เวทคณิต ขั้นพื้นฐาน

4.7 กำรคูณด้วยสูตรนขิ ิลมั

การคณู ดว้ ยสูตรนิขลิ มั เป็นการคณู รูปแบบเฉพาะ ใชไ้ ดด้ ีกบั ตวั ต้งั และตวั คูณมีคา่ ใกลฐ้ านหลกั
ฐำนหลกั (Theoretical Base )

หรือจำนวนกำลงั ของสิบ (power of 10) ได้แก่
101 =10,102 =100,103 =1000,...,10n เม่ือ n เป็ นจานวนเตม็ บวก
การคณู ดว้ ยสูตรนิขิลมั จึงเหมาะกบั การคณู เลขสองจานวน เช่น

996998

จะเห็นไดว้ า่ สองจานวนน้ีมีค่าเขา้ ใกล้ 1000 หรือในทานองเดียวกนั

99979  99999

สองจานวนน้ีมีค่าเขา้ ใกล้ 100000 หรือ

1000001 999998

สองจานวนน้ีมีค่าเขา้ ใกล้ 1000000 เป็นตน้
แลว้ ทาไมการคณู ดว้ ยสูตรนิขลิ มั จึงทาใหห้ าผลลพั ธข์ องการคูณไดเ้ ร็ว ?

มีเทคนิคการคิดเลขเร็วอยา่ งไร ?
ลองพจิ ำรณำ ขบวนการคิดวิธีการคณู ดว้ ยสูตรนิขิลมั น้นั เป็นอยา่ งไร
เช่นตอ้ งการหาผลคูณของ 996998 = 994008
วิธคี ิดเลขเร็วและสำมำรถคิดในใจคดิ อย่ำงไร?

เคลด็ ลบั อยู่ที่ค่ำเบี่ยงฐำน (Deficiency)
ดังน้นั ก่อนอื่น ตอ้ งพจิ ารณาวา่ เลขสองจานวนท่ีจะนามาคูณกนั น้ีมีค่าเขา้ ใกลฐ้ านหลกั ฐานหลกั อะไร
ในที่น้ีคอื ฐานหลกั พนั (1000) และแลว้ หาผลต่างระหวา่ งเลขสองจานวนที่เป็นตวั ต้งั และตวั คูณน้ี กบั ฐานหลกั
ดงั นี้ 996 =1000 − 4 และ

998 =1000 − 2

แต่เม่ือสงั เกตในแงก่ ลบั กนั ถา้ นาตวั ต้งั ลบดว้ ยฐานหลกั (996 −1000 = −4)
และตวั คูณลบดว้ ยฐานหลกั ( 998−1000 = −2 )

ผลต่างท้งั สองน้ี เขียนแทนดว้ ย −004 และ −002 ถกู เรียกวา่ “ค่ำเบ่ียงฐำน (Deficiency)
ดงั น้นั ค่ำเบ่ยี งฐำน (Deficiency)

“ก็คอื ผลตา่ งระหวา่ งตวั ต้งั กบั ฐานหลกั และในทานองเดียวกนั ผลตา่ งระหวา่ งตวั คณู กบั ฐานหลกั ”
เนื่องจากตวั ต้งั และตวั คณู มีค่านอ้ ยกวา่ ฐานหลกั ค่ำเบยี่ งฐำนจึงมคี ่ำเป็ นจำนวนลบ

135

วธิ ีหำค่ำเบีย่ งฐำน ที่สามารถหาไดร้ วดเร็วน้นั จะทาอยา่ งไร

ที่กลา่ วมาขา้ งตน้ เป็นการลบของวธิ ีปกติท่ีเราคนุ้ เคยกนั อยู่ แตใ่ นเวทคณิตมีวธิ ีคา่ เบ่ียงฐานที่ออกแบบให้

เหมาะการคิดเลขเร็ว ดว้ ยการใชค้ วามรู้เรื่อง

“กำรลบด้วยสูตรนขิ ิลมั หรือกำรลบด้วยทุกตัวครบเก้ำแต่ตวั สุดท้ำยครบสิบสิบ”

ซ่ึงเป็นการลบที่ใชก้ ารบวกแทนดว้ ยการหาจานวนเติมเตม็

วิธหี ำค่ำเบย่ี งฐำนด้วยสูตรนิขลิ มั

เช่น หาค่าเบ่ียงฐานของ 996 จากฐาน 1000
กค็ อื หาจานวนเติมเตม็ 1000 ของ 996
แบง่ 996 ออกเป็นสองส่วน

ส่วนหนา้ คือ 9, 9 หาตวั เลขท่ีมาบวกกบั สองตวั น้ีไดค้ รบเกา้ คอื 0, 0
ส่วนตวั เลขตวั สุดทา้ ย (ซ่ึงมีตวั เดียว) คือ 6 หาตวั เลขที่มาบวกกบั 6 แลว้ ไดค้ รบสิบ คอื 4

ดงั แสดงในแผนภำพ

ค่าเบ่ียงฐานของ 9 96

ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ

คดิ ในใจ คือ 0 04

เพราะฉะน้นั คา่ เบี่ยงฐานของ 9956 คือ −004 = 004

หมำยเหตุ ค่าเบี่ยงฐานในเวทคณิต เป็นค่าเบ่ียงฐานลกั ษณะเฉพาะ (Characteristic Deficiency)

กล่าวคอื จะตอ้ งเขียนอยใู่ นรูปที่มีจานวนหลกั เท่ากบั จานวนศูนยข์ องฐานหลกั น้นั ๆ

และถา้ คา่ เบ่ียงฐานเป็นจานวนลบ ก็ใหเ้ ขยี นอยใู่ นรูปจานวนบาร์ (Bar Number)

หรือค่าเบี่ยงฐานของ 8 73

ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ

คิดในใจ คือ 1 27

เพราะฉะน้นั คา่ เบี่ยงฐานลกั ษณะเฉพาะของ 873 คือ −127 = 127

หรือค่าเบ่ียงฐานของ 9 6 82

ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ

คิดในใจ คือ 0 3 18

ตอบ คา่ เบ่ียงฐานลกั ษณะเฉพาะของ 9682 คือ −0318 = 0318

136

สรุป ค่าเบี่ยงฐานที่กล่าวมาขา้ งมีคา่ เป็นลบสามารถเขียนอยใู่ นรูปจานวนบาร์ และตอ้ งมีการเขียนคา่ เบี่ยงฐานใหอ้ ยู่
ในรูปลกั ษณะเฉพาะ (Characteristic Form) รูปลกั ษณะเฉพาะของค่าเบ่ียงฐาน มีการเขียนคา่ เบ่ียงฐานใหม้ ีจานวน
หลกั เทา่ เลขศูนยข์ องฐานหลกั น้นั ๆ
หมำยเหตุ ในกรณจี ำนวนท่ีกำหนดให้มีมำกกว่ำฐำนหลกั

การหาคา่ เบี่ยงฐานจะไมเ่ กิดการหาท่ียงุ่ ยาก เราสามารถใชว้ ธิ ีการลบแบบปกติไดเ้ ลย
เช่น หาค่าเบี่ยงฐานของ 1007 แสดงวา่ จานวนน้ีมีคา่ ใกลฐ้ านพนั (1000)

ดงั น้นั ค่าเบี่ยงฐานลกั ษณะเฉพาะ คือ 1007 −1000 = 007
หรือ หาค่าเบี่ยงฐานของ 10023 แสดงวา่ จานวนน้ีมีค่าใกลฐ้ านหม่ืน (10000)

ดงั น้นั คา่ เบี่ยงฐานลกั ษณะเฉพาะ คือ 10023−10000 = 0023
เม่ือเข้ำใจค่ำเบีย่ งฐำนลองมำศึกษำว่ำวธิ คี ดิ เลขเร็วแบบเวทคณิต คิดลดั ได้อย่ำไร
หลกั กำร (Rule) กำรคูณด้วยสูตรนขิ ิลมั

• หาค่าเบี่ยงฐานของตวั ต้งั และตวั คูณกบั ฐานหลกั ท่ีมีค่าใกลเ้ คยี งที่สุด
• เขียนตวั ต้งั อยขู่ า้ งบนตวั คณู
• เขยี นคา่ เบี่ยงฐานใหม้ ีจานวนหลกั เท่ากบั จานวนเลขศูนยข์ องฐานหลกั

ไวถ้ ดั ไปทางขวาของตวั ต้งั และตวั คณู จึงเรียกค่าเบ่ียงฐานน้ีวา่ “ค่าเบี่ยงฐานลกั ษณะเฉพาะ”
• ผลลพั ธ์ของการคูณจะมีสองส่วน คอื

- ผลลพั ธส์ ่วนทางซา้ ยจะไดจ้ ากการบวกไขวข้ องตวั ต้งั กบั ค่าเบ่ียงฐานของตวั คณู หรือ
จากการบวกไขวข้ องตวั คูณกบั ค่าเบี่ยงฐานของตวั ต้งั (ในแนวเส้นทแยงมุม)
- ผลลพั ธ์ส่วนทางขวาไดจ้ ากผลคณู ของคา่ เบี่ยงฐานของตวั ต้งั กบั ตวั คณู แต่ผลคณู จะตอ้ งมีจานวนหลกั
เทา่ กบั จานวนหลกั ของคา่ เบ่ียงฐานลกั ษณะเฉพาะน้นั
ดงั น้นั ถา้ ผลคณู มีคา่ มากกวา่ จานวนหลกั ดงั กลา่ วขา้ งตน้ แลว้ ใหน้ าส่วนที่เกินน้นั ไปบวกกบั ผลลพั ธส์ ่วน
ทางซา้ ย
• นาผลลพั ธ์ท้งั สองมาเขยี นตอ่ เช่ือมกนั ไดเ้ ลย เนื่องจากการคณู ดว้ ยสูตรนิขิลมั น้ีไดจ้ ดั คา่ ประจาตาแหน่ง
ของในระบบฐานสิบไวแ้ ลว้ เพื่อใหเ้ ป็นระบบเวทคณิตคดิ เร็ว
ดังน้นั จำกตัวอย่ำงข้ำงต้น หาผลคณู ของ 996998 มีค่าเทา่ ไร
วธิ กี ำรคูณ ด้วยสูตรนขิ ลิ มั ดำเนนิ กำรได้ดังนี้
หาค่าเบ่ียงฐานของตวั ต้งั และตวั คูณ
ค่าเบี่ยงฐานของตวั ต้งั 996 คอื 004
ค่าเบี่ยงฐานของตวั คูณ 998 คอื 002

137

เขยี นแบบต้งั คูณ 996 004
ตวั ต้งั

ตวั คณู 9 9 8 0 0 2

ผลคณู 9 9 6 + 2 / 0 0 8 = 994008

หรือ 9 9 8 + 4 / 008 = 994008 996998 = 994008
ข้อสังเกต
ผลคูณดว้ ยสูตรนิขลิ มั ถูก แบ่งออกเป็นสอง

- ส่วนทำงซ้ำย ไดจ้ าก ผลบวกไขว้ ตวั ต้งั บวกกบั ค่าเบ่ียงฐานของตวั ตวั คูณ
หรือ ตวั คูณบวกกบั คา่ เบี่ยงฐานของตวั ตวั ต้งั

- ส่วนทำงขวำ ไดจ้ ากผลคูณค่าเบี่ยงฐานของตวั ต้งั และตวั คูณ
(ผลคูณตอ้ งมีจานวนหลกั เท่ากบั จานวนหลกั คา่ เบ่ียงฐาน)

พสิ ูจน์เชิงเลขคณติ ตวั ต้งั 996 =1000− 004 =100 + 004
และตวั คูณ 998 =1000 − 002 =100 + 002

แลว้ แทนคา่ ผลคณู ท้งั จานวนใหอ้ ยใู่ นรูป ผลตา่ งระหวา่ งฐานกบั คา่ เบ่ียงฐาน ดงั น้ี

996998 = (1000 + 004)(1000 + 002) =10002 + (004)1000 + (002)1000 + (004)(002)
= (1000 + (004))1000 + (002)1000 + (004)(002)
= (996)1000 + (002)1000 + (004)(002) = [996 + (002)]1000 + (004)(002)
= 9941000 + (004)(002) = 994008
= 994 / 008 = 994008

หรือ 996998 = (1000 + (002))1000 + (004)1000 + (004)(002)

= (998)1000 + (004)1000 + (004)(002) = [998 + (004)]1000 + (004)(002)
= 9941000 + (004)(002) = 994008
= 994 / 008 = 994008

138

ข้อสังเกตกำรคูณคูณด้วยสูตรนขิ ิลมั เป็ นดังนี้
การคณู ดว้ ยสูตรนิขิลมั เป็นวิธีการหาผลการคณู รูปแบบเฉพาะ ดว้ ยการหาค่าเบ่ียงฐาน จึงเหมาะกบั การคูณ

เลขสองจานวนท่ีมีค่าใกลฐ้ านหลกั
ดังน้นั การคูณดว้ ยสูตรนิขิลมั จึงเป็นไปได้ 3 กรณีดว้ ยกนั คอื

- กรณีสองจานวนมีค่านอ้ ยกวา่ ฐาน (Numbers Just Below a Base)
- กรณีสองจานวนมีคา่ มากกวา่ ฐาน (Numbers Above a Base) และ
- กรณีจานวนหน่ึงมากกวา่ ฐานและอีกจานวนหน่ึงนอ้ ยกวา่ ฐาน

ตวั อย่ำงแสดงกำรคูณด้วยสูตรนิขลิ มั ตำมขนำดของฐำนหลกั

4.7.1 กรณีฐำนสิบ เพ่ือให้ควำมเข้ำว่ำ
“การคูณด้วยสูตรนิขิลมั เป็นการคูณแบบเฉพาะตวั ต้งั และตวั คณู จะต้องมีค่าใกล้ฐานหลัก”

ดงั น้นั ตวั อยา่ งท่ีง่ายท่ีสุด ที่นามาแสดงเป็นจานวนที่มีคา่ ใกลฐ้ าน 10
ตวั อย่ำงท่ี 1 หาผลคณู ของ 9 ดว้ ย 7 ท่ีมีค่านอ้ ยกวา่ ฐาน
วิธที ำ ข้นั ตอนการคิดตามหลกั การขา้ งตน้ เป็นดงั น้ี
1. พจิ ารณาเลขสองจานวนที่นามาคณู กนั มีค่าใกลเ้ คียงฐาน 10

เน่ืองจากเลขสองจานวนเป็นตวั หลกั เดียว การหาคา่ เบ่ียงฐานของตวั ต้งั 9 คอื หาครบสิบของ 9 คอื 1
แต่นอ้ ยกวา่ ฐาน 10 คอื −1 = 1 ( 9 −10 = −(10 −9) = 1 )
และในทานองเดียวกนั ค่าเบี่ยงฐานของตวั คูณ 7 ก็คือหาครบสิบของ 7 เช่นกนั แตน่ อ้ ยกวา่ ฐาน 10
คือ −3 = 3 (7 −10 = −(10 − 7) = −3 = 3)
2. เขยี นตวั ต้งั พร้อมค่าเบี่ยงฐานของต้วั ต้งั ไวบ้ นของแถวตวั คูณพร้อมคา่ เบี่ยงฐานของต้วั คูณเช่นกนั ถดั จากสอง
แถวน้ีไปขา้ งล่างเขยี นแถวของผลลพั ธ์ โดยท่ีแถวผลลพั ธใ์ ห้ ขีดเสน้ คนั่ ตรงกลางเพ่อื แบ่งผลลพั ธ์ออกเป็นสอง
ส่วน ดงั น้ี

91


73

3. หาผลบวกไขวข้ องตวั ต้งั กบั ค่าเบ่ียงฐานของตวั คูณหรือหาผลบวกไขวข้ องตวั คูณกบั คา่ เบี่ยงฐานของตวั ต้งั

ในที่น้ีคอื 9 + 3 = 6 หรือ 7 + 1 = 6 ผลบวกท่ีไดใ้ ส่ไวท้ างซา้ ยของช่องคาตอบ

91 หรือ 9 1



73 73

6/ 6/

139

4. หาผลคณู ของคา่ เบ่ียงฐานท้งั สองน้นั ในที่น้ีคือ 1 3 = 3 ผลคณู ท่ีไดใ้ ส่ทางขวาของช่องคาตอบ

91


73

6/3

6. ข้นั สุดทา้ ยหาผลบวกของผลลพั ธท์ ้งั สองส่วน โดยส่วนทางซา้ ยตอ้ งคูณดว้ ยเลขฐานเสียก่อน ดงั น้ี

6 / 3 = 63

7. กำรตรวจสอบยันตวำมถกู ต้อง

ในกรณีการคูณดว้ ยสูตรนิขิลมั เป็นการคูณรูปแบบเฉพาะของเลขสองจานวนท่ีมีค่าใกล้ ๆ ฐานหลกั การ

ตรวจสอบคาตอบดว้ ยวิธียนั ความถูกตอ้ งวธิ ีที่เหมาะสมที่สุดคือ กำรคัดออกเก้ำ

91 → 0
 

73 7

6 / 3 = 63 → 9 0

ตัวอย่ำงที่ 2 หาผลคูณของ 12 ดว้ ย 14 ท่ีมีค่ามากกวา่ ฐาน

วิธีทำ หาคา่ เบ่ียงฐานของ 12 และ 14 เท่ากบั 2 และ 4 ตามลาดบั

ดงั น้นั ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

12 2 3
 

14 4 5

16 / 8 = 168 → 6 15 → 6

ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคูณของ 12 ดว้ ย 7 ท่ีมีคา่ มากกวา่ และนอ้ ยกวา่ ฐาน
วิธที ำ หาคา่ เบ่ียงฐานของ 12 และ 7 เท่ากบั 2 และ 3 ตามลาดบั
ดงั น้นั ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

12 2 3
 

73 7

9 / 6 = 96 = 84 → 3 21 → 3

140

4.7.2 กรณีฐำนหนึ่งร้อย

ตัวอย่ำงที่ 1 หาผลคณู 92 และ 89
วิธีทำ ข้นั ตอนการคดิ เป็นดงั น้ี ในทานองเดียวกบั กรณีฐานสิบ กลา่ วคือตอ้ งพิจารณาจานวนท่ีจะนามาคณู กนั มีคา่
ใกลฐ้ านอะไร ในที่น้ีคือฐาน 100
1. หาคา่ เบ่ียงฐานดว้ ยสูตรนิขิลมั
หาค่าเบ่ียงฐานของตวั ต้งั 92

หาจาก ครบเกา้ ของ 9 คอื 0 และตวั สุดทา้ ยหาครบสิบของ 2 คอื 8
แต่ค่าเบี่ยงนอ้ ยกวา่ ฐาน คือ 92 −100 = −(100 −92) = −08 = 08 (คา่ เบี่ยงฐานลกั ษณะเฉพาะ)
และคา่ เบ่ียงฐานของตวั คูณ 89

หาจาก ครบเกา้ ของ 8 คือ 1 และตวั สุดทา้ ยหาครบสิบของ 9 คอื 1 ดงั น้นั คา่ เบี่ยง
ที่นอ้ ยกวา่ ฐาน คือ −11 =11

92 08 

8 9 11

/

2. หาผลบวกไขวข้ องตวั ต้งั กบั ค่าเบ่ียงฐานของตวั คูณหรือหาผลบวกไขวข้ องตวั คูณคา่ เบี่ยงฐานของตวั ต้งั คือ
92 + 11 = 81 หรือ 89 + 8 = 81

9 2 08


8 9 11

81 /

3. หาผลคณู ค่าเบี่ยงฐานท้งั สองน้นั คือ 811= 88

9 2 08


8 9 11

8 1 / 88 = 8188

หรือ เขยี นในรูปอย่ำงง่ำย −0 8 −1 1

9 28 9 = 81/ 88 = 8188

กำรตรวจสอบยันตวำมถกู ต้อง 28 = 7

16 = 7
7=7

141

ตวั อย่ำงท่ี 2 หาผลคณู 107 และ 114
วิธที ำ หาค่าเบ่ียงฐานของ 107 และ 114 เท่ากบั 07 และ 14 ตามลาดบั
ดงั น้นั ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

107 07 8
 

114 14 6

121 / 98 = 12198 → 3 48 → 3

หรือ เขยี นในรูปอยา่ งง่ายเพ่ือการคดิ เลขในใจ 07 14

107114 = 121/ 98 = 12198

ตวั อย่ำงที่ 3 หาผลคูณของ 132 ดว้ ย 98 ท่ีมีคา่ มากกวา่ และนอ้ ยกวา่ ฐาน

วธิ ที ำ หาคา่ เบี่ยงฐานของ 132 และ 98 เทา่ กบั 32 และ 02 ตามลาดบั

ดงั น้นั ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

132 32 6
 

98 02 8

130 / 6 4 = 13064 = 12936 → 3 48 → 3

หรือ เขยี นในรูปอยา่ งงา่ ยเพื่อการคิดเลขในใจ 32 02 = 12936

132 98 = 130 / 64

ตัวอย่ำงท่ี 4 หาผลคูณของ 149 ดว้ ย 96 ท่ีมีค่ามากกวา่ และนอ้ ยกวา่ ฐาน

วธิ ที ำ หาคา่ เบี่ยงฐานของ 149 และ 96 เท่ากบั 49 และ 04 ตามลาดบั

ดงั น้นั ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

149 49 5
 

9 6 04 6

145 / 9 6 = 14496 = 14304 → 3 30 → 3
1

หรือ เขียนในรูปอยา่ งง่ายเพ่ือการคิดเลขในใจ 49 04 = 12936

149 96 = 145/ 96 = 14496 = 14304
1

142

4.7.3 กรณีฐำนหน่ึงพนั
ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคูณของ 988 ดว้ ย 997 ที่มีคา่ นอ้ ยกวา่ ฐาน
วธิ ที ำ หาคา่ เบ่ียงฐานของ 988 และ 997 เท่ากบั 012 และ 003 ตามลาดบั
โดยใชว้ ธิ ีหาจานวนเติมเตม็ ดว้ ยสูตรนิขลิ มั
ดงั น้นั ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

988 0 1 2 7
 

997 00 3 7

985 / 036 = 985036 → 4 49 → 4

หรือ เขยี นในรูปอยา่ งงา่ ยเพื่อการคิดเลขในใจ 012 003

988 997 = 985036

ตัวอย่ำงที่ 2 หาผลคูณ 1217 และ 1014

วธิ ที ำ หาคา่ เบ่ียงฐานของ 1217 และ 1014 เท่ากบั 217 และ 014 ตามลาดบั

ดงั น้นั ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

1217 217 2
1014 

014
6

1231 / 038 = 1234038 → 3 12 → 3
3

หรือ เขียนในรูปอยา่ งงา่ ยเพ่ือการคดิ เลขในใจ 217 014

12171014 = 1231/ 038 = 1234038
3

ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคณู ของ 1325 ดว้ ย 988 ท่ีมีคา่ มากกวา่ และนอ้ ยกวา่ ฐาน

วธิ ีทำ หาคา่ เบี่ยงฐานของ 1325 และ 988 เท่ากบั 325 และ 012 ตามลาดบั

ดงั น้นั ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

1325 325 2



988 0 1 2 7

1313 / 9 0 0 = 1310900 = 1309100 → 5 14 → 5
3

หรือ เขียนในรูปอยา่ งง่ายเพื่อการคดิ เลขในใจ 325 012 = 1310900 = 1309100

1325 988 = 1313/ 900
3

143

ตัวอย่ำงที่ 4 หาผลคูณของ 568998
วิธที ำ พจิ ารณา 568 และ 998 มีคา่ ใกลเ้ คียง 1000
หาค่าเบี่ยงฐานของ 568 และ 998 432 เทา่ กบั และ 002 ตามลาดบั
ดงั น้นั ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

568 4 3 2 1


8
998 0 0 2
8 →8
5 6 6 / 8 6 4 = 566864 → 8

หรือ เขียนในรูปอยา่ งงา่ ยเพ่ือการคดิ เลขในใจ 432 002

568 998 = 566864

4.7.4 กรณีฐำนหนึง่ หมื่น

ตวั อย่ำงท่ี 1 หาผลคณู ของ 9887 ดว้ ย 9997 ท่ีมีคา่ นอ้ ยกวา่ ฐานหน่ึงหม่ืน

วธิ ที ำ หาคา่ เบี่ยงฐานของ 9887 และ 9997 เท่ากบั 0113 และ 0003 ตามลาดบั

โดยใชว้ ิธีหาจานวนเติมเตม็ ดว้ ยสูตรนิขลิ มั

ดงั น้นั ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

9887 0113 5

9997  7
9884 /
0003 35 → 8

0339 = 98840339 → 8

หรือ เขียนในรูปอยา่ งงา่ ยเพื่อการคดิ เลขในใจ 0113 0003

9887 9997 = 98840339

ตวั อย่ำงท่ี 2 หาผลคูณ 12197 และ 10012

วธิ ีทำ หาค่าเบ่ียงฐานของ 12197 และ 10012 เท่ากบั 2197 และ 0012 ตามลาดบั

ดงั น้นั ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

1219 7 219 7 2
10 012  

0 012 4

12 2 09 / 636 4 = 122116364 → 8 8 →8
2

หรือ เขียนในรูปอยา่ งงา่ ยเพื่อการคิดเลขในใจ 2197 0012

1219710012 = 12209/ 6364 = 122116364
2

144

ตวั อย่ำงที่ 3 หาผลคูณของ 13258 ดว้ ย 9889 ที่มีคา่ มากกวา่ และนอ้ ยกวา่ ฐาน
วธิ ีทำ หาค่าเบี่ยงฐานของ 13258 และ 9889 เทา่ กบั 3258 และ 0111 ตามลาดบั
ดงั น้นั ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

13258 3258 1


7
9889 0 1 1 1

1314 7 / 1 6 3 8 = 131111638 =131108362 → 7 7 → 7
36

หรือ เขียนในรูปอยา่ งงา่ ยเพ่ือการคิดเลขในใจ 3147 0111 = 131111638 = 131108362

13147 9889 = 1314 7/ 1638
36

4.7.5 กรณีฐำนมำกกว่ำหนึ่งหม่ืน

ตวั อย่ำงที่ 1 หาผลคณู ของ 5877699996

วิธที ำ จะเห็นไดว้ า่ 58776 และ 99996 มีค่าใกลฐ้ าน 1,000,000

หาค่าเบี่ยงฐานของ 58776 และ 99996 เทา่ กบั 41224 และ 00004 ตามลาดบั

โดยใชว้ ิธีหาจานวนเติมเตม็ ดว้ ยสูตรนิขิลมั

ดงั น้นั ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

58776 41224 6
99996 

00004 6

587 7 2 / 6 489 6 = 5877364896 → 9 36 → 9
1

หรือ เขยี นในรูปอยา่ งงา่ ยเพื่อการคิดเลขในใจ 41224 00004

586769997 = 5877364896

ตวั อย่ำงที่ 2 หาผลคูณของ 9999587097699999999989

วธิ ที ำ จะเห็นไดว้ า่ 99995870976 และ 99999999989 มีค่าใกลฐ้ าน 1011

หาค่าเบี่ยงฐานโดยใชว้ ธิ ีหาจานวนเติมเตม็ ดว้ ยสูตรนิขลิ มั

ของ 99995870976 คอื 00004129024 และ 99999999989 คือ 00000000011 ตามลาดบั

ดงั น้นั ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

99995870976 00004 1 9 2 0 2 4  6
99999999989 00000000011 

8

9999587 09 65 / 0 0 0 4 6112 2 6 4 = 999958706500046112264 → 3 48 → 3

145

แบบฝึ กหัดชุดที่ 8 การคณู สองจานวนมีค่านอ้ ยกวา่ ฐาน

1. 9 3  2. 7 8 3. 9 3 4. 9 7

98   
93 82 73

5. 9 9 7 6. 9 3 7 7. 8 9 7 8. 8 8 3

   
998 996 9 91 989

9. 8 3 6 10. 7 9 7 11. 6 9 8 12. 5 6 7

   
927 997
990 995
16. 9 9 6 3
13. 8 3 6 3 14. 8 9 8 7 15. 9 7 4 5

   9099
9989 9899
9889

146

17. 9 8 6 7 18. 8 7 9 8 8 19. 9 9 8 9 8 20. 9 7 8 8 9

   
9899 99997
99986 99908

แบบฝึ กหัดชุดท่ี 9 การคูณสองจานวนมีคา่ มากกวา่ ฐาน

1. 1 2 2. 1 7 3. 1 5 4. 1 0 9

   
16 12 10 7
13

5. 1 0 8 6. 1 4 7 7. 1 1 2 8. 1 2 3

   
111 11 3 129
109

9. 1 0 6 3 10. 1 5 9 7 11. 1 0 8 9 12. 1 0 0 3

   
10 0 9
1089 1257 116 4

13. 1 3 6 3 14. 1 4 3 9 15. 1 7 4 5 16. 1 9 6 7

   
1012
11 2 3 1111 1989

17. 1 1 0 8 1 18. 1 1 9 8 9 19. 1 9 1 9 8 20. 1 0 1 9 8

   
111 2 6 11 2 8 6
19 9 9 3 10 9 0 8

147

แบบฝึ กหัดชุดที่ 10 การคูณจานวนหน่ึงมีคา่ มากกวา่ ฐานอีกจานวนหน่ึงมีค่านอ้ ยกวา่ ฐาน

1. 1 2 2. 1 7 3. 1 9 4. 1 2 6

   
9 8 97
7

5. 9 8 6. 1 2 6 7. 1 6 2 8. 9 3

   
108 89
96 129

9. 1 2 2 4 10. 1 1 9 7 11. 1 0 8 9 12. 9 9 7

   
994
997 899 111 4

13. 9 9 3 14. 9 3 9 15. 1 7 4 5 16. 9 9 4

   
10 0 3
110 2 9 11 1989

17. 1 1 0 8 1 18. 1 1 1 9 8 19. 1 9 8 9 8 20. 9 8 9 8

   
912 6 9986
9993 10 9 0 8

148

4.7.6 กรณีกำรคูณสำมจำนวน
ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคณู ของ 989796
วธิ ที ำ 98 0 2 

97 03 
96 04

91/ 2 6 / 2 4 = 912624 = 912576

พิจารณาตวั อยา่ งน้ีพบวา่ ท้งั สามจานวนมีค่าใกลฐ้ าน 100 และมีคา่ ต่างฐานคือ 02, 03, 04
คำตอบมี 3 ส่วน ค้นั ดว้ ย เครื่องหมาย ( / )
ข้นั ที่ 1 นาจานวนหน่ึงในสามจานวนที่จะหาผลคูณไปบวกกบั ค่าเบี่ยงฐานของอีกสองจานวนเหลือดงั น้ี

98 + 03 + 04 = 91

หรือ 97 + 02 + 04 = 91

หรือ 96 + 03 + 02 = 91 ซ่ึงเป็นคาตอบส่วนแรก

ข้นั ที่ 2 หาผลบวกของผลคณู แตล่ ะคูข่ องคา่ เบี่ยงฐานในเชิงการจดั หมู่ (combinatorics) คอื

02  03 + 02  04 + 03  04 = 6 + 8 +12 = 26

ข้นั ที่ 3 หาผลคูณท้งั สามของค่าเบี่ยงฐาน 02  03  04 = 24

เพราะฉะน้นั 989796 = 9126 2 4 = 912576
ตวั อย่ำงที่ 2 หาผลคณู ของ 102210021011

วิธ๊ทำ 10 2 2 022

10 0 2
1011 002


011

1035 / 308 / 484 = 1035308484 ดงั น้นั 102210021011=1035308484
พจิ ำรณำ จากทางซา้ ย
ส่วนท่ี 1 1022 + 002 + 011=1035 หรือ 1002 + 022 + 011=1035 หรือ 1011+ 002 + 022 =1035
ส่วนที่ 2 ผลบวกของผลคูณค่าเบ่ียงฐานเชิงการจดั หมู่ (022002) + (022011) + (002011) = 308
ส่วนท่ี 3 ผลคูณคูณค่าเบี่ยงฐานของท้งั 3 จานวน 22211= 484

149

ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคูณของ 10129891009

วธิ ๊ทำ 1012 012

0989 
10 0 9 011


009

1010 / 1 2 3 / 1 1 8 8 = 1010 1 2 4 1 8 8 =100987512

พจิ ำรณำ จากทางซา้ ย
ส่วนที่ 1 1012 + 011 + 009 =1010 หรือ 0989 + (012) + 009 =1010

หรือ 1009 + (011) + 012 = 1010
ส่วนที่ 2 ผลคูณค่าเบี่ยงฐานเชิงการจดั

(012 011) + (012 009) + (011 009) = −123

ส่วนท่ี 3 ผลคณู คา่ เบ่ียงฐานท้งั 3 จานวน 012011009 = −1188
ดงั น้นั 10129891009 =1009875812

แบบฝึ กหัดชุดที่ 11 การคณู สามจานวน

1. 8 2. 9 7 3. 8 8 4. 9 4

 96 96 97
91 95 81
7
 7. 1 0 1 8 8. 1 1 4 1

6 1018 1018
10 4 101
5. 9 9 4 6. 9 9 8
11. 1 0 0 5 12. 1 0 1 7
997 978
988 996 11 3 1 110 4
10 0 7 1012
9. 1 2 2 4 10. 1 1 9 7

111 4 1018
10 7 99

150

13. 9 9 3 14. 9 9 8 9 15. 9 9 6 16. 1 0 1 1 1

1018 9992 987 1011 2
111 5 9976 10 0 9 1010 2

17. 9 9 9 1 1 18. 1 0 1 1 1 19. 9 9 9 1 20. 1 0 1 1 1

9 9 914 9 912 9992 1011 2
9 9 915 111 4 3 1010 2 9903

151

4.8 กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย
หรือกำรคูณด้วยอุปสูตรอำนุรูปเยณะ

ควำมรู้พืน้ ฐำน
อตั รำส่วน (Ratio) คือปริมาณท่ีแสดงความถึงสมั พนั ธ์ในการเปรียบเทียบถึงปริมาณหน่ึงกบั อีกปริมาณ

หน่ึงในของชนิดเดียวหรือหน่วยเดียวกนั ดงั น้นั อตั ราส่วนจึงเป็นปริมาณที่ไม่มีหน่วย
แต่ถา้ นาปริมาณสองชนิดมาเปรียบเทียบเป็นของตา่ งชนิดกนั แลว้ ตอ้ งใส่หน่วยของอตั ราส่วนจะเป็นหน่วย

ของชนิดแรก "ต่อ" หน่วยของชนิดหลงั
ตวั อยา่ ง เช่น ควำมเร็ว สามารถแสดงไดใ้ นหน่วย "กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง" เป็นตน้

แต่ ถา้ หน่วยที่สองเป็นหน่วยวดั เวลำ เราจะเรียกอตั ราส่วนชนิดน้ีวา่ อตั รำ (rate)
ดงั น้นั อตั ราส่วนของปริมาณหน่ึงกบั อีกปริมาณหน่ึงจะถกู วดั ดว้ ยเศษส่วน (Fraction)

สัดส่วนอย่ำงง่ำย (Simple Proportion) คือถา้ มีปริมาณสี่ปริมาณ เมื่อนาอตั ราส่วนของปริมาณตวั ท่ีหน่ึง
กบั ปริมาณตวั ท่ีสองพบวา่ มีค่าอตั ราส่วนของปริมาณตวั ที่สามกบั ปริมาณตวั ที่ส่ี น้นั มีค่าเท่ากนั หรือกลา่ วคอื
เศษส่วนของปริมาณตวั ท่ีหน่ึงกบั ปริมาณตวั ท่ีสองมีคา่ มีค่าเท่ากบั เศษส่วนของปริมาณตวั ที่สามกบั ปริมาณตวั ท่ีสี่

เช่น มีจานวน 14, 21, 26, 39 เป็นสัดส่วนกนั เน่ืองจาก 14 = 26 = 2

21 39 3

หรือเขยี นแทนดว้ ย 14 : 21 = 26 : 39 = 2 : 3
อ่านวา่ 14 ต่อ 21 เท่ากบั 26 ตอ่ 39 หรือ เทา่ กบั 2 ตอ่ 3
ดงั น้นั การศึกษาเรื่องการคณู ดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วยหรือการคณู ดว้ ยอุปสูตรอานุรูปเยณะ
ตำมควำมหมำยของภำษำสันสกฤต

“กำรคูณด้วยอุปสูตรอำนุรูปเยณะ”
อานุรูปฺยมฺ ค. เหมือน แมน้ คลา้ ย เหมาะสม
อานุษงฺคิก ค. ไดส้ ดั ส่วน แมน้ เหมือน อนั สัมพนั ธก์ นั อนั จาเป็น
ดงั น้นั กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย

กค็ ือการคูณที่ใชฐ้ านหมุนเวยี นสาหรับการคณู ใหเ้ หมาะสมกบั ฐานหลกั อยา่ งเป็นสดั ส่วนเดียวกนั นน่ั เอง
พจิ ำรณำ กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย หรือกำรคูณด้วยอปุ สูตรอำนุรูปเยณะ

เป็นการคูณในรูปแบบแบบเฉพาะ ใชส้ าหรับการคณู เลขสองจานวนในทานองเดียวกนั กบั การคูณดว้ ย
สูตรนิขลิ มั แตเ่ ลขสองจานวนที่นามาคูณกนั น้นั จะตอ้ งมีคา่ ท่ีมีค่าใกลฐ้ านหมุนเวียน (Working Base)
หรือพหุคณู ของเลขฐานหลกั นน่ั เอง

152

เช่น หำผลคูณของ 406412

จะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ ท้งั สองจานวนน้ีมีคา่ ใกล้ ฐานหมุนเวยี น 400 มากที่สุด

ดังน้นั ถา้ จะหาผลคณู ของ 406412 แลว้ คงตอ้ งพิจารณาวา่

406 และ 412 มีคา่ ใกล้ 400 มากที่สุด

เม่ือพจิ ารณา 400 จะพบไดว้ า่ 400 เป็นพหุคณู ของ 4 กบั 100 ( 400 = 4100 )

หรือ หมายถึง 400 เป็นส่ีเท่าของ 100

เรียก 4 วา่ “ตัวพหุคูณของ 100 ”

และเรียก 400 วา่ เป็นฐำนหมนุ เวียนของฐานหลกั (100)

ดังน้นั ฐานหมุ่นเวยี น 400 กบั ฐานหลกั 100 มีสัดส่วนเป็น 4 : 1

หรือ ฐานหมุน่ เวียน 400 เป็น 4 เทา่ ของฐานหลกั 100

เวทคณิตจงึ ได้แบ่งเลขฐำนไว้ 2 แบบคือ

- ฐำนหลกั (Theoretical Base) หมายถึงเลขฐานสิบยกกาลงั จานวนเตม็ หรือเลขฐานสิบกาลงั เอน็

(10n เม่ือ n เป็ นจานวนเตม็ บวก) เช่น 10,100,1000,10000,...

- ฐำนหมุนเวยี น (Working Base) หมายถึงพหุคูณเลขฐานหลกั

เขียนอยใู่ นรูปของ a 10n เมื่อ n เป็ นจานวนเตม็ บวก และ a =1,2,3,4,5,6,7,8,9

เช่น 20,30, 40,...,90 เป็นฐานหม่นุ เวยี นของฐานสิบ

200,300, 400,...,900 เป็นฐานหมนุ่ เวียนของฐานร้อย

2000,3000, 4000,...,9000 เป็นฐานหมุ่นเวยี นของฐานพนั

หรือ 20000,30000, 40000,...,90000 เป็นฐานหมุ่นเวียนของฐานหม่ืน เป็นตน้

ดงั น้นั ฐานหมนุ เวยี นประกอบดว้ ยกบั ตวั พหุคณู กบั ฐานหลกั เช่น

20 = 210 2 เป็นตวั พหุคูณของฐานสิบ

700 = 7100 7 เป็นตวั พหุคูณของฐานร้อย

5000 = 51000 5 เป็นตวั พหุคณู ของฐานพนั

จำกปัญหำข้ำงต้นในกำรหำผลคูณของ

406412 ดว้ ยวธิ ีกำรคูณด้วยสูตรนิขลิ มั

ไม่สามารถจะดาเนินการได้ เนื่องจากมีค่าไม่ใกลฐ้ านหลกั แตม่ ีค่าใกลฐ้ านหมนุ เวยี น ดงั น้นั ปัญหาน้ี

สามารถแกไ้ ดด้ ว้ ยการเพิ่มสัดส่วนฐานหลกั ดว้ ยตวั คูณพหุนามคณู จึงเรียกการคูณวิธีน้ีวา่

กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย

หรือ กำรคูณด้วยอุปสูตรอำนุรูปเยณะ

153

กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วยมีข้นั ตอนดังนี้

ข้นั แรก ควรพิจารณาวา่ เลขสองจานวนท่ีกาหนดให้ คือ 406 และ 412 ใกลฐ้ านหมนุ เวียนใดมากท่ีสุดเพื่อใหก้ าร

คิดเลขไดเ้ ร็วท่ีสุด ในท่ีน้ีเลขสองจานวนท่ีกานดให้มีคา่ ใกล้

ฐานหมนุ เวยี น 400 ซ่ึงมี 4 ตวั พหูคูณของฐานหลกั 100 แสดงวา่ 400 เป็น 4 เท่าของ 100

เขยี นอยใู่ นรูปสัดส่วนไดด้ งั น้ี 400 : 100 = 4 : 1

หรือ 400 = 4 นนั่ คือ 400 เป็นส่ีเท่าของ 100

100 1

ดังน้นั ก่อนที่จะไดศ้ ึกษาวิธีคิดเลขเร็วแบบเวทคณิต เก่ียวกบั การคูณดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย

ลองพิจารณาขบวนการคดิ การหาผลคูณเชิงเลขคณิตของ 406 และ 412

เมื่อกาหนดฐานหมนุ เวียนท่ีมีค่าใกลเ้ คียงมากที่สุดคอื 400 จะไดเ้ ขา้ ใจขบวนการในการนาไปใชไ้ ดอ้ ยา่ งชดั เจน

เป็นดงั น้ี :

406  412 = (400+06)  (400+12) (ผลคณู หาไดด้ ว้ ยวธิ ีแนวต้งั และแนวไขว)้
= 4002 + 400(06+12)+(06)(12) (สมบตั ิการแจกแจง)
= 400[400+(06+12)] +(06)(12)

= 4100[400+(06+12)] +(06)(12)

= 4100[406+12)] +(06)(12)

หรือ = 4100[412+06)] +(06)(12)
เขียนอยใู่ นรูปคา่ ประจาตาแหน่ง 406412 = 4[406+12)] /(06)(12)

หรือ = 4[412+06)] /(06)(12)
พจิ ำรณำ ที่บรรทดั สุดทา้ ยมีลกั ษณะการคณู เช่นเดียวกบั การคูณดว้ ยสูตรนิขลิ มั แตเ่ น่ืองจากเป็นการคูณเลขสอง
จานวนท่ีมีค่าใกลฐ้ านหมนุ เวียน ดงั น้นั ทกุ คร้ังท่ีมีการคานวณในกรณีเช่นน้ี

คำตอบส่วนทำงซ้ำยต้องคูณด้วยตัวพหุคูณของฐำนหลกั
4[406+12)] หรือ 4[412+06)]

คำตอบส่วนทำงขวำเป็ นผลคูณค่ำเบ่ียงฐำนหมนุ เวียนเช่นเดียวกกบั กำรคูณด้วยสูตรนิขิลมั

(06)  (12)

จากขบวนการคิดคานวณขา้ งตน้ แลว้ นามาเขียนเป็ น วธิ ดี ำเนนิ กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย
ซ่ึงการดาเนินการคูณกม็ ีข้นั ตอนเช่นเดียวกบั วิธีการคูณดว้ ยสูตรนิขลิ มั
หลกั กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย
ข้นั แรก พจิ ารณาเลขสองจานวนท่ีจะนามาคูณกนั

เช่น หาผลคณู ของ 406 และ 412
สองจานวนที่ กาหนดใหค้ ณู กนั มีคา่ ใกลฐ้ านหลกั หรือฐานหมนุ เวียนมากท่ีสุด

154

จากดงั กล่าวขา้ งตน้ พบวา่ มีค่าใกลเ้ คยี งมากที่สุด คือฐานหมุนเวียน 400
ข้นั ท่ี 2 หาคา่ เบี่ยงฐานหมนุ เวยี น ของ 406 และ 412

เน่ืองจากเลขสองจานวนน้ีมีค่ามากวา่ ฐานหมุนเวยี น 400
ดงั น้นั การหาค่าเบี่ยงฐานหมนุ เวียนของ 406 ชดั เจน 406 − 400 = 06

และ 412 คอื 412 − 400 =12
เพราะฉะน้นั คา่ เบี่ยงฐานหมุนเวยี นของ 406 และ 412 คือ 06 และ 12 ตามลาดบั
และเนื่องจำกค่ำเบยี่ งฐำน

ในเรื่องการคณู ดว้ ยสูตรนิขิลมั มีลกั ษณะเฉพาะ กล่าวคอื “จานวนหลกั ของคา่ เบี่ยงฐานตอ้ งเท่ากบั จานวน
ศนู ยข์ องฐานหลกั ค่าเบี่ยงฐานของฐานหมุนเวียน ก็ใชห้ ลกั การเดียวกนั

ข้นั ดำเนินกำรคูณ ยนั ความถูกตอ้ ง

406 0 6 1
 

412 12 7

418 4 / 7 2 =167272 → 7 7

พจิ ำรณำ

(1) คาตอบส่วนทางซา้ ย

เป็นผลบวกของตวั ต้งั กบั ส่วนเบี่ยงฐานหมุนของตวั คูณ

หรือเป็นผลบวกของตวั คูณกบั ส่วนเบี่ยงฐานหมุนของตวั ต้งั

แต่เนื่องจากเป็นการคูณเลขสองจานวนที่กาหนดให้ มคี ่าใกล้ฐานหมนุ เวยี น เมื่อหาผลบวกของตวั ต้งั กบั

ส่วนเบ่ยี งฐานหมุนของตัวคูณ หรือเป็นผลบวกของตวั คูณกบั ส่วนเบย่ี งฐานหมุนของตัวตง้ั แล้วผลบวกนีต้ ้องคูณ

ด้วยตวั พหุคูณของฐานหลกั

ดงั ในตวั อยา่ งน้ีฐานหมุนเวียน 400 ซ่ึงมี 4 ตวั พหูคณู ของฐานหลกั 100 แสดงวา่ 400 เป็น 4 เท่าของ

100 ดงั น้นั คาตอบส่วนทางซา้ ยน้ี เมื่อหาผลบวกไขวแ้ ลว้ ตอ้ งเพ่ิมเป็น เป็น 4 เทา่ ของคาตอบทางซา้ ย ดว้ ยการ

คูณดว้ ย 4 ดงั แสดงในตวั อยา่ ง

(2) ส่วนคาตอบทางขวา

ใหห้ าผลคณู ของคา่ เบี่ยงฐานหมนุ เวยี น เช่นเดียวกบั วิธีการคณู ดว้ ยสูตรนิขลิ มั กล่าวคือผลคณู ตอ้ งมี

จานวนหลกั เท่ากบั จานวนหลกั ของคา่ เบี่ยงฐานหมุนเวียนน้นั

ตัวอย่ำงต่อไปนี้

จะแสดงกำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย โดยแสดงแยกตำมฐำนหมุนเวียนของฐำนหลกั ต่ำง ๆ กนั

155

4.8.1 กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วยในกรณีฐำนหมุ่นเวยี นของฐำนสิบ

ตัวอย่ำงที่ 1 หาผลคูณของ 17 กบั 19

วิธีทำ พจิ ำรณำ 17 และ 19 มีคา่ ไกลจากฐานหลกั สิบ แตม่ ีค่าใกลฐ้ านหมนุ เวียน 20

ซ่ึงฐานหมุนเวียน 20 มีคา่ สัดส่วนเป็นสองเท่าของฐานหลกั 10

ดังน้นั คาตอบส่วนทางซา้ ยตอ้ งคณู ดว้ ยตวั พหุคูณ 2

ดำเนนิ กำรคูณ

หาค่าเบี่ยงฐานหมุนเวียนของ 17 เท่ากบั 17 − 20 = −3 = 3

และ 19 เทา่ กบั 19 − 20 = −1= 1

ด้วยสูตรสัดส่วนช่วย

หาผลคูณ ยนั ความถูกตอ้ ง

17 3 8
 

19 1 1

16 2 / 3 = 323 → 8 8

ตัวอย่ำงท่ี 2 หาผลคูณของ 24 กบั 25

วิธที ำ พจิ ารณา 24 กบั 25 มีคา่ ใกลฐ้ านหมุนเวียน 20 มากกวา่ ฐานหมุนเวียน 30

หาคา่ เบ่ียงฐาน ของ 24 กบั 25 เท่ากบั 4 และ 5 ตามลาดบั

หาผลคูณ ยนั ความถูกตอ้ ง

24 4 6
 

25 5 7

29 2 / 0 = 600 → 6 42 → 6
2

ในทานองเดียวกบั ตวั อยา่ งท่ี 1 เน่ืองจากฐานหมุนเวียนกบั ฐานหลกั มีสดั ส่วน เป็น 20 : 10 = 2 : 1

คำตอบ ส่วนทางซา้ ยของผลคูณเพมิ่ สัดส่วนดว้ ยการคูณ 2 (2 เทา่ )

ส่วนทางขวา ค่าเบ่ียงฐานหมนุ เวียนมี 1 หลกั

ผลคณู ค่าเบ่ียงฐานหมนั เวยี น กต็ อ้ งมี 1 หลกั

เช่นเดียวกนั ส่วนเกินท่ีเป็นหลกั สิบของผลคณู จึงนาไปบวกกบั

คาตอบส่วนทางขวา

156

ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคูณของ 18 กบั 24

วธิ ที ำ พิจารณา 18 กบั 24 มีค่าใกลฐ้ านหมนุ เวียน 20 (นอ้ ยกวา่ กบั มากกว่า)

หาค่าเบี่ยงฐานของฐานหมนุ เวียนจะมีค่าเป็นลบและเป็นบวก

ดงั น้นั คา่ เบ่ียงฐานหมุนเวยี น ของ 18 และ 24 เทา่ กบั 2 และ 4 ตามลาดบั

หาผลคณู เช่นเดิม ยนั ความถกู ตอ้ ง

18 2 9 หรือ 0



24 4 66

2 22 / 8 = 448 = 432 → → 54 → 9 0

เน่ืองจากฐานหมุนเวียนกบั ฐานหลกั มีสดั ส่วน เป็น 20 : 10 = 2 : 1

คำตอบ ส่วนทางซา้ ยของผลคณู เพิ่มสดั ส่วนดว้ ยการคูณ 2 (2 เทา่ )

ตัวอย่ำงท่ี 4 หาผลคูณของ 27 กบั 29

วิธีทำ พจิ ารณา 27 และ 29 มีค่าใกลฐ้ านหมุนเวียน 30

หาคา่ เบ่ียงฐาน ของ 27 และ 29 เท่ากบั 3 และ 1 ตามลาดบั

หาผลคณู ยนั ความถกู ตอ้ ง

27 3 0
 

29 1 1

2 63 / 3 = 783 → 9 → 0 0

เนื่องจากฐานหมุนเวียนกบั ฐานหลกั มีสดั ส่วน เป็น 30 : 10 = 3 : 1

คำตอบ ส่วนทางซา้ ยของผลคณู เพม่ิ สัดส่วนดว้ ยการคูณ 3 (3 เท่า)

ตวั อย่ำงท่ี 5 หาผลคณู ของ 28 กบั 34

วิธที ำ พจิ ารณา 28 กบั 34 มีคา่ ใกลฐ้ านหมนุ เวยี น 30

หาคา่ เบี่ยงฐาน ของ 28 และ 34 เท่ากบั 2 และ 4 ตามลาดบั ดว้ ยสูตรนิขลิ มั เช่นเดิม

หาผลคูณ ยนั ความถูกตอ้ ง

28 2 1


34 4 7

323 / 8 = 968 = 952 → 7

เนื่องจากฐานหมุนเวยี นกบั ฐานหลกั มีสัดส่วน เป็น 30 : 10 = 3 : 1
คำตอบ ส่วนทางซา้ ยของผลคณู เพ่มิ สัดส่วนดว้ ยการคูณ 3 (3 เทา่ )

157

ตวั อย่ำงท่ี 6 หาผลคูณของ 34 กบั 35

วิธีทำ พิจารณา 34 กบั 36 มีค่าใกลฐ้ านหมุนเวียน 30

หาคา่ เบ่ียงฐาน ของ 34 กบั 35 เทา่ กบั 4 และ 5 ตามลาดบั

หาผลคูณ ยนั ความถกู ตอ้ ง

34 4 7
 

35 5 8

393 / 0 =1190 → 2 56 → 2
2

เน่ืองจากฐานหมุนเวยี นกบั ฐานหลกั มีสดั ส่วน เป็น 3 : 1

คำตอบ ส่วนทางซา้ ยของผลคณู ดว้ ยการคณู 3 (3 เท่า)

ตัวอย่ำงที่ 7 หาผลคูณของ 4246

วิธีทำ เน่ืองจำกนิยำมของสัดส่วนหมำยถึงหลำย ๆ อตั รำส่วนท่เี ท่ำกนั

เม่ือเป็นเช่นน้ีฐานหมนุ เวยี นจึงสามารถเขียนในรูปอตั ราส่วนของฐานหมนุ เวียนกบั ฐานหลกั ไดห้ ลาย

อตั ราส่วนท่ีเท่ากนั ได้

ดงั ท่ี จะไดศ้ ึกษารายละเอียดของการใชส้ ูตรสดั ส่วนช่วย ในการคณู ของ 42 และ 46 ดงั น้ี

ข้นั แรก ควรพจิ ารณาวา่ เลขสองจานวนที่กาหนดใหใ้ กลฐ้ านหมนุ เวยี นใดมากท่ีสุดเพ่ือใหก้ ารคิดเลขไดเ้ ร็วท่ีสุด

ในท่ีน้ีเป็นไปได้ 2 กรณี คือมีคา่ ใกล้ ฐานหมุนเวียน 40 และ 50

ซ่ึงเป็นพหูคณู ของฐานหลกั 10 แสดงวา่ เป็น 4 เท่าของ 10 ( 410 = 40)

และ 5 เทา่ ของ 10 ( 510 = 50) ตามลาดบั

ดังน้นั ถา้ กาหนดฐานหมุนเวียน 40 แลว้ ผลคูณก็จะเป็นดงั น้ี :

วธิ ีทำ ข้นั แรกหาคา่ เบ่ียงฐานของ 42 และ 46 จากฐานหมุนเวียน คือ 42 − 40 = 2 และ 46 − 40 = 6

ยนั ความถกู ตอ้ ง

42 2 6
 

46 6 1

48 4 / 2 =1932 → 6 6 →6
1

158

แต่ ถา้ กาหนดฐานหมนุ เวยี น 50 แลว้ ผลคูณจะเป็นดงั น้ี :
หาค่าเบ่ียงฐานของ 42 กบั ฐานหมนุ เวียน 50 เทา่ กบั 42 −50 = −8 = 8
และคา่ เบี่ยงฐานของ 46 กบั ฐานหมุนเวยี น 50 เทา่ กบั 46 −50 = −4 = 4

ยนั ความถกู ตอ้ ง

42 8 6
 
1
46 4

385 / 2 =1932 → 6 6 →6
3

ข้อควรระวงั

คาตอบส่วนทางขวา ท่ีไดจ้ ากผลบวกของตวั ต้งั กบั คา่ เบี่ยงฐานของตวั คณู หรือผลบวกของตวั คณู กบั คา่

เบี่ยงฐานของตวั ต้งั ตอ้ งคณู ดว้ ยตวั พหุคูณของฐานหลกั ก่อนเสมอ

ข้อสังเกต

1. คาตอบส่วนทางซา้ ยตอ้ งเพมิ่ เป็น 4 เทา่ ของคาตอบ

เน่ืองจากมีสัดส่วนเป็น 40 : 10 = 4 : 1

จึงเรียกการคูณน้ีวา่ “กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย”

2. กำรเลือกฐำนหมุนเวียนในกำรคำนวณ

ควรเลือกฐานพหุคูณของฐานหลกั ท่ีนอ้ ยที่สุดท่ีมีคา่ ใกลเ้ คียงกบั เลขสองจานวนท่ีคูณกนั น้นั

เพอ่ื ให้ผลกำรดำเนินงำนเป็ นวิธที ี่คิดเลขได้เร็วทีส่ ุด

159

4.8.2 กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วยในกรณีฐำนหมุ่นเวยี นของฐำนร้อย

ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคณู ของ 387396

ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคณู ของ 387 กบั 396

วิธีทำ พจิ ารณา 387 และ 396 มีค่าใกลฐ้ านหมนุ เวยี น 400

การหาค่าเบ่ียงฐานหมนุ เวียน ของ 387 และ 396 ให้วิธีหำด้วยสูตรนขิ ลิ มั

โดยไม่สนใจตวั พหุคูณของฐานหลกั

ในท่ีน้ีคอื ตวั พหุคูณของฐานหลกั คือ 4 ( 4100 = 400 ) ดงั น้นั ค่าเบ่ียงฐานหมนุ เวียนของ 387

จาก 400 หาจากสองหลกั ของตวั เลขตวั สุดทา้ ยของ 387 คือ 8,7 เท่ากบั 13

และค่าเบ่ียงฐานของ 396 จาก 400 กห็ าในทานองเดียวกนั กห็ าจากสองหลกั ของตวั เลขตวั สุดทา้ ยของ

396 คอื 9,6เท่ากบั 04

การหาผลคณู ก็เช่นเดิม ยนั ความถกู ตอ้ ง

387 1 3 0
 

396 0 4 0

383 4 / 5 2 =153252 → 0 0

แต่ต้องอย่ำลืมว่ำ

ฐานหมุนเวยี น 400 กบั ฐานหลกั 100 มีสดั ส่วน เป็น 4 : 1 คาตอบส่วนทางซา้ ยของผลคูณ ตอ้ งคูณดว้ ย 4

ตวั อย่ำงท่ี 2 หาผลคูณของ 386 กบั 423

วิธที ำ พิจารณา 386 กบั 423 มีค่าใกลฐ้ านหมุนเวียน 400 (นอ้ ยกวา่ กบั มากกวา่ )

หาคา่ เบี่ยงฐาน ของ 386 และ 423 เท่ากบั 14 และ 23 ตามลาดบั ดว้ ยสูตรนิขิลมั เช่นเดิม

หาผลคณู เช่นเดิม ยนั ความถกู ตอ้ ง

386 1 4 8

 
0
423 23

4 09 4 / 2 2 = 1636 22 =163278 → 0 0
33

160

ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคณู ของ 424 กบั 425

วธิ ีทำ พิจารณา 424 กบั 425 มีคา่ ใกลฐ้ านหมุนเวียน 400

หาค่าเบี่ยงฐาน ของ 424 กบั 425 เทา่ กบั 24 และ 25 ตามลาดบั ดว้ ยสูตรนิขิลมั เช่นเดิม

หาผลคูณ ยนั ความถกู ตอ้ ง

424 24 1

 2

425 25

4 49 4 / 0 0 =180200 → 2 2
6

ตัวอย่ำงท่ี 4 หาผลคูณของ 727 กบั 802

วิธีทำ พจิ ารณา 727 และ 802 มีค่าใกลฐ้ านหลกั 800

หาค่าเบี่ยงฐาน ของ 727 และ 802 เท่ากบั 073 และ 002 ตามลาดบั ดว้ ยสูตรนิขลิ มั

หาผลคูณเช่นเดิม ยนั ความถกู ตอ้ ง

727 73 7

 1

802 02

7 298 / 4 6 = 583146 = 583054 → 7 7
1

ตัวอย่ำงที่ 5 หาผลคณู ของ 927 กบั 889

วธิ ีทำ พิจารณา 927 และ 889 คา่ ใกลฐ้ านหมนุ เวยี น 900

หาคา่ เบี่ยงฐาน ของ 927 และ 889 เทา่ กบั 73 และ 11 ตามลาดบั ดว้ ยสูตรนิขิลมั เช่นเดิม

หาผลคูณ ยนั ความถกู ตอ้ ง

927 27 0
 

889 1 1 7

9169 / 9 7 = 824 4 97 = 824103 → 0 0
32

หมำยเหตุ การเลือกฐานที่เลขสองจานวนที่เราจะหาผลคูณ ข้ึนอยกู่ บั ความเหมาะสมวา่ จะเลือกฐานหมุนเวยี นหรือ

ฐานหลกั ท้งั น้ีตอ้ งอาศยั ประสบการณ์การเรียนรู้และการฝึ กฝน ความสนใจ ความใฝ่รู้ เป็นสิ่งสาคญั ที่

จะสังเกต ไดว้ า่ จากตวั อยา่ งที่ 5 เราสามารถเลือกฐาน 1000 ก็ได้

161

4.7.3 กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วยในกรณฐี ำนหมุ่นเวยี นมำกกว่ำฐำนร้อย
ตัวอย่ำงท่ี 1 หาคา่ ของ 29883014
วิธีทำ ฐานหมนุ เวียน = 3000 = 31000 ฐานหลกั = 1000

ยนั ความถูกตอ้ ง

2988 012 0
 

3014 014 8

3002 3 /168 = 9006 /168 = 9006168 = 9005832 → 0 0

ตัวอย่ำงที่ 5 หาค่าของ 4999950003
วธิ ที ำ ฐานหมุนเวียน = 50000 = 510000 ฐานหลกั = 10000

49999 0001 4


50 0 03 0003 8

50002 5 / 0003 = 250010 / 0003 = 2500100003 = 2500099997 → 5 32

ตวั อย่ำงท่ี 6 หาคา่ ของ 69998787000005
วิธที ำ ฐานหมนุ เวยี น = 7000000 = 71000000

6999878 − 0 0 0122


7000005 + 0 0 0 0 05

6999883 / 0 0 0 6 1 0 = 69998837 / 000610 = 48999181/ 000610 = 48999180999390

= 4.899918099939  1013

พสิ ูจน์เชิงพชี คณิต

ใหเ้ ลขสองจานวนเป็น x และ

และ ให้ เลขฐานใด ๆ เป็น B เพราะฉะน้นั x = B+a และ y = B+ b

แลว้ x  y = (B + a)(B + b) = B2 + aB + bB+ ab = B2 + (a + b)B+ ab แต่ B = x − a = x − b

ดงั น้นั แทนคา่ B = x −a หรือ แทนค่า B = x − b

x  y = B(x − a) + (a + b)B + ab x  y = B(x − b) + (a + b)B + ab

= B(x − a + a + b) + ab = B(x − b + a + b) + ab

= B(x + b) + ab = B(x + a) + ab

ข้อสังเกต ถา้ B เป็นเลขฐาน 10 จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงใด แตถ่ า้ B เป็นเลขฐานอื่นจะตอ้ งเปลี่ยน

เป็นเลขฐาน 10 เสียก่อน

162

กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย ในเวทคณิตเป็ นกำรคูณด้วย อปุ สูตรท่ี 1 อปุ สูตรอำนุรูปเยณะ

(Upasūtra 1. ānurūpyena = उपसूत्र १. आनुरूप्येण)
ānurūpyena - Proportionately.

ānurūpyam = อานุรูปยฺ มฺ ค. เหมือน แมน้ คลา้ ย เหมาะสม

อานุษงฺคิก ค. ไดส้ ัดส่วน แมน้ เหมือน อนั สมั พนั ธก์ นั อนั จาเป็น

แบบฝึ กหัดชุดที่ 12 การคูณสองจานวนการคูณโดยใชก้ ารคูณดว้ ยสูตรอานุรูปเยณะ

1. 7 1 2. 2 6 3. 5 3 4. 8 6

   
74 23 57
89

5. 2 0 3 6. 3 1 9 7. 4 8 8 8. 5 1 7 

   4 91
207 695 396

9. 4 9 3 10. 6 1 2 11. 8 0 3 12. 7 1 3

   
276 797
507 696

13. 8 0 4 5 14. 3 9 9 5 15. 7 0 1 5 16. 3 0 4 5

   
8 012 4 019 6983 2887

17. 2 0 5 4 18. 5 0 4 5 19. 8 9 4 5 20. 5 1 1 5

   
19 7 9 4899 5098
7985

21.1 9 0 2 8 22. 3 9 9 2 8 23. 7 0 0 2 8 24. 8 0 0 5 1

   
69898
20099 3 018 9 79097

163

4.9 กำรคูณเลขสองจำนวนมคี ่ำใกล้ฐำนหลกั ต่ำงกนั

(Numbers Near Different Theoretical Base)

การคูณเลขสองจานวนมีคา่ ใกลฐ้ านหลกั ต่างกนั น้นั ไม่สามารถจะใชว้ ิธีการคูณดว้ ยสูตรนิขลิ มั ดงั ที่กล่าว
มาแลว้ ขา้ งตน้ แต่กส็ ามารถท่ีจะทาไดเ้ หมือนกบั การใชว้ ิธีการคูณดว้ ยสูตรนิขลิ มั วธิ ีขา้ งตน้ เพยี งแตต่ อ้ งใชว้ ิธีเพ่มิ
สัดส่วนใหก้ บั ท้งั จานวนที่มีค่าใกลฐ้ านหลกั ที่นอ้ ยกวา่ และฐานหลกั ท่ีนอ้ ยกวา่ ใหฐ้ านหลกั ท่ีมีค่านอ้ ยกวา่ มีค่า
เทา่ กบั ฐานหลกั ท่ีมีค่ามากกวา่ วธิ ีเพิม่ สัดส่วนดงั กล่าวกค็ อื โดยใหห้ ากาลงั ของสิบ (10n ) มาคณู ใหก้ บั จานวนและ
ฐานท่ีมีค่าท่ีมีค่านอ้ ยกวา่ แลว้ ผลการเพิ่มสัดส่วนน้ีมีคา่ ฐานหลกั ที่นอ้ ยกวา่ เทา่ กบั ฐานที่มีค่ามากกวา่ กจ็ ะสามารถท่ี
ใชก้ ารคูณดว้ ยสูตรนิขลิ มั ได้ แต่เมื่อไดผ้ ลคณู แลว้ จะตอ้ งตดั ออกการคณู ดว้ ยกาลงั ของสิบ (10n ) ที่เพม่ิ ไปในคร้ัง
แรกน้นั

เช่น หาผลคูณของ 108 กบั 1007
จะเหน็ ได้ว่ำในกรณเี ช่นนี้ เลขสองจานวนฐานหลกั ต่างกนั คอื 108 มีค่าใกลเ้ คียงฐาน 100 และ

1007 มีคา่ ใกลเ้ คยี งฐาน 1000
เมื่อไดพ้ จิ ารณาเปรียบเทียบ ฐานหลกั 1000 กบั ฐานหลกั 100 พบวา่

1000 = 10 หรือ 1000 : 100 = 10 : 1

100 1

แสดงว่ำ ฐานหลกั 1000 กบั ฐานหลกั 100 มากกวา่ กนั อยู่ 10เท่า

นา 108 และ 100 มาเพ่มิ เขา้ ดว้ ยการคณู 10 เป็ น 10810 =1080 และ 10010 =1000

กจ็ ะได้ 10801007 สองจานวนน้ีมีคา่ ใกลฐ้ าน 1000

จากน้นั หาค่าเบี่ยงฐานของ 1080 คอื 080

และ หาคา่ เบี่ยงฐานของ 1007 คอื 007 ตามวิธีการคา่ เบ่ียงฐานลกั ษณะเฉพาะดว้ ยสูตรนิขลิ มั

แลว้ ดาเนินการหาผลคณู 1080 080


1007 007

1 0 8 7 / 5 6 0 = 1087560

แตผ่ ลคูณน้ีเกินอยู่ 10เทา่ ตอ้ งตดั ออกการคณู ดว้ ย 10 (หรือหารดว้ ย 10)
ดงั น้นั คาตอบสุทธิ เท่ากบั 1 (10801007 = 1087560) = 1081007 = 108756

10

164

ควำมคดิ เชิงเลขคณิต

1081007 = 1 (10801007) = 1 [(1000 + 080) (1000 + 007)]
10 10

= 1 10002 + (1000  080) + (1000  007) + (080  007)
10

= 1 10002 +1000(080 + 007) + (080  007)
10

= 1 1000(1000 + (080 + 007)) + (080007)

10

= 1 1000(1087) + 560 = 1 1087000 + 560 = 1 1087560 = 108756

10 10 10

ตวั อย่ำงที่ 2 หาผลคูณของ 9998 กบั 94

วิธคี ดิ ในกรณีน้ี 9998 มีค่าใกลฐ้ าน 10000 และ 94 ใกลเ้ คยี งฐาน 100

พิจารณา ฐาน 10000 กบั ฐาน 100 พบวา่ 10000 = 100

100

แสดงวา่ ฐาน 10000 มากกวา่ ฐาน 100 เทา่ กบั 100 เทา่

ดังน้นั ตอ้ งเพิม่ เขา้ การคณู 94 และ ฐาน 100 ดว้ ย 100 เป็ น 94100 = 9400 และ 100100 =10000 ได้

เป็ น 100 999894 = 1 99989400

100 100

เพราะฉะน้นั หาผลคณู ของ 99989400 ดว้ ยสูตรนิขลิ มั

วธิ ีทา 9 9 9 8 0 0 0 2

9400 0600

9 3 9 8 / 1 2 0 0 = 93981200 แต่ตอ้ งตดั ออกการคูณดว้ ย 100
เพราะฉะน้นั 999894 = 939812

หมำยเหตุ กำรคูณเลขสองจำนวนมคี ่ำใกล้ฐำนหลกั ต่ำงกนั อำจจะใช้วธิ ีเทคนคิ ด้ังแสดงในตัวอย่ำถดั ไปต่อไปนี้

ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคณู ของ 10007 กบั 1003

วธิ ีทำ ดาเนินการวธิ ีเทคนิคดงั น้ี

ในกรณีน้ี 10007 มีคา่ ใกลเ้ คยี งฐาน 10000 และ 1003 ใกลเ้ คียงฐาน 1000

และค่าเบ่ียงฐานของสองจานวนคอื 10007 −10000 = 0007 และ 1003−1000 = 003

คา่ เบี่ยงฐาน ฐาน

10 0 0 7 0007 10 0 0 0
10 0 3  10 0 0

003

/

165

o ตดั ศูนยข์ องแต่ละของเลขฐานสองจานวนน้นั ออกเทา่ ๆ กนั (ตดั ออก 3 หลกั )

คา่ เบ่ียงฐาน ฐาน

10 0 0 7 0007 10000 .
10 0 3 
1000. ผลการกระทาน้ีแสดงวา่ เป็ นการหาสัดส่วนของ
003

/ ฐานหลกั ท่ีมีค่ามากกวา่ กบั ฐานหลกั ท่ีมีคา่ นอ้ ยกวา่ คอื
1000 : 100 = 10 : 1 นน่ั คือฐานหลกั ที่มีค่ามากกวา่

มำกว่ำ ฐานหลกั ท่ีมีคา่ นอ้ ยกวา่ อยู่ 10 เท่า ดงั น้นั ตอ้ งนา 10 ไปคูณจานวนท่ีมีค่าใกลฐ้ านหลกั ที่มีคา่ นอ้ ยกวา่ และคา่
เบี่ยงฐานของจานวนน้ีแลว้ ดาเนินการหาคาตอบส่วนทางซา้ ยและทางขวาดงั น้ี

o ผลลพั ธท์ างซา้ ย = 00310 +10007 =10037 หรือ 100310 + 007 =10037
o ผลลพั ธ์ทางขวา = 0030007 = 021 (จานวนหลกั เทา่ กบั เลขศนู ยท์ ่ีตดั ออกสามหลกั )
o ดงั น้นั ผลคณู ท้งั สองจานวน คือ 100071003 =10037021

ยนั ความถกู ตอ้ ง

คา่ เบี่ยงฐาน ฐาน

10007 0007 10 0 0 0. 8

1003 003 10 0 0. 4

10 037 / 0 21 =10037021 → 5 32 → 5

ตวั อย่ำงที่ 4 หาผลคณู ของ 10032 กบั 98

วธิ ที ำ ในกรณีน้ี 10032 มีค่าใกลเ้ คยี งฐาน 100000 และ 98ใกลเ้ คยี งฐาน 100

และค่าเบี่ยงฐานของสองจานวนคือ 0032 และ 02

คา่ เบี่ยงฐาน ฐาน ยนั ความถกู ตอ้ ง

10032 0032 10000 . 6


98 0 2 100. 8

9832 / 6 4 = 983264 = 983136 → 3 48 → 3

166

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 13 การคูณสองจานวนต่างฐานกนั

1. 9 7 2. 9 9 7 3. 1 0 3 9 4. 1 0 3 9

   
9 96 11 2
101

5. 9 4 6. 9 9 8 7. 1 0 1 8 8. 1 1 4 1

   
998 88 10 4 101

9. 1 2 2 4 10. 1 1 9 7 11. 1 0 5 5 12. 1 1 7

   
10 7 99 87 1012

13. 9 9 9 3 14. 9 6 15. 1 7 4 5 16. 1 0 1 1 2

   
97 9876 101 11 2

17. 1 1 0 1 8 18. 1 1 1 9 8 19. 1 9 8 9 8 20. 8 9 8

   
125 986 93 10 9 0 8

21. 1 1 0 3 22. 1 0 0 2 8 5 23. 1 1 1 1 8 5 24. 9 0 0 1 8 5

   
93 988 1098 998

167

5.การหาร

บทนา

การหารเป็นการดาเนินการตรงขา้ มกบั การคณู ความรู้พ้นื ฐานของการหาร คือการลบซ้า ๆ
เช่น การหารของ 123 = ? มีข้นั ตอนดงั น้ี

ข้นั ท่ี 1 คือ 12 −3 = 9
ข้นั ที่ 2 คือ 9 −3 = 6
ข้นั ที่ 3 คือ 6 −3 = 3
ข้นั ที่ 4 คือ 3−3 = 0
จะเห็นไดว้ า่ ข้นั ที่ 4 คอื 3−3 = 0 หมายความวา่ 123 = 4 เหลือเศษ 0

ลองพิจารณาการหารของวธิ ีดงั เดิม
ตวั อย่าง 479 7
การหารประกอบดว้ ย - ตวั ต้งั (Dividend)

- ตวั หาร (Divisor)
- ผลหาร (Quotient)
- เศษเหลือ (Remainder)
การดาเนินการหารจากตวั อยา่ งขา้ งตน้ น้ี
เป็นการหารยาวแบบด้งั เดิมท่ีดาเนนิ การจากทางซ้ายไปทางขวา

https://www.prodigygame.com/in-en/blog/how-to-do-long-division/
ลองพิจารณาเปรียบเทียบกบั การหารยาววิธีของอิตาลี่ ( Italian Method ) อนั เป็นท่ีรู้จกั กนั ดี ก่อนที่จะ

ศึกษา การหารแบบเวทคณิต จากตวั อยา่ ง
วธิ ที า การหารแบบอิตาล่ี 7 479 60

−420

59

56 8

3 68 ตอบ ผลลพั ธ์ = 68 ; เศษ = 3

บทนิยาม ข้ันตอนการหาร ( Division Algorithm)
ในวิชาเลขคณิต (Arithmetic) สาหรับจานวนเตม็ a และ d ใด ๆ จะตอ้ งมีจานวนเตม็ q และ r

เพยี งคู่เดียวท่ีทาให้
a = dq + r และ 0  r  d

ข้นั ตอนการหาร กลา่ วถึงผลลพั ธจ์ ากการหารของจานวนเตม็ ไวอ้ ยา่ งเที่ยงตรง
ท่ีสาคญั ข้นั ตอนการหารยนื ยนั วา่ มีจานวนเตม็

q เรียกวา่ ผลหาร (quotient)
r เรียกวา่ เศษเหลือ (remainder)
และ มี q และ r เพยี ง คู่ เดียวสาหรับตวั ต้งั a และตวั หาร d โดยที่ d  0

เวทคณิตสาหรับการหาร (Vedic Method for Division )

วธิ ีการหารของเวทคณิตมีท้งั หมด 7 วธิ ีดงั นี้
1. การหารตรงหรือการหารยกธง (Straight Division or Flag Division)
หรือการหารดว้ ย อุปสูตรธวาชางกะ

(उपसूत्र १४. ध्वज कंा = Upasūtra 14. dhvajāṅka- On the flag.)

เป็นการหารแบบทวั่ ไปดว้ ยการใชส้ ูตรแนวต้งั และแนวไขว้
2. การหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั

(सूत्र २. निनिलं िवतश्चरमं दशत: = Sutra 2. Nikhilam Navathaścaramam Dhaśataḥ )
เป็นการหารแบบเทคนิคเฉพาะ สมนยั กบั วธิ ีการหารสังเคราะห์ของกฎของรัฟฟิ นี (Ruffini's rule)”
3. การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ โยชเยต
( सूत्र ४. परावर्त्य ्ोज्ेत् = Sutra 4. Parāvartya Yojayet)
เป็นการหารที่สับเปลี่ยนกบั การหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั
4. การหารดว้ ยสูตรสดั ส่วนช่วย
หรือการหารดว้ ยสูตรอนุรูปเยณะ
(उपसूत्र १. आिुरूप््ेण = Upasutra 1. Ānurūpyeṇa)
เป็นการหารในทานองเดียวกบั การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั และการหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ ในกรณีที่
ตวั หารมีคา่ ใกลก้ บั ฐานหมุ่นเวียน (working Base)
5. การหารดว้ ยขบวนการวนิ ควิ ลมั
(रेिाकोष्ठक नवभाजि की प्रनि्ा = Vinculum Process of Division)
เป็นการหารที่สามารถประยกุ ตไ์ ดท้ กุ กรณีดว้ ยการแปลงจานวนที่เป็นตวั ต้งั และตวั หารเป็นจานวน
วินคิวลมั

170

6. การหารดว้ ยสูตรเศษส่วนช่วย หรือการหารดว้ ยสูตรเอกาธิเกนปรุ เวณ
( सतू ्र १४. एकन््िू िे पूवणे = Sutra 14. Ekanyūnena Pūrveṇa)
เป็ นการหารแบบเทคนิคเฉพาะ

7. การหารดว้ ยอปุ สูตรเวษฏนมั
(उपसतू ्र ५. वेष्टिम् = Upasutra 5. Veṣṭanam)
เป็นการหารที่สามารถตรวจสอบการหารลงตวั และไม่ลงตวั

หมายเหตุ
ในท้งั หมด 7 วธิ ขี ้างต้น วธิ ีที่ 1 การหารตรงหรือการหารยกธง (Straight Division or Flag Division)

ถูกยกยอ่ งวา่ เป็น “อญั มณีอนั ลา้ ค่าของเวทคณิต” เพราะเป็นการหารท่ีใชต้ วั เลขหลกั หนา้ สุดของตวั หารเป็น
ตวั หารจริง ส่วนตวั เลขที่เหลือใชก้ ารคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว้ คูณกบั ผลหารที่ไดม้ าก่อนนาไปลบตวั ต้งั
ข้นั ตน้ เพื่อใหไ้ ดต้ วั ต้งั สุทธิ ในการหารลาดบั ต่อไป

ส่วนวธิ ีท่ี 2 การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั กบั วธิ ีที่ 3 การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ โยชเยต เป็นวิธีการหารที่
ประยตุ ม์ าจากการหารสงั เคราะห์ของพีชคณิต สาหรับการหารพหุนามแบบยคุ ลิด เป็นวิธีที่จากดั ตวั หารตอ้ งเป็น
พหุนามดีกรีหน่ึงเท่าน้นั วธิ ีการหารสังเคราะห์เป็นการลดรูปการเขียน ให้ใชพ้ ้นื ที่ในการคานวณให้นอ้ ยกวา่
วิธีการหารยาว วธิ ีการน้ีถกู เรียกวา่ “กฎของรัฟฟิ นี (Ruffini's rule)”

ส่วนอกี 4 วิธีหลัง ดังกล่าวข้างต้น น้นั เป็นวธิ ีการหารข้นั ประยกุ ตท์ ่ีตอ้ งอาศยั การศึกษา 3 วิธีขา้ งตน้
ท่ีเป็นพ้นื ฐาน จึงจะสามารถเขา้ ใจหรือสังเกตไดอ้ ยา่ งทะลปุ รุโปร่ง (Through Observation ) ถึงการหารท้งั 4 วิธี
น้ี ซ่ึงจะไดศ้ ึกษาตอ่ ใน “เวทคณิต ภาคประยุกต์”

5.1 การหารในกรณีทตี่ ัวหารเป็ นจานวนเต็มหลกั 1 หลกั

วิธีการหารเวทคณิตก็คลา้ ยกบั วธิ ีหารส้ันแบบด้งั เดิม ตา่ งกนั ท่ีตวั เลขตวั สุดทา้ ยของตวั ต้งั ใหเ้ ขียน
เส้นคนั่ หลงั เสน้ คนั่ ใหใ้ ส่เลขศูนย์ ถดั ไปจากตวั ต้งั 1 ตวั ในกรณีท่ีตอ้ งการคาตอบเป็นเศษเหลือ แตถ่ า้ ในกรณีท่ี
ตอ้ งการคาตอบเป็นทศนิยมจะใส่เลขศนู ยก์ ่ีตวั กไ็ ด้ ข้นึ อยทู่ ี่ตอ้ งการคาตอบทศนิยมกี่ตาแหน่ง

การแบง่ ตวั ต้งั ออกเป็นสองส่วนดว้ ยเสน้ คน่ั เช่นน้ี จะทาใหค้ าตอบของผลหารมีสองส่วนดว้ ยเช่นกนั
คอื ส่วนทางซา้ ยเป็นผลหาร “จานวนเตม็ ” ส่วนทางขวาเป็นผลหาร “เศษเหลือหรือทศนิยม”
การหาร

ตวั หาร หาร ตวั เลขแต่ละตวั ของตวั ต้งั (ต้งั แต่ ตวั แรกจนถึงตวั สุดทา้ ยของตวั ต้งั ) จะได้ ผลหารเป็น
จานวนเตม็ และเศษเหลือ เศษเหลือท่ีไดจ้ ากการหารตวั เลขแตล่ ะตวั ของตวั ต้งั น้นั ให้นาไปเขียนหอ้ ยไวห้ นา้ ตวั
เลขที่อยถู่ ดั ไปของตวั เลขของตวั ต้งั เพอื่ เป็นตวั ต้งั สุทธิ (Net Dividend = ND) ในการหารต่อ ดาเนินการหาร
เป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ จนไดค้ าตอบเป็นเศษเหลือหรือทศนิยม

171

ดงั แสดงวธิ ีทาตามตวั อยา่ งต่อไปน้ี
ตัวอย่างที่ 1 หาผลหารของ 671 4
วิธีทา รูปแแบบของการหาร

เสน้ คน่ั

671 4 → 4) 6 7 1 0 0 0

ผลหารจานวนเตม็ เศษเหลอื หรือทศนิยม

- เขียนตวั หารและตวั ต้งั คนั่ ดว้ ยวงเลบ็ ใหอ้ ยบู่ นแถวเดียวกนั และ
- เขียนเสน้ คนั่ ถดั ไปทางขวาของตวั เลขตวั สุดทา้ ยของตวั ต้งั เพือ่ แบง่ ผลลพั ธข์ องคาตอบเป็นสองส่วน คือ

ส่วนที่ผลลพั ธ์เป็นจานวนเตม็ และส่วนที่ผลลพั ธ์เป็นเศษเหลือหรือทศนิยม
(ใส่ศูนย์ 1 ตวั ในกรณีไดค้ าตอบเป็นเศษเหลือ และจะใส่ศูนยก์ ี่ตวั ก็ได้ ในกรณีที่ไดค้ าตอบเป็นทศนิยม
ท้งั น้ีข้นึ อยกู่ บั ตอ้ งการผลหารเป็นทศนิยมกี่ตาแหน่ง) ดงั แสดงในตวั อยา่ ง
หมายเหตุ ใหเ้ วน้ ช่องวา่ งระหวา่ งตวั เลขของตวั ต้งั ไวพ้ อสมควรสาหรับใส่เศษเหลือจากการหาร
เม่ือดาเนินการหารตวั ต้งั ตวั แรกแลว้ นาเศษเหลือไปเขยี นห้อยไวห้ นา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั กจ็ ะไดเ้ ป็นตวั ต้งั
สุทธิของแตล่ ะข้นั ตอนการหารต่อไปจนถึงตวั สุดทา้ ย เป็นเช่นน้ีเร่ือย ๆ

ดงั น้นั ข้นั ตอนการหารเป็ นดังนี้

ข้นั ท่ี 1 671 4 → 4) 6 2 7 1 0

1

6 4 =1 เหลือเศษ 2 เขยี นผลลพั ธ์ 1 บนบรรทดั ขา้ งล่างตรงตวั เลขตวั แรกของตวั ต้งั (6)
จะเป็นตวั ตวั เลขแรกของคาตอบ

ส่วนเศษเหลือ 2 เขียนหอ้ ยขา้ งหนา้ ของเลข 7 ก็จะได้ 27 เป็นตวั ต้งั สุทธิถดั ไปของการหาร

ข้นั ท่ี 2 671 4 → 4) 6 2 7 31 0

16

27 4 = 6 เหลือเศษ 3 เขียนผลลพั ธ์ 6 เป็นตวั ท่ีสองของคาตอบ ขา้ งล่างตรงตวั ท่ีสองของตวั ต้งั (27)
ส่วนเศษเหลือ 3 เขยี นหอ้ ยขา้ งหนา้ ของเลข 1 ได้ 31 เป็นตวั ต้งั สุทธิสาหรับการหารถดั ไป

ข้นั ที่ 3 671 4 → 4) 6 2 7 31 30

1 67

314 = 7 เหลือเศษ 3 เขียนผลลพั ธ์ 7 เป็นตวั ที่สามของคาตอบ ขา้ งล่างตรงตวั ที่สามของต้งั (31)
ส่วนเศษเหลือ 3 เขยี นหอ้ ยขา้ งหนา้ ของ 0

172

แต่ การหารไดผ้ ลลพั ธผ์ า่ นเส้นคน่ั ท่ีแบ่งส่วนคาตอบกบั ส่วนที่เป็นเศษเหลือหรือทศนิยม
แสดงวา่ ถา้ ตอ้ งการเศษเหลือ การหารก็ตอ้ งสิ้นสุด ไดค้ าตอบเป็นจานวนเตม็ 167 เศษเหลือ 3

ตอบ 671 4 = 167 3

4

ในกรณีที่ ตอ้ งการหาคาตอบในรูปทศนิยม ก็ดาเนินการหารต่อ เช่นเดียวกบั ขา้ งตน้
เม่ือเขียนเศษ 3 หอ้ ยขา้ งหนา้ 0 นนั่ คือ 30 = 30 จะเป็นตวั ต้งั สุทธิในการหารถดั ไปจะเป็น

ผลลพั ธ์ทศนิยม ดงั ตอ่ ไปน้ี

ข้นั ที่ 4 671 4 → 4) 6 27 31 30 2 0 0

16 7 7

304 = 7 เหลือเศษ 2 เขยี น 2 หอ้ ยขา้ งหนา้ 0 ตวั ถดั ไป ได้ 20 เป็นตวั ต้งั
ข้นั ที่ 5 671 4 → 4) 6 27 31 30 2 0 0 0

16 7 7 5

204 = 5 เหลือเศษ 0 เขียน 0 หอ้ ยขา้ งหนา้ 0 ตวั ถดั ไปเป็ นตวั ต้งั 00 แสดงวา่ เกิดการหารลงตวั
และเป็นอนั สิ้นสุดการหาร

ตอบ 671 4 = 167.75
ตวั อย่างที่ 2 หาผลหารของจานวนต่อไปน้ี

1) 294 3 → 3) 2 29 2 4 0 0 0 ตอบ 98

09 8

2) 925 8 → 8 ) 9 12 45 5 0 20 40 ตอบ 115.625
625
115

3) 3689  7 → 7 ) 3 36 18 49 00 0 ตอบ 527
7
052

173

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 1 ใหต้ อบเศษเหลือและทศนิยมสามตาแหน่ง

1. 3) 3 2 7 2. 4) 3 1 3 4 3. 6) 5 3 2 1

4. 7) 6 8 2 1 5. 4)2 3 6 5 7 6. 8) 5 7 3 2

7. 5) 5 7 4 4 8. 2)7 8 5 7 9 9. 4) 4 8 4 3 6

10. 9) 9 8 9 7 9 11. 5) 7 9 7 5 8 12. 11) 4 3 7 6

13. 8 ) 5 9 7 8 4 6 3 4 14. 4) 8 9 6 5 7 9 2 3

15. 5 ) 9 4 9 5 6 8 9 3 2 1 6 5

16. 6)6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9

17. 3)3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8

174

5.2 การหารตรงหรือการหารยกธง (Straight Division or Flag Division)

หรือเป็ นการหารด้วย อุปสูตรท่ี 16 ธวาชางกะ

ในกรณี ท่ีตวั หารเป็นจานวนเตม็ มากกวา่ 2 หลกั ข้นึ ไปน้นั การหารแบบเวทคณิตมีความแตกต่างจาก
วิธีการหารแบบด้งั เดิมที่ใชต้ วั เลขทุกหลกั เป็นตวั หาร แต่กลบั ใช้ “ตวั เลขตัวแรก” ของตวั หารเป็ นตัวหารจริง
ดังตัวอย่าง แสดงการเปรียบเทียบการหารท้งั สองวธิ ี ขา้ งล่างน้ี

เช่น การหาผลหารของ 94137 82 วธิ ีหารแบบเวทคณิต
วธิ ีหารแบบด้ังเดิม

11 4 8 8 2 9 14 41 7 3 17

82)9 4 1 3 7

2 2 8 16

8 2 12 39 65 1 = r

121 1 148

8 2 ใช้ 8 เป็นตวั หารจริง ส่วน 2 ใชเ้ ป็นตวั หาตวั ต้งั สุทธิ

393
328

657

656

1= r (remainder= เศษเหลือ)

พจิ ารณาเปรียบเทียบ การหารท้งั สองแบบขา้ งตน้
การหารแบบเวทคณิต เป็นรูปแบบทวั่ ไปของการหารดาเนินการหาร จะเห็นไดช้ ดั เจน คือใชพ้ ้นื ท่ีใน

การหารนอ้ ยกวา่ การหารแบบด้งั เดิม คือใชเ้ พียงสามบรรทดั และการหารแบบเวทคณิตน้นั ใชต้ วั เลขตวั แรกของ
ตวั หารเพียงตวั เดียวในการดาเนินการหาร ต่างจากวธิ ีด้งั เดิมที่ตวั หารใชต้ วั เลขทกุ หลกั

นอกจากน้ี ตวั ต้งั กย็ งั ถกู แบง่ เป็นสองส่วนดว้ ยเส้นคน่ั เพือ่ ใหไ้ ดผ้ ลหารของคาตอบเป็นสองส่วนได้
อยา่ งชดั เจน คอื

- ส่วนแรกจะใหผ้ ลหารเป็นจานวนเตม็
- ส่วนท่ีสองจะใหผ้ ลหารเป็นเศษเหลือหรือทศนิยม
ทาใหม้ ีความแม่นยาในการหาร ยง่ิ ในกรณีท่ีตวั ต้งั และตวั หารที่มีค่ามาก ๆ แลว้ จะทาใหก้ ารหาร หารไดร้ วดเร็ว
ไดผ้ ลหารภายในเวลาอนั ส้นั ดงั ท่ีจะไดศ้ ึกษาดงั ตอ่ ไปน้ี

175

การหารของเวทคณติ แบบนี้ถูกเรียกว่า
“การหารตรงหรือการหารยกธง (Straight Division or Flag Division)
หรือเป็ นการหารด้วย อุปสูตรที่ 16 ธวาชางกะ”

ท่านคุรุศรี ภารตี กฤษณะ ตรี ถะ ( Sri Bharati Krishna Tirthaji พ.ศ. 2427-2503) กล่าวยกยอ่ งวิธีการ
หารตรงหรือการหารยกธงท่ีคน้ พบในพระเวท น้ีวา่ เป็น

“อญั มณอี นั ลา้ ค่าของเวทคณติ (Crowning Gem of Vedic Mathematics)”
หมายเหตุ

คาวา่ “ธง” มาจากภาษาสนั สกฤต ธฺวช น. ‘ธวชั ’ หมายถึง ธง เสาธง สดมภ์
(a flag or banner, a mark, a sign or symbol)
ข้นั ตอนการหารของเวทคณิต (Vedic Mathematics Division Algorithm)
ดงั กลา่ วมาแลว้ ขา้ งตน้ กรณีท่ีตวั หารเป็นจานวนเตม็ มากกวา่ 2 หลกั ข้นึ ไปน้นั การหารตรงแบบ
เวทคณิตเป็นการหารที่ใชต้ วั เลขตวั แรกของตวั หารเพยี งตวั เดียว หรืออยา่ งมากกส็ องตวั ในจานวนตวั เลขท้งั หมด
ของตวั หารน้นั ๆ ดงั น้นั การหารตรงของเวทคณิต จึงมีลกั ษณะเฉพาะ
ข้อกาหนดลกั ษณะเฉพาะ เกยี่ วกบั ตวั หารและตัวต้งั เป็ นดังนี้
สมมุติ ถา้ ใหต้ วั ต้งั คอื x y z p q r ถกู หารดว้ ยตวั หาร a b c ซ่ึงมีสามหลกั
ข้อกาหนดเป็ นดงั นี้
1. ตัวหาร a b c ถกู แบ่งออกเป็น a และ bc

เรียก a วา่ “ตวั หารหลกั ( Main Divisor)”
เรียก bc วา่ “เลขบนธง (Digit on the flag) หรือธวาชางกะ (Dhwajanka ในภาษาสนั สกฤต)”
นาไปเขียนไวข้ า้ งบนเย้อื งไปทางขวาของ ตวั หารหลกั มีลกั ษณะคลา้ ยกบั เลขช้ีกาลงั
เพอื่ ไม่ใหส้ ับสนกบั เร่ืองเลขยกกาลงั กบั เลขชีก้ าลงั จึงเรียกตวั เลขน้ีวา่

“เลขยกธง กบั เลขบนธง (Digit on the flag)”
abc คอื เลขยกธง และ bc เลขบนธง
2. ตวั ต้งั เขียนอยบู่ นบรรทดั เดียวกบั ตวั หาร โดยแยกดว้ ยเสน้ คนั่ กบั ตวั หาร และตวั ต้งั ยงั มีเส้นคน่ั อีก
เสน้ หน่ึงท่ีแบ่งตวั เลขของตวั ต้งั ออกเป็นสองส่วน
- ส่วนทางขวาเส้นคน่ั ของตวั ต้งั แบ่ง ใหม้ ีจานวนของตวั เลขเทา่ กบั จานวนตวั เลขบนธง
- ส่วนทางซา้ ยเสน้ คนั่ ของตวั ต้งั เป็นจานวนตวั เลขที่เหลือจากการแบ่งตวั เลขส่วนทางขวา
ตวั เลขท้งั สองส่วน เขียนเวน้ ช่องวา่ ง ห่างกนั พอท่ีจะเขยี นตวั เลขแทรกได้

176

ดังแสดงวธิ เี ขียนการหาร ไดด้ งั น้ี

abc x y z p q r

ผลหารเป็นจานวนเต็ม เศษเหลอื หรือทศนิยม

3. คาตอบ อยบู่ นบรรทดั ท่ีเขียนถดั ลงไปขา้ งล่างของตวั หารและตวั ต้งั และก็ถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน
ดว้ ยเส้นคน่ั เช่นเดียวกบั ตวั ต้งั เขียนเส้นคนั่ ใหต้ รงกบั เสน้ คน่ั ท่ีเขียนแบง่ ตวั ต้งั ดงั แสดงขา้ งตน้
คาตอบ ถกู แบ่งเป็นผลหารสองส่วน คือ

- ส่วนทางซา้ ยเป็นผลหารจานวนเตม็ และ
- ส่วนทางขวาเป็นผลหารเศษเหลือหรือทศนิยม
4. การดาเนนิ หาร
4.1 เมื่อตวั แรกของตวั ต้งั ถูกหารดว้ ยตวั หารหลกั ไดผ้ ลหารเป็นจานวนเตม็ แลว้ ใหเ้ ขียนผลหารลงบน
บรรทดั ตรงขา้ งล่างของตวั ต้งั ส่วนที่ผลหารจานวนเตม็
เศษเหลือจากการหาร ใหน้ าไปเขียนหอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั จะไดเ้ ป็นตวั ต้งั เรียกวา่
“ตวั ต้งั ข้นั ต้น (Gross Dividend = GD)” จากน้นั
4.2 หาผลคูณตวั เลขตวั แรกของตวั เลขบนธง กบั คาตอบตวั แรกของผลหาร แลว้ นาไปลบ ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ในข้นั ที่ 4.1 ผลลพั ธท์ ่ีไดเ้ ป็นตวั ต้งั เรียกวา่ “ตัวต้งั สุทธิ (Net Dividend = ND)”
ซ่ึงจะตอ้ งเป็นจานวนบวก ถา้ เป็น จานวนลบ จะตอ้ งปรับลด ผลหาร จนไดต้ วั ต้งั สุทธิเป็นจานวนบวก
แลว้ จึงจะดาเนินการหารในข้นั ต่อไปได้
4.3 ขบวนการหารที่ได้ ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD) และตวั ต้งั สุทธิ (ND) จะถูกดาเนินการซ้า ๆ ไปเช่นน้ี เรื่อย ๆ
จนกระทงั่ ไดผ้ ลลพั ธ์หรือคาตอบตามตอ้ งการ
ปัญหาหลกั ในเร่ืองการหารนี้
คือการดาเนิน การลบตวั ต้งั ข้นั ตน้ ดว้ ยผลคณู ของตวั เลขบนธงและตวั เลขผลหารของคาตอบที่ไดม้ าก่อน
น้นั แลว้ ไดเ้ ป็นตวั ต้งั สุทธิ เป็นการดาเนินเช่นเดียวกบั การคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว้
ดงั น้นั เราควรศึกษาพิจารณาข้นั ตอนของการหาร ของตวั อยา่ งการหารที่ตวั หารต้งั แต่ 2 หลกั ข้ึนไป
จะช่วยใหเ้ ขา้ ใจการหารตรงแบบเวทคณิตไดด้ ียง่ิ ข้ึน

177

5.2.1 ตวั หารเป็ นจานวนเตม็ 2 หลกั
เม่ือตวั หารเป็นจานวนเตม็ 2 หลกั แสดงวา่ ตวั เลขบนธงมีตวั เลขตวั เดียว
การไดม้ าซ่ึง ตวั ต้ังสุทธิ เกิดจากการลบ ตัวต้งั ข้นั ต้น ดว้ ยผลคูณของผลหารแตล่ ะตวั กบั ตวั เลขบนธง ท่ี

มีหน่ึงตวั น้นั ในแต่ละข้นั ตอนการหาร จะได้ ตวั ต้งั สุทธิ เป็นตวั ต้งั ในการหารในคร้ัง ต่อ ๆไป
ดงั ตวั อย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 หาผลหารของ 94137 82

ข้นั ตอนการหารยกธง
ตัวหาร 82 เป็นจานวนเตม็ สองหลกั แบ่งตวั หารน้ีออกเป็นสองส่วน
- ส่วนแรกคอื 8 เป็นตัวหารหลกั (Main Divisor) ซ่ึงโดยทวั่ ไปมีเพยี งตวั เดียว
หรือสองตวั เป็นอยา่ งมาก
- ส่วนท่ีสองคือ 2 เรียกวา่ เลขบนธง (On the Flag)
เขยี นยกไวข้ า้ งบนตวั หารหลกั คลา้ ยเลขช้ีกาลงั
8 2 เรียกวา่ เลขยกธง
ส่วนตวั ต้งั 94137 ถกู แบ่งเป็นสองส่วน ดว้ ยเสน้ คนั่ ดงั น้ี 9 4 1 3 7
เพอื่ แยกคาตอบของผลหารออกเป็นสองส่วน คือ
- ส่วนทางซา้ ยของเสน้ คนั่ จะใหผ้ ลหารเป็นจานวนเตม็
- ส่วนทางขวาของเส้นคน่ั ส่วนน้ีจะไดผ้ ลหารเป็นเศษเหลือหรือทศนิยม
และส่ิงสาคญั ของส่วนที่สองของตวั ต้งั น้ีจะตอ้ งมี จานวนตวั เลข เท่ากบั จานวนตัวเลขบนธง

สรุป ตวั ต้งั 94137 ถกู แบง่ ดว้ ยเส้นคน่ั 9 4 1 3 7
ข้นั ตอนการหาร

1. 8 2 9 14 1 3 7 ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

2 ตวั ต้งั สุทธิ (ND)

12

1

9 8 =1 เหลือเศษ 1 ใส่ผลลพั ธ์ 1 ในช่องผลหารคาตอบจานวนเต็ม เป็นตวั แรก
ส่วนเศษเหลือ 1 นาไปเขยี นหอ้ ยขา้ งหนา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั คือ 4 ได้ 14 =14
เป็น “ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (Gross Dividend =GD)”
หาผลคูณตวั เลขบนธงคือ 2 กบั คาตอบตวั แรก คือ 1 ได้ 21= 2

แลว้ นาไปลบออกจาก “ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)” คือ 14
ได้ 14− 2 =12 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น “ตวั ต้งั สุทธิ (Net Dividend=ND)”
ซ่ึงเป็นตวั ต้งั ในการหารดว้ ยตวั หารหลกั ข้นั ต่อไป

178

2. 8 2 9 14 41 3 7 ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

22 ตวั ต้งั สุทธิ (ND)

12 39

11

128 =1 เหลือเศษ 4 ใส่ผลหาร 1 เป็นตวั ที่สองของคาตอบจานวนเตม็
ส่วนเศษเหลือ 4 นาไปเขียนห้อยขา้ งหนา้ เลข 1 ไดเ้ ป็น 41 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)
หาผลคณู ตวั เลขบนธง (2) กบั คาตอบตวั ที่สองคือ 1 ได้ 21= 2
แลว้ นาไปลบออกจาก 41 คือ 41− 2 = 39
ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นตวั ต้งั สุทธิ (ND) ซ่ึงเป็นตวั ต้งั ที่ใชใ้ นการหารดว้ ยตวั หารหลกั ตอ่ ไป

3. 8 2 9 14 41 7 3 7 ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

228 ตวั ต้งั สุทธิ (ND)

12 39 65

1 14

398 = 4 เหลือเศษ 7 ใส่ผลหาร 4 เป็นตวั ท่ีสามของคาตอบจานวนเตม็
ส่วนเศษเหลือ 7 นาไปเขยี นหอ้ ยขา้ งหนา้ เลข 3 ได้ 73 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)
หาผลคูณตวั เลขบนธง (2) กบั คาตอบตวั ที่สาม คอื 4 ได้ 24 = 8
แลว้ นาไปลบออกจาก 73 คือ 73−8 = 65 ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นตวั ต้งั สุทธิ (ND)
ซ่ึงเป็นตวั ต้งั ที่ใชใ้ นการหารดว้ ยตวั หารหลกั ตอ่ ไป

4. 8 2 9 14 41 7 3 17 ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

228 16 ตวั ต้งั สุทธิ (ND)

12 39 65 1

1 148

ข้อสังเกต การหารข้นั ที่ 4. น้ี จะเป็นการหารท่ีไดค้ าตอบที่เป็นจานวนเตม็ ตวั สุดทา้ ย เพราะมีเส้นคน่ั ระหวา่ ง
คาตอบจานวนเตม็ กบั คาตอบที่เศษเหลือหรือทศนิยม
658 = 8 เหลือเศษ 1 ใส่ผลหาร 8 เป็นตวั ที่สี่ของคาตอบจานวนเตม็

ส่วนเศษเหลือ 1 นาไปเขียนห้อยขา้ งหนา้ เลข 7 ได้ 17 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)
แต่ ในข้นั ตอนน้ี เป็นข้นั ตอนท่ีผลหารเป็นเศษเหลือหรือทศนิยม
ดงั น้นั ถา้ ตองการหาผลหารเป็นเศษเหลือ ณ ข้นั ตอนน้ี
เราก็หาผลคูณตวั เลขธง (2) กบั คาตอบตวั ท่ีส่ี คือ 8 ได้ 28 =16
แลว้ นาไปลบออกจาก 17 คอื 17 −16 =1
ผลหาร 1 เป็น จะคาตอบ เศษเหลือ เป็นการสิ้นสุดการหารในกรณีที่ไดค้ าตอบเป็นเศษเหลือ

 94137 82 = 1148 เศษเหลือ 1 = r ตอบ 94137 82 = 1148 1

82

179

แต่ ถ้าต้องการหาคาตอบเป็ นจดุ ทศนยิ ม กใ็ ห้ ใส่ 0 0 0 0 ... ในหลกั ถดั ต่อไปของตวั ต้งั
ในทานองเดียวกนั กบั ขา้ งตน้ หาผลคูณระหวา่ งตวั เลขบนธงกบั ตวั เลขผลลพั ธ์ท่ีไดม้ าก่อน แลว้ ไปลบ

ออกจาก ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD) ไดต้ วั ต้งั สุทธิ (ND) เสร็จแลว้ กห็ ารดว้ ยตวั หารหลกั เป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ

8 2 9 14 41 7 3 17 10 20 20 0

2 2 8 16 024

12 39 65 1 10 18 16

11 4 80 1 2 1

ตอบ 94137 82 =1148.0121...
พจิ ารณาการหารวิธีด้งั เดมิ กับการหารแบบยกธงมคี วามสมนยั กนั อย่างมีนยั สาคัญ

วธิ ดี ้ังเดมิ 82 ) 9 11 4 8 22 8 16
8 2 9 14 41 73 17
4137

8 2 12 39 65 1

121 1 148

82 พจิ ารณา ตามแนวเสน้ ลูกศรของท้งั การหารด้งั เดิม
393 กบั การหารแบบธงจะเหนไดช้ ดั เจนวา่
ตวั ต้งั ข้นั ตน้ คือตวั เดียวกนั
328
สรุป ไดว้ า่ เป็นวธิ ีการเดียวกนั นน่ั เอง
657
1. ใหต้ วั เลขตวั ท่ีสองของตวั หาร คือ 3 เป็นตวั เลขบนธง
656 2. 9  6 = 1 เศษเหลือ r = 3

1= r (remainder= เศษเหลือ)
ตัวอย่างที่ 2 หาคา่ ของ 92054 63
วธิ ีทา 6 3 9 2 0 5 4

3

1

63 9 2 0 5 4 1. คานวณหาตวั ต้งั สุทธิ 32 − 31 = 29
35 2. 29  6 = 4 เศษเหลือ r = 5
14

63 9 2 0 5 4 1. คานวณหาตวั ต้งั สุทธิ 50 −3 4 = 38
352 2. 38  6 = 6 เศษเหลือ r = 2
146 1

180

63 9 2 0 5 4 1. คานวณหาตวั ต้งั สุทธิ 50 −3 4 = 38
352 2. 7  6 = 1 เศษเหลือ r = 1
14 61 1

11

3. คานวณหาเศษเหลือ 14 − 31 = 11
ดงั น้นั 92054 63 =1461 , r =11
ตัวอย่างท่ี 3 หาผลหารของ 6282323 คาตอบในรูปทศนิยม

วิธีทา 2 3 6 22 28 12 13 20 20 30

6 21 9 3 12 9 12

16 7 3 10 8 11 18

273 1 434 7

ดังน้นั ตอบ 2732110 หรือ 27321.4347...

23

ตัวอย่างท่ี 4 หาผลหารของ 123412

วิธีทา 1 21 02 03 14 20 20 20 20 20

2 0 4 16 6 6 6 6

0 3 10 4 4 4 4 4

1 0 2 8 3 333 3

ดังน้นั ตอบ 1234 12 = 10210 หรือ 1234 12 =102.8333...

12

ตัวอย่างท่ี 5 หาผลหารของ 333.24373

วิธีทา 7 3 3 33 53 62 54 83 80 40 50 20

12 1 5 1 8 12 27 21 6 18

41 47 36 71 53 19 4 4 2

0456 4972 6

ตอบ 333.243 73 = 4 .5649726...

181

ตวั อย่างต่อไปนี้ แสดงรายละเอียดการเปรียบเทียบความสัมพนั ธ์ของการหารแบบยกธง

กบั การคณู แนวต้งั และแนวไขว้

ตัวอย่างท่ี 6 กาหนดให้ 32416 21

วิธที า

หาผลคูณของ 3241621 ผลหารของ 32416 21

32 416 )2 1 6 7 10 6 13 6

21 3 24 1 6

4 8 2 12

670636 32 41 6 0

00 1 0 1 0

การเปรียบเทียบการคูณแนวต้งั และแนวไขว้กบั การหารแบบยกธงหรือการหารตรง

การคูณแนวต้ังและแนวไขว้ การหารแบบยกธงหรือการหารตรง

32 416 )2 1 6 7 10 6 13 6

21

63

0

32 416 )2 1 6 7 10 6 13 6

21 3

67 4

00 32

32 416 )2 1 6 7 10 6 13 6
21
32
670
48
00 1
32 4

32 416 )2 1 6 7 10 6 13 6
21
324
6706
482
00 1 0
32 41

182

32 416 )2 1 6 7 10 6 13 6

21 324 1
67063
4 8 2 12
00 1 0 1
32 41 6

32 416 )2 1 6 7 10 6 13 6

21 324 1

4 8 2 12 6

670636 32 41 6 0

00 1 0 1 0

แบบฝึ กหดั ชุดท่ี 2 ตวั หาร 2 หลกั ใหต้ อบผลลพั ธ์และเศษเหลือ 3. )7 2 9 8 9 1 7

)1. 5 2 2 0 9 7 2 2. )6 3 6 7 9 3 8

4. )2 9 3 5 6 9 1 5. 6 3 ) 4 8 6 9 3 6.8 8 ) 8 5 9 9 6

) ) )7. 9 3 3 5 6 9 1 8. 7 2 9 5 0 6 4 9. 5 8 9 9 6 7 9

10. 4 1) 4 0 8 9 7 11. 8 9 ) 8 9 5 0 7 12. 8 7 ) 8 1 5 0 9

)13. 46 ) 3 5 6 9 1 14. 5 2 5 7 5 9 7 15. 3 9 ) 6 5 5 1 1

16. 2 9 ) 6 7 5 2 8 17. 4 8 ) 7 4 2 7 0 18. 1 2 ) 3 7 5 8 9

183

ใหต้ อบผลลพั ธแ์ ละทศนิยมสามตาแหน่ง

19. 7698128 67 20. 98076544 54 21. 8987665 13
24. 768709127  41
22. 69877128  76 23. 98176028 98

25. 87568600987568 81 26. 6686009875875875

27. 6686089987587590808 76 28. 7590808668608998758 65

184

5.2.2 ตัวหารเป็ นจานวนเตม็ 3 หลกั
ในกรณีที่ตวั หารเป็นจานวนเตม็ 3 หลกั แสดงวา่ เลขบนธงมีตวั เลขสองตวั

ข้นั ตอนการ เป็ นดังนี้
ข้นั ท่ี 1 ของการหาร

ใชต้ วั หารหลกั ( Main Divisor) หารตวั แรกของตวั ต้งั ไดผ้ ลลพั ธ์และเศษเหลือ นาเศษเหลือท่ีไดไ้ ปเขยี น
หอ้ ยไวท้ ี่ตวั เลขถดั ไป ตวั ท่ี 2 ของตวั ต้งั ไดเ้ ป็น ตวั ต้งั ข้นั ต้น
จากน้นั หาผลคูณตวั แรกของตัวเลขบนธงกบั ตวั แรกของคาตอบท่ีไดม้ าน้นั แลว้ นาไปลบตวั ต้งั ข้นั ตน้ จะไดเ้ ป็น
ตัวต้ังสุทธิ ในการหารข้นั ต่อไป
ข้นั ท่ี 2 หารตวั ต้งั สุทธิของข้นั ที่ 1 ดว้ ยตัวหารหลกั ไดผ้ ลหารและเศษเหลือ นาเศษเหลือที่ไดไ้ ปเขียนหอ้ ยไว้
หนา้ ตวั เลขถดั ไป ตวั ท่ี 3 ของตวั ต้งั ไดเ้ ป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้

หาผลการคณู ไขวค้ ตู่ วั เลขสองตวั บนธงกบั ตวั เลขสองตวั ของคาตอบที่ไดม้ าก่อนจากข้นั แรก ผลคูณที่ได้
น้นั นาไปเป็นตวั ลบตวั ต้งั ข้นั ตน้ ไดเ้ ป็นตวั ต้งั สุทธิ ในการหารข้นั ตอ่ ไป เป็นเช่นน้ีเรื่อย ๆ ไป

เน่ืองจากคาตอบของการหารมีได้ 2 แบบคือ
ตอบเป็ นเศษเหลือ กบั คาตอบเป็ นทศนยิ ม

ในกรณีที่ต้องการคาตอบเป็ นทศนยิ ม
ใหใ้ ส่ 0 ถดั จากตวั เลขสุดทา้ ยของตวั ต้งั จะกี่ตวั ก็ไดอ้ ยทู่ ่ีตอ้ งการทศนิยม กี่ตาแหน่ง จากน้นั กใ็ ห้

ดาเนินการหารในทานองเดียวกนั กบั ข้นั ตอนท่ี 2
แต่ในกรณีทตี่ ้องการคาตอบเป็ นเศษเหลือ

เนื่องจากการหารแบบยกธงเป็นการกระทาผกผนั (Inverse) ของการคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว้ ดงั น้นั
เม่ือดาเนินการหารสิ้นสุดของผลหารท่ีเป็นจานวนเตม็ ซ่ึงมีเสน้ คนั่ ระหวา่ งผลหารจานวนเตม็ กบั ผลหารที่เป็น
เศษเหลือ

ใหห้ าผลการคณู ไขวค้ ่ตู วั เลขสองตวั ของตวั เลขบนธงกบั สองตวั เลขของคาตอบที่เป็นจานวนเตม็ สองตวั
สุดทา้ ยน้นั แลว้ นาไปลบเศษเหลือข้นั ตน้ ผลลบท่ีไดน้ าไปเขยี นหอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลขตวั สุดทา้ ยของตวั ต้งั

จากน้นั จะตอ้ งหาผลคูณ ตัวคูณท้ายสุดของผลหารจานวนเต็มกบั ตวั สุดท้ายของตัวเลขบนธง แลว้ นาไป
ลบเศษเหลือข้นั ตน้ กจ็ ะไดเ้ ป็นเศษเหลือสุทธิ

185