Fisica Halliday y Resnick

636 Capítulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

Figura 1 Se hace que un gas real pase de un estado inicial i (caracterizado por la presión
p „ el volum en V„ y la temperatura T¡) a un estado fin al/(caracterizad o por p ; , y 7}). El
proceso puede llevarse a cabo (a ) irreversiblemente, dejando caer de forma súbita un peso
sobre el ém bolo, o (b) reversiblemente, añadiendo arena al ém bolo, unos cuantos granos a
la vez.

un nuevo estado de equilibrio, y así sucesivam ente. D e s­ En la práctica, tod os lo s p rocesos so n irreversibles, pero
pués de m uchas repeticiones de este procedim iento redu­ p od em os ap roxim am os arbitrariam ente a la reversibilidad
cim o s, finalm ente el v o lu m en a la m itad. Durante todo por m edio de refinam ientos experim entales apropiados.
este proceso el sistem a está siem pre en un estado que El proceso estrictam ente reversible es una abstracción
difiere sólo ligeram ente de un estado de equilibrio. Si sencilla y útil que guarda una relación sim ilar con los
im aginam os llevar a cabo este procedim iento con aum en­ procesos reales co m o la abstracción del gas ideal lo hace
tos su cesivos de presión aún m ás pequeños, los estados con lo s gases reales.
interm edios se saldrán del equilibrio todavía m enos que
antes. A um entando indefinidam ente el núm ero de cam ­ N o todos lo s procesos llevad os a cabo lentam ente son
bios y dism inuyendo en consecuencia el tam año de cada reversibles. Por ejem plo, si el ém bolo de nuestro ejem plo
cam bio, llegam os a un proceso ideal en el que el sistem a ejerciera una fuerza de fricción sobre las paredes del
pasa a través de una su cesión continua de estados de cilindro, no regresaría a su estado previo por el hecho de
equilibrio, lo s cu ales p od em os trazar co m o una línea quitar un os cuantos granos d e arena. Si añadim os arena al
continua en un diagram a p V (F ig. I b ). Durante este pro­ ém bolo lentam ente, el sistem a seguiría evolucionando a
ceso se transfiere cierta cantidad de calor Q del sistem a al través de una serie de estados de equilibrio, pero no lo
depósito. haría en form a reversible. S e usa la palabra c a s i- e s t á t ic o
para describir p rocesos que se llevan a cabo con la lentitud
L os procesos del tipo 1 se llam an ir r e v e r s ib le s , y los suficiente com o para que el sistem a pase a través de una
del tipo 2 se llam an r e v e r sib le s. U n p r o c e s o r e v e r sib le e s secuencia continua de estados de equilibrio; un proceso
a q u e l en que, p o r m edio d e un cam b io d ife re n c ia l en el casi-estático puede ser o puede no ser reversible.
entorno, p u ed e h ace rse qu e re g re se so b re su trayectoria.
E s decir, si añadim os unos cuantos granos de arena al El proceso descrito en 2 es no só lo reversible sino
ém b olo cuando el sistem a está en un estado particular A , tam bién is o té r m ic o , porque h em os supuesto que la tem ­
el volum en dism inuye en d V y una pequeña cantidad de peratura del gas difiere en todo m om ento en só lo una
calor es transferida a l d ep ósito. Si seguidam ente q u ita m o s cantidad diferencial d T de la temperatura (constante) del
aquellos p ocos granos de arena (un cam bio diferencial en depósito en que descansa el cilindro.
el entorno), el volum en a u m e n ta en d V y una cantidad
igual de calor se transfiere d e l depósito, regresando por Podríam os tam bién reducir el volu m en a d ia b á t ic a m e n ­
ello tanto el sistem a com o el entorno al estado origin aM . te sacando al cilindro del depósito térm ico y poniéndolo
sobre una plataform a no conductora. En un proceso adia­
bático no se perm ite que el calor entre o salga del sistem a.

Sección 26-2 Máquinas térmicas y la segunda ley 637

U n p roceso adiabático puede ser reversible o irreversible; ~T b
la d efin ición no ex clu y e a ninguna de las dos p osib ilid a­
des. En un proceso adiabático reversible m ovem os al Figura 2 Un proceso cíclico, que consta de cuatro etapas,
ém b olo co n lentitud extrem a, quizás usando la técnica de dos (a b y c d ) a volumen constante y dos (be y d a ) a presión
la carga con arena; en un proceso adiabático irreversible constante. Las líneas de puntos muestran las isotermas
em pujam os al ém b olo hacia abajo rápidam ente. correspondientes a las temperatura T „ T b, Tc, y Td.

La temperatura del gas se elevará durante una com pre­ y se efectúa trabajo por el gas. P uesto que la tem peratura
sión adiabática porque, segú n la prim era ley con Q = 0, el es constante, la energía interna e s constante tam bién, y
trabajo W efectuado sobre el sistem a por el entorno al en ton ces ten em os un aparato para convertir calor en tra­
empujar hacia abajo al ém bolo debe aparecer com o un bajo.
a u m en to A £ ¡me n la en e rg ía interna d e l siste m a . E l trabajo
W tiene valores diferentes para cantidades diferentes del Esta m áquina térm ica no sería m u y útil a la larga,
d escenso del ém bolo, siendo - J p d V (es decir, el área bajo porque no podría operar indefinidam ente: n os quedaría­
una curva de un diagram a p V ) únicam ente para procesos m o s sin p eso que quitar del ém b olo o b ien el ém b olo
reversibles, para los cuales p tiene un valor bien definido. llegaría hasta arriba del cilindro. U na m áquina m ás útil
E n to n c e s, A £ inl y e l c a m b io d e tem peratura c o r r esp o n ­ sería la que operase en un ciclo , regresando a su punto
diente A T n o son lo s m ism os para procesos adiabáticos inicial después de haber efectuado cada trabajo unitario
reversibles e irreversibles. W, y repitiendo sus etapas continuam ente. La figura 2
m uestra un ejem plo de un proceso c íclico que podría
Por otra parte, para una transform ación de un punto constituir la base para una m áquina térm ica. E l ciclo
in icial dado i a un punto fin al dado f e l ca m b io en la consta de varias etapas, pudiendo todas ellas efectuarse
energía interna depende únicam ente de las coordenadas en pequeños increm entos y por lo tanto reversiblem ente.
term odinám icas ( p , V, y T, quizá) de i y / . S i b ie n W y Q Suponem os que el cilindro de gas está situado sobre un
d e p e n d e n d e l a t r a y e c t o r i a , A E inl n o d e p e n d e d e e l l a . E n depósito térm ico, cuya temperatura puede ajustarse fá cil­
p a r t i c u l a r , s i n o s e s p o s i b l e c a l c u l a r A £ illt p a r a u n a t r a ­ m ente.
y e cto ria re v e rsib le d eterm in ad a, tien e e l m ism o v a lo r
p a r a la s d e m á s tray e cto rias, in cluyen d o la s irrev e rsib les. A l analizar las etapas del ciclo , es conveniente tener en
La entropía, com o verem os, es tam bién una variable de cuenta las con ven cion es de sign o que hem os estado usan­
e sta d o c o m o E m, c u y o c a m b io e n cu a lq u ie r p r o c e so irre­ do para el calor y el trabajo:
versible puede hallarse a partir de un p roceso reversible
escogid o apropiadam ente que conecte a lo s m ism os esta­ Se co n sid era que el c a lo r qu e en tra a l sistem a es
dos inicial y final. p o sitiv o , y q u e e l c a lo r qu e sa le d e l siste m a e s n egativo.

26-2 MAQUINAS TERMICAS E l trab ajo efectu ad o so b re un sistem a, co rresp o n d ien ­
YLASEGUNDALEY te a u n a d ism in u ció n d e volu m en s e c o n sid e ra p o sitiv o ;
el trab ajo efectu ad o p o r un sistem a e s e l n egativo d el
Una m á q u ir n té rm ic a es un dispositivo para convertir calor trab ajo efectu ad o so b re un sistem a.
en trabajo útil. E sto e s, la energía flu ye hacia un sistem a en
forma de calor, y parte de esta energía sale del sistem a E l trab ajo efectu ad o en un p ro c e so cíclico e s n eg ati­
en form a de trabajo efectuado sobre el entorno. E l proce­ vo si el ciclo se efectú a en sen tid o h o rario en un
so inverso, que convierte trabajo en calor, ocurre también: d ia g ra m a pV , y p o sitiv o si el ciclo se efectú a en sen ti­
las fuerzas de fricción pueden convertir el trabajo en ener­ do an tih o rario .
gía interna, com o en el calentam iento de dos superficies
que se frotan entre sí, y esta energía puede ser entonces Para recordar estas con ven cion es de signo, podem os rela­
transferida a otros objetos del entorno en form a de calor. cionar el efecto del calor transferido o del trabajo efectua­
En otro ejem plo, el trabajo m ecánico efectuado por un ge­ do con el cam bio en la energía interna del sistem a.
nerador eléctrico conduce com ente a los hogares, donde
un calefactor eléctrico convierte el trabajo en energía inter­
na, la cual flu ye entonces en forma de calor.

El cilindro de gas ideal colocado sobre el depósito
térm ico a una temperatura T puede servir com o un ejem ­
plo representativo de una m áquina térm ica. Si quitam os
una pequeña cantidad de p eso del ém b olo, el gas se dilata
(isotérm icam ente). Entra calor al gas a partir del depósito,

638 Capítulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

Las cuatro etapas de nuestro ciclo son las siguientes: El trabajo efectuado sobre el entorno, que es com o m edi­
m os la salida útil de una m áquina, es el n egativo del
E ta p a 1 (a b ). A um entam os la temperatura del d ep ósito, trabajo efectuado por el entorno sobre el gas. E scribi­
y sim ultáneam ente añadim os algún peso adicional al ém ­ m o s la razón en la ecu a ció n 3 d e esta m anera para que
b olo, de m od o que la presión aum ente pero el volu m en tanto el num erador com o el denom inador sean cantidades
perm anezca constante. p o sitiv a s.

E ta p a 2 (b e ). A um entam os la tem peratura del depósito P od em os tam bién escribir la eficien cia com o:
y dejam os que el gas se dilate a presión constante. E l
ém bolo efectúa un trabajo n egativo sobre el gas. „ _ IQinl ~ IQou,l _ , IQoutl ,

E ta p a 3 (c d ). D ism in u im os la tem peratura del d epósito IQinl IQinl ‘ K)
y sim ultáneam ente retiram os algo de p eso del ém bolo, de
m odo que el volum en perm anezca constante. Podríam os hacer una m áquina perfectam ente eficien ­

E ta p a 4 (d a ). C ontinuam os d ism in u yen d o la tem pera­ te (e = 1 . 0 0 ó 1 0 0 %) si pudiéram os diseñar un ciclo
tura d el d ep ósito, pero m an ten em os constante la carga
sobre el ém bolo, con el fin de que la presión perm anez­ q u e r ed u zca a c e ro a |Q 0Ut|, e l ca lo r d esca r g a d o ; d e otro
ca constante m ientras el volum en dism inuya a su valor m o d o , la eficien cia e s siem p re m en o s d e 100% . U na
original.
form a de la s e g u n d a le y d e l a te r m o d in á m ic a afirm a que

el hacer una m áquina térm ica perfectam ente eficien te es
im posible:

O bsérvese de las isoterm as m ostradas en la figura 2 que

la tem peratura aum enta en las etapas 1 y 2 y d ism in u ye en En un p ro c e so cíclico, no e s p o sib le co n vertir c a lo r en ­
teram en te en tra b a jo , sin q u e e x ista a lg ú n otro cam b io.
las etapas 3 y 4. E ntonces, durante las etapas 1 y 2 entra

calor al sistem a (Q ¡ > 0 y Q 2 > 0), y durante las etapas 3

y 4 sale calor del sistem a (Q 3 < 0 y Q 4 < 0). A dem ás, En nuestro ejem plo el “otro cam bio que ex iste” es el calor
d e e sc a p e |C?ou,|, y e n to n c e s la se g u n d a le y d ic e q u e e s
obsrvam os que W < 0 para todo el ciclo, porque el ciclo im p o sib le red u cir |£)out| a cero . L a e c u a c ió n 4 im p lic a q u e
la efic ie n c ia de la m áquina térm ica n o pued e n u nca llegar
se efectú a en d irecció n horaria. E n la etapa 1, h em o s al 100% . Esta form a de la segunda ley , que su ele llam arse
form a de K e lv in - P la n c k , estab lece que n o e x iste n m á q u i­
añadim os p eso cuando el ém b o lo estaba en la p osición n as térm icas p erfe ctas.

m ás baja, y en la etapa 3 h em os retirado p eso cuando el La figura 3 m uestra una representación esquem ática
sim plificada de una m áquina perfecta, la cual convierte al
ém b olo estaba en la p o sició n m ás alta. El efecto total del calor Q enteram ente en trabajo, y una m áquina real, que
o b tie n e e l ca lo r @H d e u n r e c ip ie n te a alta tem p eratu ra Tn
ciclo sobre el entorno es, entonces, elevar cierto peso m g y d escarga calor Q L al recip ien te a baja tem peratura T L. En
esta m áquina generalizada, el calor de entrada, que puede
a la distancia h a la que ascien d e e l ém b o lo en la etapa 2 ; ser trasferido en varias etapas, se representa sim plem ente
c o m o @H, y e l c a lo r d e e sc a p e s e rep resen ta sim ila r m e n ­
la m agnitud d el trabajo efectu ad o por el gas sobre el te com o Q l . E l ciclo im plica una serie de operaciones
llevadas a cabo sobre una s u s ta n c ia d e o p e r a c ió n ; en
entorno es igual a m gh. nuestro ca so , la serie de op eracion es m ostradas en la
figura 2 se llevaron a cabo en un gas ideal, pero en
E xam inem os ahora las transferencias de energía duran­ la práctica p od em os diseñar una m áquina térm ica usan­
do cualquiera de una gran variedad de sustancias de op e­
te e l c ic lo . E l ca lo r to ta l Q in q u e entra al s iste m a e s Q l + ración. Por ejem plo, en una planta de potencia, el agua
es a m enudo la sustancia de operación, absorbiendo calor
Q 2, y e l c a lo r to ta l Q mn q u e s a le d e l s iste m a e s Q 3 + Q 4. E l Q l} c u a n d o s e c o n v ie r te e n v a p o r y d e sc a r g a n d o ca lo r Q L
cuando el vapor se condensa nuevam ente en agua. (N o
calor neto transferido Q para el ciclo es + (?oul; para debe confundirse el com b u stib le de un m otor con la su s­
tancia de operación; el com bustible sim plem ente m antie­
recordar q u e Q in e s p o s itiv a y Q out n e g a tiv a , e sc r ib im o s , ne la tem peratura T¡¡ d el recip ien te ca lien te.) E l recipiente
d e baja tem p eratu ra, h a cia e l q u e e sc a p a e l c a lo r <?u
usando m agnitudes absolutas, podría ser la atm ósfera, un estanque de enfriam iento, o
un río.
l<2l = l < 2 i „ | - K 2 o u . | . (i)

El cam bio en la energía interna para el ciclo d ebe ser cero,
porque el ciclo com ienza y term ina en el m ism o punto. La
prim era ley da en ton ces W = - Q o sea, usando de n u evo
m agnitudes absolutas,

l ^ l = l<2! = I G i „ | - | < 2 „ u , | . (2)

Para e s te c ic lo , |( ) ln| > |@oul|, d e m o d o q u e lo s m ie m b r o s
derechos de las ecuaciones 1 y 2 son positivos, com o es
necesario cuando escribim os aquellas ecu acion es en tér­
m inos de m agnitudes.

D efin im o s la e fic ie n c ia e de cualquier c ic lo co m o la
cantidad neta de trabajo efectuado s o b r e e l e n to rn o duran­
te el c ic lo , d iv id id o p or la e n t r a d a d e c a l o r Q in:

Sección 26-3 Refrigeradores y la segunda ley 639

Máquina Máquina 26-3 REFRIGERADORES
perfecta real Y LA SEGUNDA LEY

W (= -Q ) Un refrigerador es básicamente una máquina térmica que
funciona en sentido inverso. Al igual que una máquina
(a) (b) térmica, se considera que un refrigerador funciona en un
proceso cíclico, y el recorrido del ciclo de la figura 2 en
F igura 3 Se representa una máquina por las flechas en el sentido inverso representaría la operación de un tipo de
sentido horario que rodean al bloque central, ( a ) En una refrigerador. Un refrigerador más general puede estar
máquina perfecta, todo el calor extraído de un depósito a alta representado por el motor de la figura 3 operado en
temperatura se convierte en trabajo. (b) En una máquina real, sentido inverso. El calor <?Lse extrae del depósito de baja
el calor extraído del depósito de alta temperatura se temperatura a la temperatura T h, y el calor QHse descarga
convierte parcialmente en trabajo y parcialmente en calor Q¡ del recipiente de alta temperatura a la temperatura T H. La
que escapa a un recipiente de baja temperatura. figura 4 muestra una representación esquemática de un
refrigerador perfecto, en el que |@L| = |<?H|, y un refrigera­
dor real, en el que |QJ < |Q„| y debe suministrársele
trabajo W.

Como en el caso de la máquina térmica, no existe un
cambio de la energía interna en un ciclo completo, y por
lo tanto \W\ = |@|, o sea

I ^ I = I <2 h I - I G l I- (5)

Problem a m uestra 1 Un motor de automóvil, cuya eficiencia En el refrigerador, el calor e n t r a a partir del recipiente de
térmica e es de 22%, opera a 95 ciclos por segundo y efectúa baja temperatura, de modo que Q L > 0, y s a l e al recipiente
trabajo a 120 hp. (a) ¿Cuánto trabajo por ciclo efectúa el entorno de alta temperatura, de modo que Q„ < 0, como lo sugiere
sobre el sistem a? (b ) ¿Cuánto calor entra y sale del m otor en la figura 4. También, W> 0, puesto que el entorno efectúa
cada ciclo? un trabajo sobre la sustancia de operación.

Solución (a ) El trabajo por ciclo efectuado sobre el sistema, En analogía con la eficiencia de una máquina térmica,
una cantidad negativa, es evaluamos un refrigerador en términos del c o e fic ie n te d e
r e n d im ie n t o K , definido por
(120 hp)[746 (J/s)/hp]
W ~ -------------- 9 5 ^ --------------- " 9 4 2 J - K = \Ql\ \Q l (6)

O, lo que es lo m ism o, el motor efectúa +942 J de trabajo por \w\ iGhI-IGiT
ciclo sobre el entorno.
En un refrigerador perfecto, W= 0 (entonces |(?H| = |<?L|),
(b) Para hallar el calor de entrada absorbido del depósito y el coeficiente de rendimiento es infinito.
a alta temperatura (la explosión de la m ezcla de com bustible),
usam os la ecuación 3: Un enunciado alternativo de la segunda ley de la termo­
dinámica trata del rendimiento de un refrigerador:
942 J
4.3 X 103 J. E n un p ro c e so cíclico, no e s p o sib le qu e flu y a c a lo r de

0.22 un cu erp o a otro a m ay o r tem p eratu ra sin q u e ex ista
alg ú n otro cam b io.
Partiendo de la ecuación 2, hallamos el calor de salida, que se
descarga al recipiente a baja temperatura (el entorno): En este enunciado, el “otro cambio existente” significa
que durante el ciclo debe efectuarse un trabajo extemo
IQlI= !<2hI - IW'l = 4.3 X 103 J - 942 J = 3.4 X 103 J. para hacer que el calor se mueva de este modo, puesto que
de por sí preferiría fluir en el sentido contrario. Este
El calor descargado del motor lleva un signo negativo de enunciado de la segunda ley se llama a menudo la forma
modo que C l a u s i u s , y en efecto dice que n o e x is t e n r e f r i g e r a d o r e s

Q l = —3.4 X 103 J. p erfectos.

V em os que este motor absorbe 4,3 x 103 J de calor por ciclo, En un refrigerador doméstico ordinario, la sustancia de
por el que debem os pagar en la estación de gasolina, efectúa operación es un líquido (Freón) que circula dentro del
942 J de trabajo, y transfiere 3.4 x 103 J de calor en el escape. sistema. El depósito a baja temperatura es la cámara fría
El motor desecha 3.6 veces más energía de la que convierte en la que se almacenan los alimentos, y el depósito a alta
para propósitos útiles. A lgunas máquinas pueden poner este temperatura es la habitación en que se mantiene la unidad.
calor del escape a trabajar en forma útil. Por ejem plo, el calor
del vapor escapado en una planta de potencia puede transferirse
a ed ificios com erciales para mantenerlos calientes durante el
tiem po frío. _______ _______ ________________________

640 Capítulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

(a) (b) Figura 5 (a) Un refrigerador real, impulsado por una
máquina perfecta, es equivalente a (b) un refrigerador
Figura 4 Se representa un refrigerador por flechas perfecto.
apuntando en sentido antihorario alrededor del bloque
central. (a ) En un refrigerador perfecto no se requiere ningún Este ejemplo demuestra que, si podemos construir una
trabajo. (b ) En un refrigerador real, el calor es extraído de un máquina perfecta, entonces podemos construir un refri­
depósito a baja temperatura mediante la ejecución de algún gerador perfecto. Es decir, una violación del enunciado
trabajo externo, y la energía equivalente del calor extraído y de Kelvin-Planck de la segunda ley implica una viola­
del trabajo se descarga com o calor a un depósito a alta ción del enunciado de Clausius. De manera similar, un
temperatura. refrigerador perfecto nos permite convertir a una máquina
térmica real en una máquina térmica perfecta. Entonces,
El trabajo externo es proporcionado por un motor que una violación del enunciado de Clausius implica una
impulsa a la unidad. Los refrigeradores típicos tienen violación del enunciado de Kelvin-Planck. Puesto que
coeficientes de rendimiento alrededor de 5. una violación de cualquiera de los enunciados implica una
violación del otro, los dos enunciados son lógicamente
Equivalencia de los enunciados de Clausius equivalentes.
y de Kelvin-Planck
Problem a m uestra 2 Un refrigerador dom éstico, cuyo coefi­
Los dos enunciados de la segunda ley que hemos presen­ ciente de rendimiento K es 4.7, extrae calor de la cámara de
tado no son independientes y, de hecho, son enteramente enfriamiento a 250 J por ciclo, (a) ¿Cuánto trabajo por ciclo se
equivalentes. Para demostrar esto, consideremos lo que requiere para operar el refrigerador? (b ) ¿Cuánto calor por ciclo
pasaría si la forma Kelvin-Planck fuese incorrecta, y se descarga a la habitación, la cual constituye el depósito de alta
que pudiéramos construir una máquina perfecta, convir­ temperatura del refrigerador?
tiendo el calor C?Henteramente a trabajo W. Usemos este
trabajo W para impulsar un refrigerador real, como se Solu ción ( a ) Partiendo de la ecuación 6 , K = |QJ/| W\, tenem os
muestra en la figura 5a. Este refrigerador toma el calor
|Ql| del depósito a baja temperatura y bombea el ca­ W representa el trabajo efectuado s o b r e el sistem a, de m odo que
lor |<5hI = |<?lI + \W\ al depósito a alta temperatura. es una cantidad positiva.

Consideremos la combinación de la máquina perfecta (b ) Para hallar el calor Q Hdescargado a la habitación (la cual
y el refrigerador real como un solo aparato, como se indica sirve com o depósito de alta temperatura), usam os la ecuación 5,
en la figura 5b. El trabajo W es una característica interna que es la primera ley de termodinámica para un aparato cíclico
de este aparato y no entra en ningún intercambio de y es válida tanto para refrigeradores com o para máquinas.
energía con el entorno. Este aparato toma el calor \Q¿\ del Entonces, tenemos
depósito a baja temperatura y transfiere al depósito a alta
temperatura una cantidad neta de calor igual a |C?h| - |C?„|. IGhI = IW \ + |(2l | = 5 3 J + 2 5 0 J = 3 0 3 J.
Pero |@H| = |PP|, y entonces
Un refrigerador ¡es también un calefactor eficiente! Al pagar
i<2hI- iqhi= isíiI \qi\. por 53 J de trabajo (efectuado por el motor), obtenem os 303 J
de calor abastecido a la habitación por m edio de los tubos de
Entonces nuestro aparato combinado actúa como un refri­ condensación colocad os atrás de la unidad. (V éase el problema
gerador perfecto, tomando el calor |(?¿| del depósito a muestra 4, que trata de la operación de una b o m b a d e c a l o r ,
baja temperatura y bombeando el calor |Qj|| al depósi­ aparato similar al refrigerador que puede calentar el hogar.)
to a alta temperatura, sin que se efectúe ningún trabajo
externo.

Sección 26-4 El ciclo de Carnot 641

Si calentásem os la habitación con un calefactor eléctrico, ob­
tendríamos cuando m ás 53 J de calor por cada 53 J de trabajo
por el que pagamos. Pensemos en lo sensato (?) que puede ser
tratar de enfriar la cocina en un día caluroso ¡dejando abierta la
puerta del refrigerador! Por supuesto, un cálculo com pleto de
la eficiencia relativa de varios sistem as de calefacción debe
tener en cuenta la eficiencia termodinámica de la producción de
potencia eléctrica en la planta generadora.___________________

26-4 EL CICLO DE CARNOT Proceso adiabático Proceso adiabático

H em os visto que la segunda ley de la term odinám ica nos Proceso isotérmico
im pide construir m áquinas térm icas y refrigeradores per­
fectos. E ntonces es ló g ic o preguntar si pod em os llegar tan Figura 6 Ciclo de Camot. Las cuatro etapas (1, 2, 3, 4) y
cerca de la perfección com o queram os, o si existe alguna los cuatro puntos finales (a, b, c , d ) corresponden a los de la
otra lim itación fundam ental en el funcionam iento de las figura 7. El arreglo cilindro-émbolo se muestra en puntos
m áquinas térm icas y de los refrigeradores. Sucede que s í intermedios, durante la realización de cada proceso.
e x iste un lím ite fundam ental, y para su estudio explicare­
m o s una m áquina que funciona en un ciclo particular, la figura 7. Durante este proceso, se trasfiere calor Q 3 =
llam ado c ic lo d e C a r n o t * -|<?L| d e l g a s a l d e p ó sito . La c o m p r e sió n e s iso té r m ic a a
la temperatura 7 j, y se efectúa un trabajo (p ositivo) sobre
E n el c ic lo de Carnot, la sustancia de operación es un el gas al descender el ém bolo y su carga.
gas ideal en nuestro cilindro usual. U sam os dos depósitos
térm icos, uno a alta temperatura TH y otro a baja tem pe­ E tap a 4 (d a ). A islam os al cilindro del depósito y, aña­
ratura Tl . E l c ic lo co n sta d e cu atro p r o c e so s r e v e r sib le s, diendo aún m ás peso, com prim im os al gas lentam ente de
d os isotérm icos y d os adiabáticos. La secu en cia, indicada regreso a su punto inicial a de la figura 7, com pletando
esquem áticam ente en la figura 6 y trazada en un diagram a así el ciclo. La com presión es adiabática porque ningún
p V en la figura 7 , es com o sigue: calor entra o sale del sistem a. El trabajo WH es efectuado
so b re e l g a s, y su tem peratura s e e le v a hasta J H.
E tap a 1 (a b ). P onem os el cilindro sobre el depósito a
alta tem peratura, con el gas en un estado representado por L as transferencias de energía durante el ciclo pueden
el punto a en la figura 7. Gradualm ente, quitam os algo de resum irse com o sigue:
p eso del ém bolo, perm itiendo que el gas se dilate lenta­
m ente hasta el punto b. Durante este proceso, el gas del Q w A£i„,
d e p ó sito a alta tem peratura a b so rb e ca lo r <?, = |<?H| . Y a
que este p roceso es isotérm ico, la energía interna d el gas Etapa 1 >0 <0 0
n o ca m b ia (A £ hll = 0 ), y to d o e l ca lo r (p o s itiv o ) a ñ a d id o Etapa 2 0 <0 <0
aparece com o trabajo (negativo) efectuado sobre el gas al Etapa 3 >0
elevarse el ém bolo con el peso. Etapa 4 <0 >0 0
Ciclo 0 <0 >0
E tap a 2 (b e ). A islam os el cilindro del depósito y, qui­
tando gradualm ente m ás p eso del ém bolo, dejam os que el >0 0
gas se dilate lentam ente hasta el punto c de la figura 7.
Esta exp an sión es adiabática porque no entra ni sale calor
del sistem a (Q 2 = 0). E l ém bolo efectúa un trabajo (nega­
tiv o ) W2 so b re e l g a s. La tem peratura d el g a s c a e a T h,
porque la energía para efectuar el trabajo deb e ven ir de la
energía interna del gas.

E tap a 3 (c d ). Ponem os el cilindro sobre el depósito a
baja temperatura y, añadiendo gradualm ente p eso al ém ­
b olo, com prim im os el gas lentam ente hasta el punto d en

* Llamado así en honor del ingeniero y científico francés N. L.
Sadi Carnot (1796-1832), quien propuso el concepto en 1824.

642 Capítulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

!Gh I= ? h (9)

\Ql\ Tl •

La ecuación 9 es un resultado im portante y fundam ental
del ciclo de Carnot. N ecesitarem os este resultado nueva­
m ente m ás adelante en este m ism o capítulo cuando discu­
tam os la entropía.

U sa n d o la ecu a ció n 4 c o n Q m = Q H Y Qo„t = Q l Y
sustituyendo la ecu ación 9 , ob ten em os la eficien cia de una
m áquina térm ica que opere en un ciclo de Carnot:

e= 1 Tl _ Th - Tl ( 10)
th th •

F igura 7 Un diagrama p V d e 1 ciclo de Carnot ilustrado en L a eficien cia d e u n a m áq u in a C arn o t d ep en d e ú n icam en ­
la figura 6 . Se supone que la substancia útil es un gas ideal. te d e la te m p e ra tu ra d e lo s d o s d e p ó sito s en tre lo s q u e
o p e r a . O bsérvese que la eficien cia aum enta al decrecer
C alculem os ahora la eficien cia de una m áquina térm ica Tl , tendiendo a 1 cuando Th tiende a 0. Puesto que TL no
que opere en un ciclo de Carnot. A lo largo de la trayec­ puede llegar nunca a 0 , la eficien cia debe ser m en os del
toria isotérm ica a b en la figura 7, la tem peratura perm a­
n ece constante. P uesto que el gas es ideal, su energía 100%.
interna, que depende únicam ente de la tem peratura, per­
m anece tam bién constante. C on AE M = 0, la prim era ley U n ciclo de Carnot, por ser reversible, puede recorrer­
req u iere q u e e l c a lo r @H tra n sferid o d e l d e p ó sito d e alta se en sentido inverso para constituir un refrigerador. Se
temperatura sea igual a la m agnitud del trabajo W efectua­ deja com o ejercicio (véase el problem a 19) dem ostrar
do sobre el gas al expandirse. Según la ecuación 27 del que el coeficien te de rendim iento de un refrigerador
capítulo 23 tenem os entonces Carnot es

K= T -_ v • (11)

\Q n\ = \W ,\ = n R T „ \ n ^ . H em os em pleado un gas ideal com o ejem plo de una
'a sustancia de operación. La sustancia de operación puede
ser cualquier cosa, aunque los diagram as p V para otras
Sim ilarm ente, para el p roceso isotérm ico c d en la figura sustancias serían diferentes. Las m áquinas térm icas c o ­
7 , podem os escribir m unes usan vapor o una m eztla de com bustible y aire o
com bustible y oxígen o com o sustancias de operación.
\QL\= \W3\= nRTL\ n ^ . Puede obtenerse calor m ediante la com bustión de un
co m b u stib le c o m o la gasolin a o e l carbón, o m ed ian te la
'd liberación de energía nuclear en lo s reactores de fisión . E l
calor puede ser descargado en el escape o a un condensa­
Dividiendo estas dos ecuaciones tenemos que dor. Si bien las m áquinas térm icas reales no operan en un
ciclo reversible, el ciclo de Carnot, que es reversible,
|G„I _ r „ In {Vb/ v a) (7) da una inform ación útil respecto al com portam iento de
cualquier m áquina térm ica. E s esp ecialm ente im portante,
I G l I T L \ n ( V c/ V d) com o lo verem os m ás adelante, porque pone un lím ite
superior al rendim iento de las m áquinas reales y por lo
La ecu ación 38 del capítulo 25 nos perm ite escribir, tanto ofrece un ob jetivo a lograr.
para los dos procesos adiabáticos b e y d a ,

1T H Vv by~ ‘ = 1T ,L yVcy 1 El teorema de Carnot y la segunda ley

Dividiendo estas dos ecuaciones resulta B asado en su m áquina térm ica reversible ideal, Carnot
desarrolló un teorem a general aplicable a to d a s las m áqui­
- y -i rr 1 nas térm icas:
• y-* ■y- 1
L a eficien cia d e cu alq u ier m áq u in a térm ica q u e o pere
o sea entre d o s tem p eratu ras esp ecíficas nunca p o d rá su p e­
ra r la eficien cia d e u n a m áq u in a C a rn o t que o p ere
(8 ) entre la s m ism as d o s tem peraturas.

k vd

A l com binar las ecuaciones 7 y 8 n os da

Sección 26-4 El ciclo de Carnot 643

(13)

efrigerador Investiguem os las consecuencias de esta hipótesis. Par­
perfecto tiendo de la ecu a ció n 3 d e la d efin ició n básica d e la
eficiencia, nuestra hipótesis es equivalente a

m ^m (14)
\Qh\ \Qh \
o sea
\ Q n' \ > |Q h \ (c o n s e c u e n c ia d e la h ip ó t e s is ) .

F igu ra 8 ( a ) La máquina X impulsa un refrigerador Carnot. A l comparar las ecuaciones 12 y 14 vem os que Q > 0 com o
Si la máquina X fuese más eficiente que una máquina una consecuencia directa de nuestra hipótesis de que
Carnot, entonces la combinación sería equivalente al podem os construir una m áquina que v io le el teorem a de
refrigerador perfecto mostrado en (b). Carnot. E ntonces, la com binación de la m áquina X y el
refrigerador Carnot es equivalente al refrigerador perfecto
Es decir, la eficien cia Carnot (Ec. 10) es el lím ite superior m ostrado en la figura 8 b , donde el calor Q es transferido
d el d ep ósito de baja tem peratura a T { al d ep ósito de alta
del desem peño de una m áquina térm ica. C lausius y K elvin temperatura a 7jt sin trabajo externo. E sto viola claram en­
te la form a C lausius de la segunda ley , y por lo tanto
dem ostraron que el teorem a de Carnot era una consecuen­ nuestra hipótesis original (Ec. 13) debe ser falsa. E l teo­
rema de Carnot es, por lo tanto, una consecuencia n ece­
cia necesaria de la segunda ley de la term odinám ica, pero saria de la segunda ley.

es notable que el trabajo de Carnot haya sid o term inado ¿C óm o diferiría este argum ento si X fu ese una m áquina
real? Si e x < e , en ton ces la ecu ación 14 cam biaría a
m ucho tiem po antes de que C lausius y K elvin desarrolla­

sen lo s enunciados de la segunda ley. (¡E l trabajo de I G h I < I G h I,

Carnot sobre m áquinas térm icas se publicó en 1824, el y a partir de la ecu ación 12 deduciríam os que Q < 0. En
este ca so , invertiríam os las d ireccio n es d e las flech a s en la
año del natalicio de K elvin y dos años después de haber figura 8 b, que entonces ya no sería m ás un refrigerador.
En cam bio, el calor Q fluiría del depósito de alta tem pe­
nacido C lausius!) ratura al d ep ósito d e baja tem peratura, que es un p roceso
natural y no viola ninguna ley básica.
Para dem ostrar que la violación del teorem a de Carnot
Si la m áquina X opera en un ciclo com p u esto entera­
es tam bién una violación de la segunda ley, supongam os m ente de procesos reversibles, entonces su eficiencia es
igual a la eficien cia Carnot. Si el ciclo es en parte irrever­
q ue ten em o s una m áquina, a la que llam arem os m áquina sib le, en ton ces en efecto , una porción de la energía trans­
ferida en cada ciclo se pierde, quizás por fricción, y no
X , cuya eficien cia e x supera a la eficien cia Carnot e. puede recuperarse com o trabajo útil. E n la figura 8 , por
ejem plo, no sería verdad que todo el trabajo W producido
A co p lem o s la m áquina X a una m áquina Carnot que opere por una m áquina X parcialm ente irreversible estaría d is­
ponible para hacer funcionar al refrigerador; parte se
en sen tid o in verso co m o un refrigerador, c o m o en la figura perdería com o fricción o por otra causa. E ntonces p od e­
m os resum ir el teorem a de Carnot, aplicado a la eficien cia
8 . L a m á q u in a X ex tr a e c a lo r C?H d e l d e p ó sito d e alta e de cualquier m áquina, com o sigue:

temperatura y descarga calor Q L al depósito de baja tem ­

peratura, efectuando el trabajo W durante el proceso.

H agam os que este trabajo W im pulse el refrigerador Car­

not, que extrae calor Q ‘L del depósito de baja temperatura

y descarga calor Q¿¡ al dep ósito de alta temperatura.

E l calor n eto que flu y e del d epósito de baja tem peratura

d e b id o a la c o m b in a c ió n d e lo s d o s ap aratos e s |<2 ¿| - |C?L|,

y el calor n eto abastecido al d ep ósito de alta temperatura

e s |<?hI - |<?„|. A l a p lica r la p rim era le y a cad a aparato por

sep a ra d o , te n e m o s \W \ = |<?H| - |(?L| para la m á q u in a X , y e = e Ct arnot ( r e v e r s ib le ),

\W \ = - \Q [j para el refrigerador Carnot. Igualando (15)

estas dos expresiones, hallam os

I w \ = |Q hI - I<2lI = IQ h I ~ \Ql\,

o , d e fin ie n d o q u e Q se a la d ife r en c ia en tre |<?hI y

<2 = I ( 2 h I ~ \Q h\ = \ Q í \ ~ \Qi\- (12) P rob lem a m u estra 3 La turbina de una planta de potencia
por vapor toma vapor de una caldera a 520°C y lo descarga
N uestra h ip ó tesis es que la eficien cia de la m áquina X a un condensador a 100°C. ¿Cuál es su eficiencia máxima po­
puede exceder a la eficien cia Carnot; es decir, sible?

644 Capítulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

Solución La eficiencia máxima es la eficiencia de una máqui­
na Carnot que opera entre las m ism as dos temperaturas. Enton­
ces, según la ecuación 1 0 ,

_ T H — T L _ 793 K — 373 K
T h 793 K

= 0.53 o s e a 53%

Obsérvese que en esta ecuación las temperaturas deben expre­
sarse en la escala K elvin. D ebido a la fricción, la turbulencia, y
las pérdidas térmicas no deseadas, pueden obtenerse en tal
turbina de vapor, eficien cias reales de alrededor del 40%. Ob­
sérvese que la eficiencia máxima teórica depende únicamente
de las dos temperaturas implicadas, no de las presiones o de
otros factores.

La eficiencia teórica de un motor ordinario de autom óvil es
de alrededor del 56%, pero por consideraciones prácticas se
reduce a alrededor del 25%.

P rob lem a m u estra 4 Una bomba de calor (véase la fig. 9) es F igura 9 Problema muestra 4. Una bomba de calor.
un aparato que, actuando com o un refrigerador, puede calentar
una casa extrayendo calor del exterior, efectuando cierto traba­ para otra indicación de que el refrigerador es un calefactor
jo, y descargando calor al interior de la casa. La temperatura eficiente.)
exterior es de -10°C , y el interior ha de mantenerse a 22°C. Es
necesario entregar calor al interior a l ó kW para compensar las
pérdidas de calor normales. ¿Qué cantidad mínima de energía
debe suministrarse a la bomba de calor?

So lu ció n El depósito de baja temperatura e s el exterior a TL “ 26-5 LA ESCALA DE TEMPERATURA
273 - 10 = 263 K, y el depósito de alta temperatura es el interior TERMODINÁMICA
a T„ = 273 + 22 = 295 K. Partiendo de la ecuación 11, el
coeficiente de rendimiento máximo de la bomba de calor, que La eficiencia de una m áquina reversible es independiente
actúa com o un refrigerador, es de la sustancia de operación y depende únicam ente de las
dos tem peraturas entre las que trabaja la m áquina. Y a que
Tl _ 263 K e = 1 - |<?, |/¡C>|||, e n to n c e s |Q J/|£ > hI p u e d e d e p en d er ú n ic a ­
m ente de las tem peraturas. E sto condujo a K elvin a sugerir
T h - T l 295 K - 263 K una nueva escala de temperatura. Si h acem os que dL y du
representen estas dos tem peraturas, su ecuación definito-
Podem os volver a escribir la ecuación 6 com o: ria es

r _ l g Ll _ IQHl - l ^ l
\ W\ | W\ '

R esolviendo para \W\ y dividiendo entre el tiem po para expresar
el resultado en términos de potencia, obtenemos

16 kW
t K + 1 8.22+1 J/ KW-

En esto radica la “m agia” de la bomba de calor. A l usar la @H \ Q h \
bomba de calor com o un refrigerador para enfriar el enorme
exterior, podem os abastecer 16 kW al interior de la casa pero E s decir, dos tem peraturas en esta escala tienen la m ism a
necesitam os pagar únicamente los 1.7 kW que toma hacer razón que el calor absorbido y el calor cedido, respectiva­
funcionar la bomba. En realidad, los 1.7 kW es un requisito m ente, por una m áquina Carnot que opere entre estas
m ínim o teórico porque se basa en un rendim iento ideal. En la tem peraturas. Tal escala de tem peratura se denom ina e s­
práctica se requeriría una mayor entrada de potencia, pero cala de tem peratura te rm o d in á m ic a (o de K e lv in ).
todavía existiría un ahorro muy considerable sobre, digam os,
calentar la casa directamente con calefactores eléctricos. En ese Para com pletar la d efin ición de la escala term odinám i­
caso, tendríamos que pagar directamente por cada kilowatt de ca, asignam os el valor estándar de 2 7 3 .1 6 a la temperatura
transferencia de calor. Cuando la temperatura exterior es mayor d el p u n to trip le d el ag u a . D e a q u í q u e 0lt = 2 7 3 .1 6 K . P o r
que la temperatura interior, la bomba de calor puede utilizar­ lo tanto, para una m áquina Carnot que opere entre depó­
se com o un acondicionador de aire. Aun operando com o un s ito s a la s tem p era tu ra s 6 y 6 U, te n e m o s
refrigerador, bombea ahora calor del interior de la casa al
exterior. D e nuevo, debe efectuarse un trabajo (y pagar por él) i. = M
pero la energía trasladada com o calor del interior de la casa 0 «r m
supera a la energía equivalente del trabajo efectuado. ¡Otra
ganga termodinámica! (Véase también el problema muestra 2 o sea

Sección 26-5 La escala de temperatura termodinámica 645

(9= 273.16 K (16)

l& rl

Si comparamos a ésta con la ecuación 7 del capítulo 22,

X
T = 273.16 K

vemos que, en la escala termodinámica, |<?¡juega el papel el cero absoluto de temperatura. La diferencia en pendiente
de una propiedad termométrica. Sin embargo, |<?| no de­ entre los procesos isotérm icos y adiabáticos se ha exagerado
pende de las características de ninguna sustancia porque aquí para mayor claridad.
la eficiencia de una máquina Carnot es independiente de
la naturaleza de la sustancia de operación. Por lo tanto,
obtenemos una escala de temperatura que está libre de la
objeción que podemos poner a la escala del gas ideal del
capítulo 22 y, de hecho, llegamos a una definición funda­
mental de temperatura.

La definición de temperatura termodinámica nos per­
mite reescribir la ecuación para la eficiencia de una má­
quina reversible como:

_ I<2hI \Q Ú _ @H ®L (17)

\Q h\ Oh para regresar al sistem a a su condición original. A partir de los
argumentos anteriores concluim os que
Pero hemos demostrado que la eficiencia de una máquina
Carnot que use un gas ideal como sustancia de operación T —T (19)
es
~~ \QÍ\

- - 1 6 h I ~ I 6 l 1_ Th - T l (18) A sí pues, conociendo T, y m idiendo |<2,| y |<?2| nos e s posible
determinar la temperatura T2 directamente. Considerando a T2
IS hI com o una temperatura conocida, podem os llevar al sistem a
alrededor de otro ciclo de Carnot para determinar una tempera­
donde T es la temperatura dada por el termómetro a tura T } aún más baja. En principio, podríamos continuar este
volumen constante que contiene el gas ideal. Al comparar proceso hasta el cero absoluto de temperatura; sin embargo,
las ecuaciones 17 y 18, vemos que |Qh|/IC?iI = TJT, y cuanto más pequeña sea la temperatura, menor será el calor )£>]
IChI/IClI = W , Ya que 6it = Tu = 273.16 y 6/d, = T/Tü, transferido en un proceso isotérm ico entre dos procesos adiabá­
se deduce que 6= T. De aquí que si estuviese disponible ticos determinados (Fig. 10). En el lím ite del cero absoluto de
un gas ideal para usarse en un termómetro a volumen la escala de temperatura termodinámica, el sistem a podría ex ­
constante, el termómetro indicaría la temperatura termo­ perimentar un proceso isotérm ico sin transferencia de calor.
dinámica (o Kelvin). Hemos visto que, si bien no se
dispone de un gas ideal, las mediciones hechas usando el La característica fundamental de todos los procesos de enfria­
proceso límite con gases reales corresponden al compor­
tamiento del gas ideal. Trataremos la escala del gas ideal m iento es que cuanto m ás baja es la temperatura tanto mayor la
y la escala termodinámica como idénticas, y usaremos la dificultad para bajarla m as aún. Esta experiencia ha conducido
designación K intercambiablemente para cada una, como a la form ulación de la t e r c e r a le y d e l a te r m o d in á m ic a , que
de hecho ya lo hemos llevado a cabo. puede enunciarse com o sigue: E s im p o sib le p o r c u a lq u ie r p r o ­
cedim iento, sin im p o rtar lo id ealizad o que éste se a , red u cir un
El cero absoluto y las temperaturas negativas sistem a a l cero ab solu to de tem peratura en un núm ero fin ito
d e o p e r a c io n e s. D e aquí que una máquina térmica con 100% de
(O p cio n al) eficiencia sea una imposibilidad práctica, a causa de que no
En la práctica no podem os tener un gas a m enos de 1 K, y por podemos obtener un depósito al cero absoluto.
lo tanto no podemos medir temperaturas de m enos de 1 K
usando un termómetro de gas a volumen constante. Por fortuna, Com o una alternativa al proceso cíclico podem os usar ciertos
es posible medir temperaturas inferiores a 1 K usando la escala termómetros a b s o lu t o s para determinar la temperatura termo­
dinámica directamente. Estos termómetros se basan en la de­
termodinámica directamente. Supongamos que tenem os un sis­ pendencia de la temperatura de los resultados básicos de la
mecánica estadística. Un tipo de termómetro, llamado term ó­
tema a una temperatura T2que querem os medir. Podem os llevar m etro d e ru id o , utiliza el movimiento browniano de los electro­
nes en un sólido. En analogía con nuestra explicación de la
al sistem a alrededor de un ciclo Carnot (Fig. 10), primero media de los cuadrados de la velocidad en la sección 24-3,
podem os demostrar que la media de los cuadrados de la corrien­
efectuando un trabajo adiabático sobre él para elevar la tem pe­ te de estos electrones e s proporcional a la temperatura. H valor
ratura a r „ que e s supuestamente conocida en la escala del gas promedio de estas corrientes fluctuantes puede ser medido con
sondas sensibles, y puede determinarse la temperatura tec
ideal, luego transfiriendo el calor conocido l<p,¡ isotérm icam en­ lamente sin hacer uso de una calibración. De as manera,
pueden determinarse las temperaturas en la gama del m umw vin
te, efectuando un trabajo adiabático para reducir su temperatura (0.001 K). Otro aparato útil en esta región d e temperaturas hace

otra v ez a T2, y por últim o transfiriendo el calor |<22| necesario

646 Capítulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

uso de la distribución de Maxwell-Boltzmann de la energía para
determinar la temperatura. Supongamos que tenemos un siste­
ma (un átomo o un núcleo) en que la energía pueda adquirir dos
valores El y E1 = E, + AE (Fig. 11). Si tenemos un gran número
de esos átomos o núcleos en equilibrio térmico a la temperatu­
ra T, entonces una estimación burda del número relativo de
átomos o de núcleos con energías E¡ y E2 está dada por la parte
exponencial de la distribución de Maxwell-Boltzmann (véase
la Ec. 32 del capítulo 24):

— p —A E /k T (20)
■EJkT

Existen numerosas maneras de medir directamente la razón/MB Figura 11 En un sistema que conste de un gran número de
(E2)/fMB(E¡), como, por ejemplo, mediante la observación de la átomos o de núcleos con dos estados de energía discretos, los
radiación electromagnética emitida por los átomos o los nú­ números relativos que ocupan cada estado de la energía
cleos, y por lo tanto, una vez más, podemos determinar la pueden ser hallados partiendo de la distribución de
temperatura termodinámica. Maxwell-Boltzmann (línea de puntos).

En el límite de temperatura muy baja, la mayoría de los Descartamos ahora la notación del valor absoluto, reco­
nociendo en el proceso que si el ciclo de Carnot se lleva
átomos o de los núcleos en el esquema de la figura 11 estaría en a cabo en el sentido horario, como en una máquina, o
el estado de energía más bajo, porque la ecuación 20 sugiere antihorario, como en un refrigerador, <?„ y Qh tienen
siempre signos opuestos. Por lo tanto, podemos escribir
quef UB(E2) -» 0 cuando T -* 0. En el límite de alta temperatura,
la ecuación 20 indica que f MB(E2) = / MU(£,); es decir, existen Qh , Ql _ q (21)
T* Tl •
números iguales de átomos o de núcleos con los dos valores de
la energía. Así pues, el aumento de la temperatura de muy baja Esta ecuación establece que la suma de las cantidades
a muy alta está acompañado por un aumento en el número algebraicas Q/T es cero en un ciclo de Carnot.
relativo en el estado más alto de la energía de cerca de 0 a 50%.
¿Es posible que el número sobrepase el 50%? Podemos artifi­ Como paso siguiente, queremos generalizar la ecua­
cialmente “bombear” sistemas del estado de energía más bajo
al estado más alto, haciendo que absorban radiación de la ción 21 a cualquier ciclo reversible, no precisamente a
energía AE apropiada. (Tal procedimiento es básico para la ope­
ración de un láser, donde debemos tener una “inversión de la un ciclo de Carnot. Para hacerlo, aproximamos cualquier
población” con más átomos en el estado de energía más alto.) ciclo reversible como un conjunto de ciclos de Carnot. La
Si tratamos de emplear la ecuación 20 para describir un sistema
figura 12a muestra un ciclo reversible arbitrario super­
con/mb(£2) > /mb(£'1), el resultado es una temperatura negativa.
Es, pues, posible tener temperaturas negativas, pero en contraste puesto en una familia de isotermas. Podemos aproximar
con el significado usual de los números negativos, las tempera­ el ciclo real al unir las isotermas por medio de segmentos
cortos de líneas adiabáticas elegidos convenientemente
turas negativas no están por debajo de cero: ¡están por arriba (Fig. 126), formando así un conjunto de ciclos de Carnot
del infinito!* ■ delgados. Debe usted convencerse de que atravesar los
ciclos de Carnot individuales de la figura 126 en secuencia
26-6 ENTROPIA: PROCESOS es exactamente equivalente, en términos del calor trans­
REVERSIBLES ferido y del trabajo efectuado, a atravesar la secuencia
mellada de líneas isotérmicas y adiabáticas que aproxima
La ley cero de la termodinámica se relaciona con el el ciclo real. Esto es así porque los ciclos de Carnot
concepto de temperatura T, y la primera ley se relacio­ adyacentes tienen una isoterma común, y dos travesías, en
na con el concepto de energía interna Em. En esta sec­ direcciones opuestas, se cancelan entre sí en la región de
ción y en las siguientes demostraremos que la segunda traslape en lo que concierne a la transferencia de calor y
ley de la termodinámica se relaciona con una variable al trabajo efectuado. Haciendo suficientemente pequeño
termodinámica llamada entropía, S, y que podemos ex­ el intervalo de temperatura entre las isotermas de la figura
presar la segunda ley cuantitativamente en términos de 126, podemos aproximar el ciclo real tan cercanamente
esta variable. como lo deseemos por medio de una secuencia alternante
de líneas isotérmicas y adiabáticas.
Comenzaremos considerando un ciclo de Carnot. Para
tal ciclo podemos escribir la ecuación 9 como: Entonces podemos escribir para la secuencia de líneas

IQhJ = I 0 J isotérmicas-adiabáticas de la figura 12b,

th tl • 2 y~»-

* Véase “Negative Absolute Temperatures”, por Warren G.
Proctor, Scientific American, agosto de 1978, pág. 90.

Sección 26-6 Entropía: procesos reversibles 647

(a) dQ en la ecuación 22 no es una diferencial exacta, como
ya hemos indicado previamente en conexión con la ecua­
ción 31 del capítulo 25. Es decir, no existe unaJunción Q,
de la que dQ sea la diferencial. Usamos aquí dQ para
significar una cantidad de calor pequeña, no como una
diferencial verdadera. En el caso de la figura 12b, dQ
significa la pequeña cantidad de calor que entra o sale del
sistema a lo largo de un elemento corto de la trayectoria.)

Como ya lo hemos visto en la sección 8-1 en el caso de
la energía potencial, si la integral de una variable alrede­
dor de cualquier trayectoria cerrada en un sistema de
coordenadas es cero, entonces el valor de esa variable en
un punto depende únicamente de las coordenadas del
punto y no depende en absoluto de la trayectoria por la
que se ha llegado a ese punto. Esta variable se llama
variable de estado, significando que tiene un valor única­
mente característico del estado del sistema, sin importar
cómo se llegó a ese estado. La ecuación 22 es una integral
de éstas, y por lo tanto dQJT debe ser un cambio diferen­
cial en una variable de estado. Llamamos a esta nueva
variable la entropía S, de modo que

dwcs -- —dQ (23)

y entonces la ecuación 22 se convierte en

(b) dS = 0. (24)

O La unidad SI para la entropía es J/K.
(c) El punto esencial en las ecuaciones 22 a 24 es que, si

Figura 12 (a) Ciclo reversible superpuesto en una familia bien dQ no es una diferencial exacta, dQ/T sí lo es. La
de isotermas, (b) Las isotermas están unidas por líneas energía potencial gravitatoria Ug, la energía interna £ lllt, la
adiabáticas, formando un conjunto de ciclos de Carnot que presiónp, y la temperatura T son otras variables de estado,
aproxima al ciclo dado, (c) a y b son dos puntos arbitrarios y las ecuaciones de la forma jd X = 0 son válidas para cada
una de ellas, donde X se reemplaza por el símbolo apro­
en el ciclo, y 1 y 2 son trayectorias reversibles que los unen. piado. El calor Q y el trabajo Wno son variables de estado;
sabemos que, en general jd Q * 0 y j dW * 0, como po­
demos demostrarlo fácilmente en el caso especial de un
ciclo de Carnot.

La propiedad de una variable de estado expresada por
j dX = 0 puede expresarse también diciendo que JdX en­
tre dos estados de equilibrio cualesquiera tiene el mismo
valor para todas las trayectorias (reversibles) que unen
a esos estados. Demostremos esto para la variable de
estado entropía. Podemos escribir la ecuación 24 (véase
la Fig. 12c) como:

o, en el límite de las diferencias de temperatura infinite­ J * d S + J a dS = 0, (25)

simales entre las isotermas de la figura 12b, iray 1 tray 2

dQ (22) donde a y b son puntos arbitrarios y 1 y 2 describen las
= 0,
trayectorias que unen a esos puntos. Puesto que el ciclo
f
es reversible, podemos recorrer la trayectoria 2 en la
donde j>indica que la integral es evaluada para una trave­
dirección opuesta (esto es, de a a b en lugar de &a a), en
sía completa del ciclo, comenzando y terminando en el
cuyo caso podemos escribir la ecuación 25 como:
mismo punto arbitrario del ciclo. (Téngase en cuenta que

648 Capítulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

tray 2 allá y consideremos también el cambio de entropía del entorno.
En este caso, el entorno es el depósito térmico del que se extrae
o sea el calor necesario para fundir al hielo. Cada unidad térmica que
entra al hielo debe haber salido del depósito, siendo la tempe­
dS. (26) ratura la misma tanto del hielo como del depósito. Por lo tanto,
el cambio de entropía del depósito es igual en magnitud pero
tray 1 opuesto en signo al del hielo, o sea

Nótese que para cambiar el orden de los límites en la = -287 J/K.
segunda integral de la ecuación 25 se requiere que cam­
biemos también el signo de la integral. Esto da la ecuación El cambio de entropía para el hielo + el depósito, considerados
26, la cual nos dice que la cantidad/ ab dS entre dos estados juntos, es entonces cero. Esto es cierto para cualquier proceso
de equilibrio cualesquiera del sistema, tales como a y b, reversible, porque cualquier incremento de calor +dQ que entre
es independiente de la trayectoria que une a esos estados, al sistema debe originarse de un incremento igual -dQ que salga
del depósito.
ya que 1 y 2 son trayectorias completamente arbitrarias.
En la práctica, la fusión del hielo es más bien irreversible,
Recordemos nuestra exposición casi idéntica en la sec­ como cuando ponemos un cubo de hielo en un vaso de agua a
la temperatura ambiente. La diferencia de temperatura entre el
ción 8- 1, donde introdujimos el concepto de fuerza con­ hielo y el depósito (el agua) en este caso no es una cantidad
diferencial sino que es de alrededor de 20°C. El proceso sólo
servativa. opera en una dirección (el hielo se funde) y no puede ser
El cambio en la entropía entre dos estados i y/c u a le s­ invertido en ninguna etapa haciendo sólo un cambio diferencial
en la temperatura del agua. No podemos emplear la ecuación
quiera es entonces 27 en tal caso, y los cálculos de este problema no son válidos,
En la sección siguiente veremos cómo manejar un cálculo de
v ' íAS = S f - S , = \ d S este tipo.

f dQ (27) 26-7 ENTROPIA: PROCESOS
IRREVERSIBLES
-I. (proceso reversible),
T La ecuación 27 describe el cálculo del cambio en entropía
para un proceso reversible. Sin embargo, no existen en la
donde la integral se evalúa sobre cualquier trayectoria naturaleza procesos absolutamente reversibles. La fric­
reversible que una a estos dos estados. ción y las transferencias de calor no deseadas están siem­
pre presentes, y rara vez podemos llevar a cabo procesos
Problema muestra 5 Un trozo de hielo cuya masa m es de reales en pasos infinitesimales. Por lo tanto, todo proceso
235 g se funde (reversiblemente) a agua, permaneciendo la termodinámico es hasta cierto punto irreversible.
temperatura a 0°C durante el proceso. ¿Cuál es el cambio de
entropía del cubo de hielo? El calor de fusión del hielo es Para calcular el cambio de entropía para un proceso
de 333 kJ/kg. irreversible, tomamos ventaja del hecho de que la entro­
pía es un estado variable. La diferencia en entropía entre
Solución Fundir el hielo reversiblemente significa que debe­ los estados i y / es independiente de la trayectoria que
mos poner al hielo en contacto con un depósito térmico cuya elijamos de i a /. Aun cuando la naturaleza puede elegir
temperatura supere los 0°C en una cantidad diferencial única­ una trayectoria irreversible entre i y / para el proceso
mente, fundiéndose por lo tanto sólo una pequeña cantidad del real, nosotros podemos elegir para el cálculo cualquier
hielo. (Si después bajamos la temperatura del depósito en la trayectoria reversible conveniente.
misma cantidad diferencial, el hielo fundido se congelará; en­
tonces el proceso es reversible.) Para un proceso reversible así,
podemos usar la ecuación 27, o, puesto que la temperatura es
constante,

Aquí dQ significa los pequeños elementos de energía térmica Para hallar el cambio de entropíapara una trayectoria
irreversible entre dos estados de equilibrio, debe ha­
que entran al hielo desde el depósito térmico, y el total de todos llarse el proceso reversible que une a los mismos
estados, y calcularse el cambio de entropía usando la
estos elementos es precisamente el calor total absorbido por el ecuación 27.
hielo, o sea
Consideremos dos ejemplos.
Q = mL = (0.235 kg)(333 kJ/kg) = 7.83 X 104J.
1. Expansión libre. Como en la sección 25-6 (véase la
Entonces figura 14 del capítulo 25), hagamos que un gas ideal
duplique su volumen expandiéndose en un espacio vacío.
Q _ 7.83 X 104J No se efectúa ningún trabajo contra el vacío, de modo que

273 K

La respuesta anterior completa nuestro análisis del cambio de
entropía del sistema, pero llevemos el problema un poco más

Sección 26-7 Entropía: procesos irreversibles 649

W = O, y el gas está confinado en un recipiente aislante,
por lo que Q = 0. De la primera ley, debemos por lo tanto
tener A£iut = 0. Para un gas ideal, cuya energía interna
depende únicamente de la temperatura, se deduce que

T, = Tf .

La expansión libre es ciertamente irreversible, porque

perdemos el control del sistema una vez que hemos abier­

to la válvula que separa los dos compartimentos. Existe

una diferencia de entropía entre los estados inicial y final,

pero no podemos calcularlo usando la ecuación 27, que se

aplica únicamente a los procesos reversibles. Claramente,

la ecuación 27 no debe ser empleada en forma directa,

porque la temperatura no está definida para los pasos

intermedios no en equilibrio a través de los cuales evolu­

ciona el sistema una vez que el gas comienza a fluir.

Además, Q = 0, lo cual presenta una dificultad más para

emplear la ecuación 27. Figura 13 (o) El estado inicial: dos bloques están a
Para hallar el cambio de entropía elegimos una trayec­ temperaturas diferentes en recintos aislados individuales.
(b) El estado final: la pared aislante entre los bloques se
toria reversible de i a / para la cual podamos hacer este retira, y se permite que lleguen al equilibrio a la
cálculo. Una elección conveniente es una expansión iso­ temperatura intermedia Tr.
térmica que sufriese un gas ideal del mismo punto inicial

(p„ V¡, T¡) al mismo punto final (pf , Vf , 7}). Representa un

procedimiento muy diferente al de una expansión libre,

pero une al mismo par de estados en equilibrio. De la que nos conduzca al mismo estado final. Consideremos

ecuación 27, podemos tener entonces primero el bloque 1 a la temperatura inicial Ty (Supone­

mos que ésta es la temperatura inicial más baja.) Imagi­
- w nemos una serie de depósitos térmicos a las temperaturas

donde la última etapa puede llevarse a cabo porque A£im r „ J, + dT, r , + 2dT, ... , Tc - dT, Tc. Comenzamos con

el bloque 1 en contacto con el primer depósito, y luego lo

= 0 en un proceso isotérmico, y por lo tanto - W = Q. movemos al siguiente hasta recorrer la secuencia. En cada

Usando la ecuación 27 del capítulo 23 para W, obtenemos etapa, entra al bloque una cantidad infinitesimal de calor

AS = - W = nRln — dQ. El proceso es claramente reversible; en cualquier
punto podemos mover el bloque de regreso a la etapa más

baja anterior, y fluirá la misma cantidad de calor dQ del

= nR ln 2. (28) bloque de regreso hacia el depósito. Cada transferencia

Esto es igual al cambio de entropía para la expansión libre reversible de calor dQ puede expresarse como mc dT,
irreversible. Nótese que AS es positivo para el sistema.
pudiendo entonces emplear la ecuación 27 para hallar el
Puesto que en la expansión libre no existe transferencia
cambio de entropía para el bloque 1:

de energía de ninguna clase al entorno, el cambio de mc ln Te (29)
entropía del entorno es cero. Así, la entropía total del Tx
sistema + el entorno aumenta durante una expansión libre.

2. Transferencia de calor irreversible. La figura 13a De manera similar podemos construir una serie descen­
muestra dos bloques cuyas temperaturas iniciales son 7,
y Tr Para simplificar, suponemos que los bloques tienen dente de depósitos para el bloque 2 entre las tempe­
la misma masa m y el mismo calor específico c. Quita­
raturas T2 y Te, y hallamos el cambio de entropía para el

bloque 2:

mos la barrera aislante que separa a los bloques y los A S 2 — mc J{ T' —dT = mc .ln —T* • (30)
ponemos en contacto térmico, como se muestra en la

figura 136. Finalmente, llegan a la temperatura de equili­

brio común Tc. Al igual que en la expansión libre, este El cambio total de la entropía es

proceso es totalmente irreversible, porque perdemos el

control una vez que hayamos colocado a los bloques en A S = AS, + AS 2 = mc ln + mc ln
contacto térmico entre sí. Tx

Para hallar el cambio de entropía en este proceso irre­ = mc ln Tl (31)
versible elegimos una vez más una trayectoria reversible T ,T 2

•NIYJSRSIDÁD DE LA K K P s m iC a
F A C U L T A D Ti?. INGENIERIA

/vTEKTO DE

650 Capitulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

Si Ti es la temperatura más baja, entonces AS, > 0 y AS2 <0. mostrada, pero podemos confirmarla en una variedad de
Podemos demostrar que el cambio total de entropía AS circunstancias. Podemos demostrar que es consistente con
es siempre positivo, para lo cual necesitamos demostrar la observación, en cuanto que prohíbe procesos que pu­
que T e2¡TXT2 > 1. Hallamos primero la temperatura de equi­ dieran parecer satisfacer a todas las demás leyes conoci­
librio exigiendo que el calor total transferido sea cero: das, pero que no son observados. Consideremos este
enunciado de la segunda ley respecto a alguno de los
Gi + Qi = mc(Te - r,) + mc(Te - T2) = 0, principios que ya hemos establecido en este capítulo.

o sea Te = (7, + T2)/2. Por lo tanto, podemos escribir la Compresión libre
cantidad T \ / TXT2 como:
Imaginemos llevar a cabo la expansión libre con una
n _ (T t + T2f _ 4 r , r 2+ (7-, - r 2)2 división removible que separe a las dos mitades del reci­
piente. Cuando quitamos la división, las moléculas del gas
r ,r 2 4 r,r2 4 r,r2 que se movían originalmente hacia la derecha en la figu­
ra 14 del capítulo 25 no encuentran una división con la
Claramente, esto es mayor que uno (la última cantidad es cual chocar, y por lo tanto se diseminan en la mitad del
siempre positiva), de modo que el logaritmo de la ecua­ recipiente antes vacía, chocando finalmente contra la pa­
ción 31 es mayor que cero, y el cambio de entropía es red más lejana. Cuando rebotan de esa pared, no todas
positivo. encuentran su camino de regreso a la otra mitad, porque
posiblemente chocan con otras moléculas que encuentran
El hecho de colocar a los dos bloques en contacto en su camino. Al final, las colisiones tienden a hacer que
térmico no produce ningún cambio en absoluto en el los movimientos de las moléculas sucedan al azar, y llenen
entorno, de modo que AS =0 para el entorno. Por lo tanto, todo el recipiente.
la entropía total del sistema + el entorno aumenta en esta
transferencia de calor irreversible. ¿Qué nos impide encontrar todas las moléculas de
regreso en la mitad del recipiente un tiempo más tarde?
26-8 ENTROPÍA Y LA SEGUNDA LEY Podríamos llamar a este proceso compresión libre, el
inverso de la expansión libre. La ecuación 28 muestra que
Ahora estamos listos para expresar la segunda ley en su una compresión libre, en la que V} < V„ tendría un cambio
forma más general en términos de entropía: negativo en la entropía del sistema (sin ningún cambio en
la entropía del entorno, como en la expansión libre). Esta
En cualquier proceso termodinámico pasa de un esta­ aseveración de la segunda ley en términos de entropía
do de equilibrio a otro, la entropía del sistema + el prohíbe entonces la compresión libre, y por lo tanto es
entorno o bien permanece sin cambio o bien aumenta. poco probable que podamos hallar a todo el aire precipi­
tándose al lado opuesto del salón en que estamos sentados.
Para los procesos reversibles, como vimos en la sección (En la siguiente sección damos otra interpretación de este
26-6, la entropía permanece sin cambio. Como pudimos suceso que nunca se presenta.)
ver en el caso del problema muestra 5, el cambio de la
entropía del sistema era positivo y el del entorno era La forma Kelvin-Planck de la segunda ley
negativo y de igual magnitud, así que el total era cero.
A causa de que todas las máquinas operan en ciclos,
Para los procesos irreversibles, (es decir, para todos los el cambio de la entropía del sistema (la sustancia de
procesos naturales), la entropía total del sistema + el operación) debe ser cero para un ciclo completo de ope­
entorno debe aumentar. Es posible que la entropía del ración. En una máquina perfecta, el entorno (véase la
sistema disminuya, pero la entropía del entorno siempre Fig. 3a) libera el calor Q a la temperatura T, y su cambio
muestra un aumento de mayor magnitud, de modo que el de entropía es Q/T, una cantidad negativa. Por lo tanto, el
cambio total en la entropía es siempre positivo. Ningún cambio total de la entropía del sistema + el entorno es
proceso naturalpuede mostrarjamás una disminución en negativo en una máquina perfecta. La existencia de una
la entropía total del sistema + el entorno. máquina perfecta violaría entonces el enunciado de la
entropía de la segunda ley.
Como era el caso para las leyes cero y primera, está
implícito en esta forma de la segunda ley un enunciado La forma Clausius de la segunda ley
acerca de la existencia y utilidad de una nueva variable
termodinámica, en este caso la entropía. En un refrigerador perfecto, el sistema nuevamente no
tiene un cambio de entropía en un ciclo completo, sino
La segunda ley, al igual que las leyes cero y primera, es
una generalización de la experiencia. No puede ser de­

Sección 26-9 Entropía y probabilidad 651

que el entorno libera el calor -Q a la temperatura TL y miento del hielo a 0°C, la fusión del hielo, y por último el
absorbe el calor Q a la temperatura TH. Por lo tanto, el calentamiento del agua resultante a Tr. Usamos la ecuación 29
cambio total en la entropía del entorno es para el cambio de entropía (reversible) asociado con un cambio
en la temperatura y usamos el resultado del problema muestra 5
AS=r „ - r r Q (-k -T -)- para el cambio de la entropía en la fusión. El resultado del
cambio de entropía AS¡ para el hielo es
Como Th > Tl , este cambio de entropía es negativo.
Entonces, un refrigerador perfecto violaría el enunciado A5, = mA , 273 K , ^m3,LK , , Tt
de la entropía de la segunda ley. ln — + + ln —

La flecha del tiempo 273 K
= (0.012 kg)(2220 J/kg-K) ln
Es el cambio en la entropía el que nos proporciona en
última instancia la respuesta a por qué los sistemas evo­ (0.012 kg)(333 kJ/kg)
lucionarán naturalmente en una dirección con el tiempo y 273 K
no en la otra: los sistemas evolucionan siempre en el
tiempo de modo que la entropía total del sistema + el en­ + (0.012 kg)(4190 J/kg •K) ln
torno aumenta. Si observamos a un sistema en el que
la entropía parece disminuir, podemos estar seguros de = 16.7 J/K.
que en alguna parte existe un cambio en la entropía del
entorno lo suficientemente grande como para hacer posi­ Para el agua, obtenemos similarmente su camb'o de entropía
tivo el cambio total de la entropía. (reversible):

Problema muestra 6 Un trozo de hielo de masa m¡ - 0.012 kg ASW= mwcwln -jr = (0.056 kg)(4190 J/kg-K) ln

está inicialmente a la temperatura T¡ = - 15°C. Se le deja caer en = -15.9 J/K.
un recipiente aislado de capacidad calorífica despreciable que
contiene una masa ;;iw= 0.056 kg de agua a la temperatura Tw El cambio de entropía del entorno es cero, puesto que todo el
=23°C. El sistema llega al equilibrio a la temperatura Tt. Calcule procedimiento tiene lugar en un recipiente aislado. El cambio
el cambio total de la entropía del sistema + el entorno. Utilice total de la entropía del sistema más el entorno es, por lo tanto:
las capacidades térmicas específicas y el calor de fusión siguien­
tes: c, = 2220 J/kg • K, cw= 4190 J/kg •K, L = 333 kJ/kg. AS = AS¡ + ASW= 16.7 J/K + (-15.9 J/K) = 0.8 J/K,
y éste es claramente positivo, como lo exige la segunda ley.
Solución Echar el hielo al agua es claramente un proceso
irreversible; no se hace en etapas infinitesimales, y no podemos 26-9 ENTROPÍA Y PROBABILIDAD
regresar al sistema a su estado original invirtiendo el proceso.
Para calcular el cambio en la entropía del sistema, debemos La entropía es una variable macroscópica, asociada con el
primero hallar la temperatura de equilibrio final. Para hacerlo, estado general de un sistema y calculable a partir de
suponemos que la temperatura final es mayor de 0°C y que todo cantidades macroscópicas asociadas con su estado gene­
el hielo se funde, convirtiéndose finalmente en agua a la tem­ ral. Hemos visto que todas las variables macroscópicas en
peratura de equilibrio. Más adelante, podemos comprobar si la termodinámica tienen una cantidad microscópica co­
esta hipótesis es consistente. Exigiendo que el calor total trans­ rrespondiente (como temperatura, una cantidad macros­
ferido entre todos los objetos sea cero, podemos hallar la tem­ cópica, y energía cinética molecular media, una cantidad
peratura de equilibrio: microscópica). Si hacemos ciertas suposiciones respecto
a las propiedades microscópicas del sistema, usualmente
mjC¡(0°C —T¡) + m¡L + m¡cw(Tc—0°C) podemos hallar una manera de relacionar las cantidades
+ mwcw(T„- T J = 0, macroscópicas y microscópicas. En el caso de la tempe­
ratura de un gas, estas suposiciones incluyen un modelo
e insertando los valores dados y resolviendo hallamos mecánico de las moléculas y sus interacciones, junto con
una distribución estadística de las energías moleculares.
r e= 276.6 K=3.5°C. Por lo tanto, nos gustaría considerar el cálculo microscó­
pico de la entropía de un sistema.
Esto es ciertamente consistente con que todo el hielo se funda.
(Si, por otra parte, hubiéramos obtenido una temperatura fi­ La cantidad microscópica relacionada con la entropía
nal de 0°C o más baja, sospecharíamos que nuestra hipótesis es la probabilidad relativa de diferentes maneras de distri­
original era incorrecta, y cambiaríamos la solución en conse­ buir las moléculas del sistema. Consideremos primeramente
cuencia.) algunas aplicaciones cualitativas de esta relación:

Ahora podemos hallar los cambio en la entropía. Primero para 1. Expansión libre. En una expansión libre se permite
el hielo, separamos el procedimiento en tres etapas: el calenta­ que las moléculas de gas confinadas a una mitad de una

652 Capítulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

caja llenen toda la ésta. Consideremos a toda la caja en 3. Una taza de café revuelto. Supongamos que menea­
sus dos circunstancias: primero, en el instante en que la mos una taza de café y luego retiramos la cucharilla. Con
división se retira y todas las moléculas ocupan una mitad el tiempo, la circulación del líquido cesa, y la viscosidad
de la caja, y segundo, cuando las moléculas llenan toda la hace que la energía del fluido en rotación se disipe como
caja. La primera condición es un estado de probabilidad energía interna de las moléculas. En el estado inicial,
muy baja; dejado en libertad, sería muy poco probable que existe un movimiento ordenado del café en rotación. En
el sistema se distribuyera por sí mismo de esta manera. La el estado de equilibrio final existe un movimiento mole­
segunda condición es más bien de alta probabilidad. Po­ cular al azar. Una vez más, la circulación ordenada de las
demos considerar que las moléculas en expansión libre se moléculas es un estado de baja probabilidad, mientras que
mueven de una condición de probabilidad baja a otra de el movimiento desordenado al azar es un estado de alta
probabilidad alta. Es decir, dadas todas las maneras posi­ probabilidad. En este proceso natural, el sistema ha pasa­
bles de distribuir las moléculas al azar dentro de la caja, do de un estado de baja probabilidad a un estado de alta
un gran número de esas maneras posibles muestra una probabilidad.
distribución más bien uniforme de las moléculas, mien­
tras que un número muy pequeño muestra una distribu­ En los tres casos anteriores, el sistema ha pasado espon­
ción no uniforme. Por ejemplo, consideremos una caja táneamente de un estado de baja probabilidad a otro de
alta probabilidad. Las tres situaciones son procesos natura­
con 10 moléculas únicamente y evaluemos el número de les irreversibles que se caracterizan por un aumento en la
entropía del sistema. Por lo tanto, es razonable concluir que
maneras en que un número n determinado se encuentra en existe una relación cuantitativa entre la probabilidad y la
la mitad izquierda de la caja en cualquier instante. Pues­ entropía. Esta relación, que fue propuesta por Boltzmann, es
to que, en este esquema, cada molécula tiene dos ubi­
caciones posibles en la caja (mitad izquierda o mitad S=k\nP. (32)
derecha), el número total de maneras en que podemos
distribuir a las moléculas, con dos alternativas para cada Aquí k es la constante de Boltzmann, y S es la entropía del
sistema. P, para definirla vagamente, es el número de orde­
una, es 2 10 = 1024. De estas 1024 maneras, en sólo namientos moleculares diferentes que corresponden al mis­
mo estado macroscópico. Si, por ejemplo, las circunstancias
una hallaremos a todas las moléculas en la mitad izquierda son tan especiales que únicamente es posible un ordena­
(n = 10), mientras que puede demostrarse que existen 252 miento, entonces P = 1y S (= £ LnP) = 0, y tenemos un estado
maneras de tener una distribución uniforme (n = 5). Al completamente ordenado. Los valores de P más grandes,
aumentar el número de moléculas, la probabilidad relativa como el que corresponde a la distribución más uniforme de
de una distribución uniforme aumenta de manera muy las moléculas en el recipiente, dan valores de entropía más
acusada. Con 100 moléculas existe todavía una sola grandes. Cuando decimos que el estado A de un sistema es
manera de distribuirlas a todas en la mitad izquierda, pero más probable que el estado B, queremos decir simplemente
que el estado A tiene el valor de P más grande.
existen unas 1029 maneras de distribuirlas igualmente
Se ha dicho también que un aumento en la entropía
entre las dos mitades. La expansión libre, en la cual existe es una medida del aumento en el desorden de un sistema,
un aumento en entropía, puede ser entonces considerada y entonces la entropía es, en efecto, una medida del
microscópicamente como una transformación de un esta­ desorden. El término “desorden” no tiene una defini­
do de muy baja probabilidad a un estado de muy alta ción matemática precisa, sino que se relaciona cualita­
probabilidad. tivamente con la probabilidad. Un estado de desorden
bajo es un estado en el que las componentes de un sistema
2. Conducción de calor. En este ejemplo dos cuerpos han sido distribuidas cuidadosamente, como colocando a
de temperaturas diferentes Tí y T2 alcanzan una tempe­ todas las moléculas con velocidades bajas en una parte
ratura intermedia uniforme Tc cuando entran en contacto. de un sistema. Un estado de desorden alto es un estado al
Este caso es similar a la expansión libre, excepto que azar en el que no ha ocurrido ninguna distribución. El
hacemos la distribución por velocidad en lugar de hacerlo aumento en la entropía de un sistema en los procesos
por posición. De nuevo, consideraremos a todo el sistema naturales puede entonces considerarse también como un
en dos circunstancias: justo después del contacto, con las aumento en el nivel de desorden del sistema. Los procesos
moléculas “calientes” (las que se mueven más rápidamen­ naturales tienden a hacer al universo más desordenado.*
te) en un lado y las moléculas “frías” (que se mueven más
despacio) en el otro, y mucho después, cuando la distri­ * Para una relación de intentos de violar la segunda ley, inclu­
bución de las velocidades entre las dos mitades es unifor­ yendo al diablo de Maxwell y un diseño de una máquina térmica
me. Una vez más, la distribución separada (moléculas perfecta en la que la sustancia de operación es una molécula de
rápidas en un lado, moléculas lentas en el otro) es un un gas, véase, “Demons, Engines, and the Second Law”, por
estado de baja probabilidad y la distribución uniforme es Charles H. Bennet, Scientific Am erican, noviembre de 1987,
un estado de alta probabilidad. Al entrar en contacto, el
sistema evoluciona espontáneamente de un estado de baja pág. 108.
probabilidad a otro de alta probabilidad.

La segunda ley de la termodinámica nos dice que, si Preguntas 653
un sistema aislado experimenta un proceso espontáneo,
su estado final será uno en el que la entropía (y tam­ espontáneamente en un lado, (2) un vaso de agua a la
bién P) es máxima. Existe siempre (en principio) la po­
sibilidad de que, debido a una fluctuación estadística, temperatura ambiente no se separará espontáneamente en
pueda ocurrir algún otro estado, incluso un estado cuya cubos de hielo y agua más templada, y (3) el café no
entropía sea más baja que la del estado inicial. En siste­ comenzará a girar espontáneamente en la taza. Cada uno
mas con un número de partículas muy pequeño, tales de estos procesos puede conservar energía, siendo enton­
fluctuaciones del comportamiento promedio existen, en ces consistente con la primera ley. Sin embargo, no
efecto, siendo un buen ejemplo el movimiento browniano podremos observarlos, ¡aunque nos quedemos esperando
(sección 24-5). En sistemas macroscópicos, sin embargo, un tiempo tan largo como la edad actual del universo! Se
la probabilidad de que la entropía crezca realmente en un ha dicho que los cálculos de las probabilidades de tales
proceso espontáneo resulta ser increíblemente pequeña. eventos le dan un significado operativo a la palabra
Entonces, podemos predecir con completa seguridad que “nunca”. El área de aplicación de la segunda ley de la
termodinámica es tan amplia y la posibilidad de que la
(1) las moléculas del aire del salón no se agruparán naturaleza la contradiga es tan pequeña que cuenta con
la distinción de ser una de las leyes más útiles y generales
de toda la ciencia.

PREGUNTAS isotérmicamente un gas no ideal contra un émbolo; (i)
terminar la “Sinfonía Inconclusa”; (j) escribir este libro?
1. ¿Es el ser hum ano una máquina térm ica? Explique. 10. Dé algunos ejemplos de procesos irreversibles en la na­
turaleza.
2. ¿No podríamos igualmente definir la eficiencia de una
m áquina com o e = IW^I/IC^J en lugar de e = |JP |/|Q J? ¿Por 11. ¿Existen procesos naturales que sean reversibles?
qué no podemos?
12. ¿Podemos calcular el trabajo efectuado durante un proce­
3. Las eficiencias de las plantas de potencia nuclear son so irreversible en términos de un área en un diagrama p V?
menores que las de las plantas de combustibles fósiles. ¿Se efectúa algún trabajo?
¿Por qué?
13. Si una máquina Carnot es independiente de la sustancia
4. ¿Puede una cantidad dada de energía mecánica ser con­ de operación, entonces las máquinas reales serían similar­
vertida completamente en energía térmica? De ser así, dé mente independientes, hasta un cierto punto. Entonces,
un ejemplo. ¿por qué para las máquinas reales nos preocupa tanto
hallar combustibles apropiados como el carbón, la gasoli­
5. Un inventor sugirió que una casa podría calentarse de la na, o un material fisionable? ¿Por qué no usar piedras
manera siguiente. Un sistema que se asemeje a un refrige­ como combustible?
rador extrae calor de la Tierra y lo descarga en la casa. El
inventor afirmó que el calor abastecido a la casa podía 14. ¿En qué condiciones sería una máquina térmica ideal
sobrepasar al trabajo efectuado por la máquina del siste­
ma. ¿Usted qué opina? 100% eficiente?

6. Comente la aseveración: “Una máquina térmica convierte 15. ¿Qué factores reducen la eficiencia de una máquina tér­
movimiento mecánico desordenado en movimiento me­ mica de su valor ideal?
cánico organizado”.
16. Se desea incrementar la eficiencia de una máquina Carnot
7. ¿Es posible el concepto de que una m áquina térmica tanto como sea posible. Podemos hacerlo aumentando TH
a cierta cantidad, manteniendo a TLconstante, o disminu­
opere entre el agua de la superficie templada de un mar yendo TLen la misma cantidad y manteniendo a T„cons­
tropical y el agua más fría bajo la superficie? ¿Es práctica tante. ¿Cuál elegiría usted?
la idea? (Véase “Solar Sea Power”, por Clarence Zener,
17. Explique por qué una habitación puede calentarse dejando
Physics Today, enero de 1973, pág. 48). abierta la puerta de un horno, pero no puede enfriarse
dejando abierta la puerta de un refrigerador de cocina.
8. Dé una explicación cualitativa de cómo producen energía
18. ¿Por qué obtenemos menos kilometraje de la gasolina de
interna las fuerzas de fricción entre superficies móviles. nuestro automóvil en invierno que en verano?
¿Por qué no ocurre el procedimiento inverso (que la ener­
gía interna produzca un movimiento relativo de esas su­ 19. De vez en cuando los inventores pretenden haber perfec­
perficies)? cionado un aparato que efectúe un trabajo útil pero que no
consuma combustible (o muy poco). ¿Qué piensa usted
9. ¿Son reversibles alguno de los fenómenos siguientes: (a) que es lo más verosímil en tales casos: (a) los inventores
la rotura de una botella de refresco vacía; (b) el mezclado tienen razón, (b) los inventores están equivocados en sus
de un coctel; (c) dar cuerda a un reloj; (d ) fundir un cubo mediciones, o (c) los inventores son unos charlatanes?
de hielo en un vaso de té helado; (e) quemar un leño; ( /)

ponchar una llanta de automóvil; (g) calentar eléctrica­
m ente un bloque de metal con aislamiento; (h) expandir

654 Capítulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

¿Piensa usted que tal pretensión debería ser examinada a soporte una carga se contrae al calentarse. Explique estas
fondo por una mesa de científicos e ingenieros? En su observaciones usando el hecho de que las moléculas de
opinión, ¿se justificaría el tiempo y el esfuerzo? hule constan de cadenas largas de átomos entrelazados y
20. Hemos visto que las máquinas reales desechan siempre estrechamente unidos con una orientación al azar.
cantidades sustanciales de calor a sus depósitos de baja
temperatura. Parece vergonzoso desperdiciar esta energía 30. ¿Qué cambio en la entropía ocurre, en caso de que suceda,
calorífica. ¿Por qué no usar este calor para mover una cuando los 52 naipes de una baraja quedan barajados de
segunda máquina, sirviendo el depósito de baja tempera­ un modo particular? ¿Es apropiado en este caso el concep­
tura de la primera máquina como depósito de alta tempe­ to de entropía? De ser así, explique cómo podría uno
ratura de la segunda? obtener un enfriamiento útil llevando a cabo este proceso
adiabáticamente.
21. Dé ejemplos en los que la entropía de un sistema dismi­
nuye y explique por qué no se viola la segunda ley de la 31. Comente la siguiente opinión de Panofsky y Phillips:
termodinámica. “Desde el punto de vista de la física formal existe única­
mente un concepto que es asimétrico en el tiempo, a saber,
22. ¿Violan los seres vivos la segunda ley de la termodinámi­ la entropía. Pero esto hace que sea razonable suponer
ca? Por ejemplo, cuando un pollito sale de un huevo que la segunda ley de la termodinámica puede ser emplea­
se vuelve cada vez más ordenado y organizado. Sin em­ da para cerciorarse del sentido del tiempo de manera
bargo, el aumento de la entropía requiere desorden y independiente de cualquier marco de referencia; es decir,
decadencia. ¿Está disminuyendo realmente la entropía del tomaremos como dirección positiva del tiempo aquella
pollito mientras crece? que sea de un desorden estadísticamente creciente, o de
entropía creciente.” (Véase, a este respecto, “The Arrow
23. Dos recipientes de gases a diferentes temperaturas están of Time”, por David Layzer, Scientific American, diciem­
aislados del entorno y separados entre sí por una división bre de 1975, pág. 56.)
que permite un intercambio de calor. ¿Qué tendría que
pasar si la entropía fuese a disminuir? ¿A aumentar? ¿Qué 32. Explique la frase: “Los rayos cósmicos disminuyen conti­
es más probable que pase? nuamente la entropía de la Tierra sobre la que inciden.”
¿Por qué no contradice esto a la segunda ley de la termo­
24. ¿Existe un cambio de entropía en los movimientos mecá­ dinámica?
nicos puros?
33. Cuando ponemos naipes juntos en una baraja o ladrillos
25. Demuestre que la entropía total crece cuando el trabajo se juntos para construir una casa, por ejemplo, aumentamos
convierte en calor por la fricción entre superficies desli­ el orden del mundo físico. ¿Viola esto la segunda ley de
zantes. Describa el aumento de desorden. la termodinámica? Explique.

26. Del Sol a la Tierra fluye energía calorífica. Demuestre que 34. ¿Podemos emplear la termodinámica terrestre, que se sabe
la entropía del sistema Tierra-Sol aumenta durante este se aplica a cuerpos circunscritos y aislados, para todo el
proceso. universo? De ser así, ¿está el universo limitado y de qué
está aislado el universo?
27. ¿Es cierto que la energía calorífica del universo está
siendo poco a poco cada vez menos disponible? De ser así, 35. La temperatura y la presión son ejemplos de propieda­
¿por qué? des intensivas de un sistema, siendo sus valores para cual­
quier muestra del sistema independientes del tamaño de
28. Considere una caja que contiene un número de moléculas la muestra. Sin embargo, la entropía, al igual que la
muy pequeño, digamos cinco. Puede suceder a veces, por energía interna, es una propiedad extensiva, siendo su
azar, que todas estas moléculas se hallen en la mitad valor para cualquier muestra de un sistema proporcional
izquierda de la caja, estando completamente vacía la mitad al tamaño de la muestra. Comente.
derecha. Esto es precisamente el inverso de la expansión
libre, un proceso que hemos declarado ser irreversible. 36. La primera, segunda, y tercera leyes de la termodinámica
¿Cuál es su explicación?
pueden parafrasearse, respectivamente, como sigue: (1)
29. Una banda de hule se siente más caliente que su entorno
inmediatamente después de haber sido estirada con rapi­ Uno no puede ganar. (2) Ni siquiera puede uno empatar.
dez; resulta marcadamente más fría cuando se deja que se (3) Uno no puede salirse del juego. Explique en qué
contraiga súbitamente. También, una banda de hule que sentido son permisibles estas frases comparativas.

PROBLEMAS 25.0%. Calcule, por ciclo, el calor absorbido de la com­
bustión del combustible y el calor descargado a la atmós­
Sección 26-2 Máquinas térmicas y la segunda ley fera. (b) Después de una afinación, la eficiencia es del
31.0%. ¿Cuáles son los nuevos valores de las cantidades
1. Una máquina térmica absorbe 52.4 kJ de calor y descarga calculadas en (a)?
36.2 kJ de calor en cada ciclo. Calcule (a) la eficiencia y 3. Calcule la eficiencia de una planta de potencia por com­
(b) el trabajo efectuado por la máquina por ciclo. bustible fósil que consume 382 toneladas métricas de car­

2. Un motor de automóvil desarrolla 8.18 kJ de trabajo por
ciclo, (a) Antes de una afinación, la eficiencia es del

Problemas 655

bón cada hora para producir trabajo útil a razón de 755 p
MW. El calor de combustión del carbón es de 28.0 MJ/kg.
4. Dos moles de un gas ideal monoatómico se hacen pasar v.
por el ciclo mostrado en la figura 14. El proceso be es una
expansión adiabática reversible. También, pb= 10.4 atm, Figura 15 Problema 6.
Vb= 1.22 m3, y Vc= 9.13 m3. Calcule (a) el calor añadido
al gas, (b) el calor que sale del gas, (c) el trabajo neto
efectuado por el gas, y (d) la eficiencia del ciclo.

P

Figura 14 Problema 4. medio de un refrigerador usando un ciclo de Carnot; (b)
de uno a -73°C a otro a 27°C; (c) de uno a -173°C a otro
5. Un mol de un gas monoatómico ideal inicialmente a un a 27°C; y (rf) de uno a -223°C a otro a 27°C?
volumen de 10 L y una temperatura de 300 K se calienta 11. En un ciclo de Carnot, la expansión isotérmica de un gas
a volumen constante a la temperatura de 600 K, se deja ideal tiene lugar a 412 K y la compresión isotérmica a
expandir isotérmicamente a su presión inicial, y finalmen­ 297 K. Durante la expansión se transfieren al gas 2090 J
te se comprime isobáricamente (es decir, a presión cons­ de energía calorífica. Determine (a) el trabajo llevado a
tante) a su volumen, presión, y temperatura originales, (a) cabo por el gas durante la expansión isotérmica, (b) el
Calcule la entrada de calor al sistema durante un ciclo. calor rechazado por el gas durante la compresión isotér­
(b) ¿Cuál es el trabajo neto efectuado por el gas durante mica, y (c) el trabajo efectuado sobre el gas durante la
un ciclo? (c) ¿Cuál es la eficiencia de este ciclo? compresión isotérmica.

6. Un motor de combustión interna de gasolina puede ser 12. Una máquina de Carnot tiene una eficiencia de 22%.
Opera entre depósitos de calor cuya temperatura difie­
aproximado por el ciclo mostrado en la figura 15. Suponga re en 75°C. Halle las temperaturas de los depósitos.
un gas diatómico ideal y use una relación de compresión
de 4:1 (V„ = 4VJ. Suponga quepb= 3p„. (a) Determine la 13. Para el ciclo de Carnot ilustrado en la figura 7, demuestre
presión y la temperatura en cada uno de los vértices del que el trabajo efectuado por el gas durante el proceso be
diagrama pV en términos de pa y de Ta. (b) Calcule la
eficiencia del ciclo. (etapa 2) tiene el mismo valor absoluto que el trabajo
7. La máquina A, comparada con la máquina B, produce, por
ciclo, cinco veces el trabajo pero recibe el triple y descarga efectuado sobre el gas durante el proceso da (etapa 4).
el doble de calor. Determine la eficiencia de cada máquina.
14. Un aparato que licúa helio está en un laboratorio a 296 K.
Sección 26-3 Refrigeradores y la segunda ley El helio en el aparato está a 4.0 K. Si se transfieren 150 mJ
de calor del helio, halle la cantidad mínima de calor
8. Un refrigerador efectúa 153 J de trabajo para transferir abastecido al laboratorio.

568 J de calor desde su compartimento frío, (a) Calcule el 15. Un acondicionador de aire toma aire de una habitación a
coeficiente de rendimiento del refrigerador. (b) ¿Cuánto 70°F y lo transfiere al exterior, el cual está a 95°F. ¿Cuán­
calor es descargado a la cocina? tosjoules de calor se transfieren de la habitación por cada
9. Para hacer hielo, un congelador extrae 185 kJ de calor a joule de energía eléctrica necesaria para hacer funcionar
-12.0°C. El congelador tiene un coeficiente de rendimien­ al refrigerador?
to de 5.70. La temperatura ambiente es 26.0°C. (a) ¿Cuán­
to calor fue abastecido a la habitación? (b) ¿Cuánto trabajo 16. Un inventor pretende haber creado una bomba de calor
se requirió para hacer funcionar el congelador? que extrae calor de un lago a 3.0°C y abastece calor a razón
de 20 kW a un edificio a 35°C, empleando únicamente
Sección 26-4 El ciclo de Carnot 1.9 kW de potencia eléctrica. ¿Cómo juzga usted esta
pretensión?
10. Cuánto trabajo debe efectuarse para extraer 10.0 J de calor
(a) de un depósito a 7°C y transferirlo a otro a 27°C por 17. (a) Una máquina Carnot opera entre un depósito caliente
a 322 K y un depósito frío a 258 K. Si absorbe 568 J de
calor por ciclo del depósito caliente, ¿cuánto trabajo por
ciclo abastece? (b) Si la misma máquina, trabajando en
sentido inverso, funciona como un refrigerador entre los
mismos dos depósitos, ¿cuánto trabajo por ciclo debe ser
suministrado para transferir 1230 J de calor del depósito
frío?

18. Se usa una bomba de calor para calentar un edificio. La
temperatura del exterior es de -5.0°C y la temperatura
dentro del edificio debe mantenerse a 22°C. El coeficiente

656 Capitulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

de rendimiento es 3.8, y la bomba suministra 7.6 MJ de Máquina
calor al edificio cada hora. ¿A qué razón debe efectuarse
trabajo para hacer funcionar la bomba? Figura 16 Problema 23.
19. Si un ciclo de Carnot se recorre en sentido inverso, tene­
mos un refrigerador ideal. Se absorbe una cantidad de ley, de la termodinámica la primera o la segunda viola
calor |<?L| a la temperatura TLmás baja y se suministra una cada máquina?
cantidad de calor |<2H| a Ia temperatura THmás alta. La 25. En una locomotora de vapor, entra a los cilindros vapor a
diferencia es el trabajo W que debe ser abastecido para una presión de caldera de 16.0 atm, se expande adiabática­
hacer funcionar al refrigerador, (a) Demuestre que mente a 5.60 veces su volumen original, y luego escapa a la
atmósfera. Calcule (a) la presión del vapor después de la
Th - T l expansión y (b) la mayor eficiencia posible de la máquina.
26. (a) Trace con precisión un ciclo de Carnot en un diagrama
m = i qa pV para un mol de un gas ideal. El puntoa (véase la Fig. 7)
corresponde a p - 1.00 atm, T = 300 K, y el punto
(b) El coeficiente de rendimiento K de un refrigerador se b corresponde a 0.500 atm, T = 300 K; considere que el
define como la razón del calor extraído de la fuente fría al depósito de baja temperatura está a 100 K. Sea y = 1.67.
trabajo necesario para hacer funcionar al refrigerador. (Jb) Calcule gráficamente el trabajo efectuado en este
Demuestre que, idealmente, ciclo, (c) Calcule el trabajo analíticamente.
27. Un mol de un gas monoatómico ideal se emplea como la
K— Z ^- sustancia en una máquina que opera según el ciclo mos­
trado en la figura 17. Calcule (a) el trabajo efectuado por
(c) En un refrigerador mecánico el serpentín de baja tem­ la máquina por ciclo, (b) el calor añadido por ciclo duran­
peratura está a una temperatura de -13°C y el gas compri­ te la carrera de expansión abe, y (c) la eficiencia de la
mido en el condensador tiene una temperatura de 25°C. máquina, (d) ¿Cuál es la eficiencia Carnot de una máquina
Halle el coeficiente teórico de rendimiento. que opera entre las temperaturas más alta y más baja
presentes en el ciclo? ¿Cómo se compara ésta con la
20. El motor de un refrigerador tiene una potencia de salida eficiencia calculada en (c)? Suponga que p, - 2p0, Vt =

de 210 W. El compartimiento de congelar está a -3.0°C y 2V0,p 0 = 1.01 x 105Pa, y V0 = 0.0225 m3.
el aire exterior está a 26°C. Suponiendo que la eficiencia
sea el 85% de la ideal, calcule la cantidad de calor que Sección 26-6 Entropía: procesos reversibles
puede ser extraído del compartimiento de congelar en
15 min. 28. En la figura 12c, supongamos que el cambio en la entropía
del sistema al pasar del estado a al estado b a lo largo de
21. Demuestre que la eficiencia de una máquina térmica re­
versible ideal se relaciona con el coeficiente de rendimien­ V'l.Pl
to del refrigerador reversible obtenido al hacer marchar el
motor en reversa según la relación e = 1f(K + 1). V0, Po

22. (a) En una máquina térmica de Carnot de dos tiempos, se Figura 17 Problema 27.

absorbe una cantidad de calor |@,| a una temperatura T„
se efectúa un trabajo ¡WJ, y se descarga una cantidad de
calor |(?2| a una temperatura más baja T2 durante el primer
tiempo. El segundo tiempo absorbe el calor cargado por
el primero, efectúa el trabajo |W2\, y descarga una cantidad
de calor |Q3| a la temperatura T}más baja. Demuestre que
la eficiencia de la combinación es (T¡ - T3)/T¡. (b) Una
combinación mercurio-turbina de vapor aspira vapor de
mercurio saturado de una caldera a 469°C y lo descarga
para calentar una caldera de vapor a 238°C. La turbina de
vapor recibe el vapor a esta temperatura y lo descarga a
un condensador a 37.8°C. Calcule la eficiencia máxima de
la combinación.

23. Una máquina de Carnot trabaja entre las temperaturas T{
y T2. Impulsa a un refrigerador de Carnot que trabaja entre
dos temperaturas diferentes T}y Tt (véase la Fig. 16). Halle
la razón |Q3|/|<?,| en términos de las cuatro temperaturas.

24. Un inventor pretende haber inventado cuatro máquinas,
cada una de las cuales opera entre depósitos de calor a 400
y 300 K. Los datos de cada máquina, por ciclo de opera­
ción, son como sigue: Máquina A: Qm = 200 J, Qai, =
-175 J, W = 40 J; máquina B. Qm= 500 J, QM = -200 J,
W - 400 J; máquina C: (?„ = 600 J, QM = -200 J, W =
400 J; máquina D: Qm= 100 J, = -90 J, W= 10 J. ¿Qué

la trayectoria 1 es +0.60 J/K. ¿Cuál es el cambio de la Problemas 657
entropía al pasar (a) del estado a al estado b a lo largo
36. Se hace que un mol de un gas monoatómico ideal recorra
de la trayectoria 2 y (b) del estado b al estado a a lo el ciclo mostrado en la figura 19. (a) ¿Cuánto trabajo se
largo de la trayectoria 2? efectúa sobre el gas al expandirlo de a a c a lo largo de la
trayectoria abe? (b) ¿Cuál es el cambio en la energía
29. Un gas ideal experimenta una expansión isotérmica rever­ interna y en la entropía al pasar de b a c? (c) ¿Cuál es el
sible a 132°C. La entropía del gas aumenta en 46.2 J/K. cambio en la energía interna y en la entropía al pasar por
¿Cuánto calor fue absorbido? un ciclo completo? Exprese todas las respuestas en térmi­
nos de la presión p0 y del volumen V0 en el punto a del
30. Se hace que cuatro moles de un gas ideal se expandan de diagrama.
un volumen V¡ a un volumen V2 = 3.45 V. (a) Si la expan­
sión es isotérmica a la temperatura T = 410 K, halle el p
trabajo efectuado sobre el gas al expandirse, (b) Halle
el cambio en la entropía, de haber alguno, (c) Si la expan­ JV_o____________4_VL0
sión fuese reversiblemente adiabática en lugar de isotér­
mica, ¿cuál es el cambio en la entropía? Figura 19 Problema 36.

31. (a) Demuestre que un ciclo de Carnot, graficado sobre Sección 26-7 Entropía: procesos irreversibles
un diagrama de temperatura versus contra entropía (TS), 37. Un gas ideal experimenta una expansión isotérmica a
es un rectángulo. Para el ciclo de Carnot mostrado en la
figura 18, calcule (b) el calor que entra y (c) el trabajo 77°C, aumentando su volumen de 1.3 a 3.4 L. El cambio
efectuado sobre el sistema. de entropía del gas es de 24 J/K. ¿Cuántos moles de gas
están presentes?
400 --- ---- 38. Suponga que se trasfiere la misma cantidad de energía
350 calorífica, digamos 260 J, por conducción de un depósito
300 0.2 0.4 0.6 térmico a una temperatura de 400 K a otro depósito, cuya
2 250 S (J/K) temperatura es (a) 100 K; (b) 200 K; (c) 300 K, y (d)
h 200 360 K. Calcule los cambios en la entropía y explique la
150 tendencia.
100 39. Una barra de latón está en contacto térmico con un depó­
50 sito de calor a 130°C en un extremo y un depósito de calor
a 24.0°C en el otro extremo, (a) Calcule el cambio total en
0 la entropía que surge del proceso de conducción de 1200 J
de calor a través de la barra, (b) ¿Cambia la entropía de la
0 barra durante el proceso?
40. Se hace que un mol de un gas diatómico ideal recorra
Figura 18 Problema 31. el ciclo mostrado en el diagrama pV de la figura 20 don­
de V2 = 3Vr Determine, en términos dep¡, 71,, y R: (a)
32. Halle (a) el calor absorbido y (b) el cambio en entropía de p2, p3, y T3 y (b) W, Q, AEul¡, y AS para los tres procesos.

un bloque de cobre de 1.22 kg cuya temperatura aumenta P

reversiblemente de 25.0 hasta 105°C. Figura 20 Problema 40.

33. A temperaturas muy bajas, el calor específico molar de
muchos sólidos es (aproximadamente) proporcional a T1;
es decir, Cv = A T \ donde A depende de la sustancia en

particular. Para el aluminio, A = 3.15 * 10‘5J/mol • K4.

Halle el cambio de entropía de 4.8 mol de aluminio cuando
su temperatura se eleva de 5.0 a 10 K.

34. Puede transferirse calor del agua a 0°C, a la presión
atmosférica, sin provocar que el agua se congele, si se ha­
ce con poca agitación del agua. Suponga que el agua se
enfría a -5.0°C antes de que el hielo comience a formarse.
Halle el cambio en entropía que ocurre durante la conge­

lación súbita de 1.0 g de agua que tiene lugar entonces.

35. Un objeto de capacidad calorífica constante C se calienta
de una temperatura inicial T¡a una temperatura final T¡al
ponerse en contacto con un depósito a Tt. Represente el
proceso en una gráfica de C/T contra T y demuestre
gráficamente que el cambio total AS en la entropía (objeto
+ depósito) es positivo y (b) demuestre cómo el uso de
depósitos a temperaturas intermedias permite que el pro­
ceso se lleve a cabo de una manera que haga a AS tan
pequeña como se desee.

658 Capítulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica

41. Un mol de un gas monoatómico ideal es llevado de un en la entropía del sistema de los dos bloques? (Véase la
estado inicial de presión pay volumen V0 a un estado final tabla 1en el capítulo 25.)
de presión 2p0 y volumen 2 V0 por dos procesos diferentes.
(I) Se expande isotérmicamente hasta que su volumen se 43. Una mezcla de 1.78 kg de agua y 262 g de hielo a 0°C se
duplica, y luego se aumenta su presión a volumen cons­ lleva, en un proceso reversible, a un estado final de equi­
tante hasta el estado final. ( II) Se le comprime isotérmica­
mente hasta que su presión se duplica, y luego se aumenta librio donde la relación agua/hielo, por masa, es de 1:1 a
su volumen a presión constante hasta el estado final.
Muestre la trayectoria de cada proceso en un diagramapV. 0°C. (a) Calcule el cambio de entropía del sistema durante
Calcule para cada proceso, en términos de p0 y de V0: el proceso, (b) El sistema es luego regresado al primer
(a) el calor absorbido por el gas en cada parte del proceso; estado de equilibrio, pero de un modo irreversible (hacien­
(b) el trabajo efectuado sobre el gas en cada parte del pro­ do uso de un quemador Bunsen, por ejemplo). Calcule el
ceso; (c) el cambio en la energía interna del gas, , - Em ; cambio de entropía del sistema durante este proceso, (c)
y (tí) el cambio en la entropía del gas, S, - Demuestre que su respuesta es consistente con la segunda
ley de la termodinámica.
Sección 26-8 Entropía y la segunda ley
44. En un experimento de calor específico se mezclan 196 g
42. Un bloque de cobre de 50.0 g que tiene una temperatura de aluminio a 107°C con 52.3 g de agua a 18.6°C. (a)
de 400 K se sitúa en una caja aislante con un bloque de Calcule la temperatura de equilibrio. Halle el cambio de
plomo de 100 g que tiene una temperatura de 200 K. (a) entropía de (b) el aluminio y (c) el agua. (d ) Calcule el
¿Cuál es la temperatura de equilibrio de este sistema de cambio de entropía del sistema. (Sugerencia: Véanse las
dos bloques? (b) ¿Cuál es el cambio en la energía interna Ec. 29 y 30).
del sistema de los dos bloques al cambiar de la condición
inicial a la condición de equilibrio? (c) ¿Cuál es el cambio 45. Un cubo de hielo de 12.6 g a -10.0°C se coloca en un lago
cuya temperatura es de +15.0°C. Calcule el cambio en la
entropía del sistema cuando el cubo de hielo llegue al
equilibrio térmico con el lago. (Sugerencia: ¿Afectará el
cubo de hielo la temperatura del lago?)

APENDICE A

EL SISTEMA
INTERNACIONAL
DE UNIDADES (SI)t

LAS UNIDADES SI BÁSICAS

Cantidad Nombre Símbolo Definición
longitud metro m
kg “ ...la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío en
masa kilogramo s 1/299,792,458 de segundo.”(1983)
“...este prototipo [un cilindro de platino-iridio] se considerará en lo
tiempo segundo A su cesivo com o la unidad de m asa.” (1889)
“ ...la duración de 9,192,6 3 1 ,7 7 0 periodos de la radiación
corriente eléctrica ampere K correspondiente a la transición entre los dos n iveles hiperfinos del
mol estado base del átomo cesio-133.” (1967)
temperatura termodinámica kelvin “ ...aquélla corriente constante que, si se mantiene en dos conductores
cantidad de sustancia mol cd paralelos rectos de longitud infinita, de sección transversal circular
despreciable, y situados a 1 metro de separación en el vacío,
intensidad luminosa candela produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2 x 10"7newton
por metro de longitud.” (1946)
“ ...la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto
triple del agua.” (1967)
“ ...la cantidad de sustancia de un sistem a que contenga tantas
entidades elementales com o átomos existen en 0.012 kilogramos de
carbono 12.” (1971)
“ ...la intensidad luminosa en la dirección perpendicular, de un área
de 1/600,000 metros cuadrados de un cuerpo negro a la temperatura
de congelación del platino a una presión de 101.325 newton por
metro cuadrado.” (1967)

' Adaptada de "T lie International System o f U n its (S I)", N ation al Bureau o f Standards Special P ublicatio n 330, edición de 1972 de Estados Unidos.
Las d e fin ic io n e s fu e ro n adoptadas p o r la C onferen cia G eneral de Pesas y M edidas, organism o in te rn a cio n a l, en las fechas m ostradas. E n este lib ro
no se usa la candela.

A-2 El sistema internacional de unidades (SI) Nombre de la unidad Símbolo Equivalente

ALGUNAS UNIDADES SI DERIVADAS metro cuadrado m2 s_l
metro cúbico m3
Cantidad hertz kg-m/s2
kilogramo por metro cúbico Hz N/m2
área metro por segundo
volumen radián por segundo kg/m3 N-m
frecuencia metro por segundo al cuadrado J/s
densidad de masa (densidad) radián por segundo al cuadrado m/s A-s
velocidad newton rad/s N-m/C
velocidad angular pascal N/C
aceleración joule m/s2 V/A
aceleración angular watt rad/s2 A-s/V
fuerza coulomb V-s
presión volt N V-s/A
trabajo, energía, cantidad de calor volt/metro Pa Wb/m2, N/A •m
potencia ohm J
cantidad de electricidad farad W
diferencia de potencial, fuerza electromotriz weber C
campo eléctrico henry V
resistencia eléctrica tesla V/m
capacitancia joule por kelvin Q
flujo magnético joule por kilogramo kelvin F
inductancia watt por metro kelvin Wb
campo magnético watt por esterradián H
entropía T
capacidad calorífica específica J/K
conductividad térmica J/(kg-K)
intensidad radiante
W/(m-K)
W/sr

LAS UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS Nombre de la unidad Símbolo

Cantidad radián rad
ángulo plano esterradián sr
ángulo sólido

APENDICE B

ALGUNAS
CONSTANTES FUNDAMENTALES

DE LA FÍSICA

Valor de Mejor valor(1986)
cálculo
Constante Símbolo ValorT Incertidumbre’
3.00 X 108 m /s
V elocidad de la luz en el vacío c 1.60 X 10“ 19C 2.99792458 exacto
Carga elemental e 9.11 X 10~31 kg 1.60217733
Masa del electrón en reposo me 8.85 X 10-12 F/m 9.1093897 0.30
Constante dieléctrica 1.26 X 10~6 H /m 8.85418781762 0.59
Constante de permeabilidad €o 1.25663706143 exacto
5.49 X 10~4 u exacto
Masa en reposo del electrón* Ho 1.0087 u
Masa en reposo del neutrón5 mt 1.0078 u 5.48579902 0.023
Masa en reposo del átomo de hidrógeno5 2.0141 u 1.008664904
Masa en reposo del átomo de deuterio5 mn 1.007825035 0.014
m (' H) 4.0026 u 2.014101779
Masa en reposo del átomo de helio5 m { 2H) 1.76 X 10" C/kg 0.011
Razón carga a masa del electrón 1.67 X 10“27 kg
Masa en reposo del protón m (4He) 1840 0.012
Razón de la masa protón a electrón e/m e 1.67 X 10“27 kg
Masa en reposo del neutrón mp 4.00260324 0.012
m jm t 1.88 X 10-28 kg 1.75881962 0.30
Masa en reposo del muón m„ 6.63 X 10~34 J -s 1.6726231 0.59
Constante de Planck 2.43 X 10-12 m 1836.152701 0.020
Longitud de onda Compton del electrón h 8.31 J /m o l-K 1.6749286 0.59
Constante universal de los gases 6.02 X 1023 m o r 1
Constante de Avogadro K 1.8835327 0.61
R 1.38 X 10“23 J/K 6.6260755 0.60
Constante de Boltzmann A'a 2.24 X 10~2 m 3/m ol 2.42631058 0.089
Volumen molar del gas ideal a STP1 9.65 X 104 C /m ol 8.314510 8.4
Constante de Faraday k 5.67 X 10-8 W /m 2-K 4 6.0221367 0.59
Constante de Stefan-Boltzmann Vm 1 .1 0 X 107 m - ’
Constante de Rydberg F 6.67 X 10~" m 3/s 2-kg 1.3806513 1.8
Constante gravitatoria a 2.2413992 1.7
5.29 X 10-" m 9.6485309 0.30
Radio de Bolir R 9.28 X 10“24 J /T 5.670399 6.8
Momento magnético del electrón 1.41 X 10~26 J/T 1.0973731571 0.00036
M omento magnético del protón G 9.27 X 10“24 J /T 6.67259 128
Magnetón de Bolir 5.05 X 10“27 J /T
Magnetón nuclear ao 5.29177249 0.045
1/137 9.2847700 0.34
Constante de la estructura fina Ut 2.07 X lO"15 Wb 1.41060761 0.34
Cuanto de flujo magnético Mp 25800 Q 9.2740154 0.34
Resistencia Hall cuantizada Ab 5.0507865 0.34
Mn
a 1/137.0359895 0.045
2.06783461 0.30
% 25812.8056 0.045

' M ism a unidad y potencia de diez que el va lo r de cálculo
* Partes po r m illó n
5 M asa dada en unidades u n ific a d a s de masa ató m ica, donde 1 u = 1.6605402 x 10'27 kg.
’ STP — tem peratura y presión estándar = 0°C y 1.0 bar. (Las siglas corresponden a sta n d a rd tem p erature a n d p re s s u re .)

¡TíTVTyiíin %.i

APENDICE C

ALGUNOS
DATOS

ASTRONÓMICOS

EL SOL, LA TIERRA, Y LA LU N A

Propiedad Sor Tierra Luna

Masa (kg) 1.99 X 10» 5.98 X 1024 7.36 X 1022
Radio m edio (m) 6.96 X 108 6.37 X 106 1.74 X 106
Densidad media (kg/m 3) 1410 5520 3340
Gravedad en la superficie (m /s2) 274 9.81 1.67
Velocidad de escape (km/s) 618 11.2 2.38
Periodo de rotación8 (d) 26-37* 0.997 27.3
Radio orbital m edio (km) 2.6 X 1 0 '71 1.50 X 108* 3.82 X IO5'1
Periodo orbital 2.4 X 108 y 1 1.00 y* 27.3 d 11

f E l Sol irra d ia energía a razón de 3.90 x 102<i W ; la energía so la rse recibe a razón de 1380 W /m 2ju s to
afuera de la atm ósfera de la T ie rra, suponiendo una incidencia norm al.
* E l Sol, una bola de gas, no gira com o un cuerpo rígido. Su periodo ro tatorio varía entre 26 d en el
ecuador y 37 d en los polos.
5 M e dido respecto a las estrellas distantes.
I Con respecto al centro de la galaxia.
* Con respecto al Sol.
II Con respecto a la Tie rra.

A LG UNAS PROPIEDADES DE LOS PLANETAS

Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
228 778 1,430 2,870
Distancia media desde el Sol 57.9 108 150 4,500 5,900
( 1 0 ' ' km) 29.5 84.0
0.426 0.451*
Periodo de revolución (años) 0.241 0.615 1.00 1.88 11.9 9.64 6.81 165 248
1.03 0.409 26.7° 82.1° 0.658 6.39
Periodo de rotación' (días) 58.7 243* 0.997 24.1 13.1 5.43 4.74
24.0° 3.08° 2.49° 0.77° 28.8° 65°
Velocidad orbital (km/s) 47.9 35.0 29.8

Inclinación del eje respecto a OO 2.6° 23.5°
la órbita O

Inclinación de la órbita 7.00° 3.39° 1.85° 1.30° 1.77° 17.2°
respecto a la órbita de la
Tierra

Excentricidad de la órbita 0.206 0.0068 0.0167 0.0934 0.0485 0.0556 0.0472 0.0086 0.250
6,790 143,000 120,000 51,800 49,500 3,400
Diámetro ecuatorial (km) 4,880 12,100 12,800 0.107 318 95.1 14.5 17.2 0.002
3.95 1.31 0.704 * 1.21 1.67 0.5(?)
Masa (Tierra = 1) 0.0558 0.815 1.000 3.72 22.9 9.05 7.77 11.0 0.03

Densidad promedio (g/cm 3) 5.60 5.20 5.52

Gravedad en la superficie* 3.78 8.60 9.78
(m /s2)

Velocidad de escape (km/s) 4.3 10.3 11.2 5.0 59.5 35.6 21.2 23.6 1.3
2 16 + anillos 19 + anillos 15 + anillos 8 + anillos 1
Satélites conocidos 0 01

f M e dido con respecto a las estrellas distantes.
* E l sen tido de ro ta c ió n es opuesto al del m o v im ie n to orb ita l.
5 M e dida en el ecuador del planeta.

APENDICE D

PROPIEDADES
DE LOS

ELEMENTOS

Elem ento Sím bolo Núm ero Masa D ensidad Punto de Punto de C alo r espec,
atóm ico m olar (g/cm 3) fu sió n e b u llic ió n
Actinio Ac (g/m ol) a 20°C (°C) (j/g ■c°:
A lu m in io Al Z (°C)
A m ericio Am (227) - 1050 a 25°C
A n tim onio Sb 89 26.9815 660 3200
Argón Ar 13 2.699 994 ^ <67 0.092
Arsénico As 95 (243) 13.7 630.5 2607 0.900
Astato At 51 121.75 6.69 -189.2 1750
Azufre S 18 817 (28 at.) -185.7 -
Bario Ba 33 39.948 1.6626 x IO’’ 302
Berilio Be 85 74.9216 5.72 112.8 613 0.205
Berkelio Bk 16 (210) 725 337 0.523
B ism u to Bi 56 32.066 - 444.6 0.331
Boro B 4 137.33 12.78 1640
Bromo Br 97 2.07 2970 -
Cadmio Cd 83 9.0122 3.5 -
Calcio Ca 5 (247) 1.848 - 0.707
Californio Cf 35 208.980 271.3 0.205
Carbono C 48 - 20.79 1560 1.83
Cerio Ce 20 10.811 -7.2 2550
C esio Cs 98 79.909 9.75 -
Cinc Zn 6 112.41 2.34 320.9 58 0.122
Cloro C1 58 40.08 3.12(líquido) 839 765 1.11
Cobalto Co 55 (251) 8.65 1484 0.293
Cobre Cu 30 12.011 1.55 - 0.226
Criptón Kr 17 140.12 - 0.624
Cromo Cr 27 132.905 - 3550
Curio Cm 29 65.37 798 - -
Disprosio Dy 36 35.453 2.25 28.40 0.691
Einstenio Es 24 58.9332 6.768 419.58 3443 0.188
Erbio Er 96 63.54 1.873 6.69 0.243
Escandio Se 66 83.80 7.133 -101 0.389
Estaño Sn 99 51.996 3.214 x 10'3 (0°C) 1495 907 0.486
Estroncio Sr 68 (247) 8.85 1083.4 -34.6 0.423
Europio Eu 21 162.50 8.96 -156.6 2870 0.385
Fermio Fm 50 (252) 3.488 x 10 3 1857 2567 0.247
Flúor F 38 167.26 7.19 1340 -152.3 0.448
Fósforo P 63 44.956 - 1412 2672
Francio Fr 100 118.71 8.55 -
Gadolinio Gd 9 87.62 - - 0.172
Galio Ga 15 151.96 - 2567
Germanio Ge 87 (257) 1529 -
Hafnio Hf 64 18.9984 9.07 1541 - 0.167
Helio He 31 30.9738 2.99 231.97 0.569
Hidrógeno H 32 (223) 7.31 769 2868 0.226
Hierro Fe 72 157.25 2.54 822 2836 0.737
Holmio Ho 2 69.72 5.245 2270 0.163
72.61 - 1384
1 178.49 - -219.6 1527 -
26 4.0026 1.696 x 10° (0°C)
67 1.83 44.25 - 0.753
1.00797 (27) -188.2 0.741
55.847 - 1313
164.930 29.78 280 -
7.90 937.4 (677)
5.907 2227 3273 0.234
5.323 -272.2 2403 0.377
13.31 -259.34 2830 0.322
0.1664 x 10~3 1535 4602 0.144
0.08375 x 10'3 1474 -268.9 5.23
7.87 -252.87 14.4
8.79 2750 0.447
2700 0.165

A-6 Propiedades de los elementos

Elemento Símbolo Número Masa Densidad Punto de Punto de Calor especifico
atómico molar (g/cm3) fusión ebullición (J/g •C°)
Indio ln (g/mol) a 20°C a 25°C
Iridio Ir Z (°C) (°C)
Iterbio Yb 114.82 7.31 0.233
Itrio Y 49 192.2 22.5 156.6 2080 0.130
Lantano La 77 173.04 6.966 2410 4130 0.155
Laurencio Lr 70 88.905 4.469 819 1196 0.297
Litio Li 39 138.91 6.145 1552 5338 0.195
Lutecio Lu 57 (260) 918 3464
Magnesio Mg 103 - -
Manganeso Mn 3 6.939 - -
Mendelevio Md 71 174.97 0.534 3.58
Mercurio 24.305 9.84 180.54 1342 0.155
Molibdeno Hg 12 54.9380 1.74 1663 3402 1.03
Neodimio Mo (258) 7.43 649 1090 0.481
Neón Nd 25 1244 1962
Neptunio Ne 200.59 - -
Niobio Np 101 95.94 - -
Níquel Nb 144.24 13.55 0.138
Nitrógeno Ni 80 20.180 -38.87 357 0.251
Nobelio N 42 (237) 10.22 2617 4612 0.188
Oro No 60 92.906 3074 1.03
Osmio Au 58.69 7.00 1021 -246.0 1.26
Os 10 14.0067 3902 0.264
Oxígeno (259) 0.8387 x 10‘3 -248.67 4742 0.444
Paladio O 93 196.967 640 2732 1.03
Plata Pd 41 190.2 20.25 2468 -195.8
Platino 28 15.9994 8.57 1453 -
Plomo Ag 106.4 8.902 -
Plutonio Pt 7 107.68 -210 0.131
Polonio Pb 195.09 1.1649 x io 3 2808 0.130
Potasio Pu 102 207.19 - 5027 0.913
Praseodimio Po (244) - -183.0 0.243
Promecio K 79 (209) 1064.43 3140 0.234
Protactinio Pr 76 39.098 19.32 3045 0.134
Radio Pm 140.907 22.57 -218.4 2212 0.129
Radón Pa 8 (145) 1554 0.130
Renio Ra (231) 1.3318 x lO'3 961.9 3827
Rodio Rn 46 (226) 12.02 1772 1740 -
Rubidio Re 47 327.50 3232
Rutenio Rh 78 (222) 10.49 641 962 0.758
Samario Rb 82 21.45 254 760 0.197
Ru 94 186.2 11.36 3520
Selenio Sm 84 102.905 19.84 63.25 (3000) -
Silicio Se 19 85.47 9.24 931
Sodio Si 59 101.107 1042 - -
Talio Na 61 150.35 0.86 1600
Tantalio Tl 91 78.96 700 1140 -
Tecnecio Ta 28.086 6.773 -71 -61.8
Telurio Tc 88 22.9898 7.264 3180 5627 0.092
Terbio Te 204.38 1965 3727 0.134
Titanio Tb 86 180.948 - 38.89 686 0.243
Torio Ti 2310 3900 0.364
Tulio Th 75 (9 8 ) 5.0 1074 1794 0.239
Tungsteno Tm 45 217 685 0.197
Uranio W 37 127.60 9.96 x 10 3(0°C) 1410 2355 0.318
Vanadio 158.924 97.81 882.9 0.712
Xenón U 44 4788 21.04 304 1457 1.23
Yodo V 62 12.44 2996 5425 0.130
Zirconio Xe 34 (232) 1.53 4877 0.138
I 14 12.2 2172 990 0.209
Zr 168.934 7.49 3230 0.201
11 183.85 4.79 449.5 3287
2.33 1357 (3850) 0 .1 8 0
81 (238) 0.9712 1660 1950
73 11.85 1750 5660 0.523
43 50.942 1545 0.117
131.30 1 6 .6 3410 3818 0.159
52 126.9044 0.134
91.22 11.46 1132 3380 0.117
65 6.24 -108 0.490
1890 184.35 0.159
22 8.2 5 -111.79 4377 0.218
90 0.276
69 4.54 113.5
74 1852
11.72
92
9.31
23 19.3
19.07
54
53 6.1
40 ' 35 . 4 9 5 x l O

4.94
6.506

Los valores entre paréntesis en la colum na de masas atóm icas son los núm eros de masa de los isótopos más estables de los elem entos que son
radiactivos. Los puntos de fusión y de e b u llició n entre paréntesis son inciertos. Todas las propiedades físicas están dadas para una presión de una
atm ósfera a menos que se indique lo contrario. Los datos para los gases son válidos únicam ente cuando están en su estado m o le cular usual, tal com o
H 2, H e, 0 2, N e, etc. L o s calores esp ecíficos de los gases son los valores a presión constante. Fu e n te : H a n d b o o k o f C h e m istry a n d P h y s ic s , e d ic ió n
m ím . 71 (C R C Press, 1990).

APÉNDICE E

TABLA PERIÓDICA
DE LOS

ELEMENTOS

METALES GASES
ALCALINOS NOBLES
(incluyendo
al hidrógeno)

11 2

u He

34 56 7 9 10
L i Be
B c N O F Ne
i l 12
13 14 15 16 r17 18
Na Mg Al Si P s C1 Ar

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

K Ca Se Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe

56 Í7 i 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86

C s Ba H f Ta w Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn

87 89-103 104 105 106 107 108 109 I
Rf* Ha* ** ** ** **
Fr Ra J

57 ss 59 60 61 62 [ 63 64 65 66 | 67 68 69 j 70 7Jy
o Pr Nri pyn
Serie de los lantánidos

89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103

Serie de los actínidos Ac Th Pa u Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md N o Lr

* Los nombres de estos elementos (Ruterfordio y Hahnio) no han sido ** Se ha reportado el descubrimiento de estos elementos, pero no tienen
aceptados debido a la controversia por el crédito a sus descubridores. un nombre universalmente adoptado todavía.
Un grupo de la antes Unión Soviética ha propuesto los nombres de
Kurchatovio y Neilsbohrio.

APENDICE F

■ . •. ■ ■-.-'VX'-í^^ifiBii

PARTÍCULAS
ELEMENTALES

1. L A S P A R T ÍC U L A S F U N D A M E N T A L E S
LEPTONES

Partícula Símbolo Anti­ Carga Espín Energía Vida Productos
partícula (e) (h/2n) de reposo media típicos de la
Electrón e~ desintegración
Neutrino del electrón e+ -1 1/2 (M eV ) (s)
Muón Ve 0 1/2 e~ + ve + v„
Neutrino del muón vc 1/2 0.511 00
Tau fi~ -1 1/2 < 0 .0 0 0 0 2 /i” + v„ + vt
Neutrino tan vn vn 0 1/2 105.7 00
1/2 < 0 .3
T T+ -1 1784 2.2 X 10~6
0 <40
vt 00

3.0 X 10~'3

00

QUARKS Símbolo Antipartícula Carga Espín Energía de reposof O/ra
(e) (h/2 n) propiedad
Sabor* u u (M eV )
d d + 2/3 1/2
Arriba c c -1 /3 1/2 300 C= S = T= B = 0
Abajo s s + 2/3 1/2 300 C= S = T=B = 0
Encanto t t -1 /3 1/2 1500
Extraño b b + 2/3 1/2 500 Encantamiento (C) = + 1
Cima* -1 /3 1/2 > 4 0 ,0 0 0 Extrañeza (5 ) = —1
Fondo 4700
Encumbramiento (7 j = + 1

Profundidad (fi) = — 1

PARTICULAS D E CAM PO

Partícula Símbolo Interacción Carga Espín Energía en reposo
(e) (h/2 n)
Gravitón’ W+, W Gravedad (GeV)
Bosón débil Z° Débil 0 2
Bosón débil y Débil ±1 0
Fotón g E lectr o m a g n ética 1 80.6
Gluón Fuerte (color) 0 1 91.2
0 1
0 1 0
0

Apéndice F A-9

2. ALGUNAS PARTÍCULAS COMPUESTAS

BARIONES

Partícula Símbolo Contenido Anti­ Carga Espín Energía Vida Desintegración
de quarks partícula (*) (h/2 n) en reposo media típica
Protón P
Neutrón n uud P +1 1/2 (MeV) (s) n° + e+ (?)
Lambda A° udd n 0 1/2 p + e_ + ve
Omega n- uds A° 0 1/2 938 > 1040 p + n~
Delta A++ sss 940 A° + K-
Lambda encantada A? uuu £2" -1 3/2 1116 889 P + 7t+
udc +2 3/2 1673 A° + n+
A++ +1 1232 2.6 X IO"10
A? 1/2 2285
8.2 X 10-“

5.7 X 10“24
1.9 X IO"13

MESONES Símbolo Contenido Anti­ Carga Espín Energía Vida Desintegración
de quarks partícula (h/2 n) en reposo media típica
Partícula 7C+ (e)
7T° lid 7t~ 0 (MeV) (s) 7+ 7
Pión K+ uü + dd +1 0 fi++ vM
Pión K° US 7T° 0 0 140 2.6 X 10“8
Kaón K~ 0 135 8.4 X IO"17 7l+ + 7t
Kaón P+ ds. K° +1 1 494 1.2 X 10-8
Rlio D+ ud 0 0 498 0.9 X 10“10 n++ n~
Mesón-D cd P~ 1 768 4.5 X IO"24 K- + 7T++ 7l+
Psi ¥ c5 D~ +1 0 1869 1.1 x io-'2 e+ + e“
Mesón-B B+ ub V +1 1 3097 1.0 X 10'20 D“ + n++ n+
Ipsilon Y bb B~ 5278 1.2 X 10-12 e++ e_
Y 0 9460 1.3 X IO"20
+1

0

f Las energías en reposo listadas para los quarks no son las asociadas con los quarks lib re s; puesto que todavía no ha sido observado nin g ú n quark
lib re , no ha sid o posible la m e dición de sus energías en reposo en el estado libre . Lo s valores tabulados son energías en reposo efectivas
correspondientes a quarks constituyentes, aquellos ligados en partículas compuestas.
* Se cree que existen las partículas pero todavía no han sido observadas.
Fuente: “ R eview o f P article Properties” , P h y sic s Letters B, vol. 239 (a bril de 1990).

APÉNDICE G

0 ____

FACTORES
DE CONVERSIÓN

i-'Os iactores ae conversión pueden leerse directamente Las cantidades SI están en letras mayúsculas. Parcialmen-
te adaptado de G. Shortley y D. Williams, Elements o f
de las tablas. Por ejemplo, 1 grado = 2.778 x 10'3revo- Physics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1971.
luciones, de modo que 16.7° = 16.7 * 2.778 x 10 3rev.

ÁNGULO PLANO ° / f/ RADIAN rev
1 2.778 X 10~3
1grado = 1.667 X 10"2 60 3600 1.745 X lO”2 4.630 X 10"5
1minuto = 2.778 X 10-4 1 60 2.909 X 10-4 7.716 X 10~7
1segundo = 57.30 1.667 X 10~2 1 4.848 X 10“6 0.1592
1 RADIAN = 360 3438 2.063 X 105 1 1
1revolución = 2.16 X 10" 1.296 X 106 6.283

ÁNGULO SÓLIDO
1 esfera = 4ttesterradianes = 12.57 esterradianes

LONGITUD

cm METRO km in ft mi
6.214 X 10"6
1 centímetro = 1 10-2 10-5 0.3937 3.281 X 10-2
100 6.214 X lO”4
1 METRO = 1 io-3 39.37 3.281
0.6214
1 kilómetro = 105 1000 1 3.937 X 104 3281 1.578 X 10~5
1.894 X 10“4
1 pulgada = 2.540 2.540 X 10-2 2.540 X 10"5 1 8.333 X 10"2 1

1 pie = 30.48 0.3048 3.048 X 10-4 12 1

1 milla = 1.609 X 105 1609 1.609 6.336 X 104 5280
i yarda = 3 ft
1 angstróm = lO"10m 1 año-luz = 9.460 x 1012km 1 rod = 16.5 ft
1 milla náutica = 1852 m 1 parsec = 3.084 x 1013km 1 mil = 10° in
1 fathom = 6 ft liun-lO^m
= 1.151 millas = 6076 ft 1 radio de Bohr = 5.292 x 10"“ m
1 fermi = 10"15m

ÁREA

METRO2 cm 2 ft2 in 2
1550
I METRO CUADRADO = 1 104 10.76 0.1550
144
1 centímetro cuadrado - 10-4 1 1.076 X 10-3 1

1 pie cuadrado = 9.290 X 10-2 929.0 1

1 pulgada cuadrada = 6.452 X 10-4 6.452 6.944 X 10-3

1 milla cuadrada = 2.788 x 107ft2 = 640 acres 1 acre = 43,560 ft2
1 bamio = 10 28m 1 hectárea = 104 m2 = 2.471 acres

Apéndice G A - ll

VOLUMEN METRO3 cm3 L ft3 in3

1 METRO CÚBICO = 1 106 1000 35.31 6.102 X 104
IO '6 1 1.000 X 10-3 3.531 X 10~3 6.102 X 10"2
1 centímetro cúbico = 1.000 X IO '3 1000 1 3.531 X 10^2 61.02
1 litro = 2.832 X 10“ 2 2.832 X 104 28.32 1 1728
1 pie cúbico = 1.639 X 10-5 16.39 1.639 X 10-2 5.787 X 10-“
1 pulgada cúbica = 1

1 galón flu id o U.S. = 4 cuartos flu id o s U.S. = 8 pintas U .S. = 128 onzas fluida s U .S. - 231 in 3
1 galón im p e ria l b ritá n ic o = 277.4 in 3 = 1.201 galones flu id o s U.S.

MASA g KILOGRAMO slug u oz Ib ton

1 gramo = 1 0.001 6.852 X 10"5 6.022 X 1023 3.527 X 10~2 2.205 X 1Q~3 1.102 X 10-6

1 KILOGRAMO = 1000 1 6.852 X 10- 2 6.022 X 1026 35.27 2.205 1.102 X 10~3

1 slug = 1.459 X 10“ 14.59 1 8.786 X 1027 514.8 32.17 1.609 X IO"2

1u= 1.661 X 10~24 1.661 X 10~27 1.138 X 10”28 1 5.857 X IO"26 3.662 X 10~27 1.830 X IO"30

1 onza ~ 28.35 2.835 X 10~2 1.943 X 10"3 1.718 X 1025 1 6.250 X 10“2 3.125 X 10~5

1 libra - 453.6 0.4536 3.108 X 10-2 2.732 X 1026 16 1 0.0005

1 ton - 9.072 X 105 907.2 62.16 5.463 X 1029 3.2 X 10“ 2000 I

1 tonelada m étrica = 1000 kg
Las cantidades en las zonas som breadas no son unidades de masa pero se usan a m enudo co m o tales. P or
e je m p lo , cua ndo e sc rib im o s 1 k g “ = ” 2.205 Ib s ig n ific a que un k ilo g ra m o es una masa que pesa 2.205 lib ra s
en co n d ic io n e s de gravedad estándar (g = 9.80665 m /s2).

DENSIDAD slug/ft3 KILOGRAMO/METRO3 g/cm3 lb/ft/ lb/in 3
1 32.17 1.862 X i<r2
1 slug por ft3= 1.940 X 10~3 515.4 0.5154 3.613 X10~5
1KILOGRAMO por METRO3= 6.243 X IO' 2 3.613 X IO"2
1 gramo por cm3= 1.940 1 0.001 5.787 X 10-4
1 libra por ft3= 62.43 1
1 libra por in3- 3.108 X 10~2 1000 1
1
53.71 16.02 1.602 X 10~2
1728
2.768 X 104 27.68

Las cantidades en las zonas sombreadas son densidades de peso y, com o tales, son dim ensionalm ente
diferentes a las densidades de masa. Véase la nota en la tabla de masas.

TIEMPO

y d h min SEGUNDO

1 año = i 365.25 8.766 X 103 5.259 X 105 3.156 X 107
8.640 X 104
1 día = 2.738 X IO"3 1 24 1440
4.167 X 10~2 3600
1 hora = 1.141 X 10^4 6.944 X 10“4 1 60
1.667 X 10~2 60
1 minuto = 1.901 X 10~6 1.157 X 10-5 2.778 X 10”4 1
1.667 X 10"2 1
1 SEGUNDO = 3.169 X IO"8

A-12 Factores de conversión

VELOCIDAD

ft/s km/h METROS/SEGUNDO mi/h cm/s

1 pie por segundo = 1 1.097 0.3048 0.6818 30.48

1 kilómetro por hora = 0.9113 1 0.2778 0.6214 27.78

1 METRO por SEGUNDO = 3.281 3.6 1 2.237 100

1 milla por hora = 1.467 1.609 0.4470 1 44.70

1 centímetro por segundo = 3.281 X 10-2 3.6 X lO”2 0.01 2.237 X lO”2 1

1 nudo = 1 milla náutica por hora 1.688 ft/s 1 m i/m in = 88.00 ft/s = 60.00 m i/h

FUERZA dina NEWTON Ib pdl gf kgf
7.233 X 10~s
1 dina = 1 io- 5 2.248 X 10-6 7.233 1.020 X 10-3 1.020 X 10~*
105 1 32.17 102.0
1 NEWTON- 4.448 X 105 0.2248 0.1020
1.383 X 104 4.448 1 453.6
1 libra = 1 7.093 X 10~2 0.4536
1 poundal* ** 980.7 0.1383 3.108 X 10~2 14.10
1 gramo-fuerza - 2.205 X 10~3 70.93 1.410 X 10"2
1 kilogramo-fuerza - 9.807 X 105 9.807 X 10~3 1 0.001
2.205 1000
9.807 I

*(U n id a d absoluta de fuerza)
Las cantidades en la zonas sombreadas no son unidades de fuerza pero a m enudo se usan com o tales. P or ejem plo,
si escribim os 1 gram o-fuerza “ =” 980.7 dinas, querem os de cir que un gramo-masa experim enta una fuerza de 980.7
dinas en co n d icio n e s de gravedad estándar (g = 9.80665 m /s2)

ENERGÍA, TRABAJO, CALOR

Btu erg ft •Ib hp-h JOULE cal kW-h eV MeV kg u
1.055 1.174 7.070
1 unidad térmica 1 777.9 3.929 1055 252.0 2.930 6.585 6.585
X 1010 X 10-M X 1012
británica = 9.481 1 7.376 X lO”4 2.389 x 10-4 X 1021 X 1015
X io-“ 3.725 lO' 7 1.113 670.2
1 erg = 1.285 1.356 X 10~8 X 10“14 X 10“8 2.778 6.242 6.242
1 x io- 14 X 10" X lO"24
1 libra-pie = X 10~3 X 107 5.051 1.356 0.3238 X 105
1.980 3.766 8.464 1.509 9.037
1 caballo de fuerza- 2545 2.685 X 10~7 6.413 8.464
X 106 1 2.685 X 10~7 X 1018 X 10~17 X 109
hora = X 1013 X 105 X 1012
X 106 0.7457 1.676 2.988 1.799
1.676
X 1025 X 10"n X 1016
X 1019
1.113 6.702
1JOULE = 9.481 107 0.7376 3.725 1 0.2389 2.778 6.242 6.242
X 10“7 X 10~17 X 109
1 caloría = X 10“4 4.186 X 10~7 X 1018 X 1012
4.660 2.806
3.969 X 107 3.088 1.560 4.186 1 1.163 2.613 2.613
X 10-6 X lO"17 X lO10
X 10-3 X 10~6 X 1019 X 1013
4.007 2.413
1 kilowatt-hora = 3413 3.6 2.655 1.341 3.6 8.600 1 2.247 2.247
X 106 X 106 X 105 X lO- " X 1016
1 electrónvolt = X 1013 X 1025 X 1019
1.783 1.074
1 millón de 1.519 1.602 1.182 5.967 1.602 3.827 4.450 1 10“6 X 10““ X lO”"
X 10~19 X 10“26 X 10-19 X 10~20 X 10~26 1.783 1.074
electronvolts = X 10“22 X 10-12
1.182 5.967 1.602 3.827 4.450 106 1 X 10-30 X 10-3
1.519 1.602 X 10' 13 X 10~ 20 X 10~‘3 X 1014 X I0~2n 1

X lO”'6 X 10"6 1.661 1
X lO”27
1 kilogramo = 8.521 8.987 6.629 3.348 8.987 2.146 2.497 5.610 5.610 o^
'<S X
X 10‘3 X 1023 X 1016 X 1010 X 1016 X 10“ X 1010 X 1035 X 1029

1 unidad unificada 1.415 1.492 1.101 5.559 1.492 3.564 4.146 9.32 932.0
de masa atómica = X 10~13 X 10“3 X lO"10 x io-*7 x io-‘° X lO-11 X 10~17 X 10*

Las cantidades en las zonas som breadas no son unidades de energía propiam ente pero se in c lu y e n p o r con veniencia.
P rovien en de la fó rm u la de eq u iva le n cia masa-energía re la tiv is ta E = m c2 y representan la energía e q uivalen te de
una masa de un kilog ra m o o una unidad unificada de masa atóm ica (u).

Apéndice G A-13

PRESIÓN

atm dina/cm2 in de agua cm Hg PASCAL lb/in 2 lb/ft2

1 atmósfera = 1 1.013 X 106 406.8 76 1.013 X 105 14.70 2116

1 dina por cm2= 9.869 X 1(T7 1 4.015 X 10“4 7.501 X IO"5 0.1 1.405 X 10-5 2.089 X IO"3

1 in de aguar a 4°C = 2.458 X IO-3 2491 1 0.1868 249.1 3.613 X ÍO-2^ 5.202

1 centímetro de mercurioT 1.316 X 10~2 1.333 X 104 5.353 1 1333 0.1934 27.85

a 0°C =

1PASCAL = 9.869 X 10~6 10 4.015 X 10“3 7.501 X IO"4 1 1.450 X 10-4 2.089 X IO"2

1 libra por in2= 6.805 X IO"2 6.895 X 104 27.68 5.171 6.895 X 103 1 144

1 libra por ft2= 4.725 X 10~4 478.8 0.1922 3.591 X 10“2 47.88 6.944 X 10“3 1

* E n donde la ace le ració n de la gravedad tien e el v a lo r estandar 9.80665 m /s2.

1 ba r = IO6 d in a s /c m 2 = 0.1 M P a 1 m ilib a r = 103 din a s/cm 2 = 102 Pa 1 torr = 1 m ilím e tro de m ercurio

POTENCIA Btu/h ft-lb/s hp cal/s kW WATT
0.2161 0.2930
1 unidad térmica británica por hora = 1 3.929 X 10“4 6.998 X IO"2 2.930 X 10- 4 1.356
1 libra-pie por segundo = 1 1.818 X 10-3 1.356 X IO"3 745.7
1 caballo de fuerza = 4.628 1 0.3239
1 caloría por segundo = 2545 550 5.615 X 10~3 0.7457 4.186
14.29 3.088 178.1
1 kilowatt 3413 737.6 1.341 4.186 X 10“3 1000
3.413 0.7376 1 1 1
: WATT = 1.341 X IO"3 0.001
238.9
0.2389

FLUJO MAGNÉTICO

maxwell WEBER

1 maxwell = 1 10 ~ 8
1
1WEBER = 108

CAMPO MAGNÉTICO

gauss TESLA milligauss

1 gauss 1 10'4 1000
1 107
! TESLA = 104 10-7 1

1 milligauss = 0.001

1 tesla = 1 weber/metro2

APÉNDICE H

FÓRMULAS
MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA SIGNOS Y SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

Círculo de radio r: circunferencia = 2kr; área = nr2. = igual a
Esfera de radio r: área = Anr1-, volumen = jw 3. - aproximadamente igual a
Cilindro circular recto de radio r y altura h: área = ~ es del orden de magnitud de
* no es igual a
2 nr2 +2 nrh; volumen = nr2h. s es idéntico a, se define como
> es mayor que ( » es mucho mayor que)
Triángulo de base a y altura h: área = \ah. < es menor que ( « es mucho menor que)
> es mayor que o igual a (o, no es menor que)
FORMULA CUADRÁTICA < es menor que o igual a (o, no es mayor que)

Si ax2 + bx +c = 0, entonces x = —b ± V¿>2—4ac ± más o menos (\Í4 = ± 2)
2a
es proporcional a
E la suma de
x el valor promedio de x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO 6

sen 9 = -y eos 0 = x- eje y PRODUCTOS DE VECTORES
r r
Sean i, j, k vectores unitarios en las direcciones x, y, z. Entonces
tan 6 = —x cot i
sec 9 = —xT ese 9 = —yT i-i = j-j = k-k = 1, i-j = j-k = k-i = 0,

TEOREMA DE PITAGORAS i x i = j x j = k x k = 0,

a2 + b2 = c2 i x j = k, j x k = i, k x i = j .
Cualquier vector a con componentes a,, ay, aza lo largo de los
ejes x, y, z puede escribirse

a = ax\ + a vj + a, k.
Sean a, b, c vectores arbitrarios con magnitudes a, b, c.
Entonces

a X (b + c) = (a X b) + (a X c)

(sa) X b = a X ( j b ) = í( a X b ) (s = un escalar).
Sea 0el más pequeño de los dos ángulos entre a y b. Entonces

a - b = b - a = axbr + a j ) v + a,b, = ab eos 6

TRIANGULOS a X b = —b X a = •j k

Ángulos A, B, C ax ay a,
Lados opuestos a, b, c
A + B + C = 180° by b v b ,
sen A _ sen B _ sen C
(ayb2- byaz)i + (azbx - bzax)j + (axby - bxay)k
abe
c2 —a2 + b2 —lab eos C |a X b| = ab sen 6

a •(b X c) = b •(c X a) = c •(a X b)

a X (b X c) = (a ■c)b — (a • b)c

Apéndice H A-15

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

sen(90° - 0) = eos 0 DESARROLLO EXPONENCIAL

cos(90° - 0) = sen 6 ^ = 1+ X + 2! + Í í +
DESARROLLO LOGARÍTMICO
sen 0/cos 0= tan 0
sen20+ eos26 = 1 sec20- tan26 = 1 ese2 6 - cot28 = 1 ln (1 + x) = x —%x2 + ^x3— • • • (|x| < 1)
sen 20=2 sen 0 eos 0
eos 20 = eos20 - sen20=2 eos20- 1 = 1 - 2 sen20

sen(a ± fi) = sen a eos p ± eos a sen p

eos(a ± /5) = eos a eos /3± sen a sen /3

tan(, a ±. ./?.) = tan a ± tan B DESARROLLOS TRIGONOMÉTRICOS ( 6 en radianes)

1 + tan a tan ¡i

sen a ± sen p =2 sen Ha ± p) eos Ha ± P)

sen 0= 0- -03 + _05- .

TEOREMA DEL BINOMIO A , .C O S 0 = 1 - 6-2 + -0 4 - .
(1±JC)*= 1 ± H + z f c ^ + . (*2< n
03 205
' (x2< 1)
tan 0=0 + ^3- + 41v5 +

DERIVADAS E INTEGRALES

En lo que sigue, las letras u y v son válidas para cualquier función de X, y a y m son constantes.
A cada una de las integrales indefinidas deberá añadírsele una constante de integración arbitraria.
El Handbook of Chemistry and Physics (CRC Press Inc.) proporciona una tabulación más extensa.

1- xax - 1 1. dx = x

d, x du 2. audx =- aa fí uu dx
2■
= j J3. (w+ v)dx udx+ v dx
3. * ( „ + „ * + *
dx dx dx 4. x mdx = m + 1 (m ¥= -1)

4. -d^x-xm= rnxm~' 5. dx = ln|x|
<5. —ddx l. n x = x-1
6. If u —dv a,x = uv— [1 dv —u^ a x
6, . -ddrx (uv) = u -ddrvx + v -ddjux-
7. ex dx = ex
— d7 e x = g x
dx 8. sen x dx = —eos x

sen x = eos x 9. eos x d x = sen x
dx
10. tan x dx = ln |sec x|
9. -drx eos x ——sen x
11. sen2x d x = \ x ~ i sen 2x
10. -d7x- tan x —sec2 x

11. -dvx- c o t x = —c se 2 x 12. dx ——a e “

12. ■d“x sec x = tan x sec x

13. -d4x- c s c x = —co t x ese x 13. xe ^ dx = — ; {ax + l)e_“
a1

14. dx 1Ql 14. x 2e~axdx = —a7r (a2x 2 + 2ax + 2)e“

dx «!
15. x ne Xdx = —a r 7
15. ~ddxr sen u eos u —ddux

d du 16. 'dx = Vf1-3-5- • -(2n —1)
16. -d7x- eos u = —sen u -drx- 2"+ \an

APÉNDICE I

PROGRAMAS DE
COMPUTADORA

Se proporcionan tres ejemplos de programas de compu- mayoría de las computadoras personales. En cada caso, la
tadora que han sido usados en el texto para los cálculos velocidad y la posición iniciales de la partícula deben ser
cinemáticos que involucran a fuerzas no-constantes que puestos en los programas en las líneas 40 y 50, respecti-
actúan sobre una partícula. Los programas están escritos
en el lenguaje BASIC y pueden adaptarse fácilmente a la vamente.

1. FUERZAS DEPENDIENTES DEL TIEMPO

Este programa se usó en la sección 6-6 para hallar la cualquier aceleración dependiente del tiempo cambiando

posición y la velocidad de un automóvil cuya aceleración la línea 180 de modo que muestre la a(t) deseada. En este
depende del tiempo. El programa puede ser usado para caso usamos el ejemplo de la sección 6-6, a(t) = -2.611 .

LISTADO DEL PROGRAMA

1 y ' B fi S I C K I H E Í1ñ T I U 8 P R U U R H M - - T I ME DE P E N DE HT P" U R U E 8
U <T > , X <T >
2 0 1 G I U E H H <T > , U 0 , X tí C 0 MF' U T E S

3 0 1 SPECIFY INITIHL VHLUES

50 X0 0

y~ |-| ' S P E C I F Y T H E M H X I MU M H U M B E R 0 F T I ME U H I í 8

L-i F O R U H I C H T H E P R O G R ñ M 8 H 0 U L D R UH

8 0 T Mp - 1o

L.-J 1 P E C I F: V í H Ei y H L U h U h u rnE T I ML U N I T

10 0 E X ñ M P L E : 0 . 5 F U F! tí ¡ 5 S E C O N D

1 10 EXHM PLE: 2 ,0 F 0 R 2 , 0 H0 UR

120 TU = , 5

1 3 0 ' S P E C I F Y T H E H U M B E R OF I í 1T E R y fi L 8 DT

14 0 IHTO WHICH EñCH TIM E UHIT 18 D I I DE D

1 50 NT = 100

1 6 0 DT = TU,-NT

1 7 0 ' I N 8 E R T H <T ) I MME D I H T h L Y H F T E R D E F F H I H HE

1 8t í D E F F H H ( T >= - 2 , 6 7 * T

190 y = y fi "TIME mV Cr~. Li _Ur ¡ C I T Y P 08 IT I OH"
200 "TIME P O S I T I Oh
2 10 x =x 0 ye L0CITY
220
PRIHT

LPRIHT

230 'BEGIN ITERñTIOH

2 4 0 FOR T I M E = 1 TO TMñ

2 5 0 FOR H = 1 TO HT

260 T = ( T I M E - 1 ) t TU + N*DT

2 7 0 H I = F H ñ <T )

2 8 tí f i I 1 = F H H <T - D T )

'-4 L~i h y = , 5 í ( ñ I +ñ 11 >

Apéndice I A-17

300 DU = AUt DT
310 V = V + DV
320 DX = . 5 * < V + V - DV >t 0 T
330 X = X+DX
340 NEXT N
350 P RI NT T I M E í TU V , X
360 L PR I HT T I ME* T ¡J, , X
370 NEXT TIME
400 END

SALIDA DE MUESTRA

TIME VELOCITY F'OS I T I OH
.5 ¿ !“! , 8 6 6 2 5 14 , 5 4 4 3 7
1 lü i 1 y 6 4 9 9 2y , 75499
1, 5 26 , 19618 42 , 2981
54 , 83993
¿ ,5 85994 6 6 . tí 46 76
20 . 85615 75 , 5848
“7 17 , 1848 6 8 3 , 1203
12 , 8 4 6 1 2 88 , 31959
"7 5 r’ i o 3 9 8 4 3 90 ,84 886
4 2 , 166084 90 ,37431
4 ,5 - 4 , 1 75166
5

2. FUERZAS DEPENDIENTES DE LA VELOCIDAD

Este programa puede utilizarse como se describió en la expresiones para fuerzas dependientes de la velocidad. La
sección 6-7 para analizar el movimiento de un proyectil
sujeto a una fuerza de arrastre. En este caso la fuerza está salida nos muestra que la partícula alcanza su velocidad
escrita en la línea 200 como F(x) = g - bv2, siendo g = 9.8
y b = 0.33. Pueden ser sustituidas en la línea 200 otras terminal de alrededor de 5.4 m/s después de un tiempo de

1.5 s, durante el cual ha viajado unos 6 m.

LISTADO DEL PROGRAMA_________________________________________________________________________

18 ' BAS I C K I H E M A T I C S PROGRflM - - V E L OC I T Y DEPENDENT FORCES

20 ' GIVEN A';V>, V0, X0: COMPUTES V Í T ) , X( T >

30 ' S P EC I F Y I N I T I ñ L VALUES

40 V0 = ü

5 0 X0 = 0

60 ' S P E C I F Y THE MAXIMUM HUMBER 0F TI ME U N I T S

70 1 F0R WHICH THE PROGRñM SHOULD RIJN

80 TMAX = 10

9 0 ' S P E C I F Y THE VALUE OF ONE T I M E UN I T

10 0 ’ E XAMPL E : tí , 5 F 0 R 0 , 5 SEC0 ND

110 1 EXAMPLE: 2 , 0 FOR 2 . 0 HOUR

120 TU =.25

130 ' S P E C I F Y THE NUMBER OF I NTERVALS DT

140 1 I NTO WHICH EACH T I M E UN I T I S D I V I D E D

150 HT = 1 0 0

1 6 0 DT = TU/ NT

170 V=V0

180 X= X0

1 9 0 ’ I NSERT A <V > I MME DI AT E L Y AFTER DEF FN I N NEXT STATEMENT

2 0 0 DEF F N A ( V >= 9 , 8 - , 3 3 * V * V

210 PRINT "TIME VELOCITY POS I T I ON"

220 LF'RINT "TIME VELOCITY POS I T I ON"

230 ' BEGIN ITERATIOH

2 4 0 FOR TI ME = 1 TO TMAX

2 5 0 FOR N = 1 TO NT

A-18 Programas para la computadora

260 m = FHf\

270 DU^F l U *:DT - D M :>t D T
2gy i¡ = y + o

29 0 DX = ,5* <
300 X = X+DX

310 HEXI N
32 0
330 PRIHT TIME t TU, V , X
340
400 L P R I H T T I M E t TU V , X

HEXT TIME

END

SALIDA DE MUESTRA

TIME VELOCITY P O S I T I OH
,2 5 2,299237 ,2966358
,5 3,905542 1,0 8959
. 75 4,765719 2, 18636
1 5,161553 3,434
1:2 5 5,330923 4,74 8592
1.5 5,4 01125 6,0913 82
1,75 5,42984 7,445783
2 5,441519 8 , 8 0 4 9 18
2,25 5,446261 10,16598
2.5 5 ,448183 11,52782

3. FUERZAS DEPENDIENTES DE LA POSICIÓN

Este programa se usó en la sección 8-4 para analizar el F(x) = -9.6x, de modo que k = 9.6. La salida muestra que
movimiento de una partícula oscilante sujeta a una fuerza la partícula oscila con un periodo de 3.2 s, como es de
F = -kx. La fuerza está insertada en la línea 200 como esperarse para una partícula de esta masa (línea 60).

LISTADO DE PROGRAMA

10 ' B H S I C K I H E M ñ T I C S PROGRHM - - P O S I T I O H DEPEHDEHT FORCES

2 ü ' G I E H F <X > , O , X 0 , M C O M P U T E S <T > , X <T >

30 ' S P E C I F Y I N I T I H L V A L U E S HHD MflSS OF P ñ R T I C L E

4 0 '...'O = 0 'HETERS PER SECOND

5 0 Xtí = , 0 5 ' METERS

60 M = 2 ,5 'KILOGRRMS'

7 0 1S PE C I F Y THE MH X I M U M H U MBE R 0 F T I M E U H I T S

80 ' FOR UHICH THE PRÜGRHM SHOULD RUH

9 0 T MHX = 4 0

1 0 0 ' S P E C I F Y THE V ñ L U E OF ONE T I M E UN I T

110 ' E X ñ M P L E : 0 , 5 FOR 0 , 5 SECOHD

1 2 0 T U =. 1

1 3 0 ' S P E C I F Y THE HUMBER OF I H T E R V ñ L S DT

140 ' IHTO WHICH EñCH TIME UHIT IS D I V I D E D

150 NT = 10

1 6 0 DT = TU,-NT

1 7 0 i,i= i,¡0

190 ' I H S E R T F <X > I M M E D I ñ T E L Y R F T E R D E F F H I H N E X T S T ñ T E M E H T
2 00
210 D E F F H F <X >= - 9 , 6 0 0 0 0 1 $ X
220
230 PRIHT " TIME VELOCITY POSITIOH"
240
250 PRIHT " (S) <M, ' S) <M > "
260
LPRIHT " TIME VELOCITY POSITIOH"

LPRIHT " (S ) (M S> (Mí' "

L P R I H T U S I H G " # # # , # # " ,¡ T I ME P R I HT I J S I H G " + # # # # # # # # # # , # # # " ; ',,'0 , K 0

F'R I HT US I HG " # # # , # # " . ; T I ME : F'R I HT US I HG " + # # # # # # # # # # , # # # " : V ü , X 0

Apéndice I A-19

2 7 8 'BEGIN ITERñTION

2 S 0 FOR TIME = 1 TO TMHX

2 9 0 FOR N = i TO NT

3 0 0 ñ = FNF í X>/ M ' ñCCELERÑTION IN INTE RVñ L

3 10 + , 5 1 Ht DTtDT ' POSITION flT END OF INTERVfiL
!—
LJ

•i”r

+

El
3 2 0 y = y + n*DT ' VELOCITY HT END OF INTER VAL

3 3 0 NEXT N

3 40 PRINT IJSIHG T I ME*TU .i : PR I NT USING " + # # # # # # # # # # . # ## " V

3 5 0 LPRINT USING; 11# # # , # # " .i T I ME*TU : LPR I NT USING " + # # # # # # # # # # , # # # "

3 6 0 NEXT TIME

4 0 0 END

SALIDA DE MUESTRA

TIME VELOCITY POS IT ION
<M/ S j i M>
h)
+0 , 0tí 0 +0 050
0 00 - 0 , 019 +0 04 9
- 0 , 037 +0 04 6
0 10 - 0 , 054 +0 042
- 0 ,069 +0 035
0 20 - 0 ,082 + 0 028
- 0 , 091 + 0 0 19
0 30 - 0 , 097 + 0 0 10
- tí , 099 - 0 000
0 40 - 0 , 097 - 0 0 10
- 0 , 092 - 0 0 19
0 50 - 0 ,083 - 0 028
- 0 ,070 - 0 036
0 60 “ 0 ,056 - 0 042
- 0 , 039 - 0 047
0 70 ~ 0 , 020 - 0 050
- 0 , 001 - 0 05 1
0 80 + 0 , 0 19 - 0 050
+0 , 037 - 0 04 7
0 90 + tí , 055
+ 0 , 070 - 0 042
1 0 tí +0 ,083 - 0 036
- tí tí 2 8
1 10 +0 , 092 - 0 020
+0 , 098 - 0 0 10
1 20 +0 . 100 - 0 000
+ 0 , tí 9 9 +0 0 10
1 30 +0 , 093 +0 0 19
+0 ,084 +0 028
1 4ü + tí , 0 7 2 +0 036
+ tí , 0 5 7 +0 043
1 5tí +0 , 040 + 0 04 7
+ 0 , 021 + 0 050
1 60 + tí , 0 0 1 + 0 052
- tí , 0 18 + 0 051
1 70 - tí , 037 + 0 048
- 0 , 055 + tí 0 4 3
1 80 - tí , 071 + 0 03 7
- t í , O8 4 + 0 O2 9
1 90 - 0 ,093 +0 020
2 00 - 0 ,099 + 0 01 1
- 0 , 102 +0 00 1
¿1 10
•j 20

¿1 3 0

40

2 5tí

60

70

80

90

i; 00

yt 10
20

30

;•? 4 0

50

60

70

-7 8 0
T 90

4 00

¡

APÉNDICE J

PREMIOS NOBEL
DE FÍSICA*

1901 Wilhelm Konrad Roentgen 1845-1923 por el descubrimiento de los rayos X
1902 Hendrik Antoon Lorentz 1853-1928
1865-1943 por sus investigaciones sobre la influencia
Pieter Zeeman 1852-1908 del magnetismo en los fenómenos de radiación
1903 Antoine Henri Becquerel 1859-1906
1867-1934 por su descubrimiento de la radiactividad espontánea
Pierre Curie 1842-1919 por sus investigaciones conjuntas sobre los fenómenos de radiación
Marie Sklowdowska-Curie
1904 Lord Rayleigh 1862-1947 descubiertos por el profesor Henri Becquerel
(John William Strutt) 1856-1940 por sus investigaciones de las densidades de los gases más
1905 Philipp Eduard Antón v. Lenard
1906 Joseph John Thomson 1852-1931 importantes y por su descubrimiento del argón
por su trabajo sobre los rayos catódicos
1907 Albert Abraham Michelson 1845-1921 por sus investigaciones teóricas y experimentales sobre la

1908 Gabriel Lippmann 1874-1937 conducción de la electricidad en los gases
1850-1918 por sus instrumentos ópticos de precisión y las investigaciones
1909 Guglielmo Marconi 1837-1932
Cari Ferdínand Braun metrológicas llevadas a cabo con su ayuda
1864-1928 por su método para reproducir los colores fotográficamente basado
1910 Johannes Diderik van der Waals
1869-1937 en los fenómenos de interferencia
1911 Wilhelm Wien por sus contribuciones al desarrollo de la telegrafía
1853-1926
1912 Nils Gustaf Dalén inalámbrica
1879-1960 por su trabajo sobre la ecuación de estado para los gases y los
1913 Heike Kamerlingh Onnes
1862-1942 líquidos
1914 Max von Laue 1890-1971 por sus descubrimientos con respecto a las leyes que gobiernan la
1877-1944
1915 William Henry Bragg radiación del calor
William Lawrence Bragg 1858-1947 por su invento de los reguladores automáticos para usarse junto con
1874-1957
1917 Charles Glover Barkla los acumuladores de gas para iluminar los faros y las boyas
1861-1938
1918 Max Planck por sus investigaciones de las propiedades de la materia a bajas
1919 Johannes Stark 1879-1955 temperaturas que condujeron, entre otras cosas, a la producción
del helio líquido
1920 Charles-Édouard Guillaume 1885-1962
por su descubrimiento de la difracción de los rayos Róntgen en los
1921 Albert Einstein 1868-1953 cristales

1922 Neils Bohr 1888-1979 por sus servicios en el analisis de la estructura cristalina por
medio de los rayos X
1923 Robert Andrews Millikan 1882-1964
1887-1975 por su descubrimiento de los rayos X característicos de los
1924 Karl Manne Georg Siegbahn elementos

1925 James Franck por su descubrimiento de los cuantos de energía
Gustav Hertz
por su descubrimiento del efecto Doppler en los rayos canal y la
separación de las líneas espectrales en los campos eléctricos

por el servicio rendido a las mediciones de precisión en física a

través de su descubrimiento de las anomalías en las aleaciones
de acero-níquel

por sus servicios a la física teórica, y especialmente por su
descubrimiento de la ley del efecto fotoeléctrico

por la investigación de la estructura de los átomos y de la radiación
que emana de ellos

por su trabajo sobre la carga elemental de electricidad y sobre el
efecto fotoeléctrico

por sus descubrimientos e investigación en el campo de la
espectroscopia de rayos X

por su descubrimiento de las leyes que gobiernan el
impacto de un electrón sobre un átomo

Apéndice J A-21

1926 Jean Baptiste Perrin 1870-1942 por su trabajo sobre la estructura discontinua de la materia, y
especialm ente por su descubrimiento del equilibrio de la
1927 Arthur Holly Compton 1892-1962 sedimentación
Charles Thomson Rees W ilson 1869-1959
por su descubrimiento del efecto que lleva su nombre
1928 Owen W illans Richardson 1879-1959 por su m étodo para hacer visib les las trayectorias de las partículas

1929 Prince Louis-Victor de Broglie 1892-1987 cargadas eléctricamente por la condensación del vapor
1930 Sir Chandrasekhara Ventaca 1888-1970 por su trabajo sobre los fenóm enos term oiónicos y especialm ente

Raman 1901-1976 por el descubrimiento de la ley que lleva su nombre
1932 W emer Heisenberg por su descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de los electrones
1887-1961 por su trabajo sobre la dispersión de la luz y por el descubrimiento
1933 Erwin Schrodinger
1902-1984 del efecto que lleva su nombre
1935 Paul Adrien Maurice Dirac 1891-1974 por la creación de la m ecánica cuántica cuya aplicación ha
1936 James Chadwick 1883-1964
Víctor Franz Hess 1905-1991 conducido, entre otras cosas, al descubrimiento de las formas
1937 Cari David Anderson 1881-1958 alotrópicas del hidrógeno
Clinton Joseph Davisson 1892-1975 por el descubrimiento de nuevas formas productivas de la teoría
1938 George Paget Thomson 1901-1954 atómica
Enrico Fermi
1901-1958 por su descubrimiento del neutrón
1939 Ernest Orlando Lawrence por el descubrimiento de la radiación cósm ica
1888-1969 por su descubrimiento del positrón
1943 Otto Stern por sus descubrimientos experim entales de la difracción de los
1898-1988
1944 Isidor Isaac Rabi electrones por cristales
1900-1958 por sus demostraciones de la existencia de nuevos elem entos
1945 W olfgang Pauli 1882-1961
1946 Percy W illiam s Bridgman radiactivos producidos por la irradiación con neutrones, y por su
1892-1965 descubrimiento relacionado con las reacciones nucleares causadas
1947 Sir Edward Victor Appleton por neutrones lentos
1948 Patrick Maynard Stuart Blackett 1897-1974 por el invento y desarrollo del ciclotrón y por los resultados obteni­
1949 Hideki Yukawa dos con él, especialmente en elem entos radiactivos artificiales
1950 Cecil Frank Powell 1907-1981 por su contribución al desarrollo del m étodo de rayos moleculares
y su descubrimiento del momento magnético del protón
1951 Sir John Douglas Cockcroft 1903-1969 por su m étodo de la resonancia para registrar las propiedades
1952 Ernest Thomas Sinton Walton magnéticas de los núcleos (de los átomos)
1953 Félix Bloch 1897-1967 por el descubrimiento del Principio de exclusión (principio Pauli)
Edward M ills Purcell 1903- por el invento de un aparato para producir presiones
Frits Zernike 1905-1983 extremadamente altas, y por los descubrimientos que hizo por
1912- ello en el campo de la física de altas presiones
1954 Max Born 1888-1966 por sus investigaciones de la física de la alta atmósfera,
especialm ente por el descubrimiento de la capa llamada Appleton
Walther Bothe 1882-1970 por su desarrollo del m étodo de la cámara W ilson, y con ello sus
1955 W illis Eugene Lamb descubrimientos en física nuclear y radiación cósmica
1891-1957 por su predicción de la existencia de los m esones con base en el
Polykarp Kusch 1913- trabajo teórico sobre las fuerzas nucleares
por su desarrollo del m étodo fotográfico para estudiar los procesos
1956 William Shockley 1911- nucleares y sus descubrimientos, hechos con este método, con
John Bardeen respecto a los mesones
Walter Houser Brattain 1910-1989 por su trabajo pionero sobre la transmutación de los núcleos
1908-1991 atómicos por partículas atómicas aceleradas artificialmente
1957 Chen Ning Yang 1902-1987 por su desarrollo de nuevos m étodos de precisión para la resonancia
Tsung Dao Lee 1922- magnética nuclear y sus descubrimientos en conexión con ellos
1926- por su demostración del método de contraste de fase, especialmente
1958 Pavel Alecksejecic Cerenkov por su invento del m icroscopio de contraste de fase
Il’ja M ichajlovic Frank 1904- por su investigación fundamental en la m ecánica cuántica,
1908-1990 especialm ente por su interpretación estadística de la función de onda
por el m étodo de coincidencia y sus descubrimientos a partir de ello
por sus descubrimientos concernientes a la estructura fina del
espectro del hidrógeno
por su determinación de precisión del mom ento m agnético del
electrón
por sus investigaciones sobre los sem iconductores y su
descubrimiento del efecto transistor

por su penetrante investigación de las ley es de la paridad que
condujeron a importantes descubrimientos sobre las partículas
elem entales

por el descubrimiento e interpretación del efecto Cerenkov

A-22 Premios Nobel enfísica 1895-1971 por su descubrimiento del antiprotón
1905-1989
Igor’ Evgen’ evic Tamm 1920- por el invento de la cámara de burbujas
1959 Emilio Gino Segré 1926- por sus estudios pioneros sobre la dispersión de los electrones por
1915-1990
Owen Chamberlain núcleos atómicos y por sus descubrimientos realizados
1960 Donald Arthur Glaser 1929- concernientes a la estructura de los nucleones
1961 Robert Hofstadter por sus investigaciones concernientes a absorción de los rayos y en
1908-1968 resonancia y su descubrimiento a este respecto del efecto que
Rudolf Ludwig Móssbauer lleva su nombre
1902- por sus teorías pioneras de la materia condensada, especialmente del
1962 Lev Davidovic Landau helio líquido
1906-1972 por su contribución a la teoría del núcleo atómico y las partículas
1963 Eugene P. Wigner elementales, particularmente a través del descubrimiento y la
1907-1973 aplicación de los principios fundamentales de la simetría
Maria Goeppert Mayer 1915- por sus descubrimientos concernientes a la estructura de capas del
1922- núcleo
J. Hans D. Jensen 1916-
1964 Charles H. Townes 1906-1979 por el trabajo fundamental en el campo de la electrónica cuántica que
1918- condujo a la construcción de los osciladores y los amplificadores
Nikolai G. Basov 1918-1988 basada en el principio maser-láser
Alexander M. Prochorov 1902-1984
1965 Sin-itiro Tomonaga por el trabajo fundamental en el campo de la electrodinámica
Julián Schwinger 1906- cuántica, con consecuencias de profunda penetración en la física
Richard P. Feynman de las partículas elementales
1966 Alfred Kastler 1911-1988
por el descubrimiento y desarrollo de métodos ópticos para el
1967 Hans Albrecht Bethe 1929- estudio de la resonancia Hertziana en los átomos

1968 Luis W. Alvarez 1908- por sus contribuciones a la teoría de las reacciones nucleares,
especialmente sus decubrimientos concernientes a la producción
1969 Murray Gell-Mann 1904- de energía en las estrellas

1970 Hannes Alvén 1900-1979 por su contribución decisiva a la física de las partículas elementales,
1908-1991 en particular el descubrimiento de un gran número de estados de
Louis Néel 1930- resonancia, hecho posible a través de su desarrollo de la técnica
1931- de emplear la cámara de burbujas de hidrógeno y el análisis de
1971 Dennis Gabor 1925- datos
1972 John Bardeen 1929-
1940- por su contribución y descubrimientos concernientes a la
León N. Cooper clasificación de las partículas elementales y sus interacciones
J. Robert Schrieffer 1924-
1973 LeoEsaki 1918-1984 por el trabajo fundamental y los descubrimientos en magneto-
Ivar Giaever 1922- hidrodinámica con aplicaciones fructíferas en diferentes partes
Brian D. Josephson 1926- de la física del plasma
1917-1986
1974 Antony Hewish 1931- por el trabajo fundamental y los descubrimientos concernientes al
Sir Martin Ryle 1936- antiferromagnetismo y el ferromagnetismo que condujeron a
1923- aplicaciones importantes en la física del estado sólido
1975 Aage Bohr 1905-
Ben Mottelson 1899-1980 por su descubrimiento de los principios de la holografía
James Rainwater 1894-1984 por su desarrollo de una teoría de la superconductividad

1976 Burton Richter 1926- por su descubrimiento del efecto túnel en los semiconductores
Samuel Chao Chung Ting por su descubrimiento del efecto túnel en los superconductores
1936- por su predicción teórica de las propiedades de una supercorriente a
1977 Philip Warren Anderson
Nevill Francis Mott través de una barrera túnel
John Hasbrouck Van Vleck por su descubrimiento de los púlsares
por su trabajo pionero en radioastronomía
1978 Peter L. Kapitza por el descubrimiento de la conexión entre el movimiento colectivo

Amo A. Penzias y el movimiento de partícula y el desarrollo de la teoría de la
estructura del núcleo atómico basada en esta conexión
Robert Woodrow Wilson por su descubrimiento (independiente) de una partícula fundamental
importante
por sus investigaciones teóricas fundamentales de la estructura
electrónica de los sistemas magnéticos y desordenados

por sus inventos y descubrimientos básicos en física de bajas
temperaturas

por su descubrimiento de la radiación fósil (radiación cósmica de
fondo en la región de las microondas)

Apéndice J A-23

1979 Sheldon Lee Glashow 1932- por sus modelos unificados de la acción de las fuerzas débiles
Abdus Salam 1926- electromagnéticas y por su predicción de la existencia de
Steven Weinberg 1933- corrientes neutras
1931-
1980 James W. Cronin 1923- por el descubrimiento de las violaciones de los principios
Val L. Fitch fundamentales de la simetría en la desintegración de los mesones
1920- K neutros
1981 Nicolaas Bloembergen 1921-
Arthur Leonard Schawlow 1918- por su contribución al desarrollo de la espectroscopia láser
Kai M. Siegbahn
1936- por su contribución de la espectroscopia electrónica de alta
1982 Kenneth Geddes Wilson resolución
1910-
1983 Subrehmanyan Chandrasekhar 1911- por su método para analizar los fenómenos críticos inherentes en los
William A. Fowler cambios de la materia bajo la influencia de la presión y la
1934- temperatura
1984 Cario Rubbia 1925-
Simón van der Meer por sus estudios teóricos de la estructura y evolución de las estrellas
1943- por sus estudios de la formación de los elementos químicos en el
1985 Klaus von Klitzing 1906-
1986 ErnstRuska 1947- Universo
por sus contribuciones decisivas al gran proyecto que condujo al
Gerd Binnig 1933-
1927- descubrimiento de las partículas de campo W y Z, portadoras de la
Heinrich Rohrer 1950- interacción débil
1987 Karl Alex Müller 1922- por su descubrimiento de la resistencia Hall cuantizada
1932- por su invento del microscopio electrónico
J. Georg Bednorz 1921- por su invento del microscopico electrónico de barrido por
1988 León M. Lederman 1922- efecto túnel
1913-
Melvin Schwartz 1915- por su descubrimiento de una nueva clase de superconductores
Jack Steinberger
1989 Hans G. Dehmelt 1929- por experimentos con haces de neutrinos y el descubrimiento del
Wolfgang Paul 1930- neutrino del muón
Norman F. Ramsey
1926- por su desarrollo de las técnicas para atrapar átomos individuales
1990 Richard E. Taylor 1932-
Jerome I. Friedman por sus descubrimientos en la espectroscopia por resonancia
atómica, que condujeron a los masers de hidrógeno y a los relojes
Henry W. Kendall atómicos
1991 Pierre-Gilles de Gennes
por sus experimentos sobre la dispersión de los electrones por
núcleos, lo que revela la presencia de los quarks dentro de los
nucleones

por descubrimientos respecto al ordenamiento de las moléculas en
sustancias tales como los cristales líquidos, los superconductores
y los polímeros

* Véase N o b e l Lectores, P h y sics, E lsevier P ublishing C om pany para las biografías de los prem iados
y las disertaciones dadas por ellos al re c ib ir el prem io.

APÉNDICE K

TABLAS

ALGUNOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS ~ es del orden de la magnitud de
OC es proporcional a
= igual a el límite de
aproximadamente igual a lím la suma de
£
= no es igual a la integral de
= es idéntico a, se define como J el cambio o diferencia en x
> es mayor que
» es mucho mayor que Ax el valor absoluto o la magnitud absoluta de x
> es mayor que o igual a el valor promedio de x
< es menor que w la derivada de/con respecto a x
« es mucho menor que la derivada parcial de/ con respecto a x
< es menor que o igual a X

dfjdx

df/dx

LOS PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL (SI)

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

1018 exa E 10 1 deci d
IO15 peta P IO2 centi c
1012 tera T IO3 mili m
IO9 G 10'6 micro
106 giga M 10-9 nano V
103 mega k 1012 pico n
102 kilo h 1015 femto
10' hecto d 1018 atto P
deca f
a

ALFABETO GRIEGO

alfa Aa iota Ii rho np
beta kappa KK sigma Ea
gamma BP lambda AA tau
delta my M ípsilon TT
épsilon ry ny NV fi
zeta A8 xi YV
eta ómicron ? ji
theta E£ 00 psi 4>
Pi nK omega
Zc XX
»P V
Hn Q co
06

ALGUNAS TABLAS EN EL TEXTO Capítulo Página

Tabla 1 2
1
Unidades básicas del SI 2 3
Prefijos del SI 27
Ecuaciones para el movimiento con aceleración constante 4 62
Ecuaciones vectoriales para el movimiento con aceleración constante
Coeficientes de fricción 6 120
Algunas velocidades terminales en el aire 6
Movimiento con aceleración lineal o angular constante 11 132
Inercias de rotación (figura) 12 265
Comparación de las ecuaciones de la dinámica lineal y de rotación 12
Resumen de las ecuaciones de la dinámica rotatoria 282
Algunas propiedades elásticas de materiales selectos de interés en ingeniería 13 288
Variación de g0 con la altitud 14 321
Ciertas velocidades de escape 16 343
Algunas densidades 16 389
Viscosidad de una selección de fluidos 17 395
La velocidad del sonido 18 422
Algunas intensidades y niveles de sonido 453
Las ecuaciones de transformación de Lorentz 20 497
La transformación de Lorentz de la velocidad 20 501
Algunos coeficientes de dilatación lineal promedio 21 528
Algunas velocidades moleculares a la temperatura ambiente 21 530
Capacidades caloríficas de algunas sustancias 22 556
Algunos calores de transformación 570
Capacidades caloríficas molares de los gases 23 610
Algunas conductividades térmicas y valores de R 25 610
25 614
25 623
25

ALGUNAS UNIDADES Y SUS ABREVIATURAS

ampere A litro L
metro m
año y milla mi
atmósfera atm min
caballo de vapor hp minuto mol
caloría cal mol N
coulomb C newton Q
día d ohm Pa
electronvolt eV pascal ft
farad F pie in.
gauss G pulgada
°C radián rad
grado Celsius °F revolución rev
grado Fahrenheit segundo s
gramo g tesla T
henry H unidad de masa atómica unificada u
hertz Hz unidad térmica británica Btu
hora h volt V
joule J watt W
kelvin K weber Wb
libra Ib

A-26 Tablas

ALGUNAS PROPIEDADES FÍSICAS 1.21 kg/m3

Aire (seco, a 20°C y 1 atm) 1010 J/kg •K
Densidad 1.40
Calor específico a presión constante 343 m/s
Razón de las capacidades caloríficas específicas
Velocidad del sonido 3 x 106V/m
Resistencia a la disrupción eléctrica
Masa molar efectiva 0.0289 kg/mol

Agua 1000 kg/m3
Densidad
Velocidad del sonido 1460 m/s
Calor específico a presión constante 4190 J/kg • K
Calor de fusión (0°C) 333 kJ/kg
Calor de vaporización (100°C) 2260 kJ/kg
índice de refracción (A = 589 nm) 1.33
Masa molar 0.0180 kg/mol

Tierra 5.98 x 1024kg
Masa 6.37 x 106m
Radio medio 9.81 m/s2
Aceleración de la caída libre en la superficie de la Tierra 1.01 x 10’ Pa
Atmósfera estándar
Periodo del satélite a 100 km de altitud 86.3 min
Radio de la órbita geosíncrona 42,200 km
Velocidad de escape
Momento dipolar magnético 11.2 km/s
Campo eléctrico medio en la superficie 8.0 x io22A •m2

Distancia a: 150 V/m, abajo
La Luna
El Sol 3.82 x 108m
La estrella más cercana 1.50 x 10" m
El centro galáctico
La galaxia de Andrómeda 4.04 x io 16m
Borde del universo observable
2.2 x io20m
2.1 x io22m

- 1026m

Apéndice K A-27

ALGUNAS CONSTANTES FÍSICAS*

Velocidad de la luz c 3.00 x 108m/s
Constante gravitatoria G 6.67 x 10“ N •m2/kg2
Constante de Avogadro 6.02 x 1023mol-1
Constante universal de los gases N,
Relación masa-energía R 8.31 x J/mol •K
c2
8.99 x 1016J/kg
Constante dieléctrica *0
931.5 x MeV/u
Constante de permeabilidad Mo
Constante de Planck h 8.85 x 1012F/m
1.26 x 10"6H/m
Constante de Boltzmann ife
6.63 x 10 MJ •s
Carga elemental e
Masa de un electrón en reposo 4.14 x 10'1SeV •s
Masa de un protón en reposo «c
Radio de Bohr 1.38 x 10'23J/K
Magnetón de Bohr wp 8.62 x IO'5eV/K
1.60 x 10'19C
a0 9.11 x 10-31kg
Hb
1.67 x 10 27kg

5.29 x 10 “ m

9.27 x IO'24J/T
5.79 x 10'5eV/T

*Para una lista más completa que muestre también los valores experimentales más usados, véase el apéndice B.

ALGUNOS FACTORES DE CONVERSIÓN* Velocidad
1 m/s = 3.28 ft/s = 2.24 mi/h
Masa
1 km/h = 0.621 mi/h
1 kg = 1000g = 6.02 x 1026u
1 u = 1.66 x 10'27kg Fuerza y presión

Longitud 1 N = 105dinas = 0.225 Ib
1 m = 100 cm = 39.4 in = 3.28 ft 1 Pa = 1 N/m2=10 dinas/cm3= 1.45 x IO4lb/in2
1 mi = 1.61 km = 5280 ft 1atm = 1.01 x IO3Pa = 14.7 lb/in2= 76 cmHg
1 in = 2.54 cm
Energía y potencia
1 nm = 10"9m = 10 A
1 J = 107erg = 0.239 cal = 0.738 ft • Ib
Tiempo
1 kW •h = 3.6 * 10* J
1 d = 86400 s 1 cal= 4.19 J
1 año = 365 - d = 3.16 x 107s
1 eV = 1.60 x IO'19J
4
1horsepower = 746 W = 550 ■lb/s
Volumen
Electricidad y magnetismo
1 L = 1000 cm3= 10"3m3= 1.06 cuartos de galón
1 gal (U.S.) = 231 in3= 3.79 L 1 T = 1Wb/m2= 104gauss

Medidas angulares
1rad = 57.3° = 0.159 rev
7rrad = 180° = i rev

*Véase el apéndice G para una lista más completa.