เวทคณิต ขั้นพื้นฐาน

ดังจะอธบิ ายรายละเอยี ดตามตัวอย่างต่อไปนี้
ตวั อย่างท่ี 1 หาผลหารของ 8999222 713
วธิ ที า ในทานองเดียวกนั กบั การหารท่ีมีตวั หาร 2 หลกั

แบ่งตวั หารเป็น ตวั หารหลกั ใหม้ ีตวั เลขหน่ึง
ส่วนตวั ที่เหลือ 2 ตวั นาไปเขยี นไวบ้ นส่วนที่เป็นธง

และ ตวั ต้งั แบ่งเป็นสองส่วนทางซา้ ยและทางขวา
ส่วนทางขวาจะมีจานวนสองตวั เท่าจานวนตวั เลขบนธง เช่นกนั ดงั แสดงขา้ งล่างน้ี

13 8 9992 22
ผลหารจานวนเต็ม เศษเหลอื หรือทศนิยม
7

ข้นั ตอนการหาร

1. 13 8 19 9 9 2 22

7 13

1

18

11

87 =1 เหลือเศษ 1 ใส่ผลหาร 1 เป็นตวั แรกของคาตอบจานวนเต็ม
ส่วนเศษเหลือ 1 นาไปเขยี นหอ้ ยขา้ งหนา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั คอื 9
ไดเ้ ป็น 19 =19 เป็น ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)
หาผลคณู ตวั เลขตวั แรก ของตวั เลขบนธง (1) กบั ตวั แรกผลหารคอื 1 ได้ 11=1
แลว้ นาไปลบออกจาก 19 ซ่ึงเป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD) ได้ 19−1=18
เป็น ตวั ต้งั สุทธิ (ND) เป็นตวั ต้งั ในการหารดว้ ยตวั หารหลกั ข้นั ถดั ไป

ข้อสังเกต กาคณู ขา้ งตน้ น้ีเป็นการคูณแบบแนวต้งั

2. 13 8 19 49 9 2 22 13
12
7

15

18 4 4

12

187 = 2 เหลือเศษ 4 ใส่ผลหาร 2 เป็ นตวั ท่ีสองของคาตอบจานวนเตม็
ส่วนเศษเหลือ 4 นาไปเขียนหอ้ ยขา้ งหนา้ เลข 9 ได้ 49 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)
หาผลคูณแนวไขวต้ วั เลขบนธงสองตวั (1 3)
กบั คาตอบตวั ท่ีหน่ึงและตวั ที่สอง (1 2)
ได้ (21) + (13) = 5 แลว้ นาไปลบ ตวั ต้งั ข้นั ตน้ 49 คือ 49 −5 = 44

186

ผลลพั ธ์ 44 เป็นตวั ต้งั สุทธิ (ND) เป็นตวั ต้งั ที่ใชใ้ นการหารดว้ ยตวั หารหลกั ข้นั ถดั ไป

3. 13 8 19 49 29 2 22 13
26
7

1 5 12

18 4 4 17

126

447 = 6 เหลือเศษ 2 ใส่ผลหาร 6 เป็ นตวั ที่สามของคาตอบจานวนเตม็
ส่วนเศษเหลือ 2 นาไปเขยี นห้อยขา้ งหนา้ เลข 9 ได้ 29 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)
หาคูณแบบแนวต้งั และแนวไขวโ้ ดยการเลื่อนตวั คณู (Moving Multiplier)
หาผลคณู แนวไขวต้ วั เลขบนธงสองตวั (1 3)
กบั คาตอบตวั ที่สองและตวั ที่สาม (2 6)
ได้ (61) + (23) =12 แลว้ นาไปลบออกจากตวั ต้งั ข้นั ตน้ 29 คอื 29 −12 =17
ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นตวั ต้งั สุทธิ (ND) เป็นตวั ต้งั ที่ใชใ้ นการหารดว้ ยตวั หารหลกั ข้นั ถดั ไป

4. 13 8 19 49 29 32 22 13
62
7

1 5 12 20

18 4 4 17 12

12 6 2

17 7 = 2 เหลือเศษ 3 ใส่ผลหาร 2 เป็ นตวั ท่ีสี่ของคาตอบจานวนเต็ม
ส่วนเศษเหลือ 3 นาไปเขียนห้อยขา้ งหนา้ เลข 2 ได้ 32 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)
หาผลคณู แนวไขวต้ วั เลขบนธงสองตวั (1 3)

กบั คาตอบตวั ที่สามและตวั ท่ีสี่ (6 2)
ได้ (12) + (63) = 20 แลว้ นาไปลบออกจากตวั ต้งั ข้นั ตน้ 32 คือ 32 − 20 =12
ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นตวั ต้งั สุทธิ (ND) ซ่ึงเป็นตวั ต้งั ที่ใชใ้ นการหารดว้ ยตวั หารหลกั ข้นั ถดั ไป

5. 1 3 8 19 49 29 32 5 2 45 2 13 13
7 21 21

1 5 12 20 7

18 4 4 17 12

126 21

127 =1 เหลือเศษ 5 ใส่ผลหาร 1 เป็ นตวั สุดทา้ ยของคาตอบจานวนเตม็
ซ่ึงการหารข้นั ต่อไปจะผา่ นเส้นคนั่ ท่ีแบง่ คาตอบ ส่วนที่เป็นคาตอบของเศษเหลือ

ใหน้ าเศษเหลือ 5 ท่ีไดน้ ้นั นาไปเขยี นหอ้ ยขา้ งหนา้ เลข 2 ได้ 52 เป็นเศษเหลือข้นั ตน้

187

หาผลคณู แนวไขวต้ วั เลขบนธงสองตวั (1 3)
กบั คาตอบตวั ท่ีส่ีและตวั ที่หา้ (2 1)
ได้ (11) + (23) = 7 แลว้ นาไปลบออกจากตวั ต้งั ข้นั ตน้ 52 คือ 52 −7 = 45

แต่เน่ืองจากผลลพั ธ์ 45 น้ีไดผ้ า่ นเส้นคนั่ ท่ีแบ่งคาตอบเป็นสองส่วนท่ีเป็นคาตอบของเศษเหลือ
ใหน้ า ผลลพั ธ์ 45 ไปเขยี นหอ้ ยไวท้ ่ีหนา้ ตวั เลข 2 ท่ีตวั สุดทา้ ยของตวั ต้งั
ได้ 452 ยงั คงเป็นเศษเหลือข้นั ตน้ อยู่

6. 1 3 8 19 49 29 32 5 2 45 2 13 13
7 21 2 1

1 5 12 20 73

18 4 4 17 12 449

126 21

เน่ืองจากวิธีการหารแบบยกธง เป็น การผกผนั ของ การคณู แนวต้งั แนวไขว้

ดังน้นั การดาเนินการหาร หาผลหารที่เป็นเศษเหลือจะตอ้ งหาผลคูณตวั เลขทา้ ยสุดของผลหาร

จานวนเตม็ กบั ตวั สุดทา้ ยสุดของตวั เลขบนธง

ดว้ ยผลคณู แนวต้งั คือ 31= 3
แลว้ จากน้นั นาไป ลบเศษเหลือข้นั ตน้ 452 −(31) = 449 = r เป็นเศษเหลือสุทธิ

ดงั น้นั 8999222  713 = 12621 449

713

ในกรณีทต่ี ้องการคาตอบเป็ นทศนิยม การดาเนินการหารต่อจากขา้ งตน้ ดว้ ยการเติมเลข 0

ต่อเนื่องจากตวั ต้งั ทางขวามือ แลว้ ดาเนินการหารในข้นั ตอนท่ี 5 ตอ่

13 8 19 49 29 32 52 2 0 0 0 0 13
21
7 7

1 5 12 20 45

18 4 4 17 12

126 21

127 =1 เหลือเศษ 5 ใส่ผลลพั ธ์ 1 เป็นตวั ท่ีหา้ ของคาตอบจานวนเตม็
ส่วนเศษเหลือ 5 นาไปเขียนห้อยขา้ งหนา้ เลข 2 ได้ 52 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

หาผลคณู แนวไขวต้ วั เลขบนธงสองตวั (1 3)
กบั คาตอบตวั ท่ีส่ีและตวั ท่ีหา้ (2,1)

ได้ (11) + (23) = 7 แลว้ นาไปลบออกจากตวั ต้งั ข้นั ตน้ 52 คอื 52 −7 = 45
ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นตวั ต้งั สุทธิ(ND) ในการหารถดั ไป

188

6. 1 3 8 19 49 29 32 52 32 0 0 0 0
7
79
1 5 12 20 13
45 23 16
18 4 4 17 12
13
126 21 6 62

457 = 6 เหลือเศษ 3 ใส่ผลลพั ธ์ 6 เป็นตวั ที่แรกของคาตอบทศนิยม
ส่วนเศษเหลือ 3 นาไปเขยี นห้อยขา้ งหนา้ เลข 2 ได้ 32 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

หาผลคูณแนวไขวต้ วั เลขบนธงสองตวั (1 3)
กบั คาตอบตวั ที่หา้ และตวั ท่ีหก (1,6)

ได้ (16) + (13) = 9 แลว้ นาไปลบออกจากตวั ต้งั ข้นั ตน้ 32 คอื 32 −9 = 23
ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นตวั ต้งั สุทธิ(ND) ในการหารถดั ไป

7. 1 3 8 19 49 29 32 52 32 9 0 0 0 0
7

1 5 12 20 7 9 20

18 4 4 17 12 45 23 70

126 21 63

237 = 3 เหลือเศษ 2 ใส่ผลลพั ธ์ 3 เป็นทศนิยมตวั ที่สองของคาตอบ
ส่วนเศษเหลือ 2 นาไปเขยี นห้อยขา้ งหนา้ เลข 0 ได้ 20 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

หาผลคณู แนวไขวต้ วั เลขบนธงสองตวั (1 3)
กบั คาตอบตวั ท่ีหกและตวั ที่เจด็ (6,3)
ได้ (13) + (63) = 21 แลว้ นาไปลบออกจากตวั ต้งั ข้นั ตน้ 20 คอื 20 − 21= −1
ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นตวั ต้งั สุทธิ (ND) จะเป็นจานวนลบไมไ่ ด้

จึงตอ้ งลค่าลงไป 1 ใหค้ าตอบข้นั เป็น 2 โดยเริมตน้ หารใหม่
237 = 2 เหลือเศษ 9 ใส่ผลลพั ธ์ 2 เป็นทศนิยมตวั ที่สองของคาตอบ

ส่วนเศษเหลือ 9 นาไปเขยี นหอ้ ยขา้ งหนา้ เลข 0 ได้ 90 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

หาผลคูณแนวไขวต้ วั เลขบนธงสองตวั (1 3)
กบั คาตอบตวั ท่ีหกและตวั ที่เจ็ด (6,2)

ได้ (12) + (63) = 20 แลว้ นาไปลบออกจากตวั ต้งั ข้นั ตน้ 90 คอื 90 − 20 = 70
ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นตวั ต้งั สุทธิ(ND) ในการหารถดั ไป

189

8. 1 3 8 19 49 29 32 52 32 9 0 70 0 0
7
7 9 20 15 13
1 5 12 20 29
45 23 70 55
18 4 4 17 12 13
97
126 21 629

707 = 9 เหลือเศษ 7 ใส่ผลลพั ธ์ 9 เป็นทศนิยมตวั ที่สามของคาตอบ
ส่วนเศษเหลือ 7 นาไปเขยี นห้อยขา้ งหนา้ เลข 0 ได้ 70 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

หาผลคณู แนวไขวต้ วั เลขบนธงสองตวั (1 3)
กบั คาตอบตวั ท่ีเดและตวั ท่ีแปด (2,9)

ได้ (19) + (23) =15 แลว้ นาไปลบออกจากตวั ต้งั ข้นั ตน้ 70 คือ 70 −15 = 55
ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นตวั ต้งั สุทธิ(ND) ในการหารถดั ไป

9. 1 3 8 19 49 29 32 52 32 9 0 70 6 0 0
7
7 9 20 15 34
1 5 12 20
45 23 70 55 26
18 4 4 17 12

126 21 6297

557 = 7 เหลือเศษ 6 ใส่ผลลพั ธ์ 7 เป็นทศนิยมตวั ที่ส่ีของคาตอบ

ส่วนเศษเหลือ 6 นาไปเขียนหอ้ ยขา้ งหนา้ เลข 0 ได้ 60 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

หาผลคณู แนวไขวต้ วั เลขบนธงสองตวั (1 3)
กบั คาตอบตวั ท่ีแปดและตวั ที่เกา้ (9,7)

ได้ (17) + (93) = 34 แลว้ นาไปลบออกจากตวั ต้งั ข้นั ตน้ 60 คอื 60 −34 = 26
ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นตวั ต้งั สุทธิ(ND) ในการหารถดั ไป เป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ
ดงั น้นั 8999222 713 =12621.6297...
ตวั อย่างท่ี 2 หาผลหารของ 3958761 245

วิธีทา 45 3 19 35 48 47 6 6 91

2 57 40

4 29 34 25 51= r

15 6 14 22

161 58 45 45

45 45 45 45

1- 16 61 15 58 58

ตอบ 3958761 245 = 16158 51

245

190

แต่ถา้ ตอ้ งการคาตอบเป็นทศนิยม กด็ าเนินการหารต่อ

45 3 19 35 48 47 6 6 51 31 4 0 6 0 4 0

2 57 48 10 32 44 31

4 29 34 25 9 3 20 8 16 9

15 6 14 22

161 58 2 0816

45 45 45 45 45

ตอบ 3958761 245 =16158.20816... 5 8 8 22 0 0 8 8 1
ตัวอย่างที่ 3 หาผลหารของ 62346 524
วธิ ีทา ข้นั ตอนการหารดงั น้ี

24 6 12 53 24 26 24 24
19 19
5 2 6 22 36

10 47 −10 = r

11 9

เนื่องจากการหารไดส้ ่วนแรกของตงั ต้งั ไดส้ ิ้นสุด ดงั น้นั ส่วนท่ีเหลือกจ็ ะเป็นเศษเหลือ ซ่ึงเศษเหลือ = −10

ดังน้นั 62346 524 = 119 10 = 118 524 +10 = 118 514

524 524 524

หรือ ถา้ ตอ้ งการคาตอบเป็นทศนิยมแลว้ เรากเ็ ติม 0 ตอ่ ทา้ ยส่วนทางขวาตามท่ีตอ้ งการเลขจุดทศนิยมก่ีตวั แลว้

ดาเนินการหารต่อไป

24 6 12 53 74 96 60 80 70

5 50 52 32

2 6 20 46 8 52

10 47 5 4

118 9 8 0 9 ตอบ 62346 524 = 118.9809...

24 24 24 24 24 24

1- 11 18 89 98 80

191

ตัวอย่างท่ี 4 หาผลหารของ 123123128
วิธีทา สงั เกตตวั อยา่ งน้ีตวั หาร 128 การหารแบบเวทคณิตไดแ้ บ่งตวั หารเป็น 2 ส่วน

มกั จะแบง่ ตวั หารหลกั ไวห้ น่ึงตวั จะพบวา่ ตวั หารหลกั เป็นเลข 1
แต่กลา่ วง่าย ๆวา่ เราไม่มีสูตรคณู แม่หน่ึง (1)
ดงั น้นั จึงแบ่งตวั หารหลกั เป็น 12 ส่วนตวั เลขบนธงเป็น 8 เสีย กส็ ามารถดาเนินการหารแบบเวทคณิตได้
แต่จริง ๆ เรากส็ ามารถหารดว้ ยตวั หารที่เป็น 1 ก็ได้ ดงั ที่จะแสดงต่อไปน้ี
ข้นั ตอนการหารเม่ือตวั หารหลกั คอื 12 เป็นดงั น้ี

8 12 12 3 15 1 72 12 3

12 72 48 8

0 79 24 123 = r

123

0 96 1

หรือ ข้นั ตอนการหารเมื่อตวั หารหลกั คือ 1 ให้ใชวธิ สี ังเกตจากตวั หารจริงคือ 128 เป็ นดงั นี้

28 1 12 33 91 6 2 123

1 7 50 8

12 15 115 = r

096 1

หรือแปลงตวั หารเป็ นจานวนวินคิวลมั 123123128 →123123132

2 12 12 3 61 12 11 3

13 12 2

0 18 24 113 = r

123 7 9

0 96 1

ตอบ 123123128 = 961115

128

ตวั อย่างที่ 5 หาผลหารของ 716769 156

วธิ ีทา ตวั หารแบ่งเป็นสองส่วน ส่วนตวั หารหลกั เป็น 15 ส่วนตวั เลขบนธง คอื 6

ตวั ต้งั คงแบง่ เป็นสองส่วนเช่นเดียวกนั คือ 7 1 6 7 6 9

6 7 7 1 11 6 17 7 12 6 12 9

15 24

24 30 54 105 = r

92 14 7 72

04594

192

หรือ ตวั หารแบง่ เป็นสองส่วน ส่วนตวั หารหลกั เป็น 1 ส่วนตวั เลขบนธง คือ 56
ตวั ต้งั คงแบง่ เป็นสองส่วนเช่นเดียวกนั คือ 7 1 6 7 6 9

วิธีทา 56 7 31 66 87 8 6 12 9

1 74 24

20 49 75 105 = r

11 17 12

459 4

ตอบ 716769 156 = 4594105

156

หรือต้องการคาตอบทศนยิ ม

56 7 31 66 87 86 69 80 60 30 50

1 74 54 71 57 18 35

20 49 75 12 15 9 3 12

11 17 12

45 94 67307

ตอบ 716769 156 = 4594.67307...

193

5.1.3 ตวั หารเป็ นจานวนเต็ม 4 หลกั ขนึ้ ไป
ในกรณีท่ีตวั หารเป็นจานวนเตม็ 4 หลกั แสดงวา่ ตวั เลขบนธงมีตวั เลขสามตวั
ข้นั ตอนการ เป็ นดงั นี้
ข้นั ที่ 1 ดาเนินการหาร

หารตวั ต้งั ตวั แรกดว้ ยตวั หารหลกั ไดผ้ ลหารและเศษเหลือ เศษเหลือท่ีไดน้ าไปเขยี นห้อยไวท้ ่ีตวั เลขตวั
ต้งั ตวั ท่ี 2 ถดั ไป ไดเ้ ป็น ตวั ต้งั ข้นั ตน้

แลว้ หาผลคณู ตวั แรกของตวั เลขบนธงกบั ตวั แรกของคาตอบท่ีไดม้ าน้นั นาไปลบ ตวั ต้งั ข้นั ตน้ ไดเ้ ป็นตวั
ต้งั สุทธิ ใชใ้ นการหารข้นั ต่อไป
ข้นั ที่ 2 หารตวั ต้งั สุทธิในข้นั ที่ 1 ดว้ ยตวั หารหลกั ไดผ้ ลหารและเศษเหลือ เศษเหลือที่ไดน้ าไปเขยี นหอ้ ยไวห้ นา้
ตวั เลขตวั ต้งั ตวั ที่ 3 เป็น ตวั ต้งั ข้นั ตน้

หาผลการคณู ไขวค้ ขู่ องสองตวั แรกของตวั เลขบนธงกบั ตวั เลขสองตวั ของผลหารที่ไดม้ าก่อน นาไปลบ
ตวั ต้งั ข้นั ตน้ ไดต้ วั ต้งั สุทธิ ที่ใชใ้ นการหารข้นั ถดั ไป
ข้นั ที่ 3 หารตวั ต้งั สุทธิในข้นั ที่ 2 ดว้ ยตวั ต้งั หลกั ไดผ้ ลหารและเศษเหลือ เศษเหลือที่ไดน้ าไปเขียนหอ้ ยไวห้ นา้
ตวั เลขตวั ต้งั ตวั ที่ 4 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้

หาผลคูณแนวไขวท้ แยงของตวั เลขสามตวั บนธงกบั ผลหารสามตวั ของผลการที่ไดม้ าก่อนน้นั แลว้
นาไปลบตวั ต้งั ข้นั ตน้ ใหไ้ ดต้ วั ต้งั สุทธิที่ใชใ้ นการหารข้นั ถดั ไป เป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ จนไดผ้ ลหารเป็น
จานวนเตม็

ในทานองเดียวกบั การหารในกรณีตัวหารสาม 3 หลกั ที่คาตอบของการหารมีได้ 2 แบบ คอื ตอบเป็น
เศษเหลือ กบั คาตอบเป็นทศนิยม
ในกรณีทตี่ ้องการคาตอบเป็ นทศนิยม กใ็ หใ้ ส่ 0 ถดั จากตวั เลขสุดทา้ ยของตวั ต้งั จะก่ีตวั ก็อยทู่ ี่ตอ้ งการทศนิยม
ก่ีตาแหน่ง จากน้นั กใ็ หด้ าเนินการหารในทานองเดียวกนั กบั ข้นั ที่ 3

แต่ในกรณีที่ต้องการคาตอบเป็ นเศษเหลือ
เม่ือดาเนินการหารสิ้นสุดของผลหารเป็นจานวนเตม็ ซ่ึงมีเสน้ คนั่ ระหวา่ งผลหารจานวนเตม็ กบั ผลหารท่ี
เป็นเศษเหลือ ส่วนท่ีเป็นผลหารเศษเหลือประกอบดว้ ยตวั เลขของตวั ต้งั 3 ตวั สุดทา้ ย การดาเนินการหาผลหาร
ที่เป็นเศษเหลือ แบ่งเป็น 4 ข้นั ตอนดงั น้ี
ข้นั ที่ 1 ต่อเน่ืองจากการหารทไ่ี ด้ผลหารเป็ นจานวนเตม็ เศษเหลือท่ีไดจ้ ากผลหารจานวนเตม็ นาไปเขยี น ห้อย
ไวข้ า้ งหนา้ ตวั เลขตวั แรกของตวั ต้งั ส่วนที่ใหผ้ ลหารเศษเหลือ ไดเ้ ป็นเศษเหลือข้นั ตน้
ข้นั ท่ี 2 จากน้นั ใหห้ าผลการคูณไขวท้ แยงตวั เลขสามตวั ของตวั เลขบนธงกบั ตวั เลขสามตวั ของคาตอบที่เป็น
จานวนเตม็ สามตวั สุดทา้ ย ไปลบเศษเหลือข้นั ตน้ ผลลบท่ีไดน้ าไปเขียนห้อยไวห้ นา้ ตวั เลขตวั ท่ี 2 ถดั ต่อ
ตวั เลขตวั แรกยงั ไดเ้ ป็นเศษเหลือข้นั ตน้ อยู่อีก

194

ข้นั ท่ี 3 หาผลการคูณไขวค้ ู่ตวั เลขสองสุดทา้ ยของตวั เลขบนธงกบั ตวั เลขสองตวั ของคาตอบท่ีเป็นจานวนเตม็
สองตวั สุดทา้ ย ไปลบเศษเหลือข้นั ตน้ ผลลบท่ีไดน้ าไปเขียนหอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลขตวั ท่ี 3 ถดั ตอ่ ตวั เลขตวั ท่ีสอง
ไดเ้ ป็นเศษเหลือข้นั ตน้
ข้นั ที่ 4 เป็นข้นั สุดทา้ ย หาผลคณู ตวั คูณทา้ ยสุดของผลหารจานวนเตม็ กบั ตวั สุดทา้ ยของตวั เลขบนธง แลว้ นาไป
ลบเศษเหลือข้นั ตน้ ก็จะไดเ้ ป็น “เศษเหลือสุทธ”ิ
ดงั ตวั อย่างการแสดงการหารทีต่ ัวหารมตี วั เลข 4 หลัก
ตัวอย่างที่ 1 หาผลหารของ 7342654 5214
วิธที า การแบง่ ตวั หารออกเป็ น 2 ส่วน 5 214 และตวั ต้งั เป็น 2342 654 ตามเงื่อนไขข้ า้ งตน้

214 7 23 14 52 4 6 14 5 137 1

5

29 8 32 8 32

21 5 4 4

1408 1339 = r

214 214 214 214 214 214

1 1 4 1 40 4 08 08 8

ตอบ 7342651 5214 = 1408 1339

5214

แต่ถ้าต้องการคาตอบเป็ นทศนิยมเรากต็ ่อท้ายตวั ต้งั ด้วยเลขศูนย์เท่าที่ต้องการตัวเลขทศนยิ มน้ัน ๆ ดังวิธีทา

ต่อไปนี้

214 7 23 14 52 4 6 4 5 81 7 0 5 0

5 32 12 4 4 2 5

29 8 14 33 37 45

21 5 4 4

1408 2568

214 214 214 214 214 214 214

1 14 1 40 4 08 08 2 8 25 25 6

ตอบ 73426515214 =1408.2568...

195

ตวั อย่างที่ 7 หาผลหารของ 9879987 8123
วธิ ที า การแบง่ ตวั หารออกเป็ น 2 ส่วน 8 123 และตวั ต้งั เป็น 9879 987 ตามเงื่อนไขข้ า้ งตน้

123 9 18 17 59 3 9 25 8 243 7

8 14 8 14 15 18

17 13 51

1216 2 437 −18 = 2 419 = r

123 123 123 123 123 123

1 1 2 1 21 2 16 16 6

วิธที า การดาเนินการหารในกรณีคาตอบทศนิยม

123 9 18 17 59 3 9 9 8 9 7 10 0 13 0

8 14 8

17 13 51 14 17 3 1 31

2 5 81 6 6 69

1216 2977

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 23 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 1 2 1 21 2 16 16 2 6 29 297

ตอบ 9879987 8123 = 1216 2419 = 1216.2977...

8123

รูปแบบการเขยี นการหารตรงแบบอื่น ๆ

ตัวอย่างท่ี 8 หาผลหารของ 543417103 คาตอบทศนิยม 8 ตาแหน่ง 00 0
วธิ ที า 7103 5 4 53 4 4 31 50 40
3

 1   10   103   103   103   103   103   103 
 0   07   076   765  650   504   043  430 

07 6 5 0 4 3 0 6

54341 7103 = 7.6504306 = 7.6504294

ตัวอย่างท่ี 9 หาผลหารของ 5870476 912314 ตอ้ งการทศนิยม 4 ตาแหน่ง
วิธที า 912314 5 8 47 50 7 4 9 7 56

 1   12   123   1231   12314   12314 
 0   06   064   0643   06434   64347 

0643 4 70

5870476 912314 = 6.4347...

196

(x  y)

https://kosha.sanskrit.today/word/en/dhvaja/th

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 3 ตวั หารต้งั แต่ 3 หลกั ข้ึนไป ตอบผลลพั ธ์และเศษเหลือ

1. 99760559 914 2. 9877751339 821

3. 89549076422 813 4. 2346204541923

5. 89088495161603 6. 15689326632 921

7. 907666760673832 8. 99751227 975

9. 76055999 914 10. 751339 821

11. 70312976370 9142 12. 222978784 6107

13. 32173883321 7217 14. 2803716399 81213

15. 397209672  73412 16. 838138462 39838

ตอบผลลพั ธ์ทศนิยม 4 ตาแหน่ง 18. 19411565822
17. 3005418  713 20. 9879.879  413
19. 2767773814 22. 81039 724
21. 3094717  642 24. 231884  453
23. 1040201  814 26. 102030.405 7898
25. 135790 691 28. 2318844578 452413
27. 23188456  25432

197

5.3 การหารด้วยสูตรนิขลิ มั (Division by The Nikhilam Sutra)

ในพชี คณิต การหารแบบสงั เคราะหเ์ ป็นวิธีการสาหรับการหารพหุนามแบบยคุ ลิด เฉพาะวธิ ีหน่ึง ท่ี
ตวั หารเป็นพหุนามดรีหน่ึง

การหารสงั เคราะห์เป็นการลดรูปข้นั ตอน และพ้ืนท่ีในการคานวณไดน้ อ้ ยกวา่ วธิ ีหารยาว ของวธิ ีการ
หารแบบปกติ ในการหารรสังเคราะห์ น้ีถูกเรียกวา่ “กฎของรัฟฟิ นี (Ruffini's rule)”

ขอ้ ดีของการหารแบบสังเคราะห์คือช่วยใหส้ ามารถคานวณไดโ้ ดยไม่ตอ้ งเขยี นตวั แปร ลดข้นั ตอน
การคานวณ และใชพ้ ้นื ท่ีบนกระดาษนอ้ ยกวา่ การหารยาวอยา่ งมีนยั สาคญั

นอกจากน้ี แทนท่ีจะใชก้ ารลบ แบบการหารยาวด้งั เดิม กลบั ถกู แปลงเป็นการบวก เพื่อป้องกนั
ขอ้ ผดิ พลาดของเครื่องหมาย
ดงั น้นั ก่อนที่จะศึกษา เลขคณิต วา่ ดว้ ยการหารด้วยสูตรนขิ ิลมั ซ่ึงเป็นวธิ ีท่ีประยกุ ตม์ าจาก

พชี คณิต การหาร พหุนามตัวต้งั ทม่ี ีดกี รีมากกว่าสามขนึ้ ไป ด้วย พหุนามดีกรีหนึ่ง
เช่น การหาผลหารของ x3 + 2x2 + 3x + 2  x −1
วิธที า เนื่องจากพหุนามตวั ต้งั คือ x3 + 2x2 +3x + 2 และพหุนามตวั หารคือ x −1
ดว้ ย วิธีการหารสังเคราะห์ ของรัฟฟิ นี

เป็นดงั น้ี x −1 x3 + 2x2 + 3x + 2

1 136

ผลหาร 1 3 6 8

คาตอบ x2 + 3x + 6 เศษเหลือ r = 8

พจิ ารณา การหารสงั เคราะห์ของรัฟฟิ นี ไม่ไดใ้ ช้ x −1 เป็นตวั หาร กลบั ใช้ พจน์ค่าคงตวั −1 เป็นตวั

ดาเนินการหาร แต่เปลี่ยนเครื่องหมายเป็ นตรงขา้ ม คือ เป็น +1 แลว้ ใชก้ ารบวก แทนการลบ

ดังน้นั ถา้ ให้ x3 + 2x2 + 3x + 2  x +1 ตวั หารอยใู่ นรูป x +1

การหารจะเป็นดงั น้ี

x +1 x3 + 2x2 + 3x + 2

−1 −1 −1 − 2

ผลหาร 11 2 0
คาตอบ
x2 + x + 2 เศษเหลือ r = 0

198

จาก การหาผลหารของ x3 + 2x2 + 3x + 2  x −1 การหารด้วยสูตรนิขลิ มั
แทนค่า x =10 ในพหุนามขา้ งตน้

ได้เป็ น การหารของ (103) + 2(102) + 3(10) + 2 (10 −1)

1232  9

วธิ ที า เนื่องจาก ตวั ต้งั คือ 1232 ตวั หารคอื 9
ความคิดการหารด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ ของรัฟฟิ นี
ในเวทคณิต เรียกการหารน้ีว่า “การหารด้วยสูตรนิขลิ มั ”

การหารสังเคราะห์ของรัฟฟิ นี

x −1 x3 + 2x2 + 3x + 2 9) 123 2

1 136 1 13 6

ผลหาร 1 3 6 8 136 8

คาตอบ x2 + 3x + 6 R=8  1232 9 =136 r = 8

และแล้ว การหาผลหารของ x3 + 2x2 + 3x + 2  x +1

แทนค่า x ในพหุนามขา้ งตน้ ดว้ ย x =10

ได้เป็ น การหารของ (103) + 2(102) + 3(10) + 2 (10 +1)

1232  11

จะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ เป็นการหารท่ี ตวั หาร มากกวา่ 10 ในขณะท่ี

การหารด้วยสูตรนิขิลมั ตวั หาร นอ้ ยกวา่ 10

การหารที่กระทาตรงขา้ มกบั การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั นี้ ถกู เรียกว่า “การหารด้วยสูตรปราวรรตย์”

เป็นการหารท่ีสบั เปล่ียนวิธีการหารดว้ ยสูตรนิขิลมั ซ่ึงจะกล่าวในวธิ ีการหารถดั ต่อไป

วิธที า เน่ืองจาก ตวั ต้งั คือ 1232 ตวั หารคอื 11

การหารสังเคราะห์ การหารด้วยสูตรปราวรรตย์

x −1 x3 + 2x2 + 3x + 2 11 ) 1 2 3 2

−1 −1 −1 − 2 1 −1 −1 −2

ผลหาร 11 2 0 11 2 0
คาตอบ
x2 + x + 2 เศษเหลือ r = 0  1232 11 =112 r = 0

199

การหารด้วยสูตรนขิ ิลมั (Division By The Nikhilam Sutra)

เวทคณิต: การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั เป็นการหาร ในกรณีตวั หารเหลา่ น้นั มีค่าใกลก้ บั ฐานหลกั หรือสิบ
กาลงั เอน็ (10,100,1000,...,10n ) เช่น

9, 98, 999, 998, 8889, 89999, 989879,...

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ เม่ือพิจารณา การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั หรือ การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ โยชเยต
เรียกส้นั วา่ การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ แทนท่ีจะใชต้ วั หารเป็นตวั หารจริง ๆ แต่กลบั ใชค้ า่ ท่ีเบ่ียงฐานของ
ตวั หารเป็นตวั หาร และเน่ืองจากเร่ืองการคณู ดว้ ยสูตรนิขิลมั ไดก้ ลา่ วถึง “ค่าเบี่ยงฐาน (Deficiency)”
ค่าเบย่ี งฐาน ก็คือผลตา่ งระหวา่ งจานวนท่ีกาหนดใหก้ บั ฐานหลกั ดงั น้นั ค่าเบี่ยงฐานจึงมีค่าเป็นจานวนบวกหรือ
จานวนลบกไ็ ด้ ข้นึ อยกู่ บั วา่ จานวนที่กาหนดใหใ้ นการหาคา่ เบ่ียงฐานน้นั มีคา่ มากกวา่ หรือนอ้ ยกวา่ ฐานหลกั

เวทคณิต มีวิธีหาค่าเบ่ียงฐานท่ีออกแบบให้เหมาะกบั การคิดเลขเร็ว กบั ในกรณี จานวนท่ีกาหนดให้นั้นมี
ค่าน้อยกว่าฐานหลัก ซ่ึงจะต้องลบจานวนนน้ั ด้วยฐานหลัก กลบั ใช้วิธีการบวกแทนการลบ ด้วยการหาจานวน
เติมเตม็ แทน และการหาจานวนเติมเตม็ กไ็ ด้ใช้สูตรนิขิลัม มาหาดังที่กล่าวไว้ในเร่ืองการคณู ด้วยสูตรนิขิลมั

ดงั น้นั “การหารด้วยสูตรนิขลิ มั ” จึงเป็ การหารสังเคราะห์ ที่ตวั หารมคี ่าน้อยกว่าฐานหลกั
ส่วน “การหารด้วยสูตรปราวรรตย์” เป็ การหารสังเคราะห์ ที่ตวั หารมคี ่ามากกว่าฐานหลกั
จากความรู้ข้างต้นนามาสร้างข้นั ตอน “การหารด้วยสูตรนิขิลมั ” เป็ นดังนี้
1. เขยี นตวั หารและตวั ต้งั อยู่บนแถวเดียวกนั โดยที่ตวั หารอยทู่ างซา้ ยของตวั ต้งั
2. ตวั ต้งั ถกู แบ่งออกเป็นสองส่วน ดว้ ยการเขยี นเส้นคนั่ แนวต้งั
- ส่วนแรกจะเป็นส่วนที่จะใหผ้ ลหารเป็นจานวนเตม็
- ส่วนท่ี 2 จะเป็นส่วนท่ีไดผ้ ลหารเป็นเศษเหลือหรือทศนิยม

โดยทสี่ ่วนนจี้ ะต้องจานวนตวั เลขเท่ากบั จานวนศูนย์ (0) ของฐานหลกั
3. ค่าเบี่ยงฐานเป็ นลกั ษณะเฉพาะ เช่นเดียวกบั การคณู ดว้ ยสูตรนิขิลมั

ดงั น้นั การหาค่าเบ่ียงฐานของตวั หาร จากฐานหลกั (10n ) จะตอ้ งฐานหลกั ใหม้ ีคา่ ใกล้ ตวั หารมากที่สุด
วธิ ีหาคา่ เบ่ียงการหาจานวนเติมเตม็ ของตวั หารกบั ฐานหลกั (10n ) ดว้ ยสูตรนิขิลมั
และ ค่าเบีย่ งฐาน ท่ีหามาไดน้ ้นั จะต้องจานวนหลกั เท่ากับจานวนศูนย์ของฐานหลกั ถา้ ไม่เท่าใหเ้ ติม ศนู ย์ (0)
ขา้ งหนา้ ค่าเบี่ยงฐานหลกั น้นั
เช่น คา่ เบี่ยงฐานของ 9978 กบั ฐาน 10000 เท่ากบั 10000 −9978 = 0022 เป็นตน้
เมื่อ หาไดแ้ ลว้ นาไปเขียนไวข้ า้ งใตต้ วั หาร

(โดยใหท้ ุก ๆ หลกั ของค่าเบี่ยงฐานตรงตาแหน่งเดียวกบั ทกุ ๆ หลกั ของตวั หาร) น้นั ๆ ดว้ ย

200

4. ดาเนนิ การหาร ดังนี้
- ชกั ตวั เลขตวั แรกของตวั ต้งั ลงมาเป็นของคาตอบตวั แรกของผลหารจานวนเตม็
- หลงั จากน้นั นาผลหารตวั แรกน้ีไปคณู กบั คา่ เบ่ียงฐาน
ผลคูณที่ไดน้ ้ีนาไปเขยี นไวต้ รงขา้ งลา่ งของตวั เลขตวั ที่สองของตวั ต้งั ที่ถดั ไปทางขวา
แลว้ หาผลบวกของตวั เลขสองตวั น้ีจะไดผ้ ลหาร ตวั ท่ีสองของคาตอบจานวนเตม็
- ดาเนินการหารซ้าเช่นเดียว กบั ขา้ งตน้ จนกระท้งั ถึง เส้นคนั่ ของส่วนที่เป็นเศษเหลือ
แตถ่ า้ เศษเหลือมาก กวา่ ตวั หาร ใหด้ าเนินการหารโดยเขยี นข้นั ตอนการหารเช่นเดียวกบั การเร่ิมตน้ การ
หารใหม่ น้นั ๆ
- การหารจะสิ้นสุดเศษเหลือจะตอ้ งมีคา่ นอ้ ยกวา่ ตวั หาร

ตัวอย่าง แสดงการหารด้วยสูตรนขิ ิลมั ดังต่อไปนี้
กรณีที่ 1 การหารเม่ือเศษเหลือน้อยกว่าตัวหาร
ตวั อย่างที่ 1 หาผลหารของ 1002388
วธิ ีทา พจิ ารณา วา่ ฐานหลกั ใด ท่ีมีค่าใกลเ้ คยี งกบั 88 ในที่น้ี คือ100

ค่าเบ่ยี งฐาน หาไดจ้ ากจานวนเติมเตม็ 100 ของ 88 คือ 12
ข้นั ตอนการหาร
1. ชกั 1 จากตวั เลขตวั แรกของตวั ต้งั เป็นตวั เลขตวั แรกของของผลหาร ท่ีคาตอบจานวนเตม็
ตัวต้งั 8 8 ) 1 0 0 2 3
ค่าเบ่ยี งฐาน 1 2

1

2. หาผลคูณของตวั เลขตวั แรกของคาตอบกบั ค่าเบี่ยงฐาน 121 = 12 แลว้ นาไปใส่ไวต้ รงใตต้ วั ที่สอง
ของตวั ต้งั จากน้นั หาผลบวก 0 กบั 1 เท่ากบั 1 (0+1=1) เป็นผลหาร ตวั ท่ีสองของคาตอบจานวนเตม็
88 ) 100 23

12 12

11

201

3. หาผลคูณของตวั เลขตวั ท่ีสองของคาตอบกบั คา่ เบ่ียงฐาน 121=12
แลว้ นาไปใส่ไวต้ รงตวั ที่สามของตวั ต้งั ต้งั
จากน้นั หาผลบวก 0,2 และ 1 (0 + 2 +1= 3) เท่ากบั 3 ไดเ้ ป็นผลหาร ตวั ที่สามของคาตอบจานวนเตม็

88 ) 100 23

12 12

12

11 3

5. หาผลคณู ของตวั เลขตวั ที่สามของคาตอบกบั ค่าเบี่ยงฐาน 123 = 36
แลว้ นาไปใส่ไวต้ รงตวั ที่ส่ีของตวั ต้งั ใตเ้ ลข 2 ตวั ท่ีส่ี ซ่ึงอยใู่ นส่วนที่เป็นผลหารของเศษเหลือ
ซ่ึงจะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ ข้นั ตอนการหารที่ตอ้ งการคาตอบของผลหารเป็นเศษเหลือ ไดส้ ิ้นสุดแลว้

ดงั น้นั หาผลบวกแต่ละหลกั ของส่วนผลลพั ธเ์ ศษเหลือ 2+ 2 +3 = 7 และ 3+ 6 = 9
เศษเหลือ เทา่ กบั 79 < 88 (88 คอื ตวั ต้งั )

88 ) 100 23

12 12

12

36

113 7 9

ตอบ 10023  88 = 113 79

88

202

ในกรณีที่ต้องการคาตอบเป็ นทศนยิ ม และ จานวนทศนิยมกต่ี าแหน่ง
ก็ใหใ้ ส่ 0 เพิม่ ต่อจากตวั เลขตวั ส่วนที่เป็นเศษเหลือของตวั ต้งั เดิมเทา่ กบั จานวนทศนิยมที่ตอ้ งการน้นั

แลว้ ดาเนินการหารเช่นเดียวกบั ขา้ งตน้
เช่น ในตวั อยา่ งน้ีตอ้ งการทศนิยม 6 ตาแหน่ง ก็เพ่มิ 0 อีกหา้ ตวั ต่อจากส่วนท่ีเป็นเศษเหลือ เผื่อการปัดค่า
ทศนิยมตามที่หลกั การเลขคณิต ดงั น้ี

88 ) 100 2300000

12 12

12

36

84

11 3 04

2

88

2

84

3

52

5

08

7

7 7 4 2 6 9 2 =113.897726...

123457

ตอบ 1002388 =113.89773

วเิ คราะห์ เปรียบเทียบการหารยกธงกบั การหารด้วยสูตรนิขลิ มั

การหารยกธง การหารด้วยสูตรนขิ ลิ มั

88 ) 1 0 0 2 3 88 ) 100 23
124
10 12 12
12
10 12 34 79

11 3

36

113 7 9

203

จะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ การหารดว้ ยวิธีนิขิลมั ใชพ้ ้นื ท่ีการหารมากกวา่ การหารยกธง และ

เนื่องจากการหารนิขิลมั พฒั นามาจากการหารแบบสังเคราะห์

จึงมีขอ้ จากดั ตวั ต้งั ท่ีจะนามาใชใ้ นการหาร ตวั เลขหลกั หนา้ สุดน้นั จะตอ้ งเป็นตวั เลขที่ไม่

เกิน 5 ถา้ เกิน 5 จะทาการหาผลคูณของตวั เลขของตวั ต้งั กบั ค่าเบ่ียงฐานมีค่ามาก เวลาหาผลบวกของ

ผลหารจะมีความยงุ ยากของเรื่องการทด

เรามีวิธีแกป้ ัญหาดว้ ยการ แปลงตวั ต้งั เป็นจานวนวนิ คิวลมั จะทาใหง้ า่ ยตอ่ การคานวณ

ดงั ตวั อย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2 หาผลหารของ 74326 89

วธิ ปี กติ วิธีวนิ คิวลมั

89 ) 743 26 89 )13 43 3 4

11 7 7 11 11

21 22

1

42 33

2

712 27 8 = 832 + 278 44
89
12 0 0 = 834100
= 835 + 11 1 89
89 1234
= 835 11
89

ดงั น้ันสรุปได้ว่า การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั มีขอ้ จากดั

- ตวั หารควรมีคา่ ใกล้ ๆ ฐานหลกั

- ส่วนตวั ต้งั ควรเป็นจานวนท่ีมีหลกั ขา้ งหนา้ หรือทางซา้ ยสุดเป็นเลขที่นอ้ ยกวา่ 5

ถา้ มีคา่ มากกวา่ 5 ใหแ้ ปลงตวั ต้งั น้ีใหเ้ ป็นจานวนวินคิวลมั

204

ตวั อย่างแสดงวิธีการหารด้วยสูตรนขิ ลิ มั ท่ีตัวต้งั และตวั หารต้องเหมาะสมด้วย

ตัวอย่างท่ี 3 หาผลหารของ 211011898

วธิ ีทา ตวั หารคือ 898 ฐานหลกั 1000

คา่ เบ่ียงฐาน =102

898 ) 2 1 1 0 1 1

102 2 0 4

3 06

408

234 879

ตอบ 211011898 = 234 879

898

ตวั อย่างท่ี 4 หาผลหารของ 11102113189997
วธิ ที า ตวั หารคือ 89997 ฐาน 100000 ค่าเบี่ยงฐาน =10003

89997 ) 1 1 1 0 2 11 3 1

10 0 0 3 100 03

20 006

3 0009

30009

1233 54830

ตอบ 111021131 89997 = 1233 54830

89997

205

กรณที ี่ 2 การหารเมื่อเศษเหลือมากกว่าตัวหาร

ตวั อย่างท่ี 1 หาผลหารของ 1209586

วธิ ที า ตวั หารคือ 86 ฐาน 100

ค่าเบ่ียงฐาน =14

86 ) 1 2 0 95

14 1 4

42

12

1

138 27 ดงั น้นั 12095 86 = 138 227

2 86

จะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ 227 เป็นเศษเกิน

86

เนื่องจากการศึกษาเวทคณติ ต้องการคดิ เลขเร็ว

ซ่ึงสมารถคดิ ในใจได้ คือ 227 = 2 + 55

86 86

ดงั น้นั 12095 86 = 138 227 = 138 + 2 + 55 = 140 55

86 86 86

ข้อสังเกต

ไมจ่ าเป็นท่ีตอ้ งนาเศษเหลือ 227 ไปหารตอ่ กไ็ ด้ เพราะเวทคณิตเป็นศาสตร์ คิดเลขเร็ว

86 ) 2 2 7

14 2 8

2 55
12095  86 = 139 141 = 139 +1+ 55 = 140 55

86 86 86

206

ตัวอย่างท่ี 2 หาผลหารของ 399995219819

วิธที า ตวั หารคือ 9819 ฐาน 10000

คา่ เบ่ียงฐาน = 0181

9819 ) 3 9 9 9 5 2 1

0181 05 43

1 629

2 715 = 405 22826 = 405 + 2 + 22826 −19638 = 407 3188
9819 9819 9819
395 22826
1

หรือแสดงวธิ ีทควบรวม (Merge Method)

9819 ) 3 9 9 9 5 2 1

0181 05 43

1 629

2 715

395 2 2826
1
0362
405 2 3 1 8 8  39999521 9819 = 407 3188

9819

ข้อสังเกต วิธีที่ใชก้ าบวกในตวั อยา่ งที่ 2 เป็นวิธีการบวกด้วยอุปสูตรศุทธะ (ในบทที่ 1 การบวก)

207

ตวั อย่างที่ 3 หาผลหารของ 1119917199979

วธิ ีทา ตวั หารคือ 99979 ฐาน 100000 ค่าเบี่ยงฐาน = 00021 (คา่ เบ่ียงฐานเป็ นลกั ษณะเฉพาะ)

99979 ) 1 1 1 9 9 1 7 1

000 21 0 0 0 2 1
0 00 21
000 21

111 1 015 0 2
000 21

1 1 1 1 0 1 5 2 3 = 112 1523

ตอบ  11199171 99979 = 112 1523

99979

208

แบบฝึ กหดั ชุดท่ี 4 2. 82828 9
ดาเนินการหารดว้ ยสูตรนิขิลมั (ตอบเศษเหลือ) 4.111118

1.1121  9 6. 42545198
3. 6434 9 8. 23012596
5. 3452 99 10. 23412388
12. 144980 83
7. 21234 97 14. 213674 86
9. 777732 95 16. 2121542 987
11. 167589 89
18. 30105799
13. 110167 87 20. 2100346 8877
22. 12234518888
15. 2216502 809 24. 1358979 8897
26. 1010101324 899997
17. 12246 887 28. 135790 976
19. 432171893 30. 1040201814
21. 303512 909
23. 127813457999
25. 1010452 7989
27. 1111111199979
29. 231884 879

แบบฝึ กหัดชุดท่ี 5

ดาเนินการหารดว้ ยสูตรนิขิลมั (ตอบทศนิยมสามตาแหน่ง)

1. 213219 2. 128288
3. 12434 99 4. 3333388
5. 13452 98
6. 14545197

7. 421234 997 8. 16012596

9. 3787772 995 10. 343786 88

11. 126789 899 12. 1409818399

13. 2002002 89998 14. 13674 9966

15. 166502 989 16. 2121542 8998

209

5.4 การหารด้วยสูตรปราวรรตย์ (Division by The Parāvartya Sutra)

การหารทกี่ ระทาตรงข้ามกบั การหารด้วยวธิ นี ิขิลมั นี้ ถกู เรียกว่า
“การหารด้วยสูตรปราวรรตย์”

ในเวทคณติ กล่าวถึงการหารด้วย
สูตรที่ 4 ปราวรรตย์ โยชเยต

(परावर्त्य ्ोज्ते ् = Sutra 4: Parāvartya Yojayet – Transpose and Apply)
เป็นภาษาสนั สกฤต มีความหมายถึงการสับเปล่ียนและการประยกุ ต์

นนั่ คอื การหารท่ีสับเปล่ียนจากการหารดว้ ยสูตรนิขิลมั กล่าวคอื ใชต้ วั หารที่มีค่ามากกว่าแต่ใกลก้ บั
ฐานหลกั (10,100,1000,...,10n ) สูตรน้ีจึงเหมาะกบั ตวั หารที่เป็นจานวนท่ีข้ึนตน้ ดว้ ยเลข 1 และค่าเบี่ยงฐาน
สับเปล่ียนเครื่องหมายเป็นตรงกบั ขา้ มกบั การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั

น่ันคือค่าเบ่ียงฐานของการหารด้วยสูตรปราวรรตย์ จงึ มีค่าเป็ นลบหรือเขยี นนรูปของจานวนบาร์
ตวั อย่างเช่น

ตวั หารเป็น 112 ซ่ึงมีค่าใกลก้ บั ฐาน 100 คา่ เบ่ียงฐานจึงมีคา่ สับเปลี่ยนกบั การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั ดว้ ย
เหตผุ ล ที่การหารท้งั สองสูตร ใชก้ ารหารดว้ ยวิธีดาเนินการบวกแทนการลบ

ดงั น้นั การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ จึงกาหนดใหค้ ่าเบี่ยงฐานเป็น
จานวนลบ คอื −12 หรือเขยี นอยใู่ นรูปจานวนบาร์ คอื 12

หมายเหตุ เน่ืองจากคา “Parāvartya” เป็นภาษาสนั สกฤต จะอา่ นออกเสียงแบบภาษาองั กฤษ ไม่ไดต้ อ้ งอา่ น
ออดเสียงแบบภาษาสันสกฤต

สามารถอา้ งอิงไดจ้ าก อา้ งอิงจาก สสกฤต-ไท-องั กฤษ อภิธาน หนา้ ๗๐๘ ร้อยเอก หลวงบวรณรักษ์
กนั ยายน ๒๕๕๒

(1) ปราวรฺตฺต. น. ‘ปราวรรตต,์ ปราวรรต’ การแลกเปล่ียน, การลา่ ถอยหรือถอยกลบั
(Parāvartya – turned back, exchanged or reversed)

หรือ (2) ปราวรฺตฺต parAvartta m.regress
https://kosha.sanskrit.today/word/en/paraavartta/th
ข้นั ตอนการหาร : ในทานองเดียวกบั การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั
1. เขยี นตวั หารทางซา้ ยของตวั ต้งั อยบู่ นบรรทดั เดียวกนั
2. ตัวต้งั ถกู แบ่งออกเป็นสองส่วน ดว้ ยการเขยี นเสน้ คนั่ แนวต้งั

- ส่วนแรกจะเป็นส่วนที่จะใหผ้ ลหารเป็นจานวนเตม็
- ส่วนท่ี 2 จะเป็นส่วนท่ีไดผ้ ลหารเป็นเศษเหลือหรือทศนิยม
โดยทสี่ ่วนนจี้ ะต้องจานวนตวั เลขเท่ากบั จานวนศูนย์ (0) ของฐานหลกั

210

3. ค่าเบย่ี งฐานเป็ นลกั ษณะเฉพาะ
เนื่องจากการหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ ตวั หาร มีค่ามากกวา่ ค่าเบี่ยงฐานหลกั
การหาคา่ เบี่ยงฐานของตวั หาร จากฐานหลกั (10n ) จึงงา่ ย สามารถหาไดว้ ิธีปกติ

เช่น คา่ เบ่ียงฐานของ 10112 กบั ฐาน 10000 เท่ากบั 10112 −10000 = 0112 เป็นตน้
ค่าเบยี่ งฐาน ท่ีหามาไดน้ ้นั จะต้องจานวนหลกั เท่ากบั จานวนศูนย์ของฐานหลกั
ถา้ ไม่เท่าใหเ้ ติม ศูนย์ (0) ขา้ งหนา้ ค่าเบ่ียงฐานหลกั น้นั

แต่ เนื่องจาก การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ เป็นการสบั เปล่ียนการกระทาตรงขา้ มกบั
การหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั ค่าเบย่ี งฐานจงึ กาหนดเป็ นจานวนลบ และใหเ้ ขยี นอยใู่ นรูปจานวนบาร์ (Bar Number)
เช่น ค่าเบี่ยงฐานของ 10112 กบั ฐาน 10000 เท่ากบั 10112 −10000 = 0112

ตอ้ งสับเปล่ียน ค่าเบ่ียงฐานเป็นจานวนลบ เพราะฉะน้นั ค่าเบ่ียงฐาน ของ 10112 กบั ฐาน 10000
เท่ากบั 10000 −10112 = −0112 = 0112 เป็ นตน้
4. ดาเนินการหาร ในทานองเดยี วกบั การหารด้วยสูตรนิขลิ มั ดังนี้

- ชกั ตวั เลขตวั แรกของตวั ต้งั ลงมาเป็นของคาตอบตวั แรกของผลหารจานวนเตม็
- หลงั จากน้นั นาผลหารตวั แรกน้ีไปคูณกบั ค่าเบ่ียงฐาน

ผลคูณที่ไดน้ ้ีนาไปเขยี นไวต้ รงขา้ งลา่ งของตวั เลขตวั ท่ีสองของตวั ต้งั ที่ถดั ไปทางขวา
แลว้ หาผลบวกของตวั เลขสองตวั น้ีจะไดผ้ ลหาร ตวั ท่ีสองของคาตอบจานวนเตม็
- ดาเนินการหารซ้าเช่นเดียว กบั ขา้ งตน้ จนกระท้งั ถึง เส้นคนั่ ของส่วนที่เป็นเศษเหลือ แต่ถา้ เศษเหลือมาก
กวา่ ตวั หาร

ใหด้ าเนินการหารโดยเขียนข้นั ตอนการหารเช่นเดียวกบั การเร่ิมตน้ การหารใหม่ น้นั ๆ
- การหารจะสิ้นสุดเศษเหลือจะตอ้ งมีค่านอ้ ยกวา่ ตวั หาร
ตวั อย่างท่ี 1 หาผลหารของ 34923113
วิธที า ฐาน 100 ค่าเบี่ยงฐาน 100 −113 = −13 =13
ข้นั ตอนการหาร
1. ชกั 3 จากตวั เลขตวั แรกของตวั ต้งั เป็นตวั เลขตวั แรกของคาตอบ

113 ) 3 4 9 2 3

13

3

211

2. หาผลคูณของตวั เลขตวั แรกคาตอบกบั ค่าเบ่ียงฐานสับเปล่ียนแลว้ นาไปใส่ไวท้ ี่ใตต้ าแหน่งท่ีสองของตวั ต้งั
313 = 39 ใตเ้ ลข 4 ของตวั ต้งั หาผลบวก 4 + 3 =1 ไดเ้ ป็นผลลพั ธ์ตวั เลขท่ีสองของคาตอบ

113 ) 3 4 9 2 3

13 3 9

31

3. หาผลคณู ของตวั เลขตวั ท่ีสองของคาตอบกบั ค่าเบี่ยงฐานสบั เปลี่ยน 113 =13 แลว้ นาไปใส่ไวท้ ี่ตาแหน่งท่ี
สามของตวั ต้งั ใตเ้ ลข 9 หาผลบวกตวั เลขในหลกั น้ี 9+9+1=1 จะเป็นตวั เลขท่ีสามของคาตอบ คือ 1

113 ) 3 4 9 2 3

13 3 9
13

31 1

4. หาผลคูณของตวั เลขตวั ท่ีสามของคาตอบกบั คา่ เบี่ยงฐานสบั เปล่ียน 113 =13 แลว้ นาไปใส่ไวท้ ่ีตาแหน่งท่ี
ส่ีของตวั ต้งั ใตเ้ ลข 2 ตวั ท่ีสี่ ซ่ึงอยใู่ นส่วนของเศษเหลือ แลว้ หาผลบวกตวั เลขหลกั ที่ 4 = 2+ 3 +1= 0
และท่ี 5 = 3+3 = 6 ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นเศษเหลือคอื 06 113 แสดงวา่ การหารสิ้นสุดแลว้

113 ) 3 4 9 2 3

13 3 9
13
13

311 0 6

เพราะฉะน้นั 34923 113 = 31 1 06 = 309 6

113 113

212

ตวั อย่างที่ 2 หาผลหารของ 452511

วธิ ที า ตวั หารคือ 11 ฐาน 10 ค่าเบี่ยงฐาน 10 −11= −1= 1

11 ) 4 5 2 5

14

1

1

411 4 ตอบ 4525 11 = 411 4

ตัวอย่างท่ี 3 หาผลหารของ 332 12 11

วธิ ีทา ตวั หารคือ 12 ฐาน 10 ค่าเบี่ยงฐาน 10−12 = −2 = 2

12 ) 3 3 2

26

6

3 3 8 = 27 เศษ 8

ตัวอย่างที่ 4 หาผลหารของ 271357 112
วิธีทา ตวั หาร 112 มีคา่ ใกลฐ้ าน 100

ค่าเบ่ียงฐานสบั เปล่ียน 100 −112 = −12 =12

112 ) 2 7 1 3 5 7

12 2 4

60

10 8

15 6

2 5 9 13 2 1 = 2583 21 = 2423 19 = 2422 112 −19
112 112 112

= 2422 107 = 2422 93
112 112

ตอบ 271357 112 = 2422 93

112

213

ตวั อย่างท่ี 5 หาผลหารของ 124411121
วิธที า ตวั หาร 1121 มีคา่ ใกลฐ้ าน 1000 แบ่งตวั ต้งั ส่วนเศษเหลือมีตวั เลขสามตวั เท่ากบั จานวนเลขศนู ยข์ อง
เลขฐาน ค่าเบ่ียงฐานสบั เปลี่ยนคอื 1000 −1121= −121=121

1121) 1 2 4 4 1

121 1 2 1

121

11 11 0 = 11 110
1121

ตอบ 124411121 = 11 110
1121

ตวั อย่างที่ 6 หาผลหารของ 1212112 คาตอบในรูปทศนิยม

วธิ ที า ตวั หาร 112 มีคา่ ใกลฐ้ าน 100

ค่าเบี่ยงฐานสบั เปล่ียน 100 −112 = −12 =12

112) 1 2 1 2 0 0 0 0 0

12 1 2
12
24
24
24
72
36

12 1200000

1 1 2 2 2 6 3 5 6 =10.821435...

214

ตวั อย่างท่ี 7 หาผลหารของ 23479861112131
วิธีทา ตวั หาร 112131 มีค่าใกลฐ้ าน 100000 แบง่ ตวั ต้งั ส่วนเศษเหลือมีตวั เลขหา้ ตวั เทา่ กบั จานวนเลขศูนย์
ขอลเลขฐาน คา่ เบ่ียงฐานสบั เปลี่ยนคอื 100000 −112131 = −12131 =12131

12131 ) 2 3 4 7 9 8 6 1

12131 24 262

1 2131

12 131

211 4 4 482 = 209 44482
112131
ตอบ 23479861112131 == 209 44482

112131

ในกรณีตอบเป็ นทศนิยม

112131 ) 2 3 4 7 9 8 6 1 0 0 0

12131 24 262
1 2131
121 31 = 209.3966867....
48524
00000
48524
84917
12131
36393

211 40 4 7 1 3 2

215

ตวั อย่างที่ 8 หาผลหารของ 32894 1028
วธิ ที า ค่าเบี่ยงฐานสับเปลี่ยน 1028−1000 = 028

1028 ) 3 2 8 9 4

028 0 8 4

056

3 2 0 0 2 = 32 + 2 = 31+1+ 2 = 31+ 1028 + 2 32894 1028
1028 1028 1028

หรือ 32894 1028 = 31+ 513

514

216

แบบฝึ กหัดชุดที่ 6

การหารโดยวิธีปราวรรตย์ โยชเยต (ตอบเศษเหลือ)

1. 11223112 2. 13737 123
3. 1482 139 4. 11568113
5. 36915112
6.1425451114

7. 1212134 115 8. 13230125 135

9. 17867832 1121 10. 279999 1111

11. 1617581123 12. 330331231

13. 2321118 14. 1991119

15. 123451028 16.121542 1122

17. 301765 1012 18. 1010 113
19. 43217111 20. 2100346 11
21. 303512 11 22. 122345111221
23. 1278134512123 24. 1358979 11221
25. 1510452 1125 26. 1010101324 11112
27. 1111111111111 28. 135790 1111
29. 1131884 11010 30. 4020146 11

แบบฝึ กหดั ชุดท่ี 7

ดาเนินการหารโดยวธิ ีปราวรรตย์ โยชเยต ( ตอบทศนิยม 4 ตาแหน่ง)

1. 21321101 2. 12828 1111
3. 20734 101 4. 11111
5. 13452 11
6. 435345111

7. 421234 11 8. 16012511

9. 3787772 11101 10. 403786 1112

11. 239479 11203 12. 13456 1123

13. 200200312121 14. 13674 11210

15. 66502 1141 16. 121542 1010

217

บรรณานุกรม

1. ร้อยเอก หลวงบวรบรรณรักษ์ (นิยม รักไทย). สสํ กฤต - ไท - องั กฤษ อภิธาน. พิมพคร้ังที่ส่ี : สาํ นกั พิมพแ์ สง
ดาวจาํ กดั กรุงเทพฯ, ISBN: 978-611-508-037-3.2552.

2. ศกั ดา บญุ โต. (2543). เวทคณิต. (Vedic Mathematics).พมิ พค์ ร้ังที่ 4.ลาํ ปาง : ศิลปการพิมพ.์
ISBN 974-89268-3-4

3. Ann Cutler and Rudolph McShane. “The Trachtenberg Speed Basic Mathematics” published by Rupa
Publications India Pvt, Ltd 1985 7/16, Ansari Road, Daryaganj New Dilhi 110002. ISBN: 978-02-856-
2916-5, 1960.

4. Ashok Jhunjhunwala. “Indian Mathematics an Introduction” published by New Age International(P) Ltd.
4835/24,Ansari Road, Daryaganj. New Delhi-110 002. ISBN: 81-224-0573-8.2005.

5. Atul Gupta “The Power of Vedic Maths”, 2nd Edition, published by Jaico Publishing House A-2 Jash
Chambers,7-A Sir Phirozshah Mehta Road Fort, Mumbai-400 001. ISBN: 81-7992-357-6. 2011.

6. Benjamin and Michael Shermer. “Secrets of Mental Math” Published in United States by Three Rivers
Press, an imprint of the Crown Publishing Group, a division of Random House, Inc., New York.
ISBN -13: 978-0-307-33840-2, 2006.

7. Burton David M. “Elementary Number Theory”, Sixth Edition, published by Mc Graw Hill Higher
Education, International Edition, 2007. ISBN 007-124425-5.

8. Brothers of The Christian Schools. “Elements of Arithmetic Mental and Written”
La Salle Bureau of Supplies, 50 Second Street. New York. 1916

9. C.V. Durell “General Arithmetic For School” published by G. Bell and Sons, Ltd. York House, Portugal,
St., W.C. 2 . London. 1948

10. Dhaval Bathia . “The # Guide for Competitive Exams Vedic Mathematics Made Easy” published by Jaico
Publishing House A-2 Jash Chambers,7-A Sir Phirozshah Mehta Road Fort, Mumbai-400 001. ISBN: 81-
7992-407-6. 2016.

11. Gaurav Tekriwal. “Maths Sutra” published by Penguin Random House India Pvt. Ltd 7th Floor, Infinity
Tower C, DLF Cyber City, Gurgaon 122 002, Haryana, India. ISBN: 97801434425021, 2015.

12. George Gheverghese Joseph. “The Crest of the Peacock Non-European Roots of Mathematics” ,
3rd Edition, published by Published by Princeton University Press, 41 William Street, Princeton, New
Jersey 08540. ISBN 978-0-691-13526-7. 2011.

218

13. Hardy G.H. and Wright E.M. “An Introduction to The Theory of Numbers”, published by Oxford
University Press, 2008. ISBN 978-0-19-921985-8

14. H.S. Hall MA., and F.H. Stevens MA “A School Arithmetic” Macmillan & Co Ltd , New York St
Martin’s Press .London , 1956

15. H.S. Hall MA., and F.H. Stevens MA “A School Arithmetic For India” Macmillan & Co Ltd , New York
St Martin’s Press .London , 1956

16. H.V. Allen “Commercial Arithmetic” Longmans, Green and Co Ltd, 48 Grosvenor Street, London, W.I,
1964

17. Ian Stewart. “Taming the Infinite The story of mathematics from the first numbers to chaos theory”
published by Quercus Publishing Plc 21 Bloomsbury Square London. ISBN: 978-1-84724-768-1 .2008.

18. James Glover. “The Curious Hat of Magical Math, Vedic Mathematics For Schools Book 1”
published by Motilal Banarsidass , 41 U.A. Bangalaw Road,Jawahar Nagar, Delhi 110007. ISBN: 978-81-
208-3973-1(PB)

19. James Glover. “The Curious Hat of Magical Math, Vedic Mathematics For Schools Book 2”
published by Motilal Banarsidass , 41 U.A. Bangalaw Road,Jawahar Nagar, Delhi 110007. ISBN: 978-81-
208-3974-8(PB)

20. James Glover. “Vedic Mathematics For Schools Book 3” published by Motilal Banarsidass , 41 U.A.
Bangalaw Road,Jawahar Nagar, Delhi 110007. ISBN: 978-81-208-1819-4.

21. Luke Heaton. “A Brief History of Mathematical Thought” published by Robinson. An imprint of Little,
Brown Book Group Carmelite House 50 Victoria Embankment London EC4Y 0DZ. ISBN:978-1-47211-
711-3 .2015.

22. Narinder Puri, “Ancient Vedic Mathematics Pushp-I”, published by Spiritual Science Series, Rookee.
1988.

23. Narinder Puri, “Ancient Vedic Mathematics Pushp-2”, published by Spiritual Science Series,Rookee.
1988.

24. Prabhakar Vyankatesh. “Vedic Astronomy”. published by Prabhakar Faijpurkar Secretary, Shri
Babasahab Apte Smarak Samitee Apte Bhavan, Mahal, Nagpur -440 012, India. 1989.

25. Rajest Kumar Thakur, “The Essentials of Vedic Mathematics” published by Rupa Publications India Pvt,
Ltd 2013 7/16, Ansari Road, Daryaganj New Dilhi 110002 ISBN: 978-81-291-2374-9,2013.

219

26. Rajest Kumar Thakur, “Speed Mathematics” published by Rupa Publications India Pvt, Ltd 2018 7/16,
Ansari Road, Daryaganj New Dilhi 110002 ISBN: 978-93-5304-089-5. 2018

27. Sri Bharati Krsna Tirthaji, “Vedic Mathematics”, published by Motial Banarsidass 41 U.A. Bungalow
Road ,Kawahar Nagar , delhi 110-007 .ISBN: 978-81-208-0613-9 . 2015.

28. State Council of Educational Research & Training Varun Marg Colony,
“Fundamentals & Applications Vedic Mathematics” published by: State Council of Educational Research
& Training, New Delhi and printed at Educational Stores, S-5, Bsr. Road Ind. Area, Ghaziabad(U.P.)
New Delhi -110024. 2014.

29. Williams K.R. “Discover Vedic Mathematics”, published by Inspiration Book, 2009.
ISBN 978-1-902517-20-9

30. Williams K.R. “Vedic Mathematics Teacher’s Manual Elementary Level”, published by Inspiration Book,
2009. ISBN 978-1-902517-16-2

31. Williams K.R. “Vedic Mathematics Teacher’s Manual Intermediate Level”, published by Inspiration
Book, 2009.
ISBN 978-1-902517-17-9

32. Williams K.R. “Vedic Mathematics Teacher’s Manual Advanced Level”, published by Inspiration Book,
2009.
ISBN 978-1-902517-18-6

33. Williams K.R. and M.Gaskell “ The Comic Calculator Book 1”, published by Inspiration Book, 2010.
ISBN 978-1-902517-24-7

34. Williams K.R. and M.Gaskell “ The Comic Calculator Book2”, published by Inspiration Book, 2010.
ISBN 978-1-902517-25-4

35. Williams K.R. and M.Gaskell “ The Comic Calculator Book 1”, published by Inspiration Book, 2010.
ISBN 978-1-902517-26-1

36. Williams K.R. and M.Gaskell “Teacher ‘s Guide The Comic Calculator” , published by Inspiration Book,
2010. ISBN 978-1-902517-27-8

37. William J. Milne, Ph.D., LL.D. “Intermediate Arithmetic” American Book Company, New York.
Cincinnati. Chicago, Harvard University ,1900

220

38. http://www.upavidhi.com/sutra/ekadhikena-purvena
39. http://www.upavidhi.com/
40. https://issuu.com/goopakido/docs/vedic-mathematics-ancient-fast-ment/15
41. http://www.upavidhi.com/sutra/nikhilam-navatascaramam-dasatah
42. http://www.upavidhi.com/
43. https://issuu.com/goopakido/docs/vedic-mathematics-ancient-fast-ment/15
44. https://shodhganga.inflibnet.ac.in/bitstream/10603/202306/3/chapter%202.pdf
45. https://elinepa.org/en/on-vedic-mathematics-nikhilam-sutra-on-multiplication/
46. https://arxiv.org/ftp/math/papers/0611/0611347.pdf
47. http://www.upavidhi.com/sutra/ekadhikena-purvena
48. http://www.upavidhi.com/
49. https://issuu.com/goopakido/docs/vedic-mathematics-ancient-fast-ment/15
50. http://www.royin.go.th/dictionary/
51. https://dict.longdo.com/search/principle
52. https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%

E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%84%E0
%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%90%E0%
B8%B2%E0%B8%99
53. https://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html
54. https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations

221