¿Cuánto fue el interés pagado?
g. Si abro una póliza con $290,450 con una tasa de interés simple
del 12% y quiero retirar el dinero dentro de un año y tres cuartos,
¿Cuál es el valor que obtengo al final?

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Matemáticas Financieras

CAPÍTULO 2

Julio César Méndez Bravo • Manuel Alberto Méndez Bravo
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Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Interés compuesto
El interés compuesto representa el precio del dinero de un capital
inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período
(t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de
inversión no se retiran sino que se reinvierten o se recapitalizan, pro-
duciendo un capital final (Cf).
Para un período determinado sería:

Capital final (Cf) = capital inicial (C) más los intereses.
Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo:
A continuación la tabla de valores de un depósito inicial de $ 1.000.000,
a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 %.
Nota: Como no se especifica, se sobrentiende que es 10 % anual.

Año Depósito inicial Interés Saldo final
0 (inicio) $1,000,000 $1.100.000
1 $1,100,000 ($1.000.000 x 10% = ) $1.210.000
2 $1,210,000 $100.000 $1.331.000
3 $1,331,000 ($1.100.000 × 10% = ) $1.464.100
4 $1,464,100 $110.000 $1.610.510
5 $1,610,510 ($1.210.000× 10% = )
$121.000  
($1.331.000 × 10% = )
$133.100
($1.464.100 × 10% = )
$146.410

 

41

Matemáticas Financieras

Ejercicio:
Realizar los cálculos para saber el monto final de un depósito inicial
de $ 420.020, a 6 años plazo con un interés compuesto de 12 %.

Año Depósito inicial Interés Saldo Final

0 (inicio)
1
2
3
4
5
6

Al realizar los cálculos en la tabla resulta fácil calcular el interés sobre
el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito
inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al
monto final.

Resulta sencillo, pero imaginémonos qué ocurriría si no fuesen 5
años, sino 30 años, la tala sería muy extensa y tediosa de realizar.

En inversiones aseinotbertiéesnceoamppauretsirtod, eelucnapciatpailtafilnianlic(Ciafl) o valor fu-
turo (VF), que (C) o valor
actual (VA), a una tasa de interés (i), en un tiempo (n), está dado por
la fórmula:

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Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejemplo:
A continuación se demostrará la aplicación de la fórmula tomando el
primer ejercicio:
De un depósito inicial de $ 1’000,000 a 5 años plazo con un interés
compuesto de 10 %. ¿Qué valor genera después de ese tiempo?

Si observamos el resultado de este ejercicio y lo comparamos con el de
la tabla, observamos que el resultado es el mismo, lo que quiere decir
que la aplicación de esta fórmula es la ideal para cuando se tienen que
realizar ejercicios de interés compuesto a diferentes plazos.
La aplicación de la tabla está hecha para mediante un análisis visual
entender el comportamiento y forma de trabajar el interés compuesto
y entender mejor lo que se refiere a la recapitalización del interés.

43

Matemáticas Financieras

ANÁLISIS NUMÉRICO COMPARATIVO

A continuación para una diferenciación más clara realizaremos el cál-
culo de un mismo capital, con un periodo idéntico y con una tasa de
igual valor, solo que de diferente tipo (simple y compuesta).

Capital $ 10.000  
Período de inversión: 30 días
Se renueva durante 6 períodos
Tasa a 30 días: 1%

   INTERÉS COMPUESTO

  INTERÉS SIMPLE
  

Nº de CAPITAL INTERESES CAPITAL AL MONTO AL
período INICIO DEL   INTERESES VENCIMIENTO
PERÍODO

1 10.000,00 100,00 10.000,00 100,00 10.100,00
2 10.000,00 100,00 10.100,00 101,00 10.201,00
3 10.000,00 100,00 10.201,00 102,01 10.303.01
4 10.000,00 100,00 10.303,01 103,03 10.406,04
5 10.000,00 100,00 10.406,04 104,06 10.510,10
6 10.000,00 100,00 10.510.10 105.10 10.605,10

Total intereses ganados  600,00 Total intereses     615,20  
ganados

En la tabla se puede apreciar que bajo el sistema de interés compuesto
al cabo de los 180 días se logran $ 15,20 más en concepto de renta que
utilizando el sistema de interés simple.

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Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejercicio:
Realice una tabla comparativa y establezca la diferencia entre la utili-
dad que le genera el interés simple vs interés compuesto.
El señor Hernández ha invertido $ 248,00 de sus utilidades de 3 años
que suman $248,000 en dos cuentas diferentes en partes iguales, las
que pagan los siguientes intereses
El banco A el 16% d interés simple anual y el banco B el 16% de interés
compuesto anual, el señor Hernández retira su dinero luego de 5 años,
¿Cuál fue la diferencia que obtuvo al final en cada banco?

    

   INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO

Nº de  
período
CAPITAL AL
CAPITAL INTERESES INICIO DEL   INTERESES MONTO AL
PERÍODO VENCIMIENTO

      Total intereses      
 Total intereses ganados ganados

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Matemáticas Financieras

VALOR FUTURO (VF)
¿Qué es el valor futuro (VF)?
Muestra el valor que una inversión actual (VA) a tener en el futuro. Eso
quiere decir muestra a cuanto equivaldrá el capital actual o presente
después de un periodo de tiempo a una tasa de interés determinada.
Su expresión general es:

Siendo:

VF: Valor futuro
VA: Valor actual de la inversión
n: número de años de la inversión (1,2,...,n)
i: tasa de interés anual expresada en tanto por uno

Ejemplo:
Averiguar en qué se convierte un capital de $2’500,000 al cabo de 5
años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.
Aplicando la fórmula:

VA = $2.500.000 n= 5
i= 8% = 0,08

VF VA 1 i n
VF 2500000 1 0, 08 5

VF 2500000 1, 08 5
VF 2500000 1, 469328

VF 3, 673,320

El Valor Final es de $3’673,320

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Ejercicios de aplicación:
Problemas a resolver, calcule los resultados y realiza el respectivo
diagrama de flujo:
1. Si hoy compro un terreno en $17,300 y gano una plusvalía del

9.5% anual, ¿Cuánto recibirá por dicho terreno al cabo de 8 años?
2. Billy tiene 15 años y acaba de heredar $50,000 con la restricción

de no utilizarlo hasta que sea mayor de edad. ¿Cuánto recibirá al
cumplir la mayoría de edad si el banco le ofrece una tasa del 20%?
3. Si Mary invierte sus ahorros que son $2,750 en la siembra de ár-
boles de roble y tiene que esperar 15 años para recuperar su inver-
sión y obtener ganancias, si este negocio le da una rentabilidad del
7% anual, ¿Cuánto recibirá al final del período de espera?

47

Matemáticas Financieras

VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL (VA)

¿Qué es el Valor Actual (VA)?

Indica el valor de hoy, de una inversión a recibir en el futuro.
A partir de la expresión anterior podemos calcular su valor. Para ello
despejamos el valor actual y obtenemos:

VF VA 1 i n

Esta fórmula despejada quedaría:

VA VF

1 i n

VA VF 1 i n

Siendo:
VF: Valor futuro de la inversión
n: número de años de la inversión (1,2,...,n)
i: tasa de interés anual expresada en tanto por uno
Él VA será mayor cuando menor sean “i” y “n”.

Ejemplo:
Si pretendemos tener $2’000,000 dentro de 5 años. Si el banco paga
una tasa de 10% anual ¿Cuánto necesitamos como capital inicial?

VA 2000000 1 0.10 5
VA 2000000 1.10 5

VA 2000000 0.620921323
VA 1, 241,842.65

Para recibir después de 5 años $2’000,000 deberíamos de depositar
hoy $1’241,842.65 en el banco.

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Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejercicios de aplicación:
Problemas a resolver, calcule los resultados y realiza el respectivo
diagrama de flujo:
1. Billy quiere jubilarse luego de 15 años de trabajo y con un fondo

de retiro de $250,000 si el banco le paga una tasa de 8% anual.
¿Cuánto debe depositar hoy para tener ese valor?
2. La familia Rodríguez ahorró durante 5 años $9,500 a una tasa del
16% anual, ¿Cuál fue el valor inicial con el que abrieron la cuenta?
3. Los Pérez quieren ir de vacaciones a Jerusalén aprovechando la
promoción de $18,350, este precio quedará congelado durante 36
meses. ¿Cuánto debe depositar hoy para obtener los $18,350 en 36
meses si el banco le paga el 13,5% anual?

49

Matemáticas Financieras

CÁLCULO DEL PERIODO
Este tipo de ejercicio se lo realiza
Un empresario que se ausentó del país dejo un capital de $1’200,000
y al regresar retiro de su cuenta $1’763,194. Si el banco donde tenía
su dinero le pagaba una tasa del 8% anual, ¿Cuánto tiempo estuvo
ausente el empresario?

VA 1, 200, 000 VF VA 1 i n
VF 1, 763,194 1763 194 1200, 000 1 0, 08 n
n
1 08 n 1763,194
i 08 1200, 000

1 08 n 1, 4693

nlog1 08 log1, 4693

n log1.4693
log1.08

n 4,999 5

n5

El empresario estuvo ausente por 5 años.
NOTA: Hay que recordar que la tasa y los períodos deben estar siem-
pre en la misma unidades de medidas, por eso es que si buscamos el
tiempo o la tasa, el resultado estará en la unidad de medida de tiempo
en que esté la tasa o el período.

50