Toán 9 - Tập 1

94 Kết nối tri thức với cuộc sống

4. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a = 0)

Vẽ đường thẳng y = −2x + 3. Khi đó B‘Ax là góc tạo bởi đường thẳng y
3B
y = −2x + 3 với trục Ox (hình bên).
O 1,5 A x
Xét tam giác vuông ABO, ta có
OB
tan O’AB = OA = 3 = 2 ⇔ O’AB ≈ 63◦26
1,5

⇒ B‘Ax = 180◦ − O’AB ≈ 116◦34 .

Trong đó 2 chính là giá trị tuyệt đối của hệ số góc của đường thẳng
y = −2x + 3.

√
Ą Ví dụ 6. Cho đường thẳng (d) : y = mx + 3. Tính góc tạo bởi (d) với trục Ox, biết (d) đi
qua điểm A(−3; 0).

ɓ Lời giải.

√ √1 .
Vì A(−3; 0) ∈ (d) : y = mx + 3 ⇒ m =
√3 √3
Khi đó (d) có phương trình y = √1 x + 3.
y 1 x +
√ √ 3
3 =

Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox. Khi (d) : y

đó ta có tan α = √1 ⇒ α = 30◦. 3
3

Vậy góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox là 30◦.

Aα O x
−3

Ą Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng (d1) : y = −2x và (d2) : y = 1 x. Gọi (d3) là đường thẳng song
2

song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 3; (d3) cắt (d1) và (d2) lần lượt tại A và

B. Chứng minh rằng A’OB = 90◦.

ɓ Lời giải.

Vẽ ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) như hình bên. y
(d1)
Xét hai tam giác AHO và OHB, ta có A3
HA HO
A’HO = O’HB = 90◦; HO = HB = 1 H (d) B(d2)
. 6x
−3 O
2 2

Do đó AHO OHB ⇒ A’OH = O’BH.

Mà O’BH + H’OB = 90◦ nên A’OH + H’OB = 90◦ ⇒ A’OB =

90◦.

(d1) : y = −2x có hệ số góc a1 = −2; (d2) : y = 1x có
2
11
hệ số góc a2 = . Ta thấy a1 · a2 = −2 · = −1, do đó
2 2
(d1) ⊥ (d2).

94/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

95 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Dạng 3. Xác định đường thẳng
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax + b. Ta cần xác định a và b.
Chú ý rằng: Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a = 0) với trục Ox, ta có:

— Khi góc α nhọn thì a = tan α;
— Khi góc α tù thì a = − tan(180◦ − α).

Ą Ví dụ 8. Xác định đường thẳng (d) đi qua điểm A(−2; 3) và có hệ số góc bằng −2.

ɓ Lời giải.
Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b.
Vì (d) có hệ số góc là −2 nên a = −2 ⇒ (d) : y = −2x + b.
Vì A(−2; 3) ∈ (d) nên 3 = −2 · (−2) + b ⇔ b = −1.
Do đó phương trình đường thẳng (d) là y = −2x − 1.

Ą Ví dụ 9. Xác định đường thẳng (d) đi qua điểm A(−1; 1) và tạo với trục Ox một góc bằng
45◦.

ɓ Lời giải.
Đường thẳng (d) có dạng y = ax + b. Vì A(−1; 1) ∈ (d) nên 1 = a · (−1) + b hay b = a + 1.
Vì (d) tạo với Ox một góc bằng 45◦ nên a = tan α = tan 45◦ = 1 ⇒ b = 2, do đó (d) : y = x + 2.

Ą Ví dụ 10. Xác định đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 1) và tạo với đường thẳng y = 2 một
góc bằng 60◦.

ɓ Lời giải.
Đường thẳng (d) có dạng y = ax + b.
Vì A(0; 1) ∈ (d) nên 1 = a · 0 + b ⇒ b = 1.
Vì đường thẳng y = 2 song song với trục hoành nên từ đề bài ta có (d) tạo với trục Ox một góc bằng
60◦. √ √
Ta có a = tan α = tan 60◦ = 3. Vậy (d) : y = 3x + 1.

C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Ą Bài 1. Đường thẳn√g (d) đi qu√a giao điểm của hai đường thẳng y = x + 1, y = 2x và song song
với đường √thẳng y = √2x + 2 + 2 là
√
A. y = √4x + 2 − √2. B. y = (2 +√ 2)x + 1.
C. y = 2x + 2 − 2. D. y = x + 2.

ɓ Lời giải. √ √ √
Đường thẳng (d) : y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x + 2 + 2 nên có dạng y = 2x + b.

Giao điểm của hai √đường thẳng y = x √+ 1, y = 2x là điể√m A(1; 2). √
A(1; 2) ∈ (d) : y = 2x + b ⇒ b = 2 − 2. Vậy (d) : y = 2x + 2 − 2.

Chọn đáp án C

Ą Bài 2. Đường thẳng y = 1x + 3 vuông góc với đường thẳng nào dưới đây?
2 2

95/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

96 Kết nối tri thức với cuộc sống

4. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a = 0)

A. y = − 1 x − 3 B. y = 2x − 3 . C. y = −2x + 3 . D. y = 1 x − 3
2 . 2 2 2 .

2 2

ɓ Lời giải.

Ta có 1 · (−2) = −1 nên đường thẳng y = 1 x + 3 vuông góc với đường thẳng y = −2x + 3
2 2 2 .

2

Chọn đáp án C

Ą Bài 3. Đường thẳng y = (m+1)x−2 vuông góc với đường thẳng y = 1 x+2011 thì m bằng
2
A. −2. B. −3. C. −1. D. 1.

ɓ Lời giải.

(m + 1) · 1 = −1 ⇒ m = −3.
2

Chọn đáp án B

Ą Bài 4. Xác định đường thẳng (d) biết nó có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A(−3; 2).

ɓ Lời giải.

y = 2x + 8

Ą Bài 5. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4).

ɓ Lời giải.
AB : y = x + 1 ⇒ đường thẳng AB có hệ số góc a = 1.

Ą Bài 6. Cho đường thẳng (d) : y = mx + 3. Tính góc α tạo bởi (d) với trục Ox, biết:

√ b) (d) đi qua điểm B(6; −3).
a) (d) đi qua điểm A(− 3; 0);

ɓ Lời giải.

a) α = 60◦.
b) m = −1 < 0 nên − tan(180◦ − α) = −1 ⇔ 180◦ − α = 45◦ ⇔ α = 135◦.

Ą Bài 7. Xác định đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 3) và tạo với đường thẳng y = 2 một góc
bằng 60◦.

√ ɓ Lời giải.
y = 3x + 3.

96/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

97 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

BÀI 5. ÔN TẬP CHƯƠNG II

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1. Hàm số
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x theo quy tắc f sao cho với mỗi giá trị của
x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y mà y = f (x) thì y được gọi là hàm số
của x và x được gọi là biến số.

Cách cho hàm số: Hàm số thường được cho bằng công thức.
Có một số cách khác cho hàm số như: bẳng, sơ đồ Ven, đồ thị.

Đồ thị của hàm số: Tập hợp D các điểm biểu diễn các tập giá trị tương ứng (x; f (x)) trên mặt
phẳng tọa độ gọi là đồ thị của hàm số y = f (x).

Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D là một
khoảng, nửa khoảng hay đoạn, với mọi x1, x2 ∈ D:

— Nếu x1 < x2 mà f (x1) < f (x2) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên D.
— Nếu x1 < x2 mà f (x1) > f (x2) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên D.

2. Hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trước
và a = 0.

Tập xác định: R.

Khi a > 0 thì hàm số đồng biến trên R; khi a < 0 thì hàm số nghịch biến trên R.

Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng.

Hệ số a (a = 0) được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

Cho hai đường thẳng (d) : y = ax + b (a = 0) và (d ) : y = a x + b (a = 0). Ta có

— (d) ∥ (d ) ⇔ a = a và b = b .
— (d) ≡ (d ) ⇔ a = a và b = b .
— (d) cắt (d ) ⇔ a = a .
— (d) ⊥ (d ) ⇔ a · a = −1.

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất

Bước 1: Tìm TXĐ (TXĐ của hàm số bậc nhất là R).
Bước 2: Vẽ đồ thị y = ax + b (a = 0).

Cách 1. Xác định hai điểm phân biệt bất kì của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua hai
điểm đó.

97/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

98 Kết nối tri thức với cuộc sống

5. ÔN TẬP CHƯƠNG II

Cách 2. Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ:

— Cho x = 0 ⇒ y = a · 0 + b = b ⇒ M (0; b) thuộc trục tung.

— Cho y = 0 ⇒ 0 = a · x + b ⇒ x = −b ⇒ N Å b ; ã thuộc trục hoành
a − a 0

Vẽ đường thẳng M N ta được đồ thị của hàm số.

Ą Ví dụ 1. Cho các hàm số (d) : y = x − 1 và (d ) : y = −x + 3. Vẽ đồ thị (d) và (d ) trên cùng
một hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (d ).

ɓ Lời giải.

y

TXĐ: R. d

Vẽ (d): 3C d
Cho x = 0 ⇒ y = 0 − 1 = −1 ⇒ A(0; −1) thuộc trục tung.
Cho y = 0 ⇒ 0 = x − 1 ⇒ x = 1 ⇒ B(1; 0) thuộc trục 2 I D x
hoành. 2 3
Vẽ đường thẳng AB ta được đồ thị (d) (hình bên). 1
B
Vẽ (d ):
Cho x = 0 ⇒ y = 0 + 3 = 3 ⇒ C(0; 3) thuộc trục tung. O1
Cho y = 0 ⇒ 0 = −x + 3 ⇒ x = 3 ⇒ D(3; 0) thuộc trục −1 A
hoành.
Vẽ đường thẳng CD ta được đồ thị (d ) (hình bên).

Xác định tọa độ giao điểm I của (d) và (d ):

Cách 1. Từ giao điểm I vẽ các đường thẳng vuông góc với hai trục tọa độ ta xác định được I(2; 1).

Cách 2. Gọi tọa độ giao điểm I là (x1; y1).
Vì I(x1; y1) ∈ (d) : y = x − 1 nên y1 = x1 − 1.
Vì I(x1; y1) ∈ (d ) : y = −x + 3 nên y1 = −x1 + 3.
Suy ra x1 − 1 = −x1 + 3 ⇔ 2x1 = 4 ⇔ x1 = 2 ⇒ y1 = −x1 + 3 = −2 + 3 = 1.
Vậy tọa độ giao điểm I là (2; 1).

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình x − 1 = −x + 3.
Số giao điểm của (d) : y = f (x) và (d ) : y = g(x) là số nghiệm của phương trình f (x) = g(x)
và ngược lại.

Ą Ví dụ 2. Vẽ đồ thị (G) của hàm số y = |x − 2|.

ɓ Lời giải.

98/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

99 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

®x − 2 (x ≥ 2) (1) (2) y (1)
Vẽ (G) : y = |x − 2| = − x + 2 (x < 2). (2)
2 B
Đồ thị (G) gồm hai nhánh (1) và (2). 1
Nhánh (1) của (G), điều kiện là x ≥ 2. O A3 x
Cho x = 2 ⇒ y = 2 − 2 = 0 ⇒ A(2; 0) thuộc trục hoành. x=2
Cho x = 3 ⇒ y = 3 − 2 = 1 ⇒ B(3; 1).
Vẽ tia AB ta được nhánh (1) của đồ thị (G).
Tương tự, vẽ nhánh (2) ta thu được đồ thị (G) có hình chữ V như
hình bên.

Hai nhánh của (G) đối xứng với nhau qua đường thẳng x = 2.

Ą Ví dụ 3. Cho hàm số y = x + |2x − 2|.
a) Vẽ đồ thị (G) của hàm số trên.
b) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x + |2x − 2| = m.

ɓ Lời giải.

®3x − 2 (x ≥ 1) (1) y
a) Vẽ (G) : y = x + |2x − 2| = − x + 2 (x < 1). (2) (1)

Đồ thị (G) gồm hai nhánh (1) và (2). (2)
Nhánh (1) của (G), điều kiện là x ≥ 1.
Cho x = 1 ⇒ y = 3 · 1 − 2 = 1 ⇒ A(1; 1). 4B y=m
Cho x = 2 ⇒ y = 3 · 2 − 2 = 4 ⇒ B(2; 4).
Vẽ tia AB ta được nhánh (1) của đồ thị (G). m
Tương tự, vẽ nhánh (2) ta thu được đồ thị (G) như hình 2
bên. 1A

b) Số nghiệm của phương trình x + |2x − 2| = m (3) O 12 x
là số giao điểm của đường thẳng (d) : y = m và đồ thị
(G) : y = x + |2x − 2|.
Từ đồ thị ta thấy:

Nếu m < 1 thì phương trình (3) vô nghiệm.

Nếu m = 1 thì phương trình (3) có 1 nghiệm.

Nếu m > 1 thì phương trình (3) có 2 nghiệm phân
biệt.

Ą Ví dụ 4 (Thi vào Khối PT Chuyên Toán - Tin ĐHSPHN năm học 1997-1998). Với giá trị
nào của tham số a thì phương trình |2x − a| + 1 = |x + 3| (∗) có nghiệm duy nhất?

ɓ Lời giải.

99/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

100 Kết nối tri thức với cuộc sống

5. ÔN TẬP CHƯƠNG II

Ta có (∗) ⇔ |2x − a| = |x + 3| − 1. (1) y
(G)
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị

(G) : y = |2x − a| và đồ thị (G ) : y = |x + 3| − 1.

Vẽ hai đồ thị (G) và (G ) như hình bên.

Phương trình (∗) có nghiệm duy nhất y = |2x − a| (G )
3| − 1 | − a|
⇔ (1) có nghiệm duy nhất
|x + 2
⇔ (G) và (G ) có duy nhất một điểm chung y=
⇔ a = −4 hoặc a = −2 −3 −2
−4 a
22
⇔ a = −8 hoặc a = −4. 2

O x
−1

Dạng 2. Xác định đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.
Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước.
Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho
trước.
Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho
trước.

Ą Ví dụ 5. Tìm m và n để đường thẳng (d) : y = (m − 1)x + 2 − n đi qua hai điểm A(2; −1) và
B(−3; −6).

ɓ Lời giải.

A ∈ (d) nên − 1 = (m − 1) · 2 + 2 − n ⇔ 2m − n = −1 ⇔ n = 2m + 1 (1)
B ∈ (d) nên − 6 = (m − 1) · (−3) + 2 − n ⇔ −3m − n = −11 (2)

Thay (1) vào (2) ta được −3m−(2m+1) = −11 ⇔ −5m = −10 ⇔ m = 2 ⇒ n = 2m+1 = 2·2+1 = 5.
Vậy m = 2 và n = 5 thì (d) : y = x − 3 đi qua A(2; −1) và B(−3; −6).

Ą Ví dụ 6. Viết phương trình đường thẳng (d) cắt (d ) : y = x − 3 tại điểm có tung độ bằng −1
và biết (d) có hệ số góc bằng 2.

ɓ Lời giải.
Gọi A là giao điểm của (d) và (d ). Vì A có tung độ bằng −1 nên hoành độ của A là −1 = x − 3 hay
x = 2. Do đó A(2; −1).
Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b.
Ta có (d) có hệ số góc là 2 nên a = 2 ⇒ (d) : y = 2x + b.
Vì A(2; −1) ∈ (d) nên −1 = 2 · 2 + b ⇔ b = −5.
Do đó phương trình đường thẳng (d) là y = 2x − 5.

Ą Ví dụ 7. Cho đường thẳng (d) : y = 3x − 2 và điểm M (−1; 1). Viết phương trình đường thẳng
(d ) đi qua điểm M và song song với (d).

100/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

101 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

ɓ Lời giải.
Gọi phương trình đường thẳng (d ) là y = ax + b.
Vì (d ) ∥ (d) : y = 3x − 2 nên a = 3; b = −2.
Mặt khác (d ) đi qua M (−1; 1) nên
1 = a · (−1) + b ⇔ −a + b = 1 ⇔ −3 + b = 1 ⇔ b = 4 (thỏa mãn).
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 3x + 4.

Ą Ví dụ 8. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho M (2; 4), N (0; 2). Tìm các điểm A trên mặt phẳng
tọa độ Oxy sao cho AM = AN .

ɓ Lời giải.

Cách 1. Tọa độ trung điểm I của đoạn MN là x1 = xM + xN = 1; y1 = yM + yN =3 hay I(1; 3).
2 2

Gọi phương trình đường trung trực của đoạn M N là (d) : y = mx + n.

Gọi phương trình đường thẳng M N là y = ax + b. Ta có

M (2; 4) ∈ M N ⇒ 4 = a · 2 + b hay b = −2a + 4;
N (0; 2) ∈ M N ⇒ 2 = a · 0 + b hay b = 2 ⇒ a = 1.

Do đó phương trình đường thẳng M N là y = x + 2.
Vì AM = AN ⇒ A thuộc đường trung trực của đoạn M N hay A ∈ (d).
Vì (d) là trung trực của M N nên (d) ⊥ M N ⇒ m · 1 = −1 ⇒ m = −1 ⇒ (d) : y = −x + n.
Vì I(1; 3) là trung điểm của đoạn M N nên đường thẳng (d) đi qua I(1; 3)
⇒ 3 = (−1) · 1 + n ⇒ n = 4.
Vậy tập hợp các điểm A là đường thẳng (d) : y = −x + 4.

Cách 2. Gọi tọa độ của A là (x; y).
»»

Ta có AM = AN ⇔ (2 − x)2 + (4 − y)2 = (0 − x)2 + (2 − y)2

⇔ (2 − x)2 + (4 − y)2 = (0 − x)2 + (2 − y)2
⇔ 4 − 4x + x2 + 16 − 8y + y2 = x2 + 4 − 4y + y2

⇔ 16 − 4x = 4y

⇔ y = −x + 4.
Vậy tập hợp các điểm A trên mặt phẳng tọa độ Oxy thỏa mãn bài toán đường thẳng có
phương trình y = −x + 4.

Dạng 3. Cực trị
Vận dụng bất đẳng thức đại số.
Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc.
Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Vận dụng đồ thị.

Ą Ví dụ 9. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O(0; 0) đến đường thẳng (d) có phương trình
2m − 2 2
y = m−2 x + m−2 đạt giá trị lớn nhất (với m = 2).

ɓ Lời giải.

101/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

102 Kết nối tri thức với cuộc sống

5. ÔN TẬP CHƯƠNG II

Vì tung độ gốc b = m 2 2 = 0 nên (d) không đi qua gốc tọa độ.
−

TH1. Xét m = 1. Khi đó (d) : y = −2. Do đó khoảng cách từ O(0; 0) đến (d) là 2.

TH2. Xét m = 1. −1
m−
Å ã Å 2ã
0 B 0; m−2
Khi đó (d) cắt trục hoành tại điểm A 1 ; và cắt trục tung tại điểm ⇒

OA = 1 và OB = 2 2| .
|m − 1| |m −

Kẻ OH vuông góc với (d) tại H thì độ dài OH là khoảng cách từ O đến (d).

Áp dụng hệ thức 1 = 1 + 1 vào tam giác vuông ABO ta có
h2 a2 b2

1 11 ⇒ OH2 = OA2OB2 = (m − 2)2 4
OH2 = OA2 + OB2 OA2 + OB2 + 4(m − 1)2

⇒ OH = √2 = 2 ≤ 2 √
5m2 − 12m + 8 …4 =5
  6 ã2
5 Å − + 4 5
m 5 5

Å “ =” xảy ra khi m = 6ã
Dấu .
5

Kết hợp hai trường hợp ta có khi m = 6 thì OHmax = √
5 5.

Ą Ví dụ 10. Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A, B đều có hoành độ và tung độ thỏa mãn
đẳng thức |x − 1| + |y − 2| = 3 (∗). Chứng minh rằng khoảng cách AB ≤ 6.

ɓ Lời giải.

x + y = 6 (x ≥ 1; y ≥ 2)




Điều kiện (∗) ⇔ x − y = 2 (x ≥ 1; y ≤ 2) y
 − x + y = 4 (x ≤ 1; y ≥ 2) 5

A
 − x − y = 0 (x ≤ 1; y ≤ 2) M2 N


Suy ra tập hợp các điểm A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán là hình

vuông M N P Q như hình bên. Do đó AB ≤ M P = 6.

Dấu “=” xảy ra khi A, B là hai đỉnh đối nhau của hình vuông

M N P Q. P
B
−2 O 1 4x
−1 Q

C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Ą Bài 1. Hàm số y = √ 1 +√ 1 không xác định với
x−2 2−x

A. x = 2. B. x > 2. C. x < 2. D. mọi x ∈ R.

102/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

103 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

ɓ Lời giải.
Hàm số y = √ 1 + √ 1 xác định với x > 2, x < 2 (không có giá trị x nào thỏa mãn) nên

x−2 2−x
không xác định với mọi x ∈ R.

Chọn đáp án D

Ą Bài 2√. Với giá tr√ị nào của m thì hàm số y = (m2 − 2)x +√1 là hàm số bậc √nhất đồng biến?
A. − 2 < m < 2. B. m > 2 hoặc m < − 2.
C. m = ±2. D. Với mọi giá trị của m thuộc R.

ɓ Lời giải. √
ñm > 2
Hàm số y = (m2 − 2)x + 1 là hàm số bậc nhất đồng biến khi m2 − 2 > 0 ⇔ √.
m<− 2

Chọn đáp án B

√
Ą B√ài 3. Cho hàm số y = f (x) = ax5 + bx3 + 2007x + 1 với a, b ∈ R, biết f ( 2) = 2. Tính
f (− 2).

√ ɓ Lời giải.
f (− 2) = 0.

Ą Bài 4. Cho hàm số y = (m − 3)x2 + m(x − 1) + 2.
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất?
b) Với giá trị vừa tìm được của m ở câu a, thì hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến?

ɓ Lời giải.

a) m = 3.
b) Khi m = 3 ta được hàm số y = 3x − 1 là hàm số đồng biến.

Ą Bài 5. Cho đường thẳng (d) : y= 3x + 3.
4

a) Vẽ đường thẳng (d).

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox.

c) Tính diện tích tam giác do đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ.

ɓ Lời giải.

a) Đường thẳng (d) đi qua các điểm có tọa độ (0; 3); (−4; 0).
y y = 3x + 3
34

103/207 −4 O x

Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

104 Kết nối tri thức với cuộc sống

5. ÔN TẬP CHƯƠNG II

b) 36◦52 .
c) 6 (đvdt).

Ą Bài 6. Xác định hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị của nó song song với đồ thị của hàm số
y = −2x và đi qua điểm A(1; −3).

ɓ Lời giải.

y = −2x − 1.

Ą Bài 7. Cho các đường thẳng (d1) : y = −2x + 3; (d2) : y= 1x + 1; (d3) : y = −2x − 1.
2

Không vẽ đồ thị của các hàm số đó, hãy cho biết vị trí tương đối giữa các đường thẳng đó đối với

nhau như thế nào?

ɓ Lời giải.

(d1) ∥ (d3); (d1) ⊥ (d2); (d2) ⊥ (d3).

Ą Bài 8. Cho các đường thẳng (d1) : y = (2m − 1)x + m2 − 1; (d2) : y = (m + 3)x − 3.
a) Tìm các giá trị của m để (d1) ∥ (d2).
b) Tìm các giá trị của m để (d1) đi qua gốc tọa độ.

a) m = 4. ɓ Lời giải.
b) m = ±1.

Ą Bài 9. Tìm điểm M trên đường thẳng (d) : y = −2x + 25 sao cho khoảng cách OM nhỏ nhất,
với O là gốc tọa độ.

ɓ Lời giả√i.
Gọi tọa độ của điểm M là (a; b). Khoảng cách OM = a2 + b2.
Ta có M (a; b) ∈ (d) : y = −2x + 25 nên b = −2a + 25 hay 2a + b = 25.

Áp dụng bất đẳng thức (ax + by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2) (với (x; y) = (2; 1)), ta có
√

252 = (2a + b)2 ≤ 22 + 12 a2 + b2 ⇔ 5 ≤ a2 + b2 ⇒ OM ≥ 5.


√ 2a + b = 25 ®a = 10
Do đó OMmin = 5 ⇔ a ⇔ b = 5 ⇒ M (10; 5).
2 = b

Ta có thể giải bài toán như sau OMmin ⇔ OM ⊥ (d) tại M . Ta xác định tọa độ điểm M bằng
cách:

Lập đường thẳng (d ) đi qua O(0; 0) và vuông góc với đường thẳng (d).

M là giao điểm của (d ) và (d).

104/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

PHẦN

IIHÌNH HỌC

3 3938 94
46
832 19
40 27

1243 18 25

4110

145 11 2
1731 3330
50

35736 28 45 23 44 6
49 34 37
24 29

15

1322

16 47 21

42 4286 120

Chươ ng

3 HHỆỆ TTHHỨỨCC LLƯƯỢỢNNGG TTRROONNGG

HỆ THỨC LƯTTAỢAMNMGGGTRIIÁÁOCCNGVVUUÔÔNNGG

TAM GIÁC VUÔNG

BÀI 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO

TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Giả sử AB = c, BC = a, CA = b, AH = h, BH = c ,
CH = b . Khi đó ta có

. a2 = b2 + c2 (Định lý Pythagore). A

c2 = ac ; b2 = ab . ch b
h2 = b c .
ah = bc. B c b C
1 11 H

= + (Công thức nghịch đảo đường cao). a
h2 b2 c2

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Biết hai trong năm yếu tố a, b, c, b , c . Tính một số yếu tố còn lại
Trước tiên tính cạnh huyền (nếu cần) rồi vận dụng hệ thức (2).

Ą Ví dụ 1. A
Tính các độ dài x, y trong hình bên. 7, 5

10

B xH y C

ɓ Lời giải.

Áp dụng định lí Pytago ta được

BC2 = AB2 + AC2 = 7,52 + 102 = 156, 25.

Do đó BC = 12, 5.

106/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

107 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Áp dụng hệ thức c2 = ac ta được
AB2 = BC · BH ⇒ 7, 52 = 12, 5x ⇒ x = 4, 5.

Suy ra y = BC − BH = 12, 5 − 4, 5 = 8.

Ą Ví dụ 2. A y
Tính các độ dài x, y trong hình bên. x

ɓ Lời giải. B 1 3 C
H

Ta có BC = 1 + 3 = 4.

Áp dụng hệ thức c2 = ac ta được

AB2 = BC · BH ⇒ x2 = 4 · 1 = 4 ⇒ x = 2;
√

AC2 = BC · CH ⇒ y2 = 3 · 4 ⇒ y = 2 3.

Ą Ví dụ 3. A
Tính độ dài x trong hình bên.

√
2 15

B 6 x C
H

ɓ Lời giải.

Áp dụng hệ thức c2 = ac ta được

AB2 = BC · BH ⇒ Ä √ ä2 = (x + 6) · 6 ⇒ x + 6 = 10 ⇒ x = 4.
25

Ą Ví dụ 4. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng 4 Tính tỉ số hai hình chiếu
.

9

của hai cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

ɓ Lời giải.

Áp dụng hệ thức (1) ta có b2 = ab ; c2 = ac

b2 ab b
Suy ra = = .
c2 ac c
b 4 b Å 4 ã2 16
Nếu = thì = =.
c 9 c 9 81

107/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

108 Kết nối tri thức với cuộc sống

1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Ą Ví dụ 5. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng 3
, cạnh huyền dài 10cm. Tính

4

độ dài các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

ɓ Lời giải.

Áp dụng hệ thức (1) ta có b2 = ab ; c2 = ac

b2 ab b
Suy ra c2 = ac = c .
b3 b 9 b c b + c 10 2
Nếu = thì = suy ra = = = =.
c 4 c 16 9 16 9 + 16 25 5
2 2
Do đó b = 5 · 9 = 3, 6; c = 5 · 16 = 6, 4.

Dạng 2. Tính đường cao ứng với cạnh huyền khi biết hai
trong năm yếu tố a, b, c, b , c . Ngược lại, biết đường cao
và một trong năm yếu tố trên, tính một số yếu tố còn lại

Vận dụng các hệ thức h2 =b ·c; ah = bc; 1 = 1 + 1
h2 b2 .

c2

Ą Ví dụ 6. A
Tính độ dài x, y trong hình bên. 3y

√
33

BH C
x

ɓ Lời giải.

Áp dụng định lí Pytago ta được

BC2 = AB2 + AC 2 = 32 + Ä √ ä2 = 36 ⇒ x = 6.
33

Áp dụng hệ thức ah = bc ta được

AH · BC = AC · AB ⇒ 6y = √ · 3 ⇒ y = √
33 3 3.
2

Ą Ví dụ 7. A
Tính diện tích tam giác ABC trong hình bên.

12

B 16 C
H

108/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

109 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Áp dụng hệ thức h2 = b c ta được ɓ Lời giải.

AH2 = HB · HC ⇒ 122 = BH · 16 ⇒ BH = 9.

Do đó BC = 9 + 16 = 25.
Diện tích tam giác ABC là S = 1BC · AH = 1 · 25 · 12 = 150 (đvdt).

22

Ą Ví dụ 8. A
Tính độ dài AH trong hình bên.

?

2, 7 C
BH

7, 5

Ta có HC = 7, 5 − 2, 7 = 4, 8. ɓ Lời giải.
Áp dụng hệ thức h2 = b c ta được

AH2 = BH · HC = 2, 7 · 4, 8 = 12, 96 ⇒ AH = 3, 6.

Ą Ví dụ 9. A
Tính độ dài HC trong hình bên.

?

B 2, 7 C
H
ɓ Lời giải.
Ta có BH2 = AB2 − AH2 = 102 − 62 = 64 ⇒ BH = 8. 7, 5
Ta có AH2 = BH · HC ⇒ 62 = 8 · HC ⇒ HC = 4, 5.
A
Ą Ví dụ 10.
Tính tích HA · HB · HC trong hình bên.

34

B 16 C
H

ɓ Lời giải.
Ta có AH2 = AC2 − HC2 = 342 − 162 = 900 ⇒ AH = 30.
Vậy HA · HB · HC = HA · HA2 = HA3 = 303 = 27000.

109/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

110 Kết nối tri thức với cuộc sống

1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Dạng 3. Chứng minh một số hệ thức hình học

Xem hệ thức cần chứng minh giống hoặc gần giống với hệ thức nào trong bốn hệ thức (1), (2), (3),
(4) để tìm cách vận dụng hệ thức đó. Nếu cần thì vẽ thêm đường phụ (thường là vẽ thêm đường
thẳng vuông góc) sao cho trong hình vẽ có tam giác vuông, có đường cao ứng với cạnh huyền để
vận dụng các hệ thức nói trên.

Ą Ví dụ 11. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có D“ = 90◦ và AC ⊥ BD. Chứng minh rằng
AD là trung bình nhân của hai đáy.

ɓ Lời giải.

Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AC và cắt đường E AB
thẳng CD tại E (hình bên). DC
Ta có AE ∥ BD (vì cùng vuông góc với AC). Mặt khác
AB ∥ DE nên tứ giác ABDE là hình bình hành. Suy
ra DE = AB.
Áp dụng hệ thức h2 = b c ta có AD2 = DE · DC suy ra
AD2 = AB · DC (đpcm).

Ą Ví dụ 12. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ các đường cao BE và CD. Từ B vẽ một đường
thẳng song song với CD cắt tia AC tại F . Chứng minh rằng AC2 = AE · AF .

ɓ Lời giải.

BF ∥ CD mà CD ⊥ AB nên BF ⊥ AB (hình bên). A

Xét ABF vuông tại B có BE là đường cao ứng với cạnh huyền AF nên
AB2 = AE · AF .
Suy ra AC2 = AE · AF (vì AB = AC).

DE
BC

F

Ą Ví dụ 13. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu
của H trên AB và AC. Chứng minh rằng DE3 = BD · CE · BC.

ɓ Lời giải.

Áp dụng hệ thức b2 = ab vào các tam giác vuông HAB A C
và HAC ta được BH2 = AB · BD; HC2 = AC · CE.
Mặt khác AH2 = HB · HC ⇒ AH4 = HB2 · HC2 = E 0375113359
AB · BD · AC · CE. D
Nhưng AB · AC = BC · AH nên AH4 = BH
BD · CE · BC · AH ⇒ AH3 = BD · CE · BC.
Nguyễn Quốc Dương –
110/207

111 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Dễ thấy tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên AH = DE.
Do đó DE3 = BD · CE · BC.

Ą Ví dụ 14. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao AD và BE. Cho biết BE = 2k;
1 1 1
BC = 2m; AD = n. Chứng minh rằng k2 = m2 + n2 .

ɓ Lời giải.

Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AD cũng là đường trung A

tuyến, do đó DB = DC = m. E
H
Vẽ DH ⊥ AC thì DH ∥ BE và DH là đường trung bình của EBC
1 DC
(hình bên), do đó DH = BE = k.
2
1 11
Áp dụng hệ thức = + vào DAC vuông tại D, ta được

h2 b2 c2

1 1 1 1 1 1 B
DH2 DC2 AD2 k2 m2 n2
= + ⇒ = + .

Ą Ví dụ 15. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Lấy điểm M trên
đoạn thẳng HC sao cho HM = AH. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với BC, cắt AC tại
1 1 1
D. Chứng minh rằng AH 2 = AD2 + AC2 .

ɓ Lời giải.

Vẽ DK ⊥ AH (hình bên), tứ giác KDM H là hình chữ nhật nên KD = M H, do đó KD = AH.

Xét KAD và BHA có A D
K“ = H“ = 90◦; KD = AH; 12
K
A2 = B“ (cùng phụ với A1).
BH MC
Do đó KAD = HBA (g.c.g) suy ra AD = AB.
1 11

Áp dụng hệ thức = + ta được
h2 b2 c2

1 = 1 + 1 ⇒ 1 = 1 + 1 2 .
AH 2 AB2 AC 2 AH 2 AD2 AC

C – BÀI TẬP VẬN DỤNG

Ą Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ HK ⊥ AB (K ∈ AB). Chứng minh
rằng

a) AB · AK = BH · HC; AB2 HB
b) = .

AC2 HC

ɓ Lời giải.

111/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

112 Kết nối tri thức với cuộc sống

1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

a) Xét HAB vuông tại H có AH2 = AB · AK. (1) K A C
Xét ABC vuông tại A ta có AH2 = BH · HC (2) B H
Từ (1) và (2) suy ra AB · AK = HB · HC.

b) Tính AB2; AC2 rồi lập tỉ số của chúng và rút gọn
ta được điều phải chứng minh.

Ą Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC = 5cm và tỉ số hai hình chiếu của AB, AC
trên cạnh huyền bằng 9 . Tính diện tích tam giác ABC.

16

ɓ Lời giải.

Vẽ AH ⊥ BC, tính được HB = 1, 8cm; HC = 3, 2cm. Từ đó A

tính được AH = 2, 4cm.
Diện tích ABC là 6cm2.

BH C
5

Ą Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15cm; BC = 25cm. Tính độ dài hai hình chiếu
của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền và tính đường cao tương ứng với cạnh huyền.

ɓ Lời giải.

Vận dụng hệ thức c2 = ac , tính được BH = 9cm, từ đó suy ra A
15
CH = 16cm.
Vận dụng hệ thức h2 = b c , ta tính được AH = 12cm.

BH C
25

Ą Bài 4. Hình thang ABCD (AB ∥ CD) có AD = 5cm; AC = 12cm và CD = 13cm. Biết diện
tích hình thang là 45cm2.

a) Tính chiều cao của hình thang.
b) Chứng minh rằng AB = 1 CD.

2

ɓ Lời giải.

a) Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

112/207

113 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Vẽ AH ⊥ BC. Xét ADC có AD2 + AC2 = CD2 A B
H 12
(vì 52 + 122 = 132) nên ADC là tam giác vuông
13
tại A. Vận dụng hệ thức 1 = 1 + 1 ta 5
AH 2 AD2 AC2 , D
tính được AH = 4 8 cm.
13
C

b) Vận dụng công thức S = (AB + CD) · AH ta tính được AB = 6, 5cm. Do đó AB = 1 C D.
,
22

Ą Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ HD ⊥ AB, HE ⊥ AC (D ∈
BD AB3
AB, E ∈ AC). Chứng minh rằng CE = .

AC 3

ɓ Lời giải.

Trước hết, vận dụng các hệ thức b2 = ab ; c2 = ac để tính A
AB2 AB2 HB
tỉ số , ta được =.
AC 2 AC2 HC
AB4 HB2 E
Từ đó suy ra AC4 = HC2 .
Ta có HB2 = AB · BD; HC2 = AC · CE. D

AB4 AB · BD AB3 BD
Do đó AC4 = AC · CE . Suy ra AC3 = CE .
BH C

113/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

114 Kết nối tri thức với cuộc sống

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

BÀI 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

. 1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn α

sin α = cạnh đối cos α = cạnh kề
; ;
cạnh huyền cạnh huyền
cạnh kề cạnh đối
tan α = cạnh đối cot α = cạnh kề
; . α
cạnh kề cạnh đối
cạnh huyền

ǥ Nhận xét.

0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1.

Nếu hai góc nhọn α và β có sin α = sin β; hoặc cos α = cos β; hoặc tan α = tan β; hoặc
cot α = cot β thì α = β.
Nếu α + β = 90◦ thì sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = tan β; cot α = cot β.

Nếu α tăng thì sin α tăng, tan α tăng còn cos α giảm, cot α giảm.

2. Một số hệ thức lượng giác cơ bản

tan α = sin α (1)
cos α (2)
(3)
cot α = cos α (4)
sin α

tan α · cot α = 1

sin2 α + cos2 α = 1

3. Tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt

Tỉ số lượng giác α 30◦ 45◦ 60◦
sin α √√
cos α
tan α 1 23
cot α
√2 √2 2
3 21

√2 2 2
3 √
13
3 √
√ 3
31
3

114/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

115 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Tính tỉ số lượng giác của các góc
nhọn trong một tam giác vuông khi biết hai cạnh
Tính độ dài cạnh thứ ba (theo định lý Pytago).

Tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn (theo định nghĩa).

Suy ra các tỉ số lượng giác của góc nhọn còn lại theo định lí về tỉ số lượng giác của hai góc
phụ nhau.

Ą Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 1, 5; BC = 3, 5. Tính tỉ số lượng giác của góc C
rồi suy ra các tỉ số lượng giác của góc B.

ɓ Lời giải.

√
Ta có AC2 = BC2 − AB2 = 3, 52 − 1, 52 = 10 ⇒ AC = 10.

Do đó cos B = sin C = AB = 1, 5 ≈ 0, 4286; B
BC 3√, 5 1, 5

sin B = cos C = AC = 10 ≈ 0, 9035; A 3, 5
BC 3, 5 C
B
cot B = tan C = AB = √1, 5 ≈ 0, 4743;
AC √10

tan B = cot C = AC = 10 ≈ 2, 1082.
AB 1, 5

Ą Ví dụ 2.
Tính tỉ số lượng giác của góc B trong hình bên.

5

A 12 C

ɓ Lời giải.

Ta có BC2 = AB2 + AC2 = 52 + 122 = 169 ⇒ BC = 13.
AC 12 cos B = AB 5 AC 12 AB 5
Do đó sin B = = ; = ; tan B = = ; cot B = AC = .
BC 13 BC 13 AB 5
12

Ą Ví dụ 3. ABC vuông tại A có BC = 2AB. Tính các tỉ số lượng giác của góc C.

ɓ Lời giải.
√

Ta đặt AB = m thì BC = 2m, suy ra AC2 = BC2 − AB2 = 4m2 − m2 = 3m2 ⇒ AC = m 3.

115/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

116 Kết nối tri thức với cuộc sống

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn B

Ta có sin C = AB = 2mm√= 1 AC
BC ;

AC m3 2√
BC 2m 3
cos C = = = ;

2

tan C = AB = m√ = √1 ;
cot C = AC = m√ 3 = 3
m3
AC √
AB m 3.

Ą Ví dụ 4. Tam giác ABC cân tại A, có BC = 6, đường cao AH = 4. Tính các tỉ số lượng giác
của góc B.

√ ɓ Lời giải.
Ta có BH = 6 : 2 = 3; AB = 42 + 32 = 5.
AH
Do đó sin B = AB = 4 = 0, 8; A
5 4

cos B = BH = 3 = 0, 6;
AB 5

tan B = AH = 4
AB ;

3

cot B = BH = 3 = 0, 75.
AH 4

BH C
6

Ą Ví dụ 5. A
Tính tan C trong hình bên.

6

B 3H C

ɓ Lời gi√ải.
Ta có AH2 = AB2 − BH2 = 62 − 32 = 27 ⇒ AH = 3 3.
BH √3 √1 .
Do đó tan C = cot B = AH = 33 = 3

Ą Ví dụ 6. O
Tính sin M + cos N trong hình bên.

M 1H 3 N

116/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

117 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

ɓ Lời giải.

√√
Ta có OH2 = HM · HN√= 1 · 3 = 3 ⇒ OH = 3; OM = 1 + 3 = 2.
Do đó sin M = OH = 3
.
OM 2 √
3√
Mặt khác cos N = sin M = nên sin M + cos N = 3.
2

Dạng 2. Dựng góc nhọn α biết một tỉ số lượng giác của góc đó bằng m
n

Dựng một tam giác vuông có cạnh là m và n (m và n tương ứng là cạnh góc vuông và cạnh huyền
nếu tỉ số lượng giác đã cho là sin hoặc cos; m và n là hai cạnh góc vuông nếu tỉ số lượng giác đã
cho là tan hoặc cot) rồi vận dụng định nghĩa để nhận ra góc α.

Ą Ví dụ 7. Dựng góc α, biết sin α = 0, 25.

ɓ Lời giải.

Ta có 0, 25 = 1
.
y
4
A
Dựng góc vuông xOy;
1
Trên cạnh Ox đặt OA = 1; 4
O α
Dựng đường tròn (A; 4) cắt cạnh Oy tại B.

Å OA 1ã Bx
vì AB .
Khi đó A’BO =α sin α = =
4

Ą Ví dụ 8. Dựng góc α, biết cos α = 0, 75.

ɓ Lời giải.

Ta có 0, 75 = 3
.
4
y
Dựng góc vuông xOy;
A
Trên cạnh Oy đặt OB = 3;
4
Dựng đường tròn (B; 4) cắt cạnh Ox tại A.
α
Khi đó A’BO =α Å cos α = OB = 3ã
vì AB . O 3 Bx

4

Ą Ví dụ 9. Dựng góc α, biết tan α = 1, 5.

ɓ Lời giải.

117/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

118 Kết nối tri thức với cuộc sống

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn y

Ta có 1, 5 = 3 A
.
2 4

Dựng góc vuông xOy; α

Trên cạnh Ox đặt OA = 3; O 3 Bx

Trên cạnh Oy đặt OB = 2.

Khi đó A’BO = α Å tan α = OA = 3ã
vì OB .

2

Ą Ví dụ 10. Dựng góc α, biết cot α = 2.
ɓ Lời giải.

Dựng góc vuông xOy; y

Trên cạnh Ox đặt OA = 1; A

Trên cạnh Oy đặt OB = 2. 1
α
Khi đó A’BO = α Å cot α = OB ã x
vì OA =2 . O2B

Dạng 3. Chứng minh hệ thức lượng giác
Sử dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác và một số hệ thức lượng giác cơ bản đã biết

Ą Ví dụ 11. Cho góc nhọn α. Chứng minh rằng

a) sin α < tan α; b) cos α < cot α.

ɓ Lời giải.

Xét ABC vuông tại A, C = α (hình bên). αC
A
a) Ta có sin α = AB ; tan α = AB .
BC AC
AB AB
Vì BC > AC nên BC < AC , suy ra sin α < tan α.

b) Ta có cos α = AC ; cot α = AC .
BC AB
AC AC
Vì BC > AB nên BC < AB , suy ra cos α < cot α.

B

Ą Ví dụ 12. Chứng minh các hệ thức Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

118/207

119 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

a) 1 + tan2 α = 1 b) 1 + cot2 α = 1 .
; sin2 α

cos2 α

ɓ Lời giải.

a) 1 + tan2 α = 1 + Å sin α ã2 = cos2 α + sin2 α = 1
cos α cos2 α cos2 α .

b) 1 + cot2 α = 1 + cos α 2 sin2 α + cos2 α 1
sin α = = sin2 α .
sin2 α

Ą Ví dụ 13. Chứng minh rằng

a) 1 + cos α = sin α b) tan α + 1 = 1 + cot α
sin α − cos α ; tan α − 1 1 − cot α .
1

ɓ Lời giải.

a) Ta có 1 + cos α = sin α ⇔ (1 − cos α)(1 + cos α) = sin2 α
sin α 1 − cos α ⇔ 1 − cos2 α = sin2 α

⇔ sin2 α = sin2 α.

Đẳng thức cuối cùng đúng nên đẳng thức đã cho là đúng.

b) Xét vế trái T = tan α + 1 phải P = 1 + cot α
; vế 1 − cot α .
tan α − 1
Å1 ã Å1 ã
T = cot α + 1 : cot α −1

1 + cot α 1 − cot α
= cot α : cot α
α
= 1 + cot α .
1 − cot

Rõ ràng T = P .

Ą Ví dụ 14. Chứng minh rằng tan2 α − sin2 α = tan2 α · sin2 α.

ɓ Lời giải.

Ta biến đổi vế trái T = tan2 α − sin2 α

= sin2 α − sin2 α = sin2 α (1 − cos2 α)
cos2 α cos2 α

= sin2 α · sin2 α = tan2 α · sin2 α.
cos2 α

Ta thấy vế trái bằng vế phải.

Ą Ví dụ 15. Chứng minh rằng 1 − 4 sin2 α · cos2 α = (sin α + cos α)2.
(sin α − cos α)2

ɓ Lời giải.

119/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

120 Kết nối tri thức với cuộc sống

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xét vế trái T = (1 − 2 sin α · cos α)(1 + 2 sin α · cos α)
(sin α − cos α)2

sin2 α + cos2 α − 2 sin α · cos α sin2 α + cos2 α + 2 sin α · cos α
= (sin α − cos α)2

(sin α − cos α)2(sin α + cos α)2
= (sin α − cos α)2

= (sin α + cos α)2.

Ta thấy vế trái đúng bằng vế phải.

Dạng 4. Biết một tỉ số lượng giác của góc
nhọn, tính các tỉ số lượng giác khác của góc đó

Vận dụng các hệ thức cơ bản

√ 1 − sin2 α; tan α = sin α
sin α = 1 − cos2 α; cos α = cos α ;

cot α = cos α 1 1 + tan2 α; 1 1 + cot2 α.
sin α ; cos α = sin α =

Ą Ví dụ 16. Cho biết sin α = 0, 6; tính cos α, tan α, cot α.

ɓ Lời giải.

»
Ta có cos α = 1 − sin2 α = 1 − (0, 6)2 = 0, 8;

tan α = sin α = 0, 6 = 0, 75;
cos α 0, 8

cot α = cos α = 0, 8 = 4.
sin α 0, 6 3

Ą Ví dụ 17. Cho biết cos α = 2 tính sin α, tan α, cot α.
;

3

ɓ Lời giải.

Ta có sin α = √ − cos2 α =   − Å 2 ã2 = √
1 1 5
;
√3 3
√
sin α 52 5
tan α = cos α = := ;

3 √3 2

cot α = cos α = 2 : 5 = √2 .
sin α 3 35

Ą Ví dụ 18. Cho biết tan α = √1 , tính cot α, sin α, cos α.
3

ɓ Lời giải.

1 √1 √ 1 √   ã2 √2 .
tan α 3 3; cos α 1 + tan2 α 1 + Å√1 3
Ta có cot α = = 1 : = = = 3 =

√ 3 √ Ç √ å2
; 1 31
Do đó cos α = sin α = − cos2 α = 1− =.
2 22

120/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

121 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Ą Ví dụ 19. Cho biết cot x = 2, tính tan x, sin x, cos x.

Ta có tan x = 1 = 1 1 = √ ɓ L√ời giải. √
cot x ; sin x 1 + cot2 x = 1 + 22 = 5.

2  
1 − sin2 x = 1 − Å √1
Do đó sin x = √1 ; cos x = ã2 √2 .
=
5 55

Dạng 5. Tính giá trị của biểu thức lượng giác với các
góc đặc biệt (không dùng máy tính hoặc bảng số)
Căn cứ vào bảng giá trị các tỉ số lượng giác của các góc 30◦; 45◦; 60◦.

Căn cứ vào tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.

Căn cứ vào các hệ thức lượng giác cơ bản.

Ą Ví dụ 20. Tính giá trị của biểu thức b) N = 2 sin 30◦ − sin 60◦
√ cos2 30◦ − cos 60◦ .

a) M = 4 cos2 45◦ + 3 cot 30◦ − 16 cos3 60◦;

ɓ Lời giải.

√ b) N = 2 sin 30◦ − sin 60◦
a) M = 4 cos2 45◦ + 3 cot 30◦ − 16 cos3 60◦ cos2 30◦ −√cos 60◦
√
Ç 2 å2 √ √ Å 1 ã3 √
3 3
= 4 · + · − 16 · 13 3
2· − 1− √
22 √2 2 2 = 4 − 2 3.
= 3 1 = 3−1
Ç å2 42
= 2 + 3 − 2 = 3.
−
22

Ą Ví dụ 21. Tính giá trị của biểu thức
a) P = sin2 30◦ − sin2 40◦ − sin2 50◦ + sin2 60◦;
b) Q = cos2 25◦ − cos2 35◦ + cos2 45◦ − cos2 55◦ + cos2 65◦.

ɓ Lời giải.

a) P = sin2 30◦ − sin2 40◦ − sin2 50◦ + sin2 60◦
= sin2 30◦ + sin2 60◦ − sin2 40◦ + sin2 50◦
= sin2 30◦ + cos2 30◦ − sin2 40◦ + cos2 40◦

= 1 − 1 = 0.

b) Q = cos2 25◦ − cos2 35◦ + cos2 45◦ − cos2 55◦ + cos2 65◦

= cos2 25◦ + cos2 65◦ − cos2 35◦ + cos2 55◦ + cos2 45◦

Ç √ å2
2
= cos2 25◦ + sin2 25◦ − cos2 35◦ + sin2 35◦ +
2

= 1 − 1 + 1 = 1 .
2 2

121/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

122 Kết nối tri thức với cuộc sống

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Ą Ví dụ 22. Tính giá trị của biểu thức sau với 00 < α < 90◦:
A = cos2 α − tan 60◦ + cot 45◦ − 2 sin 30◦ + cos2 α · tan2 α.

ɓ Lời giải.

A = cos2 α − tan 60◦ + cot 45◦ − 2 sin 30◦ + cos2 α · tan2 α

= cos2 α + cos2 α · tan2 α − √ + 1 − 2 · 1
3
√2
= cos2 α 1 + tan2 α − 3 + 1 − 1

= cos2 α · 1 α − √
√ cos2 3

= 1 − 3.

Ą Ví dụ 23. Rút gọn các biểu thức sau với 0◦ < α < 90◦

a) B = sin4 α + cos4 α + 2 sin2 α cos2 α; b) C = sin6 α + cos6 α + 3 sin2 α cos2 α.

ɓ Lời giải.

a) B = sin4 α + cos4 α + 2 sin2 α cos2 α = sin2 α + cos2 α 2 = 1.

b) C = sin6 α + cos6 α + 3 sin2 α cos2 α
= sin6 α + cos6 α + 3 sin2 α cos2 α sin2 α + cos2 α
= sin2 α + cos2 α 3 = 1.

Ą Ví dụ 24. Cho biểu thức A == sin2 α − cos2 α
.

1 + 2 sin α cos α

a) Chứng minh rằng A= sin α − cos α
;

sin α + cos α

b) Tính giá trị của A, biết tan α = 2
.
3

ɓ Lời giải.

a) A= sin2 α − cos2 α = (sin α − cos α)(sin α + cos α) == sin α − cos α .
1 + 2 sin α cos α (sin α + cos α)2 sin α + cos α

b) Chia cả tử và mẫu của A cho cos α ta được

sin α − cos α tan α − 1 2 −1 = −1.
cos α cos α tan α + 1 3 5
A= sin α cos α = = 2
cos α + cos α
+1
3

122/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

123 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Dạng 6. So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng số
Dùng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau (nếu cần) và căn cứ vào những tính chất sau:

Khi góc nhọn α tăng từ 0◦ đến 90◦ thì
— sin α tăng và tan α tăng;
— cos α giảm và cot α giảm.

sin α < tan α; cos α < cot α.

Ą Ví dụ 25. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần

a) sin 70◦, cos 30◦, cos 40◦, sin 51◦; b) cos 34◦, sin 57◦, cot 32◦.

ɓ Lời giải.

a) Ta có cos 30◦ = sin 60◦; cos 40◦ = sin 50◦.
Vì sin 50◦ < sin 51◦ < sin 60◦ < sin 70◦ nên cos 40◦ < sin 51◦ < cos 30◦ < sin 70◦.

b) Ta có cos 34◦ = sin 56◦; cot 32◦ = tan 58◦.
Vì sin 56◦ < sin 57◦ < sin 58◦ < tan 58◦ nên cos 34◦ < sin 57◦ < cot 32◦.

Ą Ví dụ 26. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần

a) cot 40◦, sin 40◦, cot 43◦, tan 42◦; b) tan 52◦, cot 63◦, tan 72◦, cot 31◦, sin 27◦.

ɓ Lời giải.

a) Ta có cot 40◦ = tan 50◦; cot 43◦ = tan 47◦.
Vì sin 40◦ < tan 40◦ < tan 42◦ < tan 47◦ < tan 50◦ nên sin 40◦ < tan 42◦ < cot 43◦ < cot 40◦.

b) Ta có cot 63◦ = tan 27◦; cot 31◦ = tan 59◦.
Vì sin 27◦ < tan 27◦ < tan 52◦ < tan 59◦ < tan 72◦ nên sin 27◦ < cot 63◦ < tan 52◦ < cot 31◦ <
tan 72◦.

Ą Ví dụ 27. Cho 25◦ < α < 50◦, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần:
sin α; cos (α + 40◦) ; tan (α + 10◦).

ɓ Lời giải.
Vì 25◦ < α < 50◦ nên α + 10◦ > α > 50◦ − α.
Mặt khác góc 50◦ − α phụ với góc a + 40◦.
Ta có tan (α + 10◦) > sin (α + 10◦) > sin α > sin (50◦ − α), do đó tan (α + 10◦) > sin α > cos (α + 40◦).

Ą Ví dụ 28. So sánh hai số m và n, biết m = sin 50◦ n= cot 70◦
cos 65◦ ; tan 35◦ .

ɓ Lời giải.

123/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

124 Kết nối tri thức với cuộc sống

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Ta có m = sin 50◦ sin 50◦ sin 25◦
n = cot 65◦ = t>ans3i5n◦25◦ = 1; (1)
tan 7c0o◦s tan 2si0n◦ 25◦ tan 35◦ = 1. (2)
35◦ 35◦ <
=
tan

Từ (1) và (2) suy ra m > n.

Dạng 7. Giải phương trình lượng giác

Vận dụng các hệ thức lượng giác cơ bản để biến đổi phương trình về dạng phương trình cơ
bản: sin x = m; cos x = m; tan x = m; cot x = m.

Giải phương trình lượng giác cơ bản, chẳng hạn sin x = m theo mẫu

sin x = m ⇔ sin x = sin α ⇔ x = α.

Ą Ví dụ 29. Tìm góc nhọn x, biết √√
a) 4 sin x − 1 = 1; b) 2 3 − 3 tan x = 3.

ɓ Lời giải.

√√
a) 4 sin x − 1 = 1 b) 2 3 − 3 tan x = 3
√
⇔4 sin x = 2 ⇔ sin x = 1 ⇔ − 3 tan x = √ − √ ⇔ tan x = 3
2 3 23
3
⇔ sin x = sin 30◦ ⇔ x = 30◦.
⇔ tan x = tan 30◦ ⇔ x = 30◦.

Ą Ví dụ 30. Tìm góc nhọn x biết √
a) 7 sin x − 3 cos (90◦ − x) = 2, 5; b) (2 sin x − 2)(4 cos x − 5) = 0.
ɓ Lời giải.

a) 7 sin x − 3 cos (90◦ − x) = 2, 5

⇔7 sin x − 3 sin x = 2, 5

⇔4 sin x = 2, 5 ⇔ sin x = 0, 625
⇔ sin x ≈ sin 38◦41 ⇔ x ≈ 38◦41 .

√
√  2
√ ñ2 sin x − 2=0 sin x = 2
b) (2 sin x − 2)(4 cos x − 5) = 0 ⇔
⇔
4 cos x − 5 = 0  cos x = 5.

4

√
Xét sin x = 2 ⇔ sin x = sin 45◦ ⇔ x = 45◦.

2

Xét cos x = 5 không có góc nhọn nào mà cos của nó lớn hơn 1.
:
4

Kết luận: x = 45◦.

124/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

125 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Ą Ví dụ 31. Tìm góc nhọn x, biết b) 1 cos2 x + 1 sin2 x = 3
.
a) cos2 x − 3 sin2 x = 0, 19; 328

a) cos2 x − 3 sin2 x = 0, 19 ɓ Lời giải.
⇔ cos2 x − 3 1 − cos2 x = 0, 19
⇔ cos2 x − 3 + 3 cos2 x = 0, 19 b) 1 cos2 x + 1 sin2 x = 3
⇔4 cos2 x = 3, 19 328
⇔ cos2 x = 0, 7975
⇔ cos x ≈ 0, 8930 (vì cos x > 0) ⇔8 cos2 x + 12 sin2 x = 9
⇔ cos x ≈ cos 26◦45 ⇔8 1 − sin2 x + 12 sin2 x = 9
⇔x ≈ 26◦45 .
⇔4 sin2 x = 1 ⇔ sin2 x = 1
4

⇔ sin x = 1 (vì sin x > 0)
2

⇔ sin x = sin 30◦ ⇔ x = 30◦.

Ą Ví dụ 32. Tìm góc nhọn x biết b) sin x + cos x = 1.
a) sin x − cos x = 0;
ɓ Lời giải.
a) sin x − cos x = 0
⇔ sin x = cos x b) sin x + cos x = 1
⇔ sin x = sin (90◦ − x) ⇒(sin x + cos x)2 = 1
⇔x = 90◦ − x ⇔2 sin x cos x = 0
⇔2x = 90◦ ⇔ x = 45◦. ñ sin x = 0
⇔
cos x = 0.
Không có góc nhọn x nào mà sin x = 0,
cos x = 0.

Ą Ví dụ 33. Tìm góc nhọn x biết 1 − tan x = 1.
cos2 x

ɓ Lời giải.

1 x − tan x = 1
cos2

⇔1 + tan2 x − tan x = 1

⇔ tan2 x − tan x = 0

⇔ tan x(tan x − 1) = 0

ñ tan x = 0
⇔

tan x = 1.

Xét tan x = 0: Không có góc nhọn x nào mà tan x = 0.
Xét tan x = 1 ⇔ tan x = tan 45◦ ⇔ x = 45◦.

125/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

126

3. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. ứng dụng thực tế các tỉ số lượng gKiáếtcncốủi tari tghóức vnớhiọcnuộc sống

BÀI 3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG

TAM GIÁC VUÔNG. ỨNG DỤNG THỰC TẾ CÁC TỈ
SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

. 1. Định lý
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng
a) Cạnh huyền nhân với sin của góc đối hoặc nhân với côsin của góc kề.
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Trong hình bên ta có A

b = a · sin B = a · cos C c b
c = c · sin C = a · cos B B a
b = c · tan B = c · cot C
c = b · tan C = b · cot B

C

2. Giải tam giác vuông

Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh còn lại và các góc còn lại của tam giác vuông đó nếu biết
trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc vuông.

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Giải tam giác vuông

Dùng các hệ thức lượng giữa cạnh và góc trong tam giác vuông và dùng bảng lượng giác hoặc máy
tính để tính các yếu tố còn lại. Nói chung, nếu biết hai cạnh của tam giác thì nên tìm góc nhọn
trước, cạnh kia sau bằng cách dùng định lý Py-ta-go hoặc một trong bốn hệ thức trên.
Kết quả, cần làm tròn đến phút (đối với góc) và đến chữ số thập phân thứ nhất (đối với độ dài)

Ą Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3,5 và AC = 4,2.

ɓ Lời giải.

Ta có tan B = AC = 4,2 ≈ tan 50◦12 . A
AB 3,5

Suy ra B“ ≈ 50◦12 mà B“ + C = 90◦
nên C = 90◦ − B“ = 90◦ − 50◦12 = 39◦48 .

Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có 3,5 4,2

√ C
BC = AB2 + AC2 = 3,52 + 4,22 ≈ 5,5.

B

126/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

127 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Ą Ví dụ 2. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3,0 và BC = 4,5.

ɓ Lời giải.

Do giả thiết ta có sin C = AB = 3,0 ≈ sin 41◦49 suy ra A
BC 4,5
4,5
C = 41◦49 .

Mà B“+ C = 90◦ nên B“ = 90◦ − C = 90◦ − 41◦49 = 48◦11 .

Mặt khác theo định lí Py-ta-go BC2 = AB2 + AC2 ⇔ 3,0

AC2 = BC2 − AB2 suy ra

√ B C
AC = BC2 − AB2 = 4,52 − 3,02 ≈ 3,4.

Ą Ví dụ 3. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết B“ = 50◦ và AB = 3,7.

ɓ Lời giải.

Ta có C = 90◦ − B“ = 90◦ − 50◦ = 40◦. A

Mặt khác AC = AB · tan B = 3,7 · tan 50◦ ≈ 4,4. 3,7
AB 3,7
Tương tự BC = cos B = cos 50◦ ≈ 5,8.

50◦ C

B

Ą Ví dụ 4. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết B“ = 57◦ và BC = 4,5.

ɓ Lời giải.

Ta có C = 90◦ − 57◦ = 33◦. A
Mặt khác AB = BC · cos B = 4,5 · cos 57◦ ≈ 2,5
và AC = BC · sin B = 4,5 · sin 57◦ ≈ 3,8.

57◦ 4,5 C

B

Ą Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 2,5, BH = 1,5. Tính B“,
C và AC.

ɓ Lời giải.

127/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

128

3. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. ứng dụng thực tế các tỉ số lượng gKiáếtcncốủi tari tghóức vnớhiọcnuộc sống

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có A
BH 1,5
cos B = AB = 2,5 ≈ cos 53◦8 suy ra B“ ≈ 53◦8 . 2,5

Mà B“ + C = 90◦ nên C = 90◦ − 53◦8 = 36◦52 . B 1,5 H

Xét ABC vuông tại A, ta có

AC = AB · tan B = 2,5 · tan 53◦8 ≈ 3,3. C

Dạng 2. Giải tam giác nhọn

Vẽ đường cao để vận dụng các hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông (dùng độ dài
đường cao làm trung gian)

Ą Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có B“ = 65◦, C = 45◦ và AB = 2,8 cm. Tính các góc và cạnh còn
lại của tam giác đó (gọi là giải tam giác ABC).

ɓ Lời giải.

Ta có A = 180◦ − B“ − C = 180◦ − 65◦ − 45◦ = 70◦. 2,8 A
H
Kẻ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H, ta có
AH = AB · sin B = 2,8 · sin 65◦ ≈ 2,54 (cm).
Tương tự BH = AB · cos B = 2,8 · cos 65◦ ≈ 1,18 (cm).

Mặt khác, do giả thiết suy ra tam giác HAC vuông cân tại

H nên HA = HC. Do đó BC ≈ 2,54 + 1,18 = 3,7 (cm).

Xét AHC vuông tại H, ta có

AC = HA ≈ 2,54 ≈ 3,6 (cm) . 65◦ 45◦ C
sin C sin 45◦
B

Ą Ví dụ 7. Giải tam giác ABC biết B“ = 65◦, C = 40◦ và BC = 4,2 cm.

ɓ Lời giải.

Ta có A = 180◦ − B“ − C = 180◦ − 65◦ − 40◦ = 75◦. A
H
Kẻ đường cao BH. Xét BCH vuông tại H, ta có BH = BC ·
sin C = 4,2 · sin 40◦ ≈ 2,70 (cm). 4,2

Tương tự, xét ABH vuông tại H, ta có

AB = BH = 2,70 ≈ 2,8 (cm) .
sin A sin 75◦
40◦ C
B

Mặt khác, ta có

AC = AH + CH = BH · (cot A + cot C)
≈ 2,70 · (cot 75◦ + cot 40◦) ≈ 3,9 (cm)

Ą Ví dụ 8. Giải tam giác nhọn ABC biết AB = 2,1, AC = 3,8 và B“ = 70◦.

ɓ Lời giải.

128/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

129 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Vẽ AH ⊥ BC. Xét ABH vuông tại H, ta có AH = A

AB · sin B = 2,1 · sin 70◦ ≈ 1,97. 2,1
70◦
Tương tự, xét BH = AB · cos B = 2,1 · cos 70◦ ≈ 0,72.
AH BH
Mặt khác, xét AH C vuông tại H, ta có sin C = AC ≈ 3,8

1,97 ≈ sin 31◦14 do đó C ≈ 31◦14 .
3,8

Mà A = 180◦ − (70◦ + 31◦14 ) = 78◦46 . C

Ta có HC = AC · cos C ≈ 3,80 · cos 31◦14 ≈ 3,25.

Mà BC = BH + HC = 0,72 + 3,25 = 3,97.

Ą Ví dụ 9. Giải tam giác nhọn ABC biết B“ = 60◦, AB = 3,0 và BC = 4,5.

ɓ Lời giải.

Kẻ đường cao AH ⊥ BC. Xét ABH vuông tại H, ta có A

AH = AB · sin B = 3,0 · sin 60◦ ≈ 2,6. 3,8

Tương tự, xét BH = AB · cos B = 3,0 · cos 60◦ = 1,5. H 4,5cm

Mà HC = BC − BH = 4,5 − 1,5 = 3,0.

Theo định lí Py-ta-go ta có√AB2 = BH2 + AH 2 = 3,02 + 3,0
2,62 = 15,76 suy ra AB = 15,76 ≈ 4,0. 60◦
AH 2,6
Xét AH C vuông tại H ta có tan A’CH = HC ≈ 3,0 ≈ B

tan 40◦55 . C

Do A = 180◦ − B“ − C ≈ 180◦ − (60◦ + 40◦55 ) = 79◦5 .

Dạng 3. Tính diện tích tam giác, tứ giác
Tính các yếu tố cần thiết rồi thay vào công thức tính diện tích và thực hiện các phép tính.

Ą Ví dụ 10. Cho tam giác ABC như hình vẽ bên. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có
diện tích là S = 1 · b · c · sin α.

2
A

α

c b Aα

B cb

CB C

ɓ Lời giải.

Vẽ đường cao BH của tam giác ABC. Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

129/207

130

3. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. ứng dụng thực tế các tỉ số lượng gKiáếtcncốủi tari tghóức vnớhiọcnuộc sống

A H
αH Aα

cb cb

B CB C

Xét ABH vuông tại H, ta có BH = AB · sin A = c · sin α.
Do đó diện tích S của tam giác ABC là S = 1 · AC · BH = 1 · b · c · sin α.

22
ǥ Nhận xét. Qua ví dụ này ta có thêm một cách tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác bằng

nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn xen giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh đó.

Ą Ví dụ 11. Tứ giác ABCD như hình vẽ phía dưới. Biết AC = 3,8, BD = 5,0 và α = 65◦. Tính
diện tích của tứ giác đó.

ɓ Lời giải.

Vẽ AH ⊥ BD và CK ⊥ BD. Xét OAH ta có AH = OA · sin α. B

Tương tự, xét OCK ta có CK = OC · sin α. AK
11
α
Mà S ABD = 2 · BD · AH = 2 · BD · OA · sin α.
11 O
H
Tương tự S BCD = 2 · BD · CK = 2 · BD · OC · sin α. Gọi S là
diện tích tứ giác ABCD ta có C

S = S ABD + S BCD D

= 1 · BD · OA · sin α + 1 · BD · OC · sin α
22

= 1 · BD · sin α · (OA + OC)
2

= 1 · BD · AC · sin α = 1 · 5,0 · 3,8 · sin 65◦ ≈ 8,6.
22

Ą Ví dụ 12. Tam giác ABC có B“ + C = 60◦, AB = 3, AC = 6. Tính độ dài đường phân giác
AD.

ɓ Lời giải.

Do giả thiết B“ + C = 60◦ nên B’AC = 180◦ − 60◦ = 120◦. A

Mà AD là đường phân giác nên B’AD = C’AD = 60◦. 3
1 · AB · AC · sin B’AC 1 · 3 · 6 · sin 120◦
Mà S ABC = 2 = 2 = B S1

18 · sin 60◦. 1 1 ·AB ·AD·sin 60◦ 6
2 2 2
S2 C
Mặt khác S ABD = ·AB ·AD ·sin B’AD =

và S AC D = 1 · AC · AD · sin D’AC = 1 · AC · AD · sin 60◦
2 2

130/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

131 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Ą Ví dụ 13. Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5, D“ = 50◦. Tính diện tích của
hình bình hành.

ɓ Lời giải.

Xét ADC vuông tại A, ta có AC = AD · A B
tan A’DC = 3,5 · tan 50◦. C
Khi đó gọi S là diện tích hình bình hành ABCD, ta 3,5
có

S = AD · AC = 3,5 · 3,5 · tan 50◦ ≈ 14,6. 50◦

D

Ą Ví dụ 14. Hình thang ABCD (AB ∥ CD) có D“ = 90◦, C = 38◦, AB = 3,5, AD = 3,1. Tính
diện tích hình thang đó.

ɓ Lời giải.

Vẽ BH ⊥ CD, do giả thiết suy ra ABHD là hình chữ A 3, 5 B 3, 1
nhật. Do đó BH = 3,1, DH = 3,5.
Xét BHC vuông tại H, ta có

HC = BH · cot C = 3,1 · cot 38◦ ≈ 4,0.

Mà CD = DH + HC = 3,5 + 4,0 = 7,5. D H 38◦ C
Gọi S là diện tích hình thang ABCD khi đó

S = (AB + CD) · BH = (3,5 + 7,5) · 3,1 = 17,1.
22

Dạng 4. Xác định khoảng cách và chiều cao không tới được
Xác định các số liệu cần thiết rồi tính theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác.

Ą Ví dụ 15. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trên một bờ hồ nước sâu, biết C = 58◦,
CB = 13 m, CH = 44 m như hình bên.

ɓ Lời giải.

Xét HAC vuông tại H, ta có 58◦ C 13 cm B A
HC
AC = cos C = 44 ≈ 83 (m).
cos 58◦

Mà AB = AC − BC ≈ 83 − 13 = 70 (m).

44 cm

131/207 H

Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

132

3. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. ứng dụng thực tế các tỉ số lượng gKiáếtcncốủi tari tghóức vnớhiọcnuộc sống

Ą Ví dụ 16. Trong hình vẽ bên dưới, tính chiều rộng AB của con sông, biết OC = 47 m, A’OC =
74◦, B’OC = 23◦.

ɓ Lời giải. A

Xét AOC vuông ở C, ta có AC = OC · tan 74◦ và BC = OC · tan 23◦.
Do đó

AB = AC − BC = OC · tan 74◦ − OC · tan 23◦
= OC · (tan 74◦ − tan 23◦)
= 47 · (tan 74◦ − tan 23◦) ≈ 144,0 (m) .

Vậy AB bằng 144,0 m.

B
OC

Ą Ví dụ 17. Khoảng cách giữa hai chân tháp AB và M N là a như hình vẽ bên dưới. Từ đỉnh A
của tháp AB nhìn lên đỉnh M của tháp M N ta được góc α. Từ đỉnh A nhìn xuống chân N của

tháp M N ta được góc β (so với phương nằm ngang AH). Hãy tìm chiều cao M N nếu a = 120 m,
α = 30◦, β = 20◦.

ɓ Lời giải.

Xét M AH vuông tại H, ta có HM = AH · tan α. A α M
Tương tự, xét M AH vuông tại H, ta có HN = AH · tan β. β H
Mà

M N = HM + HN = AH · tan α + AH · tan β
= AH · (tan α + tan β)
= 120 · (tan 30◦ + tan 20◦) ≈ 113,0 (m) .

Vậy chiều cao M N là 113,0 m.

B aN

C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Ą Bài 1. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết

a) AB = 2,7 và AC = 4,5; b) AC = 4,0 và BC = 4,8.

132/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

133 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

ɓ Lời giải.

a) Xét ABC vuông ở A, ta có tan B = AC = 4,5 ≈ tan 59◦04
AB 2,7

Suy ra B“ ≈ 59◦04 mà B“ + C = 90◦ nên A

C = 90◦ − B“ = 90◦ − 59◦04 = 30◦56 . 2,7 4,5

Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có B C
√

BC = AB2 + AC2 = 2,72 + 4,52 ≈ 5,25.

b) Xét ABC vuông ở A, ta có sin B = AC = 4,0 ≈ sin 56◦44
BC 4,8

Suy ra B“ ≈ 56◦44 mà B“ + C = 90◦ nên A

C = 90◦ − B“ = 90◦ − 56◦44 = 33◦16 . 4,0
4,8
Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có B C
√

AB = BC2 − AC2 = 4,82 − 4,02 ≈ 2,65.

Ą Bài 2. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết

a) BC = 4,5 và C = 35◦; b) AB = 3,1 và B“ = 65◦.

ɓ Lời giải.

a) Xét ABC vuông ở A, A
ta có AB = BC · sin C = 4,5 · sin 35◦ ≈ 2,58.
Tương tự, AC = BC · cos C = 4,5 · cos 35◦ =≈ 3,69. B 4,5
Do B“ + C = 90◦ nên
A
B“ = 90◦ − C = 90◦ − 35◦ = 55◦.
3,1
b) Xét ABC vuông ở A, 65◦ 35◦ C
C
ta có BC = AB = 3,1 ≈ 7,34. B
cos B cos 65◦ = 3,1 · tan
Tương tự, AC = AB · tan B 65◦ =≈ 6,65.

Do B“ + C = 90◦ nên

C = 90◦ − B“ = 90◦ − 65◦ = 25◦.

133/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

134

3. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. ứng dụng thực tế các tỉ số lượng gKiáếtcncốủi tari tghóức vnớhiọcnuộc sống

Ą Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH. Biết A = 50◦, BH = 2,3. Tính chu vi
của ∆ABC.

ɓ Lời giải.

Do giả thiết suy ra B“ = C nên A
C = 1 Ä180◦ − Aä = 1 (180◦ − 50◦) = 65◦.
22 50◦

Xét AHB vuông tại H, ta có 2, 3 H
AH = BH · cot H’AB = 2,3 · cot 50◦ ≈ 1,92. C
B
Tương tự, xét CHB vuông tại H, ta có
CH = BH · cot H’CB = 2,3 · cot 65◦ ≈ 1,07.

và BC = BH = 2,3 ≈ 2,54.
sin H’CB sin 65◦

Mà AC = AH + HC ≈ 1,92 + 1,07 = 2,99. Do đó chu vi tam giác ABC bằng

AB + BC + CA ≈ 2 · 2,99 + 2,54 = 8,52.

Ą Bài 4. Hình thang ABCD có A = D“ = 90◦. Biết AB = 2,6, CD = 4,7 và C = 35◦. Tính diện
tích hình thang.

ɓ Lời giải.

Vẽ BH ⊥ CD, do giả thiết suy ra ABHD là hình chữ nhật A 2, 6 B
nên AB = DH = 2,6.
Mà CD = DH + HC ⇔ HC = DC − DH = 4,7 − 2,6 = 2,1. H
Xét BHC vuông tại H, ta có
4, 7
BH = HC · tan B’CH = 2,1 · tan 35◦ ≈ 1,5. D 35◦

Gọi S là diện tích hình thang ABCD. C
Ta có S = (AB + CD) · BH = (2,6 + 4,7) · 1,5 ≈ 5,5.

22

Ą Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC, đường cao AH và đường trung tuyến AM . Gọi α
là số đo góc H÷AM .

a) Chứng minh rằng HB − HC = 2HM ;

b) Chứng minh rằng tan α = cot B − cot C
.
2

ɓ Lời giải.

134/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

135 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A

α

B MH C

a) Do giả thiết AM là trung tuyến nên BM = M C.
Mà HB − HC = (HM + BM ) − (M C − M H) = 2 · M H.

b) Đặt AH = h, xét AHB, ta có

HB = AH · cot A’BH = h · cot A’BH.
Tương tự, xét AHC, ta có

HC = AH · cot A’CH = h · cot A’CH. A’C H ä
Ä
Suy ra HB − HC = h · cot A’BH − cot

hay 2HM = h · (cot B − cot C) (1).

Mặt khác, xét AM H vuông tại H, ta có HM = h · tan M÷AH = h · tan α

hay 2HM = 2h · tan α (2).

Từ (1) và (2) suy ra 2h · tan α = h · (cot B − cot C) ⇔ tan α = cot B − cot C
.

2

135/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

136 Kết nối tri thức với cuộc sống

4. ÔN TẬP CHƯƠNG I

BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG I

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

. 1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho hình bên, ta có A

a2 = b2 + c2 (định lý Pytago). ch b
b2 = a · b ; c2 = a · c .
h2 = b · c . B c b C
a · h = b · c. H
1 11
a
= + (công thức nghịch đảo đường cao).
h2 b2 c2

2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn cạnh kề

α

sin α = cạnh đối cos α = cạnh kề
. .
cạnh huyền cạnh huyền

tan α = cạnh đối cos α = cạnh kề
. .
cạnh kề cạnh đối

3. Một số tính chất của tỉ số lượng giác

Nếu α + β = 90◦ thì sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β; cot α = tan β.

Nếu 0◦ < α < 90◦ thì 0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; sin2 α + cos2 α = 1; tan α = sin α
cos α ;
cos α
cot α = sin α và tan α · cot α = 1.

4. Các hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

Cho tam giác vuông ABC như hình vẽ bên. A
b = a · sin B; c = a · sin C. cb
b = a · cos C; c = a · cos B. Ba
b = c · tan B; c = b · tan C.
b = c · cot C; c = b · cot B.

C

136/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

137 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. So sánh các tỉ số lượng giác
Có thể dựa vào các tính chất sau

a) Với hai góc nhọn α và β mà α < β thì sin α < sin β; tan α < tan β; cos α > cos β; cot α >
cot β;

b) Với góc nhọn α thì sin α < tan α; cos α < cot α;

Ą Ví dụ 1. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần cos 72◦, sin 65◦, sin 10◦, cot 25◦, sin 40◦.

ɓ Lời giải.
Ta có sin 10◦ = cos 80◦; sin 65◦ = cos 25◦ và sin 40◦ = cos 50◦.

Vì cos 80◦ < cos 72◦ < cos 50◦ < cos 25◦ < cot 25◦.
Do đó sin 10◦ < cos 72◦ < sin 40◦ < sin 65◦ < cot 25◦.

Ą Ví dụ 2. So sánh b) cot 20◦; sin 20◦; cos 20◦.
a) sin 55◦; cos 55◦; tan 55◦.

ɓ Lời giải.

a) Ta có cos 55◦ = sin 35◦ < sin 55◦. Do đó cos 55◦ < sin 55◦ < tan 55◦.
b) Ta có sin 20◦ = cos 70◦. Vì cos 70◦ < cos 20◦ < cot 20◦. Do đó sin 20◦ < cos 20◦ < cot 20◦.

Ą Ví dụ 3. Cho 0◦ < α < 45◦. Chứng minh rằng

a) sin α < cos α. b) tan α < cot α.

ɓ Lời giải.

a) Do 0◦ < α < 45◦ nên 90◦ − α > 45◦ suy ra α < 90◦ − α. Khi đó sin α < sin (90◦ − α) = cos α.
b) Theo chứng minh trên α < 90◦ − α nên tan α < tan (90◦ − α) = cot α.

Ą Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có B“ > C. Hãy sắp xếp theo thứ tự tăng dần sin B,
cos B, tan B, sin C, cos C, cot C.

ɓ Lời giải.
90◦. sin Ä90◦ ä
Do giả thiết nên B“ + C = Khi đó sin C = − B“ = cos B“.

Tương tự cos C = cos Ä90◦ − B“ä = sin B“.

Do giả thiết B“ > C và B“, C là góc nhọn nên cos B“ < cos C. Mà tan B“ = sin B“ > sin B“.
cos B“

Mặt khác, chứng minh tương tự ta có tan B“ = cot C nên

sin C = cos B“ < cos C = sin B“ < tan B“ = cot C.

137/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

138 Kết nối tri thức với cuộc sống

4. ÔN TẬP CHƯƠNG I

Dạng 2. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức lượng giác

Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản, tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ta biến đổi biểu thức
đã cho về dạng đơn giản hơn rồi sử dụng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt để tính giá trị.

Ą Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức
a) sin2 α · cot2 α − cos2 α + 1.
b) (tan α − cot α)2 − (tan α + cot α)2.
c) sin4 α − cos4 α − cos2 α − 3 sin2 α.

ɓ Lời giải.

a) Ta có sin2 α · cot2 α − cos2 α + 1 = sin2 α · cos2 α − cos2 α + 1 = cos2 α − cos2 α + 1 = 1.
sin2 α

b) Ta có

(tan α − cot α)2 − (tan α + cot α)2
= tan2 α − 2 · tan α · cot α + cot2 α − tan2 α + 2 · tan α · cot α + cot2 α
= −4 · tan α · cot α = −4.

c) Ta có

sin4 α − cos4 α − cos2 α − 3 sin2 α
= sin2 α − cos2 α · sin2 α + cos2 α − cos2 α − 3 sin2 α
= 1 · sin2 α − cos2 α − cos2 α − 3 sin2 α
= −2 · sin2 α + cos2 α = −2.

Ą Ví dụ 6. Tính giá trị của biểu thức

a) sin 30◦ + cos 60◦ − tan 45◦ + 4 cos2 30◦.

b) cos2 30◦ − cot2 60◦ + tan2 30◦ − 1.

c) cot2 45◦ − cos2 45◦ .

2 sin2 60◦

ɓ Lời giải.

1 1 Ç √ å2
+ 3
a) Ta có sin 30◦ + cos 60◦ − tan 45◦ + 4 cos2 30◦ = − 1 + 4 · = 3.
22 2

b) Ta có

Ç √ å2 Ç √ å2 Ç √ å2
3− 3 3 − 1 = 3 − 1 = −1.
cos2 30◦ − cot2 60◦ + tan2 30◦ − 1 = + 44
233

138/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

139 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Ç √ å2
2
1−
cot2 45◦ − cos2 45◦ 21
c) Ta có = √ =.
2 sin2 60◦ Ç 3 å2 3

2 2

Ą Ví dụ 7. Tính giá trị của biểu thức b) tan 46◦ · tan 45◦ · tan 44◦.
tan 20◦ cot 50◦ ɓ Lời giải.

a) cot 70◦ + tan 40◦ .

tan 20◦ cot 50◦ tan 20◦ tan 40◦
a) Ta có cot 70◦ + tan 40◦ = tan 20◦ + tan 40◦ = 1 + 1 = 2.
b) Ta có

tan 46◦ · tan 45◦ · tan 44◦ = (tan 46◦ · tan 44◦) · tan 45◦ = (tan 46◦ · cot 46◦) · tan 45◦ = 1 · 1.

Ą Ví dụ 8. Tính giá trị của biểu thức
a) cos2 33◦ + cos2 41◦ + cos2 49◦ + cos2 57◦.
b) sin2 35◦ + sin2 39◦ + sin2 43◦ + sin2 47◦ + sin2 51◦ + sin2 55◦.

ɓ Lời giải.

a) Ta có cos2 33◦ + cos2 41◦ + cos2 49◦ + cos2 57◦
= cos2 33◦ + cos2 57◦ + cos2 41◦ + cos2 49◦
. = cos2 33◦ + sin2 33◦ + cos2 41◦ + sin2 41◦ = 1 + 1 = 2.
b) Ta có
sin2 35◦ + sin2 39◦ + sin2 43◦ + sin2 47◦ + sin2 51◦ + sin2 55◦
. = sin2 35◦ + sin2 55◦ + sin2 39◦ + sin2 51◦ + sin2 43◦ + sin2 47◦
= sin2 35◦ + cos2 35◦ + sin2 39◦ + cos2 39◦ + sin2 43◦ + cos2 43◦
= 1 + 1 + 1 = 3.

Ą Ví dụ 9. Tính giá trị của các biểu thức sau

a) M = 2 sin α + 2 cos α với sin α + cos α = 1,5.
1 + 2 sin α cos α

139/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

140 Kết nối tri thức với cuộc sống

4. ÔN TẬP CHƯƠNG I

b) N = 2 sin α + cos α với tan α = 3
2 sin α − cos α .

2

ɓ Lời giải.

a) Ta có

M = 2 sin α + cos α = sin2 α 2 (sin α + cos α) = 2 (sin α + cos α) = sin α 2 cos α .
1 + 2 sin α cos α + cos2 α + 2 sin α cos α (sin α + cos α)2 +

Do giả thiết sin α + cos α = 1,5 nên M = 2 = 4
1,5 .

3

b) Do tan αN==2333⇔ccoosscsααoins−+ααcc=ooss 3 suy ra 2 sin α = 3 cos α.
Khi đó 2 4 cos α
α
α = 2 cos α = 2.

Dạng 3. Giải phương trình lượng giác
Biến đổi phương trình về dạng sin x = m (hoặc cos x = m; tan x = m).

Dùng máy tính hoặc bảng số, đưa đến phương trình sin x = sin α (hoặc cos x = cos α;
tan x = tan α).

Suy ra x = α (với 0◦ < α < 90◦).

Ą Ví dụ 10. Tìm góc nhọn x, biết (2 cos x − 1) Ä sin x − √ä = 0.
4 22

ɓ Lời giải.

Ta có

(2 cos x − 1) Ä sin x − √ä = 0
4 22

ñ2 cos x − 1 = 0
⇔√

4 sin x − 2 2 = 0

 cos x = 1
 √2
⇔
 2
sin x = 2 .

Khi cos x = 1 ⇔ cos x = cos 60◦ ⇔ x = 60◦.
√2

Khi sin x = 2 ⇔ sin x = sin 45◦ ⇔ x = 45◦. Vậy góc nhọn thỏa mãn là x = 45◦ và x = 60◦.
2

Ą Ví dụ 11. Tìm góc nhọn x, biết 5 cos x + 4 sin (90◦ − x) = 2.

ɓ Lời giải.

140/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

141 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Ta có

5 cos x + 4 sin (90◦ − x) = 2

⇔ 5 cos x + 4 cos x = 2
⇔ 9 cos x = 2 ⇔ cos x = 2

9
⇔ cos x = cos 77◦10 ⇔ x = 77◦10 .

Ą Ví dụ 12. Tìm góc nhọn x, biết sin2 x − cos2 x = 1
.

2

ɓ Lời giải.

Ta có sin2 x − cos2 x = 1 ⇔ sin2 x − 1 − sin2 x = 1 ⇔ 2 sin2 x = 3 ⇔ sin2x = 3
.
2 2 √2 4

Vì x là góc nhọn nên sin x > 0. Do đó sin2x = 3 suy ra sinx = 3 ⇔ sin x = sin 60◦ ⇔ x = 60◦.
42

Ą Ví dụ 13. Tìm góc nhọn x, biết b) tan x = cot x.
a) tan x = sin x.

ɓ Lời giải.

a) Ta có tan x = sin x suy ra sin x = sin x. Vì x là góc nhọn nên sin x > 0 do đó 1 =1 suy ra
cos x cos x
cos x = 1. Dễ thấy không có góc nhọn x nào để cos x = 1. Vậy không có góc nhon x thỏa mãn

bài toán.

b) Ta có tan x = cot x ⇔ tan x = 1 ⇔ tan2 x = 1. Vì x là góc nhọn nên tan x > 0 do đó
tan x
tan2 x = 1 suy ra tan x = 1 ⇔ tan x = tan 45◦. Khi đó x = 45◦.

Dạng 4. Tính độ dài đoạn thẳng. Tính số đo góc
Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông, hệ thức lượng giữa cạnh và góc trong tam giác vuông,
định nghĩa của các tỉ số lượng giác.

Ą Ví dụ 14. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết A = 44◦; AH = 9 cm. Tính chu
vi tam giác ABC.

ɓ Lời giải.

141/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

142 Kết nối tri thức với cuộc sống

4. ÔN TẬP CHƯƠNG I 1

Do tam giác ABC cân đỉnh A, AH là đường cao nên AH cũng là đường A

phân giác, đường trung tuyến. 9

Do đó B’AH = C’AH = 22◦ và HB = HC = BC
.
2
AH 9
Xét AH C vuông tại H, ta có AC = cos H’AC = cos 22◦ ≈ 9,7 (cm)

và HC = AH · cot H’AC = 9 · cot 22◦ ≈ 3,6 (cm).

Do đó chu vi tam giác ABC là 2 · (9,7 + 3,6) ≈ 26,6 (cm).

BHC

Ą Ví dụ 15. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD), C = 36◦; D“ = 50◦. Biết AB = 4 cm, AD =
6 cm. Tính chu vi hình thang.

ɓ Lời giải.

Vẽ AH ⊥ CD và BK ⊥ CD, dễ thấy A4 B
AHKB là hình chữ nhật.

Do đó AH = BK và AB = HK. 6
Xét ADH vuông tại H, ta có

DH = AD · cos A’DH = 6 · cos 50◦ ≈ 36◦

4,6 (cm). 50◦D H K C

Tương tự, xét BKC vuông tại K, ta có KC = BK · cot B’CK = 4,6 · cot 36◦ ≈ 6,3 (cm)

và BC = BK = 4,6 ≈ 7,8 (cm).
sin K’CB sin 36◦

Ta có DC = DH + HK + KC = 3,9 + 4 + 6,3 ≈ 14,2 (cm).

Do đó chu vi của hình thang là 4 + 7,8 + 14,2 + 614,2 ≈ 32 (cm).

Ą Ví dụ 16. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ HM ⊥ AB; HN ⊥ AC. Biết
AB = 3 cm; AC = 4 cm.

a) Tính độ dài M N .
b) Tính số đo các góc của tam giác AM N .
c) Tính diện tích tứ giác BM N C.

ɓ Lời giải.

a) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC,

ta có BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 suy ra A
BC = 5 (cm).

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta N
AB · AC
có AH · BC = AB · AC ⇔ AH = BC suy ra
AH = 3 · 4 = 2,4 (cm).
M

5 C
Dễ thấy AM HN là hình chữ nhật nên M N = AH B
nên M N = 2,4 cm. H 0375113359

142/207 Nguyễn Quốc Dương –

143 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

b) Xét ABH vuông tại H, ta có AH 2 = AM · AB ⇔ AM = AH 2 = 2,42 = 1,44 (cm). Ta xét
AB 4
AN 1,44
AM N vuông tại A, ta có tan A÷M N = AM = 1,92 ≈ tan 36◦52 . Do đó A÷M N = 36◦52 . Mà

A÷N M = 90◦ = A÷M N = 90◦ − 36◦52 = 53◦8 .

c) Gọi S là diện tích tứ giác BM N C.

Ta có S = S ABC − S AM N = 1 · AB · AC − 1 · AM · AN = 1 ·3·4− 1 · 1,92 · 1,44 ≈ 4,6 (cm2).
2 2 2 2
Vậy diện tích tứ giác BM N C là 4,6 cm2.

Ą Ví dụ 17. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 4 cm. Vẽ đường cao AH; vẽ HI ⊥ AB,
HK ⊥ AC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AIHK.

ɓ Lời giải.

Xét ABH vuông tại H, ta có AH2 = AI · AB A
AH 2 K
suy ra AI = AB .
HM
Tương tự, ta xét ACH vuông tại H, ta có
AH 2
AH 2 = AK · AC suy ra AK = AC . I
B
Gọi S là diện tích của tứ giác AIHK. C

Do tứ giác AIHK là hình chữ nhật nên

S = AI · AK = AH 2 · AH 2 = AH 4 .
AB AC AB · AC

Mặt khác theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có AB · AC = AH · BC.
AH 4 AH 3
Khi đó S = AH · BC = .

BC
Gọi M là trung điểm của BC, ta có AM = BC = 2 (cm).
2
AH 3 AM 3 23
Mà AH ≤ AM nên S = BC ≤ BC ≤ 4 = 2 (cm2).

Dấu đẳng thức xảy khi AH = AM hay tam giác ABC vuông cân tại A.

Vậy max S = 2 cm2 khi ABC là tam giác vuông cân đỉnh A.

Dạng 5. Chứng minh hệ thức giữa các tỉ số lượng giác

Dựa vào định nghĩa của tỉ số lượng tam giác, các hệ thức lượng giác cơ bản, ta tìm quan hệ giữa
vế này với vế kia của hệ thức vuông, định nghĩa của các tỉ số lượng giác.

Ą Ví dụ 18. Chứng minh hệ thức cos2 α − sin2 α + sin4 α = cot4 α.
sin2 α − cos2 α + cos4 α

ɓ Lời giải.

Ta có cos2 α − sin2 α + sin4 α cos2 α − sin2 α 1 − sin2 α 0375113359
sin2 α − cos2 α + cos4 α = sin2 α − cos2 α (1 − cos2 α)
143/207
Nguyễn Quốc Dương –