เวทคณิต ขั้นพื้นฐาน

ตัวอย่างที่ 3 หาคา่ ของ 927364−598179

วธิ ที า 9 2 7 3 6 4 −

02 21

-
59817 9

3 2 9 1 8 5  927346 − 598179 = 329185

พสิ ูจน์ความคดิ ของการลบด้วยวิธคี รบสิบหรือการลบด้วยสูตรเอกาธเิ กนะ ปูรเวณะ

กาหนดให้ หาค่าของ 543−387

พสิ ูจน์ จาก 543−387 แลว้ กระจายตามค่าประจาตาแหน่งได้

543−387 = (500 + 40 + 3) − (300 + 80 + 7) สมบตั ิการกระจาย

= (500 +100 + 40 +10 + 3) − (300 +100 + 80 +10 + 7) สมบตั ิการเพ่มิ เขา้ การบวก

= 500 +100 + 40 +10 + 3− 300 −100 −80 −10 − 7 สมบตั ิการผกผนั การบวก

= (500 −300 −100) + 40 + (100 −80 −10) +3+ (10 −7) สมบตั ิการเปลี่ยนหมู่

= (500 − (300 +100)) + 40 + (100 − (80 +10)) + 3+ (10 − 7)

= (500 − (400)) + 40 + (100 − (90)) + 3+ (10 − 7)

= (500 − 400) + 40 + (10) + 3+ (3)

= 100 + 50 + 6 =156

พิจารณา 100 −90 =10 เรียก 10 เป็นจานวนเติมเตม็ ร้อย ของ 90

10−7 = 3 เรียก 3 เป็นจานวนเติมเตม็ สิบของ 7

แสดงวธิ ที า การลบแบบแนวต้งั

วิธีทา 5 4 3

13 −

387 -

15 6  543− 387 =156

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ เป็นการลบท่ีตวั ต้งั มากกวา่ ตวั ลบ แตเ่ ราก็สามารถหาการลบในกรณีตวั ต้งั นอ้ ยกวา่
ตวั ลบได้ เนื่องจาก x − y = −(y − x) ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปน้ี

85

ตวั อย่างท่ี 4 จงหาค่าของ 234 −7381
วธิ ีทา เนื่องจาก 234 − 7381 = −(7318 − 234)

ดงั น้นั 7 3 8 1 −

-
0234

7 1 4 7 ดงั น้นั 234 − 7381 = − (7381 − 234) = − 7147

1

แบบฝึ กหัดชุดท่ี 4 การลบดว้ ยวิธีครบสิบหรือการลบดว้ ยสูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ

1. 7 7 2) 6 1 3) 9 1

− − −

58 58 77

4. 6 5 7 5. 9 3 1 6. 9 1 1

− − −

178 856 743

7. 6 5 7 8 8. 9 0 1 1 9. 3 9 2 6
− −
− 7422 1789

1562

86

3.6 การบวกและการลบระคน

ในวิชาเวทคณิตเรามีการดาเนินการวนิ ควิ ลมั ช่วยการลบใหง้ า่ ยข้ึน จะทาใหเ้ กิดความเช่ือมน่ั ในการคดิ เลข
ไดด้ ีข้ึน ความผิดพลาดลดลง โดยเฉพาะแลว้ การบวกและการลบแบบระคนแลว้ สามารถใชก้ ารดาเนินการ
วนิ ควิ ลมั ไดอ้ ยา่ งมีประสิทธิภาพ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี :

ตวั อย่างที่ 1 หาค่าของ 374 − 253+ 245− 433+ 327

วธิ ีทา 3 7 4 374

253  253
245 245
433 433
327 327

260

ข้นั ตอน เป็ นดังนี้

1. จานวนท่ีเป็นตวั ลบทุกจานวนใส่เคร่ืองหมายบาร์ บนตวั เลขทกุ ตวั ของจานวนน้นั ๆ

2. เปลี่ยนเครื่องหมายลบใหเ้ ป็นเครื่องหมายบวกระหวา่ งสองจานวนที่ลบกนั น้นั แลว้ ดาเนินการบวกท่ีละหลกั
จากหลกั หน่วยไปหลกั สิบ จะจากขา้ งบนลงลา่ งหรือลา่ งไปบนกระทาไดเ้ ช่นกนั

ในที่น้ี จากขา้ งบนลงลา่ ง 4 + 3 = 1, 1+ 5 = 6, 6 + 3 = 3, 3 + 7 = 10 ครบ 10 แลว้ ใส่จุดบนเลข 7 (7)
เหลือผลลพั ธ์ 0 ใส่ท่ีหลกั หน่วยเป็นคาตอบ
3. ก่อนที่จะดาเนินการท่ีหลกั สิบ ตอ้ งสังเกตวา่ หลกั หน่วยมีจุดอยบู่ นตวั เลขบวกหรือลบที่หลกั หน่วยหรือไม่ ใน

ที่น้ีจุดอยบู่ นเลข 7 (7) แสดงวา่ มีการทดสิบมาจากหลกั หน่วย คอื +1 ซ่ึงตอ้ งนาไปบวกกบั ตวั เลขหลกั สิบ
ต่อไป คือ 1+ 7 = 8, 8 + 5 = 3, 3 + 4 = 7, 7 + 3 = 4, 4 + 2 = 6 ซ่ึงพบวา่ ไมม่ ีการบวกครบ 10 จึงไม่มีการ
ทดไปท่ีหลกั ร้อยดาเนินการบวกต่อ
4. ดาเนินการบวกหลกั ร้อย 3 + 2 = 1, 1+ 2 = 3, 3 + 4 =1, 1+ 3 = 2
3 + 2 = 1, 1+ 2 = 3, 3 + 4 =1, 1+ 3 = 2 ได้ 2 เป็ นคาตอบที่หลกั ร้อย

ดังน้นั 375− 253+ 245 − 433+ 327 = 260

87

ตัวอย่างที่ 2 หาค่าของ 319 −596 + 703−986

วธิ ที า 3 1 9 319

596 596 เมื่อ = −1
703 703
986  986

5 6 0 = −560

หลกั หน่วย 9 + 6 = 3 → 3+ 3 = 6 → 6 + 6 = 0

หลกั สิบ 8 + 0 = 8 → 8 + 9 = 17 พบวา่ ผลบวกหลกั สิบได้ 10 + 7 ครบ −10 ใส่จุดติดลบแทนดว้ ย

ซ่ึงหมายถึง = −1 ไวบ้ น 9  9  แลว้ ดาเนินการบวก 7 +1= 6 เป็นผลลพั ธห์ ลกั สิบ
 

หลกั ร้อย เนื่องจากมีการทด = −1 จากหลกั สิบ ดงั น้นั จากขา้ งบน

−1+ 3 = 2 → 2 + 5 = 3 → 3 + 7 = 4 → 4 + 9 = 5 เป็ นผลลพั ธห์ ลกั ร้อย

ดงั น้นั 319 −596 + 703−986 = 560 = −560

ตวั อย่างท่ี 3 หาคา่ ของ 39143−15081+ 48989 −6882 −14361

วธิ ที า ดาเนินการลบจากบนไปล่าง

3 914 3 3 914 3

15 0 81 15081
48989

48989

6882 06882

14 3 61 14361

6 8 1 9 2 = 51808

88

ตวั อย่างท่ี 4 หาคา่ ของ 3456 − 2989 + 4121−1859

วิธที า 3 4 5 6 3456

2989 2989
4121 
18 5 9
4121

1859

3 2 7 1 = 2729

ตัวอย่างที่ 5 หาค่าของ 4345791− 6435154 −870189+ 2317898− 498447 + 9914456

วิธที า 4 3 4 5 7 9 1 4 3 4 5 7 91

6 43515 4  6435154
087 0189 0870189
2 317 898 2 317 898
0498447
498447 9914 456
9914 456

8 8 3 4 3 5 5 = 8774355

89

แบบฝึ กหัดชุดที่ 6. หาคา่ ของดาเนินการบวก ลบ ของจานวนต่อไปน้ี

1. 3 4 5 2. 1 0 0

167 389
289 659
947
76

3. 1 4 7 9 4. 2 0 9 0

1350 6357
6678
3607 8571
5327
9025 +

4638

5. 1 6 8 0 6. 4 7 0 9

789 819 6
6 7 87
757 2 781 +
846

7. 4 4 4 9 9 8. 8 7 0 1 6

76786 42587
15513 76901
42587 12587
15775 64593
73 3 77
6387

9. 1 6 8 7 3 5 8 9 10. 7 8 0 8 2 6 7 8 1 4

26 793986 +
97684 56
5 7163985

−

4571962 75

90

11. 4 6 7 8 7 8 12. 9 8 7 8 9 9

5 7 8888 977779
4 2 3234 2 33661
6 7878 4 85858
40 78 0 8 7 6 7675
1 6 7928 4 363 77

91

4. การคูณ

บทนำ

จำกบทนาในหนงั สือ INDIAN MATHEMATICS AN INTRODUCTION ของ

อำชอค จนุ ยนุ วำลำ (Ashok Jhunjhunwala)

เขยี นไวใ้ นบทนาเกี่ยวกบั ตวั เขาตอนเยาวว์ ยั

“ ตอนที่ฉันอายุ 10 ขวบไดเ้ รียกช่างไมม้ าที่บา้ นเพอื่ ทาช้นั

วา่ งหนงั สือ แตฉ่ นั ตอ้ งการช้นั ที่วางหนงั สือติดฝาผนงั ห้อง และมี

ความสูงแต่ละช้นั มีความสูงแตกต่างกนั ฉนั อธิบายถึงความตอ้ งการ

ของฉนั ใหแ้ ก่ช่างไมค้ นน้นั เขาไปท่ีผนงั หอ้ งเพ่อื วดั ใหไ้ ดข้ นาด

พอดีตามท่ีฉันตอ้ งการ เขาจดขนาดของแต่ละช้นั และส่วนต่าง เมื่อ

วดั ขนาดเสร็จ

ฉนั ขอร้องให้เขาคานวณปริมาณขนาดไมท้ ี่ตอ้ งใชแ้ ละราคาคา่ ทาช้นั วา่ งหนงั สือน้ี และแลว้ เขากเ็ ร่ิมคานวณ

ในขณะเดียวกนั ฉนั ก็เร่ิมคานวณเพือ่ ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง (cross-verification) ช่างไมใ้ ชเ้ วลาคานวณประมาณ

4 นาที ในขณะท่ีฉนั ตอ้ งใชเ้ วลาเกือบสิบกวา่ นาที จึงจะได้ ฉนั หวนกลบั มาคดิ วา่ ฉนั ควรจะคานวณเร็วกวา่ เขา นี่เขา

เป็นช่างไมท้ ่ีไมไ่ ดเ้ คยเรียนโรงประถมเลย

ฉนั ใชเ้ วลาคร่ึงชวั่ โมงขอร้องใหเ้ ขาช่วยสอนวธิ ีการคานวณของเขา อะไรน่ีมนั เป็นวธิ ีช่างง่ายและน่าท่ึง

ฉนั จะอธิบายใหก้ ระจ่างดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี

ตวั อย่ำงเช่น ในการคานวณหาพ้ืนท่ีของไมแ้ ผน่ หน่ึง ที่มีความยาว 5 ฟุต 1 นิ้ว กวา้ ง 3 ฟุต 5 นิ้ว

วิธปี กติ ที่เราใชก้ ารคานวณก็คือวธิ ีแปลงหน่วยเป็นหน่วยเดียวกนั ก่อน ดงั น้ี

ยาว 5 ฟตุ 1 น้ีว = 61 นิ้ว 61 41

กวา้ ง 3 ฟุต 5 น้ีว = 41 นิ้ว = 2501 ตร.นิ้ว

2501 ตร.นิ้ว เท่ากบั 144 ) 2 5 0 1 ( 17

14 4

10 61
10 0 8

53

คำตอบ คอื 17 ตร.ฟุต 53 ตร.นิ้ว

แต่วิธีท่ีช่ำงไม้ชำวอนิ เดียใช้มันช่ำงง่ำยกว่ำเหลือเกนิ ช่ำงไม้เขำไม่ต้องแปลงหน่วยให้เป็ นหน่วยเดียวกนั

หน่วยใดหน่วยหนึ่ง เช่นปกติทเี่ รำใช้คำนวณกันอยู่ วิธีท่ีช่ำงไม้ชำวอนิ เดยี คิดเป็ นอย่ำงไร

วธิ ีทช่ี ่ำงไม้ชำวอนิ เดยี คดิ เป็ นอย่ำงดงั นี้

(1) หาผลคูณของความยาวและความกวา้ งส่วนท่ีมีหน่วยเป็นฟตุ ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นตารางฟุต

เขียนผลลพั ธน์ ้ีใตห้ ลกั เดียวกนั ของหลกั คาตอบที่มีหน่วยเป็นตารางฟุต : 53 =15(ทางซา้ ยมือ)

5 ฟตุ 1 นิ้ว

3 ฟตุ 5 นิ้ว

15 ตร.ฟุต (เป็นการคูณแบบแนวต้งั )

(2) ในทานองเดียวกนั หาผลคณู ของความยาวและความกวา้ งส่วนที่มีหน่วยเป็นนิ้ว ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นตารางนิ้ว

เขยี นผลลพั ธ์น้ีใตห้ ลกั เดียวกนั ของหลกั คาตอบที่มีหน่วยเป็นตารางนิ้ว: 15 = 5 (ทางขวามือ)

5 ฟุต 1 นิ้ว

3 ฟตุ 5 นิ้ว

15 ตร.ฟุต 5 ตร.นิ้ว (เป็นการคูณแบบแนวต้งั )

(3) หาผลคณู ไขวส้ ่วนของความยาวท่ีมีหน่วยเป็นฟุตกบั ส่วนของความกวา้ งมีหน่วยเป็นนิ้ว

และส่วนของความกวา้ งท่ีมีหน่วยเป็นฟุตกบั ส่วนของความยาวมีหน่วยเป็นนิ้ว แลว้ บวกผลคูณท้งั สองน้ีเขา้

ดว้ ยกนั เขยี นไวต้ รงกลางระหวา่ งคาตอบท่ีไดม้ าจากผลคณู ในสองข้นั ตอนที่แลว้ : 55+31= 28 (ฟตุ นิ้ว)

5 ฟตุ 1 นิ้ว

3 ฟตุ 5 นิ้ว

15 ตร.ฟุต 28 5 ตร.นิ้ว

(4) หารผลลพั ธ์ 28 (ฟตุ  นิ้ว) ที่ไดจ้ ากข้นั ท่ี (3) ดว้ ย 12 (นิ้ว : ฟุต)

ไดผ้ ลลพั ธ์ของผลหารที่เป็นจานวนเตม็ 2 ตารางฟุต นาไปบวกกบั ส่วนท่ีมีหน่วยเป็นตารางฟุต ที่คานวณไดม้ า

ก่อนหนา้ น้นั ส่วน ๆ ท่ีเป็นเศษเหลือคือ 4 (ฟตุ  นิ้ว) คูณส่วนน้ีดว้ ย 12 (นิ้ว : ฟุต) ไดผ้ ลคูณที่เป็น

จานวนเตม็ 48 ตารางนิ้ว และแลว้ ก็นาไปบวกกบั ส่วนที่มีหน่วยเป็นตารางนิ้ว ที่คานวณไดม้ าก่อนหนา้ น้นั

5 ฟตุ 1 นิ้ว

3 ฟตุ 5 นิ้ว

15 ตร.ฟุต 28 5 ตร.นิ้ว

2 28 412 = 48
12
เศษเหลือ
ผลลพั ธ(์ จานวนเตม็ )

17 ตร.ฟุต 53 ตร.นิ้ว ผลท่ีคานวณไดเ้ ป็นไปตามท่ีเราตอ้ งการ

https://archive.org/details/IndianMathematicsAnIntroductionAshokJhunjhunwala/mode/1up

93

จำกบทคำนำข้ำงต้นของศำสตรำจำรย์อำชอค จนุ ยนุ วำลำ
ศาสตราจารยอ์ าชอค จุนยนุ วาลา (เกิด 22 มิถุนายน 1953) เป็นนกั วิชาการชาวอินเดีย เขาไดร้ ับปริญญา

ตรี วศิ วกรรมไฟฟ้า จากมหาวทิ ยาลยั ในคานปูร์, อินเดีย (Indian Institute of Technology, Kanpur) และปริญญาเอก
จาก มหาวิทยาลยั เมน (University of Maine) ซ่ึงปัจจุบนั เขาเป็นศาสตราจารยป์ ระจาสถาบนั สถาบนั ในเจนไน,
อินเดีย (Indian Institute of Technology Madras) เขาไดม้ ีส่วนอยา่ งมากในการสร้างสรรคน์ วตั กรรมเทคโนโลยแี ละ
การยอมรับในบริบทของอินเดีย
จำกบทคำนำข้ำงต้นวธิ ีทคี่ ิดหำพืน้ ทีไ่ ม้ของช่ำงไม้ชำวอนิ เดยี

เป็นวธิ ีคดิ ดว้ ยวธิ ี “การคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว้ (Vertically and Cross-wise )” ซ่ึงตรงกบั การคูณ
แบบรูปทว่ั ไปของเวทคณิต ท่ีใชม้ ากที่สุด ท่ีเราจะไดศ้ ึกษาต่อไปขา้ งหนา้

พอจะอนุมานไดว้ า่ ช่างไมช้ าวอินเดียไดถ้ ่ายทอดการคิดเลขมานานแลว้ เวทคณิตเกิดจาบคุ ลากรสามกลมุ่
คือสถาปนิก (สถาปัตยกรรม)โหราศาสตร์ (ดาราศาสตร์) หมอ (เวชศาสตร์)
จำกวิกพิ เี ดยี สำรำนุกรมเสรี
เวท อาจหมายถึง

• วิทยา, วทิ ยาการ, ศาสตร์, ความรู้ - คา "เวท" หมายความว่า ความรู้ เช่น เภสัชเวท คอื วิทยาศาสตร์แขนงที่วา่
ดว้ ยยาที่ไดจ้ ากพชื สัตวแ์ ละแร่ธาตุโดยตรง หรือสารท่ีเกิดจากสิ่งเหล่าน้นั หรือวิทยาศาสตร์แขนงที่วา่ ดว้ ย
สมุนไพร

• เวทมนตร์ - ถอ้ ยคาศกั ด์ิสิทธ์ิท่ีผกู ข้นึ เป็นมนตร์หรือคาถาอาคมเม่ือนามาเสกเป่ าหรือบริกรรมตามลทั ธิวิธีท่ีมี
กาหนดไว้ สามารถใหร้ ้ายหรือดี หรือป้องกนั อนั ตรายต่าง ๆ ตามคติไสยศาสตร์ได้

• คมั ภีร์พระเวท - ชื่อคมั ภีร์ภาษาสันสกฤตโบราณซ่ึงเป็นพ้ืนฐานของศาสนาพราหมณ์ยคุ แรก มีส่ีคมั ภีร์
ดงั ต่อไปน้ี โดยสามคมั ภีร์แรกเรียกวา่ "ไตรเวท" หรือ "ไตรเพท" ต่อมารับอถรรพเวทหรืออาถรรพเวท เขา้ มา
รวมเป็นส่ีคมั ภีร์เรียกวา่ "จตรุ เวท" หรือ "จตุรเพท"
o ฤคเวท - วา่ ดว้ ยบทสวดสรรเสริญเทพเจา้ ท้งั หลาย ตอนทา้ ยกล่าวถึงการสร้างโลกซ่ึงตอ่ มาได้
กลายเป็นตน้ แบบความเชื่อของชาวอินเดีย
o ยชุรเวท - วา่ ดว้ ยรายละเอียดการประกอบยญั พิธีและลาดบั มนตร์ท่ีนามาจากคมั ภีร์ฤคเวทเพอ่ื สวดใน
ข้นั ตอนตา่ ง ๆ ของพิธี
o สามเวท - วา่ ดว้ ยบทขบั ท่ีคดั เลือกมาจากประมาณหน่ึงในหกของฤคเวท และใชเ้ ฉพาะในพธิ ีท่ีบชู า
ดว้ ยน้าโสม
o อถรรพเวท หรือ อาถรรพเวท - เป็นเวทมนตร์คาถาเพ่ือใหเ้ กิดผลดีแก่ฝ่ายตน หรือผลร้ายแก่ฝ่ายศตั รู
ตลอดจนการบนั ดาลสิ่งท่ีเป็นมงคลหรืออปั มงคล การทาเสน่ห์ การรักษาโรค และอื่น

94

หมำยเหตุ 1. สูตรอรู ธวะ ติรยคั ภยามฺ เป็นสูตรท่ี 3 ของเวทคณิต เป็นสูตรในอถรรพเวท หรือ อาถรรพเวท ของ

พระเวท เป็นเวทมนตร์คาถาเพอ่ื ใหเ้ กิดผลดีแก่ฝ่ายตน หรือผลร้ายแก่ฝ่ายศตั รู ตลอดจนการ

บนั ดาลสิ่งท่ีเป็นมงคลหรืออปั มงคล การทาเสน่ห์ การรักษาโรค และอื่น ๆ

2. เนื่องจากเวทคณิตอยใู่ นภาคผนวกของพระเวท คือ อุปเวท - คมั ภีร์ "พระเวทรอง" ของอินเดียโบราณ เน้ือหามี
ลกั ษณะเป็นวทิ ยาการ ไมน่ บั วา่ เป็นคมั ภีร์ศาสนา ไดแ้ ก่

(1) อายรุ เวท - วชิ าแพทย์ ถือวา่ เป็นสาขาของคมั ภีร์อถรรพเวทหรืออาถรรพเวท

(2) ธนุรเวท - วชิ ายงิ ธนูและการใชอ้ าวุธอ่ืน ถือวา่ เป็นสาขาของคมั ภีร์ยชุรเวท

(3) คนั ธรรพเวท, คานธรรพเวท หรือ คนธรรพเวท - วิชาการดนตรี ถือวา่ เป็นสาขาของคมั ภีร์สามเวท

(4) สถาปัตยเวท - วชิ าการก่อสร้าง ไมร่ ะบวุ า่ เป็นสาขาของคมั ภีร์พระเวทใด,พฒั นามาเป็นสถาปัตยกรรมศาสตร์

ก่อนที่ศึกษำ “กำรคูณด้วยสูตรแนวต้ังและแนวไขว้ (Vertically and Cross-wise )”

เวทคณิต คือ “สูตรท่ี 3 อูรธวะ ตริ ยคั ภยำมฺ”

เป็นการดาเนินการคูณแบบรูปทว่ั ไป ( General Multiplication ) ของเลขสองจานวน และเป็น

กำรคำนวณจำกซ้ำยไปขวำ (Calculation from Left To Right)

เป็นสูตรใชม้ ากที่สุดเพราะสามารถใชไ้ ดท้ กุ กรณีกบั การคูณ และมีประโยชนม์ ากท่ีจะนาไปใชก้ บั การยกกาลงั สอง

การหารท่ีตวั ต้งั และตวั หารที่มีค่ามาก ๆ ซ่ึงจะกลา่ วตอ่ ไปในเรื่องการหารตรง หรือการหารยกธง
(Straight Division or Flag Division)

ดงั น้นั เราจะตอ้ งทาความเขา้ ใจหลกั การ เหตุผลและความเป็นมาของการคานวณจากซา้ ยไปขวา เสียก่อนดงั ต่อไปน้ี

4.1 กำรดำเนนิ กำรคูณจำกซ้ำยไปขวำ

เนื่องจากการบวกและการลบ ท่ีกลา่ วมาแลว้ เนน้ การดาเนินการจากซา้ ยไปขวา การดาเนินการคณู ก็จะเนน้

เช่นเดียวกนั หากปราศจากความเขา้ ใจท่ีมีความหมายเป็นนยั ๆ ของการคานวณเกี่ยวกบั สูตรต่าง ๆ ในเวทคณิต

ที่คานวณจากซา้ ยไปขวา เวทคณิตเปิ ดโอกาสใหเ้ ราไดม้ ีทางเลือก สารวจและอธิบายการทางานของสูตรวา่

ทางานอยา่ งไร

การคณู แบบด้งั เดิมท่ีรู้จกั กนั ดีน้นั มีแบบแผนเดียว ดงั น้ี
ตวั ต้งั  ตวั คณู = ผลลพั ธ์

เช่น 97643 ตวั ต้งั

 ตวั คณู 
48

7 811 4 4 ผลลพั ธ์

39 057 2 ซ่ึงเป็นวธิ ีด้งั เดิมที่ใชอ้ ยทู่ วั่ ไป
4685864

95

วธิ ีคดิ กำรคูณจำกซ้ำยไปขวำ

วิธคี ูณจำกซ้ำยไปขวำ เป็นการคณู ทแยงจาก ตวั คณู ไปยงั ตวั ต้งั จากตวั เลขตวั แรกของตวั ต้งั ทางซา้ ยสุด แลว้

เคล่ือนที่ถดั ไปทางขวา เม่ือหาผลคณู ของแตล่ ะตวั ใหเ้ ขยี นผลคณู โดยหลกั สิบอยหู่ นา้ เยอ้ื งไปขา้ งล่างทางซา้ ยของ

หลกั หน่วย เช่น

75 = 35 เขียนเขียนแบบเย้อื ง 75 = 3 5 และจะเห็นวา่ อยู่บรรทดั เดียวกนั
99 = 81 เขียนเขยี นแบบเย้อื ง 99 = 8 1 ในทานองเดียวกนั
42 = 08 เขียนเขียนแบบเยอ้ื ง 42 = 0 8 ผลคูณตอ้ งเขยี น 2 หลกั และอยบู่ รรทดั เดียวกนั
ตวั อยา่ งวิธีเขยี นการคณู เลขจากซา้ ยไปขวา

ตวั อย่ำงท่ี 1 หาผลคณู 478967
วธิ ีกำรเขียน การดาเนินการคูณจากซา้ ยไปขวา ดงั กลา่ วขา้ งตน้ เป็นการคณู ทแยง ของตวั คูณกบั ตวั เลขตวั แรกของ

ตวั ต้งั ทางซา้ ยสุด แลว้ เคล่ือนที่ถดั ไปคูณตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั ทางขวา ไปเรื่อย ๆ จนสิ้นสุดตวั สุดทา้ ยของตวั ต้งั

น้นั จึงมีขอ้ กาหนดวธิ ีการเขียนเพือ่ ใหส้ อดคลอ้ งกบั การคานวณ ท่ีจะศึกษาในบทตอ่ ๆ ไป

1. 4 7 8 9 6 คูณ 4 ดว้ ย 7 ผลคณู เทา่ กบั 28
แบง่ 28 เป็นสองส่วนคอื 2 กบั 8 แลว้ เขยี น 2 หอ้ ยอยหู่ นา้ 8 เย้อื งลงไปขา้ งล่าง


7

8 ทางซา้ ย

2

2. 4 7 8 9 6 คูณ 7 ดว้ ย 7 ไดผ้ ลคูณเท่ากบั 49 ในทานองเดียวแบ่งเป็น 4 และ 9
เขยี น 4 หอ้ ยไวใ้ ต้ 8 (จากข้นั ท่ี 1 ) และเขียน 9 ไวบ้ นแถวเดียวกบั 8

7

89

24

3. 4 7 8 9 6 คูณ 8 ดว้ ย 7 ไดผ้ ลคณู เทา่ กบั 56 แบ่งเป็น 5 และ 6
เขยี น 5 หอ้ ยไวใ้ ต้ 9 (จากข้นั ที่ 2 ) และเขียน 6 ไวบ้ นแถวเดียวกบั 9

7

896

245

96

4. 4 7 8 9 6 คณู 9 ดว้ ย 7 ไดผ้ ลคูณเท่ากบั 63 แบง่ เป็น 6 และ 3

 เขียน 6 หอ้ ยไวใ้ ต้ 6 (จากข้นั ที่ 3 ) และเขยี น 3 ไวบ้ นแถวเดียวกบั 6
7

8963

2456

5. 4 7 8 9 6 คูณ 6 ดว้ ย 7 ไดผ้ ลคณู เทา่ กบั 42 แบง่ เป็น 4 และ 2

 เขียน 4 หอ้ ยไวใ้ ต้ 3 (จากข้นั ที่ 4 ) และเขยี น 2 ไวบ้ นแถวเดียวกบั 3
7 ซ่ึงเป็นข้นั ตอนสุดทา้ ยของการคณู

89632

24564

6. 4 7 8 9 6 หาผลบวกแตล่ ะหลกั จากซา้ ยไปขวา จากความรู้กำรบวกด้วยวธิ ีกำรเพม่ิ 1 กบั ตวั เลข
ท่อี ยู่ถดั ไปข้ำงหน้ำ ถา้ ผลบวกของหลกั ใดมีคา่ มากกวา่ 9 ใหใ้ ส่จุด ( )


7

89632 บนตวั เลขถดั ไปที่อยขู่ า้ งหนา้

24564

3 3 5 2 7 2 ดังน้นั เม่ือสารวจตวั เลขแต่ละหลกั จากซา้ ยไปขวา (นบั จากหลกั แสน เป็นหลกั ที่ 1)
พบวา่ หลกั ท่ี 2 , 3, 4 มีผลบวก มากกวา่ 9 ใหเ้ ขียนจุด ( ) ใส่ บนตวั เลขของหลกั ท่ี

อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ จากน้นั หาผลบวกแต่ละหลกั จากซา้ ยไปขวา ใหใ้ ส่เฉพาะเลขโดดของแตล่ ะหลกั ซ่ึงเป็นวิธีคิดเลข
แบบแยกหลกั (Digit Separator Method) ดงั กล่าวมาแลว้ ในเรื่องการบวก

กำรหำผลบวกสุทธจิ ำกซ้ำยไปขวำ

หลกั ที่ 1 + 2 = 3
หลกั ท่ี 2 ( +8+ 4) = ( +8+1) +3 ไมต่ อ้ งสนใจกลุ่มท่ีผลบวกครบสิบ นาผลบวกท่ีไมค่ รบสิบคอื 3 เขยี นใส่ใน
ช่องคาตอบใหต้ รงหลกั ของผลบวกหลกั น้ี

หลกั ที่ 3 ( +9 + 5) พอดี ( +9 =10) ในทานองเดียวกนั ไมต่ อ้ งสนใจผลบวกครบสิบ นาผลบวกที่ไมค่ รบสิบคือ
5 เขยี นใส่ในช่องคาตอบใหต้ รงหลกั ของผลบวกหลกั น้ีเช่นเดียวกนั
หลกั ที่ 4 (6 + 6) = (6 + 4) + 2 ในทานองเดียวกนั ไมต่ อ้ งสนใจกลุม่ ท่ีผลบวกครบสิบไปแลว้ เพราะการใชค้ วามรู้
การบวกดว้ ยวิธีการเพิม่ 1 กบั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ น้นั ไดม้ ีการปรับการทดในการบวกครบสิบน้นั ไปแลว้
ดงั น้นั จึงนาผลบวกท่ีไม่ครบสิบคือ 2 เขียนใส่ในช่องคาตอบใหต้ รงหลกั ของผลบวกหลกั น้ีไดเ้ ลย
ส่วนผลบวกของหลกั ที่ 5 และ 6 มีผลบวกไม่ครบสิบ เรำสำมำรถใส่ผลบวกทไ่ี ด้เป็ นตัวเลขโดดตัวเดียวในช่องของ

แต่ละหลกั ได้เลย

97

แต่กำรคำนวนณทำงคณิตศำสตร์ เมื่อไดค้ าตอบแลว้ มิไดห้ มายความวา่ สิ้นสุดการคานวณ จะตอ้ งตรวจคาตอบวา่ ที่
คานวณไดน้ ้นั ถกู ตอ้ งหรือไม่ เนื่องจากเวทคณิตมีการตรวจสอบความถกู ตอ้ งดว้ ยวิธีการยนั ความถูกตอ้ ง 2 วธิ ี คอื
การคดั ออกเกา้ และการคดั ออกสิบเอด็

จำกตัวอย่ำงที่ 1 กำรคัดออกเก้ำ กำรคัดออกสิบเอด็

47896 7 6−9+8−7+4= 2
 

7 7 7= 7

3 3 5 2 7 2 →4 49 → 4 2 − 7 + 2 −5 + 3−3 = −8 14 → 4 −1 = 3

−8 +11 = 3 =3

ตอบ 478967 = 335272

จำกตวั อย่ำงข้ำงต้น สำมำรถลดข้ันตอนให้คดิ เลขได้เร็วดังแสดงในตัวอย่ำงต่อไปนี้

ตัวอย่ำงที่ 3 หาผลคณู 8760499 กำรคดั ออกสิบเอด็
วิธที ำ กำรคัดออกเก้ำ

876049 7 9 − 4 + 0 − 6 + 7 −8 = −2

 
9 09

2 3 4 0 61

765038

7884 4 41 0 1− 4 + 4 − 4 + 8 −8 + 7 = 4 −18 = −(8 −1)

= −7 → −7 +11 = 4

สรุปข้ันตอนย่อ ๆ

เริ่มต้นด้วย จากทางซา้ ยสุด 89 = 72 เขียน 7 หอ้ ยเย้อื งไปขา้ งลา่ งหนา้ 2

จากน้นั ดาเนินการคูณต่อ 79 = 63 เขียน 6 ไวต้ รงขา้ งล่าง 2 ส่วน 3 เขยี นไวแ้ ถวเดียวกบั 2

แล้วในทำนองเดยี วกัน 69 = 54 เขยี น 5 ไวต้ รงขา้ งลา่ ง 3 ส่วน 4 เขียนไวแ้ ถวเดียวกบั 3 จากน้นั

ดาเนินการคูณหลกั ถดั ไปเป็นไปในทาเดียวกนั เป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ จนถึงหลกั ทา้ ยสุด เมื่อสิ้นสุดการคณู แลว้

ใหห้ าผลบวกตาม วิธีการบวกด้วยการจัดกล่มุ ให้ครบสิบและกล่มุ ไม่ครบสิบและการบวกด้วยวิธีการเพิ่ม 1 กับ

ตัวเลขท่ีอย่ถู ัดไปข้างหน้า

98

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 1 กำรดำเนินกำรคูณจำกซ้ำยไปขวำ

1. 3 2 2. 3 2 3 4 3. 5 3 2 1 4. 6 8 2 7

   

3 5 7 8

5. 7 9 9 7 6. 5 2 7 8 7. 5 7 8 9 8. 7 0 9 2

   7

9 6 4

9. 4 8 4 3 10. 5 8 5 6 11. 4 8 9 6 12. 5 9 4 9

  4 

5 8 7

13. 5 6 9 8 7 14. 5 2 6 4 8 15. 6 8 3 1 7 16. 9 6 7 0 1

   

8 5 4 9

17. 8 4 6 9 . 6 7 18. 9 8 9 . 7 9 7 19. 8 4 8 3. 8 8 20. 6 9 9 6 . 6 7
  

0.7 0.6 0.9 0.8

99

4.2 เวทคณิตสำหรับกำรคูณ (Vedic Method for Multiplication)

เนื่องจากเวทคณิต เป็นวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยขี องความแมน่ ยาและมีความเป็นระเบียบอนั รักษาไวซ้ ่ึง
เอกลกั ษณ์ของความเป็นหน่ึงเดียวและในขณะเดียวกนั ก็เต็มไปดว้ ยความหลากหลาย เวทคณิตคอื พลงั แห่งความ
สมดุลภาพระหวา่ งสองคุณสมบตั ิที่ตรงกนั ขา้ ม

ดงั น้นั เวทคณิตสาหรับการคูณจึงมีความเป็นเอกลกั ษณ์และในขณะเดียวกนั ก็ยงั ยงั มีหลากหลายวธิ ีเริ่มตน้
จากวิธีพ้ืนฐานจนถึงวธิ ีเทคนิคและวธิ ีเฉพาะเจาะจง
เวทคณิตสำหรับกำรคูณ มี 7 วิธี ดังนี้

1. การคณู ดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้
หรือการคณู ดว้ ยสูตรอูรธวะ ติรยคั ภยาม (सतू ्र ३. ऊर्ध्तव िर्वग्भर्यंा = Sutra 3. Ūrdhva )Tiryagbhyām

2. การคณู ดว้ ยสูตรนิขลิ มั
(सूत्र २. तितिलां ि्िश्चरमंा दशि: = Sutra 2. Nikhilam Navathaścaramam )Dhaśataḥ

3. การคณู ดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย
หรือการคูณดว้ ยอุปสูตรอานุรูปเยณะ ( सूत्र ६. आिुरूप्र्े शनू्र्मन्र्ि् = Upasutra 6. )Ānurūpyeṇa

4. การคณู ดว้ ยตวั คณู เป็นลาดบั ของเลขเกา้
หรือการคูณดว้ ยสูตรเอกนั ยเู นนะ ปเู วณะ
(सूत्र १४. एकन्र्ूििे प्ू ेण = Sutra 14. Ekanyūnena )Pūrveṇa

5. การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนสุดทา้ ยเทา่ กบั สิบหรือกาลงั ของสิบ
หรือการคณู ดว้ ยอุปสูตรอนั ตยาโยรทศเกปิ (उपसूत्र ८. अन््र्र्ोदवशके ऽतप = )Upasutra 8. Antyayordaśake’pi

6. การคณู เลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนหนา้ เทา่ กบั สิบหรือกาลงั ของสิบแตต่ วั เลขส่วนหลงั ตอ้ ง
เทา่ กนั
หรือสูตรวมนั ลยาโยหะ ทศเก อปิ
)(्यमतिलर्ोह दयसके आतप सूत्र = Vamanlyayoh Dasake Api Sutra

7. การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกเลขตวั หนา้ เป็นพหุคูณของสิบแตต่ วั หลกั หน่วยเท่ากนั
หรือสูตรวมนั ลยาโยหะ ทศเก คุนิชหะ อปิ
)(्यमतिलर्ोह दसके गतु णह आतप सूत्र = Vamanlyayoh Dasake Gunijah Api Sutra

หมำยเหตุ
ในท้งั หมด 7 วธิ ขี ้ำงต้น วธิ ีท่ี 1 กำรคูณด้วยสูตรแนวต้ังและแนวไขว้ เป็นวธิ ีพ้ืนฐานเช่นเดียวกบั วธิ ี

ด้งั เดิมเพยี งแต่รูปแบบการคูณน้นั เป็นรูปแบบของกำรคูณเร็ว จำกซ้ำยไปขวำ และใช้พืน้ ที่กำรคูณเพยี งบันทดั เดียว
ส่วน วธิ ีท่ี 2 กำรคูณด้วยสูตรนิขิลมั และวธิ ีท่ี 3 กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย น้ันเป็ นวิธเี ฉพำะเจำะจง
เป็นวิธีพ้นื ฐานของเวทคณิต ท่ีสามารถเรียนรู้และเขา้ ใจง่าย

100

ส่วนอกี 4 วิธีหลงั ดังกล่ำวข้ำงต้น น้นั เป็นวธิ ีการคูณข้นั ประยกุ ตท์ ่ีตอ้ งอาศยั การศึกษา 3 วิธีขา้ งตน้ ท่ี
เป็นพ้นื ฐาน จึงจะสามารถเขา้ ใจหรือสังเกตได้อย่ำงทะลุปรุโปร่ง (Through Observation ) ซ่ึงจะไดศ้ ึกษาต่อ ใน

“เวทคณิตคดิ เร็ว ภำคประยุกต์”
อนั เป็ นวธิ เี ทคนิคเฉพำะ นค่ี ือควำมเป็ นเอกลกั ษณ์ (Identity) และควำมหลำกหลำย (Diversity) ของ
เวทคณิตคดิ เลข ภำคประยุกต์ ท่ีจะได้ศึกษำในเล่ม ต่อไป

4.3 กำรคูณด้วยสูตรแนวต้ังและแนวไขว้
หรือกำรคูณด้วยสูตรอรู ธวะ ตริ ยัคภยำม

ในเวทคณติ เป็นการคูณดว้ ย สูตรที่ 3 สูตรอูรธวะ ติรยคั ภยาม
ภำษำสันสกฤต

Ūrdhva Tiryagbhyām mean Vertically and crosswise

อูรฺทฺธ. ค. สูง , ขา้ งบน (vertically )
ตีรณ. ค. อนั ขา้ มแลว้ , อนั พน้ แลว้ (horizontally) และ ภยาม ค. ใชท้ ้งั สอง (use both)
จำกควำมรู้พื้นฐำนกำรคูณข้ำงต้นและจำกบทนำกำรหำพื้นที่ของช่ำงไม้อนิ เดีย นำมำสู่กำรกำรคิดเลขเร็วแบบ
กำรคูณด้วยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ (Vertically and Cross-wise )

หรือสูตรอูรธวะ ติรยคั ภยามฺ เป็นสูตรที่ 3 ของเวทคณิต
ใชส้ าหรับการดาเนินการคูณแบบทว่ั ไป (General Multiplication ) ของเลข
สองจานวน เป็นสูตรใชม้ ากท่ีสุดเพราะสามารถใชไ้ ดท้ ุกกรณีกบั การคูณ
และมีประโยชน์มากท่ีจะนาไปใชก้ บั การยกกาลงั สอง การหารที่ตวั ต้งั และ
ตวั หารที่มีคา่ มาก ๆ ซ่ึงจะกล่าวตอ่ ไปในเร่ืองการหารตรง หรือการหารยกธง (Straight Division or Flag Division)
แบ่งวิธีกำรคูณด้วยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ ในกรณตี วั ต้ังได้ 2 กรณี
(1) กรณีตวั ต้งั และตัวคูณมจี ำนวนหลกั เท่ำกนั
(2) กรณีตัวต้งั และตัวคูณมีจำนวนหลกั ไม่เท่ำกนั
4.3.1 กรณีตวั ต้งั และตวั คูณมจี ำนวนหลกั เท่ำกนั
การคณู ในกรณีท่ีตวั ต้งั และตวั คณู ที่มีจานวนหลกั เทา่ กนั น้ี เป็นวิธีที่ส้ัน ใชพ้ ้ืนท่ีนอ้ ยท่ีสุด เพราะสามารถหา
ผลคณู ไดโ้ ดยดาเนินการหาผลคณู เพียงบรรทดั เดียว และเป็นการพฒั นาการคูณจากซา้ ยไปขวา รูปแบการคณู คลา้ ย
วิธีการคูณพหุนาม ของวธิ ีด้งั เดิม กล่าวคือการคณู มีสมบตั ิการสมมาตร
เช่น การคณู พหุนามสองพหุนาม กล่าวคอื “หนา้ คูณหนา้ หลงั คูณหลงั ไกลคูณไกลบวกใกลค้ ณู ใกล”้

(a + b)(c + d) = ac + (ad + bc) + bd

101

ควำมรู้พืน้ ฐำนกำรคูณเลขสองจำนวน

จำนวนเตม็ ใด ๆ สามารถกระจายเป็นไปตามกฎการกระจาย (Expansion Law) ในรูปคา่ ประจาตาแน่งของ

ระบบฐานสิบ เช่น

34 = 310 + 4 หรือ 573 = 5102 + 710 + 3 หรือ 6784 = 6103 + 7102 +810 + 4

ดงั น้นั ถา้ เขียนจานวนเตม็ ใด ๆ ในรูปพารามีเตอร์ (Parameter) เช่น

จานวนเตม็ ab สามารถกระจายเป็น a10+ b เม่ือ a และ b เป็นเลขโดด

หรือ จานวนเตม็ abc สามารถกระจายเป็น a100+ b10+ c เมื่อ a , b และ c เป็นเลขโดด

จากความรู้ขา้ งตน้ เลขสองจานวน abcd = (10a + b)(10c + d)

ดงั น้นั เมื่อนาไปเขียนวิธีการคณู จึงไม่ใส่ค่าประจาตาแหน่ง ละไวใ้ นฐานที่ตอ้ งเขา้ ใจ

วธิ ีเขียนกำรคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว้

ab

cd

ac / ( a d + b c )/ b d

หลกั ร้อย / หลกั สิบ / หลกั หน่วย

แสดงข้นั ตอนกำรคูณ

(1) แนวต้งั ab

cd

(2) แนวไขว้ ac / /
ab

(3) แนวไขว้ cd
ac / ( a d + b c )/

ab

cd
ac / ( a d + b c )/ b d

102

4.3.1.1 กำรคูณเลขสองจำนวนทีม่ ตี วั เลข 2 หลกั เท่ำกนั
ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคูณของ 2123
วธิ ีทำ เทคนิคการคดิ เลขเร็วใหด้ าเนินการคิดตามหวั ลูกศร (จากล่างข้ึนบน)

และในกรณีคูณไขวใ้ หค้ ิดจากล่างข้นึ บนและจากขวาไปซา้ ย
การดาเนินการคณู มี 3 ข้นั ตอนคือ ต้งั → ไขว้ → ต้งั (สังเกตการคณู จะมีลกั ษณะสมมาตร)
กำรดำเนินกำรคูณ 3 ข้นั ตอน ดาเนินการคูณจากซา้ ยไปขวาและใหค้ ูณไขว้ ทแยงไปตามหวั ลูกศรสีแดง ก่อนแลว้
ตามดว้ ยไขวท้ แยง ลูกศรสีเขียว จากล่างข้ึนบนตามลาดบั

ข้นั ที่ 1 ข้นั ที่ 2 ข้นั ท่ี 3

21 21 21

23 23 23
4 48
483 = 483
0 00 00 0

(2 2 = 04) (23+1 2 = 08) (13 = 03)

แนวต้งั แนวไขว้ แนวต้งั
หรือ ผลคูณไขวห้ น่ึงคู่
ผลบวกของผลคูณไขวท้ แยงสองคู่ ผลคูณไขวห้ น่ึงคู่ (เป็นเทคนิคจาที่งา่ ย)

ข้นั ท่ี 4 แต่ กำรคำนวณ ตอ้ งจบสิ้นที่การตรวจสอบคาตอบวา่ ถูกตอ้ งหรือไม่ดว้ ย

วธิ ีการการยนั ความถูกตอ้ ง (Cross Check) ดว้ ยการคดั ออกเกา้ หรือการคดั ออกสิบเอด็

การคดั ออกเกา้ การคดั ออกสิบเอด็

21 → 3 1−2 = −1

 
23 →
5 3−2 = 1

483 →6 15 → 6 3−8 + 4 = −1 −1

ข้อควรจำ 1. ผลคูณไขวห้ น่ึงคู่ (ผลคูณแนวต้งั ) จะเป็นผลคณู ตวั เลขสองตวั
2. ผลคณู ไขวท้ แยงมากกวา่ หน่ึงคู่ (ผลคูณไขว)้ จะเป็นผลบวกของผลการคูณไขวท้ แยง

103

ข้อสังเกต การคณู แบบแนวต้งั และแนวไขวเ้ ป็นการคูณท่ีมีลกั ษณะสมมาตรซา้ ยขวาหรือสมมาตรแบบคร่ึงซีกหรือ
สมมาตรแบบสมมาตรทวิภาค (bilateral symmetry)

21


23

483 = 483
00 0

2 2 = 04 , 23+1 2 = 08 ,13 = 03

สังเกต ผลคูณสมมาตร = ผลคูณสุทธิ

ตัวอย่ำงที่ 2 หาผลคูณของ 9449

วธิ ีคดิ ดาเนินการคิดจากซา้ ยไปขวาและขณะเดียวล่างข้นึ บนจากขวาไปซา้ ย

ไขวห้ น่ึงคู่ (แนวต้งั ) ไขวท้ แยงสองคู่ ไขวห้ น่ึงคู่ (แนวต้งั )

(คณู จากลา่ งข้ึนบนคือลกู ศรสีแดงไปลกู ศรสีเขยี ว)

สมมาตร แกนสมมาตร สมมาตร

94 94 94

49 49 49

6 47 6 7 6 = 4606
3 09 39
3

(9 4 = 36) (99 + 4 4 = 97) (9 4 = 36)

วิธีทำ กำรยนั ควำมถกู ต้อง (คดั ออกเกา้ )

94 94 →4
 

49 49
→4

676 6 7 6 = 4606 → 7 16 → 7
39 3
39 3

สังเกตได้ว่ำ

วธิ ีคูณไขวท้ แยงน้ีจะเป็นไปเองโดยอตั โนมตั ิโดยไม่ตอ้ งจา ผลคณู ที่ไดข้ ้นั ตน้ น้ีจึงเรียกวา่ ผลคณู สมมาตร

แล้ว จึงหาผลคูณสุทธิดว้ ย “วิธีกำรบวกด้วยกำรจดั กลุ่มให้ครบสิบและกลุ่มไม่ครบสิบและกำรบวกด้วยวิธีกำรเพม่ิ

1 กบั ตวั เลขที่อยู่ถัดไปข้ำงหน้ำ”

แผนภำพสรุป กำรคูณเลขสองจำนวนที่มตี ัวเลข 2 หลกั เท่ำกนั

(1) (2) (1)
ใหพ้ ิจารณาการสมมาตรแบบสมมาตรทวภิ าค (bilateral symmetry)

104

กำรคูณด้วยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้นีส้ ำมำรถอธบิ ำยกำรคูณเชิงพชี คณิตของสองพหุนำมดีกรีหน่งึ ได้ดังนี้
ให้ (ax + b)(cx + d) = (ac)x2 + (ad + bc)x + bd

ให้ x =10 ดงั น้นั (a 10 + b)(c10 + d) = (ac)102 + (ad + bc)10 + bd
นนั่ คือ a b


cd
ac / ad + cb / bd

พจิ ำรณำ ac เป็นการคูณแนวต้งั
ad + bc เป็นผลบวกการคณู แนวไขว้
bd เป็นการคูณแนวต้งั

105

แบบฝึ กหัดชุดท่ี 2 การคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้

1. 2 3 2. 1 4 3. 6 6 4. 3 9

   
21 22 43 52

5. 6 9 6. 2 3 7. 3 5 8. 5 2

   
47 34
96 41
12. 4 5
9. 4 1 10. 6 9 11. 6 2

   59
37 71 53
16. 6 5
13. 4 3 14. 3 3 15. 6 3

   37

68 97 79 20. 8 5

17. 5 3 18. 8 1 19. 7 6 
59
  
76 65 76

106

4.3.1.2 กำรคูณเลขสองจำนวนท่มี ีตวั เลข 3 หลกั เท่ำกนั

ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคูณ 504321

การดาเนินการคณู มี 5 ข้นั ตอน ต้งั → ไขว้ → ไขวแ้ ละต้งั → ไขว้ → ต้งั

ดงั น้ี 5 0 4



3 21

5 0 7 8 4 =161784

11 1 0 0

เทคนคิ กำรคูณ

เป็นการดาเนินการคณู จากซา้ ยเล่ือนไปขวาและไขวท้ แยงจากลา่ งข้ึนบนแต่ตอ้ งจากหลงั ไปหนา้

ข้นั ที่ 1 ข้นั ท่ี 2 ข้นั ที่ 3 ข้นั ที่ 4 ข้นั ท่ี 5

504 504 504 504 504

3 21 3 21 3 21 3 21 3 21
5 50
507 5078 50784
1 11 11 1 11 1 0 11 1 0 0

(55 =15) (52 + 03 =10) (51+ 0 2 + 43) =17) (01+ 4 2) = 08) (41) = 04)

สมมาตร สมมาตร แกนสมมาตร สมมาตร สมมาตร

ไขวห้ น่ึงคู่ ไขวท้ แยงสองคู่ ไขวท้ แยงสามคู่ ไขวท้ แยงสองคูส่ มมาตร ไขวห้ น่ึงคู่สมมาตร

ลำดับกำรคูณ ใหค้ ณู จากลา่ งไปบนขณะเดียวกนั ขวาไปซา้ ย จาก ลกู ศรสีแดง → ลกู ศรสีเขียว →สีม่วง ทกุ ๆ

คร้ังสาหรับการคณู ตามลาดบั

โดยการเล่ือนการคูณสมมาตร (สงั เกตเป็นการสมมาตรทวิภาค)

- ข้นั ท่ี 1 ไขวห้ น่ึงคู่ (คือแนวต้งั )

- ข้นั ที่ 2 ไขวท้ แยงสองคู่ (คือแนวไขว)้

- ข้นั ที่ 3 ไขวท้ แยงสามคู่ (คือแนวไขว)้ เป็นแกนสมมาตร

- ข้นั ที่ 4 ไขวท้ แยงสองคู่ (คือแนวไขว)้ แต่สมมาตรทวภิ าค

- ข้นั ท่ี 5 ไขวห้ น่ึงคู่ (คอื แนวต้งั ) และสมมาตรทวภิ าค

เมื่อผลคูณ ข้ันที่ 1 ถงึ ข้นั ที่ 5 จะได้เป็ นผลคูณสมมำตร 5 0 7 8 4
11 1 0 0

จำกน้นั ให้หำผลคูณสุทธิด้วยหำผลบวกของแต่ละหลกั 5 0 7 8 4 =161784
11 1 0 0

ดงั น้นั ผลคูณสุทธิ คอื 504312 =161784

ตรวจสอบควำมถูกต้องด้วยวธิ ีกำรคดั ออกเก้ำ 504312 =161784 → 06 = 0

107

ตวั อย่ำงที่ 2 หาผลคณู ของ 321321
วธิ ีทำ การดาเนินการคณู จากซา้ ยเล่ือนไปขวาและลา่ งข้นึ บนแต่ตอ้ งขา้ งหลงั ไปขา้ งหนา้

ข้นั ที่ 1 ข้นั ท่ี 2 ข้นั ที่ 3 ข้นั ท่ี 4 ข้นั ท่ี 5

3 21 3 21 3 21 3 21 3 21

3 21 3 21 3 21 3 21 3 21
9 92
920 9204 9 2 0 41
0 01 01 1 01 1 0 01 1 0 0

(33 = 09) (3 2 + 23 =12) (31+ 2 2 + 31 =10) (21+1 2 = 04) (11 =1)

สมมาตร สมมาตร แกนสมมาตร สมมาตร สมมาตร
ไขวห้ น่ึงคูส่ มมาตร
ไขวห้ น่ึงคู่ ไขวท้ แยงสองคู่ ไขวท้ แยงสามคู่ ไขวท้ แยงสองคูส่ มมาตร

ผลคูณสมมำตร 9 2 0 41

01 1 0 0

จากน้นั ใหห้ าผลคูณสุทธิ 9 2 0 4 1 = 103041
01 1 0 0

ตรวจสอบควำมถกู ต้องด้วยวิธีกำรคดั ออกเก้ำ 321321 = 103041

วธิ ีคดิ ในใจ 6  6 = 36 → 9 = 9

3 21 ผลลพั ธ์ 5 ข้นั ตอน คอื 09,12 สมมาตร 04,01
 เมื่อ 10 เป็นแกนสามาตร ซ่ึงสามารถคิดเลขในใจได้
ตรวจสอบความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ ) 66 = 36 →9 = 9
3 21
ผลลพั ธ์ 5 ข้นั ตอน คือ 01,02 สมมาตร 10,14
9 2 0 4 1 = 103041 เมื่อ 11 เป็นแกนมมาตร

01 1 0 0

ตัวอย่ำงที่ 3 หาผลคณู ของ 116114
วธิ ที ำ 1 1 6


11 4

1 2 1 0 4 =13224 ตรวจสอบความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ ) 86 = 48 →3 = 3

00112

108

ตัวอย่ำงท่ี 4 หาผลคณู ของ 582234 ผลลพั ธ์ 5 ข้นั ตอน คือ 10,31 สมมาตร 38,08
48 เป็นแกนสมมาตร
วิธีทำ 5 8 2



234

0 1 8 8 8 = 136188 ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ ) 60 = 0 → 0 = 0

1 343 ผลลพั ธ์ 5 ข้นั ตอน คือ 20,47 สมมาตร 20,04
39 เป็นแกนสมมาตร
ตัวอย่ำงที่ 5 หาผลคณู ของ 532472
วิธที ำ 5 3 2



472

0 7 9 0 4 = 251104 ตรวจสอบความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ ) 14 = 4 → 4 = 4

24320 ผลลพั ธ์ 5 ข้นั ตอน คอื 21,66 สมมาตร 46,10
77 เป็นแกนสมมาตร
ตัวอย่ำงที่ 6 หาผลคูณของ 785362
วธิ ีทำ 7 8 5



362

1 6 7 6 0 = 284170 ตรวจสอบความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ ) 22 = 4 → 4 = 4

267 4 1

ควำมคดิ กำรคูณเชิงพชี คณติ ของสองพหุนำมดีกรีสอง

กาหนด (ax2 + bx + c) (dx2 + ex + f ) = adx4 + aex3 + afx2

+bdx + bex2 + cf

+cdx2 + cex + cf

= adx4 + (ae + bd)x3 + (af + be + cd)x2 + (bf + ce) + cf

ให้ x =10 ดงั น้นั (ax2 + bx + c) (dx2 + ex + f ) = (a 102 + b10 + c) (d 102 + e10 + f )

นนั่ คือ = (ad)104 + (ae + bd)103 + (af + be + cd)102 + (bf + ce)10 + cf
abc



def

a d / ae + bd / af + b e + c d / b f + c e / c f

พจิ ำรณำ ad เป็นการคูณแนวต้งั
ae + bd เป็นผลบวกการคูณแนวไขวค้ ู่

af + be + cd เป็นผลบวกการคณู แนวไขวค้ ี่
bf + ce เป็นผลบวกการคูณแนวไขวค้ ู่
cf เป็นการคูณแนวต้งั

109

สรุปเป็ นแผนภำพ ท้งั 5 ข้นั ตอนท่ีกล่าวขา้ งตน้ ผลคณู แนวไขว้ ผลคณู แนวต้งั
ผลคูณแนวต้งั ผลคณู แนวไขว้ ผลคณู แนวไขว้
:2 :1
1: 2 : 3

สมมาตร สมมาตร แกนสมมาตร สมมาตร สมมาตร

ไขวห้ น่ึงคู่ ไขวท้ แยงสองคู่ ไขวท้ แยงสามคู่ ไขวท้ แยงสองคูส่ มมาตร ไขวห้ น่ึงคสู่ มมาตร

แบบฝึ กหัดชุดที่ 3 การคณู ดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้

1. 3 1 2 2. 4 3 2 3. 6 3 7 4. 3 9 4

   

121 323 4 31 513

5. 4 5 3 6. 5 8 9 7. 3 6 5 8. 5 7 7

   
697 432 746
3 21

8. 4 5 3 10. 7 6 5 11. 5 6 3 12. 4 6 8

   
479 549
313 653

13. 5 1 7 14. 8 5 7 15. 4 3 7 16. 9 3 5

   
658 707 367
888

17. 4 2 9 18. 3 7 3 19. 7 3 6 20. 5 6 6

   
979 475 579
959

21. 7 2 3 22. 2 1 3 23. 6 0 9 24. 9 9 4

   
48 79
68 43

110

4.3.1.3 กำรคูณเลขสองจำนวนที่มตี ัวเลข 4 หลกั เท่ำกนั
การคูณจานวนสองจานวนท่ีมีเลขสี่หลกั ท่ีเท่ากนั มี 7 ข้นั ตอน มีลกั ษณะของการสมมาตรดงั น้ี

กำรดำเนินกำรคูณจำกซ้ำยเล่ือนไปขวำและไขว้ทแยงล่ำงขนึ้ บนแต่ต้องหลงั ไปหน้ำ
ลำดับกำรคูณ ใหเ้ ริ่มท่ีลกู ศรสีแดง ก่อนแลว้ สีเขียว สีมว่ งทุก และ สีเหลือง ทุก ๆ คร้ังและตอ้ งตามลาดบั

ข้นั ที่ 1 ข้นั ที่ 2 ข้นั ที่ 3 ข้นั ท่ี 4 ข้นั ท่ี 5 ข้นั ท่ี 6 ข้นั ที่ 7

1 :2 : 3 :4 : 3 :2 : 1

สมมาตร สมมาตร สมมาตร แกนสมมาตร สมมาตร สมมาตร สมมาตร

ไขวห้ น่ึงคู่ ไขวท้ แยงสองคู่ ไขวท้ แยงสามคู่ ไขวท้ แยงสี่คู่ ไขวท้ แยงสามคู่ ไขวท้ แยงสองคู่ ไขวห้ น่ึงคู่

สมมำตร

คณู แนวต้งั คูณแนวไขว้ คูณแนวไขว้ คูณแนวไขว้ คูณแนวไขว้ คูณแนวไขว้ คูณแนวต้งั

ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคณู ของ 32452135

3245 3245 3245 3245 3245 3245 3245

2135 2135 2135 2135 2135 2135 2135

6 67 679 6795 67957 679575 6795755
001323 0013232
0 00 001 0013 00132

สมมาตร สมมาตร สมมาตร แกนสมมาตร สมมาตร สมมาตร สมมาตร
ไขวห้ น่ึงคู่ ไขวส้ องคู่ ไขวส้ ามคู่
(เทา่ กบั แนวต้งั ) ไขวส้ ่ีคู่ ไขวส้ ามคู่ ไขวส้ องคู่ ไขวห้ น่ึงคู่

(เท่ากบั แนวต้งั )

ตรวจสอบควำมถกู ต้อง (คดั ออกเก้ำ)

ดังน้นั 3 2 4 5 →5


2135 →2

6 7 9 5 7 5 5 = 6928075 → 1 → 10 → 1

0013232

ผลคณู สมมาตร = ผลคณู สุทธิ

111

ตัวอย่ำงที่ 2 หาผลคณู ของ 78965879 7896 7896 7896 7896
วธิ ที ำ

7896 7896 7896

5879 5879 5879 5879 5879 5879 5879

5 56 568 5 6 81 5 6 813 5 6 813 3 5 6 813 3 4

3 39 395 3952 3 9 5 28 3 9 5 282 3 9 5 282 5

สมมาตร สมมาตร 1 12 121 1 2 11 1 2 11

สมมาตร แกนสมมาตร สมมาตร สมมาตร สมมาตร

ไขวห้ น่ึงคู่ ไขวท้ แยงสองคู่ ไขวท้ แยงสามคู่ ไขวท้ แยงสี่คู่ ไขวท้ แยงสามคู่ ไขวท้ แยงสองคู่ ไขวห้ น่ึงคู่

ตรวจสอบควำมถูกต้อง (คดั ออกเก้ำ)

ดงั น้นั 7 8 9 6 →3

 
5879 →2

5 6 8 1 3 3 4 = 46420584 → 6 → 6 →6

3 9 5 282 5

1 2 11

หรือใช้วิธีหำผลบวกของผลคูณแนวต้ังและแนวไขว้ด้วยกำรบวกด้วยสูตรศุทธ

วธิ ที ำ 7 8 9 6



5879

35 96 158 221183 123 54 = 46420584

112

4.3.1.4 กำรคูณเลขสองจำนวนทมี่ ตี ัวเลข 5 หลกั เท่ำกนั

กำรดำเนินกำรคูณจำกซ้ำยเลื่อนไปขวำและไขว้ทแยงล่ำงขนึ้ บนแต่ต้องหลงั ไปหน้ำ
ลำดับกำรคูณ ใหเ้ ริ่มที่ ลูกศรสีแดง ก่อนแลว้ สีเขยี ว สีม่วงทุก และ สีเหลือง ทกุ ๆ คร้ังและตอ้ งตามลาดบั

ข้นั ท่ี 1 ข้นั ที่ 2 ข้นั ท่ี 3 ข้นั ท่ี 4 ข้นั ท่ี 5 ข้นั ท่ี 6 ข้นั ท่ี 7

(1) (2) (3) (4) (5) (4) (3) (2) (1)
สมมาตร สมมาตร
สมมาตร สมมาตร สมมาตร ไขวส้ ี่ แกนสมมาตร ไขวส้ ี่ สมมาตร สมมาตร สมมาตร
ไขวห้ น่ึงคู่ ไขวส้ อง ไขวส้ าม ไขวห้ า้
ไขวส้ าม ไขวส้ อง ไขวห้ น่ึง
สมมาตรซา้ ย แกนสมมาตร
สมมาตรขวา

ตัวอย่ำง หาผลคูณของ 4583721394
วิธีทำ

45837 45837 45837 45837 45837 45837 45837 45837 45837

21394 21394 21394 21394 21394 21394 21394 21394 21394

08 14 33 65 102 108 80 75 28

เพราะฉะน้นั ตรวจสอบควำมถูกต้อง (คัดออกเก้ำ)

45837 →0

 
2139 4 →1

08 14 33 65 102 108 80 75 28 = 980636778 → 0 0

เป็ นกำรใช้วิธีหาผลบวกของผลคูณดว้ ยการบวกดว้ ยสูตรศุทธ

หรือใชว้ ิธีหาผลคณู สมมาตรจากซา้ ยไปขวาแลว้ หาผลคูณสุทธิอีกที

วิธีทำ 4 5 8 3 7



2139 4

8 4 3 5 2 8 0 5 8 = 980,636,778
01 3 6 0 0 8 7 2
11

ผลคูณสมมาตร = ผลคูณสุทธิ

113

แบบฝึ กหัดชุดท่ี 4 การคณู ดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้

1. 1 3 3 2 2. 4 1 2 3 3. 6 3 6 3 4. 4 9 9 4

   
4 3 51 515 3
4332 132 4

5. 5 4 1 5 6. 6 0 3 7 7. 8 3 3 8 8. 1 5 6 3

   
3040 6308
6336 312 3

9. 8 4 8 4 10. 4 1 2 3 11. 6 1 3 2 12. 2 3 4 8

   
7337 6969
4848 4224

13. 5 5 2 6 14. 3 1 3 2 15. 6 1 1 7 16. 3 9 6 9

   
276 336 727 840

17. 7 3 2 6 18. 7 6 0 9 19. 8 7 9 4 20. 8 2 9 1

   
94 99
57 75

21. 4 3 4 8 8 22. 1 4 8 6 7 23. 7 0 3 6 7 24. 8 5 8 8 7

   
313 71 2 5 4 71 30935 2 4 414

25. 5 0 2 3 5 26. 6 1 5 4 3 27. 7 0 7 7 1 28. 6 4 8 7 0

   
3488 6237 4171 1918 3

29. 3 2  1 1 30. 5 4  8 6 31. 7 2  0 6 32. 4 1  6 6

   
88 . 51 62.37 6.37 12 . 37

114

4.4 กำรเล่ือนคูณ (Moving Multiplication)

ในกรณทมี่ ี่ตัวต้งั และตวั คูณมีจำนวนหลกั ไม่เท่ำกนั น้ัน เราอาจยงั คงใชว้ ิธีการคณู ดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนว

ไขว้ แบบเดิมท่ีคูณเลขสองจานวนมีหลกั เทา่ กนั โดยเติมศูนย์ ( 0 ) ลงไปบนหลกั ขา้ งหนา้ ของจานวนท่ีมีหลกั นอ้ ย

กวา่ ใหม้ ีจานวนหลกั เท่ากบั จานวนท่ีมีหลกั มากกวา่ จนไดเ้ ลขสองจานวนน้นั มีจานวนหลกั เทา่ กนั

เช่น 59421 หรือ 21594
ใหเ้ ติม เติมศนู ย์ ( 0 ) บนหลกั ร้อยของ 21 เป็น 021 กจ็ ะไดเ้ ลขสองจานวนที่จะหาผลคณู ขา้ งตน้ เป็น

594021 หรือ 021594

เม่ือสองจานวนมีหลกั เท่ากนั แลว้ ก็สามารถหาผลคูณไดเ้ ช่นเดียวกบั การคูณเลขสองจานวนท่ีมีหลกั เท่ากนั

แต่การกระทาแบบน้ีไมเ่ หมาะกบั การศึกษาวธิ ีคดิ เลขเร็ว เนื่องจากไม่ไดล้ ดข้นั ตอนการคิดเลขเร็ว

ดงั แสดงตวั อยา่ งผลการคูณของ 59421 ไดต้ ่อไปน้ี

วิธีทำ 5 0 4 กำรคูณมี 5 ข้นั ตอน คอื (50 = 00), (52 + 00 =10)

 (51+ 02 + 40 = 05) สมมาตร 08 และ 04
0 21

00584

01 0 0 0

แต่วธิ ีข้ำงต้นช้ำไปหนึ่งข้นั ตอน จึงไม่เหมำะกบั กำรคิดเลขเร็ว

เน่ืองจากการศึกษาการคดิ เลขเร็วยอ่ มตอ้ งมีความเป็นเอกลกั ษณ์ ในขณะเดียวกนั กม็ ีความหลากหลายได้

เช่นเดียวกนั ดงั น้นั ในกรณีที่ตวั ต้งั และตวั คูณมีจานวนเลขหลกั ไม่เท่ากนั เราสามารถนาวธิ ีการคณู แนวต้งั และแนว

ไขวม้ าประยกุ ตใ์ ชไ้ ดโ้ ดยใชว้ ิธี กำรเล่ือนคูณ (Moving Multiplication)

ซ่ึงสามารถคดิ จากซา้ ยไปขวา และในขณะเดียวกนั กย็ งั ใชก้ ารคูณไขวท้ แยงจากล่างไปบน และจากขา้ งหลงั ไป

ขา้ งหนา้ เหมือนเดิม โดยไมต่ อ้ งจาวา่ เมื่อไรคณู แนวต้งั และเมื่อไรคูณแนวไขว้ ไดอ้ ีกดว้ ย เป็นวิธีธรรมชาติโดย

อตั โนมตั ิแต่ผลคณู ไดค้ วามหมายเช่นเดิม ซ่ึงสามารถลดข้นั ตอนการคานวณและคดิ ไดร้ วดเร็ว ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

วิธีทำ เทคนคิ กำรคูณโดยกำรเลื่อนคูณไขว้ทแยง

เป็นการดาเนินการคณู จากซา้ ยเลื่อนไปขวาและล่างข้นึ บนแต่ตอ้ งขา้ งหลงั ไปขา้ งหนา้ จะเหลือ 4 ข้นั ตอน

ข้นั ท่ี 1 ข้นั ท่ี 2 ข้นั ที่ 3 เล่ือนคูณ ข้นั ท่ี 4

.

504 504 5. 0 4 504

21 21 21 21 = 10,584
0 05 058 0584

1 10 10 0 10 0 0

(5 2 =10) (51+ 02 = 05) (01+ 42 = 08) (41 = 04)

115

ลำดบั กำรคูณ ใหเ้ ริ่มท่ี ลกู ศรสีแดง ไป สีเขยี ว ทกุ ๆ คร้ังและตอ้ งจากขา้ งล่างข้นึ ขา้ งบน (ขวาไปซา้ ย) ตามลาดบั
โดยเป็นการเลื่อนคณู ทแยง (สังเกตการสมมาตรทวิภาค)

- ข้นั ท่ี 1 คูณไขวห้ น่ึงคู่ (คอื แนวต้งั )
- ข้นั ที่ 2 ผลคูณไขวส้ องคู่ (คือแนวไขว)้
- ข้นั ท่ี 3 ปิ ดตวั เลขตาแห่งแรกซา้ ยสุดของตวั ต้งั ไขวส้ องคู่ (คอื แนวไข)้
- ข้นั ท่ี 4 ไขวห้ น่ึงคู่ (คอื แนวต้งั ) แต่สมมาตรทวิภาค

เมื่อผลคูณ ข้ันท่ี 1 ถงึ ข้นั ที่ 4 จะได้เป็ นผลคูณสมมำตร 0 5 8 4
10 0 0

จำกน้ันให้หำ ผลคูณสุทธดิ ้วยหำผลบวกของแต่ละหลกั 0 5 8 4 = 10,584
10 0 0

ดงั น้นั ผลคูณสุทธิ คือ 59421=10,584

ตรวจสอบควำมถูกต้องด้วยวธิ ีกำรคัดออกเก้ำ 59421=10,584 → 0  3 = 0

ตัวอย่ำงที่ 1 หาผลคณู ของ 98667

วธิ ีทำ เปรียบเทียบการคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว้ กบั การคูณแบบเลื่อนคณู

การคณู แบบแนวต้งั และแนวไขว้ ใชด้ ว้ ยการเติม ศูนย์ ใหม้ ีจานวนหลกั เท่ากบั ตวั ต้งั

986 การคณู มี 5 ข้นั ตอน คือ (90 = 00) , (96 +80 = 54)

 (97 +86 + 60 =111) สมมาตร (87 + 66 = 92)
067

0 4 1 2 2 = 66062 และ (67 = 42)

05 1 9 4

1

หรือ การคูณแบบเล่ือนคณู

986 การคณู มี 4 ข้นั ตอน คอื (96 = 54) , (97 +86 =111)
 (87 + 66 = 92) และสมมาตร (67 = 42)

67

4 1 2 2 = 66062 98667 = 66062 → 5  4 = 20 → 2 = 2

5 194

1

ตรวจสอบควำมถูกต้องด้วยวธิ ีกำรคดั ออกเก้ำ

สังเกต จะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ การคณู ในกรณีท่ีเลขสองจานวนคณู กนั ที่จานวนหลกั ไมเ่ ทา่ กนั ใชว้ ิธีการเล่ือนคูณ จะลด
ข้นั ตอนการคานวน ไดม้ ากจึงเหมาะกบั ที่จะเลือกเป็นวธิ ีคิดเลขเร็วไดด้ ีท่ีสุด

116

ต่อไปนจี้ ะเป็ นตัวอย่ำงที่จะเน้นกำรคิดเลขเร็วสำหรับกำรคูณด้วยใชว้ ธิ ีการเลื่อนคณู ไขว้

ตวั อย่ำงที่ 2 หาผลคูณของ 583739

วธิ ีทำ โดยกำรเลื่อนคูณ

5837 การเลื่อนคูณมี 4 ข้นั ตอน คือ (53 =15) , (59 +83 = 69)
 (89 + 33 = 81) , (39 + 73 = 48) สมมาตร

39

5 9 1 8 3 = 227643 (79 = 63)

1 6 846

ตรวจสอบควำมถูกต้องด้วยวธิ กี ำรคัดออกเก้ำ 583739 = 227643 → 5  3 = 15 → 6 = 6

ตวั อย่ำงท่ี 3 หาผลคูณ 4321321

วธิ ที ำ ในทานองเดียวกนั ให้ดาเนินการคิดวธิ ีการเลื่อนคูณท่ีตวั คูณสองหลกั ดงั กล่าวมาแลว้ ขา้ งตน้

ข้นั ตอนการคณู เป็นดงั น้ี

(1) 4 3 2 1 การเลื่อนคูณก็เช่นเดียวกบั การคูณตีวอยา่ งขา้ งตน้

 เขียนตวั คูณ 321 ตรงตาแหน่งซา้ ยสุดเช่นเดีนวกบั วธิ ีด้งั เดิม แลว้
3 21

2 หาผลคณู ไขวห้ น่ึงคู่ (ตามแนวต้งั ) ทางซา้ ยสุด 43 =12

1

(2) 43 21 หาผลบวกของผลการคณู ไขวท้ แยงสองคู่ 42+33 =17
 ตามลาดบั
1 3
27 21

1

(3) 4 3 2 1 หาผลบวกของผลการคูณไขวท้ แยงสามคู่ 41+32 + 23 =16
ข้นั ตอนน้ีเป็นข้นั ตอนสุดทา้ ยคร้ังแรก เพราะทุกหลกั ของตวั คูณ
 ไดค้ ูณครับแลว้ ข้นั ต่อไปจะตอ้ งเล่ือนคูณ

3 2 1

276

111

(4) 4. 3 2 1 ดงั น้นั ตอ้ งเลื่อนไปทางขวาท่ีตาแหน่งท่ี 2 ของตวั ต้งั

 หรือใชว้ ธิ ีปิ ด ตวั เลข 4 (ตาแห่งน้ีเสมือนเราเลื่อนคณู ) ไปกลมุ่ ตวั เลขอีก
กลุ่มหน่ึง แลว้ หาผลคูณไขวท้ แยงสามคู่ 31+ 22+13 =10
3 21

2760

1111

117

(5) 4 . 3 2 1 จะเห็นไดว้ า่ เริ่มเกิดการสมมาตรแบบการคูรแนวต้งั และแนนไขว้
หาผลบวกของผลการคณู ไขวส้ องคู่ 21+12 = 04


3 2 1

27604

11110

(6) 4 . 3 2 1 ข้นั สุดทา้ ยขวาสุด หาผลคูณไขวห้ น่ึงคู่ (ตามแนวต้งั ) 11= 01
ไดผ้ ลคณู สมมาตรทวิภาค


3 21

27604 1 = 1387041 เป็นผลคูณสุทธิ 1−2+3−4 = คดั ออกสิบเอด็
1−2+3 =
11 1 1 0 0 คัดออกเก้ำ −2

ตรวจสอบควำมถกู ต้อง →1 
ดงั น้นั 4 3 2 1 2

 →6
3 21

1 3 8 7 0 4 1 →6 6 → 6 1− 4 + 0 − 7 + 8 − 3+1 = −4 −4

ในกรณีท่ตี ัวต้ังมีจำนวหลกั มำกกว่ำตวั คูณ ต้ังแต่ 2 หลกั ขึน้ ไป การใชเ้ ทคนิคการเลื่อนคณู ไขว้ จะกระทา
ไดย้ าก ใหใ้ ชว้ ธิ ีปิ ดใหต้ วั เลขทางขวาสุดของตวั ต้งั เหลือตวั เลขทางซา้ ยของตวั ต้งั ใหม้ ีจานวนจานวนหลกั ของตวั ต้งั
เท่ากบั จานวนหลกั ของตวั คูณ

จำกน้นั ให้ ดาเนินการคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว้ แต่ตอ้ งสิ้นสุดที่แนวไขวท้ แยง (จานวนเส้นแนวไขว้
ทแยงตอ้ งเทา่ กบั จานวนหลกั ของตวั คูณ)

ในทำนองเดยี วกนั ใหเ้ ลื่อนปิ ดตวั เลขของตวั ต้งั น้ีไปทางขวาคร้ังละหนง่ึ หลกั แต่เม่ือเล่ือนแลว้ จะตอ้ งยงั คง
มีตวั เลขของตวั ต้งั ใหม้ ีจานวนหลกั เท่ากบั ตวั คณู เช่นเดิม

ดงั น้นั จะพบวา่ “ตอ้ งปิ ดตวั เลขทางขวาของตวั ต้งั ดว้ ย” เพือ่ ใหไ้ ดจ้ านวนตวั เลขของตวั ต้งั เทา่ จานวนตวั เลข
ของตวั คูณน้นั ตามที่ตอ้ งการแลว้ ใหด้ าเนินการคูณไขวท้ แยง (โดยจานวนเสน้ แนวไขวต้ อ้ งเท่ากบั จานวนหลกั ของ
ตวั คณู เทา่ น้นั ) เม่ือหาผลคณู ไขวเ้ สร็จแลว้ ให้ดาเนินการเลื่อนคูณในทานองเดียวกบั ขา้ งตน้

เมื่อเกำรลื่อนน้นั เลื่อนไปจนครบถึงข้ันสุดท้ำยของกำรเล่ือนคูณ (คือเหลือจานวนตวั เลขของตวั ต้งั เท่ากบั
จานวนตวั เลขของตวั คูณ) ในดาเนินการคูณไขวท้ แยงแบบปกติ คือตอ้ งเริ่มท่ีแนวไขวไ้ ปสิ้นสุดที่แนวต้งั ดงั ที่จะ
แสดงในตวั อยา่ งต่อไปน้ี

118

ตัวอย่ำงท่ี 4 หาผลคูณของ 37824325

วธิ ที ำ พิจารณามีการเลื่อนคูณ 2 คร้ัง

ข้นั ที่ 1 เนื่องจากตวั คณู มีสามหลกั ตวั ต้งั มีหา้ หลกั ใหป้ ิ ด ตวั เลขสองหลกั ทางขวาสุดของตวั ต้งั กจ็ ะเหลือ

3 7 8 2 4. ตวั เลขสามหลกั ทางหนา้ ของตวั ต้งั พอดี

 บนตัวต้งั นี้ คือ 378 หาผลคณู 378 กบั 325
325

973 ไขวห้ น่ึงคู่ 33 = 09

02 5

ผลบวกของผลคณู ไขวท้ แยงสองคู่ 32+ 73 = 27

ผลบวกของผลคูณไขวท้ แยงสามคู่ 35+ 72+83 = 53

เม่ือคณู ไขวค้ รบสามคู่แลว้ ให้เล่ือนการคูณ เป็นการเลื่อนคูณคร้ังท่ี 1

ข้นั ที่ 2 เป็นการเล่ือนคูณคร้ังที่ 1

เลื่อนปิ ดตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั หน่ึงตวั คอื 3 ขณะเดียวกนั ก็ไปปิ ดตวั เลขขา้ งหลงั สุดของตวั ต้งั หน่ึงตวั

3. 7 8 2 4 . คือ 4 กจ็ ะเหลือตวั เลขของตวั ต้งั สามตวั คอื 782 ที่ตอ้ งใช้

 เป็นตวั ต้งั สาหรับการคูณกบั ตวั คณู 325 ที่มีจานวนหลกั เท่ากนั
325 แลว้ ดาเนินการคณู ไขวท้ แยงสามคู่ 75+82+ 23 = 57

9737

02 5 5

ในทานองเดียวกนั เมื่อคณู ไขวค้ รบสามคูแ่ ลว้ ใหเ้ ล่ือนการคณู เป็นการคูณคร้ังที่ 3

ข้นั ท่ี 3 เป็นการเลื่อนคูณคร้ังที่ 2

ในทานองเดียวกนั ให้ เล่ือนปิ ดตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั อีกหน่ึงตวั คือ 7 แต่พบวา่ เหลือตวั เลขของ

3 7. 8 2 4 ตวั ต้งั จะเป็นจานวนสามตวั พอดี คอื 824

 ซ่ึงมีจานวนตวั หลกั เทา่ กนั พอดีกบั ตวั คณู

325 และเป็ นการสิ้นสุดของการเลื่อนคูณ

9737680 แลว้ ดาเนินการคูณไขวท้ แยง ข้นั สุดทา้ ยของ 824 กบั 325

02 5 5 5 1 2

เป็นผลคณู ไขวท้ แยงสามคู่ 85+ 22 + 43 = 56
ผลคณู ไขวท้ แยงสองคู่ 25+ 42+ =18 และไขวท้ แยงหน่ึงคู่ (แนวต้งั ) 45 = 20
ดังน้นั ผลคูณสุทธิ 12292800
ตรวจสอบควำมถกู ต้อง ดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้

37824325 = 12292800 → 6  1 = 6 เป็ นจริง

119

ตัวอย่ำงท่ี 5 หาผลคณู ของ 678345587
วิธที ำ พจิ ารณามีการเล่ือนคูณ 3 คร้ัง
เน่ืองจากตวั คณู มีสามหลกั ตวั ต้งั มีหกหลกั ใหป้ ิ ด ตวั เลขสามหลกั ทางขวาสุดของตวั ต้งั กจ็ ะได้ 678

6 7 8 3 4 5. เป็น ตวั เลขสามหลกั ทางหนา้ ของตวั ต้งั พอดี
 บนตวั ต้งั น้ี คือ ปิ ด 345 แลว้ หาผลคณู 678 กบั 587

587

038 ไขวห้ น่ึงคู่ 65 = 30

38 3

1

ผลบวกของผลคูณไขว้ สองคู่ 86+57 = 83

ผลบวกของผลคูณไขวส้ ามคู่ 67 + 78+85 =138

เล่ือนคูณคร้ังท่ี 1

เลื่อนตวั เลขถดั ไปทางขวาของตวั ต้งั หน่ึงตวั ขณะเดียวกนั ใหป้ ิ ดตวั เลขขา้ งหลงั ของตวั ต้งั สองตวั

6 . 7 8 3 4 5. กจ็ ะเหลือตวั เลขของตวั ต้งั 783 ที่ตอ้ งใชส้ าหรับการคูณกบั ตวั คูณ
 587 (จานวนหลกั เท่ากนั 3 หลกั ) แลว้ ดาเนินการคณู ไขว้

587

0388 ของ 783 กบั 587 เป็นผลบวกของผลคูณไขวส้ ามคู่

38 3 2

11

 77 +88 + 35 =128

เลื่อนคร้ังที่ 2 ในทานองเดียวกนั ใหเ้ ล่ือนเปิ ดตวั เลขถดั ไปทางขวาของตวั ต้งั อีกหน่ึงตวั

6 7. 8 3 4 5 . ขณะเดียวกนั ก็ไปปิ ดตวั เลขขา้ งหนา้ ของตวั ต้งั เพ่มิ เป็นอีกหน่ึงตวั
 เช่นกนั ก็จะเหลือตวั เลขของตวั ต้งั เป็น 834 ที่ตอ้ งใชส้ าหรับการคณู กั

587

03880 ตวั คูณ 587 เป็นผลบวกของผลคณู ไขวส้ ามคู่

38 3 2 0

111

 87 + 83+ 45 =100

เลื่อนคร้ังท่ี 3 ในทานองเดียวกนั ให้ เลื่อนปิ ดตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั อีกหน่ึงตวั ขณะเดียวกนั กไ็ ปปิ ดตวั เลข

6 7 8. 3 4 5 ขา้ งหนา้ ของตวั ต้งั เพ่ิมเป็นสามตวั
 คือปิ ด 678 เหลือ 345 แลว้ หาผลคณู 345 กบั 587

587 ผลบวกของผลคูณแนวไขวส้ ามคู่ 73+84+55 = 78

03880885 ผลบวกของผลคูณแนวไขวส้ องคู่ 74+85 = 68
และไขวห้ น่ึงคู่ (แนวต้งั ) 57 = 35
38 3 2 0 7 6 3

111

( เป็นผลคณู สมมาตร)

120

ดงั น้นั 6 7 8 3 4 5


587

0 3 8 8 0 8 8 5 = 398188515 (ผลคณู สุทธิ)

38 3 2 0 7 6 3

111

ตรวจสอบควำมถูกต้อง ดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้
678345587 = 398188515 → 6  2 = 12 เป็ นจริง

ข้อสังเกต จะเห็นไดว้ า่ การคูณไขวห้ น่ึงคู่ (เทา่ กบั แนวต้งั ) จะเกิดข้ึน
“ทุกเร่ิมตน้ และทกุ สิ้นสุดของข้นั ตอนการคณู เสมอ” ส่วนการคูณแนวไขว้ “จะเกิดข้ึนในทุก ๆ ตาแหน่งตรงกลาง”
ตัวอย่ำงท่ี 6 หาผลคูณของ 54322  3243
วธิ ีทำ ข้นั ตอนการเลื่อนคูณแนวต้งั และแนวไขว้

1. 5 4 3 2 2 . 2. 5 4 3 2 2 .

3243 3243
5 52

1 12

3. 5 4 3 2 2. 4. 5 4 3 2 2 .

3243 3243
527 5273

123 1234

5. 5. 4 3 2 2 5. 5. 4 3 2 2

3243 3243
52734 5 2 7 3 41

12343 123432

121

7. 5. 4 3 2 2 8. 5. 4 3 2 2

3243 3243

5 2 7 3 414 5 2 7 3 414 6

1 2 3 4 3 21 1 2 3 4 3 210

สรุป 5 4 3 2 2


3243

5 2 7 3 414 = 176166246

1 2 3 4 3 21 ผลคูณสุทธิ

ผลคณู สมมาตร

ตัวอย่ำงที่ 7 หาผลคูณของ 3.953.953.95

วธิ ที ำ จากสมบตั ิการเปล่ียนหมู่ 3.953.953.95 = (3.953.95)3.95

ดงั น้นั หาผลคูณ (3.953.95)

3 .9 5 ไขวห้ น่ึงคู่ (แนวต้งั ) 33 = 09

 ผลคูณแนวไขวส้ องคู่ 39 +39 = 54
3 .9 5

9 4 1 5 =15.6025 ผลคูณแนวไขวส้ ามคู่ 35+99 +35 =111

05 12 ผลบวกแนวไขวส้ องคู่ 59+59 = 90
ไขวห้ น่ึงคู่ (แนวต้งั ) 55 = 25
1

ข้นั ต่อไปหาผลคูณ 15.60253.95

1 5 .6 0 2 5


3 .9 5

3 4 8 9 6 3 5 5 = 61.629875

02673352

122

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 5 การคูณโดยการเลื่อนคูณ

1. 1 1 3 2. 1 2 1 3. 1 2 3 4. 1 0 4

   
13 74 27 34

5. 2 0 1 6. 3 1 6 7. 6 2 7 8. 6 0 2

   
73 89 78 63

9. 1 2 1 4 10. 5 3 2 4 11. 3 2 1 9 12. 3 2 5 7

   
34 58 87 68

13. 1 3 2 5 7 14. 2 4 3 6 8 15. 2 6 7 9 0 16. 6 9 7 4 8

   
57 89 47
23

17. 5 2 2 5 6 18. 6 3 1 3 4 19. 9 6 4 8 1 20. 4 7 8 9 3

   
67 86 49 77

21. 7 6 1 9 22. 8 2 9 6 23. 9 1 9 2 24. 1 8 7 6

   
256 685 437
943

25. 1 2 8 1 2 26. 3 5 4 7 9 27. 7 6 3 8 9 28. 9 6 7 6 7

   
254 543 903
977

123

4.5 จำนวนวินควิ ลมั (Vinculum Numbers)

เวทคณิต เป็นระบบคณิตศาสตร์ท่ีคน้ พบโดยกูรู ศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ ศงั กราจารย์ ชาวอินเดีย
ระหวา่ ง ปี พศ. 2454 และ 2461 และตีพิมพผ์ ลงานท่ีทา่ นคน้ พบในหนงั สือเวทคณิตโดย
ทา่ นติรถะ มหาราช (Vedic Mathematics Book by Tirthaji Maharaj)
“พระเวท”
เป็ นภาษาสันสกฤตหมายถึง
“ควำมรู้ (Knowledge)”
เวทคณิตเป็นแหลม่ รวบรวมเทคนิค/สูตรเพอ่ื ใชแ้ กป้ ัญหา คณิตศาสตร์ เชิง เลขคณิต

(mathematical arithmetic) ดว้ ยวธิ ีง่ายและรวดเร็ว
หนงั สือเล่มน้ีประกอบดว้ ย l6 สูตร และ 13 อุปสูตร ที่สามารถใชแ้ กป้ ัญหาเกี่ยวกบั เลขคณิต พีชคณิต

เรขาคณิต แคลคูลสั ภาคตดั กรวย การใชข้ ้นั ตอนทางคณิตศาสตร์ในการแกป้ ัญหาบางคร้ังก็ซบั ซอ้ นแต่ใชเ้ วลานอ้ ย
และการใชเ้ ทคนิคทว่ั ไปของคณิตศาสตร์เวท หรือเวทคณิต (ใชไ้ ดก้ บั ทกุ ชุดของขอ้ มูลทว่ั ๆ ไปที่กาหนดให)้ และ
เทคนิคเฉพาะ (ใชไ้ ดก้ บั ชุดขอ้ มลู ท่ีเฉพาะเจาะจงที่กาหนดให)้ การคานวณตวั เลขสามารถทาไดเ้ ร็วมาก

ในบทที่ 3 หน้ำท่ี 36 บรรทดั ที่ 33 ของหนงั สือหนังสือเวทคณิตโดย ท่ำนภำรติ กฤษณะ ตริ ถะ ได้กว่ำวถึง
กำรใช้วนิ คิวลมั (The Use of The Vinculum) สำหรับกำรคูณแนวต้งั และแนวไขว้ เป็นเคร่ืองมือที่ชาญฉลาดในการ
ลดค่าตวั เลขแตล่ ะหลกั ของจานวนใด ๆ ที่มีค่ามากกวา่ 5 ใหไ้ ม่เกิน 5 แต่คา่ ของจานวนน้นั ๆ ยงั คงมีค่าเทา่ เดิม จึง
สามารถช่วยใหส้ ะดวกในการคูณดว้ ยวิธีเทคนิคการคานวณไดเ้ พยี งบรรทดั เดียว

วิธีวนิ คิวลมั มีพ้นื ฐานความจริงท่ีวา่ 18 ก็คือ 20 − 2 หรือ 76 ก็คอื 100 − 24 หรือ 576 ก็เท่ากบั
1000− 424 ทา่ นกูรู ผนู้ ้ี ทา่ นไดท้ าใหเ้ ห็นขอ้ เท็จจริงทางคณิตศาสตร์น้ีเป็นเคร่ืองมือที่ทรงพลงั ในการคานวณ
โดยการแปลงจะนวนปกติใหอ้ ยใู่ นรูปจานวนบาร์ แตท่ ุก ๆ หลกั ของจานวนบาร์น้ีจะตอ้ งมีคา่ ไมเ่ กิน 5 เช่น

18 เป็ น 22
76 เป็ น 124
และ 576 เป็ น 1424
จำนวนที่เขียนเคร่ืองหมำยบำร์บนตัวเลขเหล่ำนี้ จะเป็ นอุปกรณ์พเิ ศษมีประโยชน์ในวิธกี ำรคูณและกำรหำร
ในเวทคณติ ด้วยกำรใช้ควำมรู้วิธวี นิ ควิ ลมั (Vinculum Method)
มาแปลงจานวนปกติที่มีตวั เลขแต่ละหลกั ท่ีมีคา่ มากกวา่ 5 คอื 6, 7, 8, 9 ใหอ้ ยใู่ นรูปของตวั เลขที่มีคา่ นอ้ ย
กวา่ หรือเทา่ กบั 5 คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ของจานวนปกติน้นั ๆ
น้นั ทำไมส่ิงนจี้ งึ สำคัญ? เพราะวา่ มนั เป็นสิ่งท่ีจะทาใหป้ ัญหาการคณู เลขสองจานวนท่ีมีค่ามาก ๆ ท่ีดูวา่
คอ่ นขา้ งจะ "ยาก" น้นั กลบั ดูค่อนขา้ งง่าย และงา่ ยมากเพราะการท่ีจะคูณเลขแต่ละหลกั ที่มีคา่ นอ้ ยกวา่ หรือเทา่ กบั 5

124

ของจานวนใด ๆ เมื่อใชว้ ิธีน้ี เราจาไม่เป็นตอ้ งทอ่ งสูตรเกินแม่ 5 จานวนท่ีตวั เลขแตล่ ะหลกั น้นั ๆ ถกู ใชว้ ิธีการ
วนิ คิวลมั แปลงตวั เลขเหล่าน้ีใหม้ ีคา่ ไมเ่ กิน 5 เรียกจานวนเหลา่ น้ีวา่

“จำนวนวินคิวลมั (vinculum number)”
บทนยิ ำม จำนวนวินควิ ลมั (Vinculum Numbers) คือจานวนบาร์ ท่ีตวั เลขแตล่ ะหลกั ของจานวนวินคิวลมั น้นั มีคา่
ไมม่ ากกวา่ 5 เช่น 12 ,103 ,311 , 10435 ,3 145 ,…

ตัวอย่ำง แสดงวิธีกำรแปลงจำนวนปกตเิ ป็ นจำนวนวินควิ ลมั
ตวั อย่ำงท่ี 1 แปลง 46798 ใหเ้ ป็นจานวนวินคิวลมั โดยแต่ละหลกั มีคา่ ไม่เกิน 5
วธิ คี ิด ในเชิงเลขคณิต 46798 = 40000 + 6798

= 40000 +10000 −10000 + 6798

= 40000 +10000 − (10000 − 6798) ด้วยสูตรนิขิลัม

= 500000 − 3202

= 50000 + (−3202) = 50000 + 3202 = 53202

วิธีแปลง จานวนปกติ 46798 เป็นจานวนวินคิวลมั ก็ไม่ตา่ งจากการแปลจานวนปกติเป็น
จานวนบาร์ (Bar Number) เพียงแต่พจิ ารณาก่อนวา่ ในจานวนปกติท่ีกาหนดใหน้ ้ีมีตวั เลขหลกั ใดที่มีคา่

มากกวา่ 5 ก็แปลงตวั เลขเหล่าน้นั ใหเ้ ป็นจานวนบาร์ โดยท่ีเมื่อแปลงเป็นจานวนบาร์ แลว้ ทกุ ๆ หลกั ของจานวน
บาร์ตอ้ งมีค่าไม่เกิน 5 กเ็ ท่าน้นั เอง

ดงั น้นั 46798 ที่พบวา่ มีเลขโดด 6798 มีค่าเกิน 5 จากน้นั
ใช้สูตรนิขลิ มั (ทุกตัวครบเก้ำแต่ตวั สุดครบทบสิบ) และ

สูตรเอกำธเิ กนะ ปรู เวณะ (โดยกำรเพมิ่ 1 กบั ตัวทอ่ี ยู่ถดั ไปข้ำงหน้ำ)

วิธที ำ

จำนวนปกติ 4 679 8

สูตรเอกำธเิ กนะ ปูรเวณะ +1 ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ ใช้สูตรนิขลิ มั

จำนวนวนิ คิวลมั 5 32 0 2

น่ันคือ ดาเนินการหา ตวั เติมเตม็ 9 (ดว้ ยวิธีหาครบเกา้ ) ของ 6,7,9 คอื 3,2,0 ตามลาดบั

และ ตวั สุดทา้ ย 8 หาตวั เติมเตม็ สิบ (ดว้ ยวิธีหาครบสิบ) คือ 2

แลว้ ใส่เครื่องหมายบาร์ (−) บนตวั เติมเตม็ เหล่าน้ี ไดเ้ ป็น 3, 2, 0 และ 2 ตามลาดบั หลงั จากน้นั

ก็ใชส้ ูตร “โดยเพ่ิม 1 ของตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ”

ในท่ีน้ีคอื ขา้ งหนา้ ท่ีถดั ไปของ 6798 คอื 4 ตอ้ งเพมิ่ ดว้ ย +1 เป็น 5

เพรำะฉะน้ันแสดววิธีทำได้ดังนี้ +1

46798 = 4 3202 = 53202

125

ในทำงกลบั กนั แปลงจำนวนวนิ คิวลมั กลบั ไปเป็ นจำนวนปกติ
ถา้ เราจะแปลงจานวนวนิ คิวลมั กลบั ไปเป็นจานวนปกติ ก็เช่นเดียวกบั การที่เราศึกษาการแปลงจานวนบาร์

เป็นจานวนปกติ เป็นกระทาในทางตรงกนั ขา้ มของวธิ ีแปลงจานวนปกติเป็นจานวนบาร์ สูตรที่ใชใ้ นเวทคณิตน้นั ก็มี
สองสูตร คือ

สูตรที่ 2 สูตรนขิ ิลมั (ทุกตัวครบเก้ำแต่ตัวสุดท้ำยครบสิบ) แต่ใช้

สูตรท่ี 14 เอกันยเู นนะ ปูรเวณะ (จำนวนทน่ี ้อยกว่ำอยู่หนงึ่ ของตัวที่อยู่ถัดไปข้ำงหน้ำ)
ดังน้นั จากจานวนวินคิวลมั 53202 ท่ีกลา่ วมาขา้ งตน้ เมื่อเราจะแปลงกลบั ไปเป็นจานวนปกติ

เรากห็ าตวั เติมเตม็ 9 ของเลขโดดท่ีติดเครื่องหมายบาร์ทุก ๆ ตวั ที่อยขู่ า้ งหนา้

53202 → 3, 2, 0 → 6,7,9

แต่ ตวั สุดทา้ ยที่ติดเครื่องหมายบาร์ คือ 2 หาตวั เติมเตม็ 10
ที่ติดเคร่ืองหมายบาร์ (2 → 8) ของจานวนวินควิ ลมั น้นั

โดยตวั เติมเตม็ ท่ีหาไดท้ ้งั หมดน้นั ทุกตวั จะตอ้ งไมต่ ิดเคร่ืองหมายบาร์

และแลว้ ในทางตรงกนั ขา้ ม ใหล้ ดค่าลงหน่ึง (−1) ของตวั เลขโดดที่อยขู่ า้ งหนา้ ตวั เลขท่ีติดเคร่ืองหมายบาร์น้นั ก็

จะไดเ้ ป็นจานวนปกติ

วิธที ำ

จำนวนวนิ ควิ ลมั 5 32 0 2

สูตรเอกนั ยเู นนะ ปูรเวณะ −1 ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ ใชส้ ูตรนิขิลมั

จำนวนปกติ 4 679 8

ดังน้นั −1

53202 = 5 6798 = 46798

ตัวอย่ำงที่ 2 เขยี นจานวน 3786 ใหอ้ ยใู่ นรูปจานวนวินควิ ลมั

วิธคี ดิ ในทานองเดียวกบั ตวั อยา่ งที่ 1 พบวา่ มีเลขโดดที่มีค่ามากกวา่ 5 คอื ส่วนทางขวาของ 3 คือ 786

จากน้นั แบง่ ตวั เลขโดดของ 786 เป็นสองส่วน ส่วนหนา้ ของ 6 ทุกตวั ไดแ้ ก่ 7,8 หาตวั เติมเตม็ เกา้ คอื 2,1
ตามลาดบั ส่วนทา้ ยสุดคือ 6 หาตวั เติมเตม็ สิบคือ 4 แลว้ ใหใ้ ส่เคร่ืองหมายบาร์

ส่วน 3 ท่ีอยขู่ า้ งหนา้ ของ 786 ใหบ้ วก +1 ก็จะไดจ้ านวนวนิ ควิ ลมั ดงั น้ี

+1

3786 = 3 214 = 4214

หรือ

จำนวนปกติ 3 786

สูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ +1 ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ ใชส้ ูตรนิขิลมั

จำนวนวนิ ควิ ลมั 4 21 4

126

ในทำนองตรงกนั ข้ำม เราตอ้ งสามารถเปล่ียนจานวนวินคิวลมั กลบั ไปเป็นจานวนปกติ มีวธิ ีการดงั น้ี

จาก +1

3786 = 3 214 = 4214

เปล่ียนตวั เลขที่ติดเคร่ืองหมายบาร์หรือกล่าววา่ “ถอดบาร์” โดยพิจารณา 214

แลว้ เริ่มท่ีตวั สุดทา้ ยคือ 4 หาตวั เติมเตม็ สิบของ 4 คือ 6 (เมื่อได้ 6 ก็จะเป็นตวั เลขที่ไมต่ ิดบาร์)

จากน้นั ตวั เลขบาร์ 2, 1 ที่อยขู่ า้ งหนา้ 4 ใหห้ าตวั เติมเตม็ เกา้ ของ 2,1 คือ 7,8 ตามลาดบั

(เมื่อได้ 7,8 กจ็ ะเป็นตวั เลขที่ไม่ติดบาร์)

ส่วนตวั เลขที่อยหู่ นา้ เลขบาร์ (สงั เกตตวั เลขน้ีจะเป็นตวั ท่ีไมม่ ากกวา่ 5 ) ในที่น้ีคือ 4 ใหล้ ดคา่ ลง 1 (−1)

เพราะฉะน้นั −1

4214 = 4 786 = 3786

หรือ จำนวนวินคิวลมั 4 21 4

สูตรเอกนั ยเู นนะ ปูรเวณะ −1 ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ ใชส้ ูตรนิขลิ มั

จำนวนปกติ 3 786

หมำยเหตุ ดงั ที่กล่าวขา้ งตน้ การคานวณทางคณิตศาสตร์เม่ือหาคาตอบของการคานวณน้นั แลว้ ก็ยงั ไม่สิ้นสุดการ

คานวณ ตอ้ งตรวจสอบคาตอบโดยไม่ตรวจสอบดว้ ยการคานวณซ้า ๆ แบบด้งั เดิม เราใชก้ ารตรวจอบความถกู ตอ้ ง

ดว้ ยการยนั ความถกู ตอ้ ง (Cross Check) มีอยู่ 2 วิธีคอื การคดั ออกกบั การคดั ออกสิบเอ็ด

ดังน้นั เราสามารถใชว้ ธิ ีคดั ออกเกา้ และคดั ออกสิบเอด็ ตรวจสอบการแปลงจานวนปกติเป็นจานวน

วนิ คิวลมั ไดด้ งั น้ี

ตรวจสอบควำมถกู ต้อง คดั ออกเก้ำ คัดออกสิบเอด็

3786 = 4214 3+7+8+6 = 4+ 2+1+ 4 6−8+ 7 −3 = 4−1+ 2− 4

6 = −3 → −3+ 9 = 6 2 = −9 → −9 +11 = 2

ตัวอย่ำงที่ 3 เขยี นจานวน 286923 ใหอ้ ยใู่ นรูปจานวนวินคิวลมั

วิธที ำ ใหข้ ดี เสน้ ใตต้ วั เลขท่ีมีคา่ มากกวา่ 5 ของจานวน 286923

ไดด้ งั น้ี 286923

ดงั น้นั ส่วนท่ีเราจะแปลงคอื 869 ดูท่ีตวั สุดทา้ ย 9 หาตวั เติมเตม็ สิบพร้อมใส่บาร์ คือ 1

ส่วนตวั เลขท่ีอยขู่ า้ งหนา้ 9 คือ 8,6 หาตวั เติมเตม็ เกา้ พร้อมใส่บาร์ คอื 1 , 3 ตามลาดบั

ส่วนตวั เลขท่ีอยขู่ า้ งหนา้ 869 ของ 286923 ใหเ้ พ่มิ 1

เพรำะฉะน้นั +1

286923 = 286923 = 2 13 123 = 3 13 123

จำนวนปกติ 28 6 9 2 3

สูตรเอกำธิเกนะ ปูรเวณะ +1 ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ ใช้สูตรนขิ ลิ มั

จำนวนวินคิวลมั 31 31 2 3

127

ตรวจสอบควำมถกู ต้อง คดั ออกเก้ำ คดั ออกสิบเอด็

286923 = 313123 3 = 3+1+3+1+2+3 3−2+9−6+8−2=3−2+1−3+1−3

3=3 10 = 1 → 1 +11 =10

ตัวอย่ำงท่ี 4 เขยี นจานวน 35698357862 ใหอ้ ยใู่ นรูปจานวนวินคิวลมั

วธิ ที ำ ใหข้ ดี เส้นใตต้ วั เลขที่มีค่ามากกวา่ 5 ของ 35698357862

แสดงวา่ ตอ้ งเปลี่ยนเป็นเลขบาร์ 2 ชุด คือ 698 และ 786

พจิ ารณา ชุด 698 และ 786 เมื่อใชส้ ูตรนิขลิ มั เปลี่ยนเป็นเลขบาร์

แลว้ ตอ้ งเพ่มิ 1 ใหก้ บั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ดว้ ย “สูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ”

ดงั น้ี +1 +1

35698357862 = 3 5 3023 5 2 142

ยงั ไมเ่ ป็นจานวนวนิ ควิ ลมั สังเกตท่ี +1 ยงั ตอ้ งดาเนินการวินคิวลมั ตอ่

5

+1 +1

35698357862 = 3 5 3023 5 2 142

+1 +1

= 3 4302 3 42 142

= 44302442142

เพรำะฉะน้นั 35698357862 = 44302442142 เม่ือ (0 = 0)

ตรวจสอบควำมถกู ต้อง

คัดออกเก้ำ 35698357862 = 44302442142
8 = −1 → −1+ 9 = 8

คัดออกสิบเอด็ 2 − 6 +8 − 7 + 5 −3+ 3−8+ 9 − 6 + 5 = 2 − 4 + 1 − 2 + 4 − 4 + 2 − 0 + 3 − 4 + 4

2=2

ตวั อย่ำงที่ 5 เขียนจานวน 1555698355162 ใหอ้ ยใู่ นรูปจานวนวนิ ควิ ลมั

วธิ ที ำ ในกรณีจานวนที่มีเลขโดด 5 อยตู่ อ้ งพิจารณาเป็นพิเศษ เพราะเม่ือมีการเพ่ิม 1 ใหก้ บั ตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไป

ขา้ งหนา้ ถา้ ตวั เลขขา้ งหนา้ เป็น 5 จะถกู เพม่ิ เป็ น 6 จานวนน้นั กจ็ ะเป็นจานวนบาร์

ดงั น้นั 1555698355162 = 1555698355162

= 2444302355242

ตรวจสอบควำมถกู ต้อง

คดั ออกเก้ำ 1555698355162 = 2444302355242
7 = 2 → 2+9=7

128

คัดออกสิบเอด็

2−6+1−5+5−3+8−9+6−5+5−5+1 = 2− 4 + 2−5+5−3+ 2 − 0 + 3 − 4 + 4 − 4 + 2

−5 = 6

−5 +11 = 6

กำรแปลจำนวนปกติที่เป็ น จำนวนลบ (Negative Number) ให้อยู่ในรูปจำนวนวนิ ควิ ลมั
ในทานองเดียวกนั จานวนลบก็สามารถเขยี นตวั เลขแต่ละหลกั ของจานวนน้นั ใหม้ ีคา่ ไม่เกิน 5 ไดเ้ ช่นกนั

ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี:
ตัวอย่ำงที่ 6 แปลง −27489 เป็นจานวนวินคิวลมั
วธิ ีทำ ข้นั ท่ี 1 เขยี นจานวนลบใหอ้ ยใู่ นรูปจานวนบาร์

−27489 = 27489

ข้นั ที่ 2 เปลี่ยนจานวนบาร์ให้เป็นจานวนวินคิวลมั ใหใ้ ชเ้ ทคนิคการเปล่ียนจานวนบาร์เป็นจานวนปกติ

−27489 = 27489

+1 +1

= 2 3 4 11 = 33511

หรือ ใชส้ มบตั ิจานวนลบ

+1 +1

−27489 = − (2 / 7 / 4 / 89) = −(2/ 3 / 4/ 1 1)

= −(33511)

จากสมบตั ิของวธิ ีการวินควิ ลมั −27489 = −(335 1 1) = 33511

ตรวจสอบควำมถกู ต้อง

คัดออกเก้ำ −27489 = 33511
คัดออกสิบเอด็ −3 = 3

−(9 −8 + 4 − 7 + 2) = 1−1+ 5 − 3+ 3

0 = 11 = 11 +11 = 0

ตวั อย่ำงท่ี 7 แปลง −80379423869 เป็นจานวนวนิ คิวลมั

วิธีทำ ใชว้ ธิ ีเทคนิค

−80379423869 = 80379423869

+1 +1 +1

= 0 20 3 2142 3 131

= 120421424131

ตรวจสอบควำมถกู ต้อง

คดั ออกเก้ำ −80379423869 = 120421424131
−5 = 5

129

คดั ออกสิบเอด็ −(9 − 6 +8−3+ 2 − 4 + 9 − 7 + 3− 0 + 8) = 1−3+1− 4 + 2 − 4 +1− 2 + 4 − 0 + 2 − 1

−8 =3
−8 +11 =3

ข้อสงเกต

1. จานวนวินคิวลมั (ในรูปแบบทว่ั ไป) เป็นจานวนบวกหรือจานวนลบน้นั พอจะสรุปไดว้ า่ ถา้ ตวั เลขบาร์อยทู่ างซา้ ย

สุดของตวั เลขเหล่าน้นั แสดงวา่ จานวนวินควิ ลมั น้นั เป็นจานวนลบ แตถ่ า้ ตวั เลขบาร์อย่ทู างขวาของตวั เลขเหล่าน้นั

แสดงวา่ จานวนวินควิ ลมั น้นั เป็นจานวนบวก

2. โดยทวั่ ไปจานวนวินคิวลมั คือจานวนท่ีถกู แปลงจากจานวนปกติ ให้เป็นจานวนท่ีมีเลขโดดแต่ละหลกั เป็นเลข

โดดบวก ศูนย์ หรือ ลบ คละกนั (โดยเลขโดดลบติดเครื่องหมายบาร์) ที่มีคา่ แต่ละหลกั ไม่เกิน 5 จึงสามารถนาไป
ประยกุ ตใ์ ชใ้ นการคานวณซ่ึงเป็นแนวคดิ “นวัตกรรม” ท่ีใชใ้ นเวทคณิต

แบบฝึ กหัดชุดท่ี 6

1. แปลงจานวนปกติตอ่ ไปน้ีใหเ้ ป็นจานวนวินควิ ลมั

1) 87 2) 78 3) 146 4. 197 5. 267

6. 378 7. 546 8. 459 9. 317 10. 597

11. 599 12. 689 13. 635 14. 798 15. 551

16. 688 17. 874 18. 808 19. 978 20. 929

21. 1559 22. 1936 23. 2546 24. 2597 25. 55467

26. 78097 27. 6890785 28. 105086 29. 2909645 30. 67905489

31. 7945889.98 32. 490734,078 33. 77.664059 34. 874.214356 35. 999868.998

41. −87 42. −146 43. −267 44. −1559 45. −5886

46. −78097 47. −6890785 48. −67905489 49. −490734.078 50. −929.34219

51. −874.323456 52. −12899.956 53. −1936.54901 54. −1559.94336 55. −8757,0909

3. แปลงจานวนวินควิ ลมั ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ีเป็นจานวนปกติ

1) 14 2) 143 3) 103 4) 254 5) 213

6) 1321 7) 1453 8) 1453 9) 1513 10) 1410

11) 1401 12) 1312 13) 3213 14) 1452 15) 2432

16) 2431 17) 13421 18) 1410 19) 123114 20) 511423

21. 34031 22. 13211225 23. 232105511 24. 2 1542 1.423 25. 5113.122

130

4.6 กำรคูณด้วยกำรใช้จำนวนวินคูลมั (Multiplication by using the vinculum numbers)

เราจะพิจารณาเร่ืองการใชจ้ านวนวนิ คูลมั ในการช่วยการคิดเลขอีกคร้ัง ซ่ึงไดอ้ ธิบายไปแลว้ จากเรื่องการ
ดาเนินการลบแลว้ จะช่วยใหค้ ิดเลขง่ายและเร็วข้ึน ผลคูณของตวั เลขแตล่ ะตวั ท่ีในรูปจานวนวินคิวลมั ดาเนินการ
เป็นไปตามสมบตั ิดา้ นพชี คณิต

สมบัติด้ำนพชี คณติ ของจำนวนวินควิ ลมั

บทนิยำม 1 สาหรับจานวนเต็ม m ใด ๆ −m เขียนแทนดว้ ย m (อา่ นวา่ บาร์เอม็ )
ซ่ึงหมายความวา่ m = −m

บทนิยำม 2 สาหรับจานวน m ในระบบเลขฐานสิบ
m = anan−1an−2...a2a1a0 โดยท่ีสาหรับเลขโดด an ,an−1,an−2,...,a2,a,1 ,a0

m = a na n−1a n−2...a2a1a0 = an an−1an−2...a2a1a0

สมบัติด้ำนพชี คณติ ของจำนวนวนิ ควิ ลมั

1. m + n = m + n

2. mn = m n = mn

3. mn = −mn

4.  m  = m ,n 0
 n  n

5. m = m

6. m + n = m + n
ตวั อย่ำงท่ี 1 สมบตั ิการคูณจานวนวนิ คิวลมั

1) 31 = 3 สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์การคูณ

2) 2 4 = −2 4 = −8 = 8 สมบตั ิการเปลี่ยนหมู่การคูณ
3) 3 2 = (−3)(−2) = 6 สมบตั ิการสลบั ท่ีการคณู
4) 3 2 = (3)(−2) = −6 = 6 สมบตั ิการแจกแจง

5) 43 = (−4)(3) = −12 = 12
6) (43) 5 = 4(3 5) = 60
7) 5 6 = 6 5 = 30
8) 3(9 + 4) = (3 9) + (3 4)

131

ตวั อย่ำงกำรคูณเลขสองจำนวนด้วยวธิ กี ำรวินคิวลมั

ตัวอย่ำงท่ี 2 หาผลคณู ของ 8996

วิธกี ำรคูณ สังเกตสองจานวนท่ีกาหนดให้ ตวั เลขแตล่ ะหลกั มีค่าเกิน 5

ถา้ แปลงเป็นจานวนวินควิ ลมั แลว้ หาผลคณู จะเป็นดงั น้ี

กำรคูณด้วยสูตรแนวต้ังและแนวไขว้

การคณู แบบจานวนปกติ การคูณดว้ ยวิธีวินคิวลมั

89 11 1
 

96 10 4

2 9 4 = 8544 1 1 5 4 4 =1 1544 = 8544
00 0 0
72 5

1

สังเกต ถา้ มีการฝึกฝนการคณู ดว้ ยวิธีวินควิ ลมั จะทาใหล้ ดการคดิ เลขที่มีค่ามาก ๆ ได้ ซ่ึงจะทาใหง้ ่ายและรวดเร็ว

มากข้นึ ในการคดิ เลข เพราะสามารถลดเรื่องการทดไดเ้ ป็นอยา่ งมาก

ตวั อย่ำงท่ี 3 หาผลคูณของ 2934

วธิ ที ำ จากสมบตั ิของจานวนวินคิวลมั ที่แปลงมาจากจานวนปกติน้นั จะมีค่าตวั เลขแตล่ ะตวั ในจานวนวนิ คิวลมั ไม่

เกิน 5 ดงั น้นั เม่ือพิจารณาตวั ต้งั และตวั คณู พบวา่ ตวั ต้งั 29 สามารถแปลงเป็นจานวนจานวนวินคิวลมั ได้

29 = 31 แลว้ หาผลคูณดว้ ยการคณู ดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้

ดงั น้ี 3 1


34

9 9 4 = 994 = 986

000

ตัวอย่ำงที่ 4 หาผลคูณของ 4958

วิธีทำ 5 1


62

0 6 2 = 3 162 = 2842

31 0

ตวั อย่ำงท่ี 5 หาผลคณู ของ 2842

วิธที ำ 3 2


42

2 2 4 = 1224 = 1176

10 0

132

ตวั อย่ำงที่ 6 หาผลคูณของ 896967 การคูณดว้ ยจานวนวินควิ ลมั
วธิ กี ำรคูณด้วยสูตรแนวต้ังและแนวไขว้
11 0 4
การคูณดว้ ยจานวนปกติ 

896 10 3 3


967

2 9 4 9 2 = 866432 1 1 3 4 3 2 2 =1134422

72694 000 0 0 1 1

11

ยนั ความถูกตอ้ ง = 866432
คดั ออกเกา้
คดั ออกสิบเอด็

11 0 4 4 4 −0+ 1 −1 = 6


10 3 3
5 3 − 3 + 0 −1 = 1

11 3 4 32 2 = 1134432 → 2 20 → 2 6

00 0 0 0 11

หมำยเหตุ ผลบวเลขโดดการคดั ออกสิบเอด็ 2 −3+ 4 −6 + 6 −8 = −5 → −5+11= 6

ตัวอย่ำงท่ี 7 หาผลคูณของ 89898898

วธิ ที ำ ใช้วิธีกำรวนิ ควิ ลมั 89898898 = 11011  11102

ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

11 0 1 1  2
11 1 0 2

3

1 2 0 0 2 4 1 2 2 =120024122 → 6 6

00 0 0 0 0 000

= 79984122

ตวั อย่ำงท่ี 8 หาผลคณู ของ 89878
วธิ ีทำ แปลงเฉพาะตวั คูณ 78 = 122

898 6 = 70044 → 6 ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

7
12 2
3
87 6 4 21 → 3 →6

00 2 3 1

133

ตวั อย่ำงที่ 9 หาผลคูณของ 869757
วธิ ที ำ เมื่อพิจารณาตวั ต้งั และตวั คณู สามารถแปลงเป็นจานวนจานวนวนิ คิวลมั ได้

869 =1131 และ 757 =1243 แลว้ หาผลคูณดว้ ยวธิ ีแนวตงั และแนวไขว้ ดงั น้ี

11 3 1 
12 4 3

1 3 5 6 7 3 3 = 1357833 = 657833

00 0 0 1 1 0

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 7 การคูณดว้ ยการใชจ้ านวนวินควิ ลมั

ใหแ้ ปลงตวั ต้วั และตวั คูณ เป็นจานวนวนิ คิวลมั ก่อนหาผลคูณ และคาตอบใหต้ อบเป็นจานวนปกติ

1. 4 1 2. 7 8 3. 9 7 4. 6 5

   

56 23 8 7

5. 3 4 1 6. 2 7 8 7. 9 7 8 8. 1 9 5

   
2 31 87 96
15 2

9. 1 4 3 5 10. 3 2 8 9 11. 2 5 6 8 12. 7 6 5 4

   
213 4 16 4 9
2637 7687

13. 6 2 5 4 14. 1 2 5 4 15. 2 8 7 4 16. 6 2 7 9

   
1637 476 581
17 4

17. 6 0 8 4 18. 9 2 0 4 19. 8 7 8 6 20. 1 0 5 4

   
79 879
85 907

21. 1 2 5 4 0 22. 1 6 5 7 9 23. 4 9 7 8 0 24. 1 0 8 7 5

   
213 3 4 2034 758
10 2 3 4

134