NGUYỄN QUỐC DƯƠNG
KẾT NỐI TRI THỨC
VỚI CUỘC SỐNG
TTOOÁÁNN 9
PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP TẬP 1
B
C
AD
H
ππ
ππ π
π ππ
ππ π π
ππ
TÀπI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
ππ
ππ
π
MỤC LỤC
I ĐẠI SỐ 1
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA 2
√ 2
§1 – Căn bậc hai - căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = |A|
A Trọng tâm kiến thức 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Tìm căn bậc hai số học của một số 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. So sánh các căn bậc hai số học 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Giải phương trình,√bất phương trình 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Tìm điều kiện để A có√nghĩa 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 5. Rút gọn biểu thức dạng A 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập vận dụng 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2 – Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương 9
A Trọng tâm kiến thức 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Khai phương một tích 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Nhân các căn bậc hai 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Rút gọn, tính giá trị của biểu thức 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Biến đổi một biểu thức về dạng tích 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 5. Giải phương trình 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 6. Chứng minh bất đẳng thức 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập vận dụng 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3 – Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương 19
A Trọng tâm kiến thức 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Khai phương một thương 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Chia các căn bậc hai 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Rút gọn, tính giá trị biểu thức 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Giải phương trình 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập tự luyện 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4 – Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai 25
A Trọng tâm kiến thức 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
ii Kết nối tri thức với cuộc sống
MỤC LỤC
Dạng 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Trục căn thức ở mẫu 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 5. So sánh hai số 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 6. Rút gọn biểu thức 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập vận dụng 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5 – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 36
A Trọng tâm kiến thức 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Rút gọn căn thức chỉ có cộng, trừ căn thức 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Rút gọn biểu thức có chứa các phép cộng, trừ, nhân, chia căn thức dưới dạng
phân thức đại số 37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức hoặc rút gọn rồi giá trị của biến để biểu
thức có một giá trị nào đó 39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Rút gọn biểu thức rồi chứng minh biểu thức có một tính chất nào đó hoặc tìm
giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 5. Chứng minh đẳng thức 45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập vận dụng 46. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§6 – CĂN BẬC BA 48
A Trọng tâm kiến thức 48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Tìm căn bậc ba của một số 48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. So sánh 49. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Thực hiện các phép tính 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập tự luyện 51. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§7 – Ôn tập chương I 53
A Trọng tâm kiến thức 53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức 53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Rút gọn biểu thức và chứng minh biểu thức có một tính chất nào đó 56. . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Giải phương trình 58. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập tự luyện 60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT 62
§1 – NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT
62
A Trọng tâm kiến thức 62. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
iii Kết nối tri thức với cuộc sống
MỤC LỤC
Dạng 2. Tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của biến số. Tính giá trị của biến khi biết
giá trị của hàm số 64. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Biểu diễn điểm trên mặt phẳng toạ độ, xác định khoảng cách giữa hai điểm trên
mặt phẳng tọa độ 65. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Điểm thuộc đồ thị, điểm không thuộc đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Dạng 5. Xác định hàm số bậc nhất 69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 6. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 71. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập vận dụng 72. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2 – ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = AX + B (A = 0) 76
A Trọng tâm kiến thức 76. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 76. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Điểm thuộc đường thẳng. Điểm không thuộc đường thẳng 76. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Xác định đường thẳng 78. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a = 0) 79. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập vận dụng 82. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3 – ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU 85
A Trọng tâm kiến thức 85. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 85. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Nhận dạng cặp đường thẳng song song với nhau, cặp đường thẳng cắt nhau, cặp
đường thẳng vuông góc với nhau 85. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Xác định đường thẳng với quan hệ song song 86. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Xác định đường thẳng với quan hệ vuông góc 88. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập tự luyện 89. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4 – Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a = 0) 92
A Trọng tâm kiến thức 92. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 92. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Xác định hệ số góc của đường thẳng 92. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Xác định góc 93. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Xác định đường thẳng 95. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập tự luyện 95. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5 – ÔN TẬP CHƯƠNG II 97
iii/207 A Trọng tâm kiến thức 97. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 97. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất 97. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Xác định đường thẳng 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Cực trị 101. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập tự luyện 102. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
iv Kết nối tri thức với cuộc sống
MỤC LỤC
II HÌNH HỌC 105
Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 106
§1 – Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông 106
A Trọng tâm kiến thức 106. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 106. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Biết hai trong năm yếu tố a, b, c, b , c . Tính một số yếu tố còn lại 106. . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Tính đường cao ứng với cạnh huyền khi biết hai trong năm yếu tố a, b, c, b , c .
Ngược lại, biết đường cao và một trong năm yếu tố trên, tính một số yếu tố còn lại ...... 108
Dạng 3. Chứng minh một số hệ thức hình học 110. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập vận dụng 111. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2 – Tỉ số lượng giác của góc nhọn 114
A Trọng tâm kiến thức 114. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 115. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Tính tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong một tam giác vuông khi biết hai
cạnh 115. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Dựng góc nhọn α biết một tỉ số lượng giác của góc đó bằng 117m
n ..................
Dạng 3. Chứng minh hệ thức lượng giác 118. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính các tỉ số lượng giác khác của góc
đó 120. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 5. Tính giá trị của biểu thức lượng giác với các góc đặc biệt (không dùng máy tính
hoặc bảng số) 121. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 6. So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng số 123. . . . . . . . . . . .
Dạng 7. Giải phương trình lượng giác 124. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3 – Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. ứng dụng thực tế các tỉ
số lượng giác của góc nhọn 126
A Trọng tâm kiến thức 126. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 126. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Giải tam giác vuông 126. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Giải tam giác nhọn 128. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Tính diện tích tam giác, tứ giác 129. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Xác định khoảng cách và chiều cao không tới được 131. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập tự luyện 132. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4 – ÔN TẬP CHƯƠNG I 136
A Trọng tâm kiến thức 136. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 137. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. So sánh các tỉ số lượng giác 137. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức lượng giác 138. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Giải phương trình lượng giác 140. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Tính độ dài đoạn thẳng. Tính số đo góc 141. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
v Kết nối tri thức với cuộc sống
MỤC LỤC
Dạng 5. Chứng minh hệ thức giữa các tỉ số lượng giác 143. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập tự luyện 144. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 4. ĐƯỜNG TRÒN 147
§1 – Sự xác định đường tròn 147
A Trọng tâm kiến thức 147. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 147. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn 147. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Tính bán kính của đường tròn 149. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Xác định vị trí tương đối của điểm M với đường tròn (O) 150. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. So sánh độ dài hai đoạn thẳng 151. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập vận dụng 151. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2 – Đường kính và dây của đường tròn. liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm
đến dây 154
A Trọng tâm kiến thức 154. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 154. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Tính độ dài của một dây. Tính khoảng cách từ tâm đến dây 154. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. So sánh hai đoạn thẳng 157. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Chứng minh một số quan hệ hình học - hình đặc biệt 157. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Bài toán liên quan đến cực trị hình học 159. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 5. Dựng hình 160. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập vận dụng 162. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3 – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 165
A Trọng tâm kiến thức 165. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 165. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 165. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Bài toán vận dụng tính chất tiếp tuyến 167. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập vận dụng 168. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4 – Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn. tính chất của hai tiếp tuyến cắt
nhau 170
A Trọng tâm kiến thức 170. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 171. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Tính độ dài đoạn tiếp tuyến 171. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn 172. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Một số bài toán liên quan đến cực trị hình học 174. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Chứng minh một số tính chất và hệ thức hình học 176. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập tự luyện 178. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5 – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN 182
A Trọng tâm kiến thức 182. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
vi Kết nối tri thức với cuộc sống
MỤC LỤC
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 183. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn 183. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Chứng minh các tính chất về hệ thức hình học 185. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Tính độ dài đoạn thẳng 187. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Dựng hình 188. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập tự luyện 190. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§6 – ÔN TẬP CHƯƠNG II 194
A Trọng tâm kiến thức 194. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Các dạng bài tập và phương pháp giải 194. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng 194. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Chứng minh hệ thức - tính chất hình học 196. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3. Cực trị hình học 199. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 4. Tập hợp điểm - Điểm nằm trên một đường cố định 201. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Bài tập tự luyện 202. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
PHẦN
IĐẠI SỐ
4643 3218
19
24 38 39
230 30 21 41
28 9 34
6 44 48
14 50
17 267 35813 4
16 15
527 1 45 3710
29 1112
36 4923 332452
47 22
40 31
2
Chươ ng
1CĂN BẬC HCCAĂĂI.NNCĂBBNẬẬCBCẬHCHAABAII.. CCĂĂNN BBẬẬCC BBAA
BÀI 1. CĂN BẬC HAI - CĂN TH√ỨC BẬC HAI VÀ
HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = |A|
A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
. 1. Căn bậc hai số học
√
Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
Với a ≥ 0, ta có
√ ®x ≥ 0
a = x ⇔ x2 = a.
√√
Với hai số a và b không âm, ta có a < b ⇔ a < b.
2. Căn thức bậc hai
√
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là
biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
√
A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.
√ ® A nếu A ≥ 0
Ta có A2 = |A| =
−A nếu A < 0.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Tìm căn bậc hai số học của một số
Dựa vào định nghĩa căn bậc hai số học của một số không âm:
√ ®x ≥ 0
a = x ⇔ x2 = a.
Ą Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai số học rồi tìm căn bậc hai của
a) 121; Å 2 ã2
b) − .
5
2/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
3 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
ɓ Lời giải.
√
a) Ta có 121 = 11 vì 11 ≥ 0 và 112 = 121.
Do đó số 121 có hai căn bậc hai là 11 và −11.
2 ã2 2 2 Å 2 ã2 Å 2 ã2
Å − .
b) = vì ≥0 và =
− 5 55 55
Å 2 ã2 2 −2.
−
Do đó số có hai căn bậc hai là và
5 55
√√√
Ą Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức: 0,09 + 7 · 0,36 − 3 · 2,25.
√√√ ɓ Lời giải.
Ta có: 0,09 + 7 · 0,36 − 3 · 2,25 = 0,3 + 7 · 0,6 − 3 · 1,5 = 0,3 + 4,2 − 4,5 = 0.
Ą Ví dụ 3. Giá trị của biểu thức sau là số vô tỷ hay hữu tỷ: Ç… 9 − … 9 å · 18?
1
16 16
ɓ Lời giải.
Ç… 9 … 9 å · 18 = Ç… 25 … 9 å Å 5 3ã √
1 − 9
Ta có: − · 18 = − · 18 = = 3.
16 16 16 16 44
Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số hữu tỷ, hơn nữa còn là một số tự nhiên.
Dạng 2. So sánh các căn bậc hai số học
√√
Dựa vào tính chất: Nếu a, b ≥ 0 thì a < b ⇔ a < b.
√
Ą Ví dụ 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh 8 và 65.
√ √√ ɓ L√ời giải.
Cách 1:Ta có 8= 6Ä4√. Vì 64 < 65 nên 8Ä√< 65.
Cách 2: Vì 82 = 64; ä2 = 65 nên 82 < ä2 < √
65 65 , suy ra 8 65.
√√
Ą Ví dụ 5. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh 15 − 1 và 10.
√√ √ ɓ Lờ√i giải. √ √
Ta có 15 − 1 < 16 − 1 = 4 − 1 = 3 và 10 > 9 = 3 nên 15 − 1 < 10.
√√
Ą Ví dụ 6. Với a < 0 thì số nào lớn hơn trong hai số −a và −2a?
ɓ Lờ√i giải. √
Ta có −1 > −2 nên −a < −2a (vì a < 0). Do đó −a < −2a.
Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình
Với a ≥ 0:
x2 = a khi x = √
± a.
3/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
4√ Kết nối tri thức với cuộc sống
1. Căn bậc hai - căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = |A|
√ = a khi x = a2.
x
√ < a khi 0 ≤ x < a2.
x
Ą Ví dụ 7. Giải phương trình: 3x2 = 0,75.
Ta có 3x2 = 0,75 ⇔ x2 = 0,25. Do đó x = √ɓ Lời giải.
± 0,25 = ±0,5.
√
Ą Ví dụ 8. Giải phương trình: 2 3x = 12.
ɓ Lời giải.
Điều kiệ√n xác định: x√≥ 0.
Ta có: 2 3x = 12 ⇔ 3x = 6 ⇔ 3x = 36 ⇔ x = 12 (thỏa mãn điều kiện).
Ą Ví dụ 9. Tìm số x không âm, biết 1 √ < 10.
5x
2
Với x ≥ 0 ta có: 1 √ < 10 ⇔ √ < 20 ɓ Lời giải. x < 80.
5x 5x ⇔ 5x < 400 ⇔
2
Vậy 0 ≤ x < 80.
√
Ą Ví dụ 10. Tính tổng các giá trị của x thỏa mãn đẳng thức x2 + 25 = 13.
√ ɓ Lời giải.
Ta có x2 + 25 = 13 ⇔ x2 + 25 = 169 ⇔ x2 = 169 − 25 ⇔ x2 = 144 ⇔ x = ±12.
Vậy tổng các giá trị của x thỏa mãn đẳng thức đã cho là (−12) + 12 = 0.
√
Dạng 4. Tìm điều kiện để A có nghĩa
√
A có nghĩa khi A ≥ 0.
√1 có nghĩa khi A > 0.
A
√
Ą Ví dụ 11. Tìm x để căn thức 5 − 2x có nghĩa.
√ 5 ɓ Lời giải.
5 .
− 2x có nghĩa khi 5 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2
Ą Ví dụ 12. Tìm x để căn thức …1 có nghĩa.
x2 − 4x + 4
1 ɓ Lời giải.
(x − 2)2
…1 có nghĩa khi có nghĩa. Điều đó xảy ra khi (x − 2)2 >0⇔ x = 2.
x2 − 4x + 4
√
Ą Ví dụ 13. Với giá trị nào của x thì biểu thức 25 − x2 có nghĩa?
√ ɓ Lời giải.
25 − x2 có nghĩa khi 25 − x2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤ 25 ⇔ |x| ≤ 5 ⇔ −5 ≤ x ≤ 5.
4/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
5 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Ą Ví dụ 14. Tìm các giá trị của x để biểu thức …1 có nghĩa.
x2 − 100
ɓ Lời giải.
…1 có nghĩa khi x2 − 100 > 0 ⇔ x2 > 100 ⇔ |x| > 10 ⇔ ñx > 10
x2 − 100 x < −10.
√√
Ą Ví dụ 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức M = x + 4 + 2 − x có nghĩa?
ɓ Lời giải.
®x + 4 ≥ 0 ®x ≥ −4
M có nghĩa khi ⇔
2−x≥0 x ≤ 2.
Vì x ∈ Z nên x ∈ {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2}. √ √
Vậy có 7 giá trị nguyên của x để biểu thức M = x + 4 + 2 − x có nghĩa.
√
Dạng 5. Rút gọn biểu thức dạng A2
√ ® A nếu A ≥ 0
Vận dụng hằng đẳng thức A2 = |A| =
−A nếu A < 0.
Ą Ví dụ 16. Rút gọn biểu thức A … 1
= x2 − x + .
4
ɓ Lời giải.
… 1 ã2 1
1Å
Ta có A = x2 − x + = x − = x − .
4 22
Nếu x≥ 1 thì A= x− 1
.
22
1 1
Nếu x < 2 thì A = 2 − x.
√√
Ą Ví dụ 17. Rút gọn biểu thức B = x4 + x6.
ɓ Lời giải.
B = √ + √ = |x2| + |x3| = x2 + |x3| = ®x2 + x3 nếu x ≥ 0 .
x4 x6 x2 − x3 nếu x < 0.
√√
Ą Ví dụ 18. Tính giá trị của biểu thức C = 3 − 2 2 − 6 − 4 2.
√ √ »√ ɓ Lời g√iải. √ √√ Ä √ä
C√= 3 − 2 2− »
2 2 − 3.
6 − 4 2 = ( 2 − 1)2− (2 − 2)2 = | 2−1|−|2− 2| = 2−1− 2 − 2 =
√
Ą Ví dụ 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = 4x2 − 4x + 1 + 3.
√ ɓ Lời giải.
Ta có: D = 4x2 − 4x + 1 + 3 = (2x − 1)2 + 3 = |2x − 1| + 3 ≥ 3 với mọi x.
Vậy min D = 3 khi x = 1 Nguyễn Quốc Dương –
.
2
5/207 0375113359
6√ Kết nối tri thức với cuộc sống
1. Căn bậc hai - căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = |A|
√
Ą Ví dụ 20. Tìm x, biết x2 − 6x + 9 + 7x = 13.
√ ɓ Lời giải. (1)
Ta có x2 − 6x + 9 + 7x = 13 ⇔ (x − 3)2 + 7x = 13 ⇔ |x − 3| + 7x = 13.
Nếu x ≥ 3 thì (1) thành x − 3 + 7x = 13 ⇔ 8x = 16 ⇔ x = 2 (không thuộc khoảng đang xét).
Nếu x < 3 thì (1) thành 3 − x + 7x = 13 ⇔ 6x = 10 ⇔ x = 5 (thuộc khoảng đang xét).
3
5
Vậy giá trị của x thỏa mãn đẳng thức đã cho là x = .
3
√
Ą Ví dụ 21. Cho biểu thức: P = 3x − x2 − 10x + 25.
a) Rút gọn biểu thức P ;
b) Tính giá trị của P khi x = 2.
ɓ Lời giải.
√
a) P = 3x − x2 − 10x + 25 = 3x − (x − 5)2 = 3x − |x − 5|.
Nếu x ≥ 5 thì P = 3x − (x − 5) = 2x + 5.
Nếu x < 5 thì P = 3x + (x − 5) = 4x − 5.
b) Khi x = 2 < 5 thì giá trị của P là P = 4 · 2 − 5 = 3.
√
Ą Ví dụ 22. Cho biểu thức: Q = 2x − x2 + 2x + 1.
a) Rút gọn biểu thức Q;
b) Tính giá trị của x khi Q = 7.
ɓ Lời giải.
√
a) Q = 2x − x2 + 2x + 1 = 2x − (x + 1)2 = 2x − |x + 1|.
Nếu x ≥ −1 thì Q = 2x − (x + 1) = x − 1.
Nếu x < −1 thì Q = 2x + (x + 1) = 3x + 1.
b) Ta phải xét hai trường hợp:
Q = 7 ⇔ x − 1 = 7 ⇔ x = 8 (thỏa mãn x ≥ −1).
Q = 7 ⇔ 3x + 1 = 7 ⇔ x = 2 (không thỏa mãn x < −1).
Vậy Q = 7 khi x = 8.
C – BÀI TẬP VẬN DỤNG Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
6/207
7 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Ą Bài 1. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh √
√√ 1 3−1 .
a) 26 + 3 và 63; b) và
22
ɓ Lời giải.
√√ 1 √3−1
a) 26 + 3 > 63; 2 .
b) >
2
Ą Bài 2. Tìm x biết: √ √
a) 5x2 = 80; b) 2 x = 1; c) 3x ≤ 6.
c) 0 ≤ x ≤ 12.
a) x = ±4; ɓ Lời giải.
b) x = 1
;
4
Ą Bài 3. Tìm x để các căn thức bậc hai sau có nghĩa:
…2 √ √
a) 9 − x ; b) x2 + 2x + 1; c) x2 − 4x.
c) x ≤ 0 hoặc x ≥ 4.
ɓ Lời giải.
a) x < 9; b) x ∈ R;
Ą Bài 4. Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
√ …1 √1 √ x
a) 9 − x2; b) ; x+ −
c) 2 + √ 3 .
x2 − 4 x
a) −3 ≤ x ≤ 3; ɓ Lời giải. c) 0 ≤ x = 9.
b) x < −2 hoặc x > 2;
Ą Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:
Ä √ ä2 b) √ √
a) 3 − 10 ; 9 − 4 5; c) 3x − x2 − 2x + 1.
√ ɓ Lời giải. ñ2x + 1 nếu x ≥ 1
a) 10 − 3; √ c)
b) 5 − 2;
4x − 1 nếu x < 1.
7/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
8√ Kết nối tri thức với cuộc sống
1. Căn bậc hai - căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = |A|
Ą Bài 6. Giải phương trình: √ √
√ b) x2 = 3x − 2; c) 4x2 − 12x + 9 = x + 7.
a) x2 − 10x + 25 = 2; ɓ Lời giải. c) x ∈ ß − 4 ™
b) x = 1; 10; .
a) x = 3 hoặc x = 7; 3
√
Ą Bài 7. Tìm các giá trị của x sao cho x > x.
ɓ Lời giải.
Điều kiện: x > 0. ®x ⇔ ®x > 0 ⇔ 0 < x < 1.
Ta có: √ > x ⇔ x > x2 ⇔ x − x2 > 0 ⇔ x (1 − x > 0) ⇔ > 0
x
1−x>0 x<1
8/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
9 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
BÀI 2. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ
PHÉP KHAI PHƯƠNG
A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC √ √√
. 1. Định lí a · b = a · b.
Với hai số a và b không âm, ta có
2. Áp dụng
Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết
quả với nhau.
Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi
khai phương kết quả đó.
3. Chú ý
√ √√ √√ √
Với hai biểu thức A và B không âm, ta có A · B = A · B và ngược lại A · B = A · B.
Đặc biệt, khi A ≥ 0, ta có Ä√ ä2 √
A = A2 = A.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Khai phương một tích
Dựa vào quy tắc khai phương một tích:
√ √√
Với a, b ≥ 0 thì a · b = a · b.
Ą Ví dụ 1. Tính √
√ b) 2500 · 4, 9 · 0, 9 .
a) 12, 1 · 160 ;
ɓ Lời giải.
√ √ √√
a) 12, 1 · 160 = 121 · 16 = 121 · 16 = 11 · 4 = 44;
√ √ √√√
b) 2500 · 4, 9 · 0, 9 = 25 · 49 · 9 = 25 · 49 · 9 = 5 · 7 · 3 = 105.
Ą Ví dụ 2. Tính √
√ b) 81 · 6, 25 − 2, 25 · 81.
a) 412 − 402 ; ɓ Lời giải.
9/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
10 Kết nối tri thức với cuộc sống
2. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
√√
a) 412 − 402 = (41 − 40) · (41 + 40) = 1 · 81 = 1 · 9 = 9;
√ √√
b) 81 · 6, 25 − 2, 25 · 81 = 81 · (6, 25 − 2, 25) = 81. 4 = 9 · 2 = 18.
Ą Ví dụ 3. Đẳng thức √√
x(1 − y) = x · 1 − y đúng với những giá trị nào của x và y?
Theo định lí khai phương một tích thì ɓ Lời g√iải. √
y ≤ 1. x(1 − y) = x · 1 − y khi x ≥ 0 và 1 − y ≥ 0 hay x ≥ 0 và
Ą Ví dụ 4. Cho các biểu thức M = √√
(x − 1) · (x + 3) và N = x − 1 · x + 3.
a) Tìm các giá trị của x để M có nghĩa; để N có nghĩa.
b) Với giá trị nào của x thì M = N .
ɓ Lời giải.
a) M có nghĩa khi (x − 1) · (x + 3) ≥ 0.
®x − 1 ≥ 0 ®x ≥ 1
Trường hợp 1. ⇔ x ≥ −3 ⇔ x ≥ 1;
x+3≥0
®x − 1 ≤ 0 ®x ≤ 1
Trường hợp 2. ⇔ ⇔ x ≤ −3.
x + 3 ≤ 0 x ≤ −3
Vậy M có nghĩa khi x ≥ 1 hoặc x ≤ −3.
N có nghĩa khi ®x − 1 ≥ 0 ®x ≥ 1
⇔ x ≥ −3 ⇔ x ≥ 1;
x+3≥0
b) Để M và N đồng thời có nghĩa thì x ≤ 1.
Khi đó ta có M = N theo định lí khai phương một tích.
Dạng 2. Nhân các căn bậc hai
Dựa vào quy tắc nhân các căn bậc hai:
√√ √
Với a, b ≥ 0 thì a · b = ab.
Ą Ví dụ 5. Tính √√
√√ b) 12, 8 · 0, 2.
a) 72 · 50;
ɓ Lời giải.
√√ √ √
a) 72 · 50 = 72 · 50 = 36 · 100 = 6 · 10 = 60;
√√ √ √ √
b) 12, 8 · 0, 2 = 12, 8 · 0, 2 = 128 · 0, 02 = 64 · 0, 04 = 8 · 0, 2 = 1, 6.
10/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Ą Ví dụ 6. Tính b) …2 · … 12 · …1
√√√ .
3 25 2
a) 40 · 20 · 4, 5;
ɓ Lời giải.
√√√ √ √
a) 40 · 20 · 4, 5 = 40 · 20 · 4, 5 = 400 · 9 = 20 · 3 = 60;
b) …2 · … 12 · …1 = … 2 · 12 · 1 = … 4 2
=.
3 25 2 3 25 2 25 5
Ą Ví dụ 7. Thực hiện các phép tính: Ä√ √ ä Ä√ √ ä
Ä√ √ √ ä √ b) 12 + 3 · 27 − 3 ;
a) 20 + 45 − 5 · 5;
c) Ä√ − √ + ä · Ä√ − ä
5 3 1 5 1.
ɓ Lời giải.
Ä√ √ √ ä √ √ √ √
a) 20 + 45 − 5 · 5 = 100 + 225 − 25 = 10 + 15 − 5 = 20;
Ä√ √ ä Ä√ √ ä √ √√√
b) 12 + 3 · 27 − 3 = 324 − 36 + 81 − 9 = 18 − 6 + 9 − 3 = 18;
Ä√ √ ä Ä√ ä √√ √√ √√
c) 5 − 3 + 1 · 5 − 1 = 5 − 5 − 15 + 3 + 5 − 1 = 4 − 15 + 3.
Ą Ví dụ 8. Tính Ä√ √ ä2
Ä√ √ ä2 b) 8 − 2 ;
a) 7 + 3 ;
Ä√ √ä Ä√ √ä
c) 5 3 − 2 7 · 5 3 + 2 7 .
ɓ Lời giải.
Ä√ √ ä2 Ä√ ä2 √ √ Ä√ ä2 √ √
a) 7 + 3 = 7 + 2 · 7 · 3 + 3 = 7 + 2 21 + 3 = 10 + 2 21;
Ä√ √ ä2 Ä√ ä2 √ √ Ä√ ä2 √
b) 8 − 2 = 8 − 2 · 8 · 2 + 2 = 8 − 2 16 + 2 = 2;
Ä √ √ ä Ä √ √ ä Ä √ ä2 Ä √ ä2
c) 5 3 − 2 7 · 5 3 + 2 7 = 5 3 − 2 7 = 25 · 3 − 4 · 7 = 47.
Dạng 3. Rút gọn, tính giá trị của biểu thức
Trước hết tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa (nếu cần).
Áp dụng quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, các hằng đẳng thức
11/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
12 Kết nối tri thức với cuộc sống
2. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
để rút gọn.
Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện các phép tính.
Ą Ví dụ 9. Rút gọn các biểu thức sau:
a) … 3x · … 5x với x > 0; b) x6 · (x − 2)2 với x > 2.
5 27
ɓ Lời giải.
a) … 3x · …5x … 3x · 5x … x2 = |x| = x (vì x > 0);
= =
5 27 5 27 9 33
√
b) x6 · (x − 2)2 = x6 · (x − 2)2 = |x3| |x − 2| = x3(x − 2) (vì x > 2).
Ą Ví dụ 10. Rút gọn các biểu thức sau:
a) … · 60 b) 16 (x2 − 6x + 9).
15x3 x;
ɓ Lời giải.
a) Điều kiện: x = 0.
… 60 √ ®30x nếu x > 0
15x3 · x = 900x2 = 30|x| = − 30x nếu x < 0.
®4(x − 3) nếu x ≥ 3
b) 16 (x2 − 6x + 9) = 16(x − 3)2 = 4|x − 3| =
− 4(x − 3) nếu x < 3.
√
Ą Ví dụ 11. Rút gọn biểu thức M = 25x2 (x − 2 x + 1) với 0 < x < 1.
√ ɓ Lời giải. √
2x √ |x
Ta có M = 25x2 (x − + 1) = » · (x − 1)2 = 5|x| · − 1|.
25x2
Vì x > 0 nên |x| =√x. √ √
Vì 0 < x < 1 nên √x < 1, do đó | x − 1| = 1 − x.
Vậy M = 5x (1 − x).
Ą Ví dụ 12. Tính giá trị của các biểu thức sau:
√ √ √
a) 4 + 2 3; b) 8 − 2 15; c) 9 − 4 5.
ɓ Lời giải.
√ √ Ä√ ä2 √
a) 4 + 2 3 = 3+2· 3·1+1= 3 + 1 = 3 + 1;
12/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
13 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
√ √√ Ä√ √ ä2 √ √
b) 8 − 2 15 = 5 − 2 · 5 · 3 + 3 = 5 − 3 = 5 − 3;
√ √ Ä√ ä2 √
c) 9 − 4 5 = 5 − 2 · 2 · 5 + 4 = 5 − 2 = 5 − 2.
ǥ Nhận xét. Phương pháp giải trong ví dụ √này là biến đổi biểu thức lấy căn thành bình phương của
tổng hay hiệu hai số rồi áp dụng đẳng thức A2 = |A|.
Ą Ví dụ 13. Rút gọn các biểu thức sau: √
√ b) x + 2 − 2 x + 1.
a) x + 2 x − 1;
ɓ Lời giải.
»√ » √
a) x + 2 x − 1 = x − 1 + 2 x − 1 + 1
»√ √
= ( x − 1 + 1)2 = x − 1 + 1 (ĐK: x ≥ 1).
» √» √
b) x + 2 − 2 x + 1 = x + 1 − 2 x + 1 + 1
…Ä√ ä2 √
= x + 1 − 1 = | x + 1 − 1| (ĐK: x ≥ −1).
√√
Nếu x ≥ 0 thì |√x + 1 − 1| = x +√1 − 1.
Nếu x < 0 thì | x + 1 − 1| = 1 − x + 1.
Dạng 4. Biến đổi một biểu thức về dạng tích
Dùng cách đặt nhân tử chung, nhóm các hạng tử, dùng các hằng đẳng thức,...
Ą Ví dụ 14. Phân tích thành nhân tử b) x + 3√xy;
√
a) 3 − 3;
c) x√y − √ d) √ − √xy + √y.
y x; x− x
ɓ Lời giải.
a) 3 − √ = √ Ä√ − ä
3 3 3 1;
b) x + 3√xy = √ √ + 3√y (ĐK: x ≥ 0; y ≥ 0);
x x
c) x√y − √ = √xy √ − √y (ĐK: x ≥ 0); y ≥ 0);
yx x
d) x − √ − √xy + √y = √ √ − √y √
x x x−1 x−1
√ √ √y
= x−1 · x − (ĐK: x ≥ 0; y ≥ 0).
Ą Ví dụ 15. Phân tích thành nhân tử b) 9x + 6√xy + y;
√√
Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
a) x3 − 25 x;
13/207
14 Kết nối tri thức với cuộc sống
2. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương √√
d) x2 − 9 − 2 x − 3.
√
c) x3 + y3;
ɓ Lời giải.
√ √ √ Ä√ ä √ √ √
a) x3 − 25 x = x x2 − 25 = x ( x − 5) ( x + 5) (ĐK: x ≥ 0);
b) 9x + 6√xy + y = √ + √y 2 (ĐK: x, y ≥ 0);
3x
√ y3 = √ + √y x − √xy + y (ĐK: x, y ≥ 0);
c) x3 + x
√ √ √√
d) x2 − 9 − 2 x − 3 = x − 3 x + 3 − 2 (ĐK: x ≥ 3).
√√ √
Ą Ví dụ 16. Rút gọn biểu thức ( 14 + 6) 5 − 21.
ɓ Lời giải.
Ä√ √ » √ √ Ä√ √ » √
ä ä
Ta có 14 + 6 5 − 21 = 2 7 + 3 5 − 21
Ä√ √ ä » √
= 7 + 3 10 − 2 7 · 3
Ä√ √ ä …Ä√ √ ä2
= 7+ 3 7− 3
= Ä√ + √ä · Ä√ − √ä = 4.
7 3 7 3
Dạng 5. Giải phương trình
Trước tiên tìm điều kiện để căn thức có nghĩa.
Ä√ ä2
Áp dụng quy tắc khai phương một tích, áp dụng các hằng đẳng thức |A2| = |A|; A = A
(với A ≥ 0) đưa phương trình đã cho về phương trình đơn giản hơn.
Có thể đưa về phương trình tích.
Ą Ví dụ 17. Giải phương trình 25 · (x + 5)2 = 15.
ɓ Lời giải.
»
Ta có 25 · (x + 5)2 = 15
ñx + 5 = 3 ñx = −2
⇔5|x + 5| = 15 ⇔ |x + 5| = 3 ⇔ ⇔
x + 5 = −3 x = −8.
√
Ą Ví dụ 18. Giải phương trình 9x2 − 90x + 225 = 6.
√ ɓ Lời giải.
Ta có 9x2 − 90x + 225 = 6
»» 0375113359
14/207 ⇔ 9 (x2 − 10x + 25) = 6 ⇔ 9(x − 5)2 = 6 ⇔ 3|x − 5| =Ng6uyễn Quốc Dương –
ññ
15 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
√√
Ą Ví dụ 19. Giải phương trình x2 − 25 = 2 x − 5.
®x2 − 25 ≥ 0 ®x2 ≥ 25 ɓ Lời giải.
Điều kiện ⇔ ⇔ x ≥ 5.
√x − 5 ≥ 0 √ x ≥ 5
Khi đó x2 − 25 = 2 x − 5
»√
⇔ (x − 5)(x + 5) − 2 x − 5 = 0
√ Ä√x
⇔x − 5 + 5 − ä = 0
√ 2
ñ x−5=0 ⇔ ñx − 5 = 0 ⇔ ñx = 5 (thỏa mãn)
⇔√
x − 5 − 2 = 0 x + 5 = 4 x = −1 (loại).
Ą Ví dụ 20. Giải phương trình √ 1 √ − 45 = 1 √ − 125 + 6.
x−5+ 9x 25x
3 5
Điều kiện: x ≥ 5. ɓ Lời giải.
√
Ta có x − 5 + 1 √ − 45 = 1 √ − 125 + 6
3 9x 5 25x
√ − 5 + 1 » − 5) = 1 » − 5) + 6
⇔x 9(x 25(x
√ √3 √ 5
⇔ x−5+ x−5= x−5+6
√
⇔ x − 5 = 6 ⇔ x − 5 = 36 ⇔ x = 41 (thỏa mãn điều kiện).
Ą Ví dụ 21. Giải phương trình √ √1 = 2.
x+ x
Điều kiện: x > 0. ɓ Lời giải.
Ta có √ √1 =2
x+ x −2=
0 ⇔ x + 1√− √ = 0 ⇔ √ − 1)2 = 0
√ √1 2x (x
⇔ x+
√x x
⇔ x = 1 ⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện).
Dạng 6. Chứng minh bất đẳng thức
Có thể dùng các phương pháp sau:
Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì a ≤ b ⇔ a2 ≤ b2;
Biến đổi tương đương.
√√ √√
Ą Ví dụ 22. Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng: 5 + 8 < 6 + 7.
√√ √√ ɓ Lời giải.
Ta có 5 + 8 < 6 + 7
Ä√ √ ä2 Ä√ √ ä2
⇔ 5 + 8 < 6 + 7 (vì hai vế đều dương)
√√ √√
⇔5 + 2 40 + 8 < 6 + 2 42 + 7 ⇔ 13 + 2 40 < 13 + 2 42
√√
⇔ 40 < 42 ⇔ 40 < 42.
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.
15/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
16 Kết nối tri thức với cuộc sống
2. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
Ą Ví dụ 23. Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng: √ + 2 < √ Ä√ + ä
3 2 3 1.
Ä√ ä2 √ √ ɓ Lời giải.
Ta có 3 + 2 = 3 + 4 3 + 4 = 7 + 4 3;
î√ √ ó2 Ä√ ä2 Ä √ ä √
2( 3 + 1) = 2 3 + 1 = 2 3 + 2 3 + 1 = 8 + 4 3.
√ √ Ä√ ä2 î√ √ ó2
Vì 7 + 4 3 < 8 + 4 3 nên 3 + 2 < 2( 3 + 1) .
√ √ Ä√ ä
Do đó 3 + 2 < 2 3 + 1 .
√√
Ą Ví dụ 24. Cho a > 0, chứng minh rằng a + 9 < a + 3.
Ä√ ä2 ɓ Lời giải.
Ta có a + 9 = a + 9;
√ 2 √
a+3 = a + 6 a + 9√.
√ √
Do a > 0 nên a + 9 < a + 9 + 6 a, do đó a+9 < (a + 3)2.
Căn bậc hai của một tổng không bằng tổng các căn bậc hai.
Ą Ví dụ 25. Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng
√ √ √√
a) a + b ≥ 2 ab; b) a + b + c ≥ ab + bc + ca.
ɓ Lời giải.
√
a) Ta có a + b ≥ 2 ab
√
⇔a + b − 2 ab ≥ 0
Ä√ √ ä2
⇔ a − b ≥ 0 (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b).
Bất đẳng thức cuối này đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.
√
Bất đẳng thức a + b ≥ 2 ab với a, b ≥ 0 gọi là bất đẳng thức Côsi.
b) Ta có a, b, c ≥ 0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi đối với hai số ta được
√
a + b ≥ 2 ab
√
b + c ≥ 2 bc
√
c + a ≥ 2 ca.
Ą Ví dụ 26. Cho a ≥ 1 chứng minh rằng √
, 2a − 1 ≤ a.
2
Từ bất đẳng thức Cô-si a + b ≥ √ suy raɓ√aLbờ≤i gaiả+i. b
2 ab 2 .
Áp dụng bất đẳng thức này cho các số không âm 2a − 1 và 1 ta được:
√ = » ≤ (2a − 1) +1 = a.
2a − 1 (2a − 1) · 1
2
√
Vậy 2a − 1 ≤ 1 (dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi a = 1).
16/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
17 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA b) …5 · 3
;
C – BÀI TẬP VẬN DỤNG 27 20
Ą Bài 1. Tính Ä √ ä2 Ä √ ä2
√ d) 2 − 5 · 2 + 5 .
a) 400 · 0, 81; ɓ Lời giải.
c) (−5)2 · 32; b) …5 · 3 = 1
;
√ 27 20 6
a) 400 · 0, 81 = 18;
c) (−5)2 · 32 = 15; Ä √ ä2 Ä √ ä2
d) 2 − 5 · 2 + 5 = 1.
Ą Bài 2. Tính b) √ − √y √ + √y ;
√√ x x
a) ( x − 3) ( x + 2);
Ç… 25 … 49 √å √ √ √ä √ √ä
3 3; 3 5 3 5.
c) − + d) Ä + − Ä + +
33 1 1
√√ √ ɓ Lời giải. √ √y √ √y
b) x x
a) ( x − 3) ( x + 2) = x − x − 6; − + = x − y;
c) Ç… 25 − … 49 √ å√ d) Ä + √ − √ä Ä + √ + √ä = √ − 1.
+ 3 3 = 1; 1 3 5 1 3 5 23
33
Ą Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: √
√√ b) x − 1 − 2 x − 2.
a) 3 + 8 − 2 15;
ɓ Lời giải.
√ √√
a) 3 + 8 − 2 15 = 5;
√
√ ® x − 2 − 1 nếu x ≥ 3
b) x − 1 − 2 x − 2 = √
1 − x − 2 nếu 2 ≤ x < 3.
Ą Bài 4. Phân tích thành nhân tử b) a − 7 với a > 0;
√
d) √xy − √ + 3√y − 12.
a) a − 5 a; 4x
√
c) a + 4 a + 4;
√ √√ ɓ Lời giải. Ä√ √ ä Ä√ √ ä
a) a − 5 a = a( a − 5);
b) a − 7 = a − 7 a + 7 ;
c) a + √ + 4 = √ + 2)2; d) √xy − √ + 3√y − 12 = √ + 3) √y − 4 .
4a (a 4x (x
17/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
18 Kết nối tri thức với cuộc sống
2. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
Ą Bài 5. Giải phương trình
a) 49 (1 − 2x + x2) − 35 = 0; √√
b) x2 − 9 − 5 x + 3 = 0;
√√ −1
√x − 2 √x .
c) x+1 = x
+3
a) x1 = 6; x2 = −4; ɓ Lời giải. c) x = 25.
b) x1 = −3; x2 = 28;
Ą Bài 6. Tìm x và y, biết x + y + 13 = 2 √ + 3√y .
2x
x + y + 13 = √ + 6√y (Điều kiện: x, ɓ Lời giải.
4x y ≥ 0).
√√ √√
Ą Bài 7. Chứng minh rằng 7 − 3 < 6 − 2.
√√ √√ ɓ Lời giải.
7− 3< 6− 2
√ √ √ √ Ä√ √ ä2 Ä√ √ ä2
⇔ 7+ 2< 6+ 3⇔ 7+ 2 < 6+ 3
√ √ √√
⇔9 + 2 14 < 9 + 2 18 ⇔ 2 14 < 2 18.
Ą Bài 8. Chứng minh bất đẳng thức …a + b ≥ √√ với a, b ≥ 0.
2 a+ b
2
ɓ Lời giải.
Gợi ý: bình phương hai vế.
√ √
Ą Bài 9. Tính giá trị của biểu thức A = 7 + 13 − 7 − 13.
√ ɓ Lời giải.
Hướng dẫn: Tính A2 = 2, suy ra A = 2.
18/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
19 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ
PHÉP KHAI PHƯƠNG
A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
. 1. Định lí
…a √
b √a .
Với số a không âm và số b dương, ta có = b
2. Áp dụng
Muốn khai phương một thương a trong đó a ≥ 0 và b > 0, ta có thể lần lượt khai phương số
b,
a và b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a
rồi khai phương kết quả đó.
3. Chú ý
…A √
B √A .
Với các biểu thức A ≥ 0 và B > 0, ta có = B
4. Căn thức bậc hai
√
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là
biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
√
A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.
√ ® A nếu A ≥ 0
Ta có A2 = |A| =
−A nếu A < 0.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Khai phương một thương
Dựa vào quy tắc khai phương một thương:
…a √
b √a .
Với a ≥ 0; b > 0 thì = b
Ą Ví dụ 1. Tính b) … −36a với a< 0.
… 4 49 49
a) : ; Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
25 121
19/207
20 Kết nối tri thức với cuộc sống
3. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
ɓ Lời giải.
… 4 49 … 4 … 49 2 7 22
a) := : =: =
25 121 25 121 5 11 35
b) … −36a = √ = √√ = √
√−36a 36√· −a 6 −a
49 49 49 7
√
Lưu ý: Vì a < 0 nên −a có nghĩa.
Ą Ví dụ 2. Tính b) … 11 : 1,44 − 7 : 1,44.
… 652 − 522 99
a) ;
225
ɓ Lời giải.
… 652 − 522 … (65 − 52)(65 + 52) … 13.117 … 13.13.9 13.3 39
a) = == = =.
225 225 225 152 15 15
b) … 11 : 1, 44 − 7 : 1, 44 = Å11 − 7ã 144 …4 : 144 …4 … 144 = 2 : 12 = 5
: = = : .
99 9 9 100 9 100 9 100 3 10 9
Ą Ví dụ 3. x − 5 = √ đúng với những giá trị nào của x và y?
Đẳng thức y + 2 √x − 5
y+2
ɓ Lời giải.
√
Theo định lí khai phương một thương thì x −5 = √x − 5
y +2 + 2
y
khi x − 5 ≥ 0 và y + 2 > 0 hay x ≥ 5 và y > −2.
Dạng 2. Chia các căn bậc hai
Dựa vào quy tắc chia các căn bậc hai:
√ …
√a a
Với a ≥ 0; b > 0 thì b = b
Ą Ví dụ 4. Tính √
√√ b) (2.3)5 : 23 · 35.
a) 45 : 80;
ɓ Lời giải.
√ √ … 45 … 9 3 b) (2 · 3)5 : √ · 35 = … 25 · 35 = √ = 2.
a) 45 : 80 = = = ; 23 22
23 · 35
80 16 4
20/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
21 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Ą Ví dụ 5. Tính √√
√ √√ b) √ 3 : √ 52 .
a) 54 : 2 : 3; 75 117
ɓ Lời giải.
√ √√ √ √√ √
a) 54 : 2 : 3 = 54 : 2 : 3 = 27 : 3 = 9 = 3
√√ …3 … 52 …1 …4 1 2 3
√3 : √ 52 = : = : =:= .
b) 75 117 75 117 25 9 5 3 10
Ą Ví dụ 6. Thực hiện phép tính
√√ √√ √ √ √√
a) ( 45 − 125 + 20) : 5; b) (2 18 + 3 8 − 6 2) : 2.
ɓ Lời giải.
Ä√ √ √ ä√ √ √ √
a) 45 − 125 + 20 : 5 = 9 − 25 + 4 = 3 − 5 + 2 = 0;
b) Ä√ + √ − √ä : √ = √ + √ − 6 = 2 · 3 + 3 · 32 − 6 = 6.
2 18 38 62 2 29 34
Dạng 3. Rút gọn, tính giá trị biểu thức
Tìm điều kiện của biến để căn thức có nghĩa.
Áp dụng quy tắc khai khai phương một thương hay quy tắc chia các căn bậc hai để rút gọn.
Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện các phép tính.
√
√316 − 312 .
Ą Ví dụ 7. Rút gọn biểu thức 312 − 38
√ = ɓ Lời giải. = √ = 9.
√316 − 312 312 (34 − 1) 34
312 − 38 38 (34 − 1)
Ą Ví dụ 8. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức sau với x = 6
A = (16√52 − 1242) x.
369
ɓ Lời giải.
A = (16√52 − 1242) x = (165 + 1√24)(165 − 124) x
369 369
= …289.41x = … 289x = 17x.
369 9 3
Với x = 6 thì A = 17 · 6 = 34. Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
3
21/207
22 Kết nối tri thức với cuộc sống
3. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Ą Ví dụ 9. Cho biểu thức √ √√y
x x
B = + 1 : + 1 .
√y − 1 − 1
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức B với x = 5; y = 10.
ɓ Lời giải.
Điệu kiện: x > 1, y > 1. Khi đó ta có
√ √√y + 1 √ √
√xy x ((√xy 11))((√xy − x −
B = + 1 : − 1 = + + 1) = y − 1 .
− 1 − 1) 1
Với x = 5, y = 10 thì B = … 5−1 = …4 = 2
10 − 1 9 .
3
Ą Ví dụ 10. Cho biểu thức C x − 2√xy + y với x > 0, y > 0.
= x + 6√xy + 9y
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức C với x = 25; y = 81.
ɓ Lời giải. |√√xx+−3√√yy| .
x − 2√xy + y √ √y)2
x + 6√xy + 9y à (x
C = = − =
» + 3√y )2
(x
√√
25 − 81
Với x= 25, y = 81 thì C = √√ = |5 − 9| = 4 = 1
5+3·9 32 8
25 + 3 81
Dạng 4. Giải phương trình
Tìm điều kiện để căn thức có nghĩa.
Nếu hai vế không âm thì có thể bình phương hai vế để khử dấu căn.
Ą Ví dụ 11. Giải phương trình … 3x − 1 = 2.
x+2
ɓ Lời giải.
1
ĐKXĐ: 3x − 1 và x + 2 cùng dấu hoặc x = .
3
®3x − 1 > 0 ⇔ > 1 ⇔ x > 1
Trường hợp 1: x 3 .
x+2>0 x > −2 3
®3x − 1 < 0 ⇔ < 1 ⇔ x < −2.
Trường hợp 2: x 3
x+2<0 x < −2
Vậy điều kiện xác định là x ≥ 1 hoặc x < −2.
3
Bình phương hai vế của phương trình ta được
3x − 1
x+2 =4
22/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
23 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
⇒ 3x − 1 = 4(x + 2)
⇒ 3x − 1 = 4x + 8
⇒ x = −9. (thỏa mãn điều kiện).
√
√5x − 7
Ą Ví dụ 12. Giải phương trình 2x − 1 = 1.
7 ɓ Lời giải.
x 15
ĐKXĐ : ®5x − 7 ≥ 0 ⇔ ≥ 2 ⇔ x ≥ 7
2x − 1 > 0 x > .
5
Bình phương hai vế ta được
5x − 7
2x − 1 = 1
⇔ 5x − 7 = 2x − 1
⇔ 3x = 6
⇔ x = 2. (thỏa mãn điều kiện).
C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN √ √√ √
Ą Bài 1. Tính b) ( 28 − 7 + 112) : 7.
√√ ɓ Lời giải.
a) 72 : 8; b) 5.
a) 3;
Ą Bài 2. Tính √√ …1 · …32 : … 56 .
… 49 … 1 b) 54x : 6x; c)
125 35 225
a) : 3 ; ɓ Lời giải.
88 b) 3; 6
c) .
7
a) ; 35
5
Ą Bài 3. Làm phép chia
…a − 1 : … a+2 với a > 1.
a+2 a3 − 3a2 + 3a − 1
(a − 1)2 ɓ Lời giải.
Đáp án: a+2 .
23/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
24 Kết nối tri thức với cuộc sống
3. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Ą Bài 4. Rút gọn biểu thức
x3 x2 với x, y = 0;
a) :
y2 y4
b) … 27(x − 1)2 + 3 − (x − 50x2 với 1 < x < 2.
12 2 2)
8(x − 2)2
® x2 nếu x > 0 ɓ Lời giải.
a) . b) 4x.
−x2 nếu x < 0
… 2 …3 √
3 :, = 6x + 5.
Ą Bài 5. Cho x = tính giá trị của biểu thức M
2
ɓ Lời giải.
Đáp án: x = 2 ; M = 3
3
Ą Bài 6. Chứng minh đẳng thức
√√
√6 + 2 5 √5 − 2√ 6 .
5+1 = 3− 2
ɓ Lời giải.
Chứng minh mỗi vế đều bằng 1.
24/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
25 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
BÀI 4. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA
CĂN BẬC HAI
A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
. 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có √
√√ A B nếu A ≥ 0
A2B = |A| B =
√
−A B nếu A < 0.
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
√√
|A| B = A2B, tức là
√√
Nếu A ≥ 0; B ≥ 0 thì A B = A2B;
√√
Nếu A < 0; B ≥ 0 thì A B = − A2B.
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Với các biểu thức A, B mà A · B ≥ 0 và B = 0, ta có
…A √
B AB
= |B| .
4. Trục căn thức ở mẫu
Trường hợp 1: Với các biểu thức B, C mà B > 0 thì
√
√C C B
B = B .
Trường hợp 2: Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0; A = B2 thì
Ä√ √ ä
C A∓ B
√C = A − B2 .
A±B
Trường hợp 3: Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A = B thì
√ C√ = C Ä√A ∓ √Bä
A± B A−B .
√√ √√
Hai biểu thức A + B và A − B gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
25/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
26 Kết nối tri thức với cuộc sống
4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
Dạng 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Biến đổi biểu thức lấy căn thành dạng tích trong đó có thừa số là bình phương của một số
hoặc một biểu thức.
Khai phương thừa số này và viết kết quả ra ngoài dấu căn.
Ą Ví dụ 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
√ √ √ √
a) 45; b) 2400; c) 147; d) 1, 25.
ɓ Lời giải.
√√ √ √√ √
a) 45 = 9 · 5 = 3 5; b) 2400 = 400 · 6 = 20 6;
√√ √ √√ √
c) 147 = 49 · 3 = 7 3; d) 1, 25 = 0, 25 · 5 = 0, 5 5.
Ą Ví dụ 2. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn √
√ b) 14 · 21;
a) 50 · 6; √
d) 125 · 27.
√
c) 32 · 45;
ɓ Lời giải.
√√ √
a) 50 · 6 = 100 · 3 = 10 3;
√√ √
b) 14 · 21 = 7 · 7 · 2 · 3 = 7 6;
√√ √ √√
c) 32 · 45 = 16 · 2 · 9 · 5 = 16 · 9 · 10 = 4 · 3 10 = 12 10;
√√ √ √√
d) 125 · 27 = 25 · 5 · 9 · 3 = 25 · 9 · 15 = 5 · 3 15 = 15 15.
Ą Ví dụ 3. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
√ b) 75x2y; c) 605x3y2.
a) 18x;
Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
ɓ Lời giải.
√√ √
a) 18x = 9 · 2x = 3 2x (với x ≥ 0).
b) 75x2y = 25x2 · 3y = 5|x| 3y (y ≥ 0)
® 5x 3y nếu x ≥ 0
=
−5x 5y nếu x < 0.
√
c) 605x3y2 = 121x2y2 · 5x = 11x|y| 5x (x ≥ 0)
√
® 11xy 5x nếu y ≥ 0
=√
−11xy 5x nếu y < 0.
26/207
27 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Ą Ví dụ 4. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a) 128(x − y)2; b) 150 (4x2 − 4x + 1); √
c) x3 − 6x2 + 12x − 8.
ɓ Lời giải.
»» √
a) 128(x − y)2 = 64(x − y)2 · 2 = 8|x − y| 2
√
®8(x − y) 2 nếu x ≥ y
=√
8(y − x) 2 nếu x < y.
»»
b) 150 (4x2 − 4x + 1) = 25 · 6(2x − 1)2
nếu x ≥ 1
2
√ 5(2x − 1)
nếu x < 1 .
= 5|2x − 1| 6 = √
5(1 − 2x) 6 2
√√
c) x3 − 6x2 + 12x − 8 = (x − 2)3 = (x − 2)2 · (x − 2) = (x − 2) x − 2 (với x ≥ 2).
Dạng 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
Nếu A ≥ 0 thì ta nâng A lên lũy thừa bậc hai rồi viết kết quả vào trong dấu căn:
√√
A B = A2B (với A ≥ 0; B ≥ 0).
Nếu A < 0 thì ta coi A như là −(−A). Ta nâng (−A) lên lũy thừa bậc hai rồi viết kết quả
vào trong dấu căn. Còn dấu “=” vẫn để đằng trước dấu căn:
√√
A B = − A2B (với A < 0; B < 0).
Ą Ví dụ 5. Đưa thừa số vào trong dấu căn
√ √ 2√
a) 3 5; b) 5 6; c) 35.
7
√√ √ ɓ Lời giải. √√ √
a) 3 5 = 32 · 5 = 45; b) 5 6 = 52 · 6 = 150;
2 √ 2 ã2 … 20
35 Å
c) = · 35 = 7 .
77
Ą Ví dụ 6. Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) … 1 ; √
−4 b) −0, 06 250.
8
a) … 1 = … · 1 = √ ɓ Lời giải.
−4 − 42 − 2; √√
88
b) −0, 06 250 = − (0, 06)2 · 250 = − 0, 9.
27/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
28 Kết nối tri thức với cuộc sống
4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
Ą Ví dụ 7. Đưa thừa số vào trong dấu căn
√ … x x … y
a) x x; y y y x
b) ; c) .
ɓ Lời giải.
√√ √
a) x x = x2 · x = x3 (x ≥ 0);
b) Điều kiện: x · y ≥ 0; y = 0.
Xét trường hợp x ≥ 0; y > 0, ta có … x = … · x = √xy.
y y y2 y
Xét trường hợp x < 0; y < 0, ta có … x = … · x = −√xy.
y y − y2 y
c) Điều kiện: xy > 0. Ta có x…y x2 · y …x
yx = y2 x = y.
Ą Ví dụ 8. Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) … 3 với x > 0; b) … −1 với x < 0.
−x x −x x
ɓ Lời giải.
a) Ta có … 3 = … · 3 √ với x > 0;
−x x − x2 x = − 3x
… −1 Å −1 ã √
−x x (−x)2 x −x
b) Ta có = · = với x < 0.
Ą Ví dụ 9. Chỉ ra chỗ sai trong các biến đổi sau:
a) … 3 = … 3x2 b) … y = … · y = y√xy.
x ; xy x y x2 x
77
ɓ Lời giải.
a) Biến đổi … 3 = 3x2 chỉ đúng khi x ≥ 0.
x
77
Nếu x < 0 thì … 3 = … 3x2 .
x −
77
b) Biến đổi xy y = … y = y√xy chỉ đúng khi x > 0.
x y x2 x
Nếu x < 0 thì … y = … · y = −y√xy.
xy x −y x2 x
28/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
29 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Dạng 3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
…A √ AB
Vận dụng công thức B = B
(A · B ≥ 0; B = 0). Cụ thể gồm các bước sau:
Biến đổi mẫu thành bình phương của một số hoặc một biểu thức (nếu cần);
Khai phương mẫu và đưa ra ngoài dấu căn.
Ą Ví dụ 10. Khử mẫu của biểu thức lấy căn …5
.
72
ɓ Lời giải.
… 5 … 5 · 2 … 10 1 √
Ta có = 72 · 2 = = 10.
72 144 12
5
Nếu bạn nhân cả tử và mẫu của phân số với 72 thì vẫn ra kết quả nhưng biến đổi phức tạp
72
hơn:
… 5 …5 · 72 … 360 6 √ 1√
= 722 = 722 = 72 10 = 10.
72 12
Vậy tìm thừa số phụ như thế nào cho hợp lí?
Trước hết, bạn phân tích mẫu số ra thừa số nguyên tố: 72 = 23 · 32. Bạn thấy ngay thừa số phụ
là 2, lúc đó số mũ của các thừ số nguyên tố đều chẵn.
Ą Ví dụ 11. Khử mẫu của biểu thức lấy căn 3x
… 11 b) 5y3 .
a) 27x ;
ɓ Lời giải.
a) … 11 = … 11.3x … 33x = 1 √ (Điều kiện: x > 0).
27x 27x.3x = 9x 33x
81x2
b) 3x 3x · 5y 15xy = 1 √ (Điều kiện: xy ≥ 0; y = 0).
5y3 = 5y3 · 5y = 25y4 5y2 15xy
Ą Ví dụ 12. Khử mẫu của biểu thức lấy căn b) …1 − 1
…1 .
x2 x3
a) ;
x3 + 3x2 + 3x + 1
ɓ Lời giải.
…1 1 x+1
a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3 = (x + 1)4
= (x 1 1)2 √ + 1 (Điều kiệnx > −1).
+ x
29/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
30 Kết nối tri thức với cuộc sống
4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
…1 …x − 1
=
b) − 1 = x(x − 1)
x2 x3 x3 x4
= 1 » − 1) (Điều kiện: x ≥ 1 hoặc x < 0).
x2 x(x
Dạng 4. Trục căn thức ở mẫu
Cách 1: Rút gọn biểu thức (nếu có thể):
— Phân tích tử số thành tích có thừa số là căn thức ở mẫu.
— Chia cả tử và mẫ cho thừa số chung.
Cách 2: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu để làm mất dấu căn ở mẫu.
Ą Ví dụ 13. Trục căn thức ở mẫu √
√
3 +√ 3 b) 2√+ 2
a) ; .
53 2+1
ɓ Lời giải.
a) Ta có √ = √ Ä√ ä = √ b) Ta có √ = √ Ä√ ä √
3 +√ 3 3 3+1 3+1 √2 + 2 2 2+1 = 2.
√ ; √
53 53 5 2+1 2+1
Ą Ví dụ 14. Trục căn thức ở mẫu
a) √3 ; b) √ 2 ; c) √ 3 .
7 3−1 15 + 4
ɓ Lời giải.
√√
a) √3 = √3 · √7 3 7
= ;
7 7· 7 7
Ä√ ä Ä√ ä
2 3+1 2 3+1 √
√2 3−1 = 3 + 1;
b) 3− 1 = Ä√ − ä Ä√ ä =
3 1 3 1
+
Ä√ ä Ä√ ä
3 15 − 4 3 15 − 4 Ä √ä
√3 15 − 16 = 3 4 − 15 .
c) 15 + 4 = Ä√ ä Ä√ − ä =
15 4 15 4
+
Ą Ví dụ 15. Trục căn thức ở mẫu √
√√ b) √ 2 √ .
a) 5√3 − 3√5 ; 1− 2+ 3
5 3+3 5 ɓ Lời giải.
30/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
31 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
a) √ √ = Ä √ √ ä2 √ä = 75 √ = Ä √ä = √
5√3 − 3√5 5 3−3 5 35 + 45 − 30 15 30 4 − 15 4 − 15;
53 +3 5
Ä √ √ äÄ √ 75 − 45 30
5 3+3 5 5 3−
√ √ √ Ä − √ − √ä
√2 3 2 1 2 3
b) 1 − 2+ = Ä − √ √ä Ä − √ − √ä
1 2 3 1 2 3
+
√ Ä √ √ä √ Ä √ √ä √ Ä √ √ä
2 1− 2− 3 2 1− 2− 3 2 1− 2− 3
=√ √
= Ä √ ä2 1−2 2+2−3 = −2 2
1− 2 −3
√√
= 3 + 2 − 1.
2
Ą Ví dụ 16. Trục căn thức ở mẫu
√
1 − √a √ 1√ ; với 1
a) 1+ a với a ≥ 0; a = 1; b) a+ b−1 a > 0; b > 0; ab = .
4
ɓ Lời giải.
√ (√1 − √a)2√ √
a) 1 − √a = 1−2 a+a
=;
1 + a (1 + a)(1 − a) 1−a
b) √ 1√ = Ä√ √ ä ä = √√ 1
a+ b−1 1· a+ b+1 1 a + √b + 1
Ä√ √ ä Ä√ √
a+ b−1 a+ b+ a + b + 2 ab −
√√ √√
a+ b+1 a + b + 1
= = a b .
… 1 +
a + b + 2 − 1
4
Dạng 5. So sánh hai số
Thực hiện các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai rồi so sánh hai kết quả. Chẳng
hạn
√√
Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi dùng tính chất: Nếu A > B > 0 thì A > B.
√
Đư√a thừa số ra ngoài dấu căn rồi dùng tính chất: Nếu A, B, C > 0 thì A > B ⇔ A C >
B C.
Ą Ví dụ 17. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh
√√ …2 …1
a) 5 6 và 7 3; b) 3 2 và 5 1 .
35
ɓ Lời giải.
√√ √ …2 … 8 √
a) Ta có 5 6 = 25 · 6 = 150; b) Ta có 32 = 9 · = 24;
√√ √ 33
√ 7 3 =√ 49 · 3 =√ 147. √ …2 = …1 = … 6 = √
32 51 25 · 30.
Vì 150 > 147 nên 5 6 > 7 3. 35 5
Vì √ < √ nên …2 < …1
24 30 32 5 1.
35
31/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
32 Kết nối tri thức với cuộc sống
4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
Ą Ví dụ 18. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh
5√ 2√ √√
a) 2 và 7; b) −3 11 và −2 23.
43
ɓ Lời giải.
5√ … 25 ·2 … 25 …1 √√ √
a) Ta có 2= = = 3; b) Ta có −3 11 = − 9 · 11 = − 99;
4 16 8 8 √√ √
2√ = …4 ·7 = … 28 = … 1 . √−2 23 √= − 4 · 23 =√ − 92. √
7 3
3 9 99 Vì − 99 < − 92 nên −3 11 < −2 23.
Vì …1 > …1 nên 5√ > 2√
3 3 2 7.
8 94 3
Ą Ví dụ 19. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần
a) √ √ … 2 , …2 √ 2 √ 1 √ √
6 3, 7 2, 15 5 9 1; b) − 71, 3 12, 2 21, −5 3.
9
ɓ Lời giải.
√√ √ √√ √
a) Ta có 6 3 = 36 · 3 = 108; 7 2 = 49 · 2 = 98;
…2 = … · 2 √ …2 … 11 √
15 225 = 90; 91 = 81 · = 99.
55 99
√ √ √ √ …2 √ …2 √
Vì 90 < 98 < 99 < 108 nên 15 < 72 < 91 < 6 3.
59
b) Ta có 2√ = …4 · 12 = … 16 …1
12 =5
3 9 33
1√ = …1 · 21 = … 21 = …1
21 5
2 √ √4 √4 4
−5 3 = − 25 · 3 = − 75.
Vì √ < √ < …1 < …1 nên √ < √ 1√ < 2√
− 75 − 71 5 5 −5 3 − 71 < 21 12.
43 23
Dạng 6. Rút gọn biểu thức
Thực hiện các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai rồi thu gọn các căn thức đồng
dạng hoặc rút gọn các thừa số chung ở tử và mẫu.
Ą Ví dụ 20. Rút gọn các biểu thức sau
a) √ − √ + … 1 ; b) √ Ä√ √ 5 − √ ä
200 50 4 3 72 + 4, 12, 5.
8
ɓ Lời giải.
32/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
33 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
a) √ − √ + … 1 = √ − √ + 4 · 1√ = √
200 50 4 10 2 52 2 6 2;
84
√ Ä√ 4, 5 − 12, ä = √ + √
b) 3 72 + 5 216 13, 5 − 37 · 5
= √ + … 27 − … 75 = √ 3√ − 5√ = √
66 6 6+ 6 6 5 6.
22 22
Ą Ví dụ 21. Rút gọn các biểu thức sau
Ç… 2 … 3 å …2 1√ … 1
12 ;
a) − b) 4 + 2 + .
32 92 18
ɓ Lời giải.
a) Ç… 2 − …3å = 12 Å1√ − 1√ ã = √ − √ = √
12 6 6 46 66 −2 6;
32 32
…2 1√ … 1 4√ 1√ 1√ √
b) 4 + 2 + = 2 + 2 + 2 = 2 2.
92 18 3 2 6
Ą Ví dụ 22. Rút gọn biểu thức P = √ + …a − …b − … 1 với a, b > 0.
9ab 7 5 3ab
ba ab
P = √ + 7√ − 5√ − 3ab · 1 √ =ɓÅL7ờ−i g5iảãi.√ab.
3 ab ab ab ab
ba ab b a
Ą Ví dụ 23. Rút gọn biểu thức B = √ 3√ + √ 4√ + √ 1√ .
5− 2 6+ 2 6+ 5
B √ 3 √ √4 √+ √ ɓ Lời gÄi√ải. √ ä 4 Ä√ √ ä √ − √
Ä√5 − √2 Ä6√+ 2√ 6 1√ 3 5+ 2 6− 2 6 − 5
= + +√ 5 + 6−2 + 6
ä ä = 5−2 5
√√
= 5 + 2 + 6 − 2 + 6 − 5 = 2 6.
Ą Ví dụ 24. Cho a > b > 0, chứng minh rằng a2b … 8 (a2 − 2ab + b2) = 2 √
15 6b.
a−b 75a4b
Ta có ɓ Lời giải.
a2b 8 (a2 − 2ab + b2) a2b 8(a − b)2 · b
=
a−b 75a4b a − b 75a4bbb
a2b · 2(a − b) · …2b = 2… 2b · 3 = 2 √
=a − b 5a2b 3 59 6b.
15
Ta thấy vế trái đúng bằng vế phải.
C – BÀI TẬP VẬN DỤNG
33/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
34 Kết nối tri thức với cuộc sống
4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
Ą Bài 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: b) 98a5 (b2 − 6b + 9).
√
a) 75a3;
ɓ Lời giải.
√√
a) 75a3 = 5a 3a (a ≥ 0);
√
®7a2(b − 3) 2a nếu b ≥ 3
b) 98a5 (b2 − 6b + 9) = √
7a2(3 − b) 2a nếu b < 3.
Ą Bài 2. Rút gọn biểu thức √ √√
√ √√ b) 2 75 − 4 27 + 12.
a) 2 125 − 5 45 + 6 20; ɓ Lời giải.
√ √√
√ √√ √
a) 2 125 − 5 45 + 6 20 = 7 5; b) 2 75 − 4 27 + 12 = 0.
Ą Bài 3. So sánh các số sau √√
√√ b) −4 5 và −5 3.
a) 3 7 và 2 15; ɓ Lời giải.
√√
√√
a) 3 7 > 2 15; b) −4 5 < −5 3.
Ą Bài 4. Khử mẫu của biểu thức lấy căn …2
…3 b) .
a) ; 75
80
…3 1√ ɓ Lời giải.
a) = 15; …2 1√
80 20 b) = 6.
75 15
Ą Bài 5. Trục căn thức ở mẫu √
c) √− 2 √ .
√
a√− 2 a b) √13 ; 1− 2+ 3
a) a − 2 ; 2 3−5
ɓ Lời giải.
√ √ Ä√ ä √ √√
a√− 2 a = a; b) √13 =− 2 3+5 ; √− 2√ 1− 2− 3
a) c) = .
a−2 2 3−5 1− 2+ 3 2
34/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
35 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Ą Bài 6. Trục căn thức ở mẫu b) √ 1 √ ; √√
a) √ 8 ; 5 2−2 5 c) √5 − √7.
5−3
5+ 7
ɓ Lời giải.
Ä√ √√ √√ √
a) √ 8 5 1 5 2+2 5 √5 − √7 35
= −2 + ä b) √ √ = ; c) = − 6.
5−3 3; 5 2−2 5 30 5+ 7
Ą Bài 7. Tính
Å 1√ ã2
a) √ 2− 3 ;
b) √ 1 √ + √ 1 √ + √ 1 √ + · · · + √ 1 √ .
1+ 2 2+ 3 3+ 4 99 + 100
ɓ Lời giải.
Å 1√ ã2 √
a) √ 2− 3 = 5 + 2 6;
√ √√ √√
1 1 1 1√ 1− 2 2 − 3 99 − 100
b) √ + √ + √ + √ + √ + √ + ··· + √ + 100 = √1 − 2 + 2 − + · · · + 99 − 100
1 2 2 3 3 4 99 3
= 100 − 1 = 9.
√√
√ 75 + √12 . Chứng minh rằng 3x là một số
Ą Bài 8. Cho x = 147 − 48 nguyên.
√√ ɓ Lời giải.
Ta có x = √ 75 + √12 = 7 do đó 3x = 7 ∈ Z.
147 − 48 ,
3
Ą Bài 9. Biến đổi 26 √ √ a · b.
10 + 4 3 về dạng a + b 3. Tính tích
26 √ = 13√ √ ɓ Lời giải.
= 5 − 2 3.
10 + 4 3 5 + 2 3
Vậy a = 5; b = −2. Do đó a · b = 5 · (−2) = −10.
Ą Bài 10. Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) trong đó x<y sao cho √ + √y = √
x 539.
√√ √ √ √ ɓ Lờ√i giải. √ √ √ √
539 = 49 · 11 = 7 11. Ta có 7 11 = 11 + 6 11 = 2 11 + 5 11 = 3 11 + 4 11
√ √√ √√ √√
7 11 = 11 + 36 · 11 = 4 · 11 + 25 · 11 = 9 · 11 + 16 · 11
√ √√ √√ √√
7 11 = 11 + 396 = 44 + 275 = 99 + 176.
Vậy có ba cặp số thỏa yêu cầu bài: (11; 396); (44; 275); (99; 176).
35/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
36 Kết nối tri thức với cuộc sống
5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
BÀI 5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA
CĂN THỨC BẬC HAI
A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta có thể:
Thực hiện các phép biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai nhằm làm xuất hiện các căn thức
đồng dạng, từ đó thực hiện các phép tính cộng, trừ các căn thức đồng dạng.
Phối hợp thực hiện các phép tính với các biểu thức có dạng phân thức mà tử và mẫu có chứa
căn thức bậc hai theo quy tắc thực hiện các phép tính về phân thức đại số.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Rút gọn căn thức chỉ có cộng, trừ căn thức
Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn rồi dùng công thức:
√ √√ √
m · A − n · A + p · A + q = (m − n + p) · A + q
trong đó A ≥ 0.
Ą Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau: √√√
√√√ b) 18 − 50 + 98.
a) 20 − 80 + 45;
ɓ Lời giải.
√√√ √ √ √√
a) 20 − 80 + 45 = 2 5 − 4 5 + 3 5 = 5.
√√√ √√√ √
b) 18 − 50 + 98 = 3 2 − 5 5 + 7 2 = 5 2.
Ą Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) √ 1√ …1 b) … 25 − …3 − … 98 .
4,5 − 72 + 5 ; 40 10 12
623
22
ɓ Lời giải.
a) √ 5 − 1√ + …1 … 9.2 − 1 · √ + 5 √ = 3√ − √ + 5√ = √
4, 72 5 = 2.2 62 2 2 32 2 2.
22 22
2 2
b) … 25 − …3 − … 98 = 42. 5 √ − 10 · 1√ − 12 · 7√ = √ − √ − √ = √
42 10 12 6 6 6 35 6 56 28 6 2 6.
6 2 36 2 3
36/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
37 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Ą Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức M = 2x 16xy3 + 7 25x3y3 − 3y 36x3y với x ≥ 0, y ≥ 0.
ɓ Lời giải.
Ta có M = 8xy√xy + 35xy√xy − 18xy√xy = 25xy√xy.
√ √
1+ 3 − 3
Ą Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức N = 2 1− 2 .
ɓ Lời giải.
Ta có
√ √ √ √
1+ 3 − 3 2+ 3 − 2− 3
N= 1− =
2 22 2
√ √
4+2 3 4−2 3 1 …Ä√ ä2 1 …Ä√ ä2
= − = 3+1 − 3−1
4 42 2
îÄ√ Ä√
= 1 3 + ä − 3 − äó = 1.
1 1
2
Ą Ví dụ 5. Biến đổi biểu thức … b − … a … 1 về dạng xy z √
5 a 4 b − ab ++ ab, trong đó a, b > 0;
a b ab
x, y, z ∈ Z. Tính tổng x + y + z.
ɓ Lời giải.
…b … a …1 5 √ 4 √ 1 √ Å5 4 1 ã √
5a 4 b ab a ab b ab ab ab a b ab ab.
Ta có − − = − − = − −
Vậy x = 5; y = −4; z = −1. Do đó x + y + z = 0.
Dạng 2. Rút gọn biểu thức có chứa các phép cộng,
trừ, nhân, chia căn thức dưới dạng phân thức đại số
Xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa gồm: điều kiện để biểu thức lấy căn không âm và
điều kiện để mẫu thức khác 0.
Vận dụng các quy tắc của phép tính về phân thức đại số, kết hợp với các phép tính về căn
thức để đưa biểu thức đã cho về dạng đơn giản nhất.
Ą Ví dụ 6. Rút gọn biểu thức P = √y − √
√xy − x x
y − √xy .
ɓ Lời giải.
Điều kiện: x > 0, y > 0, x = y. Khi đó ta có
√x(√√y y− √ x √xy(y√−y x (√y√−xy√(√x)y(√−y√+x) x) √y + √
− − x
P = √ − √y(√y √ = √ = = √xy .
x) x) x)
37/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
38 Kết nối tri thức với cuộc sống
5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
Ç √ å √xy
√xy 3 x + 3√xy .
Ą Ví dụ 7. Rút gọn biểu thức P = − :
ɓ Lời giải.
Điều kiện: x > 0, y > 0. Khi đó ta có
Ç √ å √xy √ − 3√y √√ + 3√y) x − 9y
x −3 x + 3√xy x x( x y
P = √y : = √y · √xy = .
Ç √ − y√y + √xyå : (x − y).
x√x − √y
Ą Ví dụ 8. Rút gọn biểu thức P = x
ɓ Lời giải.
Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0, x = y. Khi đó ta có
ñ √ − √√yx)(−x +√√y xy + y) √xyô
(x
P = + : (x − y)
= (x + 2√xy + y) · 1
−(√√xy+)(√√xy)+2 x√−y)y
= √
(x
√ √y
x +
= √ √y .
x −
√√
Å √x ã √x + 1
= 1+ x x x−1
Ą Ví dụ 9. Rút gọn biểu thức P x + + 1 : .
ɓ Lời giải.
Điều kiện: 0 ≤ x = 1. Khi đó ta có
√ √√
x + x√+ 1 + x · x√ x − 1
P = x +√ x + 1 √ x + 1
= x + 2√ x + 1 · x√ x − 1
x+ x+1 x+1
√ √√
= ( x√+ 1)2 · ( x − 1)√· (x + x + 1)
x+ x+1 x+1
= x − 1.
√ √√
Å √x − 1 √2 x 3 x− 1ã Å √2 2ã
x + 1 x − −x x x.
Ą Ví dụ 10. Rút gọn biểu thức P = + 1 − 1 · −
ɓ Lời giải.
38/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
39 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Điều kiện: 0 < x = 1. Khi đó ta có
P = √ − 1)2 √ √ 1) + √ − 1 · √ − 2
(x +√ 2 x ( √x + 3x 2x
√ ( x + 1) ( √x − 1) √ √x
x−2 x +√1 + 2x +√2 x + 3 x−1 · 2( x − 1)
= √ √( x + 1) ( x −√ 1) x
= √3 x ( x√+ 1) · 2 ( x− 1) = √6 .
( x + 1) ( x − 1) x x
Dạng 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức hoặc rút
gọn rồi giá trị của biến để biểu thức có một giá trị nào đó
Trước hết tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa rồi rút gọn biểu thức. Sau đó thay giá trị của biến
vào biểu thức đã được rút gọn rồi thực hiện các phép tính.
Hoặc có thể phải sử dụng kết quả rút gọn, lập phương trình hoặc bất phương trình rồi giải ra để
tìm giá trị của biến.
√√√
√x − 1 √2 x 2 −5 x
Ą Ví dụ 11. Cho biểu thức P = x + 2 − x −2 + 4− .
x
a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với x = 2√ .
2− 3
ɓ Lời giải.
a) Điều kiện: 0 ≤ x = 4. Khi đó ta có
√√ √√ √
( x − 1) ( x −√2) − 2 x√( x + 2) − (2 − 5 x)
P = √ ( x + 2√) ( x − 2)√
= x−3 x +√2 − 2x −√4 x − 2 + 5 x
( √x + 2) ( x − 2)
√ −x − 2√ x
= ( x√+ 2)√( x − 2)
= √− x ( √x + 2)
( √x + 2) ( x − 2)
x√
= 2 − x .
b) Ta có x = 2√ Ä √ ä Ä√ ä2 √ √
= 2 2 + 3 = 3 + 1 ⇒ x = 3 + 1.
2− 3
Do đó: P √ = √ = Ä√ ä2 = √ = Ä √ä
3+1 3 +√1 3+1 4+2 3 − 2+ 3 .
−2
= Ä√ ä 1− 3 −2
2− 3+1
39/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
40 Kết nối tri thức với cuộc sống
5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
√√ x√− 2 4x
Å x+2 2 x+ ã (x − 1)2 .
Ą Ví dụ 12. Cho biểu thức P = x−1 − x − 1 :
a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P , biết |x − 5| = 4.
ɓ Lời giải.
a) Điều kiện: 0 < x = 1. Khi đó ta có
ñ √ √ x−2 ô (x − 1)2
√ x +√2 4x
P = (x + 1) − √ − 1)2 ·
− 1) ( x (x
√ √√ √
(x + 2) ( x − 1) − ( x − 2) (x + 1) (x − 1)2
= √ √ · 4x
(x − 1)2 (x + 1)
√ √ √
2x (x − 1)2 · (x + 1)2
= √ √ ·
(√ x − 1)2 (x + 1) 4x
= x√+ 1 .
2x
ï x−5=4 ï x = 9
|x − 5| = 4 ⇔ x − 5 = −4 x = 1.
b) Ta có ⇔
√ 9√+ 1 4 2
.
Với x = 9, ta có P = = =
29 6 3
Với x = 1, không thỏa mãn điều kiện đã nêu nên biểu thức P không có giá trị.
Ç 2√xy √ √y å √
= x−y √x + 2√y √2 x
Ą Ví dụ 13. Cho biểu thức P − 2x − · x − √y .
a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P , biết x = 4
y .
9
ɓ Lời giải.
a) Điều kiện: x, y ≥ 0, x = y. Khi đó ta có
ñ 2√xy √ + √y ô √
x−y x √x2 −x√y
P = − √ √y ·
2 x −
4√xy − √ + √y 2 √
x · √x2−x√y
= √ √y √ √y
2 x − x +
24√√xxy−−√xy− 2√√xx+y −√yy √
= · √x2−x√y
− √ − √y 2 √
x · √x2−x√y
= √ √y √ √y
2 x − x +
√
√− x
= x+ √y .
40/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
41 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
b) Ta có x = 4 ⇒y= 9x
y 9 √ .
√ √
4
Do đó P = −x = − x = −x = −2.
√ 5
√ … 9x 3 √ 5 √
x x+ x x
+ 4 2 2
Ą Ví dụ 14. Cho biểu thức P = Å 1 − √2 ã : Å 2 − √1 ã
√ 4x 4 x − x− .
x+ 2 x + + 4 2
a) Rút gọn P .
b) Tìm x để P = −1.
2
ɓ Lời giải.
a) Điều kiện: 0 ≤ x = 4. Khi đó ta có
P = ñ 1 − √ 2ô : Å 2 − √1 ã
√ (x x − x− 2
x+ 2 + √2)2 4
√
x + 2 − 2 2 − ( x + 2)
= √ :
( √x + 2)2 √ x−4
√
x ( x − 2)√( x + 2)
= √ · −x
( x√+ 2)2
= 2 − √x.
2+ x
b) Ta có P = −1 ⇔ √ = −1 ⇔ √ = √ ⇔ √ 6 ⇔ x = 36 (thỏa mãn điều
2 2 − √x 2 2 x−4 x+2 x=
2+ x
kiện).
√√
Å √1 3 ã Å x 3 x −√3 ã
x+ − √ √ + x +3 x .
Ą Ví dụ 15. Cho biểu thức P = 3 + √ 9x : x 3 −
xx
a) Rút gọn P .
b) Tìm x để P > 1.
ɓ Lời giải.
a) Điều kiện: 0 ≤ x = 9. Khi đó ta có
√√ √
√ √x ( x − 3√) + 3 √x − 3√ x + 3
P = x( x −√3) ( x + 3) : √ x (√ x + 3)
= √ √x − 3 x +√ 3 + 3) · x x ( √x + 3)
x( x− 3) ( x −3 x+3
= √1 3 .
x−
41/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
42 Kết nối tri thức với cuộc sống
5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
√√
√1 √1 1 −√ x + 3 √x − 4
b) Ta có P > 1 ⇔ x®−√3x > 1 ⇔ x− 3 − 1 > 0 ⇔ x−3 > 0 ⇔ x−3 < 0 ⇔
®√x − 4 > 0 − 4 <0
hoặc √ ⇔ 9 < x < 16 (thỏa mãn điều kiện).
√
x−3<0 x−3>0
Dạng 4. Rút gọn biểu thức rồi chứng minh biểu thức có một tính
chất nào đó hoặc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa;
Rút gọn biểu thức, biến đổi kết quả (nếu cần) rồi lập luận đi đến điều phải chứng minh hoặc
đến điều phải tìm.
Ą Ví dụ 16. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị thích hợp của
x và y:
√ √ √y x√y √
Ç x 2x − å − yx
A = √xy − y + √xy − x · √ − √y 2.
x
ɓ Lời giải.
Điều kiện: x, y > 0, x = y. Khi đó ta có
ñ √ √ − √y ô √xy √ − √y
√y √x 2x x
A = x− √y +√ √y √ · √ √y
x − x x − 2
x − 2√xy + y · √xy √ − √y
= √xy √ √y x
x √ √y
− x − 2
√ − √y 2 √xy √ − √y
x x
= √xy √ √y · √ √y
x − x − 2
= 1.
Vậy giá trị của biểu thức A là hằng số với mọi giá trị thích hợp của x và y.
√x + 2 √ x√− 1 √1
x x+1 x+ x+
Ą Ví dụ 17. Cho biểu thức B = + x − 1 − .
1
a) Rút gọn B.
b) Chứng minh rằng B luôn luôn có giá trị không âm với mọi giá trị thích hợp của x.
ɓ Lời giải.
a) Điều kiện: x ≥ 0. Khi đó ta có
√√ √ x + 1)
x + 2 + ( √x − 1) ( x + √1) − (x −
B= ( x + 1) (x√− x + 1)
= x +√2 + x − 1 − x√+ x − 1
( x + 1)√(x − x + 1)
√ x + x√
= ( x + 1) (x − x + 1)
42/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
43 Kết nối tri thức với cuộc sống
Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
√√
√ x ( x +√1)
= ( x√+ 1) (x − x + 1)
= x − √x + 1 .
x
b) Ta có x ≥ 0 nên √ và x − √ + 1 = Å√ − 1 ã2 + 3 >0 với mọi x.
x≥0 x x
√ 24
√x
Do đó B = x − x + 1 ≥ 0 với mọi x ≥ 0.
√
Å √1 2 ã Å x ã
x− x+ +1 −1 .
Ą Ví dụ 18. Cho biểu thức C = 1 − √ − √ − 1 : x
xx x
a) Rút gọn C.
b) Chứng minh rằng C luôn luôn có giá trị âm với mọi giá trị thích hợp của x.
ɓ Lời giải.
a) Điều kiện: 0 ≤ x = 1. Khi đó ta có
ï 1 2 ò √ x−x−1
√ 1) (x 1) x+1
C = x− 1 − √ − + :
(x
= √ x + 1 − 2 · − (x√+ 1)
(√x − 1) (x√+ 1) x − x + 1
( √x − 1) ( x + 1) · −(x√+ 1)
= ( √x − 1) (x + 1) x − x + 1
= −( √x + 1) .
x− x+1
b) Ta có 0 ≤ x = 1 nên √ √ Å√ 1 ã2 3 > 0.
− ( x + 1) < 0; x− x+1= x− +
√ 24
− ( √x + 1)
Do đó C = x− x+1 < 0 với mọi giá trị thích hợp của x.
√ √√
Å √x − 1 ã ï √6 x +√1 x ò
Ą Ví dụ 19. Cho biểu thức D= 2− 2 x−3 : (2 x − 3) (x + 1) + √ + 1 .
x
a) Rút gọn D.
b) Chứng minh rằng D< 3
.
2
ɓ Lời giải.
a) Điều kiện: 0 ≤ x = 9
. Khi đó ta có
4
√ √ √ √√
2 (2 x −√3) − ( x − 1) : 6 x √+ 1 + x√(2 x − 3)
D = 2 x−3 (2 x − 3) ( x + 1)
43/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Toán 9 - Tập 1
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search