Matemáticas Financieras Segunda Edición

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejercicios de aplicación:
Problemas a resolver, calcule los resultados y realiza el respectivo
diagrama de flujo:
1. Una empresa de inversiones, consiguió un capital de $1’258.000

el cual ofrecía un interés del 8%, al finalizar la operación, los in-
versionistas recibieron 2’050,000 ¿Qué tiempo duró la operación?
2. Pamela desea ahorrar en un fondo de inversión, para poder to-
mar vacaciones y recorrer Europa, para ello cuenta con un ahorro
inicial de $2,000 si para su viaje necesita un mínimo de $ 8,500 y
el banco le pagó el 9,3% ¿Cuánto tardará en obtener dicho valor?

51

Matemáticas Financieras

CÁLCULO DEL INTERÉS

Calcular la tasa de interés compuesto anual que se aplica a un capital
de $5,320 si al cabo de 4 años se convertirá en $8,200.
Resolución

Aplicando la fórmula VF VA 1 i n

Remplazamos los valores conocidos:
Valor Actual (VA) = 5320
Valor Final (VF) = 8200
Tiempo en años n = 4
Remplazamos los valores conocidos:

8200 5320 1 i 4

1 i 4 8200

5320

1 i 8200

4

5320

1 i 4 1.5414

1 i 1.1142
i 1.1142 1

i 0.1142

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Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Lo multiplicamos por 100 (recuerda que i siempre se expresa como
§ tasa% ·
©¨ 100 ¸¹

La tasa de interés compuesto anual ha sido de 11.42%

Ejercicios de aplicación:
Problemas a resolver, calcule los resultados y realiza el respectivo
diagrama de flujo:
1. Los empleados de la Empresa “Las Riquezas” invirtieron sus uti-

lidades en la misma empresa y al cabo de 8 semestres, les dieron
una ganancia de $95,000, ¿Cuál fue la tasa de interés anual que les
pagaron si su inversión fue de $ 58,000?

2. En un divorcio, cuyo trámite duró 5 años, una cuenta conjunta
de $ 75,200 fue bloqueada para hacer cobros o depósitos; luego
del tiempo establecido la pareja dividió la cantidad de $ 112,000,
¿Cuál fue el interés que pagó el banco?

3. Invierte su capital de $ 7,850 con su grupo de la universidad en
una sala de cómputo y animación, al cabo de 3 años deciden divi-
dir la sociedad y Pedro recibe $1,500. ¿Cuál fue la tasa de interés
que le generó esa rentabilidad?

53

Matemáticas Financieras

PERÍODOS DE INTERÉS COMPUESTO

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semes-
tral, cuatrimestre, trimestral, bimensual, al mes, al día, etc. ¡Pero si no
es anual debería de informarse!

Si la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de
interés anual durante t años, todo sigue siendo válido si los períodos
de conversión son semestres, trimestres, días, etc., solo hay que con-
vertir éstos en años.

Por ejemplo, si i se expresa en tasa anual y su aplicación como interés
compuesto se valida en forma mensual, en ese caso i debe
dividirse por 12, ya que un año posee 12 meses. § tasa% ·
¨© 100 ¹¸

§ tasa% y 12 · § tasa% x 1 · § tasa% ·
¨© 100 ¸¹ ©¨ 100 12 ¹¸ ¨© 100 x12 ¸¹

En seguida, la potencia t (el número de años) debe multiplicarse por
12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el nú-
mero de años).
Si los períodos de conversión son semestrales, i se divide para 2 ya que el
año tiene dos semestres (lo cual significa que los años los hemos conver-
tido a semestres), por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia n
(el número de años) por 2 (el número de semestres de un año):
En un supuesto que la tasa anual sea del 10%, se sigue el siguiente
proceso:

1 i n Será igual a 1 10 2·1n
100 2

54

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Si los períodos de conversión son bimensuales, i se divide por 6 ya
que el año tiene 6 bimestres (lo cual significa que los años los hemos
convertido a bimestres) por lo mismo, luego habrá que multiplicar la
potencia n (el número de años) por 6 (el número de trimestres que
hay en un año).
Del siguiente modo:

(1 i)n Será igual a 1 10 61n
100 6

En  general, en todos los casos donde haya que convertir a semestres,
trimestres, meses, o días se multiplica por n semestres, trimestres, me-

ses o días el 100 de la fórmula 1 i n que es igual a:

§¨©1 tasa% ·n
10.0 ˜ 4 ¸¹

La potencia t (en número de años) se debe multiplicar por el mis-
mo valor de t, en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de 10%:

1 i n será igual a:

§¨©1 10 t ·t˜n
100 ˜ ¹¸

55

Matemáticas Financieras

Capitalizaciones en interés compuesto
Ejemplo 1
Calcular el valor futuro a interés compuesto de 8 años de un capital de
$6,000 a la tasa de 10% Anual capitalizado semestralmente.
VA = $6, 000
Anual = 10% Anual cap./ sem = 10%/2 = 5% Semestral
N = 8 años n = 8 x2=16 sem.

VF VA 1 i n
VF 6000 1 0 05 16
VF 6000 2 182874588

VF $13, 097.40

Resolver
Calcular el valor futuro de un capital de $86,400 pagaderos a una tasa
del 12% capitalizada trimestralmente en un periodo de seis años y
medio.

56

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejemplo 2
¿Cuánto debe depositarse en un banco si se desea tener un monto de
$ 10,000 dentro de 3 años a una tasa de 20% anual capitalizada semes-
tralmente?
VF = $10, 000
Anual = 20% Anual cap/ sem = 20%/2 = 10% semestral.
N = 3 años n = 3 x 2= 6 sem.

VF VA 1 i n VA 10000 1 10 6

VA VF 1 i n VA 10000 0 56447393



VA 10000 1 0 10 6 VA = 5, 644.74

Debemos depositar $5,644.74 para dentro de tres años (seis semes-
tres) tener $10,000.

Resolver
Un inversionista tiene la opción de comprar una extensión de tierra
que valdrá $10,000 en seis años, si el valor de la tierra aumenta 8%
capitalizable trimestralmente ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar ahora
el inversionista por esta propiedad?

57

Matemáticas Financieras

Ejemplo 3
Encontrar la tasa de interés con capitalización trimestral, si su capital
se duplica en dos años.
Solución:

VA = P VF = 2P

n=2 años entonces n=2x4=8 trim.

VF VA 1 i n 2P P 1 i 8
2P 1 i 8
P 2 1 i8
82 8 1 i 8
18
1, 0905 1 i
i 0 0905 28 1 i 8

1 1, 0905 i
i 9.05% Trim.

i = 9.05 % x 4 = 36.20% Anual.
i = 36.20 % Anual Cap/Trim.

Resolver
Encontrar la tasa de interés con capitalización semestral, si su capital
es de $200 durante 5 años cuando al final del período recibe $358.17

58

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejemplo 4
Si hoy se invierten $3, 500 esperando obtener $5,000 en una fecha
posterior, ¿Cuándo deberá recibirse el dinero para ganar al menos el
8% anual de interés?
VA = $3, 500
VF = $ 5,000
i = 8% anual = 0.08

VF VA 1 i n
5000 3500 1 0, 08 n
5000 1, 08 n

3500

1, 428571 1, 08 n
log1, 428571 log 1, 08 n
log1, 428571 n log 1, 08

n 4.63 Años

Resolver
¿En qué tiempo un capital de $300 se convierte en un monto de $450
si se tiene una tasa efectiva del 7%?

59

Matemáticas Financieras

AUTOCONTROL 2
1. ¿Qué entiende por interés compuesto?

2. ¿Cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto?

3. Con sus propias palabras explique. ¿Qué entiende por capitalización?

4. Resolver los siguientes problemas:
a. ¿Cuánto hay que invertir para obtener $10.000.000 dentro de 10

años al 8% de interés capitalizable semestralmente?
b. Averiguar en qué se convierte un capital de $2.500.000 al cabo de

5 años, con una tasa de interés compuesto anual del 8 %.
c. Calcular la tasa de interés compuesto anual aplicado a un capital

de $ 635,000 que luego de 6 años se convierta en $ 822,500.
d. Cierto capital invertido durante 5 años se ha convertido en

$12,500. Calcular la tasa de interés, sabiendo que el pago inicial
fue de $8,200.

60

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

e. El gobierno piensa construir nuevas urbanizaciones dirigidas al
sector social medio alto, a un precio de $125,000, Elizabeth desea
comprarlo de contado, si ella posee $70.000 de ahorro y su banco
le ofrece una tasa de 12% capitalizable trimestralmente, ¿Cuánto
tiempo le tomaría a Elizabeth completar el dinero para comprar
la casa de sus sueños?

f. Tres hermanos reciben como herencia un terreno valorado en $
7,000, pero c/u de ellos desea recibir la misma cantidad de $7,000,
si la plusvalía del terreno es del 15,5%, ¿En qué tiempo podrían
dividir el valor del terreno para que c/u reciba $7,000.

g. ¿Cuál es el monto equivalente de un capital de $1,500 a una tasa
de interés anual del 12% después de seis años?

h. Si deseas abrir una cuenta de jubilación y al cabo de 20 años reci-
bes como liquidación un valor de $1’000,000 ¿Con cuánto debes
abrir la cuenta, si al momento de la apertura se tiene una tasa de
interés simple del 13%?

i. ¿Cuál es la tasa de interés que paga un banco si hoy depositas
$3,520 y luego de dos años y tres cuartos recibes $10,200?

j. ¿Qué tiempo debo esperar, si al depositar $580,000 con una tasa
de interés del 9% recibo un monto de $720,000?

k. ¿En qué tiempo un capital de $100 se convierte en un monto de
$150 si se tiene una tasa efectiva del 18%?

l. ¿En qué tiempo un capital de $2500 se convierte en un monto de
$8500 si se tiene una tasa efectiva del 8%?

m. Una persona deposita una suma de dinero en una institución fi-
nanciera que paga un interés del 27% anual capitalizado continua-
mente. Si el saldo a favor del inversionista es de $ 855, 000 dentro
de 3 años. Hallar el valor del depósito.

61

Matemáticas Financieras

n. ¿Cuál fue la tasa de interés compuesta que pagó un banco a una
cuenta ahorrista que depositó $12,000 y luego de 4 años retiró de
la cuenta $18,000?

o. ¿Es más productivo invertir al 42% simple anual que al 40% anual ca-
pitalizado semestralmente? Falso o verdadero, justifique su respuesta.

p. ¿Cuánto dinero hoy equivaldrá $5, 000 en 6 años, a una tasa de
interés del 7% anual?

q. ¿Cuál es el equivalente futuro de $1,000 invertidos al 6% de inte-
rés simple por dos años y medios?
1. $1,157
2. $1,175
3. $1,188
4. $1,150
5. $1,184

r. Billy tiene $50,000 que acaba de heredar, pero tiene una restric-
ción de no usar el dinero hasta que cumple la mayoría de edad, a
sus 15 años de edad tiene que esperar el tiempo estipulado. Si el
banco le ofrece una tasa del 14,20%. ¿Cuánto recibirá al cumplir
la mayoría de edad?

s. Si realizo un préstamo por $125,220 a una tasa de interés del 8%
anual pagadero en 5 años. Si decido cancelarlo después de 18 me-
ses. ¿Cuánto tendría que pagar al final?

t. Pretendo tener $750.000 dentro de 5 años. Si el banco paga una
tasa de 10% anual ¿Cuánto necesitamos como capital inicial?

u. ¿Cuánto hay que invertir ahora, para tener $3’200,000 dentro de
12 años al 9.5% de interés?

62

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

v. Si hoy compro un terreno en $17,300 y gana una plusvalía del
9,5% anual, ¿Cuánto recibirá al cabo de 8 años?

w. En un divorcio que se tramitó en 5 años, cuya cuenta conjunta
tiene un valor de $75,200 fue bloqueada para cualquier transac-
ción. Luego del trámite respectivo, la pareja dividió la cantidad de
$112,000. ¿Cuál fue la tasa de interés que les pagó el banco duran-
te el trámite del divorcio?

x. Calcular la tasa de interés compuesto anual que se aplica a un ca-
pital de $825,000 que al cabo de 5 años se conviertan en $922,510

y. Un empresario que se ausenta del país dejó un capital de $1’200,000
y al regresar retiró de su cuenta $1’763,194. Si el banco donde te-
nía su dinero le pagaba una tasa del 8% anual, ¿Cuánto tiempo se
ausentó el empresario?

63

Matemáticas Financieras

CAPÍTULO 3

Julio César Méndez Bravo • Manuel Alberto Méndez Bravo
64

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

ANUALIDADES
Desde el punto de vista financiero, se denomina anualidad a una se-
rie de cantidades que vencen progresivamente a intervalos iguales en
tiempos iguales, como lo son: rentas, abonos, sueldos, importes a in-
vertir, etc.
Por costumbre se denomina anualidad de pago o de inversión, aun
cuando no se efectúa cada año, puesto que debe ser semestral, trimes-
tral, bimestral, mensual, quincenal, semanal, es decir, cada período
establecido.
Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes
condiciones:

1. Todos los pagos son de igual valor
2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo
3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a
la misma tasa
4. El número de pagos debe ser igual al número de períodos

CLASES:

ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDA: Es aquella en la cual
los pagos se hacen al final de cada período, por ejemplo el pago de
salarios a los empleados, ya que primero se realiza el trabajo y luego
se realiza el pago. Se representa así: 

También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer
nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a
su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

65

Matemáticas Financieras

ANUALIDAD ANTICIPADA: En ésta los pagos se hacen al prin-
cipio del período, por ejemplo el pago mensual del arriendo de una
casa, ya que primero se paga y luego se habita en el inmueble. 

ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDA

Valor presente (P)

El valor presente P de la serie uniforme A, se puede determinar con-
siderando cada valor A como un valor futuro en la fórmula de valor
presente pago único y luego sumando los valores del valor presente.
Es decir:

P = A + A + A + ... + A.

(1+i)¹ (1+i)² (1+i)³ (1+i)n

En síntesis:

1 n1
P A i1 in

El plazo n y la tasa de interés i %, deben expresarse en la misma base
de tiempo.

66

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejemplo:
La señora Andrade ganó un premio en su oficina por un pago mensual
de $650 por un lapso de 5 años. Si ella hubiera escogido como único
pago el día de hoy, ¿De cuánto sería el valor que recibiría actualmente
si sabemos que la tasa de interés es del 5% anual.
A= 650
n= 5 años ≈ 60
i= 5% ≈ 0.05 ≈ 0.05 = 0.0042

12

1 in 1
P A i1 in

P 1 0 0042 60 1
650
0.0042 1 0.0042 60

P 650 0.28591725
0.005400852

P 650 52.93928183
P 34, 410.53
Si la señora Andrade en lugar de las anualidades hubiera querido reci-
bir como único valor sería de $34,410.53

67

Matemáticas Financieras

Ejercicios de aplicación:
Realice el diagrama de flujo y luego indique la respuesta al proble-
ma planteado.
• Si mi esposa acaba de sacar una refrigeradora del almacén de elec-

trodomésticos y debo pagar $115 mensuales por dos años a un
interés del 13% anual. ¿Cuál es el costo actual de la refrigeradora?
• He decidido comprar un automóvil de un concesionario donde
debo pagar $380 mensuales por 4 años a un interés del 17% anual,
si adicional a eso di una entrada de $3,250. ¿Cuál es el costo actual
de mi automóvil?
• El señor Bolaños adquiere un juego de muebles para su sala dan-
do una cuota inicial de $400 y pagando valores quincenales de $97
a una tasa de interés del 13% anual por un periodo de dos años.
¿Cuánto es el valor de los muebles al día de hoy?

68

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

VALOR FUTURO (F)
El monto o valor futuro de una anualidad es la suma de los montos
compuestos de estos pagos A. Es decir, como los pagos se hacen en
forma vencida, cada pago efectuado capitaliza interés, excepto el últi-
mo (puesto que con el termina la deuda), es decir:
F = A (1+i)n + A (1+i)n-1 + . . . + A, entonces:

1 in 1
FA

i

Ejemplo:
Si se depositan $3,000 mensuales durante 10 meses, ¿Cuál será el
monto de esta operación si la tasa de interés mensual es del 2%?

1 in 1
FA

i
1 0.02 10 1
3000

0, 02
F 3000 0.21899442

0.02
3000 10.949721
F 32,849.16

Conclusión: 10 Pagos mensuales de $3,000 a un interés del 2% men-
sual, acumulan un monto de $32,849.16

69

Matemáticas Financieras

Ejercicios de aplicación:
Realice el diagrama de flujo y luego indique la respuesta al proble-
ma planteado.
• Si desde hoy deposito $120 mensuales en un fondo de retiro que

me paga el 9% anual y si al final de 6 años decido retirar el valor
total. ¿Cuánto recibiré por mi fondo de retiro?
• Considerando que un profesor de escuela a destinado un valor de
$85 mensuales a un fondo de retiro privado para su jubilación, el
cual le paga un interés del 8,55% anual; si el profesor se retira de
su trabajo por enfermedad después de un periodo de aportación
de 15 años, ¿Cuánto recibirá el profesor como fondo de cesantía
después de los quince años de trabajo?
• Si al hijo único de la familia Gonzales le abren una cuenta de aho-
rros en su cumpleaños número dos, en la cual depositan men-
sualmente $20 hasta que cumpla su mayoría de edad, en una ins-
titución financiera que paga el 6% anual, ¿Cuánto retirara de la
cuenta el día que cumpla la mayoría de edad?

70

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

RECUPERACIÓN DE CAPITAL (A/P)
La recuperación de capital se obtiene empleando la fórmula:

1 in
A P 1 in 1

Dónde: A es el pago de serie uniforme o anualidad.
Ejemplos:

1) En la compra de una máquina con valor de $10,000 nos da la
facilidad de adquirirla mediante 36 pagos iguales. Si pacta la
operación con una tasa de interés del 8% mensual. ¿Cuál será
el importe de los pagos?

i1 in
A P 1 in 1

0 08 1 0.08 36
A 10 000 1 0.08 36 1

A 10 000 1.277453747
14.96817184

A 10, 000 0 085344674
A 853.45

Se requieren 36 pagos iguales de $853.45 mensuales, para cubrir la
deuda de $10,000 a una tasa de interés del 8% mensual.

71

Matemáticas Financieras

Ejercicios de aplicación:
Realice el diagrama de flujo y luego resuelva el ejercicio.
• Una obligación presente de $25,000 se rembolsará en montos

anuales uniformes iguales, cada uno de los cuales incluye el rem-
bolso de la deuda e intereses sobre la deuda, en un período de
cinco años. Si la tasa de interés es del 10% por año, ¿Cuál es el
monto anual a rembolsar durante los cinco años?
• Si el día de hoy me dan un préstamo por un valor de $15,000 para
mis estudios universitarios, a una tasa de interés del 9% anual, si
debo de pagar el préstamo después de 5 años realizando 48 pagos
mensuales fijos, ¿Cuál es el valor mensual que debo de pagar al
banco?

72

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

FONDO DE AMORTIZACIÓN (A/F)
Para obtener el fondo de amortización, se emplea la fórmula:

A F i 1
1 in

Ejemplo:

Una estudiante emprendedora planea tener ahorros personales por
un total de $1’000,000 cuando se retire a los 65 años. Ahora tiene 20
años. Si la tasa de interés anual de su cuenta de ahorros será del 7%
en promedio, durante los siguientes 45 años ¿Qué cantidad igual debe
ahorrar al final del año para lograr su meta?

A F i 1
1 in

A 1, 000, 000 0.07
0.07 45
1 1

A 1000000 0 003499571

A 3, 499.57
La estudiante debe de depositar $3,499.57 cada año para completar la
cantidad deseada.

73

Matemáticas Financieras

Ejercicios de aplicación:
Realice el diagrama de flujo y luego resuelva el ejercicio.
• ¿Qué monto se necesita pagar cada primero de enero en una

cuenta de ahorros, para obtener $10,000 después de 15 años si
el banco me paga un interés anual del 7%? (Nota: el último pago
coincidirá con el monto del saldo de $10,000)
• Si un ejecutivo desea retirarse después de 15 años de trabajo para
viajar y recorrer Europa y Asia, pero para ello necesita de $87,000.
¿Cuánto debe de depositar mensualmente desde este mes el ejecu-
tivo en su banco que le paga un interés del 9,35% anual para poder
cumplir su meta?
• He decidido ahorrar $150 mensual durante 7 años para con el di-
nero que retire después de ese tiempo comprarme una camioneta
para poder recorrer mi país, si mi banco me paga un interés del
8% anual, después de ese tiempo, ¿con cuánto dinero cuento para
comprarme la camioneta?

74

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

EQUIVALENCIAS
Cuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantías y situados en
diferentes momentos de tiempo puede resultar conveniente saber cuál de
ellos es más interesante desde el punto de vista financiero (porque valga
más o menos que los demás). Para decidir habría que compararlos, pero
no basta con fijarse solamente en las cuantías, se tendría que considerar,
a la vez, el momento de tiempo donde se encuentran situados. Además,
la comparación debe ser homogénea, es decir, tendrían que llevarse todos
los capitales a un mismo momento y ahí efectuar la comparación.
Comprobar la equivalencia financiera entre capitales consiste en com-
parar dos o más capitales situados en distintos momentos y, para un
tipo dado, observando si tienen el mismo valor en el momento en que
se comparan. Para igualar los capitales en un momento determinado
se utilizará la capitalización o el descuento.

Principio de equivalencia
Dmoens tcea,psiotanleesq,uCiv1ayleCn2t,eqs,uceuvaenndcoenvaelonrlaodsoms eonmuenntmosistm1 yotm2 roemspeencttoivdae-
tiempo t, tienen la misma cuantía.
Esta definición se cumple cualquiera que sea el número de capitales
que intervengan en la operación.
Si dos o más capitales se dice que son equivalentes resultará indiferen-
te cualquiera de ellos, no habiendo preferencia por ninguno en parti-
cular. Por el contrario, si no se cumple la equivalencia habrá uno sobre
el que tendremos preferencia y, en consecuencia, lo elegiremos.
Si el principio de equivalencia se cumple en un momento de tiem-
po concreto, no tiene por qué cumplirse en otro momento cualquiera
(siendo lo normal que no se cumpla en ningún otro momento). Con-
secuencia de esta circunstancia será que la elección de la fecha donde
se haga el estudio comparativo afectará y condicionará el resultado.

75

Matemáticas Financieras

Ejemplo:

1) Usando la figura de abajo, determine los valores equivalentes
de los flujos de efectivo I, II, III, IV, V y VI para un flujo efec-
tivo único de $5,200 al final del 2005, cuando la tasa de interés
es de 7,5% anual.

76

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

I)

VF VA 1 i n

VF 200 1 0 075 7

VF 200 1 075 7

VF 200 1 65904914

VF 331.81

Se llevan el valor inicial $200 al valor futuro que nos da como resul-
tado $331.81

II)

A F i 1
1 in

A 331 81 0.075
0.075 5
1 1

A 0.075
331 81

1.075 5 1

A 331 81 0.075
0.435629326

A 331 81 0.172164717
A 57.13

En este paso, al estar en el año 2012 y querer saber su equivalencia en
anualidades, al conocer que éstas se encuentran en años anteriores en
relación al año donde está el valor hallado en el paso I por tal razón se
lo toma como valor futuro.

77

Matemáticas Financieras

III)

P ª 1 i n 1º
A« »
¬« i 1 i n »¼

P ª 1 0.075 5 1 º
57.13 « »
¬« 0.075 1 0.075 5 ¼»

P ª 1.075 5 1 º
57.13 « »
«¬ 0.075 1.075 5 »¼

P 57.13 ª 0.435629326 º
«¬ 0.107672199 ¼»

P 57.13>4.045884919@

P 231.14

VA VF 1 i n

VA 231.14 1 0.075 8

VA 231.14 1.075 8
VA 231.14 0.560702233

VA 129.61

Antes de realizar el paso III, primero llevamos a valor actual todas las
anualidades, de tal manera que éste sirva como valor futuro para el
nuevo cálculo que está en los años 2007 a 1999.

IV)
VA VF 1 i n
VA 129 61 1 0.075 4
VA 129 61 1.075 4
VA 129 61 0.748800529

VA 97.05

78

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Es importante recordar que el paso de una equivalencia no tiene nada
que ver con la forma como se resolvió el anterior, lo único que se toma
en cuenta es el resultado de cada ejercicio para resolver el siguiente paso.
En el paso IV se vuelve a llevar al valor actual la cantidad hallada en
el paso III, se lo considera como valor actual ya que nos ubicamos en
el año a donde queremos llevar dicho valor, o sea en el año 1995 y nos
preguntamos ¿Cuánto vale hoy el valor del año 1999?.
V)

VF VA 1 i n
VF 97 05 1 0.075 2

VF 97 05 1.075 2
VF 97 05 1.155625

VF 112.15
i1 in

A P 1 in 1

0.075 1 0 075 3
A 112.15 1 0.075 3 1

0 075 1.075 3
A 112.15 1.075 3 1

A 0.093172265
112.15
0.242296875

A 112.15 0.384537628

A 43.13

79

Matemáticas Financieras

Para resolver el paso V tenemos que realizar 2 operaciones diferentes.
Primero debemos llevar el valor del año 1995 al valor futuro al año
1997, ya que las anualidades empiezan a partir del año 1998.
Una vez encontrado el valor actual del año 1998, se procede hallar el
valor de las anualidades.

1 in 1
FA

i
1 0.075 3 1
F 43 13

0.075
1.075 3 1
F 43.13

0.075
F 43 13 0.242296875

0.075
F 43 13 3.230625

F 139.34

VF VA 1 i n
VF 139 34 1 0.075 5

VF 139 34 1.075 5
VF 139.34 1 435629326

VF 200

Para el paso final, primero debemos llevar las anualidades a valor fu-
turo, o hacerla un valor único, ya que es más fácil llevar un solo valor
actual a valor futuro, que tener que llevar cada anualidad valor futuro
y luego sumarlas.

80

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Si observamos el resultado, el valor se volvió a convertir en $200 y éste
será el valor igual o equivalente a lo largo del tiempo.
(Los valores pueden quedar con decimales, y esto se da a que porque
al mostrar el resultado final de cada operación se lo redondeó a dos
decimales).
Ejercicios de aplicación

1) Determina los valores equivalentes de los flujos de efectivo I,
II, III y IV para un flujo efectivo único de $7,300 al final de
2009, cuando la tasa de interés es de 25,4% anual.

81

Matemáticas Financieras

ANUALIDADES ANTICIPADAS
Valor presente (P)

Es cuando el pago se hace al inicio del intervalo, por ejemplo al inicio del mes.
Las anualidades anticipadas se representan por la ecuación:

11 n1

P A1 i

El plazo n y la tasa de interés i%, deben expresarse en la misma base de
tiempo.

Ejemplo:

¿Cuál es la renta semestral adelantada, equivalente a una renta men-
sual adelantada de $660, si el interés es de 22.5% anual convertible
mensualmente?

A= 660

n= 6

i= 22.5 = 0.225 = 0.225/12

i= 0.01875 ª 1 1 0.01875� 6 1 º

P 660 «1 0.01875 »
«¬ »¼

ª 1 1.01875� 5 º
P 660 «1 »
«¬ 0.01875 »¼

P 660 ª 1 0.91130 º
«1 0.01875 »
¬ ¼

P 660>1 4.7307@

P 3, 782.26

82

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejercicios de aplicación:
Realice el diagrama de flujo y resuelva el siguiente ejercicio:
• Eduardo renta una casa por un año con un pago mensual de $280.

Si la renta se debe pagar por adelantado. ¿Cuál es el valor actual
de las rentas de un año, tomando como base una tasa de interés
de 13% anual?
• Si me venden un equipo de sonido para grabaciones de audio, por
el cual debo de pagar $345 mensuales por dos años, sin embargo
el vendedor me indica que si pago el valor presente de las anuali-
dades, me puede hacer un descuento del 10% del valor del equipo,
¿Cuánto debo de pagar el día de hoy por el equipo de sonido si
decido pagarlo de contado?
• La esposa de Carlos le ha pedido el divorcio por infidelidad, ade-
más de pedirle la mitad de las cosas ha demandado una manuten-
ción por sus trillizos que tienen 2 años de edad, la pensión que
deberá de pagar es de $480 mensuales por sus tres hijos hasta que
cumplan la mayoría de edad, si se considera una tasa de interés de
mercado referencial del 8,55% anual, ¿Cuál es el valor al día de
hoy que debe de pagar Carlos de manutención por sus trillizos?

83

Matemáticas Financieras

Valor futuro (F) de una anualidad anticipada.
  Se representa por la fórmula:

ª 1 i n 1 1 º
F A« � 1»
¬« i ¼»

Ejemplo:

Cada 2 meses, el día 25 depositan $1000 en un fondo de inversión que
paga 4% convertible bimestralmente ¿Cuánto se habrán acumulado
en el fondo un instante antes de realizar el vigésimo cuarto depósito?
A= 1000
i= 4% anual, = 0.04/6 = 0.00667
n= 23 (bimestres)

1000 1 0, 00667 23 1 1 1

0, 00667

1000 1, 00667 24 1 1

0, 00667

1000 1,17298 24 1 1

0, 00667

1000 1,17298 1 1

0, 00667

1000 0,17298 1
0, 00667

1000 24,9340

F 24934, 03

84

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejercicios de aplicación:
Realice el diagrama de flujo y resuelva el siguiente ejercicio:
• Si Eduardo ha hecho pagos anticipados por un valor de $2,250

mensuales por el arriendo de un local en un centro comercial, si
después de 3 años decide hacer un balance en los gatos de arrien-
do, ¿cuál es el valor total que terminó pagando al finalizar los tres
años?
• Claudia y su esposo realizan un préstamo hipotecario para la
adquisición de su casa nueva, por el cual deberán de pagar $950
mensuales durante 20 años a una tasa del 8,75% ¿Cuánto le termi-
na costando la casa a Claudia y su esposo?
• Si una enfermera se jubila después de 25 años de trabajo, donde
aportó a su seguro $75 mensuales fijos con una tasa de interés del
7% anual, ¿Cuánto recibe de fondos de cesantía la enfermara?

85

Matemáticas Financieras

RECUPERACIÓN DE CAPITAL (A/P):

La recuperación de capital se obtiene empleando la fórmula:

A P n1
11
1
i

Dónde: A es el pago de serie uniforme o anualidad.

Ejemplo:

Una deuda de $50,000 se va a cancelar mediante 12 pagos uniformes
con una tasa de 2 % efectivo para el período, encontrar el valor de la
cuota situando la fecha focal en:

a) El día de hoy
Para este primer caso se usará la siguiente expresión:

AP
1 1 i n1

1
i

A 50000
1 1 0, 02 12 1

1
0, 02

A 50000
1 1, 02 11

1
0, 02

A 50000
10, 787

A 4635, 21

86

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejercicios de aplicación:
Realice el diagrama de flujo y resuelva el siguiente ejercicio:
• Un préstamo de $75,000 se va a cancelar mediante 36 pagos igua-

les empezando desde hoy con una tasa de 13 % capitalizable men-
sualmente ¿Cuál es el valor de los pagos a realizar?
• La señora Amanda adquirió un local comercial a un precio de
$105,000 el que pagara mediante un préstamo hipotecario que
tiene una tasa de interés del 9% anual, ¿Cuánto debe de pagar
mensualmente la señora Amanda para terminar de pagar su local
comercial?
• Un vehículo que cuesta normalmente $39,990 de contado, fue
adquirido por Samuel mediante un crédito bancario, por el cual
debe de pagar $950 durante cuatro años a una tasa del 14,28%
anual, ¿Cuál es valor final del vehículo al final del crédito?

87

Matemáticas Financieras

FONDO DE AMORTIZACIÓN (A/F)
Para obtener el fondo de amortización, se emplea la fórmula:

AF
ª 1 i n 1 1 º
« � 1»
«¬ i »¼

Ejemplo:

Melina compró un terreno en Villamil Playa para construir una casa
para vacacionar, según el vendedor el terreno estará urbanizado den-
tro de 3 años y medio y el avalúo será de $85,000 ya que el incremento
de la plusvalía será del 15.5% anual. Si Melina desea adquirir el terre-
no pagando valores iguales durante el período indicado empezando
desde hoy, ¿Cuál será el valor mensual a pagar?
F=85000
i= 15,5% = 0,155/12 = 0,013
n=3años y medio =42 meses

A 85000
1 0, 013 42 1 1
1
0, 013

A 85000
1, 013 43 1
1
0, 013

A 85000
0, 7426 1
0, 013

A 85000
56,1230

A 1514,53

88

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Ejercicios de aplicación:
Realice el diagrama de flujo y resuelva el siguiente ejercicio:
• ¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada bimestre du-

rante 12 años para acumular $140,000 si la tasa de interés es de
7.44% anual capitalizable bimestralmente?
• Si Ricardo al final de cuatro años de ahorrar mensuales en su
cuenta bancaria que paga un interés del 11,35% anual desea com-
prar un equipo de gimnasio para su casa, ¿con cuánto cuenta al
final de los cuatro años de ahorro?
• Si deseo tener $8,000 al final de cinco años de trabajo, para rea-
lizar un viaje familiar a Cartagena de Indias, ¿Cuánto deberé de-
positar mensualmente en mi institución financiera que paga un
interés del 11,86% anual para poder realizar dicho viaje?

89

Matemáticas Financieras

AUTOCONTROL 3
1) ¿Qué es una anualidad?

2) ¿Cuál es la diferencia entre anualidad vencida y anticipada?

3) ¿Qué se entiende por equivalencia?

4) Realice los diagramas de flujos y luego resuelva los siguientes
problemas:
a) Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante doce pa-
gos uniformes mensuales. Con una tasa del 2% efectivo
para el periodo, hallar el valor de la renta.
b) Si a cierta máquina se le hace una reparación importante
ahora, su rendimiento puede aumentar un 20%, lo que
implicaría un flujo de efectivo adicional de $20,000 anual
durante 5 años. Si i = 15% anual, ¿Cuánto es posible in-
vertir para reparar esta máquina?
c) Suponga que realiza 15 depósitos anuales de $1,000 en
una cuenta bancaria que paga 5% de interés anual. El pri-
mer depósito se hará dentro de un año. ¿Cuánto dinero
puede retirar de esta cuenta bancaria después del deci-
moquinto depósito?
90

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

d) Carlos se entera que su padre ha recibido una pensión anual
de $20,000 durante 20 años, si la tasa de interés se mantuvo
fija a un 6.5% anual, y Pedro desea recibir la misma cantidad
por los siguientes 20 años. ¿Cuánto tendría que depositar hoy
para recibir ese valor anual?

e) Con las utilidades que acabas de recibir tienes la oportuni-
dad de comprar un terreno que según los nuevos planos de
la ciudad, quedará al pie de una autopista, y por este hecho,
dentro de 8 años tendrá un valor de $5,800 a una tasa de 7.5%
¿Cuánto debe ser lo máximo que debes pagar el día de hoy
por ese terreno?

f) Si usted desea comprarse una casa dentro de 5 años, la cual
tiene un precio actual de $28,000. Cuánto tendrá que ahorrar
mensualmente para que al final de los cinco años tenga el di-
nero para comprar la casa, recordando que la plusvalía de la
casa tiene una tasa del 5% anual.

g) Si ahora se depositan $38,500 en una cuenta de ahorros que
devenga 8% anual. ¿Qué monto uniforme anual se puede re-
tirar al final de cada año durante diez años, de manera que no
quede nada en la cuenta después del décimo año?

h) Andrés Pillaguazo de 6 años de edad recibió una herencia por
parte de un tío lejano que falleció. En el testamento se estable-
ció que Andrés puede escoger entre dos opciones la forma de
recibir su dinero: la primera es esperar a cumplir los 18 años y
recibir el único valor de $2’225,000 con una tasa 6% anual, o
recibir pagos anuales uniformes de 186,000 hasta cumplir los
18 años de edad con una tasa del 5%. Usted como su asesor
financiero, ¿Qué opción le recomendaría a Andrés?, ¿Cuál de
las dos opciones representa un mejor monto a la mayoría de
edad de Andrés?

91

Matemáticas Financieras

i) Una persona compra una propiedad en $5000 de enganche y
pagos anuales diferidos de $500 durante 6 años, empezando
dentro de 3 años. ¿Cuál es el valor presente de la inversión si
la tasa de interés es 8% Anual?

j) Usted ha decidido comprar la casa de sus sueños, en una in-
mobiliaria, el costo de la casa es de $45,500 si la compra de
contado, así que decide financiarla con un banco el cual le
da el 80% de dinero para comprarla, ya que usted tiene que
aportar el 20% de entrada, si usted se compromete a pagar
pagos mensuales por los próximos 20 años con una tasa del
8% anual, ¿Cuál es el valor de la casa al cabo de los 20 años?
Y ¿Cuánto terminó pagando usted por su casa al finalizar el
período del préstamo?

k) Un equipo de sonido puede comprarse pagando $60 de pago
inicial y 24 pagos mensuales de $60 cada uno ¿Cuál es el pre-
cio de contado si el interés cobrado es de 32% capitalizable
mensualmente?

l) Usted realiza un préstamo de $58,200 para incrementar la
producción en su empresa, por el cual pagará valores men-
suales iguales durante los próximos 5 años, a una tasa del 7%
anual, pero a la mitad del período de su deuda, usted recibe
una herencia por $10,000 y de este valor usa el 30% para me-
joras en su casa y con la diferencia hace una abono al capital
y refinanciar la deuda para cancelarla al cabo de un año más
con un interés del 6%.
• ¿Cuál es el valor de las primeras anualidades?
• ¿Cuál es la diferencia que existe entre el valor de los pri-
meros pagos y los pagos del último año?
• Al finalizar la deuda, ¿Cuánto terminó pagando por el
préstamo inicial?

92

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

m) Si depositas $ 150 en una cuenta de ahorro al inicio de cada
quincena, durante un año tendrás un monto , pero si depo-
sitas al final de cada quincena, al cabo de un año tendrás un
monto . Si la tasa constante de interés es del (9%), ¿Cuál de los
dos valores es el mayor?

n) La familia Vera deposita $15,000 al inicio de cada semestre en
un fondo de ahorro, cuya tasa de interés es de 10% capitaliza-
ble semestralmente.

• ¿A cuánto ascenderá el monto al cabo de 6 años?
• ¿Cuál sería el monto si los depósitos se llevarán a cabo al

final del semestre?
• ¿De cuánto es la diferencia entre ambos montos?
o) Obtenga el precio de contado de cierta pieza de maquinaria

por la que se hicieron 10 pagos mensuales de $2340 cada uno.
El primer pago fue de inmediato y la tasa de interés de la ope-
ración fue de 18.45% capitalizable cada mes. ¿Cuánto se pagó
por la maquinaria?
p) La prima a pagar por un seguro de accidentes es de $3,580 por
trimestre anticipado. ¿Cuál será el precio de contado del segu-
ro, si la compañía cobra un interés de 20%anual capitalizable
trimestralmente cuando el seguro se paga en abonos trimes-
trales? La prima cubre al vehículo y al conductor por un año.
q) Un televisor LCD cuesta $2,400 de contado, si se lo compra a
crédito mediante seis pagos quincenales iguales, realizándose
el primer pago el día de hoy y la tasa de interés es de 18.8%.
Obtenga el valor del pago quincenal a pagar.
r) En la tienda Barathon se vendió una bolsa de dormir en $3,800.
a crédito en 8 mensualidades anticipadas. Si la tasa de interés
compuesto es de 23% cada mes. Calcule el valor del pago mensual.

93

Matemáticas Financieras

s) Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 duran-
te seis años. Si este documento se cancela con un solo pago de:
A) Al principio
B) Al final
Determinar $A y $B si el interés es del 32% capitalizable tri-
mestralmente.

t) ¿Cuánto debe invertir al inicio de cada quincena una perso-
na que desea un monto de $850,000 en tres años, conside-
rando que la inversión gana 1% mensual capitalizable cada
quincena?

u) Su esposa decide adquirir unos accesorios y equipos para su
hogar, los cuales pagará con su tarjeta de crédito y otra parte
en efectivo. Si compra un televisor LCD de 42” por un va-
lor de $1,250 y lo paga de contado en efectivo, luego compra
una refrigeradora de 12 pies que paga con su tarjeta en FIO-
CARD, difiriéndolo a 12 meses en pagos iguales de $130,con
un interés del 12% anual, luego en otro almacén compra la
secadora y lavadora en un combo, con su otra tarjeta PRES-
TAMECARD donde hará pagos mensuales de $95 por 18 me-
ses, con una tasa de interés de 9% y finalmente se encuentra
con una amiga que le vende sus muebles de sala, por lo que
usted le ofrece pagar en dos partes, dentro de seis y nueve
meses, dos valores iguales de $1,000 cada uno, sabiendo que
el mercado la tasa de interés es del 8%. ¿Cuánto representa el
día de hoy toda esa deuda?

v) Usando la siguiente figura, determine los valores equivalentes
de los flujos de efectivo I, II, III, IV y V para un flujo de efec-
tivo único de $325 al final de 2004, cuando la tasa de interés
es de 9.5% anual.

94

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda
III II

95

Matemáticas Financieras

CAPÍTULO 4

Julio César Méndez Bravo • Manuel Alberto Méndez Bravo
96

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

GRADIENTES
Un gradiente es una serie de flujos de efectivo o anualidades que pue-
den representar ingresos o egresos de efectivo, los cuales pueden au-
mentar o disminuir con relación a la anualidad o flujo de caja anterior,
en una cantidad constante en unidades monetarias o en porcentajes.
Para que una serie de flujos de caja o anualidades sea considerada un
gradiente, deben ser periódicos y tener un ser iguales a la cantidad de
flujos de caja o anualidades.
La diferencia entre una anualidad y gradiente es básicamente el valor
de la anualidad o flujo de efectivo, lo que significa que en los gradien-
tes también se manejan los mismos conceptos que en las anualidades sean
éstas vencidas y anticipadas se mantienen en este capítulo también.

GRADIENTE ARITMÉTICO O LINEAL
Un gradiente aritmético es una anualidad o una serie de flujos de caja
periódica, en la cual cada flujo es igual al anterior, incrementado o
disminuido en un valor constante en unidades monetarias y se simbo-
liza con la letra “G” y se le denomina variación constante.
Si “G” es positivo, se genera el gradiente aritmético creciente.
Si “G” es negativo, se genera el gradiente aritmético decreciente.

97

Matemáticas Financieras

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO O
LINEAL CRECIENTE

Es un valor ubicado en un período determinado, que resulta de sumar
los valores presente de una serie de flujos de caja que aumenta cada
período en una cantidad constante denominada gradiente (G).

El valor A, sería la primera anualidad que estaría después del valor
0 que en la anualidad es el valor presente; el valor A se lo denomina
como la base de la serie gradiente lineal creciente.
El punto 0 (cero) en un gradiente es el valor presente total de la serie
gradiente aritmética o lineal, el cual se calcula a través de la fórmula:

PTG PA PG
Donde:
PA es el presente de la base o de la anualidad
PG es el presente del gradiente.
G es el crecimiento o gradiente el cual se encuentra ubicado dos pe-
ríodos después de donde se localiza el cero de la serie gradiente lineal
o aritmética.

98

Julio Méndez Bravo · Manuel Méndez Bravo · Diana Merchán Galarza · Ernesto Maldonado Ojeda

Para calcular “el valor presente total de la serie gradiente aritmética”
se aplica la siguiente fórmula:

11 n G1 1 nn
ii 1 in
PTG A i

Donde:
PTG “ElPvAalo r pPrGesente total de la serie gradiente
G Variación constante o gradiente
n Número de flujos de caja
i Tasa de interés de la operación
A Valor de la base o anualidad

Para calcular el valor de cualquier flujo de caja en una serie gradiente
aritmética creciente, se usa la siguiente expresión:

Cuotan A n 1 G�

Dónde:
G Variación constante o gradiente
n Número del flujo de caja que se está analizando
A Valor de la base

Cuotan VaAlo r d ne l a1c uGot�a n de la serie gradiente.

99

Matemáticas Financieras

La fórmula para gradiente aritmético de valor presente tiene cinco va-
riables de las cuales se necesitan 4 de ellas para encontrar la restante,
lo que significa que en cualquier problema se puede buscar el resulta-
do de cualquier variable de la fórmula antes planteada.
A continuación se establecerán ejemplos y ejercicios donde se deben
de buscar cada una de las variables, se debe recordar que lo más im-
portante es reconocer qué valor le asignamos a cada variable y en el
momento de despejar la fórmula original hacerlo sin errores para que
el resultado sea el correcto.

BUSCANDO PTG PA PG
Ejemplo
Melina ha comprado nueva maquinaria para aumentar su productivi-
dad, por lo que cancelará 24 pagos mensuales que aumentarán a razón
de $3,500 cada mes, si el pago de la primera anualidad es de $15,200
y la tasa que tiene que pagar es del 2.6% mensual, ¿Cuál es el valor de
la maquinaria?

100