Toán 11 - Tập 1

MỤC LỤC 13

PHẦN I ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 15
15
CHƯƠNG 1 Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác 15
1 Công thức lượng giác cần nắm 18
A Tóm tắt lý thuyết 18
2 Hàm số lượng giác 20
A Tóm tắt lý thuyết 20
B Các dạng toán thường gặp 21
Dạng 2.1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 22
1 Bài tập vận dụng 23
2 Bài tập tự luyện 23
Dạng 2.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác 24
1 Ví dụ 27
2 Bài tập áp dụng 28
3 Bài tập rèn luyện 28
Dạng 2.3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác 29
1 Ví dụ 29
2 Bài tập áp dụng
3 Bài tập rèn luyện 31
31
CHƯƠNG 2 Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác 31
1 Phương trình lượng giác 31
A Phương trình lượng giác cơ bản 32
1 Ví dụ 32
2 Bài tập áp dụng
3 Bài tập rèn luyện

1

Ƅ MỤC LỤC 33
33
B Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác 33
Dạng 1.1. Sử dụng thành thạo cung liên kết 34
38
1 Ví dụ 39
2 Bài tập áp dụng 39
3 Bài tập rèn luyện 40
42
Dạng 1.2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng 43
1 Ví dụ 43
2 Bài tập áp dụng 44
3 Bài tập rèn luyện 45
46
Dạng 1.3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos 46
1 Ví dụ 47
2 Bài tập áp dụng 49
3 Bài tập rèn luyện
69
Dạng 1.4. Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích 69
1 Ví dụ 69
2 Bài tập áp dụng 69
3 Bài tập rèn luyện 69
71
CHƯƠNG 3 Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác 79
1 Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng một hàm lượng giác 81
A Tóm tắt lý thuyết 81
B Dạng toán và bài tập 82
1 Ví dụ 82
2 Bài tập vận dụng
3 Bài tập tự luyện Trang 2
2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
A Tóm tắt lý thuyết
B Ví dụ và bài tập
1 Ví dụ

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ MỤC LỤC 86
90
2 Bài tập áp dụng 91
3 Bài tập rèn luyện 91
3 Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4) 92
A Tóm tắt lý thuyết 93
B Ví dụ 99
C Bài tập áp dụng 99
4 Phương trình lượng giác đối xứng 99
A Tóm tắt lý thuyết 100
B Ví dụ 105
C Bài tập áp dụng 105
D Bài tập rèn luyện 105
5 Một số phương trình lượng giác khác 106
A Tóm tắt lý thuyết 107
B Ví dụ 111
C Bài tập áp dụng 111
D Bài tập rèn luyện 111
6 Phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt 112
A Tóm tắt lý thuyết 115
B Ví dụ 118
C Bài tập áp dụng 119
D Bài tập rèn luyện
7 Bài tập ôn cuối chương I 131
131
CHƯƠNG 4 Tổ hợp và xác suất 131
1 Các quy tắc đếm cơ bản 132
A Tóm tắt lý thuyết 132
B Dạng toán và bài tập
1 Ví dụ Trang 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ MỤC LỤC 132
132
Dạng 1.1. Bài toán sử dụng quy tắc cộng 133
Dạng 1.2. Bài toán sử dụng quy tắc nhân 134
Dạng 1.3. Bài toán sử dụng quy tắc bù trừ 145
1 Bài tập áp dụng 145
2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 146
A Tóm tắt lý thuyết 148
B Ví dụ minh họa 148
C Dạng toán và bài tập 148
Dạng 2.1. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 151
1 Ví dụ 153
2 Bài tập áp dụng 154
3 Bài tập rèn luyện 154
Dạng 2.2. Các bài toán sử dụng hoán vị 156
1 Ví dụ 158
2 Bài tập áp dụng 158
3 Bài tập rèn luyện 158
Dạng 2.3. Các bài toán sử dụng chỉnh hợp 160
1 Ví dụ 162
2 Bài tập áp dụng 162
3 Bài tập rèn luyện 162
Dạng 2.4. Các bài toán sử dụng tổ hợp 164
1 Ví dụ 165
2 Bài tập áp dụng 167
3 Bài tập rèn luyện 167
3 Nhị thức Newton 167
A Nhị thức Newton 168
B Tam giác Pascal
C Dạng toán và bài tập Trang 4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ MỤC LỤC 168
168
Dạng 3.1. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước 170
1 Ví dụ minh họa 172
2 Bài tập áp dụng 173
3 Bài tập rèn luyện 173
175
Dạng 3.2. Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn (a + b)n 178
1 Ví dụ 181
2 Bài tập áp dụng 181
3 Bài tập rèn luyện 183
184
Dạng 3.3. Chứng minh hoặc tính tổng 185
1 Ví dụ 185
2 Bài tập áp dụng 185
3 Bài tập rèn luyện 186
4 Biến cố và xác suất của biến cố 188
A Phép thử 188
B Biến cố 188
C Xác suất 190
192
Dạng 4.1. Chọn hoặc sắp xếp đồ vật 195
D Lí thuyết 195
E Ví dụ 195
F Bài tập rèn luyện 196
G Bài tập tự luyện 199
203
Dạng 4.2. Chọn hoặc sắp xếp người 203
H Lí thuyết
I Ví dụ Trang 5
J Bài tập rèn luyện
K Bài tập tự luyện

Dạng 4.3. Chọn hoặc sắp xếp số
L Lí thuyết

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ MỤC LỤC 204
207
M Ví dụ 209
N Bài tập rèn luyện 215
O Bài tập tự luyện 215
5 Các quy tắc tính xác suất 215
A Tóm tắt lý thuyết 217
1 Quy tắc cộng xác suất 219
2 Quy tắc nhân xác suất 226
B Bài tập áp dụng
6 Bài tập ôn chương 2 235
235
CHƯƠNG 5 Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 235
1 Phương pháp quy nạp toán học 235
A Tóm tắt lý thuyết 235
B Dạng toán và bài tập 235
Dạng 1.1. Chứng minh mệnh đề P (n) đúng với mọi số tự nhiên n 237
1 Ví dụ 241
2 Bài tập áp dụng 246
3 Bài tập rèn luyện 246
2 Dãy số 246
A Tóm tắt lý thuyết 246
1 Định nghĩa 246
2 Cách cho một dãy số 246
3 Dãy số tăng, dãy số giảm 247
4 Dãy số bị chặn 247
B Dạng toán và bài tập 247
Dạng 2.1. Tìm số hạng của dãy số cho trước 248
1 Ví dụ 250
2 Bài tập áp dụng
3 Bài tập rèn luyện Trang 6

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ MỤC LỤC 251
251
Dạng 2.2. Xét tính tăng, giảm của dãy số 252
1 Ví dụ 254
2 Bài tập áp dụng 257
3 Bài tập rèn luyện 257
258
Dạng 2.3. Tính bị chặn của dãy số 259
1 Ví dụ 261
2 Bài tập áp dụng 261
3 Bài tập rèn luyện 262
3 Cấp số cộng 262
A Tóm tắt lý thuyết 264
B Dạng toán và bài tập 281
1 Ví dụ 281
2 Bài tập áp dụng 281
4 Cấp số nhân 281
A Tóm tắt lý thuyết 283
B Dạng toán và bài tập 287
1 Ví dụ
2 Bài tập áp dụng 291
3 Bài tập rèn luyện
293
PHẦN II HÌNH HỌC 293
293
CHƯƠNG 1 Phép biến hình 293
1 Mở đầu về phép biến hình 293
A Tóm tắt lý thuyết 294
2 Phép tịnh tiến
A Tóm tắt lý thuyết Trang 7
B Dạng toán và bài tập

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ MỤC LỤC 294
294
Dạng 2.1. Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến 296
1 Ví dụ 297
2 Bài tập áp dụng 297
3 Bài tập rèn luyện 298
298
Dạng 2.2. Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh 299
1 Ví dụ 299
2 Bài tập áp dụng 300
3 Bài tập rèn luyện 300
301
Dạng 2.3. Các bài toán ứng dụng của phép tịnh tiến 301
1 Ví dụ 301
2 Bài tập áp dụng 301
3 Bài tập rèn luyện 302
3 Phép đối xứng trục (Bài đọc thêm) 302
A Định nghĩa 302
B Biểu thức tọa độ 302
C Tính chất 303
D Trục đối xứng của một hình 303
4 Phép quay 303
A Tóm tắt lý thuyết 303
B Dạng toán và bài tập 304
304
Dạng 4.1. Tìm tọa độ ảnh của một điểm qua phép quay 304
1 Ví dụ 305
2 Bài tập áp dụng 305
3 Bài tập rèn luyện
Trang 8
Dạng 4.2. Tìm phương trình ảnh của một đường tròn qua phép quay
1 Ví dụ
2 Bài tập áp dụng
3 Bài tập rèn luyện

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ MỤC LỤC 309
309
5 Phép đối xứng tâm 310
A Tóm tắt lý thuyết 310
312
6 Phép vị tự và phép đồng dạng 312
A Tóm tắt lý thuyết 312
B Dạng toán và bài tập 313
Dạng 6.1. Phép vị tự trong hệ tọa độ Oxy
1 Ví dụ 317
2 Bài tập áp dụng 317
317
CHƯƠNG 2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 319
1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng 319
A Tóm tắt lý thuyết 319
B Dạng toán và bài tập 320
Dạng 1.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 322
1 Ví dụ 323
2 Bài tập áp dụng 323
3 Bài tập tự luyện 324
Dạng 1.2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) 330
1 Ví dụ 331
2 Bài tập áp dụng 331
3 Bài tập rèn luyện 332
Dạng 1.3. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α). 337
1 Ví dụ 337
2 Bài tập áp dụng 338
3 Bài tập tự luyện 339
Dạng 1.4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng 344
1 Ví dụ
2 Bài tập áp dụng Trang 9
3 Bài tập rèn luyện

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ MỤC LỤC 348
348
Dạng 1.5. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy 348
1 Ví dụ 352
2 Bài tập áp dụng
3 Bài tập rèn luyện 353
353
CHƯƠNG 3 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song. 353
1 Hai đường thẳng song song. 354
A Tóm tắt lý thuyết 354
B Dạng toán và bài tập 354
Dạng 1.1. Chứng minh hai đường thẳng song song. 355
1 Ví dụ 356
2 Bài tập áp dụng 357
3 Bài tập rèn luyện 357
Dạng 1.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song. 359
1 Ví dụ 362
2 Bài tập áp dụng 365
3 Bài tập rèn luyện 365
2 Đường thẳng song song với mặt phẳng 366
A Tóm tắt lý thuyết 366
B Dạng toán và bài tập 366
Dạng 2.1. Chứng minh dường thẳng a song song với mặt phẳng (P) 367
1 Ví dụ 368
Dạng 2.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 368
Dạng 2.3. Tìm thiết diện song song với một đường thẳng 394
1 Bài tập áp dụng 394
3 Hai mặt phẳng song song 394
A Tóm tắt lý thuyết 394
1 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt
2 Các định lí

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 10

Ƅ MỤC LỤC 395
396
3 Ví dụ 404
B Bài tập áp dụng
4 Bài tập ôn cuối chương 2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 11

Ƅ MỤC LỤC

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 12

PHẦN

I
ĐẠI SỐ - GIẢI

TÍCH

13



CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1

.BÀI CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

sin
B(0; 1)

A (−1; 0) (II) (I) +
cos
O
(III) A(1; 0)
(IV)

B (0; −1)

Giá trị lượng giác Góc phần tư
sin α
cos α I II III IV
tan α ++ − −
cot α +− − +
+− + −
+− + −

2 Công thức lượng giác cơ bản

sin2 x + cos2 x = 1 1+ tan2 x = 1 1 + cot2 x = 1 x tan x cot x = 1
cos2 x sin2

3 Cung góc liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kém π
cos(−α) = cos α cos(π − α) = − cos α cos(α + π) = − cos α
sin(−α) = − sin α sin(α + π) = − sin α
tan(−α) = − tan α sin(π − α) = sin α tan(α + π) = tan α
cot(−α) = − cot α tan(π − α) = − tan α cot(α + π) = cot α
cot(π − α) = − cot α

Cung phụ nhau Cung hơn kém π
cos π − α = sin α
sin π2 − α = cos α cos π 2
tan 2π − α = cot α +α = − sin α
cot π2 − α = tan α 2π
sin + α = cos α
2 π2
tan +α = − cot α
π2
cot +α = − tan α
2

15

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

4 Công thức cộng

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

tan a + tan b tan(a − b) = tan a − tan b
tan(a + b) = 1 − tan a tan b
1 + tan a tan b
π 1 + tan x π −x 1 − tan x
tan +x = 1 − tan x tan =
4 4 1 + tan x

5 Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc

Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc

sin 2α = 2 sin α cos α sin2 α = 1 − cos 2α
2
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α
2 tan α cos2 α = 1 + cos 2α
2
tan 2α = 1 − tan2 α
cot2 α − 1 tan2 α = 1 − cos 2α
1 + cos 2α
cot 2α =
2 cot α cot2 α = 1 + cos 2α
Công thức nhân 3 1 − cos 2α

ñ sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α 3 tan α − tan3 α
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α tan 3α = 1 − 3 tan2 α

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a + cos b = 2 cos a+b a−b cos a − cos b = −2 sin a + b sin a − b
cos 22
22
a+b a−b sin a − sin b = 2 cos a + b sin a − b
sin a + sin b = 2 sin cos 22
22
sin(a + b) tan a − tan b = sin(a − b)
tan a + tan b = cos a cos b
cos a cos b
sin(a + b) cot a − cot b = sin(b − a)
cot a + cot b = sin a sin b
sin a sin b

Đặt biệt

√π √ x− π √ x− π √ π
sin x + cos x = 2 sin x + = 2 cos sin x − cos x = 2 sin = − 2 cos x+
44 44

7 Công thức biến đổi tích thành tổng

cos a · cos b = 1 [cos(a − b) + cos(a + b)]
2

sin a · sin b = 1 [cos(a − b) − cos(a + b)]
2

sin a · cos b = 1 [sin(a − b) + sin(a + b)]
2

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt

độ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 360◦

rad 0 πππ π 2π 3π 5π π 2π
6 √4 √3
2 √3 √4 6

sin α 0 1 23 1 3 21 0
0
√2 √2 2
2 2√ 2√
3 2 1 0 − 1 − 2 − 3 −1 1
cos α 1 √2 2 2 2 2 √2
3 1 √ √ −1 −3
tan α 0 kxđ − 3 0 0
3 3 3
√ √ √ √
cot α kxđ 1 3 0 −3 −1 − 3 kxđ kxđ
3
33

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 16

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M (cos α, sin α)

y

Ä 1 √ ä (0, 1) Ä 1 √ ä
− 2 3 2 3
, π ,
2 2 2

Ä √√ 90◦ √√
− 2 2ä Ä 2 2ä
2 2
, 2 , 2

Ä √ 1ä 2π π Ä √ 1ä
− 3 3 3 3
2 , 2 3π π 2 , 2
4 120◦ 60◦ 4

5π π
6
6

150◦ 30◦

(−1, 0) π 180◦ 3600◦◦ 2π (1, 0)

x

210◦ 330◦

Ä− √ ä 7π 240◦ 270◦ 300◦ 11π Ä √ ä
3 1 6 6 3 1
2 , − 2 4π 3π 5π 2 , − 2
5π 3 2 3 7π
4 4
(0, −1)
Ä− √√ Ä √√
2 2ä 2 2ä
2 , − 2 , −
2 2

Ä 1 − √ ä Ä 1 − √ ä
− 2 3 2 3
, 2 , 2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 17

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

.BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tính chất của hàm số

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hàm số y = f (x) có tập xác định là D gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D thì −x ∈ D
và f (−x) = f (x). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số y = f (x) có tập xác định là D gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D thì −x ∈ D và
f (−x) = −f (x). Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

b) Hàm số đơn điệu
Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập (a; b) ⊂ R.

Hàm số y = f (x) gọi là đồng biến trên (a; b) nếu ∀x1, x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f (x1) <
f (x2).
Hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến trên (a; b) nếu ∀x1, x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f (x1) >
f (x2).

c) Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T = 0
sao cho với mọi x ∈ D ta có (x + T ) ∈ D và (x − T ) ∈ D và f (x + T ) = f (x).
Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần
hoàn f .

2 Hàm số y = sin x

Hàm số y = sin x có tập xác định là D = R ⇒ y = sin [f (x)] xác định ⇔ f (x) xác định.

Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa là −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ ◦ 0 ≤ | sin x| ≤ 1
◦ 0 ≤ sin2 x ≤ 1.

Hàm số y = f (x) = sin x là hàm số lẻ vì f (−x) = sin(−x) = − sin x = −f (x). Nên đồ thị hàm
số y = sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T0 = 2π, nghĩa là sin (x + k2π) = sin x. Hàm số
2π

y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = |a| .

Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng − π + k2π; π + k2π và nghịch biến trên mỗi
22
Åπ 3π ã
khoảng 2 + k2π; 2 + k2π với k ∈ Z.

◦ sin x = 1 ⇔ x = π + k2π
2
Hàm số y = sin x nhận các giá trị đặc biệt ◦ sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ Z.
◦ sin x = −1 ⇔ x = − π + k2π
2

Đồ thị hàm số

y

− π
2

−π ππ x

2

3 Hàm số y = cos x

Hàm số y = cos x có tập xác định D = R ⇒ y = cos [f (x)] xác định ⇔ f (x) xác định.
®0 ≤ | cos x| ≤ 1

Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa là −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos2 x ≤ 1.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 18

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

Hàm số y = cos x là hàm số chẵn vì f (−x) = cos(−x) = cos x = f (x) nên đồ thị của hàm số
nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.

Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì T0 = 2π, nghĩa là cos(x + 2π) = cos x. Hàm số
2π

y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = |a| .

Hàm số y = cos x đồng biến trên các khoảng (−π + k2π; k2π) , k ∈ Z và nghịch biến trên các
khoảng (k2π; π + k2π) , k ∈ Z.

◦ cos x = 1 ⇔ x = k2π

Hàm số y = cos x nhận các giá trị đặc biệt ◦ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ Z.
◦ cos x = 0 ⇔ x = π + kπ
2

Đồ thị hàm số

y

−π − π π
2
π
2 x

4 Hàm số y = tan x

Hàm số y = tan x có tập xác định D =R\ π + kπ, k ∈ Z , nghĩa là x = π + kπ ⇒ hàm số
y = tan [f (x)] xác định ⇔ f (x) = π 2 2

2 + kπ; (k ∈ Z).

Tập giá trị T = R.

Hàm số y = tan x là hàm số lẻ vì f (−x) = tan(−x) = − tan x = −f (x) nên đồ thị của hàm số
đối xứng qua gốc tọa độ O.

Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T0 = π ⇒ y = tan(ax + b) tuần hoàn với chu kì
π
T0 = |a| .

Hàm số y = tan x đồng biến trên các khoảng −π + kπ; π + kπ , k ∈ Z.
22

◦ tan x = 1 ⇔ x = π + kπ
4
Hàm số y = tan x nhận các giá trị đặc biệt ◦ tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ , k ∈ Z.

◦ tan x = 0 ⇔ x = kπ 4

Đồ thị hàm số

y

−π − π
2

Oπ π x

2

5 Hàm số y = cot x Trang 19

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

Hàm số y = y = cot x có tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z}, nghĩa là x = kπ ⇒ hàm số
y = cot [f (x)] xác định ⇔ f (x) = kπ; (k ∈ Z).

Tập giá trị T = R.

Hàm số y = cot x là hàm số lẻ vì f (−x) = cot(−x) = − cot x = −f (x) nên đồ thị của hàm số
đối xứng qua gốc tọa độ O.

Hàm số y = y = cot x tuần hoàn với chu kì T0 = π ⇒ y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu kì
π
T0 = |a| .

Hàm số y = y = cot x nghịch biến trên các khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z.

◦ cot x = 1 ⇔ x = π + kπ
4
Hàm số y = y = cot x nhận các giá trị đặc biệt ◦ cot x = −1 ⇔ x = − π + kπ , k ∈ Z.
◦
cot x = 0 ⇔ x = π4
kπ
2

Đồ thị hàm số

y

−π − π 3π
2 2

− 3π Oπ π x
2
2

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 2.1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Phương pháp giải: Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

1 y = tan f (x) = sin f (x) Điều kiện xác định: cos f (x) = 0 ⇔ f (x) = π + kπ, (k ∈ Z).
; 2

cos f (x)

2 y = cot f (x) = cos f (x) Điều kiện xác định: sin f (x) = 0 ⇔ f (x) = kπ, (k ∈ Z).
;

sin f (x)

3 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

• y= 1
, điều kiện xác định là P (x) = 0.
P (x)

• y = 2n P (x), điều kiện xác định là P (x) ≥ 0.

• y= 1
, điều kiện xác định là P (x) > 0.
2n P (x)

®A = 0
4 Lưu ý rằng: −1 ≤ sin f (x); cos f (x) ≤ 1 và A · B = 0 ⇔

B = 0.

5 Với k ∈ Z, ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 20

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

 x = 1 ⇔ x = π + k2π  tan x = 1 ⇔ x = π + kπ
sin 4
2
 

 sin x = 0 ⇔ x = kπ  tan x = 0 ⇔ x = kπ
 

 x = −1 ⇔ x = −π + k2π  tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ
sin 2 4

 cos x = 1 ⇔ x = k2π  cot x = 1 ⇔ x = π + kπ
4
 π
 cos x = 0 ⇔ x = π + kπ  cot x = 0 ⇔ x = 2 + kπ
 2 


  cot x = −1 ⇔ x = − π + kπ
4
cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

sin 3x … 2 − cos x
VÍ DỤ 1. Tìm tập xác định của hàm số: y = f (x) = tan2 x − 1 + ..
1 + cos x

Lời giải.

 tan2 x − 1 = 0




 cos x = 0





Điều kiện xác định của hàm số: 2 − cos x ≥ 0
+ cos x
 1






 cos x = −1.

Do −1 ≤ cos x ≤ 1 nên ⇐ ®1 ≤ 2 − cos x ≤ 3 Từ đó suy 2 − cos x ≥ 0, ∀x ∈ R.
0 ≤ 1 + cos x ≤ . ra:

2 1 + cos x

 = ±π + kπ
4
x ± π + kπ; π + kπ; π + k2π
 42


Vậy hàm số xác định khi và chỉ khi  = π + kπ , nên D = R \ .
x
2



x = π + k2π.

√ 4π2 − x2

VÍ DỤ 2. Tìm tập xác định của hàm số: y = f (x) = cos x ..

Lời giải.

®4π2 − x2 ≥ 0  − 2π ≤ x ≤ 2π −2π ≤ x ≤ 2π; x = π + kπ .
 2

Điều kiện xác định của hàm số: cos x = 0 ⇔π . Vậy D =
x = 2 + kπ.

1 BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI 1. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

4 √
1 y = cos .. 2 cos 2x..

x

3 y= 1 + cos x . tan 2x
4 y = 1 + cos2 x ..
sin x

5 y = tan 2x .. 6 y= … cos x + 4 ..
1
sin x − sin x + 1

… cos x − 2
7 y = 1 − sin x ..

Lời giải.

1 Điều kiện xác định: x = 0.

2 Điều kiện xác định: 2x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

3 Điều kiện xác định: sin x = 0 ⇔ x = kπ.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 21

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

4 Điều kiện xác định: cos 2x = 0 ⇔ 2x = π + kπ ⇔ x = π + kπ
.
2 42

 π kπ
® cos 2x = 0 x = +
5 Điều kiện xác định: sin x = 1 ⇔ x = 4 + 2
π k2π.

2

 cos x + 4 ≥ 0


6 Điều kiện xác định: sin x + 1

 sin x + 1 = 0.

Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ 1 nên cos x + 4 ≥ 0; ∀x ∈ R.
Vậy hàm s−inπx + 1
số xác định khi x = 2 + k2π.

7 Điều kiện xác định:  cos x − 2 ≥ 0


1 − sin x

1 − sin x = 0.

Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ 1 nên cos x − 2 ≤ 0; ∀x ∈ R.
1 − sin x

Vậy tập xác định của hàm số là: ∅.

BÀI 2. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:
√
π2 − x2 √
1 y= .. 2 y = π2 − 4x2 + tan 2x..
sin 2x

tan 2x − π tan x − π
4 4
3 … x− π .. 4 y= π ..
1 − sin 1 − cos
x+
3
8

Lời giải.

®π2 − x2 ≥ 0 −π ≤ x ≤ π


1 Điều kiện xác định: sin 2x = 0 ⇔ kπ
x = .
2

®π2 − 4x2 ≥ 0  π ≤ x ≤ π
cos 2x = 0 − 2 2


2 Điều kiện xác định: ⇔ π kπ
x = + .
42

 −π  −π  3π kπ
4 4 x +
 cos 2x =0  cos 2x =0 = 8
 x− π  x− π x = 5π 2
+ k2π.
3 Điều kiện xác định: > ⇔ = ⇔ 8
8 8
1 − sin 0 1 − sin 0

 x− π  3π
4 x + kπ
 cos = 0 =
 π = x = 4
3 − π + k2π.
4 Điều kiện xác định: ⇔
3
1 − cos x + 0

2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI 3. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

1 y= … 2 + sin x . 2 y = √ cot 2x .

cos x + 1 1 − cos2 x
√
… 1 − sin x x
3 y= . 4 y= .
1 + cos x sin πx

cos 2x 6 y= x2 + 1 .
5 y = 1 − sin x + tan x.
7 y = √tan 2x . x cos x

sin x + 1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 22

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

BÀI 4. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

1 + tan π − x √ 3 − sin 4x

1 y= 4 .. 2 y= cos x + 1 ..
cos x − 2

3 π · tan 2x..
3 y = .. 4 y = cot 2x +
cos x − cos 3x 3

5 y = √ + sin x − 1 .. 6 y = 4 ..
2 tan2 x 1 x
− sin2 x − cos2

π
1 + cot + x
π … 1 + cos x 3
7 y = cot x + + 1 − cos x .. 8 y= 3x − π ..
6
tan2
4

DẠNG 2.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn

ñ0 ≤ | sin x| ≤ 1 ñ0 ≤ | cos x| ≤ 1
◦ −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin2 x ≤ 1 hoặc −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos2 x ≤ 1.

◦ Biến đổi đưa về dạng m ≤ y ≤ M .

Kết luận: max y = M và min y = m.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) = 4 .

5 − 2 cos2 x sin2 x

Lời giải.

Ta có 4 44

y = f (x) = 5 − 2 cos2 x sin2 x = … 1 = … 1 .
5− 5− sin2 2x
(2 cos x sin x)2
22
√√
1 9 45 4 42
Do 0 ≤ sin2 2x ≤1 nên 5≥ 5− 2 sin2 2x ≥ . Suy ra 5 ≤ y = … 1 sin2 2x ≤ .
5−
2 3

√2
◦y= 4 5
√5 khi sin 2x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

◦y= 4 2 khi sin 2x = 1 hoặc sin 2x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = π
.
3√ √ 4

45 42
Vậy min y = và max y = .
53

VÍ DỤ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x) = 3 sin2 x + 5 cos2 x − 4 cos 2x − 2.

Lời giải.
Ta có

f (x) = 3 sin2 x + 5 cos2 x − 4 cos 2x − 2
= 3 sin2 x + cos2 x + 2 cos2 x − 4 2 cos2 x − 1 − 2
= 5 − 6 cos2 x.

Do 0 ≤ cos2 x ≤ 1 nên 5 ≥ f (x) = 5 − 6 cos2 x ≥ −1. π
.
◦ f (x) = 5 khi cos x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 2

◦ f (x) = −1 khi cos2 x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

Vậy max f (x) = 5 và min f (x) = −1.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 23

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

VÍ DỤ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x) = sin6 x + cos6 x + 2, ∀x ∈ − π ; π .
22

Lời giải.
Ta có

f (x) = sin6 x + cos6 x + 2 = sin2 x + cos2 x 3 − 3 sin2 x cos2 x sin2 x + cos2 x + 2

= 1 − 3 sin x cos x)2 + 2 = 3 − 3 sin2 2x.
(2
44

Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên 3 ≥ f (x) ≥ 9
.
4
◦ f (x) = 3 khi sin 2x = 0 ⇔ x = ± π hoặc x = 0 do x ∈ − π ; π .

2 22
◦ f (x) = 9 khi sin2 2x = 1 ⇔ x = ± π do x ∈ − π ; π .
4 4 22
9
Vậy max f (x) = 3 và min f (x) = .
4

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:
√

1 y = 5 3 + cos 2x + 4
√

2 y = 1 − cos 4x

3 y = 3 sin2 2x − 4

4 y = 4 − 5 sin2 2x cos2 2x

5 y = 3 − 2| sin 4x|

Lời giải. √√

1 Do −1 ≤ cos 2x ≤ 1 nên 2 ≤ 3 + cos 2x ≤ 4. Suy ra 5 2 + 4 ≤ y = 5 3 + cos 2x + 4 ≤ 14.
√
◦ y = 52 + 4 khi cos 2x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = π .

2

◦ y = 14 khi co√s 2x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.
Vậy min y = 5 2 + 4 và max y = 14.

√√
2 Do −1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên 2 ≥ y = 1 − cos 4x ≥ 0.
√
◦ y = 2 khi cos 4x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = π
.
4

◦ y = 0 khi co√s 4x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.
Vậy max y = 2 và min y = 0.

3 Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên −4 ≤ y = 3 sin2 2x − 4 ≤ −1.

◦ y = −4 khi sin 2x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.
π
◦ y = −1 khi sin2 2x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = .
4

Vậy min y = −4 và max y = −1.

4 Ta có

y = 4 − 5 sin2 2x cos2 2x = 4 − 5 sin 2x cos 2x)2 = 4 − 5 sin2 2x.
(2
44

Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên 4 ≥ y ≥ 11
.
4

◦ y = 4 khi sin 2x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

◦ y = 11 khi sin2 2x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = π
.
44
11
Vậy max y = 4 và min y = .
4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 24

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

5 Do 0 ≤ | sin 4x| ≤ 1 nên 3 ≥ y = 3 − 2| sin 4x| ≥ 1.

◦ y = 3 khi sin 4x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0. π
.
◦ y = 1 khi | sin 4x| = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 8

Vậy max y = 3 và min y = 1.

BÀI 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

1 y = − sin2 x − cos x + 2 2 y = sin4 x − 2 cos2 x + 1

3 y = cos2 x + 2 sin x + 2 4 y = sin4 x + cos4 x + 4

5 y = 2 − cos 2x + sin2 x 6 y = sin6 x + cos6 x
√

7 y = sin 2x + 3 cos 2x + 4

Lời giải.

1 Ta có

y = − sin2 x − cos x + 2 = − 1 − cos2 x − cos x + 2 = cos2 x − cos x + 1 = Å x − 1 ã2 + 3
cos .
24

Do −1 ≤ cos x ≤ 1 nên −3 ≤ cos x − 1 ≤ 1
.
2 22
Å 1 ã2 9 3
Suy ra 0 ≤ cos x − ≤ ⇔ ≤ y ≤ 3.
2 44

◦ y = 3 khi cos x = 1 luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = π
, .
42 3

◦ y = 3 khi cos x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = π.

3
Vậy min y = và max y = 3.

4

2 Ta có

y = sin4 x − 2 cos2 x + 1 = sin4 x − 2 1 − sin2 x + 1 = sin4 x + 2 sin2 x − 1 = sin2 x + 1 2 − 2.

Do 0 ≤ sin2 x ≤ 1 nên 1 ≤ sin2 x + 1 ≤ 2.
Suy ra 1 ≤ sin2 x + 1 2 ≤ 4 ⇔ −1 ≤ y ≤ 2.

◦ y = −1 khi sin x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.
π
◦ y = 2 khi sin2 x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = .
2

Vậy min y = −1 và max y = 2.

3 Ta có

y = cos2 x + 2 sin x + 2 = 1 − sin2 x + 2 sin x + 2 = − sin2 x + 2 sin x + 3 = 4 − (sin x − 1)2.

Do −1 ≤ sin x ≤ 1 nên −2 ≤ sin x − 1 ≤ 0.
Suy ra 0 ≤ (sin x − 1)2 ≤ 4 ⇔ 4 ≥ y ≥ 0.
◦ y = 4 khi sin x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = π .

2π
◦ y = 0 khi sin x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = − .

2
Vậy max y = 4 và min y = 0.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 25

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

4 Ta có

y = sin4 x + cos4 x + 4 = sin2 x + cos2 x 2 − 2 sin2 x cos2 x + 4 = 1 − 1 (2 sin x cos x)2 + 4 = 5 − 1 sin2 2x.
22

Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên 5 ≥ y ≥ 9
.
2

◦ y = 5 khi sin 2x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

◦ y = 9 khi sin2 2x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = π
.
24
9
Vậy max y = 5 và min y = .
2

5 Ta có

y2 = 2 − cos 2x + sin2 x = 2 − 1 − 2 sin2 x + sin2 x = 3 sin2 x + 1 ⇒ y = 3 sin2 x + 1.

Do 0 ≤ sin2 x ≤ 1 nên 1 ≤ 3 sin2 x + 1 ≤ 4.

Suy ra 1 ≤ y ≤ 2.

◦ y = 1 khi sin x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.
π
◦ y = 2 khi sin2 x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = .
2

Vậy min y = 1 và max y = 2.

6 Ta có

y = sin6 x + cos6 x = sin2 x + cos2 x 3 − 3 sin2 x cos2 x sin2 x + cos2 x

= 1 − 3 sin x cos x)2 = 1 − 3 sin2 2x.
(2
44

Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên 1 ≥ y ≥ 1
.
4
◦ y = 1 khi sin 2x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±π do x ∈ − π ; π .
2 22
◦ y = 1 khi sin2 2x = 1 ⇔ x = ± π do x ∈ − π ; π .
4 4 22
1
Vậy max y = 1 và min y = .
4

7 Ta có √

y1 3 π − 2x + 2 ⇒ y = 2 cos π − 2x + 4.
= sin 2x + cos 2x + 2 = cos
22 2 3 3

Do −1 ≤ cos π − 2x ≤ 1 nên 2 ≥ y ≥ 6.
3
◦ y = 2 khi cos π − 2x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = −π
π3 − 2x .
π3
◦ y = 6 khi cos = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = .
36

Vậy min y = 2 và max y = 6.

BÀI 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

1 y = sin 2x, ∀x ∈ π
0;
2

2 y = cos π , ∀x ∈ ï 2π ; ò
x+ − 0
33

3 y = sin π , ∀x ∈ −π; π
2x +
4 44

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 26

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

1 Do x ∈ π nên 2x ∈ [0; π]. Suy ra 0 ≤ y = sin 2x ≤ 1
0;
2
◦ y = 0 khi x = 0 hoặc x = π.
2
π
◦ y = 6 khi x = .
4

Vậy min y = 0 và max y = 1.

2 Do x ∈ ï 2π ò nên x + π ∈ −π; π . Suy ra 1 = cos π ≤ y = cos π ≤1
− ;0 x+
3 3 33 23 3

◦ y = 1 khi x = − 2π hoặc x = 0.
2 π3
◦ y = 1 khi x = − .
3
1
Vậy min y = và max y = 1.

2

3 Do x ∈ − π ; π π ï π 3π ò √ 2 ≤ y = sin π
− . 2x +
nên 2x + ∈ ; Suy ra − ≤ 1.
√4 4 4 44 2 4

◦ y = − 2 khi x = ± π .
2 4
khi π
◦ y = 1 x = − .
√8
2
Vậy min y = − 2 và max y = 1.

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

1 y = 4 − 2 sin5 2x − 8

4
2 y = y = 1 + 3 cos2 x

3 y= 4
4 y=
5 − 2 cos2 x sin2 x
√
2

4 − 2 sin2 3x

5 y= √3
3 − 1 − cos x

6 4

… x− π +3
2 − cos 6

7 y=√ 2

3 sin 2x + cos 2x

BÀI 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

1 y = cos2 x + 2 cos 2x

2 y = 2 sin2 x − cos 2x

3 y = 2 sin 2x(sin 2x − 4 cos 2x)

4 y = 3 sin2 x + 5 cos2 x − 4 cos 2x
√

5 y = 4 sin2 x + 5 sin 2x + 3

6 y = (2 sin x + cos x)(3 sin x − cos x)

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 27

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

7 y = sin x + cos x + 2 sin x cos x − 1
8 y = 1 − (sin 2x + cos 2x)3

9 y = |5 sin x + 12 cos x − 10|

√ π −x −1
10 y = 2 sin x + 2 sin 4

ï Å 2π ãò +3
11 y = 2 cos 2x + cos 2x +
3

BÀI 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

1 y = sin4 x + cos4 x, ∀x ∈ π
0;
6

2 y = 2 sin2 x − cos 2x, ∀x ∈ π
0;
3

π ï 3π π ò
x+ −
3 y = cot , ∀x ∈ ; −
4 44

DẠNG 2.3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác.
Nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D ⇒ D là tập đối xứng và chuyển sang bước 2.

Bước 2. Tính f (−x), nghĩa là sẽ thay x bằng −x, sẽ có 2 kết quả thường gặp sau

– Nếu f (−x) = f (x) ⇒ f (x) là hàm số chẵn.
– Nếu f (−x) = −f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ.

Lưu ý:

Nếu không là tập đối xứng (∀x ∈ D ⇒ −x ∈/ D) hoặc f (−x) không bằng f (x) hoặc −f (x) ta sẽ kết
luận hàm số không chẵn, không lẻ.

Ta thường sử dụng cung góc liên kết dạng cung đối trong dạng toán này, cụ thể
cos(−a) = cos a, sin(−a) = − sin a, tan(−a) = − tan a, cot(−a) = − cot a.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số √
1 f (x) = sin2 2x + cos 3x 2 f (x) = cos x2 − 16

Lời giải.
1 Tập xác định D = R.
∀x ∈ R ⇒ −x ∈ D = R nên ta xét
f (−x) = sin2(−2x) + cos(−3x) = sin2 2x + cos 3x = f (x).

Vậy f (x) là hàm số chẵn.

2 Tập xác định D = (−∞; −4] ∪ [4; +∞).

∀x ∈ (−∞; −4] ∪ [4; +∞) ⇒ ñx ∈ (−∞; −4] ñ − x ∈ [4; +∞) ⇒ −x ∈ D
⇒
x ∈ [4; +∞) − x ∈ (−∞; −4]

√
Xét f (−x) = cos (−x)2 − 16 = cos x2 − 16 = f (x).

Vậy f (x) là hàm số chẵn.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 28

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

1 y = f (x) = tan x + cot x

2 y = f (x) = tan7 2x · sin 5x

Å 9π ã
3 y = f (x) = sin 2x +

2

Lời giải.

1 Tập xác định D = R\ ß kπ : k ∈ ™
2 Z.

∀x ∈ R\ ß kπ : k ∈ ™ ⇒ x = kπ ⇒ −x = − kπ ⇒ −x ∈ D
2 Z 2 2

Xét f (−x) = tan(−x) + cot(−x) = − tan x − cot x = −f (x).

Vậy f (x) là hàm số lẻ.

2 Tập xác định D = R \ ßπ + kπ : k ∈ ™
4 2 Z.

∀x ∈ R\ ßπ + kπ : k ∈ ™ ⇒ x = π + kπ ⇒ −x = −π − kπ = π + −(k + 1)π ⇒ −x ∈ D
4 2 Z 4 2 4 2 4 2

Xét f (−x) = tan7(−2x) · sin(−5x) = − tan7 2x · (− sin 5x) = tan7 2x · sin 5x = f (x).

Vậy f (x) là hàm số chẵn.

3 Tập xác định D = R.
∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R nên ta xét

f (−x) = Å + 9π ã = Å 9π + ã = Å 9π ã = Å + 9π ã = f (x).
sin −2x sin −2x − 9π − sin −2x − sin 2x
22 22

Vậy f (x) là hàm số chẵn.

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

1 y = f (x) = −2 cos3 π .
3x +
2

2 y = f (x) = sin3(3x + 5π) + cot(2x − 7π).

3 y = f (x) = cot(4x + 5π) tan(2x − 3π).
√

4 y = f (x) = sin 9 − x2.

5 y = f (x) = sin2 2x + cos 3x.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 29

Ƅ Chương 1. Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 30

CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2

.BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Với k ∈ Z, ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau

ña = b + k2π tan x = tan b ⇔ a = b + kπ.
sin a = sin b ⇔ cot x = cot b ⇔ a = b + kπ.

a = π − b + k2π.
ña = b + k2π
cos a = cos b ⇔

a = −b + k2π.

Nếu đề bài cho dạng độ (α◦) thì ta sẽ chuyển k2π → k360◦, kπ → k180◦, với π = 180◦.
Những trường hợp đặc biệt

sin x = 1 ⇔ x = π + k2π. cos x = 1 ⇔ x = k2π.
2 cos x = 0 ⇔ x = π + kπ.

sin x = 0 ⇔ x = kπ. 2
sin x = −1 ⇔ x = − π + k2π.
cos x = −1 ⇔ x = π + k2π.
2 cot x = 0 ⇔ x = π + kπ.

tan x = 0 ⇔ x = kπ. 2
tan x = 1 ⇔ x = π + kπ. cot x = 1 ⇔ x = π + kπ.

4 4
tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ. cot x = −1 ⇔ x = − π + kπ.

4 4

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Giải các phương trình

1 sin 2x = − 1
.
2

2 cos x − π = −1.
3
√

3 tan(2x − 30◦) = 3.

4 cot(x − π ) = 1.
3

Lời giải.

1 sin 2x = −1 ⇔  = − π + k2π ⇔  = −π + kπ (k ∈ Z).
2 2x = 6 x = 12 + kπ

 − 7π + k2π  − 7π
 

2x x
6 12

31

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

2 cos x − π = −1 ⇔ x− π = π + k2π ⇔ x = 4π + k2π (k ∈ Z).
3 3 3

√
3 tan(2x − 30◦) = 3 ⇔ 2x − 30◦ = 60◦ + k180◦ ⇔ x = 45◦ + k90◦ (k ∈ Z).

4 cot x − π = 1 ⇔ x − π = π + kπ ⇔ x = 7π + kπ (k ∈ Z).
3 3 4 12

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau

2π
1 sin x = sin .

3

2 sin 2x − π 1
=.
62

π = −1.
3 sin 2x +
6

ππ
4 cos 2x + = cos .

34

5 cos x = − 1 .
2
π

6 cos x + = 1.
6

Lời giải.

 2π
x = + k2π
1 sin x = sin 2π ⇔  = 3 (k ∈ Z).
3 π

x + k2π
3

2 sin 2x − π 1  − π π x = π + kπ
6 2 2x − = + k2π 6
= ⇔ 6 ⇔ π (k ∈ Z).
 π 6
 5π x = + kπ
6 = + k2π 2
2x 6

π = −1 ⇔ 2x + π = −π + k2π ⇔ x = −π + kπ (k ∈ Z).
3 sin 2x + 6 2 3

6

4 π = π ⇔ 2x + π = π  = −π + kπ (k ∈ Z).
cos 2x + cos 3 = + k2π x = 24 + kπ
 π
3 4 2x + 3 4 ⇔ − 7π
− π + k2π  24
x
4

5 cos x = −1 ⇔ x = ± 2π + k2π (k ∈ Z).
2 3

π = 1 ⇔ x + π = k2π ⇔ x = −π + k2π (k ∈ Z).
6 cos x + 6 6

6

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 2.
√

1 2 sin(x + 30◦) + 3 = 0.

2 cot(4x + 35◦) = −1.

3 2 cos x − π √
6 + 3 = 0.

4 (1 + 2 cos x)(3 − cos x) = 0.

5 tan(x − 30◦) cos(2x − 150◦) = 0.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 32

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

√
6 2 sin 2x + 2 cos x = 0.

√x
7 sin x + 3 sin = 0.

2
1
8 sin 2x cos 2x + = 0.
4

1
9 sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x = .

16

B MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 1.1. Sử dụng thành thạo cung liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
cos(−a) = cos a sin π − a = cos a
sin(−a) = − sin a sin(π − a) = sin a cos 2π − a = sin a
tan(−a) = − tan a
cot(−a) = − cot a cos(π − a) = − cos a tan 2π − a = cot a

Cung hơn kém π tan(π − a) = − tan a cot π2 − a = tan a
sin(π + a) = − sin a
cos(π + a) = − cos a cot(π − a) = − cot a π2
tan(π + a) = tan a
cot(π + a) = cot a Cung hơn kém
π2
sin + a = cos a
2π
cos +a = − sin a
2π
tan +a = − cot a
π2
cot +a = − tan a
2

Tính chu kỳ

sin(x + k2π) = sin x cos(x + k2π) = cos x

sin(x + π + k2π) = − sin x cos(x + π + k2π) = − cos x

tan(x + kπ) = tan x cot(x + kπ) = cot x

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định)

1 sin 2x = cos x − π .
3

2 tan 2x − π π
= cot x + .
33

Lời giải.

1 Ta có phương trình tương đương

sin 2x = sin π − x − π Å 5π ã
x
23 ⇔ sin 2x = sin 6 −

 = 5π − x + k2π  5π k2π
2x
6 x= +
18 3
⇔  Å 5π ã (k ∈ Z) ⇔  π (k ∈ Z).
2x x 

= π − − + k2π x = + k2π
66

 5π k2π
x= +
18 3 (k ∈ Z).
Vậy phương trình có nghiệm là  π


x = + k2π
6

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 33

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

2 Điều kiện: 2x − π = π + kπ, x+ π = kπ (k ∈ Z).
3 2 3

Phương trình tương đương

tan 2x − π = tan π− π
x+
3 23
⇔ tan 2x − π = tan π − x
36
π π
⇔ 2x − 3 = 6 − x + kπ (k ∈ Z)

⇔ 3x = π + kπ (k ∈ Z) ⇔ x = π + kπ (k ∈ Z).
2 6 3

Vậy phương trình có nghiệm là x= π + kπ (k ∈ Z).
6 3

VÍ DỤ 2. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định)
1 sin 3x + cos π − x = 0.
3
2 tan x · tan 3x + 1 = 0.

Lời giải.

1 Ta có phương trình tương đương

cos π −x = − sin 3x ⇔ cos π −x = cos π
+ 3x
3 32

 π − x = π + 3x + k2π  = − π − kπ
32 x
24 2
⇔  π − x = − π − 3x + k2π (k ∈ Z) ⇔  − 5π kπ (k ∈ Z).
32 
= 12 +
x

 = − π − kπ
x
24 2
Vậy phương trình có nghiệm  − 5π kπ (k ∈ Z).

= 12 +
x

π
x = + kπ
2 Điều kiện: ® cos x = 0  2 kπ ⇔x= π + kπ (k ∈ Z).
cos 3x = 0 ⇔ π 6 3
+
x = 63

Xét tan 3x = 0 không là nghiệm, khi đó phương trình tương đương

tan x
+1=0

cot 3x

⇔ tan x = − cot 3x

⇔ π
tan x = tan 3x +
2

⇔ x= 3x + π + kπ ⇔ x = −π − kπ (k ∈ Z).
2 4 2

Vậy phương trình có nghiệm x = −π + kπ (k ∈ Z).
4 2

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG Trang 34

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định).
1 sin 2x = cos π − x .
6
π
2 cos 2x + = sin x.
4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

3 cos π − sin 2x = 0.
4x +
5

Å 3π ã x− π
2x
4 cot − = tan .
46

Lời giải.

1 Ta có phương trình tương đương

sin 2x = sin π − π − x ⇔ sin 2x = sin π
26 +x
3
π
2x = π + x + k2π x = + k2π
3 3
⇔ π (k ∈ Z) ⇔  2π k2π (k ∈ Z).
 +x 
2x = π −
3 + k2π x= +
93

π
x = + k2π
3
Vậy phương trình có nghiệm là  2π k2π (k ∈ Z).


x= +
93

2 Ta có phương trình tương đương

π π −x 2x + π = π − x + k2π
cos 2x + 2 4 2
= cos ⇔  π x− π (k ∈ Z)
4 2x
+ = + k2π
42

 π k2π
x= +
 12 3
⇔ (k ∈ Z).
 − 3π
x = 4 + k2π

Vậy phương trình có nghiệm

3 Ta có phương trình tương đương

π π − 2x 4x + π = π − 2x + k2π
cos 4x + 2 5 2
= cos ⇔  π 2x π (k ∈ Z)
5 4x
+ = − + k2π
52

 π kπ
x= +
 20 3
⇔ (k ∈ Z).
 − 7π
x = 20 + kπ

 π kπ
x= +
20 3
Vậy phương trình có nghiệm  − 7π + kπ (k ∈ Z).

= 20
x

 − 3π = kπ  = 3π kπ
2x 4 π + lπ x = +
2 8
4 Điều kiện x − π = ⇔ x 2π 2 (k, l ∈ Z).
+ lπ
6 3

Ta có phương trình tương đương

cot Å − 3π ã = Å 2π − ã
2x cot x
43

⇔ 2x − 3π = −x + 2π + kπ (k ∈ Z)
4 3

⇔ x = 17π + kπ (k ∈ Z).
36 3

Vậy phương trình có nghiệm x = 17π + kπ (k ∈ Z).
36 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 35

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định).

1 cos (3x + 45◦) = − cos x.
2 sin x − π = − sin 2x − π .

46
3 tan 3x − π = − tan x.

3
4 cos 3x − π + cos x = 0.

3
π
5 sin 2x + + cos x = 0.
4
π
6 tan 3x + + tan 2x = 0.
4

Lời giải.

1 Phương trình tương đương

cos(3x + 45◦) = cos(180◦ − x)
ñ3x + 45◦ = 180◦ − x + k360◦
⇔ 3x + 45◦ = x − 180◦ + k360◦ (k ∈ Z)
ñx = 33,75◦ + k90◦
⇔ x = −112,5◦ + k180◦ (k ∈ Z).

ñx = 33,75◦ + k90◦
Vậy phương trình có nghiệm x = −112,5◦ + k180◦ (k ∈ Z).

2 Phương trình tương đương

sin x − π = sin π − 2x
46
x − π = π − 2x + k2π
46
⇔ π π − 2x (k ∈ Z)
 + k2π
x− = π −
46

 5π k2π
x= +
 36 3
⇔ (k ∈ Z).
 − 13π
x = 12 − k2π

 5π k2π
x= +
36 3
Vậy phương trình có nghiệm  − 13π − k2π (k ∈ Z).

= 12
x

3 Phương trình tương đương

tan 3x − π = tan(−x) ⇔ 3x − π = −x + kπ ⇔ x = π + kπ (k ∈ Z).
3 3 12 4

Vậy phương trình có nghiệm x = π + kπ (k ∈ Z).
12 4

4 Phương trình tương đương

cos 3x − π 3x − π = π − x + k2π
3 3
= cos(π − x) ⇔  π (k ∈ Z)
3x
− 3 = x − π + k2π

 π kπ
x= +
 32
⇔ −π (k ∈ Z).

x = 3 + kπ

 π kπ
x= +
3 2
Vậy phương trình có nghiệm  −π + kπ (k ∈ Z).

 = 3
x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 36

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

5 Phương trình tương đương

π = sin x − π 2x + π = x − π + k2π
sin 2x + 2 4 2
⇔  π x− π (k ∈ Z)
4 2x + + k2π
= π −
42

 = − 3π + k2π
x 4
5π k2π
⇔ (k ∈ Z).


x= +
12 3

 = − 3π + k2π
x 4
5π k2π
Vậy phương trình có nghiệm  (k ∈ Z).


x= +
12 3

6 Phương trình tương đương

π = tan(−2x)
tan 3x +
4
⇔ 3x + π = −2x + kπ
4

⇔ x= −π + kπ (k ∈ Z).
20 5

Vậy phương trình có nghiệm x = −π + kπ (k ∈ Z).
20 5

BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau
1 sin 4x − 2 cos2 x + 1 = 0.

2 2 cos 5x · cos 3x + sin x = cos 8x.

3 cos π − x + sin 2x = 0.
2

4 2 sin2 x = cos 5x + 1.
2

Å 4π ã π −x √
5 sin + x + cos = 3.
9 18

Lời giải.

1 Phương trình tương đương

sin 4x = cos 2x ⇔ sin 4x = sin π − 2x
2

4x = π − 2x + k2π  π k2π
x= +
2 12 3
⇔  π (k ∈ Z) ⇔  π (k ∈ Z).
4x 

= π − 2 + 2x + k2π x = + kπ
4

 π k2π
x= +
12 3 (k ∈ Z).
Vậy phương trình có nghiệm  π


x = + kπ
4

2 Phương trình tương đương

cos 8x + cos 2x + sin x = cos 8x ⇔ cos 2x = cos π
+x
2
π
2x = π + x + k2π x = + k2π
2 2
⇔  −π (k ∈ Z) ⇔  −π (k ∈ Z).
2x k2π
= − x + k2π  = +
2 x 63

π
x = + k2π
2
Vậy phương trình có nghiệm  −π k2π (k ∈ Z).

 = +
x 63

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 37

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

3 Phương trình tương đương

sin x + sin 2x = 0 ⇔ sin 2x = sin(−x)

⇔ ñ2x = −x + k2π  k2π
x=
(k ∈ Z) ⇔  3 (k ∈ Z).
2x = π + x + k2π
x = π + k2π

 k2π
x=
Vậy phương trình có nghiệm  3 (k ∈ Z).

x = π + k2π

4 Phương trình tương đương

cos 5x + cos x = 0 ⇔ cos 5x = cos(π − x)

 π kπ
x= +
ñ5x = π − x + k2π 6 3
⇔ 5x = x − π + k2π (k ∈ Z) ⇔  −π kπ (k ∈ Z).
 +
= 42
x

 π kπ
x= +
6 3
Vậy phương trình có nghiệm  −π kπ (k ∈ Z).
 +
= 42
x

5 Phương trình tương đương

Å 4π ã π − π +x = √ ⇔ Å 4π + ã = √
sin + x + sin 3 2 sin x 3
9 2 18 9

⇔  4π = π ⇔  = − π + k2π (k ∈ Z).
x+ = + k2π x = 9

9 3  2π
 4π 2π  + k2π

x+ + k2π x 9
9 3

 = −π + k2π
x 9
2π
Vậy phương trình có nghiệm  (k ∈ Z).


x = + k2π
9

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định)

Å 2π ã Å 9π ã
3x x .
1 sin + = cos −
34

2 cos 2x = sin Å − 2π ã
x .
3

3 tan 3x − π = cot x.
5

BÀI 5. Giải các phương trình lượng giác sau

π = − cos π .
1 cos 2x + x+
34

π
2 sin 2x + + sin x = 0.

3

3 cot x − π + cot π − x = 0.
42

Å 2π ã Å 7π ã
3x x
4 sin + + sin − = 0.
35

π + sin x − π = 0.
5 cos 4x +
34

6 tan 2x · tan 3x = 1.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 38

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

BÀI 6. Giải các phương trình lượng giác sau
1 sin 5x + 2 cos2 x = 1.

2 cot 2x = 1 − tan x .

1 + tan x

π + Å 4π − ã = √
3 sin 3x + sin 3x 3.
55

4 cos 2x cos x + cos x = sin 2x sin x.

π Å 5π ã
5 cos 3x + + sin + 3x = 2.

36

DẠNG 1.2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

a+b a−b a+b a−b
cos a + cos b = 2 cos · cos cos a − cos b = −2 sin · sin
22 22
a+b a−b a+b a−b
sin a + sin b = 2 sin · cos sin a − sin b = 2 cos · sin
22 22
a+b a−b
! Khi áp dụng tổng thành tích đối với hai hàm sin và cosin thì được hai cung mới là , . Do
22

đó khi sử dụng nên nhẩm (tổng và hiệu) hai cung mới này trước để nhóm hạng tử thích hợp sao cho xuất

hiện nhân tử chung (cùng cung) với hạng tử còn lại hoặc cụm ghép khác trong phương trình cần giải.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Giải phương trình sin 5x + sin 3x + sin x = 0.

Lời giải.
Ta có

sin 5x + sin 3x + sin x = 0 ⇔ (sin 5x + sin x) + sin 3x = 0 ⇔ 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0

ñ sin 3x = 0
⇔ sin 3x(2 cos 2x + 1) = 0 ⇔

2 cos 2x + 1 = 0

 kπ
x=
3x = kπ 3
⇔ −1 (k ∈ Z) ⇔  = π lπ (k, l ∈ Z).

cos 2x = x +
 3

2  = −π + lπ
x
3

Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta được phương trình có nghiệm x = kπ (k ∈ Z).
,

3

VÍ DỤ 2. Giải phương trình cos 3x + cos 2x + cos x + 1 = 0.

Lời giải. Trang 39

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Ta có

cos 3x + cos 2x + cos x + 1 = 0 ⇔ (cos 3x + cos x) + (cos 2x + 1) = 0

⇔ 2 cos 2x cos x + 2 cos2 x = 0 ⇔ 2 cos x(cos 2x + cos x) = 0

 cos 2x = 0

⇔ 4 cos 2x cos 3x cos x = 0 ⇔  cos 3x = 0
2 2  2
x




cos = 0
2
2x = π + kπ
2  π kπ
x= +

⇔  3x = π + lπ (k, l, m ∈ Z) ⇔  42 (k, l, m ∈ Z).
 2  π l2π
x
 = +
2 33
x π 

= + mπ x = π + m2π
22

π kπ π l2π
Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta được phương trình có nghiệm x = + , x = + ,
42 33
(k, l ∈ Z).

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau

1 sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

2 cos x + cos 3x + cos 5x = 0.

3 1 − sin x − cos 2x + sin 3x = 0.

4 cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

Lời giải.

1 Ta có

sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 0
ñ sin 2x = 0

⇔ sin 2x(2 cos x + 1) = 0 ⇔
2 cos x + 1 = 0

2x = kπ  kπ
x=
2
⇔  = −1 (k ∈ Z) ⇔  ± 2π (k, l ∈ Z).
cos x 2 
= 3 + l2π
x

Vậy phương trình có nghiệm x = kπ , x = ± 2π + l2π, (k, l ∈ Z).
2 3

2 Ta có

cos x + cos 3x + cos 5x = 0 ⇔ 2 cos 3x cos 2x + cos 3x = 0

ñ cos 3x = 0
⇔ cos 3x(2 cos 2x + 1) = 0 ⇔

2 cos 2x + 1 = 0

⇔ π (k ∈ Z) ⇔  = π kπ (k, l ∈ Z).
3x = + kπ = 6 +
2 x ±
 3
  π
 cos 2x = − 1
x + lπ
23

Vậy phương trình có nghiệm x = π + kπ x = ±π + lπ, (k, l ∈ Z).
6 , 3

3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 40

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

3 Ta có

1 − sin x − cos 2x + sin 3x = 0 ⇔ 2 cos 2x sin x + 2 sin2 x = 0
ñ sin 2x = 0

⇔ 2 sin x(cos 2x + sin x) = 0 ⇔
cos 2x = − sin x

 kπ
x=
2x = kπ 2
π π
⇔ (k ∈ Z) ⇔  = x + 2 + l2π (k, l ∈ Z)
cos 2x = cos x + 2x
2 

 π + l2π
2x = − x+
2

 kπ
x=
2
π
⇔ x = + l2π (k, l ∈ Z).
 2


 = −π + l2π
x
63

Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta được phương trình có nghiệm x = kπ x = −π + m2π,
,
26
7π
x = 6 + m2π, (k, m ∈ Z).

4 Ta có

cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0 ⇔ 2 cos 3x cos x + 2 cos 7x cos x = 0
22 22

⇔ 2 cos x Å 7x + cos 3x ã = 0 ⇔ 4 cos x cos 5x cos x = 0
cos
22 2 22

 cos x = 0 x = π + kπ

 x2
 cos =0 
⇔ 2 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z).



 5x  π k2π
cos = 0 x= +
2 55

Vậy phương trình có nghiệm x = π + kπ, x = π + k2π, x = π + k2π (k ∈ Z).
2 5 ,

5

BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau
1 sin 5x + sin x + 2 sin2 x = 1.

2 sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x.

3 cos 3x − 2 sin 2x − cos x − sin x = 1.

4 4 sin 3x + sin 5x − 2 sin x cos 2x = 0.

Lời giải.

1 Ta có

sin 5x + sin x + 2 sin2 x = 1 ⇔ (sin 5x + sin x) − (1 − 2 sin2 x) = 0

⇔ 2 sin 3x cos 2x − cos 2x = 0 ⇔ cos 2x(2 sin 3x − 1) = 0

 π kπ
x= +
4 2
⇔ ñ cos 2x = 0  π l2π (k, l ∈ Z).
2 sin 3x − 1 = 0 +
 18 3
⇔ x =



 5π l2π
x= +
18 3

Vậy phương trình có nghiệm x = π + kπ x = π + l2π x = 5π + l2π (k, l ∈ Z).
4 , 18 , 18 ,

2 3 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 41

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

2 Ta có

sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x ⇔ (sin 3x + sin x) + sin 2x = (1 + cos 2x) + cos x

⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos2 x + cos x ⇔ sin 2x(2 cos x + 1) − cos x(2 cos x + 1) = 0

 cos x = 0

⇔ cos x(2 cos x + 1)(2 sin x − 1) = 0 ⇔ 2 cos x + 1 = 0


2 sin x − 1 = 0

π
x = + kπ
2
 cos x = 0 

 1  = ± 2π + k2π
 x
cos x = −  3
⇔  2 ⇔ π (k ∈ Z).



1 x = + k2π
6
sin x = 

2  5π
x = + k2π
6

Vậy phương trình có nghiệm x = π + kπ, x = ± 2π + k2π, x = π + k2π, x = 5π + k2π, (k ∈ Z).
2 3 6 6

3 Ta có

cos 3x − 2 sin 2x − cos x − sin x = 1 ⇔ (cos 3x − cos x) − 2 sin 2x − (sin x + 1) = 0

⇔ −2 sin 2x sin x − 2 sin 2x − (sin x + 1) = 0 ⇔ 2 sin 2x(sin x + 1) − (sin x + 1) = 0

ñ sin x + 1 = 0
⇔ (sin x + 1)(2 sin 2x + 1) = 0 ⇔

2 sin 2x + 1 = 0

x = − π + k2π
2
 sin x = −1 π
⇔  sin 2x = − 1 ⇔  = − 12 + lπ (k, l ∈ Z).
x


2  7π
x = + lπ
12

Vậy phương trình có nghiệm x = −π + k2π, x = −π + lπ, x = 7π + lπ, (k, l ∈ Z).
2 12 12

4 Ta có

4 sin 3x + sin 5x − 2 sin x cos 2x = 0 ⇔ 4 sin 3x + sin 5x + sin x − sin 3x = 0

⇔ 3 sin 3x + 2 sin 3x cos 2x = 0 ⇔ sin 3x(3 + 2 cos 2x) = 0

⇔ ñ sin 3x = 0 = 0 (vô nghiệm) ⇔ x = kπ ∈ Z).
3 + 2 cos 2x , (k

3

Vậy phương trình có nghiệm x = kπ , (k ∈ Z).
3

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Trang 42

BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau
1 sin 3x + cos 2x − sin x = 0.
2 sin x − 4 cos x + sin 3x = 0.
3 cos 3x + 2 sin 2x − cos x = 0.
4 cos x − cos 2x = sin 3x.

BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau
1 sin 5x + sin 3x + 2 cos x = 1 + sin 4x.
2 cos 2x − sin 3x + cos 5x = sin 10x + cos 8x.
3 1 + sin x + cos 3x = cos x + sin 2x + cos 2x.
4 sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

DẠNG 1.3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos

Sử dụng công thức hạ bậc

1 sin2 α = 1 − cos 2α 2 cos2 α = 1+ cos 2α
. .
2 2

3 tan2 α = 1 − cos 2α 4 cot2 α = 1 + cos 2α
. 1 − .
1 + cos 2α
cos 2α

! Đối với công thức hạ bậc của sin và cosin

1
Mỗi lần hạ bậc xuất hiện và cung góc tăng gấp đôi.

2

Mục đích cả việc hạ bậc để triệt tiêu hằng số không mong muốn và nhóm hạng tử thích hợp để sau
khi áp dụng công thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài
toán đơn giản hơn.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Giải phương trình sin2 2x − cos2 8x = 1
cos 10x.
2

Lời giải.
Ta có

sin2 2x − cos2 8x = 1 cos 10x ⇔ 1 − cos 4x − 1 + cos 16x = 1 cos 10x
2 2 22

⇔ cos 16x + cos 4x − cos 10x = 0 ⇔ 2 cos 10x cos 6x − cos 10x = 0

 π kπ
x = +
⇔ ñ cos 10x =0 ⇔  = 20 10 (k ∈ Z).
2 cos 6x −1= 
0 ±π kπ
x +
18 3

Phương trình có nghiệm x = π + kπ x = ±π + kπ (k ∈ Z).
20 , 18 ,

10 3

VÍ DỤ 2. Giải phương trình cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 3
.
2

Lời giải.
Ta có

cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 3
2

⇔ 1 + cos 2x + 1 + cos 4x + 1 + cos 6x + cos2 4x = 3
222 2

⇔ cos 6x + cos 2x + cos 4x + 2 cos2 4x = 0 ⇔ 2 cos 4x cos 2x + cos 4x + 2 cos2 4x = 0

⇔ cos 4x(2 cos 4x + 2 cos 2x + 1) = 0 ⇔ cos 4x(4 cos2 2x + 2 cos 2x − 1) = 0

 cos 4x = 0  π kπ
√ x= +
1− 5  84
 √
4√ 
⇔  cos 2x = 1+ 5 ⇔  = ± 1 arccos −1 − 5 + lπ (k, l ∈ Z).
 x
4
 2 4√



  1 −1 + 5
x + lπ
cos 2x = = ± arccos

24

√√
π kπ ±1 −1 − 5 + lπ, x = ± 1 arccos −1 + 5 + lπ, (k, l ∈ Z).
Phương trình có nghiệm x = + , x = arccos 24
84 2 4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 43

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau

1 sin2 x = 1
.
2

2 cos2 2x − π 3
=.
44

3 cos2 x = 2 + √ 3
.
4

4 4 sin2 x − 1 = 0.

5 sin2 Å + 2π ã = sin2 Å 7π − ã
3x x.
34

6 cos4 x + sin4 π 1
x+ =.
44

Lời giải.

1 Ta có

sin2 x = 1 ⇔ 1+ cos 2x = 1 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = π + kπ ∈ Z).
2 2 2 4 , (k

4

Vậy phương trình có nghiệm x = π + kπ , (k ∈ Z).
4 4

2 Ta có

4x − π  π kπ
= 3 ⇔ 1 + cos 2 x = +
cos2 2x − π 3 1  24 2
4 42 = 4 ⇔ sin 4x = 2 ⇔  5π kπ (k ∈ Z).

x= +
24 2

Vậy phương trình có nghiệm x = π + kπ x = 5π + kπ (k ∈ Z).
24 , 24 ,

2 2

3 Ta có √ √√

cos2 x = 2 + 3 ⇔ 1 + cos 2x = 2 + 3 ⇔ cos 2x = 3 ⇔ x = ±π + kπ, (k ∈ Z).
4 24 2 12

Vậy phương trình có nghiệm x = ±π + kπ, (k ∈ Z).
12

4 Ta có

4 sin2 x − 1 = 0 ⇔ 2(1 − cos 2x) − 1 = 0 ⇔ cos 2x = 1 ⇔ x = ±π + kπ, (k ∈ Z).
2 6

Vậy phương trình có nghiệm x = ±π + kπ, (k ∈ Z).
6

5 Ta có

1 − cos Å 4π ã Å 7π ã
6x + 1 − cos − 2x
Å 2π ã sin2 Å 7π ã 3 =2
sin2 3x + = −x ⇔
34 2 2

⇔ Å 4π ã = Å 7π − ã ⇔  + 4π = 7π − 2x + k2π (k ∈ Z)
cos 6x + 3 cos 2x + = 2
6x 3
2  4π − Å 7π − ã + k2π
 2x
6x 32

 13π kπ
x= +
48 4
⇔  − 29π kπ (k ∈ Z).
 +
= 24 2
x

Vậy phương trình có nghiệm x = 13π + kπ x = − 29π + kπ , (k ∈ Z).
48 , 24 2

4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 44

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

6 Ta có

cos4 x + sin4 π 1 Å 1 + cos 2x ã2  1 − cos π 2
x+ =⇔ + 2x + 1

2 =

44 2 24

⇔ (1 + cos 2x)2 + (1 + cos 2x)2 = 1 ⇔ 2 cos2 2x + 4 cos 2x + 1 = 0
√
 −2 − 2
2√ (vô nghiệm) ±1 √
cos 2x = 2 −2 + 2
⇔  −2 + 2 ⇔ x = arccos + kπ, (k ∈ Z).
 2


cos 2x = 2

Vậy phương trình có nghiệm x = ± 1 arccos −2 + √ 2 + kπ, (k ∈ Z).
22

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau

1 sin2 2x + sin2 x = 1.

2 sin2 2x + cos2 3x = 1.

3 sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = 3
.
2

4 cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = 3
.
2

5 sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = 2.

6 sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x.

√ 2
.
7 sin3 x cos x − sin x cos3 x = 8

√ 2
.
8 sin3 x cos x + sin x cos3 x = − 4

BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau

1 sin2 4x + cos2 6x = sin 10x, ∀x ∈ π .
0;
2

2 cos 3x + sin 7x = 2 sin2 Åπ + 5x ã − 2 cos2 9x
.
42 2

3 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x.

4 cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2.

5 cos2 x + cos2 2x + cos2 π − 3x 7
=.
34

6 sin2 4x − cos2 6x = sin π , ∀x ∈ π .
+ 10x 0,
22

7 sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x.

8 tan2 x + sin2 2x = 4 cos2 x.

9 cos2 3x · cos 2x − cos2 x = 0.

10 4 sin2 x − √ cos 2x = 1 + 2 cos2 Å − 3π ã
3 x .
24

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 45

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

DẠNG 1.4. Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích

Đa số đề thi, kiểm tra thường là những phương trình đưa về tích số. Do đó, trước khi giải ta phải quan
sát xem chúng có những lượng nhân tử chung nào, sau đó định hướng để tách, ghép, nhóm phù hợp. Một
số lượng nhân tử thường gặp:
1. Các biểu thức có nhân tử chung với cos x ± sin x thường gặp là:

1 ± sin 2x = sin2 x ± 2 sin x cos x + cos2 x = (sin x ± cos x)2

cos 2x = cos2 x − sin2 x = (cos x + sin x)(cos x − sin x)

cos4 x − sin4 x = (cos2 x − sin2 x)(cos2 x + sin2 x) = (cos x + sin x)(cos x − sin x)

cos3 x − sin3 x = (cos x ∓ sin x)(1 ± sin x cos x)

1 ± tan x = 1 ± sin x = cos x ± sin x
cos x cos x

1 ± cot x = 1 ± cos x = sin x ± cos x
sin x sin x

cos x − π π = √1 (sin x + cos x)
= sin x +
4 42

sin x − π = − cos π = √1 (sin x − cos x)
x+
4 42

2. Nhìn dưới góc độ hằng đẳng thức số 3, dạng a2 − b2 = (a − b)(a + b), chẳng hạn:

sin2 x + cos2 x = 1 ⇒ ïsin2 x = 1 − cos2 x = (1 − cos x)(1 + cos x)
cos2 x = 1 − sin2 x = (1 − sin x)(1 + sin x)

cos3 x = cos x · cos2 x = cos x(1 − sin2 x) = cos x(1 − sin x)(1 + sin x)

sin3 x = sin x · sin2 x = sin x(1 − cos2 x) = sin x(1 − cos x)(1 + cos x)

cos3 x − sin3 x = (cos x ∓ sin x)(1 ± sin x cos x)

3 − 4 cos2 x = 3 − 4(1 − sin2 x) = 4 sin2 x − 1 = (2 sin x − 1)(2 sin x + 1)

sin 2x = 1 + sin 2x − 1 = sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x − 1 = (sin x + cos x)2 − 1 = (sin x + cos x −
1)(sin x + cos x + 1)

√√
2(cos4 x − sin4 x) + 1 = 3 cos2 x − sin2 x = ( 3 cos x − sin x)( 3 cos x + sin x)

3. Phân tích tam thức bậc hai dạng: f (X) = aX2 + bX + c = a(X − X1)(X − X2) với X có thể là
sin x, cos x và X1, X2 là hai nghiệm của f (X) = 0

1 VÍ DỤ

√√
VÍ DỤ 1. Giải phương trình 2 cos x + 3 sin x = sin 2x + 3.

Lời giải. √ √

Ta có:2 cos x + 23x)si+n xÄ√√=3ssinin2xx−+√33ä = 0
⇔ (2 cos x − sin

⇔ 2 cos x (1 − sin x) + √3 (sin x − 1) = 0
⇔ (1 − ä
Ä −
sin x) 2 cos x 3 =0

 sin x =√1 π
⇔ 3 x = + k2π
⇔ ±2π ∈ π ± π ∈
cos x =  = + k2π , k Z Vậy phương trình có nghiệm là: x = 2 + k2π; x = 6 + k2π, k Z
2 x
6

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 46

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

VÍ DỤ 2. Giải phương trình cos 2x + (1 + sin x) (sin x + cos x) = 0.

Lời giải.

Ta có: cos 2x + (1 + sin x) (sin x + cos x) = 0
⇔ cos2 x − sin2 x + (1 + sin x) (sin x + cos x) = 0

⇔ (cos x − sin x) (cos x + sin x) + (1 + sin x) (sin x + cos x) = 0

⇔ (sin x + cos x) (cos x + 1) = 0

⇔ ï cos x = −1 ⇔ √ x= π + k2π = 0 ⇔ ñ x = π + k2π ⇔ x = π + k2π
cos x + sin x = 0 2 cos x − π x − π = π + kπ 3π Vậy phương trình có

3π 4 42 x = + kπ
4 4

nghiệm là: x = π + k2π; x = + kπ, k ∈ Z

VÍ DỤ 3. Giải phương trình (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) − sin 2x = 0.

Lời giải.

Ta có: (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) − sin 2x = 0

⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) + (1 − sin 2x) − 1 = 0

⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) + (sin x − cos x)2 − 1 = 0

⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) + (sin x − cos x − 1) (sin x − cos x + 1) = 0

⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x + sin x − cos x − 1) = 0

⇔ (sin x − cos x + 1) (− sin x − 1) = 0  x − π = − π + k2π

ïsin x − cos x +1 = 0 √ x− π +1=0  x− π = √−1  π4 4π
sin x = −1 2 sin sin 4 x =π+
⇔  −π 4 −π 2  −
⇔ ⇔ ⇔ 4 −π 4 + k2π
 
x = + k2π
2 x = + k2π x = + k2π
2
2

 x = k2π

3π
x = + k2π
⇔  −2π ,k ∈ Z


x = + k2π
2
3π −π
Vậy phương trình có nghiệm là: x = k2π; x = 2 + k2π; x = 2 + k2π, k ∈ Z

VÍ DỤ 4. Giải phương trình Ä sin x − √ä Ä x cos x + √ä = 1 − 4 cos2 x.
2 3 sin 3

Lời giải. x − √ä Ä x cos x + √ä = 1 − 4 cos2 x
3 sin 3
Ä √ä √ä
Ta có: 2 sin 3 3

⇔ Ä sin x − √ä Ä x cos x + √ä = 1 − 4(1 − sin2 x)
2 3 sin 3

⇔ Ä sin x − Ä x cos x + = 4 sin2 x − 3
2 sin
Ä √ äÄ √ä Ä √ äÄ √ä
⇔ 2 sin x − 3 sin x cos x + 3 = 2 sin x − 3 2 sin x + 3 = 0
Ä √ä
⇔ 2 sin x − 3 (sin x cos x − 2 sin x) = 0
Ä √ä
⇔ 2 sin x − 3 sin x (cos x − 2) = 0

√ π π
x = + k2π x = + k2π
3 3 23π
sin x = − π 3
⇔  2 ⇔  = π + k2π ⇔  = + k2π , k ∈ Z
x x
sin x = 0 3
x = kπ
x = kπ

Vậy phương trình có nghiệm là: x = π + k2π; x = 2π + k2π; x = kπ, k ∈ Z
3 3

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG Trang 47

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau
√

1 sin 2x − 3 sin x = 0.
2 (sin x + cos x)2 = 1 + cos x.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

3 sin x + cos x = cos 2x.

4 cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0.

Lời giải.

√
1 Ta có Ta có: sin 2√x − 3 sin x = 0
⇔ 2 sin x cos x − √3 sin x = 0
Ä ä
⇔ sin x 2 cos x − 3 = 0

 sin x =√0 ñ x = kπ ∈Z −π
⇔ 3 ⇔ x = ± π + k2π , k + k2π; 6

cos x = 6
2 π

Vậy phương trình có nghiệm là: x = 6 x = + k2π; x = kπ, k ∈ Z

2 Ta có: (sin x + cos x)2 = 1 + cos x
⇔ sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x − 1 − cos x = 0

⇔ 2 sin x cos x − cos x = 0  x = π + kπ

cos x = 0  π2
⇔ cos x(2 sin x − 1) = 0 ⇔ 1 ⇔  x = + k2π ,k ∈
sin x = 2 6 Z
 5π

x = + k2π
6
π π 5π
Vậy phương trình có nghiệm là: x = 2 + kπ; x = 6 + k2π; x = 6 + k2π, k ∈ Z

3 Ta có: sin x + cos x = cos 2x

⇔ sin x + cos x = cos2 x − sin2 x

⇔ sin x + cos x = (cos x + sin x) (cos x − sin x)

⇔ (sin x + cos x) (1 − cos x + sin x) = 0

√ π π =0
2 sin x+ =0 sin x+ = √−1
⇔ ï sin x + cos x = 0 ⇔ √ x − π4 = −1 ⇔  x − π4
sin x − cos x = −1 sin
2 sin
4 42
π
 x + = kπ  −π
x
4−π = 4 + kπ
=
⇔  π + k2π ⇔  x = k2π ,k ∈Z
x − 
4π 54π
  3π
 x = + k2π
− = + k2π 2
x 44

Vậy phương trình có nghiệm là: x = −π + kπ; x = 3π + k2π; x = k2π, k ∈ Z
4 2

4 Ta có

Ta có: cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0

⇔ cos2 x − sin2 x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0

⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x) − (1 + 2 cos x)(cos x − sin x) = 0

⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x − 1 − 2 sin x) = 0

⇔ (cos x − sin x)(cos x − sin x − 1) = 0  ππ π
π
cos x + =0 x+ = + kπ x= + kπ
⇔ ïcos x − sin x = 0 ⇔ x π4 ⇔ 4 π2 ⇔ −4π + k2π ∈
cos x − sin x = 1 là:  = ,k Z
cos + =1 x+ = k2π x
4 π + kπ; x = −π 4 4
nghiệm 44 + k2π, k ∈ Z
Vậy phương trình có x=

BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau
1 (tan x + 1) sin2 x + cos 2x = 0.

2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + cos x.

3 √ x− π = 1.
sin 2x + cos x − 2 sin 4

4 √ π −x · 1 + cos 2x = 1 + cot x.
2 cos 4 sin x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 48

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Lời giải.

1 Ta có: (tan x + 1) sin2 x + cos 2x = 0

⇔ Å sin x ã + (cos2 x − sin2 x) = 0
+ 1 sin2 x
cos x

⇔ (sin x + cos x) sin2 x + cos x(cos x − sin x)(cos x + sin x) = 0

⇔ (sin x + cos x)(sin2 x + cos2 x − sin x cos x) = 0

⇔ (sin x + cos x)(1 − 1 sin 2x) = 0
2
ïsin x + cos x = 0 √ π π −π
⇔ sin 2x = 2(loại) ⇔ sin x + cos x = 0 ⇔ 2 sin x+ = 0 ⇔ x + 4 = kπ ⇔ x = 4 + kπ, k ∈ Z

−π 4
4
Vậy phương trình có nghiệm là: x = + kπ, k ∈ Z

2 Ta có: sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + cos x

⇔ 2 sin x cos2 x + sin 2x = 1 + cos x

⇔ sin 2x cos x + sin 2x = 1 + cos x

⇔ sin 2x(1 + cos x) = 1 + cos x

⇔ (1 + cos x)(sin 2x − 1) = 0 ⇔ ïcos x = −1 ⇔ ñ x = π + k2π ⇔ ñx = π + k2π ,k ∈ Z
sin 2x = 1 π π

2x = + k2π x = + kπ
2 4
π kπ, k
Vậy phương trình có nghiệm là: x = π + k2π; x = 4 + ∈ Z

3 √ x− π =1
Ta có: sin 2x + cos x − 2 sin 4

⇔ sin 2x + cos x − sin x + cos x − 1 = 0

⇔ sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 = 0

⇔ 2 sin x cos x + 2 cos x − (sin x + 1) = 0

⇔ 2 cos x(sin x + 1) − (sin x + 1) = 0

⇔ (sin x + 1)(2 cos x − 1) = 0
−π
sin x = −1  = ± π2 + k2π
x
⇔ ⇔ ∈Z
Vậy cos x = 1  = + k2π , k −π +
nghiệm 2 x
3 2
±π
của phương trình là: x = k2π; x = 3 + k2π, k ∈ Z

4 Ta có Điều kiện: sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
√
Ta có: 2 cos π −x · 1 + cos 2x = 1 + cot x
4 sin x
⇔ (cos x + sin x) · 1 + cos 2x = sin x + cos x
sin x sin x
⇔ (sin x + cos x)(1 + cos 2x) − (sin x + cos x) = 0

⇔ (sin x + cos x) cos 2x =√0 π π  = −π + kπ
2 sin x + = 0 x + = kπ x
⇔ ïsin x + cos x = 0 ⇔ π4 ⇔ ⇔  π4 π
cos 2x = 0  4π
 2x = + kπ
2
2x = + kπ x= +k
2 ∈Z 42
π π π
⇔ x = 4 + k ,k ∈ Z

2 π

Vậy nghiệm của phương trình là: x = + k , k
42

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Trang 49

BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau
√π

1 1 + tan x = 2 2 sin x + .
4

√π
2 cos x + cos 3x = 1 + 2 sin 2x + .

4
3 (2 cos x + 1)(cos 2x + 2 sin x − 2) = 3 − 4 sin2 x..
4 (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 3) = 3 − 4 cos2 x.
BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

√
1 4 sin2 x + 3 3 sin 2x − 2 cos2 x = 4.
2 (cos x + 1)(cos 2x + 2 cos x) + 2 sin2 x = 0.
3 1 + sin x + cos 3x = cos x + sin 2x + cos 2x.
4 sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x.
BÀI 5. Giải các phương trình lượng giác sau:

√
1 2 sin2 x − 3 sin x cos x + cos2 x = 1.

2 4 sin 2x sin x + 2 sin 2x − 2 sin x = 4 − 4 cos2 x.

3 4 sin2 x + √ sin 2x − 2 cos2 x = 4.
33

4 (cos x + 1)(cos 2x + 2 cos x) + 2 sin2 x = 0.

5 (2 cos x + 1)(sin 2x + 2 sin x − 2) = 4 cos2 x − 1.

6 (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 3) = 4 sin2 x − 1.

7 (2 sin x − 1)(2 sin 2x + 1) + 4 cos2 x = 3.

8 (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 1) = 3 − 4 cos2 x.

9 sin 2x = (sin x + cos x − 1)(2 sin x + cos x + 2).

10 2(cos4 x − sin4 x) + 1 = √ cos x − sin x.
3

Lời giải.

1 Ta có

√√
2 sin2 x − 3 sin x cos x + cos2 x = 1 ⇔ sin2 x − 3 si√n x cos x = 0

⇔ sin x(sin x − 3 cos x) = 0

ñ sin x = 0
⇔√

sin x − 3 cos x = 0

ñx = kπ
⇔√

tan x = 3

x = kπ

⇔  = π + nπ , (k, n ∈ Z).
x
3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = kπ và x = π + nπ với k, n ∈ Z.
3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 50