Matemáticas Financieras Segunda Edición

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Solución:
P=?
i = 2.6% mensual
n =24 meses
G= 450
A = 15,200

Aplicando la fórmula:

11 n G1 1 nn
ii 1 in
PTG A i

Remplazamos los valores y tenemos:

PTG 15200 1 1 0 026 24 450 1 1 0 026 24 24

0.026 0.026 0.026 1 0.026 24

PTG 0.459913475 17307.69231 0.459913475 24
15200
0.026 1.851555177
0.026

PTG 15200 17.6889 17307.69231 17 6889 12.96207658

PTG 268871.28 17307.69231 4.726823415
PTG 268871.28 81810.40526
PTG 350681.6853

El valor actual de la maquinaria es de $350,681.69
Para el ejercicio anterior calcular la cuota No 16

101

Solución: Matemáticas Financieras

Cuotan A n 1 G
Cuota16 15200 16 1 450
Cuota16 15200 15 450

Cuota 15200 6750
Cuota16 21950

Ejercicio de aplicación:
• Un empresario desea tecnificar su fábrica y para ello deberá can-

celar 18 pagos mensuales que aumentarán cada mes en $870, si el
primer pago de la anualidad es de $6,500 y al empresario le co-
bran una tasa del 3.7% mensual. ¿Cuánto le cuesta al empresario
la tecnificación de su fábrica?
Indique cuál es el valor de la cuota número 8 y 13.
• El señor Suarez adquirió dos tractores y una máquina de sem-
brado nueva para su hacienda, dichos activos fueron adquiridos
mediante un préstamo, para ello cancela a la empresa financiera
48 pagos mensuales que van aumentando en $150, si el primer
pago que realizo el señorSuárez fue de $500. ¿Cuánto le cuestan
los activos adquiridos al señor Suárez?
Indique cuál es el valor de la cuota número 20 y 47.

102

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

BUSCAR “A”

Ejemplo.
La señora González tiene un préstamo por $752,000 el cual financió
a 4 años para hacer pagos mensuales que aumentarán en $1,250 cada
mes. Si la tasas de interés es del 1.5% mensual. ¿Cuál es el valor de la
primera cuota y el valor de la cuota 30?

Solución: i = 1.5% mensual A =?
P = 752000 G= 1250
n = 48 (4 años)

Basándonos en la fórmula inicial.

11 n G1 1 n n
ii 1 in
PTG A i

Remplazando valores y despejando tenemos:

1 1 0 015 48 1250 1 1 0 015 48 48
752000 A
0.015 0.015 1 0.015 48
0.015

752000 A 0,510638304 0, 510638304 48
83333.33
0.015 0.015 2.043478289

752000 34 04255365 A 83333 33 34.04255365 23.48936138

752000 34.04255365 A 83333 33 10.55319227
752000 34 04255365 A 879432.6536
34 04255365 A 879432.6536 752000
34 04255365 A 804232.6536
A 804232 6536
34.04255365
A 23624 33

103

Matemáticas Financieras

La primera anualidad es de $23 624.33
La cuota 30 es:

Cuotan A n 1 G
Cuota30 23624.33 30 1 1250
Cuota30 23624.33 29 1250

Cuota30 23624.33 36250
Cuota30 59874.33

La cuota número 30 tiene un valor de $59 874.33
Ejercicio de aplicación
• Un emprendedor realiza un préstamo para iniciar un negocio y

pide un préstamo de $125,000 el cual lo financia para hacer pagos
mensuales por dos años y medios, pero se compromete aumentar
en cada pago mensual $920 . Si la tasas de interés es del 2.8% men-
sual. ¿Cuál es el valor de la primera cuota y el valor de la cuota 19?

104

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

BUSCAR “n”

Un préstamo de $811,000 con una tasa del 1.2% mensual y cuya pri-
mera cuota es de $28,500¿Con cuántos pagos mensuales se cancela el
valor de la obligación si se aumenta en cada mes $150? ¿Cuál será el
valor de la cuota 26?

Solución:
PTG =8P1A100 0 PG
i = 1.2% mensual
n=?
G= 150
A = 28500
Basándonos en la fórmula inicial.

11 n G1 1 n n
ii 1 in
PTG A i

Remplazando valores y despejando tenemos:

1 1 0 012 n 150 1 1 0 012 n n
811000 28500
0.012 0.012 1 0.012 n
0.012

Al observar que la variable que estamos buscando está como expo-
nente y numerador en diferentes partes de nuestra fórmula, es preferi-
ble utilizar el método del ensayo o error para desarrollarlo.
Este método consiste en dar valores arbitrarios a la variable que se
desea encontrar “n”. La idea es encontrar valores cercanos a cero tanto
positivo como negativo y con esto proceder a realizar una interpola-
ción lineal para encontrar el valor de la variable “n”

105

Matemáticas Financieras

Siguiendo con la explicación se procede dar valores aleatorios, en este
caso se decide por los valores de 26 y 36.

Para n=26 tenemos:

PTG 28500 1 1 0 012 26 150 1 1 0 012 26 26

0.012 0.012 0.012 1 0.012 26

PTG 28500 22.22148364 12500 3.1586536

PTG 633312.2837 39432.3317

PTG 672744.62
El resultado se le resta al valor inicial y queda:
Para n=26 se tiene por lo tanto se establece que la diferencia entre
valores es de 138,255.38

Ya que establecimos la primera diferencia, ahora procedemos con la
segunda diferencia para aplicar la interpolación de los resultados.
Para n=36 tenemos:

PTG 28500 1 1 0 012 36 150 1 1 0 012 36 36

0.012 0.012 0.012 1 0.012 36

PTG 28500 29.09325553 12500 5.661541919
PTG 829157.7826 70769.27399
PTG 899927.06

106

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

El resultado se le resta al valor inicial y queda:
Para n=36 se tiene por lo tanto se establece que la diferencia entre
valores es de -88927.06
Al realizar las dos operaciones tenemos dos resultados, uno positivo
y otro negativo, y con estos resultados procedemos a realizar la inter-
polación.

Una vez ordenados los datos le procede a realizar la interpolación
usando la expresión:

n n1 n2 n1 x x1
x2 x1

Remplazando nos queda:

n 26 36 26 0 138255 38

88927 06 138255.38

n 26 10 138255 38

227182.44

n 26 6.085654331)

n 32.09

107

Matemáticas Financieras

Se tendrán que hacer 32 pagos mensuales.
Para el cálculo de la cuota 26 se aplica la fórmula del caso anterior

Cuotan A n 1 G
Cuota26 28500 26 1 150
Cuota30 28500 25 150

Cuota30 28500 3750
Cuota30 32250

El valor de la cuota 26 es de $32,250
Ejercicio de aplicación
• Un préstamo de $730,000 con una tasa del 1.8% mensual y cuya

primera cuota es de $26,500¿Con cuántos pagos mensuales que
aumentan en $170 cada mes, se cancela el valor de la obligación?
¿Cuál será el valor de la cuota 20?

108

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

BUSCANDO “G”
En qué valor debe aumentar las 60 cuotas mensuales, si se está financiando
una obligación financiera que tiene un valor de $560,000 si se exige una pri-
mera cuota de $5,600 y se cobra una tasa de interés del 4% mensual.

Solución:
PTG = 5P6A000 0 PG
i = 4% mensual
n= 60
G= ?
A = 5600

Basándonos en la fórmula inicial.

11 n G1 1 n n
ii 1 in
PTG A i

Remplazando valores y despejando tenemos:

1 1 0 04 60 G 1 1 0 04 60 60
560000 5600
0.04 0.04 1 0.04 60
0.04

560000 5600 0.904939599 G 0.904939599 60

0.04 0.04 0.04 10.51962741

560000 5600 22.62348997 G 22 62348997 5.703624061
0.04

560000 126691.5439 G 16.91986591
0.04

G 16 91986591 560000 126691 543
0.04

G 16 91986591 433308.457
0.04

G 433308.457
0.04
16.91986591

G 25609 44982 0.04

G 1024.38

El valor que debe de aumentar cada anualidad es de $1,024.38

109

Matemáticas Financieras

Ejercicio de aplicación:
• En qué valor debe aumentar las 54 cuotas mensuales, si se está

financiando una deuda por un valor de $310,500, si se exige una
primera cuota de $2,250 y se cobra una tasa de interés del 3%
mensual.
• La señora Carmen tiene una deuda con su vecino por causa de
un choque de sus vehículos, la deuda es de un valor de $12,000
los cuales serán cancelados con 12 pagos mensuales a una tasa de
interés del 5,6% anual, si el acuerdo fue que el primer pago sea
de $800, en cuanto deben de aumentar las cuotas restantes para
cumplir con el pago de la deuda?

110

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

BUSCANDO “i”
Los hermanos Suárez desean comprarle la casa a su vecino, para
ampliar la casa donde actualmente viven, dicha casa la venden en
$435,000 con las siguientes condiciones: 72 pagos mensuales que au-
mentarán mes a mes en $ 300 siendo la primera cuota de $ 3,200 ¿Cuál
es el interés que les cobra el vecino por la venta de la casa?

Solución:

PTG =4P3A500 0 PG
i =?
n = 72
G= 300
A = 3200

Basándonos en la fórmula inicial.

11 n G1 1 nn
ii 1 in
PTG A i

Remplazando valores y despejando tenemos:

1 1 i 72 150 1 1 i 72 72
435000 3200 ii 1 i 72

i

Volvemos a aplicar el método de ensayo o error y damos dos valores
para que el resultado sea muy cercano a cero”0” en este caso daremos
las tasas: 1% ≈ 0.01 y 0.1% ≈ 0.001

111

Matemáticas Financieras

Para i=0.01 tenemos:

PTG 3200 1 1 0 01 72 150 1 1 0 01 72 72

0.01 0.01 0.01 1 0.01 72

PTG 3200 51.15039148 15000 51.15039148 35 17171814

PTG 163681.2527 239680.1002
PTG 403361.3529

El resultado se le resta al valor inicial y queda:
Para i=0.03 se tiene por lo tanto se establece que la diferencia entre
valores es de 31638.65
Ya que establecimos la primera diferencia, ahora procedemos a esta-
blecer la segunda diferencia para aplicar la interpolación con los re-
sultados.
Para i=0.001 tenemos:

PTG 3200 1 1 0 001 72 150 1 1 0 001 72 72

0.001 0.001 0.001 1 0.001 72

PTG 3200 69.43562679 150000 69 43562679 67.00063487
PTG 222194.0057 365248.7878
PTG 587442.7935

El resultado se le resta al valor inicial y queda:
Para i=0.001 se tiene por lo tanto se establece que la diferencia entre
valores es de -152442.79

112

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Al realizar las dos operaciones tenemos dos resultados, uno positivo
y otro negativo, y con estos resultados procedemos a realizarla inter-
polación.

Una vez ordenados los datos le procede a realizar la interpolación
usando la expresión:

i i1 i2 i1 (x x1)
x2 x1
Remplazando nos queda:

i 0.001 0.01 0.001 (0 152442.79

31638.65 152442.79

i 0.001 0.009
152442 79
184081.44

i 0.001 0.007453142)

i 0.00845 0 85%

El vecino le cobra un 0.85% mensual.

113

Matemáticas Financieras

Ejercicio de aplicación
• Elizabeth adquiere los derechos de una empresa sin tecnifica-
ción y empieza hacerla eficiente lo que le produce ingresos y
ganancias en el mediano plazo, para continuar a cargo de la
empresa debe de cumplir con el convenio firmado al adquirir
la empresa.
La empresa tiene un costo de $145,000 y debe pagar 36 pa-
gos mensuales que aumentarán mes a mes en $260 siendo la
primera cuota de $1,350 ¿Cuál es el interés que debe de pagar
Elizabeth para cubrir dicha deuda?

114

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

GRADIENTE ARITMÉTICA ANTICIPADA
Una serie gradiente anticipada se refiere a los flujos de caja o anualida-
des donde el primer pago se lo realiza el mismo día de la negociación.
Este tipo de ejercicio lo analizaremos de la siguiente manera, al ser
una transacción financiera donde el primer pago se lo hace el mis-
mo día de la operación (hoy, período cero) se empieza a tomar dicho
período inicial o cero como si fuera el período uno, lo cual hace que
consideremos a éste -1 al que consideraremos el período cero para
que de este modo no afecte la fórmula inicial y simplemente al final se
aumenta dicho valor aplicando la siguiente fórmula:

11 n G1 1 nn
i ii 1 in
TG 1i

Ejemplo
¿Cuál será el valor de un automóvil que se financia en 60 pagos men-
suales, que crecen cada mes en $ 105, si la primera cuota tiene un
valor de $900 pagado el mismo día de la negociación, con la tasa de
interés del 4% mensual?

Desarrollo
P =?
i = 4% mensual
n= 60
A= 900
G= 105

115

Matemáticas Financieras

PTG ª1 1 i n º G ª1 1 i n n º i
A« » i «
i »¼ «¬ i 1 i n » 1
«¬
»¼

PTG ª1 1 0.04 60 º 105 ª1 1 0.04 60 1 60 º 0.04
900 « » 0.04 «
0.04 »¼ «¬ 0.04 0.04 60 » 1
¬«
»¼

PTG 900 ª 0.904939599 º 2625 ª 0.904939599 60 º 1.04
«¬ 0.04 »¼ «¬ 0.04 10.5162741¼»

PTG 900>22.62348997 2625>22.62348997 5.703624061 1.04

PTG 20361.14097 2625>16.91986591 1.04

PTG 20361.14097 44414.64801 1.04

PTG 64775.78898 1.04

PTG 67366.82054

El valor del automóvil a financiar será de $64,775.79

116

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejercicio de aplicación
• ¿Cuál será el valor de un combo de electrodomésticos que se
financia a 36 pagos mensuales, que crecen cada mes en $ 95, si
la primera cuota tiene un valor de $ 780 cancelado el mismo
día de la negociación y la tasa de interés del 5% mensual?

117

Matemáticas Financieras

VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE
Para determinar el valor futuro de una serie de flujos de caja o anuali-
dades que aumentan en un valor constante a medida que aumenta un
período. El valor futuro estará ubicado en el período de tiempo donde
se encuentre la última anualidad de la serie gradiente aritmética o li-
neal creciente, y se calcula a través de la fórmula:

FTG 1 n1 G1 n1
A n
ii
i

Al igual que en el valor presente de un gradiente, en el valor futuro se
utiliza una fórmula principal (arriba de este párrafo) la cual se desa-
rrolla mediante el despeje de fórmula o interpolación, según la varia-
ble que se desee encontrar.

Ejemplo:
Una empresa hace inversiones trimestrales en el mercado de acciones,
el cual les reconoce una tasa de interés del 6% trimestral, se hacen
depósitos trimestrales, que aumentan a razón de $1,450 cada depósito
durante 8 años. Si el valor del primer depósito es de $38,000 calcular
el valor acumulado al final del año ocho.

118

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Solución:

� FTG = ?
i = 6%
n= 32
G = 1450
A = 38000

FTG 1 n1 G1 n1
A n
ii
i

FTG 38000 1 0 06 32 1 1450 1 0 06 32 1
32
0.06
0.06 0.06

FTG 5.453386682 24166 67 5.453386682 32
38000
0.06
0.06

FTG 38000 90.88977803 24166.67 58 88977803
FTG 3453811.565 1423169.832
FTG 4876981.139

Al final del año ocho la empresa habrá ganado un total de $4’876,981.14

Ejercicio de aplicación
En una nueva institución financiera que le paga un interés mensual
del 2%. Si hace depósitos mensuales que aumentan a razón de $95
cada depósito por un lapso de dos años, ¿Cuál es el valor que recibirá
al final de los dos años, si el valor del primer depósito fue de $423?

119

Matemáticas Financieras

CASOS DE EJERCICIOS COMBINADOS
Se pueden presentar casos o ejercicios donde se hacen combinaciones
de fórmulas para poder llegar a la respuesta, para ello primero se debe
analizar correctamente el problema y tener muy claro cuáles son las
variables que nos piden encontrar.

Ejemplo:
La compra de una casa tiene un costo de $195,000 a una tasa de interés
del 1.5% mensual, por medio de 72 pagos mensuales que aumenten
mes a mes en $120. Calcular el valor de la primera cuota y el saldo de
la deuda después de cancelar la cuota No 58.
Solución:
El problema plantea dos partes a desarrollar, primero nos pide hallar
el valor de la anualidad, así que para resolverlo analizamos los datos
que tenemos y empezamos a trabajar con eso.
Observamos que los datos nos da la facilidad para trabajar con la fór-
mula de valor presente del gradiente, por lo que utilizamos dicha fór-
mula y despejamos.

PTG = 1P9A500 0 PG
i = 1.5% mensual
n= 72
G= 120
A=?

Basándonos en la fórmula:

11 n G1 1 nn
ii 1 in
PTG A i

120

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Remplazando valores y despejando tenemos:

1 1 0 015 72 120 1 1 0 015 72 72
195000 A
0.015 0.015 1 0.015 72
0.015

195000 A 0.657670001 0.657670001 72
8000
0.015 0.015 2.921157961

195000 A 43.84466677 8000 43 84466677 24.64775988

195000 A 43.84466677 153575.2551

A 43 84466677 195000 153575.2551

A 43.84466677 41424.7449

A 41424.7449
43.84466677

A 944.8069275

Lo que quiere decir que el valor de las anualidades es de $944.81
Ahora para determinar el saldo, llevamos la deuda (el costo de la casa)
al período 58 mediante la fórmula de valor futuro.

VF VA 1 i n
VF 195000 1 0.015 58

VF 462450.2961

121

Matemáticas Financieras

Una vez que sabemos cuánto representa el valor de la casa en el perío-
do 58, procedemos hallar el valor de las 58 cuotas.

FTG 1 n1 G1 n1
A n
ii
i

FTG 944.81 1 0 015 58 1 120 1 0 015 58 1 58

0.015 0.015 0.015

FTG 944.81 91.43599865 8000 33 43599865
FTG 86389.64589 267487.9892
FTG 353877.6351

Una vez hallado el valor de las anualidades, o sea el pago que se ha
realizado hasta el período 58, restamos los valores y saber el saldo de
la deuda hasta ese momento.

Saldo=462450.2961-353877.6351
Saldo=108572.661

El saldo en el período 58 será de $108,572.66

Ejercicio de aplicación
Elvira decide comprar un automóvil de lujo que tiene un costo de
$235,000 a una tasa de interés del 2% mensual, por medio de 60 pagos
mensuales que aumenten mes a mes en $250. Calcular el valor de la
primera cuota y el saldo de la deuda después de cancelar la cuota No 47.

122

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE

Valor presente de un gradiente lineal decreciente
Un valor presente de un gradiente se maneja de igual manera que los
anteriores ejercicios, solo que el valor de gradiente, va disminuyendo
en cada pago que se realiza de la serie de flujos de caja.

11 n G1 1 nn
ii 1 in
PTG A i

Si analizamos la fórmula vemos que ésta sufrió un cambio en relación
a la fórmula de valor presente creciente, es el signo negativo (resta)
del gradiente.
Así mismo, para el cálculo de una cuota cualquiera del flujo de caja de
efectivo o de la anualidad se considera la siguiente fórmula:

Cuotan A n 1 G

También podemos observar que la anualidad resta a la operación que
multiplica al gradiente. Lo que indica que el valor es decreciente.

123

Matemáticas Financieras

Ejemplo

La familia Salazar está cancelando la casa de la playa con 144 cuotas
mensuales que decrecen en $150 cada mes, siendo la primera cuota
$38,000 Si la tasa de financiación que se cobra es del 1.5% mensual,
calcular el precio de la cuota 87 y el valor de la casa playera.

Desarrollo:
A = 38000
i= 1.5% mensual
G=150
n= 144

11 n G1 1 nn
ii 1 in
PTG A i

PTG 38000 1 1 0 015 144 150 1 1 0.015 144 144

0.015 0.015 0.015 1 0.015 144

PTG 0.882810172 10000 0.882810172 144
38000
0.015 8.533163831
0.015

PTG 38000 58 85401148 10000 58 85401148 16 8753352
PTG 38000 58 85401148 10000 41.97867628
PTG 2236452.436 419786.7628
PTG 1816665.673

La casa en la playa de la familia Salazar tiene un precio de 1’816,665.67

124

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Cuotan A n 1 G
Cuota87 38000 87 1 150
Cuota87 38000 86 150

Cuota87 38000 12900
Cuota87 25100

La cuota 47 tiene un valor de $25,100.

Ejercicio de aplicación:
La cancelación de un terreno en la ciudad de Cuenca se realizará me-
diante 60 cuotas mensuales que irán decreciendo a razón $200 cada
mes. Si la primera cuota tiene un valor de $20,000 y la tasa de interés
un valor de 2.3% mensual. ¿Cuál es el valor del terreno y de la cuota
número 39?
La empresa XYZ en su afán de expandir sus operaciones en el mercado
de la provincia del Guayas ha adquirido con uno de sus proveedores
una maquinaria nueva y de tecnología de punta que les permitirá au-
mentar su productividad y disminuir sus costos, para lo cual debe de
pagar durante 4 años valores mensuales que van decreciendo a razón
de $158 mensualmente, si la primera cuota a cancelar es de $12,500 a
una tasa de interés del 4,6% anual. ¿Cuál es el valor de la maquinaria
nueva y cuál será el valor a cancelar de la cuota 22?

125

Matemáticas Financieras

VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE
Consiste en determinar un valor futuro equivalente a una serie de flu-
jos de caja periódicos o anualidades, los cuales van decreciendo cada
período en un valor constante llamado gradiente
Aplicaremos una variación de la fórmula del valor futuro creciente
con un cabio de operación dentro de la fórmula.

FTG 1 n1 G1 n1
A n
ii
i

Al igual que en el caso anterior el único cambio que se da es el de cam-
biar la operación de suma por una resta con la operación del gradiente.

Ejemplo
Danny deposita en su cooperativa de ahorro y crédito valores men-
suales que van decreciendo en $80 cada mes. Si la cooperativa le da
un interés del 3% mensual ¿Cuál será el valor que recibirá después de
dos años y medios si sabemos que el primer depósito fue de $2,500?
Indique el valor del depósito 15

126

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Solución: 1 n1 G1 n1
A = 2500 A n
i= 3% mensual ii
G= 80 i
n= 30

FTG

FTG 2500 1 0 03 30 1 80 1 0 03 30 1
30
0.03
0.03 0.03

FTG 2500 1.427262471 2666 67 1.427262471 30
0.03 0.03

FTG 2500 47.57541571 2666.67 47 57541571 30
FTG 2500 47.57541571 2666.67 17 57541571
FTG 118938.5393 46867.83381
FTG 72070.70547

Después de dos años y medio de ahorros Danny recibirá $72,070.71

Cuotan A n 1 G
Cuota15 2500 15 1 80
Cuota15 2500 14 80

Cuota15 2500 1760
Cuota15 740

127

Matemáticas Financieras

Ejercicio de aplicación
Karla piensa ahorrar para tomar vacaciones dentro de un año tres
cuartos y para ello va empezar ahorrar en su financiera, si mensual-
mente deposita valores que van decreciendo en $130 cada mes y el
primer depósito es de un valor de $2,800 ¿Cuál será el valor que re-
cibirá después del tiempo establecido, si su financiera le paga el 1.8%
mensual?
Indique el valor del depósito 17.
Si un ejecutivo que planea retirarse dentro de 8 años y quiere generar
un fondo de retiro propio en su banco de confianza, empieza a depo-
sitar valor mensual decreciente en $25; considerando que el primer
deposito es de $3,500. ¿Cuál es valor que recibirá después de los 8 años
de depósitos considerando que su banco le pagara una tasa de interés
del 4,5% anual? Indique el valor de la cuota 50.

128

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

GRADIENTE GEOMÉTRICO EXPONENCIAL
Un gradiente geométrico al igual que un gradiente aritmético es una serie
de flujos de caja periódicos o anualidades donde cada anualidad es igual
a la anterior pero disminuido o aumentado en un valor fijo, pero con la
diferencia que en el gradiente geométrico el valor es un porcentaje.

Valor presente de un gradiente geométrico creciente
El valor presente de un gradiente es la anualidad o una serie de flujos
de caja periódicos que aumenta cada periodo, con respecto al anterior,
en un porcentaje fijo ( j ).
Al indicar que el gradiente aumenta o disminuye en un porcentaje, quiere
decir que vamos a manejar dos tasas, una que establece la operación fi-
nanciera y otra que indica el aumento o disminución o sea el gradiente “j”.
En esta situación se pueden presentar dos casos respectos a las tasas y
con cada una de ellas una fórmula específica para trabajar.

Si las tasas no son iguales. (i≠j) ª §1 j ·n º
«1 ¨© 1 i ¹¸ »
« i j »
« »
Pgg k

«»
¬¼

129

Matemáticas Financieras

Dónde:
k= el valor de la anualidad
i= la tasa de la transacción financiera
j= la tasa de crecimiento o decrecimiento de la anualidad
n= número de periodos

Si las tasas son iguales i = j k
1i
Pgg

La cuota o anualidad se la encuentra con la siguiente fórmula:

Cuotan k 1 j n 1

Ejemplo
La deuda que posee la señora Zambrano con su banco debe cancelarla
mediante 18 pagos mensuales que aumentan a razón de un 8% men-
sualmente. Si la primera cuota a pagar es de $1,050 y se cobra una tasa
de interés del 2% mensual.
Indique ¿Cuál es el valor de la deuda de la Señora Zambrano y cuánto
es el valor de la cuota número 13?
Desarrollo

130

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

k= 1050 1 1 jn
i= 2% mensual 1i
j = 8% Pgg k ij
n= 18
1 1 0.08 18
Aplicando la fórmula
tenemos: Pgg 1050 1 0.02
0.02 0.08

1 1.08 18

Pgg 1050 1.02
0.06

Pgg 1050 1 1.058823529 18

0 06

Pgg 1050 1.797850515
0 06

Pgg 1050 29.96417525

Pgg 31462.38401

La deuda de la señora Zambrano es de $31,462.38

Cuotan k 1 j n 1
Cuota13 1050 1 0.08 13 1

Cuota13 1050 1.08 12
Cuota13 1050 2.518170117

Cuota13 2644.078623

La cuota N° 13 será de 2,644.08

131

Matemáticas Financieras

Ejercicio de aplicación:
Emilio quiere cancelar una deuda que adquirió en un centro comer-
cial la cual cancelara mediante 30 pagos mensuales que aumentarán
en un 6.5% cada mes. Si la primera cuota de la deuda es de $830 y el
interés que cobra en almacén es del 1.9% calcule ¿Cuál es el valor de la
deuda de Emilio y cuánto es el valor de la cuota número 25?
Ejemplo
Un matrimonio desea comprar la casa de sus sueños que tiene un costo de
$325,000. El agente de bienes raíces le plantea el siguiente plan de pagos:
Deben de cancelar el 25% del costo de la casa y 60 pagos mensuales
que irán aumentando mes a mes en un 12% y un pago adicional en el
período 40 por un valor de $7,000. Si la tasa de financiamiento que le
ofrece el agente de bienes raíces es del 1.7% ¿Cuál será el valor de la
primera letra?
Desarrollo
Para tener una mejor apreciación del problema es recomendable rea-
lizar antes el diagrama de flujo.

Luego establecer los datos del problema
Pgg = $325,000
i= 0.017
j= 0.12
n= 60
k= ?
Pago adicional= $7000

132

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Antes de aplicar la fórmula debemos establecer el valor presente, es decir
el valor a financiar (la diferencia del precio de la casa menos el valor de la
entrada y cuánto equivale el pago adicional que realizaremos)

El valor de la casa es de $325,000 y se pagará en el momento el 25%
así que tendremos

Pgg ª¬325000 325000 * 0.25 ¼º 7000 1 0.017 40

Pgg 243750 3566.64532

Pgg 247316.64532

Lo que se financiará es $247,316.65
Ahora para establecer el valor de la cuota a pagar.

ª §1 j ·n º
«1 ¨© 1 i ¸¹ »
Pgg k « i j »
« »
«»
¬¼

ª § 1 0.12 ·60 º
«1 ©¨ 1 0.017 ¹¸ »
247316.65 k « »
« 0.017 0.12 »
«»
¬¼

ª § 1.12 ·60 º
«1 ¨© 1.017 ¹¸ »
247316.65 k « 0.103 »
« »
«»
¬¼

ª1 326.4556466 º
247316.65 k « »
¬ 0.103 ¼

247316.65 k ª 325.4556466) º
¬« 0.103 ¼»

247316.65 k 3159.763559

k ª 247316.65 º
«¬ 3159.763559 ¼»

k 7 .2706191

La cuota inicial será de $78.27

133

Matemáticas Financieras

Ejercicios de aplicación
La familia Quimí ha comprado una hacienda para ir a vacacionar, di-
cho inmueble tiene un costo de $374,000. La forma del pago será la
siguiente:
Han cancelado el 20% del costo de la hacienda y por la diferencia pa-
garán 48 pago mensuales que aumentarán a razón de 8% cada pago,
adicional a esto la familia Quimí se comprometió a realizar un abono
$10,000 en el pago 30. Si la tasa de financiamiento por la compra de
la hacienda es del 2% mensual ¿Cuál será el valor de la primera letra
y la cuota 37?
La empresa Patito S.A. ha absorbido una empresa más pequeña a un
costo de $1’220,000. La cual fue negociada de la siguiente manera.
El 27,56% del valor de la empresa fue cancelada al momento de la fir-
ma del contrato, la diferencia se cancelará en 18 pagos mensuales que
aumentaran a razón de 6,5%, además se comprometieron dos pagos
adicionales por un valor de $35,000 cada uno a los 90 y 120 días res-
pectivamente, si la tasa de financiamiento es del 1,5% mensual, ¿Cuál
será el valor de la primera letra por la absorción de la empresa y cuan-
to se debe de cancelar en la letra 15?

134

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO
CRECIENTE

Es el valor ubicado en el período donde se encuentra el último flujo de
caja del gradiente geométrico, hay que tener en cuenta que cada flujo
crece cada período en un porcentaje constante (j)

Si las tasas no son iguales. ( i ≠ j ) se aplica la siguiente fórmula:

1 n 1 jn
Fgg k ij

Y si las tasas son iguales (i = j) se aplica la siguiente fórmula:
gg 1 i n 1

135

Matemáticas Financieras

Ejemplo
¿Cuál es el valor futuro de 24 pagos que se incrementan mensualmen-
te en un 3% cuando el primer pago fue de $9,500 y si la tasa de finan-
ciamiento es de 1.7% mensual?
Desarrollo.
Al igual que todo ejercicio siempre se debe de realizar el diagrama de flujo
para tener una visión real del problema. Realizar el diagrama de flujo.

k =9500 Fgg k 1 in 1 jn
i = 1.7% mensual
j= 3% ij

n= 24 meses Fgg 9500 1 0 017 24 1 0.03 24

0.017 0.03

Fgg 9500 1 017 24 1.03 24

0.013

Fgg 1 498659152 2.03294106
9500

0.013

Fgg 9500 0 534134954
0.013

Fgg 9500 41.08730419
Fgg 390329.3898

136

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejercicio de aplicación:
¿Cuál es el equivalente valor futuro de 60 pagos que se incrementan
mensualmente en un 2.6% cuando el primer pago fue de $970 y si la
tasa de financiamiento es de 2% mensual?
¿Cuál es el equivalente valor futuro de 120 pagos que se incrementan
mensualmente en un 0.96% cuando el primer pago fue de $1,110 y si
la tasa de financiamiento es de 3,56% mensual?

137

Matemáticas Financieras

GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE
Un gradiente geométrico decreciente es una serie de flujos de efectivo o
anualidades que decrecen periódicamente en un porcentaje constante.
Valor presente de un gradiente geométrico decreciente
El valor presente de un gradiente geométrico decreciente está ubicado
antes del valor del primer pago o anualidad.
El cual es equivalente a una serie de flujos de caja que decrecen perió-
dicamente en un porcentaje fijo (j)

Se lo aplica utilizando la siguiente fórmula cuando las tasas no son
iguales (i ≠ j):

ª §1 j ·n º
«1 ©¨ 1 i ¹¸ »
Pgg k « i j »
« »
«»
¬¼

138

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Donde:

k= el valor de la anualidad
i= la tasa de la transacción financiera
j= la tasa de crecimiento o decrecimiento de la anualidad
n= número de períodos

Pero si las tasas son iguales (i=j) se utilizará la siguiente fórmula:

Pgg k
1i

La cuota o anualidad se la encuentra con la siguiente fórmula:

Cuotan k 1 j n 1

Ejemplo
¿Cuál el valor actual equivalente de 24 pagos trimestrales que dismi-
nuyen en cada período a razón de un 2% cuando el primer pago es
de $38,000 si la tasa de interés de la operación financiera es del 20%
anual.
Luego indique cual es el valor de la cuota 19.

Realice el diagrama de flujo

139

Matemáticas Financieras

k= 38000 ª §1 j ·n º
i = 20% anual | 20 «1 ¨© 1 i ¹¸ »
2 10% « i j »
« »
j = 2% Pgg k

n= 24 «»
¬¼

ª § 1 0.02 ·24 º
«1 ¨© 1 0.10 ¸¹ »
Pgg 38000 « »
« 0.10 0.02 »
«»
¬¼

ª § 0.98 ·24 º
«1 ¨© 1.10 ¹¸ »
Pgg 38000 « »
« 0.12 »
«»
¬¼

Pgg 38000 ª1 0.062517466 º
¬« 0.12 ¼»

Pgg 38000 ª 0.937482533 º
¬« 0.12 ¼»

Pgg 38000>7.812354443@

Pgg 296869.4688

El valor presente de los 24 pagos semestrales es de $296,869.47
La cuota 19 se la obtiene de la aplicación de la siguiente fórmula:

Cuotan k 1 j n 1
Cuota19 38000 1 0.02 19 1

Cuota19 38000 0.98 18
Cuota19 38000 0.69513533

Cuota19 26415.14257

El valor de la cuota número 19 es de $26,415.14

140

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejercicio de aplicación:
¿Cuál es el valor presente de 18 pagos bimestrales que disminuyen en
cada período a razón de un 1.8% cuando el primer pago es de $14,000
y la tasa de interés de la operación financiera es del 22% anual?
Luego indique cual es el valor de la cuota 11
Si se realiza un primer pago de $944 de una serie de 36 pagos men-
suales, a una tasa anual del 18,33% ¿Cuál será el valor presente si cada
pago realizado va disminuyendo a razón de un 3,55%? Y ¿Cuál será el
valor de la cuota 13 y 29?

141

Matemáticas Financieras

VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO
DECRECIENTE

Es el valor futuro equivalente a una serie periódica de flujos de efecti-
vo o anualidad que decrecen en un porcentaje fijo (j).
El valor futuro queda localizado en el último flujo.

Si las tasas no son iguales. ( i ≠ j ) se aplica la siguiente fórmula:

1 n 1 jn
Fgg k ij

Y si las tasas son iguales (i = j) se aplica la siguiente fórmula:
gg 1 i n 1

Ejemplo:
Claudia desea invitar a Julio César a recorrer Sudamérica por lo que
realiza 12 depósitos mensuales en su banco que le paga una tasa del
15% anual. Si el primer depósito que realizó fue de $800 y en adelante
cada depósito decrecía en 4% mensual. ¿Cuál es el valor futuro que
habrá ahorrado al final del período? Halle el valor de la cuota 8.

142

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Realice el diagrama de flujo

k= 800
i = 15% anual ≈ 15 = 1.25%
12
j = 4%

n= 12

Fgg k 1 in 1 jn

ij

Fgg 800 1 0 0125 12 1 0.04 12

0.0125 0.04

Fgg 800 1 0125 12 0.96 12

0.0525

Fgg 800 1 160754518 0.612709757
0.0525

Fgg 800 0.54804476
0.0525

Fgg 800 10.43894782
Fgg 8351.158258

El valor que Claudia ha ahorrado es de $8,351.16

143

Matemáticas Financieras

Ejercicio de aplicación:
¿Cuál es el valor que se obtendrá al final de 24 depósitos mensuales en
una institución financiera que paga el 25% anual cuando los depósitos
mensuales van decreciendo en razón de un 3%, si el primer depósito
es de $900? Encuentre el valor de la cuota 13.
Si se realizan 18 pagos mensuales de decrecientes a razón de un 2,5%,
consideran do que el primer pago realizado fue de $1,050. ¿Cuál es
el valor que se recibirá al final de los 18 meses si el banco donde se
realizan los depósitos nos paga un interés del 13,27%? Determinar el
valor de las cuotas 7 y 15.

144

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

AUTOCONTROL 4

1. ¿Qué es un gradiente?

2. Subraye la respuesta correcta.
Un gradiente aritmético es el que decrece en forma contante
Un gradiente aritmético es el que crece o decrece con un valor constante.
Un gradiente aritmético es el que crece en forma contante

3. ¿Cuál es la diferencia entre un gradiente aritmético y geométrico?

4. Resolver los siguientes ejercicios.
a. La empresa INNOVADORES S.A. compró una máquina nueva

por encontrarse en su etapa de tecnificación, por la debe cancelar
30 pagos mensuales que se incrementan en $1,500 en cada pago,
si la primera cuota es de $16,250 y la tasa que tiene que pagar es
del 1.2% mensual.
b. ¿Cuál es el valor de la máquina y el valor de la cuota 27?
En qué valor debe aumentar el pago de 40 cuotas mensuales, si se
está financiando un préstamo personal por un valor de $9,700 si
la primera cuota que se paga es de $110 y una tasa de interés del
banco es del 1% mensual.

145

Matemáticas Financieras

c. Manuel ha comprado un auto de colección por el cual se compro-
metió a pagar 24 pagos mensuales que aumentarán cada pago en
$98, si el primer pago es de $756 y tasa de interés que debe pagar
es del 20% anual. ¿Cuánto le cuesta el auto de colección y el valor
de las cuotas 9 y 21?

d. Gisella solicita un préstamo a su banco por un valor de $15,000
que lo financió a 2 años y medio, por el cual realizará pagos men-
suales que aumentarán en $32 cada mes. Si la tasas de interés del
banco es del 14% anual. ¿Cuál es el valor de la cuota uno y treinta?

e. Si un préstamo de $154,552 es concedido para adquirir un inmue-
ble a un grupo de inversionistas, el cual deben cancelar en cuotas
mensuales con una tasa bancaria del 24% anual ¿Cuántos pagos de-
ben de realizar para cumplir con la deuda, si la primera cuota es de
$180 con un incremento de $67 y cuál es el valor de la cuota 14?

f. ¿Cuál es la tasa de interés que están cobrando en una transacción
financiera donde se financia $435,800 pagaderos a 50 meses que au-
mentarán mes a mes en $ 700 siendo la primera cuota de $ 1,800

g. Melissa desea hacer un préstamo de $85,600 en su banco que ten-
drá que pagar en cuatro años mediante pagos mensuales de $650 y
que irán aumentando mes a mes en $35. ¿Cuál es la tasa de interés
que le está cobrando el banco por dicho préstamo?

h. ¿Cuál será el valor de un departamento que se financia en 72 pa-
gos mensuales y cuyos pagos crecen cada mes en $105 a una tasa
de interés es del 0.9% mensual, si la primera cuota tiene un valor de
$8400 y el primer pago se realizó el mismo día de la negociación?

i. El grupo INVERSIONSEGURA S.A. invierte su dinero en accio-
nes que le pagan un 2% mensual. Si cada valor depositado men-
sualmente aumenta en $230 y su primer depósito fue de $ 2,500.
¿Cuál es la cantidad que recibirán al final de cuatro años?

146

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

j. Paola decide expandir su negocio y compra la propiedad junto a
su negocio por un costo de $56,800 a una tasa de interés del 1.2%
mensual, por medio de 48 pagos mensuales que aumentan mes a
mes en $120. Calcular el valor de la primera cuota y el saldo de la
deuda después de cancelar la cuota No 24.

k. La familia Reyes deciden adquirir un tour para recorrer el mundo
mediante el pago de 24 cuotas mensuales que decrecen en $98
mensualmente, siendo la primera cuota $8,000. Si la tasa de fi-
nanciación que se cobra es del 2.3% mensual, calcular el precio de
tour y el valor de la cuota número 17.

l. Gisella y César empiezan ahorrar para casarse con depósitos
mensuales que van decreciendo mensualmente en $120. Si la ins-
titución financiera les da un interés del 2.3% mensual ¿Cuál será
el valor que recibirán después de un año fecha en que se casarán,
tomando en cuenta que su primer depósito fue de $3,650? Indi-
que el valor del depósito 7.

m. La deuda que posee la Yaritza con concesionario de vehículos
deberá cancelarla mediante 24 pagos mensuales que aumentan a
razón de un 11% mensualmente. Si la primera cuota a pagar es de
$650 y se cobra una tasa de interés del 2% mensual. Indique ¿Cuál es
el valor de la deuda de Yaritza o y el valor de la cuota número 18?

n. Christopher desea cancelar una deuda que tiene con la empresa
donde trabaja, la cual cancelará mediante 18 pagos mensuales que
aumentarán en un 13% cada mes. Si la primera cuota de la deu-
da es de $240 y el interés que cobra su empresa es de 26% anual.
Calcule ¿Cuál es el valor de la deuda de Christopher y cuánto es el
valor de la cuota número 25?

o. Un matrimonio desea ahorrar para la educación universitaria
de sus hijos, que estiman costará $125,000. Su asesor financiero
les indica que para asegurar un cupo en la universidad deben
cancelar el 30% del costo de la carrera universitaria y la diferencia

147

Matemáticas Financieras

mediante 48 pagos mensuales que irán aumentando mes a mes en
un 8% y que realicen un pago adicional por un valor de $20,000 a
la mitad de la deuda, les resultará conveniente para su presupuesto
pagar dichos valores. ¿Cuál será el valor de la primera letra?
p. ¿Cuál es el valor futuro de 120 pagos que se incrementan men-
sualmente en un 0.9% cuando el primer pago fue de $230 y si la
tasa de financiamiento es de 20% anual?
q. ¿Cuál es el valor presente de 10 pagos semestrales que disminuyen
en cada período a razón de un 9% cuando el primer pago es de
$325,000? La tasa de interés de la operación financiera es del 18%
anual. Indique cuál es el valor de la cuota 5
r. Israel acaba de casarse y desea comprar una casa para él y su fami-
lia, por lo que decide empezar ahorra y realiza depósitos mensua-
les durante tres años en un banco que le paga el 18% anual. Si el
primer depósito que realiza es $2,450 y en adelante cada depósito
decrecía en 5.6% mensual. ¿Cuánto dinero habrá ahorrado des-
pués de tres años? Halle el valor del depósito 26.

148

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

CAPÍTULO 5

Diana María Merchán Galarza • Julio César Méndez Bravo
149

Matemáticas Financieras

AMORTIZACIÓN
De acuerdo con Gómez Pardón, “las amortizaciones son una serie de
pagos sucesivos, generalmente en montos y períodos iguales, que se
efectúan con el fin de cancelar una obligación y sus intereses, dentro
de un plazo convenido previamente”.
Así que podemos concluir en que una amortización consiste en pagar
una deuda y sus intereses por medio de pagos periódicos.

Capital insoluto y tabla de amortización
El capital insoluto es el valor por el cual no te van a cobrar interés, por
ejemplo si haces una compra por $5,000 y das una entrada de $1,000
el interés que te cobrarán será sobre los $4,000 que estas financiando,
el capital insoluto son los $1,000 que pagaste inicialmente y sobre el
cual no te cobran ningún interés.
La tabla de amortizaciones es una tabulación donde se ordenan va-
lores en una amortización. Se realiza con la finalidad de mostrar la
deuda al comienzo de cada período y el total de la deuda amortizada
hasta el final del período.
Para realizar una tabla de amortización se siguen los siguientes pasos:

1) Se hace el diagrama de la tabla de amortización con 5 columnas.
2) Se inicia la tabla escribiendo el capital insoluto al inicio de la tabla.
3) Con el capital inicial se calcula el valor de la anualidad o renta

de la operación.
4) Luego se procede a calcular el interés del primer período.
5) Se resta el interés del primer periodo a la renta a pagar del pri-

mer mes.

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