Toán 9 - Tập 1

194 Kết nối tri thức với cuộc sống

6. ÔN TẬP CHƯƠNG II

BÀI 6. ÔN TẬP CHƯƠNG II

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

. 1. Các định nghĩa

a) Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng
bằng R.

b) Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó.

2. Các định lí

a) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là
tam giác vuông.

b) Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

c) Trong một đường tròn:

Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó.
Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.

d) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua
tiếp điểm và ngược lại.

e) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm;
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các
tiếp điểm.

f) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng

Vận dụng tính chất tiếp tuyến, quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung, tính chất
đường nối tâm và dây chung của hai đường tròn, . . .

Áp dụng định lí Pi-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc
nhọn.

Ą Ví dụ 1. Trong hình vẽ, cho biết ba đường tròn (I), (K), (L) có bán kính bằng nhau và bằng
2 cm; (I) tiếp xúc với (K); (K) tiếp xúc với (L) và IM , N P là tiếp tuyến của (L). Tính độ dài
đoạn M N .

194/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

195 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 4. ĐƯỜNG TRÒN

I2 2K 2 M N
2 cm P

2L2

ɓ Lời giải.
Vì IM là tiếp tuyến của đường tròn (L) nên IM ⊥ M L tại M

⇒ I’M L = 90◦ ⇒ sin I = ML = 2 = 1
⇒ cos I = IL 8 4
√
1 − sin2 I =   − Å 1 ã2 = 15 .
1
44

Do đó: tan I = sin I = √1 . (1)
cos I 15 (2)

Mặt khác tan I = NP = NP = MN
IP 10 10

(vì M N , N P là tiếp tuyến của (L) nên M N = N P ).

Từ (1) và (2) suy ra √

MN = √1 ⇒ MN = √10 = 2 15 .
10 15 15 3
√
Vậy M N = 2 15
3 (cm).

Ą Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O1; 13 cm) và (O2; 15 cm) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M ,
N sao cho M N = 24 cm. Tính độ dài đoạn nối tâm O1O2.

Ta xét hai trường hợp sau: ɓ Lời giải.

Trường hợp 1: O1 và O2 nằm khác phía so với dây cung M N . Vì O1O2 M
là đường trung trực của M N nên O1O2 ⊥ M N tại H và M H = N H = 13 12 15
1 M N = 12. O1 H O2
2
N
Áp dụng định lí Py-ta-go vào O1M H ta có:

√
O1H = O1M 2 − M H2 = 132 − 122 = 5.

Tương tự ta có √
O2H = 152 − 122 = 9
⇒ O1O2 = O1H + O2H = 5 + 9 = 14 (cm).

Trường hợp 2: O1 và O2 nằm cùng phía so với dây chung M N . Tính toán M
tương tự trên ta có

O1O2 = O2H − O1H 15 12
=9−5 13
= 4 (cm).
O2 O1 H

12

Vậy O1O2 = 14 cm hoặc O1O2 = 4 cm. N

195/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

196 Kết nối tri thức với cuộc sống

6. ÔN TẬP CHƯƠNG II

Ą Ví dụ 3. Cho đường tròn (O; 6 cm) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến M N
và M P với (O) (N , P là các tiếp điểm). Lấy điểm T bất kì trên đường tròn (O) sao cho T và
O nằm khác phía với N P . Vẽ tiếp tuyến tại T của (O) cắt M N , M P lần lượt tại E và F . Nếu
M O = 10 cm, tính chu vi tam giác M EF .

ɓ Lời giải.

Ta có M N là tiếp tuyến của (O) ⇒ M N ⊥ N O N O
tại N . E
Áp dụng định lí Py-ta-go vào M N O có: M
T
√
MN = MO2 − ON2 F
P
√
= 102 − 62 = 8 (cm).

Vì M N , M P là tiếp tuyến của (O) nên M N = M P ;
EN , ET là tiếp tuyến của (O) nên EN = ET ;
F T , F P là tiếp tuyến của (O) nên F T = F P .

Do đó

ME + EF + MF = ME + ET + FT + MF
= ME + EN + FP + MF
= MN + MP
= 2M N = 2 · 8 = 16 (cm).

Vậy chu vi M EF bằng 16 cm.
Dạng 2. Chứng minh hệ thức - tính chất hình học

Vận dụng linh hoạt các tính chất, định lí trong chương II.

Ą Ví dụ 4. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B,
C là các tiếp điểm). Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN = 2ON . Đường trung trực của đoạn
thẳng CN cắt OA tại M . Chứng minh OA = 3AM .

ɓ Lời giải.

Ta có AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên AB = AC B
và B’AO = C’AO hay M÷AB = M÷AC I
N
⇒ M AB = M AC (c.g.c) O
⇒ M B = M C.(1)
Md
Vì M thuộc đường trung trực d của N C nên A
C
MN = MC. (2)
Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
Từ (1) và (2) suy ra M B = M N ⇒ M BN cân

tại M .

Lấy I là trung điểm của BN ⇒ M I ⊥ BN tại I.
Vì BN = 2ON nên BI = IN = N O = 1 BO.

3

196/207

197 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 4. ĐƯỜNG TRÒN

Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên AB ⊥ BO tại B.

Do đó AM BI 1
AO BO =
AB ∥ MI ⇒ = ⇒ AO = 3AM.
3

Ą Ví dụ 5. Cho đường tròn (I) nội tiếp ABC. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với
BC, AC và AB. Kẻ DH vuông góc với EF tại H. Chứng minh rằng tia HD là tia phân giác của
góc BHC.

ɓ Lời giải.

A
K F HE L

I

BC
D

Ta sẽ chứng minh BD = BH .
DC HC
Kẻ BH ⊥ EF tại K, CL ⊥ EF tại L.

Vì AE, AF là tiếp tuyến của (I) nên AE = AF ⇒ A’EF = A’F E.

Do đó B’F K = C’EL (vì đối đỉnh với hai góc bằng nhau)

⇒ BKF CLE (g.g)

⇒ BK = BF .
CL CE

Mà BF = BD, CD = CE nên BK = BD . (1)
CL DC (2)
Vì BK ⊥ EF , HD ⊥ EF , CL ⊥ EF nên BK ∥ DH ∥ HD ∥ CL
BD KH
⇒ DC = HL .

Từ (1) và (2) suy ra BD = BK = KH .
DC CL HL
Xét BKH và CLH có:

B÷KH = C’LH = 90◦

KB KH
CL = LH (chứng minh trên)
⇒ BKH CLH (c.g.c)

⇒ BH = BK = KH
CH CL LH (3)

Từ (2) và (3) suy ra BD = BH ⇒ tia HD là tia phân giác của B’C H .
DC CH

Ą Ví dụ 6.

197/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

198 Kết nối tri thức với cuộc sống

6. ÔN TẬP CHƯƠNG II

Trong hình vẽ, cho biết AB là tiếp tuyến chung ngoài; CD A B
là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O) và (O ). C O
Chứng minh AC ⊥ BD. D
O

ɓ Lời giải. B

AM K
HC IO

O

D

+ Gọi I là giao điểm của AC và BD.
+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng AB và CD là M . Vì AM , M C là tiếp tuyến của (O) nên OM
là đường trung trực của đoạn AC và

A÷M O = C÷M O = 1 A÷M C
2

⇒ OM ⊥ AC tại H.

Tương tự:

O M ⊥ BD tại K và D÷M O = B÷M O = 1 D÷M B
2

⇒ H÷M K = O÷M O = O÷M C + D÷M O

= 1 A÷M C + 1 D÷M B = 1 ÄA÷M C + D÷M Bä = 90◦.
22 2

⇒ Tứ giác HM KI là hình chữ nhật
⇒ H’IK = 90◦ ⇒ AC ⊥ BD.

Ą Ví dụ 7. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d cố định (d và (O) không có điểm chung).
Lấy ba điểm M , N , P phân biệt trên d. Từ M , N , P lần lượt kẻ các tiếp tuyến M A, M B, N C,
N D, P E và P F đến (O) (với A, B, C, D, E, F là các tiếp điểm). Chứng minh ba đường thẳng
AB, CD và EF đồng quy.

ɓ Lời giải.

Ta sẽ chứng minh AB, CD và EF cùng đi qua một điểm cố M A
định. Do vai trò của M , N , P như nhau nên ta chỉ cần chứng
minh AB đi qua một điểm cố định I. Từ đó suy ra CD và EF K
cũng đi qua I. Kẻ OH ⊥ d tại H ⇒ H cố định. Gọi I là giao IO
điểm của AB với OH; K là giao điểm của AB với OM .

H

dB

198/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

199 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 4. ĐƯỜNG TRÒN

Vì M A, M B là tiếp tuyến của (O) nên OM ⊥ AB tại K

⇒ IOK OM H (g.g).

⇒ IO · OH = OM · OK. R2
OH
Mặt khác, trong tam giác vuông OM A có OK · OM = OA2 = R2 ⇒ OI · OH = R2 ⇒ OI ⇒I

cố định.

Vậy AB, CD và EF đồng quy tại I với I thuộc đoạn OH và OI = R2 .
OH

Dạng 3. Cực trị hình học

Vận dụng

Quan hệ đường vuông góc và đường xiên;

Quan hệ đường kính và dây cung;

Bất đẳng thức tam giác (quy tắc ba điểm);

Bất đẳng thức đại số.

Ą Ví dụ 8. Cho điểm A và đường tròn (O; R) cố định (OA > R). Tìm điểm M thuộc (O) sao
cho:

a) AM lớn nhất.

b) AM nhỏ nhất.

ɓ Lời giải.
Kẻ AO cắt (O) tại B, C (với AB < AC) ⇒ B, C cố định.

M

A BOC

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ba điểm A, O, M có:
AM ≤ OA + OM (dấu = xảy ra ⇔ O nằm giữa A và M )

⇔ AM ≤ OA + OC( vì OM = OC = R)
⇔ AM ≤ AC
⇒ max AM = AC khi M trùng C.

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ba điểm A, O, M có:
AM ≥ AO − OM (dấu = xảy ra ⇔ O nằm giữa A và M )

⇔ AM ≥ AO − OB( vì OM = OB = R)
⇔ AM ≤ AB
⇒ min AM = AB khi M trùng B.

Chú ý: Nếu đặt d = OA ta có d − R ≤ AM ≤ d + R. Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

199/207

200 Kết nối tri thức với cuộc sống

6. ÔN TẬP CHƯƠNG II

Ą Ví√dụ 9. Cho ABC nội tiếp (O; R). Gọi S là diện tích của ABC. Chứng minh rằng

S≤3 3R2
.
4

ɓ Lời giải.

Vẽ AH ⊥ BC tại H, OK ⊥ BC tại K. R A
Đặt H

√
OK = x ⇒ BK = R2 − x2

√
⇒ BC = 2BK = 2 R2 − x2.

Ta có AH ≥ AK (quan hệ đường vuông góc và đường xiên) B O C
AK ≥ AO + OK (quy tắc ba điểm) x
⇒ AH ≥ AO + OK = R + x. K

Dấu = xảy ra ⇔ A, O, K thẳng hàng (O nằm giữa A và K).

Do đó

SABC = 1 AH · BC ≥ 1 (R + x) · √ − x2 = (R + x) · √ − x2.
2 2 2 R2 R2

Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số
√

S = (R + x) · R2 − x2.

Ta có

»
S = (R + x)2(R − x)(R + x)

»
= (R + x)3(R − x)

= √1 3 »
(R + x)(R + x)(R + x)(3R − 3x)

≤ √1 ï (R + x) + (R + x) + (R + x) + (R + x) + (3R − 3x) ò2
3√ 4

≤ √1 · 9R2 = 3 3R2 .
34 4

Dấu = xảy ra

⇔ R + x = 3R − 3x

⇔ x = R.
2

ABC ≤ 3 √ 3R2 .
4
Suy ra S

Dấu = xảy ra ⇔  R ⇔ ABC đều.
x = 2

O nằm giữa A và K

Chú ý: Với a, b, c, d không âm, ta có:

a) a + b ≥ √ (dấu = xảy ra ⇔ a = b);
ab
2

b) a+b + c+d ≥ √ (dấu = xảy ra ⇔ a = b = c = d).
abcd
4

200/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

201 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 4. ĐƯỜNG TRÒN

Dạng 4. Tập hợp điểm - Điểm nằm trên một đường cố định
Vận dụng

Định nghĩa đường tròn, các cách xác định đường tròn;
Đường thẳng song song cách đều, . . . .

Ą Ví dụ 10. Cho đường tròn (O) và dây BC cố định (BC không đi qua O). Lấy điểm A thuộc
(O) sao cho A và O thuộc cùng một phía so với BC. Lấy M là trung điểm của AB, vẽ M H vuông
góc với AC tại H. Chứng minh rằng H nằm trên một đường tròn cố định khi A di động trên (O).

ɓ Lời giải.

Kẻ đường kính CD của (O) ⇒ D cố định. A
Lấy N là trung điểm của BD⇒ N cố định. D
Vì M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BD nên M N là
đường trung bình của BAD⇒ N M ∥ DA. NM H
Mà DA ⊥ AC (vì CD là đường kính) nên N M ⊥ AC. O
Từ đó suy ra ba điểm N , M , H thẳng hàng (vì M H ⊥ AC).
Gọi I là trung điểm của N C. Vì N , C cố định nên I cố định và IN = I
1 N C = R (không đổi). BC
2

Xét NHC vuông tại H và trung tuyến HI ứng với cạnh huyền NC nên IH = 1 N C = R (không
2
đổi) ⇒ H ∈ (I; R) cố định (với R = 1 N C).
2

Vậy khi A di động trên (O) thì H chạy trên một đường tròn cố định.

Ą Ví dụ 11. Cho A, B nằm ngoài đường tròn (O; R) cố định (đường thẳng AB không có điểm
chung với (O)). Lấy M bất kì trên (O), gọi G là trọng tâm M AB. Chứng minh G chạy trên một
đường tròn cố định khi M di động trên (O).

ɓ Lời giải.

Lấy I là trung điểm AB ⇒ I cố định. M
Qua G kẻ GO song song với OM (O thuộc IO). R
Ta có GO ∥ M O nên
G
IO = OG = IG . O O
IO OM IM B
I
Vì G là trọng tâm ABM nên IG = 1 nên OG = 1 = IO
IM 3 OM 3 IO
⇒ O G = 1OM = 1R
33
IO = 1IO ⇒ O cố định (vì I, O cố định).
3

A

Suy ra G thuộc Å 1 ã
O; R.
3

Vậy khi M di động trên (O; R) thì G chạy trên một đường tròn cố định.

201/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

202 Kết nối tri thức với cuộc sống

6. ÔN TẬP CHƯƠNG II

Chú ý: Ta có thể thay yêu cầu bài toán bằng câu hỏi: Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn GA lớn
nhất ( hoặc nhỏ nhất).

Ą Ví dụ 12. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định thuộc (O). Vẽ tiếp tuyến d tại A của (O).
Lấy M bất kì thuộc d, gọi N là trung điểm của đoạn OM . Chứng minh rằng khi M di động trên
d thì N chạy trên một đường cố định.

ɓ Lời giải.

Vì d là tiếp tuyến của (O) tại A nên OA ⊥ d tại A. N O
Gọi I là trung điểm của đoạn OA. I
Trường hợp 1: M trùng A.
Vì M trùng A nên N trùng I. A
Trường hợp 2: M khác A.
Xét tam giác vuông OM A có trung tuyến AN ứng với cạnh
huyền OM nên

AN = 1OM = ON = OA d
2
M

⇒ Å 1 M ã
NA = NO = O
2

⇒ N thuộc đường trung trực của đoạn OA (cố định vì O, A cố định).

Vậy khi M di động trên d thì N chạy trên một đường thẳng cố định.

C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Ą Bài 1. Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ một cát tuyến cắt đường
tròn (O) và (O ) lần lượt tại C và D sao cho AC = AD. Gọi M là trung điểm của OO . Chứng
minh đường tròn (M ; M A) tiếp xúc với CD.

ɓ Lời giải.

Kẻ OH ⊥ AC tại H, O K ⊥ AD tại K. C H AK D
⇒ HA = HC = 1 CA; OM O
B
2
KA = KD = 1 AD.

2
Mà AC = AD (giả thiết) nên AH = AK

⇒ M A là đường trung bình của hình thang OHKO

⇒ MA ⊥ DK ⇒ MA ⊥ CD

⇒ CD tiếp xúc với (M ; M A).

Ą Bài 2. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến M A, M B với đường tròn (A,
B là các tiếp điểm). Vẽ AH ⊥ M B, BK ⊥ M A (H ∈ M B, K ∈ M A). Gọi C là giao điểm của
AH và BK. Chứng minh:

a) Tứ giác AOBC là hình thoi;

b) Ba điểm M , O, C thẳng hàng.

ɓ Lời giải.

202/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

203 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 4. ĐƯỜNG TRÒN A
K
a) Ta có M A là tiếp tuyến của (O)
⇒ OA ⊥ M A tại A OC M
⇒ OA ∥ BC (vì cùng vuông góc với AM ).
Tương tự ta có OB ∥ CA H
⇒ OACB là hình bình hành. B
Mà OA = OB = R nên OACB là hình thoi.

b) Vì OACB là hình thoi nên OC ⊥ AB.
Vì M A, M B là tiếp tuyến của (O) nên OM ⊥
AB
⇒ O, C, M thẳng hàng.

Ą Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O ) tiếp xúc ngoài tại A. Qua A vẽ một đường thẳng cắt
các đường tròn (O) và (O ) lần lượt tại B và C. Từ B vẽ tiếp tuyến Bx với (O) và từ C vẽ tiếp
tuyến Cy với (O ). Chứng minh Bx ∥ Cy.

ɓ Lời giải.

Ta có A1 = A2 (đối đỉnh) Cy

⇒ B1 = C2 OR R
⇒ OB ∥ O C.
Vì Bx ⊥ OB; Cy ⊥ O C nên Bx ∥ Cy.

AO

x
B

Ą Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O ) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC với
B ∈ (O) và C ∈ (O ). Tiếp tuyến chung tại A cắt BC tại M .

a) Chứng minh ABC vuông.
b) Chứng minh OM O vuông.

ɓ Lời giải.

a) Ta có M A = M B; M A = M C B 3M
⇒ ABC vuông tại A. O
1 4 C
b) Ta có: 2

M”1 = M”2; M”3 = M”4. AO
Mà M”1 + M”2 + M”3 + M”4 = 180◦
nên O÷M O = M”2 + M”3 = 90◦ Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
⇒ M OO vuông tại M.

203/207

204 Kết nối tri thức với cuộc sống

6. ÔN TẬP CHƯƠNG II

Ą Bài 5. M
Trong hình vẽ, tam giác M N P có M P = 5, N P = 4, M N = 3. H
Đường tròn (I) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất đi qua N và tiếp
xúc với M P . Gọi H và K lần lượt là giao điểm của (I) với M N và
N P (khác N ). Tính độ dài đoạn HK.

r
I

N P
K

ɓ Lời giải.

Vì (I) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất đi qua N và tiếp M
H
xúc với M P tại G nên GN là đường kính của (I). 3

⇒ N HGK là hình chữ nhật N G
r
⇒ HK = N G. 5
I
Vì
1 11 K
4
N G2 = M N 2 + N P 2

(do MNP vuông tại N; NG ⊥ MP) nên HK = 12 P
.
5

Ą Bài 6. Cho đường tròn bán kính r nộri tiếp một tam giác vuông cân và cho đường tròn bán kính
R ngoại tiếp tam giác ấy. Khi đó tỉ số R bằng bao nhiêu?

ɓ Lời giải.

Kí hiệu các điểm như trên hình. Ta có A
E
R = OA = AI + IO
√ Ä√ r
= 2r + r = r 2 + ä
1 I

⇒ r = r = √1 = √ B C
R Ä√ ä 2+1 2 − 1. RO
r 2+1

Ą Bài 7. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường thẳng AO, BO, CO lần lượt
3R
cắt BC, CA, AB tại A , B , C . Chứng minh OA + OB + OC ≥ 2 .

ɓ Lời giải.

204/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

205 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 4. ĐƯỜNG TRÒN

Vẽ AH ⊥ BC tại H, OK ⊥ BC tại K. A

⇒ OK ∥ AH ⇒ OA = OK .
AA AH
C

Mặt khác B
O
OA = SBOC . (1)
AA SABC KA
B C
Đặt SBOC = x, SCOA = y, SAOB = z (x, y, z > 0 H
⇒ SABC = x + y + z.

Từ (1) ⇒ OA = (x +y x z) − x hay OA = x y
AA − OA + R x+
x
⇒ OA = R · y + z .

Chứng minh tương tự ta có OB = R · x y z ; OC = R · y z x
+ +

⇒ OA + OB + OC = Å x z + x y + x z ã ≥ 3 R.
Ry + +z + y 2

Dấu = xảy ra khi x = y = z ⇔ ABC đều.
Chú ý: Ta đã sử dụng bất đẳng thức đại số “rất quen thuộc” là

a + b + c ≥ 3 với mọi a, b, c > 0.
b+c a+c a+b 2

Ą Bài 8. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp
điểm); D là một điểm tùy ý trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến tại D của đường tròn cắt đường trung
trực của đoạn thẳng AD ở E. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi H là giao điểm
của OA và BC. Chứng minh

a) ODH OAD
b) Ba điểm M , E, N thẳng hàng.

ɓ Lời giải.

B

MD

AO
H

N

E
C

a) Ta có OH · OA = OB2 = R2 = OD2

205/207 ⇒ OD OA
OH = OD

⇒ OHD ODA (c.g.c).

Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

206 Kết nối tri thức với cuộc sống

6. ÔN TẬP CHƯƠNG II

b) Từ OHD ODA

⇒ O’DH = O’AD
⇒ E là tâm đường tròn ngoại tiếp ADH
⇒ EA = EH
⇒ E thuộc đường trung trực của AH.

Mà M , N thuộc đường trung trực của AH nên ba điểm M , E, N thẳng hàng.

Ą Bài 9. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), ta kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn
(O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kì trên đường thẳng đi qua các trung điểm
của AB, AC. Kẻ tiếp tuyến M K với (O). Chứng minh M K = M A.

ɓ Lời giải.

Gọi I là giao điểm của OA với BC. B
Gọi E, F tương ứng là trung điểm của AB, AC.
Gọi H là giao điểm của OA và EF . E
Ta có M K2 = M O2 − OK2 = OH2 + M H2 − OK2. K
Ta có
O H A
AM 2 = AH2 + M H2 I M
⇒ M K2 − AM 2 = OH2 − AH2 − OK2
F

= (OH − AH)(OH + AH) − OC2 ( vì OC = OK = R) C

= (OI + IH − AH) · OA − OC2

= OI · OA − OC2 ( vì IH = AH).
Mặt khác, trong tam giác vuông OAC có OC2 = OI · OA nên ta có M K2 − AM 2 = 0 ⇒ M K = M A.

Ą Bài 10. Cho hai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2) tiếp xúc ngoài tại A. BC là tiếp tuyến chung
ngoài của hai đường tròn (B thuộc (O1), C thuộc (O2)). Tính độ dài các cạnh của ABC.

ɓ Lời giải.

I C
B
R2
K H
R2 − R1
O1 A
O2

Giả sử R2 > R1. Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
Đặt O1O2 = d = R1 + R2.

206/207

207 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 4. ĐƯỜNG TRÒN

Ta có:

»
BC = O1H = O1O22 − O2H2

»
= d2 − (R2 − R1)2

»
= (R1 + R2)2 − (R2 − R1)2

= 2 R1R2.

Vẽ tiếp tuyến chung của (O1), (O2) tại A cắt BC tại I

⇒ O1I ⊥ AB tại K 1√
1
⇒ KA = KB = 2 AB và IB = IC = 2 BC = R1R2.

Áp dụng hệ thức

1 11
h2 = b2 + c2

vào O1BI có:

1 = 1 + 1 = 1 + 1 = R1 + R2
BK2 O1B2 BI2 R12 R1R2 R12R2

  R12R2  
R1 + R2
⇒ BK = = R1 R2
R1 + R2

  R2
+
⇒ AB = 2BK = 2R2 R1 R2 .

Dễ thấy ABC vuông tại A nên

AC 2 = BC2 − AB2 = 4R1R2 − 4R12R2 = 4R1R22
R1 + R2 R1 + R2

  R1
+
⇒ AC = 2R2 R1 R2 .

Vậy BC = √ AB = … R1 R2 R2 ; AC = … R1 R1 R2 .
2R2 R1R2; 2R1 + 2R2 +

207/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359