Fisica Halliday y Resnick

538 Capitulo 21 La teoría especial de la relatividad

sión clásica, comenzando con el teorema trabajo-energía
en su forma aplicable a partículas (véase el problema 54).
El resultado de este cálculo es

K = - mc* (27)
V1 —v 2/ c 2

La ecuación 27 se ve muy diferente del resultado clási­ Figura 21 Un recurso mnemotécnico útil para recordar las
co h nv1, pero, como lo demostramos en la sección 7-7, relaciones entre E0, p, K, y E. Obsérvese que debe emplearse
la ecuación 27 se reduce a la expresión clásica en el la cantidad pe para poner todas las variables en unidades de
límite de bajas velocidades ( v « c ) . Podemos también ver energía.
a partir del primer término de la ecuación 27 que K -* °°
cuando v -* c. Entonces podemos aumentar sin límite la
energía cinética de una partícula y su velocidad no supe­
rará a c.

Podemos también expresar la ecuación 27 como:

K = E - E 0, (28)

donde la energía relativista total E se define como muestra 9). Tales colisiones deben analizarse usando la
„ me2 conservación de la energía relativista total E\ la energía
(29) cinética no se conserva cuando la energía en reposo cam­
bia en una colisión.
y la energía en reposo E0 se define como
A menudo, la m de la ecuación 30 se llama masa en
(30) reposo m0 y se distingue de la “masa relativista”, que se
define como m0/ f 1 - v2/c 2. Elegimos no emplear la masa
La energía en reposo es en efecto la energía relativista relativista, porque puede ser un concepto que nos lleve a
total de una partícula medida en un marco de referencia confusión. Cuando nos refiramos a la masa, siempre que­
en el que la partícula esté en reposo. rremos significar masa en reposo.

La energía relativista total está dada por la ecuación 28 La manipulación de las ecuaciones 23 y 29 da una
como relación útil entre la energía total, el ímpetu, y la energía
en reposo:

E = K + E 0. (31) E = •J(pc) 2 + (m e2)2. (32)

En interacciones de partículas a velocidades relativistas, La figura 21 muestra un recurso mnemotécnico para re­
podemos reemplazar nuestro principio de conservación de cordar esta relación, la cual tiene la forma del teorema de
la energía previo por uno basado en la energía relativista Pitágoras para los lados de un triángulo rectángulo.
total:
Las relaciones entre la energía cinética y la veloci­
En un sistema de partículas aislado, la energía relati­ dad, y entre la energía cinética y el ímpetu pueden pro­
vista total permanece constante. barse en un régimen relativista por medio de partículas
aceleradas a altas velocidades o usando partículas de
Este principio es un caso especial del resultado expresado alta velocidad (es decir, electrones) emitidos en ciertos
previamente en la forma de la ecuación 36 del capítulo 8 procesos de desintegración radiactiva. La figura 2 mues­
(AE0 + AK = W), donde W = 0 (es decir, el sistema está tra electrones a los que se les da una energía cinética
aislado: su entorno no efectúa ningún trabajo externo). conocida (usando una terminal eléctrica de alto volta­
je) cuyas velocidades resultantes fueron medidas. Los
Usando la forma relativista de la energía cinética dada datos experimentales concuerdan perfectamente con la
por la ecuación 27, podemos demostrar que la energía expresión relativista y no concuerdan con la expresión
cinética se conserva en el marco S' de la colisión de la clásica. Hoy día se obtienen resultados similares indirec­
figura 19 (véase el problema 47). Puesto que las energías tamente en cualquier instalación que posea un acelera­
en reposo de las partículas inicial y final son iguales en dor grande. Las partículas son aceleradas a velocidades
esta colisión, la conservación de la energía relativista muy cercanas a c, y los parámetros de diseño de los
total es equivalente a la conservación de la energía ciné­ aceleradores deben basarse en la dinámica relativista.
tica. En general, las colisiones de partículas a altas ener­ Así pues, cada acelerador moderno es, en efecto, un labo­
gías pueden dar por resultado la producción de nuevas ratorio para probar la relatividad especial. No es necesario
partículas, y entonces la energía en reposo final puede no decir que el éxito de estos aceleradores es una confirma­
ser igual a la energía en reposo inicial (véase el problema ción contundente de la relatividad especial.

Sección 21-9 Energía relativista 539

Problema muestra 7 En el Stanford Linear Collider* se la que, por conservación de la energía relativista total, hemos
aceleran electrones a una energía cinética de 50 GeV. Halle la igualado con la energía inicial total de 823 MeV. Así, tenemos
velocidad de un electrón como (a) una fracción de c y (b) una
diferencia con c. La energía en reposo del electrón es de 0.511 una ecuación con las dos incógnitas p¡ y p2.
MeV = 0.511 x 103GeV. Para obtener una segunda ecuación con las dos incógnitas

Solución (a) Primero, resolvemos la ecuación 27 para u, aplicamos la conservación del ímpetu. El ímpetu final del
obteniendo sistema de dos piones a lo largo de la dirección del haz es +

p2, y haciéndolo igual al ímpetu inicial pKda

PiC + p2c = pKc = 655 MeV. (36)

V= CV 1~ (T + K /m c2? ’ (33) Tenemos ahora dos ecuaciones (ecuaciones 35 y 36) con las dos
incógnitas p l y p2. Resolviendo la ecuación 36 para p2c y
y entonces sustituyendo este resultado en la ecuación 35, obtenemos (des­
pués de cierta manipulación algebraica) una ecuación cuadráti­
v = c y j l - (1 + so GeV/0.511 X 10'3GeV)2 ca para p,c, la cual puede resolverse por medio de las técnicas
algebraicas normales para dar
= 0.999 999 999 948c.
pxc = 668 MeV or -1 3 MeV.
Las calculadoras no son confiables después de 12 cifras signi­
ficativas. He aquí una manera de evitar esta dificultad. Podemos Puesto que las designaciones 1 y 2 de los dos piones son
escribir la ecuación 33 como v = c(l + x)'n, en donde x = arbitrarias, la solución da un pión que viaja paralelo al haz con
-1/(1 + K/mc2)2. Puesto que K » mc1, tenemos que x « 1, un ímpetu p¡ = 668 MeV/c, mientras que el otro pión viaja en
y podemos emplear la expansión binómica para escribir v a
c(l + | x), o sea dirección opuesta con un ímpetu p2 =-13 MeV/c. Las energías
cinéticas correspondientes se hallan empleando las ecuaciones
28 y 32, lo cual da

~ 2(1 +Á7mc2)2] ’ (34) K - Apc)2 + (,mnc2)2 - m nc2

lo cual da K t = V(668 MeV)2+ (140 MeV)2- 140 MeV = 543 MeV,

v = c(l —5.2X lO"11). K2 = V(—13 MeV)2+ (140 MeV)2- 140 MeV = 0.6 MeV.

Esto conduce al valor de v dado arriba. Este problema puede ser resuelto también de una manera
(b) Partiendo del resultado anterior, tenemos diferente llevando a cabo una transformación de Lorentz a un
marco de referencia en el que los kaones están en reposo. Los
c —v = 5.2 X 10_11c = 0.016 m/s = 1.6 cm/s. dos piones son emitidos en este marco en direcciones opuestas
(porque el ímpetu total debe ser cero), y por lo tanto comparten
Problema muestra 8 Cierto acelerador produce un haz de por igual la energía de la desintegración. Al transformar de
kaones neutros (//¡Kc2 = 498 MeV) con una energía cinética regreso al marco del laboratorio tenemos entonces la solución
de 325 MeV. Consideremos a un kaón que se desintegra en para los ímpetus y las energías (véase el problema 57). En el
vuelo en dos piones {m,c2 = 140 MeV). Halle la energía cinética siguiente problema muestra tenemos otra aplicación de esta
de cada pión en el caso especial en que los piones viajen paralela técnica.
o antiparalelamente en dirección del haz de kaones.
Problema muestra 9 El descubrimiento del antiprotón p (una
Solución La energía de las partículas que permanecen des­ partícula con la misma energía en reposo que un protón, 938
pués de la desintegración puede obtenerse aplicando los prin­ MeV, pero con la carga eléctrica opuesta) tuvo lugar en 1956 en
cipios de conservación de la energía y del ímpetu relativistas Berkeley mediante la reacción siguiente:
totales. La energía relativista inicial total es, según la ecua­
ción 31, p + p — p + p + p + p,

Ek = K+ mKc2 = 325 MeV + 498 MeV = 823 MeV. en la que protones acelerados incidían sobre un blanco de
protones en reposo en el laboratorio. La energía cinética inci­
El ímpetu inicial puede hallarse a partir de la ecuación 32: dente mínima necesaria para producir la reacción se llama
energía cinética umbral, bajo la cual las partículas finales se
pKc = ylEi - (mKc2)2 = V(823 MeV)2- (498 MeV)2 mueven juntas como si fuesen una sola unidad. Halle el umbral
de la energía cinética para producir antiprotones en esta reac­
= 655 MeV. ción.
La energía total del sistema final que consiste en los dos
piones es Solución Este problema es conceptualmente el caso inverso
del problema muestra anterior. Aquí las partículas sejuntan para
E = E ,+ E 2 = Ap¡c)2 + (mxc2)2 + 'J{p1c f + (m,c2)2 formar una compuesta. Demostramos un método alternativo de
solución en el marco de referencia del centro de masa, en donde
= 823 MeV, (35) los dos protones chocan con ímpetus iguales y opuestos para
formar una nueva partícula en reposo (Fig. 22).
* Véase “The Stanford Linear Collider”, por John R. Rees,
Scientific American, octubre de 1989, pág. 58. La energía relativista final total en el marco S‘ del centro de
masa es la energía en reposo de los productos, los cuales se
producen en reposo en este marco, de modo que

540 Capítulo 21 La teoría especial de la relatividad

Marco v' = 0 El acelerador Bevatron de Berkeley fue diseñado pensando
del centro en este experimento, con el fin de que pudiera producir un haz
de masa de protones cuya energía superara los 5.6 GeV. El descubri­
miento del antiprotón en esta reacción fue galardonado con el
(a) (b) premio Nobel de 1959 a los científicos, Emilio Segré y Owen
Chamberlain.
Antes Después
de la de la 21-10 LA LOGICA DE LA
reacción RELATIVIDAD ESPECIAL
reacción
Hemos llegado a un punto en que podemos dirigir una
4V3 -t> Marco del mirada retrospectiva a nuestra presentación de la relativi­
laboratorio dad especial y pensar acerca de su lógica natural. En
7 primer lugar, debemos advertir que la relatividad afecta a
cada aspecto de la física; nos hemos concentrado en este
(C) (d) capítulo en la mecánica, y más adelante en este texto
consideraremos el efecto de la relatividad en el electro­
Figura 22 Problema muestra 9. Producción de un magnetismo. En efecto, debemos reexaminar cuidadosa­
antiprotón, visto desde (a,ti) el marco del centro de masa y mente cada subeampo de la física desde la perspectiva de
(c,d) el marco del laboratorio. Compárese con la figura 19. la relatividad especial, verificando que cada uno de ellos
sea consistente con los dos postulados. Debemos observar
E'{- :4mpc2 también que la relatividad ha pasado todas las pruebas
experimentales sin la menor discrepancia. Es una teoría
La energía inicial es precisamente la suma de las energías totales de gran valor estético, que nos proporciona una visión más
de los dos protones reactantes: satisfactoria que la de la física clásica acerca de la validez
de perspectivas y simetrías diferentes. Es también una
E[ = E\ + E'2. teoría de gran valor práctico, que les suministra a los
ingenieros una guía apropiada para construir grandes ace­
La conservación de la energía requiere que E{ = Ef, y puesto leradores de partículas, así como también a los implicados
que las energías E¡ y E2' son iguales en el marco S', tenemos en el mantenimiento de las normas con los procedimientos
adecuados para corregir las lecturas de los relojes atómi­
E[ = E '2 = 2wpc2. cos cuando se les transporta de una localidad a otra.

La magnitud correspondiente de la velocidad de cualquier pro­ El primer postulado de la relatividad es realmente una
tón reactante en el marco S' se halla al resolver la ecuación 29 extensión de la primera ley de Newton, la ley de la inercia,
para u/c, lo cual da la cual definió el concepto de los marcos inerciales y nos
proporcionó la primera noción de que los observadores
Efectuamos ahora una transformación de Lorentz de nuevo en inerciales obtendrían conclusiones idénticas de la obser­
el laboratorio usando esta velocidad como la de la transforma­ vación de un experimento en el cual no actúe ninguna
fuerza neta. No vamos demasiado lejos si extendemos esa
ción, la cual lleva uno de los protones al reposo y da al otro una visión para afirmar que los observadores inerciales debe­
velocidad v que puede ser obtenida a partir de la expresión rían también extraer conclusiones idénticas de la observa­
ción de un experimento en el que hay una fuerza neta. Por
de la transformación inversa de la velocidad para vxa partir de último, ¿por qué deberíamos seleccionar las leyes de la
la tabla 3. Usando v' = cV3/4 y u = cV3/4, y suprimiendo el mecánica para esta equivalencia? Al extenderla a una
subíndice x, tenemos que equivalencia para observadores inerciales de todas las
leyes de la física, llegamos al primer postulado.
_ v' + u Ic'TbJÁ 4^3
El segundo postulado es también razonable. Parece
V l + uv'/c2 l + ( f 3 /4 )2==~ c- increíble que seamos capaces de transmitir una señal a una
velocidad infinita, teniéndose así una comunicación ins­
Ésta es la velocidad del protón incidente en el marco del tantánea a todo el universo. Además, los experimentos
laboratorio. Su energía total puede obtenerse de la ecuación 29: sobre la relatividad del tiempo demuestran que tal comu­
nicación instantánea entre puntos distantes no es consis­
£ = = 7mfc2 tente con la observación. Si existe una velocidad límite,

V T v2/c2 V1 - (4V3/7)2

y el umbral de la energía cinética es

K = E —mvc2 = 6 mpc1 - 6(938 MeV)
= 5628 MeV = 5.628 GeV.

entonces con seguridad (según el primer postulado) debe Preguntas 541
ser la misma para todos los observadores, sin importar su
estado de movimiento. ser diferentes para observadores diferentes. En cambio, la
relatividad nos dice que las leyes de la física deben ser las
Para algunos, la primera exposición de la relatividad de mismas para todos los observadores, y en consecuencia el
la simultaneidad, el aparente encogimiento de las barras espacio y el tiempó se convierten en conceptos relativos.
en movimiento, y la dilatación del tiempo puede ser Resulta claro que la relatividad es “más absoluta” que la
inquietante. Sin embargo, un poco de reflexión nos per­ física clásica. El mundo físico arbitrario y complejo de
suadirá de que las alternativas clásicas son más inquietan­ la física clásica, en el que cada observador debe usar un
tes aún. Por ejemplo, una barra rígida clásica de longitud conjunto diferente de leyes físicas, se convierte en el
definida no es un concepto que resulta consistente con la mundo físico, más uniforme y sencillo de la relatividad.
relatividad; una señal (digamos, un movimiento rápido)
en un extremo no puede transmitirse instantáneamente al La relatividad amplía nuestra visión del Universo al
otro extremo. Debemos renunciar a la idea de que todos situamos entre los muchos observadores inerciales de ese
los observadores sean capaces de usar la misma vara universo. Trae consigo conceptos que, de acuerdo con la
de medir. Reemplazamos esta idea con otra que dé a física clásica, se trataban por separado: por ejemplo, el
cada observador una vara de medir y que permita que cada espacio y el tiempo se transformaron en espacio-tiempo,
observador use esa vara para hacer mediciones dentro de o la masa y la energía se transformaron en energía en
un marco de referencia en particular. Ningún instrumento reposo. Señala el camino hacia una sola teoría unificada
de medición de un observador, o sus resultados, se prefie­ que incluye todas las interacciones posibles entre las
re sobre cualquier otro. Por último, la relatividad nos partículas: la electricidad y el magnetismo se convierten
proporciona una simetría maravillosa entre estos observa­ en el electromagnetismo; el electromagnetismo y las lla­
dores; no afirma la realidad del atraso de los relojes, sino madas fuerzas débiles (las responsables de ciertos proce­
que, a partir de sus dos perspectivas diferentes, dos obser­ sos de desintegración radioactiva) se convierten en la
vadores en movimiento relativo observan cada uno que el interacción electrodébil; las interacciones electrodébil y
reloj del otro se atrasa. No hay necesidad ninguna de ga­ nuclear fuerte se convierten en una de las propuestas
rantizar un status de preferencia para cualquiera de ellos, Teorías de la Gran Unificación (TGU) (o GUT,de Grand
o para cualquier otro observador inercial. Unified Theories); y por último, las TGU y la gravedad
se convierten en la hipotética Teoría del Todo. Con segu­
De acuerdo con la física clásica, el espacio y el tiempo ridad que Einstein, quien sólo conoció la primera de estas
son absolutos. Esto implica que las leyes de la física deben unificaciones, estaría realmente complacido con estos
desarrollos.

PREGUNTAS ¿Cómo puede emplearse la rapidez de estos cambios en el
brillo para calcular un límite superior del tamaño de estos
1. La velocidad de la luz en el vacío es una verdadera objetos? (Sugerencia: Los puntos separados no pueden
constante de la naturaleza, independiente de la longitud cambiar de una manera coordinada a no ser que sea
de onda de la luz o de la elección de un marco de referencia enviada información de uno al otro.)
(inercial). ¿Existe entonces alguna manera de que el se­
gundo postulado de Einstein pueda verse como contenido 6. La tasa de barrido de la cauda de un cometa puede superar
dentro del ámbito de su primer postulado? a la velocidad de la luz. Explique este fenómeno ydemues­
tre que no existe una contradicción con la relatividad.
2. Discuta el problema que intentó resolver el joven Eins­
tein; es decir, ¿cuál sería la apariencia de una onda elec­ 7. Considere un frente de onda de luz esférico que se difunde
tromagnética para una persona que corriese junto a ella desde una fuente puntual. Visto por un observador en la
con una velocidad el fuente, ¿cuál es la diferencia de velocidad de las partes
del frente de onda que viajan en direcciones opuestas?
3. ¿Es válido en la relatividad el concepto de un fluido ¿Cuál es la velocidad relativa de una de estas porciones
incompresible? ¿Y qué decir de los cuerpos perfectamente del frente de onda con respecto a la otra?
rígidos?
8. Tomando prestadas dos frases de Hermán Bondi, podemos
4. Un quasar (objeto casi estelar) se aleja de la Tierra a la captar la esencia de los dos postulados de Einstein titulán­
mitad de la velocidad de la luz. ¿Cuál es la velocidad, dolos: (1) el principio de “la inaplicabilidad de la veloci­
con respecto a la Tierra, de la luz que detectamos vinien­ dad” y (2) el principio de “la unicidad de la luz”. ¿En qué
do de él? sentido es inaplicable la velocidad y única la luz en estas
dos aseveraciones?
5. Los quásares son los objetos más intrínsecamente lumino­
sos del universo. Muchos de ellos fluctúan en brillo, a
menudo en una escala de tiempo de un día más o menos.

542 Capítulo 21 La teoría especial de la relatividad equivalente. ¿Son el tiempo y el espacio fundamentalmen­
te de la misma naturaleza, o existe alguna diferencia
9. Un rayo de láser incide en ángulo recto sobre un espejo esencial entre ellos que sea preservada aun en la relati­
plano y se refleja en él. ¿Cuál es la velocidad del rayo vidad?
reflejado si el espejo está (a) fijo en el laboratorio y (6) 19. En la “paradoja de los gemelos”, explique (en términos de
moviéndose directamente hacia el láser con velocidad u? latidos del corazón, actividades físicas y mentales, y así
sucesivamente) por qué el gemelo que regresa más joven
10. Dé un ejemplo de la física clásica en el que el movimiento no ha vivido más tiempo que su tiempo propio, aun cuando
de un reloj afecta su pulsación, esto es, la manera en que el hermano que se quedó en casa pueda decir que sí lo hizo.
marcha. (La magnitud del efecto puede depender de la ¿Explique por tanto la frase: “Envejeces de acuerdo con
naturaleza detallada del reloj.) tu tiempo propio”.

11. Si bien en la relatividad (donde el movimiento es relativo 20. ¿Podemos sustituir simplemente a ym por m en las ecua­
y no absoluto) encontramos que “los relojes en movimien­ ciones clásicas para obtener las ecuaciones relativistas
to se atrasan”, este efecto no tiene nada que ver con que correctas? Dé ejemplos.
el movimiento altere la manera en que trabaja un reloj.
¿Con qué tiene que ver? 21. Si las partículas con masa cero tienen una velocidad c en
un marco de referencia, ¿pueden encontrarse en reposo en
12. Hemos visto que si varios observadores registran dos cualquier otro marco? ¿Pueden tales partículas tener cual­
sucesos, titulados A y B, uno de ellos puede decir que el quier velocidad diferente de c?
suceso A ocurrió primero, pero el otro puede decir que fue
el suceso B que sucedió primero. ¿Qué le diría usted a un 22. Un partícula con masa cero (un neutrino, posiblemente)
amigo que le preguntase qué suceso ocurrió realmente puede transportar ímpetu. Pero, según la ecuación 23, p =
primero? hiv/ / 1 - v2/c2 , el ímpetu es directamente proporcional a
la masa y, por lo tanto, debería ser cero cuando la masa es
13. Dos sucesos ocurren en el mismo lugar y al mismo tiempo cero. Explique.
para un observador. ¿Serían los sucesos simultáneos para
todo observador? ¿Ocurrirían en el mismo lugar para todo 23. ¿En cuántas expresiones relativistas puede usted pensar
observador? en los que el factor Lorentz y intervenga como un simple
multiplicador?
14. Dos sucesos son simultáneos pero separados en el espacio
en un marco de referencia inercial. ¿Serían simultáneos en 24. ¿Es la masa de unapartícula estable, compuesta (un núcleo
cualquier otro marco? ¿Sería su separación espacial la de oro, por ejemplo) más grande que, igual a, o menor que
misma en cualquier otro marco? la suma de las masas de sus componentes? Explique.

15. Hagamos que el suceso A sea la salida de un aeroplano 25. “La masa del electrón es de 0.511 MeV”. ¿Qué significa
desde San Francisco y que el evento B sea su llegada a exactamente esta afirmación?
Nueva York. ¿Es posible hallar dos observadores que
discrepen respecto al orden en el tiempo de estos sucesos? 26. “La relación E0 = mc2 es esencial en la operación de una
Explique. planta de potencia basada en la fisión nuclear, pero tiene
únicamente una importancia despreciable en una planta de
16. Dos observadores, uno en reposo en S y el otro en reposo combustible fósil”. ¿Es ésta una afirmación verdadera?
en S', llevan cada uno una vara de medir orientada para­ Explique por qué o por qué no.
lelamente a su movimiento relativo. Cada observador
halla después de medir que la vara de medir del otro 27. Una planta hidroeléctrica genera electricidad porque el
observador es la más corta de las dos. ¿Le parece esto una agua cae bajo la acción de la gravedad a través de una
paradoja? Explique (Sugerencia: Compare con la situa­ turbina, haciendo girar por tanto a la flecha de un genera­
ción siguiente. Harry le dice adiós a Walter quien está en dor. De acuerdo con el concepto de masa-energía, ¿debe
la parte trasera de una vagoneta que se aleja de Harry. ser identificada la generación de energía (la electricidad)
Harry dice que Walter se vuelve más pequeño. Walter dice con una disminución de masa en alguna parte? De ser así,
que Harry se vuelve más pequeño. ¿Están midiendo la ¿dónde?
misma cosa?
28. Algunos dicen que la relatividad complica las cosas. Dé
17. ¿Cómo interviene el concepto de simultaneidad en la ejemplos de lo contrario, o sea, donde la relatividad las
medición de la longitud de un objeto? simplifique.

18. En la relatividad las coordenadas de tiempo y espacio
están entrelazadas y tratadas sobre una base más o menos

PROBLEMAS laboratorio no es estrictamente un marco inercial porque
una partícula situada en reposo allí no permanece, en
Sección 21-3 Consecuencias de los postulados de Einstein generai, en reposo; caería debido a la gravedad. Sin em-
1. Independientemente de los efectos debidos a los movi­
mientos rotatorio y orbital de la Tierra, un marco de

Problemas 543

bargo, a menudo los sucesos acontecen tan rápidamente 0.99c. En un marco de referencia en el cual estén en
que podemos ignorar la caída libre y tratar al marco reposo, los piones tienen una vida media 26 ns. Medido
como inercial. Considérese, por ejemplo, un electrón de en un marco fijo respecto a la Tierra, ¿a qué distancia se
1.0 MeV (para el cual v =0.941c) lanzado horizontalmen­ moverá este pión típico a través de la atmósfera antes de
te hacia una cámara de pruebas del laboratorio y movién­ desintegrarse?
dose una distancia de 20 cm. (a) ¿Cuánto tiempo tomaría?, 11. Un satélite debe tener una velocidad de unos 7.91 km/s
y (b) ¿cuánto caería el electrón durante este intervalo? para rodear a la Tierra en una órbita baja. Supongamos que
¿Qué podemos concluir respecto a la idoneidad del labo­ dos de tales satélites giran en tomo a la Tierra en direccio­
ratorio como un marco inercial en este caso? nes opuestas, (á) ¿Cuál es su velocidad relativa al encon­
2. Un electrón de 100 MeV, para el cual v =0.999987c, se trarse? Evalúe usando la ecuación clásica de Galileo para
mueve a lo largo del eje de un tubo al vacío que tiene una la transformación de velocidades, (ti) ¿Qué error fraccio­
longitud de 2.86 m medido por un observador S en el nario se cometió a causa de no haber usado la ecuación
laboratorio respecto al cual el tubo está en reposo. Un relativista (correcta) de la transformación?
observador S' que se mueva con el electrón, sin embargo,
vería que este tubo pasa moviéndose con una velocidad v. Sección 21-4 La transformación de Lorentz
¿Qué longitud del tubo mediría este observador?
3. Una barra que está paralela al eje x del marco de referen­ 12. ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ¡3de la velocidad si
cia S, se mueve a lo largo de este eje con una velocidad de el factor yde Lorentz es de (a) ¿1.01? (ti) ¿10.0? (c) ¿100?
0.632c. Su longitud en reposo es 1.68 m. ¿Cuál será su (d) ¿1000?
longitud medida en el marco S?
13. Halle el parámetro de la velocidad de una partícula a la
4. La vida media de los muones frenados por un bloque de que le toma dos años más que a la luz viajar una distancia
plomo en el laboratorio es de 2.20 /j s . La vida media de 6.0 años luz.
de muones de alta velocidad en una ráfaga de rayos cós­
micos observado desde la Tierra es de 16 ¡j s . Halle la 14. El observador S asigna a un suceso las coordenadas x =
velocidad de estos muones en los rayos cósmicos. 100 km, t = 200 /js. Halle las coordenadas de este suceso
en el marco S', el cual se mueve en la dirección de la x
5. Una partícula inestable de alta energía entra a un detector creciente con una velocidad de 0.950c. Suponga que x =
y deja un rastro de 1.05 mm de longitud antes de desinte­ x' en t =t‘ =0.
grarse. Su velocidad con relación al detector era 0.992c.
¿Cuál es su vida media propia? Es decir, ¿cuánto tiempo 15. El observador S reporta que ocurrió un evento en el eje x
duraría antes de desintegrarse habiendo estado en reposo en x = 3.20 * 108m al tiempo t = 2.50 s. (a) El observador
con respecto al detector? S' se mueve en dirección de x creciente con una velocidad
de 0.380c. ¿Qué coordenadas reportaría S' para el suceso?
6. Se mide que la longitud de un vehículo espacial es exac­ (ti) ¿Qué coordenadas reportaría S" si S" se estuviera
tamente la mitad de su longitud en reposo, (a) ¿Cuál es la moviendo en la dirección de x decreciente con la misma
velocidad del vehículo con relación al marco del observa­ velocidad?
dor? (Jb) ¿Por qué factor se atrasan los relojes del vehículo,
comparados con los relojes en el marco del observador? 16. El marco inercial S' se mueve con una velocidad de 0.60c
con respecto al marco S en la dirección de x creciente. En
7. Una partícula se mueve a lo largo del eje x' del marco S' el marco S, el evento 1 ocurre en el origen en t = 0, y el
con una velocidad de 0.413c. El marco S' se mueve con evento 2 ocurre sobre el eje x en x - 3.0 km y en / = 4.0 /j s .
una velocidad de 0.587c con respecto al marco S. ¿Cuál ¿Qué tiempos de ocurrencia registra el observador S' para
es la velocidad de la partícula medida en el marco S? estos mismos sucesos? Explique la inversión del orden en
el tiempo.
8. El marco S' se mueve con relación al marco S a 0.620c en
la dirección de la x creciente. En el marco S' se mide que 17. Un experimentador dispara dos bulbos de destellos simul­
una partícula tiene una velocidad de 0.470c en la dirección táneamente, un destello azul situado en el origen de su
de x' creciente, (a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula marco de referencia y un destello rojo en x = 30.4 km. Un
con respecto al marco S? (ti) ¿Cuál sería la velocidad de segundo observador, que se mueve con una velocidad de
la partícula con respecto a S si se movió (a 0.470c) en 0.247c en la dirección de x creciente, ve también los
dirección de lax' decreciente en el marco S'? En cada caso, destellos, (á) ¿Qué intervalo de tiempo entre ellos encuen­
comparar las respuestas con las predicciones de la ecua­ tra el segundo observador? (ti) ¿Cuál destello ocurre pri­
ción clásica de la transformación de velocidades. mero para este observador?

9. Un vehículo espacial de 130 m de longitud en reposo pasa 18. Derive las ecuaciones 17 para la transformación inversa
por una estación cronometradora con una velocidad de de Lorentz invirtiendo algebraicamente las ecuaciones de
0.740c. (a) ¿Cuál es la longitud del vehículo medida por la transformación de Lorentz, ecuaciones 14.
la estación? (ti) ¿Qué intervalo de tiempo registrará la
estación entre el paso de los extremos frontal y trasero de Sección 21-6 La transformación de las velocidades
la nave?
19. Supóngase que el observador S dispare un haz de luz en
10. En los estratos altos de la atmósfera de la Tierra se crea la dirección y (vx = 0, uy = c). El observador S' se está
un pión al chocar una partícula incidente de rayos cósmi­ moviendo con una velocidad u en la dirección jc. (á) Halle
cos de alta energía con un núcleo atómico. El pión así las componentes vx' y uj de la velocidad del haz de luz de
formado desciende hacia la Tierra con una velocidad de

544 Capítulo 21 La teoría especial de la relatividad desde el marco S, viaje a lo largo del eje y de ese marco
con una velocidad de 0.780c. ¿Cuál es su velocidad (mag­
acuerdo con S', y (b) demuestre que S' mide una velocidad nitud y dirección) medida en el marco S'l
de c para el haz de luz.
20. Un protón de rayos cósmicos se acerca a la Tierra a lo largo 25. En la figura 24, A y B son trenes sobre vías perpendicula­
de su eje con una velocidad de 0.787c hacia el Polo Norte res, que parten de la estación S. Las velocidades se refieren
y otro, con velocidad 0.612c, hacia el Polo Sur. Véase la al marco de la estación (marco S). (a) Halle v,s, la veloci­
figura 23. Halle la velocidad de acercamiento relativa de dad del tren B con respecto al tren A. (b) Halle v„, la
una partícula respecto a la otra. (Sugerencia:Es de utilidad velocidad del tren A con respecto al tren B.Comente el
considerar a la Tierra y a una de las partículas como los hecho de que estas dos velocidades relativas no apuntan
dos marcos inerciales de referencia.) en direcciones opuestas.

N

Figura 23 Problema 20. ■ “ t>----- E
0.800c
21. Se reporta que la galaxia A está retrocediendo con respec­
to a nosotros con una velocidad de 0.347c. La galaxia B, Figura 24 Problema 25.
situada precisamente en la dirección opuesta, está tam­
bién retrocediendo con respecto a nosotros con la misma Sección 21-7 Consecuencias de la transformación
velocidad. ¿Qué velocidad de retroceso hallaría un obser­ de Lorentz
vador en la galaxia A (a) para nuestra galaxia y (b) para
la galaxia B? 26. Un electrón se mueve con una velocidad tal que podría
rodear a la Tierra por el ecuador en 1 s. (a) ¿Cuál es su
22. Por las mediciones del corrimiento al rojo de la luz emiti­ velocidad, en términos de la velocidad de la luz? (b) ¿Sin
da se concluye que el quasar Ql se aleja de nosotros energía cinética K? (c) ¿Qué porcentaje de error comete­
con una velocidad de 0.788c. El quasar Q2, que está en mos al usar la fórmula clásica para calcular K?
la misma dirección en el espacio pero más cerca de noso­
tros, se aleja de nosotros con una velocidad de 0.413c. 27. El radio en reposo de la Tierra es de 6370 km y su
¿Qué velocidad de Q2 mediría un observador situado velocidad orbital respecto al Sol es de 29.8 km/s. ¿En
en <?,? cuánto parecería acortarse el diámetro de la Tierra para un
observador estacionarios de modo que pueda ver pasar a
23. A un vehículo espacial, en reposo en cierto marco de re­ la Tierra con esta velocidad?
ferencia S, se le da un incremento de velocidad de 0.500c.
Luego recibe un incremento adicional de 0.500c en este 28. Un aeroplano cuya longitud en reposo es de 42.4 m se
nuevo marco, y este proceso continúa hasta que su velo­ mueve respecto a la Tierra con una velocidad constante
cidad respecto a su marco original S sea de 0.999c. ¿Cuán­ de 522 m/s. (a) ¿En qué fracción de su longitud en reposo
tos incrementos se requieren? le parecería haberse acortado a un observador situado
en la Tierra? (b) ¿Cuánto tiempo tomaría según los relo­
24. Un núcleo radiactivo se mueve con una velocidad cons­ jes de la Tierra para que el reloj del aeroplano se atrase
tante de 0.240c a lo largo del eje x de un marco de 1 fjsl (Suponga que se aplica únicamente la relatividad
referencia S fijo respecto al laboratorio. Se desintegra especial).
emitiendo un electrón cuya velocidad, medida en un mar­
co de referencia S' que se mueve con el núcleo, es de 29. Un vehículo espacial cuya longitud en reposo es de 358 m
0.780c. Considérense primero los casos en que el electrón tiene una velocidad de 0.728c respecto a un cierto marco
emitido viaje (a) a lo largo del eje xx' común y (b) a lo de referencia. Un micrometeorito, con una velocidad de
largo del eje y' y halle, para cada caso, su velocidad 0.817c en este marco, encuentra al vehículo espacial en
(magnitud y dirección) medida en el marco S. (c) Sin una trayectoria antiparalela. ¿Cuánto tiempo le toma a este
embargo, supóngase que el electrón emitido, visto ahora micrometeorito pasar al vehículo espacial?

30. Un reloj se mueve a lo largo del eje x con una velocidad
de 0.622c e indica cero al pasar por el origen, (a) Calcule

el factor de Lorentz. (ti) ¿Qué tiempo indica el reloj Problemas 545
cuando pase por x= 183 m?
31. Un observador S ve un destello de luz roja a 1210 m y un 39. Calcule el parámetro de velocidad de una partícula con un
destello de luz azul a 730 m sobre la misma línea recta. S ímpetu de 12.5 MeV/c si la partícula es (á) un electrón y
mide que el intervalo de tiempo entre el disparo de los (ti) un protón.
destellos es de 4.96 ¡j s , ocurriendo primero el destello
rojo, (a) Halle la velocidad relativa (magnitud y dirección) Sección 21-9 Energía relativista
de un segundo observador S' que registre que estos deste­
llos ocurren en el mismo lugar, (ti) Según el punto de vista 40. Halle el parámetro p de la velocidad y el factor y de
de S', ¿cuál destello ocurre primero y cuál es el interva­ Lorentz para un electrón cuya energía cinética es (a)
lo de tiempo medido entre destellos? 1.0 keV, (ti) 1.0 MeV, y (c) 1.0 GeV.

32. Considere el problema anterior. Suponga ahora que el 41. Halle el parámetro (3de la velocidad y el factor de Lorentz
observador S vea los dos destellos en las mismas po­ para una partícula cuya energía cinética es 10 MeV si la
siciones que en ese problema pero ocurriendo más cer­ partícula es (a) un electrón, (ti) un protón, y (c) una par­
ca entre sí en cuanto a tiempo. ¿A qué distancia en tícula alfa.
tiempo pueden estar entre sí y todavía tener la posibili­
dad de hallar un marco S' en el que ocurran en el mismo 42. Una partícula tiene una velocidad de 0.990c en el marco
lugar? de referencia de un laboratorio. ¿Cuáles son su energía
cinética, su energía total, y su ímpetu si la partícula es (á)
33. Un viajero del espacio despega de la Tierra y se mueve un protón o (ti) un electrón?
con una velocidad de 0.988c hacia la estrella Vega, que
está a una distancia de 26.0 años luz. ¿Cuánto tiempo 43. Se cree que los quásares son los núcleos de galaxias
habrá pasado en los relojes de la Tierra (a) cuando el activas en las etapas iniciales de su formación. Un quasar
viajero llegue a Vega y (ti) cuando los observadores en la típico irradia energía a razón de 1.20 x IO41W. ¿En qué
Tierra reciban su aviso de haber llegado? (c) ¿Qué tanto razón se está reduciendo la masa de este quasar para
más viejo calcularán los observadores en la Tierra que sea suministrar esta energía? Exprese su respuesta en unida­
el viajero al llegar a Vega de lo que era cuando inició el des de masa solar por año, en donde una unidad de masa
viaje? solar (ums) es la masa de nuestro Sol.

34. Usted desea hacer un viaje redondo desde la Tierra en 44. Calcule la velocidad de una partícula (á) cuya energía
un vehículo espacial, viajando con una velocidad constan­ cinética sea igual al doble de su energía en reposo y (ti)
te en línea recta durante 6 meses y regresando luego con cuya energía total sea igual al doble de su energía en
la misma velocidad constante. Además, usted desea, a reposo.
su retomo, hallar a la Tierra como si estuviese a 1000 años
en el futuro, (a) ¿Qué tan rápidamente tendría que viajar? 45. Halle el ímpetu de una partícula de masa m para que su
(ti) ¿Importa o no que el viaje haya sido en línea recta? Si, energía total sea tres veces su energía en reposo.
por ejemplo, usted viajase en un círculo durante 1 año,
¿hallaría aún al retomar que habían transcurrido 1000 años 46. Use las velocidades dadas en la figura 19 en el marco S' y
en los relojes de la Tierra? demuestre que, de acuerdo con S', las energías cinéticas
antes y después de la colisión, calculadas clásicamente,
35. Los observadores S y S' están en el origen de sus mar­ están dadas por las ecuaciones 26.
cos respectivos, los cuales se mueven uno con relación
al otro con una velocidad de 0.600c. Cada uno tiene un 47. Reconsidere la colisión mostrada en la figura 19. Usando
reloj ordinario, el cual, como es lo usual, ponen a cero la ecuación 27 de la energía cinética relativista, calcule las
cuando coincidan los dos orígenes. El observador S man­ energías cinéticas inicial y final en el marco S‘ y a partir
tiene visualmente al reloj S' a la vista, (a) ¿Qué tiempo de allí demuestre que la energía cinética se conserva en
registrará el reloj S' cuando el reloj S registre 5.00 us? (ti) este marco así como en el marco S.
¿Qué tiempo leerá realmente el observador S en el reloj
S' cuando el reloj S indique 5.00 /js? 48. Considere lo siguiente, moviéndose todo en el espacio
libre: un fotón de 2.0 eV, un electrón de 0.40 MeV, y
36. (a) Puede una persona, en principio, viajar desde la Tierra un protón de 10 MeV. (á) ¿Cuál se está moviendo más
hasta el centro galáctico (que está a alrededor de 23,000 rápidamente? (ti) ¿Cuál más lentamente? (c) ¿Cuál tiene
años luz de distancia) en un ciclo de vida normal? Expli­ el ímpetu más grande? (d) ¿Cuál el momento más peque­
que, usando los argumentos ya sea de dilatación del tiem­ ño? (Nota: Un fotón es una partícula de luz de masa cero.)
po o de contracción de la longitud, (ti) ¿Qué velocidad
constante necesitaría esa persona para efectuar el viaje en 49. (a) Si la energía cinética K y el ímpetu p de una partícula
30 años (tiempo propio)? pueden medirse, sería posible hallar su masa m y por lo
tanto identificar a la partícula. Demuestre que
Sección 21-8 ímpetu relativista
(ti) ¿A qué se reduce esta expresión cuando v¡c -» 0, en
37. Demuestre que 1 kg •m/s = 1.875 x 1021MeV/c donde y es la velocidad de la partícula? (c) Halle la masa
de una partícula cuya energía cinética es de 55.0 MeV y
38. Una partícula tiene un ímpetu igual a me. Calcule su cuyo ímpetu es de 121 MeV/c; expresar su respuesta en
velocidad. términos de la masa nicdel electrón.
50. En una colisión de alta energía de una partícula primaria
de rayos cósmicos cerca de la parte superior de la atmós­
fera de la Tierra, a 120 km sobre el nivel del mar, se crea

546 Capítulo 21 La teoría especial de la relatividad de esta manera protones de 100 GeV? (c) ¿Qué energía se
requerirá de los protones para disponer de 100 GeV?
un pión con una energía total de 135 GeV, que viaja (Nota: Compare sus respuestas con las del problema 56,
verticalmente hacia abajo. En su marco propio este pión que describe otra situación de bombardeo, aunque menos
se desintegra 35.0 ns después de su creación. ¿A qué eficaz en cuanto a la energía.)
altitud sobre el nivel del mar ocurre la desintegración? La 56. (a) Un protón, de masa m, acelerado en un sincrotrón de
energía en reposo de un pión es de 139.6 MeV. protones a una energía cinética K choca con un segundo
51. ¿Cuánto trabajo es necesario efectuar para aumentar la protón (el blanco) en reposo en el laboratorio. La colisión
velocidad de un electrón desde (a) 0.18c hasta 0.19c y (tí) es enteramente inelástica y en ella está disponible la
0.98c hasta 0.99c? Nótese que el aumento de velocidad energía de reposo de los dos protones, más toda la energía
(= 0.01c) es el mismo en cada caso. cinética consistente con la ley de la conservación del
52. Dos partículas idénticas, de 1.30 mg de masa cada una, ímpetu, para generar nuevas partículas y dotarlas de ener­
que se mueven con velocidades de 0.580c, iguales pero gía cinética. Demuestre que la energía disponible para este
opuestas, en el marco de referencia del laboratorio, chocan propósito está dada por
y se quedan pegadas. Halle la masa de la partícula resul­
tante. E— =2mc2y l l + { é ? ) -
53. Una partícula de masa m que viaja con una velocidad
relativista choca en una colisión completamente inelástica (tí) ¿De cuánta energía se dispone cuando se usan de este
con una partícula idéntica que inicialmente está en reposo. modo protones de 100 GeV? (c) ¿Qué energía se requerirá
Halle (a) la velocidad de la partícula única resultante y (tí) de los protones para disponer de 100 GeV? (Nota: Com­
su masa. Exprese sus respuestas en términos del factor de párese con el problema 55).
Lorentz y de la partícula incidente. 57. (a) Considere la desintegración del kaón descrito en el
54. (a) Suponga que tenemos a una partícula acelerada desde problema muestra 8, pero use un marco de referencia
el reposo por la acción de una fuerza F. Suponiendo que (el marco del centro de masa) en el que los kaones es­
la segunda ley de Newton para una partícula, F = dpjdt, tén inicialmente en reposo. Demuestre que los dos pio­
sea válida en la relatividad, demuestre que la energía nes emitidos en la desintegración viajan en direcciones
cinética final K puede escribirse, usando el teorema traba­ opuestas con velocidades iguales de 0.827c. (tí) ¿Cuál es
jo-energía, como K = J v dp. (tí) Usando la ecuación 23 la velocidad de los kaones originales observados en el
del ímpetu relativista, demuestre que llevando a cabo la marco del laboratorio? (c) Suponga que los dos piones son
integración en (a) obtenemos la ecuación 27 de la energía emitidos en el marco del centro de masa con velocidades
cinética relativista. de vx’ = +0.827c y u' = -0.827c. Calculando las velocida­
55. (a) En la física moderna experimental de alta energía, se des correspondientes en el marco del laboratorio, demues­
hace que partículas energéticas circulen en direcciones tre que las energías cinéticas en el marco del laboratorio
opuestas en anillos llamados de almacenamiento y se son idénticas a las halladas en la solución del problema
permite que choquen de frente. En esta situación cada muestra 8.
partícula tiene la misma energía cinética K en el laborato­ 58. Una partícula alfa con una energía cinética de 7.70 MeV
rio. Las colisiones pueden considerarse totalmente inelás­ choca con un núcleo de 14N en reposo. Se producen un
ticas, en que la energía en reposo de las dos partículas que núcleo de l70 y un protón, el protón emitido a 90° con la
chocan, más toda la energía cinética disponible, puede ser dirección de la partícula alfa incidente y transportando una
usada para generar nuevas partículas y dotarlas de energía energía cinética de 4.44 MeV. Las energías en reposo
cinética. Demuestre que la energía disponible en esta de las diversas partículas son: partícula alfa, 3730.4 MeV;
situación puede escribirse en la forma 14N, 13,051 MeV; protón, 939.29 MeV; ,70 , 15,843 MeV.
(a) Halle la energía cinética del núcleo de 170. (tí) ¿Con
donde m es la masa de las partículas que chocan, (tí) ¿De qué ángulo respecto a la dirección de la partícula alfa
cuánta energía se puede disponer cuando se emplean incidente se mueve el núcleo de l70?

CAPÍTULO 22
TEMPERATURA

Hasta aquí hemos tratado, en su momento, la mecánica de las partículas aisladas, los sistemas
de partículas, los cuerpos rígidos, y losfluidos. En cada caso, hemos utilizado de unaforma u
otra las leyes de Newton para analizar la dinámica del sistema y estudiar a la vez los
movimientos de la partícula por separado o los movimientos de los elementos del sistema.

A partir de este capítulo, ampliamos ahora nuestraperspectiva para tratar con sistemas que
resultan demasiado complejos comopara tratarlos en términos del movimiento de lapartícula
por separado. Estos sistemas aparecen por lo general desordenados debido al gran número de
partículas implicadas y alas muy diferentes maneras en que pueden compartir la energía del
sistema. Para analizar estos sistemas hacemos uso de los principios de la termodinámica. En
nuestro estudio de la termodinámica definiremos un nuevo conjunto de variablesfísicas para
describir el estado de un sistema, y deduciremos un nuevo conjunto de leyes que rigen el
comportamiento de los sistemas. También demostraremos cómo pueden entenderse estas
nuevas leyes sobre la base de nuestras leyes previas de la mecánica.

Un concepto central de la termodinámica es la temperatura. En este capítulo damos la
definición de la temperatura y exponemos laforma de medirla.

H ",

22-1 DESCRIPCIÓN MACROSCÓPICA pequeño de propiedades del conjunto que sean mensura­
Y DESCRIPCIÓN MICROSCÓPICA bles por medio de operaciones relativamente sencillas
llevadas a cabo en el laboratorio? En el caso de un gas
Un litro de gas contiene unas 3 * 1022moléculas. Tome­ confinado en un recipiente, podemos realmente obte­
mos el caso más sencillo posible y tratemos a las mo­ ner tal descripción en términos de las cantidades macros­
léculas del gas como partículas puntuales que chocan cópicas, como presión, volumen, temperatura, cantidad
elásticamente entre sí y con las paredes del recipiente que de materia, y energía interna, entre otras. En sistemas
las contiene. Si especificamos la posición y la velocidad diferentes a un gas, podemos definir y medir diferentes
iniciales de cada partícula, podemos entonces aplicar las variables macroscópicas. Por ejemplo, en un material
leyes de Newton y deducir la posición y la velocidad de ferromagnético como el hierro, las partículas no interac-
cada partícula en cualquier momento futuro. Dada esa túan por fuerzas impulsoras en las colisiones sino por
información, podemos calcular ciertas propiedades men­ fuerzas magnéticas; en la descripción macroscópica de un
surables del sistema, tales como la fuerza impulsiva neta material ferromagnético, la magnetización debe ser in­
ejercida sobre un elemento de área del recipiente. Llama­ cluida entre las cantidades macroscópicas.
mos a esto la descripción microscópica del sistema. Pues­
to que el número de partículas es tan grande, nos resulta Usualmente las propiedades macroscópicas pueden
ventajoso tratar al sistema usando valores promedio de las medirse directamente en el laboratorio, por ejemplo, la
cantidades microscópicas. Este enfoque se llama mecáni­ presión de un gas confinado o la magnetización de un
ca estadística y se discute en el capítulo 24. trozo de hierro. Podemos también medir fácilmente la
variación de cualquiera de tales propiedades con la tem­
Un enfoque distinto se basa en la pregunta siguiente: peratura y derivar una ecuación de estado que describa la
¿Podemos describir al sistema, incluyendo sus interaccio­ dependencia de las variables macroscópicas entre sí.
nes mutuas con su entorno, en términos de un número
En cualquier sistema, las cantidades macroscópica y las
microscópicas deben relacionarse porque son modos sim­

548 Capítulo 22 Temperatura Figura 1 (a) Los sistemas A y B están separados por una
pared adiabática. Los sistemas tienen temperaturas diferentes
plemente diferentes de describir la misma situación. En Tay Tb. (b) Los sistemas A y B están separados por tina pared
particular, deberíamos ser capaces de expresarla una diatérmica. Los sistemas, por haber llegado al equilibrio
en términos de la otra. La presión de un gas, una cantidad térmico, tienen la misma temperatura T.
macroscópica, se mide operativamente usando un manó­
metro. Microscópicamente, la presión se relaciona con la
cantidad promedio por unidad de área en que las molécu­
las del gas liberan ímpetu al fluido del manómetro al
chocar con su superficie. En la sección 23-3 cuantificamos
esta definición microscópica de la presión. De igual forma
(véase la sección 23-4), la temperatura de un gas (cantidad
macroscópica también) se relaciona con la energía cinéti­
ca promedio de traslación de las moléculas.

Si las cantidades macroscópicas pueden expresarse en
términos de las cantidades microscópicas, entonces las
leyes de la termodinámica pueden expresarse cuantitati­
vamente en términos de la mecánica estadística. Esta
posibilidad es uno de los logros en el desarrollo de la
física. Este tema de la relación entre las variables macros­
cópicas y microscópicas surgirá con frecuencia según
avancemos en el estudio de la termodinámica.

22-2 TEMPERATURA Y EQUILIBRIO propiedades macroscópicas se aproximan a valores cons­
TÉRMICO tantes. Cuando ocurre esto, decimos que los dos sistemas
están en equilibrio térmico entre sí.
Consideremos los dos sistemas A y B ilustrados en la
figura la. Están “aislados” uno del otro y del entorno. Por Una manera de probar si los cuerpos están en equilibrio
“aislados” queremos decir que ni la energía ni la materia térmico es ponerlos en contacto a través de una pared
pueden entrar o salir de cualquiera de los sistemas. Por diatérmica y observar si las propiedades macroscópicas
ejemplo, los sistemas podrían estar rodeados por pare­ de los sistemas cambian con el tiempo después de haber
des hechas de placas gruesas de espuma de poliestireno sido puestos en contacto. Si con el tiempo no se observan
(styrofoam), las que supuestamente son tanto rígidas co­ cambios en las propiedades macroscópicas, los sistemas
mo impermeables. En este caso se dice que las paredes estaban originalmente en equilibrio térmico. Sin embargo,
son adiabáticas. (El término “adiabático” proviene del pudiera ser inconveniente y hasta imposible mover a los
griego y quiere decir “que no puede ser atravesado”. dos sistemas con el fin de ponerlos en contacto entre sí.
Así, “adiabático” puede entenderse como “aislante”.) Los (Los sistemas podrían ser demasiado voluminosos para
cambios en las propiedades de un sistema no tienen efecto moverlos fácilmente, o podrían estar separados por una
sobre el otro sistema. distancia muy grande.) Por lo tanto, generalizamos el
concepto de equilibrio térmico de modo que los sistemas
Podemos sustituir la pared adiabática que separa a /l y no necesariamente tienen que estar en contacto entre sí.
a B por otra que permita el flujo de la energía (Fig. Ib) en Se dice que los cuerpos separados están en equilibrio
una forma que conoceremos como calor. Un ejemplo térmico cuando están en estados tales que, si estuviesen
podría ser una lámina de cobre delgada pero rígida. Esta conectados, estarían en equilibrio térmico.
pared se llama diatérmica (Este término, que también
proviene del griego, significa que “el calor pasa a través La manera de probar si tales sistemas separados están
de él”, por lo que podemos tomarlo con la connotación de en equilibrio térmico es usar un tercer sistema C. Al poner
“conductor de calor”.) a C en contacto con/1 y luego con B, podríamos saber si A
y B están en equilibrio térmico sin poner en contacto di­
Cuando dos sistemas están en mutuo contacto a través recto a A y a B. Esto se resume en un postulado llamado la
de una pared diatérmica, el intercambio de energía causa ley cero de la termodinámica que se enuncia como sigue:
que las propiedades macroscópicas de los dos sistemas
cambien. Por ejemplo, si los sistemas son gases confina­ Si los sistemas A y B están cada uno en equilibrio
dos, la presión debería ser una de las cantidades macros­ térmico con un tercer sistema C, entonces A y B están
cópicas que cambian. Los cambios son relativamente en equilibrio térmico entre sí.
rápidos al principio, pero se vuelven cada vez más lentos
en el transcurso del tiempo, hasta que finalmente las Esta ley puede parecer simple, pero no es del todo
obvia. Si A, B, y C fueran personas, podría ser cierto que

A y C conocieran a B y que no se conocieran entre sí. Si A Sección 22-3 Medición de la temperatura 549
y C son trozos de hierro no imantados y B es un imán,
entonces A y C son ambos atraídos por B sin ser atraídos temperatura intermedia, la primera mano siente una tem­
entre sí. peratura más alta que la segunda. Puede tratar de ser un
poco más objetivo y comparar dos muestras diferentes del
A la ley cero se le ha llamado idea lógica tardía. Salió mismo material a temperaturas diferentes tocando cada
a la luz la década de 1930, mucho tiempo después de que muestra con la misma mano, la cual puede distinguir “lo
la primera y segunda leyes de la termodinámica hubieran más caliente” de “lo más frío”. Este procedimiento debe­
sido propuestas y aceptadas. Como veremos más adelante, ría revelar cuál de los dos objetos está a una temperatura
la ley cero define en efecto el concepto de temperatura, más alta, pero difícilmente es lo bastante cuantitativo
fundamental en las leyes primera y segunda de la termo­ como para que nos pueda dar la diferencia. Por lo tanto,
dinámica. La ley que establece la temperatura debería es necesario especificar cuidadosamente una manera ob­
tener un número más bajo; de aquí que se le llame ley cero. jetiva de medir la temperatura, lo cual cónstituye nuestro
objetivo en este capítulo.
La temperatura
En el uso práctico de la ley cero, deseamos identificar
Cuando dos sistemas están en equilibrio térmico, decimos al sistema C como un termómetro. Si el termómetro entra
que tienen la misma temperatura. A la inversa, la tempe­ por separado en equilibrio térmico con los sistemas A y B
ratura es aquella propiedad de un sistema que iguala a la e indica la misma temperatura, entonces podemos con­
de otro sistema cuando los dos sistemas están en equilibrio cluir que A y B están en equilibrio térmico y, por lo tanto,
térmico. Por ejemplo, supongamos que los sistemas son que tienen realmente la misma temperatura.
dos gases que inicialmente tienen temperatura, presión, y
volumen diferentes. Después de haber sido puestos en Otro postulado de la ley cero, más riguroso y más
contacto y esperado un tiempo lo suficientemente largo fundamental, es el siguiente:
para que lleguen al equilibrio térmico, sus presiones no
serán en general iguales, como tampoco sus volúmenes; Existe una cantidad escalar, llamada temperatura, que
sin embargo, sus temperaturas siempre serán iguales en el es una propiedad de todos los sistemas termodinámi­
equilibrio térmico. Sólo mediante este argumento basado cas en equilibrio. Dos sistemas están en equilibrio
en el equilibrio térmico puede introducirse en la termodi­ térmico si y sólo si sus temperaturas son iguales.
námica la noción de temperatura.
La ley cero define entonces el concepto de temperatura
Aunque la temperatura, en su uso cotidiano, es algo que y lo especifica como aquella propiedad macroscópica de
resulta familiar para todos nosotros, es necesario darle un un sistema que será igual a la de otro sistema cuando estén
significado preciso para que tenga valor como unidad de en equilibrio térmico. La ley cero nos permite construir y
medida científica. Nuestra noción subjetiva de la tempe­ usar los termómetros para medir la temperatura de un
ratura no es totalmente confiable. Por ejemplo, suponga sistema, ya que ahora sabemos que un termómetro en
que está usted sentado en su casa en una silla hecha contacto térmico con un sistema alcanzará una tempera­
parcialmente de tela, madera y metal. Toque las diversas tura común con el sistema.
partes de la silla para decidir cuál es “la más fría”, al decir,
cuál tiene la temperatura más baja. Es probable que llegue 22-3 MEDICION DE LA TEMPERATURA
usted a la conclusión de que las partes de metal son
las más frías. Sin embargo, cabría suponer que todas las En el capítulo 1 describíamos un procedimiento de dos
partes de la silla han estado en la sala el tiempo suficiente etapas para establecer un patrón de medición o estándar
como para estar en equilibrio térmico con el aire y, por lo de una cantidad física: definíamos una unidad básica, y
tanto, deberían tener la misma temperatura que el aire. Lo luego especificábamos un procedimiento para hacer com­
que usted examina, al tocar el metal, es no sólo la tempe­ paraciones con tal unidad básica. Por ejemplo, en el caso
ratura de la silla sino también la capacidad de ésta para del tiempo, definíamos a la unidad básica en términos de
conducir el calor proveniente de su mano (presumible­ la frecuencia de la luz de cierta longitud de onda emi­
mente más caliente). En este caso, su mano realiza una tida por los átomos de cesio. Para que pase 1 segundo se
medición subjetiva e incorrecta de la temperatura. Ade­ necesitan 9,192,631.770 de esas vibraciones. Contando el
más, ese juicio subjetivo cambiará con el tiempo, si man­ número de vibraciones correspondiente podemos usar (al
tiene su mano sobre el metal, cuando la mano y el metal menos en principio) esta escala para medir la vida media
alcancen el equilibrio térmico entre sí. humana o incluso la edad del universo.

Puede usted también examinar esa subjetividad que La temperatura es una de las siete unidades básicas
mencionamos mojando una mano en agua fría y la otra en (véase la tabla 1 del capítulo 1), por lo que podemos tratar
agua caliente. Comprobará que, al tomar un objeto de la temperatura como hemos tratado a otras unidades bási­
cas en el sistema SI: estableciendo un estándar y relacio­

550 Capítulo 22 Temperatura

nando a las demás escalas con el estándar. Sin embargo, en esta escala, elegimos dos puntos de calibración, defi­
la temperatura tiene una naturaleza diferente de la de otras nimos arbitrariamente las temperaturas T¡ y T2 en esos
unidades básicas en el SI, y, por lo tanto, este esquema no puntos, y medimos los valores correpondientes X, y X2 de
actuará realmente en esa forma simple. Por ejemplo, si la propiedad termométrica.
definimos a un periodo de vibración de la luz emitida por
un átomo de cesio como un patrón de tiempo, entonces Los ejemplos más conocidos de este tipo de escala son
dos de tales vibraciones duran el doble de tiempo, y las escalas Celsius y Fahrenheit usadas en los termóme­
cualquier intervalo de tiempo arbitrario puede ser, en tros comunes, en los que la sustancia termométrica suele
efecto, medido en términos del número de vibraciones. ser el mercurio y la propiedad termométrica puede ser su
Pero, incluso si definimos un estándar de temperatura, volumen, observado en la longitud de la columna de
como la del agua hirviendo en ciertas condiciones, no mercurio en un tubo delgado de vidrio. El comportamien­
tenemos un procedimiento para determinar una tempera­ to lineal significa en este caso que los intervalos entre las
tura el doble de grande. Después de todo, dos marmitas marcas de los grados en el tubo de vidrio de un termómetro
de agua hirviendo tienen la misma temperatura que una son de tamaño uniforme.
marmita. No existe forma aparente de usar sólo este patrón
para poder relacionar la temperatura del agua hirviendo Las escalas Celsius y Fahrenheit*
con la del aceite hirviendo, por ejemplo; ninguna cantidad
de agua en ebullición estará jamás en equilibrio térmico En casi todos los países del mundo se emplea la escala
con el aceite en ebullición. Celsius (también llamada escala de grados centígrados)
para todas las mediciones populares y comerciales y la
Para establecer una escala de medición de la tempera­ mayoría de las científicas. La escala Celsius se basó
tura adoptamos el procedimiento siguiente, que difiere del originalmente en dos puntos de calibración: el punto
procedimiento usual para las unidades básicas del SI: normal de congelación del agua, que se definió como 0°C,
buscamos una sustancia que tenga una propiedad que y el punto normal de ebullición del agua, que se definió
varíe con la temperatura, y medimos esa propiedad. La como 100°C. Estos dos puntos se emplearon para calibrar
sustancia que elegimos se llama sustancia termométrica, termómetros, y luego se dedujeron las demás temperatu­
y la propiedad que depende de la temperatura se llama ras por interpolación y extrapolación. Para expresar la
propiedad termométrica. Ejemplos de ello podrían ser el temperatura en la escala Celsius, la cifra dada debe ir
volumen de un líquido (como en el termómetro de mercu­ siempre acompañada del símbolo de grados (°).
rio con bulbo de vidrio común), la presión de un gas
mantenido a volumen constante, la resistencia eléctrica de La escala Fahrenheit emplea un grado más pequeño
un alambre, la longitud de una tira de metal, o el color del que la escala Celsius, y su cero se establece a una tempe­
filamento de una lámpara, todos los cuales varían con la ratura diferente. Originalmente se basó también en dos
temperatura. La elección de una de estas sustancias lleva puntos fijos, cuyo intervalo se dividió en 100 grados: el
a una escala individual de temperatura definida sólo para punto de congelación de una mezcla de hielo y sal, y la
esa sustancia y que no necesariamente concuerda con temperatura normal del cuerpo humano. En esta escala,
otras escalas de temperatura definidas de manera inde­ los puntos normales de congelación y de ebullición del
pendiente. Para eliminar esta discrepancia es necesario agua vienen a ser, respectivamente, 32°F y 212°F. La
adoptar estándares para la elección de determinada sus­ relación entre las escalas Celsius y Fahrenheit es
tancia termométrica, determinada propiedad termométri­
ca, y determinada relación entre esa propiedad y una Tf = f r c + 32. (2)
escala de temperatura universalmente aceptada. Cada es­
cala de temperatura por separado puede entonces ser También en la escala Fahrenheit, debe utilizarse el símbo­
calibrada contra la escala universal. En las secciones 22-4 lo de grados para expresar la temperatura como, por ejem­
y 26-5 describimos la escala universal aceptada. plo, 98.6°F (la temperatura normal del cuerpo humano).

Supongamos que nuestro termómetro está basado en un La conversión entre las escalas Fahrenheit y Celsius se
sistema en el cual medimos el valor de la propiedad lleva a cabo fácilmente recordando unos cuantos puntos
termométrica X. La temperatura T es alguna función de X,
T(X). Elegimos la relación más sencilla posible entre T y * Anders Celsius (1701-1744) fue un astrónomo sueco que,
X, la función lineal dada por además de desarrollar la escala de temperatura que lleva su

T(X) = aX + b, (1) nombre, hizo mediciones de la longitud del arco de un meridia­
no, lo cual sirvió para corroborar la teoría de Newton sobre el
donde deben ser determinadas las constantes a y b. Esta achatamiento de la Tierra en los polos. Daniel Fahrenheit (1686-
escala lineal significa que cada intervalo de temperatura 1736), contemporáneo de Celsius, fue un físico alemán que
AT corresponde al mismo cambio A X en el valor de la inventó los termómetros con líquidos de alcohol y de mercurio
propiedad termométrica. Para determinar una temperatura y los empleó para estudiar los puntos de ebullición y de conge­
lación de los líquidos.

Sección 22-3 Medición de la temperatura 551

respectivos, tales como el punto normal de congelación
(0°C = 32°F) y el punto normal de ebullición (100°C =
212°F) del agua, y haciendo uso de la igualdad entre un
intervalo de 5 grados en la escalá Celsius y un intervalo
de 9 grados en la escala Fahrenheit, lo cual expresamos
así:

9F° = 5C°. (3)

Obsérvese que estos intervalos se expresan como F° y C°,
y no como °F y °C. Las lecturas de la escala de temperatura
se dan en °F o en °C (grados Fahrenheit o grados Celsius);
las diferencias de lectura se dan en F° o en C° (grados
Fahrenheit o grados Celsius).

La escala Kelvin* Figura 2 La celda del punto triple del National Institute of
Standards and Technology (anteriormente la National Bureau
En la escala Kelvin, uno de los puiítos de calibración se of Standards) de Estados Unidos. La celda interior en forma
define en una temperatura de cero, donde la propiedad de U contiene agua pura y está sellada, después de haberse
termométrica tiene también un valor de cero; en efecto, la extraído de ella todo el aire. Está sumergida en un baño de
constante b de la ecuación 1 se establece como cero, en agua y hielo. El sistema está en el punto triple cuando el
cuyo caso hielo, el agua, y el vapor de agua están todos ellos presentes,
y en equilibrio, dentro de la celda. El termómetro que va a ser
T(X) = aX. (4) calibrado se inserta en el pozo central.

Para determinar una temperatura en esta escala necesita­ temperatura del gas ideal que se estudia en la sección
mos únicamente un punto P de calibración. En ese punto, siguiente. Así pues, se define que el kelvin es 1/273.16 de
se define que la temperatura es Tp y la propiedad termo- la temperatura del punto triple del agua. Con esta elección
métrica tiene el valor medido XP. En este caso del punto de calibración, la ecuación 6 resulta

y por lo tanto j\ p T(X) = (273.16 K ) - £ , (7)
T ( X ) = T P^ArP. ^tr

(6) donde Xtt es el valor de la propiedad termométrica en el
punto triple.
Siguiendo la norma general, escogemos para nuestra
calibración la temperatura a la cual coexisten en equilibrio Una temperatura determinada a partir de la ecuación 7
el hielo, el agua líquida, y el vapor de agua. Este punto, es válida únicamente para esa propiedad termométrica
que está muy cercano al punto normal de congelación del en particular; otras propiedades termométricas y sustan­
agua, se llama punto triple del agua (Fig. 2). Por acuerdo cias termométricas pueden dar lecturas de temperatura
internacional se ha establecido que la temperatura en el diferentes (véase al problema muestra 1). Para eliminar
punto triple sea esta confusión entre las lecturas de termómetros diferen­
tes, elegimos como norma aceptada un tipo de termómetro
7* = 273.16 K, en el que la temperatura pueda determinarse indepen­
dientemente de la naturaleza de la sustancia termométrica.
donde K (= kelvin) es la unidad básica en el SI para la Esta elección se trata en la sección siguiente.
temperatura en la escala absoluta, idéntica a la escala de
El tamaño del grado es el mismo en las escalas Cel­
* Lord Kelvin (William Thomson, 1824-1907) fue un físico e sius y Kelvin, pero el cero de la escala Celsius se desplaza a
ingeniero escocés que contribuyó fundamentalmente a una am­ un valor más conveniente. Hoy día ya no empleamos dos
puntos fijos para definir la escala Celsius; en cambio, la
plia variedad de temas, incluyendo no sólo la termodinámica escala Kelvin se define, y la relación entre la temperatura
sino también la ley de conservación de la energía, la electricidad Celsius Tc y la temperatura Kelvin T ahora se establece así:
y el magnetismo, la acústica, y la hidrodinámica. Sus contribu­
ciones científicas fueron conceptuadas como de enorme impor­ TC= T - 273.15. (8)
tancia en su época, por lo que, a su muerte, recibió sepultura en
la Abadía de Westminster, en Londres. Los puntos de congelación y de ebullición del agua se
miden ahora en la escala Kelvin y se convierten luego a

552 Capítulo 22 Temperatura

|runto normal da ebullición del agua 373 125 K qioo*c 212'F 1 la. Según la ecuación 7, sustancias termométricas diferen­
tes dan todas la misma temperatura en el punto triple,
- pero (como lo hemos visto en el problema muestra 1)
sus lecturas en otros puntos pueden diferir. Podríamos
1 íemoeratura normal del cuerno 310 15 K 37.0*C 98.6-F 1 imaginar efectuar una serie de mediciones en que simul­
1 Nivel de comodidad aceptado ÍS*F táneamente empleásemos propiedades termométricas dis­
293 K 20-C 1 tintas para determinar la temperatura de un sistema. Los
| Punto de congelación del agua 32.0*F resultados de tal prueba demostrarían que todos los ter­
273 15 K -0.00‘C mómetros dan lecturas diferentes. Podríamos continuar
eligiendo una propiedad termométrica en particular, tal
- como la resistencia de un alambre, y medir la temperatura
- del sistema usando diferentes clases de alambre, hechos
con materiales diferentes: de nuevo hallaríamos una am­
Pun'ode ebullición del nitrógeno liquide! 77 K m m m m : - 321"F | plia variación en las mediciones.

: Para obtener una escala de temperatura definida, de­
bemos elegir determinada clase de termómetro como
| Cero absoluto 0K ■27315'C 459 67"F I estándar. La elección se haría, no sobre la base de la
conveniencia experimental, sino averiguando si la escala
Figura 3 Comparación de las escalas Kelvin, Celsius, y de tem peratura definida por un termómetro en particular
Fahrenheit. es útil para formular las leyes de la física. La variación
de lecturas más pequeña se encuentra que es entre los
Celsius usando la ecuación 8. Los valores experimentales termómetros de gas a volumen constante que utilizan
son, respectivamente, 0.00°C y 99.975°C. La figura 3 gases diferentes, lo cual sugiere elegir un gas como
compara las escalas Fahrenheit, Celsius, y Kelvin. sustancia termométrica estándar. Sucede que cuando se
reduce la cantidad de gas y por lo tanto su presión, la
Problema muestra 1 La resistencia de cierto alambre de variación de las lecturas entre termómetros de gas que
platino aumenta en un factor de 1.392 entre el punto triple del usan diferentes clases de gas se reduce también. De aquí
agua y el punto de ebullición normal de ésta. Halle la tempera­ que parezca haber algo fundamental respecto al compor­
tura por resistencia del platino del agua en ebullición. tamiento de un termómetro a volumen constante que
contenga un gas a baja presión. Consideremos por lo
Solución Usamos la ecuación 7, con la resistencia R como la tanto las propiedades del termómetro de gas a volumen
propiedad termométrica X. No se nos da el valor de R^, pero constante.
sabemos que en el punto de ebullición del agua, R = 1.392/J,r.
Entonces Si el volumen de un gas se mantiene constante, su
presión depende de la temperatura y aumenta linealmente
T(R) = TtI = (273.16 K)( 1.392) = 380.2 K. con la elevación de la temperatura. El termómetro de gas
a volumen constante emplea la presión de un gas a volu­
-'M r men constante como la propiedad termométrica.

Este valor da la “temperatura por resistencia del platino” del La figura 4 muestra un diagrama del termómetro. Cons­
agua en ebullición. Otros termómetros darán valores diferentes; ta de un bulbo de vidrio, porcelana, cuarzo, platino, o una
por ejemplo, la temperatura del agua hirviendo según un termo- aleación de platino e iridio (dependiendo de la gama de
par de cobre-constantano es de 440 K. Cada una de estas lecturas temperaturas dentro de la cual se use), conectado por
es una temperatura determinada en una escala “propia”, válida medio de un tubo capilar a un manómetro de mercurio. El
únicamente para ese aparato. La temperatura aceptada del punto bulbo B que contiene algún gas es puesto dentro del baño
de ebullición normal del agua es de 373.125 K la cual se o entorno cuya temperatura T va a ser medida; al elevar o
determina usando el termómetro de gas a volumen constante bajar el recipiente de mercurio R, el mercurio en la rama
que se describe en la sección siguiente. izquierda del tubo en U puede hacerse coincidir con una
marca de referencia fija, manteniendo así a volumen cons­
22-4 LA ESCALA DE TEMPERATURA tante al gas confinado. La diferencia entre la presión p
DE UN GAS IDEAL del gas confinado en la rama izquierda del tubo y la
presión p 0 de la atmósfera en la rama derecha del tubo está
La temperatura de un sistema debe tener un valor bien indicada por la altura h de la columna de mercurio, y
definido, independiente del medio empleado para medir­ entonces

P = Po~Pgh, (9)

donde p es la densidad del mercurio en el manómetro.

DE LA B E P m i í C *

FAC'jT.TX:'} INCZM'ERIA

r;Er-■• UT.\\;ivN ro DE Sección 22-4 La escala de temperatura de un gas ideal 553
e o c x n v ír a íx á c ío n y b t s >..t o t s o s

0 20 40 60 80 100

Ptr (cm Hg)

Figura 4 Termómetro de gas a volumen constante. El bulbo Figura 5 Cuando se reduce la presión del gas nitrógeno en
B está sumergido en un baño cuya temperatura T va a ser un termómetro de gas a volumen constante de 80 cm de Hg a
medida. La diferencia entre la presión del gas en el bulbo y la 40 y luego a 20, la temperatura calculada para el sistema
presión atmosférica se determina por la altura h de la tiende a un límite que corresponde a una presión de 0. Otros
columna de mercurio. gases tienden al mismo límite, el cual es la temperatura T de
gas ideal del sistema. La gama completa de la escala vertical
es alrededor de 1 K para condiciones típicas.

En la práctica el aparato es muy elaborado, y debemos reduciendo la cantidad de gas en el bulbo y calculando la
llevar a cabo muchas correcciones, por ejemplo, (1) para temperatura T para cada nuevo valor más bajo de p u. Si
compensar el pequeño cambio de volumen debido a la graficamos los valores de T contra p u, podemos extrapolar
ligera contracción o expansión del bulbo y (2) para com­ la curva resultante hasta la intersección con el eje donde
pensar el hecho de que no se ha sumergido en el baño todo p u = 0. En la figura 5 se muestran los puntos-dato para el
el gas confinado (como el que se halla en el capilar). N2y la extrapolación en línea recta resultante.
Supongamos que se han efectuado todas las correcciones,
y que p es el valor corregido de la presión absoluta a la Repetimos este procedimiento con otros gases en el
temperatura del baño. Entonces la temperatura se da pro­ termómetro diferentes al nitrógeno, y obtenemos los re­
visionalmente por la fórmula sultados mostrados en la figura 5. Las líneas muestran que
las lecturas de la temperatura de un termómetro de gas a
T(p) — (273.16 K) — (a Kconstante). (10) volumen constante depende del gas empleado a valores
Ar ordinarios de la presión de referencia. Sin embargo, al
disminuir la presión de referencia, las lecturas de tempe­
Pongamos cierta cantidad de gas, por ejemplo nitróge­ ratura de los termómetros de gas a volumen constante que
no, dentro del bulbo de modo que cuando el bulbo esté empleen gases diferentes tienden al mismo valor T, el cual
rodeado de agua en el punto triple la presión p lrsea igual podemos considerar como la temperatura del sistema. El
a un valor definido, digamos 80 cm de Hg. Ahora sumer­ valor extrapolado de la temperatura depende sólo de las
gimos el bulbo en el sistema cuya temperatura T deseamos propiedades generales de los gases y no de un gas en
medir y, con el volumen mantenido constante en su valor particular. Por lo tanto, definimos la escala de tempera­
previo, medimos la presiónp del gas, según la ecuación 9, tura de gas ideal:
y calculamos la temperatura provisional T del sistema
usando la ecuación 10. El resultado de esta medición se T = (273.16 K) lím — (a V constante). (11)
indica con un punto en la figura 5. Regresemos ahora el a,—o pxt
termómetro a la celda de punto triple y retiremos algo de
gas, de modo que p trtenga un valor más pequeño, digamos Elegimos como termómetro estándar un termómetro de
40 cm de Hg. Regresamos luego el termómetro al sistema gas a volumen constante que use una escala de tempera­
desconocido, medimos el nuevo valor de p, y calculamos tura definida por la ecuación 11.
otra temperatura provisional T, indicada también en la
figura 5. Continuamos con este mismo procedimiento, Si la temperatura ha de ser en verdad una cantidad física
fundamental, una en la que las leyes de la termodinámica
puedan expresarse, es absolutamente necesario que su
definición sea independiente de las propiedades de mate­
riales específicos. Por ejemplo, no serviría que una canti-

554 Capítulo 22 Temperatura

TABLA 1 TEMPERATURAS DE ALGUNOS moléculas y la temperatura macroscópica, no cesa todo
SISTEMAS movimiento molecular en el cero absoluto de temperatura.
La conexión entre la temperatura y la energía cinética
Sistema Temperatura (K) molecular se basa en conceptos clásicos, mientras que la
teoría cuántica nos dice que existe un límite más bajo
Plasma en un reactor de pruebas de fusión 108 diferente de cero para la energía cinética molecular, aun
Centro del Sol 107 en el cero absoluto. Esta energía del punto cero no puede
Superficie del Sol 6 X 103 ser deducida a partir de los cálculos clásicos.
Punto de fusión del tungsteno 3.6 X 103
Punto de congelación del agua 2.7 X 102 La escala internacional de temperatura
Punto de ebullición normal del N2 77
Punto de ebullición normal del 4He 4.2 La medición precisa de una temperatura con un termóme­
Temperatura media del universo 2.7 tro de gas es una tarea difícil que requiere muchos meses
Refrigerador por dilución 3He - “He 5 X 10~3 de trabajo arduo en el laboratorio. En la práctica, el
Desimantación adiabática de la sal termómetro de gas se usa únicamente para establecer
10-3 ciertos puntos fijos que puedan ser empleados más tvde
paramagnética para calibrar otros termómetros secundarios más conve­
Enfriamiento por espín nuclear 2 X 10-* nientes.

dad básica como la temperatura dependiese de la dilata­ En el uso práctico, como en la calibración de termóme­
ción del mercurio, de la resistividad eléctrica del platino, tros industriales o científicos, ha sido adoptada la Escala
o de cualquier otra propiedad listada en algún manual. Internacional de Temperatura. Esta escala consta de un
Elegimos al termómetro de gas como nuestro instrumento grupo de procedimientos que proporcionan en la práctica
estándar precisamente porque en su operación no se hallan las mejores aproximaciones posibles a la escala Kelvin.
implicadas tales propiedades específicas de los materia­ La escala adoptada consta de un conjunto de puntos fijos,
les. Podemos usar cualquier gas y siempre obtendremos junto con los instrumentos que deben utilizarse para inter­
la misma respuesta. polar entre estos puntos fijos y extrapolarlos más allá del
punto fijo más alto. Aproximadamente, cada 20 años el
Si bien nuestra escala de temperatura es independiente Comité Internacional de Pesas y Medidas ha adoptado una
de las propiedades de cualquier gas determinado, sí de­ escala nueva; en la tabla 2 se muestran los puntos fijos de
pende, en cambio, de las propiedades de los gases en la más reciente (1990).
general (es decir, de las propiedades del así llamado gas
ideal). La temperatura más baja que puede ser medida con 22-5 DILATACIÓN TÉRMICA
un termómetro de gas es de alrededor de 1K. Para obtener
esta temperatura debemos emplear helio a baja presión, Sucede a menudo que podemos aflojar una tapa de metal
el cual permanece como gas a temperaturas más bajas que apretada de un frasco sometiéndola a la acción de un
cualquier otro gas. No podemos dar un significado expe­ chorro de agua caliente. Al elevarse la temperatura, la tapa
rimental a temperaturas por debajo de 1 K por medio de de metal se dilata ligeramente con relación al frasco de
un termómetro de gas. vidrio. No siempre es deseable la dilatación térmica, como
lo sugiere la figura 6. Todos hemos visto las juntas de
Nos gustaría definir una escala de temperatura de modo dilatación situadas en las calzadas de los puentes. Las
tal que sea independiente de las propiedades de cualquier tuberías de las refinerías suelen tener un bucle de expan­
sustancia en particular. En la sección 26-5 mostramos que sión, con el fin de que la tubería no se deforme al elevarse
la escala de temperatura termodinámica absoluta, llama­ la temperatura. Los materiales usados para obturaciones
da la escala Kelvin, es esa escala. Mostraremos también dentales tienen propiedades de dilatación similares a las
que la escala del gas ideal y la escala Kelvin son idénticas del esmalte de los dientes. En la fabricación de aeroplanos
en la gama de temperaturas en que puede ser empleado un se diseñan a menudo remaches y otros afianzadores de
termómetro de gas. Por esta razón usamos unidades kel­ modo que deban ser enfriados en hielo seco antes de su
vin para la temperatura del gas ideal, como ya lo hicimos inserción, dejando luego que se dilaten para lograr el
en la ecuación 11. La tabla 1 lista las temperaturas en ajuste perfecto. Los termómetros y los termostatos pueden
kelvin de varios cuerpos y procesos. estar basados en las diferencias de dilatación entre los
componentes de una laminilla bimetálica; véase la figu­
En la sección 26-5 mostraremos también que la escala ra 7. En un termómetro de tipo bastante común, la lami­
Kelvin tiene un cero absoluto de 0 K y que es imposible
enfriar un sistema por debajo de 0 K. El cero absoluto de
temperatura ha desafiado todos los intentos de alcanzarlo
experimentalmente, pero se han conseguido temperaturas
de cero absoluto dentro de un intervalo pequeño (10'8K).

Si bien existe una conexión directa, como lo veremos
en el capítulo 23, entre el movimiento microscópico de las

TABLA 2 PUNTOS FIJOS PRIMARIOS EN LA Sección 22-5 Dilatación térmica 555
ESCALA INTERNACIONAL DE
TEMPERATURAS DE 1990T Figura 6 Deformación de las vías de ferrocarril debida a la
dilatación térmica en un día muy caluroso. Las juntas de
Substancia Estado Temperatura (K) expansión entre los rieles de la vía pueden evitar esta
deformación.
Helio Punto de ebullición 3-5*
Hidrógeno Punto triple 13.8033
Hidrógeno Punto de ebullición* 17.025- 17.045c
Hidrógeno Punto de ebullición 20.26-20.28c
Neón Punto triple 24.5561
Oxígeno Punto triple 54.3584
Argón Punto triple 83.8058
Mercurio Punto triple 234.3156
Agua Punto triple 273.16
Galio Punto de fusión 302.9146
Indio Punto de congelación 429.7485
Estaño Punto de congelación 505.078
Cinc Punto de congelación 692.677
Aluminio Punto de congelación 933.473
Plata Punto de congelación 1234.93
Oro Punto de congelación 1337.33
Cobre Punto de congelación 1357.77

TVéase “The International Temperatura Scale of 1990 (ITS-90),” por
H. Preston-Thomas, Metrología, 27 (1990), pág. 3.
*Este punto de ebullición es a una presión de ¿ de atmósfera. Todos los
demás puntos de ebullición, de fusión, o de congelación, son a una
presión de 1 atm.
5La temperatura del punto de ebullición varía un poco con la presión
del gas encima del líquido. La escala de temperaturas da la relación
entre T y p que puede emplearse para calcular T para una p dada.

nilla bimetálica tiene forma helicoidal, de modo que se T = T0 T > To
enrolla y desenrolla con los cambios de temperatura;
véase la figura 8. Los conocidísimos termómetros de Figura 7 Laminilla bimetálica, que consta de una laminilla
líquido dentro de vidrio se basan en el hecho de que de latón y una laminilla de acero soldadas entre sí, a
líquidos tales como el mercurio o el alcohol se dilatan en temperatura T0. A temperaturas más altas de T0, la laminilla
un grado diferente (mayor) de lo que lo hacen sus reci­ se dobla como se muestra; a temperaturas más bajas se dobla
pientes de vidrio. en sentido opuesto. Muchos termostatos funcionan según este
principio, usando el movimiento del extremo de la laminilla
Podemos entender esta dilatación considerando un mo­ para formar o romper un contacto eléctrico.
delo sencillo de la estructura de un sólido cristalino. Los
átomos se mantienen juntos entre sí en un arreglo regular conduce a una dilatación de todo el cuerpo sólido. El
por medio de fuerzas eléctricas, que son como las que cambio en cualquier dimensión lineal del sólido, tal como
serían ejercidas por un conjunto de resortes que uniesen a su longitud, su ancho, o su espesor, se llama dilatación
los átomos. Podemos entonces formamos una imagen del lineal. Si la longitud de esta dimensión lineal es L, el
cuerpo sólido como si fuera un colchón de resortes mi­ cambio de temperatura AT causa un cambio de longitud
croscópicos (Fig. 9). Estos “resortes” son bastante rígidos A L. Por medio de la experimentación hallamos que, si AT
y no son ideales en absoluto (véase el problema 3 del es lo suficientemente pequeña, este cambio de longitud
capítulo 15), existiendo alrededor de 1023 de ellos por A L es proporcional al cambio de temperatura A T y a la
centímetro cúbico. Los átomos de los sólidos están vi­ longitud original L. Por lo tanto, podemos escribir
brando a cualquier temperatura. La amplitud de la vibra­
ción es de alrededor de 10'9cm, más o menos un décimo
de un diámetro atómico, y la frecuencia es de alrededor de
1013Hz.

Cuando aumenta la temperatura, los átomos vibran con
una amplitud mayor, y la distancia promedio entre los
átomos aumenta. (Véase el estudio de la base microscó­
pica de la dilatación térmica al final de esta sección.) Esto

556 Capítulo 22 Temperatura

Elemento bimetálico
helicoidal

Figura 8 termómetro basado en una laminilla bimetálica. Figura 9 Un sólido se comporta en muchos sentidos como
La laminilla tiene forma helicoidal, que se enrolla y si fuese una colección de átomos unidos por fuerzas elásticas
desenrolla al cambiar la temperatura. (representadas aquí por resortes).

Solución Partiendo de la ecuación 12, tenemos

A L = aL AT, ( 12) AT- AL _ 5 X 10-5 mm = 4.5 C°,
aL “ X 10-6/C°)(1.0 mm)
(11

donde a, llamada el coeficiente de dilatación lineal, tiene donde hemos usado el valor de a para el acero según la tabla 3.
valores diferentes para materiales diferentes. Reescribien- La temperatura durante el marcado debe mantenerse constante
do esta fórmula obtenemos dentro de unos 5°C, y la escala debe ser usada dentro del mismo
intervalo de la temperatura a la cual fue hecha.
a = A L/L (13)
AT Obsérvese que si se hubiera usado la aleación invar en lugar
de acero, podríamos obtener la misma precisión dentro de un
de modo que a tiene el significado de un cambio fraccio­ intervalo de temperatura de unos 75 C°; o, lo que es equivalente,
nario en longitud por grado de cambio de temperatura. si pudiéramos mantener la misma variación de la temperatura
(5 C°), podríamos obtener una precisión de unos 3 x 10"6mm
En rigor, el valor de a depende de la temperatura real
y de la temperatura de referencia elegida para determinar debido a los cambios de temperatura.___________________
a L (véase el problema 23). Sin embargo, su variación es
usualmente despreciable comparada con la precisión con En muchos sólidos, llamados isotrópicos, el porcen­
la que necesitan ser llevadas a cabo las mediciones. A taje del cambio en longitud para un cambio de tempera­
menudo es suficiente elegir un valor promedio que pueda tura dado es el mismo para todas las líneas del sólido.
ser tratado como una constante dentro de cierta gama de
temperaturas. En la tabla 3 se listan los valores experimen­ TABLA 3 ALGUNOS COEFICIENTES DE
tales del coeficiente de dilatación lineal promedio de DILATACIÓN LINEAL PROMEDIO'
varios sólidos comunes. Para todas las sustancias listadas,
el cambio de tamaño consiste en una dilatación al elevarse Sustancia a(10'6por C°)
la temperatura, ya que a es positivo. El orden de magnitud
de la dilatación es de alrededor de 1 milímetro por metro Hielo 51
de longitud por 100 grados Celsius. (Obsérvese el uso de Plomo 29
C°, y no de °C, para expresar aquí los cambios de tempe­ Aluminio 23
ratura.) Latón 19
Cobre 17
Problema muestra 2 Una escala métrica de acero va a ser Acero 11
Vidrio (ordinario) 9
marcada de modo que los intervalos de un milímetro sean Vidrio (Pyrex) 3.2
precisos dentro de unos 5 * 10'5mm a cierta temperatura. ¿Cuál Aleación invar 0.7
es la variación máxima de la temperatura permisible durante el Cuarzo (fundido) 0.5
marcado?
f Se consignan valores promedios típicos en el intervalo de temperatura
de 0°C a 100°C, salvo para el hielo cuyo intervalo es de -10°C a 0°C.

Sección 22-5 Dilatación térmica 557

Hlljtlll ttiijim1mrpnti UlijtlM mrjmn iiujnn imjnm rnipm mrjTTiTrmpm

12 34 56 7 8 9O

(a)

niijmrTurjniTITTIJTTII TTrtjfTTTrm|mi impnr rm|tm unjTffi TnTJJlTTiHinni
1 2 3 4 5 6 7 a 9O

m

Figura 10 Una regla de acero a dos temperaturas
diferentes. La dilatación aumenta en proporción en todas las
dimensiones: la regla, los números, el orificio, y el espesor
crecen todos en el mismo factor. (La dilatación mostrada está
muy exagerada; para obtener tal expansión se requeriría un
aumento de temperatura de unos ¡20,000 C°!)

La expansión es bastante análoga a una amplificación una masa en particular) del agua en función de su
fotográfica, excepto que un sólido es tridimensional. En­ temperatura. El volumen específico es el inverso de la
tonces, si tenemos una lámina plana con un orificio tro­ densidad (masa por unidad de volumen). (b) Ampliación de
quelado en ella, A L/L (= a AT) para una A T dada es la la región cercana a 4°C, mostrando un mínimo en el volumen
misma para la longitud, el espesor, la diagonal de una cara, específico ( o una densidad máxima).
la diagonal del cuerpo, y el diámetro del orificio. Cada
línea, ya sea recta o curva, se alarga en la razón a por generalmente alrededor de 10 veces más grande que la de
grado de elevación de la temperatura. Si usted graba los sólidos.
su nombre sobre la lámina, la línea que representa a su
nombre tiene el mismo cambio fraccionario de longitud Sin embargo, el líquido más común, el agua, no se
que cualquier otra línea. En la figura 10 se muestra la comporta como muchos otros líquidos. En la figura 11
analogía con una amplificación fotográfica. mostramos la curva de dilatación volumétrica del agua.
Obsérvese que a más de 4°C el agua se dilata al aumentar
Teniendo en cuenta estas ideas, debería serle a usted la temperatura, aunque no linealmente. (Esto es, no es
posible demostrar (véanse los problemas 30 y 31) que, con constante durante estos intervalos grandes de temperatu­
un alto grado de precisión, '-1 cambio fraccionario en el ra.) Empero, al bajar la temperatura de 4°C a 0°C, el agua
área A por cambio de temperatura en grados de un sólido se dilata en lugar de contraerse, lo cual es la razón de que
isotrópico es 2 a, es decir, los lagos se congelen primero en su superficie. Tal dilata­
ción con el descenso de la temperatura no se observa en
AA=2aAAT, (14) ningún otro líquido común; se observa en sustancias pa­
recidas al hule y en ciertos sólidos cristalinos dentro de
y el cambio fraccionario en el volumen V por cambio de intervalos de temperatura limitados. La densidad del agua
temperatura en grados de un sólido isotrópico es 3a, es tiene un máximo en 3.98°C, donde su valor es de 999.973
decir, kg/m3. (En un principio se suponía que el kilogramo
patrón y el metro patrón correspondían a una densidad
AV= 3aV AT. (15) máxima del agua de 1000 kg/m3, o sea 1 g/cm3. Sin
embargo, mediciones más precisas demuestran que los
Puesto que la forma de un fluido no es precisa, única­ patrones internacionales no corresponden exactamente a
mente el cambio de volumen con la temperatura es signi­ este valor.)
ficativo. Los gases responden fuertemente a los cambios
de temperatura o de presión, mientras que el cambio de
volumen de los líquidos con los cambios de temperatura
o de presión es mucho más pequeño. Si hacemos que fi
represente al coeficiente de dilatación volumétrica de un
líquido, de modo que

hallamos que f5es relativamente independiente de la tem­
peratura. Los líquidos se dilatan típicamente con un au­
mento de la temperatura, siendo su dilatación volumétrica

558 Capítulo 22 Temperatura de los átomos cambia periódicamente de un valor mínimo a un
valor máximo, siendo la separación promedio mayor que la
V(r) separación de equilibrio a causa de la naturaleza asimétrica de
la curva de la energía potencial. Para una energía vibratoria aún
Figura 12 Curva de la energía potencial de dos átomos más alta la separación promedio es aun mayor. El efecto se
adyacentes de un sólido en función de su distancia de acentúa porque, como lo sugiere la figura 12, la energía cinética
separación intemuclear. La separación en equilibrio es r0. es más pequeña para separaciones más grandes; entonces las
Puesto que la curva es asimétrica, la separación promedio, partículas se mueven más lentamente e invierten más tiempo en
(r„ r2) aumenta al aumentar la temperatura (Tt, T2) y la separaciones más grandes, contribuyendo entonces con una
energía vibratoria (E„ E2). parte mayor al tiempo promedio. Puesto que la energía vibrato­
ria aumenta al elevarse la temperatura, la separación promedio
Base microscópica de la dilatación térmica (Opcional) entre los átomos aumenta con la temperatura, y todo el sólido
A nivel microscópico, la dilatación térmica de un sólido sugiere se dilata.
un aumento en la separación promedio entre los átomos del
sólido. La curva de la energía potencial de dos átomos adyacen­ Obsérvese que si la curva de la energía potencial fuese
tes en un sólido cristalino en función de su separación intemu­ simétrica con respecto a la separación de equilibrio, entonces la
clear es una curva asimétrica como la de la figura 12. Cuando separación promedio sería igual a la separación de equilibrio,
los átomos se acercan entre sí, disminuyendo su separación a sin importar cuán grande fuese la amplitud de la vibración. De
partir del valor de equilibrio r0, entran en juego fuerzas de aquí que la dilatación térmica sea una consecuencia directa de
repulsión fuertes, y la energía potencial se eleva rápidamente la desviación de la simetría de la curva característica de la
(F = -dU/dr); cuando los átomos se alejan entre sí, aumentando energía potencial de los sólidos.
su separación a partir del valor de equilibrio, intervienen fuerzas
de atracción un poco más débiles y la energía potencial se eleva Algunos sólidos cristalinos, en ciertas regiones de tempera­
más lentamente. Para una energía vibratoria dada la separación tura, pueden contraerse al elevarse la temperatura. El análisis
anterior es válido si suponemos que existen únicamente modos
de vibración compresivos (longitudinales) o que predominan
estos modos. Sin embargo, los sólidos pueden vibrar igualmente
en modos similares al modo de corte (transversales), y estos

modos de vibración permiten que el sólido se contraiga al
elevarse la temperatura, disminuyendo la separación promedio
de los planos de los átomos. En ciertos tipos de estructura
cristalina y en ciertas regiones de temperatura, estos modos de
vibración transversales pueden predominar sobre los longitudi­
nales, produciendo un coeficiente neto de dilatación térmica
negativo.

Debe hacerse hincapié en que los modelos microscópicos que
se presentan aquí, constituyen una gran simplificación de un
fenómeno complejo que puede ser tratado con mayor detalle
mediante la mecánica estadística y la teoría cuántica. ■

PREGUNTAS 9. Sea p3la presión en el bulbo de un termómetro de gas a
volumen constante cuando el bulbo está a la temperatura
1. ¿Es la temperatura un concepto microscópico o macros­ del punto triple de 273.16 K y p la presión cuando el bulbo
cópico? está a la temperatura ambiente. Se tienen tres termómetros
de gas a volumen constante: para A el gas es oxígeno y p3
2. ¿Podemos definir la temperatura como una cantidad deri­ = 20 cm Hg; para B el gas es también oxígeno pero p} =
vada, en términos de longitud, masa, y tiempo? Piense en 40 cm Hg; para C el gas es hidrógeno y p, = 30 cm Hg.
un péndulo, por ejemplo. Los valores de p medidos en los tres termómetros son pA,
P b>y Pe- (a) Puede obtenerse un valor aproximado de la
3. El cero absoluto es una temperatura mínima. ¿Existe una temperatura ambiente T con cada uno de los termómetros
temperatura máxima? usando

4. ¿Puede un objeto estar más caliente que otro si ambos TÁ= (273.16 K)(p^/20 cm Hg),
están a la misma temperatura? Explique.
TB= (273.16 K)(/?s/40 cm Hg),
5. ¿Existen cantidades físicas, distintas a la temperatura,
que tiendan a igualarse cuando se juntan dos sistemas Tc = (273.16 K)(pc/30 cm Hg).
diferentes?
Marque si es cierta o falsa para cada una de las asevera­
6. Un trozo de hielo y un termómetro más caliente están ciones siguientes: (1) Con el método descrito, los tres
suspendidos en un recipiente al vacío y aislado, de modo termómetros darán el mismo valor de T. (2) Los dos ter­
que no entran en contacto. ¿Por qué disminuye la lectura mómetros de oxígeno concordarán entre sí pero no con el
del termómetro durante cierto tiempo? termómetro de hidrógeno. (3) Cada uno de los tres termo-

7. ¿Qué cualidades hacen a una propiedad termométrica en
particular apta para usarse en un termómetro práctico?

8. ¿Qué dificultades surgirían si se definiese la temperatura
en términos de la densidad del agua?

metros dará un valor de T diferente, (ti) En caso de que Problemas 559
exista un desacuerdo entre los tres termómetros, expli­
que cómo cambiaría usted el método de usarlos para ha­ 20. Explique por qué la columna de mercurio desciende pri­
cer que los tres den el mismo valor de T. mero y luego se eleva al calentar con una llama el ter­
10. El editor en jefe de una revista de negocios bien conocida, mómetro de este metal.
al discutir los posibles efectos de calentamiento asociados
con el aumento en la concentración de bióxido de carbono 21. ¿Cuáles son las dimensiones de a, el coeficiente de dila­
en la atmósfera terrestre (efecto de invernadero), escribió: tación lineal? ¿Depende el valor de a de la unidad de
“Las regiones polares podrían llegan a ser tres veces más longitud empleada? Cuando se emplean grados Fahren­
cálidas que ahora, ...” ¿Qué se supone usted que quería heit en lugar de grados Celsius como la unidad de cambio
decir, y qué dijo literalmente? (Véase “Warmth and Tem­ de la temperatura, ¿cambia el valor numérico de a? De ser
peratura: A Comedy of Errors”, por Albert A. Bartlett, The así, ¿cómo? Si no es así, pruébelo.
Physics Teacher, noviembre de 1984, pág. 517).
22. Una bola de metal puede pasar a través de unanillo de metal.
11. Aunque parece que el cero absoluto de temperatura es Sin embargo, al calentar la bola ésta se pega en el anillo.
imposible de obtener experimentalmente, en el laboratorio ¿Qué pasaría si calentásemos el anillo en lugar de la bola?
se han logrado temperaturas tan bajas como 0.00000002
K. ¿Por qué se esfuerzan los físicos, como realmente lo 23. Como un elemento de control en el termostato común se
hacen, para obtener temperaturas aún más bajas? ¿No es emplea una laminilla bimetálica, que consta de dos lami­
ésta lo suficientemente baja para todos los propósitos nillas de diferente metal remachadas entre sí. Explique
prácticos? cómo trabaja.

12. Usted pone dos ollas de agua sin tapar, una conteniendo 24. Dos laminillas, una de hierro y otra de cinc, se remachan
agua caliente y la otra conteniendo agua fría, a la intem­ entre sí lado con lado para formar una barra recta que se
perie en un clima por debajo del punto de congelación. La curva al ser calentada. ¿Por qué está el hierro en el interior
olla con el agua caliente comenzará por lo general a de la curva?
congelarse primero. ¿Por qué? ¿Qué sucedería si usted
tapase las ollas? 25. Explique cómo puede mantenerse constante con la tempe­
ratura el periodo de un reloj de péndulo adosando tubos
13. ¿Puede asignarse una temperatura a un vacío? verticales de mercurio a la base del péndulo.

14. ¿Tiene implícito nuestro “sentido de la temperatura” un 26. ¿Por qué se hace que una chimenea esté aislada, es decir,
sentido de dirección; es decir, más caliente significa ne­ que no sea parte del soporte estructural de la casa?
cesariamente una temperatura mayor, o es esto simple­
mente una convención arbitraria? Por cierto que, Celsius 27. El agua se dilata al congelarse. ¿Podemos definir un
eligió originalmente al punto de vaporización como 0°C coeficiente de dilatación volumétrica para el proceso de
y al punto de congelación como 100°C. congelación?

15. En Estados Unidos muchas etiquetas de productos médicos 28. Explique por qué la dilatación aparente de un líquido en
informan al usuario que debe almacenarlos a menos de 86°F. un bulbo de vidrio no da la dilatación verdadera del
¿Porqué 86? (Sugerencia:Haga el cambio a Celsius) (Véase líquido.
The Science Almanac, 1985-1986, pág. 430.)
29. ¿Depende el cambia de volumen de un objeto al aumentar
16. ¿Cómo sugeriría usted medir la temperatura de (a) el Sol, su temperatura de si el objeto tiene cavidades en su interior,
(ti) la atmósfera superior de la Tierra, (c) un insecto, (d) quedando en éste todas las demás características igual?
la Luna, (e) el fondo del océano, y (f) el helio líquido?
30. ¿Por qué es mucho más difícil hacer una determinación
17. Considerando las escalas Celsius, Fahrenheit, y Kelvin, precisa del coeficiente de dilatación de un líquido que de
¿corresponde alguna a la “escala de la naturaleza”? Ex­ un sólido?
plique.
31. El modelo común de un sólido supone que los átomos son
18. ¿Es un gas mejor que otro pára construir un termómetro puntos que ejecutan un movimiento armónico simple en
estándar de gas a volumen constante? ¿Qué propiedades torno a posiciones medias de la red. ¿Cuál sería el coefi­
son deseables en un gas para tales objetivos? ciente de dilatación lineal de esta red?

19. Dé algunas objeciones al uso de un termómetro de agua 32. Explique el hecho de que la temperatura del océano a
dentro de vidrio. ¿Es una mejora el mercurio en vidrio? grandes profundidades sea casi constante durante todo el
De ser así, explique por qué. año, a una temperatura de unos 4°C.

33. Explique por qué los lagos se congelan primero en la
superficie.

34. ¿Qué causa que las tuberías de agua exploten en el invierno?

35. ¿Qué puede usted concluir respecto a cómo depende el
punto de fusión del hielo de la presión partiendo del hecho
de que el hielo flota en el agua?

PROBLEMAS mos en libertad de definir temperaturas medidas por uno
de estos termómetros en kelvin (K) que sean directamente
Sección 22-3 Medición de la temperatura
1. Un termómetro de resistencia es un termómetro en el que
la resistencia eléctrica cambia con la temperatura. Esta-

560 Capítulo 22 Temperatura la diferencia de temperatura es AT0, demuestre que esa
diferencia es
proporcionales a la resistencia R, medida en ohms (£2). Se
halla que cierto termómetro de resistencia tiene una resis­ A T = A T 0 e~A‘
tencia R de 90.35 Q cuando su bulbo se sumerge en agua
a la temperatura del punto triple (273.16 K). ¿Qué tempe­ en un tiempo t más tarde.
ratura indica el termómetro si el bulbo está situado ei un 10. Por la mañana temprano se descompone el calentador de
entorno tal que su resistencia es de 96.28 £2?
2. Se forma un termopar a partir de dos metales diferentes una casa. La temperatura exterior es de -7.0°C. Como
unidos en dos puntos de modo tal que se produzca un resultado, la temperatura en el interior desciende de 22 a
pequeño voltaje cuando las dos uniones están a tempe­ 18°C en 45 min. ¿Cuánto tiempo más tomará para que la
raturas diferentes. En un termopar de hierro-constanta- temperatura interior descienda otros 4.0°C ? Suponga que
no, con una unión mantenida a 0°C, el voltaje de salida la temperatura exterior no cambia y que se aplica la ley de
varía linealmente desde 0 hasta 28.0 mV al elevar la enfriamiento de Newton; vea el problema anterior.
temperatura de la otra unión desde 0 hasta 510°C. Halle
la temperatura de la unión variable cuando la salida del Sección 22-4 La escala de temperatura de un gas ideal
termopar sea de 10.2 mV. 11. Si la temperatura del gas en el punto de vapor es de

3. La amplificación o ganancia de un amplificador de tran­ 373.15 K, ¿cuál será el valor limitante de la relación de
sistores puede depender de la temperatura. La ganan­ las presiones de un gas en el punto de vaporización y del
cia para cierto amplificador a la temperatura ambiente agua en el punto triple cuando el gas se mantiene a
(20.0°C) es de 30.0, mientras que a 55.0°C es de 35.2. volumen constante?
¿Cuál sería la ganancia a 28.0°C si la ganancia depende 12. Un termómetro de gas se construye de dos bulbos que
linealmente de la temperatura dentro de este limitado contienen gas, cada uno de los cuales se pone en un baño
intervalo? de agua, como se muestra en la figura 13. La diferencia de
presión entre los dos bulbos se mide por medio de un
4. El cero absoluto es -273.15°C. Halle el cero absoluto en manómetro de mercurio ilustrado en la figura. Depósitos
la escala Fahrenheit. apropiados, no mostrados en el diagrama, mantienen cons­
tante el volumen de gas en ambos bulbos. No hay diferen­
5. Si su médico le dice que su temperatura es de 310 kelvin cia en la presión cuando ambos baños se encuentran en el
sobre el cero absoluto, ¿se preocuparía? Explique su res­ punto triple del agua. La diferencia de presión es de
puesta. 120 mm Hg cuando un baño está en el punto triple y el
otro en el punto de ebullición del agua. Por último, la
6. (a) La temperatura de la superficie del Sol es de unos diferencia de presión es de 90.0 mm Hg cuando un baño
6000 K. Exprese ésta en la escala Fahrenheit. (b) Exprese se encuentra en el punto triple y el otro tiene una tempe­
la temperatura normal del cuerpo humano, 98.6°F, en la ratura desconocida. Halle la temperatura desconocida.
escala Celsius, (c) En la región continental de Estados
Unidos, la temperatura más baja registrada oficialmente 13. Se ensamblan dos termómetros de gas a volumen constan­
es de -70°F en Rogers Pass, Montana. Exprese ésta en la te; uno utiliza nitrógeno como gas de trabajo y el otro
escala Celsius, (d) Exprese el punto de ebullición normal utiliza helio. Ambos contienen el gas suficiente para que
del oxígeno, -183°C, en la escala Fahrenheit. (e) ¿Qué pu= 100 cm Hg. ¿Cuál es la diferencia entre las presiones
temperatura Celsius cree usted que tiene una habitación si de los dos termómetros si ambos están sumergidos en un
el calor en ella resulta insoportable? baño de agua al punto de ebullición? ¿Cuál de las dos
presiones es más alta? Véase la figura 5.
7. ¿A qué temperatura darían los siguientes pares de escalas
la misma lectura: (a) Fahrenheit y Celsius, (b) Fahrenheit Sección 22-5 Dilatación térmica
y Kelvin, y (c) Celsius y Kelvin? 14. El asta de aluminio de una bandera tiene 33 m de altura.

8. ¿A qué temperatura es la lectura en la escala Fahrenheit ¿En cuánto aumenta su longitud cuando la temperatura
igual (a) al doble de la Celsius y (b) a la mitad de la aumenta en 15 C°?
Celsius?

9. A diario podemos comprobar que los objetos calientes y
fríos se enfrían o se calientan respecto a la temperatura de
su entorno. Si la diferencia de temperatura AT entre un
objeto y su entorno (AT = T^ - Tcn¡) no es demasiado
grande, la razón de enfriamiento o de calentamiento del
objeto es proporcional, aproximadamente, a esta diferen­
cia de temperatura; es decir,

dA T

~ á ~ = ~ A(AT)’

donde A es una constante El signo menos se debe a que
AT disminuye con el tiempo si AT es positiva, y aumenta
si AT es negativa. Esto se conoce como la ley de Newton
para el enfriamiento, (a) ¿De qué factores depende Al
¿Cuáles son sus dimensiones? (b) Si en algún instante t = 0

Fuente Calentador Problemas 561
radiactiva eléctrico
25. Se mide una barra en 20.05 cm de longitud usando una
1.8 cm Abrazadera regla de acero a la temperatura ambiente de 20°C. Tanto
la barra como la regla se introducen en un horno a 270°C,
Figura 14 Problema 22. en donde la barra mide ahora 20.11 cm usando la misma
regla. Calcule el coeficiente de dilatación térmica del
15. El espejo de vidrio Pyrex del telescopio del observatorio material del cual está hecha la barra.
de Monte Palomar (el telescopio Hale) tiene un diámetro
de 200 in. Las temperaturas más extremas registradas en 26. Considérese un termómetro de mercurio en vidrio. Su­
el Monte Palomar son de -10°C y 50°C. Determine el póngase que la sección transversal A del capilar es cons­
cambio máximo del diámetro del espejo. tante, y que V es el volumen del bulbo de mercurio
a 0.00°C. Suponga que el mercurio llena apenas el bulbo a
16. Un orificio circular practicado en una placa de aluminio 0.00°C. Demuestre que la longitud L de la columna del
tiene 2.725 cm de diámetro a 12°C. ¿Cuál es el diámetro mercurio en el capilar a una temperatura T, en °C, es
cuando la temperatura de la placa se eleva a 140°C?
L = ^(fi~3a)T,
17. Se colocan unas vías de acero para el ferrocarril cuando la
temperatura es de -5.0°C. Una sección estándar de riel es decir, proporcional a la temperatura, siendo p el coefi­
tiene entonces 12.0 m de longitud. ¿Qué claro deberá ciente de dilatación volumétrica del mercurio y a el coe­
dejarse entre secciones de riel de modo que no exista una ficiente de dilatación lineal del vidrio.
compresión cuando la temperatura suba hasta los 42°C? 27. (a) Demuestre que si las longitudes de dos barras de
sólidos diferentes son inversamente proporcionales a sus
18. Una ventana de vidrio tiene 200 cm por 300 cm a 10°C. respectivos coeficientes de dilatación lineal a la misma
¿En cuánto ha aumentado su área cuando su temperatura temperatura inicial, la diferencia de longitud entre ellas
es de 40°C? Suponga que el vidrio puede dilatarse libre­ será constante a todas las temperaturas. (Jb) ¿Cuál sería la
mente. longitud de una barra de acero y de una barra de latón a
0°C, de modo que a todas las temperaturas su diferencia
19. Un cubo de latón tiene una longitud de 33.2 cm de lado a de longitud sea 0.30 m?
20.0°C. Halle (a) el aumento en el área superficial y (b) el 28. Como resultado de un aumento de temperatura de 32°C,
aumento en el volumen cuando se calienta a 75.0°C. una barra con una grieta en su centro se pandea hacia
arriba, como se muestra en la figura 15. Si la distancia fija
20. ¿Cuál es el volumen de una bola de plomo a - 12°C si su L0 = 3.77 m y el coeficiente de dilatación lineal es de 25
volumen a 160°C es de 530 cm3? x 10'6/C°, halle x, la distancia a la cual se eleva el centro.

21. Demuestre que cuando la temperatura de un líquido en un Figura 15 Problema 28.
barómetro cambia en AT, y la presión es constante, la
altura h cambia en Ah = ph AT, donde P es el coeficiente 29. Una barra de acero tiene 3.000 cm de diámetro a 25°C. Un
de dilatación volumétrica del líquido. Desprecie la dilata­ anillo de latón tiene un diámetro interior de 2.992 cm a
ción del tubo de vidrio. 25°C. ¿A qué temperatura común se deslizará justamente
el anillo en la barra?
22. En cierto experimento fue necesario estar en posibilidad
de mover una fuente radiactiva pequeña a velocidades 30. El área A de una placa rectangular es ab. Su coeficiente de
selectas extremadamente bajas. Esto se realizó aseguran­ dilatación lineal es a. Después de un aumento de tempe­
do la fuente a un extremo de una barra de aluminio y ratura AT, el lado a es más largo en A a y el lado b es más
calentando la sección central de la barra de una manera largo en Ab. Demuestre que si despreciamos la pequeña
controlada. Si la sección calentada efectiva de la barra de cantidad A a Abjab (véase la Fig. 16), entonces A A =
la figura 14 es de 1.8 cm, ¿a qué razón constante debe 2a A AT, lo que coincide con la ecuación 14.
hacerse cambiar la temperatura de la barra si la fuente ha
de moverse a una velocidad constante de 96 nm/s? 31. Demuestre que, si despreciamos cantidades extremada­
mente pequeñas, el cambio de volumen de un sólido en
23. Demuestre que si a depende de la temperatura T, entonces dilatación a través de un aumento de temperatura AT está
dado por AV = 3aV AT, donde a es el coeficiente de
donde L0 es la longitud a la temperatura de referencia T0. dilatación lineal. Véase la ecuación 15.

24. Poco después de que se formara la Tierra, el calor liberado
por la desintegración de elementos radiactivos elevó la
temperatura interna promedio de 300 a 3000 K, a cuyo
valor permanece hoy día aproximadamente. Suponiendo
un coeficiente de dilatación volumétrica promedio de
3.2 x 10'5 K'1, ¿en cuánto ha aumentado el radio de la
Tierra desde su formación?

562 Capitulo 22 Temperatura

\ * - L \ > |< ----------------- L 2

H-----------------L
Figura 18 Problema 37.

Figura 16 Problema 30. 38. (a) Demuestre que el cambio en inercia rotatoria / con
la temperatura de un objeto sólido está dado por A I =
32. Cuando la temperatura de una moneda de cobre (que no 2al AT. (b) Una barra uniforme de latón, que gira libre­
es cobre puro) de un centavo se eleva en 100°C, su diáme­ mente a 230 rev/s en torno a un eje perpendicular a ella en
tro aumenta en 0.18%. Halle el porcentaje de aumento en su centro, se calienta sin contacto mecánico hasta que su
(a) el área de una cara, (b) el espesor, (c) el volumen, y temperatura aumenta en 170°C. Calcule el cambio en la
(d) la masa del centavo, (e) Calcule su coeficiente de velocidad angular.
dilatación lineal.
39. Un cilindro situado en chumaceras sin fricción se hace
33. La densidad es la masa dividida por el volumen. Si el girar en tomo a su eje y luego se calienta, sin contacto
volumen V depende de la temperatura, entonces también mecánico, hasta que su radio aumenta en 0.18%. ¿Cuál es
su densidad p. Demuestre que el cambio de densidad Ap el cambio porcentual en (a) el ímpetu angular, (b) la
con el cambio de temperatura AT está dado por velocidad angular, y (c) la energía rotatoria del cilindro?

Ap = -$ p AT, 40. (a) Demuestre que el cambio con la temperatura en el
periodo P de un péndulo físico está dado por A P =^aP
donde p es el coeficiente de dilatación volumétrica. Ex­ AT. (b) Un péndulo de reloj hecho de invar tiene un
plique el signo menos. periodo de 0.500 s y es exacto a 20°C. Si el reloj se emplea
34. Cuando la temperatura de un cilindro de metal se eleva de en un clima en que la temperatura promedie 30°C, ¿qué
60 a 100°C, su longitud aumenta en 0.092%. (a) Halle el corrección aproximada al tiempo indicado por el reloj es
cambio porcentual en la densidad. (b) Identifique el metal. necesaria al cabo de 30 días?
35. A 100°C un frasco de vidrio está completamente lleno de
891 g de mercurio. ¿Qué masa de mercurio se necesita 41. Un reloj de péndulo con un péndulo hecho de latón está
para llenar el frasco a -35°C? (El coeficiente de dilatación diseñado para mantener un tiempo preciso a 20°C. ¿De
lineal del vidrio es de 9.0 x 10"6/C°; el coeficiente de cuánto será el error, en segundos por hora, si el reloj opera
dilatación volumétrica del mercurio es de 1.8 x 10'4/C°). a 0°C?
36. La figura 17 muestra la variación del coeficiente de dila­
tación volumétrica del agua entre 4°C y 20°C. La densidad 42. Un vaso de aluminio de 110 cm3de capacidad se llena de
del agua a 4°C es de 1000 kg/m3. Calcule la densidad del glicerina a 22°C. ¿Cuánta glicerina, se derramará del vaso
agua a 20°C. si la temperatura del vaso y de la glicerina se eleva a 28°C?
(El coeficiente de dilatación volumétrica de la glicerina es
Temperatura (°C) de 5.1 x 10-4/C°).

Figura 17 Problema 36. 43. Un tubo vertical de vidrio de 1.28 m de longitud está
medio lleno de un líquido a 20.0°C. ¿Cuál será el cambio
37. Una barra compuesta de longitud L = L, + L¡ está hecha de altura del líquido cuando el tubo se caliente a 33.0°C?
de una barra de material 1 y longitud L, unida a una Suponga que avid= 1.1 x W 5/C°y ptiq- 4.2 x 10'7C°.
barra de material 2 y longitud Lv como se muestra en la
figura 18. (a) Demuestre que el coeficiente efectivo de 44. Una barra de acero a 24°C se atornilla fuertemente en
dilatación lineal a de esta barra está dado por a = {alLl + ambos extremos y luego se enfría. ¿A qué temperatura
aJ^IL. (b) Si se utilizara acero y latón, diseñe dicha barra empezará a ceder? Véase la tabla 1, capítulo 14.
compuesta cuya longitud sea de 52.4 cm y cuyo coeficien­
te efectivo de dilatación lineal sea de 13 x iO'6/C°. 45. Tres barras rectas de igual longitud, de aluminio, invar y
acero, todas a 20°C, forman un triángulo equilátero con
pivotes en los vértices. ¿A qué temperatura tendrá 59.95°
el ángulo opuesto a la barra de invar? Véase el apéndice
H para las fórmulas trigonométricas necesarias.

46. Dos barras de materiales diferentes, pero de las mismas
longitudes L y las mismas áreas A en sus secciones trans­
versales están dispuestas extremo con extremo entre so­
portes rígidos y fijos como se muestra en la figura 19a. La
temperatura es Ty no existe un esfuerzo inicial. Las barras
se calientan, de modo que su temperatura aumenta en AT.
(a) Demuestre que la superficie de contacto de las barras
se desplaza al calentarlas en una cantidad dada por

Problemas 563

Figura 19 Problema 46.

donde a¡, a¡ son los coeficientes de dilatación lineal y E¡, Figura 20 Problema 49.
E2 son los módulos de Young de los materiales. Despre­
cie los cambios en las áreas de la sección transversal; (Fig. 20). La flecha del cable a la mitad entre las torres a
véase la figura 19b. (b) Halle el esfuerzo en la superficie 50°F es de 470 ft. Considere a =6.5 x 10'6/F° para el cable
de contacto después del calentamiento. y calcule (a) el cambio de longitud del cable y (ti) el
cambio en la flecha para un cambio de temperatura desde
47. Un cubo de aluminio de 20 cm de lado flota en mercurio. 10 hasta 90°F. Suponga que no hay flexión ni separación
¿Qué tanto más se hundirá el bloque cuando la tempera­ de las torres y una forma parabólica para el cable.
tura se eleve de 270 a 320 K? (El coeficiente de dilatación
volumétrica del mercurio es de 1.8 * 10‘J/C°).

48. Un tubo de vidrio casi lleno de mercurio está unido en
serie a la base de un péndulo de hierro de 100 cm de
longitud en forma de barra. ¿A qué altura estará el mercu­
rio en el tubo de vidrio de modo que el centro de masa
de este péndulo no se eleve ni baje con los cambios de
temperatura? (El área de la sección transversal del tubo es
igual a la de la barra de hierro. Desprecie la masa del
vidrio. El hierro tiene una densidad de 7.87 x 103kg/m3y
un coeficiente de dilatación lineal igual a 12 x 10'6/Co. El
coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es de
18 x l0-5/C°).

49. La distancia entre las torres del claro principal del puen­
te Golden Gate cerca de San Francisco es de 4200 ft

r

CAPÍTULO 23

LA TEORÍA CINÉTICA
Y EL GAS IDEAL

Las leyes básicas de la termodinámica tratan de las relaciones entre las propiedades macros­
cópicas, tales como lapresión, la temperatura, el volumen, y la energía interna de un gas ideal.
Las leyes no dicen nada acerca del hecho de que la materia estéformada de partículas (átomos
o moléculas). Debido al gran número de partículas implicadas, no es práctico aplicar las leyes
de la mecánica para hallar el movimiento de cada partícula en un gas. En cambio, usamos
técnicas de promedios para expresar las propiedades termodinámicas como promedios de las
propiedades moleculares. Si el número de partículas es muy grande, tales promedios dan
cantidades rigurosamente definidas.

En este capítulo consideramos un enfoque de promedios llamado teoría cinética, en el que
seguimos el movimiento de las partículas representativas de un gas y luego promediamos este
comportamiento para todas laspartículas. La teoría cinéticafue desarrollada entre los siglos
x v ii y xixpor Boyle, D. Bernoulli, Joule, Kronig, Clausius, y Maxwell, entreoíros. Otro enfoque
también de los promedios es la mecánica estadística, en la cual se aplican las leyes de la
probabilidad a distribuciones estadísticas de las propiedades moleculares. Este enfoque se
estudiará en el capítulo 24.

23-1 PROPIEDADES en el espacio sobre el émbolo se ha practicado un vacío,
MACROSCÓPICAS DE UN GAS de modo que no existe la presión del aire que empuje hacia
Y LA LEY DEL GAS IDEAL abajo sobre el émbolo). El volumen V puede ser alterado
simplemente cambiando la posición del émbolo, y la
La figura 1 muestra un gas confinado en un cilindro cantidad de gas puede cambiarse al permitir que entre gas
equipado con un émbolo móvil. Deseamos llevar a cabo a la cámara, cambiando por lo tanto el número de mo­
una serie de mediciones de las propiedades macroscópi­ léculas N. Después de cada cambio, esperamos el tiempo
cas de un gas: el tipo y cantidad de gas y su presión, suficiente para que el gas alcance el equilibrio térmico y
volumen, y temperatura absolutas (Kelvin). Suponemos adquiera un nuevo conjunto de variables termodinámicas
que tenemos conectados al cilindro dispositivos apropia­ macroscópicas.
dos para medir estas propiedades. Suponemos también
que tenemos a nuestra disposición los medios para cam­ Llevemos a cabo los siguientes experimentos con el gas.
biar cualquiera de estas propiedades. Por ejemplo, supo­
nemos que el gas está en contacto con un dispositivo 1. V depende de N. Manteniendo constantes la tempera­
idealizado llamado depósito térmico, el cual podemos tura y la presión (esto es, el gas está en contacto con el
considerar como un cuerpo mantenido a una temperatura depósito térmico a determinada temperatura T, y el peso
T, de modo que la temperatura del depósito no cambia sobre el émbolo es constante), permitimos que entre o
cuando nuestro cilindro de gas entra en equilibrio térmico salga gas de la cámara, y medimos el volumen resultante
con él. Suponemos que podemos cambiar fácilmente la V observando la altura del émbolo. (Suponemos que co­
temperatura del depósito, cambiando por lo tanto la tem­ nocemos la masa de cada molécula y la masa total de gas
peratura del gas. Si deseamos cambiar la presión p, aña­ que está presente en el cilindro. Entonces podemos deter­
dimos o quitamos peso sobre el émbolo. (Se supone que minar N, el número total de moléculas.) La figura 2
muestra los resultados típicos de tales experimentos. Los
puntos de los datos parecen seguir una línea recta, y

566 Capítulo 23 La teoría cinética y el gas ideal

Perilla Alimentación de gas Figura 2 El volumen V ocupado por el gas en la figura 1
de control depende del número de moléculas N. A una temperatura y
presión dadas, gases diferentes siguen la misma relación
Figura 1 El gas está confinado en un cilindro que tiene lineal.
contacto con un depósito térmico a la temperatura (ajustable)
T. El émbolo ejerce una fuerza total hacia abajo Mg sobre el p
gas, la cual, en el equilibrio, está balanceada por la fuerza
hacia arriba debida a la presión del gas. El volumen del gas
puede ser determinado midiendo la altura h del émbolo desde
el fondo del cilindro, y la temperatura del gas se mide con un
termómetro apropiado. Una alimentación de gas permite
añadir gas adicional al cilindro; suponemos que está también
provisto de un mecanismo para remover gas y para cambiar
la alimentación con el fin de admitir diferentes clases de gas.

concluimos, con una aproximación suficientemente bue­ Figura 3 (a) El volumen V ocupado por el gas parece
na, que existe una proporción directa entre V y N; es depender inversamente de la presión p, mantenidas
decir, el volumen aumenta linealmente con el número de constantes la temperatura y el número de partículas. (b) Al
partículas. Además, al reemplazar el gas en el cilindro trazar V 1contra p se ve que la relación es realmente una
con un número igual de moléculas de un gas diferente a relación lineal inversa.
la misma presión y temperatura, hallamos que el nuevo
gas ocupa el mismo volumen. Así, deberíamos concluir
que el volumen ocupado por un gas a determinadas pre­
sión y temperatura es independiente del tipo de gas o del
tamaño o masa de sus moléculas; el volumen depende
únicamente del número de moléculas. Matemáticamente,
V<* N, o sea

V = CN ( p ,T constantes). (l) siguiente consideraremos las propiedades microscópicas
de un gas ideal.

Aquí C es una constante, igual a la pendiente de la lí­ 2. V depende de p. Manteniendo constantes el número
nea en la figura 2 y determinada por los valores de p y de de partículas N y la temperatura T, cambiamos la presión
T. Si repetimos este experimento con diferentes valores (cambiando el peso sobre el émbolo) y medimos el volu­
constantes de p y de T, hallaríamos siempre que la ecua­ men resultante. En la figura 3a se muestra el resultado, el
ción 1 se cumple, pero con un valor diferente de la cual sugiere una relación inversa: al aumentar la presión
constante C. p, el volumen V disminuye. Para comprobar esto, traza­
mos a p contra V ', como en la figura 3b, lo cual confirma
La ecuación 1 se conoce a veces como la ley de Avo­ una relación lineal. Por lo tanto, concluimos que p V~\
gadro. Es válida con una muy buena aproximación para o sea
todos los gases, especialmente a baja densidad, donde las
moléculas están muy separadas entre sí y el volumen p ——C’ (N,T constantes). (2)
ocupado por las moléculas mismas es realmente una frac­
ción despreciablemente pequeña del volumen del reci­ Aquí C representa a otra constante, la cual tendría un
piente en que está confinado el gas. Podemos generalizar, valor diferente si hubiéramos elegido valores diferentes
a partir del comportamiento de estos gases reales a un gas
ideal que sigue la ecuación 1 exactamente. En la sección

Sección 23-1 Propiedades macroscópicas de un gas y la ley del gas ideal 567

La constante k de la ecuación 4 se llama constante de
Boltzmann. Es una constante universal con un valor de­
terminado experimentalmente, el cual es

k = 1.38066 X lO '23 J/K.

Figura 4 El volumen V ocupado por el gas varía Es más común escribir la ecuación 4 en una forma algo
linealmente con la temperatura T, cuando se mantienen diferente. Expresemos la cantidad de gas no en términos
constantes la presión y el número de moléculas. del número de moléculas N sino en términos del número
de moles n. El mol fue definido en la sección 1-5. En
términos de la constante de Avogadro NA, el número de
moles es

N_ (6)
n=

Na ’

y podemos reescribir la ecuación 4 como:

de N y de T. La ecuación 2 se llama ley de Boyle y, al igual o bien nT (7)
que la ecuación 1, es una generalización ideal. Como pV = nRT,
veremos en la sección 23-8, los gases reales se desvían un
poco de este comportamiento ideal.

3. V depende de T. Manteniendo constantes a p y a N, donde
variamos la temperatura T (cambiando la temperatura del
depósito térmico), y medimos el volumen resultante V. R = NAk (8)
Hallamos (Fig. 4) una relación directa: el volumen aumen­ = 8.3145 J/m ol-K .
ta al aumentar la temperatura; entonces V x T, o sea

V = C "T ( p, N constantes), (3) La ecuación 7 se llama ley de los gases ideales o ecuación
de estado del gas ideal. Una ecuación de estado de un
donde C" es también otra constante. La ecuación 3 se sistema da una relación matemática fundamental entre las
llama ley de Charles o ley de Gay-Lussac. Al igual que cantidades termodinámicas macroscópicas. Los experi­
las ecuaciones 1 y 2, es una idealización del comporta­ mentos revelan que, a densidades suficientemente bajas,
miento de los gases reales. todos los gases reales tienden al comportamiento del gas
ideal descrita en la ecuación 7. Éste es el mismo límite
Ecuación de estado que discutimos en conexión con la escala de temperatura
del gas ideal en la sección 22-4. La constante R tiene el
Las ecuaciones 1, 2 y 3 resumen resultados experimenta­ mismo valor para todos los gases y se le llama constante
les estrictamente válidos únicamente para nuestro gas universal de los gases.
ideal hipotético, pero aproximadamente válidas en un alto
grado para la mayoría de los gases reales. Podemos com­ Problema muestra 1 Un cilindro aislado equipado con un
binar las tres ecuaciones en una sola que incluya a las tres émbolo (Fig. 1) contiene oxígeno a una temperatura de 20°C y
relaciones observadas, como sigue:
una presión de 15 atm en un volumen de 22 litros. Al descender
^ =k (4) el émbolo, disminuye el volumen del gas a ló litros, y simultá­
NT ’ neamente la temperatura se eleva a 25°C. Suponiendo que el
oxígeno se comporte como un gas ideal bajo estas condiciones,
en donde k es una constante. Reescribiendo la ecuación 4 ¿cuál es la presión final del gas?
podemos demostrar que es consistente con las ecuaciones
l a 3: Solución Partimos de la ecuación 7, puesto que la cantidad de
gas permanece sin cambio, y tenemos que

V = | — )N = CN (p, T constantes), (5a) Pí Ví PMi
Tt

(kNT) C' o bien
P = y = ~y
(N .r constantes), (5b)

Pt

V - M t - C '■T (p,N constantes), (5c) Puesto que esto está en la forma de una razón, no necesita­
\p / mos convertir a p y a K en unidades del SI, pero debemos

568 Capítulo 23 La teoría cinética y el gas ideal ellas, empleamos las leyes de Newton para analizar la
mecánica del gas ideal; este procedimiento constituye
expresar a T en unidades de temperatura absoluta (Kelvin). la base de la teoría cinética. Más adelante relacionaremos
Entonces, esta descripción microscópica con la macroscópica.

. (273 + 25 K \ /22 L \ 1. Un gas consta de ciertas pertículas, llamadas mo­
05 3tm) \273 + 20 K / \ l 6 l ) = 21 atm' léculas. Dependiendo del gas, cada molécula puede con­
sistir en un átomo o en un grupo de átomos. Si el gas es
23-2 EL GAS IDEAL: UN MODELO un elemento o un compuesto y está en estado estable,
consideramos que todas sus moléculas son idénticas.
Cuando los físicos desean entender un sistema complejo,
a menudo inventan un modelo. Un modelo es una versión 2. Las moléculas tienen movimientos al azar y obedecen
simplificada del sistema que permite hacer cálculos pero a las leyes del movimiento de Newton. Las moléculas se
sin perder su realidad física. Un modelo puede empezar mueven en todas direcciones y con una gama de veloci­
con un grupo de hipótesis que simplifican y permiten que dades. Al describir el movimiento suponemos que la
el sistema sea analizado usando un conjunto de leyes mecánica de Newton es válida al nivel microscópico.
existente, por ejemplo, las de la mecánica de Newton. El
análisis puede conducir entonces a una ecuación o con­ 3. El número total de moléculas es grande. La velocidad
junto de ecuaciones que describen al sistema físico origi­ (en magnitud y dirección) de cualquier molécula puede
nal. Puesto que el modelo es una simplificación de la cambiar en forma repentina por medio de una colisión con
naturaleza, el resultado final no es, por lo general, una la pared o con otra molécula. Cualquier molécula en
descripción verdadera o completa de la naturaleza, pero particular sigue una trayectoria en zigzag debido a estas
si hemos sido lo suficientemente cautos en la formulación colisiones. Sin embargo, ya que existen tantas moléculas
del modelo, el resultado final puede ser una aproximación suponemos que el gran número de colisiones resultantes
muy buena del comportamiento del sistema. Lo que es mantiene la distribución del conjunto de las velocidades
más importante, el resultado final puede proporcionamos moleculares y el carácter fortuito o aleatorio del movi­
un camino para estudiar al sistema en el laboratorio y miento.
obtener una visión aún más penetrante. Previamente en
este texto, hemos usado un modelo (sin llamarlo así) para 4. El volumen de las moléculas es una fracción despre­
describir el movimiento de un objeto complejo como si ciablemente pequeña del volumen ocupado por el gas. Si
fuera una partícula puntual sometida a ciertas circunstan­ bien existen muchas moléculas, éstas son extremadamen­
cias. A veces hemos modelado también la fuerza entre los te pequeñas. Sabemos que el volumen ocupado por un gas
átomos de una molécula, o entre los átomos de un sólido, puede cambiarse a través de una gama amplia de valores
en términos de la fuerza de un resorte, F = -kr, la cual se con poca dificultad, y que cuando un gas se condensa el
basa en sí misma en un tipo de modelo que simplifica (en volumen ocupado por el líquido puede ser miles de veces
ciertas condiciones elásticas) los complicados procesos más pequeño que el del gas. De aquí que nuestra hipótesis
internos en un sólido sujeto a un esfuerzo. sea plausible. Más adelante investigaremos el tamaño real
de las moléculas y veremos si necesitamos modificar esta
Un gas confinado en un recipiente es un ejemplo de un hipótesis.
sistema complejo difícil de analizar usando las leyes de
Newton. Las moléculas pueden chocar inelásticamente, y 5. Ningunafuerza apreciable actúa sobre las moléculas
la energía de la colisión puede ser absorbida por las excepto durante una colisión. Es decir, suponemos que el
moléculas como energía interna en una variedad de mo­ alcance de las fuerzas moleculares es comparable al tama­
dos. Seguir la pista de estos procesos para todas las ño molecular y mucho más pequeña que la distancia típica
moléculas sería un proyecto de una complejidad imposi­ entre moléculas. En la medida en que esto sea así, una
ble de vencer. Simplificamos este problema inventando molécula se mueve con velocidad constante entre colisio­
un modelo que describa las propiedades microscópicas nes. Por lo tanto, el movimiento de una molécula en
del gas real. Este modelo, al cual llamamos modelo del particular es una trayectoria en zigzag que consiste, en su
gas ideal, resulta ser enteramente consistente con el con­ mayor parte, en segmentos con velocidad constante cam­
cepto de gas ideal que hemos desarrollado experimental­ biada por fuerzas impulsivas.
mente en la sección 23-1. En esa sección vimos que,
especialmente a baja densidad, las propiedades macroscó­ 6. Las colisiones son elásticas y de una duración des­
picas de los gases reales siguen de manera aproximada un preciable. Las colisiones de una molécula con otra o con
resultado general, la ley del gas ideal de la ecuación 7. las paredes del recipiente conservan el ímpetu y (supone­
mos) la energía cinética. Las moléculas no son partículas
Desde el punto de vista microscópico nuestro modelo puntuales verdaderas y poseen una estructura interna; así,
de gas ideal incluye las hipótesis siguientes. Basados en cierta energía cinética puede convertirse en energía inter­
na durante la colisión. Suponemos que la molécula no

0NP/XPS1I5A.O !>£ -‘=á K£-Ü2L;C^
FA C U L T A /; O;' IN G E N ItR íÁ

KT,-’i.'--iKN,rO DE Sección 23-3 Cálculo cinético de la presión 569
DOCUMENTACíON BIBLIOTECA'

MOKTEVID2SO - UBÜGUAf

por esta molécula sobre A¡ es el ímpetu transferido divi­

dido entre el intervalo de tiempo entre transferencias,

o sea

2
2L/vx L

Para obtener la fuerza total sobre A¡, es decir, la razón a
la cual se imparte ímpetu a A¡ por todas las moléculas del
gas, debemos sumar la cantidad m u2¡L para todas las
partículas. Entonces, para hallar la presión dividimos esta
fuerza entre el área de A¡, es decir L2. La presión es, por
lo tanto,

Se muestra una molécula del gas moviéndose con velocidad 1 mv2xl + mvx22+
v hacia el lado/4,.
P = T2 L
retiene esta energía interna, la cual está entonces nueva­
mente disponible como energía cinética después de un m ( 11)
tiempo tan breve (el tiempo entre colisiones) que podemos
despreciar este cambio por entero. donde vx¡ es la componente x de la velocidad de la partí­
cula 1, va es la de la partícula 2, y así sucesivamente. Si
N es el número total de partículas en el recipiente, enton­
ces Nm es la masa total y Nm/L3es la densidad p. Enton­
ces, m/L? = p¡N, y

23-3 CALCULO CINETICO P= P ( 12)
DE LA PRESIÓN
La cantidad dentro del paréntesis en la ecuación 12 es el
Calculemos ahora la presión de un gas ideal a partir de la valor promedio de vx2 para todas las partículas en el
teoría cinética. Por simplificación, consideremos un gas recipiente, el cual representamos por v?.. Entonces
en un recipiente cúbico de lado L cuyas paredes sean
perfectamente elásticas. Llamemos a las caras norma­ p = pv% (13)
les al eje x (Fig. 5) A¡ y A 2, cada una de área L2. Conside­
remos a una molécula de masa m con velocidad v, la cual Para cualquier partícula, v2= + uy2 + Puesto que
resolvemos en sus componentes vx, vy, y uz. Cuando esta tenemos muchas partículas y porque se están moviendo
partícula choca con A¡, rebota con su componente x de enteramente al azar, los valores promedio de vx , v$ , y
la velocidad invertida; es decir, vx —> - vx. No existe un v\ son iguales, y el valor de cada una es exactamente un
efecto sobre vy o sobre v,, de modo que el cambio en el tercio del valor promedio de v2. No existe una preferencia
ímpetu de la partícula tiene únicamente una componente entre las moléculas para moverse a lo largo de alguno de
x, dada por los tres ejes. Por esto vx2 = |u 2, de modo que la ecuación
13 resulta
ímpetu final - ímpetu inicial =
P = \PV2- (14)
-mvr (mvx) = - 2 m v x . (9)
Si bien hemos derivado este resultado despreciando las
Ya que el ímpetu total se conserva en la colisión, el ímpetu colisiones entre las partículas, el resultado es verdadero
impartido a A t es +2 m vx. incluso si consideramos las colisiones. Debido al inter­
cambio de velocidades en una colisión elástica entre par­
Supongamos que esta partícula llegue a A 2 sin golpear tículas idénticas, siempre habrá una molécula que choque
a ninguna otra partícula en su camino. El tiempo requerido con A 2 con un ímpetu m vx correspondiente a la molécula
para cruzar el cubo es L¡ vx. (Si la molécula golpea una de que salió de/l, con este mismo ímpetu. La ecuación 14 se
las otras caras de la caja en su camino hacia A 2, la compo­ cumple aun cuando la caja contenga una mezcla de molé­
nente x de su velocidad no cambia, como tampoco el culas de masas diferentes, porque el ímpetu se conserva
tiempo de tránsito). En A 2 nuevamente tiene su compo­ en las colisiones, y la pared debe recibir el mismo impulso
nente x de la velocidad invertida y regresa a A v Suponien­ sin importar qué moléculas lo golpeen. También, el tiem­
do que no existan colisiones con otras moléculas, el viaje po que dura la colisión es despreciable comparado con el
redondo toma un tiempo 2L/vx, que es el tiempo entre las tiempo invertido entre colisiones. De aquí que despreciar
colisiones con A v La fuerza impulsiva promedio ejercida las colisiones es meramente un recurso conveniente para

570 Capítulo 23 La teoría cinética y el gas ideal

el cálculo. De manera similar, podríamos haber escogido TABLA 1 ALGUNAS VELOCIDADES
MOLECULARES A LA TEMPERATURA
un recipiente de cualquier forma: el cubo meramente AMBIENTE (300 K)

simplifica el cálculo. Si bien hemos calculado la presión

ejercida únicamente sobre el lado A¡, se deduce de la ley Energía cinética
de traslación
de Pascal que la presión es la misma sobre todas las caras
Masa molar M' w™ por mol
y en cualquier parte del interior. (Esto es así únicamente Gas (g/mol) (m/s) (J/mol)

si la densidad del gas es uniforme. En una muestra grande

de gas, los efectos gravitatorios pudieran ser significati­ Hidrógeno 2.0 1920 3720

vos, y deberíamos tener en cuenta la variación de la Helio 4.0 1370 3750

densidad. Véase la sección 17-3 y el problema 6 de este Vapor de agua 18.0 645 3740

capítulo.) _ Nitrógeno 28.0 517 3740

Oxígeno 32.0 483 3730

La raíz cuadrada de v2 se llama velocidad media cua­ Bióxido de carbono 44.0 412 3730

drática de las moléculas (rms, de root-mean-square) y es Bióxido de azufre 64.1 342 3750

una clase de velocidad molecular promedio. (Estudiare­ 1 La masa molar, a veces conocida también como el peso molecular, se
da aquí en g/mol por conveniencia; su unidad SI es kg/mol.
mos este promedio con más detalle en la sección 24-3.)

Usando la ecuación 14, podemos calcular la velocidad

media cuadrática partiendo de los valores medidos de la

presión y de la densidad del gas. Entonces rarse en términos de nuestro modelo de un gas; véase el
problema 38. La energía de la onda sonora es transportada
En la ecuación 14 relacionamos una cantidad macros­ como energía cinética de una molécula a la siguiente con
cópica (la presión p) con un valor promedio de una can­ la cual choca. Por lo tanto, deberíamos de esperar que las
tidad microscópica (esto es, con v1 o con v2mxs). Sin ondas sonoras se propaguen con una velocidad que es
embargo, los promedios pueden ser considerados durante aproximadamente la misma que la velocidad caracte­
tiempos cortos o durante tiempos largos, en regiones rística del movimiento molecular, que es, de hecho, lo
pequeñas del espacio o en regiones grandes del espacio. que observamos. Las moléculas en sí mismas, a pesar de
El promedio calculado en una región pequeña durante un sus velocidades elevadas, no se mueven muy lejos durante
tiempo corto debería depender del tiempo o región ele­ un periodo de la vibración del sonido; están confinadas
gidos, de modo que los valores obtenidos de esta manera en un espacio más bien pequeño por los efectos del gran
deben de fluctuar. Esto podría suceder en un gas de den­ número de colisiones. Esto explica por qué existe una
sidad muy baja, por ejemplo. Sin embargo, podemos demora entre la apertura de una botella de amoniaco en
despreciar las fluctuaciones cuando el número de partícu­ un extremo de un salón y su olor en el otro extremo. Si
las en el sistema es suficientemente grande. bien las velocidades moleculares son elevadas, el gran
número de colisiones limita el avance de las moléculas de
amoniaco. Se difunden por el aire a velocidades que son
muchos menores que las velocidades moleculares.

Problema muestra 2 Calcule la velocidad media cuadrática Problema muestra 3 Suponiendo que la velocidad del sonido
de las moléculas de hidrógeno a 0.00°C y 1.00 atm de presión, en un gas sea la misma que la velocidad media cuadrática de las
suponiendo que el hidrógeno sea un gas ideal. En estas condi­ moléculas, muestre cómo dependería de la temperatura la velo­
ciones el hidrógeno tiene una densidad p de 8.99 x 10"2kg/m3. cidad del sonido en un gas ideal.

Solución Puesto que p = 1.00 atm = 1.01 x 105Pa,

V[}~p= I 3(1.01 X 105Pa)~ Solución La densidad de un gas es

Vms V p 8.99 X 10~2kg/m3 1 nM

Esto es del orden de una milla por segundo, o sea 3600 mi/h. p=- v '

La tabla 1 da los resultados de cálculos similares para donde M es la masa molar (la masa de 1mol) y n es el número
algunos gases a la temperatura ambiente. Estas velocida­ de moles. Al combinar esto con la ley del gas ideal pV =nRT
des moleculares son aproximadamente del mismo orden nos da
que la velocidad del sonido a la misma temperatura. Por
ejemplo, en aire a 0°C, unils = 485 m/s y la velocidad del p RT (16)
sonido es 331 m/s; en el hidrógeno unns = 1838 m/s y p~ M '
el sonido viaja a 1286 m/s. Estos resultados son de espe-
Obtenemos de la ecuación 15

V V a / ’/3P 1 3RT
p

Sección 23-4 Interpretación cinética de la temperatura 571

de modo que la velocidad del sonido v¡ a una temperatura T, se De cualquier modo, ganamos cierta visión sobre el signi­
relaciona con la velocidad del sonido v2 en el mismo gas a una ficado de la temperatura en los gases.
temperatura T2 por
La temperatura de un gas se relaciona con la energía
Ei= [Ti cinética de traslación promedio medida con respecto al
vi V z v centro de masa del gas. La energía cinética asociada con
el movimiento del centro de masa del gas no tiene relación
Por ejemplo, si la velocidad del sonido a 273 K es de 331 m/s con la temperatura del gas. En la sección 23-2 supusimos
en el aire, su velocidad en el aire a 300 K es el movimiento al azar como parte de nuestra definición
estadística de un gas ideal y en la sección 23-3 calculamos
3Ó0K a v1 sobre esta base. Para una distribución de las veloci­
V 2?3 K = 347 m/s. dades moleculares que tengan direcciones al azar, el cen­
tro de masa estaría en reposo. Entonces, para calcular v2,
Obsérvese que aquí se emplea la temperatura absoluta (Kelvin). debemos usar un marco de referencia en el que el centro
¿Por qué? de masa del gas esté en reposo. En todos los demás marcos
las moléculas tienen cada una velocidades más grandes en
Nuestra hipótesis inicial, de que la velocidad del sonido en una cantidad u (la velocidad del centro de masa en ese
un gas es la misma que la velocidad media cuadrática de las marco) que en el marco del centro de masa; de aquí que
moléculas, es sólo crudamente correcta. En realidad, la veloci­ los movimientos ya no_ serán al azar, y obtendremos
dad del sonido es proporcional a v ¿Cambia esto las conclu­ valores diferentes para v2. La temperatura de un gas en un
siones de este problema muestra con respecto a la dependencia recipiente no aumenta ¡cuando ponemos al recipiente en
de la velocidad del sonido con la temperatura? Véase el proble­ un auto en movimiento!
ma muestra 6 para una derivación de la velocidad del sonido en
un gas.___________________________________________ Dividamos ahora cada lado de la ecuación 18 por la
constante de Avogadro NA, que es el número de moléculas
23-4 INTERPRETACIÓN CINÉTICA por mol de un gas. Entonces M/NA = m, la masa de una
DE LA TEMPERATURA sola molécula, y tenemos

Si multiplicamos cada lado de la ecuación 14 por el KM /N A)v2 = hm v2 = l(R /N A)T. (19)
volumen V, obtenemos
Ahora, v2 es la energía cinética de traslación promedio
p v = i p v i í 2, por molécula. La razón R/NA es, según la ecuación 8, la
constante k de Boltzmann, que juega el papel de la cons­
donde pV es la masa total del gas, siendo p la densidad. tante de gas por molécula. Tenemos entonces
Podemos también escribir la masa del gas como nM,
donde n es el número de moles y Af es la masa molar. Al im v2 = $kT. (20)
hacer esta sustitución tenemos que
La ecuación 20 es el análogo molecular de la ecuación 18,

p V = $ n M v 2. (17) que trata de las cantidades molares. Aquí vemos que la

La energía cinética de traslación total del gas es energía cinética de traslación promedio de una molécula

%m(v\ + v\ + • • • + v%) = {m(Nv2), está determinada por la temperatura.

donde N es el número total de moléculas. La masa total En la última columna de la tabla 1 listamos valores
del gas puede escribirse como mN = nM. El lado derecho
de la ecuación 17 es, por lo tanto, dos tercios de la energía calculados de Como la ecuación 18 predice para
cinética total de traslación. Podemos escribir la ecuación
17 como: un gas ideal, esta cantidad (la energía cinética de trasla­

p V = \({n M v 2). ción por mol) tiene casi el mismo valor para los gases

Combinando ésta con la ecuación de estado de un gas ideal reales a una temperatura dada (300 K en este caso).
( p V - nRT), obtenemos
Partiendo de la ecuación 20 concluimos que a una tempe­

ratura T determinada la razón de las velocidades medias

cuadráticas de las moléculas de dos gases diferentes es

igual a la cuadrada de la razón inversa de sus masas.

Es decir, a partir de

iM v2 = ÍRT. (18) 2 _ 2 m 2v2
7>k 2 3k 2
Esto es, la energía cinética de traslación promedio por obtenemos
mol de un gas ideal es proporcional a la temperatura. I___ ^ l.rm s _
Este resultado relaciona la teoría cinética con la ecuación (21)
de estado de un gas ideal. De manera equivalente, pode­ vi ^2,rms
mos considerar a la ecuación 18 como una conexión entre
una propiedad macroscópica, la temperatura, y una pro­ Podemos aplicar la ecuación 21 a la difusión de dos
piedad microscópica, la energía cinética de una molécula. gases diferentes en un recipiente con paredes porosas

572 Capítulo 23 La teoría cinética y el gas ideal

situado en un espacio al vacío. El gas más ligero, cuyas el gas efectúa un trabajo (positivo) sobre el peso. La fuerza
moléculas se mueven más rápidamente en promedio, es­ hacia arriba ejercida por el gas debido a su presión p está
capará más rápidamente que el más pesado. La razón del dada por pA, donde A es el área del émbolo. Según la
número de moléculas de los dos gases que pasan a través tercera ley de Newton, la fuerza ejercida por el émbolo
de las paredes porosas en un intervalo de tiempo corto, la sobre el gas es igual y opuesta a la fuerza ejercida por el
cual se llama elfactor de separación a, es igual a la razón gas sobre el émbolo. Usando la ecuación 7 del capítulo 7,
de sus velocidades medias cuadráticas, y por lo tanto, de podemos por lo tanto escribir el trabajo W efectuado sobre
acuerdo con la ecuación 21, a la raíz cuadrada de la el gas como:
relación inversa de sus masas moleculares o, equivalente­
mente, de sus masas molares: (—W-- J F d x = j pA)dx. (2 3 )

a = Vm2/m, = VM2/A/,. (22) Aquí dx representa el desplazamiento del émbolo, y el
signo menos entra porque la fuerza ejercida por el émbolo
El proceso de difusión a través de paredes porosas es sobre el gas está en una dirección opuesta al desplaza­
un método empleado para separar los átomos de un ele­ miento del émbolo. Si reducimos la temperatura del gas,
mento por masa en sus diferentes isótopos. éste se contrae en lugar de dilatarse; el trabajo efectuado
sobre el gas en este caso es positivo. Suponemos que el
Problema muestra 4 El uranio natural consiste primordial­ proceso descrito por la ecuación 23 se lleva a cabo lenta­
mente en dos isótopos, 235U (0.7% de abundancia) y 238U (99.3% mente, de modo que pueda considerarse que el gas está en
de abundancia). Únicamente el 235U es fácilmente fisionable. En equilibrio en todas las etapas intermedias. De otro modo,
una muestra del gas UF6 (hexafluoruro de uranio), se desea la presión no estaría claramente definida durante el pro­
aumentar la abundancia del ”5U de 0.7% a 3% forzando al gas ceso, y la integral de la ecuación 23 no podría ser evaluada
n veces a través de una barrera porosa. Halle n. fácilmente.

Solución La masa molar M del 235UF6es de 0.349 kg/mol y la Podemos escribir la ecuación 23 en una forma más
del 238UF6 es de 0.352 kg/mol. Entonces, después de pasar a general que viene a ser muy útil. Si el émbolo se mueve
través de una barrera porosa, el gas se habrá enriquecido en 235U una distancia dx, entonces el volumen del gas cambia en
según el factor de separación a, dado por la ecuación 22: una cantidad dV = A dx. Entonces el trabajo efectuado
sobre el gas puede escribirse:
1.352 kg/mol
a= .3, 49 kg/;-m--o-l7= 1.0043.

~ JW pdV. (2 4 )

Cada paso sucesivo a través de una pared porosa aumenta La integración se lleva a cabo entre el volumen inicial V¡
la fracción relativa del 235U según un factor de a. Después y el volumen final V¡.
de tales pasos n, la concentración relativa del 235U habrá aumen­
tado según a". Para aumentar la concentración del 235U desde La ecuación 24 es el resultado más general del trabajo
0.7%, característica del uranio natural, hasta 3%, un enriqueci­ efectuado sobre un gas. No hace referencia al agente
miento usado comúnmente en los reactores de potencia, el externo que efectúa el trabajo; simplemente establece que
número n de barreras porosas que deben ser atravesadas se el trabajo efectuado sobre el gas puede ser calculado a
determina a partir de partir de la presión y el volumen del gas. Obsérvese que
el signo algebraico del trabajo está contenido implícita­
/aoo7\/ao3\ mente en la ecuación 24: si el gas se dilata, d V es positivo
y W es negativo, siendo p una cantidad escalar que asume
\ 0.993/ \0.97/ ' valores positivos únicamente. A la inversa, si el gas se
contrae, d V es negativo y el trabajo efectuado sobre el gas
Resolviendo, obtenemos n = 350. En la práctica, esto se lleva a es positivo.
cabo por medio de etapas sucesivas, en las que una porción del
gas que pasa más fácilmente a través de una barrera (y por lo La ecuación 24 es análoga al resultado general para el
tanto es enriquecido ligeramente en 235U) avanza a la siguiente trabajo efectuado sobre un sistema por una fuerza variable
etapa, donde el resto (ahora ligeramente empobrecido de 235U) F. Recordará usted de la figura 7 del capítulo 7 que si
es regresado para alimentar la etapa más baja anterior. Para trazamos a F contra x, el trabajo efectuado por F es
obtener 235U casi puro, tal como se requiere para las armas precisamente el área bajo la curva entre xiy xf. La figura 6
nucleares, se requeriría varios miles de etapas.____________ muestra la situación similar para el trabajo efectuado
sobre el gas. Una gráfica en la forma de la figura 6 se llama
23-5 TRABAJO EFECTUADO diagramap V, estando p trazada sobre el eje vertical (como F)
SOBRE UN GAS IDEAL_____________ y V trazada sobre el eje horizontal (como x). La magni­
tud del trabajo efectuado sobre el gas es igual al área
Si elevamos la temperatura del gas en el cilindro de la bajo la curva de presión en un diagrama pV. El signo
figura 1, el gas se dilata y eleva el peso contra la gravedad;

Sección 23-5 Trabajo efectuado sobre un gas ideal 573

Pf

Figura 6 La magnitud del trabajo W efectuado sobre un gas ¿I |C
por una presión que varía arbitrariamente es igual al área bajo e\
la curva de presión en un diagrama pV entre el volumen
inicial V¡ y el volumen final V¡. V;

de W se determina de acuerdo a si Vf > V¡ (en cuyo caso Figura 7 Se lleva un gas de la presión y volumen en el
W es negativo, como en la Fig. 6), o si Vf < V¡ (en cuyo punto A a la presión y volumen en el punto D a lo largo de
caso W es positivo). Una vez más, el trabajo efectuado dos trayectorias diferentes, ABD y ACD. A lo largo de la
sobre el gas es negativo si el proceso aumenta el volumen trayectoria 1 (ABD) el trabajo es igual al área del rectángulo
del gas y positivo si el proceso reduce el volumen del gas. BDFE, mientras que a lo largo de la trayectoria 2 (ACD) el
trabajo es igual al área del rectángulo ACFE.
La fuerza de la presión es claramente no conservativa,
como lo ilustra la figura 7. Supongamos que deseamos volumen constante Vt aumentando la temperatura y aña­
llevar a nuestro gas ideal de las condiciones iniciales V¡ y diendo peso al émbolo para evitar que se mueva. El trabajo
p x (punto A) a las condiciones finales Vf y p f (punto D). efectuado en este caso es el área bajo la línea/1C, o sea el
Existen muchas trayectorias diferentes que podemos se­ rectángulo ACFE. Podemos calcular esto como:
guir entre A y D, de las cuales se muestran dos en la
figura 7. A lo largo de la trayectoria 1 (ABD), primero w 2 = w AC + WCD
aumentamos la presión desde p i hasta p {a volumen cons­
tante. (Lo llevaríamos a cabo girando la perilla de control = - J p d V + 0 = - p i j d V = ~ P i ( V f - Vi).
del depósito térmico, aumentando la temperatura del gas,
mientras que añadimos simultáneamente la cantidad pre­ Claramente W¡ * W2, y el trabajo depende de la trayec­
cisa de peso adicional sobre el émbolo para evitar que se toria.
mueva.) Luego seguimos la trayectoria BD aumentando
la temperatura, pero sin añadir ningún peso adicional Podemos llevar a cabo diversas operaciones sobre el
sobre el émbolo, de modo que la presión permanezca gas y evaluar el trabajo efectuado en cada caso.
constante en el valor p f mientras que el volumen aumenta
desde V¡ hasta V¡. El trabajo efectuado durante todo este Trabajo efectuado a volumen constante
procedimiento es el área del rectángulo BDFE (el área
bajo la línea BD). El trabajo es cero en cualquier proceso en que el volumen
permanezca constante (como en los segmentos AB y CD
Podemos hallar W{, el trabajo efectuado sobre el gas a de la figura 7);
lo largo de la trayectoria 1, al considerar el trabajo efec­
tuado a lo largo de los dos segmentos AB y BD: W = 0 (V constante). (25)

w l = w AB+ WBD. Deducimos directamente de la ecuación 24 que W = 0 si
V es constante. Obsérvese que no es suficiente que el
Debido a que el volumen es constante a lo largo de AB, se proceso comience y termine con el mismo volumen; el vo­
deduce de la ecuación 24 que WAB = 0. A lo largo de BD, lumen debe ser constante durante todo el proceso para
la presión es constante (en el valorp¡) y sale de la integral. que el trabajo sea cero. Por ejemplo, consideremos el
El resultado es proceso ACDB en la figura 7. El volumen comienza y
termina en V¡, pero el trabajo ciertamente no es cero.
W ,= WAB + WBD El trabajo es cero únicamente en trayectorias verticales
tales como la AB, que representa un proceso a volumen
-= o J p d v = - Pí j * d V = ~ P{( Vf - V¡). constante.

Para seguir la trayectoria 2 (ACD), primero aumenta­ Trabajo efectuado a presión constante
mos la temperatura mientras mantenemos a la presión
constante en p¡ (es decir, sin añadir ningún peso adicional Aquí podemos aplicar fácilmente la ecuación 24, porque
al émbolo), de modo que el volumen crece desde V¡ hasta la constante p sale de la integral:
Vf. Luego aumentamos la presión desde p¡ hasta p, al

574 Capítulo 23 La teoría cinética y el gas ideal

Figura 8 Se representa un proceso efectuado a temperatura Figura 9 Se representa un proceso adiabático en un
constante (proceso isotérmico) por medio de una hipérbola en diagrama pV pot medio de la curva tipo hipérbola pVr=
un diagrama pV. El trabajo efectuado al cambiar el volumen constante. El trabajo efectuado al cambiar de volumen es
es igual al área bajo la curva entre V¡ y V¡. igual al área bajo la curva entre V¡ y V¡. Ya que y > 1, la
curva adiabática tiene una pendiente negativa m 's empinada
que la curva isotérmica pV =constante.

W■—= - pp fI. d V (26) Obsérvese que éste es también negativo si Vf > V¡ (ln x es
= —p (Vf — V¡) (/«constante). positivo para x > 1) y positivo si V¡ < V¡.

Los segmentos AC y BD de la figura 7 son ejemplos. Trabajo efectuado en aislamiento térmico
Obsérvese que el trabajo efectuado sobre el gas es nega­
tivo para ambos segmentos, porque el volumen aumenta
en ambos procesos.

Trabajo efectuado a temperatura constante Alejemos al cilindro de la figura 1 del depósito térmico y
pongámoslo sobre una placa de material aislante. El gas
Si el gas se dilata o se contrae a temperatura constante, la estará entonces en completo aislamiento térmico con res­
relación entre p y V, dada por la ley del gas ideal, es pecto a su entorno; si efectuamos un trabajo sobre él, su
temperatura cambiará, en contraste con su comportamien­
p V = constante. to cuando estaba en contacto con el depósito térmico. Un
proceso llevado a cabo en aislamiento térmico se llama
En un diagrama pV, la gráfica de la ecuación p V = cons­ proceso adiabático.
tante es exactamente igual a la gráfica de la ecuación xy =
constante en un sistema de coordenadas xy: es una hipér­ Si permitimos que el gas se dilate sin que haya otras
bola, como se muestra en la figura 8. restricciones, la trayectoria que seguirá está representada
por la curva tipo hipérbola
Un proceso efectuado a temperatura constante se llama
proceso isotérmico, y la curva hiperbólica correspondien­ p V r = constante, (28)
te del diagramap V se llama isoterma. Para hallar el trabajo
efectuado sobre un gas durante un proceso isotérmico, como se muestra en la figura 9. El parámetro y, llamado
usamos la ecuación 24, pero debemos hallar una manera la razón de calores específicos, debe determinarse empí­
de llevar a cabo la integral cuando p varía. Para hacerlo ricamente para un gas dado. Sus valores están típicamente
usamos la ecuación de estado del gas ideal para escribir en el intervalo de 1.1 a 1.8. (En la sección 25-4 estudiare­
p = nRT/V, y entonces mos los calores específicos de los gases, y en la sección
25-6 derivaremos la ecuación 28.) Debido a que yes más
f v< í Vf n R T í y'd V grande que 1, la curvap V r=constante está más empinada
que la curvapV= constante, por lo que el trabajo efectuado
w - L ’ d r - L — * r ~ ,* T h - v - en este proceso será de magnitud un poco más pequeña
que el trabajo efectuado al dilatarse desde Vt hasta V¡ a T
donde la última etapa puede hacerse porque estamos con­ constante, como puede verse en la figura 9.
siderando que T es una constante. Efectuando la integra­
ción, hallamos La constante de la ecuación 28 se determina a partir de
la presión y el volumen en un punto determinado de la
W = —n R T ln — (T constante). (27) curva. Escojamos el punto inicial p¡, Vt en la figura 9, y
*i entonces

Sección 23-5 Trabajo efectuado sobre un gas ideal 575

o bien p v y= pW
PiV?
(29)
p = - yy

Ahora podemos hallar el trabajo adiabático: il

a.

fv , f y< n V y f v’ dV

w - - \ ^ i v = - l M d V ~ ~ p y : L ~ ¡ r’

p f í ( v r r - v\-y). 12 34
y - 1

Introduciendo, en primer lugar, un factor de V \~1 y se­ ________________________ V(m3)__________________
gundo usando p y \ = p ,V ] , podemos escribir el trabajo
adiabático como: Figura 10 Problema muestra 5. Se lleva a un gas desde el
punto inicial i hasta el punto final f a lo largo de tres
trayectorias diferentes. La trayectoria 2 es una isoterma.

= —í— (pfVf —PíVí) (adiabático). (30) volumétrico adiabático para hallar la velocidad del sonido en el
y- 1 gas en función de la temperatura. Halle el valor para el aire a
temperatura ambiente (20°C).
Si el gas se expande, entonces VJV\ < 1, y puesto que
un número menor de 1 elevado a cualquier potencia Solución (a) En el límite diferencial, el módulo volumétrico
positiva permanece menor que 1, el trabajo es otra vez (véase la Ec. 5 del capítulo 17) puede escribirse como:
negativo.
B— Vf v
Problema muestra 5 Una muestra de gas que consta de 0.11
mol se comprime de un volumen de 4.0 m3a 1.0 m3mientras su En un proceso adiabático, la ecuación 28 ( pVr= constante) da,
presión aumenta de 10 a 40 Pa. Compare el trabajo efectuado a considerando la derivada con respecto a V,
lo largo de las tres trayectorias diferentes que se muestran en la
figura 10. -(£)d(pV') v y+ p(yVy~') = 0,
dV
Solución La trayectoria 1 consta de dos procesos, uno a pre­ o bien
sión constante seguido por otro a volumen constante. El trabajo
efectuado a presión constante se halla de la ecuación 26, r dp_ -yp.
dV~
W= -p (V t - = -(10 Pa)(1.0 m3- 4.0 m3) = 30 J.
El trabajo efectuado a volumen constante es cero (véase la Entonces
Ec. 25), así que el trabajo total para la trayectoria 1 es
B —yp
W¡ = 30 J + 0 = 30 J.
La trayectoria 2 representa un proceso isotérmico, a lo largo del en un proceso adiabático para un gas ideal.
cual T = constante. Entonces p¡V¡ = p¡V¡ = nRT. El trabajo (b) En la sección 20-1, determinamos que la velocidad del
efectuado durante el proceso isotérmico puede ser hallado usan­
do la ecuación 27, sustituyendo a nRT por py„ lo cual da sonido en un gas puede ser escrita

W2 = ~PiV¡ln -p = -(1 0 Pa)(4.0 m3) ln 41.00 mm: = 55 J. v = W P,
La trayectoria 3 consta de un proceso a volumen constante, para
el cual el trabajo es nuevamente cero, seguido por un proceso a donde B es el módulo volumétrico y p es la densidad del gas.
presión constante, y así el trabajo total para la trayectoria 3 es Usando el resultado de la parte (a) y la ecuación de estado del
f V } —0 —P f ( V t — K,) = -(40 PaXl.O m3- 4 . 0 m3) = 120 J. gas ideal (Ec. 7), obtenemos

Obsérvese que el trabajo es positivo en los tres procesos, y que ynRT
las magnitudes aumentan de acuerdo con el área bajo cada
trayectoria en el diagrama pV. py p pV ■

Problema muestra 6 (a) Halle el módulo volumétrico B para La cantidad pV es la masa total del gas, la cual también puede
un proceso adiabático para un gas ideal. (b) Tome el módulo escribirse nM, donde n es el número de moles y Ai es la masa
molar. Haciendo esta sustitución, obtenemos

[yRT

Así, la velocidad del sonido en un gas depende de la raíz
cuadrada de la temperatura, como lo inferimos en el problema

muestra 3.

576 Capítulo 23 La teoría cinética y el gas ideal

En el aire, la masa molar promedio es de alrededor de 0.0290 una molécula esté representada como una partícula pun­
kg/mol, y el parámetro yes de alrededor de 1.4. Entonces para tual, considerémosla como dos partículas puntuales sepa­
T =20°C = 293 K, radas por una distancia dada. Este modelo ofrece una
descripción mejor de los gases diatómicos, los que tienen
y V/(1.4)(8.31J/mol-K)(293 K) , dos átomos en cada molécula y que incluyen a gases
comunes tales como 0 2, N2, o CO (monóxido de carbono).
= ------- 0.0290 kg/mol------- = 343 m/S- Tal molécula puede adquirir energía cinética girando con
respecto a su centro de masa, y por lo tanto es necesario
23-6 LA ENERGÍA INTERNA considerar en la energía interna las contribuciones de
DE UN GAS IDEAL energía cinética rotatoria así como de energía cinética
de traslación.
Nuestro modelo del gas ideal se basa en que las moléculas
son consideradas como partículas puntuales. La tempera­ La energía cinética rotatoria de una molécula diatómi­
tura, como lo hemos visto, depende de la energía cinética ca, ilustrada en la figura 11, puede ser escrita
de traslación de las moléculas. Para partículas puntuales,
no existe otra forma de considerar la energía interna £ int. Kml = i Ix,C02x, + \Iy(tí2y,
No existe una energía potencial molecular, como tampoco
ninguna energía interna asociada con la rotación o con la donde / es la inercia rotatoria de la molécula para rotacio­
vibración de la molécula. En un gas ideal, la energía nes con respecto a un eje en particular. El sistema de
interna puede ser energía cinética de traslación única­ coordenadas x'y'z' está fijo en el centro de masa de la
mente. Si tenemos n moles de un gas ideal a la temperatura molécula. En las masas puntuales, no existe energía ciné­
T, entonces tica asociada con la rotación con respecto al eje z', porque
Iz. = 0. La energía cinética total de la molécula es la suma
E ia = n ( W v 2) = \n R T (31) de las partes rotatoria y de traslación:

usando la ecuación 18.La energía interna de un gas ideal K = %mv2 + \m v l + %mvz2+ hlx-o)2, + %Iy o)y. (34)
depende únicamente de la temperatura. No depende, por
ejemplo, de la presión o del volumen del gas. Debido a que la energía cinética es el único tipo de energía
que puede tener la molécula, la ecuación 34 representa
Una manera de cambiar la energía interna de un gas también la contribución de una molécula a la energía
ideal es efectuar un trabajo sobre él (o permitir que el interna del gas. Para hallar la energía interna total del gas,
gas efectúe un trabajo sobre su entorno). Supongamos que debemos hallar la suma de expresiones tales como la
el gas en el cilindro mostrado en la figura 1 está aislado ecuación 34 para todas las N moléculas. Una manera más
del depósito térmico. Hagamos que el entorno efectúe un sencilla es evaluar la energía promedio por molécula y
trabajo W sobre el gas. La ley generalizada de la conser­ multiplicarla por el número de moléculas, N.
vación de la energía (véase la Ec. 28 del capítulo 8) da
entonces Supongamos que efectuamos un trabajo W sobre el gas,
aumentando su energía interna. ¿Cuánto de este aumento
AE ínt= W (32) aparecería como energía cinética de traslación y cuánto
como energía cinética rotatoria? Esta determinación es
porque el gas puede almacenar energía sólo por la energía muy importante para entender las propiedades macroscó­
interna, y el trabajo es la única contribución al cambio en picas del gas, porque únicamente la energía cinética de
la energía interna del gas. traslación promedio de un gas contribuye a su tempera­
tura. Esto es, dos gases con la misma energía cinética de
Supongamos que el entorno efectúe un trabajo sobre el traslación promedio tienen la misma temperatura, aun
gas, de modo que W sea positivo en la ecuación 32. Se cuando uno de ellos tenga una energía rotatoria más
deduce entonces que A£int debe ser positivo, y usando la grande y, por lo tanto, una energía interna más grande.
ecuación 31 podemos escribir
Para determinar las contribuciones relativas de la ener­
A £ int = t nR AT, (33) gía cinética de rotación y de traslación (y posiblemente
otras formas también) a la energía interna, es necesario
así que el cambio de temperatura es también positivo. considerar el valor promedio de cada término diferente en
Si el émbolo se mueve hacia arriba, el entorno efectúa la expresión de la energía interna de un gas, tal como los
cinco términos de la ecuación 34, la cual se basa en la
un trabajo negativo sobre el gas, y según la ecuación 32 hipótesis de una molécula diatómica rígida. Para otros
el cambio en la energía interna es negativo. De acuerdo gases, podríamos tener que incluir un tercer término rota­
con la ecuación 33 el cambio en la temperatura es también torio, y para moléculas no rígidas es necesario incluir
negativo. términos en la energía correspondientes al movimiento
vibratorio (véase la sección 15-10). A partir de la mecá­
Modifiquemos ahora una de las hipótesis básicas de nica estadística clásica, la cual estudiaremos en el capítu-
nuestro modelo del gas ideal. En lugar de considerar que

Sección 23-6 La energía interna de un gas ideal 577

y' que tres átomos estén en una línea recta, como en el C 0 2).

Figura 11 Se muestra una molécula diatómica, que consta La energía cinética interna por molécula podría entonces
de dos átomos considerados como partículas puntuales, con
su eje a lo largo del eje z' de un sistema de coordenadas. En tener un sexto término, . Para 6 grados de libertad,
esta orientación, la inercia rotatoria para rotaciones con
respecto al eje z' es cero, y entonces no existe un término de la energía interna es
la energía cinética correspondiente a tales rotaciones. Las
inercias rotatorias para rotaciones con respecto a los ejes x‘ y E ini = N(ÍkT) = 3nRT (gas poliatómico). (37)
y' no son cero, y entonces existen términos de energía
cinética para tales rotaciones. Hasta el momento hemos considerado únicamente las
contribuciones de la energía cinética de rotación o de
lo 24, podemos demostrar que, cuando el número de traslación a la energía interna de un gas. Pueden contribuir
partículas es grande y se aplica la mecánica newtoniana, también otras clases de energía. Por ejemplo, una mo­
cada uno de estos términos independientes tiene la misma lécula diatómica que pueda vibrar libremente (imagine­
energía promedio de ±kT. En otras palabras, la energía mos que los dos átomos estén conectados por un resorte)
disponible depende únicamente de la temperatura y está tiene dos contribuciones adicionales a la energía: la ener­
distribuida en partes iguales en cada una de las maneras gía potencial del resorte y la energía cinética vibratoria de
independientes en que una molécula puede almacenar los átomos. Entonces, una molécula diatómica con liber­
energía. Este teorema, deducido por Maxwell, se llama tad para trasladarse, girar, y vibrar tendría 7 (= 3 + 2 + 2)
equipartición de la energía. grados de libertad. Para moléculas poliatómicas, el núme­
ro de términos vibratorios en la energía puede ser mayor
Cada forma independiente que pueda tomar la energía que dos. Los modos vibratorios de la energía interna son
de un sistema como, por ejemplo, los cinco términos de usualmente aparentes únicamente a alta temperatura, don­
la ecuación 34, se llama un grado de libertad. Un gas de las colisiones más violentas pueden hacer que la mo­
monoatómico tiene únicamente tres grados de libertad por lécula vibre.
molécula, puesto que únicamente tiene energía cinética de
traslación (£¡ul = ±mu2x + v2 + '-mv \ ). Un gas diatómico En la sección 25-4, demostramos que los resultados
tiene cinco grados de libertad por molécula, si la molécula derivados en esta sección dan una descripción muy buena
es rígida. de la relación entre la energía interna y la temperatura de
gases reales. Vemos también que, cuando la temperatura
Usemos el teorema de la equipartición de la energía de un gas desciende, los movimientos vibratorio y rotato­
para escribir una expresión para la energía interna de un rio pueden ser “congelados”, de modo que a temperaturas
gas ideal monoatómico. La energía interna promedio por suficientemente bajas únicamente están presentes los 3
molécula es | kT (3 grados de libertad por ík T por grado de grados de libertad de traslación. La deficiencia más seria
libertad), y la energía interna total de las N moléculas es de este modelo de un gas ideal es su incapacidad para
explicar los efectos cuánticos inherentes en la estructura
E im = N(^kT) = \n R T (gas monoatómico), (35) atómica y molecular. Los experimentos con colisiones en
los gases proporcionaron pronta evidencia de que la ener­
donde hemos usado las ecuaciones 6 y 8. La ecuación 35 gía interna de un átomo está cuantizada. Podemos decir
es idéntica a la ecuación 31. entonces que el germen de la teoría cuántica se encuentra
en la teoría cinética de los gases.*
Para un gas diatómico, con 5 grados de libertad, el
resultado es Problema muestra 7 Consideremos una vez más la situación
del problema muestra 5, donde el gas comienza en el punto
E inl = N (\kT ) = {n R T (gas diatómico). (36) inicial con un volumen Vt = 4.0 m3y una presión p¡ = 10 Pa.
Un gas poliatómico (más de dos átomos por molécula) Quitemos al cilindro del depósito térmico, y comprimamos al
tiene generalmente tres ejes de rotación posibles (a no ser gas adiabáticamente hasta que su volumen sea V¡= 1.0 m3. Halle
el cambio en la energía interna del gas, suponiendo que sea helio
(un gas monoatómico con y = 1.66).

Solución Para hallar el cambio en la energía interna, podemos
usar la ecuación 33 si conocemos el cambio en la temperatura.
Podemos hallar la temperatura inicial usando la ley del gas ideal
(puesto que pi y son conocidas), y podemos hallar la tempe­
ratura final si conocemos la presión y el volumen en el punto

* Véase “On Teaching Quantum Phenomena”, por Sir N. F.
Mott, Contemporary Physics, agosto de 1964, pág. 401.

578 Capítulo 23 La teoría cinética y el gas ideal

final. La presión final puede ser hallada usando la relación
adiabática de la ecuación 29:

Pr p{V? _ (10Pa)(4.0 m3)1 •= 100 Pa.
V¡ (1.0 m3)166

En el diagrama pV de la figura 10, el punto final del proceso
adiabático se encuentra verticalmente muy por encima del punto

final del proceso isotérmico (40 Pa). Esto es consistente con el
hecho de que las curvas adiabáticas son más empinadas que las
curvas isotérmicas, como se muestra en la figura 9.

Podemos ahora proceder a hallar las temperaturas inicial y
final y luego el cambio en la energía interna:

r,- PiVi. (0.11 (10 Pa)(4.0 m3) = 44 K.
nR mol)(8.31 J/mol-K)

_ pfVf (100 Pa)(1.0 m3) = 109 K.
f nR (0.11 mol)(8.31 J/mol-K)

AE,nt = \nRAT

= K0.11 mol)(8.31J/mol •K)( 109 K 44 K) = 89 J.

El cambio en la energía interna es positivo, consistente con la
ecuación 32 para este proceso adiabático, porque el trabajo
efectuado al comprimir el gas es también positivo._________

23-7 FUERZAS INTERMOLECULARES Figura 12 (a) La energía potencial mutua U de dos
moléculas en función de su distancia de separación r. La
(Opcional) energía mecánica E está indicada por la línea horizontal.
(ti) La fuerza radial entre las moléculas, dada por -dU/dr,
Las fuerzas entre las moléculas son de origen electromagnético. correspondiente a esta energía potencial. La energía potencial
Todas las moléculas contienen cargas eléctricas en movimiento. es mínima en la separación de equilibrio r0. en cuyo punto la
Estas moléculas son eléctricamente neutras en el sentido de que fuerza es cero.
la carga negativa de los electrones es igual y opuesta a la carga
positiva de los núcleos. Esto no significa, sin embargo, que las las; la pendiente es cero allí. En la figura 126 trazamos la fuerza
moléculas no interactúen eléctricamente. Por ejemplo, cuando mutua F(r) correspondiente a esta función de la energía poten­
dos moléculas se aproximan entre sí, las cargas de cada una se cial. La línea E de la figura 12a representa la energía mecáni­
alteran y se desvían ligeramente de sus posiciones usuales de ca de las moléculas al chocar. La intersección de U(r) con esta
manera tal que la distancia promedio entre cargas opuestas en línea es un “punto de retomo” del movimiento (véase la sección
las dos moléculas es un poco más pequeña que aquélla entre 8-4). La separación de los centros de las dos moléculas en el
cargas iguales. De aquí que resulte una fuerza intermolecular punto de retorno es la distancia de mayor acercamiento. La
de atracción. Este reordenamiento interno tiene lugar únicamen­ distancia de separación para la cual la energía potencial mutua
te cuando las moléculas están relativamente cercanas entre sí, es cero puede ser considerada como la distancia aproximada de
de manera que estas fuerzas actúan sólo a distancias cortas; son mayor acercamiento en una colisión de baja energía y por lo
fuerzas de corto alcance. Si las moléculas se acercan mucho tanto, también como el diámetro de la molécula. Para moléculas
entre sí, de modo que sus cargas exteriores comiencen a trasla­ sencillas el diámetro es de alrededor de 2.5 x 10'10m. Para mo­
parse, la fuerza intermolecular se convierte en repulsiva. Las léculas sencillas, la distancia r0 a la cual el potencial es mínimo
moléculas se repelen entre sí porque no hay modo de que (el punto de equilibrio) es de alrededor de 3.5 x 10'10m y la
una molécula se reordene a sí misma internamente para impedir fuerza y la energía potencial tienden a cero al aumentar r hasta
la repulsión de los electrones externos adyacentes. Es esta unos 10"’ m, o alrededor de 4 diámetros. La fuerza molecular
repulsión al contacto la responsable de las colisiones molecula­ tiene entonces un alcance muy corto. Por supuesto, moléculas
res en los gases imitando a las colisiones de las bolas de billar. diferentes tienen tamaños diferentes y diferentes ordenamientos
Si no fuese por esta repulsión, las moléculas se atravesaríanunas internos de las cargas, de modo que las fuerzas intermoleculares
a otras en lugar de rebotar en la colisión. varían de una molécula a otra. Sin embargo, siempre muestran
el comportamiento cualitativo indicado en la figura 12.
Supongamos que las moléculas son casi simétricamente es­
féricas. Entonces podemos describir las fuerzas intermolecula­ En un sólido, las moléculas vibran respecto a la posición de
res gráficamente trazando la energía potencial mutua de dos equilibrio rB. Su energía total E es negativa, esto es, está abajo
moléculas, U, en función de la distancia r entre sus centros. La del eje horizontal en la figura 12a. Las moléculas no tienen la
fuerza F que actúa sobre cada molécula se relaciona con la ener­ energía suficiente para escapar de su valle de potencial (esto es,
gía potencial U por F = -dU\dr. En la figura 12a trazamos una de su fuerza de enlace). En un sólido los centros de vibración O
U(r) típica. Aquí podemos pensar que una molécula está fija en están más o menos fijos. En un líquido las moléculas tienen una
O. Entonces, la otra molécula es repelida de O cuando la energía vibratoria mayor con respecto a los centros que son
pendiente de U es negativa y es atraída hacia O cuando la pen­
diente es positiva. En r0 ninguna fuerza actúa entre las molécu-

Sección 23-8 La ecuación de estado de van der Waals (Opcional) 579

libres de moverse pero que permanecen aproximadamente a la Figura 13 Si se considera que las moléculas de un gas se
misma distancia entre sí. Las moléculas tienen su energía ciné­ comportan como esferas sólidas, entonces el centro de la
tica más grande en el estado gaseoso. En un gas, la distancia molécula B no puede moverse dentro del hemisferio de radio
promedio entre las moléculas es considerablemente más grande d centrado en la molécula A. Aquí d es el diámetro de la
que el alcance efectivo de las fuerzas intermoleculares, y las molécula. El volumen libre disponible para la molécula B se
moléculas se mueven en línea recta entre colisiones. Maxwell reduce en el volumen de tal hemisferio centrado en cada
explica la relación entre el modelo de la teoría cinética de un molécula del gas.
gas y las fuerzas intermoleculares como sigue: “En lugar de
decir que las partículas son duras, esféricas, y elásticas, pode­ (Interviene el factor de j porque, cuando dos moléculas se
mos, si nos place, decir que las partículas son centros de fuerza, aproximan entre sí, el volumen dentro del que interactúan
cuya acción es insensible excepto a una cierta distancia peque­ no es una esfera completa sino el hemisferio que mira hacia
ña, cuando súbitamente aparece como una fuerza repulsiva de la dirección de acercamiento.) En condiciones normales, 1mol
enorme intensidad. Es evidente que cualquiera de las concep­ de un gas tiene un volumen de 22.4 L, y entonces la corrección
ciones conduciría a los mismos resultados.” b es normalmente pequeña (0.01 - 0.1%), pero puede llegar
a ser mucho más significativa si estudiamos un gas a alta
Es interesante comparar las fuerzas intermoleculares medi­ densidad.
das con la fuerza gravitatoria de atracción entre moléculas.
Si elegimos una distancia de separación de 4 x IO"10m, por El volumen “libre” disponible para el gas es entonces V- nb,
ejemplo, la fuerza entre dos átomos de helio es de unos 6 * y podemos modificar la ecuación de estado de acuerdo con ello:
10'13N. La fuerza gravitatoria para esa separación es de unos
7 x 10'42N, más pequeña que la fuerza intermolecular ¡por un p( V—nb) = nRT. (38)
factor de 1029! Éste es un resultado típico y demuestra que la Despejando a p, obtenemos
gravitación es despreciable en el caso de las fuerzas intermo­
leculares. nRT (39)
P = V —nb
Si bien las fuerzas intermoleculares parecen ser pequeñas
según normas ordinarias, debemos recordar que la masa de una La ecuación 39 indica que la presión de un gas real aumenta en
molécula es tan pequeña (alrededor de 10‘26 kg) que estas
fuerzas pueden impartir aceleraciones instantáneas del orden de relación a la de un gas ideal en las mismas condiciones. En
1015m/s2(IO14#). Estas aceleraciones pueden durar únicamente efecto, el volumen reducido disponible para las moléculas
un tiempo muy pequeño, por supuesto, porque una molécula
puede moverse muy rápidamente fuera del alcance de la influen­ significa que efectúan más colisiones con las paredes y por lo
cia de la otra. ■ tanto aumentan la presión.

23-8 LA ECUACION DE ESTADO Para tomar en cuenta el efecto del alcance de la fuerza entre
DE VAN DER WAALS (Opcional) moléculas, consideremos una región del gas dentro de una
distancia d desde una de las paredes del recipiente (Fig. 14).
La teoría cinética describe microscópicamente el comporta­ Elegimos d de manera que corresponda al alcance de la fuerza
miento de un gas ideal, aunque ciertas hipótesis de nuestro entre moléculas, y centramos nuestra atención en determinada
modelo del gas ideal no son válidas cuando se trata de gases
reales. Para corregir estas deficiencias se han sugerido muchas molécula C que esté a punto de chocar con la pared. Cuando
modificaciones a la ecuación de estado del gas ideal. En la choca con la pared, puede emplearse el teorema impulso-ímpe­
sección anterior, demostramos que una manera realista de con­ tu, dp =f F dt, para relacionar el cambio de ímpetu de la
siderar a la fuerza intermolecular nos conduce a concluir que molécula con el impulso de la fuerza neta F que actúa sobre ella
las moléculas tienen un diámetro pequeño pero ciertamente no
cero (que puede contradecir la hipótesis 4 del modelo del gas durante la colisión. En el modelo del gas ideal, las moléculas
ideal), y que el alcance de la fuerza puede ir más allá del
“diámetro de colisión” (lo cual contradice la hipótesis 5). En ejercen fuerzas una sobre otra únicamente durante las colisio­
esta sección desarrollamos una ecuación de estado modificada
que tiene en cuenta estos factores. nes; entonces, la única fuerza que actúa sobre una molécula al
chocar con la pared es ejercida por la pared. Esta fuerza, según
Para considerar el efecto del tamaño finito de las moléculas, la tercera ley de Newton, es igual a la fuerza ejercida sobre la
consideremos cada molécula como una esfera sólida de diáme­ pared por la molécula y entonces es responsable de la presión
tro No se permite que dos moléculas se acerquen entre sí a una que el gas ejerce sobre las paredes del recipiente, como ya vimos
distancia entre sus centros menor que d (Fig. 13). El “volumen en la sección 23-3.
libre” disponible para una molécula disminuye al volumen de
un hemisferio de radio d centrado en la otra molécula. Sea b la Supongamos ahora que la molécula C experimente también
disminución en el volumen disponible debido a las moléculas fuerzas a causa de la atracción de otras moléculas cercanas
en 1 mol de un gas. El volumen total disponible para todo el (aquellas que se encuentran dentro de un hemisferio de radio d,
conjunto de moléculas en n moles es entonces el volumen Vdel el alcance de la fuerza). Para una molécula cerca de la pared, la
recipiente menos una cantidad nb que representa al volumen suma de todas las fuerzas intermoleculares da una resultante que
ocupado por las moléculas. Si tomamos el cálculo de la sección actúa alejándose de la pared. (Las moléculas cerca de la super-
anterior, d = 2.5 x IO'10m, y entonces calculamos a b como

b = $NA(jnd3) = 2 X 10-5 mVmol
= 2 X 10-3 L/mol.

580 Capítulo 23 La teoría cinética y el gas ideal

donde a es una constante de proporcionalidad. La ecuación de
estado modificada puede expresarse como:

[p + a ^ ( V - n b ) = nRT. (41)

•l Esta expresión, deducida por vez primera por J. D. van der
Waals (1837-1923) se llama ecuación de estado de van der
- - d------*\ Waals. Obsérvese que la ecuación 41 se reduce a la ecuación de
estado del gas ideal (Ec. 7) cuando el gas ocupa un volumen
Figura 14 Una molécula de gas C (considerada aquí como grande (esto es, las moléculas están muy separadas entre sí y la
un punto) cerca de la pared del recipiente experimenta una densidad del gas es pequeña).
fuerza neta que se aleja de la pared debido a la atracción de
las moléculas circundantes dentro del alcance d de la fuerza Los valores de las constantes a y b deben determinarse
entre las moléculas. La presión neta sobre las paredes del experimentalmente, lo cual hace empírica a la ecuación en este
recipiente es reducida por todas estas moléculas dentro de respecto. Al igual que la ecuación de estado del gas ideal, se
una distancia d medida desde las paredes. basa también en un modelo con hipótesis de gran simplifica­
ción. No existe ninguna fórmula simple que pueda aplicarse a
ficie de un líquido experimentan una fuerza similar hacia aden­ todos los gases bajo todas las condiciones, y únicamente a través
tro, la cual es responsable de la tensión superficial; véase la de la experimentación podemos saber si una ecuación es supe­
sección 17-6.) Entonces, durante la colisión la componente de rior a otra en su descripción de la realidad en determinado
la fuerza que actúa alejándose de la pared tiene dos contribucio­ conjunto de condiciones.
nes: una proveniente de la pared y la otra de las moléculas
circundantes. Para un cambio dado en el ímpetu debido a una La figura 15 compara las isotermas de un gas ideal con
colisión con la pared, la fuerza ejercida por la pared durante las calculadas para el C 02 con la ecuación de estado de van
der Waals. Obsérvese que la desviación del comportamiento
la colisión es por lo tanto más pequeña, la fuerza de reacción
ejercida por la molécula es más pequeña, y la presión ejercida ideal se presenta principalmente a presión alta y temperatura
por el gas es, de igual manera, más pequeña. baja. Para el C02 a temperaturas por debajo de 304 K, las
isotermas comienzan a curvarse hacia abajo, indicando que
Esta reducción de la presión debida a la colisión de la mo­ cuando disminuimos el volumen, la presión disminuye igual­
lécula C con la pared, es proporcional al número de moléculas mente. Puesto que este comportamiento es contrario a lo que se
en el hemisferio de radio d que rodea a la molécula C y por lo esperaba para un gas, ello nos sugiere que parte del C02se está
tanto al número de moléculas por unidad de volumen del gas, condensando en un liquido, dejando menos de él en el estado
N/V. El efecto neto debido a todas las moléculas iguales a C en gaseoso. El modelo de van der Waals sugiere entonces la
existencia de mezclas de fases diferentes, lo cual no puede
la capa superficial de espesor d es proporcional al número de lograr el modelo del gas ideal. Si fuésemos a comprimir una
moléculas en esa capa, el cual es también proporcional al muestra de C02, hallaríamos que la isoterma T = 264 K real no
se inclinaría hacia abajo como lo predice la ecuación de van
número de moléculas por unidad de volumen del gas. La reduc­ der Waals, sino que seguiría el segmento horizontal AB en la
ción total en presión resultante de la fuerza entre las moléculas figura 15, conforme el gas se condensa en un líquido a presión
es entonces proporcional a (N/V)2. constante. El modelo de van der Waals proporciona una mejora

Esto es, si triplicamos el número de moléculas pero mante­ sobre el modelo del gas ideal, pero ningún modelo sencillo sirve
nemos constante el volumen del recipiente, nuestro hemisferio para explicar el comportamiento del gas bajo todas las circuns­
imaginario tendrá tres veces tantas moléculas y de aquí que la tancias posibles.
molécula C sufrirá tres veces la fuerza que la aleja de la pared.
En todo el gas habrá tres veces el número de moléculas, cada Hallamos también que los otros resultados para el gas ideal
una de las cuales sufrirá el mismo efecto. El efecto total aumenta son sólo aproximadamente correctos al aplicarlos a los gases
por lo tanto nueve veces. reales. Por ejemplo, la energía interna de un gas real depen­
de del volumen así como también de la temperatura. Si existen
El efecto neto de la fuerza intermolecular introduce una fuerzas de atracción entre las moléculas, entonces la energía
corrección a la presión, proporcional a (N/V)1. En lugar de potencial interna aumenta al aumentar la distancia promedio
escribir esta corrección en términos del número de moléculas entre las moléculas. Por lo tanto, esperamos que la energía
N, la escribimos en términos del número de moles n, de modo interna de un gas aumente ligeramente con el volumen, y
que la presión corregida resulta ser esta expectativa es consistente con los experimentos en la ma­
yoría de los gases. Si el estado del gas es tal que las fuerzas
repulsivas son más importantes que las fuerzas atractivas, en­
tonces al aumentar la distancia entre las moléculas disminu­
ye la energía potencial. Para ciertos gases (por ejemplo, el
hidrógeno y el helio a temperaturas ordinarias) se observa
que la energía interna disminuye cuando el volumen aumen­
ta. En cualquier caso, la energía interna no es simplemente
una función de la temperatura sino que depende también del
volumen.

nRT ( n V (4(N Problema muestra 8 La isoterma graficada en la figura 156
P V - n b a\ v j ’ para el C02a la temperatura T = 304 K se llama isoterma crítica.

Sección 23-8 La ecuación de estado de van der Waals (Opcional) 581

(„) K(10-4 m3) m V(10~4 m3)

Figura 15 (a) Isotermas para 1mol de un gas ideal. (b) Isotermas para un mol de C02determinadas
por la ecuación de van der Waals. Obsérvese que a gran volumen, las isotermas ideal y de van der
Waals se comportan similarmente. Cuando se elevan las temperaturas, las isotermas de van der Waals
se comportan más como las del gas ideal. Obsérvese también que, si la presión es muy grande, el
volumen tiende al valor de b, como lo requiere la ecuación 40, en lugar de al valor cero, como lo
predice la ecuación de estado del gas ideal. La línea interrumpida AB muestra una representación más
realista de la isoterma T = 264 K. Cuando el gas se comprime a lo largo de esta isoterma, parte del gas

se condensa en un líquido, y la presión permanece constante.

Se distingue por tener un mínimo y un punto de inflexión (el 21R2T l
punto donde la curva cambia el sentido de su concavidad) que ü ==~T64a—pa >
coinciden en el mismo punto. Usando esta información junto
con el valor de la presión crítica pa, calcule los valores de las Puesto que pct = 0.75 x 107 Pa por la figura 156, podemos
constantes a y b de van der Waals para el C02. entonces calcular que

Solución El mínimo de una curva en un diagrama pV se a = 0.364 J ■m3/mol2 y b = 4.27 X 10~5m3/mol.
determina por el punto en que la pendiente dp/dV es cero, y en
cálculo aprendimos que en un punto de inflexión la segunda Si bien el modelo de van der Waals da una descripción mucho
derivada es cero. Podemos hallar las derivadas cuando la ecua­ mgs realista que el modelo del gas ideal para el comportamiento
ción de estado de van der Waals se escribe en la forma de la de un gas real como el C02, ello sigue representando únicamente
ecuación 40: una aproximación del comportamiento real. En el caso del C02,
por ejemplo, el cálculo anterior da Vcr = 3nb = 1.28 x 10'4m3
dp _ —nRT 2an2 para el volumen de 1 mol en el punto crítico. Sin embargo, el
valor medido es de 0.96 * 10'4m3. De cualquier modo, es un
d V ~ ( V - n b )2 T 5" ’ primer paso exitoso para mejorar el modelo del gas ideal en los
casos en que las moléculas están tan cercanas entre sí, que las
d 2p _ 2nRT 6 an2 hipótesis básicas del modelo del gas ideal no tienen validez e
dV2~ ( V - n b y ~ ~ V ^ ' incluso nos sugiere que existe condensación debida a la fuerza
entre las moléculas, cosa que el modelo del gas ideal no puede
Al considerar ambas derivadas suponemos a T constante, como lograr en absoluto. M_______________________________
es lo apropiado para una isoterma.

Haciendo a ambas derivadas iguales a cero y resolviendo
estas ecuaciones simultáneamente para a y b, hallamos

PREGUNTAS real del problema (es de¿ir, el hecho de que el número de
átomos sea grande) es el secreto de su solución”. Explique
1. Al discutir el hecho de que es imposible aplicar las leyes esta frase.
de la mecánica individualmente a los átomos en un sistema
macroscópico, Mayer y Mayer afirman: “La complejidad

582 Capítulo 23 La teoría cinética y el gas ideal velocidad de escape. ¿No es esto sólo una cuestión de
tiempo?
2. En la teoría cinética supusimos que en un gas existe un 17. Titán, una de las muchas lunas de Saturno, tiene una
número grande de moléculas. Los gases reales se compor­ atmósfera, pero nuestra Luna no la tiene. ¿Cuál es la
tan como un g a s ideal a densidades b a ja s. ¿Son contradic­ explicación?
torias estas afirmaciones? Si no lo son, ¿qué conclusión
puede usted sacar de ellas? 18. ¿Cómo, de ser así, esperaría usted que cambie la compo­
sición del aire con la altura?
3. Hemos supuesto que las paredes del recipiente son elásti­
cas en las colisiones moleculares. En realidad, las pare­ 19. Explique por qué la temperatura disminuye con la altura
des pueden ser inelásticas. ¿Por qué no importa esto, en la atmósfera inferior.
siempre y cuando las paredes estén a la misma temperatura
que el gas? 20. En colisiones inelásticas a gran escala se pierde energía
mecánica a causa de la fricción interna, lo que conduce a
4. En un día húmedo, algunos dicen que el aire está “pesado”. una elevación de temperatura debido al aumento en la
¿Cómo se compara la densidad del aire húmedo con la del agitación molecular interna. ¿Existe una pérdida de ener­
aire seco a la misma temperatura y presión? gía mecánica que pasa a ser calor en una colisión inelástica
entre moléculas?
5. ¿En qué parte de la siguiente secuencia encaja la velocidad
media cuadrática de moléculas en aire quieto y tempera­ 21. Al considerar cantidades que deben ser conservadas en
tura ambiente; 0; 2 m/s (velocidad al caminar); 30 m/s una colisión elástica, demuestre que en general las mo­
(auto rápido); 500 m/s (avión supersónico); 1.1 x lO4m/s léculas de un gas no pueden tener las mismas velocidades
(velocidad de escape de la Tierra); 3 * 108m/s (velocidad después de una colisión que las que tenían antes. ¿Es
de la luz)? entonces posible que un gas conste de moléculas que
tengan todas la misma velocidad?
6. Dos salones de igual tamaño se comunican a través de una
puerta abierta. Sin embargo, las temperaturas medias en 22. A menudo decimos que vemos salir el vapor del pico de
los dos salones se mantienen en valores diferentes. ¿En una tetera en la que el agua está hirviendo. Sin embargo,
cuál de los dos salones hay más aire? el vapor es, en sí mismo, un gas incoloro. ¿Qué es lo que
vemos realmente?
7. Los movimientos moleculares se mantienen sin ninguna
fuerza externa, y continúan indefinidamente sin ninguna 23. ¿Por qué se eleva el humo de una vela encendida, en lugar
señal de que disminuya su velocidad. ¿Cuál es la razón de de caer?
que la fricción no lleve a estas diminutas partículas al
reposo, como lo hace en otras partículas en movimiento? 24. ¿Obedecería a la ley del gas ideal un gas cuyas moléculas
fuesen verdaderos puntos geométricos?
8. ¿Qué justificación existe para despreciar los cambios de
la energía potencial gravitatoria de las moléculas en un 25. ¿Por qué las moléculas no viajan en líneas perfectamente
gas? rectas entre colisiones y qué efecto, fácilmente observable
en el laboratorio, tiene por resultado?
9. Hemos supuesto que la fuerza ejercida por las moléculas
sobre la pared de un recipiente es estacionaria en el tiem­ 26. ¿Por qué debe ser relativamente corto el tiempo permitido
po. ¿Cómo se justifica esto? para una separación por difusión?

10. Se halla que el peso de una bolsa plana y vacía de plástico 27. Supongamos que queremos obtener 238U en lugar de 235U
delgado no cambia cuando se llena de aire. ¿Por qué no? como producto final de un proceso de difusión. ¿Usaría­
mos el mismo proceso? Si no, explique cómo tendría que
11. Sabemos que una piedra caerá al suelo si la soltamos. No modificarse el proceso de separación.
anteponemos ningún obstáculo a las moléculas del aire, y
sin embargo no caen todas al suelo. ¿Por qué no? 28. Considerando la mutua difusión de los gases, ¿puede usted
trazar una analogía con una multitud empujándose a co­
12. Justifique el hecho de que la presión de un gas depende dazos en medio de muchas “colisiones” en un gran plano
del cuadrado de la velocidad de sus partículas explicando inclinado con una pendiente de unos cuantos grados?
la dependencia de la presión de la frecuencia de colisión
y de la transferencia de ímpetu de las partículas. 29. ¿Puede usted describir un aparato centrífugo para separa­
ción de gases? ¿Es una centrífuga mejor que una cámara
13. ¿Cómo se relaciona la velocidad del sonido con las varia­ de difusión para la separación de gases?
bles del gas en el modelo de la teoría cinética?
30. ¿Cambian la presión y el volumen del aire en una casa
14. Considere una pelota de golf estacionaria y caliente puesta cuando la estufa aumenta la temperatura significativa­
sobre el punto de partida (el teé) y una pelota de golf fría mente? De no ser así, ¿se viola la ley del gas ideal?
justo cuando sale del tee después de haber sido golpeada.
La energía cinética total del movimiento de las moléculas 31. ¿Esperaría usted que las moléculas reales sean simétrica­
con relación al tee puede ser la misma en los dos casos. mente esféricas? De no ser así, ¿cómo cambiaría la fun­
Explique cómo. ¿Cuál es la diferencia entre los dos casos? ción de la energía potencial de la figura 12a?

15. Se reporta que muy lejos de la superficie de la Tierra la 32. Explique por qué la temperatura de un gas decrece en una
temperatura cinética del gas es del orden de 1000 K. Sin expansión adiabática.
embargo, una persona situada en ese entorno se congelaría
hasta morir en lugar de evaporarse. Explique. 33. Si el aire caliente se eleva, ¿por qué es más frío en la cima
de una montaña que cerca del nivel del mar?
16. ¿Por qué no se “fuga” la atmósfera de la Tierra? En la parte
superior de la atmósfera los átomos se enfilarán ocasio­ 34. Comente esta aseveración: “Existen dos maneras de llevar
nalmente hacia afuera con una velocidad superior a la a cabo un proceso adiabático. Una es efectuarlo rápida­
mente y la otra es efectuarlo dentro de una caja aislada”.

35. Un globo de hule sellado contiene un gas muy ligero. El Problemas 583
globo se deja ir y se eleva a gran altura en la atmósfera.
Describa y explique el comportamiento térmico y mecá­ 38. Las cantidades extensivas tienen valores que dependen
nico del globo. de cuál sea la frontera del sistema, mientras que las canti­
dades intensivas son independientes de la elección de
36. Si bien los gases reales pueden ser licuados, un gas ideal la frontera. Es decir, las cantidades extensivas están ne­
no puede. Explique. cesariamente definidas para la totalidad de un sistema,
mientras que las cantidades intensivas se aplican unifor­
37. Demuestre que cuando el volumen por mol de un gas memente a cualquier parte pequeña del sistema. De las
aumenta, la ecuación de van der Waals tiende a la ecuación cantidades siguientes, determine cuáles son extensivas
de estado de un gas ideal. y cuáles son intensivas: presión, volumen, temperatura,
densidad, masa, energía interna.

PROBLEMAS 8. Calcule la masa de la atmósfera de la Tierra. Exprese su
respuesta como una fracción de la masa de la Tierra.
Sección 23-1 Propiedades macroscópicas de un gas Recuerde que la presión atmosférica es igual a 101 kPa.
y la ley del gas ideal
9. Una llanta de automóvil tiene un volumen de 988 in3y
1. (a) Calcule el volumen ocupado por 1.00 mol de un gas contiene aire a una presión manométrica de 24.2 lb/in2
ideal en condiciones estándar, es decir, a la presión de cuando la temperatura es de -2.60°C. Halle la presión
1.00 atm (= 1.01 x 105Pa) y temperatura de 0°C(= 273 K). manométrica del aire en la llanta cuando su temperatura
(b) Demuestre que el número de moléculas por centímetro se eleve a 25.6°C y su volumen aumente a 1020 in3.
cúbico (el número Loschmidt) en las condiciones estándar (,Sugerencia: No es necesario convertir de unidades ingle­
es de 2.68 x IO15. sas a unidades SI. ¿Por qué? Úsese pmn= 14.7 lb/in2).

2. El mejor vacío que puede obtenerse en el laboratorio 10. (a) Considere 1.00 mol de un gas ideal a 285 K y 1.00 atm
corresponde a una presión de unas 10 “ atm, o sea 1.01 x de presión. Suponga que las moléculas en su mayor parte
10'13Pa. ¿Cuántas moléculas hay por centímetro cúbico están igualmente espaciadas en los centros de cubos idén­
en ese vacío a 22°C? ticos. Usando la constante de Avogadro y tomando el
diámetro de una molécula como de 3.00 x 10_scm, halle
3. Una cantidad de gas ideal a 12.0°C y una presión de la longitud de una arista de ese cubo y calcule la razón
108 kPa ocupa un volumen de 2.47 nv1. (a) ¿Cuántos moles entre esta longitud y el diámetro de una molécula. La
contiene el gas? (b) Si la presión se eleva ahora a 316 kPa longitud de la arista es una estimación de la distancia entre
y la temperatura se eleva a 31.0°C, ¿qué volumen ocupará las moléculas del gas. (b) Considere ahora un mol de agua
ahora el gas? Suponga que no existan fugas. que tenga un volumen de 18 cm3. Suponga de nuevo que
las moléculas están espaciadas igualmente en los centros
4. Oxígeno gaseoso, con un volumen de 1130 cm3a 42.0°C de cubos idénticos y repita el cálculo de (a).
y una presión de 101 kPa, se dilata hasta que su volumen
es de 1530 cm3 y su presión de 106 kPa. Halle (a) el 11. Una burbuja de aire de 19.4 cm3de volumen está en el
número de moles de oxígeno en el sistema y (b) su tem­ fondo de un lago a una profundidad de 41.5 m, donde la
peratura final. temperatura es de 3.80°C. La burbuja se eleva a la super­
ficie, que está a una temperatura de 22.6°C. Considere que
5. Un globo meteorológico se infla libremente con helio a la temperatura de la burbuja es la misma que la del agua
una presión de 1.00 atm (= 76.0 cm Hg) y una temperatura circundante y halle su volumen justo antes de que alcance
de 22.0°C. El volumen del gas es de 3.47 m3. A una la superficie.
elevación de 6.50 km, la presión atmosférica desciende a
36.0 cm Hg y el helio se lia dilatado, sin restricción por 12. Un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro de
parte de la bolsa que lo confina. A esta elevación la longitud L = 25.0 m contiene aire a la presión atmosférica.
temperatura del gas es de -48.0°C. ¿Cuál es ahora el Se introduce verticalmente en un lago de agua dulce hasta
volumen del gas? que el agua se eleva a la mitad en el tubo, como se muestra
en la figura 16. ¿Cuál es la profundidad h del extremo
6. La variación de la presión en la atmósfera de la Tierra, inferior del tubo? Suponga que la temperatura es la misma
supuesta a una temperatura uniforme, está dada por p = en cualquier parte y que no cambia.
p0e'Msy/RT, en donde M es la masa molar del aire. (Véase la
sección 17-3.) Demuestre que nv = nme~Msy/RT, donde nves 13. El recipiente A contiene un gas ideal a una presión de
el número de moléculas por unidad de volumen. 5.0 x 105Pa y a una temperatura de 300 K. Está conectado
por un tubo delgado al recipiente B con cuatro veces el
7. Considere una masa dada de gas ideal. Compáre las curvas volumen de A; véase la figura 17. B contiene el mismo
que representan procesos a presión constante, volumen gas ideal a una presión de 1.0 x 105Pa y a una temperatura
constante, e isotérmico (a temperatura constante) en (a)
un diagrama pV, (b) un diagrama pT, y (c) un diagrama
VT. (d ) ¿Cómo dependen estas curvas de la masa del gas?

584 Capítulo 23 La teoría cinética y el gas ideal

Figura 16 Problema 12.

Figura 18 Problema 16.

de 400 K. Se abre la válvula de conexión, y se llega al una masa de 2.33 x 10'26 kg y un átomo de hidrógeno
equilibrio a una presión común mientras que la tempera­ tiene una masa de 1.67 x 10'27kg.
tura de cada recipiente se mantiene constante en su valor 19. A 0°C y 1.000 atm de presión las densidades del aire,
inicial. ¿Cuál es la presión final en el sistema? del oxígeno, y del nitrógeno son, 1.293 kg/m3, 1.429kg/m3,
14. Dos vasijas de volúmenes 1.22 L y 3.18 L contienen gas y 1.250 kg/m3respectivamente,. Calcule la fracción por
criptón y están conectadas por un tubo delgado. Inicial­ masa de nitrógeno en el aire a partir de estos datos,
mente, las vasijas están a la misma temperatura, 16.0°C, suponiendo que únicamente estos dos gases están pre­
y a la misma presión, 1.44 atm. Luego, se caliente la vasija sentes.
más grande a 108°C mientras que la más pequeña perma­
nece a 16.0°C. Calcule la presión final. (Sugerencia: No 20. La masa de la molécula de H2 es de 3.3 x 10'24 g. Si
existen fugas.) 1.6 x 1023moléculas de hidrógeno por segundo golpean a
15. Considere una muestra de gas argón a 35.0°C y 1.22 atm 2.0 cm2de pared a un ángulo de 55° con la normal cuando
de presión. Suponga que el radio de un átomo (esférico) se mueven con una velocidad de 1.0 x 105 cm/s, ¿qué
de argón sea de 0.710 « 10'10m. Calcule la fracción del presión ejercen sobre la pared?
volumen del recipiente ocupado realmente por átomos.
16. Un manómetro lleno de mercurio con dos brazos de lon­ 21. A 44.0°C y 1.23 x 10"2atm la densidad de un gas es de
gitud desigual de igual área en la sección transversal 1.32 x 10"5g/cm3. (a) Halle vm para las moléculas del gas.
está sellado con la misma presión p0 en los dos brazos, (b) Halle la masa molar del gas e identifíquelo.
como en la figura 18. A temperatura constante, se admiten
10.0 cm3adicionales de mercurio por medio de una llave 22. La ley de Dalton establece que cuando las mezclas de
de paso situada en el fondo. El nivel en la izquierda gases que no tienen una interacción química están juntos
aumenta 6.00 cm y en la derecha aumenta 4.00 cm. Halle en un recipiente, la presión ejercida por cada constituyente
la presión p0. a una temperatura dada es la misma que la que ejercería si
uno solo de ellos llenase todo el depósito, y que la presión
Sección 23-3 Cálculo cinético de la presión total es igual a la suma de las presiones parciales de cada
gas. Derive esta ley a partir de la teoría cinética, usando
17. La temperatura en el espacio interestelar es de 2.7 K. la ecuación 14.
Halle la velocidad media cuadrática de moléculas de hi­
drógeno a esta temperatura. (Véase la tabla 1.) 23. Un recipiente encierra dos gases ideales. Hay presentes
dos moles del primer gas, con una masa molar de Ai,. Las
18. Calcule la velocidad media cuadrática de moléculas de moléculas del segundo gas tienen una masa molar de M2
amoniaco (NH3) a 56.0°C. Un átomo de nitrógeno tiene = 3Ai,, y está presente 0.5 mol de este gas. ¿Qué fracción
de la presión total sobre la pared del recipiente es atribui-
ble al segundo gas? (Sugerencia: Véase el problema 22).

Sección 23-4 Interpretación cinética de la temperatura

24. El Sol es una enorme bola de gas ideal caliente. El resplan­
dor que rodea al Sol en la fotografía de rayos-X mostrada
en la figura 19 es la corona: la atmósfera del Sol. Su
temperatura y presión son de 2.0 x 106 K y 0.030 Pa.
Calcule la velocidad rms de los electrones libres en la
corona.

25. (a) Calcule el valor promedio en electrovolt de la energía
cinética de traslación de las partículas de un gas ideal a

Figura 19 Problema 24. Problemas 585

0°C y a 100°C. (b) Halle la energía cinética de traslación temperatura de 77.0°C. (a) ¿Cuál es el volumen del tan­
por mol de un gas ideal a estas temperaturas, en joules. que? (b) El tanque se verifica más tarde cuando la tempe­
26. ¿A qué temperatura es igual a 1.00 eV el promedio de la ratura ha caído a 22.0°C y la presión absoluta ha caído a
energía cinética de traslación de una molécula de un gas 8.68 x 105 Pa. ¿Cuántos gramos de gas se fugaron del
ideal? tanque?
27. En una caja cúbica de 25 cm de lado está confinado 33. (a) Calcule las temperaturas a las cuales la velocidad rms
oxígeno gaseoso (0 2) a 15°C y 1.0 atm de presión. Calcule es igual a la velocidad de escape desde la superficie de la
la razón de cambio entre la energía potencial gravitatoria Tierra para hidrógeno molecular y para oxígeno molecu­
de un mol de moléculas de oxígeno que descienden la lar. (b) Haga lo mismo para la Luna, suponiendo que la
altura de la caja, y la energía cinética total de traslación aceleración gravitatoria en su superficie sea de 0.16 g. (c)
de las moléculas. La temperatura de las capas superiores de la atmósfera
de la Tierra es de unos 1000 K. ¿Cabría que hubiera mucho
28. El oro tiene una masa molar (atómica) de 197 g/mol. hidrógeno allí? ¿Y mucho oxígeno?
Considere una muestra de 2.56 g de vapor de oro puro, (a) 34. ¿A qué temperatura tienen los átomos del gas helio la
Calcule el número de moles de oro presentes. (b) ¿Cuán­ misma velocidad rmc que las moléculas del gas hidrógeno
tos átomos de oro están presentes? a 26.0°C?
35. La envoltura y la canastilla de un globo de aire caliente
29. Halle la energía cinética media de traslación de cada tienen una masa total de 249 kg, y la envoltura tiene
molécula de nitrógeno a 1600 K (a) en joules y (b) en una capacidad de 2180 m3. Cuando está totalmente infla­
electrovolt. do, ¿cuál sería la temperatura del aire confinado para darle
al globo una capacidad de ascenso de 272 kg (adefnás de
30. (a) Halle el número de moléculas en 1.00 m3de aire a su propia masa)? Supóngase que el aire circundante, a
20.0°C y una presión de 1.00 atm. (b) ¿Cuál es la masa de 18.0°C, tiene una densidad de 1.22 kg/m3.
este volumen de aire? Suponga que 75% de las moléculas
son nitrógeno (N2) y 25% son de oxígeno (02). Sección 23-5 Trabajo efectuado sobre un gas ideal
36. Una muestra de gas se dilata de 1.0 a 5.0 m3mientras que
31. Considere que un gas a una temperatura T que ocupa un
volumen V consta de una mezcla de átomos, es decir, Nh su presión desciende de 15 a 5.0 Pa. ¿Cuánto trabajo es
átomos de masa cada uno de ellos con una velocidad efectuado sobre el gas si su presión cambia con el volumen
rms y Nhátomos de masa mbcada uno de ellos con una según cada uno de los tres procesos mostrados en el
velocidad rms ub.(a) Dé una expresión para la presión total diagrama pV de la figura 20?
ejercida por el gas. (b) Suponga ahora que /Va= Nb, y que
los átomos diferentes se combinan a un volumen constante 0 1 234 56
para formar moléculas de masa /n, + mb. Una vez que la
temperatura regresa a su valor inicial, ¿cuál sería la razón Vim3)
entre la presión después de la combinación y la presión
antes de la combinación? Figura 20 Problema 36.

32. Un tanque de acero contiene 315. g de amoniaco gaseoso 37. Suponga que una muestra de gas se dilata de 2.0 a 8.0 m3
(NH3) a una presión absoluta de 1.35 x 106 Pa y a una a lo largo de la trayectoria diagonal del diagama p V que
se muestra en la figura 21. Luego se comprime nuevamen­
te a 2.0 m3a lo largo de cualquiera de las trayectorias 1 ó
2. Calcule el trabajo neto efectuado sobre el gas para el
ciclo completo en cada caso.

38. La velocidad del sonido en gases diferentes a la mis­
ma temperatura depende de la masa molar del gas. De­
muestre que v jv 2 = ■/Mj/AÍ, (Tconstante), en donde l>, es
la velocidad del sonido en el gas de masa molar Ai, y v2
es la velocidad del sonido en el gas de masa molar M2.

39. El aire a 0.00°C y 1.00 atm de presión tiene una densi­
dad de 1.291 x 103g/cm3, y la velocidad del sonido es de

586 Capítulo 23 La teoría cinética y el gas ideal

1 Halle la temperatura del aire comprimido, (tí) ¿Cuánto aire
comprimido, en litros, se libera en cada segundo?
2 47. Un tubo delgado, sellado en ambos extremos, tiene 1.00 m
de largo. Cuando está horizontal, en el centro contiene
O 24 68 10.0 cm de mercurio y los dos extremos iguales contienen
aire a la presión atmosférica normal. Si el tubo es volteado
Figura 21 Problema 37. V (m3) a una posición vertical, ¿en qué cantidad se desplazará el
mercurio? Suponga que el proceso es (a) isotérmico y (tí)
331 m /s a esa temperatura. C alcule ( a ) el valor de y para adiabático. (Para el aire, y = 1.40). ¿Cuál de las dos
el aire y (tí) la masa molar efectiva del aire. suposiciones es la más razonable?
40. Una cantidad de aire que ocupa 0.142 m 3 a 103 kPa de
presión manométrica se dilata isotérmicamente a una pre­ Sección 23-6 La energía interna de un gas ideal
sión manométrica cero y luego se enfría a presión cons­
tante hasta que alcanza su volumen inicial. Calcule el 48. Calcule la energía interna de un mol de un gas ideal a
trabajo efectuado sobre el gas. 25.0°C.

41. C alcule el trabajo efectuado por un agente externo al 49. Calcule la energía cinética rotatoria total de todas las
comprimir 1.12 mol de oxígeno de un volumen de 22.4 L moléculas contenidas en un mol de aire a 25.0°C.
y 1.32 atm de presión a 15.3 L a la misma temperatura.
50. Una partícula de rayos cósmicos con una energía de 1.34
42. U se el resultado del problema muestra 6 para demostrar TeV es detenida en un tubo de detección que contiene
que la velocidad del sonido en el aire aumenta alrededor 0.120 mol de gas neón. Una vez que esta energía esté
de 0.59 m /s por cada grado C elsius de elevación de la distribuida entre todos los átomos, ¿en cuánto habrá au­
temperatura cerca de 20°C. mentado la temperatura del neón?

43. Un gas ocupa un volumen de 4.33 L a una presión de 51. Un gas ideal experimenta una compresión adiabática de
1.17 atm y una temperatura de 310 K. Se le comprime p = 122 kPa, V = 10.7 m3, T = -23.0°C a p = 1450 kPa,
adiabáticamente a un volum en de 1.06 L. Determine (a) V = 1.36 m3. (a) Calcule el valor de y. (b) Halle la tempera­
la presión final y (tí) la temperatura final, suponiendo que tura final, (c) ¿Cuántos moles de gas están presentes? (d)
el gas sea un gas ideal para el cual y = 1.40. (c ) ¿Cuánto ¿Cuál es la energía cinética de traslación total por mol an­
trabajo fue efectuado sobre el gas? tes y después de la compresión? (e) Calcule la razón entre
las velocidades rms antes y después de la compresión.
44. (a ) Un litro de gas con y = 1.32 está a 273 K y 1.00 atm
de presión. Se le comprime súbitamente (adiabáticamen­ Sección 23-8 La ecuación de estado de van der Waals
te) hasta la mitad de su volum en original. H alle su presión
y temperatura finales, (tí) El gas es ahora enfriado de 52. La b de van der Waals para el oxígeno es de 32 cm’/mol.
nuevo a 273 K a presión constante. Halle el volumen final, Calcule el diámetro de una molécula de 0 2.
(c) Halle el trabajo total efectuado sobre el gas.
53. Usando los valores de a y b para el C 02 hallados en
45. El gas en una cámara W ilson a una temperatura de 292 K el problema muestra 8, calcule la presión a 16.0°C de
experimenta una expansión rápida. Suponiendo que el 2.55 mol de gas C02que ocupa un volumen de 14.2 L.
proceso sea adiabático, calcule la temperatura final si y = Suponga (a) que la ecuación de van der Waals sea correcta
1.40 y la razón de dilatación del volum en es de 1.28. y luego (tí) que el C 02se comporte como un gas ideal.

46. Un compresor de aire aspira aire a 18.0°C y 1.00 atm 54. Calcule el trabajo efectuado sobre n moles de un gas van
de presión y libera aire com prim ido a una presión de der Waals en una expansión isotérmica de un volumen V.
2.30 atm. El compresor opera a 230 W de potencia útil. a un volumen V¡.
Suponga que el compresor opera adiabáticamente, (a )
55. Demuestre que Vcr= 3nb.
56. Las constantes a y b en la ecuación van der Waals son

diferentes para cada sustancia. Sin embargo, demuestre
que si consideramos a Vct, pct, y Tcrcomo las unidades de
volumen, presión, y temperatura, la ecuación van der
Waals resulta idéntica para todas las sustancias.

CAPÍTULO 24

MECÁNICA
ESTADÍSTICA

En la sección 23-4, en que tratábamos de la teoría cinética, hemos determinado el promedio
de energía cinética de traslación de las moléculas de un gas. Sin embargo, el promedio no nos
dice nada sobre cómo se distribuyen las velocidades de cada molécula en el promedio. En
ciertos casos, el promedio puede proporcionar suficiente información respecto a las propie­
dades del gas, como la temperatura. En otros casos, será necesario tener más información
acerca de la distribución de velocidades.

Si va usted a diseñar un avión comercial de pasajeros, debe conocer el peso promedio de
los pasajeros y de su equipaje para calcular la fuerza ascencional, requerida para que el
aeroplano vuele con seguridad. El número de pasajeros de mayor o menor peso es de poco
interés. Por otraparte, si su trabajo consiste en ordenar trajes en una tienda de ropa, necesitará
información sobre la distribución de las tallas; conocer la talla promedio de los clientes no le
servirá de mucho.

En este capítulo estudiamos la distribución de las velocidades y de las energías moleculares,
y su usopara calcular las propiedades macroscópicas de conjuntos de moléculas. Este enfoque
de la termodinámica se llama mecánica estadística. Susformulaciones clásicasfueron elabo­
radas por primera vez en el siglo xix por Maxwell, Gibbs, y Boltzmann. En el siglo XX, muchas
de estas técnicasfueron aplicadas por Einstein, Planck, Fermi y otros a sistemas gobernados

por las leyes de la mecánica cuántica.

24-1 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS similar al mostrado en la figura 1, la cual da la distribución
Y VALORES MEDIOS estadística de las velocidades en una forma que conoce­
mos como histograma. Cada área rectangular tiene un
Un ingeniero de caminos desearía sin duda tener cierta in­ ancho igual al tamaño del intervalo elegido (los cuales no
formación sobre la distribución de las velocidades de los necesitan ser todos iguales) y una altura igual al número
automóviles que circulan en determinado tramo de carre­ de observaciones o frecuencia relativa de valores en ese
tera. Colocando sensores separados por una distancia co­ intervalo.
nocida, el ingeniero puede determinar el tiempo necesario
para que un automóvil recorra esa distancia y determinar La distribución da al ingeniero toda la información
así su velocidad. Después de acumular y seleccionar ta­ esencial con respecto al tráfico en esta carretera, para la
les datos durante varías semanas, el ingeniero analiza los cual el límite de velocidad es de 45 mph. El número total
datos para estudiar la necesidad de mejoras en la carretera. de automóviles en el estudio es precisamente la suma de
¿Cómo puede exhibirse tal información de manera que las alturas de todos los rectángulos (1205). La fracción
permita este análisis? que supera al límite de velocidad de 45 mph es el total de
las alturas de los últimos cuatro intervalos (194) dividida
Una simple lista de las velocidades proporciona dema­ entre el número total en el estudio (1205), lo cual da 0.16,
siada información y no resulta conveniente. En cambio, o sea 16%. El promedio o velocidad media es de 32.4 mph,
el ingeniero clasifica las velocidades en grupos. ¿Cuántos pero la velocidad más probable (el intervalo con el núme­
automóviles tienen velocidades entre 0 y 5 mph? ¿Entre ro más grande) está en el intervalo de 35 a 40 mph.
5 y 10 mph? El resultado de tal clasificación vendría a ser El ingeniero puede ahora decidir si se necesitarían mejo­
ras en la carretera para aumentar la velocidad media o si