Toán 9 - Tập 1

44 Kết nối tri thức với cuộc sống

5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

√√ √ √
4x −√6 − x + 1 6 √x + 1 + 2√x − 3 x
= √ 2 x− 3√ : (√2 x − 3) ( x + 1)

= 3√x − 5 · (2 x − 3)√( x + 1)
2√x − 3 √2x + 3 x√+ 1

= 3√x − 5 · (2√x − 3) (√x + 1)
2√x − 3 (2 x + 1) ( x + 1)

= 3√x − 5 .
2x + 1

√ √√
3 3√x − 5 3 6 x − 1√0 − 6 x − 3 √−13 3
b) Xét hiệu D− 2 = 2x + 1 − 2 = 2 (2 x + 1) = 2 (2 x + 1) < 0. Vậy D < .

2

√ −
Å √1 1 ã Å √x − 4ã
x− − 1 2 x .
Ą Ví dụ 20. Cho biểu thức P = 1 + x : −
1

a) Rút gọn P .

b) Tìm giá trị lớn nhất của P .

ɓ Lời giải.

a) Điều kiện: 0 ≤ x = 1. Khi đó ta có

√ √√
√( x + 1√) + 1 2( x −√1) − ( x − 4)
P = (x −√1) ( x + 1) : √ x−1

= √ − x +√2 + 1) · √x − 1
(x 1) ( x x + 2

= √1 1 .
x+

b) Ta có P = √1 ≤ 1 = 1 vì √ ≥ 0.
x+1 x
√1
Do đó max P = 1 khi x = 0 ⇔ x = 0.

√√ √
Å √x − 3 √x + 3 − 14 ã x−3
x + 3 · .
Ą Ví dụ 21. Cho biểu thức Q = + x−3 9−x
2

a) Rút gọn Q.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

ɓ Lời giải.

a) Điều kiện: 0 ≤ x = 9. Khi đó ta có

Q = √ −√3)2 + √ + 3)2 + 14 · √ − 3
(x ( √x x

( x + 3) ( x − 3) 2

44/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

45 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

x−6 √ √√ x−3
x√+ 9 + x +√6 x + 9 + 14 2
= ( x + 3) ( x√− 3) ·

= √ 2x +√32 − 3) · x−3
(x + 3) ( x 2

= √x + 16 .
x+3

b) Ta có

Q = x √− 9 + 25 = √ √ 25 3 = √ √ 25 −6 ≥  √ + 3) · √ 25 −6 ≥ 10−6 = 4.
x+3 x−3+ x+ x+3+ x+ 3 2 (x x+ 3

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi √ 3 = √ 25 3 ⇔ √ + 3)2 = 25 ⇔ √ 3 = 5 ⇔ x = 4.
x+ x+ (x x+

Vậy min Q = 4 khi x = 4.

Dạng 5. Chứng minh đẳng thức
Biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức thứ ba.

Ą Ví dụ 22. Chứng minh đẳng thức sau với x > 0, y ≥ 0 và x = y.

Ç √ √y 4√xy å √ √y √
√x + √y x−y x√− +x√y
x − − : x = √ .
x

ɓ Lời giải.

Ta có

Ç √ + √y 4√xy å √ √y
√x − √y x−y x√−
VT = − : x
x

√ √y 2 − 4√xy √
x + x
= √ √y √ √y · √ − √y
x − x + x
x + 2√xy + y − 4√xy √
x
= √ − √y √ + √y · √ − √y
x x x
√
x − √y 2 √
x
= √ − √y √ + √y · √ − √y
x x x
√
x
= √ + √y
x

= V P.

Ą Ví dụ 23. Chứng minh đẳng thức sau với x > 0, y > 0 và x = y.

Ç √ + y√y √å √x2√+y√y .
x√x + √y xy
x − : (x − y) = 1 −

ɓ Lời giải.

45/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

46 Kết nối tri thức với cuộc sống

5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Ta có √ √√y − √xy
x x √y
ñ + x + y √xyô 1
+ −
VT = − · x y

√ − √y 2 √ − √y
x x
= √ √y √ √y = √ √y
x − x + x +
√ √y
x −
= √ √y .
x +
√ √y − 2√y √ √y
VP = x + √y = √x − √y .
√ +
x+ x

Từ đó ta có đẳng thức phải chứng minh.

C – BÀI TẬP VẬN DỤNG

Ą Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) √ …2 − … 3 …1
6+3 4 + 12 ;
32 6

√√ √ √
b) 6 a + 3 25a3 − 2 36ab2 − 2 9a với a, b > 0.

√ ɓ Lời giải.
a) 2 6; √

b) 3 (5a − 4b) a.

Ą Bài 2. Biến đổi biểu thức …x + 1 −…x − 1 về dạng m 1 √ − 1, trong đó x > 1. Tính giá
x−1 x+1 x2 − x2

trị của m

2 ɓ Lời giải.
x2 − √
Khử mẫu của biểu thức lấy căn được x2 − 1, suy ra m = 2.
1

Ą Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức P với x = 0,36:

√√
x 3√ 6 x
P = √ + 3 − 3− x − x −9 .
x

√ ɓ Lời giải.
√x − 3 = −2.
P = x+3 với điều kiện 0≤x = 9. Khi x = 0,36, ta có P 3

Ą Bài 4. Chứng minh đẳng thức sau với x ≥ 0, y > 0, y = 1, x = y:

Ç √ √y √ − √y å √y − 1 √
√x + √y √x + √y y − √y 4 x
− − · = x −y .
x x

4√xy 1 √ ɓ Lời giải.
x−y √y 4x
Rút gọn vế trái được · = x − y.

46/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

47 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

Å √1 ã Å √ x√− 1 √1 ã
x x x x+ x+ .
Ą Bài 5. Cho biểu thức P = + − 1 −
1

a) Rút gọn P .

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.

√x√− 2 ɓ Lời giải.
x b) x ∈ {1; 4}.
a) P = với x > 0;

√√ √√
Åx x −√6 ã x x− 36 √x
Ą Bài 6. Cho biểu thức P = x − 36 − x +6 x · 2 √ − 3) (x −2 x + .
(x 3)

a) Rút gọn P .

b) Với giá trị nào của x thì P có giá trị lớn nhất? Giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu?

ɓ Lời giải.

a) P = √6 với điều kiện x > 0, x = 9, x = 36.
x−2 x+3

b) P = √ 6 ≤ 6 = 3 vì √ − 1)2 ≥ 0.
(x 2 (x
− 1)2 + 2

Suy ra max P = 3 đạt được khi x = 1.

√√ √
2√ x + 3 3√ x − 2 15 x√− 11
Ą Bài 7. Cho biểu thức P = x+3 + x−1 − x+ 2x −3 .

a) Rút gọn P .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P .

ɓ Lời giải.

√
5√ x − 2
a) P = x+3 với x ≥ 0; x = 1.

b) P = √ = 5 − √17 . Do đó P ≥5− 17 = −2 vì √
5 x√+ 15 − 17 x+ 3 3 x ≥ 0.

x+3

Vậy min P = −2 khi x = 0.
3

47/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

48 Kết nối tri thức với cuộc sống

6. CĂN BẬC BA

BÀI 6. CĂN BẬC BA

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1. Khái niệm căn bậc ba

Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a.

√ = x ⇔ x3 = a
3a

Như vậy (√3 a)3 = √ = a.
3 a3

Nhận xét:

Các căn bậc ba của số dương là số dương.

Căn bậc ba của số âm là số âm.

Căn bậc ba của số 0 là số 0.

2. Tính chất √
3 b;
a < b ⇔ √ <
3a

√ = √ · √
3 ab 3a 3 b;

…a √
3 √3 a
= ( với b = 0).
b 3b

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Tìm căn bậc ba của một số

Dựa vào định nghĩa căn bậc ba của một số:
√
3 a3 = a.

Ą Ví dụ 1. Hãy tìm √ √
√ b) 3 729 ; c) 3 1331.

a) 3 216; ɓ Lời giải. √√
√√ c) 3 1331 = 3 113 = 11.
√√ b) 3 729 = 3 93 = 9;
a) 3 216 = 3 63 = 6;

Ą Ví dụ 2. Hãy tìm √ √
√ b) 3 −1000. c) 3 −1728.

a) 3 −343.. ɓ Lời giải.
√√
√ b) 3 −1000 = 3 (−10)3 = −10. c) 3 −1728 = 3 (−12)3 = −12.
a) 3 −343 = 3 (−7)3 = −7.

48/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

49 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

Ą Ví dụ 3. Hãy tìm

a) … 8 ; b) … 125 ; √
3− c) 3 −0, 064.
3

27 512

ɓ Lời giải.

… 8   2 ã3 2 … 125   5 ã3 − 5 ;.
Å . 3− Å
a) 3 = = b) = =
3 3−

27 3 3 512 8 8

√
c) 3 −0, 064 = 3 (−0, 4)3 = −0, 4.

Dạng 2. So sánh

√√
Đưa thừa số vào trong dấu căn: a 3 b = 3 a3b.

So sánh hai số trong dấu căn a < b ⇔ √ < √
3a 3 b.

Ą Ví dụ 4. So sánh √√
√ b) 2 3 6 và 3 3 2.

a) 7 và 3 345; ɓ Lời giải. √√ √

√√ b) 2√3 6 = √3 8 · 6 = 3√48
a) 7 = 3 343 < 3 345.

3 3 2 = 3 27 · 2√= 3 54√.
48 < 54 nên 2 3 6 < 3 3 2

Ą Ví dụ 5. So sánh

a) 2 √ và 3 √ √√
3 18 3 12; b) 3 130 + 1 và 3 3 12 − 1
34 ɓ Lời giải.

a) Ta có

2 √   2 ã3 … 16 … 1
3 18 Å 35
= · 18 = 3 = .
3

33 33 .

3 √   3 ã3 … 81 … 1
3 12 Å 35
= · 12 = 3 =
3

44 16 16

Vì 1 > 5 1 nên 2 √ > 3 √
5 3 18 3 12.
3 16 3 4

b) Ta có

√ + 1 > »3 1√15 + 1 = 5 + 1 = 6;
3 130
√√ √√
3 3 12 − 1 = 3 27.12 − 1 = 3 324 − 1 < 3 343 − 1 = 7 − 1 = 6.

√√
Vậy 3 130 + 1 > 3 3 12 − 1.

49/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

50 Kết nối tri thức với cuộc sống

6. CĂN BẬC BA

√√
Ą Ví dụ 6. Cho a < 0, hỏi số nào lớn hơn trong hai số 3 2a và 3 3a?

ɓ Lời giải.

Ta có 2√< 3 su√y ra 2a > 3a (vì a < 0).
Do đó 3 2a > 3 3a.

Dạng 3. Thực hiện các phép tính

Vận dụng định nghĩa căn bậc ba của một số, các tính chất nhân các căn bậc ba, chia các căn bậc
ba.

Ą Ví dụ 7. Rút gọn các biểu thức

√√ √ √√ √
a) 3 8 + 3 −27 + 3 −64; b) 3 54 − 3 −16 + 3 128.

ɓ Lời giải.

√√ √
a) Ta có 3 8 + 3 −27 + 3 −64 = 2 + (−3) + (−4) = −5.

√√ √√ √ √√√ √
b) 3 54 − 3 −16 + 3 128 = 3 33 · 2 − 3 (−2)3 · 2 + 3 43 · 2 = 3 3 2 + 2 3 2 + 4 3 2 = 9 3 2.

Ą Ví dụ 8. Tính

√√ √√ √ √√
a) 3 16 · 3 13, 5 − 3 120 : 3 15; b) ( 3 2 + 1)( 3 4 − 3 2 + 1).

√ √√ ɓ Lời giải.
a) 3 16 · 3 13, 5 − 3 120 : 3 15 √ √√

√ b) ( 3 2 + 1)( 3 4 − 3 2 + 1)
= 3 16.13, 5 − 3 120 : 15 √√√√√

√√ =38− 34+ 32+ 34− 32+1
= 3 216 − 3 8
=6 − 2 = 4. =2 + 1 = 3.

ǥ Nhận xét. Để tính tích trên bạn có thể dùng hằng đẳng thức

(a + b) a2 − ab + b2 = a3 + b3.

Ta có Ä√3 2 + ä Ä√3 4 − √ + ä = Ä√3 2ä3 + 13 = 2 + 1 = 3.
1 32 1

Ą Ví dụ 9. Tính √√ √√
√ √√ b) ( 3 4 − 3 2)3 + 6 3 2( 3 2 − 1).

a) ( 3 5 + 1)3 − 3 3 5( 3 5 + 1);

ɓ Lời giải.

a) Ta có Ä√3 5 + ä3 − √ Ä√3 5 + ä = 5 + √ + √ + 1 − √ − √ = 6.
1 335 1 3 3 25 335 3 3 25 335

b) Ä√3 4 − √3 2ä3 + √ Ä√3 2 − ä = 4 − √ + √ − 2 + √ − √
√√ 632 1 3 3 32 3 3 16 634 632
√√
=4 − 6 3 4 + 6 3 2 − 2 + 6 3 4 − 6 3 2 = 2.

50/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

51 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

√√
Ą Ví dụ 10. Tính A = 3 5 + 2 − 3 5 − 2

ɓ Lời giải.
Để tính giá trị của A, ta tính A3 sau đó suy ra A.
Bạn nên nhớ hằng đẳng thức (a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b).

Ta có

A3 = Å»3 √5 + 2 − »3 √5 − ã3
2

= √ + 2) − √ − 2) − »√ + √ − 2) · Å»3 √5 + 2 − »3 √5 − ã
(5 (5 33 ( 5 2)( 5 2

⇒ A3 = 4 − 3A ⇒ A3 + 3A − 4 = 0 ⇔ (A − 1) A2 + A + 4 = 0
⇔ A − 1 = 0 vì A2 + A + 4 > 0
⇔ A = 1.

Vậy A = 1.

Ą Ví dụ 11. Rút gọn biểu thức b) √ x+1 + 1 .
a) 3 x3 + 1 + 3x(x + 1); 3 x2 √

− 3x

ɓ Lời giải.

a) Ta có 3 x3 + 1 + 3x(x + 1) = 3 (x + 1)3 = x + 1.

√ x+1 √ + 1) Ä√3 x2 − √ + ä √
3 x2 √ (3x √ 3x 1 3x
3 x2
b) − 3x + 1 = − √ + 1 = + 1.
3x

C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Ą Bài 1. Tính

a) √ · √ · … 2 ; b) √ : √ − … 1 : … 1 .
3 162 3 −2 32 3 16 3 22 3 53
3

3 23

a) −6; ɓ Lời giải.
b) −1.
Ą Bài 2. Tính 4
a) Ä√3 3 + √3 2ä3;
b) Ä√3 5 − √3 3ä Ä√3 25 + √ + √3 9ä.
√√ 3 15
a) 5 + 3 3 18 + 3 3 12;
ɓ Lời giải.
51/207 b) 2.

Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

52 Kết nối tri thức với cuộc sống

6. CĂN BẬC BA

Ą Bài 3. Rút gọn biểu thức

√√ √ √√ √ √ √ Ç√ … 1 å
a) 3 3 · (5 3 18 − 3 3 144) + 3 5 · 3 50; b) (12 3 2 + 3 16 − 2 3 2) 5 3 4 − 33 .
2

√ ɓ Lời giải.
a) 2 3 2; b) 84.

Ą Bài 4. Tìm x biết

a) √ 1 √ + √ = 2; √
2 3 27x + 3 −343x 3 −729x b) 3 x3 − 9x2 = x − 3.
7

ɓ Lời giải.

a) −1 ; b) 1.
8

√√
Ą Bài 5. Tính M = 3 5 2 + 7 − 3 5 2 − 7.

ɓ Lời giải.

√ √ »√ √
M 3 = (5 2 + 7) − (5 2 − 7) − 3 3 (5 2 + 7)(5 2 − 7) · M

⇔ M 3 = 14 − 3M

⇔ M 3 + 3M − 14 = 0

⇔ (M − 2) M 2 + 2M + 7 = 0

⇔ M − 2 = 0 vì M 2 + 2M + 7 = (M + 1)2 + 6 > 0

⇔ M = 2.

52/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

53 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

BÀI 7. ÔN TẬP CHƯƠNG I

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

Các công thức biến đổi căn thức:

√
1) A2 = |A|.

√ √√
2) AB = A · B ( với A ≥ 0; B ≥ 0) .

…A √
B √A
3) = B (với A ≥ 0; B > 0).

√√
4) A2B = |A| · B (với B ≥ 0).

√√
5) A B = A2B (với A ≥ 0; B ≥ 0).

6) …A = 1 √ (với AB ≥ 0 và B = 0).
B |B| AB

√
√A AB
7) B = B (với B > 0).

8) √ C √
C( A ∓ B)
= với A ≥ 0 và A = B2 .
A±B A − B2

√ C√ C( √√
A± B = A∓ B)
9) A−B (với A ≥ 0; B ≥ 0; A = B).

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức
Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa (nếu cần).

Áp dụng các công thức biến đổi căn thức, quy tắc thực hiện các phép tính về phân thức đại
số để rút gọn biểu thức.
Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện các phép tính.

Ą Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau

a) …9 : 25 − … 49 : …1
3;
16 36 8 8

î√ √ ó
b) 45,82 − 44,22 − 6 ( 2 + 1)2 + ( 2 − 1)2 .

ɓ Lời giải.

…9 25 … 49 …1 … 9 : 25 − … 49 : 25 = 3 : 5 − … 49 = 9 − 7 = −1.
Ta có 3
a) : − : =
16 36 8 8 16 36 8 8 4 6 25 10 5 2

53/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

54 Kết nối tri thức với cuộc sống

7. Ôn tập chương I

î√ √ ó√ √
b) 45,82 − 44,22 − 6 ( 2 + 1)2 + ( 2 − 1)2 = 1,6 · 90 − 6 · 6 = 4 · 3 − 6 = 6

Ą Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau

1 … 1652 − 1242 … 32 √ √√
b) 5(√ 6 − 1) + √2 − √3.
a) 164 + 4 1762 − 1122 ; 6+1 2+ 3
34

ɓ Lời giải. √ √√

 

1 1652 − 1242 … 32 b) 5(√ 6 − 1) + √2 − √3
a) 164 + 4 1762 − 1122
34 √6 + 1 √2 + √3

1 … 41 · 289 … 32 5( 6 − 1)2 ( 2 − 3)2
= 164 + 4 64 · 288 = 6 −√1 + √2 − 3
34

1 … 289 … 1 =7 − 2 6 − 5 + 2 6 = 2.
= +4
34 4 576

1 · 17 + 4 · 1 11 5.
= =+=
34 2 24 4 6 12

Ą Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức
√√√
3+3 5 − √2 − 10 √ + xy√+yy−√xy√−xy−√yy√y
a) 6+2 5 ; b) xx − .

x

ɓ Lời giải.

√√√ √√ √ √√ √
3+3 5 − √2 − 10 3(1 + 5) −√ 2(1 + 5) (1 + 5)√(3 − 2) = 3 − √2.
a) Ta có = =
6+2 5 (1 + 5)2 (1 + 5)2 1+ 5

√ + x√y − √ − y√y √ + √y) − √ + √y)
xx yx x( x y( x
b) √ y√y = √ √y)(√x √y) √ √y)
x − y + yx − (x − + + y( x −
(√x(−√x√+y)√(√yx)(+x (√(√x x−+√√y)y()√2(x√+x − √y √(√x x++√√y y+)2y .
= − y) y) = √y + ) =
√y + y)

Điều kiện x ≥ 0; y ≥ 0; x = y.

√ √√
2 x√− 9 √x + 3 2 x √+ 1
Ą Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức P = x − 5 x+ 6 − x − 2 − 3 − x .

Điều kiện: x ≥ 0; x = 4; x = 9. Khi đó ta có ɓ Lời giải.

√ √√
√ 2 x −√9 − √x + 3 − 2 x√+ 1
P = ( √x − 2)( x√− 3) √ x − 2 3 √− x

2 x−9−( x +√3)( x −√3) + (2 x + 1)( √ x − 2)
√ ( x − 2)(√ x −√3)
=

= 2 x − 9 − x√+ 9 + 2√x − 4 x + x − 2
√ ( x − 2)( x√− 3) √
√ x − x√− 2 (√x + 1)(√x − 2) √
( x − 2)( x − 3) ( x− 2)( x − 3) √x + 1
= = = x − 3 .

54/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

55 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

√√ √
√2 x √x + 1 3 − 11 x
Ą Ví dụ 5. Cho biểu thức P = x+3 + x−3 + 9−x .

a) Rút gọn P .

b) Tính giá trị của P với x = 7 + 4 √ 3
.
4

ɓ Lời giải.

a) Điều kiện: x ≥ 0; x = 9. Khi đó ta có

√√ √√ √ x
2 x( x − 3) +√( x + 1√)( x + 3) − 3 + 11
P = √ ( x√+ 3)( x − 3) √

= 2x − 6 x +√x + 4 √x + 3 − 3 + 11 x
(√x + 3)( x −√3) √
√
√ 3x + 9√ x √3 x( x√+ 3) √3 x
= ( x + 3)( x − 3) = (x + 3)( x − 3) = x −3

√ Ç2 + √ å2 √ √
7+4 3 3 x 2+ 3
b) Ta có x = = ⇒ =
.
42 2

Do đó

3· 2+ √ 3
√2
6+3 √ 3·√ 2
=
P= 2+ 3 −3 2 3−4

2√ √ √
= 6√+ 3 3 = (6√+ 3 3)(√ 3 + 4)
√3 − 4 ( 3 −√4)( 3 + 4) √
6 3 + 24 + 9 + 12 3 −(33 + 18 3) .
= 3 − 16 =
13

Å √1 √5 6ã √6
x+ x−3 9−x : x+
Ą Ví dụ 6. Cho biểu thức P = 3 + − 2 .

a) Rút gọn P .

b) Tính các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.

ɓ Lời giải.

a) Điều kiện x ≥ 0; x = 9. Khi đó ta có

√√ √
( x −√3) + 5(√x + 3) + 6· x+2
P = √ ( x + 3√)( x − 3) √ 6

= x √− 3 + 5 √x + 15 + 6 · x+2
( √x + 3)( x − 3)√ 6

= √ 6 x +√18 · x+2
( x + 3)( x − 3) 6

55/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

56 Kết nối tri thức với cuộc sống

7. Ôn tập chương I

√√
√ 6( x +√3) x+2
= (√ x + 3)( x − 3) · 6

= √x + 2.
x − 3

√√ x√− 3 +
√x + 2 x−3 5 √5
b) Ta có P = x−3 = = 1 + x− .
3

P có giá trị nguyên ⇔ √5 có giá trị nguyên
x−3
√
⇔ x − 3 ∈ Ư(5)
√
⇔ x − 3 ∈ {±1; ±5}.

Ta có bảng sau

√
x√− 3 1 −1 5 −5
x 4 2 8 −2
x 16 4 64 ||

Vậy khi x ∈ {4; 16; 64} thì P có giá trị nguyên.

Dạng 2. Rút gọn biểu thức và chứng minh biểu thức có một tính chất nào đó
Trước tiên tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa.
Rút gọn biểu thức rồi kết luận đi đến điều phải chứng minh.

2 Ç √1 1 å2 x+y
√xy x √y 2√xy
Ą Ví dụ 7. Cho biểu thức P = : − − x − + y .

Chứng minh rằng với mọi giá trị của x và y làm cho biểu thức P có nghĩa thì giá trị của P không

phụ thuộc vào x và y.

ɓ Lời giải.

Điều kiện x, y > 0; x = y. Khi đó ta có

2 Ç √y − √ å2 (√xx−+√y y)2
√xy : x
P = √xy −

2 (√xy)2 (√xx−+√y y)2
= √xy · √ √y)2 −
(x −
2√xy
= √ √y)2 − (√xx−+√y y)2
(x −
−((x√−x2−√√xyy)+2 y) √ √y)2
= = − (√x − √y)2 = −1.
(x −

Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào x và y.

Å x + 3 √1 ã √ x
x − 9 x+ −
Ą Ví dụ 8. Cho biểu thức P = + 3 : √ 3 .
x

a) Rút gọn P .

56/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

57 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

b) Chứng minh rằng P > 1
.

3

ɓ Lời giải.

a) Điều kiện x > 0; x = 9. Khi đó ta có

√x + 3 √√
( x√− + √x − 3 x√− 3
P = 3√)( x + 3) · √x

= √ x( x√+ 1) 3) · x√− 3
√( x − 3)( x + x

= √x + 1 .
x + 3

√ √√ √ x
−1 √x + 1 1 3 x +√3 − x − 3 √2 + 3)
b) Xét hiệu P 3 = x+3 − 3 = 3( x + 3) = 3( x > 0 (vì x > 0).

Do đó P > 1
.
3

Å √1 √x + 2 ã √2
x+ x x+1 x
Ą Ví dụ 9. Cho biểu thức P = 1 − :

a) Rút gọn P.

b) Chứng minh rằng biểu thức P luôn luôn âm với mọi giá trị của x làm P xác định.

ɓ Lời giải.

a) Điều kiện x > 0. Khi đó ta có

√
(x√− x + 1) −√(x + 2) :√√2x
P = (x + 1√)(x − x + 1)

= √ −( x +√1) ·x
( x +√1)(x − x + 1) 2
−√ x
= 2(x −x + 1) .

√ √ Å√ 1 ã2 3
b) Ta có x > 0 nên − x < 0 ⇒ x − x + 1 = x − + > 0.

24
Do đó P < 0 với mọi x > 0.

√
√ 1 √+ 1 x√ x + x
Ą Ví dụ 10. Cho biểu thức P = x−1+ x √ − 1 − √ + x+1 .
x x

a) Rút gọn P .

b) Chứng minh rằng biểu thức P luôn luôn không âm với mọi giá trị của x làm P xác định.

57/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

58 Kết nối tri thức với cuộc sống

7. Ôn tập chương I

ɓ Lời giải.

a) Điều kiện x ≥ 1. Khi đó ta có

√ √√ √ √
√x − 1 − x +√ x − 1 + x x(√ x + 1)
P = ( √x − 1 + √ √ + x+1
x)( x − 1 − x)

= 2 x−1 + x
−1√
= x − 2 x − 1.

√√ √ 2 ≥ 0.
b) Ta có P = x − 2 x − 1 = (x − 1) − 2 x − 1 + 1 = x−1−1

Vậy P luôn luôn không âm với mọi x ≥ 1.

√√ x
x√ : Å√1 + ã
Ą Ví dụ 11. Cho biểu thức P = x+ x x √ x+1 .

a) Rút gọn P .

b) Tìm giá trị lớn nhất của P .

ɓ Lời giải.

a) Điều kiện x > 0. Khi đó ta có

√√
√ √x √ x √+ 1 + x
P = x( √x + 1) : √x(√x + 1)

= √ √x · x( √x + 1)
x(√x + 1) x + x + 1
√x
= x + x + 1 .

√
√x 1
b) Ta có P = x+ x+1 = .
√ √1
x + 1 + x

Xét biểu thức ở mẫu √ + √1 + 1 ≥  √ · √1 + 1 = 3.
x x 2x x

Ta có P = √ 1 ≤ 1
x+ √1 .
+1
x 3

Do đó max P = 1 đạt được khi √ = √1 ⇔ x = 1.
, x x

3

Dạng 3. Giải phương trình
Trước tiên tìm điều kiện để căn thức có nghĩa.
Áp dụng công thức biến đổi căn thức để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.

58/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

59 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

Nếu hai vế đều không âm thì có thể bình phương hai vế để khử dấu căn.

Ą Ví dụ 12. Giải phương trình √√
a) 25(3x − 1)2 = 10; √x + 3 √x + 5
b) x−3 = x − 2 .

ɓ Lời giải.

ï 3x − 1 = 2 x=1
3x − 1 = −2 x = −1.
a) Ta có 25(3x − 1)2 = 10 ⇔ 5|3x − 1| = 10 ⇔ |3x − 1| = 2 ⇔ ⇔
3
√√
b) √x + 3 = √x + 5 . (*)

x−3 x−2

Điều kiện: x ≥ 0; x = 4; x = 9. Khi đó ta có

√√ √ √
(*) ⇔ x√+ 3 x − 2 √= x + 5 x−3

⇔ x √+ x − 6 = x + 2 x − 15
⇔ − x = −9
√
⇔ x=9

⇔ x = 81 (thỏa mãn điều kiện).

Ą Ví dụ 13. Giải phương trình √
a) 5x − (2x − 1)2 = 2; b) x + 2 x − 1 = x.
ɓ Lời giải.

a) 5x − (2x − 1)2 = 2 ⇔ 5x − |2x − 1| = 2.

Nếu x ≥ 1 thì (1) ⇔ 5x − (2x − 1) = 2
2 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 1 (loại).
3

Nếu x < 1 thì (1) ⇔ 5x + (2x − 1) = 2
2
3
⇔ 7x = 3 ⇔ x = 7 (thỏa mãn).

b) Điều kiện: x ≥ 1. Khi đó ta có

»√
x+2 x−1=x

»√
⇔ x−1+2 x−1+1=x

»√
⇔ ( x − 1 + 1)2 = x
√
⇔ |√ x − 1 + 1| = x
⇔ √x − 1 + 1 −√x = 0
⇔ √x − 1(1 − x − 1) = 0
ñ x − 1 = 0 ñx = 1
⇔√ ⇔ (thỏa mãn điều kiện).
x − 1 = 1 x = 2.

59/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

60 Kết nối tri thức với cuộc sống

7. Ôn tập chương I

C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN √
Ą Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau b) B = x2 − 10x + 25 + x với x < 0.
ɓ Lời giải.
√√ b) B = 5.
a) A = 9 + 4 5 − 9 − 4 5;

a) A = 4;

Ą Bài 2. Tính √√ √
√ √ √√ √ 3−1 3+2 − 2 3−1
b) + .
a) ( 8 + 18 + 5)( 50 − 5); 23 4

a) 45; ɓ Lời giải.
√
4 3+5

b) .
12

√√ √√ √√
2− 1 3− 2 +···+ 100 − 99 < 9 .
Ą Bài 3. Chứng minh rằng + 3+2 100 + 99 20

2+1

√ ɓ √Lời giải.
n+1− n
Xét dạng tổng quát của các số hạng (n + 1) + n trong đó n ∈ N∗.
√√
Dễ thấy n + 1 − n > 0; (n + 1) + n > 0.

Do đó

√ √√ √ √ √ √ √√ √
n + 1− n n + 1 − n = √ n + 1 − n < √n + 1 − n = n + 1 − n = √1 − √ 1 .
(n + 1) + n = (2n + 1)2 4n2 + 4n + 1 4n2 + 4n 2 n(n + 1) 2 n 2 n + 1

Áp dụng bất đẳng thức này với n lấy từ 1 đến 99 ta được

√√ √√ √√
2− 1 3− 2 +···+ 100 − 99 < √1 − √1 + √1 − √1 + · · · + √1 − √1
+
2+1 3+2 100 + 99 2 1 2 2 2 2 2 3 2 99 2 100

= √1 − √1 = 1 − 1 = 9 .
2 1 2 100 2 20 20

√
4√x + 2 2
Ą Bài 4. Giải phương trình 7 x−2 = .

3

ɓ Lời giải.

x = 25. Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

60/207

61 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

√√
Å x√+ 1 √2 ã Å x √1 ã
Ą Bài 5. Cho biểu thức P = x x+ 1 2 2x .
− : +

a) Rút gọn P.
√

b) Tính giá trị của P khi x = 3 − 2 2.

c) Tìm x để P = 1.

a) √2 1 ; ɓ Lời giải. c) x = 1.
x+ √
b) 2;

√
√3 Å x√ x√+ 1 √1 ã √x
x −x x x− 1 x
Ą Bài 6. Cho biểu thức P = + x + − · x + + 1 .

a) Rút gọn P .

b) Tìm các giá trị của x để P ≥ 10.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.

ɓ Lời giải.

√ x√+ 3 1
x ;
a) ; b) 0 < x ≤ 9 c) x ∈ {1; 9}.

61/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

Chươ ng

2HÀM SỐ BẬHHCÀÀNMMHẤSSTỐỐ BBẬẬCC NNHHẤẤTT

BÀI 1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM

SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1. Khái niệm hàm số
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác
định chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, x được gọi là biến số.

Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc cho bằng công thức.

Khi y là hàm số của x, ta có thể viết y = f (x), y = g(x), . . . Chẳng hạn: cho hàm số y = f (x) =
x + 1 hay y = x + 1.

Khi hàm số được cho bằng công thức y = f (x), ta hiểu rằng biến số x chỉ lấy những giá trị mà
tại đó f (x) xác định. Tập hợp các giá trị đó được gọi là tập xác định cùa hàm số, kí hiệu là D.

Giá trị của hàm f (x) tại x0 kí hiệu là f (x0).

Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm y được gọi là hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số

Tập hợp “G” là tất cả các điểm biếu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f (x)) trên mặt phẳng tọa
độ gọi là đồ thị của hàm số y = f (x).

M (x0; y0) ∈ G hay G đi qua điểm M (x0; y0) ⇔ ®x0 ∈ D .
y0 = f (x0)

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y = f (x) xác định trên D trong đó D là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng; với
mọi x1, x2 ∈ D:

Nếu x1 < x2 mà f (x1) < f (x2) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên D.

Nếu x1 < x2 mà f (x1) > f (x2) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên D.

4. Hàm số bậc nhất

Hàm số hậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trước và
a = 0.

Khi b = 0, hàm số có dạng y = ax (đã học ở lớp 7).

62/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

63 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Hàm số bậc nhất y = ax + b (a = 0) xác định với mọi x thuộc R.

— Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.
— Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số

A(x) xác định ⇔ A(x) ≥ 0.

A(x) xác định ⇔ B(x) = 0.
B(x)

Ą Ví dụ 1. Với những giá trị nào của x thì hàm số sau đây xác định?

a) y = f (x) = x2 + 1 √√
; b) y = g(x) = x − 3 + 5 − x.

x2 − 4

ɓ Lời giải.

a) f (x) xác định khi x2 − 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2.

b) g(x) xác định khi ®x − 3 ≥ 0 ®x ≥ 3
⇔ x ≤ 5 ⇔ 3 ≤ x ≤ 5.
5−x≥0

√ √
−x x.
Ą Ví dụ 2. Tìm tập xác định D cùa hàm số y = h(x) = 1 − x2 :

 ɓ Lời giải.

−x ≥ 0
 x ≤ 0

 
h(x) xác định khi 1 − x2 = 0 ⇔ x = ±1
x√≥ 0 x ≥ 0
 x=0 
 x = 0.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ∅. (Tức là không có giá trị nào của x để hàm số xác định).

Ą Ví dụ 3. Tìm tập xác định D cùa hàm số y = f (x) = x
.

x2 + 1

ɓ Lời giải.
f (x) xác định khi x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = −1 ⇔ x ∈ R.
Vậy tập xác định D = R.

√√
Ą Ví dụ 4. Tìm tập xác định D cùa hàm số y = f (x) = x − 1 + 1 − x2.

f (x) xác định khi ɓ Lời giải.
Vậy tập xác định D = {1} . ®x − 1 ≥ 0 ®x ≥ 1

1 − x2 ≥ 0 ⇔ − 1 ≤ x ≤ 1 ⇔ x = 1.

63/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

64 Kết nối tri thức với cuộc sống

1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Tập xác định D của hàm số có thể có một phần tử, một vài phần tử, vô số phần tử hoặc không
có phần tử nào.

Dạng 2. Tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của
biến số. Tính giá trị của biến khi biết giá trị của hàm số

Tìm tập xác định D của hàm số y = f (x).

Thế giá trị x = x0 ∈ D vào thức của hàm số rồi tính giá trị biểu thức (đôi khi ta rút gọn
biểu thức, biến đổi x0 rồi mới thay vào để tính toán).

Thế giá trị y = y0 ta được y0 = f (x). Giải phương trình f (x) = y0 để tìm giá trị biến số x
(chọn x ∈ D).

Ą Ví dụ 5. Tính giá của hàm số y = f (x) = − 3 x2 − 1 tại x = 1; x = −1.
4 4

ɓ Lời giải.

TXĐ: D = R.
Ta có

f (1) = − 3 · 12 − 1 = − 3 − 1 = −1
4 4 44

f (−1) = − 3 · (−1)2 − 1 = − 3 · 1 − 1 = − 3 − 1 = − 4 = −1.
4 44 4 44 4

Ą Ví dụ 6. Cho hàm số y = f (x) = x2 − 9 đó f (−3) bằng bao nhiêu?
x + 3 . Khi

ɓ Lời giải.
Điều kiện x = −3.
Vì x = −3 không thỏa mãn điều kiện nên không tồn tại f (−3).

Ą Ví dụ 7. Cho hàm số y = f (x) = mx + m − 1, biết f (3) = 8. Tính f (3).

TXĐ: R. Ta có ɓ Lời giải.

f (2) = 8 ⇔ m · 2 + m − 1 = 8 ⇔ 3m = 9 ⇔ m = 3.
⇒ f (x) = 3x + 2 ⇒ f (3) = 3 · 3 + 2 = 11.

Ą Ví dụ 8. Cho hàm số y = f (x) = mx + m − 1, biết f (3) = 8. Tính f (3).

ɓ Lời giải.

TXĐ: D = R. √ Ä √ä

Ta có f (x) = 0 ⇔ (3 − 2 2)x − 1 = 9 ⇔ 3 − 2 2 x = 1

64/207 ⇔x= 1√ √ Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
⇔ x = 3 + 2 2.
3−2 2

65 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ą Ví dụ 9. Cho hàm số y = f (x) √√
= x + 1 − x.

a) Tìm x, biết f (x) = 1;

b) Tìm x sao cho f (x) = 0,5;

c) Tìm m để có giá trị của x thỏa mãn f (x) = m.

ɓ Lời giải.

a) Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 1.

Ta có

√√
f (x) = 1 ⇔ (√xx++√√11−√−xx=)2 1
⇔ =
12 √√

⇔ √x + 2 x · 1 √− x + x = 1 ⇔ 2 x · 1 − x = 0
⇔ x = 0 hoặc 1 − x = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 1 (thỏa mãn điều kiện).

b) Ta có

√√
f (x) = 0,5 ⇔ x + 1 − x = 0,5
Ä√x √
⇔ + 1 − ä2 = 0,52
√√ x

⇔ x√+ 2 √x · 1 − x + 1 − x = 0,25 √√
⇔ 2 x · 1 − x = −0,75 không xảy ra vì 2 x · 1 − x ≥ 0).

Do đó không có giá trị nào của x để f (x) = 0,5.

c) Ta √√ f 2(x) = Ä√ + √ − ä2
có f (x) = x + 1 − x ⇔ x 1 x
√√
⇔ f 2(x) = x + 2x1 − x + 1 − x
√ √ √ √
⇔ f 2(x) = 2x · 1 − x + 1 ≥ 1 (vì 2x · 1 − x ≥ 0).

Suy ra f (x) ≥ 0 (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 và x = 1).
Do đó chỉ khi m ≥ 1 thì có giá trị thỏa mãn f (x) = m.

Dạng 3. Biểu diễn điểm trên mặt phẳng toạ độ, xác
định khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ

Để biểu diễn điểm M (a; b) trên mặt phẳng tọa độ ta làm như sau:

— Kẻ đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm a; y

— Kẻ đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm b; b M (a; b)

— Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm đó là M .

Oa x
Để xác định khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yB) và B(xB; yB), ta làm như sau:

65/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

66 Kết nối tri thức với cuộc sống

1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ta có AH = |xA − xB|; BH =√|yA − yB|. y
AB2 = AH2 + BH2 ⇒ AB = AH2 + BH2 (*) yB

⇒ AB = » − xA)2 + (yB − yA)2 yA A B
(xB H

O xA x

Ą Ví dụ 10. Biểu diễn hai điểm A(2; 1) và B(4; 5) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tính khoảng
cách giữa hai điểm đó.

ɓ Lời giải.

Biểu diễn các điểm A, B như hình bên. y B
Trong ABH ta có H“ = 90◦; AH = 4 − 2 = 2; BH = 5 − 1 = 4. H
Áp dụng định lí Py - ta - go vào ABH vuông tại H ta có 5
4
√√ 3
AB2 = AH2 + BH2 = 22 + 42 = 20 ⇒ AB = 20 = 2 5. 2

A
1

O 1234 x

Sau này trong thực hành ta sẽ vận dụng ngay công thức (*) √
(4 − 2)2 + (5 − 1)2 = 2 5.
Ta có (yB − xA)2 + (yB − xA)2 = » − xA)2 + (yB − yA)2 =
(xB

Ą Ví dụ 11. Cho tam giác ABC có A(1; 1); B(3; 3) và C(5; 1).
a) Tính chu vi tam giác ABC;
b) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân.

ɓ Lời giải.

√√
a) Ta có AB = (3 − 1)2 + (3 − 1)2 = 8 = 2 2;
√√
AC = (5 − 1)2 + (1 − 1)2 = 4; BC = (5 −√3)2 + (√1 − 3)2 = Ä4√+ 4 =2 2.
ä
Chu vi tam giác ABC là AB + BC + AC = 2 2 + 2 2 + 4 = 4 2 + 1 (đvđd).

√ (1)
b) Ta có AB = BC = 2 2, suy ra ABC cân tại B.

®AB2 = BC2 = (2 √ 2)2 = 8 ⇒ AB2 + BC2 = AC2
AC2 = 42 = 16

⇒ ABC vuông tại B. (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABC vuông cân tại B.

66/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

67 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ą Ví dụ 12. Cho các điểm A(2; 4), B(−1; 0) và C(0; 4).
a) Biểu diễn trên các điểm A, B, C trên mặt phẳng tọa độ.
b) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

ɓ Lời giải.

a) Biểu diễn các điểm A(2; 4), B(−1; 0) và C(0; 4) như hình bên. y
H4C
b) Ta thấy A, B, C không thẳng hàng nên A, B, C là ba đỉnh của một A
B 2x
tam giác. −1 O

Áp dụng công thức MN = » − xM )2 + (yN − yM )2, ta tính được
(xN

√
AB = 5; AC = 2; BC = 17.

√√
Chu vi tam giác ABC là 5 + 2 + 17 = 7 + 17 (đvđd).

Diện tích tam giác ABC là

SABC = 1 · BH · CA = 1 , 4.2 = 4 (đvdt).
2 2

Ą Ví dụ 13. Cho hai điểm A(2; 4) và B(−1; 0) trên hệ trục tọa độ Oxy.
a) Biểu diễn các điểm A, B trên mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm các điểm C trên trục hoành sao cho ABC cân tại A.

ɓ Lời giải.

a) Biểu diễn các điểm A(2; 4), B(−1; 0) như hình bên. y A
4
b) Vì C nằm trên trục hoành nên tung độ của điểm C H
bằng 0, do đó C(x; 0) với x = −1. B 2
−1 O
Áp dụng công thức

MN = » − xM )2 + (yN − yM )2, ta tính được
(xN
C
AB = 5; AC = (x − 2)2 + (0 − 4)2. xx

»
Ta có ABC cân tại A ⇔ (x − 2)2 + (0 − 4)2 = 5

⇔ (x − 2)2 + 16 = 25
⇔ (x − 2)2 = 9

⇔ x = 5 hoặc x = −1 (loại).
Vậy C(5; 0) thì ABC cân tại A.

a) Ta có thể giải cách khác như sau
ABC cân tại A ⇔ HB = HC ⇔ HC = 3 (vì HB = 3) ⇔ x − 2 = 3 ⇔ x = 5.

Do đó, nếu kết hợp với kiến thức hình học thì chúng ta có thể giải bài toán đơn giản hơn,
nhanh hơn.

67/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

68 Kết nối tri thức với cuộc sống

1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT

b) Ta có thể thay đổi yêu cầu bài toán thành “Tìm điểm C trên trục hoành sao ABC cân”.
Với yêu cầu mới ta phải giải bài toán trong ba trường hợp

Trường hợp 1: ABC cân tại A.
Trường hợp 2: ABC cân tại B.
Trường hợp 3: ABC cân tại C.

Dạng 4. Điểm thuộc đồ thị, điểm không thuộc đồ thị của hàm số

Cho hàm y = f (x) có miền xác định D và có đổ thị G, Khi đó

M (x0; y0) thuộc đổ thị G khi và chỉ khi ®x0 ∈ D .
y0 = f (x0)

M (x0; y0) không thuộc đồ thị G khi và chỉ khi y0 = f (x0) hoặc x0 ∈/ D.

Ą Ví dụ√14.√Cho hàm số y = f (x) = √ Trong các điểm A(9; 3), B(4; −2), M (−1; 1) và
Ä ä x.

N 4 + 2 3; 3 − 1 điểm nào thuộc đồ thị (G) của hàm số cho?

ɓ Lời giải.

Ta có

M ∈/ (G) vì khi x = −1 thì hàm số không xác định,
√

B(4; −2) ∈/ (G) vì 4 = 2 = −2,
√

A(9; 3) ∈ (G) vì f (9) = 9 = 3,

Ä √√ ä Ä √ ä » √ …Ä√ ä2 √ √
N 4 + 2 3 : 3 − 1 ∈/ (G) vì f 4 + 2 3 = 4 + 2 3 = 3 + 1 = 3 + 1 = 3 − 1.

Ą Ví dụ 15. Điểm M (−1; −1) thuộc đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới dây?
A. y = x2. B. y = x4. C. y = 3x + 2. D. y = −x3.

ɓ Lời giải.

Loại (A), (B) vì tung độ của M âm.
Loại (D) vì hoành độ và tung độ của M cùng dấu.
Chọn đáp án C

Ą Ví dụ 16. Khi m thay đổi, tìm tập hợp các điểm M có tọa độ như sau

a) M (m; 3); b) M (2; m).

ɓ Lời giải.

a) Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

68/207

69 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ta có f (m) = 3. Khi m thay đổi f (m) luôn nhận một giá trị không y y=3
đổi. x
Hàm số y = f (m) = 3 là một hàm hằng. M
Đồ thị của một hàm số y = 3 là đường thẳng song song với trục 3 x=2
hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
Tập hợp các điểm M (m; 3) là đường thẳng song song với trục hoành
và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

Om

b) y

Tập hợp các điểm M (2; m) là đường thẳng song song với trục tung
và cắt trục hoành tại điểm có hành độ bằng 2.

2 M (2; m)

Ox

Ą Ví dụ 17. Cho hàm số y = f (x) = (m + 1)x − 2m.
a) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm A(1; 1).
b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.

ɓ Lời giải.

a) A(1; 1) ∈ d : y = (m + 1)x − 2m ⇔ 1 = (m + 1) · 1 − 2m ⇔ m = 0.

b) M (x0; y0) ∈ d : y = (m + 1)x − 2m ⇔ y0 = (m + 1)x0 − 2m ⇔ m (x0 − 2) + (x0 − y0) = 0. (1)
d đi qua M với mọi m khi (1) đúng với mọi m, tức là

®x0 − 2 = 0 ⇔ ®x0 = 2
x0 − y0 = 0 y0 = 2.

Vậy d luôn đi qua điểm M (2; 2) cố định với mọi m.

Dạng 5. Xác định hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất làm hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a và b là các số cho trước và a = 0.

Ą Ví dụ 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất

a) y = 1 − 3x; b) y = 2x2 + x − 5;
Ä√ ä2
c) y = x2 + x Ä√ − ä + 3;
2 x d) y = 3 − 1 x + 1.

ɓ Lời giải.

69/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

70 Kết nối tri thức với cuộc sống

1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT

a) Hàm số y = 1 − 3x hay y = −3x + 1 có dạng y = ax + b, trong đó a = −3 = 0, nên y = −3x + 1
là hàm số bậc nhất.

b) Hàm số y = 2x2 + x − 5 không phải là hàm số bậc nhất vì sau khi rút gọn không có dạng
y = ax + b.

c) Hàm số y = x2 + x Ä√ − ä + 3 =√x2 + √ − x2 + 3 = √ + 3 là hàm số bậc nhất vì hàm số
2 x 2x 2x

có dạng y = ax + b, trong đó a = 2 = 0.

Ä√ ä2
d) Hàm số y = 3 − 1 x + 1 là hàm số bậc nhất vì hàm số có dạng y = ax + b, trong đó

Ä√ ä2
a = 3 − 1 = 0.

Ą Ví dụ 19. Cho 3 hàm số f (x) = x2 + 3; g(x) = x2 − x + 1 và h(x) = 2x2 + 3x − 1.
Xét xác khẳng định

(1) f (x) − g(x) là hàm số bậc nhất;

(2) h(x) − g(x) là hàm số bậc nhất;

(3) f (x) + g(x) − h(x) là hàm số bậc nhất.

Trong các khẳng định trên, khẳng định đúng là

A. Chỉ (1). B. Chỉ (2). C. Chỉ (1) và (2). D. Chỉ (1) và (3).

ɓ Lời giải.
Ta thực hiện phép tính cộng, trừ các đa thức được kết quả:

f (x) − g(x) = x + 2 là hàm số bậc nhất;
h(x) − g(x) = x2 + 4x − 2 không là hàm số bậc nhất;
f (x) + g(x) − h(x) = −4x + 5 là hàm số bậc nhất.

Chọn đáp án D

Ą Ví dụ 20. Cho hàm số y = f (x) = (1 − 2m)x + m2 + 2. Tìm m để hàm số đã cho là hàm số
bậc nhất.

ɓ Lời giải.
Hàm số y = f (x) = (1 − 2m)x + m2 + 2 là hàm số khi và chỉ khi 1 − 2m = 0 ⇔ m = 1 .

2

Ą Ví dụ 21. Cho hàm số y = f (x) = (m2 − m) x2 + mx + 2. Tìm m để hàm số đã cho là hàm số
bậc nhất.

ɓ Lời giải.
Hàm số y = f (x) = (m2 − m) x2 + mx + 2 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi

®m2 − m = 0 ®m(m − 1) = 0
⇔ ⇔ m − 1 = 0 ⇔ m = 1.
m=0 m=0

Khi m = 1 ta có hàm số y = x + 2 là hàm số bậc nhất. Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

70/207

71 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Dạng 6. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Vận dụng định nghĩa: Với mọi x1; x2 thuộc miền xác định D là một khoảng hoặc đoạn hoặc
nửa khoảng,

— Nếu x1 > x2 mà f (x1) > f (x2) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên D.
— Nếu x1 > x2 mà f (x1) < f (x2) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên D.

Trong thực hành giải toán ta làm như sau: Với mọi x1; x2 ∈ D, x1 = x2,

— Nếu f (x1) − f (x2) >0 thì hàm số y = f (x) đồng biến trên D.
x1 − x2

— Nếu f (x1) − f (x2) <0 thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên D.
x1 − x2

Cho hàm số y = f (x) = ax + b (a = 0). Khi đó

— Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên R;
— Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên R.

√
Ą Ví dụ 22. Chứng minh hàm số y = f (x) = x + 3 đồng biến trên tập xác định.

ɓ Lời giải.

Hàm số xác định khi x ≥ −3. Lấy x1, x2 bất kì thỏa mãn x1, x2 ≥ −3, x1 = x2, ta có

√√ (x1 +√3) − (x2 +√3)
f (x1) − f (x2) = x1 + 3 − x2 + 3 = = √ 1 √ > 0.
x1 − x2 x1 − x2 (x1 − x2) x1 + 3 + x2 + 3 x1 + 3 + x2 + 3

√
Do đó hàm số y = f (x) = x + 3 đồng biến trên tập xác định.

Ą Ví dụ 23. Cho hàm số y = f (x) = m − 2x (m là hằng số). Xét sự đồng biến, nghịch biến của
hàm số y = f (x) trên R.

ɓ Lời giải.

Cách 1: Tập xác định: R.
Lấy x1, x2 ∈ R sao cho x1 < x2 ta có

f (x1) − f (x2) = (m − 2x1) − (m − 2x2) = m − 2x1 − m + 2x2 = 2(x2 − x1) > 0.

Do đó f (x1) > f (x2), suy ra hàm số nghịch biến trên R.

Cách 2: y = f (x) = m − 2x = −2x + m là hàm số bậc nhất có hệ số a = −2 < 0, nên hàm số nghịch
biến trên R.

Ą Ví dụ 24. Tìm m để hàm số y = (m − 2)x + 1 (m là tham số) đồng biến trên R.

ɓ Lời giải.
Hàm số y = (m2 − 2)x = 1 là hàm số bậc nhất khi m2 = √2 với hệ số a =√m2 − 2.
Do đó hàm số đồng biến trên R ⇔ m2 − 2 > 0 ⇔ m < − 2 hoặc m > 2.

71/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

72 Kết nối tri thức với cuộc sống

1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT

√√
Khi m = − 2 hoặc m = 2 thì y = 0x + 1 = 1 nên hàm số là hàm hằng. Khi đó đồ thị của
hàm số là đường thẳng song song với trục hành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Ą Ví dụ 25. Cho hai hàm số f (x) = mx + 2012 và g(x) = (m2 + 1)x − 2011 (m là tham số).
Xét tính Đúng, Sai của các khẳng định sau:

A. f (x) + g(x) là hàm số đống biến trên R. B. g(x) − g(x) là hàm số đống biến trên R.
C. f (x) − g(x) là hàm số đống biến trên R. D. m = 0, g(x) là hàm số nghịch biến.

ɓ Lời giải.
Ta thực hiện phép tính cộng, trừ các đa thức, được kết quả:

f (x)+g(x) = (m2 +m + 1) x+1 là hàm số bậc nhất, với hệ số a = m2+m+1 = Å + 1 ã2 3 > 0
m +
24

với mọi m nên khẳng định (A) đúng.

g(x) − f (x) = (m2 − m + 1) x − 4023 là hàm số bậc nhất, với hệ số a = m2 − m + 1 =

Å − 1 ã2 + 3 > 0 với mọi m nên khẳng định (B) đúng.
m
24

f (x) − g(x) = − (m2 − m + 1) x + 4023 là hàm số bậc nhất, với hệ số a = − (m2 − m + 1) =
Å 1 ã2 3

− m − − < 0 với mọi m nên khẳng định (C) đúng.
24

m = 0, g(x) = x − 2011 có a = 1 > 0 là hàm số đồng biến, nên khẳng định (D) sai.

C – BÀI TẬP VẬN DỤNG

Ą Bài 1. Cho hai hàm số y = f (x) = √ và y √√
x−2 = g(x) = x + 1 − x.
3

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

f Å1ã, Å 1 ã
.
b) Tính f (2), g(0), g(1), g
22

ɓ Lời giải.

a) Hàm số xác định kh√i x − 2√≥ 0 ⇔ x ≥ 2.
Hàm số y = g(x) = x + 1 − x xác định khi

®x ≥ 0 ®x ≥ 0
⇔ x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1.
1−x≥0

b) Ta có f (2) = 0; f Å1ã không xác định;
2
√
g(0) = 1; g(1) = 1; g Å1ã = √1 + √1 = √2 = 2.
2 22 2

72/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

73 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ą Bài 2. Cho các điểm A(2; 3), B(−2; 0) và C(4; 3).
a) Biểu diễn các điểm A, B, C trên mặt phẳng tọa độ.
b) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
c) Tìm điểm M trên trục hoành sao cho tam giác ABM cân tại A.
d) Tìm điểm N trên trục tung sao cho tam giác ABN cân tại B.

ɓ Lời giải.

a)

Biểu diễn các điểm A(2; 3), B(−2; 0), C(4; 3) như hình y AC
vẽ. 3 2 4x

b) Ta thấy A, B, C không thẳng hàng nên ba đỉnh này tạo H O

thành một tam giác. B
−2
Áp dụng công thức MN = » − xM )√2 + (yN − yM )2
(xN

ta tính được AB = 5; AC = 2; BC√= 3 5. √
Chu vi tam giác ABC là 5 + 2 + 3 5 = 7 + 3 5.

c) M (6; 0).

Ä√ä Ä √ä
d) N 0; 21 hoặc N 0; − 21 .

Ą Bài 3. Cho hàm số y = f (x) = −mx + m − 3. Biết f (−2) = 6, tính f (−3).
ɓ Lời giải.

f (−2) = 6 ⇔ −m(−2) + m − 3 = 6 ⇔ 3m = 9 ⇔ m = 3 ⇒ f (x) = −3x ⇒ f (−3) = 9.

Ą Bài 4. Cho hàm số y = f (x) = −mx + m − 3. Biết f (−2) = 6, tính f (−3).

√ Ä√ √ä ɓ Lời giải. √ √
3 3 2 √√ √ −2 − 6 − 2.
f (x) = ⇔ − x + 2+ 3= 3 ⇔ x = Ä√ √ä =
3 − 2

Ą Bài 5. Cho hàm số y = f (x) = −mx + 4.
a) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm A(−1; −1).
b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
ɓ Lời giải.

a) A(−1; −1) ∈ d : y = −mx + 4 ⇔ −1 = −m(−1) + 4 ⇔ m = −5.
b) Cho x = 0 suy ra y = 4. Ta tìm được điểm M (0; 4) là điểm cố định mà d luôn đi qua.

73/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

74 Kết nối tri thức với cuộc sống

1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ą Bài 6. Với các giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất?

a) y = (4m2 − 1) x; √
b) y = 5 − m(x − 2);

c) y = m2x2 + m (x + 2 − 4x2) + 1 − 2x.

a) m = ±1. ɓ Lời giải. c) m = 0 hoặc m = 4.
2 b) m < 5.

Ą Bài 7. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

Ä √ä √
a) y = f (x) = 1 − 2 x + 1, với x ∈ R; b) y = f (x) = x − 2, với x ≥ 2;

c) y = f (x) = x2 + 2, với x < 0.

ɓ Lời giải.

√√
a) Với mọi x1, x2 ∈ R, x1 > x2 ta có f (x1) − f (x2) = (1 − 2) (x1 − x2) < 0, (vì 1 − 2 <

0, x1 − x2 > 0).
Do đó f (x) là hàm số nghịch biến trên R.

b) Với mọi x1, x2 ∈ R, x1 = x2 ≥ 2 ta có

√√ −
f (x1) − f (x2) x1 −2 − x2 2 √x1 − x2 √ = √ 1 √ > 0.
x1 − x2 = x1 − x2 = x1 − 2 + x2 − 2 x1 − 2 + x2 − 2
(x1 − x2)

Do đó f (x) là hàm số đồng biến với mọi x ≥ 2.

c) Với mọi x1, x2 < 0; x1 > x2 ta có

f (x1) − f (x2) = x21 + 2 − x22 + 2 = (x1 − x2) (x1 + x2) < 0

vì x1 − x2 > 0, x1 + x2 < 0 với mọi x1, x2 < 0; x1 > x2. Do đó hàm số nghịch biến với mọi x < 0.

Ą Bài 8. Cho hàm số y = f (x) = Ä − √ä x − 1 và f (m + 1), f Äm + √ä là hai giá trị tương
1 √3 2

ứng của hàm số tại xÄm=+m√+21ä,. x = m + 2. Khi đó
A. f (m + 1) > f Ä √ä

B. f (m + 1) < f m + 2 .
Ä √ä
C. f (m + 1) = f m + 2 .

D. Không thể so sánh được vì phụ thuộc vào giá trị của m.

Ä √ä ɓ Lời giải. √

Hàm số y = f (x) = 1 − 3 x − 1 là hàm số nghịch biến vì a = 1 − 3 < 0.
√ä √
Ta có f (m + 1) > f Äm + 2 vì m + 1 < m + 2.

Chọn đáp án A

74/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

75 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ą Bài 9. Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f (x) bậc ba với hệ số nguyên sao cho f (7) = 2010
và f (11) = 2012.

ɓ Lời giải.
Giả sử có đa thức f (x) = ax3 + bx2 + cx + d; a, b, c, d ∈ Z, a = 0 thỏa mãn f (7) = 2010, f (11) = 2012.

Ta có

f (11) − f (7) = a · 113 + b · 112 + c · 11 + d − a · 73 + b · 72 + c · 7 + d
= a · 113 − 73 + b · 112 − 72 + c · (11 − 7) ... 4 (do mỗi số hạng chia hết cho 4).

Từ đó suy ra f (11) − f (7) ... 4. (1)
Mặt khác f (11) = 2012, f (7) = 2010 nên f (11) − f (7) = 2. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2 ... 4 vô lí, vậy điều giả sử sai.

75/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

76 Kết nối tri thức với cuộc sống

2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = AX + B (A = 0)

BÀI 2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = AX + B (A = 0)

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a = 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a = 0) là một đường thẳng (kí hiệu là (d))

Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b hay (d) luôn đi qua điểm B(0; b).
Song song với đường thẳng y = ax (a = 0) nếu b = 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0.

b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a = 0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b hoặc đường
thẳng ax − y + b = 0.

2. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a = 0)
TH1: b = 0 ⇒ y = ax (đã học).

TH2: b = 0:

x x1 x2
y y1 y2

⇒ (d) là đường thẳng đi qua 2 điểm A(x1; y1), B(x2; y2).
Trong thực hành, ta thường xác định 2 điểm đặc biệt là giao điểm của (d) với 2 trục tọa độ Ox,
Oy.

Khi b = 0 thì y = ax đồ thị của hàm số y = ax đi qua gốc tọa độ O(0; 0).
Khi b = 0 thì đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm B(0; b).
Khi a > 0 thì đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng có chiều đi lên từ trái sang phải
(hàm số đồng biến).

Khi a < 0 thì đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng có chiều đi xuống từ trái sang phải
(hàm số nghịch biến).

Đường thẳng y = x là đường phân giác của góc phần tư thứ (I) và thứ (III).
Đường thẳng y = −x là đường phân giác của góc phần tư thứ (II) và thứ (IV).

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Điểm thuộc đường thẳng. Điểm không thuộc đường thẳng
Cho điểm M (x0; y0) và đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Khi đó

M ∈ (d) ⇔ y0 = ax0 + b; M ∈/ (d) ⇔ y0 = ax0 + b.

76/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

77 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Å 1 ã
0,
Ą Ví dụ 1. Cho đường thẳng (d) : y = −3x + 1. Trong các điểm M (−1; 2), N (0; 1), P 3 ;

hãy xác định các điểm thuộc và không thuộc đường thẳng (d).

ɓ Lời giải.

Ta có

M (−1; 2) ∈/ (d), vì khi x = −1 thì −3 · (−1) + 1 = 3 + 1 = 4 = 2.

N (0; 1) ∈ (d), vì khi x = 0 thì −3 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1 .

P Å1 ã ∈ (d), vì khi x = 0 thì −3 · 1 + 1 = −1 + 1 = 0.
;0
33

Ą Ví dụ 2. Điểm√M Ä√ ä thuộc đường thẳng nào trong cá√c đường thẳng dưới dây?
2; 1

A. y = √x + 1 − 2.√ B. x + y − √2 + 1.
C. y = 2x + 1 − 2. D. x + y − 2 = 0.

ɓ Lời giải.

Kí hiệu các đường thẳng ở các trường hợp (A), (B), (C), (D) lần lượt là (d1), (d2), (d3), (d4). Ta có

Ä√ ä √√ √
M 2; 1 ∈ (d1), vì khi x = 2 thì 2 + 1 − 2 = 1.

Ä√ ä √ √√
M 2; 1 ∈/ (d2), vì khi x = 2 thì − 2 + 2 − 1 = −1 = 1.

Ä√ ä √ √√ √ √
M 2; 1 ∈/ (d3), vì khi x = 2 thì 2 · 2 + 1 − 2 = 3 − 2 = 1.

Ä√ ä √ √√
M 2; 1 ∈/ (d4), vì khi x = 2 thì − 2 + 2 = 0 = 1.

Chọn đáp án A

Ą Ví dụ 3. Cho đường thẳng (d) : y = −2x + 3. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm
A(−m; −3).

ɓ Lời giải.
Đường thẳng (d) : y = −2x + 3 đi qua điểm A(−m; −3) khi

−3 = (−2) · (−m) + 3 ⇔ 2m = −6 ⇔ m = −3.

Vậy đường thẳng (d) : y = −2x + 3 đi qua điểm A(−m; −3) khi m = −3.

Ą Ví dụ 4. Cho đường thẳng (d) : y = (m + 2)x + 3m − 1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua
điểm M (−2; 3).

ɓ Lời giải.
Đường thẳng (d) : y = (m + 2)x + 3m − 1 đi qua điểm M (−2; 3) khi

3 = (m + 2) · (−2) + 3m − 1 ⇔ 3 = −2m − 4 + 3m − 1 ⇔ m = 8.

Vậy đường thẳng (d) : y = (m + 2)x + 3m − 1 đi qua điểm M (−2; 3) khi m = 8.

77/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

78 Kết nối tri thức với cuộc sống

2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = AX + B (A = 0)

Ą Ví dụ 5. Chứng minh rằng đường thẳng (m + 2)x + y + 4m − 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố
định với mọi giá trị của m.

ɓ Lời giải.
Gọi M (x0; y0) là điểm cố đinh thuộc (d), ta có

(m + 2)x0 + y0 + 4m − 3 = 0 ⇔ m(x0 + 4) + (2x0 + y0 − 3) = 0.

Đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M (x0; y0) với mọi m khi và chỉ khi

®x0 + 4 = 0 ⇔ ®x0 = −4

2x0 + y0 − 3 = 0 y0 = 11.

Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M (−4; 11) với mọi giá trị của m.
Dạng 2. Xác định đường thẳng

Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (a = 0), ta phải tìm a và b.

Với điều kiện của bài toán ta xác định được các hệ thức liên hệ giữa a và b.

Giải phương trình để tìm a, b.

Ą Ví dụ 6. Cho hàm số bậc nhất y = −2x + b. Xác định b nếu
a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(−1; 2).
ɓ Lời giải.

a) Đồ thị hàm số y = −2x + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên b = 2.
b) Đồ thị hàm số y = −2x + b đi qua điểm A(−1; 2) khi

2 = (−2) · (−1) + b ⇔ 2 = 2 + b ⇔ b = 0.
Vậy b = 0 thì y = −2x đi qua điểm A(−1; 2).

Ą Ví dụ 7. Xác định đường thẳng (d), biết (d) có dạng y = ax − 4 và đi qua điểm A(−3; 2).

ɓ Lời giải.
Đường thẳng (d) : y = ax − 4 đi qua điểm A(−3; 2) khi

2 = a · (−3) − 4 ⇔ −3a = 2 + 4 ⇔ a = −2.
Vậy (d) có phương trình y = −2x − 4 đi qua điểm A(−3; 2).

Ą Ví dụ 8. Xác định đường thẳng (d), biết (d) có dạng y = ax − 4 và đi qua điểm A(−3; 2).

ɓ Lời giải.
Đường thẳng (d) : y = ax − 4 đi qua điểm A(−3; 2) khi

2 = a · (−3) − 4 ⇔ −3a = 2 + 4 ⇔ a = −2.

Vậy (d) có phương trình y = −2x − 4 đi qua điểm A(−3; 2).

78/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

79 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ą Ví dụ 9. Cho hàm số y = (m − 2)x + m + 2. Xác định m, biết
a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng −2.
b) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.

ɓ Lời giải.

a) Đồ thị (d) của hàm số y = (m − 2)x + m + 2 cắt trục hoành độ bằng −2 nên A(−2; 0) thuộc
(d). Do đó
0 = (m − 2) · (−2) + m + 2 ⇔ −2m + 4 + m + 2 = 0 ⇔ m = 6.

b) Đồ thị (d) của hàm số y = (m − 2)x + m + 2 đi qua gốc tọa độ nên O(0; 0) thuộc (d). Do đó

0 = (m − 2) · 0 + m + 2 ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = −2.

Ą Ví dụ 10. Xác định đường thẳng đi qua hai điểm A(−3; 0) và B(0; 2).

ɓ Lời giải.

Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b. y
B2
Ta có A(−3; 0) ∈ AB ⇒ 0 = a · (−3) + b hay b = 3a. O

B(0; 2) ∈ AB ⇒ 2 = a·0+b hay b = 2. Từ đó suy ra a = 2
.
3
Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 2 x + 2.
3

A x
−3

Ą Ví dụ 11. Cho đường thẳng (d1) : y = 2012x + 2. Xác định đường thẳng (d2) sao cho (d1) và
(d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.

ɓ Lời giải.
Đồ thị hàm số y = 2012x + 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 vì có tung độ gốc là b = 2 nên
đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm A(0; 2) nằm trên trục tung.
Vì (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung nên A(0; 2) thuộc (d2).
Do đó (d2) có phương trình y = 2 hoặc x = 0 (trục tung) hoặc y = ax + 2 (với a = 0, a = 2012).

Có vô số đường thẳng đi qua điểm A(0; 2).

Dạng 3. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a = 0)

Tìm hai điểm thuộc đồ thị hàm số bằng cách cho x nhận hai giá trị xác định rồi tính hai giá trị
tương ứng của y (thông thường ta lấy hai điểm đó là giao điểm của đồ thị với trục hoành và trục
tung). Đường thẳng đi qua hai điểm vừa tìm được là đồ thị hàm số cần vẽ.

79/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

80 Kết nối tri thức với cuộc sống

2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = AX + B (A = 0) (1)
(2)
Ą Ví dụ 12. Cho các hàm số sau

y = −x + 2
y = 2x − 1

a) Vẽ đồ thị các hàm số (1), (2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Xác định tọa độ giao điểm I của (1) và (2).

ɓ Lời giải.

a) y = 2x − 1
y

2A

1 B x
D 2 2
−x +
O1 y=
−1 C

b) Cách 1. Từ giao điểm I của đồ thị ta vẽ đường thẳng vuông góc với trục hoành, cắt trục này

tại điểm có hoành độ là 1.

Vẽ đường thẳng vuông góc với trục tung, cắt trục này tại điểm có tung độ là 1.

Vậy tọa độ giao điểm là I(1; 1).
Cách 2. Gọi tạo độ giao điểm I là (x1; y1).
Vì I là giao điểm của AB và CD nên I vừa thuộc AB, vừa thuộc CD.
Vì I(x1; y1) ∈ AB : y = −x + 2 nên y1 = −x1 + 2.
Vì I(x1; y1) ∈ CD : y = 2x − 1 nên y1 = 2x1 − 1.
Suy ra ta có −x1 + 2 = 2x1 − 1 ⇔ 3x1 = 3 ⇔ x1 = 1 ⇒ y1 = −x1 + 2 = −1 + 2 = 1.
Vậy tọa độ giao điểm I là I(1; 1).

Ą Ví dụ 13. Cho hàm số y= 1 x − 1 (d).
2

a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số đã cho.

b) Tính khoảng cách từ gốc O của hệ trục tọa độ đến đường thẳng (d).

ɓ Lời giải.

a) Cho x = 0 ⇒ y = −1 ⇒ A(0; −1) ∈ Oy. Nguyễn Quốc Dương – 0375113359
Cho y = 0 ⇒ x = 2 ⇒ B(2; 0) ∈ Ox.
Đường thẳng AB là đồ thị (d) của hàm số y = 1x − 1.
2

80/207

81 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

b)

Kẻ OH vuông góc với (d) tại H. Khi đó OH là khoảng y

cách từ O đến đường thẳng (d).

Trong tam giác vuông OAB ta có
1 1 1 115
= + = +√22 = .
OH2 OA2 OB2 12 4 B
2 x
Suy ra OH2 = 4 ⇒ OH = 2 5 OH
. A
5 5√
Vậy khoảng cách từ O đến (d) là 2 5 −1
.
5

Ą Ví dụ 14. Cho các hàm số sau:

y=2 (1)
y = |x + 1| (2)
y = 2mx + m − 1 (3)

a) Vẽ đồ thị các hàm số (1), (2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (3) đi qua giao điểm của hai đồ thị (1) và (2).

ɓ Lời giải.

a) N y
2M
Vẽ đồ thị của hàm số (1).
Đồ thị hàm số y = 2 là đường thẳng song song với trục
hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Vẽ đồ thị của hàm số y = |x + 1| (2).
Ta có

®x + 1 khi x ≥ −1 x
y = |x + 1| = − (x + 1) khi x ≤ −1 −3 −2 −1 O 1

Từ đó, ta được đồ thị có hình chữ V như hình bên.
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị của hai hàm số (1) và (2) cắt nhau tại hai điểm M (1; 2) và N (−3; 2).

b) Đồ thị (d) của hàm số y = 2mx + m˘1 đi qua giao điểm của hai đồ thị hàm số (1) và (2) khi và
chỉ khi (d) đi qua hai điểm M hoặc N .

c)

Trường hợp (d) đi qua M (1; 2). Khi đó

2 = 2m · 1 + m˘1 ⇔ 3m = 3 ⇔ m = 1.

Trường hợp (d) đi qua N (−3; 2). Khi đó

2 = 2m · (−3) + m˘1 ⇔ 5m = −3 ⇔ m = −3.
5

Vậy với m = 1 hoặc m = −3 thì đồ thị hàm số (3) đi qua giao điểm của đồ thị hàm số (1)
5

và hàm số (2).

81/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

82 Kết nối tri thức với cuộc sống

2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = AX + B (A = 0)

Ą Ví dụ 15. Cho hàm số y = mx + 3 (d). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường
thẳng (d) là lớn nhất.

ɓ Lời giải.

a) y y=3
A
Xét m = 0 khi đó (d) có phương trình y = 0 · x + 3 = 3
hay y = 3. 3
Đồ thị hàm số y = 3 là đường thẳng song song với trục
hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 nên H
khoảng cách từ O đến (d) bằng 3.

dO x

b) Xét m = 0. Khi đó (d) : y = mx + 3 luôn đi qua điểm A(0; 3) nằm trên trục tung. Kẻ OH vuông
góc với (d) tại H.
Khi đó OH ≤ OA hay OH ≤ 3 (dấu “=” không xảy ra vì m = 0 nên H không trùng A).
Do đó OH < 3. Kết hợp hai trường hơp ta có khi m = 0 thì khoảng cách từ O đến đường thẳng
(d) là lớn nhất.

C – BÀI TẬP VẬN DỤNG

√√
Ą Bài 1. Đồ thị của hàm số y = 2x + 1 − 2 đi qua điểm nào sau đây?
Ä√
A. M (−1; 1). B. N (1; 1). C. P (1; −1). D. Q 2; ä
1.

√ ɓ Lời giải.
Ta thử cặp giá trị mà triệt tiêu 2 trước. Thử N (1; 1) thấy đúng.
Chọn đáp án B

Ą Bài 2. Điểm E(−2; 0) thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?

(d1) : y = x + 2; (d2) : y = −2x − 4; (d3) : y = 3x + 6; (d4) : y = 2x + 4
3 .

3

A. Chỉ thuộc (d1). B. Chỉ thuộc (d2) và (d4).
C. Chỉ thuộc (d2) và (d3). D. Thuộc cả bốn đường thẳng trên.

ɓ Lời giải.
Thử trực tiếp ta thấy tọa độ E(−2; 0) thỏa mãn cả bốn hàm số.

Chọn đáp án D

Ą Bài 3. Cho hai đường thẳng (d1) : y = 2x + 2012 và d2 : y = −1x + 2012. Đường thẳng nào
2

dưới đây không đi qua giao điểm của (d1) và (d2)?

A. y = 2012x. B. y = x + 2012. C. y = 2012x + 2012. D. y = −x + 2012.

ɓ Lời giải.

82/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

83 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

(d1) và (d2) có cùng tung độ gốc là 2012, hệ số a khác nhau. Các đường thẳng có cùng tung độ gốc
2012 sẽ đi qua giao điém của (d1) và (d2). Do đó ta loại (B), (C), (D) vì có tung độ gốc là 2012.

Chọn đáp án A

Ą Bài 4. Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:
y = 1x + 2; y = −2x + 2; y = −2x + 4.
2

ɓ Lời giải.

Vẽ đồ thị của hàm số y = 1x + 2 (d1) y
2 4
Cho x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ A(0; 2).
A2
Cho y = 0 ⇒ x = −4 ⇒ B(−4; 0). O (d1)
x
Biểu diễn các điểm A, B trên mặt phẳng tọa độ.

Vẽ đường thẳng AB ta được đồ thị d1.

Tương tự ta vẽ được:

(d2) : y = −2x + 2; (d3) : y = −2x + 4. B
−4

(d2) (d3)

Ą Bài 5. Xác định đường thẳng đi qua hai điểm A(−2; 0) và B(0; 3).

ɓ Lời giải.

Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b. Ta có

A(−2; 0) ∈ AB ⇒ 0 = a · (−2) + b hay b = 2a.

B(0; 3) ∈ AB ⇒ 3 = a·0+b hay b = 3. Từ đó suy ra a = 3
.
2
Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 3 x + 3.
2

Ą Bài 6. Cho (d1) : y = x, (d2) : y = 0,5x; đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt trục
tung Oy tại điểm C có tung độ bằng 2. Đường thảng (d) lần lượt cắt (d1) , (d2) tại D và E. Khi
đó, tính diện tích tam giác ODE.

ɓ Lời giải.

Từ đồ thị ta thấy DE = 2, OC = 2. 1 OC 1
2 2
Do đó diện tích tam giác cần tìm là S ODE = · DE = · 2·2 = 2 (đvdt).

Ą Bài 7. Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = 2x + 4 − m và y = 3x + m − 2 cắt
nhau lại một điểm nằm trên trục tung.

ɓ Lời giải.
Hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung khi và chỉ khi

4 − m = m − 2 ⇔ 2m = 6 ⇔ m = 3.

Vậy m = 3 thì đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

83/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

84 Kết nối tri thức với cuộc sống

2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = AX + B (A = 0)

Ą Bài 8. Cho hai đường thẳng (d1) : (m − 2)x + 4my + 1 = 0 và (d2) : (m − 2)x + 2012y + 5 − m = 0
(m là tham số).

a) Chứng minh rằng (d1) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
b) Tìm m để hai dường thẳng (d1), (d2) cắt nhau tại mội điểm thuộc trục hoành.

ɓ Lời giải.

Å 1 1 ã
.
a) M ; −
28

b) Giao điểm thuộc trục hoành, nên tung độ y = 0.
Vậy (m − 2)x + 4m · 0 + 1 = 0 và (m − 2)x + 2012 · 0 + 5 − m = 0.
Suy ra m − 5 = −1 ⇔ m = 4 (thỏa mãn).

Ą Bài 9. Cho hàm số y = f (x) = (m − 2)x + 2 có đồ thị là đường thẳng (d).
a) Tìm m để (d) đi qua điểm M (−1; 1).
b) Xác định m để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến (d) có giá trị lớn nhất.

ɓ Lời giải.

a) m = 3. y (d)
y=2
b) Khi m = 2, y = 2 khoảng cách từ O đến (d) là OH = 2. H
2 x
Khi m = 2, y = (m − 2)x + 2.
K
−2 Å −2 ã
m−2 m− 0. AO
Cho y = 2 ⇒ x = ⇒ A 2 ;

Vẽ OK ⊥ (d). Ta có H(0; 2) ∈ (d) : y = (m − 2)x + 2 với mọi m.

Suy ra OK < OH hay OK < 2.

Vậy khoảng cách từ điểm O đến (d) lớn nhất bằng 2 khi m = 2.

84/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

85 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ

ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

Cho hai đường thẳng

(d) : y = ax + b (a = 0)
(d ) : y = a x + b (a = 0)

Khi đó • (d) cắt (d ) ⇔ a = a . ®a = a
®a = a • (d) ≡ (d ) ⇔ b = b .

• (d) ∥ (d ) ⇔ b = b .

Khi a = a , b = b thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một
điểm trên trục tung có tung độ là b.

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi a · a = −1.

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Nhận dạng cặp đường thẳng song song với nhau, cặp
đường thẳng cắt nhau, cặp đường thẳng vuông góc với nhau
Sử dụng các kết quả ở phần Trọng tâm kiến thức.

Ą Ví dụ 1. Hãy chỉ ra hai cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:

(d1) : y = 2x + 1; (d2) : y = x + 3 (d3) : y = −1x + 2;
2 ; 2

(d4) : y = 0,5x − 1; (d5) : y = 4 + 2x; (d6) : y = 1 − 2x.

ɓ Lời giải.
Hai cặp đường thẳng song song với nhau là

(d1) ∥ (d5) vì a = a (= 2); b = b (1 = 4);

(d2) ∥ (d4) vì a = a (= 0,5); b = b (1,5 = −1).

Ą Ví dụ 2. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng vuông góc với nhau trong các đường thẳng sau:

(d1) : y = 2x + 1; (d2) : y = x + 3 (d3) : y = −1x + 2;
2 ; 2

(d4) : y = 0,5x − 1; (d5) : y = 4 + 2x; (d6) : y = 1 − 2x.

ɓ Lời giải.
Bốn cặp đường thẳng vuông góc với nhau là (d1) ⊥ (d3); (d2) ⊥ (d6); (d3) ⊥ (d5); (d4) ⊥ (d6) vì đều

có a · a = −1.

85/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

86 Kết nối tri thức với cuộc sống

3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

Ą Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng sau luôn cắt nhau với mọi giá trị của m:

a) (d1) : y = (m2 − m + 1)x + 1 và (d2) : y = −x + m
.

2

b) (d3) : y = (m2 + 1)x + 2012 và (d4) : y = −mx + 2012.

ɓ Lời giải.

a) Xét (d1) Å 1 ã2 3 ≥ 3 > 0; (d2) có a = −1 < 0.
có a = m2 − m + 1 = m − + 4 4 2

2

Suy ra a = a với mọi m nên (d1) luôn cắt (d2).

b) Ta có a − a = m2 + 1 − (−m) = m2 + m + 1 = Å + 1 ã2 + 3 ≥ 3 > 0 nên a = a với mọi m,
m
2 44

suy ra (d3) luôn cắt (d4).

Hai đường thẳng (d3) và (d4) có cùng tung độ gốc 2012 nên chúng đi qua điểm A(0; 2012) nằm
trên trục tung.

Ą Ví dụ 4. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng y = −mx và y = 1 x + 4 luôn nằm
m
trên một đường tròn cố định với mọi m = 0.

ɓ Lời giải. 1
m
Kí hiệu đường thẳng y = −mx là (d), đường thẳng y = x + 4 là (d ).

Ta có (d) : y = −mx luôn đi qua gốc tọa độ O(0; 0) cố định; (d ): y = 1 x + 4 luôn đi qua điểm B(0; 4)
m

cố định. 1
m
Xét a · a = (−m) · = −1 với m = 0 ⇒ (d) ⊥ (d ) tại A (A là giao điểm của hai đường thẳng (d) và

(d )) ⇒ O’AB = 90◦.

Do đó giao điểm A của (d) và (d ) luôn nằm trên đường tròn đường kính OB cố định, với O(0; 0) và

B(0; 4).

Dạng 2. Xác định đường thẳng với quan hệ song song

Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước:

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax + b.
Sử dụng điều kiện hai đường thẳng song song với nhau để xác định hệ số a.
Với a vừa tìm được, sử dụng điều kiện còn lại để xác định tung độ gốc b.

Ą Ví dụ 5. Tìm m để đường thẳng (d1) : y = (2 − m2)x − m − 5 song song với đường thẳng
(d2) : y = −2x + 2m + 1.

®2 − m2 = 2 ɓ Lời giải.

(1)
(d1) ∥ (d2) ⇔ − m − 5 = 2m + 1. (2)

Giải (1): 2 − m2 = −2 ⇔ m2 = 4 ⇔ ñm = 2
m = −2.

86/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

87 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Giải (2): −m − 5 = 2m + 1 ⇔ 3m = −6 ⇔ m = −2.
Vậy với m = 2 thì (d1) ∥ (d2).

Ą Ví dụ 6. Cho đường thẳng (d) : 2x + y − 3 = 0 và điểm M (−1; 1). Viết phương trình đường
thẳng (d ) đi qua điểm M và song song với (d).

ɓ Lời giải.
Gọi phương trình đường thẳng (d ) là y = ax + b.
Ta có (d) : 2x + y − 3 = 0 hay y = −2x + 3.
Vì (d ) ∥ (d) nên a = −2 và b = 3. Mặc khác, (d ) đi qua điểm M (−1; 1) nên
1 = a · (−1) + b ⇔ −a + b = 1 ⇔ −(−2) + b = 1 (vì a = −2) ⇔ b = −1 (= 3).
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = −2x − 1.

Ą Ví dụ 7. Cho M (0; 2), N (1; 0), P (−1; −1) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB
của tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng AB.

ɓ Lời giải.
Gọi phương trình đường thẳng M N là y = ax + b.
Ta có

N (1; 0) ∈ M N ⇒ 0 = a · 1 + b hay a = −b;

M (0; 2) ∈ M N ⇒ 2 = a · 0 + b hay b = 2 ⇒ a = −2.

Do đó phương trình đường thẳng M N là y = −2x + 2. Vì M, N lần lượt là trung điểm của CB, CA
nên M N là đường trung bình của ABC ⇒ M N ∥ AB.
Vì AB ∥ M N nên phương trình đường thẳng AB có dạng y = −2x + b (b = 2).
Vì P (−1; −1) là trung điểm của đoạn thẳng AB nên đường thẳng AB đi qua P (−1; −1)
⇒ −1 = −2 · (−1) + b ⇔ b = −3 (thỏa mãn).
Vậy phương trình đường thẳng AB là y = −2x − 3.

Ta có thể viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC.

Ą Ví dụ 8. Cho ba điểm không thẳng hàng A(−2; −2), B(0; 4), C(2; 0). Xác định điểm D trên
mặt phẳng tọa độ sao cho ABCD là hình bình hành.

ɓ Lời giải.

Dễ thấy BC : y = −2x + 4. y C
Giả sử có D để ABCD là hình bình hành. 4B 2x
Khi đó AD ∥ BC nên đường thẳng AD có phương trình: y = −2x − 6 (vì
đường thẳng AD qua A). −2
Vì D thuộc AD nên D(x0; −2x0 − 6). O
Tứ giác ABCD là hình bình hành nên
A −2
AD = BC ⇔ AD2 = BC2
D
⇔ (x0 + 2)2 + (−2x0 − 4)2 = 22 + (−4)2 ⇔ ñx0 = 0
x0 = −4.

⇒ D1(−4; 2), D2(0; −6). Từ hình trên suy ra loại D1 vì không đúng thứ tự
các đỉnh của tứ giác ABCD. Vậy D(0; −6).

87/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

88 Kết nối tri thức với cuộc sống

3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

Dạng 3. Xác định đường thẳng với quan hệ vuông góc
Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước:

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax + b.
Sử dụng điều kiện hai đường thẳng vuông góc để xác định hệ số a.
Với a vừa tìm được, sử dụng điều kiện điểm thuộc đường thẳng để xác định tung độ gốc b.

Ą Ví dụ 9. Tìm m để đường thẳng (d) : y = m2x + 1 − m vuông góc với đường thẳng (d ) : y =
1

− x + 2012.
4

ɓ Lời giải.
(d) ⊥ (d ) ⇔ a · a = −1 ⇔ − 1 · m2 = −1 ⇔ m2 = 4 ⇔ ñm = 2 . Vậy m = ±2 thì (d) ⊥ (d ).

4 m = −2

Ą Ví dụ 10. Tìm a và b, biết đường thẳng (d1) : y = ax + b vuông góc với đường thẳng (d2) : y =
1
−x và (d1) đi qua điểm P (1; −1).
3

ɓ Lời giải.

Vì (d1) ⊥ (d2) nên a·a = −1 ⇔ −1 · a = −1 ⇔ a = 3 ⇒ (d1) : y = 3x + b.
3

Vì (d1) đi qua điểm P (1; −1) nên 3 · 1 + b = −1 ⇔ b = −4. Vậy a = 3 và b = −4.

Ą Ví dụ 11. Cho ba điểm A(1; 2), B(3; 0), C(0; 1).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của ABC.

ɓ Lời giải.

a) Gọi phương trình đường thẳng đi qua B(3; 0) và C(0; 1) là BC : y = ax + b. B ∈ BC nên

0 = a · 3 + b ⇔ 3a + b = 0 (1)

C ∈ BC nên 1 = a · 0 + b ⇔ b = 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3a + 1 = 0 ⇔ a = −1 ⇒ BC : y = −1 x + 1.
33

Vì A ∈ BC nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Vậy ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một

tam giác.

b) Gọi phương trình đường cao AH là (d ) : y = a x + b .
Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên

Å 1 ã
− 3
AH ⊥ BC ⇔ (d ) ⊥ BC ⇔a·a = −1 ⇔ a · = −1 ⇔ a = 3.

Mặt khác A(1; 2) ∈ (d ) nên 2 = a · 1 + b ⇔ 2 = 3 · 1 + b ⇔ b = −1.
Vậy phương trình đường cao AH của ABC là y = 3x − 1.

88/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

89 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ą Ví dụ 12. Cho M (0; 2), N (1; 0), P (−1; −1) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB
của tam giác ABC. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.

ɓ Lời giải.

Gọi phương trình đường trung trực của đoạn AB là (d) : y = C
mx + n.
Gọi phương trình đường thẳng M N là y = ax + b.

N (1; 0) ∈ M N ⇒ 0 = a · 1 + b hay a = −b; M
M (0; 2) ∈ M N ⇒ 2 = a · 0 + b hay b = 2 ⇒ a = −2.
N

Do đó phương trình đường thẳng M N là y = −2x + 2. B

Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC và CA nên M N là P (−1; −1) A
đường trung bình của ABC ⇒ M N ∥ AB.

Vì (d) là đường trung trực của đoạn AB nên (d) ⊥ AB

⇒ (d) ⊥ MN ⇒ m(−2) = −1 ⇒ m = 1 Suy ra (d) : y = 1x + n.
.
22

Vì P (−1; −1) là trung điểm của đoạn AB nên đường thẳng (d) đi qua P (−1; −1)

⇒ −1 = 1 · (−1) + n ⇔ n = −1 .
22
1x 1
Vậy phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là y = − .
22

C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Ą Bài 1. Cho đường thẳng (d) : y = ax + b. Tìm giá trị của a và b trong mỗi trường hợp sau:

a) (d) ∥ (d1) : y = 2x + 3; b) (d) trùng (d2) : y = −x + 1;

c) (d) cắt (d3) : y = 1 x; d) (d) ⊥ (d4) : y = −1 x.
2 2

ɓ Lời giải.

a) (d) ∥ (d1) ⇔ a = 2; b = 3. b) (d) trùng (d2) ⇔ a = −1; b = 1.
d) (d) ⊥ (d4) ⇔ a · a = −1 ⇔ a = 2; b ∈ R.
c) (d) cắt (d3) ⇔ a = 1 b ∈ R.
;

2

Ą Bài 2. Viết phương trình đường thẳng (d ) song song với đường thẳng (d) : y = −4x + 5 và đi
qua điểm M (1; −1).

ɓ Lời giải.

Gọi phương trình đường thẳng (d ) là y = ax + b.
Vì (d ) ∥ (d) : y = −4x + 5 nên a = −4; b = 5.
Mặt khác (d ) đi qua M (1; −1) nên −1 = a · 1 + b ⇔ a + b = −1 ⇔ −4 + b = −1 ⇔ b = 3 (thỏa mãn).
Vậy (d ) : y = −4x + 3.

89/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

90 Kết nối tri thức với cuộc sống

3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

Ą Bài 3. Xác định a và b để đường thẳng (d1) : y = ax + b vuông góc với đường thẳng (d2) : y =
1

− x và đi qua điểm P (−1; 2).
2

ɓ Lời giải.

1 y = 2x + b.
Vì (d1) ⊥ (d2) nên a·a = −1 ⇔ − a = −1 ⇔ a = 2. Do đó (d1) :
2

Vì (d1) đi qua điểm P (−1; 2) nên 2 · (−1) + b = 2 ⇔ b = 4.

Ą Bài 4. Đường thẳng (d) : y = −ax + 2011 song song với đường phân giác của góc phần tư (I)
và (III) thì hệ số a của (d) bằng:

A. 1. B. −1. C. 0. D. −1.
2011

ɓ Lời giải.

(d ) : y = x là đường phân giác của góc phần tư (I) và (III).
(d) ∥ (d ) ⇔ −a = 1 ⇔ a = −1.
Chọn đáp án B

Ą Bài 5. Cho bốn đường thẳng (d1) : y = 1 x − 2; (d2) : y = −3x; (d3) : y = −3x + 4 và (d4) : y =
3
1 x + 2 cắt nhau tại bốn điểm phân biệt M, N, P, Q.
3

Khi đó bốn điểm M, N, P, Q là bốn đỉnh của:

A. Một hình thang. B. Một hình bình hành.
C. Một hình chữ nhật. D. Một tứ giác không có gì đặc biệt.

ɓ Lời giải.

(d1) ∥ (d4) vì a= 1 =a; b = −2 = 2 = b ; tương tự (d2) ∥ (d3); (d2) ⊥ (d4) vì 1 (−3) = −1.
3 3

Do đó bốn giao điểm M, N, P, Q là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

Chọn đáp án C

Ą Bài 6. Cho tam giác ABC có A(1; 5), B(−3; 1), C(5; 3).
a) Viết phương trình đường trung trực của cạnh BC.
b) Viết phương trình đường trung bình M N của tam giác ABC (M N ∥ BC).

ɓ Lời giải.

a) Gọi phương trình đường thẳng BC là y = ax + b.

Vì B(−3; 1) ∈ BC nên 1 = −3a + b ⇒ b = 1 + 3a (1)
(2)
C(5; 3) ∈ BC nên 3 = 5a + b

Thay (1) vào (2) ta được a= 1, b= 7 Do đó BC : y = 1x + 7
. .
44 44

Trung trực của BC là đường thẳng (d) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC.
xB + xC yB + yC
Tọa độ của điểm I là x1 = 2 = 1; y1 = 2 = 2 hay I(1; 2).

Do đường trung trực (d) : y = −4x + m đi qua I(1; 2) nên ta được m = 6.

Vậy đường thẳng (d) là y = −4x + 6.

90/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

91 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó ta có M (−1; 3).

Vì M N ∥ BC nên MN có dạng y= 1x + n Å 7ã
4 n= .

4

Do M (−1; 3) thuộc MN nên n = 13 (thỏa mãn). Vậy MN có phương trình: y = 1x + 13
.
4 44

Ą Bài 7. Cho M (0; 4), N (2; 0), P (−1; −2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB
của tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng AB.

ɓ Lời giải.
Phương trình đường thẳng M N là y = −2x + 4.
Vì AB ∥ M N nên phương trình đường thẳng AB có dạng y = −2x + b (b = 2).
Vì đường thẳng AB đi qua P (−1; −2) nên −2 = −2 · (−1) + b ⇔ b = −4.
Vậy phương trình đường thẳng AB là y = −2x − 4.

√√
Ą Bài 8. Cho hai đường thẳng (d1) : y = mx + m và (d2) : y = 3x + m2 + 3.
Chứng minh rằng (d1) và (d2) không trùng nhau với mọi giá trị của m.

ɓ Lời giải.

√
®a = a ®m = 3 (1)
Cách 1. (d1) ≡ (d2) ⇔ ⇔ √
b=b m = m2 + 3. (2)

Thay (1) vào (2) ta được 0 = 3 (vô lí). Do đó (d1) không trùng (d2) với mọi m.

Cách 2. Giả sử b=b ⇔ m = m2 + √ ⇔ m2 − m + 1 + √ − 1 Å 1 ã2 Å√ 1 ã
3 3 =0⇔ m− + 3− =0
44 24

(vô lí). Do đó điều giả sử là sai. Vậy (d1) không trùng (d2) với mọi m.

Chỉ cần a = a hoặc b = b thì (d1) : y = ax + b không trùng (d2) : y = a x + b .

Ą Bài 9. Cho ba điểm không thẳng hàng A(−3; 0), B(0; 2), C(1; 0). Xác định điểm D trên mặt
phẳng tọa độ sao cho ABCD là hình bình hành.

ɓ Lời giải.

D(−2; −2).

91/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

92 Kết nối tri thức với cuộc sống

4. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a = 0)

BÀI 4. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Y = AX + B (A = 0)

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1. Hệ số góc của đường thẳng

Góc tạo bởi tia Ax (A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b y
với trục Ox) và tia AB, trong đó tia AB là phần của đường B
thẳng y = ax + b nằm trong nửa mặt phẳng có bờ x x và chứa
tia Oy được gọi là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Aα x
Ox (hình bên). O
y = ax + b
Vì có sự liên quan giữa hệ số a với góc tạo bởi đường thẳng
y = ax + b và trục Ox nên người ta gọi a là hệ số của đường
thẳng y = ax + b.
Khi góc α nhọn thì a = tan α.
Khi góc α tù thì a = − tan(180◦ − α).

Các đường thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau. Các đường thẳng
song song hoặc trùng nhau thì có hệ số góc bằng nhau.

Khi a > 0 thì góc nhọn, hệ số a càng lớn thì α càng lớn. Khi a < 0 thì góc α tù, hệ số a càng
lớn thì α càng lớn.

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Xác định hệ số góc của đường thẳng
Vận dụng định nghĩa hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a = 0); góc giữa đường thẳng và trục
Ox; vận dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Ą Ví dụ 1. Đường thẳng y = (m + 1)x + 5 đi qua điểm F (−1; 3) có hệ số góc bằng bao nhiêu?

ɓ Lời giải.
Kí hiệu (d) là đường thẳng y = (m + 1)x + 5.
Vì F (−1; 3) ∈ (d) nên 3 = (m + 1)(−1) + 5 ⇔ m = 1.
Hệ số góc của đường thẳng (d) là a = m + 1 = 1 + 1 = 2.

Ą Ví dụ 2. Tính hệ số góc của đường thẳng (d) : y = (m − 2)x + 3, biết nó song song với đường
thẳng (d ) : 2x − y − 1 = 0. Vẽ đồ thị (d) vừa tìm được.

ɓ Lời giải.

92/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359

93 Kết nối tri thức với cuộc sống

Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT y
A3
Đường thẳng (d ) có phương trình 2x − y − 1 = 0 hay y = 2x − 1.
Vì (d) ∥ (d ) ⇔ a = a và b = b nên m − 2 = 2 và 3 = −1.
Do đó hệ số góc của đường thẳng (d) là 2.

Ta có (d) : y = 2x + 3. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 3) và B
−3 O
B Å 3 ; ã là đường thẳng (d) cần vẽ (hình bên). 2 x
− 0
2

Ą Ví dụ 3. Tính hệ số góc của đường thẳng (d) : y = (1 − m)x + 1, biết nó vuông góc với đường
thẳng (d ) : x − 2y − 4 = 0. Vẽ đồ thị (d) vừa tìm được.

ɓ Lời giải.

Đường thẳng (d ) có phương trình x − 2y − 4 = 0 hay y = 1 x − 2. y
2
1 1
Vì (d) ⊥ (d ) ⇔ a · a = −1 nên (1 − m) · 2 = −1 ⇒ 1 − m = −2.
O1
Do đó hệ số góc của đường thẳng (d) là −2. 2

Ta có (d) : y = −2x + 1. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 1) và x

B Å1 ã là đường thẳng (d) cần vẽ (hình bên).
; 0
2

Ą Ví dụ 4. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm A(−1; 1) và B(2; −3).

ɓ Lời giải.
Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−1; 1) và B(2; −3) là AB : y = ax + b.

A ∈ AB nên 1 = a · (−1) + b ⇔ −a + b = 1 ⇔ b = a + 1 (1)

B ∈ AB nên −3 = a · 2 + b ⇔ b = −2a − 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có −2a − 3 = a + 1 ⇔ a = −4 .
3

Vậy hệ số góc của đường thẳng AB là a = −4 .
3

Dạng 2. Xác định góc

Vận dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng y = ax + b (a = 0) và trục Ox; vận dụng tỉ số lượng
giác của góc nhọn; vận dụng tam giác đồng dạng.

Ą Ví dụ 5. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = −2x + 3 và trục Ox.
ɓ Lời giải.

93/207 Nguyễn Quốc Dương – 0375113359