Matemáticas Financieras Segunda Edición

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

6) La diferencia se escribe al final de la tabla.
7) El valor hallado finalmente se resta del capital insoluto y esto
crea el nuevo capital del siguiente período, al cual se le realiza
el mismo procedimiento hasta el final de la tabla.

Ejemplo de amortización
Una deuda de $8,000 con intereses al 10% convertible semestralmente
se va a amortizar mediante pagos semestrales en los próximos 3 años,
el primero con vencimiento al término de 6 meses. Hallar el pago.

1. Se hace el diagrama de la tabla de amortización con 5 columnas.
2. Se inicia la tabla escribiendo el capital insoluto al inicio de la

tabla.

PERIODO CAPITAL INTERÉS VENCIDO AL CUOTA O CAPITAL PAGADO AL FINAL
1 INSOLUTO FINAL DEL PERIODO PAGO DEL PERIODO
2
8,000

3

4

5

6

TOTALES

151

Matemáticas Financieras

3. Con el capital inicial se calcula el valor de la anualidad o renta
de la operación.
1 in
A P 1 in 1
0, 05 1 0, 05 6
8000
1 0, 05 6 1
0, 05 1, 05 6
8000
1, 05 6 1
0, 0670
8000
0, 3401
8000 0,1970
A 1576

4. Luego se procede a calcular el interés del primer periodo.
I C* i* n

I 8000 0,05 1

I 400
5. Se resta el interés del primer período de la renta a pagar del

primer mes.
8000-400=7600

6. La diferencia se escribe al final de la tabla.

152

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7. El valor hallado finalmente se resta del capital insoluto y esto
crea el nuevo capital del siguiente período, al cual se le realiza
el mismo procedimiento hasta el final de la tabla.

1576-400=1176
8000- 1176=6824

PERIODO CAPITAL INTERÉS VENCIDO AL CUOTA O CAPITAL PAGADO AL
INSOLUTO FINAL DEL PERIODO PAGO FINAL DEL PERÍODO
1
2 8000 400 1576 1176
3 6824 341,2 1576 1234,8
4 5589.2 279,46 1576 1296,54
5 4292.66 214,63 1576 1361,37
6 2931.29 146,56 1576 1429,44
TOTALES 1501.85 75.09 1576 1501,85
1456 9456 8000

El capital insoluto puede calcularse para cualquier período. Del ejem-
plo anterior calcularemos el capital insoluto después del 4to pago.
El valor de la anualidad o renta era de:
A= 1576
El capital insoluto después del 4to pago es el valor actual de los 2 pe-
ríodos que faltan por realizar.
Llamaremos “P” al saldo insoluto:

1 nm 1
P A i1 i nm
Y “m” al número de cuotas pagadas: k=n-m

153

Matemáticas Financieras

Donde “k” será la diferencia entre el número de cuotas total a pagar y
las cuotas que faltan por pagar.

1 k1
P A i1 ik

P 1 0, 05 7 5 1
1576
0, 05 1 0, 05 7 5

P 1, 05 2 1
1576
0, 05 1, 05 2

P 1576 0,1025
0, 0551

P 1576 1,860
P 2931, 29

El valor de $2931,75 es el capital insoluto del período 5, con esto se
puede continuar la tabla desde ese período específico.

PERIODO CAPITAL INTERÉS VENCIDO AL CUOTA O CAPITAL PAGADO AL
INSOLUTO FINAL DEL PERÍODO PAGO FINAL DEL PERÍODO
5
6 2931,29 146,56 1576 1429,44

1501,85 75.09 1576 1501,85

154

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Ejercicio de aplicación:
1) Mario hizo un préstamo al IECE por un valor de $5000, con
una tasa de interés del 8% anual capitalizable trimestralmen-
te, que será amortizado mediante pagos iguales cada trimes-
tre durante 2 años y medio, calcula el valor trimestral.

PERIODO CAPITAL INTERES VENCIDO AL CUOTA O CAPITAL PAGADO AL
INSOLUTO FINAL DEL PERÍODO PAGO FINAL DEL PERÍODO

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTALES

Del ejercicio anterior hallar el capital insoluto del 6to período y com-
pletar la tabla desde ese período.

PER. CAPITAL INTERES VENCIDO AL CUOTA O CAPITAL PAGADO AL
INSOLUTO FINAL DEL PERÍODO PAGO FINAL DEL PERÍODO

7
8
9
10

155

Matemáticas Financieras

PERÍODO DE GRACIA
El período de gracia es una modalidad de amortización, esto ocurre
cuando las empresas que realizan préstamos quieren trabajar libre-
mente por un período de tiempo antes de empezar a pagar las cuotas
respectivas.
A continuación un ejemplo con todos los cálculos de amortización:
Una empresa consigue un préstamo por un valor de $25,000 a 10 años
plazos, incluidos dos de gracia con una tasa de interés del 8% anual
capitalizable semestralmente, a ser pagado mediante cuotas semestra-
les, por el mismo sistema de amortización gradual, la primera de ellas
empezará un semestre después del período de gracia. Se pide calcular
la cuota semestral y el saldo insoluto inmediatamente después de ha-
ber pagado la cuota N°5 y la distribución de la cuota N°6 en lo que
respecta al capital e interés.
Datos:
P= $25000
n= 10 años = 20 semestres – 4 semestres (2 años de gracia) = 16 semestres.
i= 8% = 0,08/2(semestres) = 0,04
Primero llevaremos el capital al segundo año.

VF VA 1 i n
VF 25000 1 0, 04 4
VF 25000>1,16986@

VF 29246,5

156

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Luego procedemos a calcular el valor de las anualidades o rentas por
el período determinado.

ª 0, 04 1� 0, 04 16 º
A 29246, 5� « »
¬« 1 0, 04 16 1 »¼

A 29246, 5� ª 0, 07492 º
¬« 0, 87298 »¼

A 29246,5�>0, 0858@

A 2509,35

Los 16 pagos semestrales serán de $2509,35

Ahora con el valor de la cuota, podremos hallar la composición de la
cuota N°6

1 nm 1
P A i1 i nm

P 1 0, 04 16 5 1
2509, 35
0, 04 1 0, 04 16 5

P 1, 04 11 1
2509, 35
0, 04 1, 04 11

P 0, 5395
2509, 35
0, 0616

P 2509,35 8, 7581

P 21977,14

El saldo insoluto por pagar sin incluir intereses es $ 21977,14

157

Matemáticas Financieras

La composición de la cuota N°6 será, tanto de interés como de capital:

I=C*i*n
I=(21977,14)(0,04)(1)

I=879,09

PERIODO CAPITAL INTERES VENCIDO AL CUOTA O CAPITAL PAGADO AL
6 INSOLUTO FINAL DEL PERIODO PAGO FINAL DEL PERIODO

21977,14 879,09 2509,35 1630,26

7

8

9

10

11

12
13
14

15

16

158

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Ejercicio de aplicación:
1. Javier acaba de terminar su carrera y desea emprender una pe-

queña empresa de producción de ropa, para ello necesita adqui-
rir máquinas que agiliten los procesos de producción, para tal
motivo consigue un préstamo por un valor de $9,000 a 8 años
plazos, incluidos uno de gracia con una tasa de interés del 10,6%
anual capitalizable trimestralmente, a ser pagado mediante cuo-
tas trimestrales, por el mismo sistema de amortización gradual,
la primera de ellas empezará un trimestre después del período
de gracia. Se pide calcular la cuota trimestral y el saldo insoluto
inmediatamente después de haber pagado la cuota N°19 y la dis-
tribución de la cuota N°20 en lo que respecta al capital e interés.

PERÍODO CAPITAL INTERÉS VENCIDO CUOTA O CAPITAL PAGADO
INSOLUTO AL FINAL DEL PAGO AL FINAL DEL
PERÍODO PERÍODO

159

Matemáticas Financieras

2. El señor González es el gerente general de la empresa La Exito-
sa S.A. y desea implementar una estrategia de marketing que le
permita incrementar las ventas en su empresa, para ello necesita
desarrollar una serie de eventos promocionales, así como lanzar
una campaña en radio, televisión e internet, y para ello necesita
una inversión de $55,500, de los cuales cuenta con el 20% como
capital para inversión, sin embargo por la diferencia deberá rea-
lizar un préstamo bancario con una institución financiera la cual
le financiara el dinero por plazo de 15 años a una tasa del 9,86%
anual capitalizable semestralmente, a ser pagado mediante cuotas
semestrales, por el mismo sistema de amortización gradual. Se
pide calcular la cuota semestral y el saldo insoluto inmediatamen-
te después de haber pagado la cuota N°18 y la distribución de la
cuota N°27 en lo que respecta al capital e interés.

PERÍODO CAPITAL INTERÉS VENCIDO AL CUOTA O CAPITAL PAGADO AL
INSOLUTO FINAL DEL PERIODO PAGO FINAL DEL PERÍODO

160

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FONDOS DE AMORTIZACIÓN O VALOR FUTURO

Los fondos de amortización son depósitos periódicos que ganan inte-
rés, con la finalidad de acumular un determinado capital, esto se em-
plea en reposición de activos fijos, en las empresas o instituciones para
crear fondos de reserva, para el pago de prestaciones, en seguros, etc.
Ejemplo:
Una empresa desea acumular un capital de $10000 en tres años me-
diante depósitos semestrales en una institución financiera que le paga
una tasa de interés del 16% capitalizable semestralmente. Calcular la
cuota semestral y elaborar la tabla de amortización correspondiente.
Datos:
F= 10000
n= 3 años x 2 semestres = 6 semestres.
i= 16% =0,16/2 = 0,08

A F 1 i 1
in

0, 08
10000

1 0, 08 6 1
A 10000 0, 08

0, 586874
10000 0,1363

1363,15

161

Matemáticas Financieras

Luego a cada depósito o renta se le saca el interés (8%) y se va suman-
do al añadido del fondo.

Capital x interés = interés ganado

1363,15 x 0,08 = 109,052

Interés ganado + cuota = Total añadido al fondo

109,052 + 1363,15 = 1472,202

Total añadido al fondo + Capital acumulado anterior = Capital acumulado al final del periodo

1472,202 + 1363,15 = 2835,353

PERÍODO DEPÓSITO INTERÉS GANADO TOTAL AÑADIDO FONDO
O RENTA AL FINAL DEL AL FONDO ACUMULADO
1 PERIODICA PERÍODO AL FINAL DEL
2
3 1363,15 1363,15 PERÍODO
4 1363,15
5 1363,15 1363,15
6 1363,15
TOTAL 1363,15 109,052 1472,202 2835,353

1363,15 226,828 1589,978 4425,331
8178,90 354,026 1717,176 6142,507

491,401 1854,506 7997,058

639,765 2002,915 10000

1821,1 10000

162

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Ejercicio de aplicación:
La familia Álvarez desea acumular un capital de $9500 en dos años y
medio mediante depósitos semestrales en su Banco que le paga una
tasa de interés del 14% capitalizable semestralmente. Calcular la cuota
semestral y elaborar la tabla de amortización correspondiente.

PERÍODO DEPÓSITO INTERES GANADO TOTAL AÑADIDO FONDO
O RENTA AL FINAL DEL AL FONDO ACUMULADO
PERÍODICA PERÍODO AL FINAL DEL

PERÍODO

TOTAL

163

Matemáticas Financieras

AUTOCONTROL 5
1. ¿Qué entiende por amortizaciones?

2. ¿Para qué sirve una tabla de amortizaciones?

3. Explique que es el capital insoluto.

4. ¿Qué entiende por período de gracia?

5. Si decido comprar un electrodoméstico y de entrada doy el 20%
del valor del artículo. ¿Cuál será mi capital insoluto y por qué?

6. Resuelva los siguientes ejercicios.
a. El matrimonio García hizo un préstamo en su cooperativa
de ahorro y crédito por un valor de $12,000 con una tasa de
interés del 11% anual capitalizable cada cuatrimestre que será
amortizado mediante pagos iguales cada cuatrimestre duran-
te 36 meses, se pide:
164

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

1. Realizar la tabla de amortización.
2. Si el matrimonio García van a cancelar la cuota número 6

recibe $2,500 de un pago que les debía uno de sus clientes,
y deciden abonarlo a la deuda, cuál será el valor de las nue-
vas cuotas si mantienen el plazo de la deuda. Realice la ta-
bla de amortización desde este pago e indique los cambios
que ocurrieron.
b. Si decide usar su tarjeta de crédito FIAMECARD por primera
vez para comprar un teatro con un televisor LCD de 50” el
cual tiene un costo al contado de $4,820 y su tarjeta por ser
la primera compra le da un financiamiento de 12 meses con
el interés 5.8% y además le da un período de gracia de tres
meses para que recién empiece a pagar. Realice la tabla de
amortización tomando en cuenta el período de gracia.

165

Matemáticas Financieras

CAPÍTULO 6

Ernesto Javier Maldonado Ojeda • Julio César Méndez Bravo
166

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VAN y TIR
Si consideramos que un proyecto de inversión está formado por cua-
tro fases:
1) El estudio de mercado
2) El estudio técnico
3) El estudio de organización
4) El estudio financiero
Dentro del estudio financiero se determina la viabilidad del proyecto
y su rentabilidad además de generar valor económico agregado o ge-
nerar pérdida parcial o total de la inversión.
En este capítulo se determinara la forma de determinar la viabilidad
económica del proyecto de acuerdo con los resultados de aplicar dos
indicadores como la TIR y el VNA.
El VAN y el TIR son dos herramientas muy útiles en el área financie-
ras y desarrollada en las matemáticas financieras que permiten eva-
luar la rentabilidad de un proyecto de inversión, y permitirnos decidir
sobre los riesgos o beneficios de invertir en un proyecto de inversión
ya sea en la creación de un nuevo negocio, o en la expansión de un
negocio que ya está en marcha, tales como el desarrollo de un nuevo
producto, la adquisición de nueva maquinaria, el ingreso en un nuevo
rubro de negocio, etc.
A continuación se aprenderá a calcular el VAN y TIR y con estos datos
se analizara la mejor opción para realizar una inversión, considerando
en que opción se debe invertir o en su defecto si no es rentable invertir
en ninguna opción, ya que ninguna de las opciones presentadas pue-
den generar beneficios económicos.

167

Matemáticas Financieras

VALOR ACTUAL NETO (VAN)
El VAN (valor actual neto) es un indicador financiero que mide los
flujos de los futuros ingresos y egresos que tendrá un proyecto, para
determinar, si luego de descontar la inversión inicial, nos quedaría
alguna ganancia. Si el resultado es positivo, el proyecto es viable.
Basta con hallar el VAN de un proyecto de inversión para saber si di-
cho proyecto es viable o no. El VAN también nos permite determinar
cuál proyecto es el más rentable entre varias opciones de inversión.
Incluso, si alguien nos ofrece comprar nuestro negocio, con este indi-
cador podemos determinar si el precio ofrecido está por encima o por
debajo de lo que ganaríamos de no venderlo.
El cálculo del VAN tiene una gran aplicación en la implementación de
las PYMES y demás negocios de inversión que se desee hacer, entre las
ventajas tenemos:
• Tiene en cuenta el valor del dinero en cada momento.
• Es un modelo sencillo de llevar a la práctica.
• Nos ofrece un valor presente fácilmente comprensible.
• Es muy flexible permitiendo introducir en el criterio cualquier va-

riable que pueda afectar a la inversión, inflación, incertidumbre,
fiscalidad, etc.
Sin embargo el VAN tiene su desventaja como lo es:
• Hay que tener un especial cuidado en la determinación de la tasa
de descuento.
Pese a esto su uso es muy efectivo y sencillo, aplicando la siguiente
formula:

168

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

VAN n Vt
1 kt
I0

t1

 = Flujos de caja en cada periodo t.
 = Inversión inicial.
 = Número de períodos considerado.
= Tasa de Descuento

La tasa de descuento (k) es la tasa de oportunidad o de rentabilidad
mínima que se espera ganar.
Aplicando la formula antes mencionada se pueden obtener los si-
guientes resultados y con esto tomar la mejor decisión referente a que
opción de inversión seleccionar.
VAN > 0 → Proyecto rentable.
VAN = 0 → Proyecto rentable (porque incorpora ganancia de k)
VAN < 0 → Proyecto no rentable.
Entonces para hallar el VAN se necesitan:

1. Tamaño de la inversión.
2. Flujo de caja neto proyectado (ingreso y egresos).
3. Tasa de descuento.

169

Matemáticas Financieras

Ejemplo:
A continuación se desarrollara un ejemplo que analiza el procedi-
miento de implementar un emprendimiento, utilizando la aplicación
del VAN paso a paso.
1) Determinar la inversión inicial
Imagine que desea poner su negocio de preparación y venta de pizza
y para ello necesita adquirir un horno con bandejas, un tanque de gas
e implementos de cocina que le ayuden a preparar las pizzas y todo
esto tiene un costo de $2,200 lo cual será considerado su inversión
inicial, que es la cantidad de dinero necesaria con la que empezaría
el negocio, con lo cual usted espera obtener una ganancia económica.

2) Establecer un período de tiempo a evaluar
En este paso lo que se desea hacer es determinar en qué periodo de
tiempo el emprendimiento desarrollado logrará pagar la inversión
inicial, este período de tiempo puede medirse en cualquier unidad de
tiempo, aunque normalmente se lo miden en años.
Continuando con el ejemplo anterior, vamos a suponer que el horno y
los implemento de cocina tienen una garantía de 3 años, pero que por
un estudio de mercado que se realizó, se determinó que al cabo de 5
años se debe de cambiar y renovar todo, por lo que se considerara un
periodo de cinco años para el cálculo del VAN y con esto determinar
si lo producido por el horno e implementos de cocina se pagarán a sí
mismo antes de que se deban de reemplazar.
3) Estimar el flujo de caja
Ya conociendo el periodo de tiempo, ahora es necesario estimar cuán-
to dinero generara la inversión inicial para cada año en el tiempo esta-
blecido. Este flujo de caja pueden ser valores específicos o pueden ser
estimaciones (en el caso que sea estimación se recomienda tomar más
tiempo de análisis para una estimación precisa).

170

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Continuando con el ejemplo inicial imaginemos que se establece que
la inversión inicial generara una utilidad de $1,000 el primer año,
$800 en el segundo año, $600 en el tercer año y $550 en cada uno de
los dos últimos años.
4) Determina la tasa de descuento correspondiente
Si consideramos que el valor del dinero no es el mismo en el tiempo,
En general, un monto de dinero determinado vale más hoy que en el
futuro. Esto se debe a que el dinero que tienes hoy puedes invertirlo
en una cuenta que genera intereses a tu favor y ganar dinero a lo largo
del tiempo. En otras palabras, es mejor tener $10 ahora que $10 en
un año porque puedes invertir tus $10 de hoy y obtener más de $10
en un año. Para calcular el VAN, es necesario conocer la tasa de inte-
rés de una cuenta u oportunidad de inversión con un nivel de riesgo
similar al de la inversión que vas a analizar. Como se menciona en la
enciclopedia financiera la tasa de descuento es “la tasa utilizada para
descontar los flujos futuros de efectivo mediante la técnica del valor
presente neto es una variable clave de este proceso. Sin embargo, no es
fácil de determinar pudiendo utilizarse distintos datos en función del
objetivo de la valoración”.
En finanzas corporativas, a menudo se usa el promedio ponderado
del costo de capital de una firma para determinar la tasa de descuento.
En situaciones más simples, normalmente puedes usar la tasa de re-
torno de una cuenta de ahorros, o de una inversión en acciones, etc.
que podrías obtener a partir de tu dinero en lugar de llevar a cabo la
inversión que vas a analizar.
En el ejemplo del puesto de preparación y venta de pizzas, imagina
que si no compras el horno con bandejas, el tanque de gas e imple-
mentos de cocina e inviertes el dinero en el mercado accionista o a
plazo fijo donde estimas que puedes ganar un 5,2 % anual con tu dine-
ro. En este caso, la tasa de descuento que debes usar para el cálculo es
de 0,052 (5,2 % expresado como un número decimal).

171

Matemáticas Financieras

Descuenta los flujos de caja. A continuación, deberás ponderar el va-
lor de los flujos de caja para cada período que vayas a analizar com-
parándolo con la cantidad de dinero que podrías obtener con una in-
versión alternativa durante el mismo período. Esto es lo que se conoce
como “descontar” el flujo de caja y se hace a través de la fórmula

VAN n Vt
1 kt
I0

t1

Donde es el monto del flujo de caja, k es la tasa de descuento y t re-
presenta al tiempo.

Años Ingresos Costos Flujo neto
1 2,500 1,500 1,000
2 2,600 1,800 800
3 3,000 2,400 600
4 3,200 2,650 550
5 3,200 2,650 550

Primer año : Vt 1000 950.57

1 k t 1 0, 052 1

Segundo año : 1 Vt t 800 722.87
k
1 0, 052 2

Tercer año : Vt 600 515.35

1 k t 1 0, 052 3

Cuarto año : Vt 550 449.06

1 k t 1 0, 052 4

Quinto año : 1 Vt t 550 426.86
k
1 0, 052 5

172

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Para obtener el VAN del proyecto se procede a sumar los flujos de caja
descontados y réstale al total tu inversión inicial. El resultado obte-
nido es positivo, se obtendrá más dinero que si se invirtiera en otro
proyecto alternativo, si el resultado es negativo, se obtendrá menos
dinero, por lo que no sería viable invertir en otra opción.

VAN n Vt
1 kt
I0

t1

VAN= -2,200 + 950.57 + 722.87 + 515.35 + 449.06 + 426.86
VAN=864.71

En general, si el VAN de un proyecto de inversión es un número po-
sitivo, entonces se obtendría más ganancias que si se destinaría ese
dinero al proyecto alternativo y por lo tanto sería conveniente llevarlo
a cabo. Si el VAN es negativo, el dinero estaría mejor invertido en otro
proyecto y es mejor que rechazar la inversión propuesta.

Ejercicios de aplicación
La Empresa XYZ a la producción y venta de ropa deportiva y desean
ampliar sus operaciones en la elaboración de sabanas, fundas para al-
mohada y edredones, para lo cual piensan invertir $600,000 con lo
que hicieron una proyección a cuatro años de los costos e ingresos
que le generaran durante la vida de la inversión, que es de 4 años.
Mediante el cálculo del VAN determinar si es viable la inversión de la
empresa XYZ.

173

Matemáticas Financieras

Años Ingresos Costos Flujo Neto
1 100,000 50,000
2 200,000 60,000
3 300,00 65,000
4 300,00 65,000

Si a usted se le presentan las siguientes opciones a invertir, determinar
¿cuál es la mejor opción a elegir?, justifique su respuesta.

Proyecto 1 Inversión Flujo neto Flujo neto Flujo neto Flujo neto Flujo neto
Inicial año 1 año 2 año 3 año 4 año 5

1’000,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000

Proyecto 2 1’500,000 200,000 300,000 350,000 400,000 500,000

Proyecto 3 1’700,000 400,000 600,000 300,000 600,000 400,000

174

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TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

La tasa interna de retorno (TIR) es la tasa que se la utiliza para igualar
el valor actual neto (VAN) a cero.

La tasa interna de retorno también se llamada “Tasa de Rentabilidad”,
ya que va expresada en porcentaje.  Esta tasa de rentabilidad o de re-
torno es usada también para saber qué tan rentable es una inversión,
ya que se la compara con la tasa de descuento.

Es necesario no solo saber cómo calcularla o determinar su valor, sino
saber interpretar el resultado y en base a este, poder tomar la mejor
decisión, la TIR es una herramienta muy necesaria e imprescindible
en el análisis de inversión, el saber cómo aplicar esta tasa y trabajar
con ella permitirá realizar evaluaciones en proyectos de inversión.

Para la toma de decisiones en base al resultado del cálculo de la TIR se
debe de considerar los siguientes resultados:

• Si la TIR es mayor a la tasa de descuento el proyecto debe ser
aceptado, ya que se estima un rendimiento mayor al mínimo re-
querido, siempre y cuando los flujos netos de efectivos sean rein-
vertidos.

• Si la TIR es menor a la tasa de descuento, el proyecto debe de ser
rechazado ya que el rendimiento será menor al requerido lo que
significa perdida para el o los inversionistas.

Cálculo:

Considerando la necesidad de escoger uno de dos posibilidades de
proyectos a invertir, considerando como referencia los proyectos A y
B trabajados en el VAN (Valor Actual Neto), se reorganizan los datos
y se trabaja con la siguiente ecuación: 

VAN 0 n Vt
1 kt
I0

t1

175

Matemáticas Financieras

Para poder calcular el TIR se manejan diferentes métodos que se apli-
can según la necesidad o facilidad de trabajo de quien desea determi-
nar la viabilidad de un negocio.

Ejemplo:

Se nos ha presentado dos opciones de inversión, para los cuales se
necesitan el mismo capital de inversión de $ 130,000. El primer pro-
yecto nos ofrece un flujo de caja de $76,600 al finalizar el primer año
y de $83,926 al finalizar el segundo. El segundo proyecto nos ofrece
$192,168.44 al finalizar el cuarto año.

Determinar la rentabilidad que ofrecen cada proyecto y seleccionar la
mejor opción de inversión.

Desarrollo:

Primer proyecto n Vt
VAN 0 1 kt
I0

t1

VAN 0 76, 600 83,926
130, 000

1 k1 1 k2

130, 000 76, 600 83,926 0

1 k1 1 k2

Al obtener una educación cuadrática y al proceder a su resolución
empleamos la siguiente formula:

x b r b2 4ac
2a

Sustituimos a por -130,000; b por 76,600 y c por 83,926.

176

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Para simplificar el cálculo, dividimos todos los términos por 100.
a = -1.300; b = 766; c = 839.26;

766 r 7662 4 1,300 839.26
x 2 1300

x 766 r 4950908

2 1300

x 766 r 2225.06
2600

x=1.15 Y x=-0.56

Dado que el valor de x no puede ser negativo, se considera el valor
positivo, resultando de la siguiente manera:
Como x = k + 1 entonces k = 1.15-1 se obtiene k = 0.15
Por lo tanto el TIR del primer proyecto es del 15%

Segundo proyecto

VAN 0 130, 000 192,168.44

1 k 4

192,168.44
130, 000

1 k 4

1 k 4 192,168.44

130, 000

177

Matemáticas Financieras

1 k 4 1.48
1 k 4 1.48

k 1.10 1
k 0.10

Luego de resolver y despejar k se establece que el TIR de este proyecto
es del 10%
Lo que significa que la rentabilidad del segundo proyecto tiene un
mejor retorno del capital por tal motivo es preferible seleccionar el
primer proyecto como mejor opción.
En el caso que se tenga un flujo de efectivo superior a dos años se pue-
de utilizar el método de la interpolación.
Método interpolación: Para poder desarrollar este método se utilizan
dos tasas k de tal manera que la primera arroje como resultado un va-
lor actual neto positivo lo más cercano posible a cero y la segunda dé
como resultado un valor actual neto negativo, también lo más cercano
posible a cero.  Con estos valores se pasa a interpolar de la siguiente
manera:

k1� � � � � � � � VAN1
k 0� � � � � � � � � � � �
k 2 � � � �VAN2

ddSVeeaAsRtNoeem1styouarmsnneaolda.aisvkdi1diyfeeeprseotnreclniaausdeievfneortvereanlckoi1raydekan2r.t árEecsVtoemArNoes1ruyelstVuaAdltoaNds2oe.  multiplica por
La tasa obteni-
la Tasa Interna

178

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejemplo:
Si nos plantean realizar un emprendimiento para el cual se necesita
una inversión inicial de $19,000 y que se estima generara flujo neto de
caja de $10,000; $3,500 y $12,000 para el primer, segundo y tercer año
respectivamente. Determinar el TIR para esta inversión.
Desarrollo:
Se procede a reemplazar en la formula un valor K.

VAN 0 19, 000 10, 000 3,500 12, 000

1 k 1 1 k 2 1 k 3

Se utiliza un valor para K de 15% ≈ 0,15

19, 000 10, 000 3, 500 12, 000 0

1 0.15 1 1 0.15 2 1 0.15 3

19, 000 8, 695.65 2, 646.50 7,890.19 50.34

k1 15% VAN 50.34
Ahora se procede a utiliza un valor para K de 20% ≈ 0,2

VAN 0 19, 000 10, 000 3,500 12, 000

1 k 1 1 k 2 1 k 3

Se utiliza un valor para K de 15% ≈ 0,15

19, 000 10, 000 3, 500 12, 000 0

1 0.20 1 1 0.20 2 1 0.20 3

19, 000 8,333.33 2, 430.56 6,944.44 1, 291.67
k1 20% VAN 1, 291.67

179

Matemáticas Financieras

Ahora se procede a utilizar las tasas y sus resultados para la
interpolación.
Si el 15% produce un valor de 50.34 y el 20% un valor de
-1,291.67

k1 k2 VAN1 VAN2
k1 k VAN1 VAN

15 20 50.34 1, 291.67

15 k 50.34 0

5 1,342.01
15 k 50.34

5 26.66
15 k

k 15.18

Se reemplaza el valor del VAN a cero porque cuando se cal-
cula en TIR el valor del VAN es cero.
Lo que significa que el TIR del proyecto es del 15.18%

Ejercicios de aplicación:
Calcular el VAN y TIR de los siguientes proyectos y deter-
minar:
• El señor Bolaños ha comprado un apartamento por

$75,000 y espera venderlo dentro de un año por $97.000
determinar ¿Cuál sería la TIR de esta inversión? Y si el

180

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

coste del capital o tipo de interés de mercado es del 6%.
¿Ud. considera que si se analiza desde el punto de vista
del VAN, debería de realizar dicha inversión?
• Se le han presentado dos proyectos de inversión:
El proyecto A supone un desembolso de $1,200 con un
coste del capital del 5,4% y unos flujos de caja de $2,000
el primer año y $5000 el segundo año.
El proyecto B supone un desembolso de $12,000 con
un coste del capital del 7,8% y unos flujos de caja de
$20,000 el primer año y $50,000 el segundo año.
Se pide determinara que proyecto elegirías según los
criterios del TIR y del VAN
• Una empresa dedicada a la fabricación de muebles tie-
ne la posibilidad de expandir sus operaciones fuera del
país, pero para lograrlo necesita invertir $165,000 a
un costo de capital del 6% durante dos años, de dicha
inversión se espera recibir flujos de efectivos netos de
$67,000 el primer año y $120,100 el segundo año. Se
pide Calcular el Valor Actual Neto de la inversión. Y
determinar el TIR de la inversión.
• Se le ofrece la oportunidad de invertir en una de dos
opciones de negocios, de las cuales debe de seleccionar
la mejor opción.
Proyecto A: Supone una inversión inicial de $40,000;
tiene una duración de dos años y genera unos flujos de
caja de $20,000 el primer año y $21,840 el segundo.
Proyecto B: Supone la misma inversión inicial que
el proyecto anterior, pero para ser depositada en una

181

Matemáticas Financieras

institución financiera a plazo fijo a 2 años, con una
rentabilidad anual garantizada del 5%. Se pide:
Calcular la TIR del proyecto A. y calcular el VAN del
proyecto A para una tasa de descuento del 5%. Analizar
cuál de las dos alternativas es más conveniente para el
empresario atendiendo al criterio de la rentabilidad.

182

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

GLOSARIO
Amortización.- Serie de pagos sucesivos, generalmente en montos y
períodos iguales, que se efectúan con el fin de cancelar una obligación
y sus intereses, dentro de un plazo convenido previamente
Anualidad: Es el flujo de efectivo igual que se paga o se cobra cada
cierto período.
Capital: Es el dinero que se presta, comúnmente se le denomina valor
presente.
Capital insoluto.- Es el capital que no se ha cubierto o pagado
Diagrama de flujo de caja: Es simplemente la representación gráfica
de los flujos de caja dibujados a escala de tiempo. El diagrama debe
representar el enunciado del problema e incluir datos dados o los que
se vaya encontrar. El tiempo 0 (cero), se considera el tiempo presente,
el tiempo 1 (uno), el final del período 1, y así sucesivamente hasta el
período n, donde la flecha hacia arriba indica ingresos, las flechas ha-
cia abajo indican egreso.

P = Valor Presente. A= Anualidad i% = Tasa de Interés
F= Valor Futuro. N = Plazo. | | = Corte.
Siendo: P y F factores de pago único y A factor de serie uniforme.
Interés: El precio del dinero, es el rédito que se paga por una suma
de dinero tomada en préstamo, la cual depende de las condiciones

183

Matemáticas Financieras

contractuales, y varía en razón directa con la cantidad de dinero pres-
tada (capital), el tiempo de duración del préstamo (plazo) y la tasa de
interés aplicada.
Monto: Es el capital formado por el capital actual más los intereses
devengados en el período, comúnmente se le denomina valor futuro.
Período: Es el intervalo de tiempo en el que se liquida la tasa de
interés (año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena, semana,
diario, etc.).
Período de gracia.- Es el Plazo especial que se concede a los prestata-
rios para comenzar a pagar su primer vencimiento, por ejemplo, si un
Valor se amortizara con pagos de Capital anuales y se estipula el pri-
mer pago al final del segundo año, se dice que se le otorgó al Deudor
un período de gracia de un año.
Saldo insoluto.- Saldo insoluto es el saldo de capital pendiente de pa-
gar por parte del deudor en una obligación garantizada, sin incluir
intereses ni otros conceptos
Tasa de interés: Es la tasa que se aplica en una operación comercial, la
cual determina el interés a pagar, se expresa en tanto por ciento (%) y
generalmente la tasa de interés se da por año.
Tiempo: Es el intervalo durante el cual tiene lugar la operación finan-
ciera en estudio, la unidad de tiempo es el año y sus fracciones.

184

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

FORMULARIO

Interés simple I Cni

VF VA 1 n· i

VA VF
1 ni

VF 1
i VA

n

VF 1
n VA

i

VF VA 1 ik n
k

Interés compuesto

VF VA 1 i n

VA VF 1 i n

log § VF ·
©¨ VA ¸¹
n
log 1 i

i n VF 1
VA

185

Matemáticas Financieras

Anualidades vencidas
1 in 1

P A i1 in

1 in 1
FA

i

i1 in
A P 1 in 1

A F i 1
1 in

Anualidades anticipadas

1 1 i n1
P A1

i

FA 1 in1 1 1

i

AP
1 1 i n1

1
i

AF
1 in1 1
1
i

186

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Gradientes 1in G1 1 i n n
1 i ii 1 in

PTG A

Cuotan A n 1 G

n n1 n2 n1 x x1
x2 x1

i i1 i2 i1 (x x1)
x2 x1

Gradiente aritmética anticipada

PTG 1 1in G1 1 i n n 1i
A ii 1 in

i

Valor futuro de un gradiente lineal creciente

FTG A ª 1 i� n 1º G ª 1 i� n 1� � º
» �« n»
«
¬« i »¼ i «¬ i ¼»

��
Valor presente de un gradiente lineal decreciente

PTG A ª1 1 i� n º G ª1 1 i� n �� n º
« » i �« »
«¬ i ¼» «¬ i 1 i n »¼

Cuotan A n 1 G

��
187

Matemáticas Financieras

Valor futuro de un gradiente lineal decreciente

FTG ª 1 i� n 1º G � ª 1 i� n 1 º
» � � n»
A« «
«¬ i »¼ i «¬ i ¼»

Cuotan A n 1 G

��
Valor presente de un gradiente geométrico creciente

ª §1 j ·n º
«1 ©¨ 1 i ¹¸ »
Pgg k « i j »
« »
«»
¬¼

Pgg n�k
1 �i

Cuotan k 1 j n 1

��

Valor futuro de un gradiente geométrico creciente

ª 1 i n � 1 j n º
Fgg k« »
¬« i j »¼

Fgg � � n k � 1 i n 1

��

188

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Valor presente de un gradiente geométrico decreciente

ª §1 j ·n º
«1 ¨© 1 i ¹¸ »
Pgg k « i j »
« »
«»
¬¼

Pgg n�k
1 �i

Cuotan k 1 j n 1

Valor futuro de un gradiente geom� � étrico decreciente

Fgg ª 1 i n � 1 j n º
k« »
«¬ i j ¼»

Y si las tasas son iguales (i = j) se� a� plica la siguiente fórmula:
Fgg n k 1 i n 1

Amortización 1 k1
P A i1 ik

VF VA 1 i
1 nm 1

P A i1 i nm

189

Matemáticas Financieras

Fondos de amortización o valor futuro

A F i 1
1 in

VAN y TIR

VAN n Vt
1 kt
I0

t1

Interpolación

k1 k2 VAN1 VAN2
k1 k VAN1 VAN

190

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Referencias
Ingeniería Económica Décima Edición (Prentice Hall).
Introducción a las Matemáticas Financiera. (PIRAMIDE 2003)
Matemáticas Financieras. Universidad Autónoma de México
segunda edición.
Matemáticas Financieras McGraw-Hill. 1997. CO. 4a ed.
Matemáticas Financieras de Renzo Devoto Ratto

191

Esta segunda edición del libro trae cambios relacionadosal
contenido,el primercambio es la eliminacióndel capítulo
uno del anteriorlibro y el desarrollode un nuevo capítulocon
el tema del T IR y VAN, e l cual e s el aported e los nuevos
coautores, adicionala e sto se aumentarone l número de
ejerciciosen los ejerciciosde aplicacióny en las autoevalua-
ciones, la metodologíaque se buscó realizaren esta nueva
edición fue el explicar paso a paso el desarrollo de los eje-rci
cios con las explicacionesrespectivasparaque su aprendiza-
je sea más didáctcio.
Esta nueva ediciónle brindaráa todo estudianteo persona
interesadaen aprendery entender las transaccionesfinan-
cierasp ara poder desarrollarlasy t omar l a mejor decisión
respectoa diferentesopciones,que suelenencontrarseen el
mercadoi nanciero cuandos e realiza un préstamo,o se
desea r ealizar una c ompra de u n bien inmuebleo b ien
mueble,o si queremoshacer reajustesa las deudasadquiri-
das con cambiosde tasas, aumentoo reducción del plazo
para pagar la deuda; cuandoconsideramosrei nanciar una
deuda o simplemente se quierecancelar una deuda antes
del plazo pactado.