เวทคณิต ขั้นพื้นฐาน

2.3 การคานวณจากซ้ายไปขวา (Calculation from Left to Right)

ก่อนท่ีจะศึกษา “การบวกดว้ ยวธิ ีใชจ้ ุดหรือการบวกดว้ ยการเพ่ิม 1 กบั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ”
ซ่ึงเป็นวิธีที่เหมือนกบั วธิ ีการบวกแบบด้งั เดิมของระหวา่ งตวั ต้งั กบั ตวั บวก แต่แตกต่างกนั ในวิธีการทด
(carry) และวธิ ีการบวก

การทด ทกั ษะในการคิดเลขไดอ้ ยา่ งคล่องแคล่วน้นั ถา้ เรามีการทาเครื่องหมายสาหรับตวั ทดให้
งา่ ย สะดวกและชดั เจนในการจดจา ก็จะสามารถคดิ เลขในใจไดด้ ีและรวดเร็ว โดยเฉพาะเรื่องการทดเลข
น้นั ที่สาคญั ก็คอื การทาเครื่องหมายท่ี ตัวทด (carry figures) ของดาเนินการบวก ของวธิ ีเวทคณิต น้ีไดใ้ ช้
วิธีในการทดที่ตวั ทดมีค่าเทา่ กบั 1 น้นั แทน 1 ดว้ ยจุด ( ) ใหก้ บั ตวั เลขที่อยหู่ ลกั ถดั ไปขา้ งหนา้
หมายเหตุ

การคิดเลขในใจหรือการคิดเลขเร็ว ไมว่ า่ จะเป็นวิธีของเวทคณิต (Vedic Mathematics)
วธิ ีระบบความเร็วทรัชเทน็ เบริกของคณิตศาสตร์ข้นั พ้ืนฐาน (The Trachtenberg Speed of Basic
Mathematics) หรือ วิธีไฮสปี ด แมท ของ เลสเตอร์ มีเยอร์ช (Lester Meyers High-Speed Math) ท้งั สาม
วิธีน้ีไดก้ ลา่ วถึงเทคนิควธิ ีในการทดที่ตวั ทดมีค่าเทา่ กบั 1 น้นั ท้งั สามวิธีน้ีแทน 1 ดว้ ยจุด ( )

และยงั เสนอวิธีการคิดเลขจากซา้ ยไปขวาเพราะมีขอ้ ไดเ้ ปรียบกวา่ การคิด
เลขจากขวาไปซา้ ย ในทานองเดียวกนั ท้งั สิ้น
และ ถา้ หวนกลบั มาพจิ ารณาการคิดเลขจะพบวา่
“ ทาไมเวลาเราคดิ เลขด้วยการบวก ลบ และคูณ เป็ นการคิดจากทางขวาไปทางซ้าย แต่พอเราทา
การหารเลขแล้วเรากลบั ดาเนินการหารจากทางซ้ายไปทางขวา ? ”
น่ีคอื คาถามที่ทาใหฉ้ ุกคิดทาไมเราจึงไม่สามารถดาเนินการหารจากขวาไปซา้ ยไดล้ ะ
ดงั น้นั การคิดเลขเร็วแบบเวทคณิตจึงเสนอใหป้ รับเปลี่ยนเทคนิค
“การคานวณจากซ้ายไปขวา (Calculation From Left to Right)”
สาหรับการบวก การลบและการคูณ
เคนเนธ็ วินเลย่ี ม ( Kenneth Williams)” สอนในโรงเรียน วทิ ยาลยั และมหาวทิ ยาลยั ไดร้ ับเชิญ
ไปยงั หลายประเทศเพอ่ื สอนเวทคณิตและไดพ้ ฒั นาสื่อการสอนและตาราการเรียนรู้เรื่องตา่ ง ๆ เก่ียวกบั
เวทคณิต ซ่ึงมีอยใู่ นเวบ็ ไซต์ Kenneth's Curriculum Vitae น้ี

เคนเนธ็ วินเลยี่ ม
สนบั สนุนส่ิงน้ีคือ “การคานวณจากซา้ ยไปขวา
(Calculation from Left to Right)”
เขาเขียนหนงั สือ WHY DO WE CALCULATE BACKWARDS ?

Left to Right is Better

35

ในหนงั สือของ เคนเนธ็ วินเล่ียม กล่าวไวว้ า่
“ใช่เราคานวณยอ้ นหลงั ! เราอา่ นเขียนและออกเสียงตวั เลขและคาจากซา้ ยไปขวา แต่เราคานวณ

จากขวาไปซา้ ย (เร่ิมตน้ ดว้ ยหลกั หน่วย) สิ่งน้ีไมเ่ พียง แต่ไม่สอดคลอ้ งกนั เท่าน้นั แตย่ งั ไม่จาเป็นอีกดว้ ย
เน่ืองจากการคานวณจากซา้ ยไปขวาน้นั งา่ ยมากดงั ที่แสดงไวใ้ นหนงั สือเลม่ น้ี แต่มีเหตุผลอื่นท่ีชดั เจน
กวา่ ในการทางานจากซา้ ยไปขวาตวั เลขที่สาคญั ที่สุดจะอยทู่ างซา้ ยเสมอดงั น้นั ในการทางานจากดา้ นซา้ ย
เราจะไดต้ วั เลขเหล่าน้ีก่อน และนน่ั หมายความวา่ มีประสิทธิภาพมากกวา่ โดยเฉพาะอย่างยงิ่ สาหรับการ
คานวณคดิ เลขในใจที่รวดเร็ว นอกจากน้ีวธิ ีคานวณจากซา้ ยไปขวายงั ช่วยใหเ้ ราสามารถ รวบการ
ดาเนินการซ่ึงหมายความวา่ เราสามารถคานวณจานวนมากและไดร้ ับตวั เลขคาตอบ ทีละหลกั ตามความ
แมน่ ยาท่ีตอ้ งการได้ ดว้ ยเหตุผลเหล่าน้ีและเหตผุ ลอื่น ๆ จากซา้ ยไปขวาจึงเป็นวิธีท่ีเป็นธรรมชาติ
เหมาะสมและงา่ ยในการคานวณ ไมว่ า่ จะเป็นการพฒั นาทกั ษะการคิดเลขในใจของคุณหรือเพอ่ื ทาความ
เขา้ ใจ ความเรียบง่ายและประสิทธิภาพที่ยอดเยย่ี มของวิธีน้ี หนงั สือเลม่ น้ียงี กล่าวถึง ศกั ยภาพที่จะ
เปลี่ยนวธิ ีการคานวณของคณุ ไปตลอดกาล หนงั สือเล่มน้ีแสดงใหเ้ ห็นวา่ เราคานวณยอ้ นกลบั อธิบายถึง
ขอ้ ดีของการทางานแบบทางเลือกจากซา้ ยไปขวาและแสดงวธิ ีคานวณจากซา้ ยไปขวา”
ในเวทคณติ เวทคณิตเปิ ดโอกาสใหเ้ ราไดม้ ีทางเลือก สารวจและอธิบายการทางานของสูตรต่าง ๆวา่

ทางานอยา่ งไร
เหตผุ ลอนั เนื่องมาจาก การอ่านหนงั สือการเขียนของเราเป็นการดาเนินการจากซา้ ยไปขวา ถา้ เราไดค้ ดิ
เลขการบวก การลบ การคูณและการหาร ดาเนินการจากทางซา้ ยไปทางขวาแลว้ จะทาใหก้ ารคิดเลขมี
ประสิทธิภาพ สามารถคิดเลขในใจไดง้ ่ายรวดเร็วและถูกตอ้ ง การคิดเลขจากทางซา้ ยไปทางขวาเป็นการ
หาส่วนแรกไปหาส่วนทา้ ยของผลลพั ธแ์ ต่ละส่วนก็สามารถบอกคาตอบไดเ้ ลย ยง่ิ ในกรณีที่การคานวณ
น้นั ไมม่ ีการทดตวั เลข (carry figures) เช่นน้ีแลว้ คือเทคนิคในการคิดเลขเร็วและถกู ตอ้ งแมน่ ยา ที่
ไดเ้ ปรียบซ่ึงเราสามารถพฒั นาความคดิ น้ีได้

เหตุผลอีกประการหน่ึงคือระบบการคดิ เลขแบบเวทคณิตที่เราจะศึกษาต่อไป จะเป็นวิธีคิดเลข
ดว้ ยวิธี ท่ีเรียกวา่

“วธิ ีการแยกหลกั ( Digit Separator Method )”
โดยที่แตล่ ะหลกั จะเป็นอิสระต่อกนั ซ่ึงจะไม่มีผลต่อการทดและการยมื สาหรับการคานวณ

น่ีคืองานที่เราสามารถท่ีจะตอ้ งฝึกฝนได้ ในการคานวณและคน้ หาวธิ ีทาใหเ้ กิดความเป็น
ธรรมชาติมากที่สุดของการคิดเลขแบบเวทคณิต ท่ีแตกตา่ งจากวธิ ีด้งั เดิม เพยี งเลก็ นอ้ ย และสามารถท่ีจะ
ศึกษาและอธิบายรายละเอียดได้ ดงั ต่อไป
วธิ ีบวกเลขจากซ้ายไปขวา (Left to Right Addition)

จะทาอย่างไร จึงจะลดการทดเลขสาหรับการบวก ใหง้ า่ ยและรวดเร็วและสามารถคิดในใจได้
ลองพิจารณาตวั อยา่ ง ต่อไปน้ี

36

ตัวอย่างที่ 1 หาผลบวกของ 76 +88 ดว้ ยการบวกจากซา้ ยไปขวา

วิธที า เนื่องจากเลขโดด 2 ตวั บวกกนั ตอ้ งไมเ่ กิน 18 (18 = 9 + 9)

7 6 1. ดาเนินการหาผลบวกจากซา้ ยไปขวา ดงั น้ี เร่ิมท่ีหลกั สิบทางซา้ ย 7 +8 =15

+ เขยี น 15 แยกเป็นเลขโดดเป็นสองส่วน คอื 1 กบั 5 เขียน 1 หอ้ ยไวห้ นา้ 5
88

5 แบบน้ี 15 = 15 โดยเขียนให้ 5 ไวใ้ ตต้ รงหลกั สิบ ส่วน 1 เขียนห้อยไปไวใ้ น

1

หลกั ถดั ไปขา้ งหนา้ (หลกั ร้อย)

76 2. หาผลบวกหลกั ถดั ไปคอื 6 + 8 = 14 = 14 เขยี น 1 ไวใ้ ต้ 5 ของผลบวกใน
+ ข้นั ท่ี 1 ส่วน 4 เขียนในหลกั ถดั ไป ในทานองเดียวกนั กบั ข้นั ที่ 1

88

5 4 =164 สิ้นสุดการบวก แลว้ หาผลบวกแต่ละหลกั จากซา้ ยไปขวา เป็นคาตอบ

11

หมายเหตุ จากตวั อยา่ งที่ 1 จะเห็นไดอ้ ยา่ งชดั เจน เราสามารถหาผลบวกสุทธิจากผลบวกยอ่ ยของแต่ละ

หลกั ได้ และยง่ิ ไปกวา่ น้นั ถา้ ไม่มีการทดแลว้ ก็ยง่ิ สามารถคิดเลขในใจไดร้ วดเร็ว

54

11

=1 6 4

จากตัวอย่างข้างบน พบว่า หลกั ร้อย เท่ากบั 1 หลกั สิบ 5 + 1 = 6
ส่วนหลกั หน่วยเท่ากบั 4 ไม่มีการบวก

ตวั อย่างที่ 2 หาผลบวกของ 5678+ 2468 จากซา้ ยไปขวา

วิธที า 5 6 7 8 1. หาผลบวกจากทางซา้ ย 5+ 2 = 07 แลว้ เขียน 0 หอ้ ยไวห้ นา้ 7

+

2 4 6 8 ส่วน 7 เขยี นไวข้ า้ งใตใ้ หต้ รงกบั หลกั พนั ท่ีหาผลบวกน้นั

7

0

5 6 7 8 2. หาผลบวก 6+ 4 =10 เขียน 1 ไวใ้ ต้ 7 ส่วน 0 เขยี นไวใ้ นแถวกบั 7

+ ของผลบวกข้นั ท่ี 1 แต่เขยี นไวต้ รงใต้ หลกั ร้อยท่ีหาผลบวกน้ี
2468

70

01

5 6 7 8 3. หาผลบวก 7 + 6 =13 เขียน 1 ไวใ้ ต้ 0 ส่วน 3 เขียนไวต้ รงใต้

+

2 4 6 8 หลกั สิบท่ีหาผลบวกน้ี

7036

01 1 1

814 6

37

5 6 7 8 4. หาผลบวก 8+8 =16 เขียน 1 ไวใ้ ต้ 3 ส่วน 6 เขียนไวต้ รงใต้

2 4 6 8 หลกั หน่วยท่ีหาผลบวกน่ี
7 0 3 6 แลว้ หาผลบวกแตล่ ะหลกั จากซา้ ยไปขวา

01 1 1

8 1 4 6 “ดว้ ยวธิ ีครบสิบและไม่ครบสิบ” แตเ่ น่ืองจากการบวกจากซา้ ยไปขวาแต่
ละหลกั ไมม่ ีการทดจึงสามารถหาคาตอบไดร้ วดเร็ว

ตอบ 5678+ 2468 = 8146
ตรวจความถูกตอ้ งของคาตอบ ดว้ ยวิธียนั ความถกู ตอ้ ง “คดั ออกเกา้ ”

5678 + 2468 = 8146 → 8 + 2 =10 →1

ตัวอย่างที่ 3 หาผลบวกของ 98565678+ 48902468 และแสดงการยนั ความถูกตอ้ ง

วิธที า ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

98565678 + →0
48902468 +

5

1 3 6 4 6 7 0 3 6 = 147468146 5
1100111

ตวั อย่างที่ 4 หาผลบวกของ 1567896869 +85372807

วธิ ที า ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

15 6 7 8 9 6 8 6 9 →2
+ +

85372807 4

1 5 4 2 1 6 8 6 6 6 = 1653269676 6
1 1 1101 0 1

หมายเหตุ

การกาหนดการเขียนผลลพั ธ์การคานวณขา้ งตน้ โดยการเขียนตวั ห้อย และการเขียนผลลพั ธ์ให้

ตรงกบั ตาแหน่งของตวั ต้งั กบั ตวั ที่นาไปกระทาการคานวณน้นั

มีความจาเป็นต่อระบบการคิดเลขเร็วและความแมน่ ยาในการคานวณ การบวก การลบ การคณู และการ

หาร หรือการยกกาลงั สอง กาลงั สาม การถอดรากที่สอง การถอดรากท่ีสามเป็นตน้

ดงั น้นั ผทู้ ่ีศึกษาวธิ ีคดิ เลขเร็วแบบวธิ ีเวทคณิต พึงระมดั ระวงั การแสดงวิธีทาใหถ้ กู ตอ้ งตามหลกั

วธิ ีการเขียนที่กลา่ วมาขา้ งตน้ จะทาใหไ้ มข่ ดั แยง้ กบั ระบบการคิดเลขเร็วที่จะเรียนรู้ต่อไปขา้ งหนา้

38

2.4 ลาดบั การดาเนนิ การทางคณิตศาสตร์ (PIMDAS)

วิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพวิ เตอร์น้นั การดาเนินการคิดคานวณเคร่ืองหมายทางใน

คณิตศาสตร์น้นั ลาดบั ก่อนหลงั การดาเนินท่ีสาคญั ไดแ้ ก่ การบวก (+) การลบ (−) การคณู () การ

หาร () วงเลบ็ () ปี กกา {} และเลขยกกาลงั ( (an ) เป็นตน้

เม่ือการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์น้นั มีการดาเนินการไดห้ ลายแบบและอาจทาใหไ้ ดค้ าตอบท่ีไม่

ตรงกนั ในการดาเนินการแตล่ ะคร้ัง จึงเป็นที่มาของ

ข้อตกลงร่วมกันในนกั คณิตศาสตร์ทวั่ โลก

ว่าลาดบั ของการดาเนินการต้องเป็ นความเข้าใจทต่ี รงกนั

เพอื่ ใหก้ ารแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ท่ีมีการดาเนินการมากกวา่ หน่ึงการกระทาเป็นไปไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง

ไม่เช่นน้นั คาตอบท่ีไดจ้ ะผิดเพ้ียนไป

การดาเนินการตอ้ งเป็นไปตามกฎพมิ ดาส (PIMDAS) หรือกฎเบดแมส (MEDMAS) พ้ืนฐานที่

สาคญั คือตอ้ งดาเนินการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์จากซา้ ยไปขวา เริ่มตน้ จาก วงเลบ็ (brackets or

parenthesis) เลขยกกาลงั (exponents) การคณู (multiplication) การหาร (division) การบวก (addition)

และการลบ (subtraction)

ตามข้นั ตอนดงั ต่อไปนี้

ข้นั ตอนท่ี 1 ดาเนินการคานวณในส่วนที่อยใู่ นวงเลบ็ ก่อน (... )

ข้นั ตอนที่ 2 ตามมาดว้ ยดาเนินการคานวณในส่วนท่ีเป็นเลขยก

กาลงั หรือราก [ an หรือ n a ]

ข้นั ตอนท่ี 3 จากน้นั ดาเนินการในส่วนที่เป็นการคณู และหาร

ท้งั หมด ( / ) โดยคานวณซา้ ยไปขวา

ข้นั ตอนท่ี 4 ดาเนินการคานวณสุดทา้ ยเสมอคือการบวกและ

การลบ ท้งั หมด (+ / −) ในทานองเดียวกนั คานวณจากซา้ ยไป

ขวาเช่นกนั

https://www.pngitem.com/middle/hbxxhib_bodmas-and-pemdas-operations-diagram-pemdas-or-

bodmas/

ตัวอย่างที่ 1 หาคา่ ของ 23 – 3    (8 − 6)

วธิ ที า 23  – 3    (8 − 6) = 23  – 3    (2) หาค่า 8− 6 = 2 ในวงเลบ็ ก่อน

= 8 – 3    2 ถดั มาคานวณเลขช้ีกาลงั 23 = 8

= 8 – 6 ดาเนินการหาผลคูณ

= 2 ดาเนินการลบเป็นข้นั สุดทา้ ย

39

ตัวอย่างท่ี 2 หาค่าของ
(1) 8  +  9  –  7 = (8  +  9)  –  7 =17 − 7 =10
(2) 1513+ 2516 = (1513) + (2516) =195 + 400 = 595
(3) 25 −10 + 9 = (25 −10) + 9 = 24
(4) (169)  15 = 144  15 = 2160
(5) 12 + (6  2) = 12 + (3) =15
(6) 21 + 4  12 = 21 + (4  12) = 21+ 48 = 69
(7) 16  2 + 3 = (16  2) + 3 = 8 + 3 =11
(8) 12  2  (8  2) = 12  2  (4) = (12  2)  4 = 64 = 24
(9) 8  2  24 = (8  2)  24 =4 24 = 96
(10) 20 + (12  19) =20 + 228 = 248
(11) 3+ 6 2 = 3+ (62) = 3+12 =15
(12) (3+ 6)2 = 92 =18
(13) 12 63 2 = (12  6)3 2 = 23 2 = 6  2 = 3
(14) 7 + (6  52 + 3) = 7 + (6  25+ 3) = 7 + (150 + 3) = 7 + (150 + 3) = 7 +153 =160
ตัวอย่างที่ 3 นาย ก โยนวตั ถุข้ึนตรงไปบนทอ้ งฟ้าดว้ ยความเร็ว 20 เมตรต่อวินาที จงหาวา่ ณ วนิ าที่ 20

วตั ถอุ ยสู่ ูงจากเขาเท่าไร

วธิ ีทา นาย ก ใชส้ ูตรท่ีมีผลจากแรงโนม้ ถ่วงของโลก ดงั น้ี

ส่วนสูง = ความเร็ว  เวลา (วนิ าที) − 1  9.8  วนิ าที 2
 2 

เขาแทนค่า ความเร็ว = 20 เมตรตอ่ วินาที และ วนิ าที 20 ได้

ส่วนสูง = 20  2 − 1  9.8  22
 2 

ข้นั ต่อไปน้ีคอื การคานวณ จะพบวา่ สมการขา้ งบนตามกฎพิมดาส (PIMDAS)

เริ่มตน้ ที่ วงเลบ็ : ส่วนสูง = 20  2 − (0.5)  9.8  2 2

และแลว้ ก็ เลขช้ีกาลงั : ส่วนสูง = 20  2 − (0.5)  9.8  4

ข้นั ต่อไปคือการคูณ ส่วนสูง = 40 − 19.6

สิ้นสุดท่ีการลบ ส่วนสูง = 20.4 เมตร

40

2.5 การบวกด้วยวิธีใช้จดุ (Addition Using Dot Method)
หรือการบวกด้วยวิธีการเพม่ิ 1 ให้กบั ตัวเลขท่ีอยู่ถัดไปข้างหน้า

ในเวทคณิตการบวกน้ีใช้
สูตรที่ 1 เอกาธเิ กนะ ปรู เวณะ
ซ่ึงหมายถึงการเพิ่มหน่ึงใหก้ บั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้
( )Ekādhikena Pūrveṇa mean By one more than the one before
ความหมายในภาษาสันสกฤต
เอก ค. เอก หน่ึง เดียว ( one)
อธิก ค. เกิน มาก มากกวา่ เหนือ เพ่ิมเขา้ มา ( more)
ปูรฺวฺว ค. ก่อน ประถม แรก (before)
ปูรเวณ ก.ว. แรก ก่อน (Purvena – before )

การบวกด้วยวิธีการเพมิ่ 1 ให้กบั ตัวเลขท่ีอย่ถู ดั ไปข้างหน้า

ศึกษา ลองพิจารณา การบวกเลข 458+ 749 ขา้ งลา่ งน้ีดว้ ยวิธีดง่ั เดิม

111

458
+

749

1 207

ต่อไปนีเ้ ราจะศึกษาการบวกเลข 458+ 749 ด้วยวธิ ีเวทคณิตเป็ นการบวกด้วยวธิ ใี ช้จุด
น้ีกค็ ลา้ ยกบั วธิ ีด้งั เดิม เพยี งแตแ่ ทนการทด 1 ดว้ ย จดุ ( ) บนตวั เลขที่อยหู่ ลกั ถดั ไปขา้ งหนา้ เพื่อแสดง
ถึงการเพ่มิ ดว้ ย +1 (1 = ) ที่ตวั เลขหลกั ขา้ งหนา้ น้ี ดว้ ยเหตุเช่นน้ีเวลาบวกเลขของแต่ละหลกั ของ
ตวั ต้งั และตวั บวก ผลบวกของแต่ละหลกั จะไม่เกนิ เก้า (9) น่ีคือเหตผุ ลที่กลา่ วมาแลว้ ขา้ งตน้

การคดิ เลขจากซ้ายไปขวา (Calculation From Left to Right)
และ ระบบวิธกี ารคดิ เลขแบบวธิ ีการแยกหลกั (Digit Separator Method)
ระบบการคดิ เลขของเวทคณิตน้นั เป็นระบบวธิ ีการคดิ เลขแบบวธิ ีการแยกหลกั ท่ีจะช่วยใหค้ ิด
เลขไดเ้ ร็วและลดโอกาสท่ีจะผิดพลาดเพราะแต่ละหลกั จะไดผ้ ลลพั ธ์เป็นเลขโดด (Digital) โดยที่แตล่ ะ
หลกั จะเป็นอิสระตอ่ กนั ดงั น้นั “การทดจึงไม่มีผลตอ่ การบวก”
จากตวั อย่างข้างต้นท่แี สดงถึงการบวกของ 458+ 749 ด้วยวธิ ีการแบบดงั เดิม
ทนี ลี้ องมาพจิ ารณาการบวกด้วยวิธีใช้จดุ (Addition Using Dot Method) แบบเวทคณิตเป็ นดังนี้

458
+

749

41

ข้นั ตอนการคดิ
1. สารวจตวั เลขแต่ละหลกั จะเร่ิมจากซา้ ยไปขวา หรือ ขวาไปซา้ ยก็ได้ ถา้ พบวา่ ผลบวกตวั เลขหลกั ใด
มากกว่า (9) ใหใ้ ส่จุด ( ) บนตวั เลขที่อยหู่ ลกั ถดั ไปขา้ งหนา้
ในตัวอย่างนี้ พบว่า หลกั หน่วย 8+ 9  9 ใหใ้ ส่จุด ( ) บนตวั เลข 5 (5 = 6) ท่ีหลกั สิบ

หลกั สิบ 5+ 4  9 ใหใ้ ส่จุด ( ) บนตวั เลขหลกั ร้อยคือ 4 = 5
หลกั ร้อย 4+ 7  9 ในทานองเดียวใหใ้ ส่จุด ( ) บนตวั เลขหลกั ถดั ไปขา้ งหนา้ แต่
ไมม่ ีตวั เลขปรากฎอยู่ ซ่ึงท่ีจริงเป็นตาแหน่งของเลขหลกั พนั ใหเ้ ขียนจุด ( ) ลอย ๆ ขา้ งบนแถวเดียวกนั
กบั จุด ( ) ท่ีเขียนมาแลว้ ขา้ งตน้
2. ดาเนินการบวกเลขแต่ละหลกั จากซ้ายไปขวา
ด้วยการนาวิธี “การบวกด้วยการจดั กล่มุ ให้ครบสิบและกลุ่มไม่ครบสิบ” ท่ีกลา่ วมาแลว้ ขา้ งตน้

458
+

749

1

เนื่องจากมีจุด ( ) เขียนอยู่ที่หลกั พนั แสดงวา่ ตวั เลขท่ีหลกั พนั คือ 1 เขยี น 1 ในช่องหลกั พนั ของ คาตอบ
จากน้นั ก็ดาเนินการบวกในหลกั ถดั ไปทางขวา

458
+

749

12

หลกั ร้อย 4+ 7 = 5 + 5 + 2  9 จะเห็นไดว้ า่ 5+5 ครบสิบแลว้ คดั สิบออกไดเ้ ลย เศษเหลือจาการคดั
สิบออก คือ 2 นา 2 ใส่ในช่องหลกั ร้อยของคาตอบ
น่ี ! คือระบบวธิ กี ารคดิ เลขแบบวิธีการแยกหลกั (Digit Separator Method) ท่ีจะช่วยใหค้ ดิ เลขไดเ้ ร็วและ
ลดโอกาสที่จะผิดพลาดสูง

458
+

749

1 20

หลกั สิบ 5+ 4 =10 10 พบวา่ ผลบวกลงทา้ ยดว้ ยศนู ย์ (0) นา 0 ใส่ในช่องหลกั สิบของคาตอบ

458
+

749

1 207

42

หลกั หน่วย 8+ 9 = (7 +1) + 9 = 7 +10  9 คดั 10 ออกเศษเหลือ 7

นา 7 ไปใส่ที่หลกั หน่วยของคาตอบ

ดงั น้นั 458+ 749 =1207

แต่ ยังไม่ใช่ข้นั สุดท้ายของการคานวณ ยงั ตอ้ งตรวจสอบความถกู ตอ้ งดว้ ยการยนั ความถูกตอ้ ง

คดั ออกเกา้ คดั ออกสิบเอด็

458 8 8−5+4 =7
+ 9−4+7
+ +
749
2 = 12

1 2 0 7 →1 1 7 −0+ 2−1= 8 19 = 9−1= 8

แสดงผลการคานวณน้ันถูกต้อง 4328 + 3165

ตัวอย่างที่ 1 หาผลบวกของ 4328 + 3165 ในกรณีน้ีคือ

วิธีทา ข้นั ตอน

1. เขียนตวั เลขของแตล่ ะหลกั ของสองจานวนให้ตรงกนั

เนื่องจากเวทคณิตเสนอการคิดเลขจากซา้ ยไปขวา 4328 +

ดังน้นั ใหส้ งั เกตวา่ ตวั เลขในแต่ละหลกั มีผลบวกครบสิบหรือไม่ 316 5

ถา้ ครบสิบ ใหใ้ ส่จุด ( ) ไวบ้ นตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ 7493
ในที่นี้ มีอยหู่ ลกั เดียว คือหลกั หน่วย (8+ 5  9 ) ใหใ้ ส่จุด ( )
ไวบ้ นตวั เลข 2 ซ่ึงอยทู่ ่ีหลกั สิบ ที่ถดั ไปขา้ งหนา้
2. ดาเนินการเขียนคาตอบไดเ้ ลย โดยหารผลบวกแต่ละหลกั จากซา้ ยไปขวา

(4 + 3 = 7), (3+1 = 4), และ (2+ 6 = 9)

เพราะผลบวกตวั เลขแต่ละหลกั ไมเ่ กินมากกวา่ สิบ (10) มีแต่ฉะเพาะที่หลกั หน่วย 8+ 5  9

ใหค้ ิดการบวกดว้ ยวธิ ีการจดั กลุ่มใหค้ รบสิบและกลมุ่ ไมค่ รบสิบ

วธิ ีกค็ อื 8 ดึง 2 มาจาก 5 (8+5 = 8+ 2 +3) เพอื่ ใหไ้ ดค้ รบสิบ (8+ 5 = (8+ 2) + 3)

ส่วนเศษเหลือ 3 ก็จะไดเ้ ป็นคาตอบของหลกั หน่วยน้นั เลย

จากตัวอย่างท่ี 1 เม่ือหาผลบวกของ 4328 + 3165 = 7493 จะตอ้ งยนั ความถกู ตอ้ ง

วิธีทา คดั ออกเกา้ คดั ออกสิบเอด็

4328 → 8 8−2+3−4= 5 +
+ + 5− 6 +1−3 = −3
316 5
→ 6 +2
−2 →5 →
14 → 5 3−9 + 4 − 7 = −9 = −9 → −9 +11 = 2
7 493

43

ข้อสังเกตุ
การบวกเลขจากซา้ ยไปขวาในกรณีที่ผลบวกหลกั น้นั มีคา่ เกินเกา้ (9) และการใส่จุดบนตวั เลข

ของหลกั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของหลกั น้นั จากน้นั ก็หาผลบวกตวั เลขแต่ละหลกั จากซา้ ยไปขวา ผลบวก
ของตวั เลขแตล่ ะหลกั เป็นตวั เลขตวั เดียว ถา้ ครบสิบ (10) ใหใ้ ส่ ศนู ย์ (0) แต่ถา้ เกินสิบ (10) ใหค้ ดั สิบ (10)
ทิ้ง เศษเหลือท่ีไม่ครบสิบ (10) ก็จะเป็นคาตอบของหลกั น้นั ๆ

ท่ีเป็ นเช่นนี้ เพราะเราใส่จดุ ให้กบั หลกั ท่ีอย่ถู ัดไปข้างหน้าน้นั
ในเร่ืองน้ีมีเอกสารอา้ งอิงของผอู้ านวนการองคก์ ารน่าซ่ายกยอ่ งวา่ คนอินเดียคิดเลขเป็นระบบ
ดิจิทลั มานานแลว้

เช่น 5 + 5 = 6 + 4 = 7 + 3 = 8+ 2 = 9 +1= 0

5+6 = 7 + 4 = 8+3 = 9+ 2 =1

5+7 = 6+6 =8+4 = 9+3= 2

5+8 = 6+7 = 9+4 = 3

5+9 = 6 +8 = 7 + 7 = 4 เป็ นการบวกแบบลกั ษณะเฉพาะ

ตัวอย่างท่ี 2 หาผลบวกของ 796+876

วธิ ีทา 7 9 6 สังเกต ผลบวกของตวั เลขแต่ ๆ หลกั มีผลบวกเกิน 9 หรือไม่

+ ถา้ มีใหใ้ ส่จุดเหนือตวั เลขหลกั ถดั ไปของตวั ต้งั แลว้ หาผลบวก

876

แตล่ ะหลกั จากหลงั ทางซา้ ยสุดไปทางขวา

วธิ หี าผลบวกแต่หลกั น้นั เนื่องจากการใส่จุดไวบ้ นเหนือตวั เลขถดั ไปขา้ งหนา้ น้นั แลว้ แสดงวา่ เรามีการ

ทดไปแลว้ จึงผลลพั ธ์ตวั เลขสองตวั เมื่อครบสิบแลว้ ก็คดั สิบออก ส่วนเศษเหลือจะเป็นโดดตวั เดียวใส่ใน

ช่องเป็นคาตอบ ณ หลกั น้นั ๆ

7 9 6 ในทีน่ ี้ พบวา่ หลกั หน่วย หลกั สิบและหลกั ร้อยทกุ หลกั ผลบวกมากกวา่ 9

+ จึงใส่ ( ) ไปยงั หลกั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ คือ หลกั สิบ หลกั ร้อย และ

876

167 2 หลกั พนั จากน้นั หาผลบวกจากหลกั ทางซา้ ยไปทางขวา

จองไปท่ี หลกั พนั พบวา่ มีจุดอยู่ ดงั น้นั หลกั พนั ใส่ 1 บนช่องหลกั พนั ของคาตอบ

หลกั ร้อย พบวา่ +7 +8 =16 (ครบสิบ) คดั 10 ทิง้ เหลือเศษ 6 เป็นคาตอบในช่องหลกั ร้อย

หลกั สิบ พบวา่ +9 =10 เหลือ 7 พอดี ใส่ 7 เป็นคาตอบ ณ หลกั หลกั สิบ

และ หลกั หน่วย พบวา่ 6+ 6 =12 คดั 10 ทิง้ เหลือเศษ 2 เป็นคาตอบในช่องหลกั หน่วย

แลว้ อ่านคาตอบจากซา้ ยไปขวา 1672 (หน่ึงพนั หกร้อยเจด็ สิบสอง)

44

ตรวจสอบคาตอบยนั ความถูกต้อง คดั ออกสิบเอด็
คดั ออกเกา้

796+ → 4 6 −9 + 7+= 4
→ 6−7+8 = 7
876 +
3

1 6 7 2 →7 → 7 2−7 + 6−1= 0 11 → 0

ตัวอย่างที่ 3 เป็นตวั อยา่ งจาก เวปไซต์

https://www.learnpick.in/prime/documents/notes/details/2429/addition-the-most-basic-operation-
through-vedic-tricks-

45

ดงั ที่กล่าวมาแล้วข้างต้นนั้น ในทางปฏิบัติแล้วการบวกด้วยวิธีใช้จุด
(Addition Using Dot Method) หรือการบวกเลขด้วยวิธีการเพิ่ม 1 กบั ตัวเลขท่ีอย่ถู ัดไปข้างหน้า สามารถ
ได้แก้ปัญหาเกีย่ วกบั จานวนของหน่วยการวัด (เช่น หน่วยการวัดกิโลเมตร เมตร เซนติเมตร) หน่วย
เงินตรา (บาทและสตางค์) นา้ หนกั (กิโลกรัม-กรัม) ความจุ (ลิตร-มิลลิลิตร) เวลา (ชั่วโมง นาที วินาที)
ทศนิยม เป็นต้น
ตวั อย่างท่ี 4 การหาผลบวกระยะทางดงั ตารางขา้ งลา่ งน้ี

กิโลเมตร เมตร เซนติเมตร กิโลเมตร เมตร เซนติเมตร

225 565 48 0225 565 48

1235 385 75 → 1235 385 75
798 890 65 890 65
1156 639 94 0798 639 94
391 97 79 115 6 097 79
0 3 91

3807 579 61

หมายเหตุ จากตวั อยา่ งท่ี 3 เป็นการตอบคาถามไดด้ ีวา่ “ทาไมการบวกเลขวธิ ีของเวทคณิตจึงใชส้ ูตร

เอกาธิเกนะ ปรู เวณะ หรือการบวกดว้ ยวธิ ีการเพม่ิ 1 ใหก้ บั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ”

ตวั อย่างที่ 5 หาผลบวกของ 234 + 403 + 564 + 721

วธิ ีทา 234 + 403 + 564 + 721 ยนั ความถกู ต้อง (คดั ออกเก้า)

0234 0

0403 7

0564 6

07 21 1

ตอบ 1 9 2 2 5

ดงั น้นั 234 + 403+ 564 + 721=1922 เป็ นคาตอบ

ตวั อย่างที่ 5 หาผลบวกของ 78924 + 27272 + 72684

วธิ ีทา ยันความถกู ต้อง (คดั ออกเก้า)

078924 3

027272 2

072684 0
5
−2

1 7 8880

ดังน้นั 78924 + 27272 + 72684 =178880

46

2.6 การบวกด้วยการใช้ขบวนการศุทธิการัน (Addition Using Sudhikaran process)
การบวกดว้ ยวิธีใชจ้ ุด (Addition Using Dot Method) เป็นการบวกที่แทนการทด 1 ดว้ ยจุด

( ) ใหก้ บั ตวั เลขที่อยหู่ ลกั ถดั ไปขา้ งหนา้
จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ วธิ ีการน้นั เหมือนวิธีด้งั เดิม ในเวทคณิตยงั มีการบวกดว้ ยขบวนการศุทธิการัน

(Sudhikaran process) โดยการบวกต่อเน่ืองในแตล่ ะหลกั น้นั เม่ือครบสิบก็ใส่จุดบนตวั เลข ณ หลกั น้นั
แลว้ นาเศษเหลือจากการครบสิบไปบวกกบั ตวั เลขถดั ไปในหลกั น้นั เป็นเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ จนตวั เลขตวั
สุดทา้ ยของหลกั น้นั เศษเหลือท่ีไม่ครบสิบ นาไปใส่ในช่องคาตอบของหลกั น้นั ๆ

การดาเนินการบวกก็เช่นเดียวกบั การดาเนินการบวกดว้ ยวิธีใชจ้ ุดแต่ไมน่ าจดไปใส่บนตวั เลข
ถดั ไปขา้ งหนา้ ในเวทคณิตเรียกวธิ ีการบวกแบบน้ีวา่ การบวกดว้ ยขบวนการศุทธิการัน
http://vedic-solutions.blogspot.com/2008/09/addition-and-subtraction-addition-in.html

หมายเหตุ ศทุ ฺธิกร adj. correcting
https://kosha.sanskrit.today/word/en/shuddhikara/th
ตวั อย่างท่ี 5 หาผลบวกของจานวนต่อไปน้ี 379 +854 + 767 + 426
วธิ ีทา เขยี นตวั เลขแตล่ ะหลกั ของแต่ละจานวนใหต้ รงกนั ตาแหน่งต่อตาแหน่ง

37 9 37 9 37 9
854 854 8 54
76 7 76 7 767
426 426 426
26 242 6
6

ตัวอย่างที่ 7 หาผลบวกของจานวนต่อไปน้ี 78924+ 27272+ 99999+ 72672
วธิ ที า เขยี นตวั เลขแต่ละหลกั ของแต่ละจานวนใหต้ รงกนั ตาแหน่งตอ่ ตาแหน่ง

7892 4 789 24
2727 2
9999 9 2727 2
726 7 2 99999

67 726 7 2
278867

47

1

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 3 หาผลบวกของของจานวนต่อไปน้ี ดว้ ยวิธีการดาเนินการบวกจากทางซา้ ยไปทางขวา

1. 2 7 2) 6 1 3) 4 8

+ + +
58 77
52

4. 6 5 7 5. 4 3 8 6. 2 1 8

+ + +
156 956 743

7. 6 5 7 8 8. 4 5 9 9 + 9. 3 9 2 6

+ 7422 +
1562 9485

10. 4 5 7 9 1 11. 4 4 5 6 7 + 12. 9 7 6 6 9 +

+ 99260 7878 9
88776

48

แบบฝึ กหัดชุดที่ 4 การบวกดว้ ยวิธีการเพม่ิ 1 ใหก้ บั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้
1. หาผลบวกของของจานวนตอ่ ไปน้ี ดงั แสดงในตวั อยา่ ง

1) 7 + 8 = 15 = 5 2) 4 + 5 = 9 3) 7 + 5 = 2
6) 5+8
4) 8+ 6 5) 8+ 9 9) 5+ 9

7) 4 + 6 8) 7 + 9 3) 4 8

2. จงหาผลบวกของของจานวนต่อไปน้ี +

1) 3 7 2) 6 5 99

+ +

23 5 9

60 12 4 14 7

4) 6 5 7 5) 4 3 8 6) 2 1 8 +

+ + 743
156 956

7) 6 5 7 8 + 8) 4 5 9 9 + 9) 3 9 2 6 +

1562 7422 9485

10) 6 5 7 8 1 + 11) 8 4 5 5 9 + 12) 9 9 2 6 0 +

75639 98462 94859

13 4 5 7 8 7 14) 4 4 5 5 9 15) 9 7 6 6 9

88787 25787 69788

24 5 6 7 + 84559 + 99260 +

85908 65781 45893
75639 98462 94859

16) 6 5 7 8 1 17) 8 4 5 5 9 18) 9 9 2 6 0

99798+ 6 5 7 8 1+ 75777 +

25787 84559 45899
75639 98462 94859

49

19) 4 5 7 8 7 20) 4 4 5 5 9 21) 9 7 6 6 9

777 69788 84559
4870
69788 + 59768 +
+
8787 25787
75777 84559 9088
75639 98462 88787

859

22) 4 5 7 8 7 23) 4 4 5 5 9 24) 9 7 6 6 9

75777 69788 84559
59768 99088 97669

25787 + 88787 + 88888 +

768 65781 84559
88787 25787 69788
97669 65781 45787
98462 94859
75639

25) 4 5 7 8 7 9 26) 5 5 9 7 27) 9 7 6 6 9 7 9

757775 845595 69788
697885 97687 84870679
69788690
787 257875
756399 98462 5 494859

50

2.7 การบวกด้วยสูตรศุทธะ

การบวกดว้ ยสูตรศุทธะ เป็นเอกลกั ษณ์เฉพาะของการคดิ เลขเร็วในเวทคณิต เม่ือดาเนินการบวก
การลบ การคณู และการหาร ส่วนใหญ่แลว้ เป็นเร่ืองธรรมดาในระบบวิธีคิดแบบด้งั เดิม

แตใ่ นเวทคณิตท่ีจะศึกษาการลบ การคูณและการหารในบทตอ่ ๆ ไปน้นั จะมีเทคนิคหลากหลาย
ในการคดิ เลขเร็ว จึงจาเป็นตอ้ งมีรูปแบบเฉพาะของการบวกใหส้ อดคลอ้ งกบั การดาเนินการกระทาท่ีจะ
ศึกษา ต่อไปขา้ งหนา้
รูปแบบเฉพาะของการบวกดว้ ยสูตรศทุ ธะ จากความหมายของ

คา “ศุทธะ” หมายถงึ บริศุทธ์ ถกู ต้อง

นนั่ คือเป็ นการแยกหหา ผลบวกสุทธิของแต่ละหลกั โดย ไม่เกย่ี วข้องกนั ก่อนจนครบทุกหลกั

แล้ว จึงจะมาหาผลลพั ธ์สุทธิ ในข้นั สุดท้าย เป็ นคาตอบของการบวกน้ัน

ดังตวั อย่างในการหาผลบวกด้วยสูตรศุทธะ นี้

ตัวอย่างที่ 1 หาผลบวกของ 48+165 48 +165
วธิ ีทา ข้นั ตอน 0 48
1. จดั ตาแหน่งแตล่ ะหลกั ของสองจานวนให้ตรงกนั 1 65

ใส่ 0 ในกรณีท่ีจานวนน้นั มีตวั เลขไม่ครบหลกั

ขีดเส้นคน่ั แตล่ ะหลกั

2. หาผลบวกแตล่ ะหลกั ถึงแมว้ า่ ผลบวกแต่ละหลกั มากกวา่ ในกรณีน้ีคือหาผลบวกสุทธิแต่ละหลกั
หรือเท่ากบั 10 ก็ใส่ผลลพั ธข์ องแตล่ ะหลกั ไปก่อน
0 48
1 65

หลกั หน่วย 8+5 =13 หลกั สิบ 4 + 6 =10 1 10 13

หลกั ร้อย 0 +1=1
3. เน่ืองจากแต่ละหลกั จะตอ้ งเป็นตวั เลขโดดเพียงตวั เดียว

ดงั น้นั จากการหาผลบวกแตล่ ะหลกั ขา้ งตน้ จะตอ้ งมีขบวนการหาผลลพั ธ์ ตอ่ โดยนาค่าที่
มากกวา่ หรือเทา่ กบั 10 ของหลกั น้นั ๆ ไปบวกกบั หลกั หน่วยหรือหลกั สิบของหลกั ท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้
ดาเนนิ การเช่นนี้ จนครบทกุ หลกั ก็จะไดผ้ ลลพั ธส์ ุทธิ

เป็นข้นั สุดทา้ ยของการบวกเลขสองจานวนที่กาหนดใหน้ ้นั
ในกรณีนี้ กค็ ือท่ีหลกั หน่วย ยงั มีคา่ เป็น 13 จะตอ้ งนา 1 ไปบวกกบั หลกั หน่วยของของหลกั ที่อยถู่ ดั ไป
ขา้ งหนา้ คือ

1, 10, 13 = 1, 11, 3
ในทานองเดียวกนั
ที่หลกั สิบ 11 จะตอ้ งนา 1 ไปบวกกบั หลกั หน่วยของของหลกั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ คือ

1, 11, 3 = 2, 1, 3 = 213

51

หรืออาจจะทาเป็นรูปผลสาเร็จไดเ้ ลย
1, 10, 13 = 2, 1, 3 = 213 จึงจะสิ้นสุดขบวนการบวก

นอกจากนี้ ในเวทคณิตจะมีการเขยี นจานวนในรูปแบบต่าง ๆ
เช่น จานวน 142 ของระบบฐานสิบ จะมีการเขียนอยใู่ นรูป

1 4 2 หรือ 1/ 4 / 2
แต่ก็มีหนงั สือบางเลม่ แบง่ กม็ ีการเขียนในรูปแบบ [1, 4, 2] อยา่ งน้ีก็มี
ซ่ึงมีความหมายเช่นเดียวกนั ในระหวา่ งการคานวณ
และ เป็นไปไดท้ ี่บางจานวนในระหวา่ งการคานวณ อาจจะแบง่ จานวนที่คานวณอยนู่ ้นั ใหอ้ ยใู่ นรูปแบบ

1, 24,3
ซึ่งจานวนนเี้ ม่ือพจิ ารณาแล้วยงั ไม่ใช่ค่าทแี่ ท้จริง
ใน ภาษาสันสกฤตเรียกว่า “อศุทธะ (Asuddha = impure)”
เพราะ หลกั หน่วยคอื 3 หลกั สิบคือ 24 หลกั ร้อยคือ 1 จะตอ้ งทาใหต้ วั เลขของแต่ละหลกั มีค่าเพยี งต
ดงั น้นั จานวนน้ีจะตอ้ งมีขบวนการหาคา่ แทจ้ ริง
ใน ภาษาสันสกฤต เรียกว่า “ศุธกิ ารัน (Suddhikaran = pure)”
ดว้ ยการที่ตอ้ งยดึ หลกั ที่วา่ ดว้ ยตวั เลขแตล่ ะหลกั ตอ้ งเป็นเลขโดดเพียงตวั เดียว
ดังน้นั 1, 24,3 = 1+ 2, 4,3 = 343
หรือวธิ ีการงา่ ย ๆ ท่ีเห็นไดช้ ดั เจนวา่
1,24,3 หลกั ร้อย คือ 1 หลกั สิบคอื 24 หลกั หน่วยคือ 3 ซ่ึงค่าแทจ้ ริง
คือ (1100) + (2410) + (31) = 100 + 240 + 3 = 343
โดยทว่ั ไปในเวทคณิตอาจ จะเขียนแทนดว้ ย 1, 24, 3 ทาเคร่ืองหมายหอ้ ยเป็นตวั ทด
สรุป “อปุ สูตรท่ี 15 สูตรศุทธะ” เป็นสูตรทีใชส้ าหรับการบวกของเลขสองจานวนข้ึนไป มีวธิ ีการบวกก็
เช่นเดียวกบั วิธีดง่ั เดิม แตเ่ ป็นการบวกแยกแตล่ ะหลกั หรือ สดมภ์ แลว้ นาผลลพั ธ์แต่ละหลกั หรือ สดมภ์
มาหาผลบวกอีกทีเพื่อใหไ้ ดเ้ ป็นผลลพั ธ์สุทธิ
ตวั อย่างที่ 3 หาผลบวกของ 234 + 403+ 564 + 721
วธิ ที า 2 3 4

40 3

56 4

7 21

18 11 12 แลว้ หาผลบวกสุทธิของ 1 8, 1 1, 12 = 1922

ดังน้นั 234 + 403+ 564 + 721=1922

52

หรือ ขบวนการศุทธิการันอาจจะดาเนินการในข้ันตอนการหาผลบวกของแต่ละหลักได้เลย โดยการใส่
ผลลัพธ์ผลบวกตัวเลขสุดท้ายของหลักนัน้ ๆ แล้วเขยี นตัวทดห้อยไว้หน้าตัวเลขนั้นแล้วนาไปบวกหลัก
ถดั ไปข้างหน้า กจ็ ะได้ผลบวกสุทธิ ดงั ในตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 4 หาผลบวกของ 78924 + 27272 + 72684

วิธีทา 7 8 9 2 4

27272 +

72684

16 | 17 | 17 | 17 | 10 หรือ 16 7 7 7 0 = 178880
1111

ดงั น้นั 78924 + 27272 + 72684 = 178880

แบบฝึ กหดั ชุดท่ี 5 การหาผลบวกดว้ ยอปุ สูตรท่ี 15 สูตรศุทธะ

1 45787 2. 4 4 5 5 9 3. 9 7 6 6 9

88787 25787 69788

24 5 6 7 + 84559 + 99260 +

85908 65781 45893
75639 98462
94859

4. 6 5 7 8 1 5 84559 6. 9 9 2 6 0

99798+ 6 5 7 8 1+ 75777 +

25787 84559 45899
75639 98462 94859

7. 4 5 7 8 7 8. 4 4 5 5 9 9. 9 7 6 6 9

777 69788 84559
4870
69788 + 59768 +
+
8787 25787
9088
75777 84559 88787
75639 98462
859

53

10. 4 5 7 8 7 11. 4 4 5 5 9 12. 9 7 6 6 9

75777 69788 84559
59768 99088 97669

25787 + 88787 + 88888 +

768 65781 84559
88787 25787 69788
97669 65781 45787
75639 98462 94859

13. 4 5 7 8 7 9 14. 5 5 9 7 15. 9 7 6 6 9 7 9

757775 845595 69788
697885 97687 84870679
69788690
787 257875
756399 98462 5 494859

อยา่ งไรก็ตามเทคนิคในเวทคณิตการบวกน้ีใช้ สูตรท่ี 1 เอกาธิเกนะ ปูรเวณะ
(Stura 1 Ekādhikena Pūrveṇa) น้ีไม่ควรสับสนกบั อปุ สูตรที่ 15 อปุ สูตรศุทธะ
(Upsura 15 Śūddha) ซ่ึงใชเ้ ทคนิค

54

3.การลบ

บทนา

การลบเป็นการคิดเลขท่ีผกผนั หรือตรงขา้ มกบั การบวกของวชิ าเลขคณิต ใชเ้ ครื่องหมาย (−) แทนการลบ
คาวา่ ‘subtraction’ ไดร้ ากศพั ทม์ าจากภาษาละติน คือคาวา่ ‘Subtrahere’ ซ่ึงเป็นคาผสมของคาวา่ ‘Sub’ หมายถึง

‘under’ และ ‘trahere’ หมายถึง ‘to pull or to take away’

ดังน้นั ความหมายทว่ั ไปของการลบก็คือการนาเอาส่ิงของออกจาก
กลมุ่ หรือ ความหมายอีกนยั หน่ึงแทนที่จะนาเอาจานวนหน่ึงออกจาก

จานวนหน่ึง กลับหาวิธีการที่จะหาจานวนหน่ึงที่นาไปบวกกับ

จานวนใดจานวนหนึ่งในสองจานวนที่กาหนดให้ นั้นแล้วได้ผลบวก

หรื อผลรวมเป็ นจานวนหน่ึงในสองจานวนนัน้

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Subtraction.svg

จากความหมายข้างต้นของการลบ

เมื่อพจิ ารณา การลบแบบดงั เดิมน้นั

ถา้ ตวั เลขแต่ละหลกั ของตวั ต้งั น้นั มากกวา่ ตวั เลขแต่ละหลกั ของตวั ลบแลว้ ก็งา่ ยดาย ดงั น้นั จาก

ความหมายการลบ เป็นการนาเอาส่ิงของออกจากกลุ่มไมม่ ีการยมื ตวั เลขถดั ไปที่อยขู่ า้ งหนา้ จึงไม่ยงุ่ ยาก

กาหนดให้ 9 2 7 8 ตวั ต้งั (Minuend)
−
ตวั ลบ (Subtrahend)
3 0 41

6 2 3 7 เศษเหลือ (Remainder)

แตถ่ า้ ตวั เลขบางหลกั หรือทุกตวั ของตวั ต้งั นอ้ ยกวา่ ตวั เลขบางหลกั หรือทุกตวั ของตวั ลบแลว้ การ

ดาเนินการลบจะเป็นเรื่องไม่ใช่งา่ ยกบั การคิดในแต่ละข้นั ตอนน้นั เลย

หรือเช่น กาหนดเลขสองจานวน คือ 12 ลบดว้ ย 7

วิธที า 12− 1

07 02

−

07

5

นนั่ คือ ณ ตาแหน่งหลกั หน่วย พบวา่ 2−7 ไม่ใช่ 12−7 = 5 แลว้ วธิ ีคิดแบบด้งั เดิม ก็ตอ้ งยมื 1 มาจากหลกั
ขา้ งหนา้ เนื่องจากเป็ นหลกั สิบค่าที่ยมื มา 1 จะเท่ากบั 10 นามาบวกกบั 2 ไดเ้ ป็น 12 กจ็ ะได้ 12−7 = 5
แต่ถ้า กาหนดเลขสองจานวน คือ 12 และ 7

แลว้ ใหห้ าเลขจานวนหน่ึง ที่นามาบวกจานวนหน่ึงในสองจานวนท่ีกาหนดน้ี แลว้ ผลบวกตอ้ งเทา่ กบั อีก
จานวนหน่ึง

วธิ คี ิด หาจานวนท่ีมาบวกกบั จานวนที่มีค่านอ้ ยคอื 7 แลว้ ไดผ้ ลบวกเท่ากบั จานวนที่มีคา่ มากคอื 12 น้นั เวลาคดิ

น้นั ไม่คอ่ ยยาก ดว้ ยการหาจานวนที่มาบวกกบั 7 แลว้ ไดเ้ ป็น 12 โดยประจกั ษ์ ตอบ 5

เพราะ 7 +5 =12 หรือนน่ั ก็คือ 12 −7 = 5

ตวั อย่าง แสดงการลบ 8436− 4768 แบบวธิ ีด้งั เดิม

วิธที า 7 13 หลกั พนั ตวั ต้งั มากกวา่ ตวั ลบ 7 − 4 = 3

3 12 หลกั ร้อยถกู ยมื ไป 1 เหลือ 3 ในทานองเดียวกนั 13−7 = 6

2 16 หลกั สิบถูกยมื ไป 1 เหลือ 2 ในทานองเดียวกนั 12−6 = 6

8436 6 −8 ตอ้ งยมื หลกั ขา้ งหนา้ มา 10 บวก 6 เป็น 16 แลว้ 16−8 = 8

4768

3668 (ให้คิดจากข้างล่างขนึ้ ข้างบน)

นีค่ ือปัญหา ที่จะทาอยา่ งไรท่ีจะทาใหก้ ารลบน้นั เป็นเร่ืองง่าย คิดไดร้ วดเร็ว และถกู ตอ้ งมากท่ีสุด และนี่กค็ ือ

งานสร้างสรรค์ ท่ี เวทคณิต ความคดิ อีกแบบหน่ึง คอื :

การหาจานวนเติมเตม็ (Complement Number)

คือแทนทจ่ี ะคดิ การลบแบบด้งั เดมิ

“ว่าการลบคือการนาเอาส่ิงของออกจากกลุ่ม”

ความคดิ “การหาจานวนเติมเตม็ ”

ในทานองเดียวกบั ตวั อยา่ งท่ีแลว้

เช่น กาหนดเลขสองจานวน คือ 8 และ 10 จงหาเลขจานวนหน่ึงที่นามาบวกกบั

จานวนหน่ึงในสองจานวนน้ี แลว้ ผลบวกตอ้ งเท่ากบั อีกจานวนหน่ึงท่ีกาหนดให้น้นั

วธิ คี ิด ก็คงตอ้ งหาจานวนหน่ึงสกั จานวน ท่ีมาบวกกบั 8 (ท่ีมีคา่ นอ้ ย) แลว้ ไดผ้ ลบวก เท่ากบั 10(ที่มีคา่ มาก)

แน่นอน โดยประจกั ษ์

ตอบ 2 เพราะ 2 +8 =10 หรือนนั่ คือ 10 −8 = 2

จากวิธีคิดเช่นน้ี

“ เป็ นการหาจานวนทมี่ าเตมิ 8 แล้วให้เตม็ 10 กค็ ือ 2 น่นั เอง

เรียก 2 ว่าเป็ นจานวนเเตมิ เต็ม (complement) 10 ของ 8 ”

การลบ ในเวทคณิต กล่าวไว้ในสูตรที่ 2 ของในท้งั หมด 16 คือ

สูตรนขิ ิลมั นวตัสจรมัม ทศตหะ

(Nikhilam Navathaścaramam Dhaśataḥ = All, complete, whole, entire, full) เรียกส้นั ๆ วา่ สูตรนขิ ลิ มั

เป็นสูตรท่ีใชม้ ากที่สุดในการคานวณ

56

ความหมายของสูตรน้ี คือ “ทุกตัวครบเก้าแต่ตวั สุดท้ายครบสิบ” ซ่ึงสอดคลอ้ งกบั เร่ืองการบวก ท่ีมี
ความรู้พ้ืนฐานเร่ืองเลขสองจานวนบวกกนั ครบสิบ และเรื่องการยันความถูกต้อง ดว้ ยวิธีการคดั ออกเกา้ ที่มี
ความรู้พ้ืนฐานเร่ืองเลขสองจานวนบวกกนั ครบเก้า นาสองเร่ืองน้ีมาควบรวม (merger) ใชก้ บั การลบสาหรับวิธี
คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต อนั เป็นการเปลี่ยน การลบเป็ นการบวก และยงิ่ ไปกวา่ น้ียงั เป็นการลบท่ีแยกหลกั แต่ละ
หลกั ซึ่งสอดคล้องกบั วธิ ีการคดิ เลขแบบวธิ ีการแยกหลกั (Digit Separator Method)

เม่ือการลบสามารถเปลี่ยนการลบเป็นการบวก จึงไม่มีเร่ือง การยืม ในกรณีที่ตวั เลขของตวั ต้งั มีคา่ นอ้ ย
กวา่ ตวั เลขของตวั ลบ ณ หลกั เดียวกนั นี่คือความหลากหลาย รูปแบบการคิด และอินโฟกราฟิ ก
(Diversity, Thinking Styles, and Infographics) ที่ทาใหไ้ ดม้ ีทางเลือกสาหรับการคิดเลข เพิม่ จากวธิ ีด้งั เดิมที่มีอยู่
หลกั การของวธิ ีคดิ เลขเร็วแบบเวทคณิตเป็ นดังนี้

• จานวนท้งั สองที่เป็นตวั ต้งั และตวั ลบถกู แยกออกตามค่าประจาตาแหน่ง
(หลกั หน่วย หลกั สิบ หลกั ร้อย... ) สอดคลอ้ งเหมือนวิธีด้งั เดิม จึงไม่ขดั แยง้

• เปลี่ยนการลบใหเ้ ป็นการบวกของตวั ต้งั และตวั ลบ เป็นการบวกตวั ต้งั กบั จานวนเติมเต็ม
• หาคาตอบ ดว้ ยการบวกตวั เลขแต่ละหลกั แบบตวั เลขต่อหลกั ของตวั ต้งั กบั จานวนเติมเตม็

โดยไมต่ อ้ งยมื มาจากหลกั ขา้ งหนา้ แบบวิธีดงั เดิม
นีค่ ือ ความคดิ ของเวทคณิตที่พยายามเปล่ียนการลบเป็นการบวก

ซ่ึงจะไดศ้ ึกษาวธิ ีการลบแบบเวทคณิตดงั ต่อไป

การลบด้วยวิธีการแยกหลักนี้มี 3 วิธี ด้วยกนั คือ

• การลบดว้ ยสูตรนิขิลมั หรือการลบดว้ ยสูตรทกุ ตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบ
หรือในเวทคณิตใชส้ ูตรนิขลิ มั นวตสั จรมมั ทศตหะ เรียกส้นั ๆ วา่ สูตรนขิ ิลมั (Nikhilam

Navathaścaramam Dhaśataḥ)

• การลบดว้ ยวิธีวนิ ควิ ลมั (Vinculum Method)
• การลบดว้ ยวธิ ีครบสิบ

หรือในเวทคณิตคือการลบดว้ ยสูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ (Ekādhikena Pūrveṇa) เป็ นการเพิ่ม 1
กบั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของตวั ลบ

57

3.1 จานวนเติมเต็ม (Complement Number)

ก่อนท่ีจะศึกษาการลบแบบเวทคณิต ในเวทคณิตใช้ สูตรที่ 2 นิขลิ มั นวตสั จรมัม ทศตหะ เรียกส้นั ๆ
วา่ สูตรนขิ ิลมั )(Sūtra 2. Nikhilaṃ navataścaramaṃ daśataḥ = सतू ्र २.निखिलं िवतश्चरमं दशत:
สูตรนีม้ คี วามพเิ ศษทแ่ี ทนทจ่ี ะใช้วิธกี ารลบแบบดังเดิมกลบั ใช้วธิ กี ารบวก

เม่ือสูตรน้ีใชว้ ธิ ีการบวกแทนการลบได้ การลบกไ็ ม่ตอ้ งมีการยมื เลขจากหลกั ท่ีมีคา่ มากกวา่ ท่ีอยถู่ ดั ไป
ขา้ งหนา้ สาหรับการลบของวิธีดงั เดิมน้นั ตอ้ งมีการยมื จึงทาใหเ้ กิดการลบน้นั ตอ้ งใชเ้ วลามาก (ชา้ ) น่าเบื่อหน่าย
และความผดิ พลาดสูง ยง่ี ในกรณีที่ตวั ต้งั มีคา่ นอ้ ยกวา่ ตวั ลบแลว้ จะทาใหห้ ลายคนไม่ชอบเรียนเลขคณิตต่อไปเลย
นี่คือปัญหาที่พบกบั การลบของวธิ ีด้งั เดิม
สูตรนิขิลมั น้นั ในเวทคณิตกล่าวถึงความคิดพ้นื ฐานมาจากการใชช้ ีวิตประจาวนั ของคนเรา คือการจบั จ่ายใชส้ อย
สมมุติ เราซ้ือของจากแม่คา้ ดว้ ยราคา 87 บาท แลว้ จ่ายดว้ ยธนบตั ร 100 บาท แมค่ า้ จะทองเงินเราเท่าไร ?
เม่ือสังเกต วธิ ีการทอนเงินของแม่คา้ แทนท่ีแม่คา้ จะใชก้ ารลบแตก่ ลบั ใชว้ ิธีคิดตรงขา้ มคือหาจานวนเงินท่ีมารวม
หรือมาบวกกบั 87 บาท ใหไ้ ดเ้ งินครบ 100 บาท ก็คอื 13 บาท นนั่ เอง

เรียกจานวน 13 น้ีวา่ เป็นจานวนเติมเตม็ 100 ของจานวน 87
จานวนเติมเตม็ (Complement Number ) เป็ นความคิดริเริ่มในการคานวณ
วิธีคดิ การหาจานวนเตมิ เต็มท่รี วดเร็วจะทาอย่างไร
เวทคณติ กล่าวถึงสูตรตรนขิ ิลมั หรือ “ทุกตวั ครบเก้าแต่ตวั สุดท้ายครบสิบ”
ดังน้นั วิธีหาจานวนเติมเตม็ 100 ของ 87
หาได้ดงั นี้ 87 ถกู แบง่ ตวั เลขโดดเป็น 2 ส่วนคือตวั เลขโดดทุกตวั ส่วนหนา้ และตวั เลขโดดตวั สุดทา้ ย

87

ในท่ีน้ี ตวั เลขโดดส่วนหนา้ มีตวั เดียว คือ 8 หาตวั เลขท่ีมาบวกกบั 8 แลว้ ไดค้ รบเกา้ คือ 1

87

1

และตวั เลขตวั สุดทา้ ย 7 หาตวั เลขท่ีมาบวกกบั 7 แลว้ ครบสิบ คือ 3

87

13

หรือกล่าวอีกนยั หน่ึง คือ ตวั เติมเตม็ เกา้ ของ 8 คือตวั เลขที่บวกกบั 8 แลว้ ครบเก้า (หรือทบเก้า) ก็คอื 1
และตวั เติมเตม็ สิบของ 7 คือตวั เลขท่ีบวกกบั 7 แลว้ ครบสิบ (หรือทบสิบ) ก็คือ 3 ซ่ึงเป็นตวั สุดทา้ ยของ 87
สรุปได้ว่า 13 เป็ นจานวนเติมเตม็ 100 ของจานวน 87

58

หรือ ถา้ เราต้งั คาถามวา่ ถา้ เราซ้ือของดว้ ยราคา 487 บาท จ่ายเงินไป 1000 บาท จะไดเ้ งินทอนเท่าไร?
วธิ คี ดิ โดยใช้ “สูตรทกุ ตวั ครบเกา้ แตต่ วั สุดทา้ ยครบสิบหรือสูตรนิขิลมั ” ดาเนินการดงั น้ี

จากจานวน 487 ถูกแยกเป็นสองส่วน คือ

48 7

ส่วนหนา้ ทุกตวั ส่วนทา้ ยสุดมีเพยี งตวั

- ตวั เลขส่วนหนา้ ทกุ ๆ ตวั ของ 487 คอื เด4ียวและ 8 ใหห้ าตวั เลขท่ีมาบวกกบั 4 และ 8 แลว้ ได้ 9 เรียก

ตวั เลขที่มาบวกกบั 4 และ 8 แลว้ ได้ 9 วา่ ตวั เติมเตม็ 9 ของ 4 และ 8 คอื 5 และ 1 ตามลาดบั

ซ่ึงเป็นการใชว้ ธิ ีคดิ “ทุกตัวครบเก้า”

48 7

51

- ตวั เลขส่วนทา้ ยสุดของ 487 คอื 7 ใหห้ าตวั เลขที่มาบวกกบั 7 แลว้ ได้ 10 เรียกตวั เลขท่ีมาบวกกบั 7

แลว้ ได้ 10 วา่ ตวั เติมเต็ม 10 ของ 7 คือ 3 ซ่ึงเป็นการใชว้ ิธีคิด “ตวั สุดท้ายครบสิบ”

48 7

51 3

ดงั น้นั จานวนเติมเตม็ 1000 ของ 487 คอื 513

สรุป คิดจากซา้ ยไปขวาหรือขวาไปซา้ ยก็ได้ ซ่ึงจะตอ้ งไดเ้ งินทอน 513 บาท

แสดงวิธีคิดเชิงเลขคณิตได้ดังนี้

1000 → 9 9 10 จะเห็นไดว้ า่ 1000 เขียนแทนดว้ ย 9 9 10

487 → 5 1 3 − ดว้ ยการเปลี่ยนคา่ ประจาตาแหน่ง
4 8 7 (หลกั หน่วย, หลกั สิบ,หลกั ร้อย) จึงหาตวั เติมเตม็ 9 ทกุ ๆ ตวั

จานวนเติมเตม็ 1000 ของ 487 5 1 3 แตต่ วั สุดทา้ ยหาตวั เติมเต็ม 10

คิดในใจ 1000 − 9 9 10

4 87

ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ

=5 13

ข้อสังเกต สูตรนิขลิ มั น้นั เป็นความรู้พ้ืนฐานที่จะนาไปใชใ้ นการลบเลข กรณีท่ีตวั ต้งั อยใู่ นรูปจานวนสิบกาลงั

เอน็ (10n ) ไดแ้ ก่ 100,1000,10000,... เป็ นตน้

59

หมายเหตุ 1. วธิ ีหาเลขสองจานวนบวกกนั ไดส้ ิบ (10) เรียกวา่ ครบสิบหรือทบสิบ
และวธิ ีหาเลขสองจานวนบวกกนั ไดเ้ กา้ (9) เรียกวา่ ครบเกา้ หรือ ทบเกา้

2. ให้ a และ b เป็นจานวนเตม็ ถา้ a + b =10 แลว้ เรียก a เป็นตวั เติมเตม็ 10 ของ b
3. ให้ a และ b เป็นจานวนเตม็ ถา้ a + b = 9 แลว้ เรียก a เป็ นตวั เติมเตม็ 9 ของ b
บทนิยาม 1 ครบเก้าหรือทบเก้า คือ การหาจานวนเตม็ บวก 2 จานวนที่บวกกนั ไดเ้ ทา่ กบั 9
ถา้ ให้ a และ b เป็นจานวนเตม็ บวก ใด ๆ แลว้ a + b = b + a = 9 เรียก a และ b เป็นจานวนเติมเตม็
เกา้ ซ่ึงกนั และกนั ซ่ึงผลบวกตวั เลขสองจานวนบวกกนั ไดเ้ กา้ ต้งั แต่ 0 ถึง 9 มีดงั น้ี
0 และ 9 เป็นจานวนเติมเตม็ เกา้ ซ่ึงกนั และกนั เพราะ 0+9 = 9+ 0 = 9

1 และ 8 เป็นจานวนเติมเตม็ เกา้ ซ่ึงกนั และกนั เพราะ 1+8 = 8+1= 9

2 และ 7 เป็นจานวนเติมเตม็ เกา้ ซ่ึงกนั และกนั เพราะ 2+ 7 = 7 + 2 = 9

3 และ 6 เป็นจานวนเติมเตม็ เกา้ ซ่ึงกนั และกนั เพราะ 3+ 6 = 6+3 = 9

4 และ 5 เป็นจานวนเติมเต็มเกา้ ซ่ึงกนั และกนั เพราะ 4+5 = 5+ 4 = 9

บทนิยาม 2 ครบสิบหรือทบสิบ คือ การหาจานวนเตม็ บวก 2 จานวนที่บวกกนั ไดเ้ ท่ากบั 10
ถา้ ให้ a และ b เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ แลว้ a + b=b + a =10

เรียก a และ b เป็นจานวนเติมเตม็ สิบซ่ึงกนั และกนั
ผลบวกสองจานวนท่ีบวกกนั ไดส้ ิบ ต้งั แต่ 1 ถึง 9 มีดงั น้ี

0 และ 10 เป็นจานวนเติมเตม็ สิบซ่ึงกนั และกนั เพราะ 0 + 10 = 10+ 0 = 10
1 และ 9 เป็นจานวนเติมเต็มสิบซ่ึงกนั และกนั เพราะ 1 + 9 = 9 + 1 = 10
2 และ 8 เป็นจานวนเติมเตม็ สิบซ่ึงกนั และกนั เพราะ 2 + 8 = 8 + 2 = 10
3 และ 7 เป็นจานวนเติมเตม็ สิบซ่ึงกนั และกนั เพราะ 3 + 7 = 7 + 3 = 10
4 และ 6 เป็นจานวนเติมเตม็ เกา้ ซ่ึงกนั และกนั เพราะ 4 + 6 = 6 + 4 = 10
5 และ 5 เป็นจานวนเติมเต็มเกา้ ซ่ึงกนั และกนั เพราะ 5 + 5 = 10
บทนยิ าม 3 ฐานหลกั (Theoretical Base ) หรือฐานสิบกาลงั เอน็ คือ จานวนที่เขียนอยใู่ นรูป 10n

เมื่อ n เป็ นจานวนเตม็ บวก ไดแ้ ก่ 101 =10,100 =102,1000 =103,10000 =104,...
บทนยิ าม 4 ฐานหมุนเวยี น (Working Base ) คือพหุคณู ของฐานหลกั หรือพหุคณู ของฐานสิบกาลงั เอน็
ไดแ้ ก่ 20 = 210, 200 = 2102, 2000 = 2103, 20000 = 2104,...

30 = 310,300 = 3102,3000 = 3103,30000 = 3104,...

40 = 410,300 = 4102, 4000 = 4103, 40000 = 4104,... เป็ นตน้

60

สรุป “ทกุ ตัวครบเก้าแต่ตวั สุดท้ายครบสิบหรือสูตรนิขลิ มั ” วิธีคดิ เริ่มจากตวั เลขทางซา้ ยสุดทกุ ตวั หาตวั เลขท่ี
นามาบวกตวั แลขแต่ละตวั แลว้ ไดค้ รบเกา้ ( 9 ) แต่ยกเวน้ ตวั เลขตวั ทา้ ยสุดเพยี งตวั เดียวเท่าน้นั ท่ีหาตวั เลขมาบวก
กบั ตวั เลขตวั สุดทา้ ยน้ีไดค้ รบสิบ (10)

สูตรนิขิลมั เป็นสูตรที่ใชส้ าหรับหาผลตา่ งระหวา่ งตวั ต้งั ท่ีเป็นจานวนเลขในรูปฐานหลกั
(Theoretical Base ) หรือฐานสิบกาลงั เอน็ (power of 10) กบั ตวั ลบ

การหาคาตอบ หาโดยไมใ่ ชก้ ารลบแต่ใชก้ ารบวกแทน การหาเลขโดดที่เป็นตวั เติมเตม็ ของเกา้
(Complement) ดว้ ยวธิ ีหาผลบวกครบเกา้ หรือทบเกา้ ของแตล่ ะหลกั ส่วนเลขโดดตวั สุดทา้ ยหาตวั เติมเตม็ สิบ
ดว้ ยวธิ ีหาผลบวกครบสิบหรือทบสิบของตวั ลบ เป็นคาตอบ

ตวั อย่างท่ี 1 หาจานวนเติมเตม็ ของจานวนต่อไปน้ี

64, 3883, 10905, 10213409

วิธที า ใชว้ ธิ ี “ทกุ ตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบ” หาจานวนเติมเตม็ ของจานวนของที่กาหนดให้

ในกรณีท่ีไม่กาหนดฐานหลกั มาให้ ใหใ้ ชฐ้ านหลกั ที่มีคา่ มากกวา่ จานวนที่กาหนดใหน้ ้นั แต่ตอ้ งมีค่าใกลเ้ คียง

64 เป็นจานวนท่ีมีค่าใกลฐ้ านหลกั 100 แยก 64 ออกเป็นสองส่วน

คือ 6 4
ส่วนหนา้ ทุกตวั ส่วนทา้ ยสุดเพียงตวั เดียว

หาตวั เติมเตม็ เกา้ ของ 6 คือ 3 ส่วนตวั สุดทา้ ยหาตวั เติมเตม็ สิบของ 4 คอื 6
ดังน้นั จานวนเติมเตม็ 100 ของ 64 คอื 36 ( เพราะวา่ 64 +36 =100 )
คดิ ในใจ 100 − 6 4

ครบเกา้ 7ครบสิบ

=3 6

ในทานองเดยี วกนั 3883 เป็นจานวนที่มีคา่ ใกลฐ้ านหลกั 10000 แยก 3883 ออกเป็ นสองส่วน

คือ 388 3
ส่วนหนา้ ทกุ ตวั ส่วนทา้ ยสุดเพียงตวั เดียว

หาตวั เติมเตม็ เกา้ ของ 3, 8 และ 8 คอื 6, 1 และ 1 ตามลาดบั ส่วนตวั สุดทา้ ยหาตวั เติมเตม็ สิบของ 3 คอื 7
ดงั น้นั จานวนเติมเตม็ 10000 ของ 3883 คือ 6117 ( เพราะวา่ 3887 + 6113 =10000)
คดิ ในใจ 10000 − 3 8 8 3

ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ

=6 1 1 7

61

ในทานองเดยี วกนั 10905 เป็นจานวนที่มีค่าใกลฐ้ านหลกั 100000 แยก 10905 ออกเป็ นสองส่วน

คือ 1090 5
ส่วนหนา้ ทกุ ตวั ส่วนทา้ ยสุดเพียงตวั เดียว

หาตวั เติมเตม็ เกา้ ของ 1, 0, 9 และ 0 คือ 8, 9, 0 และ 9 ตามลาดบั ส่วนตวั สุดทา้ ยหาตวั เติมเตม็ สิบของ

5 คอื 5 ดงั น้นั จานวนเติมเตม็ 100000 ของ 10905 คอื 89095 ( เพราะวา่ 10905+89095 =100000 )

คิดในใจ 100000 − 1 0 9 05

ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ

=8 9 0 95

ในทานองเดยี วกนั 70213409 เป็นจานวนท่ีมีคา่ ใกลฐ้ านหลกั ฐาน 108 แยก 70213409 ออกเป็นสองส่วน

คือ 7021340 9

ส่วนหนา้ ทกุ ตวั ส่วนทา้ ยสุดเพียงตวั เดียว

หาตวั เติมเตม็ เกา้ ของ 7, 0, 2, 1, 3 , 4 และ 0 คอื 2, 9, 7, 8, 6 , 5 และ 9 ตามลาดบั ส่วนตวั สุดทา้ ยหา
ตวั เติมเตม็ สิบของ 9 คอื 1 ดงั น้นั จานวนเติมเตม็ 108 ของ 70213409 คอื 29786591
(เพราะวา่ 70213409 + 29786591 =100000000 )
ตัวอย่างที่ 2 หาจานวนเติมเตม็ ของ 596087 เมื่อกาหนดฐานหลกั คอื 100000000
วิธีทา ในกรณีท่ีหาจานวนเติมเตม็ ท่ีกาหนดฐานหลกั มาให้ จะตอ้ งพิจารณาเทียบกนั หลกั ตอ่ หลกั ดงั น้ี

พจิ ารณา 1 0 0 0 0 0 0 0 0 เทียบหลกั ต่อหลกั กนั

0059608 7

จะเห็นไดช้ ดั เจนเม่ือเทียบหลกั ต่อหลกั ของฐานหลกั ที่กาหนดใหก้ บั จานวนท่ีจะหาจานวนเติมเตม็ ของมนั
แลว้ แต่ละตวั เลขของส่วนหนา้ หาตวั เลขมาบวกแต่ละตวั ใหค้ รบเกา้ คือ 0, 0, 5, 9, 6, 0, 8 น้ีไดแ้ ก่
9, 9, 4, 0, 3, 9, 1 และตวั สุดทา้ ย คอื 7 หาตวั เลขที่มาบวกกบั 7 แลว้ ครบสิบคือ 3 กจ็ ะไดจ้ านวนเติมเตม็

ของ 596087 เม่ือกาหนดฐานหลกั 100000000 คือ 99403913

คิดในใจ 100000000 − 0 0 5 9 6 0 8 7

ครบสิบ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ

=9 9 4 0 3 9 1 3

หมายเหตุ

จากความรู้การหาจานวนเติมของจานวนท่ีกาหนดใหก้ บั ฐานหลกั ท่ีมีคา่ ใกลเ้ คียงกบั จานวนท่ี

กาหนดใหน้ ้นั ก็คือการลบของจานวนที่กาหนดใหจ้ านวนเติมเตม็ กบั ฐานหลกั น้นั เอง

62

ดงั ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างท่ี 3 หาผลต่างของ 100 − 76 ,1000 −874, 1000 −307, 10000 −6532, 100000 −87580
วิธีทา หา 100 − 76

แทนที่จะใชว้ ธิ ีการลบกลบั ใชว้ ิธีการบวกแทน ดว้ ยการหาจานวนเติมเตม็ 100 ของ 76 ดว้ ยสูตรนิขิลมั
หรือสูตรทุกตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบนนั่ เอง ดว้ ยการหาตวั เติมเตม็ เกา้ ของตวั เลขส่วนหนา้ 7 คือ 2
และตวั เลขส่วนสุดทา้ ยหาตวั เติมเตม็ สิบของ 6 คือ 4 (ใหค้ ดิ จากซา้ ยไปทางขวา)
ดังน้นั จานวนเติมเตม็ 100 ของ 76 คอื 24 แทน 100 − 76
หา 1000 −874

แทนที่จะใชว้ ิธีการลบแต่กลบั ใชก้ ารหาจานวนเติมเตม็ 1000 ของ 874 ดว้ ยการหาตวั เติมเตม็ เกา้ ของ
ตวั เลขส่วนหนา้ 8 และ 6 คอื 1 และ 2 ส่วนตวั สุดทา้ ยหาตวั เติมเตม็ สิบของ 4 คือ 6
ดงั น้นั จานวนเติมเตม็ 1000 ของ 874 คือ 126 แทน 1000 −874 =126
หา 1000 −307 หาจานวนเติมเตม็ 1000 ของ 307 แทนกาลบ
ดว้ ยการหาตวั เติมเตม็ เกา้ ของส่วนหนา้ 3 และ 0 คอื 6 และ 9 ส่วนตวั สุดทา้ ยหาตวั เติมเตม็ สิบของ 7 คือ 3
ดงั น้นั จานวนเติมเตม็ 1000 ของ 307 คือ 693 แทน 1000−307 = 693
การหา 10000 −6532 หาจานวนเติมเตม็ 10000 ของ 6532 แทนกาลบ
ดว้ ยการหาตวั เติมเตม็ เกา้ ของส่วนหนา้ ของ 6,5,3 คือ 3,4,6 ตามลาดบั

ส่วนสุดทา้ ยหาตวั เติมเตม็ สิบของ 2 คือ 8
ดังน้นั 10000 − 6532 = 3468
ในทานองเดยี ว 100000−87580 โดยการหาจานวนเติมเตม็ 100000 ของ 87580

ในกรณีน้ี เนื่องจากส่วนหลงั คือตวั สุดทา้ ยตวั เติมเตม็ สิบของ 0 คือ 0 จึงจะตอ้ งไปเริ่มคิดหาตวั เติม
เตม็ ที่ตวั เลขถดั ไปที่อยขู่ า้ งหนา้ ศูนยน์ ้ี คือเร่ิมท่ี 8,7,5, 8 หาตวั เติมเตม็ เกา้ ของส่วนหนา้ ของ 8,7,5 คือ 1,2,4
ตามลาดบั ส่วนสุดทา้ ยหาตวั เติมเตม็ สิบของ 8 คือ 2
ดังน้นั 100000 −87580 =12420
หมายเหตุ 1. ในกรณี จานวนที่ลงทา้ ยดว้ ย 0,00,000,0000,... ใหค้ งศูนยไ์ ว้ แลว้ ใหเ้ ริ่มคิดวธิ ี

“ทกุ ตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบ” ทกุ ตวั ท่ีอยหู่ นา้ ศนู ยท์ ้งั หมด
2. สังเกตไดว้ า่ “วิธีการลบแบบวธิ ีของเวทคณิตน้นั เป็นการบวกดว้ ยวธิ ีการแยกหลกั

( Digit Seperator Method ) ”
3. ตวั เติมเตม็ ตรงกบั ภาษาสนั สกฤต คอื ปรู ัก (Purak)

63

แบบฝึ กหัดชุดที่ 1
1. ใชว้ ิธี “ทุกตวั ครบเกา้ แตต่ วั สุดทา้ ยครบสิบ” หาจานวนเติมเตม็ ของจานวนต่อไปน้ี

1) 444 ฐานหลกั 1000
2) 675 ฐานหลกั 1000
3) 2486 ฐานหลกั 10000
4) 18276 ฐานหลกั 100000
5) 8998 ฐานหลกั 100000
6) 9888 ฐานหลกั 1000000
7) 1020304 ฐานหลกั 10000000
8) 7998765 ฐานหลกั 100000000
9) 3570 ฐานหลกั 100000
10) 920 ฐานหลกั 10000
11) 1234560 ฐานหลกั 10000000000
12) 3300 ฐานหลกั 100000

64

2. ดาเนินการลบโดยใช้ “ทุกตวั ครบเกา้ แตต่ วั สุดทา้ ยครบสิบ” หาคาตอบ

1 100 2) 1 0 0 3) 1 0 0 0 4) 1 0 0 0

− − − −

76 47 638 327

5) 1 0 0 0 6) 1 0 0 0 7) 1 0 0 0 8) 1 0 0 0

− − − −

757 846 998 889

9) 1 0 0 0 0 10)1 0 0 0 0 11) 1 0 0 0 0 12) 1 0 0 0 0
− − − −
638 7 337 7 45 6 27 5

13) 1 0 0 0 0 0 14)1 0 0 0 0 0 15)1 0 0 0 0 0 16) 1 0 0 0 0 0
− −−
−
94998 3586 7928
845 76

17) 2 0 0 18) 2 0 0 19) 3 0 0 0 20) 3 0 0 0
− − −
76 47 638 −

124 22) 5 0 0 0 23) 2 0 0 0 327

21) 4 0 0 0 − − 24) 6 0 0 0
−
− 846 998 889

757

25) 7 0 0 0 0 26) 5 0 0 0 0 27) 7 0 0 0 0 28) 9 3 0 0 0
− −
− 337 7 − 27 5

638 7 45 6

29) 2 1 0 0 0 0 30) 5 1 0 0 0 0 31) 5 1 0 0 0 0 32) 1 1 0 0 0 0
− −− −
3586 94998
7928 845 76

33) 2 1 1 0 0 0 34) 5 1 1 0 0 0 35) 6 1 5 0 0 0 36) 2 1 3 5 0 0
− − − −
4 3586 47718 2 845 76 94998

65

3.2 การลบด้วยสูตรนิขลิ มั หรือการลบด้วยสูตรทุกตวั ครบเก้าแต่ตัวสุดท้ายครบสิบ

การลบแบบเวทคณิตจะเนน้ ถึงการใชใ้ นการแกป้ ัญหาการท่ีตอ้ งใชเ้ วลานานใหอ้ ยภู่ ายในสองสามวนิ าที
เวทคณิตสาหรับการลบ ใช้วิธที ่แี ยกคิดในแต่ละหลกั เป็ นอสิ ระต่อกนั กล่าวคือ

“หลกั หน่วยกระทากบั หลกั หน่วย หลกั สิบกระทากบั หลกั สิบ หลกั ร้อยกระทากบั หลกั ร้อย เป็นเช่นน้ีไป
เรื่อย ๆ”

โดยท่ีแต่ละหลกั จะไม่มีการยมื จากหลกั ที่มีค่ามากกวา่ แบบวิธีด้งั เดิม ดงั ในกรณีที่ตวั เลขของตวั ต้งั มีคา่
นอ้ ยตวั เลขของตวั ลบ ณ หลกั เดียวกนั น้นั ดว้ ยการเปลี่ยนการลบเป็นการบวก จึงเรียกวิธีการลบน้ีวา่

“วิธีการแยกหลัก ( Digit Separator Method )”
การลบด้วยวิธีเวทคณิตเป็ นการสับเปลยี่ น (Transpose) การบวกแทนการลบ ด้วยการนา สูตรทุกตวั
ครบเก้าแต่ตวั สุดท้ายครบสิบหรือการลบด้วยสูตรนิขลิ มั น้ีไปหา จานวนเตมิ เต็มของตัวลบ จากน้นั นาจานวน
เตมิ เตม็ ของตวั ลบ นไี้ ปบวกกบั ตวั ต้งั ผลบวกทไ่ี ด้กจ็ ะเป็ นคาตอบทีเ่ ป็ นการลบของสองจานวนนี้ นคี่ ือหลกั ของ
วธิ คี ิดเลขเร็วแบบเวทคณิตน่ังเอง
ข้นั ตอนการคิดเป็ นดังนี้
• เขียนตวั ต้งั อยเู่ หนือตวั ลบ เช่นเดียวกบั วิธีด้งั เดิม โดยใหต้ วั เลขแต่ละหลกั ของตวั ต้งั กบั ตวั ลบอยตู่ รง
ตาแหน่งหลกั เดียวกนั
• หาจานวนเติมเตม็ ของตวั ลบ ดว้ ยวธิ ี “สูตรทุกตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบหรือสูตรนิขิลมั ” ได้
ผลลพั ธ์เป็นจานวนเติมเตม็ ของตวั ลบน้ีแลว้
• จากน้นั นาจานวนเติมเตม็ ของตวั ลบ น้ีไปบวกกบั ตวั ต้งั (ดว้ ยการบวกวิธีใชจ้ ุดหรือวธิ ีการเพ่มิ 1 กบั
ตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ตามท่ีกล่าวมาแลว้ ในบทที 1 ส่วนผลบวกหนา้ สุดท่ีเกินอยู่ 1 ของผลบวก
สองจานวนน้ี ใหต้ ดั ทิ้ง) ก็จะเป็นผลลบที่เป็นคาตอบของตวั ต้วั ต้งั และตวั ลบตามที่กาหนดให้
• แตก่ ารลบยงั ไม่สิ้นสุดสมบรู ณ์โดยสินเชิง จะตอ้ งตรวจสอบคาตอบวา่ ถูกตอ้ งหรือไม่ ดว้ ยวิธีการยนั
ความถูกตอ้ ง
ดงั ตัวอย่างต่อไปนี้
3.2.1 กรณีทตี่ ัวต้งั มากกว่าตัวลบ
ตัวอย่างที่ 1 หาค่าของ 769845− 432134
วิธีทา ถา้ พจิ าราณาตวั เลขทกุ ๆ หลกั ของตวั ต้งั น้นั มากกวา่ ตวั เลขทกุ ๆ หลกั ของตวั ลบ แต่กรณีเช่นนมี้ ักไม่เกดิ
เม่ือ พจิ ารณาที่ ตวั ลบคือ 432134 เป็นจานวนที่ประกอบดว้ ย 6 หลกั แสดงวา่ จะตอ้ งหาจานวนเติมเตม็ ของ
1,000,000 (มีศนู ย์ 6 หลกั ) ของ 432134 ด้วยวิธี “ทกุ ตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบหรือสูตรนิขลิ มั ”
ดงั น้นั ตวั เติมเตม็ เกา้ ของ 4,3,2,1,3 คือ 5,6,7,8,6 ตามลาดบั และตวั เติมเตม็ สิบของ 4 คอื 6 ซ่ึงเป็นตวั
สุดทา้ ยของตวั ลบ

66

ไดจ้ านวนเติมเตม็ ของ 432134 คือ 567866

แลว้ หาผลบวกของ 769845 กบั 567866 แลว้ ตดั เลข 1 ที่อยขู่ า้ งหนา้ สุดทิง้ ดงั น้ี −

ยนั ความถูกตอ้ ง (ดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้ )

7 6 9 8 45  จานวนเติมเตม็ 3

5 6 7 8 6 6− −

4 3 213 4 8

1 3 3 7 7 1 1 = 337711 → 4 −5 → −5 + 9 = 4

คาถาม ทาไมตอ้ งตดั 1 ทิง้ เพราะวา่ เราใชจ้ านวนเติมเตม็ เขา้ มาช่วยใหเ้ ปล่ียนการลบเป็นการบวก ซ่ึงสามารถ

แสดงไดด้ ว้ ยวธิ ีเชิงเลขคณิต ดงั น้ี

พสิ ูจน์เชิงเลขคณิต จากความรู้เร่ือง “ทุกตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบหรือสูตรนิขิลมั ”

769845 − 432134 = 769845 + (−1000000 +1000000) − 432134

= −1000000 + 769845 + (1000000 − 432134)
= −1000000 + (769845 + 567866)

= −1000000 +1337711
= 337711

หมายเหตุ ในกรณีตวั ยา่ งน้ี เนื่องจากตวั เลขทกุ ตวั ของตวั ต้งั มีคา่ มากกวต่ วั เลขทุกตวั ของตวั ลบต้งั จึงไม่มีการยมื
ถา้ คดิ แบบวิธีด้งั เดิมท่ีใชก้ ารลบก็ดูไม่ยาก จึงเป็นไปไดท้ ่ีสามารถคิดเลขจากซ้ายไปขวาได้

7 6 9 8 4 5 จากตวั อยา่ ง เราดาเนินการลบจากซา้ ยไปขวา จะพบวา่
4 3 2 1 3 4 ตวั ต้งั มากกวา่ ตวั ลบจึงสามารถหาคาตอบได้เลยโดยการลบแบบวธิ ีด้งั เดิม

3 3 7 711 ยนั ความถูกตอ้ ง (ดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้ )

ตวั อย่างท่ี 2 หาคา่ ของ 535−138
วิธีทา การลบดว้ ยสูตรนิขิลมั

535 ดงั น้นั 5 3 5 4
− จานวนเติมเตม็
− 8 6 −
2
138 3
138
1
1 3 9 7 = 397 →1

ดาเนินการลบจากซา้ ยไปขวา หาตวั เติมเตม็ ของแตล่ ะเลขโดดของตวั ลบ ดว้ ยวธิ ี“ทุกตวั ครบเกา้ แตต่ วั
สุดทา้ ยครบสิบหรือสูตรนิขลิ มั ” จากซา้ ยไปขวา ตวั เติมเตม็ เกา้ ของ 1 , 3 คือ 8 , 6 และตวั สุดทา้ ยหาตวั เติม
เตม็ สิบของ 8 คือ 2 ไดจ้ านวนเติมเตม็ ของ 138 คอื 862 จากน้ีหาผลบวกของจานวนเติมเตม็ ของตวั ลบกบั
ตวั ต้งั แลว้ หลกั ซา้ ยสุดที่เกินมา คือ 1 ใหต้ ดั ทิ้ง

67

วิธคี ิดจากตัวอย่าง สามารถพสิ ูจน์ได้ดังนี้

535 −138 = 535 −1000 +1000 −138
= 535 + (1000 −138) −1000

= 535 + 862 −1000 = (535 +862) −1000

=1379 −1000 = 1 3 7 9 = 379

ตวั อย่างที่ 3 หาค่าของ 35567 −18978
วธิ ีทา หาจานวนเติมเตม็ 100000 ของ 18978 คอื 81022

35567

−

189 78

หาจานวนเติมเตม็ 100000 ของ 18978 โดยหาตวั เลขท่ีบวกกบั 1,8,9,7 แลว้ ได้ 9 และตวั สุดทา้ ย

หาตวั เลขท่ีบวกกบั 8 แลว้ ได้ 10 คือ 2

เม่ือหาจานวนเติมเต็ม 100000 ของ 18978 คือ 81022 ไดแ้ ลว้ นาจานวนเติมเตม็ น้ีไปบวกกบั ตวั ต้งั

35567 (35567 +81022 =116589) ก็จะได้ 35567 −11828 =16589

วิธีทา ดงั น้ี ยนั ความถกู ตอ้ ง (ดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้ )

35567 8
6
8 1 0 2 2 − จานวนเติมเตม็ 2

189 78

1 1 6 5 8 9 → 35567 −11828 =16589 → 2

วธิ คี ิดเร็วหรือคิดใจใน 810 2 2

3556 7−18978 = 116589

ข้อสังเกต จากตวั อยา่ งที่ 3 น้ี ถา้ ดาเนินการแบบด้งั เดิม แต่ละหลกั ของตวั ลบมากกวา่ แต่ละหลกั ของตวั ต้งั จะตอ้ ง

มีการยมื +1 มาจากหลกั ท่ีมากกวา่ แต่เม่ือใชก้ ารบวกแทนการลบแทนการบวก ดว้ ยหาจานวนเติมเตม็ ของ

ตวั ลบแลว้ นาไปบวกกบั ตวั ต้งั จะทาใหก้ ารลบรวดเร็วกวา่ และโอกาสในการลบผิดพลาดนอ้ ยมาก

ตวั อย่างท่ี 4 หาค่าของ 6745215− 4891538

วิธีทา ยนั ความถกู ตอ้ ง (ดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้ )

67 45215 3
2
5 1 0 8 4 6 2−

4891538

1 1 8 5 3 6 7 7 = 18536 7 7 →1 → 1

68

3.2.2 ในกรณีตัวต้งั น้อยกว่าตัวลบ
การลบในกรณีท่ีตวั ต้งั มีคา่ นอ้ ยกวา่ ตวั ลบคาตอบเป็นจานวนลบ อนั เน่ืองมาจากบทนิยามการลบ

บทนยิ าม การลบ a − b = a + (−b) = −(b − a)
ก็ดาเนินการไดเ้ ช่นดียวกบั วิธีการลบที่แสดงมาแลว้ ขา้ งตน้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตวั อย่างที่ 1 หาค่าของ 11824 −35567

วธิ ที า จากนยิ ามการลบ a − b = −(b − a) ดงั น้นั 11824 −35567 = −(35567 −11824)
ยนั ความถกู ตอ้ ง (ดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้ )

ข้นั แรก หา 35567 −11824 → 35567 8

− −

88 1 7 6 7

118 2 4

1 2 3 7 4 3 →1 1

ข้นั สุดทา้ ย 11824 −35567 = −(35567 −11824) = −(23743) = −23743
ตัวอย่างที่ 2 หาคา่ ของ 5674932−9920979
วิธที า ใช้นิยามการลบ a − b = −(b − a) กจ็ ะง่ายมาก

ดังน้นั 5674932 −9920979 = −(9920979 −5674932) → 9920979

จานวนเติมเตม็ → 43 2 5 068

5674932

14 2 4 6 0 4 7

 5674932 −9920979 = −(9920979 −5674932) = −4246047

แต่ ถ้ายงั คงจะดาเนินการลบแบบเดิมกไ็ ด้
แต่ผลลบที่ไดย้ งั ไม่เป็นคาตอบที่แทจ้ ริง ตอ้ งใชส้ ูตรนิขลิ มั แปลงอีกคร้ังแลว้ ผลลบท่ีไดต้ อ้ งใส่

เคร่ืองหมายลบก็จะไดค้ าตอบเป็นจานวนลบท่ีถูกตอ้ ง
ยนั ความถกู ตอ้ ง (ดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้ )

5674932 0

0 0 7 9 0 2 1 − จานวนเติมเตม็ ของ 9920979 −

9920979 0
0 5 7 5 3 9 5 3 = − 4246047 → 0 0

หมายเหตุ การหาผลลบของ 5674932−9920979 เราสามารถหาดว้ ยวธิ ีตรง ๆ ได้ เม่ือเราไดศ้ ึกษาวธิ ี
วินควิ ลมั (Vinculum Method) เสียก่อน

69

แบบฝึ กหดั ชุดท่ี 2

ดาเนินการลบของสองจานวนต่อไปน้ีดว้ ยวิธี “ทุกตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบ”

1. 6 2 2. 7 5 3. 5 1 4. 6 7

− − − −

47 28 15 38

5. 4 6 6. 6 5 7. 9 0 8. 8 2

− − − −

25 37 62 38

9. 4 4 4 10. 6 3 1 11. 8 1 3 12. 6 9 5

18 3− − − −

28 6 345 368

13. 5 1 2 14. 3 4 5 6 15. 7 1 1 7 16. 8 0 0 8 −
− −
− 2 81 1771 3839

386

17. 6 3 3 6 18. 1 4 2 8 5 19. 5 1 0 1 5 20. 9 6 3 0 3 6 9
− −
− − 2798 6 3690 9 6 3

338 8 7148

70

3.3 วธิ ีวินควิ ลมั (Vinculum Method)

วินควิ ลมั ( Vinculum) เป็ นคาในภาษาละติน

ตรงกบั ภาษาองั กฤษ บาร์ (Bar) หมายถึงเสน้ ตามแนวนอน (−) ใชเ้ ป็นสญั ลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์
เป็น เคร่ืองหมายบาร์ หรือ เรียกวา่ สัญกรณ์บาร์ (Bar Notation)

เขยี นสัญกรณ์บาร์ บนตวั เลขแทนตวั เลขลบ เช่น 1 = −1, 2 = −2, 3 = −3, ..., 9 = −9 แต่ 0 = 0 เรียก

จานวนเหลา่ น้ีวา่ จานวนบาร์ (Bar Number)

1 อา่ นวา่ บาร์หน่ึง
2 อ่านวา่ บาร์สอง
3 อ่านวา่ บาร์สาม เป็นตน้

จากความรู้เรื่อง สูตรนขิ ิลมั (ทกุ ตวั ครบเก้าแต่ตวั สุดท้ายครบสิบ) และ

สูตรเอกาธเิ กนะ ปรู เวณะ (โดยการเพมิ่ 1 กบั ตัวท่อี ยู่ถัดไปข้างหน้า)

นาไปใชด้ าเนินแปลงเลขโดดบวกของจานวนปกติให้เป็นเลขโดดคละของเลขโดดบวกหรือเลขโดดลบ เป็น

จานวนจานวนบาร์ (หรือจานวนท่ีติดเคร่ืองหมายบาร์)

สรุป วิธีวนิ คิวลมั คือ การแปลงจานวนปกติเป็นจานวนท่ีมีตวั เลขติดเครื่องหมายบาร์ ซ่ึงเรียกวา่ “จานวนบาร์”

วธิ ีแปลงจานวนปกติ (Natural Number) เป็ นจานวนบาร์ (Bar Number) มีข้นั ตอนดังนี้

• หาตวั เติมเตม็ (Complement ) ของแตล่ ะตวั ของจานวนน้นั ดว้ ยสูตรนิขลิ มั ท่ีกาหนดให้ และใส่
สัญกรณ์บาร์ (Bar Notation)

• แลว้ ใชว้ ธิ ี โดยเพ่มิ 1 ของตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้

จานวนปกติ วิธีแปลง จานวนบาร์

6 10 − 4 14
97 100 − 3 103
289 290 −1 = 300 −11 291 = 311

หมายเหตุ ในการแปลงจานวนปกติเป็นจานวนบาร์น้นั เราใช้ สูตรนิขิลมั (ทกุ ตวั ครบเกา้ แตต่ วั สุดทา้ ยครบสิบ)

และสูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ (โดยการเพ่ิม 1 กบั ตวั ท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ )

เช่น 46798 ใชส้ ูตรนิขลิ มั และสูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ

จานวนปกติ 4 679 8

สูตรเอกาธเิ กนะ ปูรเวณะ +1 ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ ใช้สูตรนิขลิ มั

จานวนบาร์ 5 3 2 0 2 = 53202

71

น่ันคือ

ดาเนินการหาตวั เติมเตม็ เกา้ (ดว้ ยวิธีหาครบเกา้ ) ของ 6,7,9 คอื 3,2,0 ตามลาดบั และตวั สุดทา้ ย 8 หา
ตวั เติมเตม็ สิบ (ดว้ ยวิธีหาครบสิบ) คอื 2 แลว้ ใส่เคร่ืองหมายบาร์ (−) บนตวั เติมเตม็ เหล่าน้ี ไดเ้ ป็น 3, 2.0 และ
2 ตามลาดบั หลงั จากน้นั กใ็ ชส้ ูตร “โดยเพิม่ 1 ของตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ” ในท่ีน้ี ตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไป
ขา้ งหนา้ ของ 6798 คอื 4 ตอ้ งเพม่ิ ดว้ ย +1 เป็น 5

เพราะฉะน้นั แสดงวิธีทาลดั ได้ดังนี้ +1

46798 = 4 3202 = 53202

ข้อสังเกต การแปลจานวนปกติเป็นจานวนบาร์จะไดจ้ านวนบาร์ไดห้ ลายรูปแบบข้นึ อยกู่ บั ท่ีผแู้ ปลงมี

จุดประสงคจ์ ะนาไปใชใ้ นการคานวณ

เช่น +1

46798 = 4 3202 = 53202

แต่ ถา้ เราจะแปลง 46798 เฉพาะตวั เลขที่ขีดเส้นใต้ ของส่วนที่จะแปลง

เช่น 4 6 7 9 8

กจ็ ะแสดงได้ดังนี้

จานวนปกติ 4 679 8

สูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ +1 ครบสิบ +1 ครบเกา้ ครบสิบ ใช้สูตรนิขลิ มั

จานวนบาร์ 5 4 80 2 = 54802

ในทางกลบั กนั แปลงจานวนบาร์ กลบั ไปเป็ น จานวนปกติ
ถา้ เราจะแปลงจานวนบาร์กลบั ไปเป็นจานวนปกติ ซ่ึงเป็นการกระทาในทางตรงกนั ขา้ มของวิธีแปลง

จานวนปกติเป็นจานวนบาร์ สูตรที่ใชใ้ นเวทคณิตน้นั ก็มีสองสูตร คือ
สูตรที่ 2 สูตรนิขิลมั (ทุกตวั ครบเก้าแต่ตวั สุดท้ายครบสิบ) แต่ใช้

สูตรที่ 14 เอกนั ยเู นนะ ปูรเวณะ (จานวนท่นี ้อยกว่าอยู่หนง่ึ ของตวั ทีอ่ ย่ถู ดั ไปข้างหน้า)
ดงั น้นั จากจานวนบาร์ 53202 ท่ีกลา่ วมาขา้ งตน้ เม่ือเราจะแปลงกลบั ไปเป็นจานวนปกติ เราก็หาตวั เติมเตม็ เกา้
ของเลขโดดที่ติดเครื่องหมายบาร์ทุก ๆ ตวั ท่ีอยขู่ า้ งหนา้ ตวั สุดทา้ ยที่ติดเครื่องหมายบาร์ คือ

3, 2, 0 → 6,7,9

และตวั สุดทา้ ยหาตวั เติมเตม็ สิบ ที่ติดเคร่ืองหมายบาร์ (2 → 8) ของจานวนบาร์ น้นั โดยตวั เติมเตม็ ที่หาได้
ท้งั หมดน้นั ทกุ ตวั จะตอ้ งไมต่ ิดเคร่ืองหมายบาร์ แลว้ ในทางตรงกนั ขา้ ม ใหล้ ดค่า (−1) ของตวั เลขโดดท่ีอยู่
ขา้ งหนา้ ตวั เลขท่ีติดเครื่องหมายบาร์น้นั ก็จะไดเ้ ป็นจานวนปกติ

72

จานวนบาร์ 5 32 0 2

สูตรเอกนั ยูเนนะ ปูรเวณะ −1 ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ ใช้สูตรนขิ ลิ มั

จานวนปกติ 4 679 8

ดงั น้นั −1

53202 = 5 6798 = 46798

หรือ จานวนบาร์ 54802 เราจะแปลงจานวนปกติ 46798 ก็จะแสดงไดด้ งั น้ี

จานวนบาร์ 5 4 8 0 2 = 54802

สูตรเอกนั ยูเนนะ ปูรเวณะ −1 ครบสิบ −1 ครบเกา้ ครบสิบ ใช้สูตรนิขิลมั

จานวนปกติ 4 679 8 = 46798

บทนิยาม 1 จานวนบาร์ (Bar Number)
คือจานวนท่ีแปลงจากจานวนปกติใหม้ ีตวั เลขเหล่าน้นั อยา่ งนอ้ ย 1 หลกั เป็นเลขลบโดยเขียนสัญกรณ์

บาร์อยบู่ นตวั เลขเรียกวา่ เลขบาร์ โดยที่ค่าของจานวนบาร์ยงั คงเท่ากบั จานวนปกติเดิมน้นั
หมายเหตุ 1. สัญกรณ์บาร์ ตรงกบั ภาษาสนั สกฤต คือ มิศฺรก (Mishrank)

2. เลขบาร์ ตรงกบั ภาษาสันสกฤต คอื เรขางกะ (Rekhank)
3. ตวั เติมเตม็ ตรงกบั ภาษาสันสกฤต คือ ปูรัก (Purak)
4. จานวนบาร์ ท่ีตวั เลขแตล่ ะหลกั ของจานวนบาร์ น้นั มีค่าไม่มากกวา่ 5

จะถกู นิยามวา่ จานวนวนิ คิวลมั (Vinculum Number)
เช่น 12 ,103 ,311 , 10435 ,3 145 ,… ซ่ึงจะศึกษาในบทตอ่ ไป
สรุป วธิ ีการแปลงตวั เลขปกติเป็นตวั เลขบาร์มีข้นั ตอนท่ีใชด้ งั น้ี
• เมื่อกาหนดตวั เลขโดด ณ หลกั ใด ๆ ที่จะแปลเป็นตวั เลขติดเคร่ืองหมายบาร์ไดแ้ ลว้ ก็ใชว้ ิธีหาครบสิบ
ของตวั เลขน้ีก็จะไดต้ วั เติมเต็มสิบ ส่วนตวั เลขถดั ไปที่อยขู่ า้ งหนา้ ก็ใชว้ ธิ ีหาครบเกา้ ก็จะไดต้ วั เติมเตม็ เกา้
จะหากี่ตวั ก็ไดแ้ ลว้ แต่ท่ีจะกาหนด (โดยการใช้ สูตรนขิ ิลมั )
• เมื่อสิ้นสุดการใชส้ ูตรนิขลิ มั ตามท่ีกาหนดใหแ้ ลว้ ก็ให้เพ่ิม 1 กบั ตวั เลขท่ีอยหู่ ลกั ถดั ไปขา้ งหนา้ ของ
ตวั เลขน้นั (โดยการใช้สูตรเอกาธเิ กนะ ปูรเวณะ)

73

ตัวอย่างที่ 1 แสดงการเปล่ยี นจานวนปกตเิ ป็ นจานวนบาร์

(1) เปล่ียนจานวน 438 ใหเ้ ป็น จานวนที่จะติดเครื่องหมายบาร์ท่ีตวั เลข 8 เพียงตวั เดียว

วิธีการเป็ นเช่นนี้ ท่ีตวั สุดทา้ ย 8 หาตวั เลขที่นามาบวกกบั 8 แลว้ ไดค้ รบสิบกค็ อื 2 จากน้นั ใส่สัญกรณ์บาร์

หรือเคร่ืองหมายบาร์บน 2 เป็ น 2 ส่วนตวั เลขท่ีอยขู่ า้ งหนา้ 2 คอื 3 ใหเ้ พมิ่ 1 คอื +1 ก็จะไดเ้ ป็นแบบน้ี

3=4

+1 2

438 = 4 3 8 = 442

(2) เปล่ียนที่สองตวั สุดทา้ ยของ 438

ในทานองเดยี วกนั ณ ท่ี 8 หาครบสิบคอื 2 และที่ 3 หาครบเกา้ คือ 6 แลว้ เขียน เคร่ืองหมายบาร์บน 2

(2) และ 6 (6) จากน้นั เพิม่ ใหก้ บั ตวั ท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของ 3 คือ 4 +1

(4)

ไดจ้ านวนท่ีติดเครื่องหมายบาร์ เป็นแบบน้ี

+1 6 2

438 = 4 38 = 562

(3) หรือ เปล่ียนทุกตวั ของ 438 ใหต้ ิดเครื่องหมายบาร์

จากตวั ทา้ ยสุดท่ี 8 หาครบสิบคือ 2 ส่วนตวั เลขขา้ งหนา้ 8 ทุกตวั 3,4 หาครบเกา้ คอื 6,5 แลว้ ใส่สญั กรณ์

บาบน 2 (2) และ 6 (6) กบั 5 (5) จากน้นั เพิ่ม 1ใหก้ บั ตวั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของ 4 ไม่มี กค็ ือ 0

ดงั น้นั ตอ้ งได้ +1 ไดจ้ านวนท่ีติดเคร่ืองหมายบาร์ เป็น แบบน้ี

(0 = 1)

+1 5 6 2

438 = 0 438 = 1562

ตวั อย่างที่ 2 เปล่ียน 421387120 เป็นจานวนบาร์เฉพาะตวั เลขบนเส้นท่ีขดี เส้นใตข้ องจานวนน้ี

421387120

วธิ ีการ ในทานองเดียวกนั กบั ตวั อยา่ งท่ี 1 จากตวั เลขท่ีขีดเส้นใต้ 871

ในชุดน้ี เป็นตวั เลข 1 เป็นตวั เลขทา้ ยสุดใหห้ าครบสิบของ 1 คอื 9 ส่วนตวั เลขขา้ งหนา้ 1 ทุกตวั คือ 8,7 หา

ครบเกา้ คอื 1,2 แลว้ ใส่เคร่ืองหมาบบาร์บน 9 (9) และ 1 (1) กบั 2 (2) จากน้นั เพ่ิม 1 ใหก้ บั ตวั ท่ีอยถู่ ดั ไป

ขา้ งหนา้ ของ 8 ( 421387120 ) คือ 3 ดงั น้นั ได้ +1

(3 = 4)

ดังน้นั 421387120 = 421412920

ถา้ อยากจะทราบวา่ ผลลพั ธถ์ กู ตอ้ งหรือไม่ จากการยนั ความถูกตอ้ งดว้ วิธีคดั ออกเกา้

ตรวสอบไดด้ งั น้ี

421381720 = 421412920

421381720 = 421412920 (โดยประจกั ษ)์

หรือ อาจจะเปล่ียน 421387120 เป็นจานวนบาร์เฉพาะตวั เลขบนเส้นที่ขีดเส้นใตข้ องจานวนน้ีเช่น

421387120

74

จาก ตวั เลขแต่ละชุดท่ีกาหนดใหน้ ้นั คือ 21 และ 7120

ดงั น้นั ชุดแรก 21 ในชุดน้ีมีตวั เลขสองตวั ตวั สุดทา้ ยคอื 1 หาครบสิบคือ 9
ส่วนตวั เลขขา้ งหนา้ 1 คือ 2 หาครบเกา้ คอื 7

แลว้ เคร่ืองหมาบบาร์บน 9 (9) และ 7 (7) จากน้นั เพิม่ 1 ใหก้ บั ตวั ท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของ 2 คอื 4

ดังน้นั ได้ +1

(4 = 5)

เพราะฉะน้นั +1 7 9

421387120 = 4 21387120 = 579387120

ส่วนชุดท่ี 2 7120 เนื่องจากตวั สุดทา้ ยคอื 0 แต่ 0 = 0 จึงไม่จาเป็นตอ้ งเปลี่ยน เมื่อเป็นเช่นน้ีส่วนที่จะ
เปลี่ยนตวั เลขติดเครื่องหมายบาร์คือ 712

ตวั สุดทา้ ยของชุดน้ีคือ 2 หาครบสิบคือ 8
ส่วนตวั เลขขา้ งหนา้ 2 คือ 7,1 หาครบเกา้ คือ 2,8
แลว้ เครื่องหมายบาร์บน (8) และ 2 (2) , 8 (8) ตามลาดบั จากน้นั เพ่ิม 1 ใหก้ บั ตวั ท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของ

7 คอื 8 ดงั น้นั ได้ +1

(8 = 9)

เพราะฉะน้นั +1 2 8 8

421387120 = 5793 8 712 0 = 579392880

ข้อสังเกต มีหลายวธิ ีการในการแปลงจานวนปกติใหเ้ ป็นจานวนบาร์ไดห้ ลายรูปแบบท่ีแทนจานวนน้นั ได้

ตวั อยา่ งเช่น 86 = 90 − 4 = 94
หรือ 86 = 100 − 14 = 114
ดงั น้นั 86 = 94 = 114 = 1914 = 19914 = ...

จานวนลบทกุ จานวนสามารถแทนด้วยจานวนวินคิวลมั

ตวั อยา่ งเช่น −7 = 7 = −10 + 3 = 13
ในทานองเดียวกนั
และ −36 = 36 = −100 + 64 = 164

−978= 978 = −1000 + 22 = 1022

การแปลงจานวนบาร์เป็ นจานวนปกติ

ดงั ที่กลา่ วมาแลว้ ขา้ งตน้ ถึงการแปลงจานวนบาร์กลบั ไปเป็นจานวนปกติน้นั เป็นกระทาในทางตรงกนั

ขา้ มของวธิ ีแปลงจานวนปกติเป็นจานวนบาร์ สูตรท่ีใชใ้ นเวทคณิตน้นั คือสูตรที่ 2 สูตรนิขิลมั (ทุกตัวครบเก้าแต่

ตวั สุดท้ายครบสิบ) กบั สูตรท่ี 14 เอกนั ยเู นนะ ปูรเวณะ (จานวนท่ีน้อยกว่าอย่หู น่ึงของตัวท่ีอย่ถู ัดไปข้างหน้า)

มีข้นั ตอนท่ีใชด้ งั น้ี

• ณ หลกั ใด ๆ ที่ตวั เลขติดเครื่องหมายบาร์ เพยี งตวั เลขตวั เดียวก็ใหต้ วั เติมเตม็ ดว้ ยวิธีหาครบสิบของ
ตวั เลขตวั น้นั แลว้ ตงั เลขท่ีอยูถ่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของตวั น้นั ให้ลดค่าออก 1

75

เช่น 442 จะเปลี่ยนเป็น จานวนปกติ เนื่องจากมีเลขติดบาร์เพียงตวั เดียวคือ 2
หาตวั เติมเตม็ สิบของ 2 คอื 8 จากน้นั ตวั เลขท่ี
อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของ 2 คือ 4 ตอ้ งลบออก 1 (4−1= 3) ก็จะได้

จานวนปกติ คือ 442 = 4 −1 8 = 438

4

หรือ 569241 ในทานองเดียวกนั −1

569241 = 5 61241 = 551241

• ถา้ ตวั เลขท่ีติดเคร่ืองหมายบาร์ประกอบกนั หลาย ๆตวั กลา่ ววา่ เป็นชุด ๆ ในแต่ละชุดหาตวั เติมเตม็ เกา้

ของแต่และตวั ละตวั ของส่วนหนา้ แต่ตวั สุดทา้ ยของส่วนน้นั ๆ หาตวั เติมเตม็ สิบ จากน้นั ลบ 1 จากตวั

เลขท่ีอยขู่ า้ งหนา้ ของแต่ละชุดน้นั ๆ ตวั อยา่ ง เช่น

−1

552 = 5 48 = 448

1562 = −1 = 0438 = 438

1 438

−1 8 7 1

4214 12920 = 4214 1 2 9 20 = 421381720

−1 2 1 −1 7 1 2

579392880 = 5 7 9 3 9 2 880 = 421387120

76

ภาคผนวกวิธีการวนิ ควิ ลัม

บทนยิ าม 1 สาหรับจานวนเตม็ m ใด ๆ −m เขียนแทนดว้ ย m (อ่านวา่ บาร์เอม็ )
ซ่ึงหมายความวา่ m = −m

บทนยิ าม 2 สาหรับจานวน m ในระบบเลขฐานสิบ
m = anan−1an−2...a2a1a0 โดยที่สาหรับเลขโดด an ,an−1,an−2,...,a2,a,1 ,a0

m = a na n−1a n−2...a2a1a0 = an an−1an−2...a2a1a0

สมบตั ิของการดาเนินการวนิ ควิ ลมั

1. m + n = m + n

2. mn = m n

3.  m  = m ,n 0
 n  n

4. m = m

5. m + n = m + n

77

3.4 การลบด้วยวิธีวนิ ควิ ลมั (Subtraction by Vinculum Method)

การลบดว้ ยวธิ ีวนิ คิวลมั เป็นการลบดว้ ยวธิ ีการแยกหลกั ( Digit Seperator Method ) และเป็นวิธี

ทางเลือกอีกวธิ ีหน่ึงของการคดิ เลขเร็ว แต่ตอ้ งมีความรู้วิธีการวิคิวลมั อนั เป็นความคิดริเร่ิมท่ีที่สร้างสรรค์

(Initiative) ดงั กลา่ วมาแลว้ ขา้ งตน้ คือการแปลจานวนปกติเป็นจานวนบาร์ และจากนิยามการลบ สามารถนามา

ประยกุ ตใ์ ชก้ ารดาเนินการลบกบั หลาย ๆ จานวนไดอ้ ยา่ งมีประสิทธิภาพ

นิยาม การลบ a − b = a + (−b) เม่ือ −b เป็นตวั ผกผนั การบวกของ b

เพราะวา่ b + (−b) = 0 สมบตั ิการมีการผกผนั

ดงั น้นั a − b = a + (−b) = a + b −b เขยี นอยใู่ นรูปตวั เลขติดเคร่ืองหมายบาร์

เช่น 3+ (−8) = 3+ 8 = 5

9 + (−5) = 9 + 5 = 4

4 + (−4) = 4 + 4 = 0 = 0

−7 + 3 = 7 + 3 = 4

0+ 2 = 2+0 = 2

ข้นั ตอนการคดิ การลบด้วยวิธีวินควิ ลมั เป็ นดงั นี้
• เขยี นตวั ต้งั อยเู่ หนือตวั ลบ โดยใหต้ วั เลขแตล่ ะหลกั ของตวั ต้งั กบั ตวั ลบอยตู่ าแหน่งเดียวกนั
• ตวั ลบ เปลี่ยนเป็นจานวนบาร์ โดยตวั เลขตวั ทกุ ตวั ของตวั ลบใหใ้ ส่เครื่องหมายบาร์บนตวั เลขทกุ ตวั น้นั
• จากน้นั เปลี่ยนการลบเป็นการบวก โดยการหาผลบวกแต่ละหลกั ของตวั ต้งั กบั ตวั ลบท่ีติด
เครื่องหมายบาร์ เป็นการบวกแบบปกติ
• ผลบวกที่ไดใ้ หเ้ ปล่ียนจากจานวนท่ีติดเคร่ืองหมายบาร์เป็นจานวนปกติ ก็จะไดค้ าตอบของการลบท้งั
สองจานวนที่กาหนดให้น้นั

ดงั ตวั อย่างต่อไปนี้

ตวั อย่างท่ี 1 หาค่าของ 657 − 489 ดว้ ยวธิ ีการวินคิวลมั

วธิ ีทา 6 5 7 657 + ในท่ีน้ี 7 + 9 = 2

− 489 5+8 = 3

489

2 3 2 =168 6+ 4 = 2

คาตอบที่ได้ 2 3 2 =168 ใชส้ ูตรนิขิลมั และสูตรเอกนั ยเู นนะ ปูรเวณะ เปล่ียนเป็นจานวปกติ

78

ตวั อย่างท่ี 2 หาคา่ ของ 6767 −1908 ดว้ ยวธิ ีการวนิ คิวลมั ยนั ความถกู ตอ้ ง (ดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้ )
วธิ ีทา
8
6767 6 7 6 7+ 0−

− 1908

19 0 8

5 2 6 1 = 4859 → 8

ตวั อย่างท่ี 3 หาคา่ ของ 23451− 75643 ดว้ ยวิธีการวินคิวลมั ยนั ความถูกตอ้ ง (ดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้ )
วิธที า

2 3 4 51 23451 + 6+

− 75643 7

75643

5 2 2 1 2 →1 1

เพราะฉะน้นั 52212 = −(52212) = −(52192) = −52192 ยนั ความถูกตอ้ ง (ดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้ )

ตวั อย่างท่ี 4 หาคา่ ของ 46578567 −32419089
วิธที า

46578567 46578567 + 3+

− 0

32 419089 3 2 4 1 9 08 9

1416 1 5 2 2 → 3 3

เพราะฉะน้นั 14161522 =14259478
ตวั อย่างที่ 5 หาค่าของ 5674932−9920979
วิธีทา ด้วยวธิ ีนิขลิ มั และ ใช้นิยามการลบ a − b = −(b − a)

ดังน้นั 5674932 −9920979 = −(9920979 −5674932) → 9920979

จานวนเติมเตม็ → 43 2 5 068

5674932

−1 4 2 4 6 0 4 7

= −4246047

79

แต่ ถา้ เราใชว้ ิธีลบดว้ ยวธิ ีวนิ คิวลมั ปัญหากจ็ ะหมดไปและทาใหก้ ารลบง่าย รวดเร็ว ดงั น้ี

5674932 56749 32

− +

9920979 9920979

4 3 5 4 0 4 7 = 4246047 = −4246047

แบบฝึ กหัดชุดท่ี 3 หาผลลบของสองจานวนต่อไปน้ีดว้ ยวิธีวินควิ ลมั

1. 5 4 3 2. 5 6 7 3. 8 4 0 4. 7 3 7

− − − −

168 279 388 588

5. 8 0 2 4 6. 6 5 4 3 7. 7 1 0 3 8. 6 4 1 3

5339 − − − −

2881 3991 1878

9. 1 2 4 10. 3 1 1 11. 1 3 5 6 12. 4 6 2
− −
76 − 638 −

47 327

13. 1 1 0 1 14. 9 3 2 4 15. 1 1 3 1 16. 2 5 1 0
−
− − − 7 889

757 6846 9998

17. 9 6 6 7 18. 1 2 3 4 6 19. 1 3 1 5 7 20. 2 5 9 5 7
−
− − 94 56 −

638 7 337 7 27 5

21. 5 5 3 4 6 22. 9 9 7 9 2 23. 3 5 6 8 1 24. 1 2 1 4 8 0
−
− − − 94998

8 3586 97928 845 76

25. 2 0 0 26. 2 0 0 27. 3 0 0 0 28. 7 0 0 0
− − − −
276 347 5 638 4327

80

29. 4 0 0 0 30. 5 0 0 0 31. 2 0 0 0 32. 6 0 0 0

− − − −

7757 9846 5998 7889

33. 7 0 0 0 0 34. 5 0 0 0 0 35. 7 4 6 8 4 36. 9 3 0 0 0
− −
− 7337 7 − 275 4 5

8639 9 4 645 6

37. 2 1 2 1 5 5 38. 5 1 6 7 1 2 39. 5 1 0 0 0 0 6 40. 1 1 4 7 6 7 5
− −−
−
792846 845 7641 9 499834
358648

41. 2 1 1 5 0 1 42. 5 1 1 0 0 0 43. 6 1 5 5 3 1 44. 2 1 3 5 4 1 −
− −−
9 49989
9 4 3586 47718 8 845 76

45. 2 1 4 5 4 0 46. 5 1 5 6 0 0 47. 5 1 3 8 8 9 48. 1 1 6 7 6 4
− −
5 2 4358− − 845 766 9 49987

867928

81

3.5 การลบด้วยวิธีครบสิบหรือการลบด้วยสูตรเอกาธิเกนะ ปรู เวณะ

จากความหมายทวั่ ไปของการลบคือการนาเอาส่ิงของออกจากกลมุ่ หรือความหมายอีกนยั หน่ึงคือ

วิธีการท่ีจะหาจานวนหน่ึงท่ีนาไปบวกกบั จานวนใดจานวนหน่ึงในสองจานวนท่ีกาหนดใหแ้ ลว้ ไดผ้ ลบวกหรือ

ผลรวม เป็นจานวนหน่ึงในสองจานวนน้นั สองจานวนน้นั คอื ตวั ต้งั (Minuend) และตวั ลบ (Subtrahend) และ

จานวนท่ีนาไปบวกน้นั คือเศษเหลือ (Remainder) ของการลบ คอื ผลต่างระหวา่ ง ตวั ต้งั กบั ตวั ลบ

การลบด้วยวิธีครบสิบหรือการลบด้วยวิธีทบสิบ เป็นวิธีการแยกหลกั ( Digit Seperator Method ) อีกวิธี

หน่ึง เป็นการลบท่ีควบรวมการบวกและการลบ และมกี ารใช้สูตรด้วยการเพม่ิ 1 ซึ่งแทนด้วย จดุ ( ) ให้กบั

ตวั เลขถัดไปข้างหน้าของตวั ลบ

ข้นั ตอนการการลบด้วยวิธคี รบสิบเป็ นดงั นี้

• เขยี นตวั ต้งั อยเู่ หนือตวั ลบ โดยใหต้ วั เลขแต่ละหลกั ของตวั ต้งั กบั ตวั ลบอยตู่ าแหน่งเดียวกนั

• ที่ตวั ลบ ใหด้ าเนินการตวั เลขทุกตวั ของตวั ลบ ดงั น้ี ถา้ ตวั เลขของตวั ต้งั มากกวา่ ตวั ของตวั ต้วั ลบ ณ หลกั

เดียวกนั ใหล้ บกนั ไดเ้ ลย แตถ่ า้ ตวั เลขของตวั ต้งั นอ้ ยกวา่ ตวั เลขของตวั ลบ ณ หลกั เดียวกนั ใหใ้ ส่จุด ( )

ไวบ้ นตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ และจุด ( =1) น้ีใหบ้ วกกบั ตวั เลขถดั ไปน้ีดว้ ย ในขณะเดียวกนั หาตวั

เติมเตม็ สิบของหลกั ท่ีดาเนินการอยนู่ ้ีแลว้ นาไปบวกกบั ตวั เลขตวั ต้งั เป็นคาตอบ ณ หลกั น้ีเลย

• ดาเนินการเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ จบครบทกุ หลกั ผลลพั ธ์ที่ครบทกุ หลกั น้นั จะเป็นคาตอบของการลบ แต่ใช้

การบวกแทนการลบ

ตัวอย่างท่ี 1 หาค่าของ 493672− 249895

ข้นั ตอนการคิด 493672 − 249895

ข้นั ที่ 1 จดั ตวั เลขแตล่ ะหลกั ของสองจานวนใหอ้ ยตู่ รงตาแหน่งเดียวกนั 493672
ถา้ จานวนที่ไม่มีเลขหลกั น้นั ใหใ้ ส่ 0 ตรงตาแหน่งน้นั
−

-
249895

ข้นั ท่ี 2 พิจารณาตวั เลขของตวั ต้งั และตวั ลบท่ีละหลกั 493672

หลกั หน่วย 2  5 ใส่จุดบนเลขถดั ไปขา้ งหนา้ คอื 9 =10 −
ขณะเดียวกนั หาตวั เติมเตม็ สิบของ 5 คอื 5 นาไปบวกกบั 2 ของตวั ต้งั
คอื 5+ 2 = 7 แลว้ นา 7 ไปใส่บนช่องหลกั หน่วยของคาตอบ 5-
หลกั สิบ 9 =10  7 ใส่จุดบนเลขถดั ไปขา้ งหนา้ คือ 8 = 9 249895

หาตวั เติมเตม็ สิบของ 9 =10 คือ 0 นาไปบวกกบั 7 ของตวั ต้งั 7
คือ 0 + 7 = 7 แลว้ นา 7 ไปใส่บนช่องหลกั สิบของคาตอบ
493672

05

249895

77

82

หลกั ร้อย 8 = 9  6 ใส่จุดบนเลขถดั ไปขา้ งหนา้ คอื 9 =10 493672

หาตวั เติมเตม็ สิบของ 8 = 9 คือ 1 นาไปบวกกบั 6 ของตวั ต้งั 105
คือ 1+ 6 = 7 แลว้ นา 7 ไปใส่บนช่องหลกั ร้อยของคาตอบ
249895

777

หลกั พนั 9 =10  3 ใส่จุดบนเลขถดั ไปขา้ งหนา้ คือ 4 = 5 493672

หาตวั เติมเตม็ สิบของ 9 =10 คือ 0 นาไปบวกกบั ของตวั ต้งั 01 0 5
คือ 0 + 3 = 3 แลว้ นา 3 ไปใส่บนช่องหลกั พนั ของคาตอบ
249895

3777

หลกั หม่ืน 4 = 5  9 พบวา่ ตวั ต้งั มากกวา่ ตวั ลบ สามารถลบกนั ได้ 493672

ดงั น้นั 9 −5 = 4 แลว้ นา 4 ไปใส่บนช่องหลกั หมื่นของคาตอบ 01 0 5

249895

ส่วนหลกั แสน พบวา่ 2  4 แสดงวา่ ตวั ต้งั มากกวา่ ตวั ลบ 43777
493672

สามารถลบกนั ไดเ้ ลย 01 0 5

249895

ดงั น้นั 4− 2 = 2 แลว้ นา 2 ไปใส่บนช่องหลกั แสนของคาตอบ 243777

เพราะฉะน้นั 493672 − 249895 = 243777

แตก่ ารไดค้ าตอบการลบแลว้ ยงั ถือวา่ ไมส่ ิ้นสุดการลบน้นั ตอั งตรวจสอบคาตอบ ดว้ ยวิธีการยนั ความ

ถกู ตอ้ ง ดว้ ยการคดั ออกเกา้ กบั การคดั ออกสิบเอ็ด

การคดั ออกเก้า 493672 − 249895 = 243777 → 4 −1 = 3

การคัออกสิบเอด็ 493672 − 249895 = 243777

(2 − 7 + 6 − 3+ 9 − 4) − (5 − 9 + 8 − 9 + 4 − 2) = (7 − 7 + 7 − 3+ 4 − 2) → 6 = 6

83

ข้นั ตอนการลบสรุปได้ดงั นี้

พจิ ารณา แต่ตวั เลขแต่ละหลกั ของตวั ต้งั กบั ตวั ลบหลกั ต่อหลกั ถา้ ตวั เลขของตวั ต้งั กบั ตวั เลขของตวั ลบ

ณ หลกั เดียวกนั น้นั มีค่าน้อยกว่า ใหใ้ ส่จุด ( ) บนตวั เลขถดั ไปขา้ งหนา้ ของตวั เลขของตวั ลบ และใน
ขณะเดียวกนั ใหต้ วั เติมเตม็ สิบ พร้อมกบั เขียนตวั เติมสิบน้ีไวบ้ นตวั เลขหลกั น้ี

ในทางตรงขา้ มถา้ ตวั เลขของตวั ต้งั กบั ตวั เลขของตวั ลบ ณ หลกั เดียวกนั น้นั มคี ่ามากกว่า ก็ไมต่ อ้ งใส่จุด
( ) บนตวั เลขถดั ไปขา้ งหนา้ ของตวั ลบ

หลงั จากน้นั ใหห้ าผลลพั ธ์ของแตล่ ะหลกั โดยที่หลกั ที่มีตวั เติมสิบใหห้ าผลบวก ส่วนหลกั ท่ีตวั เลขของ
ตวั ต้งั มากกวา่ กใ็ หห้ าผลลบตามปกติ
ตวั อย่างที่ 2 หาคา่ ของ 5124 −3607

วิธีทา 5 1 2 4 → 512 4

− 4 3−

3 6 0 7- 3 6 0 7-

1517

ข้นั ตอนการคดิ
1. พิจารณาหลกั หน่วยและหลกั ร้อย เนื่องจากตวั เลขของตวั ต้งั นอ้ ยกวา่ ตวั เลขของตวั ลบ

4 นอ้ ยกวา่ 7 และ 1 นอ้ ยกวา่ 6

ใหใ้ ส่จุด ( ) บนตวั เลขถดั ไปขา้ งหนา้ ของ 7 และ 6 คอื บนเลข 0 และ 3 เป็น 0 และ 3
2. หาตวั ทบสิบ ของ 6 และ 7 คอื 4 และ 3 แลว้ ใชก้ ารบวกแทนการลบ นา 4 +1= 5 และ 3+ 4 = 7
เป็นผลลพั ธ์ของหลกั ร้อยและหลกั หน่วย ส่วนหลกั พนั และหลกั สิบตวั ต้งั มากกวา่ ตวั ลบกล็ บแบบปกติ คือ

5 − 3 = 5 − 4 = 1 และ 2 − 0 = 2 −1 = 1
ดังน้นั 5124 −3607 =1517
ตวั อย่างท่ี 3 หาค่าของ 927364−598179

วิธที า 927364

02 2 1−

5 9 8 1 7 9-

3 2 9 1 8 5  927346 − 598179 = 329185

วธิ คี ดิ พิจาณาแต่ละหลกั ของตวั ลบ จากขวาไปซา้ ย ถา้ ตวั เลขของหลกั ตวั ต้งั นอ้ ยกวา่ ตวั เลขหลกั ของตวั ลบใหใ้ ส่

จุด ( ) บนตวั เลขถดั ไปขา้ งหนา้ ของตวั ลบ และพร้อมกบั ใส่ตวั เติมสิบขา้ งลา่ งของตวั เลขหลกั น้นั ดว้ ย เม่ือ

ดาเนินการครบทกุ หลกั แลว้ หาคาตอบโดยเลขหลกั ใดมีตวั ทบสิบใหห้ าผลบวกตวั ทบสิบกับตวั เลขตวั ต้งั ณ หลกั
น้นั ๆ ส่วนตวั เลขหลกั ใดที่ตวั เลขของหลกั ตวั ต้งั มากกวา่ ตวั เลขของตวั ลบ ใหล้ บแบบวธิ ีด้งั เดิม

84